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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 23 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
27	0.8177
28	0.6851
29	0.5366
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.8}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.8⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.5366 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 65% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 84 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 49 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.65.

P_{0.65}^{84} (X = 49)

=

(\begin{matrix} 84 \\ 49 \end{matrix}) \cdot {0.65}^{49} \cdot {0.35}^{35}

=0.039553278159403≈ 0.0396
(TI-Befehl: binompdf(84,0.65,49))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 60 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{7}$	0.5073
$\frac{1}{8}$	0.6669
$\frac{1}{9}$	0.7815
$\frac{1}{10}$	0.8584
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \leq 8)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{60}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{60}$ ⋅60 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{60} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{60}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 66 Freiwürfen mindestens 45 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥45)=1-P(X≤44)
...	...
0.66	0.4087
0.67	0.4767
0.68	0.5461
0.69	0.6149
0.7	0.681
0.71	0.7425
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{66} (X \geq 45)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{66} (X \leq 44)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(66,X,44) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.71 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,27 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 32 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 8 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=32 und p=0.27.

P_{0.27}^{32} (X \leq 8)

=

P_{0.27}^{32} (X = 0)

+

P_{0.27}^{32} (X = 1)

+

P_{0.27}^{32} (X = 2)

+... +

P_{0.27}^{32} (X = 8)

= 0.49020125547787 ≈ 0.4902
(TI-Befehl: binomcdf(32,0.27,8))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 38 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 38 und p = 0.15 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 38 ⋅ 0.15 = 5.7

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{38 ⋅ 0.15 ⋅ 0.85}$ = $\sqrt{4.845}$ ≈ 2.2

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.