Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X\le 3)$ = $P_{0.25}^6(X=0)$ + $P_{0.25}^6(X=1)$ + $P_{0.25}^6(X=2)$ + $P_{0.25}^6(X=3)$ = 0.96240234375 ≈ 0.9624
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.25}^4\cdot {0.75}^2$=0.032958984375≈ 0.033
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.25}^5\cdot {0.75}^1$=0.00439453125≈ 0.0044
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.25}^6\cdot {0.75}^0$=0.000244140625≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	40	200	5000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-13	27	187	4987
P(X=xi)	0.9624	0.033	0.0044	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,32}$	$\mathrm{0,88}$	$1$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{12,5112}$	$\mathrm{0,891}$	$\mathrm{0,8228}$	$\mathrm{0,9974}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9624 + 40⋅0.033 + 200⋅0.0044 + 5000⋅0.0002

≈ 3.2

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=3.2 - 13 = -9.8 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -13⋅0.9624 + 27⋅0.033 + 187⋅0.0044 + 4987⋅0.0002

≈ -9.8

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{17}$ + $\frac{1}{17}$ + $\frac{1}{17}$ = $\frac{3}{17}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ = $\frac{33}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{34}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{1}{68}$	$\frac{3}{17}$	$\frac{33}{68}$	$\frac{11}{34}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{3}{17}$	$\frac{33}{34}$	$\frac{33}{34}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{68}$ + 1⋅$\frac{3}{17}$ + 2⋅$\frac{33}{68}$ + 3⋅$\frac{11}{34}$

= $0$$+$ $\frac{3}{17}$$+$ $\frac{33}{34}$$+$ $\frac{33}{34}$
= $\frac{0}{34}$$+$ $\frac{6}{34}$$+$ $\frac{33}{34}$$+$ $\frac{33}{34}$
= $\frac{72}{34}$
= $\frac{36}{17}$

≈ 2.12