Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 125€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 20€, bei einer Sechs 1€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 0)

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}

=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 1)

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}

=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 2)

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1}

=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 3)

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0}

=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	20	125
P(X=x_i)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,3472$	$1,388$	$0,575$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 1⋅0.3472 + 20⋅0.0694 + 125⋅0.0046

≈ 2.31

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{9}{11}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{9}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{1}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3
Zufallsgröße x_i	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{9}{11}$	$\frac{9}{55}$	$\frac{1}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{9}{11}$	$\frac{18}{55}$	$\frac{3}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{9}{11}$ + 2⋅ $\frac{9}{55}$ + 3⋅ $\frac{1}{55}$

= $\frac{9}{11}$ $+$ $\frac{18}{55}$ $+$ $\frac{3}{55}$
= $\frac{45}{55}$ $+$ $\frac{18}{55}$ $+$ $\frac{3}{55}$
= $\frac{66}{55}$
= $\frac{6}{5}$

≈ 1.2