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Aufgabenbeispiele von Algebra-Support

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Nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $3 \cdot 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $3 \cdot 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$
= $6 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} + \frac{3}{4} x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{\frac{1}{4} x} \cdot (6 x + \frac{3}{4} x^{2})$
= $e^{\frac{1}{4} x} (\frac{3}{4} x^{2} + 6 x)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{\frac{1}{4} x} (\frac{3}{4} x^{2} + 6 x)$	=	0
$(\frac{3}{4} x^{2} + 6 x) \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$\frac{3}{4} x^{2} + 6 x$	=	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x^{2} + 6 x)$	=
$3 x^{2} + 24 x$	=
$3 x (x + 8)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- 8$ ; 0}

Nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$
= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - (x - 3))$
= $e^{- 0,2 x} (5 - x + 3)$
= $e^{- 0,2 x} (- x + 8)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 0,2 x} (- x + 8)$	=	0
$(- x + 8) \cdot e^{- 0,2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$8$

2. Fall:

e^{- 0,2 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $8$ }