Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (396 + 800) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(396 + 800) mod 4 ≡ (396 mod 4 + 800 mod 4) mod 4.
396 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396
= 300
800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800
= 800
Somit gilt:
(396 + 800) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 44) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 44) mod 9 ≡ (16 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.
16 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 9 + 7 = 1 ⋅ 9 + 7 ist.
44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 44) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 724128 mod 809.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 724 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7241=724
2: 7242=7241+1=7241⋅7241 ≡ 724⋅724=524176 ≡ 753 mod 809
4: 7244=7242+2=7242⋅7242 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 709 mod 809
8: 7248=7244+4=7244⋅7244 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 292 mod 809
16: 72416=7248+8=7248⋅7248 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 319 mod 809
32: 72432=72416+16=72416⋅72416 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 636 mod 809
64: 72464=72432+32=72432⋅72432 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 805 mod 809
128: 724128=72464+64=72464⋅72464 ≡ 805⋅805=648025 ≡ 16 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 597235 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:
235 = 128+64+32+8+2+1
1: 5971=597
2: 5972=5971+1=5971⋅5971 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 349 mod 937
4: 5974=5972+2=5972⋅5972 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 928 mod 937
8: 5978=5974+4=5974⋅5974 ≡ 928⋅928=861184 ≡ 81 mod 937
16: 59716=5978+8=5978⋅5978 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 2 mod 937
32: 59732=59716+16=59716⋅59716 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 937
64: 59764=59732+32=59732⋅59732 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 937
128: 597128=59764+64=59764⋅59764 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 937
597235
= 597128+64+32+8+2+1
= 597128⋅59764⋅59732⋅5978⋅5972⋅5971
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 81 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937
≡ 4096 ⋅ 4 ⋅ 81 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937 ≡ 348 ⋅ 4 ⋅ 81 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937
≡ 1392 ⋅ 81 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937 ≡ 455 ⋅ 81 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937
≡ 36855 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937 ≡ 312 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937
≡ 108888 ⋅ 597 mod 937 ≡ 196 ⋅ 597 mod 937
≡ 117012 mod 937 ≡ 824 mod 937
Es gilt also: 597235 ≡ 824 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 98.
Also bestimme x, so dass 98 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 98
| =>101 | = 1⋅98 + 3 |
| =>98 | = 32⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,98)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 98-32⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(98 -32⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅98 +32⋅ 3) = -1⋅98 +33⋅ 3 (=1) |
| 3= 101-1⋅98 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅98 +33⋅(101 -1⋅ 98)
= -1⋅98 +33⋅101 -33⋅ 98) = 33⋅101 -34⋅ 98 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,98)=1 = 33⋅101 -34⋅98
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -34⋅98
-34⋅98 = -33⋅101 + 1 |+101⋅98
-34⋅98 + 101⋅98 = -33⋅101 + 101⋅98 + 1
(-34 + 101) ⋅ 98 = (-33 + 98) ⋅ 101 + 1
67⋅98 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 67⋅98 = 65⋅101 +1
Somit 67⋅98 = 1 mod 101
67 ist also das Inverse von 98 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
