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Aufgabenbeispiele von Gleichungen

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Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 4 x^{3} + 3 t x$ genau 3 Nullstellen?

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 4 x^{3} + 3 t x$	=	0
$x (- 4 x^{2} + 3 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- 4 x^{2} + 3 t$	=	0	\| - ( $3 t$ )
$- 4 x^{2}$	=	$- 3 t$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$\frac{3}{4} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{3}{4} t)}$	= $- \frac{1,7321}{2} \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{3}{4} t)}$	= $\frac{1,7321}{2} \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t > 0 gibt es also 3 Lösung(en).