Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44997 - 178) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44997 - 178) mod 9 ≡ (44997 mod 9 - 178 mod 9) mod 9.
44997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44997
= 45000
178 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178
= 180
Somit gilt:
(44997 - 178) mod 9 ≡ (6 - 7) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 36) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 36) mod 11 ≡ (54 mod 11 ⋅ 36 mod 11) mod 11.
54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.
36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 36) mod 11 ≡ (10 ⋅ 3) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21016 mod 223.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 210 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 169 mod 223
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 17 mod 223
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 17⋅17=289 ≡ 66 mod 223
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 119 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37864 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 3781=378
2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 32 mod 503
4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 18 mod 503
8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 503
16: 37816=3788+8=3788⋅3788 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 352 mod 503
32: 37832=37816+16=37816⋅37816 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 166 mod 503
64: 37864=37832+32=37832⋅37832 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 394 mod 503
37864
= 37864
= 37864
≡ 394 mod 503
Es gilt also: 37864 ≡ 394 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
