Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (905 + 270) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(905 + 270) mod 9 ≡ (905 mod 9 + 270 mod 9) mod 9.
905 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 905
= 900
270 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 270
= 270
Somit gilt:
(905 + 270) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 18) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 18) mod 7 ≡ (68 mod 7 ⋅ 18 mod 7) mod 7.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.
18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 18) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49416 mod 647.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 494 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4941=494
2: 4942=4941+1=4941⋅4941 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 117 mod 647
4: 4944=4942+2=4942⋅4942 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 102 mod 647
8: 4948=4944+4=4944⋅4944 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 52 mod 647
16: 49416=4948+8=4948⋅4948 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 116 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 267140 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 65 mod 307
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 234 mod 307
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 110 mod 307
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 127 mod 307
32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 165 mod 307
64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 209 mod 307
128: 267128=26764+64=26764⋅26764 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 87 mod 307
267140
= 267128+8+4
= 267128⋅2678⋅2674
≡ 87 ⋅ 110 ⋅ 234 mod 307
≡ 9570 ⋅ 234 mod 307 ≡ 53 ⋅ 234 mod 307
≡ 12402 mod 307 ≡ 122 mod 307
Es gilt also: 267140 ≡ 122 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24
| =>79 | = 3⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -23⋅24
-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24
-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1
(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1
56⋅24 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1
Somit 56⋅24 = 1 mod 79
56 ist also das Inverse von 24 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
