Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,02. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
29	0.5566
30	0.5455
31	0.5346
32	0.5239
33	0.5134
34	0.5031
35	0.4931
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 59 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,95.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 59 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.95.

...

56

57

58

P_{0.95}^{59} (X \geq 59)

= 1 -

P_{0.95}^{59} (X \leq 58)

= 0.0485
(TI-Befehl: 1-binomcdf(59,0.95,58))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{9}{14}$	0.9998
$\frac{10}{15}$	0.9996
$\frac{11}{16}$	0.9992
$\frac{12}{17}$	0.9986
$\frac{13}{18}$	0.9977
$\frac{14}{19}$	0.9963
$\frac{15}{20}$	0.9945
$\frac{16}{21}$	0.9922
$\frac{17}{22}$	0.9894
$\frac{18}{23}$	0.986
$\frac{19}{24}$	0.9819
$\frac{20}{25}$	0.9773
$\frac{21}{26}$	0.9721
$\frac{22}{27}$	0.9664
$\frac{23}{28}$	0.96
$\frac{24}{29}$	0.9532
$\frac{25}{30}$	0.9458
$\frac{26}{31}$	0.938
$\frac{27}{32}$	0.9298
$\frac{28}{33}$	0.9213
$\frac{29}{34}$	0.9123
$\frac{30}{35}$	0.9031
$\frac{31}{36}$	0.8936
$\frac{32}{37}$	0.8838
$\frac{33}{38}$	0.8739
$\frac{34}{39}$	0.8638
$\frac{35}{40}$	0.8536
$\frac{36}{41}$	0.8432
$\frac{37}{42}$	0.8328
$\frac{38}{43}$	0.8223
$\frac{39}{44}$	0.8118
$\frac{40}{45}$	0.8012
$\frac{41}{46}$	0.7906
$\frac{42}{47}$	0.7801
$\frac{43}{48}$	0.7696
$\frac{44}{49}$	0.7591
$\frac{45}{50}$	0.7487
$\frac{46}{51}$	0.7384
$\frac{47}{52}$	0.7281
$\frac{48}{53}$	0.718
$\frac{49}{54}$	0.7079
$\frac{50}{55}$	0.6979
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{9}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{49}{54}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 49 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 65 Wiederholungen 58 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?

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p	P(X≥58)=1-P(X≤57)
...	...
0.85	0.222
0.86	0.2941
0.87	0.3788
0.88	0.4739
0.89	0.5752
0.9	0.6769
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{65} (X \geq 58)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{65} (X \leq 57)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(65,X,57) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 76 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 31, aber höchstens 37 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.45.

$P_{0.45}^{76} (31 \leq X \leq 37)$ =

...

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

...

P_{0.45}^{76} (X \leq 37)

-

P_{0.45}^{76} (X \leq 30)

≈ 0.777 - 0.1972 ≈ 0.5798
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.45,37) - binomcdf(76,0.45,30))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 45 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 45⋅0.35 ≈ 15.75,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{45\cdot0.35\cdot0.65}$ ≈ 3.2

18.95 (15.75 + 3.2) und 12.55 (15.75 - 3.2) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 15.75 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 13 und 18 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 13 und 18 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.35.

$P_{0.35}^{45} (13 \leq X \leq 18)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{0.35}^{45} (X \leq 18)

-

P_{0.35}^{45} (X \leq 12)

≈ 0.806 - 0.1547 ≈ 0.6513
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.35,18) - binomcdf(45,0.35,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ