Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (891 + 894) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(891 + 894) mod 9 ≡ (891 mod 9 + 894 mod 9) mod 9.

891 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 891 = 900-9 = 9 ⋅ 100 -9 = 9 ⋅ 100 - 9 + 0.

894 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 894 = 900-6 = 9 ⋅ 100 -6 = 9 ⋅ 100 - 9 + 3.

Somit gilt:

(891 + 894) mod 9 ≡ (0 + 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 17) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 17) mod 8 ≡ (66 mod 8 ⋅ 17 mod 8) mod 8.

66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.

17 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 17) mod 8 ≡ (2 ⋅ 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1708 mod 463.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 170 -> x
2. mod(x²,463) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1701=170

2: 1702=1701+1=1701⋅1701 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 194 mod 463

4: 1704=1702+2=1702⋅1702 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 133 mod 463

8: 1708=1704+4=1704⋅1704 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 95 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 151116 mod 313.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:

116 = 64+32+16+4

1: 1511=151

2: 1512=1511+1=1511⋅1511 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 265 mod 313

4: 1514=1512+2=1512⋅1512 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 113 mod 313

8: 1518=1514+4=1514⋅1514 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 249 mod 313

16: 15116=1518+8=1518⋅1518 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 27 mod 313

32: 15132=15116+16=15116⋅15116 ≡ 27⋅27=729 ≡ 103 mod 313

64: 15164=15132+32=15132⋅15132 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 280 mod 313

151116

= 15164+32+16+4

= 15164⋅15132⋅15116⋅1514

280 ⋅ 103 ⋅ 27 ⋅ 113 mod 313
28840 ⋅ 27 ⋅ 113 mod 313 ≡ 44 ⋅ 27 ⋅ 113 mod 313
1188 ⋅ 113 mod 313 ≡ 249 ⋅ 113 mod 313
28137 mod 313 ≡ 280 mod 313

Es gilt also: 151116 ≡ 280 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52

=>73 = 1⋅52 + 21
=>52 = 2⋅21 + 10
=>21 = 2⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 52-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21)
= -2⋅52 +5⋅ 21 (=1)
21= 73-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52)
= 5⋅73 -7⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52

oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅73 = -7⋅52

-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52

-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1

(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1

66⋅52 = 47⋅73 + 1

Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1

Somit 66⋅52 = 1 mod 73

66 ist also das Inverse von 52 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.