Wir suchen alle Teiler von 88. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 88 ist, teilen wir 88 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 88 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 88, denn 88 = 1 ⋅ 88, also ist auch 88 ein Teiler.

2 ist Teiler von 88, denn 88 = 2 ⋅ 44, also ist auch 44 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 88, denn 88 = 3 ⋅ 29 + 1.

4 ist Teiler von 88, denn 88 = 4 ⋅ 22, also ist auch 22 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 88, denn 88 = 5 ⋅ 17 + 3.

6 ist kein Teiler von 88, denn 88 = 6 ⋅ 14 + 4.

7 ist kein Teiler von 88, denn 88 = 7 ⋅ 12 + 4.

8 ist Teiler von 88, denn 88 = 8 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

9 ist kein Teiler von 88, denn 88 = 9 ⋅ 9 + 7.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 10 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 10 ⋅ 10 = 100 > 88, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 88:
1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.

Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1308, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 0 + 8 = 12, also durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1328, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 2 + 8 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1348, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 4 + 8 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1368, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 6 + 8 = 18, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1388, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 8 + 8 = 20, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 0 und 6.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 12 bilden:

2 + 10 = 12, dabei ist 10 aber keine Primzahl

3 + 9 = 12, dabei ist 9 aber keine Primzahl

5 + 7 = 12, dabei ist 7 auch eine Primzahl

5 und 7 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 7 = 12

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 162 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

162
= 2 ⋅ 81
= 2 ⋅ 3 ⋅ 27
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 84 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

84
= 2 ⋅ 42
= 2 ⋅ 2 ⋅ 21
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 84 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
7 = 7

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 7 = 14
3 ⋅ 7 = 21

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 28
2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 84:
1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84