Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (802 + 39998) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(802 + 39998) mod 8 ≡ (802 mod 8 + 39998 mod 8) mod 8.
802 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802
= 800
39998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39998
= 39000
Somit gilt:
(802 + 39998) mod 8 ≡ (2 + 6) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 88) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 88) mod 9 ≡ (73 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.
73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 88) mod 9 ≡ (1 ⋅ 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54264 mod 883.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 542 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5421=542
2: 5422=5421+1=5421⋅5421 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 608 mod 883
4: 5424=5422+2=5422⋅5422 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 570 mod 883
8: 5428=5424+4=5424⋅5424 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 839 mod 883
16: 54216=5428+8=5428⋅5428 ≡ 839⋅839=703921 ≡ 170 mod 883
32: 54232=54216+16=54216⋅54216 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 644 mod 883
64: 54264=54232+32=54232⋅54232 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 609 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 171249 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:
249 = 128+64+32+16+8+1
1: 1711=171
2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 58 mod 379
4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 332 mod 379
8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 314 mod 379
16: 17116=1718+8=1718⋅1718 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 56 mod 379
32: 17132=17116+16=17116⋅17116 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 104 mod 379
64: 17164=17132+32=17132⋅17132 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 204 mod 379
128: 171128=17164+64=17164⋅17164 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 305 mod 379
171249
= 171128+64+32+16+8+1
= 171128⋅17164⋅17132⋅17116⋅1718⋅1711
≡ 305 ⋅ 204 ⋅ 104 ⋅ 56 ⋅ 314 ⋅ 171 mod 379
≡ 62220 ⋅ 104 ⋅ 56 ⋅ 314 ⋅ 171 mod 379 ≡ 64 ⋅ 104 ⋅ 56 ⋅ 314 ⋅ 171 mod 379
≡ 6656 ⋅ 56 ⋅ 314 ⋅ 171 mod 379 ≡ 213 ⋅ 56 ⋅ 314 ⋅ 171 mod 379
≡ 11928 ⋅ 314 ⋅ 171 mod 379 ≡ 179 ⋅ 314 ⋅ 171 mod 379
≡ 56206 ⋅ 171 mod 379 ≡ 114 ⋅ 171 mod 379
≡ 19494 mod 379 ≡ 165 mod 379
Es gilt also: 171249 ≡ 165 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52
| =>97 | = 1⋅52 + 45 |
| =>52 | = 1⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45) = 13⋅52 -15⋅ 45 (=1) |
| 45= 97-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52) = -15⋅97 +28⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52
oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +15⋅97 = +28⋅52
Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1
Somit 28⋅52 = 1 mod 97
28 ist also das Inverse von 52 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
