Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,01. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 70% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
30	0.7397
31	0.7323
32	0.725
33	0.7177
34	0.7106
35	0.7034
36	0.6964
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.01 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.01}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.01}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.01⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.01}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 52 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 27 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.5.

P_{0.5}^{52} (X < 27)

=

P_{0.5}^{52} (X \leq 26)

=

P_{0.5}^{52} (X = 0)

+

P_{0.5}^{52} (X = 1)

+

P_{0.5}^{52} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{52} (X = 26)

= 0.55505801736173 ≈ 0.5551
(TI-Befehl: binomcdf(52,0.5,26))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9375
$\frac{1}{3}$	0.7366
$\frac{1}{4}$	0.5551
$\frac{1}{5}$	0.4233
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{7} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{7} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{7} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 58 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 51 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥51)=1-P(X≤50)
...	...
0.87	0.5133
0.88	0.6053
0.89	0.6958
0.9	0.7797
0.91	0.8524
0.92	0.9102
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{58} (X \geq 51)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{58} (X \leq 50)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(58,X,50) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.92 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 99 Versuchen höchstens 30 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.25.

P_{0.25}^{99} (X \leq 30)

=

P_{0.25}^{99} (X = 0)

+

P_{0.25}^{99} (X = 1)

+

P_{0.25}^{99} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{99} (X = 30)

= 0.90688864948636 ≈ 0.9069
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.25,30))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 59 und p = 0.35
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 59 und p = 0.35 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 59 ⋅ 0.35 = 20.65

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{59 ⋅ 0.35 ⋅ 0.65}$ = $\sqrt{13.4225}$ ≈ 3.66

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.