Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% nicht mehr als 30 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
176	0.6014
177	0.5883
178	0.5751
179	0.5618
180	0.5486
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{\frac{1}{6}}$ ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 30 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.5486 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=176 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 8 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 41 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{41} (X = 8)

=

(\begin{matrix} 41 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{8} \cdot {(\frac{7}{8})}^{33}

=0.069465404389473≈ 0.0695
(TI-Befehl: binompdf(41,1/8,8))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 16 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{8}$	0.6771
$\frac{1}{9}$	0.7405
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{16} (X \leq 2)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{16} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{16}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{16}$ ⋅16 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{16} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{16}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 64 Freiwürfen mindestens 59 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥59)=1-P(X≤58)
...	...
0.89	0.2806
0.9	0.3727
0.91	0.479
0.92	0.5941
0.93	0.7097
0.94	0.8151
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{64} (X \geq 59)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{64} (X \leq 58)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(64,X,58) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.94 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 12 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 71 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{71} (X \leq 12)

=

P_{\frac{1}{8}}^{71} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{71} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{71} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{71} (X = 12)

= 0.89934081060388 ≈ 0.8993
(TI-Befehl: binomcdf(71,1/8,12))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 68 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 68 und p = 0.4 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 68 ⋅ 0.4 = 27.2

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{68 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6}$ = $\sqrt{16.32}$ ≈ 4.04

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.