Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26993 - 1805) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26993 - 1805) mod 9 ≡ (26993 mod 9 - 1805 mod 9) mod 9.
26993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26993
= 27000
1805 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1805
= 1800
Somit gilt:
(26993 - 1805) mod 9 ≡ (2 - 5) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 57) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 57) mod 3 ≡ (93 mod 3 ⋅ 57 mod 3) mod 3.
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 57) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 788 mod 257.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 78 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 781=78
2: 782=781+1=781⋅781 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 173 mod 257
4: 784=782+2=782⋅782 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 117 mod 257
8: 788=784+4=784⋅784 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 68 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 216173 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:
173 = 128+32+8+4+1
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 10 mod 281
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 281
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 165 mod 281
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 249 mod 281
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 181 mod 281
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 165 mod 281
128: 216128=21664+64=21664⋅21664 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 249 mod 281
216173
= 216128+32+8+4+1
= 216128⋅21632⋅2168⋅2164⋅2161
≡ 249 ⋅ 181 ⋅ 165 ⋅ 100 ⋅ 216 mod 281
≡ 45069 ⋅ 165 ⋅ 100 ⋅ 216 mod 281 ≡ 109 ⋅ 165 ⋅ 100 ⋅ 216 mod 281
≡ 17985 ⋅ 100 ⋅ 216 mod 281 ≡ 1 ⋅ 100 ⋅ 216 mod 281
≡ 100 ⋅ 216 mod 281
≡ 21600 mod 281 ≡ 244 mod 281
Es gilt also: 216173 ≡ 244 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 67
| =>101 | = 1⋅67 + 34 |
| =>67 | = 1⋅34 + 33 |
| =>34 | = 1⋅33 + 1 |
| =>33 | = 33⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-1⋅33 | |||
| 33= 67-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -1⋅(67 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -1⋅67 +1⋅ 34) = -1⋅67 +2⋅ 34 (=1) |
| 34= 101-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +2⋅(101 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +2⋅101 -2⋅ 67) = 2⋅101 -3⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,67)=1 = 2⋅101 -3⋅67
oder wenn man 2⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅101 = -3⋅67
-3⋅67 = -2⋅101 + 1 |+101⋅67
-3⋅67 + 101⋅67 = -2⋅101 + 101⋅67 + 1
(-3 + 101) ⋅ 67 = (-2 + 67) ⋅ 101 + 1
98⋅67 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 98⋅67 = 65⋅101 +1
Somit 98⋅67 = 1 mod 101
98 ist also das Inverse von 67 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
