Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X\le 3)$ = $P_{0.22}^6(X=0)$ + $P_{0.22}^6(X=1)$ + $P_{0.22}^6(X=2)$ + $P_{0.22}^6(X=3)$ = 0.97609651776 ≈ 0.9761
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.22,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.22}^4\cdot {0.78}^2$=0.02137820256≈ 0.0214
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.22}^5\cdot {0.78}^1$=0.002411899776≈ 0.0024
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.22}^6\cdot {0.78}^0$=0.000113379904≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	200	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-13	7	187	987
P(X=xi)	0.9761	0.0214	0.0024	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,428}$	$\mathrm{0,48}$	$\mathrm{0,1}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{12,6893}$	$\mathrm{0,1498}$	$\mathrm{0,4488}$	$\mathrm{0,0987}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9761 + 20⋅0.0214 + 200⋅0.0024 + 1000⋅0.0001

≈ 1.01

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.01 - 13 = -11.99 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -13⋅0.9761 + 7⋅0.0214 + 187⋅0.0024 + 987⋅0.0001

≈ -11.99

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{21}{325}$ + $\frac{21}{325}$ + $\frac{21}{325}$ = $\frac{63}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ = $\frac{153}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{102}{325}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{7}{325}$	$\frac{63}{325}$	$\frac{153}{325}$	$\frac{102}{325}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{63}{325}$	$\frac{306}{325}$	$\frac{306}{325}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{7}{325}$ + 1⋅$\frac{63}{325}$ + 2⋅$\frac{153}{325}$ + 3⋅$\frac{102}{325}$

= $0$$+$ $\frac{63}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$
= $\frac{0}{325}$$+$ $\frac{63}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$
= $\frac{675}{325}$
= $\frac{27}{13}$

≈ 2.08