Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 37 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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nP(X≤k)
......
450.7025
460.5879
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: P0.8n (X37) ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 37 0.8 ≈ 46 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.8⋅46) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=46:
P0.8n (X37) ≈ 0.5879 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 5 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 57 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p= 1 8 .

P 1 8 57 (X5) = P 1 8 57 (X=0) + P 1 8 57 (X=1) + P 1 8 57 (X=2) +... + P 1 8 57 (X=5) = 0.26754062211042 ≈ 0.2675
(TI-Befehl: binomcdf(57,1/8,5))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 12 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 12 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
2 8 0.6488
2 9 0.7325
2 10 0.7946
2 11 0.8405
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp12 (X3) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp12 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 12 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 12 ⋅12 der Erwartungswert und somit Pp12 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 12 mit 2 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 8 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 11 sein.

Also werden noch 9 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 61 Freiwürfen mindestens 43 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥43)=1-P(X≤42)
......
0.720.6635
0.730.7256
0.740.7823
0.750.8324
0.760.875
0.770.9101
......

Es muss gelten: Pp61 (X43) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp61 (X42) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(61,X,42) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,76. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 85 Versuchen mindestens 60 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.76.

...
57
58
59
60
61
62
...

P0.7685 (X60) = 1 - P0.7685 (X59) = 0.9002
(TI-Befehl: 1-binomcdf(85,0.76,59))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 67 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 67⋅ 1 6 ≈ 11.17,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 67 1 6 5 6 ≈ 3.05

14.22 (11.17 + 3.05) und 8.12 (11.17 - 3.05) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.17 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p= 1 6 .

P 1 6 67 (9X14) =

...
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
...

P 1 6 67 (X14) - P 1 6 67 (X8) ≈ 0.8618 - 0.1933 ≈ 0.6685
(TI-Befehl: binomcdf(67, 1 6 ,14) - binomcdf(67, 1 6 ,8))