Wir können insgesamt 16 Quadrate erkennen.

Davon sind 6 eingefärbt.

Es sind also 6 von 16 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{6}{16}$

1 km² sind ja 100 ha.

Also sind ein $\frac{1}{2}$ km² doch gerade 100 ha : 2 = 50 ha.

Ein $\frac{1}{6}$ von 12 Euro sind 12 : 6 = 2 Euro.

Also sind $\frac{5}{6}$ von 12 Euro 5 ⋅ 2 = 10 Euro.

Zuerst rechnen wir 1m² in 100 dm² um.

Ein $\frac{1}{25}$ von 100 dm² sind 100 dm² : 25 = 4 dm².

Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 60 min sind 60 min : 2 = 30 min.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 9:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 9}}{\mathrm{3\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{18}{27}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (56) und Nenner (40) sind:

$\frac{56}{40}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{28}{20}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{14}{10}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{7}{5}$

$\frac{56}{40}$ = $\frac{7}{5}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 8 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 7 nachher der neue Nenner 21 wird.

Wir müssen also mit 21 : 7 = 3 erweitern.

$\frac{2}{7}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 3}}{\mathrm{7\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{6}{21}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{1}{5}$ = $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{100}}$ = 20%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 8 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{8}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{8}{8}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 15, weil die Markierung eben auf dem 15-ten Strichchen liegt.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{15}{8}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -2 und -3 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen -2 und -3 liegt, muss der gemischte Bruch $-2\frac{1}{2}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-2\frac{1}{2}$ = $-\frac{4}{2}$ $-\frac{1}{2}$ = $-\frac{5}{2}$

Vergleich von $\frac{2}{3}$ und $\frac{1}{2}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{2}{3}$ > $\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{2}{3}$ > $\frac{1}{2}$

Vergleich von $\frac{13}{11}$ und $\frac{14}{11}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 11 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 11 teilt). Es gilt hier also $\frac{13}{11}$ < $\frac{14}{11}$

Vergleich von $\frac{3}{4}$ und $\frac{2}{3}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{9}{12}$

$\frac{2}{3}$ = $\frac{8}{12}$

Also gilt: $\frac{3}{4}$ = $\frac{9}{12}$ > $\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{19}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{11}{19}$ und $\frac{13}{19}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ und $1$ = $\frac{4}{4}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 4.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{8}$ und $\frac{4}{4}$ = $\frac{8}{8}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 2 und 8, nämlich $\frac{\mathrm{2\; +\; 8}}{2}$ = 5, somit ist also $\frac{5}{8}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{8}$ und $1$ = $\frac{8}{8}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$4\frac{5}{8}$

$\frac{21}{5}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 1}}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $4$ + $\frac{1}{5}$ = $4\frac{1}{5}$

$\frac{17}{4}$ = $\frac{\mathrm{16\; +\; 1}}{4}$ = $\frac{16}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $4$ + $\frac{1}{4}$ = $4\frac{1}{4}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 4 und 5 liegen. $4\frac{5}{8}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $4\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{5}{8}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{1}{5}$ oder $4\frac{1}{4}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{5}$ und $\frac{1}{4}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{5}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{4}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$4\frac{1}{5}$ < $4\frac{1}{4}$ < $4\frac{5}{8}$ , also

$\frac{21}{5}$ < $\frac{17}{4}$ < $4\frac{5}{8}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

5 = 3 + 2 = 1⋅3 + 2

also gilt:

$\frac{5}{3}$ = $\frac{\mathrm{1\cdot 3\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{\mathrm{1\cdot 3}}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = 1 + $\frac{2}{3}$

Somit gilt: $\frac{5}{3}$ = $1\frac{2}{3}$