Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25000 - 2000) mod 5 ≡ (25000 mod 5 - 2000 mod 5) mod 5.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 5 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(25000 - 2000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 88) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 88 mod 3) mod 3.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 87 + 1 = 29 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 88) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 377¹=377

2: 377²=377¹⁺¹=377¹⋅377¹ ≡ 377⋅377=142129 ≡ 241 mod 739

4: 377⁴=377²⁺²=377²⋅377² ≡ 241⋅241=58081 ≡ 439 mod 739

8: 377⁸=377⁴⁺⁴=377⁴⋅377⁴ ≡ 439⋅439=192721 ≡ 581 mod 739

16: 377¹⁶=377⁸⁺⁸=377⁸⋅377⁸ ≡ 581⋅581=337561 ≡ 577 mod 739

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

166¹⁸⁵

= 166^{128+32+16+8+1}

= 166¹²⁸⋅166³²⋅166¹⁶⋅166⁸⋅166¹

≡ 255 ⋅ 240 ⋅ 94 ⋅ 44 ⋅ 166 mod 307
≡ 61200 ⋅ 94 ⋅ 44 ⋅ 166 mod 307 ≡ 107 ⋅ 94 ⋅ 44 ⋅ 166 mod 307
≡ 10058 ⋅ 44 ⋅ 166 mod 307 ≡ 234 ⋅ 44 ⋅ 166 mod 307
≡ 10296 ⋅ 166 mod 307 ≡ 165 ⋅ 166 mod 307
≡ 27390 mod 307 ≡ 67 mod 307

Es gilt also: 166¹⁸⁵ ≡ 67 mod 307

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61	= 2⋅22 + 17
=>22	= 1⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22) = 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61