Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,65. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 24 dieser Fehler begeht?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 35 | 0.7284 |
| 36 | 0.6437 |
| 37 | 0.5547 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 37 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.65⋅37) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=37:
≈ 0.5547
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,84. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 46 Versuchen mehr als 41 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.84.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(46,0.84,41))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?
| p | P(X≤3) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6482 | |
| 0.6769 | |
| 0.703 | |
| 0.7269 | |
| 0.7487 | |
| 0.7685 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 3=⋅15 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
30 sein.
Also werden noch 25 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 54 Freiwürfen mindestens 42 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥42)=1-P(X≤41) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.77 | 0.522 |
| 0.78 | 0.5921 |
| 0.79 | 0.6608 |
| 0.8 | 0.726 |
| 0.81 | 0.7857 |
| 0.82 | 0.8384 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.8 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(54,X,41) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.82 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 90 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 63 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.7.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(90,0.7,62))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 62 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 62 und p = 0.15 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 62 ⋅ 0.15 = 9.3
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 2.81
