Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
6	0.8858
7	0.8681
8	0.8508
9	0.8337
10	0.8171
11	0.8007
12	0.7847
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,72. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 70 Versuchen mindestens 51 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.72.

...

48

49

50

51

52

53

...

P_{0.72}^{70} (X \geq 51)

= 1 -

P_{0.72}^{70} (X \leq 50)

= 0.4972
(TI-Befehl: 1-binomcdf(70,0.72,50))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{10}{14}$	0.9998
$\frac{11}{15}$	0.9996
$\frac{12}{16}$	0.9992
$\frac{13}{17}$	0.9988
$\frac{14}{18}$	0.9981
$\frac{15}{19}$	0.9973
$\frac{16}{20}$	0.9962
$\frac{17}{21}$	0.9949
$\frac{18}{22}$	0.9934
$\frac{19}{23}$	0.9916
$\frac{20}{24}$	0.9895
$\frac{21}{25}$	0.9872
$\frac{22}{26}$	0.9846
$\frac{23}{27}$	0.9818
$\frac{24}{28}$	0.9788
$\frac{25}{29}$	0.9755
$\frac{26}{30}$	0.9721
$\frac{27}{31}$	0.9684
$\frac{28}{32}$	0.9645
$\frac{29}{33}$	0.9605
$\frac{30}{34}$	0.9562
$\frac{31}{35}$	0.9519
$\frac{32}{36}$	0.9474
$\frac{33}{37}$	0.9427
$\frac{34}{38}$	0.938
$\frac{35}{39}$	0.9332
$\frac{36}{40}$	0.9282
$\frac{37}{41}$	0.9232
$\frac{38}{42}$	0.9181
$\frac{39}{43}$	0.9129
$\frac{40}{44}$	0.9077
$\frac{41}{45}$	0.9024
$\frac{42}{46}$	0.8971
$\frac{43}{47}$	0.8918
$\frac{44}{48}$	0.8864
$\frac{45}{49}$	0.881
$\frac{46}{50}$	0.8756
$\frac{47}{51}$	0.8702
$\frac{48}{52}$	0.8648
$\frac{49}{53}$	0.8594
$\frac{50}{54}$	0.854
$\frac{51}{55}$	0.8486
$\frac{52}{56}$	0.8432
$\frac{53}{57}$	0.8378
$\frac{54}{58}$	0.8325
$\frac{55}{59}$	0.8271
$\frac{56}{60}$	0.8218
$\frac{57}{61}$	0.8165
$\frac{58}{62}$	0.8112
$\frac{59}{63}$	0.806
$\frac{60}{64}$	0.8008
$\frac{61}{65}$	0.7956
$\frac{62}{66}$	0.7905
$\frac{63}{67}$	0.7854
$\frac{64}{68}$	0.7803
$\frac{65}{69}$	0.7753
$\frac{66}{70}$	0.7703
$\frac{67}{71}$	0.7654
$\frac{68}{72}$	0.7604
$\frac{69}{73}$	0.7556
$\frac{70}{74}$	0.7507
$\frac{71}{75}$	0.7459
$\frac{72}{76}$	0.7412
$\frac{73}{77}$	0.7365
$\frac{74}{78}$	0.7318
$\frac{75}{79}$	0.7272
$\frac{76}{80}$	0.7226
$\frac{77}{81}$	0.7181
$\frac{78}{82}$	0.7136
$\frac{79}{83}$	0.7091
$\frac{80}{84}$	0.7047
$\frac{81}{85}$	0.7003
$\frac{82}{86}$	0.696
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{10}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{81}{85}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 81 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 63 Stück nur an, wenn nicht mehr als 32 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.38	0.9859
0.39	0.9787
0.4	0.9687
0.41	0.9553
0.42	0.9377
0.43	0.9151
0.44	0.8872
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{63} (X \leq 32)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(63,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,83. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 30 Versuchen mehr als 23 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.83.

...

21

22

23

24

25

26

...

P_{0.83}^{30} (X > 23)

=

P_{0.83}^{30} (X \geq 24)

= 1 -

P_{0.83}^{30} (X \leq 23)

= 0.761
(TI-Befehl: 1-binomcdf(30,0.83,23))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 48 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 48⋅0.3 ≈ 14.4,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{48\cdot0.3\cdot0.7}$ ≈ 3.17

17.57 (14.4 + 3.17) und 11.23 (14.4 - 3.17) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 14.4 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 12 und 17 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 12 und 17 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.3.

$P_{0.3}^{48} (12 \leq X \leq 17)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.3}^{48} (X \leq 17)

-

P_{0.3}^{48} (X \leq 11)

≈ 0.8359 - 0.1814 ≈ 0.6545
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.3,17) - binomcdf(48,0.3,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ