Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,03. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 80% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
2	0.9409
3	0.9127
4	0.8853
5	0.8587
6	0.833
7	0.808
8	0.7837
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.03 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.03}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 3% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.03}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.03⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.03}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 27 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{27} (X = 7)

=

(\begin{matrix} 27 \\ 7 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{7} \cdot {(\frac{5}{6})}^{20}

=0.082745419867663≈ 0.0827
(TI-Befehl: binompdf(27,1/6,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{4}{7}$	0.9997
$\frac{5}{8}$	0.9983
$\frac{6}{9}$	0.9939
$\frac{7}{10}$	0.9843
$\frac{8}{11}$	0.9682
$\frac{9}{12}$	0.9449
$\frac{10}{13}$	0.9149
$\frac{11}{14}$	0.8795
$\frac{12}{15}$	0.8398
$\frac{13}{16}$	0.7974
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{28} (X \leq 24)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{28} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{7}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{12}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 50 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 68 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.62	0.9834
0.63	0.9752
0.64	0.9637
0.65	0.9481
0.66	0.9274
0.67	0.9006
0.68	0.8669
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{68} (X \leq 50)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(68,X,50) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.67 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 8 und höchstens 16 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 96 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.125.

$P_{0.125}^{96} (9 \leq X \leq 16)$ =

...

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{0.125}^{96} (X \leq 16)

-

P_{0.125}^{96} (X \leq 8)

≈ 0.9132 - 0.1379 ≈ 0.7753
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.125,16) - binomcdf(96,0.125,8))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 25 und p = 0.55
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 25 und p = 0.55 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 25 ⋅ 0.55 = 13.75

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{25 ⋅ 0.55 ⋅ 0.45}$ = $\sqrt{6.1875}$ ≈ 2.49

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.