Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 60%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 32 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
47	0.9012
48	0.8627
49	0.8164
50	0.7631
51	0.7039
52	0.6403
53	0.5741
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{32}{0.6}$ ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.6⋅53) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.5741 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,17 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 44 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 12 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.17.

P_{0.17}^{44} (X \leq 12)

=

P_{0.17}^{44} (X = 0)

+

P_{0.17}^{44} (X = 1)

+

P_{0.17}^{44} (X = 2)

+... +

P_{0.17}^{44} (X = 12)

= 0.97223846354941 ≈ 0.9722
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.17,12))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9648
$\frac{1}{3}$	0.8049
$\frac{1}{4}$	0.6329
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{3}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 3 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 94 Wiederholungen 85 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 50% liegt?

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p	P(X≥85)=1-P(X≤84)
...	...
0.85	0.0867
0.86	0.1362
0.87	0.2053
0.88	0.2958
0.89	0.4067
0.9	0.5321
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{94} (X \geq 85)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{94} (X \leq 84)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(94,X,84) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 43 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 6 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.25.

P_{0.25}^{43} (X \leq 6)

=

P_{0.25}^{43} (X = 0)

+

P_{0.25}^{43} (X = 1)

+

P_{0.25}^{43} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{43} (X = 6)

= 0.06118027175221 ≈ 0.0612
(TI-Befehl: binomcdf(43,0.25,6))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=45%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 40 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=40⋅0.45 = 18

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 18, also 0.8⋅ 18 = 14.4 und 120% von 18, also 1.2⋅ 18 = 21.6

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 18 entfernt sein darf als 14.4 bzw. 21.6, muss sie also zwischen 15 und 21 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.45.

$P_{0.45}^{40} (15 \leq X \leq 21)$ =

...

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

...

P_{0.45}^{40} (X \leq 21)

-

P_{0.45}^{40} (X \leq 14)

≈ 0.8669 - 0.1326 ≈ 0.7343
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.45,21) - binomcdf(40,0.45,14))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert