Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (355 + 276) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(355 + 276) mod 7 ≡ (355 mod 7 + 276 mod 7) mod 7.
355 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 355
= 350
276 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276
= 280
Somit gilt:
(355 + 276) mod 7 ≡ (5 + 3) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 66) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 66) mod 10 ≡ (94 mod 10 ⋅ 66 mod 10) mod 10.
94 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 9 ⋅ 10 + 4 ist.
66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 66) mod 10 ≡ (4 ⋅ 6) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23616 mod 617.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2361=236
2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 166 mod 617
4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 408 mod 617
8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617
16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 809163 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 8091=809
2: 8092=8091+1=8091⋅8091 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 786 mod 983
4: 8094=8092+2=8092⋅8092 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 472 mod 983
8: 8098=8094+4=8094⋅8094 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 626 mod 983
16: 80916=8098+8=8098⋅8098 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 642 mod 983
32: 80932=80916+16=80916⋅80916 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 287 mod 983
64: 80964=80932+32=80932⋅80932 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 780 mod 983
128: 809128=80964+64=80964⋅80964 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 906 mod 983
809163
= 809128+32+2+1
= 809128⋅80932⋅8092⋅8091
≡ 906 ⋅ 287 ⋅ 786 ⋅ 809 mod 983
≡ 260022 ⋅ 786 ⋅ 809 mod 983 ≡ 510 ⋅ 786 ⋅ 809 mod 983
≡ 400860 ⋅ 809 mod 983 ≡ 779 ⋅ 809 mod 983
≡ 630211 mod 983 ≡ 108 mod 983
Es gilt also: 809163 ≡ 108 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
