Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+0$

= $10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 1$

= $10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 1^2-4$ = $5\cdot 1-4$ = $5-4$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $10$⋅ $1$ + c

$1$ = $10$ + c | $-10$

$-9$ = c

also c= $-9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $10$⋅x $-9$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3-3x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 2^2-6\cdot 2$

= $-6\cdot 4-12$

= $-24-12$

= $-36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 2^3-3\cdot 2^2$ = $-2\cdot 8-3\cdot 4$ = $-16-12$ = $-28$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-28$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-28$ = $-36$⋅ $2$ + c

$-28$ = $-72$ + c | + $72$

$44$ = c

also c= $44$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-36$⋅x + $44$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-2\right)-2$

= $8-2$

= $6$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{6}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{6}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)$ = $-2\cdot 4+4$ = $-8+4$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-\frac{1}{6}$⋅( $-2$) + c

$-4$ = $\frac{1}{3}$ + c | $-\frac{1}{3}$

$-\frac{13}{3}$ = c

also c= $-\frac{13}{3}$ ≈ -4.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{6}$⋅x $-\frac{13}{3}$ oder y=-0.17x -4.33

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $x+1$

f'(-3) = $-3+1$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-21x+3$ ab:

f'(x) = $3x-21$

Es muss gelten:

$3x-21$	=	$-3$	| $+21$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-4\cdot 1$

= $3\cdot 1-4$

= $3-4$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3-2\cdot 1^2$ = $1-2\cdot 1$ = $1-2$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-1$⋅ $1$ + c

$-1$ = $-1$ + c | + $1$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x +0

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-x$

$-x$	=	0	|:($-1$)
$x$	=	0

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = 0.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $8-\frac{1}{4}\cdot 2^2$ = $8-\frac{1}{4}\cdot 4$ = $8-1$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $-1$⋅2 + c

$7$ = $-2$ + c | + $2$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $9$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+9$

$-t+9$	=	0	| $-9$
$-t$	=	$-9$	|:($-1$)
$t$	=	$9$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $9$.