Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 700\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ 700\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -200\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -200\\ 250\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1350\\ 1900\\ 1450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1350|1900|1450\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1000\\ 2000\\ 450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1000|2000|450\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|0|200\right)$ nach P$\left(-1000|2000|450\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-1000\\ 2000\\ 250\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-1000)}}^2+{2000}^2+{250}^2}=\sqrt{5062500}=2250$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 270m (also 220m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{10}}$s = 22s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1600\\ 3200\\ 400\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{1600}^2+{3200}^2+{400}^2}=\sqrt{12960000}=3600$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{3600}}{\mathrm{450}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-144\\ 72\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-144\\ 72\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{24}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 9.72 km braucht es also $\frac{\mathrm{9720}}{\mathrm{54}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -24\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8646\\ 4296\\ 1080\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-8646|4296|1080\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1080 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 36\\ -30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 36\\ -30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}16\\ 1\\ 16\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\\ -2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 60\\ -52\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}16\\ 1\\ 16\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 61\\ -34\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 18.14 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-22\\ 2\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 8+\mathrm{1,6}$ = 2.4 = $\mathrm{0,3}\cdot 8+0$

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 14\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 14\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-47\\ -10\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 4s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}-47\\ -10\\ 1.4\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-23\\ 22\\ 2.6\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-23\\ 22\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 2.2 = 0.4 m

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 1470m (also 1440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1440}}{\mathrm{60}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 100\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 100\\ 150\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1800\\ -700\\ 350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1800|-700|350\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-200|100|150\right)$ nach P$\left(-1800|-700|350\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-1600\\ -800\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-1600)}}^2+{\mathrm{(-800)}}^2+{200}^2}=\sqrt{3240000}=1800$m.