Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 25%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 40 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
135	0.9083
136	0.8993
137	0.8899
138	0.8798
139	0.8692
140	0.8581
141	0.8463
142	0.8341
143	0.8212
144	0.8079
145	0.794
146	0.7797
147	0.7648
148	0.7496
149	0.7339
150	0.7178
151	0.7013
152	0.6845
153	0.6674
154	0.65
155	0.6324
156	0.6146
157	0.5967
158	0.5787
159	0.5605
160	0.5424
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 40)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.25}$ ≈ 160 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.25⋅160) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=160:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 40)$ ≈ 0.5424 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=135 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 78 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 37 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.5.

P_{0.5}^{78} (X = 37)

=

(\begin{matrix} 78 \\ 37 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{37} \cdot {0.5}^{41}

=0.081377657513387≈ 0.0814
(TI-Befehl: binompdf(78,0.5,37))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 10er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.999
$\frac{1}{3}$	0.9827
$\frac{1}{4}$	0.9437
$\frac{1}{5}$	0.8926
$\frac{1}{6}$	0.8385
$\frac{1}{7}$	0.7859
$\frac{1}{8}$	0.7369
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=10 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{10} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{10} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{10} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 10 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 64 Freiwürfen mindestens 37 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥37)=1-P(X≤36)
...	...
0.52	0.1673
0.53	0.2105
0.54	0.2597
0.55	0.3144
0.56	0.3735
0.57	0.436
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{64} (X \geq 37)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{64} (X \leq 36)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(64,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 50 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 30 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.5.

P_{0.5}^{50} (X \leq 30)

=

P_{0.5}^{50} (X = 0)

+

P_{0.5}^{50} (X = 1)

+

P_{0.5}^{50} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{50} (X = 30)

= 0.94053977372028 ≈ 0.9405
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.5,30))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 47 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 47⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 7.83,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{47\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 2.55

10.39 (7.83 + 2.55) und 5.28 (7.83 - 2.55) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 7.83 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 10 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 10 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{47} (6 \leq X \leq 10)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

P_{\frac{1}{6}}^{47} (X \leq 10)

-

P_{\frac{1}{6}}^{47} (X \leq 5)

≈ 0.8516 - 0.1822 ≈ 0.6694
(TI-Befehl: binomcdf(47, $\frac{1}{6}$ ,10) - binomcdf(47, $\frac{1}{6}$ ,5))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ