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Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 55% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.55 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.45 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.45=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.45}$ ≈ 0.819

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.819 ≈ 0.181

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 45 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

Lösung einblenden

Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$ =1- $\frac{287}{330}$ ≈0.1303
4	1- $\frac{41}{45}$ ⋅ $\frac{40}{44}$ =1- $\frac{82}{99}$ ≈0.1717
5	1- $\frac{40}{45}$ ⋅ $\frac{39}{44}$ =1- $\frac{26}{33}$ ≈0.2121
6	1- $\frac{39}{45}$ ⋅ $\frac{38}{44}$ =1- $\frac{247}{330}$ ≈0.2515
7	1- $\frac{38}{45}$ ⋅ $\frac{37}{44}$ =1- $\frac{703}{990}$ ≈0.2899
8	1- $\frac{37}{45}$ ⋅ $\frac{36}{44}$ =1- $\frac{37}{55}$ ≈0.3273
9	1- $\frac{36}{45}$ ⋅ $\frac{35}{44}$ =1- $\frac{7}{11}$ ≈0.3636
10	1- $\frac{35}{45}$ ⋅ $\frac{34}{44}$ =1- $\frac{119}{198}$ ≈0.399
11	1- $\frac{34}{45}$ ⋅ $\frac{33}{44}$ =1- $\frac{17}{30}$ ≈0.4333
12	1- $\frac{33}{45}$ ⋅ $\frac{32}{44}$ =1- $\frac{8}{15}$ ≈0.4667
13	1- $\frac{32}{45}$ ⋅ $\frac{31}{44}$ =1- $\frac{248}{495}$ ≈0.499
14	1- $\frac{31}{45}$ ⋅ $\frac{30}{44}$ =1- $\frac{31}{66}$ ≈0.5303
15	1- $\frac{30}{45}$ ⋅ $\frac{29}{44}$ =1- $\frac{29}{66}$ ≈0.5606
16	1- $\frac{29}{45}$ ⋅ $\frac{28}{44}$ =1- $\frac{203}{495}$ ≈0.5899
17	1- $\frac{28}{45}$ ⋅ $\frac{27}{44}$ =1- $\frac{21}{55}$ ≈0.6182
18	1- $\frac{27}{45}$ ⋅ $\frac{26}{44}$ =1- $\frac{39}{110}$ ≈0.6455
19	1- $\frac{26}{45}$ ⋅ $\frac{25}{44}$ =1- $\frac{65}{198}$ ≈0.6717
20	1- $\frac{25}{45}$ ⋅ $\frac{24}{44}$ =1- $\frac{10}{33}$ ≈0.697
21	1- $\frac{24}{45}$ ⋅ $\frac{23}{44}$ =1- $\frac{46}{165}$ ≈0.7212
22	1- $\frac{23}{45}$ ⋅ $\frac{22}{44}$ =1- $\frac{23}{90}$ ≈0.7444
23	1- $\frac{22}{45}$ ⋅ $\frac{21}{44}$ =1- $\frac{7}{30}$ ≈0.7667
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{42}{45}$ und beim zweiten $\frac{41}{44}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(45-x)/45*(44-x)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 23 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 23 sein.