Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,3. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 32 dieser Fehler begeht?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 89 | 0.9084 |
| 90 | 0.8957 |
| 91 | 0.8818 |
| 92 | 0.8669 |
| 93 | 0.8509 |
| 94 | 0.8337 |
| 95 | 0.8156 |
| 96 | 0.7964 |
| 97 | 0.7762 |
| 98 | 0.7552 |
| 99 | 0.7333 |
| 100 | 0.7107 |
| 101 | 0.6874 |
| 102 | 0.6636 |
| 103 | 0.6392 |
| 104 | 0.6145 |
| 105 | 0.5895 |
| 106 | 0.5644 |
| 107 | 0.5392 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 107 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.3⋅107) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=107:
≈ 0.5392
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=89 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 55%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 89 Versuchen nicht mehr als 49 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.55.
= + + +... + = 0.54520478913613 ≈ 0.5452(TI-Befehl: binomcdf(89,0.55,49))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
| p | P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9997 | |
| 0.9959 | |
| 0.9801 | |
| 0.943 | |
| 0.8819 | |
| 0.8014 | |
| 0.71 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 21 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 8 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 41 Freiwürfen mindestens 23 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥23)=1-P(X≤22) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.52 | 0.3103 |
| 0.53 | 0.357 |
| 0.54 | 0.4061 |
| 0.55 | 0.4568 |
| 0.56 | 0.5084 |
| 0.57 | 0.5599 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.6 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.6 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(41,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Eine Münze wird 23 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 12 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=0.5.
= = + + +... + = 0.5 ≈ 0.5(TI-Befehl: binomcdf(23,0.5,11))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=55%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 44 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=44⋅0.55 = 24.2
Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 24.2, also 0.9⋅ 24.2 = 21.78 und 110% von 24.2, also 1.1⋅ 24.2 = 26.62
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 24.2 entfernt sein darf als 21.78 bzw. 26.62, muss sie also zwischen 22 und 26 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.55.
=
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.55,26) - binomcdf(44,0.55,21))
