Da f nur gerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild achsensymmetrisch zur y-Achse.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{1}{3{\left(-x\right)}^3+\left(-x\right)}$ = $\frac{1}{-3x^3-x}$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{1}{3x^3+x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $\frac{1}{-3x^3-x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-\frac{1}{3x^3+x}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $3x^3$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $3x^3$ ungerade ist, hat $x^3$ ein negatives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $3$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $3x^3$ → $-\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $3x^3-2x^2+3x+4$ → $-\infty$

x → + ∞

$x^3$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $3$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $3x^3$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $3x^3-2x^2+3x+4$ → $\infty$

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ gleich ist, muss der Grad einer solchen Funktion gerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 4 sind muss nehmen wir am besten 4 als Grad.

Für f(x) = $x^4$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $1^4$ = 1 ist aber leider nicht -1. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -1 -1 = -2 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $x^4$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $\text{f(x)}=$ $x^4-2$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet