Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) p = 0,7 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Treffer bei 3 Versuchen P = ${\mathrm{0,7}}^3$ ≈ 0.343 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; (6\; -\; 6)!}}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 0!}}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8 = 720 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 3 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{720}}{6}$ = 120 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 10 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>10</mn><mo>\cdot </mo><mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

120 = $\frac{\mathrm{<mn>10</mn><mo>\cdot </mo><mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 7!}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}35\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{35!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; 28!}}$ = $\frac{\mathrm{35\cdot 34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}}{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 6724520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 20 und die 27 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 20 und der 27 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 20 und der 27) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}33\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{33!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 28!}}$ = $\frac{\mathrm{33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 237336.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{237336}}{\mathrm{6724520}}$ ≈ 0.0353, also ca. 3.53%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=0.45.

$P_{0.45}^{23}(X=10)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ 10\end{array}\right)\cdot {0.45}^{10}\cdot {0.55}^{13}$=0.16416901042568≈ 0.1642
(TI-Befehl: binompdf(23,0.45,10))

Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.8 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.8 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.8=0.2 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.17	≈ 0.08 + 0.17 = 0.25

Während P(X ≤ 1) = 0.08 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.25 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.92 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.75 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.5.

$P_{0.5}^{93}(X\le 56)$ = $P_{0.5}^{93}(X=0)$ + $P_{0.5}^{93}(X=1)$ + $P_{0.5}^{93}(X=2)$ +... + $P_{0.5}^{93}(X=56)$ = 0.98124288409905 ≈ 0.9812
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.5,56))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.19.

...

$P_{0.19}^{65}(X\ge 8)$ = 1 - $P_{0.19}^{65}(X\le 7)$ = 0.9442
(TI-Befehl: 1-binomcdf(65,0.19,7))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.25.

$P_{0.25}^{45}(10\le X\le 11)$ =

...

$P_{0.25}^{45}(X\le 11)$ - $P_{0.25}^{45}(X\le 9)$ ≈ 0.5457 - 0.28 ≈ 0.2657
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.25,11) - binomcdf(45,0.25,9))