Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X\le 3)$ = $P_{0.33}^6(X=0)$ + $P_{0.33}^6(X=1)$ + $P_{0.33}^6(X=2)$ + $P_{0.33}^6(X=3)$ = 0.90312211351 ≈ 0.9031
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.33,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.33}^4\cdot {0.67}^2$=0.079853990535≈ 0.0799
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.33}^5\cdot {0.67}^1$=0.015732427986≈ 0.0157
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.33}^6\cdot {0.67}^0$=0.001291467969≈ 0.0013
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	500	4000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-6	14	494	3994
P(X=xi)	0.9031	0.0799	0.0157	0.0013
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,598}$	$\mathrm{7,85}$	$\mathrm{5,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{5,4186}$	$\mathrm{1,1186}$	$\mathrm{7,7558}$	$\mathrm{5,1922}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9031 + 20⋅0.0799 + 500⋅0.0157 + 4000⋅0.0013

≈ 14.65

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=14.65 - 6 = 8.65 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.9031 + 14⋅0.0799 + 494⋅0.0157 + 3994⋅0.0013

≈ 8.65

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{91}{204}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{91}{612}$ + $\frac{91}{612}$ + $\frac{91}{612}$ = $\frac{91}{204}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{7}{204}$ + $\frac{7}{204}$ + $\frac{7}{204}$ = $\frac{7}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{204}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	10	20	30
P(X=xi)	$\frac{91}{204}$	$\frac{91}{204}$	$\frac{7}{68}$	$\frac{1}{204}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{455}{102}$	$\frac{35}{17}$	$\frac{5}{34}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{91}{204}$ + 10⋅$\frac{91}{204}$ + 20⋅$\frac{7}{68}$ + 30⋅$\frac{1}{204}$

= $0$$+$ $\frac{455}{102}$$+$ $\frac{35}{17}$$+$ $\frac{5}{34}$
= $\frac{0}{102}$$+$ $\frac{455}{102}$$+$ $\frac{210}{102}$$+$ $\frac{15}{102}$
= $\frac{680}{102}$
= $\frac{20}{3}$

≈ 6.67