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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{1}{x^{2}}$ = 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{1}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 1$	=

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5 x + 24}{2 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 5 x + 24}{2 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 5 x + 24}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 4 \cdot 2 x$
$- 5 x + 24$	=	$2 x \cdot x + 8 x$

- 5 x + 24

=

2 x^{2} + 8 x

|

- 2 x^{2}

- 8 x

$- 2 x^{2} - 13 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 24}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{361}}{- 4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{361}}{- 4}$ = $\frac{13+19}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{361}}{- 4}$ = $\frac{13-19}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{4 x}{3 x + 4} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{7 x - 2}{2 x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{7 x - 2}{2 x} - 8$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{7 x - 2}{2 x} \cdot (3 x + 4) - 8 \cdot (3 x + 4)$	=
$4 x + \frac{(7 x - 2) (3 x + 4)}{2 x} - 24 x - 32$	=
$4 x + \frac{21 x^{2} + 22 x - 8}{2 x} - 24 x - 32$	=
$\frac{21 x^{2} + 22 x - 8}{2 x} + 4 x - 24 x - 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} + 22 x - 8}{2 x} + 4 x - 24 x - 32$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} + 22 x - 8}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 24 x \cdot 2 x - 32 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} + 22 x - 8 + 8 x \cdot x - 48 x \cdot x - 64 x$	=
$21 x^{2} + 22 x - 8 + 8 x^{2} - 48 x^{2} - 64 x$	=
$- 19 x^{2} - 42 x - 8$	=

$- 19 x^{2} - 42 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 42 \pm \sqrt{{(- 42)}^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{+ 42 \pm \sqrt{1 764 - 608}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{+ 42 \pm \sqrt{1 156}}{- 38}$

x₁ = $\frac{42 + \sqrt{1 156}}{- 38}$ = $\frac{42+34}{- 38}$ = $\frac{76}{- 38}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{42 - \sqrt{1 156}}{- 38}$ = $\frac{42-34}{- 38}$ = $\frac{8}{- 38}$ = $- \frac{4}{19}$ ≈ -0.21

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{4}{19}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter