Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 95% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 80% Wahrscheinlichkeit in mindestens 4 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
1050.2244
1060.2181
1070.212
1080.206
1090.2002
1100.1945
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und variablem n.

Es muss gelten: P0.05n (X4) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.05n (X4) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.05n (X4) = 1 - P0.05n (X3) ≥ 0.8 |+ P0.05n (X3) - 0.8

0.2 ≥ P0.05n (X3) oder P0.05n (X3) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 5% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 4 0.05 ≈ 80 Versuchen auch ungefähr 4 (≈0.05⋅80) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=80:
P0.05n (X3) ≈ 0.4284 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=110 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 110 sein, damit P0.05n (X3) ≤ 0.2 oder eben P0.05n (X4) ≥ 0.8 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 49 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 38 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.7.

P0.749 (X=38) = ( 49 38 ) 0.738 0.311 =0.067063776029861≈ 0.0671
(TI-Befehl: binompdf(49,0.7,38))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

Lösung einblenden
pP(X≤24)
......
9 14 0.9998
10 15 0.9996
11 16 0.9992
12 17 0.9986
13 18 0.9977
14 19 0.9963
15 20 0.9945
16 21 0.9922
17 22 0.9894
18 23 0.986
19 24 0.9819
20 25 0.9773
21 26 0.9721
22 27 0.9664
23 28 0.96
24 29 0.9532
25 30 0.9458
26 31 0.938
27 32 0.9298
28 33 0.9213
29 34 0.9123
30 35 0.9031
31 36 0.8936
32 37 0.8838
33 38 0.8739
34 39 0.8638
35 40 0.8536
36 41 0.8432
37 42 0.8328
38 43 0.8223
39 44 0.8118
40 45 0.8012
41 46 0.7906
42 47 0.7801
43 48 0.7696
44 49 0.7591
45 50 0.7487
46 51 0.7384
47 52 0.7281
48 53 0.718
49 54 0.7079
50 55 0.6979
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp26 (X24) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp26 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 9 14 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 49 54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 49 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 67 Freiwürfen mindestens 35 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

Lösung einblenden
pP(X≥35)=1-P(X≤34)
......
0.520.4682
0.530.5337
0.540.5984
0.550.6606
0.560.7188
0.570.7719
......

Es muss gelten: Pp67 (X35) =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp67 (X34) =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(67,X,34) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 62 Versuchen genau 50 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.9.

P0.962 (X=50) = ( 62 50 ) 0.950 0.112 =0.011132943610059≈ 0.0111
(TI-Befehl: binompdf(62,0.9,50))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 54 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 54⋅0.55 ≈ 29.7,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 54 0.55 0.45 ≈ 3.66

33.36 (29.7 + 3.66) und 26.04 (29.7 - 3.66) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 29.7 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 27 und 33 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 27 und 33 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.55.

P0.5554 (27X33) =

...
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
...

P0.5554 (X33) - P0.5554 (X26) ≈ 0.8508 - 0.1905 ≈ 0.6603
(TI-Befehl: binomcdf(54,0.55,33) - binomcdf(54,0.55,26))