Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 8 Schritten zwischen a₂ und a₁₀ kommt ja insgesamt $7$ - 3 = $4$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $\frac{1}{2}n+d$.

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₂ = $3$ einsetzen:

$3$ = $\frac{1}{2}\cdot 2+d$

$3$ = $1+d$ | -1

2 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $\frac{1}{2}n+2$.

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $1$ und a₂ = $25$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $1$ = $c·1$
II: $25$ = $c·a^2$

Aus I ergibt sich ja sofort $1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $25$ = $a^2$

$a^2$	=	$25$	|
a1	=	$-\sqrt{25}$	= $-5$
a2	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $5^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $125$ und a₅ = $3125$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $125$ = $c·a^3$
II: $3125$ = $c·a^5$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $125$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $3125$ = $\frac{125}{a^3}·a^5$

also

II: $3125$ = $125a^2$

$125a^2$	=	$3125$	|:$125$
$a^2$	=	$25$	|
a1	=	$-\sqrt{25}$	= $-5$
a2	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $125$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c

mit a=$5$ eingesetzt erhalten wir so: $1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $5^n$