Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $\left(x^2-4tx-4t\right)·e^{\frac{1}{3}x}$ genau dann = 0, wenn $x^2-4tx-4t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{3}x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{3}x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^2-4tx-4t$ zu untersuchen:

$x^2-4tx-4t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+4t\pm \sqrt{{\left(-4t\right)}^2-4·1·\left(-4t\right)}}{2\cdot 1}$ = $\frac{+4t\pm \sqrt{16t^2+16t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

• Ist $16t^2+16t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
• Ist $16t^2+16t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
• Ist $16t^2+16t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16t^2+16t$ = 0 wird.

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da bei $16t^2+16t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16t^2+16t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $-1$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.