Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30000 - 23997) mod 6 ≡ (30000 mod 6 - 23997 mod 6) mod 6.

30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000 = 30000+0 = 6 ⋅ 5000 +0.

23997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23997 = 24000-3 = 6 ⋅ 4000 -3 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 3.

Somit gilt:

(30000 - 23997) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 38) mod 3 ≡ (94 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.

94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 38) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 233¹=233

2: 233²=233¹⁺¹=233¹⋅233¹ ≡ 233⋅233=54289 ≡ 89 mod 271

4: 233⁴=233²⁺²=233²⋅233² ≡ 89⋅89=7921 ≡ 62 mod 271

8: 233⁸=233⁴⁺⁴=233⁴⋅233⁴ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 50 mod 271

16: 233¹⁶=233⁸⁺⁸=233⁸⋅233⁸ ≡ 50⋅50=2500 ≡ 61 mod 271

32: 233³²=233¹⁶⁺¹⁶=233¹⁶⋅233¹⁶ ≡ 61⋅61=3721 ≡ 198 mod 271

64: 233⁶⁴=233³²⁺³²=233³²⋅233³² ≡ 198⋅198=39204 ≡ 180 mod 271

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

305¹⁷¹

= 305^128+32+8+2+1

= 305¹²⁸⋅305³²⋅305⁸⋅305²⋅305¹

≡ 363 ⋅ 646 ⋅ 197 ⋅ 48 ⋅ 305 mod 853
≡ 234498 ⋅ 197 ⋅ 48 ⋅ 305 mod 853 ≡ 776 ⋅ 197 ⋅ 48 ⋅ 305 mod 853
≡ 152872 ⋅ 48 ⋅ 305 mod 853 ≡ 185 ⋅ 48 ⋅ 305 mod 853
≡ 8880 ⋅ 305 mod 853 ≡ 350 ⋅ 305 mod 853
≡ 106750 mod 853 ≡ 125 mod 853

Es gilt also: 305¹⁷¹ ≡ 125 mod 853

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59	= 1⋅48 + 11
=>48	= 4⋅11 + 4
=>11	= 2⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11) = -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48) = 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59