Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21002 - 700) mod 7 ≡ (21002 mod 7 - 700 mod 7) mod 7.

21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002 = 21000+2 = 7 ⋅ 3000 +2.

700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700 = 700+0 = 7 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(21002 - 700) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 41) mod 3 ≡ (96 mod 3 ⋅ 41 mod 3) mod 3.

96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.

41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 41) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 432¹=432

2: 432²=432¹⁺¹=432¹⋅432¹ ≡ 432⋅432=186624 ≡ 121 mod 443

4: 432⁴=432²⁺²=432²⋅432² ≡ 121⋅121=14641 ≡ 22 mod 443

8: 432⁸=432⁴⁺⁴=432⁴⋅432⁴ ≡ 22⋅22=484 ≡ 41 mod 443

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

362²⁴⁷

= 362^{128+64+32+16+4+2+1}

= 362¹²⁸⋅362⁶⁴⋅362³²⋅362¹⁶⋅362⁴⋅362²⋅362¹

≡ 361 ⋅ 19 ⋅ 92 ⋅ 241 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563
≡ 6859 ⋅ 92 ⋅ 241 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563 ≡ 103 ⋅ 92 ⋅ 241 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563
≡ 9476 ⋅ 241 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563 ≡ 468 ⋅ 241 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563
≡ 112788 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563 ≡ 188 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563
≡ 39292 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563 ≡ 445 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563
≡ 190460 ⋅ 362 mod 563 ≡ 166 ⋅ 362 mod 563
≡ 60092 mod 563 ≡ 414 mod 563

Es gilt also: 362²⁴⁷ ≡ 414 mod 563

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

=>59	= 1⋅40 + 19
=>40	= 2⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 40-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1)
19= 59-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40) = -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -28⋅40

-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40

-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1

(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1

31⋅40 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1

Somit 31⋅40 = 1 mod 59

31 ist also das Inverse von 40 mod 59