Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30006 - 1196) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30006 - 1196) mod 6 ≡ (30006 mod 6 - 1196 mod 6) mod 6.
30006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30006
= 30000
1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1200
Somit gilt:
(30006 - 1196) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 100) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 100) mod 6 ≡ (42 mod 6 ⋅ 100 mod 6) mod 6.
42 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 7 ⋅ 6 + 0 ist.
100 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 16 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 100) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 74664 mod 983.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 746 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7461=746
2: 7462=7461+1=7461⋅7461 ≡ 746⋅746=556516 ≡ 138 mod 983
4: 7464=7462+2=7462⋅7462 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 367 mod 983
8: 7468=7464+4=7464⋅7464 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 18 mod 983
16: 74616=7468+8=7468⋅7468 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 983
32: 74632=74616+16=74616⋅74616 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 778 mod 983
64: 74664=74632+32=74632⋅74632 ≡ 778⋅778=605284 ≡ 739 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 683171 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 6831=683
2: 6832=6831+1=6831⋅6831 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 291 mod 907
4: 6834=6832+2=6832⋅6832 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 330 mod 907
8: 6838=6834+4=6834⋅6834 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 60 mod 907
16: 68316=6838+8=6838⋅6838 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 879 mod 907
32: 68332=68316+16=68316⋅68316 ≡ 879⋅879=772641 ≡ 784 mod 907
64: 68364=68332+32=68332⋅68332 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 617 mod 907
128: 683128=68364+64=68364⋅68364 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 656 mod 907
683171
= 683128+32+8+2+1
= 683128⋅68332⋅6838⋅6832⋅6831
≡ 656 ⋅ 784 ⋅ 60 ⋅ 291 ⋅ 683 mod 907
≡ 514304 ⋅ 60 ⋅ 291 ⋅ 683 mod 907 ≡ 35 ⋅ 60 ⋅ 291 ⋅ 683 mod 907
≡ 2100 ⋅ 291 ⋅ 683 mod 907 ≡ 286 ⋅ 291 ⋅ 683 mod 907
≡ 83226 ⋅ 683 mod 907 ≡ 689 ⋅ 683 mod 907
≡ 470587 mod 907 ≡ 761 mod 907
Es gilt also: 683171 ≡ 761 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69
| =>79 | = 1⋅69 + 10 |
| =>69 | = 6⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 69-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10) = -1⋅69 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 79-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69) = 7⋅79 -8⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -8⋅69
-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69
-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1
(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1
71⋅69 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1
Somit 71⋅69 = 1 mod 79
71 ist also das Inverse von 69 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
