Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1600 - 8000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1600 - 8000) mod 4 ≡ (1600 mod 4 - 8000 mod 4) mod 4.
1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000
= 8000
Somit gilt:
(1600 - 8000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 28) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 28) mod 3 ≡ (22 mod 3 ⋅ 28 mod 3) mod 3.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 28) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31816 mod 571.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 318 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 57 mod 571
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 394 mod 571
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 495 mod 571
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 66 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 262126 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:
126 = 64+32+16+8+4+2
1: 2621=262
2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 520 mod 811
4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 337 mod 811
8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 29 mod 811
16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 29⋅29=841 ≡ 30 mod 811
32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 30⋅30=900 ≡ 89 mod 811
64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 622 mod 811
262126
= 26264+32+16+8+4+2
= 26264⋅26232⋅26216⋅2628⋅2624⋅2622
≡ 622 ⋅ 89 ⋅ 30 ⋅ 29 ⋅ 337 ⋅ 520 mod 811
≡ 55358 ⋅ 30 ⋅ 29 ⋅ 337 ⋅ 520 mod 811 ≡ 210 ⋅ 30 ⋅ 29 ⋅ 337 ⋅ 520 mod 811
≡ 6300 ⋅ 29 ⋅ 337 ⋅ 520 mod 811 ≡ 623 ⋅ 29 ⋅ 337 ⋅ 520 mod 811
≡ 18067 ⋅ 337 ⋅ 520 mod 811 ≡ 225 ⋅ 337 ⋅ 520 mod 811
≡ 75825 ⋅ 520 mod 811 ≡ 402 ⋅ 520 mod 811
≡ 209040 mod 811 ≡ 613 mod 811
Es gilt also: 262126 ≡ 613 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 46
| =>71 | = 1⋅46 + 25 |
| =>46 | = 1⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 46-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(46 -1⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅46 -6⋅ 25) = 6⋅46 -11⋅ 25 (=1) |
| 25= 71-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅46 -11⋅(71 -1⋅ 46)
= 6⋅46 -11⋅71 +11⋅ 46) = -11⋅71 +17⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,46)=1 = -11⋅71 +17⋅46
oder wenn man -11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅71 = +17⋅46
Es gilt also: 17⋅46 = 11⋅71 +1
Somit 17⋅46 = 1 mod 71
17 ist also das Inverse von 46 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
