Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 + 204) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 + 204) mod 5 ≡ (150 mod 5 + 204 mod 5) mod 5.
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
204 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 200
Somit gilt:
(150 + 204) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 46) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 46) mod 7 ≡ (35 mod 7 ⋅ 46 mod 7) mod 7.
35 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 5 ⋅ 7 + 0 ist.
46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 46) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 94232 mod 953.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 942 -> x
2. mod(x²,953) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9421=942
2: 9422=9421+1=9421⋅9421 ≡ 942⋅942=887364 ≡ 121 mod 953
4: 9424=9422+2=9422⋅9422 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 346 mod 953
8: 9428=9424+4=9424⋅9424 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 591 mod 953
16: 94216=9428+8=9428⋅9428 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 483 mod 953
32: 94232=94216+16=94216⋅94216 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 757 mod 953
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 496180 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:
180 = 128+32+16+4
1: 4961=496
2: 4962=4961+1=4961⋅4961 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 63 mod 587
4: 4964=4962+2=4962⋅4962 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 447 mod 587
8: 4968=4964+4=4964⋅4964 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 229 mod 587
16: 49616=4968+8=4968⋅4968 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 198 mod 587
32: 49632=49616+16=49616⋅49616 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 462 mod 587
64: 49664=49632+32=49632⋅49632 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 363 mod 587
128: 496128=49664+64=49664⋅49664 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 281 mod 587
496180
= 496128+32+16+4
= 496128⋅49632⋅49616⋅4964
≡ 281 ⋅ 462 ⋅ 198 ⋅ 447 mod 587
≡ 129822 ⋅ 198 ⋅ 447 mod 587 ≡ 95 ⋅ 198 ⋅ 447 mod 587
≡ 18810 ⋅ 447 mod 587 ≡ 26 ⋅ 447 mod 587
≡ 11622 mod 587 ≡ 469 mod 587
Es gilt also: 496180 ≡ 469 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 69
| =>89 | = 1⋅69 + 20 |
| =>69 | = 3⋅20 + 9 |
| =>20 | = 2⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 20-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(20 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅20 +8⋅ 9) = -4⋅20 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 69-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅20 +9⋅(69 -3⋅ 20)
= -4⋅20 +9⋅69 -27⋅ 20) = 9⋅69 -31⋅ 20 (=1) |
| 20= 89-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅69 -31⋅(89 -1⋅ 69)
= 9⋅69 -31⋅89 +31⋅ 69) = -31⋅89 +40⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,69)=1 = -31⋅89 +40⋅69
oder wenn man -31⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅89 = +40⋅69
Es gilt also: 40⋅69 = 31⋅89 +1
Somit 40⋅69 = 1 mod 89
40 ist also das Inverse von 69 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
