Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,3. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 28 dieser Fehler begeht?

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nP(X≤k)
......
830.8069
840.7857
850.7635
860.7403
870.7163
880.6915
890.666
900.6399
910.6135
920.5867
930.5598
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: P0.3n (X28) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 28 0.3 ≈ 93 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.3⋅93) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=93:
P0.3n (X28) ≈ 0.5598 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,92. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 70 Versuchen mehr als 60 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.92.

...
58
59
60
61
62
63
...

P0.9270 (X>60) = P0.9270 (X61) = 1 - P0.9270 (X60) = 0.9486
(TI-Befehl: 1-binomcdf(70,0.92,60))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
2 10 0.6482
2 11 0.7153
2 12 0.7685
2 13 0.8106
2 14 0.8441
2 15 0.8708
2 16 0.8922
2 17 0.9095
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp15 (X3) =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp15 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 15 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 15 ⋅15 der Erwartungswert und somit Pp15 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 15 mit 2 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 10 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 17 sein.

Also werden noch 15 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 40 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 27 erkennen und dumm anlabern?

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pP(X≤k)
......
0.530.984
0.540.9782
0.550.9708
0.560.9614
0.570.9496
0.580.9351
0.590.9175
......

Es muss gelten: Pp40 (X27) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(40,X,27) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 55% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 60 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 35 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.55.

P0.5560 (X=35) = ( 60 35 ) 0.5535 0.4525 =0.090845516595259≈ 0.0908
(TI-Befehl: binompdf(60,0.55,35))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 59 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=59⋅0.35 = 20.65

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 20.65, also 0.8⋅ 20.65 = 16.52 und 120% von 20.65, also 1.2⋅ 20.65 = 24.78

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 20.65 entfernt sein darf als 16.52 bzw. 24.78, muss sie also zwischen 17 und 24 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.35.

P0.3559 (17X24) =

...
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
...

P0.3559 (X24) - P0.3559 (X16) ≈ 0.8531 - 0.1277 ≈ 0.7254
(TI-Befehl: binomcdf(59,0.35,24) - binomcdf(59,0.35,16))