$\text{f(x)}=$ $-2x^3·e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2·e^{2x-5}-2x^3·e^{2x-5}·2$

= $-6x^2·e^{2x-5}-2x^3·2e^{2x-5}$

= $-6x^2·e^{2x-5}-4x^3·e^{2x-5}$

= $e^{2x-5}·\left(-6x^2-4x^3\right)$

= $e^{2x-5}·\left(-4x^3-6x^2\right)$

= $\left(-4x^3-6x^2\right)·e^{2x-5}$

= $-2x^2{e}^{2x-5}\left(2x+3\right)$

$\text{f(x)}=$ $2t{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $8t{x}^3$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x-3\right)·e^{3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{3tx}+\left(-2x-3\right)·e^{3tx}·3t$

= $-2e^{3tx}+\left(-2x-3\right)·3t{e}^{3tx}$

= $-2e^{3tx}+3t\left(-2x-3\right)·e^{3tx}$

= $e^{3tx}·\left(-6tx-9t-2\right)$

= $e^{3tx}·\left(-6tx+\left(-9t-2\right)\right)$

= $\left(-6tx+\left(-9t-2\right)\right)·e^{3tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$)= $-2e^{3t\cdot 0}+3t·\left(-2\cdot 0-3\right)·e^{3t\cdot 0}$= $-9t-2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-20$x-2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $-9t-2$ soll gleich $-20$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-9t-2$ = $-20$ nach t auf.

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-2e^{tx+2t}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{tx+2t}·t$

= $-2t{e}^{tx+2t}$

In diese Ableitung setzen wir x=$-2$ ein:

f'($-2$) = $-2t{e}^{t\cdot \left(-2\right)+2t}$ = $-2t{e}^{-2t+2t}$ = $-2t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-2$x+1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-2$)= $-2t$ soll gleich $-2$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $-2t$ = $-2$ nach t auf.

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.