Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{5 x - 50}{x^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{5 x - 50}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{5 x - 50}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$5 x - 50$

- x^{2}

=

5 x - 50

|

- 5 x

+ 50

$- x^{2} - 5 x + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 50}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{5+15}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{5-15}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{17 x - 16}{x - 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{17 x - 16}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{17 x - 16}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$17 x - 16$	=	$3 x (x - 3)$
$17 x - 16$	=	$3 x^{2} - 9 x$

17 x - 16

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} + 26 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{676 - 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{484}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 26+22}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 26-22}{- 6}$ = $\frac{- 48}{- 6}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x - 7} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x - 1}{3 x - 7} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$3 x - 1 + \frac{(x - 1) (x + 1)}{3 x - 7} - 3 x - 3$	=
$3 x - 1 + \frac{x^{2} - 1}{3 x - 7} - 3 x - 3$	=
$\frac{x^{2} - 1}{3 x - 7} + 3 x - 3 x - 1 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{x^{2} - 1}{3 x - 7} + 3 x - 3 x - 1 - 3$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{x^{2} - 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7) - 3 x \cdot (3 x - 7) - 1 \cdot (3 x - 7) - 3 \cdot (3 x - 7)$	=
$x^{2} - 1 + 3 x (3 x - 7) - 3 x (3 x - 7) - 3 x + 7 - 9 x + 21$	=
$x^{2} - 1 + (9 x^{2} - 21 x) + (- 9 x^{2} + 21 x) - 3 x + 7 - 9 x + 21$	=
$x^{2} - 12 x + 27$	=

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter