Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 30 mal getroffen und 70 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=30 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}100\\ 30\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 30 Treffer und 70 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.65}^{30}$ ⋅ ${0.35}^{70}$

Somit muss d = 0.35, sowie c = 30 und e = 70 sein.

Man kann relativ gut erkennen, dass es sich hier um die Formel von Bernoulli handeln muss, das heißt also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gegeben ist.

In der Basis der ersten Potenz kann man die gegebene Wahrscheinlichkeit für "Es wird eine blaue Kugel gezogen" erkennen, also muss die Hochzahl 1 die Anzahl der Treffer sein und die gesuchte Option ist: Genau 1 mal wird eine blaue Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 5 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.3}^5(X=1)$ ≈ 0.3602.

Analog betrachten wir nun die restlichen 45 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.3}^{45}(Y\ge 15)$ = 1- $P_{0.3}^{45}(Y\le 14)$ ≈ 0.3653.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.3}^5(X=1)$ ⋅ $P_{0.3}^{45}(Y\ge 15)$ = 0.3602 ⋅ 0.3653 ≈ 0.1316

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 36 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.55 zu erzielen, also $P_{0.55}^{50}(30\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.55}^{50}(X\le 36)$ - $P_{0.55}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9955 - 0.7138 ≈ 0.2817 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.55,36)- binomcdf(50,0.55,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 28 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.7 zu erzielen, also $P_{0.7}^{35}(23\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.7}^{35}(X\le 28)$ - $P_{0.7}^{35}(X\le 22)$ ≈ 0.935 - 0.2271 ≈ 0.7079 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.7,28)- binomcdf(35,0.7,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.2817 ⋅ 0.7079 ≈ 0.1994

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.4}^3$ ⋅ ${0.6}^6$

Dabei gibt ja ${0.4}^3$ ⋅ ${0.6}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOO

OXXXOOOOO

OOXXXOOOO

OOOXXXOOO

OOOOXXXOO

OOOOOXXXO

OOOOOOXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.4}^3$ ⋅ ${0.6}^6$ ≈ 0.0209

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.89,
also $P_{0.89}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.89}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.89}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.3802 ≈ 0.6198 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.89,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.6198) und 'zu wenig'(p=0.3802).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,6198}$; zu wenig: $\mathrm{0,3802}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,2356}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,2356}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,3842}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,2356}$ + $\mathrm{0,2356}$ + $\mathrm{0,3842}$ = $\mathrm{0,8554}$