Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $2\sqrt{-2+2}-4$ = $2\sqrt{0}-4$ = -4 und
f(2) = $2\sqrt{2+2}-4$ = $2\sqrt{4}-4$ = 0
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{4}{4}$

= $1$

60 min sind 1 h, also sind 20 min eben $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{3}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 30

f($\frac{1}{3}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 30 |⋅ $\frac{1}{3}$

f($\frac{1}{3}$) -0 = $10$ |+0

f($\frac{1}{3}$) = 10

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-2x^2+1-\left(-2\cdot {\left(-1\right)}^2+1\right)}{x+1}$

= $\frac{-2x^2+1+2\cdot {\left(-1\right)}^2-1}{x+1}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-2\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-2·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-2\left(x-1\right)$ = $-2\left(-1-1\right)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(-1+h\right)}^2+1-\left(-2\cdot {\left(-1\right)}^2+1\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(-1+h\right)}^2+1+2\cdot {\left(-1\right)}^2-1}{h}$

= $\frac{-2{\left(h-1\right)}^2+2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2-2h+1\right)+2}{h}$

= $\frac{-2h^2+4h-2+2}{h}$

= $\frac{-2h^2+4h}{h}$

= $\frac{2h\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(-h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(-h+2\right)$ = $2\left(-0+2\right)$ = 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{-\frac{3}{x^2}+\frac{3}{1^2}}{x-1}$ = $\frac{-\frac{3}{x^2}+3}{x-1}$ = $\frac{3-\frac{3}{x^2}}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{3-\frac{3}{{\mathrm{1,1}}^2}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 5.20661

x = 1.01: $\frac{3-\frac{3}{{\mathrm{1,01}}^2}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 5.91119

x = 1.001: $\frac{3-\frac{3}{{\mathrm{1,001}}^2}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 5.99101

x = 1.0001: $\frac{3-\frac{3}{{\mathrm{1,0001}}^2}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 5.9991

x = 1.00001: $\frac{3-\frac{3}{1^2}}{0.00001}$ ≈ 5.99991

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{3-\frac{3}{x^2}}{x-1}$ ≈ 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2-4-\left(-3u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2-4+3u^2+4}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{5\sqrt{x}-1-\left(5\sqrt{u}-1\right)}{x-u}$

= $\frac{5\sqrt{x}-1-5\sqrt{u}+1}{x-u}$

= $\frac{5\sqrt{x}-5\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{5\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{5\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{5}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{5}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{5}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{5}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{5}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{5}{2\sqrt{x}}$.