$\text{f(x)}=$ $x^5+x^4+x^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+4x^3+2x+1$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x^2}-4$

= $5x^{-2}-4$

=> f'(x) = $-10x^{-3}+0$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{10}{x^3}+0$

= $-\frac{10}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x}$

= $2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$

Die Gerade y = $9x-1$ hat als Steigung m = 9 und als y-Achsenabschnitt c = $-1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 9 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3+5x$

= $\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+5x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}}+5$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt{x}+5$

Diese Ableitung muss ja = 9 sein, also setzen wir $\sqrt{x}+5$ = 9.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $16$

Also 9 = 9

x = $16$ ist somit eine Lösung !

L={ $16$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $16$) = $\sqrt{16}+5$ = $9$