Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (804 - 245) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(804 - 245) mod 8 ≡ (804 mod 8 - 245 mod 8) mod 8.
804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
245 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245
= 240
Somit gilt:
(804 - 245) mod 8 ≡ (4 - 5) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 16) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 16) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 16 mod 10) mod 10.
95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.
16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 16) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21216 mod 257.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 212 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2121=212
2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 226 mod 257
4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 190 mod 257
8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 120 mod 257
16: 21216=2128+8=2128⋅2128 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 8 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 531221 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:
221 = 128+64+16+8+4+1
1: 5311=531
2: 5312=5311+1=5311⋅5311 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 209 mod 859
4: 5314=5312+2=5312⋅5312 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 731 mod 859
8: 5318=5314+4=5314⋅5314 ≡ 731⋅731=534361 ≡ 63 mod 859
16: 53116=5318+8=5318⋅5318 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 533 mod 859
32: 53132=53116+16=53116⋅53116 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 619 mod 859
64: 53164=53132+32=53132⋅53132 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 47 mod 859
128: 531128=53164+64=53164⋅53164 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 491 mod 859
531221
= 531128+64+16+8+4+1
= 531128⋅53164⋅53116⋅5318⋅5314⋅5311
≡ 491 ⋅ 47 ⋅ 533 ⋅ 63 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859
≡ 23077 ⋅ 533 ⋅ 63 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859 ≡ 743 ⋅ 533 ⋅ 63 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859
≡ 396019 ⋅ 63 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859 ≡ 20 ⋅ 63 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859
≡ 1260 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859 ≡ 401 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859
≡ 293131 ⋅ 531 mod 859 ≡ 212 ⋅ 531 mod 859
≡ 112572 mod 859 ≡ 43 mod 859
Es gilt also: 531221 ≡ 43 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71
| =>79 | = 1⋅71 + 8 |
| =>71 | = 8⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 71-8⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1) |
| 8= 79-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71
oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅79 = -10⋅71
-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71
-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1
(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1
69⋅71 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1
Somit 69⋅71 = 1 mod 79
69 ist also das Inverse von 71 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
