Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $\left(x^2-5x-5t\right)·e^{-\frac{1}{2}x}$ genau dann = 0, wenn $x^2-5x-5t$ = 0 oder $e^{-\frac{1}{2}x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{-\frac{1}{2}x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^2-5x-5t$ zu untersuchen:

$x^2-5x-5t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·\left(-5t\right)}}{2\cdot 1}$ = $\frac{+5\pm \sqrt{25+20t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

• Ist $25+20t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
• Ist $25+20t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
• Ist $25+20t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25+20t$ = 0 wird.

Da rechts der Nullstelle t= $-\frac{5}{4}$ beispielsweise für t = -0 der Radikand $25+20\cdot 0$ = 25 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25+20t$ für t > $-\frac{5}{4}$ größer 0 und für t < $-\frac{5}{4}$ kleiner 0

Für t < $-\frac{5}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.