Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (178 + 1794) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(178 + 1794) mod 6 ≡ (178 mod 6 + 1794 mod 6) mod 6.
178 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178
= 180
1794 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794
= 1800
Somit gilt:
(178 + 1794) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 82) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 82) mod 11 ≡ (42 mod 11 ⋅ 82 mod 11) mod 11.
42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.
82 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 7 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 82) mod 11 ≡ (9 ⋅ 5) mod 11 ≡ 45 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9638 mod 977.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 963 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9631=963
2: 9632=9631+1=9631⋅9631 ≡ 963⋅963=927369 ≡ 196 mod 977
4: 9634=9632+2=9632⋅9632 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 313 mod 977
8: 9638=9634+4=9634⋅9634 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 269 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19964 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 1991=199
2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 58 mod 269
4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 136 mod 269
8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 204 mod 269
16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 190 mod 269
32: 19932=19916+16=19916⋅19916 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 54 mod 269
64: 19964=19932+32=19932⋅19932 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 226 mod 269
19964
= 19964
= 19964
≡ 226 mod 269
Es gilt also: 19964 ≡ 226 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
