Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15997 - 3197) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 - 3197) mod 8 ≡ (15997 mod 8 - 3197 mod 8) mod 8.

15997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 8 ⋅ 1875 +997.

3197 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3197 = 3200-3 = 8 ⋅ 400 -3 = 8 ⋅ 400 - 8 + 5.

Somit gilt:

(15997 - 3197) mod 8 ≡ (5 - 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 95) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 95) mod 10 ≡ (79 mod 10 ⋅ 95 mod 10) mod 10.

79 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 70 + 9 = 7 ⋅ 10 + 9 ist.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 95) mod 10 ≡ (9 ⋅ 5) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3738 mod 379.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 373 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3731=373

2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 36 mod 379

4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 159 mod 379

8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 267 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 130126 mod 347.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

1: 1301=130

2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 244 mod 347

4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 199 mod 347

8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 43 mod 347

16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 114 mod 347

32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 157 mod 347

64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 12 mod 347

130126

= 13064+32+16+8+4+2

= 13064⋅13032⋅13016⋅1308⋅1304⋅1302

12 ⋅ 157 ⋅ 114 ⋅ 43 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347
1884 ⋅ 114 ⋅ 43 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347 ≡ 149 ⋅ 114 ⋅ 43 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347
16986 ⋅ 43 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347 ≡ 330 ⋅ 43 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347
14190 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347 ≡ 310 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347
61690 ⋅ 244 mod 347 ≡ 271 ⋅ 244 mod 347
66124 mod 347 ≡ 194 mod 347

Es gilt also: 130126 ≡ 194 mod 347

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43

=>79 = 1⋅43 + 36
=>43 = 1⋅36 + 7
=>36 = 5⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 36-5⋅7
7= 43-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36)
= -5⋅43 +6⋅ 36 (=1)
36= 79-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43)
= 6⋅79 -11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43

oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅79 = -11⋅43

-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43

-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1

(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1

68⋅43 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1

Somit 68⋅43 = 1 mod 79

68 ist also das Inverse von 43 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.