Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(11.0000)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32= 48

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (11.0000)₂ = 48

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(11)₂ = 1⋅2 + 1⋅1 = 3 = (3)₁₆

(0000)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0 = (0)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (11.0000)₂ = (30)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 3,65625 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,65625 = 3 + 0,65625

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,65625 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.65625 -> 0.65625⋅2 = 1.3125, da 1.3125>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.65625⋅$\frac{1}{1}$ = 1.3125⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.65625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.3125⋅$\frac{1}{2}$

0.3125 -> 0.3125⋅2 = 0.625, da 0.625<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.3125⋅$\frac{1}{2}$ = 0.625⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.65625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.625⋅$\frac{1}{4}$

0.625 -> 0.625⋅2 = 1.25, da 1.25>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.625⋅$\frac{1}{4}$ = 1.25⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.65625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.25⋅$\frac{1}{8}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{8}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.65625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.65625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

Die Binärdarstellung von 0.65625 ist somit 0,10101

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,65625 = (11,1010.1)₂

Wir zerlegen die Zahl 3,9296875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,9296875 = 3 + 0,9296875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,9296875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.9296875 -> 0.9296875⋅2 = 1.859375, da 1.859375>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.9296875⋅$\frac{1}{1}$ = 1.859375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.9296875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.859375⋅$\frac{1}{2}$

0.859375 -> 0.859375⋅2 = 1.71875, da 1.71875>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.859375⋅$\frac{1}{2}$ = 1.71875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.9296875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.71875⋅$\frac{1}{4}$

0.71875 -> 0.71875⋅2 = 1.4375, da 1.4375>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.71875⋅$\frac{1}{4}$ = 1.4375⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.9296875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.4375⋅$\frac{1}{8}$

0.4375 -> 0.4375⋅2 = 0.875, da 0.875<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.4375⋅$\frac{1}{8}$ = 0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.9296875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.9296875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.9296875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.9296875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.9296875 ist somit 0,1110111

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,9296875 = (11,1110.111)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(11,1110.111)₂ = (1,1111.0111)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 3.9296875 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 111.1011.1000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 7,8 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,8 = 7 + 0,8

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

7 = 4 + 3
= 4 + 2 + 1

= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,8 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{1}$ = 1.6⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.8 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.6⋅$\frac{1}{2}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{2}$ = 1.2⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.8 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.2⋅$\frac{1}{4}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{4}$ = 0.4⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.8 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.4⋅$\frac{1}{8}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{8}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.8 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.8 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

Die 0.8 (und dann 0.8⋅2 = 1.6) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.8, 0.6, 0.2 und 0.4 mit den Binärzahlen 1100.

Die Binärdarstellung von 0.8 ist somit (0,1100.1100.1100.1100.1100.1100.1100.110)₂

Zusammen mit der 7 = (111)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,8 = (111,1100.1100.1100.1100.1100.1100.1100.1)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(111,1100.1100.1100.1100.1100.1100.1100.1)₂ = (1,1111.0011.0011.0011.0011.0011.0011.001)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 7.8 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 111.1001.1001.1001.1001.1001

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	1	0	0	.	0	1	1	0	)2
														+			(	1	1	0	.	0	1	1	1	)2
															1		1					1	1
														(	1		0	0	1	0		1	1	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.0100)₂
zu (1011.1011)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	1	.	1	0	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																							1	1
															(		1	0	1	1		1	1	0	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.0110)₂
zu (1110.1001)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	1	0	.	1	0	0	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																								1
															(		1	1	1	0		1	0	1	0	)2

Jetzt können wir einfach a=(0100.1001)₂ und -b = (1110.1010)₂ addieren:

															(		0	1	0	0	.	1	0	0	1	)2
													+		(		1	1	1	0	.	1	0	1	0	)2
															1		1			1
														(	1		0	0	1	1		0	0	1	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.0011)₂

Der zweite Faktor (1001)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																								(	1	)2
																		+		(		1	0	0	0	)2
																				(		1	0	0	1	)2

somit gilt:

(101.1010)₂ ⋅ (1001)₂ = 101.1010 ⋅ (1000 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.1010)₂ ⋅ (1001)₂ = (10.1101.0000)₂ + (101.1010)₂

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

																	(	1	0	1	.	1	0	1	0	)2
										+			(	1	0	.	1	1	0	1	.	0	0	0	0	)2
															1		1		1
													(	1	1		0	0	1	0		1	0	1	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (11.0010.1010)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 90 ⋅ 9 = 810)

1

1

0

1

0

0

1

:

1

1

1

1

=

1

1

1

-

1

1

1

1

1

0

1

1

0

-

1

1

1

1

0

1

1

1

1

-

1

1

1

1

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 105 : 15 = 7)