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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 77 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 79 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 77: f(77)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 77}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 79?: f(t)=79

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$79$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 950 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 950 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 950 000)$	≈ 131.9655

also t=132

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 10-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 36 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 33,33-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{15}$ ≈ 0.04620981203733

=> f(t)= $10 e^{0,04621 t}$

Wert zur Zeit 36: f(36)= $10 e^{0,04621 \cdot 36}$ ≈ 52.8

Wann wird der Wert 33.33?: f(t)=33.33

$10 e^{0,04621 t}$	=	$33,33$	\|: $10$
$e^{0,04621 t}$	=	$3,333$	\|ln(⋅)
$0,04621 t$	=	$\ln (3,333)$	\|: $0,04621$
$t$	=	$\frac{1}{0,04621} \ln (3,333)$	≈ 26.0522

also t=26.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 16% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 17 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 3 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 9 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.84) ≈ -0.17435338714478

=> f(t)= $17 e^{- 0,1744 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $17 e^{- 0,1744 \cdot 3}$ ≈ 10.1

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$17 e^{- 0,1744 t}$	=	$9$	\|: $17$
$e^{- 0,1744 t}$	=	$\frac{9}{17}$	\|ln(⋅)
$- 0,1744 t$	=	$\ln (\frac{9}{17})$	\|: $- 0,1744$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1744} \ln (\frac{9}{17})$	≈ 3.6467

also t=3.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 7° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,48°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 6 Minuten? b) Wann ist sie 22°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$7$	=	$32 - c$
$7$	=	$- c + 32$	\| $- 7$ $+ c$
$c$	=	$25$

somit gilt: f(t)= $32 - 25 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $32 - 25 e^{- k \cdot 3}$ = 13,48.

32 - 25 e^{- 3 k}

=

13,4795

$- 25 e^{- 3 k} + 32$	=	$13,4795$	\| $- 32$
$- 25 e^{- 3 k}$	=	$- 18,5205$	\|: $- 25$
$e^{- 3 k}$	=	$0,7408$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,7408)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,7408)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.10000819855006, => f(t)= $32 - 25 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $32 - 25 e^{- 0,1 \cdot 6}$ ≈ 18.3

Wann wird der Wert 22?: f(t)=22

32 - 25 e^{- 0,1 t}

=

22

$- 25 e^{- 0,1 t} + 32$	=	$22$	\| $- 32$
$- 25 e^{- 0,1 t}$	=	$- 10$	\|: $- 25$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 9.1629

also t=9.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 9 Jahren, wenn jedes Jahr 0,6 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 56 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.6 - 0.013⋅f(t)

wenn man 0.013 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.013( $\frac{0.6}{0.013}$ - f(t))

also f'(t) = 0.013(46.15 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=46.15 und der Wachstumsfaktor k=0.013 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $46,15 - c \cdot e^{- 0,013 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$46,15 - c \cdot e^{- 0,013 \cdot 0}$
$80$	=	$46,15 - c$
$80$	=	$- c + 46,15$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 33,85$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $46,15 + 33,85 e^{- 0,013 x}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $46,15 + 33,85 e^{- 0,013 \cdot 9}$ ≈ 76.3

Wann wird der Wert 56?: f(t)=56

46,15 + 33,85 e^{- 0,013 t}

=

56

$33,85 e^{- 0,013 t} + 46,15$	=	$56$	\| $- 46,15$
$33,85 e^{- 0,013 t}$	=	$9,85$	\|: $33,85$
$e^{- 0,013 t}$	=	$0,291$	\|ln(⋅)
$- 0,013 t$	=	$\ln (0,291)$	\|: $- 0,013$
$t$	=	$- \frac{1}{0,013} \ln (0,291)$	≈ 94.9563

also t=95

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $15 e^{- 0,06 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,06$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,06$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,06}$ ≈ 11.552 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.