Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 + 2801) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 + 2801) mod 7 ≡ (65 mod 7 + 2801 mod 7) mod 7.
65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65
= 70
2801 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2801
= 2800
Somit gilt:
(65 + 2801) mod 7 ≡ (2 + 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 51) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 51) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 51 mod 9) mod 9.
30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.
51 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 45 + 6 = 5 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 51) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3068 mod 983.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3061=306
2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 251 mod 983
4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 89 mod 983
8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 57 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24576 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:
76 = 64+8+4
1: 2451=245
2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 110 mod 521
4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 117 mod 521
8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 143 mod 521
16: 24516=2458+8=2458⋅2458 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 130 mod 521
32: 24532=24516+16=24516⋅24516 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 228 mod 521
64: 24564=24532+32=24532⋅24532 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 405 mod 521
24576
= 24564+8+4
= 24564⋅2458⋅2454
≡ 405 ⋅ 143 ⋅ 117 mod 521
≡ 57915 ⋅ 117 mod 521 ≡ 84 ⋅ 117 mod 521
≡ 9828 mod 521 ≡ 450 mod 521
Es gilt also: 24576 ≡ 450 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71
| =>79 | = 1⋅71 + 8 |
| =>71 | = 8⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 71-8⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1) |
| 8= 79-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71
oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅79 = -10⋅71
-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71
-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1
(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1
69⋅71 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1
Somit 69⋅71 = 1 mod 79
69 ist also das Inverse von 71 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
