Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20005 - 247) mod 5 ≡ (20005 mod 5 - 247 mod 5) mod 5.

20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005 = 20000+5 = 5 ⋅ 4000 +5.

247 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247 = 240+7 = 5 ⋅ 48 +7.

Somit gilt:

(20005 - 247) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 93) mod 10 ≡ (20 mod 10 ⋅ 93 mod 10) mod 10.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 93) mod 10 ≡ (0 ⋅ 3) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 478¹=478

2: 478²=478¹⁺¹=478¹⋅478¹ ≡ 478⋅478=228484 ≡ 179 mod 593

4: 478⁴=478²⁺²=478²⋅478² ≡ 179⋅179=32041 ≡ 19 mod 593

8: 478⁸=478⁴⁺⁴=478⁴⋅478⁴ ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 593

16: 478¹⁶=478⁸⁺⁸=478⁸⋅478⁸ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 454 mod 593

32: 478³²=478¹⁶⁺¹⁶=478¹⁶⋅478¹⁶ ≡ 454⋅454=206116 ≡ 345 mod 593

64: 478⁶⁴=478³²⁺³²=478³²⋅478³² ≡ 345⋅345=119025 ≡ 425 mod 593

128: 478¹²⁸=478⁶⁴⁺⁶⁴=478⁶⁴⋅478⁶⁴ ≡ 425⋅425=180625 ≡ 353 mod 593

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

686²⁴⁴

= 686^{128+64+32+16+4}

= 686¹²⁸⋅686⁶⁴⋅686³²⋅686¹⁶⋅686⁴

≡ 517 ⋅ 484 ⋅ 765 ⋅ 636 ⋅ 113 mod 787
≡ 250228 ⋅ 765 ⋅ 636 ⋅ 113 mod 787 ≡ 749 ⋅ 765 ⋅ 636 ⋅ 113 mod 787
≡ 572985 ⋅ 636 ⋅ 113 mod 787 ≡ 49 ⋅ 636 ⋅ 113 mod 787
≡ 31164 ⋅ 113 mod 787 ≡ 471 ⋅ 113 mod 787
≡ 53223 mod 787 ≡ 494 mod 787

Es gilt also: 686²⁴⁴ ≡ 494 mod 787

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44

=>83	= 1⋅44 + 39
=>44	= 1⋅39 + 5
=>39	= 7⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 39-7⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5) = -1⋅39 +8⋅ 5 (=1)
5= 44-1⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39) = -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39) = 8⋅44 -9⋅ 39 (=1)
39= 83-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44) = 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44) = -9⋅83 +17⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +17⋅44

Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1

Somit 17⋅44 = 1 mod 83

17 ist also das Inverse von 44 mod 83