Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1501 + 11997) mod 3 ≡ (1501 mod 3 + 11997 mod 3) mod 3.

1501 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501 = 1500+1 = 3 ⋅ 500 +1.

11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 3 ⋅ 4000 -3 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(1501 + 11997) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 49) mod 3 ≡ (91 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 49) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 167¹=167

2: 167²=167¹⁺¹=167¹⋅167¹ ≡ 167⋅167=27889 ≡ 11 mod 263

4: 167⁴=167²⁺²=167²⋅167² ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 263

8: 167⁸=167⁴⁺⁴=167⁴⋅167⁴ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 176 mod 263

16: 167¹⁶=167⁸⁺⁸=167⁸⋅167⁸ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 205 mod 263

32: 167³²=167¹⁶⁺¹⁶=167¹⁶⋅167¹⁶ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 208 mod 263

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

505¹⁸⁵

= 505^{128+32+16+8+1}

= 505¹²⁸⋅505³²⋅505¹⁶⋅505⁸⋅505¹

≡ 570 ⋅ 349 ⋅ 98 ⋅ 221 ⋅ 505 mod 617
≡ 198930 ⋅ 98 ⋅ 221 ⋅ 505 mod 617 ≡ 256 ⋅ 98 ⋅ 221 ⋅ 505 mod 617
≡ 25088 ⋅ 221 ⋅ 505 mod 617 ≡ 408 ⋅ 221 ⋅ 505 mod 617
≡ 90168 ⋅ 505 mod 617 ≡ 86 ⋅ 505 mod 617
≡ 43430 mod 617 ≡ 240 mod 617

Es gilt also: 505¹⁸⁵ ≡ 240 mod 617

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 89

=>101	= 1⋅89 + 12
=>89	= 7⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,89)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 89-7⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(89 -7⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅89 -35⋅ 12) = 5⋅89 -37⋅ 12 (=1)
12= 101-1⋅89	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅89 -37⋅(101 -1⋅ 89) = 5⋅89 -37⋅101 +37⋅ 89) = -37⋅101 +42⋅ 89 (=1)

Es gilt also: ggt(101,89)=1 = -37⋅101 +42⋅89

oder wenn man -37⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +37⋅101 = +42⋅89

Es gilt also: 42⋅89 = 37⋅101 +1

Somit 42⋅89 = 1 mod 101

42 ist also das Inverse von 89 mod 101