Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(241 + 240) mod 6 ≡ (241 mod 6 + 240 mod 6) mod 6.

241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 6 ⋅ 40 +1.

240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 6 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(241 + 240) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 94) mod 8 ≡ (68 mod 8 ⋅ 94 mod 8) mod 8.

68 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 64 + 4 = 8 ⋅ 8 + 4 ist.

94 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 11 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 94) mod 8 ≡ (4 ⋅ 6) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 348¹=348

2: 348²=348¹⁺¹=348¹⋅348¹ ≡ 348⋅348=121104 ≡ 165 mod 443

4: 348⁴=348²⁺²=348²⋅348² ≡ 165⋅165=27225 ≡ 202 mod 443

8: 348⁸=348⁴⁺⁴=348⁴⋅348⁴ ≡ 202⋅202=40804 ≡ 48 mod 443

16: 348¹⁶=348⁸⁺⁸=348⁸⋅348⁸ ≡ 48⋅48=2304 ≡ 89 mod 443

32: 348³²=348¹⁶⁺¹⁶=348¹⁶⋅348¹⁶ ≡ 89⋅89=7921 ≡ 390 mod 443

64: 348⁶⁴=348³²⁺³²=348³²⋅348³² ≡ 390⋅390=152100 ≡ 151 mod 443

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

214¹⁸³

= 214^{128+32+16+4+2+1}

= 214¹²⁸⋅214³²⋅214¹⁶⋅214⁴⋅214²⋅214¹

≡ 210 ⋅ 196 ⋅ 279 ⋅ 126 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293
≡ 41160 ⋅ 279 ⋅ 126 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293 ≡ 140 ⋅ 279 ⋅ 126 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293
≡ 39060 ⋅ 126 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293 ≡ 91 ⋅ 126 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293
≡ 11466 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293 ≡ 39 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293
≡ 3432 ⋅ 214 mod 293 ≡ 209 ⋅ 214 mod 293
≡ 44726 mod 293 ≡ 190 mod 293

Es gilt also: 214¹⁸³ ≡ 190 mod 293

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79	= 1⋅45 + 34
=>45	= 1⋅34 + 11
=>34	= 3⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34) = 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45) = -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79