Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 55%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 27 grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 48 | 0.6233 |
| 49 | 0.5608 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 49 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.55⋅49) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=49:
≈ 0.5608
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Eine Münze wird 76 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 39 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.5.
= = + + +... + = 0.54561153736225 ≈ 0.5456(TI-Befehl: binomcdf(76,0.5,38))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 60 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤9) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.4464 | |
| 0.6484 | |
| 0.7884 | |
| 0.8754 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.85 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 9 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 9=⋅60 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
9 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 87 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 87)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 70 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥70)=1-P(X≤69) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.77 | 0.2659 |
| 0.78 | 0.3431 |
| 0.79 | 0.4295 |
| 0.8 | 0.5214 |
| 0.81 | 0.6145 |
| 0.82 | 0.7037 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.7 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,69) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.82 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Eine Münze wird 53 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 26 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.5.
= =0.10807684889525≈ 0.1081(TI-Befehl: binompdf(53,0.5,26))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 39 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 39 und p = 0.15 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 39 ⋅ 0.15 = 5.85
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 2.23
