Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8000 + 80) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8000 + 80) mod 4 ≡ (8000 mod 4 + 80 mod 4) mod 4.
8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000
= 8000
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(8000 + 80) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 60) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 60) mod 9 ≡ (45 mod 9 ⋅ 60 mod 9) mod 9.
45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.
60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 60) mod 9 ≡ (0 ⋅ 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 69464 mod 859.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 694 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6941=694
2: 6942=6941+1=6941⋅6941 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 596 mod 859
4: 6944=6942+2=6942⋅6942 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 449 mod 859
8: 6948=6944+4=6944⋅6944 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 595 mod 859
16: 69416=6948+8=6948⋅6948 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 117 mod 859
32: 69432=69416+16=69416⋅69416 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 804 mod 859
64: 69464=69432+32=69432⋅69432 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 448 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 206163 mod 431.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 2061=206
2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 198 mod 431
4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 414 mod 431
8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 289 mod 431
16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 338 mod 431
32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 29 mod 431
64: 20664=20632+32=20632⋅20632 ≡ 29⋅29=841 ≡ 410 mod 431
128: 206128=20664+64=20664⋅20664 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 10 mod 431
206163
= 206128+32+2+1
= 206128⋅20632⋅2062⋅2061
≡ 10 ⋅ 29 ⋅ 198 ⋅ 206 mod 431
≡ 290 ⋅ 198 ⋅ 206 mod 431
≡ 57420 ⋅ 206 mod 431 ≡ 97 ⋅ 206 mod 431
≡ 19982 mod 431 ≡ 156 mod 431
Es gilt also: 206163 ≡ 156 mod 431
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24
| =>61 | = 2⋅24 + 13 |
| =>24 | = 1⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 24-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +28⋅24
Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1
Somit 28⋅24 = 1 mod 61
28 ist also das Inverse von 24 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
