Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 158 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

158 = 128 + 30
= 128 + 16 + 14
= 128 + 16 + 8 + 6
= 128 + 16 + 8 + 4 + 2

= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 158 = (1001.1110)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(11.0001)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32= 49

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (11.0001)₂ = 49

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 42 als auch 84 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 42 als auch 84 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 7(die 7 kommt sowohl in 42 als auch 84 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 42 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 42 und 84 ist somit :
ggT(42,84) = 42

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 40 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 45 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 40 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 360 sind nun alle Primteiler von 40 und alle Primteiler von 45 enthalten. Also ist 360 ein Vielfaches von 40 und 45. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 40 oder 45 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 40 und 45 ist somit :
kgV(40,45) = 360

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 205 und 205

also gilt: ggt(205,205)=205

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 101 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

101 = 64 + 37
= 64 + 32 + 5
= 64 + 32 + 4 + 1

= 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 101 = (110.0101)₂

Um die Zahl 101 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 101 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(110)₂ = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)₁₆

(0101)₂ = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 5 = (5)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (110.0101)₂ = (65)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 42. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 42 ist, teilen wir 42 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 42 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 42, denn 42 = 1 ⋅ 42, also ist auch 42 ein Teiler.

2 ist Teiler von 42, denn 42 = 2 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.

3 ist Teiler von 42, denn 42 = 3 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 4 ⋅ 10 + 2.

5 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 5 ⋅ 8 + 2.

6 ist Teiler von 42, denn 42 = 6 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 7 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 42:
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.

Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 908, für die Quersumme gilt dann: 9 + 0 + 8 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 928, für die Quersumme gilt dann: 9 + 2 + 8 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 948, für die Quersumme gilt dann: 9 + 4 + 8 = 21, also durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 968, für die Quersumme gilt dann: 9 + 6 + 8 = 23, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 988, für die Quersumme gilt dann: 9 + 8 + 8 = 25, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 58 bilden:

2 + 56 = 58, dabei ist 56 aber keine Primzahl

3 + 55 = 58, dabei ist 55 aber keine Primzahl

5 + 53 = 58, dabei ist 53 auch eine Primzahl

5 und 53 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 53 = 58

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 72 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

72
= 2 ⋅ 36
= 2 ⋅ 2 ⋅ 18
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3