Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,09. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 60% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
1	0.91
2	0.8281
3	0.7536
4	0.6857
5	0.624
6	0.5679
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.09}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.09⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.09}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 69 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 43 und höchstens 47 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.65.

$P_{0.65}^{69} (43 \leq X \leq 47)$ =

...

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.65}^{69} (X \leq 47)

-

P_{0.65}^{69} (X \leq 42)

≈ 0.7458 - 0.2739 ≈ 0.4719
(TI-Befehl: binomcdf(69,0.65,47) - binomcdf(69,0.65,42))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 60 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤5)
...	...
$\frac{1}{12}$	0.6161
$\frac{1}{13}$	0.6859
$\frac{1}{14}$	0.7436
$\frac{1}{15}$	0.7907
$\frac{1}{16}$	0.8289
$\frac{1}{17}$	0.8598
$\frac{1}{18}$	0.8847
$\frac{1}{19}$	0.9049
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \leq 5)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \leq 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{5}{60}$ . Mit diesem p wäre ja 5= $\frac{5}{60}$ ⋅60 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{60} (X \leq 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{5}{60}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{12}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{19}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 19 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 67 Wiederholungen 26 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?

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p	P(X≥26)=1-P(X≤25)
...	...
0.35	0.2967
0.36	0.3589
0.37	0.4246
0.38	0.4919
0.39	0.5591
0.4	0.6241
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{67} (X \geq 26)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{67} (X \leq 25)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(67,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 23 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p= $\frac{1}{6}$ .

0

1

2

3

4

5

...

P_{\frac{1}{6}}^{23} (X \geq 3)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{23} (X \leq 2)

= 0.7627
(TI-Befehl: 1-binomcdf(23, $\frac{1}{6}$ ,2))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 93 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 93⋅0.4 ≈ 37.2,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{93\cdot0.4\cdot0.6}$ ≈ 4.72

41.92 (37.2 + 4.72) und 32.48 (37.2 - 4.72) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 37.2 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 33 und 41 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 33 und 41 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.4.

$P_{0.4}^{93} (33 \leq X \leq 41)$ =

...

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

...

P_{0.4}^{93} (X \leq 41)

-

P_{0.4}^{93} (X \leq 32)

≈ 0.8189 - 0.1599 ≈ 0.659
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.4,41) - binomcdf(93,0.4,32))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ