Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 + 32007) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 + 32007) mod 8 ≡ (83 mod 8 + 32007 mod 8) mod 8.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80+3 = 8 ⋅ 10 +3.

32007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32007 = 32000+7 = 8 ⋅ 4000 +7.

Somit gilt:

(83 + 32007) mod 8 ≡ (3 + 7) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 66) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 66) mod 3 ≡ (82 mod 3 ⋅ 66 mod 3) mod 3.

82 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 27 ⋅ 3 + 1 ist.

66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 66) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 595128 mod 757.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 595 -> x
2. mod(x²,757) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5951=595

2: 5952=5951+1=5951⋅5951 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 506 mod 757

4: 5954=5952+2=5952⋅5952 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 170 mod 757

8: 5958=5954+4=5954⋅5954 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 134 mod 757

16: 59516=5958+8=5958⋅5958 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 545 mod 757

32: 59532=59516+16=59516⋅59516 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 281 mod 757

64: 59564=59532+32=59532⋅59532 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 233 mod 757

128: 595128=59564+64=59564⋅59564 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 542 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 316126 mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

1: 3161=316

2: 3162=3161+1=3161⋅3161 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 502 mod 571

4: 3164=3162+2=3162⋅3162 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 193 mod 571

8: 3168=3164+4=3164⋅3164 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 134 mod 571

16: 31616=3168+8=3168⋅3168 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 255 mod 571

32: 31632=31616+16=31616⋅31616 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 502 mod 571

64: 31664=31632+32=31632⋅31632 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 193 mod 571

316126

= 31664+32+16+8+4+2

= 31664⋅31632⋅31616⋅3168⋅3164⋅3162

193 ⋅ 502 ⋅ 255 ⋅ 134 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571
96886 ⋅ 255 ⋅ 134 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571 ≡ 387 ⋅ 255 ⋅ 134 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571
98685 ⋅ 134 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571 ≡ 473 ⋅ 134 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571
63382 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571 ≡ 1 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571
193 ⋅ 502 mod 571
96886 mod 571 ≡ 387 mod 571

Es gilt also: 316126 ≡ 387 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19

=>53 = 2⋅19 + 15
=>19 = 1⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 19-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15)
= 4⋅19 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19)
= -5⋅53 +14⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +14⋅19

Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1

Somit 14⋅19 = 1 mod 53

14 ist also das Inverse von 19 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.