$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^3-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^2+0$

= $-4x^2$

$\text{f(x)}=$ $3x^5-4x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $15x^4-12x^2$

f'(-1) = $15\cdot {\left(-1\right)}^4-12\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $15\cdot 1-12\cdot 1$ = $15-12$ = $3$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^3+4x\right)·x^3$

= $4x^3·x^3+4x·x^3$

= $4x^6+4x^4$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $24x^5+16x^3$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $7-6x^5+\left(x-6\right)·3x$

= $7-6x^5+\left(3x^2-18x\right)$

= $-6x^5+3x^2-18x+7$

$\text{f'(x)}=$ $-30x^4+6x-18$

$\text{f(x)}=$ $x^3-5t^2{x}^2+2t$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-10t^{2}x+0$

= $3x^2-10t^{2}x$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+x^2-x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+2x-1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^2+2x-1$ = 2.

$x^2+2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-3$) = ${\left(-3\right)}^2+2\cdot \left(-3\right)-1$ = $2$

f '( $1$) = $1^2+2\cdot 1-1$ = $2$

Die Gerade y = $x-1$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $-1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+5x$

$\text{f'(x)}=$ $x+5$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x+5$ = 1.

L={ $-4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-4$) = $-4+5$ = $1$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $-2\left(x+5\right)+1+\frac{1}{3}{x}^2·\left(x-3\right)$

= $-2x-10+1+\left(\frac{1}{3}{x}^3-x^2\right)$

= $\frac{1}{3}{x}^3-x^2-2x-10+1$

= $\frac{1}{3}{x}^3-x^2-2x-9$

Die Gerade y = $-3x-2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $-2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-x^2-2x-9$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-2x-2+0$

= $x^2-2x-2$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^2-2x-2+0$ = -3.

$x^2-2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$}

$1$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$) = $1^2-2\cdot 1-2+0$ = $-3$

$\text{f(x)}=$ $x^3+t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+2tx$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3\cdot 2^2+2t\cdot 2$
= $12+4t$

Dieser Wert soll ja den Wert 32 besitzen, also gilt: