Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 40 mal getroffen und 40 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=40 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}80\\ 40\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 40 Treffer und 40 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.2}^{40}$ ⋅ ${0.8}^{40}$

Somit muss d = 0.8, sowie c = 40 und e = 40 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand ${0.4}^{20}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 20 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=20) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.4}^{19}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 19 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer sein, also P(X=19) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=20)+P(X=19)=P(X≥19) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 19 mal wird in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.6.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 19\end{array}\right)$, also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{8}}^{15}(X=2)$ ≈ 0.2891.

Analog betrachten wir nun die restlichen 14 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=14 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{8}}^{14}(Y=1)$ ≈ 0.3084.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{8}}^{15}(X=2)$ ⋅ $P_{\frac{1}{8}}^{14}(Y=1)$ = 0.2891 ⋅ 0.3084 ≈ 0.0892

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 38 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.44 zu erzielen, also $P_{0.44}^{60}(24\le X\le 38)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.44}^{60}(X\le 38)$ - $P_{0.44}^{60}(X\le 23)$ ≈ 0.9992 - 0.2262 ≈ 0.773 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.44,38)- binomcdf(60,0.44,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 26 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.67 zu erzielen, also $P_{0.67}^{50}(25\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.67}^{50}(X\le 26)$ - $P_{0.67}^{50}(X\le 24)$ ≈ 0.0196 - 0.0042 ≈ 0.0154 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.67,26)- binomcdf(50,0.67,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.773 ⋅ 0.0154 ≈ 0.0119

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.95}^5$ ⋅ ${0.05}^5$

Dabei gibt ja ${0.95}^5$ ⋅ ${0.05}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOOO

OXXXXXOOOO

OOXXXXXOOO

OOOXXXXXOO

OOOOXXXXXO

OOOOOXXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.95}^5$ ⋅ ${0.05}^5$ ≈ 0

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.89,
also $P_{0.89}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.89}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.89}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.3802 ≈ 0.6198 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.89,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.6198) und 'zu wenig'(p=0.3802).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,6198}$; zu wenig: $\mathrm{0,3802}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,2356}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,2356}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,3842}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,2356}$ + $\mathrm{0,2356}$ + $\mathrm{0,3842}$ = $\mathrm{0,8554}$