Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (797 + 121) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(797 + 121) mod 4 ≡ (797 mod 4 + 121 mod 4) mod 4.
797 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797
= 700
121 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
Somit gilt:
(797 + 121) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 87) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 87) mod 9 ≡ (35 mod 9 ⋅ 87 mod 9) mod 9.
35 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 27 + 8 = 3 ⋅ 9 + 8 ist.
87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 87) mod 9 ≡ (8 ⋅ 6) mod 9 ≡ 48 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 728128 mod 881.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 728 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7281=728
2: 7282=7281+1=7281⋅7281 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 503 mod 881
4: 7284=7282+2=7282⋅7282 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 162 mod 881
8: 7288=7284+4=7284⋅7284 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 695 mod 881
16: 72816=7288+8=7288⋅7288 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 237 mod 881
32: 72832=72816+16=72816⋅72816 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 666 mod 881
64: 72864=72832+32=72832⋅72832 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 413 mod 881
128: 728128=72864+64=72864⋅72864 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 536 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32962 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 4 mod 331
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 331
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 331
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 329 mod 331
32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 4 mod 331
32962
= 32932+16+8+4+2
= 32932⋅32916⋅3298⋅3294⋅3292
≡ 4 ⋅ 329 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 mod 331
≡ 1316 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 mod 331 ≡ 323 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 mod 331
≡ 82688 ⋅ 16 ⋅ 4 mod 331 ≡ 269 ⋅ 16 ⋅ 4 mod 331
≡ 4304 ⋅ 4 mod 331 ≡ 1 ⋅ 4 mod 331
≡ 4 mod 331
Es gilt also: 32962 ≡ 4 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
