Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,85. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 37 dieser Fehler begeht?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 43 | 0.6411 |
| 44 | 0.4968 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.85⋅44) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
≈ 0.4968
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 33 Versuchen mindestens 22 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p=0.6.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(33,0.6,21))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?
| p | P(X≤3) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6345 | |
| 0.6765 | |
| 0.7133 | |
| 0.7455 | |
| 0.7737 | |
| 0.7983 | |
| 0.8199 | |
| 0.8389 | |
| 0.8555 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.85 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 3 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 3=⋅11 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
26 sein.
Also werden noch 21 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 87 Freiwürfen mindestens 61 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥61)=1-P(X≤60) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.71 | 0.6236 |
| 0.72 | 0.6997 |
| 0.73 | 0.769 |
| 0.74 | 0.8291 |
| 0.75 | 0.8789 |
| 0.76 | 0.9182 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,60) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Würfel wird 35 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p=.
= + + + = 0.14248269306867 ≈ 0.1425(TI-Befehl: binomcdf(35,1/6,3))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 30 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 30 und p = 0.4 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 30 ⋅ 0.4 = 12
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 2.68
