Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,85. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 35 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
40	0.7367
41	0.5929
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.85}$ ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.85⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5929 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 34 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=34 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 34 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{31}

=0.097256627603376≈ 0.0973
(TI-Befehl: binompdf(34,1/6,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9998
$\frac{1}{3}$	0.9923
$\frac{1}{4}$	0.9683
$\frac{1}{5}$	0.9313
$\frac{1}{6}$	0.8878
$\frac{1}{7}$	0.8427
$\frac{1}{8}$	0.7986
$\frac{1}{9}$	0.7567
$\frac{1}{10}$	0.7176
$\frac{1}{11}$	0.6814
$\frac{1}{12}$	0.648
$\frac{1}{13}$	0.6173
$\frac{1}{14}$	0.5891
$\frac{1}{15}$	0.563
$\frac{1}{16}$	0.539
$\frac{1}{17}$	0.5169
$\frac{1}{18}$	0.4964
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 17 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 51 Freiwürfen mindestens 26 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥26)=1-P(X≤25)
...	...
0.51	0.5571
0.52	0.613
0.53	0.6668
0.54	0.7174
0.55	0.7641
0.56	0.8063
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{51} (X \geq 26)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{51} (X \leq 25)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(51,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 34 Versuchen mindestens 12 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=34 und p=0.4.

...

9

10

11

12

13

14

...

P_{0.4}^{34} (X \geq 12)

= 1 -

P_{0.4}^{34} (X \leq 11)

= 0.7669
(TI-Befehl: 1-binomcdf(34,0.4,11))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 78 und p = 0.05
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 78 und p = 0.05 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 78 ⋅ 0.05 = 3.9

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{78 ⋅ 0.05 ⋅ 0.95}$ = $\sqrt{3.705}$ ≈ 1.92

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Erwartungswert, Standardabweichung best.