Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1603 + 19997) mod 4 ≡ (1603 mod 4 + 19997 mod 4) mod 4.

1603 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1603 = 1600+3 = 4 ⋅ 400 +3.

19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 4 ⋅ 4750 +997.

Somit gilt:

(1603 + 19997) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 70) mod 10 ≡ (47 mod 10 ⋅ 70 mod 10) mod 10.

47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.

70 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 7 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 70) mod 10 ≡ (7 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 559¹=559

2: 559²=559¹⁺¹=559¹⋅559¹ ≡ 559⋅559=312481 ≡ 533 mod 857

4: 559⁴=559²⁺²=559²⋅559² ≡ 533⋅533=284089 ≡ 422 mod 857

8: 559⁸=559⁴⁺⁴=559⁴⋅559⁴ ≡ 422⋅422=178084 ≡ 685 mod 857

16: 559¹⁶=559⁸⁺⁸=559⁸⋅559⁸ ≡ 685⋅685=469225 ≡ 446 mod 857

32: 559³²=559¹⁶⁺¹⁶=559¹⁶⋅559¹⁶ ≡ 446⋅446=198916 ≡ 92 mod 857

64: 559⁶⁴=559³²⁺³²=559³²⋅559³² ≡ 92⋅92=8464 ≡ 751 mod 857

128: 559¹²⁸=559⁶⁴⁺⁶⁴=559⁶⁴⋅559⁶⁴ ≡ 751⋅751=564001 ≡ 95 mod 857

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:

103 = 64+32+4+2+1

507¹⁰³

= 507^64+32+4+2+1

= 507⁶⁴⋅507³²⋅507⁴⋅507²⋅507¹

≡ 285 ⋅ 389 ⋅ 279 ⋅ 164 ⋅ 507 mod 619
≡ 110865 ⋅ 279 ⋅ 164 ⋅ 507 mod 619 ≡ 64 ⋅ 279 ⋅ 164 ⋅ 507 mod 619
≡ 17856 ⋅ 164 ⋅ 507 mod 619 ≡ 524 ⋅ 164 ⋅ 507 mod 619
≡ 85936 ⋅ 507 mod 619 ≡ 514 ⋅ 507 mod 619
≡ 260598 mod 619 ≡ 618 mod 619

Es gilt also: 507¹⁰³ ≡ 618 mod 619

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 56

=>73	= 1⋅56 + 17
=>56	= 3⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 56-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(56 -3⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅56 -21⋅ 17) = 7⋅56 -23⋅ 17 (=1)
17= 73-1⋅56	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅56 -23⋅(73 -1⋅ 56) = 7⋅56 -23⋅73 +23⋅ 56) = -23⋅73 +30⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(73,56)=1 = -23⋅73 +30⋅56

oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅73 = +30⋅56

Es gilt also: 30⋅56 = 23⋅73 +1

Somit 30⋅56 = 1 mod 73

30 ist also das Inverse von 56 mod 73