Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 17% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 35-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 41 | 0.7192 |
| 42 | 0.5866 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.83 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 83% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.83⋅42) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
≈ 0.5866
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,27 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 52 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 9 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.27.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(52,0.27,8))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9998 | |
| 0.9996 | |
| 0.9992 | |
| 0.9986 | |
| 0.9977 | |
| 0.9963 | |
| 0.9945 | |
| 0.9922 | |
| 0.9894 | |
| 0.986 | |
| 0.9819 | |
| 0.9773 | |
| 0.9721 | |
| 0.9664 | |
| 0.96 | |
| 0.9532 | |
| 0.9458 | |
| 0.938 | |
| 0.9298 | |
| 0.9213 | |
| 0.9123 | |
| 0.9031 | |
| 0.8936 | |
| 0.8838 | |
| 0.8739 | |
| 0.8638 | |
| 0.8536 | |
| 0.8432 | |
| 0.8328 | |
| 0.8223 | |
| 0.8118 | |
| 0.8012 | |
| 0.7906 | |
| 0.7801 | |
| 0.7696 | |
| 0.7591 | |
| 0.7487 | |
| 0.7384 | |
| 0.7281 | |
| 0.718 | |
| 0.7079 | |
| 0.6979 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 49 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 40 Wiederholungen 21 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?
| p | P(X≥21)=1-P(X≤20) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.49 | 0.3878 |
| 0.5 | 0.4373 |
| 0.51 | 0.4878 |
| 0.52 | 0.5386 |
| 0.53 | 0.5888 |
| 0.54 | 0.6376 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.6 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.6 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(40,X,20) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 94 Versuchen genau 80 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.95.
= =0.0001756742957014≈ 0.0002(TI-Befehl: binompdf(94,0.95,80))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 55 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=55⋅0.35 = 19.25
Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 19.25, also 0.9⋅ 19.25 = 17.325 und 110% von 19.25, also 1.1⋅ 19.25 = 21.175
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 19.25 entfernt sein darf als 17.325 bzw. 21.175, muss sie also zwischen 18 und 21 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.35.
=
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.35,21) - binomcdf(55,0.35,17))
