Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 40 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
820.3703
830.3304
840.2928
850.2577
860.2253
870.1956
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: P0.5n (X40) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.5n (X40) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.5n (X40) = 1 - P0.5n (X39) ≥ 0.8 |+ P0.5n (X39) - 0.8

0.2 ≥ P0.5n (X39) oder P0.5n (X39) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 40 0.5 ≈ 80 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.5⋅80) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=80:
P0.5n (X39) ≈ 0.4555 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=87 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 87 sein, damit P0.5n (X39) ≤ 0.2 oder eben P0.5n (X40) ≥ 0.8 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 61 Versuchen weniger als 29 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.4.

P0.461 (X<29) = P0.461 (X28) = P0.461 (X=0) + P0.461 (X=1) + P0.461 (X=2) +... + P0.461 (X=28) = 0.85782717851984 ≈ 0.8578
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.4,28))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
10 14 0.9998
11 15 0.9996
12 16 0.9992
13 17 0.9988
14 18 0.9981
15 19 0.9973
16 20 0.9962
17 21 0.9949
18 22 0.9934
19 23 0.9916
20 24 0.9895
21 25 0.9872
22 26 0.9846
23 27 0.9818
24 28 0.9788
25 29 0.9755
26 30 0.9721
27 31 0.9684
28 32 0.9645
29 33 0.9605
30 34 0.9562
31 35 0.9519
32 36 0.9474
33 37 0.9427
34 38 0.938
35 39 0.9332
36 40 0.9282
37 41 0.9232
38 42 0.9181
39 43 0.9129
40 44 0.9077
41 45 0.9024
42 46 0.8971
43 47 0.8918
44 48 0.8864
45 49 0.881
46 50 0.8756
47 51 0.8702
48 52 0.8648
49 53 0.8594
50 54 0.854
51 55 0.8486
52 56 0.8432
53 57 0.8378
54 58 0.8325
55 59 0.8271
56 60 0.8218
57 61 0.8165
58 62 0.8112
59 63 0.806
60 64 0.8008
61 65 0.7956
62 66 0.7905
63 67 0.7854
64 68 0.7803
65 69 0.7753
66 70 0.7703
67 71 0.7654
68 72 0.7604
69 73 0.7556
70 74 0.7507
71 75 0.7459
72 76 0.7412
73 77 0.7365
74 78 0.7318
75 79 0.7272
76 80 0.7226
77 81 0.7181
78 82 0.7136
79 83 0.7091
80 84 0.7047
81 85 0.7003
82 86 0.696
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X24) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 10 14 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 81 85 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 81 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 48 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 79 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≤k)
......
0.490.9864
0.50.9789
0.510.9682
0.520.9532
0.530.9331
0.540.9069
0.550.8736
......

Es muss gelten: Pp79 (X48) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(79,X,48) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 65% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 90 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 68 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.65.

P0.6590 (X=68) = ( 90 68 ) 0.6568 0.3522 =0.009425763094291≈ 0.0094
(TI-Befehl: binompdf(90,0.65,68))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 41⋅ 1 6 ≈ 6.83,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 41 1 6 5 6 ≈ 2.39

9.22 (6.83 + 2.39) und 4.45 (6.83 - 2.39) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 6.83 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 5 und 9 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 5 und 9 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p= 1 6 .

P 1 6 41 (5X9) =

...
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
...

P 1 6 41 (X9) - P 1 6 41 (X4) ≈ 0.8667 - 0.164 ≈ 0.7027
(TI-Befehl: binomcdf(41, 1 6 ,9) - binomcdf(41, 1 6 ,4))