Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 28 und p = 0.7 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 28 ⋅ 0.7 = 19.6

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{\mathrm{n\; \cdot \; p\; \cdot \; (1-p)}}$ = $\sqrt{\mathrm{28\; \cdot \; 0.7\; \cdot \; 0.3}}$ = $\sqrt{\mathrm{5.88}}$ ≈ 2.42

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=63⋅$\frac{1}{6}$ = 10.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 10.5, also 0.8⋅ 10.5 = 8.4 und 120% von 10.5, also 1.2⋅ 10.5 = 12.6

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 10.5 entfernt sein darf als 8.4 bzw. 12.6, muss sie also zwischen 9 und 12 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{63}(9\le X\le 12)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{63}(X\le 12)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{63}(X\le 8)$ ≈ 0.7569 - 0.2563 ≈ 0.5006
(TI-Befehl: binomcdf(63,$\frac{1}{6}$,12) - binomcdf(63,$\frac{1}{6}$,8))

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 65⋅$\frac{1}{6}$ ≈ 10.83,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{\mathrm{<mrow><mo>n</mo>\; <mo>\cdot </mo><mo>\; p\; </mo><mo>\cdot </mo><mo>\; (1-p)</mo></mrow>}}$ = $\sqrt{\mathrm{<mn>65</mn>\; <mo>\cdot </mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; <mo>\cdot </mo>\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 3

13.84 (10.83 + 3) und 7.83 (10.83 - 3) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 10.83 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 8 und 13 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 8 und 13 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{65}(8\le X\le 13)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{65}(X\le 13)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{65}(X\le 7)$ ≈ 0.815 - 0.131 ≈ 0.684
(TI-Befehl: binomcdf(65,$\frac{1}{6}$,13) - binomcdf(65,$\frac{1}{6}$,7))

Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 4. Somit gilt:

4 = n ⋅ $\frac{2}{9}$ |⋅$\frac{9}{2}$

n = 18

Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 16 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 16 Treffer bei 15 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 10 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 15 ⋅ 0.8 = 12 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.

Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.5 + 0.5+ 0.34 ≈ 1.34 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.

Also kann nur das Histogramm C das richtige sein.

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=8)⋅8 + P(X=11)⋅11 + P(X=15)⋅15
= 0,7⋅8 + 0,1⋅11 + 0,2⋅15
= 5,6 + 1,1 + 3

= 9,7

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=8)⋅(9,7-8)² + P(X=11)⋅(9,7-11)² + P(X=15)⋅(9,7-15)²
= 0,7⋅(1,7)² + 0,1⋅(-1,3)² + 0,2⋅(-5,3)²
= 0,7⋅2,89 + 0,1⋅1,69 + 0,2⋅28,09
= 2,023 + 0,169 + 5,618
= 7.81

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{7.81}}$ ≈ 2,795

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3
= 0.4⋅0 + 0.1⋅1 + 0.2⋅2 + 0.3⋅3
= 0 + 0.1 + 0.4 + 0.9

= 1.4

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(1.4-0)² + P(X=1)⋅(1.4-1)² + P(X=2)⋅(1.4-2)² + P(X=3)⋅(1.4-3)²
= 0.4⋅(1.4)² + 0.1⋅(0.4)² + 0.2⋅(-0.6)² + 0.3⋅(-1.6)²
= 0.4⋅1.96 + 0.1⋅0.16 + 0.2⋅0.36 + 0.3⋅2.56
= 0.784 + 0.016 + 0.072 + 0.768
= 1.64

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{1.64}}$ ≈ 1.281