Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{0.8}}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.8⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≈ 0.5593 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{60}(X\ge 12)$ = 1- $P_p^{60}(X\le 11)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{60}(X\ge 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{3}{8}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{3}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 11 sein.

Also wären noch 8 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.02}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 29)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 29)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 29)$ = 1 - $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 28)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 28)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 28)$ oder $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 28)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 73 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.4⋅73) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=73:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 28)$ ≈ 0.4367 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 77 sein, damit $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 28)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 29)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 70.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{70}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.25 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{70}(X\le 8)$ nimmt mit 25.88% einen Wert über 0.25 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.15}^{70}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25 ist somit k = 7.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 7 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 12 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\le 13)$ nimmt mit 96.37% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.06 ist somit k = 14.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 14 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und n = 64.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{64}(X\le \mathrm{k})$ < 0.65

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 26 immer noch weniger als 0.65 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.4}^{64}(X\le 27)$ nimmt mit 68.82% einen Wert über 0.65 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.4}^{64}(X\le \mathrm{k})$ < 0.65 ist somit k = 26.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 26 sein.