Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 90%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 26 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
29	0.565
30	0.3526
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.9}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.9⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.565 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 72 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 15 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.25.

P_{0.25}^{72} (X = 15)

=

(\begin{matrix} 72 \\ 15 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{15} \cdot {0.75}^{57}

=0.081347614020235≈ 0.0813
(TI-Befehl: binompdf(72,0.25,15))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{3}{6}$	0.9981
$\frac{4}{7}$	0.9846
$\frac{5}{8}$	0.9447
$\frac{6}{9}$	0.8738
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{28} (X \leq 21)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{28} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{6}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 5 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 68 Ausspielungen nicht öfters als 57 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.73	0.9877
0.74	0.9808
0.75	0.9706
0.76	0.9561
0.77	0.9357
0.78	0.9082
0.79	0.8719
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{68} (X \leq 57)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(68,X,57) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.78 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 84 Versuchen höchstens 58 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.7.

P_{0.7}^{84} (X \leq 58)

=

P_{0.7}^{84} (X = 0)

+

P_{0.7}^{84} (X = 1)

+

P_{0.7}^{84} (X = 2)

+... +

P_{0.7}^{84} (X = 58)

= 0.46524375088081 ≈ 0.4652
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.7,58))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 72 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=72⋅0.6 = 43.2

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 43.2, also 0.85⋅ 43.2 = 36.72 und 115% von 43.2, also 1.15⋅ 43.2 = 49.68

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 43.2 entfernt sein darf als 36.72 bzw. 49.68, muss sie also zwischen 37 und 49 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.6.

$P_{0.6}^{72} (37 \leq X \leq 49)$ =

...

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

...

P_{0.6}^{72} (X \leq 49)

-

P_{0.6}^{72} (X \leq 36)

≈ 0.9369 - 0.0546 ≈ 0.8823
(TI-Befehl: binomcdf(72,0.6,49) - binomcdf(72,0.6,36))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert