Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 55%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 33 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
60	0.5498
61	0.4932
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.55}$ ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.55⋅60) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5498 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=60 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 33 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 28 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p=0.95.

P_{0.95}^{33} (X = 28)

=

(\begin{matrix} 33 \\ 28 \end{matrix}) \cdot {0.95}^{28} \cdot {0.05}^{5}

=0.017639025512175≈ 0.0176
(TI-Befehl: binompdf(33,0.95,28))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 85 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 85 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{1}{14}$	0.5945
$\frac{1}{15}$	0.6616
$\frac{1}{16}$	0.7187
$\frac{1}{17}$	0.7667
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 6)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{85} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{85}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{85}$ ⋅85 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{85} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{85}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{14}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 17 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 87 Freiwürfen mindestens 47 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥47)=1-P(X≤46)
...	...
0.53	0.394
0.54	0.4675
0.55	0.5422
0.56	0.6156
0.57	0.6853
0.58	0.7491
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{87} (X \geq 47)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{87} (X \leq 46)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 70 Versuchen weniger als 17 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.25.

P_{0.25}^{70} (X < 17)

=

P_{0.25}^{70} (X \leq 16)

=

P_{0.25}^{70} (X = 0)

+

P_{0.25}^{70} (X = 1)

+

P_{0.25}^{70} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{70} (X = 16)

= 0.39969763132715 ≈ 0.3997
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.25,16))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 45 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=45⋅0.6 = 27

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 27, also 0.85⋅ 27 = 22.95 und 115% von 27, also 1.15⋅ 27 = 31.05

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 27 entfernt sein darf als 22.95 bzw. 31.05, muss sie also zwischen 23 und 31 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.6.

$P_{0.6}^{45} (23 \leq X \leq 31)$ =

...

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

...

P_{0.6}^{45} (X \leq 31)

-

P_{0.6}^{45} (X \leq 22)

≈ 0.9164 - 0.0865 ≈ 0.8299
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.6,31) - binomcdf(45,0.6,22))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert