Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 25 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
27	0.7674
28	0.5406
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.9}$ ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.9⋅28) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.5406 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 48 Versuchen, mehr als 19 mal und höchstens 26 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.45.

$P_{0.45}^{48} (20 \leq X \leq 26)$ =

...

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

...

P_{0.45}^{48} (X \leq 26)

-

P_{0.45}^{48} (X \leq 19)

≈ 0.9221 - 0.2724 ≈ 0.6497
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.45,26) - binomcdf(48,0.45,19))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 85 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 85 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{1}{14}$	0.5945
$\frac{1}{15}$	0.6616
$\frac{1}{16}$	0.7187
$\frac{1}{17}$	0.7667
$\frac{1}{18}$	0.8067
$\frac{1}{19}$	0.8397
$\frac{1}{20}$	0.867
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 6)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{85} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{85}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{85}$ ⋅85 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{85} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{85}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{14}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 20 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 47 Ausspielungen nicht öfters als 30 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.5	0.98
0.51	0.9724
0.52	0.9625
0.53	0.9499
0.54	0.9341
0.55	0.9146
0.56	0.8911
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{47} (X \leq 30)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(47,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.55 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 52 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 10 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{52} (X = 10)

=

(\begin{matrix} 52 \\ 10 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{10} \cdot {(\frac{3}{4})}^{42}

=0.085345434394382≈ 0.0853
(TI-Befehl: binompdf(52,1/4,10))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 92 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=92⋅0.35 = 32.2

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 32.2, also 0.8⋅ 32.2 = 25.76 und 120% von 32.2, also 1.2⋅ 32.2 = 38.64

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 32.2 entfernt sein darf als 25.76 bzw. 38.64, muss sie also zwischen 26 und 38 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.35.

$P_{0.35}^{92} (26 \leq X \leq 38)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

...

P_{0.35}^{92} (X \leq 38)

-

P_{0.35}^{92} (X \leq 25)

≈ 0.9145 - 0.0695 ≈ 0.845
(TI-Befehl: binomcdf(92,0.35,38) - binomcdf(92,0.35,25))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert