$\text{f(x)}=$ $x^3+1$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^2}-1$

= $-4x^{-2}-1$

=> f'(x) = $8x^{-3}+0$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x^3}+0$

= $\frac{8}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{4}\sqrt[3]{x}-4x^5$

= $-\frac{5}{4}{x}^{\frac{1}{3}}-4x^5$

=> f'(x) = $-\frac{5}{12}{x}^{-\frac{2}{3}}-20x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{12{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-20x^4$

Die Gerade y = $x+1$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3-2x$

= $\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-2x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}}-2$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt{x}-2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $\sqrt{x}-2$ = 1.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Also 1 = 1

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $9$) = $\sqrt{9}-2$ = $1$