$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+2\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+3\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+3\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\pi$) = $3\cdot \cos \left(\pi \right)+2\cdot \sin \left(\pi \right)$ = $3\cdot \left(-1\right)+2\cdot 0$ = $-3$

Die Gerade y = $-4x+2$ hat als Steigung m = -4 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-4 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)-4$

Diese Ableitung muss ja = -4 sein, also setzen wir $-3\cdot \cos \left(x\right)-4$ = -4.

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{2}\pi$+2π= $\frac{3}{2}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{1}{2}\pi$; $\frac{3}{2}\pi$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $\frac{1}{2}\pi$) = $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-4$ = $-4$

f '( $\frac{3}{2}\pi$) = $-3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-4$ = $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot \cos \left(0\right)+1$

= $-4\cdot 1+1$

= $-4+1$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot \sin \left(0\right)+0$ = $-4\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-3$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x +0

Eine Sinusfunktion hat ihre Wendepunkte ja immer zu Beginn und nach einer halben Periode. Und da ja hier im sin drin nur ein "x" steht, ist der Graph von f in x-Richtung weder gestreckt noch verschoben; die Periode ist also 2π und startet bei 0. Somit sind die beiden Wendepunkte bei 0 und π. Die gesuchte Wendestelle im Interval [π,2π[ ist somit bei π.

Jetzt müssen wir die Tangente in diesem Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-2\cdot \cos \left(\pi \right)$

= $-2\cdot \left(-1\right)$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $-2\cdot \sin \left(\pi \right)-4$ = $-2\cdot 0-4$ = $0-4$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\pi$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $2$⋅ $\pi$ + c

$-4$ = $2\pi$ + c | $-2\pi$

$-4-2\pi$ = c

also c= $-4-2\pi$ ≈ -10.28

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x + $-4-2\pi$ oder y=2x -10.28