Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X\le 3)$ = $P_{0.22}^6(X=0)$ + $P_{0.22}^6(X=1)$ + $P_{0.22}^6(X=2)$ + $P_{0.22}^6(X=3)$ = 0.97609651776 ≈ 0.9761
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.22,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.22}^4\cdot {0.78}^2$=0.02137820256≈ 0.0214
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.22}^5\cdot {0.78}^1$=0.002411899776≈ 0.0024
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.22}^6\cdot {0.78}^0$=0.000113379904≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	40	100	4000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-20	20	80	3980
P(X=xi)	0.9761	0.0214	0.0024	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,856}$	$\mathrm{0,24}$	$\mathrm{0,4}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{19,522}$	$\mathrm{0,428}$	$\mathrm{0,192}$	$\mathrm{0,398}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9761 + 40⋅0.0214 + 100⋅0.0024 + 4000⋅0.0001

≈ 1.5

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.5 - 20 = -18.5 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -20⋅0.9761 + 20⋅0.0214 + 80⋅0.0024 + 3980⋅0.0001

≈ -18.5

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{33}{992}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{77}{992}$ + $\frac{77}{992}$ + $\frac{77}{992}$ = $\frac{231}{992}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{77}{496}$ + $\frac{77}{496}$ + $\frac{77}{496}$ = $\frac{231}{496}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{133}{496}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{33}{992}$	$\frac{231}{992}$	$\frac{231}{496}$	$\frac{133}{496}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{231}{992}$	$\frac{231}{248}$	$\frac{399}{496}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{33}{992}$ + 1⋅$\frac{231}{992}$ + 2⋅$\frac{231}{496}$ + 3⋅$\frac{133}{496}$

= $0$$+$ $\frac{231}{992}$$+$ $\frac{231}{248}$$+$ $\frac{399}{496}$
= $\frac{0}{992}$$+$ $\frac{231}{992}$$+$ $\frac{924}{992}$$+$ $\frac{798}{992}$
= $\frac{1953}{992}$
= $\frac{63}{32}$

≈ 1.97