Wir suchen alle Teiler von 44. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 44 ist, teilen wir 44 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 44 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 44, denn 44 = 1 ⋅ 44, also ist auch 44 ein Teiler.

2 ist Teiler von 44, denn 44 = 2 ⋅ 22, also ist auch 22 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 44, denn 44 = 3 ⋅ 14 + 2.

4 ist Teiler von 44, denn 44 = 4 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 44, denn 44 = 5 ⋅ 8 + 4.

6 ist kein Teiler von 44, denn 44 = 6 ⋅ 7 + 2.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 7 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 7 ⋅ 7 = 49 > 44, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 44:
1, 2, 4, 11, 22, 44

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 0⬜.

Bei den 00er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 00, 04, 08 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 500, für die Quersumme gilt dann: 5 + 0 + 0 = 5, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 504, für die Quersumme gilt dann: 5 + 0 + 4 = 9, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 508, für die Quersumme gilt dann: 5 + 0 + 8 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 9 bilden:

2 + 7 = 9, dabei ist 7 auch eine Primzahl

2 und 7 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 7 = 9

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 77 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

77
= 7 ⋅ 11

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 126 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

126
= 2 ⋅ 63
= 2 ⋅ 3 ⋅ 21
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 126 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
7 = 7

2 Teiler

2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 7 = 14
3 ⋅ 3 = 9
3 ⋅ 7 = 21

3 Teiler

2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18
2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42
3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 63

4 Teiler

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 126

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 126:
1; 2; 3; 6; 7; 9; 14; 18; 21; 42; 63; 126