Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8997 + 1202) mod 3 ≡ (8997 mod 3 + 1202 mod 3) mod 3.

8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 3 ⋅ 3000 -3 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 0.

1202 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 3 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(8997 + 1202) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 88) mod 4 ≡ (16 mod 4 ⋅ 88 mod 4) mod 4.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

88 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 22 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 88) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 297¹=297

2: 297²=297¹⁺¹=297¹⋅297¹ ≡ 297⋅297=88209 ≡ 256 mod 313

4: 297⁴=297²⁺²=297²⋅297² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 119 mod 313

8: 297⁸=297⁴⁺⁴=297⁴⋅297⁴ ≡ 119⋅119=14161 ≡ 76 mod 313

16: 297¹⁶=297⁸⁺⁸=297⁸⋅297⁸ ≡ 76⋅76=5776 ≡ 142 mod 313

32: 297³²=297¹⁶⁺¹⁶=297¹⁶⋅297¹⁶ ≡ 142⋅142=20164 ≡ 132 mod 313

64: 297⁶⁴=297³²⁺³²=297³²⋅297³² ≡ 132⋅132=17424 ≡ 209 mod 313

128: 297¹²⁸=297⁶⁴⁺⁶⁴=297⁶⁴⋅297⁶⁴ ≡ 209⋅209=43681 ≡ 174 mod 313

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

494¹²³

= 494^{64+32+16+8+2+1}

= 494⁶⁴⋅494³²⋅494¹⁶⋅494⁸⋅494²⋅494¹

≡ 760 ⋅ 269 ⋅ 632 ⋅ 513 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823
≡ 204440 ⋅ 632 ⋅ 513 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823 ≡ 336 ⋅ 632 ⋅ 513 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823
≡ 212352 ⋅ 513 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823 ≡ 18 ⋅ 513 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823
≡ 9234 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823 ≡ 181 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823
≡ 77468 ⋅ 494 mod 823 ≡ 106 ⋅ 494 mod 823
≡ 52364 mod 823 ≡ 515 mod 823

Es gilt also: 494¹²³ ≡ 515 mod 823

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73	= 1⋅47 + 26
=>47	= 1⋅26 + 21
=>26	= 1⋅21 + 5
=>21	= 4⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21) = 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26) = -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26) = 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47) = 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47) = -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73