Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 55%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 22 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
40	0.5609
41	0.4916
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.55}$ ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.55⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.5609 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 73 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 13 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X < 13)

=

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X \leq 12)

=

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X = 12)

= 0.55540648181316 ≈ 0.5554
(TI-Befehl: binomcdf(73,1/6,12))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 14 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{4}$	0.5213
$\frac{1}{5}$	0.6982
$\frac{1}{6}$	0.8063
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{14}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{14}$ ⋅14 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{14}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 48 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 48)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 80% mindestens 25 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥25)=1-P(X≤24)
...	...
0.53	0.5535
0.54	0.608
0.55	0.6605
0.56	0.7102
0.57	0.7563
0.58	0.7983
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{48} (X \geq 25)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{48} (X \leq 24)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(48,X,24) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 90 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

5

6

7

8

9

10

...

P_{\frac{1}{6}}^{90} (X > 7)

=

P_{\frac{1}{6}}^{90} (X \geq 8)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{90} (X \leq 7)

= 0.9884
(TI-Befehl: 1-binomcdf(90, $\frac{1}{6}$ ,7))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 50 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=50⋅ $\frac{1}{6}$ = 8.3333333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 8.333, also 0.8⋅ 8.333 = 6.667 und 120% von 8.3333333333333, also 1.2⋅ 8.333 = 10

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 8.3333333333333 entfernt sein darf als 6.667 bzw. 10, muss sie also zwischen 7 und 10 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{50} (7 \leq X \leq 10)$ =

...

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

P_{\frac{1}{6}}^{50} (X \leq 10)

-

P_{\frac{1}{6}}^{50} (X \leq 6)

≈ 0.7986 - 0.2506 ≈ 0.548
(TI-Befehl: binomcdf(50, $\frac{1}{6}$ ,10) - binomcdf(50, $\frac{1}{6}$ ,6))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert