Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23998 - 394) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23998 - 394) mod 8 ≡ (23998 mod 8 - 394 mod 8) mod 8.

23998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998 = 23000+998 = 8 ⋅ 2875 +998.

394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 394 = 400-6 = 8 ⋅ 50 -6 = 8 ⋅ 50 - 8 + 2.

Somit gilt:

(23998 - 394) mod 8 ≡ (6 - 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 40) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 40) mod 3 ≡ (59 mod 3 ⋅ 40 mod 3) mod 3.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 40) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2228 mod 241.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 222 -> x
2. mod(x²,241) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2221=222

2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 120 mod 241

4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 181 mod 241

8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 226 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 126201 mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

1: 1261=126

2: 1262=1261+1=1261⋅1261 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 393 mod 397

4: 1264=1262+2=1262⋅1262 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 16 mod 397

8: 1268=1264+4=1264⋅1264 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 397

16: 12616=1268+8=1268⋅1268 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 31 mod 397

32: 12632=12616+16=12616⋅12616 ≡ 31⋅31=961 ≡ 167 mod 397

64: 12664=12632+32=12632⋅12632 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 99 mod 397

128: 126128=12664+64=12664⋅12664 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 273 mod 397

126201

= 126128+64+8+1

= 126128⋅12664⋅1268⋅1261

273 ⋅ 99 ⋅ 256 ⋅ 126 mod 397
27027 ⋅ 256 ⋅ 126 mod 397 ≡ 31 ⋅ 256 ⋅ 126 mod 397
7936 ⋅ 126 mod 397 ≡ 393 ⋅ 126 mod 397
49518 mod 397 ≡ 290 mod 397

Es gilt also: 126201 ≡ 290 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53 = 1⋅29 + 24
=>29 = 1⋅24 + 5
=>24 = 4⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5)
= -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24)
= 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29)
= -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.