Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 75%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 33 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
44	0.5577
45	0.4543
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.75}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.75⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5577 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=44 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 53 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 25 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.55.

...

22

23

24

25

26

27

...

P_{0.55}^{53} (X \geq 25)

= 1 -

P_{0.55}^{53} (X \leq 24)

= 0.9001
(TI-Befehl: 1-binomcdf(53,0.55,24))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 6er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.8906
$\frac{1}{3}$	0.6488
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=6 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{6} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{6} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{6} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 6 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{2}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 2 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 45 Freiwürfen mindestens 31 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥31)=1-P(X≤30)
...	...
0.72	0.7405
0.73	0.7878
0.74	0.8302
0.75	0.8673
0.76	0.899
0.77	0.9252
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{45} (X \geq 31)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{45} (X \leq 30)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(45,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 59 Versuchen mehr als 16 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.35.

...

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.35}^{59} (X > 16)

=

P_{0.35}^{59} (X \geq 17)

= 1 -

P_{0.35}^{59} (X \leq 16)

= 0.8723
(TI-Befehl: 1-binomcdf(59,0.35,16))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 62 und p = 0.95
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 62 und p = 0.95 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 62 ⋅ 0.95 = 58.9

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{62 ⋅ 0.95 ⋅ 0.05}$ = $\sqrt{2.945}$ ≈ 1.72

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Erwartungswert, Standardabweichung best.