Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1498 + 1002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1498 + 1002) mod 5 ≡ (1498 mod 5 + 1002 mod 5) mod 5.
1498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1400
1002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1002
= 1000
Somit gilt:
(1498 + 1002) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 40) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 40) mod 5 ≡ (54 mod 5 ⋅ 40 mod 5) mod 5.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
40 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 8 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 40) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11732 mod 293.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 117 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1171=117
2: 1172=1171+1=1171⋅1171 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 211 mod 293
4: 1174=1172+2=1172⋅1172 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 278 mod 293
8: 1178=1174+4=1174⋅1174 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 225 mod 293
16: 11716=1178+8=1178⋅1178 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 229 mod 293
32: 11732=11716+16=11716⋅11716 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 287 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11675 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:
75 = 64+8+2+1
1: 1161=116
2: 1162=1161+1=1161⋅1161 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 28 mod 373
4: 1164=1162+2=1162⋅1162 ≡ 28⋅28=784 ≡ 38 mod 373
8: 1168=1164+4=1164⋅1164 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 325 mod 373
16: 11616=1168+8=1168⋅1168 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 66 mod 373
32: 11632=11616+16=11616⋅11616 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 253 mod 373
64: 11664=11632+32=11632⋅11632 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 226 mod 373
11675
= 11664+8+2+1
= 11664⋅1168⋅1162⋅1161
≡ 226 ⋅ 325 ⋅ 28 ⋅ 116 mod 373
≡ 73450 ⋅ 28 ⋅ 116 mod 373 ≡ 342 ⋅ 28 ⋅ 116 mod 373
≡ 9576 ⋅ 116 mod 373 ≡ 251 ⋅ 116 mod 373
≡ 29116 mod 373 ≡ 22 mod 373
Es gilt also: 11675 ≡ 22 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 90.
Also bestimme x, so dass 90 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 90
| =>97 | = 1⋅90 + 7 |
| =>90 | = 12⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,90)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 90-12⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(90 -12⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅90 +12⋅ 7) = -1⋅90 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-1⋅90 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅90 +13⋅(97 -1⋅ 90)
= -1⋅90 +13⋅97 -13⋅ 90) = 13⋅97 -14⋅ 90 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,90)=1 = 13⋅97 -14⋅90
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -14⋅90
-14⋅90 = -13⋅97 + 1 |+97⋅90
-14⋅90 + 97⋅90 = -13⋅97 + 97⋅90 + 1
(-14 + 97) ⋅ 90 = (-13 + 90) ⋅ 97 + 1
83⋅90 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 83⋅90 = 77⋅97 +1
Somit 83⋅90 = 1 mod 97
83 ist also das Inverse von 90 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
