Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (450 - 36005) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(450 - 36005) mod 9 ≡ (450 mod 9 - 36005 mod 9) mod 9.
450 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 450
= 450
36005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36005
= 36000
Somit gilt:
(450 - 36005) mod 9 ≡ (0 - 5) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 78) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 78) mod 4 ≡ (36 mod 4 ⋅ 78 mod 4) mod 4.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.
78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 78) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50164 mod 569.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 501 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5011=501
2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 72 mod 569
4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 63 mod 569
8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 555 mod 569
16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 196 mod 569
32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 293 mod 569
64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 499 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 452112 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 4521=452
2: 4522=4521+1=4521⋅4521 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 853 mod 929
4: 4524=4522+2=4522⋅4522 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 202 mod 929
8: 4528=4524+4=4524⋅4524 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 857 mod 929
16: 45216=4528+8=4528⋅4528 ≡ 857⋅857=734449 ≡ 539 mod 929
32: 45232=45216+16=45216⋅45216 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929
64: 45264=45232+32=45232⋅45232 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 506 mod 929
452112
= 45264+32+16
= 45264⋅45232⋅45216
≡ 506 ⋅ 673 ⋅ 539 mod 929
≡ 340538 ⋅ 539 mod 929 ≡ 524 ⋅ 539 mod 929
≡ 282436 mod 929 ≡ 20 mod 929
Es gilt also: 452112 ≡ 20 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33
| =>79 | = 2⋅33 + 13 |
| =>33 | = 2⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 33-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1) |
| 13= 79-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +12⋅33
Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1
Somit 12⋅33 = 1 mod 79
12 ist also das Inverse von 33 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
