Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 30% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% mindestens 21 Nasen hat.
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 30 | 0.4112 |
| 31 | 0.3121 |
| 32 | 0.2283 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.7 |+ - 0.7
0.3 ≥ oder ≤ 0.3
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 30 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.7⋅30) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=30:
≈ 0.4112
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.
n muss also mindestens 32 sein, damit ≤ 0.3 oder eben ≥ 0.7 gilt.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,28 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 66 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 12 defekte Chips enthalten sind.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.28.
= + + +... + = 0.046282452891668 ≈ 0.0463(TI-Befehl: binomcdf(66,0.28,12))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9997 | |
| 0.9987 | |
| 0.9964 | |
| 0.9917 | |
| 0.9839 | |
| 0.9722 | |
| 0.9563 | |
| 0.9363 | |
| 0.9122 | |
| 0.8847 | |
| 0.8542 | |
| 0.8215 | |
| 0.7872 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.8 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 17 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 99 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 96 erkennen und dumm anlabern?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.89 | 0.9991 |
| 0.9 | 0.9979 |
| 0.91 | 0.9949 |
| 0.92 | 0.988 |
| 0.93 | 0.9728 |
| 0.94 | 0.9408 |
| 0.95 | 0.8775 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(99,X,96) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.94 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 81% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 82 Versuchen mindestens 63 und weniger als 67 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.81.
=
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.81,66) - binomcdf(82,0.81,62))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 86 und p = 0.5
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 86 und p = 0.5 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 86 ⋅ 0.5 = 43
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 4.64
