Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 70%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 22 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
27	0.9409
28	0.8872
29	0.812
30	0.7186
31	0.6135
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.7}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.7⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.6135 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 35 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 19 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.5.

P_{0.5}^{35} (X = 19)

=

(\begin{matrix} 35 \\ 19 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{19} \cdot {0.5}^{16}

=0.11815948382718≈ 0.1182
(TI-Befehl: binompdf(35,0.5,19))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 14 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{4}$	0.5213
$\frac{1}{5}$	0.6982
$\frac{1}{6}$	0.8063
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{14}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{14}$ ⋅14 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{14}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 87 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 61 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.59	0.9879
0.6	0.9806
0.61	0.9698
0.62	0.9545
0.63	0.9332
0.64	0.9047
0.65	0.8678
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{87} (X \leq 61)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(87,X,61) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.64 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 36 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 16 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=36 und p=0.5.

P_{0.5}^{36} (X \leq 16)

=

P_{0.5}^{36} (X = 0)

+

P_{0.5}^{36} (X = 1)

+

P_{0.5}^{36} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{36} (X = 16)

= 0.30885965851485 ≈ 0.3089
(TI-Befehl: binomcdf(36,0.5,16))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 75 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=75⋅0.7 = 52.5

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 52.5, also 0.85⋅ 52.5 = 44.625 und 115% von 52.5, also 1.15⋅ 52.5 = 60.375

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 52.5 entfernt sein darf als 44.625 bzw. 60.375, muss sie also zwischen 45 und 60 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.7.

$P_{0.7}^{75} (45 \leq X \leq 60)$ =

...

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

...

P_{0.7}^{75} (X \leq 60)

-

P_{0.7}^{75} (X \leq 44)

≈ 0.9813 - 0.0242 ≈ 0.9571
(TI-Befehl: binomcdf(75,0.7,60) - binomcdf(75,0.7,44))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert