Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

$P_{0.22}^5(X\le 1)$ = $P_{0.22}^5(X=0)$ + $P_{0.22}^5(X=1)$ = 0.6958830528 ≈ 0.6959
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.22,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

$P_{0.22}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.22}^2\cdot {0.78}^3$=0.229683168≈ 0.2297
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

$P_{0.22}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.22}^3\cdot {0.78}^2$=0.064782432≈ 0.0648
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

$P_{0.22}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.22}^4\cdot {0.78}^1$=0.009135984≈ 0.0091
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

$P_{0.22}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.22}^5\cdot {0.78}^0$=0.0005153632≈ 0.0005
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=xi)	0.6959	0.2297	0.0648	0.0091	0.0005
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,9188}$	$\mathrm{0,5832}$	$\mathrm{0,1456}$	$\mathrm{0,0125}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{6,2631}$	$-\mathrm{1,1485}$	$0$	$\mathrm{0,0637}$	$\mathrm{0,008}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6959 + 4⋅0.2297 + 9⋅0.0648 + 16⋅0.0091 + 25⋅0.0005

≈ 1.66

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.66 - 9 = -7.34 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.6959 + -5⋅0.2297 + 0⋅0.0648 + 7⋅0.0091 + 16⋅0.0005

≈ -7.34

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{21}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{45}{506}$ + $\frac{45}{506}$ + $\frac{45}{506}$ = $\frac{135}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{315}{2024}$ + $\frac{315}{2024}$ + $\frac{315}{2024}$ = $\frac{945}{2024}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{455}{2024}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{21}{506}$	$\frac{135}{506}$	$\frac{945}{2024}$	$\frac{455}{2024}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{135}{506}$	$\frac{945}{1012}$	$\frac{1365}{2024}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{21}{506}$ + 1⋅$\frac{135}{506}$ + 2⋅$\frac{945}{2024}$ + 3⋅$\frac{455}{2024}$

= $0$$+$ $\frac{135}{506}$$+$ $\frac{945}{1012}$$+$ $\frac{1365}{2024}$
= $\frac{0}{2024}$$+$ $\frac{540}{2024}$$+$ $\frac{1890}{2024}$$+$ $\frac{1365}{2024}$
= $\frac{3795}{2024}$
= $\frac{15}{8}$

≈ 1.88