Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 29 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 53 | 0.5366 |
| 54 | 0.4764 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.55⋅53) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
≈ 0.5366
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 57 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,3.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 12 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.3.
= + + +... + = 0.088845697636803 ≈ 0.0888(TI-Befehl: binomcdf(57,0.3,12))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 75 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 75 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤5) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.616 | |
| 0.6725 | |
| 0.721 | |
| 0.7625 | |
| 0.7978 | |
| 0.8276 | |
| 0.8528 | |
| 0.8741 | |
| 0.8921 | |
| 0.9073 | |
| 0.9202 | |
| 0.9311 | |
| 0.9404 | |
| 0.9483 | |
| 0.955 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.95 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 5 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 5=⋅75 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
29 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 62 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 33 erkennen und dumm anlabern?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.4 | 0.9872 |
| 0.41 | 0.9808 |
| 0.42 | 0.9718 |
| 0.43 | 0.9597 |
| 0.44 | 0.9437 |
| 0.45 | 0.9232 |
| 0.46 | 0.8976 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(62,X,33) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 84 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 mal, aber weniger als 15 mal eine sechs gewürfelt wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(84,,14) - binomcdf(84,,8))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 68 und p = 0.75
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 68 und p = 0.75 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 68 ⋅ 0.75 = 51
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.57
