Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 125€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 20€, bei einer Sechs 2€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=0) = ( 3 0 ) ( 1 6 )0 ( 5 6 )3 =0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=1) = ( 3 1 ) ( 1 6 )1 ( 5 6 )2 =0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=2) = ( 3 2 ) ( 1 6 )2 ( 5 6 )1 =0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=3) = ( 3 3 ) ( 1 6 )3 ( 5 6 )0 =0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 2 20 125
P(X=xi) 0.5787 0.3472 0.0694 0.0046
xi ⋅ P(X=xi) 0 0,6944 1,388 0,575

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 2⋅0.3472 + 20⋅0.0694 + 125⋅0.0046

2.66

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 8 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 65 253
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 40 253
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 40 253
Mädchen -> Jungs -> Jungs 20 253
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 40 253
Jungs -> Mädchen -> Jungs 20 253
Jungs -> Jungs -> Mädchen 20 253
Jungs -> Jungs -> Jungs 8 253

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: 8 253

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: 20 253 + 20 253 + 20 253 = 60 253

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: 40 253 + 40 253 + 40 253 = 120 253

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: 65 253

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 1 2 3
P(X=xi) 8 253 60 253 120 253 65 253
xi ⋅ P(X=xi) 0 60 253 240 253 195 253

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 8 253 + 1⋅ 60 253 + 2⋅ 120 253 + 3⋅ 65 253

= 0+ 60 253 + 240 253 + 195 253
= 0 253 + 60 253 + 240 253 + 195 253
= 495 253
= 45 23

1.96