Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X\le 3)$ = $P_{0.22}^6(X=0)$ + $P_{0.22}^6(X=1)$ + $P_{0.22}^6(X=2)$ + $P_{0.22}^6(X=3)$ = 0.97609651776 ≈ 0.9761
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.22,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.22}^4\cdot {0.78}^2$=0.02137820256≈ 0.0214
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.22}^5\cdot {0.78}^1$=0.002411899776≈ 0.0024
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.22}^6\cdot {0.78}^0$=0.000113379904≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	200	5000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	23	193	4993
P(X=xi)	0.9761	0.0214	0.0024	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,642}$	$\mathrm{0,48}$	$\mathrm{0,5}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{6,8327}$	$\mathrm{0,4922}$	$\mathrm{0,4632}$	$\mathrm{0,4993}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9761 + 30⋅0.0214 + 200⋅0.0024 + 5000⋅0.0001

≈ 1.62

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.62 - 7 = -5.38 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.9761 + 23⋅0.0214 + 193⋅0.0024 + 4993⋅0.0001

≈ -5.38

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ = $\frac{28}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ = $\frac{12}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	10	20	30
P(X=xi)	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{56}{11}$	$\frac{48}{11}$	$\frac{6}{11}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{14}{55}$ + 10⋅$\frac{28}{55}$ + 20⋅$\frac{12}{55}$ + 30⋅$\frac{1}{55}$

= $0$$+$ $\frac{56}{11}$$+$ $\frac{48}{11}$$+$ $\frac{6}{11}$
= $\frac{0}{11}$$+$ $\frac{56}{11}$$+$ $\frac{48}{11}$$+$ $\frac{6}{11}$
= $\frac{110}{11}$
= $10$