Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 115 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 115 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
115 = 64 + 51 = 64 + 32 + 19 = 64 + 32 + 16 + 3 = 64 + 32 + 16 + 2 + 1
= 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 115 = (111.0011)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1100.1110)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1100.1110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 206
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100.1110)2 = 206
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 75 und 70.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
75
= 3 ⋅ 25
= 3 ⋅ 5 ⋅ 5
70
= 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 5 ⋅ 7
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
5(die 5 kommt sowohl in 75 als auch 70 insgesamt 1 mal vor)
Da 5 = 5 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 5 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 75 und 70 ist somit :
ggT(75,70) = 5
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 77 und 55.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
77
= 7 ⋅ 11
55
= 5 ⋅ 11
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
5(die 5 kommt in 55 insgesamt 1 mal vor)
5 ⋅ 7(die 7 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)
5 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)
In 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 385 sind nun alle Primteiler von 77 und alle Primteiler von 55 enthalten. Also ist 385 ein Vielfaches von 77 und 55. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 77 oder 55 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 77 und 55 ist somit :
kgV(77,55) = 385
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 70 und 100.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 70 und 100
| =>70 | = 0⋅100 + 70 |
| =>100 | = 1⋅70 + 30 |
| =>70 | = 2⋅30 + 10 |
| =>30 | = 3⋅10 + 0 |
also gilt: ggt(70,100)=10
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1.0001.0011)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1.0001.0011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 275
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.0011)2 = 275
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16
(0001)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)16
(0011)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 3 = (3)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0001.0011)2 = (113)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 90 an:
Wir suchen alle Teiler von 90. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 90 ist, teilen wir 90 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 90 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 90, denn 90 = 1 ⋅ 90, also ist auch 90 ein Teiler.
2 ist Teiler von 90, denn 90 = 2 ⋅ 45, also ist auch 45 ein Teiler.
3 ist Teiler von 90, denn 90 = 3 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.
4 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 4 ⋅ 22 + 2.
5 ist Teiler von 90, denn 90 = 5 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.
6 ist Teiler von 90, denn 90 = 6 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.
7 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 7 ⋅ 12 + 6.
8 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 8 ⋅ 11 + 2.
9 ist Teiler von 90, denn 90 = 9 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 10 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 90:
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 7⬜8 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.
Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
0: Dann wäre die Zahl 708, für die Quersumme gilt dann: 7 + 0 + 8 = 15, also durch 3 teilbar.
2: Dann wäre die Zahl 728, für die Quersumme gilt dann: 7 + 2 + 8 = 17, also nicht durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 748, für die Quersumme gilt dann: 7 + 4 + 8 = 19, also nicht durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 768, für die Quersumme gilt dann: 7 + 6 + 8 = 21, also durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 788, für die Quersumme gilt dann: 7 + 8 + 8 = 23, also nicht durch 3 teilbar.
Die möglichen Ziffern sind also 0 und 6.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 34 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 34 bilden:
2 + 32 = 34, dabei ist 32 aber keine Primzahl
3 + 31 = 34, dabei ist 31 auch eine Primzahl
3 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 31 = 34
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 90 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 90 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
90
= 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
