Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (247 + 2403) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(247 + 2403) mod 8 ≡ (247 mod 8 + 2403 mod 8) mod 8.

247 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247 = 240+7 = 8 ⋅ 30 +7.

2403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403 = 2400+3 = 8 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(247 + 2403) mod 8 ≡ (7 + 3) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 74) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 74) mod 7 ≡ (56 mod 7 ⋅ 74 mod 7) mod 7.

56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 74) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 79216 mod 907.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 792 -> x
2. mod(x²,907) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7921=792

2: 7922=7921+1=7921⋅7921 ≡ 792⋅792=627264 ≡ 527 mod 907

4: 7924=7922+2=7922⋅7922 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 187 mod 907

8: 7928=7924+4=7924⋅7924 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 503 mod 907

16: 79216=7928+8=7928⋅7928 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 863 mod 907

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 266164 mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:

164 = 128+32+4

1: 2661=266

2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 5 mod 509

4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 509

8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 25⋅25=625 ≡ 116 mod 509

16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 222 mod 509

32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 420 mod 509

64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 286 mod 509

128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 356 mod 509

266164

= 266128+32+4

= 266128⋅26632⋅2664

356 ⋅ 420 ⋅ 25 mod 509
149520 ⋅ 25 mod 509 ≡ 383 ⋅ 25 mod 509
9575 mod 509 ≡ 413 mod 509

Es gilt also: 266164 ≡ 413 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 74.

Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 74

=>89 = 1⋅74 + 15
=>74 = 4⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 74-4⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(74 -4⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅74 +4⋅ 15)
= -1⋅74 +5⋅ 15 (=1)
15= 89-1⋅74 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅74 +5⋅(89 -1⋅ 74)
= -1⋅74 +5⋅89 -5⋅ 74)
= 5⋅89 -6⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(89,74)=1 = 5⋅89 -6⋅74

oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅89 = -6⋅74

-6⋅74 = -5⋅89 + 1 |+89⋅74

-6⋅74 + 89⋅74 = -5⋅89 + 89⋅74 + 1

(-6 + 89) ⋅ 74 = (-5 + 74) ⋅ 89 + 1

83⋅74 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 83⋅74 = 69⋅89 +1

Somit 83⋅74 = 1 mod 89

83 ist also das Inverse von 74 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.