Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36007 + 45003) mod 9 ≡ (36007 mod 9 + 45003 mod 9) mod 9.

36007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36007 = 36000+7 = 9 ⋅ 4000 +7.

45003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45003 = 45000+3 = 9 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(36007 + 45003) mod 9 ≡ (7 + 3) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 27) mod 4 ≡ (36 mod 4 ⋅ 27 mod 4) mod 4.

36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 27) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 673¹=673

2: 673²=673¹⁺¹=673¹⋅673¹ ≡ 673⋅673=452929 ≡ 162 mod 911

4: 673⁴=673²⁺²=673²⋅673² ≡ 162⋅162=26244 ≡ 736 mod 911

8: 673⁸=673⁴⁺⁴=673⁴⋅673⁴ ≡ 736⋅736=541696 ≡ 562 mod 911

16: 673¹⁶=673⁸⁺⁸=673⁸⋅673⁸ ≡ 562⋅562=315844 ≡ 638 mod 911

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

569¹²⁵

= 569^{64+32+16+8+4+1}

= 569⁶⁴⋅569³²⋅569¹⁶⋅569⁸⋅569⁴⋅569¹

≡ 567 ⋅ 242 ⋅ 948 ⋅ 518 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983
≡ 137214 ⋅ 948 ⋅ 518 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983 ≡ 577 ⋅ 948 ⋅ 518 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983
≡ 546996 ⋅ 518 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983 ≡ 448 ⋅ 518 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983
≡ 232064 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983 ≡ 76 ⋅ 475 ⋅ 569 mod 983
≡ 36100 ⋅ 569 mod 983 ≡ 712 ⋅ 569 mod 983
≡ 405128 mod 983 ≡ 132 mod 983

Es gilt also: 569¹²⁵ ≡ 132 mod 983

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47

=>59	= 1⋅47 + 12
=>47	= 3⋅12 + 11
=>12	= 1⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 47-3⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12) = 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12) = -1⋅47 +4⋅ 12 (=1)
12= 59-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47) = -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47) = 4⋅59 -5⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47

oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅59 = -5⋅47

-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47

-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1

(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1

54⋅47 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1

Somit 54⋅47 = 1 mod 59

54 ist also das Inverse von 47 mod 59