Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 100 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 10 blaue Kugeln gezogen werden.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 10) = ( a b ) dc 0.7e

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient ( a b ) vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 10 mal getroffen und 90 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es ( n k ) , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=10 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser ( 100 10 ) Pfade an. Da ja in jedem Pfad 10 Treffer und 90 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
0.7100.390 oder eben (einfach vertauscht) 0.3900.710

Somit muss d = 0.3, sowie c = 90 und e = 10 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 30%. Es wird 15 mal gedreht.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 0.315 + ( 15 a ) 0.314 bc die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand 0.315 steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=15) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz 0.314, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 14 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer sein, also P(X=14) bzw. P(Y=1).

X: Treffer:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Y: keine Treffer:
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=15)+P(X=14)=P(X≥14) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 14 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Höchstens 1 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.7.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit ( 15 14 ) , also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit, im grünen Bereich zu landen, bei p=0,8. Es wird 40 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:Von den ersten 5 Versuchen landen genau 5 Versuche im grünen Bereich und von den restlichen Versuchen wird mindestens 25 mal auf grün gedreht.

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 5 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.8.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P0.85 (X=5) ≈ 0.3277.

Analog betrachten wir nun die restlichen 35 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.8.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P0.835 (Y25) = 1- P0.835 (Y24) ≈ 0.9253.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P0.85 (X=5) P0.835 (Y25) = 0.3277 ⋅ 0.9253 ≈ 0.3032

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 50 und am Samstag bei 50 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 30 und 36 am Samstag so zwischen 25 und 26 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 72% höher als am Freitag mit 56%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 36 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.56 zu erzielen, also P0.5650 (30X36) .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als P0.5650 (X36) - P0.5650 (X29) ≈ 0.9933 - 0.6635 ≈ 0.3298 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.56,36)- binomcdf(50,0.56,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 26 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.72 zu erzielen, also P0.7250 (25X26) .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als P0.7250 (X26) - P0.7250 (X24) ≈ 0.0021 - 0.0003 ≈ 0.0018 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.72,26)- binomcdf(50,0.72,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3298 ⋅ 0.0018 ≈ 0.0006

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 60%. Es wird 7 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 7 3 ) 0.6 3 0.4 4

Dabei gibt ja 0.6 3 0.4 4 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 4 Nicht-Treffern und ( 7 3 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 7 3 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOO

OXXXOOO

OOXXXOO

OOOXXXO

OOOOXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ 0.6 3 0.4 4 ≈ 0.0276

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 11% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 104 Tickets für ihr Flugzeug mit 98 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 98 Treffer bei 104 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.89, also P0.89104 (X98)

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und p=0.89.

P0.89104 (X98) = P0.89104 (X=0) + P0.89104 (X=1) + P0.89104 (X=2) +... + P0.89104 (X=98) = 0.97729337575693 ≈ 0.9773
(TI-Befehl: binomcdf(104,0.89,98))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9773) und 'überbucht'(p=0.0227).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

EreignisP
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0,9334
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0,0217
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0,0217
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht0,0005
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0,0217
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0,0005
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0,0005
überbucht -> überbucht -> überbucht0

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: 0,9773; überbucht: 0,0227;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0,9334)
  • 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=0,0217)
  • 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=0,0217)
  • 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0,0217)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0,9334 + 0,0217 + 0,0217 + 0,0217 = 0,9985