Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17998 - 97) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17998 - 97) mod 9 ≡ (17998 mod 9 - 97 mod 9) mod 9.
17998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998
= 18000
97 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97
= 90
Somit gilt:
(17998 - 97) mod 9 ≡ (7 - 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 99) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 99) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 99 mod 11) mod 11.
19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.
99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 99) mod 11 ≡ (8 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29964 mod 599.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 299 -> x
2. mod(x²,599) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 150 mod 599
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 337 mod 599
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 358 mod 599
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 577 mod 599
32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 484 mod 599
64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 47 mod 599
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 329135 mod 1009.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:
135 = 128+4+2+1
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 278 mod 1009
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 600 mod 1009
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 796 mod 1009
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 973 mod 1009
32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 973⋅973=946729 ≡ 287 mod 1009
64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 640 mod 1009
128: 329128=32964+64=32964⋅32964 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 955 mod 1009
329135
= 329128+4+2+1
= 329128⋅3294⋅3292⋅3291
≡ 955 ⋅ 600 ⋅ 278 ⋅ 329 mod 1009
≡ 573000 ⋅ 278 ⋅ 329 mod 1009 ≡ 897 ⋅ 278 ⋅ 329 mod 1009
≡ 249366 ⋅ 329 mod 1009 ≡ 143 ⋅ 329 mod 1009
≡ 47047 mod 1009 ≡ 633 mod 1009
Es gilt also: 329135 ≡ 633 mod 1009
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26
| =>59 | = 2⋅26 + 7 |
| =>26 | = 3⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 26-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7) = 3⋅26 -11⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26) = -11⋅59 +25⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +25⋅26
Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1
Somit 25⋅26 = 1 mod 59
25 ist also das Inverse von 26 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
