Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -5 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(-5)}}{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{6}{9}$

= $\frac{2}{3}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $-{\left(-2\right)}^3-3\cdot {\left(-2\right)}^2+2$ = $-\left(-8\right)-3\cdot 4+2$ = -2 und
f(0) = $-0^3-3\cdot 0^2+2$ = $-0-3\cdot 0+2$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{4}{2}$

= $2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 4

f($-\mathrm{0,5}$) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($-\mathrm{0,5}$) +4 = $2$ |-4

f($-\mathrm{0,5}$) = -2

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-2x^2+1-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2+1\right)}{x+2}$

= $\frac{-2x^2+1+2\cdot {\left(-2\right)}^2-1}{x+2}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-2\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-2·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-2\left(x-2\right)$ = $-2\left(-2-2\right)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(-2+h\right)}^2+1-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2+1\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(-2+h\right)}^2+1+2\cdot {\left(-2\right)}^2-1}{h}$

= $\frac{-2{\left(h-2\right)}^2+8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2-4h+4\right)+8}{h}$

= $\frac{-2h^2+8h-8+8}{h}$

= $\frac{-2h^2+8h}{h}$

= $\frac{2h\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(-h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(-h+4\right)$ = $2\left(-0+4\right)$ = 8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-3x^4-3x^2-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^4-3\cdot {\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$ = $\frac{-3x^4-3x^2+48+12}{x+2}$ = $\frac{-3x^4-3x^2+60}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,9}\right)}^4-3\cdot {\left(-\mathrm{1,9}\right)}^2+60}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 100.737

x = -1.99: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,99}\right)}^4-3\cdot {\left(-\mathrm{1,99}\right)}^2+60}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 107.2524

x = -1.999: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,999}\right)}^4-3\cdot {\left(-\mathrm{1,999}\right)}^2+60}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 107.92502

x = -1.9999: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^4-3\cdot {\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^2+60}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 107.9925

x = -1.99999: $\frac{-3\cdot {\left(-2\right)}^4-3\cdot {\left(-2\right)}^2+60}{0.00001}$ ≈ 107.99925

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{-3x^4-3x^2+60}{x+2}$ ≈ 108

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2-2-\left(-3u^2-2\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2-2+3u^2+2}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\sqrt{x}-1-\left(\sqrt{u}-1\right)}{x-u}$

= $\frac{\sqrt{x}-1-\sqrt{u}+1}{x-u}$

= $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{u}}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{u}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{u}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{1}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{1}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.