Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (599 - 118) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(599 - 118) mod 3 ≡ (599 mod 3 - 118 mod 3) mod 3.
599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599
= 600
118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
Somit gilt:
(599 - 118) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 27) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 27) mod 9 ≡ (50 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.
50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.
27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 27) mod 9 ≡ (5 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 230128 mod 257.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 230 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 215 mod 257
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 222 mod 257
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 197 mod 257
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 2 mod 257
32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 257
64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257
128: 230128=23064+64=23064⋅23064 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 567238 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 5671=567
2: 5672=5671+1=5671⋅5671 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 83 mod 593
4: 5674=5672+2=5672⋅5672 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 366 mod 593
8: 5678=5674+4=5674⋅5674 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 531 mod 593
16: 56716=5678+8=5678⋅5678 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 286 mod 593
32: 56732=56716+16=56716⋅56716 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 555 mod 593
64: 56764=56732+32=56732⋅56732 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 258 mod 593
128: 567128=56764+64=56764⋅56764 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 148 mod 593
567238
= 567128+64+32+8+4+2
= 567128⋅56764⋅56732⋅5678⋅5674⋅5672
≡ 148 ⋅ 258 ⋅ 555 ⋅ 531 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593
≡ 38184 ⋅ 555 ⋅ 531 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593 ≡ 232 ⋅ 555 ⋅ 531 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593
≡ 128760 ⋅ 531 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593 ≡ 79 ⋅ 531 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593
≡ 41949 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593 ≡ 439 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593
≡ 160674 ⋅ 83 mod 593 ≡ 564 ⋅ 83 mod 593
≡ 46812 mod 593 ≡ 558 mod 593
Es gilt also: 567238 ≡ 558 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63
| =>67 | = 1⋅63 + 4 |
| =>63 | = 15⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 63-15⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4) = -1⋅63 +16⋅ 4 (=1) |
| 4= 67-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63) = 16⋅67 -17⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -17⋅63
-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63
-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1
(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1
50⋅63 = 47⋅67 + 1
Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1
Somit 50⋅63 = 1 mod 67
50 ist also das Inverse von 63 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
