Da g(x) = $3$⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(0|$6$).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-x^2+2$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $3$⋅ f(x) = $3\left(-x^2+2\right)$.

Da g(x) = f($\frac{1}{3}$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $3$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $3$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert, weil ja bei x = 1 der kleinste Wert bei f(x) auftritt, bei f($\frac{1}{3}$⋅x) muss somit für x = $3$ , also bei f($\frac{1}{3}$⋅3) der kleinste Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(3|-1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x-1\right)}^2-1$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f($\frac{1}{3}$ ⋅ x) = ${\left(\frac{1}{3}x-1\right)}^2-1$.

Der (blaue) Graph von f(x +4) geht durch Verschiebung um -4 in x-Richtung - also um 4 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x +4) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = -1.

Da g(x) = - f(x +4) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-1|-3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $x^3-6x^2+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-12x+0$

= $3x^2-12x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-12$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^2-12x$	=	0
$3x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen 0, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$0$

f''($0$) = $6\cdot 0-12$= $0-12$= $-12$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $0^3-6\cdot 0^2+2$ = $2$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $2$)

2.: x=$4$

f''($4$) = $6\cdot 4-12$= $24-12$= $12$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($4$) = $4^3-6\cdot 4^2+2$ = $-30$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($4$| $-30$)

$\text{f(x)}=$ $2x^3-9x^2-60x-2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2-18x-60+0$

= $6x^2-18x-60$

$\text{f''(x)}=$ $12x-18+0$

= $12x-18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6x^2-18x-60$ = 0 |:6

$x^2-3x-10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-10\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

Die Lösungen $-2$, $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-2$

f''($-2$) = $12\cdot \left(-2\right)-18$= $-24-18$= $-42$ <0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $2\cdot {\left(-2\right)}^3-9\cdot {\left(-2\right)}^2-60\cdot \left(-2\right)-2$ = $66$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-2$| $66$)

2.: x=$5$

f''($5$) = $12\cdot 5-18$= $60-18$= $42$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($5$) = $2\cdot 5^3-9\cdot 5^2-60\cdot 5-2$ = $-277$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($5$| $-277$)

$\text{f(x)}=$ $2x^3+15x^2+36x+3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+30x+36+0$

= $6x^2+30x+36$

$\text{f''(x)}=$ $12x+30+0$

= $12x+30$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6x^2+30x+36$ = 0 |:6

$x^2+5x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·1·6}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-5+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-5-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

Die Lösungen $-3$, $-2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-3$

f''($-3$) = $12\cdot \left(-3\right)+30$= $-36+30$= $-6$ <0

Das heißt bei x = $-3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-3$) = $2\cdot {\left(-3\right)}^3+15\cdot {\left(-3\right)}^2+36\cdot \left(-3\right)+3$ = $-24$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-3$| $-24$)

2.: x=$-2$

f''($-2$) = $12\cdot \left(-2\right)+30$= $-24+30$= $6$ >0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $2\cdot {\left(-2\right)}^3+15\cdot {\left(-2\right)}^2+36\cdot \left(-2\right)+3$ = $-25$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-2$| $-25$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^2$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2x$, f₁''(x)= $2$, und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^2$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um -3 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${\left(x+3\right)}^2$ hat also an der Stelle x = -3 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^2$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ ${\left(x+3\right)}^2-3$ einen Tiefpunkt T(-3|-3), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.