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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,25. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 20 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
80	0.5597
81	0.5341
82	0.5085
83	0.4832
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{0.25}$ ≈ 80 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.25⋅80) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=80:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.5597 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=82 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 10 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 63 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.125.

...

7

8

9

10

11

12

...

P_{0.125}^{63} (X \geq 10)

= 1 -

P_{0.125}^{63} (X \leq 9)

= 0.2583
(TI-Befehl: 1-binomcdf(63,0.125,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 6er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.8906
$\frac{1}{3}$	0.6488
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=6 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{6} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{6} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{6} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 6 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{2}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 2 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 77 Freiwürfen mindestens 34 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥34)=1-P(X≤33)
...	...
0.42	0.3923
0.43	0.4621
0.44	0.5329
0.45	0.6024
0.46	0.6686
0.47	0.7298
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{77} (X \geq 34)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{77} (X \leq 33)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(77,X,33) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 76 Versuchen, mehr als 26 mal und höchstens 37 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.4.

$P_{0.4}^{76} (27 \leq X \leq 37)$ =

...

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

...

P_{0.4}^{76} (X \leq 37)

-

P_{0.4}^{76} (X \leq 26)

≈ 0.9508 - 0.181 ≈ 0.7698
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.4,37) - binomcdf(76,0.4,26))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 58 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 58⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 9.67,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{58\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 2.84

12.5 (9.67 + 2.84) und 6.83 (9.67 - 2.84) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.67 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 12 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 12 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{58} (7 \leq X \leq 12)$ =

...

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

...

P_{\frac{1}{6}}^{58} (X \leq 12)

-

P_{\frac{1}{6}}^{58} (X \leq 6)

≈ 0.8415 - 0.1293 ≈ 0.7122
(TI-Befehl: binomcdf(58, $\frac{1}{6}$ ,12) - binomcdf(58, $\frac{1}{6}$ ,6))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ