Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (118 + 1800) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(118 + 1800) mod 6 ≡ (118 mod 6 + 1800 mod 6) mod 6.
118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800
= 1800
Somit gilt:
(118 + 1800) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 59) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 59) mod 9 ≡ (69 mod 9 ⋅ 59 mod 9) mod 9.
69 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 7 ⋅ 9 + 6 ist.
59 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 6 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 59) mod 9 ≡ (6 ⋅ 5) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27964 mod 353.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 279 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2791=279
2: 2792=2791+1=2791⋅2791 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 181 mod 353
4: 2794=2792+2=2792⋅2792 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 285 mod 353
8: 2798=2794+4=2794⋅2794 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 35 mod 353
16: 27916=2798+8=2798⋅2798 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 166 mod 353
32: 27932=27916+16=27916⋅27916 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 22 mod 353
64: 27964=27932+32=27932⋅27932 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 478175 mod 863.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:
175 = 128+32+8+4+2+1
1: 4781=478
2: 4782=4781+1=4781⋅4781 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 652 mod 863
4: 4784=4782+2=4782⋅4782 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 508 mod 863
8: 4788=4784+4=4784⋅4784 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 27 mod 863
16: 47816=4788+8=4788⋅4788 ≡ 27⋅27=729 ≡ 729 mod 863
32: 47832=47816+16=47816⋅47816 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 696 mod 863
64: 47864=47832+32=47832⋅47832 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 273 mod 863
128: 478128=47864+64=47864⋅47864 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 311 mod 863
478175
= 478128+32+8+4+2+1
= 478128⋅47832⋅4788⋅4784⋅4782⋅4781
≡ 311 ⋅ 696 ⋅ 27 ⋅ 508 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863
≡ 216456 ⋅ 27 ⋅ 508 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863 ≡ 706 ⋅ 27 ⋅ 508 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863
≡ 19062 ⋅ 508 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863 ≡ 76 ⋅ 508 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863
≡ 38608 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863 ≡ 636 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863
≡ 414672 ⋅ 478 mod 863 ≡ 432 ⋅ 478 mod 863
≡ 206496 mod 863 ≡ 239 mod 863
Es gilt also: 478175 ≡ 239 mod 863
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38
| =>79 | = 2⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 79-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -27⋅38
-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38
-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1
(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1
52⋅38 = 25⋅79 + 1
Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1
Somit 52⋅38 = 1 mod 79
52 ist also das Inverse von 38 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
