Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(7)₁₆ = 7 = 4 + 2 + 1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (111)₂

(2)₁₆ = 2 = 2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (0010)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (72)₁₆ = (111.0010)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.0010)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 114

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.0010)₂ = 114

Wir zerlegen die Zahl 4,78125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 4,78125 = 4 + 0,78125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 4 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 4 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

4

= 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 4 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 4 = ( 2⋅2 + 0)⋅1 = 2⋅2 + 0⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 4 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 4 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,78125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.78125 -> 0.78125⋅2 = 1.5625, da 1.5625>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.78125⋅$\frac{1}{1}$ = 1.5625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.78125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.5625⋅$\frac{1}{2}$

0.5625 -> 0.5625⋅2 = 1.125, da 1.125>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.5625⋅$\frac{1}{2}$ = 1.125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.78125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.125⋅$\frac{1}{4}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{4}$ = 0.25⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.78125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.25⋅$\frac{1}{8}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{8}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.78125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.78125 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

Die Binärdarstellung von 0.78125 ist somit 0,11001

Zusammen mit der 4 = (100)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 4,78125 = (100,1100.1)₂

Wir zerlegen die Zahl 2,375 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 2,375 = 2 + 0,375

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 2 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 2 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

2

= 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 2 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 2 = ( 1⋅2 + 0)⋅1 = 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 2 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,375 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.375 -> 0.375⋅2 = 0.75, da 0.75<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.375⋅$\frac{1}{1}$ = 0.75⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.75⋅$\frac{1}{2}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{2}$ = 1.5⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.5⋅$\frac{1}{4}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{4}$ = 1⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$

Die Binärdarstellung von 0.375 ist somit 0,011

Zusammen mit der 2 = (10)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 2,375 = (10,011)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(10,011)₂ = (1,0011)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 2.375 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 001.1000.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 5,85 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,85 = 5 + 0,85

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

5 = 4 + 1

= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,85 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.85 -> 0.85⋅2 = 1.7, da 1.7>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.85⋅$\frac{1}{1}$ = 1.7⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.7⋅$\frac{1}{2}$

0.7 -> 0.7⋅2 = 1.4, da 1.4>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.7⋅$\frac{1}{2}$ = 1.4⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.4⋅$\frac{1}{4}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{4}$ = 0.8⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.8⋅$\frac{1}{8}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{8}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.85 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.85 ist somit (0,1101.1001.1001.1001.1001.1001.1001.100)₂

Zusammen mit der 5 = (101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,85 = (101,1101.1001.1001.1001.1001.1001.1001.1)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(101,1101.1001.1001.1001.1001.1001.1001.1)₂ = (1,0111.0110.0110.0110.0110.0110.0110.011)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 5.85 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 011.1011.0011.0011.0011.0011

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

														(	1	.	0	0	1	0	.	1	0	0	0	)2
												+		(	1	.	0	0	0	1	.	0	0	0	1	)2
														1
													(	1	0		0	0	1	1		1	0	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.1111)₂
zu (1000.0000)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	0	0		0	0	0	1	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.0011)₂
zu (1110.1100)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	1	0	.	1	1	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	1	0		1	1	0	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0100.0011)₂ und -b = (1110.1101)₂ addieren:

															(		0	1	0	0	.	0	0	1	1	)2
													+		(		1	1	1	0	.	1	1	0	1	)2
															1		1			1		1	1	1
														(	1		0	0	1	1		0	0	0	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.0000)₂

Der zweite Faktor (100.0110)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																							(	1	0	)2
																						(	1	0	0	)2
														+			(	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
																	(	1	0	0		0	1	1	0	)2

somit gilt:

(110.1011)₂ ⋅ (100.0110)₂ = 110.1011 ⋅ (100.0000 + 100 + 10)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.1011)₂ ⋅ (100.0110)₂ = (1.1010.1100.0000)₂ + (1.1010.1100)₂ + (1101.0110)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

															(		1	1	0	1	.	0	1	1	0	)2
												+		(	1	.	1	0	1	0	.	1	1	0	0	)2
														1	1		1	1	1	1		1
													(	1	0		1	0	0	0		0	0	1	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

													(	1	0	.	1	0	0	0	.	0	0	1	0	)2
							+		(	1	.	1	0	1	0	.	1	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
													1		1
									(	1		1	1	0	1		0	1	0	0		0	0	1	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (1.1101.0100.0010)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 107 ⋅ 70 = 7490)

1

1

0

0

0

0

0

0

:

1

1

0

0

=

1

0

0

0

0

-

1

1

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 192 : 12 = 16)