Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{1}{19}$ ⋅ $\frac{18}{18}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{1}{19}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{1330}$

Da ja ausschließlich nach 'grün' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'grün' und 'nicht grün'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"grün": $\frac{1}{37}$; "nicht grün": $\frac{36}{37}$;

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: grün: $\frac{1}{37}$; nicht grün: $\frac{36}{37}$;

• 'grün'-'grün' (P=$\frac{1}{1369}$)

$\frac{1}{1369}$ = $\frac{1}{1369}$

Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 5 = 15 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 6 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 5 ⋅ 6 = 90 Möglichkeiten ergeben.

Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Ostereier mit den Zahlen 1 bis 34 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 18 der insgesamt 34 Ostereier gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 18 von 34 Ostereier ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $\left(\begin{array}{c}34\\ 18\end{array}\right)$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Es gibt $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 3 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 3 gezogenen Nougateier unter den 10 Nougateier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "3 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 Nougateier ziehen", also $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Es gibt $\left(\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 7 Kreuzchen auf 12 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 7 gezogenen Krokanteier unter den 12 Krokanteier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "7 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 12 Krokanteier ziehen", also $\left(\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Es gibt $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 8 Kreuzchen auf 12 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen Vollmilcheier unter den 12 Vollmilcheier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 12 Vollmilcheier ziehen", also $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\end{array}\right)$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen Nougateier mit jedem Fall der gezogenen Krokanteier uns mit jedem Fall der gezogenen Vollmilcheier kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "18 Ostereier aus 34 Ostereier ziehen" $\left(\begin{array}{c}34\\ 18\end{array}\right)$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>10</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>3</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\; \cdot \; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>12</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>7</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\; \cdot \; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>12</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>8</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>34</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>18</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 0,0213 = 2,13%

Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Zahlenschlossrad) 6 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 6 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Zahlenschlossrad) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 6⋅6⋅...⋅6 = 6⁸ Möglichkeiten für eine Zahlenschlosseinstellungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Es gibt $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 3 Kreuzchen auf 8 Kästchen zu verteilen.

Da ja nur Zahlen zwischen 1 und 6 möglich sind, gibt es somit $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ 6 Möglichkeiten für die Belegung der 3 Felder (Zahlenschlossräder) mit gleichen Zahlen, weil ja eben jede der 6 Zahlen theoretisch 3-fach vorkommen könnte.

Jetzt bleiben noch 5 Felder (Zahlenschlossräder), die mit den anderen 5 Zahlen belegt werden können, wobei dabei jede Zahl genau einmal vorkommen muss. Auch das ist ja ein bekanntes Modell (n Zahlen auf n Felder verteilen): Hier gibt es 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten.
(5 Möglichkeiten für das erste Feld, 4 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt erhalten wir somit $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ 6 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 40320 günstige Möglichkeiten

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>8</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>3</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\; \cdot \; 6\; \cdot \; 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6}}$ = $\frac{\mathrm{40320}}{\mathrm{1679616}}$ ≈ 0,024 = 2,4%

Insgesamt sind also n + 4 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{n}{\mathrm{n\; +\; 4}}$

Wenn dann auch tatsächlich "blau" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{\mathrm{n-1}}{\mathrm{n\; -\; 1\; +\; 4}}$

Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen ist also $\frac{n}{n+4}·\frac{n-1}{n+3}$. Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{1}{3}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $-4$; $-3$}

Wir multiplizieren den Nenner $\left(n+4\right)\left(n+3\right)$ weg!

$n^2-5n-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

n_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

n_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25+24}}{2}$

n_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{49}}{2}$

n₁ = $\frac{5+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

n₂ = $\frac{5-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 6 blaue Kugeln im Behälter.

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 6 Herz und 5 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{6}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{5}{11}$⋅$\frac{4}{10}$ = $\frac{2}{11}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 = $\frac{3}{6}$⋅$\frac{2}{11}$ = $\frac{1}{11}$

2. Möglichkeit: 5 Herz und 6 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{6}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{6}{11}$⋅$\frac{5}{10}$ = $\frac{3}{11}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 = $\frac{3}{6}$⋅$\frac{3}{11}$ = $\frac{3}{22}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{1}{11}$ + $\frac{3}{22}$ = $\frac{5}{22}$.