Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2997 + 93) mod 3 ≡ (2997 mod 3 + 93 mod 3) mod 3.

2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997 = 3000-3 = 3 ⋅ 1000 -3 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 0.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(2997 + 93) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 76) mod 9 ≡ (22 mod 9 ⋅ 76 mod 9) mod 9.

22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.

76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 76) mod 9 ≡ (4 ⋅ 4) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 275¹=275

2: 275²=275¹⁺¹=275¹⋅275¹ ≡ 275⋅275=75625 ≡ 4 mod 277

4: 275⁴=275²⁺²=275²⋅275² ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 277

8: 275⁸=275⁴⁺⁴=275⁴⋅275⁴ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277

16: 275¹⁶=275⁸⁺⁸=275⁸⋅275⁸ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 164 mod 277

32: 275³²=275¹⁶⁺¹⁶=275¹⁶⋅275¹⁶ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 27 mod 277

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

238¹⁸¹

= 238^{128+32+16+4+1}

= 238¹²⁸⋅238³²⋅238¹⁶⋅238⁴⋅238¹

≡ 485 ⋅ 32 ⋅ 376 ⋅ 493 ⋅ 238 mod 631
≡ 15520 ⋅ 376 ⋅ 493 ⋅ 238 mod 631 ≡ 376 ⋅ 376 ⋅ 493 ⋅ 238 mod 631
≡ 141376 ⋅ 493 ⋅ 238 mod 631 ≡ 32 ⋅ 493 ⋅ 238 mod 631
≡ 15776 ⋅ 238 mod 631 ≡ 1 ⋅ 238 mod 631
≡ 238 mod 631

Es gilt also: 238¹⁸¹ ≡ 238 mod 631

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38

=>67	= 1⋅38 + 29
=>38	= 1⋅29 + 9
=>29	= 3⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 29-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1)
9= 38-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29) = -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1)
29= 67-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38) = 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +30⋅38

Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1

Somit 30⋅38 = 1 mod 67

30 ist also das Inverse von 38 mod 67