Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
69	0.5513
70	0.4984
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.55}$ ≈ 69 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.55⋅69) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=69:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5513 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 73 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 30, aber höchstens 41 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.5.

$P_{0.5}^{73} (30 \leq X \leq 41)$ =

...

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

...

P_{0.5}^{73} (X \leq 41)

-

P_{0.5}^{73} (X \leq 29)

≈ 0.8792 - 0.0503 ≈ 0.8289
(TI-Befehl: binomcdf(73,0.5,41) - binomcdf(73,0.5,29))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 55 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{7}$	0.4636
$\frac{1}{8}$	0.6188
$\frac{1}{9}$	0.7363
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{55} (X \leq 7)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{55} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{55}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{55}$ ⋅55 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{55} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{55}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 68 Stück nur an, wenn nicht mehr als 20 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.18	0.9931
0.19	0.9872
0.2	0.9779
0.21	0.9637
0.22	0.9436
0.23	0.9162
0.24	0.8808
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{68} (X \leq 20)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(68,X,20) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.23 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 5 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 26 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{26} (X \leq 5)

=

P_{\frac{1}{8}}^{26} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{26} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{26} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{26} (X = 5)

= 0.90285400450626 ≈ 0.9029
(TI-Befehl: binomcdf(26,1/8,5))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 98 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 98⋅0.75 ≈ 73.5,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{98\cdot0.75\cdot0.25}$ ≈ 4.29

77.79 (73.5 + 4.29) und 69.21 (73.5 - 4.29) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 73.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 70 und 77 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 70 und 77 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.75.

$P_{0.75}^{98} (70 \leq X \leq 77)$ =

...

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

...

P_{0.75}^{98} (X \leq 77)

-

P_{0.75}^{98} (X \leq 69)

≈ 0.824 - 0.1746 ≈ 0.6494
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.75,77) - binomcdf(98,0.75,69))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ