Da g(x) = - f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-1|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x+1\right)}^2-1$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = - f(x) = $-{\left(x+1\right)}^2+1$.

Da g(x) = f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $2$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $2$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $2$ multipliziert, weil ja bei x = -1 der kleinste Wert bei f(x) auftritt, bei f($\frac{1}{2}$⋅x) muss somit für x = $-2$ , also bei f($\frac{1}{2}$⋅( - 2 )) der kleinste Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-2|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x+1\right)}^2-2$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) = ${\left(\frac{1}{2}x+1\right)}^2-2$.

Der (blaue) Graph von f(x -2) geht durch Verschiebung um 2 in x-Richtung - also um 2 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x -2) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = 1.

Da g(x) = f(x -2) +1 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 1 in y-Richtung - also um 1 nach oben - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 1 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(1|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $x^2-10x+3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-10+0$

= $2x-10$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x-10$	=	0	| $+10$
$2x$	=	$10$	|:$2$
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($5$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($5$) = $5^2-10\cdot 5+3$ = $-22$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($5$| $-22$)

$\text{f(x)}=$ $-x^3+3x-3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+3+0$

= $-3x^2+3$

$\text{f''(x)}=$ $-6x+0$

= $-6x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-3x^2+3$	=	0	| $-3$
$-3x^2$	=	$-3$	|: $\left(-3\right)$
$x^2$	=	$1$	|
x1	=	$-\sqrt{1}$	= $-1$
x2	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Die Lösungen $-1$, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-1$

f''($-1$) = $-6\cdot \left(-1\right)$= $6$= $6$ >0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = $-{\left(-1\right)}^3+3\cdot \left(-1\right)-3$ = $-5$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-1$| $-5$)

2.: x=$1$

f''($1$) = $-6\cdot 1$= $-6$= $-6$ <0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($1$) = $-1^3+3\cdot 1-3$ = $-1$
Man erhält so den Hochpunkt H:($1$| $-1$)

$\text{f(x)}=$ $6x^4+32x^3-60x^2+3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $24x^3+96x^2-120x+0$

= $24x^3+96x^2-120x$

$\text{f''(x)}=$ $72x^2+192x-120$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$24x^3+96x^2-120x$	=	0
$24x\left(x^2+4x-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-5$, 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-5$

f''($-5$) = $72\cdot {\left(-5\right)}^2+192\cdot \left(-5\right)-120$= $72\cdot 25-960-120$= $720$ >0

Das heißt bei x = $-5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-5$) = $6\cdot {\left(-5\right)}^4+32\cdot {\left(-5\right)}^3-60\cdot {\left(-5\right)}^2+3$ = $-1747$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-5$| $-1747$)

2.: x=$0$

f''($0$) = $72\cdot 0^2+192\cdot 0-120$= $72\cdot 0+0-120$= $-120$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $6\cdot 0^4+32\cdot 0^3-60\cdot 0^2+3$ = $3$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $3$)

3.: x=$1$

f''($1$) = $72\cdot 1^2+192\cdot 1-120$= $72\cdot 1+192-120$= $144$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($1$) = $6\cdot 1^4+32\cdot 1^3-60\cdot 1^2+3$ = $-19$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($1$| $-19$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^3$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3x^2$, f₁''(x)= $6x$, f₁'''(x)= $6$, und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Bei f₁(x)= $x^3$ lässt sich also der Sattelpunkt S(0|0) mit der 3. Ableitung nachweisen. Aber wir suchen ja eine Funktion, bei der das gerade nicht geht!
Also probieren wir es mal mit f₂(x)= $x^5$, hier gilt dann:
f₂'(x)= $5x^4$, f₂''(x)= $20x^3$, f₂'''(x)= $60x^2$, und somit f₁'''(0) = 0. Man sieht aber leicht, dass ...

• f₂''(x)= $20x^3$ < 0 für alle x < 0 und
• f₂''(x)= $20x^3$ > 0 für alle x > 0 ...

gilt. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel in der 2. Ableitung von f₂(x)= $x^5$ vor.

Somit hat der Graph der Funktion $x^5$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um 3 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${\left(x-3\right)}^5$ hat also an der Stelle x = 3 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^5$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ ${\left(x-3\right)}^5+3$ einen Sattelpunkt S(3|3), der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.