= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-6x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 4}+\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-24}+\frac{3}{2}{e}^{-6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{3}{2}{e}^{-6}-\frac{3}{2}{e}^{-24}\right)$

≈ 0,012

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+1\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 3+1\right)}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(9+1\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+1\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 10}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\cdot 4}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-\frac{4}{3}-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-\frac{20}{15}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{6}{5}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{5}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{37}{15}$

= $\frac{37}{15}\pi$

≈ 7,749

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-15e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 1}-15e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}+1-\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-15e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-15e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{45}{4}{e}^0-15e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-15e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{45}{4}-15+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-15e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{45}{4}-\frac{60}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-15e^{\mathrm{0,4}}+1-1·\left(-\frac{15}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-15e^{\mathrm{0,4}}+1+\frac{15}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-15e^{\mathrm{0,4}}+\frac{19}{4}\right)$

≈ 23,279