Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 - 63) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 - 63) mod 3 ≡ (30 mod 3 - 63 mod 3) mod 3.
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30
= 30
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 60
Somit gilt:
(30 - 63) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 67) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 67) mod 10 ≡ (46 mod 10 ⋅ 67 mod 10) mod 10.
46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.
67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 67) mod 10 ≡ (6 ⋅ 7) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45064 mod 461.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 450 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4501=450
2: 4502=4501+1=4501⋅4501 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 121 mod 461
4: 4504=4502+2=4502⋅4502 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 350 mod 461
8: 4508=4504+4=4504⋅4504 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 335 mod 461
16: 45016=4508+8=4508⋅4508 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 202 mod 461
32: 45032=45016+16=45016⋅45016 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 236 mod 461
64: 45064=45032+32=45032⋅45032 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 376 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 375173 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:
173 = 128+32+8+4+1
1: 3751=375
2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 461 mod 523
4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 183 mod 523
8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 17 mod 523
16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 523
32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 364 mod 523
64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 177 mod 523
128: 375128=37564+64=37564⋅37564 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 472 mod 523
375173
= 375128+32+8+4+1
= 375128⋅37532⋅3758⋅3754⋅3751
≡ 472 ⋅ 364 ⋅ 17 ⋅ 183 ⋅ 375 mod 523
≡ 171808 ⋅ 17 ⋅ 183 ⋅ 375 mod 523 ≡ 264 ⋅ 17 ⋅ 183 ⋅ 375 mod 523
≡ 4488 ⋅ 183 ⋅ 375 mod 523 ≡ 304 ⋅ 183 ⋅ 375 mod 523
≡ 55632 ⋅ 375 mod 523 ≡ 194 ⋅ 375 mod 523
≡ 72750 mod 523 ≡ 53 mod 523
Es gilt also: 375173 ≡ 53 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44
| =>67 | = 1⋅44 + 23 |
| =>44 | = 1⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 44-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1) |
| 23= 67-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44)
= 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44
oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +21⋅67 = +32⋅44
Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1
Somit 32⋅44 = 1 mod 67
32 ist also das Inverse von 44 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
