Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit bei 40 Versuchen genau 5 mal im grünen Bereich zu landen.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 5) = ( a b ) 0.75c de

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 40 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient ( a b ) vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 5 mal getroffen und 35 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es ( n k ) , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=40 und b=5 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser ( 40 5 ) Pfade an. Da ja in jedem Pfad 5 Treffer und 35 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
0.7550.2535

Somit muss d = 0.25, sowie c = 5 und e = 35 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 30%. Es wird 15 mal gedreht.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = ( 15 a ) 0.314 bc die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Man kann relativ gut erkennen, dass es sich hier um die Formel von Bernoulli handeln muss, das heißt also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gegeben ist.

In der Basis der ersten Potenz kann man die gegebene Wahrscheinlichkeit für "Es wird in den grünen Bereich gedreht" erkennen, also muss die Hochzahl 14 die Anzahl der Treffer sein und die gesuchte Option ist: Genau 14 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Genau 1 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.7.

Die Hochzahl der ersten Potenz gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit ( 15 14 ) , also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Eine faire Münze wird 33 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses: Von den ersten 16 Versuchen landen höchstens 7 Versuche mit Zahl oben und von den restlichen Versuchen erscheint genau 7 mal "Zahl".

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P0.516 (X7) ≈ 0.4018.

Analog betrachten wir nun die restlichen 17 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=17 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P0.517 (Y=7) ≈ 0.1484.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P0.516 (X7) P0.517 (Y=7) = 0.4018 ⋅ 0.1484 ≈ 0.0596

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 50 und am Samstag bei 40 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 24 und 35 am Samstag so zwischen 21 und 30 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 62% höher als am Freitag mit 47%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 35 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.47 zu erzielen, also P0.4750 (24X35) .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als P0.4750 (X35) - P0.4750 (X23) ≈ 0.9997 - 0.5011 ≈ 0.4986 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.47,35)- binomcdf(50,0.47,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 30 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.62 zu erzielen, also P0.6240 (21X30) .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als P0.6240 (X30) - P0.6240 (X20) ≈ 0.9715 - 0.082 ≈ 0.8895 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.62,30)- binomcdf(40,0.62,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.4986 ⋅ 0.8895 ≈ 0.4435

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 7 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 blaue Kugeln gezogen werden und diese aber unmittelbar hintereinander gezogen werden (also ohne, dass dazwischen mal eine rote gezogen wird).

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 7 3 ) 0.7 3 0.3 4

Dabei gibt ja 0.7 3 0.3 4 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 4 Nicht-Treffern und ( 7 3 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 7 3 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOO

OXXXOOO

OOXXXOO

OOOXXXO

OOOOXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ 0.7 3 0.3 4 ≈ 0.0139

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein fernöstlicher LED-Hersteller hat Probleme in der Qualitätssicherung, so dass 6% seiner Leuchtmittel defekt sind. Diese werden in Kartons a 50 Stück verpackt. Ein Großhändler öffnet testweise zwei Kartons der Lieferung und prüft die darin enthaltenen Leuchtmittel. Nur wenn in keiner der Packungen mehr als 4 Stück defekt sind nimmt er die Lieferung an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung annimmt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.06, also P0.0650 (X4)

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.06.

P0.0650 (X4) = P0.0650 (X=0) + P0.0650 (X=1) + P0.0650 (X=2) +... + P0.0650 (X=4) = 0.82059604685965 ≈ 0.8206
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.06,4))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.8206) und 'nicht ok'(p=0.1794).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

EreignisP
kiste ok -> kiste ok0,6734
kiste ok -> nicht ok0,1472
nicht ok -> kiste ok0,1472
nicht ok -> nicht ok0,0322

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: 0,8206; nicht ok: 0,1794;

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  • 'kiste ok'-'kiste ok' (P=0,6734)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0,6734 = 0,6734