Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(133 - 14000) mod 7 ≡ (133 mod 7 - 14000 mod 7) mod 7.

133 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 133 = 140-7 = 7 ⋅ 20 -7 = 7 ⋅ 20 - 7 + 0.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(133 - 14000) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 99) mod 10 ≡ (93 mod 10 ⋅ 99 mod 10) mod 10.

93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.

99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 99) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 723¹=723

2: 723²=723¹⁺¹=723¹⋅723¹ ≡ 723⋅723=522729 ≡ 67 mod 1009

4: 723⁴=723²⁺²=723²⋅723² ≡ 67⋅67=4489 ≡ 453 mod 1009

8: 723⁸=723⁴⁺⁴=723⁴⋅723⁴ ≡ 453⋅453=205209 ≡ 382 mod 1009

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

283¹⁹⁰

= 283^{128+32+16+8+4+2}

= 283¹²⁸⋅283³²⋅283¹⁶⋅283⁸⋅283⁴⋅283²

≡ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367
≡ 6889 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367 ≡ 283 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367
≡ 80089 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367 ≡ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367
≡ 6889 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367 ≡ 283 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367
≡ 80089 ⋅ 83 mod 367 ≡ 83 ⋅ 83 mod 367
≡ 6889 mod 367 ≡ 283 mod 367

Es gilt also: 283¹⁹⁰ ≡ 283 mod 367

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59