Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,09. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
2	0.8281
3	0.7536
4	0.6857
5	0.624
6	0.5679
7	0.5168
8	0.4703
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.09}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.09⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.09}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 48 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 7 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.25.

...

4

5

6

7

8

9

...

P_{0.25}^{48} (X \geq 7)

= 1 -

P_{0.25}^{48} (X \leq 6)

= 0.9728
(TI-Befehl: 1-binomcdf(48,0.25,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{6}$	0.5
$\frac{3}{7}$	0.7012
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{13}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 7 sein.

Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 95 Ausspielungen nicht öfters als 64 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.56	0.991
0.57	0.985
0.58	0.9759
0.59	0.9625
0.6	0.9434
0.61	0.9172
0.62	0.8825
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{95} (X \leq 64)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(95,X,64) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.61 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 96 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 21 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.2.

P_{0.2}^{96} (X \leq 21)

=

P_{0.2}^{96} (X = 0)

+

P_{0.2}^{96} (X = 1)

+

P_{0.2}^{96} (X = 2)

+... +

P_{0.2}^{96} (X = 21)

= 0.72686634870941 ≈ 0.7269
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.2,21))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 89 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=89⋅ $\frac{1}{6}$ = 14.833333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.833, also 0.8⋅ 14.833 = 11.867 und 120% von 14.833333333333, also 1.2⋅ 14.833 = 17.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.833333333333 entfernt sein darf als 11.867 bzw. 17.8, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{89} (12 \leq X \leq 17)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{89} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{89} (X \leq 11)

≈ 0.78 - 0.1721 ≈ 0.6079
(TI-Befehl: binomcdf(89, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(89, $\frac{1}{6}$ ,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert