Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben
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nach x Minuten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h?
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 2min?
Wie weit ist der Heißluftballon dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem der Heißluftballon steigt?
Wann hat er die Höhe von 150m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=90
= 5.4
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 min befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist (in m).
Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x1-x2-Ebene berechnen.
Die x1-x2-Ebene hat die Gleichung x3=0 und den
Normalenvektor =.
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel :
sin()= =
In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 30 auf 150m (also 120m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit
Beispiel:
Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann kommt sie im Punkt B an?
Wann hat die Rakete die (absolute) Höhe von 2750m erreicht? In welchem Punkt befindet es sich dann?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in
Die Länge des Vektors
Bei einer Geschwindigkeit von 300
Punkt B wird als nach 2s erreicht.
In einer s wird also der Vektor
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 150 auf 2750m (also 2600m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Also im Punkt P
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wie tief ist das Uboot, wenn es 5,76 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)
Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Geradengleichung
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =
Die Geschwindigkeit ist also v=36
Für die Strecke von 5.76 km braucht es also
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -1920 (in m).
Zwei Objekte - gleiche Höhe
Beispiel:
Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?
Wie weit sind die beiden Flugzeuge von einander entfernt, wenn F1 genau senkrecht über oder unter der Flugbahn von F2 ist?
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?
Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
nach 3 min sind also das Flugzeug F1 und das Flugzeug F2 auf gleicher
Höhe:
Das Flugzeug F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich das Flugzeug F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.
Wir tauschen die Zeilen 1 und 2, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei
d=|
Der Abstand der beiden Objekte nach 7min ist also
Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
Wir tauschen die Zeilen 1 und 2, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
2.4 - 1 = 1.4 km
Zwei Objekte Aufgabe - Abstände
Beispiel:
Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 5s von einander entfernt?
Berechne den kleinsten Abstand, den die Drohne von der Seilbahn haben kann.
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die Drohne und die Gondel der Seilbahn am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 11.18 m.
Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:
Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h:
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Wenn wir den Aufpunkt von h Ah
Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g:
Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.
Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden
Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 10 m
Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.
Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen
d(t)=
d(t)=
=
=
da
mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t=
Wegen
der minimale Abstand ist also d(
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 2,52 km zurückgelegt hat?
Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Geradengleichung
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =
Die Geschwindigkeit ist also v=18
Für die Strecke von 2.52 km braucht es also
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 840 (in m).
Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)
Beispiel:
Flugzeug Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
F1 ist nach 4min an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 22.72 km.
Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.
Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen
d(t)=
d(t)=
=
=
da
mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t=
Wegen
der minimale Abstand ist also d(
Nicht lineare Bewegung
Beispiel:
Ein Fußballtorwart führt eine Abschlag auf einem Fußballplatz durch, der durch die x1x2-Ebene beschrieben wird. Die Bahn des Fußballs kann mithilfe der Punkte Xt(
Berechne die Weite des Abschlags, also die Entfernung zwischen dem Punkt des Abstoßes und dem Punkt, bei dem der Ball das erste mal wieder auf dem Boden landet.
Zuerst berechnen den t-Wert, an dem der Fußball auf die x1x2-Ebene trifft, also wenn x3= 0 ist:
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
x2 | = |
|
Das heißt also, dass der Fußball nach 1,5 s in der x1x2-Ebene angekommen ist. Wenn wir t = 1,5 in den Punkt
Xt einsetzen, erhalten wir L(
Da ja der Fußball im Punkt A
Vektors
d =