Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 24 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
25	0.9282
26	0.7487
27	0.5154
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.9}$ ≈ 27 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.9⋅27) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=27:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5154 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 49 Versuchen genau 19 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.3.

P_{0.3}^{49} (X = 19)

=

(\begin{matrix} 49 \\ 19 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{19} \cdot {0.7}^{30}

=0.049385017511061≈ 0.0494
(TI-Befehl: binompdf(49,0.3,19))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 5 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 5 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

Lösung einblenden

p	P(X≥16)=1-P(X≤15)
...	...
$\frac{5}{15}$	0.9997
$\frac{5}{16}$	0.9987
$\frac{5}{17}$	0.996
$\frac{5}{18}$	0.99
$\frac{5}{19}$	0.9786
$\frac{5}{20}$	0.9601
$\frac{5}{21}$	0.9329
$\frac{5}{22}$	0.8965
$\frac{5}{23}$	0.8513
$\frac{5}{24}$	0.7985
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 16)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 15)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{15}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{23}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 23 sein.

Also wären noch 18 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 56 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 56)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 80% mindestens 27 Treffer erzielt werden?

Lösung einblenden

p	P(X≥27)=1-P(X≤26)
...	...
0.48	0.5397
0.49	0.5987
0.5	0.6556
0.51	0.7091
0.52	0.7584
0.53	0.8028
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{56} (X \geq 27)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{56} (X \leq 26)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(56,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 61 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 17, aber weniger als 19 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.25.

$P_{0.25}^{61} (17 \leq X \leq 18)$ =

...

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{0.25}^{61} (X \leq 18)

-

P_{0.25}^{61} (X \leq 16)

≈ 0.8324 - 0.6519 ≈ 0.1805
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.25,18) - binomcdf(61,0.25,16))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 53 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=53⋅0.25 = 13.25

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 13.25, also 0.85⋅ 13.25 = 11.263 und 115% von 13.25, also 1.15⋅ 13.25 = 15.238

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 13.25 entfernt sein darf als 11.263 bzw. 15.238, muss sie also zwischen 12 und 15 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.25.

$P_{0.25}^{53} (12 \leq X \leq 15)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{0.25}^{53} (X \leq 15)

-

P_{0.25}^{53} (X \leq 11)

≈ 0.7662 - 0.2961 ≈ 0.4701
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.25,15) - binomcdf(53,0.25,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert