Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 233 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

233 = 128 + 105
= 128 + 64 + 41
= 128 + 64 + 32 + 9
= 128 + 64 + 32 + 8 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 233 = (1110.1001)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.1110)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 126

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.1110)₂ = 126

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

3 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 135 als auch 180 insgesamt 2 mal vor)

3 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 135 als auch 180 insgesamt 1 mal vor)

Da 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 45 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 45 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 135 und 180 ist somit :
ggT(135,180) = 45

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 40 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5(die 5 kommt in 55 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 11(die 11 kommt in 55 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 11 = 440 sind nun alle Primteiler von 55 und alle Primteiler von 40 enthalten. Also ist 440 ein Vielfaches von 55 und 40. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 55 oder 40 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 55 und 40 ist somit :
kgV(55,40) = 440

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 52 und 124

also gilt: ggt(52,124)=4

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(5)₁₆ = 5 = 4 + 1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (101)₂

(5)₁₆ = 5 = 4 + 1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0101)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (55)₁₆ = (101.0101)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(101.0101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 85

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (101.0101)₂ = 85

Wir suchen alle Teiler von 30. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 30 ist, teilen wir 30 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 30 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 30, denn 30 = 1 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.

2 ist Teiler von 30, denn 30 = 2 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

3 ist Teiler von 30, denn 30 = 3 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 30, denn 30 = 4 ⋅ 7 + 2.

5 ist Teiler von 30, denn 30 = 5 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 6 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 30:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜4.

Da an der letzten Stelle eine 4 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 04, 24, 44, 64, 84 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1604, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 0 + 4 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1624, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 2 + 4 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1644, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 4 + 4 = 15, also durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1664, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 6 + 4 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1684, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 8 + 4 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 28 bilden:

2 + 26 = 28, dabei ist 26 aber keine Primzahl

3 + 25 = 28, dabei ist 25 aber keine Primzahl

5 + 23 = 28, dabei ist 23 auch eine Primzahl

5 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 23 = 28

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 132 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

132
= 2 ⋅ 66
= 2 ⋅ 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 11