Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte
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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 20€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,22 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0-3
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.
= + + + = 0.97609651776 ≈ 0.9761(TI-Befehl: binomcdf(6,0.22,3))
Trefferzahl: 4
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.
= =0.02137820256≈ 0.0214(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,4))
Trefferzahl: 5
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.
= =0.002411899776≈ 0.0024(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,5))
Trefferzahl: 6
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.
= =0.000113379904≈ 0.0001(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,6))
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
| Ereignis | 0-3 | 4 | 5 | 6 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 40 | 100 | 4000 |
| Zufallsgröße yi (Gewinn) | -20 | 20 | 80 | 3980 |
| P(X=xi) | 0.9761 | 0.0214 | 0.0024 | 0.0001 |
| xi ⋅ P(X=xi) | ||||
| yi ⋅ P(Y=yi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.9761 + 40⋅0.0214 + 100⋅0.0024 + 4000⋅0.0001
≈ 1.5
Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.5 - 20 = -18.5 ergibt.
Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:
E(Y)= -20⋅0.9761 + 20⋅0.0214 + 80⋅0.0024 + 3980⋅0.0001
≈ -18.5
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 21 Mädchen und 11 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> Jungs | |
| Mädchen -> Jungs -> Mädchen | |
| Mädchen -> Jungs -> Jungs | |
| Jungs -> Mädchen -> Mädchen | |
| Jungs -> Mädchen -> Jungs | |
| Jungs -> Jungs -> Mädchen | |
| Jungs -> Jungs -> Jungs |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
| Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X=xi) | ||||
| xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 1⋅ + 2⋅ + 3⋅
=
=
=
=
≈ 1.97
