Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16003 - 11999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16003 - 11999) mod 4 ≡ (16003 mod 4 - 11999 mod 4) mod 4.
16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003
= 16000
11999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 11000
Somit gilt:
(16003 - 11999) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 73) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 73) mod 6 ≡ (53 mod 6 ⋅ 73 mod 6) mod 6.
53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.
73 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 12 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 73) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 241128 mod 577.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 241 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 381 mod 577
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 334 mod 577
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 195 mod 577
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 520 mod 577
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 364 mod 577
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 363 mod 577
128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 213 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18792 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 268 mod 269
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 1 mod 269
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 269
16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 269
32: 18732=18716+16=18716⋅18716 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 269
64: 18764=18732+32=18732⋅18732 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 269
18792
= 18764+16+8+4
= 18764⋅18716⋅1878⋅1874
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 mod 269
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 mod 269
≡ 1 ⋅ 1 mod 269
≡ 1 mod 269
Es gilt also: 18792 ≡ 1 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56
| =>79 | = 1⋅56 + 23 |
| =>56 | = 2⋅23 + 10 |
| =>23 | = 2⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 23-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 56-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23) = 7⋅56 -17⋅ 23 (=1) |
| 23= 79-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56) = -17⋅79 +24⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +24⋅56
Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1
Somit 24⋅56 = 1 mod 79
24 ist also das Inverse von 56 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
