Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 30 oder mehr 6er zu erzielen?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 214 | 0.1276 |
| 215 | 0.1215 |
| 216 | 0.1157 |
| 217 | 0.1102 |
| 218 | 0.1048 |
| 219 | 0.0996 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.9 |+ - 0.9
0.1 ≥ oder ≤ 0.1
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 30
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=219 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.
n muss also mindestens 219 sein, damit
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 90 Versuchen genau 12 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.05.
(TI-Befehl: binompdf(90,0.05,12))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 70 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤9) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.4482 | |
| 0.6228 | |
| 0.7528 | |
| 0.8414 | |
| 0.8991 | |
| 0.9357 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
12 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 42 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 42).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% höchstens 36 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.74 | 0.9779 |
| 0.75 | 0.9693 |
| 0.76 | 0.9581 |
| 0.77 | 0.9434 |
| 0.78 | 0.9246 |
| 0.79 | 0.9009 |
| 0.8 | 0.8713 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(42,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.79 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 56 Versuchen, mehr als 21 mal und höchstens 25 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.45.
(TI-Befehl: binomcdf(56,0.45,25) - binomcdf(56,0.45,21))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 56 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 56⋅
die Standardabweichung mit σ =
12.12 (9.33 + 2.79) und 6.54 (9.33 - 2.79) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.33 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 12 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 12 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=56 und p=
(TI-Befehl: binomcdf(56,
