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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{64}{x^{3}}$ = 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{64}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{64}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} - 64$	=

$x^{2} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 10 x + 6}{x - 5}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 10 x + 6}{x - 5}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 10 x + 6}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$4 x \cdot (x - 5)$
$- 10 x + 6$	=	$4 x (x - 5)$
$- 10 x + 6$	=	$4 x^{2} - 20 x$

- 10 x + 6

=

4 x^{2} - 20 x

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

- 4 x^{2} + 10 x + 6

= 0 |:2

$- 2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 5+7}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 5-7}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{3 x + 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{x - 2}{2 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{x - 2}{2 x} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{x - 2}{2 x} \cdot (3 x + 4) - 4 \cdot (3 x + 4)$	=
$3 x + \frac{(x - 2) (3 x + 4)}{2 x} - 12 x - 16$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x} - 12 x - 16$	=
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x} + 3 x - 12 x - 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x} + 3 x - 12 x - 16$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x} \cdot 2 x + 3 x \cdot 2 x - 12 x \cdot 2 x - 16 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} - 2 x - 8 + 6 x \cdot x - 24 x \cdot x - 32 x$	=
$3 x^{2} - 2 x - 8 + 6 x^{2} - 24 x^{2} - 32 x$	=
$- 15 x^{2} - 34 x - 8$	=

$- 15 x^{2} - 34 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{{(- 34)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{1 156 - 480}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{676}}{- 30}$

x₁ = $\frac{34 + \sqrt{676}}{- 30}$ = $\frac{34+26}{- 30}$ = $\frac{60}{- 30}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{34 - \sqrt{676}}{- 30}$ = $\frac{34-26}{- 30}$ = $\frac{8}{- 30}$ = $- \frac{4}{15}$ ≈ -0.27

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{4}{15}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 2$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 2$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 2$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 2 x$	=	$- a$
$x^{2} - 2 x + a$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter