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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 10€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.3}^{5} (X = 0)

+

P_{0.3}^{5} (X = 1)

= 0.52822 ≈ 0.5282
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.3,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{2} \cdot {0.7}^{3}

=0.3087≈ 0.3087
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{3} \cdot {0.7}^{2}

=0.1323≈ 0.1323
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{4} \cdot {0.7}^{1}

=0.02835≈ 0.0284
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{5} \cdot {0.7}^{0}

=0.00243≈ 0.0024
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10	-6	-1	6	15
P(X=x_i)	0.5282	0.3087	0.1323	0.0284	0.0024
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,2348$	$1,1907$	$0,4544$	$0,06$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 5,282$	$- 1,8522$	$- 0,1323$	$0,1704$	$0,036$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5282 + 4⋅0.3087 + 9⋅0.1323 + 16⋅0.0284 + 25⋅0.0024

≈ 2.94

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.94 - 10 = -7.06 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.5282 + -6⋅0.3087 + -1⋅0.1323 + 6⋅0.0284 + 15⋅0.0024

≈ -7.06

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 18 Mädchen und 9 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{272}{975}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{51}{325}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{51}{325}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{24}{325}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{51}{325}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{24}{325}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{24}{325}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{28}{975}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{28}{975}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{24}{325}$ + $\frac{24}{325}$ + $\frac{24}{325}$ = $\frac{72}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ = $\frac{153}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{272}{975}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{28}{975}$	$\frac{72}{325}$	$\frac{153}{325}$	$\frac{272}{975}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{72}{325}$	$\frac{306}{325}$	$\frac{272}{325}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{28}{975}$ + 1⋅ $\frac{72}{325}$ + 2⋅ $\frac{153}{325}$ + 3⋅ $\frac{272}{975}$

= $0$ $+$ $\frac{72}{325}$ $+$ $\frac{306}{325}$ $+$ $\frac{272}{325}$
= $\frac{0}{325}$ $+$ $\frac{72}{325}$ $+$ $\frac{306}{325}$ $+$ $\frac{272}{325}$
= $\frac{650}{325}$
= $2$