Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+0$

= $-9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-9\cdot 1^2$

= $-9\cdot 1$

= $-9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^3-1$ = $-3\cdot 1-1$ = $-3-1$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-9$⋅ $1$ + c

$-4$ = $-9$ + c | + $9$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-9$⋅x + $5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)-1$

= $\frac{3}{2}-1$

= $\frac{3}{2}-\frac{2}{2}$

= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)$ = $-\frac{3}{4}\cdot 1+1$ = $-\frac{3}{4}+1$ = $-\frac{3}{4}+\frac{4}{4}$ = $\frac{1}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{1}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$⋅( $-1$) + c

$\frac{1}{4}$ = $-\frac{1}{2}$ + c | + $\frac{1}{2}$

$\frac{3}{4}$ = c

also c= $\frac{3}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $\frac{3}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{3}{2}\cdot 1-5$

= $\frac{3}{2}-5$

= $\frac{3}{2}-\frac{10}{2}$

= $-\frac{7}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{2}{7}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{2}{7}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{4}\cdot 1^2-5\cdot 1$ = $\frac{3}{4}\cdot 1-5$ = $\frac{3}{4}-5$ = $\frac{3}{4}-\frac{20}{4}$ = $-\frac{17}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{17}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{17}{4}$ = $\frac{2}{7}$⋅ $1$ + c

$-\frac{17}{4}$ = $\frac{2}{7}$ + c | $-\frac{2}{7}$

$-\frac{127}{28}$ = c

also c= $-\frac{127}{28}$ ≈ -4.54

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{2}{7}$⋅x $-\frac{127}{28}$ oder y=0.29x -4.54

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x-1$

f'(-3) = $-\frac{1}{2}\cdot \left(-3\right)-1$ = $\frac{3}{2}-1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{20}{x}^4-73x-4$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{5}{x}^3-73$

Es muss gelten:

$-\frac{3}{5}{x}^3-73$	=	$2$	| $+73$
$-\frac{3}{5}{x}^3$	=	$75$	|⋅ $\left(-\frac{5}{3}\right)$
$x^3$	=	$-125$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{125}$	= $-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-1\right)-5$

= $-2-5$

= $-7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^2-5\cdot \left(-1\right)$ = $1+5$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-7$⋅( $-1$) + c

$6$ = $7$ + c | $-7$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-7$⋅x $-1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-7x-1$

$-7x-1$	=	0	| $+1$
$-7x$	=	$1$	|:($-7$)
$x$	=	$-\frac{1}{7}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{1}{7}$ ≈ -0.14.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $14-\frac{1}{72}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{18}{t}^3$

= $-\frac{1}{18}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{18}\cdot 4^3$

= $-\frac{1}{18}\cdot 64$

= $-\frac{32}{9}$

≈ -3.56

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{32}{9}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $14-\frac{1}{72}\cdot 4^4$ = $14-\frac{1}{72}\cdot 256$ = $14-\frac{32}{9}$ = $\frac{126}{9}-\frac{32}{9}$ = $\frac{94}{9}$ ≈ 10.44

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{94}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{94}{9}$ = $-\frac{32}{9}$⋅4 + c

$\frac{94}{9}$ = $-\frac{128}{9}$ + c | + $\frac{128}{9}$

$\frac{74}{3}$ = c

also c= $\frac{74}{3}$ ≈ 24.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{32}{9}$⋅t + $\frac{74}{3}$ oder y=-3.56t +24.67

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{32}{9}t+\frac{74}{3}$

$-\frac{32}{9}t+\frac{74}{3}$	=	0	|⋅ 9
$9\left(-\frac{32}{9}t+\frac{74}{3}\right)$	=	0
$-32t+222$	=	0	| $-222$
$-32t$	=	$-222$	|:($-32$)
$t$	=	$\frac{111}{16}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{111}{16}$ ≈ 6.94.