Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{0.45}}$ ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.45⋅47) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≈ 0.5427 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{50}(X\le 7)$=0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{50}(X\le 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{7}{50}$. Mit diesem p wäre ja 7=$\frac{7}{50}$⋅50 der Erwartungswert und somit $P_p^{50}(X\le 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{7}{50}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 9 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.02}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.93 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ oder $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 93% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{0.93}}$ ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.93⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
$P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≈ 0.2298 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 13 sein, damit $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und n = 60.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 5 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.13}^{60}(X\le 6)$ nimmt mit 32.22% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.13}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2 ist somit k = 5.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 5 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und n = 10.

Es muss gelten: $P_{0.05}^{10}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.05 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.05}^{10}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.95 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.95 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.05}^{10}(X\le 2)$ nimmt mit 98.85% einen Wert über 0.95 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.05}^{10}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.05}^{10}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.05 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.11 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.09}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.89 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.89 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.09}^{18}(X\le 3)$ nimmt mit 92.77% einen Wert über 0.89 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.09}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.09}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.11 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.