Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19998 - 80) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19998 - 80) mod 4 ≡ (19998 mod 4 - 80 mod 4) mod 4.
19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998
= 19000
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(19998 - 80) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 44) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 44) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 44 mod 3) mod 3.
46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.
44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 44) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 341128 mod 983.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 341 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3411=341
2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 287 mod 983
4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 780 mod 983
8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 906 mod 983
16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 906⋅906=820836 ≡ 31 mod 983
32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 31⋅31=961 ≡ 961 mod 983
64: 34164=34132+32=34132⋅34132 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 484 mod 983
128: 341128=34164+64=34164⋅34164 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 302 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 237169 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 42 mod 353
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 352 mod 353
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 1 mod 353
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 353
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 353
64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 353
128: 237128=23764+64=23764⋅23764 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 353
237169
= 237128+32+8+1
= 237128⋅23732⋅2378⋅2371
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 237 mod 353
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 237 mod 353
≡ 1 ⋅ 237 mod 353
≡ 237 mod 353
Es gilt also: 237169 ≡ 237 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60
| =>79 | = 1⋅60 + 19 |
| =>60 | = 3⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 60-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19) = -6⋅60 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 79-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60)
= -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60) = 19⋅79 -25⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -25⋅60
-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60
-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1
(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1
54⋅60 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1
Somit 54⋅60 = 1 mod 79
54 ist also das Inverse von 60 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
