Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 55%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 36 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
62	0.7289
63	0.6789
64	0.6265
65	0.5725
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.55}$ ≈ 65 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.55⋅65) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=65:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5725 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=62 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 45 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X = 11)

=

(\begin{matrix} 45 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{11} \cdot {(\frac{5}{6})}^{34}

=0.056841485493354≈ 0.0568
(TI-Befehl: binompdf(45,1/6,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 14 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{4}$	0.5213
$\frac{1}{5}$	0.6982
$\frac{1}{6}$	0.8063
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{14}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{14}$ ⋅14 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{14}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 59 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 59).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 70% höchstens 20 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.26	0.9339
0.27	0.9075
0.28	0.8746
0.29	0.835
0.3	0.7888
0.31	0.7365
0.32	0.679
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{59} (X \leq 20)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(59,X,20) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 95 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 71 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.7.

P_{0.7}^{95} (X = 71)

=

(\begin{matrix} 95 \\ 71 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{71} \cdot {0.3}^{24}

=0.055539417027419≈ 0.0555
(TI-Befehl: binompdf(95,0.7,71))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=65%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 97 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 97⋅0.65 ≈ 63.05,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{97\cdot0.65\cdot0.35}$ ≈ 4.7

67.75 (63.05 + 4.7) und 58.35 (63.05 - 4.7) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 63.05 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 59 und 67 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 59 und 67 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.65.

$P_{0.65}^{97} (59 \leq X \leq 67)$ =

...

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

...

P_{0.65}^{97} (X \leq 67)

-

P_{0.65}^{97} (X \leq 58)

≈ 0.828 - 0.1662 ≈ 0.6618
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.65,67) - binomcdf(97,0.65,58))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ