Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßig exzessiven Alkoholgenuss bei 7% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 13 | 0.2298 |
| 14 | 0.0698 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.93 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.8 |+ - 0.8
0.2 ≥ oder ≤ 0.2
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 93% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.93⋅13) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
≈ 0.2298
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.
n muss also mindestens 14 sein, damit ≤ 0.2 oder eben ≥ 0.8 gilt.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 48 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 9, aber weniger als 16 Fragen richtig beantwortet hat?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.25.
=
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.25,15) - binomcdf(48,0.25,8))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 55 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤9) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5637 | |
| 0.7456 | |
| 0.8572 | |
| 0.9206 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 9 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 9=⋅55 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
9 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Eine Fluggesellschaft verkauft 41 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 21 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?
| p | P(X≥21)=1-P(X≤20) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.55 | 0.7408 |
| 0.56 | 0.7811 |
| 0.57 | 0.8176 |
| 0.58 | 0.8502 |
| 0.59 | 0.8788 |
| 0.6 | 0.9035 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(41,X,20) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 90 Versuchen mehr als 6 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.1.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(90,0.1,6))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Würfel wird 62 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=62⋅ = 10.333333333333
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 10.333, also 0.8⋅ 10.333 = 8.267 und 120% von 10.333333333333, also 1.2⋅ 10.333 = 12.4
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 10.333333333333 entfernt sein darf als 8.267 bzw. 12.4, muss sie also zwischen 9 und 12 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(62,,12) - binomcdf(62,,8))
