Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}$ = $- \frac{8}{x^{2}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}$	=	$- \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{9}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 9$	=	$- 8 x$

x^{2} - 9

=

- 8 x

|

+ 8 x

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x + 3}{2 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{11 x + 3}{2 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{11 x + 3}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$
$11 x + 3$	=	$2 x \cdot x + 10 x$

11 x + 3

=

2 x^{2} + 10 x

|

- 2 x^{2}

- 10 x

$- 2 x^{2} + x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 1+5}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 1-5}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{x} + \frac{4 x}{x - 2} + \frac{14 x - 2}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

- \frac{14 x - 2}{3 x} + \frac{2 x - 2}{x} + \frac{4 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$- \frac{14 x - 2}{3 x} + \frac{2 x - 2}{x} + \frac{4 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$- \frac{14 x - 2}{3 x} \cdot 3 x + \frac{2 x - 2}{x} \cdot 3 x + \frac{4 x}{x - 2} \cdot 3 x$	=
$- 14 x + 2 + 6 x - 6 + 3 \frac{4 x \cdot x}{x - 2}$	=
$- 14 x + 2 + 6 x - 6 + \frac{12 x^{2}}{x - 2}$	=
$\frac{12 x^{2}}{x - 2} - 14 x + 6 x + 2 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x^{2}}{x - 2} - 14 x + 6 x + 2 - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x^{2}}{x - 2} \cdot (x - 2) - 14 x \cdot (x - 2) + 6 x \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$12 x^{2} - 14 x (x - 2) + 6 x (x - 2) + 2 x - 4 - 6 x + 12$	=
$12 x^{2} + (- 14 x^{2} + 28 x) + (6 x^{2} - 12 x) + 2 x - 4 - 6 x + 12$	=
$4 x^{2} + 12 x + 8$	=

4 x^{2} + 12 x + 8

= 0 |:4

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{18}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{18}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{18}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{18}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$18 + x^{2}$	=	$- a x$
$18 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter