Es gilt f(x) = 5.

Also müssen wir $x^2+x-1$ = $5$ nach x auflösen:.

$x^2+x-1$

=

$5$

| $-5$

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

Definitionsmenge

Man darf für x alles einsetzen, solange der Nenner nicht Null wird. Man sieht hier gut, dass dies aber nur für x = 1 passiert.
Die Definitionsmenge ist somit D = ℝ\{1}.

Wertemenge

• $\frac{1}{x}$ kann alle Werte außer der 0 annehmen
• Da ja $\frac{\mathrm{-3}}{x}$ nur um den Faktor 3 gestreckt und gespiegelt ist, kann auch $\frac{\mathrm{-3}}{x}$ alle Werte außer der 0 annehmen
• $-\frac{3}{x-1}$ ist ja nur um 1 nach rechts verschoben, also nimmt auch $-\frac{3}{x-1}$ alle Werte außer der 0 an.
• Wenn man nun dazu noch 2 addiert, so werden eben alle Werte um 2 größer. Somit können eben alle Werte außer der 2 angenommen werden.

Die Wertemenge ist somit W = ℝ \ {2}.

Der gesuchte Term lautet also: d(b) = $\sqrt{b^2+{\left(\frac{1}{2}b\right)}^2}$ = $\sqrt{\frac{5}{4}{b}^2}$ = $\sqrt{\frac{5}{4}}b$