$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3+\frac{2}{3}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+\frac{4}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $-x^3+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+0$

= $-3x^2$

f'(3) = $-3\cdot 3^2$ = $-3\cdot 9$ = $-27$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^3+1\right)·x^2$

= $-2x^3·x^2+1·x^2$

= $-2x^5+x^2$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+2x$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\left(x-2\right)·\left(-6x\right)$

= $-3x^4+\left(-6x^2+12x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^3-12x+12$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{5}t{x}^5+\frac{1}{2}{t}^2{x}^2-5x$

$\text{f'(x)}=$ $2t{x}^4+t^{2}x-5$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+7x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-5x+7$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^2-5x+7$ = 3.

$x^2-5x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$) = $1^2-5\cdot 1+7$ = $3$

f '( $4$) = $4^2-5\cdot 4+7$ = $3$

Die Gerade y = $-3x+3$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-4x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-4$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^2-4$ = -3.

L={ $-1$; $1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2-4$ = $-3$

f '( $1$) = $1^2-4$ = $-3$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $-7+\frac{1}{2}x·\left(x+4\right)$

= $-7+\left(\frac{1}{2}{x}^2+2x\right)$

= $\frac{1}{2}{x}^2+2x-7$

= $\frac{1}{2}{x}^2+2x-7$

Die Gerade y = $-2x+3$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+2x-7$

$\text{f'(x)}=$ $x+2+0$

= $x+2$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x+2+0$ = -2.

L={ $-4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-4$) = $-4+2+0$ = $-2$

$\text{f(x)}=$ $-x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-2\cdot 2+t$
= $-4+t$

Dieser Wert soll ja den Wert -7 besitzen, also gilt: