Aufgabenbeispiele von Koordinatensystem
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Punkt im Koordinatensystem bestimmen
Beispiel:
Gib die Koordinaten des markierten Punkts P im Koordinatensystem an.
Der erste Wert ist der x-Wert.
Diesen kann man auf der waagrechten x-Achse ablesen: 9
Der zweite Wert ist der y-Wert.
Diesen kann man auf der senkrechten y-Achse ablesen: 0
Der gesuchte Punkt ist also P(9|0).
Schnittpunkt der Diagonalen
Beispiel:
Gegeben ist das Viereck mit den Punkten A(0|1), B(3|1), C(4|5) und D(1|5). Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem und bestimme den Diagonalenschnittpunkt S. Gib dann seine Koordinaten ein.
Man zeichnet die vier Punkte A, B, C und D in das Koordinatensystem und verbindet die Punkte in der richtigen Reihenfolge. So entsteht ein Parallelogramm.
Dann muss man eigentlich nur noch die gegenüberliegenden Punkte A und C sowie B und D jeweils mit einer Geraden verbinden.
Jetzt können wir die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden ablesen: S(2|3)
4. Punkt eines Parallelogramms
Beispiel:
Gegeben sind die Punkte A(1|0), B(3|1) und C(6|7). Zeichne die drei Punkte in ein Koordinatensystem und ergänze sie um einen Punkt D, so dass ein Parallelogramm ABCD entsteht.
Wenn ABCD ein Parallelogramm sein soll, muss ja die Seite AD parallel zu BC sein. Deswegen zeichnen wir eine Parallele zu BC durch A ein (blau), auf der D somit liegen muss. Aus dem selben Grund zeichnen wir eine Parallele zu AB durch C ein. Der einzige gemeinsame Punkt dieser beiden (blauen) Parallelen, ihr Schnittpunkt, muss somit D sein, weil dieser ja auf beiden Parallelen liegen musss.
Jetzt können wir dessen Koordinaten ablesen: D(4|6)
Punkt auf Geraden finden
Beispiel:
Gegeben sind die Punkte A(0|6) und B(6|0). Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und bestimme die y-Koordinate des Punkts C(2|?) so, dass C auf der Geraden durch A und B liegt.
Man zeichnet einfach A und B in ein Koordinatensystem und verbindet die beiden Punkte zu einer Geraden.
Jetzt muss man eben den Punkt auf dieser Geraden suchen, der als x-Wert 2 hat.
Es muss also C(2|4) gelten.
Dreieck spiegeln
Beispiel:
Das Dreieck ABC mit den Punkten A(0|1), B(4|2) und C(3|6) soll an der in rot gezeichneten Parallelen zur x-Achse durch den Punkt P(0|4) gespiegelt werden.
Zeichne das Dreieck und die Spiegelachse in ein Koordinatensystem ein und konstruiere die Spiegelpunkte des Dreiecks.
Wir zeichnen also erstmal die drei gegebenen Punkte A, B und C ein und verbinden sie zu einem Dreieck (in blauer Farbe). Dann zeichnen wir die Spiegelachse (rot) ein.
Um die Punkte an der (roten) Achse spiegeln zu können, zeichnen wir Hilfslinien (blau gestrichelt) durch die Punkte ein, die orthogonal zur Spiegelachse sind. Die Spiegelpunkte liegen dann auf diesen Hilfslinien mit jeweils dem gleichen Abstand zur Spiegelachse wie der ursprüngliche Punkt.
Jetzt können wir die Koordinaten der drei Bildpunkte ablesen:
A'(0|7), B'(4|6), C'(3|2)
Punkt auf Orthogonalen finden
Beispiel:
Gegeben sind die Punkte A(1|0) und B(4|1). Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und bestimme die y-Koordinate des Punkts C(2|?) so, dass die Strecke BC orthogonal zur Strecke AB ist.
Man zeichnet einfach A und B in ein Koordinatensystem und verbindet die beiden Punkte zu einer Geraden.
Wenn die Strecke BC orthogonal zur Strecke AB sein soll, muss der Punkt C auf einer zu AB orthogonalen Geraden durch den Punkt B liegen. Diese Orthogonale zeichnen wir ein. Jetzt muss man nur noch den Punkt auf dieser Orthogonalen suchen, der als x-Wert 2 hat.
Es muss also C(2|7) gelten.
Kreis zeichnen und Radius messen
Beispiel:
Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M(5.5|5), der durch den Punkt A(3|6) geht, in eine Koordinatensystem. Miss dann den Radius dieses Kreises.
Runde dein Ergebnis auf mindestens eine Stelle nach dem Komma.
Man zeichnet zuerst die beiden Punkte M und A in ein Koordinatensystem ein. Jetzt kann man den Zirkel auf den Abstand zwischen den beiden Punkten einstellen und damit den Kreis zeichnen. Ab einfachsten lässt sich jetzt der Radius ablesen, wenn man einfach horizontal vom Mittelpunkt nach rechts geht:
r ≈ 2.69
Punkt auf Kreis finden
Beispiel:
Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M(5|3) und Radius r = 2 cm in ein Koordinatensystem.
Finde nun einen Punkt auf diesem Kreisbogen, der den y-Wert 2 hat.
Runde dein Ergebnis auf mindestens eine Stelle nach dem Komma.
Man zeichnet zuerst den Mittelpunkt in ein Koordinatensystem ein, wählt am Zirkel den Radius r = 2 cm und zeichnet den Kreis.
Jetzt kann auf man der waagrechten Linie bei y = 2 ablesen, welche Punkte des Kreises den y-Wert 2 haben.
Das Ergebnis sind somit die Punkte P(3.27|2) und Q(6.73|2) möglich.
Dreieck an einem Punkt spiegeln
Beispiel:
Das Dreieck ABC mit den Punkten A(2|1), B(7|2) und C(3|6) soll am Punkt Z(5|3) gespiegelt werden. Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem ein und konstruiere die Spiegelpunkte des Dreiecks.
Wir zeichnen also erstmal die drei gegebenen Punkte A, B und C ein und verbinden sie zu einem Dreieck (in blauer Farbe). Dann zeichnen wir das Spiegelzentrum Z(5|3) (rot) ein.
Um die Dreieckspunkte an diesem Spiegelzentrum spiegeln zu können, zeichnen wir Hilfsgeraden (blau gestrichelt) immer jeweils durch den Dreickspunkt und das Spiegelzentrum ein. Die Spiegelpunkte liegen dann auf diesen Hilfsgeraden mit jeweils dem gleichen Abstand zum Spiegelzentrum wie der ursprüngliche Punkt.
Jetzt können wir die Koordinaten der drei Bildpunkte ablesen:
A'(8|5), B'(3|4), C'(7|0)
4. Punkt eines Vierecks
Beispiel:
Gegeben sind die Punkte A(2|1), B(7|0) und C(9|1). Zeichne die drei Punkte in ein Koordinatensystem und ergänze sie um einen Punkt D, so dass ein Drachen ABCD entsteht.
Beim Drachen weiß man, dass die Parallelen senkrecht aufeinander stehen (in der Abbildung gestrichelt blau eingezeichnet).
Da die Punkte A und C bekannt sind, kann man diese Diagonale durch A und C gleich einzeichnen. Und weil ja die andere Diagonale (durch B und D) darauf senkrecht (orthogonal) steht, wissen wir bereits, dass der Punkt D auf der Senkrechten zu AC durch B liegen muss (die senkrechte gestrichelte Linie),
Außerdem wissen wir, dass beim Drachen immer je zwei benachbarte Seiten gleichlang sind und dadurch sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. wir müssen also vom Diagonalenschnittpunkt mit der gleichen Entfernung wie zu B nach oben gehen um auf den 4. Punkt D zu kommen.
Jetzt können wir dessen Koordinaten ablesen: D(7|2)
