Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24999 - 151) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24999 - 151) mod 5 ≡ (24999 mod 5 - 151 mod 5) mod 5.

24999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24999 = 24000+999 = 5 ⋅ 4800 +999.

151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 5 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(24999 - 151) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 89) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 89) mod 6 ≡ (100 mod 6 ⋅ 89 mod 6) mod 6.

100 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 16 ⋅ 6 + 4 ist.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 89) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 86964 mod 947.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 869 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8691=869

2: 8692=8691+1=8691⋅8691 ≡ 869⋅869=755161 ≡ 402 mod 947

4: 8694=8692+2=8692⋅8692 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 614 mod 947

8: 8698=8694+4=8694⋅8694 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 90 mod 947

16: 86916=8698+8=8698⋅8698 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 524 mod 947

32: 86932=86916+16=86916⋅86916 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 893 mod 947

64: 86964=86932+32=86932⋅86932 ≡ 893⋅893=797449 ≡ 75 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 465206 mod 709.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

1: 4651=465

2: 4652=4651+1=4651⋅4651 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 689 mod 709

4: 4654=4652+2=4652⋅4652 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 400 mod 709

8: 4658=4654+4=4654⋅4654 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 475 mod 709

16: 46516=4658+8=4658⋅4658 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 163 mod 709

32: 46532=46516+16=46516⋅46516 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 336 mod 709

64: 46564=46532+32=46532⋅46532 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 165 mod 709

128: 465128=46564+64=46564⋅46564 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 283 mod 709

465206

= 465128+64+8+4+2

= 465128⋅46564⋅4658⋅4654⋅4652

283 ⋅ 165 ⋅ 475 ⋅ 400 ⋅ 689 mod 709
46695 ⋅ 475 ⋅ 400 ⋅ 689 mod 709 ≡ 610 ⋅ 475 ⋅ 400 ⋅ 689 mod 709
289750 ⋅ 400 ⋅ 689 mod 709 ≡ 478 ⋅ 400 ⋅ 689 mod 709
191200 ⋅ 689 mod 709 ≡ 479 ⋅ 689 mod 709
330031 mod 709 ≡ 346 mod 709

Es gilt also: 465206 ≡ 346 mod 709

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89 = 1⋅53 + 36
=>53 = 1⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36)
= 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53)
= 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53)
= -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.