Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, mindestens 38 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
1500.5063
1510.4875
1520.4689
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: P0.25n (X38) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.25n (X38) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.25n (X38) = 1 - P0.25n (X37) ≥ 0.5 |+ P0.25n (X37) - 0.5

0.5 ≥ P0.25n (X37) oder P0.25n (X37) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 38 0.25 ≈ 152 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.25⋅152) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=152:
P0.25n (X37) ≈ 0.4689 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=151 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 151 sein, damit P0.25n (X37) ≤ 0.5 oder eben P0.25n (X38) ≥ 0.5 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 53 Versuchen mindestens 25 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.55.

...
22
23
24
25
26
27
...

P0.5553 (X25) = 1 - P0.5553 (X24) = 0.9001
(TI-Befehl: 1-binomcdf(53,0.55,24))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
5 28 0.6391
5 29 0.6649
5 30 0.6887
5 31 0.7107
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp17 (X3) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp17 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 17 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 17 ⋅17 der Erwartungswert und somit Pp17 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 17 mit 5 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 5 28 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 31 sein.

Also werden noch 26 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 82 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 44 erkennen und dumm anlabern?

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pP(X≤k)
......
0.420.9873
0.430.9799
0.440.969
0.450.9538
0.460.9333
0.470.9063
0.480.872
......

Es muss gelten: Pp82 (X44) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(82,X,44) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 46 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 12 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p= 1 6 .

P 1 6 46 (X12) = P 1 6 46 (X=0) + P 1 6 46 (X=1) + P 1 6 46 (X=2) +... + P 1 6 46 (X=12) = 0.96598944650838 ≈ 0.966
(TI-Befehl: binomcdf(46,1/6,12))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 87 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=87⋅0.7 = 60.9

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 60.9, also 0.8⋅ 60.9 = 48.72 und 120% von 60.9, also 1.2⋅ 60.9 = 73.08

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 60.9 entfernt sein darf als 48.72 bzw. 73.08, muss sie also zwischen 49 und 73 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.7.

P0.787 (49X73) =

...
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
...

P0.787 (X73) - P0.787 (X48) ≈ 0.9991 - 0.0024 ≈ 0.9967
(TI-Befehl: binomcdf(87,0.7,73) - binomcdf(87,0.7,48))