Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32005 - 240) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32005 - 240) mod 8 ≡ (32005 mod 8 - 240 mod 8) mod 8.

32005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32005 = 32000+5 = 8 ⋅ 4000 +5.

240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 8 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(32005 - 240) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 85) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 85) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 85) mod 10 ≡ (4 ⋅ 5) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 328128 mod 331.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3281=328

2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 9 mod 331

4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 331

8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 272 mod 331

16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 171 mod 331

32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 113 mod 331

64: 32864=32832+32=32832⋅32832 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 191 mod 331

128: 328128=32864+64=32864⋅32864 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 71 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 64484 mod 683.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:

84 = 64+16+4

1: 6441=644

2: 6442=6441+1=6441⋅6441 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 155 mod 683

4: 6444=6442+2=6442⋅6442 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 120 mod 683

8: 6448=6444+4=6444⋅6444 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 57 mod 683

16: 64416=6448+8=6448⋅6448 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 517 mod 683

32: 64432=64416+16=64416⋅64416 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 236 mod 683

64: 64464=64432+32=64432⋅64432 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 373 mod 683

64484

= 64464+16+4

= 64464⋅64416⋅6444

373 ⋅ 517 ⋅ 120 mod 683
192841 ⋅ 120 mod 683 ≡ 235 ⋅ 120 mod 683
28200 mod 683 ≡ 197 mod 683

Es gilt also: 64484 ≡ 197 mod 683

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47

=>61 = 1⋅47 + 14
=>47 = 3⋅14 + 5
=>14 = 2⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 14-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5)
= -1⋅14 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-3⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14)
= 3⋅47 -10⋅ 14 (=1)
14= 61-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47)
= -10⋅61 +13⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47

oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅61 = +13⋅47

Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1

Somit 13⋅47 = 1 mod 61

13 ist also das Inverse von 47 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.