Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.19 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ = 1 - $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ oder $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 19% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{0.19}}$ ≈ 111 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.19⋅111) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=111:
$P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≈ 0.4531 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=139 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 139 sein, damit $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{17}(X\le 3)$=0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{17}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{17}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{17}$⋅17 der Erwartungswert und somit $P_p^{17}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{17}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{17}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{3}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 20 sein.

Also werden noch 17 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.08}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.08⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=2 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ = 1 - $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ oder $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{38}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.9⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≈ 0.4121 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 43 sein, damit $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und n = 69.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{69}(X\le \mathrm{k})$ < 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 58 immer noch weniger als 0.5 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.85}^{69}(X\le 59)$ nimmt mit 59.84% einen Wert über 0.5 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.85}^{69}(X\le \mathrm{k})$ < 0.5 ist somit k = 58.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 58 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.14 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.15}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.86 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.86 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{12}(X\le 3)$ nimmt mit 90.78% einen Wert über 0.86 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.15}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.15}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.14 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 12 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\le 13)$ nimmt mit 96.37% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 14.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 14 sein.