Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44998 + 3603) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44998 + 3603) mod 9 ≡ (44998 mod 9 + 3603 mod 9) mod 9.
44998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44998
= 45000
3603 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3603
= 3600
Somit gilt:
(44998 + 3603) mod 9 ≡ (7 + 3) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 89) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 89) mod 11 ≡ (15 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.
15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 89) mod 11 ≡ (4 ⋅ 1) mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20564 mod 257.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 205 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2051=205
2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 134 mod 257
4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 223 mod 257
8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 128 mod 257
16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 193 mod 257
32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257
64: 20564=20532+32=20532⋅20532 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 569152 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:
152 = 128+16+8
1: 5691=569
2: 5692=5691+1=5691⋅5691 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 600 mod 701
4: 5694=5692+2=5692⋅5692 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 387 mod 701
8: 5698=5694+4=5694⋅5694 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 456 mod 701
16: 56916=5698+8=5698⋅5698 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 440 mod 701
32: 56932=56916+16=56916⋅56916 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 124 mod 701
64: 56964=56932+32=56932⋅56932 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 655 mod 701
128: 569128=56964+64=56964⋅56964 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 13 mod 701
569152
= 569128+16+8
= 569128⋅56916⋅5698
≡ 13 ⋅ 440 ⋅ 456 mod 701
≡ 5720 ⋅ 456 mod 701 ≡ 112 ⋅ 456 mod 701
≡ 51072 mod 701 ≡ 600 mod 701
Es gilt also: 569152 ≡ 600 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27
| =>59 | = 2⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -24⋅27
-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27
-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1
(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1
35⋅27 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1
Somit 35⋅27 = 1 mod 59
35 ist also das Inverse von 27 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
