Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31996 - 400) mod 8 ≡ (31996 mod 8 - 400 mod 8) mod 8.

31996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31996 = 31000+996 = 8 ⋅ 3875 +996.

400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 8 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(31996 - 400) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 42) mod 4 ≡ (32 mod 4 ⋅ 42 mod 4) mod 4.

32 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 8 ⋅ 4 + 0 ist.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 42) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 169¹=169

2: 169²=169¹⁺¹=169¹⋅169¹ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 227 mod 457

4: 169⁴=169²⁺²=169²⋅169² ≡ 227⋅227=51529 ≡ 345 mod 457

8: 169⁸=169⁴⁺⁴=169⁴⋅169⁴ ≡ 345⋅345=119025 ≡ 205 mod 457

16: 169¹⁶=169⁸⁺⁸=169⁸⋅169⁸ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 438 mod 457

32: 169³²=169¹⁶⁺¹⁶=169¹⁶⋅169¹⁶ ≡ 438⋅438=191844 ≡ 361 mod 457

64: 169⁶⁴=169³²⁺³²=169³²⋅169³² ≡ 361⋅361=130321 ≡ 76 mod 457

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

399²⁵⁰

= 399^{128+64+32+16+8+2}

= 399¹²⁸⋅399⁶⁴⋅399³²⋅399¹⁶⋅399⁸⋅399²

≡ 234 ⋅ 46 ⋅ 119 ⋅ 339 ⋅ 248 ⋅ 172 mod 941
≡ 10764 ⋅ 119 ⋅ 339 ⋅ 248 ⋅ 172 mod 941 ≡ 413 ⋅ 119 ⋅ 339 ⋅ 248 ⋅ 172 mod 941
≡ 49147 ⋅ 339 ⋅ 248 ⋅ 172 mod 941 ≡ 215 ⋅ 339 ⋅ 248 ⋅ 172 mod 941
≡ 72885 ⋅ 248 ⋅ 172 mod 941 ≡ 428 ⋅ 248 ⋅ 172 mod 941
≡ 106144 ⋅ 172 mod 941 ≡ 752 ⋅ 172 mod 941
≡ 129344 mod 941 ≡ 427 mod 941

Es gilt also: 399²⁵⁰ ≡ 427 mod 941

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53	= 1⋅42 + 11
=>42	= 3⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42) = 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53