Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(1)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^2+0-3$ = $0+0-3$ = -3 und
f(2) = $2^2+2-3$ = $4+2-3$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{6}{2}$

= $3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 4

f($\mathrm{1,5}$) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{1,5}$) +1 = $10$ |-1

f($\mathrm{1,5}$) = 9

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{-2x^2+2-\left(-2\cdot 1^2+2\right)}{x-1}$

= $\frac{-2x^2+2+2\cdot 1^2-2}{x-1}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{-2\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $-2·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $-2\left(x+1\right)$ = $-2\left(1+1\right)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(1+h\right)}^2+2-\left(-2\cdot 1^2+2\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(1+h\right)}^2+2+2\cdot 1^2-2}{h}$

= $\frac{-2{\left(h+1\right)}^2+2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2+2h+1\right)+2}{h}$

= $\frac{-2h^2-4h-2+2}{h}$

= $\frac{-2h^2-4h}{h}$

= $\frac{-2h\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-2\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-2\left(h+2\right)$ = $-2\left(0+2\right)$ = -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-x^3-2x^2-\left(-{\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$ = $\frac{-x^3-2x^2-8+8}{x+2}$ = $\frac{-x^3-2x^2}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,9}\right)}^3-2\cdot {\left(-\mathrm{1,9}\right)}^2}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -3.61

x = -1.99: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,99}\right)}^3-2\cdot {\left(-\mathrm{1,99}\right)}^2}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -3.9601

x = -1.999: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,999}\right)}^3-2\cdot {\left(-\mathrm{1,999}\right)}^2}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -3.996

x = -1.9999: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^3-2\cdot {\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^2}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -3.9996

x = -1.99999: $\frac{-{\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2}{0.00001}$ ≈ -3.99996

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{-x^2·1}{1}$ ≈ -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2-2-\left(u^2-2\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-2-u^2+2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-x^2-4x-\left(-u^2-4u\right)}{x-u}$

= $\frac{-x^2-4x+u^2+4u}{x-u}$

= $\frac{-x^2+u^2-4x+4u}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)-4\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-4\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-4\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-1·(x+u)-4$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-1·(x+u)-4$ = $-1·(u+u)-4$ = $-2u-4$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-2u-4$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-2x-4$.