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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x + 56}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 15 x + 56}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 15 x + 56}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 15 x + 56$	=	$- x^{2}$

- 15 x + 56

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 15 x + 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{15+1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{15-1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 24 x - 15}{x - 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 24 x - 15}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 24 x - 15}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$- 24 x - 15$	=	$3 x (x - 2)$
$- 24 x - 15$	=	$3 x^{2} - 6 x$

- 24 x - 15

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

- 3 x^{2} - 18 x - 15

= 0 |:3

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{15 x}{- 6 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{15 x}{- 6 x + 12}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} + \frac{15 x}{6 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} + \frac{15 x}{6 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} \cdot (x - 2) + \frac{15 x}{6 (- x + 2)} \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{(x - 2) (x - 2)}{2 (x - 3)} + \frac{5 x (x - 2)}{2 (- x + 2)}$	=
$2 x + \frac{(x - 2) (x - 2)}{2 (x - 3)} - \frac{5}{2} x$	=
$2 x + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 (x - 3)} - \frac{5}{2} x$	=
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 (x - 3)} + 2 x - \frac{5}{2} x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 (x - 3)} + 2 x - \frac{5}{2} x$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + 2 x \cdot (2 (x - 3)) - \frac{5}{2} x \cdot (2 (x - 3))$	=
$x^{2} - 4 x + 4 + 4 x (x - 3) - 5 x (x - 3)$	=
$x^{2} - 4 x + 4 + (4 x^{2} - 12 x) + (- 5 x^{2} + 15 x)$	=
$- x + 4$	=

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{6}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{6}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$6 + x^{2}$	=	$- a x$
$6 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter