Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,05. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?

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nP(X≤k)
......
10.95
20.9025
30.8574
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und variablem n.

Es muss gelten: P0.05n (X0) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 5% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 0 0.05 ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.05⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
P0.05n (X0) ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=2 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 83 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 mal, aber weniger als 16 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p= 1 6 .

P 1 6 83 (7X15) =

...
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
...

P 1 6 83 (X15) - P 1 6 83 (X6) ≈ 0.6969 - 0.01 ≈ 0.6869
(TI-Befehl: binomcdf(83, 1 6 ,15) - binomcdf(83, 1 6 ,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
8 12 0.9996
9 13 0.9991
10 14 0.9982
11 15 0.9967
12 16 0.9945
13 17 0.9916
14 18 0.9878
15 19 0.983
16 20 0.9773
17 21 0.9707
18 22 0.9633
19 23 0.9549
20 24 0.9458
21 25 0.936
22 26 0.9256
23 27 0.9146
24 28 0.9031
25 29 0.8912
26 30 0.8789
27 31 0.8664
28 32 0.8536
29 33 0.8406
30 34 0.8275
31 35 0.8144
32 36 0.8012
33 37 0.788
34 38 0.7748
35 39 0.7617
36 40 0.7487
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp26 (X24) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp26 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 8 12 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 35 39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 35 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 98 Stück nur an, wenn nicht mehr als 36 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

Lösung einblenden
pP(X≤k)
......
0.260.993
0.270.987
0.280.977
0.290.9616
0.30.9391
0.310.9078
0.320.8666
......

Es muss gelten: Pp98 (X36) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(98,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 84 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 21, aber weniger als 26 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.25.

P0.2584 (21X25) =

...
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
...

P0.2584 (X25) - P0.2584 (X20) ≈ 0.8706 - 0.4582 ≈ 0.4124
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.25,25) - binomcdf(84,0.25,20))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 44 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 44⋅0.3 ≈ 13.2,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 44 0.3 0.7 ≈ 3.04

16.24 (13.2 + 3.04) und 10.16 (13.2 - 3.04) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 13.2 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 11 und 16 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 11 und 16 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.3.

P0.344 (11X16) =

...
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
...

P0.344 (X16) - P0.344 (X10) ≈ 0.8606 - 0.1885 ≈ 0.6721
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.3,16) - binomcdf(44,0.3,10))