Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 70%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 25 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
350.49
360.3909
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: P0.7n (X25) ≥ 0.6

Weil man ja aber P0.7n (X25) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.7n (X25) = 1 - P0.7n (X24) ≥ 0.6 |+ P0.7n (X24) - 0.6

0.4 ≥ P0.7n (X24) oder P0.7n (X24) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 25 0.7 ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.7⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
P0.7n (X24) ≈ 0.3909 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 36 sein, damit P0.7n (X24) ≤ 0.4 oder eben P0.7n (X25) ≥ 0.6 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 9 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 69 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p= 1 8 .

P 1 8 69 (X=9) = ( 69 9 ) ( 1 8 )9 ( 7 8 )60 =0.13997240084681≈ 0.14
(TI-Befehl: binompdf(69,1/8,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 16 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 16 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
3 16 0.648
3 17 0.6915
3 18 0.7291
3 19 0.7617
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp16 (X3) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp16 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 16 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 16 ⋅16 der Erwartungswert und somit Pp16 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 16 mit 3 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 16 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 19 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 19 sein.

Also werden noch 16 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 44 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 44)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 80% mindestens 35 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥35)=1-P(X≤34)
......
0.790.5525
0.80.6174
0.810.6807
0.820.7407
0.830.7958
0.840.8447
......

Es muss gelten: Pp44 (X35) =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp44 (X34) =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(44,X,34) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.84 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 1 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 51 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.125.

0
1
2
3
...

P0.12551 (X1) = 1 - P0.12551 (X0) = 0.9989
(TI-Befehl: 1-binomcdf(51,0.125,0))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 74 und p = 0.35
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 74 und p = 0.35 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 74 ⋅ 0.35 = 25.9

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 74 ⋅ 0.35 ⋅ 0.65 = 16.835 4.1