Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (181 + 8991) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(181 + 8991) mod 9 ≡ (181 mod 9 + 8991 mod 9) mod 9.
181 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181
= 180
8991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8991
= 9000
Somit gilt:
(181 + 8991) mod 9 ≡ (1 + 0) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 68) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 68) mod 11 ≡ (33 mod 11 ⋅ 68 mod 11) mod 11.
33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.
68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 68) mod 11 ≡ (0 ⋅ 2) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57432 mod 947.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 574 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5741=574
2: 5742=5741+1=5741⋅5741 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 867 mod 947
4: 5744=5742+2=5742⋅5742 ≡ 867⋅867=751689 ≡ 718 mod 947
8: 5748=5744+4=5744⋅5744 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 356 mod 947
16: 57416=5748+8=5748⋅5748 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 785 mod 947
32: 57432=57416+16=57416⋅57416 ≡ 785⋅785=616225 ≡ 675 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 277192 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 2771=277
2: 2772=2771+1=2771⋅2771 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 419 mod 587
4: 2774=2772+2=2772⋅2772 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 48 mod 587
8: 2778=2774+4=2774⋅2774 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 543 mod 587
16: 27716=2778+8=2778⋅2778 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 175 mod 587
32: 27732=27716+16=27716⋅27716 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 101 mod 587
64: 27764=27732+32=27732⋅27732 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 222 mod 587
128: 277128=27764+64=27764⋅27764 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 563 mod 587
277192
= 277128+64
= 277128⋅27764
≡ 563 ⋅ 222 mod 587
≡ 124986 mod 587 ≡ 542 mod 587
Es gilt also: 277192 ≡ 542 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38
| =>53 | = 1⋅38 + 15 |
| =>38 | = 2⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 38-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +7⋅38
Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1
Somit 7⋅38 = 1 mod 53
7 ist also das Inverse von 38 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
