Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(4)₁₆ = 4 = 4 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (100)₂

(B)₁₆ = 11 = 8 + 2 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (1011)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (4B)₁₆ = (100.1011)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(100.1011)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 75

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (100.1011)₂ = 75

Wir zerlegen die Zahl 7,1796875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,1796875 = 7 + 0,1796875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

7 = 4 + 3
= 4 + 2 + 1

= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,1796875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.1796875 -> 0.1796875⋅2 = 0.359375, da 0.359375<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.1796875⋅$\frac{1}{1}$ = 0.359375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.1796875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.359375⋅$\frac{1}{2}$

0.359375 -> 0.359375⋅2 = 0.71875, da 0.71875<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.359375⋅$\frac{1}{2}$ = 0.71875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.1796875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.71875⋅$\frac{1}{4}$

0.71875 -> 0.71875⋅2 = 1.4375, da 1.4375>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.71875⋅$\frac{1}{4}$ = 1.4375⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.1796875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.4375⋅$\frac{1}{8}$

0.4375 -> 0.4375⋅2 = 0.875, da 0.875<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.4375⋅$\frac{1}{8}$ = 0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.1796875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.1796875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.1796875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.1796875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.1796875 ist somit 0,0010111

Zusammen mit der 7 = (111)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,1796875 = (111,0010.111)₂

Wir zerlegen die Zahl 6,25 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 6,25 = 6 + 0,25

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 6 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 6 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

6 = 4 + 2

= 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 6 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 6 = ( 3⋅2 + 0)⋅1 = 3⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 6 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 6 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,25 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{1}$ = 0.5⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.25 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.5⋅$\frac{1}{2}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{2}$ = 1⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.25 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$

Die Binärdarstellung von 0.25 ist somit 0,01

Zusammen mit der 6 = (110)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 6,25 = (110,01)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(110,01)₂ = (1,1001)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 6.25 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 100.1000.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 13,65 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 13,65 = 13 + 0,65

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 13 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 13 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

13 = 8 + 5
= 8 + 4 + 1

= 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 13 = (1101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 13 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

13 -> 13:2 = 6 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

13 = 6⋅2 + 1, also 13 = ( 6⋅2 + 1)⋅1 = 6⋅2 + 1⋅1

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 13 = ( 3⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 3⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 13 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 13 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 13 = (1101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,65 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.65 -> 0.65⋅2 = 1.3, da 1.3>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.65⋅$\frac{1}{1}$ = 1.3⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.65 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.3⋅$\frac{1}{2}$

0.3 -> 0.3⋅2 = 0.6, da 0.6<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.3⋅$\frac{1}{2}$ = 0.6⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.65 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.6⋅$\frac{1}{4}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{4}$ = 1.2⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.65 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.2⋅$\frac{1}{8}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{8}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.65 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.65 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.65 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.65 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-8-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{256}}$, also ist 0.65 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{256}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{256}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-9-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{256}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{512}}$, also ist 0.65 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{256}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{512}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{512}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.65 ist somit (0,1010.0110.0110.0110.0110.0110.0110.011)₂

Zusammen mit der 13 = (1101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 13,65 = (1101,1010.0110.0110.0110.0110.0110.0110)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1101,1010.0110.0110.0110.0110.0110.0110)₂ = (1,1011.0100.1100.1100.1100.1100.1100.110)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 13.65 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 101.1010.0110.0110.0110.0110

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	0	1	1	.	1	0	0	0	)2
													+		(		1	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
															1
														(	1		0	1	1	1		1	0	0	0	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1100)₂
zu (1001.0011)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	0	0	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																							1	1
															(		1	0	0	1		0	1	0	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.1101)₂
zu (1110.0010)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	1	0	.	0	0	1	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	1	0		0	0	1	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.0101)₂ und -b = (1110.0011)₂ addieren:

															(		0	1	1	0	.	0	1	0	1	)2
													+		(		1	1	1	0	.	0	0	1	1	)2
															1		1	1				1	1	1
														(	1		0	1	0	0		1	0	0	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0100.1000)₂

Der zweite Faktor (11.1000)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																				(		1	0	0	0	)2
																			(	1	.	0	0	0	0	)2
															+			(	1	0	.	0	0	0	0	)2
																		(	1	1		1	0	0	0	)2

somit gilt:

(100.0011)₂ ⋅ (11.1000)₂ = 100.0011 ⋅ (10.0000 + 1.0000 + 1000)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(100.0011)₂ ⋅ (11.1000)₂ = (1000.0110.0000)₂ + (100.0011.0000)₂ + (10.0001.1000)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

													(	1	0	.	0	0	0	1	.	1	0	0	0	)2
									+			(	1	0	0	.	0	0	1	1	.	0	0	0	0	)2
																		1	1
												(	1	1	0		0	1	0	0		1	0	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

												(	1	1	0	.	0	1	0	0	.	1	0	0	0	)2
								+		(		1	0	0	0	.	0	1	1	0	.	0	0	0	0	)2
																	1
										(		1	1	1	0		1	0	1	0		1	0	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (1110.1010.1000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 67 ⋅ 56 = 3752)

1

0

0

0

0

0

1

0

0

:

1

0

1

0

=

1

1

0

1

0

-

1

0

1

0

0

1

1

0

0

-

1

0

1

0

0

0

1

0

1

-

0

0

0

0

0

1

0

1

0

-

1

0

1

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 260 : 10 = 26)