Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 89% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 60% Wahrscheinlichkeit in mindestens 5 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?

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n	P(X≤k)
...	...
45	0.4394
46	0.4193
47	0.3996
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{n} (X \geq 5)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.11}^{n} (X \geq 5)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.11}^{n} (X \geq 5)$ = 1 - $P_{0.11}^{n} (X \leq 4)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.11}^{n} (X \leq 4)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.11}^{n} (X \leq 4)$ oder $P_{0.11}^{n} (X \leq 4)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 11% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{5}{0.11}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 5 (≈0.11⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.11}^{n} (X \leq 4)$ ≈ 0.4394 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 47 sein, damit $P_{0.11}^{n} (X \leq 4)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.11}^{n} (X \geq 5)$ ≥ 0.6 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 6 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 57 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{57} (X = 6)

=

(\begin{matrix} 57 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{6} \cdot {(\frac{7}{8})}^{51}

=0.15262891993523≈ 0.1526
(TI-Befehl: binompdf(57,1/8,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9648
$\frac{1}{3}$	0.8049
$\frac{1}{4}$	0.6329
$\frac{1}{5}$	0.4967
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 62 Stück nur an, wenn nicht mehr als 52 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.73	0.9849
0.74	0.9772
0.75	0.9661
0.76	0.9506
0.77	0.9296
0.78	0.9017
0.79	0.8656
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{62} (X \leq 52)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(62,X,52) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.78 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 4 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 73 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.125.

...

1

2

3

4

5

6

...

P_{0.125}^{73} (X \geq 4)

= 1 -

P_{0.125}^{73} (X \leq 3)

= 0.9856
(TI-Befehl: 1-binomcdf(73,0.125,3))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 54 und p = 0.7
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 54 und p = 0.7 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 54 ⋅ 0.7 = 37.8

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{54 ⋅ 0.7 ⋅ 0.3}$ = $\sqrt{11.34}$ ≈ 3.37

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Erwartungswert, Standardabweichung best.