Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (119 + 6003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(119 + 6003) mod 3 ≡ (119 mod 3 + 6003 mod 3) mod 3.

119 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 3 ⋅ 40 -1 = 3 ⋅ 40 - 3 + 2.

6003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 3 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(119 + 6003) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 70) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 70) mod 7 ≡ (30 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.

30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 70) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 10432 mod 281.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 104 -> x
2. mod(x²,281) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1041=104

2: 1042=1041+1=1041⋅1041 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 138 mod 281

4: 1044=1042+2=1042⋅1042 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 217 mod 281

8: 1048=1044+4=1044⋅1044 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 162 mod 281

16: 10416=1048+8=1048⋅1048 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 111 mod 281

32: 10432=10416+16=10416⋅10416 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 238 mod 281

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 9394 mod 277.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 931=93

2: 932=931+1=931⋅931 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 62 mod 277

4: 934=932+2=932⋅932 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 243 mod 277

8: 938=934+4=934⋅934 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 48 mod 277

16: 9316=938+8=938⋅938 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 88 mod 277

32: 9332=9316+16=9316⋅9316 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 265 mod 277

64: 9364=9332+32=9332⋅9332 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 144 mod 277

9394

= 9364+16+8+4+2

= 9364⋅9316⋅938⋅934⋅932

144 ⋅ 88 ⋅ 48 ⋅ 243 ⋅ 62 mod 277
12672 ⋅ 48 ⋅ 243 ⋅ 62 mod 277 ≡ 207 ⋅ 48 ⋅ 243 ⋅ 62 mod 277
9936 ⋅ 243 ⋅ 62 mod 277 ≡ 241 ⋅ 243 ⋅ 62 mod 277
58563 ⋅ 62 mod 277 ≡ 116 ⋅ 62 mod 277
7192 mod 277 ≡ 267 mod 277

Es gilt also: 9394 ≡ 267 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 52

=>83 = 1⋅52 + 31
=>52 = 1⋅31 + 21
=>31 = 1⋅21 + 10
=>21 = 2⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 31-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21)
= -2⋅31 +3⋅ 21 (=1)
21= 52-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +3⋅(52 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅52 -3⋅ 31)
= 3⋅52 -5⋅ 31 (=1)
31= 83-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅52 -5⋅(83 -1⋅ 52)
= 3⋅52 -5⋅83 +5⋅ 52)
= -5⋅83 +8⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(83,52)=1 = -5⋅83 +8⋅52

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +8⋅52

Es gilt also: 8⋅52 = 5⋅83 +1

Somit 8⋅52 = 1 mod 83

8 ist also das Inverse von 52 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.