Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 169 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

169 = 128 + 41
= 128 + 32 + 9
= 128 + 32 + 8 + 1

= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 169 = (1010.1001)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1111.1110)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 254

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1111.1110)₂ = 254

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

5(die 5 kommt sowohl in 140 als auch 175 insgesamt 1 mal vor)

5 ⋅ 7(die 7 kommt sowohl in 140 als auch 175 insgesamt 1 mal vor)

Da 5 ⋅ 7 = 35 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 35 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 140 und 175 ist somit :
ggT(140,175) = 35

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt in 28 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 7(die 7 kommt in 28 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 44 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 11 = 308 sind nun alle Primteiler von 28 und alle Primteiler von 44 enthalten. Also ist 308 ein Vielfaches von 28 und 44. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 28 oder 44 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 28 und 44 ist somit :
kgV(28,44) = 308

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 60 und 80

also gilt: ggt(60,80)=20

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(7)₁₆ = 7 = 4 + 2 + 1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (111)₂

(6)₁₆ = 6 = 4 + 2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (0110)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (76)₁₆ = (111.0110)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.0110)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 118

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.0110)₂ = 118

Wir suchen alle Teiler von 25. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 25 ist, teilen wir 25 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 25 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 25, denn 25 = 1 ⋅ 25, also ist auch 25 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 2 ⋅ 12 + 1.

3 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 3 ⋅ 8 + 1.

4 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 4 ⋅ 6 + 1.

5 ist Teiler von 25, denn 25 = 5 ⋅ 5, also ist auch 5 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6 = 36 > 25, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 25:
1, 5, 25

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.

Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1212, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 1 + 2 = 6, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1232, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 3 + 2 = 8, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1252, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 5 + 2 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1272, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 7 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1292, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 9 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 1 und 7.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 21 bilden:

2 + 19 = 21, dabei ist 19 auch eine Primzahl

2 und 19 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 19 = 21

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 175 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

175
= 5 ⋅ 35
= 5 ⋅ 5 ⋅ 7