Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1401 + 35003) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1401 + 35003) mod 7 ≡ (1401 mod 7 + 35003 mod 7) mod 7.

1401 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1401 = 1400+1 = 7 ⋅ 200 +1.

35003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35003 = 35000+3 = 7 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(1401 + 35003) mod 7 ≡ (1 + 3) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 41) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 41) mod 5 ≡ (56 mod 5 ⋅ 41 mod 5) mod 5.

56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.

41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 41) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 376128 mod 997.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 376 -> x
2. mod(x²,997) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3761=376

2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 799 mod 997

4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 321 mod 997

8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 350 mod 997

16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 866 mod 997

32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 866⋅866=749956 ≡ 212 mod 997

64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 79 mod 997

128: 376128=37664+64=37664⋅37664 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 259 mod 997

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 653113 mod 853.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:

113 = 64+32+16+1

1: 6531=653

2: 6532=6531+1=6531⋅6531 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 762 mod 853

4: 6534=6532+2=6532⋅6532 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 604 mod 853

8: 6538=6534+4=6534⋅6534 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 585 mod 853

16: 65316=6538+8=6538⋅6538 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 172 mod 853

32: 65332=65316+16=65316⋅65316 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 582 mod 853

64: 65364=65332+32=65332⋅65332 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 83 mod 853

653113

= 65364+32+16+1

= 65364⋅65332⋅65316⋅6531

83 ⋅ 582 ⋅ 172 ⋅ 653 mod 853
48306 ⋅ 172 ⋅ 653 mod 853 ≡ 538 ⋅ 172 ⋅ 653 mod 853
92536 ⋅ 653 mod 853 ≡ 412 ⋅ 653 mod 853
269036 mod 853 ≡ 341 mod 853

Es gilt also: 653113 ≡ 341 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54

=>79 = 1⋅54 + 25
=>54 = 2⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 54-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25)
= -6⋅54 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54)
= 13⋅79 -19⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -19⋅54

-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54

-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1

(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1

60⋅54 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1

Somit 60⋅54 = 1 mod 79

60 ist also das Inverse von 54 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.