Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p4

=>p=0.14 ≈ 0.5623

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 95% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

Lösung einblenden
Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
61- 6 55 5 54 =1- 1 99 ≈0.9899
71- 7 55 6 54 =1- 7 495 ≈0.9859
81- 8 55 7 54 =1- 28 1485 ≈0.9811
91- 9 55 8 54 =1- 4 165 ≈0.9758
101- 10 55 9 54 =1- 1 33 ≈0.9697
111- 11 55 10 54 =1- 1 27 ≈0.963
121- 12 55 11 54 =1- 2 45 ≈0.9556
131- 13 55 12 54 =1- 26 495 ≈0.9475
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 6 55 5 54 (beim ersten Zufallsversuch 6 55 und beim zweiten 5 54 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 6 55 5 54

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 12 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 12 sein.