Wir suchen alle Teiler von 77. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 77 ist, teilen wir 77 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 77 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 77, denn 77 = 1 ⋅ 77, also ist auch 77 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 2 ⋅ 38 + 1.

3 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 3 ⋅ 25 + 2.

4 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 4 ⋅ 19 + 1.

5 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 5 ⋅ 15 + 2.

6 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 6 ⋅ 12 + 5.

7 ist Teiler von 77, denn 77 = 7 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

8 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 8 ⋅ 9 + 5.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9 = 81 > 77, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 77:
1, 7, 11, 77

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 2⬜.

Bei den 20er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 20, 24, 28 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1620, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 2 + 0 = 9, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1624, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 2 + 4 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1628, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 2 + 8 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 0.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 18 bilden:

2 + 16 = 18, dabei ist 16 aber keine Primzahl

3 + 15 = 18, dabei ist 15 aber keine Primzahl

5 + 13 = 18, dabei ist 13 auch eine Primzahl

5 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 13 = 18

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 42 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

42
= 2 ⋅ 21
= 2 ⋅ 3 ⋅ 7

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 165 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

165
= 3 ⋅ 55
= 3 ⋅ 5 ⋅ 11

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 165 :

1 Teiler

3 = 3
5 = 5
11 = 11

2 Teiler

3 ⋅ 5 = 15
3 ⋅ 11 = 33
5 ⋅ 11 = 55

3 Teiler

3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 165

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 165:
1; 3; 5; 11; 15; 33; 55; 165