Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 900000 ml = ..... Liter
900000 ml = 900 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
56 ml - 1210 mm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
56 cm³ - 1210 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
56 cm³ = 56000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
56 cm³ - 1210 mm³
= 56000 mm³ - 1210 mm³
= 54790 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 8 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 8 mm³ Wasser eben 8 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 dm lang, 9 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 dm ⋅ 9 dm ⋅ 10 dm
= 720 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 270 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 3 m
c = 45 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 3 m ⋅ 45 m = 270 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m breit, 8 m hoch und hat das Volumen V = 640 m³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 640 m³ = ⬜ ⋅ 10 m ⋅ 8 m
640 m³ = ⬜ ⋅ 80 m²
Das Kästchen kann man also mit 640 m³ : 80 m² = 8 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 m lang, 10 m breit und 8 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅7 m⋅10 m + 2⋅7 m⋅8 m
+ 2⋅10 m⋅8 m
= 140 m² + 112 m² + 160 m²
= 412 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm breit, 10 mm hoch und hat das Volumen V = 240 mm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 240 mm³ = ⬜ ⋅ 4 mm ⋅ 10 mm
240 mm³ = ⬜ ⋅ 40 mm²
Das Kästchen kann man also mit 240 mm³ : 40 mm² = 6 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 mm⋅10 mm + 2⋅4 mm⋅6 mm
+ 2⋅10 mm⋅6 mm
= 80 mm² + 48 mm² + 120 mm²
= 248 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 54 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
54 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.
9 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(7|3), C(8|4) und G(8|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-5|4) = D(3|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-4 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+4) = E(2|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+4) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+4) = H(3|8).
