Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2001 + 1996) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2001 + 1996) mod 4 ≡ (2001 mod 4 + 1996 mod 4) mod 4.

2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 4 ⋅ 500 +1.

1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 4 ⋅ 475 +96.

Somit gilt:

(2001 + 1996) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 34) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 34) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 34 mod 4) mod 4.

95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.

34 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 8 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 34) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 539128 mod 769.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 539 -> x
2. mod(x²,769) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5391=539

2: 5392=5391+1=5391⋅5391 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 608 mod 769

4: 5394=5392+2=5392⋅5392 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 544 mod 769

8: 5398=5394+4=5394⋅5394 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 640 mod 769

16: 53916=5398+8=5398⋅5398 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 492 mod 769

32: 53932=53916+16=53916⋅53916 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 598 mod 769

64: 53964=53932+32=53932⋅53932 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 19 mod 769

128: 539128=53964+64=53964⋅53964 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61289 mod 823.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:

89 = 64+16+8+1

1: 6121=612

2: 6122=6121+1=6121⋅6121 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 79 mod 823

4: 6124=6122+2=6122⋅6122 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 480 mod 823

8: 6128=6124+4=6124⋅6124 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 783 mod 823

16: 61216=6128+8=6128⋅6128 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 777 mod 823

32: 61232=61216+16=61216⋅61216 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 470 mod 823

64: 61264=61232+32=61232⋅61232 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 336 mod 823

61289

= 61264+16+8+1

= 61264⋅61216⋅6128⋅6121

336 ⋅ 777 ⋅ 783 ⋅ 612 mod 823
261072 ⋅ 783 ⋅ 612 mod 823 ≡ 181 ⋅ 783 ⋅ 612 mod 823
141723 ⋅ 612 mod 823 ≡ 167 ⋅ 612 mod 823
102204 mod 823 ≡ 152 mod 823

Es gilt also: 61289 ≡ 152 mod 823

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43

=>97 = 2⋅43 + 11
=>43 = 3⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11)
= -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 97-2⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43)
= 4⋅97 -9⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43

oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅97 = -9⋅43

-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43

-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1

(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1

88⋅43 = 39⋅97 + 1

Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1

Somit 88⋅43 = 1 mod 97

88 ist also das Inverse von 43 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.