Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,07. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?

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nP(X≤k)
......
10.93
20.8649
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und variablem n.

Es muss gelten: P0.07n (X0) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 7% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 0 0.07 ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.07⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
P0.07n (X0) ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=1 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
5 11 0.5323
5 12 0.6454
5 13 0.7337
5 14 0.8006
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp14 (X6) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp14 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 14 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 14 ⋅14 der Erwartungswert und somit Pp14 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 14 mit 5 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 5 11 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 14 sein.

Also werden noch 9 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 70%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 25 grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
340.7323
350.6354
360.5337
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: P0.7n (X25) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 25 0.7 ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.7⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
P0.7n (X25) ≈ 0.5337 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 17% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt mindestens vorgeführt werden, damit sich mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, 25 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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nP(X≤k)
......
1440.5116
1450.4965
1460.4816
1470.4667
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und variablem n.

Es muss gelten: P0.17n (X25) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.17n (X25) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.17n (X25) = 1 - P0.17n (X24) ≥ 0.5 |+ P0.17n (X24) - 0.5

0.5 ≥ P0.17n (X24) oder P0.17n (X24) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 17% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 25 0.17 ≈ 147 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.17⋅147) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=147:
P0.17n (X24) ≈ 0.4667 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=145 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 145 sein, damit P0.17n (X24) ≤ 0.5 oder eben P0.17n (X25) ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75. Das Zufallsexperiment soll 51 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 51 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 50% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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kP(X≤k)
......
320.0353
330.0659
340.1145
350.1853
360.2797
370.3945
380.5214
390.6482
400.7624
410.8543
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 51.

Es muss gelten: P0.7551 (Xk) < 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 37 immer noch weniger als 0.5 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.7551 (X38) nimmt mit 52.14% einen Wert über 0.5 an.

Das größtmögliche k mit P0.7551 (Xk) < 0.5 ist somit k = 37.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 37 sein.

32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 6%. Für einen bestimmten Betrag darf man 18 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 6% ausgegeben werden muss?

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kP(X≤k)
00.3283
10.7055
20.9102
30.9799
40.9966
50.9995
61
71
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und n = 18.

Es muss gelten: P0.0618 (Xk) < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: P0.0618 (Xk-1) ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.0618 (X3) nimmt mit 97.99% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit P0.0618 (Xk) = 1 - P0.0618 (Xk-1) < 0.06 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75. Das Zufallsexperiment soll 81 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 81 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 70% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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kP(X≤k)
......
570.2003
580.2772
590.367
600.4659
610.5681
620.6669
630.7563
640.8317
650.8909
660.934
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 81.

Es muss gelten: P0.7581 (Xk) < 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 62 immer noch weniger als 0.7 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.7581 (X63) nimmt mit 75.63% einen Wert über 0.7 an.

Das größtmögliche k mit P0.7581 (Xk) < 0.7 ist somit k = 62.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 62 sein.

57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)