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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 40% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.4.

P_{0.4}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{0} \cdot {0.6}^{20}

=3.656158440063E-5≈ 0
(TI-Befehl: binompdf(20,0.4,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.4}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.4}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.4}^{20} (X \leq 0)$ = 0.051

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,4) - binomcdf(20,0.4,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.4}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.4}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.4}^{20} (X \leq 4)$ = 0.5446

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,8) - binomcdf(20,0.4,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.4}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.4}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.4}^{20} (X \leq 8)$ = 0.3834

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,12) - binomcdf(20,0.4,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.4}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.4}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.4}^{20} (X \leq 12)$ = 0.021

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,16) - binomcdf(20,0.4,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.4}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.4}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.4}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,20) - binomcdf(20,0.4,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0	0.051	0.5446	0.3834	0.021	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,255$	$5,446$	$5,751$	$0,42$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0 + 5⋅0.051 + 10⋅0.5446 + 15⋅0.3834 + 20⋅0.021 + 25⋅0

≈ 11.87

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Erscheinen zwei Kronen, so erhält man 40€. Bei einer Krone erhält man immer hin noch 4€. Erscheinen zwei gleiche Dinge (außer Kronen), so erhält man 1€. In allen anderen Fällen geht man leer aus. Mit wie viel Euro kann man bei einem Spiel durchschnittlich rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Blume -> Blume	$\frac{1}{4}$
Blume -> Raute	$\frac{1}{8}$
Blume -> Stein	$\frac{1}{16}$
Blume -> Krone	$\frac{1}{16}$
Raute -> Blume	$\frac{1}{8}$
Raute -> Raute	$\frac{1}{16}$
Raute -> Stein	$\frac{1}{32}$
Raute -> Krone	$\frac{1}{32}$
Stein -> Blume	$\frac{1}{16}$
Stein -> Raute	$\frac{1}{32}$
Stein -> Stein	$\frac{1}{64}$
Stein -> Krone	$\frac{1}{64}$
Krone -> Blume	$\frac{1}{16}$
Krone -> Raute	$\frac{1}{32}$
Krone -> Stein	$\frac{1}{64}$
Krone -> Krone	$\frac{1}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:

P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{21}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:

P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{7}{32}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:

P('Krone'-'Krone')
= $\frac{1}{64}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 gleiche	1 Krone	2 Kronen
Zufallsgröße x_i	1	4	40
P(X=x_i)	$\frac{21}{64}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{64}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{21}{64}$	$\frac{7}{8}$	$\frac{5}{8}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{21}{64}$ + 4⋅ $\frac{7}{32}$ + 40⋅ $\frac{1}{64}$

= $\frac{21}{64}$ $+$ $\frac{7}{8}$ $+$ $\frac{5}{8}$
= $\frac{21}{64}$ $+$ $\frac{56}{64}$ $+$ $\frac{40}{64}$
= $\frac{117}{64}$

≈ 1.83