Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(3 ≤ X ≤ 5.4) ≈ 0.3817

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.8, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.2 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.8 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.2 liefert der WTR k ≈ 47.054.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:

P(73 ≤ X ≤ 88) ≈ 0.1759

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.25 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.25, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.75 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.25 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.75 liefert der WTR k ≈ 110.117.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-13 ≤ X ≤ 0) ≈ 0.8716

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 3.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ 1) entspricht: P( X ≤ 1) = 0.202.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.202 - 0.202 = 0.596

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P(1 ≤ X ≤ 3) = $\frac{\mathrm{0.596}}{2}$= 0.298

Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 8 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0399}}$ ≈ 12.531 und runden diesen auf σ₁ = 13.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 8 und σ₁=13) an der gegebenen Stelle x = 8 und erhalten f₁(8) = 0.0307
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=13 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 8 berechnen:

μ = 8	σ = 12	f(8) = 0.0332
μ = 8	σ = 11	f(8) = 0.0363
μ = 8	σ = 10	f(8) = 0.0399

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 10 sein.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 700 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 700) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 700) mindestens 0.75 ist:

μ = 700: P(X ≥ 700) = 0.5

μ = 701: P(X ≥ 700) = 0.6915

μ = 702: P(X ≥ 700) = 0.8413

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 702 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 9) + P(X ≥ 11) < 15% oder eben, dass P(9 ≤ X ≤ 11) ≥ 0.85 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 1 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 1 weniger als 2 σ entsprechen.

1 < 2⋅σ |:2
0.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(9 ≤X ≤ 11) unter die 0.85 sinkt:

σ = 0.5: P(9 ≤ X ≤ 11) ≈ 0.9545

σ = 0.6: P(9 ≤ X ≤ 11) ≈ 0.9044

σ = 0.7: P(9 ≤ X ≤ 11) ≈ 0.8469

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.6 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 80 und der Standardabweichung σ = 0.3.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.65 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.65 den Wert k ≈ 80.116.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Es gilt: P(93 ≤ X ≤ 107) ≈ 0,683

Die entsprechende Sigma-Regel ist P(μ - 1⋅σ ≤ X ≤ μ + 1⋅σ) ≈ 0.683.

Und da die 2 σ Abstand zwischen μ - 1⋅σ und μ + 1⋅σ genau den 2⋅7 = 14 zwischen 93 und 107 entspricht, muss der Erwartungswert genau in der Mitte zwischen 93 und 107 liegen.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = $\frac{\mathrm{93+107}}{2}$ = 100 .

Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-5}{1}\right)}^2}$

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.7 und der Standardabweichung σ = 2.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.4502 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 90 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 90 und p = 0.45 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.45}^{90}(X\ge 38)$ =

1 - $P_{0.45}^{90}(X\le 37)$ ≈ 1 - 0.262 = 0.738

(TI-Befehl: binomcdf(90,0.45,90) - binomcdf(90,0.45,37))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 73,8%.

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist ja das kleinste Intervall, dessen Wahrscheinlichkeit 50% auf sich vereint.

Weil ja die Gauß'sche Glockenkurve symmetrisch zu x = 100 ist, und um den Erwartungswert die höchsten Werte und damit auch die größten Flächen möglich sind, muss dieses kleinste Intervall symmetrisch um den Erwartungswert herum liegen (siehe rote Fläche unter dem Graph).

Folglich muss gelten: P(µ-d ≤ X ≤ µ+d) = 0.5.

Wegen der Symmetrie bedeutet das dann ja aber P(µ-d ≤ X ≤ µ) = 0.25 ("Hälfte des roten Bereichs").

Und da immer P(X ≤ µ) = 0.5 gilt, muss also P(X ≤ µ-d) = 0.25 sein ("blauer Bereich").

Der WTR liefert für P(X ≤ µ-d) = 0.25 den Wert µ-d ≈ 89.883.

Dieser hat also von µ = 100 den Abstand d = 100-89.883 = 10.117, somit ist der rechte Rand µ+d bei 100+10.117 = 110.117.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 55 und der Standardabweichung σ = 6.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 62.8) ≈ 0.0968 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.0968 annehmen.

Die Umlaufzeit des Riesenrads in s soll als normalverteilte Zufallsgröße X mit variablem Erwartungswert µ und σ=3 bezeichnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kontrollfahrt die Vorgabe (Mindestlaufzeit) erfüllt, bezeichnen wir p.

Damit diese Vorgabe nun auch wirklich bei allen 4 Kontrollfahrten erfüllt wird, muss somit gelten:

p⁴ ≥ 0.85 (Die 4 zufällig gewählten Kontrollfahrten kann man als mehrstufiges Zufallsexperiment mit gleichbleibender Einzelwahrscheinlichkeit p interpretieren.)

Wenn wir jetzt hier die 4-te Wurzel ziehen, erhalten wir die notwendige Einzelwahrscheinlichkeit p, dass eine Kontrollfahrt die Vorgabe (Mindestlaufzeit) erfüllt:

Einzelwahrscheinlichkeit: p ≥ 0,9602

Wir suchen jetzt also nach einer Normalverteilung mit einem bestimmten Erwartungswert µ, für den die Mindestlaufzeit von 300 s mit der Wahrscheinlichkeit 0,9602 eingehalten wird;

also dass P(X ≥ 300) ≥ 0,9602

Wir starten mit der Mindestvorgabe µ = 300 als Erwartungswert und erhöhen dann schrittweise immer um eine Einheit, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 300) mindestens 0,9602 ist:

μ = 301: P(X ≥ 300) = 0.6306

μ = 302: P(X ≥ 300) = 0.7475

μ = 303: P(X ≥ 300) = 0.8413

μ = 304: P(X ≥ 300) = 0.9088

μ = 305: P(X ≥ 300) = 0.9522

μ = 306: P(X ≥ 300) = 0.9773

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 306 einstellen.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: weiß

$\bar{A}$: nicht weiß, also bräunlich

$B$: groß

$\bar{B}$: nicht groß, also klein

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (groß)	$\bar{B}$ (klein)
$A$ (weiß)			0,4
$\bar{A}$ (bräunlich)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (groß)	$\bar{B}$ (klein)
$A$ (weiß)			0,4
$\bar{A}$ (bräunlich)			0,6
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiß" sind es 30% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,4 ⋅ 0,3 = 0,12 berechnen.

	$B$ (groß)	$\bar{B}$ (klein)
$A$ (weiß)	0,12		0,4
$\bar{A}$ (bräunlich)			0,6
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "groß" sind es 36.36% kann man die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ 0,3636 = 0,12 herauslesen.
Daraus ergibt sich = $\frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,3636}}$ ≈ 0,33.

	$B$ (groß)	$\bar{B}$ (klein)
$A$ (weiß)	0,12		0,4
$\bar{A}$ (bräunlich)			0,6
	0,33		1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (groß)	$\bar{B}$ (klein)
$A$ (weiß)	0,12	0,28	0,4
$\bar{A}$ (bräunlich)	0,21	0,39	0,6
	0,33	0,67	1

Wir wissen jetzt also, dass die Wahrscheinlichkeit für "großes Ei" ungefähr 0,33 beträgt.

Jetzt suchen wie in der Normalverteilung nach einem g-Wert k, für den gilt P(X ≥ k) ≈ 0,33

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0,33, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0,67 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0,33 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0,67 liefert der WTR k ≈ 63,079.

Als "großes Ei" gilt also ab 63,079 g.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )