Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(505 - 2504) mod 5 ≡ (505 mod 5 - 2504 mod 5) mod 5.

505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 505 = 500+5 = 5 ⋅ 100 +5.

2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504 = 2500+4 = 5 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(505 - 2504) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 17) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 17 mod 8) mod 8.

92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.

17 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 17) mod 8 ≡ (4 ⋅ 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 408¹=408

2: 408²=408¹⁺¹=408¹⋅408¹ ≡ 408⋅408=166464 ≡ 251 mod 479

4: 408⁴=408²⁺²=408²⋅408² ≡ 251⋅251=63001 ≡ 252 mod 479

8: 408⁸=408⁴⁺⁴=408⁴⋅408⁴ ≡ 252⋅252=63504 ≡ 276 mod 479

16: 408¹⁶=408⁸⁺⁸=408⁸⋅408⁸ ≡ 276⋅276=76176 ≡ 15 mod 479

32: 408³²=408¹⁶⁺¹⁶=408¹⁶⋅408¹⁶ ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 479

64: 408⁶⁴=408³²⁺³²=408³²⋅408³² ≡ 225⋅225=50625 ≡ 330 mod 479

128: 408¹²⁸=408⁶⁴⁺⁶⁴=408⁶⁴⋅408⁶⁴ ≡ 330⋅330=108900 ≡ 167 mod 479

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

385²⁵⁵

= 385^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 385¹²⁸⋅385⁶⁴⋅385³²⋅385¹⁶⋅385⁸⋅385⁴⋅385²⋅385¹

≡ 494 ⋅ 380 ⋅ 303 ⋅ 433 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
≡ 187720 ⋅ 303 ⋅ 433 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541 ≡ 534 ⋅ 303 ⋅ 433 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
≡ 161802 ⋅ 433 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541 ≡ 43 ⋅ 433 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
≡ 18619 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541 ≡ 225 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
≡ 15525 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541 ≡ 377 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
≡ 30537 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541 ≡ 241 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
≡ 128212 ⋅ 385 mod 541 ≡ 536 ⋅ 385 mod 541
≡ 206360 mod 541 ≡ 239 mod 541

Es gilt also: 385²⁵⁵ ≡ 239 mod 541

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30

=>97	= 3⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-3⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30) = 13⋅97 -42⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -42⋅30

-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30

-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1

(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1

55⋅30 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1

Somit 55⋅30 = 1 mod 97

55 ist also das Inverse von 30 mod 97