$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3tx}·\left(-3t\right)$

= $6t{e}^{-3tx}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3tx+2t^2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3tx+2t^2}·\left(-3t\right)$

= $3t{e}^{-3tx+2t^2}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x+4\right)·e^{-2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{-2tx}+\left(-2x+4\right)·e^{-2tx}·\left(-2t\right)$

= $-2e^{-2tx}+\left(-2x+4\right)·\left(-2t{e}^{-2tx}\right)$

= $-2e^{-2tx}-2t\left(-2x+4\right)·e^{-2tx}$

= $e^{-2tx}·\left(-2+4tx-8t\right)$

= $e^{-2tx}·\left(4tx+\left(-8t-2\right)\right)$

= $\left(4tx+\left(-8t-2\right)\right)·e^{-2tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$)= $-2e^{-2t\cdot 0}-2t·\left(-2\cdot 0+4\right)·e^{-2t\cdot 0}$= $-8t-2$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'($0$)= $-8t-2$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-8t-2$ = 0 nach t auf.

Für t= $-\frac{1}{4}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-2e^{t^2{x}^2-t^{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{t^2{x}^2-t^{2}x}·\left(2t^{2}x-t^2\right)$

= $-2·e^{t^2{x}^2-t^{2}x}\left(2t^{2}x-t^2\right)$

= $-2\left(2t^{2}x-t^2\right)e^{t^2{x}^2-t^{2}x}$

In diese Ableitung setzen wir x=$1$ ein:

f'($1$) = $-2·e^{t^2\cdot 1^2-t^2\cdot 1}·\left(2t^2\cdot 1-t^2\right)$ = $-2·e^0·\left(2t^2-t^2\right)$ = $-2t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-\frac{9}{2}$x-4 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($1$)= $-2t^2$ soll gleich $-\frac{9}{2}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $-2t^2$ = $-\frac{9}{2}$ nach t auf.

Für t= $-\frac{3}{2}$ und t= $\frac{3}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.