Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% nicht mehr als 21 6er zu würfeln?

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nP(X≤k)
......
1160.712
1170.6973
1180.6824
1190.6673
1200.652
1210.6366
1220.621
1230.6053
1240.5896
1250.5738
1260.5579
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X21) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 21 1 6 ≈ 126 Versuchen auch ungefähr 21 (≈ 1 6 ⋅126) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=126:
P 1 6 n (X21) ≈ 0.5579 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=116 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 43 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 21 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.5.

P0.543 (X<21) = P0.543 (X20) = P0.543 (X=0) + P0.543 (X=1) + P0.543 (X=2) +... + P0.543 (X=20) = 0.38039582128067 ≈ 0.3804
(TI-Befehl: binomcdf(43,0.5,20))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 12 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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pP(X≤2)
......
1 6 0.6774
1 7 0.7601
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp12 (X2) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp12 (X2) ('höchstens 2 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 2 12 . Mit diesem p wäre ja 2= 2 12 ⋅12 der Erwartungswert und somit Pp12 (X2) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 2 12 mit 1 2 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 6 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 68 Freiwürfen mindestens 52 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥52)=1-P(X≤51)
......
0.720.2499
0.730.3114
0.740.3799
0.750.4536
0.760.5302
0.770.6072
......

Es muss gelten: Pp68 (X52) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp68 (X51) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(68,X,51) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 100 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 35 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.25.

...
32
33
34
35
36
37
...

P0.25100 (X35) = 1 - P0.25100 (X34) = 0.0164
(TI-Befehl: 1-binomcdf(100,0.25,34))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 49 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 49⋅ 1 6 ≈ 8.17,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 49 1 6 5 6 ≈ 2.61

10.78 (8.17 + 2.61) und 5.56 (8.17 - 2.61) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 8.17 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 10 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 10 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p= 1 6 .

P 1 6 49 (6X10) =

...
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
...

P 1 6 49 (X10) - P 1 6 49 (X5) ≈ 0.8171 - 0.1522 ≈ 0.6649
(TI-Befehl: binomcdf(49, 1 6 ,10) - binomcdf(49, 1 6 ,5))