Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (159 + 402) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(159 + 402) mod 4 ≡ (159 mod 4 + 402 mod 4) mod 4.

159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159 = 160-1 = 4 ⋅ 40 -1 = 4 ⋅ 40 - 4 + 3.

402 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402 = 400+2 = 4 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(159 + 402) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 87) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 87) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 87 mod 11) mod 11.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 87) mod 11 ≡ (4 ⋅ 10) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14732 mod 227.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 147 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1471=147

2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 44 mod 227

4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 120 mod 227

8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 99 mod 227

16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 40 mod 227

32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 11 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28677 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

1: 2861=286

2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 363 mod 673

4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 534 mod 673

8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 477 mod 673

16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 55 mod 673

32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 333 mod 673

64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673

28677

= 28664+8+4+1

= 28664⋅2868⋅2864⋅2861

517 ⋅ 477 ⋅ 534 ⋅ 286 mod 673
246609 ⋅ 534 ⋅ 286 mod 673 ≡ 291 ⋅ 534 ⋅ 286 mod 673
155394 ⋅ 286 mod 673 ≡ 604 ⋅ 286 mod 673
172744 mod 673 ≡ 456 mod 673

Es gilt also: 28677 ≡ 456 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54

=>71 = 1⋅54 + 17
=>54 = 3⋅17 + 3
=>17 = 5⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 17-5⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3)
= -1⋅17 +6⋅ 3 (=1)
3= 54-3⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17)
= 6⋅54 -19⋅ 17 (=1)
17= 71-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54)
= -19⋅71 +25⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54

oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅71 = +25⋅54

Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1

Somit 25⋅54 = 1 mod 71

25 ist also das Inverse von 54 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.