Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßig exzessiven Alkoholgenuss bei 13% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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nP(X≤k)
......
140.2708
150.1204
160.0471
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.87 und variablem n.

Es muss gelten: P0.87n (X12) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.87n (X12) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.87n (X12) = 1 - P0.87n (X11) ≥ 0.9 |+ P0.87n (X11) - 0.9

0.1 ≥ P0.87n (X11) oder P0.87n (X11) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 87% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 12 0.87 ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.87⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
P0.87n (X11) ≈ 0.2708 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 16 sein, damit P0.87n (X11) ≤ 0.1 oder eben P0.87n (X12) ≥ 0.9 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,83. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 24 Versuchen mehr als 18 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=0.83.

...
16
17
18
19
20
21
...

P0.8324 (X>18) = P0.8324 (X19) = 1 - P0.8324 (X18) = 0.7873
(TI-Befehl: 1-binomcdf(24,0.83,18))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 18 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 18 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
5 15 0.6085
5 16 0.6806
5 17 0.7403
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp18 (X6) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp18 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 18 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 18 ⋅18 der Erwartungswert und somit Pp18 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 18 mit 5 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 5 15 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 17 sein.

Also werden noch 12 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 64 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 78 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≤k)
......
0.710.9912
0.720.9856
0.730.977
0.740.9643
0.750.9461
0.760.9207
0.770.8864
......

Es muss gelten: Pp78 (X64) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(78,X,64) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,72. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 89 Versuchen mehr als 56 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.72.

...
54
55
56
57
58
59
...

P0.7289 (X>56) = P0.7289 (X57) = 1 - P0.7289 (X56) = 0.9606
(TI-Befehl: 1-binomcdf(89,0.72,56))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 45 und p = 0.7
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 45 und p = 0.7 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 45 ⋅ 0.7 = 31.5

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 45 ⋅ 0.7 ⋅ 0.3 = 9.45 3.07