Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

$P_{0.17}^5(X\le 1)$ = $P_{0.17}^5(X=0)$ + $P_{0.17}^5(X=1)$ = 0.7972997928 ≈ 0.7973
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.17,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

$P_{0.17}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.17}^2\cdot {0.83}^3$=0.165246443≈ 0.1652
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

$P_{0.17}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.17}^3\cdot {0.83}^2$=0.033845657≈ 0.0338
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

$P_{0.17}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.17}^4\cdot {0.83}^1$=0.0034661215≈ 0.0035
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

$P_{0.17}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.17}^5\cdot {0.83}^0$=0.0001419857≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-6	-2	3	10	19
P(X=xi)	0.7973	0.1652	0.0338	0.0035	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,6608}$	$\mathrm{0,3042}$	$\mathrm{0,056}$	$\mathrm{0,0025}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{4,7838}$	$-\mathrm{0,3304}$	$\mathrm{0,1014}$	$\mathrm{0,035}$	$\mathrm{0,0019}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7973 + 4⋅0.1652 + 9⋅0.0338 + 16⋅0.0035 + 25⋅0.0001

≈ 1.02

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.02 - 6 = -4.98 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.7973 + -2⋅0.1652 + 3⋅0.0338 + 10⋅0.0035 + 19⋅0.0001

≈ -4.98

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{33}{520}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{104}$ + $\frac{11}{104}$ + $\frac{11}{104}$ = $\frac{33}{104}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{77}{520}$ + $\frac{77}{520}$ + $\frac{77}{520}$ = $\frac{231}{520}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{40}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{33}{520}$	$\frac{33}{104}$	$\frac{231}{520}$	$\frac{7}{40}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{33}{104}$	$\frac{231}{260}$	$\frac{21}{40}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{33}{520}$ + 1⋅$\frac{33}{104}$ + 2⋅$\frac{231}{520}$ + 3⋅$\frac{7}{40}$

= $0$$+$ $\frac{33}{104}$$+$ $\frac{231}{260}$$+$ $\frac{21}{40}$
= $\frac{0}{520}$$+$ $\frac{165}{520}$$+$ $\frac{462}{520}$$+$ $\frac{273}{520}$
= $\frac{900}{520}$
= $\frac{45}{26}$

≈ 1.73