Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 90%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 28 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
31	0.6114
32	0.3997
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.9}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.9⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.6114 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 29 Versuchen höchstens 27 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.95.

P_{0.95}^{29} (X \leq 27)

=

P_{0.95}^{29} (X = 0)

+

P_{0.95}^{29} (X = 1)

+

P_{0.95}^{29} (X = 2)

+... +

P_{0.95}^{29} (X = 27)

= 0.4292154753872 ≈ 0.4292
(TI-Befehl: binomcdf(29,0.95,27))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{5}{33}$	0.6404
$\frac{5}{34}$	0.662
$\frac{5}{35}$	0.6822
$\frac{5}{36}$	0.7012
$\frac{5}{37}$	0.7189
$\frac{5}{38}$	0.7354
$\frac{5}{39}$	0.7509
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{20}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{20}$ ⋅20 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{20}$ mit $\frac{5}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{33}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{39}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 39 sein.

Also werden noch 34 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 93 Wiederholungen 22 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?

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p	P(X≥22)=1-P(X≤21)
...	...
0.25	0.6562
0.26	0.7329
0.27	0.799
0.28	0.8533
0.29	0.8963
0.3	0.9289
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{93} (X \geq 22)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{93} (X \leq 21)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(93,X,21) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.3 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 94 Versuchen genau 5 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.05.

P_{0.05}^{94} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 94 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.05}^{5} \cdot {0.95}^{89}

=0.17854684383831≈ 0.1785
(TI-Befehl: binompdf(94,0.05,5))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 29 und p = 0.05
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 29 und p = 0.05 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 29 ⋅ 0.05 = 1.45

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{29 ⋅ 0.05 ⋅ 0.95}$ = $\sqrt{1.3775}$ ≈ 1.17

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.