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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,8. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 29 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
33	0.9192
34	0.8381
35	0.7279
36	0.5993
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.8}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.8⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.5993 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 58 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 9 mal, aber weniger als 16 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{58} (10 \leq X \leq 15)$ =

...

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{\frac{1}{6}}^{58} (X \leq 15)

-

P_{\frac{1}{6}}^{58} (X \leq 9)

≈ 0.9749 - 0.4924 ≈ 0.4825
(TI-Befehl: binomcdf(58, $\frac{1}{6}$ ,15) - binomcdf(58, $\frac{1}{6}$ ,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{5}{9}$	0.9994
$\frac{6}{10}$	0.9976
$\frac{7}{11}$	0.9933
$\frac{8}{12}$	0.9851
$\frac{9}{13}$	0.9722
$\frac{10}{14}$	0.9542
$\frac{11}{15}$	0.9312
$\frac{12}{16}$	0.9038
$\frac{13}{17}$	0.8727
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 21)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{9}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{12}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 74 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 74)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 90% mindestens 66 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥66)=1-P(X≤65)
...	...
0.88	0.464
0.89	0.572
0.9	0.6802
0.91	0.7803
0.92	0.8642
0.93	0.9269
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{74} (X \geq 66)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{74} (X \leq 65)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(74,X,65) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.93 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 95 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 51 und höchstens 54 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.5.

$P_{0.5}^{95} (51 \leq X \leq 54)$ =

...

48

49

50

51

52

53

54

55

56

...

P_{0.5}^{95} (X \leq 54)

-

P_{0.5}^{95} (X \leq 50)

≈ 0.9247 - 0.7308 ≈ 0.1939
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.5,54) - binomcdf(95,0.5,50))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=45%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 94 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=94⋅0.45 = 42.3

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 42.3, also 0.85⋅ 42.3 = 35.955 und 115% von 42.3, also 1.15⋅ 42.3 = 48.645

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 42.3 entfernt sein darf als 35.955 bzw. 48.645, muss sie also zwischen 36 und 48 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.45.

$P_{0.45}^{94} (36 \leq X \leq 48)$ =

...

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

...

P_{0.45}^{94} (X \leq 48)

-

P_{0.45}^{94} (X \leq 35)

≈ 0.9004 - 0.0786 ≈ 0.8218
(TI-Befehl: binomcdf(94,0.45,48) - binomcdf(94,0.45,35))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert