Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(328 - 3200) mod 8 ≡ (328 mod 8 - 3200 mod 8) mod 8.

328 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 328 = 320+8 = 8 ⋅ 40 +8.

3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200 = 3200+0 = 8 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(328 - 3200) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 36) mod 5 ≡ (66 mod 5 ⋅ 36 mod 5) mod 5.

66 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 65 + 1 = 13 ⋅ 5 + 1 ist.

36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 36) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 319¹=319

2: 319²=319¹⁺¹=319¹⋅319¹ ≡ 319⋅319=101761 ≡ 573 mod 617

4: 319⁴=319²⁺²=319²⋅319² ≡ 573⋅573=328329 ≡ 85 mod 617

8: 319⁸=319⁴⁺⁴=319⁴⋅319⁴ ≡ 85⋅85=7225 ≡ 438 mod 617

16: 319¹⁶=319⁸⁺⁸=319⁸⋅319⁸ ≡ 438⋅438=191844 ≡ 574 mod 617

32: 319³²=319¹⁶⁺¹⁶=319¹⁶⋅319¹⁶ ≡ 574⋅574=329476 ≡ 615 mod 617

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

337²⁴⁵

= 337^{128+64+32+16+4+1}

= 337¹²⁸⋅337⁶⁴⋅337³²⋅337¹⁶⋅337⁴⋅337¹

≡ 84 ⋅ 105 ⋅ 288 ⋅ 138 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521
≡ 8820 ⋅ 288 ⋅ 138 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521 ≡ 484 ⋅ 288 ⋅ 138 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521
≡ 139392 ⋅ 138 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521 ≡ 285 ⋅ 138 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521
≡ 39330 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521 ≡ 255 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521
≡ 20655 ⋅ 337 mod 521 ≡ 336 ⋅ 337 mod 521
≡ 113232 mod 521 ≡ 175 mod 521

Es gilt also: 337²⁴⁵ ≡ 175 mod 521

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53	= 1⋅29 + 24
=>29	= 1⋅24 + 5
=>24	= 4⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24) = -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29) = 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53