Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,05. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
8	0.6634
9	0.6302
10	0.5987
11	0.5688
12	0.5404
13	0.5133
14	0.4877
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.05}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 5% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.05}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.05⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.05}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 20 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

1

2

3

4

5

6

...

P_{\frac{1}{6}}^{20} (X > 3)

=

P_{\frac{1}{6}}^{20} (X \geq 4)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{20} (X \leq 3)

= 0.4335
(TI-Befehl: 1-binomcdf(20, $\frac{1}{6}$ ,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{8}{12}$	0.9996
$\frac{9}{13}$	0.9991
$\frac{10}{14}$	0.9982
$\frac{11}{15}$	0.9967
$\frac{12}{16}$	0.9945
$\frac{13}{17}$	0.9916
$\frac{14}{18}$	0.9878
$\frac{15}{19}$	0.983
$\frac{16}{20}$	0.9773
$\frac{17}{21}$	0.9707
$\frac{18}{22}$	0.9633
$\frac{19}{23}$	0.9549
$\frac{20}{24}$	0.9458
$\frac{21}{25}$	0.936
$\frac{22}{26}$	0.9256
$\frac{23}{27}$	0.9146
$\frac{24}{28}$	0.9031
$\frac{25}{29}$	0.8912
$\frac{26}{30}$	0.8789
$\frac{27}{31}$	0.8664
$\frac{28}{32}$	0.8536
$\frac{29}{33}$	0.8406
$\frac{30}{34}$	0.8275
$\frac{31}{35}$	0.8144
$\frac{32}{36}$	0.8012
$\frac{33}{37}$	0.788
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{8}{12}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{32}{36}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 32 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 30 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 51 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.45	0.983
0.46	0.9759
0.47	0.9666
0.48	0.9544
0.49	0.9389
0.5	0.9196
0.51	0.8961
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{51} (X \leq 30)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(51,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 20 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 99 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{99} (X \leq 20)

=

P_{\frac{1}{8}}^{99} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{99} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{99} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{99} (X = 20)

= 0.98985476323425 ≈ 0.9899
(TI-Befehl: binomcdf(99,1/8,20))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 96 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 96⋅0.55 ≈ 52.8,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{96\cdot0.55\cdot0.45}$ ≈ 4.87

57.67 (52.8 + 4.87) und 47.93 (52.8 - 4.87) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 52.8 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 48 und 57 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 48 und 57 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.55.

$P_{0.55}^{96} (48 \leq X \leq 57)$ =

...

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

...

P_{0.55}^{96} (X \leq 57)

-

P_{0.55}^{96} (X \leq 47)

≈ 0.8325 - 0.1385 ≈ 0.694
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.55,57) - binomcdf(96,0.55,47))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ