Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% nicht mehr als 40 6er zu würfeln?

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nP(X≤k)
......
2150.805
2160.7963
2170.7873
2180.7781
2190.7688
2200.7592
2210.7495
2220.7397
2230.7296
2240.7194
2250.7091
2260.6986
2270.688
2280.6772
2290.6664
2300.6554
2310.6444
2320.6332
2330.622
2340.6107
2350.5994
2360.588
2370.5765
2380.5651
2390.5536
2400.5421
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X40) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 40 1 6 ≈ 240 Versuchen auch ungefähr 40 (≈ 1 6 ⋅240) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=240:
P 1 6 n (X40) ≈ 0.5421 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=215 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 84 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 27, aber weniger als 30 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.25.

P0.2584 (27X29) =

...
24
25
26
27
28
29
30
31
...

P0.2584 (X29) - P0.2584 (X26) ≈ 0.9813 - 0.9146 ≈ 0.0667
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.25,29) - binomcdf(84,0.25,26))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 75%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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pP(X≥12)=1-P(X≤11)
......
2 10 0.999
2 11 0.9954
2 12 0.9861
2 13 0.967
2 14 0.9354
2 15 0.8902
2 16 0.8328
2 17 0.7658
2 18 0.6931
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp120 (X12) = 1- Pp120 (X11) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp120 (X12) ('mindestens 12 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 2 10 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 17 sein.

Also wären noch 15 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 48 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 39 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≥39)=1-P(X≤38)
......
0.820.6401
0.830.7073
0.840.7699
0.850.826
0.860.8741
0.870.9135
......

Es muss gelten: Pp48 (X39) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp48 (X38) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(48,X,38) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.87 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 83 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 22 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.25.

...
19
20
21
22
23
24
...

P0.2583 (X22) = 1 - P0.2583 (X21) = 0.4167
(TI-Befehl: 1-binomcdf(83,0.25,21))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 91 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 91⋅0.6 ≈ 54.6,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 91 0.6 0.4 ≈ 4.67

59.27 (54.6 + 4.67) und 49.93 (54.6 - 4.67) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 54.6 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 50 und 59 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 50 und 59 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.6.

P0.691 (50X59) =

...
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
...

P0.691 (X59) - P0.691 (X49) ≈ 0.853 - 0.1378 ≈ 0.7152
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.6,59) - binomcdf(91,0.6,49))