Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2003 - 12000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2003 - 12000) mod 4 ≡ (2003 mod 4 - 12000 mod 4) mod 4.
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(2003 - 12000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 94) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 94) mod 6 ≡ (29 mod 6 ⋅ 94 mod 6) mod 6.
29 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 4 ⋅ 6 + 5 ist.
94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 94) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30516 mod 383.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 305 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 339 mod 383
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 21 mod 383
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 21⋅21=441 ≡ 58 mod 383
16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 300 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24888 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:
88 = 64+16+8
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 421 mod 617
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 162 mod 617
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 330 mod 617
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 308 mod 617
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 463 mod 617
64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 270 mod 617
24888
= 24864+16+8
= 24864⋅24816⋅2488
≡ 270 ⋅ 308 ⋅ 330 mod 617
≡ 83160 ⋅ 330 mod 617 ≡ 482 ⋅ 330 mod 617
≡ 159060 mod 617 ≡ 491 mod 617
Es gilt also: 24888 ≡ 491 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48
| =>61 | = 1⋅48 + 13 |
| =>48 | = 3⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 48-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +14⋅48
Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1
Somit 14⋅48 = 1 mod 61
14 ist also das Inverse von 48 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
