Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik

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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 13 9 12
= 1 13 9 3
= 3 13

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Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

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EreignisP
7 -> 7 2 15
7 -> 8 4 45
7 -> 9 8 45
8 -> 7 4 45
8 -> 8 1 45
8 -> 9 4 45
9 -> 7 8 45
9 -> 8 4 45
9 -> 9 2 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: 2 5 ; 8: 1 5 ; 9: 2 5 ;

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'7'-'8' (P= 4 45 )
'8'-'7' (P= 4 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 45 + 4 45 = 8 45


Kombinatorik

Beispiel:

Eine 2-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 2 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.

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Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 62 = 36 Möglichkeiten.

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

Beispiel:

Oma Hilde hat 11 Nougat-, 12 Krokant- und 16 Vollmilch-Ostereier in ein großes Osternest gepackt. Als eines ihrer Enkelkinder kommt, greift sie in das Nest und holt 18 Eier raus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 3 Nougateier und genau 8 Vollmilcheier sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Ostereier mit den Zahlen 1 bis 39 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 18 der insgesamt 39 Ostereier gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 18 von 39 Ostereier ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten ( 39 18 ) verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:


Es gibt ( 11 3 ) verschiedene Möglichkeiten 3 Kreuzchen auf 11 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 3 gezogenen Nougateier unter den 11 Nougateier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "3 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 11 Nougateier ziehen", also ( 11 3 ) Möglichkeiten.


Es gibt ( 12 7 ) verschiedene Möglichkeiten 7 Kreuzchen auf 12 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 7 gezogenen Krokanteier unter den 12 Krokanteier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "7 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 12 Krokanteier ziehen", also ( 12 7 ) Möglichkeiten.


Es gibt ( 16 8 ) verschiedene Möglichkeiten 8 Kreuzchen auf 16 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen Vollmilcheier unter den 16 Vollmilcheier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 16 Vollmilcheier ziehen", also ( 16 8 ) Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf ( 11 3 ) ( 12 7 ) ( 16 8 ) Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen Nougateier mit jedem Fall der gezogenen Krokanteier uns mit jedem Fall der gezogenen Vollmilcheier kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "18 Ostereier aus 39 Ostereier ziehen" ( 39 18 ) ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl aller möglichen Fälle = ( 11 3 ) ( 12 7 ) ( 16 8 ) ( 39 18 ) 0,027 = 2,7%

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Beispiel:

Ein Glücksrad mit 9 gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 9 beschriftet sind, wird 6 mal gedreht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl zweimal als Ergebnis erscheint?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 9 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 9 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 9⋅9⋅...⋅9 = 96 Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 6 verschiedene Zahlen auftreten.


Es gibt ( 9 6 ) verschiedene Möglichkeiten 6 Kreuzchen auf 9 Kästchen zu verteilen.
Dazu betrachten wir erstmal die Anzahl der Möglichkeiten welche 6 Zahlen unter den 9 möglichen Zahlen vorkommen können. Auch dies kann man mit dem Modell bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 Zahlen von 9 möglichen anzukreuzen. Dies sind ( 9 6 ) Möglichkeiten verschiedene 6er-Pakete aus 9 Zahlen zu packen.

Bei jeder dieser ( 9 6 ) Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (6 Möglichkeiten für das erste Feld, 5 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf ( 9 6 ) ⋅6! = 60480 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl aller möglichen Fälle = ( 9 6 ) ⋅6! 9⋅9⋅9⋅9⋅9⋅9 = 60480 531441 0,1138 = 11,38%

Ohne Zurücklegen rückwärts

Beispiel:

In einem Behälter sind 10 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, P(b-b) = 2 21 . Bestimme die Anzahl der blauen Kugeln.

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Insgesamt sind also n + 10 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim ersten Versuch ist damit: n n + 10

Wenn dann auch tatsächlich "blau" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: n-1 n - 1 + 10

Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen ist also n n +10 · n -1 n +9 . Da diese Wahrscheinlichkeit ja 2 21 ist, gilt somit:

D=R\{ -10 ; -9 }

n ( n -1 ) ( n +10 ) ( n +9 ) = 2 21

Wir multiplizieren den Nenner ( n +10 ) ( n +9 ) weg!

n ( n -1 ) ( n +10 ) · ( n +9 ) = 2 21 |⋅( ( n +10 ) ( n +9 ) )
n ( n -1 ) ( n +10 ) · ( n +9 ) · ( n +10 ) ( n +9 ) = 2 21 · ( n +10 ) ( n +9 )
n · ( ( n -1 ) · 1 ) 1 = 2 21 ( n +10 ) ( n +9 )
n ( n -1 ) = 2 21 ( n +10 ) ( n +9 )
n · n + n · ( -1 ) = 2 21 ( n +10 ) ( n +9 )
n · n - n = 2 21 ( n +10 ) ( n +9 )
n 2 - n = 2 21 n 2 + 38 21 n + 60 7
n 2 - n = 2 21 n 2 + 38 21 n + 60 7 |⋅ 21
21( n 2 - n ) = 21( 2 21 n 2 + 38 21 n + 60 7 )
21 n 2 -21n = 2 n 2 +38n +180 | -2 n 2 -38n -180

19 n 2 -59n -180 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

n1,2 = +59 ± ( -59 ) 2 -4 · 19 · ( -180 ) 219

n1,2 = +59 ± 3481 +13680 38

n1,2 = +59 ± 17161 38

n1 = 59 + 17161 38 = 59 +131 38 = 190 38 = 5

n2 = 59 - 17161 38 = 59 -131 38 = -72 38 = - 36 19 ≈ -1.89

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 5 blaue Kugeln im Behälter.

2 Urnen

Beispiel:

In einem Kartenstapel A sind 3 Herz-Karten und 3 Kreuz-Karten. Im Kartenstapel B sind 4 Herz- und 6 Kreuz-Karten. Es wird eine Karte zufällig aus dem Stapel A gezogen und auf den Stapel B gelegt. Nach längerem Mischen werden dann die obersten beiden Karten vom Stapel B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden aus dem Stapel B gezogenen Karten Kreuz-Karten sind.

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Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 5 Herz und 6 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist 3 6 .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) = 6 11 5 10 = 3 11

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 = 3 6 3 11 = 3 22

2. Möglichkeit: 4 Herz und 7 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist 3 6 .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) = 7 11 6 10 = 21 55

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 = 3 6 21 55 = 21 110

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:

P = P1 + P2 = 3 22 + 21 110 = 18 55 .