Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
20	0.6676
21	0.6543
22	0.6412
23	0.6283
24	0.6158
25	0.6035
26	0.5914
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,88. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 54 Versuchen mehr als 48 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.88.

...

46

47

48

49

50

51

...

P_{0.88}^{54} (X > 48)

=

P_{0.88}^{54} (X \geq 49)

= 1 -

P_{0.88}^{54} (X \leq 48)

= 0.358
(TI-Befehl: 1-binomcdf(54,0.88,48))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 4 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 14 mal am Tag eines ihrer eigenen 4 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥14)=1-P(X≤13)
...	...
$\frac{4}{13}$	0.9997
$\frac{4}{14}$	0.9987
$\frac{4}{15}$	0.9958
$\frac{4}{16}$	0.989
$\frac{4}{17}$	0.9762
$\frac{4}{18}$	0.9552
$\frac{4}{19}$	0.9249
$\frac{4}{20}$	0.8848
$\frac{4}{21}$	0.8359
$\frac{4}{22}$	0.7797
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 14)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 13)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{13}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{21}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 21 sein.

Also wären noch 17 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 77 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 58 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥58)=1-P(X≤57)
...	...
0.76	0.6154
0.77	0.6925
0.78	0.7633
0.79	0.8254
0.8	0.877
0.81	0.9178
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{77} (X \geq 58)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{77} (X \leq 57)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(77,X,57) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.81 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 88 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 16 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{88} (X = 16)

=

(\begin{matrix} 88 \\ 16 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{16} \cdot {(\frac{5}{6})}^{72}

=0.10214522696244≈ 0.1021
(TI-Befehl: binompdf(88,1/6,16))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 42 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=42⋅0.35 = 14.7

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.7, also 0.8⋅ 14.7 = 11.76 und 120% von 14.7, also 1.2⋅ 14.7 = 17.64

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.7 entfernt sein darf als 11.76 bzw. 17.64, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.35.

$P_{0.35}^{42} (12 \leq X \leq 17)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.35}^{42} (X \leq 17)

-

P_{0.35}^{42} (X \leq 11)

≈ 0.8182 - 0.1499 ≈ 0.6683
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.35,17) - binomcdf(42,0.35,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert