Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,4, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,4 = $\mathrm{0,6}$. Da ja der Treffer genau im fünften Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $\mathrm{0,6}$⋅$\mathrm{0,6}$⋅$\mathrm{0,6}$⋅$\mathrm{0,6}$⋅0,4⋅$\mathrm{0,6}$ = $\mathrm{0,4}·{\mathrm{0,6}}^5$ ≈ 0.0311 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{12!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; (12\; -\; 7)!}}$ = $\frac{\mathrm{12!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; 5!}}$ = $\frac{\mathrm{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{12\cdot 11\cdot 2\cdot 9\cdot 8}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 5)

= $\frac{\mathrm{3\cdot 11\cdot 2\cdot 9\cdot 8}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{\mathrm{11\cdot 2\cdot 9\cdot 8}}{\mathrm{2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{\mathrm{11\cdot 9\cdot 8}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 792

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4⋅3⋅2 = 720 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 5 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{120}}$ = 6 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{<mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 1! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

6 = $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{<mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 1!}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}40\\ 8\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{40!}}{\mathrm{8!\; \cdot \; 32!}}$ = $\frac{\mathrm{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34\cdot 33}}{\mathrm{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 16 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 16 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 16) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}39\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{39!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; 32!}}$ = $\frac{\mathrm{39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34\cdot 33}}{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 15380937.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{15380937}}{\mathrm{76904685}}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=$\frac{1}{8}$.

$P_{\frac{1}{8}}^{85}(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}85\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{8}\right)}^3\cdot {\left(\frac{7}{8}\right)}^{82}$=0.0033885620339726≈ 0.0034
(TI-Befehl: binompdf(85,1/8,3))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.06	≈ 0 + 0.06 = 0.06
1	≈ 0.19	≈ 0.06 + 0.19 = 0.25
2	≈ 0.28	≈ 0.25 + 0.28 = 0.53

Während P(X ≤ 1) = 0.25 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.53 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=$\frac{1}{8}$.

$P_{\frac{1}{8}}^{67}(X\le 9)$ = $P_{\frac{1}{8}}^{67}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{8}}^{67}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{8}}^{67}(X=2)$ +... + $P_{\frac{1}{8}}^{67}(X=9)$ = 0.6749022095366 ≈ 0.6749
(TI-Befehl: binomcdf(67,1/8,9))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.26.

...

$P_{0.26}^{53}(X\ge 19)$ = 1 - $P_{0.26}^{53}(X\le 18)$ = 0.0729
(TI-Befehl: 1-binomcdf(53,0.26,18))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.84.

$P_{0.84}^{86}(65\le X\le 73)$ =

...

$P_{0.84}^{86}(X\le 73)$ - $P_{0.84}^{86}(X\le 64)$ ≈ 0.6334 - 0.0151 ≈ 0.6183
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.84,73) - binomcdf(86,0.84,64))