Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X\le 3)$ = $P_{0.25}^6(X=0)$ + $P_{0.25}^6(X=1)$ + $P_{0.25}^6(X=2)$ + $P_{0.25}^6(X=3)$ = 0.96240234375 ≈ 0.9624
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.25}^4\cdot {0.75}^2$=0.032958984375≈ 0.033
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.25}^5\cdot {0.75}^1$=0.00439453125≈ 0.0044
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.25}^6\cdot {0.75}^0$=0.000244140625≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	100	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-17	13	83	983
P(X=xi)	0.9624	0.033	0.0044	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,99}$	$\mathrm{0,44}$	$\mathrm{0,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{16,3608}$	$\mathrm{0,429}$	$\mathrm{0,3652}$	$\mathrm{0,1966}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9624 + 30⋅0.033 + 100⋅0.0044 + 1000⋅0.0002

≈ 1.63

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.63 - 17 = -15.37 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -17⋅0.9624 + 13⋅0.033 + 83⋅0.0044 + 983⋅0.0002

≈ -15.37

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ = $\frac{9}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{140}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	10	20	30
P(X=xi)	$\frac{11}{28}$	$\frac{33}{70}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{1}{140}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{33}{7}$	$\frac{18}{7}$	$\frac{3}{14}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{11}{28}$ + 10⋅$\frac{33}{70}$ + 20⋅$\frac{9}{70}$ + 30⋅$\frac{1}{140}$

= $0$$+$ $\frac{33}{7}$$+$ $\frac{18}{7}$$+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{0}{14}$$+$ $\frac{66}{14}$$+$ $\frac{36}{14}$$+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{105}{14}$
= $\frac{15}{2}$

≈ 7.5