Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,5. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 22 dieser Fehler begeht?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 44 | 0.5598 |
| 45 | 0.5 |
| 46 | 0.4415 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.5⋅44) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
≈ 0.5598
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,74. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 22 Versuchen mindestens 17 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=0.74.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(22,0.74,16))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 55 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤8) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.42 | |
| 0.6144 | |
| 0.7553 | |
| 0.8478 | |
| 0.9056 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 8 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 8=⋅55 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
10 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 47 Freiwürfen mindestens 34 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥34)=1-P(X≤33) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.7 | 0.4326 |
| 0.71 | 0.4924 |
| 0.72 | 0.5533 |
| 0.73 | 0.6138 |
| 0.74 | 0.6725 |
| 0.75 | 0.7282 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.7 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(47,X,33) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.75 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 93 Versuchen höchstens 45 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.4.
= + + +... + = 0.95957032747413 ≈ 0.9596(TI-Befehl: binomcdf(93,0.4,45))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 45 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=45⋅0.25 = 11.25
Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 11.25, also 0.9⋅ 11.25 = 10.125 und 110% von 11.25, also 1.1⋅ 11.25 = 12.375
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 11.25 entfernt sein darf als 10.125 bzw. 12.375, muss sie also zwischen 11 und 12 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.25.
=
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.25,12) - binomcdf(45,0.25,10))
