Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 45% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 21 Nasen hat.

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
370.5175
380.4461
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: P0.55n (X21) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.55n (X21) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.55n (X21) = 1 - P0.55n (X20) ≥ 0.5 |+ P0.55n (X20) - 0.5

0.5 ≥ P0.55n (X20) oder P0.55n (X20) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 21 0.55 ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.55⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
P0.55n (X20) ≈ 0.4461 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 38 sein, damit P0.55n (X20) ≤ 0.5 oder eben P0.55n (X21) ≥ 0.5 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 44 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 20 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.5.

P0.544 (X<20) = P0.544 (X19) = P0.544 (X=0) + P0.544 (X=1) + P0.544 (X=2) +... + P0.544 (X=19) = 0.22569041619806 ≈ 0.2257
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.5,19))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 12 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

Lösung einblenden
pP(X≤3)
......
1 4 0.6488
1 5 0.7946
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp12 (X3) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp12 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 12 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 12 ⋅12 der Erwartungswert und somit Pp12 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 12 mit 1 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 4 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 5 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 59 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 55 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

Lösung einblenden
pP(X≥55)=1-P(X≤54)
......
0.910.3777
0.920.4854
0.930.6026
0.940.7207
0.950.8281
0.960.9132
......

Es muss gelten: Pp59 (X55) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp59 (X54) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(59,X,54) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.96 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 57 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 10 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p= 1 6 .

P 1 6 57 (X10) = P 1 6 57 (X=0) + P 1 6 57 (X=1) + P 1 6 57 (X=2) +... + P 1 6 57 (X=10) = 0.65158134261486 ≈ 0.6516
(TI-Befehl: binomcdf(57,1/6,10))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 42 und p = 0.35
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 42 und p = 0.35 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 42 ⋅ 0.35 = 14.7

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 42 ⋅ 0.35 ⋅ 0.65 = 9.555 3.09