Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2498 + 204) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2498 + 204) mod 5 ≡ (2498 mod 5 + 204 mod 5) mod 5.

2498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2498 = 2400+98 = 5 ⋅ 480 +98.

204 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 200+4 = 5 ⋅ 40 +4.

Somit gilt:

(2498 + 204) mod 5 ≡ (3 + 4) mod 5 ≡ 7 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 64) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 64) mod 6 ≡ (70 mod 6 ⋅ 64 mod 6) mod 6.

70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 64) mod 6 ≡ (4 ⋅ 4) mod 6 ≡ 16 mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 52116 mod 647.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 521 -> x
2. mod(x²,647) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5211=521

2: 5212=5211+1=5211⋅5211 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 348 mod 647

4: 5214=5212+2=5212⋅5212 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 115 mod 647

8: 5218=5214+4=5214⋅5214 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 285 mod 647

16: 52116=5218+8=5218⋅5218 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 350 mod 647

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 785239 mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

1: 7851=785

2: 7852=7851+1=7851⋅7851 ≡ 785⋅785=616225 ≡ 867 mod 983

4: 7854=7852+2=7852⋅7852 ≡ 867⋅867=751689 ≡ 677 mod 983

8: 7858=7854+4=7854⋅7854 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 251 mod 983

16: 78516=7858+8=7858⋅7858 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 89 mod 983

32: 78532=78516+16=78516⋅78516 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 57 mod 983

64: 78564=78532+32=78532⋅78532 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 300 mod 983

128: 785128=78564+64=78564⋅78564 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 547 mod 983

785239

= 785128+64+32+8+4+2+1

= 785128⋅78564⋅78532⋅7858⋅7854⋅7852⋅7851

547 ⋅ 300 ⋅ 57 ⋅ 251 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983
164100 ⋅ 57 ⋅ 251 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983 ≡ 922 ⋅ 57 ⋅ 251 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983
52554 ⋅ 251 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983 ≡ 455 ⋅ 251 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983
114205 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983 ≡ 177 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983
119829 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983 ≡ 886 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983
768162 ⋅ 785 mod 983 ≡ 439 ⋅ 785 mod 983
344615 mod 983 ≡ 565 mod 983

Es gilt also: 785239 ≡ 565 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 56

=>101 = 1⋅56 + 45
=>56 = 1⋅45 + 11
=>45 = 4⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 45-4⋅11
11= 56-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅45 -4⋅(56 -1⋅ 45)
= 1⋅45 -4⋅56 +4⋅ 45)
= -4⋅56 +5⋅ 45 (=1)
45= 101-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅56 +5⋅(101 -1⋅ 56)
= -4⋅56 +5⋅101 -5⋅ 56)
= 5⋅101 -9⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(101,56)=1 = 5⋅101 -9⋅56

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -9⋅56

-9⋅56 = -5⋅101 + 1 |+101⋅56

-9⋅56 + 101⋅56 = -5⋅101 + 101⋅56 + 1

(-9 + 101) ⋅ 56 = (-5 + 56) ⋅ 101 + 1

92⋅56 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 92⋅56 = 51⋅101 +1

Somit 92⋅56 = 1 mod 101

92 ist also das Inverse von 56 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.