Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (905 - 2706) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(905 - 2706) mod 9 ≡ (905 mod 9 - 2706 mod 9) mod 9.
905 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 905
= 900
2706 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2706
= 2700
Somit gilt:
(905 - 2706) mod 9 ≡ (5 - 6) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 93) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 93) mod 3 ≡ (87 mod 3 ⋅ 93 mod 3) mod 3.
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 87 + 0 = 29 ⋅ 3 + 0 ist.
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 93) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5048 mod 859.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 611 mod 859
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 611⋅611=373321 ≡ 515 mod 859
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 653 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 161199 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:
199 = 128+64+4+2+1
1: 1611=161
2: 1612=1611+1=1611⋅1611 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 244 mod 317
4: 1614=1612+2=1612⋅1612 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 257 mod 317
8: 1618=1614+4=1614⋅1614 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 113 mod 317
16: 16116=1618+8=1618⋅1618 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 89 mod 317
32: 16132=16116+16=16116⋅16116 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 313 mod 317
64: 16164=16132+32=16132⋅16132 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 16 mod 317
128: 161128=16164+64=16164⋅16164 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 317
161199
= 161128+64+4+2+1
= 161128⋅16164⋅1614⋅1612⋅1611
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 257 ⋅ 244 ⋅ 161 mod 317
≡ 4096 ⋅ 257 ⋅ 244 ⋅ 161 mod 317 ≡ 292 ⋅ 257 ⋅ 244 ⋅ 161 mod 317
≡ 75044 ⋅ 244 ⋅ 161 mod 317 ≡ 232 ⋅ 244 ⋅ 161 mod 317
≡ 56608 ⋅ 161 mod 317 ≡ 182 ⋅ 161 mod 317
≡ 29302 mod 317 ≡ 138 mod 317
Es gilt also: 161199 ≡ 138 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44
| =>59 | = 1⋅44 + 15 |
| =>44 | = 2⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 44-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15) = -1⋅44 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44) = 3⋅59 -4⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -4⋅44
-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44
-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1
(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1
55⋅44 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1
Somit 55⋅44 = 1 mod 59
55 ist also das Inverse von 44 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
