Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 18% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 30-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
36	0.6497
37	0.5087
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.82 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.82}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 82% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.82}$ ≈ 37 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.82⋅37) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=37:
$P_{0.82}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.5087 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 85 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 38 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.5.

P_{0.5}^{85} (X \leq 38)

=

P_{0.5}^{85} (X = 0)

+

P_{0.5}^{85} (X = 1)

+

P_{0.5}^{85} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{85} (X = 38)

= 0.19283471005964 ≈ 0.1928
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.5,38))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9375
$\frac{1}{3}$	0.7366
$\frac{1}{4}$	0.5551
$\frac{1}{5}$	0.4233
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{7} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{7} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{7} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 55 Stück nur an, wenn nicht mehr als 27 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.36	0.9834
0.37	0.9756
0.38	0.9652
0.39	0.9515
0.4	0.9339
0.41	0.9118
0.42	0.8849
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{55} (X \leq 27)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(55,X,27) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 74% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 58 Versuchen mindestens 39 und weniger als 46 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.74.

$P_{0.74}^{58} (39 \leq X \leq 45)$ =

...

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

...

P_{0.74}^{58} (X \leq 45)

-

P_{0.74}^{58} (X \leq 38)

≈ 0.777 - 0.0953 ≈ 0.6817
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.74,45) - binomcdf(58,0.74,38))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=55%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 72 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=72⋅0.55 = 39.6

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 39.6, also 0.8⋅ 39.6 = 31.68 und 120% von 39.6, also 1.2⋅ 39.6 = 47.52

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 39.6 entfernt sein darf als 31.68 bzw. 47.52, muss sie also zwischen 32 und 47 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.55.

$P_{0.55}^{72} (32 \leq X \leq 47)$ =

...

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.55}^{72} (X \leq 47)

-

P_{0.55}^{72} (X \leq 31)

≈ 0.9704 - 0.0278 ≈ 0.9426
(TI-Befehl: binomcdf(72,0.55,47) - binomcdf(72,0.55,31))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert