Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 50%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 23 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
460.4415
470.3854
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: P0.5n (X23) ≥ 0.6

Weil man ja aber P0.5n (X23) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.5n (X23) = 1 - P0.5n (X22) ≥ 0.6 |+ P0.5n (X22) - 0.6

0.4 ≥ P0.5n (X22) oder P0.5n (X22) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 23 0.5 ≈ 46 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.5⋅46) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=46:
P0.5n (X22) ≈ 0.4415 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 47 sein, damit P0.5n (X22) ≤ 0.4 oder eben P0.5n (X23) ≥ 0.6 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 41 Versuchen, mehr als 17 mal und höchstens 21 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.4.

P0.441 (18X21) =

...
15
16
17
18
19
20
21
22
23
...

P0.441 (X21) - P0.441 (X17) ≈ 0.9468 - 0.6404 ≈ 0.3064
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.4,21) - binomcdf(41,0.4,17))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥2)=1-P(X≤1)
......
1 2 0.9805
1 3 0.8569
1 4 0.6997
1 5 0.5638
1 6 0.4573
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp9 (X2) = 1- Pp9 (X1) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp9 (X2) ('mindestens 2 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 5 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 73 Freiwürfen mindestens 62 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥62)=1-P(X≤61)
......
0.820.3177
0.830.4009
0.840.4917
0.850.586
0.860.6788
0.870.7648
......

Es muss gelten: Pp73 (X62) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp73 (X61) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(73,X,61) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.87 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 32 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 18 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=32 und p=0.5.

P0.532 (X18) = P0.532 (X=0) + P0.532 (X=1) + P0.532 (X=2) +... + P0.532 (X=18) = 0.81145720626228 ≈ 0.8115
(TI-Befehl: binomcdf(32,0.5,18))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 76 und p = 0.5
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 76 und p = 0.5 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 76 ⋅ 0.5 = 38

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 76 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 = 19 4.36