Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit Parameter

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $x \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $1 \cdot e^{2 x - 1} + x \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $e^{2 x - 1} + x \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} + 2 x \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (2 x + 1)$

= $(2 x + 1) \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} (2 x + 1)$

Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- x \cdot e^{3 t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x \cdot e^{3 t x}$

$f'(x) =$ $- 1 \cdot e^{3 t x} - x \cdot e^{3 t x} \cdot 3 t$

= $- e^{3 t x} - x \cdot 3 t e^{3 t x}$

= $- e^{3 t x} - 3 t x \cdot e^{3 t x}$

= $e^{3 t x} \cdot (- 3 t x - 1)$

= $(- 3 t x - 1) \cdot e^{3 t x}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $t e^{x + 1} - 3 x$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $- x - 2$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $t e^{x + 1} - 3 x$

$f'(x) =$ $t e^{x + 1} \cdot 1 - 3$

= $t e^{x + 1} - 3$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ )= $t e^{- 1 + 1} - 3$ = $t - 3$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 1$ x-2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $t - 3$ soll gleich $- 1$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $t - 3$ = $- 1$ nach t auf.

$t - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$t$	=	$2$

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 t^{2} x + 2 t$ im Punkt B( $- 3$ |f( $- 3$ )) parallel zur Gerade y= $- 27 x - 3$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 t^{2} x + 2 t$

$f'(x) =$ $- 3 t^{2} + 0$

= $- 3 t^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 3$ ein:

f'( $- 3$ ) = $- 3 t^{2}$ = $- 3 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 27$ x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 3$ )= $- 3 t^{2}$ soll gleich $- 27$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 3 t^{2}$ = $- 27$ nach t auf.

$- 3 t^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$t^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
t₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Für t= $- 3$ und t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.