Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20999 - 7002) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20999 - 7002) mod 7 ≡ (20999 mod 7 - 7002 mod 7) mod 7.
20999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20999
= 21000
7002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7002
= 7000
Somit gilt:
(20999 - 7002) mod 7 ≡ (6 - 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 68) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 68) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 68 mod 9) mod 9.
79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.
68 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 7 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 68) mod 9 ≡ (7 ⋅ 5) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34716 mod 449.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 347 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3471=347
2: 3472=3471+1=3471⋅3471 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 77 mod 449
4: 3474=3472+2=3472⋅3472 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 92 mod 449
8: 3478=3474+4=3474⋅3474 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 382 mod 449
16: 34716=3478+8=3478⋅3478 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 448 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 297209 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 2971=297
2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 102 mod 683
4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 159 mod 683
8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 10 mod 683
16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 683
32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 438 mod 683
64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 604 mod 683
128: 297128=29764+64=29764⋅29764 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 94 mod 683
297209
= 297128+64+16+1
= 297128⋅29764⋅29716⋅2971
≡ 94 ⋅ 604 ⋅ 100 ⋅ 297 mod 683
≡ 56776 ⋅ 100 ⋅ 297 mod 683 ≡ 87 ⋅ 100 ⋅ 297 mod 683
≡ 8700 ⋅ 297 mod 683 ≡ 504 ⋅ 297 mod 683
≡ 149688 mod 683 ≡ 111 mod 683
Es gilt also: 297209 ≡ 111 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25
| =>67 | = 2⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25) = 3⋅67 -8⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -8⋅25
-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25
-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1
(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1
59⋅25 = 22⋅67 + 1
Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1
Somit 59⋅25 = 1 mod 67
59 ist also das Inverse von 25 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
