Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 21 mal getroffen und 39 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=21 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}60\\ 21\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 21 Treffer und 39 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^{21}$ ⋅ ${0.3}^{39}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.3}^{39}$ ⋅ ${0.7}^{21}$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 39 und e = 21 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim ersten Summand ${0.4}^{20}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 20 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=20).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.6}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=19).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥19)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal trifft er in den Korb oder eben gleich bedeutend: Mindestens 19 mal trifft er nicht in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.4.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 19 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 19 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=19 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 4 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.25}^4(X=0)$ ≈ 0.3164.

Analog betrachten wir nun die restlichen 11 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. Y ist binomialverteilt mit n=11 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.25}^{11}(Y\le 3)$ ≈ 0.7133.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.25}^4(X=0)$ ⋅ $P_{0.25}^{11}(Y\le 3)$ = 0.3164 ⋅ 0.7133 ≈ 0.2257

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 4 kommen kann:

• 1 mal unten und 3 mal oben
• 2 mal unten und 2 mal oben
• 3 mal unten und 1 mal oben

1 mal unten und 3 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.6}^1\cdot {0.4}^2$≈ 0.288
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

$P_{0.4}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.4}^3\cdot {0.6}^0$≈ 0.064
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.288 ⋅ 0.064 = 0.018432

2 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.6}^2\cdot {0.4}^1$≈ 0.432
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

$P_{0.4}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.4}^2\cdot {0.6}^1$≈ 0.288
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.432 ⋅ 0.288 = 0.124416

3 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.6}^3\cdot {0.4}^0$≈ 0.216
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

$P_{0.4}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.4}^1\cdot {0.6}^2$≈ 0.432
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.216 ⋅ 0.432 = 0.093312

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0184 + 0.1244 + 0.0933 = 0.2362

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.4}^3$ ⋅ ${0.6}^6$

Dabei gibt ja ${0.4}^3$ ⋅ ${0.6}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOO

OXXXOOOOO

OOXXXOOOO

OOOXXXOOO

OOOOXXXOO

OOOOOXXXO

OOOOOOXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.4}^3$ ⋅ ${0.6}^6$ ≈ 0.0209

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.09, also $P_{0.09}^{25}(X\le 4)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.09.

$P_{0.09}^{25}(X\le 4)$ = $P_{0.09}^{25}(X=0)$ + $P_{0.09}^{25}(X=1)$ + $P_{0.09}^{25}(X=2)$ +... + $P_{0.09}^{25}(X=4)$ = 0.93138653918453 ≈ 0.9314
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.09,4))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.9314) und 'nicht ok'(p=0.0686).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $\mathrm{0,9314}$; nicht ok: $\mathrm{0,0686}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,8675}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,8675}$ = $\mathrm{0,8675}$