Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,85. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 26 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
28	0.9373
29	0.8316
30	0.6783
31	0.506
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.85}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.85⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.506 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 53 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 10 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{53} (X = 10)

=

(\begin{matrix} 53 \\ 10 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{10} \cdot {(\frac{5}{6})}^{43}

=0.12697215020394≈ 0.127
(TI-Befehl: binompdf(53,1/6,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{3}{5}$	0.9998
$\frac{4}{6}$	0.9982
$\frac{5}{7}$	0.9923
$\frac{6}{8}$	0.9793
$\frac{7}{9}$	0.9578
$\frac{8}{10}$	0.9282
$\frac{9}{11}$	0.8921
$\frac{10}{12}$	0.8512
$\frac{11}{13}$	0.8075
$\frac{12}{14}$	0.7625
$\frac{13}{15}$	0.7174
$\frac{14}{16}$	0.6733
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{27} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{27} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{5}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{13}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 13 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 62 Wiederholungen 53 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?

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p	P(X≥53)=1-P(X≤52)
...	...
0.85	0.5449
0.86	0.633
0.87	0.7178
0.88	0.795
0.89	0.8607
0.9	0.9128
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{62} (X \geq 53)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{62} (X \leq 52)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(62,X,52) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 46 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 14 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.25.

...

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.25}^{46} (X \geq 14)

= 1 -

P_{0.25}^{46} (X \leq 13)

= 0.2432
(TI-Befehl: 1-binomcdf(46,0.25,13))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 85 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 85⋅0.35 ≈ 29.75,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{85\cdot0.35\cdot0.65}$ ≈ 4.4

34.15 (29.75 + 4.4) und 25.35 (29.75 - 4.4) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 29.75 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 26 und 34 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 26 und 34 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.35.

$P_{0.35}^{85} (26 \leq X \leq 34)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

...

P_{0.35}^{85} (X \leq 34)

-

P_{0.35}^{85} (X \leq 25)

≈ 0.8596 - 0.1671 ≈ 0.6925
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.35,34) - binomcdf(85,0.35,25))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ