Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte
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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 7€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 400€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,35 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0-3
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.
= + + + = 0.88257609375 ≈ 0.8826(TI-Befehl: binomcdf(6,0.35,3))
Trefferzahl: 4
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.
= =0.095102109375≈ 0.0951(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,4))
Trefferzahl: 5
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.
= =0.02048353125≈ 0.0205(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,5))
Trefferzahl: 6
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.
= =0.001838265625≈ 0.0018(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,6))
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
| Ereignis | 0-3 | 4 | 5 | 6 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 40 | 400 | 4000 |
| Zufallsgröße yi (Gewinn) | -7 | 33 | 393 | 3993 |
| P(X=xi) | 0.8826 | 0.0951 | 0.0205 | 0.0018 |
| xi ⋅ P(X=xi) | ||||
| yi ⋅ P(Y=yi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.8826 + 40⋅0.0951 + 400⋅0.0205 + 4000⋅0.0018
≈ 19.2
Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=19.2 - 7 = 12.2 ergibt.
Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:
E(Y)= -7⋅0.8826 + 33⋅0.0951 + 393⋅0.0205 + 3993⋅0.0018
≈ 12.2
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 11 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> Jungs | |
| Mädchen -> Jungs -> Mädchen | |
| Mädchen -> Jungs -> Jungs | |
| Jungs -> Mädchen -> Mädchen | |
| Jungs -> Mädchen -> Jungs | |
| Jungs -> Jungs -> Mädchen | |
| Jungs -> Jungs -> Jungs |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
| Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X=xi) | ||||
| xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 1⋅ + 2⋅ + 3⋅
=
=
=
=
≈ 1.73
