Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20996 + 214) mod 7 ≡ (20996 mod 7 + 214 mod 7) mod 7.

20996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20996 = 21000-4 = 7 ⋅ 3000 -4 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 3.

214 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 214 = 210+4 = 7 ⋅ 30 +4.

Somit gilt:

(20996 + 214) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 41) mod 6 ≡ (32 mod 6 ⋅ 41 mod 6) mod 6.

32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.

41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 41) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 371¹=371

2: 371²=371¹⁺¹=371¹⋅371¹ ≡ 371⋅371=137641 ≡ 470 mod 599

4: 371⁴=371²⁺²=371²⋅371² ≡ 470⋅470=220900 ≡ 468 mod 599

8: 371⁸=371⁴⁺⁴=371⁴⋅371⁴ ≡ 468⋅468=219024 ≡ 389 mod 599

16: 371¹⁶=371⁸⁺⁸=371⁸⋅371⁸ ≡ 389⋅389=151321 ≡ 373 mod 599

32: 371³²=371¹⁶⁺¹⁶=371¹⁶⋅371¹⁶ ≡ 373⋅373=139129 ≡ 161 mod 599

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

276¹¹⁹

= 276^{64+32+16+4+2+1}

= 276⁶⁴⋅276³²⋅276¹⁶⋅276⁴⋅276²⋅276¹

≡ 62 ⋅ 714 ⋅ 206 ⋅ 144 ⋅ 895 ⋅ 276 mod 907
≡ 44268 ⋅ 206 ⋅ 144 ⋅ 895 ⋅ 276 mod 907 ≡ 732 ⋅ 206 ⋅ 144 ⋅ 895 ⋅ 276 mod 907
≡ 150792 ⋅ 144 ⋅ 895 ⋅ 276 mod 907 ≡ 230 ⋅ 144 ⋅ 895 ⋅ 276 mod 907
≡ 33120 ⋅ 895 ⋅ 276 mod 907 ≡ 468 ⋅ 895 ⋅ 276 mod 907
≡ 418860 ⋅ 276 mod 907 ≡ 733 ⋅ 276 mod 907
≡ 202308 mod 907 ≡ 47 mod 907

Es gilt also: 276¹¹⁹ ≡ 47 mod 907

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69

=>101	= 1⋅69 + 32
=>69	= 2⋅32 + 5
=>32	= 6⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 32-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1)
5= 69-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32) = -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32) = 13⋅69 -28⋅ 32 (=1)
32= 101-1⋅69	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69) = 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69) = -28⋅101 +41⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69

oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅101 = +41⋅69

Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1

Somit 41⋅69 = 1 mod 101

41 ist also das Inverse von 69 mod 101