Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (118 - 600) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(118 - 600) mod 3 ≡ (118 mod 3 - 600 mod 3) mod 3.
118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
Somit gilt:
(118 - 600) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 81) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 81) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 81 mod 9) mod 9.
41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 81) mod 9 ≡ (5 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52716 mod 587.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 527 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5271=527
2: 5272=5271+1=5271⋅5271 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 78 mod 587
4: 5274=5272+2=5272⋅5272 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 214 mod 587
8: 5278=5274+4=5274⋅5274 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 10 mod 587
16: 52716=5278+8=5278⋅5278 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 320102 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 3201=320
2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 191 mod 571
4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 508 mod 571
8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 543 mod 571
16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 213 mod 571
32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 260 mod 571
64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 222 mod 571
320102
= 32064+32+4+2
= 32064⋅32032⋅3204⋅3202
≡ 222 ⋅ 260 ⋅ 508 ⋅ 191 mod 571
≡ 57720 ⋅ 508 ⋅ 191 mod 571 ≡ 49 ⋅ 508 ⋅ 191 mod 571
≡ 24892 ⋅ 191 mod 571 ≡ 339 ⋅ 191 mod 571
≡ 64749 mod 571 ≡ 226 mod 571
Es gilt also: 320102 ≡ 226 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38
| =>101 | = 2⋅38 + 25 |
| =>38 | = 1⋅25 + 13 |
| =>25 | = 1⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 25-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13) = -1⋅25 +2⋅ 13 (=1) |
| 13= 38-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25)
= -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25) = 2⋅38 -3⋅ 25 (=1) |
| 25= 101-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38)
= 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38) = -3⋅101 +8⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38
oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅101 = +8⋅38
Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1
Somit 8⋅38 = 1 mod 101
8 ist also das Inverse von 38 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
