Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4000 - 394) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4000 - 394) mod 8 ≡ (4000 mod 8 - 394 mod 8) mod 8.
4000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 394
= 400
Somit gilt:
(4000 - 394) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 92) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 92) mod 7 ≡ (75 mod 7 ⋅ 92 mod 7) mod 7.
75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.
92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 92) mod 7 ≡ (5 ⋅ 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4958 mod 521.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 495 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4951=495
2: 4952=4951+1=4951⋅4951 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 155 mod 521
4: 4954=4952+2=4952⋅4952 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 59 mod 521
8: 4958=4954+4=4954⋅4954 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 355 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 307225 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 3071=307
2: 3072=3071+1=3071⋅3071 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 226 mod 337
4: 3074=3072+2=3072⋅3072 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 189 mod 337
8: 3078=3074+4=3074⋅3074 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 336 mod 337
16: 30716=3078+8=3078⋅3078 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 1 mod 337
32: 30732=30716+16=30716⋅30716 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 337
64: 30764=30732+32=30732⋅30732 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 337
128: 307128=30764+64=30764⋅30764 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 337
307225
= 307128+64+32+1
= 307128⋅30764⋅30732⋅3071
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 307 mod 337
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 307 mod 337
≡ 1 ⋅ 307 mod 337
≡ 307 mod 337
Es gilt also: 307225 ≡ 307 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32
| =>59 | = 1⋅32 + 27 |
| =>32 | = 1⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27) = 11⋅32 -13⋅ 27 (=1) |
| 27= 59-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32)
= 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32) = -13⋅59 +24⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +24⋅32
Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1
Somit 24⋅32 = 1 mod 59
24 ist also das Inverse von 32 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
