Da unsere Zahl 0,523 nach dem Komma 3 Stellen hat, verschieben wir das Komma im Zähler um 3 Stellen nach links und wählen dafür als Nenner 1000, also:

0,523 = $\frac{523}{1000}$

Wir können einfach das Komma im Zähler um 2 Stellen nach links verschieben, um den Nenner loszuwerden:

$\frac{98}{100}$ = $\frac{\mathrm{0,98}}{1}$ = 0,98

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{2}{2}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 5, weil die Markierung eben auf dem 5-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{5}{2}$

Jetzt müssen wir eben noch den Bruch auf den Nenner 10 erweitern, um ihn in Dezimalschreibweise angeben zu können:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{25}{10}$ = 2,5

Da die Zahlen 3 Stellen oder weniger hinter dem Komma haben, können wir alle Dezimalzahlen auch als Brüch mit 1000 im Nenner schreiben:

4,222 = $\frac{4222}{1000}$

4,22 = $\frac{4220}{1000}$

4,391 = $\frac{4391}{1000}$

Jetzt können wir einfach die Zähler sortieren:

4220 < 4222 < 4391

Somit gilt für die gegebenen Dezimalzahlen:

4,22 < 4,222 < 4,391

Wir skizzieren am besten einen Zahlenstrahl und skalieren diesen mit Strichen immer nach 0.001, weil ja die beiden Zahlen bis zu 3 Stellen hintern dem Komma haben.

So erkennen wir dass das Strichchen genau in der Mitte zwischen 0,38 und 0,382 bei 0,381 sein muss.

Die Mitte von 0,38 und 0,382 ist also: 0,381

Wir haben ja 0 Hunderter + 0 Zehner + 0 Einer, 3 zehntel,7 hundertstel und 6 tausendstel.

Also gilt für unser Dezimalzahl 0⋅100 + 0⋅10 + 0⋅1 + 3⋅$\frac{1}{\mathrm{10}}$ + 7⋅$\frac{1}{\mathrm{100}}$ + 6⋅$\frac{1}{\mathrm{1000}}$
= 0⋅100 + 0⋅10 + 0⋅1 + 3⋅0,1 + 7⋅0,01 + 6⋅0,001
= 0 + 0 + 0 + 0.3 + 0.07 + 0.006
=0,376

Vergleich von $\frac{8}{7}$ und $\frac{9}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch (betragsmäßig) größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also also $\frac{8}{7}$ < $\frac{9}{7}$

Vergleich von $\frac{3}{7}$ und $\frac{1}{2}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{3}{7}$ = $\frac{6}{14}$

$\frac{1}{2}$ = $\frac{7}{14}$

Also gilt: $\frac{3}{7}$ = $\frac{6}{14}$ < $\frac{7}{14}$ = $\frac{1}{2}$.

Es gilt hier also also $\frac{3}{7}$ < $\frac{1}{2}$

Vergleich von $\frac{3}{4}$ und $\frac{9}{13}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{39}{52}$

$\frac{9}{13}$ = $\frac{36}{52}$

Also gilt: $\frac{3}{4}$ = $\frac{39}{52}$ > $\frac{36}{52}$ = $\frac{9}{13}$.

Es gilt hier also also $\frac{3}{4}$ > $\frac{9}{13}$