Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-4$ = $1-2-4$ = -5 und
f(2) = $2^2+2\cdot 2-4$ = $4+4-4$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 4

f($\mathrm{0,5}$) = 5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{0,5}$) -5 = $6$ |+5

f($\mathrm{0,5}$) = 11

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{2x^2-1-\left(2\cdot 1^2-1\right)}{x-1}$

= $\frac{2x^2-1-2\cdot 1^2+1}{x-1}$

= $\frac{2x^2-2\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{2\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $2·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $2\left(x+1\right)$ = $2\left(1+1\right)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{2{\left(1+h\right)}^2-1-\left(2\cdot 1^2-1\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(1+h\right)}^2-1-2\cdot 1^2+1}{h}$

= $\frac{2{\left(h+1\right)}^2-2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2+2h+1\right)-2}{h}$

= $\frac{2h^2+4h+2-2}{h}$

= $\frac{2h^2+4h}{h}$

= $\frac{2h\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h+2\right)$ = $2\left(0+2\right)$ = 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(4)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>4</mn>}}$ = $\frac{-\sqrt{x}+\sqrt{4}}{x-4}$ = $\frac{-\sqrt{x}+2}{x-4}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: $\frac{-\sqrt{\mathrm{4,1}}+2}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.24846

x = 4.01: $\frac{-\sqrt{\mathrm{4,01}}+2}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.24984

x = 4.001: $\frac{-\sqrt{\mathrm{4,001}}+2}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.24998

x = 4.0001: $\frac{-\sqrt{\mathrm{4,0001}}+2}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.25

x = 4.00001: $\frac{-\sqrt{4}+2}{0.00001}$ ≈ -0.25

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 4}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(4)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>4</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 4}}{\lim }$ $\frac{-\sqrt{x}+2}{x-4}$ ≈ -0.25

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-x^2+2-\left(-u^2+2\right)}{x-u}$

= $\frac{-x^2+2+u^2-2}{x-u}$

= $\frac{-x^2+u^2}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-(x+u)$ = $-1·(u+u)$ = $-2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-4\sqrt{x}+5-\left(-4\sqrt{u}+5\right)}{x-u}$

= $\frac{-4\sqrt{x}+5+4\sqrt{u}-5}{x-u}$

= $\frac{-4\sqrt{x}+4\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{-4\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{-4\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-4\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{-4}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{-4}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{-4}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $-\frac{2}{\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{2}{\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{2}{\sqrt{x}}$.