Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (117 + 32) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(117 + 32) mod 3 ≡ (117 mod 3 + 32 mod 3) mod 3.
117 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32
= 30
Somit gilt:
(117 + 32) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 96) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 96) mod 3 ≡ (68 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.
68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.
96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 96) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 77564 mod 907.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 775 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7751=775
2: 7752=7751+1=7751⋅7751 ≡ 775⋅775=600625 ≡ 191 mod 907
4: 7754=7752+2=7752⋅7752 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 201 mod 907
8: 7758=7754+4=7754⋅7754 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 493 mod 907
16: 77516=7758+8=7758⋅7758 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 880 mod 907
32: 77532=77516+16=77516⋅77516 ≡ 880⋅880=774400 ≡ 729 mod 907
64: 77564=77532+32=77532⋅77532 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 846 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 822140 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 8221=822
2: 8222=8221+1=8221⋅8221 ≡ 822⋅822=675684 ≡ 1 mod 823
4: 8224=8222+2=8222⋅8222 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 823
8: 8228=8224+4=8224⋅8224 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 823
16: 82216=8228+8=8228⋅8228 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 823
32: 82232=82216+16=82216⋅82216 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 823
64: 82264=82232+32=82232⋅82232 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 823
128: 822128=82264+64=82264⋅82264 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 823
822140
= 822128+8+4
= 822128⋅8228⋅8224
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 mod 823
≡ 1 ⋅ 1 mod 823
≡ 1 mod 823
Es gilt also: 822140 ≡ 1 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38
| =>53 | = 1⋅38 + 15 |
| =>38 | = 2⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 38-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +7⋅38
Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1
Somit 7⋅38 = 1 mod 53
7 ist also das Inverse von 38 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
