Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) q = 1 - 0,25 = $\mathrm{0,75}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 6 Nicht-Treffer bei 6 Versuchen P = ${\mathrm{0,75}}^6$ ≈ 0.178 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{4!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; (4\; -\; 4)!}}$ = $\frac{\mathrm{4!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 0!}}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6 = 336 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 3 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 336 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{336}}{6}$ = 56 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

56 = $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{8!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 5!}}$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}20\\ 8\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{20!}}{\mathrm{8!\; \cdot \; 12!}}$ = $\frac{\mathrm{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13}}{\mathrm{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 125970 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 6 und die 14 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 6 und der 14 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 18 Zahlen (alle außer der 6 und der 14) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}18\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{18!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 12!}}$ = $\frac{\mathrm{18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 18564.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{18564}}{\mathrm{125970}}$ ≈ 0.1474, also ca. 14.74%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{41}(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}41\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{38}$=0.048352184935014≈ 0.0484
(TI-Befehl: binompdf(41,1/6,3))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.06	≈ 0 + 0.06 = 0.06
1	≈ 0.19	≈ 0.06 + 0.19 = 0.25
2	≈ 0.28	≈ 0.25 + 0.28 = 0.53

Während P(X ≤ 1) = 0.25 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.53 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.25.

$P_{0.25}^{91}(X\le 28)$ = $P_{0.25}^{91}(X=0)$ + $P_{0.25}^{91}(X=1)$ + $P_{0.25}^{91}(X=2)$ +... + $P_{0.25}^{91}(X=28)$ = 0.91560681721497 ≈ 0.9156
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.25,28))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.28.

...

$P_{0.28}^{26}(X\ge 8)$ = 1 - $P_{0.28}^{26}(X\le 7)$ = 0.449
(TI-Befehl: 1-binomcdf(26,0.28,7))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.88.

$P_{0.88}^{98}(79\le X\le 93)$ =

...

$P_{0.88}^{98}(X\le 93)$ - $P_{0.88}^{98}(X\le 78)$ ≈ 0.9937 - 0.0119 ≈ 0.9818
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.88,93) - binomcdf(98,0.88,78))