Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1200 + 2999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 + 2999) mod 3 ≡ (1200 mod 3 + 2999 mod 3) mod 3.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(1200 + 2999) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 65) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 65) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 65 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

65 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 16 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 65) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25016 mod 617.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,617) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2501=250

2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 183 mod 617

4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 171 mod 617

8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 242 mod 617

16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 566 mod 617

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 527215 mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

1: 5271=527

2: 5272=5271+1=5271⋅5271 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 223 mod 571

4: 5274=5272+2=5272⋅5272 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 52 mod 571

8: 5278=5274+4=5274⋅5274 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 420 mod 571

16: 52716=5278+8=5278⋅5278 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 532 mod 571

32: 52732=52716+16=52716⋅52716 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 379 mod 571

64: 52764=52732+32=52732⋅52732 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 320 mod 571

128: 527128=52764+64=52764⋅52764 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 191 mod 571

527215

= 527128+64+16+4+2+1

= 527128⋅52764⋅52716⋅5274⋅5272⋅5271

191 ⋅ 320 ⋅ 532 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571
61120 ⋅ 532 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571 ≡ 23 ⋅ 532 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571
12236 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571 ≡ 245 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571
12740 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571 ≡ 178 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571
39694 ⋅ 527 mod 571 ≡ 295 ⋅ 527 mod 571
155465 mod 571 ≡ 153 mod 571

Es gilt also: 527215 ≡ 153 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 87.

Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87

=>97 = 1⋅87 + 10
=>87 = 8⋅10 + 7
=>10 = 1⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 10-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7)
= -2⋅10 +3⋅ 7 (=1)
7= 87-8⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10)
= 3⋅87 -26⋅ 10 (=1)
10= 97-1⋅87 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87)
= 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87)
= -26⋅97 +29⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87

oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +26⋅97 = +29⋅87

Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1

Somit 29⋅87 = 1 mod 97

29 ist also das Inverse von 87 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.