Aufgabenbeispiele von Körper

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Volumeneinheiten umrechnen

Beispiel:

Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 828 cm³ = ..... mm³

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Die korrekte Antwort lautet:
828 cm³ = 828000 mm³

Raumeinheiten verrechnen

Beispiel:

Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:

580 mm³ + 22 cm³

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Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:

22 cm³ = 22000 mm³

Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:

580 mm³ + 22 cm³
= 580 mm³ + 22000 mm³
= 22580 mm³

Volumen - Masse bei Wasser

Beispiel:

Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.

Wie viel wiegen 17 mm³ Wasser ?

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1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg

Somit wiegen 17 mm³ Wasser eben 17 mg

Volumen eines Quaders

Beispiel:

Ein Quader ist 9 cm lang, 8 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

V = a ⋅ b ⋅ c
= 9 cm ⋅ 8 cm ⋅ 5 cm
= 360 cm³

Quadervolumen offen

Beispiel:

Ein Quader ist hat das Volumen 250 cm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 cm.

Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.

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Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 5 cm
c = 25 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 5 cm ⋅ 25 cm = 250 cm³.

Volumen auch rückwärts

Beispiel:

Ein Quader ist 4 m lang, 4 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 m ⋅ 4 m ⋅ 5 m
= 80 m³

Oberfläche eines Quaders

Beispiel:

Ein Quader ist 6 dm lang, 5 dm breit und 6 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.

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Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):

O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 dm⋅5 dm + 2⋅6 dm⋅6 dm + 2⋅5 dm⋅6 dm
= 60 dm² + 72 dm² + 60 dm²
= 192 dm²

Volumen auch rückwärts + Oberfl.

Beispiel:

Ein Quader ist 2 dm breit, 5 dm hoch und hat das Volumen V = 100 dm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.

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Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c

Also gilt: 100 dm³ = ⬜ ⋅ 2 dm ⋅ 5 dm

100 dm³ = ⬜ ⋅ 10 dm²

Das Kästchen kann man also mit 100 dm³ : 10 dm² = 10 dm berechnen.

Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):

O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 dm⋅5 dm + 2⋅2 dm⋅10 dm + 2⋅5 dm⋅10 dm
= 20 dm² + 40 dm² + 100 dm²
= 160 dm²

Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 27 m³. Berechne die Kantenlänge.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3

Es gilt somit:

27 m³ = ⬜3

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 m funktioniert.

Schrägbild zeichnen

Beispiel:

Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(5|1), C(7|3) und G(7|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.

Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.

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Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-2|3) = D(5|3).

An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-3 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+4) = E(3|5).

Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(5|1) liegen muss, also bei F(5|1+4) = F(5|5).

Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(5|3) liegen muss, also bei H(5|3+4) = H(5|7).