Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (159 + 402) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(159 + 402) mod 4 ≡ (159 mod 4 + 402 mod 4) mod 4.
159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159
= 160
402 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402
= 400
Somit gilt:
(159 + 402) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 87) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 87) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 87 mod 11) mod 11.
81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.
87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 87) mod 11 ≡ (4 ⋅ 10) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14732 mod 227.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 147 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1471=147
2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 44 mod 227
4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 120 mod 227
8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 99 mod 227
16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 40 mod 227
32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 11 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28677 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 2861=286
2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 363 mod 673
4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 534 mod 673
8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 477 mod 673
16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 55 mod 673
32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 333 mod 673
64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673
28677
= 28664+8+4+1
= 28664⋅2868⋅2864⋅2861
≡ 517 ⋅ 477 ⋅ 534 ⋅ 286 mod 673
≡ 246609 ⋅ 534 ⋅ 286 mod 673 ≡ 291 ⋅ 534 ⋅ 286 mod 673
≡ 155394 ⋅ 286 mod 673 ≡ 604 ⋅ 286 mod 673
≡ 172744 mod 673 ≡ 456 mod 673
Es gilt also: 28677 ≡ 456 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54
| =>71 | = 1⋅54 + 17 |
| =>54 | = 3⋅17 + 3 |
| =>17 | = 5⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 17-5⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1) |
| 3= 54-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1) |
| 17= 71-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54
oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅71 = +25⋅54
Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1
Somit 25⋅54 = 1 mod 71
25 ist also das Inverse von 54 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
