Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10000 + 2001) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10000 + 2001) mod 5 ≡ (10000 mod 5 + 2001 mod 5) mod 5.
10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000
= 10000
2001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001
= 2000
Somit gilt:
(10000 + 2001) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 63) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 63) mod 9 ≡ (83 mod 9 ⋅ 63 mod 9) mod 9.
83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.
63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 63) mod 9 ≡ (2 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2388 mod 431.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 238 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2381=238
2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 183 mod 431
4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 302 mod 431
8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 263 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 863121 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:
121 = 64+32+16+8+1
1: 8631=863
2: 8632=8631+1=8631⋅8631 ≡ 863⋅863=744769 ≡ 295 mod 977
4: 8634=8632+2=8632⋅8632 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 72 mod 977
8: 8638=8634+4=8634⋅8634 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 299 mod 977
16: 86316=8638+8=8638⋅8638 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 494 mod 977
32: 86332=86316+16=86316⋅86316 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 763 mod 977
64: 86364=86332+32=86332⋅86332 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 854 mod 977
863121
= 86364+32+16+8+1
= 86364⋅86332⋅86316⋅8638⋅8631
≡ 854 ⋅ 763 ⋅ 494 ⋅ 299 ⋅ 863 mod 977
≡ 651602 ⋅ 494 ⋅ 299 ⋅ 863 mod 977 ≡ 920 ⋅ 494 ⋅ 299 ⋅ 863 mod 977
≡ 454480 ⋅ 299 ⋅ 863 mod 977 ≡ 175 ⋅ 299 ⋅ 863 mod 977
≡ 52325 ⋅ 863 mod 977 ≡ 544 ⋅ 863 mod 977
≡ 469472 mod 977 ≡ 512 mod 977
Es gilt also: 863121 ≡ 512 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 39
| =>83 | = 2⋅39 + 5 |
| =>39 | = 7⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 39-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5) = -1⋅39 +8⋅ 5 (=1) |
| 5= 83-2⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +8⋅(83 -2⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅83 -16⋅ 39) = 8⋅83 -17⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,39)=1 = 8⋅83 -17⋅39
oder wenn man 8⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅83 = -17⋅39
-17⋅39 = -8⋅83 + 1 |+83⋅39
-17⋅39 + 83⋅39 = -8⋅83 + 83⋅39 + 1
(-17 + 83) ⋅ 39 = (-8 + 39) ⋅ 83 + 1
66⋅39 = 31⋅83 + 1
Es gilt also: 66⋅39 = 31⋅83 +1
Somit 66⋅39 = 1 mod 83
66 ist also das Inverse von 39 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
