Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5000 + 25005) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5000 + 25005) mod 5 ≡ (5000 mod 5 + 25005 mod 5) mod 5.

5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000 = 5000+0 = 5 ⋅ 1000 +0.

25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005 = 25000+5 = 5 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(5000 + 25005) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 35) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 35) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 35 mod 7) mod 7.

83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.

35 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 5 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 35) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 285128 mod 457.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 285 -> x
2. mod(x²,457) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2851=285

2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 336 mod 457

4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 17 mod 457

8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 457

16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 347 mod 457

32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 218 mod 457

64: 28564=28532+32=28532⋅28532 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457

128: 285128=28564+64=28564⋅28564 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 16 mod 457

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 673134 mod 991.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

1: 6731=673

2: 6732=6731+1=6731⋅6731 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 42 mod 991

4: 6734=6732+2=6732⋅6732 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 773 mod 991

8: 6738=6734+4=6734⋅6734 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 947 mod 991

16: 67316=6738+8=6738⋅6738 ≡ 947⋅947=896809 ≡ 945 mod 991

32: 67332=67316+16=67316⋅67316 ≡ 945⋅945=893025 ≡ 134 mod 991

64: 67364=67332+32=67332⋅67332 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 118 mod 991

128: 673128=67364+64=67364⋅67364 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 50 mod 991

673134

= 673128+4+2

= 673128⋅6734⋅6732

50 ⋅ 773 ⋅ 42 mod 991
38650 ⋅ 42 mod 991 ≡ 1 ⋅ 42 mod 991
42 mod 991

Es gilt also: 673134 ≡ 42 mod 991

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45

=>97 = 2⋅45 + 7
=>45 = 6⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7)
= -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-2⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45)
= 13⋅97 -28⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -28⋅45

-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45

-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1

(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1

69⋅45 = 32⋅97 + 1

Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1

Somit 69⋅45 = 1 mod 97

69 ist also das Inverse von 45 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.