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Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,5. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.5 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.5=p⁴

=>p= $\sqrt[4]{0.5}$ ≈ 0.8409

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 25 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

Lösung einblenden

Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$ =1- $\frac{77}{100}$ ≈0.23
4	1- $\frac{21}{25}$ ⋅ $\frac{20}{24}$ =1- $\frac{7}{10}$ ≈0.3
5	1- $\frac{20}{25}$ ⋅ $\frac{19}{24}$ =1- $\frac{19}{30}$ ≈0.3667
6	1- $\frac{19}{25}$ ⋅ $\frac{18}{24}$ =1- $\frac{57}{100}$ ≈0.43
7	1- $\frac{18}{25}$ ⋅ $\frac{17}{24}$ =1- $\frac{51}{100}$ ≈0.49
8	1- $\frac{17}{25}$ ⋅ $\frac{16}{24}$ =1- $\frac{34}{75}$ ≈0.5467
9	1- $\frac{16}{25}$ ⋅ $\frac{15}{24}$ =1- $\frac{2}{5}$ ≈0.6
10	1- $\frac{15}{25}$ ⋅ $\frac{14}{24}$ =1- $\frac{7}{20}$ ≈0.65
11	1- $\frac{14}{25}$ ⋅ $\frac{13}{24}$ =1- $\frac{91}{300}$ ≈0.6967
12	1- $\frac{13}{25}$ ⋅ $\frac{12}{24}$ =1- $\frac{13}{50}$ ≈0.74
13	1- $\frac{12}{25}$ ⋅ $\frac{11}{24}$ =1- $\frac{11}{50}$ ≈0.78
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{22}{25}$ und beim zweiten $\frac{21}{24}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(25-x)/25*(24-x)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 13 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 13 sein.