Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßig exzessiven Alkoholgenuss bei 8% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 50%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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n	P(X≤k)
...	...
12	0.6323
13	0.2794
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.92 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.92}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.92}^{n} (X \geq 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.92}^{n} (X \geq 12)$ = 1 - $P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ oder $P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 92% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{12}{0.92}$ ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.92⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
$P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ ≈ 0.2794 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 13 sein, damit $P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.92}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.5 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 82 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 29 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{82} (X = 29)

=

(\begin{matrix} 82 \\ 29 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{29} \cdot {(\frac{3}{4})}^{53}

=0.010424871801514≈ 0.0104
(TI-Befehl: binompdf(82,1/4,29))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{10}$	0.608
$\frac{3}{11}$	0.7093
$\frac{3}{12}$	0.7858
$\frac{3}{13}$	0.8422
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{20}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{20}$ ⋅20 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{20}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 13 sein.

Also werden noch 10 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 70 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 70).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 70% höchstens 51 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.65	0.9361
0.66	0.9115
0.67	0.8801
0.68	0.8412
0.69	0.7943
0.7	0.7394
0.71	0.6769
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \leq 51)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(70,X,51) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 30 Versuchen weniger als 11 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.4.

P_{0.4}^{30} (X < 11)

=

P_{0.4}^{30} (X \leq 10)

=

P_{0.4}^{30} (X = 0)

+

P_{0.4}^{30} (X = 1)

+

P_{0.4}^{30} (X = 2)

+... +

P_{0.4}^{30} (X = 10)

= 0.2914718612235 ≈ 0.2915
(TI-Befehl: binomcdf(30,0.4,10))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 91 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=91⋅ $\frac{1}{6}$ = 15.166666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 15.167, also 0.8⋅ 15.167 = 12.133 und 120% von 15.166666666667, also 1.2⋅ 15.167 = 18.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 15.166666666667 entfernt sein darf als 12.133 bzw. 18.2, muss sie also zwischen 13 und 18 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{91} (13 \leq X \leq 18)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{\frac{1}{6}}^{91} (X \leq 18)

-

P_{\frac{1}{6}}^{91} (X \leq 12)

≈ 0.827 - 0.2308 ≈ 0.5962
(TI-Befehl: binomcdf(91, $\frac{1}{6}$ ,18) - binomcdf(91, $\frac{1}{6}$ ,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert