Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßig exzessiven Alkoholgenuss bei 9% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 13 | 0.3293 |
| 14 | 0.1255 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.91 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.7 |+ - 0.7
0.3 ≥ oder ≤ 0.3
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 91% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.91⋅13) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
≈ 0.3293
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.
n muss also mindestens 14 sein, damit ≤ 0.3 oder eben ≥ 0.7 gilt.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 32 Versuchen genau 0 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=32 und p=0.05.
= =0.1937114844585≈ 0.1937(TI-Befehl: binompdf(32,0.05,0))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥2)=1-P(X≤1) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9941 | |
| 0.9249 | |
| 0.8029 | |
| 0.6779 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 2 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
4 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 55 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 48 erkennen und dumm anlabern?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.76 | 0.9877 |
| 0.77 | 0.9815 |
| 0.78 | 0.9725 |
| 0.79 | 0.9598 |
| 0.8 | 0.9424 |
| 0.81 | 0.9188 |
| 0.82 | 0.8878 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(55,X,48) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.81 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 56 Versuchen genau 41 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.75.
= =0.11417003423191≈ 0.1142(TI-Befehl: binompdf(56,0.75,41))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,45 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 44 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=44⋅0.45 = 19.8
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 19.8, also 0.8⋅ 19.8 = 15.84 und 120% von 19.8, also 1.2⋅ 19.8 = 23.76
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 19.8 entfernt sein darf als 15.84 bzw. 23.76, muss sie also zwischen 16 und 23 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.45.
=
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.45,23) - binomcdf(44,0.45,15))
