Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 65%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 30 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
45	0.6467
46	0.5675
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.65}$ ≈ 46 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.65⋅46) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=46:
$P_{0.65}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.5675 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 69 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 18 und höchstens 31 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.35.

$P_{0.35}^{69} (18 \leq X \leq 31)$ =

...

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

...

P_{0.35}^{69} (X \leq 31)

-

P_{0.35}^{69} (X \leq 17)

≈ 0.9665 - 0.0439 ≈ 0.9226
(TI-Befehl: binomcdf(69,0.35,31) - binomcdf(69,0.35,17))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{5}{9}$	0.9995
$\frac{6}{10}$	0.9978
$\frac{7}{11}$	0.9932
$\frac{8}{12}$	0.9839
$\frac{9}{13}$	0.9686
$\frac{10}{14}$	0.9468
$\frac{11}{15}$	0.9186
$\frac{12}{16}$	0.8847
$\frac{13}{17}$	0.8462
$\frac{14}{18}$	0.8045
$\frac{15}{19}$	0.7608
$\frac{16}{20}$	0.7161
$\frac{17}{21}$	0.6713
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{29} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{29} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{9}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{16}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 16 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 80 Ausspielungen nicht öfters als 37 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.34	0.9914
0.35	0.9858
0.36	0.9773
0.37	0.9649
0.38	0.9477
0.39	0.9246
0.4	0.8947
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{80} (X \leq 37)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(80,X,37) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 2 und höchstens 13 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 95 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.125.

$P_{0.125}^{95} (3 \leq X \leq 13)$ =

...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

...

P_{0.125}^{95} (X \leq 13)

-

P_{0.125}^{95} (X \leq 2)

≈ 0.7029 - 0.0003 ≈ 0.7026
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.125,13) - binomcdf(95,0.125,2))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 49 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 49 und p = 0.4 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 49 ⋅ 0.4 = 19.6

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{49 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6}$ = $\sqrt{11.76}$ ≈ 3.43

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.