Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (899 + 150) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(899 + 150) mod 3 ≡ (899 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.
899 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899
= 900
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(899 + 150) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 89) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 89) mod 7 ≡ (54 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.
54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.
89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 89) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15632 mod 223.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 156 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1561=156
2: 1562=1561+1=1561⋅1561 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 29 mod 223
4: 1564=1562+2=1562⋅1562 ≡ 29⋅29=841 ≡ 172 mod 223
8: 1568=1564+4=1564⋅1564 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 148 mod 223
16: 15616=1568+8=1568⋅1568 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 50 mod 223
32: 15632=15616+16=15616⋅15616 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 47 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 517226 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:
226 = 128+64+32+2
1: 5171=517
2: 5172=5171+1=5171⋅5171 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 896 mod 983
4: 5174=5172+2=5172⋅5172 ≡ 896⋅896=802816 ≡ 688 mod 983
8: 5178=5174+4=5174⋅5174 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 521 mod 983
16: 51716=5178+8=5178⋅5178 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 133 mod 983
32: 51732=51716+16=51716⋅51716 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 978 mod 983
64: 51764=51732+32=51732⋅51732 ≡ 978⋅978=956484 ≡ 25 mod 983
128: 517128=51764+64=51764⋅51764 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 983
517226
= 517128+64+32+2
= 517128⋅51764⋅51732⋅5172
≡ 625 ⋅ 25 ⋅ 978 ⋅ 896 mod 983
≡ 15625 ⋅ 978 ⋅ 896 mod 983 ≡ 880 ⋅ 978 ⋅ 896 mod 983
≡ 860640 ⋅ 896 mod 983 ≡ 515 ⋅ 896 mod 983
≡ 461440 mod 983 ≡ 413 mod 983
Es gilt also: 517226 ≡ 413 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72
| =>79 | = 1⋅72 + 7 |
| =>72 | = 10⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 72-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -34⋅72
-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72
-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1
(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1
45⋅72 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1
Somit 45⋅72 = 1 mod 79
45 ist also das Inverse von 72 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
