Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18006 - 898) mod 9 ≡ (18006 mod 9 - 898 mod 9) mod 9.

18006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18006 = 18000+6 = 9 ⋅ 2000 +6.

898 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 9 ⋅ 100 -2 = 9 ⋅ 100 - 9 + 7.

Somit gilt:

(18006 - 898) mod 9 ≡ (6 - 7) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 48) mod 10 ≡ (55 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 48) mod 10 ≡ (5 ⋅ 8) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 151¹=151

2: 151²=151¹⁺¹=151¹⋅151¹ ≡ 151⋅151=22801 ≡ 147 mod 241

4: 151⁴=151²⁺²=151²⋅151² ≡ 147⋅147=21609 ≡ 160 mod 241

8: 151⁸=151⁴⁺⁴=151⁴⋅151⁴ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241

16: 151¹⁶=151⁸⁺⁸=151⁸⋅151⁸ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241

32: 151³²=151¹⁶⁺¹⁶=151¹⁶⋅151¹⁶ ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241

64: 151⁶⁴=151³²⁺³²=151³²⋅151³² ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241

128: 151¹²⁸=151⁶⁴⁺⁶⁴=151⁶⁴⋅151⁶⁴ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:

172 = 128+32+8+4

278¹⁷²

= 278^128+32+8+4

= 278¹²⁸⋅278³²⋅278⁸⋅278⁴

≡ 140 ⋅ 131 ⋅ 265 ⋅ 176 mod 353
≡ 18340 ⋅ 265 ⋅ 176 mod 353 ≡ 337 ⋅ 265 ⋅ 176 mod 353
≡ 89305 ⋅ 176 mod 353 ≡ 349 ⋅ 176 mod 353
≡ 61424 mod 353 ≡ 2 mod 353

Es gilt also: 278¹⁷² ≡ 2 mod 353

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33

=>97	= 2⋅33 + 31
=>33	= 1⋅31 + 2
=>31	= 15⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31) = 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 97-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33) = -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -47⋅33

-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33

-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1

(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1

50⋅33 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1

Somit 50⋅33 = 1 mod 97

50 ist also das Inverse von 33 mod 97