Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(301 + 2995) mod 6 ≡ (301 mod 6 + 2995 mod 6) mod 6.

301 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 6 ⋅ 50 +1.

2995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2995 = 3000-5 = 6 ⋅ 500 -5 = 6 ⋅ 500 - 6 + 1.

Somit gilt:

(301 + 2995) mod 6 ≡ (1 + 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 15) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 15 mod 6) mod 6.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 15) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 527¹=527

2: 527²=527¹⁺¹=527¹⋅527¹ ≡ 527⋅527=277729 ≡ 192 mod 577

4: 527⁴=527²⁺²=527²⋅527² ≡ 192⋅192=36864 ≡ 513 mod 577

8: 527⁸=527⁴⁺⁴=527⁴⋅527⁴ ≡ 513⋅513=263169 ≡ 57 mod 577

16: 527¹⁶=527⁸⁺⁸=527⁸⋅527⁸ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 364 mod 577

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

408¹²³

= 408^{64+32+16+8+2+1}

= 408⁶⁴⋅408³²⋅408¹⁶⋅408⁸⋅408²⋅408¹

≡ 134 ⋅ 227 ⋅ 170 ⋅ 453 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541
≡ 30418 ⋅ 170 ⋅ 453 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541 ≡ 122 ⋅ 170 ⋅ 453 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541
≡ 20740 ⋅ 453 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541 ≡ 182 ⋅ 453 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541
≡ 82446 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541 ≡ 214 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541
≡ 80678 ⋅ 408 mod 541 ≡ 69 ⋅ 408 mod 541
≡ 28152 mod 541 ≡ 20 mod 541

Es gilt also: 408¹²³ ≡ 20 mod 541

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101	= 1⋅84 + 17
=>84	= 4⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17) = -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84) = -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84) = 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101