Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 57 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

57 = 32 + 25
= 32 + 16 + 9
= 32 + 16 + 8 + 1

= 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 57 = (11.1001)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0001.1100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 284

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.1100)₂ = 284

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

3(die 3 kommt sowohl in 180 als auch 105 insgesamt 1 mal vor)

3 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 180 als auch 105 insgesamt 1 mal vor)

Da 3 ⋅ 5 = 15 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 15 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 180 und 105 ist somit :
ggT(180,105) = 15

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 16 insgesamt 4 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 60 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 60 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 240 sind nun alle Primteiler von 60 und alle Primteiler von 16 enthalten. Also ist 240 ein Vielfaches von 60 und 16. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 60 oder 16 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 16 ist somit :
kgV(60,16) = 240

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 194 und 86

also gilt: ggt(194,86)=2

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(10.0010)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 34

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.0010)₂ = 34

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(10)₂ = 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)₁₆

(0010)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (10.0010)₂ = (22)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 20. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 20 ist, teilen wir 20 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 20 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 20, denn 20 = 1 ⋅ 20, also ist auch 20 ein Teiler.

2 ist Teiler von 20, denn 20 = 2 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 20, denn 20 = 3 ⋅ 6 + 2.

4 ist Teiler von 20, denn 20 = 4 ⋅ 5, also ist auch 5 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 5 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 20:
1, 2, 4, 5, 10, 20

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.

Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 512, für die Quersumme gilt dann: 5 + 1 + 2 = 8, also nicht durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 532, für die Quersumme gilt dann: 5 + 3 + 2 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 552, für die Quersumme gilt dann: 5 + 5 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 572, für die Quersumme gilt dann: 5 + 7 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 592, für die Quersumme gilt dann: 5 + 9 + 2 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 5.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 18 bilden:

2 + 16 = 18, dabei ist 16 aber keine Primzahl

3 + 15 = 18, dabei ist 15 aber keine Primzahl

5 + 13 = 18, dabei ist 13 auch eine Primzahl

5 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 13 = 18

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 120 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5