Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik
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Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 11 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?
Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": ; "nicht prim": ;
Ereignis | P |
---|---|
prim -> prim -> prim | |
prim -> prim -> nicht prim | |
prim -> nicht prim -> prim | |
prim -> nicht prim -> nicht prim | |
nicht prim -> prim -> prim | |
nicht prim -> prim -> nicht prim | |
nicht prim -> nicht prim -> prim | |
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: ; nicht prim: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P=)
- 'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P=)
- 'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P=)
- 'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
Kombinatorik
Beispiel:
Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 9 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 6 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 5 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.
Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 9 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 6 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 9 ⋅ 6 = 54 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 5 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 9 ⋅ 6 ⋅ 5 = 270 Möglichkeiten ergeben.
n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)
Beispiel:
In einem Behälter sind 11 blaue und 10 gelbe Kugeln. Es werden 9 Kugeln aus dem Behälter zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 5 Kugeln blau sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 21 durchnummeriert wären.
Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 9 der insgesamt 21 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 9 von 21 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten verwenden.
Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:











Es gibt verschiedene Möglichkeiten 5 Kreuzchen auf 11 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 5 gezogenen blauen unter den 11 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "5 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 11 blauen Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.










Es gibt verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen gelben unter den 10 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 gelben Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf ⋅ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "9 Kugeln aus 21 Kugeln ziehen" ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P = =
=
nur verschiedene (mit Zurücklegen)
Beispiel:
Ein Glücksrad mit 7 gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 7 beschriftet sind, wird 4 mal gedreht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl zweimal als Ergebnis erscheint?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Anzahl der möglichen Fälle
Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 7 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 7 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 7⋅7⋅...⋅7 = 74 Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.
Anzahl der günstigen Fälle
Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 4 verschiedene Zahlen auftreten.







Es gibt
Bei jeder dieser
Insgesamt kommen wir so auf
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P =
Ohne Zurücklegen rückwärts
Beispiel:
In einem Behälter sind 4 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen, P =
Insgesamt sind also n + 4 Kugeln im Behälter.
Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit:
Wenn dann auch tatsächlich
"rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann:
Zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen kann ja aber auch erst blau und dann rot bedeuten. Die Wahrscheinlichkeit für diesem Fall wäre dann
Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen ist also
D=R\{
|
= |
|
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|⋅ 15 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
n1,2 =
n1,2 =
n1,2 =
n1 =
n2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Es waren also 2 oder 6 blaue Kugeln im Behälter.
2 Urnen
Beispiel:
In einem Behälter A sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Im Behälter B sind 5 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig aus Behälter A gezogen und in den Behälter B gelegt. Dann werden zwei Kugeln gleichzeitg aus Behälter B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Kugeln aus Behälter B beide blau sind.
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Behälter B nach der ersten Ziehung aus Behälter A bestückt ist:
1. Möglichkeit: 6 rote und 5 blaue
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine rote Kugel gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, bestimmen:
P(blau-blau) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine rote
Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P1 =
2. Möglichkeit: 5 rote und 6 blaue
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine blaue Kugel gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(blau-blau) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine blaue
Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P2 =
Beide Möglichkeiten zusammen:
Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen:
P = P1 + P2 =