Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
29	0.5566
30	0.5455
31	0.5346
32	0.5239
33	0.5134
34	0.5031
35	0.4931
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 46 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 7 mal, aber weniger als 10 mal eine sechs gewürfelt wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{46} (8 \leq X \leq 9)$ =

...

5

6

7

8

9

10

11

...

P_{\frac{1}{6}}^{46} (X \leq 9)

-

P_{\frac{1}{6}}^{46} (X \leq 7)

≈ 0.7723 - 0.4916 ≈ 0.2807
(TI-Befehl: binomcdf(46, $\frac{1}{6}$ ,9) - binomcdf(46, $\frac{1}{6}$ ,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 13 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 20% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

Lösung einblenden

p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{4}$	0.5843
$\frac{1}{5}$	0.7473
$\frac{1}{6}$	0.8419
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{13}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 73 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 51 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

Lösung einblenden

p	P(X≥51)=1-P(X≤50)
...	...
0.71	0.6401
0.72	0.7089
0.73	0.7718
0.74	0.827
0.75	0.8735
0.76	0.9112
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{73} (X \geq 51)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{73} (X \leq 50)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(73,X,50) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 6 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 30 Glückskekse kauft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.125.

...

3

4

5

6

7

8

...

P_{0.125}^{30} (X \geq 6)

= 1 -

P_{0.125}^{30} (X \leq 5)

= 0.1644
(TI-Befehl: 1-binomcdf(30,0.125,5))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 82 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 82⋅0.45 ≈ 36.9,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{82\cdot0.45\cdot0.55}$ ≈ 4.5

41.4 (36.9 + 4.5) und 32.4 (36.9 - 4.5) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 36.9 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 33 und 41 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 33 und 41 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.45.

$P_{0.45}^{82} (33 \leq X \leq 41)$ =

...

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

...

P_{0.45}^{82} (X \leq 41)

-

P_{0.45}^{82} (X \leq 32)

≈ 0.8464 - 0.1644 ≈ 0.682
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.45,41) - binomcdf(82,0.45,32))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ