Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Beim Bäcker Allesfresh kostet 1 Brezel immer 0,30 €.
Wie viel kosten 4 Brezeln?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Brezeln in der ersten Zeile auf 4 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.3 € mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Brezeln entspricht:
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⋅ 4
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⋅ 4
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⋅ 4
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⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Brezeln entspricht: 1,20 €
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Beim Bäcker Leckerbeck kosten 3 Brötchen immer 0,60 €.
Wie viel kostet 1 Brötchen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 3 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 0.6 € durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:
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: 3
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: 3
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: 3
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: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brötchen entspricht: 0,20 €
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 20 km braucht sie 120 Minuten.
Wie lange braucht sie für 24 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 24 sein, also der ggT(20,24) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 km:
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Um von 20 km in der ersten Zeile auf 4 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 120 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 km entspricht:
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: 5
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: 5
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(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 km in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 24 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Wir müssen somit auch rechts die 24 min in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 km entspricht: 144 min
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 12 Scheiben Käse | 180 g |
| ? | ? |
| 18 Scheiben Käse | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Scheiben Käse:
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Um von 12 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 6 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 180 g durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Scheiben Käse entspricht:
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: 2
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: 2
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 90 g in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Scheiben Käse entspricht: 270 g
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 25-Minuten-Gespräch hat er nun 75 ct bezahlt.
Wie viel kosten ihn 30 min telefonieren?
Wie lange kann er für 60 ct telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 25 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 25 und von 30 sein, also der ggT(25,30) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Minuten telefonieren:
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Um von 25 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 5 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 75 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Minuten telefonieren entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 30 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Minuten telefonieren entspricht: 90 ct
Für die andere Frage (Wie lange kann er für 60 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 75 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 75 und von 60 sein, also der ggT(75,60) = 15.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 15 ct:
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Um von 75 ct in der ersten Zeile auf 15 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 25 Minuten telefonieren durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 15 ct entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 15 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 60 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 60 ct entspricht: 20 Minuten telefonieren
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 70 min den 16 km entsprechen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Der Wert 70 min war also falsch, richtig wäre 80 min gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 240 min den 50 km entsprechen.
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: 2
⋅ 5
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: 2
⋅ 5
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Der Wert 240 min war also falsch, richtig wäre 250 min gewesen.
