Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
6	0.8858
7	0.8681
8	0.8508
9	0.8337
10	0.8171
11	0.8007
12	0.7847
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 60 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 12, aber weniger als 19 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.25.

$P_{0.25}^{60} (12 \leq X \leq 18)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{0.25}^{60} (X \leq 18)

-

P_{0.25}^{60} (X \leq 11)

≈ 0.8514 - 0.1476 ≈ 0.7038
(TI-Befehl: binomcdf(60,0.25,18) - binomcdf(60,0.25,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 85 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 85 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{10}$	0.5195
$\frac{1}{11}$	0.6325
$\frac{1}{12}$	0.7236
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 8)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{85} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{85}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{85}$ ⋅85 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{85} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{85}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 60 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 60)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 33 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥33)=1-P(X≤32)
...	...
0.53	0.3692
0.54	0.4292
0.55	0.4911
0.56	0.5532
0.57	0.6143
0.58	0.6728
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \geq 33)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{60} (X \leq 32)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(60,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,27 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 67 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 17 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.27.

...

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.27}^{67} (X \geq 17)

= 1 -

P_{0.27}^{67} (X \leq 16)

= 0.6627
(TI-Befehl: 1-binomcdf(67,0.27,16))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 49 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=49⋅0.75 = 36.75

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 36.75, also 0.9⋅ 36.75 = 33.075 und 110% von 36.75, also 1.1⋅ 36.75 = 40.425

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 36.75 entfernt sein darf als 33.075 bzw. 40.425, muss sie also zwischen 34 und 40 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.75.

$P_{0.75}^{49} (34 \leq X \leq 40)$ =

...

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

...

P_{0.75}^{49} (X \leq 40)

-

P_{0.75}^{49} (X \leq 33)

≈ 0.8954 - 0.1424 ≈ 0.753
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.75,40) - binomcdf(49,0.75,33))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert