Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,9. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 34 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
37	0.7297
38	0.5352
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.9}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.9⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5352 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 80 Versuchen genau 11 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.1.

P_{0.1}^{80} (X = 11)

=

(\begin{matrix} 80 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {0.1}^{11} \cdot {0.9}^{69}

=0.072945441991579≈ 0.0729
(TI-Befehl: binompdf(80,0.1,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 70 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{1}{11}$	0.5454
$\frac{1}{12}$	0.6343
$\frac{1}{13}$	0.7081
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{70} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{70}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{70}$ ⋅70 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{70} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{70}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{11}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 13 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 63 Wiederholungen 55 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?

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p	P(X≥55)=1-P(X≤54)
...	...
0.83	0.2345
0.84	0.3036
0.85	0.3832
0.86	0.4712
0.87	0.5644
0.88	0.6579
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{63} (X \geq 55)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{63} (X \leq 54)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(63,X,54) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.88 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 23 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{23} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 23 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{5} \cdot {(\frac{7}{8})}^{18}

=0.092825475286351≈ 0.0928
(TI-Befehl: binompdf(23,1/8,5))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 84 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=84⋅ $\frac{1}{6}$ = 14

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14, also 0.8⋅ 14 = 11.2 und 120% von 14, also 1.2⋅ 14 = 16.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14 entfernt sein darf als 11.2 bzw. 16.8, muss sie also zwischen 12 und 16 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{84} (12 \leq X \leq 16)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X \leq 16)

-

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X \leq 11)

≈ 0.7725 - 0.2369 ≈ 0.5356
(TI-Befehl: binomcdf(84, $\frac{1}{6}$ ,16) - binomcdf(84, $\frac{1}{6}$ ,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert