Aufgabenbeispiele von Erwartungswert, Standardabw.
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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 67 und p = 0.2
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 67 und p = 0.2 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 67 ⋅ 0.2 = 13.4
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.27
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 64 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=64⋅0.6 = 38.4
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 38.4, also 0.8⋅ 38.4 = 30.72 und 120% von 38.4, also 1.2⋅ 38.4 = 46.08
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 38.4 entfernt sein darf als 30.72 bzw. 46.08, muss sie also zwischen 31 und 46 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.6.
=
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.6,46) - binomcdf(64,0.6,30))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 43 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 43⋅ ≈ 7.17,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.44
9.61 (7.17 + 2.44) und 4.72 (7.17 - 2.44) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 7.17 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 5 und 9 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 5 und 9 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=43 und p=
(TI-Befehl: binomcdf(43,
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 21.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 7. Somit gilt:
7 = 21 ⋅ p |:21
p =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 11 und p = 0.75.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.56 + 0.5+ 0.38 ≈ 1.44 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 7 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 11 ⋅ 0.75 = 8.25 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 12 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 12 Treffer bei 11 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Also kann nur das Histogramm D das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Zufallsgröße X | 8 | 10 | 18 |
P(X) | 0,4 | 0,4 | 0,2 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=8)⋅8 + P(X=10)⋅10 + P(X=18)⋅18
= 0,4⋅8 + 0,4⋅10 + 0,2⋅18
= 3,2 + 4 + 3,6
= 10,8
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=8)⋅(10,8-8)2 + P(X=10)⋅(10,8-10)2 + P(X=18)⋅(10,8-18)2
= 0,4⋅(2,8)2 + 0,4⋅(0,8)2 + 0,2⋅(-7,2)2
= 0,4⋅7,84 + 0,4⋅0,64 + 0,2⋅51,84
= 3,136 + 0,256 + 10,368
= 13.76
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ =
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.3⋅0 + 0.2⋅1 + 0.5⋅2
= 0 + 0.2 + 1
= 1.2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(1.2-0)2 + P(X=1)⋅(1.2-1)2 + P(X=2)⋅(1.2-2)2
= 0.3⋅(1.2)2 + 0.2⋅(0.2)2 + 0.5⋅(-0.8)2
= 0.3⋅1.44 + 0.2⋅0.04 + 0.5⋅0.64
= 0.432 + 0.008 + 0.32
= 0.76
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ =