Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 35 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
2760.1207
2770.1159
2780.1112
2790.1067
2800.1024
2810.0981
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X35) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.15n (X35) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.15n (X35) = 1 - P0.15n (X34) ≥ 0.9 |+ P0.15n (X34) - 0.9

0.1 ≥ P0.15n (X34) oder P0.15n (X34) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 35 0.15 ≈ 233 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.15⋅233) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=233:
P0.15n (X34) ≈ 0.4756 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=281 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 281 sein, damit P0.15n (X34) ≤ 0.1 oder eben P0.15n (X35) ≥ 0.9 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 74 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,95.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 69 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.95.

...
66
67
68
69
70
71
...

P0.9574 (X69) = 1 - P0.9574 (X68) = 0.8349
(TI-Befehl: 1-binomcdf(74,0.95,68))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
2 12 0.607
2 13 0.6665
2 14 0.7165
2 15 0.7583
2 16 0.7933
2 17 0.8225
2 18 0.847
2 19 0.8676
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp19 (X3) =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp19 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 19 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 19 ⋅19 der Erwartungswert und somit Pp19 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 19 mit 2 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 12 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 19 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 19 sein.

Also werden noch 17 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 22 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 58 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≤k)
......
0.250.9902
0.260.9842
0.270.9755
0.280.9633
0.290.9469
0.30.9256
0.310.8986
......

Es muss gelten: Pp58 (X22) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(58,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.3 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 60 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 mal, aber weniger als 16 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p= 1 6 .

P 1 6 60 (5X15) =

...
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
...

P 1 6 60 (X15) - P 1 6 60 (X4) ≈ 0.9662 - 0.0202 ≈ 0.946
(TI-Befehl: binomcdf(60, 1 6 ,15) - binomcdf(60, 1 6 ,4))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 63 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=63⋅0.5 = 31.5

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 31.5, also 0.9⋅ 31.5 = 28.35 und 110% von 31.5, also 1.1⋅ 31.5 = 34.65

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.5 entfernt sein darf als 28.35 bzw. 34.65, muss sie also zwischen 29 und 34 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.5.

P0.563 (29X34) =

...
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
...

P0.563 (X34) - P0.563 (X28) ≈ 0.775 - 0.225 ≈ 0.55
(TI-Befehl: binomcdf(63,0.5,34) - binomcdf(63,0.5,28))