Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1498 - 2000) mod 5 ≡ (1498 mod 5 - 2000 mod 5) mod 5.

1498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1400+98 = 5 ⋅ 280 +98.

2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 5 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(1498 - 2000) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 32) mod 9 ≡ (36 mod 9 ⋅ 32 mod 9) mod 9.

36 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 4 ⋅ 9 + 0 ist.

32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 32) mod 9 ≡ (0 ⋅ 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 192¹=192

2: 192²=192¹⁺¹=192¹⋅192¹ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 102 mod 557

4: 192⁴=192²⁺²=192²⋅192² ≡ 102⋅102=10404 ≡ 378 mod 557

8: 192⁸=192⁴⁺⁴=192⁴⋅192⁴ ≡ 378⋅378=142884 ≡ 292 mod 557

16: 192¹⁶=192⁸⁺⁸=192⁸⋅192⁸ ≡ 292⋅292=85264 ≡ 43 mod 557

32: 192³²=192¹⁶⁺¹⁶=192¹⁶⋅192¹⁶ ≡ 43⋅43=1849 ≡ 178 mod 557

64: 192⁶⁴=192³²⁺³²=192³²⋅192³² ≡ 178⋅178=31684 ≡ 492 mod 557

128: 192¹²⁸=192⁶⁴⁺⁶⁴=192⁶⁴⋅192⁶⁴ ≡ 492⋅492=242064 ≡ 326 mod 557

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:

78 = 64+8+4+2

117⁷⁸

= 117^64+8+4+2

= 117⁶⁴⋅117⁸⋅117⁴⋅117²

≡ 20 ⋅ 83 ⋅ 82 ⋅ 178 mod 229
≡ 1660 ⋅ 82 ⋅ 178 mod 229 ≡ 57 ⋅ 82 ⋅ 178 mod 229
≡ 4674 ⋅ 178 mod 229 ≡ 94 ⋅ 178 mod 229
≡ 16732 mod 229 ≡ 15 mod 229

Es gilt also: 117⁷⁸ ≡ 15 mod 229

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25

=>67	= 2⋅25 + 17
=>25	= 1⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 25-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25) = -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25) = 3⋅67 -8⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -8⋅25

-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25

-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1

(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1

59⋅25 = 22⋅67 + 1

Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1

Somit 59⋅25 = 1 mod 67

59 ist also das Inverse von 25 mod 67