Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,75. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 38 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
50	0.6184
51	0.5214
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.75}$ ≈ 51 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.75⋅51) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=51:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5214 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=50 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 47 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 8 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

5

6

7

8

9

10

...

P_{\frac{1}{6}}^{47} (X \geq 8)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{47} (X \leq 7)

= 0.5344
(TI-Befehl: 1-binomcdf(47, $\frac{1}{6}$ ,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{2}{5}$	0.6098
$\frac{2}{6}$	0.797
$\frac{2}{7}$	0.8942
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{15} (X \leq 6)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{15} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{15}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{15}$ ⋅15 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{15} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{15}$ mit $\frac{2}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 7 sein.

Also werden noch 5 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 94 Freiwürfen mindestens 55 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥55)=1-P(X≤54)
...	...
0.55	0.2817
0.56	0.351
0.57	0.4259
0.58	0.5039
0.59	0.5821
0.6	0.6575
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{94} (X \geq 55)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{94} (X \leq 54)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(94,X,54) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 89 Versuchen, mehr als 57 mal und höchstens 62 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.6.

$P_{0.6}^{89} (58 \leq X \leq 62)$ =

...

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

...

P_{0.6}^{89} (X \leq 62)

-

P_{0.6}^{89} (X \leq 57)

≈ 0.9771 - 0.812 ≈ 0.1651
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.6,62) - binomcdf(89,0.6,57))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=65%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 50 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 50⋅0.65 ≈ 32.5,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{50\cdot0.65\cdot0.35}$ ≈ 3.37

35.87 (32.5 + 3.37) und 29.13 (32.5 - 3.37) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 32.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 30 und 35 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 30 und 35 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.65.

$P_{0.65}^{50} (30 \leq X \leq 35)$ =

...

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

...

P_{0.65}^{50} (X \leq 35)

-

P_{0.65}^{50} (X \leq 29)

≈ 0.8122 - 0.1861 ≈ 0.6261
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.65,35) - binomcdf(50,0.65,29))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ