Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 12 Schritten zwischen a₄ und a₁₆ kommt ja insgesamt $14$ - 5 = $9$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{9}{\mathrm{12}}$ = $\frac{3}{4}$.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $\frac{3}{4}n+d$.

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₄ = $5$ einsetzen:

$5$ = $\frac{3}{4}\cdot 4+d$

$5$ = $3+d$ | -3

2 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $\frac{3}{4}n+2$.

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{3}{2}$ und a₂ = $\frac{75}{2}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{2}$ = $c·1$
II: $\frac{75}{2}$ = $c·a^2$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{75}{2}$ = $\frac{3}{2}{a}^2$

$\frac{3}{2}{a}^2$	=	$\frac{75}{2}$	|⋅$\frac{2}{3}$
$a^2$	=	$25$	|
a1	=	$-\sqrt{25}$	= $-5$
a2	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{3}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{3}{2}\cdot 5^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $-36$ und a₇ = $-2916$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-36$ = $c·a^3$
II: $-2916$ = $c·a^7$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $-36$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-2916$ = $-\frac{36}{a^3}·a^7$

also

II: $-2916$ = $-36a^4$

$-36a^4$	=	$-2916$	|: $\left(-36\right)$
$a^4$	=	$81$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{81}$	= $-3$
a2	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $-36$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c

mit a=$3$ eingesetzt erhalten wir so: $-\frac{4}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $-\frac{4}{3}\cdot 3^n$