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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,45. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 21 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.7458
44	0.6978
45	0.6474
46	0.5954
47	0.5427
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.45}$ ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.45⋅47) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.5427 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 56 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{56} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 56 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{5} \cdot {(\frac{7}{8})}^{51}

=0.12852961678756≈ 0.1285
(TI-Befehl: binompdf(56,1/8,5))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 80 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 80 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{8}$	0.4495
$\frac{1}{9}$	0.6031
$\frac{1}{10}$	0.7234
$\frac{1}{11}$	0.811
$\frac{1}{12}$	0.872
$\frac{1}{13}$	0.9135
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=80 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{80} (X \leq 9)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{80} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 80 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{80}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{80}$ ⋅80 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{80} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{80}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 13 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 86 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 86).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 80% höchstens 21 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.16	0.9849
0.17	0.9714
0.18	0.95
0.19	0.9185
0.2	0.8754
0.21	0.8201
0.22	0.7533
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{86} (X \leq 21)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(86,X,21) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.21 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 70% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 62 Versuchen mindestens 43 und weniger als 49 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.7.

$P_{0.7}^{62} (43 \leq X \leq 48)$ =

...

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

...

P_{0.7}^{62} (X \leq 48)

-

P_{0.7}^{62} (X \leq 42)

≈ 0.9245 - 0.3949 ≈ 0.5296
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.7,48) - binomcdf(62,0.7,42))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 85 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 85⋅0.25 ≈ 21.25,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{85\cdot0.25\cdot0.75}$ ≈ 3.99

25.24 (21.25 + 3.99) und 17.26 (21.25 - 3.99) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 21.25 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 18 und 25 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 18 und 25 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.25.

$P_{0.25}^{85} (18 \leq X \leq 25)$ =

...

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

...

P_{0.25}^{85} (X \leq 25)

-

P_{0.25}^{85} (X \leq 17)

≈ 0.8561 - 0.1743 ≈ 0.6818
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.25,25) - binomcdf(85,0.25,17))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ