Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 163 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

163 = 128 + 35
= 128 + 32 + 3
= 128 + 32 + 2 + 1

= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 163 = (1010.0011)₂

Um die Zahl 163 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 163 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1010)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)₁₆

(0011)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 3 = (3)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1010.0011)₂ = (A3)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 5,6953125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,6953125 = 5 + 0,6953125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

5 = 4 + 1

= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,6953125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.6953125 -> 0.6953125⋅2 = 1.390625, da 1.390625>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.6953125⋅$\frac{1}{1}$ = 1.390625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.6953125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.390625⋅$\frac{1}{2}$

0.390625 -> 0.390625⋅2 = 0.78125, da 0.78125<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.390625⋅$\frac{1}{2}$ = 0.78125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.6953125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.78125⋅$\frac{1}{4}$

0.78125 -> 0.78125⋅2 = 1.5625, da 1.5625>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.78125⋅$\frac{1}{4}$ = 1.5625⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.6953125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.5625⋅$\frac{1}{8}$

0.5625 -> 0.5625⋅2 = 1.125, da 1.125>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.5625⋅$\frac{1}{8}$ = 1.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.6953125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.6953125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.6953125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.6953125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.6953125 ist somit 0,1011001

Zusammen mit der 5 = (101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,6953125 = (101,1011.001)₂

Wir zerlegen die Zahl 2,140625 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 2,140625 = 2 + 0,140625

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 2 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 2 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

2

= 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 2 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 2 = ( 1⋅2 + 0)⋅1 = 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 2 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,140625 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.140625 -> 0.140625⋅2 = 0.28125, da 0.28125<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.140625⋅$\frac{1}{1}$ = 0.28125⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.28125⋅$\frac{1}{2}$

0.28125 -> 0.28125⋅2 = 0.5625, da 0.5625<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.28125⋅$\frac{1}{2}$ = 0.5625⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.5625⋅$\frac{1}{4}$

0.5625 -> 0.5625⋅2 = 1.125, da 1.125>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.5625⋅$\frac{1}{4}$ = 1.125⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.125⋅$\frac{1}{8}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{8}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.140625 ist somit 0,001001

Zusammen mit der 2 = (10)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 2,140625 = (10,0010.01)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(10,0010.01)₂ = (1,0001.001)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 2.140625 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 000.1001.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 3,25 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,25 = 3 + 0,25

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,25 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{1}$ = 0.5⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.25 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.5⋅$\frac{1}{2}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{2}$ = 1⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.25 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$

Die Binärdarstellung von 0.25 ist somit 0,01

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,25 = (11,01)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(11,01)₂ = (1,101)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 3.25 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 101.0000.0000.0000.0000.0000

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

														(	1	.	0	0	0	1	.	1	1	1	1	)2
													+		(		1	1	1	0	.	1	1	1	0	)2
														1	1		1	1	1	1		1	1
													(	1	0		0	0	0	0		1	1	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.0010)₂
zu (1001.1101)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	1	1	0	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																								1
															(		1	0	0	1		1	1	1	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0101.1011)₂
zu (1010.0100)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	0	.	0	1	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	1	0		0	1	0	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.0111)₂ und -b = (1010.0101)₂ addieren:

															(		0	1	1	0	.	0	1	1	1	)2
													+		(		1	0	1	0	.	0	1	0	1	)2
															1		1	1				1	1	1
														(	1		0	0	0	0		1	1	0	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0000.1100)₂

Der zweite Faktor (101.0100)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																						(	1	0	0	)2
																			(	1	.	0	0	0	0	)2
														+			(	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
																	(	1	0	1		0	1	0	0	)2

somit gilt:

(110.1111)₂ ⋅ (101.0100)₂ = 110.1111 ⋅ (100.0000 + 1.0000 + 100)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.1111)₂ ⋅ (101.0100)₂ = (1.1011.1100.0000)₂ + (110.1111.0000)₂ + (1.1011.1100)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

														(	1	.	1	0	1	1	.	1	1	0	0	)2
									+			(	1	1	0	.	1	1	1	1	.	0	0	0	0	)2
												1	1	1	1		1	1	1
										(		1	0	0	0		1	0	1	0		1	1	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

										(		1	0	0	0	.	1	0	1	0	.	1	1	0	0	)2
							+		(	1	.	1	0	1	1	.	1	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
									1	1			1	1	1
								(	1	0		0	1	0	0		0	1	1	0		1	1	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (10.0100.0110.1100)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 111 ⋅ 84 = 9324)

1

1

0

0

1

0

0

0

:

1

0

0

0

=

1

1

0

0

1

-

1

0

0

0

0

1

0

0

1

-

1

0

0

0

0

0

0

1

0

-

0

0

0

0

0

0

1

0

0

-

0

0

0

0

0

1

0

0

0

-

1

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 200 : 8 = 25)