Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 9 mal getroffen und 11 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=9 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 9\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 9 Treffer und 11 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^9$ ⋅ ${0.3}^{11}$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 9 und e = 11 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim Summand ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{10}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 10 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=10).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=9).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤8).

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Weniger als 9 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 9 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 9 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=9 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 14 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=14 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{14}(X\le 8)$ ≈ 0.788.

Analog betrachten wir nun die restlichen 9 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=9 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^9(Y=4)$ ≈ 0.2461.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{14}(X\le 8)$ ⋅ $P_{0.5}^9(Y=4)$ = 0.788 ⋅ 0.2461 ≈ 0.1939

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 37 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.42 zu erzielen, also $P_{0.42}^{65}(24\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.42}^{65}(X\le 37)$ - $P_{0.42}^{65}(X\le 23)$ ≈ 0.9945 - 0.17 ≈ 0.8245 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.42,37)- binomcdf(65,0.42,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 28 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.65 zu erzielen, also $P_{0.65}^{40}(25\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.65}^{40}(X\le 28)$ - $P_{0.65}^{40}(X\le 24)$ ≈ 0.7947 - 0.3054 ≈ 0.4893 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.65,28)- binomcdf(40,0.65,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8245 ⋅ 0.4893 ≈ 0.4034

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.3}^3$ ⋅ ${0.7}^6$

Dabei gibt ja ${0.3}^3$ ⋅ ${0.7}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOO

OXXXOOOOO

OOXXXOOOO

OOOXXXOOO

OOOOXXXOO

OOOOOXXXO

OOOOOOXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.3}^3$ ⋅ ${0.7}^6$ ≈ 0.0222

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 92 Treffer bei 104 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81, also $P_{0.81}^{104}(X\le 92)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und p=0.81.

$P_{0.81}^{104}(X\le 92)$ = $P_{0.81}^{104}(X=0)$ + $P_{0.81}^{104}(X=1)$ + $P_{0.81}^{104}(X=2)$ +... + $P_{0.81}^{104}(X=92)$ = 0.98512510314696 ≈ 0.9851
(TI-Befehl: binomcdf(104,0.81,92))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9851) und 'überbucht'(p=0.0149).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9851}$; überbucht: $\mathrm{0,0149}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,956}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0145}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0145}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0145}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,956}$ + $\mathrm{0,0145}$ + $\mathrm{0,0145}$ + $\mathrm{0,0145}$ = $\mathrm{0,9993}$