Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 219 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

219 = 128 + 91
= 128 + 64 + 27
= 128 + 64 + 16 + 11
= 128 + 64 + 16 + 8 + 3
= 128 + 64 + 16 + 8 + 2 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 219 = (1101.1011)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1000.0010)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 130

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1000.0010)₂ = 130

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 120 als auch 66 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 120 als auch 66 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 3 = 6 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 6 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 120 und 66 ist somit :
ggT(120,66) = 6

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

5(die 5 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)

5 ⋅ 7(die 7 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)

5 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)

In 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 385 sind nun alle Primteiler von 77 und alle Primteiler von 35 enthalten. Also ist 385 ein Vielfaches von 77 und 35. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 77 oder 35 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 77 und 35 ist somit :
kgV(77,35) = 385

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 117 und 30

also gilt: ggt(117,30)=3

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(101.1110)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 94

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (101.1110)₂ = 94

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(101)₂ = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 5 = (5)₁₆

(1110)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (101.1110)₂ = (5E)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 18. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 18 ist, teilen wir 18 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 18 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 18, denn 18 = 1 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.

2 ist Teiler von 18, denn 18 = 2 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

3 ist Teiler von 18, denn 18 = 3 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 18, denn 18 = 4 ⋅ 4 + 2.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 5 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 5 ⋅ 5 = 25 > 18, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 18:
1, 2, 3, 6, 9, 18

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 3⬜.

Bei den 30er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 32, 36 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

2: Dann wäre die Zahl 732, für die Quersumme gilt dann: 7 + 3 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 736, für die Quersumme gilt dann: 7 + 3 + 6 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 2.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 36 bilden:

2 + 34 = 36, dabei ist 34 aber keine Primzahl

3 + 33 = 36, dabei ist 33 aber keine Primzahl

5 + 31 = 36, dabei ist 31 auch eine Primzahl

5 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 31 = 36

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 132 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

132
= 2 ⋅ 66
= 2 ⋅ 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 11