Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
46	0.9183
47	0.8649
48	0.7952
49	0.7115
50	0.6184
51	0.5214
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.75}$ ≈ 51 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.75⋅51) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=51:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5214 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 32 Versuchen genau 2 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=32 und p=0.05.

P_{0.05}^{32} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 32 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.05}^{2} \cdot {0.95}^{30}

=0.26615206728924≈ 0.2662
(TI-Befehl: binompdf(32,0.05,2))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{2}{12}$	0.607
$\frac{2}{13}$	0.6665
$\frac{2}{14}$	0.7165
$\frac{2}{15}$	0.7583
$\frac{2}{16}$	0.7933
$\frac{2}{17}$	0.8225
$\frac{2}{18}$	0.847
$\frac{2}{19}$	0.8676
$\frac{2}{20}$	0.885
$\frac{2}{21}$	0.8997
$\frac{2}{22}$	0.9122
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{19}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{19}$ ⋅19 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{19}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{12}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{22}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 22 sein.

Also werden noch 20 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 43 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 43)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 50% mindestens 30 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥30)=1-P(X≤29)
...	...
0.64	0.2679
0.65	0.3147
0.66	0.3652
0.67	0.4186
0.68	0.4741
0.69	0.5307
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{43} (X \geq 30)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{43} (X \leq 29)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(43,X,29) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 31 Versuchen weniger als 21 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=31 und p=0.65.

P_{0.65}^{31} (X < 21)

=

P_{0.65}^{31} (X \leq 20)

=

P_{0.65}^{31} (X = 0)

+

P_{0.65}^{31} (X = 1)

+

P_{0.65}^{31} (X = 2)

+... +

P_{0.65}^{31} (X = 20)

= 0.54481784654158 ≈ 0.5448
(TI-Befehl: binomcdf(31,0.65,20))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 84 und p = 0.95
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 84 und p = 0.95 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 84 ⋅ 0.95 = 79.8

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{84 ⋅ 0.95 ⋅ 0.05}$ = $\sqrt{3.99}$ ≈ 2

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.