Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7001 - 21001) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7001 - 21001) mod 7 ≡ (7001 mod 7 - 21001 mod 7) mod 7.
7001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7001
= 7000
21001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21001
= 21000
Somit gilt:
(7001 - 21001) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 19) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 19) mod 7 ≡ (39 mod 7 ⋅ 19 mod 7) mod 7.
39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.
19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 19) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54416 mod 601.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 544 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5441=544
2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 244 mod 601
4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 37 mod 601
8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 167 mod 601
16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 243 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 246120 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 2461=246
2: 2462=2461+1=2461⋅2461 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 561 mod 571
4: 2464=2462+2=2462⋅2462 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 100 mod 571
8: 2468=2464+4=2464⋅2464 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 293 mod 571
16: 24616=2468+8=2468⋅2468 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 199 mod 571
32: 24632=24616+16=24616⋅24616 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 202 mod 571
64: 24664=24632+32=24632⋅24632 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 263 mod 571
246120
= 24664+32+16+8
= 24664⋅24632⋅24616⋅2468
≡ 263 ⋅ 202 ⋅ 199 ⋅ 293 mod 571
≡ 53126 ⋅ 199 ⋅ 293 mod 571 ≡ 23 ⋅ 199 ⋅ 293 mod 571
≡ 4577 ⋅ 293 mod 571 ≡ 9 ⋅ 293 mod 571
≡ 2637 mod 571 ≡ 353 mod 571
Es gilt also: 246120 ≡ 353 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
