Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27994 + 74) mod 7 ≡ (27994 mod 7 + 74 mod 7) mod 7.

27994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27994 = 28000-6 = 7 ⋅ 4000 -6 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 1.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70+4 = 7 ⋅ 10 +4.

Somit gilt:

(27994 + 74) mod 7 ≡ (1 + 4) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 46) mod 4 ≡ (48 mod 4 ⋅ 46 mod 4) mod 4.

48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 46) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 510¹=510

2: 510²=510¹⁺¹=510¹⋅510¹ ≡ 510⋅510=260100 ≡ 121 mod 521

4: 510⁴=510²⁺²=510²⋅510² ≡ 121⋅121=14641 ≡ 53 mod 521

8: 510⁸=510⁴⁺⁴=510⁴⋅510⁴ ≡ 53⋅53=2809 ≡ 204 mod 521

16: 510¹⁶=510⁸⁺⁸=510⁸⋅510⁸ ≡ 204⋅204=41616 ≡ 457 mod 521

32: 510³²=510¹⁶⁺¹⁶=510¹⁶⋅510¹⁶ ≡ 457⋅457=208849 ≡ 449 mod 521

64: 510⁶⁴=510³²⁺³²=510³²⋅510³² ≡ 449⋅449=201601 ≡ 495 mod 521

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

157¹¹⁵

= 157^64+32+16+2+1

= 157⁶⁴⋅157³²⋅157¹⁶⋅157²⋅157¹

≡ 316 ⋅ 216 ⋅ 215 ⋅ 155 ⋅ 157 mod 331
≡ 68256 ⋅ 215 ⋅ 155 ⋅ 157 mod 331 ≡ 70 ⋅ 215 ⋅ 155 ⋅ 157 mod 331
≡ 15050 ⋅ 155 ⋅ 157 mod 331 ≡ 155 ⋅ 155 ⋅ 157 mod 331
≡ 24025 ⋅ 157 mod 331 ≡ 193 ⋅ 157 mod 331
≡ 30301 mod 331 ≡ 180 mod 331

Es gilt also: 157¹¹⁵ ≡ 180 mod 331

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25

=>59	= 2⋅25 + 9
=>25	= 2⋅9 + 7
=>9	= 1⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 25-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9) = -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9) = 4⋅25 -11⋅ 9 (=1)
9= 59-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25) = 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25) = -11⋅59 +26⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +26⋅25

Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1

Somit 26⋅25 = 1 mod 59

26 ist also das Inverse von 25 mod 59