Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X\le 3)$ = $P_{0.28}^6(X=0)$ + $P_{0.28}^6(X=1)$ + $P_{0.28}^6(X=2)$ + $P_{0.28}^6(X=3)$ = 0.94428758016 ≈ 0.9443
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.28,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.28}^4\cdot {0.72}^2$=0.04779565056≈ 0.0478
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.28}^5\cdot {0.72}^1$=0.007434878976≈ 0.0074
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.28}^6\cdot {0.72}^0$=0.000481890304≈ 0.0005
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	500	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-10	10	490	990
P(X=xi)	0.9443	0.0478	0.0074	0.0005
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,956}$	$\mathrm{3,7}$	$\mathrm{0,5}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{9,443}$	$\mathrm{0,478}$	$\mathrm{3,626}$	$\mathrm{0,495}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9443 + 20⋅0.0478 + 500⋅0.0074 + 1000⋅0.0005

≈ 5.16

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=5.16 - 10 = -4.84 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.9443 + 10⋅0.0478 + 490⋅0.0074 + 990⋅0.0005

≈ -4.84

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{468}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{156}$ + $\frac{7}{156}$ + $\frac{7}{156}$ = $\frac{7}{52}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{35}{234}$ + $\frac{35}{234}$ + $\frac{35}{234}$ = $\frac{35}{78}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{95}{234}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{5}{468}$	$\frac{7}{52}$	$\frac{35}{78}$	$\frac{95}{234}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{7}{52}$	$\frac{35}{39}$	$\frac{95}{78}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{5}{468}$ + 1⋅$\frac{7}{52}$ + 2⋅$\frac{35}{78}$ + 3⋅$\frac{95}{234}$

= $0$$+$ $\frac{7}{52}$$+$ $\frac{35}{39}$$+$ $\frac{95}{78}$
= $\frac{0}{156}$$+$ $\frac{21}{156}$$+$ $\frac{140}{156}$$+$ $\frac{190}{156}$
= $\frac{351}{156}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25