Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8993 + 27009) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8993 + 27009) mod 9 ≡ (8993 mod 9 + 27009 mod 9) mod 9.

8993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8993 = 9000-7 = 9 ⋅ 1000 -7 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 2.

27009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27009 = 27000+9 = 9 ⋅ 3000 +9.

Somit gilt:

(8993 + 27009) mod 9 ≡ (2 + 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 53) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 53) mod 6 ≡ (15 mod 6 ⋅ 53 mod 6) mod 6.

15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.

53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 53) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32032 mod 967.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 320 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3201=320

2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 865 mod 967

4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 865⋅865=748225 ≡ 734 mod 967

8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 137 mod 967

16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 396 mod 967

32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 162 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 644238 mod 941.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

1: 6441=644

2: 6442=6441+1=6441⋅6441 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 696 mod 941

4: 6444=6442+2=6442⋅6442 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 742 mod 941

8: 6448=6444+4=6444⋅6444 ≡ 742⋅742=550564 ≡ 79 mod 941

16: 64416=6448+8=6448⋅6448 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 595 mod 941

32: 64432=64416+16=64416⋅64416 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 209 mod 941

64: 64464=64432+32=64432⋅64432 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 395 mod 941

128: 644128=64464+64=64464⋅64464 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 760 mod 941

644238

= 644128+64+32+8+4+2

= 644128⋅64464⋅64432⋅6448⋅6444⋅6442

760 ⋅ 395 ⋅ 209 ⋅ 79 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941
300200 ⋅ 209 ⋅ 79 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941 ≡ 21 ⋅ 209 ⋅ 79 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941
4389 ⋅ 79 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941 ≡ 625 ⋅ 79 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941
49375 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941 ≡ 443 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941
328706 ⋅ 696 mod 941 ≡ 297 ⋅ 696 mod 941
206712 mod 941 ≡ 633 mod 941

Es gilt also: 644238 ≡ 633 mod 941

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 31

=>101 = 3⋅31 + 8
=>31 = 3⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8)
= -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 101-3⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +4⋅(101 -3⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅101 -12⋅ 31)
= 4⋅101 -13⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(101,31)=1 = 4⋅101 -13⋅31

oder wenn man 4⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅101 = -13⋅31

-13⋅31 = -4⋅101 + 1 |+101⋅31

-13⋅31 + 101⋅31 = -4⋅101 + 101⋅31 + 1

(-13 + 101) ⋅ 31 = (-4 + 31) ⋅ 101 + 1

88⋅31 = 27⋅101 + 1

Es gilt also: 88⋅31 = 27⋅101 +1

Somit 88⋅31 = 1 mod 101

88 ist also das Inverse von 31 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.