Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(1)₁₆ = 1 = 1 = 1⋅1 = (1)₂

(1)₁₆ = 1 = 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0001)₂

(C)₁₆ = 12 = 8 + 4 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (1100)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (11C)₁₆ = (1.0001.1100)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0001.1100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 284

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.1100)₂ = 284

Wir zerlegen die Zahl 6,984375 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 6,984375 = 6 + 0,984375

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 6 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 6 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

6 = 4 + 2

= 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 6 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 6 = ( 3⋅2 + 0)⋅1 = 3⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 6 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 6 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,984375 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.984375 -> 0.984375⋅2 = 1.96875, da 1.96875>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.984375⋅$\frac{1}{1}$ = 1.96875⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.984375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.96875⋅$\frac{1}{2}$

0.96875 -> 0.96875⋅2 = 1.9375, da 1.9375>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.96875⋅$\frac{1}{2}$ = 1.9375⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.984375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.9375⋅$\frac{1}{4}$

0.9375 -> 0.9375⋅2 = 1.875, da 1.875>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.9375⋅$\frac{1}{4}$ = 1.875⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.984375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.875⋅$\frac{1}{8}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{8}$ = 1.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.984375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.984375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.984375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.984375 ist somit 0,111111

Zusammen mit der 6 = (110)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 6,984375 = (110,1111.11)₂

Wir zerlegen die Zahl 2,21875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 2,21875 = 2 + 0,21875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 2 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 2 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

2

= 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 2 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 2 = ( 1⋅2 + 0)⋅1 = 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 2 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,21875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.21875 -> 0.21875⋅2 = 0.4375, da 0.4375<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.21875⋅$\frac{1}{1}$ = 0.4375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.21875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.4375⋅$\frac{1}{2}$

0.4375 -> 0.4375⋅2 = 0.875, da 0.875<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.4375⋅$\frac{1}{2}$ = 0.875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.21875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.875⋅$\frac{1}{4}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{4}$ = 1.75⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.21875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.75⋅$\frac{1}{8}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{8}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.21875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.21875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

Die Binärdarstellung von 0.21875 ist somit 0,00111

Zusammen mit der 2 = (10)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 2,21875 = (10,0011.1)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(10,0011.1)₂ = (1,0001.11)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 2.21875 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 000.1110.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 14,45 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 14,45 = 14 + 0,45

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 14 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 14 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

14 = 8 + 6
= 8 + 4 + 2

= 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 14 = (1110)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 14 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

14 -> 14:2 = 7 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

14 = 7⋅2 + 0, also 14 = ( 7⋅2 + 0)⋅1 = 7⋅2 + 0⋅1

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 14 = ( 3⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 3⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 14 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 14 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 14 = (1110)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,45 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.45 -> 0.45⋅2 = 0.9, da 0.9<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.45⋅$\frac{1}{1}$ = 0.9⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.45 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.9⋅$\frac{1}{2}$

0.9 -> 0.9⋅2 = 1.8, da 1.8>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.9⋅$\frac{1}{2}$ = 1.8⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.45 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.8⋅$\frac{1}{4}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{4}$ = 1.6⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.45 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.6⋅$\frac{1}{8}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{8}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.45 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.45 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.45 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.45 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die 0.8 (und dann 0.8⋅2 = 1.6) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.8, 0.6, 0.2 und 0.4 mit den Binärzahlen 1100.

Die Binärdarstellung von 0.45 ist somit (0,0111.0011.0011.0011.0011.0011.0011.001)₂

Zusammen mit der 14 = (1110)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 14,45 = (1110,0111.0011.0011.0011.0011.0011.0011)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1110,0111.0011.0011.0011.0011.0011.0011)₂ = (1,1100.1110.0110.0110.0110.0110.0110.011)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 14.45 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 110.0111.0011.0011.0011.0011

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	1	1	1	.	0	0	0	1	)2
													+		(		1	0	0	1	.	1	0	0	0	)2
															1		1	1	1
														(	1		1	0	0	0		1	0	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.1101)₂
zu (1011.0010)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	1	.	0	0	1	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	1	1		0	0	1	1	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0000.1111)₂
zu (1111.0000)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	1	1	.	0	0	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	1	1		0	0	0	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.1111)₂ und -b = (1111.0001)₂ addieren:

															(		0	1	1	0	.	1	1	1	1	)2
													+		(		1	1	1	1	.	0	0	0	1	)2
															1		1	1	1	1		1	1	1
														(	1		0	1	1	0		0	0	0	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0110.0000)₂

Der zweite Faktor (10.1100)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																						(	1	0	0	)2
																				(		1	0	0	0	)2
															+			(	1	0	.	0	0	0	0	)2
																		(	1	0		1	1	0	0	)2

somit gilt:

(100.0111)₂ ⋅ (10.1100)₂ = 100.0111 ⋅ (10.0000 + 1000 + 100)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(100.0111)₂ ⋅ (10.1100)₂ = (1000.1110.0000)₂ + (10.0011.1000)₂ + (1.0001.1100)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

														(	1	.	0	0	0	1	.	1	1	0	0	)2
										+			(	1	0	.	0	0	1	1	.	1	0	0	0	)2
																		1	1	1
													(	1	1		0	1	0	1		0	1	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

													(	1	1	.	0	1	0	1	.	0	1	0	0	)2
								+		(		1	0	0	0	.	1	1	1	0	.	0	0	0	0	)2
													1	1	1		1
										(		1	1	0	0		0	0	1	1		0	1	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (1100.0011.0100)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 71 ⋅ 44 = 3124)

1

1

0

0

0

1

1

0

:

1

0

1

1

=

1

0

0

1

0

-

1

0

1

1

0

0

0

1

0

-

0

0

0

0

0

0

1

0

1

-

0

0

0

0

0

1

0

1

1

-

1

0

1

1

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 198 : 11 = 18)