Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 + 1199) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 + 1199) mod 3 ≡ (120 mod 3 + 1199 mod 3) mod 3.
120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
Somit gilt:
(120 + 1199) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 90) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 90) mod 9 ≡ (70 mod 9 ⋅ 90 mod 9) mod 9.
70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.
90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 10 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 90) mod 9 ≡ (7 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14316 mod 229.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 143 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1431=143
2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 68 mod 229
4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 44 mod 229
8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 104 mod 229
16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 53 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64168 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 6411=641
2: 6412=6411+1=6411⋅6411 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 702 mod 761
4: 6414=6412+2=6412⋅6412 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 437 mod 761
8: 6418=6414+4=6414⋅6414 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 719 mod 761
16: 64116=6418+8=6418⋅6418 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 242 mod 761
32: 64132=64116+16=64116⋅64116 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 728 mod 761
64: 64164=64132+32=64132⋅64132 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 328 mod 761
64168
= 64164+4
= 64164⋅6414
≡ 328 ⋅ 437 mod 761
≡ 143336 mod 761 ≡ 268 mod 761
Es gilt also: 64168 ≡ 268 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
