Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 + 299) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 + 299) mod 3 ≡ (93 mod 3 + 299 mod 3) mod 3.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

299 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 3 ⋅ 100 -1 = 3 ⋅ 100 - 3 + 2.

Somit gilt:

(93 + 299) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 60) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 60) mod 5 ≡ (20 mod 5 ⋅ 60 mod 5) mod 5.

20 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 4 ⋅ 5 + 0 ist.

60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 60) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 63564 mod 659.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 635 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6351=635

2: 6352=6351+1=6351⋅6351 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 576 mod 659

4: 6354=6352+2=6352⋅6352 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 299 mod 659

8: 6358=6354+4=6354⋅6354 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 436 mod 659

16: 63516=6358+8=6358⋅6358 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 304 mod 659

32: 63532=63516+16=63516⋅63516 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 156 mod 659

64: 63564=63532+32=63532⋅63532 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 612 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37490 mod 577.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:

90 = 64+16+8+2

1: 3741=374

2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 242 mod 577

4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 287 mod 577

8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 435 mod 577

16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 546 mod 577

32: 37432=37416+16=37416⋅37416 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 384 mod 577

64: 37464=37432+32=37432⋅37432 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 321 mod 577

37490

= 37464+16+8+2

= 37464⋅37416⋅3748⋅3742

321 ⋅ 546 ⋅ 435 ⋅ 242 mod 577
175266 ⋅ 435 ⋅ 242 mod 577 ≡ 435 ⋅ 435 ⋅ 242 mod 577
189225 ⋅ 242 mod 577 ≡ 546 ⋅ 242 mod 577
132132 mod 577 ≡ 576 mod 577

Es gilt also: 37490 ≡ 576 mod 577

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48

=>53 = 1⋅48 + 5
=>48 = 9⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 48-9⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5)
= 2⋅48 -19⋅ 5 (=1)
5= 53-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48)
= -19⋅53 +21⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +21⋅48

Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1

Somit 21⋅48 = 1 mod 53

21 ist also das Inverse von 48 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.