Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (442 + 26992) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(442 + 26992) mod 9 ≡ (442 mod 9 + 26992 mod 9) mod 9.

442 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 442 = 450-8 = 9 ⋅ 50 -8 = 9 ⋅ 50 - 9 + 1.

26992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26992 = 27000-8 = 9 ⋅ 3000 -8 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 1.

Somit gilt:

(442 + 26992) mod 9 ≡ (1 + 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 22) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 22) mod 5 ≡ (100 mod 5 ⋅ 22 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.

22 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 4 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 22) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 757128 mod 829.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 757 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7571=757

2: 7572=7571+1=7571⋅7571 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 210 mod 829

4: 7574=7572+2=7572⋅7572 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 163 mod 829

8: 7578=7574+4=7574⋅7574 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 41 mod 829

16: 75716=7578+8=7578⋅7578 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 23 mod 829

32: 75732=75716+16=75716⋅75716 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 829

64: 75764=75732+32=75732⋅75732 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 468 mod 829

128: 757128=75764+64=75764⋅75764 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 168 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 710215 mod 941.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

1: 7101=710

2: 7102=7101+1=7101⋅7101 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 665 mod 941

4: 7104=7102+2=7102⋅7102 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 896 mod 941

8: 7108=7104+4=7104⋅7104 ≡ 896⋅896=802816 ≡ 143 mod 941

16: 71016=7108+8=7108⋅7108 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 688 mod 941

32: 71032=71016+16=71016⋅71016 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 21 mod 941

64: 71064=71032+32=71032⋅71032 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 941

128: 710128=71064+64=71064⋅71064 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 635 mod 941

710215

= 710128+64+16+4+2+1

= 710128⋅71064⋅71016⋅7104⋅7102⋅7101

635 ⋅ 441 ⋅ 688 ⋅ 896 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941
280035 ⋅ 688 ⋅ 896 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941 ≡ 558 ⋅ 688 ⋅ 896 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941
383904 ⋅ 896 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941 ≡ 917 ⋅ 896 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941
821632 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941 ≡ 139 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941
92435 ⋅ 710 mod 941 ≡ 217 ⋅ 710 mod 941
154070 mod 941 ≡ 687 mod 941

Es gilt also: 710215 ≡ 687 mod 941

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79 = 1⋅45 + 34
=>45 = 1⋅34 + 11
=>34 = 3⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34)
= -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45)
= -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45)
= 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.