Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
Ein idealer Würfel wird 15 mal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 9 mal eine 6 geworfen wird.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 9) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 15 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Somit muss d = 5, sowie c = 6 und e = 9 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 30%. Es wird 20 mal gedreht.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P =
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)
Beim ersten Summand
Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz
Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=20)+P(X=19)=P(X≥19) bzw. P(Y≤1)
Somit ist die gesuchte Option: Mehr als 18 mal wird in den grünen Bereich gedreht.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.7.
Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 55% und wirft 23 mal auf dem Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 16 Versuchen genau 9 mal und von den restlichen Versuchen höchstens 4 mal trifft.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 16
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.55.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als
Analog betrachten wir nun die restlichen 7 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=7 und p=0.55.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P =
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 94% und im Stehen 84%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:
- 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.94.
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.84.
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2342 ⋅ 0.4182 = 0.09794244
5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.94.
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.84.
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.7339 ⋅ 0.3983 = 0.29231237
5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.94.
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.84.
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.7339 ⋅ 0.4182 = 0.30691698
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.0979 + 0.2923 + 0.3069 = 0.6972
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 90% wirft 5 mal auf den Korb. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei diesen 5 Versuchen irgendwann einmal eine Serie mit 3 aufeinanderfolgenden Treffern hinlegt und bei allen anderen Versuchen nicht trifft.
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli
berechnen:
Dabei gibt ja
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen
XXXOO
OXXXO
OOXXX
Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Bei einer Fluggesellschaft treten 16% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 103 Tickets für ihr Flugzeug mit 99 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 99 Treffer bei 103 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.84, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.84.
(TI-Befehl: binomcdf(103,0.84,99))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=1) und 'überbucht'(p=0).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'
| Ereignis | P |
|---|---|
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> überbucht |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht:
- 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=
)1 - 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=
)0 - 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=
)0 - 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=
)0
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
