Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 15% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 22-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
25	0.7463
26	0.5615
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.85}$ ≈ 26 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.85⋅26) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=26:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.5615 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 53 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 25 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.5.

P_{0.5}^{53} (X = 25)

=

(\begin{matrix} 53 \\ 25 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{25} \cdot {0.5}^{28}

=0.10035707397416≈ 0.1004
(TI-Befehl: binompdf(53,0.5,25))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{4}{7}$	0.5456
$\frac{4}{8}$	0.7256
$\frac{4}{9}$	0.8358
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{11}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{11}$ ⋅11 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{11}$ mit $\frac{4}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 9 sein.

Also werden noch 5 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 73 Freiwürfen mindestens 51 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥51)=1-P(X≤50)
...	...
0.67	0.3507
0.68	0.4203
0.69	0.4933
0.7	0.5674
0.71	0.6401
0.72	0.7089
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{73} (X \geq 51)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{73} (X \leq 50)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(73,X,50) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 45 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 27 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.7.

P_{0.7}^{45} (X = 27)

=

(\begin{matrix} 45 \\ 27 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{27} \cdot {0.3}^{18}

=0.043683528937081≈ 0.0437
(TI-Befehl: binompdf(45,0.7,27))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 28 und p = 0.05
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 28 und p = 0.05 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 28 ⋅ 0.05 = 1.4

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{28 ⋅ 0.05 ⋅ 0.95}$ = $\sqrt{1.33}$ ≈ 1.15

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.