Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 2 Schritten zwischen a₁ und a₃ kommt ja insgesamt $0$ - 2 = $-2$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{\mathrm{-2}}{2}$ = $-1$.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $-n+d$.

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $2$ einsetzen:

$2$ = $-1+d$

$2$ = $-1+d$ | +1

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $-n+3$.

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{1}{2}$ und a₁ = $2$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $c·1$
II: $2$ = $c·a$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $2$ = $\frac{1}{2}a$

$\frac{1}{2}a$	=	$2$	|⋅ 2
$a$	=	$4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{1}{2}\cdot 4^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $\frac{5}{2}$ und a₃ = $\frac{125}{2}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{5}{2}$ = $c·a$
II: $\frac{125}{2}$ = $c·a^3$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{5}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{125}{2}$ = $\frac{5}{2a}·a^3$

also

II: $\frac{125}{2}$ = $\frac{5}{2}{a}^2$

$\frac{5}{2}{a}^2$	=	$\frac{125}{2}$	|⋅$\frac{2}{5}$
$a^2$	=	$25$	|
a1	=	$-\sqrt{25}$	= $-5$
a2	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{5}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a=$5$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{1}{2}\cdot 5^n$