Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 35 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.6503
44	0.5298
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.8}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.8⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5298 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 22 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{22} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 22 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{20}

=0.16737267537111≈ 0.1674
(TI-Befehl: binompdf(22,1/6,2))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 90 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 90 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{12}$	0.5215
$\frac{1}{13}$	0.6107
$\frac{1}{14}$	0.6864
$\frac{1}{15}$	0.7489
$\frac{1}{16}$	0.7996
$\frac{1}{17}$	0.8403
$\frac{1}{18}$	0.8727
$\frac{1}{19}$	0.8984
$\frac{1}{20}$	0.9187
$\frac{1}{21}$	0.9348
$\frac{1}{22}$	0.9475
$\frac{1}{23}$	0.9577
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \leq 7)$ =0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{90}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{90}$ ⋅90 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{90} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{90}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{12}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{23}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 23 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 63 Stück nur an, wenn nicht mehr als 32 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.38	0.9859
0.39	0.9787
0.4	0.9687
0.41	0.9553
0.42	0.9377
0.43	0.9151
0.44	0.8872
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{63} (X \leq 32)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(63,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 37 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=37 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{37} (X < 11)

=

P_{\frac{1}{6}}^{37} (X \leq 10)

=

P_{\frac{1}{6}}^{37} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{37} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{37} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{37} (X = 10)

= 0.96539371243395 ≈ 0.9654
(TI-Befehl: binomcdf(37,1/6,10))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 74 und p = 0.95
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 74 und p = 0.95 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 74 ⋅ 0.95 = 70.3

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{74 ⋅ 0.95 ⋅ 0.05}$ = $\sqrt{3.515}$ ≈ 1.87

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.