Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 39 mal getroffen und 41 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=39 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}80\\ 39\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 39 Treffer und 41 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.3}^{39}$ ⋅ ${0.7}^{41}$

Somit muss d = 0.7, sowie c = 39 und e = 41 sein.

Man kann relativ gut erkennen, dass es sich hier um die Formel von Bernoulli handeln muss, das heißt also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gegeben ist.

In der Basis der ersten Potenz kann man die gegebene Wahrscheinlichkeit für "Es wird eine 6 gewürfelt" erkennen, also muss die Hochzahl 9 die Anzahl der Treffer sein und die gesuchte Option ist: Genau 9 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Genau 1 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 9 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)$, also ist a = 9 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 19 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=19 und p=0.7.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.7}^{19}(X=12)$ ≈ 0.1525.

Analog betrachten wir nun die restlichen 13 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=13 und p=0.7.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.7}^{13}(Y\le 10)$ ≈ 0.7975.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.7}^{19}(X=12)$ ⋅ $P_{0.7}^{13}(Y\le 10)$ = 0.1525 ⋅ 0.7975 ≈ 0.1216

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.51 zu erzielen, also $P_{0.51}^{65}(24\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.51}^{65}(X\le 36)$ - $P_{0.51}^{65}(X\le 23)$ ≈ 0.7969 - 0.0081 ≈ 0.7888 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.51,36)- binomcdf(65,0.51,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 32 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{35}(21\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{35}(X\le 32)$ - $P_{0.69}^{35}(X\le 20)$ ≈ 0.9997 - 0.0934 ≈ 0.9063 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.69,32)- binomcdf(35,0.69,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.7888 ⋅ 0.9063 ≈ 0.7149

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOO

OXXXO

OOXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$ ≈ 0.0096

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.05, also $P_{0.05}^{50}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.05.

$P_{0.05}^{50}(X\le 2)$ = $P_{0.05}^{50}(X=0)$ + $P_{0.05}^{50}(X=1)$ + $P_{0.05}^{50}(X=2)$ = 0.54053312271951 ≈ 0.5405
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.05,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.5405) und 'nicht ok'(p=0.4595).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $\mathrm{0,5405}$; nicht ok: $\mathrm{0,4595}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,2921}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,2921}$ = $\mathrm{0,2921}$