Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 267 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

267 = 256 + 11
= 256 + 8 + 3
= 256 + 8 + 2 + 1

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 267 = (1.0000.1011)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1110.1101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 237

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110.1101)₂ = 237

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 150 als auch 90 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 150 als auch 90 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 150 als auch 90 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 30 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 150 und 90 ist somit :
ggT(150,90) = 30

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt in 54 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 54 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1890 sind nun alle Primteiler von 35 und alle Primteiler von 54 enthalten. Also ist 1890 ein Vielfaches von 35 und 54. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 35 oder 54 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 35 und 54 ist somit :
kgV(35,54) = 1890

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 75 und 43

also gilt: ggt(75,43)=1

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 151 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

151 = 128 + 23
= 128 + 16 + 7
= 128 + 16 + 4 + 3
= 128 + 16 + 4 + 2 + 1

= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 151 = (1001.0111)₂

Um die Zahl 151 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 151 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1001)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9 = (9)₁₆

(0111)₂ = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 7 = (7)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1001.0111)₂ = (97)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 48. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 48 ist, teilen wir 48 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 48 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 48, denn 48 = 1 ⋅ 48, also ist auch 48 ein Teiler.

2 ist Teiler von 48, denn 48 = 2 ⋅ 24, also ist auch 24 ein Teiler.

3 ist Teiler von 48, denn 48 = 3 ⋅ 16, also ist auch 16 ein Teiler.

4 ist Teiler von 48, denn 48 = 4 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 48, denn 48 = 5 ⋅ 9 + 3.

6 ist Teiler von 48, denn 48 = 6 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 7 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 7 ⋅ 7 = 49 > 48, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 48:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜6.

Da an der letzten Stelle eine 6 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 16, 36, 56, 76, 96 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1616, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 1 + 6 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1636, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 3 + 6 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1656, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 5 + 6 = 18, also durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1676, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 7 + 6 = 20, also nicht durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1696, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 9 + 6 = 22, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 5.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 42 bilden:

2 + 40 = 42, dabei ist 40 aber keine Primzahl

3 + 39 = 42, dabei ist 39 aber keine Primzahl

5 + 37 = 42, dabei ist 37 auch eine Primzahl

5 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 37 = 42

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 99 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

99
= 3 ⋅ 33
= 3 ⋅ 3 ⋅ 11