Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (154 + 1598) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(154 + 1598) mod 8 ≡ (154 mod 8 + 1598 mod 8) mod 8.
154 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154
= 160
1598 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1598
= 1600
Somit gilt:
(154 + 1598) mod 8 ≡ (2 + 6) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 37) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 37) mod 3 ≡ (73 mod 3 ⋅ 37 mod 3) mod 3.
73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.
37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 37) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 325128 mod 467.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 325 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3251=325
2: 3252=3251+1=3251⋅3251 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 83 mod 467
4: 3254=3252+2=3252⋅3252 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 351 mod 467
8: 3258=3254+4=3254⋅3254 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 380 mod 467
16: 32516=3258+8=3258⋅3258 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 97 mod 467
32: 32532=32516+16=32516⋅32516 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 69 mod 467
64: 32564=32532+32=32532⋅32532 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 91 mod 467
128: 325128=32564+64=32564⋅32564 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 342 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 415134 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:
134 = 128+4+2
1: 4151=415
2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 158 mod 523
4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 383 mod 523
8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 249 mod 523
16: 41516=4158+8=4158⋅4158 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 287 mod 523
32: 41532=41516+16=41516⋅41516 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 258 mod 523
64: 41564=41532+32=41532⋅41532 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 143 mod 523
128: 415128=41564+64=41564⋅41564 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 52 mod 523
415134
= 415128+4+2
= 415128⋅4154⋅4152
≡ 52 ⋅ 383 ⋅ 158 mod 523
≡ 19916 ⋅ 158 mod 523 ≡ 42 ⋅ 158 mod 523
≡ 6636 mod 523 ≡ 360 mod 523
Es gilt also: 415134 ≡ 360 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27
| =>89 | = 3⋅27 + 8 |
| =>27 | = 3⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 27-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8) = 3⋅27 -10⋅ 8 (=1) |
| 8= 89-3⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27) = -10⋅89 +33⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27
oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅89 = +33⋅27
Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1
Somit 33⋅27 = 1 mod 89
33 ist also das Inverse von 27 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
