Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 35 mal getroffen und 25 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=35 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}60\\ 35\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 35 Treffer und 25 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.85}^{35}$ ⋅ ${0.15}^{25}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.15}^{25}$ ⋅ ${0.85}^{35}$

Somit muss d = 0.15, sowie c = 25 und e = 35 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim ersten Summand ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{10}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 10 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=10) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^9$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 9 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 9 Treffer sein, also P(X=9) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=10)+P(X=9)=P(X≥9) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 9 mal wird eine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 9 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)$, also ist a = 9 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 17 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=17 und p=0.65.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.65}^{17}(X=9)$ ≈ 0.1134.

Analog betrachten wir nun die restlichen 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.65.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.65}^{15}(Y\le 8)$ ≈ 0.2452.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.65}^{17}(X=9)$ ⋅ $P_{0.65}^{15}(Y\le 8)$ = 0.1134 ⋅ 0.2452 ≈ 0.0278

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 37 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.49 zu erzielen, also $P_{0.49}^{50}(24\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.49}^{50}(X\le 37)$ - $P_{0.49}^{50}(X\le 23)$ ≈ 0.9999 - 0.3891 ≈ 0.6108 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.49,37)- binomcdf(50,0.49,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 22 und 30 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{35}(22\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{35}(X\le 30)$ - $P_{0.69}^{35}(X\le 21)$ ≈ 0.9934 - 0.1659 ≈ 0.8275 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.69,30)- binomcdf(35,0.69,21)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.6108 ⋅ 0.8275 ≈ 0.5054

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.8}^4$ ⋅ ${0.2}^5$

Dabei gibt ja ${0.8}^4$ ⋅ ${0.2}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOO

OXXXXOOOO

OOXXXXOOO

OOOXXXXOO

OOOOXXXXO

OOOOOXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.8}^4$ ⋅ ${0.2}^5$ ≈ 0.0008

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.87,
also $P_{0.87}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.87}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.87}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.037 ≈ 0.963 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.87,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.963) und 'zu wenig'(p=0.037).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,963}$; zu wenig: $\mathrm{0,037}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,0356}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,0356}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,9274}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,0356}$ + $\mathrm{0,0356}$ + $\mathrm{0,9274}$ = $\mathrm{0,9986}$