$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+4\cdot \cos \left(x\right)+4$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)-4\cdot \sin \left(x\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(x\right)-4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)-4x^3+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)-12x^2+0$

f'( $2\pi$) = $\cos \left(2\pi \right)-12\cdot {\left(2\pi \right)}^2$ = $1-12\cdot {\left(2\pi \right)}^2$ = $1-48\cdot {\pi }^2$ ≈ -472.74

Die Gerade y = $5x+3$ hat als Steigung m = 5 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =5 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+5$

Diese Ableitung muss ja = 5 sein, also setzen wir $-3\cdot \cos \left(x\right)+5$ = 5.

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{2}\pi$+2π= $\frac{3}{2}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{1}{2}\pi$; $\frac{3}{2}\pi$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $\frac{1}{2}\pi$) = $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+5$ = $5$

f '( $\frac{3}{2}\pi$) = $-3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+5$ = $5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\cos \left(\pi \right)-3$

= $-1-3$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\sin \left(\pi \right)-3\cdot \pi$ = $0-3\cdot \pi$ = $-3\pi$ ≈ -9.42

Wir erhalten so also den Punkt B( $\pi$| $-3\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3\pi$ = $-4$⋅ $\pi$ + c

$-3\pi$ = $-4\pi$ + c | + $4\pi$

$\pi$ = c

also c= $\pi$ ≈ 3.14

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $\pi$ oder y=-4x +3.14

Eine Kosinusfunktion hat ihre Wendepunkte ja immer nach einer Viertel und nach einer Dreiviertel Periode. Und da ja hier im cos drin nur ein "x" steht, ist der Graph von f in x-Richtung weder gestreckt noch verschoben; die Periode ist also 2π und startet bei 0. Somit sind die beiden Wendepunkte bei $\frac{1}{2}$π und $\frac{3}{2}$π. Die gesuchte Wendestelle im Interval [π,2π[ ist somit bei $\frac{3}{2}$π.

Jetzt müssen wir die Tangente in diesem Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$2\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)$

= $2\cdot \left(-1\right)$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+5$ = $-2\cdot 0+5$ = $0+5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}\pi$| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-2$⋅ $\frac{3}{2}\pi$ + c

$5$ = $-3\pi$ + c | + $3\pi$

$5+3\pi$ = c

also c= $5+3\pi$ ≈ 14.42

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $5+3\pi$ oder y=-2x +14.42