= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+4\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+4}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{3+4}+\frac{9}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{7}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{7}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{36}{28}+\frac{63}{28}\right)$

= $\pi ·\frac{27}{28}$

= $\frac{27}{28}\pi$

≈ 3,029

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[24{\left(2x+2\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{24}{{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{24}{{\left(2\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{48}{4^3}-\left(\frac{24}{{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{\left(8+2\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{24}{{\left(2+2\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{10}^3}-\frac{3}{4}-\left(\frac{24}{4^3}-48\right))$

= $\pi ·(24\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{3}{4}-\left(24\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{125}-\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{8}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{500}-\frac{375}{500}-\left(\frac{3}{8}-\frac{384}{8}\right))$

= $\pi ·(-\frac{363}{500}-1·\left(-\frac{381}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{363}{500}+\frac{381}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{46899}{1000}$

= $\frac{46899}{1000}\pi$

≈ 147,338

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+3\right)}^2+2}{{\left(x+3\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+3\right)}^2+2}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2{\left(x+3\right)}^2+2}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+3\right)}^2+2-2{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(3+3\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 6^3}+\frac{4}{3\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{162}+\frac{4}{81}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{162}+\frac{8}{162}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{162}$

= $\frac{7}{162}\pi$

≈ 0,136