Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5996 - 1803) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5996 - 1803) mod 6 ≡ (5996 mod 6 - 1803 mod 6) mod 6.

5996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5996 = 6000-4 = 6 ⋅ 1000 -4 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 2.

1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803 = 1800+3 = 6 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(5996 - 1803) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 69) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 69) mod 10 ≡ (46 mod 10 ⋅ 69 mod 10) mod 10.

46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.

69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 69) mod 10 ≡ (6 ⋅ 9) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31116 mod 569.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 311 -> x
2. mod(x²,569) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3111=311

2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 560 mod 569

4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 81 mod 569

8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 302 mod 569

16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 164 mod 569

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 148185 mod 269.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

1: 1481=148

2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 115 mod 269

4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 44 mod 269

8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 53 mod 269

16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 119 mod 269

32: 14832=14816+16=14816⋅14816 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 173 mod 269

64: 14864=14832+32=14832⋅14832 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 70 mod 269

128: 148128=14864+64=14864⋅14864 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 58 mod 269

148185

= 148128+32+16+8+1

= 148128⋅14832⋅14816⋅1488⋅1481

58 ⋅ 173 ⋅ 119 ⋅ 53 ⋅ 148 mod 269
10034 ⋅ 119 ⋅ 53 ⋅ 148 mod 269 ≡ 81 ⋅ 119 ⋅ 53 ⋅ 148 mod 269
9639 ⋅ 53 ⋅ 148 mod 269 ≡ 224 ⋅ 53 ⋅ 148 mod 269
11872 ⋅ 148 mod 269 ≡ 36 ⋅ 148 mod 269
5328 mod 269 ≡ 217 mod 269

Es gilt also: 148185 ≡ 217 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 86.

Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 86

=>89 = 1⋅86 + 3
=>86 = 28⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,86)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 86-28⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(86 -28⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅86 +28⋅ 3)
= -1⋅86 +29⋅ 3 (=1)
3= 89-1⋅86 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅86 +29⋅(89 -1⋅ 86)
= -1⋅86 +29⋅89 -29⋅ 86)
= 29⋅89 -30⋅ 86 (=1)

Es gilt also: ggt(89,86)=1 = 29⋅89 -30⋅86

oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -29⋅89 = -30⋅86

-30⋅86 = -29⋅89 + 1 |+89⋅86

-30⋅86 + 89⋅86 = -29⋅89 + 89⋅86 + 1

(-30 + 89) ⋅ 86 = (-29 + 86) ⋅ 89 + 1

59⋅86 = 57⋅89 + 1

Es gilt also: 59⋅86 = 57⋅89 +1

Somit 59⋅86 = 1 mod 89

59 ist also das Inverse von 86 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.