Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 91% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 70% Wahrscheinlichkeit in mindestens 2 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?

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nP(X≤k)
......
220.3988
230.3742
240.3508
250.3286
260.3076
270.2876
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.

Es muss gelten: P0.09n (X2) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.09n (X2) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.09n (X2) = 1 - P0.09n (X1) ≥ 0.7 |+ P0.09n (X1) - 0.7

0.3 ≥ P0.09n (X1) oder P0.09n (X1) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 2 0.09 ≈ 22 Versuchen auch ungefähr 2 (≈0.09⋅22) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=22:
P0.09n (X1) ≈ 0.3988 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 27 sein, damit P0.09n (X1) ≤ 0.3 oder eben P0.09n (X2) ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
2 13 0.629
2 14 0.6822
2 15 0.7273
2 16 0.7653
2 17 0.7974
2 18 0.8246
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp20 (X3) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp20 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 20 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 20 ⋅20 der Erwartungswert und somit Pp20 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 20 mit 2 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 13 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 18 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 18 sein.

Also werden noch 16 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht über 23 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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nP(X≤k)
......
290.5366
300.393
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: P0.8n (X23) ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 23 0.8 ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.8⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
P0.8n (X23) ≈ 0.5366 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßig exzessiven Alkoholgenuss bei 7% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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nP(X≤k)
......
130.2298
140.0698
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.93 und variablem n.

Es muss gelten: P0.93n (X12) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.93n (X12) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.93n (X12) = 1 - P0.93n (X11) ≥ 0.8 |+ P0.93n (X11) - 0.8

0.2 ≥ P0.93n (X11) oder P0.93n (X11) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 93% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 12 0.93 ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.93⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
P0.93n (X11) ≈ 0.2298 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 14 sein, damit P0.93n (X11) ≤ 0.2 oder eben P0.93n (X12) ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9. Das Zufallsexperiment soll 68 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 68 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 80% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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kP(X≤k)
......
570.074
580.1385
590.2369
600.3698
610.5266
620.6859
630.8224
640.9184
650.9716
660.9934
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und n = 68.

Es muss gelten: P0.968 (Xk) < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 62 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.968 (X63) nimmt mit 82.24% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit P0.968 (Xk) < 0.8 ist somit k = 62.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 62 sein.

57
58
59
60
61
62
63
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65
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68
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 10%. Für einen bestimmten Betrag darf man 14 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 12% ausgegeben werden muss?

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kP(X≤k)
00.2288
10.5846
20.8416
30.9559
40.9908
50.9985
60.9998
71
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 14.

Es muss gelten: P0.114 (Xk) < 0.12 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: P0.114 (Xk-1) ≥ 0.88 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.88 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.114 (X3) nimmt mit 95.59% einen Wert über 0.88 an.

Das kleinstmögliche k mit P0.114 (Xk) = 1 - P0.114 (Xk-1) < 0.12 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 10%. Für einen bestimmten Betrag darf man 14 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 12% ausgegeben werden muss?

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kP(X≤k)
00.2288
10.5846
20.8416
30.9559
40.9908
50.9985
60.9998
71
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 14.

Es muss gelten: P0.114 (Xk) < 0.12 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: P0.114 (Xk-1) ≥ 0.88 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.88 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.114 (X3) nimmt mit 95.59% einen Wert über 0.88 an.

Das kleinstmögliche k mit P0.114 (Xk) = 1 - P0.114 (Xk-1) < 0.12 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

0
1
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3
4
5
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7
8
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)