Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht über 40 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
44	0.6534
45	0.4729
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 40)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.9}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.9⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 40)$ ≈ 0.6534 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=44 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 31 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 11 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=31 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{31} (X = 11)

=

(\begin{matrix} 31 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{11} \cdot {(\frac{3}{4})}^{20}

=0.064018692070289≈ 0.064
(TI-Befehl: binompdf(31,1/4,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{10}{14}$	0.9998
$\frac{11}{15}$	0.9996
$\frac{12}{16}$	0.9992
$\frac{13}{17}$	0.9988
$\frac{14}{18}$	0.9981
$\frac{15}{19}$	0.9973
$\frac{16}{20}$	0.9962
$\frac{17}{21}$	0.9949
$\frac{18}{22}$	0.9934
$\frac{19}{23}$	0.9916
$\frac{20}{24}$	0.9895
$\frac{21}{25}$	0.9872
$\frac{22}{26}$	0.9846
$\frac{23}{27}$	0.9818
$\frac{24}{28}$	0.9788
$\frac{25}{29}$	0.9755
$\frac{26}{30}$	0.9721
$\frac{27}{31}$	0.9684
$\frac{28}{32}$	0.9645
$\frac{29}{33}$	0.9605
$\frac{30}{34}$	0.9562
$\frac{31}{35}$	0.9519
$\frac{32}{36}$	0.9474
$\frac{33}{37}$	0.9427
$\frac{34}{38}$	0.938
$\frac{35}{39}$	0.9332
$\frac{36}{40}$	0.9282
$\frac{37}{41}$	0.9232
$\frac{38}{42}$	0.9181
$\frac{39}{43}$	0.9129
$\frac{40}{44}$	0.9077
$\frac{41}{45}$	0.9024
$\frac{42}{46}$	0.8971
$\frac{43}{47}$	0.8918
$\frac{44}{48}$	0.8864
$\frac{45}{49}$	0.881
$\frac{46}{50}$	0.8756
$\frac{47}{51}$	0.8702
$\frac{48}{52}$	0.8648
$\frac{49}{53}$	0.8594
$\frac{50}{54}$	0.854
$\frac{51}{55}$	0.8486
$\frac{52}{56}$	0.8432
$\frac{53}{57}$	0.8378
$\frac{54}{58}$	0.8325
$\frac{55}{59}$	0.8271
$\frac{56}{60}$	0.8218
$\frac{57}{61}$	0.8165
$\frac{58}{62}$	0.8112
$\frac{59}{63}$	0.806
$\frac{60}{64}$	0.8008
$\frac{61}{65}$	0.7956
$\frac{62}{66}$	0.7905
$\frac{63}{67}$	0.7854
$\frac{64}{68}$	0.7803
$\frac{65}{69}$	0.7753
$\frac{66}{70}$	0.7703
$\frac{67}{71}$	0.7654
$\frac{68}{72}$	0.7604
$\frac{69}{73}$	0.7556
$\frac{70}{74}$	0.7507
$\frac{71}{75}$	0.7459
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{10}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{70}{74}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 70 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 89 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 45 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.39	0.9898
0.4	0.9832
0.41	0.9732
0.42	0.9587
0.43	0.9386
0.44	0.9117
0.45	0.8771
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{89} (X \leq 45)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(89,X,45) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.44 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 91% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 90 Versuchen mindestens 75 und weniger als 85 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.91.

$P_{0.91}^{90} (75 \leq X \leq 84)$ =

...

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

...

P_{0.91}^{90} (X \leq 84)

-

P_{0.91}^{90} (X \leq 74)

≈ 0.8305 - 0.0063 ≈ 0.8242
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.91,84) - binomcdf(90,0.91,74))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 62 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 62⋅0.4 ≈ 24.8,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{62\cdot0.4\cdot0.6}$ ≈ 3.86

28.66 (24.8 + 3.86) und 20.94 (24.8 - 3.86) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 24.8 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 21 und 28 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 21 und 28 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.4.

$P_{0.4}^{62} (21 \leq X \leq 28)$ =

...

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

...

P_{0.4}^{62} (X \leq 28)

-

P_{0.4}^{62} (X \leq 20)

≈ 0.8314 - 0.1319 ≈ 0.6995
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.4,28) - binomcdf(62,0.4,20))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ