Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2099 - 13995) mod 7 ≡ (2099 mod 7 - 13995 mod 7) mod 7.

2099 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2099 = 2100-1 = 7 ⋅ 300 -1 = 7 ⋅ 300 - 7 + 6.

13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995 = 14000-5 = 7 ⋅ 2000 -5 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 2.

Somit gilt:

(2099 - 13995) mod 7 ≡ (6 - 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 39) mod 10 ≡ (42 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.

42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.

39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 39) mod 10 ≡ (2 ⋅ 9) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 143¹=143

2: 143²=143¹⁺¹=143¹⋅143¹ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 368 mod 467

4: 143⁴=143²⁺²=143²⋅143² ≡ 368⋅368=135424 ≡ 461 mod 467

8: 143⁸=143⁴⁺⁴=143⁴⋅143⁴ ≡ 461⋅461=212521 ≡ 36 mod 467

16: 143¹⁶=143⁸⁺⁸=143⁸⋅143⁸ ≡ 36⋅36=1296 ≡ 362 mod 467

32: 143³²=143¹⁶⁺¹⁶=143¹⁶⋅143¹⁶ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 284 mod 467

64: 143⁶⁴=143³²⁺³²=143³²⋅143³² ≡ 284⋅284=80656 ≡ 332 mod 467

128: 143¹²⁸=143⁶⁴⁺⁶⁴=143⁶⁴⋅143⁶⁴ ≡ 332⋅332=110224 ≡ 12 mod 467

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:

108 = 64+32+8+4

529¹⁰⁸

= 529^64+32+8+4

= 529⁶⁴⋅529³²⋅529⁸⋅529⁴

≡ 220 ⋅ 225 ⋅ 42 ⋅ 60 mod 593
≡ 49500 ⋅ 42 ⋅ 60 mod 593 ≡ 281 ⋅ 42 ⋅ 60 mod 593
≡ 11802 ⋅ 60 mod 593 ≡ 535 ⋅ 60 mod 593
≡ 32100 mod 593 ≡ 78 mod 593

Es gilt also: 529¹⁰⁸ ≡ 78 mod 593

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73	= 1⋅43 + 30
=>43	= 1⋅30 + 13
=>30	= 2⋅13 + 4
=>13	= 3⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13) = 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30) = -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43) = 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73