$\text{f(x)}=$ $x^3+x^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+2x+1$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{x}+6x^4$

= $-7x^{-1}+6x^4$

=> f'(x) = $7x^{-2}+24x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{x^2}+24x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}\sqrt{x}$

= $\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6\sqrt{x}}$

Die Gerade y = $-2x+2$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3-6x$

= $\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-6x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}}-6$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt{x}-6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $\sqrt{x}-6$ = -2.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $16$

Also -2 = -2

x = $16$ ist somit eine Lösung !

L={ $16$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $16$) = $\sqrt{16}-6$ = $-2$