Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15997 + 121) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15997 + 121) mod 4 ≡ (15997 mod 4 + 121 mod 4) mod 4.
15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
121 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
Somit gilt:
(15997 + 121) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 86) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 86) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 86 mod 10) mod 10.
88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.
86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 86) mod 10 ≡ (8 ⋅ 6) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 348128 mod 491.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 348 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3481=348
2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 318 mod 491
4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 469 mod 491
8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 484 mod 491
16: 34816=3488+8=3488⋅3488 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 49 mod 491
32: 34832=34816+16=34816⋅34816 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 437 mod 491
64: 34864=34832+32=34832⋅34832 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 461 mod 491
128: 348128=34864+64=34864⋅34864 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 409 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 563109 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 5631=563
2: 5632=5631+1=5631⋅5631 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 448 mod 617
4: 5634=5632+2=5632⋅5632 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 179 mod 617
8: 5638=5634+4=5634⋅5634 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 574 mod 617
16: 56316=5638+8=5638⋅5638 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 615 mod 617
32: 56332=56316+16=56316⋅56316 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 4 mod 617
64: 56364=56332+32=56332⋅56332 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 617
563109
= 56364+32+8+4+1
= 56364⋅56332⋅5638⋅5634⋅5631
≡ 16 ⋅ 4 ⋅ 574 ⋅ 179 ⋅ 563 mod 617
≡ 64 ⋅ 574 ⋅ 179 ⋅ 563 mod 617
≡ 36736 ⋅ 179 ⋅ 563 mod 617 ≡ 333 ⋅ 179 ⋅ 563 mod 617
≡ 59607 ⋅ 563 mod 617 ≡ 375 ⋅ 563 mod 617
≡ 211125 mod 617 ≡ 111 mod 617
Es gilt also: 563109 ≡ 111 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37
| =>71 | = 1⋅37 + 34 |
| =>37 | = 1⋅34 + 3 |
| =>34 | = 11⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-11⋅3 | |||
| 3= 37-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1) |
| 34= 71-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37
oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅71 = -23⋅37
-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37
-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1
(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1
48⋅37 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1
Somit 48⋅37 = 1 mod 71
48 ist also das Inverse von 37 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
