Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.31.

$P_{0.31}^6(X\le 3)$ = $P_{0.31}^6(X=0)$ + $P_{0.31}^6(X=1)$ + $P_{0.31}^6(X=2)$ + $P_{0.31}^6(X=3)$ = 0.92130677559 ≈ 0.9213
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.31,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.31.

$P_{0.31}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.31}^4\cdot {0.69}^2$=0.065953252215≈ 0.066
(TI-Befehl: binompdf(6,0.31,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.31.

$P_{0.31}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.31}^5\cdot {0.69}^1$=0.011852468514≈ 0.0119
(TI-Befehl: binompdf(6,0.31,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.31.

$P_{0.31}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.31}^6\cdot {0.69}^0$=0.000887503681≈ 0.0009
(TI-Befehl: binompdf(6,0.31,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	200	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-15	5	185	985
P(X=xi)	0.9213	0.066	0.0119	0.0009
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,32}$	$\mathrm{2,38}$	$\mathrm{0,9}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{13,8195}$	$\mathrm{0,33}$	$\mathrm{2,2015}$	$\mathrm{0,8865}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9213 + 20⋅0.066 + 200⋅0.0119 + 1000⋅0.0009

≈ 4.6

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.6 - 15 = -10.4 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -15⋅0.9213 + 5⋅0.066 + 185⋅0.0119 + 985⋅0.0009

≈ -10.4

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ = $\frac{20}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{24}{91}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	2	4	16
P(X=xi)	$\frac{2}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{24}{91}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{40}{91}$	$\frac{180}{91}$	$\frac{384}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{2}{91}$ + 2⋅$\frac{20}{91}$ + 4⋅$\frac{45}{91}$ + 16⋅$\frac{24}{91}$

= $0$$+$ $\frac{40}{91}$$+$ $\frac{180}{91}$$+$ $\frac{384}{91}$
= $\frac{0}{91}$$+$ $\frac{40}{91}$$+$ $\frac{180}{91}$$+$ $\frac{384}{91}$
= $\frac{604}{91}$

≈ 6.64