Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 27 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
176	0.6008
177	0.5884
178	0.576
179	0.5636
180	0.5511
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.15}$ ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.15⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.5511 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=176 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 46 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 7 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.25.

P_{0.25}^{46} (X \leq 7)

=

P_{0.25}^{46} (X = 0)

+

P_{0.25}^{46} (X = 1)

+

P_{0.25}^{46} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{46} (X = 7)

= 0.081746356872775 ≈ 0.0817
(TI-Befehl: binomcdf(46,0.25,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 80 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 80 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{10}$	0.5927
$\frac{1}{11}$	0.6978
$\frac{1}{12}$	0.7788
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=80 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{80} (X \leq 8)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{80} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 80 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{80}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{80}$ ⋅80 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{80} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{80}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 95 Freiwürfen mindestens 24 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥24)=1-P(X≤23)
...	...
0.26	0.6037
0.27	0.6855
0.28	0.7579
0.29	0.8194
0.3	0.8695
0.31	0.9086
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{95} (X \geq 24)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{95} (X \leq 23)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(95,X,23) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 79 Versuchen genau 45 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.6.

P_{0.6}^{79} (X = 45)

=

(\begin{matrix} 79 \\ 45 \end{matrix}) \cdot {0.6}^{45} \cdot {0.4}^{34}

=0.077715427942817≈ 0.0777
(TI-Befehl: binompdf(79,0.6,45))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=65%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 65 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=65⋅0.65 = 42.25

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 42.25, also 0.8⋅ 42.25 = 33.8 und 120% von 42.25, also 1.2⋅ 42.25 = 50.7

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 42.25 entfernt sein darf als 33.8 bzw. 50.7, muss sie also zwischen 34 und 50 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.65.

$P_{0.65}^{65} (34 \leq X \leq 50)$ =

...

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

...

P_{0.65}^{65} (X \leq 50)

-

P_{0.65}^{65} (X \leq 33)

≈ 0.9864 - 0.0127 ≈ 0.9737
(TI-Befehl: binomcdf(65,0.65,50) - binomcdf(65,0.65,33))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert