Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 22 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
39	0.8316
40	0.7852
41	0.7336
42	0.678
43	0.6196
44	0.5598
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.5}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.5⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.5598 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 44%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 25 Versuchen weniger als 12 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.44.

P_{0.44}^{25} (X < 12)

=

P_{0.44}^{25} (X \leq 11)

=

P_{0.44}^{25} (X = 0)

+

P_{0.44}^{25} (X = 1)

+

P_{0.44}^{25} (X = 2)

+... +

P_{0.44}^{25} (X = 11)

= 0.58263457283503 ≈ 0.5826
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.44,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9998
$\frac{1}{3}$	0.9923
$\frac{1}{4}$	0.9683
$\frac{1}{5}$	0.9313
$\frac{1}{6}$	0.8878
$\frac{1}{7}$	0.8427
$\frac{1}{8}$	0.7986
$\frac{1}{9}$	0.7567
$\frac{1}{10}$	0.7176
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 47 Freiwürfen mindestens 31 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥31)=1-P(X≤30)
...	...
0.64	0.4549
0.65	0.5122
0.66	0.5698
0.67	0.6265
0.68	0.6811
0.69	0.7326
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{47} (X \geq 31)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{47} (X \leq 30)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(47,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 82 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 48 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.5.

P_{0.5}^{82} (X \leq 48)

=

P_{0.5}^{82} (X = 0)

+

P_{0.5}^{82} (X = 1)

+

P_{0.5}^{82} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{82} (X = 48)

= 0.95148454435135 ≈ 0.9515
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.5,48))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 91 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=91⋅0.35 = 31.85

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 31.85, also 0.8⋅ 31.85 = 25.48 und 120% von 31.85, also 1.2⋅ 31.85 = 38.22

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.85 entfernt sein darf als 25.48 bzw. 38.22, muss sie also zwischen 26 und 38 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.35.

$P_{0.35}^{91} (26 \leq X \leq 38)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

...

P_{0.35}^{91} (X \leq 38)

-

P_{0.35}^{91} (X \leq 25)

≈ 0.9266 - 0.0796 ≈ 0.847
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.35,38) - binomcdf(91,0.35,25))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert