Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 - 19997) mod 4 ≡ (1201 mod 4 - 19997 mod 4) mod 4.

1201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 4 ⋅ 300 +1.

19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 4 ⋅ 4750 +997.

Somit gilt:

(1201 - 19997) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 23) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 23) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 355¹=355

2: 355²=355¹⁺¹=355¹⋅355¹ ≡ 355⋅355=126025 ≡ 402 mod 467

4: 355⁴=355²⁺²=355²⋅355² ≡ 402⋅402=161604 ≡ 22 mod 467

8: 355⁸=355⁴⁺⁴=355⁴⋅355⁴ ≡ 22⋅22=484 ≡ 17 mod 467

16: 355¹⁶=355⁸⁺⁸=355⁸⋅355⁸ ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 467

32: 355³²=355¹⁶⁺¹⁶=355¹⁶⋅355¹⁶ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 395 mod 467

64: 355⁶⁴=355³²⁺³²=355³²⋅355³² ≡ 395⋅395=156025 ≡ 47 mod 467

128: 355¹²⁸=355⁶⁴⁺⁶⁴=355⁶⁴⋅355⁶⁴ ≡ 47⋅47=2209 ≡ 341 mod 467

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

692²⁰⁷

= 692^{128+64+8+4+2+1}

= 692¹²⁸⋅692⁶⁴⋅692⁸⋅692⁴⋅692²⋅692¹

≡ 506 ⋅ 673 ⋅ 511 ⋅ 99 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929
≡ 340538 ⋅ 511 ⋅ 99 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929 ≡ 524 ⋅ 511 ⋅ 99 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929
≡ 267764 ⋅ 99 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929 ≡ 212 ⋅ 99 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929
≡ 20988 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929 ≡ 550 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929
≡ 235950 ⋅ 692 mod 929 ≡ 913 ⋅ 692 mod 929
≡ 631796 mod 929 ≡ 76 mod 929

Es gilt also: 692²⁰⁷ ≡ 76 mod 929

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37

=>79	= 2⋅37 + 5
=>37	= 7⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 37-7⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1)
5= 79-2⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37) = -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37) = 15⋅79 -32⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -32⋅37

-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37

-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1

(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1

47⋅37 = 22⋅79 + 1

Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1

Somit 47⋅37 = 1 mod 79

47 ist also das Inverse von 37 mod 79