Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% nicht mehr als 37 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 185 | 0.9035 |
| 186 | 0.8974 |
| 187 | 0.8912 |
| 188 | 0.8846 |
| 189 | 0.8779 |
| 190 | 0.8709 |
| 191 | 0.8636 |
| 192 | 0.8561 |
| 193 | 0.8484 |
| 194 | 0.8404 |
| 195 | 0.8322 |
| 196 | 0.8238 |
| 197 | 0.8151 |
| 198 | 0.8062 |
| 199 | 0.7971 |
| 200 | 0.7877 |
| 201 | 0.7782 |
| 202 | 0.7684 |
| 203 | 0.7585 |
| 204 | 0.7484 |
| 205 | 0.738 |
| 206 | 0.7275 |
| 207 | 0.7169 |
| 208 | 0.7061 |
| 209 | 0.6951 |
| 210 | 0.684 |
| 211 | 0.6728 |
| 212 | 0.6614 |
| 213 | 0.65 |
| 214 | 0.6384 |
| 215 | 0.6268 |
| 216 | 0.6151 |
| 217 | 0.6033 |
| 218 | 0.5914 |
| 219 | 0.5796 |
| 220 | 0.5676 |
| 221 | 0.5557 |
| 222 | 0.5438 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 222 Versuchen auch ungefähr 37
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=222:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=185 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,21 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 23 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 3 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=0.21.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(23,0.21,2))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
| p | P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9997 | |
| 0.9959 | |
| 0.9801 | |
| 0.943 | |
| 0.8819 | |
| 0.8014 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus,
wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 7 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 87 Wiederholungen 78 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?
| p | P(X≥78)=1-P(X≤77) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.88 | 0.3932 |
| 0.89 | 0.5085 |
| 0.9 | 0.6291 |
| 0.91 | 0.7444 |
| 0.92 | 0.8432 |
| 0.93 | 0.9173 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
oder eben: 1-
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,77) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.93 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Eine Münze wird 21 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 10 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=21 und p=0.5.
(TI-Befehl: binompdf(21,0.5,10))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 80 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 80⋅0.35 ≈ 28,
die Standardabweichung mit σ =
32.27 (28 + 4.27) und 23.73 (28 - 4.27) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 28 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 24 und 32 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 24 und 32 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.35.
(TI-Befehl: binomcdf(80,0.35,32) - binomcdf(80,0.35,23))
