Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (244 + 8008) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(244 + 8008) mod 8 ≡ (244 mod 8 + 8008 mod 8) mod 8.

244 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244 = 240+4 = 8 ⋅ 30 +4.

8008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8008 = 8000+8 = 8 ⋅ 1000 +8.

Somit gilt:

(244 + 8008) mod 8 ≡ (4 + 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 60) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 60) mod 8 ≡ (34 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.

34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 60) mod 8 ≡ (2 ⋅ 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1358 mod 431.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 135 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1351=135

2: 1352=1351+1=1351⋅1351 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 123 mod 431

4: 1354=1352+2=1352⋅1352 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 44 mod 431

8: 1358=1354+4=1354⋅1354 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 212 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35377 mod 757.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

1: 3531=353

2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 461 mod 757

4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 561 mod 757

8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 566 mod 757

16: 35316=3538+8=3538⋅3538 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 145 mod 757

32: 35332=35316+16=35316⋅35316 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 586 mod 757

64: 35364=35332+32=35332⋅35332 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 475 mod 757

35377

= 35364+8+4+1

= 35364⋅3538⋅3534⋅3531

475 ⋅ 566 ⋅ 561 ⋅ 353 mod 757
268850 ⋅ 561 ⋅ 353 mod 757 ≡ 115 ⋅ 561 ⋅ 353 mod 757
64515 ⋅ 353 mod 757 ≡ 170 ⋅ 353 mod 757
60010 mod 757 ≡ 207 mod 757

Es gilt also: 35377 ≡ 207 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 80.

Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 80

=>89 = 1⋅80 + 9
=>80 = 8⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,80)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 80-8⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(80 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅80 +8⋅ 9)
= -1⋅80 +9⋅ 9 (=1)
9= 89-1⋅80 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅80 +9⋅(89 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +9⋅89 -9⋅ 80)
= 9⋅89 -10⋅ 80 (=1)

Es gilt also: ggt(89,80)=1 = 9⋅89 -10⋅80

oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅89 = -10⋅80

-10⋅80 = -9⋅89 + 1 |+89⋅80

-10⋅80 + 89⋅80 = -9⋅89 + 89⋅80 + 1

(-10 + 89) ⋅ 80 = (-9 + 80) ⋅ 89 + 1

79⋅80 = 71⋅89 + 1

Es gilt also: 79⋅80 = 71⋅89 +1

Somit 79⋅80 = 1 mod 89

79 ist also das Inverse von 80 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.