Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 15% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 30-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
35	0.6193
36	0.4594
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.85}$ ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.85⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.6193 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 50 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 27, aber höchstens 28 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.55.

$P_{0.55}^{50} (27 \leq X \leq 28)$ =

...

24

25

26

27

28

29

30

...

P_{0.55}^{50} (X \leq 28)

-

P_{0.55}^{50} (X \leq 26)

≈ 0.61 - 0.3866 ≈ 0.2234
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.55,28) - binomcdf(50,0.55,26))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 10er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9893
$\frac{1}{3}$	0.896
$\frac{1}{4}$	0.756
$\frac{1}{5}$	0.6242
$\frac{1}{6}$	0.5155
$\frac{1}{7}$	0.4292
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=10 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{10} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{10} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{10} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 10 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 71 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 45 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥45)=1-P(X≤44)
...	...
0.65	0.663
0.66	0.7256
0.67	0.7824
0.68	0.8322
0.69	0.8745
0.7	0.9091
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{71} (X \geq 45)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{71} (X \leq 44)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(71,X,44) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 23 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 4 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{23} (X < 4)

=

P_{\frac{1}{6}}^{23} (X \leq 3)

=

P_{\frac{1}{6}}^{23} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{23} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{23} (X = 2)

+

P_{\frac{1}{6}}^{23} (X = 3)

= 0.45115751456456 ≈ 0.4512
(TI-Befehl: binomcdf(23,1/6,3))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 84 und p = 0.85
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 84 und p = 0.85 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 84 ⋅ 0.85 = 71.4

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{84 ⋅ 0.85 ⋅ 0.15}$ = $\sqrt{10.71}$ ≈ 3.27

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.