Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35993 - 27003) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35993 - 27003) mod 9 ≡ (35993 mod 9 - 27003 mod 9) mod 9.
35993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35993
= 36000
27003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27003
= 27000
Somit gilt:
(35993 - 27003) mod 9 ≡ (2 - 3) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 96) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 96) mod 11 ≡ (50 mod 11 ⋅ 96 mod 11) mod 11.
50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.
96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 96) mod 11 ≡ (6 ⋅ 8) mod 11 ≡ 48 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31716 mod 983.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 317 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 223 mod 983
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 579 mod 983
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 38 mod 983
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 461 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 235114 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 312 mod 617
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 475 mod 617
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 420 mod 617
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 555 mod 617
32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 142 mod 617
64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 420 mod 617
235114
= 23564+32+16+2
= 23564⋅23532⋅23516⋅2352
≡ 420 ⋅ 142 ⋅ 555 ⋅ 312 mod 617
≡ 59640 ⋅ 555 ⋅ 312 mod 617 ≡ 408 ⋅ 555 ⋅ 312 mod 617
≡ 226440 ⋅ 312 mod 617 ≡ 1 ⋅ 312 mod 617
≡ 312 mod 617
Es gilt also: 235114 ≡ 312 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67
| =>71 | = 1⋅67 + 4 |
| =>67 | = 16⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 67-16⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4) = -1⋅67 +17⋅ 4 (=1) |
| 4= 71-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67) = 17⋅71 -18⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67
oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅71 = -18⋅67
-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67
-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1
(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1
53⋅67 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1
Somit 53⋅67 = 1 mod 71
53 ist also das Inverse von 67 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
