Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 19% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 25-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 50% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
31	0.552
32	0.4074
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.81 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.81}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 81% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.81}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.81⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.81}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.552 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 10 und höchstens 14 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 66 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.125.

$P_{0.125}^{66} (11 \leq X \leq 14)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.125}^{66} (X \leq 14)

-

P_{0.125}^{66} (X \leq 10)

≈ 0.9852 - 0.8031 ≈ 0.1821
(TI-Befehl: binomcdf(66,0.125,14) - binomcdf(66,0.125,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 75 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 75 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{1}{12}$	0.5645
$\frac{1}{13}$	0.6449
$\frac{1}{14}$	0.7122
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{75} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{75} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{75}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{75}$ ⋅75 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{75} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{75}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{12}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 14 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 61 Stück nur an, wenn nicht mehr als 56 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.82	0.9906
0.83	0.9847
0.84	0.9756
0.85	0.9618
0.86	0.9413
0.87	0.9118
0.88	0.8706
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{61} (X \leq 56)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(61,X,56) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.87 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 40 Versuchen genau 8 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.3.

P_{0.3}^{40} (X = 8)

=

(\begin{matrix} 40 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{8} \cdot {0.7}^{32}

=0.055726288096055≈ 0.0557
(TI-Befehl: binompdf(40,0.3,8))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 62 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=62⋅ $\frac{1}{6}$ = 10.333333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 10.333, also 0.8⋅ 10.333 = 8.267 und 120% von 10.333333333333, also 1.2⋅ 10.333 = 12.4

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 10.333333333333 entfernt sein darf als 8.267 bzw. 12.4, muss sie also zwischen 9 und 12 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{62} (9 \leq X \leq 12)$ =

...

6

7

8

9

10

11

12

13

14

...

P_{\frac{1}{6}}^{62} (X \leq 12)

-

P_{\frac{1}{6}}^{62} (X \leq 8)

≈ 0.7751 - 0.2741 ≈ 0.501
(TI-Befehl: binomcdf(62, $\frac{1}{6}$ ,12) - binomcdf(62, $\frac{1}{6}$ ,8))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert