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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 50}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{5 x - 50}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{5 x - 50}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$5 x - 50$	=	$- x^{2}$

5 x - 50

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 5 x - 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 5+15}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 5-15}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11}{2} - \frac{1}{2 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{11}{2} - \frac{1}{2 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$\frac{11}{2} \cdot x - \frac{1}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$\frac{11}{2} x - \frac{1}{2}$	=	$x \cdot x + 4 x$

$\frac{11}{2} x - \frac{1}{2}$	=	$x^{2} + 4 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{11}{2} x - \frac{1}{2})$	=	$2 (x^{2} + 4 x)$
$11 x - 1$	=	$2 x^{2} + 8 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 8 x$

$- 2 x^{2} + 3 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 3+1}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 3-1}{- 4}$ = $\frac{- 4}{- 4}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 3} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{x - 3} - 1$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{4 x}{x - 3} \cdot (x - 3) - 1 \cdot (x - 3)$	=
$4 x - x + 3$	=
$3 x + 3$	=

$3 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 9$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 9$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 9$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 9 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 9 x$	=	$- x^{2}$
$a - 9 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter