Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% nicht mehr als 40 6er zu würfeln?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
2340.6107
2350.5994
2360.588
2370.5765
2380.5651
2390.5536
2400.5421
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X40) ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 40 1 6 ≈ 240 Versuchen auch ungefähr 40 (≈ 1 6 ⋅240) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=240:
P 1 6 n (X40) ≈ 0.5421 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=234 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 54 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,05.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 0 Treffer zu erzielen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.05.

0
1
2
...

P0.0554 (X0) = 1 - P0.0554 (X-1) = 1
(TI-Befehl: 1-binomcdf(54,0.05,-1))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 18 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 18 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

Lösung einblenden
pP(X≤6)
......
2 6 0.6085
2 7 0.7661
2 8 0.861
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp18 (X6) =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp18 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 18 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 18 ⋅18 der Erwartungswert und somit Pp18 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 18 mit 2 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 6 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 8 sein.

Also werden noch 6 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 83 Wiederholungen 29 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?

Lösung einblenden
pP(X≥29)=1-P(X≤28)
......
0.310.2528
0.320.3201
0.330.3931
0.340.4692
0.350.5458
0.360.62
......

Es muss gelten: Pp83 (X29) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp83 (X28) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(83,X,28) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,87. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 54 Versuchen mindestens 52 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.87.

...
49
50
51
52
53

P0.8754 (X52) = 1 - P0.8754 (X51) = 0.0222
(TI-Befehl: 1-binomcdf(54,0.87,51))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 43 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=43⋅0.75 = 32.25

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 32.25, also 0.85⋅ 32.25 = 27.413 und 115% von 32.25, also 1.15⋅ 32.25 = 37.088

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 32.25 entfernt sein darf als 27.413 bzw. 37.088, muss sie also zwischen 28 und 37 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.75.

P0.7543 (28X37) =

...
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
...

P0.7543 (X37) - P0.7543 (X27) ≈ 0.9743 - 0.0514 ≈ 0.9229
(TI-Befehl: binomcdf(43,0.75,37) - binomcdf(43,0.75,27))