D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^4$ weg!

$\frac{1}{x^2}$	=	$-\frac{11}{x^3}-\frac{18}{x^4}$	|⋅( $x^4$)
$\frac{1}{x^2}·x^4$	=	$-\frac{11}{x^3}·x^4-\frac{18}{x^4}·x^4$
$x^2$	=	$-11x-18$

$x^2$

=

$-11x-18$

| $+11x$ $+18$

$x^2+11x+18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{{11}^2-4·1·18}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{121-72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-11+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-11-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{2}$ = $-9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-9$; $-2$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$6+\frac{8}{x}$	=	$x-1$	|⋅( $x$)
$6·x+\frac{8}{x}·x$	=	$x·x-1·x$
$6x+8$	=	$x·x-x$

$6x+8$

=

$x^2-x$

| $-x^2$ $+x$

$-x^2+7x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·\left(-1\right)·8}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49+32}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{81}}{-2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{81}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{81}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-16}{-2}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-1$; $8$}

D=R\{ $-\frac{3}{2}$}

Wir multiplizieren den Nenner $2x+3$ weg!

$\frac{2x}{2x+3}-2$	=	0	|⋅( $2x+3$)
$\frac{2x}{2x+3}·\left(2x+3\right)-2·\left(2x+3\right)$	=	0
$2x-4x-6$	=	0
$-2x-6$	=	0

$-2x-6$	=	0	| $+6$
$-2x$	=	$6$	|:($-2$)
$x$	=	$-3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-3$}

D=R\{0}

$x+a$ = $-\frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x+a$	=	$-\frac{30}{x}$	|⋅x
$x·x+a·x$	=	$-\frac{30}{x}·x$
$x^2+ax$	=	$-30$
$x^2+ax+30$	=	0
$x^2+ax+30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2+ax+30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2·15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $-\left(2+15\right)$ = $-17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2-17x+30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{{\left(-17\right)}^2-4·1·30}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{289-120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17+\sqrt{169}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17-\sqrt{169}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $15$}