Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 4 ct.
Wie viel kosten ihn 4 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 4 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 4 ct mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten telefonieren entspricht:
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⋅ 4
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⋅ 4
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⋅ 4
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⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten telefonieren entspricht: 16 ct
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Beim Bäcker Allesfresh kosten 4 Brezeln immer 1,20 €.
Wie viel kostet 1 Brezel?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 4 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 1.2 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brezeln entspricht: 0,30 €
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 5 km braucht sie 35 Minuten.
Wie lange braucht sie für 6 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 6 sein, also der ggT(5,6) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 km:
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Um von 5 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 35 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:
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: 5
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: 5
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 km in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 6 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Wir müssen somit auch rechts die 7 min in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 km entspricht: 42 min
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 12 Scheiben Käse | 540 g |
| ? | ? |
| 18 Scheiben Käse | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Scheiben Käse:
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Um von 12 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 6 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 540 g durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Scheiben Käse entspricht:
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: 2
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: 2
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 270 g in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Scheiben Käse entspricht: 810 g
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 18 km braucht sie 72 Minuten.
Wie lange braucht sie für 30 km?
Wie viele km schafft sie in 96 min?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 18 und von 30 sein, also der ggT(18,30) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 km:
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Um von 18 km in der ersten Zeile auf 6 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 72 min durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 km entspricht:
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 5
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: 3
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 km entspricht: 120 min
Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 96 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 72 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 72 und von 96 sein, also der ggT(72,96) = 24.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 24 min:
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Um von 72 min in der ersten Zeile auf 24 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 18 km durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 24 min entspricht:
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 24 min in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 96 min in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 96 min entspricht: 24 km
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 91 ct den 12 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Der Wert 91 ct war also falsch, richtig wäre 84 ct gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 105 ct den 15 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 105 ct war also korrekt.
