Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 4 ct.
Wie viel kosten ihn 7 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 7 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 4 ct mit 7 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Minuten telefonieren entspricht:
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⋅ 7
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⋅ 7
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⋅ 7
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⋅ 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Minuten telefonieren entspricht: 28 ct
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 5 km braucht sie 20 Minuten.
Wie lange braucht sie für 1 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 5 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 20 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:
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: 5
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: 5
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: 5
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: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 km entspricht: 4 min
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 2700 g Protein in dessen 9kg-Großpackung drin sind.
Wie viel g Protein sind in 8 kg Powerdrink?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 8 sein, also der ggT(9,8) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 kg Powerdrink:
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Um von 9 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 1 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 2700 g Protein durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Powerdrink entspricht:
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: 9
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: 9
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: 9
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: 9
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.
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: 9
⋅ 8
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: 9
⋅ 8
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Wir müssen somit auch rechts die 300 g Protein in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren:
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: 9
⋅ 8
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: 9
⋅ 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 kg Powerdrink entspricht: 2400 g Protein
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 6 Minuten telefonieren | 210 ct |
| ? | ? |
| 8 Minuten telefonieren | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten telefonieren:
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Um von 6 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 2 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 210 ct durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten telefonieren entspricht:
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: 3
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: 3
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Wir müssen somit auch rechts die 70 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten telefonieren entspricht: 280 ct
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 4800 g Protein in dessen 16kg-Großpackung drin sind.
Wie viel g Protein sind in 20 kg Powerdrink?
Wie viel kg Powerdrink bräuchte man, wenn man 7200 g Protein zu sich nehmen möchte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 16 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 16 und von 20 sein, also der ggT(16,20) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Powerdrink:
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Um von 16 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 4 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 4800 g Protein durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Powerdrink entspricht:
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 kg Powerdrink entspricht: 6000 g Protein
Für die andere Frage (Wie viel kg Powerdrink bräuchte man, wenn man 7200 g Protein zu sich nehmen möchte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g Protein"-Werte haben und nach einem "kg Powerdrink"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g Protein in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4800 g Protein teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4800 und von 7200 sein, also der ggT(4800,7200) = 2400.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2400 g Protein:
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Um von 4800 g Protein in der ersten Zeile auf 2400 g Protein in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 16 kg Powerdrink durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2400 g Protein entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2400 g Protein in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 7200 g Protein in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7200 g Protein entspricht: 24 kg Powerdrink
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 99 € den 30 kg Äpfel entsprechen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Der Wert 99 € war also falsch, richtig wäre 90 € gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 144 € den 48 kg Äpfel entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Der Wert 144 € war also korrekt.
