Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (201 - 998) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(201 - 998) mod 5 ≡ (201 mod 5 - 998 mod 5) mod 5.

201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 5 ⋅ 40 +1.

998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998 = 900+98 = 5 ⋅ 180 +98.

Somit gilt:

(201 - 998) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 58) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 58) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 58 mod 5) mod 5.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 58) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38564 mod 431.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 385 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3851=385

2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 392 mod 431

4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 228 mod 431

8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 264 mod 431

16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 305 mod 431

32: 38532=38516+16=38516⋅38516 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 360 mod 431

64: 38564=38532+32=38532⋅38532 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 300 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 81177 mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:

177 = 128+32+16+1

1: 811=81

2: 812=811+1=811⋅811 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 20 mod 211

4: 814=812+2=812⋅812 ≡ 20⋅20=400 ≡ 189 mod 211

8: 818=814+4=814⋅814 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 62 mod 211

16: 8116=818+8=818⋅818 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 46 mod 211

32: 8132=8116+16=8116⋅8116 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 6 mod 211

64: 8164=8132+32=8132⋅8132 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 211

128: 81128=8164+64=8164⋅8164 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 30 mod 211

81177

= 81128+32+16+1

= 81128⋅8132⋅8116⋅811

≡ 30 ⋅ 6 ⋅ 46 ⋅ 81 mod 211
≡ 180 ⋅ 46 ⋅ 81 mod 211
≡ 8280 ⋅ 81 mod 211 ≡ 51 ⋅ 81 mod 211
≡ 4131 mod 211 ≡ 122 mod 211

Es gilt also: 81177 ≡ 122 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35

=>79 = 2⋅35 + 9
=>35 = 3⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9)
= -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 79-2⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35)
= 4⋅79 -9⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -9⋅35

-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35

-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1

(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1

70⋅35 = 31⋅79 + 1

Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1

Somit 70⋅35 = 1 mod 79

70 ist also das Inverse von 35 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.