Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 80%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit 26 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 31 | 0.6069 |
| 32 | 0.4645 |
| 33 | 0.3343 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.5 |+ - 0.5
0.5 ≥ oder ≤ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.8⋅33) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
≈ 0.3343
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.
n muss also mindestens 32 sein, damit ≤ 0.5 oder eben ≥ 0.5 gilt.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Würfel wird 38 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=38 und p=.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(38,,8))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 65 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 65 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤5) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6161 | |
| 0.6808 | |
| 0.7351 | |
| 0.7802 | |
| 0.8175 | |
| 0.8482 | |
| 0.8734 | |
| 0.8941 | |
| 0.9112 | |
| 0.9253 | |
| 0.9369 | |
| 0.9465 | |
| 0.9545 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.95 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 5 Treffer bei 65 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 5=⋅65 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
25 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 70 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 70).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 80% höchstens 27 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.29 | 0.9684 |
| 0.3 | 0.9524 |
| 0.31 | 0.9308 |
| 0.32 | 0.9028 |
| 0.33 | 0.8677 |
| 0.34 | 0.8252 |
| 0.35 | 0.7755 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(70,X,27) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Eine Münze wird 91 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 41 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.5.
= =0.053671505750673≈ 0.0537(TI-Befehl: binompdf(91,0.5,41))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 71 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 71⋅ ≈ 11.83,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.14
14.97 (11.83 + 3.14) und 8.69 (11.83 - 3.14) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.83 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=71 und p=
(TI-Befehl: binomcdf(71,
