Wir suchen alle Teiler von 81. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 81 ist, teilen wir 81 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 81 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 81, denn 81 = 1 ⋅ 81, also ist auch 81 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 81, denn 81 = 2 ⋅ 40 + 1.

3 ist Teiler von 81, denn 81 = 3 ⋅ 27, also ist auch 27 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 81, denn 81 = 4 ⋅ 20 + 1.

5 ist kein Teiler von 81, denn 81 = 5 ⋅ 16 + 1.

6 ist kein Teiler von 81, denn 81 = 6 ⋅ 13 + 3.

7 ist kein Teiler von 81, denn 81 = 7 ⋅ 11 + 4.

8 ist kein Teiler von 81, denn 81 = 8 ⋅ 10 + 1.

9 ist Teiler von 81, denn 81 = 9 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 10 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 10 ⋅ 10 = 100 > 81, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 81:
1, 3, 9, 27, 81

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 6⬜.

Bei den 60er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 60, 64, 68 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1760, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 6 + 0 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1764, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 6 + 4 = 18, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1768, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 6 + 8 = 22, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 42 bilden:

2 + 40 = 42, dabei ist 40 aber keine Primzahl

3 + 39 = 42, dabei ist 39 aber keine Primzahl

5 + 37 = 42, dabei ist 37 auch eine Primzahl

5 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 37 = 42

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 90 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

90
= 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 50 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

50
= 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 5 ⋅ 5

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 50 :

1 Teiler

2 = 2
5 = 5

2 Teiler

2 ⋅ 5 = 10
5 ⋅ 5 = 25

3 Teiler

2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 50

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 50:
1; 2; 5; 10; 25; 50