Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 80 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 blaue Kugeln gezogen werden.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 2) = ( a b ) 0.7c de

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient ( a b ) vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 2 mal getroffen und 78 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es ( n k ) , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=2 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser ( 80 2 ) Pfade an. Da ja in jedem Pfad 2 Treffer und 78 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
0.720.378

Somit muss d = 0.3, sowie c = 2 und e = 78 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 10%. Es wird 10 mal gedreht.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 0.910 + ( 10 a ) 0.11 bc die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand 0.910 steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 10 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=10).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz 0.11, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=9).

X: Treffer:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Y: keine Treffer:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥9)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.9.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 9 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 9 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit ( 10 1 ) , also ist a = 1 (hier ist auch a=9 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 15 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 4 Aufgaben keine einzige und von den restlichen Fragen nicht mehr als 5 richtig errät?

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 4 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P0.254 (X=0) ≈ 0.3164.

Analog betrachten wir nun die restlichen 11 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. Y ist binomialverteilt mit n=11 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P0.2511 (Y5) ≈ 0.9657.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P0.254 (X=0) P0.2511 (Y5) = 0.3164 ⋅ 0.9657 ≈ 0.3055

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 93% und im Stehen 89%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

  • 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
  • 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
  • 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.93.

P0.935 (X=4) = ( 5 4 ) 0.934 0.071 ≈ 0.2618
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.89.

P0.895 (X=5) = ( 5 5 ) 0.895 0.110 ≈ 0.5584
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2618 ⋅ 0.5584 = 0.14618912

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.93.

P0.935 (X=5) = ( 5 5 ) 0.935 0.070 ≈ 0.6957
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.89.

P0.895 (X=4) = ( 5 4 ) 0.894 0.111 ≈ 0.3451
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.6957 ⋅ 0.3451 = 0.24008607

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.93.

P0.935 (X=5) = ( 5 5 ) 0.935 0.070 ≈ 0.6957
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.89.

P0.895 (X=5) = ( 5 5 ) 0.895 0.110 ≈ 0.5584
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.6957 ⋅ 0.5584 = 0.38847888


Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.1462 + 0.2401 + 0.3885 = 0.7748

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 70%. Es wird 10 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 10 4 ) 0.7 4 0.3 6

Dabei gibt ja 0.7 4 0.3 6 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und ( 10 4 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 10 4 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOOO

OXXXXOOOOO

OOXXXXOOOO

OOOXXXXOOO

OOOOXXXXOO

OOOOOXXXXO

OOOOOOXXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ 0.7 4 0.3 6 ≈ 0.0012

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 10% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 103 Tickets für ihr Flugzeug mit 97 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 97 Treffer bei 103 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.9, also P0.9103 (X97)

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.9.

P0.9103 (X97) = P0.9103 (X=0) + P0.9103 (X=1) + P0.9103 (X=2) +... + P0.9103 (X=97) = 0.9520511266268 ≈ 0.9521
(TI-Befehl: binomcdf(103,0.9,97))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9521) und 'überbucht'(p=0.0479).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

EreignisP
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0,8631
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0,0434
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0,0434
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht0,0022
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0,0434
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0,0022
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0,0022
überbucht -> überbucht -> überbucht0,0001

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: 0,9521; überbucht: 0,0479;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0,8631)
  • 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=0,0434)
  • 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=0,0434)
  • 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0,0434)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0,8631 + 0,0434 + 0,0434 + 0,0434 = 0,9933