Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 198 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

198 = 128 + 70
= 128 + 64 + 6
= 128 + 64 + 4 + 2

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 198 = (1100.0110)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0001.1001)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 281

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.1001)₂ = 281

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

Da kein einziger Primfaktor sowohl in 77 als auch in 120 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 77 und 120 ist somit :
ggT(77,120) = 1

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 16 insgesamt 4 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 11(die 11 kommt in 22 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 11 = 176 sind nun alle Primteiler von 16 und alle Primteiler von 22 enthalten. Also ist 176 ein Vielfaches von 16 und 22. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 16 oder 22 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 16 und 22 ist somit :
kgV(16,22) = 176

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 195 und 185

also gilt: ggt(195,185)=5

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(E)₁₆ = 14 = 8 + 4 + 2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (1110)₂

(3)₁₆ = 3 = 2 + 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (0011)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (E3)₁₆ = (1110.0011)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1110.0011)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 227

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110.0011)₂ = 227

Wir suchen alle Teiler von 56. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 56 ist, teilen wir 56 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 56 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 56, denn 56 = 1 ⋅ 56, also ist auch 56 ein Teiler.

2 ist Teiler von 56, denn 56 = 2 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 3 ⋅ 18 + 2.

4 ist Teiler von 56, denn 56 = 4 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 5 ⋅ 11 + 1.

6 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 6 ⋅ 9 + 2.

7 ist Teiler von 56, denn 56 = 7 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 8 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 56:
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.

Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1008, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 0 + 8 = 9, also durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1028, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 2 + 8 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1048, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 4 + 8 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1068, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 6 + 8 = 15, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1088, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 8 + 8 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 0 und 6.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 34 bilden:

2 + 32 = 34, dabei ist 32 aber keine Primzahl

3 + 31 = 34, dabei ist 31 auch eine Primzahl

3 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 31 = 34

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 125 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

125
= 5 ⋅ 25
= 5 ⋅ 5 ⋅ 5