Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 40%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 36 grüne Kugeln gezogen werden?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
77	0.9068
78	0.8891
79	0.8694
80	0.8477
81	0.824
82	0.7985
83	0.7711
84	0.7421
85	0.7117
86	0.68
87	0.6473
88	0.6138
89	0.5799
90	0.5456
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.4}$ ≈ 90 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.4⋅90) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=90:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5456 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 82% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 67 Versuchen mindestens 51 und weniger als 56 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.82.

$P_{0.82}^{67} (51 \leq X \leq 55)$ =

...

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

...

P_{0.82}^{67} (X \leq 55)

-

P_{0.82}^{67} (X \leq 50)

≈ 0.5574 - 0.083 ≈ 0.4744
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.82,55) - binomcdf(67,0.82,50))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 18 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 18 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤3)
...	...
$\frac{4}{24}$	0.6479
$\frac{4}{25}$	0.6771
$\frac{4}{26}$	0.7038
$\frac{4}{27}$	0.7281
$\frac{4}{28}$	0.7501
$\frac{4}{29}$	0.7702
$\frac{4}{30}$	0.7885
$\frac{4}{31}$	0.805
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{18} (X \leq 3)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{18} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{18}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{18}$ ⋅18 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{18} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{18}$ mit $\frac{4}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{24}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{31}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 31 sein.

Also werden noch 27 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 82 Freiwürfen mindestens 33 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

Lösung einblenden

p	P(X≥33)=1-P(X≤32)
...	...
0.35	0.1888
0.36	0.2448
0.37	0.3081
0.38	0.3772
0.39	0.4499
0.4	0.5239
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{82} (X \geq 33)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{82} (X \leq 32)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(82,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 9 und höchstens 13 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 96 Glückskekse kauft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.125.

$P_{0.125}^{96} (10 \leq X \leq 13)$ =

...

7

8

9

10

11

12

13

14

15

...

P_{0.125}^{96} (X \leq 13)

-

P_{0.125}^{96} (X \leq 9)

≈ 0.689 - 0.2249 ≈ 0.4641
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.125,13) - binomcdf(96,0.125,9))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 80 und p = 0.55
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 80 und p = 0.55 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 80 ⋅ 0.55 = 44

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{80 ⋅ 0.55 ⋅ 0.45}$ = $\sqrt{19.8}$ ≈ 4.45

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.