Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 280 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

280 = 256 + 24
= 256 + 16 + 8

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 280 = (1.0001.1000)₂

Um die Zahl 280 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 280 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)₂ = 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

(0001)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

(1000)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 8 = (8)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0001.1000)₂ = (118)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 4,2265625 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 4,2265625 = 4 + 0,2265625

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 4 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 4 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

4

= 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 4 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 4 = ( 2⋅2 + 0)⋅1 = 2⋅2 + 0⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 4 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 4 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,2265625 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.2265625 -> 0.2265625⋅2 = 0.453125, da 0.453125<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.2265625⋅$\frac{1}{1}$ = 0.453125⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.2265625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.453125⋅$\frac{1}{2}$

0.453125 -> 0.453125⋅2 = 0.90625, da 0.90625<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.453125⋅$\frac{1}{2}$ = 0.90625⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.2265625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.90625⋅$\frac{1}{4}$

0.90625 -> 0.90625⋅2 = 1.8125, da 1.8125>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.90625⋅$\frac{1}{4}$ = 1.8125⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.2265625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.8125⋅$\frac{1}{8}$

0.8125 -> 0.8125⋅2 = 1.625, da 1.625>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.8125⋅$\frac{1}{8}$ = 1.625⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.2265625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.625⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.625 -> 0.625⋅2 = 1.25, da 1.25>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.625⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.2265625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.2265625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.2265625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.2265625 ist somit 0,0011101

Zusammen mit der 4 = (100)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 4,2265625 = (100,0011.101)₂

Wir zerlegen die Zahl 5,421875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,421875 = 5 + 0,421875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

5 = 4 + 1

= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,421875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.421875 -> 0.421875⋅2 = 0.84375, da 0.84375<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.421875⋅$\frac{1}{1}$ = 0.84375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.84375⋅$\frac{1}{2}$

0.84375 -> 0.84375⋅2 = 1.6875, da 1.6875>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.84375⋅$\frac{1}{2}$ = 1.6875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.6875⋅$\frac{1}{4}$

0.6875 -> 0.6875⋅2 = 1.375, da 1.375>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.6875⋅$\frac{1}{4}$ = 1.375⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.375⋅$\frac{1}{8}$

0.375 -> 0.375⋅2 = 0.75, da 0.75<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.375⋅$\frac{1}{8}$ = 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.421875 ist somit 0,011011

Zusammen mit der 5 = (101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,421875 = (101,0110.11)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(101,0110.11)₂ = (1,0101.1011)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 5.421875 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 010.1101.1000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 9,6 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 9,6 = 9 + 0,6

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 9 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 9 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

9 = 8 + 1

= 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 9 = (1001)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 9 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

9 -> 9:2 = 4 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

9 = 4⋅2 + 1, also 9 = ( 4⋅2 + 1)⋅1 = 4⋅2 + 1⋅1

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 9 = ( 2⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 2⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 9 = ( 1⋅2 + 0)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 9 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 9 = (1001)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,6 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{1}$ = 1.2⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.2⋅$\frac{1}{2}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{2}$ = 0.4⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.4⋅$\frac{1}{4}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{4}$ = 0.8⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.8⋅$\frac{1}{8}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{8}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.6 ist somit (0,1001.1001.1001.1001.1001.1001.1001.100)₂

Zusammen mit der 9 = (1001)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 9,6 = (1001,1001.1001.1001.1001.1001.1001.1001)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1001,1001.1001.1001.1001.1001.1001.1001)₂ = (1,0011.0011.0011.0011.0011.0011.0011.001)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 9.6 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 001.1001.1001.1001.1001.1001

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	0	1	1	.	0	1	0	1	)2
														+			(	1	1	1	.	1	1	1	1	)2
															1		1	1	1	1		1	1	1
														(	1		0	0	1	1		0	1	0	0	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1110)₂
zu (1001.0001)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	0	0	0	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																								1
															(		1	0	0	1		0	0	1	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0010.0111)₂
zu (1101.1000)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	0	1	.	1	0	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	0	1		1	0	0	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0100.0110)₂ und -b = (1101.1001)₂ addieren:

															(		0	1	0	0	.	0	1	1	0	)2
													+		(		1	1	0	1	.	1	0	0	1	)2
															1		1
														(	1		0	0	0	1		1	1	1	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0001.1111)₂

Der zweite Faktor (100.0101)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																								(	1	)2
																						(	1	0	0	)2
														+			(	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
																	(	1	0	0		0	1	0	1	)2

somit gilt:

(100.0111)₂ ⋅ (100.0101)₂ = 100.0111 ⋅ (100.0000 + 100 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(100.0111)₂ ⋅ (100.0101)₂ = (1.0001.1100.0000)₂ + (1.0001.1100)₂ + (100.0111)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

																	(	1	0	0	.	0	1	1	1	)2
												+		(	1	.	0	0	0	1	.	1	1	0	0	)2
																			1	1		1
														(	1		0	1	1	0		0	0	1	1	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

														(	1	.	0	1	1	0	.	0	0	1	1	)2
							+		(	1	.	0	0	0	1	.	1	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
														1	1		1
									(	1		0	0	1	1		0	0	1	0		0	0	1	1	)2

Das Ergebnis ist somit: (1.0011.0010.0011)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 71 ⋅ 69 = 4899)

1

0

1

1

0

0

0

:

1

0

1

1

=

1

0

0

0

-

1

0

1

1

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 88 : 11 = 8)