Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (500 + 101) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(500 + 101) mod 5 ≡ (500 mod 5 + 101 mod 5) mod 5.
500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500
= 500
101 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 101
= 100
Somit gilt:
(500 + 101) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 22) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 22) mod 11 ≡ (27 mod 11 ⋅ 22 mod 11) mod 11.
27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.
22 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 22 + 0 = 2 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 22) mod 11 ≡ (5 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 53916 mod 733.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 539 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5391=539
2: 5392=5391+1=5391⋅5391 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 253 mod 733
4: 5394=5392+2=5392⋅5392 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 238 mod 733
8: 5398=5394+4=5394⋅5394 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 203 mod 733
16: 53916=5398+8=5398⋅5398 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 161 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 314212 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 3141=314
2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 640 mod 907
4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 543 mod 907
8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 74 mod 907
16: 31416=3148+8=3148⋅3148 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 34 mod 907
32: 31432=31416+16=31416⋅31416 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 249 mod 907
64: 31464=31432+32=31432⋅31432 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 325 mod 907
128: 314128=31464+64=31464⋅31464 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 413 mod 907
314212
= 314128+64+16+4
= 314128⋅31464⋅31416⋅3144
≡ 413 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 543 mod 907
≡ 134225 ⋅ 34 ⋅ 543 mod 907 ≡ 896 ⋅ 34 ⋅ 543 mod 907
≡ 30464 ⋅ 543 mod 907 ≡ 533 ⋅ 543 mod 907
≡ 289419 mod 907 ≡ 86 mod 907
Es gilt also: 314212 ≡ 86 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
