Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15996 + 2003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15996 + 2003) mod 4 ≡ (15996 mod 4 + 2003 mod 4) mod 4.
15996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15996
= 15000
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
Somit gilt:
(15996 + 2003) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 73) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 73) mod 5 ≡ (79 mod 5 ⋅ 73 mod 5) mod 5.
79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.
73 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 14 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 73) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34316 mod 569.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 343 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3431=343
2: 3432=3431+1=3431⋅3431 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 435 mod 569
4: 3434=3432+2=3432⋅3432 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 317 mod 569
8: 3438=3434+4=3434⋅3434 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 345 mod 569
16: 34316=3438+8=3438⋅3438 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 104 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 203145 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:
145 = 128+16+1
1: 2031=203
2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 97 mod 571
4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 273 mod 571
8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 299 mod 571
16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 325 mod 571
32: 20332=20316+16=20316⋅20316 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 561 mod 571
64: 20364=20332+32=20332⋅20332 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 100 mod 571
128: 203128=20364+64=20364⋅20364 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 293 mod 571
203145
= 203128+16+1
= 203128⋅20316⋅2031
≡ 293 ⋅ 325 ⋅ 203 mod 571
≡ 95225 ⋅ 203 mod 571 ≡ 439 ⋅ 203 mod 571
≡ 89117 mod 571 ≡ 41 mod 571
Es gilt also: 203145 ≡ 41 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
