Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25000 - 14996) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25000 - 14996) mod 5 ≡ (25000 mod 5 - 14996 mod 5) mod 5.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

14996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14996 = 14000+996 = 5 ⋅ 2800 +996.

Somit gilt:

(25000 - 14996) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 77) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 77) mod 9 ≡ (31 mod 9 ⋅ 77 mod 9) mod 9.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 77) mod 9 ≡ (4 ⋅ 5) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 419128 mod 431.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 419 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4191=419

2: 4192=4191+1=4191⋅4191 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 144 mod 431

4: 4194=4192+2=4192⋅4192 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 48 mod 431

8: 4198=4194+4=4194⋅4194 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 149 mod 431

16: 41916=4198+8=4198⋅4198 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 220 mod 431

32: 41932=41916+16=41916⋅41916 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 128 mod 431

64: 41964=41932+32=41932⋅41932 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 6 mod 431

128: 419128=41964+64=41964⋅41964 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 464178 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

1: 4641=464

2: 4642=4641+1=4641⋅4641 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 133 mod 613

4: 4644=4642+2=4642⋅4642 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 525 mod 613

8: 4648=4644+4=4644⋅4644 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 388 mod 613

16: 46416=4648+8=4648⋅4648 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 359 mod 613

32: 46432=46416+16=46416⋅46416 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 151 mod 613

64: 46464=46432+32=46432⋅46432 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 120 mod 613

128: 464128=46464+64=46464⋅46464 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 301 mod 613

464178

= 464128+32+16+2

= 464128⋅46432⋅46416⋅4642

301 ⋅ 151 ⋅ 359 ⋅ 133 mod 613
45451 ⋅ 359 ⋅ 133 mod 613 ≡ 89 ⋅ 359 ⋅ 133 mod 613
31951 ⋅ 133 mod 613 ≡ 75 ⋅ 133 mod 613
9975 mod 613 ≡ 167 mod 613

Es gilt also: 464178 ≡ 167 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 62.

Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 62

=>67 = 1⋅62 + 5
=>62 = 12⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,62)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 62-12⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(62 -12⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅62 +24⋅ 5)
= -2⋅62 +25⋅ 5 (=1)
5= 67-1⋅62 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅62 +25⋅(67 -1⋅ 62)
= -2⋅62 +25⋅67 -25⋅ 62)
= 25⋅67 -27⋅ 62 (=1)

Es gilt also: ggt(67,62)=1 = 25⋅67 -27⋅62

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -27⋅62

-27⋅62 = -25⋅67 + 1 |+67⋅62

-27⋅62 + 67⋅62 = -25⋅67 + 67⋅62 + 1

(-27 + 67) ⋅ 62 = (-25 + 62) ⋅ 67 + 1

40⋅62 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 40⋅62 = 37⋅67 +1

Somit 40⋅62 = 1 mod 67

40 ist also das Inverse von 62 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.