Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X\le 3)$ = $P_{0.26}^6(X=0)$ + $P_{0.26}^6(X=1)$ + $P_{0.26}^6(X=2)$ + $P_{0.26}^6(X=3)$ = 0.95687974464 ≈ 0.9569
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.26,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.26}^4\cdot {0.74}^2$=0.03753600864≈ 0.0375
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.26}^5\cdot {0.74}^1$=0.005275330944≈ 0.0053
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.26}^6\cdot {0.74}^0$=0.000308915776≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	400	4000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-11	39	389	3989
P(X=xi)	0.9569	0.0375	0.0053	0.0003
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,875}$	$\mathrm{2,12}$	$\mathrm{1,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{10,5259}$	$\mathrm{1,4625}$	$\mathrm{2,0617}$	$\mathrm{1,1967}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9569 + 50⋅0.0375 + 400⋅0.0053 + 4000⋅0.0003

≈ 5.2

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=5.2 - 11 = -5.8 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -11⋅0.9569 + 39⋅0.0375 + 389⋅0.0053 + 3989⋅0.0003

≈ -5.81

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{17}$ + $\frac{1}{17}$ + $\frac{1}{17}$ = $\frac{3}{17}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ = $\frac{33}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{34}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{1}{68}$	$\frac{3}{17}$	$\frac{33}{68}$	$\frac{11}{34}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{3}{17}$	$\frac{33}{34}$	$\frac{33}{34}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{68}$ + 1⋅$\frac{3}{17}$ + 2⋅$\frac{33}{68}$ + 3⋅$\frac{11}{34}$

= $0$$+$ $\frac{3}{17}$$+$ $\frac{33}{34}$$+$ $\frac{33}{34}$
= $\frac{0}{34}$$+$ $\frac{6}{34}$$+$ $\frac{33}{34}$$+$ $\frac{33}{34}$
= $\frac{72}{34}$
= $\frac{36}{17}$

≈ 2.12