Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

$P_{0.34}^6(X\le 3)$ = $P_{0.34}^6(X=0)$ + $P_{0.34}^6(X=1)$ + $P_{0.34}^6(X=2)$ + $P_{0.34}^6(X=3)$ = 0.89314657344 ≈ 0.8931
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.34,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

$P_{0.34}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.34}^4\cdot {0.66}^2$=0.08731619424≈ 0.0873
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

$P_{0.34}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.34}^5\cdot {0.66}^1$=0.017992427904≈ 0.018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

$P_{0.34}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.34}^6\cdot {0.66}^0$=0.001544804416≈ 0.0015
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	300	5000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-5	45	295	4995
P(X=xi)	0.8931	0.0873	0.018	0.0015
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{4,365}$	$\mathrm{5,4}$	$\mathrm{7,5}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{4,4655}$	$\mathrm{3,9285}$	$\mathrm{5,31}$	$\mathrm{7,4925}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8931 + 50⋅0.0873 + 300⋅0.018 + 5000⋅0.0015

≈ 17.27

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=17.27 - 5 = 12.27 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.8931 + 45⋅0.0873 + 295⋅0.018 + 4995⋅0.0015

≈ 12.27

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{3}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{3}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{1}{19}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{21}{190}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{1}{19}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{2}{19}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	250	220	60	30
P(X=xi)	$\frac{3}{95}$	$\frac{3}{95}$	$\frac{1}{19}$	$\frac{21}{190}$	$\frac{2}{19}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{600}{19}$	$\frac{150}{19}$	$\frac{220}{19}$	$\frac{126}{19}$	$\frac{60}{19}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{3}{95}$ + 250⋅$\frac{3}{95}$ + 220⋅$\frac{1}{19}$ + 60⋅$\frac{21}{190}$ + 30⋅$\frac{2}{19}$

= $\frac{600}{19}$$+$ $\frac{150}{19}$$+$ $\frac{220}{19}$$+$ $\frac{126}{19}$$+$ $\frac{60}{19}$
= $\frac{1156}{19}$

≈ 60.84