Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 30 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
32	0.8436
33	0.6543
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.9}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.9⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.6543 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 66 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 14 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.15.

...

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.15}^{66} (X \geq 14)

= 1 -

P_{0.15}^{66} (X \leq 13)

= 0.1103
(TI-Befehl: 1-binomcdf(66,0.15,13))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9998
$\frac{1}{3}$	0.9923
$\frac{1}{4}$	0.9683
$\frac{1}{5}$	0.9313
$\frac{1}{6}$	0.8878
$\frac{1}{7}$	0.8427
$\frac{1}{8}$	0.7986
$\frac{1}{9}$	0.7567
$\frac{1}{10}$	0.7176
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 52 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 25 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.35	0.9815
0.36	0.9733
0.37	0.9623
0.38	0.948
0.39	0.9299
0.4	0.9074
0.41	0.8802
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{52} (X \leq 25)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(52,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 90 Versuchen höchstens 42 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.55.

P_{0.55}^{90} (X \leq 42)

=

P_{0.55}^{90} (X = 0)

+

P_{0.55}^{90} (X = 1)

+

P_{0.55}^{90} (X = 2)

+... +

P_{0.55}^{90} (X = 42)

= 0.069356953742719 ≈ 0.0694
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.55,42))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 44 und p = 0.9
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 44 und p = 0.9 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 44 ⋅ 0.9 = 39.6

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{44 ⋅ 0.9 ⋅ 0.1}$ = $\sqrt{3.96}$ ≈ 1.99

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.