Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (201 + 10003) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(201 + 10003) mod 5 ≡ (201 mod 5 + 10003 mod 5) mod 5.

201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 5 ⋅ 40 +1.

10003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10003 = 10000+3 = 5 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(201 + 10003) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 37) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 37) mod 5 ≡ (29 mod 5 ⋅ 37 mod 5) mod 5.

29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.

37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 37) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36264 mod 541.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 362 -> x
2. mod(x²,541) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3621=362

2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 122 mod 541

4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 277 mod 541

8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 448 mod 541

16: 36216=3628+8=3628⋅3628 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 534 mod 541

32: 36232=36216+16=36216⋅36216 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 49 mod 541

64: 36264=36232+32=36232⋅36232 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 237 mod 541

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 120117 mod 233.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:

117 = 64+32+16+4+1

1: 1201=120

2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 187 mod 233

4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 19 mod 233

8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 19⋅19=361 ≡ 128 mod 233

16: 12016=1208+8=1208⋅1208 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 74 mod 233

32: 12032=12016+16=12016⋅12016 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 117 mod 233

64: 12064=12032+32=12032⋅12032 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 175 mod 233

120117

= 12064+32+16+4+1

= 12064⋅12032⋅12016⋅1204⋅1201

175 ⋅ 117 ⋅ 74 ⋅ 19 ⋅ 120 mod 233
20475 ⋅ 74 ⋅ 19 ⋅ 120 mod 233 ≡ 204 ⋅ 74 ⋅ 19 ⋅ 120 mod 233
15096 ⋅ 19 ⋅ 120 mod 233 ≡ 184 ⋅ 19 ⋅ 120 mod 233
3496 ⋅ 120 mod 233 ≡ 1 ⋅ 120 mod 233
120 mod 233

Es gilt also: 120117 ≡ 120 mod 233

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63

=>73 = 1⋅63 + 10
=>63 = 6⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 63-6⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10)
= -3⋅63 +19⋅ 10 (=1)
10= 73-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63)
= -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63)
= 19⋅73 -22⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63

oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅73 = -22⋅63

-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63

-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1

(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1

51⋅63 = 44⋅73 + 1

Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1

Somit 51⋅63 = 1 mod 73

51 ist also das Inverse von 63 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.