Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45005 - 44999) mod 9 ≡ (45005 mod 9 - 44999 mod 9) mod 9.

45005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45005 = 45000+5 = 9 ⋅ 5000 +5.

44999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44999 = 45000-1 = 9 ⋅ 5000 -1 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 8.

Somit gilt:

(45005 - 44999) mod 9 ≡ (5 - 8) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 76) mod 6 ≡ (31 mod 6 ⋅ 76 mod 6) mod 6.

31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.

76 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 12 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 76) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 557¹=557

2: 557²=557¹⁺¹=557¹⋅557¹ ≡ 557⋅557=310249 ≡ 500 mod 971

4: 557⁴=557²⁺²=557²⋅557² ≡ 500⋅500=250000 ≡ 453 mod 971

8: 557⁸=557⁴⁺⁴=557⁴⋅557⁴ ≡ 453⋅453=205209 ≡ 328 mod 971

16: 557¹⁶=557⁸⁺⁸=557⁸⋅557⁸ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 774 mod 971

32: 557³²=557¹⁶⁺¹⁶=557¹⁶⋅557¹⁶ ≡ 774⋅774=599076 ≡ 940 mod 971

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

318²³¹

= 318^{128+64+32+4+2+1}

= 318¹²⁸⋅318⁶⁴⋅318³²⋅318⁴⋅318²⋅318¹

≡ 329 ⋅ 160 ⋅ 636 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 318 mod 683
≡ 52640 ⋅ 636 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 318 mod 683 ≡ 49 ⋅ 636 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 318 mod 683
≡ 31164 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 318 mod 683 ≡ 429 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 318 mod 683
≡ 100386 ⋅ 40 ⋅ 318 mod 683 ≡ 668 ⋅ 40 ⋅ 318 mod 683
≡ 26720 ⋅ 318 mod 683 ≡ 83 ⋅ 318 mod 683
≡ 26394 mod 683 ≡ 440 mod 683

Es gilt also: 318²³¹ ≡ 440 mod 683

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89