Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 85% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% mindestens 27 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
1900.3497
1910.3387
1920.3278
1930.3171
1940.3067
1950.2964
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X27) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.15n (X27) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.15n (X27) = 1 - P0.15n (X26) ≥ 0.7 |+ P0.15n (X26) - 0.7

0.3 ≥ P0.15n (X26) oder P0.15n (X26) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 27 0.15 ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.15⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
P0.15n (X26) ≈ 0.4681 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=195 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 195 sein, damit P0.15n (X26) ≤ 0.3 oder eben P0.15n (X27) ≥ 0.7 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 7 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 73 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.125.

...
4
5
6
7
8
9
...

P0.12573 (X7) = 1 - P0.12573 (X6) = 0.8224
(TI-Befehl: 1-binomcdf(73,0.125,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 65 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 65 Durchgänge reichen?

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pP(X≤5)
......
1 13 0.6161
1 14 0.6808
1 15 0.7351
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp65 (X5) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp65 (X5) ('höchstens 5 Treffer bei 65 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 5 65 . Mit diesem p wäre ja 5= 5 65 ⋅65 der Erwartungswert und somit Pp65 (X5) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 5 65 mit 1 5 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 13 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 15 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 91 Ausspielungen nicht öfters als 55 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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pP(X≤k)
......
0.490.9891
0.50.9823
0.510.9721
0.520.9575
0.530.9372
0.540.91
0.550.8749
......

Es muss gelten: Pp91 (X55) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(91,X,55) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,17 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 49 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 9 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.17.

...
6
7
8
9
10
11
...

P0.1749 (X9) = 1 - P0.1749 (X8) = 0.4575
(TI-Befehl: 1-binomcdf(49,0.17,8))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 84 und p = 0.95
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 84 und p = 0.95 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 84 ⋅ 0.95 = 79.8

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 84 ⋅ 0.95 ⋅ 0.05 = 3.99 2