Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X\le 3)$ = $P_{0.25}^6(X=0)$ + $P_{0.25}^6(X=1)$ + $P_{0.25}^6(X=2)$ + $P_{0.25}^6(X=3)$ = 0.96240234375 ≈ 0.9624
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.25}^4\cdot {0.75}^2$=0.032958984375≈ 0.033
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.25}^5\cdot {0.75}^1$=0.00439453125≈ 0.0044
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.25}^6\cdot {0.75}^0$=0.000244140625≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	400	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-20	30	380	980
P(X=xi)	0.9624	0.033	0.0044	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,65}$	$\mathrm{1,76}$	$\mathrm{0,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{19,248}$	$\mathrm{0,99}$	$\mathrm{1,672}$	$\mathrm{0,196}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9624 + 50⋅0.033 + 400⋅0.0044 + 1000⋅0.0002

≈ 3.61

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=3.61 - 20 = -16.39 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -20⋅0.9624 + 30⋅0.033 + 380⋅0.0044 + 980⋅0.0002

≈ -16.39

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{468}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{156}$ + $\frac{7}{156}$ + $\frac{7}{156}$ = $\frac{7}{52}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{35}{234}$ + $\frac{35}{234}$ + $\frac{35}{234}$ = $\frac{35}{78}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{95}{234}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{5}{468}$	$\frac{7}{52}$	$\frac{35}{78}$	$\frac{95}{234}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{7}{52}$	$\frac{35}{39}$	$\frac{95}{78}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{5}{468}$ + 1⋅$\frac{7}{52}$ + 2⋅$\frac{35}{78}$ + 3⋅$\frac{95}{234}$

= $0$$+$ $\frac{7}{52}$$+$ $\frac{35}{39}$$+$ $\frac{95}{78}$
= $\frac{0}{156}$$+$ $\frac{21}{156}$$+$ $\frac{140}{156}$$+$ $\frac{190}{156}$
= $\frac{351}{156}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25