Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -4 und x₂ = -1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-4) = ${\left(-4\right)}^2+3\cdot \left(-4\right)-1$ = $16-12-1$ = 3 und
f(-1) = ${\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)-1$ = $1-3-1$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-1)\; -\; f(-4)}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{3}$

= $-2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 1

f($\mathrm{3,5}$) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 1 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{3,5}$) +4 = $\mathrm{1,5}$ |-4

f($\mathrm{3,5}$) = -2.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3x^2+2-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^2+2\right)}{x+2}$

= $\frac{3x^2+2-3\cdot {\left(-2\right)}^2-2}{x+2}$

= $\frac{3x^2-3\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{3\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $3·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $3\left(x-2\right)$ = $3\left(-2-2\right)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{3{\left(-2+h\right)}^2+2-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^2+2\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(-2+h\right)}^2+2-3\cdot {\left(-2\right)}^2-2}{h}$

= $\frac{3{\left(h-2\right)}^2-12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2-4h+4\right)-12}{h}$

= $\frac{3h^2-12h+12-12}{h}$

= $\frac{3h^2-12h}{h}$

= $\frac{3h\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h-4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h-4\right)$ = $3\left(0-4\right)$ = -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\frac{2\sqrt{x}-2\sqrt{25}}{x-25}$ = $\frac{2\sqrt{x}-10}{x-25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{2\sqrt{\mathrm{25,1}}-10}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.1998

x = 25.01: $\frac{2\sqrt{\mathrm{25,01}}-10}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.19998

x = 25.001: $\frac{2\sqrt{\mathrm{25,001}}-10}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.2

x = 25.0001: $\frac{2\sqrt{\mathrm{25,0001}}-10}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.2

x = 25.00001: $\frac{2\sqrt{25}-10}{0.00001}$ ≈ 0.2

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$ $\frac{2\sqrt{x}-10}{x-25}$ ≈ 0.2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2+4-\left(-2u^2+4\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+4+2u^2-4}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2+5-\left(u^2+5\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2+5-u^2-5}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.