Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,2. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 35 dieser Fehler begeht?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 156 | 0.8068 |
| 157 | 0.7952 |
| 158 | 0.7834 |
| 159 | 0.7712 |
| 160 | 0.7587 |
| 161 | 0.7458 |
| 162 | 0.7327 |
| 163 | 0.7194 |
| 164 | 0.7057 |
| 165 | 0.6919 |
| 166 | 0.6778 |
| 167 | 0.6636 |
| 168 | 0.6491 |
| 169 | 0.6346 |
| 170 | 0.6198 |
| 171 | 0.605 |
| 172 | 0.5901 |
| 173 | 0.5751 |
| 174 | 0.5601 |
| 175 | 0.5451 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 175 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.2⋅175) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=175:
≈ 0.5451
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=156 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 71 Versuchen mehr als 37 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=0.6.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(71,0.6,37))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9992 | |
| 0.9951 | |
| 0.9839 | |
| 0.9621 | |
| 0.9287 | |
| 0.8847 | |
| 0.8326 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.85 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 9 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 52 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 46 erkennen und dumm anlabern?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.77 | 0.9887 |
| 0.78 | 0.9829 |
| 0.79 | 0.9747 |
| 0.8 | 0.9631 |
| 0.81 | 0.9471 |
| 0.82 | 0.9253 |
| 0.83 | 0.8965 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(52,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.82 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Eine Münze wird 64 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 34 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.5.
= = + + +... + = 0.64600962293262 ≈ 0.646(TI-Befehl: binomcdf(64,0.5,33))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,45 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 53 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=53⋅0.45 = 23.85
Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 23.85, also 0.9⋅ 23.85 = 21.465 und 110% von 23.85, also 1.1⋅ 23.85 = 26.235
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 23.85 entfernt sein darf als 21.465 bzw. 26.235, muss sie also zwischen 22 und 26 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.45.
=
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.45,26) - binomcdf(53,0.45,21))
