Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 40%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit 26 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
650.453
660.4138
670.3759
680.3396
690.3052
700.2728
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: P0.4n (X26) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.4n (X26) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.4n (X26) = 1 - P0.4n (X25) ≥ 0.7 |+ P0.4n (X25) - 0.7

0.3 ≥ P0.4n (X25) oder P0.4n (X25) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 26 0.4 ≈ 65 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.4⋅65) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=65:
P0.4n (X25) ≈ 0.453 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=70 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 70 sein, damit P0.4n (X25) ≤ 0.3 oder eben P0.4n (X26) ≥ 0.7 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 52 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 27 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.5.

P0.552 (X=27) = ( 52 27 ) 0.527 0.525 =0.10603766306704≈ 0.106
(TI-Befehl: binompdf(52,0.5,27))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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pP(X≥10)=1-P(X≤9)
......
2 8 0.9997
2 9 0.9979
2 10 0.9914
2 11 0.9756
2 12 0.9466
2 13 0.9025
2 14 0.8447
2 15 0.7763
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp90 (X10) = 1- Pp90 (X9) = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp90 (X10) ('mindestens 10 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 2 8 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 14 sein.

Also wären noch 12 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 70 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 70)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 90% mindestens 44 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥44)=1-P(X≤43)
......
0.650.695
0.660.7543
0.670.8073
0.680.853
0.690.8913
0.70.9221
......

Es muss gelten: Pp70 (X44) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp70 (X43) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(70,X,43) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 68 Versuchen mehr als 14 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.2.

...
12
13
14
15
16
17
...

P0.268 (X>14) = P0.268 (X15) = 1 - P0.268 (X14) = 0.3818
(TI-Befehl: 1-binomcdf(68,0.2,14))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 53 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=53⋅0.3 = 15.9

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 15.9, also 0.8⋅ 15.9 = 12.72 und 120% von 15.9, also 1.2⋅ 15.9 = 19.08

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 15.9 entfernt sein darf als 12.72 bzw. 19.08, muss sie also zwischen 13 und 19 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.3.

P0.353 (13X19) =

...
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
...

P0.353 (X19) - P0.353 (X12) ≈ 0.8592 - 0.1537 ≈ 0.7055
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.3,19) - binomcdf(53,0.3,12))