Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (10000 + 2001) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10000 + 2001) mod 5 ≡ (10000 mod 5 + 2001 mod 5) mod 5.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

2001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 5 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(10000 + 2001) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 63) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 63) mod 9 ≡ (83 mod 9 ⋅ 63 mod 9) mod 9.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 63) mod 9 ≡ (2 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2388 mod 431.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 238 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2381=238

2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 183 mod 431

4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 302 mod 431

8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 263 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 863121 mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:

121 = 64+32+16+8+1

1: 8631=863

2: 8632=8631+1=8631⋅8631 ≡ 863⋅863=744769 ≡ 295 mod 977

4: 8634=8632+2=8632⋅8632 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 72 mod 977

8: 8638=8634+4=8634⋅8634 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 299 mod 977

16: 86316=8638+8=8638⋅8638 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 494 mod 977

32: 86332=86316+16=86316⋅86316 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 763 mod 977

64: 86364=86332+32=86332⋅86332 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 854 mod 977

863121

= 86364+32+16+8+1

= 86364⋅86332⋅86316⋅8638⋅8631

854 ⋅ 763 ⋅ 494 ⋅ 299 ⋅ 863 mod 977
651602 ⋅ 494 ⋅ 299 ⋅ 863 mod 977 ≡ 920 ⋅ 494 ⋅ 299 ⋅ 863 mod 977
454480 ⋅ 299 ⋅ 863 mod 977 ≡ 175 ⋅ 299 ⋅ 863 mod 977
52325 ⋅ 863 mod 977 ≡ 544 ⋅ 863 mod 977
469472 mod 977 ≡ 512 mod 977

Es gilt also: 863121 ≡ 512 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 39

=>83 = 2⋅39 + 5
=>39 = 7⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 39-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5)
= -1⋅39 +8⋅ 5 (=1)
5= 83-2⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅39 +8⋅(83 -2⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅83 -16⋅ 39)
= 8⋅83 -17⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(83,39)=1 = 8⋅83 -17⋅39

oder wenn man 8⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅83 = -17⋅39

-17⋅39 = -8⋅83 + 1 |+83⋅39

-17⋅39 + 83⋅39 = -8⋅83 + 83⋅39 + 1

(-17 + 83) ⋅ 39 = (-8 + 39) ⋅ 83 + 1

66⋅39 = 31⋅83 + 1

Es gilt also: 66⋅39 = 31⋅83 +1

Somit 66⋅39 = 1 mod 83

66 ist also das Inverse von 39 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.