Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (181 - 9006) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(181 - 9006) mod 9 ≡ (181 mod 9 - 9006 mod 9) mod 9.

181 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 9 ⋅ 20 +1.

9006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9006 = 9000+6 = 9 ⋅ 1000 +6.

Somit gilt:

(181 - 9006) mod 9 ≡ (1 - 6) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 94) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 94) mod 5 ≡ (49 mod 5 ⋅ 94 mod 5) mod 5.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 9 ⋅ 5 + 4 ist.

94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 94) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22432 mod 419.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2241=224

2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 315 mod 419

4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 341 mod 419

8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 218 mod 419

16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 177 mod 419

32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 323 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 286192 mod 821.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:

192 = 128+64

1: 2861=286

2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 517 mod 821

4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 464 mod 821

8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 194 mod 821

16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 691 mod 821

32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 480 mod 821

64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 520 mod 821

128: 286128=28664+64=28664⋅28664 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 291 mod 821

286192

= 286128+64

= 286128⋅28664

291 ⋅ 520 mod 821
151320 mod 821 ≡ 256 mod 821

Es gilt also: 286192 ≡ 256 mod 821

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 31

=>89 = 2⋅31 + 27
=>31 = 1⋅27 + 4
=>27 = 6⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 27-6⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(27 -6⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅27 +6⋅ 4)
= -1⋅27 +7⋅ 4 (=1)
4= 31-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +7⋅(31 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +7⋅31 -7⋅ 27)
= 7⋅31 -8⋅ 27 (=1)
27= 89-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅31 -8⋅(89 -2⋅ 31)
= 7⋅31 -8⋅89 +16⋅ 31)
= -8⋅89 +23⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(89,31)=1 = -8⋅89 +23⋅31

oder wenn man -8⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅89 = +23⋅31

Es gilt also: 23⋅31 = 8⋅89 +1

Somit 23⋅31 = 1 mod 89

23 ist also das Inverse von 31 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.