Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 - 8004) mod 4 ≡ (78 mod 4 - 8004 mod 4) mod 4.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 80-2 = 4 ⋅ 20 -2 = 4 ⋅ 20 - 4 + 2.

8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 4 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(78 - 8004) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 40) mod 8 ≡ (64 mod 8 ⋅ 40 mod 8) mod 8.

64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 40) mod 8 ≡ (0 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 507¹=507

2: 507²=507¹⁺¹=507¹⋅507¹ ≡ 507⋅507=257049 ≡ 256 mod 523

4: 507⁴=507²⁺²=507²⋅507² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 161 mod 523

8: 507⁸=507⁴⁺⁴=507⁴⋅507⁴ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 294 mod 523

16: 507¹⁶=507⁸⁺⁸=507⁸⋅507⁸ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 141 mod 523

32: 507³²=507¹⁶⁺¹⁶=507¹⁶⋅507¹⁶ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 7 mod 523

64: 507⁶⁴=507³²⁺³²=507³²⋅507³² ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 523

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

915²²⁷

= 915^{128+64+32+2+1}

= 915¹²⁸⋅915⁶⁴⋅915³²⋅915²⋅915¹

≡ 743 ⋅ 721 ⋅ 512 ⋅ 484 ⋅ 915 mod 937
≡ 535703 ⋅ 512 ⋅ 484 ⋅ 915 mod 937 ≡ 676 ⋅ 512 ⋅ 484 ⋅ 915 mod 937
≡ 346112 ⋅ 484 ⋅ 915 mod 937 ≡ 359 ⋅ 484 ⋅ 915 mod 937
≡ 173756 ⋅ 915 mod 937 ≡ 411 ⋅ 915 mod 937
≡ 376065 mod 937 ≡ 328 mod 937

Es gilt also: 915²²⁷ ≡ 328 mod 937

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59	= 1⋅52 + 7
=>52	= 7⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52) = -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59