Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 27 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 46 | 0.908 |
| 47 | 0.8785 |
| 48 | 0.8438 |
| 49 | 0.8042 |
| 50 | 0.7601 |
| 51 | 0.7121 |
| 52 | 0.6611 |
| 53 | 0.6081 |
| 54 | 0.554 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 54 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.5⋅54) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=54:
≈ 0.554
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 40 Versuchen, mehr als 20 mal und höchstens 24 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.5.
=
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.5,24) - binomcdf(40,0.5,20))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?
| p | P(X≤6) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.4672 | |
| 0.7256 | |
| 0.8614 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.85 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 6 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 6=⋅11 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
7 sein.
Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 91 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 91).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 60% höchstens 70 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.71 | 0.9158 |
| 0.72 | 0.879 |
| 0.73 | 0.8314 |
| 0.74 | 0.7724 |
| 0.75 | 0.7019 |
| 0.76 | 0.6215 |
| 0.77 | 0.5337 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.6 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(91,X,70) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 67 Versuchen mehr als 32 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.55.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(67,0.55,32))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 20 und p = 0.45
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 20 und p = 0.45 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 20 ⋅ 0.45 = 9
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 2.22
