Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 + 3000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 + 3000) mod 3 ≡ (1199 mod 3 + 3000 mod 3) mod 3.
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
Somit gilt:
(1199 + 3000) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 43) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 43) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 43 mod 3) mod 3.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 43) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12516 mod 277.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 125 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1251=125
2: 1252=1251+1=1251⋅1251 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 113 mod 277
4: 1254=1252+2=1252⋅1252 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 27 mod 277
8: 1258=1254+4=1254⋅1254 ≡ 27⋅27=729 ≡ 175 mod 277
16: 12516=1258+8=1258⋅1258 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 155 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 248139 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 18 mod 433
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 433
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 190 mod 433
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 161 mod 433
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 374 mod 433
64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 17 mod 433
128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 433
248139
= 248128+8+2+1
= 248128⋅2488⋅2482⋅2481
≡ 289 ⋅ 190 ⋅ 18 ⋅ 248 mod 433
≡ 54910 ⋅ 18 ⋅ 248 mod 433 ≡ 352 ⋅ 18 ⋅ 248 mod 433
≡ 6336 ⋅ 248 mod 433 ≡ 274 ⋅ 248 mod 433
≡ 67952 mod 433 ≡ 404 mod 433
Es gilt also: 248139 ≡ 404 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22
| =>71 | = 3⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -29⋅22
-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22
-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1
(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1
42⋅22 = 13⋅71 + 1
Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1
Somit 42⋅22 = 1 mod 71
42 ist also das Inverse von 22 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
