Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} x^{5} + \frac{1}{6} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} x^{5} + \frac{1}{6} x^{4}$

$f'(x) =$ $3 x^{4} + \frac{2}{3} x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} + 4 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{4} + 4 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 16 x^{3} + 12 x^{2}$

f'(0) = $- 16 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2}$ = $- 16 \cdot 0 + 12 \cdot 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 4 x) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 4 x) \cdot x^{2}$

= $3 x^{2} \cdot x^{2} + 4 x \cdot x^{2}$

= $3 x^{4} + 4 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $12 x^{3} + 12 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 x^{2} + (x - 7) \cdot (- x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 7 x^{2} + (x - 7) \cdot (- x^{3})$

= $- 7 x^{2} + (- x^{4} + 7 x^{3})$

= $- x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 21 x^{2} - 14 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- t^{2} x^{4} + x - 2 t^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- t^{2} x^{4} + x - 2 t^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 t^{2} x^{3} + 1 + 0$

= $- 4 t^{2} x^{3} + 1$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 9 x$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 9 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 9$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 9$ = 3.

x^{2} + x - 9

=

3

|

- 3

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} - 4 - 9$ = $3$

f '( $3$ ) = $3^{2} + 3 - 9$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 10 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x + 1$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 10 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 7 x + 10$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 7 x + 10$ = -2.

x^{2} - 7 x + 10

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$ ) = $3^{2} - 7 \cdot 3 + 10$ = $- 2$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 7 \cdot 4 + 10$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{1}{3} x \cdot (x^{2} - 36)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 1 + \frac{1}{3} x \cdot (x^{2} - 36)$

= $- 1 + (\frac{1}{3} x^{3} - 12 x)$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 12 x - 1$

Die Gerade y = $- 3 x + 3$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 12 x - 1$

$f'(x) =$ $x^{2} - 12 + 0$

= $x^{2} - 12$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 12 + 0$ = -3.

$x^{2} - 12$	=	$- 3$	\| $+ 12$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 12 + 0$ = $- 3$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 12 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} - 4 x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert -6?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $2 t x - 4$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot 1 - 4$
= $2 t - 4$

Dieser Wert soll ja den Wert -6 besitzen, also gilt:

$2 t - 4$	=	$- 6$	\| $+ 4$
$2 t$	=	$- 2$	\|: $2$
$t$	=	$- 1$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter