Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1803 - 18000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1803 - 18000) mod 6 ≡ (1803 mod 6 - 18000 mod 6) mod 6.
1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803
= 1800
18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
Somit gilt:
(1803 - 18000) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 66) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 66) mod 6 ≡ (19 mod 6 ⋅ 66 mod 6) mod 6.
19 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 3 ⋅ 6 + 1 ist.
66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 66) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 561128 mod 757.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 561 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5611=561
2: 5612=5611+1=5611⋅5611 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 566 mod 757
4: 5614=5612+2=5612⋅5612 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 145 mod 757
8: 5618=5614+4=5614⋅5614 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 586 mod 757
16: 56116=5618+8=5618⋅5618 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 475 mod 757
32: 56132=56116+16=56116⋅56116 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 39 mod 757
64: 56164=56132+32=56132⋅56132 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 7 mod 757
128: 561128=56164+64=56164⋅56164 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 590154 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:
154 = 128+16+8+2
1: 5901=590
2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 637 mod 757
4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 17 mod 757
8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 757
16: 59016=5908+8=5908⋅5908 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 251 mod 757
32: 59032=59016+16=59016⋅59016 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 170 mod 757
64: 59064=59032+32=59032⋅59032 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 134 mod 757
128: 590128=59064+64=59064⋅59064 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 545 mod 757
590154
= 590128+16+8+2
= 590128⋅59016⋅5908⋅5902
≡ 545 ⋅ 251 ⋅ 289 ⋅ 637 mod 757
≡ 136795 ⋅ 289 ⋅ 637 mod 757 ≡ 535 ⋅ 289 ⋅ 637 mod 757
≡ 154615 ⋅ 637 mod 757 ≡ 187 ⋅ 637 mod 757
≡ 119119 mod 757 ≡ 270 mod 757
Es gilt also: 590154 ≡ 270 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
