Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.19 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ = 1 - $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ oder $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 19% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{0.19}}$ ≈ 211 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.19⋅211) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=211:
$P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.4659 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=217 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 217 sein, damit $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{50}(X\le 8)$=0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{50}(X\le 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{8}{50}$. Mit diesem p wäre ja 8=$\frac{8}{50}$⋅50 der Erwartungswert und somit $P_p^{50}(X\le 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{8}{50}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 7 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{0.35}}$ ≈ 83 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.35⋅83) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=83:
$P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≈ 0.5457 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ = 1 - $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ oder $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 85 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.4⋅85) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=85:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≈ 0.4589 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=94 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 94 sein, damit $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und n = 83.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{83}(X\le \mathrm{k})$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 76 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.9}^{83}(X\le 77)$ nimmt mit 84.87% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.9}^{83}(X\le \mathrm{k})$ < 0.8 ist somit k = 76.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 76 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\le 10)$ nimmt mit 97.44% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 11.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 45.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 15 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{45}(X\le 16)$ nimmt mit 96.05% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.06 ist somit k = 17.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 17 sein.