Aufgabenbeispiele von Differenzenquotient

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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-4;0].

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Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = -4 und x2 = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

f(0) - f(-4) 0 - ( - 4 )

= 2 - 0 0 - ( - 4 )

= 2 4

= 1 2

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 + x 2 -1 . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;1].

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Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = 0 und x2 = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = 0 3 + 0 2 -1 = 0 + 0 -1 = -1 und
f(1) = 1 3 + 1 2 -1 = 1 + 1 -1 = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

f(1) - f(0) 1 - 0

= 1 - ( - 1 ) 1 - 0

= 2 1

= 2

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 20 Minuten seiner Fahrt 30 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

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60 min sind 1 h, also sind 20 min eben 20 60 h = 1 3 h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

f( 1 3 ) - f(0) 1 3 - 0 = 30

f( 1 3 ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

f( 1 3 ) - 0 1 3 = 30 |⋅ 1 3

f( 1 3 ) -0 = 10 |+0

f( 1 3 ) = 10

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 2 -5 . Berechne f'(-1) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(-1) x - ( - 1 )

= 2 x 2 -5 - ( 2 ( -1 ) 2 -5 ) x +1

= 2 x 2 -5 -2 ( -1 ) 2 +5 x +1

= 2 x 2 -2 ( -1 ) 2 x +1

= 2( x 2 - ( -1 ) 2 ) x +1

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= 2 ( x -1 ) · ( x +1 ) x +1

Jetzt lässt sich der Nenner x +1 rauskürzen:

= 2 · ( x -1 )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = lim x → -1 f(x) - f(-1) x - ( - 1 ) = lim x → -1 2( x -1 ) = 2( -1 -1 ) = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

f(-1+h) - f(-1) h

= 2 ( -1 + h ) 2 -5 - ( 2 ( -1 ) 2 -5 ) h

= 2 ( -1 + h ) 2 -5 -2 ( -1 ) 2 +5 h

= 2 ( h -1 ) 2 -2 h

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= 2( h 2 -2h +1 ) -2 h

= 2 h 2 -4h +2 -2 h

= 2 h 2 -4h h

= 2 h ( h -2 ) h

Jetzt können wir mit h kürzen:

= 2( h -2 )

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = lim h → 0 f(-1+h) - f(-1) h = lim h → 0 2( h -2 ) = 2(0 -2 ) = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 3 . Bestimme f'(2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 2 immer mehr annähern.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(2) x - 2 = 2 x 3 - 2 2 3 x -2 = 2 x 3 - 1 4 x -2 = - 1 4 + 2 x 3 x -2

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: - 1 4 + 2 2,1 3 0,1 ≈ -0.34041

x = 2.01: - 1 4 + 2 2,01 3 0,01 ≈ -0.37128

x = 2.001: - 1 4 + 2 2,001 3 0,001 ≈ -0.37463

x = 2.0001: - 1 4 + 2 2,0001 3 0,0001 ≈ -0.37496

x = 2.00001: - 1 4 + 2 2 3 0.00001 ≈ -0.375

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = lim x → 2 f(x) - f(2) x - 2 = lim x → 2 - 1 4 + 2 x 3 x -2 -0.375

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 5 x 2 -2 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= 5 x 2 -2 - ( 5 u 2 -2 ) x - u

= 5 x 2 -2 -5 u 2 +2 x - u

= 5 x 2 -5 u 2 x - u

= 5( x 2 - u 2 ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= 5 ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= 5 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u 5( x + u) = 5 · ( u + u ) = 10u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = 10u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = 10x .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 2 +3x . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= 2 x 2 +3x - ( 2 u 2 +3u) x - u

= 2 x 2 +3x -2 u 2 -3u x - u

= 2 x 2 -2 u 2 +3x -3u x - u

= 2( x 2 - u 2 )+3( x - u ) x - u

= 2( x 2 - u 2 ) x - u + 3( x - u ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= 2 ( x - u ) · ( x + u ) x - u + 3( x - u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= 2 · ( x + u ) +3

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u 2 · ( x + u ) +3 = 2 · ( u + u ) +3 = 4u +3

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = 4u +3 beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = 4x +3 .