Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9995 - 1501) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9995 - 1501) mod 5 ≡ (9995 mod 5 - 1501 mod 5) mod 5.
9995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9995
= 9000
1501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501
= 1500
Somit gilt:
(9995 - 1501) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 87) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 87) mod 6 ≡ (19 mod 6 ⋅ 87 mod 6) mod 6.
19 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 3 ⋅ 6 + 1 ist.
87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 87) mod 6 ≡ (1 ⋅ 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50532 mod 571.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 505 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5051=505
2: 5052=5051+1=5051⋅5051 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 359 mod 571
4: 5054=5052+2=5052⋅5052 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 406 mod 571
8: 5058=5054+4=5054⋅5054 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 388 mod 571
16: 50516=5058+8=5058⋅5058 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 371 mod 571
32: 50532=50516+16=50516⋅50516 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 30 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 246252 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:
252 = 128+64+32+16+8+4
1: 2461=246
2: 2462=2461+1=2461⋅2461 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 162 mod 479
4: 2464=2462+2=2462⋅2462 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 378 mod 479
8: 2468=2464+4=2464⋅2464 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 142 mod 479
16: 24616=2468+8=2468⋅2468 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 46 mod 479
32: 24632=24616+16=24616⋅24616 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 200 mod 479
64: 24664=24632+32=24632⋅24632 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 243 mod 479
128: 246128=24664+64=24664⋅24664 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 132 mod 479
246252
= 246128+64+32+16+8+4
= 246128⋅24664⋅24632⋅24616⋅2468⋅2464
≡ 132 ⋅ 243 ⋅ 200 ⋅ 46 ⋅ 142 ⋅ 378 mod 479
≡ 32076 ⋅ 200 ⋅ 46 ⋅ 142 ⋅ 378 mod 479 ≡ 462 ⋅ 200 ⋅ 46 ⋅ 142 ⋅ 378 mod 479
≡ 92400 ⋅ 46 ⋅ 142 ⋅ 378 mod 479 ≡ 432 ⋅ 46 ⋅ 142 ⋅ 378 mod 479
≡ 19872 ⋅ 142 ⋅ 378 mod 479 ≡ 233 ⋅ 142 ⋅ 378 mod 479
≡ 33086 ⋅ 378 mod 479 ≡ 35 ⋅ 378 mod 479
≡ 13230 mod 479 ≡ 297 mod 479
Es gilt also: 246252 ≡ 297 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54
| =>73 | = 1⋅54 + 19 |
| =>54 | = 2⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 54-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19) = 6⋅54 -17⋅ 19 (=1) |
| 19= 73-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54) = -17⋅73 +23⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54
oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅73 = +23⋅54
Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1
Somit 23⋅54 = 1 mod 73
23 ist also das Inverse von 54 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
