Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
12	0.7847
13	0.769
14	0.7536
15	0.7386
16	0.7238
17	0.7093
18	0.6951
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 66 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,6.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 41 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.6.

P_{0.6}^{66} (X \leq 41)

=

P_{0.6}^{66} (X = 0)

+

P_{0.6}^{66} (X = 1)

+

P_{0.6}^{66} (X = 2)

+... +

P_{0.6}^{66} (X = 41)

= 0.68095348033541 ≈ 0.681
(TI-Befehl: binomcdf(66,0.6,41))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 6er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9844
$\frac{1}{3}$	0.9122
$\frac{1}{4}$	0.822
$\frac{1}{5}$	0.7379
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=6 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{6} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{6} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{6} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 6 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 100 Stück nur an, wenn nicht mehr als 38 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.27	0.994
0.28	0.9887
0.29	0.9799
0.3	0.966
0.31	0.9455
0.32	0.9167
0.33	0.8782
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{100} (X \leq 38)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(100,X,38) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 8 und höchstens 14 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 72 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.125.

$P_{0.125}^{72} (9 \leq X \leq 14)$ =

...

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.125}^{72} (X \leq 14)

-

P_{0.125}^{72} (X \leq 8)

≈ 0.9688 - 0.4468 ≈ 0.522
(TI-Befehl: binomcdf(72,0.125,14) - binomcdf(72,0.125,8))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 44 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=44⋅ $\frac{1}{6}$ = 7.3333333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 7.333, also 0.8⋅ 7.333 = 5.867 und 120% von 7.3333333333333, also 1.2⋅ 7.333 = 8.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 7.3333333333333 entfernt sein darf als 5.867 bzw. 8.8, muss sie also zwischen 6 und 8 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{44} (6 \leq X \leq 8)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

...

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X \leq 8)

-

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X \leq 5)

≈ 0.6937 - 0.2357 ≈ 0.458
(TI-Befehl: binomcdf(44, $\frac{1}{6}$ ,8) - binomcdf(44, $\frac{1}{6}$ ,5))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert