Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 + 1201) mod 3 ≡ (92 mod 3 + 1201 mod 3) mod 3.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90+2 = 3 ⋅ 30 +2.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(92 + 1201) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 83) mod 8 ≡ (50 mod 8 ⋅ 83 mod 8) mod 8.

50 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 6 ⋅ 8 + 2 ist.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 83) mod 8 ≡ (2 ⋅ 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 177¹=177

2: 177²=177¹⁺¹=177¹⋅177¹ ≡ 177⋅177=31329 ≡ 3 mod 227

4: 177⁴=177²⁺²=177²⋅177² ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 227

8: 177⁸=177⁴⁺⁴=177⁴⋅177⁴ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 227

16: 177¹⁶=177⁸⁺⁸=177⁸⋅177⁸ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 205 mod 227

32: 177³²=177¹⁶⁺¹⁶=177¹⁶⋅177¹⁶ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 30 mod 227

64: 177⁶⁴=177³²⁺³²=177³²⋅177³² ≡ 30⋅30=900 ≡ 219 mod 227

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

149²⁴²

= 149^{128+64+32+16+2}

= 149¹²⁸⋅149⁶⁴⋅149³²⋅149¹⁶⋅149²

≡ 361 ⋅ 19 ⋅ 34 ⋅ 105 ⋅ 219 mod 379
≡ 6859 ⋅ 34 ⋅ 105 ⋅ 219 mod 379 ≡ 37 ⋅ 34 ⋅ 105 ⋅ 219 mod 379
≡ 1258 ⋅ 105 ⋅ 219 mod 379 ≡ 121 ⋅ 105 ⋅ 219 mod 379
≡ 12705 ⋅ 219 mod 379 ≡ 198 ⋅ 219 mod 379
≡ 43362 mod 379 ≡ 156 mod 379

Es gilt also: 149²⁴² ≡ 156 mod 379

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53	= 1⋅37 + 16
=>37	= 2⋅16 + 5
=>16	= 3⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16) = 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37) = -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53