Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6006 - 179) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6006 - 179) mod 6 ≡ (6006 mod 6 - 179 mod 6) mod 6.
6006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6006
= 6000
179 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179
= 180
Somit gilt:
(6006 - 179) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 17) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 17) mod 7 ≡ (51 mod 7 ⋅ 17 mod 7) mod 7.
51 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 49 + 2 = 7 ⋅ 7 + 2 ist.
17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 17) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 223128 mod 313.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 223 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 275 mod 313
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 192 mod 313
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 243 mod 313
16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 205 mod 313
32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 83 mod 313
64: 22364=22332+32=22332⋅22332 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313
128: 223128=22364+64=22364⋅22364 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 228119 mod 347.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 281 mod 347
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 192 mod 347
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 82 mod 347
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 131 mod 347
32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 158 mod 347
64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 327 mod 347
228119
= 22864+32+16+4+2+1
= 22864⋅22832⋅22816⋅2284⋅2282⋅2281
≡ 327 ⋅ 158 ⋅ 131 ⋅ 192 ⋅ 281 ⋅ 228 mod 347
≡ 51666 ⋅ 131 ⋅ 192 ⋅ 281 ⋅ 228 mod 347 ≡ 310 ⋅ 131 ⋅ 192 ⋅ 281 ⋅ 228 mod 347
≡ 40610 ⋅ 192 ⋅ 281 ⋅ 228 mod 347 ≡ 11 ⋅ 192 ⋅ 281 ⋅ 228 mod 347
≡ 2112 ⋅ 281 ⋅ 228 mod 347 ≡ 30 ⋅ 281 ⋅ 228 mod 347
≡ 8430 ⋅ 228 mod 347 ≡ 102 ⋅ 228 mod 347
≡ 23256 mod 347 ≡ 7 mod 347
Es gilt also: 228119 ≡ 7 mod 347
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50
| =>73 | = 1⋅50 + 23 |
| =>50 | = 2⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 50-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23) = 6⋅50 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50) = -13⋅73 +19⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +19⋅50
Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1
Somit 19⋅50 = 1 mod 73
19 ist also das Inverse von 50 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
