Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (706 - 275) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(706 - 275) mod 7 ≡ (706 mod 7 - 275 mod 7) mod 7.
706 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 706
= 700
275 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275
= 280
Somit gilt:
(706 - 275) mod 7 ≡ (6 - 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 18) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 18) mod 10 ≡ (96 mod 10 ⋅ 18 mod 10) mod 10.
96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.
18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 18) mod 10 ≡ (6 ⋅ 8) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1758 mod 269.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 175 -> x
2. mod(x²,269) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1751=175
2: 1752=1751+1=1751⋅1751 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 228 mod 269
4: 1754=1752+2=1752⋅1752 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 67 mod 269
8: 1758=1754+4=1754⋅1754 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 185 mod 269
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27686 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:
86 = 64+16+4+2
1: 2761=276
2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 760 mod 857
4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 839 mod 857
8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 839⋅839=703921 ≡ 324 mod 857
16: 27616=2768+8=2768⋅2768 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 422 mod 857
32: 27632=27616+16=27616⋅27616 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 685 mod 857
64: 27664=27632+32=27632⋅27632 ≡ 685⋅685=469225 ≡ 446 mod 857
27686
= 27664+16+4+2
= 27664⋅27616⋅2764⋅2762
≡ 446 ⋅ 422 ⋅ 839 ⋅ 760 mod 857
≡ 188212 ⋅ 839 ⋅ 760 mod 857 ≡ 529 ⋅ 839 ⋅ 760 mod 857
≡ 443831 ⋅ 760 mod 857 ≡ 762 ⋅ 760 mod 857
≡ 579120 mod 857 ≡ 645 mod 857
Es gilt also: 27686 ≡ 645 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29
| =>71 | = 2⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29) = 9⋅71 -22⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -22⋅29
-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29
-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1
(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1
49⋅29 = 20⋅71 + 1
Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1
Somit 49⋅29 = 1 mod 71
49 ist also das Inverse von 29 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
