Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 0 mal getroffen und 60 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=0 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}60\\ 0\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 0 Treffer und 60 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^0$ ⋅ ${0.3}^{60}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.3}^{60}$ ⋅ ${0.7}^0$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 60 und e = 0 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim Summand ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{15}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 15 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=15).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=14).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤13).

Somit ist die gesuchte Option: Mehr als 1 mal wird eine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 14 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 14 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=14 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 5 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.65.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.65}^5(X=3)$ ≈ 0.3364.

Analog betrachten wir nun die restlichen 95 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.65.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.65}^{95}(Y\ge 55)$ = 1- $P_{0.65}^{95}(Y\le 54)$ ≈ 0.939.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.65}^5(X=3)$ ⋅ $P_{0.65}^{95}(Y\ge 55)$ = 0.3364 ⋅ 0.939 ≈ 0.3159

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 33 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.6 zu erzielen, also $P_{0.6}^{60}(24\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.6}^{60}(X\le 33)$ - $P_{0.6}^{60}(X\le 23)$ ≈ 0.2536 - 0.0006 ≈ 0.253 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.6,33)- binomcdf(60,0.6,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 28 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.62 zu erzielen, also $P_{0.62}^{50}(24\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.62}^{50}(X\le 28)$ - $P_{0.62}^{50}(X\le 23)$ ≈ 0.2317 - 0.0155 ≈ 0.2162 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.62,28)- binomcdf(50,0.62,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.253 ⋅ 0.2162 ≈ 0.0547

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.95}^4$ ⋅ ${0.05}^2$

Dabei gibt ja ${0.95}^4$ ⋅ ${0.05}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOO

OXXXXO

OOXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${0.95}^4$ ⋅ ${0.05}^2$ ≈ 0.0061

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 94 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81, also $P_{0.81}^{106}(X\le 94)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.81.

$P_{0.81}^{106}(X\le 94)$ = $P_{0.81}^{106}(X=0)$ + $P_{0.81}^{106}(X=1)$ + $P_{0.81}^{106}(X=2)$ +... + $P_{0.81}^{106}(X=94)$ = 0.98802503990505 ≈ 0.988
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.81,94))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.988) und 'überbucht'(p=0.012).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,988}$; überbucht: $\mathrm{0,012}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9644}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0117}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0117}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0117}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9644}$ + $\mathrm{0,0117}$ + $\mathrm{0,0117}$ + $\mathrm{0,0117}$ = $\mathrm{0,9996}$