Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = -2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-2) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -2 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-2)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -5 und x₂ = -4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-5) = $3\sqrt{-5+5}-5$ = $3\sqrt{0}-5$ = -5 und
f(-4) = $3\sqrt{-4+5}-5$ = $3\sqrt{1}-5$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-4)\; -\; f(-5)}}{\mathrm{-4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 15

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 15 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $\frac{15}{4}$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 3.75

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3x^2+3-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^2+3\right)}{x+2}$

= $\frac{3x^2+3-3\cdot {\left(-2\right)}^2-3}{x+2}$

= $\frac{3x^2-3\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{3\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $3·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $3\left(x-2\right)$ = $3\left(-2-2\right)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{3{\left(-2+h\right)}^2+3-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^2+3\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(-2+h\right)}^2+3-3\cdot {\left(-2\right)}^2-3}{h}$

= $\frac{3{\left(h-2\right)}^2-12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2-4h+4\right)-12}{h}$

= $\frac{3h^2-12h+12-12}{h}$

= $\frac{3h^2-12h}{h}$

= $\frac{3h\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h-4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h-4\right)$ = $3\left(0-4\right)$ = -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{x^4+x^2-\left({\left(-2\right)}^4+{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$ = $\frac{x^4+x^2-16-4}{x+2}$ = $\frac{x^4+x^2-20}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{{\left(-\mathrm{1,9}\right)}^4+{\left(-\mathrm{1,9}\right)}^2-20}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -33.579

x = -1.99: $\frac{{\left(-\mathrm{1,99}\right)}^4+{\left(-\mathrm{1,99}\right)}^2-20}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -35.7508

x = -1.999: $\frac{{\left(-\mathrm{1,999}\right)}^4+{\left(-\mathrm{1,999}\right)}^2-20}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -35.97501

x = -1.9999: $\frac{{\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^4+{\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^2-20}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -35.9975

x = -1.99999: $\frac{{\left(-2\right)}^4+{\left(-2\right)}^2-20}{0.00001}$ ≈ -35.99975

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{x^4+x^2-20}{x+2}$ ≈ -36

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2+1-\left(-5u^2+1\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+1+5u^2-1}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{4\sqrt{x}+4-\left(4\sqrt{u}+4\right)}{x-u}$

= $\frac{4\sqrt{x}+4-4\sqrt{u}-4}{x-u}$

= $\frac{4\sqrt{x}-4\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{4\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{4\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{4}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{2}{\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{2}{\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{2}{\sqrt{x}}$.