Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 11% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 31-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 70% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
34	0.738
35	0.5468
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.89 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.89}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 89% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.89}$ ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.89⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
$P_{0.89}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.5468 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 52 Versuchen nicht mehr als 18 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.25.

P_{0.25}^{52} (X \leq 18)

=

P_{0.25}^{52} (X = 0)

+

P_{0.25}^{52} (X = 1)

+

P_{0.25}^{52} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{52} (X = 18)

= 0.9570221296683 ≈ 0.957
(TI-Befehl: binomcdf(52,0.25,18))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 85 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 85 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{9}$	0.5257
$\frac{1}{10}$	0.6566
$\frac{1}{11}$	0.7573
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 9)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{85} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{85}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{85}$ ⋅85 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{85} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{85}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 11 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 72 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 36 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥36)=1-P(X≤35)
...	...
0.52	0.6133
0.53	0.6767
0.54	0.7354
0.55	0.7882
0.56	0.8343
0.57	0.8735
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{72} (X \geq 36)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{72} (X \leq 35)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(72,X,35) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 30 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 5 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{30} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 30 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{5} \cdot {(\frac{3}{4})}^{25}

=0.10472847465748≈ 0.1047
(TI-Befehl: binompdf(30,1/4,5))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 53 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=53⋅0.4 = 21.2

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 21.2, also 0.9⋅ 21.2 = 19.08 und 110% von 21.2, also 1.1⋅ 21.2 = 23.32

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 21.2 entfernt sein darf als 19.08 bzw. 23.32, muss sie also zwischen 20 und 23 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.4.

$P_{0.4}^{53} (20 \leq X \leq 23)$ =

...

17

18

19

20

21

22

23

24

25

...

P_{0.4}^{53} (X \leq 23)

-

P_{0.4}^{53} (X \leq 19)

≈ 0.7421 - 0.3196 ≈ 0.4225
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.4,23) - binomcdf(53,0.4,19))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert