Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (125 - 18005) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(125 - 18005) mod 6 ≡ (125 mod 6 - 18005 mod 6) mod 6.
125 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 125
= 120
18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005
= 18000
Somit gilt:
(125 - 18005) mod 6 ≡ (5 - 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 28) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 28) mod 6 ≡ (85 mod 6 ⋅ 28 mod 6) mod 6.
85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.
28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 28) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6448 mod 991.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 644 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6441=644
2: 6442=6441+1=6441⋅6441 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 498 mod 991
4: 6444=6442+2=6442⋅6442 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 254 mod 991
8: 6448=6444+4=6444⋅6444 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 101 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 533115 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:
115 = 64+32+16+2+1
1: 5331=533
2: 5332=5331+1=5331⋅5331 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 158 mod 569
4: 5334=5332+2=5332⋅5332 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 497 mod 569
8: 5338=5334+4=5334⋅5334 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 63 mod 569
16: 53316=5338+8=5338⋅5338 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 555 mod 569
32: 53332=53316+16=53316⋅53316 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 196 mod 569
64: 53364=53332+32=53332⋅53332 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 293 mod 569
533115
= 53364+32+16+2+1
= 53364⋅53332⋅53316⋅5332⋅5331
≡ 293 ⋅ 196 ⋅ 555 ⋅ 158 ⋅ 533 mod 569
≡ 57428 ⋅ 555 ⋅ 158 ⋅ 533 mod 569 ≡ 528 ⋅ 555 ⋅ 158 ⋅ 533 mod 569
≡ 293040 ⋅ 158 ⋅ 533 mod 569 ≡ 5 ⋅ 158 ⋅ 533 mod 569
≡ 790 ⋅ 533 mod 569 ≡ 221 ⋅ 533 mod 569
≡ 117793 mod 569 ≡ 10 mod 569
Es gilt also: 533115 ≡ 10 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30
| =>73 | = 2⋅30 + 13 |
| =>30 | = 2⋅13 + 4 |
| =>13 | = 3⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-3⋅4 | |||
| 4= 30-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 73-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30) = 7⋅73 -17⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -17⋅30
-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30
-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1
(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1
56⋅30 = 23⋅73 + 1
Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1
Somit 56⋅30 = 1 mod 73
56 ist also das Inverse von 30 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
