Da g(x) = $3$⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(1|$6$).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-{\left(x-1\right)}^2+2$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $3$⋅ f(x) = $3\left(-{\left(x-1\right)}^2+2\right)$.

Da g(x) = f(-x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch auf die andere Seite der y-Achse gespiegelt, weil ja bei x = -5 der größte Wert bei f(x) auftritt, bei f(-x) muss somit für x = -( - 5 ), also bei f(5) der größte Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(5|2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-{\left(x+5\right)}^2+2$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(-x) = $-{\left(x-5\right)}^2+2$.

Der (blaue) Graph von f(x -1) geht durch Verschiebung um 1 in x-Richtung - also um 1 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x -1) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = 1.

Da g(x) = $2$⋅ f(x -1) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $2$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(1|$-4$).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $2x^3-9x^2+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2-18x+0$

= $6x^2-18x$

$\text{f''(x)}=$ $12x-18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6x^2-18x$	=	0
$6x\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen 0, $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$0$

f''($0$) = $12\cdot 0-18$= $0-18$= $-18$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $2\cdot 0^3-9\cdot 0^2+2$ = $2$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $2$)

2.: x=$3$

f''($3$) = $12\cdot 3-18$= $36-18$= $18$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $2\cdot 3^3-9\cdot 3^2+2$ = $-25$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($3$| $-25$)

$\text{f(x)}=$ $x^3-9x^2+24x+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-18x+24+0$

= $3x^2-18x+24$

$\text{f''(x)}=$ $6x-18+0$

= $6x-18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^2-18x+24$ = 0 |:3

$x^2-6x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·8}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Die Lösungen $2$, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$2$

f''($2$) = $6\cdot 2-18$= $12-18$= $-6$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $2^3-9\cdot 2^2+24\cdot 2+2$ = $22$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $22$)

2.: x=$4$

f''($4$) = $6\cdot 4-18$= $24-18$= $6$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($4$) = $4^3-9\cdot 4^2+24\cdot 4+2$ = $18$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($4$| $18$)

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2-9x+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x-9+0$

= $3x^2-6x-9$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6+0$

= $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^2-6x-9$ = 0 |:3

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

Die Lösungen $-1$, $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-1$

f''($-1$) = $6\cdot \left(-1\right)-6$= $-6-6$= $-12$ <0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = ${\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2-9\cdot \left(-1\right)+2$ = $7$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-1$| $7$)

2.: x=$3$

f''($3$) = $6\cdot 3-6$= $18-6$= $12$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $3^3-3\cdot 3^2-9\cdot 3+2$ = $-25$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($3$| $-25$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^2$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2x$, f₁''(x)= $2$, und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Bei f₁(x)= $x^2$ lässt sich also der Tiefpunkt T(0|0) mit der 2. Ableitung nachweisen. Aber wir suchen ja eine Funktion, bei der das gerade nicht geht!
Also probieren wir es mal mit f₂(x)= $x^4$, hier gilt dann:
f₂'(x)= $4x^3$, f₂''(x)= $12x^2$, und somit f₁''(0) = 0. Man sieht aber leicht, dass ...

• f₂'(x)= $4x^3$ < 0 für alle x < 0 und
• f₂'(x)= $4x^3$ > 0 für alle x > 0 ...

gilt. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel in der 1. Ableitung von f₂(x)= $x^4$ vor.

Somit hat der Graph der Funktion $x^4$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um 1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${\left(x-1\right)}^4$ hat also an der Stelle x = 1 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^4$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ ${\left(x-1\right)}^4+1$ einen Tiefpunkt T(1|1), der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.