Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 45%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 26 grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
480.9221
490.8991
500.8721
510.8412
520.8065
530.7683
540.7271
550.6834
560.6378
570.591
580.5437
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: P0.45n (X26) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 26 0.45 ≈ 58 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.45⋅58) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=58:
P0.45n (X26) ≈ 0.5437 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 8 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 67 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.125.

...
5
6
7
8
9
10
...

P0.12567 (X8) = 1 - P0.12567 (X7) = 0.6103
(TI-Befehl: 1-binomcdf(67,0.125,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
9 14 0.9998
10 15 0.9996
11 16 0.9992
12 17 0.9986
13 18 0.9977
14 19 0.9963
15 20 0.9945
16 21 0.9922
17 22 0.9894
18 23 0.986
19 24 0.9819
20 25 0.9773
21 26 0.9721
22 27 0.9664
23 28 0.96
24 29 0.9532
25 30 0.9458
26 31 0.938
27 32 0.9298
28 33 0.9213
29 34 0.9123
30 35 0.9031
31 36 0.8936
32 37 0.8838
33 38 0.8739
34 39 0.8638
35 40 0.8536
36 41 0.8432
37 42 0.8328
38 43 0.8223
39 44 0.8118
40 45 0.8012
41 46 0.7906
42 47 0.7801
43 48 0.7696
44 49 0.7591
45 50 0.7487
46 51 0.7384
47 52 0.7281
48 53 0.718
49 54 0.7079
50 55 0.6979
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp26 (X24) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp26 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 9 14 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 49 54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 49 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 83 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 62 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≥62)=1-P(X≤61)
......
0.750.5833
0.760.6644
0.770.7397
0.780.8066
0.790.8628
0.80.9077
......

Es muss gelten: Pp83 (X62) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp83 (X61) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(83,X,61) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 41 Versuchen, mehr als 26 mal und höchstens 32 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.7.

P0.741 (27X32) =

...
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
...

P0.741 (X32) - P0.741 (X26) ≈ 0.9057 - 0.2238 ≈ 0.6819
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.7,32) - binomcdf(41,0.7,26))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 42 und p = 0.9
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 42 und p = 0.9 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 42 ⋅ 0.9 = 37.8

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 42 ⋅ 0.9 ⋅ 0.1 = 3.78 1.94