Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 60% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 33 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
810.5121
820.4761
830.4406
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: P0.4n (X33) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.4n (X33) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.4n (X33) = 1 - P0.4n (X32) ≥ 0.5 |+ P0.4n (X32) - 0.5

0.5 ≥ P0.4n (X32) oder P0.4n (X32) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 33 0.4 ≈ 83 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.4⋅83) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=83:
P0.4n (X32) ≈ 0.4406 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=82 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 82 sein, damit P0.4n (X32) ≤ 0.5 oder eben P0.4n (X33) ≥ 0.5 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 87 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 mal, aber weniger als 16 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p= 1 6 .

P 1 6 87 (9X15) =

...
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
...

P 1 6 87 (X15) - P 1 6 87 (X8) ≈ 0.6243 - 0.0353 ≈ 0.589
(TI-Befehl: binomcdf(87, 1 6 ,15) - binomcdf(87, 1 6 ,8))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 6er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9844
1 3 0.9122
1 4 0.822
1 5 0.7379
1 6 0.6651
1 7 0.6034
1 8 0.5512
1 9 0.5067
1 10 0.4686
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=6 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp6 (X1) = 1- Pp6 (X0) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp6 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 6 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 90 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 90)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 50% mindestens 46 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥46)=1-P(X≤45)
......
0.460.1928
0.470.2493
0.480.3135
0.490.3838
0.50.4581
0.510.5339
......

Es muss gelten: Pp90 (X46) =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp90 (X45) =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(90,X,45) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.51 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 88% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 47 Versuchen mindestens 39 und weniger als 43 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p=0.88.

P0.8847 (39X42) =

...
36
37
38
39
40
41
42
43
44
...

P0.8847 (X42) - P0.8847 (X38) ≈ 0.6796 - 0.1041 ≈ 0.5755
(TI-Befehl: binomcdf(47,0.88,42) - binomcdf(47,0.88,38))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 82 und p = 0.3
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 82 und p = 0.3 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 82 ⋅ 0.3 = 24.6

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 82 ⋅ 0.3 ⋅ 0.7 = 17.22 4.15