Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 - 303) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 - 303) mod 3 ≡ (63 mod 3 - 303 mod 3) mod 3.
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 60
303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303
= 300
Somit gilt:
(63 - 303) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 60) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 60) mod 7 ≡ (33 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.
33 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 28 + 5 = 4 ⋅ 7 + 5 ist.
60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 60) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7828 mod 839.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 782 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7821=782
2: 7822=7821+1=7821⋅7821 ≡ 782⋅782=611524 ≡ 732 mod 839
4: 7824=7822+2=7822⋅7822 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 542 mod 839
8: 7828=7824+4=7824⋅7824 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 114 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 480243 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:
243 = 128+64+32+16+2+1
1: 4801=480
2: 4802=4801+1=4801⋅4801 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 90 mod 853
4: 4804=4802+2=4802⋅4802 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 423 mod 853
8: 4808=4804+4=4804⋅4804 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 652 mod 853
16: 48016=4808+8=4808⋅4808 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 310 mod 853
32: 48032=48016+16=48016⋅48016 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 564 mod 853
64: 48064=48032+32=48032⋅48032 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 780 mod 853
128: 480128=48064+64=48064⋅48064 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 211 mod 853
480243
= 480128+64+32+16+2+1
= 480128⋅48064⋅48032⋅48016⋅4802⋅4801
≡ 211 ⋅ 780 ⋅ 564 ⋅ 310 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853
≡ 164580 ⋅ 564 ⋅ 310 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853 ≡ 804 ⋅ 564 ⋅ 310 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853
≡ 453456 ⋅ 310 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853 ≡ 513 ⋅ 310 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853
≡ 159030 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853 ≡ 372 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853
≡ 33480 ⋅ 480 mod 853 ≡ 213 ⋅ 480 mod 853
≡ 102240 mod 853 ≡ 733 mod 853
Es gilt also: 480243 ≡ 733 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33
| =>97 | = 2⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -47⋅33
-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33
-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1
(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1
50⋅33 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1
Somit 50⋅33 = 1 mod 97
50 ist also das Inverse von 33 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
