Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6001 + 119) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6001 + 119) mod 3 ≡ (6001 mod 3 + 119 mod 3) mod 3.
6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001
= 6000
119 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
Somit gilt:
(6001 + 119) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 57) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 57) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 57 mod 5) mod 5.
58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.
57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 57) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 555128 mod 683.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 555 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5551=555
2: 5552=5551+1=5551⋅5551 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 675 mod 683
4: 5554=5552+2=5552⋅5552 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 64 mod 683
8: 5558=5554+4=5554⋅5554 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 681 mod 683
16: 55516=5558+8=5558⋅5558 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 4 mod 683
32: 55532=55516+16=55516⋅55516 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 683
64: 55564=55532+32=55532⋅55532 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 683
128: 555128=55564+64=55564⋅55564 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 651 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 188156 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:
156 = 128+16+8+4
1: 1881=188
2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 282 mod 373
4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 75 mod 373
8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 30 mod 373
16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 30⋅30=900 ≡ 154 mod 373
32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 217 mod 373
64: 18864=18832+32=18832⋅18832 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 91 mod 373
128: 188128=18864+64=18864⋅18864 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 75 mod 373
188156
= 188128+16+8+4
= 188128⋅18816⋅1888⋅1884
≡ 75 ⋅ 154 ⋅ 30 ⋅ 75 mod 373
≡ 11550 ⋅ 30 ⋅ 75 mod 373 ≡ 360 ⋅ 30 ⋅ 75 mod 373
≡ 10800 ⋅ 75 mod 373 ≡ 356 ⋅ 75 mod 373
≡ 26700 mod 373 ≡ 217 mod 373
Es gilt also: 188156 ≡ 217 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24
| =>59 | = 2⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -27⋅24
-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24
-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1
(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1
32⋅24 = 13⋅59 + 1
Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1
Somit 32⋅24 = 1 mod 59
32 ist also das Inverse von 24 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
