Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 + 2498) mod 5 ≡ (97 mod 5 + 2498 mod 5) mod 5.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90+7 = 5 ⋅ 18 +7.

2498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2498 = 2400+98 = 5 ⋅ 480 +98.

Somit gilt:

(97 + 2498) mod 5 ≡ (2 + 3) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 36) mod 10 ≡ (54 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.

54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.

36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 36) mod 10 ≡ (4 ⋅ 6) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 106¹=106

2: 106²=106¹⁺¹=106¹⋅106¹ ≡ 106⋅106=11236 ≡ 52 mod 233

4: 106⁴=106²⁺²=106²⋅106² ≡ 52⋅52=2704 ≡ 141 mod 233

8: 106⁸=106⁴⁺⁴=106⁴⋅106⁴ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 76 mod 233

16: 106¹⁶=106⁸⁺⁸=106⁸⋅106⁸ ≡ 76⋅76=5776 ≡ 184 mod 233

32: 106³²=106¹⁶⁺¹⁶=106¹⁶⋅106¹⁶ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 71 mod 233

64: 106⁶⁴=106³²⁺³²=106³²⋅106³² ≡ 71⋅71=5041 ≡ 148 mod 233

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

471¹⁹⁰

= 471^{128+32+16+8+4+2}

= 471¹²⁸⋅471³²⋅471¹⁶⋅471⁸⋅471⁴⋅471²

≡ 42 ⋅ 528 ⋅ 90 ⋅ 80 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631
≡ 22176 ⋅ 90 ⋅ 80 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631 ≡ 91 ⋅ 90 ⋅ 80 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631
≡ 8190 ⋅ 80 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631 ≡ 618 ⋅ 80 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631
≡ 49440 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631 ≡ 222 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631
≡ 54390 ⋅ 360 mod 631 ≡ 124 ⋅ 360 mod 631
≡ 44640 mod 631 ≡ 470 mod 631

Es gilt also: 471¹⁹⁰ ≡ 470 mod 631

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68

=>101	= 1⋅68 + 33
=>68	= 2⋅33 + 2
=>33	= 16⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 33-16⋅2
2= 68-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33) = 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1)
33= 101-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68) = -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -49⋅68

-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68

-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1

(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1

52⋅68 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1

Somit 52⋅68 = 1 mod 101

52 ist also das Inverse von 68 mod 101