Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X\le 3)$ = $P_{0.21}^6(X=0)$ + $P_{0.21}^6(X=1)$ + $P_{0.21}^6(X=2)$ + $P_{0.21}^6(X=3)$ = 0.97977203119 ≈ 0.9798
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.21,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.21}^4\cdot {0.79}^2$=0.018206338815≈ 0.0182
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.21}^5\cdot {0.79}^1$=0.001935863874≈ 0.0019
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.21}^6\cdot {0.79}^0$=8.5766121E-5≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	500	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-12	8	488	1988
P(X=xi)	0.9798	0.0182	0.0019	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,364}$	$\mathrm{0,95}$	$\mathrm{0,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{11,7576}$	$\mathrm{0,1456}$	$\mathrm{0,9272}$	$\mathrm{0,1988}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9798 + 20⋅0.0182 + 500⋅0.0019 + 2000⋅0.0001

≈ 1.51

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.51 - 12 = -10.49 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -12⋅0.9798 + 8⋅0.0182 + 488⋅0.0019 + 1988⋅0.0001

≈ -10.49

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{33}{520}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{104}$ + $\frac{11}{104}$ + $\frac{11}{104}$ = $\frac{33}{104}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{77}{520}$ + $\frac{77}{520}$ + $\frac{77}{520}$ = $\frac{231}{520}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{40}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{33}{520}$	$\frac{33}{104}$	$\frac{231}{520}$	$\frac{7}{40}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{33}{104}$	$\frac{231}{260}$	$\frac{21}{40}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{33}{520}$ + 1⋅$\frac{33}{104}$ + 2⋅$\frac{231}{520}$ + 3⋅$\frac{7}{40}$

= $0$$+$ $\frac{33}{104}$$+$ $\frac{231}{260}$$+$ $\frac{21}{40}$
= $\frac{0}{520}$$+$ $\frac{165}{520}$$+$ $\frac{462}{520}$$+$ $\frac{273}{520}$
= $\frac{900}{520}$
= $\frac{45}{26}$

≈ 1.73