Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (444 - 904) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(444 - 904) mod 9 ≡ (444 mod 9 - 904 mod 9) mod 9.
444 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 444
= 450
904 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 904
= 900
Somit gilt:
(444 - 904) mod 9 ≡ (3 - 4) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 29) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 29) mod 11 ≡ (58 mod 11 ⋅ 29 mod 11) mod 11.
58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.
29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 29) mod 11 ≡ (3 ⋅ 7) mod 11 ≡ 21 mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2708 mod 349.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 308 mod 349
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 285 mod 349
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 257 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40975 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:
75 = 64+8+2+1
1: 4091=409
2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 227 mod 827
4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 255 mod 827
8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 519 mod 827
16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 586 mod 827
32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 191 mod 827
64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 93 mod 827
40975
= 40964+8+2+1
= 40964⋅4098⋅4092⋅4091
≡ 93 ⋅ 519 ⋅ 227 ⋅ 409 mod 827
≡ 48267 ⋅ 227 ⋅ 409 mod 827 ≡ 301 ⋅ 227 ⋅ 409 mod 827
≡ 68327 ⋅ 409 mod 827 ≡ 513 ⋅ 409 mod 827
≡ 209817 mod 827 ≡ 586 mod 827
Es gilt also: 40975 ≡ 586 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35
| =>59 | = 1⋅35 + 24 |
| =>35 | = 1⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 35-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 59-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +27⋅35
Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1
Somit 27⋅35 = 1 mod 59
27 ist also das Inverse von 35 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
