= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2\left(2x+2\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(2\cdot 1+2\right)}+\frac{9}{2\left(2\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(2+2\right)}+\frac{9}{2\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\cdot 4}+\frac{9}{2\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{8}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{8}+\frac{18}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{9}{8}$

= $\frac{9}{8}\pi$

≈ 3,534

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+1\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 3+1\right)}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(9+1\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+1\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 10}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\cdot 4}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-\frac{4}{3}-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-\frac{20}{15}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{6}{5}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{5}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{37}{15}$

= $\frac{37}{15}\pi$

≈ 7,749

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,3}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,3}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-\left(\frac{20}{3}{e}^0-\frac{80}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-1·\left(-20\right))$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12+20\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+32\right)$

≈ 21,179