Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(0.4 ≤ X ≤ 2.2) ≈ 0.2394

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.8 den Wert k ≈ 15.05.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 90 und der Standardabweichung σ = 0.5.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 89.6) ≈ 0.2119

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 0.5.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.9 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.9, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.1 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.9 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.1 liefert der WTR k ≈ 99.359.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= 1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-10 ≤ X ≤ -1) ≈ 0.6107

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -5.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ -7) entspricht: P( X ≤ -7) = 0.159.

Für die roten Fläche(n) ergibt sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.159 - 0.159 = 0.682,

also P(-7 ≤ X ≤ -3) = 0.682

Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 4 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0249}}$ ≈ 20.08 und runden diesen auf σ₁ = 20.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 4 und σ₁=20) an der gegebenen Stelle x = 4 und erhalten f₁(4) = 0.0199
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=20 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 4 berechnen:

μ = 4	σ = 19	f(4) = 0.021
μ = 4	σ = 18	f(4) = 0.0222
μ = 4	σ = 17	f(4) = 0.0235
μ = 4	σ = 16	f(4) = 0.0249

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 16 sein.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 500 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 500) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 500) mindestens 0.9 ist:

μ = 500: P(X ≥ 500) = 0.5

μ = 501: P(X ≥ 500) = 0.6125

μ = 502: P(X ≥ 500) = 0.7161

μ = 503: P(X ≥ 500) = 0.8043

μ = 504: P(X ≥ 500) = 0.8735

μ = 505: P(X ≥ 500) = 0.9234

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 505 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 9.7) + P(X ≥ 12.3) < 10% oder eben, dass P(9.7 ≤ X ≤ 12.3) ≥ 0.9 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 1.3 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 1.3 weniger als 2 σ entsprechen.

1.3 < 2⋅σ |:2
0.65 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.65 und erhöhen dieses so lange, bis P(9.7 ≤X ≤ 12.3) unter die 0.9 sinkt:

σ = 0.6: P(9.7 ≤ X ≤ 12.3) ≈ 0.9697

σ = 0.7: P(9.7 ≤ X ≤ 12.3) ≈ 0.9367

σ = 0.8: P(9.7 ≤ X ≤ 12.3) ≈ 0.8958

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.7 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 480 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 480) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 480) mindestens 0.9 ist:

μ = 480: P(X ≥ 480) = 0.5

μ = 481: P(X ≥ 480) = 0.6915

μ = 482: P(X ≥ 480) = 0.8413

μ = 483: P(X ≥ 480) = 0.9332

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 483 einstellen.

Es gilt: P(240 ≤ X ≤ 270) ≈ 0,477
oder anders ausgedrückt:
P(μ ≤ X ≤ μ + 30) ≈ 0

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 30 ≤ X ≤ μ + 30) ≈ 0,954

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ - 2⋅σ) ≈ 0.954
muss also 2⋅σ = 30 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 15 .

Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{4\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-2}{4}\right)}^2}$

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die geforderte Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 55 und der Standardabweichung σ = 3.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 59.5) ≈ 0.0668 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 50 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Insekten mit der geforderten Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit n = 50 und p = 0.067 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.067}^{50}(2\le X\le 6)$ =

...

$P_{0.067}^{50}(X\le 6)$ - $P_{0.067}^{50}(X\le 1)$ ≈ 0.9526 - 0.1443 = 0.8083

(TI-Befehl: binomcdf(50,0.067,6) - binomcdf(50,0.067,1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 80,8%.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Gesucht ist ja das kleinste Intervall, dessen Wahrscheinlichkeit 30% auf sich vereint.

Weil ja die Gauß'sche Glockenkurve symmetrisch zu x = 2 ist, und um den Erwartungswert die höchsten Werte und damit auch die größten Flächen möglich sind, muss dieses kleinste Intervall symmetrisch um den Erwartungswert herum liegen (siehe rote Fläche unter dem Graph).

Folglich muss gelten: P(µ-d ≤ X ≤ µ+d) = 0.3.

Wegen der Symmetrie bedeutet das dann ja aber P(µ-d ≤ X ≤ µ) = 0.15 ("Hälfte des roten Bereichs").

Und da immer P(X ≤ µ) = 0.5 gilt, muss also P(X ≤ µ-d) = 0.35 sein ("blauer Bereich").

Der WTR liefert für P(X ≤ µ-d) = 0.35 den Wert µ-d ≈ 1.769.

Dieser hat also von µ = 2 den Abstand d = 2-1.769 = 0.231, somit ist der rechte Rand µ+d bei 2+0.231 = 2.231.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.02275 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.02275 annehmen.

Der prozentuale Anteil an Engelshaar in der Dubai-Schokolade soll als normalverteilte Zufallsgröße X mit µ=35 und σ=8 bezeichnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schokoladentafel die Vorgabe (Mindestanteil) erfüllt, bezeichnen wir p.

Damit diese Vorgabe nun auch wirklich bei allen 5 kontrollierten Tafeln erfüllt wird, muss somit gelten:

p⁵ ≥ 0.7 (Die 5 kontrollierten Tafeln kann man als mehrstufiges Zufallsexperiment mit gleichbleibender Einzelwahrscheinlichkeit p interpretieren.)

Wenn wir jetzt hier die 5-te Wurzel ziehen, erhalten wir die notwendige Einzelwahrscheinlichkeit p, dass eine Schokoladentafel die Vorgabe (Mindestanteil) erfüllt:

Einzelwahrscheinlichkeit: p ≥ 0,9311

Wir suchen jetzt also in der Normalverteilung nach einem Mindestanteil, der mit der Wahrscheinlichkeit 0,9311 eingehalten wird;

also nach einem k mit P(X ≥ k) ≥ 0,9311

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0,9311, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0,0689 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0,9311 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0,0689 liefert der WTR k ≈ 23.125.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: Stahl

$\bar{A}$: nicht Stahl, also Messing

$B$: zu kurz

$\bar{B}$: nicht zu kurz, also Länge ok

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (zu kurz)	$\bar{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,35
$\bar{A}$ (Messing)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (zu kurz)	$\bar{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,35
$\bar{A}$ (Messing)			0,65
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "Messing" sind es 6% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,65 ⋅ 0,06 = 0,039 berechnen.

	$B$ (zu kurz)	$\bar{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,35
$\bar{A}$ (Messing)	0,039		0,65
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "zu kurz" sind es 55.32% kann man die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ 0,5532 = 0,039 herauslesen.
Daraus ergibt sich = $\frac{\mathrm{0,039}}{\mathrm{0,5532}}$ ≈ 0,0705.

	$B$ (zu kurz)	$\bar{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,35
$\bar{A}$ (Messing)	0,039		0,65
	0,0705		1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (zu kurz)	$\bar{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)	0,0315	0,3185	0,35
$\bar{A}$ (Messing)	0,039	0,611	0,65
	0,0705	0,9295	1

Wir wissen jetzt also, dass die Wahrscheinlichkeit für "zu kurz" ungefähr 0,0705 beträgt.

Jetzt suchen wie in der Normalverteilung nach einem mm-Wert k, für den gilt P(X ≤ k) ≈ 0,0705

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0,0705 den Wert k ≈ 109.558.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )