Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20000 + 5004) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20000 + 5004) mod 5 ≡ (20000 mod 5 + 5004 mod 5) mod 5.

20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 5 ⋅ 4000 +0.

5004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5004 = 5000+4 = 5 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(20000 + 5004) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 53) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 53) mod 3 ≡ (28 mod 3 ⋅ 53 mod 3) mod 3.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.

53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 53) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36416 mod 431.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 364 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3641=364

2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 179 mod 431

4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 147 mod 431

8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 59 mod 431

16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 33 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 213152 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:

152 = 128+16+8

1: 2131=213

2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 379 mod 409

4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 82 mod 409

8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 180 mod 409

16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 89 mod 409

32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 150 mod 409

64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 5 mod 409

128: 213128=21364+64=21364⋅21364 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 409

213152

= 213128+16+8

= 213128⋅21316⋅2138

≡ 25 ⋅ 89 ⋅ 180 mod 409
≡ 2225 ⋅ 180 mod 409 ≡ 180 ⋅ 180 mod 409
≡ 32400 mod 409 ≡ 89 mod 409

Es gilt also: 213152 ≡ 89 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30

=>53 = 1⋅30 + 23
=>30 = 1⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23)
= 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 53-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30)
= -13⋅53 +23⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +23⋅30

Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1

Somit 23⋅30 = 1 mod 53

23 ist also das Inverse von 30 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.