Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (898 - 901) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(898 - 901) mod 3 ≡ (898 mod 3 - 901 mod 3) mod 3.

898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 3 ⋅ 300 -2 = 3 ⋅ 300 - 3 + 1.

901 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901 = 900+1 = 3 ⋅ 300 +1.

Somit gilt:

(898 - 901) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 28) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 28) mod 9 ≡ (32 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.

32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.

28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 28) mod 9 ≡ (5 ⋅ 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61916 mod 787.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 619 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6191=619

2: 6192=6191+1=6191⋅6191 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 679 mod 787

4: 6194=6192+2=6192⋅6192 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 646 mod 787

8: 6198=6194+4=6194⋅6194 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 206 mod 787

16: 61916=6198+8=6198⋅6198 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 725 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 277191 mod 521.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 2771=277

2: 2772=2771+1=2771⋅2771 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 142 mod 521

4: 2774=2772+2=2772⋅2772 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 366 mod 521

8: 2778=2774+4=2774⋅2774 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 59 mod 521

16: 27716=2778+8=2778⋅2778 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 355 mod 521

32: 27732=27716+16=27716⋅27716 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 464 mod 521

64: 27764=27732+32=27732⋅27732 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 123 mod 521

128: 277128=27764+64=27764⋅27764 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 20 mod 521

277191

= 277128+32+16+8+4+2+1

= 277128⋅27732⋅27716⋅2778⋅2774⋅2772⋅2771

20 ⋅ 464 ⋅ 355 ⋅ 59 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521
9280 ⋅ 355 ⋅ 59 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521 ≡ 423 ⋅ 355 ⋅ 59 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521
150165 ⋅ 59 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521 ≡ 117 ⋅ 59 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521
6903 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521 ≡ 130 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521
47580 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521 ≡ 169 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521
23998 ⋅ 277 mod 521 ≡ 32 ⋅ 277 mod 521
8864 mod 521 ≡ 7 mod 521

Es gilt also: 277191 ≡ 7 mod 521

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53 = 2⋅20 + 13
=>20 = 1⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13)
= 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20)
= -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.