= $\pi$ ${\left[x^4+x^3+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(3^4+3^3+3-\left(0^4+0^3+0\right))$

= $\pi ·(81+27+3-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(81+27+3\right)$

= $\pi ·111$

= $111\pi$

≈ 348,717

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(3x+2\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{{\left(3\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{75}{3^3}-\left(\frac{25}{{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{\left(9+2\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{25}{{\left(3+2\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{11}^3}-\frac{25}{9}-\left(\frac{25}{5^3}-75\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)-\frac{25}{9}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1331}-\frac{25}{9}-\left(\frac{1}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{225}{11979}-\frac{33275}{11979}-\left(\frac{1}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{33050}{11979}-1·\left(-\frac{374}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{33050}{11979}+\frac{374}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{4314896}{59895}$

= $\frac{4314896}{59895}\pi$

≈ 226,323

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 7^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 343-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·38$

= $38\pi$

≈ 119,381