Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34995 + 7007) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34995 + 7007) mod 7 ≡ (34995 mod 7 + 7007 mod 7) mod 7.

34995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34995 = 35000-5 = 7 ⋅ 5000 -5 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 2.

7007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7007 = 7000+7 = 7 ⋅ 1000 +7.

Somit gilt:

(34995 + 7007) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 33) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 33) mod 11 ≡ (46 mod 11 ⋅ 33 mod 11) mod 11.

46 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 4 ⋅ 11 + 2 ist.

33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 33) mod 11 ≡ (2 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38116 mod 631.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3811=381

2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 31 mod 631

4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 31⋅31=961 ≡ 330 mod 631

8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 368 mod 631

16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 390 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 677158 mod 971.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 6771=677

2: 6772=6771+1=6771⋅6771 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 17 mod 971

4: 6774=6772+2=6772⋅6772 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 971

8: 6778=6774+4=6774⋅6774 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 15 mod 971

16: 67716=6778+8=6778⋅6778 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 971

32: 67732=67716+16=67716⋅67716 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 133 mod 971

64: 67764=67732+32=67732⋅67732 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 211 mod 971

128: 677128=67764+64=67764⋅67764 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 826 mod 971

677158

= 677128+16+8+4+2

= 677128⋅67716⋅6778⋅6774⋅6772

826 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 971
185850 ⋅ 15 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 971 ≡ 389 ⋅ 15 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 971
5835 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 971 ≡ 9 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 971
2601 ⋅ 17 mod 971 ≡ 659 ⋅ 17 mod 971
11203 mod 971 ≡ 522 mod 971

Es gilt also: 677158 ≡ 522 mod 971

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36

=>89 = 2⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 89-2⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36)
= 17⋅89 -42⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -42⋅36

-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36

-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1

(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1

47⋅36 = 19⋅89 + 1

Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1

Somit 47⋅36 = 1 mod 89

47 ist also das Inverse von 36 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.