Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 + 17999) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 + 17999) mod 9 ≡ (98 mod 9 + 17999 mod 9) mod 9.
98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98
= 90
17999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17999
= 18000
Somit gilt:
(98 + 17999) mod 9 ≡ (8 + 8) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 84) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 84) mod 3 ≡ (92 mod 3 ⋅ 84 mod 3) mod 3.
92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.
84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 84) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18016 mod 311.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 180 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1801=180
2: 1802=1801+1=1801⋅1801 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 56 mod 311
4: 1804=1802+2=1802⋅1802 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 26 mod 311
8: 1808=1804+4=1804⋅1804 ≡ 26⋅26=676 ≡ 54 mod 311
16: 18016=1808+8=1808⋅1808 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 117 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 230212 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 270 mod 277
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 49 mod 277
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 185 mod 277
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 154 mod 277
32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 171 mod 277
64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 156 mod 277
128: 230128=23064+64=23064⋅23064 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 237 mod 277
230212
= 230128+64+16+4
= 230128⋅23064⋅23016⋅2304
≡ 237 ⋅ 156 ⋅ 154 ⋅ 49 mod 277
≡ 36972 ⋅ 154 ⋅ 49 mod 277 ≡ 131 ⋅ 154 ⋅ 49 mod 277
≡ 20174 ⋅ 49 mod 277 ≡ 230 ⋅ 49 mod 277
≡ 11270 mod 277 ≡ 190 mod 277
Es gilt also: 230212 ≡ 190 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69
| =>101 | = 1⋅69 + 32 |
| =>69 | = 2⋅32 + 5 |
| =>32 | = 6⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 32-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1) |
| 5= 69-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32) = 13⋅69 -28⋅ 32 (=1) |
| 32= 101-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69) = -28⋅101 +41⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69
oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅101 = +41⋅69
Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1
Somit 41⋅69 = 1 mod 101
41 ist also das Inverse von 69 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
