$\text{f(x)}=$ $3e^{tx-2t}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{tx-2t}·t$

= $3t{e}^{tx-2t}$

$\text{f(x)}=$ $-4e^{t{x}^3}$

$\text{f'(x)}=$ $-4e^{t{x}^3}·3t{x}^2$

= $-12t·e^{t{x}^3}{x}^2$

= $-12t{x}^2{e}^{t{x}^3}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x-4\right)·e^{-3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{-3tx}+\left(-2x-4\right)·e^{-3tx}·\left(-3t\right)$

= $-2e^{-3tx}+\left(-2x-4\right)·\left(-3t{e}^{-3tx}\right)$

= $-2e^{-3tx}-3t\left(-2x-4\right)·e^{-3tx}$

= $e^{-3tx}·\left(-2+6tx+12t\right)$

= $e^{-3tx}·\left(6tx+12t-2\right)$

= $\left(6tx+12t-2\right)·e^{-3tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$)= $-2e^{-3t\cdot 0}-3t·\left(-2\cdot 0-4\right)·e^{-3t\cdot 0}$= $12t-2$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'($0$)= $12t-2$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $12t-2$ = 0 nach t auf.

Für t= $\frac{1}{6}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-t{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2tx$

In diese Ableitung setzen wir x=$-2$ ein:

f'($-2$) = $-2t\cdot \left(-2\right)$ = $4t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $12$x+2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-2$)= $4t$ soll gleich $12$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $4t$ = $12$ nach t auf.

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.