Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 215 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

215 = 128 + 87
= 128 + 64 + 23
= 128 + 64 + 16 + 7
= 128 + 64 + 16 + 4 + 3
= 128 + 64 + 16 + 4 + 2 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 215 = (1101.0111)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1101.1101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 221

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1101.1101)₂ = 221

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

5(die 5 kommt sowohl in 70 als auch 105 insgesamt 1 mal vor)

5 ⋅ 7(die 7 kommt sowohl in 70 als auch 105 insgesamt 1 mal vor)

Da 5 ⋅ 7 = 35 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 35 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 70 und 105 ist somit :
ggT(70,105) = 35

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt in 28 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 21 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7(die 7 kommt in 21 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84 sind nun alle Primteiler von 21 und alle Primteiler von 28 enthalten. Also ist 84 ein Vielfaches von 21 und 28. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 21 oder 28 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 21 und 28 ist somit :
kgV(21,28) = 84

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 120 und 250

also gilt: ggt(120,250)=10

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 228 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

228 = 128 + 100
= 128 + 64 + 36
= 128 + 64 + 32 + 4

= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 228 = (1110.0100)₂

Um die Zahl 228 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 228 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1110)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)₁₆

(0100)₂ = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 4 = (4)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1110.0100)₂ = (E4)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 22. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 22 ist, teilen wir 22 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 22 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 22, denn 22 = 1 ⋅ 22, also ist auch 22 ein Teiler.

2 ist Teiler von 22, denn 22 = 2 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 22, denn 22 = 3 ⋅ 7 + 1.

4 ist kein Teiler von 22, denn 22 = 4 ⋅ 5 + 2.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 5 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 5 ⋅ 5 = 25 > 22, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 22:
1, 2, 11, 22

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜6.

Da an der letzten Stelle eine 6 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 16, 36, 56, 76, 96 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1516, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 1 + 6 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1536, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 3 + 6 = 15, also durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1556, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 5 + 6 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1576, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 7 + 6 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1596, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 9 + 6 = 21, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 3 und 9.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 19 bilden:

2 + 17 = 19, dabei ist 17 auch eine Primzahl

2 und 17 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 17 = 19

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 96 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

96
= 2 ⋅ 48
= 2 ⋅ 2 ⋅ 24
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 12
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 6
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3