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Aufgabenbeispiele von durch Faktorisieren

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trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ cos( x ) = -3 |:2
cos( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

Nullprodukt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 = -5x

Lösung einblenden
x 2 = -5x | +5x
x 2 +5x = 0
x ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +5 = 0 | -5
x2 = -5

L={ -5 ; 0}