Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) q = 1 - 0,25 = $\mathrm{0,75}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 6 Nicht-Treffer bei 6 Versuchen P = ${\mathrm{0,75}}^6$ ≈ 0.178 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; (6\; -\; 3)!}}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 3!}}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{2\cdot 5\cdot 4}}{\mathrm{2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{\mathrm{5\cdot 4}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 20

Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5 = 1680 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 4 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1680 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{1680}}{\mathrm{24}}$ = 70 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 8 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

70 = $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{8!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 4!}}$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}25\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; 18!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19}}{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 480700 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 5, die 8 und die 14 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 5, der 8 und der 14 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 22 Zahlen (alle außer der 5, der 8 und der 14) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}22\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{22!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 18!}}$ = $\frac{\mathrm{22\cdot 21\cdot 20\cdot 19}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 7315.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{7315}}{\mathrm{480700}}$ ≈ 0.0152, also ca. 1.52%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.25.

$P_{0.25}^{59}(X=20)$ = $\left(\begin{array}{c}59\\ 20\end{array}\right)\cdot {0.25}^{20}\cdot {0.75}^{39}$=0.034080295442719≈ 0.0341
(TI-Befehl: binompdf(59,0.25,20))

Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.5 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.5 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.5=0.5 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
1	≈ 0.12	≈ 0.03 + 0.12 = 0.15
2	≈ 0.23	≈ 0.15 + 0.23 = 0.38
3	≈ 0.27	≈ 0.38 + 0.27 = 0.65

Während P(X ≤ 2) = 0.38 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.65 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.62 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 10) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.35 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 10) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=31 und p=0.15.

$P_{0.15}^{31}(X\le 7)$ = $P_{0.15}^{31}(X=0)$ + $P_{0.15}^{31}(X=1)$ + $P_{0.15}^{31}(X=2)$ +... + $P_{0.15}^{31}(X=7)$ = 0.917795616385 ≈ 0.9178
(TI-Befehl: binomcdf(31,0.15,7))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.95.

...

$P_{0.95}^{80}(X>68)$ = $P_{0.95}^{80}(X\ge 69)$ = 1 - $P_{0.95}^{80}(X\le 68)$ = 0.9994
(TI-Befehl: 1-binomcdf(80,0.95,68))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.25.

$P_{0.25}^{51}(11\le X\le 13)$ =

...

$P_{0.25}^{51}(X\le 13)$ - $P_{0.25}^{51}(X\le 10)$ ≈ 0.6055 - 0.2376 ≈ 0.3679
(TI-Befehl: binomcdf(51,0.25,13) - binomcdf(51,0.25,10))