$\text{f(x)}=$ $x^5+1$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+0$

= $5x^4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2x}+6x^4$

= $-\frac{7}{2}{x}^{-1}+6x^4$

=> f'(x) = $\frac{7}{2}{x}^{-2}+24x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2x^2}+24x^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\sqrt{x}$

= $-\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{8\sqrt{x}}$

Die Gerade y = $-x+4$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3-5x$

= $\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-5x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}}-5$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt{x}-5$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $\sqrt{x}-5$ = -1.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $16$

Also -1 = -1

x = $16$ ist somit eine Lösung !

L={ $16$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $16$) = $\sqrt{16}-5$ = $-1$