Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (165 - 240) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(165 - 240) mod 8 ≡ (165 mod 8 - 240 mod 8) mod 8.
165 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 165
= 160
240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
Somit gilt:
(165 - 240) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 56) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 56) mod 11 ≡ (27 mod 11 ⋅ 56 mod 11) mod 11.
27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.
56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 56) mod 11 ≡ (5 ⋅ 1) mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1608 mod 229.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 160 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1601=160
2: 1602=1601+1=1601⋅1601 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 181 mod 229
4: 1604=1602+2=1602⋅1602 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 14 mod 229
8: 1608=1604+4=1604⋅1604 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 554147 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 5541=554
2: 5542=5541+1=5541⋅5541 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 138 mod 977
4: 5544=5542+2=5542⋅5542 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 481 mod 977
8: 5548=5544+4=5544⋅5544 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 789 mod 977
16: 55416=5548+8=5548⋅5548 ≡ 789⋅789=622521 ≡ 172 mod 977
32: 55432=55416+16=55416⋅55416 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 274 mod 977
64: 55464=55432+32=55432⋅55432 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 824 mod 977
128: 554128=55464+64=55464⋅55464 ≡ 824⋅824=678976 ≡ 938 mod 977
554147
= 554128+16+2+1
= 554128⋅55416⋅5542⋅5541
≡ 938 ⋅ 172 ⋅ 138 ⋅ 554 mod 977
≡ 161336 ⋅ 138 ⋅ 554 mod 977 ≡ 131 ⋅ 138 ⋅ 554 mod 977
≡ 18078 ⋅ 554 mod 977 ≡ 492 ⋅ 554 mod 977
≡ 272568 mod 977 ≡ 962 mod 977
Es gilt also: 554147 ≡ 962 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35
| =>61 | = 1⋅35 + 26 |
| =>35 | = 1⋅26 + 9 |
| =>26 | = 2⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 26-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 35-1⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅26 +3⋅(35 -1⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅35 -3⋅ 26) = 3⋅35 -4⋅ 26 (=1) |
| 26= 61-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅35 -4⋅(61 -1⋅ 35)
= 3⋅35 -4⋅61 +4⋅ 35) = -4⋅61 +7⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,35)=1 = -4⋅61 +7⋅35
oder wenn man -4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +4⋅61 = +7⋅35
Es gilt also: 7⋅35 = 4⋅61 +1
Somit 7⋅35 = 1 mod 61
7 ist also das Inverse von 35 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
