Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36007 + 45003) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36007 + 45003) mod 9 ≡ (36007 mod 9 + 45003 mod 9) mod 9.
36007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36007
= 36000
45003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45003
= 45000
Somit gilt:
(36007 + 45003) mod 9 ≡ (7 + 3) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 27) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 27) mod 4 ≡ (36 mod 4 ⋅ 27 mod 4) mod 4.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.
27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 27) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67316 mod 911.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 673 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6731=673
2: 6732=6731+1=6731⋅6731 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 162 mod 911
4: 6734=6732+2=6732⋅6732 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 736 mod 911
8: 6738=6734+4=6734⋅6734 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 562 mod 911
16: 67316=6738+8=6738⋅6738 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 638 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 569125 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:
125 = 64+32+16+8+4+1
1: 5691=569
2: 5692=5691+1=5691⋅5691 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 354 mod 983
4: 5694=5692+2=5692⋅5692 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 475 mod 983
8: 5698=5694+4=5694⋅5694 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 518 mod 983
16: 56916=5698+8=5698⋅5698 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 948 mod 983
32: 56932=56916+16=56916⋅56916 ≡ 948⋅948=898704 ≡ 242 mod 983
64: 56964=56932+32=56932⋅56932 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 567 mod 983
569125
= 56964+32+16+8+4+1
= 56964⋅56932⋅56916⋅5698⋅5694⋅5691
≡ 567 ⋅ 242 ⋅ 948 ⋅ 518 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983
≡ 137214 ⋅ 948 ⋅ 518 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983 ≡ 577 ⋅ 948 ⋅ 518 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983
≡ 546996 ⋅ 518 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983 ≡ 448 ⋅ 518 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983
≡ 232064 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983 ≡ 76 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983
≡ 36100 ⋅ 569 mod 983 ≡ 712 ⋅ 569 mod 983
≡ 405128 mod 983 ≡ 132 mod 983
Es gilt also: 569125 ≡ 132 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47
| =>59 | = 1⋅47 + 12 |
| =>47 | = 3⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 47-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12) = -1⋅47 +4⋅ 12 (=1) |
| 12= 59-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47) = 4⋅59 -5⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47
oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅59 = -5⋅47
-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47
-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1
(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1
54⋅47 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1
Somit 54⋅47 = 1 mod 59
54 ist also das Inverse von 47 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
