Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X\le 3)$ = $P_{0.26}^6(X=0)$ + $P_{0.26}^6(X=1)$ + $P_{0.26}^6(X=2)$ + $P_{0.26}^6(X=3)$ = 0.95687974464 ≈ 0.9569
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.26,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.26}^4\cdot {0.74}^2$=0.03753600864≈ 0.0375
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.26}^5\cdot {0.74}^1$=0.005275330944≈ 0.0053
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.26}^6\cdot {0.74}^0$=0.000308915776≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	10	300	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-12	-2	288	1988
P(X=xi)	0.9569	0.0375	0.0053	0.0003
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,375}$	$\mathrm{1,59}$	$\mathrm{0,6}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{11,4828}$	$-\mathrm{0,075}$	$\mathrm{1,5264}$	$\mathrm{0,5964}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9569 + 10⋅0.0375 + 300⋅0.0053 + 2000⋅0.0003

≈ 2.57

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.57 - 12 = -9.43 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -12⋅0.9569 + -2⋅0.0375 + 288⋅0.0053 + 1988⋅0.0003

≈ -9.44

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	8	16	64
P(X=xi)	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{7}{5}$	$\frac{42}{5}$	$\frac{56}{3}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{120}$ + 8⋅$\frac{7}{40}$ + 16⋅$\frac{21}{40}$ + 64⋅$\frac{7}{24}$

= $0$$+$ $\frac{7}{5}$$+$ $\frac{42}{5}$$+$ $\frac{56}{3}$
= $\frac{0}{15}$$+$ $\frac{21}{15}$$+$ $\frac{126}{15}$$+$ $\frac{280}{15}$
= $\frac{427}{15}$

≈ 28.47