Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 27 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
34	0.782
35	0.6777
36	0.5637
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.75}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.75⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.5637 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 78 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 8 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

5

6

7

8

9

10

...

P_{\frac{1}{6}}^{78} (X \geq 8)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{78} (X \leq 7)

= 0.96
(TI-Befehl: 1-binomcdf(78, $\frac{1}{6}$ ,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 75%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥12)=1-P(X≤11)
...	...
$\frac{3}{11}$	0.9995
$\frac{3}{12}$	0.9978
$\frac{3}{13}$	0.9928
$\frac{3}{14}$	0.9819
$\frac{3}{15}$	0.9622
$\frac{3}{16}$	0.9319
$\frac{3}{17}$	0.8905
$\frac{3}{18}$	0.8391
$\frac{3}{19}$	0.7795
$\frac{3}{20}$	0.7147
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 12)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 11)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{11}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{19}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 19 sein.

Also wären noch 16 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 57 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 38 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥38)=1-P(X≤37)
...	...
0.69	0.7043
0.7	0.7591
0.71	0.8084
0.72	0.8516
0.73	0.8882
0.74	0.9183
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{57} (X \geq 38)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{57} (X \leq 37)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(57,X,37) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 62%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 81 Versuchen weniger als 45 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.62.

P_{0.62}^{81} (X < 45)

=

P_{0.62}^{81} (X \leq 44)

=

P_{0.62}^{81} (X = 0)

+

P_{0.62}^{81} (X = 1)

+

P_{0.62}^{81} (X = 2)

+... +

P_{0.62}^{81} (X = 44)

= 0.096104627370076 ≈ 0.0961
(TI-Befehl: binomcdf(81,0.62,44))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 98 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 98⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 16.33,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{98\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.69

20.02 (16.33 + 3.69) und 12.64 (16.33 - 3.69) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 16.33 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 13 und 20 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 13 und 20 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{98} (13 \leq X \leq 20)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

...

P_{\frac{1}{6}}^{98} (X \leq 20)

-

P_{\frac{1}{6}}^{98} (X \leq 12)

≈ 0.8694 - 0.1485 ≈ 0.7209
(TI-Befehl: binomcdf(98, $\frac{1}{6}$ ,20) - binomcdf(98, $\frac{1}{6}$ ,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ