Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(234 - 18005) mod 6 ≡ (234 mod 6 - 18005 mod 6) mod 6.

234 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234 = 240-6 = 6 ⋅ 40 -6 = 6 ⋅ 40 - 6 + 0.

18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005 = 18000+5 = 6 ⋅ 3000 +5.

Somit gilt:

(234 - 18005) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 25) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 25 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

25 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 6 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 25) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 672¹=672

2: 672²=672¹⁺¹=672¹⋅672¹ ≡ 672⋅672=451584 ≡ 210 mod 977

4: 672⁴=672²⁺²=672²⋅672² ≡ 210⋅210=44100 ≡ 135 mod 977

8: 672⁸=672⁴⁺⁴=672⁴⋅672⁴ ≡ 135⋅135=18225 ≡ 639 mod 977

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

478¹⁹⁰

= 478^{128+32+16+8+4+2}

= 478¹²⁸⋅478³²⋅478¹⁶⋅478⁸⋅478⁴⋅478²

≡ 89 ⋅ 502 ⋅ 514 ⋅ 378 ⋅ 377 ⋅ 73 mod 619
≡ 44678 ⋅ 514 ⋅ 378 ⋅ 377 ⋅ 73 mod 619 ≡ 110 ⋅ 514 ⋅ 378 ⋅ 377 ⋅ 73 mod 619
≡ 56540 ⋅ 378 ⋅ 377 ⋅ 73 mod 619 ≡ 211 ⋅ 378 ⋅ 377 ⋅ 73 mod 619
≡ 79758 ⋅ 377 ⋅ 73 mod 619 ≡ 526 ⋅ 377 ⋅ 73 mod 619
≡ 198302 ⋅ 73 mod 619 ≡ 222 ⋅ 73 mod 619
≡ 16206 mod 619 ≡ 112 mod 619

Es gilt also: 478¹⁹⁰ ≡ 112 mod 619

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36

=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -25⋅36

-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36

-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1

(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1

28⋅36 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1

Somit 28⋅36 = 1 mod 53

28 ist also das Inverse von 36 mod 53