Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 2 ct.
Wie viel kosten ihn 8 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 8 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 2 ct mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten telefonieren entspricht:
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⋅ 8
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⋅ 8
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⋅ 8
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⋅ 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten telefonieren entspricht: 16 ct
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 7 km braucht sie 35 Minuten.
Wie lange braucht sie für 1 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 7 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 35 min durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:
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: 7
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: 7
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: 7
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: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 km entspricht: 5 min
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 30 km braucht sie 120 Minuten.
Wie lange braucht sie für 36 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 30 und von 36 sein, also der ggT(30,36) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 km:
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Um von 30 km in der ersten Zeile auf 6 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 120 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 km entspricht:
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: 5
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: 5
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(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 km in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 36 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Wir müssen somit auch rechts die 24 min in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 36 km entspricht: 144 min
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 20 Scheiben Käse | 900 g |
| ? | ? |
| 12 Scheiben Käse | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 12 sein, also der ggT(20,12) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Scheiben Käse:
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Um von 20 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 4 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 900 g durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Scheiben Käse entspricht:
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: 5
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: 5
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(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 3
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: 5
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 180 g in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 5
⋅ 3
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: 5
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Scheiben Käse entspricht: 540 g
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 3,60 € für 18 Eier.
Wie viel kosten 15 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 5,40 €?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 18 und von 15 sein, also der ggT(18,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Eier:
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Um von 18 Eier in der ersten Zeile auf 3 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 360 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Eier entspricht:
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Eier in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Eier in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Eier entspricht: 300 ct
Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 5,40 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 360 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 360 und von 540 sein, also der ggT(360,540) = 180.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 180 ct:
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Um von 360 ct in der ersten Zeile auf 180 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 18 Eier durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 180 ct entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 180 ct in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 540 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 540 ct entspricht: 27 Eier
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 180 ct den 25 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Der Wert 180 ct war also falsch, richtig wäre 200 ct gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 240 ct den 30 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 240 ct war also korrekt.
