Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 20% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 22 Nasen hat.

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n	P(X≤k)
...	...
26	0.6167
27	0.4613
28	0.3216
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ = 1 - $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ oder $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.8}$ ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.8⋅28) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.3216 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 27 sein, damit $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ ≥ 0.5 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 15 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 78 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{78} (X = 15)

=

(\begin{matrix} 78 \\ 15 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{15} \cdot {(\frac{7}{8})}^{63}

=0.02756967491948≈ 0.0276
(TI-Befehl: binompdf(78,1/8,15))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 5er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.8125
$\frac{1}{3}$	0.5391
$\frac{1}{4}$	0.3672
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=5 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{5} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{5} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{5} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 5 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{3}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 3 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 25 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 48 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.38	0.9834
0.39	0.9764
0.4	0.9672
0.41	0.9552
0.42	0.94
0.43	0.9211
0.44	0.8982
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{48} (X \leq 25)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(48,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 22 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{22} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 22 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{2} \cdot {(\frac{7}{8})}^{20}

=0.24980036369965≈ 0.2498
(TI-Befehl: binompdf(22,1/8,2))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 100 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=100⋅0.3 = 30

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 30, also 0.8⋅ 30 = 24 und 120% von 30, also 1.2⋅ 30 = 36

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 30 entfernt sein darf als 24 bzw. 36, muss sie also zwischen 24 und 36 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.3.

$P_{0.3}^{100} (24 \leq X \leq 36)$ =

...

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

...

P_{0.3}^{100} (X \leq 36)

-

P_{0.3}^{100} (X \leq 23)

≈ 0.9201 - 0.0755 ≈ 0.8446
(TI-Befehl: binomcdf(100,0.3,36) - binomcdf(100,0.3,23))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert