Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6998 + 700) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6998 + 700) mod 7 ≡ (6998 mod 7 + 700 mod 7) mod 7.
6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998
= 7000
700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700
= 700
Somit gilt:
(6998 + 700) mod 7 ≡ (5 + 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 49) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 49) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 49 mod 10) mod 10.
88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.
49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 49) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8732 mod 241.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 87 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 871=87
2: 872=871+1=871⋅871 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241
4: 874=872+2=872⋅872 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
8: 878=874+4=874⋅874 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
16: 8716=878+8=878⋅878 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241
32: 8732=8716+16=8716⋅8716 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 132145 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:
145 = 128+16+1
1: 1321=132
2: 1322=1321+1=1321⋅1321 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 182 mod 233
4: 1324=1322+2=1322⋅1322 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 38 mod 233
8: 1328=1324+4=1324⋅1324 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233
16: 13216=1328+8=1328⋅1328 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 19 mod 233
32: 13232=13216+16=13216⋅13216 ≡ 19⋅19=361 ≡ 128 mod 233
64: 13264=13232+32=13232⋅13232 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 74 mod 233
128: 132128=13264+64=13264⋅13264 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 117 mod 233
132145
= 132128+16+1
= 132128⋅13216⋅1321
≡ 117 ⋅ 19 ⋅ 132 mod 233
≡ 2223 ⋅ 132 mod 233 ≡ 126 ⋅ 132 mod 233
≡ 16632 mod 233 ≡ 89 mod 233
Es gilt also: 132145 ≡ 89 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54
| =>71 | = 1⋅54 + 17 |
| =>54 | = 3⋅17 + 3 |
| =>17 | = 5⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 17-5⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1) |
| 3= 54-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1) |
| 17= 71-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54
oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅71 = +25⋅54
Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1
Somit 25⋅54 = 1 mod 71
25 ist also das Inverse von 54 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
