Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 80 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

80 = 64 + 16

= 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 80 = (101.0000)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1111.1000)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 248

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1111.1000)₂ = 248

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

11(die 11 kommt sowohl in 165 als auch 154 insgesamt 1 mal vor)

Da 11 = 11 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 11 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 165 und 154 ist somit :
ggT(165,154) = 11

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

3(die 3 kommt in 15 insgesamt 1 mal vor)

3 ⋅ 5(die 5 kommt in 15 insgesamt 1 mal vor)

3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)

In 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 sind nun alle Primteiler von 15 und alle Primteiler von 35 enthalten. Also ist 105 ein Vielfaches von 15 und 35. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 15 oder 35 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 15 und 35 ist somit :
kgV(15,35) = 105

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 177 und 21

also gilt: ggt(177,21)=3

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(7)₁₆ = 7 = 4 + 2 + 1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (111)₂

(A)₁₆ = 10 = 8 + 2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (1010)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (7A)₁₆ = (111.1010)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.1010)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 122

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.1010)₂ = 122

Wir suchen alle Teiler von 28. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 28 ist, teilen wir 28 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 28 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 28, denn 28 = 1 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.

2 ist Teiler von 28, denn 28 = 2 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 28, denn 28 = 3 ⋅ 9 + 1.

4 ist Teiler von 28, denn 28 = 4 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 28, denn 28 = 5 ⋅ 5 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6 = 36 > 28, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 28:
1, 2, 4, 7, 14, 28

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 8⬜.

Bei den 80er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 80, 84, 88 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1280, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 8 + 0 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1284, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 8 + 4 = 15, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1288, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 8 + 8 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 42 bilden:

2 + 40 = 42, dabei ist 40 aber keine Primzahl

3 + 39 = 42, dabei ist 39 aber keine Primzahl

5 + 37 = 42, dabei ist 37 auch eine Primzahl

5 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 37 = 42

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 40 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

40
= 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5