Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24996 - 1505) mod 5 ≡ (24996 mod 5 - 1505 mod 5) mod 5.

24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996 = 24000+996 = 5 ⋅ 4800 +996.

1505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1505 = 1500+5 = 5 ⋅ 300 +5.

Somit gilt:

(24996 - 1505) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 96) mod 6 ≡ (48 mod 6 ⋅ 96 mod 6) mod 6.

48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 96) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 555¹=555

2: 555²=555¹⁺¹=555¹⋅555¹ ≡ 555⋅555=308025 ≡ 581 mod 761

4: 555⁴=555²⁺²=555²⋅555² ≡ 581⋅581=337561 ≡ 438 mod 761

8: 555⁸=555⁴⁺⁴=555⁴⋅555⁴ ≡ 438⋅438=191844 ≡ 72 mod 761

16: 555¹⁶=555⁸⁺⁸=555⁸⋅555⁸ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 618 mod 761

32: 555³²=555¹⁶⁺¹⁶=555¹⁶⋅555¹⁶ ≡ 618⋅618=381924 ≡ 663 mod 761

64: 555⁶⁴=555³²⁺³²=555³²⋅555³² ≡ 663⋅663=439569 ≡ 472 mod 761

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

735²³⁴

= 735^{128+64+32+8+2}

= 735¹²⁸⋅735⁶⁴⋅735³²⋅735⁸⋅735²

≡ 370 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 26 ⋅ 671 mod 773
≡ 252710 ⋅ 133 ⋅ 26 ⋅ 671 mod 773 ≡ 712 ⋅ 133 ⋅ 26 ⋅ 671 mod 773
≡ 94696 ⋅ 26 ⋅ 671 mod 773 ≡ 390 ⋅ 26 ⋅ 671 mod 773
≡ 10140 ⋅ 671 mod 773 ≡ 91 ⋅ 671 mod 773
≡ 61061 mod 773 ≡ 767 mod 773

Es gilt also: 735²³⁴ ≡ 767 mod 773

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

=>97	= 1⋅78 + 19
=>78	= 4⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 78-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1)
19= 97-1⋅78	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78) = -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -46⋅78

-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78

-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1

(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1

51⋅78 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1

Somit 51⋅78 = 1 mod 97

51 ist also das Inverse von 78 mod 97