Da hier ja nur eine Aussage über den 3-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 3-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.1667 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}11\\ 10\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{11!}}{\mathrm{10!\; \cdot \; (11\; -\; 10)!}}$ = $\frac{\mathrm{11!}}{\mathrm{10!\; \cdot \; 1!}}$ = $\frac{\mathrm{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
10! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}11\\ 10\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{11}}{1}$

= 11

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8 = 72 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 72 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{72}}{2}$ = 36 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

36 = $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 7!}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{20!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 15!}}$ = $\frac{\mathrm{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 15504 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 17 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 17 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 17) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}19\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{19!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 15!}}$ = $\frac{\mathrm{19\cdot 18\cdot 17\cdot 16}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 3876.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{3876}}{\mathrm{15504}}$ ≈ 0.25, also ca. 25%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.6.

$P_{0.6}^{78}(X=39)$ = $\left(\begin{array}{c}78\\ 39\end{array}\right)\cdot {0.6}^{39}\cdot {0.4}^{39}$=0.018326474094975≈ 0.0183
(TI-Befehl: binompdf(78,0.6,39))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
3	≈ 0.17	≈ 0.1 + 0.17 = 0.27

Während P(X ≤ 2) = 0.1 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.27 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.5.

$P_{0.5}^{74}(X<33)$ = $P_{0.5}^{74}(X\le 32)$ = $P_{0.5}^{74}(X=0)$ + $P_{0.5}^{74}(X=1)$ + $P_{0.5}^{74}(X=2)$ +... + $P_{0.5}^{74}(X=32)$ = 0.14770664032784 ≈ 0.1477
(TI-Befehl: binomcdf(74,0.5,32))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.2.

...

$P_{0.2}^{57}(X\ge 16)$ = 1 - $P_{0.2}^{57}(X\le 15)$ = 0.0908
(TI-Befehl: 1-binomcdf(57,0.2,15))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.35.

$P_{0.35}^{91}(26\le X\le 33)$ =

...

$P_{0.35}^{91}(X\le 33)$ - $P_{0.35}^{91}(X\le 25)$ ≈ 0.645 - 0.0796 ≈ 0.5654
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.35,33) - binomcdf(91,0.35,25))