Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) p = 0,6 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Treffer bei 3 Versuchen P = ${\mathrm{0,6}}^3$ ≈ 0.216 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}9\\ 9\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{9!\; \cdot \; (9\; -\; 9)!}}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{9!\; \cdot \; 0!}}$ = $\frac{\mathrm{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}9\\ 9\end{array}\right)$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{30}}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 4!}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}25\\ 8\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{8!\; \cdot \; 17!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18}}{\mathrm{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 1081575 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 2 und die 20 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 2 und der 20 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 23 Zahlen (alle außer der 2 und der 20) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}23\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{23!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 17!}}$ = $\frac{\mathrm{23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 100947.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{100947}}{\mathrm{1081575}}$ ≈ 0.0933, also ca. 9.33%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=$\frac{1}{4}$.

$P_{\frac{1}{4}}^{67}(X=12)$ = $\left(\begin{array}{c}67\\ 12\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{12}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{55}$=0.048037556428206≈ 0.048
(TI-Befehl: binompdf(67,1/4,12))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
1	≈ 0.09	≈ 0.02 + 0.09 = 0.11
2	≈ 0.2	≈ 0.11 + 0.2 = 0.31
3	≈ 0.26	≈ 0.31 + 0.26 = 0.57

Während P(X ≤ 2) = 0.31 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.57 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.25.

$P_{0.25}^{68}(X\le 24)$ = $P_{0.25}^{68}(X=0)$ + $P_{0.25}^{68}(X=1)$ + $P_{0.25}^{68}(X=2)$ +... + $P_{0.25}^{68}(X=24)$ = 0.97919031910507 ≈ 0.9792
(TI-Befehl: binomcdf(68,0.25,24))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.75.

...

$P_{0.75}^{64}(X>48)$ = $P_{0.75}^{64}(X\ge 49)$ = 1 - $P_{0.75}^{64}(X\le 48)$ = 0.4521
(TI-Befehl: 1-binomcdf(64,0.75,48))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.55.

$P_{0.55}^{97}(56\le X\le 61)$ =

...

$P_{0.55}^{97}(X\le 61)$ - $P_{0.55}^{97}(X\le 55)$ ≈ 0.9527 - 0.6685 ≈ 0.2842
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.55,61) - binomcdf(97,0.55,55))