Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(898 + 357) mod 9 ≡ (898 mod 9 + 357 mod 9) mod 9.

898 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 9 ⋅ 100 -2 = 9 ⋅ 100 - 9 + 7.

357 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357 = 360-3 = 9 ⋅ 40 -3 = 9 ⋅ 40 - 9 + 6.

Somit gilt:

(898 + 357) mod 9 ≡ (7 + 6) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 31) mod 7 ≡ (87 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 31) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 450¹=450

2: 450²=450¹⁺¹=450¹⋅450¹ ≡ 450⋅450=202500 ≡ 558 mod 863

4: 450⁴=450²⁺²=450²⋅450² ≡ 558⋅558=311364 ≡ 684 mod 863

8: 450⁸=450⁴⁺⁴=450⁴⋅450⁴ ≡ 684⋅684=467856 ≡ 110 mod 863

16: 450¹⁶=450⁸⁺⁸=450⁸⋅450⁸ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 18 mod 863

32: 450³²=450¹⁶⁺¹⁶=450¹⁶⋅450¹⁶ ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 863

64: 450⁶⁴=450³²⁺³²=450³²⋅450³² ≡ 324⋅324=104976 ≡ 553 mod 863

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

467²⁴⁹

= 467^{128+64+32+16+8+1}

= 467¹²⁸⋅467⁶⁴⋅467³²⋅467¹⁶⋅467⁸⋅467¹

≡ 193 ⋅ 341 ⋅ 572 ⋅ 515 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691
≡ 65813 ⋅ 572 ⋅ 515 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691 ≡ 168 ⋅ 572 ⋅ 515 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691
≡ 96096 ⋅ 515 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691 ≡ 47 ⋅ 515 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691
≡ 24205 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691 ≡ 20 ⋅ 327 ⋅ 467 mod 691
≡ 6540 ⋅ 467 mod 691 ≡ 321 ⋅ 467 mod 691
≡ 149907 mod 691 ≡ 651 mod 691

Es gilt also: 467²⁴⁹ ≡ 651 mod 691

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23

=>53	= 2⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 53-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23

oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅53 = -23⋅23

-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23

-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1

(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1

30⋅23 = 13⋅53 + 1

Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1

Somit 30⋅23 = 1 mod 53

30 ist also das Inverse von 23 mod 53