Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 13€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 500€, und bei 4 Treffern 30€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,32 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P0.326 (X3) = P0.326 (X=0) + P0.326 (X=1) + P0.326 (X=2) + P0.326 (X=3) = 0.91250681856 ≈ 0.9125
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.32,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P0.326 (X=4) = ( 6 4 ) 0.324 0.682 =0.07272923136≈ 0.0727
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P0.326 (X=5) = ( 6 5 ) 0.325 0.681 =0.013690208256≈ 0.0137
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P0.326 (X=6) = ( 6 6 ) 0.326 0.680 =0.001073741824≈ 0.0011
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 0-3 4 5 6
Zufallsgröße xi 0 30 500 4000
Zufallsgröße yi (Gewinn) -13 17 487 3987
P(X=xi) 0.9125 0.0727 0.0137 0.0011
xi ⋅ P(X=xi) 0 2,181 6,85 4,4
yi ⋅ P(Y=yi) -11,8625 1,2359 6,6719 4,3857

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9125 + 30⋅0.0727 + 500⋅0.0137 + 4000⋅0.0011

13.43

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=13.43 - 13 = 0.43 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:

E(Y)= -13⋅0.9125 + 17⋅0.0727 + 487⋅0.0137 + 3987⋅0.0011

0.43

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 18 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 102 253
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 153 1012
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 153 1012
Mädchen -> Jungs -> Jungs 45 1012
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 153 1012
Jungs -> Mädchen -> Jungs 45 1012
Jungs -> Jungs -> Mädchen 45 1012
Jungs -> Jungs -> Jungs 5 506

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: 5 506

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: 45 1012 + 45 1012 + 45 1012 = 135 1012

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: 153 1012 + 153 1012 + 153 1012 = 459 1012

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: 102 253

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 1 2 3
P(X=xi) 5 506 135 1012 459 1012 102 253
xi ⋅ P(X=xi) 0 135 1012 459 506 306 253

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 5 506 + 1⋅ 135 1012 + 2⋅ 459 1012 + 3⋅ 102 253

= 0+ 135 1012 + 459 506 + 306 253
= 0 1012 + 135 1012 + 918 1012 + 1224 1012
= 2277 1012
= 9 4

2.25