Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1196 - 125) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1196 - 125) mod 6 ≡ (1196 mod 6 - 125 mod 6) mod 6.
1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1200
125 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 125
= 120
Somit gilt:
(1196 - 125) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 21) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 21) mod 5 ≡ (25 mod 5 ⋅ 21 mod 5) mod 5.
25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.
21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 21) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19432 mod 307.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 194 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1941=194
2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 182 mod 307
4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 275 mod 307
8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 103 mod 307
16: 19416=1948+8=1948⋅1948 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 171 mod 307
32: 19432=19416+16=19416⋅19416 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 76 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 71862 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 7181=718
2: 7182=7181+1=7181⋅7181 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 662 mod 797
4: 7184=7182+2=7182⋅7182 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 691 mod 797
8: 7188=7184+4=7184⋅7184 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 78 mod 797
16: 71816=7188+8=7188⋅7188 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 505 mod 797
32: 71832=71816+16=71816⋅71816 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 782 mod 797
71862
= 71832+16+8+4+2
= 71832⋅71816⋅7188⋅7184⋅7182
≡ 782 ⋅ 505 ⋅ 78 ⋅ 691 ⋅ 662 mod 797
≡ 394910 ⋅ 78 ⋅ 691 ⋅ 662 mod 797 ≡ 395 ⋅ 78 ⋅ 691 ⋅ 662 mod 797
≡ 30810 ⋅ 691 ⋅ 662 mod 797 ≡ 524 ⋅ 691 ⋅ 662 mod 797
≡ 362084 ⋅ 662 mod 797 ≡ 246 ⋅ 662 mod 797
≡ 162852 mod 797 ≡ 264 mod 797
Es gilt also: 71862 ≡ 264 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28
| =>53 | = 1⋅28 + 25 |
| =>28 | = 1⋅25 + 3 |
| =>25 | = 8⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-8⋅3 | |||
| 3= 28-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25) = -8⋅28 +9⋅ 25 (=1) |
| 25= 53-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28)
= -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28) = 9⋅53 -17⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28
oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅53 = -17⋅28
-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28
-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1
(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1
36⋅28 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1
Somit 36⋅28 = 1 mod 53
36 ist also das Inverse von 28 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
