Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht über 25 Freiwurfpunkte kommen lassen will?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 28 | 0.5406 |
| 29 | 0.329 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.9⋅28) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
≈ 0.5406
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Würfel wird 68 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 6 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=.
= + + +... + = 0.050149407649035 ≈ 0.0501(TI-Befehl: binomcdf(68,1/6,6))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?
| p | P(X≤3) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.632 | |
| 0.6554 | |
| 0.6772 | |
| 0.6975 | |
| 0.7165 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 3 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 3=⋅19 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
35 sein.
Also werden noch 30 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 52 Wiederholungen 41 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?
| p | P(X≥41)=1-P(X≤40) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.8 | 0.6593 |
| 0.81 | 0.7247 |
| 0.82 | 0.7848 |
| 0.83 | 0.8379 |
| 0.84 | 0.8829 |
| 0.85 | 0.9193 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(52,X,40) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.85 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 100 Versuchen mindestens 63 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.65.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(100,0.65,62))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 55 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=55⋅0.35 = 19.25
Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 19.25, also 0.85⋅ 19.25 = 16.363 und 115% von 19.25, also 1.15⋅ 19.25 = 22.138
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 19.25 entfernt sein darf als 16.363 bzw. 22.138, muss sie also zwischen 17 und 22 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.35.
=
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.35,22) - binomcdf(55,0.35,16))
