Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte
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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Es werden drei Würfel geworfen. Wieviel Sechser muss man erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.5787037037037≈ 0.5787(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))
Trefferzahl: 1
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.34722222222222≈ 0.3472(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))
Trefferzahl: 2
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.069444444444444≈ 0.0694(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))
Trefferzahl: 3
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.0046296296296296≈ 0.0046(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
P(X=xi) | 0.5787 | 0.3472 | 0.0694 | 0.0046 |
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.5787 + 1⋅0.3472 + 2⋅0.0694 + 3⋅0.0046
≈ 0.5
Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
Blume -> Blume | |
Blume -> Raute | |
Blume -> Stein | |
Blume -> Krone | |
Raute -> Blume | |
Raute -> Raute | |
Raute -> Stein | |
Raute -> Krone | |
Stein -> Blume | |
Stein -> Raute | |
Stein -> Stein | |
Stein -> Krone | |
Krone -> Blume | |
Krone -> Raute | |
Krone -> Stein | |
Krone -> Krone |
Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:
P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= + + =
Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:
P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= + + + + + =
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:
P('Krone'-'Krone')
=
Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 2 gleiche | 1 Krone | 2 Kronen |
Zufallsgröße xi | 5 | 10 | 40 |
P(X=xi) | |||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 5⋅ + 10⋅ + 40⋅
=
=
=
≈ 4.14