$\text{f(x)}=$ $-e^{-2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2tx}·\left(-2t\right)$

= $2t{e}^{-2tx}$

$\text{f(x)}=$ $-x^2·e^{2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $-2x·e^{2tx}-x^2·e^{2tx}·2t$

= $-2x·e^{2tx}-x^2·2t{e}^{2tx}$

= $-2x·e^{2tx}-2t{x}^2·e^{2tx}$

= $e^{2tx}·\left(-2x-2t{x}^2\right)$

= $e^{2tx}·\left(-2t{x}^2-2x\right)$

= $\left(-2t{x}^2-2x\right)·e^{2tx}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-6t{e}^{x-1}+12x$

$\text{f'(x)}=$ $-6t{e}^{x-1}·1+12$

= $-6t{e}^{x-1}+12$

In diese Ableitung setzen wir x=$1$ ein:

f'($1$)= $-6t{e}^{1-1}+12$= $-6t+12$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'($1$)= $-6t+12$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-6t+12$ = 0 nach t auf.

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x-2\right)·e^{-3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{-3tx}+\left(-2x-2\right)·e^{-3tx}·\left(-3t\right)$

= $-2e^{-3tx}+\left(-2x-2\right)·\left(-3t{e}^{-3tx}\right)$

= $-2e^{-3tx}-3t\left(-2x-2\right)·e^{-3tx}$

= $e^{-3tx}·\left(6tx+6t-2\right)$

= $e^{-3tx}·\left(6tx+6t-2\right)$

= $\left(6tx+6t-2\right)·e^{-3tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $-2e^{-3t\cdot 0}-3t·\left(-2\cdot 0-2\right)·e^{-3t\cdot 0}$ = $-2+6t$ = $6t-2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $4$x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $6t-2$ soll gleich $4$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $6t-2$ = $4$ nach t auf.

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.