Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (907 + 1792) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(907 + 1792) mod 9 ≡ (907 mod 9 + 1792 mod 9) mod 9.
907 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 907
= 900
1792 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1792
= 1800
Somit gilt:
(907 + 1792) mod 9 ≡ (7 + 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 37) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 37) mod 8 ≡ (72 mod 8 ⋅ 37 mod 8) mod 8.
72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.
37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 37) mod 8 ≡ (0 ⋅ 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2958 mod 449.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 295 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2951=295
2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 368 mod 449
4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 275 mod 449
8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 193 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 173122 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:
122 = 64+32+16+8+2
1: 1731=173
2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 194 mod 313
4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 76 mod 313
8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 142 mod 313
16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 132 mod 313
32: 17332=17316+16=17316⋅17316 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 209 mod 313
64: 17364=17332+32=17332⋅17332 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 174 mod 313
173122
= 17364+32+16+8+2
= 17364⋅17332⋅17316⋅1738⋅1732
≡ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 ⋅ 142 ⋅ 194 mod 313
≡ 36366 ⋅ 132 ⋅ 142 ⋅ 194 mod 313 ≡ 58 ⋅ 132 ⋅ 142 ⋅ 194 mod 313
≡ 7656 ⋅ 142 ⋅ 194 mod 313 ≡ 144 ⋅ 142 ⋅ 194 mod 313
≡ 20448 ⋅ 194 mod 313 ≡ 103 ⋅ 194 mod 313
≡ 19982 mod 313 ≡ 263 mod 313
Es gilt also: 173122 ≡ 263 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22
| =>59 | = 2⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22) = 3⋅59 -8⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -8⋅22
-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22
-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1
(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1
51⋅22 = 19⋅59 + 1
Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1
Somit 51⋅22 = 1 mod 59
51 ist also das Inverse von 22 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
