Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 25%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 38 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
152	0.5434
153	0.5248
154	0.5062
155	0.4877
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.25}$ ≈ 152 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.25⋅152) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=152:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5434 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=154 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 66 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 mal, aber weniger als 18 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{66} (7 \leq X \leq 17)$ =

...

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{66} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{66} (X \leq 6)

≈ 0.9796 - 0.0612 ≈ 0.9184
(TI-Befehl: binomcdf(66, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(66, $\frac{1}{6}$ ,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{2}{5}$	0.4478
$\frac{2}{6}$	0.6739
$\frac{2}{7}$	0.8136
$\frac{2}{8}$	0.8929
$\frac{2}{9}$	0.9373
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{17}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{17}$ ⋅17 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{17}$ mit $\frac{2}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 9 sein.

Also werden noch 7 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 58 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 24 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.29	0.9847
0.3	0.9766
0.31	0.9654
0.32	0.9503
0.33	0.9307
0.34	0.9059
0.35	0.8755
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{58} (X \leq 24)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(58,X,24) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 8 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 61 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{61} (X = 8)

=

(\begin{matrix} 61 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{8} \cdot {(\frac{7}{8})}^{53}

=0.14817222874424≈ 0.1482
(TI-Befehl: binompdf(61,1/8,8))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 72 und p = 0.85
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 72 und p = 0.85 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 72 ⋅ 0.85 = 61.2

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{72 ⋅ 0.85 ⋅ 0.15}$ = $\sqrt{9.18}$ ≈ 3.03

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.