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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,25. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 30 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
99	0.9069
100	0.8962
101	0.8848
102	0.8726
103	0.8596
104	0.8459
105	0.8314
106	0.8162
107	0.8003
108	0.7838
109	0.7666
110	0.7488
111	0.7305
112	0.7116
113	0.6923
114	0.6726
115	0.6525
116	0.6321
117	0.6115
118	0.5907
119	0.5698
120	0.5489
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.25}$ ≈ 120 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.25⋅120) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=120:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.5489 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=99 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 47 Versuchen genau 46 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p=0.9.

P_{0.9}^{47} (X = 46)

=

(\begin{matrix} 47 \\ 46 \end{matrix}) \cdot {0.9}^{46} \cdot {0.1}^{1}

=0.036919285893011≈ 0.0369
(TI-Befehl: binompdf(47,0.9,46))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{4}{7}$	0.9997
$\frac{5}{8}$	0.9983
$\frac{6}{9}$	0.9939
$\frac{7}{10}$	0.9843
$\frac{8}{11}$	0.9682
$\frac{9}{12}$	0.9449
$\frac{10}{13}$	0.9149
$\frac{11}{14}$	0.8795
$\frac{12}{15}$	0.8398
$\frac{13}{16}$	0.7974
$\frac{14}{17}$	0.7535
$\frac{15}{18}$	0.7093
$\frac{16}{19}$	0.6655
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{28} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{28} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{7}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{15}{18}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 15 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 96 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 86 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.8	0.996
0.81	0.9923
0.82	0.9857
0.83	0.9742
0.84	0.9553
0.85	0.9252
0.86	0.88
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{96} (X \leq 86)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(96,X,86) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.85 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 11 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 58 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{58} (X \leq 11)

=

P_{\frac{1}{8}}^{58} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{58} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{58} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{58} (X = 11)

= 0.94723419004797 ≈ 0.9472
(TI-Befehl: binomcdf(58,1/8,11))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 70 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=70⋅ $\frac{1}{6}$ = 11.666666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 11.667, also 0.8⋅ 11.667 = 9.333 und 120% von 11.666666666667, also 1.2⋅ 11.667 = 14

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 11.666666666667 entfernt sein darf als 9.333 bzw. 14, muss sie also zwischen 10 und 13 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{70} (10 \leq X \leq 13)$ =

...

7

8

9

10

11

12

13

14

15

...

P_{\frac{1}{6}}^{70} (X \leq 13)

-

P_{\frac{1}{6}}^{70} (X \leq 9)

≈ 0.7294 - 0.2496 ≈ 0.4798
(TI-Befehl: binomcdf(70, $\frac{1}{6}$ ,13) - binomcdf(70, $\frac{1}{6}$ ,9))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert