Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.26.

$P_{0.26}^5(X\le 1)$ = $P_{0.26}^5(X=0)$ + $P_{0.26}^5(X=1)$ = 0.6117261504 ≈ 0.6117
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.26,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.26.

$P_{0.26}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.26}^2\cdot {0.74}^3$=0.273931424≈ 0.2739
(TI-Befehl: binompdf(5,0.26,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.26.

$P_{0.26}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.26}^3\cdot {0.74}^2$=0.096246176≈ 0.0962
(TI-Befehl: binompdf(5,0.26,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.26.

$P_{0.26}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.26}^4\cdot {0.74}^1$=0.016908112≈ 0.0169
(TI-Befehl: binompdf(5,0.26,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.26.

$P_{0.26}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.26}^5\cdot {0.74}^0$=0.0011881376≈ 0.0012
(TI-Befehl: binompdf(5,0.26,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-6	-2	3	10	19
P(X=xi)	0.6117	0.2739	0.0962	0.0169	0.0012
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,0956}$	$\mathrm{0,8658}$	$\mathrm{0,2704}$	$\mathrm{0,03}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{3,6702}$	$-\mathrm{0,5478}$	$\mathrm{0,2886}$	$\mathrm{0,169}$	$\mathrm{0,0228}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6117 + 4⋅0.2739 + 9⋅0.0962 + 16⋅0.0169 + 25⋅0.0012

≈ 2.26

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.26 - 6 = -3.74 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.6117 + -2⋅0.2739 + 3⋅0.0962 + 10⋅0.0169 + 19⋅0.0012

≈ -3.74

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{24}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{63}{899}$ + $\frac{63}{899}$ + $\frac{63}{899}$ = $\frac{189}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{140}{899}$ + $\frac{140}{899}$ + $\frac{140}{899}$ = $\frac{420}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{266}{899}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{24}{899}$	$\frac{189}{899}$	$\frac{420}{899}$	$\frac{266}{899}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{189}{899}$	$\frac{840}{899}$	$\frac{798}{899}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{24}{899}$ + 1⋅$\frac{189}{899}$ + 2⋅$\frac{420}{899}$ + 3⋅$\frac{266}{899}$

= $0$$+$ $\frac{189}{899}$$+$ $\frac{840}{899}$$+$ $\frac{798}{899}$
= $\frac{0}{899}$$+$ $\frac{189}{899}$$+$ $\frac{840}{899}$$+$ $\frac{798}{899}$
= $\frac{1827}{899}$
= $\frac{63}{31}$

≈ 2.03