Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,15. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 27 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
180	0.5511
181	0.5387
182	0.5262
183	0.5138
184	0.5014
185	0.4891
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.15}$ ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.15⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.5511 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=184 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 61 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,55. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 37 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.55.

P_{0.55}^{61} (X < 37)

=

P_{0.55}^{61} (X \leq 36)

=

P_{0.55}^{61} (X = 0)

+

P_{0.55}^{61} (X = 1)

+

P_{0.55}^{61} (X = 2)

+... +

P_{0.55}^{61} (X = 36)

= 0.77545000787075 ≈ 0.7755
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.55,36))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{4}{8}$	0.9981
$\frac{5}{9}$	0.9899
$\frac{6}{10}$	0.9685
$\frac{7}{11}$	0.9297
$\frac{8}{12}$	0.8738
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{28} (X \leq 21)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{28} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{8}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{7}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 59 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 59)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 45 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥45)=1-P(X≤44)
...	...
0.72	0.284
0.73	0.3446
0.74	0.4105
0.75	0.4801
0.76	0.5516
0.77	0.6228
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{59} (X \geq 45)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{59} (X \leq 44)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(59,X,44) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 98 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 74, aber höchstens 80 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.75.

$P_{0.75}^{98} (74 \leq X \leq 80)$ =

...

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

...

P_{0.75}^{98} (X \leq 80)

-

P_{0.75}^{98} (X \leq 73)

≈ 0.9528 - 0.4922 ≈ 0.4606
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.75,80) - binomcdf(98,0.75,73))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 70 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 70⋅0.6 ≈ 42,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{70\cdot0.6\cdot0.4}$ ≈ 4.1

46.1 (42 + 4.1) und 37.9 (42 - 4.1) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 42 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 38 und 46 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 38 und 46 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.6.

$P_{0.6}^{70} (38 \leq X \leq 46)$ =

...

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

...

P_{0.6}^{70} (X \leq 46)

-

P_{0.6}^{70} (X \leq 37)

≈ 0.8643 - 0.1364 ≈ 0.7279
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.6,46) - binomcdf(70,0.6,37))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ