Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot \left(-1\right)-3$

= $10-3$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)$ = $-5\cdot 1+3$ = $-5+3$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $7$⋅( $-1$) + c

$-2$ = $-7$ + c | + $7$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x + $5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2+1$

= $3\cdot 1+1$

= $3+1$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-1$ = $\left(-1\right)-1$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $4$⋅( $-1$) + c

$-2$ = $-4$ + c | + $4$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 1+3$

= $-6+3$

= $-3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^2+3\cdot 1$ = $-3\cdot 1+3$ = $-3+3$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{1}{3}$⋅ $1$ + c

0 = $\frac{1}{3}$ + c | $-\frac{1}{3}$

$-\frac{1}{3}$ = c

also c= $-\frac{1}{3}$ ≈ -0.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{3}$⋅x $-\frac{1}{3}$ oder y=0.33x -0.33

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+2$

f'(-3) = $-\frac{9}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2+2$ = $-\frac{9}{2}\cdot 9+2$ = $-\frac{81}{2}+2$ = $-\frac{77}{2}$ ≈ -38.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{77}{2}$)) ≈ -88.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+8$ ab:

f'(x) = $2x$

Es muss gelten:

$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)$

= $3\cdot 1+2$

= $3+2$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2$ = $\left(-1\right)-1$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $5$⋅( $-1$) + c

$-2$ = $-5$ + c | + $5$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $5x+3$

$5x+3$	=	0	| $-3$
$5x$	=	$-3$	|:$5$
$x$	=	$-\frac{3}{5}$ = -0.6

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{3}{5}$ ≈ -0.6.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{4}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{4}{t}^2$

= $-\frac{3}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot 2^2$

= $-\frac{3}{4}\cdot 4$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $9-\frac{1}{4}\cdot 2^3$ = $9-\frac{1}{4}\cdot 8$ = $9-2$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $-3$⋅2 + c

$7$ = $-6$ + c | + $6$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $13$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+13$

$-3t+13$	=	0	| $-13$
$-3t$	=	$-13$	|:($-3$)
$t$	=	$\frac{13}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{13}{3}$ ≈ 4.33.