Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1999 - 11997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1999 - 11997) mod 4 ≡ (1999 mod 4 - 11997 mod 4) mod 4.
1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
11997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 11000
Somit gilt:
(1999 - 11997) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 74) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 74) mod 4 ≡ (52 mod 4 ⋅ 74 mod 4) mod 4.
52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.
74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 74) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10316 mod 233.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 103 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1031=103
2: 1032=1031+1=1031⋅1031 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 124 mod 233
4: 1034=1032+2=1032⋅1032 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 231 mod 233
8: 1038=1034+4=1034⋅1034 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 4 mod 233
16: 10316=1038+8=1038⋅1038 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 272167 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:
167 = 128+32+4+2+1
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 240 mod 419
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 197 mod 419
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 261 mod 419
16: 27216=2728+8=2728⋅2728 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 243 mod 419
32: 27232=27216+16=27216⋅27216 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 389 mod 419
64: 27264=27232+32=27232⋅27232 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 62 mod 419
128: 272128=27264+64=27264⋅27264 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 73 mod 419
272167
= 272128+32+4+2+1
= 272128⋅27232⋅2724⋅2722⋅2721
≡ 73 ⋅ 389 ⋅ 197 ⋅ 240 ⋅ 272 mod 419
≡ 28397 ⋅ 197 ⋅ 240 ⋅ 272 mod 419 ≡ 324 ⋅ 197 ⋅ 240 ⋅ 272 mod 419
≡ 63828 ⋅ 240 ⋅ 272 mod 419 ≡ 140 ⋅ 240 ⋅ 272 mod 419
≡ 33600 ⋅ 272 mod 419 ≡ 80 ⋅ 272 mod 419
≡ 21760 mod 419 ≡ 391 mod 419
Es gilt also: 272167 ≡ 391 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 72
| =>89 | = 1⋅72 + 17 |
| =>72 | = 4⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 72-4⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(72 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅72 +16⋅ 17) = -4⋅72 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅72 +17⋅(89 -1⋅ 72)
= -4⋅72 +17⋅89 -17⋅ 72) = 17⋅89 -21⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,72)=1 = 17⋅89 -21⋅72
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -21⋅72
-21⋅72 = -17⋅89 + 1 |+89⋅72
-21⋅72 + 89⋅72 = -17⋅89 + 89⋅72 + 1
(-21 + 89) ⋅ 72 = (-17 + 72) ⋅ 89 + 1
68⋅72 = 55⋅89 + 1
Es gilt also: 68⋅72 = 55⋅89 +1
Somit 68⋅72 = 1 mod 89
68 ist also das Inverse von 72 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
