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Aufgabenbeispiele von durch Faktorisieren

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trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- 3 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- 3 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) -3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) -3 = 0 | +3
2⋅ sin( x ) = 3 |:2
sin( x ) = 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 +11 x 2 = 8 x 2 + x +2

Lösung einblenden
2 +11 x 2 = 8 x 2 + x +2
11 x 2 +2 = 8 x 2 + x +2 | -2
11 x 2 = 8 x 2 + x | - ( 8 x 2 + x )
11 x 2 -8 x 2 - x = 0
3 x 2 - x = 0
x ( 3x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

3x -1 = 0 | +1
3x = 1 |:3
x2 = 1 3

L={0; 1 3 }