Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 139 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

139 = 128 + 11
= 128 + 8 + 3
= 128 + 8 + 2 + 1

= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 139 = (1000.1011)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1010.0101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 165

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1010.0101)₂ = 165

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

3(die 3 kommt sowohl in 150 als auch 165 insgesamt 1 mal vor)

3 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 150 als auch 165 insgesamt 1 mal vor)

Da 3 ⋅ 5 = 15 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 15 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 150 und 165 ist somit :
ggT(150,165) = 15

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt in 20 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 sind nun alle Primteiler von 30 und alle Primteiler von 20 enthalten. Also ist 60 ein Vielfaches von 30 und 20. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 30 oder 20 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 30 und 20 ist somit :
kgV(30,20) = 60

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 268 und 108

also gilt: ggt(268,108)=4

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0001.0001)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 273

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.0001)₂ = 273

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)₂ = 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

(0001)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

(0001)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0001.0001)₂ = (111)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 56. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 56 ist, teilen wir 56 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 56 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 56, denn 56 = 1 ⋅ 56, also ist auch 56 ein Teiler.

2 ist Teiler von 56, denn 56 = 2 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 3 ⋅ 18 + 2.

4 ist Teiler von 56, denn 56 = 4 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 5 ⋅ 11 + 1.

6 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 6 ⋅ 9 + 2.

7 ist Teiler von 56, denn 56 = 7 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 8 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 56:
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 0⬜.

Bei den 00er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 00, 04, 08 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 400, für die Quersumme gilt dann: 4 + 0 + 0 = 4, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 404, für die Quersumme gilt dann: 4 + 0 + 4 = 8, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 408, für die Quersumme gilt dann: 4 + 0 + 8 = 12, also durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 8.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 20 bilden:

2 + 18 = 20, dabei ist 18 aber keine Primzahl

3 + 17 = 20, dabei ist 17 auch eine Primzahl

3 und 17 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 17 = 20

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 120 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5