Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 17 mal getroffen und 3 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=17 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 17\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 17 Treffer und 3 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{17}$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$

Somit muss d = 5, sowie c = 17 und e = 3 sein.

Man kann relativ gut erkennen, dass es sich hier um die Formel von Bernoulli handeln muss, das heißt also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gegeben ist.

In der Basis der ersten Potenz kann man die gegebene Wahrscheinlichkeit für "Es wird eine 6 gewürfelt" erkennen, also muss die Hochzahl 9 die Anzahl der Treffer sein und die gesuchte Option ist: Genau 9 mal wird eine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 9 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)$, also ist a = 9 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 8 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=8 und p=0.4.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.4}^8(X=2)$ ≈ 0.209.

Analog betrachten wir nun die restlichen 13 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=13 und p=0.4.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.4}^{13}(Y\le 4)$ ≈ 0.353.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.4}^8(X=2)$ ⋅ $P_{0.4}^{13}(Y\le 4)$ = 0.209 ⋅ 0.353 ≈ 0.0738

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 38 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.58 zu erzielen, also $P_{0.58}^{60}(30\le X\le 38)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.58}^{60}(X\le 38)$ - $P_{0.58}^{60}(X\le 29)$ ≈ 0.8333 - 0.0835 ≈ 0.7498 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.58,38)- binomcdf(60,0.58,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 22 und 30 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.7 zu erzielen, also $P_{0.7}^{50}(22\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.7}^{50}(X\le 30)$ - $P_{0.7}^{50}(X\le 21)$ ≈ 0.0848 - 0 ≈ 0.0848 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.7,30)- binomcdf(50,0.7,21)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.7498 ⋅ 0.0848 ≈ 0.0636

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^6$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOOO

OXXXXOOOOO

OOXXXXOOOO

OOOXXXXOOO

OOOOXXXXOO

OOOOOXXXXO

OOOOOOXXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^6$ ≈ 0.0018

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 97 Treffer bei 105 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.83, also $P_{0.83}^{105}(X\le 97)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.83.

$P_{0.83}^{105}(X\le 97)$ = $P_{0.83}^{105}(X=0)$ + $P_{0.83}^{105}(X=1)$ + $P_{0.83}^{105}(X=2)$ +... + $P_{0.83}^{105}(X=97)$ = 0.99838144900456 ≈ 0.9984
(TI-Befehl: binomcdf(105,0.83,97))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9984) und 'überbucht'(p=0.0016).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9984}$; überbucht: $\mathrm{0,0016}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9952}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0016}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0016}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0016}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9952}$ + $\mathrm{0,0016}$ + $\mathrm{0,0016}$ + $\mathrm{0,0016}$ = $1$