Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2004 + 120) mod 4 ≡ (2004 mod 4 + 120 mod 4) mod 4.

2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 4 ⋅ 500 +4.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(2004 + 120) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 56) mod 6 ≡ (61 mod 6 ⋅ 56 mod 6) mod 6.

61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 56) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 147¹=147

2: 147²=147¹⁺¹=147¹⋅147¹ ≡ 147⋅147=21609 ≡ 119 mod 307

4: 147⁴=147²⁺²=147²⋅147² ≡ 119⋅119=14161 ≡ 39 mod 307

8: 147⁸=147⁴⁺⁴=147⁴⋅147⁴ ≡ 39⋅39=1521 ≡ 293 mod 307

16: 147¹⁶=147⁸⁺⁸=147⁸⋅147⁸ ≡ 293⋅293=85849 ≡ 196 mod 307

32: 147³²=147¹⁶⁺¹⁶=147¹⁶⋅147¹⁶ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 41 mod 307

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

411²⁴⁴

= 411^{128+64+32+16+4}

= 411¹²⁸⋅411⁶⁴⋅411³²⋅411¹⁶⋅411⁴

≡ 178 ⋅ 320 ⋅ 490 ⋅ 397 ⋅ 264 mod 631
≡ 56960 ⋅ 490 ⋅ 397 ⋅ 264 mod 631 ≡ 170 ⋅ 490 ⋅ 397 ⋅ 264 mod 631
≡ 83300 ⋅ 397 ⋅ 264 mod 631 ≡ 8 ⋅ 397 ⋅ 264 mod 631
≡ 3176 ⋅ 264 mod 631 ≡ 21 ⋅ 264 mod 631
≡ 5544 mod 631 ≡ 496 mod 631

Es gilt also: 411²⁴⁴ ≡ 496 mod 631

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

=>67	= 2⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -29⋅30

-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30

-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1

(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1

38⋅30 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1

Somit 38⋅30 = 1 mod 67

38 ist also das Inverse von 30 mod 67