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Aufgabenbeispiele von Algebra-Support

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Nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $2 \cdot 1 \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

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Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $2 \cdot 1 \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$
= $2 e^{\frac{1}{3} x} + \frac{2}{3} x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{\frac{1}{3} x} \cdot (2 + \frac{2}{3} x)$
= $e^{\frac{1}{3} x} (\frac{2}{3} x + 2)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{\frac{1}{3} x} (\frac{2}{3} x + 2)$	=	0
$(\frac{2}{3} x + 2) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$\frac{2}{3} x + 2$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x + 2)$	=	0
$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- 3$ }

Nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)