$\text{f(x)}=$ $-3x^3·e^{-x-2t}$

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2·e^{-x-2t}-3x^3·e^{-x-2t}·\left(-1\right)$

= $-9x^2·e^{-x-2t}-3x^3·\left(-e^{-x-2t}\right)$

= $-9x^2·e^{-x-2t}+3x^3·e^{-x-2t}$

= $e^{-x-2t}·\left(-9x^2+3x^3\right)$

= $e^{-x-2t}·\left(3x^3-9x^2\right)$

= $\left(3x^3-9x^2\right)·e^{-x-2t}$

= $-3x^2{e}^{-\left(x+2t\right)}\left(-x+3\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3x·e^{3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $-3·e^{3tx}-3x·e^{3tx}·3t$

= $-3e^{3tx}-3x·3t{e}^{3tx}$

= $-3e^{3tx}-9tx·e^{3tx}$

= $e^{3tx}·\left(-9tx-3\right)$

= $\left(-9tx-3\right)·e^{3tx}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-1\right)·e^{2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{2tx}+\left(-x-1\right)·e^{2tx}·2t$

= $-e^{2tx}+\left(-x-1\right)·2t{e}^{2tx}$

= $-e^{2tx}+2t\left(-x-1\right)·e^{2tx}$

= $e^{2tx}·\left(-2tx-2t-1\right)$

= $e^{2tx}·\left(-2tx+\left(-2t-1\right)\right)$

= $\left(-2tx+\left(-2t-1\right)\right)·e^{2tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$)= $-e^{2t\cdot 0}+2t·\left(-0-1\right)·e^{2t\cdot 0}$= $-2t-1$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'($0$)= $-2t-1$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-2t-1$ = 0 nach t auf.

Für t= $-\frac{1}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $e^{t^{2}x+t^2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{t^{2}x+t^2}·t^2$

= $t^2{e}^{t^{2}x+t^2}$

In diese Ableitung setzen wir x=$-1$ ein:

f'($-1$) = $t^2{e}^{t^2\cdot \left(-1\right)+t^2}$ = $t^2{e}^{-t^2+t^2}$ = $t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $1$x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-1$)= $t^2$ soll gleich $1$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $t^2$ = $1$ nach t auf.

Für t= $-1$ und t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.