Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3201 + 154) mod 8 ≡ (3201 mod 8 + 154 mod 8) mod 8.

3201 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3201 = 3200+1 = 8 ⋅ 400 +1.

154 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154 = 160-6 = 8 ⋅ 20 -6 = 8 ⋅ 20 - 8 + 2.

Somit gilt:

(3201 + 154) mod 8 ≡ (1 + 2) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 24) mod 4 ≡ (23 mod 4 ⋅ 24 mod 4) mod 4.

23 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 5 ⋅ 4 + 3 ist.

24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 24) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 99¹=99

2: 99²=99¹⁺¹=99¹⋅99¹ ≡ 99⋅99=9801 ≡ 2 mod 239

4: 99⁴=99²⁺²=99²⋅99² ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 239

8: 99⁸=99⁴⁺⁴=99⁴⋅99⁴ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 239

16: 99¹⁶=99⁸⁺⁸=99⁸⋅99⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 17 mod 239

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

332¹¹¹

= 332^{64+32+8+4+2+1}

= 332⁶⁴⋅332³²⋅332⁸⋅332⁴⋅332²⋅332¹

≡ 369 ⋅ 550 ⋅ 369 ⋅ 550 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701
≡ 202950 ⋅ 369 ⋅ 550 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701 ≡ 361 ⋅ 369 ⋅ 550 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701
≡ 133209 ⋅ 550 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701 ≡ 19 ⋅ 550 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701
≡ 10450 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701 ≡ 636 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701
≡ 106212 ⋅ 332 mod 701 ≡ 361 ⋅ 332 mod 701
≡ 119852 mod 701 ≡ 682 mod 701

Es gilt also: 332¹¹¹ ≡ 682 mod 701

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89	= 1⋅46 + 43
=>46	= 1⋅43 + 3
=>43	= 14⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43) = 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46) = -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89