Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15002 - 14999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15002 - 14999) mod 3 ≡ (15002 mod 3 - 14999 mod 3) mod 3.
15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999
= 15000
Somit gilt:
(15002 - 14999) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 66) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 66) mod 9 ≡ (95 mod 9 ⋅ 66 mod 9) mod 9.
95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.
66 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 7 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 66) mod 9 ≡ (5 ⋅ 3) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2068 mod 367.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2061=206
2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 231 mod 367
4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 146 mod 367
8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 30 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27261 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 198 mod 467
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 443 mod 467
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 109 mod 467
16: 27216=2728+8=2728⋅2728 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 206 mod 467
32: 27232=27216+16=27216⋅27216 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 406 mod 467
27261
= 27232+16+8+4+1
= 27232⋅27216⋅2728⋅2724⋅2721
≡ 406 ⋅ 206 ⋅ 109 ⋅ 443 ⋅ 272 mod 467
≡ 83636 ⋅ 109 ⋅ 443 ⋅ 272 mod 467 ≡ 43 ⋅ 109 ⋅ 443 ⋅ 272 mod 467
≡ 4687 ⋅ 443 ⋅ 272 mod 467 ≡ 17 ⋅ 443 ⋅ 272 mod 467
≡ 7531 ⋅ 272 mod 467 ≡ 59 ⋅ 272 mod 467
≡ 16048 mod 467 ≡ 170 mod 467
Es gilt also: 27261 ≡ 170 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 73.
Also bestimme x, so dass 73 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 73
| =>83 | = 1⋅73 + 10 |
| =>73 | = 7⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,73)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 73-7⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(73 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅73 +21⋅ 10) = -3⋅73 +22⋅ 10 (=1) |
| 10= 83-1⋅73 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅73 +22⋅(83 -1⋅ 73)
= -3⋅73 +22⋅83 -22⋅ 73) = 22⋅83 -25⋅ 73 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,73)=1 = 22⋅83 -25⋅73
oder wenn man 22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -22⋅83 = -25⋅73
-25⋅73 = -22⋅83 + 1 |+83⋅73
-25⋅73 + 83⋅73 = -22⋅83 + 83⋅73 + 1
(-25 + 83) ⋅ 73 = (-22 + 73) ⋅ 83 + 1
58⋅73 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 58⋅73 = 51⋅83 +1
Somit 58⋅73 = 1 mod 83
58 ist also das Inverse von 73 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
