Aufgabenbeispiele von Summenregel

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Summernregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 3 + x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 3 + x 2

f'(x)= 3 x 2 +2x

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 9 2 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 9 2 x 3

= - 9 2 x -3

=> f'(x) = 27 2 x -4

f'(x)= 27 2 x 4

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -9 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -9 x

= -9 x 1 2

=> f'(x) = - 9 2 x - 1 2

f'(x)= - 9 2 x

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 4 5 ( x 4 ) 5 +3 parallel zur Geraden y = x -2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = x -2 hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = -2 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 4 5 ( x 4 ) 5 +3

= 4 5 x 5 4 +3

=> f'(x) = x 1 4 +0

f'(x)= x 4 +0

= x 4

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x 4 +0 = 1.

x 4 = 1 |(⋅)4 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = 1 4
x = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 1

Linke Seite:

x = 1 in x 4

= 1 4

= 1

Rechte Seite:

x = 1 in 1

= 1

Also 1 = 1

x = 1 ist somit eine Lösung !

L={ 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 1 ) = 1 4 +0 = 1