Aufgabenbeispiele von Basics
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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau ein Chip defekt ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,35, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,35 = . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:
Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 4-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 5-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 6-ten Versuch)
Bei jedem dieser 6 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich Pk = .
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 6 Fälle gilt somit P = ≈ 0.2437 .
Binomialkoeffizient
Beispiel:
Berechne ohne Taschenrechner:
Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
= =
=
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
12! = 12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:
=
= 1
Binomialkoeffizient Anwendungen
Beispiel:
Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 5 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?
Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
- Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die
verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten
Wir müssen deswegen die 24165120 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 201376 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.
Die hier durchgeführte Berechnung könnte man mit 27! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:
201376 = = = =
Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.
Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 10 und die 18 dabei sind?
Es gibt insgesamt = = = 1623160 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 6 anzukreuzen.
Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 10 und die 18 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 10 und der 18 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 10 und der 18) zu setzen, also = = = 40920.
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:
P = = ≈ 0.0252, also ca. 2.52%.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Würfel wird 82 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 19 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=.
= =0.03322024192866≈ 0.0332(TI-Befehl: binompdf(82,1/6,19))
kumulierte WS aus Histogramm finden
Beispiel:
In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.65.
Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:
k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
---|---|---|
0 | ≈ 0 | ≈ 0 + 0 = 0 |
1 | ≈ 0.01 | ≈ 0 + 0.01 = 0.01 |
2 | ≈ 0.05 | ≈ 0.01 + 0.05 = 0.06 |
3 | ≈ 0.11 | ≈ 0.06 + 0.11 = 0.17 |
4 | ≈ 0.18 | ≈ 0.17 + 0.18 = 0.35 |
5 | ≈ 0.22 | ≈ 0.35 + 0.22 = 0.57 |
6 | ≈ 0.2 | ≈ 0.57 + 0.2 = 0.77 |
Während P(X ≤ 5) = 0.57 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.77 klar darüber.
Somit ist das gesuchte k = 6.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Würfel wird 63 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 13 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=.
= + + +... + = 0.84502506158139 ≈ 0.845(TI-Befehl: binomcdf(63,1/6,13))
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 30 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 11 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.25.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(30,0.25,10))
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 50 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 10, aber höchstens 15 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.3.
=
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.3,15) - binomcdf(50,0.3,9))