Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9008 - 36000) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9008 - 36000) mod 9 ≡ (9008 mod 9 - 36000 mod 9) mod 9.

9008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9008 = 9000+8 = 9 ⋅ 1000 +8.

36000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36000 = 36000+0 = 9 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(9008 - 36000) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 28) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 28) mod 9 ≡ (73 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 28) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34416 mod 463.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,463) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3441=344

2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 271 mod 463

4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 287 mod 463

8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 418 mod 463

16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 173 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 266245 mod 313.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

1: 2661=266

2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 18 mod 313

4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 18⋅18=324 ≡ 11 mod 313

8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 313

16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 243 mod 313

32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 205 mod 313

64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 83 mod 313

128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313

266245

= 266128+64+32+16+4+1

= 266128⋅26664⋅26632⋅26616⋅2664⋅2661

3 ⋅ 83 ⋅ 205 ⋅ 243 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313
249 ⋅ 205 ⋅ 243 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313
51045 ⋅ 243 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313 ≡ 26 ⋅ 243 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313
6318 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313 ≡ 58 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313
638 ⋅ 266 mod 313 ≡ 12 ⋅ 266 mod 313
3192 mod 313 ≡ 62 mod 313

Es gilt also: 266245 ≡ 62 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 80.

Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80

=>101 = 1⋅80 + 21
=>80 = 3⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,80)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 80-3⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(80 -3⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅80 -15⋅ 21)
= 5⋅80 -19⋅ 21 (=1)
21= 101-1⋅80 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅80 -19⋅(101 -1⋅ 80)
= 5⋅80 -19⋅101 +19⋅ 80)
= -19⋅101 +24⋅ 80 (=1)

Es gilt also: ggt(101,80)=1 = -19⋅101 +24⋅80

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +24⋅80

Es gilt also: 24⋅80 = 19⋅101 +1

Somit 24⋅80 = 1 mod 101

24 ist also das Inverse von 80 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.