Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$. Da ja der Treffer genau im dritten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $\frac{5}{6}$⋅$\frac{5}{6}$⋅$\frac{1}{6}$⋅$\frac{5}{6}$ = $\frac{1}{6}·{\left(\frac{5}{6}\right)}^3$ ≈ 0.0965 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; (7\; -\; 5)!}}$ = $\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 2!}}$ = $\frac{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{7\cdot 6}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{7\cdot 3}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 21

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8 = 72 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 72 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{72}}{2}$ = 36 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

36 = $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 7!}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}35\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{35!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 30!}}$ = $\frac{\mathrm{35\cdot 34\cdot 33\cdot 32\cdot 31}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 324632 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 13 und die 25 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 13 und der 25 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 13 und der 25) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}33\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{33!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 30!}}$ = $\frac{\mathrm{33\cdot 32\cdot 31}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 5456.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{5456}}{\mathrm{324632}}$ ≈ 0.0168, also ca. 1.68%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{69}(X=12)$ = $\left(\begin{array}{c}69\\ 12\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^{12}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{57}$=0.12418822174835≈ 0.1242
(TI-Befehl: binompdf(69,1/6,12))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
1	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
2	≈ 0.18	≈ 0.1 + 0.18 = 0.28
3	≈ 0.24	≈ 0.28 + 0.24 = 0.52
4	≈ 0.22	≈ 0.52 + 0.22 = 0.74

Während P(X ≤ 3) = 0.52 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.74 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.5.

$P_{0.5}^{84}(X\le 35)$ = $P_{0.5}^{84}(X=0)$ + $P_{0.5}^{84}(X=1)$ + $P_{0.5}^{84}(X=2)$ +... + $P_{0.5}^{84}(X=35)$ = 0.077828231856999 ≈ 0.0778
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.5,35))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.83.

...

$P_{0.83}^{30}(X>24)$ = $P_{0.83}^{30}(X\ge 25)$ = 1 - $P_{0.83}^{30}(X\le 24)$ = 0.5972
(TI-Befehl: 1-binomcdf(30,0.83,24))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.65.

$P_{0.65}^{62}(38\le X\le 46)$ =

...

$P_{0.65}^{62}(X\le 46)$ - $P_{0.65}^{62}(X\le 37)$ ≈ 0.9535 - 0.2263 ≈ 0.7272
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.65,46) - binomcdf(62,0.65,37))