Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,2, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,2 = $\mathrm{0,8}$. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 4-ten Versuch)

Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\mathrm{0,2}·{\mathrm{0,8}}^3$.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = $4·\mathrm{0,2}·{\mathrm{0,8}}^3$ ≈ 0.4096 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}40\\ 39\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{40!}}{\mathrm{39!\; \cdot \; (40\; -\; 39)!}}$ = $\frac{\mathrm{40!}}{\mathrm{39!\; \cdot \; 1!}}$ = $\frac{\mathrm{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
39! = 39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}40\\ 39\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{40}}{1}$

= 40

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8 = 72 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 72 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{72}}{2}$ = 36 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

36 = $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 7!}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}40\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{40!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 36!}}$ = $\frac{\mathrm{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 91390 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 9 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 9 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 9) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}39\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{39!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 36!}}$ = $\frac{\mathrm{39\cdot 38\cdot 37}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 9139.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{9139}}{\mathrm{91390}}$ ≈ 0.1, also ca. 10%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=$\frac{1}{8}$.

$P_{\frac{1}{8}}^{23}(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ 2\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{8}\right)}^2\cdot {\left(\frac{7}{8}\right)}^{21}$=0.23939201521217≈ 0.2394
(TI-Befehl: binompdf(23,1/8,2))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
1	≈ 0.12	≈ 0.03 + 0.12 = 0.15
2	≈ 0.23	≈ 0.15 + 0.23 = 0.38
3	≈ 0.27	≈ 0.38 + 0.27 = 0.65

Während P(X ≤ 2) = 0.38 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.65 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.1.

$P_{0.1}^{91}(X\le 18)$ = $P_{0.1}^{91}(X=0)$ + $P_{0.1}^{91}(X=1)$ + $P_{0.1}^{91}(X=2)$ +... + $P_{0.1}^{91}(X=18)$ = 0.998499418975 ≈ 0.9985
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.1,18))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.85.

$P_{0.85}^{44}(X\ge 41)$ = 1 - $P_{0.85}^{44}(X\le 40)$ = 0.0871
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44,0.85,40))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{86}(11\le X\le 21)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{86}(X\le 21)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{86}(X\le 10)$ ≈ 0.9767 - 0.1315 ≈ 0.8452
(TI-Befehl: binomcdf(86,$\frac{1}{6}$,21) - binomcdf(86,$\frac{1}{6}$,10))