Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 75%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 40 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
53	0.584
54	0.4894
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 40)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.75}$ ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.75⋅53) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 40)$ ≈ 0.584 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 73 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 33 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.5.

P_{0.5}^{73} (X = 33)

=

(\begin{matrix} 73 \\ 33 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{33} \cdot {0.5}^{40}

=0.066803359336717≈ 0.0668
(TI-Befehl: binompdf(73,0.5,33))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9961
$\frac{1}{3}$	0.961
$\frac{1}{4}$	0.8999
$\frac{1}{5}$	0.8322
$\frac{1}{6}$	0.7674
$\frac{1}{7}$	0.7086
$\frac{1}{8}$	0.6564
$\frac{1}{9}$	0.6103
$\frac{1}{10}$	0.5695
$\frac{1}{11}$	0.5335
$\frac{1}{12}$	0.5015
$\frac{1}{13}$	0.4729
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 77 Freiwürfen mindestens 57 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥57)=1-P(X≤56)
...	...
0.7	0.2623
0.71	0.3281
0.72	0.4008
0.73	0.4782
0.74	0.5577
0.75	0.6362
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{77} (X \geq 57)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{77} (X \leq 56)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(77,X,56) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.75 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 22 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.5.

P_{0.5}^{41} (X = 22)

=

(\begin{matrix} 41 \\ 22 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{22} \cdot {0.5}^{19}

=0.11125970113426≈ 0.1113
(TI-Befehl: binompdf(41,0.5,22))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 83 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=83⋅0.25 = 20.75

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 20.75, also 0.9⋅ 20.75 = 18.675 und 110% von 20.75, also 1.1⋅ 20.75 = 22.825

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 20.75 entfernt sein darf als 18.675 bzw. 22.825, muss sie also zwischen 19 und 22 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.25.

$P_{0.25}^{83} (19 \leq X \leq 22)$ =

...

16

17

18

19

20

21

22

23

24

...

P_{0.25}^{83} (X \leq 22)

-

P_{0.25}^{83} (X \leq 18)

≈ 0.6773 - 0.2893 ≈ 0.388
(TI-Befehl: binomcdf(83,0.25,22) - binomcdf(83,0.25,18))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert