Da f sowohl gerade ( $5x^6$) als auch ungerade Hochzahlen ( $4x^7$) hat, besitzt ihr Schaubild keine Symmetrie zum Koordninatensystem.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{{\left(-x\right)}^3+\left(-x\right)}{{\left(-x\right)}^2}$ = $\frac{-x^3}{x^2}+\frac{-x}{x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{x^3+x}{x^2}$ = $\frac{x^2+1}{x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x-\frac{1}{x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-\frac{x^3+x}{x^2}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $4x^5$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $4x^5$ ungerade ist, hat $x^5$ ein negatives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $4$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $4x^5$ → $-\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $4x^5-5x^4$ → $-\infty$

x → + ∞

$x^5$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $4$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $4x^5$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $4x^5-5x^4$ → $\infty$

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ gleich ist, muss der Grad einer solchen Funktion gerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 2 sind muss nehmen wir am besten 2 als Grad.

Für f(x) = $-x^2$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $-1^2$ = -1 ist aber leider nicht 5. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende 5 -( - 1 ) = 6 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $-x^2$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $\text{f(x)}=$ $-x^2+6$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet