= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3+3}+\frac{16}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{6}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(3x+3\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{{\left(3\cdot 2+3\right)}^3}-\frac{48}{2^3}-\left(\frac{16}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{\left(6+3\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{16}{{\left(3+3\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9^3}-6-\left(\frac{16}{6^3}-48\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-6-\left(16\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{729}-6-\left(\frac{2}{27}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{729}-\frac{4374}{729}-\left(\frac{2}{27}-\frac{1296}{27}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4358}{729}-1·\left(-\frac{1294}{27}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4358}{729}+\frac{1294}{27}\right)$

= $\pi ·\frac{30580}{729}$

= $\frac{30580}{729}\pi$

≈ 131,783

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{56}{3}$

= $\frac{56}{3}\pi$

≈ 58,643