Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 70%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 30 grüne Kugeln gezogen werden?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
42	0.6368
43	0.5441
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.7}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.7⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.5441 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 26 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 21 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.7.

P_{0.7}^{26} (X = 21)

=

(\begin{matrix} 26 \\ 21 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{21} \cdot {0.3}^{5}

=0.089280987062738≈ 0.0893
(TI-Befehl: binompdf(26,0.7,21))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

Lösung einblenden

p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9995
$\frac{1}{3}$	0.9884
$\frac{1}{4}$	0.9578
$\frac{1}{5}$	0.9141
$\frac{1}{6}$	0.8654
$\frac{1}{7}$	0.8165
$\frac{1}{8}$	0.7698
$\frac{1}{9}$	0.7263
$\frac{1}{10}$	0.6862
$\frac{1}{11}$	0.6495
$\frac{1}{12}$	0.616
$\frac{1}{13}$	0.5854
$\frac{1}{14}$	0.5574
$\frac{1}{15}$	0.5318
$\frac{1}{16}$	0.5083
$\frac{1}{17}$	0.4867
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{11} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 16 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 86 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 86).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 50% höchstens 39 Treffer erzielt werden?

Lösung einblenden

p	P(X≤k)
...	...
0.4	0.8689
0.41	0.8239
0.42	0.7706
0.43	0.7096
0.44	0.6421
0.45	0.5702
0.46	0.496
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{86} (X \leq 39)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(86,X,39) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 86 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 56, aber höchstens 61 Treffer zu erzielen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.7.

$P_{0.7}^{86} (56 \leq X \leq 61)$ =

...

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

...

P_{0.7}^{86} (X \leq 61)

-

P_{0.7}^{86} (X \leq 55)

≈ 0.6146 - 0.135 ≈ 0.4796
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.7,61) - binomcdf(86,0.7,55))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 91 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=91⋅ $\frac{1}{6}$ = 15.166666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 15.167, also 0.8⋅ 15.167 = 12.133 und 120% von 15.166666666667, also 1.2⋅ 15.167 = 18.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 15.166666666667 entfernt sein darf als 12.133 bzw. 18.2, muss sie also zwischen 13 und 18 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{91} (13 \leq X \leq 18)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{\frac{1}{6}}^{91} (X \leq 18)

-

P_{\frac{1}{6}}^{91} (X \leq 12)

≈ 0.827 - 0.2308 ≈ 0.5962
(TI-Befehl: binomcdf(91, $\frac{1}{6}$ ,18) - binomcdf(91, $\frac{1}{6}$ ,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert