Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21003 + 2804) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21003 + 2804) mod 7 ≡ (21003 mod 7 + 2804 mod 7) mod 7.
21003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21003
= 21000
2804 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2804
= 2800
Somit gilt:
(21003 + 2804) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 48) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 48) mod 4 ≡ (82 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 20 ⋅ 4 + 2 ist.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 48) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9298 mod 947.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 929 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9291=929
2: 9292=9291+1=9291⋅9291 ≡ 929⋅929=863041 ≡ 324 mod 947
4: 9294=9292+2=9292⋅9292 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 806 mod 947
8: 9298=9294+4=9294⋅9294 ≡ 806⋅806=649636 ≡ 941 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 245244 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:
244 = 128+64+32+16+4
1: 2451=245
2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 411 mod 727
4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 257 mod 727
8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 619 mod 727
16: 24516=2458+8=2458⋅2458 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 32 mod 727
32: 24532=24516+16=24516⋅24516 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 297 mod 727
64: 24564=24532+32=24532⋅24532 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 242 mod 727
128: 245128=24564+64=24564⋅24564 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 404 mod 727
245244
= 245128+64+32+16+4
= 245128⋅24564⋅24532⋅24516⋅2454
≡ 404 ⋅ 242 ⋅ 297 ⋅ 32 ⋅ 257 mod 727
≡ 97768 ⋅ 297 ⋅ 32 ⋅ 257 mod 727 ≡ 350 ⋅ 297 ⋅ 32 ⋅ 257 mod 727
≡ 103950 ⋅ 32 ⋅ 257 mod 727 ≡ 716 ⋅ 32 ⋅ 257 mod 727
≡ 22912 ⋅ 257 mod 727 ≡ 375 ⋅ 257 mod 727
≡ 96375 mod 727 ≡ 411 mod 727
Es gilt also: 245244 ≡ 411 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23
| =>67 | = 2⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23) = 11⋅67 -32⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -32⋅23
-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23
-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1
(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1
35⋅23 = 12⋅67 + 1
Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1
Somit 35⋅23 = 1 mod 67
35 ist also das Inverse von 23 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
