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Aufgabenbeispiele von Lineare Gleichungssysteme

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-2x1 +2x2 -4x3 = 18 (I) 4x1 -1x2 +5x3 = -33 (II) -2x1 -1x2 -4x3 = 30 (III)

Lösung einblenden
-2x1 +2x2 -4x3 = 18 (I) 4x1 -1x2 +5x3 = -33 (II) -2x1 -1x2 -4x3 = 30 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) + 1·(II)

1·(I) -1·(III)

-2x1 2x2 -4x3 = 18 (I) ( -4 +4 )x1 +( 4 -1 )x2 +( -8 +5 )x3 = ( 36 -33 ) (II) ( -2 +2 )x1 +( 2 +1 )x2 +( -4 +4 )x3 = ( 18 -30 ) (III)
-2x1 +2x2 -4x3 = 18 (I) +3x2 -3x3 = 3 (II) +3x2 = -12 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

-2x1 2x2 -4x3 = 18 (I) 3x2 -3x3 = 3 (II) +( 3 -3 )x2 +( -3 +0)x3 = ( 3 +12 ) (III)
-2x1 +2x2 -4x3 = 18 (I) +3x2 -3x3 = 3 (II) -3x3 = 15 (III)
Zeile (III): -3x3 = 15

x3 = -5

eingesetzt in Zeile (II):

+3x2 -3·(-5 ) = 3 | -15
3 x2 = -12 | : 3

x2 = -4

eingesetzt in Zeile (I):

-2x1 +2·(-4 ) -4·(-5 ) = 18 | -12
-2 x1 = 6 | : (-2)

x1 = -3

L={(-3 |-4 |-5 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 -3x2 -10x3 = 8 (I) x1 +5x2 +x3 = 0 (II) -2x1 -18x2 -13x3 = 9 (III)

Lösung einblenden
x1 -3x2 -10x3 = 8 (I) x1 +5x2 +x3 = 0 (II) -2x1 -18x2 -13x3 = 9 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

2·(I) + 1·(III)

1x1 -3x2 -10x3 = 8 (I) ( 1 -1 )x1 +( -3 -5 )x2 +( -10 -1 )x3 = ( 8 +0) (II) ( 2 -2 )x1 +( -6 -18 )x2 +( -20 -13 )x3 = ( 16 +9 ) (III)
x1 -3x2 -10x3 = 8 (I) -8x2 -11x3 = 8 (II) -24x2 -33x3 = 25 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

1x1 -3x2 -10x3 = 8 (I) -8x2 -11x3 = 8 (II) +( -24 +24 )x2 +( -33 +33 )x3 = ( 24 -25 ) (III)
x1 -3x2 -10x3 = 8 (I) -8x2 -11x3 = 8 (II) 0 = -1 (III)
Wegen des Widerspruchs in der 3-ten Zeile hat das LGS eine leere Lösungsmenge!

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4x1 +4x2 +x3 = -20 (I) -4x1 +5x2 -10x3 = 38 (II) -4x1 -10x2 -7x3 = 48r +8 (III)

Lösung einblenden
4x1 +4x2 +x3 = -20 (I) -4x1 +5x2 -10x3 = 38 (II) -4x1 -10x2 -7x3 = 48r +8 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

1·(I) + 1·(III)

4x1 4x2 1x3 = -20 (I) ( 4 -4 )x1 +( 4 +5 )x2 +( 1 -10 )x3 = ( -20 +38 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( 4 -10 )x2 +( 1 -7 )x3 = ( -20 + 48r +8 ) (III)
4x1 +4x2 +x3 = -20 (I) +9x2 -9x3 = 18 (II) -6x2 -6x3 = 48r -12 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 3·(III)

4x1 4x2 1x3 = -20 (I) 9x2 -9x3 = 18 (II) +( 18 -18 )x2 +( -18 -18 )x3 = ( 36 + 144r -36 ) (III)
4x1 +4x2 +x3 = -20 (I) +9x2 -9x3 = 18 (II) -36x3 = 144 r (III)
Zeile (III): -36x3 = 144 r

x3 = -4 r

eingesetzt in Zeile (II):

+9x2 -9·(-4 r ) = 18
+9x2 +36 r = 18 | +-36 r
9 x2 = -36r +18 | : 9

x2 = -4r +2

eingesetzt in Zeile (I):

4x1 +4·( -4r +2 ) +(-4 r ) = -20
4x1 + ( -16r +8 ) -4 r = -20 | + 20r -8
4 x1 = 20r -28 | : 4

x1 = 5r -7

L={( 5r -7 | -4r +2 |-4 r )}

Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man zwei Geraden. Dummerweise ist der Schnittpunkt außerhalb des Schaubild.
Deswegen muss man diesen eben berechnen. Lies dazu erst die beiden Funktionsterme aus dem Schaubild.

Lösung einblenden

Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:

-x -5 = - 1 2 x +1 | +5
-x = - 1 2 x +6 |⋅ 2
-2x = -x +12 | + x
-x = 12 |:(-1 )
x = -12

L={ -12 }

Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

-( -12 ) -5 = 7 oder - 1 2 ⋅( -12 ) +1 = 7

Wir erhalten also den Schnittpunkt S(-12 | 7 ).