Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X\le 3)$ = $P_{0.23}^6(X=0)$ + $P_{0.23}^6(X=1)$ + $P_{0.23}^6(X=2)$ + $P_{0.23}^6(X=3)$ = 0.97199071431 ≈ 0.972
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.23,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.23}^4\cdot {0.77}^2$=0.024887659335≈ 0.0249
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.23}^5\cdot {0.77}^1$=0.002973590466≈ 0.003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.23}^6\cdot {0.77}^0$=0.000148035889≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	400	3000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-19	1	381	2981
P(X=xi)	0.972	0.0249	0.003	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,498}$	$\mathrm{1,2}$	$\mathrm{0,3}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{18,468}$	$\mathrm{0,0249}$	$\mathrm{1,143}$	$\mathrm{0,2981}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.972 + 20⋅0.0249 + 400⋅0.003 + 3000⋅0.0001

≈ 2

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2 - 19 = -17 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -19⋅0.972 + 1⋅0.0249 + 381⋅0.003 + 2981⋅0.0001

≈ -17

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ = $\frac{9}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{140}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	10	20	30
P(X=xi)	$\frac{11}{28}$	$\frac{33}{70}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{1}{140}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{33}{7}$	$\frac{18}{7}$	$\frac{3}{14}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{11}{28}$ + 10⋅$\frac{33}{70}$ + 20⋅$\frac{9}{70}$ + 30⋅$\frac{1}{140}$

= $0$$+$ $\frac{33}{7}$$+$ $\frac{18}{7}$$+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{0}{14}$$+$ $\frac{66}{14}$$+$ $\frac{36}{14}$$+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{105}{14}$
= $\frac{15}{2}$

≈ 7.5