Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15997 - 3197) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15997 - 3197) mod 8 ≡ (15997 mod 8 - 3197 mod 8) mod 8.
15997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
3197 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3197
= 3200
Somit gilt:
(15997 - 3197) mod 8 ≡ (5 - 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 95) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 95) mod 10 ≡ (79 mod 10 ⋅ 95 mod 10) mod 10.
79 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 70 + 9 = 7 ⋅ 10 + 9 ist.
95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 95) mod 10 ≡ (9 ⋅ 5) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3738 mod 379.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 373 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3731=373
2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 36 mod 379
4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 159 mod 379
8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 267 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 130126 mod 347.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:
126 = 64+32+16+8+4+2
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 244 mod 347
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 199 mod 347
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 43 mod 347
16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 114 mod 347
32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 157 mod 347
64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 12 mod 347
130126
= 13064+32+16+8+4+2
= 13064⋅13032⋅13016⋅1308⋅1304⋅1302
≡ 12 ⋅ 157 ⋅ 114 ⋅ 43 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347
≡ 1884 ⋅ 114 ⋅ 43 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347 ≡ 149 ⋅ 114 ⋅ 43 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347
≡ 16986 ⋅ 43 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347 ≡ 330 ⋅ 43 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347
≡ 14190 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347 ≡ 310 ⋅ 199 ⋅ 244 mod 347
≡ 61690 ⋅ 244 mod 347 ≡ 271 ⋅ 244 mod 347
≡ 66124 mod 347 ≡ 194 mod 347
Es gilt also: 130126 ≡ 194 mod 347
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43
| =>79 | = 1⋅43 + 36 |
| =>43 | = 1⋅36 + 7 |
| =>36 | = 5⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 36-5⋅7 | |||
| 7= 43-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36) = -5⋅43 +6⋅ 36 (=1) |
| 36= 79-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43) = 6⋅79 -11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43
oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅79 = -11⋅43
-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43
-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1
(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1
68⋅43 = 37⋅79 + 1
Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1
Somit 68⋅43 = 1 mod 79
68 ist also das Inverse von 43 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
