Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 25%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 27 grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
950.814
960.7971
970.7794
980.761
990.742
1000.7224
1010.7022
1020.6816
1030.6605
1040.6391
1050.6175
1060.5956
1070.5736
1080.5515
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: P0.25n (X27) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 27 0.25 ≈ 108 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.25⋅108) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=108:
P0.25n (X27) ≈ 0.5515 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=95 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 87 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,35.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 23 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.35.

P0.3587 (X23) = P0.3587 (X=0) + P0.3587 (X=1) + P0.3587 (X=2) +... + P0.3587 (X=23) = 0.056837988956099 ≈ 0.0568
(TI-Befehl: binomcdf(87,0.35,23))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
5 14 0.5946
5 15 0.6739
5 16 0.739
5 17 0.7914
5 18 0.8333
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp17 (X6) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp17 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 17 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 17 ⋅17 der Erwartungswert und somit Pp17 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 17 mit 5 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 5 14 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 18 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 18 sein.

Also werden noch 13 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 97 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 97)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 90% mindestens 31 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥31)=1-P(X≤30)
......
0.330.6235
0.340.6995
0.350.7671
0.360.8248
0.370.8721
0.380.9096
......

Es muss gelten: Pp97 (X31) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp97 (X30) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(97,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 15 und höchstens 17 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 85 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.125.

P0.12585 (16X17) =

...
13
14
15
16
17
18
19
...

P0.12585 (X17) - P0.12585 (X15) ≈ 0.9833 - 0.9393 ≈ 0.044
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.125,17) - binomcdf(85,0.125,15))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 76 und p = 0.1
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 76 und p = 0.1 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 76 ⋅ 0.1 = 7.6

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 76 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9 = 6.84 2.62