Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 25 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
68	0.9095
69	0.8948
70	0.8787
71	0.8611
72	0.8421
73	0.8218
74	0.8001
75	0.7773
76	0.7532
77	0.7281
78	0.7021
79	0.6754
80	0.6479
81	0.62
82	0.5917
83	0.5633
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.3}$ ≈ 83 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.3⋅83) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=83:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.5633 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 35 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

5

6

7

8

9

10

...

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X > 7)

=

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X \geq 8)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X \leq 7)

= 0.2182
(TI-Befehl: 1-binomcdf(35, $\frac{1}{6}$ ,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥16)=1-P(X≤15)
...	...
$\frac{2}{8}$	0.9994
$\frac{2}{9}$	0.9951
$\frac{2}{10}$	0.9782
$\frac{2}{11}$	0.9374
$\frac{2}{12}$	0.8665
$\frac{2}{13}$	0.7692
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 16)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 15)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{8}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 12 sein.

Also wären noch 10 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 87 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 87).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% höchstens 23 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.16	0.9957
0.17	0.9909
0.18	0.9821
0.19	0.9674
0.2	0.945
0.21	0.9127
0.22	0.8694
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{87} (X \leq 23)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(87,X,23) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.21 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 82 Versuchen genau 67 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.8.

P_{0.8}^{82} (X = 67)

=

(\begin{matrix} 82 \\ 67 \end{matrix}) \cdot {0.8}^{67} \cdot {0.2}^{15}

=0.10496803174762≈ 0.105
(TI-Befehl: binompdf(82,0.8,67))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 96 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=96⋅ $\frac{1}{6}$ = 16

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 16, also 0.8⋅ 16 = 12.8 und 120% von 16, also 1.2⋅ 16 = 19.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 16 entfernt sein darf als 12.8 bzw. 19.2, muss sie also zwischen 13 und 19 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{96} (13 \leq X \leq 19)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{\frac{1}{6}}^{96} (X \leq 19)

-

P_{\frac{1}{6}}^{96} (X \leq 12)

≈ 0.832 - 0.1693 ≈ 0.6627
(TI-Befehl: binomcdf(96, $\frac{1}{6}$ ,19) - binomcdf(96, $\frac{1}{6}$ ,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert