Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 + 7002) mod 7 ≡ (63 mod 7 + 7002 mod 7) mod 7.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 70-7 = 7 ⋅ 10 -7 = 7 ⋅ 10 - 7 + 0.

7002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7002 = 7000+2 = 7 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(63 + 7002) mod 7 ≡ (0 + 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 77) mod 7 ≡ (62 mod 7 ⋅ 77 mod 7) mod 7.

62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.

77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 77) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 660¹=660

2: 660²=660¹⁺¹=660¹⋅660¹ ≡ 660⋅660=435600 ≡ 386 mod 881

4: 660⁴=660²⁺²=660²⋅660² ≡ 386⋅386=148996 ≡ 107 mod 881

8: 660⁸=660⁴⁺⁴=660⁴⋅660⁴ ≡ 107⋅107=11449 ≡ 877 mod 881

16: 660¹⁶=660⁸⁺⁸=660⁸⋅660⁸ ≡ 877⋅877=769129 ≡ 16 mod 881

32: 660³²=660¹⁶⁺¹⁶=660¹⁶⋅660¹⁶ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 881

64: 660⁶⁴=660³²⁺³²=660³²⋅660³² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 342 mod 881

128: 660¹²⁸=660⁶⁴⁺⁶⁴=660⁶⁴⋅660⁶⁴ ≡ 342⋅342=116964 ≡ 672 mod 881

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:

216 = 128+64+16+8

647²¹⁶

= 647^128+64+16+8

= 647¹²⁸⋅647⁶⁴⋅647¹⁶⋅647⁸

≡ 264 ⋅ 90 ⋅ 205 ⋅ 100 mod 653
≡ 23760 ⋅ 205 ⋅ 100 mod 653 ≡ 252 ⋅ 205 ⋅ 100 mod 653
≡ 51660 ⋅ 100 mod 653 ≡ 73 ⋅ 100 mod 653
≡ 7300 mod 653 ≡ 117 mod 653

Es gilt also: 647²¹⁶ ≡ 117 mod 653

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33

=>97	= 2⋅33 + 31
=>33	= 1⋅31 + 2
=>31	= 15⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31) = 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 97-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33) = -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -47⋅33

-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33

-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1

(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1

50⋅33 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1

Somit 50⋅33 = 1 mod 97

50 ist also das Inverse von 33 mod 97