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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}} + \frac{63}{x^{4}}$ = 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}} + \frac{63}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{16}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{63}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 16 x + 63$	=

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16+2}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16-2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $- 6 - \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 3$	=	$- 6 - \frac{8}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 3 \cdot x$	=	$- 6 \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 3 x$	=	$- 6 x - 8$
$x^{2} + 3 x$	=	$- 6 x - 8$

x^{2} + 3 x

=

- 6 x - 8

|

+ 6 x

+ 8

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{32 x + 1}{- 6 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $1$ }

$\frac{32 x + 1}{- 6 x - 3} + \frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{6 x}{2 x + 1}$	=	0
$\frac{32 x + 1}{- 3 (2 x + 1)} + \frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{6 x}{2 x + 1}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (2 x + 1)$ weg!

$\frac{32 x + 1}{- 3 (2 x + 1)} + \frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{6 x}{2 x + 1}$	=	\|⋅( $3 (2 x + 1)$ )
$\frac{32 x + 1}{- 3 (2 x + 1)} \cdot (3 (2 x + 1)) + \frac{5 x + 1}{x - 1} \cdot (3 (2 x + 1)) + \frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (3 (2 x + 1))$	=
$- 32 x - 1 + 3 \frac{(5 x + 1) (2 x + 1)}{x - 1} + 18 x$	=
$- 32 x - 1 + \frac{3 (10 x^{2} + 7 x + 1)}{x - 1} + 18 x$	=
$\frac{3 (10 x^{2} + 7 x + 1)}{x - 1} - 32 x + 18 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 (10 x^{2} + 7 x + 1)}{x - 1} - 32 x + 18 x - 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 (10 x^{2} + 7 x + 1)}{x - 1} \cdot (x - 1) - 32 x \cdot (x - 1) + 18 x \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)$	=
$30 x^{2} + 21 x + 3 - 32 x (x - 1) + 18 x (x - 1) - x + 1$	=
$30 x^{2} + 21 x + 3 + (- 32 x^{2} + 32 x) + (18 x^{2} - 18 x) - x + 1$	=
$16 x^{2} + 34 x + 4$	=

16 x^{2} + 34 x + 4

= 0 |:2

$8 x^{2} + 17 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{16}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{16}$ = $\frac{- 17+15}{16}$ = $\frac{- 2}{16}$ = $- 0,125$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{16}$ = $\frac{- 17-15}{16}$ = $\frac{- 32}{16}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{6}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{6}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{6}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{6}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$6 + a x$	=	$- x^{2}$
$6 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter