Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 75%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit 20 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 27 | 0.3573 |
| 28 | 0.2499 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.7 |+ - 0.7
0.3 ≥ oder ≤ 0.3
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 27 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.75⋅27) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=27:
≈ 0.3573
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.
n muss also mindestens 28 sein, damit ≤ 0.3 oder eben ≥ 0.7 gilt.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 55 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 16 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.25.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(55,0.25,15))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 5er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥1)=1-P(X≤0) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9687 | |
| 0.8683 | |
| 0.7627 | |
| 0.6723 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=5 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 1 Treffer bei 5 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
4 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 100 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 100)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 90% mindestens 97 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥97)=1-P(X≤96) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.94 | 0.143 |
| 0.95 | 0.2578 |
| 0.96 | 0.4295 |
| 0.97 | 0.6472 |
| 0.98 | 0.859 |
| 0.99 | 0.9816 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(100,X,96) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.99 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 64 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 44 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.6.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(64,0.6,43))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Würfel wird 50 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=50⋅ = 8.3333333333333
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 8.333, also 0.8⋅ 8.333 = 6.667 und 120% von 8.3333333333333, also 1.2⋅ 8.333 = 10
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 8.3333333333333 entfernt sein darf als 6.667 bzw. 10, muss sie also zwischen 7 und 10 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(50,,10) - binomcdf(50,,6))
