Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3606 + 3597) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3606 + 3597) mod 9 ≡ (3606 mod 9 + 3597 mod 9) mod 9.
3606 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3606
= 3600
3597 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3597
= 3600
Somit gilt:
(3606 + 3597) mod 9 ≡ (6 + 6) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 88) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 88) mod 9 ≡ (32 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.
32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 88) mod 9 ≡ (5 ⋅ 7) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2218 mod 233.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 221 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2211=221
2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 144 mod 233
4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 232 mod 233
8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 1 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 630138 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 6301=630
2: 6302=6301+1=6301⋅6301 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 289 mod 647
4: 6304=6302+2=6302⋅6302 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 58 mod 647
8: 6308=6304+4=6304⋅6304 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 129 mod 647
16: 63016=6308+8=6308⋅6308 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 466 mod 647
32: 63032=63016+16=63016⋅63016 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 411 mod 647
64: 63064=63032+32=63032⋅63032 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 54 mod 647
128: 630128=63064+64=63064⋅63064 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 328 mod 647
630138
= 630128+8+2
= 630128⋅6308⋅6302
≡ 328 ⋅ 129 ⋅ 289 mod 647
≡ 42312 ⋅ 289 mod 647 ≡ 257 ⋅ 289 mod 647
≡ 74273 mod 647 ≡ 515 mod 647
Es gilt also: 630138 ≡ 515 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
