Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 20 Millionen Algen im Teich. Nach 6 Stunden sind es 30,439 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 27 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 20 ist, gilt: f(0)= 20, also 20 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $20 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $20 e^{k \cdot 6}$ = 30,4392.

$20 e^{6 k}$	=	$30,4392$	\|: $20$
$e^{6 k}$	=	$1,522$	\|ln(⋅)
$6 k$	=	$\ln (1,522)$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{6} \ln (1,522)$	≈ 0.07

also k ≈ 0.070004209906582, => f(t)= $20 e^{0,07 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $20 e^{0,07 \cdot 9}$ ≈ 37.6

Wann wird der Wert 27?: f(t)=27

$20 e^{0,07 t}$	=	$27$	\|: $20$
$e^{0,07 t}$	=	$\frac{27}{20}$	\|ln(⋅)
$0,07 t$	=	$\ln (\frac{27}{20})$	\|: $0,07$
$t$	=	$\frac{1}{0,07} \ln (\frac{27}{20})$	≈ 4.2872

also t=4.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1654 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2184? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,9 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1654}$ ≈ -0.00041907326515112

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 184: f(184)= $e^{- 0,0004 \cdot 184}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.9?: f(t)=0.9

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,9)$	≈ 251.4571

also t=251.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 16 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 5 Lux?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $16 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $16 e^{- 0,1508 \cdot 2}$ ≈ 11.8

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$16 e^{- 0,1508 t}$	=	$5$	\|: $16$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{5}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{5}{16})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{5}{16})$	≈ 7.7132

also t=7.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 31 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 3,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 31.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

30,9999

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$30,9999$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 6,0001$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,3$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,3)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,3)$	≈ 2.4079

also k ≈ 2.4079456086519, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,4079 t}$

Wert zur Zeit 3.5: f(3.5)= $37 - 20 e^{- 2,4079 \cdot 3,5}$ ≈ 37

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,4079 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,4079 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,4079 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,4079 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,4079 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,4079$
$t$	=	$- \frac{1}{2,4079} \ln (0,005)$	≈ 2.2004

also t=2.2

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 119ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{7}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(700 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=700 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $700 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$700 - c \cdot e^{- 0,01 \cdot 0}$
0	=	$700 - c$
0	=	$- c + 700$	\|0 $+ c$
$c$	=	$700$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $700 - 700 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $700 - 700 e^{- 0,01 \cdot 13}$ ≈ 85.3

Wann wird der Wert 119?: f(t)=119

700 - 700 e^{- 0,01 t}

=

119

$- 700 e^{- 0,01 t} + 700$	=	$119$	\| $- 700$
$- 700 e^{- 0,01 t}$	=	$- 581$	\|: $- 700$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{83}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{83}{100})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{83}{100})$	≈ 18.633

also t=18.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,05 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,05$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,05$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,05}$ ≈ 13.863 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.