Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% nicht mehr als 21 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 123 | 0.6053 |
| 124 | 0.5896 |
| 125 | 0.5738 |
| 126 | 0.5579 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 126 Versuchen auch ungefähr 21
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=126:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=123 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,7 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 71 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 45 und höchstens 57 beträgt?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=0.7.
(TI-Befehl: binomcdf(71,0.7,57) - binomcdf(71,0.7,44))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 65 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 65 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤7) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5638 | |
| 0.6769 | |
| 0.7637 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
11 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 82 Freiwürfen mindestens 63 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥63)=1-P(X≤62) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.73 | 0.2594 |
| 0.74 | 0.3294 |
| 0.75 | 0.4072 |
| 0.76 | 0.4905 |
| 0.77 | 0.5757 |
| 0.78 | 0.6591 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
oder eben: 1-
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(82,X,62) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.78 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 29 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,55.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 14 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.55.
(TI-Befehl: binomcdf(29,0.55,14))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 62 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 62⋅
die Standardabweichung mit σ =
13.27 (10.33 + 2.93) und 7.4 (10.33 - 2.93) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 10.33 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 8 und 13 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 8 und 13 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=62 und p=
(TI-Befehl: binomcdf(62,
