Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3+2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-12\cdot 0^2+4\cdot 0$

= $-12\cdot 0+0$

= $0+0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^3+2\cdot 0^2$ = $-4\cdot 0+2\cdot 0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{9}{x}^3-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^2+0$

= $-\frac{4}{3}{x}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot 0^2$

= $-\frac{4}{3}\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{4}{9}\cdot 0^3-2$ = $-\frac{4}{9}\cdot 0-2$ = $0-2$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = 0⋅0 + c

$-2$ = 0 + c

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+0$

= $-\frac{1}{2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2+4$ = $-\frac{1}{4}\cdot 4+4$ = $-1+4$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-1$⋅( $-2$) + c

$3$ = $2$ + c | $-2$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-1$⋅x + $1$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+2x$

f'(2) = $-2\cdot 2^3+2\cdot 2$ = $-2\cdot 8+4$ = $-16+4$ = $-12$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-12$)) ≈ -85.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-9$ ab:

f'(x) = $2x^3$

Es muss gelten:

$2x^3$	=	$2$	|:$2$
$x^3$	=	$1$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-2\right)$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^2+2$ = $-4+2$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $4$⋅( $-2$) + c

$-2$ = $-8$ + c | + $8$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $4x+6$

$4x+6$	=	0	| $-6$
$4x$	=	$-6$	|:$4$
$x$	=	$-\frac{3}{2}$ = -1.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $7-\frac{1}{16}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{16}{t}^2$

= $-\frac{3}{16}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{3}{16}\cdot 3^2$

= $-\frac{3}{16}\cdot 9$

= $-\frac{27}{16}$

≈ -1.69

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{27}{16}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $7-\frac{1}{16}\cdot 3^3$ = $7-\frac{1}{16}\cdot 27$ = $7-\frac{27}{16}$ = $\frac{112}{16}-\frac{27}{16}$ = $\frac{85}{16}$ ≈ 5.31

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{85}{16}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{85}{16}$ = $-\frac{27}{16}$⋅3 + c

$\frac{85}{16}$ = $-\frac{81}{16}$ + c | + $\frac{81}{16}$

$\frac{83}{8}$ = c

also c= $\frac{83}{8}$ ≈ 10.38

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{27}{16}$⋅t + $\frac{83}{8}$ oder y=-1.69t +10.38

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{27}{16}t+\frac{83}{8}$

$-\frac{27}{16}t+\frac{83}{8}$	=	0	|⋅ 16
$16\left(-\frac{27}{16}t+\frac{83}{8}\right)$	=	0
$-27t+166$	=	0	| $-166$
$-27t$	=	$-166$	|:($-27$)
$t$	=	$\frac{166}{27}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{166}{27}$ ≈ 6.15.