Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 + 5995) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 + 5995) mod 6 ≡ (1200 mod 6 + 5995 mod 6) mod 6.
1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
5995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5995
= 6000
Somit gilt:
(1200 + 5995) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 75) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 75) mod 3 ≡ (83 mod 3 ⋅ 75 mod 3) mod 3.
83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 75) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14916 mod 439.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 149 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 251 mod 439
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 224 mod 439
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 130 mod 439
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 218 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 297114 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 2971=297
2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 138 mod 947
4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 104 mod 947
8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 399 mod 947
16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 105 mod 947
32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 608 mod 947
64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 334 mod 947
297114
= 29764+32+16+2
= 29764⋅29732⋅29716⋅2972
≡ 334 ⋅ 608 ⋅ 105 ⋅ 138 mod 947
≡ 203072 ⋅ 105 ⋅ 138 mod 947 ≡ 414 ⋅ 105 ⋅ 138 mod 947
≡ 43470 ⋅ 138 mod 947 ≡ 855 ⋅ 138 mod 947
≡ 117990 mod 947 ≡ 562 mod 947
Es gilt also: 297114 ≡ 562 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48
| =>61 | = 1⋅48 + 13 |
| =>48 | = 3⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 48-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +14⋅48
Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1
Somit 14⋅48 = 1 mod 61
14 ist also das Inverse von 48 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
