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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 15%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 26 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
140	0.9008
141	0.8941
142	0.8871
143	0.8798
144	0.8723
145	0.8644
146	0.8563
147	0.8479
148	0.8393
149	0.8303
150	0.8211
151	0.8117
152	0.802
153	0.792
154	0.7818
155	0.7714
156	0.7607
157	0.7499
158	0.7388
159	0.7275
160	0.7161
161	0.7045
162	0.6927
163	0.6808
164	0.6687
165	0.6566
166	0.6443
167	0.6319
168	0.6194
169	0.6069
170	0.5943
171	0.5817
172	0.569
173	0.5563
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.15}$ ≈ 173 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.15⋅173) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=173:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.5563 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=140 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,23 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 37 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 6 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=37 und p=0.23.

...

3

4

5

6

7

8

...

P_{0.23}^{37} (X \geq 6)

= 1 -

P_{0.23}^{37} (X \leq 5)

= 0.8838
(TI-Befehl: 1-binomcdf(37,0.23,5))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9968
$\frac{1}{3}$	0.946
$\frac{1}{4}$	0.8416
$\frac{1}{5}$	0.7251
$\frac{1}{6}$	0.6187
$\frac{1}{7}$	0.5282
$\frac{1}{8}$	0.4533
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 58 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 87 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.55	0.9899
0.56	0.9836
0.57	0.9744
0.58	0.961
0.59	0.9424
0.6	0.9173
0.61	0.8845
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{87} (X \leq 58)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(87,X,58) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 95 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 mal, aber weniger als 22 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{95} (9 \leq X \leq 21)$ =

...

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

...

P_{\frac{1}{6}}^{95} (X \leq 21)

-

P_{\frac{1}{6}}^{95} (X \leq 8)

≈ 0.9363 - 0.016 ≈ 0.9203
(TI-Befehl: binomcdf(95, $\frac{1}{6}$ ,21) - binomcdf(95, $\frac{1}{6}$ ,8))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 58 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=58⋅0.5 = 29

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 29, also 0.85⋅ 29 = 24.65 und 115% von 29, also 1.15⋅ 29 = 33.35

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 29 entfernt sein darf als 24.65 bzw. 33.35, muss sie also zwischen 25 und 33 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.5.

$P_{0.5}^{58} (25 \leq X \leq 33)$ =

...

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.5}^{58} (X \leq 33)

-

P_{0.5}^{58} (X \leq 24)

≈ 0.8815 - 0.1185 ≈ 0.763
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.5,33) - binomcdf(58,0.5,24))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert