Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 233 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

233 = 128 + 105
= 128 + 64 + 41
= 128 + 64 + 32 + 9
= 128 + 64 + 32 + 8 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 233 = (1110.1001)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(110.0100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 100

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (110.0100)₂ = 100

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt sowohl in 180 als auch 60 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 180 als auch 60 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 180 als auch 60 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 60 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 180 und 60 ist somit :
ggT(180,60) = 60

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 24 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 24 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7(die 7 kommt in 14 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168 sind nun alle Primteiler von 14 und alle Primteiler von 24 enthalten. Also ist 168 ein Vielfaches von 14 und 24. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 14 oder 24 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 14 und 24 ist somit :
kgV(14,24) = 168

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 78 und 78

=>78	= 1⋅78 + 0

also gilt: ggt(78,78)=78

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(3)₁₆ = 3 = 2 + 1 = 1⋅2 + 1⋅1 = (11)₂

(4)₁₆ = 4 = 4 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (0100)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (34)₁₆ = (11.0100)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(11.0100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32= 52

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (11.0100)₂ = 52

Wir suchen alle Teiler von 72. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 72 ist, teilen wir 72 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 72 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 72, denn 72 = 1 ⋅ 72, also ist auch 72 ein Teiler.

2 ist Teiler von 72, denn 72 = 2 ⋅ 36, also ist auch 36 ein Teiler.

3 ist Teiler von 72, denn 72 = 3 ⋅ 24, also ist auch 24 ein Teiler.

4 ist Teiler von 72, denn 72 = 4 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 72, denn 72 = 5 ⋅ 14 + 2.

6 ist Teiler von 72, denn 72 = 6 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

7 ist kein Teiler von 72, denn 72 = 7 ⋅ 10 + 2.

8 ist Teiler von 72, denn 72 = 8 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 9 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 72:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 0⬜.

Bei den 00er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 00, 04, 08 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1700, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 0 + 0 = 8, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1704, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 0 + 4 = 12, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1708, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 0 + 8 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 25 bilden:

2 + 23 = 25, dabei ist 23 auch eine Primzahl

2 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 23 = 25

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 66 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

66
= 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 3 ⋅ 11