Da hier ja nur eine Aussage über den 4-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 4-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.1667 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}12\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{12!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; (12\; -\; 3)!}}$ = $\frac{\mathrm{12!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 9!}}$ = $\frac{\mathrm{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}12\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{12\cdot 11\cdot 10}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{4\cdot 11\cdot 10}}{\mathrm{2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{\mathrm{2\cdot 11\cdot 10}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 220

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5⋅4 = 6720 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 5 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 6720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{6720}}{\mathrm{120}}$ = 56 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{<mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

56 = $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{<mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{8!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 3!}}$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}35\\ 8\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{35!}}{\mathrm{8!\; \cdot \; 27!}}$ = $\frac{\mathrm{35\cdot 34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28}}{\mathrm{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 23535820 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 16 und die 30 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 16 und der 30 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 16 und der 30) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}33\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{33!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 27!}}$ = $\frac{\mathrm{33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 1107568.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{1107568}}{\mathrm{23535820}}$ ≈ 0.0471, also ca. 4.71%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.1.

$P_{0.1}^{85}(X=17)$ = $\left(\begin{array}{c}85\\ 17\end{array}\right)\cdot {0.1}^{17}\cdot {0.9}^{68}$=0.0024703990958245≈ 0.0025
(TI-Befehl: binompdf(85,0.1,17))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.04	≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2	≈ 0.11	≈ 0.05 + 0.11 = 0.16
3	≈ 0.19	≈ 0.16 + 0.19 = 0.35
4	≈ 0.23	≈ 0.35 + 0.23 = 0.58

Während P(X ≤ 3) = 0.35 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.58 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{29}(X\le 5)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{29}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{29}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{29}(X=2)$ +... + $P_{\frac{1}{6}}^{29}(X=5)$ = 0.648465036532 ≈ 0.6485
(TI-Befehl: binomcdf(29,1/6,5))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.21.

...

$P_{0.21}^{68}(X\ge 7)$ = 1 - $P_{0.21}^{68}(X\le 6)$ = 0.9937
(TI-Befehl: 1-binomcdf(68,0.21,6))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.65.

$P_{0.65}^{87}(49\le X\le 61)$ =

...

$P_{0.65}^{87}(X\le 61)$ - $P_{0.65}^{87}(X\le 48)$ ≈ 0.8678 - 0.0368 ≈ 0.831
(TI-Befehl: binomcdf(87,0.65,61) - binomcdf(87,0.65,48))