Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

$P_{0.17}^5(X\le 1)$ = $P_{0.17}^5(X=0)$ + $P_{0.17}^5(X=1)$ = 0.7972997928 ≈ 0.7973
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.17,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

$P_{0.17}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.17}^2\cdot {0.83}^3$=0.165246443≈ 0.1652
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

$P_{0.17}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.17}^3\cdot {0.83}^2$=0.033845657≈ 0.0338
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

$P_{0.17}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.17}^4\cdot {0.83}^1$=0.0034661215≈ 0.0035
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

$P_{0.17}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.17}^5\cdot {0.83}^0$=0.0001419857≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-8	-4	1	8	17
P(X=xi)	0.7973	0.1652	0.0338	0.0035	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,6608}$	$\mathrm{0,3042}$	$\mathrm{0,056}$	$\mathrm{0,0025}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{6,3784}$	$-\mathrm{0,6608}$	$\mathrm{0,0338}$	$\mathrm{0,028}$	$\mathrm{0,0017}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7973 + 4⋅0.1652 + 9⋅0.0338 + 16⋅0.0035 + 25⋅0.0001

≈ 1.02

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.02 - 8 = -6.98 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -8⋅0.7973 + -4⋅0.1652 + 1⋅0.0338 + 8⋅0.0035 + 17⋅0.0001

≈ -6.98

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{7}{69}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{7}{69}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{1}{276}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{5}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{2}{69}$ + $\frac{2}{69}$ = $\frac{4}{69}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	400	200	50	25
P(X=xi)	$\frac{7}{69}$	$\frac{7}{69}$	$\frac{1}{276}$	$\frac{5}{92}$	$\frac{4}{69}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{7000}{69}$	$\frac{2800}{69}$	$\frac{50}{69}$	$\frac{125}{46}$	$\frac{100}{69}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{7}{69}$ + 400⋅$\frac{7}{69}$ + 200⋅$\frac{1}{276}$ + 50⋅$\frac{5}{92}$ + 25⋅$\frac{4}{69}$

= $\frac{7000}{69}$$+$ $\frac{2800}{69}$$+$ $\frac{50}{69}$$+$ $\frac{125}{46}$$+$ $\frac{100}{69}$
= $\frac{14000}{138}$$+$ $\frac{5600}{138}$$+$ $\frac{100}{138}$$+$ $\frac{375}{138}$$+$ $\frac{200}{138}$
= $\frac{20275}{138}$

≈ 146.92