Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 12 | 0.7847 |
| 13 | 0.769 |
| 14 | 0.7536 |
| 15 | 0.7386 |
| 16 | 0.7238 |
| 17 | 0.7093 |
| 18 | 0.6951 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
≈ 1
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 10 und höchstens 19 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 85 Glückskekse kauft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.125.
=
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.125,19) - binomcdf(85,0.125,10))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 90 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 90 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤5) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.616 | |
| 0.6633 | |
| 0.7052 | |
| 0.742 | |
| 0.7742 | |
| 0.8023 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 5 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 5=⋅90 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
23 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 59 Stück nur an, wenn nicht mehr als 34 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.45 | 0.981 |
| 0.46 | 0.9726 |
| 0.47 | 0.9613 |
| 0.48 | 0.9464 |
| 0.49 | 0.9275 |
| 0.5 | 0.9037 |
| 0.51 | 0.8748 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(59,X,34) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 67 Versuchen mindestens 22 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.35.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(67,0.35,21))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 88 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=88⋅0.7 = 61.6
Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 61.6, also 0.9⋅ 61.6 = 55.44 und 110% von 61.6, also 1.1⋅ 61.6 = 67.76
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 61.6 entfernt sein darf als 55.44 bzw. 67.76, muss sie also zwischen 56 und 67 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=0.7.
=
(TI-Befehl: binomcdf(88,0.7,67) - binomcdf(88,0.7,55))
