Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.8333 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}16\\ 15\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{16!}}{\mathrm{15!\; \cdot \; (16\; -\; 15)!}}$ = $\frac{\mathrm{16!}}{\mathrm{15!\; \cdot \; 1!}}$ = $\frac{\mathrm{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
15! = 15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}16\\ 15\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{16}}{1}$

= 16

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 7⋅6 = 42 Möglichkeiten, die 7 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 42 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{42}}{2}$ = 21 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 7 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

21 = $\frac{\mathrm{<mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 5!}}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}20\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{20!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; 13!}}$ = $\frac{\mathrm{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14}}{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 77520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 13 und die 18 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 13 und der 18 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 18 Zahlen (alle außer der 13 und der 18) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}18\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{18!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 13!}}$ = $\frac{\mathrm{18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 8568.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{8568}}{\mathrm{77520}}$ ≈ 0.1105, also ca. 11.05%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.5.

$P_{0.5}^{26}(X=15)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ 15\end{array}\right)\cdot {0.5}^{15}\cdot {0.5}^{11}$=0.11512875556946≈ 0.1151
(TI-Befehl: binompdf(26,0.5,15))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
1	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
2	≈ 0.18	≈ 0.1 + 0.18 = 0.28
3	≈ 0.24	≈ 0.28 + 0.24 = 0.52

Während P(X ≤ 2) = 0.28 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.52 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{73}(X<10)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{73}(X\le 9)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{73}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{73}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{73}(X=2)$ +... + $P_{\frac{1}{6}}^{73}(X=9)$ = 0.20407793876372 ≈ 0.2041
(TI-Befehl: binomcdf(73,1/6,9))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.18.

...

$P_{0.18}^{72}(X\ge 14)$ = 1 - $P_{0.18}^{72}(X\le 13)$ = 0.4217
(TI-Befehl: 1-binomcdf(72,0.18,13))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.125.

$P_{0.125}^{70}(7\le X\le 9)$ =

...

$P_{0.125}^{70}(X\le 9)$ - $P_{0.125}^{70}(X\le 6)$ ≈ 0.6228 - 0.2125 ≈ 0.4103
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.125,9) - binomcdf(70,0.125,6))