Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 26 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 73 | 0.1889 |
| 74 | 0.1654 |
| 75 | 0.1441 |
| 76 | 0.125 |
| 77 | 0.1079 |
| 78 | 0.0927 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.9 |+ - 0.9
0.1 ≥ oder ≤ 0.1
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 65 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.4⋅65) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=65:
≈ 0.453
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=78 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.
n muss also mindestens 78 sein, damit ≤ 0.1 oder eben ≥ 0.9 gilt.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Eine Münze wird 23 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 11 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=0.5.
= = + + +... + = 0.33881974220276 ≈ 0.3388(TI-Befehl: binomcdf(23,0.5,10))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9998 | |
| 0.9982 | |
| 0.9923 | |
| 0.9793 | |
| 0.9578 | |
| 0.9282 | |
| 0.8921 | |
| 0.8512 | |
| 0.8075 | |
| 0.7625 | |
| 0.7174 | |
| 0.6733 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 13 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 48 Freiwürfen mindestens 30 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥30)=1-P(X≤29) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6 | 0.4222 |
| 0.61 | 0.4784 |
| 0.62 | 0.5355 |
| 0.63 | 0.5922 |
| 0.64 | 0.6475 |
| 0.65 | 0.7002 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.7 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(48,X,29) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Eine Münze wird 38 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 19 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=38 und p=0.5.
= + + +... + = 0.56429266031773 ≈ 0.5643(TI-Befehl: binomcdf(38,0.5,19))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 41 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=41⋅0.25 = 10.25
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 10.25, also 0.8⋅ 10.25 = 8.2 und 120% von 10.25, also 1.2⋅ 10.25 = 12.3
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 10.25 entfernt sein darf als 8.2 bzw. 12.3, muss sie also zwischen 9 und 12 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.25.
=
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.25,12) - binomcdf(41,0.25,8))
