Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,35. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 36 dieser Fehler begeht?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
97	0.7089
98	0.6822
99	0.6549
100	0.6269
101	0.5985
102	0.5699
103	0.5411
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.35}$ ≈ 103 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.35⋅103) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=103:
$P_{0.35}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5411 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=97 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 57 Versuchen genau 24 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.4.

P_{0.4}^{57} (X = 24)

=

(\begin{matrix} 57 \\ 24 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{24} \cdot {0.6}^{33}

=0.10110748117146≈ 0.1011
(TI-Befehl: binompdf(57,0.4,24))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

Lösung einblenden

p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9941
$\frac{1}{3}$	0.9249
$\frac{1}{4}$	0.8029
$\frac{1}{5}$	0.6779
$\frac{1}{6}$	0.5693
$\frac{1}{7}$	0.4801
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{11} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 74 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 67 erkennen und dumm anlabern?

Lösung einblenden

p	P(X≥k)=1-P(X≤k-1)
...	...
0.81	0.9921
0.82	0.9864
0.83	0.9772
0.84	0.9627
0.85	0.9406
0.86	0.9081
0.87	0.862
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{74} (X \leq 67)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(74,X,67) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 67 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 54 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.7.

P_{0.7}^{67} (X = 54)

=

(\begin{matrix} 67 \\ 54 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{54} \cdot {0.3}^{13}

=0.017467112858892≈ 0.0175
(TI-Befehl: binompdf(67,0.7,54))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 49 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=49⋅0.6 = 29.4

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 29.4, also 0.9⋅ 29.4 = 26.46 und 110% von 29.4, also 1.1⋅ 29.4 = 32.34

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 29.4 entfernt sein darf als 26.46 bzw. 32.34, muss sie also zwischen 27 und 32 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.6.

$P_{0.6}^{49} (27 \leq X \leq 32)$ =

...

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.6}^{49} (X \leq 32)

-

P_{0.6}^{49} (X \leq 26)

≈ 0.8164 - 0.1982 ≈ 0.6182
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.6,32) - binomcdf(49,0.6,26))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert