Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 50%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit 30 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
610.3991
620.3518
630.3073
640.2662
650.2285
660.1945
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: P0.5n (X30) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.5n (X30) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.5n (X30) = 1 - P0.5n (X29) ≥ 0.8 |+ P0.5n (X29) - 0.8

0.2 ≥ P0.5n (X29) oder P0.5n (X29) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 30 0.5 ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.5⋅60) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
P0.5n (X29) ≈ 0.4487 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=66 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 66 sein, damit P0.5n (X29) ≤ 0.2 oder eben P0.5n (X30) ≥ 0.8 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 99 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 62 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.7.

P0.799 (X=62) = ( 99 62 ) 0.762 0.337 =0.024151010856125≈ 0.0242
(TI-Befehl: binompdf(99,0.7,62))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
2 11 0.6255
2 12 0.6887
2 13 0.7405
2 14 0.7829
2 15 0.8174
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp17 (X3) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp17 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 17 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 17 ⋅17 der Erwartungswert und somit Pp17 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 17 mit 2 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 11 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 15 sein.

Also werden noch 13 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 58 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 58)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 38 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥38)=1-P(X≤37)
......
0.620.342
0.630.4014
0.640.4637
0.650.5274
0.660.591
0.670.6528
......

Es muss gelten: Pp58 (X38) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp58 (X37) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(58,X,37) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.67 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 83 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 45 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.5.

P0.583 (X<45) = P0.583 (X44) = P0.583 (X=0) + P0.583 (X=1) + P0.583 (X=2) +... + P0.583 (X=44) = 0.74479502915938 ≈ 0.7448
(TI-Befehl: binomcdf(83,0.5,44))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 47 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 47⋅ 1 6 ≈ 7.83,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 47 1 6 5 6 ≈ 2.55

10.39 (7.83 + 2.55) und 5.28 (7.83 - 2.55) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 7.83 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 10 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 10 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p= 1 6 .

P 1 6 47 (6X10) =

...
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
...

P 1 6 47 (X10) - P 1 6 47 (X5) ≈ 0.8516 - 0.1822 ≈ 0.6694
(TI-Befehl: binomcdf(47, 1 6 ,10) - binomcdf(47, 1 6 ,5))