Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x + 5 t)$ genau 1 Nullstelle?

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 3 x + 5 t)$ = 0

$x^{2} + 3 x + 5 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 3 x + 5 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 3 x + 5 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + (- 20 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 20 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 20 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 20 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 20 t + 4)$ = 0 wird.

Für t = $\frac{13}{20}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.