Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ = 1 - $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ oder $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{22}}{\mathrm{0.35}}$ ≈ 63 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.35⋅63) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=63:
$P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≈ 0.4475 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 68 sein, damit $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{0.8}}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.8⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≈ 0.5993 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ = 1 - $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ oder $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{0.2}}$ ≈ 125 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.2⋅125) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=125:
$P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≈ 0.4644 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=143 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 143 sein, damit $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.8 gilt.