Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(3)₁₆ = 3 = 2 + 1 = 1⋅2 + 1⋅1 = (11)₂

(5)₁₆ = 5 = 4 + 1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0101)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (35)₁₆ = (11.0101)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(11.0101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32= 53

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (11.0101)₂ = 53

Wir zerlegen die Zahl 3,2109375 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,2109375 = 3 + 0,2109375

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,2109375 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.2109375 -> 0.2109375⋅2 = 0.421875, da 0.421875<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.2109375⋅$\frac{1}{1}$ = 0.421875⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.2109375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.421875⋅$\frac{1}{2}$

0.421875 -> 0.421875⋅2 = 0.84375, da 0.84375<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.421875⋅$\frac{1}{2}$ = 0.84375⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.2109375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.84375⋅$\frac{1}{4}$

0.84375 -> 0.84375⋅2 = 1.6875, da 1.6875>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.84375⋅$\frac{1}{4}$ = 1.6875⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.2109375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.6875⋅$\frac{1}{8}$

0.6875 -> 0.6875⋅2 = 1.375, da 1.375>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.6875⋅$\frac{1}{8}$ = 1.375⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.2109375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.375⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.375 -> 0.375⋅2 = 0.75, da 0.75<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.375⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.2109375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.2109375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.2109375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.2109375 ist somit 0,0011011

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,2109375 = (11,0011.011)₂

Wir zerlegen die Zahl 2,609375 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 2,609375 = 2 + 0,609375

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 2 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 2 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

2

= 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 2 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 2 = ( 1⋅2 + 0)⋅1 = 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 2 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,609375 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.609375 -> 0.609375⋅2 = 1.21875, da 1.21875>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.609375⋅$\frac{1}{1}$ = 1.21875⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.609375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.21875⋅$\frac{1}{2}$

0.21875 -> 0.21875⋅2 = 0.4375, da 0.4375<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.21875⋅$\frac{1}{2}$ = 0.4375⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.609375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.4375⋅$\frac{1}{4}$

0.4375 -> 0.4375⋅2 = 0.875, da 0.875<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.4375⋅$\frac{1}{4}$ = 0.875⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.609375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.875⋅$\frac{1}{8}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{8}$ = 1.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.609375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.609375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.609375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.609375 ist somit 0,100111

Zusammen mit der 2 = (10)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 2,609375 = (10,1001.11)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(10,1001.11)₂ = (1,0100.111)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 2.609375 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 010.0111.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 6 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 6 = 6 + 0

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 6 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 6 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

6 = 4 + 2

= 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 6 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 6 = ( 3⋅2 + 0)⋅1 = 3⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 6 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 6 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0 -> 0⋅2 = 0, da 0<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0⋅$\frac{1}{1}$ = 0⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{2}$

Die Binärdarstellung von 0 ist somit 0,0

Zusammen mit der 6 = (110)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 6 = (110,0)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(110,0)₂ = (1,1)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 6 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 100.0000.0000.0000.0000.0000

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

																	(	1	1	1	.	0	1	1	1	)2
													+		(		1	1	0	0	.	1	0	1	0	)2
															1		1	1	1	1		1	1
														(	1		0	1	0	0		0	0	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1011)₂
zu (1001.0100)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	0	1	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	0	1		0	1	0	1	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.0010)₂
zu (1011.1101)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	1	.	1	1	0	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																								1
															(		1	0	1	1		1	1	1	0	)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.1100)₂ und -b = (1011.1110)₂ addieren:

															(		0	1	1	0	.	1	1	0	0	)2
													+		(		1	0	1	1	.	1	1	1	0	)2
															1		1	1	1	1		1
														(	1		0	0	1	0		1	0	1	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0010.1010)₂

Der zweite Faktor (100.1001)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																								(	1	)2
																				(		1	0	0	0	)2
														+			(	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
																	(	1	0	0		1	0	0	1	)2

somit gilt:

(101.0111)₂ ⋅ (100.1001)₂ = 101.0111 ⋅ (100.0000 + 1000 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.0111)₂ ⋅ (100.1001)₂ = (1.0101.1100.0000)₂ + (10.1011.1000)₂ + (101.0111)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

																	(	1	0	1	.	0	1	1	1	)2
										+			(	1	0	.	1	0	1	1	.	1	0	0	0	)2
															1		1	1	1
													(	1	1		0	0	0	0		1	1	1	1	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

													(	1	1	.	0	0	0	0	.	1	1	1	1	)2
							+		(	1	.	0	1	0	1	.	1	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
												1	1	1
									(	1		1	0	0	0		1	1	0	0		1	1	1	1	)2

Das Ergebnis ist somit: (1.1000.1100.1111)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 87 ⋅ 73 = 6351)

1

0

0

1

1

0

1

0

:

1

1

1

0

=

1

0

1

1

-

1

1

1

0

0

1

0

1

0

-

0

0

0

0

1

0

1

0

1

-

1

1

1

0

0

1

1

1

0

-

1

1

1

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 154 : 14 = 11)