Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 + 120) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 + 120) mod 6 ≡ (120 mod 6 + 120 mod 6) mod 6.
120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(120 + 120) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 15) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 15) mod 11 ≡ (34 mod 11 ⋅ 15 mod 11) mod 11.
34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.
15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 15) mod 11 ≡ (1 ⋅ 4) mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 167128 mod 467.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 167 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1671=167
2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 336 mod 467
4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 349 mod 467
8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 381 mod 467
16: 16716=1678+8=1678⋅1678 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 391 mod 467
32: 16732=16716+16=16716⋅16716 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 172 mod 467
64: 16764=16732+32=16732⋅16732 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 163 mod 467
128: 167128=16764+64=16764⋅16764 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 417 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 498224 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 4981=498
2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 284 mod 563
4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 147 mod 563
8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 215 mod 563
16: 49816=4988+8=4988⋅4988 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 59 mod 563
32: 49832=49816+16=49816⋅49816 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 103 mod 563
64: 49864=49832+32=49832⋅49832 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 475 mod 563
128: 498128=49864+64=49864⋅49864 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 425 mod 563
498224
= 498128+64+32
= 498128⋅49864⋅49832
≡ 425 ⋅ 475 ⋅ 103 mod 563
≡ 201875 ⋅ 103 mod 563 ≡ 321 ⋅ 103 mod 563
≡ 33063 mod 563 ≡ 409 mod 563
Es gilt also: 498224 ≡ 409 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23
| =>53 | = 2⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23
oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅53 = -23⋅23
-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23
-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1
(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1
30⋅23 = 13⋅53 + 1
Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1
Somit 30⋅23 = 1 mod 53
30 ist also das Inverse von 23 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
