Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X\le 3)$ = $P_{0.28}^6(X=0)$ + $P_{0.28}^6(X=1)$ + $P_{0.28}^6(X=2)$ + $P_{0.28}^6(X=3)$ = 0.94428758016 ≈ 0.9443
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.28,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.28}^4\cdot {0.72}^2$=0.04779565056≈ 0.0478
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.28}^5\cdot {0.72}^1$=0.007434878976≈ 0.0074
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.28}^6\cdot {0.72}^0$=0.000481890304≈ 0.0005
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	200	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-15	5	185	985
P(X=xi)	0.9443	0.0478	0.0074	0.0005
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,956}$	$\mathrm{1,48}$	$\mathrm{0,5}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{14,1645}$	$\mathrm{0,239}$	$\mathrm{1,369}$	$\mathrm{0,4925}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9443 + 20⋅0.0478 + 200⋅0.0074 + 1000⋅0.0005

≈ 2.94

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.94 - 15 = -12.06 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -15⋅0.9443 + 5⋅0.0478 + 185⋅0.0074 + 985⋅0.0005

≈ -12.06

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{1}{14}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{3}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{3}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{14}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	10	20	30
P(X=xi)	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{30}{7}$	$\frac{60}{7}$	$\frac{15}{7}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{14}$ + 10⋅$\frac{3}{7}$ + 20⋅$\frac{3}{7}$ + 30⋅$\frac{1}{14}$

= $0$$+$ $\frac{30}{7}$$+$ $\frac{60}{7}$$+$ $\frac{15}{7}$
= $\frac{0}{7}$$+$ $\frac{30}{7}$$+$ $\frac{60}{7}$$+$ $\frac{15}{7}$
= $\frac{105}{7}$
= $15$