Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X\le 3)$ = $P_{0.27}^6(X=0)$ + $P_{0.27}^6(X=1)$ + $P_{0.27}^6(X=2)$ + $P_{0.27}^6(X=3)$ = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.27}^4\cdot {0.73}^2$=0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.27}^5\cdot {0.73}^1$=0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.27}^6\cdot {0.73}^0$=0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	400	3000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-5	25	395	2995
P(X=xi)	0.9508	0.0425	0.0063	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,275}$	$\mathrm{2,52}$	$\mathrm{1,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{4,754}$	$\mathrm{1,0625}$	$\mathrm{2,4885}$	$\mathrm{1,198}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 30⋅0.0425 + 400⋅0.0063 + 3000⋅0.0004

≈ 5

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=5 - 5 = 0 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.9508 + 25⋅0.0425 + 395⋅0.0063 + 2995⋅0.0004

≈ -0

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{9}{124}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{45}{496}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{45}{496}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{3}{496}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{25}{248}$ + $\frac{25}{248}$ = $\frac{25}{124}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	500	450	180	70	25
P(X=xi)	$\frac{9}{124}$	$\frac{45}{496}$	$\frac{45}{496}$	$\frac{3}{496}$	$\frac{25}{124}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{1125}{31}$	$\frac{10125}{248}$	$\frac{2025}{124}$	$\frac{105}{248}$	$\frac{625}{124}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅$\frac{9}{124}$ + 450⋅$\frac{45}{496}$ + 180⋅$\frac{45}{496}$ + 70⋅$\frac{3}{496}$ + 25⋅$\frac{25}{124}$

= $\frac{1125}{31}$$+$ $\frac{10125}{248}$$+$ $\frac{2025}{124}$$+$ $\frac{105}{248}$$+$ $\frac{625}{124}$
= $\frac{9000}{248}$$+$ $\frac{10125}{248}$$+$ $\frac{4050}{248}$$+$ $\frac{105}{248}$$+$ $\frac{1250}{248}$
= $\frac{24530}{248}$
= $\frac{12265}{124}$

≈ 98.91