Aufgabenbeispiele von antiproportional
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 56 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 7 min telefonieren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 7 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Tage durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Minuten pro Tag entspricht:
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⋅ 7
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: 7
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⋅ 7
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: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Minuten pro Tag entspricht: 8 Tage
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 3 Flaschen, wenn insgesamt 10 Personen auf seiner Party sind.
Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 15 Personen auf der Party wären?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Gäste:
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Um von 10 Gäste in der ersten Zeile auf 5 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Gäste links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 2 Spezi-Flaschen
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 4 Lastwagen | 6 Fuhren |
| ? | ? |
| 3 Lastwagen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:
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Um von 4 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 15 CPU-Kernen 4 ms rechnen.
Wie lange bräuchte ein Computer mit 20 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:
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Um von 15 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 CPU-Kerne entspricht: 3 ms
Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 10 sein, also der ggT(4,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:
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Um von 4 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 CPU-Kerne nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 ms entspricht: 6 CPU-Kerne
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 203 € Lohn den 3 Helfer:innen entsprechen.
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 203 € Lohn (für 3 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 200 € Lohn gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 14 € Lohn den 50 Helfer:innen entsprechen.
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: 2
⋅ 25
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⋅ 2
: 25
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 € Lohn (für 50 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 12 € Lohn gewesen.
