Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 40%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 36 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
85	0.7117
86	0.68
87	0.6473
88	0.6138
89	0.5799
90	0.5456
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.4}$ ≈ 90 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.4⋅90) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=90:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5456 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=85 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 61 Versuchen weniger als 38 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.7.

P_{0.7}^{61} (X < 38)

=

P_{0.7}^{61} (X \leq 37)

=

P_{0.7}^{61} (X = 0)

+

P_{0.7}^{61} (X = 1)

+

P_{0.7}^{61} (X = 2)

+... +

P_{0.7}^{61} (X = 37)

= 0.075497866623696 ≈ 0.0755
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.7,37))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{2}{4}$	0.5
$\frac{2}{5}$	0.7712
$\frac{2}{6}$	0.8965
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{13}$ mit $\frac{2}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 6 sein.

Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 78 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 52 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥52)=1-P(X≤51)
...	...
0.68	0.6503
0.69	0.7184
0.7	0.7801
0.71	0.8339
0.72	0.8789
0.73	0.915
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{78} (X \geq 52)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{78} (X \leq 51)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(78,X,51) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.73 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 86 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 20 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{86} (X = 20)

=

(\begin{matrix} 86 \\ 20 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{20} \cdot {(\frac{5}{6})}^{66}

=0.029738242319367≈ 0.0297
(TI-Befehl: binompdf(86,1/6,20))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 32 und p = 0.3
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 32 und p = 0.3 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 32 ⋅ 0.3 = 9.6

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{32 ⋅ 0.3 ⋅ 0.7}$ = $\sqrt{6.72}$ ≈ 2.59

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.