Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19997 - 15000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19997 - 15000) mod 5 ≡ (19997 mod 5 - 15000 mod 5) mod 5.
19997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997
= 19000
15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
Somit gilt:
(19997 - 15000) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 98) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 98) mod 7 ≡ (50 mod 7 ⋅ 98 mod 7) mod 7.
50 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 49 + 1 = 7 ⋅ 7 + 1 ist.
98 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 98 + 0 = 14 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 98) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27764 mod 709.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 277 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2771=277
2: 2772=2771+1=2771⋅2771 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 157 mod 709
4: 2774=2772+2=2772⋅2772 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 543 mod 709
8: 2778=2774+4=2774⋅2774 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 614 mod 709
16: 27716=2778+8=2778⋅2778 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 517 mod 709
32: 27732=27716+16=27716⋅27716 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 705 mod 709
64: 27764=27732+32=27732⋅27732 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 16 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36496 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 96 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 96 an und zerlegen 96 in eine Summer von 2er-Potenzen:
96 = 64+32
1: 3641=364
2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 379 mod 937
4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 280 mod 937
8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 629 mod 937
16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 227 mod 937
32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 931 mod 937
64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 931⋅931=866761 ≡ 36 mod 937
36496
= 36464+32
= 36464⋅36432
≡ 36 ⋅ 931 mod 937
≡ 33516 mod 937 ≡ 721 mod 937
Es gilt also: 36496 ≡ 721 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24
| =>67 | = 2⋅24 + 19 |
| =>24 | = 1⋅19 + 5 |
| =>19 | = 3⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 19-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1) |
| 5= 24-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +14⋅24
Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1
Somit 14⋅24 = 1 mod 67
14 ist also das Inverse von 24 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
