Aufgabenbeispiele von Differenzenquotient
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Differenzenquotient aus Graph ablesen
Beispiel:
Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;0].
Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = -3 und x2 = 0 ab und
berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der
x-Werte 0 -
=
=
=
Differenzenquotient aus Term ablesen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;-2].
Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = -3 und x2 = -2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) =
=
= 0 und
f(-2) =
=
= 1 und
berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-2) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der
x-Werte -2 -
=
=
=
Differenzenquotient rückwärts
Beispiel:
Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 20 Minuten seiner Fahrt 25 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)
60 min sind 1 h, also sind 20 min eben h = h.
Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:
= 25
f(
f(
f(
Ableitung mit Differenzenquotient
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit
1. Weg
Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:
=
=
=
=
Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):
=
Jetzt lässt sich der Nenner
=
Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:
f'(-1) =
2. Weg
Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:
=
=
=
Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:
=
=
=
=
Jetzt können wir mit h kürzen:
=
Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:
f'(-1) =
Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit
Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:
Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:
x = -1.9:
x = -1.99:
x = -1.999:
x = -1.9999:
x = -1.99999:
Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:
f'(-2) =
Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit
Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:
=
=
=
=
Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):
=
Jetzt lässt sich der Nenner
=
Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:
f'(u) =
Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) =
Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit
Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:
=
=
=
=
Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):
=
Jetzt lässt sich der Nenner
=
Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:
f'(u) =
Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) =