Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3495 - 7006) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3495 - 7006) mod 7 ≡ (3495 mod 7 - 7006 mod 7) mod 7.
3495 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3495
= 3500
7006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7006
= 7000
Somit gilt:
(3495 - 7006) mod 7 ≡ (2 - 6) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 90) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 90) mod 4 ≡ (53 mod 4 ⋅ 90 mod 4) mod 4.
53 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 52 + 1 = 13 ⋅ 4 + 1 ist.
90 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 22 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 90) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50116 mod 797.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 501 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5011=501
2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 743 mod 797
4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 525 mod 797
8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 660 mod 797
16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 438 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38061 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 781 mod 977
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 313 mod 977
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 269 mod 977
16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 63 mod 977
32: 38032=38016+16=38016⋅38016 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 61 mod 977
38061
= 38032+16+8+4+1
= 38032⋅38016⋅3808⋅3804⋅3801
≡ 61 ⋅ 63 ⋅ 269 ⋅ 313 ⋅ 380 mod 977
≡ 3843 ⋅ 269 ⋅ 313 ⋅ 380 mod 977 ≡ 912 ⋅ 269 ⋅ 313 ⋅ 380 mod 977
≡ 245328 ⋅ 313 ⋅ 380 mod 977 ≡ 101 ⋅ 313 ⋅ 380 mod 977
≡ 31613 ⋅ 380 mod 977 ≡ 349 ⋅ 380 mod 977
≡ 132620 mod 977 ≡ 725 mod 977
Es gilt also: 38061 ≡ 725 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53
| =>59 | = 1⋅53 + 6 |
| =>53 | = 8⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 53-8⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6) = -1⋅53 +9⋅ 6 (=1) |
| 6= 59-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53) = 9⋅59 -10⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53
oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅59 = -10⋅53
-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53
-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1
(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1
49⋅53 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1
Somit 49⋅53 = 1 mod 59
49 ist also das Inverse von 53 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
