Aufgabenbeispiele von ganzrational

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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 5 -4x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 5 -4x

f'(x)= 15 x 4 -4

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 x 4 +4 x 2 und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 4 +4 x 2

=>f'(x)= -20 x 3 +8x

f'(2) = -20 2 3 +82 = -208 +16 = -160 +16 = -144

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( -4 x 2 + x ) · x .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( -4 x 2 + x ) · x

= -4 x 2 · x + x · x

= -4 x 3 + x 2

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= -12 x 2 +2x

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 7 x 3 + ( x +7 ) · ( 6x +1 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= 7 x 3 + ( x +7 ) · ( 6x +1 )

= 7 x 3 + ( 6 x 2 +43x +7 )

f'(x)= 21 x 2 +12x +43

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 4 +5 t und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 4 +5 t

f'(x)= 4 x 3 +0

= 4 x 3

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 + x 2 den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 + x 2

f'(x)= x 2 +2x

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x 2 +2x = 3.

x 2 +2x = 3 | -3

x 2 +2x -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

x1,2 = -2 ± 4 +12 2

x1,2 = -2 ± 16 2

x1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

x2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = ( -3 ) 2 +2( -3 ) = 3

f '( 1 ) = 1 2 +21 = 3

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +2x parallel zur Geraden y = x -1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = x -1 hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = -1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 +2x

f'(x)= x +2

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x +2 = 1.

x +2 = 1 | -2
x = -1

L={ -1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = -1 +2 = 1

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 2x + 1 6 x 2 · ( 2x +3 )-5( x +6 ) parallel zur Geraden y = 3x +3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 2x + 1 6 x 2 · ( 2x +3 )-5( x +6 )

= 2x + ( 1 3 x 3 + 1 2 x 2 ) -5x -30

= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 +2x -5x -30

= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -3x -30

Die Gerade y = 3x +3 hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = 3 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -3x -30

f'(x)= x 2 + x -3 +0

= x 2 + x -3

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x 2 + x -3 +0 = 3.

x 2 + x -3 = 3 | -3

x 2 + x -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +24 2

x1,2 = -1 ± 25 2

x1 = -1 + 25 2 = -1 +5 2 = 4 2 = 2

x2 = -1 - 25 2 = -1 -5 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = ( -3 ) 2 -3 -3 +0 = 3

f '( 2 ) = 2 2 +2 -3 +0 = 3

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= -2 x 3 + t x im Punkt (2|f(2)) den Wert -28?

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 3 + t x

=>f'(x)= -6 x 2 + t

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= -6 2 2 + t
= -24 + t

Dieser Wert soll ja den Wert -28 besitzen, also gilt:

t -24 = -28 | +24
t = -4