Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24003 - 1797) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24003 - 1797) mod 6 ≡ (24003 mod 6 - 1797 mod 6) mod 6.

24003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003 = 24000+3 = 6 ⋅ 4000 +3.

1797 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 6 ⋅ 300 -3 = 6 ⋅ 300 - 6 + 3.

Somit gilt:

(24003 - 1797) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 40) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 40) mod 4 ≡ (94 mod 4 ⋅ 40 mod 4) mod 4.

94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 40) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32264 mod 947.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 322 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3221=322

2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 461 mod 947

4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 393 mod 947

8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 88 mod 947

16: 32216=3228+8=3228⋅3228 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 168 mod 947

32: 32232=32216+16=32216⋅32216 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 761 mod 947

64: 32264=32232+32=32232⋅32232 ≡ 761⋅761=579121 ≡ 504 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 436107 mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:

107 = 64+32+8+2+1

1: 4361=436

2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 790 mod 809

4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 361 mod 809

8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 72 mod 809

16: 43616=4368+8=4368⋅4368 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 330 mod 809

32: 43632=43616+16=43616⋅43616 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 494 mod 809

64: 43664=43632+32=43632⋅43632 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 527 mod 809

436107

= 43664+32+8+2+1

= 43664⋅43632⋅4368⋅4362⋅4361

527 ⋅ 494 ⋅ 72 ⋅ 790 ⋅ 436 mod 809
260338 ⋅ 72 ⋅ 790 ⋅ 436 mod 809 ≡ 649 ⋅ 72 ⋅ 790 ⋅ 436 mod 809
46728 ⋅ 790 ⋅ 436 mod 809 ≡ 615 ⋅ 790 ⋅ 436 mod 809
485850 ⋅ 436 mod 809 ≡ 450 ⋅ 436 mod 809
196200 mod 809 ≡ 422 mod 809

Es gilt also: 436107 ≡ 422 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73 = 1⋅43 + 30
=>43 = 1⋅30 + 13
=>30 = 2⋅13 + 4
=>13 = 3⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13)
= -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30)
= 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43)
= 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43)
= -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.