Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16003 + 232) mod 8 ≡ (16003 mod 8 + 232 mod 8) mod 8.

16003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003 = 16000+3 = 8 ⋅ 2000 +3.

232 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 232 = 240-8 = 8 ⋅ 30 -8 = 8 ⋅ 30 - 8 + 0.

Somit gilt:

(16003 + 232) mod 8 ≡ (3 + 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 62) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 62 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 62) mod 7 ≡ (6 ⋅ 6) mod 7 ≡ 36 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 588¹=588

2: 588²=588¹⁺¹=588¹⋅588¹ ≡ 588⋅588=345744 ≡ 224 mod 617

4: 588⁴=588²⁺²=588²⋅588² ≡ 224⋅224=50176 ≡ 199 mod 617

8: 588⁸=588⁴⁺⁴=588⁴⋅588⁴ ≡ 199⋅199=39601 ≡ 113 mod 617

16: 588¹⁶=588⁸⁺⁸=588⁸⋅588⁸ ≡ 113⋅113=12769 ≡ 429 mod 617

32: 588³²=588¹⁶⁺¹⁶=588¹⁶⋅588¹⁶ ≡ 429⋅429=184041 ≡ 175 mod 617

64: 588⁶⁴=588³²⁺³²=588³²⋅588³² ≡ 175⋅175=30625 ≡ 392 mod 617

128: 588¹²⁸=588⁶⁴⁺⁶⁴=588⁶⁴⋅588⁶⁴ ≡ 392⋅392=153664 ≡ 31 mod 617

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

317²²⁹

= 317^{128+64+32+4+1}

= 317¹²⁸⋅317⁶⁴⋅317³²⋅317⁴⋅317¹

≡ 642 ⋅ 377 ⋅ 410 ⋅ 428 ⋅ 317 mod 937
≡ 242034 ⋅ 410 ⋅ 428 ⋅ 317 mod 937 ≡ 288 ⋅ 410 ⋅ 428 ⋅ 317 mod 937
≡ 118080 ⋅ 428 ⋅ 317 mod 937 ≡ 18 ⋅ 428 ⋅ 317 mod 937
≡ 7704 ⋅ 317 mod 937 ≡ 208 ⋅ 317 mod 937
≡ 65936 mod 937 ≡ 346 mod 937

Es gilt also: 317²²⁹ ≡ 346 mod 937

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

=>59	= 1⋅40 + 19
=>40	= 2⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 40-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1)
19= 59-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40) = -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -28⋅40

-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40

-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1

(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1

31⋅40 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1

Somit 31⋅40 = 1 mod 59

31 ist also das Inverse von 40 mod 59