Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(403 - 1198) mod 4 ≡ (403 mod 4 - 1198 mod 4) mod 4.

403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 4 ⋅ 100 +3.

1198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1100+98 = 4 ⋅ 275 +98.

Somit gilt:

(403 - 1198) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 61) mod 8 ≡ (54 mod 8 ⋅ 61 mod 8) mod 8.

54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.

61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 61) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 153¹=153

2: 153²=153¹⁺¹=153¹⋅153¹ ≡ 153⋅153=23409 ≡ 27 mod 433

4: 153⁴=153²⁺²=153²⋅153² ≡ 27⋅27=729 ≡ 296 mod 433

8: 153⁸=153⁴⁺⁴=153⁴⋅153⁴ ≡ 296⋅296=87616 ≡ 150 mod 433

16: 153¹⁶=153⁸⁺⁸=153⁸⋅153⁸ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 417 mod 433

32: 153³²=153¹⁶⁺¹⁶=153¹⁶⋅153¹⁶ ≡ 417⋅417=173889 ≡ 256 mod 433

64: 153⁶⁴=153³²⁺³²=153³²⋅153³² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 153 mod 433

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

575²³²

= 575^128+64+32+8

= 575¹²⁸⋅575⁶⁴⋅575³²⋅575⁸

≡ 228 ⋅ 584 ⋅ 166 ⋅ 119 mod 613
≡ 133152 ⋅ 166 ⋅ 119 mod 613 ≡ 131 ⋅ 166 ⋅ 119 mod 613
≡ 21746 ⋅ 119 mod 613 ≡ 291 ⋅ 119 mod 613
≡ 34629 mod 613 ≡ 301 mod 613

Es gilt also: 575²³² ≡ 301 mod 613

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 48

=>73	= 1⋅48 + 25
=>48	= 1⋅25 + 23
=>25	= 1⋅23 + 2
=>23	= 11⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23) = 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 48-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅25 +12⋅(48 -1⋅ 25) = -11⋅25 +12⋅48 -12⋅ 25) = 12⋅48 -23⋅ 25 (=1)
25= 73-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 12⋅48 -23⋅(73 -1⋅ 48) = 12⋅48 -23⋅73 +23⋅ 48) = -23⋅73 +35⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(73,48)=1 = -23⋅73 +35⋅48

oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅73 = +35⋅48

Es gilt also: 35⋅48 = 23⋅73 +1

Somit 35⋅48 = 1 mod 73

35 ist also das Inverse von 48 mod 73