Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2398 + 805) mod 8 ≡ (2398 mod 8 + 805 mod 8) mod 8.

2398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 8 ⋅ 300 -2 = 8 ⋅ 300 - 8 + 6.

805 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 805 = 800+5 = 8 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(2398 + 805) mod 8 ≡ (6 + 5) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 55) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 55 mod 11) mod 11.

43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.

55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 55) mod 11 ≡ (10 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 504¹=504

2: 504²=504¹⁺¹=504¹⋅504¹ ≡ 504⋅504=254016 ≡ 295 mod 673

4: 504⁴=504²⁺²=504²⋅504² ≡ 295⋅295=87025 ≡ 208 mod 673

8: 504⁸=504⁴⁺⁴=504⁴⋅504⁴ ≡ 208⋅208=43264 ≡ 192 mod 673

16: 504¹⁶=504⁸⁺⁸=504⁸⋅504⁸ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 522 mod 673

32: 504³²=504¹⁶⁺¹⁶=504¹⁶⋅504¹⁶ ≡ 522⋅522=272484 ≡ 592 mod 673

64: 504⁶⁴=504³²⁺³²=504³²⋅504³² ≡ 592⋅592=350464 ≡ 504 mod 673

128: 504¹²⁸=504⁶⁴⁺⁶⁴=504⁶⁴⋅504⁶⁴ ≡ 504⋅504=254016 ≡ 295 mod 673

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:

120 = 64+32+16+8

509¹²⁰

= 509^64+32+16+8

= 509⁶⁴⋅509³²⋅509¹⁶⋅509⁸

≡ 208 ⋅ 295 ⋅ 169 ⋅ 660 mod 673
≡ 61360 ⋅ 169 ⋅ 660 mod 673 ≡ 117 ⋅ 169 ⋅ 660 mod 673
≡ 19773 ⋅ 660 mod 673 ≡ 256 ⋅ 660 mod 673
≡ 168960 mod 673 ≡ 37 mod 673

Es gilt also: 509¹²⁰ ≡ 37 mod 673

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67

=>97	= 1⋅67 + 30
=>67	= 2⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)
30= 97-1⋅67	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67) = 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67) = -29⋅97 +42⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67

oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +29⋅97 = +42⋅67

Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1

Somit 42⋅67 = 1 mod 97

42 ist also das Inverse von 67 mod 97