Aufgabenbeispiele von Basics

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 40%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der vierten Drehung der grüne Bereich erzielt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 4-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 4-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 0,4 ≈ 0.4 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 20 18 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 20 18 ) = 20! 18! ⋅ (20 - 18)! = 20! 18! ⋅ 2! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
18! = 18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 20 18 ) = 20⋅19 2⋅1

= 10⋅19 1 (gekürzt mit 2)

= 190

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 7 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 2 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 76 = 42 Möglichkeiten, die 7 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 21 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 42 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 42 2 = 21 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 7 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 76 21 könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

21 = 76 21 = 76 5 4 3 2 1 21 5 4 3 2 1 = 7! 2! ⋅ 5! = ( 7 2 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 16 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 30 5 ) = 30! 5! ⋅ 25! = 30⋅29⋅28⋅27⋅26 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 142506 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 16 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 16 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 16) zu setzen, also ( 29 4 ) = 29! 4! ⋅ 25! = 29⋅28⋅27⋅26 4⋅3⋅2⋅1 = 23751.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ereignisse Anzahl der möglichen Ereignisse = 23751 142506 ≈ 0.1667, also ca. 16.67%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 42 Versuchen genau 2 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.05.

P0.0542 (X=2) = ( 42 2 ) 0.052 0.9540 =0.27662241700638≈ 0.2766
(TI-Befehl: binompdf(42,0.05,2))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.5.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.5 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.5 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.5=0.5 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
1≈ 0.12≈ 0.03 + 0.12 = 0.15
2≈ 0.23≈ 0.15 + 0.23 = 0.38
3≈ 0.27≈ 0.38 + 0.27 = 0.65
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.38 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.65 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.62 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 10) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.35 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 10) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 35 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 15 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.5.

P0.535 (X<15) = P0.535 (X14) = P0.535 (X=0) + P0.535 (X=1) + P0.535 (X=2) +... + P0.535 (X=14) = 0.15525232953951 ≈ 0.1553
(TI-Befehl: binomcdf(35,0.5,14))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 14 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 64 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.125.

...
11
12
13
14
15
16
...

P0.12564 (X14) = 1 - P0.12564 (X13) = 0.0249
(TI-Befehl: 1-binomcdf(64,0.125,13))

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 92 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 11 mal, aber weniger als 18 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p= 1 6 .

P 1 6 92 (12X17) =

...
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...

P 1 6 92 (X17) - P 1 6 92 (X11) ≈ 0.7342 - 0.1403 ≈ 0.5939
(TI-Befehl: binomcdf(92, 1 6 ,17) - binomcdf(92, 1 6 ,11))