Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,08. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% kein Descepticon unter ihnen ist?

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nP(X≤k)
......
30.7787
40.7164
50.6591
60.6064
70.5578
80.5132
90.4722
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und variablem n.

Es muss gelten: P0.08n (X0) ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 0 0.08 ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.08⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
P0.08n (X0) ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,19 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 31 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 3 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=31 und p=0.19.

P0.1931 (X3) = P0.1931 (X=0) + P0.1931 (X=1) + P0.1931 (X=2) + P0.1931 (X=3) = 0.13372577726637 ≈ 0.1337
(TI-Befehl: binomcdf(31,0.19,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
2 6 0.4793
2 7 0.662
2 8 0.7858
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp20 (X6) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp20 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 20 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 20 ⋅20 der Erwartungswert und somit Pp20 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 20 mit 2 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 6 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 8 sein.

Also werden noch 6 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 83 Ausspielungen nicht öfters als 50 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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pP(X≤k)
......
0.480.9905
0.490.9848
0.50.9762
0.510.964
0.520.9471
0.530.9244
0.540.895
......

Es muss gelten: Pp83 (X50) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(83,X,50) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 30 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p= 1 8 .

P 1 8 30 (X=5) = ( 30 5 ) ( 1 8 )5 ( 7 8 )25 =0.15437769088086≈ 0.1544
(TI-Befehl: binompdf(30,1/8,5))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=65%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 52 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=52⋅0.65 = 33.8

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 33.8, also 0.8⋅ 33.8 = 27.04 und 120% von 33.8, also 1.2⋅ 33.8 = 40.56

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 33.8 entfernt sein darf als 27.04 bzw. 40.56, muss sie also zwischen 28 und 40 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.65.

P0.6552 (28X40) =

...
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
...

P0.6552 (X40) - P0.6552 (X27) ≈ 0.9774 - 0.0355 ≈ 0.9419
(TI-Befehl: binomcdf(52,0.65,40) - binomcdf(52,0.65,27))