Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (325 + 15995) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(325 + 15995) mod 8 ≡ (325 mod 8 + 15995 mod 8) mod 8.
325 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 325
= 320
15995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15995
= 15000
Somit gilt:
(325 + 15995) mod 8 ≡ (5 + 3) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 89) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 89) mod 7 ≡ (17 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.
17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.
89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 89) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48932 mod 919.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 489 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4891=489
2: 4892=4891+1=4891⋅4891 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 181 mod 919
4: 4894=4892+2=4892⋅4892 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 596 mod 919
8: 4898=4894+4=4894⋅4894 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 482 mod 919
16: 48916=4898+8=4898⋅4898 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 736 mod 919
32: 48932=48916+16=48916⋅48916 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 405 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 133194 mod 431.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:
194 = 128+64+2
1: 1331=133
2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 18 mod 431
4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 431
8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 243 mod 431
16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 2 mod 431
32: 13332=13316+16=13316⋅13316 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 431
64: 13364=13332+32=13332⋅13332 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 431
128: 133128=13364+64=13364⋅13364 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 431
133194
= 133128+64+2
= 133128⋅13364⋅1332
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 18 mod 431
≡ 4096 ⋅ 18 mod 431 ≡ 217 ⋅ 18 mod 431
≡ 3906 mod 431 ≡ 27 mod 431
Es gilt also: 133194 ≡ 27 mod 431
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47
| =>101 | = 2⋅47 + 7 |
| =>47 | = 6⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7) = 3⋅47 -20⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47)
= 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47) = -20⋅101 +43⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47
oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅101 = +43⋅47
Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1
Somit 43⋅47 = 1 mod 101
43 ist also das Inverse von 47 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
