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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,6. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 39 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
62	0.7224
63	0.6663
64	0.6073
65	0.547
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.6}$ ≈ 65 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.6⋅65) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=65:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.547 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=62 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 39 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 10 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{39} (X = 10)

=

(\begin{matrix} 39 \\ 10 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{10} \cdot {(\frac{5}{6})}^{29}

=0.053151384856645≈ 0.0532
(TI-Befehl: binompdf(39,1/6,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{2}{11}$	0.6255
$\frac{2}{12}$	0.6887
$\frac{2}{13}$	0.7405
$\frac{2}{14}$	0.7829
$\frac{2}{15}$	0.8174
$\frac{2}{16}$	0.8457
$\frac{2}{17}$	0.869
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{17} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{17} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{17}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{17}$ ⋅17 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{17} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{17}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{11}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 17 sein.

Also werden noch 15 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 63 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 63).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 50% höchstens 45 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.67	0.81
0.68	0.7612
0.69	0.7055
0.7	0.6438
0.71	0.5772
0.72	0.5074
0.73	0.4363
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{63} (X \leq 45)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(63,X,45) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 96 Versuchen höchstens 69 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.75.

P_{0.75}^{96} (X \leq 69)

=

P_{0.75}^{96} (X = 0)

+

P_{0.75}^{96} (X = 1)

+

P_{0.75}^{96} (X = 2)

+... +

P_{0.75}^{96} (X = 69)

= 0.27364602909745 ≈ 0.2736
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.75,69))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 59 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=59⋅0.55 = 32.45

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 32.45, also 0.8⋅ 32.45 = 25.96 und 120% von 32.45, also 1.2⋅ 32.45 = 38.94

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 32.45 entfernt sein darf als 25.96 bzw. 38.94, muss sie also zwischen 26 und 38 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.55.

$P_{0.55}^{59} (26 \leq X \leq 38)$ =

...

23

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25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

...

P_{0.55}^{59} (X \leq 38)

-

P_{0.55}^{59} (X \leq 25)

≈ 0.9445 - 0.0348 ≈ 0.9097
(TI-Befehl: binomcdf(59,0.55,38) - binomcdf(59,0.55,25))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert