Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,45. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 34 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
74	0.6117
75	0.5705
76	0.5291
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.45}$ ≈ 76 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.45⋅76) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=76:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5291 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 41 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 27 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.7.

P_{0.7}^{41} (X = 27)

=

(\begin{matrix} 41 \\ 27 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{27} \cdot {0.3}^{14}

=0.11075986769584≈ 0.1108
(TI-Befehl: binompdf(41,0.7,27))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{6}{10}$	0.9993
$\frac{7}{11}$	0.9976
$\frac{8}{12}$	0.9939
$\frac{9}{13}$	0.9873
$\frac{10}{14}$	0.9771
$\frac{11}{15}$	0.963
$\frac{12}{16}$	0.9449
$\frac{13}{17}$	0.923
$\frac{14}{18}$	0.8978
$\frac{15}{19}$	0.8699
$\frac{16}{20}$	0.8398
$\frac{17}{21}$	0.8082
$\frac{18}{22}$	0.7756
$\frac{19}{23}$	0.7425
$\frac{20}{24}$	0.7093
$\frac{21}{25}$	0.6763
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{28} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{28} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{6}{10}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{20}{24}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 20 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 63 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 63).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 50% höchstens 50 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.74	0.869
0.75	0.8273
0.76	0.777
0.77	0.7182
0.78	0.6514
0.79	0.5779
0.8	0.4998
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{63} (X \leq 50)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(63,X,50) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.79 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 20 Versuchen mehr als 8 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.35.

...

6

7

8

9

10

11

...

P_{0.35}^{20} (X > 8)

=

P_{0.35}^{20} (X \geq 9)

= 1 -

P_{0.35}^{20} (X \leq 8)

= 0.2376
(TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.35,8))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 89 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=89⋅0.3 = 26.7

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 26.7, also 0.8⋅ 26.7 = 21.36 und 120% von 26.7, also 1.2⋅ 26.7 = 32.04

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 26.7 entfernt sein darf als 21.36 bzw. 32.04, muss sie also zwischen 22 und 32 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.3.

$P_{0.3}^{89} (22 \leq X \leq 32)$ =

...

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.3}^{89} (X \leq 32)

-

P_{0.3}^{89} (X \leq 21)

≈ 0.9084 - 0.1129 ≈ 0.7955
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.3,32) - binomcdf(89,0.3,21))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert