Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht über 34 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
38	0.5352
39	0.3504
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.9}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.9⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5352 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 82 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 22 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{82} (X < 22)

=

P_{\frac{1}{6}}^{82} (X \leq 21)

=

P_{\frac{1}{6}}^{82} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{82} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{82} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{82} (X = 21)

= 0.98640042361069 ≈ 0.9864
(TI-Befehl: binomcdf(82,1/6,21))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9961
$\frac{1}{3}$	0.961
$\frac{1}{4}$	0.8999
$\frac{1}{5}$	0.8322
$\frac{1}{6}$	0.7674
$\frac{1}{7}$	0.7086
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 82 Wiederholungen 58 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?

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p	P(X≥58)=1-P(X≤57)
...	...
0.67	0.2769
0.68	0.3447
0.69	0.4188
0.7	0.4968
0.71	0.576
0.72	0.6532
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{82} (X \geq 58)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{82} (X \leq 57)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(82,X,57) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 48 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 38 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.7.

P_{0.7}^{48} (X = 38)

=

(\begin{matrix} 48 \\ 38 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{38} \cdot {0.3}^{10}

=0.050183777981529≈ 0.0502
(TI-Befehl: binompdf(48,0.7,38))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 91 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 91⋅0.3 ≈ 27.3,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{91\cdot0.3\cdot0.7}$ ≈ 4.37

31.67 (27.3 + 4.37) und 22.93 (27.3 - 4.37) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 27.3 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 23 und 31 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 23 und 31 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.3.

$P_{0.3}^{91} (23 \leq X \leq 31)$ =

...

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

...

P_{0.3}^{91} (X \leq 31)

-

P_{0.3}^{91} (X \leq 22)

≈ 0.832 - 0.1353 ≈ 0.6967
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.3,31) - binomcdf(91,0.3,22))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ