Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 85 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

85 = 64 + 21
= 64 + 16 + 5
= 64 + 16 + 4 + 1

= 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 85 = (101.0101)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.1101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 125

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.1101)₂ = 125

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 120 als auch 70 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 120 als auch 70 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 5 = 10 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 10 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 120 und 70 ist somit :
ggT(120,70) = 10

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 40 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 60 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 40 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 sind nun alle Primteiler von 40 und alle Primteiler von 60 enthalten. Also ist 120 ein Vielfaches von 40 und 60. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 40 oder 60 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 40 und 60 ist somit :
kgV(40,60) = 120

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 415 und 115

also gilt: ggt(415,115)=5

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0010.1010)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 298

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0010.1010)₂ = 298

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)₂ = 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

(0010)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)₁₆

(1010)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0010.1010)₂ = (12A)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 33. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 33 ist, teilen wir 33 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 33 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 33, denn 33 = 1 ⋅ 33, also ist auch 33 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 33, denn 33 = 2 ⋅ 16 + 1.

3 ist Teiler von 33, denn 33 = 3 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 33, denn 33 = 4 ⋅ 8 + 1.

5 ist kein Teiler von 33, denn 33 = 5 ⋅ 6 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6 = 36 > 33, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 33:
1, 3, 11, 33

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜4.

Da an der letzten Stelle eine 4 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 04, 24, 44, 64, 84 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1504, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 0 + 4 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1524, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 2 + 4 = 12, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1544, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 4 + 4 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1564, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 6 + 4 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1584, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 8 + 4 = 18, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2 und 8.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 36 bilden:

2 + 34 = 36, dabei ist 34 aber keine Primzahl

3 + 33 = 36, dabei ist 33 aber keine Primzahl

5 + 31 = 36, dabei ist 31 auch eine Primzahl

5 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 31 = 36

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 120 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5