Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (362 - 2695) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(362 - 2695) mod 9 ≡ (362 mod 9 - 2695 mod 9) mod 9.
362 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 362
= 360
2695 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2695
= 2700
Somit gilt:
(362 - 2695) mod 9 ≡ (2 - 4) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 32) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 32) mod 7 ≡ (86 mod 7 ⋅ 32 mod 7) mod 7.
86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.
32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 32) mod 7 ≡ (2 ⋅ 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4338 mod 967.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4331=433
2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 858 mod 967
4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 277 mod 967
8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 336 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 518164 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 5181=518
2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 328 mod 971
4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 774 mod 971
8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 940 mod 971
16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 940⋅940=883600 ≡ 961 mod 971
32: 51832=51816+16=51816⋅51816 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 100 mod 971
64: 51864=51832+32=51832⋅51832 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 290 mod 971
128: 518128=51864+64=51864⋅51864 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 594 mod 971
518164
= 518128+32+4
= 518128⋅51832⋅5184
≡ 594 ⋅ 100 ⋅ 774 mod 971
≡ 59400 ⋅ 774 mod 971 ≡ 169 ⋅ 774 mod 971
≡ 130806 mod 971 ≡ 692 mod 971
Es gilt also: 518164 ≡ 692 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50
| =>73 | = 1⋅50 + 23 |
| =>50 | = 2⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 50-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23) = 6⋅50 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50) = -13⋅73 +19⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +19⋅50
Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1
Somit 19⋅50 = 1 mod 73
19 ist also das Inverse von 50 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
