Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.27.

$P_{0.27}^5(X\le 1)$ = $P_{0.27}^5(X=0)$ + $P_{0.27}^5(X=1)$ = 0.5906834128 ≈ 0.5907
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.27,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.27.

$P_{0.27}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.27}^2\cdot {0.73}^3$=0.283593393≈ 0.2836
(TI-Befehl: binompdf(5,0.27,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.27.

$P_{0.27}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.27}^3\cdot {0.73}^2$=0.104890707≈ 0.1049
(TI-Befehl: binompdf(5,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.27.

$P_{0.27}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.27}^4\cdot {0.73}^1$=0.0193975965≈ 0.0194
(TI-Befehl: binompdf(5,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.27.

$P_{0.27}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.27}^5\cdot {0.73}^0$=0.0014348907≈ 0.0014
(TI-Befehl: binompdf(5,0.27,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=xi)	0.5907	0.2836	0.1049	0.0194	0.0014
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,1344}$	$\mathrm{0,9441}$	$\mathrm{0,3104}$	$\mathrm{0,035}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{5,3163}$	$-\mathrm{1,418}$	$0$	$\mathrm{0,1358}$	$\mathrm{0,0224}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5907 + 4⋅0.2836 + 9⋅0.1049 + 16⋅0.0194 + 25⋅0.0014

≈ 2.42

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.42 - 9 = -6.58 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.5907 + -5⋅0.2836 + 0⋅0.1049 + 7⋅0.0194 + 16⋅0.0014

≈ -6.58

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{460}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{63}{1150}$ + $\frac{63}{1150}$ + $\frac{63}{1150}$ = $\frac{189}{1150}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{357}{2300}$ + $\frac{357}{2300}$ + $\frac{357}{2300}$ = $\frac{1071}{2300}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{204}{575}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{7}{460}$	$\frac{189}{1150}$	$\frac{1071}{2300}$	$\frac{204}{575}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{189}{1150}$	$\frac{1071}{1150}$	$\frac{612}{575}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{7}{460}$ + 1⋅$\frac{189}{1150}$ + 2⋅$\frac{1071}{2300}$ + 3⋅$\frac{204}{575}$

= $0$$+$ $\frac{189}{1150}$$+$ $\frac{1071}{1150}$$+$ $\frac{612}{575}$
= $\frac{0}{1150}$$+$ $\frac{189}{1150}$$+$ $\frac{1071}{1150}$$+$ $\frac{1224}{1150}$
= $\frac{2484}{1150}$
= $\frac{54}{25}$

≈ 2.16