Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32007 + 24005) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32007 + 24005) mod 8 ≡ (32007 mod 8 + 24005 mod 8) mod 8.
32007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32007
= 32000
24005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005
= 24000
Somit gilt:
(32007 + 24005) mod 8 ≡ (7 + 5) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 75) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 75) mod 3 ≡ (77 mod 3 ⋅ 75 mod 3) mod 3.
77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 75) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56432 mod 829.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 564 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5641=564
2: 5642=5641+1=5641⋅5641 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 589 mod 829
4: 5644=5642+2=5642⋅5642 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 399 mod 829
8: 5648=5644+4=5644⋅5644 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 33 mod 829
16: 56416=5648+8=5648⋅5648 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 260 mod 829
32: 56432=56416+16=56416⋅56416 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 451 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 651134 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:
134 = 128+4+2
1: 6511=651
2: 6512=6511+1=6511⋅6511 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 177 mod 929
4: 6514=6512+2=6512⋅6512 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 672 mod 929
8: 6518=6514+4=6514⋅6514 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 90 mod 929
16: 65116=6518+8=6518⋅6518 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 668 mod 929
32: 65132=65116+16=65116⋅65116 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 304 mod 929
64: 65164=65132+32=65132⋅65132 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 445 mod 929
128: 651128=65164+64=65164⋅65164 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 148 mod 929
651134
= 651128+4+2
= 651128⋅6514⋅6512
≡ 148 ⋅ 672 ⋅ 177 mod 929
≡ 99456 ⋅ 177 mod 929 ≡ 53 ⋅ 177 mod 929
≡ 9381 mod 929 ≡ 91 mod 929
Es gilt also: 651134 ≡ 91 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32
| =>71 | = 2⋅32 + 7 |
| =>32 | = 4⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 32-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1) |
| 7= 71-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +20⋅32
Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1
Somit 20⋅32 = 1 mod 71
20 ist also das Inverse von 32 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
