Aufgabenbeispiele von Basics
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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau ein Chip defekt ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,2, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,2 = . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:
Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 4-ten Versuch)
Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich Pk = .
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = ≈ 0.4096 .
Binomialkoeffizient
Beispiel:
Berechne ohne Taschenrechner:
Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
= =
=
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
39! = 39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:
=
= 40
Binomialkoeffizient Anwendungen
Beispiel:
Eine Eisdiele bietet 9 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 2 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?
Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die
verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten
Wir müssen deswegen die 72 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 36 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.
Die hier durchgeführte Berechnung könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:
36 = = = =
Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.
Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 9 dabei ist?
Es gibt insgesamt = = = 91390 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 4 anzukreuzen.
Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 9 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 9 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 9) zu setzen, also = = = 9139.
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:
P = = ≈ 0.1, also ca. 10%.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 23 Glückskekse kauft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=.
= =0.23939201521217≈ 0.2394(TI-Befehl: binompdf(23,1/8,2))
kumulierte WS aus Histogramm finden
Beispiel:
In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.5.
Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | ≈ 0.03 | ≈ 0 + 0.03 = 0.03 |
| 1 | ≈ 0.12 | ≈ 0.03 + 0.12 = 0.15 |
| 2 | ≈ 0.23 | ≈ 0.15 + 0.23 = 0.38 |
| 3 | ≈ 0.27 | ≈ 0.38 + 0.27 = 0.65 |
Während P(X ≤ 2) = 0.38 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.65 klar darüber.
Somit ist das gesuchte k = 3.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 91 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,1.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 18 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.1.
= + + +... + = 0.998499418975 ≈ 0.9985(TI-Befehl: binomcdf(91,0.1,18))
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 44 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 41 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.85.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44,0.85,40))
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 86 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 mal, aber weniger als 22 mal eine sechs gewürfelt wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(86,,21) - binomcdf(86,,10))
