$\text{f(x)}=$ $x^5+1$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+0$

= $5x^4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2x^2}-x^4$

= $-\frac{5}{2}{x}^{-2}-x^4$

=> f'(x) = $5x^{-3}-4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{x^3}-4x^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\sqrt{x}$

= $-\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{8\sqrt{x}}$

Die Gerade y = $12x-4$ hat als Steigung m = 12 und als y-Achsenabschnitt c = $-4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 12 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4+9x$

= $\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}+9x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}}+9$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[3]{x}+9$

Diese Ableitung muss ja = 12 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x}+9$ = 12.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $27$

Also 12 = 12

x = $27$ ist somit eine Lösung !

L={ $27$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $27$) = $\sqrt[3]{27}+9$ = $12$