Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,45. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 34 dieser Fehler begeht?

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nP(X≤k)
......
650.9044
660.8823
670.8572
680.8292
690.7984
700.7649
710.7292
720.6915
730.6522
740.6117
750.5705
760.5291
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: P0.45n (X34) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 34 0.45 ≈ 76 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.45⋅76) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=76:
P0.45n (X34) ≈ 0.5291 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 70 Versuchen, mehr als 25 mal und höchstens 35 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.45.

P0.4570 (26X35) =

...
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
...

P0.4570 (X35) - P0.4570 (X25) ≈ 0.8318 - 0.0738 ≈ 0.758
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.45,35) - binomcdf(70,0.45,25))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
6 10 0.9998
7 11 0.9993
8 12 0.9982
9 13 0.996
10 14 0.9923
11 15 0.9868
12 16 0.9793
13 17 0.9696
14 18 0.9578
15 19 0.9439
16 20 0.9282
17 21 0.9109
18 22 0.8921
19 23 0.8721
20 24 0.8512
21 25 0.8296
22 26 0.8075
23 27 0.7851
24 28 0.7625
25 29 0.7399
26 30 0.7174
27 31 0.6952
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp27 (X24) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp27 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 6 10 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 26 30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 26 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 60 Ausspielungen nicht öfters als 26 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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pP(X≤k)
......
0.310.9843
0.320.9762
0.330.9649
0.340.9497
0.350.93
0.360.905
0.370.8743
......

Es muss gelten: Pp60 (X26) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(60,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 12 und höchstens 16 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 72 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.125.

P0.12572 (13X16) =

...
10
11
12
13
14
15
16
17
18
...

P0.12572 (X16) - P0.12572 (X12) ≈ 0.9933 - 0.8905 ≈ 0.1028
(TI-Befehl: binomcdf(72,0.125,16) - binomcdf(72,0.125,12))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 53 und p = 0.8
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 53 und p = 0.8 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 53 ⋅ 0.8 = 42.4

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 53 ⋅ 0.8 ⋅ 0.2 = 8.48 2.91