Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X\le 3)$ = $P_{0.28}^6(X=0)$ + $P_{0.28}^6(X=1)$ + $P_{0.28}^6(X=2)$ + $P_{0.28}^6(X=3)$ = 0.94428758016 ≈ 0.9443
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.28,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.28}^4\cdot {0.72}^2$=0.04779565056≈ 0.0478
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.28}^5\cdot {0.72}^1$=0.007434878976≈ 0.0074
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.28}^6\cdot {0.72}^0$=0.000481890304≈ 0.0005
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	100	4000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-11	19	89	3989
P(X=xi)	0.9443	0.0478	0.0074	0.0005
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,434}$	$\mathrm{0,74}$	$2$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{10,3873}$	$\mathrm{0,9082}$	$\mathrm{0,6586}$	$\mathrm{1,9945}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9443 + 30⋅0.0478 + 100⋅0.0074 + 4000⋅0.0005

≈ 4.17

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.17 - 11 = -6.83 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -11⋅0.9443 + 19⋅0.0478 + 89⋅0.0074 + 3989⋅0.0005

≈ -6.83

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{3}{23}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{15}{184}$ + $\frac{15}{184}$ = $\frac{15}{92}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	450	180	90	15
P(X=xi)	$\frac{5}{138}$	$\frac{5}{138}$	$\frac{3}{23}$	$\frac{5}{138}$	$\frac{15}{92}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{2500}{69}$	$\frac{375}{23}$	$\frac{540}{23}$	$\frac{75}{23}$	$\frac{225}{92}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{5}{138}$ + 450⋅$\frac{5}{138}$ + 180⋅$\frac{3}{23}$ + 90⋅$\frac{5}{138}$ + 15⋅$\frac{15}{92}$

= $\frac{2500}{69}$$+$ $\frac{375}{23}$$+$ $\frac{540}{23}$$+$ $\frac{75}{23}$$+$ $\frac{225}{92}$
= $\frac{10000}{276}$$+$ $\frac{4500}{276}$$+$ $\frac{6480}{276}$$+$ $\frac{900}{276}$$+$ $\frac{675}{276}$
= $\frac{22555}{276}$

≈ 81.72