Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15998 + 32003) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15998 + 32003) mod 8 ≡ (15998 mod 8 + 32003 mod 8) mod 8.
15998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998
= 15000
32003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32003
= 32000
Somit gilt:
(15998 + 32003) mod 8 ≡ (6 + 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 41) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 41) mod 8 ≡ (42 mod 8 ⋅ 41 mod 8) mod 8.
42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.
41 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 5 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 41) mod 8 ≡ (2 ⋅ 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65116 mod 661.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 651 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6511=651
2: 6512=6511+1=6511⋅6511 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 100 mod 661
4: 6514=6512+2=6512⋅6512 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 85 mod 661
8: 6518=6514+4=6514⋅6514 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 615 mod 661
16: 65116=6518+8=6518⋅6518 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 133 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 597167 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:
167 = 128+32+4+2+1
1: 5971=597
2: 5972=5971+1=5971⋅5971 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 559 mod 647
4: 5974=5972+2=5972⋅5972 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 627 mod 647
8: 5978=5974+4=5974⋅5974 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 400 mod 647
16: 59716=5978+8=5978⋅5978 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 191 mod 647
32: 59732=59716+16=59716⋅59716 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 249 mod 647
64: 59764=59732+32=59732⋅59732 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 536 mod 647
128: 597128=59764+64=59764⋅59764 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 28 mod 647
597167
= 597128+32+4+2+1
= 597128⋅59732⋅5974⋅5972⋅5971
≡ 28 ⋅ 249 ⋅ 627 ⋅ 559 ⋅ 597 mod 647
≡ 6972 ⋅ 627 ⋅ 559 ⋅ 597 mod 647 ≡ 502 ⋅ 627 ⋅ 559 ⋅ 597 mod 647
≡ 314754 ⋅ 559 ⋅ 597 mod 647 ≡ 312 ⋅ 559 ⋅ 597 mod 647
≡ 174408 ⋅ 597 mod 647 ≡ 365 ⋅ 597 mod 647
≡ 217905 mod 647 ≡ 513 mod 647
Es gilt also: 597167 ≡ 513 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
