Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(596 - 2996) mod 6 ≡ (596 mod 6 - 2996 mod 6) mod 6.

596 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 596 = 600-4 = 6 ⋅ 100 -4 = 6 ⋅ 100 - 6 + 2.

2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996 = 3000-4 = 6 ⋅ 500 -4 = 6 ⋅ 500 - 6 + 2.

Somit gilt:

(596 - 2996) mod 6 ≡ (2 - 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 43) mod 8 ≡ (20 mod 8 ⋅ 43 mod 8) mod 8.

20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.

43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 43) mod 8 ≡ (4 ⋅ 3) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 103¹=103

2: 103²=103¹⁺¹=103¹⋅103¹ ≡ 103⋅103=10609 ≡ 40 mod 271

4: 103⁴=103²⁺²=103²⋅103² ≡ 40⋅40=1600 ≡ 245 mod 271

8: 103⁸=103⁴⁺⁴=103⁴⋅103⁴ ≡ 245⋅245=60025 ≡ 134 mod 271

16: 103¹⁶=103⁸⁺⁸=103⁸⋅103⁸ ≡ 134⋅134=17956 ≡ 70 mod 271

32: 103³²=103¹⁶⁺¹⁶=103¹⁶⋅103¹⁶ ≡ 70⋅70=4900 ≡ 22 mod 271

64: 103⁶⁴=103³²⁺³²=103³²⋅103³² ≡ 22⋅22=484 ≡ 213 mod 271

128: 103¹²⁸=103⁶⁴⁺⁶⁴=103⁶⁴⋅103⁶⁴ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 112 mod 271

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 195 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 195 an und zerlegen 195 in eine Summer von 2er-Potenzen:

195 = 128+64+2+1

159¹⁹⁵

= 159^128+64+2+1

= 159¹²⁸⋅159⁶⁴⋅159²⋅159¹

≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 74 ⋅ 159 mod 277
≡ 4096 ⋅ 74 ⋅ 159 mod 277 ≡ 218 ⋅ 74 ⋅ 159 mod 277
≡ 16132 ⋅ 159 mod 277 ≡ 66 ⋅ 159 mod 277
≡ 10494 mod 277 ≡ 245 mod 277

Es gilt also: 159¹⁹⁵ ≡ 245 mod 277

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 32

=>53	= 1⋅32 + 21
=>32	= 1⋅21 + 11
=>21	= 1⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 32-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅21 +2⋅(32 -1⋅ 21) = -1⋅21 +2⋅32 -2⋅ 21) = 2⋅32 -3⋅ 21 (=1)
21= 53-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅32 -3⋅(53 -1⋅ 32) = 2⋅32 -3⋅53 +3⋅ 32) = -3⋅53 +5⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(53,32)=1 = -3⋅53 +5⋅32

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +5⋅32

Es gilt also: 5⋅32 = 3⋅53 +1

Somit 5⋅32 = 1 mod 53

5 ist also das Inverse von 32 mod 53