Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 184 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

184 = 128 + 56
= 128 + 32 + 24
= 128 + 32 + 16 + 8

= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 184 = (1011.1000)₂

Um die Zahl 184 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 184 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1011)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)₁₆

(1000)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 8 = (8)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1011.1000)₂ = (B8)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 3,71875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,71875 = 3 + 0,71875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,71875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.71875 -> 0.71875⋅2 = 1.4375, da 1.4375>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.71875⋅$\frac{1}{1}$ = 1.4375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.71875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.4375⋅$\frac{1}{2}$

0.4375 -> 0.4375⋅2 = 0.875, da 0.875<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.4375⋅$\frac{1}{2}$ = 0.875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.71875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.875⋅$\frac{1}{4}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{4}$ = 1.75⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.71875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.75⋅$\frac{1}{8}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{8}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.71875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.71875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

Die Binärdarstellung von 0.71875 ist somit 0,10111

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,71875 = (11,1011.1)₂

Wir zerlegen die Zahl 4,625 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 4,625 = 4 + 0,625

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 4 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 4 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

4

= 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 4 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 4 = ( 2⋅2 + 0)⋅1 = 2⋅2 + 0⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 4 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 4 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,625 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.625 -> 0.625⋅2 = 1.25, da 1.25>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.625⋅$\frac{1}{1}$ = 1.25⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.25⋅$\frac{1}{2}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{2}$ = 0.5⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.5⋅$\frac{1}{4}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{4}$ = 1⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$

Die Binärdarstellung von 0.625 ist somit 0,101

Zusammen mit der 4 = (100)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 4,625 = (100,101)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(100,101)₂ = (1,0010.1)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 4.625 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 001.0100.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 7,7 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,7 = 7 + 0,7

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

7 = 4 + 3
= 4 + 2 + 1

= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,7 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.7 -> 0.7⋅2 = 1.4, da 1.4>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.7⋅$\frac{1}{1}$ = 1.4⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.7 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.4⋅$\frac{1}{2}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{2}$ = 0.8⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.7 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.8⋅$\frac{1}{4}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{4}$ = 1.6⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.7 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.6⋅$\frac{1}{8}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{8}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.7 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.7 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.7 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.7 ist somit (0,1011.0011.0011.0011.0011.0011.0011.001)₂

Zusammen mit der 7 = (111)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,7 = (111,1011.0011.0011.0011.0011.0011.0011.0)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(111,1011.0011.0011.0011.0011.0011.0011.0)₂ = (1,1110.1100.1100.1100.1100.1100.1100.110)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 7.7 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 111.0110.0110.0110.0110.0110

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

														(	1	.	0	0	0	1	.	1	1	1	0	)2
												+		(	1	.	0	0	0	0	.	1	0	1	1	)2
														1					1	1		1	1
													(	1	0		0	0	1	0		1	0	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.1111)₂
zu (1011.0000)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	1	.	0	0	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	1	1		0	0	0	1	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.0101)₂
zu (1110.1010)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	1	0	.	1	0	1	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	1	0		1	0	1	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0100.1010)₂ und -b = (1110.1011)₂ addieren:

															(		0	1	0	0	.	1	0	1	0	)2
													+		(		1	1	1	0	.	1	0	1	1	)2
															1		1			1			1
														(	1		0	0	1	1		0	1	0	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.0101)₂

Der zweite Faktor (10.0010)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																							(	1	0	)2
															+			(	1	0	.	0	0	0	0	)2
																		(	1	0		0	0	1	0	)2

somit gilt:

(111.1000)₂ ⋅ (10.0010)₂ = 111.1000 ⋅ (10.0000 + 10)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.1000)₂ ⋅ (10.0010)₂ = (1111.0000.0000)₂ + (1111.0000)₂

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

															(		1	1	1	1	.	0	0	0	0	)2
								+		(		1	1	1	1	.	0	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
										(		1	1	1	1		1	1	1	1		0	0	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (1111.1111.0000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 120 ⋅ 34 = 4080)

1

0

1

0

0

1

0

1

:

1

0

1

1

=

1

1

1

1

-

1

0

1

1

1

0

0

1

1

-

1

0

1

1

1

0

0

0

0

-

1

0

1

1

0

1

0

1

1

-

1

0

1

1

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 165 : 11 = 15)