Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,15, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,15 = $\mathrm{0,85}$. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 4-ten Versuch)

Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\mathrm{0,15}·{\mathrm{0,85}}^3$.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = $4·\mathrm{0,15}·{\mathrm{0,85}}^3$ ≈ 0.3685 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}16\\ 15\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{16!}}{\mathrm{15!\; \cdot \; (16\; -\; 15)!}}$ = $\frac{\mathrm{16!}}{\mathrm{15!\; \cdot \; 1!}}$ = $\frac{\mathrm{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
15! = 15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}16\\ 15\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{16}}{1}$

= 16

Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 18 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 17 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 18⋅17 = 306 Möglichkeiten, die 18 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 306 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{306}}{2}$ = 153 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 18 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>18</mn><mo>\cdot </mo><mn>17</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 16! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

153 = $\frac{\mathrm{<mn>18</mn><mo>\cdot </mo><mn>17</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{18!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 16!}}$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}30\\ 8\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{30!}}{\mathrm{8!\; \cdot \; 22!}}$ = $\frac{\mathrm{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23}}{\mathrm{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 5852925 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 5, die 13 und die 19 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 5, der 13 und der 19 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 27 Zahlen (alle außer der 5, der 13 und der 19) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}27\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{27!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 22!}}$ = $\frac{\mathrm{27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 80730.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{80730}}{\mathrm{5852925}}$ ≈ 0.0138, also ca. 1.38%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=$\frac{1}{8}$.

$P_{\frac{1}{8}}^{84}(X=19)$ = $\left(\begin{array}{c}84\\ 19\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{8}\right)}^{19}\cdot {\left(\frac{7}{8}\right)}^{65}$=0.0038973803449055≈ 0.0039
(TI-Befehl: binompdf(84,1/8,19))

Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.5 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.5 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.5=0.5 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.04	≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2	≈ 0.12	≈ 0.05 + 0.12 = 0.17
3	≈ 0.22	≈ 0.17 + 0.22 = 0.39
4	≈ 0.25	≈ 0.39 + 0.25 = 0.64

Während P(X ≤ 3) = 0.39 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.64 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.61 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 4 bis 10) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5, während P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.36 (die Summe der Säulenhöhen von 5 bis 10) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 4.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.26.

$P_{0.26}^{55}(X\le 20)$ = $P_{0.26}^{55}(X=0)$ + $P_{0.26}^{55}(X=1)$ + $P_{0.26}^{55}(X=2)$ +... + $P_{0.26}^{55}(X=20)$ = 0.96820489774789 ≈ 0.9682
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.26,20))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.24.

...

$P_{0.24}^{80}(X\ge 27)$ = 1 - $P_{0.24}^{80}(X\le 26)$ = 0.0313
(TI-Befehl: 1-binomcdf(80,0.24,26))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.7.

$P_{0.7}^{64}(38\le X\le 45)$ =

...

$P_{0.7}^{64}(X\le 45)$ - $P_{0.7}^{64}(X\le 37)$ ≈ 0.5687 - 0.0257 ≈ 0.543
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.7,45) - binomcdf(64,0.7,37))