Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X\le 3)$ = $P_{0.27}^6(X=0)$ + $P_{0.27}^6(X=1)$ + $P_{0.27}^6(X=2)$ + $P_{0.27}^6(X=3)$ = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.27}^4\cdot {0.73}^2$=0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.27}^5\cdot {0.73}^1$=0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.27}^6\cdot {0.73}^0$=0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	10	400	3000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-15	-5	385	2985
P(X=xi)	0.9508	0.0425	0.0063	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,425}$	$\mathrm{2,52}$	$\mathrm{1,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{14,262}$	$-\mathrm{0,2125}$	$\mathrm{2,4255}$	$\mathrm{1,194}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 10⋅0.0425 + 400⋅0.0063 + 3000⋅0.0004

≈ 4.15

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.15 - 15 = -10.85 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -15⋅0.9508 + -5⋅0.0425 + 385⋅0.0063 + 2985⋅0.0004

≈ -10.86

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ = $\frac{20}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{24}{91}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	4	16	256
P(X=xi)	$\frac{2}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{24}{91}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{80}{91}$	$\frac{720}{91}$	$\frac{6144}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{2}{91}$ + 4⋅$\frac{20}{91}$ + 16⋅$\frac{45}{91}$ + 256⋅$\frac{24}{91}$

= $0$$+$ $\frac{80}{91}$$+$ $\frac{720}{91}$$+$ $\frac{6144}{91}$
= $\frac{0}{91}$$+$ $\frac{80}{91}$$+$ $\frac{720}{91}$$+$ $\frac{6144}{91}$
= $\frac{6944}{91}$
= $\frac{992}{13}$

≈ 76.31