Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2695 - 179) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2695 - 179) mod 9 ≡ (2695 mod 9 - 179 mod 9) mod 9.
2695 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2695
= 2700
179 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179
= 180
Somit gilt:
(2695 - 179) mod 9 ≡ (4 - 8) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 69) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 69) mod 8 ≡ (59 mod 8 ⋅ 69 mod 8) mod 8.
59 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 7 ⋅ 8 + 3 ist.
69 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 64 + 5 = 8 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 69) mod 8 ≡ (3 ⋅ 5) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28064 mod 311.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 280 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 28 mod 311
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 28⋅28=784 ≡ 162 mod 311
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 120 mod 311
16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 94 mod 311
32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 128 mod 311
64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 212 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 578148 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:
148 = 128+16+4
1: 5781=578
2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 310 mod 883
4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 736 mod 883
8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 417 mod 883
16: 57816=5788+8=5788⋅5788 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 821 mod 883
32: 57832=57816+16=57816⋅57816 ≡ 821⋅821=674041 ≡ 312 mod 883
64: 57864=57832+32=57832⋅57832 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 214 mod 883
128: 578128=57864+64=57864⋅57864 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 763 mod 883
578148
= 578128+16+4
= 578128⋅57816⋅5784
≡ 763 ⋅ 821 ⋅ 736 mod 883
≡ 626423 ⋅ 736 mod 883 ≡ 376 ⋅ 736 mod 883
≡ 276736 mod 883 ≡ 357 mod 883
Es gilt also: 578148 ≡ 357 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52
| =>73 | = 1⋅52 + 21 |
| =>52 | = 2⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 52-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -7⋅52
-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52
-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1
(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1
66⋅52 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1
Somit 66⋅52 = 1 mod 73
66 ist also das Inverse von 52 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
