Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 - 241) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 241) mod 6 ≡ (12000 mod 6 - 241 mod 6) mod 6.

12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 6 ⋅ 2000 +0.

241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 6 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(12000 - 241) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 82) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 82) mod 11 ≡ (68 mod 11 ⋅ 82 mod 11) mod 11.

68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.

82 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 7 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 82) mod 11 ≡ (2 ⋅ 5) mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28164 mod 373.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,373) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2811=281

2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 258 mod 373

4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 170 mod 373

8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 179 mod 373

16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 336 mod 373

32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 250 mod 373

64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 209 mod 373

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 347227 mod 419.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

1: 3471=347

2: 3472=3471+1=3471⋅3471 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 156 mod 419

4: 3474=3472+2=3472⋅3472 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 34 mod 419

8: 3478=3474+4=3474⋅3474 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 318 mod 419

16: 34716=3478+8=3478⋅3478 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 145 mod 419

32: 34732=34716+16=34716⋅34716 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 75 mod 419

64: 34764=34732+32=34732⋅34732 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 178 mod 419

128: 347128=34764+64=34764⋅34764 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 259 mod 419

347227

= 347128+64+32+2+1

= 347128⋅34764⋅34732⋅3472⋅3471

259 ⋅ 178 ⋅ 75 ⋅ 156 ⋅ 347 mod 419
46102 ⋅ 75 ⋅ 156 ⋅ 347 mod 419 ≡ 12 ⋅ 75 ⋅ 156 ⋅ 347 mod 419
900 ⋅ 156 ⋅ 347 mod 419 ≡ 62 ⋅ 156 ⋅ 347 mod 419
9672 ⋅ 347 mod 419 ≡ 35 ⋅ 347 mod 419
12145 mod 419 ≡ 413 mod 419

Es gilt also: 347227 ≡ 413 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32

=>67 = 2⋅32 + 3
=>32 = 10⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 32-10⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3)
= -1⋅32 +11⋅ 3 (=1)
3= 67-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32)
= 11⋅67 -23⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -23⋅32

-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32

-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1

(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1

44⋅32 = 21⋅67 + 1

Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1

Somit 44⋅32 = 1 mod 67

44 ist also das Inverse von 32 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.