Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 20 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
290.364
300.2696
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: P0.7n (X20) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.7n (X20) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.7n (X20) = 1 - P0.7n (X19) ≥ 0.7 |+ P0.7n (X19) - 0.7

0.3 ≥ P0.7n (X19) oder P0.7n (X19) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 20 0.7 ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.7⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
P0.7n (X19) ≈ 0.364 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 30 sein, damit P0.7n (X19) ≤ 0.3 oder eben P0.7n (X20) ≥ 0.7 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 69 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 12 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p= 1 6 .

P 1 6 69 (X<12) = P 1 6 69 (X11) = P 1 6 69 (X=0) + P 1 6 69 (X=1) + P 1 6 69 (X=2) +... + P 1 6 69 (X=11) = 0.51448488072295 ≈ 0.5145
(TI-Befehl: binomcdf(69,1/6,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
5 14 0.5946
5 15 0.6739
5 16 0.739
5 17 0.7914
5 18 0.8333
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp17 (X6) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp17 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 17 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 17 ⋅17 der Erwartungswert und somit Pp17 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 17 mit 5 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 5 14 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 18 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 18 sein.

Also werden noch 13 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 94 Wiederholungen 81 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 50% liegt?

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pP(X≥81)=1-P(X≤80)
......
0.810.1236
0.820.1803
0.830.2533
0.840.3422
0.850.4444
0.860.5543
......

Es muss gelten: Pp94 (X81) =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp94 (X80) =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(94,X,80) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 58 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 18 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p= 1 4 .

P 1 4 58 (X=18) = ( 58 18 ) ( 1 4 )18 ( 3 4 )40 =0.065850062380847≈ 0.0659
(TI-Befehl: binompdf(58,1/4,18))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 57 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 57⋅ 1 6 ≈ 9.5,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 57 1 6 5 6 ≈ 2.81

12.31 (9.5 + 2.81) und 6.69 (9.5 - 2.81) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 12 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 12 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p= 1 6 .

P 1 6 57 (7X12) =

...
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
...

P 1 6 57 (X12) - P 1 6 57 (X6) ≈ 0.8563 - 0.1412 ≈ 0.7151
(TI-Befehl: binomcdf(57, 1 6 ,12) - binomcdf(57, 1 6 ,6))