Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X\le 3)$ = $P_{0.23}^6(X=0)$ + $P_{0.23}^6(X=1)$ + $P_{0.23}^6(X=2)$ + $P_{0.23}^6(X=3)$ = 0.97199071431 ≈ 0.972
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.23,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.23}^4\cdot {0.77}^2$=0.024887659335≈ 0.0249
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.23}^5\cdot {0.77}^1$=0.002973590466≈ 0.003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.23}^6\cdot {0.77}^0$=0.000148035889≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	10	400	5000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	3	393	4993
P(X=xi)	0.972	0.0249	0.003	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,249}$	$\mathrm{1,2}$	$\mathrm{0,5}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{6,804}$	$\mathrm{0,0747}$	$\mathrm{1,179}$	$\mathrm{0,4993}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.972 + 10⋅0.0249 + 400⋅0.003 + 5000⋅0.0001

≈ 1.95

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.95 - 7 = -5.05 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.972 + 3⋅0.0249 + 393⋅0.003 + 4993⋅0.0001

≈ -5.05

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{10}{273}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{15}{182}$ + $\frac{15}{182}$ + $\frac{15}{182}$ = $\frac{45}{182}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{85}{546}$ + $\frac{85}{546}$ + $\frac{85}{546}$ = $\frac{85}{182}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{68}{273}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{10}{273}$	$\frac{45}{182}$	$\frac{85}{182}$	$\frac{68}{273}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{45}{182}$	$\frac{85}{91}$	$\frac{68}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{10}{273}$ + 1⋅$\frac{45}{182}$ + 2⋅$\frac{85}{182}$ + 3⋅$\frac{68}{273}$

= $0$$+$ $\frac{45}{182}$$+$ $\frac{85}{91}$$+$ $\frac{68}{91}$
= $\frac{0}{182}$$+$ $\frac{45}{182}$$+$ $\frac{170}{182}$$+$ $\frac{136}{182}$
= $\frac{351}{182}$
= $\frac{27}{14}$

≈ 1.93