Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (117 - 1196) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(117 - 1196) mod 4 ≡ (117 mod 4 - 1196 mod 4) mod 4.
117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
1196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1100
Somit gilt:
(117 - 1196) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 84) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 84) mod 9 ≡ (60 mod 9 ⋅ 84 mod 9) mod 9.
60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.
84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 81 + 3 = 9 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 84) mod 9 ≡ (6 ⋅ 3) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43132 mod 829.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 431 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4311=431
2: 4312=4311+1=4311⋅4311 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 65 mod 829
4: 4314=4312+2=4312⋅4312 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 80 mod 829
8: 4318=4314+4=4314⋅4314 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 597 mod 829
16: 43116=4318+8=4318⋅4318 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 768 mod 829
32: 43132=43116+16=43116⋅43116 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 405 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 626221 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:
221 = 128+64+16+8+4+1
1: 6261=626
2: 6262=6261+1=6261⋅6261 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 709 mod 887
4: 6264=6262+2=6262⋅6262 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 639 mod 887
8: 6268=6264+4=6264⋅6264 ≡ 639⋅639=408321 ≡ 301 mod 887
16: 62616=6268+8=6268⋅6268 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 127 mod 887
32: 62632=62616+16=62616⋅62616 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 163 mod 887
64: 62664=62632+32=62632⋅62632 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 846 mod 887
128: 626128=62664+64=62664⋅62664 ≡ 846⋅846=715716 ≡ 794 mod 887
626221
= 626128+64+16+8+4+1
= 626128⋅62664⋅62616⋅6268⋅6264⋅6261
≡ 794 ⋅ 846 ⋅ 127 ⋅ 301 ⋅ 639 ⋅ 626 mod 887
≡ 671724 ⋅ 127 ⋅ 301 ⋅ 639 ⋅ 626 mod 887 ≡ 265 ⋅ 127 ⋅ 301 ⋅ 639 ⋅ 626 mod 887
≡ 33655 ⋅ 301 ⋅ 639 ⋅ 626 mod 887 ≡ 836 ⋅ 301 ⋅ 639 ⋅ 626 mod 887
≡ 251636 ⋅ 639 ⋅ 626 mod 887 ≡ 615 ⋅ 639 ⋅ 626 mod 887
≡ 392985 ⋅ 626 mod 887 ≡ 44 ⋅ 626 mod 887
≡ 27544 mod 887 ≡ 47 mod 887
Es gilt also: 626221 ≡ 47 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30
| =>83 | = 2⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 83-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +36⋅30
Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1
Somit 36⋅30 = 1 mod 83
36 ist also das Inverse von 30 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
