Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
12	0.7847
13	0.769
14	0.7536
15	0.7386
16	0.7238
17	0.7093
18	0.6951
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 73 Versuchen mehr als 57 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.9.

...

55

56

57

58

59

60

...

P_{0.9}^{73} (X > 57)

=

P_{0.9}^{73} (X \geq 58)

= 1 -

P_{0.9}^{73} (X \leq 57)

= 0.998
(TI-Befehl: 1-binomcdf(73,0.9,57))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{2}{6}$	0.4793
$\frac{2}{7}$	0.662
$\frac{2}{8}$	0.7858
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{20}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{20}$ ⋅20 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{20}$ mit $\frac{2}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 8 sein.

Also werden noch 6 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 46 Ausspielungen nicht öfters als 21 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.32	0.9818
0.33	0.974
0.34	0.9637
0.35	0.9504
0.36	0.9336
0.37	0.913
0.38	0.8881
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{46} (X \leq 21)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(46,X,21) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 23 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 16 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=0.7.

P_{0.7}^{23} (X = 16)

=

(\begin{matrix} 23 \\ 16 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{16} \cdot {0.3}^{7}

=0.17818113518958≈ 0.1782
(TI-Befehl: binompdf(23,0.7,16))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 61 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=61⋅0.75 = 45.75

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 45.75, also 0.8⋅ 45.75 = 36.6 und 120% von 45.75, also 1.2⋅ 45.75 = 54.9

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 45.75 entfernt sein darf als 36.6 bzw. 54.9, muss sie also zwischen 37 und 54 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.75.

$P_{0.75}^{61} (37 \leq X \leq 54)$ =

...

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

...

P_{0.75}^{61} (X \leq 54)

-

P_{0.75}^{61} (X \leq 36)

≈ 0.9974 - 0.0044 ≈ 0.993
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.75,54) - binomcdf(61,0.75,36))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert