Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19998 - 80) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19998 - 80) mod 4 ≡ (19998 mod 4 - 80 mod 4) mod 4.

19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 4 ⋅ 4750 +998.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(19998 - 80) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 44) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 44) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 44 mod 3) mod 3.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 44) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 341128 mod 983.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 341 -> x
2. mod(x²,983) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3411=341

2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 287 mod 983

4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 780 mod 983

8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 906 mod 983

16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 906⋅906=820836 ≡ 31 mod 983

32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 31⋅31=961 ≡ 961 mod 983

64: 34164=34132+32=34132⋅34132 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 484 mod 983

128: 341128=34164+64=34164⋅34164 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 302 mod 983

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 237169 mod 353.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:

169 = 128+32+8+1

1: 2371=237

2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 42 mod 353

4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 352 mod 353

8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 1 mod 353

16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 353

32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 353

64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 353

128: 237128=23764+64=23764⋅23764 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 353

237169

= 237128+32+8+1

= 237128⋅23732⋅2378⋅2371

1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 237 mod 353
1 ⋅ 1 ⋅ 237 mod 353
1 ⋅ 237 mod 353
237 mod 353

Es gilt also: 237169 ≡ 237 mod 353

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60

=>79 = 1⋅60 + 19
=>60 = 3⋅19 + 3
=>19 = 6⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 60-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19)
= -6⋅60 +19⋅ 19 (=1)
19= 79-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60)
= -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60)
= 19⋅79 -25⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60

oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅79 = -25⋅60

-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60

-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1

(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1

54⋅60 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1

Somit 54⋅60 = 1 mod 79

54 ist also das Inverse von 60 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.