Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 133 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 133 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
133 = 128 + 5 = 128 + 4 + 1
= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 133 = (1000.0101)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1000.1111)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1000.1111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 143
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1000.1111)2 = 143
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 77 und 165.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
77
= 7 ⋅ 11
165
= 3 ⋅ 55
= 3 ⋅ 5 ⋅ 11
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
11(die 11 kommt sowohl in 77 als auch 165 insgesamt 1 mal vor)
Da 11 = 11 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 11 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 77 und 165 ist somit :
ggT(77,165) = 11
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 30 und 42.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
30
= 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5
42
= 2 ⋅ 21
= 2 ⋅ 3 ⋅ 7
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2(die 2 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 3(die 3 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210 sind nun alle Primteiler von 30 und alle Primteiler von 42 enthalten. Also ist 210 ein Vielfaches von 30 und 42. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 30 oder 42 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 30 und 42 ist somit :
kgV(30,42) = 210
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 140 und 116.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 140 und 116
| =>140 | = 1⋅116 + 24 |
| =>116 | = 4⋅24 + 20 |
| =>24 | = 1⋅20 + 4 |
| =>20 | = 5⋅4 + 0 |
also gilt: ggt(140,116)=4
Binär und Hexdezimal aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 208 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 208 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
208 = 128 + 80 = 128 + 64 + 16
= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 208 = (1101.0000)2
Um die Zahl 208 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:
Theoretisch könnte man 208 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.
Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1101)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 13 = (D)16
(0000)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0 = (0)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1101.0000)2 = (D0)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 84 an:
Wir suchen alle Teiler von 84. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 84 ist, teilen wir 84 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 84 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 84, denn 84 = 1 ⋅ 84, also ist auch 84 ein Teiler.
2 ist Teiler von 84, denn 84 = 2 ⋅ 42, also ist auch 42 ein Teiler.
3 ist Teiler von 84, denn 84 = 3 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.
4 ist Teiler von 84, denn 84 = 4 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.
5 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 5 ⋅ 16 + 4.
6 ist Teiler von 84, denn 84 = 6 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.
7 ist Teiler von 84, denn 84 = 7 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.
8 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 8 ⋅ 10 + 4.
9 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 9 ⋅ 9 + 3.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 10 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 10 ⋅ 10
= 100 > 84, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 84:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 4⬜0 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜0.
Da an der letzten Stelle eine 0 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 00, 20, 40, 60, 80 durch 4 teilbar sind).
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
0: Dann wäre die Zahl 400, für die Quersumme gilt dann: 4 + 0 + 0 = 4, also nicht durch 3 teilbar.
2: Dann wäre die Zahl 420, für die Quersumme gilt dann: 4 + 2 + 0 = 6, also durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 440, für die Quersumme gilt dann: 4 + 4 + 0 = 8, also nicht durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 460, für die Quersumme gilt dann: 4 + 6 + 0 = 10, also nicht durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 480, für die Quersumme gilt dann: 4 + 8 + 0 = 12, also durch 3 teilbar.
Die möglichen Ziffern sind also 2 und 8.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 21 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 21 bilden:
2 + 19 = 21, dabei ist 19 auch eine Primzahl
2 und 19 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 19 = 21
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 112 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 112 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
112
= 2 ⋅ 56
= 2 ⋅ 2 ⋅ 28
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7
