Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) p = 0,7 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Treffer bei 3 Versuchen P = ${\mathrm{0,7}}^3$ ≈ 0.343 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; (6\; -\; 2)!}}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 4!}}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{2\cdot 1\; \cdot \; 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{3\cdot 5}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 15

Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 20 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 19 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 18 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 20⋅19⋅18⋅17⋅16 = 1860480 Möglichkeiten, die 20 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1860480 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{1860480}}{\mathrm{120}}$ = 15504 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 20 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>20</mn><mo>\cdot </mo><mn>19</mn><mo>\cdot </mo><mn>18</mn><mo>\cdot </mo><mn>17</mn><mo>\cdot </mo><mn>16</mn>}}{\mathrm{<mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 15! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15504 = $\frac{\mathrm{<mn>20</mn><mo>\cdot </mo><mn>19</mn><mo>\cdot </mo><mn>18</mn><mo>\cdot </mo><mn>17</mn><mo>\cdot </mo><mn>16</mn>}}{\mathrm{<mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{20!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 15!}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 20!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 53130 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 1 und die 3 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 1 und der 3 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 23 Zahlen (alle außer der 1 und der 3) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}23\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{23!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 20!}}$ = $\frac{\mathrm{23\cdot 22\cdot 21}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 1771.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{1771}}{\mathrm{53130}}$ ≈ 0.0333, also ca. 3.33%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.55.

$P_{0.55}^{62}(X=33)$ = $\left(\begin{array}{c}62\\ 33\end{array}\right)\cdot {0.55}^{33}\cdot {0.45}^{29}$=0.097230723982155≈ 0.0972
(TI-Befehl: binompdf(62,0.55,33))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
3	≈ 0.13	≈ 0.06 + 0.13 = 0.19
4	≈ 0.21	≈ 0.19 + 0.21 = 0.4
5	≈ 0.24	≈ 0.4 + 0.24 = 0.64

Während P(X ≤ 4) = 0.4 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.64 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.23.

$P_{0.23}^{70}(X\le 10)$ = $P_{0.23}^{70}(X=0)$ + $P_{0.23}^{70}(X=1)$ + $P_{0.23}^{70}(X=2)$ +... + $P_{0.23}^{70}(X=10)$ = 0.050518314941347 ≈ 0.0505
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.23,10))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=$\frac{1}{6}$.

...

$P_{\frac{1}{6}}^{98}(X>11)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{98}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{98}(X\le 11)$ = 0.9094
(TI-Befehl: 1-binomcdf(98,$\frac{1}{6}$,11))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.77.

$P_{0.77}^{40}(30\le X\le 31)$ =

...

$P_{0.77}^{40}(X\le 31)$ - $P_{0.77}^{40}(X\le 29)$ ≈ 0.591 - 0.3038 ≈ 0.2872
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.77,31) - binomcdf(40,0.77,29))