Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 - 183) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 - 183) mod 6 ≡ (1200 mod 6 - 183 mod 6) mod 6.
1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
183 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 183
= 180
Somit gilt:
(1200 - 183) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 46) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 46) mod 11 ≡ (41 mod 11 ⋅ 46 mod 11) mod 11.
41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.
46 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 4 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 46) mod 11 ≡ (8 ⋅ 2) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70664 mod 977.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 706 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7061=706
2: 7062=7061+1=7061⋅7061 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 166 mod 977
4: 7064=7062+2=7062⋅7062 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 200 mod 977
8: 7068=7064+4=7064⋅7064 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 920 mod 977
16: 70616=7068+8=7068⋅7068 ≡ 920⋅920=846400 ≡ 318 mod 977
32: 70632=70616+16=70616⋅70616 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 493 mod 977
64: 70664=70632+32=70632⋅70632 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 753 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 103225 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 1031=103
2: 1032=1031+1=1031⋅1031 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 5 mod 241
4: 1034=1032+2=1032⋅1032 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 241
8: 1038=1034+4=1034⋅1034 ≡ 25⋅25=625 ≡ 143 mod 241
16: 10316=1038+8=1038⋅1038 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 205 mod 241
32: 10332=10316+16=10316⋅10316 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
64: 10364=10332+32=10332⋅10332 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241
128: 103128=10364+64=10364⋅10364 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241
103225
= 103128+64+32+1
= 103128⋅10364⋅10332⋅1031
≡ 98 ⋅ 87 ⋅ 91 ⋅ 103 mod 241
≡ 8526 ⋅ 91 ⋅ 103 mod 241 ≡ 91 ⋅ 91 ⋅ 103 mod 241
≡ 8281 ⋅ 103 mod 241 ≡ 87 ⋅ 103 mod 241
≡ 8961 mod 241 ≡ 44 mod 241
Es gilt also: 103225 ≡ 44 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 55
| =>83 | = 1⋅55 + 28 |
| =>55 | = 1⋅28 + 27 |
| =>28 | = 1⋅27 + 1 |
| =>27 | = 27⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-1⋅27 | |||
| 27= 55-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -1⋅(55 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -1⋅55 +1⋅ 28) = -1⋅55 +2⋅ 28 (=1) |
| 28= 83-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅55 +2⋅(83 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +2⋅83 -2⋅ 55) = 2⋅83 -3⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,55)=1 = 2⋅83 -3⋅55
oder wenn man 2⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅83 = -3⋅55
-3⋅55 = -2⋅83 + 1 |+83⋅55
-3⋅55 + 83⋅55 = -2⋅83 + 83⋅55 + 1
(-3 + 83) ⋅ 55 = (-2 + 55) ⋅ 83 + 1
80⋅55 = 53⋅83 + 1
Es gilt also: 80⋅55 = 53⋅83 +1
Somit 80⋅55 = 1 mod 83
80 ist also das Inverse von 55 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
