Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

$P_{0.2}^6(X\le 3)$ = $P_{0.2}^6(X=0)$ + $P_{0.2}^6(X=1)$ + $P_{0.2}^6(X=2)$ + $P_{0.2}^6(X=3)$ = 0.98304 ≈ 0.983
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.2,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

$P_{0.2}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.2}^4\cdot {0.8}^2$=0.01536≈ 0.0154
(TI-Befehl: binompdf(6,0.2,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

$P_{0.2}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.2}^5\cdot {0.8}^1$=0.001536≈ 0.0015
(TI-Befehl: binompdf(6,0.2,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

$P_{0.2}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.2}^6\cdot {0.8}^0$=6.4E-5≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.2,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	100	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-20	30	80	1980
P(X=xi)	0.983	0.0154	0.0015	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,77}$	$\mathrm{0,15}$	$\mathrm{0,2}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{19,66}$	$\mathrm{0,462}$	$\mathrm{0,12}$	$\mathrm{0,198}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.983 + 50⋅0.0154 + 100⋅0.0015 + 2000⋅0.0001

≈ 1.12

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.12 - 20 = -18.88 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -20⋅0.983 + 30⋅0.0154 + 80⋅0.0015 + 1980⋅0.0001

≈ -18.88

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ = $\frac{12}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ = $\frac{28}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{14}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	10	100	10000
P(X=xi)	$\frac{1}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{24}{11}$	$\frac{560}{11}$	$\frac{28000}{11}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{55}$ + 10⋅$\frac{12}{55}$ + 100⋅$\frac{28}{55}$ + 10000⋅$\frac{14}{55}$

= $0$$+$ $\frac{24}{11}$$+$ $\frac{560}{11}$$+$ $\frac{28000}{11}$
= $\frac{0}{11}$$+$ $\frac{24}{11}$$+$ $\frac{560}{11}$$+$ $\frac{28000}{11}$
= $\frac{28584}{11}$

≈ 2598.55