Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (285 - 281) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(285 - 281) mod 7 ≡ (285 mod 7 - 281 mod 7) mod 7.
285 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 285
= 280
281 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 281
= 280
Somit gilt:
(285 - 281) mod 7 ≡ (5 - 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 28) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 28) mod 6 ≡ (87 mod 6 ⋅ 28 mod 6) mod 6.
87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.
28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 28) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17164 mod 509.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 171 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1711=171
2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 228 mod 509
4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 66 mod 509
8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 284 mod 509
16: 17116=1718+8=1718⋅1718 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 234 mod 509
32: 17132=17116+16=17116⋅17116 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 293 mod 509
64: 17164=17132+32=17132⋅17132 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 337 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36592 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 3651=365
2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 294 mod 433
4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 269 mod 433
8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 50 mod 433
16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 335 mod 433
32: 36532=36516+16=36516⋅36516 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 78 mod 433
64: 36564=36532+32=36532⋅36532 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 22 mod 433
36592
= 36564+16+8+4
= 36564⋅36516⋅3658⋅3654
≡ 22 ⋅ 335 ⋅ 50 ⋅ 269 mod 433
≡ 7370 ⋅ 50 ⋅ 269 mod 433 ≡ 9 ⋅ 50 ⋅ 269 mod 433
≡ 450 ⋅ 269 mod 433 ≡ 17 ⋅ 269 mod 433
≡ 4573 mod 433 ≡ 243 mod 433
Es gilt also: 36592 ≡ 243 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34
| =>97 | = 2⋅34 + 29 |
| =>34 | = 1⋅29 + 5 |
| =>29 | = 5⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 29-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5) = -1⋅29 +6⋅ 5 (=1) |
| 5= 34-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29) = 6⋅34 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34)
= 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34) = -7⋅97 +20⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +20⋅34
Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1
Somit 20⋅34 = 1 mod 97
20 ist also das Inverse von 34 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
