Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (105 - 996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(105 - 996) mod 5 ≡ (105 mod 5 - 996 mod 5) mod 5.
105 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 105
= 100
996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996
= 900
Somit gilt:
(105 - 996) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 97) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 97) mod 8 ≡ (37 mod 8 ⋅ 97 mod 8) mod 8.
37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.
97 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 12 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 97) mod 8 ≡ (5 ⋅ 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7798 mod 821.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 779 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7791=779
2: 7792=7791+1=7791⋅7791 ≡ 779⋅779=606841 ≡ 122 mod 821
4: 7794=7792+2=7792⋅7792 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 106 mod 821
8: 7798=7794+4=7794⋅7794 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 563 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35792 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 3571=357
2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 293 mod 383
4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 57 mod 383
8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 185 mod 383
16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 138 mod 383
32: 35732=35716+16=35716⋅35716 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 277 mod 383
64: 35764=35732+32=35732⋅35732 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 129 mod 383
35792
= 35764+16+8+4
= 35764⋅35716⋅3578⋅3574
≡ 129 ⋅ 138 ⋅ 185 ⋅ 57 mod 383
≡ 17802 ⋅ 185 ⋅ 57 mod 383 ≡ 184 ⋅ 185 ⋅ 57 mod 383
≡ 34040 ⋅ 57 mod 383 ≡ 336 ⋅ 57 mod 383
≡ 19152 mod 383 ≡ 2 mod 383
Es gilt also: 35792 ≡ 2 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51
| =>59 | = 1⋅51 + 8 |
| =>51 | = 6⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 51-6⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1) |
| 8= 59-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51
oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅59 = +22⋅51
Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1
Somit 22⋅51 = 1 mod 59
22 ist also das Inverse von 51 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
