Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20004 + 49) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20004 + 49) mod 5 ≡ (20004 mod 5 + 49 mod 5) mod 5.
20004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004
= 20000
49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49
= 40
Somit gilt:
(20004 + 49) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 62) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 62) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.
91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.
62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 62) mod 9 ≡ (1 ⋅ 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4768 mod 631.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 476 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4761=476
2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 47 mod 631
4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 316 mod 631
8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 158 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56683 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 5661=566
2: 5662=5661+1=5661⋅5661 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 497 mod 641
4: 5664=5662+2=5662⋅5662 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 224 mod 641
8: 5668=5664+4=5664⋅5664 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 178 mod 641
16: 56616=5668+8=5668⋅5668 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 275 mod 641
32: 56632=56616+16=56616⋅56616 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 628 mod 641
64: 56664=56632+32=56632⋅56632 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 169 mod 641
56683
= 56664+16+2+1
= 56664⋅56616⋅5662⋅5661
≡ 169 ⋅ 275 ⋅ 497 ⋅ 566 mod 641
≡ 46475 ⋅ 497 ⋅ 566 mod 641 ≡ 323 ⋅ 497 ⋅ 566 mod 641
≡ 160531 ⋅ 566 mod 641 ≡ 281 ⋅ 566 mod 641
≡ 159046 mod 641 ≡ 78 mod 641
Es gilt also: 56683 ≡ 78 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23
| =>67 | = 2⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23) = 11⋅67 -32⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -32⋅23
-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23
-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1
(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1
35⋅23 = 12⋅67 + 1
Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1
Somit 35⋅23 = 1 mod 67
35 ist also das Inverse von 23 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
