Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßig exzessiven Alkoholgenuss bei 9% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 60%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
120.6775
130.3293
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.91 und variablem n.

Es muss gelten: P0.91n (X12) ≥ 0.6

Weil man ja aber P0.91n (X12) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.91n (X12) = 1 - P0.91n (X11) ≥ 0.6 |+ P0.91n (X11) - 0.6

0.4 ≥ P0.91n (X11) oder P0.91n (X11) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 91% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 12 0.91 ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.91⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
P0.91n (X11) ≈ 0.3293 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 13 sein, damit P0.91n (X11) ≤ 0.4 oder eben P0.91n (X12) ≥ 0.6 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 92% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 54 Versuchen mindestens 46 und weniger als 55 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.92.

P0.9254 (X46) =

...
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54

P0.9254 (X54) - P0.9254 (X45) ≈ 1 - 0.0266 ≈ 0.9734
(TI-Befehl: binomcdf(54,0.92,54) - binomcdf(54,0.92,45))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

Lösung einblenden
pP(X≥2)=1-P(X≤1)
......
1 2 0.9375
1 3 0.7366
1 4 0.5551
1 5 0.4233
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp7 (X2) = 1- Pp7 (X1) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp7 (X2) ('mindestens 2 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 94 Wiederholungen 54 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 70% liegt?

Lösung einblenden
pP(X≥54)=1-P(X≤53)
......
0.550.3557
0.560.4307
0.570.5086
0.580.5864
0.590.6613
0.60.7306
......

Es muss gelten: Pp94 (X54) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp94 (X53) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(94,X,53) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 76 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 18 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p= 1 6 .

...
15
16
17
18
19
20
...

P 1 6 76 (X18) = 1 - P 1 6 76 (X17) = 0.0729
(TI-Befehl: 1-binomcdf(76, 1 6 ,17))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 74 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=74⋅0.5 = 37

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 37, also 0.85⋅ 37 = 31.45 und 115% von 37, also 1.15⋅ 37 = 42.55

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 37 entfernt sein darf als 31.45 bzw. 42.55, muss sie also zwischen 32 und 42 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.5.

P0.574 (32X42) =

...
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
...

P0.574 (X42) - P0.574 (X31) ≈ 0.8997 - 0.1003 ≈ 0.7994
(TI-Befehl: binomcdf(74,0.5,42) - binomcdf(74,0.5,31))