Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% 24 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
1440.4653
1450.4506
1460.4361
1470.4217
1480.4075
1490.3935
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X24) ≥ 0.6

Weil man ja aber P 1 6 n (X24) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X24) = 1 - P 1 6 n (X23) ≥ 0.6 |+ P 1 6 n (X23) - 0.6

0.4 ≥ P 1 6 n (X23) oder P 1 6 n (X23) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 24 1 6 ≈ 144 Versuchen auch ungefähr 24 (≈ 1 6 ⋅144) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=144:
P 1 6 n (X23) ≈ 0.4653 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=149 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 149 sein, damit P 1 6 n (X23) ≤ 0.4 oder eben P 1 6 n (X24) ≥ 0.6 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 86 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 22 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p= 1 6 .

P 1 6 86 (X<22) = P 1 6 86 (X21) = P 1 6 86 (X=0) + P 1 6 86 (X=1) + P 1 6 86 (X=2) +... + P 1 6 86 (X=21) = 0.97666437108878 ≈ 0.9767
(TI-Befehl: binomcdf(86,1/6,21))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
4 8 0.9981
5 9 0.9899
6 10 0.9685
7 11 0.9297
8 12 0.8738
9 13 0.8048
10 14 0.7282
11 15 0.6493
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp28 (X21) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp28 (X21) ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 4 8 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 10 14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 52 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 52)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 90% mindestens 45 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥45)=1-P(X≤44)
......
0.860.5541
0.870.6372
0.880.7177
0.890.7917
0.90.8559
0.910.9078
......

Es muss gelten: Pp52 (X45) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp52 (X44) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(52,X,44) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.91 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 38 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 19 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=38 und p=0.5.

P0.538 (X19) = P0.538 (X=0) + P0.538 (X=1) + P0.538 (X=2) +... + P0.538 (X=19) = 0.56429266031773 ≈ 0.5643
(TI-Befehl: binomcdf(38,0.5,19))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 62 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=62⋅0.7 = 43.4

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 43.4, also 0.85⋅ 43.4 = 36.89 und 115% von 43.4, also 1.15⋅ 43.4 = 49.91

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 43.4 entfernt sein darf als 36.89 bzw. 49.91, muss sie also zwischen 37 und 49 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.7.

P0.762 (37X49) =

...
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
...

P0.762 (X49) - P0.762 (X36) ≈ 0.9586 - 0.0305 ≈ 0.9281
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.7,49) - binomcdf(62,0.7,36))