Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 114 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 114 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
114 = 64 + 50 = 64 + 32 + 18 = 64 + 32 + 16 + 2
= 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 114 = (111.0010)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (11.0001)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(11.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32= 49
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (11.0001)2 = 49
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 50 und 140.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
50
= 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 5 ⋅ 5
140
= 2 ⋅ 70
= 2 ⋅ 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
2(die 2 kommt sowohl in 50 als auch 140 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 50 als auch 140 insgesamt 1 mal vor)
Da 2 ⋅ 5 = 10 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 10 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 50 und 140 ist somit :
ggT(50,140) = 10
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 30.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
20
= 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5
30
= 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2 ⋅ 2(die 2 kommt in 20 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 20 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 sind nun alle Primteiler von 20 und alle Primteiler von 30 enthalten. Also ist 60 ein Vielfaches von 20 und 30. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 20 oder 30 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 30 ist somit :
kgV(20,30) = 60
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 29 und 42.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 29 und 42
| =>29 | = 0⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(29,42)=1
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1111.1110)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1111.1110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 254
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1111.1110)2 = 254
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1111)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 15 = (F)16
(1110)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1111.1110)2 = (FE)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 30 an:
Wir suchen alle Teiler von 30. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 30 ist, teilen wir 30 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 30 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 30, denn 30 = 1 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.
2 ist Teiler von 30, denn 30 = 2 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.
3 ist Teiler von 30, denn 30 = 3 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.
4 ist kein Teiler von 30, denn 30 = 4 ⋅ 7 + 2.
5 ist Teiler von 30, denn 30 = 5 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 6 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 30:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 28⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 8⬜.
Bei den 80er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 80, 84, 88 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
0: Dann wäre die Zahl 280, für die Quersumme gilt dann: 2 + 8 + 0 = 10, also nicht durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 284, für die Quersumme gilt dann: 2 + 8 + 4 = 14, also nicht durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 288, für die Quersumme gilt dann: 2 + 8 + 8 = 18, also durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 8.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 10 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 10 bilden:
2 + 8 = 10, dabei ist 8 aber keine Primzahl
3 + 7 = 10, dabei ist 7 auch eine Primzahl
3 und 7 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 7 = 10
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 75 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 75 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
75
= 3 ⋅ 25
= 3 ⋅ 5 ⋅ 5
