Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) q = 1 - 0,35 = $\mathrm{0,65}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 6 Nicht-Treffer bei 6 Versuchen P = ${\mathrm{0,65}}^6$ ≈ 0.0754 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; (5\; -\; 4)!}}$ = $\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 1!}}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{5}{1}$

= 5

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 7⋅6 = 42 Möglichkeiten, die 7 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 42 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{42}}{2}$ = 21 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 7 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

21 = $\frac{\mathrm{<mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 5!}}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{20!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 15!}}$ = $\frac{\mathrm{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 15504 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 13 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 13 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 13) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}19\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{19!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 15!}}$ = $\frac{\mathrm{19\cdot 18\cdot 17\cdot 16}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 3876.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{3876}}{\mathrm{15504}}$ ≈ 0.25, also ca. 25%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=$\frac{1}{4}$.

$P_{\frac{1}{4}}^{24}(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ 4\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{20}$=0.13163007055903≈ 0.1316
(TI-Befehl: binompdf(24,1/4,4))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.17	≈ 0.08 + 0.17 = 0.25
3	≈ 0.24	≈ 0.25 + 0.24 = 0.49

Während P(X ≤ 2) = 0.25 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.49 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.5.

$P_{0.5}^{49}(X<24)$ = $P_{0.5}^{49}(X\le 23)$ = $P_{0.5}^{49}(X=0)$ + $P_{0.5}^{49}(X=1)$ + $P_{0.5}^{49}(X=2)$ +... + $P_{0.5}^{49}(X=23)$ = 0.38772482734078 ≈ 0.3877
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.5,23))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.65.

...

$P_{0.65}^{96}(X\ge 59)$ = 1 - $P_{0.65}^{96}(X\le 58)$ = 0.7989
(TI-Befehl: 1-binomcdf(96,0.65,58))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.125.

$P_{0.125}^{85}(7\le X\le 14)$ =

...

$P_{0.125}^{85}(X\le 14)$ - $P_{0.125}^{85}(X\le 6)$ ≈ 0.8947 - 0.081 ≈ 0.8137
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.125,14) - binomcdf(85,0.125,6))