Wir können insgesamt 9 Quadrate erkennen.

Davon sind 3 eingefärbt.

Es sind also 3 von 9 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{3}{9}$

1 km sind ja 1000 m.

Also sind ein $\frac{1}{4}$ km doch gerade 1000 m : 4 = 250 m.

Ein $\frac{1}{7}$ von 21 Kartoffeln sind 21 : 7 = 3 Kartoffeln.

Also sind $\frac{2}{7}$ von 21 Kartoffeln 2 ⋅ 3 = 6 Kartoffeln.

Zuerst rechnen wir 1t in 1000 kg um.

Ein $\frac{1}{5}$ von 1000 kg sind 1000 kg : 5 = 200 kg.

$\frac{4}{5}$ von 1000 kg sind also 4 ⋅ 200 kg = 800 kg.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{15}$ von 60 s sind 60 s : 15 = 4 s.

$\frac{13}{15}$ von 60 s sind also 13 ⋅ 4 s = 52 s.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 9:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 9}}{\mathrm{3\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{18}{27}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (40) und Nenner (30) sind:

$\frac{40}{30}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{20}{15}$ $\stackrel{\mathrm{k(5)}}{=}$ $\frac{4}{3}$

$\frac{40}{30}$ = $\frac{4}{3}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 10 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 2 nachher der neue Nenner 100 wird.

Wir müssen also mit 100 : 2 = 50 erweitern.

$\frac{1}{2}$ = $\frac{\mathrm{1\; \cdot \; 50}}{\mathrm{2\; \cdot \; 50}}$ = $\frac{50}{100}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{75}}{\mathrm{100}}$ = 75%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{2}{2}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 3, weil die Markierung eben auf dem 3-ten Strichchen liegt.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{3}{2}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 3 und 4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen 3 und 4 liegt, muss der gemischte Bruch $3\frac{1}{2}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $3\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ $+\frac{1}{2}$ = $\frac{7}{2}$

Vergleich von $\frac{5}{8}$ und $\frac{5}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{8}$ < $\frac{5}{7}$

Vergleich von $\frac{10}{13}$ und $\frac{11}{13}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 13 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 13 teilt). Es gilt hier also $\frac{10}{13}$ < $\frac{11}{13}$

Vergleich von $\frac{7}{5}$ und $\frac{14}{9}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 2. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 1. ten. Wir erweitern deswegen 1-ten Bruch mit 2: $\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{7}{5}$=$\frac{14}{10}$ < $\frac{14}{9}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{5}$ < $\frac{14}{9}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{5}{\mathrm{17}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{4}{17}$ und $\frac{6}{17}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$\frac{1}{3}$ = $\frac{7}{21}$ und $\frac{5}{7}$ = $\frac{15}{21}$

Die Mitte zwischen 7 und 15 ist $\frac{\mathrm{7\; +\; 15}}{2}$ = 11

Somit ist also $\frac{11}{21}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{7}{21}$ = $\frac{1}{3}$ und $\frac{15}{21}$ = $\frac{5}{7}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$5\frac{3}{5}$

$\frac{27}{5}$ = $\frac{\mathrm{25\; +\; 2}}{5}$ = $\frac{25}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $5$ + $\frac{2}{5}$ = $5\frac{2}{5}$

$\frac{37}{7}$ = $\frac{\mathrm{35\; +\; 2}}{7}$ = $\frac{35}{7}$ + $\frac{2}{7}$ = $5$ + $\frac{2}{7}$ = $5\frac{2}{7}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 5 und 6 liegen. $5\frac{3}{5}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $5\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{3}{5}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $5\frac{2}{7}$ oder $5\frac{2}{5}$ größer ist.
Da ja beide die 5 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{2}{7}$ und $\frac{2}{5}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 2 im Zähler haben, muss $\frac{2}{7}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 2 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{2}{5}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$5\frac{2}{7}$ < $5\frac{2}{5}$ < $5\frac{3}{5}$ , also

$\frac{37}{7}$ < $\frac{27}{5}$ < $5\frac{3}{5}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

33 = 28 + 5 = 4⋅7 + 5

also gilt:

$\frac{33}{7}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 7\; +\; 5}}{7}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 7}}{7}$ + $\frac{5}{7}$ = 4 + $\frac{5}{7}$

Somit gilt: $\frac{33}{7}$ = $4\frac{5}{7}$