Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 91% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 80% Wahrscheinlichkeit in mindestens 2 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
280.2688
290.251
300.2343
310.2185
320.2037
330.1897
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.

Es muss gelten: P0.09n (X2) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.09n (X2) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.09n (X2) = 1 - P0.09n (X1) ≥ 0.8 |+ P0.09n (X1) - 0.8

0.2 ≥ P0.09n (X1) oder P0.09n (X1) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 2 0.09 ≈ 22 Versuchen auch ungefähr 2 (≈0.09⋅22) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=22:
P0.09n (X1) ≈ 0.3988 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 33 sein, damit P0.09n (X1) ≤ 0.2 oder eben P0.09n (X2) ≥ 0.8 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 60 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 13 und höchstens 19 beträgt?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.3.

P0.360 (13X19) =

...
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
...

P0.360 (X19) - P0.360 (X12) ≈ 0.6692 - 0.0568 ≈ 0.6124
(TI-Befehl: binomcdf(60,0.3,19) - binomcdf(60,0.3,12))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

Lösung einblenden
pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9995
1 3 0.9884
1 4 0.9578
1 5 0.9141
1 6 0.8654
1 7 0.8165
1 8 0.7698
1 9 0.7263
1 10 0.6862
1 11 0.6495
1 12 0.616
1 13 0.5854
1 14 0.5574
1 15 0.5318
1 16 0.5083
1 17 0.4867
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp11 (X1) = 1- Pp11 (X0) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp11 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 16 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 42 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 36 erkennen und dumm anlabern?

Lösung einblenden
pP(X≤k)
......
0.740.9779
0.750.9693
0.760.9581
0.770.9434
0.780.9246
0.790.9009
0.80.8713
......

Es muss gelten: Pp42 (X36) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(42,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.79 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 35% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 20 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 5 defekte Chips enthalten sind.

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.35.

P0.3520 (X=5) = ( 20 5 ) 0.355 0.6515 =0.12719918570973≈ 0.1272
(TI-Befehl: binompdf(20,0.35,5))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 96 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=96⋅ 1 6 = 16

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 16, also 0.8⋅ 16 = 12.8 und 120% von 16, also 1.2⋅ 16 = 19.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 16 entfernt sein darf als 12.8 bzw. 19.2, muss sie also zwischen 13 und 19 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p= 1 6 .

P 1 6 96 (13X19) =

...
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
...

P 1 6 96 (X19) - P 1 6 96 (X12) ≈ 0.832 - 0.1693 ≈ 0.6627
(TI-Befehl: binomcdf(96, 1 6 ,19) - binomcdf(96, 1 6 ,12))