Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -4 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(-4)}}{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{6}{8}$

= $\frac{3}{4}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $\sqrt{0}$ = $\sqrt{0}$ = 0 und
f(1) = $\sqrt{1}$ = $\sqrt{1}$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 3

f($\mathrm{0,5}$) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($\mathrm{0,5}$) +4 = $\mathrm{1,5}$ |-4

f($\mathrm{0,5}$) = -2.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-3x^2-4-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^2-4\right)}{x+2}$

= $\frac{-3x^2-4+3\cdot {\left(-2\right)}^2+4}{x+2}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-3\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-3·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-3\left(x-2\right)$ = $-3\left(-2-2\right)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(-2+h\right)}^2-4-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^2-4\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(-2+h\right)}^2-4+3\cdot {\left(-2\right)}^2+4}{h}$

= $\frac{-3{\left(h-2\right)}^2+12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2-4h+4\right)+12}{h}$

= $\frac{-3h^2+12h-12+12}{h}$

= $\frac{-3h^2+12h}{h}$

= $\frac{3h\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(-h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(-h+4\right)$ = $3\left(-0+4\right)$ = 12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-x^3+5x^2-\left(-{\left(-2\right)}^3+5\cdot {\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$ = $\frac{-x^3+5x^2-8-20}{x+2}$ = $\frac{-x^3+5x^2-28}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,9}\right)}^3+5\cdot {\left(-\mathrm{1,9}\right)}^2-28}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -30.91

x = -1.99: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,99}\right)}^3+5\cdot {\left(-\mathrm{1,99}\right)}^2-28}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -31.8901

x = -1.999: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,999}\right)}^3+5\cdot {\left(-\mathrm{1,999}\right)}^2-28}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -31.989

x = -1.9999: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^3+5\cdot {\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^2-28}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -31.9989

x = -1.99999: $\frac{-{\left(-2\right)}^3+5\cdot {\left(-2\right)}^2-28}{0.00001}$ ≈ -31.99989

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{-x^3+5x^2-28}{x+2}$ ≈ -32

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2+3-\left(2u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2+3-2u^2-3}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2(x+u)$ = $2·(u+u)$ = $4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2+2x-\left(-2u^2+2u\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2x+2u^2-2u}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2+2x-2u}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)+2\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{2\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{2\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)+2$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2·(x+u)+2$ = $-2·(u+u)+2$ = $-4u+2$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u+2$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x+2$.