Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (601 - 14998) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(601 - 14998) mod 3 ≡ (601 mod 3 - 14998 mod 3) mod 3.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 15000-2 = 3 ⋅ 5000 -2 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(601 - 14998) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 64) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 64) mod 6 ≡ (66 mod 6 ⋅ 64 mod 6) mod 6.

66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 64) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18364 mod 491.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 183 -> x
2. mod(x²,491) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1831=183

2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 101 mod 491

4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 381 mod 491

8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 316 mod 491

16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 183 mod 491

32: 18332=18316+16=18316⋅18316 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 101 mod 491

64: 18364=18332+32=18332⋅18332 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 381 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 563245 mod 907.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

1: 5631=563

2: 5632=5631+1=5631⋅5631 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 426 mod 907

4: 5634=5632+2=5632⋅5632 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 76 mod 907

8: 5638=5634+4=5634⋅5634 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 334 mod 907

16: 56316=5638+8=5638⋅5638 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 902 mod 907

32: 56332=56316+16=56316⋅56316 ≡ 902⋅902=813604 ≡ 25 mod 907

64: 56364=56332+32=56332⋅56332 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 907

128: 563128=56364+64=56364⋅56364 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 615 mod 907

563245

= 563128+64+32+16+4+1

= 563128⋅56364⋅56332⋅56316⋅5634⋅5631

615 ⋅ 625 ⋅ 25 ⋅ 902 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907
384375 ⋅ 25 ⋅ 902 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907 ≡ 714 ⋅ 25 ⋅ 902 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907
17850 ⋅ 902 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907 ≡ 617 ⋅ 902 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907
556534 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907 ≡ 543 ⋅ 76 ⋅ 563 mod 907
41268 ⋅ 563 mod 907 ≡ 453 ⋅ 563 mod 907
255039 mod 907 ≡ 172 mod 907

Es gilt also: 563245 ≡ 172 mod 907

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59 = 2⋅24 + 11
=>24 = 2⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11)
= -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24)
= 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.