Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9000 - 1800) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9000 - 1800) mod 9 ≡ (9000 mod 9 - 1800 mod 9) mod 9.

9000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 9 ⋅ 1000 +0.

1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 9 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(9000 - 1800) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 16) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 16) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 16 mod 9) mod 9.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

16 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 9 + 7 = 1 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 16) mod 9 ≡ (5 ⋅ 7) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19332 mod 439.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 193 -> x
2. mod(x²,439) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1931=193

2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 373 mod 439

4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 405 mod 439

8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 278 mod 439

16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 20 mod 439

32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 439

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 165238 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

1: 1651=165

2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 358 mod 401

4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 245 mod 401

8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 276 mod 401

16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 387 mod 401

32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 196 mod 401

64: 16564=16532+32=16532⋅16532 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 321 mod 401

128: 165128=16564+64=16564⋅16564 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 385 mod 401

165238

= 165128+64+32+8+4+2

= 165128⋅16564⋅16532⋅1658⋅1654⋅1652

385 ⋅ 321 ⋅ 196 ⋅ 276 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401
123585 ⋅ 196 ⋅ 276 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401 ≡ 77 ⋅ 196 ⋅ 276 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401
15092 ⋅ 276 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401 ≡ 255 ⋅ 276 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401
70380 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401 ≡ 205 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401
50225 ⋅ 358 mod 401 ≡ 100 ⋅ 358 mod 401
35800 mod 401 ≡ 111 mod 401

Es gilt also: 165238 ≡ 111 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29

=>73 = 2⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 73-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29)
= 2⋅73 -5⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29

oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅73 = -5⋅29

-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29

-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1

(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1

68⋅29 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1

Somit 68⋅29 = 1 mod 73

68 ist also das Inverse von 29 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.