Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 27 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
46	0.908
47	0.8785
48	0.8438
49	0.8042
50	0.7601
51	0.7121
52	0.6611
53	0.6081
54	0.554
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.5}$ ≈ 54 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.5⋅54) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=54:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.554 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 40 Versuchen, mehr als 20 mal und höchstens 24 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.5.

$P_{0.5}^{40} (21 \leq X \leq 24)$ =

...

18

19

20

21

22

23

24

25

26

...

P_{0.5}^{40} (X \leq 24)

-

P_{0.5}^{40} (X \leq 20)

≈ 0.9231 - 0.5627 ≈ 0.3604
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.5,24) - binomcdf(40,0.5,20))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{5}$	0.4672
$\frac{3}{6}$	0.7256
$\frac{3}{7}$	0.8614
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{11}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{11}$ ⋅11 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{11}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 7 sein.

Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 91 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 91).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 60% höchstens 70 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.71	0.9158
0.72	0.879
0.73	0.8314
0.74	0.7724
0.75	0.7019
0.76	0.6215
0.77	0.5337
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{91} (X \leq 70)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(91,X,70) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 67 Versuchen mehr als 32 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.55.

...

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.55}^{67} (X > 32)

=

P_{0.55}^{67} (X \geq 33)

= 1 -

P_{0.55}^{67} (X \leq 32)

= 0.8572
(TI-Befehl: 1-binomcdf(67,0.55,32))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 20 und p = 0.45
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 20 und p = 0.45 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 20 ⋅ 0.45 = 9

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{20 ⋅ 0.45 ⋅ 0.55}$ = $\sqrt{4.95}$ ≈ 2.22

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Erwartungswert, Standardabweichung best.