Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4001 + 16006) mod 8 ≡ (4001 mod 8 + 16006 mod 8) mod 8.

4001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001 = 4000+1 = 8 ⋅ 500 +1.

16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006 = 16000+6 = 8 ⋅ 2000 +6.

Somit gilt:

(4001 + 16006) mod 8 ≡ (1 + 6) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 34) mod 11 ≡ (59 mod 11 ⋅ 34 mod 11) mod 11.

59 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 5 ⋅ 11 + 4 ist.

34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 34) mod 11 ≡ (4 ⋅ 1) mod 11 ≡ 4 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 584¹=584

2: 584²=584¹⁺¹=584¹⋅584¹ ≡ 584⋅584=341056 ≡ 436 mod 811

4: 584⁴=584²⁺²=584²⋅584² ≡ 436⋅436=190096 ≡ 322 mod 811

8: 584⁸=584⁴⁺⁴=584⁴⋅584⁴ ≡ 322⋅322=103684 ≡ 687 mod 811

16: 584¹⁶=584⁸⁺⁸=584⁸⋅584⁸ ≡ 687⋅687=471969 ≡ 778 mod 811

32: 584³²=584¹⁶⁺¹⁶=584¹⁶⋅584¹⁶ ≡ 778⋅778=605284 ≡ 278 mod 811

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

693²¹⁴

= 693^{128+64+16+4+2}

= 693¹²⁸⋅693⁶⁴⋅693¹⁶⋅693⁴⋅693²

≡ 398 ⋅ 504 ⋅ 543 ⋅ 364 ⋅ 134 mod 733
≡ 200592 ⋅ 543 ⋅ 364 ⋅ 134 mod 733 ≡ 483 ⋅ 543 ⋅ 364 ⋅ 134 mod 733
≡ 262269 ⋅ 364 ⋅ 134 mod 733 ≡ 588 ⋅ 364 ⋅ 134 mod 733
≡ 214032 ⋅ 134 mod 733 ≡ 729 ⋅ 134 mod 733
≡ 97686 mod 733 ≡ 197 mod 733

Es gilt also: 693²¹⁴ ≡ 197 mod 733

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25

=>67	= 2⋅25 + 17
=>25	= 1⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 25-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25) = -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25) = 3⋅67 -8⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -8⋅25

-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25

-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1

(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1

59⋅25 = 22⋅67 + 1

Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1

Somit 59⋅25 = 1 mod 67

59 ist also das Inverse von 25 mod 67