Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (303 + 298) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(303 + 298) mod 3 ≡ (303 mod 3 + 298 mod 3) mod 3.
303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303
= 300
298 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298
= 300
Somit gilt:
(303 + 298) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 45) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 45) mod 6 ≡ (89 mod 6 ⋅ 45 mod 6) mod 6.
89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.
45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 45) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6178 mod 857.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 617 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6171=617
2: 6172=6171+1=6171⋅6171 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 181 mod 857
4: 6174=6172+2=6172⋅6172 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 195 mod 857
8: 6178=6174+4=6174⋅6174 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 317 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 225192 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 553 mod 569
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 256 mod 569
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 101 mod 569
16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 528 mod 569
32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 543 mod 569
64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 107 mod 569
128: 225128=22564+64=22564⋅22564 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 69 mod 569
225192
= 225128+64
= 225128⋅22564
≡ 69 ⋅ 107 mod 569
≡ 7383 mod 569 ≡ 555 mod 569
Es gilt also: 225192 ≡ 555 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23
| =>61 | = 2⋅23 + 15 |
| =>23 | = 1⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 23-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15) = 2⋅23 -3⋅ 15 (=1) |
| 15= 61-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23)
= 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23) = -3⋅61 +8⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23
oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅61 = +8⋅23
Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1
Somit 8⋅23 = 1 mod 61
8 ist also das Inverse von 23 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
