Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,02. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 80% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
6	0.8858
7	0.8681
8	0.8508
9	0.8337
10	0.8171
11	0.8007
12	0.7847
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 66 Versuchen, mehr als 44 mal und höchstens 47 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.7.

$P_{0.7}^{66} (45 \leq X \leq 47)$ =

...

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.7}^{66} (X \leq 47)

-

P_{0.7}^{66} (X \leq 44)

≈ 0.6304 - 0.319 ≈ 0.3114
(TI-Befehl: binomcdf(66,0.7,47) - binomcdf(66,0.7,44))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 60 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 14 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥14)=1-P(X≤13)
...	...
$\frac{3}{7}$	0.9995
$\frac{3}{8}$	0.9934
$\frac{3}{9}$	0.9658
$\frac{3}{10}$	0.9
$\frac{3}{11}$	0.7947
$\frac{3}{12}$	0.6651
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \geq 14)$ = 1- $P_{p}^{60} (X \leq 13)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \geq 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{7}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 11 sein.

Also wären noch 8 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 86 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 86)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 46 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥46)=1-P(X≤45)
...	...
0.51	0.3621
0.52	0.4338
0.53	0.5078
0.54	0.5816
0.55	0.6528
0.56	0.7192
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{86} (X \geq 46)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{86} (X \leq 45)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(86,X,45) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 30 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 18 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.7.

P_{0.7}^{30} (X = 18)

=

(\begin{matrix} 30 \\ 18 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{18} \cdot {0.3}^{12}

=0.074851734327774≈ 0.0749
(TI-Befehl: binompdf(30,0.7,18))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 90 und p = 0.1
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 90 und p = 0.1 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 90 ⋅ 0.1 = 9

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{90 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9}$ = $\sqrt{8.1}$ ≈ 2.85

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.