Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X\le 3)$ = $P_{0.27}^6(X=0)$ + $P_{0.27}^6(X=1)$ + $P_{0.27}^6(X=2)$ + $P_{0.27}^6(X=3)$ = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.27}^4\cdot {0.73}^2$=0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.27}^5\cdot {0.73}^1$=0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.27}^6\cdot {0.73}^0$=0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	10	200	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-20	-10	180	980
P(X=xi)	0.9508	0.0425	0.0063	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,425}$	$\mathrm{1,26}$	$\mathrm{0,4}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{19,016}$	$-\mathrm{0,425}$	$\mathrm{1,134}$	$\mathrm{0,392}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 10⋅0.0425 + 200⋅0.0063 + 1000⋅0.0004

≈ 2.09

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.09 - 20 = -17.91 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -20⋅0.9508 + -10⋅0.0425 + 180⋅0.0063 + 980⋅0.0004

≈ -17.92

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{4}{261}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{14}{261}$ + $\frac{14}{261}$ + $\frac{14}{261}$ = $\frac{14}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{40}{261}$ + $\frac{40}{261}$ + $\frac{40}{261}$ = $\frac{40}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{95}{261}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{4}{261}$	$\frac{14}{87}$	$\frac{40}{87}$	$\frac{95}{261}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{14}{87}$	$\frac{80}{87}$	$\frac{95}{87}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{4}{261}$ + 1⋅$\frac{14}{87}$ + 2⋅$\frac{40}{87}$ + 3⋅$\frac{95}{261}$

= $0$$+$ $\frac{14}{87}$$+$ $\frac{80}{87}$$+$ $\frac{95}{87}$
= $\frac{0}{87}$$+$ $\frac{14}{87}$$+$ $\frac{80}{87}$$+$ $\frac{95}{87}$
= $\frac{189}{87}$
= $\frac{63}{29}$

≈ 2.17