Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 25%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 40 grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 135 | 0.9083 |
| 136 | 0.8993 |
| 137 | 0.8899 |
| 138 | 0.8798 |
| 139 | 0.8692 |
| 140 | 0.8581 |
| 141 | 0.8463 |
| 142 | 0.8341 |
| 143 | 0.8212 |
| 144 | 0.8079 |
| 145 | 0.794 |
| 146 | 0.7797 |
| 147 | 0.7648 |
| 148 | 0.7496 |
| 149 | 0.7339 |
| 150 | 0.7178 |
| 151 | 0.7013 |
| 152 | 0.6845 |
| 153 | 0.6674 |
| 154 | 0.65 |
| 155 | 0.6324 |
| 156 | 0.6146 |
| 157 | 0.5967 |
| 158 | 0.5787 |
| 159 | 0.5605 |
| 160 | 0.5424 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 160 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.25⋅160) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=160:
≈ 0.5424
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=135 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Eine Münze wird 78 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 37 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.5.
= =0.081377657513387≈ 0.0814(TI-Befehl: binompdf(78,0.5,37))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 10er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥1)=1-P(X≤0) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.999 | |
| 0.9827 | |
| 0.9437 | |
| 0.8926 | |
| 0.8385 | |
| 0.7859 | |
| 0.7369 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=10 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 1 Treffer bei 10 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
7 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 64 Freiwürfen mindestens 37 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥37)=1-P(X≤36) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.52 | 0.1673 |
| 0.53 | 0.2105 |
| 0.54 | 0.2597 |
| 0.55 | 0.3144 |
| 0.56 | 0.3735 |
| 0.57 | 0.436 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.5 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.5 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(64,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Eine Münze wird 50 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 30 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.5.
= + + +... + = 0.94053977372028 ≈ 0.9405(TI-Befehl: binomcdf(50,0.5,30))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 47 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 47⋅ ≈ 7.83,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.55
10.39 (7.83 + 2.55) und 5.28 (7.83 - 2.55) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 7.83 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 10 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 10 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=47 und p=
(TI-Befehl: binomcdf(47,
