Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39992 - 4003) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39992 - 4003) mod 8 ≡ (39992 mod 8 - 4003 mod 8) mod 8.

39992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39992 = 39000+992 = 8 ⋅ 4875 +992.

4003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003 = 4000+3 = 8 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(39992 - 4003) mod 8 ≡ (0 - 3) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 82) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 82) mod 7 ≡ (24 mod 7 ⋅ 82 mod 7) mod 7.

24 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 21 + 3 = 3 ⋅ 7 + 3 ist.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 82) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23916 mod 433.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 239 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2391=239

2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 398 mod 433

4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 359 mod 433

8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 280 mod 433

16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 27 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 600173 mod 811.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:

173 = 128+32+8+4+1

1: 6001=600

2: 6002=6001+1=6001⋅6001 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 727 mod 811

4: 6004=6002+2=6002⋅6002 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 568 mod 811

8: 6008=6004+4=6004⋅6004 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 657 mod 811

16: 60016=6008+8=6008⋅6008 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 197 mod 811

32: 60032=60016+16=60016⋅60016 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 692 mod 811

64: 60064=60032+32=60032⋅60032 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 374 mod 811

128: 600128=60064+64=60064⋅60064 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 384 mod 811

600173

= 600128+32+8+4+1

= 600128⋅60032⋅6008⋅6004⋅6001

384 ⋅ 692 ⋅ 657 ⋅ 568 ⋅ 600 mod 811
265728 ⋅ 657 ⋅ 568 ⋅ 600 mod 811 ≡ 531 ⋅ 657 ⋅ 568 ⋅ 600 mod 811
348867 ⋅ 568 ⋅ 600 mod 811 ≡ 137 ⋅ 568 ⋅ 600 mod 811
77816 ⋅ 600 mod 811 ≡ 771 ⋅ 600 mod 811
462600 mod 811 ≡ 330 mod 811

Es gilt also: 600173 ≡ 330 mod 811

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73 = 1⋅38 + 35
=>38 = 1⋅35 + 3
=>35 = 11⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3)
= -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35)
= 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38)
= -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.