Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 22 oder mehr 6er zu erzielen?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 148 | 0.2465 |
| 149 | 0.2354 |
| 150 | 0.2246 |
| 151 | 0.2142 |
| 152 | 0.2041 |
| 153 | 0.1943 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.8 |+ - 0.8
0.2 ≥ oder ≤ 0.2
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 132 Versuchen auch ungefähr 22
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=132:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=153 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.
n muss also mindestens 153 sein, damit
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Eine Münze wird 34 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 17 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=34 und p=0.5.
(TI-Befehl: binomcdf(34,0.5,16))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9997 | |
| 0.9992 | |
| 0.9986 | |
| 0.9976 | |
| 0.9962 | |
| 0.9944 | |
| 0.9922 | |
| 0.9895 | |
| 0.9864 | |
| 0.9828 | |
| 0.9788 | |
| 0.9744 | |
| 0.9696 | |
| 0.9645 | |
| 0.9591 | |
| 0.9533 | |
| 0.9474 | |
| 0.9412 | |
| 0.9348 | |
| 0.9282 | |
| 0.9215 | |
| 0.9147 | |
| 0.9077 | |
| 0.9007 | |
| 0.8936 | |
| 0.8864 | |
| 0.8792 | |
| 0.872 | |
| 0.8648 | |
| 0.8576 | |
| 0.8504 | |
| 0.8432 | |
| 0.836 | |
| 0.8289 | |
| 0.8218 | |
| 0.8147 | |
| 0.8077 | |
| 0.8008 | |
| 0.7939 | |
| 0.7871 | |
| 0.7803 | |
| 0.7736 | |
| 0.767 | |
| 0.7604 | |
| 0.754 | |
| 0.7475 | |
| 0.7412 | |
| 0.7349 | |
| 0.7287 | |
| 0.7226 | |
| 0.7166 | |
| 0.7106 | |
| 0.7047 | |
| 0.6989 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus,
wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 60 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 56 Ausspielungen nicht öfters als 44 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.66 | 0.9861 |
| 0.67 | 0.9797 |
| 0.68 | 0.9708 |
| 0.69 | 0.9588 |
| 0.7 | 0.9429 |
| 0.71 | 0.9222 |
| 0.72 | 0.896 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(56,X,44) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.71 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 97 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 76 defekte Chips enthalten sind.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.7.
(TI-Befehl: binompdf(97,0.7,76))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 55 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 55⋅0.25 ≈ 13.75,
die Standardabweichung mit σ =
16.96 (13.75 + 3.21) und 10.54 (13.75 - 3.21) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 13.75 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 11 und 16 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 11 und 16 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.25.
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.25,16) - binomcdf(55,0.25,10))
