Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 1+4$

= $-10+4$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 1^2+4\cdot 1$ = $-5\cdot 1+4$ = $-5+4$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-6$⋅ $1$ + c

$-1$ = $-6$ + c | + $6$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+0$

= $-10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-10\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-5\cdot 0^2+2$ = $-5\cdot 0+2$ = $0+2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = 0⋅0 + c

$2$ = 0 + c

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot 2^2-3$

= $-3\cdot 4-3$

= $-12-3$

= $-15$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{15}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{15}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2^3-3\cdot 2$ = $-8-6$ = $-14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-14$ = $\frac{1}{15}$⋅ $2$ + c

$-14$ = $\frac{2}{15}$ + c | $-\frac{2}{15}$

$-\frac{212}{15}$ = c

also c= $-\frac{212}{15}$ ≈ -14.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{15}$⋅x $-\frac{212}{15}$ oder y=0.07x -14.13

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x^2+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+2x+0$

f'(2) = $-2^3+2\cdot 2$ = $-8+4$ = $-8+4$ = $-4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-4$)) ≈ -76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{20}{x}^4-27x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{5}{x}^3-27$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{5}{x}^3-27$	=	$-2$	| $+27$
$-\frac{1}{5}{x}^3$	=	$25$	|⋅ $\left(-5\right)$
$x^3$	=	$-125$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{125}$	= $-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2+2$

= $3\cdot 1+2$

= $3+2$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+2\cdot 1$ = $1+2$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $5$⋅ $1$ + c

$3$ = $5$ + c | $-5$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $5x-2$

$5x-2$	=	0	| $+2$
$5x$	=	$2$	|:$5$
$x$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{2}{5}$ ≈ 0.4.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $11-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 4$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $11-\frac{1}{8}\cdot 4^2$ = $11-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $11-2$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-1$⋅4 + c

$9$ = $-4$ + c | + $4$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $13$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+13$

$-t+13$	=	0	| $-13$
$-t$	=	$-13$	|:($-1$)
$t$	=	$13$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $13$.