Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,7. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 36 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
46	0.9205
47	0.8758
48	0.8186
49	0.7498
50	0.6721
51	0.5889
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.7}$ ≈ 51 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.7⋅51) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=51:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5889 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 92 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 45 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.4.

...

42

43

44

45

46

47

...

P_{0.4}^{92} (X \geq 45)

= 1 -

P_{0.4}^{92} (X \leq 44)

= 0.0516
(TI-Befehl: 1-binomcdf(92,0.4,44))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 55 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{1}{9}$	0.5876
$\frac{1}{10}$	0.6904
$\frac{1}{11}$	0.7694
$\frac{1}{12}$	0.8286
$\frac{1}{13}$	0.8723
$\frac{1}{14}$	0.9044
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{55} (X \leq 6)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{55} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{55}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{55}$ ⋅55 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{55} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{55}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 14 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 57 Freiwürfen mindestens 46 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥46)=1-P(X≤45)
...	...
0.78	0.3802
0.79	0.4517
0.8	0.5265
0.81	0.6023
0.82	0.6762
0.83	0.7457
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{57} (X \geq 46)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{57} (X \leq 45)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(57,X,45) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

8

9

10

11

12

13

...

P_{\frac{1}{6}}^{41} (X \geq 11)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{41} (X \leq 10)

= 0.0682
(TI-Befehl: 1-binomcdf(41, $\frac{1}{6}$ ,10))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 82 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 82⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 13.67,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{82\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.37

17.04 (13.67 + 3.37) und 10.29 (13.67 - 3.37) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 13.67 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 11 und 17 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 11 und 17 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{82} (11 \leq X \leq 17)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{82} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{82} (X \leq 10)

≈ 0.8706 - 0.1748 ≈ 0.6958
(TI-Befehl: binomcdf(82, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(82, $\frac{1}{6}$ ,10))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ