Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.16.

$P_{0.16}^5(X\le 1)$ = $P_{0.16}^5(X=0)$ + $P_{0.16}^5(X=1)$ = 0.8165090304 ≈ 0.8165
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.16,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.16.

$P_{0.16}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.16}^2\cdot {0.84}^3$=0.151732224≈ 0.1517
(TI-Befehl: binompdf(5,0.16,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.16.

$P_{0.16}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.16}^3\cdot {0.84}^2$=0.028901376≈ 0.0289
(TI-Befehl: binompdf(5,0.16,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.16.

$P_{0.16}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.16}^4\cdot {0.84}^1$=0.002752512≈ 0.0028
(TI-Befehl: binompdf(5,0.16,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.16.

$P_{0.16}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.16}^5\cdot {0.84}^0$=0.0001048576≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.16,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-6	-2	3	10	19
P(X=xi)	0.8165	0.1517	0.0289	0.0028	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,6068}$	$\mathrm{0,2601}$	$\mathrm{0,0448}$	$\mathrm{0,0025}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{4,899}$	$-\mathrm{0,3034}$	$\mathrm{0,0867}$	$\mathrm{0,028}$	$\mathrm{0,0019}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8165 + 4⋅0.1517 + 9⋅0.0289 + 16⋅0.0028 + 25⋅0.0001

≈ 0.91

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=0.91 - 6 = -5.09 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.8165 + -2⋅0.1517 + 3⋅0.0289 + 10⋅0.0028 + 19⋅0.0001

≈ -5.09

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{10}{273}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{15}{182}$ + $\frac{15}{182}$ + $\frac{15}{182}$ = $\frac{45}{182}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{85}{546}$ + $\frac{85}{546}$ + $\frac{85}{546}$ = $\frac{85}{182}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{68}{273}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{10}{273}$	$\frac{45}{182}$	$\frac{85}{182}$	$\frac{68}{273}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{45}{182}$	$\frac{85}{91}$	$\frac{68}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{10}{273}$ + 1⋅$\frac{45}{182}$ + 2⋅$\frac{85}{182}$ + 3⋅$\frac{68}{273}$

= $0$$+$ $\frac{45}{182}$$+$ $\frac{85}{91}$$+$ $\frac{68}{91}$
= $\frac{0}{182}$$+$ $\frac{45}{182}$$+$ $\frac{170}{182}$$+$ $\frac{136}{182}$
= $\frac{351}{182}$
= $\frac{27}{14}$

≈ 1.93