Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 75%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 40 grüne Kugeln gezogen werden?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
530.584
540.4894
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: P0.75n (X40) ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 40 0.75 ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.75⋅53) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
P0.75n (X40) ≈ 0.584 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 73 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 33 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.5.

P0.573 (X=33) = ( 73 33 ) 0.533 0.540 =0.066803359336717≈ 0.0668
(TI-Befehl: binompdf(73,0.5,33))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9961
1 3 0.961
1 4 0.8999
1 5 0.8322
1 6 0.7674
1 7 0.7086
1 8 0.6564
1 9 0.6103
1 10 0.5695
1 11 0.5335
1 12 0.5015
1 13 0.4729
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp8 (X1) = 1- Pp8 (X0) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp8 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 12 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 77 Freiwürfen mindestens 57 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥57)=1-P(X≤56)
......
0.70.2623
0.710.3281
0.720.4008
0.730.4782
0.740.5577
0.750.6362
......

Es muss gelten: Pp77 (X57) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp77 (X56) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(77,X,56) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.75 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 22 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.5.

P0.541 (X=22) = ( 41 22 ) 0.522 0.519 =0.11125970113426≈ 0.1113
(TI-Befehl: binompdf(41,0.5,22))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 83 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=83⋅0.25 = 20.75

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 20.75, also 0.9⋅ 20.75 = 18.675 und 110% von 20.75, also 1.1⋅ 20.75 = 22.825

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 20.75 entfernt sein darf als 18.675 bzw. 22.825, muss sie also zwischen 19 und 22 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.25.

P0.2583 (19X22) =

...
16
17
18
19
20
21
22
23
24
...

P0.2583 (X22) - P0.2583 (X18) ≈ 0.6773 - 0.2893 ≈ 0.388
(TI-Befehl: binomcdf(83,0.25,22) - binomcdf(83,0.25,18))