Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 16% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 24-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 50% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
29	0.5047
30	0.3453
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.84 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.84}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 84% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.84}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.84⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.84}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5047 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 96 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 57 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.5.

P_{0.5}^{96} (X = 57)

=

(\begin{matrix} 96 \\ 57 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{57} \cdot {0.5}^{39}

=0.015141273204052≈ 0.0151
(TI-Befehl: binompdf(96,0.5,57))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{3}{6}$	0.9997
$\frac{4}{7}$	0.9971
$\frac{5}{8}$	0.987
$\frac{6}{9}$	0.9642
$\frac{7}{10}$	0.9267
$\frac{8}{11}$	0.8759
$\frac{9}{12}$	0.8156
$\frac{10}{13}$	0.75
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 21)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{6}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{9}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 21 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 89 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.13	0.998
0.14	0.9951
0.15	0.989
0.16	0.9778
0.17	0.9592
0.18	0.9307
0.19	0.8903
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{89} (X \leq 21)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(89,X,21) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.18 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,24 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 70 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 24 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.24.

P_{0.24}^{70} (X \leq 24)

=

P_{0.24}^{70} (X = 0)

+

P_{0.24}^{70} (X = 1)

+

P_{0.24}^{70} (X = 2)

+... +

P_{0.24}^{70} (X = 24)

= 0.98146342305108 ≈ 0.9815
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.24,24))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 38 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 38 und p = 0.4 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 38 ⋅ 0.4 = 15.2

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{38 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6}$ = $\sqrt{9.12}$ ≈ 3.02

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.