Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (401 - 203) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(401 - 203) mod 4 ≡ (401 mod 4 - 203 mod 4) mod 4.
401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401
= 400
203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203
= 200
Somit gilt:
(401 - 203) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 86) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 86) mod 7 ≡ (15 mod 7 ⋅ 86 mod 7) mod 7.
15 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 14 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 ist.
86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 86) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4448 mod 607.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 444 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4441=444
2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 468 mod 607
4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 504 mod 607
8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 290 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 234114 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 460 mod 617
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 586 mod 617
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 344 mod 617
16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 489 mod 617
32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 342 mod 617
64: 23464=23432+32=23432⋅23432 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 351 mod 617
234114
= 23464+32+16+2
= 23464⋅23432⋅23416⋅2342
≡ 351 ⋅ 342 ⋅ 489 ⋅ 460 mod 617
≡ 120042 ⋅ 489 ⋅ 460 mod 617 ≡ 344 ⋅ 489 ⋅ 460 mod 617
≡ 168216 ⋅ 460 mod 617 ≡ 392 ⋅ 460 mod 617
≡ 180320 mod 617 ≡ 156 mod 617
Es gilt also: 234114 ≡ 156 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 59
| =>73 | = 1⋅59 + 14 |
| =>59 | = 4⋅14 + 3 |
| =>14 | = 4⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 14-4⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1) |
| 3= 59-4⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +5⋅(59 -4⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅59 -20⋅ 14) = 5⋅59 -21⋅ 14 (=1) |
| 14= 73-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅59 -21⋅(73 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -21⋅73 +21⋅ 59) = -21⋅73 +26⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,59)=1 = -21⋅73 +26⋅59
oder wenn man -21⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +21⋅73 = +26⋅59
Es gilt also: 26⋅59 = 21⋅73 +1
Somit 26⋅59 = 1 mod 73
26 ist also das Inverse von 59 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
