Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 1 km braucht sie 7 Minuten.
Wie lange braucht sie für 7 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 km in der ersten Zeile auf 7 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 7 min mit 7 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 7 km entspricht:
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⋅ 7
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⋅ 7
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⋅ 7
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⋅ 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 km entspricht: 49 min
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 200 g. Er besteht aus 4 gleichen Scheiben.
Wie schwer ist dann 1 Scheibe Käse?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 4 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 1 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 200 g durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Scheiben Käse entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Scheiben Käse entspricht: 50 g
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Bei einem Marktstand bezahlt man 75,00 € für 25 kg Äpfel.
Wie viel kosten 30 kg Äpfel?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 25 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 25 und von 30 sein, also der ggT(25,30) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 kg Äpfel:
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Um von 25 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 5 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 75 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 kg Äpfel entspricht:
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: 5
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: 5
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(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 30 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Wir müssen somit auch rechts die 15,00 € in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 kg Äpfel entspricht: 90,00 €
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 36 Scheiben Käse | 540 g |
| ? | ? |
| 30 Scheiben Käse | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 36 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 36 und von 30 sein, also der ggT(36,30) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Scheiben Käse:
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Um von 36 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 6 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 540 g durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Scheiben Käse entspricht:
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: 6
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: 6
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 90 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Scheiben Käse entspricht: 450 g
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 20-Minuten-Gespräch hat er nun 140 ct bezahlt.
Wie viel kosten ihn 25 min telefonieren?
Wie lange kann er für 112 ct telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 25 sein, also der ggT(20,25) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Minuten telefonieren:
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Um von 20 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 5 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 140 ct durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Minuten telefonieren entspricht:
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Minuten telefonieren entspricht: 175 ct
Für die andere Frage (Wie lange kann er für 112 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 140 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 140 und von 112 sein, also der ggT(140,112) = 28.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 28 ct:
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Um von 140 ct in der ersten Zeile auf 28 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 20 Minuten telefonieren durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 28 ct entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 28 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 112 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 112 ct entspricht: 16 Minuten telefonieren
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 96 ct den 12 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 3
⋅ 2
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: 3
⋅ 2
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Der Wert 96 ct war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 240 ct den 27 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 240 ct war also falsch, richtig wäre 216 ct gewesen.
