Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $\left(x^2-x-5t\right)·e^x$ genau dann = 0, wenn $x^2-x-5t$ = 0 oder $e^x$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^x$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^2-x-5t$ zu untersuchen:

$x^2-x-5t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-5t\right)}}{2\cdot 1}$ = $\frac{+1\pm \sqrt{1+20t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

• Ist $1+20t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
• Ist $1+20t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
• Ist $1+20t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1+20t$ = 0 wird.

Da rechts der Nullstelle t= $-\frac{1}{20}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1+20\cdot 1$ = 21 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1+20t$ für t > $-\frac{1}{20}$ größer 0 und für t < $-\frac{1}{20}$ kleiner 0

Für t > $-\frac{1}{20}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.