Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot 2^2$

= $9\cdot 4$

= $36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 2^3+3$ = $3\cdot 8+3$ = $24+3$ = $27$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $27$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$27$ = $36$⋅ $2$ + c

$27$ = $72$ + c | $-72$

$-45$ = c

also c= $-45$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $36$⋅x $-45$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-2\right)-3$

= $4-3$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^2-3\cdot \left(-2\right)$ = $-4+6$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $1$⋅( $-2$) + c

$2$ = $-2$ + c | + $2$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x + $4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3+\frac{2}{3}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+\frac{4}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 1^2+\frac{4}{3}\cdot 1$

= $6\cdot 1+\frac{4}{3}$

= $6+\frac{4}{3}$

= $\frac{18}{3}+\frac{4}{3}$

= $\frac{22}{3}$

≈ 7.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{3}{22}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{3}{22}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 1^3+\frac{2}{3}\cdot 1^2$ = $2\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot 1$ = $2+\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{3}+\frac{2}{3}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{8}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{8}{3}$ = $-\frac{3}{22}$⋅ $1$ + c

$\frac{8}{3}$ = $-\frac{3}{22}$ + c | + $\frac{3}{22}$

$\frac{185}{66}$ = c

also c= $\frac{185}{66}$ ≈ 2.8

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{3}{22}$⋅x + $\frac{185}{66}$ oder y=-0.14x +2.8

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x+2$

f'(2) = $-3\cdot 2+2$ = $-6+2$ = $-4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-4$)) ≈ -76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-52x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-52$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{7}{x}^3-52$	=	$-3$	| $+52$
$-\frac{1}{7}{x}^3$	=	$49$	|⋅ $\left(-7\right)$
$x^3$	=	$-343$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{343}$	= $-7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)-1$

= $12-1$

= $11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)$ = $-3\cdot 4+2$ = $-12+2$ = $-10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-10$ = $11$⋅( $-2$) + c

$-10$ = $-22$ + c | + $22$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $11$⋅x + $12$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $11x+12$

$11x+12$	=	0	| $-12$
$11x$	=	$-12$	|:$11$
$x$	=	$-\frac{12}{11}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{12}{11}$ ≈ -1.09.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{56}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{14}{t}^3$

= $-\frac{1}{14}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{14}\cdot 3^3$

= $-\frac{1}{14}\cdot 27$

= $-\frac{27}{14}$

≈ -1.93

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{27}{14}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $5-\frac{1}{56}\cdot 3^4$ = $5-\frac{1}{56}\cdot 81$ = $5-\frac{81}{56}$ = $\frac{280}{56}-\frac{81}{56}$ = $\frac{199}{56}$ ≈ 3.55

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{199}{56}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{199}{56}$ = $-\frac{27}{14}$⋅3 + c

$\frac{199}{56}$ = $-\frac{81}{14}$ + c | + $\frac{81}{14}$

$\frac{523}{56}$ = c

also c= $\frac{523}{56}$ ≈ 9.34

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{27}{14}$⋅t + $\frac{523}{56}$ oder y=-1.93t +9.34

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{27}{14}t+\frac{523}{56}$

$-\frac{27}{14}t+\frac{523}{56}$	=	0	|⋅ 56
$56\left(-\frac{27}{14}t+\frac{523}{56}\right)$	=	0
$-108t+523$	=	0	| $-523$
$-108t$	=	$-523$	|:($-108$)
$t$	=	$\frac{523}{108}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{523}{108}$ ≈ 4.84.