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Aufgabenbeispiele von Funktionsbegriff

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Funktionswerte vw und rw

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 + x 3 +5 . Berechne alle x-Werte für die f(x) = 5 gilt.


Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5.

Also müssen wir x 4 + x 3 +5 = 5 nach x auflösen:.

x 4 + x 3 +5 = 5 | -5
x 4 + x 3 +5 -5 = 0
x 4 + x 3 = 0
x 3 · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

Definitions- und Wertemenge

Beispiel:

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f mit f(x) = -3 x 2 +5 .

Lösung einblenden

Definitionsmenge

Da weder ein x im Nenner noch unter der Wurzel steht, darf man alle Werte für x einsetzen.
Die Definitionsmenge ist somit ganz ℝ.

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Wertemenge

  • x2 kann ja keine negativen Werte, also nur welche zwischen 0 und +∞ annehmen.
  • Somit kann -3 x 2 dagegen alle Werte zwischen 0 und -∞ annehmen.
  • Wenn man nun dazu noch 5 addiert, so können Werte zwischen 5 und -∞ angenommen werden.

Die Wertemenge ist somit W = {y ∈ ℝ | y ≤ 5}.

Funktionsterm finden

Beispiel:

Ein zylinderförmige Getränkedose soll aus Designgründen so gebaut werde, dass die Höhe der Dose 2,5 mal so groß ist wie der Durchmesser der Grund- und Deckelfläche.Bestimme dazu einen Funktionsterm, der dem Radius der Grundfläche r das Volumen der Getränkedose V zuordnet.

Lösung einblenden

Der gesuchte Term lautet also: V(r) = π · r 2 · 5r = 5π · r 3 = 5π r 3