Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 - 400) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 - 400) mod 8 ≡ (80 mod 8 - 400 mod 8) mod 8.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 8 ⋅ 10 +0.

400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 8 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(80 - 400) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 34) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 34) mod 9 ≡ (60 mod 9 ⋅ 34 mod 9) mod 9.

60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 34) mod 9 ≡ (6 ⋅ 7) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33764 mod 467.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 337 -> x
2. mod(x²,467) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3371=337

2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 88 mod 467

4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 272 mod 467

8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 198 mod 467

16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 443 mod 467

32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 109 mod 467

64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 206 mod 467

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 860246 mod 887.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

1: 8601=860

2: 8602=8601+1=8601⋅8601 ≡ 860⋅860=739600 ≡ 729 mod 887

4: 8604=8602+2=8602⋅8602 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 128 mod 887

8: 8608=8604+4=8604⋅8604 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 418 mod 887

16: 86016=8608+8=8608⋅8608 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 872 mod 887

32: 86032=86016+16=86016⋅86016 ≡ 872⋅872=760384 ≡ 225 mod 887

64: 86064=86032+32=86032⋅86032 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 66 mod 887

128: 860128=86064+64=86064⋅86064 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 808 mod 887

860246

= 860128+64+32+16+4+2

= 860128⋅86064⋅86032⋅86016⋅8604⋅8602

808 ⋅ 66 ⋅ 225 ⋅ 872 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887
53328 ⋅ 225 ⋅ 872 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887 ≡ 108 ⋅ 225 ⋅ 872 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887
24300 ⋅ 872 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887 ≡ 351 ⋅ 872 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887
306072 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887 ≡ 57 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887
7296 ⋅ 729 mod 887 ≡ 200 ⋅ 729 mod 887
145800 mod 887 ≡ 332 mod 887

Es gilt also: 860246 ≡ 332 mod 887

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

=>79 = 1⋅70 + 9
=>70 = 7⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 70-7⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9)
= 4⋅70 -31⋅ 9 (=1)
9= 79-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70)
= -31⋅79 +35⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70

oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅79 = +35⋅70

Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1

Somit 35⋅70 = 1 mod 79

35 ist also das Inverse von 70 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.