Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
1	0.98
2	0.9604
3	0.9412
4	0.9224
5	0.9039
6	0.8858
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 67 Versuchen, mehr als 11 mal und höchstens 19 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.25.

$P_{0.25}^{67} (12 \leq X \leq 19)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{0.25}^{67} (X \leq 19)

-

P_{0.25}^{67} (X \leq 11)

≈ 0.7838 - 0.0647 ≈ 0.7191
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.25,19) - binomcdf(67,0.25,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 13 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 15% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{4}$	0.5843
$\frac{1}{5}$	0.7473
$\frac{1}{6}$	0.8419
$\frac{1}{7}$	0.8974
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{13}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 90 Freiwürfen mindestens 29 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥29)=1-P(X≤28)
...	...
0.31	0.44
0.32	0.5216
0.33	0.6014
0.34	0.6764
0.35	0.7442
0.36	0.8033
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 29)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{90} (X \leq 28)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(90,X,28) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 46 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{46} (X = 9)

=

(\begin{matrix} 46 \\ 9 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{9} \cdot {(\frac{5}{6})}^{37}

=0.12852938500839≈ 0.1285
(TI-Befehl: binompdf(46,1/6,9))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 63 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=63⋅0.75 = 47.25

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 47.25, also 0.8⋅ 47.25 = 37.8 und 120% von 47.25, also 1.2⋅ 47.25 = 56.7

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 47.25 entfernt sein darf als 37.8 bzw. 56.7, muss sie also zwischen 38 und 56 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.75.

$P_{0.75}^{63} (38 \leq X \leq 56)$ =

...

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

...

P_{0.75}^{63} (X \leq 56)

-

P_{0.75}^{63} (X \leq 37)

≈ 0.9982 - 0.0034 ≈ 0.9948
(TI-Befehl: binomcdf(63,0.75,56) - binomcdf(63,0.75,37))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert