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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 10 x + 21}{x^{4}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 10 x + 21}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 10 x + 21}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 10 x + 21$

- x^{2}

=

- 10 x + 21

|

+ 10 x

- 21

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10+4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10-4}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{27 x - 24}{4 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{27 x - 24}{4 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{27 x - 24}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 2 \cdot 4 x$
$27 x - 24$	=	$4 x \cdot x - 8 x$

27 x - 24

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} + 35 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 - 384}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{841}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 35+29}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 35-29}{- 8}$ = $\frac{- 64}{- 8}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 3} + \frac{3 x}{x + 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 3$ }

\frac{3 x}{x + 2} + \frac{8 x}{x + 3} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{8 x}{x + 3} - 3$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{8 x}{x + 3} \cdot (x + 2) - 3 \cdot (x + 2)$	=
$3 x + \frac{8 x (x + 2)}{x + 3} - 3 x - 6$	=
$3 x + \frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 3} - 3 x - 6$	=
$\frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 3} + 3 x - 3 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 3} + 3 x - 3 x - 6$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 3 x \cdot (x + 3) - 3 x \cdot (x + 3) - 6 \cdot (x + 3)$	=
$8 x^{2} + 16 x + 3 x (x + 3) - 3 x (x + 3) - 6 x - 18$	=
$8 x^{2} + 16 x + (3 x^{2} + 9 x) + (- 3 x^{2} - 9 x) - 6 x - 18$	=
$8 x^{2} + 10 x - 18$	=

8 x^{2} + 10 x - 18

= 0 |:2

$4 x^{2} + 5 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 5+13}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 5-13}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,25$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$8 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$8 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$8 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$8 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$8 x + a$	=	$- x^{2}$
$8 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter