Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26996 + 45009) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26996 + 45009) mod 9 ≡ (26996 mod 9 + 45009 mod 9) mod 9.

26996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26996 = 27000-4 = 9 ⋅ 3000 -4 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 5.

45009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45009 = 45000+9 = 9 ⋅ 5000 +9.

Somit gilt:

(26996 + 45009) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 63) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 63) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 63 mod 4) mod 4.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

63 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 15 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 63) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36264 mod 379.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 362 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3621=362

2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 289 mod 379

4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 141 mod 379

8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 173 mod 379

16: 36216=3628+8=3628⋅3628 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 367 mod 379

32: 36232=36216+16=36216⋅36216 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 144 mod 379

64: 36264=36232+32=36232⋅36232 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 270 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 455171 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

1: 4551=455

2: 4552=4551+1=4551⋅4551 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 50 mod 487

4: 4554=4552+2=4552⋅4552 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 65 mod 487

8: 4558=4554+4=4554⋅4554 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 329 mod 487

16: 45516=4558+8=4558⋅4558 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 127 mod 487

32: 45532=45516+16=45516⋅45516 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 58 mod 487

64: 45564=45532+32=45532⋅45532 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 442 mod 487

128: 455128=45564+64=45564⋅45564 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 77 mod 487

455171

= 455128+32+8+2+1

= 455128⋅45532⋅4558⋅4552⋅4551

77 ⋅ 58 ⋅ 329 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
4466 ⋅ 329 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487 ≡ 83 ⋅ 329 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
27307 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487 ≡ 35 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
1750 ⋅ 455 mod 487 ≡ 289 ⋅ 455 mod 487
131495 mod 487 ≡ 5 mod 487

Es gilt also: 455171 ≡ 5 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36

=>89 = 2⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 89-2⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36)
= 17⋅89 -42⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -42⋅36

-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36

-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1

(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1

47⋅36 = 19⋅89 + 1

Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1

Somit 47⋅36 = 1 mod 89

47 ist also das Inverse von 36 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.