Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5001 - 19996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5001 - 19996) mod 5 ≡ (5001 mod 5 - 19996 mod 5) mod 5.
5001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5001
= 5000
19996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996
= 19000
Somit gilt:
(5001 - 19996) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 98) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 98) mod 11 ≡ (45 mod 11 ⋅ 98 mod 11) mod 11.
45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.
98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 98) mod 11 ≡ (1 ⋅ 10) mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33516 mod 487.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 335 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3351=335
2: 3352=3351+1=3351⋅3351 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 215 mod 487
4: 3354=3352+2=3352⋅3352 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 447 mod 487
8: 3358=3354+4=3354⋅3354 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 139 mod 487
16: 33516=3358+8=3358⋅3358 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 328 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 581245 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:
245 = 128+64+32+16+4+1
1: 5811=581
2: 5812=5811+1=5811⋅5811 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 62 mod 617
4: 5814=5812+2=5812⋅5812 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 142 mod 617
8: 5818=5814+4=5814⋅5814 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 420 mod 617
16: 58116=5818+8=5818⋅5818 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 555 mod 617
32: 58132=58116+16=58116⋅58116 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 142 mod 617
64: 58164=58132+32=58132⋅58132 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 420 mod 617
128: 581128=58164+64=58164⋅58164 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 555 mod 617
581245
= 581128+64+32+16+4+1
= 581128⋅58164⋅58132⋅58116⋅5814⋅5811
≡ 555 ⋅ 420 ⋅ 142 ⋅ 555 ⋅ 142 ⋅ 581 mod 617
≡ 233100 ⋅ 142 ⋅ 555 ⋅ 142 ⋅ 581 mod 617 ≡ 491 ⋅ 142 ⋅ 555 ⋅ 142 ⋅ 581 mod 617
≡ 69722 ⋅ 555 ⋅ 142 ⋅ 581 mod 617 ≡ 1 ⋅ 555 ⋅ 142 ⋅ 581 mod 617
≡ 555 ⋅ 142 ⋅ 581 mod 617
≡ 78810 ⋅ 581 mod 617 ≡ 451 ⋅ 581 mod 617
≡ 262031 mod 617 ≡ 423 mod 617
Es gilt also: 581245 ≡ 423 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
