Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2505 + 246) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2505 + 246) mod 5 ≡ (2505 mod 5 + 246 mod 5) mod 5.

2505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2505 = 2500+5 = 5 ⋅ 500 +5.

246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 5 ⋅ 48 +6.

Somit gilt:

(2505 + 246) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 26) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 26) mod 9 ≡ (75 mod 9 ⋅ 26 mod 9) mod 9.

75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.

26 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 18 + 8 = 2 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 26) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 76064 mod 881.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 760 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7601=760

2: 7602=7601+1=7601⋅7601 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 545 mod 881

4: 7604=7602+2=7602⋅7602 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 128 mod 881

8: 7608=7604+4=7604⋅7604 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 526 mod 881

16: 76016=7608+8=7608⋅7608 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 42 mod 881

32: 76032=76016+16=76016⋅76016 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 2 mod 881

64: 76064=76032+32=76032⋅76032 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 249120 mod 743.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:

120 = 64+32+16+8

1: 2491=249

2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 332 mod 743

4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 260 mod 743

8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 730 mod 743

16: 24916=2498+8=2498⋅2498 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 169 mod 743

32: 24932=24916+16=24916⋅24916 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 327 mod 743

64: 24964=24932+32=24932⋅24932 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 680 mod 743

249120

= 24964+32+16+8

= 24964⋅24932⋅24916⋅2498

680 ⋅ 327 ⋅ 169 ⋅ 730 mod 743
222360 ⋅ 169 ⋅ 730 mod 743 ≡ 203 ⋅ 169 ⋅ 730 mod 743
34307 ⋅ 730 mod 743 ≡ 129 ⋅ 730 mod 743
94170 mod 743 ≡ 552 mod 743

Es gilt also: 249120 ≡ 552 mod 743

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30

=>83 = 2⋅30 + 23
=>30 = 1⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23)
= 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 83-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30)
= -13⋅83 +36⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +36⋅30

Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1

Somit 36⋅30 = 1 mod 83

36 ist also das Inverse von 30 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.