Aufgabenbeispiele von Tangenten
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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit an der Stelle x=
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=
Tangente anlegen
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit an der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B( | ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅( ) + c
= + c | +
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x +
Normale anlegen
Beispiel:
Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit an der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:
mn= -
also mn=
Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B( | ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅( ) + c
= + c |
= c
also c= ≈ -5.13
Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= ⋅x oder y=-0.13x -5.13
Steigungswinkel
Beispiel:
Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit im Punkt P(1|f(1)):
Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).
Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:
=>
f'(1) = = = =
Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:
tan(α) = m.
Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:
α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( )) ≈ -45°.
Steigungswinkel rückwärts
Beispiel:
In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit angelegt.
Bestimme x0.
Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.
Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.
Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 1 gelten.
Wir leiten somit f mit ab:
f'(x) =
Es muss gelten:
| = | | | ||
| = | |⋅ | ||
| = | | | ||
| = | = |
Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -7.
Nullstelle einer Tangente
Beispiel:
Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit im Punkt B( |f( )) die x-Achse schneidet:
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B( | ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅( ) + c
= + c | +
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x +
Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y =
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = ≈ -1.09.
Nullstelle einer Tangente Anwendung
Beispiel:
Das Wasservolumen in einem Wassertank lässt sich näherungsweise durch den Term beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m³).
Nach 4 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=4s hatte.
Wann ist der Tank leer?
Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= t+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B(4| ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅4 + c
= + c | +
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅t +
Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y =
| = | |⋅ 5 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = ≈ 7.67.
