Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,01. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 60% kein Descepticon unter ihnen ist?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 45 | 0.6362 |
| 46 | 0.6298 |
| 47 | 0.6235 |
| 48 | 0.6173 |
| 49 | 0.6111 |
| 50 | 0.605 |
| 51 | 0.599 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.01 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.01⋅0) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
≈ 1
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=50 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 94 Versuchen mehr als 45 mal im grünen Bereich zu landen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.4.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(94,0.4,45))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9998 | |
| 0.9997 | |
| 0.9995 | |
| 0.9992 | |
| 0.9989 | |
| 0.9984 | |
| 0.9978 | |
| 0.9971 | |
| 0.9962 | |
| 0.9952 | |
| 0.994 | |
| 0.9927 | |
| 0.9912 | |
| 0.9895 | |
| 0.9877 | |
| 0.9857 | |
| 0.9836 | |
| 0.9813 | |
| 0.9788 | |
| 0.9762 | |
| 0.9735 | |
| 0.9706 | |
| 0.9676 | |
| 0.9645 | |
| 0.9613 | |
| 0.9579 | |
| 0.9545 | |
| 0.951 | |
| 0.9474 | |
| 0.9437 | |
| 0.9399 | |
| 0.9361 | |
| 0.9322 | |
| 0.9282 | |
| 0.9242 | |
| 0.9201 | |
| 0.916 | |
| 0.9119 | |
| 0.9077 | |
| 0.9035 | |
| 0.8993 | |
| 0.895 | |
| 0.8907 | |
| 0.8864 | |
| 0.8821 | |
| 0.8778 | |
| 0.8735 | |
| 0.8691 | |
| 0.8648 | |
| 0.8605 | |
| 0.8561 | |
| 0.8518 | |
| 0.8475 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.85 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 63 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 75 Freiwürfen mindestens 54 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥54)=1-P(X≤53) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.71 | 0.4818 |
| 0.72 | 0.5585 |
| 0.73 | 0.6341 |
| 0.74 | 0.7059 |
| 0.75 | 0.7714 |
| 0.76 | 0.8288 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.8 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(75,X,53) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 63 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 mal, aber weniger als 16 mal eine sechs gewürfelt wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(63,,15) - binomcdf(63,,10))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 70 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 70⋅ ≈ 11.67,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.12
14.78 (11.67 + 3.12) und 8.55 (11.67 - 3.12) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.67 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=70 und p=
(TI-Befehl: binomcdf(70,
