Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 13 Millionen Algen im Teich. Nach 9 Stunden sind es 20,388 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 10 Stunden? b) Wann waren es 16 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $13 e^{k \cdot 9}$ = 20,3881.

$13 e^{9 k}$	=	$20,3881$	\|: $13$
$e^{9 k}$	=	$1,5683$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (1,5683)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (1,5683)$	≈ 0.05

also k ≈ 0.049999136684249, => f(t)= $13 e^{0,05 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $13 e^{0,05 \cdot 10}$ ≈ 21.4

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$13 e^{0,05 t}$	=	$16$	\|: $13$
$e^{0,05 t}$	=	$\frac{16}{13}$	\|ln(⋅)
$0,05 t$	=	$\ln (\frac{16}{13})$	\|: $0,05$
$t$	=	$\frac{1}{0,05} \ln (\frac{16}{13})$	≈ 4.1528

also t=4.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Der Schalldruck (in Pa) verdoppelt sich alle 6,02 Db (Dezibel) Schalldruckpegel. Bei 0 Db ist der Schalldruck 0,00002 Pa. a) Welcher Schalldruck ist bei 97 Db? b) Wie hoch ist der Schalldruckpegel in Db wenn der Schalldruck 22 Pa beträgt?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{6.02}$ ≈ 0.11514072766777

=> f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 97: f(97)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 97}$ ≈ 1.4

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$22$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 100 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 100 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 100 000)$	≈ 120.8155

also t=120.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 18 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann sind es 32 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $18 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $18 e^{0,1222 \cdot 5}$ ≈ 33.2

Wann wird der Wert 32?: f(t)=32

$18 e^{0,1222 t}$	=	$32$	\|: $18$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{16}{9}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{16}{9})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0,1222} \ln (\frac{16}{9})$	≈ 4.7084

also t=4.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 29°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 6,17°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 21°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=29 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $29 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $29 - c$ = $29 - c$

$5$	=	$29 - c$
$5$	=	$- c + 29$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $29 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $29 - 24 e^{- k \cdot 5}$ = 6,17.

29 - 24 e^{- 5 k}

=

6,1705

$- 24 e^{- 5 k} + 29$	=	$6,1705$	\| $- 29$
$- 24 e^{- 5 k}$	=	$- 22,8295$	\|: $- 24$
$e^{- 5 k}$	=	$0,9512$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,9512)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,9512)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.010006186721113, => f(t)= $29 - 24 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $29 - 24 e^{- 0,01 \cdot 7}$ ≈ 6.6

Wann wird der Wert 21?: f(t)=21

29 - 24 e^{- 0,01 t}

=

21

$- 24 e^{- 0,01 t} + 29$	=	$21$	\| $- 29$
$- 24 e^{- 0,01 t}$	=	$- 8$	\|: $- 24$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 109.8612

also t=109.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 11 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 26ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{3}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(30 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=30 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $30 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$30 - c \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$
0	=	$30 - c$
0	=	$- c + 30$	\|0 $+ c$
$c$	=	$30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $30 - 30 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $30 - 30 e^{- 0,1 \cdot 11}$ ≈ 20

Wann wird der Wert 26?: f(t)=26

30 - 30 e^{- 0,1 t}

=

26

$- 30 e^{- 0,1 t} + 30$	=	$26$	\| $- 30$
$- 30 e^{- 0,1 t}$	=	$- 4$	\|: $- 30$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{2}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{2}{15})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{2}{15})$	≈ 20.149

also t=20.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $6 e^{- 0,07 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,07$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,07$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,07}$ ≈ 9.902 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.