Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 111 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

111 = 64 + 47
= 64 + 32 + 15
= 64 + 32 + 8 + 7
= 64 + 32 + 8 + 4 + 3
= 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1

= 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 111 = (110.1111)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0001.1011)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 283

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.1011)₂ = 283

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

7(die 7 kommt sowohl in 77 als auch 112 insgesamt 1 mal vor)

Da 7 = 7 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 7 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 77 und 112 ist somit :
ggT(77,112) = 7

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

3(die 3 kommt in 33 insgesamt 1 mal vor)

3 ⋅ 7(die 7 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)

3 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)

In 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 231 sind nun alle Primteiler von 77 und alle Primteiler von 33 enthalten. Also ist 231 ein Vielfaches von 77 und 33. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 77 oder 33 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 77 und 33 ist somit :
kgV(77,33) = 231

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 64 und 16

=>64	= 4⋅16 + 0

also gilt: ggt(64,16)=16

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1100.0100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 196

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100.0100)₂ = 196

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1100)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)₁₆

(0100)₂ = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 4 = (4)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1100.0100)₂ = (C4)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 84. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 84 ist, teilen wir 84 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 84 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 84, denn 84 = 1 ⋅ 84, also ist auch 84 ein Teiler.

2 ist Teiler von 84, denn 84 = 2 ⋅ 42, also ist auch 42 ein Teiler.

3 ist Teiler von 84, denn 84 = 3 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.

4 ist Teiler von 84, denn 84 = 4 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 5 ⋅ 16 + 4.

6 ist Teiler von 84, denn 84 = 6 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

7 ist Teiler von 84, denn 84 = 7 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

8 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 8 ⋅ 10 + 4.

9 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 9 ⋅ 9 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 10 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 10 ⋅ 10 = 100 > 84, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 84:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜6.

Da an der letzten Stelle eine 6 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 16, 36, 56, 76, 96 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1416, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 1 + 6 = 12, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1436, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 3 + 6 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1456, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 5 + 6 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1476, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 7 + 6 = 18, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1496, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 9 + 6 = 20, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 1 und 7.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 40 bilden:

2 + 38 = 40, dabei ist 38 aber keine Primzahl

3 + 37 = 40, dabei ist 37 auch eine Primzahl

3 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 37 = 40

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 56 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

56
= 2 ⋅ 28
= 2 ⋅ 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7