Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 121 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

121 = 64 + 57
= 64 + 32 + 25
= 64 + 32 + 16 + 9
= 64 + 32 + 16 + 8 + 1

= 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 121 = (111.1001)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1001.0011)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 147

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1001.0011)₂ = 147

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt sowohl in 132 als auch 180 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 132 als auch 180 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 12 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 132 und 180 ist somit :
ggT(132,180) = 12

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 40 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 72 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 40 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 360 sind nun alle Primteiler von 40 und alle Primteiler von 72 enthalten. Also ist 360 ein Vielfaches von 40 und 72. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 40 oder 72 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 40 und 72 ist somit :
kgV(40,72) = 360

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 280 und 185

=>280	= 1⋅185 + 95
=>185	= 1⋅95 + 90
=>95	= 1⋅90 + 5
=>90	= 18⋅5 + 0

also gilt: ggt(280,185)=5

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(C)₁₆ = 12 = 8 + 4 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (1100)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (C)₁₆ = (1100)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8= 12

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100)₂ = 12

Wir suchen alle Teiler von 75. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 75 ist, teilen wir 75 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 75 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 75, denn 75 = 1 ⋅ 75, also ist auch 75 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 75, denn 75 = 2 ⋅ 37 + 1.

3 ist Teiler von 75, denn 75 = 3 ⋅ 25, also ist auch 25 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 75, denn 75 = 4 ⋅ 18 + 3.

5 ist Teiler von 75, denn 75 = 5 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 75, denn 75 = 6 ⋅ 12 + 3.

7 ist kein Teiler von 75, denn 75 = 7 ⋅ 10 + 5.

8 ist kein Teiler von 75, denn 75 = 8 ⋅ 9 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9 = 81 > 75, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 75:
1, 3, 5, 15, 25, 75

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 4⬜.

Bei den 40er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 40, 44, 48 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1440, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 4 + 0 = 9, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1444, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 4 + 4 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1448, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 4 + 8 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 0.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 36 bilden:

2 + 34 = 36, dabei ist 34 aber keine Primzahl

3 + 33 = 36, dabei ist 33 aber keine Primzahl

5 + 31 = 36, dabei ist 31 auch eine Primzahl

5 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 31 = 36

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 36 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

36
= 2 ⋅ 18
= 2 ⋅ 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3