Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 20 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
22	0.8633
23	0.692
24	0.4951
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{0.85}$ ≈ 24 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.85⋅24) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=24:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.4951 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 95 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{95} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 95 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{3} \cdot {(\frac{7}{8})}^{92}

=0.0012492635657295≈ 0.0012
(TI-Befehl: binompdf(95,1/8,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{5}{15}$	0.5431
$\frac{5}{16}$	0.6203
$\frac{5}{17}$	0.6863
$\frac{5}{18}$	0.7416
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{19}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{19}$ ⋅19 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{19}$ mit $\frac{5}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{15}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{18}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 18 sein.

Also werden noch 13 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 72 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 72)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 54 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥54)=1-P(X≤53)
...	...
0.71	0.2722
0.72	0.3374
0.73	0.4091
0.74	0.4851
0.75	0.5629
0.76	0.6397
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{72} (X \geq 54)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{72} (X \leq 53)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(72,X,53) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 52%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 93 Versuchen weniger als 42 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.52.

P_{0.52}^{93} (X < 42)

=

P_{0.52}^{93} (X \leq 41)

=

P_{0.52}^{93} (X = 0)

+

P_{0.52}^{93} (X = 1)

+

P_{0.52}^{93} (X = 2)

+... +

P_{0.52}^{93} (X = 41)

= 0.077264530243242 ≈ 0.0773
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.52,41))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 66 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 66⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 11,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{66\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.03

14.03 (11 + 3.03) und 7.97 (11 - 3.03) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 8 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 8 und 14 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{66} (8 \leq X \leq 14)$ =

...

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{\frac{1}{6}}^{66} (X \leq 14)

-

P_{\frac{1}{6}}^{66} (X \leq 7)

≈ 0.8744 - 0.1204 ≈ 0.754
(TI-Befehl: binomcdf(66, $\frac{1}{6}$ ,14) - binomcdf(66, $\frac{1}{6}$ ,7))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ