Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,2. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 33 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
137	0.9015
138	0.8935
139	0.885
140	0.8762
141	0.8669
142	0.8572
143	0.8471
144	0.8366
145	0.8257
146	0.8144
147	0.8028
148	0.7907
149	0.7783
150	0.7656
151	0.7525
152	0.7392
153	0.7255
154	0.7116
155	0.6974
156	0.6829
157	0.6683
158	0.6535
159	0.6385
160	0.6234
161	0.6081
162	0.5928
163	0.5774
164	0.5619
165	0.5464
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.2}$ ≈ 165 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.2⋅165) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=165:
$P_{0.2}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5464 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=137 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 13 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 68 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{68} (X = 13)

=

(\begin{matrix} 68 \\ 13 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{13} \cdot {(\frac{7}{8})}^{55}

=0.036878221013902≈ 0.0369
(TI-Befehl: binompdf(68,1/8,13))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 150 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 75%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥16)=1-P(X≤15)
...	...
$\frac{3}{14}$	0.9998
$\frac{3}{15}$	0.9992
$\frac{3}{16}$	0.9975
$\frac{3}{17}$	0.9935
$\frac{3}{18}$	0.9855
$\frac{3}{19}$	0.9717
$\frac{3}{20}$	0.9507
$\frac{3}{21}$	0.9213
$\frac{3}{22}$	0.8836
$\frac{3}{23}$	0.8379
$\frac{3}{24}$	0.7857
$\frac{3}{25}$	0.7285
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=150 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{150} (X \geq 16)$ = 1- $P_{p}^{150} (X \leq 15)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{150} (X \geq 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 150 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{24}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 24 sein.

Also wären noch 21 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 99 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 87 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥87)=1-P(X≤86)
...	...
0.87	0.4707
0.88	0.5907
0.89	0.708
0.9	0.8115
0.91	0.8926
0.92	0.9477
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{99} (X \geq 87)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{99} (X \leq 86)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(99,X,86) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.92 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 56 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 35 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.7.

P_{0.7}^{56} (X = 35)

=

(\begin{matrix} 56 \\ 35 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{35} \cdot {0.3}^{21}

=0.05336664830566≈ 0.0534
(TI-Befehl: binompdf(56,0.7,35))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 85 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=85⋅0.35 = 29.75

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 29.75, also 0.8⋅ 29.75 = 23.8 und 120% von 29.75, also 1.2⋅ 29.75 = 35.7

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 29.75 entfernt sein darf als 23.8 bzw. 35.7, muss sie also zwischen 24 und 35 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.35.

$P_{0.35}^{85} (24 \leq X \leq 35)$ =

...

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

...

P_{0.35}^{85} (X \leq 35)

-

P_{0.35}^{85} (X \leq 23)

≈ 0.9033 - 0.0756 ≈ 0.8277
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.35,35) - binomcdf(85,0.35,23))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert