$\text{f(x)}=$ $t{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $t{e}^{2x}·2$

= $2t{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-t^2{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4t^2{x}^3$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $2x^2+2tx$

$\text{f'(x)}=$ $4x+2t$

In diese Ableitung setzen wir x=$-1$ ein:

f'($-1$)= $4\cdot \left(-1\right)+2t$= $2t-4$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-2$x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-1$)= $2t-4$ soll gleich $-2$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $2t-4$ = $-2$ nach t auf.

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-x+5\right)·e^{-tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-tx}+\left(-x+5\right)·e^{-tx}·\left(-t\right)$

= $-e^{-tx}+\left(-x+5\right)·\left(-t{e}^{-tx}\right)$

= $-e^{-tx}-t\left(-x+5\right)·e^{-tx}$

= $e^{-tx}·\left(tx-5t-1\right)$

= $e^{-tx}·\left(tx+\left(-5t-1\right)\right)$

= $\left(tx+\left(-5t-1\right)\right)·e^{-tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $-e^{-t\cdot 0}-t·\left(-0+5\right)·e^{-t\cdot 0}$ = $-1-5t$ = $-5t-1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-\frac{38}{3}$x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $-5t-1$ soll gleich $-\frac{38}{3}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $-5t-1$ = $-\frac{38}{3}$ nach t auf.

Für t= $\frac{7}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.