Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (321 - 403) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(321 - 403) mod 8 ≡ (321 mod 8 - 403 mod 8) mod 8.
321 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 321
= 320
403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403
= 400
Somit gilt:
(321 - 403) mod 8 ≡ (1 - 3) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 23) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 23) mod 6 ≡ (67 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.
67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.
23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 23) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20164 mod 353.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 201 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2011=201
2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 159 mod 353
4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 218 mod 353
8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 222 mod 353
16: 20116=2018+8=2018⋅2018 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 217 mod 353
32: 20132=20116+16=20116⋅20116 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353
64: 20164=20132+32=20132⋅20132 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 343205 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:
205 = 128+64+8+4+1
1: 3431=343
2: 3432=3431+1=3431⋅3431 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 369 mod 733
4: 3434=3432+2=3432⋅3432 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 556 mod 733
8: 3438=3434+4=3434⋅3434 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 543 mod 733
16: 34316=3438+8=3438⋅3438 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 183 mod 733
32: 34332=34316+16=34316⋅34316 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 504 mod 733
64: 34364=34332+32=34332⋅34332 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 398 mod 733
128: 343128=34364+64=34364⋅34364 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 76 mod 733
343205
= 343128+64+8+4+1
= 343128⋅34364⋅3438⋅3434⋅3431
≡ 76 ⋅ 398 ⋅ 543 ⋅ 556 ⋅ 343 mod 733
≡ 30248 ⋅ 543 ⋅ 556 ⋅ 343 mod 733 ≡ 195 ⋅ 543 ⋅ 556 ⋅ 343 mod 733
≡ 105885 ⋅ 556 ⋅ 343 mod 733 ≡ 333 ⋅ 556 ⋅ 343 mod 733
≡ 185148 ⋅ 343 mod 733 ≡ 432 ⋅ 343 mod 733
≡ 148176 mod 733 ≡ 110 mod 733
Es gilt also: 343205 ≡ 110 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -29⋅30
-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30
-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1
(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1
38⋅30 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1
Somit 38⋅30 = 1 mod 67
38 ist also das Inverse von 30 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
