Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0010.0000)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 288

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0010.0000)₂ = 288

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)₂ = 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

(0010)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)₁₆

(0000)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0 = (0)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0010.0000)₂ = (120)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 2,328125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 2,328125 = 2 + 0,328125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 2 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 2 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

2

= 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 2 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 2 = ( 1⋅2 + 0)⋅1 = 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 2 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,328125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.328125 -> 0.328125⋅2 = 0.65625, da 0.65625<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.328125⋅$\frac{1}{1}$ = 0.65625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.328125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.65625⋅$\frac{1}{2}$

0.65625 -> 0.65625⋅2 = 1.3125, da 1.3125>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.65625⋅$\frac{1}{2}$ = 1.3125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.328125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.3125⋅$\frac{1}{4}$

0.3125 -> 0.3125⋅2 = 0.625, da 0.625<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.3125⋅$\frac{1}{4}$ = 0.625⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.328125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.625⋅$\frac{1}{8}$

0.625 -> 0.625⋅2 = 1.25, da 1.25>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.625⋅$\frac{1}{8}$ = 1.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.328125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.328125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.328125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.328125 ist somit 0,010101

Zusammen mit der 2 = (10)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 2,328125 = (10,0101.01)₂

Wir zerlegen die Zahl 3,5 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,5 = 3 + 0,5

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,5 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{1}$ = 1⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.5 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{2}$

Die Binärdarstellung von 0.5 ist somit 0,1

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,5 = (11,1)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(11,1)₂ = (1,11)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 3.5 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 110.0000.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 3 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3 = 3 + 0

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0 -> 0⋅2 = 0, da 0<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0⋅$\frac{1}{1}$ = 0⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{2}$

Die Binärdarstellung von 0 ist somit 0,0

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3 = (11,0)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(11,0)₂ = (1,1)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 3 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 100.0000.0000.0000.0000.0000

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	1	1	1	.	1	0	0	1	)2
													+		(		1	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
															1		1
														(	1		1	0	1	1		1	0	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1100)₂
zu (1001.0011)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	0	0	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																							1	1
															(		1	0	0	1		0	1	0	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.0011)₂
zu (1110.1100)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	1	0	.	1	1	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	1	0		1	1	0	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0100.0110)₂ und -b = (1110.1101)₂ addieren:

															(		0	1	0	0	.	0	1	1	0	)2
													+		(		1	1	1	0	.	1	1	0	1	)2
															1		1			1		1
														(	1		0	0	1	1		0	0	1	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.0011)₂

Der zweite Faktor (11)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																								(	1	)2
																				+			(	1	0	)2
																							(	1	1	)2

somit gilt:

(101.0011)₂ ⋅ (11)₂ = 101.0011 ⋅ (10 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.0011)₂ ⋅ (11)₂ = (1010.0110)₂ + (101.0011)₂

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

																	(	1	0	1	.	0	0	1	1	)2
													+		(		1	0	1	0	.	0	1	1	0	)2
																						1	1
															(		1	1	1	1		1	0	0	1	)2

Das Ergebnis ist somit: (1111.1001)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 83 ⋅ 3 = 249)

1

0

0

1

1

1

0

0

0

:

1

1

0

1

=

1

1

0

0

0

-

1

1

0

1

0

1

1

0

1

-

1

1

0

1

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 312 : 13 = 24)