Da g(x) = f(x -3) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 3 in x-Richtung - also um 3 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch um 3 nach rechts verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-1|3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-{\left(x+4\right)}^2+3$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x -3) = $-{\left(x+1\right)}^2+3$.

Da g(x) = f($\frac{1}{3}$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $3$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $3$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert, weil ja bei x = -1 der kleinste Wert bei f(x) auftritt, bei f($\frac{1}{3}$⋅x) muss somit für x = $-3$ , also bei f($\frac{1}{3}$⋅( - 3 )) der kleinste Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-3|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x+1\right)}^2$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f($\frac{1}{3}$ ⋅ x) = ${\left(\frac{1}{3}x+1\right)}^2$.

Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = -4.

Da g(x) = $-2$⋅ f(-x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $-2$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-4|$-4$).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $x^2+4x-1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+4+0$

= $2x+4$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x+4$	=	0	| $-4$
$2x$	=	$-4$	|:$2$
$x$	=	$-2$

Die Lösung x= $-2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($-2$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = ${\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)-1$ = $-5$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-2$| $-5$)

$\text{f(x)}=$ $-x^2-4x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-4$

$\text{f''(x)}=$ $-2+0$

= $-2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-2x-4$	=	0	| $+4$
$-2x$	=	$4$	|:($-2$)
$x$	=	$-2$

Die Lösung x= $-2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($-2$) = $-2$= $-2$= $-2$ <0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $-{\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)$ = $4$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-2$| $4$)

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+9x^2-12x+1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+18x-12+0$

= $-6x^2+18x-12$

$\text{f''(x)}=$ $-12x+18+0$

= $-12x+18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-6x^2+18x-12$ = 0 |:6

$-x^2+3x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·\left(-1\right)·\left(-2\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Die Lösungen $1$, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$1$

f''($1$) = $-12\cdot 1+18$= $-12+18$= $6$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($1$) = $-2\cdot 1^3+9\cdot 1^2-12\cdot 1+1$ = $-4$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($1$| $-4$)

2.: x=$2$

f''($2$) = $-12\cdot 2+18$= $-24+18$= $-6$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $-2\cdot 2^3+9\cdot 2^2-12\cdot 2+1$ = $-3$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $-3$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^3$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3x^2$, f₁''(x)= $6x$, f₁'''(x)= $6$, und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^3$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um 3 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${\left(x-3\right)}^3$ hat also an der Stelle x = 3 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^3$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ ${\left(x-3\right)}^3+1$ einen Sattelpunkt S(3|1), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.