Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(1)₁₆ = 1 = 1 = 1⋅1 = (1)₂

(0)₁₆ = 0 = 0 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (0000)₂

(5)₁₆ = 5 = 4 + 1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0101)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (105)₁₆ = (1.0000.0101)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0000.0101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 261

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0000.0101)₂ = 261

Wir zerlegen die Zahl 5,3671875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,3671875 = 5 + 0,3671875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

5 = 4 + 1

= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,3671875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.3671875 -> 0.3671875⋅2 = 0.734375, da 0.734375<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.3671875⋅$\frac{1}{1}$ = 0.734375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.3671875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.734375⋅$\frac{1}{2}$

0.734375 -> 0.734375⋅2 = 1.46875, da 1.46875>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.734375⋅$\frac{1}{2}$ = 1.46875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.3671875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.46875⋅$\frac{1}{4}$

0.46875 -> 0.46875⋅2 = 0.9375, da 0.9375<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.46875⋅$\frac{1}{4}$ = 0.9375⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.3671875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.9375⋅$\frac{1}{8}$

0.9375 -> 0.9375⋅2 = 1.875, da 1.875>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.9375⋅$\frac{1}{8}$ = 1.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.3671875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.3671875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.3671875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.3671875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.3671875 ist somit 0,0101111

Zusammen mit der 5 = (101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,3671875 = (101,0101.111)₂

Wir zerlegen die Zahl 5,5 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,5 = 5 + 0,5

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

5 = 4 + 1

= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,5 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{1}$ = 1⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.5 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{2}$

Die Binärdarstellung von 0.5 ist somit 0,1

Zusammen mit der 5 = (101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,5 = (101,1)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(101,1)₂ = (1,011)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 5.5 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 011.0000.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 9,6 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 9,6 = 9 + 0,6

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 9 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 9 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

9 = 8 + 1

= 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 9 = (1001)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 9 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

9 -> 9:2 = 4 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

9 = 4⋅2 + 1, also 9 = ( 4⋅2 + 1)⋅1 = 4⋅2 + 1⋅1

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 9 = ( 2⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 2⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 9 = ( 1⋅2 + 0)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 9 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 9 = (1001)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,6 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{1}$ = 1.2⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.2⋅$\frac{1}{2}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{2}$ = 0.4⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.4⋅$\frac{1}{4}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{4}$ = 0.8⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.8⋅$\frac{1}{8}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{8}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.6 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.6 ist somit (0,1001.1001.1001.1001.1001.1001.1001.100)₂

Zusammen mit der 9 = (1001)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 9,6 = (1001,1001.1001.1001.1001.1001.1001.1001)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1001,1001.1001.1001.1001.1001.1001.1001)₂ = (1,0011.0011.0011.0011.0011.0011.0011.001)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 9.6 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 001.1001.1001.1001.1001.1001

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	1	0	0	.	0	0	1	0	)2
													+		(		1	0	1	0	.	1	0	1	0	)2
															1								1
														(	1		0	1	1	0		1	1	0	0	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.0110)₂
zu (1001.1001)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	1	0	0	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																								1
															(		1	0	0	1		1	0	1	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0101.1000)₂
zu (1010.0111)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	0	.	0	1	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																						1	1	1
															(		1	0	1	0		1	0	0	0	)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.1111)₂ und -b = (1010.1000)₂ addieren:

															(		0	1	1	0	.	1	1	1	1	)2
													+		(		1	0	1	0	.	1	0	0	0	)2
															1		1	1		1
														(	1		0	0	0	1		0	1	1	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0001.0111)₂

Der zweite Faktor (1.1100)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																						(	1	0	0	)2
																				(		1	0	0	0	)2
																	+		(	1	.	0	0	0	0	)2
																			(	1		1	1	0	0	)2

somit gilt:

(110.0110)₂ ⋅ (1.1100)₂ = 110.0110 ⋅ (1.0000 + 1000 + 100)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.0110)₂ ⋅ (1.1100)₂ = (110.0110.0000)₂ + (11.0011.0000)₂ + (1.1001.1000)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

														(	1	.	1	0	0	1	.	1	0	0	0	)2
										+			(	1	1	.	0	0	1	1	.	0	0	0	0	)2
													1	1				1	1
												(	1	0	0		1	1	0	0		1	0	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

												(	1	0	0	.	1	1	0	0	.	1	0	0	0	)2
									+			(	1	1	0	.	0	1	1	0	.	0	0	0	0	)2
												1			1		1
										(		1	0	1	1		0	0	1	0		1	0	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (1011.0010.1000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 102 ⋅ 28 = 2856)

1

0

0

0

0

1

0

0

0

:

1

1

0

0

=

1

0

1

1

0

-

1

1

0

0

0

1

0

0

1

-

0

0

0

0

1

0

0

1

0

-

1

1

0

0

0

1

1

0

0

-

1

1

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 264 : 12 = 22)