Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 29 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
1930.2428
1940.2331
1950.2237
1960.2145
1970.2056
1980.1969
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X29) ≥ 0.8

Weil man ja aber P 1 6 n (X29) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X29) = 1 - P 1 6 n (X28) ≥ 0.8 |+ P 1 6 n (X28) - 0.8

0.2 ≥ P 1 6 n (X28) oder P 1 6 n (X28) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 29 1 6 ≈ 174 Versuchen auch ungefähr 29 (≈ 1 6 ⋅174) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=174:
P 1 6 n (X28) ≈ 0.4685 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=198 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 198 sein, damit P 1 6 n (X28) ≤ 0.2 oder eben P 1 6 n (X29) ≥ 0.8 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 4 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 42 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p= 1 8 .

P 1 8 42 (X4) = P 1 8 42 (X=0) + P 1 8 42 (X=1) + P 1 8 42 (X=2) +... + P 1 8 42 (X=4) = 0.38380829808778 ≈ 0.3838
(TI-Befehl: binomcdf(42,1/8,4))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 16 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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pP(X≤3)
......
1 5 0.5981
1 6 0.7291
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp16 (X3) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp16 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 16 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 16 ⋅16 der Erwartungswert und somit Pp16 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 16 mit 1 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 5 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 92 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 23 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≥23)=1-P(X≤22)
......
0.260.6256
0.270.7042
0.280.7732
0.290.8313
0.30.8783
0.310.9149
......

Es muss gelten: Pp92 (X23) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp92 (X22) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(92,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 31 Versuchen weniger als 27 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=31 und p=0.95.

P0.9531 (X<27) = P0.9531 (X26) = P0.9531 (X=0) + P0.9531 (X=1) + P0.9531 (X=2) +... + P0.9531 (X=26) = 0.017892312687544 ≈ 0.0179
(TI-Befehl: binomcdf(31,0.95,26))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 95 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=95⋅ 1 6 = 15.833333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 15.833, also 0.8⋅ 15.833 = 12.667 und 120% von 15.833333333333, also 1.2⋅ 15.833 = 19

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 15.833333333333 entfernt sein darf als 12.667 bzw. 19, muss sie also zwischen 13 und 19 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p= 1 6 .

P 1 6 95 (13X19) =

...
10
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12
13
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16
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18
19
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21
...

P 1 6 95 (X19) - P 1 6 95 (X12) ≈ 0.8438 - 0.1805 ≈ 0.6633
(TI-Befehl: binomcdf(95, 1 6 ,19) - binomcdf(95, 1 6 ,12))