$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^3+1$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^2+0$

= $-4x^2$

$\text{f(x)}=$ $-5x^3-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-2$

f'(0) = $-15\cdot 0^2-2$ = $-15\cdot 0-2$ = $-2$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^4-5x\right)·x^2$

= $-x^4·x^2-5x·x^2$

= $-x^6-5x^3$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $-6x^5-15x^2$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $-7x-x^4+\left(x-4\right)·\left(7x+5\right)$

= $-7x-x^4+\left(7x^2-23x-20\right)$

= $-x^4+7x^2-7x-23x-20$

= $-x^4+7x^2-30x-20$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+14x-30$

$\text{f(x)}=$ $4x^4+5t^2{x}^3+\frac{1}{4}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $16x^3+15t^2{x}^2+\frac{1}{2}x$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-9x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-x-9$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^2-x-9$ = -3.

$x^2-x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $3$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = ${\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-9$ = $-3$

f '( $3$) = $3^2-3-9$ = $-3$

Die Gerade y = $3x-1$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $-1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+11x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+6x+11$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^2+6x+11$ = 3.

$x^2+6x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·8}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $-2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-4$) = ${\left(-4\right)}^2+6\cdot \left(-4\right)+11$ = $3$

f '( $-2$) = ${\left(-2\right)}^2+6\cdot \left(-2\right)+11$ = $3$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $-7\left(x+3\right)+4x+\frac{1}{6}{x}^2·\left(2x+3\right)$

= $-7x-21+4x+\left(\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2\right)$

= $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-7x+4x-21$

= $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-3x-21$

Die Gerade y = $-x-2$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $-2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-3x-21$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+x-3+0$

= $x^2+x-3$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^2+x-3+0$ = -1.

$x^2+x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = ${\left(-2\right)}^2-2-3+0$ = $-1$

f '( $1$) = $1^2+1-3+0$ = $-1$

$\text{f(x)}=$ $-5x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-15x^2+t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-15\cdot {\left(-2\right)}^2+t$
= $-60+t$

Dieser Wert soll ja den Wert -64 besitzen, also gilt: