= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+4\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+4}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{1+4}+\frac{9}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{5}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{5}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{36}{20}+\frac{45}{20}\right)$

= $\pi ·\frac{9}{20}$

= $\frac{9}{20}\pi$

≈ 1,414

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+3\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 4+3\right)}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+3\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(8+3\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+3\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 11}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\cdot 5}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{22}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{10}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{18}{44}-\frac{99}{44}-\left(\frac{9}{10}-\frac{90}{10}\right))$

= $\pi ·(-\frac{81}{44}-1·\left(-\frac{81}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{81}{44}+\frac{81}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{1377}{220}$

= $\frac{1377}{220}\pi$

≈ 19,664

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,2}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,2}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[10e^{\mathrm{0,4}x}-40e^{\mathrm{0,2}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 3}-40e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-40e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12-\left(10e^0-40e^0+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12-\left(10-40+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12-1·\left(-30\right))$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12+30\right)$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+42\right)$

≈ 7,277