Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,2. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 25 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
122	0.6064
123	0.5888
124	0.571
125	0.5533
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.2}$ ≈ 125 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.2⋅125) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=125:
$P_{0.2}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.5533 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=122 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 64 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 13 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.25.

P_{0.25}^{64} (X \leq 13)

=

P_{0.25}^{64} (X = 0)

+

P_{0.25}^{64} (X = 1)

+

P_{0.25}^{64} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{64} (X = 13)

= 0.23898954601471 ≈ 0.239
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.25,13))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{4}{8}$	0.9992
$\frac{5}{9}$	0.9955
$\frac{6}{10}$	0.9845
$\frac{7}{11}$	0.9626
$\frac{8}{12}$	0.9281
$\frac{9}{13}$	0.8818
$\frac{10}{14}$	0.8264
$\frac{11}{15}$	0.7651
$\frac{12}{16}$	0.7011
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{27} (X \leq 21)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{27} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{8}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{11}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 11 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 39 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 85 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.34	0.9914
0.35	0.9855
0.36	0.9765
0.37	0.9634
0.38	0.9449
0.39	0.9201
0.4	0.8878
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 39)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(85,X,39) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 68 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 36, aber höchstens 38 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.55.

$P_{0.55}^{68} (36 \leq X \leq 38)$ =

...

33

34

35

36

37

38

39

40

...

P_{0.55}^{68} (X \leq 38)

-

P_{0.55}^{68} (X \leq 35)

≈ 0.6041 - 0.3206 ≈ 0.2835
(TI-Befehl: binomcdf(68,0.55,38) - binomcdf(68,0.55,35))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 56 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 56⋅0.5 ≈ 28,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{56\cdot0.5\cdot0.5}$ ≈ 3.74

31.74 (28 + 3.74) und 24.26 (28 - 3.74) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 28 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 25 und 31 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 25 und 31 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.5.

$P_{0.5}^{56} (25 \leq X \leq 31)$ =

...

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

...

P_{0.5}^{56} (X \leq 31)

-

P_{0.5}^{56} (X \leq 24)

≈ 0.8252 - 0.1748 ≈ 0.6504
(TI-Befehl: binomcdf(56,0.5,31) - binomcdf(56,0.5,24))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ