Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 283 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

283 = 256 + 27
= 256 + 16 + 11
= 256 + 16 + 8 + 3
= 256 + 16 + 8 + 2 + 1

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 283 = (1.0001.1011)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1101.0111)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 215

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1101.0111)₂ = 215

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 88 als auch 70 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 = 2 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 2 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 88 und 70 ist somit :
ggT(88,70) = 2

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 56 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7(die 7 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 11 = 616 sind nun alle Primteiler von 77 und alle Primteiler von 56 enthalten. Also ist 616 ein Vielfaches von 77 und 56. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 77 oder 56 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 77 und 56 ist somit :
kgV(77,56) = 616

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 174 und 123

also gilt: ggt(174,123)=3

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 113 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

113 = 64 + 49
= 64 + 32 + 17
= 64 + 32 + 16 + 1

= 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 113 = (111.0001)₂

Um die Zahl 113 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 113 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(111)₂ = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 7 = (7)₁₆

(0001)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (111.0001)₂ = (71)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 33. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 33 ist, teilen wir 33 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 33 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 33, denn 33 = 1 ⋅ 33, also ist auch 33 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 33, denn 33 = 2 ⋅ 16 + 1.

3 ist Teiler von 33, denn 33 = 3 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 33, denn 33 = 4 ⋅ 8 + 1.

5 ist kein Teiler von 33, denn 33 = 5 ⋅ 6 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6 = 36 > 33, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 33:
1, 3, 11, 33

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 2⬜.

Bei den 20er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 20, 24, 28 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1020, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 2 + 0 = 3, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1024, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 2 + 4 = 7, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1028, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 2 + 8 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 0.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 36 bilden:

2 + 34 = 36, dabei ist 34 aber keine Primzahl

3 + 33 = 36, dabei ist 33 aber keine Primzahl

5 + 31 = 36, dabei ist 31 auch eine Primzahl

5 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 31 = 36

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 108 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

108
= 2 ⋅ 54
= 2 ⋅ 2 ⋅ 27
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3