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Aufgabenbeispiele von Algebra-Support

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Nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} - 3$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $2 \cdot 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2} + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $2 \cdot 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2} + 0$
= $4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x} + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{\frac{1}{2} x} \cdot (4 x + x^{2})$
= $e^{\frac{1}{2} x} (x^{2} + 4 x)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{\frac{1}{2} x} (x^{2} + 4 x)$	=	0
$(x^{2} + 4 x) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- 4$ ; 0}

Nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,25 x} - 5$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,25 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,25 x} \cdot (- 0,25) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,25 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,25 x} \cdot (- 0,25) + 0$
= $5 e^{- 0,25 x} - 1,25 (x - 5) \cdot e^{- 0,25 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 0,25 x} \cdot (5 - 1,25 (x - 5))$
= $e^{- 0,25 x} (5 - 1,25 x + 6,25)$
= $e^{- 0,25 x} (- 1,25 x + 11,25)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 0,25 x} (- 1,25 x + 11,25)$	=	0
$(- 1,25 x + 11,25) \cdot e^{- 0,25 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 1,25 x + 11,25$	=	0	\| $- 11,25$
$- 1,25 x$	=	$- 11,25$	\|:( $- 1,25$ )
x₁	=	$9$

2. Fall:

e^{- 0,25 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $9$ }