Wir können insgesamt 6 Sektoren erkennen.

Davon sind 5 eingefärbt.

Es sind also 5 von 6 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{5}{6}$

1 t sind ja 1000 kg.

Also sind eine $\frac{1}{2}$ t doch gerade 1000 kg : 2 = 500 kg.

Ein $\frac{1}{3}$ von 15 Euro sind 15 : 3 = 5 Euro.

Also sind $\frac{2}{3}$ von 15 Euro 2 ⋅ 5 = 10 Euro.

Zuerst rechnen wir 1km in 1000 m um.

Ein $\frac{1}{25}$ von 1000 m sind 1000 m : 25 = 40 m.

$\frac{22}{25}$ von 1000 m sind also 22 ⋅ 40 m = 880 m.

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 24 h sind 24 h : 4 = 6 h.

$\frac{3}{4}$ von 24 h sind also 3 ⋅ 6 h = 18 h.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 2:

$\frac{7}{6}$ = $\frac{\mathrm{7\; \cdot \; 2}}{\mathrm{6\; \cdot \; 2}}$ = $\frac{14}{12}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (88) und Nenner (64) sind:

$\frac{88}{64}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{44}{32}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{22}{16}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{11}{8}$

$\frac{88}{64}$ = $\frac{11}{8}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 8 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 4 nachher der neue Nenner 56 wird.

Wir müssen also mit 56 : 4 = 14 erweitern.

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 14}}{\mathrm{4\; \cdot \; 14}}$ = $\frac{42}{56}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{2}{5}$ = $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{100}}$ = 40%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{1}{3}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -2 und -3 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 10 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{\mathrm{10}}$ hat.

Da die Markierung auf dem 9-ten Strichchen zwischen -2 und -3 liegt, muss der gemischte Bruch $-2\frac{9}{10}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-2\frac{9}{10}$ = $-\frac{20}{10}$ $-\frac{9}{10}$ = $-\frac{29}{10}$

Vergleich von $\frac{7}{9}$ und $\frac{7}{10}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{9}$ > $\frac{7}{10}$

Vergleich von $\frac{22}{13}$ und $\frac{23}{13}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 13 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 13 teilt). Es gilt hier also $\frac{22}{13}$ < $\frac{23}{13}$

Vergleich von $\frac{10}{9}$ und $\frac{20}{18}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 2. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 1. ten. Wir erweitern deswegen 1-ten Bruch mit 2: $\frac{10}{9}$ = $\frac{20}{18}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{10}{9}$=$\frac{20}{18}$ = $\frac{20}{18}$. Es gilt hier also $\frac{10}{9}$ = $\frac{20}{18}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 19 und 20.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{19}{11}$ = $\frac{38}{22}$ und $\frac{20}{11}$ = $\frac{40}{22}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 38 und 40, nämlich 39, somit ist also $\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{22}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{19}{11}$ = $\frac{38}{22}$ und $\frac{20}{11}$ = $\frac{40}{22}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 2.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{1}{7}$ = $\frac{2}{14}$ und $\frac{2}{7}$ = $\frac{4}{14}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 2 und 4, nämlich 3, somit ist also $\frac{3}{14}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{7}$ = $\frac{2}{14}$ und $\frac{2}{7}$ = $\frac{4}{14}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$3\frac{7}{9}$

$\frac{32}{7}$ = $\frac{\mathrm{28\; +\; 4}}{7}$ = $\frac{28}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $4$ + $\frac{4}{7}$ = $4\frac{4}{7}$

$\frac{24}{5}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 4}}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $4$ + $\frac{4}{5}$ = $4\frac{4}{5}$

Jetzt sieht man sofort, dass $3\frac{7}{9}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{4}{7}$ oder $4\frac{4}{5}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{4}{7}$ und $\frac{4}{5}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 4 im Zähler haben, muss $\frac{4}{7}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 4 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{4}{5}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{7}{9}$ < $4\frac{4}{7}$ < $4\frac{4}{5}$ , also

$3\frac{7}{9}$ < $\frac{32}{7}$ < $\frac{24}{5}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

17 = 15 + 2 = 3⋅5 + 2

also gilt:

$\frac{17}{5}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 5\; +\; 2}}{5}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 5}}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = 3 + $\frac{2}{5}$

Somit gilt: $\frac{17}{5}$ = $3\frac{2}{5}$