Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 15g vorhanden. Nach 4 Tagen sind nur noch 10,055g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 8g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 15 ist, gilt: f(0)= 15, also 15 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $15 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $15 e^{k \cdot 4}$ = 10,0548.

$15 e^{4 k}$	=	$10,0548$	\|: $15$
$e^{4 k}$	=	$0,6703$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (0,6703)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (0,6703)$	≈ -0.1

also k ≈ -0.10000747640456, => f(t)= $15 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $15 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 8.2

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$15 e^{- 0,1 t}$	=	$8$	\|: $15$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{8}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{8}{15})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{8}{15})$	≈ 6.2861

also t=6.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1385 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2224? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,7 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1385}$ ≈ -0.00050046727838263

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 224: f(224)= $e^{- 0,0005 \cdot 224}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.7?: f(t)=0.7

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,7)$	≈ 713.3499

also t=713.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 60% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.9) ≈ -0.10536051565783

=> f(t)= $100 e^{- 0,1054 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1054 \cdot 4}$ ≈ 65.6

Wann wird der Wert 60?: f(t)=60

$100 e^{- 0,1054 t}$	=	$60$	\|: $100$
$e^{- 0,1054 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1054 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,1054$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1054} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 4.8465

also t=4.8

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 56° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 52,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 56 ist, gilt: f(0)= 56, also 56 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$56$	=	$20 - c$
$56$	=	$- c + 20$	\| $- 56$ $+ c$
$c$	=	$- 36$

somit gilt: f(t)= $20 + 36 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 36 e^{- k \cdot 4}$ = 52,99.

20 + 36 e^{- 4 k}

=

52,9938

$36 e^{- 4 k} + 20$	=	$52,9938$	\| $- 20$
$36 e^{- 4 k}$	=	$32,9938$	\|: $36$
$e^{- 4 k}$	=	$0,9165$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,9165)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,9165)$	≈ 0.0218

also k ≈ 0.021798302925594, => f(t)= $20 + 36 e^{- 0,0218 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 36 e^{- 0,0218 \cdot 5}$ ≈ 52.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 36 e^{- 0,0218 t}

=

50

$36 e^{- 0,0218 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$36 e^{- 0,0218 t}$	=	$30$	\|: $36$
$e^{- 0,0218 t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,0218 t$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 0,0218$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0218} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 8.3634

also t=8.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2002 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 72 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2730 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 72 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{72}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3600 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3600 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 600 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2002 ein (Punktprobe).

$2 002$	=	$3 600 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$2 002$	=	$3 600 - c$
$2 002$	=	$- c + 3 600$	\| $- 2 002$ $+ c$
$c$	=	$1 598$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 600 - 1 598 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $3 600 - 1 598 e^{- 0,02 \cdot 6}$ ≈ 2182.7

Wann wird der Wert 2730?: f(t)=2730

3 600 - 1 598 e^{- 0,02 t}

=

2 730

$- 1 598 e^{- 0,02 t} + 3 600$	=	$2 730$	\| $- 3 600$
$- 1 598 e^{- 0,02 t}$	=	$- 870$	\|: $- 1 598$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{435}{799}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{435}{799})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{435}{799})$	≈ 30.4007

also t=30.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $7 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.