Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3608 - 17997) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3608 - 17997) mod 9 ≡ (3608 mod 9 - 17997 mod 9) mod 9.
3608 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3608
= 3600
17997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17997
= 18000
Somit gilt:
(3608 - 17997) mod 9 ≡ (8 - 6) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 76) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 76) mod 11 ≡ (92 mod 11 ⋅ 76 mod 11) mod 11.
92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.
76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 76) mod 11 ≡ (4 ⋅ 10) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27864 mod 607.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 278 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2781=278
2: 2782=2781+1=2781⋅2781 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 195 mod 607
4: 2784=2782+2=2782⋅2782 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 391 mod 607
8: 2788=2784+4=2784⋅2784 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 524 mod 607
16: 27816=2788+8=2788⋅2788 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 212 mod 607
32: 27832=27816+16=27816⋅27816 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 26 mod 607
64: 27864=27832+32=27832⋅27832 ≡ 26⋅26=676 ≡ 69 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 247146 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 2471=247
2: 2472=2471+1=2471⋅2471 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 16 mod 251
4: 2474=2472+2=2472⋅2472 ≡ 16⋅16=256 ≡ 5 mod 251
8: 2478=2474+4=2474⋅2474 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 251
16: 24716=2478+8=2478⋅2478 ≡ 25⋅25=625 ≡ 123 mod 251
32: 24732=24716+16=24716⋅24716 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 69 mod 251
64: 24764=24732+32=24732⋅24732 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 243 mod 251
128: 247128=24764+64=24764⋅24764 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 64 mod 251
247146
= 247128+16+2
= 247128⋅24716⋅2472
≡ 64 ⋅ 123 ⋅ 16 mod 251
≡ 7872 ⋅ 16 mod 251 ≡ 91 ⋅ 16 mod 251
≡ 1456 mod 251 ≡ 201 mod 251
Es gilt also: 247146 ≡ 201 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 74.
Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 74
| =>89 | = 1⋅74 + 15 |
| =>74 | = 4⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,74)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 74-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(74 -4⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅74 +4⋅ 15) = -1⋅74 +5⋅ 15 (=1) |
| 15= 89-1⋅74 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅74 +5⋅(89 -1⋅ 74)
= -1⋅74 +5⋅89 -5⋅ 74) = 5⋅89 -6⋅ 74 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,74)=1 = 5⋅89 -6⋅74
oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅89 = -6⋅74
-6⋅74 = -5⋅89 + 1 |+89⋅74
-6⋅74 + 89⋅74 = -5⋅89 + 89⋅74 + 1
(-6 + 89) ⋅ 74 = (-5 + 74) ⋅ 89 + 1
83⋅74 = 69⋅89 + 1
Es gilt also: 83⋅74 = 69⋅89 +1
Somit 83⋅74 = 1 mod 89
83 ist also das Inverse von 74 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
