Wir suchen alle Teiler von 66. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 66 ist, teilen wir 66 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 66 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 66, denn 66 = 1 ⋅ 66, also ist auch 66 ein Teiler.

2 ist Teiler von 66, denn 66 = 2 ⋅ 33, also ist auch 33 ein Teiler.

3 ist Teiler von 66, denn 66 = 3 ⋅ 22, also ist auch 22 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 4 ⋅ 16 + 2.

5 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 5 ⋅ 13 + 1.

6 ist Teiler von 66, denn 66 = 6 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

7 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 7 ⋅ 9 + 3.

8 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 8 ⋅ 8 + 2.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9 = 81 > 66, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 66:
1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 8⬜.

Bei den 80er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 80, 84, 88 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1480, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 8 + 0 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1484, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 8 + 4 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1488, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 8 + 8 = 21, also durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 8.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 25 bilden:

2 + 23 = 25, dabei ist 23 auch eine Primzahl

2 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 23 = 25

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 154 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

154
= 2 ⋅ 77
= 2 ⋅ 7 ⋅ 11

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 75 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

75
= 3 ⋅ 25
= 3 ⋅ 5 ⋅ 5

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 75 :

1 Teiler

3 = 3
5 = 5

2 Teiler

3 ⋅ 5 = 15
5 ⋅ 5 = 25

3 Teiler

3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 75:
1; 3; 5; 15; 25; 75