Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,04. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
11	0.6382
12	0.6127
13	0.5882
14	0.5647
15	0.5421
16	0.5204
17	0.4996
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.04 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.04}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 4% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.04}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.04⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.04}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 86% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 98 Versuchen mindestens 81 und weniger als 95 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.86.

$P_{0.86}^{98} (81 \leq X \leq 94)$ =

...

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

...

P_{0.86}^{98} (X \leq 94)

-

P_{0.86}^{98} (X \leq 80)

≈ 0.9997 - 0.1366 ≈ 0.8631
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.86,94) - binomcdf(98,0.86,80))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9805
$\frac{1}{3}$	0.8569
$\frac{1}{4}$	0.6997
$\frac{1}{5}$	0.5638
$\frac{1}{6}$	0.4573
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{9} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{9} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{9} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{5}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 5 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 54 Freiwürfen mindestens 45 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥45)=1-P(X≤44)
...	...
0.79	0.2764
0.8	0.3396
0.81	0.4094
0.82	0.4842
0.83	0.5618
0.84	0.6394
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{54} (X \geq 45)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{54} (X \leq 44)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(54,X,44) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.84 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 52 Versuchen genau 11 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.2.

P_{0.2}^{52} (X = 11)

=

(\begin{matrix} 52 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{11} \cdot {0.8}^{41}

=0.13154767245137≈ 0.1315
(TI-Befehl: binompdf(52,0.2,11))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 89 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=89⋅0.3 = 26.7

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 26.7, also 0.8⋅ 26.7 = 21.36 und 120% von 26.7, also 1.2⋅ 26.7 = 32.04

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 26.7 entfernt sein darf als 21.36 bzw. 32.04, muss sie also zwischen 22 und 32 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.3.

$P_{0.3}^{89} (22 \leq X \leq 32)$ =

...

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.3}^{89} (X \leq 32)

-

P_{0.3}^{89} (X \leq 21)

≈ 0.9084 - 0.1129 ≈ 0.7955
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.3,32) - binomcdf(89,0.3,21))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert