Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2396 + 11998) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2396 + 11998) mod 6 ≡ (2396 mod 6 + 11998 mod 6) mod 6.

2396 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2396 = 2400-4 = 6 ⋅ 400 -4 = 6 ⋅ 400 - 6 + 2.

11998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 12000-2 = 6 ⋅ 2000 -2 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(2396 + 11998) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 52) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 52) mod 3 ≡ (75 mod 3 ⋅ 52 mod 3) mod 3.

75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.

52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 52) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5028 mod 599.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 502 -> x
2. mod(x²,599) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5021=502

2: 5022=5021+1=5021⋅5021 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 424 mod 599

4: 5024=5022+2=5022⋅5022 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 76 mod 599

8: 5028=5024+4=5024⋅5024 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 385 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 169212 mod 223.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

1: 1691=169

2: 1692=1691+1=1691⋅1691 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 17 mod 223

4: 1694=1692+2=1692⋅1692 ≡ 17⋅17=289 ≡ 66 mod 223

8: 1698=1694+4=1694⋅1694 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 119 mod 223

16: 16916=1698+8=1698⋅1698 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 112 mod 223

32: 16932=16916+16=16916⋅16916 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 56 mod 223

64: 16964=16932+32=16932⋅16932 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 14 mod 223

128: 169128=16964+64=16964⋅16964 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 223

169212

= 169128+64+16+4

= 169128⋅16964⋅16916⋅1694

196 ⋅ 14 ⋅ 112 ⋅ 66 mod 223
2744 ⋅ 112 ⋅ 66 mod 223 ≡ 68 ⋅ 112 ⋅ 66 mod 223
7616 ⋅ 66 mod 223 ≡ 34 ⋅ 66 mod 223
2244 mod 223 ≡ 14 mod 223

Es gilt also: 169212 ≡ 14 mod 223

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59

=>71 = 1⋅59 + 12
=>59 = 4⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 59-4⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12)
= -1⋅59 +5⋅ 12 (=1)
12= 71-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59)
= 5⋅71 -6⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59

oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅71 = -6⋅59

-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59

-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1

(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1

65⋅59 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1

Somit 65⋅59 = 1 mod 71

65 ist also das Inverse von 59 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.