Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X\le 1)$ = $P_{0.25}^5(X=0)$ + $P_{0.25}^5(X=1)$ = 0.6328125 ≈ 0.6328
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.25,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.25}^2\cdot {0.75}^3$=0.263671875≈ 0.2637
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.25}^3\cdot {0.75}^2$=0.087890625≈ 0.0879
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.25}^4\cdot {0.75}^1$=0.0146484375≈ 0.0146
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.25}^5\cdot {0.75}^0$=0.0009765625≈ 0.001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-6	-2	3	10	19
P(X=xi)	0.6328	0.2637	0.0879	0.0146	0.001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,0548}$	$\mathrm{0,7911}$	$\mathrm{0,2336}$	$\mathrm{0,025}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{3,7968}$	$-\mathrm{0,5274}$	$\mathrm{0,2637}$	$\mathrm{0,146}$	$\mathrm{0,019}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6328 + 4⋅0.2637 + 9⋅0.0879 + 16⋅0.0146 + 25⋅0.001

≈ 2.1

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.1 - 6 = -3.9 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.6328 + -2⋅0.2637 + 3⋅0.0879 + 10⋅0.0146 + 19⋅0.001

≈ -3.9

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{46}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{3}{23}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{5}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{15}{184}$ + $\frac{15}{184}$ = $\frac{15}{92}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	500	400	140	80	15
P(X=xi)	$\frac{1}{46}$	$\frac{5}{138}$	$\frac{3}{23}$	$\frac{5}{92}$	$\frac{15}{92}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{250}{23}$	$\frac{1000}{69}$	$\frac{420}{23}$	$\frac{100}{23}$	$\frac{225}{92}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅$\frac{1}{46}$ + 400⋅$\frac{5}{138}$ + 140⋅$\frac{3}{23}$ + 80⋅$\frac{5}{92}$ + 15⋅$\frac{15}{92}$

= $\frac{250}{23}$$+$ $\frac{1000}{69}$$+$ $\frac{420}{23}$$+$ $\frac{100}{23}$$+$ $\frac{225}{92}$
= $\frac{3000}{276}$$+$ $\frac{4000}{276}$$+$ $\frac{5040}{276}$$+$ $\frac{1200}{276}$$+$ $\frac{675}{276}$
= $\frac{13915}{276}$
= $\frac{605}{12}$

≈ 50.42