Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 84 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 84 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
84 = 64 + 20 = 64 + 16 + 4
= 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 84 = (101.0100)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1001.0111)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1001.0111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 151
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1001.0111)2 = 151
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 162 und 45.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
162
= 2 ⋅ 81
= 2 ⋅ 3 ⋅ 27
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
45
= 3 ⋅ 15
= 3 ⋅ 3 ⋅ 5
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
3 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 162 als auch 45 insgesamt 2 mal vor)
Da 3 ⋅ 3 = 9 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 9 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 162 und 45 ist somit :
ggT(162,45) = 9
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 33.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
18
= 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3
33
= 3 ⋅ 11
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2(die 2 kommt in 18 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 18 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 11(die 11 kommt in 33 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 11 = 198 sind nun alle Primteiler von 18 und alle Primteiler von 33 enthalten. Also ist 198 ein Vielfaches von 18 und 33. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 18 oder 33 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 33 ist somit :
kgV(18,33) = 198
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 260 und 140.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 260 und 140
| =>260 | = 1⋅140 + 120 |
| =>140 | = 1⋅120 + 20 |
| =>120 | = 6⋅20 + 0 |
also gilt: ggt(260,140)=20
Binär und Hexdezimal aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 12 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 12 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
12 = 8 + 4
= 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 12 = (1100)2
Um die Zahl 12 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:
Theoretisch könnte man 12 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.
Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1100)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1100)2 = (C)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 30 an:
Wir suchen alle Teiler von 30. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 30 ist, teilen wir 30 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 30 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 30, denn 30 = 1 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.
2 ist Teiler von 30, denn 30 = 2 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.
3 ist Teiler von 30, denn 30 = 3 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.
4 ist kein Teiler von 30, denn 30 = 4 ⋅ 7 + 2.
5 ist Teiler von 30, denn 30 = 5 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 6 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 30:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 27⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 7⬜.
Bei den 70er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 72, 76 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 272, für die Quersumme gilt dann: 2 + 7 + 2 = 11, also nicht durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 276, für die Quersumme gilt dann: 2 + 7 + 6 = 15, also durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 6.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 20 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 20 bilden:
2 + 18 = 20, dabei ist 18 aber keine Primzahl
3 + 17 = 20, dabei ist 17 auch eine Primzahl
3 und 17 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 17 = 20
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 33 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 33 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
33
= 3 ⋅ 11
