Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 32 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
380.3412
390.2223
400.1354
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: P0.85n (X32) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.85n (X32) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.85n (X32) = 1 - P0.85n (X31) ≥ 0.8 |+ P0.85n (X31) - 0.8

0.2 ≥ P0.85n (X31) oder P0.85n (X31) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 32 0.85 ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.85⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
P0.85n (X31) ≈ 0.3412 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 40 sein, damit P0.85n (X31) ≤ 0.2 oder eben P0.85n (X32) ≥ 0.8 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 20 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 4 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.2.

...
1
2
3
4
5
6
...

P0.220 (X4) = 1 - P0.220 (X3) = 0.5886
(TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.2,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
12 17 0.9998
13 18 0.9997
14 19 0.9995
15 20 0.9992
16 21 0.9989
17 22 0.9984
18 23 0.9978
19 24 0.9971
20 25 0.9962
21 26 0.9952
22 27 0.994
23 28 0.9927
24 29 0.9912
25 30 0.9895
26 31 0.9877
27 32 0.9857
28 33 0.9836
29 34 0.9813
30 35 0.9788
31 36 0.9762
32 37 0.9735
33 38 0.9706
34 39 0.9676
35 40 0.9645
36 41 0.9613
37 42 0.9579
38 43 0.9545
39 44 0.951
40 45 0.9474
41 46 0.9437
42 47 0.9399
43 48 0.9361
44 49 0.9322
45 50 0.9282
46 51 0.9242
47 52 0.9201
48 53 0.916
49 54 0.9119
50 55 0.9077
51 56 0.9035
52 57 0.8993
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X24) = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 12 17 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 51 56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 51 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 50 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 47 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≥47)=1-P(X≤46)
......
0.920.4253
0.930.5327
0.940.6473
0.950.7604
0.960.8609
0.970.9372
......

Es muss gelten: Pp50 (X47) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp50 (X46) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(50,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.97 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 82 Versuchen mehr als 26 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.25.

...
24
25
26
27
28
29
...

P0.2582 (X>26) = P0.2582 (X27) = 1 - P0.2582 (X26) = 0.066
(TI-Befehl: 1-binomcdf(82,0.25,26))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 43 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 43 und p = 0.4 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 43 ⋅ 0.4 = 17.2

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 43 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6 = 10.32 3.21