Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 8 Schritten zwischen a₄ und a₁₂ kommt ja insgesamt $9$ - 5 = $4$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $\frac{1}{2}n+d$.

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₄ = $5$ einsetzen:

$5$ = $\frac{1}{2}\cdot 4+d$

$5$ = $2+d$ | -2

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $\frac{1}{2}n+3$.

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{4}{3}$ und a₂ = $\frac{100}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{4}{3}$ = $c·1$
II: $\frac{100}{3}$ = $c·a^2$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{4}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{100}{3}$ = $\frac{4}{3}{a}^2$

$\frac{4}{3}{a}^2$	=	$\frac{100}{3}$	|⋅$\frac{3}{4}$
$a^2$	=	$25$	|
a1	=	$-\sqrt{25}$	= $-5$
a2	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{4}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{4}{3}\cdot 5^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $-\frac{125}{2}$ und a₅ = $-\frac{3125}{2}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{125}{2}$ = $c·a^3$
II: $-\frac{3125}{2}$ = $c·a^5$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $-\frac{125}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-\frac{3125}{2}$ = $-\frac{125}{2a^3}·a^5$

also

II: $-\frac{3125}{2}$ = $-\frac{125}{2}{a}^2$

$-\frac{125}{2}{a}^2$	=	$-\frac{3125}{2}$	|⋅ $\left(-\frac{2}{125}\right)$
$a^2$	=	$25$	|
a1	=	$-\sqrt{25}$	= $-5$
a2	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $-\frac{125}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c

mit a=$5$ eingesetzt erhalten wir so: $-\frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $-\frac{1}{2}\cdot 5^n$