Aufgabenbeispiele von Basics

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 Ausschuss. Es werden nacheinander 3 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle entnommenen Chips defekt sind.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) p = 0,3 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Treffer bei 3 Versuchen P = 0,3 3 ≈ 0.027 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 6 0 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 6 0 ) = 6! 0! ⋅ (6 - 0)! = 6! 0! ⋅ 6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 1 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 6 0 ) = 1 1

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 24-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 24 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 23 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 22 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 2423222120 = 5100480 Möglichkeiten, die 24 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 54321 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 5100480 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 5100480 120 = 42504 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 24 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 2423222120 54321 könnte man mit 19! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

42504 = 2423222120 54321 = 2423222120 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 54321 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 24! 5! ⋅ 19! = ( 24 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 2 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 20 4 ) = 20! 4! ⋅ 16! = 20⋅19⋅18⋅17 4⋅3⋅2⋅1 = 4845 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 2 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 2 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 2) zu setzen, also ( 19 3 ) = 19! 3! ⋅ 16! = 19⋅18⋅17 3⋅2⋅1 = 969.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ereignisse Anzahl der möglichen Ereignisse = 969 4845 ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 45% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 55 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 20 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.45.

P0.4555 (X=20) = ( 55 20 ) 0.4520 0.5535 =0.0478925381325≈ 0.0479
(TI-Befehl: binompdf(55,0.45,20))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.75.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.75 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.75 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.75=0.25 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
1≈ 0.12≈ 0.03 + 0.12 = 0.15
2≈ 0.23≈ 0.15 + 0.23 = 0.38
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 1) = 0.15 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.38 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.85 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 10) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.62 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 10) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 61 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 11 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.25.

P0.2561 (X11) = P0.2561 (X=0) + P0.2561 (X=1) + P0.2561 (X=2) +... + P0.2561 (X=11) = 0.13215869264959 ≈ 0.1322
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.25,11))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,71. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 26 Versuchen mindestens 16 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.71.

...
13
14
15
16
17
18
...

P0.7126 (X16) = 1 - P0.7126 (X15) = 0.8971
(TI-Befehl: 1-binomcdf(26,0.71,15))

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 59 Versuchen, mehr als 35 mal und höchstens 39 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.65.

P0.6559 (36X39) =

...
33
34
35
36
37
38
39
40
41
...

P0.6559 (X39) - P0.6559 (X35) ≈ 0.6183 - 0.2168 ≈ 0.4015
(TI-Befehl: binomcdf(59,0.65,39) - binomcdf(59,0.65,35))