Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (243 + 314) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(243 + 314) mod 8 ≡ (243 mod 8 + 314 mod 8) mod 8.
243 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 243
= 240
314 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 314
= 320
Somit gilt:
(243 + 314) mod 8 ≡ (3 + 2) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 36) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 36) mod 7 ≡ (75 mod 7 ⋅ 36 mod 7) mod 7.
75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.
36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 36) mod 7 ≡ (5 ⋅ 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3678 mod 587.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 367 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3671=367
2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 266 mod 587
4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 316 mod 587
8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 66 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 181118 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 1811=181
2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 219 mod 307
4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 69 mod 307
8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 156 mod 307
16: 18116=1818+8=1818⋅1818 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 83 mod 307
32: 18132=18116+16=18116⋅18116 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 135 mod 307
64: 18164=18132+32=18132⋅18132 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 112 mod 307
181118
= 18164+32+16+4+2
= 18164⋅18132⋅18116⋅1814⋅1812
≡ 112 ⋅ 135 ⋅ 83 ⋅ 69 ⋅ 219 mod 307
≡ 15120 ⋅ 83 ⋅ 69 ⋅ 219 mod 307 ≡ 77 ⋅ 83 ⋅ 69 ⋅ 219 mod 307
≡ 6391 ⋅ 69 ⋅ 219 mod 307 ≡ 251 ⋅ 69 ⋅ 219 mod 307
≡ 17319 ⋅ 219 mod 307 ≡ 127 ⋅ 219 mod 307
≡ 27813 mod 307 ≡ 183 mod 307
Es gilt also: 181118 ≡ 183 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49
| =>89 | = 1⋅49 + 40 |
| =>49 | = 1⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 49-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1) |
| 40= 89-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +20⋅49
Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1
Somit 20⋅49 = 1 mod 89
20 ist also das Inverse von 49 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
