zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit Substitution

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -3 x 2 -54 = 0

Lösung einblenden
x 4 -3 x 2 -54 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -54 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -54 ) 2⋅1

u1,2 = +3 ± 9 +216 2

u1,2 = +3 ± 225 2

u1 = 3 + 225 2 = 3 +15 2 = 18 2 = 9

u2 = 3 - 225 2 = 3 -15 2 = -12 2 = -6

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -6

x 2 = -6 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -13 e x +42 = 0

Lösung einblenden
e 2x -13 e x +42 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -13u +42 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 42 2⋅1

u1,2 = +13 ± 169 -168 2

u1,2 = +13 ± 1 2

u1 = 13 + 1 2 = 13 +1 2 = 14 2 = 7

u2 = 13 - 1 2 = 13 -1 2 = 12 2 = 6

Rücksubstitution:

u1: e x = 7

e x = 7 |ln(⋅)
x1 = ln( 7 ) ≈ 1.9459

u2: e x = 6

e x = 6 |ln(⋅)
x2 = ln( 6 ) ≈ 1.7918

L={ ln( 6 ) ; ln( 7 ) }

trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ cos( x ) + 1 2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ cos( x ) + 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 3 2 u + 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 3 2 u + 1 2 ) = 0

2 u 2 -3u +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 2 · 1 2⋅2

u1,2 = +3 ± 9 -8 4

u1,2 = +3 ± 1 4

u1 = 3 + 1 4 = 3 +1 4 = 4 4 = 1

u2 = 3 - 1 4 = 3 -1 4 = 2 4 = 0,5

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = 0,5

canvas
cos( x ) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x2 = 1 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 3 π
bzw. bei - 1 3 π +2π= 5 3 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 5 3 π

L={0; 1 3 π ; 5 3 π }