Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30000 - 23997) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30000 - 23997) mod 6 ≡ (30000 mod 6 - 23997 mod 6) mod 6.
30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000
= 30000
23997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23997
= 24000
Somit gilt:
(30000 - 23997) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 38) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 38) mod 3 ≡ (94 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.
94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.
38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 38) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23364 mod 271.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 233 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2331=233
2: 2332=2331+1=2331⋅2331 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 89 mod 271
4: 2334=2332+2=2332⋅2332 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 62 mod 271
8: 2338=2334+4=2334⋅2334 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 50 mod 271
16: 23316=2338+8=2338⋅2338 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 61 mod 271
32: 23332=23316+16=23316⋅23316 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 198 mod 271
64: 23364=23332+32=23332⋅23332 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 180 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 305171 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 48 mod 853
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 598 mod 853
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 197 mod 853
16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 424 mod 853
32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 646 mod 853
64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 199 mod 853
128: 305128=30564+64=30564⋅30564 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 363 mod 853
305171
= 305128+32+8+2+1
= 305128⋅30532⋅3058⋅3052⋅3051
≡ 363 ⋅ 646 ⋅ 197 ⋅ 48 ⋅ 305 mod 853
≡ 234498 ⋅ 197 ⋅ 48 ⋅ 305 mod 853 ≡ 776 ⋅ 197 ⋅ 48 ⋅ 305 mod 853
≡ 152872 ⋅ 48 ⋅ 305 mod 853 ≡ 185 ⋅ 48 ⋅ 305 mod 853
≡ 8880 ⋅ 305 mod 853 ≡ 350 ⋅ 305 mod 853
≡ 106750 mod 853 ≡ 125 mod 853
Es gilt also: 305171 ≡ 125 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48
| =>59 | = 1⋅48 + 11 |
| =>48 | = 4⋅11 + 4 |
| =>11 | = 2⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 11-2⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1) |
| 4= 48-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +16⋅48
Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1
Somit 16⋅48 = 1 mod 59
16 ist also das Inverse von 48 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
