Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$\text{f '(x)}=$ $1·e^{\frac{1}{4}x}+x·e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$
= $e^{\frac{1}{4}x}+\frac{1}{4}x·e^{\frac{1}{4}x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{\frac{1}{4}x}·\left(1+\frac{1}{4}x\right)$
= $e^{\frac{1}{4}x}\left(\frac{1}{4}x+1\right)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{\frac{1}{4}x}\left(\frac{1}{4}x+1\right)$	=	0
$\left(\frac{1}{4}x+1\right)·e^{\frac{1}{4}x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $-4$}

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$\text{f '(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$
= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}\left(x+2\right)\right)$
= $e^{-\mathrm{0,2}x}\left(2-\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}\right)$
= $e^{-\mathrm{0,2}x}\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}\right)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{-\mathrm{0,2}x}\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}\right)$	=	0
$\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $3$}