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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{x - 12}{x^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{x - 12}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{x - 12}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$x - 12$

- x^{2}

=

x - 12

|

- x

+ 12

$- x^{2} - x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 - \frac{8}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 - \frac{8}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$2 \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$2 x - 8$	=	$x \cdot x - 4 x$

2 x - 8

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x} + \frac{12 x}{x + 3} + \frac{- 32 x}{2 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{x + 1}{2 x} - \frac{32 x}{2 x + 6}$	=	0
$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{x + 1}{2 x} - \frac{32 x}{2 (x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{x + 1}{2 x} - \frac{32 x}{2 (x + 3)}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{x + 1}{2 x} \cdot (x + 3) - \frac{32 x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=
$12 x + \frac{(x + 1) (x + 3)}{2 x} - 16 x$	=
$12 x + \frac{x^{2} + 4 x + 3}{2 x} - 16 x$	=
$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{2 x} + 12 x - 16 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{2 x} + 12 x - 16 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{2 x} \cdot 2 x + 12 x \cdot 2 x - 16 x \cdot 2 x$	=
$x^{2} + 4 x + 3 + 24 x \cdot x - 32 x \cdot x$	=
$x^{2} + 4 x + 3 + 24 x^{2} - 32 x^{2}$	=
$- 7 x^{2} + 4 x + 3$	=

$- 7 x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot 3}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{- 14}$ = $\frac{- 4+10}{- 14}$ = $\frac{6}{- 14}$ = $- \frac{3}{7}$ ≈ -0.43

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{- 14}$ = $\frac{- 4-10}{- 14}$ = $\frac{- 14}{- 14}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{3}{7}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 3$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 3$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 3$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 3 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 3 x$	=	$- a$
$x^{2} - 3 x + a$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter