Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 164 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 164 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
164 = 128 + 36 = 128 + 32 + 4
= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 164 = (1010.0100)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1011.0100)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1011.0100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 180
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.0100)2 = 180
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 70 und 105.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
70
= 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 5 ⋅ 7
105
= 3 ⋅ 35
= 3 ⋅ 5 ⋅ 7
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
5(die 5 kommt sowohl in 70 als auch 105 insgesamt 1 mal vor)
5 ⋅ 7(die 7 kommt sowohl in 70 als auch 105 insgesamt 1 mal vor)
Da 5 ⋅ 7 = 35 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 35 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 70 und 105 ist somit :
ggT(70,105) = 35
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 40 und 25.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
40
= 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5
25
= 5 ⋅ 5
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 40 insgesamt 3 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5(die 5 kommt in 25 insgesamt 2 mal vor)
In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 200 sind nun alle Primteiler von 40 und alle Primteiler von 25 enthalten. Also ist 200 ein Vielfaches von 40 und 25. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 40 oder 25 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 40 und 25 ist somit :
kgV(40,25) = 200
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 67 und 30.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,30)=1
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (10.0101)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(10.0101)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 37
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.0101)2 = 37
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(10)2 = 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16
(0101)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 5 = (5)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (10.0101)2 = (25)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 24 an:
Wir suchen alle Teiler von 24. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 24 ist, teilen wir 24 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 24 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 24, denn 24 = 1 ⋅ 24, also ist auch 24 ein Teiler.
2 ist Teiler von 24, denn 24 = 2 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.
3 ist Teiler von 24, denn 24 = 3 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.
4 ist Teiler von 24, denn 24 = 4 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 5 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 5 ⋅ 5
= 25 > 24, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 24:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 4⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 4⬜.
Bei den 40er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 40, 44, 48 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
0: Dann wäre die Zahl 40, für die Quersumme gilt dann: 4 + 0 = 4, also nicht durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 44, für die Quersumme gilt dann: 4 + 4 = 8, also nicht durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 48, für die Quersumme gilt dann: 4 + 8 = 12, also durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 8.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 31 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 31 bilden:
2 + 29 = 31, dabei ist 29 auch eine Primzahl
2 und 29 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 29 = 31
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 70 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 70 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
70
= 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 5 ⋅ 7
