Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 158 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 158 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
158 = 128 + 30 = 128 + 16 + 14 = 128 + 16 + 8 + 6 = 128 + 16 + 8 + 4 + 2
= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 158 = (1001.1110)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1000.0110)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1000.0110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 134
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1000.0110)2 = 134
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 135 und 154.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
135
= 3 ⋅ 45
= 3 ⋅ 3 ⋅ 15
= 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
154
= 2 ⋅ 77
= 2 ⋅ 7 ⋅ 11
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
Da kein einziger Primfaktor sowohl in 135 als auch in 154 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 135 und 154 ist somit :
ggT(135,154) = 1
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 35 und 24.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
35
= 5 ⋅ 7
24
= 2 ⋅ 12
= 2 ⋅ 2 ⋅ 6
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 24 insgesamt 3 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 24 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 840 sind nun alle Primteiler von 35 und alle Primteiler von 24 enthalten. Also ist 840 ein Vielfaches von 35 und 24. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 35 oder 24 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 35 und 24 ist somit :
kgV(35,24) = 840
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 400 und 175.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 400 und 175
| =>400 | = 2⋅175 + 50 |
| =>175 | = 3⋅50 + 25 |
| =>50 | = 2⋅25 + 0 |
also gilt: ggt(400,175)=25
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (11.0001)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(11.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32= 49
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (11.0001)2 = 49
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(11)2 = 1⋅2 + 1⋅1 = 3 = (3)16
(0001)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (11.0001)2 = (31)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 90 an:
Wir suchen alle Teiler von 90. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 90 ist, teilen wir 90 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 90 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 90, denn 90 = 1 ⋅ 90, also ist auch 90 ein Teiler.
2 ist Teiler von 90, denn 90 = 2 ⋅ 45, also ist auch 45 ein Teiler.
3 ist Teiler von 90, denn 90 = 3 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.
4 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 4 ⋅ 22 + 2.
5 ist Teiler von 90, denn 90 = 5 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.
6 ist Teiler von 90, denn 90 = 6 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.
7 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 7 ⋅ 12 + 6.
8 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 8 ⋅ 11 + 2.
9 ist Teiler von 90, denn 90 = 9 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 10 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 90:
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 55⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 5⬜.
Bei den 50er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 52, 56 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 552, für die Quersumme gilt dann: 5 + 5 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 556, für die Quersumme gilt dann: 5 + 5 + 6 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 2.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 40 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 40 bilden:
2 + 38 = 40, dabei ist 38 aber keine Primzahl
3 + 37 = 40, dabei ist 37 auch eine Primzahl
3 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 37 = 40
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 77 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 77 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
77
= 7 ⋅ 11
