Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29994 + 2401) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29994 + 2401) mod 6 ≡ (29994 mod 6 + 2401 mod 6) mod 6.
29994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29994
= 30000
2401 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2401
= 2400
Somit gilt:
(29994 + 2401) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 53) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 53) mod 9 ≡ (46 mod 9 ⋅ 53 mod 9) mod 9.
46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.
53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 53) mod 9 ≡ (1 ⋅ 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5728 mod 757.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 572 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5721=572
2: 5722=5721+1=5721⋅5721 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 160 mod 757
4: 5724=5722+2=5722⋅5722 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 619 mod 757
8: 5728=5724+4=5724⋅5724 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 119 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 764193 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 7641=764
2: 7642=7641+1=7641⋅7641 ≡ 764⋅764=583696 ≡ 80 mod 829
4: 7644=7642+2=7642⋅7642 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 597 mod 829
8: 7648=7644+4=7644⋅7644 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 768 mod 829
16: 76416=7648+8=7648⋅7648 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 405 mod 829
32: 76432=76416+16=76416⋅76416 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 712 mod 829
64: 76464=76432+32=76432⋅76432 ≡ 712⋅712=506944 ≡ 425 mod 829
128: 764128=76464+64=76464⋅76464 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 732 mod 829
764193
= 764128+64+1
= 764128⋅76464⋅7641
≡ 732 ⋅ 425 ⋅ 764 mod 829
≡ 311100 ⋅ 764 mod 829 ≡ 225 ⋅ 764 mod 829
≡ 171900 mod 829 ≡ 297 mod 829
Es gilt also: 764193 ≡ 297 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40
| =>67 | = 1⋅40 + 27 |
| =>40 | = 1⋅27 + 13 |
| =>27 | = 2⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 27-2⋅13 | |||
| 13= 40-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27) = -2⋅40 +3⋅ 27 (=1) |
| 27= 67-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40) = 3⋅67 -5⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -5⋅40
-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40
-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1
(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1
62⋅40 = 37⋅67 + 1
Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1
Somit 62⋅40 = 1 mod 67
62 ist also das Inverse von 40 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
