Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 100 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 46 blaue Kugeln gezogen werden.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 46) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 46 mal getroffen und 54 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=46 sein.
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Pfade an. Da ja in jedem Pfad 46 Treffer und
54 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
⋅ oder eben (einfach vertauscht) ⋅
Somit muss d = 0.3, sowie c = 54 und e = 46 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
Ein idealer Würfel wird 10 mal geworfen.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 1 - -
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)
Beim ersten Summand nach dem "1-", also bei
Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz
Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 10 und 9 Treffer möglich sind, also 8, 7, ..., kurz P(X≤8) bzw. P(Y≥2).
Somit ist die gesuchte Option: Weniger als 9 mal wird eine 6 gewürfelt.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.
Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 9 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Ein normaler Würfel wird 30 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass, Von den ersten 10 Versuchen höchstens 3 mal eine Sechs gewürfelt wird und von den restlichen Versuchen mindestens 2 Sechser gewürfelt werden?
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an.
X ist binomialverteilt mit n=10 und p=
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als
Analog betrachten wir nun die restlichen 20 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an.
Y ist binomialverteilt mit n=20 und p=
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P =
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 50 und am Samstag bei 40 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 24 und 37 am Samstag so zwischen 25 und 30 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 74% höher als am Freitag mit 52%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Freitag:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 37 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.52 zu erzielen, alsoDiese Wahrscheinlichkeit lässt sich als
TI-Befehl: binomcdf(50,0.52,37)- binomcdf(50,0.52,23)
Samstag:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 30 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.74 zu erzielen, alsoDiese Wahrscheinlichkeit lässt sich als
TI-Befehl: binomcdf(40,0.74,30)- binomcdf(40,0.74,24)
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:
P ≈ 0.7601 ⋅ 0.5799 ≈ 0.4408
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 7 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 blaue Kugeln gezogen werden und diese aber unmittelbar hintereinander gezogen werden (also ohne, dass dazwischen mal eine rote gezogen wird).
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli
berechnen:
Dabei gibt ja
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen
XXXXOOO
OXXXXOO
OOXXXXO
OOOXXXX
Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Ein 10-Klässler bekommt im Schulsport eine 1 als Teilnote, wenn er beim Basketball von 20 Korblegerversuchen mindestens 15 trifft. Weil der Sportlehrer ein nettes Weichei ist, darf der Schüler den Test noch ein zweites mal probieren, wenn er unzufrieden ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit seiner Trefferquote von 92% eine 1 bekommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.92,
also
Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit:
≈ 1 - 0.0038 ≈ 0.9962 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.92,14))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.9962) und 'zu wenig'(p=0.0038).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'
Ereignis | P |
---|---|
genügend Treffer -> genügend Treffer | |
genügend Treffer -> zu wenig | |
zu wenig -> genügend Treffer | |
zu wenig -> zu wenig |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer:
- 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=
)0,0038 - 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=
)0,0038 - 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=
)0,9924
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten: