Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

$P_{0.32}^6(X\le 3)$ = $P_{0.32}^6(X=0)$ + $P_{0.32}^6(X=1)$ + $P_{0.32}^6(X=2)$ + $P_{0.32}^6(X=3)$ = 0.91250681856 ≈ 0.9125
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.32,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

$P_{0.32}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.32}^4\cdot {0.68}^2$=0.07272923136≈ 0.0727
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

$P_{0.32}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.32}^5\cdot {0.68}^1$=0.013690208256≈ 0.0137
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

$P_{0.32}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.32}^6\cdot {0.68}^0$=0.001073741824≈ 0.0011
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	500	4000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-13	17	487	3987
P(X=xi)	0.9125	0.0727	0.0137	0.0011
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{2,181}$	$\mathrm{6,85}$	$\mathrm{4,4}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{11,8625}$	$\mathrm{1,2359}$	$\mathrm{6,6719}$	$\mathrm{4,3857}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9125 + 30⋅0.0727 + 500⋅0.0137 + 4000⋅0.0011

≈ 13.43

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=13.43 - 13 = 0.43 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -13⋅0.9125 + 17⋅0.0727 + 487⋅0.0137 + 3987⋅0.0011

≈ 0.43

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{45}{1012}$ + $\frac{45}{1012}$ + $\frac{45}{1012}$ = $\frac{135}{1012}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{153}{1012}$ + $\frac{153}{1012}$ + $\frac{153}{1012}$ = $\frac{459}{1012}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{102}{253}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{5}{506}$	$\frac{135}{1012}$	$\frac{459}{1012}$	$\frac{102}{253}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{135}{1012}$	$\frac{459}{506}$	$\frac{306}{253}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{5}{506}$ + 1⋅$\frac{135}{1012}$ + 2⋅$\frac{459}{1012}$ + 3⋅$\frac{102}{253}$

= $0$$+$ $\frac{135}{1012}$$+$ $\frac{459}{506}$$+$ $\frac{306}{253}$
= $\frac{0}{1012}$$+$ $\frac{135}{1012}$$+$ $\frac{918}{1012}$$+$ $\frac{1224}{1012}$
= $\frac{2277}{1012}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25