Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% nicht mehr als 32 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
192	0.547
193	0.5342
194	0.5214
195	0.5086
196	0.4958
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{32}{\frac{1}{6}}$ ≈ 192 Versuchen auch ungefähr 32 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅192) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=192:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.547 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=195 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 96 Versuchen genau 65 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.7.

P_{0.7}^{96} (X = 65)

=

(\begin{matrix} 96 \\ 65 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{65} \cdot {0.3}^{31}

=0.077116999702676≈ 0.0771
(TI-Befehl: binompdf(96,0.7,65))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 17 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 15% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{8}$	0.6409
$\frac{1}{9}$	0.7089
$\frac{1}{10}$	0.7618
$\frac{1}{11}$	0.8032
$\frac{1}{12}$	0.836
$\frac{1}{13}$	0.862
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{17} (X \leq 2)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{17} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{17}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{17}$ ⋅17 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{17} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{17}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 13 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 56 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 50 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥50)=1-P(X≤49)
...	...
0.88	0.4851
0.89	0.5793
0.9	0.6738
0.91	0.7633
0.92	0.8419
0.93	0.9051
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{56} (X \geq 50)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{56} (X \leq 49)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(56,X,49) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.93 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 61 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 33 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.5.

P_{0.5}^{61} (X = 33)

=

(\begin{matrix} 61 \\ 33 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{33} \cdot {0.5}^{28}

=0.083147355229179≈ 0.0831
(TI-Befehl: binompdf(61,0.5,33))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 85 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 85⋅0.25 ≈ 21.25,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{85\cdot0.25\cdot0.75}$ ≈ 3.99

25.24 (21.25 + 3.99) und 17.26 (21.25 - 3.99) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 21.25 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 18 und 25 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 18 und 25 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.25.

$P_{0.25}^{85} (18 \leq X \leq 25)$ =

...

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

...

P_{0.25}^{85} (X \leq 25)

-

P_{0.25}^{85} (X \leq 17)

≈ 0.8561 - 0.1743 ≈ 0.6818
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.25,25) - binomcdf(85,0.25,17))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ