Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $\mathrm{0,6}$ ≈ 0.6 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; (5\; -\; 2)!}}$ = $\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 3!}}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{2\cdot 1\; \cdot \; 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 4}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{5\cdot 2}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 10

Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{30}}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 4!}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 20!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 53130 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 8 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 8 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 8) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}24\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{24!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 20!}}$ = $\frac{\mathrm{24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 10626.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{10626}}{\mathrm{53130}}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=28 und p=$\frac{1}{4}$.

$P_{\frac{1}{4}}^{28}(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}28\\ 6\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^6\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{22}$=0.16407015186868≈ 0.1641
(TI-Befehl: binompdf(28,1/4,6))

Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.75 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.75 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.75=0.25 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.06	≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3	≈ 0.14	≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4	≈ 0.21	≈ 0.22 + 0.21 = 0.43

Während P(X ≤ 3) = 0.22 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.43 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.78 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 4 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75, während P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.57 (die Summe der Säulenhöhen von 5 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 4.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.85.

$P_{0.85}^{81}(X<63)$ = $P_{0.85}^{81}(X\le 62)$ = $P_{0.85}^{81}(X=0)$ + $P_{0.85}^{81}(X=1)$ + $P_{0.85}^{81}(X=2)$ +... + $P_{0.85}^{81}(X=62)$ = 0.029181261253552 ≈ 0.0292
(TI-Befehl: binomcdf(81,0.85,62))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.91.

...

$P_{0.91}^{86}(X>73)$ = $P_{0.91}^{86}(X\ge 74)$ = 1 - $P_{0.91}^{86}(X\le 73)$ = 0.9561
(TI-Befehl: 1-binomcdf(86,0.91,73))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.125.

$P_{0.125}^{98}(11\le X\le 12)$ =

...

$P_{0.125}^{98}(X\le 12)$ - $P_{0.125}^{98}(X\le 10)$ ≈ 0.5456 - 0.3064 ≈ 0.2392
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.125,12) - binomcdf(98,0.125,10))