Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24004 - 794) mod 8 ≡ (24004 mod 8 - 794 mod 8) mod 8.

24004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24004 = 24000+4 = 8 ⋅ 3000 +4.

794 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 794 = 800-6 = 8 ⋅ 100 -6 = 8 ⋅ 100 - 8 + 2.

Somit gilt:

(24004 - 794) mod 8 ≡ (4 - 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 38) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.

53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 38) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 640¹=640

2: 640²=640¹⁺¹=640¹⋅640¹ ≡ 640⋅640=409600 ≡ 361 mod 659

4: 640⁴=640²⁺²=640²⋅640² ≡ 361⋅361=130321 ≡ 498 mod 659

8: 640⁸=640⁴⁺⁴=640⁴⋅640⁴ ≡ 498⋅498=248004 ≡ 220 mod 659

16: 640¹⁶=640⁸⁺⁸=640⁸⋅640⁸ ≡ 220⋅220=48400 ≡ 293 mod 659

32: 640³²=640¹⁶⁺¹⁶=640¹⁶⋅640¹⁶ ≡ 293⋅293=85849 ≡ 179 mod 659

64: 640⁶⁴=640³²⁺³²=640³²⋅640³² ≡ 179⋅179=32041 ≡ 409 mod 659

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:

198 = 128+64+4+2

458¹⁹⁸

= 458^128+64+4+2

= 458¹²⁸⋅458⁶⁴⋅458⁴⋅458²

≡ 760 ⋅ 848 ⋅ 240 ⋅ 247 mod 907
≡ 644480 ⋅ 240 ⋅ 247 mod 907 ≡ 510 ⋅ 240 ⋅ 247 mod 907
≡ 122400 ⋅ 247 mod 907 ≡ 862 ⋅ 247 mod 907
≡ 212914 mod 907 ≡ 676 mod 907

Es gilt also: 458¹⁹⁸ ≡ 676 mod 907

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34

=>83	= 2⋅34 + 15
=>34	= 2⋅15 + 4
=>15	= 3⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 34-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15) = -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1)
15= 83-2⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34) = 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +22⋅34

Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1

Somit 22⋅34 = 1 mod 83

22 ist also das Inverse von 34 mod 83