Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,85. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 21 dieser Fehler begeht?

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nP(X≤k)
......
240.7202
250.5289
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: P0.85n (X21) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 21 0.85 ≈ 25 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.85⋅25) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=25:
P0.85n (X21) ≈ 0.5289 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=24 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 67 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 30, aber höchstens 37 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.55.

P0.5567 (30X37) =

...
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
...

P0.5567 (X37) - P0.5567 (X29) ≈ 0.5617 - 0.0359 ≈ 0.5258
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.55,37) - binomcdf(67,0.55,29))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
6 9 0.9996
7 10 0.9989
8 11 0.9973
9 12 0.9945
10 13 0.9904
11 14 0.9847
12 15 0.9773
13 16 0.9683
14 17 0.9578
15 18 0.9458
16 19 0.9326
17 20 0.9183
18 21 0.9031
19 22 0.8871
20 23 0.8706
21 24 0.8536
22 25 0.8363
23 26 0.8188
24 27 0.8012
25 28 0.7836
26 29 0.7661
27 30 0.7487
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp26 (X24) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp26 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 6 9 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 26 29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 26 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 73 Freiwürfen mindestens 28 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥28)=1-P(X≤27)
......
0.410.7167
0.420.7722
0.430.8209
0.440.8622
0.450.8965
0.460.924
......

Es muss gelten: Pp73 (X28) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp73 (X27) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(73,X,27) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 80% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 57 Versuchen mindestens 41 und weniger als 51 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.8.

P0.857 (41X50) =

...
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
...

P0.857 (X50) - P0.857 (X40) ≈ 0.9549 - 0.0505 ≈ 0.9044
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.8,50) - binomcdf(57,0.8,40))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 57 und p = 0.5
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 57 und p = 0.5 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 57 ⋅ 0.5 = 28.5

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 57 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 = 14.25 3.77