Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24998 + 2500) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24998 + 2500) mod 5 ≡ (24998 mod 5 + 2500 mod 5) mod 5.

24998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24998 = 24000+998 = 5 ⋅ 4800 +998.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(24998 + 2500) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 72) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 72) mod 5 ≡ (59 mod 5 ⋅ 72 mod 5) mod 5.

59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.

72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 72) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39616 mod 829.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 396 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3961=396

2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 135 mod 829

4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 816 mod 829

8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 816⋅816=665856 ≡ 169 mod 829

16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 375 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 364182 mod 919.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

1: 3641=364

2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 160 mod 919

4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 787 mod 919

8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 882 mod 919

16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 882⋅882=777924 ≡ 450 mod 919

32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 320 mod 919

64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 391 mod 919

128: 364128=36464+64=36464⋅36464 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 327 mod 919

364182

= 364128+32+16+4+2

= 364128⋅36432⋅36416⋅3644⋅3642

≡ 327 ⋅ 320 ⋅ 450 ⋅ 787 ⋅ 160 mod 919
≡ 104640 ⋅ 450 ⋅ 787 ⋅ 160 mod 919 ≡ 793 ⋅ 450 ⋅ 787 ⋅ 160 mod 919
≡ 356850 ⋅ 787 ⋅ 160 mod 919 ≡ 278 ⋅ 787 ⋅ 160 mod 919
≡ 218786 ⋅ 160 mod 919 ≡ 64 ⋅ 160 mod 919
≡ 10240 mod 919 ≡ 131 mod 919

Es gilt also: 364182 ≡ 131 mod 919

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.

Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71

=>79 = 1⋅71 + 8
=>71 = 8⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 71-8⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8)
= -1⋅71 +9⋅ 8 (=1)
8= 79-1⋅71 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71)
= 9⋅79 -10⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71

oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅79 = -10⋅71

-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71

-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1

(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1

69⋅71 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1

Somit 69⋅71 = 1 mod 79

69 ist also das Inverse von 71 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.