Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26996 - 45006) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26996 - 45006) mod 9 ≡ (26996 mod 9 - 45006 mod 9) mod 9.

26996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26996 = 27000-4 = 9 ⋅ 3000 -4 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 5.

45006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45006 = 45000+6 = 9 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(26996 - 45006) mod 9 ≡ (5 - 6) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 88) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 88) mod 8 ≡ (63 mod 8 ⋅ 88 mod 8) mod 8.

63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 88) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60032 mod 641.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 600 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6001=600

2: 6002=6001+1=6001⋅6001 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 399 mod 641

4: 6004=6002+2=6002⋅6002 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 233 mod 641

8: 6008=6004+4=6004⋅6004 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 445 mod 641

16: 60016=6008+8=6008⋅6008 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 597 mod 641

32: 60032=60016+16=60016⋅60016 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 13 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 965220 mod 997.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

1: 9651=965

2: 9652=9651+1=9651⋅9651 ≡ 965⋅965=931225 ≡ 27 mod 997

4: 9654=9652+2=9652⋅9652 ≡ 27⋅27=729 ≡ 729 mod 997

8: 9658=9654+4=9654⋅9654 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 40 mod 997

16: 96516=9658+8=9658⋅9658 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 603 mod 997

32: 96532=96516+16=96516⋅96516 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 701 mod 997

64: 96564=96532+32=96532⋅96532 ≡ 701⋅701=491401 ≡ 877 mod 997

128: 965128=96564+64=96564⋅96564 ≡ 877⋅877=769129 ≡ 442 mod 997

965220

= 965128+64+16+8+4

= 965128⋅96564⋅96516⋅9658⋅9654

442 ⋅ 877 ⋅ 603 ⋅ 40 ⋅ 729 mod 997
387634 ⋅ 603 ⋅ 40 ⋅ 729 mod 997 ≡ 798 ⋅ 603 ⋅ 40 ⋅ 729 mod 997
481194 ⋅ 40 ⋅ 729 mod 997 ≡ 640 ⋅ 40 ⋅ 729 mod 997
25600 ⋅ 729 mod 997 ≡ 675 ⋅ 729 mod 997
492075 mod 997 ≡ 554 mod 997

Es gilt also: 965220 ≡ 554 mod 997

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36

=>53 = 1⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36)
= 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -25⋅36

-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36

-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1

(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1

28⋅36 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1

Somit 28⋅36 = 1 mod 53

28 ist also das Inverse von 36 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.