Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 15% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 21-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 90% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
22	0.972
23	0.8796
24	0.7202
25	0.5289
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.85}$ ≈ 25 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.85⋅25) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=25:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.5289 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 98 Versuchen, mehr als 49 mal und höchstens 69 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.6.

$P_{0.6}^{98} (50 \leq X \leq 69)$ =

...

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

...

P_{0.6}^{98} (X \leq 69)

-

P_{0.6}^{98} (X \leq 49)

≈ 0.9875 - 0.0285 ≈ 0.959
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.6,69) - binomcdf(98,0.6,49))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 6er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9844
$\frac{1}{3}$	0.9122
$\frac{1}{4}$	0.822
$\frac{1}{5}$	0.7379
$\frac{1}{6}$	0.6651
$\frac{1}{7}$	0.6034
$\frac{1}{8}$	0.5512
$\frac{1}{9}$	0.5067
$\frac{1}{10}$	0.4686
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=6 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{6} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{6} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{6} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 6 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 87 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 47 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥47)=1-P(X≤46)
...	...
0.56	0.6853
0.57	0.7491
0.58	0.8055
0.59	0.8537
0.6	0.8933
0.61	0.9247
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{87} (X \geq 47)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{87} (X \leq 46)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.61 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 55%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 50 Versuchen weniger als 24 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.55.

P_{0.55}^{50} (X < 24)

=

P_{0.55}^{50} (X \leq 23)

=

P_{0.55}^{50} (X = 0)

+

P_{0.55}^{50} (X = 1)

+

P_{0.55}^{50} (X = 2)

+... +

P_{0.55}^{50} (X = 23)

= 0.12792694942183 ≈ 0.1279
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.55,23))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 100 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 100⋅0.5 ≈ 50,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{100\cdot0.5\cdot0.5}$ ≈ 5

55 (50 + 5) und 45 (50 - 5) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 50 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 45 und 55 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 45 und 55 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.5.

$P_{0.5}^{100} (45 \leq X \leq 55)$ =

...

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

...

P_{0.5}^{100} (X \leq 55)

-

P_{0.5}^{100} (X \leq 44)

≈ 0.8644 - 0.1356 ≈ 0.7288
(TI-Befehl: binomcdf(100,0.5,55) - binomcdf(100,0.5,44))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ