Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 51 und p = 0.65 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 51 ⋅ 0.65 = 33.15

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{\mathrm{n\; \cdot \; p\; \cdot \; (1-p)}}$ = $\sqrt{\mathrm{51\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; 0.35}}$ = $\sqrt{\mathrm{11.6025}}$ ≈ 3.41

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=75⋅$\frac{1}{6}$ = 12.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 12.5, also 0.8⋅ 12.5 = 10 und 120% von 12.5, also 1.2⋅ 12.5 = 15

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 12.5 entfernt sein darf als 10 bzw. 15, muss sie also zwischen 10 und 15 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{75}(10\le X\le 15)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{75}(X\le 15)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{75}(X\le 9)$ ≈ 0.8252 - 0.1773 ≈ 0.6479
(TI-Befehl: binomcdf(75,$\frac{1}{6}$,15) - binomcdf(75,$\frac{1}{6}$,9))

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 100⋅0.3 ≈ 30,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{\mathrm{<mrow><mo>n</mo>\; <mo>\cdot </mo><mo>\; p\; </mo><mo>\cdot </mo><mo>\; (1-p)</mo></mrow>}}$ = $\sqrt{\mathrm{<mn>100</mn>\; <mo>\cdot </mo>0.3\; <mo>\cdot </mo>\; 0.7}}$ ≈ 4.58

34.58 (30 + 4.58) und 25.42 (30 - 4.58) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 30 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 26 und 34 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 26 und 34 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.3.

$P_{0.3}^{100}(26\le X\le 34)$ =

...

$P_{0.3}^{100}(X\le 34)$ - $P_{0.3}^{100}(X\le 25)$ ≈ 0.8371 - 0.1631 ≈ 0.674
(TI-Befehl: binomcdf(100,0.3,34) - binomcdf(100,0.3,25))

Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 16. Somit gilt:

16 = n ⋅ $\frac{8}{9}$ |⋅$\frac{9}{8}$

n = 18

Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.77 + 0.77+ 0.34 ≈ 1.89 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.

Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 7 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 10 ⋅ 0.9 = 9 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.

Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 11 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 11 Treffer bei 10 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Also kann nur das Histogramm C das richtige sein.

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=6)⋅6 + P(X=10)⋅10 + P(X=12)⋅12
= 0,4⋅6 + 0,2⋅10 + 0,4⋅12
= 2,4 + 2 + 4,8

= 9,2

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=6)⋅(9,2-6)² + P(X=10)⋅(9,2-10)² + P(X=12)⋅(9,2-12)²
= 0,4⋅(3,2)² + 0,2⋅(-0,8)² + 0,4⋅(-2,8)²
= 0,4⋅10,24 + 0,2⋅0,64 + 0,4⋅7,84
= 4,096 + 0,128 + 3,136
= 7.36

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{7.36}}$ ≈ 2,713

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.6⋅0 + 0.2⋅1 + 0.2⋅2
= 0 + 0.2 + 0.4

= 0.6

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(0.6-0)² + P(X=1)⋅(0.6-1)² + P(X=2)⋅(0.6-2)²
= 0.6⋅(0.6)² + 0.2⋅(-0.4)² + 0.2⋅(-1.4)²
= 0.6⋅0.36 + 0.2⋅0.16 + 0.2⋅1.96
= 0.216 + 0.032 + 0.392
= 0.64

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{0.64}}$ ≈ 0.8