Wir suchen alle Teiler von 24. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 24 ist, teilen wir 24 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 24 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 24, denn 24 = 1 ⋅ 24, also ist auch 24 ein Teiler.

2 ist Teiler von 24, denn 24 = 2 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

3 ist Teiler von 24, denn 24 = 3 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.

4 ist Teiler von 24, denn 24 = 4 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 5 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 5 ⋅ 5 = 25 > 24, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 24:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜6.

Da an der letzten Stelle eine 6 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 16, 36, 56, 76, 96 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1516, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 1 + 6 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1536, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 3 + 6 = 15, also durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1556, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 5 + 6 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1576, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 7 + 6 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1596, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 9 + 6 = 21, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 3 und 9.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 34 bilden:

2 + 32 = 34, dabei ist 32 aber keine Primzahl

3 + 31 = 34, dabei ist 31 auch eine Primzahl

3 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 31 = 34

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 63 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

63
= 3 ⋅ 21
= 3 ⋅ 3 ⋅ 7

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 120 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 120 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
5 = 5

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 5 = 10
3 ⋅ 5 = 15

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 40
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

5 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 120:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120