Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (898 + 357) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(898 + 357) mod 9 ≡ (898 mod 9 + 357 mod 9) mod 9.
898 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898
= 900
357 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357
= 360
Somit gilt:
(898 + 357) mod 9 ≡ (7 + 6) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 31) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 31) mod 7 ≡ (87 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.
87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 31) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45064 mod 863.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 450 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4501=450
2: 4502=4501+1=4501⋅4501 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 558 mod 863
4: 4504=4502+2=4502⋅4502 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 684 mod 863
8: 4508=4504+4=4504⋅4504 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 110 mod 863
16: 45016=4508+8=4508⋅4508 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 18 mod 863
32: 45032=45016+16=45016⋅45016 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 863
64: 45064=45032+32=45032⋅45032 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 553 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 467249 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:
249 = 128+64+32+16+8+1
1: 4671=467
2: 4672=4671+1=4671⋅4671 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 424 mod 691
4: 4674=4672+2=4672⋅4672 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 116 mod 691
8: 4678=4674+4=4674⋅4674 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 327 mod 691
16: 46716=4678+8=4678⋅4678 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 515 mod 691
32: 46732=46716+16=46716⋅46716 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 572 mod 691
64: 46764=46732+32=46732⋅46732 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 341 mod 691
128: 467128=46764+64=46764⋅46764 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 193 mod 691
467249
= 467128+64+32+16+8+1
= 467128⋅46764⋅46732⋅46716⋅4678⋅4671
≡ 193 ⋅ 341 ⋅ 572 ⋅ 515 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691
≡ 65813 ⋅ 572 ⋅ 515 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691 ≡ 168 ⋅ 572 ⋅ 515 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691
≡ 96096 ⋅ 515 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691 ≡ 47 ⋅ 515 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691
≡ 24205 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691 ≡ 20 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691
≡ 6540 ⋅ 467 mod 691 ≡ 321 ⋅ 467 mod 691
≡ 149907 mod 691 ≡ 651 mod 691
Es gilt also: 467249 ≡ 651 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23
| =>53 | = 2⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23
oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅53 = -23⋅23
-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23
-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1
(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1
30⋅23 = 13⋅53 + 1
Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1
Somit 30⋅23 = 1 mod 53
30 ist also das Inverse von 23 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
