Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,08. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 80% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
1	0.92
2	0.8464
3	0.7787
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.08}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.08⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.08}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=2 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 3 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 20 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{20} (X \leq 3)

=

P_{\frac{1}{8}}^{20} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{20} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{20} (X = 2)

+

P_{\frac{1}{8}}^{20} (X = 3)

= 0.76533184265165 ≈ 0.7653
(TI-Befehl: binomcdf(20,1/8,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{4}{26}$	0.629
$\frac{4}{27}$	0.6567
$\frac{4}{28}$	0.6822
$\frac{4}{29}$	0.7057
$\frac{4}{30}$	0.7273
$\frac{4}{31}$	0.7471
$\frac{4}{32}$	0.7653
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{20}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{20}$ ⋅20 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{20}$ mit $\frac{4}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{26}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{32}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 32 sein.

Also werden noch 28 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 80 Freiwürfen mindestens 34 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥34)=1-P(X≤33)
...	...
0.37	0.1828
0.38	0.2363
0.39	0.297
0.4	0.3636
0.41	0.4342
0.42	0.5066
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{80} (X \geq 34)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{80} (X \leq 33)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(80,X,33) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 81% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 41 Versuchen mindestens 30 und weniger als 35 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.81.

$P_{0.81}^{41} (30 \leq X \leq 34)$ =

...

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

...

P_{0.81}^{41} (X \leq 34)

-

P_{0.81}^{41} (X \leq 29)

≈ 0.6848 - 0.0749 ≈ 0.6099
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.81,34) - binomcdf(41,0.81,29))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 57 und p = 0.35
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 57 und p = 0.35 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 57 ⋅ 0.35 = 19.95

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{57 ⋅ 0.35 ⋅ 0.65}$ = $\sqrt{12.9675}$ ≈ 3.6

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.