Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34996 + 21002) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34996 + 21002) mod 7 ≡ (34996 mod 7 + 21002 mod 7) mod 7.
34996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34996
= 35000
21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002
= 21000
Somit gilt:
(34996 + 21002) mod 7 ≡ (3 + 2) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 38) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 38) mod 5 ≡ (17 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.
17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.
38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 38) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64064 mod 653.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 640 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6401=640
2: 6402=6401+1=6401⋅6401 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 169 mod 653
4: 6404=6402+2=6402⋅6402 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 482 mod 653
8: 6408=6404+4=6404⋅6404 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 509 mod 653
16: 64016=6408+8=6408⋅6408 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 493 mod 653
32: 64032=64016+16=64016⋅64016 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 133 mod 653
64: 64064=64032+32=64032⋅64032 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 58 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 457189 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:
189 = 128+32+16+8+4+1
1: 4571=457
2: 4572=4571+1=4571⋅4571 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 159 mod 509
4: 4574=4572+2=4572⋅4572 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 340 mod 509
8: 4578=4574+4=4574⋅4574 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 57 mod 509
16: 45716=4578+8=4578⋅4578 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 195 mod 509
32: 45732=45716+16=45716⋅45716 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 359 mod 509
64: 45764=45732+32=45732⋅45732 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 104 mod 509
128: 457128=45764+64=45764⋅45764 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 127 mod 509
457189
= 457128+32+16+8+4+1
= 457128⋅45732⋅45716⋅4578⋅4574⋅4571
≡ 127 ⋅ 359 ⋅ 195 ⋅ 57 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509
≡ 45593 ⋅ 195 ⋅ 57 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509 ≡ 292 ⋅ 195 ⋅ 57 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509
≡ 56940 ⋅ 57 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509 ≡ 441 ⋅ 57 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509
≡ 25137 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509 ≡ 196 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509
≡ 66640 ⋅ 457 mod 509 ≡ 470 ⋅ 457 mod 509
≡ 214790 mod 509 ≡ 501 mod 509
Es gilt also: 457189 ≡ 501 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37
| =>59 | = 1⋅37 + 22 |
| =>37 | = 1⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 37-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1) |
| 22= 59-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37
oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅59 = +8⋅37
Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1
Somit 8⋅37 = 1 mod 59
8 ist also das Inverse von 37 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
