Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31993 - 2405) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31993 - 2405) mod 8 ≡ (31993 mod 8 - 2405 mod 8) mod 8.
31993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31993
= 31000
2405 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405
= 2400
Somit gilt:
(31993 - 2405) mod 8 ≡ (1 - 5) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 64) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 64) mod 5 ≡ (99 mod 5 ⋅ 64 mod 5) mod 5.
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.
64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 64) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59432 mod 643.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 594 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5941=594
2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 472 mod 643
4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 306 mod 643
8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 401 mod 643
16: 59416=5948+8=5948⋅5948 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 51 mod 643
32: 59432=59416+16=59416⋅59416 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 29 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 693226 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:
226 = 128+64+32+2
1: 6931=693
2: 6932=6931+1=6931⋅6931 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 589 mod 827
4: 6934=6932+2=6932⋅6932 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 408 mod 827
8: 6938=6934+4=6934⋅6934 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 237 mod 827
16: 69316=6938+8=6938⋅6938 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 760 mod 827
32: 69332=69316+16=69316⋅69316 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 354 mod 827
64: 69364=69332+32=69332⋅69332 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 439 mod 827
128: 693128=69364+64=69364⋅69364 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 30 mod 827
693226
= 693128+64+32+2
= 693128⋅69364⋅69332⋅6932
≡ 30 ⋅ 439 ⋅ 354 ⋅ 589 mod 827
≡ 13170 ⋅ 354 ⋅ 589 mod 827 ≡ 765 ⋅ 354 ⋅ 589 mod 827
≡ 270810 ⋅ 589 mod 827 ≡ 381 ⋅ 589 mod 827
≡ 224409 mod 827 ≡ 292 mod 827
Es gilt also: 693226 ≡ 292 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27
| =>61 | = 2⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27) = 4⋅61 -9⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27
oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅61 = -9⋅27
-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27
-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1
(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1
52⋅27 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1
Somit 52⋅27 = 1 mod 61
52 ist also das Inverse von 27 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
