Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2398 + 805) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2398 + 805) mod 8 ≡ (2398 mod 8 + 805 mod 8) mod 8.

2398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 8 ⋅ 300 -2 = 8 ⋅ 300 - 8 + 6.

805 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 805 = 800+5 = 8 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(2398 + 805) mod 8 ≡ (6 + 5) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 55) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 55) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 55 mod 11) mod 11.

43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.

55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 55) mod 11 ≡ (10 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 504128 mod 673.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,673) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5041=504

2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 295 mod 673

4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 208 mod 673

8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 192 mod 673

16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 522 mod 673

32: 50432=50416+16=50416⋅50416 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 592 mod 673

64: 50464=50432+32=50432⋅50432 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 504 mod 673

128: 504128=50464+64=50464⋅50464 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 295 mod 673

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 509120 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:

120 = 64+32+16+8

1: 5091=509

2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 649 mod 673

4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 576 mod 673

8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 660 mod 673

16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 169 mod 673

32: 50932=50916+16=50916⋅50916 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 295 mod 673

64: 50964=50932+32=50932⋅50932 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 208 mod 673

509120

= 50964+32+16+8

= 50964⋅50932⋅50916⋅5098

208 ⋅ 295 ⋅ 169 ⋅ 660 mod 673
61360 ⋅ 169 ⋅ 660 mod 673 ≡ 117 ⋅ 169 ⋅ 660 mod 673
19773 ⋅ 660 mod 673 ≡ 256 ⋅ 660 mod 673
168960 mod 673 ≡ 37 mod 673

Es gilt also: 509120 ≡ 37 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 67.

Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67

=>97 = 1⋅67 + 30
=>67 = 2⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30)
= 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)
30= 97-1⋅67 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67)
= 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67)
= -29⋅97 +42⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67

oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +29⋅97 = +42⋅67

Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1

Somit 42⋅67 = 1 mod 97

42 ist also das Inverse von 67 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.