Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16002 + 248) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16002 + 248) mod 8 ≡ (16002 mod 8 + 248 mod 8) mod 8.
16002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
248 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248
= 240
Somit gilt:
(16002 + 248) mod 8 ≡ (2 + 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 93) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 93) mod 6 ≡ (58 mod 6 ⋅ 93 mod 6) mod 6.
58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.
93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 93) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6598 mod 859.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 659 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6591=659
2: 6592=6591+1=6591⋅6591 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 486 mod 859
4: 6594=6592+2=6592⋅6592 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 830 mod 859
8: 6598=6594+4=6594⋅6594 ≡ 830⋅830=688900 ≡ 841 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 460172 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:
172 = 128+32+8+4
1: 4601=460
2: 4602=4601+1=4601⋅4601 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 397 mod 757
4: 4604=4602+2=4602⋅4602 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 153 mod 757
8: 4608=4604+4=4604⋅4604 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 699 mod 757
16: 46016=4608+8=4608⋅4608 ≡ 699⋅699=488601 ≡ 336 mod 757
32: 46032=46016+16=46016⋅46016 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 103 mod 757
64: 46064=46032+32=46032⋅46032 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 11 mod 757
128: 460128=46064+64=46064⋅46064 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 757
460172
= 460128+32+8+4
= 460128⋅46032⋅4608⋅4604
≡ 121 ⋅ 103 ⋅ 699 ⋅ 153 mod 757
≡ 12463 ⋅ 699 ⋅ 153 mod 757 ≡ 351 ⋅ 699 ⋅ 153 mod 757
≡ 245349 ⋅ 153 mod 757 ≡ 81 ⋅ 153 mod 757
≡ 12393 mod 757 ≡ 281 mod 757
Es gilt also: 460172 ≡ 281 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46
| =>53 | = 1⋅46 + 7 |
| =>46 | = 6⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 46-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7) = 2⋅46 -13⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46) = -13⋅53 +15⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +15⋅46
Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1
Somit 15⋅46 = 1 mod 53
15 ist also das Inverse von 46 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
