Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 199 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

199 = 128 + 71
= 128 + 64 + 7
= 128 + 64 + 4 + 3
= 128 + 64 + 4 + 2 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 199 = (1100.0111)₂

Um die Zahl 199 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 199 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1100)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)₁₆

(0111)₂ = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 7 = (7)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1100.0111)₂ = (C7)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 5,421875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,421875 = 5 + 0,421875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

5 = 4 + 1

= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,421875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.421875 -> 0.421875⋅2 = 0.84375, da 0.84375<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.421875⋅$\frac{1}{1}$ = 0.84375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.84375⋅$\frac{1}{2}$

0.84375 -> 0.84375⋅2 = 1.6875, da 1.6875>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.84375⋅$\frac{1}{2}$ = 1.6875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.6875⋅$\frac{1}{4}$

0.6875 -> 0.6875⋅2 = 1.375, da 1.375>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.6875⋅$\frac{1}{4}$ = 1.375⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.375⋅$\frac{1}{8}$

0.375 -> 0.375⋅2 = 0.75, da 0.75<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.375⋅$\frac{1}{8}$ = 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.421875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.421875 ist somit 0,011011

Zusammen mit der 5 = (101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,421875 = (101,0110.11)₂

Wir zerlegen die Zahl 7,6328125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,6328125 = 7 + 0,6328125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

7 = 4 + 3
= 4 + 2 + 1

= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,6328125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.6328125 -> 0.6328125⋅2 = 1.265625, da 1.265625>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.6328125⋅$\frac{1}{1}$ = 1.265625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.6328125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.265625⋅$\frac{1}{2}$

0.265625 -> 0.265625⋅2 = 0.53125, da 0.53125<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.265625⋅$\frac{1}{2}$ = 0.53125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.6328125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.53125⋅$\frac{1}{4}$

0.53125 -> 0.53125⋅2 = 1.0625, da 1.0625>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.53125⋅$\frac{1}{4}$ = 1.0625⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.6328125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.0625⋅$\frac{1}{8}$

0.0625 -> 0.0625⋅2 = 0.125, da 0.125<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.0625⋅$\frac{1}{8}$ = 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.6328125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.6328125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.6328125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.6328125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.6328125 ist somit 0,1010001

Zusammen mit der 7 = (111)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,6328125 = (111,1010.001)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(111,1010.001)₂ = (1,1110.1000.1)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 7.6328125 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 111.0100.0100.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 10,9 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 10,9 = 10 + 0,9

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 10 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 10 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

10 = 8 + 2

= 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 10 = (1010)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 10 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

10 -> 10:2 = 5 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

10 = 5⋅2 + 0, also 10 = ( 5⋅2 + 0)⋅1 = 5⋅2 + 0⋅1

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 10 = ( 2⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 2⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 10 = ( 1⋅2 + 0)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 10 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 10 = (1010)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,9 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.9 -> 0.9⋅2 = 1.8, da 1.8>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.9⋅$\frac{1}{1}$ = 1.8⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.8⋅$\frac{1}{2}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{2}$ = 1.6⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.6⋅$\frac{1}{4}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{4}$ = 1.2⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.2⋅$\frac{1}{8}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{8}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die 0.8 (und dann 0.8⋅2 = 1.6) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.8, 0.6, 0.2 und 0.4 mit den Binärzahlen 1100.

Die Binärdarstellung von 0.9 ist somit (0,1110.0110.0110.0110.0110.0110.0110.011)₂

Zusammen mit der 10 = (1010)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 10,9 = (1010,1110.0110.0110.0110.0110.0110.0110)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1010,1110.0110.0110.0110.0110.0110.0110)₂ = (1,0101.1100.1100.1100.1100.1100.1100.110)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 10.9 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 010.1110.0110.0110.0110.0110

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

														(	1	.	0	0	0	0	.	1	1	0	1	)2
													+		(		1	1	0	0	.	1	0	1	0	)2
																				1
														(	1		1	1	0	1		0	1	1	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0101.0000)₂
zu (1010.1111)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	0	.	1	1	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																				1		1	1	1
															(		1	0	1	1		0	0	0	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0011.1011)₂
zu (1100.0100)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	0	0	.	0	1	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	0	0		0	1	0	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0111.0001)₂ und -b = (1100.0101)₂ addieren:

															(		0	1	1	1	.	0	0	0	1	)2
													+		(		1	1	0	0	.	0	1	0	1	)2
															1		1							1
														(	1		0	0	1	1		0	1	1	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.0110)₂

Der zweite Faktor (10.0001)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																								(	1	)2
															+			(	1	0	.	0	0	0	0	)2
																		(	1	0		0	0	0	1	)2

somit gilt:

(111.1001)₂ ⋅ (10.0001)₂ = 111.1001 ⋅ (10.0000 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.1001)₂ ⋅ (10.0001)₂ = (1111.0010.0000)₂ + (111.1001)₂

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

																	(	1	1	1	.	1	0	0	1	)2
								+		(		1	1	1	1	.	0	0	1	0	.	0	0	0	0	)2
																	1	1
										(		1	1	1	1		1	0	0	1		1	0	0	1	)2

Das Ergebnis ist somit: (1111.1001.1001)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 121 ⋅ 33 = 3993)

1

1

1

0

1

0

1

:

1

0

0

1

=

1

1

0

1

-

1

0

0

1

0

1

0

1

1

-

1

0

0

1

0

0

1

0

0

-

0

0

0

0

0

1

0

0

1

-

1

0

0

1

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 117 : 9 = 13)