Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% 34 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
2050.4585
2060.4462
2070.434
2080.4219
2090.4099
2100.398
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X34) ≥ 0.6

Weil man ja aber P 1 6 n (X34) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X34) = 1 - P 1 6 n (X33) ≥ 0.6 |+ P 1 6 n (X33) - 0.6

0.4 ≥ P 1 6 n (X33) oder P 1 6 n (X33) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 34 1 6 ≈ 204 Versuchen auch ungefähr 34 (≈ 1 6 ⋅204) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=204:
P 1 6 n (X33) ≈ 0.4709 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=210 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 210 sein, damit P 1 6 n (X33) ≤ 0.4 oder eben P 1 6 n (X34) ≥ 0.6 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 87 Versuchen mindestens 15 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.1.

...
12
13
14
15
16
17
...

P0.187 (X15) = 1 - P0.187 (X14) = 0.0253
(TI-Befehl: 1-binomcdf(87,0.1,14))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
8 11 0.9997
9 12 0.9992
10 13 0.9986
11 14 0.9976
12 15 0.9962
13 16 0.9944
14 17 0.9922
15 18 0.9895
16 19 0.9864
17 20 0.9828
18 21 0.9788
19 22 0.9744
20 23 0.9696
21 24 0.9645
22 25 0.9591
23 26 0.9533
24 27 0.9474
25 28 0.9412
26 29 0.9348
27 30 0.9282
28 31 0.9215
29 32 0.9147
30 33 0.9077
31 34 0.9007
32 35 0.8936
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X24) = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 8 11 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 31 34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 31 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 74 Freiwürfen mindestens 63 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥63)=1-P(X≤62)
......
0.820.299
0.830.381
0.840.4715
0.850.5666
0.860.6613
0.870.75
......

Es muss gelten: Pp74 (X63) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp74 (X62) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(74,X,62) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.87 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 76 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 27 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p= 1 4 .

P 1 4 76 (X=27) = ( 76 27 ) ( 1 4 )27 ( 3 4 )49 =0.011932180038696≈ 0.0119
(TI-Befehl: binompdf(76,1/4,27))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 25 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 25 und p = 0.15 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 25 ⋅ 0.15 = 3.75

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 25 ⋅ 0.15 ⋅ 0.85 = 3.1875 1.79