Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30004 + 122) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30004 + 122) mod 6 ≡ (30004 mod 6 + 122 mod 6) mod 6.
30004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30004
= 30000
122 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
Somit gilt:
(30004 + 122) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 35) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 35) mod 7 ≡ (68 mod 7 ⋅ 35 mod 7) mod 7.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.
35 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 5 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 35) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42416 mod 659.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 424 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4241=424
2: 4242=4241+1=4241⋅4241 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 528 mod 659
4: 4244=4242+2=4242⋅4242 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 27 mod 659
8: 4248=4244+4=4244⋅4244 ≡ 27⋅27=729 ≡ 70 mod 659
16: 42416=4248+8=4248⋅4248 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 287 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 439126 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:
126 = 64+32+16+8+4+2
1: 4391=439
2: 4392=4391+1=4391⋅4391 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 100 mod 449
4: 4394=4392+2=4392⋅4392 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 122 mod 449
8: 4398=4394+4=4394⋅4394 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 67 mod 449
16: 43916=4398+8=4398⋅4398 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 448 mod 449
32: 43932=43916+16=43916⋅43916 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 1 mod 449
64: 43964=43932+32=43932⋅43932 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449
439126
= 43964+32+16+8+4+2
= 43964⋅43932⋅43916⋅4398⋅4394⋅4392
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 448 ⋅ 67 ⋅ 122 ⋅ 100 mod 449
≡ 1 ⋅ 448 ⋅ 67 ⋅ 122 ⋅ 100 mod 449
≡ 448 ⋅ 67 ⋅ 122 ⋅ 100 mod 449
≡ 30016 ⋅ 122 ⋅ 100 mod 449 ≡ 382 ⋅ 122 ⋅ 100 mod 449
≡ 46604 ⋅ 100 mod 449 ≡ 357 ⋅ 100 mod 449
≡ 35700 mod 449 ≡ 229 mod 449
Es gilt also: 439126 ≡ 229 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32
| =>83 | = 2⋅32 + 19 |
| =>32 | = 1⋅19 + 13 |
| =>19 | = 1⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 19-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 32-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 83-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32)
= 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32
oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅83 = +13⋅32
Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1
Somit 13⋅32 = 1 mod 83
13 ist also das Inverse von 32 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
