Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% 31 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
1870.4565
1880.4437
1890.4309
1900.4183
1910.4058
1920.3934
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X31) ≥ 0.6

Weil man ja aber P 1 6 n (X31) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X31) = 1 - P 1 6 n (X30) ≥ 0.6 |+ P 1 6 n (X30) - 0.6

0.4 ≥ P 1 6 n (X30) oder P 1 6 n (X30) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 31 1 6 ≈ 186 Versuchen auch ungefähr 31 (≈ 1 6 ⋅186) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=186:
P 1 6 n (X30) ≈ 0.4695 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=192 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 192 sein, damit P 1 6 n (X30) ≤ 0.4 oder eben P 1 6 n (X31) ≥ 0.6 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 26 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 4 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.25.

...
1
2
3
4
5
6
...

P0.2526 (X4) = 1 - P0.2526 (X3) = 0.9198
(TI-Befehl: 1-binomcdf(26,0.25,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9961
1 3 0.961
1 4 0.8999
1 5 0.8322
1 6 0.7674
1 7 0.7086
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp8 (X1) = 1- Pp8 (X0) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp8 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 55 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 24 erkennen und dumm anlabern?

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pP(X≤k)
......
0.310.983
0.320.9747
0.330.9634
0.340.9485
0.350.9293
0.360.9053
0.370.8761
......

Es muss gelten: Pp55 (X24) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(55,X,24) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 48 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 14 und höchstens 19 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.35.

P0.3548 (14X19) =

...
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
...

P0.3548 (X19) - P0.3548 (X13) ≈ 0.7944 - 0.1589 ≈ 0.6355
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.35,19) - binomcdf(48,0.35,13))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=41⋅ 1 6 = 6.8333333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 6.833, also 0.8⋅ 6.833 = 5.467 und 120% von 6.8333333333333, also 1.2⋅ 6.833 = 8.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 6.8333333333333 entfernt sein darf als 5.467 bzw. 8.2, muss sie also zwischen 6 und 8 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p= 1 6 .

P 1 6 41 (6X8) =

...
3
4
5
6
7
8
9
10
...

P 1 6 41 (X8) - P 1 6 41 (X5) ≈ 0.765 - 0.3 ≈ 0.465
(TI-Befehl: binomcdf(41, 1 6 ,8) - binomcdf(41, 1 6 ,5))