Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (897 - 14999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(897 - 14999) mod 3 ≡ (897 mod 3 - 14999 mod 3) mod 3.
897 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897
= 900
14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999
= 15000
Somit gilt:
(897 - 14999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 80) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 80) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 80 mod 5) mod 5.
47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.
80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 80) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40264 mod 541.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 402 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4021=402
2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 386 mod 541
4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 221 mod 541
8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 151 mod 541
16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 79 mod 541
32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 290 mod 541
64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 245 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 96176 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 961=96
2: 962=961+1=961⋅961 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 11 mod 263
4: 964=962+2=962⋅962 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 263
8: 968=964+4=964⋅964 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 176 mod 263
16: 9616=968+8=968⋅968 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 205 mod 263
32: 9632=9616+16=9616⋅9616 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 208 mod 263
64: 9664=9632+32=9632⋅9632 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 132 mod 263
128: 96128=9664+64=9664⋅9664 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 66 mod 263
96176
= 96128+32+16
= 96128⋅9632⋅9616
≡ 66 ⋅ 208 ⋅ 205 mod 263
≡ 13728 ⋅ 205 mod 263 ≡ 52 ⋅ 205 mod 263
≡ 10660 mod 263 ≡ 140 mod 263
Es gilt also: 96176 ≡ 140 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 98.
Also bestimme x, so dass 98 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 98
| =>101 | = 1⋅98 + 3 |
| =>98 | = 32⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,98)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 98-32⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(98 -32⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅98 +32⋅ 3) = -1⋅98 +33⋅ 3 (=1) |
| 3= 101-1⋅98 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅98 +33⋅(101 -1⋅ 98)
= -1⋅98 +33⋅101 -33⋅ 98) = 33⋅101 -34⋅ 98 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,98)=1 = 33⋅101 -34⋅98
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -34⋅98
-34⋅98 = -33⋅101 + 1 |+101⋅98
-34⋅98 + 101⋅98 = -33⋅101 + 101⋅98 + 1
(-34 + 101) ⋅ 98 = (-33 + 98) ⋅ 101 + 1
67⋅98 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 67⋅98 = 65⋅101 +1
Somit 67⋅98 = 1 mod 101
67 ist also das Inverse von 98 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
