Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2105 + 6999) mod 7 ≡ (2105 mod 7 + 6999 mod 7) mod 7.

2105 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2105 = 2100+5 = 7 ⋅ 300 +5.

6999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6999 = 7000-1 = 7 ⋅ 1000 -1 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 6.

Somit gilt:

(2105 + 6999) mod 7 ≡ (5 + 6) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 32) mod 6 ≡ (30 mod 6 ⋅ 32 mod 6) mod 6.

30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.

32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 32) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 232¹=232

2: 232²=232¹⁺¹=232¹⋅232¹ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 339 mod 563

4: 232⁴=232²⁺²=232²⋅232² ≡ 339⋅339=114921 ≡ 69 mod 563

8: 232⁸=232⁴⁺⁴=232⁴⋅232⁴ ≡ 69⋅69=4761 ≡ 257 mod 563

16: 232¹⁶=232⁸⁺⁸=232⁸⋅232⁸ ≡ 257⋅257=66049 ≡ 178 mod 563

32: 232³²=232¹⁶⁺¹⁶=232¹⁶⋅232¹⁶ ≡ 178⋅178=31684 ≡ 156 mod 563

64: 232⁶⁴=232³²⁺³²=232³²⋅232³² ≡ 156⋅156=24336 ≡ 127 mod 563

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

382¹⁷⁵

= 382^{128+32+8+4+2+1}

= 382¹²⁸⋅382³²⋅382⁸⋅382⁴⋅382²⋅382¹

≡ 250 ⋅ 526 ⋅ 208 ⋅ 513 ⋅ 367 ⋅ 382 mod 599
≡ 131500 ⋅ 208 ⋅ 513 ⋅ 367 ⋅ 382 mod 599 ≡ 319 ⋅ 208 ⋅ 513 ⋅ 367 ⋅ 382 mod 599
≡ 66352 ⋅ 513 ⋅ 367 ⋅ 382 mod 599 ≡ 462 ⋅ 513 ⋅ 367 ⋅ 382 mod 599
≡ 237006 ⋅ 367 ⋅ 382 mod 599 ≡ 401 ⋅ 367 ⋅ 382 mod 599
≡ 147167 ⋅ 382 mod 599 ≡ 412 ⋅ 382 mod 599
≡ 157384 mod 599 ≡ 446 mod 599

Es gilt also: 382¹⁷⁵ ≡ 446 mod 599

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59	= 1⋅37 + 22
=>37	= 1⋅22 + 15
=>22	= 1⋅15 + 7
=>15	= 2⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15) = 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22) = -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37) = 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59