Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 12% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 23-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 90% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
24	0.9535
25	0.8195
26	0.6186
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.88 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.88}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 88% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.88}$ ≈ 26 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.88⋅26) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=26:
$P_{0.88}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.6186 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=24 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 68 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{68} (X < 7)

=

P_{\frac{1}{6}}^{68} (X \leq 6)

=

P_{\frac{1}{6}}^{68} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{68} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{68} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{68} (X = 6)

= 0.050149407649035 ≈ 0.0501
(TI-Befehl: binomcdf(68,1/6,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 90 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 90 Durchgänge reichen?

Lösung einblenden

p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{11}$	0.5661
$\frac{1}{12}$	0.6651
$\frac{1}{13}$	0.7448
$\frac{1}{14}$	0.8069
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \leq 8)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{90}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{90}$ ⋅90 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{90} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{90}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{11}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 14 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 97 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 97).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% höchstens 67 Treffer erzielt werden?

Lösung einblenden

p	P(X≤k)
...	...
0.58	0.9905
0.59	0.9842
0.6	0.9745
0.61	0.9602
0.62	0.9399
0.63	0.9119
0.64	0.875
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{97} (X \leq 67)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(97,X,67) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.63 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 72 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 26, aber höchstens 28 Treffer zu erzielen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.3.

$P_{0.3}^{72} (26 \leq X \leq 28)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

...

P_{0.3}^{72} (X \leq 28)

-

P_{0.3}^{72} (X \leq 25)

≈ 0.9595 - 0.8421 ≈ 0.1174
(TI-Befehl: binomcdf(72,0.3,28) - binomcdf(72,0.3,25))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 90 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=90⋅0.35 = 31.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 31.5, also 0.8⋅ 31.5 = 25.2 und 120% von 31.5, also 1.2⋅ 31.5 = 37.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.5 entfernt sein darf als 25.2 bzw. 37.8, muss sie also zwischen 26 und 37 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.35.

$P_{0.35}^{90} (26 \leq X \leq 37)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

...

P_{0.35}^{90} (X \leq 37)

-

P_{0.35}^{90} (X \leq 25)

≈ 0.9064 - 0.0908 ≈ 0.8156
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.35,37) - binomcdf(90,0.35,25))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert