Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 436 Liter = ..... mm³
436 Liter = 436000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
980 mm³ + 78 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
78 cm³ = 78000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
980 mm³ + 78 cm³
= 980 mm³ + 78000 mm³
= 78980 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 12 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 12 dm³ Wasser eben 12 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm lang, 5 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 mm ⋅ 5 mm ⋅ 5 mm
= 200 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 250 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 5 m
c = 25 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 5 m ⋅ 25 m = 250 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 5 dm hoch und hat das Volumen V = 250 dm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 250 dm³ = 5 dm ⋅ ⬜ ⋅ 5 dm
250 dm³ = ⬜ ⋅ 25 dm²
Das Kästchen kann man also mit 250 dm³ : 25 dm² = 10 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 8 m breit und 4 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅8 m + 2⋅5 m⋅4 m
+ 2⋅8 m⋅4 m
= 80 m² + 40 m² + 64 m²
= 184 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 6 m breit und hat das Volumen V = 300 m³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 300 m³ = 10 m ⋅ 6 m ⋅ ⬜
300 m³ = ⬜ ⋅ 60 m²
Das Kästchen kann man also mit 300 m³ : 60 m² = 5 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅6 m + 2⋅10 m⋅5 m
+ 2⋅6 m⋅5 m
= 120 m² + 100 m² + 60 m²
= 280 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 64 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
64 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(6|1), C(8|3) und G(8|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-5|3) = D(3|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-3 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+4) = E(1|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+4) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(3|3) liegen muss, also bei H(3|3+4) = H(3|7).
