Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 + 399) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 + 399) mod 4 ≡ (80 mod 4 + 399 mod 4) mod 4.
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
399 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399
= 300
Somit gilt:
(80 + 399) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 64) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 64) mod 8 ≡ (93 mod 8 ⋅ 64 mod 8) mod 8.
93 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 11 ⋅ 8 + 5 ist.
64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 64) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2098 mod 281.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 209 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 126 mod 281
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 140 mod 281
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 211 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 143234 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 1431=143
2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 193 mod 211
4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 113 mod 211
8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 109 mod 211
16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 65 mod 211
32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 5 mod 211
64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 211
128: 143128=14364+64=14364⋅14364 ≡ 25⋅25=625 ≡ 203 mod 211
143234
= 143128+64+32+8+2
= 143128⋅14364⋅14332⋅1438⋅1432
≡ 203 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 109 ⋅ 193 mod 211
≡ 5075 ⋅ 5 ⋅ 109 ⋅ 193 mod 211 ≡ 11 ⋅ 5 ⋅ 109 ⋅ 193 mod 211
≡ 55 ⋅ 109 ⋅ 193 mod 211
≡ 5995 ⋅ 193 mod 211 ≡ 87 ⋅ 193 mod 211
≡ 16791 mod 211 ≡ 122 mod 211
Es gilt also: 143234 ≡ 122 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22
| =>71 | = 3⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -29⋅22
-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22
-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1
(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1
42⋅22 = 13⋅71 + 1
Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1
Somit 42⋅22 = 1 mod 71
42 ist also das Inverse von 22 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
