Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 30 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
35	0.8565
36	0.7536
37	0.6302
38	0.4997
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.8}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.8⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.4997 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,93. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 88 Versuchen mindestens 74 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=0.93.

...

71

72

73

74

75

76

...

P_{0.93}^{88} (X \geq 74)

= 1 -

P_{0.93}^{88} (X \leq 73)

= 0.9989
(TI-Befehl: 1-binomcdf(88,0.93,73))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9922
$\frac{1}{3}$	0.9415
$\frac{1}{4}$	0.8665
$\frac{1}{5}$	0.7903
$\frac{1}{6}$	0.7209
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{7} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{5}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 5 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 91 Ausspielungen nicht öfters als 58 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.52	0.9946
0.53	0.9909
0.54	0.9851
0.55	0.9763
0.56	0.9634
0.57	0.9453
0.58	0.9207
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{91} (X \leq 58)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(91,X,58) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 33 Versuchen weniger als 27 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p=0.9.

P_{0.9}^{33} (X < 27)

=

P_{0.9}^{33} (X \leq 26)

=

P_{0.9}^{33} (X = 0)

+

P_{0.9}^{33} (X = 1)

+

P_{0.9}^{33} (X = 2)

+... +

P_{0.9}^{33} (X = 26)

= 0.041703847837826 ≈ 0.0417
(TI-Befehl: binomcdf(33,0.9,26))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 31 und p = 0.9
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 31 und p = 0.9 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 31 ⋅ 0.9 = 27.9

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{31 ⋅ 0.9 ⋅ 0.1}$ = $\sqrt{2.79}$ ≈ 1.67

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.