Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39993 - 805) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39993 - 805) mod 8 ≡ (39993 mod 8 - 805 mod 8) mod 8.

39993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39993 = 39000+993 = 8 ⋅ 4875 +993.

805 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 805 = 800+5 = 8 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(39993 - 805) mod 8 ≡ (1 - 5) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 100) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 100) mod 4 ≡ (33 mod 4 ⋅ 100 mod 4) mod 4.

33 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 8 ⋅ 4 + 1 ist.

100 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 25 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 100) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 53316 mod 743.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 533 -> x
2. mod(x²,743) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5331=533

2: 5332=5331+1=5331⋅5331 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 263 mod 743

4: 5334=5332+2=5332⋅5332 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 70 mod 743

8: 5338=5334+4=5334⋅5334 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 442 mod 743

16: 53316=5338+8=5338⋅5338 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 698 mod 743

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50179 mod 827.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:

79 = 64+8+4+2+1

1: 5011=501

2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 420 mod 827

4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 249 mod 827

8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 803 mod 827

16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 576 mod 827

32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 149 mod 827

64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 699 mod 827

50179

= 50164+8+4+2+1

= 50164⋅5018⋅5014⋅5012⋅5011

699 ⋅ 803 ⋅ 249 ⋅ 420 ⋅ 501 mod 827
561297 ⋅ 249 ⋅ 420 ⋅ 501 mod 827 ≡ 591 ⋅ 249 ⋅ 420 ⋅ 501 mod 827
147159 ⋅ 420 ⋅ 501 mod 827 ≡ 780 ⋅ 420 ⋅ 501 mod 827
327600 ⋅ 501 mod 827 ≡ 108 ⋅ 501 mod 827
54108 mod 827 ≡ 353 mod 827

Es gilt also: 50179 ≡ 353 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68

=>73 = 1⋅68 + 5
=>68 = 13⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 68-13⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5)
= 2⋅68 -27⋅ 5 (=1)
5= 73-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68)
= -27⋅73 +29⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68

oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅73 = +29⋅68

Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1

Somit 29⋅68 = 1 mod 73

29 ist also das Inverse von 68 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.