Aufgabenbeispiele von Winkel
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Winkel in Uhr
Beispiel:
Wenn es 5:30 Uhr ist, wie groß ist dann der Winkel α zwischen den beiden Zeigern?
Gesucht ist der kleinere Winkel.
Die Uhr setzt sich aus 12 gleich großen Sektoren für die 12 Stunden zusammen. Also muss der Winkel zwischen zwei Stunde-Strichchen immer genau 360°:12 = 30° sein.
Der Winkel zwischen 12 Uhr und 5 Uhr ist also 5 ⋅ 30° = 150°.
Um 5:30 Uhr ist aber der kleine Stundezeiger genau in der Mitte zwischen 5 und 6, also ist der Winkel zwischen der 12 oben und dem (kleinen) Stundezeiger 150° + 15°, also 165°.
Gesucht ist ja aber der Winkel zwischen den beiden Zeigern. Und weil der große Minutenzeiger ja auf der 6, also 180° weg von der 12, steht, können wir einfach die Differenz der beiden Winkel (jeweils zwischen Zeiger und 12) berechnen:
180° - 165° = 15°
Somit ist der gesucht Winkel 15°.
Winkel messen/schätzen
Beispiel:
Wähle die passende Winkelgröße für den eingezeichneten Winkel α.
Wenn man das Geodreieck richtig anlegt, erkennt man, dass der gegebene Winkel 177° sein muss.
Winkel zu 180° ergänzen
Beispiel:
Berechne den eingezeichneten Winkel α.
Der blaue Winkel mit 137° und α ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, es gilt also:
137° + α = 180°
Also muss α doch 137° kleiner als 180° sein:
α = 180° - 137° = 43°
Innenwinkel Dreieck
Beispiel:
Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|2), B(8|2) und C(3|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.
Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann folgende Winkel abmessen:
α ≈ 68°
β ≈ 45°
γ ≈ 67°
Winkel im KoSy konstruieren (<180°)
Beispiel:
Zeichne die Punkte A(9|3) und B(2|3) in ein Koordinatensystem.
Zeichne den Winkel α = 56° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.
Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.
Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(7|0).
Innenwinkel +Winkeleinteilung
Beispiel:
Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|2), B(8|3) und C(4|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.
Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann man folgende Winkel abmessen:
α ≈ 45°
β ≈ 45°
γ ≈ 90°
Weil der größte Winkel γ = 90° ist, ist das Dreieck rechtwinklig.
Winkel im KoSy konstruieren
Beispiel:
Zeichne die Punkte A(9|3) und B(2|2) in ein Koordinatensystem.
Zeichne den Winkel α = 82° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.
Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.
Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(9|0).
Winkel von Kreisausschnitte
Beispiel:
(Alle Sektoren sind gleich groß)
Bestimme die Mittelpunktswinkel α der einzelnen Sektoren.
Wir können insgesamt 8 gleich große Sektoren erkennen.
Zusammen ergeben die 8 Sektoren einen vollen Kreis mit 360°, also gilt für den Mittelpunktswinkel eines Sektors:
α = = 45°
Kreiswinkel aus Säulendiagramm
Beispiel:
Daten
Bei einer Datenerhebung wurden 45 Personen befragt, die sich für eine der Optionen A, B, C oder D entscheiden müssen.
Das Ergebnis wurde im nebenstehenden Säulendiagramm veranschaulicht.
Bestimme jeweils die Mittelpunktswinkel der jeweiligen Sektoren, wenn dieses Ergebnis in einem Kreisdiagramm dargestellt werden soll.
Wir lesen zuerst die Werte aus dem Säulendiagramm ab: A: 5, B: 13, C: 20, D: 7
Zur Kontrolle, dass man nicht falsch abgelesen hat, kann man die Werte auch nochmals addieren: 5 + 13 + 20 + 7 = 45
Jetzt können wir die Anteile der einzelnen Optionen berechnen, in dem wir die Zahlenwerte einfach durch die Gesamtzahl der Personen 45 teilen:
A:
B:
C:
D:
Um die Winkelgrößen der Mittelpunktswinkel zu erhalten, müssen wir einfach die Anteile mit den 360° eines Vollkreises multiplizieren.
Dabei können wir jeweils immer überkreuz den Nenner 45 mit den 360 kürzen:
A: ⋅ 360° = 5 ⋅ 8° = 40°
B: ⋅ 360° = 13 ⋅ 8° = 104°
C: ⋅ 360° = 20 ⋅ 8° = 160°
D: ⋅ 360° = 7 ⋅ 8° = 56°
