Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 129 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 129 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
129 = 128 + 1
= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 129 = (1000.0001)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (11.0101)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(11.0101)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32= 53
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (11.0101)2 = 53
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 140 und 45.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
140
= 2 ⋅ 70
= 2 ⋅ 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7
45
= 3 ⋅ 15
= 3 ⋅ 3 ⋅ 5
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
5(die 5 kommt sowohl in 140 als auch 45 insgesamt 1 mal vor)
Da 5 = 5 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 5 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 140 und 45 ist somit :
ggT(140,45) = 5
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 77 und 27.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
77
= 7 ⋅ 11
27
= 3 ⋅ 9
= 3 ⋅ 3 ⋅ 3
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
3 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 27 insgesamt 3 mal vor)
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7(die 7 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)
In 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 2079 sind nun alle Primteiler von 77 und alle Primteiler von 27 enthalten. Also ist 2079 ein Vielfaches von 77 und 27. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 77 oder 27 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 77 und 27 ist somit :
kgV(77,27) = 2079
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 190 und 75.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 190 und 75
| =>190 | = 2⋅75 + 40 |
| =>75 | = 1⋅40 + 35 |
| =>40 | = 1⋅35 + 5 |
| =>35 | = 7⋅5 + 0 |
also gilt: ggt(190,75)=5
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1010.1011)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1010.1011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 171
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1010.1011)2 = 171
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1010)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)16
(1011)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1010.1011)2 = (AB)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 35 an:
Wir suchen alle Teiler von 35. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 35 ist, teilen wir 35 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 35 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 35, denn 35 = 1 ⋅ 35, also ist auch 35 ein Teiler.
2 ist kein Teiler von 35, denn 35 = 2 ⋅ 17 + 1.
3 ist kein Teiler von 35, denn 35 = 3 ⋅ 11 + 2.
4 ist kein Teiler von 35, denn 35 = 4 ⋅ 8 + 3.
5 ist Teiler von 35, denn 35 = 5 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6
= 36 > 35, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 35:
1, 5, 7, 35
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 27⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 7⬜.
Bei den 70er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 72, 76 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 272, für die Quersumme gilt dann: 2 + 7 + 2 = 11, also nicht durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 276, für die Quersumme gilt dann: 2 + 7 + 6 = 15, also durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 6.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 48 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 48 bilden:
2 + 46 = 48, dabei ist 46 aber keine Primzahl
3 + 45 = 48, dabei ist 45 aber keine Primzahl
5 + 43 = 48, dabei ist 43 auch eine Primzahl
5 und 43 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 43 = 48
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 77 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 77 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
77
= 7 ⋅ 11
