Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
An einem Sommertag wird an einer Kreuzung in der Stadt eine Verkehrszählung durchgeführt. Dabei werden in einer Stunde 15 Autos mit Verbrennungsmotor, 15 Elektroautos, 13 Fahrradfahrer und 7 Fußgänger gezählt.Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Verkehrsteilnehmer in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Verkehrsteilnehmer zusammen und erhalten: 15 + 15 + 13 + 7 = 50
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 50 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
Verbrennungsmotor-Auto: = = 30%
Elektroauto: = = 30%
Fahrrad: = = 26%
Fußgänger: = = 14%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 800 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 180°
B: 90°
C: 90°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=800 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅800 = 400 |
| B | = | ⋅800 = 200 |
| C | = | ⋅800 = 200 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 1100; 1000; 400; 200; 500; 1000
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
1100 + 1000 + 400 + 200 + 500 + 1000 = 4200
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = = 700
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 4, ⬜; 1; 9; 9 haben den Mittelwert 5.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 5
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 5
Wenn wir die Summe im Zähler durch 5 teilen, erhalten wir 5.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 5-fache von 5, also 5 ⋅ 5 = 25 sein, also ...
23 + ⬜ = 25
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 25 - 23 sein muss.
⬜ = 2
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
1,5€; 1,4€; 0,7€; 1,5€; 0,9€
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 0.7€ und der größte Wert, also das Maximum 1.5€ ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 1.5€ - 0.7€ = 0.8€.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
1,5€ + 1,4€ + 0,7€ + 1,5€ + 0,9€ = 6€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 5, teilen:
Mittelwert m = € = 1,2€
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 1.5€ | 2 |
| 1.4€ | 1 |
| 0.7€ | 1 |
| 0.9€ | 1 |
Der Modalwert ist also 1.5€, weil er als einziger 2 mal auftritt.
