Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht über 36 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
41	0.9336
42	0.8713
43	0.7842
44	0.6771
45	0.5593
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.8}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.8⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5593 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 58 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 26 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.5.

P_{0.5}^{58} (X = 26)

=

(\begin{matrix} 58 \\ 26 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{26} \cdot {0.5}^{32}

=0.076849503316016≈ 0.0768
(TI-Befehl: binompdf(58,0.5,26))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{8}{12}$	0.9996
$\frac{9}{13}$	0.9991
$\frac{10}{14}$	0.9982
$\frac{11}{15}$	0.9967
$\frac{12}{16}$	0.9945
$\frac{13}{17}$	0.9916
$\frac{14}{18}$	0.9878
$\frac{15}{19}$	0.983
$\frac{16}{20}$	0.9773
$\frac{17}{21}$	0.9707
$\frac{18}{22}$	0.9633
$\frac{19}{23}$	0.9549
$\frac{20}{24}$	0.9458
$\frac{21}{25}$	0.936
$\frac{22}{26}$	0.9256
$\frac{23}{27}$	0.9146
$\frac{24}{28}$	0.9031
$\frac{25}{29}$	0.8912
$\frac{26}{30}$	0.8789
$\frac{27}{31}$	0.8664
$\frac{28}{32}$	0.8536
$\frac{29}{33}$	0.8406
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{8}{12}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{28}{32}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 28 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 58 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 58)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 41 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥41)=1-P(X≤40)
...	...
0.68	0.3888
0.69	0.4529
0.7	0.5191
0.71	0.5855
0.72	0.6505
0.73	0.7122
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{58} (X \geq 41)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{58} (X \leq 40)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(58,X,40) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.73 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 22 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 6 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=0.15.

...

3

4

5

6

7

8

...

P_{0.15}^{22} (X \geq 6)

= 1 -

P_{0.15}^{22} (X \leq 5)

= 0.0999
(TI-Befehl: 1-binomcdf(22,0.15,5))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 68 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 68⋅0.3 ≈ 20.4,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{68\cdot0.3\cdot0.7}$ ≈ 3.78

24.18 (20.4 + 3.78) und 16.62 (20.4 - 3.78) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 20.4 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 17 und 24 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 17 und 24 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.3.

$P_{0.3}^{68} (17 \leq X \leq 24)$ =

...

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

...

P_{0.3}^{68} (X \leq 24)

-

P_{0.3}^{68} (X \leq 16)

≈ 0.8605 - 0.1506 ≈ 0.7099
(TI-Befehl: binomcdf(68,0.3,24) - binomcdf(68,0.3,16))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ