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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{100}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{100}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{100}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 100$	=	$- x^{2}$

$- 100$	=	$- x^{2}$	\| $+ 100$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
x₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 12}{x - 5}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{2 x - 12}{x - 5}$	=	$x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{2 x - 12}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$x \cdot (x - 5)$
$2 x - 12$	=	$x (x - 5)$
$2 x - 12$	=	$x^{2} - 5 x$

2 x - 12

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x - 1}{3 x} + \frac{12 x}{x - 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

\frac{12 x}{x - 3} + \frac{11 x - 1}{3 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{12 x}{x - 3} + \frac{11 x - 1}{3 x} - 7$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{12 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{11 x - 1}{3 x} \cdot (x - 3) - 7 \cdot (x - 3)$	=
$12 x + \frac{(11 x - 1) (x - 3)}{3 x} - 7 x + 21$	=
$12 x + \frac{11 x^{2} - 34 x + 3}{3 x} - 7 x + 21$	=
$\frac{11 x^{2} - 34 x + 3}{3 x} + 12 x - 7 x + 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{11 x^{2} - 34 x + 3}{3 x} + 12 x - 7 x + 21$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{11 x^{2} - 34 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 12 x \cdot 3 x - 7 x \cdot 3 x + 21 \cdot 3 x$	=
$11 x^{2} - 34 x + 3 + 36 x \cdot x - 21 x \cdot x + 63 x$	=
$11 x^{2} - 34 x + 3 + 36 x^{2} - 21 x^{2} + 63 x$	=
$26 x^{2} + 29 x + 3$	=

$26 x^{2} + 29 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot 26 \cdot 3}}{2 \cdot 26}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 - 312}}{52}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{529}}{52}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{529}}{52}$ = $\frac{- 29+23}{52}$ = $\frac{- 6}{52}$ = $- \frac{3}{26}$ ≈ -0.12

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{529}}{52}$ = $\frac{- 29-23}{52}$ = $\frac{- 52}{52}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{3}{26}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{30}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{30}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{30}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{30}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 30 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 30 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter