Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 12 mal getroffen und 68 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=12 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}80\\ 12\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 12 Treffer und 68 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.4}^{12}$ ⋅ ${0.6}^{68}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.6}^{68}$ ⋅ ${0.4}^{12}$

Somit muss d = 0.6, sowie c = 68 und e = 12 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim Summand ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{10}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 10 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=10).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=9).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤8).

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal wird eine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 9 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 9 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=9 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=16 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{8}}^{16}(X=3)$ ≈ 0.1928.

Analog betrachten wir nun die restlichen 7 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=7 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{8}}^7(Y=1)$ ≈ 0.3927.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{8}}^{16}(X=3)$ ⋅ $P_{\frac{1}{8}}^7(Y=1)$ = 0.1928 ⋅ 0.3927 ≈ 0.0757

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 34 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.57 zu erzielen, also $P_{0.57}^{60}(30\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.57}^{60}(X\le 34)$ - $P_{0.57}^{60}(X\le 29)$ ≈ 0.5287 - 0.1106 ≈ 0.4181 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.57,34)- binomcdf(60,0.57,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 28 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.65 zu erzielen, also $P_{0.65}^{50}(24\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.65}^{50}(X\le 28)$ - $P_{0.65}^{50}(X\le 23)$ ≈ 0.1187 - 0.0045 ≈ 0.1142 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.65,28)- binomcdf(50,0.65,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.4181 ⋅ 0.1142 ≈ 0.0477

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.55}^5$ ⋅ ${0.45}^2$

Dabei gibt ja ${0.55}^5$ ⋅ ${0.45}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOO

OXXXXXO

OOXXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${0.55}^5$ ⋅ ${0.45}^2$ ≈ 0.0306

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.07, also $P_{0.07}^{50}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.07.

$P_{0.07}^{50}(X\le 2)$ = $P_{0.07}^{50}(X=0)$ + $P_{0.07}^{50}(X=1)$ + $P_{0.07}^{50}(X=2)$ = 0.31078856100189 ≈ 0.3108
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.07,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.3108) und 'nicht ok'(p=0.6892).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $\mathrm{0,3108}$; nicht ok: $\mathrm{0,6892}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,0966}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,0966}$ = $\mathrm{0,0966}$