Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X\le 3)$ = $P_{0.23}^6(X=0)$ + $P_{0.23}^6(X=1)$ + $P_{0.23}^6(X=2)$ + $P_{0.23}^6(X=3)$ = 0.97199071431 ≈ 0.972
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.23,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.23}^4\cdot {0.77}^2$=0.024887659335≈ 0.0249
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.23}^5\cdot {0.77}^1$=0.002973590466≈ 0.003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.23}^6\cdot {0.77}^0$=0.000148035889≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	10	400	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-16	-6	384	984
P(X=xi)	0.972	0.0249	0.003	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,249}$	$\mathrm{1,2}$	$\mathrm{0,1}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{15,552}$	$-\mathrm{0,1494}$	$\mathrm{1,152}$	$\mathrm{0,0984}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.972 + 10⋅0.0249 + 400⋅0.003 + 1000⋅0.0001

≈ 1.55

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.55 - 16 = -14.45 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -16⋅0.972 + -6⋅0.0249 + 384⋅0.003 + 984⋅0.0001

≈ -14.45

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ = $\frac{27}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ = $\frac{27}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{21}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	2	4	16
P(X=xi)	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{27}{110}$	$\frac{108}{55}$	$\frac{336}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{220}$ + 2⋅$\frac{27}{220}$ + 4⋅$\frac{27}{55}$ + 16⋅$\frac{21}{55}$

= $0$$+$ $\frac{27}{110}$$+$ $\frac{108}{55}$$+$ $\frac{336}{55}$
= $\frac{0}{110}$$+$ $\frac{27}{110}$$+$ $\frac{216}{110}$$+$ $\frac{672}{110}$
= $\frac{915}{110}$
= $\frac{183}{22}$

≈ 8.32