$\text{f(x)}=$ $x^4+x^3+x^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+3x^2+2x+1$

$\text{f(x)}=$ $5-\frac{2}{x^2}$

= $5-2x^{-2}$

=> f'(x) = $0+4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{x^3}$

= $\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-5\sqrt[4]{x}$

= $-5x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

Die Gerade y = $-6x-1$ hat als Steigung m = -6 und als y-Achsenabschnitt c = $-1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = -6 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{6}{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^6-8x$

= $\frac{5}{6}{x}^{\frac{6}{5}}-8x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{5}}-8$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[5]{x}-8$

Diese Ableitung muss ja = -6 sein, also setzen wir $\sqrt[5]{x}-8$ = -6.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $32$

Also -6 = -6

x = $32$ ist somit eine Lösung !

L={ $32$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $32$) = $\sqrt[5]{32}-8$ = $-6$