Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0^2+3\cdot 0$ = $-2\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $3$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $9\cdot 0^2+2$

= $9\cdot 0+2$

= $0+2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^3+2\cdot 0$ = $3\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $2$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^2-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{4}{3}\cdot 2-3$

= $\frac{8}{3}-3$

= $\frac{8}{3}-\frac{9}{3}$

= $-\frac{1}{3}$

≈ -0.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot 2^2-3\cdot 2$ = $\frac{2}{3}\cdot 4-6$ = $\frac{8}{3}-6$ = $\frac{8}{3}-\frac{18}{3}$ = $-\frac{10}{3}$ ≈ -3.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-\frac{10}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{10}{3}$ = $3$⋅ $2$ + c

$-\frac{10}{3}$ = $6$ + c | $-6$

$-\frac{28}{3}$ = c

also c= $-\frac{28}{3}$ ≈ -9.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $3$⋅x $-\frac{28}{3}$ oder y=3x -9.33

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+2x$

f'(-1) = $\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{3}{2}\cdot 1-2$ = $\frac{3}{2}-2$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{10}{x}^4-49x-7$ ab:

f'(x) = $\frac{2}{5}{x}^3-49$

Es muss gelten:

$\frac{2}{5}{x}^3-49$	=	$1$	| $+49$
$\frac{2}{5}{x}^3$	=	$50$	|⋅$\frac{5}{2}$
$x^3$	=	$125$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 1+1$

= $-4+1$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2+1$ = $-2\cdot 1+1$ = $-2+1$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-3$⋅ $1$ + c

$-1$ = $-3$ + c | + $3$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3x+2$

$-3x+2$	=	0	| $-2$
$-3x$	=	$-2$	|:($-3$)
$x$	=	$\frac{2}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $6-\frac{1}{48}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{12}{t}^3$

= $-\frac{1}{12}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{12}\cdot 3^3$

= $-\frac{1}{12}\cdot 27$

= $-\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{9}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $6-\frac{1}{48}\cdot 3^4$ = $6-\frac{1}{48}\cdot 81$ = $6-\frac{27}{16}$ = $\frac{96}{16}-\frac{27}{16}$ = $\frac{69}{16}$ ≈ 4.31

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{69}{16}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{69}{16}$ = $-\frac{9}{4}$⋅3 + c

$\frac{69}{16}$ = $-\frac{27}{4}$ + c | + $\frac{27}{4}$

$\frac{177}{16}$ = c

also c= $\frac{177}{16}$ ≈ 11.06

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{9}{4}$⋅t + $\frac{177}{16}$ oder y=-2.25t +11.06

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{9}{4}t+\frac{177}{16}$

$-\frac{9}{4}t+\frac{177}{16}$	=	0	|⋅ 16
$16\left(-\frac{9}{4}t+\frac{177}{16}\right)$	=	0
$-36t+177$	=	0	| $-177$
$-36t$	=	$-177$	|:($-36$)
$t$	=	$\frac{59}{12}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{59}{12}$ ≈ 4.92.