Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X\le 3)$ = $P_{0.22}^6(X=0)$ + $P_{0.22}^6(X=1)$ + $P_{0.22}^6(X=2)$ + $P_{0.22}^6(X=3)$ = 0.97609651776 ≈ 0.9761
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.22,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.22}^4\cdot {0.78}^2$=0.02137820256≈ 0.0214
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.22}^5\cdot {0.78}^1$=0.002411899776≈ 0.0024
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.22}^6\cdot {0.78}^0$=0.000113379904≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	400	3000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-15	35	385	2985
P(X=xi)	0.9761	0.0214	0.0024	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,07}$	$\mathrm{0,96}$	$\mathrm{0,3}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{14,6415}$	$\mathrm{0,749}$	$\mathrm{0,924}$	$\mathrm{0,2985}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9761 + 50⋅0.0214 + 400⋅0.0024 + 3000⋅0.0001

≈ 2.33

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.33 - 15 = -12.67 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -15⋅0.9761 + 35⋅0.0214 + 385⋅0.0024 + 2985⋅0.0001

≈ -12.67

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{11}{14}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{33}{182}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{11}{364}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{364}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße xi	1	2	3	4
P(X=xi)	$\frac{11}{14}$	$\frac{33}{182}$	$\frac{11}{364}$	$\frac{1}{364}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{11}{14}$	$\frac{33}{91}$	$\frac{33}{364}$	$\frac{1}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{11}{14}$ + 2⋅$\frac{33}{182}$ + 3⋅$\frac{11}{364}$ + 4⋅$\frac{1}{364}$

= $\frac{11}{14}$$+$ $\frac{33}{91}$$+$ $\frac{33}{364}$$+$ $\frac{1}{91}$
= $\frac{286}{364}$$+$ $\frac{132}{364}$$+$ $\frac{33}{364}$$+$ $\frac{4}{364}$
= $\frac{455}{364}$
= $\frac{5}{4}$

≈ 1.25