Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $\mathrm{0,7}$. Wenn genau 3 Treffer unter den 4 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 4 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 4-ten Versuch)

Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\mathrm{0,7}·{\mathrm{0,3}}^3$.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = $4·\mathrm{0,7}·{\mathrm{0,3}}^3$ ≈ 0.0756 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; (6\; -\; 4)!}}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 2!}}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{3\cdot 5}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 15

Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30 = 29760 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 3 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 29760 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{29760}}{6}$ = 4960 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>32</mn><mo>\cdot </mo><mn>31</mn><mo>\cdot </mo><mn>30</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 29! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

4960 = $\frac{\mathrm{<mn>32</mn><mo>\cdot </mo><mn>31</mn><mo>\cdot </mo><mn>30</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{32!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 29!}}$ = $\left(\begin{array}{c}32\\ 3\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}35\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{35!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 30!}}$ = $\frac{\mathrm{35\cdot 34\cdot 33\cdot 32\cdot 31}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 324632 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 2 und die 12 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 2 und der 12 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 2 und der 12) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}33\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{33!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 30!}}$ = $\frac{\mathrm{33\cdot 32\cdot 31}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 5456.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{5456}}{\mathrm{324632}}$ ≈ 0.0168, also ca. 1.68%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=0.5.

$P_{0.5}^{88}(X=43)$ = $\left(\begin{array}{c}88\\ 43\end{array}\right)\cdot {0.5}^{43}\cdot {0.5}^{45}$=0.082928750820298≈ 0.0829
(TI-Befehl: binompdf(88,0.5,43))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.06	≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3	≈ 0.14	≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4	≈ 0.21	≈ 0.22 + 0.21 = 0.43
5	≈ 0.23	≈ 0.43 + 0.23 = 0.66
6	≈ 0.18	≈ 0.66 + 0.18 = 0.84

Während P(X ≤ 5) = 0.66 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.84 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.39.

$P_{0.39}^{79}(X<28)$ = $P_{0.39}^{79}(X\le 27)$ = $P_{0.39}^{79}(X=0)$ + $P_{0.39}^{79}(X=1)$ + $P_{0.39}^{79}(X=2)$ +... + $P_{0.39}^{79}(X=27)$ = 0.2237439815953 ≈ 0.2237
(TI-Befehl: binomcdf(79,0.39,27))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.15.

...

$P_{0.15}^{85}(X\ge 8)$ = 1 - $P_{0.15}^{85}(X\le 7)$ = 0.9522
(TI-Befehl: 1-binomcdf(85,0.15,7))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=0.3.

$P_{0.3}^{71}(22\le X\le 24)$ =

...

$P_{0.3}^{71}(X\le 24)$ - $P_{0.3}^{71}(X\le 21)$ ≈ 0.7979 - 0.5275 ≈ 0.2704
(TI-Befehl: binomcdf(71,0.3,24) - binomcdf(71,0.3,21))