Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(156 - 233) mod 8 ≡ (156 mod 8 - 233 mod 8) mod 8.

156 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156 = 160-4 = 8 ⋅ 20 -4 = 8 ⋅ 20 - 8 + 4.

233 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 233 = 240-7 = 8 ⋅ 30 -7 = 8 ⋅ 30 - 8 + 1.

Somit gilt:

(156 - 233) mod 8 ≡ (4 - 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 38) mod 11 ≡ (54 mod 11 ⋅ 38 mod 11) mod 11.

54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.

38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 38) mod 11 ≡ (10 ⋅ 5) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 114¹=114

2: 114²=114¹⁺¹=114¹⋅114¹ ≡ 114⋅114=12996 ≡ 84 mod 269

4: 114⁴=114²⁺²=114²⋅114² ≡ 84⋅84=7056 ≡ 62 mod 269

8: 114⁸=114⁴⁺⁴=114⁴⋅114⁴ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 78 mod 269

16: 114¹⁶=114⁸⁺⁸=114⁸⋅114⁸ ≡ 78⋅78=6084 ≡ 166 mod 269

32: 114³²=114¹⁶⁺¹⁶=114¹⁶⋅114¹⁶ ≡ 166⋅166=27556 ≡ 118 mod 269

64: 114⁶⁴=114³²⁺³²=114³²⋅114³² ≡ 118⋅118=13924 ≡ 205 mod 269

128: 114¹²⁸=114⁶⁴⁺⁶⁴=114⁶⁴⋅114⁶⁴ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 61 mod 269

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:

198 = 128+64+4+2

513¹⁹⁸

= 513^128+64+4+2

= 513¹²⁸⋅513⁶⁴⋅513⁴⋅513²

≡ 295 ⋅ 256 ⋅ 582 ⋅ 228 mod 659
≡ 75520 ⋅ 582 ⋅ 228 mod 659 ≡ 394 ⋅ 582 ⋅ 228 mod 659
≡ 229308 ⋅ 228 mod 659 ≡ 635 ⋅ 228 mod 659
≡ 144780 mod 659 ≡ 459 mod 659

Es gilt also: 513¹⁹⁸ ≡ 459 mod 659

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53	= 1⋅42 + 11
=>42	= 3⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42) = 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53