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Aufgabenbeispiele von durch Faktorisieren

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trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- 1 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- 1 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) -1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) -1 = 0 | +1
2⋅ sin( x ) = 1 |:2
canvas
sin( x ) = 0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x1 = 5 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 1 6 π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x4 = 3 2 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π ; 5 6 π ; 3 2 π }

Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 +8 x 2 = -2 +6 x 2 -4x

Lösung einblenden
-2 +8 x 2 = -2 +6 x 2 -4x
8 x 2 -2 = 6 x 2 -4x -2 | +2
8 x 2 = 6 x 2 -4x | - ( 6 x 2 -4x )
8 x 2 -6 x 2 +4x = 0
2 x 2 +4x = 0
2 x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

L={ -2 ; 0}