Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X\le 3)$ = $P_{0.35}^6(X=0)$ + $P_{0.35}^6(X=1)$ + $P_{0.35}^6(X=2)$ + $P_{0.35}^6(X=3)$ = 0.88257609375 ≈ 0.8826
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.35,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.35}^4\cdot {0.65}^2$=0.095102109375≈ 0.0951
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.35}^5\cdot {0.65}^1$=0.02048353125≈ 0.0205
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.35}^6\cdot {0.65}^0$=0.001838265625≈ 0.0018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	40	500	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-10	30	490	1990
P(X=xi)	0.8826	0.0951	0.0205	0.0018
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{3,804}$	$\mathrm{10,25}$	$\mathrm{3,6}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{8,826}$	$\mathrm{2,853}$	$\mathrm{10,045}$	$\mathrm{3,582}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8826 + 40⋅0.0951 + 500⋅0.0205 + 2000⋅0.0018

≈ 17.65

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=17.65 - 10 = 7.65 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.8826 + 30⋅0.0951 + 490⋅0.0205 + 1990⋅0.0018

≈ 7.65

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{7}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{28}{435}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{3}{29}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{2}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{8}{87}$ + $\frac{8}{87}$ = $\frac{16}{87}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	400	160	80	40
P(X=xi)	$\frac{7}{145}$	$\frac{28}{435}$	$\frac{3}{29}$	$\frac{2}{87}$	$\frac{16}{87}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{1400}{29}$	$\frac{2240}{87}$	$\frac{480}{29}$	$\frac{160}{87}$	$\frac{640}{87}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{7}{145}$ + 400⋅$\frac{28}{435}$ + 160⋅$\frac{3}{29}$ + 80⋅$\frac{2}{87}$ + 40⋅$\frac{16}{87}$

= $\frac{1400}{29}$$+$ $\frac{2240}{87}$$+$ $\frac{480}{29}$$+$ $\frac{160}{87}$$+$ $\frac{640}{87}$
= $\frac{4200}{87}$$+$ $\frac{2240}{87}$$+$ $\frac{1440}{87}$$+$ $\frac{160}{87}$$+$ $\frac{640}{87}$
= $\frac{8680}{87}$

≈ 99.77