Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 247 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

247 = 128 + 119
= 128 + 64 + 55
= 128 + 64 + 32 + 23
= 128 + 64 + 32 + 16 + 7
= 128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 3
= 128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 247 = (1111.0111)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1100.1111)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 207

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100.1111)₂ = 207

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

3(die 3 kommt sowohl in 150 als auch 105 insgesamt 1 mal vor)

3 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 150 als auch 105 insgesamt 1 mal vor)

Da 3 ⋅ 5 = 15 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 15 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 150 und 105 ist somit :
ggT(150,105) = 15

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 48 insgesamt 4 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 48 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 240 sind nun alle Primteiler von 48 und alle Primteiler von 30 enthalten. Also ist 240 ein Vielfaches von 48 und 30. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 48 oder 30 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 48 und 30 ist somit :
kgV(48,30) = 240

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 165 und 144

also gilt: ggt(165,144)=3

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(B)₁₆ = 11 = 8 + 2 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (1011)₂

(4)₁₆ = 4 = 4 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (0100)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (B4)₁₆ = (1011.0100)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1011.0100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 180

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.0100)₂ = 180

Wir suchen alle Teiler von 56. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 56 ist, teilen wir 56 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 56 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 56, denn 56 = 1 ⋅ 56, also ist auch 56 ein Teiler.

2 ist Teiler von 56, denn 56 = 2 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 3 ⋅ 18 + 2.

4 ist Teiler von 56, denn 56 = 4 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 5 ⋅ 11 + 1.

6 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 6 ⋅ 9 + 2.

7 ist Teiler von 56, denn 56 = 7 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 8 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 56:
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.

Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1308, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 0 + 8 = 12, also durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1328, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 2 + 8 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1348, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 4 + 8 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1368, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 6 + 8 = 18, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1388, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 8 + 8 = 20, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 0 und 6.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 13 bilden:

2 + 11 = 13, dabei ist 11 auch eine Primzahl

2 und 11 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 11 = 13

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 108 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

108
= 2 ⋅ 54
= 2 ⋅ 2 ⋅ 27
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3