Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 - 90) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 - 90) mod 3 ≡ (90 mod 3 - 90 mod 3) mod 3.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
Somit gilt:
(90 - 90) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 50) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 50) mod 3 ≡ (69 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.
69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.
50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 50) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44764 mod 499.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 447 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4471=447
2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 209 mod 499
4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 268 mod 499
8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 467 mod 499
16: 44716=4478+8=4478⋅4478 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 26 mod 499
32: 44732=44716+16=44716⋅44716 ≡ 26⋅26=676 ≡ 177 mod 499
64: 44764=44732+32=44732⋅44732 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 391 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21385 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:
85 = 64+16+4+1
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 505 mod 701
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 562 mod 701
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 394 mod 701
16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 315 mod 701
32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 384 mod 701
64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 246 mod 701
21385
= 21364+16+4+1
= 21364⋅21316⋅2134⋅2131
≡ 246 ⋅ 315 ⋅ 562 ⋅ 213 mod 701
≡ 77490 ⋅ 562 ⋅ 213 mod 701 ≡ 380 ⋅ 562 ⋅ 213 mod 701
≡ 213560 ⋅ 213 mod 701 ≡ 456 ⋅ 213 mod 701
≡ 97128 mod 701 ≡ 390 mod 701
Es gilt also: 21385 ≡ 390 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35
| =>59 | = 1⋅35 + 24 |
| =>35 | = 1⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 35-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 59-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +27⋅35
Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1
Somit 27⋅35 = 1 mod 59
27 ist also das Inverse von 35 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
