Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1206 - 298) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1206 - 298) mod 6 ≡ (1206 mod 6 - 298 mod 6) mod 6.

1206 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1206 = 1200+6 = 6 ⋅ 200 +6.

298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 6 ⋅ 50 -2 = 6 ⋅ 50 - 6 + 4.

Somit gilt:

(1206 - 298) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 48) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 48) mod 4 ≡ (49 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.

49 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 12 ⋅ 4 + 1 ist.

48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 48) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22732 mod 257.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 227 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2271=227

2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 129 mod 257

4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 193 mod 257

8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257

16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 350125 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

1: 3501=350

2: 3502=3501+1=3501⋅3501 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 209 mod 409

4: 3504=3502+2=3502⋅3502 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 327 mod 409

8: 3508=3504+4=3504⋅3504 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 180 mod 409

16: 35016=3508+8=3508⋅3508 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 89 mod 409

32: 35032=35016+16=35016⋅35016 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 150 mod 409

64: 35064=35032+32=35032⋅35032 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 5 mod 409

350125

= 35064+32+16+8+4+1

= 35064⋅35032⋅35016⋅3508⋅3504⋅3501

5 ⋅ 150 ⋅ 89 ⋅ 180 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409
750 ⋅ 89 ⋅ 180 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409 ≡ 341 ⋅ 89 ⋅ 180 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409
30349 ⋅ 180 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409 ≡ 83 ⋅ 180 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409
14940 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409 ≡ 216 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409
70632 ⋅ 350 mod 409 ≡ 284 ⋅ 350 mod 409
99400 mod 409 ≡ 13 mod 409

Es gilt also: 350125 ≡ 13 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89 = 1⋅53 + 36
=>53 = 1⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36)
= 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53)
= 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53)
= -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.