Aufgabenbeispiele von ohne Text-Anwendungen

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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
420.8933
430.7931
440.6639
450.5218
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: P0.85n (X38) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 38 0.85 ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.85⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
P0.85n (X38) ≈ 0.5218 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 29 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
610.702
620.6597
630.6159
640.5713
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: P0.45n (X29) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 29 0.45 ≈ 64 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.45⋅64) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=64:
P0.45n (X29) ≈ 0.5713 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=61 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 25 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
290.4445
300.2894
310.1731
320.0958
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: P0.85n (X25) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.85n (X25) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.85n (X25) = 1 - P0.85n (X24) ≥ 0.9 |+ P0.85n (X24) - 0.9

0.1 ≥ P0.85n (X24) oder P0.85n (X24) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 25 0.85 ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.85⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
P0.85n (X24) ≈ 0.4445 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 32 sein, damit P0.85n (X24) ≤ 0.1 oder eben P0.85n (X25) ≥ 0.9 gilt.