Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 70%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 27 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
380.4764
390.3818
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: P0.7n (X27) ≥ 0.6

Weil man ja aber P0.7n (X27) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.7n (X27) = 1 - P0.7n (X26) ≥ 0.6 |+ P0.7n (X26) - 0.6

0.4 ≥ P0.7n (X26) oder P0.7n (X26) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 27 0.7 ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.7⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
P0.7n (X26) ≈ 0.3818 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 39 sein, damit P0.7n (X26) ≤ 0.4 oder eben P0.7n (X27) ≥ 0.6 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 25 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 15 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.5.

P0.525 (X15) = P0.525 (X=0) + P0.525 (X=1) + P0.525 (X=2) +... + P0.525 (X=15) = 0.88523852825165 ≈ 0.8852
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.5,15))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 6er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥2)=1-P(X≤1)
......
1 2 0.8906
1 3 0.6488
1 4 0.4661
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=6 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp6 (X2) = 1- Pp6 (X1) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp6 (X2) ('mindestens 2 Treffer bei 6 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 3 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 3 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 65 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 34 erkennen und dumm anlabern?

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pP(X≤k)
......
0.40.9835
0.410.9753
0.420.964
0.430.949
0.440.9293
0.450.9044
0.460.8737
......

Es muss gelten: Pp65 (X34) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(65,X,34) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 52 Versuchen mehr als 0 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.05.

0
1
2
3
...

P0.0552 (X>0) = P0.0552 (X1) = 1 - P0.0552 (X0) = 0.9306
(TI-Befehl: 1-binomcdf(52,0.05,0))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 66 und p = 0.5
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 66 und p = 0.5 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 66 ⋅ 0.5 = 33

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 66 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 = 16.5 4.06