Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ = 1 - $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ oder $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 27 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.85⋅27) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=27:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≈ 0.3813 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 27 sein, damit $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{38}}{\mathrm{0.35}}$ ≈ 109 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.35⋅109) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=109:
$P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.532 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=102 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ = 1 - $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ oder $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{0.2}}$ ≈ 160 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.2⋅160) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=160:
$P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≈ 0.4685 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=165 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 165 sein, damit $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ ≥ 0.6 gilt.