Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 26 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.9⋅26) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=26:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≈ 0.4895 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{12}(X\le 3)$=0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{12}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{12}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{12}$⋅12 der Erwartungswert und somit $P_p^{12}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{12}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.89 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 89% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{0.89}}$ ≈ 22 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.89⋅22) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=22:
$P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≈ 0.7136 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ = 1 - $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ oder $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 7% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{4}{\mathrm{0.07}}$ ≈ 57 Versuchen auch ungefähr 4 (≈0.07⋅57) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=57:
$P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≈ 0.4284 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 53 sein, damit $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 75.

Es muss gelten: $P_{0.1}^{75}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.1}^{75}(X\le 5)$ nimmt mit 22.71% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.1}^{75}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 4.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 45.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 13 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\le 14)$ nimmt mit 97.5% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 15.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 15 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 25.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{25}(X\le 9)$ nimmt mit 98.27% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.