Da g(x) = $2$⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $2$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(1|$4$).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-{\left(x-1\right)}^2+2$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $2$⋅ f(x) = $2\left(-{\left(x-1\right)}^2+2\right)$.

Da g(x) = f(x +3) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -3 in x-Richtung - also um 3 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch um 3 nach links verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(1|3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-{\left(x-4\right)}^2+3$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x +3) = $-{\left(x-1\right)}^2+3$.

Der (blaue) Graph von f(x +3) geht durch Verschiebung um -3 in x-Richtung - also um 3 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x +3) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = -3.

Da g(x) = f(x +3) -4 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -4 in y-Richtung - also um 4 nach unten - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 4 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-3|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $x^2+8x-2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+8+0$

= $2x+8$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x+8$	=	0	| $-8$
$2x$	=	$-8$	|:$2$
$x$	=	$-4$

Die Lösung x= $-4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($-4$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $-4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-4$) = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)-2$ = $-18$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-4$| $-18$)

$\text{f(x)}=$ $-x^2-4x+1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-4+0$

= $-2x-4$

$\text{f''(x)}=$ $-2+0$

= $-2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-2x-4$	=	0	| $+4$
$-2x$	=	$4$	|:($-2$)
$x$	=	$-2$

Die Lösung x= $-2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($-2$) = $-2$= $-2$= $-2$ <0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $-{\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)+1$ = $5$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-2$| $5$)

$\text{f(x)}=$ $3x^4-28x^3+72x^2+1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3-84x^2+144x+0$

= $12x^3-84x^2+144x$

$\text{f''(x)}=$ $36x^2-168x+144$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$12x^3-84x^2+144x$	=	0
$12x\left(x^2-7x+12\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen 0, $3$, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$0$

f''($0$) = $36\cdot 0^2-168\cdot 0+144$= $36\cdot 0+0+144$= $144$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $3\cdot 0^4-28\cdot 0^3+72\cdot 0^2+1$ = $1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$| $1$)

2.: x=$3$

f''($3$) = $36\cdot 3^2-168\cdot 3+144$= $36\cdot 9-504+144$= $-36$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $3\cdot 3^4-28\cdot 3^3+72\cdot 3^2+1$ = $136$
Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $136$)

3.: x=$4$

f''($4$) = $36\cdot 4^2-168\cdot 4+144$= $36\cdot 16-672+144$= $48$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($4$) = $3\cdot 4^4-28\cdot 4^3+72\cdot 4^2+1$ = $129$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($4$| $129$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Hochpunkt H(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Hochpunkt H(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $-x^2$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $-2x$, f₁''(x)= $-2$, und somit f₁''(0) = -2 < 0.

Somit hat der Graph der Funktion $-x^2$ einen Hochpunkt H(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um 1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). $-{\left(x-1\right)}^2$ hat also an der Stelle x = 1 genau die gleichen Ableitungswerte wie $-x^2$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ $-{\left(x-1\right)}^2+3$ einen Hochpunkt H(1|3), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.