Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{38}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.9⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.6164 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{60}(X\ge 14)$ = 1- $P_p^{60}(X\le 13)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{60}(X\ge 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{2}{5}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{2}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 6 sein.

Also wären noch 4 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.9⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.6543 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ = 1 - $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ oder $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.9⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≈ 0.371 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 41 sein, damit $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 50.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{50}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{50}(X\le 4)$ nimmt mit 34.38% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.11}^{50}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2 ist somit k = 3.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.12 und n = 16.

Es muss gelten: $P_{0.12}^{16}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.11 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.12}^{16}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.89 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.89 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.12}^{16}(X\le 4)$ nimmt mit 96.52% einen Wert über 0.89 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.12}^{16}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.12}^{16}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.11 ist somit k = 5.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.14 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.09}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.86 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.86 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.09}^{18}(X\le 3)$ nimmt mit 92.77% einen Wert über 0.86 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.09}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.09}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.14 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.