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Aufgabenbeispiele von Gleichungen

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Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - x - t$ genau 2 Nullstellen?

$x^{2} - x - t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 4 t$ = 0 wird.

$1 + 4 t$	=	0
$4 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$4 t$	=	$- 1$	\|: $4$
$t$	=	$- \frac{1}{4}$ = -0.25

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{1}{4}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 + 4 \cdot 1$ = 5 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + 4 t$ für t > $- \frac{1}{4}$ größer 0 und für t < $- \frac{1}{4}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{1}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.