Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 191 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

191 = 128 + 63
= 128 + 32 + 31
= 128 + 32 + 16 + 15
= 128 + 32 + 16 + 8 + 7
= 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 3
= 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 191 = (1011.1111)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(100.0111)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 71

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (100.0111)₂ = 71

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 150 als auch 180 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 150 als auch 180 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 150 als auch 180 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 30 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 150 und 180 ist somit :
ggT(150,180) = 30

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt in 54 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 54 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7(die 7 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 4158 sind nun alle Primteiler von 54 und alle Primteiler von 77 enthalten. Also ist 4158 ein Vielfaches von 54 und 77. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 54 oder 77 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 54 und 77 ist somit :
kgV(54,77) = 4158

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 273 und 129

also gilt: ggt(273,129)=3

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4= 5

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (101)₂ = 5

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(101)₂ = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 5 = (5)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (101)₂ = (5)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 28. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 28 ist, teilen wir 28 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 28 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 28, denn 28 = 1 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.

2 ist Teiler von 28, denn 28 = 2 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 28, denn 28 = 3 ⋅ 9 + 1.

4 ist Teiler von 28, denn 28 = 4 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 28, denn 28 = 5 ⋅ 5 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6 = 36 > 28, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 28:
1, 2, 4, 7, 14, 28

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 9⬜.

Bei den 90er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 92, 96 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

2: Dann wäre die Zahl 392, für die Quersumme gilt dann: 3 + 9 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 396, für die Quersumme gilt dann: 3 + 9 + 6 = 18, also durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 6.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 21 bilden:

2 + 19 = 21, dabei ist 19 auch eine Primzahl

2 und 19 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 19 = 21

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 110 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

110
= 2 ⋅ 55
= 2 ⋅ 5 ⋅ 11