Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 + 123) mod 3 ≡ (12003 mod 3 + 123 mod 3) mod 3.

12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 3 ⋅ 4000 +3.

123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 3 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(12003 + 123) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 97) mod 7 ≡ (68 mod 7 ⋅ 97 mod 7) mod 7.

68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.

97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 97) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 338¹=338

2: 338²=338¹⁺¹=338¹⋅338¹ ≡ 338⋅338=114244 ≡ 671 mod 829

4: 338⁴=338²⁺²=338²⋅338² ≡ 671⋅671=450241 ≡ 94 mod 829

8: 338⁸=338⁴⁺⁴=338⁴⋅338⁴ ≡ 94⋅94=8836 ≡ 546 mod 829

16: 338¹⁶=338⁸⁺⁸=338⁸⋅338⁸ ≡ 546⋅546=298116 ≡ 505 mod 829

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

774²³⁸

= 774^{128+64+32+8+4+2}

= 774¹²⁸⋅774⁶⁴⋅774³²⋅774⁸⋅774⁴⋅774²

≡ 844 ⋅ 648 ⋅ 476 ⋅ 469 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911
≡ 546912 ⋅ 476 ⋅ 469 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911 ≡ 312 ⋅ 476 ⋅ 469 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911
≡ 148512 ⋅ 469 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911 ≡ 19 ⋅ 469 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911
≡ 8911 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911 ≡ 712 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911
≡ 548952 ⋅ 549 mod 911 ≡ 530 ⋅ 549 mod 911
≡ 290970 mod 911 ≡ 361 mod 911

Es gilt also: 774²³⁸ ≡ 361 mod 911

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43

=>59	= 1⋅43 + 16
=>43	= 2⋅16 + 11
=>16	= 1⋅11 + 5
=>11	= 2⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 16-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11) = 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1)
11= 43-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16) = -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1)
16= 59-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43) = 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43

oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅59 = +11⋅43

Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1

Somit 11⋅43 = 1 mod 59

11 ist also das Inverse von 43 mod 59