Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,85. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 37 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.6411
44	0.4968
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.85}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.85⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.4968 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 48 Versuchen genau 11 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.25.

P_{0.25}^{48} (X = 11)

=

(\begin{matrix} 48 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{11} \cdot {0.75}^{37}

=0.12841715310842≈ 0.1284
(TI-Befehl: binompdf(48,0.25,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 70 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{7}$	0.4482
$\frac{1}{8}$	0.6228
$\frac{1}{9}$	0.7528
$\frac{1}{10}$	0.8414
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \leq 9)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{70} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{70}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{70}$ ⋅70 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{70} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{70}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 82 Freiwürfen mindestens 66 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥66)=1-P(X≤65)
...	...
0.78	0.3486
0.79	0.4327
0.8	0.5221
0.81	0.6125
0.82	0.6995
0.83	0.7784
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{82} (X \geq 66)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{82} (X \leq 65)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(82,X,65) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 26 Versuchen höchstens 14 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.6.

P_{0.6}^{26} (X \leq 14)

=

P_{0.6}^{26} (X = 0)

+

P_{0.6}^{26} (X = 1)

+

P_{0.6}^{26} (X = 2)

+... +

P_{0.6}^{26} (X = 14)

= 0.32632071343693 ≈ 0.3263
(TI-Befehl: binomcdf(26,0.6,14))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,45 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 45 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 45⋅0.45 ≈ 20.25,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{45\cdot0.45\cdot0.55}$ ≈ 3.34

23.59 (20.25 + 3.34) und 16.91 (20.25 - 3.34) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 20.25 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 17 und 23 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 17 und 23 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.45.

$P_{0.45}^{45} (17 \leq X \leq 23)$ =

...

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

...

P_{0.45}^{45} (X \leq 23)

-

P_{0.45}^{45} (X \leq 16)

≈ 0.835 - 0.1302 ≈ 0.7048
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.45,23) - binomcdf(45,0.45,16))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ