Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht über 33 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
41	0.5931
42	0.4691
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.8}$ ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.8⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5931 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 63 Versuchen höchstens 30 mal im grünen Bereich zu landen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.55.

P_{0.55}^{63} (X \leq 30)

=

P_{0.55}^{63} (X = 0)

+

P_{0.55}^{63} (X = 1)

+

P_{0.55}^{63} (X = 2)

+... +

P_{0.55}^{63} (X = 30)

= 0.14670122474886 ≈ 0.1467
(TI-Befehl: binomcdf(63,0.55,30))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤24)
...	...
$\frac{12}{17}$	0.9998
$\frac{13}{18}$	0.9997
$\frac{14}{19}$	0.9995
$\frac{15}{20}$	0.9992
$\frac{16}{21}$	0.9989
$\frac{17}{22}$	0.9984
$\frac{18}{23}$	0.9978
$\frac{19}{24}$	0.9971
$\frac{20}{25}$	0.9962
$\frac{21}{26}$	0.9952
$\frac{22}{27}$	0.994
$\frac{23}{28}$	0.9927
$\frac{24}{29}$	0.9912
$\frac{25}{30}$	0.9895
$\frac{26}{31}$	0.9877
$\frac{27}{32}$	0.9857
$\frac{28}{33}$	0.9836
$\frac{29}{34}$	0.9813
$\frac{30}{35}$	0.9788
$\frac{31}{36}$	0.9762
$\frac{32}{37}$	0.9735
$\frac{33}{38}$	0.9706
$\frac{34}{39}$	0.9676
$\frac{35}{40}$	0.9645
$\frac{36}{41}$	0.9613
$\frac{37}{42}$	0.9579
$\frac{38}{43}$	0.9545
$\frac{39}{44}$	0.951
$\frac{40}{45}$	0.9474
$\frac{41}{46}$	0.9437
$\frac{42}{47}$	0.9399
$\frac{43}{48}$	0.9361
$\frac{44}{49}$	0.9322
$\frac{45}{50}$	0.9282
$\frac{46}{51}$	0.9242
$\frac{47}{52}$	0.9201
$\frac{48}{53}$	0.916
$\frac{49}{54}$	0.9119
$\frac{50}{55}$	0.9077
$\frac{51}{56}$	0.9035
$\frac{52}{57}$	0.8993
$\frac{53}{58}$	0.895
$\frac{54}{59}$	0.8907
$\frac{55}{60}$	0.8864
$\frac{56}{61}$	0.8821
$\frac{57}{62}$	0.8778
$\frac{58}{63}$	0.8735
$\frac{59}{64}$	0.8691
$\frac{60}{65}$	0.8648
$\frac{61}{66}$	0.8605
$\frac{62}{67}$	0.8561
$\frac{63}{68}$	0.8518
$\frac{64}{69}$	0.8475
$\frac{65}{70}$	0.8432
$\frac{66}{71}$	0.8389
$\frac{67}{72}$	0.8346
$\frac{68}{73}$	0.8303
$\frac{69}{74}$	0.826
$\frac{70}{75}$	0.8218
$\frac{71}{76}$	0.8176
$\frac{72}{77}$	0.8133
$\frac{73}{78}$	0.8091
$\frac{74}{79}$	0.805
$\frac{75}{80}$	0.8008
$\frac{76}{81}$	0.7967
$\frac{77}{82}$	0.7925
$\frac{78}{83}$	0.7885
$\frac{79}{84}$	0.7844
$\frac{80}{85}$	0.7803
$\frac{81}{86}$	0.7763
$\frac{82}{87}$	0.7723
$\frac{83}{88}$	0.7683
$\frac{84}{89}$	0.7644
$\frac{85}{90}$	0.7604
$\frac{86}{91}$	0.7565
$\frac{87}{92}$	0.7527
$\frac{88}{93}$	0.7488
$\frac{89}{94}$	0.745
$\frac{90}{95}$	0.7412
$\frac{91}{96}$	0.7374
$\frac{92}{97}$	0.7337
$\frac{93}{98}$	0.73
$\frac{94}{99}$	0.7263
$\frac{95}{100}$	0.7226
$\frac{96}{101}$	0.719
$\frac{97}{102}$	0.7154
$\frac{98}{103}$	0.7118
$\frac{99}{104}$	0.7082
$\frac{100}{105}$	0.7047
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{12}{17}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{99}{104}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 99 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 53 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 26 erkennen und dumm anlabern?

Lösung einblenden

p	P(X≤k)
...	...
0.36	0.9817
0.37	0.9735
0.38	0.9626
0.39	0.9484
0.4	0.9303
0.41	0.9078
0.42	0.8806
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{53} (X \leq 26)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(53,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 51 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 20, aber höchstens 21 Treffer zu erzielen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.35.

$P_{0.35}^{51} (20 \leq X \leq 21)$ =

...

17

18

19

20

21

22

23

...

P_{0.35}^{51} (X \leq 21)

-

P_{0.35}^{51} (X \leq 19)

≈ 0.8577 - 0.6897 ≈ 0.168
(TI-Befehl: binomcdf(51,0.35,21) - binomcdf(51,0.35,19))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 21 und p = 0.55
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 21 und p = 0.55 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 21 ⋅ 0.55 = 11.55

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{21 ⋅ 0.55 ⋅ 0.45}$ = $\sqrt{5.1975}$ ≈ 2.28

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.