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Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 86% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.86 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.14 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.14=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.14}$ ≈ 0.6117

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6117 ≈ 0.3883

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 23 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 85%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{23}$ ⋅ $\frac{2}{22}$ =1- $\frac{3}{253}$ ≈0.9881
4	1- $\frac{4}{23}$ ⋅ $\frac{3}{22}$ =1- $\frac{6}{253}$ ≈0.9763
5	1- $\frac{5}{23}$ ⋅ $\frac{4}{22}$ =1- $\frac{10}{253}$ ≈0.9605
6	1- $\frac{6}{23}$ ⋅ $\frac{5}{22}$ =1- $\frac{15}{253}$ ≈0.9407
7	1- $\frac{7}{23}$ ⋅ $\frac{6}{22}$ =1- $\frac{21}{253}$ ≈0.917
8	1- $\frac{8}{23}$ ⋅ $\frac{7}{22}$ =1- $\frac{28}{253}$ ≈0.8893
9	1- $\frac{9}{23}$ ⋅ $\frac{8}{22}$ =1- $\frac{36}{253}$ ≈0.8577
10	1- $\frac{10}{23}$ ⋅ $\frac{9}{22}$ =1- $\frac{45}{253}$ ≈0.8221
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{23}$ ⋅ $\frac{2}{22}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{23}$ und beim zweiten $\frac{2}{22}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{23}$ ⋅ $\frac{2}{22}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/23*(x-1)/22)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 9 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 9 sein.