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Aufgabenbeispiele von Algebra-Support

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Nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} \cdot e^{x}$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $- 3 \cdot 2 x \cdot e^{x} - 3 x^{2} \cdot e^{x}$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $- 3 \cdot 2 x \cdot e^{x} - 3 x^{2} \cdot e^{x}$
= $- 6 x \cdot e^{x} - 3 x^{2} \cdot e^{x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{x} \cdot (- 6 x - 3 x^{2})$
= $e^{x} (- 3 x^{2} - 6 x)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{x} (- 3 x^{2} - 6 x)$	=	0
$(- 3 x^{2} - 6 x) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} - 6 x$	=	0
$- 3 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- 2$ ; 0}

Nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,25 x} - 2$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,25 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,25 x} \cdot (- 0,25) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,25 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,25 x} \cdot (- 0,25) + 0$
= $2 e^{- 0,25 x} - 0,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,25 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 0,25 x} \cdot (2 - 0,5 (x + 2))$
= $e^{- 0,25 x} (2 - 0,5 x - 1)$
= $e^{- 0,25 x} (- 0,5 x + 1)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 0,25 x} (- 0,5 x + 1)$	=	0
$(- 0,5 x + 1) \cdot e^{- 0,25 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,5 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 0,5 x$	=	$- 1$	\|:( $- 0,5$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- 0,25 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $2$ }