Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,25, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,25 = $\mathrm{0,75}$. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 3-ten Versuch)

Bei jedem dieser 3 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\mathrm{0,25}·{\mathrm{0,75}}^2$.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 3 Fälle gilt somit P = $3·\mathrm{0,25}·{\mathrm{0,75}}^2$ ≈ 0.4219 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{0!\; \cdot \; (9\; -\; 0)!}}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{0!\; \cdot \; 9!}}$ = $\frac{\mathrm{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{1\; \cdot \; 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\end{array}\right)$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5 = 1680 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 4 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1680 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{1680}}{\mathrm{24}}$ = 70 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

70 = $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{8!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 4!}}$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}30\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{30!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 25!}}$ = $\frac{\mathrm{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 142506 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 11 und die 19 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 11 und der 19 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 28 Zahlen (alle außer der 11 und der 19) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}28\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{28!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 25!}}$ = $\frac{\mathrm{28\cdot 27\cdot 26}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 3276.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{3276}}{\mathrm{142506}}$ ≈ 0.023, also ca. 2.3%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=$\frac{1}{8}$.

$P_{\frac{1}{8}}^{82}(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}82\\ 4\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{8}\right)}^4\cdot {\left(\frac{7}{8}\right)}^{78}$=0.012795960642027≈ 0.0128
(TI-Befehl: binompdf(82,1/8,4))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
3	≈ 0.07	≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4	≈ 0.14	≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5	≈ 0.2	≈ 0.23 + 0.2 = 0.43

Während P(X ≤ 4) = 0.23 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.43 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.66.

$P_{0.66}^{57}(X<33)$ = $P_{0.66}^{57}(X\le 32)$ = $P_{0.66}^{57}(X=0)$ + $P_{0.66}^{57}(X=1)$ + $P_{0.66}^{57}(X=2)$ +... + $P_{0.66}^{57}(X=32)$ = 0.077937304001469 ≈ 0.0779
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.66,32))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.25.

...

$P_{0.25}^{44}(X\ge 10)$ = 1 - $P_{0.25}^{44}(X\le 9)$ = 0.6914
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44,0.25,9))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.78.

$P_{0.78}^{76}(54\le X\le 63)$ =

...

$P_{0.78}^{76}(X\le 63)$ - $P_{0.78}^{76}(X\le 53)$ ≈ 0.8811 - 0.0585 ≈ 0.8226
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.78,63) - binomcdf(76,0.78,53))