Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 75%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 27 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
33	0.8678
34	0.782
35	0.6777
36	0.5637
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.75}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.75⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.5637 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 80 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 18 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{80} (X \leq 18)

=

P_{\frac{1}{6}}^{80} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{80} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{80} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{80} (X = 18)

= 0.93477508732048 ≈ 0.9348
(TI-Befehl: binomcdf(80,1/6,18))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 19 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 15% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{9}$	0.6451
$\frac{1}{10}$	0.7054
$\frac{1}{11}$	0.7538
$\frac{1}{12}$	0.7926
$\frac{1}{13}$	0.8241
$\frac{1}{14}$	0.8497
$\frac{1}{15}$	0.8707
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{19} (X \leq 2)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{19} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{19}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{19}$ ⋅19 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{19} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{19}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 15 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 39 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 44 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.77	0.9845
0.78	0.9778
0.79	0.9685
0.8	0.956
0.81	0.9393
0.82	0.9175
0.83	0.8893
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{44} (X \leq 39)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(44,X,39) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.82 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,28 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 39 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 15 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p=0.28.

P_{0.28}^{39} (X \leq 15)

=

P_{0.28}^{39} (X = 0)

+

P_{0.28}^{39} (X = 1)

+

P_{0.28}^{39} (X = 2)

+... +

P_{0.28}^{39} (X = 15)

= 0.94517908052031 ≈ 0.9452
(TI-Befehl: binomcdf(39,0.28,15))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 54 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=54⋅0.25 = 13.5

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 13.5, also 0.9⋅ 13.5 = 12.15 und 110% von 13.5, also 1.1⋅ 13.5 = 14.85

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 13.5 entfernt sein darf als 12.15 bzw. 14.85, muss sie also zwischen 13 und 14 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.25.

$P_{0.25}^{54} (13 \leq X \leq 14)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.25}^{54} (X \leq 14)

-

P_{0.25}^{54} (X \leq 12)

≈ 0.6321 - 0.386 ≈ 0.2461
(TI-Befehl: binomcdf(54,0.25,14) - binomcdf(54,0.25,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert