Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 147 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 147 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
147 = 128 + 19 = 128 + 16 + 3 = 128 + 16 + 2 + 1
= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 147 = (1001.0011)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (10.0001)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(10.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 33
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.0001)2 = 33
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 150 und 120.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
150
= 2 ⋅ 75
= 2 ⋅ 3 ⋅ 25
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5
120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
2(die 2 kommt sowohl in 150 als auch 120 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 150 als auch 120 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 150 als auch 120 insgesamt 1 mal vor)
Da 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 30 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 150 und 120 ist somit :
ggT(150,120) = 30
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 35 und 72.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
35
= 5 ⋅ 7
72
= 2 ⋅ 36
= 2 ⋅ 2 ⋅ 18
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 72 insgesamt 3 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 72 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 2520 sind nun alle Primteiler von 35 und alle Primteiler von 72 enthalten. Also ist 2520 ein Vielfaches von 35 und 72. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 35 oder 72 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 35 und 72 ist somit :
kgV(35,72) = 2520
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 99 und 84.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 99 und 84
| =>99 | = 1⋅84 + 15 |
| =>84 | = 5⋅15 + 9 |
| =>15 | = 1⋅9 + 6 |
| =>9 | = 1⋅6 + 3 |
| =>6 | = 2⋅3 + 0 |
also gilt: ggt(99,84)=3
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1.0010.1010)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1.0010.1010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 298
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0010.1010)2 = 298
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16
(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16
(1010)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0010.1010)2 = (12A)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 54 an:
Wir suchen alle Teiler von 54. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 54 ist, teilen wir 54 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 54 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 54, denn 54 = 1 ⋅ 54, also ist auch 54 ein Teiler.
2 ist Teiler von 54, denn 54 = 2 ⋅ 27, also ist auch 27 ein Teiler.
3 ist Teiler von 54, denn 54 = 3 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.
4 ist kein Teiler von 54, denn 54 = 4 ⋅ 13 + 2.
5 ist kein Teiler von 54, denn 54 = 5 ⋅ 10 + 4.
6 ist Teiler von 54, denn 54 = 6 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.
7 ist kein Teiler von 54, denn 54 = 7 ⋅ 7 + 5.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 8 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 8 ⋅ 8
= 64 > 54, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 54:
1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 146⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 6⬜.
Bei den 60er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 60, 64, 68 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
0: Dann wäre die Zahl 1460, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 6 + 0 = 11, also nicht durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 1464, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 6 + 4 = 15, also durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 1468, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 6 + 8 = 19, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 8 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 8 bilden:
2 + 6 = 8, dabei ist 6 aber keine Primzahl
3 + 5 = 8, dabei ist 5 auch eine Primzahl
3 und 5 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 5 = 8
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 30 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 30 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
30
= 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5
