Da hier ja nur eine Aussage über den 3-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 3-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $\mathrm{0,3}$ ≈ 0.3 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{0!\; \cdot \; (9\; -\; 0)!}}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{0!\; \cdot \; 9!}}$ = $\frac{\mathrm{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{1\; \cdot \; 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\end{array}\right)$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7 = 56 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 56 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{56}}{2}$ = 28 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 8 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

28 = $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{8!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 6!}}$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}25\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 21!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 12650 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 9 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 9 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 9) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}24\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{24!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 21!}}$ = $\frac{\mathrm{24\cdot 23\cdot 22}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 2024.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{2024}}{\mathrm{12650}}$ ≈ 0.16, also ca. 16%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=$\frac{1}{4}$.

$P_{\frac{1}{4}}^{93}(X=14)$ = $\left(\begin{array}{c}93\\ 14\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{14}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{79}$=0.0074507810273535≈ 0.0075
(TI-Befehl: binompdf(93,1/4,14))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
1	≈ 0.13	≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2	≈ 0.23	≈ 0.16 + 0.23 = 0.39

Während P(X ≤ 1) = 0.16 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.39 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=36 und p=0.45.

$P_{0.45}^{36}(X<21)$ = $P_{0.45}^{36}(X\le 20)$ = $P_{0.45}^{36}(X=0)$ + $P_{0.45}^{36}(X=1)$ + $P_{0.45}^{36}(X=2)$ +... + $P_{0.45}^{36}(X=20)$ = 0.92479722353246 ≈ 0.9248
(TI-Befehl: binomcdf(36,0.45,20))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=0.89.

$P_{0.89}^{22}(X>19)$ = $P_{0.89}^{22}(X\ge 20)$ = 1 - $P_{0.89}^{22}(X\le 19)$ = 0.5582
(TI-Befehl: 1-binomcdf(22,0.89,19))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.25.

$P_{0.25}^{67}(21\le X\le 23)$ =

...

$P_{0.25}^{67}(X\le 23)$ - $P_{0.25}^{67}(X\le 20)$ ≈ 0.9682 - 0.8546 ≈ 0.1136
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.25,23) - binomcdf(67,0.25,20))