Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(4)₁₆ = 4 = 4 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (100)₂

(4)₁₆ = 4 = 4 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (0100)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (44)₁₆ = (100.0100)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(100.0100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 68

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (100.0100)₂ = 68

Wir zerlegen die Zahl 4,5078125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 4,5078125 = 4 + 0,5078125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 4 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 4 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

4

= 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 4 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 4 = ( 2⋅2 + 0)⋅1 = 2⋅2 + 0⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 4 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 4 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,5078125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.5078125 -> 0.5078125⋅2 = 1.015625, da 1.015625>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.5078125⋅$\frac{1}{1}$ = 1.015625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.015625⋅$\frac{1}{2}$

0.015625 -> 0.015625⋅2 = 0.03125, da 0.03125<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.015625⋅$\frac{1}{2}$ = 0.03125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.03125⋅$\frac{1}{4}$

0.03125 -> 0.03125⋅2 = 0.0625, da 0.0625<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.03125⋅$\frac{1}{4}$ = 0.0625⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.0625⋅$\frac{1}{8}$

0.0625 -> 0.0625⋅2 = 0.125, da 0.125<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.0625⋅$\frac{1}{8}$ = 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.5078125 ist somit 0,1000001

Zusammen mit der 4 = (100)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 4,5078125 = (100,1000.001)₂

Wir zerlegen die Zahl 3,8203125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,8203125 = 3 + 0,8203125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,8203125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.8203125 -> 0.8203125⋅2 = 1.640625, da 1.640625>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.8203125⋅$\frac{1}{1}$ = 1.640625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.640625⋅$\frac{1}{2}$

0.640625 -> 0.640625⋅2 = 1.28125, da 1.28125>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.640625⋅$\frac{1}{2}$ = 1.28125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.28125⋅$\frac{1}{4}$

0.28125 -> 0.28125⋅2 = 0.5625, da 0.5625<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.28125⋅$\frac{1}{4}$ = 0.5625⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.5625⋅$\frac{1}{8}$

0.5625 -> 0.5625⋅2 = 1.125, da 1.125>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.5625⋅$\frac{1}{8}$ = 1.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.8203125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.8203125 ist somit 0,1101001

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,8203125 = (11,1101.001)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(11,1101.001)₂ = (1,1110.1001)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 3.8203125 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 111.0100.1000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 13,8 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 13,8 = 13 + 0,8

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 13 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 13 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

13 = 8 + 5
= 8 + 4 + 1

= 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 13 = (1101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 13 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

13 -> 13:2 = 6 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

13 = 6⋅2 + 1, also 13 = ( 6⋅2 + 1)⋅1 = 6⋅2 + 1⋅1

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 13 = ( 3⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 3⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 13 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 13 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 13 = (1101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,8 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{1}$ = 1.6⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.8 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.6⋅$\frac{1}{2}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{2}$ = 1.2⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.8 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.2⋅$\frac{1}{4}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{4}$ = 0.4⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.8 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.4⋅$\frac{1}{8}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{8}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.8 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.8 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

Die 0.8 (und dann 0.8⋅2 = 1.6) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.8, 0.6, 0.2 und 0.4 mit den Binärzahlen 1100.

Die Binärdarstellung von 0.8 ist somit (0,1100.1100.1100.1100.1100.1100.1100.110)₂

Zusammen mit der 13 = (1101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 13,8 = (1101,1100.1100.1100.1100.1100.1100.1100)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1101,1100.1100.1100.1100.1100.1100.1100)₂ = (1,1011.1001.1001.1001.1001.1001.1001.100)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 13.8 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 101.1100.1100.1100.1100.1100

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

														(	1	.	0	0	0	1	.	1	1	0	0	)2
													+		(		1	1	0	1	.	1	0	1	1	)2
																			1	1
														(	1		1	1	1	1		0	1	1	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.0111)₂
zu (1011.1000)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	1	.	1	0	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	1	1		1	0	0	1	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.0100)₂
zu (1011.1011)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	1	.	1	0	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																							1	1
															(		1	0	1	1		1	1	0	0	)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.0101)₂ und -b = (1011.1100)₂ addieren:

															(		0	1	1	0	.	0	1	0	1	)2
													+		(		1	0	1	1	.	1	1	0	0	)2
															1		1	1	1	1		1
														(	1		0	0	1	0		0	0	0	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0010.0001)₂

Der zweite Faktor (1100.1100)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																						(	1	0	0	)2
																				(		1	0	0	0	)2
																	(	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
													+		(		1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
															(		1	1	0	0		1	1	0	0	)2

somit gilt:

(110.0101)₂ ⋅ (1100.1100)₂ = 110.0101 ⋅ (1000.0000 + 100.0000 + 1000 + 100)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.0101)₂ ⋅ (1100.1100)₂ = (11.0010.1000.0000)₂ + (1.1001.0100.0000)₂ + (11.0010.1000)₂ + (1.1001.0100)₂

Diese 4 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

														(	1	.	1	0	0	1	.	0	1	0	0	)2
										+			(	1	1	.	0	0	1	0	.	1	0	0	0	)2
													1	1
												(	1	0	0		1	0	1	1		1	1	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

												(	1	0	0	.	1	0	1	1	.	1	1	0	0	)2
							+		(	1	.	1	0	0	1	.	0	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
									(	1		1	1	0	1		1	1	1	1		1	1	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

									(	1	.	1	1	0	1	.	1	1	1	1	.	1	1	0	0	)2
					+			(	1	1	.	0	0	1	0	.	1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
								1	1	1		1	1	1	1
							(	1	0	1		0	0	0	0		0	1	1	1		1	1	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (101.0000.0111.1100)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 101 ⋅ 204 = 20604)

1

0

0

1

0

0

0

1

0

:

1

0

1

0

=

1

1

1

0

1

-

1

0

1

0

1

0

0

0

0

-

1

0

1

0

0

1

1

0

0

-

1

0

1

0

0

0

1

0

1

-

0

0

0

0

0

1

0

1

0

-

1

0

1

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 290 : 10 = 29)