Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3}}{3}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $1^2-3\cdot 1-1$ = $1-3-1$ = -3 und
f(4) = $4^2-3\cdot 4-1$ = $16-12-1$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(1)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

60 min sind 1 h, also sind 20 min eben $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{3}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 15

f($\frac{1}{3}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 15 |⋅ $\frac{1}{3}$

f($\frac{1}{3}$) -0 = $5$ |+0

f($\frac{1}{3}$) = 5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-3x^2+1-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^2+1\right)}{x+1}$

= $\frac{-3x^2+1+3\cdot {\left(-1\right)}^2-1}{x+1}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-3\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-3·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-3\left(x-1\right)$ = $-3\left(-1-1\right)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(-1+h\right)}^2+1-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^2+1\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(-1+h\right)}^2+1+3\cdot {\left(-1\right)}^2-1}{h}$

= $\frac{-3{\left(h-1\right)}^2+3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2-2h+1\right)+3}{h}$

= $\frac{-3h^2+6h-3+3}{h}$

= $\frac{-3h^2+6h}{h}$

= $\frac{3h\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(-h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(-h+2\right)$ = $3\left(-0+2\right)$ = 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{-3x^4-x-\left(-3\cdot 2^4-2\right)}{x-2}$ = $\frac{-3x^4-x+48+2}{x-2}$ = $\frac{-3x^4-x+50}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,1}}^4-\mathrm{2,1}+50}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -104.443

x = 2.01: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,01}}^4-\mathrm{2,01}+50}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -97.7224

x = 2.001: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,001}}^4-\mathrm{2,001}+50}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -97.07202

x = 2.0001: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,0001}}^4-\mathrm{2,0001}+50}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -97.0072

x = 2.00001: $\frac{-3\cdot 2^4-2+50}{0.00001}$ ≈ -97.00072

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{-3x^4-x+50}{x-2}$ ≈ -97

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-2-\left(-5u^2-2\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-2+5u^2+2}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-x^2+x-(-u^2+u)}{x-u}$

= $\frac{-x^2+x+u^2-u}{x-u}$

= $\frac{-x^2+u^2+x-u}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)+\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{x-u}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{x-u}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-1·(x+u)+1$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-1·(x+u)+1$ = $-1·(u+u)+1$ = $-2u+1$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-2u+1$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-2x+1$.