Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5005 + 1500) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5005 + 1500) mod 5 ≡ (5005 mod 5 + 1500 mod 5) mod 5.
5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005
= 5000
1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
Somit gilt:
(5005 + 1500) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 86) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 86) mod 8 ≡ (88 mod 8 ⋅ 86 mod 8) mod 8.
88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.
86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 86) mod 8 ≡ (0 ⋅ 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56732 mod 653.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 567 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5671=567
2: 5672=5671+1=5671⋅5671 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 213 mod 653
4: 5674=5672+2=5672⋅5672 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 312 mod 653
8: 5678=5674+4=5674⋅5674 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 47 mod 653
16: 56716=5678+8=5678⋅5678 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 250 mod 653
32: 56732=56716+16=56716⋅56716 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 465 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 711171 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 7111=711
2: 7112=7111+1=7111⋅7111 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 42 mod 997
4: 7114=7112+2=7112⋅7112 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 767 mod 997
8: 7118=7114+4=7114⋅7114 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 59 mod 997
16: 71116=7118+8=7118⋅7118 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 490 mod 997
32: 71132=71116+16=71116⋅71116 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 820 mod 997
64: 71164=71132+32=71132⋅71132 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 422 mod 997
128: 711128=71164+64=71164⋅71164 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 618 mod 997
711171
= 711128+32+8+2+1
= 711128⋅71132⋅7118⋅7112⋅7111
≡ 618 ⋅ 820 ⋅ 59 ⋅ 42 ⋅ 711 mod 997
≡ 506760 ⋅ 59 ⋅ 42 ⋅ 711 mod 997 ≡ 284 ⋅ 59 ⋅ 42 ⋅ 711 mod 997
≡ 16756 ⋅ 42 ⋅ 711 mod 997 ≡ 804 ⋅ 42 ⋅ 711 mod 997
≡ 33768 ⋅ 711 mod 997 ≡ 867 ⋅ 711 mod 997
≡ 616437 mod 997 ≡ 291 mod 997
Es gilt also: 711171 ≡ 291 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46
| =>59 | = 1⋅46 + 13 |
| =>46 | = 3⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 46-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +9⋅46
Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1
Somit 9⋅46 = 1 mod 59
9 ist also das Inverse von 46 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
