Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 35 Freiwurfpunkte kommen lassen will?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 41 | 0.8558 |
| 42 | 0.7624 |
| 43 | 0.6503 |
| 44 | 0.5298 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.8⋅44) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
≈ 0.5298
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 78 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 12 defekte Chips enthalten sind.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.2.
= + + +... + = 0.19182083595925 ≈ 0.1918(TI-Befehl: binomcdf(78,0.2,12))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9996 | |
| 0.9991 | |
| 0.9982 | |
| 0.9967 | |
| 0.9945 | |
| 0.9916 | |
| 0.9878 | |
| 0.983 | |
| 0.9773 | |
| 0.9707 | |
| 0.9633 | |
| 0.9549 | |
| 0.9458 | |
| 0.936 | |
| 0.9256 | |
| 0.9146 | |
| 0.9031 | |
| 0.8912 | |
| 0.8789 | |
| 0.8664 | |
| 0.8536 | |
| 0.8406 | |
| 0.8275 | |
| 0.8144 | |
| 0.8012 | |
| 0.788 | |
| 0.7748 | |
| 0.7617 | |
| 0.7487 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 35 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 58 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 58)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 28 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥28)=1-P(X≤27) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.45 | 0.3546 |
| 0.46 | 0.4133 |
| 0.47 | 0.4738 |
| 0.48 | 0.5349 |
| 0.49 | 0.595 |
| 0.5 | 0.653 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.6 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.6 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(58,X,27) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Würfel wird 60 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=.
= = + + +... + = 0.312046858163 ≈ 0.312(TI-Befehl: binomcdf(60,1/6,8))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 55 und p = 0.55
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 55 und p = 0.55 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 55 ⋅ 0.55 = 30.25
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.69
