Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
In einem Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind 500 g drin.
Wie viel Joghurt ist in 5 Bechern drin?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 5 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 500 g mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Becher Joghurt entspricht:
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⋅ 5
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⋅ 5
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⋅ 5
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⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Becher Joghurt entspricht: 2500 g
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 7-Minuten-Gespräch hat er nun 14 ct bezahlt.
Wie viel kostet ihn 1 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 7 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 14 ct durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:
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: 7
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: 7
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: 7
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: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Minuten telefonieren entspricht: 2 ct
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 10-Minuten-Gespräch hat er nun 40 ct bezahlt.
Wie viel kosten ihn 9 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 9 sein, also der ggT(10,9) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten telefonieren:
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Um von 10 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Somit müssen wir auch die 40 ct durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:
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: 10
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: 10
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: 10
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: 10
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 10
⋅ 9
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: 10
⋅ 9
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Wir müssen somit auch rechts die 4 ct in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren:
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: 10
⋅ 9
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: 10
⋅ 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Minuten telefonieren entspricht: 36 ct
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 18 Scheiben Käse | 450 g |
| ? | ? |
| 15 Scheiben Käse | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 18 und von 15 sein, also der ggT(18,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Scheiben Käse:
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Um von 18 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 3 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 450 g durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Scheiben Käse entspricht:
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: 6
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: 6
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(Beim Teilen durch 6 kann man einfach erst durch 2 und dann durch 3 teilen - oder erst eine 6-er Zahl in der Nähe suchen, hier 420, und dann noch den Rest (30) durch 6 teilen.)
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 75 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Scheiben Käse entspricht: 375 g
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 70 g. Er besteht aus 7 gleichen Scheiben.
Wie schwer sind dann 6 Scheiben Käse?
Wie viele Käsescheiben sind es bei 40 g Aufschnitt?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 6 sein, also der ggT(7,6) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Scheiben Käse:
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Um von 7 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 1 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 70 g durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Scheiben Käse entspricht:
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: 7
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: 7
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 6 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.
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: 7
⋅ 6
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: 7
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Scheiben Käse entspricht: 60 g
Für die andere Frage (Wie viele Käsescheiben sind es bei 40 g Aufschnitt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g"-Werte haben und nach einem "Scheiben Käse"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 70 g teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 70 und von 40 sein, also der ggT(70,40) = 10.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 g:
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Um von 70 g in der ersten Zeile auf 10 g in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 7 Scheiben Käse durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 g entspricht:
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: 7
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: 7
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Jetzt müssen wir ja wieder die 10 g in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 40 g in der dritten Zeile zu kommen.
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: 7
⋅ 4
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: 7
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 40 g entspricht: 4 Scheiben Käse
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 1500 g den 9 Becher Joghurt entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 1500 g war also falsch, richtig wäre 1800 g gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 3000 g den 15 Becher Joghurt entsprechen.
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: 2
⋅ 5
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: 2
⋅ 5
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Der Wert 3000 g war also korrekt.
