$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{10}{x}^5-\frac{1}{2}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $3x^4-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+0$

= $12x^3$

f'(-1) = $12\cdot {\left(-1\right)}^3$ = $12\cdot \left(-1\right)$ = $-12$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^4+3}{x^3}$

= $\frac{x^4}{x^3}+\frac{3}{x^3}$

= $x+\frac{3}{x^3}$

= $x+3x^{-3}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $1-9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $1-\frac{9}{x^4}$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·3x-2x^2$

= $3x^2-12x-2x^2$

= $3x^2-2x^2-12x$

= $x^2-12x$

$\text{f'(x)}=$ $2x-12$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{10}t{x}^5-2t^2{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}t{x}^4-4t^{2}x$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-7x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+x-7$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^2+x-7$ = -1.

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-3$) = ${\left(-3\right)}^2-3-7$ = $-1$

f '( $2$) = $2^2+2-7$ = $-1$

Die Gerade y = $3x+4$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+5x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+3x+5$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^2+3x+5$ = 3.

$x^2+3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $-1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = ${\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+5$ = $3$

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)+5$ = $3$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $-3+\frac{1}{2}x·\left(x+8\right)$

= $-3+\left(\frac{1}{2}{x}^2+4x\right)$

= $\frac{1}{2}{x}^2+4x-3$

= $\frac{1}{2}{x}^2+4x-3$

Die Gerade y = $-3$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $-3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+4x-3$

$\text{f'(x)}=$ $x+4+0$

= $x+4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x+4+0$ = 0.

L={ $-4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-4$) = $-4+4+0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $t{x}^5+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $5t{x}^4+5$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5t\cdot {\left(-1\right)}^4+5$
= $5t+5$

Dieser Wert soll ja den Wert 25 besitzen, also gilt: