Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (156 - 233) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(156 - 233) mod 8 ≡ (156 mod 8 - 233 mod 8) mod 8.
156 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
233 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 233
= 240
Somit gilt:
(156 - 233) mod 8 ≡ (4 - 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 38) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 38) mod 11 ≡ (54 mod 11 ⋅ 38 mod 11) mod 11.
54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.
38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 38) mod 11 ≡ (10 ⋅ 5) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 114128 mod 269.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 114 -> x
2. mod(x²,269) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1141=114
2: 1142=1141+1=1141⋅1141 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 84 mod 269
4: 1144=1142+2=1142⋅1142 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 62 mod 269
8: 1148=1144+4=1144⋅1144 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 78 mod 269
16: 11416=1148+8=1148⋅1148 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 166 mod 269
32: 11432=11416+16=11416⋅11416 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 118 mod 269
64: 11464=11432+32=11432⋅11432 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 205 mod 269
128: 114128=11464+64=11464⋅11464 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 61 mod 269
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 513198 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 5131=513
2: 5132=5131+1=5131⋅5131 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 228 mod 659
4: 5134=5132+2=5132⋅5132 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 582 mod 659
8: 5138=5134+4=5134⋅5134 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 657 mod 659
16: 51316=5138+8=5138⋅5138 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 4 mod 659
32: 51332=51316+16=51316⋅51316 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 659
64: 51364=51332+32=51332⋅51332 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 659
128: 513128=51364+64=51364⋅51364 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 295 mod 659
513198
= 513128+64+4+2
= 513128⋅51364⋅5134⋅5132
≡ 295 ⋅ 256 ⋅ 582 ⋅ 228 mod 659
≡ 75520 ⋅ 582 ⋅ 228 mod 659 ≡ 394 ⋅ 582 ⋅ 228 mod 659
≡ 229308 ⋅ 228 mod 659 ≡ 635 ⋅ 228 mod 659
≡ 144780 mod 659 ≡ 459 mod 659
Es gilt also: 513198 ≡ 459 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42
| =>53 | = 1⋅42 + 11 |
| =>42 | = 3⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 42-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +24⋅42
Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1
Somit 24⋅42 = 1 mod 53
24 ist also das Inverse von 42 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
