Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 50%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit 37 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
730.5
740.4538
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: P0.5n (X37) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.5n (X37) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.5n (X37) = 1 - P0.5n (X36) ≥ 0.5 |+ P0.5n (X36) - 0.5

0.5 ≥ P0.5n (X36) oder P0.5n (X36) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 37 0.5 ≈ 74 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.5⋅74) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=74:
P0.5n (X36) ≈ 0.4538 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 74 sein, damit P0.5n (X36) ≤ 0.5 oder eben P0.5n (X37) ≥ 0.5 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 52 Versuchen, mehr als 21 mal und höchstens 28 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.5.

P0.552 (22X28) =

...
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
...

P0.552 (X28) - P0.552 (X21) ≈ 0.7558 - 0.1058 ≈ 0.65
(TI-Befehl: binomcdf(52,0.5,28) - binomcdf(52,0.5,21))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9961
1 3 0.961
1 4 0.8999
1 5 0.8322
1 6 0.7674
1 7 0.7086
1 8 0.6564
1 9 0.6103
1 10 0.5695
1 11 0.5335
1 12 0.5015
1 13 0.4729
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp8 (X1) = 1- Pp8 (X0) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp8 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 12 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 80 Freiwürfen mindestens 46 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥46)=1-P(X≤45)
......
0.540.3039
0.550.3694
0.560.4392
0.570.5111
0.580.583
0.590.6524
......

Es muss gelten: Pp80 (X46) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp80 (X45) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(80,X,45) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.59 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 46%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 27 Versuchen weniger als 14 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p=0.46.

P0.4627 (X<14) = P0.4627 (X13) = P0.4627 (X=0) + P0.4627 (X=1) + P0.4627 (X=2) +... + P0.4627 (X=13) = 0.66284268792957 ≈ 0.6628
(TI-Befehl: binomcdf(27,0.46,13))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,45 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 47 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=47⋅0.45 = 21.15

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 21.15, also 0.9⋅ 21.15 = 19.035 und 110% von 21.15, also 1.1⋅ 21.15 = 23.265

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 21.15 entfernt sein darf als 19.035 bzw. 23.265, muss sie also zwischen 20 und 23 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p=0.45.

P0.4547 (20X23) =

...
17
18
19
20
21
22
23
24
25
...

P0.4547 (X23) - P0.4547 (X19) ≈ 0.7552 - 0.3159 ≈ 0.4393
(TI-Befehl: binomcdf(47,0.45,23) - binomcdf(47,0.45,19))