Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^3-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $15x^2+0$

= $15x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $15\cdot 2^2$

= $15\cdot 4$

= $60$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $60$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 2^3-1$ = $5\cdot 8-1$ = $40-1$ = $39$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $39$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$39$ = $60$⋅ $2$ + c

$39$ = $120$ + c | $-120$

$-81$ = c

also c= $-81$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $60$⋅x $-81$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-2\right)+4$

= $4+4$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)$ = $-4-8$ = $-12$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-12$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-12$ = $8$⋅( $-2$) + c

$-12$ = $-16$ + c | + $16$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x + $4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot 1^2+2\cdot 1$

= $9\cdot 1+2$

= $9+2$

= $11$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{11}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{11}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^3+1^2$ = $3\cdot 1+1$ = $3+1$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-\frac{1}{11}$⋅ $1$ + c

$4$ = $-\frac{1}{11}$ + c | + $\frac{1}{11}$

$\frac{45}{11}$ = c

also c= $\frac{45}{11}$ ≈ 4.09

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{11}$⋅x + $\frac{45}{11}$ oder y=-0.09x +4.09

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-x^3-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-3x^2+0$

f'(2) = $2^3-3\cdot 2^2$ = $8-3\cdot 4$ = $8-12$ = $-4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-4$)) ≈ -76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-57x-7$ ab:

f'(x) = $2x^3-57$

Es muss gelten:

$2x^3-57$	=	$-3$	| $+57$
$2x^3$	=	$54$	|:$2$
$x^3$	=	$27$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+0+0$

= $4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot \left(-1\right)$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot {\left(-1\right)}^2-2+4$ = $2\cdot 1-2+4$ = $2-2+4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-4$⋅( $-1$) + c

$4$ = $4$ + c | $-4$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x +0

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4x$

$-4x$	=	0	|:($-4$)
$x$	=	0

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = 0.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $8-\frac{1}{4}\cdot 3^2$ = $8-\frac{1}{4}\cdot 9$ = $8-\frac{9}{4}$ = $\frac{32}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{23}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{23}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{23}{4}$ = $-\frac{3}{2}$⋅3 + c

$\frac{23}{4}$ = $-\frac{9}{2}$ + c | + $\frac{9}{2}$

$\frac{41}{4}$ = c

also c= $\frac{41}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅t + $\frac{41}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{2}t+\frac{41}{4}$

$-\frac{3}{2}t+\frac{41}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{2}t+\frac{41}{4}\right)$	=	0
$-6t+41$	=	0	| $-41$
$-6t$	=	$-41$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{41}{6}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{41}{6}$ ≈ 6.83.