Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 55%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 33 grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
600.5498
610.4932
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: P0.55n (X≤33) ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 33 0.55 ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.55⋅60) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
P0.55n (X≤33) ≈ 0.5498 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=60 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 33 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 28 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p=0.95.

P0.9533 (X=28) = ( 33 28 ) ⋅ 0.9528 ⋅ 0.055 =0.017639025512175≈ 0.0176
(TI-Befehl: binompdf(33,0.95,28))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 85 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 85 Durchgänge reichen?

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pP(X≤6)
......
1 14 0.5945
1 15 0.6616
1 16 0.7187
1 17 0.7667
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp85 (X≤6) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp85 (X≤6) ('höchstens 6 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 85 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 85 ⋅85 der Erwartungswert und somit Pp85 (X≤6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 85 mit 1 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 14 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 17 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 87 Freiwürfen mindestens 47 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥47)=1-P(X≤46)
......
0.530.394
0.540.4675
0.550.5422
0.560.6156
0.570.6853
0.580.7491
......

Es muss gelten: Pp87 (X≥47) =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp87 (X≤46) =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 70 Versuchen weniger als 17 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.25.

P0.2570 (X<17) = P0.2570 (X≤16) = P0.2570 (X=0) + P0.2570 (X=1) + P0.2570 (X=2) +... + P0.2570 (X=16) = 0.39969763132715 ≈ 0.3997
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.25,16))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 45 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=45⋅0.6 = 27

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 27, also 0.85⋅ 27 = 22.95 und 115% von 27, also 1.15⋅ 27 = 31.05

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 27 entfernt sein darf als 22.95 bzw. 31.05, muss sie also zwischen 23 und 31 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.6.

P0.645 (23≤X≤31) =

...
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
...

P0.645 (X≤31) - P0.645 (X≤22) ≈ 0.9164 - 0.0865 ≈ 0.8299
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.6,31) - binomcdf(45,0.6,22))