Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1000 + 1497) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1000 + 1497) mod 5 ≡ (1000 mod 5 + 1497 mod 5) mod 5.
1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000
= 1000
1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497
= 1400
Somit gilt:
(1000 + 1497) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 75) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 75) mod 7 ≡ (97 mod 7 ⋅ 75 mod 7) mod 7.
97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.
75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 75) mod 7 ≡ (6 ⋅ 5) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50916 mod 863.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 509 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5091=509
2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 181 mod 863
4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 830 mod 863
8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 830⋅830=688900 ≡ 226 mod 863
16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 159 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31487 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:
87 = 64+16+4+2+1
1: 3141=314
2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 272 mod 523
4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 241 mod 523
8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 28 mod 523
16: 31416=3148+8=3148⋅3148 ≡ 28⋅28=784 ≡ 261 mod 523
32: 31432=31416+16=31416⋅31416 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 131 mod 523
64: 31464=31432+32=31432⋅31432 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 425 mod 523
31487
= 31464+16+4+2+1
= 31464⋅31416⋅3144⋅3142⋅3141
≡ 425 ⋅ 261 ⋅ 241 ⋅ 272 ⋅ 314 mod 523
≡ 110925 ⋅ 241 ⋅ 272 ⋅ 314 mod 523 ≡ 49 ⋅ 241 ⋅ 272 ⋅ 314 mod 523
≡ 11809 ⋅ 272 ⋅ 314 mod 523 ≡ 303 ⋅ 272 ⋅ 314 mod 523
≡ 82416 ⋅ 314 mod 523 ≡ 305 ⋅ 314 mod 523
≡ 95770 mod 523 ≡ 61 mod 523
Es gilt also: 31487 ≡ 61 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30
| =>53 | = 1⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 53-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30) = -13⋅53 +23⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +23⋅30
Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1
Somit 23⋅30 = 1 mod 53
23 ist also das Inverse von 30 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
