Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{4}{14}$ ⋅ $\frac{3}{13}$ ⋅ $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{10}{11}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{10}{11}$
= $\frac{10}{1001}$

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{18}{37}$; "nicht rot": $\frac{19}{37}$;

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{18}{37}$; nicht rot: $\frac{19}{37}$;

• 'rot'-'rot' (P=$\frac{324}{1369}$)

$\frac{324}{1369}$ = $\frac{324}{1369}$

Für die Kategorie '8a' gibt es 30 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 27 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 30 ⋅ 27 = 810 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 24 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 30 ⋅ 27 ⋅ 24 = 19440 Möglichkeiten ergeben.

Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 37 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 13 der insgesamt 37 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 13 von 37 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $\left(\begin{array}{c}37\\ 13\end{array}\right)$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Es gibt $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 5 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 5 gezogenen blauen unter den 10 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "5 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 blauen Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Es gibt $\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 11 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen gelben unter den 11 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 11 gelben Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Es gibt $\left(\begin{array}{c}16\\ 4\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 16 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen grünen unter den 16 grünen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 16 grünen Kugeln ziehen", also $\left(\begin{array}{c}16\\ 4\end{array}\right)$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}16\\ 4\end{array}\right)$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben uns mit jedem Fall der gezogenen grünen kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "13 Kugeln aus 37 Kugeln ziehen" $\left(\begin{array}{c}37\\ 13\end{array}\right)$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>10</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>5</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\; \cdot \; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>11</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>4</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\; \cdot \; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>16</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>4</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>37</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>13</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 0,0425 = 4,25%

Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Zahlenschlossrad) 8 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 8 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Zahlenschlossrad) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 8⋅8⋅...⋅8 = 8⁴ Möglichkeiten für eine Zahlenschlosseinstellungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 4 verschiedene Zahlen auftreten.

Es gibt $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 8 Kästchen zu verteilen.

Bei jeder dieser $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 4! = 4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (4 Möglichkeiten für das erste Feld, 3 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$⋅4! = 1680 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; günstigen\; Fälle}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; möglichen\; Fälle}}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>(</mo>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>8</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mn>4</mn>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; <mo>)</mo>\; </mrow>\; </math>\cdot 4!}}{\mathrm{8\cdot 8\cdot 8\cdot 8}}$ = $\frac{\mathrm{1680}}{\mathrm{4096}}$ ≈ 0,4102 = 41,02%

Insgesamt sind also n + 7 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{7}{\mathrm{n\; +\; 7}}$

Wenn dann auch tatsächlich "rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{6}{\mathrm{n\; +\; 6}}$

Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen ist also $\frac{7}{n+7}·\frac{6}{n+6}$. Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{7}{15}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $-7$; $-6$}

Wir multiplizieren den Nenner $\left(n+7\right)·\left(n+6\right)$ weg!

$-n^2-13n+48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

n_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{{\left(-13\right)}^2-4·\left(-1\right)·48}}{2\cdot \left(-1\right)}$

n_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{169+192}}{-2}$

n_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{361}}{-2}$

n₁ = $\frac{13+\sqrt{361}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{32}{-2}$ = $-16$

n₂ = $\frac{13-\sqrt{361}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 3 blaue Kugeln im Behälter.

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 5 Herz und 6 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{5}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{6}{11}$⋅$\frac{5}{10}$ = $\frac{3}{11}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 = $\frac{3}{5}$⋅$\frac{3}{11}$ = $\frac{9}{55}$

2. Möglichkeit: 4 Herz und 7 Kreuz

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{2}{5}$.

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) = $\frac{7}{11}$⋅$\frac{6}{10}$ = $\frac{21}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 = $\frac{2}{5}$⋅$\frac{21}{55}$ = $\frac{42}{275}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{9}{55}$ + $\frac{42}{275}$ = $\frac{87}{275}$.