Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik

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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 27 2 26 24 25
= 3 9 2 13 4 25
= 8 975

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 3 20 ; "nicht 3": 17 20 ;

EreignisP
3 -> 3 9 400
3 -> nicht 3 51 400
nicht 3 -> 3 51 400
nicht 3 -> nicht 3 289 400

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: 3 20 ; nicht 3: 17 20 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3'-'3' (P= 9 400 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 400 = 9 400


Kombinatorik

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 23-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede(r/s) Schülerin möglich. Es gibt also 23 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 22 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 21 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 = 4037880 Möglichkeiten, die 23 Möglichkeiten (Schülerin) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 4037880 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 4037880 120 = 33649 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 23 Elementen (Schülerin) gebildet werden.

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

Beispiel:

In einem Behälter sind 12 blaue und 10 gelbe Kugeln. Es werden 10 Kugeln aus dem Behälter zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 2 Kugeln blau sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 22 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 10 der insgesamt 22 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 10 von 22 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten ( 22 10 ) verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:


Es gibt ( 12 2 ) verschiedene Möglichkeiten 2 Kreuzchen auf 12 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 2 gezogenen blauen unter den 12 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "2 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 12 blauen Kugeln ziehen", also ( 12 2 ) Möglichkeiten.


Es gibt ( 10 8 ) verschiedene Möglichkeiten 8 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen gelben unter den 10 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 gelben Kugeln ziehen", also ( 10 8 ) Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf ( 12 2 ) ( 10 8 ) Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "10 Kugeln aus 22 Kugeln ziehen" ( 22 10 ) ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl aller möglichen Fälle = ( 12 2 ) ( 10 8 ) ( 22 10 ) = 2970 646646 0,0046 = 0,46%

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Beispiel:

Ein Zahlenschloss hat 8 Drehscheiben, auf denen jeweils die Zahlen von 1 bis 7 einstellbar sind. Es wird mit verbundenen Augen eine zufällige Zahlen-Kombination eingestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darin alle 7 Zahlen enthalten sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Zahlenschlossrad) 7 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 7 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Zahlenschlossrad) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 7⋅7⋅...⋅7 = 78 Möglichkeiten für eine Zahlenschlosseinstellungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle


Es gibt ( 8 2 ) verschiedene Möglichkeiten 2 Kreuzchen auf 8 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten überlegen wir uns am besten zuerst, wie viele Möglichkeiten es für die beiden Felder (Zahlenschlossräder) gibt, auf denen zwei gleiche Zahlen stehen. (Da jede Zahl mindestens einmal vorkommt, und es aber mehr Zahlenschlossräder als Zahlen gibt, muss ja eine Zahl bei zwei Zahlenschlossräder stehen).
Hierfür gibt es ( 8 2 ) Möglichkeiten.

Da ja nur Zahlen zwischen 1 und 7 möglich sind, gibt es somit ( 8 2 ) ⋅ 7 Möglichkeiten für die Belegung der beiden Felder mit gleichen Zahlen, weil ja eben jede der 7 Zahlen theoretisch doppelt vorkommen könnte.

Jetzt bleiben noch 6 Felder (Zahlenschlossräder), die mit den anderen 6 Zahlen belegt werden können, wobei dabei jede Zahl genau einmal vorkommen muss. Auch das ist ja ein bekanntes Modell (n Zahlen auf n Felder verteilen): Hier gibt es 6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten.
(6 Möglichkeiten für das erste Feld, 5 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt erhalten wir somit ( 8 2 ) ⋅ 7 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 141120 günstige Möglichkeiten

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl aller möglichen Fälle = ( 8 2 ) ⋅ 7 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7 = 141120 5764801 0,0245 = 2,45%

Ohne Zurücklegen rückwärts

Beispiel:

In einem Behälter sind 9 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, P(b-b) = 1 22 . Bestimme die Anzahl der blauen Kugeln.

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Insgesamt sind also n + 9 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim ersten Versuch ist damit: n n + 9

Wenn dann auch tatsächlich "blau" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: n-1 n - 1 + 9

Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen ist also n n +9 · n -1 n +8 . Da diese Wahrscheinlichkeit ja 1 22 ist, gilt somit:

D=R\{ -9 ; -8 }

n ( n -1 ) ( n +9 ) ( n +8 ) = 1 22

Wir multiplizieren den Nenner ( n +9 ) ( n +8 ) weg!

n ( n -1 ) ( n +9 ) · ( n +8 ) = 1 22 |⋅( ( n +9 ) ( n +8 ) )
n ( n -1 ) ( n +9 ) · ( n +8 ) · ( n +9 ) ( n +8 ) = 1 22 · ( n +9 ) ( n +8 )
n · ( ( n -1 ) · 1 ) 1 = 1 22 ( n +9 ) ( n +8 )
n ( n -1 ) = 1 22 ( n +9 ) ( n +8 )
n · n + n · ( -1 ) = 1 22 ( n +9 ) ( n +8 )
n · n - n = 1 22 ( n +9 ) ( n +8 )
n 2 - n = 1 22 n 2 + 17 22 n + 36 11
n 2 - n = 1 22 n 2 + 17 22 n + 36 11 |⋅ 22
22( n 2 - n ) = 22( 1 22 n 2 + 17 22 n + 36 11 )
22 n 2 -22n = n 2 +17n +72 | - n 2 -17n -72
21 n 2 -39n -72 = 0 |:3

7 n 2 -13n -24 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

n1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 7 · ( -24 ) 27

n1,2 = +13 ± 169 +672 14

n1,2 = +13 ± 841 14

n1 = 13 + 841 14 = 13 +29 14 = 42 14 = 3

n2 = 13 - 841 14 = 13 -29 14 = -16 14 = - 8 7 ≈ -1.14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 3 blaue Kugeln im Behälter.

2 Urnen

Beispiel:

In einem Kartenstapel A sind 2 Herz-Karten und 3 Kreuz-Karten. Im Kartenstapel B sind 3 Herz- und 7 Kreuz-Karten. Es wird eine Karte zufällig aus dem Stapel A gezogen und auf den Stapel B gelegt. Nach längerem Mischen werden dann die obersten beiden Karten vom Stapel B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden aus dem Stapel B gezogenen Karten Kreuz-Karten sind.

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Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 4 Herz und 7 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist 2 5 .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) = 7 11 6 10 = 21 55

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 = 2 5 21 55 = 42 275

2. Möglichkeit: 3 Herz und 8 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist 3 5 .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) = 8 11 7 10 = 28 55

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 = 3 5 28 55 = 84 275

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:

P = P1 + P2 = 42 275 + 84 275 = 126 275 .