Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5996 - 17999) mod 6 ≡ (5996 mod 6 - 17999 mod 6) mod 6.

5996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5996 = 6000-4 = 6 ⋅ 1000 -4 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 2.

17999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17999 = 18000-1 = 6 ⋅ 3000 -1 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 5.

Somit gilt:

(5996 - 17999) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 41) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 41 mod 11) mod 11.

24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.

41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 41) mod 11 ≡ (2 ⋅ 8) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 166¹=166

2: 166²=166¹⁺¹=166¹⋅166¹ ≡ 166⋅166=27556 ≡ 105 mod 283

4: 166⁴=166²⁺²=166²⋅166² ≡ 105⋅105=11025 ≡ 271 mod 283

8: 166⁸=166⁴⁺⁴=166⁴⋅166⁴ ≡ 271⋅271=73441 ≡ 144 mod 283

16: 166¹⁶=166⁸⁺⁸=166⁸⋅166⁸ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 77 mod 283

32: 166³²=166¹⁶⁺¹⁶=166¹⁶⋅166¹⁶ ≡ 77⋅77=5929 ≡ 269 mod 283

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

922²⁴⁷

= 922^{128+64+32+16+4+2+1}

= 922¹²⁸⋅922⁶⁴⋅922³²⋅922¹⁶⋅922⁴⋅922²⋅922¹

≡ 830 ⋅ 575 ⋅ 379 ⋅ 392 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929
≡ 477250 ⋅ 379 ⋅ 392 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929 ≡ 673 ⋅ 379 ⋅ 392 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929
≡ 255067 ⋅ 392 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929 ≡ 521 ⋅ 392 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929
≡ 204232 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929 ≡ 781 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929
≡ 424083 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929 ≡ 459 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929
≡ 22491 ⋅ 922 mod 929 ≡ 195 ⋅ 922 mod 929
≡ 179790 mod 929 ≡ 493 mod 929

Es gilt also: 922²⁴⁷ ≡ 493 mod 929

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61	= 2⋅28 + 5
=>28	= 5⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28) = 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61