Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 13% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 36-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 70% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
40	0.7816
41	0.6306
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.87 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.87}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 87% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.87}$ ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.87⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
$P_{0.87}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.6306 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 85 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 6 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

4

5

6

7

8

9

...

P_{\frac{1}{6}}^{85} (X > 6)

=

P_{\frac{1}{6}}^{85} (X \geq 7)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{85} (X \leq 6)

= 0.9921
(TI-Befehl: 1-binomcdf(85, $\frac{1}{6}$ ,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤3)
...	...
$\frac{5}{21}$	0.6241
$\frac{5}{22}$	0.6601
$\frac{5}{23}$	0.6924
$\frac{5}{24}$	0.7214
$\frac{5}{25}$	0.7473
$\frac{5}{26}$	0.7706
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{13}$ mit $\frac{5}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{21}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{26}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 26 sein.

Also werden noch 21 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 94 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 90 erkennen und dumm anlabern?

Lösung einblenden

p	P(X≥k)=1-P(X≤k-1)
...	...
0.88	0.9974
0.89	0.9942
0.9	0.9875
0.91	0.9742
0.92	0.9486
0.93	0.9019
0.94	0.8223
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{94} (X \leq 90)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(94,X,90) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.93 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 94% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 99 Versuchen mindestens 85 und weniger als 100 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.94.

$P_{0.94}^{99} (X \geq 85)$ =

...

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

P_{0.94}^{99} (X \leq 99)

-

P_{0.94}^{99} (X \leq 84)

≈ 1 - 0.0008 ≈ 0.9992
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.94,99) - binomcdf(99,0.94,84))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 42 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=42⋅0.75 = 31.5

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 31.5, also 0.9⋅ 31.5 = 28.35 und 110% von 31.5, also 1.1⋅ 31.5 = 34.65

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.5 entfernt sein darf als 28.35 bzw. 34.65, muss sie also zwischen 29 und 34 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.75.

$P_{0.75}^{42} (29 \leq X \leq 34)$ =

...

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

...

P_{0.75}^{42} (X \leq 34)

-

P_{0.75}^{42} (X \leq 28)

≈ 0.8589 - 0.143 ≈ 0.7159
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.75,34) - binomcdf(42,0.75,28))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert