Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,55. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 34 dieser Fehler begeht?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 59 | 0.7029 |
| 60 | 0.6499 |
| 61 | 0.5949 |
| 62 | 0.5389 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 62 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.55⋅62) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=62:
≈ 0.5389
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=59 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,85. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 40 Versuchen mehr als 35 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.85.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(40,0.85,35))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 80 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 80 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤6) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5807 | |
| 0.6539 | |
| 0.7157 | |
| 0.767 | |
| 0.8093 | |
| 0.8438 | |
| 0.8719 | |
| 0.8947 | |
| 0.9133 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=80 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 6 Treffer bei 80 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 6=⋅80 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
21 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 60 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 60)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 30 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥30)=1-P(X≤29) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.46 | 0.3106 |
| 0.47 | 0.3676 |
| 0.48 | 0.4277 |
| 0.49 | 0.4894 |
| 0.5 | 0.5513 |
| 0.51 | 0.612 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.6 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.6 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(60,X,29) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.51 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 8 und höchstens 10 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 76 Glückskekse kauft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.125.
=
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.125,10) - binomcdf(76,0.125,8))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 42 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=42⋅0.3 = 12.6
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 12.6, also 0.8⋅ 12.6 = 10.08 und 120% von 12.6, also 1.2⋅ 12.6 = 15.12
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 12.6 entfernt sein darf als 10.08 bzw. 15.12, muss sie also zwischen 11 und 15 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.3.
=
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.3,15) - binomcdf(42,0.3,10))
