Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,25, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,25 = $\mathrm{0,75}$. Da ja der Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $\mathrm{0,75}$⋅0,25⋅$\mathrm{0,75}$ = $\mathrm{0,25}·{\mathrm{0,75}}^2$ ≈ 0.1406 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; (6\; -\; 3)!}}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 3!}}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{2\cdot 5\cdot 4}}{\mathrm{2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{\mathrm{5\cdot 4}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 20

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 12 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 11 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 10 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 12⋅11⋅10 = 1320 Möglichkeiten, die 12 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 3 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1320 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{1320}}{6}$ = 220 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 12 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>12</mn><mo>\cdot </mo><mn>11</mn><mo>\cdot </mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 9! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

220 = $\frac{\mathrm{<mn>12</mn><mo>\cdot </mo><mn>11</mn><mo>\cdot </mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{12!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 9!}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 3\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}35\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{35!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 30!}}$ = $\frac{\mathrm{35\cdot 34\cdot 33\cdot 32\cdot 31}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 324632 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 28 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 28 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 28) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}34\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{34!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 30!}}$ = $\frac{\mathrm{34\cdot 33\cdot 32\cdot 31}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 46376.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{46376}}{\mathrm{324632}}$ ≈ 0.1429, also ca. 14.29%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{51}(X=13)$ = $\left(\begin{array}{c}51\\ 13\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^{13}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{38}$=0.035726515268402≈ 0.0357
(TI-Befehl: binompdf(51,1/6,13))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
3	≈ 0.07	≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4	≈ 0.14	≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5	≈ 0.2	≈ 0.23 + 0.2 = 0.43
6	≈ 0.22	≈ 0.43 + 0.22 = 0.65

Während P(X ≤ 5) = 0.43 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.65 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{82}(X<15)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{82}(X\le 14)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{82}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{82}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{82}(X=2)$ +... + $P_{\frac{1}{6}}^{82}(X=14)$ = 0.60937798447495 ≈ 0.6094
(TI-Befehl: binomcdf(82,1/6,14))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.125.

...

$P_{0.125}^{54}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.125}^{54}(X\le 11)$ = 0.0323
(TI-Befehl: 1-binomcdf(54,0.125,11))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.3.

$P_{0.3}^{65}(18\le X\le 24)$ =

...

$P_{0.3}^{65}(X\le 24)$ - $P_{0.3}^{65}(X\le 17)$ ≈ 0.91 - 0.2988 ≈ 0.6112
(TI-Befehl: binomcdf(65,0.3,24) - binomcdf(65,0.3,17))