Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 93) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 93 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(12000 + 93) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 97) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 97 mod 6) mod 6.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 97) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 158¹=158

2: 158²=158¹⁺¹=158¹⋅158¹ ≡ 158⋅158=24964 ≡ 69 mod 383

4: 158⁴=158²⁺²=158²⋅158² ≡ 69⋅69=4761 ≡ 165 mod 383

8: 158⁸=158⁴⁺⁴=158⁴⋅158⁴ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 32 mod 383

16: 158¹⁶=158⁸⁺⁸=158⁸⋅158⁸ ≡ 32⋅32=1024 ≡ 258 mod 383

32: 158³²=158¹⁶⁺¹⁶=158¹⁶⋅158¹⁶ ≡ 258⋅258=66564 ≡ 305 mod 383

64: 158⁶⁴=158³²⁺³²=158³²⋅158³² ≡ 305⋅305=93025 ≡ 339 mod 383

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

290⁶²

= 290^32+16+8+4+2

= 290³²⋅290¹⁶⋅290⁸⋅290⁴⋅290²

≡ 209 ⋅ 69 ⋅ 107 ⋅ 26 ⋅ 457 mod 569
≡ 14421 ⋅ 107 ⋅ 26 ⋅ 457 mod 569 ≡ 196 ⋅ 107 ⋅ 26 ⋅ 457 mod 569
≡ 20972 ⋅ 26 ⋅ 457 mod 569 ≡ 488 ⋅ 26 ⋅ 457 mod 569
≡ 12688 ⋅ 457 mod 569 ≡ 170 ⋅ 457 mod 569
≡ 77690 mod 569 ≡ 306 mod 569

Es gilt also: 290⁶² ≡ 306 mod 569

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30

=>97	= 3⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-3⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30) = 13⋅97 -42⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -42⋅30

-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30

-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1

(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1

55⋅30 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1

Somit 55⋅30 = 1 mod 97

55 ist also das Inverse von 30 mod 97