Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% nicht mehr als 34 6er zu würfeln?

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nP(X≤k)
......
1810.8079
1820.7984
1830.7886
1840.7787
1850.7685
1860.7581
1870.7474
1880.7366
1890.7256
1900.7145
1910.7031
1920.6916
1930.68
1940.6682
1950.6563
1960.6443
1970.6322
1980.62
1990.6077
2000.5953
2010.583
2020.5705
2030.5581
2040.5456
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X34) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 34 1 6 ≈ 204 Versuchen auch ungefähr 34 (≈ 1 6 ⋅204) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=204:
P 1 6 n (X34) ≈ 0.5456 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=181 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 60 Versuchen weniger als 7 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.05.

P0.0560 (X<7) = P0.0560 (X6) = P0.0560 (X=0) + P0.0560 (X=1) + P0.0560 (X=2) +... + P0.0560 (X=6) = 0.97030589804511 ≈ 0.9703
(TI-Befehl: binomcdf(60,0.05,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 17 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 20% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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pP(X≤2)
......
1 8 0.6409
1 9 0.7089
1 10 0.7618
1 11 0.8032
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp17 (X2) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp17 (X2) ('höchstens 2 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 2 17 . Mit diesem p wäre ja 2= 2 17 ⋅17 der Erwartungswert und somit Pp17 (X2) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 2 17 mit 1 2 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 8 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 11 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 92 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 92)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 32 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥32)=1-P(X≤31)
......
0.320.3189
0.330.3958
0.340.476
0.350.5565
0.360.6341
0.370.7059
......

Es muss gelten: Pp92 (X32) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp92 (X31) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(92,X,31) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 6 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 44 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.125.

...
3
4
5
6
7
8
...

P0.12544 (X6) = 1 - P0.12544 (X5) = 0.4768
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44,0.125,5))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 87 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=87⋅ 1 6 = 14.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.5, also 0.8⋅ 14.5 = 11.6 und 120% von 14.5, also 1.2⋅ 14.5 = 17.4

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.5 entfernt sein darf als 11.6 bzw. 17.4, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p= 1 6 .

P 1 6 87 (12X17) =

...
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...

P 1 6 87 (X17) - P 1 6 87 (X11) ≈ 0.8084 - 0.1962 ≈ 0.6122
(TI-Befehl: binomcdf(87, 1 6 ,17) - binomcdf(87, 1 6 ,11))