Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,9. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 35 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 39 | 0.3504 |
| 40 | 0.2063 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.7 |+ - 0.7
0.3 ≥ oder ≤ 0.3
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.9⋅39) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
≈ 0.3504
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.
n muss also mindestens 40 sein, damit ≤ 0.3 oder eben ≥ 0.7 gilt.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 80% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 96 Versuchen mindestens 69 und weniger als 78 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.8.
=
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.8,77) - binomcdf(96,0.8,68))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥2)=1-P(X≤1) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9375 | |
| 0.7366 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 2 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
2 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 90 Freiwürfen mindestens 58 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥58)=1-P(X≤57) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.59 | 0.173 |
| 0.6 | 0.2267 |
| 0.61 | 0.2891 |
| 0.62 | 0.3589 |
| 0.63 | 0.4344 |
| 0.64 | 0.5129 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.5 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.5 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(90,X,57) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.64 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 59 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 mal, aber weniger als 12 mal eine sechs gewürfelt wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(59,,11) - binomcdf(59,,8))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 89 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=89⋅0.35 = 31.15
Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 31.15, also 0.85⋅ 31.15 = 26.478 und 115% von 31.15, also 1.15⋅ 31.15 = 35.823
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.15 entfernt sein darf als 26.478 bzw. 35.823, muss sie also zwischen 27 und 35 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.35.
=
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.35,35) - binomcdf(89,0.35,26))
