Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (118 + 125) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(118 + 125) mod 6 ≡ (118 mod 6 + 125 mod 6) mod 6.
118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
125 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 125
= 120
Somit gilt:
(118 + 125) mod 6 ≡ (4 + 5) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 41) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 41) mod 6 ≡ (21 mod 6 ⋅ 41 mod 6) mod 6.
21 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 3 ⋅ 6 + 3 ist.
41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 41) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62216 mod 809.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 622 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6221=622
2: 6222=6221+1=6221⋅6221 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 182 mod 809
4: 6224=6222+2=6222⋅6222 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 764 mod 809
8: 6228=6224+4=6224⋅6224 ≡ 764⋅764=583696 ≡ 407 mod 809
16: 62216=6228+8=6228⋅6228 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 613 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 521188 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:
188 = 128+32+16+8+4
1: 5211=521
2: 5212=5211+1=5211⋅5211 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 185 mod 827
4: 5214=5212+2=5212⋅5212 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 318 mod 827
8: 5218=5214+4=5214⋅5214 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 230 mod 827
16: 52116=5218+8=5218⋅5218 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 799 mod 827
32: 52132=52116+16=52116⋅52116 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 784 mod 827
64: 52164=52132+32=52132⋅52132 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 195 mod 827
128: 521128=52164+64=52164⋅52164 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 810 mod 827
521188
= 521128+32+16+8+4
= 521128⋅52132⋅52116⋅5218⋅5214
≡ 810 ⋅ 784 ⋅ 799 ⋅ 230 ⋅ 318 mod 827
≡ 635040 ⋅ 799 ⋅ 230 ⋅ 318 mod 827 ≡ 731 ⋅ 799 ⋅ 230 ⋅ 318 mod 827
≡ 584069 ⋅ 230 ⋅ 318 mod 827 ≡ 207 ⋅ 230 ⋅ 318 mod 827
≡ 47610 ⋅ 318 mod 827 ≡ 471 ⋅ 318 mod 827
≡ 149778 mod 827 ≡ 91 mod 827
Es gilt also: 521188 ≡ 91 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40
| =>89 | = 2⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40) = 9⋅89 -20⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -20⋅40
-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40
-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1
(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1
69⋅40 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1
Somit 69⋅40 = 1 mod 89
69 ist also das Inverse von 40 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
