Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 17% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 28-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
33	0.6822
34	0.5305
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.83 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.83}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 83% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.83}$ ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.83⋅34) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
$P_{0.83}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.5305 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 93 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 16 mal, aber weniger als 20 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{93} (17 \leq X \leq 19)$ =

...

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{\frac{1}{6}}^{93} (X \leq 19)

-

P_{\frac{1}{6}}^{93} (X \leq 16)

≈ 0.866 - 0.6204 ≈ 0.2456
(TI-Befehl: binomcdf(93, $\frac{1}{6}$ ,19) - binomcdf(93, $\frac{1}{6}$ ,16))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 70 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{1}{11}$	0.5454
$\frac{1}{12}$	0.6343
$\frac{1}{13}$	0.7081
$\frac{1}{14}$	0.7678
$\frac{1}{15}$	0.8155
$\frac{1}{16}$	0.8533
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \leq 6)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{70} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{70}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{70}$ ⋅70 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{70} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{70}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{11}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 16 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 95 Wiederholungen 37 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 80% liegt?

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p	P(X≥37)=1-P(X≤36)
...	...
0.38	0.463
0.39	0.543
0.4	0.6208
0.41	0.6936
0.42	0.7592
0.43	0.8161
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{95} (X \geq 37)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{95} (X \leq 36)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(95,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 69 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 38, aber höchstens 43 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.6.

$P_{0.6}^{69} (38 \leq X \leq 43)$ =

...

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

...

P_{0.6}^{69} (X \leq 43)

-

P_{0.6}^{69} (X \leq 37)

≈ 0.6948 - 0.1688 ≈ 0.526
(TI-Befehl: binomcdf(69,0.6,43) - binomcdf(69,0.6,37))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 80 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=80⋅ $\frac{1}{6}$ = 13.333333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 13.333, also 0.8⋅ 13.333 = 10.667 und 120% von 13.333333333333, also 1.2⋅ 13.333 = 16

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 13.333333333333 entfernt sein darf als 10.667 bzw. 16, muss sie also zwischen 11 und 16 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{80} (11 \leq X \leq 16)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{\frac{1}{6}}^{80} (X \leq 16)

-

P_{\frac{1}{6}}^{80} (X \leq 10)

≈ 0.8301 - 0.2002 ≈ 0.6299
(TI-Befehl: binomcdf(80, $\frac{1}{6}$ ,16) - binomcdf(80, $\frac{1}{6}$ ,10))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert