Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24000 - 65) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24000 - 65) mod 6 ≡ (24000 mod 6 - 65 mod 6) mod 6.
24000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000
= 24000
65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65
= 60
Somit gilt:
(24000 - 65) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 70) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 70) mod 8 ≡ (66 mod 8 ⋅ 70 mod 8) mod 8.
66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.
70 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 64 + 6 = 8 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 70) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15616 mod 307.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 156 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1561=156
2: 1562=1561+1=1561⋅1561 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 83 mod 307
4: 1564=1562+2=1562⋅1562 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 135 mod 307
8: 1568=1564+4=1564⋅1564 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 112 mod 307
16: 15616=1568+8=1568⋅1568 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 264 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36388 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:
88 = 64+16+8
1: 3631=363
2: 3632=3631+1=3631⋅3631 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 417 mod 421
4: 3634=3632+2=3632⋅3632 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 16 mod 421
8: 3638=3634+4=3634⋅3634 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 421
16: 36316=3638+8=3638⋅3638 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 281 mod 421
32: 36332=36316+16=36316⋅36316 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 234 mod 421
64: 36364=36332+32=36332⋅36332 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 26 mod 421
36388
= 36364+16+8
= 36364⋅36316⋅3638
≡ 26 ⋅ 281 ⋅ 256 mod 421
≡ 7306 ⋅ 256 mod 421 ≡ 149 ⋅ 256 mod 421
≡ 38144 mod 421 ≡ 254 mod 421
Es gilt also: 36388 ≡ 254 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 58
| =>79 | = 1⋅58 + 21 |
| =>58 | = 2⋅21 + 16 |
| =>21 | = 1⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 21-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(21 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅21 +3⋅ 16) = -3⋅21 +4⋅ 16 (=1) |
| 16= 58-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅21 +4⋅(58 -2⋅ 21)
= -3⋅21 +4⋅58 -8⋅ 21) = 4⋅58 -11⋅ 21 (=1) |
| 21= 79-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅58 -11⋅(79 -1⋅ 58)
= 4⋅58 -11⋅79 +11⋅ 58) = -11⋅79 +15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,58)=1 = -11⋅79 +15⋅58
oder wenn man -11⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅79 = +15⋅58
Es gilt also: 15⋅58 = 11⋅79 +1
Somit 15⋅58 = 1 mod 79
15 ist also das Inverse von 58 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
