Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X\le 3)$ = $P_{0.24}^6(X=0)$ + $P_{0.24}^6(X=1)$ + $P_{0.24}^6(X=2)$ + $P_{0.24}^6(X=3)$ = 0.96743286784 ≈ 0.9674
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.24,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.24}^4\cdot {0.76}^2$=0.02874507264≈ 0.0287
(TI-Befehl: binompdf(6,0.24,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.24}^5\cdot {0.76}^1$=0.003630956544≈ 0.0036
(TI-Befehl: binompdf(6,0.24,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.24}^6\cdot {0.76}^0$=0.000191102976≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.24,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	200	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-18	12	182	982
P(X=xi)	0.9674	0.0287	0.0036	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,861}$	$\mathrm{0,72}$	$\mathrm{0,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{17,4132}$	$\mathrm{0,3444}$	$\mathrm{0,6552}$	$\mathrm{0,1964}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9674 + 30⋅0.0287 + 200⋅0.0036 + 1000⋅0.0002

≈ 1.78

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.78 - 18 = -16.22 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -18⋅0.9674 + 12⋅0.0287 + 182⋅0.0036 + 982⋅0.0002

≈ -16.22

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{204}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{68}$ + $\frac{5}{68}$ + $\frac{5}{68}$ = $\frac{15}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ = $\frac{33}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{55}{204}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{5}{204}$	$\frac{15}{68}$	$\frac{33}{68}$	$\frac{55}{204}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{15}{68}$	$\frac{33}{34}$	$\frac{55}{68}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{5}{204}$ + 1⋅$\frac{15}{68}$ + 2⋅$\frac{33}{68}$ + 3⋅$\frac{55}{204}$

= $0$$+$ $\frac{15}{68}$$+$ $\frac{33}{34}$$+$ $\frac{55}{68}$
= $\frac{0}{68}$$+$ $\frac{15}{68}$$+$ $\frac{66}{68}$$+$ $\frac{55}{68}$
= $\frac{136}{68}$
= $2$