$\text{f(x)}=$ $x^5+x^3+x^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+3x^2+2x+1$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4x^2}-2x^3$

= $-\frac{1}{4}{x}^{-2}-2x^3$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-3}-6x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3}-6x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}\sqrt{x}$

= $\frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3\sqrt{x}}$

Die Gerade y = $4x+3$ hat als Steigung m = 4 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 4 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4-8$

= $\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-8$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}}+0$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[3]{x}+0$

= $\sqrt[3]{x}$

Diese Ableitung muss ja = 4 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x}+0$ = 4.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $64$

Also 4 = 4

x = $64$ ist somit eine Lösung !

L={ $64$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $64$) = $\sqrt[3]{64}+0$ = $4$