Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-9\cdot 2^2+4$

= $-9\cdot 4+4$

= $-36+4$

= $-32$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-32$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 2^3+4\cdot 2$ = $-3\cdot 8+8$ = $-24+8$ = $-16$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-16$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-16$ = $-32$⋅ $2$ + c

$-16$ = $-64$ + c | + $64$

$48$ = c

also c= $48$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-32$⋅x + $48$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-0-4$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 0^2-4\cdot 0$ = $-\frac{1}{2}\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-4$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 1$

= $-4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2+4$ = $-2\cdot 1+4$ = $-2+4$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $\frac{1}{4}$⋅ $1$ + c

$2$ = $\frac{1}{4}$ + c | $-\frac{1}{4}$

$\frac{7}{4}$ = c

also c= $\frac{7}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{4}$⋅x + $\frac{7}{4}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-\frac{1}{2}$

f'(-1) = ${\left(-1\right)}^3-\frac{1}{2}$ = $\left(-1\right)-\frac{1}{2}$ = $-1-\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{3}{2}$)) ≈ -56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{20}{x}^4-24x+6$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5}{x}^3-24$

Es muss gelten:

$\frac{1}{5}{x}^3-24$	=	$1$	| $+24$
$\frac{1}{5}{x}^3$	=	$25$	|⋅$5$
$x^3$	=	$125$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 1+4$

= $10+4$

= $14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $14$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 1^2+4\cdot 1$ = $5\cdot 1+4$ = $5+4$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $14$⋅ $1$ + c

$9$ = $14$ + c | $-14$

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $14$⋅x $-5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $14x-5$

$14x-5$	=	0	| $+5$
$14x$	=	$5$	|:$14$
$x$	=	$\frac{5}{14}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{5}{14}$ ≈ 0.36.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $7-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $7-\frac{1}{8}\cdot 3^2$ = $7-\frac{1}{8}\cdot 9$ = $7-\frac{9}{8}$ = $\frac{56}{8}-\frac{9}{8}$ = $\frac{47}{8}$ ≈ 5.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{47}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{47}{8}$ = $-\frac{3}{4}$⋅3 + c

$\frac{47}{8}$ = $-\frac{9}{4}$ + c | + $\frac{9}{4}$

$\frac{65}{8}$ = c

also c= $\frac{65}{8}$ ≈ 8.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅t + $\frac{65}{8}$ oder y=-0.75t +8.13

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{4}t+\frac{65}{8}$

$-\frac{3}{4}t+\frac{65}{8}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{3}{4}t+\frac{65}{8}\right)$	=	0
$-6t+65$	=	0	| $-65$
$-6t$	=	$-65$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{65}{6}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{65}{6}$ ≈ 10.83.