Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20005 - 1998) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20005 - 1998) mod 5 ≡ (20005 mod 5 - 1998 mod 5) mod 5.
20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005
= 20000
1998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998
= 1900
Somit gilt:
(20005 - 1998) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 50) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 50) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 50 mod 10) mod 10.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
50 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 5 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 50) mod 10 ≡ (9 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19116 mod 593.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 191 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1911=191
2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 308 mod 593
4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 577 mod 593
8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 256 mod 593
16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 306 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 458125 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:
125 = 64+32+16+8+4+1
1: 4581=458
2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 184 mod 499
4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 423 mod 499
8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 287 mod 499
16: 45816=4588+8=4588⋅4588 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 34 mod 499
32: 45832=45816+16=45816⋅45816 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 158 mod 499
64: 45864=45832+32=45832⋅45832 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 14 mod 499
458125
= 45864+32+16+8+4+1
= 45864⋅45832⋅45816⋅4588⋅4584⋅4581
≡ 14 ⋅ 158 ⋅ 34 ⋅ 287 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499
≡ 2212 ⋅ 34 ⋅ 287 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499 ≡ 216 ⋅ 34 ⋅ 287 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499
≡ 7344 ⋅ 287 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499 ≡ 358 ⋅ 287 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499
≡ 102746 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499 ≡ 451 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499
≡ 190773 ⋅ 458 mod 499 ≡ 155 ⋅ 458 mod 499
≡ 70990 mod 499 ≡ 132 mod 499
Es gilt also: 458125 ≡ 132 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39
| =>89 | = 2⋅39 + 11 |
| =>39 | = 3⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 39-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11) = 2⋅39 -7⋅ 11 (=1) |
| 11= 89-2⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39)
= 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39) = -7⋅89 +16⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +16⋅39
Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1
Somit 16⋅39 = 1 mod 89
16 ist also das Inverse von 39 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
