Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,04. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 70% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
3	0.8847
4	0.8493
5	0.8154
6	0.7828
7	0.7514
8	0.7214
9	0.6925
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.04 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.04}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 4% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.04}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.04⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.04}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 90 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 20 mal, aber weniger als 25 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{90} (21 \leq X \leq 24)$ =

...

18

19

20

21

22

23

24

25

26

...

P_{\frac{1}{6}}^{90} (X \leq 24)

-

P_{\frac{1}{6}}^{90} (X \leq 20)

≈ 0.9944 - 0.9357 ≈ 0.0587
(TI-Befehl: binomcdf(90, $\frac{1}{6}$ ,24) - binomcdf(90, $\frac{1}{6}$ ,20))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9922
$\frac{1}{3}$	0.9415
$\frac{1}{4}$	0.8665
$\frac{1}{5}$	0.7903
$\frac{1}{6}$	0.7209
$\frac{1}{7}$	0.6601
$\frac{1}{8}$	0.6073
$\frac{1}{9}$	0.5615
$\frac{1}{10}$	0.5217
$\frac{1}{11}$	0.4868
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{7} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 43 Freiwürfen mindestens 31 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥31)=1-P(X≤30)
...	...
0.68	0.3466
0.69	0.4
0.7	0.4559
0.71	0.5135
0.72	0.5716
0.73	0.629
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{43} (X \geq 31)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{43} (X \leq 30)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(43,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.73 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 31 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 13 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=31 und p=0.5.

P_{0.5}^{31} (X < 13)

=

P_{0.5}^{31} (X \leq 12)

=

P_{0.5}^{31} (X = 0)

+

P_{0.5}^{31} (X = 1)

+

P_{0.5}^{31} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{31} (X = 12)

= 0.14052075752988 ≈ 0.1405
(TI-Befehl: binomcdf(31,0.5,12))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 52 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 52⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 8.67,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{52\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 2.69

11.35 (8.67 + 2.69) und 5.98 (8.67 - 2.69) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 8.67 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 11 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 11 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{52} (6 \leq X \leq 11)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

...

P_{\frac{1}{6}}^{52} (X \leq 11)

-

P_{\frac{1}{6}}^{52} (X \leq 5)

≈ 0.8538 - 0.1149 ≈ 0.7389
(TI-Befehl: binomcdf(52, $\frac{1}{6}$ ,11) - binomcdf(52, $\frac{1}{6}$ ,5))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ