Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+0$

= $4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot \left(-1\right)$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot {\left(-1\right)}^2-4$ = $2\cdot 1-4$ = $2-4$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $-4$⋅( $-1$) + c

$-2$ = $4$ + c | $-4$

$-6$ = c

also c= $-6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x $-6$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 1+5$

= $-4+5$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2+5\cdot 1$ = $-2\cdot 1+5$ = $-2+5$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $1$⋅ $1$ + c

$3$ = $1$ + c | $-1$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot {\left(-1\right)}^2-4$

= $-6\cdot 1-4$

= $-6-4$

= $-10$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{10}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-1\right)}^3-4\cdot \left(-1\right)$ = $-2\cdot \left(-1\right)+4$ = $2+4$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $\frac{1}{10}$⋅( $-1$) + c

$6$ = $-\frac{1}{10}$ + c | + $\frac{1}{10}$

$\frac{61}{10}$ = c

also c= $\frac{61}{10}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{10}$⋅x + $\frac{61}{10}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-1+0$

f'(0) = $0-1$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{20}{x}^4-26x+7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{5}{x}^3-26$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{5}{x}^3-26$	=	$-1$	| $+26$
$-\frac{1}{5}{x}^3$	=	$25$	|⋅ $\left(-5\right)$
$x^3$	=	$-125$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{125}$	= $-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-1\right)+1$

= $6+1$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2-1$ = $-3\cdot 1-1$ = $-3-1$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $7$⋅( $-1$) + c

$-4$ = $-7$ + c | + $7$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $7x+3$

$7x+3$	=	0	| $-3$
$7x$	=	$-3$	|:$7$
$x$	=	$-\frac{3}{7}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{3}{7}$ ≈ -0.43.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $10-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $10-\frac{1}{4}\cdot 2^2$ = $10-\frac{1}{4}\cdot 4$ = $10-1$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-1$⋅2 + c

$9$ = $-2$ + c | + $2$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $11$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+11$

$-t+11$	=	0	| $-11$
$-t$	=	$-11$	|:($-1$)
$t$	=	$11$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $11$.