Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 246 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

246 = 128 + 118
= 128 + 64 + 54
= 128 + 64 + 32 + 22
= 128 + 64 + 32 + 16 + 6
= 128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2

= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 246 = (1111.0110)₂

Um die Zahl 246 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 246 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1111)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 15 = (F)₁₆

(0110)₂ = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1111.0110)₂ = (F6)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 3,6015625 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,6015625 = 3 + 0,6015625

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,6015625 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.6015625 -> 0.6015625⋅2 = 1.203125, da 1.203125>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.6015625⋅$\frac{1}{1}$ = 1.203125⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.6015625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.203125⋅$\frac{1}{2}$

0.203125 -> 0.203125⋅2 = 0.40625, da 0.40625<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.203125⋅$\frac{1}{2}$ = 0.40625⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.6015625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.40625⋅$\frac{1}{4}$

0.40625 -> 0.40625⋅2 = 0.8125, da 0.8125<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.40625⋅$\frac{1}{4}$ = 0.8125⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.6015625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.8125⋅$\frac{1}{8}$

0.8125 -> 0.8125⋅2 = 1.625, da 1.625>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.8125⋅$\frac{1}{8}$ = 1.625⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.6015625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.625⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.625 -> 0.625⋅2 = 1.25, da 1.25>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.625⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.6015625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.6015625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.6015625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.6015625 ist somit 0,1001101

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,6015625 = (11,1001.101)₂

Wir zerlegen die Zahl 7,5078125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,5078125 = 7 + 0,5078125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

7 = 4 + 3
= 4 + 2 + 1

= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,5078125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.5078125 -> 0.5078125⋅2 = 1.015625, da 1.015625>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.5078125⋅$\frac{1}{1}$ = 1.015625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.015625⋅$\frac{1}{2}$

0.015625 -> 0.015625⋅2 = 0.03125, da 0.03125<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.015625⋅$\frac{1}{2}$ = 0.03125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.03125⋅$\frac{1}{4}$

0.03125 -> 0.03125⋅2 = 0.0625, da 0.0625<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.03125⋅$\frac{1}{4}$ = 0.0625⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.0625⋅$\frac{1}{8}$

0.0625 -> 0.0625⋅2 = 0.125, da 0.125<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.0625⋅$\frac{1}{8}$ = 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.5078125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.5078125 ist somit 0,1000001

Zusammen mit der 7 = (111)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,5078125 = (111,1000.001)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(111,1000.001)₂ = (1,1110.0000.1)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 7.5078125 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 111.0000.0100.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 8,2 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 8,2 = 8 + 0,2

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 8 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 8 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

8

= 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 8 = (1000)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 8 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

8 -> 8:2 = 4 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

8 = 4⋅2 + 0, also 8 = ( 4⋅2 + 0)⋅1 = 4⋅2 + 0⋅1

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 8 = ( 2⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 2⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 8 = ( 1⋅2 + 0)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 8 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 8 = (1000)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,2 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{1}$ = 0.4⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.2 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.4⋅$\frac{1}{2}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{2}$ = 0.8⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.2 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.8⋅$\frac{1}{4}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{4}$ = 1.6⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.2 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.6⋅$\frac{1}{8}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{8}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.2 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.2 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.2 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.2 ist somit (0,0011.0011.0011.0011.0011.0011.0011.001)₂

Zusammen mit der 8 = (1000)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 8,2 = (1000,0011.0011.0011.0011.0011.0011.0011)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1000,0011.0011.0011.0011.0011.0011.0011)₂ = (1,0000.0110.0110.0110.0110.0110.0110.011)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 8.2 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 000.0011.0011.0011.0011.0011

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	0	0	1	.	0	1	1	1	)2
													+		(		1	1	1	1	.	0	1	1	0	)2
															1		1	1	1			1	1
														(	1		1	0	0	0		1	1	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.0011)₂
zu (1001.1100)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	1	1	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	0	1		1	1	0	1	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.1010)₂
zu (1110.0101)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	1	0	.	0	1	0	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																								1
															(		1	1	1	0		0	1	1	0	)2

Jetzt können wir einfach a=(0111.0011)₂ und -b = (1110.0110)₂ addieren:

															(		0	1	1	1	.	0	0	1	1	)2
													+		(		1	1	1	0	.	0	1	1	0	)2
															1		1	1				1	1
														(	1		0	1	0	1		1	0	0	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0101.1001)₂

Der zweite Faktor (111.0000)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																			(	1	.	0	0	0	0	)2
																		(	1	0	.	0	0	0	0	)2
														+			(	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
																	(	1	1	1		0	0	0	0	)2

somit gilt:

(110.1010)₂ ⋅ (111.0000)₂ = 110.1010 ⋅ (100.0000 + 10.0000 + 1.0000)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.1010)₂ ⋅ (111.0000)₂ = (1.1010.1000.0000)₂ + (1101.0100.0000)₂ + (110.1010.0000)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

												(	1	1	0	.	1	0	1	0	.	0	0	0	0	)2
								+		(		1	1	0	1	.	0	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
										1		1
									(	1		0	0	1	1		1	1	1	0		0	0	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

									(	1	.	0	0	1	1	.	1	1	1	0	.	0	0	0	0	)2
							+		(	1	.	1	0	1	0	.	1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
									1				1	1	1
								(	1	0		1	1	1	0		0	1	1	0		0	0	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (10.1110.0110.0000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 106 ⋅ 112 = 11872)

1

1

1

1

1

1

0

1

:

1

0

1

1

=

1

0

1

1

1

-

1

0

1

1

0

1

0

0

1

-

0

0

0

0

1

0

0

1

1

-

1

0

1

1

1

0

0

0

0

-

1

0

1

1

0

1

0

1

1

-

1

0

1

1

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 253 : 11 = 23)