$\text{f(x)}=$ $-x·e^{\left(-3x\right)}$

$\text{f'(x)}=$ $-1·e^{\left(-3x\right)}-x·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-e^{-3x}-x·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-e^{-3x}+3x·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3x-1\right)$

= $\left(3x-1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}\left(3x-1\right)$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2tx}·2t$

= $-2t{e}^{2tx}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $2t{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6t{x}^2$

In diese Ableitung setzen wir x=$1$ ein:

f'($1$)= $6t\cdot 1^2$= $6t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $12$x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($1$)= $t$ soll gleich $12$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $6t$ = $12$ nach t auf.

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+3\right)·e^{3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{3tx}+\left(2x+3\right)·e^{3tx}·3t$

= $2e^{3tx}+\left(2x+3\right)·3t{e}^{3tx}$

= $2e^{3tx}+3t\left(2x+3\right)·e^{3tx}$

= $e^{3tx}·\left(6tx+9t+2\right)$

= $e^{3tx}·\left(6tx+9t+2\right)$

= $\left(6tx+9t+2\right)·e^{3tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $2e^{3t\cdot 0}+3t·\left(2\cdot 0+3\right)·e^{3t\cdot 0}$ = $2+9t$ = $9t+2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $29$x+9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $9t+2$ soll gleich $29$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $9t+2$ = $29$ nach t auf.

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.