Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 11% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 37-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
41	0.6742
42	0.4973
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.89 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.89}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 89% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.89}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.89⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.89}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.4973 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 91 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 43 und höchstens 53 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.55.

$P_{0.55}^{91} (43 \leq X \leq 53)$ =

...

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

...

P_{0.55}^{91} (X \leq 53)

-

P_{0.55}^{91} (X \leq 42)

≈ 0.7658 - 0.0562 ≈ 0.7096
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.55,53) - binomcdf(91,0.55,42))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 95 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 95 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤5)
...	...
$\frac{1}{19}$	0.616
$\frac{1}{20}$	0.6609
$\frac{1}{21}$	0.7009
$\frac{1}{22}$	0.7363
$\frac{1}{23}$	0.7676
$\frac{1}{24}$	0.7951
$\frac{1}{25}$	0.8192
$\frac{1}{26}$	0.8404
$\frac{1}{27}$	0.8589
$\frac{1}{28}$	0.8752
$\frac{1}{29}$	0.8894
$\frac{1}{30}$	0.9019
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=95 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{95} (X \leq 5)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{95} (X \leq 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 95 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{5}{95}$ . Mit diesem p wäre ja 5= $\frac{5}{95}$ ⋅95 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{95} (X \leq 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{5}{95}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{19}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{30}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 30 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 76 Wiederholungen 53 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 80% liegt?

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p	P(X≥53)=1-P(X≤52)
...	...
0.69	0.5004
0.7	0.5758
0.71	0.6495
0.72	0.7189
0.73	0.7817
0.74	0.8363
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{76} (X \geq 53)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{76} (X \leq 52)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(76,X,52) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 72 Versuchen genau 8 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.2.

P_{0.2}^{72} (X = 8)

=

(\begin{matrix} 72 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{8} \cdot {0.8}^{64}

=0.019233467717138≈ 0.0192
(TI-Befehl: binompdf(72,0.2,8))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 44 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=44⋅0.3 = 13.2

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 13.2, also 0.85⋅ 13.2 = 11.22 und 115% von 13.2, also 1.15⋅ 13.2 = 15.18

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 13.2 entfernt sein darf als 11.22 bzw. 15.18, muss sie also zwischen 12 und 15 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.3.

$P_{0.3}^{44} (12 \leq X \leq 15)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{0.3}^{44} (X \leq 15)

-

P_{0.3}^{44} (X \leq 11)

≈ 0.7781 - 0.2936 ≈ 0.4845
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.3,15) - binomcdf(44,0.3,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert