Aufgabenbeispiele von Normalverteilung

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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=5 und der Standardabweichung σ=1.6 .

Berechne P(3.1 ≤ X ≤ 3.4).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

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Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(3.1 ≤ X ≤ 3.4) ≈ 0.0411

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=20 und der Standardabweichung σ=7.5 .

Es gilt P(X ≥ k) = 0.35. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.35, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.65 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.35 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.65 liefert der WTR k ≈ 22.89.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 40 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube größer oder gleich 38,6 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 38.6) ≈ 0.9773

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ darf man höchstens haben, um zu den dümmsten 80% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.8 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.8 den Wert k ≈ 112.624.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-2 ≤ X ≤ 0) ≈ 0.4772

Symmetrie nutzen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.048.

Bestimme P(-5 ≤ X ≤ 1).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -2.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≥ 1) entspricht: P( X ≥ 1) = 0.048.

Für die roten Fläche(n) ergibt sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.048 - 0.048 = 0.904,

also P(-5 ≤ X ≤ 1) = 0.904

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-8|0.0332) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -8.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -8 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also 0.5 0.0332 ≈ 15.06 und runden diesen auf σ1 = 15.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -8 und σ1=15) an der gegebenen Stelle x = -8 und erhalten f1(-8) = 0.0266
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ1=15 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ1 zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -8 berechnen:

μ = -8σ = 14f(-8) = 0.0285
μ = -8σ = 13f(-8) = 0.0307
μ = -8σ = 12f(-8) = 0.0332

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 12 sein.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,1 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 55 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 55 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 55) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 55) mindestens 0.9 ist:

μ = 55: P(X ≥ 55) = 0.5

μ = 56: P(X ≥ 55) = 0.8183

μ = 57: P(X ≥ 55) = 0.9655

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 57 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Ein Fernreisebusunternehmen gibt als Reisezeit zwischen zwei Städte 240 Minuten an. Da die tatsächliche Fahrtzeit immer etwas schwankt, kann sie als normalverteilt mit Erwartungswert μ = 240 und einer Standardabweichung σ angenommen werden. Das Unternehmen wirbt damit, dass die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung von 9 oder mehr Minuten bei unter 5% liegt. Wie groß darf dann die Standardabweichung σ der Normalverteilung dieser Fahrten (auf eine Stelle nach dem Komma gerundet) maximal sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Fahrtzeit in Minuten.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≥ 249) < 5% gilt.

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Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Wegen der Symmetrie der Glockenkurve folgt aus P(X ≥ 249) < 5% , dass P(231 ≤ X ≤ 249) > 90 % gelten muss.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 9 min eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 9 weniger als 2 σ entsprechen.

9 < 2⋅σ |:2
4.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 4.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(X ≥ 249) über die 0.05;0.1] steigt:

σ = 4.5: P( X ≥ 249) ≈ 0.0227

σ = 4.6: P( X ≥ 249) ≈ 0.0252

...

σ = 5.2: P( X ≥ 249) ≈ 0.0417

σ = 5.3: P( X ≥ 249) ≈ 0.0447

σ = 5.4: P( X ≥ 249) ≈ 0.0478

σ = 5.5: P( X ≥ 249) ≈ 0.0509

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 5.4 einstellen.

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 50 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,5 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube kleiner oder gleich 50 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 50 und der Standardabweichung σ = 0.5.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 50) ≈ 0.5

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ = 200 und σ. Es gilt P(-∞ ≤ X ≤ 185) ≈ 0,1585. Bestimme σ.

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Es gilt: P(-∞ ≤ X ≤ 185) ≈ 0,1585
oder anders ausgedrückt:
P(-∞ ≤ X ≤ μ - 15) ≈ 0

wegen P(-∞ ≤ X ≤ μ) = 0,5 gilt somit:
P(μ - 15 ≤ X ≤ μ) ≈ 0

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 15 ≤ X ≤ μ + 15) ≈ 0,683

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 1⋅σ ≤ X ≤ μ - 1⋅σ) ≈ 0.683
muss also 1⋅σ = 15 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 15 .

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = 1 σ · 2π · e - 1 2 ( x - μ σ ) 2 ergibt:

φ(x) = 1 3 2π · e - 1 2 ( x +3 3 ) 2

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Firma produziert 40 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,6 mm. Die Schrauben werden dabei in Kartons mit 24 Stück verpackt. Ist eine Schraube kürzer als 39,8 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig gewählten Karton nicht mehr als 8 Schrauben zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als zu kurz gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≤ 39.8) ≈ 0.3694 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 24 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der zu kurzen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit n = 24 und p = 0.369 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
P0.36924 (X8) =

P0.36924 (X8) = 0.4459

(TI-Befehl: binomcdf(24,0.369,8) - binomcdf(24,0.369,-1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 44,6%.

Normalverteilung rw. (Symmetrie)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 6 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 0,8 cm. Zwischen welchen Längen in cm liegt das kleinste Intervall, in dem die Längen von 20% dieser Insekten liegen?
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 6 und der Standardabweichung σ = 0.8.

Gesucht ist ja das kleinste Intervall, dessen Wahrscheinlichkeit 20% auf sich vereint.

Weil ja die Gauß'sche Glockenkurve symmetrisch zu x = 6 ist, und um den Erwartungswert die höchsten Werte und damit auch die größten Flächen möglich sind, muss dieses kleinste Intervall symmetrisch um den Erwartungswert herum liegen (siehe rote Fläche unter dem Graph).

Folglich muss gelten: P(µ-d ≤ X ≤ µ+d) = 0.2.

Wegen der Symmetrie bedeutet das dann ja aber P(µ-d ≤ X ≤ µ) = 0.1 ("Hälfte des roten Bereichs").

Und da immer P(X ≤ µ) = 0.5 gilt, muss also P(X ≤ µ-d) = 0.4 sein ("blauer Bereich").

Der WTR liefert für P(X ≤ µ-d) = 0.4 den Wert µ-d ≈ 5.797.

Dieser hat also von µ = 6 den Abstand d = 6-5.797 = 0.203, somit ist der rechte Rand µ+d bei 6+0.203 = 6.203.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr durchschnittlich einen Durchmesser von 9,1 cm und eine Standardabweichung von 2 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie viele Äpfel muss man mindestens ernten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 57 Stück an den Großhandel verkaufen zu können?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.1 und der Standardabweichung σ = 2.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.537784 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.537784 annehmen.

nP(X≤k)
......
1070.419
1080.3794
1090.3414
1100.3052
1110.2712
1120.2394
......

Die Zufallsgröße X gibt Äpfel im geforderten Größenbereich an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.537784 und variablem n.

Es muss gelten: P0.538n (X57) ≥ 0.75

Weil man ja aber P0.538n (X57) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.538n (X57) = 1 - P0.538n (X56) ≥ 0.75 |+ P0.538n (X56) - 0.75

0.25 ≥ P0.538n (X56) oder P0.538n (X56) ≤ 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 53.7784% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 57 0.537784 ≈ 106 Versuchen auch ungefähr 57 (≈0.537784⋅106) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=106:
P0.538n (X56) ≈ 0.4599 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.25 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.25 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=112 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.25 ist.

n muss also mindestens 112 sein, damit P0.538n (X56) ≤ 0.25 oder eben P0.538n (X57) ≥ 0.75 gilt.

Normalverteilung mehrstufig

Beispiel:

Eine Brauerei aus dem württembergischen Allgäu muss sich manchmal gegen Vorwürfe eines Mitbewerbers mit deutlich weniger bekömmlichem Bier wehren, dass die Flaschen nicht richtig gefüllt wären. Bei der Abfüllanlage kann man die Soll-Füllmenge auf jeden ganzzahligen ml-Wert einstellen. Die tatsächliche Füllmenge kann man dann als normalverteilt mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und der Standardabweichung 5ml annehmen. Auf welchen Wert muss man nun den Erwartungswert einstellen, damit 6 zufällig ausgewählte Flaschen mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% alle mindestens die geforderten 500ml Bier enthalten?

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Die Füllmenge einer Flasche im ml soll als normalverteilte Zufallsgröße X mit variablem Erwartungswert µ und σ=5 bezeichnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche die Vorgabe (Mindestfüllmenge) erfüllt, bezeichnen wir p.

Damit diese Vorgabe nun auch wirklich bei allen 6 zufällig gewählten Flaschen erfüllt wird, muss somit gelten:

p6 ≥ 0.75 (Die 6 zufällig gewählten Flasche kann man als mehrstufiges Zufallsexperiment mit gleichbleibender Einzelwahrscheinlichkeit p interpretieren.)

Wenn wir jetzt hier die 6-te Wurzel ziehen, erhalten wir die notwendige Einzelwahrscheinlichkeit p, dass eine Flasche die Vorgabe (Mindestfüllmenge) erfüllt:

Einzelwahrscheinlichkeit: p ≥ 0,9532

Wir suchen jetzt also nach einer Normalverteilung mit einem bestimmten Erwartungswert µ, für den die Mindestfüllmenge von 500 ml mit der Wahrscheinlichkeit 0,9532 eingehalten wird;

also dass P(X ≥ 500) ≥ 0,9532

Wir starten mit der Mindestvorgabe µ = 500 als Erwartungswert und erhöhen dann schrittweise immer um eine Einheit, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 500) mindestens 0,9532 ist:

μ = 501: P(X ≥ 500) = 0.5793

μ = 502: P(X ≥ 500) = 0.6554

μ = 503: P(X ≥ 500) = 0.7257

μ = 504: P(X ≥ 500) = 0.7881

μ = 505: P(X ≥ 500) = 0.8413

μ = 506: P(X ≥ 500) = 0.8849

μ = 507: P(X ≥ 500) = 0.9192

μ = 508: P(X ≥ 500) = 0.9452

μ = 509: P(X ≥ 500) = 0.9641

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 509 einstellen.

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(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung VFT

Beispiel:

Man geht davon, dass in einem bestimmten Land der IQ der erwachsenenen Einwohner normalverteilt mit Erwartungswert 103 und Standardabweichung 12 ist. 30% dieser erwachsenenen Einwohner haben Abitur. Das Bildungsministerium teilt dabei die Bevölkerung in zwei Gruppen: die Schlauen und die Normalen. Von den Einwohnern ohne Abitur gehören 85% zu den Normalen. 12% der Bevölkerung haben Abitur und gehören zur Gruppe der Schlauen. Ab welchem IQ gilt man in diesem Land schlau?
(Bitte auf 1 Stelle nach dem Komma runden)

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Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : mit Abitur

A : nicht mit Abitur, also ohne Abitur

B : schlau

B : nicht schlau, also normal

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(schlau)
B
(normal)
 
A
(mit Abitur)
0,12 0,3
A
(ohne Abitur)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(schlau)
B
(normal)
 
A
(mit Abitur)
0,120,180,3
A
(ohne Abitur)
  0,7
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "ohne Abitur" sind es 85% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,7 0,85 = 0,595 berechnen.

  B
(schlau)
B
(normal)
 
A
(mit Abitur)
0,120,180,3
A
(ohne Abitur)
 0,5950,7
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(schlau)
B
(normal)
 
A
(mit Abitur)
0,120,180,3
A
(ohne Abitur)
0,1050,5950,7
 0,2250,7751

Wir wissen jetzt also, dass die Wahrscheinlichkeit für "schlau" ungefähr 0,225 beträgt.

Jetzt suchen wie in der Normalverteilung nach einem -Wert k, für den gilt P(X ≥ k) ≈ 0,225

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0,225, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0,775 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0,225 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0,775 liefert der WTR k ≈ 112,065.

Als "schlau" gilt also ab 112,065 .

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )