Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 55%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 25 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
41	0.8225
42	0.7708
43	0.7132
44	0.6513
45	0.5869
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.55}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.55⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.5869 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 12 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 69 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{69} (X = 12)

=

(\begin{matrix} 69 \\ 12 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{12} \cdot {(\frac{7}{8})}^{57}

=0.063475424820804≈ 0.0635
(TI-Befehl: binompdf(69,1/8,12))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 50 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 50 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤5)
...	...
$\frac{1}{10}$	0.6161
$\frac{1}{11}$	0.6991
$\frac{1}{12}$	0.7647
$\frac{1}{13}$	0.8158
$\frac{1}{14}$	0.8554
$\frac{1}{15}$	0.886
$\frac{1}{16}$	0.9096
$\frac{1}{17}$	0.928
$\frac{1}{18}$	0.9423
$\frac{1}{19}$	0.9534
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{50} (X \leq 5)$ =0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{50} (X \leq 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{5}{50}$ . Mit diesem p wäre ja 5= $\frac{5}{50}$ ⋅50 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{50} (X \leq 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{5}{50}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{19}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 19 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 82 Stück nur an, wenn nicht mehr als 37 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.33	0.9918
0.34	0.9862
0.35	0.9777
0.36	0.9653
0.37	0.9479
0.38	0.9243
0.39	0.8936
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{82} (X \leq 37)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(82,X,37) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 47 Versuchen genau 18 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p=0.35.

P_{0.35}^{47} (X = 18)

=

(\begin{matrix} 47 \\ 18 \end{matrix}) \cdot {0.35}^{18} \cdot {0.65}^{29}

=0.10653684986772≈ 0.1065
(TI-Befehl: binompdf(47,0.35,18))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 89 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 89⋅0.4 ≈ 35.6,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{89\cdot0.4\cdot0.6}$ ≈ 4.62

40.22 (35.6 + 4.62) und 30.98 (35.6 - 4.62) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 35.6 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 31 und 40 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 31 und 40 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.4.

$P_{0.4}^{89} (31 \leq X \leq 40)$ =

...

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

...

P_{0.4}^{89} (X \leq 40)

-

P_{0.4}^{89} (X \leq 30)

≈ 0.8553 - 0.1345 ≈ 0.7208
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.4,40) - binomcdf(89,0.4,30))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ