Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2094 + 286) mod 7 ≡ (2094 mod 7 + 286 mod 7) mod 7.

2094 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2094 = 2100-6 = 7 ⋅ 300 -6 = 7 ⋅ 300 - 7 + 1.

286 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 286 = 280+6 = 7 ⋅ 40 +6.

Somit gilt:

(2094 + 286) mod 7 ≡ (1 + 6) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 60) mod 10 ≡ (76 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.

76 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 7 ⋅ 10 + 6 ist.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 60) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 184¹=184

2: 184²=184¹⁺¹=184¹⋅184¹ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 179 mod 283

4: 184⁴=184²⁺²=184²⋅184² ≡ 179⋅179=32041 ≡ 62 mod 283

8: 184⁸=184⁴⁺⁴=184⁴⋅184⁴ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 165 mod 283

16: 184¹⁶=184⁸⁺⁸=184⁸⋅184⁸ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 57 mod 283

32: 184³²=184¹⁶⁺¹⁶=184¹⁶⋅184¹⁶ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 136 mod 283

64: 184⁶⁴=184³²⁺³²=184³²⋅184³² ≡ 136⋅136=18496 ≡ 101 mod 283

128: 184¹²⁸=184⁶⁴⁺⁶⁴=184⁶⁴⋅184⁶⁴ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 13 mod 283

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:

156 = 128+16+8+4

797¹⁵⁶

= 797^128+16+8+4

= 797¹²⁸⋅797¹⁶⋅797⁸⋅797⁴

≡ 391 ⋅ 559 ⋅ 214 ⋅ 384 mod 887
≡ 218569 ⋅ 214 ⋅ 384 mod 887 ≡ 367 ⋅ 214 ⋅ 384 mod 887
≡ 78538 ⋅ 384 mod 887 ≡ 482 ⋅ 384 mod 887
≡ 185088 mod 887 ≡ 592 mod 887

Es gilt also: 797¹⁵⁶ ≡ 592 mod 887

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79	= 1⋅45 + 34
=>45	= 1⋅34 + 11
=>34	= 3⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34) = 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45) = -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79