Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,45. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 33 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
73	0.5622
74	0.5202
75	0.4784
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.45}$ ≈ 73 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.45⋅73) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=73:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5622 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 7 und höchstens 10 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 49 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.125.

$P_{0.125}^{49} (8 \leq X \leq 10)$ =

...

5

6

7

8

9

10

11

12

...

P_{0.125}^{49} (X \leq 10)

-

P_{0.125}^{49} (X \leq 7)

≈ 0.9632 - 0.7353 ≈ 0.2279
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.125,10) - binomcdf(49,0.125,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 75 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 75 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{8}$	0.5349
$\frac{1}{9}$	0.6798
$\frac{1}{10}$	0.7858
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{75} (X \leq 9)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{75} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{75}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{75}$ ⋅75 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{75} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{75}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 84 Wiederholungen 27 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 50% liegt?

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p	P(X≥27)=1-P(X≤26)
...	...
0.27	0.1733
0.28	0.2319
0.29	0.2992
0.3	0.3731
0.31	0.451
0.32	0.5298
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{84} (X \geq 27)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{84} (X \leq 26)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(84,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 86 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,6. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 59 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.6.

P_{0.6}^{86} (X < 59)

=

P_{0.6}^{86} (X \leq 58)

=

P_{0.6}^{86} (X = 0)

+

P_{0.6}^{86} (X = 1)

+

P_{0.6}^{86} (X = 2)

+... +

P_{0.6}^{86} (X = 58)

= 0.93709583551649 ≈ 0.9371
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.6,58))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 54 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=54⋅0.35 = 18.9

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 18.9, also 0.8⋅ 18.9 = 15.12 und 120% von 18.9, also 1.2⋅ 18.9 = 22.68

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 18.9 entfernt sein darf als 15.12 bzw. 22.68, muss sie also zwischen 16 und 22 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.35.

$P_{0.35}^{54} (16 \leq X \leq 22)$ =

...

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

...

P_{0.35}^{54} (X \leq 22)

-

P_{0.35}^{54} (X \leq 15)

≈ 0.8477 - 0.1662 ≈ 0.6815
(TI-Befehl: binomcdf(54,0.35,22) - binomcdf(54,0.35,15))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert