Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 40 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 22 mal getroffen und 18 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=40 und b=22 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}40\\ 22\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 22 Treffer und 18 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^{22}$ ⋅ ${0.3}^{18}$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 22 und e = 18 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim Summand ${0.6}^5$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${0.4}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤3).

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Höchstens 3 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.6.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^{15}(X\le 2)$ ≈ 0.5322.

Analog betrachten wir nun die restlichen 17 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=17 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^{17}(Y\ge 2)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^{17}(Y\le 1)$ ≈ 0.8017.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^{15}(X\le 2)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^{17}(Y\ge 2)$ = 0.5322 ⋅ 0.8017 ≈ 0.4267

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 38 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.52 zu erzielen, also $P_{0.52}^{55}(30\le X\le 38)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.52}^{55}(X\le 38)$ - $P_{0.52}^{55}(X\le 29)$ ≈ 0.9966 - 0.5952 ≈ 0.4014 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.52,38)- binomcdf(55,0.52,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 28 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.63 zu erzielen, also $P_{0.63}^{45}(23\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.63}^{45}(X\le 28)$ - $P_{0.63}^{45}(X\le 22)$ ≈ 0.5131 - 0.0372 ≈ 0.4759 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.63,28)- binomcdf(45,0.63,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.4014 ⋅ 0.4759 ≈ 0.191

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.75}^4$ ⋅ ${0.25}^3$

Dabei gibt ja ${0.75}^4$ ⋅ ${0.25}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOO

OXXXXOO

OOXXXXO

OOOXXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.75}^4$ ⋅ ${0.25}^3$ ≈ 0.0198

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 97 Treffer bei 107 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.86, also $P_{0.86}^{107}(X\le 97)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.86.

$P_{0.86}^{107}(X\le 97)$ = $P_{0.86}^{107}(X=0)$ + $P_{0.86}^{107}(X=1)$ + $P_{0.86}^{107}(X=2)$ +... + $P_{0.86}^{107}(X=97)$ = 0.943333630066 ≈ 0.9433
(TI-Befehl: binomcdf(107,0.86,97))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9433) und 'überbucht'(p=0.0567).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9433}$; überbucht: $\mathrm{0,0567}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,8394}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0505}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0505}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0505}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,8394}$ + $\mathrm{0,0505}$ + $\mathrm{0,0505}$ + $\mathrm{0,0505}$ = $\mathrm{0,9907}$