Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 218 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

218 = 128 + 90
= 128 + 64 + 26
= 128 + 64 + 16 + 10
= 128 + 64 + 16 + 8 + 2

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 218 = (1101.1010)₂

Um die Zahl 218 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 218 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1101)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 13 = (D)₁₆

(1010)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1101.1010)₂ = (DA)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 7,3046875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,3046875 = 7 + 0,3046875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

7 = 4 + 3
= 4 + 2 + 1

= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,3046875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.3046875 -> 0.3046875⋅2 = 0.609375, da 0.609375<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.3046875⋅$\frac{1}{1}$ = 0.609375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.3046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.609375⋅$\frac{1}{2}$

0.609375 -> 0.609375⋅2 = 1.21875, da 1.21875>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.609375⋅$\frac{1}{2}$ = 1.21875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.3046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.21875⋅$\frac{1}{4}$

0.21875 -> 0.21875⋅2 = 0.4375, da 0.4375<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.21875⋅$\frac{1}{4}$ = 0.4375⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.3046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.4375⋅$\frac{1}{8}$

0.4375 -> 0.4375⋅2 = 0.875, da 0.875<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.4375⋅$\frac{1}{8}$ = 0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.3046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.3046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.3046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.3046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.3046875 ist somit 0,0100111

Zusammen mit der 7 = (111)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,3046875 = (111,0100.111)₂

Wir zerlegen die Zahl 7,71875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,71875 = 7 + 0,71875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

7 = 4 + 3
= 4 + 2 + 1

= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,71875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.71875 -> 0.71875⋅2 = 1.4375, da 1.4375>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.71875⋅$\frac{1}{1}$ = 1.4375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.71875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.4375⋅$\frac{1}{2}$

0.4375 -> 0.4375⋅2 = 0.875, da 0.875<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.4375⋅$\frac{1}{2}$ = 0.875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.71875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.875⋅$\frac{1}{4}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{4}$ = 1.75⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.71875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.75⋅$\frac{1}{8}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{8}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.71875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.71875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

Die Binärdarstellung von 0.71875 ist somit 0,10111

Zusammen mit der 7 = (111)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,71875 = (111,1011.1)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(111,1011.1)₂ = (1,1110.111)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 7.71875 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 111.0111.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 13,85 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 13,85 = 13 + 0,85

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 13 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 13 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

13 = 8 + 5
= 8 + 4 + 1

= 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 13 = (1101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 13 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

13 -> 13:2 = 6 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

13 = 6⋅2 + 1, also 13 = ( 6⋅2 + 1)⋅1 = 6⋅2 + 1⋅1

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 13 = ( 3⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 3⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 13 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 13 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 13 = (1101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,85 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.85 -> 0.85⋅2 = 1.7, da 1.7>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.85⋅$\frac{1}{1}$ = 1.7⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.7⋅$\frac{1}{2}$

0.7 -> 0.7⋅2 = 1.4, da 1.4>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.7⋅$\frac{1}{2}$ = 1.4⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.4⋅$\frac{1}{4}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{4}$ = 0.8⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.8⋅$\frac{1}{8}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{8}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.85 ist somit (0,1101.1001.1001.1001.1001.1001.1001.100)₂

Zusammen mit der 13 = (1101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 13,85 = (1101,1101.1001.1001.1001.1001.1001.1001)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1101,1101.1001.1001.1001.1001.1001.1001)₂ = (1,1011.1011.0011.0011.0011.0011.0011.001)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 13.85 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 101.1101.1001.1001.1001.1001

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

														(	1	.	0	0	0	0	.	1	0	1	0	)2
													+		(		1	1	1	1	.	0	0	0	1	)2
														(	1		1	1	1	1		1	0	1	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.0000)₂
zu (1000.1111)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	0	.	1	1	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																				1		1	1	1
															(		1	0	0	1		0	0	0	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.0011)₂
zu (1001.1100)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	1	1	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	0	1		1	1	0	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.1100)₂ und -b = (1001.1101)₂ addieren:

															(		0	1	1	0	.	1	1	0	0	)2
													+		(		1	0	0	1	.	1	1	0	1	)2
															1		1	1	1	1		1
														(	1		0	0	0	0		1	0	0	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0000.1001)₂

Der zweite Faktor (1000.1011)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																								(	1	)2
																							(	1	0	)2
																				(		1	0	0	0	)2
													+		(		1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
															(		1	0	0	0		1	0	1	1	)2

somit gilt:

(111.0100)₂ ⋅ (1000.1011)₂ = 111.0100 ⋅ (1000.0000 + 1000 + 10 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.0100)₂ ⋅ (1000.1011)₂ = (11.1010.0000.0000)₂ + (11.1010.0000)₂ + (1110.1000)₂ + (111.0100)₂

Diese 4 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

																	(	1	1	1	.	0	1	0	0	)2
													+		(		1	1	1	0	.	1	0	0	0	)2
															1		1	1
														(	1		0	1	0	1		1	1	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

														(	1	.	0	1	0	1	.	1	1	0	0	)2
										+			(	1	1	.	1	0	1	0	.	0	0	0	0	)2
													1	1
												(	1	0	0		1	1	1	1		1	1	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

												(	1	0	0	.	1	1	1	1	.	1	1	0	0	)2
					+			(	1	1	.	1	0	1	0	.	0	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
								(	1	1		1	1	1	0		1	1	1	1		1	1	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (11.1110.1111.1100)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 116 ⋅ 139 = 16124)

1

1

1

0

1

0

1

0

:

1

0

0

1

=

1

1

0

1

0

-

1

0

0

1

0

1

0

1

1

-

1

0

0

1

0

0

1

0

0

-

0

0

0

0

0

1

0

0

1

-

1

0

0

1

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 234 : 9 = 26)