Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19999 + 1197) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19999 + 1197) mod 4 ≡ (19999 mod 4 + 1197 mod 4) mod 4.
19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999
= 19000
1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1100
Somit gilt:
(19999 + 1197) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 86) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 86) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 86 mod 5) mod 5.
71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.
86 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 85 + 1 = 17 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 86) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24616 mod 269.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 246 -> x
2. mod(x²,269) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2461=246
2: 2462=2461+1=2461⋅2461 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 260 mod 269
4: 2464=2462+2=2462⋅2462 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 81 mod 269
8: 2468=2464+4=2464⋅2464 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 105 mod 269
16: 24616=2468+8=2468⋅2468 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 265 mod 269
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 316124 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:
124 = 64+32+16+8+4
1: 3161=316
2: 3162=3161+1=3161⋅3161 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 103 mod 811
4: 3164=3162+2=3162⋅3162 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 66 mod 811
8: 3168=3164+4=3164⋅3164 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 301 mod 811
16: 31616=3168+8=3168⋅3168 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 580 mod 811
32: 31632=31616+16=31616⋅31616 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 646 mod 811
64: 31664=31632+32=31632⋅31632 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 462 mod 811
316124
= 31664+32+16+8+4
= 31664⋅31632⋅31616⋅3168⋅3164
≡ 462 ⋅ 646 ⋅ 580 ⋅ 301 ⋅ 66 mod 811
≡ 298452 ⋅ 580 ⋅ 301 ⋅ 66 mod 811 ≡ 4 ⋅ 580 ⋅ 301 ⋅ 66 mod 811
≡ 2320 ⋅ 301 ⋅ 66 mod 811 ≡ 698 ⋅ 301 ⋅ 66 mod 811
≡ 210098 ⋅ 66 mod 811 ≡ 49 ⋅ 66 mod 811
≡ 3234 mod 811 ≡ 801 mod 811
Es gilt also: 316124 ≡ 801 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 78
| =>83 | = 1⋅78 + 5 |
| =>78 | = 15⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 78-15⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(78 -15⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅78 -30⋅ 5) = 2⋅78 -31⋅ 5 (=1) |
| 5= 83-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅78 -31⋅(83 -1⋅ 78)
= 2⋅78 -31⋅83 +31⋅ 78) = -31⋅83 +33⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,78)=1 = -31⋅83 +33⋅78
oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅83 = +33⋅78
Es gilt also: 33⋅78 = 31⋅83 +1
Somit 33⋅78 = 1 mod 83
33 ist also das Inverse von 78 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
