Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3193 + 15999) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3193 + 15999) mod 8 ≡ (3193 mod 8 + 15999 mod 8) mod 8.

3193 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3193 = 3200-7 = 8 ⋅ 400 -7 = 8 ⋅ 400 - 8 + 1.

15999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 8 ⋅ 1875 +999.

Somit gilt:

(3193 + 15999) mod 8 ≡ (1 + 7) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 92) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 92) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 92 mod 9) mod 9.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 92) mod 9 ≡ (5 ⋅ 2) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 287128 mod 431.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 287 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2871=287

2: 2872=2871+1=2871⋅2871 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 48 mod 431

4: 2874=2872+2=2872⋅2872 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 149 mod 431

8: 2878=2874+4=2874⋅2874 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 220 mod 431

16: 28716=2878+8=2878⋅2878 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 128 mod 431

32: 28732=28716+16=28716⋅28716 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 6 mod 431

64: 28764=28732+32=28732⋅28732 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 431

128: 287128=28764+64=28764⋅28764 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 3 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 139246 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

1: 1391=139

2: 1392=1391+1=1391⋅1391 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 46 mod 257

4: 1394=1392+2=1392⋅1392 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 60 mod 257

8: 1398=1394+4=1394⋅1394 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 2 mod 257

16: 13916=1398+8=1398⋅1398 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 257

32: 13932=13916+16=13916⋅13916 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257

64: 13964=13932+32=13932⋅13932 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

128: 139128=13964+64=13964⋅13964 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

139246

= 139128+64+32+16+4+2

= 139128⋅13964⋅13932⋅13916⋅1394⋅1392

1 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 60 ⋅ 46 mod 257
256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 60 ⋅ 46 mod 257
4096 ⋅ 4 ⋅ 60 ⋅ 46 mod 257 ≡ 241 ⋅ 4 ⋅ 60 ⋅ 46 mod 257
964 ⋅ 60 ⋅ 46 mod 257 ≡ 193 ⋅ 60 ⋅ 46 mod 257
11580 ⋅ 46 mod 257 ≡ 15 ⋅ 46 mod 257
690 mod 257 ≡ 176 mod 257

Es gilt also: 139246 ≡ 176 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23

=>73 = 3⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 73-3⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23)
= 6⋅73 -19⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23

oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅73 = -19⋅23

-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23

-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1

(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1

54⋅23 = 17⋅73 + 1

Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1

Somit 54⋅23 = 1 mod 73

54 ist also das Inverse von 23 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.