Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 29 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
31	0.8304
32	0.6333
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.9}$ ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.9⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.6333 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 27 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 5 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{27} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 27 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{5} \cdot {(\frac{3}{4})}^{22}

=0.14063155874458≈ 0.1406
(TI-Befehl: binompdf(27,1/4,5))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{5}$	0.4672
$\frac{3}{6}$	0.7256
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{11}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{11}$ ⋅11 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{11}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 6 sein.

Also werden noch 3 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 85 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 26 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥26)=1-P(X≤25)
...	...
0.32	0.6492
0.33	0.7188
0.34	0.7803
0.35	0.8329
0.36	0.8763
0.37	0.9108
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \geq 26)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{85} (X \leq 25)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(85,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 49 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 27, aber höchstens 35 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.65.

$P_{0.65}^{49} (27 \leq X \leq 35)$ =

...

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

...

P_{0.65}^{49} (X \leq 35)

-

P_{0.65}^{49} (X \leq 26)

≈ 0.8637 - 0.0566 ≈ 0.8071
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.65,35) - binomcdf(49,0.65,26))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 78 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=78⋅ $\frac{1}{6}$ = 13

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 13, also 0.8⋅ 13 = 10.4 und 120% von 13, also 1.2⋅ 13 = 15.6

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 13 entfernt sein darf als 10.4 bzw. 15.6, muss sie also zwischen 11 und 15 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{78} (11 \leq X \leq 15)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{\frac{1}{6}}^{78} (X \leq 15)

-

P_{\frac{1}{6}}^{78} (X \leq 10)

≈ 0.7806 - 0.2282 ≈ 0.5524
(TI-Befehl: binomcdf(78, $\frac{1}{6}$ ,15) - binomcdf(78, $\frac{1}{6}$ ,10))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert