Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X\le 3)$ = $P_{0.25}^6(X=0)$ + $P_{0.25}^6(X=1)$ + $P_{0.25}^6(X=2)$ + $P_{0.25}^6(X=3)$ = 0.96240234375 ≈ 0.9624
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.25}^4\cdot {0.75}^2$=0.032958984375≈ 0.033
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.25}^5\cdot {0.75}^1$=0.00439453125≈ 0.0044
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.25}^6\cdot {0.75}^0$=0.000244140625≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	40	500	4000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-19	21	481	3981
P(X=xi)	0.9624	0.033	0.0044	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,32}$	$\mathrm{2,2}$	$\mathrm{0,8}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{18,2856}$	$\mathrm{0,693}$	$\mathrm{2,1164}$	$\mathrm{0,7962}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9624 + 40⋅0.033 + 500⋅0.0044 + 4000⋅0.0002

≈ 4.32

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.32 - 19 = -14.68 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -19⋅0.9624 + 21⋅0.033 + 481⋅0.0044 + 3981⋅0.0002

≈ -14.68

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{11}{13}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{11}{78}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{1}{78}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3
Zufallsgröße xi	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{11}{13}$	$\frac{11}{78}$	$\frac{1}{78}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{11}{13}$	$\frac{11}{39}$	$\frac{1}{26}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{11}{13}$ + 2⋅$\frac{11}{78}$ + 3⋅$\frac{1}{78}$

= $\frac{11}{13}$$+$ $\frac{11}{39}$$+$ $\frac{1}{26}$
= $\frac{66}{78}$$+$ $\frac{22}{78}$$+$ $\frac{3}{78}$
= $\frac{91}{78}$
= $\frac{7}{6}$

≈ 1.17