Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20000 - 2003) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20000 - 2003) mod 4 ≡ (20000 mod 4 - 2003 mod 4) mod 4.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 4 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(20000 - 2003) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 75) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 75) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 75 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 75) mod 10 ≡ (4 ⋅ 5) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16516 mod 307.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 165 -> x
2. mod(x²,307) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1651=165

2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 209 mod 307

4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 87 mod 307

8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 201 mod 307

16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 184 mod 307

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 718158 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 7181=718

2: 7182=7181+1=7181⋅7181 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 858 mod 929

4: 7184=7182+2=7182⋅7182 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 396 mod 929

8: 7188=7184+4=7184⋅7184 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 744 mod 929

16: 71816=7188+8=7188⋅7188 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 781 mod 929

32: 71832=71816+16=71816⋅71816 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 537 mod 929

64: 71864=71832+32=71832⋅71832 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 379 mod 929

128: 718128=71864+64=71864⋅71864 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 575 mod 929

718158

= 718128+16+8+4+2

= 718128⋅71816⋅7188⋅7184⋅7182

575 ⋅ 781 ⋅ 744 ⋅ 396 ⋅ 858 mod 929
449075 ⋅ 744 ⋅ 396 ⋅ 858 mod 929 ≡ 368 ⋅ 744 ⋅ 396 ⋅ 858 mod 929
273792 ⋅ 396 ⋅ 858 mod 929 ≡ 666 ⋅ 396 ⋅ 858 mod 929
263736 ⋅ 858 mod 929 ≡ 829 ⋅ 858 mod 929
711282 mod 929 ≡ 597 mod 929

Es gilt also: 718158 ≡ 597 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44

=>53 = 1⋅44 + 9
=>44 = 4⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9)
= -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44)
= 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -6⋅44

-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44

-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1

(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1

47⋅44 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1

Somit 47⋅44 = 1 mod 53

47 ist also das Inverse von 44 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.