Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ = 1 - $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ oder $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{0.35}}$ ≈ 103 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.35⋅103) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=103:
$P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≈ 0.4589 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=121 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 121 sein, damit $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{65}(X\le 6)$=0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{65}(X\le 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 65 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{6}{65}$. Mit diesem p wäre ja 6=$\frac{6}{65}$⋅65 der Erwartungswert und somit $P_p^{65}(X\le 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{6}{65}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 13 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.87 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.87}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 87% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{0.87}}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.87⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.87}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≈ 0.5105 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ = 1 - $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ oder $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{0.5}}$ ≈ 66 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.5⋅66) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=66:
$P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≈ 0.4511 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=73 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 73 sein, damit $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und n = 84.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{84}(X\le \mathrm{k})$ < 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 42 immer noch weniger als 0.6 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.5}^{84}(X\le 43)$ nimmt mit 62.82% einen Wert über 0.6 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.5}^{84}(X\le \mathrm{k})$ < 0.6 ist somit k = 42.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 42 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 25.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\le 9)$ nimmt mit 92.87% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.1 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und n = 54.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{54}(X\le \mathrm{k})$ < 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 37 immer noch weniger als 0.5 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.7}^{54}(X\le 38)$ nimmt mit 57.47% einen Wert über 0.5 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.7}^{54}(X\le \mathrm{k})$ < 0.5 ist somit k = 37.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 37 sein.