Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (502 - 998) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(502 - 998) mod 5 ≡ (502 mod 5 - 998 mod 5) mod 5.
502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 502
= 500
998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998
= 900
Somit gilt:
(502 - 998) mod 5 ≡ (2 - 3) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 89) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 89) mod 3 ≡ (50 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.
50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 89) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11116 mod 211.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 111 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1111=111
2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 83 mod 211
4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 137 mod 211
8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 201 mod 211
16: 11116=1118+8=1118⋅1118 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 100 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30399 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 601 mod 877
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 754 mod 877
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 754⋅754=568516 ≡ 220 mod 877
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 165 mod 877
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 38 mod 877
64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 567 mod 877
30399
= 30364+32+2+1
= 30364⋅30332⋅3032⋅3031
≡ 567 ⋅ 38 ⋅ 601 ⋅ 303 mod 877
≡ 21546 ⋅ 601 ⋅ 303 mod 877 ≡ 498 ⋅ 601 ⋅ 303 mod 877
≡ 299298 ⋅ 303 mod 877 ≡ 241 ⋅ 303 mod 877
≡ 73023 mod 877 ≡ 232 mod 877
Es gilt also: 30399 ≡ 232 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33
| =>71 | = 2⋅33 + 5 |
| =>33 | = 6⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 33-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(33 -6⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅33 -12⋅ 5) = 2⋅33 -13⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -13⋅(71 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -13⋅71 +26⋅ 33) = -13⋅71 +28⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,33)=1 = -13⋅71 +28⋅33
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +28⋅33
Es gilt also: 28⋅33 = 13⋅71 +1
Somit 28⋅33 = 1 mod 71
28 ist also das Inverse von 33 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
