Aufgabenbeispiele von Basics

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei 2 mal eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = 1 6 , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - 1 6 = 5 6 . Wenn genau 2 Treffer unter den 3 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 3 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)

Bei jedem dieser 3 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich Pk = 5 6 · ( 1 6 ) 2 .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 3 Fälle gilt somit P = 3 · 5 6 · ( 1 6 ) 2 ≈ 0.0694 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 3 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 3 ) = 10! 3! ⋅ (10 - 3)! = 10! 3! ⋅ 7! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 3⋅2⋅1 ⋅ 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 3 ) = 10⋅9⋅8 3⋅2⋅1

= 10⋅3⋅8 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 5⋅3⋅8 1 (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 5 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 109876 = 30240 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 5 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 54321 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 30240 120 = 252 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 109876 54321 könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

252 = 109876 54321 = 109876 5 4 3 2 1 54321 5 4 3 2 1 = 10! 5! ⋅ 5! = ( 10 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 9 und die 17 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 20 6 ) = 20! 6! ⋅ 14! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 38760 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 9 und die 17 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 9 und der 17 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 18 Zahlen (alle außer der 9 und der 17) zu setzen, also ( 18 4 ) = 18! 4! ⋅ 14! = 18⋅17⋅16⋅15 4⋅3⋅2⋅1 = 3060.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ereignisse Anzahl der möglichen Ereignisse = 3060 38760 ≈ 0.0789, also ca. 7.89%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 41 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 29 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.7.

P0.741 (X=29) = ( 41 29 ) 0.729 0.312 =0.13516098797366≈ 0.1352
(TI-Befehl: binompdf(41,0.7,29))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.45.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.01≈ 0 + 0.01 = 0.01
2≈ 0.05≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
3≈ 0.11≈ 0.06 + 0.11 = 0.17
4≈ 0.18≈ 0.17 + 0.18 = 0.35
5≈ 0.22≈ 0.35 + 0.22 = 0.57
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 4) = 0.35 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.57 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 67%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 64 Versuchen weniger als 37 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.67.

P0.6764 (X<37) = P0.6764 (X36) = P0.6764 (X=0) + P0.6764 (X=1) + P0.6764 (X=2) +... + P0.6764 (X=36) = 0.047113881987376 ≈ 0.0471
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.67,36))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,28 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 80 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 24 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.28.

...
21
22
23
24
25
26
...

P0.2880 (X24) = 1 - P0.2880 (X23) = 0.3857
(TI-Befehl: 1-binomcdf(80,0.28,23))

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 94 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 66, aber höchstens 68 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.7.

P0.794 (66X68) =

...
63
64
65
66
67
68
69
70
...

P0.794 (X68) - P0.794 (X65) ≈ 0.725 - 0.4671 ≈ 0.2579
(TI-Befehl: binomcdf(94,0.7,68) - binomcdf(94,0.7,65))