Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36004 + 352) mod 9 ≡ (36004 mod 9 + 352 mod 9) mod 9.

36004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36004 = 36000+4 = 9 ⋅ 4000 +4.

352 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352 = 360-8 = 9 ⋅ 40 -8 = 9 ⋅ 40 - 9 + 1.

Somit gilt:

(36004 + 352) mod 9 ≡ (4 + 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 62) mod 4 ≡ (74 mod 4 ⋅ 62 mod 4) mod 4.

74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.

62 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 15 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 62) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 740¹=740

2: 740²=740¹⁺¹=740¹⋅740¹ ≡ 740⋅740=547600 ≡ 578 mod 953

4: 740⁴=740²⁺²=740²⋅740² ≡ 578⋅578=334084 ≡ 534 mod 953

8: 740⁸=740⁴⁺⁴=740⁴⋅740⁴ ≡ 534⋅534=285156 ≡ 209 mod 953

16: 740¹⁶=740⁸⁺⁸=740⁸⋅740⁸ ≡ 209⋅209=43681 ≡ 796 mod 953

32: 740³²=740¹⁶⁺¹⁶=740¹⁶⋅740¹⁶ ≡ 796⋅796=633616 ≡ 824 mod 953

64: 740⁶⁴=740³²⁺³²=740³²⋅740³² ≡ 824⋅824=678976 ≡ 440 mod 953

128: 740¹²⁸=740⁶⁴⁺⁶⁴=740⁶⁴⋅740⁶⁴ ≡ 440⋅440=193600 ≡ 141 mod 953

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:

102 = 64+32+4+2

96¹⁰²

= 96^64+32+4+2

= 96⁶⁴⋅96³²⋅96⁴⋅96²

≡ 5 ⋅ 65 ⋅ 193 ⋅ 143 mod 211
≡ 325 ⋅ 193 ⋅ 143 mod 211 ≡ 114 ⋅ 193 ⋅ 143 mod 211
≡ 22002 ⋅ 143 mod 211 ≡ 58 ⋅ 143 mod 211
≡ 8294 mod 211 ≡ 65 mod 211

Es gilt also: 96¹⁰² ≡ 65 mod 211

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48

=>71	= 1⋅48 + 23
=>48	= 2⋅23 + 2
=>23	= 11⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 48-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23) = 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23) = -11⋅48 +23⋅ 23 (=1)
23= 71-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48) = -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48) = 23⋅71 -34⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -34⋅48

-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48

-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1

(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1

37⋅48 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1

Somit 37⋅48 = 1 mod 71

37 ist also das Inverse von 48 mod 71