Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% nicht mehr als 31 6er zu würfeln?

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nP(X≤k)
......
1530.901
1540.8943
1550.8872
1560.8798
1570.8721
1580.8641
1590.8559
1600.8473
1610.8385
1620.8294
1630.82
1640.8103
1650.8003
1660.7901
1670.7797
1680.769
1690.7581
1700.7469
1710.7355
1720.724
1730.7122
1740.7003
1750.6881
1760.6759
1770.6635
1780.6509
1790.6383
1800.6255
1810.6127
1820.5998
1830.5868
1840.5738
1850.5608
1860.5478
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X31) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 31 1 6 ≈ 186 Versuchen auch ungefähr 31 (≈ 1 6 ⋅186) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=186:
P 1 6 n (X31) ≈ 0.5478 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=153 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,75 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 52 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 42 und höchstens 43 beträgt?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.75.

P0.7552 (42X43) =

...
39
40
41
42
43
44
45
...

P0.7552 (X43) - P0.7552 (X41) ≈ 0.9303 - 0.7854 ≈ 0.1449
(TI-Befehl: binomcdf(52,0.75,43) - binomcdf(52,0.75,41))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 60 Durchgänge reichen?

Lösung einblenden
pP(X≤9)
......
1 6 0.4464
1 7 0.6484
1 8 0.7884
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp60 (X9) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp60 (X9) ('höchstens 9 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 9 60 . Mit diesem p wäre ja 9= 9 60 ⋅60 der Erwartungswert und somit Pp60 (X9) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 9 60 mit 1 9 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 6 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 8 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 52 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 44 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≥44)=1-P(X≤43)
......
0.850.6231
0.860.6998
0.870.7712
0.880.8344
0.890.8874
0.90.9288
......

Es muss gelten: Pp52 (X44) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp52 (X43) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(52,X,43) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 29 Versuchen mindestens 26 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.9.

...
23
24
25
26
27
28

P0.929 (X26) = 1 - P0.929 (X25) = 0.671
(TI-Befehl: 1-binomcdf(29,0.9,25))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 58 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=58⋅0.6 = 34.8

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 34.8, also 0.9⋅ 34.8 = 31.32 und 110% von 34.8, also 1.1⋅ 34.8 = 38.28

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 34.8 entfernt sein darf als 31.32 bzw. 38.28, muss sie also zwischen 32 und 38 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.6.

P0.658 (32X38) =

...
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
...

P0.658 (X38) - P0.658 (X31) ≈ 0.8393 - 0.1877 ≈ 0.6516
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.6,38) - binomcdf(58,0.6,31))