Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26998 + 3592) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26998 + 3592) mod 9 ≡ (26998 mod 9 + 3592 mod 9) mod 9.
26998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26998
= 27000
3592 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3592
= 3600
Somit gilt:
(26998 + 3592) mod 9 ≡ (7 + 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 77) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 77) mod 8 ≡ (82 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 77) mod 8 ≡ (2 ⋅ 5) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40616 mod 419.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 406 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4061=406
2: 4062=4061+1=4061⋅4061 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 169 mod 419
4: 4064=4062+2=4062⋅4062 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 69 mod 419
8: 4068=4064+4=4064⋅4064 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 152 mod 419
16: 40616=4068+8=4068⋅4068 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 59 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7269 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 721=72
2: 722=721+1=721⋅721 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 120 mod 211
4: 724=722+2=722⋅722 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 52 mod 211
8: 728=724+4=724⋅724 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 172 mod 211
16: 7216=728+8=728⋅728 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 44 mod 211
32: 7232=7216+16=7216⋅7216 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 37 mod 211
64: 7264=7232+32=7232⋅7232 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 103 mod 211
7269
= 7264+4+1
= 7264⋅724⋅721
≡ 103 ⋅ 52 ⋅ 72 mod 211
≡ 5356 ⋅ 72 mod 211 ≡ 81 ⋅ 72 mod 211
≡ 5832 mod 211 ≡ 135 mod 211
Es gilt also: 7269 ≡ 135 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38
| =>53 | = 1⋅38 + 15 |
| =>38 | = 2⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 38-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +7⋅38
Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1
Somit 7⋅38 = 1 mod 53
7 ist also das Inverse von 38 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
