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Aufgabenbeispiele von Verschiebung/Streckung

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Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 5$ wird um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt und um 4 nach rechts verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

Lösung einblenden

Bei der Verschiebung um 4 nach rechts wird jedes 'x' durch (x -4) ersetzt.

Die Streckung um den Faktor 2 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 2 vor dem ganzen Funktionsterm.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor dem Term, also - 2.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- 2 (- 2 {(x - 4)}^{3} + 5)$

Verschiebung am Graph erkennen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $\sqrt{2 x}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 2 nach unten, bzw. -2 nach oben. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $\sqrt{2 x} - 2$ = $1,4142 \sqrt{x} - 2$

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ $- 3 (3 {(x - 2)}^{3} - 4)$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - 4$ entsteht.

Lösung einblenden

Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x -2) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 2 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 2 größer als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 2 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Die -3 als Koeffizient vor dem Term bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor -3 multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um -3 gestreckt. (das negative Vorzeichen von -3 ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)