Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (119 - 2403) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(119 - 2403) mod 6 ≡ (119 mod 6 - 2403 mod 6) mod 6.
119 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
2403 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403
= 2400
Somit gilt:
(119 - 2403) mod 6 ≡ (5 - 3) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 20) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 20) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 20 mod 9) mod 9.
91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.
20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 20) mod 9 ≡ (1 ⋅ 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3318 mod 937.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 869 mod 937
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 869⋅869=755161 ≡ 876 mod 937
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 876⋅876=767376 ≡ 910 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65462 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 6541=654
2: 6542=6541+1=6541⋅6541 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 619 mod 947
4: 6544=6542+2=6542⋅6542 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 573 mod 947
8: 6548=6544+4=6544⋅6544 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 667 mod 947
16: 65416=6548+8=6548⋅6548 ≡ 667⋅667=444889 ≡ 746 mod 947
32: 65432=65416+16=65416⋅65416 ≡ 746⋅746=556516 ≡ 627 mod 947
65462
= 65432+16+8+4+2
= 65432⋅65416⋅6548⋅6544⋅6542
≡ 627 ⋅ 746 ⋅ 667 ⋅ 573 ⋅ 619 mod 947
≡ 467742 ⋅ 667 ⋅ 573 ⋅ 619 mod 947 ≡ 871 ⋅ 667 ⋅ 573 ⋅ 619 mod 947
≡ 580957 ⋅ 573 ⋅ 619 mod 947 ≡ 446 ⋅ 573 ⋅ 619 mod 947
≡ 255558 ⋅ 619 mod 947 ≡ 815 ⋅ 619 mod 947
≡ 504485 mod 947 ≡ 681 mod 947
Es gilt also: 65462 ≡ 681 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60
| =>101 | = 1⋅60 + 41 |
| =>60 | = 1⋅41 + 19 |
| =>41 | = 2⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 41-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 60-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41) = 13⋅60 -19⋅ 41 (=1) |
| 41= 101-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60)
= 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60) = -19⋅101 +32⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +32⋅60
Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1
Somit 32⋅60 = 1 mod 101
32 ist also das Inverse von 60 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
