Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10001 + 152) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10001 + 152) mod 5 ≡ (10001 mod 5 + 152 mod 5) mod 5.
10001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10001
= 10000
152 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 150
Somit gilt:
(10001 + 152) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 57) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 57) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 57 mod 3) mod 3.
43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 57) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12364 mod 367.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 123 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1231=123
2: 1232=1231+1=1231⋅1231 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 82 mod 367
4: 1234=1232+2=1232⋅1232 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 118 mod 367
8: 1238=1234+4=1234⋅1234 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 345 mod 367
16: 12316=1238+8=1238⋅1238 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 117 mod 367
32: 12332=12316+16=12316⋅12316 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 110 mod 367
64: 12364=12332+32=12332⋅12332 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 356 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 797191 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:
191 = 128+32+16+8+4+2+1
1: 7971=797
2: 7972=7971+1=7971⋅7971 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 676 mod 823
4: 7974=7972+2=7972⋅7972 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 211 mod 823
8: 7978=7974+4=7974⋅7974 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 79 mod 823
16: 79716=7978+8=7978⋅7978 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 480 mod 823
32: 79732=79716+16=79716⋅79716 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 783 mod 823
64: 79764=79732+32=79732⋅79732 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 777 mod 823
128: 797128=79764+64=79764⋅79764 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 470 mod 823
797191
= 797128+32+16+8+4+2+1
= 797128⋅79732⋅79716⋅7978⋅7974⋅7972⋅7971
≡ 470 ⋅ 783 ⋅ 480 ⋅ 79 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823
≡ 368010 ⋅ 480 ⋅ 79 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823 ≡ 129 ⋅ 480 ⋅ 79 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823
≡ 61920 ⋅ 79 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823 ≡ 195 ⋅ 79 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823
≡ 15405 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823 ≡ 591 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823
≡ 124701 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823 ≡ 428 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823
≡ 289328 ⋅ 797 mod 823 ≡ 455 ⋅ 797 mod 823
≡ 362635 mod 823 ≡ 515 mod 823
Es gilt also: 797191 ≡ 515 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50
| =>67 | = 1⋅50 + 17 |
| =>50 | = 2⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 50-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -4⋅50
-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50
-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1
(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1
63⋅50 = 47⋅67 + 1
Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1
Somit 63⋅50 = 1 mod 67
63 ist also das Inverse von 50 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
