Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17998 + 239) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17998 + 239) mod 6 ≡ (17998 mod 6 + 239 mod 6) mod 6.
17998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998
= 18000
239 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239
= 240
Somit gilt:
(17998 + 239) mod 6 ≡ (4 + 5) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 33) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 33) mod 5 ≡ (96 mod 5 ⋅ 33 mod 5) mod 5.
96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 95 + 1 = 19 ⋅ 5 + 1 ist.
33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 33) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4618 mod 941.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 461 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4611=461
2: 4612=4611+1=4611⋅4611 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 796 mod 941
4: 4614=4612+2=4612⋅4612 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 323 mod 941
8: 4618=4614+4=4614⋅4614 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 819 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 568115 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:
115 = 64+32+16+2+1
1: 5681=568
2: 5682=5681+1=5681⋅5681 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 481 mod 643
4: 5684=5682+2=5682⋅5682 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 524 mod 643
8: 5688=5684+4=5684⋅5684 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 15 mod 643
16: 56816=5688+8=5688⋅5688 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 643
32: 56832=56816+16=56816⋅56816 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 471 mod 643
64: 56864=56832+32=56832⋅56832 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 6 mod 643
568115
= 56864+32+16+2+1
= 56864⋅56832⋅56816⋅5682⋅5681
≡ 6 ⋅ 471 ⋅ 225 ⋅ 481 ⋅ 568 mod 643
≡ 2826 ⋅ 225 ⋅ 481 ⋅ 568 mod 643 ≡ 254 ⋅ 225 ⋅ 481 ⋅ 568 mod 643
≡ 57150 ⋅ 481 ⋅ 568 mod 643 ≡ 566 ⋅ 481 ⋅ 568 mod 643
≡ 272246 ⋅ 568 mod 643 ≡ 257 ⋅ 568 mod 643
≡ 145976 mod 643 ≡ 15 mod 643
Es gilt also: 568115 ≡ 15 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33
| =>71 | = 2⋅33 + 5 |
| =>33 | = 6⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 33-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(33 -6⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅33 -12⋅ 5) = 2⋅33 -13⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -13⋅(71 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -13⋅71 +26⋅ 33) = -13⋅71 +28⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,33)=1 = -13⋅71 +28⋅33
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +28⋅33
Es gilt also: 28⋅33 = 13⋅71 +1
Somit 28⋅33 = 1 mod 71
28 ist also das Inverse von 33 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
