Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25005 - 196) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25005 - 196) mod 5 ≡ (25005 mod 5 - 196 mod 5) mod 5.

25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005 = 25000+5 = 5 ⋅ 5000 +5.

196 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 196 = 190+6 = 5 ⋅ 38 +6.

Somit gilt:

(25005 - 196) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 39) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 39) mod 11 ≡ (99 mod 11 ⋅ 39 mod 11) mod 11.

99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.

39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 39) mod 11 ≡ (0 ⋅ 6) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61232 mod 709.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 612 -> x
2. mod(x²,709) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6121=612

2: 6122=6121+1=6121⋅6121 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 192 mod 709

4: 6124=6122+2=6122⋅6122 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 705 mod 709

8: 6128=6124+4=6124⋅6124 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 16 mod 709

16: 61216=6128+8=6128⋅6128 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 709

32: 61232=61216+16=61216⋅61216 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 308 mod 709

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24177 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

1: 2411=241

2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 574 mod 661

4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 298 mod 661

8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 230 mod 661

16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 20 mod 661

32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 661

64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 38 mod 661

24177

= 24164+8+4+1

= 24164⋅2418⋅2414⋅2411

38 ⋅ 230 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
8740 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661 ≡ 147 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
43806 ⋅ 241 mod 661 ≡ 180 ⋅ 241 mod 661
43380 mod 661 ≡ 415 mod 661

Es gilt also: 24177 ≡ 415 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41

=>101 = 2⋅41 + 19
=>41 = 2⋅19 + 3
=>19 = 6⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19)
= -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-2⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41)
= 13⋅101 -32⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -32⋅41

-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41

-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1

(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1

69⋅41 = 28⋅101 + 1

Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1

Somit 69⋅41 = 1 mod 101

69 ist also das Inverse von 41 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.