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Aufgabenbeispiele von Gleichungen

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Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{5} - 4 t x^{3}$ genau 1 Nullstelle?

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$3 x^{5} - 4 t x^{3}$	=	0
$x^{3} (3 x^{2} - 4 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$3 x^{2} - 4 t$	=	0	\| - ( $- 4 t$ )
$3 x^{2}$	=	$4 t$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$\frac{4}{3} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{4}{3} t)}$	= $- \frac{2}{1,7321} \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{4}{3} t)}$	= $\frac{2}{1,7321} \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).