Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 + 82) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 + 82) mod 4 ≡ (37 mod 4 + 82 mod 4) mod 4.
37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37
= 40
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
Somit gilt:
(37 + 82) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 24) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 24) mod 11 ≡ (64 mod 11 ⋅ 24 mod 11) mod 11.
64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.
24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 24) mod 11 ≡ (9 ⋅ 2) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 376128 mod 563.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 376 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3761=376
2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 63 mod 563
4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 28 mod 563
8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 28⋅28=784 ≡ 221 mod 563
16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 423 mod 563
32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 458 mod 563
64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 328 mod 563
128: 376128=37664+64=37664⋅37664 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 51 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 318170 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 476 mod 547
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 118 mod 547
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 249 mod 547
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 190 mod 547
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 545 mod 547
64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 4 mod 547
128: 318128=31864+64=31864⋅31864 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 547
318170
= 318128+32+8+2
= 318128⋅31832⋅3188⋅3182
≡ 16 ⋅ 545 ⋅ 249 ⋅ 476 mod 547
≡ 8720 ⋅ 249 ⋅ 476 mod 547 ≡ 515 ⋅ 249 ⋅ 476 mod 547
≡ 128235 ⋅ 476 mod 547 ≡ 237 ⋅ 476 mod 547
≡ 112812 mod 547 ≡ 130 mod 547
Es gilt also: 318170 ≡ 130 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 40
| =>61 | = 1⋅40 + 21 |
| =>40 | = 1⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 40-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 61-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅40 -19⋅(61 -1⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅61 +19⋅ 40) = -19⋅61 +29⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,40)=1 = -19⋅61 +29⋅40
oder wenn man -19⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅61 = +29⋅40
Es gilt also: 29⋅40 = 19⋅61 +1
Somit 29⋅40 = 1 mod 61
29 ist also das Inverse von 40 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
