Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) q = 1 - 0,4 = $\mathrm{0,6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Nicht-Treffer bei 4 Versuchen P = ${\mathrm{0,6}}^4$ ≈ 0.1296 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}25\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; (25\; -\; 2)!}}$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 23!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{2\cdot 1\; \cdot \; 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
23! = 23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}25\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{25\cdot 12}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 300

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 11 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 10 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 11⋅10 = 110 Möglichkeiten, die 11 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 110 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{110}}{2}$ = 55 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 11 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>11</mn><mo>\cdot </mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 9! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

55 = $\frac{\mathrm{<mn>11</mn><mo>\cdot </mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{11!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 9!}}$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}25\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 21!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 12650 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 3 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 3 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 3) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}24\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{24!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 21!}}$ = $\frac{\mathrm{24\cdot 23\cdot 22}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 2024.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{2024}}{\mathrm{12650}}$ ≈ 0.16, also ca. 16%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=$\frac{1}{8}$.

$P_{\frac{1}{8}}^{44}(X=10)$ = $\left(\begin{array}{c}44\\ 10\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{8}\right)}^{10}\cdot {\left(\frac{7}{8}\right)}^{34}$=0.024662985256355≈ 0.0247
(TI-Befehl: binompdf(44,1/8,10))

Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.75 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.75 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.75=0.25 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.22	≈ 0.2 + 0.22 = 0.42

Während P(X ≤ 2) = 0.2 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.42 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.8 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 13) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.58 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 13) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{99}(X\le 13)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{99}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{99}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{99}(X=2)$ +... + $P_{\frac{1}{6}}^{99}(X=13)$ = 0.21224344159541 ≈ 0.2122
(TI-Befehl: binomcdf(99,1/6,13))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.95.

$P_{0.95}^{58}(X>54)$ = $P_{0.95}^{58}(X\ge 55)$ = 1 - $P_{0.95}^{58}(X\le 54)$ = 0.6703
(TI-Befehl: 1-binomcdf(58,0.95,54))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.55.

$P_{0.55}^{48}(22\le X\le 27)$ =

...

$P_{0.55}^{48}(X\le 27)$ - $P_{0.55}^{48}(X\le 21)$ ≈ 0.6233 - 0.0779 ≈ 0.5454
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.55,27) - binomcdf(48,0.55,21))