Aufgabenbeispiele von Basics
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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen
Beispiel:
Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Wurf eine "6" gewürfelt wird.
Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch
betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = ≈ 0.1667 .
Binomialkoeffizient
Beispiel:
Berechne ohne Taschenrechner:
Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
= =
=
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
10! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:
=
= (gekürzt mit 2)
= 66
Binomialkoeffizient Anwendungen
Beispiel:
Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 4 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?
Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
- Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die
verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten
Wir müssen deswegen die 863040 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 35960 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.
Die hier durchgeführte Berechnung könnte man mit 28! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:
35960 = = = =
Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.
Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 14 und die 19 dabei sind?
Es gibt insgesamt = = = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.
Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 14 und die 19 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 14 und der 19 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 38 Zahlen (alle außer der 14 und der 19) zu setzen, also = = = 2760681.
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:
P = = ≈ 0.0359, also ca. 3.59%.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 83 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 39 defekte Chips enthalten sind.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.5.
= =0.07523685303999≈ 0.0752(TI-Befehl: binompdf(83,0.5,39))
kumulierte WS aus Histogramm finden
Beispiel:
In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.
Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | ≈ 0.02 | ≈ 0 + 0.02 = 0.02 |
| 1 | ≈ 0.09 | ≈ 0.02 + 0.09 = 0.11 |
| 2 | ≈ 0.2 | ≈ 0.11 + 0.2 = 0.31 |
Während P(X ≤ 1) = 0.11 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.31 klar darüber.
Somit ist das gesuchte k = 2.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,85. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 79 Versuchen weniger als 65 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.85.
= = + + +... + = 0.19853231001447 ≈ 0.1985(TI-Befehl: binomcdf(79,0.85,64))
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 39 Versuchen mehr als 26 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p=0.6.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(39,0.6,26))
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 80 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 mal, aber weniger als 14 mal eine sechs gewürfelt wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(80,,13) - binomcdf(80,,10))
