Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 36 und p = 0.65 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 36 ⋅ 0.65 = 23.4

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{\mathrm{n\; \cdot \; p\; \cdot \; (1-p)}}$ = $\sqrt{\mathrm{36\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; 0.35}}$ = $\sqrt{\mathrm{8.19}}$ ≈ 2.86

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=70⋅$\frac{1}{6}$ = 11.666666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 11.667, also 0.8⋅ 11.667 = 9.333 und 120% von 11.666666666667, also 1.2⋅ 11.667 = 14

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 11.666666666667 entfernt sein darf als 9.333 bzw. 14, muss sie also zwischen 10 und 13 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{70}(10\le X\le 13)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{70}(X\le 13)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{70}(X\le 9)$ ≈ 0.7294 - 0.2496 ≈ 0.4798
(TI-Befehl: binomcdf(70,$\frac{1}{6}$,13) - binomcdf(70,$\frac{1}{6}$,9))

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 80⋅0.75 ≈ 60,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{\mathrm{<mrow><mo>n</mo>\; <mo>\cdot </mo><mo>\; p\; </mo><mo>\cdot </mo><mo>\; (1-p)</mo></mrow>}}$ = $\sqrt{\mathrm{<mn>80</mn>\; <mo>\cdot </mo>0.75\; <mo>\cdot </mo>\; 0.25}}$ ≈ 3.87

63.87 (60 + 3.87) und 56.13 (60 - 3.87) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 60 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 57 und 63 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 57 und 63 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.75.

$P_{0.75}^{80}(57\le X\le 63)$ =

...

$P_{0.75}^{80}(X\le 63)$ - $P_{0.75}^{80}(X\le 56)$ ≈ 0.8159 - 0.1819 ≈ 0.634
(TI-Befehl: binomcdf(80,0.75,63) - binomcdf(80,0.75,56))

Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 8. Somit gilt:

8 = n ⋅ $\frac{4}{9}$ |⋅$\frac{9}{4}$

n = 18

Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.71 + 0.51+ 0.46 ≈ 1.68 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.

Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 16 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 16 Treffer bei 15 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 11 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 15 ⋅ 0.9 = 13.5 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.

Also kann nur das Histogramm D das richtige sein.

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=2)⋅2 + P(X=9)⋅9 + P(X=14)⋅14
= 0,7⋅2 + 0,1⋅9 + 0,2⋅14
= 1,4 + 0,9 + 2,8

= 5,1

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=2)⋅(5,1-2)² + P(X=9)⋅(5,1-9)² + P(X=14)⋅(5,1-14)²
= 0,7⋅(3,1)² + 0,1⋅(-3,9)² + 0,2⋅(-8,9)²
= 0,7⋅9,61 + 0,1⋅15,21 + 0,2⋅79,21
= 6,727 + 1,521 + 15,842
= 24.09

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{24.09}}$ ≈ 4,908

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.1⋅0 + 0.2⋅1 + 0.7⋅2
= 0 + 0.2 + 1.4

= 1.6

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(1.6-0)² + P(X=1)⋅(1.6-1)² + P(X=2)⋅(1.6-2)²
= 0.1⋅(1.6)² + 0.2⋅(0.6)² + 0.7⋅(-0.4)²
= 0.1⋅2.56 + 0.2⋅0.36 + 0.7⋅0.16
= 0.256 + 0.072 + 0.112
= 0.44

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{0.44}}$ ≈ 0.663