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Aufgabenbeispiele von Gleichungen

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Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 2 x + 5 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 2 x + 5 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 2 x + 5 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{3} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{3} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 2 x + 5 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 2 x + 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 - 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 - 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 - 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 - 20 t$ = 0 wird.

$4 - 20 t$	=	0
$- 20 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 20 t$	=	$- 4$	\|:( $- 20$ )
$t$	=	$\frac{1}{5}$ = 0.2

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{1}{5}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $4 - 20 \cdot 1$ = -16 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 - 20 t$ für t > $\frac{1}{5}$ kleiner 0 und für t < $\frac{1}{5}$ größer 0

Für t > $\frac{1}{5}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.