Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 + 3494) mod 7 ≡ (70 mod 7 + 3494 mod 7) mod 7.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70+0 = 7 ⋅ 10 +0.

3494 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3494 = 3500-6 = 7 ⋅ 500 -6 = 7 ⋅ 500 - 7 + 1.

Somit gilt:

(70 + 3494) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 50) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 50) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 619¹=619

2: 619²=619¹⁺¹=619¹⋅619¹ ≡ 619⋅619=383161 ≡ 151 mod 751

4: 619⁴=619²⁺²=619²⋅619² ≡ 151⋅151=22801 ≡ 271 mod 751

8: 619⁸=619⁴⁺⁴=619⁴⋅619⁴ ≡ 271⋅271=73441 ≡ 594 mod 751

16: 619¹⁶=619⁸⁺⁸=619⁸⋅619⁸ ≡ 594⋅594=352836 ≡ 617 mod 751

32: 619³²=619¹⁶⁺¹⁶=619¹⁶⋅619¹⁶ ≡ 617⋅617=380689 ≡ 683 mod 751

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

75¹⁵⁹

= 75^{128+16+8+4+2+1}

= 75¹²⁸⋅75¹⁶⋅75⁸⋅75⁴⋅75²⋅75¹

≡ 195 ⋅ 88 ⋅ 222 ⋅ 67 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251
≡ 17160 ⋅ 222 ⋅ 67 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251 ≡ 92 ⋅ 222 ⋅ 67 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251
≡ 20424 ⋅ 67 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251 ≡ 93 ⋅ 67 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251
≡ 6231 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251 ≡ 207 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251
≡ 21321 ⋅ 75 mod 251 ≡ 237 ⋅ 75 mod 251
≡ 17775 mod 251 ≡ 205 mod 251

Es gilt also: 75¹⁵⁹ ≡ 205 mod 251

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71	= 1⋅37 + 34
=>37	= 1⋅34 + 3
=>34	= 11⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34) = 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37) = -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71