Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 28 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
31	0.6114
32	0.3997
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.9}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.9⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.6114 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 82 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 16 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.3.

...

13

14

15

16

17

18

...

P_{0.3}^{82} (X \geq 16)

= 1 -

P_{0.3}^{82} (X \leq 15)

= 0.9885
(TI-Befehl: 1-binomcdf(82,0.3,15))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.998
$\frac{1}{3}$	0.974
$\frac{1}{4}$	0.9249
$\frac{1}{5}$	0.8658
$\frac{1}{6}$	0.8062
$\frac{1}{7}$	0.7503
$\frac{1}{8}$	0.6993
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{9} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 56 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 27 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥27)=1-P(X≤26)
...	...
0.51	0.7091
0.52	0.7584
0.53	0.8028
0.54	0.842
0.55	0.8758
0.56	0.9042
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{56} (X \geq 27)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{56} (X \leq 26)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(56,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 85 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 14 mal, aber weniger als 21 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{85} (15 \leq X \leq 20)$ =

...

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

...

P_{\frac{1}{6}}^{85} (X \leq 20)

-

P_{\frac{1}{6}}^{85} (X \leq 14)

≈ 0.9625 - 0.5514 ≈ 0.4111
(TI-Befehl: binomcdf(85, $\frac{1}{6}$ ,20) - binomcdf(85, $\frac{1}{6}$ ,14))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 82 und p = 0.05
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 82 und p = 0.05 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 82 ⋅ 0.05 = 4.1

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{82 ⋅ 0.05 ⋅ 0.95}$ = $\sqrt{3.895}$ ≈ 1.97

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.