Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9999 - 200) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9999 - 200) mod 5 ≡ (9999 mod 5 - 200 mod 5) mod 5.
9999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9999
= 9000
200 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200
= 200
Somit gilt:
(9999 - 200) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 80) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 80) mod 7 ≡ (62 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.
62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.
80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 80) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1428 mod 359.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 142 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1421=142
2: 1422=1421+1=1421⋅1421 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 60 mod 359
4: 1424=1422+2=1422⋅1422 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 10 mod 359
8: 1428=1424+4=1424⋅1424 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 712219 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:
219 = 128+64+16+8+2+1
1: 7121=712
2: 7122=7121+1=7121⋅7121 ≡ 712⋅712=506944 ≡ 467 mod 887
4: 7124=7122+2=7122⋅7122 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 774 mod 887
8: 7128=7124+4=7124⋅7124 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 351 mod 887
16: 71216=7128+8=7128⋅7128 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 795 mod 887
32: 71232=71216+16=71216⋅71216 ≡ 795⋅795=632025 ≡ 481 mod 887
64: 71264=71232+32=71232⋅71232 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 741 mod 887
128: 712128=71264+64=71264⋅71264 ≡ 741⋅741=549081 ≡ 28 mod 887
712219
= 712128+64+16+8+2+1
= 712128⋅71264⋅71216⋅7128⋅7122⋅7121
≡ 28 ⋅ 741 ⋅ 795 ⋅ 351 ⋅ 467 ⋅ 712 mod 887
≡ 20748 ⋅ 795 ⋅ 351 ⋅ 467 ⋅ 712 mod 887 ≡ 347 ⋅ 795 ⋅ 351 ⋅ 467 ⋅ 712 mod 887
≡ 275865 ⋅ 351 ⋅ 467 ⋅ 712 mod 887 ≡ 8 ⋅ 351 ⋅ 467 ⋅ 712 mod 887
≡ 2808 ⋅ 467 ⋅ 712 mod 887 ≡ 147 ⋅ 467 ⋅ 712 mod 887
≡ 68649 ⋅ 712 mod 887 ≡ 350 ⋅ 712 mod 887
≡ 249200 mod 887 ≡ 840 mod 887
Es gilt also: 712219 ≡ 840 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47
| =>59 | = 1⋅47 + 12 |
| =>47 | = 3⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 47-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12) = -1⋅47 +4⋅ 12 (=1) |
| 12= 59-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47) = 4⋅59 -5⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47
oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅59 = -5⋅47
-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47
-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1
(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1
54⋅47 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1
Somit 54⋅47 = 1 mod 59
54 ist also das Inverse von 47 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
