Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,06. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% kein Descepticon unter ihnen ist?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
6	0.6899
7	0.6485
8	0.6096
9	0.573
10	0.5386
11	0.5063
12	0.4759
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.06}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 6% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.06}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.06⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.06}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 96 Versuchen, mehr als 30 mal und höchstens 47 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.4.

$P_{0.4}^{96} (31 \leq X \leq 47)$ =

...

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.4}^{96} (X \leq 47)

-

P_{0.4}^{96} (X \leq 30)

≈ 0.9701 - 0.0484 ≈ 0.9217
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.4,47) - binomcdf(96,0.4,30))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 10er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.999
$\frac{1}{3}$	0.9827
$\frac{1}{4}$	0.9437
$\frac{1}{5}$	0.8926
$\frac{1}{6}$	0.8385
$\frac{1}{7}$	0.7859
$\frac{1}{8}$	0.7369
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=10 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{10} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{10} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{10} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 10 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 81 Freiwürfen mindestens 47 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥47)=1-P(X≤46)
...	...
0.6	0.685
0.61	0.7477
0.62	0.8034
0.63	0.8513
0.64	0.8909
0.65	0.9226
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{81} (X \geq 47)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{81} (X \leq 46)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(81,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 55 Versuchen höchstens 18 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.3.

P_{0.3}^{55} (X \leq 18)

=

P_{0.3}^{55} (X = 0)

+

P_{0.3}^{55} (X = 1)

+

P_{0.3}^{55} (X = 2)

+... +

P_{0.3}^{55} (X = 18)

= 0.72603300090915 ≈ 0.726
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.3,18))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 100 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=100⋅0.35 = 35

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 35, also 0.85⋅ 35 = 29.75 und 115% von 35, also 1.15⋅ 35 = 40.25

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 35 entfernt sein darf als 29.75 bzw. 40.25, muss sie also zwischen 30 und 40 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.35.

$P_{0.35}^{100} (30 \leq X \leq 40)$ =

...

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

...

P_{0.35}^{100} (X \leq 40)

-

P_{0.35}^{100} (X \leq 29)

≈ 0.875 - 0.1236 ≈ 0.7514
(TI-Befehl: binomcdf(100,0.35,40) - binomcdf(100,0.35,29))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert