Es gilt f(x) = 31.

Also müssen wir $x^2+x+1$ = $31$ nach x auflösen:.

$x^2+x+1$

=

$31$

| $-31$

$x^2+x-30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-30\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{121}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{121}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{2}$ = $-6$

Definitionsmenge

Man darf für x alles einsetzen, solange der Nenner nicht Null wird. Man sieht hier gut, dass dies aber nur für x = 5 passiert.
Die Definitionsmenge ist somit D = ℝ\{5}.

Wertemenge

• $\frac{1}{x}$ kann alle Werte außer der 0 annehmen
• Da ja $\frac{\mathrm{-1}}{x}$ nur um den Faktor 1 gestreckt und gespiegelt ist, kann auch $\frac{\mathrm{-1}}{x}$ alle Werte außer der 0 annehmen
• $-\frac{1}{x-5}$ ist ja nur um 5 nach rechts verschoben, also nimmt auch $-\frac{1}{x-5}$ alle Werte außer der 0 an.
• Wenn man nun davon noch 5 subtrahiert, so werden eben alle Werte um 5 kleiner. Somit können eben alle Werte außer der -5 angenommen werden.

Die Wertemenge ist somit W = ℝ \ {-5}.

Der gesuchte Term lautet also: O(r) = $2\pi ·r^2+2\pi ·r·3r$ = $8\pi r^2$