Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 89 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 89 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
89 = 64 + 25 = 64 + 16 + 9 = 64 + 16 + 8 + 1
= 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 89 = (101.1001)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1101.0011)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1101.0011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 211
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1101.0011)2 = 211
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 60 und 110.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
60
= 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
110
= 2 ⋅ 55
= 2 ⋅ 5 ⋅ 11
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
2(die 2 kommt sowohl in 60 als auch 110 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 60 als auch 110 insgesamt 1 mal vor)
Da 2 ⋅ 5 = 10 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 10 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 60 und 110 ist somit :
ggT(60,110) = 10
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 33 und 20.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
33
= 3 ⋅ 11
20
= 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2 ⋅ 2(die 2 kommt in 20 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 33 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 20 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11(die 11 kommt in 33 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 660 sind nun alle Primteiler von 33 und alle Primteiler von 20 enthalten. Also ist 660 ein Vielfaches von 33 und 20. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 33 oder 20 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 33 und 20 ist somit :
kgV(33,20) = 660
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 98 und 36.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 98 und 36
| =>98 | = 2⋅36 + 26 |
| =>36 | = 1⋅26 + 10 |
| =>26 | = 2⋅10 + 6 |
| =>10 | = 1⋅6 + 4 |
| =>6 | = 1⋅4 + 2 |
| =>4 | = 2⋅2 + 0 |
also gilt: ggt(98,36)=2
Binär und Hexdezimal aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 300 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 300 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
300 = 256 + 44 = 256 + 32 + 12 = 256 + 32 + 8 + 4
= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 300 = (1.0010.1100)2
Um die Zahl 300 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:
Theoretisch könnte man 300 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.
Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16
(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16
(1100)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0010.1100)2 = (12C)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 72 an:
Wir suchen alle Teiler von 72. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 72 ist, teilen wir 72 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 72 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 72, denn 72 = 1 ⋅ 72, also ist auch 72 ein Teiler.
2 ist Teiler von 72, denn 72 = 2 ⋅ 36, also ist auch 36 ein Teiler.
3 ist Teiler von 72, denn 72 = 3 ⋅ 24, also ist auch 24 ein Teiler.
4 ist Teiler von 72, denn 72 = 4 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.
5 ist kein Teiler von 72, denn 72 = 5 ⋅ 14 + 2.
6 ist Teiler von 72, denn 72 = 6 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.
7 ist kein Teiler von 72, denn 72 = 7 ⋅ 10 + 2.
8 ist Teiler von 72, denn 72 = 8 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 9 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 72:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 156⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 6⬜.
Bei den 60er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 60, 64, 68 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
0: Dann wäre die Zahl 1560, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 6 + 0 = 12, also durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 1564, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 6 + 4 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 1568, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 6 + 8 = 20, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 0.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 18 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 18 bilden:
2 + 16 = 18, dabei ist 16 aber keine Primzahl
3 + 15 = 18, dabei ist 15 aber keine Primzahl
5 + 13 = 18, dabei ist 13 auch eine Primzahl
5 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 13 = 18
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 54 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 54 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
54
= 2 ⋅ 27
= 2 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
