Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.82 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ oder $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 82% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{0.82}}$ ≈ 15 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.82⋅15) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=15:
$P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≈ 0.2782 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 16 sein, damit $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{25}(X\le 21)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{25}(X\le 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{6}{\mathrm{11}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{18}{23}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 18 sein.

Es muss gelten: $P_p^{75}(X\le 25)$=0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(75,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.