Aufgabenbeispiele von e-Funktion
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am negativen Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 1 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Symmetrie e-Funktionen
Beispiel:
Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit vorliegt.
Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:
f(-x) = =
Wenn man das mit f(x) =
vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) =
weder gleich f(x) =
noch gleich -f(x) =
=
ist.
Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:
f(1) =
=
≈ 7.389
Aber: f(-1) =
=
≈ 1
Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)
Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.
e-Funktion Graph zu Term finden
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =
Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.
Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Beweis, dass es sich nicht um die Ableitungsfunktion handeln kann.
Wir untersuchen zuerst den gegeben Funktionsterm:
- y-Achsenabschnitt: f(0) = = 0
- Nullstellen: f(x) = 0
= 0 = 0 = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= 0 | = |: = |ln(⋅) = 0 |: x1 = 0 ≈ 0 2. Fall:
= Diese Gleichung hat keine Lösung!
- Grenz-Verhalten:
- Für x → -∞ strebt f(x)= gegen " " =
- Für x → +∞ strebt f(x) =
gegen "
" =
(weil langsamer gegen strebt als gegen )
- Eventuell braucht noch die Punkte mit waagrechter Tangente für die Entscheidung. Dazu leiten wir f erstmal ab:
f'(x) = = .
f'(x) = 0:= 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= 0 | = |: = |ln(⋅) = |: x1 = ≈ -1.3863 2. Fall:
= Diese Gleichung hat keine Lösung!
Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:
Schaubild 1
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
= 0
- Nullstellen: f(0) =
=0
- Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f1 =
0 - Für x → +∞ strebt f1 =
- Für x → -∞ strebt f1 =
Damit können wir f1 ausschließen.
Schaubild 2
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
= 0
- Nullstellen: f(0) =
=0
- Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f2 =
- Für x → +∞ strebt f2 =
- Für x → -∞ strebt f2 =
Damit können wir f2 ausschließen.
Schaubild 3
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
= 0
- Nullstellen: f(0) =
=0
- Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f3 =
- Für x → +∞ strebt f3 =
- Für x → -∞ strebt f3 =
- Punkte mit waagrechter Tangente:
Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ -1.39.
Hier spricht also nichts dagegen, dass f3 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.
Schaubild 4
- y-Achsenabschnitt: f(0) =
= 0
- Nullstellen: f(0) =
=0
- Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f4 =
- Für x → +∞ strebt f4 =
- Für x → -∞ strebt f4 =
Damit können wir f4 ausschließen.
e-Funktion Term zu Graph finden
Beispiel:
Gegeben ist der Graph einer Funktion f
Einer der vier gegebenen Funktionsterme gehört zu f.
Entscheide, welcher der vier Terme dies ist. Suche hierbei jeweils bei den drei anderen Termen einen Beweis, dass es sich nicht um den Term von f handeln kann.
- f1(x) =
- f2(x) =
- f3(x) =
- f4(x) =
- f5(x) =
- f6(x) =
Wir betrachten zuerst den gegeben Graph und entdecken dabei:
- Der Graph hat eine Nullstelle bei x = 1
- Man kann dabei sogar erkennen, dass hier die x-Achse nur berührt wird, also dass kein Vorzeichenwechsel in f vorliegt, und dass der Graph bei x = 1 auch eine waagrechte Tangente hat.
- Für x → -∞ strebt f(x) gegen
- Für x → +∞ strebt f(x) gegen
0 - Außerdem kann man einen Hochpunkt bei x = 3 erkennen.
Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:
f1(x) =
- f(1) =
=0
- Auch hier haben wir zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 1.
f'(x) = =
f'(1) = = 0 - Für x → -∞ strebt f1 =
gegen "
" =
0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch) - Für x → +∞ strebt f1 =
gegen "
" =
Damit können wir f1 ausschließen.
f2(x) =
- f(1) =
=-1.6705585297883
Damit können wir f2 ausschließen.
f3(x) =
- f(1) =
=0.72932943352677
Damit können wir f3 ausschließen.
f4(x) =
- f(1) =
=0
- Man kann aber am Term erkennen, dass bei x = 1 ein Vorzeichenwechsel vorliegt, bzw. dass die Tangente nicht waagrecht ist.
f'(x) = =
f'(1) = = 1.8393972058572 ≠ 0
Damit können wir f4 ausschließen.
f5(x) =
- f(1) =
=1.6705585297883
Damit können wir f5 ausschließen.
f6(x) =
- f(1) =
=0
- Auch hier haben wir zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 1.
f'(x) = =
f'(1) = = 0 - Für x → -∞ strebt f6 =
gegen "
" =
- Für x → +∞ strebt f6 =
gegen "
" =
0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)
Hier spricht also nichts dagegen, dass f6 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.
Anwendungen e-Funktion
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit beschrieben werden ( t ≥ 0 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 50 m³ Wasser im Tank.
- Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 5 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
- Wann nimmt die Änderungsrate des Wasservolumens am stärksten ab?
- Bei welchem Wert pendelt sich Änderungsrate des Wasservolumens auf lange Sicht ein?
- y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = = ≈ 16.3
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (|17.5) einblenden
Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = =
0 . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → .Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t = ist also der größte Wert der Funktion.
- t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
=
Wir berechnen also die Extremstellen von f':Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung (|-1.75) einblenden
Randwertuntersuchung
Da ja ein minimaler Wert, also ein globales Minimum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch kleinere Werte als beim lokalen Minimum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = = . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f'(t) →
0 .Weil die Werte an den Rändern größer als am Tiefpunkt sind, ist das lokale Minimum also ein globales Minimum von f'.
Bei t = ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)= →
Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
0 .
Ableiten e-Funktion mit Parameter
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=
=
=
=
Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)
Beispiel:
Für welches t liegt der Punkt A(| ) auf dem Graph der Funktion f mit ?
Wir machen einfach eine Punktprobe mit A(| ) in f mit :
= f()
=
=
=
=
Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung = nach t auflösen.
= | | | ||
= | |:() | ||
= |
Für t= liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.
Parameter finden mit Ableitungswert (e-Fktn)
Beispiel:
Für welche t ist die Tangente von f mit im Punkt B(|f()) parallel zur Gerade y= ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.
Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:
=
=
=
=
=
In diese Ableitung setzen wir x= ein:
f'() = = =
Damit die Tangente parallel zur Geraden y=
x
also f'()=
soll gleich
sein.
Dazu lösen wir die Gleichung
=
nach t auf.
= | | | ||
= | |: | ||
= |
Für t= ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm
= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-6) gut erkennen. Es gilt folglich.
fk() = = = -6= |: =
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Parameter für stärkste Steigung
Beispiel:
Auf dem Biberacher Skaterplatz soll eine neue abgerundete Funbox (kleiner Hügel) gebaut werden. Der Querschnitt des Entwurfs kann durch die Funktion ft mit ft(x)= mit t>0 beschrieben werden. Die tatsächliche Form der Funbox kann durch verschiedene Werte von t variiert werden. Dabei muss aber aus Sicherheitsgründen gewährleistet sein, dass an der steilsten Stelle der Steigungswinkel nie mehr als 45° beträgt. Bestimme den zulässigen Bereich für t.
Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α),
also hier mmax=tan(45°) ≈ 1.
Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von ft .
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=
=
=
=
=
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | - ( ) | ||
= | |: | ||
= | | | ||
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
2. Fall:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
Die Lösungen
Wenn man die beiden Lösungen
ft'(
ft'(
An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt ft'(x) =
Für x → +∞ strebt ft'(x) =
Da die stetige Funktion ft' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen
Die maximale Steigung ist somit ft'(
Die minimale Steigung ist somit ft'(
Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung mmax =
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 45° höchstens 1 sein, also berechnen wir das
t für das
D=R\{
|
= |
|
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Für t = 2.428 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 45° erreicht.
Und weil ja die maximale Steigung mmax = ft'(
Nullstellen bei ln-Funktionen
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit
|
= | |
|
|
|
= |
|
|e(⋅) |
|
= |
|
L={
Extrempunkte bei ln-Funktionen
Beispiel:
Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:
|
|
= |
|
|e(⋅) |
|
= |
|
Die Lösung x=
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):
Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0
und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung:
f'(x0)=0 und f'(x0)>0).
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Hochpunkt H:(
≈ H:(148.413|148.413)