Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (316 - 1593) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(316 - 1593) mod 8 ≡ (316 mod 8 - 1593 mod 8) mod 8.

316 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 316 = 320-4 = 8 ⋅ 40 -4 = 8 ⋅ 40 - 8 + 4.

1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593 = 1600-7 = 8 ⋅ 200 -7 = 8 ⋅ 200 - 8 + 1.

Somit gilt:

(316 - 1593) mod 8 ≡ (4 - 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 89) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 89) mod 10 ≡ (19 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.

19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 89) mod 10 ≡ (9 ⋅ 9) mod 10 ≡ 81 mod 10 ≡ 1 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 45432 mod 499.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 454 -> x
2. mod(x²,499) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4541=454

2: 4542=4541+1=4541⋅4541 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 29 mod 499

4: 4544=4542+2=4542⋅4542 ≡ 29⋅29=841 ≡ 342 mod 499

8: 4548=4544+4=4544⋅4544 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 198 mod 499

16: 45416=4548+8=4548⋅4548 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 282 mod 499

32: 45432=45416+16=45416⋅45416 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 183 mod 499

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 259202 mod 827.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 2591=259

2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 94 mod 827

4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 566 mod 827

8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 307 mod 827

16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 798 mod 827

32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 14 mod 827

64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 827

128: 259128=25964+64=25964⋅25964 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 374 mod 827

259202

= 259128+64+8+2

= 259128⋅25964⋅2598⋅2592

374 ⋅ 196 ⋅ 307 ⋅ 94 mod 827
73304 ⋅ 307 ⋅ 94 mod 827 ≡ 528 ⋅ 307 ⋅ 94 mod 827
162096 ⋅ 94 mod 827 ≡ 4 ⋅ 94 mod 827
376 mod 827

Es gilt also: 259202 ≡ 376 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32

=>67 = 2⋅32 + 3
=>32 = 10⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 32-10⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3)
= -1⋅32 +11⋅ 3 (=1)
3= 67-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32)
= 11⋅67 -23⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -23⋅32

-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32

-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1

(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1

44⋅32 = 21⋅67 + 1

Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1

Somit 44⋅32 = 1 mod 67

44 ist also das Inverse von 32 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.