Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,55. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 34 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
54	0.9062
55	0.8757
56	0.8398
57	0.7987
58	0.7528
59	0.7029
60	0.6499
61	0.5949
62	0.5389
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.55}$ ≈ 62 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.55⋅62) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=62:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5389 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 94 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 30, aber höchstens 36 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.35.

$P_{0.35}^{94} (30 \leq X \leq 36)$ =

...

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

...

P_{0.35}^{94} (X \leq 36)

-

P_{0.35}^{94} (X \leq 29)

≈ 0.7831 - 0.2327 ≈ 0.5504
(TI-Befehl: binomcdf(94,0.35,36) - binomcdf(94,0.35,29))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 50 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 50 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{1}{8}$	0.5637
$\frac{1}{9}$	0.6817
$\frac{1}{10}$	0.7702
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{50} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{50} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{50}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{50}$ ⋅50 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{50} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{50}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 34 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 56 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥k)=1-P(X≤k-1)
...	...
0.48	0.9794
0.49	0.9708
0.5	0.9593
0.51	0.9444
0.52	0.9255
0.53	0.9021
0.54	0.8736
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{56} (X \leq 34)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(56,X,34) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 13 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 70 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{70} (X \leq 13)

=

P_{\frac{1}{8}}^{70} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{70} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{70} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{70} (X = 13)

= 0.95044368391058 ≈ 0.9504
(TI-Befehl: binomcdf(70,1/8,13))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 82 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=82⋅0.6 = 49.2

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 49.2, also 0.8⋅ 49.2 = 39.36 und 120% von 49.2, also 1.2⋅ 49.2 = 59.04

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 49.2 entfernt sein darf als 39.36 bzw. 59.04, muss sie also zwischen 40 und 59 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.6.

$P_{0.6}^{82} (40 \leq X \leq 59)$ =

...

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

...

P_{0.6}^{82} (X \leq 59)

-

P_{0.6}^{82} (X \leq 39)

≈ 0.9911 - 0.0151 ≈ 0.976
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.6,59) - binomcdf(82,0.6,39))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert