Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X\le 3)$ = $P_{0.23}^6(X=0)$ + $P_{0.23}^6(X=1)$ + $P_{0.23}^6(X=2)$ + $P_{0.23}^6(X=3)$ = 0.97199071431 ≈ 0.972
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.23,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.23}^4\cdot {0.77}^2$=0.024887659335≈ 0.0249
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.23}^5\cdot {0.77}^1$=0.002973590466≈ 0.003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.23}^6\cdot {0.77}^0$=0.000148035889≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	40	100	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-15	25	85	985
P(X=xi)	0.972	0.0249	0.003	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,996}$	$\mathrm{0,3}$	$\mathrm{0,1}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{14,58}$	$\mathrm{0,6225}$	$\mathrm{0,255}$	$\mathrm{0,0985}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.972 + 40⋅0.0249 + 100⋅0.003 + 1000⋅0.0001

≈ 1.4

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.4 - 15 = -13.6 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -15⋅0.972 + 25⋅0.0249 + 85⋅0.003 + 985⋅0.0001

≈ -13.6

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{2}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{2}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{1}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{2}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{2}{35}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{4}{35}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	300	220	90	15
P(X=xi)	$\frac{2}{35}$	$\frac{2}{35}$	$\frac{1}{35}$	$\frac{2}{35}$	$\frac{4}{35}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{400}{7}$	$\frac{120}{7}$	$\frac{44}{7}$	$\frac{36}{7}$	$\frac{12}{7}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{2}{35}$ + 300⋅$\frac{2}{35}$ + 220⋅$\frac{1}{35}$ + 90⋅$\frac{2}{35}$ + 15⋅$\frac{4}{35}$

= $\frac{400}{7}$$+$ $\frac{120}{7}$$+$ $\frac{44}{7}$$+$ $\frac{36}{7}$$+$ $\frac{12}{7}$
= $\frac{612}{7}$

≈ 87.43