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Aufgabenbeispiele von Gleichungen

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Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{2} - 4$ genau 0 Nullstellen?

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$3 t x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 t x^{2}$	=	$4$	\|: $3 t$
$x^{2}$	=	$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \frac{2}{1,7321} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₂	=	$\sqrt{(\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\frac{2}{1,7321} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$- 4$	=	0	\| $+ 4$
0	=	$4$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Für t ≤ 0 gibt es also 0 Lösung(en).