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Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 85% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.85 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.15 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.

Es gilt also 0.15=(1-p)3

=>1-p=0.153 ≈ 0.5313

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5313 ≈ 0.4687

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 21 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

Lösung einblenden
Anzahl der Joker im KartenstapelP('höchstens einen Joker')
......
31- 3 21 ⋅ 2 20 =1- 1 70 ≈0.9857
41- 4 21 ⋅ 3 20 =1- 1 35 ≈0.9714
51- 5 21 ⋅ 4 20 =1- 1 21 ≈0.9524
61- 6 21 ⋅ 5 20 =1- 1 14 ≈0.9286
71- 7 21 ⋅ 6 20 =1- 1 10 ≈0.9
81- 8 21 ⋅ 7 20 =1- 2 15 ≈0.8667
91- 9 21 ⋅ 8 20 =1- 6 35 ≈0.8286
101- 10 21 ⋅ 9 20 =1- 3 14 ≈0.7857
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= 3 21 ⋅ 2 20 (beim ersten Zufallsversuch 3 21 und beim zweiten 2 20 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- 3 21 ⋅ 2 20

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/21*(x-1)/20)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 9 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 9 sein.