Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,7. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 34 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
45	0.8353
46	0.7672
47	0.6888
48	0.6039
49	0.5165
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.7}$ ≈ 49 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.7⋅49) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=49:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5165 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 60%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 38 Versuchen weniger als 21 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=38 und p=0.6.

P_{0.6}^{38} (X < 21)

=

P_{0.6}^{38} (X \leq 20)

=

P_{0.6}^{38} (X = 0)

+

P_{0.6}^{38} (X = 1)

+

P_{0.6}^{38} (X = 2)

+... +

P_{0.6}^{38} (X = 20)

= 0.22194501147809 ≈ 0.2219
(TI-Befehl: binomcdf(38,0.6,20))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 12 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 15% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{4}$	0.6488
$\frac{1}{5}$	0.7946
$\frac{1}{6}$	0.8748
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{12}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{12}$ ⋅12 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{12}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 70 Wiederholungen 27 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?

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p	P(X≥27)=1-P(X≤26)
...	...
0.41	0.7016
0.42	0.7576
0.43	0.8072
0.44	0.8499
0.45	0.8856
0.46	0.9148
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \geq 27)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{70} (X \leq 26)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(70,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 15 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 83 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{83} (X = 15)

=

(\begin{matrix} 83 \\ 15 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{15} \cdot {(\frac{7}{8})}^{68}

=0.039386280609031≈ 0.0394
(TI-Befehl: binompdf(83,1/8,15))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=55%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 49 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=49⋅0.55 = 26.95

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 26.95, also 0.85⋅ 26.95 = 22.908 und 115% von 26.95, also 1.15⋅ 26.95 = 30.993

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 26.95 entfernt sein darf als 22.908 bzw. 30.993, muss sie also zwischen 23 und 30 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.55.

$P_{0.55}^{49} (23 \leq X \leq 30)$ =

...

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

...

P_{0.55}^{49} (X \leq 30)

-

P_{0.55}^{49} (X \leq 22)

≈ 0.846 - 0.1009 ≈ 0.7451
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.55,30) - binomcdf(49,0.55,22))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert