Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 10% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 30-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
32	0.8436
33	0.6543
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.9}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.9⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.6543 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 96 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 59 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.7.

P_{0.7}^{96} (X = 59)

=

(\begin{matrix} 96 \\ 59 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{59} \cdot {0.3}^{37}

=0.016977782415615≈ 0.017
(TI-Befehl: binompdf(96,0.7,59))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9961
$\frac{1}{3}$	0.961
$\frac{1}{4}$	0.8999
$\frac{1}{5}$	0.8322
$\frac{1}{6}$	0.7674
$\frac{1}{7}$	0.7086
$\frac{1}{8}$	0.6564
$\frac{1}{9}$	0.6103
$\frac{1}{10}$	0.5695
$\frac{1}{11}$	0.5335
$\frac{1}{12}$	0.5015
$\frac{1}{13}$	0.4729
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 47 Freiwürfen mindestens 36 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥36)=1-P(X≤35)
...	...
0.78	0.6684
0.79	0.7278
0.8	0.7826
0.81	0.8316
0.82	0.8739
0.83	0.9092
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{47} (X \geq 36)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{47} (X \leq 35)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(47,X,35) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 70 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 44, aber höchstens 50 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.7.

$P_{0.7}^{70} (44 \leq X \leq 50)$ =

...

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

...

P_{0.7}^{70} (X \leq 50)

-

P_{0.7}^{70} (X \leq 43)

≈ 0.6465 - 0.0779 ≈ 0.5686
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.7,50) - binomcdf(70,0.7,43))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 60 und p = 0.8
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 60 und p = 0.8 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 60 ⋅ 0.8 = 48

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{60 ⋅ 0.8 ⋅ 0.2}$ = $\sqrt{9.6}$ ≈ 3.1

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.