Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 40 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 13 mal getroffen und 27 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=40 und b=13 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}40\\ 13\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 13 Treffer und 27 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^{13}$ ⋅ ${0.3}^{27}$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 13 und e = 27 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim ersten Summand ${0.7}^{15}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=15) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^{14}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 14 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer sein, also P(X=14) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=15)+P(X=14)=P(X≥14) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mehr als 13 mal wird eine blaue Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 14\end{array}\right)$, also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.45.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.45}^{10}(X=4)$ ≈ 0.2384.

Analog betrachten wir nun die restlichen 50 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.45.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.45}^{50}(Y\ge 19)$ = 1- $P_{0.45}^{50}(Y\le 18)$ ≈ 0.8727.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.45}^{10}(X=4)$ ⋅ $P_{0.45}^{50}(Y\ge 19)$ = 0.2384 ⋅ 0.8727 ≈ 0.2081

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 2 kommen kann:

• 0 mal unten und 2 mal oben
• 1 mal unten und 1 mal oben
• 2 mal unten und 0 mal oben

0 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=0)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\cdot {0.6}^0\cdot {0.4}^3$≈ 0.064
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

$P_{0.4}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.4}^2\cdot {0.6}^1$≈ 0.288
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.064 ⋅ 0.288 = 0.018432

1 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.6}^1\cdot {0.4}^2$≈ 0.288
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

$P_{0.4}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.4}^1\cdot {0.6}^2$≈ 0.432
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.288 ⋅ 0.432 = 0.124416

2 mal unten und 0 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.6}^2\cdot {0.4}^1$≈ 0.432
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

$P_{0.4}^3(X=0)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\cdot {0.4}^0\cdot {0.6}^3$≈ 0.216
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.432 ⋅ 0.216 = 0.093312

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0184 + 0.1244 + 0.0933 = 0.2362

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^6$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOO

OXXXOOOOO

OOXXXOOOO

OOOXXXOOO

OOOOXXXOO

OOOOOXXXO

OOOOOOXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^6$ ≈ 0.0109

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.1, also $P_{0.1}^{50}(X\le 4)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.1.

$P_{0.1}^{50}(X\le 4)$ = $P_{0.1}^{50}(X=0)$ + $P_{0.1}^{50}(X=1)$ + $P_{0.1}^{50}(X=2)$ +... + $P_{0.1}^{50}(X=4)$ = 0.43119840682906 ≈ 0.4312
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.1,4))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.4312) und 'nicht ok'(p=0.5688).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $\mathrm{0,4312}$; nicht ok: $\mathrm{0,5688}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,1859}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,1859}$ = $\mathrm{0,1859}$