Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35001 + 14000) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35001 + 14000) mod 7 ≡ (35001 mod 7 + 14000 mod 7) mod 7.

35001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35001 = 35000+1 = 7 ⋅ 5000 +1.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(35001 + 14000) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 36) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 36) mod 3 ≡ (67 mod 3 ⋅ 36 mod 3) mod 3.

67 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 22 ⋅ 3 + 1 ist.

36 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 12 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 36) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 10932 mod 229.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 109 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1091=109

2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 202 mod 229

4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 42 mod 229

8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 161 mod 229

16: 10916=1098+8=1098⋅1098 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 44 mod 229

32: 10932=10916+16=10916⋅10916 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 104 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 472166 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:

166 = 128+32+4+2

1: 4721=472

2: 4722=4721+1=4721⋅4721 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 47 mod 617

4: 4724=4722+2=4722⋅4722 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 358 mod 617

8: 4728=4724+4=4724⋅4724 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 445 mod 617

16: 47216=4728+8=4728⋅4728 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 585 mod 617

32: 47232=47216+16=47216⋅47216 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 407 mod 617

64: 47264=47232+32=47232⋅47232 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 293 mod 617

128: 472128=47264+64=47264⋅47264 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 86 mod 617

472166

= 472128+32+4+2

= 472128⋅47232⋅4724⋅4722

86 ⋅ 407 ⋅ 358 ⋅ 47 mod 617
35002 ⋅ 358 ⋅ 47 mod 617 ≡ 450 ⋅ 358 ⋅ 47 mod 617
161100 ⋅ 47 mod 617 ≡ 63 ⋅ 47 mod 617
2961 mod 617 ≡ 493 mod 617

Es gilt also: 472166 ≡ 493 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34

=>83 = 2⋅34 + 15
=>34 = 2⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 34-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15)
= 4⋅34 -9⋅ 15 (=1)
15= 83-2⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34)
= -9⋅83 +22⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +22⋅34

Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1

Somit 22⋅34 = 1 mod 83

22 ist also das Inverse von 34 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.