Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32003 - 2393) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32003 - 2393) mod 8 ≡ (32003 mod 8 - 2393 mod 8) mod 8.
32003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32003
= 32000
2393 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2393
= 2400
Somit gilt:
(32003 - 2393) mod 8 ≡ (3 - 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 28) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 28) mod 10 ≡ (68 mod 10 ⋅ 28 mod 10) mod 10.
68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.
28 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 20 + 8 = 2 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 28) mod 10 ≡ (8 ⋅ 8) mod 10 ≡ 64 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64116 mod 883.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 641 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6411=641
2: 6412=6411+1=6411⋅6411 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 286 mod 883
4: 6414=6412+2=6412⋅6412 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 560 mod 883
8: 6418=6414+4=6414⋅6414 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 135 mod 883
16: 64116=6418+8=6418⋅6418 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 565 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 87229 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:
229 = 128+64+32+4+1
1: 871=87
2: 872=871+1=871⋅871 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 160 mod 239
4: 874=872+2=872⋅872 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 27 mod 239
8: 878=874+4=874⋅874 ≡ 27⋅27=729 ≡ 12 mod 239
16: 8716=878+8=878⋅878 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 239
32: 8732=8716+16=8716⋅8716 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 182 mod 239
64: 8764=8732+32=8732⋅8732 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 142 mod 239
128: 87128=8764+64=8764⋅8764 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 88 mod 239
87229
= 87128+64+32+4+1
= 87128⋅8764⋅8732⋅874⋅871
≡ 88 ⋅ 142 ⋅ 182 ⋅ 27 ⋅ 87 mod 239
≡ 12496 ⋅ 182 ⋅ 27 ⋅ 87 mod 239 ≡ 68 ⋅ 182 ⋅ 27 ⋅ 87 mod 239
≡ 12376 ⋅ 27 ⋅ 87 mod 239 ≡ 187 ⋅ 27 ⋅ 87 mod 239
≡ 5049 ⋅ 87 mod 239 ≡ 30 ⋅ 87 mod 239
≡ 2610 mod 239 ≡ 220 mod 239
Es gilt also: 87229 ≡ 220 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
