Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 30 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
35	0.6193
36	0.4594
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.85}$ ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.85⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.6193 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 73 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 35 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.5.

P_{0.5}^{73} (X < 35)

=

P_{0.5}^{73} (X \leq 34)

=

P_{0.5}^{73} (X = 0)

+

P_{0.5}^{73} (X = 1)

+

P_{0.5}^{73} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{73} (X = 34)

= 0.31998646587697 ≈ 0.32
(TI-Befehl: binomcdf(73,0.5,34))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9922
$\frac{1}{3}$	0.9415
$\frac{1}{4}$	0.8665
$\frac{1}{5}$	0.7903
$\frac{1}{6}$	0.7209
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{7} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{5}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 5 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 94 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 98 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.88	0.9982
0.89	0.9959
0.9	0.9908
0.91	0.9802
0.92	0.9589
0.93	0.9183
0.94	0.8461
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{98} (X \leq 94)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(98,X,94) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.93 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 35 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 17 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.5.

P_{0.5}^{35} (X \leq 17)

=

P_{0.5}^{35} (X = 0)

+

P_{0.5}^{35} (X = 1)

+

P_{0.5}^{35} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{35} (X = 17)

= 0.5 ≈ 0.5
(TI-Befehl: binomcdf(35,0.5,17))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 65 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=65⋅0.65 = 42.25

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 42.25, also 0.8⋅ 42.25 = 33.8 und 120% von 42.25, also 1.2⋅ 42.25 = 50.7

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 42.25 entfernt sein darf als 33.8 bzw. 50.7, muss sie also zwischen 34 und 50 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.65.

$P_{0.65}^{65} (34 \leq X \leq 50)$ =

...

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

...

P_{0.65}^{65} (X \leq 50)

-

P_{0.65}^{65} (X \leq 33)

≈ 0.9864 - 0.0127 ≈ 0.9737
(TI-Befehl: binomcdf(65,0.65,50) - binomcdf(65,0.65,33))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert