Da g(x) = $-\frac{1}{2}$⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 0.5 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $-\frac{1}{2}$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(0|$3$).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $x^2-6$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $-\frac{1}{2}$⋅ f(x) = $-\frac{1}{2}\left(x^2-6\right)$.

Da g(x) = f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $2$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $2$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $2$ multipliziert, weil ja bei x = 1 der größte Wert bei f(x) auftritt, bei f($\frac{1}{2}$⋅x) muss somit für x = $2$ , also bei f($\frac{1}{2}$⋅2) der größte Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(2|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-{\left(x-1\right)}^2+1$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) = $-{\left(\frac{1}{2}x-1\right)}^2+1$.

Der (blaue) Graph von f(x +4) geht durch Verschiebung um -4 in x-Richtung - also um 4 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x +4) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -4.

Da g(x) = $-3$⋅ f(x +4) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $-3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-4|$3$).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $x^2-4x-3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-4+0$

= $2x-4$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x-4$	=	0	| $+4$
$2x$	=	$4$	|:$2$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($2$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $2^2-4\cdot 2-3$ = $-7$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($2$| $-7$)

$\text{f(x)}=$ $-x^2-10x-2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-10+0$

= $-2x-10$

$\text{f''(x)}=$ $-2+0$

= $-2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-2x-10$	=	0	| $+10$
$-2x$	=	$10$	|:($-2$)
$x$	=	$-5$

Die Lösung x= $-5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($-5$) = $-2$= $-2$= $-2$ <0

Das heißt bei x = $-5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-5$) = $-{\left(-5\right)}^2-10\cdot \left(-5\right)-2$ = $23$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-5$| $23$)

$\text{f(x)}=$ $-x^3+3x-2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+3+0$

= $-3x^2+3$

$\text{f''(x)}=$ $-6x+0$

= $-6x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-3x^2+3$	=	0	| $-3$
$-3x^2$	=	$-3$	|: $\left(-3\right)$
$x^2$	=	$1$	|
x1	=	$-\sqrt{1}$	= $-1$
x2	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Die Lösungen $-1$, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-1$

f''($-1$) = $-6\cdot \left(-1\right)$= $6$= $6$ >0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = $-{\left(-1\right)}^3+3\cdot \left(-1\right)-2$ = $-4$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-1$| $-4$)

2.: x=$1$

f''($1$) = $-6\cdot 1$= $-6$= $-6$ <0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($1$) = $-1^3+3\cdot 1-2$ = 0
Man erhält so den Hochpunkt H:($1$|0)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Hochpunkt H(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Hochpunkt H(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $-x^2$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $-2x$, f₁''(x)= $-2$, und somit f₁''(0) = -2 < 0.

Somit hat der Graph der Funktion $-x^2$ einen Hochpunkt H(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um 1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). $-{\left(x-1\right)}^2$ hat also an der Stelle x = 1 genau die gleichen Ableitungswerte wie $-x^2$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ $-{\left(x-1\right)}^2-3$ einen Hochpunkt H(1|-3), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.