Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16000 + 398) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16000 + 398) mod 4 ≡ (16000 mod 4 + 398 mod 4) mod 4.
16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398
= 300
Somit gilt:
(16000 + 398) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 28) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 28) mod 7 ≡ (40 mod 7 ⋅ 28 mod 7) mod 7.
40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.
28 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 4 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 28) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2128 mod 443.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 212 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2121=212
2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 201 mod 443
4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 88 mod 443
8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 213 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34062 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 3401=340
2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 636 mod 701
4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 19 mod 701
8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 701
16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 636 mod 701
32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 19 mod 701
34062
= 34032+16+8+4+2
= 34032⋅34016⋅3408⋅3404⋅3402
≡ 19 ⋅ 636 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 636 mod 701
≡ 12084 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 636 mod 701 ≡ 167 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 636 mod 701
≡ 60287 ⋅ 19 ⋅ 636 mod 701 ≡ 1 ⋅ 19 ⋅ 636 mod 701
≡ 19 ⋅ 636 mod 701
≡ 12084 mod 701 ≡ 167 mod 701
Es gilt also: 34062 ≡ 167 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33
| =>97 | = 2⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -47⋅33
-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33
-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1
(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1
50⋅33 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1
Somit 50⋅33 = 1 mod 97
50 ist also das Inverse von 33 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
