Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 20 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
21	0.8906
22	0.6608
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{0.9}$ ≈ 22 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.9⋅22) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=22:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.6608 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=21 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 78 Versuchen genau 71 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.9.

P_{0.9}^{78} (X = 71)

=

(\begin{matrix} 78 \\ 71 \end{matrix}) \cdot {0.9}^{71} \cdot {0.1}^{7}

=0.14898237509372≈ 0.149
(TI-Befehl: binompdf(78,0.9,71))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{3}{7}$	0.9997
$\frac{4}{8}$	0.9959
$\frac{5}{9}$	0.9801
$\frac{6}{10}$	0.943
$\frac{7}{11}$	0.8819
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{29} (X \leq 21)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{29} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{7}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{6}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 93 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 33 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥33)=1-P(X≤32)
...	...
0.37	0.6562
0.38	0.7261
0.39	0.7877
0.4	0.8401
0.41	0.883
0.42	0.9169
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{93} (X \geq 33)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{93} (X \leq 32)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(93,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 24 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 14 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=0.5.

P_{0.5}^{24} (X < 14)

=

P_{0.5}^{24} (X \leq 13)

=

P_{0.5}^{24} (X = 0)

+

P_{0.5}^{24} (X = 1)

+

P_{0.5}^{24} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{24} (X = 13)

= 0.72937190532684 ≈ 0.7294
(TI-Befehl: binomcdf(24,0.5,13))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 67 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=67⋅0.65 = 43.55

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 43.55, also 0.85⋅ 43.55 = 37.018 und 115% von 43.55, also 1.15⋅ 43.55 = 50.083

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 43.55 entfernt sein darf als 37.018 bzw. 50.083, muss sie also zwischen 38 und 50 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.65.

$P_{0.65}^{67} (38 \leq X \leq 50)$ =

...

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

...

P_{0.65}^{67} (X \leq 50)

-

P_{0.65}^{67} (X \leq 37)

≈ 0.9653 - 0.0624 ≈ 0.9029
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.65,50) - binomcdf(67,0.65,37))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert