Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.02}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{120}(X\ge 16)$ = 1- $P_p^{120}(X\le 15)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{120}(X\ge 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{4}{\mathrm{16}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{4}{23}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 23 sein.

Also wären noch 19 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 40)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 100 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.4⋅100) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=100:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 40)$ ≈ 0.5433 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=101 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ = 1 - $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ oder $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{0.75}}$ ≈ 52 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.75⋅52) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=52:
$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.4262 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 57 sein, damit $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und n = 51.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{51}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 20 immer noch weniger als 0.55 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.4}^{51}(X\le 21)$ nimmt mit 62.65% einen Wert über 0.55 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.4}^{51}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55 ist somit k = 20.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 20 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.05}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.09 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.05}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.91 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.91 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.05}^{18}(X\le 2)$ nimmt mit 94.19% einen Wert über 0.91 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.05}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.05}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.09 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.06}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.06}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.06}^{18}(X\le 2)$ nimmt mit 91.02% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.06}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.06}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.1 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.