Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,07. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 70% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
1	0.93
2	0.8649
3	0.8044
4	0.7481
5	0.6957
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.07}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 7% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.07}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.07⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.07}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 14 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 70 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{70} (X = 14)

=

(\begin{matrix} 70 \\ 14 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{14} \cdot {(\frac{7}{8})}^{56}

=0.024849582519133≈ 0.0248
(TI-Befehl: binompdf(70,1/8,14))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{10}$	0.608
$\frac{3}{11}$	0.7093
$\frac{3}{12}$	0.7858
$\frac{3}{13}$	0.8422
$\frac{3}{14}$	0.8833
$\frac{3}{15}$	0.9133
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{20}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{20}$ ⋅20 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{20}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 15 sein.

Also werden noch 12 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 68 Stück nur an, wenn nicht mehr als 31 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.33	0.9889
0.34	0.9825
0.35	0.9732
0.36	0.9603
0.37	0.9429
0.38	0.9202
0.39	0.8915
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{68} (X \leq 31)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(68,X,31) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 87% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 63 Versuchen mindestens 56 und weniger als 62 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.87.

$P_{0.87}^{63} (56 \leq X \leq 61)$ =

...

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

P_{0.87}^{63} (X \leq 61)

-

P_{0.87}^{63} (X \leq 55)

≈ 0.9984 - 0.5846 ≈ 0.4138
(TI-Befehl: binomcdf(63,0.87,61) - binomcdf(63,0.87,55))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 63 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 63 und p = 0.4 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 63 ⋅ 0.4 = 25.2

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{63 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6}$ = $\sqrt{15.12}$ ≈ 3.89

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.