Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(806 + 15995) mod 8 ≡ (806 mod 8 + 15995 mod 8) mod 8.

806 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 806 = 800+6 = 8 ⋅ 100 +6.

15995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15995 = 15000+995 = 8 ⋅ 1875 +995.

Somit gilt:

(806 + 15995) mod 8 ≡ (6 + 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 31) mod 5 ≡ (86 mod 5 ⋅ 31 mod 5) mod 5.

86 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 85 + 1 = 17 ⋅ 5 + 1 ist.

31 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 6 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 31) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 361¹=361

2: 361²=361¹⁺¹=361¹⋅361¹ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 117 mod 757

4: 361⁴=361²⁺²=361²⋅361² ≡ 117⋅117=13689 ≡ 63 mod 757

8: 361⁸=361⁴⁺⁴=361⁴⋅361⁴ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 184 mod 757

16: 361¹⁶=361⁸⁺⁸=361⁸⋅361⁸ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 548 mod 757

32: 361³²=361¹⁶⁺¹⁶=361¹⁶⋅361¹⁶ ≡ 548⋅548=300304 ≡ 532 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

80²²³

= 80^{128+64+16+8+4+2+1}

= 80¹²⁸⋅80⁶⁴⋅80¹⁶⋅80⁸⋅80⁴⋅80²⋅80¹

≡ 211 ⋅ 100 ⋅ 201 ⋅ 204 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251
≡ 21100 ⋅ 201 ⋅ 204 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251 ≡ 16 ⋅ 201 ⋅ 204 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251
≡ 3216 ⋅ 204 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251 ≡ 204 ⋅ 204 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251
≡ 41616 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251 ≡ 201 ⋅ 63 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251
≡ 12663 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251 ≡ 113 ⋅ 125 ⋅ 80 mod 251
≡ 14125 ⋅ 80 mod 251 ≡ 69 ⋅ 80 mod 251
≡ 5520 mod 251 ≡ 249 mod 251

Es gilt also: 80²²³ ≡ 249 mod 251

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89	= 1⋅46 + 43
=>46	= 1⋅43 + 3
=>43	= 14⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43) = 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46) = -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89