Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.23.

$P_{0.23}^5(X\le 1)$ = $P_{0.23}^5(X=0)$ + $P_{0.23}^5(X=1)$ = 0.6749383872 ≈ 0.6749
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.23,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.23.

$P_{0.23}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.23}^2\cdot {0.77}^3$=0.241505957≈ 0.2415
(TI-Befehl: binompdf(5,0.23,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.23.

$P_{0.23}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.23}^3\cdot {0.77}^2$=0.072138143≈ 0.0721
(TI-Befehl: binompdf(5,0.23,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.23.

$P_{0.23}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.23}^4\cdot {0.77}^1$=0.0107738785≈ 0.0108
(TI-Befehl: binompdf(5,0.23,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.23.

$P_{0.23}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.23}^5\cdot {0.77}^0$=0.0006436343≈ 0.0006
(TI-Befehl: binompdf(5,0.23,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-10	-6	-1	6	15
P(X=xi)	0.6749	0.2415	0.0721	0.0108	0.0006
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,966}$	$\mathrm{0,6489}$	$\mathrm{0,1728}$	$\mathrm{0,015}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{6,749}$	$-\mathrm{1,449}$	$-\mathrm{0,0721}$	$\mathrm{0,0648}$	$\mathrm{0,009}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6749 + 4⋅0.2415 + 9⋅0.0721 + 16⋅0.0108 + 25⋅0.0006

≈ 1.8

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.8 - 10 = -8.2 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.6749 + -6⋅0.2415 + -1⋅0.0721 + 6⋅0.0108 + 15⋅0.0006

≈ -8.2

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{6}{115}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{9}{92}$ + $\frac{9}{92}$ + $\frac{9}{92}$ = $\frac{27}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{46}$ + $\frac{7}{46}$ + $\frac{7}{46}$ = $\frac{21}{46}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{91}{460}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{6}{115}$	$\frac{27}{92}$	$\frac{21}{46}$	$\frac{91}{460}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{27}{92}$	$\frac{21}{23}$	$\frac{273}{460}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{6}{115}$ + 1⋅$\frac{27}{92}$ + 2⋅$\frac{21}{46}$ + 3⋅$\frac{91}{460}$

= $0$$+$ $\frac{27}{92}$$+$ $\frac{21}{23}$$+$ $\frac{273}{460}$
= $\frac{0}{460}$$+$ $\frac{135}{460}$$+$ $\frac{420}{460}$$+$ $\frac{273}{460}$
= $\frac{828}{460}$
= $\frac{9}{5}$

≈ 1.8