Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 20 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
21	0.8906
22	0.6608
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{0.9}$ ≈ 22 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.9⋅22) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=22:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.6608 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=21 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 34 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 5 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=34 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X \leq 5)

=

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X = 5)

= 0.49033723113008 ≈ 0.4903
(TI-Befehl: binomcdf(34,1/6,5))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9922
$\frac{1}{3}$	0.9415
$\frac{1}{4}$	0.8665
$\frac{1}{5}$	0.7903
$\frac{1}{6}$	0.7209
$\frac{1}{7}$	0.6601
$\frac{1}{8}$	0.6073
$\frac{1}{9}$	0.5615
$\frac{1}{10}$	0.5217
$\frac{1}{11}$	0.4868
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{7} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 69 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 74 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥k)=1-P(X≤k-1)
...	...
0.84	0.9948
0.85	0.9906
0.86	0.9833
0.87	0.9712
0.88	0.9514
0.89	0.9205
0.9	0.8738
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{74} (X \leq 69)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(74,X,69) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.89 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 3 und höchstens 6 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 49 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.125.

$P_{0.125}^{49} (4 \leq X \leq 6)$ =

...

1

2

3

4

5

6

7

8

...

P_{0.125}^{49} (X \leq 6)

-

P_{0.125}^{49} (X \leq 3)

≈ 0.5851 - 0.1234 ≈ 0.4617
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.125,6) - binomcdf(49,0.125,3))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 50 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=50⋅0.6 = 30

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 30, also 0.8⋅ 30 = 24 und 120% von 30, also 1.2⋅ 30 = 36

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 30 entfernt sein darf als 24 bzw. 36, muss sie also zwischen 24 und 36 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.6.

$P_{0.6}^{50} (24 \leq X \leq 36)$ =

...

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

...

P_{0.6}^{50} (X \leq 36)

-

P_{0.6}^{50} (X \leq 23)

≈ 0.972 - 0.0314 ≈ 0.9406
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.6,36) - binomcdf(50,0.6,23))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert