Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2396 + 236) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2396 + 236) mod 6 ≡ (2396 mod 6 + 236 mod 6) mod 6.
2396 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2396
= 2400
236 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236
= 240
Somit gilt:
(2396 + 236) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 45) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 45) mod 6 ≡ (50 mod 6 ⋅ 45 mod 6) mod 6.
50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.
45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 45) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 479128 mod 619.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 479 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4791=479
2: 4792=4791+1=4791⋅4791 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 411 mod 619
4: 4794=4792+2=4792⋅4792 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 553 mod 619
8: 4798=4794+4=4794⋅4794 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 23 mod 619
16: 47916=4798+8=4798⋅4798 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 619
32: 47932=47916+16=47916⋅47916 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 53 mod 619
64: 47964=47932+32=47932⋅47932 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 333 mod 619
128: 479128=47964+64=47964⋅47964 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 88 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16480 mod 347.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 1641=164
2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 177 mod 347
4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 99 mod 347
8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 85 mod 347
16: 16416=1648+8=1648⋅1648 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 285 mod 347
32: 16432=16416+16=16416⋅16416 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 27 mod 347
64: 16464=16432+32=16432⋅16432 ≡ 27⋅27=729 ≡ 35 mod 347
16480
= 16464+16
= 16464⋅16416
≡ 35 ⋅ 285 mod 347
≡ 9975 mod 347 ≡ 259 mod 347
Es gilt also: 16480 ≡ 259 mod 347
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
