Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-6\cdot \left(-1\right)$

= $3\cdot 1+6$

= $3+6$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $\left(-1\right)-3\cdot 1$ = $-1-3$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $9$⋅( $-1$) + c

$-4$ = $-9$ + c | + $9$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x + $5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{9}{x}^3-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2+0$

= $-\frac{1}{3}{x}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 1^2$

= $-\frac{1}{3}\cdot 1$

= $-\frac{1}{3}$

≈ -0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{9}\cdot 1^3-1$ = $-\frac{1}{9}\cdot 1-1$ = $-\frac{1}{9}-1$ = $-\frac{1}{9}-\frac{9}{9}$ = $-\frac{10}{9}$ ≈ -1.11

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{10}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{10}{9}$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $1$ + c

$-\frac{10}{9}$ = $-\frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$-\frac{7}{9}$ = c

also c= $-\frac{7}{9}$ ≈ -0.78

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{3}$⋅x $-\frac{7}{9}$ oder y=-0.33x -0.78

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot 2^2-3\cdot 2$

= $4\cdot 4-6$

= $16-6$

= $10$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{10}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{4}{3}\cdot 2^3-\frac{3}{2}\cdot 2^2$ = $\frac{4}{3}\cdot 8-\frac{3}{2}\cdot 4$ = $\frac{32}{3}-6$ = $\frac{32}{3}-\frac{18}{3}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $\frac{14}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{14}{3}$ = $-\frac{1}{10}$⋅ $2$ + c

$\frac{14}{3}$ = $-\frac{1}{5}$ + c | + $\frac{1}{5}$

$\frac{73}{15}$ = c

also c= $\frac{73}{15}$ ≈ 4.87

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{10}$⋅x + $\frac{73}{15}$ oder y=-0.1x +4.87

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{3}{2}+0$

f'(0) = $-\frac{3}{2}\cdot 0^2+\frac{3}{2}$ = $-\frac{3}{2}\cdot 0+\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+8x+2$ ab:

f'(x) = $3x+8$

Es muss gelten:

$3x+8$	=	$2$	| $-8$
$3x$	=	$-6$	|:$3$
$x$	=	$-2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 1+4$

= $-6+4$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^2+4\cdot 1$ = $-3\cdot 1+4$ = $-3+4$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-2$⋅ $1$ + c

$1$ = $-2$ + c | + $2$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-2x+3$

$-2x+3$	=	0	| $-3$
$-2x$	=	$-3$	|:($-2$)
$x$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{12}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{3}{t}^3$

= $-\frac{1}{3}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{3}\cdot 8$

= $-\frac{8}{3}$

≈ -2.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{8}{3}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $5-\frac{1}{12}\cdot 2^4$ = $5-\frac{1}{12}\cdot 16$ = $5-\frac{4}{3}$ = $\frac{15}{3}-\frac{4}{3}$ = $\frac{11}{3}$ ≈ 3.67

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $\frac{11}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{11}{3}$ = $-\frac{8}{3}$⋅2 + c

$\frac{11}{3}$ = $-\frac{16}{3}$ + c | + $\frac{16}{3}$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{8}{3}$⋅t + $9$ oder y=-2.67t +9

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{8}{3}t+9$

$-\frac{8}{3}t+9$	=	0	|⋅ 3
$3\left(-\frac{8}{3}t+9\right)$	=	0
$-8t+27$	=	0	| $-27$
$-8t$	=	$-27$	|:($-8$)
$t$	=	$\frac{27}{8}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{27}{8}$ ≈ 3.38.