Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 30 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
550.4179
560.3622
570.3102
580.2625
590.2197
600.1817
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: P0.55n (X30) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.55n (X30) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.55n (X30) = 1 - P0.55n (X29) ≥ 0.8 |+ P0.55n (X29) - 0.8

0.2 ≥ P0.55n (X29) oder P0.55n (X29) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 30 0.55 ≈ 55 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.55⋅55) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=55:
P0.55n (X29) ≈ 0.4179 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=60 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 60 sein, damit P0.55n (X29) ≤ 0.2 oder eben P0.55n (X30) ≥ 0.8 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 88 Versuchen mehr als 55 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=0.55.

...
53
54
55
56
57
58
...

P0.5588 (X>55) = P0.5588 (X56) = 1 - P0.5588 (X55) = 0.0632
(TI-Befehl: 1-binomcdf(88,0.55,55))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 16 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 16 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
3 8 0.6093
3 9 0.7374
3 10 0.8247
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp16 (X6) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp16 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 16 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 16 ⋅16 der Erwartungswert und somit Pp16 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 16 mit 3 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 8 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 10 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 10 sein.

Also werden noch 7 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 76 Wiederholungen 59 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?

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pP(X≥59)=1-P(X≤58)
......
0.780.595
0.790.6756
0.80.7504
0.810.8163
0.820.8715
0.830.9151
......

Es muss gelten: Pp76 (X59) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp76 (X58) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(76,X,58) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 88 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 43 und höchstens 53 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=0.55.

P0.5588 (43X53) =

...
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
...

P0.5588 (X53) - P0.5588 (X42) ≈ 0.863 - 0.1033 ≈ 0.7597
(TI-Befehl: binomcdf(88,0.55,53) - binomcdf(88,0.55,42))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 69 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 69⋅ 1 6 ≈ 11.5,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 69 1 6 5 6 ≈ 3.1

14.6 (11.5 + 3.1) und 8.4 (11.5 - 3.1) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p= 1 6 .

P 1 6 69 (9X14) =

...
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
...

P 1 6 69 (X14) - P 1 6 69 (X8) ≈ 0.8347 - 0.1665 ≈ 0.6682
(TI-Befehl: binomcdf(69, 1 6 ,14) - binomcdf(69, 1 6 ,8))