Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

$P_{0.24}^5(X\le 1)$ = $P_{0.24}^5(X=0)$ + $P_{0.24}^5(X=1)$ = 0.6538986496 ≈ 0.6539
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.24,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

$P_{0.24}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.24}^2\cdot {0.76}^3$=0.252850176≈ 0.2529
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

$P_{0.24}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.24}^3\cdot {0.76}^2$=0.079847424≈ 0.0798
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

$P_{0.24}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.24}^4\cdot {0.76}^1$=0.012607488≈ 0.0126
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

$P_{0.24}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.24}^5\cdot {0.76}^0$=0.0007962624≈ 0.0008
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-5	-1	4	11	20
P(X=xi)	0.6539	0.2529	0.0798	0.0126	0.0008
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,0116}$	$\mathrm{0,7182}$	$\mathrm{0,2016}$	$\mathrm{0,02}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{3,2695}$	$-\mathrm{0,2529}$	$\mathrm{0,3192}$	$\mathrm{0,1386}$	$\mathrm{0,016}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6539 + 4⋅0.2529 + 9⋅0.0798 + 16⋅0.0126 + 25⋅0.0008

≈ 1.95

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.95 - 5 = -3.05 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.6539 + -1⋅0.2529 + 4⋅0.0798 + 11⋅0.0126 + 20⋅0.0008

≈ -3.05

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{33}{992}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{77}{992}$ + $\frac{77}{992}$ + $\frac{77}{992}$ = $\frac{231}{992}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{77}{496}$ + $\frac{77}{496}$ + $\frac{77}{496}$ = $\frac{231}{496}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{133}{496}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{33}{992}$	$\frac{231}{992}$	$\frac{231}{496}$	$\frac{133}{496}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{231}{992}$	$\frac{231}{248}$	$\frac{399}{496}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{33}{992}$ + 1⋅$\frac{231}{992}$ + 2⋅$\frac{231}{496}$ + 3⋅$\frac{133}{496}$

= $0$$+$ $\frac{231}{992}$$+$ $\frac{231}{248}$$+$ $\frac{399}{496}$
= $\frac{0}{992}$$+$ $\frac{231}{992}$$+$ $\frac{924}{992}$$+$ $\frac{798}{992}$
= $\frac{1953}{992}$
= $\frac{63}{32}$

≈ 1.97