Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,01. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 70% kein Descepticon unter ihnen ist?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
30	0.7397
31	0.7323
32	0.725
33	0.7177
34	0.7106
35	0.7034
36	0.6964
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.01 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.01}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.01}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.01⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.01}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,22 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 21 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 3 defekte Chips enthalten sind.

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=21 und p=0.22.

P_{0.22}^{21} (X \leq 3)

=

P_{0.22}^{21} (X = 0)

+

P_{0.22}^{21} (X = 1)

+

P_{0.22}^{21} (X = 2)

+

P_{0.22}^{21} (X = 3)

= 0.28980838929164 ≈ 0.2898
(TI-Befehl: binomcdf(21,0.22,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤3)
...	...
$\frac{2}{9}$	0.6202
$\frac{2}{10}$	0.6982
$\frac{2}{11}$	0.759
$\frac{2}{12}$	0.8063
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{14}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{14}$ ⋅14 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{14}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 12 sein.

Also werden noch 10 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 71 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 35 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

Lösung einblenden

p	P(X≥35)=1-P(X≤34)
...	...
0.52	0.6577
0.53	0.7175
0.54	0.7718
0.55	0.8198
0.56	0.861
0.57	0.8954
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{71} (X \geq 35)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{71} (X \leq 34)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(71,X,34) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,76. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 96 Versuchen mindestens 73 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.76.

...

70

71

72

73

74

75

...

P_{0.76}^{96} (X \geq 73)

= 1 -

P_{0.76}^{96} (X \leq 72)

= 0.5519
(TI-Befehl: 1-binomcdf(96,0.76,72))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 93 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 93⋅0.6 ≈ 55.8,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{93\cdot0.6\cdot0.4}$ ≈ 4.72

60.52 (55.8 + 4.72) und 51.08 (55.8 - 4.72) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 55.8 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 52 und 60 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 52 und 60 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.6.

$P_{0.6}^{93} (52 \leq X \leq 60)$ =

...

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

...

P_{0.6}^{93} (X \leq 60)

-

P_{0.6}^{93} (X \leq 51)

≈ 0.8401 - 0.1811 ≈ 0.659
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.6,60) - binomcdf(93,0.6,51))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ