Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 103 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

103 = 64 + 39
= 64 + 32 + 7
= 64 + 32 + 4 + 3
= 64 + 32 + 4 + 2 + 1

= 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 103 = (110.0111)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1111.1001)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 249

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1111.1001)₂ = 249

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

5(die 5 kommt sowohl in 40 als auch 105 insgesamt 1 mal vor)

Da 5 = 5 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 5 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 40 und 105 ist somit :
ggT(40,105) = 5

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 48 insgesamt 4 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 48 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 20 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 240 sind nun alle Primteiler von 48 und alle Primteiler von 20 enthalten. Also ist 240 ein Vielfaches von 48 und 20. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 48 oder 20 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 48 und 20 ist somit :
kgV(48,20) = 240

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 220 und 100

also gilt: ggt(220,100)=20

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(1)₁₆ = 1 = 1 = 1⋅1 = (1)₂

(2)₁₆ = 2 = 2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (0010)₂

(6)₁₆ = 6 = 4 + 2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (0110)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (126)₁₆ = (1.0010.0110)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0010.0110)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 294

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0010.0110)₂ = 294

Wir suchen alle Teiler von 48. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 48 ist, teilen wir 48 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 48 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 48, denn 48 = 1 ⋅ 48, also ist auch 48 ein Teiler.

2 ist Teiler von 48, denn 48 = 2 ⋅ 24, also ist auch 24 ein Teiler.

3 ist Teiler von 48, denn 48 = 3 ⋅ 16, also ist auch 16 ein Teiler.

4 ist Teiler von 48, denn 48 = 4 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 48, denn 48 = 5 ⋅ 9 + 3.

6 ist Teiler von 48, denn 48 = 6 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 7 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 7 ⋅ 7 = 49 > 48, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 48:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.

Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1512, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 1 + 2 = 9, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1532, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 3 + 2 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1552, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 5 + 2 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1572, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 7 + 2 = 15, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1592, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 9 + 2 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 1 und 7.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 14 bilden:

2 + 12 = 14, dabei ist 12 aber keine Primzahl

3 + 11 = 14, dabei ist 11 auch eine Primzahl

3 und 11 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 11 = 14

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 120 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5