Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,6. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 33 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
54	0.6166
55	0.5511
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.6}$ ≈ 55 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.6⋅55) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=55:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5511 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 35 Versuchen genau 22 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.7.

P_{0.7}^{35} (X = 22)

=

(\begin{matrix} 35 \\ 22 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{22} \cdot {0.3}^{13}

=0.092027776947459≈ 0.092
(TI-Befehl: binompdf(35,0.7,22))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 16 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 15% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{5}$	0.5981
$\frac{1}{6}$	0.7291
$\frac{1}{7}$	0.8143
$\frac{1}{8}$	0.8698
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{16} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{16} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{16}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{16}$ ⋅16 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{16} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{16}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 8 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 71 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 59 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.72	0.9897
0.73	0.9837
0.74	0.9746
0.75	0.9615
0.76	0.943
0.77	0.9176
0.78	0.8837
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{71} (X \leq 59)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(71,X,59) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 3 und höchstens 7 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 44 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.125.

$P_{0.125}^{44} (4 \leq X \leq 7)$ =

...

1

2

3

4

5

6

7

8

9

...

P_{0.125}^{44} (X \leq 7)

-

P_{0.125}^{44} (X \leq 3)

≈ 0.8224 - 0.1831 ≈ 0.6393
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.125,7) - binomcdf(44,0.125,3))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 57 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=57⋅0.4 = 22.8

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 22.8, also 0.8⋅ 22.8 = 18.24 und 120% von 22.8, also 1.2⋅ 22.8 = 27.36

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 22.8 entfernt sein darf als 18.24 bzw. 27.36, muss sie also zwischen 19 und 27 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.4.

$P_{0.4}^{57} (19 \leq X \leq 27)$ =

...

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

...

P_{0.4}^{57} (X \leq 27)

-

P_{0.4}^{57} (X \leq 18)

≈ 0.8973 - 0.1217 ≈ 0.7756
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.4,27) - binomcdf(57,0.4,18))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert