Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2999 - 61) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2999 - 61) mod 3 ≡ (2999 mod 3 - 61 mod 3) mod 3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60+1 = 3 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(2999 - 61) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 76) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 76) mod 7 ≡ (37 mod 7 ⋅ 76 mod 7) mod 7.

37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.

76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 76) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 779128 mod 887.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 779 -> x
2. mod(x²,887) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7791=779

2: 7792=7791+1=7791⋅7791 ≡ 779⋅779=606841 ≡ 133 mod 887

4: 7794=7792+2=7792⋅7792 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 836 mod 887

8: 7798=7794+4=7794⋅7794 ≡ 836⋅836=698896 ≡ 827 mod 887

16: 77916=7798+8=7798⋅7798 ≡ 827⋅827=683929 ≡ 52 mod 887

32: 77932=77916+16=77916⋅77916 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 43 mod 887

64: 77964=77932+32=77932⋅77932 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 75 mod 887

128: 779128=77964+64=77964⋅77964 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 303 mod 887

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 58186 mod 811.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:

86 = 64+16+4+2

1: 5811=581

2: 5812=5811+1=5811⋅5811 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 185 mod 811

4: 5814=5812+2=5812⋅5812 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 163 mod 811

8: 5818=5814+4=5814⋅5814 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 617 mod 811

16: 58116=5818+8=5818⋅5818 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 330 mod 811

32: 58132=58116+16=58116⋅58116 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 226 mod 811

64: 58164=58132+32=58132⋅58132 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 794 mod 811

58186

= 58164+16+4+2

= 58164⋅58116⋅5814⋅5812

794 ⋅ 330 ⋅ 163 ⋅ 185 mod 811
262020 ⋅ 163 ⋅ 185 mod 811 ≡ 67 ⋅ 163 ⋅ 185 mod 811
10921 ⋅ 185 mod 811 ≡ 378 ⋅ 185 mod 811
69930 mod 811 ≡ 184 mod 811

Es gilt also: 58186 ≡ 184 mod 811

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 62.

Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 62

=>67 = 1⋅62 + 5
=>62 = 12⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,62)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 62-12⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(62 -12⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅62 +24⋅ 5)
= -2⋅62 +25⋅ 5 (=1)
5= 67-1⋅62 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅62 +25⋅(67 -1⋅ 62)
= -2⋅62 +25⋅67 -25⋅ 62)
= 25⋅67 -27⋅ 62 (=1)

Es gilt also: ggt(67,62)=1 = 25⋅67 -27⋅62

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -27⋅62

-27⋅62 = -25⋅67 + 1 |+67⋅62

-27⋅62 + 67⋅62 = -25⋅67 + 67⋅62 + 1

(-27 + 67) ⋅ 62 = (-25 + 62) ⋅ 67 + 1

40⋅62 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 40⋅62 = 37⋅67 +1

Somit 40⋅62 = 1 mod 67

40 ist also das Inverse von 62 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.