Aufgabenbeispiele von Informatik
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Binär und Dezimal aus Hexdezimal
Beispiel:
Gib die Zahl (11C)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.
Als Binärzahl
Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:
(1)16 = 1 = 1 = 1⋅1 = (1)2
(1)16 = 1 = 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0001)2
(C)16 = 12 = 8 + 4 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (1100)2
Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (11C)16 = (1.0001.1100)2
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1.0001.1100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 284
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.1100)2 = 284
endliche binäre Komma-Zahl
Beispiel:
Gib die Zahl 6,984375 als binäre Kommazahl an.
Wir zerlegen die Zahl 6,984375 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 6,984375 = 6 + 0,984375
Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 6 in eine Binärzahl um:
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 6 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
6 = 4 + 2
= 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 6 = (110)2
Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 6 zu bestimmen:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.
6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 20-Stelle eine 0.
6 = 3⋅2 + 0, also 6 = ( 3⋅2 + 0)⋅1 = 3⋅2 + 0⋅1
3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 21-Stelle eine 1.
3 = 1⋅2 + 1, also 6 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 22-Stelle eine 1.
1 = 0⋅2 + 1, also 6 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
So erhalten wir die Binärdarstellung von 6 = (110)2
Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,984375 in eine binäre Kommazahl umwandeln:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle,
ansonsten eine 0.
0.984375 -> 0.984375⋅2 = 1.96875, da 1.96875>1 ist, kommt nun an die 2-1-Stelle eine 1
0.984375⋅ = 1.96875⋅, also ist 0.984375 = 1⋅ + 0.96875⋅
0.96875 -> 0.96875⋅2 = 1.9375, da 1.9375>1 ist, kommt nun an die 2-2-Stelle eine 1
0.96875⋅ = 1.9375⋅, also ist 0.984375 = 1⋅ + 1⋅ + 0.9375⋅
0.9375 -> 0.9375⋅2 = 1.875, da 1.875>1 ist, kommt nun an die 2-3-Stelle eine 1
0.9375⋅ = 1.875⋅, also ist 0.984375 = 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.875⋅
0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2-4-Stelle eine 1
0.875⋅ = 1.75⋅, also ist 0.984375 = 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.75⋅
0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2-5-Stelle eine 1
0.75⋅ = 1.5⋅, also ist 0.984375 = 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.5⋅
0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2-6-Stelle eine 1
0.5⋅ = 1⋅, also ist 0.984375 = 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅
Die Binärdarstellung von 0.984375 ist somit 0,111111
Zusammen mit der 6 = (110)2 von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 6,984375 = (110,1111.11)2
endliche binäre Komma-Zahl 32Bit
Beispiel:
Gib die Zahl 2,21875 als binäre 32-Bit Kommazahl an.
Wir zerlegen die Zahl 2,21875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 2,21875 = 2 + 0,21875
Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 2 in eine Binärzahl um:
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 2 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
2
= 1⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 2 = (10)2
Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 2 zu bestimmen:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.
2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 20-Stelle eine 0.
2 = 1⋅2 + 0, also 2 = ( 1⋅2 + 0)⋅1 = 1⋅2 + 0⋅1
1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 21-Stelle eine 1.
1 = 0⋅2 + 1, also 2 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
So erhalten wir die Binärdarstellung von 2 = (10)2
Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,21875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle,
ansonsten eine 0.
0.21875 -> 0.21875⋅2 = 0.4375, da 0.4375<1 ist, kommt nun an die 2-1-Stelle eine 0
0.21875⋅ = 0.4375⋅, also ist 0.21875 = 0⋅ + 0.4375⋅
0.4375 -> 0.4375⋅2 = 0.875, da 0.875<1 ist, kommt nun an die 2-2-Stelle eine 0
0.4375⋅ = 0.875⋅, also ist 0.21875 = 0⋅ + 0⋅ + 0.875⋅
0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2-3-Stelle eine 1
0.875⋅ = 1.75⋅, also ist 0.21875 = 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 0.75⋅
0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2-4-Stelle eine 1
0.75⋅ = 1.5⋅, also ist 0.21875 = 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.5⋅
0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2-5-Stelle eine 1
0.5⋅ = 1⋅, also ist 0.21875 = 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅
Die Binärdarstellung von 0.21875 ist somit 0,00111
Zusammen mit der 2 = (10)2 von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 2,21875 = (10,0011.1)2
Darstellung als 32-Bit Kommazahl:
(10,0011.1)2 = (1,0001.11)2 ⋅ 21 (Normierte Darstellung)
Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!
Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 2.21875 positiv ist.
Wegen der ⋅ 21 ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)2.
Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:
0 10000000 000.1110.0000.0000.0000.0000
unendliche binäre Komma-Zahl
Beispiel:
Gib die Zahl 14,45 als binäre 32-Bit Kommazahl an.
Wir zerlegen die Zahl 14,45 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 14,45 = 14 + 0,45
Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 14 in eine Binärzahl um:
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 14 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
14 = 8 + 6 = 8 + 4 + 2
= 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 14 = (1110)2
Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 14 zu bestimmen:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.
14 -> 14:2 = 7 Rest 0, also kommt nun an die 20-Stelle eine 0.
14 = 7⋅2 + 0, also 14 = ( 7⋅2 + 0)⋅1 = 7⋅2 + 0⋅1
7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 21-Stelle eine 1.
7 = 3⋅2 + 1, also 14 = ( 3⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 3⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 22-Stelle eine 1.
3 = 1⋅2 + 1, also 14 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 23-Stelle eine 1.
1 = 0⋅2 + 1, also 14 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
So erhalten wir die Binärdarstellung von 14 = (1110)2
Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,45 in eine binäre Kommazahl umwandeln:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle,
ansonsten eine 0.
0.45 -> 0.45⋅2 = 0.9, da 0.9<1 ist, kommt nun an die 2-1-Stelle eine 0
0.45⋅ = 0.9⋅, also ist 0.45 = 0⋅ + 0.9⋅
0.9 -> 0.9⋅2 = 1.8, da 1.8>1 ist, kommt nun an die 2-2-Stelle eine 1
0.9⋅ = 1.8⋅, also ist 0.45 = 0⋅ + 1⋅ + 0.8⋅
0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2-3-Stelle eine 1
0.8⋅ = 1.6⋅, also ist 0.45 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.6⋅
0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2-4-Stelle eine 1
0.6⋅ = 1.2⋅, also ist 0.45 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.2⋅
0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2-5-Stelle eine 0
0.2⋅ = 0.4⋅, also ist 0.45 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0.4⋅
0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2-6-Stelle eine 0
0.4⋅ = 0.8⋅, also ist 0.45 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0.8⋅
0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2-7-Stelle eine 1
0.8⋅ = 1.6⋅, also ist 0.45 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 0.6⋅
Die 0.8 (und dann 0.8⋅2 = 1.6) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.8, 0.6, 0.2 und 0.4 mit den Binärzahlen 1100.
Die Binärdarstellung von 0.45 ist somit (0,0111.0011.0011.0011.0011.0011.0011.001)2
Zusammen mit der 14 = (1110)2 von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 14,45 = (1110,0111.0011.0011.0011.0011.0011.0011)2
Darstellung als 32-Bit Kommazahl:
(1110,0111.0011.0011.0011.0011.0011.0011)2 = (1,1100.1110.0110.0110.0110.0110.0110.011)2 ⋅ 23 (Normierte Darstellung)
Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!
Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 14.45 positiv ist.
Wegen der ⋅ 23 ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)2.
Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:
0 10000010 110.0111.0011.0011.0011.0011
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
( | 1 | 1 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
( | 1 | 1 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | |||||
1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
( | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 |
negative Binärzahlen
Beispiel:
Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0100.1101)2 = 77.
Bestimme -77 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0100.1101)2
zu (1011.0010)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
( | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | )2 |
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
( | 0 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 1 | )2 | - | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 1 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0000.1111)2
zu (1111.0000)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
( | 1 | 1 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
( | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0110.1111)2 und -b = (1111.0001)2 addieren:
( | 0 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||
( | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0110.0000)2
Binäres Multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(100.0111)2 ⋅ (10.1100)2 =
Der zweite Faktor (10.1100)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:
( | 1 | 0 | 0 | )2 | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | |||||||
( | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
somit gilt:
(100.0111)2 ⋅ (10.1100)2 = 100.0111 ⋅ (10.0000 + 1000 + 100)
Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:
(100.0111)2 ⋅ (10.1100)2 = (1000.1110.0000)2 + (10.0011.1000)2 + (1.0001.1100)2
Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:
( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 |
1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
( | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:
( | 1 | 1 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
( | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Das Ergebnis ist somit: (1100.0011.0100)2
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 71 ⋅ 44 = 3124)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(1100.0110)2 : (1011)2 =
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | : | 1 | 0 | 1 | 1 | = | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
- | 1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
- | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
- | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
- | 1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
- | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (1100)2 - (1011)2 = (1)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 12 - 11 = 1
- Die obige Differenz (01011)2 - (1011)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 11 - 11 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 198 : 11 = 18)