Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (233 - 82) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(233 - 82) mod 8 ≡ (233 mod 8 - 82 mod 8) mod 8.
233 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 233
= 240
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
Somit gilt:
(233 - 82) mod 8 ≡ (1 - 2) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 23) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 23) mod 6 ≡ (30 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.
30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.
23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 23) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36564 mod 661.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 365 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3651=365
2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 364 mod 661
4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 296 mod 661
8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 364 mod 661
16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 296 mod 661
32: 36532=36516+16=36516⋅36516 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 364 mod 661
64: 36564=36532+32=36532⋅36532 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 296 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 149128 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 146 mod 401
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 63 mod 401
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 360 mod 401
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 77 mod 401
32: 14932=14916+16=14916⋅14916 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 315 mod 401
64: 14964=14932+32=14932⋅14932 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 178 mod 401
128: 149128=14964+64=14964⋅14964 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 5 mod 401
149128
= 149128
= 149128
≡ 5 mod 401
Es gilt also: 149128 ≡ 5 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44
| =>83 | = 1⋅44 + 39 |
| =>44 | = 1⋅39 + 5 |
| =>39 | = 7⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 39-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5) = -1⋅39 +8⋅ 5 (=1) |
| 5= 44-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39) = 8⋅44 -9⋅ 39 (=1) |
| 39= 83-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44) = -9⋅83 +17⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +17⋅44
Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1
Somit 17⋅44 = 1 mod 83
17 ist also das Inverse von 44 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
