Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.19 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ = 1 - $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ oder $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 19% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{0.19}}$ ≈ 205 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.19⋅205) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=205:
$P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.4754 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=220 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 220 sein, damit $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{90}(X\ge 16)$ = 1- $P_p^{90}(X\le 15)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{90}(X\ge 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{5}{\mathrm{15}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{5}{21}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 21 sein.

Also wären noch 16 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.9⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≈ 0.6333 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ = 1 - $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ oder $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{37}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 93 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.4⋅93) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=93:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≈ 0.4439 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=98 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 98 sein, damit $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und n = 85.

Es muss gelten: $P_{0.16}^{85}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.16}^{85}(X\le 10)$ nimmt mit 18.07% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.16}^{85}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 9.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 9 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 45.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.02 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.98 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 14 immer noch weniger als 0.98 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\le 15)$ nimmt mit 98.9% einen Wert über 0.98 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.02 ist somit k = 16.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 16 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.07}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.12 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.07}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.88 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.88 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.07}^{18}(X\le 3)$ nimmt mit 96.67% einen Wert über 0.88 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.07}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.07}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.12 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.