Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29995 - 2404) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29995 - 2404) mod 6 ≡ (29995 mod 6 - 2404 mod 6) mod 6.
29995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29995
= 30000
2404 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2404
= 2400
Somit gilt:
(29995 - 2404) mod 6 ≡ (1 - 4) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 18) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 18) mod 5 ≡ (84 mod 5 ⋅ 18 mod 5) mod 5.
84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.
18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 18) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33864 mod 487.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 338 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 286 mod 487
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 467 mod 487
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 400 mod 487
16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 264 mod 487
32: 33832=33816+16=33816⋅33816 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 55 mod 487
64: 33864=33832+32=33832⋅33832 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 103 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23469 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 26 mod 421
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 26⋅26=676 ≡ 255 mod 421
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 191 mod 421
16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 275 mod 421
32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 266 mod 421
64: 23464=23432+32=23432⋅23432 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 28 mod 421
23469
= 23464+4+1
= 23464⋅2344⋅2341
≡ 28 ⋅ 255 ⋅ 234 mod 421
≡ 7140 ⋅ 234 mod 421 ≡ 404 ⋅ 234 mod 421
≡ 94536 mod 421 ≡ 232 mod 421
Es gilt also: 23469 ≡ 232 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 35
| =>83 | = 2⋅35 + 13 |
| =>35 | = 2⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 35-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(35 -2⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅35 -6⋅ 13) = 3⋅35 -8⋅ 13 (=1) |
| 13= 83-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅35 -8⋅(83 -2⋅ 35)
= 3⋅35 -8⋅83 +16⋅ 35) = -8⋅83 +19⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,35)=1 = -8⋅83 +19⋅35
oder wenn man -8⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅83 = +19⋅35
Es gilt also: 19⋅35 = 8⋅83 +1
Somit 19⋅35 = 1 mod 83
19 ist also das Inverse von 35 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
