Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14003 + 2804) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14003 + 2804) mod 7 ≡ (14003 mod 7 + 2804 mod 7) mod 7.
14003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14003
= 14000
2804 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2804
= 2800
Somit gilt:
(14003 + 2804) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 35) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 35) mod 7 ≡ (33 mod 7 ⋅ 35 mod 7) mod 7.
33 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 28 + 5 = 4 ⋅ 7 + 5 ist.
35 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 5 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 35) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5298 mod 983.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 529 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5291=529
2: 5292=5291+1=5291⋅5291 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 669 mod 983
4: 5294=5292+2=5292⋅5292 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 296 mod 983
8: 5298=5294+4=5294⋅5294 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 129 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 272164 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 81 mod 281
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 98 mod 281
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 50 mod 281
16: 27216=2728+8=2728⋅2728 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 252 mod 281
32: 27232=27216+16=27216⋅27216 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 279 mod 281
64: 27264=27232+32=27232⋅27232 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 4 mod 281
128: 272128=27264+64=27264⋅27264 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 281
272164
= 272128+32+4
= 272128⋅27232⋅2724
≡ 16 ⋅ 279 ⋅ 98 mod 281
≡ 4464 ⋅ 98 mod 281 ≡ 249 ⋅ 98 mod 281
≡ 24402 mod 281 ≡ 236 mod 281
Es gilt also: 272164 ≡ 236 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43
| =>53 | = 1⋅43 + 10 |
| =>43 | = 4⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 43-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1) |
| 10= 53-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43
oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅53 = -16⋅43
-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43
-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1
(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1
37⋅43 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1
Somit 37⋅43 = 1 mod 53
37 ist also das Inverse von 43 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
