Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(344 + 28007) mod 7 ≡ (344 mod 7 + 28007 mod 7) mod 7.

344 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 344 = 350-6 = 7 ⋅ 50 -6 = 7 ⋅ 50 - 7 + 1.

28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007 = 28000+7 = 7 ⋅ 4000 +7.

Somit gilt:

(344 + 28007) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 26) mod 6 ≡ (57 mod 6 ⋅ 26 mod 6) mod 6.

57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 9 ⋅ 6 + 3 ist.

26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 26) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 349¹=349

2: 349²=349¹⁺¹=349¹⋅349¹ ≡ 349⋅349=121801 ≡ 198 mod 439

4: 349⁴=349²⁺²=349²⋅349² ≡ 198⋅198=39204 ≡ 133 mod 439

8: 349⁸=349⁴⁺⁴=349⁴⋅349⁴ ≡ 133⋅133=17689 ≡ 129 mod 439

16: 349¹⁶=349⁸⁺⁸=349⁸⋅349⁸ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 398 mod 439

32: 349³²=349¹⁶⁺¹⁶=349¹⁶⋅349¹⁶ ≡ 398⋅398=158404 ≡ 364 mod 439

64: 349⁶⁴=349³²⁺³²=349³²⋅349³² ≡ 364⋅364=132496 ≡ 357 mod 439

128: 349¹²⁸=349⁶⁴⁺⁶⁴=349⁶⁴⋅349⁶⁴ ≡ 357⋅357=127449 ≡ 139 mod 439

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:

81 = 64+16+1

379⁸¹

= 379^64+16+1

= 379⁶⁴⋅379¹⁶⋅379¹

≡ 218 ⋅ 178 ⋅ 379 mod 397
≡ 38804 ⋅ 379 mod 397 ≡ 295 ⋅ 379 mod 397
≡ 111805 mod 397 ≡ 248 mod 397

Es gilt also: 379⁸¹ ≡ 248 mod 397

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73	= 1⋅38 + 35
=>38	= 1⋅35 + 3
=>35	= 11⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35) = -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38) = 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73