Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 1.4) ≈ 0.6915

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.8, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.2 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.8 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.2 liefert der WTR k ≈ 43.688.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 90 und der Standardabweichung σ = 0.5.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:

P(89.3 ≤ X ≤ 89.7) ≈ 0.1935

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 70 und der Standardabweichung σ = 0.2.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.5 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.5 den Wert k ≈ 70.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= 3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-3 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.7248

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -5.

Somit gilt: P( X ≤ -5) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P(-9 ≤ X ≤ -5) = 0.445 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ -9), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P(X ≤ -9) = 0,5 - 0.445 = 0.055

Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -5 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0499}}$ ≈ 10.02 und runden diesen auf σ₁ = 10.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -5 und σ₁=10) an der gegebenen Stelle x = -5 und erhalten f₁(-5) = 0.0399
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=10 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -5 berechnen:

μ = -5	σ = 9	f(-5) = 0.0443
μ = -5	σ = 8	f(-5) = 0.0499

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 8 sein.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 80 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 80) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 80) mindestens 0.9 ist:

μ = 80: P(X ≥ 80) = 0.5

μ = 81: P(X ≥ 80) = 0.7625

μ = 82: P(X ≥ 80) = 0.9234

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 82 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 9.5) + P(X ≥ 10.5) < 15% oder eben, dass P(9.5 ≤ X ≤ 10.5) ≥ 0.85 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 0.5 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 0.5 weniger als 2 σ entsprechen.

0.5 < 2⋅σ |:2
0.25 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.25 und erhöhen dieses so lange, bis P(9.5 ≤X ≤ 10.5) unter die 0.85 sinkt:

σ = 0.2: P(9.5 ≤ X ≤ 10.5) ≈ 0.9876

σ = 0.3: P(9.5 ≤ X ≤ 10.5) ≈ 0.9044

σ = 0.4: P(9.5 ≤ X ≤ 10.5) ≈ 0.7887

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.3 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 600 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 600) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 600) mindestens 0.75 ist:

μ = 600: P(X ≥ 600) = 0.5

μ = 601: P(X ≥ 600) = 0.6125

μ = 602: P(X ≥ 600) = 0.7161

μ = 603: P(X ≥ 600) = 0.8043

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 603 einstellen.

Es gilt: P(93 ≤ X ≤ 147) ≈ 0,997
oder anders ausgedrückt:
P(μ - 27 ≤ X ≤ μ + 27) ≈ 0,997

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ - 3⋅σ) ≈ 0.997
muss also 3⋅σ = 27 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 9 .

Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{4\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x+4}{4}\right)}^2}$

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als zu kurz gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 90 und der Standardabweichung σ = 0.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≤ 89.9) ≈ 0.4207 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 24 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der zu kurzen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit n = 24 und p = 0.421 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.421}^{24}(X\le 8)$ =

$P_{0.421}^{24}(X\le 8)$ = 0.2569

(TI-Befehl: binomcdf(24,0.421,8) - binomcdf(24,0.421,-1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 25,7%.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 0.5.

Gesucht ist ja das kleinste Intervall, dessen Wahrscheinlichkeit 20% auf sich vereint.

Weil ja die Gauß'sche Glockenkurve symmetrisch zu x = 2 ist, und um den Erwartungswert die höchsten Werte und damit auch die größten Flächen möglich sind, muss dieses kleinste Intervall symmetrisch um den Erwartungswert herum liegen (siehe rote Fläche unter dem Graph).

Folglich muss gelten: P(µ-d ≤ X ≤ µ+d) = 0.2.

Wegen der Symmetrie bedeutet das dann ja aber P(µ-d ≤ X ≤ µ) = 0.1 ("Hälfte des roten Bereichs").

Und da immer P(X ≤ µ) = 0.5 gilt, muss also P(X ≤ µ-d) = 0.4 sein ("blauer Bereich").

Der WTR liefert für P(X ≤ µ-d) = 0.4 den Wert µ-d ≈ 1.873.

Dieser hat also von µ = 2 den Abstand d = 2-1.873 = 0.127, somit ist der rechte Rand µ+d bei 2+0.127 = 2.127.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als lang genug gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 70 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 69.6) ≈ 0.747508 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die ausreichend langen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.747508 annehmen.

Der prozentuale Anteil an Engelshaar in der Dubai-Schokolade soll als normalverteilte Zufallsgröße X mit µ=50 und σ=6 bezeichnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schokoladentafel die Vorgabe (Mindestanteil) erfüllt, bezeichnen wir p.

Damit diese Vorgabe nun auch wirklich bei allen 7 kontrollierten Tafeln erfüllt wird, muss somit gelten:

p⁷ ≥ 0.85 (Die 7 kontrollierten Tafeln kann man als mehrstufiges Zufallsexperiment mit gleichbleibender Einzelwahrscheinlichkeit p interpretieren.)

Wenn wir jetzt hier die 7-te Wurzel ziehen, erhalten wir die notwendige Einzelwahrscheinlichkeit p, dass eine Schokoladentafel die Vorgabe (Mindestanteil) erfüllt:

Einzelwahrscheinlichkeit: p ≥ 0,9771

Wir suchen jetzt also in der Normalverteilung nach einem Mindestanteil, der mit der Wahrscheinlichkeit 0,9771 eingehalten wird;

also nach einem k mit P(X ≥ k) ≥ 0,9771

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0,9771, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0,0229 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0,9771 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0,0229 liefert der WTR k ≈ 38.022.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: mit Abitur

$\bar{A}$: nicht mit Abitur, also ohne Abitur

$B$: schlau

$\bar{B}$: nicht schlau, also normal

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (schlau)	$\bar{B}$ (normal)
$A$ (mit Abitur)	0,2		0,4
$\bar{A}$ (ohne Abitur)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (schlau)	$\bar{B}$ (normal)
$A$ (mit Abitur)	0,2	0,2	0,4
$\bar{A}$ (ohne Abitur)			0,6
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "ohne Abitur" sind es 65% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,6 ⋅ 0,65 = 0,39 berechnen.

	$B$ (schlau)	$\bar{B}$ (normal)
$A$ (mit Abitur)	0,2	0,2	0,4
$\bar{A}$ (ohne Abitur)		0,39	0,6
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (schlau)	$\bar{B}$ (normal)
$A$ (mit Abitur)	0,2	0,2	0,4
$\bar{A}$ (ohne Abitur)	0,21	0,39	0,6
	0,41	0,59	1

Wir wissen jetzt also, dass die Wahrscheinlichkeit für "schlau" ungefähr 0,41 beträgt.

Jetzt suchen wie in der Normalverteilung nach einem -Wert k, für den gilt P(X ≥ k) ≈ 0,41

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0,41, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0,59 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0,41 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0,59 liefert der WTR k ≈ 109,731.

Als "schlau" gilt also ab 109,731 .

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )