Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 31 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
2210.125
2220.1191
2230.1135
2240.1081
2250.1029
2260.0979
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X31) ≥ 0.9

Weil man ja aber P 1 6 n (X31) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X31) = 1 - P 1 6 n (X30) ≥ 0.9 |+ P 1 6 n (X30) - 0.9

0.1 ≥ P 1 6 n (X30) oder P 1 6 n (X30) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 31 1 6 ≈ 186 Versuchen auch ungefähr 31 (≈ 1 6 ⋅186) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=186:
P 1 6 n (X30) ≈ 0.4695 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=226 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 226 sein, damit P 1 6 n (X30) ≤ 0.1 oder eben P 1 6 n (X31) ≥ 0.9 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 10 und höchstens 12 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 53 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.125.

P0.12553 (11X12) =

...
8
9
10
11
12
13
14
...

P0.12553 (X12) - P0.12553 (X10) ≈ 0.988 - 0.9392 ≈ 0.0488
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.125,12) - binomcdf(53,0.125,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 18 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 18 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
4 12 0.6085
4 13 0.6966
4 14 0.7661
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp18 (X6) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp18 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 18 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 18 ⋅18 der Erwartungswert und somit Pp18 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 18 mit 4 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 4 12 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 14 sein.

Also werden noch 10 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 80 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 31 erkennen und dumm anlabern?

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pP(X≤k)
......
0.270.9921
0.280.9863
0.290.9773
0.30.964
0.310.9451
0.320.9196
0.330.8864
......

Es muss gelten: Pp80 (X31) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(80,X,31) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 62 Versuchen höchstens 10 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.2.

P0.262 (X10) = P0.262 (X=0) + P0.262 (X=1) + P0.262 (X=2) +... + P0.262 (X=10) = 0.28027852313332 ≈ 0.2803
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.2,10))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 41 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=41⋅0.6 = 24.6

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 24.6, also 0.8⋅ 24.6 = 19.68 und 120% von 24.6, also 1.2⋅ 24.6 = 29.52

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 24.6 entfernt sein darf als 19.68 bzw. 29.52, muss sie also zwischen 20 und 29 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.6.

P0.641 (20X29) =

...
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
...

P0.641 (X29) - P0.641 (X19) ≈ 0.9433 - 0.0532 ≈ 0.8901
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.6,29) - binomcdf(41,0.6,19))