Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(601 + 6004) mod 6 ≡ (601 mod 6 + 6004 mod 6) mod 6.

601 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 6 ⋅ 100 +1.

6004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6004 = 6000+4 = 6 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(601 + 6004) mod 6 ≡ (1 + 4) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 29) mod 5 ≡ (18 mod 5 ⋅ 29 mod 5) mod 5.

18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.

29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 29) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 268¹=268

2: 268²=268¹⁺¹=268¹⋅268¹ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 59 mod 463

4: 268⁴=268²⁺²=268²⋅268² ≡ 59⋅59=3481 ≡ 240 mod 463

8: 268⁸=268⁴⁺⁴=268⁴⋅268⁴ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 188 mod 463

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

612¹⁹¹

= 612^{128+32+16+8+4+2+1}

= 612¹²⁸⋅612³²⋅612¹⁶⋅612⁸⋅612⁴⋅612²⋅612¹

≡ 405 ⋅ 579 ⋅ 259 ⋅ 413 ⋅ 391 ⋅ 673 ⋅ 612 mod 811
≡ 234495 ⋅ 259 ⋅ 413 ⋅ 391 ⋅ 673 ⋅ 612 mod 811 ≡ 116 ⋅ 259 ⋅ 413 ⋅ 391 ⋅ 673 ⋅ 612 mod 811
≡ 30044 ⋅ 413 ⋅ 391 ⋅ 673 ⋅ 612 mod 811 ≡ 37 ⋅ 413 ⋅ 391 ⋅ 673 ⋅ 612 mod 811
≡ 15281 ⋅ 391 ⋅ 673 ⋅ 612 mod 811 ≡ 683 ⋅ 391 ⋅ 673 ⋅ 612 mod 811
≡ 267053 ⋅ 673 ⋅ 612 mod 811 ≡ 234 ⋅ 673 ⋅ 612 mod 811
≡ 157482 ⋅ 612 mod 811 ≡ 148 ⋅ 612 mod 811
≡ 90576 mod 811 ≡ 555 mod 811

Es gilt also: 612¹⁹¹ ≡ 555 mod 811

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47

=>101	= 2⋅47 + 7
=>47	= 6⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7) = 3⋅47 -20⋅ 7 (=1)
7= 101-2⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47) = 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47) = -20⋅101 +43⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47

oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅101 = +43⋅47

Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1

Somit 43⋅47 = 1 mod 101

43 ist also das Inverse von 47 mod 101