Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 85%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 20 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
22	0.8633
23	0.692
24	0.4951
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{0.85}$ ≈ 24 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.85⋅24) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=24:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.4951 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 66 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,2. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 21 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.2.

P_{0.2}^{66} (X < 21)

=

P_{0.2}^{66} (X \leq 20)

=

P_{0.2}^{66} (X = 0)

+

P_{0.2}^{66} (X = 1)

+

P_{0.2}^{66} (X = 2)

+... +

P_{0.2}^{66} (X = 20)

= 0.98421847881923 ≈ 0.9842
(TI-Befehl: binomcdf(66,0.2,20))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9998
$\frac{1}{3}$	0.9923
$\frac{1}{4}$	0.9683
$\frac{1}{5}$	0.9313
$\frac{1}{6}$	0.8878
$\frac{1}{7}$	0.8427
$\frac{1}{8}$	0.7986
$\frac{1}{9}$	0.7567
$\frac{1}{10}$	0.7176
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 61 Wiederholungen 31 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?

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p	P(X≥31)=1-P(X≤30)
...	...
0.54	0.7351
0.55	0.7841
0.56	0.8275
0.57	0.8651
0.58	0.8967
0.59	0.9227
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{61} (X \geq 31)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{61} (X \leq 30)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(61,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.59 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,76. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 53 Versuchen mindestens 42 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.76.

...

39

40

41

42

43

44

...

P_{0.76}^{53} (X \geq 42)

= 1 -

P_{0.76}^{53} (X \leq 41)

= 0.3566
(TI-Befehl: 1-binomcdf(53,0.76,41))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 82 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=82⋅ $\frac{1}{6}$ = 13.666666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 13.667, also 0.8⋅ 13.667 = 10.933 und 120% von 13.666666666667, also 1.2⋅ 13.667 = 16.4

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 13.666666666667 entfernt sein darf als 10.933 bzw. 16.4, muss sie also zwischen 11 und 16 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{82} (11 \leq X \leq 16)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{\frac{1}{6}}^{82} (X \leq 16)

-

P_{\frac{1}{6}}^{82} (X \leq 10)

≈ 0.8023 - 0.1748 ≈ 0.6275
(TI-Befehl: binomcdf(82, $\frac{1}{6}$ ,16) - binomcdf(82, $\frac{1}{6}$ ,10))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert