Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 30 oder mehr 6er zu erzielen?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 214 | 0.1276 |
| 215 | 0.1215 |
| 216 | 0.1157 |
| 217 | 0.1102 |
| 218 | 0.1048 |
| 219 | 0.0996 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.9 |+ - 0.9
0.1 ≥ oder ≤ 0.1
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 30
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=219 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.
n muss also mindestens 219 sein, damit
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Würfel wird 31 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=31 und p=
(TI-Befehl: binompdf(31,1/6,7))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 95 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 95 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤7) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5512 | |
| 0.6319 | |
| 0.7004 | |
| 0.7573 | |
| 0.804 | |
| 0.8418 | |
| 0.8723 | |
| 0.8968 | |
| 0.9165 | |
| 0.9322 | |
| 0.9449 | |
| 0.955 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=95 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
24 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 74 Ausspielungen nicht öfters als 60 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.7 | 0.9891 |
| 0.71 | 0.9827 |
| 0.72 | 0.9732 |
| 0.73 | 0.9594 |
| 0.74 | 0.9401 |
| 0.75 | 0.9138 |
| 0.76 | 0.8789 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(74,X,60) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.75 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 63 Versuchen genau 49 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.75.
(TI-Befehl: binompdf(63,0.75,49))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 92 und p = 0.75
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 92 und p = 0.75 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 92 ⋅ 0.75 = 69
Standardabweichung S(X) =
