Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3600 + 909) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3600 + 909) mod 9 ≡ (3600 mod 9 + 909 mod 9) mod 9.
3600 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3600
= 3600
909 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 909
= 900
Somit gilt:
(3600 + 909) mod 9 ≡ (0 + 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 63) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 63) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 63 mod 7) mod 7.
83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 63) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51016 mod 881.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 510 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5101=510
2: 5102=5101+1=5101⋅5101 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 205 mod 881
4: 5104=5102+2=5102⋅5102 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 618 mod 881
8: 5108=5104+4=5104⋅5104 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 451 mod 881
16: 51016=5108+8=5108⋅5108 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 771 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 396149 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 511 mod 727
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 128 mod 727
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 390 mod 727
16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 157 mod 727
32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 658 mod 727
64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 399 mod 727
128: 396128=39664+64=39664⋅39664 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 715 mod 727
396149
= 396128+16+4+1
= 396128⋅39616⋅3964⋅3961
≡ 715 ⋅ 157 ⋅ 128 ⋅ 396 mod 727
≡ 112255 ⋅ 128 ⋅ 396 mod 727 ≡ 297 ⋅ 128 ⋅ 396 mod 727
≡ 38016 ⋅ 396 mod 727 ≡ 212 ⋅ 396 mod 727
≡ 83952 mod 727 ≡ 347 mod 727
Es gilt also: 396149 ≡ 347 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 39
| =>83 | = 2⋅39 + 5 |
| =>39 | = 7⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 39-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5) = -1⋅39 +8⋅ 5 (=1) |
| 5= 83-2⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +8⋅(83 -2⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅83 -16⋅ 39) = 8⋅83 -17⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,39)=1 = 8⋅83 -17⋅39
oder wenn man 8⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅83 = -17⋅39
-17⋅39 = -8⋅83 + 1 |+83⋅39
-17⋅39 + 83⋅39 = -8⋅83 + 83⋅39 + 1
(-17 + 83) ⋅ 39 = (-8 + 39) ⋅ 83 + 1
66⋅39 = 31⋅83 + 1
Es gilt also: 66⋅39 = 31⋅83 +1
Somit 66⋅39 = 1 mod 83
66 ist also das Inverse von 39 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
