Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 4 Schritten zwischen a₁ und a₅ kommt ja insgesamt $-3$ - 1 = $-4$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{\mathrm{-4}}{4}$ = $-1$.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $-n+d$.

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $1$ einsetzen:

$1$ = $-1+d$

$1$ = $-1+d$ | +1

2 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $-n+2$.

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $2$ und a₂ = $8$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $2$ = $c·1$
II: $8$ = $c·a^2$

Aus I ergibt sich ja sofort $2$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $8$ = $2a^2$

$2a^2$	=	$8$	|:$2$
$a^2$	=	$4$	|
a1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
a2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $2$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $2\cdot 2^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $-\frac{81}{4}$ und a₅ = $-\frac{729}{4}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{81}{4}$ = $c·a^3$
II: $-\frac{729}{4}$ = $c·a^5$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $-\frac{81}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-\frac{729}{4}$ = $-\frac{81}{4a^3}·a^5$

also

II: $-\frac{729}{4}$ = $-\frac{81}{4}{a}^2$

$-\frac{81}{4}{a}^2$	=	$-\frac{729}{4}$	|⋅ $\left(-\frac{4}{81}\right)$
$a^2$	=	$9$	|
a1	=	$-\sqrt{9}$	= $-3$
a2	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $-\frac{81}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c

mit a=$3$ eingesetzt erhalten wir so: $-\frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $-\frac{3}{4}\cdot 3^n$