Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,09. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
2	0.8281
3	0.7536
4	0.6857
5	0.624
6	0.5679
7	0.5168
8	0.4703
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.09}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.09⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.09}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 27 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{27} (X < 7)

=

P_{\frac{1}{6}}^{27} (X \leq 6)

=

P_{\frac{1}{6}}^{27} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{27} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{27} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{27} (X = 6)

= 0.84951423961406 ≈ 0.8495
(TI-Befehl: binomcdf(27,1/6,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.998
$\frac{1}{3}$	0.974
$\frac{1}{4}$	0.9249
$\frac{1}{5}$	0.8658
$\frac{1}{6}$	0.8062
$\frac{1}{7}$	0.7503
$\frac{1}{8}$	0.6993
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{9} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 91 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 75 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.72	0.9924
0.73	0.9869
0.74	0.9782
0.75	0.9646
0.76	0.9444
0.77	0.9154
0.78	0.8755
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{91} (X \leq 75)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(91,X,75) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,94. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 42 Versuchen mindestens 41 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.94.

...

38

39

40

41

P_{0.94}^{42} (X \geq 41)

= 1 -

P_{0.94}^{42} (X \leq 40)

= 0.2737
(TI-Befehl: 1-binomcdf(42,0.94,40))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 46 und p = 0.85
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 46 und p = 0.85 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 46 ⋅ 0.85 = 39.1

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{46 ⋅ 0.85 ⋅ 0.15}$ = $\sqrt{5.865}$ ≈ 2.42

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Erwartungswert, Standardabweichung best.