Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,05. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
1	0.95
2	0.9025
3	0.8574
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.05}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 5% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.05}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.05⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.05}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=2 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 83 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 mal, aber weniger als 16 mal eine sechs gewürfelt wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{83} (7 \leq X \leq 15)$ =

...

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{\frac{1}{6}}^{83} (X \leq 15)

-

P_{\frac{1}{6}}^{83} (X \leq 6)

≈ 0.6969 - 0.01 ≈ 0.6869
(TI-Befehl: binomcdf(83, $\frac{1}{6}$ ,15) - binomcdf(83, $\frac{1}{6}$ ,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤24)
...	...
$\frac{8}{12}$	0.9996
$\frac{9}{13}$	0.9991
$\frac{10}{14}$	0.9982
$\frac{11}{15}$	0.9967
$\frac{12}{16}$	0.9945
$\frac{13}{17}$	0.9916
$\frac{14}{18}$	0.9878
$\frac{15}{19}$	0.983
$\frac{16}{20}$	0.9773
$\frac{17}{21}$	0.9707
$\frac{18}{22}$	0.9633
$\frac{19}{23}$	0.9549
$\frac{20}{24}$	0.9458
$\frac{21}{25}$	0.936
$\frac{22}{26}$	0.9256
$\frac{23}{27}$	0.9146
$\frac{24}{28}$	0.9031
$\frac{25}{29}$	0.8912
$\frac{26}{30}$	0.8789
$\frac{27}{31}$	0.8664
$\frac{28}{32}$	0.8536
$\frac{29}{33}$	0.8406
$\frac{30}{34}$	0.8275
$\frac{31}{35}$	0.8144
$\frac{32}{36}$	0.8012
$\frac{33}{37}$	0.788
$\frac{34}{38}$	0.7748
$\frac{35}{39}$	0.7617
$\frac{36}{40}$	0.7487
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{8}{12}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{35}{39}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 35 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 98 Stück nur an, wenn nicht mehr als 36 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

Lösung einblenden

p	P(X≤k)
...	...
0.26	0.993
0.27	0.987
0.28	0.977
0.29	0.9616
0.3	0.9391
0.31	0.9078
0.32	0.8666
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{98} (X \leq 36)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(98,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 84 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 21, aber weniger als 26 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.25.

$P_{0.25}^{84} (21 \leq X \leq 25)$ =

...

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

...

P_{0.25}^{84} (X \leq 25)

-

P_{0.25}^{84} (X \leq 20)

≈ 0.8706 - 0.4582 ≈ 0.4124
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.25,25) - binomcdf(84,0.25,20))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 44 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 44⋅0.3 ≈ 13.2,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{44\cdot0.3\cdot0.7}$ ≈ 3.04

16.24 (13.2 + 3.04) und 10.16 (13.2 - 3.04) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 13.2 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 11 und 16 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 11 und 16 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.3.

$P_{0.3}^{44} (11 \leq X \leq 16)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{0.3}^{44} (X \leq 16)

-

P_{0.3}^{44} (X \leq 10)

≈ 0.8606 - 0.1885 ≈ 0.6721
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.3,16) - binomcdf(44,0.3,10))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ