Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ = 1 - $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ oder $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 58 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.4⋅58) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=58:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≈ 0.4291 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 65 sein, damit $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{13}(X\le 2)$=0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{13}(X\le 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{2}{13}$. Mit diesem p wäre ja 2=$\frac{2}{13}$⋅13 der Erwartungswert und somit $P_p^{13}(X\le 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{2}{13}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 10 sein.

Es muss gelten: $P_p^{43}(X\le 36)$=0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(43,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.