Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,45. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 33 dieser Fehler begeht?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 73 | 0.5622 |
| 74 | 0.5202 |
| 75 | 0.4784 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 73 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.45⋅73) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=73:
≈ 0.5622
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 7 und höchstens 10 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 49 Glückskekse kauft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.125.
=
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.125,10) - binomcdf(49,0.125,7))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 75 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 75 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤9) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5349 | |
| 0.6798 | |
| 0.7858 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 9 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 9=⋅75 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
10 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 84 Wiederholungen 27 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 50% liegt?
| p | P(X≥27)=1-P(X≤26) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.27 | 0.1733 |
| 0.28 | 0.2319 |
| 0.29 | 0.2992 |
| 0.3 | 0.3731 |
| 0.31 | 0.451 |
| 0.32 | 0.5298 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.5 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.5 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(84,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 86 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,6. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 59 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.6.
= = + + +... + = 0.93709583551649 ≈ 0.9371(TI-Befehl: binomcdf(86,0.6,58))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 54 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=54⋅0.35 = 18.9
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 18.9, also 0.8⋅ 18.9 = 15.12 und 120% von 18.9, also 1.2⋅ 18.9 = 22.68
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 18.9 entfernt sein darf als 15.12 bzw. 22.68, muss sie also zwischen 16 und 22 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.35.
=
(TI-Befehl: binomcdf(54,0.35,22) - binomcdf(54,0.35,15))
