Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2100 - 2798) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2100 - 2798) mod 7 ≡ (2100 mod 7 - 2798 mod 7) mod 7.
2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100
= 2100
2798 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2798
= 2800
Somit gilt:
(2100 - 2798) mod 7 ≡ (0 - 5) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 61) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 61) mod 10 ≡ (16 mod 10 ⋅ 61 mod 10) mod 10.
16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.
61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 61) mod 10 ≡ (6 ⋅ 1) mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48464 mod 617.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 484 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4841=484
2: 4842=4841+1=4841⋅4841 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 413 mod 617
4: 4844=4842+2=4842⋅4842 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 277 mod 617
8: 4848=4844+4=4844⋅4844 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 221 mod 617
16: 48416=4848+8=4848⋅4848 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 98 mod 617
32: 48432=48416+16=48416⋅48416 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 349 mod 617
64: 48464=48432+32=48432⋅48432 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 252 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 431128 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 4311=431
2: 4312=4311+1=4311⋅4311 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 485 mod 509
4: 4314=4312+2=4312⋅4312 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 67 mod 509
8: 4318=4314+4=4314⋅4314 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 417 mod 509
16: 43116=4318+8=4318⋅4318 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 320 mod 509
32: 43132=43116+16=43116⋅43116 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 91 mod 509
64: 43164=43132+32=43132⋅43132 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 137 mod 509
128: 431128=43164+64=43164⋅43164 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 445 mod 509
431128
= 431128
= 431128
≡ 445 mod 509
Es gilt also: 431128 ≡ 445 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83
| =>97 | = 1⋅83 + 14 |
| =>83 | = 5⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 83-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1) |
| 14= 97-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83
oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅97 = -7⋅83
-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83
-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1
(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1
90⋅83 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1
Somit 90⋅83 = 1 mod 97
90 ist also das Inverse von 83 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
