Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X\le 3)$ = $P_{0.21}^6(X=0)$ + $P_{0.21}^6(X=1)$ + $P_{0.21}^6(X=2)$ + $P_{0.21}^6(X=3)$ = 0.97977203119 ≈ 0.9798
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.21,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.21}^4\cdot {0.79}^2$=0.018206338815≈ 0.0182
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.21}^5\cdot {0.79}^1$=0.001935863874≈ 0.0019
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

$P_{0.21}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.21}^6\cdot {0.79}^0$=8.5766121E-5≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	300	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-5	25	295	1995
P(X=xi)	0.9798	0.0182	0.0019	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,546}$	$\mathrm{0,57}$	$\mathrm{0,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{4,899}$	$\mathrm{0,455}$	$\mathrm{0,5605}$	$\mathrm{0,1995}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9798 + 30⋅0.0182 + 300⋅0.0019 + 2000⋅0.0001

≈ 1.32

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.32 - 5 = -3.68 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.9798 + 25⋅0.0182 + 295⋅0.0019 + 1995⋅0.0001

≈ -3.68

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{6}{77}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{9}{77}$ + $\frac{9}{77}$ + $\frac{9}{77}$ = $\frac{27}{77}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{3}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{7}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{6}{77}$	$\frac{27}{77}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{7}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{27}{77}$	$\frac{6}{7}$	$\frac{3}{7}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{6}{77}$ + 1⋅$\frac{27}{77}$ + 2⋅$\frac{3}{7}$ + 3⋅$\frac{1}{7}$

= $0$$+$ $\frac{27}{77}$$+$ $\frac{6}{7}$$+$ $\frac{3}{7}$
= $\frac{0}{77}$$+$ $\frac{27}{77}$$+$ $\frac{66}{77}$$+$ $\frac{33}{77}$
= $\frac{126}{77}$
= $\frac{18}{11}$

≈ 1.64