Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2701 + 459) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2701 + 459) mod 9 ≡ (2701 mod 9 + 459 mod 9) mod 9.
2701 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2701
= 2700
459 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 459
= 450
Somit gilt:
(2701 + 459) mod 9 ≡ (1 + 0) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 45) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 45) mod 9 ≡ (82 mod 9 ⋅ 45 mod 9) mod 9.
82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.
45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 45) mod 9 ≡ (1 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11332 mod 241.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 113 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1131=113
2: 1132=1131+1=1131⋅1131 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 237 mod 241
4: 1134=1132+2=1132⋅1132 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 16 mod 241
8: 1138=1134+4=1134⋅1134 ≡ 16⋅16=256 ≡ 15 mod 241
16: 11316=1138+8=1138⋅1138 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241
32: 11332=11316+16=11316⋅11316 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 288192 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 2881=288
2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 486 mod 509
4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 20 mod 509
8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 509
16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 174 mod 509
32: 28832=28816+16=28816⋅28816 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 245 mod 509
64: 28864=28832+32=28832⋅28832 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 472 mod 509
128: 288128=28864+64=28864⋅28864 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 351 mod 509
288192
= 288128+64
= 288128⋅28864
≡ 351 ⋅ 472 mod 509
≡ 165672 mod 509 ≡ 247 mod 509
Es gilt also: 288192 ≡ 247 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25
| =>59 | = 2⋅25 + 9 |
| =>25 | = 2⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 25-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9) = 4⋅25 -11⋅ 9 (=1) |
| 9= 59-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25) = -11⋅59 +26⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +26⋅25
Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1
Somit 26⋅25 = 1 mod 59
26 ist also das Inverse von 25 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
