Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 400 g Protein in dessen 1kg-Großpackung drin sind.
Wie viel g Protein sind in 5 kg Powerdrink?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 5 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 400 g Protein mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 kg Powerdrink entspricht:
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⋅ 5
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⋅ 5
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⋅ 5
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⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 kg Powerdrink entspricht: 2000 g Protein
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 160 g. Er besteht aus 4 gleichen Scheiben.
Wie schwer ist dann 1 Scheibe Käse?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 4 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 1 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 160 g durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Scheiben Käse entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Scheiben Käse entspricht: 40 g
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Beim Bäcker Allesfresh kosten 30 Brezeln immer 15,00 €.
Wie viel kosten 36 Brezeln?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 30 und von 36 sein, also der ggT(30,36) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Brezeln:
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Um von 30 Brezeln in der ersten Zeile auf 6 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 15 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Brezeln entspricht:
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: 5
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: 5
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Brezeln in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 36 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Wir müssen somit auch rechts die 3,00 € in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 36 Brezeln entspricht: 18,00 €
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 9 kg Powerdrink | 3150 g Protein |
| ? | ? |
| 12 kg Powerdrink | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Powerdrink:
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Um von 9 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 3 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 3150 g Protein durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Powerdrink entspricht:
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: 3
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: 3
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(Beim Teilen durch 3 muss man sich eben erst eine 3-er Zahl in der Nähe suchen, hier 3000, und dann noch den Rest (150) durch 3 teilen.)
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Wir müssen somit auch rechts die 1050 g Protein in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 kg Powerdrink entspricht: 4200 g Protein
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 24 km braucht sie 120 Minuten.
Wie lange braucht sie für 20 km?
Wie viele km schafft sie in 180 min?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 24 und von 20 sein, also der ggT(24,20) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 km:
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Um von 24 km in der ersten Zeile auf 4 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 120 min durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 km entspricht:
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 km entspricht: 100 min
Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 180 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 120 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 120 und von 180 sein, also der ggT(120,180) = 60.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 60 min:
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Um von 120 min in der ersten Zeile auf 60 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 24 km durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 60 min entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 60 min in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 180 min in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 180 min entspricht: 36 km
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 27 € den 10 kg Birnen entsprechen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Der Wert 27 € war also falsch, richtig wäre 30 € gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 36 € den 12 kg Birnen entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 36 € war also korrekt.
