Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 26 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
1880.1252
1890.1188
1900.1128
1910.107
1920.1014
1930.0961
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X26) ≥ 0.9

Weil man ja aber P 1 6 n (X26) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X26) = 1 - P 1 6 n (X25) ≥ 0.9 |+ P 1 6 n (X25) - 0.9

0.1 ≥ P 1 6 n (X25) oder P 1 6 n (X25) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 26 1 6 ≈ 156 Versuchen auch ungefähr 26 (≈ 1 6 ⋅156) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=156:
P 1 6 n (X25) ≈ 0.4667 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=193 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 193 sein, damit P 1 6 n (X25) ≤ 0.1 oder eben P 1 6 n (X26) ≥ 0.9 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,21 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 34 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 6 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=34 und p=0.21.

P0.2134 (X6) = P0.2134 (X=0) + P0.2134 (X=1) + P0.2134 (X=2) +... + P0.2134 (X=6) = 0.40912488232437 ≈ 0.4091
(TI-Befehl: binomcdf(34,0.21,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 60 Durchgänge reichen?

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pP(X≤6)
......
1 10 0.6065
1 11 0.6975
1 12 0.7688
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp60 (X6) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp60 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 60 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 60 ⋅60 der Erwartungswert und somit Pp60 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 60 mit 1 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 10 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 12 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 61 Ausspielungen nicht öfters als 37 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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pP(X≤k)
......
0.480.9826
0.490.9747
0.50.9639
0.510.9497
0.520.9313
0.530.9082
0.540.8797
......

Es muss gelten: Pp61 (X37) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(61,X,37) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,27 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 35 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 11 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.27.

...
8
9
10
11
12
13
...

P0.2735 (X11) = 1 - P0.2735 (X10) = 0.3359
(TI-Befehl: 1-binomcdf(35,0.27,10))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 76 und p = 0.2
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 76 und p = 0.2 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 76 ⋅ 0.2 = 15.2

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 76 ⋅ 0.2 ⋅ 0.8 = 12.16 3.49