Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 28)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{0.65}}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.65⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 28)$ ≈ 0.5635 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{13}(X\le 2)$=0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{13}(X\le 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{2}{13}$. Mit diesem p wäre ja 2=$\frac{2}{13}$⋅13 der Erwartungswert und somit $P_p^{13}(X\le 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{2}{13}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 8 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 204 Versuchen auch ungefähr 34 (≈$\frac{1}{6}$⋅204) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=204:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≈ 0.5456 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=181 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.12 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.12}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.12}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.12}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ = 1 - $P_{0.12}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.12}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.12}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ oder $P_{0.12}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 12% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{0.12}}$ ≈ 208 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.12⋅208) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=208:
$P_{0.12}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≈ 0.4716 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=216 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 216 sein, damit $P_{0.12}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.12}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und n = 65.

Es muss gelten: $P_{0.16}^{65}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.25 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.16}^{65}(X\le 8)$ nimmt mit 26.79% einen Wert über 0.25 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.16}^{65}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25 ist somit k = 7.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 7 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und n = 14.

Es muss gelten: $P_{0.07}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.07 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.07}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.93 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.93 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.07}^{14}(X\le 2)$ nimmt mit 93.02% einen Wert über 0.93 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.07}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.07}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.07 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.07 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.13}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.93 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.93 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.13}^{18}(X\le 5)$ nimmt mit 97.78% einen Wert über 0.93 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.13}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.13}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.07 ist somit k = 6.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 6 sein.