Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (300 - 30005) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(300 - 30005) mod 6 ≡ (300 mod 6 - 30005 mod 6) mod 6.
300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
30005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30005
= 30000
Somit gilt:
(300 - 30005) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 30) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 30) mod 3 ≡ (83 mod 3 ⋅ 30 mod 3) mod 3.
83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 10 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 30) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 442128 mod 719.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 442 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4421=442
2: 4422=4421+1=4421⋅4421 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 515 mod 719
4: 4424=4422+2=4422⋅4422 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 633 mod 719
8: 4428=4424+4=4424⋅4424 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 206 mod 719
16: 44216=4428+8=4428⋅4428 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 15 mod 719
32: 44232=44216+16=44216⋅44216 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 719
64: 44264=44232+32=44232⋅44232 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 295 mod 719
128: 442128=44264+64=44264⋅44264 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 26 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27066 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 94 mod 617
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 198 mod 617
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 333 mod 617
16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 446 mod 617
32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 242 mod 617
64: 27064=27032+32=27032⋅27032 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 566 mod 617
27066
= 27064+2
= 27064⋅2702
≡ 566 ⋅ 94 mod 617
≡ 53204 mod 617 ≡ 142 mod 617
Es gilt also: 27066 ≡ 142 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27
| =>89 | = 3⋅27 + 8 |
| =>27 | = 3⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 27-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8) = 3⋅27 -10⋅ 8 (=1) |
| 8= 89-3⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27) = -10⋅89 +33⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27
oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅89 = +33⋅27
Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1
Somit 33⋅27 = 1 mod 89
33 ist also das Inverse von 27 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
