Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.23.

$P_{0.23}^5(X\le 1)$ = $P_{0.23}^5(X=0)$ + $P_{0.23}^5(X=1)$ = 0.6749383872 ≈ 0.6749
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.23,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.23.

$P_{0.23}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.23}^2\cdot {0.77}^3$=0.241505957≈ 0.2415
(TI-Befehl: binompdf(5,0.23,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.23.

$P_{0.23}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.23}^3\cdot {0.77}^2$=0.072138143≈ 0.0721
(TI-Befehl: binompdf(5,0.23,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.23.

$P_{0.23}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.23}^4\cdot {0.77}^1$=0.0107738785≈ 0.0108
(TI-Befehl: binompdf(5,0.23,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.23.

$P_{0.23}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.23}^5\cdot {0.77}^0$=0.0006436343≈ 0.0006
(TI-Befehl: binompdf(5,0.23,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-6	-2	3	10	19
P(X=xi)	0.6749	0.2415	0.0721	0.0108	0.0006
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,966}$	$\mathrm{0,6489}$	$\mathrm{0,1728}$	$\mathrm{0,015}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{4,0494}$	$-\mathrm{0,483}$	$\mathrm{0,2163}$	$\mathrm{0,108}$	$\mathrm{0,0114}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6749 + 4⋅0.2415 + 9⋅0.0721 + 16⋅0.0108 + 25⋅0.0006

≈ 1.8

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.8 - 6 = -4.2 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.6749 + -2⋅0.2415 + 3⋅0.0721 + 10⋅0.0108 + 19⋅0.0006

≈ -4.2

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{3}{29}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{28}{435}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{1}{29}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{1}{29}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{8}{145}$ + $\frac{8}{145}$ = $\frac{16}{145}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	500	350	160	50	40
P(X=xi)	$\frac{3}{29}$	$\frac{28}{435}$	$\frac{1}{29}$	$\frac{1}{29}$	$\frac{16}{145}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{1500}{29}$	$\frac{1960}{87}$	$\frac{160}{29}$	$\frac{50}{29}$	$\frac{128}{29}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅$\frac{3}{29}$ + 350⋅$\frac{28}{435}$ + 160⋅$\frac{1}{29}$ + 50⋅$\frac{1}{29}$ + 40⋅$\frac{16}{145}$

= $\frac{1500}{29}$$+$ $\frac{1960}{87}$$+$ $\frac{160}{29}$$+$ $\frac{50}{29}$$+$ $\frac{128}{29}$
= $\frac{4500}{87}$$+$ $\frac{1960}{87}$$+$ $\frac{480}{87}$$+$ $\frac{150}{87}$$+$ $\frac{384}{87}$
= $\frac{7474}{87}$

≈ 85.91