Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$. Wenn genau 3 Treffer unter den 4 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 4 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 4-ten Versuch)

Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\frac{5}{6}·{\left(\frac{1}{6}\right)}^3$.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = $4·\frac{5}{6}·{\left(\frac{1}{6}\right)}^3$ ≈ 0.0154 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}21\\ 20\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{21!}}{\mathrm{20!\; \cdot \; (21\; -\; 20)!}}$ = $\frac{\mathrm{21!}}{\mathrm{20!\; \cdot \; 1!}}$ = $\frac{\mathrm{21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
20! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}21\\ 20\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{21}}{1}$

= 21

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7 = 56 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 56 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{56}}{2}$ = 28 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 8 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

28 = $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{8!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 6!}}$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}40\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{40!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; 33!}}$ = $\frac{\mathrm{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}}{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 18643560 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 17 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 17 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 17) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}39\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{39!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 33!}}$ = $\frac{\mathrm{39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 3262623.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ergebnisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ergebnisse}}$ = $\frac{\mathrm{3262623}}{\mathrm{18643560}}$ ≈ 0.175, also ca. 17.5%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.7.

$P_{0.7}^{72}(X=54)$ = $\left(\begin{array}{c}72\\ 54\end{array}\right)\cdot {0.7}^{54}\cdot {0.3}^{18}$=0.069312822575528≈ 0.0693
(TI-Befehl: binompdf(72,0.7,54))

Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.6 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.6 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.6=0.4 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.17	≈ 0.08 + 0.17 = 0.25
3	≈ 0.24	≈ 0.25 + 0.24 = 0.49

Während P(X ≤ 2) = 0.25 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.49 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.75 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.6, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.51 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.75.

$P_{0.75}^{73}(X\le 54)$ = $P_{0.75}^{73}(X=0)$ + $P_{0.75}^{73}(X=1)$ + $P_{0.75}^{73}(X=2)$ +... + $P_{0.75}^{73}(X=54)$ = 0.46411717123419 ≈ 0.4641
(TI-Befehl: binomcdf(73,0.75,54))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.6.

...

$P_{0.6}^{55}(X\ge 33)$ = 1 - $P_{0.6}^{55}(X\le 32)$ = 0.5582
(TI-Befehl: 1-binomcdf(55,0.6,32))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{99}(10\le X\le 18)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{99}(X\le 18)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{99}(X\le 9)$ ≈ 0.7124 - 0.0234 ≈ 0.689
(TI-Befehl: binomcdf(99,$\frac{1}{6}$,18) - binomcdf(99,$\frac{1}{6}$,9))