Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 40% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 28 Nasen hat.
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 49 | 0.2877 |
| 50 | 0.234 |
| 51 | 0.1873 |
| 52 | 0.1476 |
| 53 | 0.1146 |
| 54 | 0.0877 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.9 |+ - 0.9
0.1 ≥ oder ≤ 0.1
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.6⋅47) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
≈ 0.4139
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.
n muss also mindestens 54 sein, damit ≤ 0.1 oder eben ≥ 0.9 gilt.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 52 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 mal, aber weniger als 12 mal eine sechs gewürfelt wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(52,,11) - binomcdf(52,,3))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥2)=1-P(X≤1) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9941 | |
| 0.9249 | |
| 0.8029 | |
| 0.6779 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 2 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
4 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 61 Wiederholungen 23 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?
| p | P(X≥23)=1-P(X≤22) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.34 | 0.3133 |
| 0.35 | 0.3743 |
| 0.36 | 0.438 |
| 0.37 | 0.5028 |
| 0.38 | 0.567 |
| 0.39 | 0.6291 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.6 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.6 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(61,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Würfel wird 68 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 17 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=.
= =0.02431809418952≈ 0.0243(TI-Befehl: binompdf(68,1/6,17))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 84 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 84⋅ ≈ 14,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.42
17.42 (14 + 3.42) und 10.58 (14 - 3.42) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 14 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 11 und 17 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 11 und 17 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=84 und p=
(TI-Befehl: binomcdf(84,
