Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 15% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 30 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
350.4311
360.2901
370.1812
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: P0.85n (X30) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.85n (X30) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.85n (X30) = 1 - P0.85n (X29) ≥ 0.8 |+ P0.85n (X29) - 0.8

0.2 ≥ P0.85n (X29) oder P0.85n (X29) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 30 0.85 ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.85⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
P0.85n (X29) ≈ 0.4311 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 37 sein, damit P0.85n (X29) ≤ 0.2 oder eben P0.85n (X30) ≥ 0.8 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 42 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 17 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.5.

P0.542 (X17) = P0.542 (X=0) + P0.542 (X=1) + P0.542 (X=2) +... + P0.542 (X=17) = 0.13997811926447 ≈ 0.14
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.5,17))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
4 9 0.9998
5 10 0.9981
6 11 0.9924
7 12 0.9791
8 13 0.9552
9 14 0.9198
10 15 0.8738
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp28 (X21) = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp28 (X21) ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 4 9 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 9 14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 66 Ausspielungen nicht öfters als 38 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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pP(X≤k)
......
0.450.9851
0.460.9777
0.470.9674
0.480.9536
0.490.9355
0.50.9124
0.510.8835
......

Es muss gelten: Pp66 (X38) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(66,X,38) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 27 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p= 1 6 .

P 1 6 27 (X=3) = ( 27 3 ) ( 1 6 )3 ( 5 6 )24 =0.17034218516894≈ 0.1703
(TI-Befehl: binompdf(27,1/6,3))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 79 und p = 0.45
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 79 und p = 0.45 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 79 ⋅ 0.45 = 35.55

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 79 ⋅ 0.45 ⋅ 0.55 = 19.5525 4.42