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Aufgabenbeispiele von Gleichungen

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Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - x - 4 t$ genau 0 Nullstellen?

$x^{2} - x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 16 t$ = 0 wird.

$1 + 16 t$	=	0
$16 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$16 t$	=	$- 1$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{1}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{1}{16}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 + 16 \cdot 1$ = 17 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + 16 t$ für t > $- \frac{1}{16}$ größer 0 und für t < $- \frac{1}{16}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{1}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.