Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 28 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
2010.1265
2020.1204
2030.1144
2040.1087
2050.1033
2060.098
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X28) ≥ 0.9

Weil man ja aber P 1 6 n (X28) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X28) = 1 - P 1 6 n (X27) ≥ 0.9 |+ P 1 6 n (X27) - 0.9

0.1 ≥ P 1 6 n (X27) oder P 1 6 n (X27) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 28 1 6 ≈ 168 Versuchen auch ungefähr 28 (≈ 1 6 ⋅168) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=168:
P 1 6 n (X27) ≈ 0.4679 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=206 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 206 sein, damit P 1 6 n (X27) ≤ 0.1 oder eben P 1 6 n (X28) ≥ 0.9 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,91. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 20 Versuchen mindestens 19 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.91.

...
16
17
18
19

P0.9120 (X19) = 1 - P0.9120 (X18) = 0.4516
(TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.91,18))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 90 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 90 Durchgänge reichen?

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pP(X≤5)
......
1 18 0.616
1 19 0.6633
1 20 0.7052
1 21 0.742
1 22 0.7742
1 23 0.8023
1 24 0.8268
1 25 0.8481
1 26 0.8666
1 27 0.8827
1 28 0.8967
1 29 0.9089
1 30 0.9195
1 31 0.9288
1 32 0.9369
1 33 0.9439
1 34 0.9501
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp90 (X5) =0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp90 (X5) ('höchstens 5 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 5 90 . Mit diesem p wäre ja 5= 5 90 ⋅90 der Erwartungswert und somit Pp90 (X5) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 5 90 mit 1 5 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 18 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 34 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 62 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 62).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 70% höchstens 47 Treffer erzielt werden?

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pP(X≤k)
......
0.680.9301
0.690.905
0.70.8735
0.710.8348
0.720.7886
0.730.7347
0.740.6737
......

Es muss gelten: Pp62 (X47) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(62,X,47) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.73 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 39 Versuchen nicht mehr als 20 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p=0.4.

P0.439 (X20) = P0.439 (X=0) + P0.439 (X=1) + P0.439 (X=2) +... + P0.439 (X=20) = 0.94411982626475 ≈ 0.9441
(TI-Befehl: binomcdf(39,0.4,20))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 40 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=40⋅0.75 = 30

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 30, also 0.8⋅ 30 = 24 und 120% von 30, also 1.2⋅ 30 = 36

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 30 entfernt sein darf als 24 bzw. 36, muss sie also zwischen 24 und 36 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.75.

P0.7540 (24X36) =

...
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
...

P0.7540 (X36) - P0.7540 (X23) ≈ 0.9953 - 0.0116 ≈ 0.9837
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.75,36) - binomcdf(40,0.75,23))