Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12002 + 161) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12002 + 161) mod 4 ≡ (12002 mod 4 + 161 mod 4) mod 4.
12002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
161 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161
= 160
Somit gilt:
(12002 + 161) mod 4 ≡ (2 + 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 36) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 36) mod 4 ≡ (43 mod 4 ⋅ 36 mod 4) mod 4.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 36) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52816 mod 571.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 528 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5281=528
2: 5282=5281+1=5281⋅5281 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 136 mod 571
4: 5284=5282+2=5282⋅5282 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 224 mod 571
8: 5288=5284+4=5284⋅5284 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 499 mod 571
16: 52816=5288+8=5288⋅5288 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 45 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 769130 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 7691=769
2: 7692=7691+1=7691⋅7691 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 517 mod 929
4: 7694=7692+2=7692⋅7692 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 666 mod 929
8: 7698=7694+4=7694⋅7694 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 423 mod 929
16: 76916=7698+8=7698⋅7698 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 561 mod 929
32: 76932=76916+16=76916⋅76916 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 719 mod 929
64: 76964=76932+32=76932⋅76932 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 437 mod 929
128: 769128=76964+64=76964⋅76964 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 524 mod 929
769130
= 769128+2
= 769128⋅7692
≡ 524 ⋅ 517 mod 929
≡ 270908 mod 929 ≡ 569 mod 929
Es gilt also: 769130 ≡ 569 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54
| =>71 | = 1⋅54 + 17 |
| =>54 | = 3⋅17 + 3 |
| =>17 | = 5⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 17-5⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1) |
| 3= 54-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1) |
| 17= 71-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54
oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅71 = +25⋅54
Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1
Somit 25⋅54 = 1 mod 71
25 ist also das Inverse von 54 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
