Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 73 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

73 = 64 + 9
= 64 + 8 + 1

= 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 73 = (100.1001)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1000.1101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 141

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1000.1101)₂ = 141

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

3(die 3 kommt sowohl in 135 als auch 84 insgesamt 1 mal vor)

Da 3 = 3 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 3 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 135 und 84 ist somit :
ggT(135,84) = 3

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt in 50 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 5 ⋅ 5(die 5 kommt in 50 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11(die 11 kommt in 55 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11 = 550 sind nun alle Primteiler von 50 und alle Primteiler von 55 enthalten. Also ist 550 ein Vielfaches von 50 und 55. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 50 oder 55 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 50 und 55 ist somit :
kgV(50,55) = 550

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 440 und 80

also gilt: ggt(440,80)=40

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(B)₁₆ = 11 = 8 + 2 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (1011)₂

(D)₁₆ = 13 = 8 + 4 + 1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (1101)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (BD)₁₆ = (1011.1101)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1011.1101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 189

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.1101)₂ = 189

Wir suchen alle Teiler von 21. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 21 ist, teilen wir 21 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 21 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 21, denn 21 = 1 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 21, denn 21 = 2 ⋅ 10 + 1.

3 ist Teiler von 21, denn 21 = 3 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 21, denn 21 = 4 ⋅ 5 + 1.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 5 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 5 ⋅ 5 = 25 > 21, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 21:
1, 3, 7, 21

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.

Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 708, für die Quersumme gilt dann: 7 + 0 + 8 = 15, also durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 728, für die Quersumme gilt dann: 7 + 2 + 8 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 748, für die Quersumme gilt dann: 7 + 4 + 8 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 768, für die Quersumme gilt dann: 7 + 6 + 8 = 21, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 788, für die Quersumme gilt dann: 7 + 8 + 8 = 23, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 0 und 6.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 34 bilden:

2 + 32 = 34, dabei ist 32 aber keine Primzahl

3 + 31 = 34, dabei ist 31 auch eine Primzahl

3 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 31 = 34

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 40 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

40
= 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5