Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.85 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.15 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.15=(1-p)4

=>1-p=0.154 ≈ 0.6223

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6223 ≈ 0.3777

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

Lösung einblenden
Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
71- 7 60 6 59 =1- 7 590 ≈0.9881
81- 8 60 7 59 =1- 14 885 ≈0.9842
91- 9 60 8 59 =1- 6 295 ≈0.9797
101- 10 60 9 59 =1- 3 118 ≈0.9746
111- 11 60 10 59 =1- 11 354 ≈0.9689
121- 12 60 11 59 =1- 11 295 ≈0.9627
131- 13 60 12 59 =1- 13 295 ≈0.9559
141- 14 60 13 59 =1- 91 1770 ≈0.9486
151- 15 60 14 59 =1- 7 118 ≈0.9407
161- 16 60 15 59 =1- 4 59 ≈0.9322
171- 17 60 16 59 =1- 68 885 ≈0.9232
181- 18 60 17 59 =1- 51 590 ≈0.9136
191- 19 60 18 59 =1- 57 590 ≈0.9034
201- 20 60 19 59 =1- 19 177 ≈0.8927
211- 21 60 20 59 =1- 7 59 ≈0.8814
221- 22 60 21 59 =1- 77 590 ≈0.8695
231- 23 60 22 59 =1- 253 1770 ≈0.8571
241- 24 60 23 59 =1- 46 295 ≈0.8441
251- 25 60 24 59 =1- 10 59 ≈0.8305
261- 26 60 25 59 =1- 65 354 ≈0.8164
271- 27 60 26 59 =1- 117 590 ≈0.8017
281- 28 60 27 59 =1- 63 295 ≈0.7864
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 7 60 6 59 (beim ersten Zufallsversuch 7 60 und beim zweiten 6 59 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 7 60 6 59

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 27 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 27 sein.