Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20000 + 1000) mod 5 ≡ (20000 mod 5 + 1000 mod 5) mod 5.

20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 5 ⋅ 4000 +0.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(20000 + 1000) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 86) mod 7 ≡ (88 mod 7 ⋅ 86 mod 7) mod 7.

88 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 12 ⋅ 7 + 4 ist.

86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 86) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 477¹=477

2: 477²=477¹⁺¹=477¹⋅477¹ ≡ 477⋅477=227529 ≡ 384 mod 797

4: 477⁴=477²⁺²=477²⋅477² ≡ 384⋅384=147456 ≡ 11 mod 797

8: 477⁸=477⁴⁺⁴=477⁴⋅477⁴ ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 797

16: 477¹⁶=477⁸⁺⁸=477⁸⋅477⁸ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 295 mod 797

32: 477³²=477¹⁶⁺¹⁶=477¹⁶⋅477¹⁶ ≡ 295⋅295=87025 ≡ 152 mod 797

64: 477⁶⁴=477³²⁺³²=477³²⋅477³² ≡ 152⋅152=23104 ≡ 788 mod 797

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

847²²⁹

= 847^{128+64+32+4+1}

= 847¹²⁸⋅847⁶⁴⋅847³²⋅847⁴⋅847¹

≡ 312 ⋅ 666 ⋅ 529 ⋅ 120 ⋅ 847 mod 859
≡ 207792 ⋅ 529 ⋅ 120 ⋅ 847 mod 859 ≡ 773 ⋅ 529 ⋅ 120 ⋅ 847 mod 859
≡ 408917 ⋅ 120 ⋅ 847 mod 859 ≡ 33 ⋅ 120 ⋅ 847 mod 859
≡ 3960 ⋅ 847 mod 859 ≡ 524 ⋅ 847 mod 859
≡ 443828 mod 859 ≡ 584 mod 859

Es gilt also: 847²²⁹ ≡ 584 mod 859

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21

=>53	= 2⋅21 + 11
=>21	= 1⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 53-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21) = -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -5⋅21

-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21

-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1

(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1

48⋅21 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1

Somit 48⋅21 = 1 mod 53

48 ist also das Inverse von 21 mod 53