Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{4} + \frac{1}{6} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{4} + \frac{1}{6} x^{3}$

$f'(x) =$ $8 x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $2 x - 4$

f'(-1) = $2 \cdot (- 1) - 4$ = $- 2 - 4$ = $- 6$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot x^{2}$

= $- 3 x^{3} \cdot x^{2} + 5 x^{2} \cdot x^{2}$

= $- 3 x^{5} + 5 x^{4}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot (- x^{3}) + 4 x^{2} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot (- x^{3}) + 4 x^{2} - 4 x$

= $- x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x - 4$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{5} - \frac{1}{12} x^{4} + t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{5} - \frac{1}{12} x^{4} + t^{2} x$

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + t^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 4 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} + 4 x + 1$ = -2.

x^{2} + 4 x + 1

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3) + 1$ = $- 2$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 1$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ parallel zur Geraden y = $x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x + 2$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$

$f'(x) =$ $x - 3$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x - 3$ = 1.

$x - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $4 - 3$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15) - 5 x + 6 (x + 5)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15) - 5 x + 6 (x + 5)$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} - 5 x + 6 x + 30$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x + 30$

Die Gerade y = $- 3 x - 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x + 30$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 1 + 0$

= $x^{2} - 5 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 1 + 0$ = -3.

x^{2} - 5 x + 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 5 \cdot 1 + 1 + 0$ = $- 3$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 5 \cdot 4 + 1 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} - 5 x^{3}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert 10?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} - 5 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} - 15 x^{2}$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot {(- 1)}^{4} - 15 \cdot {(- 1)}^{2}$
= $5 t - 15$

Dieser Wert soll ja den Wert 10 besitzen, also gilt:

$5 t - 15$	=	$10$	\| $+ 15$
$5 t$	=	$25$	\|: $5$
$t$	=	$5$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter