Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25000 - 2000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25000 - 2000) mod 5 ≡ (25000 mod 5 - 2000 mod 5) mod 5.
25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000
= 25000
2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
Somit gilt:
(25000 - 2000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 88) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 88) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 88 mod 3) mod 3.
51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 87 + 1 = 29 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 88) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37716 mod 739.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 377 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3771=377
2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 241 mod 739
4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 439 mod 739
8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 581 mod 739
16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 577 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 166185 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 1661=166
2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 233 mod 307
4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 257 mod 307
8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 44 mod 307
16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 94 mod 307
32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 240 mod 307
64: 16664=16632+32=16632⋅16632 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 191 mod 307
128: 166128=16664+64=16664⋅16664 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 255 mod 307
166185
= 166128+32+16+8+1
= 166128⋅16632⋅16616⋅1668⋅1661
≡ 255 ⋅ 240 ⋅ 94 ⋅ 44 ⋅ 166 mod 307
≡ 61200 ⋅ 94 ⋅ 44 ⋅ 166 mod 307 ≡ 107 ⋅ 94 ⋅ 44 ⋅ 166 mod 307
≡ 10058 ⋅ 44 ⋅ 166 mod 307 ≡ 234 ⋅ 44 ⋅ 166 mod 307
≡ 10296 ⋅ 166 mod 307 ≡ 165 ⋅ 166 mod 307
≡ 27390 mod 307 ≡ 67 mod 307
Es gilt also: 166185 ≡ 67 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22
| =>61 | = 2⋅22 + 17 |
| =>22 | = 1⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 22-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1) |
| 17= 61-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +25⋅22
Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1
Somit 25⋅22 = 1 mod 61
25 ist also das Inverse von 22 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
