Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=4 und der Standardabweichung σ=0.4 .

Berechne P(4.1 ≤ X ≤ 4.3).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(4.1 ≤ X ≤ 4.3) ≈ 0.1747

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=10 und der Standardabweichung σ=3 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.15. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

Lösung einblenden

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.15 den Wert k ≈ 6.891.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient zwischen 73 und 88 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:

P(73 ≤ X ≤ 88) ≈ 0.1759

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Eine Firma produziert 30 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozesse treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Wie lange muss dann eine Schraube mindenstens sein, damit sie zu den längsten 25% der Schrauben gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 30 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.25 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.25, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.75 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.25 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.75 liefert der WTR k ≈ 30.472.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

Lösung einblenden

Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

Lösung einblenden

Den Mittelwert μ= 1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-4 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.6295

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.33.

Bestimme P( X ≥ 3).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

Lösung einblenden

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 1.

Somit gilt: P( X ≥ 1) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P(1 ≤ X ≤ 3) = 0.33 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P( X ≥ 3), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P( X ≥ 3) = 0,5 - 0.33 = 0.17

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-9|0.0665) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -9.

Bestimme die Standardabweichung σ.

Lösung einblenden

Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -9 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0665}$ ≈ 7.519 und runden diesen auf σ₁ = 8.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -9 und σ₁=8) an der gegebenen Stelle x = -9 und erhalten f₁(-9) = 0.0499
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=8 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -9 berechnen:

μ = -9	σ = 7	f(-9) = 0.057
μ = -9	σ = 6	f(-9) = 0.0665

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 6 sein.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 4 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens die 4 min lang ist?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 240 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 240) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 240) mindestens 0.9 ist:

μ = 240: P(X ≥ 240) = 0.5

μ = 241: P(X ≥ 240) = 0.6915

μ = 242: P(X ≥ 240) = 0.8413

μ = 243: P(X ≥ 240) = 0.9332

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 243 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Ein Fernreisebusunternehmen gibt als Reisezeit zwischen zwei Städte 240 Minuten an. Da die tatsächliche Fahrtzeit immer etwas schwankt, kann sie als normalverteilt mit Erwartungswert μ = 240 und einer Standardabweichung σ angenommen werden. Das Unternehmen wirbt damit, dass die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung von 6 oder mehr Minuten bei unter 5% liegt. Wie groß darf dann die Standardabweichung σ der Normalverteilung dieser Fahrten (auf eine Stelle nach dem Komma gerundet) maximal sein?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Fahrtzeit in Minuten.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≥ 246) < 5% gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Wegen der Symmetrie der Glockenkurve folgt aus P(X ≥ 246) < 5% , dass P(234 ≤ X ≤ 246) > 90 % gelten muss.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 6 min eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 6 weniger als 2 σ entsprechen.

6 < 2⋅σ |:2
3 < σ

Wir starten also mal bei σ = 3 und erhöhen dieses so lange, bis P(X ≥ 246) über die 0.05;0.1] steigt:

σ = 3: P( X ≥ 246) ≈ 0.0227

σ = 3.1: P( X ≥ 246) ≈ 0.0265

...

σ = 3.4: P( X ≥ 246) ≈ 0.0388

σ = 3.5: P( X ≥ 246) ≈ 0.0432

σ = 3.6: P( X ≥ 246) ≈ 0.0478

σ = 3.7: P( X ≥ 246) ≈ 0.0524

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 3.6 einstellen.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 0,8 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 70 mm lang sein soll?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 70 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 70) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 70) mindestens 0.75 ist:

μ = 70: P(X ≥ 70) = 0.5

μ = 71: P(X ≥ 70) = 0.8944

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 71 einstellen.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ = 140 und σ. Es gilt P(112 ≤ X ≤ 140) ≈ 0,477. Bestimme σ.

Lösung einblenden

Es gilt: P(112 ≤ X ≤ 140) ≈ 0,477
oder anders ausgedrückt:
P(μ - 28 ≤ X ≤ μ) ≈ 0

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 28 ≤ X ≤ μ + 28) ≈ 0,954

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ - 2⋅σ) ≈ 0.954
muss also 2⋅σ = 28 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 14 .

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

Lösung einblenden

Den Mittelwert μ= 1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{2})}^{2}}$

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Firma produziert 70 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,6 mm. Die Schrauben werden dabei in Kartons mit 60 Stück verpackt. Ist eine Schraube kürzer als 69,6 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig gewählten Karton nicht mehr als 16 Schrauben zu kurz sind?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als zu kurz gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 70 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≤ 69.6) ≈ 0.2525 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 60 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der zu kurzen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit n = 60 und p = 0.252 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.252}^{60} (X \leq 16)$ =

$P_{0.252}^{60} (X \leq 16)$ = 0.6633

(TI-Befehl: binomcdf(60,0.252,16) - binomcdf(60,0.252,-1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 66,3%.

Normalverteilung rw. (Symmetrie)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Zwischen welchen IQ-Werten liegt das kleinste Intervall, in dem 80% der Bevölkerung ihren IQ haben?
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist ja das kleinste Intervall, dessen Wahrscheinlichkeit 80% auf sich vereint.

Weil ja die Gauß'sche Glockenkurve symmetrisch zu x = 100 ist, und um den Erwartungswert die höchsten Werte und damit auch die größten Flächen möglich sind, muss dieses kleinste Intervall symmetrisch um den Erwartungswert herum liegen (siehe rote Fläche unter dem Graph).

Folglich muss gelten: P(µ-d ≤ X ≤ µ+d) = 0.8.

Wegen der Symmetrie bedeutet das dann ja aber P(µ-d ≤ X ≤ µ) = 0.4 ("Hälfte des roten Bereichs").

Und da immer P(X ≤ µ) = 0.5 gilt, muss also P(X ≤ µ-d) = 0.1 sein ("blauer Bereich").

Der WTR liefert für P(X ≤ µ-d) = 0.1 den Wert µ-d ≈ 80.777.

Dieser hat also von µ = 100 den Abstand d = 100-80.777 = 19.223, somit ist der rechte Rand µ+d bei 100+19.223 = 119.223.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Eine Firma produziert 70 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,3 mm. Ist eine Schraube kürzer als 69,9 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie viele Schrauben muss man produzieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85%, mindestens 13 Schrauben zu erhalten, die brauchbar, also nicht zu kurz sind?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als lang genug gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 70 und der Standardabweichung σ = 0.3.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 69.9) ≈ 0.630559 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die ausreichend langen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.630559 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
21	0.3625
22	0.2686
23	0.1923
24	0.1333
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die ausreichend langen Schrauben in einem Karton an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.630559 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.631}^{n} (X \geq 13)$ ≥ 0.85

Weil man ja aber $P_{0.631}^{n} (X \geq 13)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.631}^{n} (X \geq 13)$ = 1 - $P_{0.631}^{n} (X \leq 12)$ ≥ 0.85 |+ $P_{0.631}^{n} (X \leq 12)$ - 0.85

0.15 ≥ $P_{0.631}^{n} (X \leq 12)$ oder $P_{0.631}^{n} (X \leq 12)$ ≤ 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 63.0559% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{13}{0.630559}$ ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 13 (≈0.630559⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
$P_{0.631}^{n} (X \leq 12)$ ≈ 0.3625 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.15 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.15 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=24 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.15 ist.

n muss also mindestens 24 sein, damit $P_{0.631}^{n} (X \leq 12)$ ≤ 0.15 oder eben $P_{0.631}^{n} (X \geq 13)$ ≥ 0.85 gilt.

Normalverteilung mehrstufig

Beispiel:

Auf einer großen Hühnerfarm mit freilaufenden Hühnern werden täglich sehr viele Eier gelegt, deren Masse man als normalverteilt mit Erwartungswert 50g und Standardabweichung 9g annehmen kann. Für einen Biomarkt müssen die Eierproduzenten ein Mindestgewicht angeben. der Biomarkt kontrolliert dieses Mindestgewicht gelegentlich, in dem er 3 Eier herausnimmt und wiegt. Wie hoch müssen die Eierproduzenten dieses angegebene Mindestgewicht benennen, damit bei der Kontrolle mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% alle 3 Eier diese Mindestvorgabe erfüllen?
(Bitte auf 1 Stelle nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Masse eines Hühnereis in g soll als normalverteilte Zufallsgröße X mit µ=50 und σ=9 bezeichnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei die Vorgabe (Mindestgewicht) erfüllt, bezeichnen wir p.

Damit diese Vorgabe nun auch wirklich bei allen 3 kontrollierten Eiern erfüllt wird, muss somit gelten:

p³ ≥ 0.8 (Die 3 kontrollierten Eier kann man als mehrstufiges Zufallsexperiment mit gleichbleibender Einzelwahrscheinlichkeit p interpretieren.)

Wenn wir jetzt hier die 3-te Wurzel ziehen, erhalten wir die notwendige Einzelwahrscheinlichkeit p, dass ein Ei die Vorgabe (Mindestgewicht) erfüllt:

Einzelwahrscheinlichkeit: p ≥ 0,9283

Wir suchen jetzt also in der Normalverteilung nach einem Mindestgewicht, das mit der Wahrscheinlichkeit 0,9283 eingehalten wird;

also nach einem k mit P(X ≥ k) ≥ 0,9283

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0,9283, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0,0717 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0,9283 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0,0717 liefert der WTR k ≈ 36.83.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung VFT

Beispiel:

Eine Maschine produziert Schrauben, deren Länge man als normalverteilt mit Erwartungswert 100 mm und Standardabweichung 0,3 mm annehmen kann. 35% der Schrauben, die mit dieser Maschine hergestellt werden bestehen aus Stahl, der Rest aus Messing. Ist eine Schraube kürzer als eine bestimmte Mindestlänge, so gilt sie als zu kurz. Unter den zu kurzen Schrauben sind 83,2% aus Messing. Von den Schrauben aus Messing sind 8% zu kurz. Ab welcher Länge gelten solche Schrauben als zu kurz?
(Bitte auf 1 Stelle nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Stahl

$\overline{A}$ : nicht Stahl, also Messing

$B$ : zu kurz

$\overline{B}$ : nicht zu kurz, also Länge ok

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (zu kurz)	$\overline{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,35
$\overline{A}$ (Messing)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (zu kurz)	$\overline{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,35
$\overline{A}$ (Messing)			0,65
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "Messing" sind es 8% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap B)$ = 0,65 ⋅ 0,08 = 0,052 berechnen.

	$B$ (zu kurz)
$A$ (Stahl)		0,35
$\overline{A}$ (Messing)	0,052	0,65
		1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "zu kurz" sind es 83.2% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (B \cap \overline{A})$ = $P (B)$ ⋅ 0,832 = 0,052 herauslesen.
Daraus ergibt sich $P (B)$ = $\frac{0,052}{0,832}$ ≈ 0,0625.

	$B$ (zu kurz)
$A$ (Stahl)		0,35
$\overline{A}$ (Messing)	0,052	0,65
	0,0625	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (zu kurz)	$\overline{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)	0,0105	0,3395	0,35
$\overline{A}$ (Messing)	0,052	0,598	0,65
	0,0625	0,9375	1

Wir wissen jetzt also, dass die Wahrscheinlichkeit für "zu kurz" ungefähr 0,0625 beträgt.

Jetzt suchen wie in der Normalverteilung nach einem mm-Wert k, für den gilt P(X ≤ k) ≈ 0,0625

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0,0625 den Wert k ≈ 99.54.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Aufgabenbeispiele von Normalverteilung

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Sigmaregel rückwärts

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Normalverteilung rw. (Symmetrie)

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Normalverteilung mehrstufig

Normalverteilung VFT