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Aufgabenbeispiele von Algebra-Support

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Nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 5$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $- 2 x \cdot e^{- 3 x} - x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $- 2 x \cdot e^{- 3 x} - x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0$
= $- 2 x \cdot e^{- 3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 3 x} \cdot (- 2 x + 3 x^{2})$
= $e^{- 3 x} (3 x^{2} - 2 x)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 3 x} (3 x^{2} - 2 x)$	=	0
$(3 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 2 x$	=	0
$x (3 x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$3 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$3 x$	=	$2$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={0; $\frac{2}{3}$ }

Nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,25 x} - 8$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,25 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,25 x} \cdot (- 0,25) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,25 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,25 x} \cdot (- 0,25) + 0$
= $4 e^{- 0,25 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,25 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 0,25 x} \cdot (4 - (x + 4))$
= $e^{- 0,25 x} (4 - x - 4)$
= $- e^{- 0,25 x} x$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$- e^{- 0,25 x} x$	=	0
$- x \cdot e^{- 0,25 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

e^{- 0,25 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={0}