Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (806 + 15995) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(806 + 15995) mod 8 ≡ (806 mod 8 + 15995 mod 8) mod 8.
806 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 806
= 800
15995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15995
= 15000
Somit gilt:
(806 + 15995) mod 8 ≡ (6 + 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 31) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 31) mod 5 ≡ (86 mod 5 ⋅ 31 mod 5) mod 5.
86 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 85 + 1 = 17 ⋅ 5 + 1 ist.
31 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 6 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 31) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36132 mod 757.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 361 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3611=361
2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 117 mod 757
4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 63 mod 757
8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 184 mod 757
16: 36116=3618+8=3618⋅3618 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 548 mod 757
32: 36132=36116+16=36116⋅36116 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 532 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 80223 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:
223 = 128+64+16+8+4+2+1
1: 801=80
2: 802=801+1=801⋅801 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 125 mod 251
4: 804=802+2=802⋅802 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 63 mod 251
8: 808=804+4=804⋅804 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 204 mod 251
16: 8016=808+8=808⋅808 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 201 mod 251
32: 8032=8016+16=8016⋅8016 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 241 mod 251
64: 8064=8032+32=8032⋅8032 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 100 mod 251
128: 80128=8064+64=8064⋅8064 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 211 mod 251
80223
= 80128+64+16+8+4+2+1
= 80128⋅8064⋅8016⋅808⋅804⋅802⋅801
≡ 211 ⋅ 100 ⋅ 201 ⋅ 204 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251
≡ 21100 ⋅ 201 ⋅ 204 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251 ≡ 16 ⋅ 201 ⋅ 204 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251
≡ 3216 ⋅ 204 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251 ≡ 204 ⋅ 204 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251
≡ 41616 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251 ≡ 201 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251
≡ 12663 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251 ≡ 113 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251
≡ 14125 ⋅ 80 mod 251 ≡ 69 ⋅ 80 mod 251
≡ 5520 mod 251 ≡ 249 mod 251
Es gilt also: 80223 ≡ 249 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
