Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 55% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% mindestens 25 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
560.4272
570.3814
580.3379
590.2971
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: P0.45n (X25) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.45n (X25) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.45n (X25) = 1 - P0.45n (X24) ≥ 0.7 |+ P0.45n (X24) - 0.7

0.3 ≥ P0.45n (X24) oder P0.45n (X24) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 25 0.45 ≈ 56 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.45⋅56) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=56:
P0.45n (X24) ≈ 0.4272 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=59 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 59 sein, damit P0.45n (X24) ≤ 0.3 oder eben P0.45n (X25) ≥ 0.7 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 54 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 4 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p= 1 6 .

P 1 6 54 (X4) = P 1 6 54 (X=0) + P 1 6 54 (X=1) + P 1 6 54 (X=2) +... + P 1 6 54 (X=4) = 0.040988139770403 ≈ 0.041
(TI-Befehl: binomcdf(54,1/6,4))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥2)=1-P(X≤1)
......
1 2 0.9941
1 3 0.9249
1 4 0.8029
1 5 0.6779
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp11 (X2) = 1- Pp11 (X1) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp11 (X2) ('mindestens 2 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 35 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 56 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≤k)
......
0.490.9847
0.50.978
0.510.9689
0.520.9568
0.530.9413
0.540.9216
0.550.8973
......

Es muss gelten: Pp56 (X35) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(56,X,35) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 86 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,8.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 73 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.8.

P0.886 (X73) = P0.886 (X=0) + P0.886 (X=1) + P0.886 (X=2) +... + P0.886 (X=73) = 0.90100217591854 ≈ 0.901
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.8,73))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 56 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=56⋅ 1 6 = 9.3333333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 9.333, also 0.8⋅ 9.333 = 7.467 und 120% von 9.3333333333333, also 1.2⋅ 9.333 = 11.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 9.3333333333333 entfernt sein darf als 7.467 bzw. 11.2, muss sie also zwischen 8 und 11 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p= 1 6 .

P 1 6 56 (8X11) =

...
5
6
7
8
9
10
11
12
13
...

P 1 6 56 (X11) - P 1 6 56 (X7) ≈ 0.7862 - 0.2632 ≈ 0.523
(TI-Befehl: binomcdf(56, 1 6 ,11) - binomcdf(56, 1 6 ,7))