$\text{f(x)}=$ $-4x^3-4$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+0$

= $-12x^2$

$\text{f(x)}=$ $-x^2-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

f'(4) = $-2\cdot 4$ = $-8$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2-2x\right)·x$

= $-5x^2·x-2x·x$

= $-5x^3-2x^2$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-4x$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·\left(-6x^3\right)+x^5-8$

= $-6x^4+24x^3+x^5-8$

= $x^5-6x^4+24x^3-8$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4-24x^3+72x^2$

$\text{f(x)}=$ $-5t{x}^5-5x^3-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-25t{x}^4-15x^2-2x$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $x$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x$ = 2.

L={ $2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$) = $2$ = $2$

Die Gerade y = $-3$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $-3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-6x+8$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^2-6x+8$ = 0.

$x^2-6x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·8}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$) = $2^2-6\cdot 2+8$ = 0

f '( $4$) = $4^2-6\cdot 4+8$ = 0

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2}x·\left(x-10\right)+4$

= $\frac{1}{2}{x}^2-5x+4$

Die Gerade y = $-3x-5$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $-5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-5x+4$

$\text{f'(x)}=$ $x-5+0$

= $x-5$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x-5+0$ = -3.

L={ $2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$) = $2-5+0$ = $-3$

$\text{f(x)}=$ $t{x}^5-5x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $5t{x}^4-20x^3$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5t\cdot 1^4-20\cdot 1^3$
= $5t-20$

Dieser Wert soll ja den Wert -30 besitzen, also gilt: