Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 23 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
25	0.9069
26	0.7704
27	0.5928
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.85}$ ≈ 27 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.85⋅27) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=27:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.5928 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 89% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 64 Versuchen mindestens 56 und weniger als 58 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.89.

$P_{0.89}^{64} (56 \leq X \leq 57)$ =

...

53

54

55

56

57

58

59

...

P_{0.89}^{64} (X \leq 57)

-

P_{0.89}^{64} (X \leq 55)

≈ 0.5653 - 0.2684 ≈ 0.2969
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.89,57) - binomcdf(64,0.89,55))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤24)
...	...
$\frac{6}{10}$	0.9993
$\frac{7}{11}$	0.9976
$\frac{8}{12}$	0.9939
$\frac{9}{13}$	0.9873
$\frac{10}{14}$	0.9771
$\frac{11}{15}$	0.963
$\frac{12}{16}$	0.9449
$\frac{13}{17}$	0.923
$\frac{14}{18}$	0.8978
$\frac{15}{19}$	0.8699
$\frac{16}{20}$	0.8398
$\frac{17}{21}$	0.8082
$\frac{18}{22}$	0.7756
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{28} (X \leq 24)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{28} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{6}{10}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{17}{21}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 17 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 45 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 31 erkennen und dumm anlabern?

Lösung einblenden

p	P(X≤k)
...	...
0.55	0.9799
0.56	0.9724
0.57	0.9628
0.58	0.9506
0.59	0.9353
0.6	0.9164
0.61	0.8935
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{45} (X \leq 31)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(45,X,31) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 55 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 37 und höchstens 38 beträgt?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.65.

$P_{0.65}^{55} (37 \leq X \leq 38)$ =

...

34

35

36

37

38

39

40

...

P_{0.65}^{55} (X \leq 38)

-

P_{0.65}^{55} (X \leq 36)

≈ 0.7797 - 0.5785 ≈ 0.2012
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.65,38) - binomcdf(55,0.65,36))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 77 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 77⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 12.83,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{77\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.27

16.1 (12.83 + 3.27) und 9.56 (12.83 - 3.27) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 12.83 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 10 und 16 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 10 und 16 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=77 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{77} (10 \leq X \leq 16)$ =

...

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{\frac{1}{6}}^{77} (X \leq 16)

-

P_{\frac{1}{6}}^{77} (X \leq 9)

≈ 0.8676 - 0.1533 ≈ 0.7143
(TI-Befehl: binomcdf(77, $\frac{1}{6}$ ,16) - binomcdf(77, $\frac{1}{6}$ ,9))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ