Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 + 1800) mod 6 ≡ (118 mod 6 + 1800 mod 6) mod 6.

118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 6 ⋅ 20 -2 = 6 ⋅ 20 - 6 + 4.

1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 6 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(118 + 1800) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 59) mod 9 ≡ (69 mod 9 ⋅ 59 mod 9) mod 9.

69 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 7 ⋅ 9 + 6 ist.

59 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 6 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 59) mod 9 ≡ (6 ⋅ 5) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 279¹=279

2: 279²=279¹⁺¹=279¹⋅279¹ ≡ 279⋅279=77841 ≡ 181 mod 353

4: 279⁴=279²⁺²=279²⋅279² ≡ 181⋅181=32761 ≡ 285 mod 353

8: 279⁸=279⁴⁺⁴=279⁴⋅279⁴ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 35 mod 353

16: 279¹⁶=279⁸⁺⁸=279⁸⋅279⁸ ≡ 35⋅35=1225 ≡ 166 mod 353

32: 279³²=279¹⁶⁺¹⁶=279¹⁶⋅279¹⁶ ≡ 166⋅166=27556 ≡ 22 mod 353

64: 279⁶⁴=279³²⁺³²=279³²⋅279³² ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

478¹⁷⁵

= 478^{128+32+8+4+2+1}

= 478¹²⁸⋅478³²⋅478⁸⋅478⁴⋅478²⋅478¹

≡ 311 ⋅ 696 ⋅ 27 ⋅ 508 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863
≡ 216456 ⋅ 27 ⋅ 508 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863 ≡ 706 ⋅ 27 ⋅ 508 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863
≡ 19062 ⋅ 508 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863 ≡ 76 ⋅ 508 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863
≡ 38608 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863 ≡ 636 ⋅ 652 ⋅ 478 mod 863
≡ 414672 ⋅ 478 mod 863 ≡ 432 ⋅ 478 mod 863
≡ 206496 mod 863 ≡ 239 mod 863

Es gilt also: 478¹⁷⁵ ≡ 239 mod 863

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38

=>79	= 2⋅38 + 3
=>38	= 12⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 79-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38) = -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -27⋅38

-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38

-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1

(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1

52⋅38 = 25⋅79 + 1

Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1

Somit 52⋅38 = 1 mod 79

52 ist also das Inverse von 38 mod 79