Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(3.8 ≤ X ≤ 3.9) ≈ 0.1499

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.15, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.85 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.15 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.85 liefert der WTR k ≈ 18.81.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 88) ≈ 0.7881

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 6 und der Standardabweichung σ = 1.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.1 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.1, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.9 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.1 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.9 liefert der WTR k ≈ 7.282.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= -1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= 3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(1 ≤ X ≤ 2) ≈ 0.1359

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 4.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ 1) entspricht: P( X ≤ 1) = 0.023.

Für die roten Fläche(n) ergibt sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.023 - 0.023 = 0.954,

also P(1 ≤ X ≤ 7) = 0.954

Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -6 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0266}}$ ≈ 18.797 und runden diesen auf σ₁ = 19.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -6 und σ₁=19) an der gegebenen Stelle x = -6 und erhalten f₁(-6) = 0.021
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=19 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -6 berechnen:

μ = -6	σ = 18	f(-6) = 0.0222
μ = -6	σ = 17	f(-6) = 0.0235
μ = -6	σ = 16	f(-6) = 0.0249
μ = -6	σ = 15	f(-6) = 0.0266

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 15 sein.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 55 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 55) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 55) mindestens 0.9 ist:

μ = 55: P(X ≥ 55) = 0.5

μ = 56: P(X ≥ 55) = 0.734

μ = 57: P(X ≥ 55) = 0.8944

μ = 58: P(X ≥ 55) = 0.9696

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 58 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 495.5) + P(X ≥ 504.5) < 10% oder eben, dass P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≥ 0.9 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 4.5 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 4.5 weniger als 2 σ entsprechen.

4.5 < 2⋅σ |:2
2.25 < σ

Wir starten also mal bei σ = 2.25 und erhöhen dieses so lange, bis P(495.5 ≤X ≤ 504.5) unter die 0.9 sinkt:

σ = 2.2: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.9592

σ = 2.3: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.9496

...

σ = 2.5: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.9281

σ = 2.6: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.9165

σ = 2.7: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.9044

σ = 2.8: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.892

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 2.7 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 70) ≈ 0.9773

Es gilt: P(270 ≤ X ≤ μ) ≈ 0,4985≈ 0

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ + 3⋅σ) ≈ 0.997 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ) ≈ 0 sein.
Mit σ = 10 gilt somit: P(μ - 30 ≤ X ≤ μ) ≈ 0

Wenn man dies mit der 1 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 270 um 30 kleiner als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 270 + 30 = 300 .

Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{4\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x+4}{4}\right)}^2}$

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 10 und der Standardabweichung σ = 2.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.5328 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 80 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 80 und p = 0.533 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.533}^{80}(X\ge 44)$ =

1 - $P_{0.533}^{80}(X\le 43)$ ≈ 1 - 0.5768 = 0.4232

(TI-Befehl: binomcdf(80,0.533,80) - binomcdf(80,0.533,43))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 42,3%.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 50 und der Standardabweichung σ = 0.2.

Gesucht ist ja das kleinste Intervall, dessen Wahrscheinlichkeit 40% auf sich vereint.

Weil ja die Gauß'sche Glockenkurve symmetrisch zu x = 50 ist, und um den Erwartungswert die höchsten Werte und damit auch die größten Flächen möglich sind, muss dieses kleinste Intervall symmetrisch um den Erwartungswert herum liegen (siehe rote Fläche unter dem Graph).

Folglich muss gelten: P(µ-d ≤ X ≤ µ+d) = 0.4.

Wegen der Symmetrie bedeutet das dann ja aber P(µ-d ≤ X ≤ µ) = 0.2 ("Hälfte des roten Bereichs").

Und da immer P(X ≤ µ) = 0.5 gilt, muss also P(X ≤ µ-d) = 0.3 sein ("blauer Bereich").

Der WTR liefert für P(X ≤ µ-d) = 0.3 den Wert µ-d ≈ 49.895.

Dieser hat also von µ = 50 den Abstand d = 50-49.895 = 0.105, somit ist der rechte Rand µ+d bei 50+0.105 = 50.105.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 60 und der Standardabweichung σ = 5.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 68) ≈ 0.054799 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.054799 annehmen.

Die Füllmenge einer Flasche im ml soll als normalverteilte Zufallsgröße X mit variablem Erwartungswert µ und σ=5 bezeichnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche die Vorgabe (Mindestfüllmenge) erfüllt, bezeichnen wir p.

Damit diese Vorgabe nun auch wirklich bei allen 7 zufällig gewählten Flaschen erfüllt wird, muss somit gelten:

p⁷ ≥ 0.8 (Die 7 zufällig gewählten Flasche kann man als mehrstufiges Zufallsexperiment mit gleichbleibender Einzelwahrscheinlichkeit p interpretieren.)

Wenn wir jetzt hier die 7-te Wurzel ziehen, erhalten wir die notwendige Einzelwahrscheinlichkeit p, dass eine Flasche die Vorgabe (Mindestfüllmenge) erfüllt:

Einzelwahrscheinlichkeit: p ≥ 0,9686

Wir suchen jetzt also nach einer Normalverteilung mit einem bestimmten Erwartungswert µ, für den die Mindestfüllmenge von 500 ml mit der Wahrscheinlichkeit 0,9686 eingehalten wird;

also dass P(X ≥ 500) ≥ 0,9686

Wir starten mit der Mindestvorgabe µ = 500 als Erwartungswert und erhöhen dann schrittweise immer um eine Einheit, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 500) mindestens 0,9686 ist:

μ = 501: P(X ≥ 500) = 0.5793

μ = 502: P(X ≥ 500) = 0.6554

μ = 503: P(X ≥ 500) = 0.7257

μ = 504: P(X ≥ 500) = 0.7881

μ = 505: P(X ≥ 500) = 0.8413

μ = 506: P(X ≥ 500) = 0.8849

μ = 507: P(X ≥ 500) = 0.9192

μ = 508: P(X ≥ 500) = 0.9452

μ = 509: P(X ≥ 500) = 0.9641

μ = 510: P(X ≥ 500) = 0.9773

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 510 einstellen.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: Stahl

$\bar{A}$: nicht Stahl, also Messing

$B$: zu kurz

$\bar{B}$: nicht zu kurz, also Länge ok

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (zu kurz)	$\bar{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,3
$\bar{A}$ (Messing)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (zu kurz)	$\bar{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,3
$\bar{A}$ (Messing)			0,7
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "Messing" sind es 10% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,7 ⋅ 0,1 = 0,07 berechnen.

	$B$ (zu kurz)	$\bar{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,3
$\bar{A}$ (Messing)	0,07		0,7
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "zu kurz" sind es 76.92% kann man die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ 0,7692 = 0,07 herauslesen.
Daraus ergibt sich = $\frac{\mathrm{0,07}}{\mathrm{0,7692}}$ ≈ 0,091.

	$B$ (zu kurz)	$\bar{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,3
$\bar{A}$ (Messing)	0,07		0,7
	0,091		1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (zu kurz)	$\bar{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)	0,021	0,279	0,3
$\bar{A}$ (Messing)	0,07	0,63	0,7
	0,091	0,909	1

Wir wissen jetzt also, dass die Wahrscheinlichkeit für "zu kurz" ungefähr 0,091 beträgt.

Jetzt suchen wie in der Normalverteilung nach einem mm-Wert k, für den gilt P(X ≤ k) ≈ 0,091

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0,091 den Wert k ≈ 114.6.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )