Da hier ja nur eine Aussage über den 2-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 2-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - 0,4 = $\mathrm{0,6}$ ≈ 0.6 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}11\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{11!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; (11\; -\; 2)!}}$ = $\frac{\mathrm{11!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 9!}}$ = $\frac{\mathrm{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{2\cdot 1\; \cdot \; 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}11\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{11\cdot 10}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{11\cdot 5}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 55

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8 = 72 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 72 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{72}}{2}$ = 36 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

36 = $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 7!}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 20!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 53130 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 13 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 13 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 13) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}24\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{24!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 20!}}$ = $\frac{\mathrm{24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 10626.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{10626}}{\mathrm{53130}}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.7.

$P_{0.7}^{83}(X=60)$ = $\left(\begin{array}{c}83\\ 60\end{array}\right)\cdot {0.7}^{60}\cdot {0.3}^{23}$=0.087721624905505≈ 0.0877
(TI-Befehl: binompdf(83,0.7,60))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
2	≈ 0.08	≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3	≈ 0.17	≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
4	≈ 0.22	≈ 0.28 + 0.22 = 0.5
5	≈ 0.22	≈ 0.5 + 0.22 = 0.72
6	≈ 0.15	≈ 0.72 + 0.15 = 0.87

Während P(X ≤ 5) = 0.72 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.87 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.5.

$P_{0.5}^{45}(X\le 21)$ = $P_{0.5}^{45}(X=0)$ + $P_{0.5}^{45}(X=1)$ + $P_{0.5}^{45}(X=2)$ +... + $P_{0.5}^{45}(X=21)$ = 0.3829959121224 ≈ 0.383
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.5,21))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=38 und p=$\frac{1}{6}$.

...

$P_{\frac{1}{6}}^{38}(X>2)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{38}(X\ge 3)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{38}(X\le 2)$ = 0.964
(TI-Befehl: 1-binomcdf(38,$\frac{1}{6}$,2))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.75.

$P_{0.75}^{93}(70\le X\le 78)$ =

...

$P_{0.75}^{93}(X\le 78)$ - $P_{0.75}^{93}(X\le 69)$ ≈ 0.9854 - 0.4682 ≈ 0.5172
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.75,78) - binomcdf(93,0.75,69))