Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (243 - 2400) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(243 - 2400) mod 6 ≡ (243 mod 6 - 2400 mod 6) mod 6.
243 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 243
= 240
2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400
= 2400
Somit gilt:
(243 - 2400) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 73) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 73) mod 7 ≡ (17 mod 7 ⋅ 73 mod 7) mod 7.
17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.
73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 73) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23532 mod 421.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 235 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 74 mod 421
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 3 mod 421
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 421
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 421
32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 246 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25774 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:
74 = 64+8+2
1: 2571=257
2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 180 mod 331
4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 293 mod 331
8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 120 mod 331
16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 167 mod 331
32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 85 mod 331
64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 274 mod 331
25774
= 25764+8+2
= 25764⋅2578⋅2572
≡ 274 ⋅ 120 ⋅ 180 mod 331
≡ 32880 ⋅ 180 mod 331 ≡ 111 ⋅ 180 mod 331
≡ 19980 mod 331 ≡ 120 mod 331
Es gilt also: 25774 ≡ 120 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20
| =>67 | = 3⋅20 + 7 |
| =>20 | = 2⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 20-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20) = 3⋅67 -10⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -10⋅20
-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20
-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1
(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1
57⋅20 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1
Somit 57⋅20 = 1 mod 67
57 ist also das Inverse von 20 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
