Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} - 3$

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 0$

= $- 3 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x + 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x + 2$

=> $f'(x) =$ $3 + 0$

= $3$

f'(1) = $3$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5 x^{2} + 4}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{5 x^{2} + 4}{x^{3}}$

= $\frac{5 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}$

= $\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{3}}$

= $5 x^{- 1} + 4 x^{- 3}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $- 5 x^{- 2} - 12 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{x^{2}} - \frac{12}{x^{4}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot (x + 3) + 3 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot (x + 3) + 3 x^{2}$

= $x^{2} - x - 12 + 3 x^{2}$

= $x^{2} + 3 x^{2} - x - 12$

= $4 x^{2} - x - 12$

$f'(x) =$ $8 x - 1$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- t^{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- t^{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2$

$f'(x) =$ $- 3 t^{2} x^{2} + 3 x + 0$

= $- 3 t^{2} x^{2} + 3 x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 4 x + 4$ = 0.

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 4$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 14 x$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x + 1$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 14 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 7 x + 14$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + 7 x + 14$ = 2.

x^{2} + 7 x + 14

=

2

|

- 2

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 7 \cdot (- 4) + 14$ = $2$

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 7 \cdot (- 3) + 14$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{1}{2} x \cdot (x - 12)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 4 + \frac{1}{2} x \cdot (x - 12)$

= $- 4 + (\frac{1}{2} x^{2} - 6 x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x - 4$

Die Gerade y = $- 3 x - 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x - 4$

$f'(x) =$ $x - 6 + 0$

= $x - 6$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x - 6 + 0$ = -3.

$x - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$x$	=	$3$

L={ $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$ ) = $3 - 6 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{3} + 3 x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 9?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} + 3 x$

=> $f'(x) =$ $3 t x^{2} + 3$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 t \cdot 1^{2} + 3$
= $3 t + 3$

Dieser Wert soll ja den Wert 9 besitzen, also gilt:

$3 t + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$3 t$	=	$6$	\|: $3$
$t$	=	$2$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter