zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 88% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.88 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.12 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.12=(1-p)2

=>1-p=0.122 ≈ 0.3464

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.3464 ≈ 0.6536

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 40 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

Lösung einblenden
Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 37 40 ⋅ 36 39 =1- 111 130 ≈0.1462
41- 36 40 ⋅ 35 39 =1- 21 26 ≈0.1923
51- 35 40 ⋅ 34 39 =1- 119 156 ≈0.2372
61- 34 40 ⋅ 33 39 =1- 187 260 ≈0.2808
71- 33 40 ⋅ 32 39 =1- 44 65 ≈0.3231
81- 32 40 ⋅ 31 39 =1- 124 195 ≈0.3641
91- 31 40 ⋅ 30 39 =1- 31 52 ≈0.4038
101- 30 40 ⋅ 29 39 =1- 29 52 ≈0.4423
111- 29 40 ⋅ 28 39 =1- 203 390 ≈0.4795
121- 28 40 ⋅ 27 39 =1- 63 130 ≈0.5154
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 37 40 ⋅ 36 39 (beim ersten Zufallsversuch 37 40 und beim zweiten 36 39 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 37 40 ⋅ 36 39

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(40-x)/40*(39-x)/39)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 12 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 12 sein.