= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2+1\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot 3^3}+\frac{3}{2\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)+\frac{3}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{18}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{18}+\frac{27}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{9}$

= $\frac{13}{9}\pi$

≈ 4,538

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+2\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+2\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 4+2\right)}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+2\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(8+2\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+2\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 10}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\cdot 4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{20}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{8}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{20}-\frac{45}{20}-\left(\frac{9}{8}-\frac{72}{8}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9}{5}-1·\left(-\frac{63}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{5}+\frac{63}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{243}{40}$

= $\frac{243}{40}\pi$

≈ 19,085

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,4}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,4}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,8}x}-20e^{\mathrm{0,4}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 3}-20e^{\mathrm{0,4}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{2,4}}-20e^{\mathrm{1,2}}+12-\left(5e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{2,4}}-20e^{\mathrm{1,2}}+12-\left(5-20+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{2,4}}-20e^{\mathrm{1,2}}+12-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{2,4}}-20e^{\mathrm{1,2}}+12+15\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{2,4}}-20e^{\mathrm{1,2}}+27\right)$

≈ 49,366