Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(601 - 14998) mod 3 ≡ (601 mod 3 - 14998 mod 3) mod 3.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 15000-2 = 3 ⋅ 5000 -2 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(601 - 14998) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 64) mod 6 ≡ (66 mod 6 ⋅ 64 mod 6) mod 6.

66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 64) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 183¹=183

2: 183²=183¹⁺¹=183¹⋅183¹ ≡ 183⋅183=33489 ≡ 101 mod 491

4: 183⁴=183²⁺²=183²⋅183² ≡ 101⋅101=10201 ≡ 381 mod 491

8: 183⁸=183⁴⁺⁴=183⁴⋅183⁴ ≡ 381⋅381=145161 ≡ 316 mod 491

16: 183¹⁶=183⁸⁺⁸=183⁸⋅183⁸ ≡ 316⋅316=99856 ≡ 183 mod 491

32: 183³²=183¹⁶⁺¹⁶=183¹⁶⋅183¹⁶ ≡ 183⋅183=33489 ≡ 101 mod 491

64: 183⁶⁴=183³²⁺³²=183³²⋅183³² ≡ 101⋅101=10201 ≡ 381 mod 491

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

563²⁴⁵

= 563^{128+64+32+16+4+1}

= 563¹²⁸⋅563⁶⁴⋅563³²⋅563¹⁶⋅563⁴⋅563¹

≡ 615 ⋅ 625 ⋅ 25 ⋅ 902 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907
≡ 384375 ⋅ 25 ⋅ 902 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907 ≡ 714 ⋅ 25 ⋅ 902 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907
≡ 17850 ⋅ 902 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907 ≡ 617 ⋅ 902 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907
≡ 556534 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907 ≡ 543 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907
≡ 41268 ⋅ 563 mod 907 ≡ 453 ⋅ 563 mod 907
≡ 255039 mod 907 ≡ 172 mod 907

Es gilt also: 563²⁴⁵ ≡ 172 mod 907

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59