Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht über 27 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
28	0.9477
29	0.8011
30	0.5886
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.9}$ ≈ 30 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.9⋅30) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=30:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.5886 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,16 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 94 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 23 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.16.

...

20

21

22

23

24

25

...

P_{0.16}^{94} (X \geq 23)

= 1 -

P_{0.16}^{94} (X \leq 22)

= 0.0221
(TI-Befehl: 1-binomcdf(94,0.16,22))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 95 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 95 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{13}$	0.5512
$\frac{1}{14}$	0.6319
$\frac{1}{15}$	0.7004
$\frac{1}{16}$	0.7573
$\frac{1}{17}$	0.804
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=95 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{95} (X \leq 7)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{95} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 95 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{95}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{95}$ ⋅95 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{95} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{95}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{13}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 17 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 65 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 37 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥37)=1-P(X≤36)
...	...
0.59	0.6815
0.6	0.7381
0.61	0.7893
0.62	0.8344
0.63	0.873
0.64	0.905
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{65} (X \geq 37)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{65} (X \leq 36)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(65,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.64 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 76% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 68 Versuchen mindestens 52 und weniger als 55 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.76.

$P_{0.76}^{68} (52 \leq X \leq 54)$ =

...

49

50

51

52

53

54

55

56

...

P_{0.76}^{68} (X \leq 54)

-

P_{0.76}^{68} (X \leq 51)

≈ 0.7857 - 0.4698 ≈ 0.3159
(TI-Befehl: binomcdf(68,0.76,54) - binomcdf(68,0.76,51))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 26 und p = 0.7
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 26 und p = 0.7 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 26 ⋅ 0.7 = 18.2

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{26 ⋅ 0.7 ⋅ 0.3}$ = $\sqrt{5.46}$ ≈ 2.34

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.