Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $\left(x^2+4x-5t\right)·e^{-\frac{1}{3}tx}$ genau dann = 0, wenn $x^2+4x-5t$ = 0 oder $e^{-\frac{1}{3}tx}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{-\frac{1}{3}tx}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^2+4x-5t$ zu untersuchen:

$x^2+4x-5t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-5t\right)}}{2\cdot 1}$ = $\frac{-4\pm \sqrt{16+20t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

• Ist $16+20t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
• Ist $16+20t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
• Ist $16+20t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16+20t$ = 0 wird.

Für t = $-\frac{4}{5}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.