Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1793 - 4496) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1793 - 4496) mod 9 ≡ (1793 mod 9 - 4496 mod 9) mod 9.
1793 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1793
= 1800
4496 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4496
= 4500
Somit gilt:
(1793 - 4496) mod 9 ≡ (2 - 5) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 92) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 92) mod 7 ≡ (21 mod 7 ⋅ 92 mod 7) mod 7.
21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.
92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 92) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36664 mod 479.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 366 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3661=366
2: 3662=3661+1=3661⋅3661 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 315 mod 479
4: 3664=3662+2=3662⋅3662 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 72 mod 479
8: 3668=3664+4=3664⋅3664 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 394 mod 479
16: 36616=3668+8=3668⋅3668 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 40 mod 479
32: 36632=36616+16=36616⋅36616 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 163 mod 479
64: 36664=36632+32=36632⋅36632 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 224 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 111248 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:
248 = 128+64+32+16+8
1: 1111=111
2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 189 mod 337
4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 336 mod 337
8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 1 mod 337
16: 11116=1118+8=1118⋅1118 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 337
32: 11132=11116+16=11116⋅11116 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 337
64: 11164=11132+32=11132⋅11132 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 337
128: 111128=11164+64=11164⋅11164 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 337
111248
= 111128+64+32+16+8
= 111128⋅11164⋅11132⋅11116⋅1118
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 mod 337
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 mod 337
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 mod 337
≡ 1 ⋅ 1 mod 337
≡ 1 mod 337
Es gilt also: 111248 ≡ 1 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
