Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1407 + 28005) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1407 + 28005) mod 7 ≡ (1407 mod 7 + 28005 mod 7) mod 7.
1407 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1407
= 1400
28005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28005
= 28000
Somit gilt:
(1407 + 28005) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 75) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 75) mod 7 ≡ (71 mod 7 ⋅ 75 mod 7) mod 7.
71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 10 ⋅ 7 + 1 ist.
75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 75) mod 7 ≡ (1 ⋅ 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28932 mod 467.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 289 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2891=289
2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 395 mod 467
4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 47 mod 467
8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 341 mod 467
16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 465 mod 467
32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 4 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55768 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 5571=557
2: 5572=5571+1=5571⋅5571 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 509 mod 911
4: 5574=5572+2=5572⋅5572 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 357 mod 911
8: 5578=5574+4=5574⋅5574 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 820 mod 911
16: 55716=5578+8=5578⋅5578 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 82 mod 911
32: 55732=55716+16=55716⋅55716 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 347 mod 911
64: 55764=55732+32=55732⋅55732 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 157 mod 911
55768
= 55764+4
= 55764⋅5574
≡ 157 ⋅ 357 mod 911
≡ 56049 mod 911 ≡ 478 mod 911
Es gilt also: 55768 ≡ 478 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41
| =>53 | = 1⋅41 + 12 |
| =>41 | = 3⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 41-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1) |
| 12= 53-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41
oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅53 = +22⋅41
Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1
Somit 22⋅41 = 1 mod 53
22 ist also das Inverse von 41 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
