Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 55%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit 26 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
470.4573
480.3954
490.3373
500.284
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: P0.55n (X26) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.55n (X26) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.55n (X26) = 1 - P0.55n (X25) ≥ 0.7 |+ P0.55n (X25) - 0.7

0.3 ≥ P0.55n (X25) oder P0.55n (X25) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 26 0.55 ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.55⋅47) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
P0.55n (X25) ≈ 0.4573 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=50 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 50 sein, damit P0.55n (X25) ≤ 0.3 oder eben P0.55n (X26) ≥ 0.7 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,69. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 29 Versuchen mehr als 17 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.69.

...
15
16
17
18
19
20
...

P0.6929 (X>17) = P0.6929 (X18) = 1 - P0.6929 (X17) = 0.8434
(TI-Befehl: 1-binomcdf(29,0.69,17))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
3 14 0.6483
3 15 0.6982
3 16 0.7404
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp14 (X3) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp14 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 14 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 14 ⋅14 der Erwartungswert und somit Pp14 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 14 mit 3 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 14 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 16 sein.

Also werden noch 13 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 99 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 23 erkennen und dumm anlabern?

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pP(X≤k)
......
0.130.9983
0.140.9955
0.150.9895
0.160.978
0.170.9584
0.180.9276
0.190.8834
......

Es muss gelten: Pp99 (X23) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(99,X,23) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.18 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 58 Versuchen genau 48 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.8.

P0.858 (X=48) = ( 58 48 ) 0.848 0.210 =0.11915687327642≈ 0.1192
(TI-Befehl: binompdf(58,0.8,48))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 83 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=83⋅ 1 6 = 13.833333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 13.833, also 0.8⋅ 13.833 = 11.067 und 120% von 13.833333333333, also 1.2⋅ 13.833 = 16.6

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 13.833333333333 entfernt sein darf als 11.067 bzw. 16.6, muss sie also zwischen 12 und 16 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p= 1 6 .

P 1 6 83 (12X16) =

...
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
...

P 1 6 83 (X16) - P 1 6 83 (X11) ≈ 0.7876 - 0.2516 ≈ 0.536
(TI-Befehl: binomcdf(83, 1 6 ,16) - binomcdf(83, 1 6 ,11))