Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% nicht mehr als 21 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
123	0.6053
124	0.5896
125	0.5738
126	0.5579
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{\frac{1}{6}}$ ≈ 126 Versuchen auch ungefähr 21 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅126) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=126:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.5579 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=123 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,7 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 71 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 45 und höchstens 57 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=0.7.

$P_{0.7}^{71} (45 \leq X \leq 57)$ =

...

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

...

P_{0.7}^{71} (X \leq 57)

-

P_{0.7}^{71} (X \leq 44)

≈ 0.9817 - 0.0909 ≈ 0.8908
(TI-Befehl: binomcdf(71,0.7,57) - binomcdf(71,0.7,44))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 65 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 65 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{9}$	0.5638
$\frac{1}{10}$	0.6769
$\frac{1}{11}$	0.7637
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{65} (X \leq 7)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{65} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 65 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{65}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{65}$ ⋅65 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{65} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{65}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 11 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 82 Freiwürfen mindestens 63 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥63)=1-P(X≤62)
...	...
0.73	0.2594
0.74	0.3294
0.75	0.4072
0.76	0.4905
0.77	0.5757
0.78	0.6591
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{82} (X \geq 63)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{82} (X \leq 62)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(82,X,62) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.78 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 29 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,55.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 14 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.55.

P_{0.55}^{29} (X \leq 14)

=

P_{0.55}^{29} (X = 0)

+

P_{0.55}^{29} (X = 1)

+

P_{0.55}^{29} (X = 2)

+... +

P_{0.55}^{29} (X = 14)

= 0.29303248238817 ≈ 0.293
(TI-Befehl: binomcdf(29,0.55,14))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 62 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 62⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 10.33,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{62\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 2.93

13.27 (10.33 + 2.93) und 7.4 (10.33 - 2.93) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 10.33 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 8 und 13 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 8 und 13 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{62} (8 \leq X \leq 13)$ =

...

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

...

P_{\frac{1}{6}}^{62} (X \leq 13)

-

P_{\frac{1}{6}}^{62} (X \leq 7)

≈ 0.859 - 0.1674 ≈ 0.6916
(TI-Befehl: binomcdf(62, $\frac{1}{6}$ ,13) - binomcdf(62, $\frac{1}{6}$ ,7))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ