Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 163 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 163 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
163 = 128 + 35 = 128 + 32 + 3 = 128 + 32 + 2 + 1
= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 163 = (1010.0011)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1110.0000)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1110.0000)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 224
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110.0000)2 = 224
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 77 und 100.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
77
= 7 ⋅ 11
100
= 2 ⋅ 50
= 2 ⋅ 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
Da kein einziger Primfaktor sowohl in 77 als auch in 100 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 77 und 100 ist somit :
ggT(77,100) = 1
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 28 und 44.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
28
= 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 7
44
= 2 ⋅ 22
= 2 ⋅ 2 ⋅ 11
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2 ⋅ 2(die 2 kommt in 28 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 7(die 7 kommt in 28 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 44 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 11 = 308 sind nun alle Primteiler von 28 und alle Primteiler von 44 enthalten. Also ist 308 ein Vielfaches von 28 und 44. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 28 oder 44 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 28 und 44 ist somit :
kgV(28,44) = 308
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 148 und 100.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 148 und 100
| =>148 | = 1⋅100 + 48 |
| =>100 | = 2⋅48 + 4 |
| =>48 | = 12⋅4 + 0 |
also gilt: ggt(148,100)=4
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (101)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(101)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4= 5
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (101)2 = 5
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(101)2 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 5 = (5)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (101)2 = (5)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 20 an:
Wir suchen alle Teiler von 20. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 20 ist, teilen wir 20 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 20 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 20, denn 20 = 1 ⋅ 20, also ist auch 20 ein Teiler.
2 ist Teiler von 20, denn 20 = 2 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.
3 ist kein Teiler von 20, denn 20 = 3 ⋅ 6 + 2.
4 ist Teiler von 20, denn 20 = 4 ⋅ 5, also ist auch 5 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 5 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 20:
1, 2, 4, 5, 10, 20
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 67⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 7⬜.
Bei den 70er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 72, 76 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 672, für die Quersumme gilt dann: 6 + 7 + 2 = 15, also durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 676, für die Quersumme gilt dann: 6 + 7 + 6 = 19, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 2.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 44 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 44 bilden:
2 + 42 = 44, dabei ist 42 aber keine Primzahl
3 + 41 = 44, dabei ist 41 auch eine Primzahl
3 und 41 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 41 = 44
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 160 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 160 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
160
= 2 ⋅ 80
= 2 ⋅ 2 ⋅ 40
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5
