Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 29 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
32	0.6333
33	0.4231
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.9}$ ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.9⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.6333 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,89. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 83 Versuchen mindestens 70 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.89.

...

67

68

69

70

71

72

...

P_{0.89}^{83} (X \geq 70)

= 1 -

P_{0.89}^{83} (X \leq 69)

= 0.9313
(TI-Befehl: 1-binomcdf(83,0.89,69))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9998
$\frac{1}{3}$	0.9923
$\frac{1}{4}$	0.9683
$\frac{1}{5}$	0.9313
$\frac{1}{6}$	0.8878
$\frac{1}{7}$	0.8427
$\frac{1}{8}$	0.7986
$\frac{1}{9}$	0.7567
$\frac{1}{10}$	0.7176
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 52 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 52).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 60% höchstens 20 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.32	0.8735
0.33	0.8379
0.34	0.7968
0.35	0.7506
0.36	0.6997
0.37	0.6452
0.38	0.5879
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{52} (X \leq 20)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(52,X,20) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 24 Versuchen höchstens 13 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=0.65.

P_{0.65}^{24} (X \leq 13)

=

P_{0.65}^{24} (X = 0)

+

P_{0.65}^{24} (X = 1)

+

P_{0.65}^{24} (X = 2)

+... +

P_{0.65}^{24} (X = 13)

= 0.18333264075572 ≈ 0.1833
(TI-Befehl: binomcdf(24,0.65,13))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 28 und p = 0.5
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 28 und p = 0.5 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 28 ⋅ 0.5 = 14

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{28 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5}$ = $\sqrt{7}$ ≈ 2.65

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.