Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7998 - 16006) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7998 - 16006) mod 8 ≡ (7998 mod 8 - 16006 mod 8) mod 8.
7998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7998
= 7000
16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006
= 16000
Somit gilt:
(7998 - 16006) mod 8 ≡ (6 - 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 98) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 98) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 98 mod 5) mod 5.
71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.
98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 98) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18132 mod 317.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 181 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1811=181
2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 110 mod 317
4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 54 mod 317
8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 63 mod 317
16: 18116=1818+8=1818⋅1818 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 165 mod 317
32: 18132=18116+16=18116⋅18116 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 280 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 506216 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:
216 = 128+64+16+8
1: 5061=506
2: 5062=5061+1=5061⋅5061 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 849 mod 883
4: 5064=5062+2=5062⋅5062 ≡ 849⋅849=720801 ≡ 273 mod 883
8: 5068=5064+4=5064⋅5064 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 357 mod 883
16: 50616=5068+8=5068⋅5068 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 297 mod 883
32: 50632=50616+16=50616⋅50616 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 792 mod 883
64: 50664=50632+32=50632⋅50632 ≡ 792⋅792=627264 ≡ 334 mod 883
128: 506128=50664+64=50664⋅50664 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 298 mod 883
506216
= 506128+64+16+8
= 506128⋅50664⋅50616⋅5068
≡ 298 ⋅ 334 ⋅ 297 ⋅ 357 mod 883
≡ 99532 ⋅ 297 ⋅ 357 mod 883 ≡ 636 ⋅ 297 ⋅ 357 mod 883
≡ 188892 ⋅ 357 mod 883 ≡ 813 ⋅ 357 mod 883
≡ 290241 mod 883 ≡ 617 mod 883
Es gilt also: 506216 ≡ 617 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48
| =>71 | = 1⋅48 + 23 |
| =>48 | = 2⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 48-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23) = -11⋅48 +23⋅ 23 (=1) |
| 23= 71-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48)
= -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48) = 23⋅71 -34⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -34⋅48
-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48
-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1
(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1
37⋅48 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1
Somit 37⋅48 = 1 mod 71
37 ist also das Inverse von 48 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
