= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-3x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-3\cdot 1}+\frac{2}{3}{e}^{-3\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-3}+\frac{2}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-3}+\frac{2}{3}\right)$

≈ 1,99

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+4\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{12}{4^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(8+4\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+4\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{12}^3}-\frac{3}{16}-\left(\frac{6}{6^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-\frac{3}{16}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{288}-\frac{3}{16}-\left(\frac{1}{36}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{288}-\frac{54}{288}-\left(\frac{1}{36}-\frac{432}{36}\right))$

= $\pi ·(-\frac{53}{288}-1·\left(-\frac{431}{36}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{53}{288}+\frac{431}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{3395}{288}$

= $\frac{3395}{288}\pi$

≈ 37,034

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 3^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 27-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(36+0\right)$

= $\pi ·36$

= $36\pi$

≈ 113,097