Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 10\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}850\\ -450\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(850|-450|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 360\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 360\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-460\\ 590\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-460|590|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|-40|10\right)$ nach P$\left(-460|590|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-420\\ 630\\ 140\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-420)}}^2+{630}^2+{140}^2}=\sqrt{592900}=770$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{60}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 980m (also 960m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{960}}{\mathrm{20}}$min = 48min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-540\\ -630\\ 540\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-540)}}^2+{\mathrm{(-630)}}^2+{540}^2}=\sqrt{980100}=990$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{990}}{\mathrm{110}}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 0\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{40}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 9 km braucht es also $\frac{\mathrm{9000}}{\mathrm{90}}$s = 100s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 0\\ 20\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7050\\ 4000\\ 4020\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(7050|4000|4020\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4020 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -320\\ -16\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ -320\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -80\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 168\\ 11\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -80\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -80\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ -153\\ -5\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 168\\ 11\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -80\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ 8\\ 3\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 161.81 m.

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}15\\ -50\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}15\\ -50\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -10\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-53\\ 72\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -10\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{0,8}$ = 2 = $\mathrm{0,1}\cdot 6+\mathrm{1,4}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -45\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -45\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}30\\ -73\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 5min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}30\\ -73\\ 0\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -41\\ 2.4\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1.8\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -41\\ 2.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 2.3 = 0.1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}820\\ 440\\ 520\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(820|440|520\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 40\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -160\\ 80\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-70|-160|80\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|-40|40\right)$ nach P$\left(-70|-160|80\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -120\\ 40\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-120)}}^2+{40}^2}=\sqrt{19600}=140$m.