Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18006 - 1204) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18006 - 1204) mod 6 ≡ (18006 mod 6 - 1204 mod 6) mod 6.
18006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18006
= 18000
1204 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
Somit gilt:
(18006 - 1204) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 86) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 86) mod 3 ≡ (60 mod 3 ⋅ 86 mod 3) mod 3.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 20 ⋅ 3 + 0 ist.
86 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 28 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 86) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28516 mod 311.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 285 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 54 mod 311
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 117 mod 311
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 5 mod 311
16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 415161 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 4151=415
2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 143 mod 619
4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 22 mod 619
8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 619
16: 41516=4158+8=4158⋅4158 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 274 mod 619
32: 41532=41516+16=41516⋅41516 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 177 mod 619
64: 41564=41532+32=41532⋅41532 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 379 mod 619
128: 415128=41564+64=41564⋅41564 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 33 mod 619
415161
= 415128+32+1
= 415128⋅41532⋅4151
≡ 33 ⋅ 177 ⋅ 415 mod 619
≡ 5841 ⋅ 415 mod 619 ≡ 270 ⋅ 415 mod 619
≡ 112050 mod 619 ≡ 11 mod 619
Es gilt also: 415161 ≡ 11 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
