Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17995 + 367) mod 9 ≡ (17995 mod 9 + 367 mod 9) mod 9.

17995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995 = 18000-5 = 9 ⋅ 2000 -5 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 4.

367 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 367 = 360+7 = 9 ⋅ 40 +7.

Somit gilt:

(17995 + 367) mod 9 ≡ (4 + 7) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 89) mod 7 ≡ (15 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.

15 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 14 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 ist.

89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 89) mod 7 ≡ (1 ⋅ 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 294¹=294

2: 294²=294¹⁺¹=294¹⋅294¹ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 216 mod 479

4: 294⁴=294²⁺²=294²⋅294² ≡ 216⋅216=46656 ≡ 193 mod 479

8: 294⁸=294⁴⁺⁴=294⁴⋅294⁴ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 366 mod 479

16: 294¹⁶=294⁸⁺⁸=294⁸⋅294⁸ ≡ 366⋅366=133956 ≡ 315 mod 479

32: 294³²=294¹⁶⁺¹⁶=294¹⁶⋅294¹⁶ ≡ 315⋅315=99225 ≡ 72 mod 479

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

229²³⁵

= 229^{128+64+32+8+2+1}

= 229¹²⁸⋅229⁶⁴⋅229³²⋅229⁸⋅229²⋅229¹

≡ 243 ⋅ 334 ⋅ 580 ⋅ 675 ⋅ 684 ⋅ 229 mod 709
≡ 81162 ⋅ 580 ⋅ 675 ⋅ 684 ⋅ 229 mod 709 ≡ 336 ⋅ 580 ⋅ 675 ⋅ 684 ⋅ 229 mod 709
≡ 194880 ⋅ 675 ⋅ 684 ⋅ 229 mod 709 ≡ 614 ⋅ 675 ⋅ 684 ⋅ 229 mod 709
≡ 414450 ⋅ 684 ⋅ 229 mod 709 ≡ 394 ⋅ 684 ⋅ 229 mod 709
≡ 269496 ⋅ 229 mod 709 ≡ 76 ⋅ 229 mod 709
≡ 17404 mod 709 ≡ 388 mod 709

Es gilt also: 229²³⁵ ≡ 388 mod 709

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53	= 1⋅42 + 11
=>42	= 3⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42) = 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53