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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{11}{x} + \frac{30}{x^{2}}$ = 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{11}{x} + \frac{30}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{11}{x} \cdot x^{2} + \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 11 x + 30$	=

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11+1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11-1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 - \frac{2}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$5 - \frac{2}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$5 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$5 x - 2$	=	$x \cdot x + 2 x$

5 x - 2

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{3}{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; 0}

\frac{3 x - 1}{3 x - 7} - 5 + \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{3 x - 1}{3 x - 7} - 5 + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{3 x - 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) - 5 \cdot (3 x - 7) + \frac{3}{x} \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x - 1 - 15 x + 35 + 3 \frac{3 x - 7}{x}$	=
$\frac{3 (3 x - 7)}{x} + 3 x - 15 x - 1 + 35$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 (3 x - 7)}{x} + 3 x - 15 x - 1 + 35$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 (3 x - 7)}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 15 x \cdot x - 1 \cdot x + 35 \cdot x$	=
$9 x - 21 + 3 x \cdot x - 15 x \cdot x - x + 35 x$	=
$9 x - 21 + 3 x^{2} - 15 x^{2} - x + 35 x$	=
$- 12 x^{2} + 43 x - 21$	=

$- 12 x^{2} + 43 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 008}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{841}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{841}}{- 24}$ = $\frac{- 43+29}{- 24}$ = $\frac{- 14}{- 24}$ = $\frac{7}{12}$ ≈ 0.58

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{841}}{- 24}$ = $\frac{- 43-29}{- 24}$ = $\frac{- 72}{- 24}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{12}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 4$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 4$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 4$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 4 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 4 x$	=	$- a$
$x^{2} + 4 x + a$	=	0
$x^{2} + 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -7 würde es funktionieren, denn $- (3 - 7)$ = 4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 7)$ = $- 21$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -21 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter