Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $12\cdot 2^2+1$

= $12\cdot 4+1$

= $48+1$

= $49$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $49$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 2^3+2$ = $4\cdot 8+2$ = $32+2$ = $34$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $34$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$34$ = $49$⋅ $2$ + c

$34$ = $98$ + c | $-98$

$-64$ = c

also c= $-64$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $49$⋅x $-64$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^3-\frac{1}{6}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-\frac{1}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-15\cdot 1^2-\frac{1}{3}\cdot 1$

= $-15\cdot 1-\frac{1}{3}$

= $-15-\frac{1}{3}$

= $-\frac{45}{3}-\frac{1}{3}$

= $-\frac{46}{3}$

≈ -15.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{46}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 1^3-\frac{1}{6}\cdot 1^2$ = $-5\cdot 1-\frac{1}{6}\cdot 1$ = $-5-\frac{1}{6}$ = $-\frac{30}{6}-\frac{1}{6}$ = $-\frac{31}{6}$ ≈ -5.17

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{31}{6}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{31}{6}$ = $-\frac{46}{3}$⋅ $1$ + c

$-\frac{31}{6}$ = $-\frac{46}{3}$ + c | + $\frac{46}{3}$

$\frac{61}{6}$ = c

also c= $\frac{61}{6}$ ≈ 10.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{46}{3}$⋅x + $\frac{61}{6}$ oder y=-15.33x +10.17

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x^2-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ ${\left(-2\right)}^2-2$

= $4-2$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3-2\cdot \left(-2\right)$ = $\frac{1}{3}\cdot \left(-8\right)+4$ = $-\frac{8}{3}+4$ = $-\frac{8}{3}+\frac{12}{3}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $\frac{4}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{4}{3}$ = $-\frac{1}{2}$⋅( $-2$) + c

$\frac{4}{3}$ = $1$ + c | $-1$

$\frac{1}{3}$ = c

also c= $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x + $\frac{1}{3}$ oder y=-0.5x +0.33

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4+2x-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^3+2+0$

f'(2) = $-6\cdot 2^3+2$ = $-6\cdot 8+2$ = $-48+2$ = $-46$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-46$)) ≈ -88.8°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+80x-1$ ab:

f'(x) = $3x^3+80$

Es muss gelten:

$3x^3+80$	=	$-1$	| $-80$
$3x^3$	=	$-81$	|:$3$
$x^3$	=	$-27$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{27}$	= $-3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-1+0$

= $3x^2-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-1$

= $3\cdot 1-1$

= $3-1$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-\left(-1\right)-4$ = $\left(-1\right)+1-4$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $2$⋅( $-1$) + c

$-4$ = $-2$ + c | + $2$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $2x-2$

$2x-2$	=	0	| $+2$
$2x$	=	$2$	|:$2$
$x$	=	$1$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $1$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{4}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{4}{t}^2$

= $-\frac{3}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot 2^2$

= $-\frac{3}{4}\cdot 4$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $8-\frac{1}{4}\cdot 2^3$ = $8-\frac{1}{4}\cdot 8$ = $8-2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-3$⋅2 + c

$6$ = $-6$ + c | + $6$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $12$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+12$

$-3t+12$	=	0	| $-12$
$-3t$	=	$-12$	|:($-3$)
$t$	=	$4$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $4$.