Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 11% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 37-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
40	0.8312
41	0.6742
42	0.4973
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.89 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.89}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 89% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.89}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.89⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.89}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.4973 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 47 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 13 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p=0.25.

P_{0.25}^{47} (X \leq 13)

=

P_{0.25}^{47} (X = 0)

+

P_{0.25}^{47} (X = 1)

+

P_{0.25}^{47} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{47} (X = 13)

= 0.7281988947671 ≈ 0.7282
(TI-Befehl: binomcdf(47,0.25,13))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9961
$\frac{1}{3}$	0.961
$\frac{1}{4}$	0.8999
$\frac{1}{5}$	0.8322
$\frac{1}{6}$	0.7674
$\frac{1}{7}$	0.7086
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 80 Freiwürfen mindestens 43 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥43)=1-P(X≤42)
...	...
0.56	0.6988
0.57	0.7588
0.58	0.8118
0.59	0.8572
0.6	0.8947
0.61	0.9246
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{80} (X \geq 43)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{80} (X \leq 42)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(80,X,42) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.61 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 61 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 8 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

5

6

7

8

9

10

...

P_{\frac{1}{6}}^{61} (X \geq 8)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{61} (X \leq 7)

= 0.8188
(TI-Befehl: 1-binomcdf(61, $\frac{1}{6}$ ,7))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 53 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=53⋅0.25 = 13.25

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 13.25, also 0.9⋅ 13.25 = 11.925 und 110% von 13.25, also 1.1⋅ 13.25 = 14.575

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 13.25 entfernt sein darf als 11.925 bzw. 14.575, muss sie also zwischen 12 und 14 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.25.

$P_{0.25}^{53} (12 \leq X \leq 14)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.25}^{53} (X \leq 14)

-

P_{0.25}^{53} (X \leq 11)

≈ 0.6622 - 0.2961 ≈ 0.3661
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.25,14) - binomcdf(53,0.25,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert