Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(320 + 165) mod 8 ≡ (320 mod 8 + 165 mod 8) mod 8.

320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320 = 320+0 = 8 ⋅ 40 +0.

165 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 165 = 160+5 = 8 ⋅ 20 +5.

Somit gilt:

(320 + 165) mod 8 ≡ (0 + 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 29) mod 3 ≡ (52 mod 3 ⋅ 29 mod 3) mod 3.

52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 9 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 29) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 327¹=327

2: 327²=327¹⁺¹=327¹⋅327¹ ≡ 327⋅327=106929 ≡ 436 mod 977

4: 327⁴=327²⁺²=327²⋅327² ≡ 436⋅436=190096 ≡ 558 mod 977

8: 327⁸=327⁴⁺⁴=327⁴⋅327⁴ ≡ 558⋅558=311364 ≡ 678 mod 977

16: 327¹⁶=327⁸⁺⁸=327⁸⋅327⁸ ≡ 678⋅678=459684 ≡ 494 mod 977

32: 327³²=327¹⁶⁺¹⁶=327¹⁶⋅327¹⁶ ≡ 494⋅494=244036 ≡ 763 mod 977

64: 327⁶⁴=327³²⁺³²=327³²⋅327³² ≡ 763⋅763=582169 ≡ 854 mod 977

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

365¹⁸¹

= 365^{128+32+16+4+1}

= 365¹²⁸⋅365³²⋅365¹⁶⋅365⁴⋅365¹

≡ 459 ⋅ 424 ⋅ 134 ⋅ 78 ⋅ 365 mod 487
≡ 194616 ⋅ 134 ⋅ 78 ⋅ 365 mod 487 ≡ 303 ⋅ 134 ⋅ 78 ⋅ 365 mod 487
≡ 40602 ⋅ 78 ⋅ 365 mod 487 ≡ 181 ⋅ 78 ⋅ 365 mod 487
≡ 14118 ⋅ 365 mod 487 ≡ 482 ⋅ 365 mod 487
≡ 175930 mod 487 ≡ 123 mod 487

Es gilt also: 365¹⁸¹ ≡ 123 mod 487

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97	= 2⋅42 + 13
=>42	= 3⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42) = -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42) = 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97