Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 32 oder mehr 6er zu erzielen?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 212 | 0.2432 |
| 213 | 0.2339 |
| 214 | 0.2249 |
| 215 | 0.2161 |
| 216 | 0.2075 |
| 217 | 0.1992 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.8 |+ - 0.8
0.2 ≥ oder ≤ 0.2
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 192 Versuchen auch ungefähr 32
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=192:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=217 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.
n muss also mindestens 217 sein, damit
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 77 Versuchen mindestens 56 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=77 und p=0.75.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(77,0.75,55))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
| p | P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9992 | |
| 0.9955 | |
| 0.9845 | |
| 0.9626 | |
| 0.9281 | |
| 0.8818 | |
| 0.8264 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus,
wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 9 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 44 Freiwürfen mindestens 22 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥22)=1-P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.46 | 0.3505 |
| 0.47 | 0.4013 |
| 0.48 | 0.4536 |
| 0.49 | 0.5068 |
| 0.5 | 0.5598 |
| 0.51 | 0.6118 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
oder eben: 1-
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(44,X,21) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.51 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 29 Versuchen mehr als 20 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.8.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(29,0.8,20))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 51 und p = 0.9
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 51 und p = 0.9 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 51 ⋅ 0.9 = 45.9
Standardabweichung S(X) =
