Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16004 - 404) mod 8 ≡ (16004 mod 8 - 404 mod 8) mod 8.

16004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 8 ⋅ 2000 +4.

404 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404 = 400+4 = 8 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(16004 - 404) mod 8 ≡ (4 - 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 47) mod 3 ≡ (38 mod 3 ⋅ 47 mod 3) mod 3.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 47) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 325¹=325

2: 325²=325¹⁺¹=325¹⋅325¹ ≡ 325⋅325=105625 ≡ 421 mod 797

4: 325⁴=325²⁺²=325²⋅325² ≡ 421⋅421=177241 ≡ 307 mod 797

8: 325⁸=325⁴⁺⁴=325⁴⋅325⁴ ≡ 307⋅307=94249 ≡ 203 mod 797

16: 325¹⁶=325⁸⁺⁸=325⁸⋅325⁸ ≡ 203⋅203=41209 ≡ 562 mod 797

32: 325³²=325¹⁶⁺¹⁶=325¹⁶⋅325¹⁶ ≡ 562⋅562=315844 ≡ 232 mod 797

64: 325⁶⁴=325³²⁺³²=325³²⋅325³² ≡ 232⋅232=53824 ≡ 425 mod 797

128: 325¹²⁸=325⁶⁴⁺⁶⁴=325⁶⁴⋅325⁶⁴ ≡ 425⋅425=180625 ≡ 503 mod 797

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

392⁷⁵

= 392^64+8+2+1

= 392⁶⁴⋅392⁸⋅392²⋅392¹

≡ 25 ⋅ 121 ⋅ 106 ⋅ 392 mod 449
≡ 3025 ⋅ 106 ⋅ 392 mod 449 ≡ 331 ⋅ 106 ⋅ 392 mod 449
≡ 35086 ⋅ 392 mod 449 ≡ 64 ⋅ 392 mod 449
≡ 25088 mod 449 ≡ 393 mod 449

Es gilt also: 392⁷⁵ ≡ 393 mod 449

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79	= 2⋅33 + 13
=>33	= 2⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33) = 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79