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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{24}{x^{3}}$ = $- \frac{5}{x^{2}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{24}{x^{3}}$	=	$- \frac{5}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{24}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{5}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 24$	=	$- 5 x$

x^{2} - 24

=

- 5 x

|

+ 5 x

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $\frac{5 x + 15}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{5 x + 15}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 3 \cdot 4 x$	=	$\frac{5 x + 15}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 12 x$	=	$5 x + 15$
$4 x^{2} - 12 x$	=	$5 x + 15$

4 x^{2} - 12 x

=

5 x + 15

|

- 5 x

- 15

$4 x^{2} - 17 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{8}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{17+23}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = $5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{17-23}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{- 6 x}{2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - \frac{6 x}{2 x + 4}$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - \frac{6 x}{2 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - \frac{6 x}{2 (x + 2)}$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} \cdot (2 (x + 2)) - \frac{6 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x + 2 \frac{(2 x - 1) (x + 2)}{2 x + 5} - 6 x$	=
$3 x + \frac{2 (2 x^{2} + 3 x - 2)}{2 x + 5} - 6 x$	=
$\frac{2 (2 x^{2} + 3 x - 2)}{2 x + 5} + 3 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} + 3 x - 2)}{2 x + 5} + 3 x - 6 x$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{2 (2 x^{2} + 3 x - 2)}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 3 x \cdot (2 x + 5) - 6 x \cdot (2 x + 5)$	=
$4 x^{2} + 6 x - 4 + 3 x (2 x + 5) - 6 x (2 x + 5)$	=
$4 x^{2} + 6 x - 4 + (6 x^{2} + 15 x) + (- 12 x^{2} - 30 x)$	=
$- 2 x^{2} - 9 x - 4$	=

$- 2 x^{2} - 9 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{9+7}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{9-7}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{30}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{30}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 30$
$x^{2} + a x + 30$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter