Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9002 - 180) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9002 - 180) mod 9 ≡ (9002 mod 9 - 180 mod 9) mod 9.

9002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002 = 9000+2 = 9 ⋅ 1000 +2.

180 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 9 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(9002 - 180) mod 9 ≡ (2 - 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 33) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 33) mod 11 ≡ (87 mod 11 ⋅ 33 mod 11) mod 11.

87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.

33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 33) mod 11 ≡ (10 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 63064 mod 967.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 630 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6301=630

2: 6302=6301+1=6301⋅6301 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 430 mod 967

4: 6304=6302+2=6302⋅6302 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 203 mod 967

8: 6308=6304+4=6304⋅6304 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 595 mod 967

16: 63016=6308+8=6308⋅6308 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 103 mod 967

32: 63032=63016+16=63016⋅63016 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 939 mod 967

64: 63064=63032+32=63032⋅63032 ≡ 939⋅939=881721 ≡ 784 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48592 mod 947.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:

92 = 64+16+8+4

1: 4851=485

2: 4852=4851+1=4851⋅4851 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 369 mod 947

4: 4854=4852+2=4852⋅4852 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 740 mod 947

8: 4858=4854+4=4854⋅4854 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 234 mod 947

16: 48516=4858+8=4858⋅4858 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 777 mod 947

32: 48532=48516+16=48516⋅48516 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 490 mod 947

64: 48564=48532+32=48532⋅48532 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 509 mod 947

48592

= 48564+16+8+4

= 48564⋅48516⋅4858⋅4854

509 ⋅ 777 ⋅ 234 ⋅ 740 mod 947
395493 ⋅ 234 ⋅ 740 mod 947 ≡ 594 ⋅ 234 ⋅ 740 mod 947
138996 ⋅ 740 mod 947 ≡ 734 ⋅ 740 mod 947
543160 mod 947 ≡ 529 mod 947

Es gilt also: 48592 ≡ 529 mod 947

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47

=>59 = 1⋅47 + 12
=>47 = 3⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 47-3⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12)
= -1⋅47 +4⋅ 12 (=1)
12= 59-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47)
= 4⋅59 -5⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47

oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅59 = -5⋅47

-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47

-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1

(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1

54⋅47 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1

Somit 54⋅47 = 1 mod 59

54 ist also das Inverse von 47 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.