Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.9 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 240 Versuchen auch ungefähr 40 (≈$\frac{1}{6}$⋅240) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=240:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.4731 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=285 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 285 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{19}(X\le 3)$=0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{19}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{19}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{19}$⋅19 der Erwartungswert und somit $P_p^{19}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{19}$ mit $\frac{5}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{31}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{5}{35}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 35 sein.

Also werden noch 30 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Es muss gelten: $P_p^{59}(X\ge 26)$=0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_p^{59}(X\le 25)$=0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(59,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.