Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.27.

$P_{0.27}^5(X\le 1)$ = $P_{0.27}^5(X=0)$ + $P_{0.27}^5(X=1)$ = 0.5906834128 ≈ 0.5907
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.27,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.27.

$P_{0.27}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.27}^2\cdot {0.73}^3$=0.283593393≈ 0.2836
(TI-Befehl: binompdf(5,0.27,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.27.

$P_{0.27}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.27}^3\cdot {0.73}^2$=0.104890707≈ 0.1049
(TI-Befehl: binompdf(5,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.27.

$P_{0.27}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.27}^4\cdot {0.73}^1$=0.0193975965≈ 0.0194
(TI-Befehl: binompdf(5,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.27.

$P_{0.27}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.27}^5\cdot {0.73}^0$=0.0014348907≈ 0.0014
(TI-Befehl: binompdf(5,0.27,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-5	-1	4	11	20
P(X=xi)	0.5907	0.2836	0.1049	0.0194	0.0014
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,1344}$	$\mathrm{0,9441}$	$\mathrm{0,3104}$	$\mathrm{0,035}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{2,9535}$	$-\mathrm{0,2836}$	$\mathrm{0,4196}$	$\mathrm{0,2134}$	$\mathrm{0,028}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5907 + 4⋅0.2836 + 9⋅0.1049 + 16⋅0.0194 + 25⋅0.0014

≈ 2.42

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.42 - 5 = -2.58 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.5907 + -1⋅0.2836 + 4⋅0.1049 + 11⋅0.0194 + 20⋅0.0014

≈ -2.58

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{12}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{2}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{12}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{7}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{3}{58}$ + $\frac{3}{58}$ = $\frac{3}{29}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	300	140	80	30
P(X=xi)	$\frac{12}{145}$	$\frac{2}{87}$	$\frac{12}{145}$	$\frac{7}{145}$	$\frac{3}{29}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{2400}{29}$	$\frac{200}{29}$	$\frac{336}{29}$	$\frac{112}{29}$	$\frac{90}{29}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{12}{145}$ + 300⋅$\frac{2}{87}$ + 140⋅$\frac{12}{145}$ + 80⋅$\frac{7}{145}$ + 30⋅$\frac{3}{29}$

= $\frac{2400}{29}$$+$ $\frac{200}{29}$$+$ $\frac{336}{29}$$+$ $\frac{112}{29}$$+$ $\frac{90}{29}$
= $\frac{3138}{29}$

≈ 108.21