$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{9}{x}^3-5$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^2+0$

= $\frac{2}{3}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $-2x^5+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+5$

f'(3) = $-10\cdot 3^4+5$ = $-10\cdot 81+5$ = $-810+5$ = $-805$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^2+2\right)·x^2$

= $-2x^2·x^2+2·x^2$

= $-2x^4+2x^2$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+4x$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $3+7x^4+\left(x+4\right)·\left(-6x^2\right)$

= $3+7x^4+\left(-6x^3-24x^2\right)$

= $7x^4-6x^3-24x^2+3$

$\text{f'(x)}=$ $28x^3-18x^2-48x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{t}^2{x}^4-4$

$\text{f'(x)}=$ $2t^2{x}^3+0$

= $2t^2{x}^3$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-6x+8$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^2-6x+8$ = 0.

$x^2-6x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·8}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$) = $2^2-6\cdot 2+8$ = 0

f '( $4$) = $4^2-6\cdot 4+8$ = 0

Die Gerade y = $-x+4$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+3x+1$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^2+3x+1$ = -1.

$x^2+3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $-1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = ${\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+1$ = $-1$

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)+1$ = $-1$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2}·\left(2\left(\frac{1}{2}{x}^2+5\right)\right)-1$

= $\frac{1}{2}{x}^2+5-1$

= $\frac{1}{2}{x}^2+4$

Die Gerade y = $-x-2$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $-2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+4$

$\text{f'(x)}=$ $x+0$

= $x$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x+0$ = -1.

L={ $-1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = $-1+0$ = $-1$

$\text{f(x)}=$ $-2x^5+t{x}^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+4t{x}^3$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-10\cdot {\left(-2\right)}^4+4t\cdot {\left(-2\right)}^3$
= $-160-32t$

Dieser Wert soll ja den Wert -288 besitzen, also gilt: