Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 25%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 26 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
104	0.5524
105	0.5299
106	0.5075
107	0.4852
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.25}$ ≈ 104 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.25⋅104) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=104:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.5524 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=106 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 97 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 10 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{97} (X \leq 10)

=

P_{\frac{1}{6}}^{97} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{97} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{97} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{97} (X = 10)

= 0.055182837858826 ≈ 0.0552
(TI-Befehl: binomcdf(97,1/6,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9968
$\frac{1}{3}$	0.946
$\frac{1}{4}$	0.8416
$\frac{1}{5}$	0.7251
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 73 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 95 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.66	0.9919
0.67	0.9863
0.68	0.9775
0.69	0.964
0.7	0.9444
0.71	0.9169
0.72	0.8795
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{95} (X \leq 73)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(95,X,73) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.71 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 64 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,9.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 52 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.9.

P_{0.9}^{64} (X \leq 52)

=

P_{0.9}^{64} (X = 0)

+

P_{0.9}^{64} (X = 1)

+

P_{0.9}^{64} (X = 2)

+... +

P_{0.9}^{64} (X = 52)

= 0.023630108886526 ≈ 0.0236
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.9,52))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 96 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=96⋅ $\frac{1}{6}$ = 16

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 16, also 0.8⋅ 16 = 12.8 und 120% von 16, also 1.2⋅ 16 = 19.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 16 entfernt sein darf als 12.8 bzw. 19.2, muss sie also zwischen 13 und 19 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{96} (13 \leq X \leq 19)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{\frac{1}{6}}^{96} (X \leq 19)

-

P_{\frac{1}{6}}^{96} (X \leq 12)

≈ 0.832 - 0.1693 ≈ 0.6627
(TI-Befehl: binomcdf(96, $\frac{1}{6}$ ,19) - binomcdf(96, $\frac{1}{6}$ ,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert