Aufgabenbeispiele von Basics

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 60%. Es wird 6 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der ersten Drehung der grüne Bereich erzielt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 0,6 ≈ 0.6 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 8 4 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 8 4 ) = 8! 4! ⋅ (8 - 4)! = 8! 4! ⋅ 4! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 8 4 ) = 8⋅7⋅6⋅5 4⋅3⋅2⋅1

= 2⋅7⋅6⋅5 3⋅2⋅1 (gekürzt mit 4)

= 2⋅7⋅2⋅5 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 7⋅2⋅5 1 (gekürzt mit 2)

= 70

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 2 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 109 = 90 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 21 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 90 2 = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 109 21 könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

45 = 109 21 = 109 8 7 6 5 4 3 2 1 21 8 7 6 5 4 3 2 1 = 10! 2! ⋅ 8! = ( 10 2 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 2, die 4 und die 30 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 30 7 ) = 30! 7! ⋅ 23! = 30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 2035800 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 2, die 4 und die 30 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 2, der 4 und der 30 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 27 Zahlen (alle außer der 2, der 4 und der 30) zu setzen, also ( 27 4 ) = 27! 4! ⋅ 23! = 27⋅26⋅25⋅24 4⋅3⋅2⋅1 = 17550.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ereignisse Anzahl der möglichen Ereignisse = 17550 2035800 ≈ 0.0086, also ca. 0.86%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 33 Versuchen genau 8 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p=0.15.

P0.1533 (X=8) = ( 33 8 ) 0.158 0.8525 =0.061195952658874≈ 0.0612
(TI-Befehl: binompdf(33,0.15,8))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.01≈ 0 + 0.01 = 0.01
1≈ 0.05≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2≈ 0.14≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3≈ 0.23≈ 0.2 + 0.23 = 0.43
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.2 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.43 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 60 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 11 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.2.

P0.260 (X11) = P0.260 (X=0) + P0.260 (X=1) + P0.260 (X=2) +... + P0.260 (X=11) = 0.44861747374935 ≈ 0.4486
(TI-Befehl: binomcdf(60,0.2,11))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,71. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 56 Versuchen mindestens 43 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.71.

...
40
41
42
43
44
45
...

P0.7156 (X43) = 1 - P0.7156 (X42) = 0.2121
(TI-Befehl: 1-binomcdf(56,0.71,42))

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 6 und höchstens 9 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 75 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.125.

P0.12575 (7X9) =

...
4
5
6
7
8
9
10
11
...

P0.12575 (X9) - P0.12575 (X6) ≈ 0.5349 - 0.157 ≈ 0.3779
(TI-Befehl: binomcdf(75,0.125,9) - binomcdf(75,0.125,6))