Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X\le 3)$ = $P_{0.35}^6(X=0)$ + $P_{0.35}^6(X=1)$ + $P_{0.35}^6(X=2)$ + $P_{0.35}^6(X=3)$ = 0.88257609375 ≈ 0.8826
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.35,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.35}^4\cdot {0.65}^2$=0.095102109375≈ 0.0951
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.35}^5\cdot {0.65}^1$=0.02048353125≈ 0.0205
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.35}^6\cdot {0.65}^0$=0.001838265625≈ 0.0018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	40	400	4000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	33	393	3993
P(X=xi)	0.8826	0.0951	0.0205	0.0018
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{3,804}$	$\mathrm{8,2}$	$\mathrm{7,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{6,1782}$	$\mathrm{3,1383}$	$\mathrm{8,0565}$	$\mathrm{7,1874}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8826 + 40⋅0.0951 + 400⋅0.0205 + 4000⋅0.0018

≈ 19.2

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=19.2 - 7 = 12.2 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.8826 + 33⋅0.0951 + 393⋅0.0205 + 3993⋅0.0018

≈ 12.2

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{33}{520}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{104}$ + $\frac{11}{104}$ + $\frac{11}{104}$ = $\frac{33}{104}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{77}{520}$ + $\frac{77}{520}$ + $\frac{77}{520}$ = $\frac{231}{520}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{40}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{33}{520}$	$\frac{33}{104}$	$\frac{231}{520}$	$\frac{7}{40}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{33}{104}$	$\frac{231}{260}$	$\frac{21}{40}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{33}{520}$ + 1⋅$\frac{33}{104}$ + 2⋅$\frac{231}{520}$ + 3⋅$\frac{7}{40}$

= $0$$+$ $\frac{33}{104}$$+$ $\frac{231}{260}$$+$ $\frac{21}{40}$
= $\frac{0}{520}$$+$ $\frac{165}{520}$$+$ $\frac{462}{520}$$+$ $\frac{273}{520}$
= $\frac{900}{520}$
= $\frac{45}{26}$

≈ 1.73