Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,15, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,15 = $\mathrm{0,85}$. Wenn genau 2 Treffer unter den 3 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 3 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)

Bei jedem dieser 3 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\mathrm{0,85}·{\mathrm{0,15}}^2$.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 3 Fälle gilt somit P = $3·\mathrm{0,85}·{\mathrm{0,15}}^2$ ≈ 0.0574 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; (10\; -\; 4)!}}$ = $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 6!}}$ = $\frac{\mathrm{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{10\cdot 9\cdot 2\cdot 7}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{\mathrm{10\cdot 3\cdot 2\cdot 7}}{\mathrm{2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{\mathrm{10\cdot 3\cdot 7}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 210

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9 = 90 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{90}}{2}$ = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>10</mn><mo>\cdot </mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

45 = $\frac{\mathrm{<mn>10</mn><mo>\cdot </mo><mn>9</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 8!}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}35\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{35!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 29!}}$ = $\frac{\mathrm{35\cdot 34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 1623160 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 14 und die 23 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 14 und der 23 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 14 und der 23) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}33\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{33!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 29!}}$ = $\frac{\mathrm{33\cdot 32\cdot 31\cdot 30}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 40920.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{40920}}{\mathrm{1623160}}$ ≈ 0.0252, also ca. 2.52%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=34 und p=$\frac{1}{4}$.

$P_{\frac{1}{4}}^{34}(X=7)$ = $\left(\begin{array}{c}34\\ 7\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^7\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{27}$=0.13899060613311≈ 0.139
(TI-Befehl: binompdf(34,1/4,7))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
3	≈ 0.07	≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4	≈ 0.14	≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5	≈ 0.2	≈ 0.23 + 0.2 = 0.43
6	≈ 0.22	≈ 0.43 + 0.22 = 0.65
7	≈ 0.18	≈ 0.65 + 0.18 = 0.83

Während P(X ≤ 6) = 0.65 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 7) = 0.83 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 7.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.5.

$P_{0.5}^{84}(X<48)$ = $P_{0.5}^{84}(X\le 47)$ = $P_{0.5}^{84}(X=0)$ + $P_{0.5}^{84}(X=1)$ + $P_{0.5}^{84}(X=2)$ +... + $P_{0.5}^{84}(X=47)$ = 0.88506779651544 ≈ 0.8851
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.5,47))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.94.

$P_{0.94}^{20}(X>16)$ = $P_{0.94}^{20}(X\ge 17)$ = 1 - $P_{0.94}^{20}(X\le 16)$ = 0.971
(TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.94,16))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{52}(5\le X\le 10)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{52}(X\le 10)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{52}(X\le 4)$ ≈ 0.7594 - 0.0515 ≈ 0.7079
(TI-Befehl: binomcdf(52,$\frac{1}{6}$,10) - binomcdf(52,$\frac{1}{6}$,4))