Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.85 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.15 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.
Es gilt also 0.15=(1-p)4
=>1-p= ≈ 0.6223
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6223 ≈ 0.3777
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?
Anzahl der Nieten im Lostopf | P('höchstens eine Niete') |
---|---|
... | ... |
7 | 1-⋅=1-≈0.9881 |
8 | 1-⋅=1-≈0.9842 |
9 | 1-⋅=1-≈0.9797 |
10 | 1-⋅=1-≈0.9746 |
11 | 1-⋅=1-≈0.9689 |
12 | 1-⋅=1-≈0.9627 |
13 | 1-⋅=1-≈0.9559 |
14 | 1-⋅=1-≈0.9486 |
15 | 1-⋅=1-≈0.9407 |
16 | 1-⋅=1-≈0.9322 |
17 | 1-⋅=1-≈0.9232 |
18 | 1-⋅=1-≈0.9136 |
19 | 1-⋅=1-≈0.9034 |
20 | 1-⋅=1-≈0.8927 |
21 | 1-⋅=1-≈0.8814 |
22 | 1-⋅=1-≈0.8695 |
23 | 1-⋅=1-≈0.8571 |
24 | 1-⋅=1-≈0.8441 |
25 | 1-⋅=1-≈0.8305 |
26 | 1-⋅=1-≈0.8164 |
27 | 1-⋅=1-≈0.8017 |
28 | 1-⋅=1-≈0.7864 |
... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 27 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 27 sein.