Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (122 + 11999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(122 + 11999) mod 3 ≡ (122 mod 3 + 11999 mod 3) mod 3.

122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 3 ⋅ 40 +2.

11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 3 ⋅ 4000 -1 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(122 + 11999) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 57) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 57) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 57 mod 7) mod 7.

26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.

57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 57) mod 7 ≡ (5 ⋅ 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 66664 mod 857.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 666 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6661=666

2: 6662=6661+1=6661⋅6661 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 487 mod 857

4: 6664=6662+2=6662⋅6662 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 637 mod 857

8: 6668=6664+4=6664⋅6664 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 408 mod 857

16: 66616=6668+8=6668⋅6668 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 206 mod 857

32: 66632=66616+16=66616⋅66616 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 443 mod 857

64: 66664=66632+32=66632⋅66632 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 853 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 270201 mod 643.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

1: 2701=270

2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 241 mod 643

4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 211 mod 643

8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 154 mod 643

16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 568 mod 643

32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 481 mod 643

64: 27064=27032+32=27032⋅27032 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 524 mod 643

128: 270128=27064+64=27064⋅27064 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 15 mod 643

270201

= 270128+64+8+1

= 270128⋅27064⋅2708⋅2701

15 ⋅ 524 ⋅ 154 ⋅ 270 mod 643
7860 ⋅ 154 ⋅ 270 mod 643 ≡ 144 ⋅ 154 ⋅ 270 mod 643
22176 ⋅ 270 mod 643 ≡ 314 ⋅ 270 mod 643
84780 mod 643 ≡ 547 mod 643

Es gilt also: 270201 ≡ 547 mod 643

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59

=>79 = 1⋅59 + 20
=>59 = 2⋅20 + 19
=>20 = 1⋅19 + 1
=>19 = 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 59-2⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20)
= -1⋅59 +3⋅ 20 (=1)
20= 79-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59)
= 3⋅79 -4⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59

oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅79 = -4⋅59

-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59

-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1

(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1

75⋅59 = 56⋅79 + 1

Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1

Somit 75⋅59 = 1 mod 79

75 ist also das Inverse von 59 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.