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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{12}{x} + \frac{27}{x^{2}}$ = 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{12}{x} + \frac{27}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{12}{x} \cdot x^{2} + \frac{27}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 12 x + 27$	=

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12+6}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12-6}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{5}{2} - \frac{1}{2 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{5}{2} - \frac{1}{2 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{5}{2} \cdot x - \frac{1}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$- \frac{5}{2} x - \frac{1}{2}$	=	$x \cdot x - 4 x$

$- \frac{5}{2} x - \frac{1}{2}$	=	$x^{2} - 4 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{5}{2} x - \frac{1}{2})$	=	$2 (x^{2} - 4 x)$
$- 5 x - 1$	=	$2 x^{2} - 8 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 8 x$

$- 2 x^{2} + 3 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 3+1}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 3-1}{- 4}$ = $\frac{- 4}{- 4}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- \frac{7}{3}$ }

\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (2 x + 3) - 4 \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x + \frac{(x + 1) (2 x + 3)}{3 x + 7} - 8 x - 12$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{3 x + 7} - 8 x - 12$	=
$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{3 x + 7} + 3 x - 8 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{3 x + 7} + 3 x - 8 x - 12$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + 3 x \cdot (3 x + 7) - 8 x \cdot (3 x + 7) - 12 \cdot (3 x + 7)$	=
$2 x^{2} + 5 x + 3 + 3 x (3 x + 7) - 8 x (3 x + 7) - 36 x - 84$	=
$2 x^{2} + 5 x + 3 + (9 x^{2} + 21 x) + (- 24 x^{2} - 56 x) - 36 x - 84$	=
$- 13 x^{2} - 66 x - 81$	=

$- 13 x^{2} - 66 x - 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 66 \pm \sqrt{{(- 66)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 81)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 66 \pm \sqrt{4 356 - 4 212}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 66 \pm \sqrt{144}}{- 26}$

x₁ = $\frac{66 + \sqrt{144}}{- 26}$ = $\frac{66+12}{- 26}$ = $\frac{78}{- 26}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{66 - \sqrt{144}}{- 26}$ = $\frac{66-12}{- 26}$ = $\frac{54}{- 26}$ = $- \frac{27}{13}$ ≈ -2.08

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{27}{13}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$x$
$x^{2} + a - x$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter