Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16001 - 16002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16001 - 16002) mod 4 ≡ (16001 mod 4 - 16002 mod 4) mod 4.
16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
Somit gilt:
(16001 - 16002) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 34) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 34) mod 8 ≡ (31 mod 8 ⋅ 34 mod 8) mod 8.
31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.
34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 34) mod 8 ≡ (7 ⋅ 2) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30132 mod 769.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 301 -> x
2. mod(x²,769) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 628 mod 769
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 656 mod 769
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 465 mod 769
16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 136 mod 769
32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 40 mod 769
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 843137 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 8431=843
2: 8432=8431+1=8431⋅8431 ≡ 843⋅843=710649 ≡ 399 mod 947
4: 8434=8432+2=8432⋅8432 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 105 mod 947
8: 8438=8434+4=8434⋅8434 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 608 mod 947
16: 84316=8438+8=8438⋅8438 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 334 mod 947
32: 84332=84316+16=84316⋅84316 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 757 mod 947
64: 84364=84332+32=84332⋅84332 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 114 mod 947
128: 843128=84364+64=84364⋅84364 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 685 mod 947
843137
= 843128+8+1
= 843128⋅8438⋅8431
≡ 685 ⋅ 608 ⋅ 843 mod 947
≡ 416480 ⋅ 843 mod 947 ≡ 747 ⋅ 843 mod 947
≡ 629721 mod 947 ≡ 913 mod 947
Es gilt also: 843137 ≡ 913 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40
| =>89 | = 2⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40) = 9⋅89 -20⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -20⋅40
-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40
-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1
(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1
69⋅40 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1
Somit 69⋅40 = 1 mod 89
69 ist also das Inverse von 40 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
