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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,2. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 29 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
141	0.6153
142	0.5989
143	0.5825
144	0.566
145	0.5495
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.2}$ ≈ 145 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.2⋅145) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=145:
$P_{0.2}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.5495 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=141 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 45 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

1

2

3

4

5

6

...

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X > 3)

=

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \geq 4)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \leq 3)

= 0.9554
(TI-Befehl: 1-binomcdf(45, $\frac{1}{6}$ ,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{5}$	0.4672
$\frac{3}{6}$	0.7256
$\frac{3}{7}$	0.8614
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{11}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{11}$ ⋅11 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{11}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 7 sein.

Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 87 Stück nur an, wenn nicht mehr als 66 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.65	0.9891
0.66	0.9823
0.67	0.9721
0.68	0.9571
0.69	0.936
0.7	0.9072
0.71	0.8692
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{87} (X \leq 66)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(87,X,66) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 21 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 5 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=21 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{21} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 21 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{5} \cdot {(\frac{5}{6})}^{16}

=0.14154250685202≈ 0.1415
(TI-Befehl: binompdf(21,1/6,5))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 61 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 61⋅0.25 ≈ 15.25,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{61\cdot0.25\cdot0.75}$ ≈ 3.38

18.63 (15.25 + 3.38) und 11.87 (15.25 - 3.38) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 15.25 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 12 und 18 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 12 und 18 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.25.

$P_{0.25}^{61} (12 \leq X \leq 18)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{0.25}^{61} (X \leq 18)

-

P_{0.25}^{61} (X \leq 11)

≈ 0.8324 - 0.1322 ≈ 0.7002
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.25,18) - binomcdf(61,0.25,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ