Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2001 - 198) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2001 - 198) mod 4 ≡ (2001 mod 4 - 198 mod 4) mod 4.
2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001
= 2000
198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198
= 200
Somit gilt:
(2001 - 198) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 55) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 55) mod 3 ≡ (23 mod 3 ⋅ 55 mod 3) mod 3.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
55 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 18 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 55) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42664 mod 571.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 426 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4261=426
2: 4262=4261+1=4261⋅4261 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 469 mod 571
4: 4264=4262+2=4262⋅4262 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 126 mod 571
8: 4268=4264+4=4264⋅4264 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 459 mod 571
16: 42616=4268+8=4268⋅4268 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 553 mod 571
32: 42632=42616+16=42616⋅42616 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 324 mod 571
64: 42664=42632+32=42632⋅42632 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 483 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22467 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 22 mod 643
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 643
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 204 mod 643
16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 464 mod 643
32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 534 mod 643
64: 22464=22432+32=22432⋅22432 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 307 mod 643
22467
= 22464+2+1
= 22464⋅2242⋅2241
≡ 307 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 643
≡ 6754 ⋅ 224 mod 643 ≡ 324 ⋅ 224 mod 643
≡ 72576 mod 643 ≡ 560 mod 643
Es gilt also: 22467 ≡ 560 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37
| =>71 | = 1⋅37 + 34 |
| =>37 | = 1⋅34 + 3 |
| =>34 | = 11⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-11⋅3 | |||
| 3= 37-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1) |
| 34= 71-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37
oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅71 = -23⋅37
-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37
-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1
(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1
48⋅37 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1
Somit 48⋅37 = 1 mod 71
48 ist also das Inverse von 37 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
