Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (279 + 2708) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(279 + 2708) mod 9 ≡ (279 mod 9 + 2708 mod 9) mod 9.

279 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 279 = 270+9 = 9 ⋅ 30 +9.

2708 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2708 = 2700+8 = 9 ⋅ 300 +8.

Somit gilt:

(279 + 2708) mod 9 ≡ (0 + 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 84) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 84) mod 3 ≡ (74 mod 3 ⋅ 84 mod 3) mod 3.

74 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 24 ⋅ 3 + 2 ist.

84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 84) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25616 mod 617.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 256 -> x
2. mod(x²,617) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2561=256

2: 2562=2561+1=2561⋅2561 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 134 mod 617

4: 2564=2562+2=2562⋅2562 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 63 mod 617

8: 2568=2564+4=2564⋅2564 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 267 mod 617

16: 25616=2568+8=2568⋅2568 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 334 mod 617

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 861124 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:

124 = 64+32+16+8+4

1: 8611=861

2: 8612=8611+1=8611⋅8611 ≡ 861⋅861=741321 ≡ 908 mod 929

4: 8614=8612+2=8612⋅8612 ≡ 908⋅908=824464 ≡ 441 mod 929

8: 8618=8614+4=8614⋅8614 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 320 mod 929

16: 86116=8618+8=8618⋅8618 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 210 mod 929

32: 86132=86116+16=86116⋅86116 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 437 mod 929

64: 86164=86132+32=86132⋅86132 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 524 mod 929

861124

= 86164+32+16+8+4

= 86164⋅86132⋅86116⋅8618⋅8614

524 ⋅ 437 ⋅ 210 ⋅ 320 ⋅ 441 mod 929
228988 ⋅ 210 ⋅ 320 ⋅ 441 mod 929 ≡ 454 ⋅ 210 ⋅ 320 ⋅ 441 mod 929
95340 ⋅ 320 ⋅ 441 mod 929 ≡ 582 ⋅ 320 ⋅ 441 mod 929
186240 ⋅ 441 mod 929 ≡ 440 ⋅ 441 mod 929
194040 mod 929 ≡ 808 mod 929

Es gilt also: 861124 ≡ 808 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 26.

Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 26

=>73 = 2⋅26 + 21
=>26 = 1⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21)
= -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 73-2⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅26 +5⋅(73 -2⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅73 -10⋅ 26)
= 5⋅73 -14⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(73,26)=1 = 5⋅73 -14⋅26

oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅73 = -14⋅26

-14⋅26 = -5⋅73 + 1 |+73⋅26

-14⋅26 + 73⋅26 = -5⋅73 + 73⋅26 + 1

(-14 + 73) ⋅ 26 = (-5 + 26) ⋅ 73 + 1

59⋅26 = 21⋅73 + 1

Es gilt also: 59⋅26 = 21⋅73 +1

Somit 59⋅26 = 1 mod 73

59 ist also das Inverse von 26 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.