Aufgabenbeispiele von Rotationskörper

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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= 4 x 3 +5x +2 soll im Intervall [0,1] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 0 1 ( 4 x 3 +5x +2 ) 2 x
= π 0 1 ( 4 x 3 +5x +2 ) x

= π [ x 4 + 5 2 x 2 +2x ] 0 1

= π · ( 1 4 + 5 2 1 2 +21 - ( 0 4 + 5 2 0 2 +20 ) )

= π · ( 1 + 5 2 1 +2 - ( 0 + 5 2 0 +0) )

= π · ( 1 + 5 2 +2 - (0+0+0) )

= π · ( 2 2 + 5 2 + 4 2 +0 )

= π · ( 11 2 )

= 11 2 π


≈ 17,279

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 6 x 2 und g(x)= 6 ( 3x +3 ) 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 3 ( 6 x 2 ) 2 x - π 1 3 ( 6 ( 3x +3 ) 2 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 3 ( ( 6 x 2 ) 2 - ( 6 ( 3x +3 ) 2 ) 2 ) x

= π 1 3 ( 36 x 4 - 36 ( 3x +3 ) 4 ) x

= π 1 3 ( - 36 ( 3x +3 ) 4 + 36 x 4 ) x
= π 1 3 ( -36 ( 3x +3 ) -4 +36 x -4 ) x

= π [ 4 ( 3x +3 ) -3 -12 x -3 ] 1 3

= π [ 4 ( 3x +3 ) 3 - 12 x 3 ] 1 3

= π · ( 4 ( 33 +3 ) 3 - 12 3 3 - ( 4 ( 31 +3 ) 3 - 12 1 3 ) )

= π · ( 4 ( 9 +3 ) 3 -12( 1 27 ) - ( 4 ( 3 +3 ) 3 -121 ) )

= π · ( 4 12 3 - 4 9 - ( 4 6 3 -12 ) )

= π · ( 4( 1 1728 ) - 4 9 - ( 4( 1 216 ) -12 ) )

= π · ( 1 432 - 4 9 - ( 1 54 -12 ) )

= π · ( 1 432 - 192 432 - ( 1 54 - 648 54 ) )

= π · ( - 191 432 -1 · ( - 647 54 ) )

= π · ( - 191 432 + 647 54 )

= π · 4985 432

= 4985 432 π


≈ 36,252

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= x +4 und der Geraden y = 2 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 2 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = x +4 -2
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 3 ( x +4 -2 ) 2 x

= π 0 3 ( x +2 ) 2 x

= π [ 1 3 ( x +2 ) 3 ] 0 3

= π · ( 1 3 ( 3 +2 ) 3 - 1 3 ( 0 +2 ) 3 )

= π · ( 1 3 5 3 - 1 3 2 3 )

= π · ( 1 3 125 - 1 3 8 )

= π · ( 125 3 - 8 3 )

= π · 39

= 39π


≈ 122,522