Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?
Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": ; "nicht 3": ;
Ereignis | P |
---|---|
3 -> 3 | |
3 -> nicht 3 | |
nicht 3 -> 3 | |
nicht 3 -> nicht 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: ; nicht 3: ;
Die relevanten Pfade sind:- '3'-'3' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Kombinatorik
Beispiel:
Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 19-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?
Für die erste Stelle ist jede(r/s) Schülerin möglich. Es gibt also 19 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 18 Möglichkeiten.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also 19 ⋅ 18 = 342 Möglichkeiten, die 19 Möglichkeiten (Schülerin) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2 ⋅ 1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.
Wir müssen deswegen die 342 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 171 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 19 Elementen (Schülerin) gebildet werden.
n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)
Beispiel:
Bei einer Lotterie werden aus einem Lostopf mit 52 durchnummerierten Kugeln immer 7 Gewinnerkugeln zufällig gezogen. Jeder Teilnehmer an der Lotterie tippt nun genau 7 Zahlen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man hierbei genau 4 der 7 Kugeln zufällig richtig tippt.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 7 der insgesamt 52 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 7 von 52 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten verwenden.
Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:







Es gibt verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 7 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 richtig getippten unter den 7 Gewinner-Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 7 Gewinner-Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 3 falsch getippten unter den 45 Nicht-Gewinner-Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "3 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 45 Nicht-Gewinner-Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf ⋅ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der richtig getippten mit jedem Fall der falsch getippten kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "7 Kugeln aus 52 Kugeln ziehen" ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P = = ≈ 0,0037 = 0,37%
nur verschiedene (mit Zurücklegen)
Beispiel:
Ein Glücksrad mit 8 gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 8 beschriftet sind, wird 6 mal gedreht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl zweimal als Ergebnis erscheint?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Anzahl der möglichen Fälle
Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 8 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 8 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 8⋅8⋅...⋅8 = 86 Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.
Anzahl der günstigen Fälle
Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 6 verschiedene Zahlen auftreten.








Es gibt
Bei jeder dieser
Insgesamt kommen wir so auf
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P =
Ohne Zurücklegen rückwärts
Beispiel:
In einem Behälter sind 9 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen, P =
Insgesamt sind also n + 9 Kugeln im Behälter.
Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit:
Wenn dann auch tatsächlich
"rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann:
Zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen kann ja aber auch erst blau und dann rot bedeuten. Die Wahrscheinlichkeit für diesem Fall wäre dann
Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen ist also
D=R\{
|
= |
|
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|⋅ 22 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
n1,2 =
n1,2 =
n1,2 =
n1 =
n2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Es waren also 3 oder 24 blaue Kugeln im Behälter.
2 Urnen
Beispiel:
In einem Kartenstapel A sind 3 Herz-Karten und 3 Kreuz-Karten. Im Kartenstapel B sind 5 Herz- und 5 Kreuz-Karten. Es wird eine Karte zufällig aus dem Stapel A gezogen und auf den Stapel B gelegt. Nach längerem Mischen werden dann die obersten beiden Karten vom Stapel B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden aus dem Stapel B gezogenen Karten Kreuz-Karten sind.
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:
1. Möglichkeit: 6 Herz und 5 Kreuz
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz
Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 =
2. Möglichkeit: 5 Herz und 6 Kreuz
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz
Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 =
Beide Möglichkeiten zusammen:
Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:
P = P1 + P2 =