Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 55%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 27 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
48	0.6233
49	0.5608
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.55}$ ≈ 49 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.55⋅49) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=49:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.5608 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 76 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 39 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.5.

P_{0.5}^{76} (X < 39)

=

P_{0.5}^{76} (X \leq 38)

=

P_{0.5}^{76} (X = 0)

+

P_{0.5}^{76} (X = 1)

+

P_{0.5}^{76} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{76} (X = 38)

= 0.54561153736225 ≈ 0.5456
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.5,38))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 60 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{6}$	0.4464
$\frac{1}{7}$	0.6484
$\frac{1}{8}$	0.7884
$\frac{1}{9}$	0.8754
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \leq 9)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{60}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{60}$ ⋅60 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{60} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{60}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 87 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 87)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 70 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥70)=1-P(X≤69)
...	...
0.77	0.2659
0.78	0.3431
0.79	0.4295
0.8	0.5214
0.81	0.6145
0.82	0.7037
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{87} (X \geq 70)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{87} (X \leq 69)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,69) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.82 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 53 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 26 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.5.

P_{0.5}^{53} (X = 26)

=

(\begin{matrix} 53 \\ 26 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{26} \cdot {0.5}^{27}

=0.10807684889525≈ 0.1081
(TI-Befehl: binompdf(53,0.5,26))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 39 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 39 und p = 0.15 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 39 ⋅ 0.15 = 5.85

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{39 ⋅ 0.15 ⋅ 0.85}$ = $\sqrt{4.9725}$ ≈ 2.23

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.