Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,4. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 21 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
53	0.5372
54	0.4927
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.4}$ ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.4⋅53) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.5372 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 78 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 11 mal, aber weniger als 21 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{78} (12 \leq X \leq 20)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

...

P_{\frac{1}{6}}^{78} (X \leq 20)

-

P_{\frac{1}{6}}^{78} (X \leq 11)

≈ 0.9849 - 0.3344 ≈ 0.6505
(TI-Befehl: binomcdf(78, $\frac{1}{6}$ ,20) - binomcdf(78, $\frac{1}{6}$ ,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 80 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 80 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{11}$	0.5563
$\frac{1}{12}$	0.6505
$\frac{1}{13}$	0.7275
$\frac{1}{14}$	0.7887
$\frac{1}{15}$	0.8365
$\frac{1}{16}$	0.8735
$\frac{1}{17}$	0.9019
$\frac{1}{18}$	0.9238
$\frac{1}{19}$	0.9405
$\frac{1}{20}$	0.9534
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=80 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{80} (X \leq 7)$ =0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{80} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 80 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{80}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{80}$ ⋅80 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{80} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{80}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{11}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 20 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 72 Stück nur an, wenn nicht mehr als 55 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≥k)=1-P(X≤k-1)
...	...
0.65	0.9864
0.66	0.9791
0.67	0.9686
0.68	0.954
0.69	0.9341
0.7	0.9077
0.71	0.8737
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{72} (X \leq 55)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(72,X,55) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 95 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 18 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{95} (X = 18)

=

(\begin{matrix} 95 \\ 18 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{18} \cdot {(\frac{5}{6})}^{77}

=0.087531405646896≈ 0.0875
(TI-Befehl: binompdf(95,1/6,18))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 50 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 50⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 8.33,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{50\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 2.64

10.97 (8.33 + 2.64) und 5.7 (8.33 - 2.64) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 8.33 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 10 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 10 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{50} (6 \leq X \leq 10)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

P_{\frac{1}{6}}^{50} (X \leq 10)

-

P_{\frac{1}{6}}^{50} (X \leq 5)

≈ 0.7986 - 0.1388 ≈ 0.6598
(TI-Befehl: binomcdf(50, $\frac{1}{6}$ ,10) - binomcdf(50, $\frac{1}{6}$ ,5))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ