Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 23 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
35	0.9271
36	0.8933
37	0.8512
38	0.8011
39	0.7441
40	0.6815
41	0.6152
42	0.5472
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.55}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.55⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.5472 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 45% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 81 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 33 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.45.

P_{0.45}^{81} (X = 33)

=

(\begin{matrix} 81 \\ 33 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{33} \cdot {0.55}^{48}

=0.066686867339642≈ 0.0667
(TI-Befehl: binompdf(81,0.45,33))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 85 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 85 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{12}$	0.5858
$\frac{1}{13}$	0.67
$\frac{1}{14}$	0.739
$\frac{1}{15}$	0.7945
$\frac{1}{16}$	0.8385
$\frac{1}{17}$	0.873
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 7)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{85} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{85}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{85}$ ⋅85 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{85} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{85}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{12}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 17 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 75 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 75)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 80% mindestens 26 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥26)=1-P(X≤25)
...	...
0.34	0.4948
0.35	0.5673
0.36	0.6371
0.37	0.702
0.38	0.7607
0.39	0.8121
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{75} (X \geq 26)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{75} (X \leq 25)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(75,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 52 Versuchen mehr als 35 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.75.

...

33

34

35

36

37

38

...

P_{0.75}^{52} (X > 35)

=

P_{0.75}^{52} (X \geq 36)

= 1 -

P_{0.75}^{52} (X \leq 35)

= 0.8678
(TI-Befehl: 1-binomcdf(52,0.75,35))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=60%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 60 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 60⋅0.6 ≈ 36,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{60\cdot0.6\cdot0.4}$ ≈ 3.79

39.79 (36 + 3.79) und 32.21 (36 - 3.79) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 36 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 33 und 39 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 33 und 39 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.6.

$P_{0.6}^{60} (33 \leq X \leq 39)$ =

...

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

...

P_{0.6}^{60} (X \leq 39)

-

P_{0.6}^{60} (X \leq 32)

≈ 0.8214 - 0.1779 ≈ 0.6435
(TI-Befehl: binomcdf(60,0.6,39) - binomcdf(60,0.6,32))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ