Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2709 + 456) mod 9 ≡ (2709 mod 9 + 456 mod 9) mod 9.

2709 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2709 = 2700+9 = 9 ⋅ 300 +9.

456 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 456 = 450+6 = 9 ⋅ 50 +6.

Somit gilt:

(2709 + 456) mod 9 ≡ (0 + 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 81) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 81 mod 8) mod 8.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 81) mod 8 ≡ (1 ⋅ 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 313¹=313

2: 313²=313¹⁺¹=313¹⋅313¹ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 243 mod 373

4: 313⁴=313²⁺²=313²⋅313² ≡ 243⋅243=59049 ≡ 115 mod 373

8: 313⁸=313⁴⁺⁴=313⁴⋅313⁴ ≡ 115⋅115=13225 ≡ 170 mod 373

16: 313¹⁶=313⁸⁺⁸=313⁸⋅313⁸ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 179 mod 373

32: 313³²=313¹⁶⁺¹⁶=313¹⁶⋅313¹⁶ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 336 mod 373

64: 313⁶⁴=313³²⁺³²=313³²⋅313³² ≡ 336⋅336=112896 ≡ 250 mod 373

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

633⁶³

= 633^{32+16+8+4+2+1}

= 633³²⋅633¹⁶⋅633⁸⋅633⁴⋅633²⋅633¹

≡ 68 ⋅ 60 ⋅ 79 ⋅ 163 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883
≡ 4080 ⋅ 79 ⋅ 163 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883 ≡ 548 ⋅ 79 ⋅ 163 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883
≡ 43292 ⋅ 163 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883 ≡ 25 ⋅ 163 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883
≡ 4075 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883 ≡ 543 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883
≡ 374670 ⋅ 633 mod 883 ≡ 278 ⋅ 633 mod 883
≡ 175974 mod 883 ≡ 257 mod 883

Es gilt also: 633⁶³ ≡ 257 mod 883

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53	= 1⋅37 + 16
=>37	= 2⋅16 + 5
=>16	= 3⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16) = 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37) = -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53