Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 649 cm³ = ..... mm³
649 cm³ = 649000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
62 dm³ - 500 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
62 dm³ - 500 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
62 dm³ = 62000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
62 dm³ - 500 cm³
= 62000 cm³ - 500 cm³
= 61500 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 6 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 6 mm³ Wasser eben 6 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 mm lang, 4 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 mm ⋅ 4 mm ⋅ 5 mm
= 140 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 80 cm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 20 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 20 cm = 80 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 9 cm breit und hat das Volumen V = 90 cm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 90 cm³ = 5 cm ⋅ 9 cm ⋅ ⬜
90 cm³ = ⬜ ⋅ 45 cm²
Das Kästchen kann man also mit 90 cm³ : 45 cm² = 2 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 6 cm breit und 6 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅6 cm + 2⋅10 cm⋅6 cm
+ 2⋅6 cm⋅6 cm
= 120 cm² + 120 cm² + 72 cm²
= 312 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 4 mm breit und hat das Volumen V = 180 mm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 180 mm³ = 5 mm ⋅ 4 mm ⋅ ⬜
180 mm³ = ⬜ ⋅ 20 mm²
Das Kästchen kann man also mit 180 mm³ : 20 mm² = 9 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅4 mm + 2⋅5 mm⋅9 mm
+ 2⋅4 mm⋅9 mm
= 40 mm² + 90 mm² + 72 mm²
= 202 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 27 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
27 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(5|3), C(8|6) und G(8|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-3|6) = D(5|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-6 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+3) = E(2|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(5|3) liegen muss, also bei F(5|3+3) = F(5|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(5|6) liegen muss, also bei H(5|6+3) = H(5|9).
