Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 10% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 32 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
360.2892
370.1598
380.08
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: P0.9n (X32) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.9n (X32) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.9n (X32) = 1 - P0.9n (X31) ≥ 0.9 |+ P0.9n (X31) - 0.9

0.1 ≥ P0.9n (X31) oder P0.9n (X31) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 32 0.9 ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.9⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
P0.9n (X31) ≈ 0.2892 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 38 sein, damit P0.9n (X31) ≤ 0.1 oder eben P0.9n (X32) ≥ 0.9 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 85% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 66 Versuchen mindestens 53 und weniger als 59 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.85.

P0.8566 (53X58) =

...
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
...

P0.8566 (X58) - P0.8566 (X52) ≈ 0.7924 - 0.1103 ≈ 0.6821
(TI-Befehl: binomcdf(66,0.85,58) - binomcdf(66,0.85,52))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
6 10 0.9998
7 11 0.9993
8 12 0.9982
9 13 0.996
10 14 0.9923
11 15 0.9868
12 16 0.9793
13 17 0.9696
14 18 0.9578
15 19 0.9439
16 20 0.9282
17 21 0.9109
18 22 0.8921
19 23 0.8721
20 24 0.8512
21 25 0.8296
22 26 0.8075
23 27 0.7851
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp27 (X24) = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp27 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 6 10 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 22 26 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 22 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 91 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 69 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≥69)=1-P(X≤68)
......
0.760.5725
0.770.659
0.780.7395
0.790.8102
0.80.869
0.810.9148
......

Es muss gelten: Pp91 (X69) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp91 (X68) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(91,X,68) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.81 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 87 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 37 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.5.

P0.587 (X37) = P0.587 (X=0) + P0.587 (X=1) + P0.587 (X=2) +... + P0.587 (X=37) = 0.098989570336259 ≈ 0.099
(TI-Befehl: binomcdf(87,0.5,37))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 82 und p = 0.85
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 82 und p = 0.85 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 82 ⋅ 0.85 = 69.7

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 82 ⋅ 0.85 ⋅ 0.15 = 10.455 3.23