Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X\le 3)$ = $P_{0.33}^6(X=0)$ + $P_{0.33}^6(X=1)$ + $P_{0.33}^6(X=2)$ + $P_{0.33}^6(X=3)$ = 0.90312211351 ≈ 0.9031
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.33,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.33}^4\cdot {0.67}^2$=0.079853990535≈ 0.0799
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.33}^5\cdot {0.67}^1$=0.015732427986≈ 0.0157
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.33}^6\cdot {0.67}^0$=0.001291467969≈ 0.0013
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	400	3000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-10	40	390	2990
P(X=xi)	0.9031	0.0799	0.0157	0.0013
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{3,995}$	$\mathrm{6,28}$	$\mathrm{3,9}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{9,031}$	$\mathrm{3,196}$	$\mathrm{6,123}$	$\mathrm{3,887}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9031 + 50⋅0.0799 + 400⋅0.0157 + 3000⋅0.0013

≈ 14.18

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=14.18 - 10 = 4.18 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.9031 + 40⋅0.0799 + 390⋅0.0157 + 2990⋅0.0013

≈ 4.18

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{21}{325}$ + $\frac{21}{325}$ + $\frac{21}{325}$ = $\frac{63}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ = $\frac{153}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{102}{325}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{7}{325}$	$\frac{63}{325}$	$\frac{153}{325}$	$\frac{102}{325}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{63}{325}$	$\frac{306}{325}$	$\frac{306}{325}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{7}{325}$ + 1⋅$\frac{63}{325}$ + 2⋅$\frac{153}{325}$ + 3⋅$\frac{102}{325}$

= $0$$+$ $\frac{63}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$
= $\frac{0}{325}$$+$ $\frac{63}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$
= $\frac{675}{325}$
= $\frac{27}{13}$

≈ 2.08