Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2495 + 9999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2495 + 9999) mod 5 ≡ (2495 mod 5 + 9999 mod 5) mod 5.
2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495
= 2400
9999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9999
= 9000
Somit gilt:
(2495 + 9999) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 84) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 84) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.
98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.
84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 84) mod 8 ≡ (2 ⋅ 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3938 mod 739.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 393 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3931=393
2: 3932=3931+1=3931⋅3931 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 737 mod 739
4: 3934=3932+2=3932⋅3932 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 4 mod 739
8: 3938=3934+4=3934⋅3934 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 596185 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 5961=596
2: 5962=5961+1=5961⋅5961 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 15 mod 659
4: 5964=5962+2=5962⋅5962 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 659
8: 5968=5964+4=5964⋅5964 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 541 mod 659
16: 59616=5968+8=5968⋅5968 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 85 mod 659
32: 59632=59616+16=59616⋅59616 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 635 mod 659
64: 59664=59632+32=59632⋅59632 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 576 mod 659
128: 596128=59664+64=59664⋅59664 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 299 mod 659
596185
= 596128+32+16+8+1
= 596128⋅59632⋅59616⋅5968⋅5961
≡ 299 ⋅ 635 ⋅ 85 ⋅ 541 ⋅ 596 mod 659
≡ 189865 ⋅ 85 ⋅ 541 ⋅ 596 mod 659 ≡ 73 ⋅ 85 ⋅ 541 ⋅ 596 mod 659
≡ 6205 ⋅ 541 ⋅ 596 mod 659 ≡ 274 ⋅ 541 ⋅ 596 mod 659
≡ 148234 ⋅ 596 mod 659 ≡ 618 ⋅ 596 mod 659
≡ 368328 mod 659 ≡ 606 mod 659
Es gilt also: 596185 ≡ 606 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44
| =>67 | = 1⋅44 + 23 |
| =>44 | = 1⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 44-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1) |
| 23= 67-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44)
= 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44
oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +21⋅67 = +32⋅44
Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1
Somit 32⋅44 = 1 mod 67
32 ist also das Inverse von 44 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
