Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25000 + 50) mod 5 ≡ (25000 mod 5 + 50 mod 5) mod 5.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50+0 = 5 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(25000 + 50) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 60) mod 11 ≡ (96 mod 11 ⋅ 60 mod 11) mod 11.

96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.

60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 60) mod 11 ≡ (8 ⋅ 5) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 270¹=270

2: 270²=270¹⁺¹=270¹⋅270¹ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 67 mod 421

4: 270⁴=270²⁺²=270²⋅270² ≡ 67⋅67=4489 ≡ 279 mod 421

8: 270⁸=270⁴⁺⁴=270⁴⋅270⁴ ≡ 279⋅279=77841 ≡ 377 mod 421

16: 270¹⁶=270⁸⁺⁸=270⁸⋅270⁸ ≡ 377⋅377=142129 ≡ 252 mod 421

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

749²³⁶

= 749^{128+64+32+8+4}

= 749¹²⁸⋅749⁶⁴⋅749³²⋅749⁸⋅749⁴

≡ 374 ⋅ 692 ⋅ 197 ⋅ 568 ⋅ 727 mod 811
≡ 258808 ⋅ 197 ⋅ 568 ⋅ 727 mod 811 ≡ 99 ⋅ 197 ⋅ 568 ⋅ 727 mod 811
≡ 19503 ⋅ 568 ⋅ 727 mod 811 ≡ 39 ⋅ 568 ⋅ 727 mod 811
≡ 22152 ⋅ 727 mod 811 ≡ 255 ⋅ 727 mod 811
≡ 185385 mod 811 ≡ 477 mod 811

Es gilt also: 749²³⁶ ≡ 477 mod 811

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28

=>89	= 3⋅28 + 5
=>28	= 5⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 89-3⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -11⋅(89 -3⋅ 28) = 2⋅28 -11⋅89 +33⋅ 28) = -11⋅89 +35⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(89,28)=1 = -11⋅89 +35⋅28

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +35⋅28

Es gilt also: 35⋅28 = 11⋅89 +1

Somit 35⋅28 = 1 mod 89

35 ist also das Inverse von 28 mod 89