Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,08. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 70% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
1	0.92
2	0.8464
3	0.7787
4	0.7164
5	0.6591
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.08}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.08⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.08}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 76 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 21 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{76} (X < 21)

=

P_{\frac{1}{6}}^{76} (X \leq 20)

=

P_{\frac{1}{6}}^{76} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{76} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{76} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{76} (X = 20)

= 0.98883535154478 ≈ 0.9888
(TI-Befehl: binomcdf(76,1/6,20))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 65 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 65 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{8}$	0.5741
$\frac{1}{9}$	0.7062
$\frac{1}{10}$	0.8013
$\frac{1}{11}$	0.8666
$\frac{1}{12}$	0.9105
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{65} (X \leq 8)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{65} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 65 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{65}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{65}$ ⋅65 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{65} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{65}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 43 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 24 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥24)=1-P(X≤23)
...	...
0.6	0.7644
0.61	0.8041
0.62	0.8397
0.63	0.871
0.64	0.898
0.65	0.9208
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{43} (X \geq 24)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{43} (X \leq 23)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(43,X,23) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 74 Versuchen weniger als 22 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.3.

P_{0.3}^{74} (X < 22)

=

P_{0.3}^{74} (X \leq 21)

=

P_{0.3}^{74} (X = 0)

+

P_{0.3}^{74} (X = 1)

+

P_{0.3}^{74} (X = 2)

+... +

P_{0.3}^{74} (X = 21)

= 0.43611743374036 ≈ 0.4361
(TI-Befehl: binomcdf(74,0.3,21))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 98 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=98⋅0.4 = 39.2

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 39.2, also 0.8⋅ 39.2 = 31.36 und 120% von 39.2, also 1.2⋅ 39.2 = 47.04

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 39.2 entfernt sein darf als 31.36 bzw. 47.04, muss sie also zwischen 32 und 47 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.4.

$P_{0.4}^{98} (32 \leq X \leq 47)$ =

...

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.4}^{98} (X \leq 47)

-

P_{0.4}^{98} (X \leq 31)

≈ 0.9556 - 0.0547 ≈ 0.9009
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.4,47) - binomcdf(98,0.4,31))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert