Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8003 - 392) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8003 - 392) mod 8 ≡ (8003 mod 8 - 392 mod 8) mod 8.
8003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003
= 8000
392 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 392
= 400
Somit gilt:
(8003 - 392) mod 8 ≡ (3 - 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 56) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 56) mod 9 ≡ (46 mod 9 ⋅ 56 mod 9) mod 9.
46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.
56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 56) mod 9 ≡ (1 ⋅ 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 162128 mod 241.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 162 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1621=162
2: 1622=1621+1=1621⋅1621 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 216 mod 241
4: 1624=1622+2=1622⋅1622 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 143 mod 241
8: 1628=1624+4=1624⋅1624 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 205 mod 241
16: 16216=1628+8=1628⋅1628 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
32: 16232=16216+16=16216⋅16216 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241
64: 16264=16232+32=16232⋅16232 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241
128: 162128=16264+64=16264⋅16264 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 483220 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:
220 = 128+64+16+8+4
1: 4831=483
2: 4832=4831+1=4831⋅4831 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 256 mod 499
4: 4834=4832+2=4832⋅4832 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 167 mod 499
8: 4838=4834+4=4834⋅4834 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 444 mod 499
16: 48316=4838+8=4838⋅4838 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 31 mod 499
32: 48332=48316+16=48316⋅48316 ≡ 31⋅31=961 ≡ 462 mod 499
64: 48364=48332+32=48332⋅48332 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 371 mod 499
128: 483128=48364+64=48364⋅48364 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 416 mod 499
483220
= 483128+64+16+8+4
= 483128⋅48364⋅48316⋅4838⋅4834
≡ 416 ⋅ 371 ⋅ 31 ⋅ 444 ⋅ 167 mod 499
≡ 154336 ⋅ 31 ⋅ 444 ⋅ 167 mod 499 ≡ 145 ⋅ 31 ⋅ 444 ⋅ 167 mod 499
≡ 4495 ⋅ 444 ⋅ 167 mod 499 ≡ 4 ⋅ 444 ⋅ 167 mod 499
≡ 1776 ⋅ 167 mod 499 ≡ 279 ⋅ 167 mod 499
≡ 46593 mod 499 ≡ 186 mod 499
Es gilt also: 483220 ≡ 186 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65
| =>101 | = 1⋅65 + 36 |
| =>65 | = 1⋅36 + 29 |
| =>36 | = 1⋅29 + 7 |
| =>29 | = 4⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-4⋅7 | |||
| 7= 36-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 65-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36) = 5⋅65 -9⋅ 36 (=1) |
| 36= 101-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65) = -9⋅101 +14⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +14⋅65
Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1
Somit 14⋅65 = 1 mod 101
14 ist also das Inverse von 65 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
