Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5997 + 300) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5997 + 300) mod 3 ≡ (5997 mod 3 + 300 mod 3) mod 3.
5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997
= 6000
300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
Somit gilt:
(5997 + 300) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 71) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 71) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 71 mod 10) mod 10.
31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.
71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 71) mod 10 ≡ (1 ⋅ 1) mod 10 ≡ 1 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 73832 mod 971.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 738 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7381=738
2: 7382=7381+1=7381⋅7381 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 884 mod 971
4: 7384=7382+2=7382⋅7382 ≡ 884⋅884=781456 ≡ 772 mod 971
8: 7388=7384+4=7384⋅7384 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 761 mod 971
16: 73816=7388+8=7388⋅7388 ≡ 761⋅761=579121 ≡ 405 mod 971
32: 73832=73816+16=73816⋅73816 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 897 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 301183 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:
183 = 128+32+16+4+2+1
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 265 mod 941
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 591 mod 941
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 170 mod 941
16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 670 mod 941
32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 43 mod 941
64: 30164=30132+32=30132⋅30132 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 908 mod 941
128: 301128=30164+64=30164⋅30164 ≡ 908⋅908=824464 ≡ 148 mod 941
301183
= 301128+32+16+4+2+1
= 301128⋅30132⋅30116⋅3014⋅3012⋅3011
≡ 148 ⋅ 43 ⋅ 670 ⋅ 591 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941
≡ 6364 ⋅ 670 ⋅ 591 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941 ≡ 718 ⋅ 670 ⋅ 591 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941
≡ 481060 ⋅ 591 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941 ≡ 209 ⋅ 591 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941
≡ 123519 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941 ≡ 248 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941
≡ 65720 ⋅ 301 mod 941 ≡ 791 ⋅ 301 mod 941
≡ 238091 mod 941 ≡ 18 mod 941
Es gilt also: 301183 ≡ 18 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25
| =>61 | = 2⋅25 + 11 |
| =>25 | = 2⋅11 + 3 |
| =>11 | = 3⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 11-3⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1) |
| 3= 25-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11) = 4⋅25 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25) = -9⋅61 +22⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +22⋅25
Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1
Somit 22⋅25 = 1 mod 61
22 ist also das Inverse von 25 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
