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Aufgabenbeispiele von mit Substitution

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Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -10 x 2 +9 = 0

Lösung einblenden
x 4 -10 x 2 +9 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -10u +9 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 9 2⋅1

u1,2 = +10 ± 100 -36 2

u1,2 = +10 ± 64 2

u1 = 10 + 64 2 = 10 +8 2 = 18 2 = 9

u2 = 10 - 64 2 = 10 -8 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x3 = - 1 = -1
x4 = 1 = 1

L={ -3 ; -1 ; 1 ; 3 }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -7 e x +10 = 0

Lösung einblenden
e 2x -7 e x +10 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -7u +10 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · 10 2⋅1

u1,2 = +7 ± 49 -40 2

u1,2 = +7 ± 9 2

u1 = 7 + 9 2 = 7 +3 2 = 10 2 = 5

u2 = 7 - 9 2 = 7 -3 2 = 4 2 = 2

Rücksubstitution:

u1: e x = 5

e x = 5 |ln(⋅)
x1 = ln( 5 ) ≈ 1.6094

u2: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x2 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

L={ ln( 2 ) ; ln( 5 ) }

trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 4 - 3 2 ( sin( x ) ) 2 + 1 2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 4 - 3 2 ( sin( x ) ) 2 + 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ( sin( x ) ) 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 3 2 u + 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 3 2 u + 1 2 ) = 0

2 u 2 -3u +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 2 · 1 2⋅2

u1,2 = +3 ± 9 -8 4

u1,2 = +3 ± 1 4

u1 = 3 + 1 4 = 3 +1 4 = 4 4 = 1

u2 = 3 - 1 4 = 3 -1 4 = 2 4 = 0,5

Rücksubstitution:

u1: ( sin( x ) ) 2 = 1

( sin( x ) ) 2 = 1 | ⋅2

1. Fall

sin( x ) = - 1 = -1
canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall

sin( x ) = 1 = 1
canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 1 2 π

u2: ( sin( x ) ) 2 = 0,5

( sin( x ) ) 2 = 0,5 | ⋅2

1. Fall

sin( x ) = - 0,5 ≈ -0,707
canvas
sin( x ) = -0,707 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.78524716339515

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,498

1. Fall:

x3 = 5,498

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,707 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.707 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,498 =-2.3564 bzw. bei -2.3564+2π= 3,927 liegen muss.

2. Fall:

x4 = 3,927

2. Fall

sin( x ) = 0,5 ≈ 0,707
canvas
sin( x ) = 0,707 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.78524716339515

1. Fall:

x5 = 0,785

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,707 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.707 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,785 = 2,356 liegen muss.

2. Fall:

x6 = 2,356

L={ 0,785 ; 1 2 π ; 2,356 ; 3,927 ; 3 2 π ; 5,498 }