Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 80%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 24 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
30	0.5725
31	0.4289
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.8}$ ≈ 30 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.8⋅30) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=30:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5725 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 54 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.125.

0

1

2

3

4

...

P_{0.125}^{54} (X \geq 2)

= 1 -

P_{0.125}^{54} (X \leq 1)

= 0.9936
(TI-Befehl: 1-binomcdf(54,0.125,1))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{4}{7}$	0.999
$\frac{5}{8}$	0.9951
$\frac{6}{9}$	0.9851
$\frac{7}{10}$	0.9668
$\frac{8}{11}$	0.9394
$\frac{9}{12}$	0.9038
$\frac{10}{13}$	0.8617
$\frac{11}{14}$	0.8151
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 21)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{7}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{10}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 76 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 26 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥26)=1-P(X≤25)
...	...
0.36	0.6682
0.37	0.7309
0.38	0.7867
0.39	0.8348
0.4	0.875
0.41	0.9077
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{76} (X \geq 26)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{76} (X \leq 25)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(76,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 68 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 26, aber höchstens 33 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.45.

$P_{0.45}^{68} (26 \leq X \leq 33)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.45}^{68} (X \leq 33)

-

P_{0.45}^{68} (X \leq 25)

≈ 0.7607 - 0.1063 ≈ 0.6544
(TI-Befehl: binomcdf(68,0.45,33) - binomcdf(68,0.45,25))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 97 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 97⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 16.17,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{97\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.67

19.84 (16.17 + 3.67) und 12.5 (16.17 - 3.67) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 16.17 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 13 und 19 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 13 und 19 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{97} (13 \leq X \leq 19)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{\frac{1}{6}}^{97} (X \leq 19)

-

P_{\frac{1}{6}}^{97} (X \leq 12)

≈ 0.8197 - 0.1586 ≈ 0.6611
(TI-Befehl: binomcdf(97, $\frac{1}{6}$ ,19) - binomcdf(97, $\frac{1}{6}$ ,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ