Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (295 + 60) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(295 + 60) mod 6 ≡ (295 mod 6 + 60 mod 6) mod 6.

295 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 295 = 300-5 = 6 ⋅ 50 -5 = 6 ⋅ 50 - 6 + 1.

60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 6 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(295 + 60) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 97) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 97) mod 5 ≡ (16 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.

16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 97) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21216 mod 491.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 212 -> x
2. mod(x²,491) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2121=212

2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 263 mod 491

4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 429 mod 491

8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 407 mod 491

16: 21216=2128+8=2128⋅2128 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 182 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 317209 mod 953.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:

209 = 128+64+16+1

1: 3171=317

2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 424 mod 953

4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 612 mod 953

8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 15 mod 953

16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 953

32: 31732=31716+16=31716⋅31716 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 116 mod 953

64: 31764=31732+32=31732⋅31732 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 114 mod 953

128: 317128=31764+64=31764⋅31764 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 607 mod 953

317209

= 317128+64+16+1

= 317128⋅31764⋅31716⋅3171

607 ⋅ 114 ⋅ 225 ⋅ 317 mod 953
69198 ⋅ 225 ⋅ 317 mod 953 ≡ 582 ⋅ 225 ⋅ 317 mod 953
130950 ⋅ 317 mod 953 ≡ 389 ⋅ 317 mod 953
123313 mod 953 ≡ 376 mod 953

Es gilt also: 317209 ≡ 376 mod 953

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 92.

Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 92

=>97 = 1⋅92 + 5
=>92 = 18⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 92-18⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(92 -18⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅92 +36⋅ 5)
= -2⋅92 +37⋅ 5 (=1)
5= 97-1⋅92 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅92 +37⋅(97 -1⋅ 92)
= -2⋅92 +37⋅97 -37⋅ 92)
= 37⋅97 -39⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(97,92)=1 = 37⋅97 -39⋅92

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -39⋅92

-39⋅92 = -37⋅97 + 1 |+97⋅92

-39⋅92 + 97⋅92 = -37⋅97 + 97⋅92 + 1

(-39 + 97) ⋅ 92 = (-37 + 92) ⋅ 97 + 1

58⋅92 = 55⋅97 + 1

Es gilt also: 58⋅92 = 55⋅97 +1

Somit 58⋅92 = 1 mod 97

58 ist also das Inverse von 92 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.