Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^3-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-15\cdot {\left(-1\right)}^2-4$

= $-15\cdot 1-4$

= $-15-4$

= $-19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-1\right)}^3-4\cdot \left(-1\right)$ = $-5\cdot \left(-1\right)+4$ = $5+4$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-19$⋅( $-1$) + c

$9$ = $19$ + c | $-19$

$-10$ = c

also c= $-10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-19$⋅x $-10$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{4}{9}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^2+\frac{1}{2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{4}{3}\cdot 1^2+\frac{1}{2}\cdot 1$

= $\frac{4}{3}\cdot 1+\frac{1}{2}$

= $\frac{4}{3}+\frac{1}{2}$

= $\frac{8}{6}+\frac{3}{6}$

= $\frac{11}{6}$

≈ 1.83

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{11}{6}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{4}{9}\cdot 1^3+\frac{1}{4}\cdot 1^2$ = $\frac{4}{9}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 1$ = $\frac{4}{9}+\frac{1}{4}$ = $\frac{16}{36}+\frac{9}{36}$ = $\frac{25}{36}$ ≈ 0.69

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{25}{36}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{25}{36}$ = $\frac{11}{6}$⋅ $1$ + c

$\frac{25}{36}$ = $\frac{11}{6}$ + c | $-\frac{11}{6}$

$-\frac{41}{36}$ = c

also c= $-\frac{41}{36}$ ≈ -1.14

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{11}{6}$⋅x $-\frac{41}{36}$ oder y=1.83x -1.14

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+0$

= $10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-1\right)$

= $-10$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{10}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-1\right)}^2-3$ = $5\cdot 1-3$ = $5-3$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $\frac{1}{10}$⋅( $-1$) + c

$2$ = $-\frac{1}{10}$ + c | + $\frac{1}{10}$

$\frac{21}{10}$ = c

also c= $\frac{21}{10}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{10}$⋅x + $\frac{21}{10}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+3x+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x+3+0$

f'(3) = $-3\cdot 3+3$ = $-9+3$ = $-6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-6$)) ≈ -80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-25x+9$ ab:

f'(x) = $3x^3-25$

Es muss gelten:

$3x^3-25$	=	$-1$	| $+25$
$3x^3$	=	$24$	|:$3$
$x^3$	=	$8$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)$

= $3\cdot 1+4$

= $3+4$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-2\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $\left(-1\right)-2\cdot 1$ = $-1-2$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $7$⋅( $-1$) + c

$-3$ = $-7$ + c | + $7$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x + $4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $7x+4$

$7x+4$	=	0	| $-4$
$7x$	=	$-4$	|:$7$
$x$	=	$-\frac{4}{7}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{4}{7}$ ≈ -0.57.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{4}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{4}{t}^2$

= $-\frac{3}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot 2^2$

= $-\frac{3}{4}\cdot 4$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $8-\frac{1}{4}\cdot 2^3$ = $8-\frac{1}{4}\cdot 8$ = $8-2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-3$⋅2 + c

$6$ = $-6$ + c | + $6$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $12$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+12$

$-3t+12$	=	0	| $-12$
$-3t$	=	$-12$	|:($-3$)
$t$	=	$4$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $4$.