Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2997 + 27) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2997 + 27) mod 3 ≡ (2997 mod 3 + 27 mod 3) mod 3.
2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27
= 30
Somit gilt:
(2997 + 27) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 39) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 39) mod 6 ≡ (47 mod 6 ⋅ 39 mod 6) mod 6.
47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.
39 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 6 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 39) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3988 mod 547.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 398 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3981=398
2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 321 mod 547
4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 205 mod 547
8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 453 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 334185 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 3341=334
2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 518 mod 941
4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 139 mod 941
8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 501 mod 941
16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 695 mod 941
32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 292 mod 941
64: 33464=33432+32=33432⋅33432 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 574 mod 941
128: 334128=33464+64=33464⋅33464 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 126 mod 941
334185
= 334128+32+16+8+1
= 334128⋅33432⋅33416⋅3348⋅3341
≡ 126 ⋅ 292 ⋅ 695 ⋅ 501 ⋅ 334 mod 941
≡ 36792 ⋅ 695 ⋅ 501 ⋅ 334 mod 941 ≡ 93 ⋅ 695 ⋅ 501 ⋅ 334 mod 941
≡ 64635 ⋅ 501 ⋅ 334 mod 941 ≡ 647 ⋅ 501 ⋅ 334 mod 941
≡ 324147 ⋅ 334 mod 941 ≡ 443 ⋅ 334 mod 941
≡ 147962 mod 941 ≡ 225 mod 941
Es gilt also: 334185 ≡ 225 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46
| =>53 | = 1⋅46 + 7 |
| =>46 | = 6⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 46-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7) = 2⋅46 -13⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46) = -13⋅53 +15⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +15⋅46
Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1
Somit 15⋅46 = 1 mod 53
15 ist also das Inverse von 46 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
