Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(241 + 2395) mod 6 ≡ (241 mod 6 + 2395 mod 6) mod 6.

241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 6 ⋅ 40 +1.

2395 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395 = 2400-5 = 6 ⋅ 400 -5 = 6 ⋅ 400 - 6 + 1.

Somit gilt:

(241 + 2395) mod 6 ≡ (1 + 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 42) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 42) mod 11 ≡ (4 ⋅ 9) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 355¹=355

2: 355²=355¹⁺¹=355¹⋅355¹ ≡ 355⋅355=126025 ≡ 325 mod 419

4: 355⁴=355²⁺²=355²⋅355² ≡ 325⋅325=105625 ≡ 37 mod 419

8: 355⁸=355⁴⁺⁴=355⁴⋅355⁴ ≡ 37⋅37=1369 ≡ 112 mod 419

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

397¹⁵⁹

= 397^{128+16+8+4+2+1}

= 397¹²⁸⋅397¹⁶⋅397⁸⋅397⁴⋅397²⋅397¹

≡ 581 ⋅ 377 ⋅ 155 ⋅ 159 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739
≡ 219037 ⋅ 155 ⋅ 159 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739 ≡ 293 ⋅ 155 ⋅ 159 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739
≡ 45415 ⋅ 159 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739 ≡ 336 ⋅ 159 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739
≡ 53424 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739 ≡ 216 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739
≡ 43632 ⋅ 397 mod 739 ≡ 31 ⋅ 397 mod 739
≡ 12307 mod 739 ≡ 483 mod 739

Es gilt also: 397¹⁵⁹ ≡ 483 mod 739

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61	= 1⋅50 + 11
=>50	= 4⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50) = 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61