Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ = 1 - $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ oder $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{0.8}}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.8⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≈ 0.412 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 45 sein, damit $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 50 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.4⋅50) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=50:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≈ 0.561 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=44 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ = 1 - $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ oder $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{26}}{\mathrm{0.25}}$ ≈ 104 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.25⋅104) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=104:
$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≈ 0.4624 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=118 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 118 sein, damit $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ ≥ 0.8 gilt.