Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 - 1499) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 - 1499) mod 3 ≡ (30 mod 3 - 1499 mod 3) mod 3.
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30
= 30
1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499
= 1500
Somit gilt:
(30 - 1499) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 36) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 36) mod 8 ≡ (90 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.
90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.
36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 36) mod 8 ≡ (2 ⋅ 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41616 mod 661.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 416 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4161=416
2: 4162=4161+1=4161⋅4161 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 535 mod 661
4: 4164=4162+2=4162⋅4162 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 12 mod 661
8: 4168=4164+4=4164⋅4164 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 661
16: 41616=4168+8=4168⋅4168 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 245 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23799 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 176 mod 421
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 243 mod 421
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 109 mod 421
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 93 mod 421
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 229 mod 421
64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 237 mod 421
23799
= 23764+32+2+1
= 23764⋅23732⋅2372⋅2371
≡ 237 ⋅ 229 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421
≡ 54273 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421 ≡ 385 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421
≡ 67760 ⋅ 237 mod 421 ≡ 400 ⋅ 237 mod 421
≡ 94800 mod 421 ≡ 75 mod 421
Es gilt also: 23799 ≡ 75 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 72
| =>101 | = 1⋅72 + 29 |
| =>72 | = 2⋅29 + 14 |
| =>29 | = 2⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-2⋅14 | |||
| 14= 72-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -2⋅(72 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -2⋅72 +4⋅ 29) = -2⋅72 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 101-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅72 +5⋅(101 -1⋅ 72)
= -2⋅72 +5⋅101 -5⋅ 72) = 5⋅101 -7⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,72)=1 = 5⋅101 -7⋅72
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -7⋅72
-7⋅72 = -5⋅101 + 1 |+101⋅72
-7⋅72 + 101⋅72 = -5⋅101 + 101⋅72 + 1
(-7 + 101) ⋅ 72 = (-5 + 72) ⋅ 101 + 1
94⋅72 = 67⋅101 + 1
Es gilt also: 94⋅72 = 67⋅101 +1
Somit 94⋅72 = 1 mod 101
94 ist also das Inverse von 72 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
