Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5997 + 300) mod 3 ≡ (5997 mod 3 + 300 mod 3) mod 3.

5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997 = 6000-3 = 3 ⋅ 2000 -3 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 0.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(5997 + 300) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 71) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 71 mod 10) mod 10.

31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.

71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 71) mod 10 ≡ (1 ⋅ 1) mod 10 ≡ 1 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 738¹=738

2: 738²=738¹⁺¹=738¹⋅738¹ ≡ 738⋅738=544644 ≡ 884 mod 971

4: 738⁴=738²⁺²=738²⋅738² ≡ 884⋅884=781456 ≡ 772 mod 971

8: 738⁸=738⁴⁺⁴=738⁴⋅738⁴ ≡ 772⋅772=595984 ≡ 761 mod 971

16: 738¹⁶=738⁸⁺⁸=738⁸⋅738⁸ ≡ 761⋅761=579121 ≡ 405 mod 971

32: 738³²=738¹⁶⁺¹⁶=738¹⁶⋅738¹⁶ ≡ 405⋅405=164025 ≡ 897 mod 971

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

301¹⁸³

= 301^{128+32+16+4+2+1}

= 301¹²⁸⋅301³²⋅301¹⁶⋅301⁴⋅301²⋅301¹

≡ 148 ⋅ 43 ⋅ 670 ⋅ 591 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941
≡ 6364 ⋅ 670 ⋅ 591 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941 ≡ 718 ⋅ 670 ⋅ 591 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941
≡ 481060 ⋅ 591 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941 ≡ 209 ⋅ 591 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941
≡ 123519 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941 ≡ 248 ⋅ 265 ⋅ 301 mod 941
≡ 65720 ⋅ 301 mod 941 ≡ 791 ⋅ 301 mod 941
≡ 238091 mod 941 ≡ 18 mod 941

Es gilt also: 301¹⁸³ ≡ 18 mod 941

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25

=>61	= 2⋅25 + 11
=>25	= 2⋅11 + 3
=>11	= 3⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 11-3⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1)
3= 25-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11) = -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11) = 4⋅25 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25) = 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25) = -9⋅61 +22⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +22⋅25

Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1

Somit 22⋅25 = 1 mod 61

22 ist also das Inverse von 25 mod 61