Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24997 - 1501) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24997 - 1501) mod 5 ≡ (24997 mod 5 - 1501 mod 5) mod 5.
24997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24997
= 24000
1501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501
= 1500
Somit gilt:
(24997 - 1501) mod 5 ≡ (2 - 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 59) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 59) mod 10 ≡ (69 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.
69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.
59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 59) mod 10 ≡ (9 ⋅ 9) mod 10 ≡ 81 mod 10 ≡ 1 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19516 mod 227.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 195 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1951=195
2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 116 mod 227
4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 63 mod 227
8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 110 mod 227
16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 69 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29494 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 2941=294
2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 41 mod 467
4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 280 mod 467
8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 411 mod 467
16: 29416=2948+8=2948⋅2948 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 334 mod 467
32: 29432=29416+16=29416⋅29416 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 410 mod 467
64: 29464=29432+32=29432⋅29432 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 447 mod 467
29494
= 29464+16+8+4+2
= 29464⋅29416⋅2948⋅2944⋅2942
≡ 447 ⋅ 334 ⋅ 411 ⋅ 280 ⋅ 41 mod 467
≡ 149298 ⋅ 411 ⋅ 280 ⋅ 41 mod 467 ≡ 325 ⋅ 411 ⋅ 280 ⋅ 41 mod 467
≡ 133575 ⋅ 280 ⋅ 41 mod 467 ≡ 13 ⋅ 280 ⋅ 41 mod 467
≡ 3640 ⋅ 41 mod 467 ≡ 371 ⋅ 41 mod 467
≡ 15211 mod 467 ≡ 267 mod 467
Es gilt also: 29494 ≡ 267 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23
| =>59 | = 2⋅23 + 13 |
| =>23 | = 1⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 23-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +18⋅23
Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1
Somit 18⋅23 = 1 mod 59
18 ist also das Inverse von 23 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
