Da g(x) = f(x) -2 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -2 in y-Richtung - also um 2 nach unten - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 2 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-2|2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-{\left(x+2\right)}^2+4$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) -2 = $-{\left(x+2\right)}^2+2$.

Da g(x) = f(x) +4 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 4 in y-Richtung - also um 4 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 4 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-3|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x+3\right)}^2-3$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +4 = ${\left(x+3\right)}^2+1$.

Der (blaue) Graph von f($2$ ⋅ x) geht durch Streckung um $\frac{1}{2}$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f($2$ ⋅ x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = -2.

Da g(x) = $-3$⋅ f($2$ ⋅ x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $-3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-2|$-6$).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $x^2-10x+4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-10+0$

= $2x-10$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x-10$	=	0	| $+10$
$2x$	=	$10$	|:$2$
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($5$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($5$) = $5^2-10\cdot 5+4$ = $-21$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($5$| $-21$)

$\text{f(x)}=$ $2x^3-3x^2-12x-3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2-6x-12+0$

= $6x^2-6x-12$

$\text{f''(x)}=$ $12x-6+0$

= $12x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6x^2-6x-12$ = 0 |:6

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

Die Lösungen $-1$, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-1$

f''($-1$) = $12\cdot \left(-1\right)-6$= $-12-6$= $-18$ <0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = $2\cdot {\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2-12\cdot \left(-1\right)-3$ = $4$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-1$| $4$)

2.: x=$2$

f''($2$) = $12\cdot 2-6$= $24-6$= $18$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $2\cdot 2^3-3\cdot 2^2-12\cdot 2-3$ = $-23$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($2$| $-23$)

$\text{f(x)}=$ $-x^3-3x^2+24x-3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-6x+24+0$

= $-3x^2-6x+24$

$\text{f''(x)}=$ $-6x-6+0$

= $-6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-3x^2-6x+24$ = 0 |:3

$-x^2-2x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·8}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Die Lösungen $-4$, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-4$

f''($-4$) = $-6\cdot \left(-4\right)-6$= $24-6$= $18$ >0

Das heißt bei x = $-4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-4$) = $-{\left(-4\right)}^3-3\cdot {\left(-4\right)}^2+24\cdot \left(-4\right)-3$ = $-83$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-4$| $-83$)

2.: x=$2$

f''($2$) = $-6\cdot 2-6$= $-12-6$= $-18$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $-2^3-3\cdot 2^2+24\cdot 2-3$ = $25$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $25$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^2$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2x$, f₁''(x)= $2$, und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Bei f₁(x)= $x^2$ lässt sich also der Tiefpunkt T(0|0) mit der 2. Ableitung nachweisen. Aber wir suchen ja eine Funktion, bei der das gerade nicht geht!
Also probieren wir es mal mit f₂(x)= $x^4$, hier gilt dann:
f₂'(x)= $4x^3$, f₂''(x)= $12x^2$, und somit f₁''(0) = 0. Man sieht aber leicht, dass ...

• f₂'(x)= $4x^3$ < 0 für alle x < 0 und
• f₂'(x)= $4x^3$ > 0 für alle x > 0 ...

gilt. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel in der 1. Ableitung von f₂(x)= $x^4$ vor.

Somit hat der Graph der Funktion $x^4$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um -3 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${\left(x+3\right)}^4$ hat also an der Stelle x = -3 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^4$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ ${\left(x+3\right)}^4-3$ einen Tiefpunkt T(-3|-3), der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.