Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 19% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt mindestens vorgeführt werden, damit sich mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, 35 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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n	P(X≤k)
...	...
182	0.5018
183	0.4875
184	0.4733
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.19 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.19}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.19}^{n} (X \geq 35)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.19}^{n} (X \geq 35)$ = 1 - $P_{0.19}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.19}^{n} (X \leq 34)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.19}^{n} (X \leq 34)$ oder $P_{0.19}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 19% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.19}$ ≈ 184 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.19⋅184) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=184:
$P_{0.19}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.4733 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=183 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 183 sein, damit $P_{0.19}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.19}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.5 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 73 Versuchen genau 43 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.55.

P_{0.55}^{73} (X = 43)

=

(\begin{matrix} 73 \\ 43 \end{matrix}) \cdot {0.55}^{43} \cdot {0.45}^{30}

=0.075419397158359≈ 0.0754
(TI-Befehl: binompdf(73,0.55,43))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 6er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9844
$\frac{1}{3}$	0.9122
$\frac{1}{4}$	0.822
$\frac{1}{5}$	0.7379
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=6 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{6} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{6} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{6} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 6 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 76 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 61 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.69	0.9901
0.7	0.9842
0.71	0.9753
0.72	0.9624
0.73	0.9441
0.74	0.919
0.75	0.8856
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{76} (X \leq 61)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(76,X,61) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 33 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,65.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 21 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p=0.65.

P_{0.65}^{33} (X \leq 21)

=

P_{0.65}^{33} (X = 0)

+

P_{0.65}^{33} (X = 1)

+

P_{0.65}^{33} (X = 2)

+... +

P_{0.65}^{33} (X = 21)

= 0.49987328043084 ≈ 0.4999
(TI-Befehl: binomcdf(33,0.65,21))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 60 und p = 0.8
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 60 und p = 0.8 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 60 ⋅ 0.8 = 48

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{60 ⋅ 0.8 ⋅ 0.2}$ = $\sqrt{9.6}$ ≈ 3.1

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.