Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2705 + 3594) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2705 + 3594) mod 9 ≡ (2705 mod 9 + 3594 mod 9) mod 9.
2705 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2705
= 2700
3594 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3594
= 3600
Somit gilt:
(2705 + 3594) mod 9 ≡ (5 + 3) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 27) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 27) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.
30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.
27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 27) mod 9 ≡ (3 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21164 mod 233.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 18 mod 233
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 18⋅18=324 ≡ 91 mod 233
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 126 mod 233
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 32 mod 233
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 92 mod 233
64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 76 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 200247 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:
247 = 128+64+32+16+4+2+1
1: 2001=200
2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 364 mod 367
4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 9 mod 367
8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 367
16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 322 mod 367
32: 20032=20016+16=20016⋅20016 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 190 mod 367
64: 20064=20032+32=20032⋅20032 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 134 mod 367
128: 200128=20064+64=20064⋅20064 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 340 mod 367
200247
= 200128+64+32+16+4+2+1
= 200128⋅20064⋅20032⋅20016⋅2004⋅2002⋅2001
≡ 340 ⋅ 134 ⋅ 190 ⋅ 322 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 45560 ⋅ 190 ⋅ 322 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367 ≡ 52 ⋅ 190 ⋅ 322 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 9880 ⋅ 322 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367 ≡ 338 ⋅ 322 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 108836 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367 ≡ 204 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 1836 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367 ≡ 1 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 72800 mod 367 ≡ 134 mod 367
Es gilt also: 200247 ≡ 134 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50
| =>53 | = 1⋅50 + 3 |
| =>50 | = 16⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 50-16⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1) |
| 3= 53-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -18⋅50
-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50
-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1
(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1
35⋅50 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1
Somit 35⋅50 = 1 mod 53
35 ist also das Inverse von 50 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
