Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 45%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 26 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
48	0.9221
49	0.8991
50	0.8721
51	0.8412
52	0.8065
53	0.7683
54	0.7271
55	0.6834
56	0.6378
57	0.591
58	0.5437
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.45}$ ≈ 58 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.45⋅58) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=58:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.5437 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 8 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 67 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.125.

...

5

6

7

8

9

10

...

P_{0.125}^{67} (X \geq 8)

= 1 -

P_{0.125}^{67} (X \leq 7)

= 0.6103
(TI-Befehl: 1-binomcdf(67,0.125,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{9}{14}$	0.9998
$\frac{10}{15}$	0.9996
$\frac{11}{16}$	0.9992
$\frac{12}{17}$	0.9986
$\frac{13}{18}$	0.9977
$\frac{14}{19}$	0.9963
$\frac{15}{20}$	0.9945
$\frac{16}{21}$	0.9922
$\frac{17}{22}$	0.9894
$\frac{18}{23}$	0.986
$\frac{19}{24}$	0.9819
$\frac{20}{25}$	0.9773
$\frac{21}{26}$	0.9721
$\frac{22}{27}$	0.9664
$\frac{23}{28}$	0.96
$\frac{24}{29}$	0.9532
$\frac{25}{30}$	0.9458
$\frac{26}{31}$	0.938
$\frac{27}{32}$	0.9298
$\frac{28}{33}$	0.9213
$\frac{29}{34}$	0.9123
$\frac{30}{35}$	0.9031
$\frac{31}{36}$	0.8936
$\frac{32}{37}$	0.8838
$\frac{33}{38}$	0.8739
$\frac{34}{39}$	0.8638
$\frac{35}{40}$	0.8536
$\frac{36}{41}$	0.8432
$\frac{37}{42}$	0.8328
$\frac{38}{43}$	0.8223
$\frac{39}{44}$	0.8118
$\frac{40}{45}$	0.8012
$\frac{41}{46}$	0.7906
$\frac{42}{47}$	0.7801
$\frac{43}{48}$	0.7696
$\frac{44}{49}$	0.7591
$\frac{45}{50}$	0.7487
$\frac{46}{51}$	0.7384
$\frac{47}{52}$	0.7281
$\frac{48}{53}$	0.718
$\frac{49}{54}$	0.7079
$\frac{50}{55}$	0.6979
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{9}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{49}{54}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 49 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 83 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 62 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥62)=1-P(X≤61)
...	...
0.75	0.5833
0.76	0.6644
0.77	0.7397
0.78	0.8066
0.79	0.8628
0.8	0.9077
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{83} (X \geq 62)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{83} (X \leq 61)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(83,X,61) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 41 Versuchen, mehr als 26 mal und höchstens 32 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.7.

$P_{0.7}^{41} (27 \leq X \leq 32)$ =

...

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.7}^{41} (X \leq 32)

-

P_{0.7}^{41} (X \leq 26)

≈ 0.9057 - 0.2238 ≈ 0.6819
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.7,32) - binomcdf(41,0.7,26))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 42 und p = 0.9
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 42 und p = 0.9 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 42 ⋅ 0.9 = 37.8

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{42 ⋅ 0.9 ⋅ 0.1}$ = $\sqrt{3.78}$ ≈ 1.94

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.