Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 31 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
40	0.7002
41	0.5954
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.75}$ ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.75⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.5954 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 1 und höchstens 7 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 45 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.125.

$P_{0.125}^{45} (2 \leq X \leq 7)$ =

...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

...

P_{0.125}^{45} (X \leq 7)

-

P_{0.125}^{45} (X \leq 1)

≈ 0.806 - 0.0183 ≈ 0.7877
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.125,7) - binomcdf(45,0.125,1))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{8}$	0.5333
$\frac{3}{9}$	0.6739
$\frac{3}{10}$	0.7752
$\frac{3}{11}$	0.8453
$\frac{3}{12}$	0.8929
$\frac{3}{13}$	0.9252
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{17}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{17}$ ⋅17 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{17}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 13 sein.

Also werden noch 10 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 58 Wiederholungen 21 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 70% liegt?

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p	P(X≥21)=1-P(X≤20)
...	...
0.34	0.409
0.35	0.4726
0.36	0.5363
0.37	0.5986
0.38	0.658
0.39	0.7134
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{58} (X \geq 21)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{58} (X \leq 20)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(58,X,20) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,23 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 40 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 13 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.23.

...

10

11

12

13

14

15

...

P_{0.23}^{40} (X \geq 13)

= 1 -

P_{0.23}^{40} (X \leq 12)

= 0.11
(TI-Befehl: 1-binomcdf(40,0.23,12))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 58 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 58⋅0.75 ≈ 43.5,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{58\cdot0.75\cdot0.25}$ ≈ 3.3

46.8 (43.5 + 3.3) und 40.2 (43.5 - 3.3) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 43.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 41 und 46 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 41 und 46 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.75.

$P_{0.75}^{58} (41 \leq X \leq 46)$ =

...

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

...

P_{0.75}^{58} (X \leq 46)

-

P_{0.75}^{58} (X \leq 40)

≈ 0.8174 - 0.1802 ≈ 0.6372
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.75,46) - binomcdf(58,0.75,40))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ