Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} - 5$

$f'(x) =$ $- x^{3} + 0$

= $- x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 5 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + 5 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + 15 x^{2}$

f'(2) = $- 12 \cdot 2^{3} + 15 \cdot 2^{2}$ = $- 12 \cdot 8 + 15 \cdot 4$ = $- 96 + 60$ = $- 36$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2 x^{3} + 2 x^{2}}{x}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{2 x^{3} + 2 x^{2}}{x}$

= $\frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x}$

= $2 x^{2} + 2 x$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $4 x + 2$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x - 5 x^{5} + (x + 6) \cdot 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $7 x - 5 x^{5} + (x + 6) \cdot 4 x$

= $7 x - 5 x^{5} + (4 x^{2} + 24 x)$

= $- 5 x^{5} + 4 x^{2} + 7 x + 24 x$

= $- 5 x^{5} + 4 x^{2} + 31 x$

$f'(x) =$ $- 25 x^{4} + 8 x + 31$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 4 x^{2} - 3 t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} - 4 x^{2} - 3 t^{2} x$

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 8 x - 3 t^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x$ den Wert -3 hat, also dass f '(x) = -3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 9$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 9$ = -3.

x^{2} - x - 9

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 9$ = $- 3$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 3 - 9$ = $- 3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 5 x$ parallel zur Geraden y = $x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x + 4$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 5 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 4 x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} + 4 x + 5$ = 1.

x^{2} + 4 x + 5

=

1

|

- 1

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 5$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $2 + (x + 5) + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 6)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $2 + (x + 5) + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 6)$

= $2 + x + 5 + (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 + 5$

= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x + 7$

Die Gerade y = $- 3 x + 5$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x + 7$

$f'(x) =$ $x^{2} + 4 x + 1 + 0$

= $x^{2} + 4 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 4 x + 1 + 0$ = -3.

x^{2} + 4 x + 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 1 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} + 2 x$ im Punkt (2|f(2)) den Wert 18?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $2 t x + 2$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot 2 + 2$
= $4 t + 2$

Dieser Wert soll ja den Wert 18 besitzen, also gilt:

$4 t + 2$	=	$18$	\| $- 2$
$4 t$	=	$16$	\|: $4$
$t$	=	$4$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter