Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 0 mal getroffen und 20 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=0 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 0 Treffer und 20 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.45}^0$ ⋅ ${0.55}^{20}$

Somit muss d = 0.55, sowie c = 0 und e = 20 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand ${0.6}^5$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.4}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥4)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Mindestens 4 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.6.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 4 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.25}^4(X=0)$ ≈ 0.3164.

Analog betrachten wir nun die restlichen 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. Y ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.25}^{16}(Y\le 4)$ ≈ 0.6302.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.25}^4(X=0)$ ⋅ $P_{0.25}^{16}(Y\le 4)$ = 0.3164 ⋅ 0.6302 ≈ 0.1994

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 33 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.5 zu erzielen, also $P_{0.5}^{50}(30\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.5}^{50}(X\le 33)$ - $P_{0.5}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9923 - 0.8987 ≈ 0.0936 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.5,33)- binomcdf(50,0.5,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 30 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.62 zu erzielen, also $P_{0.62}^{50}(23\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.62}^{50}(X\le 30)$ - $P_{0.62}^{50}(X\le 22)$ ≈ 0.4376 - 0.0074 ≈ 0.4302 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.62,30)- binomcdf(50,0.62,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.0936 ⋅ 0.4302 ≈ 0.0403

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.25}^5$ ⋅ ${0.75}^5$

Dabei gibt ja ${0.25}^5$ ⋅ ${0.75}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOOO

OXXXXXOOOO

OOXXXXXOOO

OOOXXXXXOO

OOOOXXXXXO

OOOOOXXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.25}^5$ ⋅ ${0.75}^5$ ≈ 0.0014

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 95 Treffer bei 105 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.87, also $P_{0.87}^{105}(X\le 95)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.87.

$P_{0.87}^{105}(X\le 95)$ = $P_{0.87}^{105}(X=0)$ + $P_{0.87}^{105}(X=1)$ + $P_{0.87}^{105}(X=2)$ +... + $P_{0.87}^{105}(X=95)$ = 0.8897860703316 ≈ 0.8898
(TI-Befehl: binomcdf(105,0.87,95))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.8898) und 'überbucht'(p=0.1102).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,8898}$; überbucht: $\mathrm{0,1102}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,7045}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0873}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0873}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0873}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,7045}$ + $\mathrm{0,0873}$ + $\mathrm{0,0873}$ + $\mathrm{0,0873}$ = $\mathrm{0,9662}$