Aufgabenbeispiele von Basics
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
0 oder 1 Treffer bei n Versuchen
Beispiel:
Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 70%. Es wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal in den grünen Bereich gedreht wird.
Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) p = 0,7 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Treffer bei 3 Versuchen P = ≈ 0.343 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.
Binomialkoeffizient
Beispiel:
Berechne ohne Taschenrechner:
Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
= =
=
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:
=
= (gekürzt mit 3)
= (gekürzt mit 2)
= 20
Binomialkoeffizient Anwendungen
Beispiel:
Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 4 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?
Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
- Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die
verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten
Wir müssen deswegen die 5040 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 210 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.
Die hier durchgeführte Berechnung könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:
210 = = = =
Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.
Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 27 dabei ist?
Es gibt insgesamt = = = 52360 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 4 anzukreuzen.
Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 27 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 27 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 27) zu setzen, also = = = 5984.
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:
P = = ≈ 0.1143, also ca. 11.43%.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 53 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 42 defekte Chips enthalten sind.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.8.
= =0.13280050742709≈ 0.1328(TI-Befehl: binompdf(53,0.8,42))
kumulierte WS aus Histogramm finden
Beispiel:
In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.
Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | ≈ 0 | ≈ 0 + 0 = 0 |
| 1 | ≈ 0.03 | ≈ 0 + 0.03 = 0.03 |
| 2 | ≈ 0.09 | ≈ 0.03 + 0.09 = 0.12 |
| 3 | ≈ 0.18 | ≈ 0.12 + 0.18 = 0.3 |
Während P(X ≤ 2) = 0.12 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.3 klar darüber.
Somit ist das gesuchte k = 3.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 24 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,7.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 17 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=0.7.
= + + +... + = 0.61141087660686 ≈ 0.6114(TI-Befehl: binomcdf(24,0.7,17))
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 99 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,2.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 21 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.2.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(99,0.2,20))
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 53 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 8, aber weniger als 15 Fragen richtig beantwortet hat?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.25.
=
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.25,14) - binomcdf(53,0.25,7))
