Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-1\right)+5$

= $8+5$

= $13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-1\right)}^2+5\cdot \left(-1\right)$ = $-4\cdot 1-5$ = $-4-5$ = $-9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-9$ = $13$⋅( $-1$) + c

$-9$ = $-13$ + c | + $13$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $13$⋅x + $4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-\frac{1}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-\frac{1}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-10\cdot 0-\frac{1}{2}$

= $0-\frac{1}{2}$

= $0-\frac{1}{2}$

= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-5\cdot 0^2-\frac{1}{2}\cdot 0$ = $-5\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{1}{2}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{2}$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $6\cdot 0^2+1$

= $6\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^3+0$ = $2\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-1$⋅x +0

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{3}{2}{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{9}{2}{x}^2$

f'(-2) = $4\cdot {\left(-2\right)}^3+\frac{9}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $4\cdot \left(-8\right)+\frac{9}{2}\cdot 4$ = $-32+18$ = $-14$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-14$)) ≈ -85.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+1$ ab:

f'(x) = $x^3$

Es muss gelten:

$x^3$	=	$-1$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{1}$	= $-1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-2x+6$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x-2+0$

= $4x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0-2$

= $0-2$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^2-2\cdot 0+6$ = $2\cdot 0+0+6$ = $0+0+6$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-2$⋅0 + c

$6$ = 0 + c

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-2x+6$

$-2x+6$	=	0	| $-6$
$-2x$	=	$-6$	|:($-2$)
$x$	=	$3$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $3$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{36}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{9}{t}^3$

= $-\frac{1}{9}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{9}\cdot 3^3$

= $-\frac{1}{9}\cdot 27$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $9-\frac{1}{36}\cdot 3^4$ = $9-\frac{1}{36}\cdot 81$ = $9-\frac{9}{4}$ = $\frac{36}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{27}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{27}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{27}{4}$ = $-3$⋅3 + c

$\frac{27}{4}$ = $-9$ + c | + $9$

$\frac{63}{4}$ = c

also c= $\frac{63}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $\frac{63}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+\frac{63}{4}$

$-3t+\frac{63}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-3t+\frac{63}{4}\right)$	=	0
$-12t+63$	=	0	| $-63$
$-12t$	=	$-63$	|:($-12$)
$t$	=	$\frac{21}{4}$ = 5.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{21}{4}$ ≈ 5.25.