Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X\le 3)$ = $P_{0.21}^6(X=0)$ + $P_{0.21}^6(X=1)$ + $P_{0.21}^6(X=2)$ + $P_{0.21}^6(X=3)$ = 0.97977203119 ≈ 0.9798
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.21,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.21}^4\cdot {0.79}^2$=0.018206338815≈ 0.0182
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.21}^5\cdot {0.79}^1$=0.001935863874≈ 0.0019
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.21}^6\cdot {0.79}^0$=8.5766121E-5≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	200	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-20	30	180	980
P(X=xi)	0.9798	0.0182	0.0019	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,91}$	$\mathrm{0,38}$	$\mathrm{0,1}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{19,596}$	$\mathrm{0,546}$	$\mathrm{0,342}$	$\mathrm{0,098}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9798 + 50⋅0.0182 + 200⋅0.0019 + 1000⋅0.0001

≈ 1.39

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.39 - 20 = -18.61 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -20⋅0.9798 + 30⋅0.0182 + 180⋅0.0019 + 980⋅0.0001

≈ -18.61

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ = $\frac{9}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ = $\frac{21}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{13}{44}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{1}{44}$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{44}$	$\frac{13}{44}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{22}$	$\frac{39}{44}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{44}$ + 1⋅$\frac{9}{44}$ + 2⋅$\frac{21}{44}$ + 3⋅$\frac{13}{44}$

= $0$$+$ $\frac{9}{44}$$+$ $\frac{21}{22}$$+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{0}{44}$$+$ $\frac{9}{44}$$+$ $\frac{42}{44}$$+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{90}{44}$
= $\frac{45}{22}$

≈ 2.05