Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x + 2 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 2 x + 2 t)$ = 0

$x^{2} + 2 x + 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 2 x + 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 2 x + 2 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + (- 8 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + (- 8 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + (- 8 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + (- 8 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + (- 8 t + 4)$ = 0 wird.

$4 - 8 t + 4$	=	0
$- 8 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 8 t$	=	$- 8$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$1$

Da rechts der Nullstelle t= $1$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $4 + (- 8 \cdot 2 + 4)$ = -8 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 + (- 8 t + 4)$ für t > $1$ kleiner 0 und für t < $1$ größer 0

Für t < $1$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.