$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{12}{x}^4+3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+6x$

$\text{f(x)}=$ $2x^4+4x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+8x$

f'(1) = $8\cdot 1^3+8\cdot 1$ = $8\cdot 1+8$ = $8+8$ = $16$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^4+1\right)·x^3$

= $3x^4·x^3+1·x^3$

= $3x^7+x^3$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $21x^6+3x^2$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+5\right)·\left(-3x^2\right)+4x^4-5x$

= $-3x^3-15x^2+4x^4-5x$

= $4x^4-3x^3-15x^2-5x$

$\text{f'(x)}=$ $16x^3-9x^2-30x-5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{5}{t}^2{x}^5+4tx$

$\text{f'(x)}=$ $-t^2{x}^4+4t$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-6x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^2-6$ = -2.

L={ $-2$; $2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = ${\left(-2\right)}^2-6$ = $-2$

f '( $2$) = $2^2-6$ = $-2$

Die Gerade y = $2x+4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+6x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-4x+6$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^2-4x+6$ = 2.

$x^2-4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$}

$2$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$) = $2^2-4\cdot 2+6$ = $2$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2}·\left(2\left(\frac{1}{2}{x}^2-8\right)\right)+1$

= $\frac{1}{2}{x}^2-8+1$

= $\frac{1}{2}{x}^2-7$

Die Gerade y = $-2x-4$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $-4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-7$

$\text{f'(x)}=$ $x+0$

= $x$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x+0$ = -2.

L={ $-2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = $-2+0$ = $-2$

$\text{f(x)}=$ $t{x}^3+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3t{x}^2+1$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3t\cdot {\left(-1\right)}^2+1$
= $3t+1$

Dieser Wert soll ja den Wert -5 besitzen, also gilt: