Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16002 + 1999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16002 + 1999) mod 4 ≡ (16002 mod 4 + 1999 mod 4) mod 4.
16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
Somit gilt:
(16002 + 1999) mod 4 ≡ (2 + 3) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 36) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 36) mod 7 ≡ (94 mod 7 ⋅ 36 mod 7) mod 7.
94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.
36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 36) mod 7 ≡ (3 ⋅ 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56316 mod 881.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 563 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5631=563
2: 5632=5631+1=5631⋅5631 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 690 mod 881
4: 5634=5632+2=5632⋅5632 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 360 mod 881
8: 5638=5634+4=5634⋅5634 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 93 mod 881
16: 56316=5638+8=5638⋅5638 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 720 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 331180 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:
180 = 128+32+16+4
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 254 mod 523
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 187 mod 523
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 451 mod 523
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 477 mod 523
32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 24 mod 523
64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 24⋅24=576 ≡ 53 mod 523
128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 194 mod 523
331180
= 331128+32+16+4
= 331128⋅33132⋅33116⋅3314
≡ 194 ⋅ 24 ⋅ 477 ⋅ 187 mod 523
≡ 4656 ⋅ 477 ⋅ 187 mod 523 ≡ 472 ⋅ 477 ⋅ 187 mod 523
≡ 225144 ⋅ 187 mod 523 ≡ 254 ⋅ 187 mod 523
≡ 47498 mod 523 ≡ 428 mod 523
Es gilt also: 331180 ≡ 428 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37
| =>71 | = 1⋅37 + 34 |
| =>37 | = 1⋅34 + 3 |
| =>34 | = 11⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-11⋅3 | |||
| 3= 37-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1) |
| 34= 71-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37
oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅71 = -23⋅37
-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37
-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1
(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1
48⋅37 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1
Somit 48⋅37 = 1 mod 71
48 ist also das Inverse von 37 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
