Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 15 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 0 mal getroffen und 15 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=15 und b=0 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}15\\ 0\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 0 Treffer und 15 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^0$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{15}$ oder eben (einfach vertauscht) ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{15}$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^0$

Somit muss d = 5, sowie c = 15 und e = 0 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim ersten Summand ${0.6}^{10}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 10 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=10).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.4}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=9).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥9)

Somit ist die gesuchte Option: Weniger als 2 mal trifft er in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.6.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 9 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 9 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=9 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 12 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=12 und p=0.65.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.65}^{12}(X=9)$ ≈ 0.1954.

Analog betrachten wir nun die restlichen 19 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=19 und p=0.65.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.65}^{19}(Y\le 10)$ ≈ 0.1855.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.65}^{12}(X=9)$ ⋅ $P_{0.65}^{19}(Y\le 10)$ = 0.1954 ⋅ 0.1855 ≈ 0.0362

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 34 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.51 zu erzielen, also $P_{0.51}^{55}(24\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.51}^{55}(X\le 34)$ - $P_{0.51}^{55}(X\le 23)$ ≈ 0.9597 - 0.1098 ≈ 0.8499 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.51,34)- binomcdf(55,0.51,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 30 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.73 zu erzielen, also $P_{0.73}^{35}(24\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.73}^{35}(X\le 30)$ - $P_{0.73}^{35}(X\le 23)$ ≈ 0.9769 - 0.2142 ≈ 0.7627 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.73,30)- binomcdf(35,0.73,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8499 ⋅ 0.7627 ≈ 0.6482

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 8 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.8}^4$ ⋅ ${0.2}^4$

Dabei gibt ja ${0.8}^4$ ⋅ ${0.2}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOO

OXXXXOOO

OOXXXXOO

OOOXXXXO

OOOOXXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${0.8}^4$ ⋅ ${0.2}^4$ ≈ 0.0033

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 92 Treffer bei 104 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.87, also $P_{0.87}^{104}(X\le 92)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und p=0.87.

$P_{0.87}^{104}(X\le 92)$ = $P_{0.87}^{104}(X=0)$ + $P_{0.87}^{104}(X=1)$ + $P_{0.87}^{104}(X=2)$ +... + $P_{0.87}^{104}(X=92)$ = 0.71384347203083 ≈ 0.7138
(TI-Befehl: binomcdf(104,0.87,92))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.7138) und 'überbucht'(p=0.2862).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,7138}$; überbucht: $\mathrm{0,2862}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,3637}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,1458}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1458}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1458}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,3637}$ + $\mathrm{0,1458}$ + $\mathrm{0,1458}$ + $\mathrm{0,1458}$ = $\mathrm{0,8012}$