Aufgabenbeispiele von Normalverteilung
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Intervall Normalverteilung (einfach)
Beispiel:
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=4 und der Standardabweichung σ=2.4 .
Berechne P(3 ≤ X ≤ 5.4).
Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.
Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.
P(3 ≤ X ≤ 5.4) ≈ 0.3817
Intervall Normalverteilung rückwärts
Beispiel:
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=50 und der Standardabweichung σ=3.5 .
Es gilt P(X ≥ k) = 0.8. Bestimme k.
Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.
Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.8, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.
Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.2 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.8 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.
Für P(X ≤ k) = 0.2 liefert der WTR k ≈ 47.054.
(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )
Normalverteilung Anwendung
Beispiel:
Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient zwischen 73 und 88 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.
Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:
P(73 ≤ X ≤ 88) ≈ 0.1759
Normalverteilung Anwendung (rückwärts)
Beispiel:
Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 25% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)
Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.
Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.25 gilt.
Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.25, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.
Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.75 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.25 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.
Für P(X ≤ k) = 0.75 liefert der WTR k ≈ 110.117.
(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )
Mittelwert, Standardabw. ablesen
Beispiel:
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.
Gib die Werte für μ und σ an.
Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.
Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.
μ und σ ablesen und Interval berechnen
Beispiel:
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.
Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.
Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.
Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.
Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:
P(-13 ≤ X ≤ 0) ≈ 0.8716
Symmetrie nutzen
Beispiel:
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.202.
Bestimme P(1 ≤ X ≤ 3).
Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.
Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 3.
Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ 1) entspricht: P( X ≤ 1) = 0.202.
Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.202 - 0.202 =
0.596
Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:
P(1 ≤ X ≤ 3) = = 0.298
Standardabweichung bestimmen
Beispiel:
Der Punkt P(8|0.0399) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 8.
Bestimme die Standardabweichung σ.
Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 8 entspricht.
Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also ≈ 12.531 und runden diesen auf σ1 = 13.
Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 8 und σ1=13) an der gegebenen Stelle x = 8
und erhalten f1(8) = 0.0307
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).
Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:
Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.
Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ1=13 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ1 zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 8 berechnen:
μ = 8 | σ = 12 | f(8) = 0.0332 |
μ = 8 | σ = 11 | f(8) = 0.0363 |
μ = 8 | σ = 10 | f(8) = 0.0399 |
Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 10 sein.
variabler Erwartungswert (Anwendungen)
Beispiel:
Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 700 ml drin ist?
Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.
Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 700 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 700) = 0,5.
Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 700) mindestens 0.75 ist:
μ = 700: P(X ≥ 700) = 0.5
μ = 701: P(X ≥ 700) = 0.6915
μ = 702: P(X ≥ 700) = 0.8413
Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 702 einstellen.
Normalverteilung variables σ
Beispiel:
Eine Maschine soll Schrauben der Länge 10 mm herstellen. Ein Kunde will die Maschine aber nur kaufen, wenn die Wahrscheinlichkeit kleiner als 15% ist, dass die Länge einer Schraube um mehr als 1 mm von den geforderten 10 mm abweicht. Man kann davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 10. Welche Standardabweichung (auf eine Stelle hinter dem Komma genau) darf die Normalverteilung dieser Maschine höchstens haben?
Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.
Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 9) + P(X ≥ 11) < 15% oder eben, dass P(9 ≤ X ≤ 11) ≥ 0.85 gilt.
Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.
Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 1 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 1 weniger als 2 σ entsprechen.
1 < 2⋅σ |:2
0.5 < σ
Wir starten also mal bei σ = 0.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(9 ≤X ≤ 11) unter die 0.85 sinkt:
σ = 0.5: P(9 ≤ X ≤ 11) ≈ 0.9545
σ = 0.6: P(9 ≤ X ≤ 11) ≈ 0.9044
σ = 0.7: P(9 ≤ X ≤ 11) ≈ 0.8469
Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.6 einstellen.
Normalverteilung Anwendung (rückwärts)
Beispiel:
Eine Firma produziert 80 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozesse treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,3 mm. Wie kurz darf dann eine Schraube höchstens sein, damit sie zu den kürzesten 65% der Schrauben gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)
Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 80 und der Standardabweichung σ = 0.3.
Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.65 gilt.
Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.65 den Wert k ≈ 80.116.
(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )
Sigmaregel rückwärts
Beispiel:
X ist normalverteilt mit μ und σ = 7. Es gilt P(93 ≤ X ≤ 107) ≈ 0,683. Bestimme μ.
Es gilt: P(93 ≤ X ≤ 107) ≈ 0,683
Die entsprechende Sigma-Regel ist P(μ - 1⋅σ ≤ X ≤ μ + 1⋅σ) ≈ 0.683.
Und da die 2 σ Abstand zwischen μ - 1⋅σ und μ + 1⋅σ genau den 2⋅7 = 14 zwischen 93 und 107 entspricht, muss der Erwartungswert genau in der Mitte zwischen 93 und 107 liegen.
Für den Mittwelwert gilt somit: μ = = 100 .
Dichtefunktion aus Graph ablesen
Beispiel:
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.
Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.
Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.
Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.
Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = ergibt:
φ(x) =
Kombination Normal- und Binomialverteilung
Beispiel:
Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr im Durchschnitt 9,7 cm als maximalen Durchmesser und eine Standardabweichung von 2,5 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 90 Äpfel eines Erntehelfers mindestens 38 Stück in den Großhandel kommen?
Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.7 und der Standardabweichung σ = 2.5.
Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.4502 berechnen.
(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )
Und weil dies für jedes der 90 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 90 und p = 0.45 annehmen.
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
=
1 - ≈ 1 - 0.262 = 0.738
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.45,90) - binomcdf(90,0.45,37))
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 73,8%.
Normalverteilung rw. (Symmetrie)
Beispiel:
Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Zwischen welchen IQ-Werten liegt das kleinste Intervall, in dem 50% der Bevölkerung ihren IQ haben?
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)
Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.
Gesucht ist ja das kleinste Intervall, dessen Wahrscheinlichkeit 50% auf sich vereint.
Weil ja die Gauß'sche Glockenkurve symmetrisch zu x = 100 ist, und um den Erwartungswert die höchsten Werte und damit auch die größten Flächen möglich sind, muss dieses kleinste Intervall symmetrisch um den Erwartungswert herum liegen (siehe rote Fläche unter dem Graph).
Folglich muss gelten: P(µ-d ≤ X ≤ µ+d) = 0.5.
Wegen der Symmetrie bedeutet das dann ja aber P(µ-d ≤ X ≤ µ) = 0.25 ("Hälfte des roten Bereichs").
Und da immer P(X ≤ µ) = 0.5 gilt, muss also P(X ≤ µ-d) = 0.25 sein ("blauer Bereich").
Der WTR liefert für P(X ≤ µ-d) = 0.25 den Wert µ-d ≈ 89.883.
Dieser hat also von µ = 100 den Abstand d = 100-89.883 = 10.117, somit ist der rechte Rand µ+d bei 100+10.117 = 110.117.
(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )
Kombination Normal- und Binomialverteilung rw
Beispiel:
Ein exotisches Insekt wird im Mittel 55 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 6 mm. Übergroße Insekten mit einer Länge von über 62,8 mm gelten als besonders aggressiv und greifen oft andere Insekten an. Deswegen sollten nie mehr als 8 solcher übergroßen Insekten in einem Terrarium untergebracht sein. Wie viele Insekten kann man höchstens in ein Terrarium setzen, damit dies mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 gewährleistet ist?
Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 55 und der Standardabweichung σ = 6.
Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 62.8) ≈ 0.0968 berechnen.
(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )
Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.0968 annehmen.
n | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
67 | 0.8027 |
68 | 0.7907 |
69 | 0.7785 |
70 | 0.7659 |
71 | 0.7531 |
72 | 0.7401 |
73 | 0.7269 |
74 | 0.7135 |
75 | 0.6999 |
76 | 0.6862 |
77 | 0.6724 |
78 | 0.6584 |
79 | 0.6443 |
80 | 0.6302 |
81 | 0.616 |
82 | 0.6018 |
83 | 0.5876 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Insekten mit der problematischen Mindestgröße an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.0968 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9.68% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 83 Versuchen auch ungefähr 8 (≈0.0968⋅83) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=83:
≈ 0.5876
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=67 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
Normalverteilung mehrstufig
Beispiel:
Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 3 s. Der Schausteller muss auf dem Biberacher Schützenfest eine Mindest-Umlaufzeit von 300 s für sein Riesenrad garantieren. Dazu werden 4 Kontrollen gemacht. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% bei allen 4 Kontrollen die Mindest-Umlaufzeit von 300 s eingehalten wird?
Die Umlaufzeit des Riesenrads in s soll als normalverteilte Zufallsgröße X mit variablem Erwartungswert µ und σ=3 bezeichnet werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kontrollfahrt die Vorgabe (Mindestlaufzeit) erfüllt, bezeichnen wir p.
Damit diese Vorgabe nun auch wirklich bei allen 4 Kontrollfahrten erfüllt wird, muss somit gelten:
p4 ≥ 0.85 (Die 4 zufällig gewählten Kontrollfahrten kann man als mehrstufiges Zufallsexperiment mit gleichbleibender Einzelwahrscheinlichkeit p interpretieren.)
Wenn wir jetzt hier die 4-te Wurzel ziehen, erhalten wir die notwendige Einzelwahrscheinlichkeit p, dass eine Kontrollfahrt die Vorgabe (Mindestlaufzeit) erfüllt:
Einzelwahrscheinlichkeit: p ≥ 0,9602
Wir suchen jetzt also nach einer Normalverteilung mit einem bestimmten Erwartungswert µ, für den die Mindestlaufzeit von 300 s mit der Wahrscheinlichkeit 0,9602 eingehalten wird;
also dass P(X ≥ 300) ≥ 0,9602
Wir starten mit der Mindestvorgabe µ = 300 als Erwartungswert und erhöhen dann schrittweise immer um eine Einheit, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 300) mindestens 0,9602 ist:
μ = 301: P(X ≥ 300) = 0.6306
μ = 302: P(X ≥ 300) = 0.7475
μ = 303: P(X ≥ 300) = 0.8413
μ = 304: P(X ≥ 300) = 0.9088
μ = 305: P(X ≥ 300) = 0.9522
μ = 306: P(X ≥ 300) = 0.9773
Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 306 einstellen.
(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )
Normalverteilung VFT
Beispiel:
Auf einer großen Hühnerfarm mit freilaufenden Hühnern werden täglich sehr viele Eier gelegt, deren Masse man als normalverteilt mit Erwartungswert 60g und Standardabweichung 7g annehmen kann. Die Hühner auf der Farm stammen von zwei unterschiedlichen Rassen, so dass 40% der Eier weiß und der Rest bräunlich ist. Die Eier werden in zwei verschiedenen Größen (groß und klein) angeboten. Dabei werden 30% der weißen Eier als groß eingestuft. Der Anteil der weißen Eier unter den allen großen Eiern beträgt 36,36%. Bei wieviel Gramm ist die Grenze zwischen großen und kleinen Eiern?
(Bitte auf 1 Stelle nach dem Komma runden)
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: weiß
: nicht weiß, also bräunlich
: groß
: nicht groß, also klein
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(groß) |
(klein) | ||
---|---|---|---|
(weiß) | 0,4 | ||
(bräunlich) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(groß) |
(klein) | ||
---|---|---|---|
(weiß) | 0,4 | ||
(bräunlich) | 0,6 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiß" sind es
30% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,4 ⋅
0,3 =
0,12 berechnen.
(groß) |
(klein) | ||
---|---|---|---|
(weiß) | 0,12 | 0,4 | |
(bräunlich) | 0,6 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "groß" sind es
36.36% kann man die Wahrscheinlichkeit
Daraus ergibt sich
(groß) |
(klein) | ||
---|---|---|---|
(weiß) | 0,12 | 0,4 | |
(bräunlich) | 0,6 | ||
0,33 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(groß) |
(klein) | ||
---|---|---|---|
(weiß) | 0,12 | 0,28 | 0,4 |
(bräunlich) | 0,21 | 0,39 | 0,6 |
0,33 | 0,67 | 1 |
Wir wissen jetzt also, dass die Wahrscheinlichkeit für "großes Ei" ungefähr 0,33 beträgt.
Jetzt suchen wie in der Normalverteilung nach einem g-Wert k, für den gilt P(X ≥ k) ≈ 0,33
Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0,33, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.
Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0,67 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0,33 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.
Für P(X ≤ k) = 0,67 liefert der WTR k ≈ 63,079.
Als "großes Ei" gilt also ab 63,079 g.
(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )