Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{22}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 24 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.9⋅24) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=24:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≈ 0.7075 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=23 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{120}(X\ge 14)$ = 1- $P_p^{120}(X\le 13)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{120}(X\ge 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{3}{\mathrm{13}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{3}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 20 sein.

Also wären noch 17 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.83 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 83% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{0.83}}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.83⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.59 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ = 1 - $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ oder $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{38}}{\mathrm{0.2}}$ ≈ 190 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.2⋅190) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=190:
$P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≈ 0.4711 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=213 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 213 sein, damit $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 70.

Es muss gelten: $P_{0.1}^{70}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.25 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.1}^{70}(X\le 5)$ nimmt mit 28.72% einen Wert über 0.25 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.1}^{70}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25 ist somit k = 4.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 20.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le 7)$ nimmt mit 96.79% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 8.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 8 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 85.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{85}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{85}(X\le 9)$ nimmt mit 16.16% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.15}^{85}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 8.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 8 sein.