Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8= 13

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1101)₂ = 13

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1101)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 13 = (D)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1101)₂ = (D)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 4,8203125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 4,8203125 = 4 + 0,8203125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 4 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 4 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

4

= 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 4 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 4 = ( 2⋅2 + 0)⋅1 = 2⋅2 + 0⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 4 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 4 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,8203125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.8203125 -> 0.8203125⋅2 = 1.640625, da 1.640625>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.8203125⋅$\frac{1}{1}$ = 1.640625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.640625⋅$\frac{1}{2}$

0.640625 -> 0.640625⋅2 = 1.28125, da 1.28125>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.640625⋅$\frac{1}{2}$ = 1.28125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.28125⋅$\frac{1}{4}$

0.28125 -> 0.28125⋅2 = 0.5625, da 0.5625<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.28125⋅$\frac{1}{4}$ = 0.5625⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.5625⋅$\frac{1}{8}$

0.5625 -> 0.5625⋅2 = 1.125, da 1.125>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.5625⋅$\frac{1}{8}$ = 1.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.8203125 ist somit 0,1101001

Zusammen mit der 4 = (100)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 4,8203125 = (100,1101.001)₂

Wir zerlegen die Zahl 6,390625 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 6,390625 = 6 + 0,390625

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 6 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 6 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

6 = 4 + 2

= 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 6 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 6 = ( 3⋅2 + 0)⋅1 = 3⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 6 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 6 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,390625 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.390625 -> 0.390625⋅2 = 0.78125, da 0.78125<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.390625⋅$\frac{1}{1}$ = 0.78125⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.390625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.78125⋅$\frac{1}{2}$

0.78125 -> 0.78125⋅2 = 1.5625, da 1.5625>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.78125⋅$\frac{1}{2}$ = 1.5625⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.390625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.5625⋅$\frac{1}{4}$

0.5625 -> 0.5625⋅2 = 1.125, da 1.125>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.5625⋅$\frac{1}{4}$ = 1.125⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.390625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.125⋅$\frac{1}{8}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{8}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.390625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.390625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.390625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.390625 ist somit 0,011001

Zusammen mit der 6 = (110)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 6,390625 = (110,0110.01)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(110,0110.01)₂ = (1,1001.1001)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 6.390625 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 100.1100.1000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 11,25 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 11,25 = 11 + 0,25

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 11 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 11 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

11 = 8 + 3
= 8 + 2 + 1

= 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 11 = (1011)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 11 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

11 -> 11:2 = 5 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

11 = 5⋅2 + 1, also 11 = ( 5⋅2 + 1)⋅1 = 5⋅2 + 1⋅1

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 11 = ( 2⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 2⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 11 = ( 1⋅2 + 0)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 11 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 11 = (1011)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,25 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{1}$ = 0.5⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.25 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.5⋅$\frac{1}{2}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{2}$ = 1⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.25 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$

Die Binärdarstellung von 0.25 ist somit 0,01

Zusammen mit der 11 = (1011)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 11,25 = (1011,01)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1011,01)₂ = (1,0110.1)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 11.25 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 011.0100.0000.0000.0000.0000

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	1	1	0	.	1	1	0	1	)2
												+		(	1	.	0	0	1	0	.	0	1	0	0	)2
														1	1		1	1		1		1
													(	1	0		0	0	0	1		0	0	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.1100)₂
zu (1000.0011)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	0	.	0	0	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																							1	1
															(		1	0	0	0		0	1	0	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.1111)₂
zu (1110.0000)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	1	0	.	0	0	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	1	0		0	0	0	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0100.1001)₂ und -b = (1110.0001)₂ addieren:

															(		0	1	0	0	.	1	0	0	1	)2
													+		(		1	1	1	0	.	0	0	0	1	)2
															1		1							1
														(	1		0	0	1	0		1	0	1	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0010.1010)₂

Der zweite Faktor (1110.0000)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																		(	1	0	.	0	0	0	0	)2
																	(	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
													+		(		1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
															(		1	1	1	0		0	0	0	0	)2

somit gilt:

(111.0110)₂ ⋅ (1110.0000)₂ = 111.0110 ⋅ (1000.0000 + 100.0000 + 10.0000)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.0110)₂ ⋅ (1110.0000)₂ = (11.1011.0000.0000)₂ + (1.1101.1000.0000)₂ + (1110.1100.0000)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

										(		1	1	1	0	.	1	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
							+		(	1	.	1	1	0	1	.	1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
									1	1		1	1	1	1
								(	1	0		1	1	0	0		0	1	0	0		0	0	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

								(	1	0	.	1	1	0	0	.	0	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
					+			(	1	1	.	1	0	1	1	.	0	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
								1	1	1
							(	1	1	0		0	1	1	1		0	1	0	0		0	0	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (110.0111.0100.0000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 118 ⋅ 224 = 26432)

1

1

1

1

0

0

0

:

1

0

0

0

=

1

1

1

1

-

1

0

0

0

0

1

1

1

0

-

1

0

0

0

0

1

1

0

0

-

1

0

0

0

0

1

0

0

0

-

1

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 120 : 8 = 15)