Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3599 + 2693) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3599 + 2693) mod 9 ≡ (3599 mod 9 + 2693 mod 9) mod 9.
3599 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3599
= 3600
2693 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2693
= 2700
Somit gilt:
(3599 + 2693) mod 9 ≡ (8 + 2) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 90) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 90) mod 10 ≡ (24 mod 10 ⋅ 90 mod 10) mod 10.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 90) mod 10 ≡ (4 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49732 mod 509.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 497 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4971=497
2: 4972=4971+1=4971⋅4971 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 144 mod 509
4: 4974=4972+2=4972⋅4972 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 376 mod 509
8: 4978=4974+4=4974⋅4974 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 383 mod 509
16: 49716=4978+8=4978⋅4978 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 97 mod 509
32: 49732=49716+16=49716⋅49716 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 247 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17587 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:
87 = 64+16+4+2+1
1: 1751=175
2: 1752=1751+1=1751⋅1751 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 329 mod 541
4: 1754=1752+2=1752⋅1752 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 41 mod 541
8: 1758=1754+4=1754⋅1754 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 58 mod 541
16: 17516=1758+8=1758⋅1758 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 118 mod 541
32: 17532=17516+16=17516⋅17516 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 399 mod 541
64: 17564=17532+32=17532⋅17532 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 147 mod 541
17587
= 17564+16+4+2+1
= 17564⋅17516⋅1754⋅1752⋅1751
≡ 147 ⋅ 118 ⋅ 41 ⋅ 329 ⋅ 175 mod 541
≡ 17346 ⋅ 41 ⋅ 329 ⋅ 175 mod 541 ≡ 34 ⋅ 41 ⋅ 329 ⋅ 175 mod 541
≡ 1394 ⋅ 329 ⋅ 175 mod 541 ≡ 312 ⋅ 329 ⋅ 175 mod 541
≡ 102648 ⋅ 175 mod 541 ≡ 399 ⋅ 175 mod 541
≡ 69825 mod 541 ≡ 36 mod 541
Es gilt also: 17587 ≡ 36 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 71
| =>89 | = 1⋅71 + 18 |
| =>71 | = 3⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 71-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(71 -3⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅71 +3⋅ 18) = -1⋅71 +4⋅ 18 (=1) |
| 18= 89-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +4⋅(89 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +4⋅89 -4⋅ 71) = 4⋅89 -5⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,71)=1 = 4⋅89 -5⋅71
oder wenn man 4⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅89 = -5⋅71
-5⋅71 = -4⋅89 + 1 |+89⋅71
-5⋅71 + 89⋅71 = -4⋅89 + 89⋅71 + 1
(-5 + 89) ⋅ 71 = (-4 + 71) ⋅ 89 + 1
84⋅71 = 67⋅89 + 1
Es gilt also: 84⋅71 = 67⋅89 +1
Somit 84⋅71 = 1 mod 89
84 ist also das Inverse von 71 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
