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Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 87% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.87 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.13 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.13=(1-p)2

=>1-p=0.132 ≈ 0.3606

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.3606 ≈ 0.6394

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 45 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

Lösung einblenden
Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 42 45 ⋅ 41 44 =1- 287 330 ≈0.1303
41- 41 45 ⋅ 40 44 =1- 82 99 ≈0.1717
51- 40 45 ⋅ 39 44 =1- 26 33 ≈0.2121
61- 39 45 ⋅ 38 44 =1- 247 330 ≈0.2515
71- 38 45 ⋅ 37 44 =1- 703 990 ≈0.2899
81- 37 45 ⋅ 36 44 =1- 37 55 ≈0.3273
91- 36 45 ⋅ 35 44 =1- 7 11 ≈0.3636
101- 35 45 ⋅ 34 44 =1- 119 198 ≈0.399
111- 34 45 ⋅ 33 44 =1- 17 30 ≈0.4333
121- 33 45 ⋅ 32 44 =1- 8 15 ≈0.4667
131- 32 45 ⋅ 31 44 =1- 248 495 ≈0.499
141- 31 45 ⋅ 30 44 =1- 31 66 ≈0.5303
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 42 45 ⋅ 41 44 (beim ersten Zufallsversuch 42 45 und beim zweiten 41 44 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 42 45 ⋅ 41 44

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(45-x)/45*(44-x)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 14 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 14 sein.