Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.82 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ oder $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 82% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{0.82}}$ ≈ 15 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.82⋅15) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=15:
$P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≈ 0.2782 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 16 sein, damit $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{15}(X\le 3)$=0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{15}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{15}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{15}$⋅15 der Erwartungswert und somit $P_p^{15}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{15}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{2}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 17 sein.

Also werden noch 15 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 7% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.07}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.07⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ = 1 - $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ oder $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{26}}{\mathrm{0.3}}$ ≈ 87 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.3⋅87) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=87:
$P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≈ 0.4503 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 86 sein, damit $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 80.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{80}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 5 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{80}(X\le 6)$ nimmt mit 20.98% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.11}^{80}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2 ist somit k = 5.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 5 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und n = 10.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{10}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.13 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.09}^{10}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.87 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.87 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.09}^{10}(X\le 2)$ nimmt mit 94.6% einen Wert über 0.87 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.09}^{10}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.09}^{10}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.13 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 90.

Es muss gelten: $P_{0.1}^{90}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.1}^{90}(X\le 7)$ nimmt mit 31.15% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.1}^{90}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2 ist somit k = 6.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 6 sein.