Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 108 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 108 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
108 = 64 + 44 = 64 + 32 + 12 = 64 + 32 + 8 + 4
= 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 108 = (110.1100)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (10.1101)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(10.1101)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 45
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.1101)2 = 45
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 72 und 108.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
72
= 2 ⋅ 36
= 2 ⋅ 2 ⋅ 18
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
108
= 2 ⋅ 54
= 2 ⋅ 2 ⋅ 27
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
2 ⋅ 2(die 2 kommt sowohl in 72 als auch 108 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 72 als auch 108 insgesamt 2 mal vor)
Da 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 36 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 72 und 108 ist somit :
ggT(72,108) = 36
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 22.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
60
= 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
22
= 2 ⋅ 11
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2 ⋅ 2(die 2 kommt in 60 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 60 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 60 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11(die 11 kommt in 22 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 660 sind nun alle Primteiler von 60 und alle Primteiler von 22 enthalten. Also ist 660 ein Vielfaches von 60 und 22. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 60 oder 22 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 22 ist somit :
kgV(60,22) = 660
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 264 und 108.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 264 und 108
| =>264 | = 2⋅108 + 48 |
| =>108 | = 2⋅48 + 12 |
| =>48 | = 4⋅12 + 0 |
also gilt: ggt(264,108)=12
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (111.1000)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(111.1000)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 120
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.1000)2 = 120
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(111)2 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 7 = (7)16
(1000)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 8 = (8)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (111.1000)2 = (78)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 66 an:
Wir suchen alle Teiler von 66. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 66 ist, teilen wir 66 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 66 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 66, denn 66 = 1 ⋅ 66, also ist auch 66 ein Teiler.
2 ist Teiler von 66, denn 66 = 2 ⋅ 33, also ist auch 33 ein Teiler.
3 ist Teiler von 66, denn 66 = 3 ⋅ 22, also ist auch 22 ein Teiler.
4 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 4 ⋅ 16 + 2.
5 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 5 ⋅ 13 + 1.
6 ist Teiler von 66, denn 66 = 6 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.
7 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 7 ⋅ 9 + 3.
8 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 8 ⋅ 8 + 2.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9
= 81 > 66, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 66:
1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 37⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 7⬜.
Bei den 70er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 72, 76 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 372, für die Quersumme gilt dann: 3 + 7 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 376, für die Quersumme gilt dann: 3 + 7 + 6 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 2.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 42 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 42 bilden:
2 + 40 = 42, dabei ist 40 aber keine Primzahl
3 + 39 = 42, dabei ist 39 aber keine Primzahl
5 + 37 = 42, dabei ist 37 auch eine Primzahl
5 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 37 = 42
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 33 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 33 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
33
= 3 ⋅ 11
