$\text{f(x)}=$ $t{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $t{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3t{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2x·e^{2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $2·e^{2tx}+2x·e^{2tx}·2t$

= $2e^{2tx}+2x·2t{e}^{2tx}$

= $2e^{2tx}+4tx·e^{2tx}$

= $e^{2tx}·\left(4tx+2\right)$

= $\left(4tx+2\right)·e^{2tx}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $2t{x}^2+5x$

$\text{f'(x)}=$ $4tx+5$

In diese Ableitung setzen wir x=$1$ ein:

f'($1$)= $4t\cdot 1+5$= $4t+5$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $13$x+7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($1$)= $4t+5$ soll gleich $13$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $4t+5$ = $13$ nach t auf.

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x+3\right)·e^{tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{tx}+\left(-2x+3\right)·e^{tx}·t$

= $-2e^{tx}+\left(-2x+3\right)·t{e}^{tx}$

= $-2e^{tx}+t\left(-2x+3\right)·e^{tx}$

= $e^{tx}·\left(-2tx+3t-2\right)$

= $e^{tx}·\left(-2tx+3t-2\right)$

= $\left(-2tx+3t-2\right)·e^{tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $-2e^{t\cdot 0}+t·\left(-2\cdot 0+3\right)·e^{t\cdot 0}$ = $-2+3t$ = $3t-2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $1$x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $3t-2$ soll gleich $1$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $3t-2$ = $1$ nach t auf.

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.