Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = -2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-2) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -2 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-2)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 2 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(2) = $-2^2+3\cdot 2+1$ = $-4+6+1$ = 3 und
f(4) = $-4^2+3\cdot 4+1$ = $-16+12+1$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(2)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{2}$

= $-3$

60 min sind 1 h, also sind 20 min eben $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{3}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 15

f($\frac{1}{3}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 15 |⋅ $\frac{1}{3}$

f($\frac{1}{3}$) -0 = $5$ |+0

f($\frac{1}{3}$) = 5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-2x^2-2-\left(-2\cdot {\left(-1\right)}^2-2\right)}{x+1}$

= $\frac{-2x^2-2+2\cdot {\left(-1\right)}^2+2}{x+1}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-2\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-2·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-2\left(x-1\right)$ = $-2\left(-1-1\right)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(-1+h\right)}^2-2-\left(-2\cdot {\left(-1\right)}^2-2\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(-1+h\right)}^2-2+2\cdot {\left(-1\right)}^2+2}{h}$

= $\frac{-2{\left(h-1\right)}^2+2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2-2h+1\right)+2}{h}$

= $\frac{-2h^2+4h-2+2}{h}$

= $\frac{-2h^2+4h}{h}$

= $\frac{2h\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(-h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(-h+2\right)$ = $2\left(-0+2\right)$ = 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{\frac{2}{x^3}-\frac{2}{{\left(-2\right)}^3}}{x+2}$ = $\frac{\frac{2}{x^3}+\frac{1}{4}}{x+2}$ = $\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{x^3}}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{{\left(-\mathrm{1,9}\right)}^3}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.41588

x = -1.99: $\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{{\left(-\mathrm{1,99}\right)}^3}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.37878

x = -1.999: $\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{{\left(-\mathrm{1,999}\right)}^3}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.37538

x = -1.9999: $\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{{\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^3}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.37504

x = -1.99999: $\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{{\left(-2\right)}^3}}{0.00001}$ ≈ -0.375

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{x^3}}{x+2}$ ≈ -0.375

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{5x^2+4-\left(5u^2+4\right)}{x-u}$

= $\frac{5x^2+4-5u^2-4}{x-u}$

= $\frac{5x^2-5u^2}{x-u}$

= $\frac{5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $5(x+u)$ = $5·(u+u)$ = $10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{3}{x}+3-\left(\frac{3}{u}+3\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{3}{x}+3-\frac{3}{u}-3}{x-u}$

= $\frac{\frac{3}{x}-\frac{3}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{3u}{x·u}+\frac{-3x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{3u-3x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-3x+3u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -3 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-3(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{3}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{3}{xu}$ = $\frac{-3}{u·u}$ = $-\frac{3}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{3}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{3}{x^2}$.