Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27000 - 89) mod 9 ≡ (27000 mod 9 - 89 mod 9) mod 9.

27000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27000 = 27000+0 = 9 ⋅ 3000 +0.

89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 90-1 = 9 ⋅ 10 -1 = 9 ⋅ 10 - 9 + 8.

Somit gilt:

(27000 - 89) mod 9 ≡ (0 - 8) mod 9 ≡ -8 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 93) mod 7 ≡ (70 mod 7 ⋅ 93 mod 7) mod 7.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 93) mod 7 ≡ (0 ⋅ 2) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 277¹=277

2: 277²=277¹⁺¹=277¹⋅277¹ ≡ 277⋅277=76729 ≡ 82 mod 881

4: 277⁴=277²⁺²=277²⋅277² ≡ 82⋅82=6724 ≡ 557 mod 881

8: 277⁸=277⁴⁺⁴=277⁴⋅277⁴ ≡ 557⋅557=310249 ≡ 137 mod 881

16: 277¹⁶=277⁸⁺⁸=277⁸⋅277⁸ ≡ 137⋅137=18769 ≡ 268 mod 881

32: 277³²=277¹⁶⁺¹⁶=277¹⁶⋅277¹⁶ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 463 mod 881

64: 277⁶⁴=277³²⁺³²=277³²⋅277³² ≡ 463⋅463=214369 ≡ 286 mod 881

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

782¹⁵¹

= 782^128+16+4+2+1

= 782¹²⁸⋅782¹⁶⋅782⁴⋅782²⋅782¹

≡ 66 ⋅ 551 ⋅ 625 ⋅ 25 ⋅ 782 mod 787
≡ 36366 ⋅ 625 ⋅ 25 ⋅ 782 mod 787 ≡ 164 ⋅ 625 ⋅ 25 ⋅ 782 mod 787
≡ 102500 ⋅ 25 ⋅ 782 mod 787 ≡ 190 ⋅ 25 ⋅ 782 mod 787
≡ 4750 ⋅ 782 mod 787 ≡ 28 ⋅ 782 mod 787
≡ 21896 mod 787 ≡ 647 mod 787

Es gilt also: 782¹⁵¹ ≡ 647 mod 787

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63

=>71	= 1⋅63 + 8
=>63	= 7⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 63-7⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8) = -1⋅63 +8⋅ 8 (=1)
8= 71-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63) = -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63) = 8⋅71 -9⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63

oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅71 = -9⋅63

-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63

-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1

(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1

62⋅63 = 55⋅71 + 1

Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1

Somit 62⋅63 = 1 mod 71

62 ist also das Inverse von 63 mod 71