Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{120}$

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Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{18}{37}$; "nicht schwarz": $\frac{19}{37}$;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- $\frac{324}{1369}$ = $\frac{1045}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: $\frac{18}{37}$; nicht schwarz: $\frac{19}{37}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'schwarz'-'nicht schwarz' (P=$\frac{342}{1369}$)
• 'nicht schwarz'-'schwarz' (P=$\frac{342}{1369}$)
• 'nicht schwarz'-'nicht schwarz' (P=$\frac{361}{1369}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{342}{1369}$ + $\frac{342}{1369}$ + $\frac{361}{1369}$ = $\frac{1045}{1369}$

Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 6³ = 216 Möglichkeiten.

Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 21 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 12 der insgesamt 21 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 12 von 21 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $\left(\begin{array}{c}21\\ 12\end{array}\right)$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen blauen unter den 11 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 11 blauen Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen gelben unter den 10 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 gelben Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "12 Kugeln aus 21 Kugeln ziehen" $\left(\begin{array}{c}21\\ 12\end{array}\right)$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>11</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>4</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\; \cdot \; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>10</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>8</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>21</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>12</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{\mathrm{14850}}{\mathrm{293930}}$ ≈ 0,0505 = 5,05%

Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Zahlenschlossrad) 8 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 8 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Zahlenschlossrad) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 8⋅8⋅...⋅8 = 8⁵ Möglichkeiten für eine Zahlenschlosseinstellungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 5 verschiedene Zahlen auftreten.

Dazu betrachten wir erstmal die Anzahl der Möglichkeiten welche 5 Zahlen unter den 8 möglichen Zahlen vorkommen können. Auch dies kann man mit dem Modell bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 Zahlen von 8 möglichen anzukreuzen. Dies sind $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ Möglichkeiten verschiedene 5er-Pakete aus 8 Zahlen zu packen.

Bei jeder dieser $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (5 Möglichkeiten für das erste Feld, 4 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$⋅5! = 6720 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>8</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>5</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\cdot 5!}}{\mathrm{8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8}}$ = $\frac{\mathrm{6720}}{\mathrm{32768}}$ ≈ 0,2051 = 20,51%

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Insgesamt sind also n + 2 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{2}{\mathrm{n\; +\; 2}}$

Wenn dann auch tatsächlich "rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{n}{\mathrm{n\; +\; 1}}$

Zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen kann ja aber auch erst blau und dann rot bedeuten. Die Wahrscheinlichkeit für diesem Fall wäre dann $\frac{n}{\mathrm{n\; +\; 2}}$⋅$\frac{2}{\mathrm{n\; +\; 1}}$⋅

Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen ist also $2\frac{2}{n+2}·\frac{n}{n+1}$. Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{16}{45}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $-2$; $-1$}

$\frac{4n}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$

=

$\frac{16}{45}$

Wir multiplizieren den Nenner $\left(n+2\right)\left(n+1\right)$ weg!

$\frac{4n}{\left(n+2\right)·\left(n+1\right)}$	=	$\frac{16}{45}$	|⋅( $\left(n+2\right)\left(n+1\right)$)
$\frac{4n}{\left(n+2\right)·\left(n+1\right)}·\left(n+2\right)\left(n+1\right)$	=	$\frac{16}{45}·\left(n+2\right)\left(n+1\right)$
$\frac{4n\left(n+2\right)}{n+2}$	=	$\frac{16}{45}\left(n+2\right)\left(n+1\right)$
$4n$	=	$\frac{16}{45}\left(n+2\right)\left(n+1\right)$
$4n$	=	$\frac{16}{45}{n}^2+\frac{16}{15}n+\frac{32}{45}$

$4n$	=	$\frac{16}{45}{n}^2+\frac{16}{15}n+\frac{32}{45}$	|⋅ 45
$180n$	=	$45\left(\frac{16}{45}{n}^2+\frac{16}{15}n+\frac{32}{45}\right)$
$180n$	=	$16n^2+48n+32$	| $-16n^2$ $-48n$ $-32$

$-16n^2+132n-32$ = 0 |:4

$-4n^2+33n-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

n_1,2 = $\frac{-33\pm \sqrt{{33}^2-4·\left(-4\right)·\left(-8\right)}}{2\cdot \left(-4\right)}$

n_1,2 = $\frac{-33\pm \sqrt{1089-128}}{-8}$

n_1,2 = $\frac{-33\pm \sqrt{961}}{-8}$

n₁ = $\frac{-33+\sqrt{961}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>33</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>31</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-8}$ = $\mathrm{0,25}$

n₂ = $\frac{-33-\sqrt{961}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>33</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>31</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-64}{-8}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 8 blaue Kugeln im Behälter.

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Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Behälter B nach der ersten Ziehung aus Behälter A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 6 rote und 5 blaue

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine rote Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{5}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, bestimmen:
P(blau-blau) = $\frac{5}{11}$⋅$\frac{4}{10}$ = $\frac{2}{11}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine rote Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P1 = $\frac{3}{5}$⋅$\frac{2}{11}$ = $\frac{6}{55}$

2. Möglichkeit: 5 rote und 6 blaue

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine blaue Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{2}{5}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(blau-blau) = $\frac{6}{11}$⋅$\frac{5}{10}$ = $\frac{3}{11}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine blaue Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P2 = $\frac{2}{5}$⋅$\frac{3}{11}$ = $\frac{6}{55}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{6}{55}$ + $\frac{6}{55}$ = $\frac{12}{55}$.