Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 0 mal getroffen und 20 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=0 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 0 Treffer und 20 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^0$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{20}$

Somit muss d = 5, sowie c = 0 und e = 20 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim ersten Summand nach dem "1-", also bei ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=5) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 4 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer sein, also P(X=4) bzw. P(Y=1).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 5 und 4 Treffer möglich sind, also 3, 2, ..., kurz P(X≤3) bzw. P(Y≥2).

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 3 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Mindestens 2 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$, also ist a = 4 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.26.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.26}^{10}(X=2)$ ≈ 0.2735.

Analog betrachten wir nun die restlichen 60 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.26.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.26}^{60}(Y\le 10)$ ≈ 0.062.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.26}^{10}(X=2)$ ⋅ $P_{0.26}^{60}(Y\le 10)$ = 0.2735 ⋅ 0.062 ≈ 0.017

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 37 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.49 zu erzielen, also $P_{0.49}^{50}(24\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.49}^{50}(X\le 37)$ - $P_{0.49}^{50}(X\le 23)$ ≈ 0.9999 - 0.3891 ≈ 0.6108 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.49,37)- binomcdf(50,0.49,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 30 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.71 zu erzielen, also $P_{0.71}^{40}(24\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.71}^{40}(X\le 30)$ - $P_{0.71}^{40}(X\le 23)$ ≈ 0.7641 - 0.0473 ≈ 0.7168 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.71,30)- binomcdf(40,0.71,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.6108 ⋅ 0.7168 ≈ 0.4378

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^2$

Dabei gibt ja ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOO

OXXXXO

OOXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^2$ ≈ 0.0648

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.07, also $P_{0.07}^{50}(X\le 4)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.07.

$P_{0.07}^{50}(X\le 4)$ = $P_{0.07}^{50}(X=0)$ + $P_{0.07}^{50}(X=1)$ + $P_{0.07}^{50}(X=2)$ +... + $P_{0.07}^{50}(X=4)$ = 0.72902690999887 ≈ 0.729
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.07,4))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.729) und 'nicht ok'(p=0.271).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $\mathrm{0,729}$; nicht ok: $\mathrm{0,271}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,5314}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,5314}$ = $\mathrm{0,5314}$