Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25001 + 15005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25001 + 15005) mod 5 ≡ (25001 mod 5 + 15005 mod 5) mod 5.
25001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25001
= 25000
15005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15005
= 15000
Somit gilt:
(25001 + 15005) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 31) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 31) mod 5 ≡ (81 mod 5 ⋅ 31 mod 5) mod 5.
81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.
31 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 6 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 31) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31716 mod 547.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 317 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 388 mod 547
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 119 mod 547
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 486 mod 547
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 439 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 84149 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 841=84
2: 842=841+1=841⋅841 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 117 mod 257
4: 844=842+2=842⋅842 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 68 mod 257
8: 848=844+4=844⋅844 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 255 mod 257
16: 8416=848+8=848⋅848 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 4 mod 257
32: 8432=8416+16=8416⋅8416 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257
64: 8464=8432+32=8432⋅8432 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
128: 84128=8464+64=8464⋅8464 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257
84149
= 84128+16+4+1
= 84128⋅8416⋅844⋅841
≡ 1 ⋅ 4 ⋅ 68 ⋅ 84 mod 257
≡ 4 ⋅ 68 ⋅ 84 mod 257
≡ 272 ⋅ 84 mod 257 ≡ 15 ⋅ 84 mod 257
≡ 1260 mod 257 ≡ 232 mod 257
Es gilt also: 84149 ≡ 232 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 48
| =>67 | = 1⋅48 + 19 |
| =>48 | = 2⋅19 + 10 |
| =>19 | = 1⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 19-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(19 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅19 +1⋅ 10) = -1⋅19 +2⋅ 10 (=1) |
| 10= 48-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +2⋅(48 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +2⋅48 -4⋅ 19) = 2⋅48 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -5⋅(67 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -5⋅67 +5⋅ 48) = -5⋅67 +7⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,48)=1 = -5⋅67 +7⋅48
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +7⋅48
Es gilt also: 7⋅48 = 5⋅67 +1
Somit 7⋅48 = 1 mod 67
7 ist also das Inverse von 48 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
