Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 - 117) mod 4 ≡ (15997 mod 4 - 117 mod 4) mod 4.

15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 4 ⋅ 3750 +997.

117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117 = 120-3 = 4 ⋅ 30 -3 = 4 ⋅ 30 - 4 + 1.

Somit gilt:

(15997 - 117) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 37) mod 11 ≡ (41 mod 11 ⋅ 37 mod 11) mod 11.

41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.

37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 37) mod 11 ≡ (8 ⋅ 4) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 251¹=251

2: 251²=251¹⁺¹=251¹⋅251¹ ≡ 251⋅251=63001 ≡ 194 mod 347

4: 251⁴=251²⁺²=251²⋅251² ≡ 194⋅194=37636 ≡ 160 mod 347

8: 251⁸=251⁴⁺⁴=251⁴⋅251⁴ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 269 mod 347

16: 251¹⁶=251⁸⁺⁸=251⁸⋅251⁸ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 185 mod 347

32: 251³²=251¹⁶⁺¹⁶=251¹⁶⋅251¹⁶ ≡ 185⋅185=34225 ≡ 219 mod 347

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

534²⁵⁵

= 534^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 534¹²⁸⋅534⁶⁴⋅534³²⋅534¹⁶⋅534⁸⋅534⁴⋅534²⋅534¹

≡ 475 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
≡ 190000 ⋅ 20 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709 ≡ 697 ⋅ 20 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
≡ 13940 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709 ≡ 469 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
≡ 12663 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709 ≡ 610 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
≡ 356240 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709 ≡ 322 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
≡ 196420 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709 ≡ 27 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
≡ 3726 ⋅ 534 mod 709 ≡ 181 ⋅ 534 mod 709
≡ 96654 mod 709 ≡ 230 mod 709

Es gilt also: 534²⁵⁵ ≡ 230 mod 709

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35

=>79	= 2⋅35 + 9
=>35	= 3⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 79-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35) = -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35) = 4⋅79 -9⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -9⋅35

-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35

-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1

(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1

70⋅35 = 31⋅79 + 1

Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1

Somit 70⋅35 = 1 mod 79

70 ist also das Inverse von 35 mod 79