Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36002 + 173) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36002 + 173) mod 9 ≡ (36002 mod 9 + 173 mod 9) mod 9.
36002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36002
= 36000
173 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 173
= 180
Somit gilt:
(36002 + 173) mod 9 ≡ (2 + 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 38) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 38) mod 11 ≡ (68 mod 11 ⋅ 38 mod 11) mod 11.
68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.
38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 38) mod 11 ≡ (2 ⋅ 5) mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25616 mod 587.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 256 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2561=256
2: 2562=2561+1=2561⋅2561 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 379 mod 587
4: 2564=2562+2=2562⋅2562 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 413 mod 587
8: 2568=2564+4=2564⋅2564 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 339 mod 587
16: 25616=2568+8=2568⋅2568 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 456 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 750162 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 7501=750
2: 7502=7501+1=7501⋅7501 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 49 mod 757
4: 7504=7502+2=7502⋅7502 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 130 mod 757
8: 7508=7504+4=7504⋅7504 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 246 mod 757
16: 75016=7508+8=7508⋅7508 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 713 mod 757
32: 75032=75016+16=75016⋅75016 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 422 mod 757
64: 75064=75032+32=75032⋅75032 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 189 mod 757
128: 750128=75064+64=75064⋅75064 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 142 mod 757
750162
= 750128+32+2
= 750128⋅75032⋅7502
≡ 142 ⋅ 422 ⋅ 49 mod 757
≡ 59924 ⋅ 49 mod 757 ≡ 121 ⋅ 49 mod 757
≡ 5929 mod 757 ≡ 630 mod 757
Es gilt also: 750162 ≡ 630 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 42
| =>67 | = 1⋅42 + 25 |
| =>42 | = 1⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 42-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(42 -1⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅42 -3⋅ 25) = 3⋅42 -5⋅ 25 (=1) |
| 25= 67-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅42 -5⋅(67 -1⋅ 42)
= 3⋅42 -5⋅67 +5⋅ 42) = -5⋅67 +8⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,42)=1 = -5⋅67 +8⋅42
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +8⋅42
Es gilt also: 8⋅42 = 5⋅67 +1
Somit 8⋅42 = 1 mod 67
8 ist also das Inverse von 42 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
