Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23998 + 3005) mod 6 ≡ (23998 mod 6 + 3005 mod 6) mod 6.

23998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998 = 24000-2 = 6 ⋅ 4000 -2 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 4.

3005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3005 = 3000+5 = 6 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(23998 + 3005) mod 6 ≡ (4 + 5) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 35) mod 3 ≡ (86 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.

86 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 28 ⋅ 3 + 2 ist.

35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 35) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 395¹=395

2: 395²=395¹⁺¹=395¹⋅395¹ ≡ 395⋅395=156025 ≡ 403 mod 701

4: 395⁴=395²⁺²=395²⋅395² ≡ 403⋅403=162409 ≡ 478 mod 701

8: 395⁸=395⁴⁺⁴=395⁴⋅395⁴ ≡ 478⋅478=228484 ≡ 659 mod 701

16: 395¹⁶=395⁸⁺⁸=395⁸⋅395⁸ ≡ 659⋅659=434281 ≡ 362 mod 701

32: 395³²=395¹⁶⁺¹⁶=395¹⁶⋅395¹⁶ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 658 mod 701

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

129²⁵⁰

= 129^{128+64+32+16+8+2}

= 129¹²⁸⋅129⁶⁴⋅129³²⋅129¹⁶⋅129⁸⋅129²

≡ 331 ⋅ 195 ⋅ 51 ⋅ 224 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401
≡ 64545 ⋅ 51 ⋅ 224 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401 ≡ 385 ⋅ 51 ⋅ 224 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401
≡ 19635 ⋅ 224 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401 ≡ 387 ⋅ 224 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401
≡ 86688 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401 ≡ 72 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401
≡ 27072 ⋅ 200 mod 401 ≡ 205 ⋅ 200 mod 401
≡ 41000 mod 401 ≡ 98 mod 401

Es gilt also: 129²⁵⁰ ≡ 98 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61	= 1⋅34 + 27
=>34	= 1⋅27 + 7
=>27	= 3⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27) = -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34) = 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61