Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 25 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 12 mal getroffen und 13 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=25 und b=12 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}25\\ 12\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 12 Treffer und 13 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{12}$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{13}$

Somit muss d = 5, sowie c = 12 und e = 13 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim ersten Summand ${0.4}^{10}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 10 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=10).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.6}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=9).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥9)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal trifft er in den Korb oder eben gleich bedeutend: Mindestens 9 mal trifft er nicht in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.4.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 9 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 9 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=9 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 4 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.25}^4(X=0)$ ≈ 0.3164.

Analog betrachten wir nun die restlichen 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. Y ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.25}^{16}(Y\le 5)$ ≈ 0.8103.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.25}^4(X=0)$ ⋅ $P_{0.25}^{16}(Y\le 5)$ = 0.3164 ⋅ 0.8103 ≈ 0.2564

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.48 zu erzielen, also $P_{0.48}^{65}(24\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.48}^{65}(X\le 36)$ - $P_{0.48}^{65}(X\le 23)$ ≈ 0.9059 - 0.0272 ≈ 0.8787 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.48,36)- binomcdf(65,0.48,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 26 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.75 zu erzielen, also $P_{0.75}^{50}(23\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.75}^{50}(X\le 26)$ - $P_{0.75}^{50}(X\le 22)$ ≈ 0.0004 - 0 ≈ 0.0004 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.75,26)- binomcdf(50,0.75,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8787 ⋅ 0.0004 ≈ 0.0004

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.9}^5$ ⋅ ${0.1}^5$

Dabei gibt ja ${0.9}^5$ ⋅ ${0.1}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOOO

OXXXXXOOOO

OOXXXXXOOO

OOOXXXXXOO

OOOOXXXXXO

OOOOOXXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.9}^5$ ⋅ ${0.1}^5$ ≈ 0

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.92,
also $P_{0.92}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.92}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.92}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.2121 ≈ 0.7879 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.92,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.7879) und 'zu wenig'(p=0.2121).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,7879}$; zu wenig: $\mathrm{0,2121}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,1671}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,1671}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,6208}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,1671}$ + $\mathrm{0,1671}$ + $\mathrm{0,6208}$ = $\mathrm{0,955}$