Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
430.9494
440.8982
450.8232
460.7267
470.6157
480.4998
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: P0.8n (X38) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 38 0.8 ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.8⋅48) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
P0.8n (X38) ≈ 0.4998 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 60 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p= 1 6 .

...
7
8
9
10
11
12
...

P 1 6 60 (X>9) = P 1 6 60 (X10) = 1 - P 1 6 60 (X9) = 0.5536
(TI-Befehl: 1-binomcdf(60, 1 6 ,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
8 11 0.9997
9 12 0.9992
10 13 0.9986
11 14 0.9976
12 15 0.9962
13 16 0.9944
14 17 0.9922
15 18 0.9895
16 19 0.9864
17 20 0.9828
18 21 0.9788
19 22 0.9744
20 23 0.9696
21 24 0.9645
22 25 0.9591
23 26 0.9533
24 27 0.9474
25 28 0.9412
26 29 0.9348
27 30 0.9282
28 31 0.9215
29 32 0.9147
30 33 0.9077
31 34 0.9007
32 35 0.8936
33 36 0.8864
34 37 0.8792
35 38 0.872
36 39 0.8648
37 40 0.8576
38 41 0.8504
39 42 0.8432
40 43 0.836
41 44 0.8289
42 45 0.8218
43 46 0.8147
44 47 0.8077
45 48 0.8008
46 49 0.7939
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X24) = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 8 11 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 45 48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 45 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 75 Freiwürfen mindestens 25 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥25)=1-P(X≤24)
......
0.350.6603
0.360.7236
0.370.7802
0.380.8291
0.390.8702
0.40.9037
......

Es muss gelten: Pp75 (X25) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp75 (X24) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(75,X,24) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 50 Versuchen mindestens 40 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.9.

...
37
38
39
40
41
42
...

P0.950 (X40) = 1 - P0.950 (X39) = 0.9906
(TI-Befehl: 1-binomcdf(50,0.9,39))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 48 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=48⋅0.65 = 31.2

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 31.2, also 0.8⋅ 31.2 = 24.96 und 120% von 31.2, also 1.2⋅ 31.2 = 37.44

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.2 entfernt sein darf als 24.96 bzw. 37.44, muss sie also zwischen 25 und 37 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.65.

P0.6548 (25X37) =

...
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
...

P0.6548 (X37) - P0.6548 (X24) ≈ 0.9751 - 0.0231 ≈ 0.952
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.65,37) - binomcdf(48,0.65,24))