Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 21 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
61	0.8154
62	0.7911
63	0.7653
64	0.7383
65	0.7101
66	0.681
67	0.6511
68	0.6206
69	0.5897
70	0.5586
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.3}$ ≈ 70 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.3⋅70) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=70:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.5586 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=61 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 6 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 28 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=28 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{28} (X = 6)

=

(\begin{matrix} 28 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{6} \cdot {(\frac{7}{8})}^{22}

=0.07615159042144≈ 0.0762
(TI-Befehl: binompdf(28,1/8,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥10)=1-P(X≤9)
...	...
$\frac{3}{16}$	0.9996
$\frac{3}{17}$	0.9988
$\frac{3}{18}$	0.9973
$\frac{3}{19}$	0.9945
$\frac{3}{20}$	0.9898
$\frac{3}{21}$	0.9828
$\frac{3}{22}$	0.9728
$\frac{3}{23}$	0.9594
$\frac{3}{24}$	0.9424
$\frac{3}{25}$	0.9218
$\frac{3}{26}$	0.8975
$\frac{3}{27}$	0.87
$\frac{3}{28}$	0.8394
$\frac{3}{29}$	0.8064
$\frac{3}{30}$	0.7714
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 10)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 9)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 10)$ ('mindestens 10 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{16}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{29}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 29 sein.

Also wären noch 26 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 46 Stück nur an, wenn nicht mehr als 42 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.81	0.9837
0.82	0.976
0.83	0.9651
0.84	0.95
0.85	0.9293
0.86	0.9016
0.87	0.8652
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{46} (X \leq 42)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(46,X,42) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 63 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 41 und höchstens 47 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.65.

$P_{0.65}^{63} (41 \leq X \leq 47)$ =

...

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.65}^{63} (X \leq 47)

-

P_{0.65}^{63} (X \leq 40)

≈ 0.9611 - 0.4476 ≈ 0.5135
(TI-Befehl: binomcdf(63,0.65,47) - binomcdf(63,0.65,40))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 82 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=82⋅0.45 = 36.9

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 36.9, also 0.8⋅ 36.9 = 29.52 und 120% von 36.9, also 1.2⋅ 36.9 = 44.28

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 36.9 entfernt sein darf als 29.52 bzw. 44.28, muss sie also zwischen 30 und 44 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.45.

$P_{0.45}^{82} (30 \leq X \leq 44)$ =

...

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

...

P_{0.45}^{82} (X \leq 44)

-

P_{0.45}^{82} (X \leq 29)

≈ 0.9538 - 0.0493 ≈ 0.9045
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.45,44) - binomcdf(82,0.45,29))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert