Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a·e^{k·t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a·e^{k·0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13e^{k·t}$, wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $13e^{k·9}$= 17,0295.

$13e^{9k}$	=	$\mathrm{17,0295}$	|:$13$
$e^{9k}$	=	$\mathrm{1,31}$	|ln(⋅)
$9k$	=	$\ln \left(\mathrm{1,31}\right)$	|:$9$
$k$	=	$\frac{1}{9}\ln \left(\mathrm{1,31}\right)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.030003015245896, => f(t)= $13e^{\mathrm{0,03}t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $13e^{\mathrm{0,03}\cdot 10}$ ≈ 17.5

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$13e^{\mathrm{0,03}t}$	=	$16$	|:$13$
$e^{\mathrm{0,03}t}$	=	$\frac{16}{13}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,03}t$	=	$\ln \left(\frac{16}{13}\right)$	|:$\mathrm{0,03}$
$t$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,03}}\ln \left(\frac{16}{13}\right)$	≈ 6.9213

also t=6.9

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a·e^{k·t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a·e^{k·0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19e^{k·t}$, wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V=$\frac{\mathrm{ln(2)}}{k}$ um zu
k=$\frac{\mathrm{ln(2)}}{T}$= $\frac{\mathrm{ln(2)}}{\mathrm{20}}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $19e^{\mathrm{0,0347}t}$

Wert zur Zeit 60: f(60)= $19e^{\mathrm{0,0347}\cdot 60}$ ≈ 152

Wann wird der Wert 47.5?: f(t)=47.5

$19e^{\mathrm{0,0347}t}$	=	$\mathrm{47,5}$	|:$19$
$e^{\mathrm{0,0347}t}$	=	$\mathrm{2,5}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,0347}t$	=	$\ln \left(\mathrm{2,5}\right)$	|:$\mathrm{0,0347}$
$t$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,0347}}\ln \left(\mathrm{2,5}\right)$	≈ 26.4388

also t=26.4

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a·e^{k·t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a·e^{k·0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11e^{k·t}$, wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.06) ≈ 0.058268908123976

=> f(t)= $11e^{\mathrm{0,0583}t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $11e^{\mathrm{0,0583}\cdot 4}$ ≈ 13.9

Wann wird der Wert 14?: f(t)=14

$11e^{\mathrm{0,0583}t}$	=	$14$	|:$11$
$e^{\mathrm{0,0583}t}$	=	$\frac{14}{11}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,0583}t$	=	$\ln \left(\frac{14}{11}\right)$	|:$\mathrm{0,0583}$
$t$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,0583}}\ln \left(\frac{14}{11}\right)$	≈ 4.1366

also t=4.1

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S-c·e^{-k·t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20-c·e^{-k·0}$ = $20-c$ = $20-c$

$60$	=	$20-c$
$60$	=	$-c+20$	| $-60$ $+c$
$c$	=	$-40$

somit gilt: f(t)= $20+40e^{-k·t}$, wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20+40e^{-k·2}$= 52.

$20+40e^{-2k}$ = $\mathrm{51,9982}$

$40e^{-2k}+20$	=	$\mathrm{51,9982}$	| $-20$
$40e^{-2k}$	=	$\mathrm{31,9982}$	|:$40$
$e^{-2k}$	=	$\mathrm{0,8}$	|ln(⋅)
$-2k$	=	$\ln \left(\mathrm{0,8}\right)$	|:$-2$
$k$	=	$-\frac{1}{2}\ln \left(\mathrm{0,8}\right)$	≈ 0.1116

also k ≈ 0.1115717756571, => f(t)= $20+40e^{-\mathrm{0,1116}t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20+40e^{-\mathrm{0,1116}\cdot 4}$ ≈ 45.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

$20+40e^{-\mathrm{0,1116}t}$ = $50$

$40e^{-\mathrm{0,1116}t}+20$	=	$50$	| $-20$
$40e^{-\mathrm{0,1116}t}$	=	$30$	|:$40$
$e^{-\mathrm{0,1116}t}$	=	$\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1116}t$	=	$\ln \left(\frac{3}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,1116}$
$t$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1116}}\ln \left(\frac{3}{4}\right)$	≈ 2.5778

also t=2.6

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 85 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04($\frac{\mathrm{85}}{\mathrm{0.04}}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(2125 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=2125 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $2125-c·e^{-\mathrm{0,04}t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=3245 ein (Punktprobe).

$3245$	=	$2125-c·e^{-\mathrm{0,04}\cdot 0}$
$3245$	=	$2125-c$
$3245$	=	$-c+2125$	| $-3245$ $+c$
$c$	=	$-1120$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $2125+1120e^{-\mathrm{0,04}x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $2125+1120e^{-\mathrm{0,04}\cdot 10}$ ≈ 2875.8

Wann wird der Wert 2778?: f(t)=2778

$2125+1120e^{-\mathrm{0,04}t}$ = $2778$

$1120e^{-\mathrm{0,04}t}+2125$	=	$2778$	| $-2125$
$1120e^{-\mathrm{0,04}t}$	=	$653$	|:$1120$
$e^{-\mathrm{0,04}t}$	=	$\frac{653}{1120}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,04}t$	=	$\ln \left(\frac{653}{1120}\right)$	|:$-\mathrm{0,04}$
$t$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,04}}\ln \left(\frac{653}{1120}\right)$	≈ 13.4877

also t=13.5

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ($-\mathrm{0,08}$) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $-\mathrm{0,08}$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{\mathrm{ln(2)}}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{\mathrm{ln(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,08</mn></mrow>\; </math>}}$ ≈ 8.664 min