Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 35 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 76 | 0.619 |
| 77 | 0.5786 |
| 78 | 0.5377 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 78 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.45⋅78) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=78:
≈ 0.5377
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,21 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 55 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 14 defekte Chips enthalten sind.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.21.
= + + +... + = 0.8363147370857 ≈ 0.8363(TI-Befehl: binomcdf(55,0.21,14))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 5er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥2)=1-P(X≤1) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.8125 | |
| 0.5391 | |
| 0.3672 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=5 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.5 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 2 Treffer bei 5 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
3 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Eine Fluggesellschaft verkauft 93 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 50 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?
| p | P(X≥50)=1-P(X≤49) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.55 | 0.6356 |
| 0.56 | 0.706 |
| 0.57 | 0.7695 |
| 0.58 | 0.8247 |
| 0.59 | 0.8709 |
| 0.6 | 0.9081 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(93,X,49) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 61 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 12 und höchstens 18 beträgt?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.25.
=
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.25,18) - binomcdf(61,0.25,11))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 95 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=95⋅0.35 = 33.25
Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 33.25, also 0.9⋅ 33.25 = 29.925 und 110% von 33.25, also 1.1⋅ 33.25 = 36.575
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 33.25 entfernt sein darf als 29.925 bzw. 36.575, muss sie also zwischen 30 und 36 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.35.
=
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.35,36) - binomcdf(95,0.35,29))
