Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ = 1 - $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ oder $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.85⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≈ 0.3412 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 40 sein, damit $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{25}(X\le 24)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{25}(X\le 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{17}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{51}{56}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 51 sein.

Es muss gelten: $P_p^{50}(X\ge 47)$=0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_p^{50}(X\le 46)$=0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(50,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.97 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.