Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 36 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
80	0.5462
81	0.5059
82	0.4661
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.45}$ ≈ 80 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.45⋅80) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=80:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5462 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=81 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 55% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 53 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 29 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.55.

P_{0.55}^{53} (X = 29)

=

(\begin{matrix} 53 \\ 29 \end{matrix}) \cdot {0.55}^{29} \cdot {0.45}^{24}

=0.10947075097518≈ 0.1095
(TI-Befehl: binompdf(53,0.55,29))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 60 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤5)
...	...
$\frac{1}{12}$	0.6161
$\frac{1}{13}$	0.6859
$\frac{1}{14}$	0.7436
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \leq 5)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \leq 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{5}{60}$ . Mit diesem p wäre ja 5= $\frac{5}{60}$ ⋅60 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{60} (X \leq 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{5}{60}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{12}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 14 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 52 Ausspielungen nicht öfters als 31 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.46	0.9825
0.47	0.9752
0.48	0.9654
0.49	0.9528
0.5	0.9368
0.51	0.9169
0.52	0.8925
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{52} (X \leq 31)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(52,X,31) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.51 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 4 und höchstens 8 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 47 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p=0.125.

$P_{0.125}^{47} (5 \leq X \leq 8)$ =

...

2

3

4

5

6

7

8

9

10

...

P_{0.125}^{47} (X \leq 8)

-

P_{0.125}^{47} (X \leq 4)

≈ 0.8742 - 0.2847 ≈ 0.5895
(TI-Befehl: binomcdf(47,0.125,8) - binomcdf(47,0.125,4))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 53 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=53⋅0.3 = 15.9

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 15.9, also 0.85⋅ 15.9 = 13.515 und 115% von 15.9, also 1.15⋅ 15.9 = 18.285

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 15.9 entfernt sein darf als 13.515 bzw. 18.285, muss sie also zwischen 14 und 18 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.3.

$P_{0.3}^{53} (14 \leq X \leq 18)$ =

...

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{0.3}^{53} (X \leq 18)

-

P_{0.3}^{53} (X \leq 13)

≈ 0.7844 - 0.2392 ≈ 0.5452
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.3,18) - binomcdf(53,0.3,13))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert