Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (446 - 45002) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(446 - 45002) mod 9 ≡ (446 mod 9 - 45002 mod 9) mod 9.
446 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 446
= 450
45002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45002
= 45000
Somit gilt:
(446 - 45002) mod 9 ≡ (5 - 2) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 60) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 60) mod 8 ≡ (37 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.
37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.
60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 60) mod 8 ≡ (5 ⋅ 4) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22016 mod 353.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2201=220
2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 39 mod 353
4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 109 mod 353
8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 232 mod 353
16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 168 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 507133 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 5071=507
2: 5072=5071+1=5071⋅5071 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 506 mod 547
4: 5074=5072+2=5072⋅5072 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 40 mod 547
8: 5078=5074+4=5074⋅5074 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 506 mod 547
16: 50716=5078+8=5078⋅5078 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 40 mod 547
32: 50732=50716+16=50716⋅50716 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 506 mod 547
64: 50764=50732+32=50732⋅50732 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 40 mod 547
128: 507128=50764+64=50764⋅50764 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 506 mod 547
507133
= 507128+4+1
= 507128⋅5074⋅5071
≡ 506 ⋅ 40 ⋅ 507 mod 547
≡ 20240 ⋅ 507 mod 547 ≡ 1 ⋅ 507 mod 547
≡ 507 mod 547
Es gilt also: 507133 ≡ 507 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33
| =>97 | = 2⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -47⋅33
-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33
-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1
(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1
50⋅33 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1
Somit 50⋅33 = 1 mod 97
50 ist also das Inverse von 33 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
