Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+0$

= $-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-8\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^2-2$ = $-4\cdot 0-2$ = $0-2$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = 0⋅0 + c

$-2$ = 0 + c

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x^2-\frac{1}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-0^2-\frac{1}{3}$

= $-0-\frac{1}{3}$

= $-\frac{1}{3}$

≈ -0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 0^3-\frac{1}{3}\cdot 0$ = $-\frac{1}{3}\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{1}{3}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{3}$⋅x +0 oder y=-0.33x

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)+2$

= $-\frac{3}{2}+2$

= $-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}$

= $\frac{1}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{4}\cdot {\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{3}{4}\cdot 1-2$ = $\frac{3}{4}-2$ = $\frac{3}{4}-\frac{8}{4}$ = $-\frac{5}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{5}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{5}{4}$ = $-2$⋅( $-1$) + c

$-\frac{5}{4}$ = $2$ + c | $-2$

$-\frac{13}{4}$ = c

also c= $-\frac{13}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-2$⋅x $-\frac{13}{4}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2-2x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-2+0$

f'(0) = $2\cdot 0-2$ = $0-2$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+80x+6$ ab:

f'(x) = $3x^3+80$

Es muss gelten:

$3x^3+80$	=	$-1$	| $-80$
$3x^3$	=	$-81$	|:$3$
$x^3$	=	$-27$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{27}$	= $-3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+0$

= $-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-1\right)$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-1\right)}^2-1$ = $-4\cdot 1-1$ = $-4-1$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $8$⋅( $-1$) + c

$-5$ = $-8$ + c | + $8$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $8x+3$

$8x+3$	=	0	| $-3$
$8x$	=	$-3$	|:$8$
$x$	=	$-\frac{3}{8}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{3}{8}$ ≈ -0.38.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $10-\frac{1}{4}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{4}{t}^2$

= $-\frac{3}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot 2^2$

= $-\frac{3}{4}\cdot 4$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $10-\frac{1}{4}\cdot 2^3$ = $10-\frac{1}{4}\cdot 8$ = $10-2$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $-3$⋅2 + c

$8$ = $-6$ + c | + $6$

$14$ = c

also c= $14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $14$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+14$

$-3t+14$	=	0	| $-14$
$-3t$	=	$-14$	|:($-3$)
$t$	=	$\frac{14}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67.