Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+3x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $9\cdot 0^2+6\cdot 0$

= $9\cdot 0+0$

= $0+0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^3+3\cdot 0^2$ = $3\cdot 0+3\cdot 0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-\frac{3}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-\frac{3}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-6\cdot 0-\frac{3}{2}$

= $0-\frac{3}{2}$

= $0-\frac{3}{2}$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-3\cdot 0^2-\frac{3}{2}\cdot 0$ = $-3\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{3}{2}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+0$

= $10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 2$

= $20$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{20}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{20}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 2^2+5$ = $5\cdot 4+5$ = $20+5$ = $25$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $25$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$25$ = $-\frac{1}{20}$⋅ $2$ + c

$25$ = $-\frac{1}{10}$ + c | + $\frac{1}{10}$

$\frac{251}{10}$ = c

also c= $\frac{251}{10}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{20}$⋅x + $\frac{251}{10}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4-3x^3-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^3-9x^2+0$

f'(-1) = $-6\cdot {\left(-1\right)}^3-9\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-6\cdot \left(-1\right)-9\cdot 1$ = $6-9$ = $-3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-3$)) ≈ -71.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-51x+3$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-51$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{7}{x}^3-51$	=	$-2$	| $+51$
$-\frac{1}{7}{x}^3$	=	$49$	|⋅ $\left(-7\right)$
$x^3$	=	$-343$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{343}$	= $-7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot 1-4$

= $-8-4$

= $-12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 1^2-4\cdot 1$ = $-4\cdot 1-4$ = $-4-4$ = $-8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8$ = $-12$⋅ $1$ + c

$-8$ = $-12$ + c | + $12$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-12$⋅x + $4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-12x+4$

$-12x+4$	=	0	| $-4$
$-12x$	=	$-4$	|:($-12$)
$x$	=	$\frac{1}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $7-\frac{1}{8}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}{t}^3$

= $-\frac{1}{2}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{2}\cdot 8$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $7-\frac{1}{8}\cdot 2^4$ = $7-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $7-2$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-4$⋅2 + c

$5$ = $-8$ + c | + $8$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅t + $13$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4t+13$

$-4t+13$	=	0	| $-13$
$-4t$	=	$-13$	|:($-4$)
$t$	=	$\frac{13}{4}$ = 3.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{13}{4}$ ≈ 3.25.