Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 43 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 43 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
43 = 32 + 11 = 32 + 8 + 3 = 32 + 8 + 2 + 1
= 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 43 = (10.1011)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1.0001.1011)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1.0001.1011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 283
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.1011)2 = 283
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 90 und 77.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
90
= 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
77
= 7 ⋅ 11
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
Da kein einziger Primfaktor sowohl in 90 als auch in 77 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 90 und 77 ist somit :
ggT(90,77) = 1
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 36 und 20.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
36
= 2 ⋅ 18
= 2 ⋅ 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
20
= 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2 ⋅ 2(die 2 kommt in 36 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 36 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 20 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 180 sind nun alle Primteiler von 36 und alle Primteiler von 20 enthalten. Also ist 180 ein Vielfaches von 36 und 20. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 36 oder 20 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 36 und 20 ist somit :
kgV(36,20) = 180
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 280 und 28.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 280 und 28
| =>280 | = 10⋅28 + 0 |
also gilt: ggt(280,28)=28
Binär und Dezimal aus Hexdezimal
Beispiel:
Gib die Zahl (E2)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.
Als Binärzahl
Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:
(E)16 = 14 = 8 + 4 + 2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (1110)2
(2)16 = 2 = 2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (0010)2
Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (E2)16 = (1110.0010)2
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1110.0010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 226
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110.0010)2 = 226
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Gib alle Teiler von 42 an:
Wir suchen alle Teiler von 42. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 42 ist, teilen wir 42 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 42 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 42, denn 42 = 1 ⋅ 42, also ist auch 42 ein Teiler.
2 ist Teiler von 42, denn 42 = 2 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.
3 ist Teiler von 42, denn 42 = 3 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.
4 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 4 ⋅ 10 + 2.
5 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 5 ⋅ 8 + 2.
6 ist Teiler von 42, denn 42 = 6 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 7 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 42:
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 9⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 9⬜.
Bei den 90er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 92, 96 durch 4 teilbar sind.
2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 92, für die Quersumme gilt dann: 9 + 2 = 11, also nicht durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 96, für die Quersumme gilt dann: 9 + 6 = 15, also durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 6.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 15 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 15 bilden:
2 + 13 = 15, dabei ist 13 auch eine Primzahl
2 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 13 = 15
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 66 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 66 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
66
= 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 3 ⋅ 11
