Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 - 249) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 - 249) mod 5 ≡ (100 mod 5 - 249 mod 5) mod 5.
100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100
= 100
249 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 249
= 240
Somit gilt:
(100 - 249) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 96) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 96) mod 3 ≡ (77 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.
77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.
96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 96) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22616 mod 419.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 226 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 377 mod 419
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 88 mod 419
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 202 mod 419
16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 161 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 128198 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 1281=128
2: 1282=1281+1=1281⋅1281 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 108 mod 313
4: 1284=1282+2=1282⋅1282 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 83 mod 313
8: 1288=1284+4=1284⋅1284 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313
16: 12816=1288+8=1288⋅1288 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 313
32: 12832=12816+16=12816⋅12816 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 313
64: 12864=12832+32=12832⋅12832 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 301 mod 313
128: 128128=12864+64=12864⋅12864 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 144 mod 313
128198
= 128128+64+4+2
= 128128⋅12864⋅1284⋅1282
≡ 144 ⋅ 301 ⋅ 83 ⋅ 108 mod 313
≡ 43344 ⋅ 83 ⋅ 108 mod 313 ≡ 150 ⋅ 83 ⋅ 108 mod 313
≡ 12450 ⋅ 108 mod 313 ≡ 243 ⋅ 108 mod 313
≡ 26244 mod 313 ≡ 265 mod 313
Es gilt also: 128198 ≡ 265 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 52
| =>83 | = 1⋅52 + 31 |
| =>52 | = 1⋅31 + 21 |
| =>31 | = 1⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 31-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21) = -2⋅31 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 52-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +3⋅(52 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅52 -3⋅ 31) = 3⋅52 -5⋅ 31 (=1) |
| 31= 83-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅52 -5⋅(83 -1⋅ 52)
= 3⋅52 -5⋅83 +5⋅ 52) = -5⋅83 +8⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,52)=1 = -5⋅83 +8⋅52
oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅83 = +8⋅52
Es gilt also: 8⋅52 = 5⋅83 +1
Somit 8⋅52 = 1 mod 83
8 ist also das Inverse von 52 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
