Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

$P_{0.15}^5(X\le 1)$ = $P_{0.15}^5(X=0)$ + $P_{0.15}^5(X=1)$ = 0.83521 ≈ 0.8352
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.15,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

$P_{0.15}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.15}^2\cdot {0.85}^3$=0.138178125≈ 0.1382
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

$P_{0.15}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.15}^3\cdot {0.85}^2$=0.024384375≈ 0.0244
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

$P_{0.15}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.15}^4\cdot {0.85}^1$=0.0021515625≈ 0.0022
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

$P_{0.15}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.15}^5\cdot {0.85}^0$=7.59375E-5≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=xi)	0.8352	0.1382	0.0244	0.0022	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,5528}$	$\mathrm{0,2196}$	$\mathrm{0,0352}$	$\mathrm{0,0025}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{7,5168}$	$-\mathrm{0,691}$	$0$	$\mathrm{0,0154}$	$\mathrm{0,0016}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8352 + 4⋅0.1382 + 9⋅0.0244 + 16⋅0.0022 + 25⋅0.0001

≈ 0.81

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=0.81 - 9 = -8.19 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.8352 + -5⋅0.1382 + 0⋅0.0244 + 7⋅0.0022 + 16⋅0.0001

≈ -8.19

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{9}{11}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{9}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{1}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3
Zufallsgröße xi	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{9}{11}$	$\frac{9}{55}$	$\frac{1}{55}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{9}{11}$	$\frac{18}{55}$	$\frac{3}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{9}{11}$ + 2⋅$\frac{9}{55}$ + 3⋅$\frac{1}{55}$

= $\frac{9}{11}$$+$ $\frac{18}{55}$$+$ $\frac{3}{55}$
= $\frac{45}{55}$$+$ $\frac{18}{55}$$+$ $\frac{3}{55}$
= $\frac{66}{55}$
= $\frac{6}{5}$

≈ 1.2