Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 19 mal getroffen und 41 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=19 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}60\\ 19\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 19 Treffer und 41 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.1}^{19}$ ⋅ ${0.9}^{41}$

Somit muss d = 0.9, sowie c = 19 und e = 41 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim ersten Summand ${0.7}^{20}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 20 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=20) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^{19}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 19 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer sein, also P(X=19) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=20)+P(X=19)=P(X≥19) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 19 mal wird eine blaue Kugel gezogen oder eben gleich bedeutend: Höchstens 1 mal wird eine rote Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 19\end{array}\right)$, also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 4 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.25}^4(X=0)$ ≈ 0.3164.

Analog betrachten wir nun die restlichen 21 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. Y ist binomialverteilt mit n=21 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.25}^{21}(Y\le 2)$ ≈ 0.0745.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.25}^4(X=0)$ ⋅ $P_{0.25}^{21}(Y\le 2)$ = 0.3164 ⋅ 0.0745 ≈ 0.0236

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

• 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

$P_{0.9}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.9}^4\cdot {0.1}^1$≈ 0.3281
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.85.

$P_{0.85}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.85}^5\cdot {0.15}^0$≈ 0.4437
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.3281 ⋅ 0.4437 = 0.14557797

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

$P_{0.9}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.9}^5\cdot {0.1}^0$≈ 0.5905
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.85.

$P_{0.85}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.85}^4\cdot {0.15}^1$≈ 0.3915
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.5905 ⋅ 0.3915 = 0.23118075

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

$P_{0.9}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.9}^5\cdot {0.1}^0$≈ 0.5905
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.85.

$P_{0.85}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.85}^5\cdot {0.15}^0$≈ 0.4437
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.5905 ⋅ 0.4437 = 0.26200485

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.1456 + 0.2312 + 0.262 = 0.6388

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOO

OXXXO

OOXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$ ≈ 0.0096

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 92 Treffer bei 104 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.83, also $P_{0.83}^{104}(X\le 92)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und p=0.83.

$P_{0.83}^{104}(X\le 92)$ = $P_{0.83}^{104}(X=0)$ + $P_{0.83}^{104}(X=1)$ + $P_{0.83}^{104}(X=2)$ +... + $P_{0.83}^{104}(X=92)$ = 0.95262212805032 ≈ 0.9526
(TI-Befehl: binomcdf(104,0.83,92))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9526) und 'überbucht'(p=0.0474).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9526}$; überbucht: $\mathrm{0,0474}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,8644}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,043}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,043}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,043}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,8644}$ + $\mathrm{0,043}$ + $\mathrm{0,043}$ + $\mathrm{0,043}$ = $\mathrm{0,9935}$