Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 28 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
30	0.8163
31	0.6114
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.9}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.9⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.6114 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 93 Versuchen weniger als 45 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.4.

P_{0.4}^{93} (X < 45)

=

P_{0.4}^{93} (X \leq 44)

=

P_{0.4}^{93} (X = 0)

+

P_{0.4}^{93} (X = 1)

+

P_{0.4}^{93} (X = 2)

+... +

P_{0.4}^{93} (X = 44)

= 0.93791887992847 ≈ 0.9379
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.4,44))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 85 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 85 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{1}{14}$	0.5945
$\frac{1}{15}$	0.6616
$\frac{1}{16}$	0.7187
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{85} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{85}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{85}$ ⋅85 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{85} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{85}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{14}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 16 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 82 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 82).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 60% höchstens 58 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.64	0.9188
0.65	0.8869
0.66	0.8466
0.67	0.7973
0.68	0.7389
0.69	0.6722
0.7	0.5986
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{82} (X \leq 58)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(82,X,58) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 69 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 30 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.5.

P_{0.5}^{69} (X = 30)

=

(\begin{matrix} 69 \\ 30 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{30} \cdot {0.5}^{39}

=0.053578696440359≈ 0.0536
(TI-Befehl: binompdf(69,0.5,30))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=65%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 82 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 82⋅0.65 ≈ 53.3,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{82\cdot0.65\cdot0.35}$ ≈ 4.32

57.62 (53.3 + 4.32) und 48.98 (53.3 - 4.32) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 53.3 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 49 und 57 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 49 und 57 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.65.

$P_{0.65}^{82} (49 \leq X \leq 57)$ =

...

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

...

P_{0.65}^{82} (X \leq 57)

-

P_{0.65}^{82} (X \leq 48)

≈ 0.8344 - 0.1337 ≈ 0.7007
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.65,57) - binomcdf(82,0.65,48))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ