Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 162 Versuchen auch ungefähr 27 (≈$\frac{1}{6}$⋅162) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=162:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≈ 0.5512 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=142 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{65}(X\le 9)$=0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{65}(X\le 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 65 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{9}{65}$. Mit diesem p wäre ja 9=$\frac{9}{65}$⋅65 der Erwartungswert und somit $P_p^{65}(X\le 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{9}{65}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 186 Versuchen auch ungefähr 31 (≈$\frac{1}{6}$⋅186) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=186:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≈ 0.5478 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=165 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.18 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ = 1 - $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ oder $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 18% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{0.18}}$ ≈ 222 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.18⋅222) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=222:
$P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.4754 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=221 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 221 sein, damit $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und n = 63.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{63}(X\le \mathrm{k})$ < 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 53 immer noch weniger als 0.6 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.85}^{63}(X\le 54)$ nimmt mit 61.68% einen Wert über 0.6 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.85}^{63}(X\le \mathrm{k})$ < 0.6 ist somit k = 53.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 53 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{3}$ und n = 40.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{3}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{3}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 17 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{3}}^{40}(X\le 18)$ nimmt mit 95.59% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{3}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{3}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 19.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 19 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 50.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{50}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.1 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{50}(X\le 4)$ nimmt mit 15.28% einen Wert über 0.1 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{50}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1 ist somit k = 3.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 3 sein.