Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (350 + 1400) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(350 + 1400) mod 7 ≡ (350 mod 7 + 1400 mod 7) mod 7.
350 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 350
= 350
1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400
= 1400
Somit gilt:
(350 + 1400) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 69) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 69) mod 8 ≡ (57 mod 8 ⋅ 69 mod 8) mod 8.
57 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 7 ⋅ 8 + 1 ist.
69 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 64 + 5 = 8 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 69) mod 8 ≡ (1 ⋅ 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66064 mod 1009.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 660 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6601=660
2: 6602=6601+1=6601⋅6601 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 721 mod 1009
4: 6604=6602+2=6602⋅6602 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 206 mod 1009
8: 6608=6604+4=6604⋅6604 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 58 mod 1009
16: 66016=6608+8=6608⋅6608 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 337 mod 1009
32: 66032=66016+16=66016⋅66016 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 561 mod 1009
64: 66064=66032+32=66032⋅66032 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 922 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 356166 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 3561=356
2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 337 mod 463
4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 134 mod 463
8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 362 mod 463
16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 15 mod 463
32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 463
64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 158 mod 463
128: 356128=35664+64=35664⋅35664 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 425 mod 463
356166
= 356128+32+4+2
= 356128⋅35632⋅3564⋅3562
≡ 425 ⋅ 225 ⋅ 134 ⋅ 337 mod 463
≡ 95625 ⋅ 134 ⋅ 337 mod 463 ≡ 247 ⋅ 134 ⋅ 337 mod 463
≡ 33098 ⋅ 337 mod 463 ≡ 225 ⋅ 337 mod 463
≡ 75825 mod 463 ≡ 356 mod 463
Es gilt also: 356166 ≡ 356 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60
| =>67 | = 1⋅60 + 7 |
| =>60 | = 8⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 60-8⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7) = 2⋅60 -17⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60) = -17⋅67 +19⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +19⋅60
Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1
Somit 19⋅60 = 1 mod 67
19 ist also das Inverse von 60 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
