Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 33 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
1810.9043
1820.8986
1830.8927
1840.8866
1850.8802
1860.8736
1870.8669
1880.8599
1890.8526
1900.8452
1910.8375
1920.8297
1930.8216
1940.8133
1950.8049
1960.7962
1970.7873
1980.7783
1990.769
2000.7596
2010.7501
2020.7403
2030.7304
2040.7204
2050.7102
2060.6999
2070.6894
2080.6789
2090.6682
2100.6575
2110.6466
2120.6357
2130.6246
2140.6136
2150.6024
2160.5913
2170.58
2180.5688
2190.5575
2200.5463
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X33) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 33 0.15 ≈ 220 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.15⋅220) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=220:
P0.15n (X33) ≈ 0.5463 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=181 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 95 Versuchen nicht mehr als 69 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.7.

P0.795 (X69) = P0.795 (X=0) + P0.795 (X=1) + P0.795 (X=2) +... + P0.795 (X=69) = 0.74635390652021 ≈ 0.7464
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.7,69))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
3 10 0.608
3 11 0.7093
3 12 0.7858
3 13 0.8422
3 14 0.8833
3 15 0.9133
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp20 (X6) =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp20 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 20 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 20 ⋅20 der Erwartungswert und somit Pp20 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 20 mit 3 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 10 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 15 sein.

Also werden noch 12 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 56 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 35 erkennen und dumm anlabern?

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pP(X≤k)
......
0.490.9847
0.50.978
0.510.9689
0.520.9568
0.530.9413
0.540.9216
0.550.8973
......

Es muss gelten: Pp56 (X35) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(56,X,35) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 82 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 21 und höchstens 25 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.25.

P0.2582 (21X25) =

...
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
...

P0.2582 (X25) - P0.2582 (X20) ≈ 0.8969 - 0.5085 ≈ 0.3884
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.25,25) - binomcdf(82,0.25,20))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 85 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=85⋅0.35 = 29.75

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 29.75, also 0.8⋅ 29.75 = 23.8 und 120% von 29.75, also 1.2⋅ 29.75 = 35.7

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 29.75 entfernt sein darf als 23.8 bzw. 35.7, muss sie also zwischen 24 und 35 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.35.

P0.3585 (24X35) =

...
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
...

P0.3585 (X35) - P0.3585 (X23) ≈ 0.9033 - 0.0756 ≈ 0.8277
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.35,35) - binomcdf(85,0.35,23))