$\text{f(x)}=$ $x^3+x^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+2x+1$

$\text{f(x)}=$ $x-\frac{3}{2x^3}$

= $x-\frac{3}{2}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $1+\frac{9}{2}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $1+\frac{9}{2x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4\sqrt{x}}-7x^5$

= $-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}-7x^5$

=> f'(x) = $\frac{1}{8}{x}^{-\frac{3}{2}}-35x^4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{8{\left(\sqrt{x}\right)}^3}-35x^4$

Die Gerade y = $-2x+4$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4-6x$

= $\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-6x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}}-6$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[3]{x}-6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x}-6$ = -2.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $64$

Also -2 = -2

x = $64$ ist somit eine Lösung !

L={ $64$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $64$) = $\sqrt[3]{64}-6$ = $-2$