Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5004 - 1500) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5004 - 1500) mod 5 ≡ (5004 mod 5 - 1500 mod 5) mod 5.

5004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5004 = 5000+4 = 5 ⋅ 1000 +4.

1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 5 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(5004 - 1500) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 44) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 44) mod 5 ≡ (89 mod 5 ⋅ 44 mod 5) mod 5.

89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 44) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 574128 mod 733.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 574 -> x
2. mod(x²,733) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5741=574

2: 5742=5741+1=5741⋅5741 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 359 mod 733

4: 5744=5742+2=5742⋅5742 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 606 mod 733

8: 5748=5744+4=5744⋅5744 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 3 mod 733

16: 57416=5748+8=5748⋅5748 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 733

32: 57432=57416+16=57416⋅57416 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 733

64: 57464=57432+32=57432⋅57432 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 697 mod 733

128: 574128=57464+64=57464⋅57464 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 563 mod 733

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 331142 mod 577.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:

142 = 128+8+4+2

1: 3311=331

2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 508 mod 577

4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 145 mod 577

8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 253 mod 577

16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 539 mod 577

32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 290 mod 577

64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 435 mod 577

128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 546 mod 577

331142

= 331128+8+4+2

= 331128⋅3318⋅3314⋅3312

546 ⋅ 253 ⋅ 145 ⋅ 508 mod 577
138138 ⋅ 145 ⋅ 508 mod 577 ≡ 235 ⋅ 145 ⋅ 508 mod 577
34075 ⋅ 508 mod 577 ≡ 32 ⋅ 508 mod 577
16256 mod 577 ≡ 100 mod 577

Es gilt also: 331142 ≡ 100 mod 577

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20

=>67 = 3⋅20 + 7
=>20 = 2⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 20-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7)
= -1⋅20 +3⋅ 7 (=1)
7= 67-3⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20)
= 3⋅67 -10⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -10⋅20

-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20

-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1

(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1

57⋅20 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1

Somit 57⋅20 = 1 mod 67

57 ist also das Inverse von 20 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.