Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% nicht mehr als 32 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
187	0.611
188	0.5983
189	0.5855
190	0.5727
191	0.5599
192	0.547
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{32}{\frac{1}{6}}$ ≈ 192 Versuchen auch ungefähr 32 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅192) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=192:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.547 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=187 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 90 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 50 und höchstens 64 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.65.

$P_{0.65}^{90} (50 \leq X \leq 64)$ =

...

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

...

P_{0.65}^{90} (X \leq 64)

-

P_{0.65}^{90} (X \leq 49)

≈ 0.9092 - 0.0248 ≈ 0.8844
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.65,64) - binomcdf(90,0.65,49))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{5}{15}$	0.5431
$\frac{5}{16}$	0.6203
$\frac{5}{17}$	0.6863
$\frac{5}{18}$	0.7416
$\frac{5}{19}$	0.7874
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{19}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{19}$ ⋅19 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{19}$ mit $\frac{5}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{15}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{19}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 19 sein.

Also werden noch 14 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 72 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 72)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 80% mindestens 47 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥47)=1-P(X≤46)
...	...
0.65	0.5344
0.66	0.6049
0.67	0.6726
0.68	0.7358
0.69	0.7927
0.7	0.8421
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{72} (X \geq 47)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{72} (X \leq 46)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(72,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 55 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 16 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{55} (X = 16)

=

(\begin{matrix} 55 \\ 16 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{16} \cdot {(\frac{3}{4})}^{39}

=0.092876416736274≈ 0.0929
(TI-Befehl: binompdf(55,1/4,16))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 85 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 85⋅0.6 ≈ 51,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{85\cdot0.6\cdot0.4}$ ≈ 4.52

55.52 (51 + 4.52) und 46.48 (51 - 4.52) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 51 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 47 und 55 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 47 und 55 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.6.

$P_{0.6}^{85} (47 \leq X \leq 55)$ =

...

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

...

P_{0.6}^{85} (X \leq 55)

-

P_{0.6}^{85} (X \leq 46)

≈ 0.8404 - 0.1595 ≈ 0.6809
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.6,55) - binomcdf(85,0.6,46))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ