Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (172 - 909) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(172 - 909) mod 9 ≡ (172 mod 9 - 909 mod 9) mod 9.
172 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 172
= 180
909 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 909
= 900
Somit gilt:
(172 - 909) mod 9 ≡ (1 - 0) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 33) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 33) mod 3 ≡ (15 mod 3 ⋅ 33 mod 3) mod 3.
15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 33) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37016 mod 947.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 370 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3701=370
2: 3702=3701+1=3701⋅3701 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 532 mod 947
4: 3704=3702+2=3702⋅3702 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 818 mod 947
8: 3708=3704+4=3704⋅3704 ≡ 818⋅818=669124 ≡ 542 mod 947
16: 37016=3708+8=3708⋅3708 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 194 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 540222 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:
222 = 128+64+16+8+4+2
1: 5401=540
2: 5402=5401+1=5401⋅5401 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 258 mod 823
4: 5404=5402+2=5402⋅5402 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 724 mod 823
8: 5408=5404+4=5404⋅5404 ≡ 724⋅724=524176 ≡ 748 mod 823
16: 54016=5408+8=5408⋅5408 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 687 mod 823
32: 54032=54016+16=54016⋅54016 ≡ 687⋅687=471969 ≡ 390 mod 823
64: 54064=54032+32=54032⋅54032 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 668 mod 823
128: 540128=54064+64=54064⋅54064 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 158 mod 823
540222
= 540128+64+16+8+4+2
= 540128⋅54064⋅54016⋅5408⋅5404⋅5402
≡ 158 ⋅ 668 ⋅ 687 ⋅ 748 ⋅ 724 ⋅ 258 mod 823
≡ 105544 ⋅ 687 ⋅ 748 ⋅ 724 ⋅ 258 mod 823 ≡ 200 ⋅ 687 ⋅ 748 ⋅ 724 ⋅ 258 mod 823
≡ 137400 ⋅ 748 ⋅ 724 ⋅ 258 mod 823 ≡ 782 ⋅ 748 ⋅ 724 ⋅ 258 mod 823
≡ 584936 ⋅ 724 ⋅ 258 mod 823 ≡ 606 ⋅ 724 ⋅ 258 mod 823
≡ 438744 ⋅ 258 mod 823 ≡ 85 ⋅ 258 mod 823
≡ 21930 mod 823 ≡ 532 mod 823
Es gilt also: 540222 ≡ 532 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 21
| =>59 | = 2⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(59 -2⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅59 -10⋅ 21) = 5⋅59 -14⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,21)=1 = 5⋅59 -14⋅21
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -14⋅21
-14⋅21 = -5⋅59 + 1 |+59⋅21
-14⋅21 + 59⋅21 = -5⋅59 + 59⋅21 + 1
(-14 + 59) ⋅ 21 = (-5 + 21) ⋅ 59 + 1
45⋅21 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 45⋅21 = 16⋅59 +1
Somit 45⋅21 = 1 mod 59
45 ist also das Inverse von 21 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
