Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 24 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
32	0.5675
33	0.4467
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.75}$ ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.75⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5675 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,17 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 75 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 7 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.17.

P_{0.17}^{75} (X \leq 7)

=

P_{0.17}^{75} (X = 0)

+

P_{0.17}^{75} (X = 1)

+

P_{0.17}^{75} (X = 2)

+... +

P_{0.17}^{75} (X = 7)

= 0.046012212793732 ≈ 0.046
(TI-Befehl: binomcdf(75,0.17,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 13 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{6}$	0.6281
$\frac{1}{7}$	0.7189
$\frac{1}{8}$	0.7841
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 2)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{13}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 8 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 82 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 50 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥50)=1-P(X≤49)
...	...
0.63	0.6919
0.64	0.7552
0.65	0.8112
0.66	0.8589
0.67	0.8981
0.68	0.9289
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{82} (X \geq 50)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{82} (X \leq 49)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(82,X,49) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 9 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 61 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{61} (X \leq 9)

=

P_{\frac{1}{8}}^{61} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{61} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{61} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{61} (X = 9)

= 0.77318602426237 ≈ 0.7732
(TI-Befehl: binomcdf(61,1/8,9))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 68 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 68 und p = 0.4 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 68 ⋅ 0.4 = 27.2

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{68 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6}$ = $\sqrt{16.32}$ ≈ 4.04

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.