Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

$P_{0.3}^6(X\le 3)$ = $P_{0.3}^6(X=0)$ + $P_{0.3}^6(X=1)$ + $P_{0.3}^6(X=2)$ + $P_{0.3}^6(X=3)$ = 0.92953 ≈ 0.9295
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.3,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

$P_{0.3}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.3}^4\cdot {0.7}^2$=0.059535≈ 0.0595
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

$P_{0.3}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.3}^5\cdot {0.7}^1$=0.010206≈ 0.0102
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

$P_{0.3}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.3}^6\cdot {0.7}^0$=0.000729≈ 0.0007
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	400	3000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-18	12	382	2982
P(X=xi)	0.9295	0.0595	0.0102	0.0007
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,785}$	$\mathrm{4,08}$	$\mathrm{2,1}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{16,731}$	$\mathrm{0,714}$	$\mathrm{3,8964}$	$\mathrm{2,0874}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9295 + 30⋅0.0595 + 400⋅0.0102 + 3000⋅0.0007

≈ 7.97

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=7.97 - 18 = -10.03 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -18⋅0.9295 + 12⋅0.0595 + 382⋅0.0102 + 2982⋅0.0007

≈ -10.03

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{15}{161}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{20}{161}$ + $\frac{20}{161}$ + $\frac{20}{161}$ = $\frac{60}{161}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{22}{161}$ + $\frac{22}{161}$ + $\frac{22}{161}$ = $\frac{66}{161}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{20}{161}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{15}{161}$	$\frac{60}{161}$	$\frac{66}{161}$	$\frac{20}{161}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{60}{161}$	$\frac{132}{161}$	$\frac{60}{161}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{15}{161}$ + 1⋅$\frac{60}{161}$ + 2⋅$\frac{66}{161}$ + 3⋅$\frac{20}{161}$

= $0$$+$ $\frac{60}{161}$$+$ $\frac{132}{161}$$+$ $\frac{60}{161}$
= $\frac{0}{161}$$+$ $\frac{60}{161}$$+$ $\frac{132}{161}$$+$ $\frac{60}{161}$
= $\frac{252}{161}$
= $\frac{36}{23}$

≈ 1.57