= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2\left(2x+1\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(2\cdot 1+1\right)}+\frac{9}{2\left(2\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(2+1\right)}+\frac{9}{2\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\cdot 3}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+\frac{9}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·3$

= $3\pi$

≈ 9,425

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{2}{\left(2x+3\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{2{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{2{\left(2\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{75}{3^3}-\left(\frac{75}{2{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2{\left(6+3\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{75}{2{\left(2+3\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2\cdot 9^3}-\frac{25}{9}-\left(\frac{75}{2\cdot 5^3}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{25}{9}-\left(\frac{75}{2}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{486}-\frac{25}{9}-\left(\frac{3}{10}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{486}-\frac{1350}{486}-\left(\frac{3}{10}-\frac{750}{10}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1325}{486}-1·\left(-\frac{747}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1325}{486}+\frac{747}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{87448}{1215}$

= $\frac{87448}{1215}\pi$

≈ 226,112

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+3}{{\left(2x+3\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+3}{{\left(2x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+3}{{\left(2x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+3-2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+3\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+3\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 3+3\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(6+3\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot 9^3}+\frac{3}{2\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)+\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{486}+\frac{1}{18}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{486}+\frac{27}{486}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{243}$

= $\frac{13}{243}\pi$

≈ 0,168