Wir suchen alle Teiler von 72. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 72 ist, teilen wir 72 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 72 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 72, denn 72 = 1 ⋅ 72, also ist auch 72 ein Teiler.

2 ist Teiler von 72, denn 72 = 2 ⋅ 36, also ist auch 36 ein Teiler.

3 ist Teiler von 72, denn 72 = 3 ⋅ 24, also ist auch 24 ein Teiler.

4 ist Teiler von 72, denn 72 = 4 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 72, denn 72 = 5 ⋅ 14 + 2.

6 ist Teiler von 72, denn 72 = 6 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

7 ist kein Teiler von 72, denn 72 = 7 ⋅ 10 + 2.

8 ist Teiler von 72, denn 72 = 8 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 9 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 72:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 7⬜.

Bei den 70er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 72, 76 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

2: Dann wäre die Zahl 572, für die Quersumme gilt dann: 5 + 7 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 576, für die Quersumme gilt dann: 5 + 7 + 6 = 18, also durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 6.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 40 bilden:

2 + 38 = 40, dabei ist 38 aber keine Primzahl

3 + 37 = 40, dabei ist 37 auch eine Primzahl

3 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 37 = 40

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 40 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

40
= 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 40 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

40
= 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 40 :

1 Teiler

2 = 2
5 = 5

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 5 = 10

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 40

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 40:
1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40