Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 + 3494) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 + 3494) mod 7 ≡ (70 mod 7 + 3494 mod 7) mod 7.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
3494 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3494
= 3500
Somit gilt:
(70 + 3494) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 50) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 50) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.
50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 50) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61932 mod 751.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 619 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6191=619
2: 6192=6191+1=6191⋅6191 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 151 mod 751
4: 6194=6192+2=6192⋅6192 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 271 mod 751
8: 6198=6194+4=6194⋅6194 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 594 mod 751
16: 61916=6198+8=6198⋅6198 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 617 mod 751
32: 61932=61916+16=61916⋅61916 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 683 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 75159 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:
159 = 128+16+8+4+2+1
1: 751=75
2: 752=751+1=751⋅751 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 103 mod 251
4: 754=752+2=752⋅752 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 67 mod 251
8: 758=754+4=754⋅754 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 222 mod 251
16: 7516=758+8=758⋅758 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 88 mod 251
32: 7532=7516+16=7516⋅7516 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 214 mod 251
64: 7564=7532+32=7532⋅7532 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 114 mod 251
128: 75128=7564+64=7564⋅7564 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 195 mod 251
75159
= 75128+16+8+4+2+1
= 75128⋅7516⋅758⋅754⋅752⋅751
≡ 195 ⋅ 88 ⋅ 222 ⋅ 67 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251
≡ 17160 ⋅ 222 ⋅ 67 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251 ≡ 92 ⋅ 222 ⋅ 67 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251
≡ 20424 ⋅ 67 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251 ≡ 93 ⋅ 67 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251
≡ 6231 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251 ≡ 207 ⋅ 103 ⋅ 75 mod 251
≡ 21321 ⋅ 75 mod 251 ≡ 237 ⋅ 75 mod 251
≡ 17775 mod 251 ≡ 205 mod 251
Es gilt also: 75159 ≡ 205 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37
| =>71 | = 1⋅37 + 34 |
| =>37 | = 1⋅34 + 3 |
| =>34 | = 11⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-11⋅3 | |||
| 3= 37-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1) |
| 34= 71-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37
oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅71 = -23⋅37
-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37
-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1
(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1
48⋅37 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1
Somit 48⋅37 = 1 mod 71
48 ist also das Inverse von 37 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
