Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% nicht mehr als 37 6er zu würfeln?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
1850.9035
1860.8974
1870.8912
1880.8846
1890.8779
1900.8709
1910.8636
1920.8561
1930.8484
1940.8404
1950.8322
1960.8238
1970.8151
1980.8062
1990.7971
2000.7877
2010.7782
2020.7684
2030.7585
2040.7484
2050.738
2060.7275
2070.7169
2080.7061
2090.6951
2100.684
2110.6728
2120.6614
2130.65
2140.6384
2150.6268
2160.6151
2170.6033
2180.5914
2190.5796
2200.5676
2210.5557
2220.5438
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X37) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 37 1 6 ≈ 222 Versuchen auch ungefähr 37 (≈ 1 6 ⋅222) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=222:
P 1 6 n (X37) ≈ 0.5438 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=185 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 65 Versuchen genau 48 mal im grünen Bereich zu landen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.7.

P0.765 (X=48) = ( 65 48 ) 0.748 0.317 =0.088536062115576≈ 0.0885
(TI-Befehl: binompdf(65,0.7,48))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 50 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 50 Durchgänge reichen?

Lösung einblenden
pP(X≤7)
......
1 7 0.576
1 8 0.7165
1 9 0.8136
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp50 (X7) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp50 (X7) ('höchstens 7 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 7 50 . Mit diesem p wäre ja 7= 7 50 ⋅50 der Erwartungswert und somit Pp50 (X7) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 7 50 mit 1 7 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 7 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 63 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 63)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 90% mindestens 33 Treffer erzielt werden?

Lösung einblenden
pP(X≥33)=1-P(X≤32)
......
0.550.7078
0.560.7604
0.570.8076
0.580.8487
0.590.8837
0.60.9127
......

Es muss gelten: Pp63 (X33) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp63 (X32) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(63,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 81 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 15, aber weniger als 21 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.25.

P0.2581 (15X20) =

...
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
...

P0.2581 (X20) - P0.2581 (X14) ≈ 0.5341 - 0.066 ≈ 0.4681
(TI-Befehl: binomcdf(81,0.25,20) - binomcdf(81,0.25,14))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 78 und p = 0.5
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 78 und p = 0.5 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 78 ⋅ 0.5 = 39

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 78 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 = 19.5 4.42