Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1607 - 1593) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1607 - 1593) mod 8 ≡ (1607 mod 8 - 1593 mod 8) mod 8.
1607 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1607
= 1600
1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593
= 1600
Somit gilt:
(1607 - 1593) mod 8 ≡ (7 - 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 48) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 48) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.
19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 48) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2928 mod 431.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 357 mod 431
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 304 mod 431
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 182 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 423106 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:
106 = 64+32+8+2
1: 4231=423
2: 4232=4231+1=4231⋅4231 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 59 mod 577
4: 4234=4232+2=4232⋅4232 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 19 mod 577
8: 4238=4234+4=4234⋅4234 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 577
16: 42316=4238+8=4238⋅4238 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 496 mod 577
32: 42332=42316+16=42316⋅42316 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 214 mod 577
64: 42364=42332+32=42332⋅42332 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 213 mod 577
423106
= 42364+32+8+2
= 42364⋅42332⋅4238⋅4232
≡ 213 ⋅ 214 ⋅ 361 ⋅ 59 mod 577
≡ 45582 ⋅ 361 ⋅ 59 mod 577 ≡ 576 ⋅ 361 ⋅ 59 mod 577
≡ 207936 ⋅ 59 mod 577 ≡ 216 ⋅ 59 mod 577
≡ 12744 mod 577 ≡ 50 mod 577
Es gilt also: 423106 ≡ 50 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41
| =>53 | = 1⋅41 + 12 |
| =>41 | = 3⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 41-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1) |
| 12= 53-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41
oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅53 = +22⋅41
Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1
Somit 22⋅41 = 1 mod 53
22 ist also das Inverse von 41 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
