Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

$P_{0.34}^6(X\le 3)$ = $P_{0.34}^6(X=0)$ + $P_{0.34}^6(X=1)$ + $P_{0.34}^6(X=2)$ + $P_{0.34}^6(X=3)$ = 0.89314657344 ≈ 0.8931
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.34,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

$P_{0.34}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.34}^4\cdot {0.66}^2$=0.08731619424≈ 0.0873
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

$P_{0.34}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.34}^5\cdot {0.66}^1$=0.017992427904≈ 0.018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

$P_{0.34}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.34}^6\cdot {0.66}^0$=0.001544804416≈ 0.0015
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	500	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-10	40	490	1990
P(X=xi)	0.8931	0.0873	0.018	0.0015
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{4,365}$	$9$	$3$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{8,931}$	$\mathrm{3,492}$	$\mathrm{8,82}$	$\mathrm{2,985}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8931 + 50⋅0.0873 + 500⋅0.018 + 2000⋅0.0015

≈ 16.37

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=16.37 - 10 = 6.37 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.8931 + 40⋅0.0873 + 490⋅0.018 + 1990⋅0.0015

≈ 6.37

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{10}{1771}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{60}{1771}$ + $\frac{60}{1771}$ + $\frac{60}{1771}$ = $\frac{180}{1771}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{255}{1771}$ + $\frac{255}{1771}$ + $\frac{255}{1771}$ = $\frac{765}{1771}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{816}{1771}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{10}{1771}$	$\frac{180}{1771}$	$\frac{765}{1771}$	$\frac{816}{1771}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{180}{1771}$	$\frac{1530}{1771}$	$\frac{2448}{1771}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{10}{1771}$ + 1⋅$\frac{180}{1771}$ + 2⋅$\frac{765}{1771}$ + 3⋅$\frac{816}{1771}$

= $0$$+$ $\frac{180}{1771}$$+$ $\frac{1530}{1771}$$+$ $\frac{2448}{1771}$
= $\frac{0}{1771}$$+$ $\frac{180}{1771}$$+$ $\frac{1530}{1771}$$+$ $\frac{2448}{1771}$
= $\frac{4158}{1771}$
= $\frac{54}{23}$

≈ 2.35