Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 296 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 296 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
296 = 256 + 40 = 256 + 32 + 8
= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 296 = (1.0010.1000)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1011.0110)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1011.0110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 182
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.0110)2 = 182
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 45 und 128.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
45
= 3 ⋅ 15
= 3 ⋅ 3 ⋅ 5
128
= 2 ⋅ 64
= 2 ⋅ 2 ⋅ 32
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 16
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 8
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 4
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
Da kein einziger Primfaktor sowohl in 45 als auch in 128 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 45 und 128 ist somit :
ggT(45,128) = 1
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 33 und 15.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
33
= 3 ⋅ 11
15
= 3 ⋅ 5
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
3(die 3 kommt in 33 insgesamt 1 mal vor)
3 ⋅ 5(die 5 kommt in 15 insgesamt 1 mal vor)
3 ⋅ 5 ⋅ 11(die 11 kommt in 33 insgesamt 1 mal vor)
In 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 165 sind nun alle Primteiler von 33 und alle Primteiler von 15 enthalten. Also ist 165 ein Vielfaches von 33 und 15. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 33 oder 15 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 33 und 15 ist somit :
kgV(33,15) = 165
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 111 und 69.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 111 und 69
| =>111 | = 1⋅69 + 42 |
| =>69 | = 1⋅42 + 27 |
| =>42 | = 1⋅27 + 15 |
| =>27 | = 1⋅15 + 12 |
| =>15 | = 1⋅12 + 3 |
| =>12 | = 4⋅3 + 0 |
also gilt: ggt(111,69)=3
Binär und Dezimal aus Hexdezimal
Beispiel:
Gib die Zahl (BD)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.
Als Binärzahl
Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:
(B)16 = 11 = 8 + 2 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (1011)2
(D)16 = 13 = 8 + 4 + 1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (1101)2
Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (BD)16 = (1011.1101)2
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1011.1101)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 189
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.1101)2 = 189
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 50 an:
Wir suchen alle Teiler von 50. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 50 ist, teilen wir 50 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 50 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 50, denn 50 = 1 ⋅ 50, also ist auch 50 ein Teiler.
2 ist Teiler von 50, denn 50 = 2 ⋅ 25, also ist auch 25 ein Teiler.
3 ist kein Teiler von 50, denn 50 = 3 ⋅ 16 + 2.
4 ist kein Teiler von 50, denn 50 = 4 ⋅ 12 + 2.
5 ist Teiler von 50, denn 50 = 5 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.
6 ist kein Teiler von 50, denn 50 = 6 ⋅ 8 + 2.
7 ist kein Teiler von 50, denn 50 = 7 ⋅ 7 + 1.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 8 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 8 ⋅ 8
= 64 > 50, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 50:
1, 2, 5, 10, 25, 50
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 151⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 1⬜.
Bei den 10er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 12, 16 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 1512, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 1 + 2 = 9, also durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 1516, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 1 + 6 = 13, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 2.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 10 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 10 bilden:
2 + 8 = 10, dabei ist 8 aber keine Primzahl
3 + 7 = 10, dabei ist 7 auch eine Primzahl
3 und 7 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 7 = 10
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 42 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 42 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
42
= 2 ⋅ 21
= 2 ⋅ 3 ⋅ 7
