Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
12	0.7847
13	0.769
14	0.7536
15	0.7386
16	0.7238
17	0.7093
18	0.6951
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 74 Versuchen genau 7 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.1.

P_{0.1}^{74} (X = 7)

=

(\begin{matrix} 74 \\ 7 \end{matrix}) \cdot {0.1}^{7} \cdot {0.9}^{67}

=0.15467462239233≈ 0.1547
(TI-Befehl: binompdf(74,0.1,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{6}$	0.5
$\frac{3}{7}$	0.7012
$\frac{3}{8}$	0.8248
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{13}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 8 sein.

Also werden noch 5 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 43 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 51 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.72	0.987
0.73	0.981
0.74	0.9726
0.75	0.9612
0.76	0.9459
0.77	0.9258
0.78	0.9
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{51} (X \leq 43)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(51,X,43) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 5 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 50 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{50} (X \leq 5)

=

P_{\frac{1}{8}}^{50} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{50} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{50} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{50} (X = 5)

= 0.39348704734381 ≈ 0.3935
(TI-Befehl: binomcdf(50,1/8,5))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 66 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 66⋅0.25 ≈ 16.5,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{66\cdot0.25\cdot0.75}$ ≈ 3.52

20.02 (16.5 + 3.52) und 12.98 (16.5 - 3.52) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 16.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 13 und 20 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 13 und 20 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.25.

$P_{0.25}^{66} (13 \leq X \leq 20)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

...

P_{0.25}^{66} (X \leq 20)

-

P_{0.25}^{66} (X \leq 12)

≈ 0.8711 - 0.1259 ≈ 0.7452
(TI-Befehl: binomcdf(66,0.25,20) - binomcdf(66,0.25,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ