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Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.

Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
um Kunden zu locken soll bei einem Feld 34€ ausgezahlt werden

Ordne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

Lösung einblenden

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				32
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				32
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$				$\frac{1}{32}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$				$1$

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		32
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$		$\frac{7}{32}$		$\frac{1}{32}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{3}{4}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		32
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{32}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $1$ ) setzt.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	1	2	3	34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1	0	1	32
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{32}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern $- \frac{1}{10}$ sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ multipliziert gerade um $- \frac{1}{10}$ wächst.
Also x ⋅ $\frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{10}$ => x= $- \frac{1}{10}$ : $\frac{1}{8}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	0.2	2	3	34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1.8	0	1	32
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{32}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{9}{40}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ $\frac{1}{2}$ + -1.8⋅ $\frac{1}{8}$ + 0⋅ $\frac{7}{32}$ + 1⋅ $\frac{1}{8}$ + 32⋅ $\frac{1}{32}$

= $- 1$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $0$ $+$ $\frac{1}{8}$ $+$ $1$
= $- \frac{40}{40}$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $\frac{0}{40}$ $+$ $\frac{5}{40}$ $+$ $\frac{40}{40}$
= $- \frac{4}{40}$
= $- \frac{1}{10}$

≈ -0.1

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 6 blauen, 4 roten, 10 grünen und 4 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 24€. Bei rot erhält er 18€, bei grün erhält er 12€ und bei weiß erhält er 36€. Wieviel bringt ein Zug durchschnittlich ein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße x_i	24	18	12	36
P(X=x_i)	$\frac{6}{24}$	$\frac{4}{24}$	$\frac{10}{24}$	$\frac{4}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$6$	$3$	$5$	$6$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 24⋅ $\frac{6}{24}$ + 18⋅ $\frac{4}{24}$ + 12⋅ $\frac{10}{24}$ + 36⋅ $\frac{4}{24}$

= $6$ $+$ $3$ $+$ $5$ $+$ $6$
= $20$