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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 13% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 28-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
30	0.9159
31	0.7864
32	0.6124
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.87 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.87}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 87% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.87}$ ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.87⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
$P_{0.87}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.6124 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 45 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 13 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{45} (X = 13)

=

(\begin{matrix} 45 \\ 13 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{13} \cdot {(\frac{3}{4})}^{32}

=0.10927991257962≈ 0.1093
(TI-Befehl: binompdf(45,1/4,13))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{6}$	0.5
$\frac{3}{7}$	0.7012
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{13}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 7 sein.

Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 69 Stück nur an, wenn nicht mehr als 25 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.24	0.9957
0.25	0.9922
0.26	0.9867
0.27	0.9782
0.28	0.9657
0.29	0.9483
0.3	0.925
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{69} (X \leq 25)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(69,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 42 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.125.

0

1

2

3

4

...

P_{0.125}^{42} (X \geq 2)

= 1 -

P_{0.125}^{42} (X \leq 1)

= 0.9743
(TI-Befehl: 1-binomcdf(42,0.125,1))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 70 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=70⋅0.3 = 21

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 21, also 0.8⋅ 21 = 16.8 und 120% von 21, also 1.2⋅ 21 = 25.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 21 entfernt sein darf als 16.8 bzw. 25.2, muss sie also zwischen 17 und 25 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.3.

$P_{0.3}^{70} (17 \leq X \leq 25)$ =

...

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

...

P_{0.3}^{70} (X \leq 25)

-

P_{0.3}^{70} (X \leq 16)

≈ 0.8787 - 0.1187 ≈ 0.76
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.3,25) - binomcdf(70,0.3,16))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert