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Aufgabenbeispiele von mit Parameter

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Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $e^{- 2 t x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 t x + 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 t x + 3} \cdot (- 2 t)$

= $- 2 t e^{- 2 t x + 3}$

Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 t x^{2}$

$f'(x) =$ $6 t x$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welches t hat der Graph von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 e^{2 t x - 4 t} + 6 x$ an der Stelle x = $2$ eine waagrechte Tangente

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 e^{2 t x - 4 t} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 t x - 4 t} \cdot 2 t + 6$

= $- 6 t e^{2 t x - 4 t} + 6$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ )= $- 6 t e^{2 t \cdot 2 - 4 t} + 6$ = $- 6 t + 6$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'( $2$ )= $- 6 t + 6$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 6 t + 6$ = 0 nach t auf.

$- 6 t + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 6 t$	=	$- 6$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(- x - 3) \cdot e^{- 2 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $9 x + 1$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(- x - 3) \cdot e^{- 2 t x}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- 2 t x} + (- x - 3) \cdot e^{- 2 t x} \cdot (- 2 t)$

= $- e^{- 2 t x} + (- x - 3) \cdot (- 2 t e^{- 2 t x})$

= $- e^{- 2 t x} - 2 t (- x - 3) \cdot e^{- 2 t x}$

= $e^{- 2 t x} \cdot (- 1 + 2 t x + 6 t)$

= $e^{- 2 t x} \cdot (2 t x + 6 t - 1)$

= $(2 t x + 6 t - 1) \cdot e^{- 2 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ ) = $- e^{- 2 t \cdot 0} - 2 t \cdot (- 0 - 3) \cdot e^{- 2 t \cdot 0}$ = $- 1 + 6 t$ = $6 t - 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $9$ x+1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $6 t - 1$ soll gleich $9$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $6 t - 1$ = $9$ nach t auf.

$6 t - 1$	=	$9$	\| $+ 1$
$6 t$	=	$10$	\|: $6$
$t$	=	$\frac{5}{3}$

Für t= $\frac{5}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.