Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 10 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 2 mal getroffen und 8 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=10 und b=2 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 2 Treffer und 8 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^2$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^8$

Somit muss d = 5, sowie c = 2 und e = 8 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim Summand ${0.3}^{20}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 20 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=20).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=19).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤18).

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal wird eine blaue Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 19 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 19 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=19 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.22.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.22}^{10}(X=3)$ ≈ 0.2244.

Analog betrachten wir nun die restlichen 50 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.22.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.22}^{50}(Y\le 18)$ ≈ 0.9925.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.22}^{10}(X=3)$ ⋅ $P_{0.22}^{50}(Y\le 18)$ = 0.2244 ⋅ 0.9925 ≈ 0.2227

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

• 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.93.

$P_{0.93}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.93}^4\cdot {0.07}^1$≈ 0.2618
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.82.

$P_{0.82}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.82}^5\cdot {0.18}^0$≈ 0.3707
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2618 ⋅ 0.3707 = 0.09704926

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.93.

$P_{0.93}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.93}^5\cdot {0.07}^0$≈ 0.6957
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.82.

$P_{0.82}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.82}^4\cdot {0.18}^1$≈ 0.4069
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.6957 ⋅ 0.4069 = 0.28308033

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.93.

$P_{0.93}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.93}^5\cdot {0.07}^0$≈ 0.6957
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.82.

$P_{0.82}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.82}^5\cdot {0.18}^0$≈ 0.3707
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.6957 ⋅ 0.3707 = 0.25789599

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.097 + 0.2831 + 0.2579 = 0.638

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.75}^4$ ⋅ ${0.25}^1$

Dabei gibt ja ${0.75}^4$ ⋅ ${0.25}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXO

OXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${0.75}^4$ ⋅ ${0.25}^1$ ≈ 0.1582

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.1, also $P_{0.1}^{25}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.1.

$P_{0.1}^{25}(X\le 2)$ = $P_{0.1}^{25}(X=0)$ + $P_{0.1}^{25}(X=1)$ + $P_{0.1}^{25}(X=2)$ = 0.53709405005094 ≈ 0.5371
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.1,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.5371) und 'nicht ok'(p=0.4629).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $\mathrm{0,5371}$; nicht ok: $\mathrm{0,4629}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,2885}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,2885}$ = $\mathrm{0,2885}$