$\text{f(x)}=$ $2e^{x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x-2}·1$

= $2e^{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-x^3·e^{-2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2·e^{-2tx}-x^3·e^{-2tx}·\left(-2t\right)$

= $-3x^2·e^{-2tx}-x^3·\left(-2t{e}^{-2tx}\right)$

= $-3x^2·e^{-2tx}+2t{x}^3·e^{-2tx}$

= $e^{-2tx}·\left(-3x^2+2t{x}^3\right)$

= $e^{-2tx}·\left(2t{x}^3-3x^2\right)$

= $\left(2t{x}^3-3x^2\right)·e^{-2tx}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $2x^2+2tx$

$\text{f'(x)}=$ $4x+2t$

In diese Ableitung setzen wir x=$2$ ein:

f'($2$)= $4\cdot 2+2t$= $2t+8$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{34}{3}$x-9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($2$)= $2t+8$ soll gleich $\frac{34}{3}$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $2t+8$ = $\frac{34}{3}$ nach t auf.

Für t= $\frac{5}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-5\right)·e^{-3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-3tx}+\left(-x-5\right)·e^{-3tx}·\left(-3t\right)$

= $-e^{-3tx}+\left(-x-5\right)·\left(-3t{e}^{-3tx}\right)$

= $-e^{-3tx}-3t\left(-x-5\right)·e^{-3tx}$

= $e^{-3tx}·\left(3tx+15t-1\right)$

= $e^{-3tx}·\left(3tx+15t-1\right)$

= $\left(3tx+15t-1\right)·e^{-3tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $-e^{-3t\cdot 0}-3t·\left(-0-5\right)·e^{-3t\cdot 0}$ = $-1+15t$ = $15t-1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $44$x-2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $15t-1$ soll gleich $44$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $15t-1$ = $44$ nach t auf.

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.