Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,08. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 60% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
1	0.92
2	0.8464
3	0.7787
4	0.7164
5	0.6591
6	0.6064
7	0.5578
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.08}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.08⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.08}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 45 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 6 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

4

5

6

7

8

9

...

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X > 6)

=

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \geq 7)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \leq 6)

= 0.6408
(TI-Befehl: 1-binomcdf(45, $\frac{1}{6}$ ,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{4}{11}$	0.5724
$\frac{4}{12}$	0.6739
$\frac{4}{13}$	0.7532
$\frac{4}{14}$	0.8136
$\frac{4}{15}$	0.859
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{17}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{17}$ ⋅17 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{17}$ mit $\frac{4}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{11}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 15 sein.

Also werden noch 11 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 100 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 100).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 60% höchstens 38 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.32	0.9167
0.33	0.8782
0.34	0.8292
0.35	0.7699
0.36	0.7011
0.37	0.625
0.38	0.5442
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{100} (X \leq 38)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(100,X,38) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 38 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 15 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=38 und p=0.5.

P_{0.5}^{38} (X = 15)

=

(\begin{matrix} 38 \\ 15 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{15} \cdot {0.5}^{23}

=0.056284212623723≈ 0.0563
(TI-Befehl: binompdf(38,0.5,15))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 98 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=98⋅ $\frac{1}{6}$ = 16.333333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 16.333, also 0.8⋅ 16.333 = 13.067 und 120% von 16.333333333333, also 1.2⋅ 16.333 = 19.6

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 16.333333333333 entfernt sein darf als 13.067 bzw. 19.6, muss sie also zwischen 14 und 19 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{98} (14 \leq X \leq 19)$ =

...

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{\frac{1}{6}}^{98} (X \leq 19)

-

P_{\frac{1}{6}}^{98} (X \leq 13)

≈ 0.807 - 0.225 ≈ 0.582
(TI-Befehl: binomcdf(98, $\frac{1}{6}$ ,19) - binomcdf(98, $\frac{1}{6}$ ,13))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert