Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

$P_{0.15}^5(X\le 1)$ = $P_{0.15}^5(X=0)$ + $P_{0.15}^5(X=1)$ = 0.83521 ≈ 0.8352
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.15,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

$P_{0.15}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.15}^2\cdot {0.85}^3$=0.138178125≈ 0.1382
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

$P_{0.15}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.15}^3\cdot {0.85}^2$=0.024384375≈ 0.0244
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

$P_{0.15}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.15}^4\cdot {0.85}^1$=0.0021515625≈ 0.0022
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

$P_{0.15}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.15}^5\cdot {0.85}^0$=7.59375E-5≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=xi)	0.8352	0.1382	0.0244	0.0022	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,5528}$	$\mathrm{0,2196}$	$\mathrm{0,0352}$	$\mathrm{0,0025}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{7,5168}$	$-\mathrm{0,691}$	$0$	$\mathrm{0,0154}$	$\mathrm{0,0016}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8352 + 4⋅0.1382 + 9⋅0.0244 + 16⋅0.0022 + 25⋅0.0001

≈ 0.81

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=0.81 - 9 = -8.19 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.8352 + -5⋅0.1382 + 0⋅0.0244 + 7⋅0.0022 + 16⋅0.0001

≈ -8.19

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{3}{23}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{7}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{21}{184}$ + $\frac{21}{184}$ = $\frac{21}{92}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	350	200	70	35
P(X=xi)	$\frac{1}{92}$	$\frac{3}{23}$	$\frac{7}{92}$	$\frac{5}{138}$	$\frac{21}{92}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{250}{23}$	$\frac{1050}{23}$	$\frac{350}{23}$	$\frac{175}{69}$	$\frac{735}{92}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{1}{92}$ + 350⋅$\frac{3}{23}$ + 200⋅$\frac{7}{92}$ + 70⋅$\frac{5}{138}$ + 35⋅$\frac{21}{92}$

= $\frac{250}{23}$$+$ $\frac{1050}{23}$$+$ $\frac{350}{23}$$+$ $\frac{175}{69}$$+$ $\frac{735}{92}$
= $\frac{3000}{276}$$+$ $\frac{12600}{276}$$+$ $\frac{4200}{276}$$+$ $\frac{700}{276}$$+$ $\frac{2205}{276}$
= $\frac{22705}{276}$

≈ 82.26