Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2403 - 186) mod 6 ≡ (2403 mod 6 - 186 mod 6) mod 6.

2403 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403 = 2400+3 = 6 ⋅ 400 +3.

186 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 186 = 180+6 = 6 ⋅ 30 +6.

Somit gilt:

(2403 - 186) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 39) mod 10 ≡ (74 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.

74 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 7 ⋅ 10 + 4 ist.

39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 39) mod 10 ≡ (4 ⋅ 9) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 617¹=617

2: 617²=617¹⁺¹=617¹⋅617¹ ≡ 617⋅617=380689 ≡ 622 mod 839

4: 617⁴=617²⁺²=617²⋅617² ≡ 622⋅622=386884 ≡ 105 mod 839

8: 617⁸=617⁴⁺⁴=617⁴⋅617⁴ ≡ 105⋅105=11025 ≡ 118 mod 839

16: 617¹⁶=617⁸⁺⁸=617⁸⋅617⁸ ≡ 118⋅118=13924 ≡ 500 mod 839

32: 617³²=617¹⁶⁺¹⁶=617¹⁶⋅617¹⁶ ≡ 500⋅500=250000 ≡ 817 mod 839

64: 617⁶⁴=617³²⁺³²=617³²⋅617³² ≡ 817⋅817=667489 ≡ 484 mod 839

128: 617¹²⁸=617⁶⁴⁺⁶⁴=617⁶⁴⋅617⁶⁴ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 175 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

904¹⁵⁷

= 904^128+16+8+4+1

= 904¹²⁸⋅904¹⁶⋅904⁸⋅904⁴⋅904¹

≡ 351 ⋅ 841 ⋅ 908 ⋅ 616 ⋅ 904 mod 937
≡ 295191 ⋅ 908 ⋅ 616 ⋅ 904 mod 937 ≡ 36 ⋅ 908 ⋅ 616 ⋅ 904 mod 937
≡ 32688 ⋅ 616 ⋅ 904 mod 937 ≡ 830 ⋅ 616 ⋅ 904 mod 937
≡ 511280 ⋅ 904 mod 937 ≡ 615 ⋅ 904 mod 937
≡ 555960 mod 937 ≡ 319 mod 937

Es gilt also: 904¹⁵⁷ ≡ 319 mod 937

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30

=>97	= 3⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-3⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30) = 13⋅97 -42⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -42⋅30

-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30

-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1

(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1

55⋅30 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1

Somit 55⋅30 = 1 mod 97

55 ist also das Inverse von 30 mod 97