Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X\le 1)$ = $P_{0.21}^5(X=0)$ + $P_{0.21}^5(X=1)$ = 0.7166814904 ≈ 0.7167
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.21,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.21}^2\cdot {0.79}^3$=0.217430199≈ 0.2174
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.21}^3\cdot {0.79}^2$=0.057797901≈ 0.0578
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.21}^4\cdot {0.79}^1$=0.0076819995≈ 0.0077
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.21}^5\cdot {0.79}^0$=0.0004084101≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	-3	2	9	18
P(X=xi)	0.7167	0.2174	0.0578	0.0077	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,8696}$	$\mathrm{0,5202}$	$\mathrm{0,1232}$	$\mathrm{0,01}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{5,0169}$	$-\mathrm{0,6522}$	$\mathrm{0,1156}$	$\mathrm{0,0693}$	$\mathrm{0,0072}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7167 + 4⋅0.2174 + 9⋅0.0578 + 16⋅0.0077 + 25⋅0.0004

≈ 1.52

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.52 - 7 = -5.48 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.7167 + -3⋅0.2174 + 2⋅0.0578 + 9⋅0.0077 + 18⋅0.0004

≈ -5.48

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{6}{77}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{9}{77}$ + $\frac{9}{77}$ + $\frac{9}{77}$ = $\frac{27}{77}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{3}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{7}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{6}{77}$	$\frac{27}{77}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{7}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{27}{77}$	$\frac{6}{7}$	$\frac{3}{7}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{6}{77}$ + 1⋅$\frac{27}{77}$ + 2⋅$\frac{3}{7}$ + 3⋅$\frac{1}{7}$

= $0$$+$ $\frac{27}{77}$$+$ $\frac{6}{7}$$+$ $\frac{3}{7}$
= $\frac{0}{77}$$+$ $\frac{27}{77}$$+$ $\frac{66}{77}$$+$ $\frac{33}{77}$
= $\frac{126}{77}$
= $\frac{18}{11}$

≈ 1.64