Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
20	0.6676
21	0.6543
22	0.6412
23	0.6283
24	0.6158
25	0.6035
26	0.5914
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,26 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 90 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 26 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.26.

...

23

24

25

26

27

28

...

P_{0.26}^{90} (X \geq 26)

= 1 -

P_{0.26}^{90} (X \leq 25)

= 0.302
(TI-Befehl: 1-binomcdf(90,0.26,25))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 55 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{6}$	0.5637
$\frac{1}{7}$	0.7456
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{55} (X \leq 9)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{55} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{55}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{55}$ ⋅55 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{55} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{55}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 59 Freiwürfen mindestens 53 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥53)=1-P(X≤52)
...	...
0.86	0.2632
0.87	0.3398
0.88	0.4276
0.89	0.5236
0.9	0.6234
0.91	0.7208
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{59} (X \geq 53)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{59} (X \leq 52)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(59,X,52) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.91 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 75% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 58 Versuchen mindestens 43 und weniger als 48 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.75.

$P_{0.75}^{58} (43 \leq X \leq 47)$ =

...

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.75}^{58} (X \leq 47)

-

P_{0.75}^{58} (X \leq 42)

≈ 0.8903 - 0.3723 ≈ 0.518
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.75,47) - binomcdf(58,0.75,42))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 99 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=99⋅ $\frac{1}{6}$ = 16.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 16.5, also 0.8⋅ 16.5 = 13.2 und 120% von 16.5, also 1.2⋅ 16.5 = 19.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 16.5 entfernt sein darf als 13.2 bzw. 19.8, muss sie also zwischen 14 und 19 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{99} (14 \leq X \leq 19)$ =

...

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{\frac{1}{6}}^{99} (X \leq 19)

-

P_{\frac{1}{6}}^{99} (X \leq 13)

≈ 0.7938 - 0.2122 ≈ 0.5816
(TI-Befehl: binomcdf(99, $\frac{1}{6}$ ,19) - binomcdf(99, $\frac{1}{6}$ ,13))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert