Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 33 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
36	0.7121
37	0.5136
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.9}$ ≈ 37 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.9⋅37) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=37:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5136 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 61 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 15 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

13

14

15

16

17

18

...

P_{\frac{1}{6}}^{61} (X > 15)

=

P_{\frac{1}{6}}^{61} (X \geq 16)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{61} (X \leq 15)

= 0.039
(TI-Befehl: 1-binomcdf(61, $\frac{1}{6}$ ,15))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥16)=1-P(X≤15)
...	...
$\frac{3}{9}$	0.9997
$\frac{3}{10}$	0.9972
$\frac{3}{11}$	0.9869
$\frac{3}{12}$	0.9601
$\frac{3}{13}$	0.9096
$\frac{3}{14}$	0.8344
$\frac{3}{15}$	0.74
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 16)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 15)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{9}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 14 sein.

Also wären noch 11 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 60 Freiwürfen mindestens 23 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥23)=1-P(X≤22)
...	...
0.36	0.3999
0.37	0.4635
0.38	0.5275
0.39	0.5904
0.4	0.6507
0.41	0.7072
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \geq 23)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{60} (X \leq 22)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(60,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 5 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 32 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=32 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{32} (X \leq 5)

=

P_{\frac{1}{8}}^{32} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{32} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{32} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{32} (X = 5)

= 0.79614990134963 ≈ 0.7961
(TI-Befehl: binomcdf(32,1/8,5))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 66 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 66⋅0.45 ≈ 29.7,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{66\cdot0.45\cdot0.55}$ ≈ 4.04

33.74 (29.7 + 4.04) und 25.66 (29.7 - 4.04) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 29.7 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 26 und 33 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 26 und 33 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.45.

$P_{0.45}^{66} (26 \leq X \leq 33)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.45}^{66} (X \leq 33)

-

P_{0.45}^{66} (X \leq 25)

≈ 0.8265 - 0.1493 ≈ 0.6772
(TI-Befehl: binomcdf(66,0.45,33) - binomcdf(66,0.45,25))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ