Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 15%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 22 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
1470.4601
1480.4465
1490.433
1500.4196
1510.4064
1520.3933
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X22) ≥ 0.6

Weil man ja aber P0.15n (X22) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.15n (X22) = 1 - P0.15n (X21) ≥ 0.6 |+ P0.15n (X21) - 0.6

0.4 ≥ P0.15n (X21) oder P0.15n (X21) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 22 0.15 ≈ 147 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.15⋅147) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=147:
P0.15n (X21) ≈ 0.4601 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=152 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 152 sein, damit P0.15n (X21) ≤ 0.4 oder eben P0.15n (X22) ≥ 0.6 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 62 Versuchen genau 34 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.55.

P0.5562 (X=34) = ( 62 34 ) 0.5534 0.4528 =0.10136144101408≈ 0.1014
(TI-Befehl: binompdf(62,0.55,34))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
5 28 0.6391
5 29 0.6649
5 30 0.6887
5 31 0.7107
5 32 0.731
5 33 0.7497
5 34 0.767
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp17 (X3) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp17 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 17 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 17 ⋅17 der Erwartungswert und somit Pp17 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 17 mit 5 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 5 28 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 34 sein.

Also werden noch 29 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 68 Wiederholungen 51 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 50% liegt?

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pP(X≥51)=1-P(X≤50)
......
0.70.2237
0.710.2808
0.720.345
0.730.4151
0.740.4891
0.750.5647
......

Es muss gelten: Pp68 (X51) =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp68 (X50) =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(68,X,50) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.75 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 83% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 76 Versuchen mindestens 56 und weniger als 71 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.83.

P0.8376 (56X70) =

...
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
...

P0.8376 (X70) - P0.8376 (X55) ≈ 0.9932 - 0.0139 ≈ 0.9793
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.83,70) - binomcdf(76,0.83,55))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 54 und p = 0.35
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 54 und p = 0.35 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 54 ⋅ 0.35 = 18.9

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 54 ⋅ 0.35 ⋅ 0.65 = 12.285 3.5