Aufgabenbeispiele von Wachstum
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Exponentielles Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 70 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 15 Pa?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= = 0,02.
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 0.1151 |
also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)=
Wert zur Zeit 70: f(70)= ≈ 0.1
Wann wird der Wert 15?: f(t)=15
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 117.5311 |
also t=117.5
Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit
Beispiel:
Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 20-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 9 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 22,22-Tausend Euro gestiegen?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Wir berechnen k über die Verdopplungszeit.
Dazu stellen wir die Formel TV= um zu
k==
≈ 0.043321698784997
=> f(t)=
Wert zur Zeit 9: f(9)= ≈ 29.5
Wann wird der Wert 22.22?: f(t)=22.22
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 2.4297 |
also t=2.4
Exponentielles Wachstum mit Prozent
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 2 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 88% der Masse da?
Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = = =
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.96) ≈ -0.040821994520255
=> f(t)=
Wert zur Zeit 2: f(2)= ≈ 92.2
Wann wird der Wert 88?: f(t)=88
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 3.1332 |
also t=3.1
beschränktes Wachstum mit 2. Wert
Beispiel:
Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 28 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?
Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= .
Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.
Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = = =
= | |||
= | | | ||
= |
somit gilt: f(t)= , wir müssen also nur noch k bestimmen.
Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= = 28.
= | | | ||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 1.597 |
also k ≈ 1.5970153924355, => f(t)=
Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= ≈ 35.2
Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9
= | | | ||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 3.3177 |
also t=3.3
beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung
Beispiel:
Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 4% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2429 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 85 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 12 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2369 Wörter ?
Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:
f'(t) = 85 - 0.04⋅f(t)
wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung
f'(t) = 0.04( - f(t))
also f'(t) = 0.04(2125 - f(t))
das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))
Wir wissen nun also, dass die Schranke S=2125 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.
Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= haben.
Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2429 ein (Punktprobe).
= | |||
= | |||
= | | | ||
= |
somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)=
Wert zur Zeit 12: f(12)= ≈ 2313.1
Wann wird der Wert 2369?: f(t)=2369
= | | | ||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ 5.4965 |
also t=5.5
Halbwerts- + Verdopplungszeit best.
Beispiel:
Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.
Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent () erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.
Dazu setzen wir k = einfach in die Formel TV = ein:
TV = ≈ 6.931 min