Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,4, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,4 = $\mathrm{0,6}$. Da ja der Nicht-Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $\mathrm{0,6}$⋅0,4⋅0,4⋅0,4⋅0,4 = $\mathrm{0,6}·{\mathrm{0,4}}^4$ ≈ 0.0154 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; (6\; -\; 2)!}}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 4!}}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{2\cdot 1\; \cdot \; 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{3\cdot 5}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 15

Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{30}}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 4!}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}35\\ 8\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{35!}}{\mathrm{8!\; \cdot \; 27!}}$ = $\frac{\mathrm{35\cdot 34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28}}{\mathrm{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 23535820 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 14 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 14 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 14) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}34\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{34!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; 27!}}$ = $\frac{\mathrm{34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28}}{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 5379616.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{5379616}}{\mathrm{23535820}}$ ≈ 0.2286, also ca. 22.86%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.35.

$P_{0.35}^{48}(X=20)$ = $\left(\begin{array}{c}48\\ 20\end{array}\right)\cdot {0.35}^{20}\cdot {0.65}^{28}$=0.07354924550382≈ 0.0735
(TI-Befehl: binompdf(48,0.35,20))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.03	≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3	≈ 0.08	≈ 0.04 + 0.08 = 0.12
4	≈ 0.15	≈ 0.12 + 0.15 = 0.27
5	≈ 0.21	≈ 0.27 + 0.21 = 0.48
6	≈ 0.21	≈ 0.48 + 0.21 = 0.69
7	≈ 0.16	≈ 0.69 + 0.16 = 0.85

Während P(X ≤ 6) = 0.69 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 7) = 0.85 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 7.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.9.

$P_{0.9}^{45}(X<42)$ = $P_{0.9}^{45}(X\le 41)$ = $P_{0.9}^{45}(X=0)$ + $P_{0.9}^{45}(X=1)$ + $P_{0.9}^{45}(X=2)$ +... + $P_{0.9}^{45}(X=41)$ = 0.67106711787429 ≈ 0.6711
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.9,41))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.26.

...

$P_{0.26}^{42}(X\ge 13)$ = 1 - $P_{0.26}^{42}(X\le 12)$ = 0.2827
(TI-Befehl: 1-binomcdf(42,0.26,12))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.55.

$P_{0.55}^{42}(21\le X\le 25)$ =

...

$P_{0.55}^{42}(X\le 25)$ - $P_{0.55}^{42}(X\le 20)$ ≈ 0.7708 - 0.2096 ≈ 0.5612
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.55,25) - binomcdf(42,0.55,20))