Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 22 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
34	0.55
35	0.4577
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.65}$ ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.65⋅34) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
$P_{0.65}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.55 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 75 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 9 mal, aber weniger als 18 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{75} (10 \leq X \leq 17)$ =

...

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X \leq 9)

≈ 0.9346 - 0.1773 ≈ 0.7573
(TI-Befehl: binomcdf(75, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(75, $\frac{1}{6}$ ,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 55 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{6}$	0.5637
$\frac{1}{7}$	0.7456
$\frac{1}{8}$	0.8572
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{55} (X \leq 9)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{55} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{55}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{55}$ ⋅55 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{55} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{55}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 8 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 56 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 56).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 70% höchstens 37 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥k)=1-P(X≤k-1)
...	...
0.58	0.9142
0.59	0.8881
0.6	0.8566
0.61	0.8194
0.62	0.7764
0.63	0.7278
0.64	0.6741
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{56} (X \leq 37)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(56,X,37) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.63 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 35 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{35} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 35 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{1} \cdot {(\frac{7}{8})}^{34}

=0.046693008827396≈ 0.0467
(TI-Befehl: binompdf(35,1/8,1))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 40 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 40⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 6.67,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{40\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 2.36

9.02 (6.67 + 2.36) und 4.31 (6.67 - 2.36) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 6.67 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 5 und 9 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 5 und 9 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{40} (5 \leq X \leq 9)$ =

...

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

...

P_{\frac{1}{6}}^{40} (X \leq 9)

-

P_{\frac{1}{6}}^{40} (X \leq 4)

≈ 0.8826 - 0.1806 ≈ 0.702
(TI-Befehl: binomcdf(40, $\frac{1}{6}$ ,9) - binomcdf(40, $\frac{1}{6}$ ,4))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ