= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 4^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 64-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·7$

= $7\pi$

≈ 21,991

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+1\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+1}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{3+1}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{1+1}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{4}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{2}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-3-\left(9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{4}-3-\left(\frac{9}{2}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{4}-\frac{12}{4}-\left(\frac{9}{2}-\frac{18}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{3}{4}-1·\left(-\frac{9}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{4}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{4}+\frac{18}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{4}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{15}{4}$

= $\frac{15}{4}\pi$

≈ 11,781

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,1}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,1}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[20e^{\mathrm{0,2}x}-80e^{\mathrm{0,1}x}+4x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}-80e^{\mathrm{0,1}\cdot 1}+4\cdot 1-\left(20e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-80e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}}-80e^{\mathrm{0,1}}+4-\left(20e^0-80e^0+0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}}-80e^{\mathrm{0,1}}+4-\left(20-80+0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}}-80e^{\mathrm{0,1}}+4-1·\left(-60\right))$

= $\pi ·\left(20e^{\mathrm{0,2}}-80e^{\mathrm{0,1}}+4+60\right)$

= $\pi ·\left(20e^{\mathrm{0,2}}-80e^{\mathrm{0,1}}+64\right)$

≈ 0,045