Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1204 + 241) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1204 + 241) mod 6 ≡ (1204 mod 6 + 241 mod 6) mod 6.
1204 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241
= 240
Somit gilt:
(1204 + 241) mod 6 ≡ (4 + 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 68) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 68) mod 11 ≡ (33 mod 11 ⋅ 68 mod 11) mod 11.
33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.
68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 68) mod 11 ≡ (0 ⋅ 2) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3788 mod 907.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 378 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3781=378
2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 485 mod 907
4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 312 mod 907
8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 295 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 493163 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 4931=493
2: 4932=4931+1=4931⋅4931 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 537 mod 659
4: 4934=4932+2=4932⋅4932 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 386 mod 659
8: 4938=4934+4=4934⋅4934 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 62 mod 659
16: 49316=4938+8=4938⋅4938 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 549 mod 659
32: 49332=49316+16=49316⋅49316 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 238 mod 659
64: 49364=49332+32=49332⋅49332 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 629 mod 659
128: 493128=49364+64=49364⋅49364 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 241 mod 659
493163
= 493128+32+2+1
= 493128⋅49332⋅4932⋅4931
≡ 241 ⋅ 238 ⋅ 537 ⋅ 493 mod 659
≡ 57358 ⋅ 537 ⋅ 493 mod 659 ≡ 25 ⋅ 537 ⋅ 493 mod 659
≡ 13425 ⋅ 493 mod 659 ≡ 245 ⋅ 493 mod 659
≡ 120785 mod 659 ≡ 188 mod 659
Es gilt also: 493163 ≡ 188 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23
| =>53 | = 2⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23
oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅53 = -23⋅23
-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23
-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1
(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1
30⋅23 = 13⋅53 + 1
Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1
Somit 30⋅23 = 1 mod 53
30 ist also das Inverse von 23 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
