Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 25%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 38 grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 152 | 0.5434 |
| 153 | 0.5248 |
| 154 | 0.5062 |
| 155 | 0.4877 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 152 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.25⋅152) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=152:
≈ 0.5434
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=154 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 66 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 mal, aber weniger als 18 mal eine sechs gewürfelt wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(66,,17) - binomcdf(66,,6))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?
| p | P(X≤6) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.4478 | |
| 0.6739 | |
| 0.8136 | |
| 0.8929 | |
| 0.9373 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 6 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 6=⋅17 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
9 sein.
Also werden noch 7 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 58 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 24 erkennen und dumm anlabern?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.29 | 0.9847 |
| 0.3 | 0.9766 |
| 0.31 | 0.9654 |
| 0.32 | 0.9503 |
| 0.33 | 0.9307 |
| 0.34 | 0.9059 |
| 0.35 | 0.8755 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(58,X,24) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 8 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 61 Glückskekse kauft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=.
= =0.14817222874424≈ 0.1482(TI-Befehl: binompdf(61,1/8,8))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 72 und p = 0.85
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 72 und p = 0.85 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 72 ⋅ 0.85 = 61.2
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.03
