Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3992 + 1604) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3992 + 1604) mod 8 ≡ (3992 mod 8 + 1604 mod 8) mod 8.

3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992 = 4000-8 = 8 ⋅ 500 -8 = 8 ⋅ 500 - 8 + 0.

1604 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 8 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(3992 + 1604) mod 8 ≡ (0 + 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 36) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 36) mod 9 ≡ (60 mod 9 ⋅ 36 mod 9) mod 9.

60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.

36 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 4 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 36) mod 9 ≡ (6 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 40464 mod 617.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 404 -> x
2. mod(x²,617) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4041=404

2: 4042=4041+1=4041⋅4041 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 328 mod 617

4: 4044=4042+2=4042⋅4042 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 226 mod 617

8: 4048=4044+4=4044⋅4044 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 482 mod 617

16: 40416=4048+8=4048⋅4048 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 332 mod 617

32: 40432=40416+16=40416⋅40416 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 398 mod 617

64: 40464=40432+32=40432⋅40432 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 452 mod 617

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 88087 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

1: 8801=880

2: 8802=8801+1=8801⋅8801 ≡ 880⋅880=774400 ≡ 543 mod 929

4: 8804=8802+2=8802⋅8802 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 356 mod 929

8: 8808=8804+4=8804⋅8804 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 392 mod 929

16: 88016=8808+8=8808⋅8808 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 379 mod 929

32: 88032=88016+16=88016⋅88016 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 575 mod 929

64: 88064=88032+32=88032⋅88032 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 830 mod 929

88087

= 88064+16+4+2+1

= 88064⋅88016⋅8804⋅8802⋅8801

830 ⋅ 379 ⋅ 356 ⋅ 543 ⋅ 880 mod 929
314570 ⋅ 356 ⋅ 543 ⋅ 880 mod 929 ≡ 568 ⋅ 356 ⋅ 543 ⋅ 880 mod 929
202208 ⋅ 543 ⋅ 880 mod 929 ≡ 615 ⋅ 543 ⋅ 880 mod 929
333945 ⋅ 880 mod 929 ≡ 434 ⋅ 880 mod 929
381920 mod 929 ≡ 101 mod 929

Es gilt also: 88087 ≡ 101 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 43

=>101 = 2⋅43 + 15
=>43 = 2⋅15 + 13
=>15 = 1⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13)
= -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅15 +7⋅(43 -2⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅43 -14⋅ 15)
= 7⋅43 -20⋅ 15 (=1)
15= 101-2⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅43 -20⋅(101 -2⋅ 43)
= 7⋅43 -20⋅101 +40⋅ 43)
= -20⋅101 +47⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(101,43)=1 = -20⋅101 +47⋅43

oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅101 = +47⋅43

Es gilt also: 47⋅43 = 20⋅101 +1

Somit 47⋅43 = 1 mod 101

47 ist also das Inverse von 43 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.