Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 163) mod 4 ≡ (1201 mod 4 + 163 mod 4) mod 4.

1201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 4 ⋅ 300 +1.

163 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 163 = 160+3 = 4 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(1201 + 163) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 71) mod 9 ≡ (70 mod 9 ⋅ 71 mod 9) mod 9.

70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.

71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 71) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 708¹=708

2: 708²=708¹⁺¹=708¹⋅708¹ ≡ 708⋅708=501264 ≡ 361 mod 727

4: 708⁴=708²⁺²=708²⋅708² ≡ 361⋅361=130321 ≡ 188 mod 727

8: 708⁸=708⁴⁺⁴=708⁴⋅708⁴ ≡ 188⋅188=35344 ≡ 448 mod 727

16: 708¹⁶=708⁸⁺⁸=708⁸⋅708⁸ ≡ 448⋅448=200704 ≡ 52 mod 727

32: 708³²=708¹⁶⁺¹⁶=708¹⁶⋅708¹⁶ ≡ 52⋅52=2704 ≡ 523 mod 727

64: 708⁶⁴=708³²⁺³²=708³²⋅708³² ≡ 523⋅523=273529 ≡ 177 mod 727

128: 708¹²⁸=708⁶⁴⁺⁶⁴=708⁶⁴⋅708⁶⁴ ≡ 177⋅177=31329 ≡ 68 mod 727

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:

60 = 32+16+8+4

201⁶⁰

= 201^32+16+8+4

= 201³²⋅201¹⁶⋅201⁸⋅201⁴

≡ 92 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563
≡ 22172 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563 ≡ 215 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563
≡ 70950 ⋅ 209 mod 563 ≡ 12 ⋅ 209 mod 563
≡ 2508 mod 563 ≡ 256 mod 563

Es gilt also: 201⁶⁰ ≡ 256 mod 563

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 79

=>89	= 1⋅79 + 10
=>79	= 7⋅10 + 9
=>10	= 1⋅9 + 1
=>9	= 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 79-7⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -1⋅(79 -7⋅ 10) = 1⋅10 -1⋅79 +7⋅ 10) = -1⋅79 +8⋅ 10 (=1)
10= 89-1⋅79	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅79 +8⋅(89 -1⋅ 79) = -1⋅79 +8⋅89 -8⋅ 79) = 8⋅89 -9⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(89,79)=1 = 8⋅89 -9⋅79

oder wenn man 8⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅89 = -9⋅79

-9⋅79 = -8⋅89 + 1 |+89⋅79

-9⋅79 + 89⋅79 = -8⋅89 + 89⋅79 + 1

(-9 + 89) ⋅ 79 = (-8 + 79) ⋅ 89 + 1

80⋅79 = 71⋅89 + 1

Es gilt also: 80⋅79 = 71⋅89 +1

Somit 80⋅79 = 1 mod 89

80 ist also das Inverse von 79 mod 89