Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 14% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 20-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 70% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
22	0.8341
23	0.6434
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.86 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.86}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 86% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{0.86}$ ≈ 23 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.86⋅23) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=23:
$P_{0.86}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.6434 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 52 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 mal, aber weniger als 10 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{52} (4 \leq X \leq 9)$ =

...

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

...

P_{\frac{1}{6}}^{52} (X \leq 9)

-

P_{\frac{1}{6}}^{52} (X \leq 3)

≈ 0.6358 - 0.0184 ≈ 0.6174
(TI-Befehl: binomcdf(52, $\frac{1}{6}$ ,9) - binomcdf(52, $\frac{1}{6}$ ,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9375
$\frac{1}{3}$	0.7366
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{7} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{7} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{7} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{2}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 2 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 41 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 75 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.42	0.9899
0.43	0.9841
0.44	0.9756
0.45	0.9636
0.46	0.9473
0.47	0.9258
0.48	0.8982
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{75} (X \leq 41)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(75,X,41) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 89 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 20, aber weniger als 24 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.25.

$P_{0.25}^{89} (20 \leq X \leq 23)$ =

...

17

18

19

20

21

22

23

24

25

...

P_{0.25}^{89} (X \leq 23)

-

P_{0.25}^{89} (X \leq 19)

≈ 0.6271 - 0.2541 ≈ 0.373
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.25,23) - binomcdf(89,0.25,19))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 64 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=64⋅0.55 = 35.2

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 35.2, also 0.85⋅ 35.2 = 29.92 und 115% von 35.2, also 1.15⋅ 35.2 = 40.48

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 35.2 entfernt sein darf als 29.92 bzw. 40.48, muss sie also zwischen 30 und 40 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.55.

$P_{0.55}^{64} (30 \leq X \leq 40)$ =

...

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

...

P_{0.55}^{64} (X \leq 40)

-

P_{0.55}^{64} (X \leq 29)

≈ 0.9093 - 0.0764 ≈ 0.8329
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.55,40) - binomcdf(64,0.55,29))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert