Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ = 1 - $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ oder $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{0.8}}$ ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.8⋅34) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
$P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≈ 0.3674 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 38 sein, damit $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{25}(X\le 24)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{25}(X\le 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{8}{\mathrm{11}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{38}{41}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 38 sein.

Es muss gelten: $P_p^{53}(X\ge 20)$=0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_p^{53}(X\le 19)$=0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(53,X,19) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.