Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X\le 3)$ = $P_{0.35}^6(X=0)$ + $P_{0.35}^6(X=1)$ + $P_{0.35}^6(X=2)$ + $P_{0.35}^6(X=3)$ = 0.88257609375 ≈ 0.8826
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.35,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.35}^4\cdot {0.65}^2$=0.095102109375≈ 0.0951
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.35}^5\cdot {0.65}^1$=0.02048353125≈ 0.0205
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.35}^6\cdot {0.65}^0$=0.001838265625≈ 0.0018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	10	100	3000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-14	-4	86	2986
P(X=xi)	0.8826	0.0951	0.0205	0.0018
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,951}$	$\mathrm{2,05}$	$\mathrm{5,4}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{12,3564}$	$-\mathrm{0,3804}$	$\mathrm{1,763}$	$\mathrm{5,3748}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8826 + 10⋅0.0951 + 100⋅0.0205 + 3000⋅0.0018

≈ 8.4

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=8.4 - 14 = -5.6 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -14⋅0.8826 + -4⋅0.0951 + 86⋅0.0205 + 2986⋅0.0018

≈ -5.6

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{114}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{114}$ + $\frac{5}{114}$ + $\frac{5}{114}$ = $\frac{5}{38}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{35}{228}$ + $\frac{35}{228}$ + $\frac{35}{228}$ = $\frac{35}{76}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{91}{228}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{1}{114}$	$\frac{5}{38}$	$\frac{35}{76}$	$\frac{91}{228}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{5}{38}$	$\frac{35}{38}$	$\frac{91}{76}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{114}$ + 1⋅$\frac{5}{38}$ + 2⋅$\frac{35}{76}$ + 3⋅$\frac{91}{228}$

= $0$$+$ $\frac{5}{38}$$+$ $\frac{35}{38}$$+$ $\frac{91}{76}$
= $\frac{0}{76}$$+$ $\frac{10}{76}$$+$ $\frac{70}{76}$$+$ $\frac{91}{76}$
= $\frac{171}{76}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25