Da f nur ungerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·\sqrt{10{\left(-x\right)}^2+\left(-x\right)}$ = $-x·\sqrt{10x^2-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·\sqrt{10x^2+x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x\sqrt{10x^2-x}$
weder gleich f(x) = $x·\sqrt{10x^2+x}$ noch gleich -f(x) = $-x·\sqrt{10x^2+x}$ = $-x\sqrt{10x^2+x}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $x^3$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $x^3$ ungerade ist, hat $x^3$ ein negatives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $1$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $x^3$ → $-\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $x^3+5x^2-2x+3$ → $-\infty$

x → + ∞

$x^3$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $1$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $x^3$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $x^3+5x^2-2x+3$ → $\infty$

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ gleich ist, muss der Grad einer solchen Funktion gerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 4 sind muss nehmen wir am besten 4 als Grad.

Für f(x) = $-x^4$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $-1^4$ = -1 ist aber leider nicht -5. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -5 -( - 1 ) = -4 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $-x^4$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $\text{f(x)}=$ $-x^4-4$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet