Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 138 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

138 = 128 + 10
= 128 + 8 + 2

= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 138 = (1000.1010)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1001.1110)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 158

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1001.1110)₂ = 158

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 140 als auch 126 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 7(die 7 kommt sowohl in 140 als auch 126 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 7 = 14 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 14 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 140 und 126 ist somit :
ggT(140,126) = 14

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

3 ⋅ 3(die 3 kommt in 45 insgesamt 2 mal vor)

3 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)

3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)

In 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 315 sind nun alle Primteiler von 35 und alle Primteiler von 45 enthalten. Also ist 315 ein Vielfaches von 35 und 45. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 35 oder 45 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 35 und 45 ist somit :
kgV(35,45) = 315

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 405 und 170

also gilt: ggt(405,170)=5

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1110.0011)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 227

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110.0011)₂ = 227

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1110)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)₁₆

(0011)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 3 = (3)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1110.0011)₂ = (E3)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 40. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 40 ist, teilen wir 40 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 40 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 40, denn 40 = 1 ⋅ 40, also ist auch 40 ein Teiler.

2 ist Teiler von 40, denn 40 = 2 ⋅ 20, also ist auch 20 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 40, denn 40 = 3 ⋅ 13 + 1.

4 ist Teiler von 40, denn 40 = 4 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

5 ist Teiler von 40, denn 40 = 5 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 40, denn 40 = 6 ⋅ 6 + 4.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 7 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 7 ⋅ 7 = 49 > 40, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 40:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜6.

Da an der letzten Stelle eine 6 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 16, 36, 56, 76, 96 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1316, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 1 + 6 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1336, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 3 + 6 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1356, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 5 + 6 = 15, also durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1376, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 7 + 6 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1396, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 9 + 6 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 5.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 5 bilden:

2 + 3 = 5, dabei ist 3 auch eine Primzahl

2 und 3 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 3 = 5

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 77 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

77
= 7 ⋅ 11