Aufgabenbeispiele von Anwendungen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
Ein idealer Würfel wird 25 mal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 15 mal eine 6 geworfen wird.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 15) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 25 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Somit muss d = 5, sowie c = 10 und e = 15 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von p=0,5 wirft 20 mal auf den Korb.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P =
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)
Beim ersten Summand
Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz
Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥19)
Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal trifft er in den Korb.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.5.
Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 19 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 19 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,22 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 70 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 10 Stück dieser Stichprobe gleich mal genau 2 defekt sind und von den restlichen der Stickprobe höchstens 16 nicht funktionieren.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.22.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als
Analog betrachten wir nun die restlichen 60 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.22.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P =
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 60% und oben 40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 3 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 3 kommen kann:
- 0 mal unten und 3 mal oben
- 1 mal unten und 2 mal oben
- 2 mal unten und 1 mal oben
- 3 mal unten und 0 mal oben
0 mal unten und 3 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.064 ⋅ 0.064 = 0.004096
1 mal unten und 2 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.288 ⋅ 0.288 = 0.082944
2 mal unten und 1 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.432 ⋅ 0.432 = 0.186624
3 mal unten und 0 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p4=0.216 ⋅ 0.216 = 0.046656
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 4 Kombinationen addiert:
0.0041 + 0.0829 + 0.1866 + 0.0467 = 0.3203
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 90% wirft 7 mal auf den Korb. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei diesen 7 Versuchen irgendwann einmal eine Serie mit 3 aufeinanderfolgenden Treffern hinlegt und bei allen anderen Versuchen nicht trifft.
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli
berechnen:
Dabei gibt ja
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen
XXXOOOO
OXXXOOO
OOXXXOO
OOOXXXO
OOOOXXX
Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Bei einer Fluggesellschaft treten 14% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 107 Tickets für ihr Flugzeug mit 98 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 98 Treffer bei 107 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.86, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.86.
(TI-Befehl: binomcdf(107,0.86,98))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9716) und 'überbucht'(p=0.0284).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'
| Ereignis | P |
|---|---|
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> überbucht |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht:
- 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=
)0,9172 - 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=
)0,0268 - 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=
)0,0268 - 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=
)0,0268
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
