Da hier ja nur eine Aussage über den 3-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 3-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - 0,6 = $\mathrm{0,4}$ ≈ 0.4 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}21\\ 20\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{21!}}{\mathrm{20!\; \cdot \; (21\; -\; 20)!}}$ = $\frac{\mathrm{21!}}{\mathrm{20!\; \cdot \; 1!}}$ = $\frac{\mathrm{21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
20! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}21\\ 20\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{21}}{1}$

= 21

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9 = 90 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{90}}{2}$ = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>10</mn><mo>\cdot </mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

45 = $\frac{\mathrm{<mn>10</mn><mo>\cdot </mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 8!}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}25\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 21!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 12650 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 13 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 13 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 13) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}24\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{24!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 21!}}$ = $\frac{\mathrm{24\cdot 23\cdot 22}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 2024.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{2024}}{\mathrm{12650}}$ ≈ 0.16, also ca. 16%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=$\frac{1}{4}$.

$P_{\frac{1}{4}}^{48}(X=7)$ = $\left(\begin{array}{c}48\\ 7\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^7\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{41}$=0.033895433026444≈ 0.0339
(TI-Befehl: binompdf(48,1/4,7))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.22	≈ 0.2 + 0.22 = 0.42
4	≈ 0.23	≈ 0.42 + 0.23 = 0.65
5	≈ 0.18	≈ 0.65 + 0.18 = 0.83

Während P(X ≤ 4) = 0.65 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.83 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{85}(X\le 6)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{85}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{85}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{85}(X=2)$ +... + $P_{\frac{1}{6}}^{85}(X=6)$ = 0.0079395408975685 ≈ 0.0079
(TI-Befehl: binomcdf(85,1/6,6))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p=0.2.

...

$P_{0.2}^{47}(X\ge 14)$ = 1 - $P_{0.2}^{47}(X\le 13)$ = 0.0721
(TI-Befehl: 1-binomcdf(47,0.2,13))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.65.

$P_{0.65}^{84}(50\le X\le 55)$ =

...

$P_{0.65}^{84}(X\le 55)$ - $P_{0.65}^{84}(X\le 49)$ ≈ 0.5772 - 0.1224 ≈ 0.4548
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.65,55) - binomcdf(84,0.65,49))