Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,85. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 38 dieser Fehler begeht?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 42 | 0.8933 |
| 43 | 0.7931 |
| 44 | 0.6639 |
| 45 | 0.5218 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.85⋅45) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
≈ 0.5218
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 85% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 80 Versuchen mindestens 74 und weniger als 77 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.85.
=
(TI-Befehl: binomcdf(80,0.85,76) - binomcdf(80,0.85,73))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥2)=1-P(X≤1) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9805 | |
| 0.8569 | |
| 0.6997 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 2 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
3 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 65 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 65).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 70% höchstens 40 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.54 | 0.9112 |
| 0.55 | 0.8823 |
| 0.56 | 0.8473 |
| 0.57 | 0.8058 |
| 0.58 | 0.758 |
| 0.59 | 0.7041 |
| 0.6 | 0.6451 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(65,X,40) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.59 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 95 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 19, aber weniger als 27 Fragen richtig beantwortet hat?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.25.
=
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.25,26) - binomcdf(95,0.25,18))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 98 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=98⋅0.65 = 63.7
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 63.7, also 0.8⋅ 63.7 = 50.96 und 120% von 63.7, also 1.2⋅ 63.7 = 76.44
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 63.7 entfernt sein darf als 50.96 bzw. 76.44, muss sie also zwischen 51 und 76 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.65.
=
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.65,76) - binomcdf(98,0.65,50))
