Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 4 mal getroffen und 56 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=4 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}60\\ 4\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 4 Treffer und 56 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.3}^4$ ⋅ ${0.7}^{56}$

Somit muss d = 0.7, sowie c = 4 und e = 56 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand ${0.3}^{15}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=15) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.3}^{14}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 14 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer sein, also P(X=14) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=15)+P(X=14)=P(X≥14) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 14 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Höchstens 1 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.7.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 14\end{array}\right)$, also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 17 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=17 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^{17}(X\le 5)$ ≈ 0.9496.

Analog betrachten wir nun die restlichen 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=10 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^{10}(Y\ge 1)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^{10}(Y\le 0)$ ≈ 0.8385.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^{17}(X\le 5)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^{10}(Y\ge 1)$ = 0.9496 ⋅ 0.8385 ≈ 0.7962

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 33 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.46 zu erzielen, also $P_{0.46}^{55}(30\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.46}^{55}(X\le 33)$ - $P_{0.46}^{55}(X\le 29)$ ≈ 0.9867 - 0.872 ≈ 0.1147 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.46,33)- binomcdf(55,0.46,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 26 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.73 zu erzielen, also $P_{0.73}^{35}(21\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.73}^{35}(X\le 26)$ - $P_{0.73}^{35}(X\le 20)$ ≈ 0.6311 - 0.0311 ≈ 0.6 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.73,26)- binomcdf(35,0.73,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.1147 ⋅ 0.6 ≈ 0.0688

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.1}^4$ ⋅ ${0.9}^3$

Dabei gibt ja ${0.1}^4$ ⋅ ${0.9}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOO

OXXXXOO

OOXXXXO

OOOXXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.1}^4$ ⋅ ${0.9}^3$ ≈ 0.0003

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 97 Treffer bei 105 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.89, also $P_{0.89}^{105}(X\le 97)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.89.

$P_{0.89}^{105}(X\le 97)$ = $P_{0.89}^{105}(X=0)$ + $P_{0.89}^{105}(X=1)$ + $P_{0.89}^{105}(X=2)$ +... + $P_{0.89}^{105}(X=97)$ = 0.90238932813569 ≈ 0.9024
(TI-Befehl: binomcdf(105,0.89,97))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9024) und 'überbucht'(p=0.0976).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9024}$; überbucht: $\mathrm{0,0976}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,7348}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0795}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0795}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0795}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,7348}$ + $\mathrm{0,0795}$ + $\mathrm{0,0795}$ + $\mathrm{0,0795}$ = $\mathrm{0,9733}$