Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 - 14997) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 - 14997) mod 5 ≡ (52 mod 5 - 14997 mod 5) mod 5.

52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50+2 = 5 ⋅ 10 +2.

14997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 14000+997 = 5 ⋅ 2800 +997.

Somit gilt:

(52 - 14997) mod 5 ≡ (2 - 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 74) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 74) mod 10 ≡ (77 mod 10 ⋅ 74 mod 10) mod 10.

77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.

74 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 7 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 74) mod 10 ≡ (7 ⋅ 4) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 42916 mod 491.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 429 -> x
2. mod(x²,491) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4291=429

2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 407 mod 491

4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 182 mod 491

8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 227 mod 491

16: 42916=4298+8=4298⋅4298 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 465 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 681227 mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

1: 6811=681

2: 6812=6811+1=6811⋅6811 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 705 mod 877

4: 6814=6812+2=6812⋅6812 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 643 mod 877

8: 6818=6814+4=6814⋅6814 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 382 mod 877

16: 68116=6818+8=6818⋅6818 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 342 mod 877

32: 68132=68116+16=68116⋅68116 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 323 mod 877

64: 68164=68132+32=68132⋅68132 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 843 mod 877

128: 681128=68164+64=68164⋅68164 ≡ 843⋅843=710649 ≡ 279 mod 877

681227

= 681128+64+32+2+1

= 681128⋅68164⋅68132⋅6812⋅6811

279 ⋅ 843 ⋅ 323 ⋅ 705 ⋅ 681 mod 877
235197 ⋅ 323 ⋅ 705 ⋅ 681 mod 877 ≡ 161 ⋅ 323 ⋅ 705 ⋅ 681 mod 877
52003 ⋅ 705 ⋅ 681 mod 877 ≡ 260 ⋅ 705 ⋅ 681 mod 877
183300 ⋅ 681 mod 877 ≡ 7 ⋅ 681 mod 877
4767 mod 877 ≡ 382 mod 877

Es gilt also: 681227 ≡ 382 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21

=>53 = 2⋅21 + 11
=>21 = 1⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11)
= -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 53-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21)
= 2⋅53 -5⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -5⋅21

-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21

-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1

(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1

48⋅21 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1

Somit 48⋅21 = 1 mod 53

48 ist also das Inverse von 21 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.