Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(-1.2 ≤ X ≤ 0.4) ≈ 0.1359

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.8, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.2 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.8 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.2 liefert der WTR k ≈ 24.53.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 5 und der Standardabweichung σ = 1.2.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 4) ≈ 0.7977

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 90 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.4 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.4 den Wert k ≈ 89.823.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= -3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-12 ≤ X ≤ 1) ≈ 0.8931

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 4.

Somit gilt: P( X ≥ 4) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P( X ≥ 6) = 0.182 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(4 ≤ X ≤ 6), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P(4 ≤ X ≤ 6) = 0,5 - 0.182 = 0.318

Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -7 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0443}}$ ≈ 11.287 und runden diesen auf σ₁ = 11.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -7 und σ₁=11) an der gegebenen Stelle x = -7 und erhalten f₁(-7) = 0.0363
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=11 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -7 berechnen:

μ = -7	σ = 10	f(-7) = 0.0399
μ = -7	σ = 9	f(-7) = 0.0443

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 9 sein.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 50 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 50) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 50) mindestens 0.9 ist:

μ = 50: P(X ≥ 50) = 0.5

μ = 51: P(X ≥ 50) = 0.7625

μ = 52: P(X ≥ 50) = 0.9234

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 52 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 5.9) + P(X ≥ 8.1) < 5% oder eben, dass P(5.9 ≤ X ≤ 8.1) ≥ 0.95 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion. Wir starten also mit einem sehr kleinen σ und erhöhen dieses so lange, bis P(5.9 ≤ X ≤ 8.1) unter die 0.95 sinkt:

σ = 0.1: P(5.9 ≤ X ≤ 8.1) ≈ 1

σ = 0.2: P(5.9 ≤ X ≤ 8.1) ≈ 1

σ = 0.3: P(5.9 ≤ X ≤ 8.1) ≈ 0.9998

σ = 0.4: P(5.9 ≤ X ≤ 8.1) ≈ 0.994

σ = 0.5: P(5.9 ≤ X ≤ 8.1) ≈ 0.9722

σ = 0.6: P(5.9 ≤ X ≤ 8.1) ≈ 0.9332

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.5 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 800 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 800) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 800) mindestens 0.75 ist:

μ = 800: P(X ≥ 800) = 0.5

μ = 801: P(X ≥ 800) = 0.6125

μ = 802: P(X ≥ 800) = 0.7161

μ = 803: P(X ≥ 800) = 0.8043

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 803 einstellen.

Es gilt: P(150 ≤ X ≤ 168) ≈ 0,477
oder anders ausgedrückt:
P(μ ≤ X ≤ μ + 18) ≈ 0

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 18 ≤ X ≤ μ + 18) ≈ 0,954

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ - 2⋅σ) ≈ 0.954
muss also 2⋅σ = 18 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 9 .

Den Mittelwert μ= -2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x+2}{1}\right)}^2}$

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.0228 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 90 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit n = 90 und p = 0.023 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.023}^{90}(X\ge 2)$ =

1 - $P_{0.023}^{90}(X\le 1)$ ≈ 1 - 0.3901 = 0.6099

(TI-Befehl: binomcdf(90,0.023,90) - binomcdf(90,0.023,1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 61%.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.3 und der Standardabweichung σ = 2.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.450216 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.450216 annehmen.