Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-1|1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $- 3$ ⋅ f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = $- 3$ ⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $- 3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-1| $- 3$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 1)}^{2} + 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $- 3$ ⋅ f(x) = $- 3 (- {(x + 1)}^{2} + 1)$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-3|5). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) -1

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x) -1 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -1 in y-Richtung - also um 1 nach unten - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 1 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-3|4).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 3)}^{2} + 5$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) -1 = $- {(x + 3)}^{2} + 4$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-4|3). Für die Funktion g gilt : g(x) = - f(-x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = 4.

Da g(x) = - f(-x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(4|-3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 9 x^{2} - 4$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} + 9 x^{2} - 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + 18 x + 0$

= $6 x^{2} + 18 x$

$f''(x) =$ $12 x + 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6 x^{2} + 18 x$	=	0
$6 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

Die Lösungen $- 3$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $12 \cdot (- 3) + 18$ = $- 36 + 18$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{3} + 9 \cdot {(- 3)}^{2} - 4$ = $23$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $23$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $12 \cdot 0 + 18$ = $0 + 18$ = $18$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $2 \cdot 0^{3} + 9 \cdot 0^{2} - 4$ = $- 4$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- 4$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $6 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x^{2}$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x^{2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $24 x^{3} + 48 x^{2} - 72 x$

$f''(x) =$ $72 x^{2} + 96 x - 72$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$24 x^{3} + 48 x^{2} - 72 x$	=	0
$24 x (x^{2} + 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Die Lösungen $- 3$ , 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $72 \cdot {(- 3)}^{2} + 96 \cdot (- 3) - 72$ = $72 \cdot 9 - 288 - 72$ = $288$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $6 \cdot {(- 3)}^{4} + 16 \cdot {(- 3)}^{3} - 36 \cdot {(- 3)}^{2}$ = $- 270$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 270$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $72 \cdot 0^{2} + 96 \cdot 0 - 72$ = $72 \cdot 0 + 0 - 72$ = $- 72$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $6 \cdot 0^{4} + 16 \cdot 0^{3} - 36 \cdot 0^{2}$ = 0
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ |0)

3.: x= $1$

f''( $1$ ) = $72 \cdot 1^{2} + 96 \cdot 1 - 72$ = $72 \cdot 1 + 96 - 72$ = $96$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $6 \cdot 1^{4} + 16 \cdot 1^{3} - 36 \cdot 1^{2}$ = $- 14$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $- 14$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 6 x - 12 + 0$

= $6 x^{2} - 6 x - 12$

$f''(x) =$ $12 x - 6 + 0$

= $12 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} - 6 x - 12

= 0 |:6

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Die Lösungen $- 1$ , $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x= $- 1$

f''( $- 1$ ) = $12 \cdot (- 1) - 6$ = $- 12 - 6$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = $2 \cdot {(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 12 \cdot (- 1) + 3$ = $10$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 1$ | $10$ )

2.: x= $2$

f''( $2$ ) = $12 \cdot 2 - 6$ = $24 - 6$ = $18$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 3$ = $- 17$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2$ | $- 17$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Tiefpunkt T(-2|-3) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2 x$ , f₁''(x)= $2$ , und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{2}$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um -2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x + 2)}^{2}$ hat also an der Stelle x = -2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x + 2)}^{2} - 3$ einen Tiefpunkt T(-2|-3), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabenbeispiele von Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

1.: x=-3

2.: x=0

Extrempunkte (ganzrational)

1.: x=-3

2.: x=0

3.: x=1

Extrempunkte (auch mit VZW)

1.: x=-1

2.: x=2

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

3.: x= $1$

1.: x= $- 1$

2.: x= $2$