Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht über 38 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
40	0.9195
41	0.7914
42	0.6164
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.9}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.9⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.6164 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 38 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 33 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=38 und p=0.85.

...

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.85}^{38} (X \geq 33)

= 1 -

P_{0.85}^{38} (X \leq 32)

= 0.4854
(TI-Befehl: 1-binomcdf(38,0.85,32))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{7}$	0.5199
$\frac{3}{8}$	0.6852
$\frac{3}{9}$	0.797
$\frac{3}{10}$	0.8689
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{15} (X \leq 6)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{15} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{15}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{15}$ ⋅15 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{15} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{15}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 10 sein.

Also werden noch 7 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 80 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 57 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥57)=1-P(X≤56)
...	...
0.72	0.6143
0.73	0.689
0.74	0.7576
0.75	0.8181
0.76	0.8689
0.77	0.9096
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{80} (X \geq 57)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{80} (X \leq 56)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(80,X,56) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 45 Versuchen mindestens 17 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.45.

...

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.45}^{45} (X \geq 17)

= 1 -

P_{0.45}^{45} (X \leq 16)

= 0.8698
(TI-Befehl: 1-binomcdf(45,0.45,16))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 71 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 71⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 11.83,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{71\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.14

14.97 (11.83 + 3.14) und 8.69 (11.83 - 3.14) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.83 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{71} (9 \leq X \leq 14)$ =

...

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{\frac{1}{6}}^{71} (X \leq 14)

-

P_{\frac{1}{6}}^{71} (X \leq 8)

≈ 0.8051 - 0.1426 ≈ 0.6625
(TI-Befehl: binomcdf(71, $\frac{1}{6}$ ,14) - binomcdf(71, $\frac{1}{6}$ ,8))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ