Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 253 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 253 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
253 = 128 + 125 = 128 + 64 + 61 = 128 + 64 + 32 + 29 = 128 + 64 + 32 + 16 + 13 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 5 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1
= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 253 = (1111.1101)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1100)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8= 12
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100)2 = 12
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 150 und 44.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
150
= 2 ⋅ 75
= 2 ⋅ 3 ⋅ 25
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5
44
= 2 ⋅ 22
= 2 ⋅ 2 ⋅ 11
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
2(die 2 kommt sowohl in 150 als auch 44 insgesamt 1 mal vor)
Da 2 = 2 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 2 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 150 und 44 ist somit :
ggT(150,44) = 2
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 70 und 28.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
70
= 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 5 ⋅ 7
28
= 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 7
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2 ⋅ 2(die 2 kommt in 28 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 5(die 5 kommt in 70 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 70 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 140 sind nun alle Primteiler von 70 und alle Primteiler von 28 enthalten. Also ist 140 ein Vielfaches von 70 und 28. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 70 oder 28 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 70 und 28 ist somit :
kgV(70,28) = 140
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 62 und 82.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 62 und 82
| =>62 | = 0⋅82 + 62 |
| =>82 | = 1⋅62 + 20 |
| =>62 | = 3⋅20 + 2 |
| =>20 | = 10⋅2 + 0 |
also gilt: ggt(62,82)=2
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1101.0011)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1101.0011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 211
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1101.0011)2 = 211
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1101)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 13 = (D)16
(0011)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 3 = (3)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1101.0011)2 = (D3)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Gib alle Teiler von 25 an:
Wir suchen alle Teiler von 25. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 25 ist, teilen wir 25 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 25 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 25, denn 25 = 1 ⋅ 25, also ist auch 25 ein Teiler.
2 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 2 ⋅ 12 + 1.
3 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 3 ⋅ 8 + 1.
4 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 4 ⋅ 6 + 1.
5 ist Teiler von 25, denn 25 = 5 ⋅ 5, also ist auch 5 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6
= 36 > 25, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 25:
1, 5, 25
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 121⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 1⬜.
Bei den 10er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 12, 16 durch 4 teilbar sind.
2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 1212, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 1 + 2 = 6, also durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 1216, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 1 + 6 = 10, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 2.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 10 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 10 bilden:
2 + 8 = 10, dabei ist 8 aber keine Primzahl
3 + 7 = 10, dabei ist 7 auch eine Primzahl
3 und 7 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 7 = 10
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 66 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 66 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
66
= 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 3 ⋅ 11
