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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,25. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 40 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
135	0.9083
136	0.8993
137	0.8899
138	0.8798
139	0.8692
140	0.8581
141	0.8463
142	0.8341
143	0.8212
144	0.8079
145	0.794
146	0.7797
147	0.7648
148	0.7496
149	0.7339
150	0.7178
151	0.7013
152	0.6845
153	0.6674
154	0.65
155	0.6324
156	0.6146
157	0.5967
158	0.5787
159	0.5605
160	0.5424
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 40)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.25}$ ≈ 160 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.25⋅160) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=160:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 40)$ ≈ 0.5424 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=135 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 50 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 8 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{50} (X = 8)

=

(\begin{matrix} 50 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{8} \cdot {(\frac{3}{4})}^{42}

=0.046341412340841≈ 0.0463
(TI-Befehl: binompdf(50,1/4,8))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{4}{9}$	0.563
$\frac{4}{10}$	0.6925
$\frac{4}{11}$	0.7856
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{14} (X \leq 6)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{14} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{14}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{14}$ ⋅14 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{14} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{14}$ mit $\frac{4}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 11 sein.

Also werden noch 7 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 100 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 100).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 70% höchstens 52 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.44	0.9561
0.45	0.9338
0.46	0.9037
0.47	0.8647
0.48	0.8162
0.49	0.7581
0.5	0.6914
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{100} (X \leq 52)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(100,X,52) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 42 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 6, aber weniger als 14 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.25.

$P_{0.25}^{42} (6 \leq X \leq 13)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

...

P_{0.25}^{42} (X \leq 13)

-

P_{0.25}^{42} (X \leq 5)

≈ 0.857 - 0.0307 ≈ 0.8263
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.25,13) - binomcdf(42,0.25,5))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=65%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 57 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=57⋅0.65 = 37.05

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 37.05, also 0.9⋅ 37.05 = 33.345 und 110% von 37.05, also 1.1⋅ 37.05 = 40.755

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 37.05 entfernt sein darf als 33.345 bzw. 40.755, muss sie also zwischen 34 und 40 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.65.

$P_{0.65}^{57} (34 \leq X \leq 40)$ =

...

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

...

P_{0.65}^{57} (X \leq 40)

-

P_{0.65}^{57} (X \leq 33)

≈ 0.8307 - 0.162 ≈ 0.6687
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.65,40) - binomcdf(57,0.65,33))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert