$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2tx}+x^2·e^{2tx}·2t$

= $2x·e^{2tx}+x^2·2t{e}^{2tx}$

= $2x·e^{2tx}+2t{x}^2·e^{2tx}$

= $e^{2tx}·\left(2t{x}^2+2x\right)$

= $\left(2t{x}^2+2x\right)·e^{2tx}$

= $2x{e}^{2tx}\left(tx+1\right)$

$\text{f(x)}=$ $-t{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4t{x}^3$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $3x^3-t{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2-2tx$

In diese Ableitung setzen wir x=$1$ ein:

f'($1$)= $9\cdot 1^2-2t\cdot 1$= $-2t+9$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $3$x+7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($1$)= $-2t+9$ soll gleich $3$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-2t+9$ = $3$ nach t auf.

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-2t^2{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6t^2{x}^2$

In diese Ableitung setzen wir x=$-2$ ein:

f'($-2$) = $-6t^2\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-6t^2\cdot 4$ = $-24t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-\frac{128}{3}$x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-2$)= $-24t^2$ soll gleich $-\frac{128}{3}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $-24t^2$ = $-\frac{128}{3}$ nach t auf.

Für t= $-\frac{4}{3}$ und t= $\frac{4}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.