Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2800 + 356) mod 7 ≡ (2800 mod 7 + 356 mod 7) mod 7.

2800 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2800 = 2800+0 = 7 ⋅ 400 +0.

356 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 356 = 350+6 = 7 ⋅ 50 +6.

Somit gilt:

(2800 + 356) mod 7 ≡ (0 + 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 20) mod 8 ≡ (100 mod 8 ⋅ 20 mod 8) mod 8.

100 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 12 ⋅ 8 + 4 ist.

20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 20) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 124¹=124

2: 124²=124¹⁺¹=124¹⋅124¹ ≡ 124⋅124=15376 ≡ 197 mod 353

4: 124⁴=124²⁺²=124²⋅124² ≡ 197⋅197=38809 ≡ 332 mod 353

8: 124⁸=124⁴⁺⁴=124⁴⋅124⁴ ≡ 332⋅332=110224 ≡ 88 mod 353

16: 124¹⁶=124⁸⁺⁸=124⁸⋅124⁸ ≡ 88⋅88=7744 ≡ 331 mod 353

32: 124³²=124¹⁶⁺¹⁶=124¹⁶⋅124¹⁶ ≡ 331⋅331=109561 ≡ 131 mod 353

64: 124⁶⁴=124³²⁺³²=124³²⋅124³² ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

479⁶¹

= 479^32+16+8+4+1

= 479³²⋅479¹⁶⋅479⁸⋅479⁴⋅479¹

≡ 424 ⋅ 489 ⋅ 604 ⋅ 527 ⋅ 479 mod 739
≡ 207336 ⋅ 604 ⋅ 527 ⋅ 479 mod 739 ≡ 416 ⋅ 604 ⋅ 527 ⋅ 479 mod 739
≡ 251264 ⋅ 527 ⋅ 479 mod 739 ≡ 4 ⋅ 527 ⋅ 479 mod 739
≡ 2108 ⋅ 479 mod 739 ≡ 630 ⋅ 479 mod 739
≡ 301770 mod 739 ≡ 258 mod 739

Es gilt also: 479⁶¹ ≡ 258 mod 739

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61	= 2⋅22 + 17
=>22	= 1⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22) = 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61