Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2397 - 1201) mod 6 ≡ (2397 mod 6 - 1201 mod 6) mod 6.

2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 6 ⋅ 400 -3 = 6 ⋅ 400 - 6 + 3.

1201 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 6 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(2397 - 1201) mod 6 ≡ (3 - 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 47) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 47 mod 11) mod 11.

24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.

47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 47) mod 11 ≡ (2 ⋅ 3) mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 363¹=363

2: 363²=363¹⁺¹=363¹⋅363¹ ≡ 363⋅363=131769 ≡ 279 mod 487

4: 363⁴=363²⁺²=363²⋅363² ≡ 279⋅279=77841 ≡ 408 mod 487

8: 363⁸=363⁴⁺⁴=363⁴⋅363⁴ ≡ 408⋅408=166464 ≡ 397 mod 487

16: 363¹⁶=363⁸⁺⁸=363⁸⋅363⁸ ≡ 397⋅397=157609 ≡ 308 mod 487

32: 363³²=363¹⁶⁺¹⁶=363¹⁶⋅363¹⁶ ≡ 308⋅308=94864 ≡ 386 mod 487

64: 363⁶⁴=363³²⁺³²=363³²⋅363³² ≡ 386⋅386=148996 ≡ 461 mod 487

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

212²¹⁸

= 212^{128+64+16+8+2}

= 212¹²⁸⋅212⁶⁴⋅212¹⁶⋅212⁸⋅212²

≡ 24 ⋅ 54 ⋅ 94 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241
≡ 1296 ⋅ 94 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241 ≡ 91 ⋅ 94 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241
≡ 8554 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241 ≡ 119 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241
≡ 2856 ⋅ 118 mod 241 ≡ 205 ⋅ 118 mod 241
≡ 24190 mod 241 ≡ 90 mod 241

Es gilt also: 212²¹⁸ ≡ 90 mod 241

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

=>97	= 2⋅47 + 3
=>47	= 15⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 47-15⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1)
3= 97-2⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47) = -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -33⋅47

-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47

-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1

(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1

64⋅47 = 31⋅97 + 1

Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1

Somit 64⋅47 = 1 mod 97

64 ist also das Inverse von 47 mod 97