Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,75. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 36 dieser Fehler begeht?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
46	0.7469
47	0.6542
48	0.5552
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.75}$ ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.75⋅48) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5552 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 56 Versuchen, mehr als 25 mal und höchstens 28 mal im grünen Bereich zu landen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.5.

$P_{0.5}^{56} (26 \leq X \leq 28)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

...

P_{0.5}^{56} (X \leq 28)

-

P_{0.5}^{56} (X \leq 25)

≈ 0.5531 - 0.2522 ≈ 0.3009
(TI-Befehl: binomcdf(56,0.5,28) - binomcdf(56,0.5,25))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

Lösung einblenden

p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9922
$\frac{1}{3}$	0.9415
$\frac{1}{4}$	0.8665
$\frac{1}{5}$	0.7903
$\frac{1}{6}$	0.7209
$\frac{1}{7}$	0.6601
$\frac{1}{8}$	0.6073
$\frac{1}{9}$	0.5615
$\frac{1}{10}$	0.5217
$\frac{1}{11}$	0.4868
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{7} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 90 Wiederholungen 65 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?

Lösung einblenden

p	P(X≥65)=1-P(X≤64)
...	...
0.68	0.2299
0.69	0.2958
0.7	0.3703
0.71	0.451
0.72	0.5349
0.73	0.6185
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 65)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{90} (X \leq 64)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(90,X,64) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.73 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 22 Versuchen genau 11 mal im grünen Bereich zu landen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=0.45.

P_{0.45}^{22} (X = 11)

=

(\begin{matrix} 22 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{11} \cdot {0.55}^{11}

=0.15058523544746≈ 0.1506
(TI-Befehl: binompdf(22,0.45,11))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 99 und p = 0.1
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 99 und p = 0.1 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 99 ⋅ 0.1 = 9.9

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{99 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9}$ = $\sqrt{8.91}$ ≈ 2.98

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.