Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 87% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.87 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.13 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.13=(1-p)4

=>1-p=0.134 ≈ 0.6005

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6005 ≈ 0.3995

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 25 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

Lösung einblenden
Anzahl der Joker im KartenstapelP('höchstens einen Joker')
......
41- 4 25 3 24 =1- 1 50 ≈0.98
51- 5 25 4 24 =1- 1 30 ≈0.9667
61- 6 25 5 24 =1- 1 20 ≈0.95
71- 7 25 6 24 =1- 7 100 ≈0.93
81- 8 25 7 24 =1- 7 75 ≈0.9067
91- 9 25 8 24 =1- 3 25 ≈0.88
101- 10 25 9 24 =1- 3 20 ≈0.85
111- 11 25 10 24 =1- 11 60 ≈0.8167
121- 12 25 11 24 =1- 11 50 ≈0.78
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= 4 25 3 24 (beim ersten Zufallsversuch 4 25 und beim zweiten 3 24 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- 4 25 3 24

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/25*(x-1)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 11 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 11 sein.