Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 - 1200) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 - 1200) mod 3 ≡ (61 mod 3 - 1200 mod 3) mod 3.
61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61
= 60
1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(61 - 1200) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 44) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 44) mod 9 ≡ (84 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.
84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 81 + 3 = 9 ⋅ 9 + 3 ist.
44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 44) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 504128 mod 661.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 192 mod 661
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 509 mod 661
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 630 mod 661
16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 300 mod 661
32: 50432=50416+16=50416⋅50416 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 104 mod 661
64: 50464=50432+32=50432⋅50432 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 240 mod 661
128: 504128=50464+64=50464⋅50464 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 93 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43995 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:
95 = 64+16+8+4+2+1
1: 4391=439
2: 4392=4391+1=4391⋅4391 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 185 mod 587
4: 4394=4392+2=4392⋅4392 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 179 mod 587
8: 4398=4394+4=4394⋅4394 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 343 mod 587
16: 43916=4398+8=4398⋅4398 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 249 mod 587
32: 43932=43916+16=43916⋅43916 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 366 mod 587
64: 43964=43932+32=43932⋅43932 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 120 mod 587
43995
= 43964+16+8+4+2+1
= 43964⋅43916⋅4398⋅4394⋅4392⋅4391
≡ 120 ⋅ 249 ⋅ 343 ⋅ 179 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587
≡ 29880 ⋅ 343 ⋅ 179 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587 ≡ 530 ⋅ 343 ⋅ 179 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587
≡ 181790 ⋅ 179 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587 ≡ 407 ⋅ 179 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587
≡ 72853 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587 ≡ 65 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587
≡ 12025 ⋅ 439 mod 587 ≡ 285 ⋅ 439 mod 587
≡ 125115 mod 587 ≡ 84 mod 587
Es gilt also: 43995 ≡ 84 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 38
| =>89 | = 2⋅38 + 13 |
| =>38 | = 2⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 38-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +3⋅(89 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅89 -6⋅ 38) = 3⋅89 -7⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,38)=1 = 3⋅89 -7⋅38
oder wenn man 3⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅89 = -7⋅38
-7⋅38 = -3⋅89 + 1 |+89⋅38
-7⋅38 + 89⋅38 = -3⋅89 + 89⋅38 + 1
(-7 + 89) ⋅ 38 = (-3 + 38) ⋅ 89 + 1
82⋅38 = 35⋅89 + 1
Es gilt also: 82⋅38 = 35⋅89 +1
Somit 82⋅38 = 1 mod 89
82 ist also das Inverse von 38 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
