Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
6	0.8858
7	0.8681
8	0.8508
9	0.8337
10	0.8171
11	0.8007
12	0.7847
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 44 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 12 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

9

10

11

12

13

14

...

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X \geq 12)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X \leq 11)

= 0.0523
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44, $\frac{1}{6}$ ,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{5}{10}$	0.9997
$\frac{6}{11}$	0.9987
$\frac{7}{12}$	0.9959
$\frac{8}{13}$	0.9899
$\frac{9}{14}$	0.9796
$\frac{10}{15}$	0.9642
$\frac{11}{16}$	0.9435
$\frac{12}{17}$	0.9175
$\frac{13}{18}$	0.887
$\frac{14}{19}$	0.8527
$\frac{15}{20}$	0.8156
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 21)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{10}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{14}{19}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 14 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 96 Freiwürfen mindestens 37 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥37)=1-P(X≤36)
...	...
0.35	0.2654
0.36	0.3371
0.37	0.4146
0.38	0.495
0.39	0.575
0.4	0.6516
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{96} (X \geq 37)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{96} (X \leq 36)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(96,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 99 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 mal, aber weniger als 22 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{99} (11 \leq X \leq 21)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

...

P_{\frac{1}{6}}^{99} (X \leq 21)

-

P_{\frac{1}{6}}^{99} (X \leq 10)

≈ 0.908 - 0.0465 ≈ 0.8615
(TI-Befehl: binomcdf(99, $\frac{1}{6}$ ,21) - binomcdf(99, $\frac{1}{6}$ ,10))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 21 und p = 0.8
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 21 und p = 0.8 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 21 ⋅ 0.8 = 16.8

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{21 ⋅ 0.8 ⋅ 0.2}$ = $\sqrt{3.36}$ ≈ 1.83

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.