$\text{f(x)}=$ $x^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x}$

= $-4x^{-1}$

=> f'(x) = $4x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{2}{3}\sqrt[4]{x}$

= $x^4+\frac{2}{3}{x}^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $4x^3+\frac{1}{6}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{6{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

Die Gerade y = $13x+1$ hat als Steigung m = 13 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 13 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3+9x$

= $\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+9x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}}+9$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt{x}+9$

Diese Ableitung muss ja = 13 sein, also setzen wir $\sqrt{x}+9$ = 13.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $16$

Also 13 = 13

x = $16$ ist somit eine Lösung !

L={ $16$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $16$) = $\sqrt{16}+9$ = $13$