Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 37 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 93 | 0.4439 |
| 94 | 0.4111 |
| 95 | 0.3792 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.6 |+ - 0.6
0.4 ≥ oder ≤ 0.4
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 93 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.4⋅93) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=93:
≈ 0.4439
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=95 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.
n muss also mindestens 95 sein, damit ≤ 0.4 oder eben ≥ 0.6 gilt.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 42 Versuchen, mehr als 16 mal und höchstens 23 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.5.
=
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.5,23) - binomcdf(42,0.5,16))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 70 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤8) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.4822 | |
| 0.6256 | |
| 0.7363 | |
| 0.8167 | |
| 0.8733 | |
| 0.9123 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 8 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 8=⋅70 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
13 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 92 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 92)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 70 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥70)=1-P(X≤69) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.72 | 0.2268 |
| 0.73 | 0.2958 |
| 0.74 | 0.3744 |
| 0.75 | 0.46 |
| 0.76 | 0.5491 |
| 0.77 | 0.6374 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.6 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.6 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(92,X,69) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 42 Versuchen weniger als 38 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.9.
= = + + +... + = 0.41210406700716 ≈ 0.4121(TI-Befehl: binomcdf(42,0.9,37))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 58 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=58⋅0.25 = 14.5
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.5, also 0.8⋅ 14.5 = 11.6 und 120% von 14.5, also 1.2⋅ 14.5 = 17.4
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.5 entfernt sein darf als 11.6 bzw. 17.4, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.25.
=
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.25,17) - binomcdf(58,0.25,11))
