Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 25% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% mindestens 29 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
390.38
400.2849
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: P0.75n (X29) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.75n (X29) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.75n (X29) = 1 - P0.75n (X28) ≥ 0.7 |+ P0.75n (X28) - 0.7

0.3 ≥ P0.75n (X28) oder P0.75n (X28) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 29 0.75 ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.75⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
P0.75n (X28) ≈ 0.38 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 40 sein, damit P0.75n (X28) ≤ 0.3 oder eben P0.75n (X29) ≥ 0.7 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 56 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 13 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p= 1 6 .

...
11
12
13
14
15
16
...

P 1 6 56 (X>13) = P 1 6 56 (X14) = 1 - P 1 6 56 (X13) = 0.0727
(TI-Befehl: 1-binomcdf(56, 1 6 ,13))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
2 4 0.9997
3 5 0.9934
4 6 0.9642
5 7 0.9028
6 8 0.8156
7 9 0.7164
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp26 (X21) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp26 (X21) ('höchstens 21 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 2 4 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 6 8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 49 Wiederholungen 43 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 70% liegt?

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pP(X≥43)=1-P(X≤42)
......
0.840.3128
0.850.3833
0.860.4609
0.870.5431
0.880.6271
0.890.7091
......

Es muss gelten: Pp49 (X43) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp49 (X42) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(49,X,42) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.89 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 92 Versuchen genau 40 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.45.

P0.4592 (X=40) = ( 92 40 ) 0.4540 0.5552 =0.080136792197046≈ 0.0801
(TI-Befehl: binompdf(92,0.45,40))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 87 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=87⋅0.5 = 43.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 43.5, also 0.8⋅ 43.5 = 34.8 und 120% von 43.5, also 1.2⋅ 43.5 = 52.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 43.5 entfernt sein darf als 34.8 bzw. 52.2, muss sie also zwischen 35 und 52 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.5.

P0.587 (35X52) =

...
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
...

P0.587 (X52) - P0.587 (X34) ≈ 0.9735 - 0.0265 ≈ 0.947
(TI-Befehl: binomcdf(87,0.5,52) - binomcdf(87,0.5,34))