Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 16 mal getroffen und 4 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=16 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 16\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 16 Treffer und 4 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.65}^{16}$ ⋅ ${0.35}^4$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.35}^4$ ⋅ ${0.65}^{16}$

Somit muss d = 0.35, sowie c = 4 und e = 16 sein.

Man kann relativ gut erkennen, dass es sich hier um die Formel von Bernoulli handeln muss, das heißt also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gegeben ist.

In der Basis der ersten Potenz kann man die gegebene Wahrscheinlichkeit für "Es wird in den grünen Bereich gedreht" erkennen, also muss die Hochzahl 9 die Anzahl der Treffer sein und die gesuchte Option ist: Genau 9 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Genau 1 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.9.

Die Hochzahl der ersten Potenz gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 9 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)$, also ist a = 9 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 4 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.25}^4(X=0)$ ≈ 0.3164.

Analog betrachten wir nun die restlichen 11 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. Y ist binomialverteilt mit n=11 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.25}^{11}(Y\le 5)$ ≈ 0.9657.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.25}^4(X=0)$ ⋅ $P_{0.25}^{11}(Y\le 5)$ = 0.3164 ⋅ 0.9657 ≈ 0.3055

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

• 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.91.

$P_{0.91}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.91}^4\cdot {0.09}^1$≈ 0.3086
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.83.

$P_{0.83}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.83}^5\cdot {0.17}^0$≈ 0.3939
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.3086 ⋅ 0.3939 = 0.12155754

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.91.

$P_{0.91}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.91}^5\cdot {0.09}^0$≈ 0.624
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.83.

$P_{0.83}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.83}^4\cdot {0.17}^1$≈ 0.4034
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.624 ⋅ 0.4034 = 0.2517216

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.91.

$P_{0.91}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.91}^5\cdot {0.09}^0$≈ 0.624
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.83.

$P_{0.83}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.83}^5\cdot {0.17}^0$≈ 0.3939
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.624 ⋅ 0.3939 = 0.2457936

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.1216 + 0.2517 + 0.2458 = 0.6191

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXO

OXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$ ≈ 0.0013

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81,
also $P_{0.81}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.81}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.81}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.1643 ≈ 0.8357 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.81,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.8357) und 'zu wenig'(p=0.1643).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,8357}$; zu wenig: $\mathrm{0,1643}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,1373}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,1373}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,6984}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,1373}$ + $\mathrm{0,1373}$ + $\mathrm{0,6984}$ = $\mathrm{0,973}$