Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Beim Bäcker Leckerbeck kostet 1 Brötchen immer 0,20 €.
Wie viel kosten 9 Brötchen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Brötchen in der ersten Zeile auf 9 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.2 € mit 9 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Brötchen entspricht:
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⋅ 9
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⋅ 9
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⋅ 9
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⋅ 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Brötchen entspricht: 1,80 €
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 1,20 € für 6 Eier.
Wie viel kostet 1 Ei?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 6 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 120 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:
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: 6
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: 6
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: 6
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: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Eier entspricht: 20 ct
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
In den 15 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 6000 g drin.
Wie viel Joghurt ist in 12 Bechern drin?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 12 sein, also der ggT(15,12) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Becher Joghurt:
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Um von 15 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 3 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 6000 g durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Becher Joghurt entspricht:
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: 5
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: 5
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(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Wir müssen somit auch rechts die 1200 g in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Becher Joghurt entspricht: 4800 g
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 8 kg Birnen | 28,00 € |
| ? | ? |
| 8 kg Birnen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 8 sein, also der ggT(8,8) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 kg Birnen:
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Um von 8 kg Birnen in der ersten Zeile auf 2 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 28 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 kg Birnen entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 4
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: 4
⋅ 4
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Wir müssen somit auch rechts die 7,00 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:
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: 4
⋅ 4
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: 4
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 kg Birnen entspricht: 28,00 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 10-Minuten-Gespräch hat er nun 50 ct bezahlt.
Wie viel kosten ihn 12 min telefonieren?
Wie lange kann er für 40 ct telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten telefonieren:
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Um von 10 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 2 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 50 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten telefonieren entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Minuten telefonieren entspricht: 60 ct
Für die andere Frage (Wie lange kann er für 40 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 50 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 50 und von 40 sein, also der ggT(50,40) = 10.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 ct:
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Um von 50 ct in der ersten Zeile auf 10 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 10 Minuten telefonieren durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 ct entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 10 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 40 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 40 ct entspricht: 8 Minuten telefonieren
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 25 ct den 15 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 4
⋅ 3
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: 4
⋅ 3
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Der Wert 25 ct war also falsch, richtig wäre 30 ct gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 65 ct den 30 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 65 ct war also falsch, richtig wäre 60 ct gewesen.
