Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 - 404) mod 4 ≡ (84 mod 4 - 404 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80+4 = 4 ⋅ 20 +4.

404 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404 = 400+4 = 4 ⋅ 100 +4.

Somit gilt:

(84 - 404) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 21) mod 11 ≡ (58 mod 11 ⋅ 21 mod 11) mod 11.

58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.

21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 21) mod 11 ≡ (3 ⋅ 10) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 565¹=565

2: 565²=565¹⁺¹=565¹⋅565¹ ≡ 565⋅565=319225 ≡ 723 mod 977

4: 565⁴=565²⁺²=565²⋅565² ≡ 723⋅723=522729 ≡ 34 mod 977

8: 565⁸=565⁴⁺⁴=565⁴⋅565⁴ ≡ 34⋅34=1156 ≡ 179 mod 977

16: 565¹⁶=565⁸⁺⁸=565⁸⋅565⁸ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 777 mod 977

32: 565³²=565¹⁶⁺¹⁶=565¹⁶⋅565¹⁶ ≡ 777⋅777=603729 ≡ 920 mod 977

64: 565⁶⁴=565³²⁺³²=565³²⋅565³² ≡ 920⋅920=846400 ≡ 318 mod 977

128: 565¹²⁸=565⁶⁴⁺⁶⁴=565⁶⁴⋅565⁶⁴ ≡ 318⋅318=101124 ≡ 493 mod 977

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:

200 = 128+64+8

547²⁰⁰

= 547^128+64+8

= 547¹²⁸⋅547⁶⁴⋅547⁸

≡ 475 ⋅ 736 ⋅ 578 mod 809
≡ 349600 ⋅ 578 mod 809 ≡ 112 ⋅ 578 mod 809
≡ 64736 mod 809 ≡ 16 mod 809

Es gilt also: 547²⁰⁰ ≡ 16 mod 809

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61	= 2⋅22 + 17
=>22	= 1⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22) = 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61