Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 32 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
68	0.9045
69	0.8852
70	0.8636
71	0.8397
72	0.8137
73	0.7856
74	0.7555
75	0.7237
76	0.6905
77	0.656
78	0.6207
79	0.5847
80	0.5484
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{32}{0.4}$ ≈ 80 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.4⋅80) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=80:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.5484 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 91% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 60 Versuchen mindestens 53 und weniger als 61 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.91.

$P_{0.91}^{60} (X \geq 53)$ =

...

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

P_{0.91}^{60} (X \leq 60)

-

P_{0.91}^{60} (X \leq 52)

≈ 1 - 0.169 ≈ 0.831
(TI-Befehl: binomcdf(60,0.91,60) - binomcdf(60,0.91,52))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 60 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥10)=1-P(X≤9)
...	...
$\frac{2}{6}$	0.9988
$\frac{2}{7}$	0.989
$\frac{2}{8}$	0.9548
$\frac{2}{9}$	0.8861
$\frac{2}{10}$	0.7868
$\frac{2}{11}$	0.671
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \geq 10)$ = 1- $P_{p}^{60} (X \leq 9)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \geq 10)$ ('mindestens 10 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{6}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 10 sein.

Also wären noch 8 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 92 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 92)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 71 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥71)=1-P(X≤70)
...	...
0.74	0.2871
0.75	0.3657
0.76	0.452
0.77	0.5424
0.78	0.6323
0.79	0.7173
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{92} (X \geq 71)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{92} (X \leq 70)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(92,X,70) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.79 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 50 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 mal, aber weniger als 11 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{50} (5 \leq X \leq 10)$ =

...

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

P_{\frac{1}{6}}^{50} (X \leq 10)

-

P_{\frac{1}{6}}^{50} (X \leq 4)

≈ 0.7986 - 0.0643 ≈ 0.7343
(TI-Befehl: binomcdf(50, $\frac{1}{6}$ ,10) - binomcdf(50, $\frac{1}{6}$ ,4))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 64 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=64⋅0.45 = 28.8

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 28.8, also 0.8⋅ 28.8 = 23.04 und 120% von 28.8, also 1.2⋅ 28.8 = 34.56

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 28.8 entfernt sein darf als 23.04 bzw. 34.56, muss sie also zwischen 24 und 34 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.45.

$P_{0.45}^{64} (24 \leq X \leq 34)$ =

...

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

...

P_{0.45}^{64} (X \leq 34)

-

P_{0.45}^{64} (X \leq 23)

≈ 0.9236 - 0.0907 ≈ 0.8329
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.45,34) - binomcdf(64,0.45,23))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert