Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (303 + 150) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(303 + 150) mod 3 ≡ (303 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.

303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 3 ⋅ 100 +3.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(303 + 150) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 30) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 30) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 30 mod 10) mod 10.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

30 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 3 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 30) mod 10 ≡ (3 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35116 mod 397.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 351 -> x
2. mod(x²,397) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3511=351

2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 131 mod 397

4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 90 mod 397

8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 160 mod 397

16: 35116=3518+8=3518⋅3518 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 192 mod 397

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 13494 mod 383.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 1341=134

2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 338 mod 383

4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 110 mod 383

8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 227 mod 383

16: 13416=1348+8=1348⋅1348 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 207 mod 383

32: 13432=13416+16=13416⋅13416 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 336 mod 383

64: 13464=13432+32=13432⋅13432 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 294 mod 383

13494

= 13464+16+8+4+2

= 13464⋅13416⋅1348⋅1344⋅1342

294 ⋅ 207 ⋅ 227 ⋅ 110 ⋅ 338 mod 383
60858 ⋅ 227 ⋅ 110 ⋅ 338 mod 383 ≡ 344 ⋅ 227 ⋅ 110 ⋅ 338 mod 383
78088 ⋅ 110 ⋅ 338 mod 383 ≡ 339 ⋅ 110 ⋅ 338 mod 383
37290 ⋅ 338 mod 383 ≡ 139 ⋅ 338 mod 383
46982 mod 383 ≡ 256 mod 383

Es gilt also: 13494 ≡ 256 mod 383

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53

=>97 = 1⋅53 + 44
=>53 = 1⋅44 + 9
=>44 = 4⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9)
= -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44)
= 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)
44= 97-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53)
= -6⋅97 +11⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53

oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅97 = +11⋅53

Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1

Somit 11⋅53 = 1 mod 97

11 ist also das Inverse von 53 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.