Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ = 1 - $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ oder $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{26}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.85⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≈ 0.3173 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 30 sein, damit $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{0.15}}$ ≈ 140 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.15⋅140) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=140:
$P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≈ 0.5579 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=110 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ = 1 - $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ oder $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{22}}{\mathrm{0.7}}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.7⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≈ 0.4584 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 34 sein, damit $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ ≥ 0.8 gilt.