Da hier ja nur eine Aussage über den 3-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 3-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.8333 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}7\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; (7\; -\; 7)!}}$ = $\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; 0!}}$ = $\frac{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}7\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7 = 56 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 56 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{56}}{2}$ = 28 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

28 = $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{8!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 6!}}$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{20!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 14!}}$ = $\frac{\mathrm{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 38760 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 2, die 4 und die 8 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 2, der 4 und der 8 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 17 Zahlen (alle außer der 2, der 4 und der 8) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}17\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{17!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 14!}}$ = $\frac{\mathrm{17\cdot 16\cdot 15}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 680.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{680}}{\mathrm{38760}}$ ≈ 0.0175, also ca. 1.75%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.75.

$P_{0.75}^{72}(X=59)$ = $\left(\begin{array}{c}72\\ 59\end{array}\right)\cdot {0.75}^{59}\cdot {0.25}^{13}$=0.044928986118715≈ 0.0449
(TI-Befehl: binompdf(72,0.75,59))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
3	≈ 0.17	≈ 0.1 + 0.17 = 0.27
4	≈ 0.24	≈ 0.27 + 0.24 = 0.51
5	≈ 0.23	≈ 0.51 + 0.23 = 0.74

Während P(X ≤ 4) = 0.51 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.6 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.74 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{67}(X\le 13)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{67}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{67}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{67}(X=2)$ +... + $P_{\frac{1}{6}}^{67}(X=13)$ = 0.78241089091534 ≈ 0.7824
(TI-Befehl: binomcdf(67,1/6,13))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=37 und p=0.125.

...

$P_{0.125}^{37}(X\ge 8)$ = 1 - $P_{0.125}^{37}(X\le 7)$ = 0.0831
(TI-Befehl: 1-binomcdf(37,0.125,7))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{87}(8\le X\le 23)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{87}(X\le 23)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{87}(X\le 7)$ ≈ 0.9928 - 0.016 ≈ 0.9768
(TI-Befehl: binomcdf(87,$\frac{1}{6}$,23) - binomcdf(87,$\frac{1}{6}$,7))