Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1596 - 2402) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1596 - 2402) mod 8 ≡ (1596 mod 8 - 2402 mod 8) mod 8.
1596 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596
= 1600
2402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402
= 2400
Somit gilt:
(1596 - 2402) mod 8 ≡ (4 - 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 29) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 29) mod 9 ≡ (24 mod 9 ⋅ 29 mod 9) mod 9.
24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.
29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 29) mod 9 ≡ (6 ⋅ 2) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16764 mod 269.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 167 -> x
2. mod(x²,269) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1671=167
2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 182 mod 269
4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 37 mod 269
8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 24 mod 269
16: 16716=1678+8=1678⋅1678 ≡ 24⋅24=576 ≡ 38 mod 269
32: 16732=16716+16=16716⋅16716 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 99 mod 269
64: 16764=16732+32=16732⋅16732 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 117 mod 269
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67866 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 6781=678
2: 6782=6781+1=6781⋅6781 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 450 mod 823
4: 6784=6782+2=6782⋅6782 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 42 mod 823
8: 6788=6784+4=6784⋅6784 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 118 mod 823
16: 67816=6788+8=6788⋅6788 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 756 mod 823
32: 67832=67816+16=67816⋅67816 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 374 mod 823
64: 67864=67832+32=67832⋅67832 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 789 mod 823
67866
= 67864+2
= 67864⋅6782
≡ 789 ⋅ 450 mod 823
≡ 355050 mod 823 ≡ 337 mod 823
Es gilt also: 67866 ≡ 337 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67
| =>71 | = 1⋅67 + 4 |
| =>67 | = 16⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 67-16⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4) = -1⋅67 +17⋅ 4 (=1) |
| 4= 71-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67) = 17⋅71 -18⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67
oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅71 = -18⋅67
-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67
-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1
(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1
53⋅67 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1
Somit 53⋅67 = 1 mod 71
53 ist also das Inverse von 67 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
