Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 60%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit 40 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
670.4276
680.3711
690.3181
700.2694
710.2254
720.1863
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: P0.6n (X40) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.6n (X40) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.6n (X40) = 1 - P0.6n (X39) ≥ 0.8 |+ P0.6n (X39) - 0.8

0.2 ≥ P0.6n (X39) oder P0.6n (X39) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 40 0.6 ≈ 67 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.6⋅67) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=67:
P0.6n (X39) ≈ 0.4276 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 72 sein, damit P0.6n (X39) ≤ 0.2 oder eben P0.6n (X40) ≥ 0.8 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 68 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 13 und höchstens 17 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.25.

P0.2568 (13X17) =

...
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...

P0.2568 (X17) - P0.2568 (X12) ≈ 0.5647 - 0.1008 ≈ 0.4639
(TI-Befehl: binomcdf(68,0.25,17) - binomcdf(68,0.25,12))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9995
1 3 0.9884
1 4 0.9578
1 5 0.9141
1 6 0.8654
1 7 0.8165
1 8 0.7698
1 9 0.7263
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp11 (X1) = 1- Pp11 (X0) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp11 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 8 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 85 Ausspielungen nicht öfters als 69 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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pP(X≤k)
......
0.70.9931
0.710.9884
0.720.9809
0.730.9695
0.740.9528
0.750.9289
0.760.896
......

Es muss gelten: Pp85 (X69) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(85,X,69) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.75 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 23 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.5.

P0.541 (X=23) = ( 41 23 ) 0.523 0.518 =0.091910187893518≈ 0.0919
(TI-Befehl: binompdf(41,0.5,23))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 66 und p = 0.3
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 66 und p = 0.3 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 66 ⋅ 0.3 = 19.8

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 66 ⋅ 0.3 ⋅ 0.7 = 13.86 3.72