Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,4. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 24 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
630.3337
640.2983
650.2652
660.2345
670.2061
680.1803
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: P0.4n (X24) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.4n (X24) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.4n (X24) = 1 - P0.4n (X23) ≥ 0.8 |+ P0.4n (X23) - 0.8

0.2 ≥ P0.4n (X23) oder P0.4n (X23) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 24 0.4 ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.4⋅60) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
P0.4n (X23) ≈ 0.4511 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 68 sein, damit P0.4n (X23) ≤ 0.2 oder eben P0.4n (X24) ≥ 0.8 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 50 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p= 1 8 .

P 1 8 50 (X=3) = ( 50 3 ) ( 1 8 )3 ( 7 8 )47 =0.07200532292582≈ 0.072
(TI-Befehl: binompdf(50,1/8,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9961
1 3 0.961
1 4 0.8999
1 5 0.8322
1 6 0.7674
1 7 0.7086
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp8 (X1) = 1- Pp8 (X0) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp8 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 95 Wiederholungen 91 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?

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pP(X≥91)=1-P(X≤90)
......
0.930.1973
0.940.3195
0.950.4819
0.960.6687
0.970.8426
0.980.9576
......

Es muss gelten: Pp95 (X91) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp95 (X90) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(95,X,90) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.98 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 68 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 54 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.8.

P0.868 (X=54) = ( 68 54 ) 0.854 0.214 =0.11803499014158≈ 0.118
(TI-Befehl: binompdf(68,0.8,54))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 98 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=98⋅0.75 = 73.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 73.5, also 0.8⋅ 73.5 = 58.8 und 120% von 73.5, also 1.2⋅ 73.5 = 88.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 73.5 entfernt sein darf als 58.8 bzw. 88.2, muss sie also zwischen 59 und 88 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.75.

P0.7598 (59X88) =

...
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
...

P0.7598 (X88) - P0.7598 (X58) ≈ 0.9999 - 0.0004 ≈ 0.9995
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.75,88) - binomcdf(98,0.75,58))