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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 192$ = 0

$- 3 x^{2} + 192$	=	0	\| $- 192$
$- 3 x^{2}$	=	$- 192$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

L={ $- 8$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 + 2 x^{2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 5

3 x

- 3 x

$2 x^{2} - 3 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{3+7}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{3-7}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $- 1$ ; $2,5$ }