Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)+3$

= $12+3$

= $15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)$ = $-3\cdot 4-6$ = $-12-6$ = $-18$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-18$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-18$ = $15$⋅( $-2$) + c

$-18$ = $-30$ + c | + $30$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $15$⋅x + $12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}x+0$

= $-\frac{2}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot 1$

= $-\frac{2}{3}$

≈ -0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{2}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 1^2+3$ = $-\frac{1}{3}\cdot 1+3$ = $-\frac{1}{3}+3$ = $-\frac{1}{3}+\frac{9}{3}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{8}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{8}{3}$ = $-\frac{2}{3}$⋅ $1$ + c

$\frac{8}{3}$ = $-\frac{2}{3}$ + c | + $\frac{2}{3}$

$\frac{10}{3}$ = c

also c= $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{2}{3}$⋅x + $\frac{10}{3}$ oder y=-0.67x +3.33

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0-3$

= $0-3$

= $-3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $0^2-3\cdot 0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{1}{3}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{3}$⋅x +0 oder y=0.33x

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3+2x^2-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+4x+0$

f'(-1) = $3\cdot {\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)$ = $3\cdot 1-4$ = $3-4$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+10x+5$ ab:

f'(x) = $2x+10$

Es muss gelten:

$2x+10$	=	$2$	| $-10$
$2x$	=	$-8$	|:$2$
$x$	=	$-4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+0$

= $-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-1\right)$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2-3$ = $-3\cdot 1-3$ = $-3-3$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $6$⋅( $-1$) + c

$-6$ = $-6$ + c | + $6$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x +0

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $6x$

$6x$	=	0	|:$6$
$x$	=	0

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = 0.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{12}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}{t}^2$

= $-\frac{1}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3^2$

= $-\frac{1}{4}\cdot 9$

= $-\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{9}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $8-\frac{1}{12}\cdot 3^3$ = $8-\frac{1}{12}\cdot 27$ = $8-\frac{9}{4}$ = $\frac{32}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{23}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{23}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{23}{4}$ = $-\frac{9}{4}$⋅3 + c

$\frac{23}{4}$ = $-\frac{27}{4}$ + c | + $\frac{27}{4}$

$\frac{25}{2}$ = c

also c= $\frac{25}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{9}{4}$⋅t + $\frac{25}{2}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{9}{4}t+\frac{25}{2}$

$-\frac{9}{4}t+\frac{25}{2}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{9}{4}t+\frac{25}{2}\right)$	=	0
$-9t+50$	=	0	| $-50$
$-9t$	=	$-50$	|:($-9$)
$t$	=	$\frac{50}{9}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{50}{9}$ ≈ 5.56.