Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 91% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 60% Wahrscheinlichkeit in mindestens 4 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?

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n	P(X≤k)
...	...
44	0.4324
45	0.4142
46	0.3964
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{n} (X \geq 4)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.09}^{n} (X \geq 4)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.09}^{n} (X \geq 4)$ = 1 - $P_{0.09}^{n} (X \leq 3)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.09}^{n} (X \leq 3)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.09}^{n} (X \leq 3)$ oder $P_{0.09}^{n} (X \leq 3)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{4}{0.09}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 4 (≈0.09⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.09}^{n} (X \leq 3)$ ≈ 0.4324 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 46 sein, damit $P_{0.09}^{n} (X \leq 3)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.09}^{n} (X \geq 4)$ ≥ 0.6 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 85 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 19 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{85} (X = 19)

=

(\begin{matrix} 85 \\ 19 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{19} \cdot {(\frac{3}{4})}^{66}

=0.087849164572561≈ 0.0878
(TI-Befehl: binompdf(85,1/4,19))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 85 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 85 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{9}$	0.5257
$\frac{1}{10}$	0.6566
$\frac{1}{11}$	0.7573
$\frac{1}{12}$	0.8308
$\frac{1}{13}$	0.8827
$\frac{1}{14}$	0.9188
$\frac{1}{15}$	0.9437
$\frac{1}{16}$	0.9607
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 9)$ =0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{85} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{85}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{85}$ ⋅85 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{85} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{85}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 16 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 47 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 47)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 31 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥31)=1-P(X≤30)
...	...
0.62	0.3454
0.63	0.3989
0.64	0.4549
0.65	0.5122
0.66	0.5698
0.67	0.6265
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{47} (X \geq 31)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{47} (X \leq 30)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(47,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.67 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 75 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 19 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.3.

P_{0.3}^{75} (X = 19)

=

(\begin{matrix} 75 \\ 19 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{19} \cdot {0.7}^{56}

=0.070541135334447≈ 0.0705
(TI-Befehl: binompdf(75,0.3,19))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 44 und p = 0.8
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 44 und p = 0.8 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 44 ⋅ 0.8 = 35.2

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{44 ⋅ 0.8 ⋅ 0.2}$ = $\sqrt{7.04}$ ≈ 2.65

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.