Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18005 + 2999) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18005 + 2999) mod 6 ≡ (18005 mod 6 + 2999 mod 6) mod 6.
18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005
= 18000
2999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999
= 3000
Somit gilt:
(18005 + 2999) mod 6 ≡ (5 + 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 93) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 93) mod 6 ≡ (43 mod 6 ⋅ 93 mod 6) mod 6.
43 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 7 ⋅ 6 + 1 ist.
93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 93) mod 6 ≡ (1 ⋅ 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14916 mod 211.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 149 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 46 mod 211
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 6 mod 211
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 211
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 30 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 595237 mod 1009.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:
237 = 128+64+32+8+4+1
1: 5951=595
2: 5952=5951+1=5951⋅5951 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 875 mod 1009
4: 5954=5952+2=5952⋅5952 ≡ 875⋅875=765625 ≡ 803 mod 1009
8: 5958=5954+4=5954⋅5954 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 58 mod 1009
16: 59516=5958+8=5958⋅5958 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 337 mod 1009
32: 59532=59516+16=59516⋅59516 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 561 mod 1009
64: 59564=59532+32=59532⋅59532 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 922 mod 1009
128: 595128=59564+64=59564⋅59564 ≡ 922⋅922=850084 ≡ 506 mod 1009
595237
= 595128+64+32+8+4+1
= 595128⋅59564⋅59532⋅5958⋅5954⋅5951
≡ 506 ⋅ 922 ⋅ 561 ⋅ 58 ⋅ 803 ⋅ 595 mod 1009
≡ 466532 ⋅ 561 ⋅ 58 ⋅ 803 ⋅ 595 mod 1009 ≡ 374 ⋅ 561 ⋅ 58 ⋅ 803 ⋅ 595 mod 1009
≡ 209814 ⋅ 58 ⋅ 803 ⋅ 595 mod 1009 ≡ 951 ⋅ 58 ⋅ 803 ⋅ 595 mod 1009
≡ 55158 ⋅ 803 ⋅ 595 mod 1009 ≡ 672 ⋅ 803 ⋅ 595 mod 1009
≡ 539616 ⋅ 595 mod 1009 ≡ 810 ⋅ 595 mod 1009
≡ 481950 mod 1009 ≡ 657 mod 1009
Es gilt also: 595237 ≡ 657 mod 1009
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25
| =>71 | = 2⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 71-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25) = 6⋅71 -17⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25
oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅71 = -17⋅25
-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25
-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1
(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1
54⋅25 = 19⋅71 + 1
Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1
Somit 54⋅25 = 1 mod 71
54 ist also das Inverse von 25 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
