Aufgabenbeispiele von Körper
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 378 m³ = ..... ml
378 m³ = 378000000 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
52 m³ + 1250 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
52 m³ = 52000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
52 m³ + 1250 dm³
= 52000 dm³ + 1250 dm³
= 53250 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 15 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 15 dm³ Wasser eben 15 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m lang, 10 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 m ⋅ 10 m ⋅ 5 m
= 200 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 100 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 25 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 25 m = 100 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm breit, 10 mm hoch und hat das Volumen V = 800 mm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 800 mm³ = ⬜ ⋅ 8 mm ⋅ 10 mm
800 mm³ = ⬜ ⋅ 80 mm²
Das Kästchen kann man also mit 800 mm³ : 80 mm² = 10 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 3 mm breit und 2 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅3 mm + 2⋅5 mm⋅2 mm
+ 2⋅3 mm⋅2 mm
= 30 mm² + 20 mm² + 12 mm²
= 62 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 8 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 m ⋅ 8 m ⋅ 5 m
= 400 m³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅8 m + 2⋅10 m⋅5 m
+ 2⋅8 m⋅5 m
= 160 m² + 100 m² + 80 m²
= 340 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 24 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
24 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 24 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 24, also 4 ergeben.
4 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(6|3), C(8|5) und G(8|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-3|5) = D(5|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-5 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+2) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+2) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(5|5) liegen muss, also bei H(5|5+2) = H(5|7).
