Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23994 - 24001) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23994 - 24001) mod 6 ≡ (23994 mod 6 - 24001 mod 6) mod 6.
23994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23994
= 24000
24001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24001
= 24000
Somit gilt:
(23994 - 24001) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 96) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 96) mod 7 ≡ (77 mod 7 ⋅ 96 mod 7) mod 7.
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.
96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 96) mod 7 ≡ (0 ⋅ 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 435128 mod 479.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 435 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4351=435
2: 4352=4351+1=4351⋅4351 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 20 mod 479
4: 4354=4352+2=4352⋅4352 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 479
8: 4358=4354+4=4354⋅4354 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 14 mod 479
16: 43516=4358+8=4358⋅4358 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 479
32: 43532=43516+16=43516⋅43516 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 96 mod 479
64: 43564=43532+32=43532⋅43532 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 115 mod 479
128: 435128=43564+64=43564⋅43564 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 292 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 183167 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:
167 = 128+32+4+2+1
1: 1831=183
2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 148 mod 433
4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 254 mod 433
8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 432 mod 433
16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 1 mod 433
32: 18332=18316+16=18316⋅18316 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 433
64: 18364=18332+32=18332⋅18332 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 433
128: 183128=18364+64=18364⋅18364 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 433
183167
= 183128+32+4+2+1
= 183128⋅18332⋅1834⋅1832⋅1831
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 254 ⋅ 148 ⋅ 183 mod 433
≡ 1 ⋅ 254 ⋅ 148 ⋅ 183 mod 433
≡ 254 ⋅ 148 ⋅ 183 mod 433
≡ 37592 ⋅ 183 mod 433 ≡ 354 ⋅ 183 mod 433
≡ 64782 mod 433 ≡ 265 mod 433
Es gilt also: 183167 ≡ 265 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 50
| =>97 | = 1⋅50 + 47 |
| =>50 | = 1⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 50-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(50 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅50 -16⋅ 47) = 16⋅50 -17⋅ 47 (=1) |
| 47= 97-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 16⋅50 -17⋅(97 -1⋅ 50)
= 16⋅50 -17⋅97 +17⋅ 50) = -17⋅97 +33⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,50)=1 = -17⋅97 +33⋅50
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +33⋅50
Es gilt also: 33⋅50 = 17⋅97 +1
Somit 33⋅50 = 1 mod 97
33 ist also das Inverse von 50 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
