Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 69 mal getroffen und 11 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=69 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}80\\ 69\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 69 Treffer und 11 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^{69}$ ⋅ ${0.3}^{11}$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 69 und e = 11 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim ersten Summand ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{20}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 20 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=20) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{19}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 19 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer sein, also P(X=19) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=20)+P(X=19)=P(X≥19) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 19 mal wird eine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 19\end{array}\right)$, also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.75.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.75}^{15}(X=12)$ ≈ 0.2252.

Analog betrachten wir nun die restlichen 9 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=9 und p=0.75.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.75}^9(Y\le 8)$ ≈ 0.9249.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.75}^{15}(X=12)$ ⋅ $P_{0.75}^9(Y\le 8)$ = 0.2252 ⋅ 0.9249 ≈ 0.2083

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 37 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.49 zu erzielen, also $P_{0.49}^{50}(30\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.49}^{50}(X\le 37)$ - $P_{0.49}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9999 - 0.9216 ≈ 0.0783 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.49,37)- binomcdf(50,0.49,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 30 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.64 zu erzielen, also $P_{0.64}^{35}(23\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.64}^{35}(X\le 30)$ - $P_{0.64}^{35}(X\le 22)$ ≈ 0.9989 - 0.5074 ≈ 0.4915 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.64,30)- binomcdf(35,0.64,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.0783 ⋅ 0.4915 ≈ 0.0385

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^1$

Dabei gibt ja ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXO

OXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^1$ ≈ 0.1441

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 92 Treffer bei 107 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.86, also $P_{0.86}^{107}(X\le 92)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.86.

$P_{0.86}^{107}(X\le 92)$ = $P_{0.86}^{107}(X=0)$ + $P_{0.86}^{107}(X=1)$ + $P_{0.86}^{107}(X=2)$ +... + $P_{0.86}^{107}(X=92)$ = 0.53996239477674 ≈ 0.54
(TI-Befehl: binomcdf(107,0.86,92))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.54) und 'überbucht'(p=0.46).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,54}$; überbucht: $\mathrm{0,46}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1575}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,1341}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1341}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1341}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,1575}$ + $\mathrm{0,1341}$ + $\mathrm{0,1341}$ + $\mathrm{0,1341}$ = $\mathrm{0,5599}$