Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 25 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 11 mal getroffen und 14 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=25 und b=11 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}25\\ 11\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 11 Treffer und 14 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{11}$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{14}$ oder eben (einfach vertauscht) ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{14}$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{11}$

Somit muss d = 5, sowie c = 14 und e = 11 sein.

Man kann relativ gut erkennen, dass es sich hier um die Formel von Bernoulli handeln muss, das heißt also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gegeben ist.

In der Basis der ersten Potenz kann man die gegebene Wahrscheinlichkeit für "Es wird eine 6 gewürfelt" erkennen, also muss die Hochzahl 19 die Anzahl der Treffer sein und die gesuchte Option ist: Genau 19 mal wird eine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 19\end{array}\right)$, also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 17 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=17 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{8}}^{17}(X=0)$ ≈ 0.1033.

Analog betrachten wir nun die restlichen 4 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=4 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{8}}^4(Y=0)$ ≈ 0.5862.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{8}}^{17}(X=0)$ ⋅ $P_{\frac{1}{8}}^4(Y=0)$ = 0.1033 ⋅ 0.5862 ≈ 0.0606

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 34 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.46 zu erzielen, also $P_{0.46}^{65}(24\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.46}^{65}(X\le 34)$ - $P_{0.46}^{65}(X\le 23)$ ≈ 0.8737 - 0.0547 ≈ 0.819 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.46,34)- binomcdf(65,0.46,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 26 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.73 zu erzielen, also $P_{0.73}^{50}(24\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.73}^{50}(X\le 26)$ - $P_{0.73}^{50}(X\le 23)$ ≈ 0.0012 - 0 ≈ 0.0012 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.73,26)- binomcdf(50,0.73,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.819 ⋅ 0.0012 ≈ 0.001

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^1$

Dabei gibt ja ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXO

OXXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^1$ ≈ 0.1008

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 97 Treffer bei 107 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81, also $P_{0.81}^{107}(X\le 97)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.81.

$P_{0.81}^{107}(X\le 97)$ = $P_{0.81}^{107}(X=0)$ + $P_{0.81}^{107}(X=1)$ + $P_{0.81}^{107}(X=2)$ +... + $P_{0.81}^{107}(X=97)$ = 0.99804552258017 ≈ 0.998
(TI-Befehl: binomcdf(107,0.81,97))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.998) und 'überbucht'(p=0.002).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,998}$; überbucht: $\mathrm{0,002}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,994}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,002}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,002}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,002}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,994}$ + $\mathrm{0,002}$ + $\mathrm{0,002}$ + $\mathrm{0,002}$ = $1$