Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 20%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 26 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
114	0.8085
115	0.795
116	0.781
117	0.7666
118	0.7518
119	0.7366
120	0.721
121	0.7051
122	0.6889
123	0.6724
124	0.6557
125	0.6387
126	0.6216
127	0.6044
128	0.5871
129	0.5697
130	0.5522
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.2}$ ≈ 130 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.2⋅130) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=130:
$P_{0.2}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.5522 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=114 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 55 Versuchen nicht mehr als 18 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.3.

P_{0.3}^{55} (X \leq 18)

=

P_{0.3}^{55} (X = 0)

+

P_{0.3}^{55} (X = 1)

+

P_{0.3}^{55} (X = 2)

+... +

P_{0.3}^{55} (X = 18)

= 0.72603300090915 ≈ 0.726
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.3,18))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{5}{10}$	0.9992
$\frac{6}{11}$	0.9967
$\frac{7}{12}$	0.99
$\frac{8}{13}$	0.9772
$\frac{9}{14}$	0.9567
$\frac{10}{15}$	0.9281
$\frac{11}{16}$	0.8919
$\frac{12}{17}$	0.8495
$\frac{13}{18}$	0.8024
$\frac{14}{19}$	0.7524
$\frac{15}{20}$	0.7011
$\frac{16}{21}$	0.6497
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{27} (X \leq 21)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{27} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{10}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{15}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 15 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 45 Stück nur an, wenn nicht mehr als 38 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.72	0.9835
0.73	0.9767
0.74	0.9675
0.75	0.9554
0.76	0.9395
0.77	0.9192
0.78	0.8936
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{45} (X \leq 38)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(45,X,38) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 89 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 14 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{89} (X = 14)

=

(\begin{matrix} 89 \\ 14 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{14} \cdot {(\frac{3}{4})}^{75}

=0.012117919976803≈ 0.0121
(TI-Befehl: binompdf(89,1/4,14))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 79 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 79⋅0.55 ≈ 43.45,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{79\cdot0.55\cdot0.45}$ ≈ 4.42

47.87 (43.45 + 4.42) und 39.03 (43.45 - 4.42) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 43.45 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 40 und 47 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 40 und 47 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.55.

$P_{0.55}^{79} (40 \leq X \leq 47)$ =

...

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.55}^{79} (X \leq 47)

-

P_{0.55}^{79} (X \leq 39)

≈ 0.8199 - 0.1857 ≈ 0.6342
(TI-Befehl: binomcdf(79,0.55,47) - binomcdf(79,0.55,39))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ