Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht über 33 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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nP(X≤k)
......
410.5931
420.4691
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: P0.8n (X33) ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 33 0.8 ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.8⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
P0.8n (X33) ≈ 0.5931 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 63 Versuchen höchstens 30 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.55.

P0.5563 (X30) = P0.5563 (X=0) + P0.5563 (X=1) + P0.5563 (X=2) +... + P0.5563 (X=30) = 0.14670122474886 ≈ 0.1467
(TI-Befehl: binomcdf(63,0.55,30))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
12 17 0.9998
13 18 0.9997
14 19 0.9995
15 20 0.9992
16 21 0.9989
17 22 0.9984
18 23 0.9978
19 24 0.9971
20 25 0.9962
21 26 0.9952
22 27 0.994
23 28 0.9927
24 29 0.9912
25 30 0.9895
26 31 0.9877
27 32 0.9857
28 33 0.9836
29 34 0.9813
30 35 0.9788
31 36 0.9762
32 37 0.9735
33 38 0.9706
34 39 0.9676
35 40 0.9645
36 41 0.9613
37 42 0.9579
38 43 0.9545
39 44 0.951
40 45 0.9474
41 46 0.9437
42 47 0.9399
43 48 0.9361
44 49 0.9322
45 50 0.9282
46 51 0.9242
47 52 0.9201
48 53 0.916
49 54 0.9119
50 55 0.9077
51 56 0.9035
52 57 0.8993
53 58 0.895
54 59 0.8907
55 60 0.8864
56 61 0.8821
57 62 0.8778
58 63 0.8735
59 64 0.8691
60 65 0.8648
61 66 0.8605
62 67 0.8561
63 68 0.8518
64 69 0.8475
65 70 0.8432
66 71 0.8389
67 72 0.8346
68 73 0.8303
69 74 0.826
70 75 0.8218
71 76 0.8176
72 77 0.8133
73 78 0.8091
74 79 0.805
75 80 0.8008
76 81 0.7967
77 82 0.7925
78 83 0.7885
79 84 0.7844
80 85 0.7803
81 86 0.7763
82 87 0.7723
83 88 0.7683
84 89 0.7644
85 90 0.7604
86 91 0.7565
87 92 0.7527
88 93 0.7488
89 94 0.745
90 95 0.7412
91 96 0.7374
92 97 0.7337
93 98 0.73
94 99 0.7263
95 100 0.7226
96 101 0.719
97 102 0.7154
98 103 0.7118
99 104 0.7082
100 105 0.7047
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X24) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 12 17 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 99 104 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 99 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 53 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 26 erkennen und dumm anlabern?

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pP(X≤k)
......
0.360.9817
0.370.9735
0.380.9626
0.390.9484
0.40.9303
0.410.9078
0.420.8806
......

Es muss gelten: Pp53 (X26) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(53,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 51 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 20, aber höchstens 21 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.35.

P0.3551 (20X21) =

...
17
18
19
20
21
22
23
...

P0.3551 (X21) - P0.3551 (X19) ≈ 0.8577 - 0.6897 ≈ 0.168
(TI-Befehl: binomcdf(51,0.35,21) - binomcdf(51,0.35,19))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 21 und p = 0.55
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 21 und p = 0.55 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 21 ⋅ 0.55 = 11.55

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 21 ⋅ 0.55 ⋅ 0.45 = 5.1975 2.28