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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 7)}^{2} - 2$
und
$g(x) =$ $2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x + 7)}^{2} - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
${(x + 7)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 7

- \sqrt{4}

- 2

$x + 7$	=	$- 2$	\| $- 7$
x₁	=	$- 9$

2. Fall

x + 7

\sqrt{4}

2

$x + 7$	=	$2$	\| $- 7$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 9$ ; $- 5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 9$ ) = $2$

g( $- 5$ ) = $2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 9$ | $2$ ) und S₂( $- 5$ | $2$ ).

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 - 10 x$ = $- x^{2}$

- 10 x + 25

- x^{2}

+ x^{2}

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!