Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ = 1 - $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ oder $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 13% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{0.13}}$ ≈ 300 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.13⋅300) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=300:
$P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.4742 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=322 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 322 sein, damit $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{12}(X\ge 1)$ = 1- $P_p^{12}(X\le 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{12}(X\ge 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{1}{2}$.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 17 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.9⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.6543 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.82 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ oder $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 82% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{0.82}}$ ≈ 15 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.82⋅15) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=15:
$P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≈ 0.2782 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 17 sein, damit $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und n = 81.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{81}(X\le \mathrm{k})$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 35 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.4}^{81}(X\le 36)$ nimmt mit 82.4% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.4}^{81}(X\le \mathrm{k})$ < 0.8 ist somit k = 35.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 35 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.13 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.15}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.87 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.87 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{12}(X\le 3)$ nimmt mit 90.78% einen Wert über 0.87 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.15}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.15}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.13 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und n = 82.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{82}(X\le \mathrm{k})$ < 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 30 immer noch weniger als 0.7 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.35}^{82}(X\le 31)$ nimmt mit 74.37% einen Wert über 0.7 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.35}^{82}(X\le \mathrm{k})$ < 0.7 ist somit k = 30.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 30 sein.