Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15003 - 203) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15003 - 203) mod 5 ≡ (15003 mod 5 - 203 mod 5) mod 5.

15003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 5 ⋅ 3000 +3.

203 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203 = 200+3 = 5 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(15003 - 203) mod 5 ≡ (3 - 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 23) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 23) mod 4 ≡ (66 mod 4 ⋅ 23 mod 4) mod 4.

66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.

23 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 5 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 23) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32664 mod 439.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 326 -> x
2. mod(x²,439) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3261=326

2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 38 mod 439

4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 127 mod 439

8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 325 mod 439

16: 32616=3268+8=3268⋅3268 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 265 mod 439

32: 32632=32616+16=32616⋅32616 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 424 mod 439

64: 32664=32632+32=32632⋅32632 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 225 mod 439

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31778 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:

78 = 64+8+4+2

1: 3171=317

2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 291 mod 421

4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 60 mod 421

8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 232 mod 421

16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 357 mod 421

32: 31732=31716+16=31716⋅31716 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 307 mod 421

64: 31764=31732+32=31732⋅31732 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 366 mod 421

31778

= 31764+8+4+2

= 31764⋅3178⋅3174⋅3172

366 ⋅ 232 ⋅ 60 ⋅ 291 mod 421
84912 ⋅ 60 ⋅ 291 mod 421 ≡ 291 ⋅ 60 ⋅ 291 mod 421
17460 ⋅ 291 mod 421 ≡ 199 ⋅ 291 mod 421
57909 mod 421 ≡ 232 mod 421

Es gilt also: 31778 ≡ 232 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79 = 1⋅47 + 32
=>47 = 1⋅32 + 15
=>32 = 2⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15)
= -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32)
= 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47)
= 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47)
= -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.