Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 50 mal getroffen und 30 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=50 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}80\\ 50\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 50 Treffer und 30 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.95}^{50}$ ⋅ ${0.05}^{30}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.05}^{30}$ ⋅ ${0.95}^{50}$

Somit muss d = 0.05, sowie c = 30 und e = 50 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim Summand ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{20}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 20 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=20).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=19).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤18).

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Weniger als 19 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 19 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 19 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=19 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.3}^{15}(X=3)$ ≈ 0.17.

Analog betrachten wir nun die restlichen 9 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=9 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.3}^9(Y\le 2)$ ≈ 0.4628.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.3}^{15}(X=3)$ ⋅ $P_{0.3}^9(Y\le 2)$ = 0.17 ⋅ 0.4628 ≈ 0.0787

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.45 zu erzielen, also $P_{0.45}^{60}(24\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.45}^{60}(X\le 36)$ - $P_{0.45}^{60}(X\le 23)$ ≈ 0.9931 - 0.1821 ≈ 0.811 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.45,36)- binomcdf(60,0.45,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 22 und 30 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{35}(22\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{35}(X\le 30)$ - $P_{0.69}^{35}(X\le 21)$ ≈ 0.9934 - 0.1659 ≈ 0.8275 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.69,30)- binomcdf(35,0.69,21)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.811 ⋅ 0.8275 ≈ 0.6711

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.05}^3$ ⋅ ${0.95}^2$

Dabei gibt ja ${0.05}^3$ ⋅ ${0.95}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOO

OXXXO

OOXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${0.05}^3$ ⋅ ${0.95}^2$ ≈ 0.0003

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.82,
also $P_{0.82}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.82}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.82}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.1356 ≈ 0.8644 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.82,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.8644) und 'zu wenig'(p=0.1356).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,8644}$; zu wenig: $\mathrm{0,1356}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,1172}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,1172}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,7472}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,1172}$ + $\mathrm{0,1172}$ + $\mathrm{0,7472}$ = $\mathrm{0,9816}$