Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,85. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 38 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
44	0.6639
45	0.5218
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.85}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.85⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5218 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=44 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 71 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 16 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{71} (X = 16)

=

(\begin{matrix} 71 \\ 16 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{16} \cdot {(\frac{3}{4})}^{55}

=0.10017808022862≈ 0.1002
(TI-Befehl: binompdf(71,1/4,16))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 60 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥16)=1-P(X≤15)
...	...
$\frac{3}{7}$	0.9968
$\frac{3}{8}$	0.9715
$\frac{3}{9}$	0.8929
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \geq 16)$ = 1- $P_{p}^{60} (X \leq 15)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \geq 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{7}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 8 sein.

Also wären noch 5 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 88 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 20 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥20)=1-P(X≤19)
...	...
0.24	0.5655
0.25	0.6501
0.26	0.7265
0.27	0.7924
0.28	0.8471
0.29	0.8907
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{88} (X \geq 20)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{88} (X \leq 19)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(88,X,19) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 44 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 31, aber höchstens 32 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.65.

$P_{0.65}^{44} (31 \leq X \leq 32)$ =

...

28

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.65}^{44} (X \leq 32)

-

P_{0.65}^{44} (X \leq 30)

≈ 0.8931 - 0.7222 ≈ 0.1709
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.65,32) - binomcdf(44,0.65,30))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 45 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=45⋅ $\frac{1}{6}$ = 7.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 7.5, also 0.8⋅ 7.5 = 6 und 120% von 7.5, also 1.2⋅ 7.5 = 9

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 7.5 entfernt sein darf als 6 bzw. 9, muss sie also zwischen 6 und 9 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{45} (6 \leq X \leq 9)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

...

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \leq 9)

-

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \leq 5)

≈ 0.793 - 0.2167 ≈ 0.5763
(TI-Befehl: binomcdf(45, $\frac{1}{6}$ ,9) - binomcdf(45, $\frac{1}{6}$ ,5))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert