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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 5€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.3}^{5} (X = 0)

+

P_{0.3}^{5} (X = 1)

= 0.52822 ≈ 0.5282
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.3,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{2} \cdot {0.7}^{3}

=0.3087≈ 0.3087
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{3} \cdot {0.7}^{2}

=0.1323≈ 0.1323
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{4} \cdot {0.7}^{1}

=0.02835≈ 0.0284
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{5} \cdot {0.7}^{0}

=0.00243≈ 0.0024
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-5	-1	4	11	20
P(X=x_i)	0.5282	0.3087	0.1323	0.0284	0.0024
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,2348$	$1,1907$	$0,4544$	$0,06$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 2,641$	$- 0,3087$	$0,5292$	$0,3124$	$0,048$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5282 + 4⋅0.3087 + 9⋅0.1323 + 16⋅0.0284 + 25⋅0.0024

≈ 2.94

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.94 - 5 = -2.06 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.5282 + -1⋅0.3087 + 4⋅0.1323 + 11⋅0.0284 + 20⋅0.0024

≈ -2.06

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 5 blauen und 5 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 162€, bei 2 blauen bekommt er noch 18€, bei einer 6€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{12}$
blau -> blau -> rot	$\frac{5}{36}$
blau -> rot -> blau	$\frac{5}{36}$
blau -> rot -> rot	$\frac{5}{36}$
rot -> blau -> blau	$\frac{5}{36}$
rot -> blau -> rot	$\frac{5}{36}$
rot -> rot -> blau	$\frac{5}{36}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{12}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{12}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ = $\frac{5}{12}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ = $\frac{5}{12}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{12}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	6	18	162
P(X=x_i)	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{5}{2}$	$\frac{15}{2}$	$\frac{27}{2}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{12}$ + 6⋅ $\frac{5}{12}$ + 18⋅ $\frac{5}{12}$ + 162⋅ $\frac{1}{12}$

= $0$ $+$ $\frac{5}{2}$ $+$ $\frac{15}{2}$ $+$ $\frac{27}{2}$
= $\frac{0}{2}$ $+$ $\frac{5}{2}$ $+$ $\frac{15}{2}$ $+$ $\frac{27}{2}$
= $\frac{47}{2}$

≈ 23.5