Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,5. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 40 dieser Fehler begeht?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
76	0.7167
77	0.6756
78	0.6328
79	0.5889
80	0.5445
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \leq 40)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.5}$ ≈ 80 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.5⋅80) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=80:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 40)$ ≈ 0.5445 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 44 Glückskekse kauft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{44} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 44 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{1} \cdot {(\frac{7}{8})}^{43}

=0.017648547552782≈ 0.0176
(TI-Befehl: binompdf(44,1/8,1))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤21)
...	...
$\frac{3}{7}$	0.9997
$\frac{4}{8}$	0.9959
$\frac{5}{9}$	0.9801
$\frac{6}{10}$	0.943
$\frac{7}{11}$	0.8819
$\frac{8}{12}$	0.8014
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{29} (X \leq 21)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{29} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{7}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{7}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 60 Stück nur an, wenn nicht mehr als 52 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

Lösung einblenden

p	P(X≤k)
...	...
0.76	0.9863
0.77	0.979
0.78	0.9685
0.79	0.9536
0.8	0.933
0.81	0.9053
0.82	0.8688
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \leq 52)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(60,X,52) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.81 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,45 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 66 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 26 und höchstens 30 beträgt?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.45.

$P_{0.45}^{66} (26 \leq X \leq 30)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

...

P_{0.45}^{66} (X \leq 30)

-

P_{0.45}^{66} (X \leq 25)

≈ 0.5799 - 0.1493 ≈ 0.4306
(TI-Befehl: binomcdf(66,0.45,30) - binomcdf(66,0.45,25))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 87 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=87⋅ $\frac{1}{6}$ = 14.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.5, also 0.8⋅ 14.5 = 11.6 und 120% von 14.5, also 1.2⋅ 14.5 = 17.4

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.5 entfernt sein darf als 11.6 bzw. 17.4, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{87} (12 \leq X \leq 17)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{87} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{87} (X \leq 11)

≈ 0.8084 - 0.1962 ≈ 0.6122
(TI-Befehl: binomcdf(87, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(87, $\frac{1}{6}$ ,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert