Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1502 - 1495) mod 5 ≡ (1502 mod 5 - 1495 mod 5) mod 5.

1502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 5 ⋅ 300 +2.

1495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1495 = 1400+95 = 5 ⋅ 280 +95.

Somit gilt:

(1502 - 1495) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 49) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 49) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 535¹=535

2: 535²=535¹⁺¹=535¹⋅535¹ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 247 mod 619

4: 535⁴=535²⁺²=535²⋅535² ≡ 247⋅247=61009 ≡ 347 mod 619

8: 535⁸=535⁴⁺⁴=535⁴⋅535⁴ ≡ 347⋅347=120409 ≡ 323 mod 619

16: 535¹⁶=535⁸⁺⁸=535⁸⋅535⁸ ≡ 323⋅323=104329 ≡ 337 mod 619

32: 535³²=535¹⁶⁺¹⁶=535¹⁶⋅535¹⁶ ≡ 337⋅337=113569 ≡ 292 mod 619

64: 535⁶⁴=535³²⁺³²=535³²⋅535³² ≡ 292⋅292=85264 ≡ 461 mod 619

128: 535¹²⁸=535⁶⁴⁺⁶⁴=535⁶⁴⋅535⁶⁴ ≡ 461⋅461=212521 ≡ 204 mod 619

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

224¹²²

= 224^64+32+16+8+2

= 224⁶⁴⋅224³²⋅224¹⁶⋅224⁸⋅224²

≡ 49 ⋅ 232 ⋅ 145 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239
≡ 11368 ⋅ 145 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239 ≡ 135 ⋅ 145 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239
≡ 19575 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239 ≡ 216 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239
≡ 38016 ⋅ 225 mod 239 ≡ 15 ⋅ 225 mod 239
≡ 3375 mod 239 ≡ 29 mod 239

Es gilt also: 224¹²² ≡ 29 mod 239

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21

=>53	= 2⋅21 + 11
=>21	= 1⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 53-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21) = -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -5⋅21

-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21

-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1

(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1

48⋅21 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1

Somit 48⋅21 = 1 mod 53

48 ist also das Inverse von 21 mod 53