Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 2 Schritten zwischen a₁ und a₃ kommt ja insgesamt $7$ - 5 = $2$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{2}{2}$ = $1$.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $n+d$.

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $5$ einsetzen:

$5$ = $1+d$

$5$ = $1+d$ | -1

4 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $n+4$.

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $-2$ und a₂ = $-18$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-2$ = $c·1$
II: $-18$ = $c·a^2$

Aus I ergibt sich ja sofort $-2$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-18$ = $-2a^2$

$-2a^2$	=	$-18$	|: $\left(-2\right)$
$a^2$	=	$9$	|
a1	=	$-\sqrt{9}$	= $-3$
a2	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $-2$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $-2\cdot 3^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₂ = $-\frac{8}{3}$ und a₅ = $-\frac{64}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{8}{3}$ = $c·a^2$
II: $-\frac{64}{3}$ = $c·a^5$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $-\frac{8}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a^2}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-\frac{64}{3}$ = $-\frac{8}{3a^2}·a^5$

also

II: $-\frac{64}{3}$ = $-\frac{8}{3}{a}^3$

$-\frac{8}{3}{a}^3$	=	$-\frac{64}{3}$	|⋅ $\left(-\frac{3}{8}\right)$
$a^3$	=	$8$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Von oben (I) wissen wir bereits: $-\frac{8}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a^2}$ = c

mit a=$2$ eingesetzt erhalten wir so: $-\frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $-\frac{2}{3}\cdot 2^n$