Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 16% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 40-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 50% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 48 | 0.5101 |
| 49 | 0.3827 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.84 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 84% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.84⋅48) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
≈ 0.5101
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 0 und höchstens 7 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 45 Glückskekse kauft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.125.
=
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.125,7) - binomcdf(45,0.125,0))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9996 | |
| 0.9991 | |
| 0.9982 | |
| 0.9967 | |
| 0.9945 | |
| 0.9916 | |
| 0.9878 | |
| 0.983 | |
| 0.9773 | |
| 0.9707 | |
| 0.9633 | |
| 0.9549 | |
| 0.9458 | |
| 0.936 | |
| 0.9256 | |
| 0.9146 | |
| 0.9031 | |
| 0.8912 | |
| 0.8789 | |
| 0.8664 | |
| 0.8536 | |
| 0.8406 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.85 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 28 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 46 Freiwürfen mindestens 23 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥23)=1-P(X≤22) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.51 | 0.6116 |
| 0.52 | 0.6628 |
| 0.53 | 0.7111 |
| 0.54 | 0.756 |
| 0.55 | 0.797 |
| 0.56 | 0.8336 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.8 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(46,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 86 Versuchen, mehr als 32 mal und höchstens 39 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.45.
=
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.45,39) - binomcdf(86,0.45,32))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=65%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 96 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 96⋅0.65 ≈ 62.4,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 4.67
67.07 (62.4 + 4.67) und 57.73 (62.4 - 4.67) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 62.4 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 58 und 67 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 58 und 67 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.65.
=
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.65,67) - binomcdf(96,0.65,57))
