Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 31 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
83	0.7161
84	0.6875
85	0.6581
86	0.628
87	0.5973
88	0.5664
89	0.5354
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.35}$ ≈ 89 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.35⋅89) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=89:
$P_{0.35}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.5354 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 14 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 66 Glückskekse kauft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{66} (X \leq 14)

=

P_{\frac{1}{8}}^{66} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{66} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{66} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{66} (X = 14)

= 0.98519100249346 ≈ 0.9852
(TI-Befehl: binomcdf(66,1/8,14))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{7}$	0.5199
$\frac{3}{8}$	0.6852
$\frac{3}{9}$	0.797
$\frac{3}{10}$	0.8689
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{15} (X \leq 6)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{15} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{15}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{15}$ ⋅15 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{15} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{15}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 10 sein.

Also werden noch 7 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 79 Wiederholungen 26 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 70% liegt?

Lösung einblenden

p	P(X≥26)=1-P(X≤25)
...	...
0.31	0.3974
0.32	0.4731
0.33	0.5489
0.34	0.6222
0.35	0.6907
0.36	0.7527
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{79} (X \geq 26)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{79} (X \leq 25)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(79,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 97 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 31 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.25.

...

28

29

30

31

32

33

...

P_{0.25}^{97} (X \geq 31)

= 1 -

P_{0.25}^{97} (X \leq 30)

= 0.074
(TI-Befehl: 1-binomcdf(97,0.25,30))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 86 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=86⋅ $\frac{1}{6}$ = 14.333333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.333, also 0.8⋅ 14.333 = 11.467 und 120% von 14.333333333333, also 1.2⋅ 14.333 = 17.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.333333333333 entfernt sein darf als 11.467 bzw. 17.2, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{86} (12 \leq X \leq 17)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{86} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{86} (X \leq 11)

≈ 0.8218 - 0.2092 ≈ 0.6126
(TI-Befehl: binomcdf(86, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(86, $\frac{1}{6}$ ,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert