Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 13% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 23-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 50% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
26	0.6751
27	0.4731
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.87 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.87}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 87% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.87}$ ≈ 26 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.87⋅26) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=26:
$P_{0.87}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.6751 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=26 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 48 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 6 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{48} (X \leq 6)

=

P_{\frac{1}{6}}^{48} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{48} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{48} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{48} (X = 6)

= 0.2909498669709 ≈ 0.2909
(TI-Befehl: binomcdf(48,1/6,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 4 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 14 mal am Tag eines ihrer eigenen 4 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥14)=1-P(X≤13)
...	...
$\frac{4}{13}$	0.9997
$\frac{4}{14}$	0.9987
$\frac{4}{15}$	0.9958
$\frac{4}{16}$	0.989
$\frac{4}{17}$	0.9762
$\frac{4}{18}$	0.9552
$\frac{4}{19}$	0.9249
$\frac{4}{20}$	0.8848
$\frac{4}{21}$	0.8359
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 14)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 13)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{13}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 20 sein.

Also wären noch 16 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 78 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 21 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥21)=1-P(X≤20)
...	...
0.29	0.697
0.3	0.7605
0.31	0.8154
0.32	0.8612
0.33	0.8982
0.34	0.9272
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{78} (X \geq 21)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{78} (X \leq 20)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(78,X,20) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 22 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 4 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=0.25.

...

1

2

3

4

5

6

...

P_{0.25}^{22} (X \geq 4)

= 1 -

P_{0.25}^{22} (X \leq 3)

= 0.8376
(TI-Befehl: 1-binomcdf(22,0.25,3))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 64 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=64⋅0.25 = 16

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 16, also 0.8⋅ 16 = 12.8 und 120% von 16, also 1.2⋅ 16 = 19.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 16 entfernt sein darf als 12.8 bzw. 19.2, muss sie also zwischen 13 und 19 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.25.

$P_{0.25}^{64} (13 \leq X \leq 19)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{0.25}^{64} (X \leq 19)

-

P_{0.25}^{64} (X \leq 12)

≈ 0.8439 - 0.1558 ≈ 0.6881
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.25,19) - binomcdf(64,0.25,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert