Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29995 + 24004) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29995 + 24004) mod 6 ≡ (29995 mod 6 + 24004 mod 6) mod 6.

29995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29995 = 30000-5 = 6 ⋅ 5000 -5 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 1.

24004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24004 = 24000+4 = 6 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(29995 + 24004) mod 6 ≡ (1 + 4) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 25) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 25) mod 10 ≡ (91 mod 10 ⋅ 25 mod 10) mod 10.

91 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 9 ⋅ 10 + 1 ist.

25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 25) mod 10 ≡ (1 ⋅ 5) mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23816 mod 401.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 238 -> x
2. mod(x²,401) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2381=238

2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 103 mod 401

4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 183 mod 401

8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 206 mod 401

16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 331 mod 401

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36897 mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:

97 = 64+32+1

1: 3681=368

2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 244 mod 751

4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 207 mod 751

8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 42 mod 751

16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 262 mod 751

32: 36832=36816+16=36816⋅36816 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 303 mod 751

64: 36864=36832+32=36832⋅36832 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 187 mod 751

36897

= 36864+32+1

= 36864⋅36832⋅3681

≡ 187 ⋅ 303 ⋅ 368 mod 751
≡ 56661 ⋅ 368 mod 751 ≡ 336 ⋅ 368 mod 751
≡ 123648 mod 751 ≡ 484 mod 751

Es gilt also: 36897 ≡ 484 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

=>53 = 1⋅31 + 22
=>31 = 1⋅22 + 9
=>22 = 2⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9)
= -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22)
= 5⋅31 -7⋅ 22 (=1)
22= 53-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31)
= -7⋅53 +12⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31

oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅53 = +12⋅31

Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1

Somit 12⋅31 = 1 mod 53

12 ist also das Inverse von 31 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.