Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (599 + 2998) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(599 + 2998) mod 3 ≡ (599 mod 3 + 2998 mod 3) mod 3.
599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599
= 600
2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998
= 3000
Somit gilt:
(599 + 2998) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 55) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 55) mod 4 ≡ (83 mod 4 ⋅ 55 mod 4) mod 4.
83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 20 ⋅ 4 + 3 ist.
55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 55) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2868 mod 601.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 286 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2861=286
2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 60 mod 601
4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 595 mod 601
8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 36 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 530212 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 5301=530
2: 5302=5301+1=5301⋅5301 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 314 mod 587
4: 5304=5302+2=5302⋅5302 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 567 mod 587
8: 5308=5304+4=5304⋅5304 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 400 mod 587
16: 53016=5308+8=5308⋅5308 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 336 mod 587
32: 53032=53016+16=53016⋅53016 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 192 mod 587
64: 53064=53032+32=53032⋅53032 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 470 mod 587
128: 530128=53064+64=53064⋅53064 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 188 mod 587
530212
= 530128+64+16+4
= 530128⋅53064⋅53016⋅5304
≡ 188 ⋅ 470 ⋅ 336 ⋅ 567 mod 587
≡ 88360 ⋅ 336 ⋅ 567 mod 587 ≡ 310 ⋅ 336 ⋅ 567 mod 587
≡ 104160 ⋅ 567 mod 587 ≡ 261 ⋅ 567 mod 587
≡ 147987 mod 587 ≡ 63 mod 587
Es gilt also: 530212 ≡ 63 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
