Wir suchen alle Teiler von 84. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 84 ist, teilen wir 84 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 84 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 84, denn 84 = 1 ⋅ 84, also ist auch 84 ein Teiler.

2 ist Teiler von 84, denn 84 = 2 ⋅ 42, also ist auch 42 ein Teiler.

3 ist Teiler von 84, denn 84 = 3 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.

4 ist Teiler von 84, denn 84 = 4 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 5 ⋅ 16 + 4.

6 ist Teiler von 84, denn 84 = 6 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

7 ist Teiler von 84, denn 84 = 7 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

8 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 8 ⋅ 10 + 4.

9 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 9 ⋅ 9 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 10 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 10 ⋅ 10 = 100 > 84, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 84:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 2⬜.

Bei den 20er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 20, 24, 28 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1220, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 2 + 0 = 5, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1224, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 2 + 4 = 9, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1228, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 2 + 8 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 19 bilden:

2 + 17 = 19, dabei ist 17 auch eine Primzahl

2 und 17 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 17 = 19

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 100 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

100
= 2 ⋅ 50
= 2 ⋅ 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 120 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 120 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
5 = 5

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 5 = 10
3 ⋅ 5 = 15

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 40
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

5 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 120:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120