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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,9. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 29 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
31	0.8304
32	0.6333
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.9}$ ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.9⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.6333 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 52 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 40 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.7.

P_{0.7}^{52} (X = 40)

=

(\begin{matrix} 52 \\ 40 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{40} \cdot {0.3}^{12}

=0.069830156791093≈ 0.0698
(TI-Befehl: binompdf(52,0.7,40))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{3}{19}$	0.6478
$\frac{3}{20}$	0.6841
$\frac{3}{21}$	0.7165
$\frac{3}{22}$	0.7452
$\frac{3}{23}$	0.7707
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{19}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{19}$ ⋅19 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{19}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{19}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{23}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 23 sein.

Also werden noch 20 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 100 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 100)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 90% mindestens 49 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥49)=1-P(X≤48)
...	...
0.5	0.6178
0.51	0.6916
0.52	0.7583
0.53	0.8164
0.54	0.865
0.55	0.904
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{100} (X \geq 49)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{100} (X \leq 48)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(100,X,48) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.55 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 69 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 16, aber weniger als 25 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.25.

$P_{0.25}^{69} (16 \leq X \leq 24)$ =

...

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

...

P_{0.25}^{69} (X \leq 24)

-

P_{0.25}^{69} (X \leq 15)

≈ 0.9749 - 0.3199 ≈ 0.655
(TI-Befehl: binomcdf(69,0.25,24) - binomcdf(69,0.25,15))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 61 und p = 0.65
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 61 und p = 0.65 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 61 ⋅ 0.65 = 39.65

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{61 ⋅ 0.65 ⋅ 0.35}$ = $\sqrt{13.8775}$ ≈ 3.73

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.