Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (360 + 3596) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(360 + 3596) mod 9 ≡ (360 mod 9 + 3596 mod 9) mod 9.
360 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 360
= 360
3596 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3596
= 3600
Somit gilt:
(360 + 3596) mod 9 ≡ (0 + 5) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 82) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 82) mod 10 ≡ (81 mod 10 ⋅ 82 mod 10) mod 10.
81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.
82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 82) mod 10 ≡ (1 ⋅ 2) mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2558 mod 383.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2551=255
2: 2552=2551+1=2551⋅2551 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 298 mod 383
4: 2554=2552+2=2552⋅2552 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 331 mod 383
8: 2558=2554+4=2554⋅2554 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 23 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 199146 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 1991=199
2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 5 mod 521
4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 521
8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 25⋅25=625 ≡ 104 mod 521
16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 396 mod 521
32: 19932=19916+16=19916⋅19916 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 516 mod 521
64: 19964=19932+32=19932⋅19932 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 25 mod 521
128: 199128=19964+64=19964⋅19964 ≡ 25⋅25=625 ≡ 104 mod 521
199146
= 199128+16+2
= 199128⋅19916⋅1992
≡ 104 ⋅ 396 ⋅ 5 mod 521
≡ 41184 ⋅ 5 mod 521 ≡ 25 ⋅ 5 mod 521
≡ 125 mod 521
Es gilt also: 199146 ≡ 125 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38
| =>73 | = 1⋅38 + 35 |
| =>38 | = 1⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 38-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1) |
| 35= 73-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +25⋅38
Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1
Somit 25⋅38 = 1 mod 73
25 ist also das Inverse von 38 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
