Wir suchen alle Teiler von 42. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 42 ist, teilen wir 42 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 42 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 42, denn 42 = 1 ⋅ 42, also ist auch 42 ein Teiler.

2 ist Teiler von 42, denn 42 = 2 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.

3 ist Teiler von 42, denn 42 = 3 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 4 ⋅ 10 + 2.

5 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 5 ⋅ 8 + 2.

6 ist Teiler von 42, denn 42 = 6 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 7 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 42:
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜4.

Da an der letzten Stelle eine 4 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 04, 24, 44, 64, 84 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1304, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 0 + 4 = 8, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1324, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 2 + 4 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1344, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 4 + 4 = 12, also durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1364, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 6 + 4 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1384, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 8 + 4 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 34 bilden:

2 + 32 = 34, dabei ist 32 aber keine Primzahl

3 + 31 = 34, dabei ist 31 auch eine Primzahl

3 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 31 = 34

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 175 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

175
= 5 ⋅ 35
= 5 ⋅ 5 ⋅ 7

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 96 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

96
= 2 ⋅ 48
= 2 ⋅ 2 ⋅ 24
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 12
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 6
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 96 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 3 = 6

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24

5 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 48

6 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 96

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 96:
1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 32; 48; 96