Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 + 236) mod 8 ≡ (75 mod 8 + 236 mod 8) mod 8.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 80-5 = 8 ⋅ 10 -5 = 8 ⋅ 10 - 8 + 3.

236 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236 = 240-4 = 8 ⋅ 30 -4 = 8 ⋅ 30 - 8 + 4.

Somit gilt:

(75 + 236) mod 8 ≡ (3 + 4) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 37) mod 10 ≡ (47 mod 10 ⋅ 37 mod 10) mod 10.

47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.

37 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 30 + 7 = 3 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 37) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 357¹=357

2: 357²=357¹⁺¹=357¹⋅357¹ ≡ 357⋅357=127449 ≡ 135 mod 643

4: 357⁴=357²⁺²=357²⋅357² ≡ 135⋅135=18225 ≡ 221 mod 643

8: 357⁸=357⁴⁺⁴=357⁴⋅357⁴ ≡ 221⋅221=48841 ≡ 616 mod 643

16: 357¹⁶=357⁸⁺⁸=357⁸⋅357⁸ ≡ 616⋅616=379456 ≡ 86 mod 643

32: 357³²=357¹⁶⁺¹⁶=357¹⁶⋅357¹⁶ ≡ 86⋅86=7396 ≡ 323 mod 643

64: 357⁶⁴=357³²⁺³²=357³²⋅357³² ≡ 323⋅323=104329 ≡ 163 mod 643

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

459²²⁹

= 459^{128+64+32+4+1}

= 459¹²⁸⋅459⁶⁴⋅459³²⋅459⁴⋅459¹

≡ 2 ⋅ 292 ⋅ 115 ⋅ 14 ⋅ 459 mod 479
≡ 584 ⋅ 115 ⋅ 14 ⋅ 459 mod 479 ≡ 105 ⋅ 115 ⋅ 14 ⋅ 459 mod 479
≡ 12075 ⋅ 14 ⋅ 459 mod 479 ≡ 100 ⋅ 14 ⋅ 459 mod 479
≡ 1400 ⋅ 459 mod 479 ≡ 442 ⋅ 459 mod 479
≡ 202878 mod 479 ≡ 261 mod 479

Es gilt also: 459²²⁹ ≡ 261 mod 479

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67	= 1⋅59 + 8
=>59	= 7⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8) = 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59) = 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59) = -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67