Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $\left(x^2-5x+2t\right)·e^{\frac{1}{2}tx}$ genau dann = 0, wenn $x^2-5x+2t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{2}tx}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{2}tx}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^2-5x+2t$ zu untersuchen:

$x^2-5x+2t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·2t}}{2\cdot 1}$ = $\frac{+5\pm \sqrt{25-8t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

• Ist $25-8t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
• Ist $25-8t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
• Ist $25-8t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25-8t$ = 0 wird.

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{25}{8}$ beispielsweise für t = 4 der Radikand $25-8\cdot 4$ = -7 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25-8t$ für t > $\frac{25}{8}$ kleiner 0 und für t < $\frac{25}{8}$ größer 0

Für t < $\frac{25}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.