Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 37 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
45	0.7025
46	0.5879
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.8}$ ≈ 46 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.8⋅46) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=46:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.5879 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 5 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 57 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{57} (X \leq 5)

=

P_{\frac{1}{8}}^{57} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{57} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{57} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{57} (X = 5)

= 0.26754062211042 ≈ 0.2675
(TI-Befehl: binomcdf(57,1/8,5))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 12 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 12 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{2}{8}$	0.6488
$\frac{2}{9}$	0.7325
$\frac{2}{10}$	0.7946
$\frac{2}{11}$	0.8405
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{12}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{12}$ ⋅12 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{12}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 11 sein.

Also werden noch 9 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 61 Freiwürfen mindestens 43 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥43)=1-P(X≤42)
...	...
0.72	0.6635
0.73	0.7256
0.74	0.7823
0.75	0.8324
0.76	0.875
0.77	0.9101
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{61} (X \geq 43)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{61} (X \leq 42)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(61,X,42) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,76. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 85 Versuchen mindestens 60 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.76.

...

57

58

59

60

61

62

...

P_{0.76}^{85} (X \geq 60)

= 1 -

P_{0.76}^{85} (X \leq 59)

= 0.9002
(TI-Befehl: 1-binomcdf(85,0.76,59))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 67 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 67⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 11.17,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{67\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.05

14.22 (11.17 + 3.05) und 8.12 (11.17 - 3.05) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.17 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{67} (9 \leq X \leq 14)$ =

...

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{\frac{1}{6}}^{67} (X \leq 14)

-

P_{\frac{1}{6}}^{67} (X \leq 8)

≈ 0.8618 - 0.1933 ≈ 0.6685
(TI-Befehl: binomcdf(67, $\frac{1}{6}$ ,14) - binomcdf(67, $\frac{1}{6}$ ,8))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ