Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X\le 3)$ = $P_{0.23}^6(X=0)$ + $P_{0.23}^6(X=1)$ + $P_{0.23}^6(X=2)$ + $P_{0.23}^6(X=3)$ = 0.97199071431 ≈ 0.972
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.23,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.23}^4\cdot {0.77}^2$=0.024887659335≈ 0.0249
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.23}^5\cdot {0.77}^1$=0.002973590466≈ 0.003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.23}^6\cdot {0.77}^0$=0.000148035889≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	200	4000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-16	34	184	3984
P(X=xi)	0.972	0.0249	0.003	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,245}$	$\mathrm{0,6}$	$\mathrm{0,4}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{15,552}$	$\mathrm{0,8466}$	$\mathrm{0,552}$	$\mathrm{0,3984}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.972 + 50⋅0.0249 + 200⋅0.003 + 4000⋅0.0001

≈ 2.25

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.25 - 16 = -13.75 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -16⋅0.972 + 34⋅0.0249 + 184⋅0.003 + 3984⋅0.0001

≈ -13.76

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	2	4	16
P(X=xi)	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{21}{20}$	$\frac{7}{10}$	$\frac{2}{15}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{7}{24}$ + 2⋅$\frac{21}{40}$ + 4⋅$\frac{7}{40}$ + 16⋅$\frac{1}{120}$

= $0$$+$ $\frac{21}{20}$$+$ $\frac{7}{10}$$+$ $\frac{2}{15}$
= $\frac{0}{60}$$+$ $\frac{63}{60}$$+$ $\frac{42}{60}$$+$ $\frac{8}{60}$
= $\frac{113}{60}$

≈ 1.88