Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2399 + 30000) mod 6 ≡ (2399 mod 6 + 30000 mod 6) mod 6.

2399 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399 = 2400-1 = 6 ⋅ 400 -1 = 6 ⋅ 400 - 6 + 5.

30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000 = 30000+0 = 6 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(2399 + 30000) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 35) mod 4 ≡ (26 mod 4 ⋅ 35 mod 4) mod 4.

26 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 6 ⋅ 4 + 2 ist.

35 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 8 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 35) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 721¹=721

2: 721²=721¹⁺¹=721¹⋅721¹ ≡ 721⋅721=519841 ≡ 500 mod 839

4: 721⁴=721²⁺²=721²⋅721² ≡ 500⋅500=250000 ≡ 817 mod 839

8: 721⁸=721⁴⁺⁴=721⁴⋅721⁴ ≡ 817⋅817=667489 ≡ 484 mod 839

16: 721¹⁶=721⁸⁺⁸=721⁸⋅721⁸ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 175 mod 839

32: 721³²=721¹⁶⁺¹⁶=721¹⁶⋅721¹⁶ ≡ 175⋅175=30625 ≡ 421 mod 839

64: 721⁶⁴=721³²⁺³²=721³²⋅721³² ≡ 421⋅421=177241 ≡ 212 mod 839

128: 721¹²⁸=721⁶⁴⁺⁶⁴=721⁶⁴⋅721⁶⁴ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 477 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:

124 = 64+32+16+8+4

204¹²⁴

= 204^64+32+16+8+4

= 204⁶⁴⋅204³²⋅204¹⁶⋅204⁸⋅204⁴

≡ 205 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 177 mod 227
≡ 16605 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 177 mod 227 ≡ 34 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 177 mod 227
≡ 306 ⋅ 3 ⋅ 177 mod 227 ≡ 79 ⋅ 3 ⋅ 177 mod 227
≡ 237 ⋅ 177 mod 227 ≡ 10 ⋅ 177 mod 227
≡ 1770 mod 227 ≡ 181 mod 227

Es gilt also: 204¹²⁴ ≡ 181 mod 227

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48

=>89	= 1⋅48 + 41
=>48	= 1⋅41 + 7
=>41	= 5⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 48-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41) = -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1)
41= 89-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48) = 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +13⋅48

Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1

Somit 13⋅48 = 1 mod 89

13 ist also das Inverse von 48 mod 89