Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5002 + 504) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5002 + 504) mod 5 ≡ (5002 mod 5 + 504 mod 5) mod 5.
5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002
= 5000
504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504
= 500
Somit gilt:
(5002 + 504) mod 5 ≡ (2 + 4) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 67) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 67) mod 4 ≡ (72 mod 4 ⋅ 67 mod 4) mod 4.
72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.
67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 67) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30116 mod 941.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 301 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 265 mod 941
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 591 mod 941
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 170 mod 941
16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 670 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 172212 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 1721=172
2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 311 mod 401
4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 80 mod 401
8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 385 mod 401
16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 256 mod 401
32: 17232=17216+16=17216⋅17216 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 173 mod 401
64: 17264=17232+32=17232⋅17232 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 255 mod 401
128: 172128=17264+64=17264⋅17264 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 63 mod 401
172212
= 172128+64+16+4
= 172128⋅17264⋅17216⋅1724
≡ 63 ⋅ 255 ⋅ 256 ⋅ 80 mod 401
≡ 16065 ⋅ 256 ⋅ 80 mod 401 ≡ 25 ⋅ 256 ⋅ 80 mod 401
≡ 6400 ⋅ 80 mod 401 ≡ 385 ⋅ 80 mod 401
≡ 30800 mod 401 ≡ 324 mod 401
Es gilt also: 172212 ≡ 324 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 86
| =>89 | = 1⋅86 + 3 |
| =>86 | = 28⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 86-28⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(86 -28⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅86 +28⋅ 3) = -1⋅86 +29⋅ 3 (=1) |
| 3= 89-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅86 +29⋅(89 -1⋅ 86)
= -1⋅86 +29⋅89 -29⋅ 86) = 29⋅89 -30⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,86)=1 = 29⋅89 -30⋅86
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -30⋅86
-30⋅86 = -29⋅89 + 1 |+89⋅86
-30⋅86 + 89⋅86 = -29⋅89 + 89⋅86 + 1
(-30 + 89) ⋅ 86 = (-29 + 86) ⋅ 89 + 1
59⋅86 = 57⋅89 + 1
Es gilt also: 59⋅86 = 57⋅89 +1
Somit 59⋅86 = 1 mod 89
59 ist also das Inverse von 86 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
