Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16004 + 197) mod 4 ≡ (16004 mod 4 + 197 mod 4) mod 4.

16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 4 ⋅ 4000 +4.

197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197 = 200-3 = 4 ⋅ 50 -3 = 4 ⋅ 50 - 4 + 1.

Somit gilt:

(16004 + 197) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 29) mod 6 ≡ (47 mod 6 ⋅ 29 mod 6) mod 6.

47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.

29 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 4 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 29) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 513¹=513

2: 513²=513¹⁺¹=513¹⋅513¹ ≡ 513⋅513=263169 ≡ 139 mod 907

4: 513⁴=513²⁺²=513²⋅513² ≡ 139⋅139=19321 ≡ 274 mod 907

8: 513⁸=513⁴⁺⁴=513⁴⋅513⁴ ≡ 274⋅274=75076 ≡ 702 mod 907

16: 513¹⁶=513⁸⁺⁸=513⁸⋅513⁸ ≡ 702⋅702=492804 ≡ 303 mod 907

32: 513³²=513¹⁶⁺¹⁶=513¹⁶⋅513¹⁶ ≡ 303⋅303=91809 ≡ 202 mod 907

64: 513⁶⁴=513³²⁺³²=513³²⋅513³² ≡ 202⋅202=40804 ≡ 896 mod 907

128: 513¹²⁸=513⁶⁴⁺⁶⁴=513⁶⁴⋅513⁶⁴ ≡ 896⋅896=802816 ≡ 121 mod 907

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:

161 = 128+32+1

343¹⁶¹

= 343^128+32+1

= 343¹²⁸⋅343³²⋅343¹

≡ 256 ⋅ 150 ⋅ 343 mod 433
≡ 38400 ⋅ 343 mod 433 ≡ 296 ⋅ 343 mod 433
≡ 101528 mod 433 ≡ 206 mod 433

Es gilt also: 343¹⁶¹ ≡ 206 mod 433

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101	= 1⋅52 + 49
=>52	= 1⋅49 + 3
=>49	= 16⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49) = 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52) = -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101