Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45008 - 88) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45008 - 88) mod 9 ≡ (45008 mod 9 - 88 mod 9) mod 9.
45008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45008
= 45000
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
Somit gilt:
(45008 - 88) mod 9 ≡ (8 - 7) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 54) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 54) mod 11 ≡ (50 mod 11 ⋅ 54 mod 11) mod 11.
50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.
54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 54) mod 11 ≡ (6 ⋅ 10) mod 11 ≡ 60 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26032 mod 797.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 260 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2601=260
2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 652 mod 797
4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 303 mod 797
8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 154 mod 797
16: 26016=2608+8=2608⋅2608 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 603 mod 797
32: 26032=26016+16=26016⋅26016 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 177 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29689 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:
89 = 64+16+8+1
1: 2961=296
2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 283 mod 677
4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 203 mod 677
8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 589 mod 677
16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 297 mod 677
32: 29632=29616+16=29616⋅29616 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 199 mod 677
64: 29664=29632+32=29632⋅29632 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 335 mod 677
29689
= 29664+16+8+1
= 29664⋅29616⋅2968⋅2961
≡ 335 ⋅ 297 ⋅ 589 ⋅ 296 mod 677
≡ 99495 ⋅ 589 ⋅ 296 mod 677 ≡ 653 ⋅ 589 ⋅ 296 mod 677
≡ 384617 ⋅ 296 mod 677 ≡ 81 ⋅ 296 mod 677
≡ 23976 mod 677 ≡ 281 mod 677
Es gilt also: 29689 ≡ 281 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30
| =>73 | = 2⋅30 + 13 |
| =>30 | = 2⋅13 + 4 |
| =>13 | = 3⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-3⋅4 | |||
| 4= 30-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 73-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30) = 7⋅73 -17⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -17⋅30
-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30
-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1
(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1
56⋅30 = 23⋅73 + 1
Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1
Somit 56⋅30 = 1 mod 73
56 ist also das Inverse von 30 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
