Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(2)₁₆ = 2 = 2 = 1⋅2 + 0⋅1 = (10)₂

(E)₁₆ = 14 = 8 + 4 + 2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (1110)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (2E)₁₆ = (10.1110)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(10.1110)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 46

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.1110)₂ = 46

Wir zerlegen die Zahl 7,8359375 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,8359375 = 7 + 0,8359375

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

7 = 4 + 3
= 4 + 2 + 1

= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,8359375 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.8359375 -> 0.8359375⋅2 = 1.671875, da 1.671875>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.8359375⋅$\frac{1}{1}$ = 1.671875⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.8359375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.671875⋅$\frac{1}{2}$

0.671875 -> 0.671875⋅2 = 1.34375, da 1.34375>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.671875⋅$\frac{1}{2}$ = 1.34375⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.8359375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.34375⋅$\frac{1}{4}$

0.34375 -> 0.34375⋅2 = 0.6875, da 0.6875<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.34375⋅$\frac{1}{4}$ = 0.6875⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.8359375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.6875⋅$\frac{1}{8}$

0.6875 -> 0.6875⋅2 = 1.375, da 1.375>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.6875⋅$\frac{1}{8}$ = 1.375⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.8359375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.375⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.375 -> 0.375⋅2 = 0.75, da 0.75<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.375⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.8359375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.8359375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.8359375 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.8359375 ist somit 0,1101011

Zusammen mit der 7 = (111)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,8359375 = (111,1101.011)₂

Wir zerlegen die Zahl 7,0078125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,0078125 = 7 + 0,0078125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

7 = 4 + 3
= 4 + 2 + 1

= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,0078125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.0078125 -> 0.0078125⋅2 = 0.015625, da 0.015625<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.0078125⋅$\frac{1}{1}$ = 0.015625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.0078125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.015625⋅$\frac{1}{2}$

0.015625 -> 0.015625⋅2 = 0.03125, da 0.03125<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.015625⋅$\frac{1}{2}$ = 0.03125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.0078125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.03125⋅$\frac{1}{4}$

0.03125 -> 0.03125⋅2 = 0.0625, da 0.0625<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.03125⋅$\frac{1}{4}$ = 0.0625⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.0078125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.0625⋅$\frac{1}{8}$

0.0625 -> 0.0625⋅2 = 0.125, da 0.125<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.0625⋅$\frac{1}{8}$ = 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.0078125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.0078125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.0078125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.0078125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.0078125 ist somit 0,0000001

Zusammen mit der 7 = (111)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,0078125 = (111,0000.001)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(111,0000.001)₂ = (1,1100.0000.1)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 7.0078125 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 110.0000.0100.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 14,4 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 14,4 = 14 + 0,4

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 14 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 14 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

14 = 8 + 6
= 8 + 4 + 2

= 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 14 = (1110)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 14 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

14 -> 14:2 = 7 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

14 = 7⋅2 + 0, also 14 = ( 7⋅2 + 0)⋅1 = 7⋅2 + 0⋅1

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 14 = ( 3⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 3⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 14 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 14 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 14 = (1110)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,4 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{1}$ = 0.8⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.4 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.8⋅$\frac{1}{2}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{2}$ = 1.6⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.4 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.6⋅$\frac{1}{4}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{4}$ = 1.2⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.4 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.2⋅$\frac{1}{8}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{8}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.4 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.4 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.4 ist somit (0,0110.0110.0110.0110.0110.0110.0110.011)₂

Zusammen mit der 14 = (1110)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 14,4 = (1110,0110.0110.0110.0110.0110.0110.0110)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1110,0110.0110.0110.0110.0110.0110.0110)₂ = (1,1100.1100.1100.1100.1100.1100.1100.110)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 14.4 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 110.0110.0110.0110.0110.0110

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	0	0	1	.	0	1	1	1	)2
														+			(	1	1	1	.	1	1	1	0	)2
															1		1	1	1	1		1	1
														(	1		0	0	0	1		0	1	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0101.1010)₂
zu (1010.0101)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	0	.	0	1	0	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																								1
															(		1	0	1	0		0	1	1	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0011.1101)₂
zu (1100.0010)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	0	0	.	0	0	1	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	0	0		0	0	1	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0100.0100)₂ und -b = (1100.0011)₂ addieren:

															(		0	1	0	0	.	0	1	0	0	)2
													+		(		1	1	0	0	.	0	0	1	1	)2
															1		1
														(	1		0	0	0	0		0	1	1	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0000.0111)₂

Der zweite Faktor (1001)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																								(	1	)2
																		+		(		1	0	0	0	)2
																				(		1	0	0	1	)2

somit gilt:

(100.0011)₂ ⋅ (1001)₂ = 100.0011 ⋅ (1000 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(100.0011)₂ ⋅ (1001)₂ = (10.0001.1000)₂ + (100.0011)₂

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

																	(	1	0	0	.	0	0	1	1	)2
										+			(	1	0	.	0	0	0	1	.	1	0	0	0	)2
													(	1	0		0	1	0	1		1	0	1	1	)2

Das Ergebnis ist somit: (10.0101.1011)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 67 ⋅ 9 = 603)

1

0

1

1

0

0

0

0

:

1

0

1

1

=

1

0

0

0

0

-

1

0

1

1

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 176 : 11 = 16)