Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (706 - 7000) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(706 - 7000) mod 7 ≡ (706 mod 7 - 7000 mod 7) mod 7.

706 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 706 = 700+6 = 7 ⋅ 100 +6.

7000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7000 = 7000+0 = 7 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(706 - 7000) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 20) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 20) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 20 mod 5) mod 5.

43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.

20 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 4 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 20) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15064 mod 367.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 150 -> x
2. mod(x²,367) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1501=150

2: 1502=1501+1=1501⋅1501 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 113 mod 367

4: 1504=1502+2=1502⋅1502 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 291 mod 367

8: 1508=1504+4=1504⋅1504 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 271 mod 367

16: 15016=1508+8=1508⋅1508 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 41 mod 367

32: 15032=15016+16=15016⋅15016 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 213 mod 367

64: 15064=15032+32=15032⋅15032 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 228 mod 367

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 440121 mod 719.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:

121 = 64+32+16+8+1

1: 4401=440

2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 189 mod 719

4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 490 mod 719

8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 673 mod 719

16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 678 mod 719

32: 44032=44016+16=44016⋅44016 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 243 mod 719

64: 44064=44032+32=44032⋅44032 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 91 mod 719

440121

= 44064+32+16+8+1

= 44064⋅44032⋅44016⋅4408⋅4401

91 ⋅ 243 ⋅ 678 ⋅ 673 ⋅ 440 mod 719
22113 ⋅ 678 ⋅ 673 ⋅ 440 mod 719 ≡ 543 ⋅ 678 ⋅ 673 ⋅ 440 mod 719
368154 ⋅ 673 ⋅ 440 mod 719 ≡ 26 ⋅ 673 ⋅ 440 mod 719
17498 ⋅ 440 mod 719 ≡ 242 ⋅ 440 mod 719
106480 mod 719 ≡ 68 mod 719

Es gilt also: 440121 ≡ 68 mod 719

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25

=>71 = 2⋅25 + 21
=>25 = 1⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 25-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21)
= -5⋅25 +6⋅ 21 (=1)
21= 71-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25)
= 6⋅71 -17⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25

oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅71 = -17⋅25

-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25

-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1

(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1

54⋅25 = 19⋅71 + 1

Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1

Somit 54⋅25 = 1 mod 71

54 ist also das Inverse von 25 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.