Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ = 1 - $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ oder $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{0.7}}$ ≈ 57 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.7⋅57) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=57:
$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.4465 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 57 sein, damit $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{38}}{\mathrm{0.75}}$ ≈ 51 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.75⋅51) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=51:
$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.5214 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ = 1 - $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ oder $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{26}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.85⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≈ 0.3173 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 31 sein, damit $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ ≥ 0.6 gilt.