Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (295 + 60) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(295 + 60) mod 6 ≡ (295 mod 6 + 60 mod 6) mod 6.
295 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 295
= 300
60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
Somit gilt:
(295 + 60) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 97) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 97) mod 5 ≡ (16 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.
16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 97) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21216 mod 491.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 212 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2121=212
2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 263 mod 491
4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 429 mod 491
8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 407 mod 491
16: 21216=2128+8=2128⋅2128 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 182 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 317209 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 424 mod 953
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 612 mod 953
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 15 mod 953
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 953
32: 31732=31716+16=31716⋅31716 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 116 mod 953
64: 31764=31732+32=31732⋅31732 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 114 mod 953
128: 317128=31764+64=31764⋅31764 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 607 mod 953
317209
= 317128+64+16+1
= 317128⋅31764⋅31716⋅3171
≡ 607 ⋅ 114 ⋅ 225 ⋅ 317 mod 953
≡ 69198 ⋅ 225 ⋅ 317 mod 953 ≡ 582 ⋅ 225 ⋅ 317 mod 953
≡ 130950 ⋅ 317 mod 953 ≡ 389 ⋅ 317 mod 953
≡ 123313 mod 953 ≡ 376 mod 953
Es gilt also: 317209 ≡ 376 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 92.
Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 92
| =>97 | = 1⋅92 + 5 |
| =>92 | = 18⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,92)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 92-18⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(92 -18⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅92 +36⋅ 5) = -2⋅92 +37⋅ 5 (=1) |
| 5= 97-1⋅92 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅92 +37⋅(97 -1⋅ 92)
= -2⋅92 +37⋅97 -37⋅ 92) = 37⋅97 -39⋅ 92 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,92)=1 = 37⋅97 -39⋅92
oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -37⋅97 = -39⋅92
-39⋅92 = -37⋅97 + 1 |+97⋅92
-39⋅92 + 97⋅92 = -37⋅97 + 97⋅92 + 1
(-39 + 97) ⋅ 92 = (-37 + 92) ⋅ 97 + 1
58⋅92 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 58⋅92 = 55⋅97 +1
Somit 58⋅92 = 1 mod 97
58 ist also das Inverse von 92 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
