Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1000 + 995) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1000 + 995) mod 5 ≡ (1000 mod 5 + 995 mod 5) mod 5.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 995 = 900+95 = 5 ⋅ 180 +95.

Somit gilt:

(1000 + 995) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 74) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 74) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 74 mod 3) mod 3.

24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.

74 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 24 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 74) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16416 mod 233.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 164 -> x
2. mod(x²,233) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1641=164

2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 101 mod 233

4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 182 mod 233

8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 38 mod 233

16: 16416=1648+8=1648⋅1648 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 352248 mod 691.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

1: 3521=352

2: 3522=3521+1=3521⋅3521 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 215 mod 691

4: 3524=3522+2=3522⋅3522 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 619 mod 691

8: 3528=3524+4=3524⋅3524 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 347 mod 691

16: 35216=3528+8=3528⋅3528 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 175 mod 691

32: 35232=35216+16=35216⋅35216 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 221 mod 691

64: 35264=35232+32=35232⋅35232 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 471 mod 691

128: 352128=35264+64=35264⋅35264 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 30 mod 691

352248

= 352128+64+32+16+8

= 352128⋅35264⋅35232⋅35216⋅3528

30 ⋅ 471 ⋅ 221 ⋅ 175 ⋅ 347 mod 691
14130 ⋅ 221 ⋅ 175 ⋅ 347 mod 691 ≡ 310 ⋅ 221 ⋅ 175 ⋅ 347 mod 691
68510 ⋅ 175 ⋅ 347 mod 691 ≡ 101 ⋅ 175 ⋅ 347 mod 691
17675 ⋅ 347 mod 691 ≡ 400 ⋅ 347 mod 691
138800 mod 691 ≡ 600 mod 691

Es gilt also: 352248 ≡ 600 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101 = 1⋅52 + 49
=>52 = 1⋅49 + 3
=>49 = 16⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49)
= -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52)
= 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.