Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,5. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.5 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.5=p⁴

=>p= $\sqrt[4]{0.5}$ ≈ 0.8409

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
6	1- $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$ =1- $\frac{1}{99}$ ≈0.9899
7	1- $\frac{7}{55}$ ⋅ $\frac{6}{54}$ =1- $\frac{7}{495}$ ≈0.9859
8	1- $\frac{8}{55}$ ⋅ $\frac{7}{54}$ =1- $\frac{28}{1485}$ ≈0.9811
9	1- $\frac{9}{55}$ ⋅ $\frac{8}{54}$ =1- $\frac{4}{165}$ ≈0.9758
10	1- $\frac{10}{55}$ ⋅ $\frac{9}{54}$ =1- $\frac{1}{33}$ ≈0.9697
11	1- $\frac{11}{55}$ ⋅ $\frac{10}{54}$ =1- $\frac{1}{27}$ ≈0.963
12	1- $\frac{12}{55}$ ⋅ $\frac{11}{54}$ =1- $\frac{2}{45}$ ≈0.9556
13	1- $\frac{13}{55}$ ⋅ $\frac{12}{54}$ =1- $\frac{26}{495}$ ≈0.9475
14	1- $\frac{14}{55}$ ⋅ $\frac{13}{54}$ =1- $\frac{91}{1485}$ ≈0.9387
15	1- $\frac{15}{55}$ ⋅ $\frac{14}{54}$ =1- $\frac{7}{99}$ ≈0.9293
16	1- $\frac{16}{55}$ ⋅ $\frac{15}{54}$ =1- $\frac{8}{99}$ ≈0.9192
17	1- $\frac{17}{55}$ ⋅ $\frac{16}{54}$ =1- $\frac{136}{1485}$ ≈0.9084
18	1- $\frac{18}{55}$ ⋅ $\frac{17}{54}$ =1- $\frac{17}{165}$ ≈0.897
19	1- $\frac{19}{55}$ ⋅ $\frac{18}{54}$ =1- $\frac{19}{165}$ ≈0.8848
20	1- $\frac{20}{55}$ ⋅ $\frac{19}{54}$ =1- $\frac{38}{297}$ ≈0.8721
21	1- $\frac{21}{55}$ ⋅ $\frac{20}{54}$ =1- $\frac{14}{99}$ ≈0.8586
22	1- $\frac{22}{55}$ ⋅ $\frac{21}{54}$ =1- $\frac{7}{45}$ ≈0.8444
23	1- $\frac{23}{55}$ ⋅ $\frac{22}{54}$ =1- $\frac{23}{135}$ ≈0.8296
24	1- $\frac{24}{55}$ ⋅ $\frac{23}{54}$ =1- $\frac{92}{495}$ ≈0.8141
25	1- $\frac{25}{55}$ ⋅ $\frac{24}{54}$ =1- $\frac{20}{99}$ ≈0.798
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{6}{55}$ und beim zweiten $\frac{5}{54}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 24 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 24 sein.