Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44992 + 44999) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44992 + 44999) mod 9 ≡ (44992 mod 9 + 44999 mod 9) mod 9.

44992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44992 = 45000-8 = 9 ⋅ 5000 -8 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 1.

44999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44999 = 45000-1 = 9 ⋅ 5000 -1 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 8.

Somit gilt:

(44992 + 44999) mod 9 ≡ (1 + 8) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 67) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 67) mod 3 ≡ (92 mod 3 ⋅ 67 mod 3) mod 3.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.

67 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 22 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 67) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 53064 mod 701.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 530 -> x
2. mod(x²,701) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5301=530

2: 5302=5301+1=5301⋅5301 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 500 mod 701

4: 5304=5302+2=5302⋅5302 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 444 mod 701

8: 5308=5304+4=5304⋅5304 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 155 mod 701

16: 53016=5308+8=5308⋅5308 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 191 mod 701

32: 53032=53016+16=53016⋅53016 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 29 mod 701

64: 53064=53032+32=53032⋅53032 ≡ 29⋅29=841 ≡ 140 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 217183 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

1: 2171=217

2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 20 mod 389

4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 20⋅20=400 ≡ 11 mod 389

8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 389

16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 248 mod 389

32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 42 mod 389

64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 208 mod 389

128: 217128=21764+64=21764⋅21764 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 85 mod 389

217183

= 217128+32+16+4+2+1

= 217128⋅21732⋅21716⋅2174⋅2172⋅2171

85 ⋅ 42 ⋅ 248 ⋅ 11 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389
3570 ⋅ 248 ⋅ 11 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389 ≡ 69 ⋅ 248 ⋅ 11 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389
17112 ⋅ 11 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389 ≡ 385 ⋅ 11 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389
4235 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389 ≡ 345 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389
6900 ⋅ 217 mod 389 ≡ 287 ⋅ 217 mod 389
62279 mod 389 ≡ 39 mod 389

Es gilt also: 217183 ≡ 39 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79 = 1⋅47 + 32
=>47 = 1⋅32 + 15
=>32 = 2⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15)
= -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32)
= 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47)
= 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47)
= -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.