Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,85. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 37 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.6411
44	0.4968
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.85}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.85⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.4968 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 33 Versuchen mindestens 22 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p=0.6.

...

19

20

21

22

23

24

...

P_{0.6}^{33} (X \geq 22)

= 1 -

P_{0.6}^{33} (X \leq 21)

= 0.2758
(TI-Befehl: 1-binomcdf(33,0.6,21))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{5}{18}$	0.6345
$\frac{5}{19}$	0.6765
$\frac{5}{20}$	0.7133
$\frac{5}{21}$	0.7455
$\frac{5}{22}$	0.7737
$\frac{5}{23}$	0.7983
$\frac{5}{24}$	0.8199
$\frac{5}{25}$	0.8389
$\frac{5}{26}$	0.8555
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{11}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{11}$ ⋅11 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{11} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{11}$ mit $\frac{5}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{18}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{26}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 26 sein.

Also werden noch 21 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 87 Freiwürfen mindestens 61 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥61)=1-P(X≤60)
...	...
0.71	0.6236
0.72	0.6997
0.73	0.769
0.74	0.8291
0.75	0.8789
0.76	0.9182
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{87} (X \geq 61)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{87} (X \leq 60)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,60) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 35 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X \leq 3)

=

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X = 2)

+

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X = 3)

= 0.14248269306867 ≈ 0.1425
(TI-Befehl: binomcdf(35,1/6,3))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 30 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 30 und p = 0.4 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 30 ⋅ 0.4 = 12

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{30 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6}$ = $\sqrt{7.2}$ ≈ 2.68

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.