Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (150 + 900) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(150 + 900) mod 3 ≡ (150 mod 3 + 900 mod 3) mod 3.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(150 + 900) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 84) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 84) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 84 mod 7) mod 7.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 84) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3288 mod 439.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,439) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3281=328

2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 29 mod 439

4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 29⋅29=841 ≡ 402 mod 439

8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 52 mod 439

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49193 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:

93 = 64+16+8+4+1

1: 4911=491

2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617

4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617

8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617

16: 49116=4918+8=4918⋅4918 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617

32: 49132=49116+16=49116⋅49116 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617

64: 49164=49132+32=49132⋅49132 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617

49193

= 49164+16+8+4+1

= 49164⋅49116⋅4918⋅4914⋅4911

491 ⋅ 451 ⋅ 491 ⋅ 408 ⋅ 491 mod 617
221441 ⋅ 491 ⋅ 408 ⋅ 491 mod 617 ≡ 555 ⋅ 491 ⋅ 408 ⋅ 491 mod 617
272505 ⋅ 408 ⋅ 491 mod 617 ≡ 408 ⋅ 408 ⋅ 491 mod 617
166464 ⋅ 491 mod 617 ≡ 491 ⋅ 491 mod 617
241081 mod 617 ≡ 451 mod 617

Es gilt also: 49193 ≡ 451 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.

Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94

=>101 = 1⋅94 + 7
=>94 = 13⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,94)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 94-13⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7)
= -2⋅94 +27⋅ 7 (=1)
7= 101-1⋅94 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94)
= 27⋅101 -29⋅ 94 (=1)

Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94

oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -27⋅101 = -29⋅94

-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94

-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1

(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1

72⋅94 = 67⋅101 + 1

Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1

Somit 72⋅94 = 1 mod 101

72 ist also das Inverse von 94 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.