Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 10% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 39-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
42	0.8049
43	0.6352
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.9}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.9⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.6352 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 23 Versuchen mehr als 19 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=0.75.

...

17

18

19

20

21

22

P_{0.75}^{23} (X > 19)

=

P_{0.75}^{23} (X \geq 20)

= 1 -

P_{0.75}^{23} (X \leq 19)

= 0.137
(TI-Befehl: 1-binomcdf(23,0.75,19))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 70 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{10}$	0.5989
$\frac{1}{11}$	0.6972
$\frac{1}{12}$	0.7736
$\frac{1}{13}$	0.8314
$\frac{1}{14}$	0.8745
$\frac{1}{15}$	0.9063
$\frac{1}{16}$	0.9298
$\frac{1}{17}$	0.9472
$\frac{1}{18}$	0.96
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ =0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{70}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{70}$ ⋅70 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{70}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{18}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 18 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 94 Freiwürfen mindestens 48 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥48)=1-P(X≤47)
...	...
0.5	0.459
0.51	0.5364
0.52	0.6125
0.53	0.6846
0.54	0.7504
0.55	0.8082
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{94} (X \geq 48)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{94} (X \leq 47)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(94,X,47) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.55 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 95 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 49 und höchstens 50 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.5.

$P_{0.5}^{95} (49 \leq X \leq 50)$ =

...

46

47

48

49

50

51

52

...

P_{0.5}^{95} (X \leq 50)

-

P_{0.5}^{95} (X \leq 48)

≈ 0.7308 - 0.5812 ≈ 0.1496
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.5,50) - binomcdf(95,0.5,48))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 51 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=51⋅ $\frac{1}{6}$ = 8.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 8.5, also 0.8⋅ 8.5 = 6.8 und 120% von 8.5, also 1.2⋅ 8.5 = 10.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 8.5 entfernt sein darf als 6.8 bzw. 10.2, muss sie also zwischen 7 und 10 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{51} (7 \leq X \leq 10)$ =

...

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X \leq 10)

-

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X \leq 6)

≈ 0.7794 - 0.2319 ≈ 0.5475
(TI-Befehl: binomcdf(51, $\frac{1}{6}$ ,10) - binomcdf(51, $\frac{1}{6}$ ,6))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert