Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 + 1805) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 + 1805) mod 9 ≡ (82 mod 9 + 1805 mod 9) mod 9.
82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 90
1805 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1805
= 1800
Somit gilt:
(82 + 1805) mod 9 ≡ (1 + 5) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 61) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 61) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 61 mod 9) mod 9.
74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.
61 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 54 + 7 = 6 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 61) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9868 mod 991.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 986 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9861=986
2: 9862=9861+1=9861⋅9861 ≡ 986⋅986=972196 ≡ 25 mod 991
4: 9864=9862+2=9862⋅9862 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 991
8: 9868=9864+4=9864⋅9864 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 171 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 395181 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:
181 = 128+32+16+4+1
1: 3951=395
2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 196 mod 409
4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 379 mod 409
8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 82 mod 409
16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 180 mod 409
32: 39532=39516+16=39516⋅39516 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 89 mod 409
64: 39564=39532+32=39532⋅39532 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 150 mod 409
128: 395128=39564+64=39564⋅39564 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 5 mod 409
395181
= 395128+32+16+4+1
= 395128⋅39532⋅39516⋅3954⋅3951
≡ 5 ⋅ 89 ⋅ 180 ⋅ 379 ⋅ 395 mod 409
≡ 445 ⋅ 180 ⋅ 379 ⋅ 395 mod 409 ≡ 36 ⋅ 180 ⋅ 379 ⋅ 395 mod 409
≡ 6480 ⋅ 379 ⋅ 395 mod 409 ≡ 345 ⋅ 379 ⋅ 395 mod 409
≡ 130755 ⋅ 395 mod 409 ≡ 284 ⋅ 395 mod 409
≡ 112180 mod 409 ≡ 114 mod 409
Es gilt also: 395181 ≡ 114 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43
| =>53 | = 1⋅43 + 10 |
| =>43 | = 4⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 43-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1) |
| 10= 53-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43
oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅53 = -16⋅43
-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43
-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1
(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1
37⋅43 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1
Somit 37⋅43 = 1 mod 53
37 ist also das Inverse von 43 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
