Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $\mathrm{0,7}$. Wenn genau 2 Treffer unter den 3 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 3 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)

Bei jedem dieser 3 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\mathrm{0,7}·{\mathrm{0,3}}^2$.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 3 Fälle gilt somit P = $3·\mathrm{0,7}·{\mathrm{0,3}}^2$ ≈ 0.189 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; (10\; -\; 2)!}}$ = $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 8!}}$ = $\frac{\mathrm{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{2\cdot 1\; \cdot \; 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
8! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{10\cdot 9}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{5\cdot 9}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 45

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8 = 720 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 3 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{720}}{6}$ = 120 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 10 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>10</mn><mo>\cdot </mo><mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

120 = $\frac{\mathrm{<mn>10</mn><mo>\cdot </mo><mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 7!}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 20!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 53130 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 19 und die 21 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 19 und der 21 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 23 Zahlen (alle außer der 19 und der 21) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}23\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{23!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 20!}}$ = $\frac{\mathrm{23\cdot 22\cdot 21}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 1771.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{1771}}{\mathrm{53130}}$ ≈ 0.0333, also ca. 3.33%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p=$\frac{1}{8}$.

$P_{\frac{1}{8}}^{39}(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}39\\ 5\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{8}\right)}^5\cdot {\left(\frac{7}{8}\right)}^{34}$=0.1875266928253≈ 0.1875
(TI-Befehl: binompdf(39,1/8,5))

Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.65 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.65 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.65=0.35 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
3	≈ 0.11	≈ 0.06 + 0.11 = 0.17
4	≈ 0.18	≈ 0.17 + 0.18 = 0.35

Während P(X ≤ 3) = 0.17 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.35 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.83 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 4 bis 13) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65, während P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.65 (die Summe der Säulenhöhen von 5 bis 13) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 4.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=32 und p=$\frac{1}{8}$.

$P_{\frac{1}{8}}^{32}(X\le 3)$ = $P_{\frac{1}{8}}^{32}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{8}}^{32}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{8}}^{32}(X=2)$ + $P_{\frac{1}{8}}^{32}(X=3)$ = 0.42034908011882 ≈ 0.4203
(TI-Befehl: binomcdf(32,1/8,3))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.7.

...

$P_{0.7}^{75}(X\ge 47)$ = 1 - $P_{0.7}^{75}(X\le 46)$ = 0.9324
(TI-Befehl: 1-binomcdf(75,0.7,46))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.25.

$P_{0.25}^{92}(30\le X\le 31)$ =

...

$P_{0.25}^{92}(X\le 31)$ - $P_{0.25}^{92}(X\le 29)$ ≈ 0.9769 - 0.9383 ≈ 0.0386
(TI-Befehl: binomcdf(92,0.25,31) - binomcdf(92,0.25,29))