Aufgabenbeispiele von ganzrational

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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 5 - x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - x 5 - x

f'(x)= -5 x 4 -1

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3x +5 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= 3x +5

=>f'(x)= 3 +0

= 3

f'(1) = 3

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( - x 4 - x 3 ) · x .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( - x 4 - x 3 ) · x

= - x 4 · x - x 3 · x

= - x 5 - x 4

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= -5 x 4 -4 x 3

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x -4 ) · x 3 -7x -4 x 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= ( x -4 ) · x 3 -7x -4 x 4

= x 4 -4 x 3 -7x -4 x 4

= x 4 -4 x 4 -4 x 3 -7x

= -3 x 4 -4 x 3 -7x

f'(x)= -12 x 3 -12 x 2 -7

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 t 2 x 4 -2 t x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 2 t 2 x 4 -2 t x 3

f'(x)= 2 t 2 x 3 -6 t x 2

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +7x den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 +7x

f'(x)= x +7

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x +7 = 3.

x +7 = 3 | -7
x = -4

L={ -4 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -4 ) = -4 +7 = 3

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -5x parallel zur Geraden y = x +4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = x +4 hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = 4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -5x

f'(x)= x 2 - x -5

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x 2 - x -5 = 1.

x 2 - x -5 = 1 | -1

x 2 - x -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +24 2

x1,2 = +1 ± 25 2

x1 = 1 + 25 2 = 1 +5 2 = 6 2 = 3

x2 = 1 - 25 2 = 1 -5 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = ( -2 ) 2 - ( -2 ) -5 = 1

f '( 3 ) = 3 2 - 3 -5 = 1

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x · ( x -2 ) +7 parallel zur Geraden y = x -5 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 1 2 x · ( x -2 ) +7

= 1 2 x 2 - x +7

Die Gerade y = x -5 hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = -5 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 - x +7

f'(x)= x -1 +0

= x -1

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x -1 +0 = 1.

x -1 = 1 | +1
x = 2

L={ 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 2 ) = 2 -1 +0 = 1

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 3 +5x im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -4?

Lösung einblenden

f(x)= t x 3 +5x

=>f'(x)= 3 t x 2 +5

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 3 t ( -1 ) 2 +5
= 3 t +5

Dieser Wert soll ja den Wert -4 besitzen, also gilt:

3t +5 = -4 | -5
3t = -9 |:3
t = -3