Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1802 + 246) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1802 + 246) mod 6 ≡ (1802 mod 6 + 246 mod 6) mod 6.

1802 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802 = 1800+2 = 6 ⋅ 300 +2.

246 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 6 ⋅ 40 +6.

Somit gilt:

(1802 + 246) mod 6 ≡ (2 + 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 81) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 81) mod 11 ≡ (74 mod 11 ⋅ 81 mod 11) mod 11.

74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 81) mod 11 ≡ (8 ⋅ 4) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 555128 mod 953.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 555 -> x
2. mod(x²,953) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5551=555

2: 5552=5551+1=5551⋅5551 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 206 mod 953

4: 5554=5552+2=5552⋅5552 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 504 mod 953

8: 5558=5554+4=5554⋅5554 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 518 mod 953

16: 55516=5558+8=5558⋅5558 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 531 mod 953

32: 55532=55516+16=55516⋅55516 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 826 mod 953

64: 55564=55532+32=55532⋅55532 ≡ 826⋅826=682276 ≡ 881 mod 953

128: 555128=55564+64=55564⋅55564 ≡ 881⋅881=776161 ≡ 419 mod 953

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 745193 mod 953.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:

193 = 128+64+1

1: 7451=745

2: 7452=7451+1=7451⋅7451 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 379 mod 953

4: 7454=7452+2=7452⋅7452 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 691 mod 953

8: 7458=7454+4=7454⋅7454 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 28 mod 953

16: 74516=7458+8=7458⋅7458 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 953

32: 74532=74516+16=74516⋅74516 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 924 mod 953

64: 74564=74532+32=74532⋅74532 ≡ 924⋅924=853776 ≡ 841 mod 953

128: 745128=74564+64=74564⋅74564 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 155 mod 953

745193

= 745128+64+1

= 745128⋅74564⋅7451

155 ⋅ 841 ⋅ 745 mod 953
130355 ⋅ 745 mod 953 ≡ 747 ⋅ 745 mod 953
556515 mod 953 ≡ 916 mod 953

Es gilt also: 745193 ≡ 916 mod 953

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24

=>61 = 2⋅24 + 13
=>24 = 1⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 24-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13)
= 6⋅24 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24)
= -11⋅61 +28⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +28⋅24

Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1

Somit 28⋅24 = 1 mod 61

28 ist also das Inverse von 24 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.