Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik
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Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
In einer Urne sind 2 rote und 11 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?
Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": ; "nicht 9": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 9 -> 9 | |
| 9 -> nicht 9 | |
| nicht 9 -> 9 | |
| nicht 9 -> nicht 9 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 9: ; nicht 9: ;
Die relevanten Pfade sind:
'9'-'9' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Kombinatorik
Beispiel:
Petra hat sich ein 7-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 7 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?
Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 5 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5040 Möglichkeiten.
n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)
Beispiel:
Bei einer Lotterie werden aus einem Lostopf mit 47 durchnummerierten Kugeln immer 6 Gewinnerkugeln zufällig gezogen. Jeder Teilnehmer an der Lotterie tippt nun genau 6 Zahlen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man hierbei genau 2 der 6 Kugeln zufällig richtig tippt.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 6 der insgesamt 47 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 6 von 47 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten verwenden.
Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 2 Kreuzchen auf 6 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 2 richtig getippten unter den 6 Gewinner-Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "2 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 6 Gewinner-Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 falsch getippten unter den 41 Nicht-Gewinner-Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 41 Nicht-Gewinner-Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf ⋅ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der richtig getippten mit jedem Fall der falsch getippten kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "6 Kugeln aus 47 Kugeln ziehen" ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P = =
=
nur verschiedene (mit Zurücklegen)
Beispiel:
Ein Glücksrad mit 8 gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 8 beschriftet sind, wird 5 mal gedreht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl zweimal als Ergebnis erscheint?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Anzahl der möglichen Fälle
Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 8 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 8 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 8⋅8⋅...⋅8 = 85 Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.
Anzahl der günstigen Fälle
Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 5 verschiedene Zahlen auftreten.
Es gibt
Bei jeder dieser
Insgesamt kommen wir so auf
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P =
Ohne Zurücklegen rückwärts
Beispiel:
In einem Behälter sind 9 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, P(b-b) =
Insgesamt sind also n + 9 Kugeln im Behälter.
Die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim ersten Versuch ist damit:
Wenn dann auch tatsächlich
"blau" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann:
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen ist also
D=R\{
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= |
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Wir multiplizieren den Nenner
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= |
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|⋅(
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= |
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= |
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= |
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= |
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= |
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= |
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= |
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|⋅ 22 |
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= |
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= |
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|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
n1,2 =
n1,2 =
n1,2 =
n1 =
n2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Es waren also 3 blaue Kugeln im Behälter.
2 Urnen
Beispiel:
In einem Kartenstapel A sind 3 Herz-Karten und 3 Kreuz-Karten. Im Kartenstapel B sind 6 Herz- und 4 Kreuz-Karten. Es wird eine Karte zufällig aus dem Stapel A gezogen und auf den Stapel B gelegt. Nach längerem Mischen werden dann die obersten beiden Karten vom Stapel B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden aus dem Stapel B gezogenen Karten Kreuz-Karten sind.
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:
1. Möglichkeit: 7 Herz und 4 Kreuz
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz
Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 =
2. Möglichkeit: 6 Herz und 5 Kreuz
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz
Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 =
Beide Möglichkeiten zusammen:
Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:
P = P1 + P2 =
