Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1196 - 16000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1196 - 16000) mod 4 ≡ (1196 mod 4 - 16000 mod 4) mod 4.

1196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1100+96 = 4 ⋅ 275 +96.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(1196 - 16000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 81) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 81) mod 4 ≡ (16 mod 4 ⋅ 81 mod 4) mod 4.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 81) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7108 mod 997.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 710 -> x
2. mod(x²,997) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7101=710

2: 7102=7101+1=7101⋅7101 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 615 mod 997

4: 7104=7102+2=7102⋅7102 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 362 mod 997

8: 7108=7104+4=7104⋅7104 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 437 mod 997

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34980 mod 547.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:

80 = 64+16

1: 3491=349

2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 367 mod 547

4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 127 mod 547

8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 266 mod 547

16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 193 mod 547

32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 53 mod 547

64: 34964=34932+32=34932⋅34932 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 74 mod 547

34980

= 34964+16

= 34964⋅34916

74 ⋅ 193 mod 547
14282 mod 547 ≡ 60 mod 547

Es gilt also: 34980 ≡ 60 mod 547

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24

=>79 = 3⋅24 + 7
=>24 = 3⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 24-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7)
= -2⋅24 +7⋅ 7 (=1)
7= 79-3⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24)
= 7⋅79 -23⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24

oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅79 = -23⋅24

-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24

-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1

(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1

56⋅24 = 17⋅79 + 1

Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1

Somit 56⋅24 = 1 mod 79

56 ist also das Inverse von 24 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.