Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 4 Schritten zwischen a₄ und a₈ kommt ja insgesamt $-1$ - 1 = $-2$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{\mathrm{-2}}{4}$ = $-\frac{1}{2}$.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $-\frac{1}{2}n+d$.

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₄ = $1$ einsetzen:

$1$ = $-\frac{1}{2}\cdot 4+d$

$1$ = $-2+d$ | +2

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $-\frac{1}{2}n+3$.

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $-2$ und a₄ = $-162$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-2$ = $c·1$
II: $-162$ = $c·a^4$

Aus I ergibt sich ja sofort $-2$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-162$ = $-2a^4$

$-2a^4$	=	$-162$	|: $\left(-2\right)$
$a^4$	=	$81$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{81}$	= $-3$
a2	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $-2$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $-2\cdot 3^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $-108$ und a₅ = $-972$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-108$ = $c·a^3$
II: $-972$ = $c·a^5$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $-108$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-972$ = $-\frac{108}{a^3}·a^5$

also

II: $-972$ = $-108a^2$

$-108a^2$	=	$-972$	|: $\left(-108\right)$
$a^2$	=	$9$	|
a1	=	$-\sqrt{9}$	= $-3$
a2	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $-108$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c

mit a=$3$ eingesetzt erhalten wir so: $-4$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $-4\cdot 3^n$