Da f sowohl gerade ( $-8x^4$) als auch ungerade Hochzahlen ( $-9x$) hat, besitzt ihr Schaubild keine Symmetrie zum Koordninatensystem.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{{\left(-x\right)}^2}{\left(-x\right)+2}$ = $\frac{x^2}{-x+2}$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{x^2}{x+2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $\frac{x^2}{-x+2}$
weder gleich f(x) = $\frac{x^2}{x+2}$ noch gleich -f(x) = $-\frac{x^2}{x+2}$ = $-\frac{x^2}{x+2}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $4x^4$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $4x^4$ gerade ist, hat $x^4$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $4$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $4x^4$ → $\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $4x^4+5x^2+x$ → $\infty$

x → + ∞

$x^4$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $4$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $4x^4$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $4x^4+5x^2+x$ → $\infty$

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ gleich ist, muss der Grad einer solchen Funktion gerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 3 sind muss nehmen wir am besten 4 als Grad.

Für f(x) = $-x^4$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $-1^4$ = -1 ist aber leider nicht -3. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -3 -( - 1 ) = -2 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $-x^4$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $\text{f(x)}=$ $-x^4-2$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet