Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ = 1 - $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ oder $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{0.65}}$ ≈ 62 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.65⋅62) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=62:
$P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.4108 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 69 sein, damit $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{12}(X\le 2)$=0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{12}(X\le 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{2}{12}$. Mit diesem p wäre ja 2=$\frac{2}{12}$⋅12 der Erwartungswert und somit $P_p^{12}(X\le 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{2}{12}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 8 sein.

Es muss gelten: $P_p^{50}(X\le 41)$=0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(50,X,41) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.75 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.