Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2497 + 253) mod 5 ≡ (2497 mod 5 + 253 mod 5) mod 5.

2497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2497 = 2400+97 = 5 ⋅ 480 +97.

253 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 253 = 250+3 = 5 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(2497 + 253) mod 5 ≡ (2 + 3) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 87) mod 8 ≡ (90 mod 8 ⋅ 87 mod 8) mod 8.

90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 87) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 843¹=843

2: 843²=843¹⁺¹=843¹⋅843¹ ≡ 843⋅843=710649 ≡ 563 mod 881

4: 843⁴=843²⁺²=843²⋅843² ≡ 563⋅563=316969 ≡ 690 mod 881

8: 843⁸=843⁴⁺⁴=843⁴⋅843⁴ ≡ 690⋅690=476100 ≡ 360 mod 881

16: 843¹⁶=843⁸⁺⁸=843⁸⋅843⁸ ≡ 360⋅360=129600 ≡ 93 mod 881

32: 843³²=843¹⁶⁺¹⁶=843¹⁶⋅843¹⁶ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 720 mod 881

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

157²⁵²

= 157^{128+64+32+16+8+4}

= 157¹²⁸⋅157⁶⁴⋅157³²⋅157¹⁶⋅157⁸⋅157⁴

≡ 185 ⋅ 67 ⋅ 41 ⋅ 93 ⋅ 239 ⋅ 117 mod 269
≡ 12395 ⋅ 41 ⋅ 93 ⋅ 239 ⋅ 117 mod 269 ≡ 21 ⋅ 41 ⋅ 93 ⋅ 239 ⋅ 117 mod 269
≡ 861 ⋅ 93 ⋅ 239 ⋅ 117 mod 269 ≡ 54 ⋅ 93 ⋅ 239 ⋅ 117 mod 269
≡ 5022 ⋅ 239 ⋅ 117 mod 269 ≡ 180 ⋅ 239 ⋅ 117 mod 269
≡ 43020 ⋅ 117 mod 269 ≡ 249 ⋅ 117 mod 269
≡ 29133 mod 269 ≡ 81 mod 269

Es gilt also: 157²⁵² ≡ 81 mod 269

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82

=>101	= 1⋅82 + 19
=>82	= 4⋅19 + 6
=>19	= 3⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-3⋅6
6= 82-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -3⋅(82 -4⋅ 19) = 1⋅19 -3⋅82 +12⋅ 19) = -3⋅82 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-1⋅82	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅82 +13⋅(101 -1⋅ 82) = -3⋅82 +13⋅101 -13⋅ 82) = 13⋅101 -16⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(101,82)=1 = 13⋅101 -16⋅82

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -16⋅82

-16⋅82 = -13⋅101 + 1 |+101⋅82

-16⋅82 + 101⋅82 = -13⋅101 + 101⋅82 + 1

(-16 + 101) ⋅ 82 = (-13 + 82) ⋅ 101 + 1

85⋅82 = 69⋅101 + 1

Es gilt also: 85⋅82 = 69⋅101 +1

Somit 85⋅82 = 1 mod 101

85 ist also das Inverse von 82 mod 101