Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.19 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ = 1 - $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ oder $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 19% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{0.19}}$ ≈ 121 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.19⋅121) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=121:
$P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≈ 0.4643 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=132 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 132 sein, damit $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{60}(X\ge 10)$ = 1- $P_p^{60}(X\le 9)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{60}(X\ge 10)$ ('mindestens 10 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{3}{9}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{3}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 14 sein.

Also wären noch 11 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{0.3}}$ ≈ 100 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.3⋅100) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=100:
$P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.5491 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.18 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ = 1 - $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ oder $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 18% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{37}}{\mathrm{0.18}}$ ≈ 206 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.18⋅206) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=206:
$P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≈ 0.4658 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=231 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 231 sein, damit $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.18}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und n = 62.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{62}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 52 immer noch weniger als 0.55 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.85}^{62}(X\le 53)$ nimmt mit 59.68% einen Wert über 0.55 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.85}^{62}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55 ist somit k = 52.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 52 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 20.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.02 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.98 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.98 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le 8)$ nimmt mit 99% einen Wert über 0.98 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.02 ist somit k = 9.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 9 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le 9)$ nimmt mit 94.5% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.06 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.