Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x + t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 5 x + t)$ = 0

$x^{2} - 5 x + t$ = 1 |-1

$x^{2} - 5 x + t$ - 1 = 0

$x^{2} - 5 x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$25 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$- 4 t$	=	$- 29$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{29}{4}$ = 7.25

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{29}{4}$ beispielsweise für t = 8 der Radikand $25 + (- 4 \cdot 8 + 4)$ = -3 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + (- 4 t + 4)$ für t > $\frac{29}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{29}{4}$ größer 0

Für t < $\frac{29}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.