Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

$P_{0.28}^5(X\le 1)$ = $P_{0.28}^5(X=0)$ + $P_{0.28}^5(X=1)$ = 0.5697257472 ≈ 0.5697
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.28,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

$P_{0.28}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.28}^2\cdot {0.72}^3$=0.292626432≈ 0.2926
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

$P_{0.28}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.28}^3\cdot {0.72}^2$=0.113799168≈ 0.1138
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

$P_{0.28}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.28}^4\cdot {0.72}^1$=0.022127616≈ 0.0221
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

$P_{0.28}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.28}^5\cdot {0.72}^0$=0.0017210368≈ 0.0017
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	-3	2	9	18
P(X=xi)	0.5697	0.2926	0.1138	0.0221	0.0017
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,1704}$	$\mathrm{1,0242}$	$\mathrm{0,3536}$	$\mathrm{0,0425}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{3,9879}$	$-\mathrm{0,8778}$	$\mathrm{0,2276}$	$\mathrm{0,1989}$	$\mathrm{0,0306}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5697 + 4⋅0.2926 + 9⋅0.1138 + 16⋅0.0221 + 25⋅0.0017

≈ 2.59

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.59 - 7 = -4.41 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.5697 + -3⋅0.2926 + 2⋅0.1138 + 9⋅0.0221 + 18⋅0.0017

≈ -4.41

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{105}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{1}{105}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{4}{15}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{1}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{8}{105}$ + $\frac{8}{105}$ = $\frac{16}{105}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	500	250	100	50	15
P(X=xi)	$\frac{1}{105}$	$\frac{1}{105}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{35}$	$\frac{16}{105}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{100}{21}$	$\frac{50}{21}$	$\frac{80}{3}$	$\frac{10}{7}$	$\frac{16}{7}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅$\frac{1}{105}$ + 250⋅$\frac{1}{105}$ + 100⋅$\frac{4}{15}$ + 50⋅$\frac{1}{35}$ + 15⋅$\frac{16}{105}$

= $\frac{100}{21}$$+$ $\frac{50}{21}$$+$ $\frac{80}{3}$$+$ $\frac{10}{7}$$+$ $\frac{16}{7}$
= $\frac{100}{21}$$+$ $\frac{50}{21}$$+$ $\frac{560}{21}$$+$ $\frac{30}{21}$$+$ $\frac{48}{21}$
= $\frac{788}{21}$

≈ 37.52