Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 25 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 54 | 0.2483 |
| 55 | 0.2094 |
| 56 | 0.1748 |
| 57 | 0.1446 |
| 58 | 0.1185 |
| 59 | 0.0963 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.9 |+ - 0.9
0.1 ≥ oder ≤ 0.1
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 50 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.5⋅50) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=50:
≈ 0.4439
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=59 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.
n muss also mindestens 59 sein, damit ≤ 0.1 oder eben ≥ 0.9 gilt.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 86 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,5.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 50 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.5.
= + + +... + = 0.94738732437153 ≈ 0.9474(TI-Befehl: binomcdf(86,0.5,50))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 75 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 75 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤5) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.616 | |
| 0.6725 | |
| 0.721 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 5 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 5=⋅75 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
17 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 96 Wiederholungen 25 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?
| p | P(X≥25)=1-P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.27 | 0.6218 |
| 0.28 | 0.7015 |
| 0.29 | 0.7716 |
| 0.3 | 0.8306 |
| 0.31 | 0.8783 |
| 0.32 | 0.9153 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(96,X,24) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 83 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 50 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.65.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(83,0.65,49))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=60%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 99 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=99⋅0.6 = 59.4
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 59.4, also 0.8⋅ 59.4 = 47.52 und 120% von 59.4, also 1.2⋅ 59.4 = 71.28
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 59.4 entfernt sein darf als 47.52 bzw. 71.28, muss sie also zwischen 48 und 71 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.6.
=
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.6,71) - binomcdf(99,0.6,47))
