Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 - 3000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 - 3000) mod 3 ≡ (88 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
Somit gilt:
(88 - 3000) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 39) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 39) mod 4 ≡ (88 mod 4 ⋅ 39 mod 4) mod 4.
88 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 22 ⋅ 4 + 0 ist.
39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 9 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 39) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19164 mod 487.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 191 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1911=191
2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 443 mod 487
4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 475 mod 487
8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 144 mod 487
16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 282 mod 487
32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 143 mod 487
64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 482 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 105244 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:
244 = 128+64+32+16+4
1: 1051=105
2: 1052=1051+1=1051⋅1051 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 206 mod 349
4: 1054=1052+2=1052⋅1052 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 207 mod 349
8: 1058=1054+4=1054⋅1054 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 271 mod 349
16: 10516=1058+8=1058⋅1058 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 151 mod 349
32: 10532=10516+16=10516⋅10516 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 116 mod 349
64: 10564=10532+32=10532⋅10532 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 194 mod 349
128: 105128=10564+64=10564⋅10564 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 293 mod 349
105244
= 105128+64+32+16+4
= 105128⋅10564⋅10532⋅10516⋅1054
≡ 293 ⋅ 194 ⋅ 116 ⋅ 151 ⋅ 207 mod 349
≡ 56842 ⋅ 116 ⋅ 151 ⋅ 207 mod 349 ≡ 304 ⋅ 116 ⋅ 151 ⋅ 207 mod 349
≡ 35264 ⋅ 151 ⋅ 207 mod 349 ≡ 15 ⋅ 151 ⋅ 207 mod 349
≡ 2265 ⋅ 207 mod 349 ≡ 171 ⋅ 207 mod 349
≡ 35397 mod 349 ≡ 148 mod 349
Es gilt also: 105244 ≡ 148 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 35
| =>89 | = 2⋅35 + 19 |
| =>35 | = 1⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 35-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(35 -1⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅35 -6⋅ 19) = 6⋅35 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 89-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅35 -11⋅(89 -2⋅ 35)
= 6⋅35 -11⋅89 +22⋅ 35) = -11⋅89 +28⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,35)=1 = -11⋅89 +28⋅35
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +28⋅35
Es gilt also: 28⋅35 = 11⋅89 +1
Somit 28⋅35 = 1 mod 89
28 ist also das Inverse von 35 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
