Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(353 - 96) mod 9 ≡ (353 mod 9 - 96 mod 9) mod 9.

353 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 353 = 360-7 = 9 ⋅ 40 -7 = 9 ⋅ 40 - 9 + 2.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 9 ⋅ 10 +6.

Somit gilt:

(353 - 96) mod 9 ≡ (2 - 6) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 80) mod 7 ≡ (44 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.

44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.

80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 80) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 183¹=183

2: 183²=183¹⁺¹=183¹⋅183¹ ≡ 183⋅183=33489 ≡ 92 mod 367

4: 183⁴=183²⁺²=183²⋅183² ≡ 92⋅92=8464 ≡ 23 mod 367

8: 183⁸=183⁴⁺⁴=183⁴⋅183⁴ ≡ 23⋅23=529 ≡ 162 mod 367

16: 183¹⁶=183⁸⁺⁸=183⁸⋅183⁸ ≡ 162⋅162=26244 ≡ 187 mod 367

32: 183³²=183¹⁶⁺¹⁶=183¹⁶⋅183¹⁶ ≡ 187⋅187=34969 ≡ 104 mod 367

64: 183⁶⁴=183³²⁺³²=183³²⋅183³² ≡ 104⋅104=10816 ≡ 173 mod 367

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

558²³⁶

= 558^{128+64+32+8+4}

= 558¹²⁸⋅558⁶⁴⋅558³²⋅558⁸⋅558⁴

≡ 400 ⋅ 20 ⋅ 230 ⋅ 87 ⋅ 428 mod 661
≡ 8000 ⋅ 230 ⋅ 87 ⋅ 428 mod 661 ≡ 68 ⋅ 230 ⋅ 87 ⋅ 428 mod 661
≡ 15640 ⋅ 87 ⋅ 428 mod 661 ≡ 437 ⋅ 87 ⋅ 428 mod 661
≡ 38019 ⋅ 428 mod 661 ≡ 342 ⋅ 428 mod 661
≡ 146376 mod 661 ≡ 295 mod 661

Es gilt also: 558²³⁶ ≡ 295 mod 661

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 90

=>101	= 1⋅90 + 11
=>90	= 8⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,90)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 90-8⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(90 -8⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅90 +40⋅ 11) = -5⋅90 +41⋅ 11 (=1)
11= 101-1⋅90	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅90 +41⋅(101 -1⋅ 90) = -5⋅90 +41⋅101 -41⋅ 90) = 41⋅101 -46⋅ 90 (=1)

Es gilt also: ggt(101,90)=1 = 41⋅101 -46⋅90

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -46⋅90

-46⋅90 = -41⋅101 + 1 |+101⋅90

-46⋅90 + 101⋅90 = -41⋅101 + 101⋅90 + 1

(-46 + 101) ⋅ 90 = (-41 + 90) ⋅ 101 + 1

55⋅90 = 49⋅101 + 1

Es gilt also: 55⋅90 = 49⋅101 +1

Somit 55⋅90 = 1 mod 101

55 ist also das Inverse von 90 mod 101