Wenn man im Punkt (-4|-2.1) die Tangente einzeichnet (bzw. eben am Bildschirm ein Lineal anlegt), kann man die Ableitung von f bei x=-4, also f'(-4), an der Steigung der Tagente ablesen.

Wenn man ein Steigungsdreieck einzeichnet, bzw. es sich eben vorstellt, kann man erkennen, dass wenn man 2 nach recht geht, dass man um -1.2 nach oben (bzw. 1.2 nach unten) muss.

Jetzt kann man die Tangentensteigung f'(-4) berechnen als
f'(-4)=m=$\frac{\mathrm{-1.2}}{2}$ ≈ -0.62.

f '(x₀) = 2.3 bedeutet, dass an der gesuchten Stelle x₀ die Tangentensteigung 2.3 sein muss.

Man muss nun also eine Gerade mit der Steigung m=2.3 an den Graph von f anlegen.

Evtl. kann man auch erst einmal eine beliebige Gerade mit der Steigung m=2.3 einzeichnen und sucht dann eine Parallele dazu, die den Graph von f berührt.

Man erkennt an der eingezeichneten Tangente dass sich bei x ≈ -4.5 eine Tangente mit der gesuchten Steigung f'=m=2.3 einzeichnen lässt.

Aus der Zeichnung kann man erkennen:

f(1) > 0, weil der Funktionswert oberhalb der x-Achse liegt.

f'(1) = 0, weil der Graph bei x= 1 eine waagrechte Tangente hat (also Tangentensteigung=0).

f''(1) < 0, weil der Graph bei x= 1 in einer Rechtskurve ist (die Steigungswerte sind dort streng monoton fallend).

Am einfachsten ist es, wenn man zu Beginn erst einmal auf die Stellen schaut, wo man eine waagrechte Tangente anlegen kann (also Hoch- und Tiefpunkte sowie Wendepunkte).

zu Schaubild Nr. 1

An der Stelle mit waagrechter Tangente bei x = -1 im Schaubild der Originalfunktion oben muss in der Ableitungsfunktion ja eine Nullstelle sein (weil ja eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat).

Wir sehen, dass dies hier der Fall ist. Auch jeweils links uns rechts dieser Stelle stimmen die Vorzeichen der Ableitungswerte mit den Vorzeichen der Steigungswerte in der Originalfunktion oben überein. (wo die Originalfunktion steigt, sind die Ableitungswerte positiv - wo sie fällt sind die Ableitungswerte negativ).

Wir finden also keine Anzeichen dafür, dass dieses Schaubild nicht die richtige Ableitung zeigen sollte

zu Schaubild Nr. 2

An der Stelle mit waagrechter Tangente bei x = -1 im Schaubild der Originalfunktion oben muss in der Ableitungsfunktion ja eine Nullstelle sein (weil ja eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat).

Das ist hier zwar der Fall, jedoch passen hier die Ableitungswerte, wenn man sich stark negative x-Werte anschaut, nicht zu den Steigungen in der Originalfunktion oben.

Während die Tangenten bei der Originalfunktion am linken Rand ziemlich steil sind, also betragsmäßig große Steigungswerte haben, sind die Funktionswerte im Schaubild Nr. 2 fast =0.

Also kann dieses Schaubild nicht den Graph der Ableitungsfunktion zeigen.

zu Schaubild Nr. 3

An der Stelle mit waagrechter Tangente bei x = -1 im Schaubild der Originalfunktion oben muss in der Ableitungsfunktion ja eine Nullstelle sein (weil ja eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat).

Hier sieht man schnell, dass dies nicht der Fall ist. Wir können also dieses Schaubild ausschließen.

zu Schaubild Nr. 4

An der Stelle mit waagrechter Tangente bei x = -1 im Schaubild der Originalfunktion oben muss in der Ableitungsfunktion ja eine Nullstelle sein (weil ja eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat).

Das ist hier zwar der Fall, jedoch stimmen links uns rechts dieser Stelle die Vorzeichen der Ableitungswerte nicht mit den Vorzeichen der Steigungswerte in der Originalfunktion oben überein:
Links von x=-1 ist die Originalfunktion fallend, die Werte der vermeintlichen Ableitungsfunktion im Schaubild Nr. 4 sind aber > 0.
Rechts von x=-1 ist die Originalfunktion steigend, die Werte der vermeintlichen Ableitungsfunktion im Schaubild Nr. 4 sind aber < 0.

Also kann dieses Schaubild nicht den Graph der Ableitungsfunktion zeigen.

Da wir die anderen drei Schaubilder ausschließen können,
muss das richtige Schaubild mit dem Graph der Ableitungsfunktion Schaubild 1 sein .

Der blau eingezeichnete Graph ist der der Ableitungsfunktion von f.

An den von dir gewählten Stellen sind mit dünnem rot die Tangenten an den ursprünglichen Graph eingezeichnet. Hier kann man näherungsweise die Steigungswerte und somit die Werte der Ableitung in desen Punkten ablesen.

Trägt man diese (und die Ableitungswerte weiterer Stellen) ins Schaubild ab, so erhält man den blau eingezeichneten Graph.

Sortiert werden sollen die Ableitungswerte f'(x) der angezeigten Funktion f(x)

Aus der Zeichnung kann man erkennen (Tangente anlegen und Steigung schätzen):

bei x = -5 ist die Ableitung ungefähr -3
bei x = -4.5 ist die Ableitung ungefähr -2.3
bei x = -3.5 ist die Ableitung ungefähr -0.8
bei x = -2 ist die Ableitung ungefähr 1.5

Daraus ergibt sich die folgende Reihenfolge:

f'(-5) < f'(-4.5) < f'(-3.5) < f'(-2)

Wenn man im Punkt (2|-1.4) die Tangente einzeichnet (bzw. eben am Bildschirm ein Lineal anlegt), kann man die Ableitung von f bei x=2, also f'(2), an der Steigung der Tagente ablesen.

Wenn man ein Steigungsdreieck einzeichnet, bzw. es sich eben vorstellt, kann man erkennen, dass wenn man 3 nach rechts geht, dass man um 1.2 nach oben (bzw. -1.2 nach unten) muss.

Jetzt kann man die Tangentensteigung f'(2) berechnen als
f'(2)=m=$\frac{\mathrm{1.2}}{3}$ ≈ 0.4.

Jetzt wissen wir also, dass die Tangentengleichung y = 0.4⋅x + c sein muss.

Den noch fehlenden y-Achsenabschnitt c kann man nun ganz einfach am Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ablesen: c ≈ -2.3

So erhalten wir also als Tangentengleichung: y = $\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,3}$ .

Die Änderungsrate zwischen a = 0.5 und b = 2.5 ist die durchschnittliche Änderung bei einer Einheit. Man muss also die tatsächliche Änderung f(2.5)-f(0.5) durch den Abstand der x-Werte 2.5 - 0.5 teilen.
(f(0.5) ≈ -3.5 und f(2.5) ≈ 3.2 kann man näherungsweise aus dem Schaubild ablesen.)

Für die Änderungsrate zwischen a = 0.5 und b = 2.5 ergibt sich also:
m = $\frac{\mathrm{f(b)\; -\; f(a)}}{\mathrm{b-a}}$ = $\frac{\mathrm{3.2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3.5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2.5\; -\; <mn>0.5</mn>}}$ = $\frac{\mathrm{6.7}}{2}$ ≈ 3.35

Die Änderungsrate kann man auch als Steigung der in blau eingezeichneten Sekante ablesen.

Wenn man im Punkt (0.5|-3.5) die Tangente (rot) einzeichnet (bzw. eben am Bildschirm ein Lineal anlegt), kann man die Ableitung von f bei x=0.5, also f'(0.5), an der Steigung der (roten) Tagente ablesen.

Wenn man ein Steigungsdreieck einzeichnet, bzw. es sich eben vorstellt, kann man erkennen, dass wenn man 2 nach links geht, dass man um -1.2 nach oben (bzw. 2 nach rechts und 1.2 nach oben) muss.

Jetzt kann man die Tangentensteigung f'(0.5) berechnen als
f'(0.5) = $\frac{\mathrm{1.2}}{2}$ ≈ 0.59.

Da der x-Wert des Berührpunkts ganzzahlig sein muss, kann man diesen gut aus dem Schuabild ablesen: x = -1.

Mithilfe eines Steigungsdreiecks an der eingezeichneten Tangente kann man auch recht gut die Tangentensteigung bei x = -1 ablesen:

f'(-1) = $-\frac{4}{5}$ ≈ -0.8.