Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) q = 1 - 0,6 = $\mathrm{0,4}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Nicht-Treffer bei 3 Versuchen P = ${\mathrm{0,4}}^3$ ≈ 0.064 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; (5\; -\; 2)!}}$ = $\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 3!}}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{2\cdot 1\; \cdot \; 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 4}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{5\cdot 2}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 10

Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{30}}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 4!}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{20!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 14!}}$ = $\frac{\mathrm{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 38760 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 1, die 8 und die 10 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 1, der 8 und der 10 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 17 Zahlen (alle außer der 1, der 8 und der 10) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}17\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{17!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 14!}}$ = $\frac{\mathrm{17\cdot 16\cdot 15}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 680.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{680}}{\mathrm{38760}}$ ≈ 0.0175, also ca. 1.75%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=34 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{34}(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}34\\ 6\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^6\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{28}$=0.17486741643087≈ 0.1749
(TI-Befehl: binompdf(34,1/6,6))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.03	≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3	≈ 0.08	≈ 0.04 + 0.08 = 0.12
4	≈ 0.15	≈ 0.12 + 0.15 = 0.27
5	≈ 0.21	≈ 0.27 + 0.21 = 0.48
6	≈ 0.21	≈ 0.48 + 0.21 = 0.69
7	≈ 0.16	≈ 0.69 + 0.16 = 0.85

Während P(X ≤ 6) = 0.69 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 7) = 0.85 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 7.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.25.

$P_{0.25}^{94}(X\le 18)$ = $P_{0.25}^{94}(X=0)$ + $P_{0.25}^{94}(X=1)$ + $P_{0.25}^{94}(X=2)$ +... + $P_{0.25}^{94}(X=18)$ = 0.11487126201978 ≈ 0.1149
(TI-Befehl: binomcdf(94,0.25,18))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.25.

...

$P_{0.25}^{43}(X\ge 7)$ = 1 - $P_{0.25}^{43}(X\le 6)$ = 0.9388
(TI-Befehl: 1-binomcdf(43,0.25,6))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.125.

$P_{0.125}^{81}(4\le X\le 15)$ =

...

$P_{0.125}^{81}(X\le 15)$ - $P_{0.125}^{81}(X\le 3)$ ≈ 0.9584 - 0.0066 ≈ 0.9518
(TI-Befehl: binomcdf(81,0.125,15) - binomcdf(81,0.125,3))