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Aufgabenbeispiele von mit Substitution

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Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 + x 2 -20 = 0

Lösung einblenden
x 4 + x 2 -20 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -20 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

u1,2 = -1 ± 1 +80 2

u1,2 = -1 ± 81 2

u1 = -1 + 81 2 = -1 +9 2 = 8 2 = 4

u2 = -1 - 81 2 = -1 -9 2 = -10 2 = -5

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e x -1 -2 e -x = 0

Lösung einblenden
e x -1 -2 e -x = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

e x -2 e -x -1 = 0 |⋅ e x
e 2x - e x -2 = 0

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

u1,2 = +1 ± 1 +8 2

u1,2 = +1 ± 9 2

u1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

u2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x1 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

u2: e x = -1

e x = -1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }

trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ cos( x ) - 1 2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ cos( x ) - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 + 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 + u -1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 2 · ( -1 ) 2⋅2

u1,2 = -1 ± 1 +8 4

u1,2 = -1 ± 9 4

u1 = -1 + 9 4 = -1 +3 4 = 2 4 = 0,5

u2 = -1 - 9 4 = -1 -3 4 = -4 4 = -1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 0,5

canvas
cos( x ) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x1 = 1 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 3 π
bzw. bei - 1 3 π +2π= 5 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5 3 π

u2: cos( x ) = -1

canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = π

L={ 1 3 π ; π ; 5 3 π }