Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 + 2392) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 + 2392) mod 8 ≡ (75 mod 8 + 2392 mod 8) mod 8.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75
= 80
2392 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2392
= 2400
Somit gilt:
(75 + 2392) mod 8 ≡ (3 + 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 19) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 19) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 19 mod 8) mod 8.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 19) mod 8 ≡ (4 ⋅ 3) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38732 mod 433.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 387 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3871=387
2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 384 mod 433
4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 236 mod 433
8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 272 mod 433
16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 374 mod 433
32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 17 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 222230 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:
230 = 128+64+32+4+2
1: 2221=222
2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 120 mod 241
4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 181 mod 241
8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 226 mod 241
16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 225 mod 241
32: 22232=22216+16=22216⋅22216 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
64: 22264=22232+32=22232⋅22232 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241
128: 222128=22264+64=22264⋅22264 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
222230
= 222128+64+32+4+2
= 222128⋅22264⋅22232⋅2224⋅2222
≡ 15 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 181 ⋅ 120 mod 241
≡ 3375 ⋅ 15 ⋅ 181 ⋅ 120 mod 241 ≡ 1 ⋅ 15 ⋅ 181 ⋅ 120 mod 241
≡ 15 ⋅ 181 ⋅ 120 mod 241
≡ 2715 ⋅ 120 mod 241 ≡ 64 ⋅ 120 mod 241
≡ 7680 mod 241 ≡ 209 mod 241
Es gilt also: 222230 ≡ 209 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80
| =>101 | = 1⋅80 + 21 |
| =>80 | = 3⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 80-3⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(80 -3⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅80 -15⋅ 21) = 5⋅80 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅80 -19⋅(101 -1⋅ 80)
= 5⋅80 -19⋅101 +19⋅ 80) = -19⋅101 +24⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,80)=1 = -19⋅101 +24⋅80
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +24⋅80
Es gilt also: 24⋅80 = 19⋅101 +1
Somit 24⋅80 = 1 mod 101
24 ist also das Inverse von 80 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
