Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - 0,4 = $\mathrm{0,6}$ ≈ 0.6 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{4!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; (4\; -\; 2)!}}$ = $\frac{\mathrm{4!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 2!}}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{2\cdot 1\; \cdot \; 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
2! = 2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 3}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{2\cdot 3}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 6

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8⋅7 = 504 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 3 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 504 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{504}}{6}$ = 84 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

84 = $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 6!}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}30\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{30!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 25!}}$ = $\frac{\mathrm{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 142506 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 14 und die 23 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 14 und der 23 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 28 Zahlen (alle außer der 14 und der 23) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}28\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{28!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 25!}}$ = $\frac{\mathrm{28\cdot 27\cdot 26}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 3276.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{3276}}{\mathrm{142506}}$ ≈ 0.023, also ca. 2.3%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.5.

$P_{0.5}^{95}(X=57)$ = $\left(\begin{array}{c}95\\ 57\end{array}\right)\cdot {0.5}^{57}\cdot {0.5}^{38}$=0.012302284478293≈ 0.0123
(TI-Befehl: binompdf(95,0.5,57))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
3	≈ 0.07	≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4	≈ 0.14	≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5	≈ 0.2	≈ 0.23 + 0.2 = 0.43
6	≈ 0.22	≈ 0.43 + 0.22 = 0.65

Während P(X ≤ 5) = 0.43 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.65 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.45.

$P_{0.45}^{99}(X<46)$ = $P_{0.45}^{99}(X\le 45)$ = $P_{0.45}^{99}(X=0)$ + $P_{0.45}^{99}(X=1)$ + $P_{0.45}^{99}(X=2)$ +... + $P_{0.45}^{99}(X=45)$ = 0.57731052127188 ≈ 0.5773
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.45,45))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.05.

...

$P_{0.05}^{45}(X\ge 4)$ = 1 - $P_{0.05}^{45}(X\le 3)$ = 0.1866
(TI-Befehl: 1-binomcdf(45,0.05,3))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.73.

$P_{0.73}^{86}(59\le X\le 64)$ =

...

$P_{0.73}^{86}(X\le 64)$ - $P_{0.73}^{86}(X\le 58)$ ≈ 0.6561 - 0.1495 ≈ 0.5066
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.73,64) - binomcdf(86,0.73,58))