Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (704 - 208) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(704 - 208) mod 7 ≡ (704 mod 7 - 208 mod 7) mod 7.

704 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 704 = 700+4 = 7 ⋅ 100 +4.

208 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 208 = 210-2 = 7 ⋅ 30 -2 = 7 ⋅ 30 - 7 + 5.

Somit gilt:

(704 - 208) mod 7 ≡ (4 - 5) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 36) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 36) mod 8 ≡ (59 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.

59 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 7 ⋅ 8 + 3 ist.

36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 36) mod 8 ≡ (3 ⋅ 4) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3048 mod 409.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 304 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3041=304

2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 391 mod 409

4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 324 mod 409

8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 272 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31861 mod 811.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

1: 3181=318

2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 560 mod 811

4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 554 mod 811

8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 358 mod 811

16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 26 mod 811

32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 811

31861

= 31832+16+8+4+1

= 31832⋅31816⋅3188⋅3184⋅3181

676 ⋅ 26 ⋅ 358 ⋅ 554 ⋅ 318 mod 811
17576 ⋅ 358 ⋅ 554 ⋅ 318 mod 811 ≡ 545 ⋅ 358 ⋅ 554 ⋅ 318 mod 811
195110 ⋅ 554 ⋅ 318 mod 811 ≡ 470 ⋅ 554 ⋅ 318 mod 811
260380 ⋅ 318 mod 811 ≡ 49 ⋅ 318 mod 811
15582 mod 811 ≡ 173 mod 811

Es gilt also: 31861 ≡ 173 mod 811

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71 = 1⋅42 + 29
=>42 = 1⋅29 + 13
=>29 = 2⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13)
= -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29)
= 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42)
= -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.