Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$. Da ja der Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $\frac{1}{6}$⋅$\frac{5}{6}$⋅$\frac{5}{6}$⋅$\frac{5}{6}$ = $\frac{1}{6}·{\left(\frac{5}{6}\right)}^3$ ≈ 0.0965 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; (6\; -\; 3)!}}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 3!}}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{2\cdot 5\cdot 4}}{\mathrm{2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{\mathrm{5\cdot 4}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 20

Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30 = 29760 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 3 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 29760 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{29760}}{6}$ = 4960 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>32</mn><mo>\cdot </mo><mn>31</mn><mo>\cdot </mo><mn>30</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 29! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

4960 = $\frac{\mathrm{<mn>32</mn><mo>\cdot </mo><mn>31</mn><mo>\cdot </mo><mn>30</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{32!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 29!}}$ = $\left(\begin{array}{c}32\\ 3\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}40\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{40!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 35!}}$ = $\frac{\mathrm{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 658008 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 4 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 4 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 4) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}39\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{39!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 35!}}$ = $\frac{\mathrm{39\cdot 38\cdot 37\cdot 36}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 82251.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{82251}}{\mathrm{658008}}$ ≈ 0.125, also ca. 12.5%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=$\frac{1}{4}$.

$P_{\frac{1}{4}}^{67}(X=13)$ = $\left(\begin{array}{c}67\\ 13\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{13}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{54}$=0.067745271885932≈ 0.0677
(TI-Befehl: binompdf(67,1/4,13))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.03	≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3	≈ 0.09	≈ 0.04 + 0.09 = 0.13
4	≈ 0.17	≈ 0.13 + 0.17 = 0.3
5	≈ 0.22	≈ 0.3 + 0.22 = 0.52
6	≈ 0.21	≈ 0.52 + 0.21 = 0.73

Während P(X ≤ 5) = 0.52 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.73 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.55.

$P_{0.55}^{53}(X<25)$ = $P_{0.55}^{53}(X\le 24)$ = $P_{0.55}^{53}(X=0)$ + $P_{0.55}^{53}(X=1)$ + $P_{0.55}^{53}(X=2)$ +... + $P_{0.55}^{53}(X=24)$ = 0.09988234734877 ≈ 0.0999
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.55,24))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.45.

...

$P_{0.45}^{98}(X\ge 38)$ = 1 - $P_{0.45}^{98}(X\le 37)$ = 0.9105
(TI-Befehl: 1-binomcdf(98,0.45,37))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.35.

$P_{0.35}^{55}(17\le X\le 23)$ =

...

$P_{0.35}^{55}(X\le 23)$ - $P_{0.35}^{55}(X\le 16)$ ≈ 0.8843 - 0.2203 ≈ 0.664
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.35,23) - binomcdf(55,0.35,16))