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Aufgabenbeispiele von Gleichungen

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Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $4 x^{2} + t$ genau 2 Nullstellen?

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$4 x^{2} + t$	=	0	\| - ( $t$ )
$4 x^{2}$	=	$- 1 t$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$- \frac{1}{4} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(- \frac{1}{4} t)}$	= $- \sqrt{(- \frac{1}{4} t)}$
x₂	=	$\sqrt{(- \frac{1}{4} t)}$	= $\sqrt{(- \frac{1}{4} t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t < 0 gibt es also 2 Lösung(en).