Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{18}{19}$
= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{3}{19}$
= $\frac{9}{665}$

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{4}{15}$; 2: $\frac{7}{15}$; 3: $\frac{4}{15}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P=$\frac{8}{105}$)
'3'-'1' (P=$\frac{8}{105}$)
'2'-'2' (P=$\frac{1}{5}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{105}$ + $\frac{8}{105}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{37}{105}$

Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 6² = 36 Möglichkeiten.

Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 20 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 6 der insgesamt 20 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 6 von 20 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 2 gezogenen blauen unter den 8 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "2 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 8 blauen Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen gelben unter den 12 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 12 gelben Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}12\\ 4\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 4\end{array}\right)$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "6 Kugeln aus 20 Kugeln ziehen" $\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>8</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>2</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\; \cdot \; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>12</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>4</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>20</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>6</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{\mathrm{13860}}{\mathrm{38760}}$ ≈ 0,3576 = 35,76%

Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 12 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 12 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 12⋅12⋅...⋅12 = 12⁷ Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 7 verschiedene Zahlen auftreten.

Dazu betrachten wir erstmal die Anzahl der Möglichkeiten welche 7 Zahlen unter den 12 möglichen Zahlen vorkommen können. Auch dies kann man mit dem Modell bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 Zahlen von 12 möglichen anzukreuzen. Dies sind $\left(\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right)$ Möglichkeiten verschiedene 7er-Pakete aus 12 Zahlen zu packen.

Bei jeder dieser $\left(\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right)$ Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (7 Möglichkeiten für das erste Feld, 6 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf $\left(\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right)$⋅7! = 3991680 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>12</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>7</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\cdot 7!}}{\mathrm{12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12}}$ = $\frac{\mathrm{3991680}}{\mathrm{35831808}}$ ≈ 0,1114 = 11,14%

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Insgesamt sind also n + 9 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{9}{\mathrm{n\; +\; 9}}$

Wenn dann auch tatsächlich "rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{n}{\mathrm{n\; +\; 8}}$

Zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen kann ja aber auch erst blau und dann rot bedeuten. Die Wahrscheinlichkeit für diesem Fall wäre dann $\frac{n}{\mathrm{n\; +\; 9}}$⋅$\frac{9}{\mathrm{n\; +\; 8}}$⋅

Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen ist also $2\frac{9}{n+9}·\frac{n}{n+8}$. Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{9}{22}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $-9$; $-8$}

$\frac{18n}{\left(n+9\right)\left(n+8\right)}$

=

$\frac{9}{22}$

Wir multiplizieren den Nenner $\left(n+9\right)\left(n+8\right)$ weg!

$\frac{18n}{\left(n+9\right)·\left(n+8\right)}$	=	$\frac{9}{22}$	|⋅( $\left(n+9\right)\left(n+8\right)$)
$\frac{18n}{\left(n+9\right)·\left(n+8\right)}·\left(n+9\right)\left(n+8\right)$	=	$\frac{9}{22}·\left(n+9\right)\left(n+8\right)$
$\frac{18n\left(n+9\right)}{n+9}$	=	$\frac{9}{22}\left(n+9\right)\left(n+8\right)$
$18n$	=	$\frac{9}{22}\left(n+9\right)\left(n+8\right)$
$18n$	=	$\frac{9}{22}{n}^2+\frac{153}{22}n+\frac{324}{11}$

$18n$	=	$\frac{9}{22}{n}^2+\frac{153}{22}n+\frac{324}{11}$	|⋅ 22
$396n$	=	$22\left(\frac{9}{22}{n}^2+\frac{153}{22}n+\frac{324}{11}\right)$
$396n$	=	$9n^2+153n+648$	| $-9n^2$ $-153n$ $-648$

$-9n^2+243n-648$ = 0 |:9

$-n^2+27n-72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

n_1,2 = $\frac{-27\pm \sqrt{{27}^2-4·\left(-1\right)·\left(-72\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

n_1,2 = $\frac{-27\pm \sqrt{729-288}}{-2}$

n_1,2 = $\frac{-27\pm \sqrt{441}}{-2}$

n₁ = $\frac{-27+\sqrt{441}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>27</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

n₂ = $\frac{-27-\sqrt{441}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>27</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-48}{-2}$ = $24$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 3 oder 24 blaue Kugeln im Behälter.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 8 Herz und 3 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{2}{5}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{3}{11}$⋅$\frac{2}{10}$ = $\frac{3}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 = $\frac{2}{5}$⋅$\frac{3}{55}$ = $\frac{6}{275}$

2. Möglichkeit: 7 Herz und 4 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{5}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{4}{11}$⋅$\frac{3}{10}$ = $\frac{6}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 = $\frac{3}{5}$⋅$\frac{6}{55}$ = $\frac{18}{275}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{6}{275}$ + $\frac{18}{275}$ = $\frac{24}{275}$.