$\text{f(x)}=$ $2x^3·e^{tx}$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2·e^{tx}+2x^3·e^{tx}·t$

= $6x^2·e^{tx}+2x^3·t{e}^{tx}$

= $6x^2·e^{tx}+2t{x}^3·e^{tx}$

= $e^{tx}·\left(6x^2+2t{x}^3\right)$

= $e^{tx}·\left(2t{x}^3+6x^2\right)$

= $\left(2t{x}^3+6x^2\right)·e^{tx}$

= $2x^2{e}^{tx}\left(tx+3\right)$

$\text{f(x)}=$ $-t{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2tx$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-4\right)·e^{-tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-tx}+\left(-x-4\right)·e^{-tx}·\left(-t\right)$

= $-e^{-tx}+\left(-x-4\right)·\left(-t{e}^{-tx}\right)$

= $-e^{-tx}-t\left(-x-4\right)·e^{-tx}$

= $e^{-tx}·\left(tx+4t-1\right)$

= $e^{-tx}·\left(tx+4t-1\right)$

= $\left(tx+4t-1\right)·e^{-tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$)= $-e^{-t\cdot 0}-t·\left(-0-4\right)·e^{-t\cdot 0}$= $4t-1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $11$x+5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $4t-1$ soll gleich $11$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $4t-1$ = $11$ nach t auf.

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·e^{3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3tx}+\left(x+4\right)·e^{3tx}·3t$

= $e^{3tx}+\left(x+4\right)·3t{e}^{3tx}$

= $e^{3tx}+3t\left(x+4\right)·e^{3tx}$

= $e^{3tx}·\left(3tx+12t+1\right)$

= $e^{3tx}·\left(3tx+12t+1\right)$

= $\left(3tx+12t+1\right)·e^{3tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $e^{3t\cdot 0}+3t·\left(0+4\right)·e^{3t\cdot 0}$ = $1+12t$ = $12t+1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $25$x-2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $12t+1$ soll gleich $25$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $12t+1$ = $25$ nach t auf.

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.