Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ = 1 - $P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ oder $P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{5}{\mathrm{0.09}}$ ≈ 56 Versuchen auch ungefähr 5 (≈0.09⋅56) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=56:
$P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≈ 0.4249 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 65 sein, damit $P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=6 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^6(X\ge 1)$ = 1- $P_p^6(X\le 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^6(X\ge 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 6 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{1}{2}$.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 9 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{0.3}}$ ≈ 97 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.3⋅97) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=97:
$P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≈ 0.5411 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=90 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.89 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ oder $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 89% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{0.89}}$ ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.89⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
$P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≈ 0.427 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 14 sein, damit $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und n = 64.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{64}(X\le \mathrm{k})$ < 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 23 immer noch weniger als 0.7 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.35}^{64}(X\le 24)$ nimmt mit 71.19% einen Wert über 0.7 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.35}^{64}(X\le \mathrm{k})$ < 0.7 ist somit k = 23.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 23 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 10 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{30}(X\le 11)$ nimmt mit 94.93% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 12.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 12 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{3}$ und n = 25.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{3}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.02 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{3}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.98 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 12 immer noch weniger als 0.98 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{3}}^{25}(X\le 13)$ nimmt mit 98.36% einen Wert über 0.98 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{3}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{3}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.02 ist somit k = 14.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 14 sein.