Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21005 - 14006) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21005 - 14006) mod 7 ≡ (21005 mod 7 - 14006 mod 7) mod 7.

21005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21005 = 21000+5 = 7 ⋅ 3000 +5.

14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006 = 14000+6 = 7 ⋅ 2000 +6.

Somit gilt:

(21005 - 14006) mod 7 ≡ (5 - 6) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 53) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 53) mod 8 ≡ (30 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.

30 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 24 + 6 = 3 ⋅ 8 + 6 ist.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 53) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16616 mod 401.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 166 -> x
2. mod(x²,401) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1661=166

2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 288 mod 401

4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 338 mod 401

8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 360 mod 401

16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 77 mod 401

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 172170 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

1: 1721=172

2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 20 mod 389

4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 20⋅20=400 ≡ 11 mod 389

8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 389

16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 248 mod 389

32: 17232=17216+16=17216⋅17216 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 42 mod 389

64: 17264=17232+32=17232⋅17232 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 208 mod 389

128: 172128=17264+64=17264⋅17264 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 85 mod 389

172170

= 172128+32+8+2

= 172128⋅17232⋅1728⋅1722

85 ⋅ 42 ⋅ 121 ⋅ 20 mod 389
3570 ⋅ 121 ⋅ 20 mod 389 ≡ 69 ⋅ 121 ⋅ 20 mod 389
8349 ⋅ 20 mod 389 ≡ 180 ⋅ 20 mod 389
3600 mod 389 ≡ 99 mod 389

Es gilt also: 172170 ≡ 99 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 29

=>83 = 2⋅29 + 25
=>29 = 1⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 29-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25)
= -6⋅29 +7⋅ 25 (=1)
25= 83-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅29 +7⋅(83 -2⋅ 29)
= -6⋅29 +7⋅83 -14⋅ 29)
= 7⋅83 -20⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(83,29)=1 = 7⋅83 -20⋅29

oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅83 = -20⋅29

-20⋅29 = -7⋅83 + 1 |+83⋅29

-20⋅29 + 83⋅29 = -7⋅83 + 83⋅29 + 1

(-20 + 83) ⋅ 29 = (-7 + 29) ⋅ 83 + 1

63⋅29 = 22⋅83 + 1

Es gilt also: 63⋅29 = 22⋅83 +1

Somit 63⋅29 = 1 mod 83

63 ist also das Inverse von 29 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.