Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 35 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
41	0.8558
42	0.7624
43	0.6503
44	0.5298
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.8}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.8⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5298 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 78 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 12 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.2.

P_{0.2}^{78} (X \leq 12)

=

P_{0.2}^{78} (X = 0)

+

P_{0.2}^{78} (X = 1)

+

P_{0.2}^{78} (X = 2)

+... +

P_{0.2}^{78} (X = 12)

= 0.19182083595925 ≈ 0.1918
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.2,12))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{8}{12}$	0.9996
$\frac{9}{13}$	0.9991
$\frac{10}{14}$	0.9982
$\frac{11}{15}$	0.9967
$\frac{12}{16}$	0.9945
$\frac{13}{17}$	0.9916
$\frac{14}{18}$	0.9878
$\frac{15}{19}$	0.983
$\frac{16}{20}$	0.9773
$\frac{17}{21}$	0.9707
$\frac{18}{22}$	0.9633
$\frac{19}{23}$	0.9549
$\frac{20}{24}$	0.9458
$\frac{21}{25}$	0.936
$\frac{22}{26}$	0.9256
$\frac{23}{27}$	0.9146
$\frac{24}{28}$	0.9031
$\frac{25}{29}$	0.8912
$\frac{26}{30}$	0.8789
$\frac{27}{31}$	0.8664
$\frac{28}{32}$	0.8536
$\frac{29}{33}$	0.8406
$\frac{30}{34}$	0.8275
$\frac{31}{35}$	0.8144
$\frac{32}{36}$	0.8012
$\frac{33}{37}$	0.788
$\frac{34}{38}$	0.7748
$\frac{35}{39}$	0.7617
$\frac{36}{40}$	0.7487
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{8}{12}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{35}{39}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 35 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 58 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 58)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 28 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥28)=1-P(X≤27)
...	...
0.45	0.3546
0.46	0.4133
0.47	0.4738
0.48	0.5349
0.49	0.595
0.5	0.653
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{58} (X \geq 28)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{58} (X \leq 27)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(58,X,27) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 60 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X < 9)

=

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X \leq 8)

=

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X = 8)

= 0.312046858163 ≈ 0.312
(TI-Befehl: binomcdf(60,1/6,8))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 55 und p = 0.55
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 55 und p = 0.55 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 55 ⋅ 0.55 = 30.25

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{55 ⋅ 0.55 ⋅ 0.45}$ = $\sqrt{13.6125}$ ≈ 3.69

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.