Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 + 160) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 + 160) mod 4 ≡ (41 mod 4 + 160 mod 4) mod 4.
41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41
= 40
160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
Somit gilt:
(41 + 160) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 31) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 31) mod 6 ≡ (77 mod 6 ⋅ 31 mod 6) mod 6.
77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.
31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 31) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2988 mod 661.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 298 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2981=298
2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 230 mod 661
4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 20 mod 661
8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29663 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:
63 = 32+16+8+4+2+1
1: 2961=296
2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 271 mod 647
4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 330 mod 647
8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 204 mod 647
16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 208 mod 647
32: 29632=29616+16=29616⋅29616 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 562 mod 647
29663
= 29632+16+8+4+2+1
= 29632⋅29616⋅2968⋅2964⋅2962⋅2961
≡ 562 ⋅ 208 ⋅ 204 ⋅ 330 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647
≡ 116896 ⋅ 204 ⋅ 330 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647 ≡ 436 ⋅ 204 ⋅ 330 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647
≡ 88944 ⋅ 330 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647 ≡ 305 ⋅ 330 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647
≡ 100650 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647 ≡ 365 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647
≡ 98915 ⋅ 296 mod 647 ≡ 571 ⋅ 296 mod 647
≡ 169016 mod 647 ≡ 149 mod 647
Es gilt also: 29663 ≡ 149 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 82
| =>89 | = 1⋅82 + 7 |
| =>82 | = 11⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 82-11⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(82 -11⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅82 -33⋅ 7) = 3⋅82 -35⋅ 7 (=1) |
| 7= 89-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅82 -35⋅(89 -1⋅ 82)
= 3⋅82 -35⋅89 +35⋅ 82) = -35⋅89 +38⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,82)=1 = -35⋅89 +38⋅82
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +38⋅82
Es gilt also: 38⋅82 = 35⋅89 +1
Somit 38⋅82 = 1 mod 89
38 ist also das Inverse von 82 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
