Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (798 + 16005) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(798 + 16005) mod 8 ≡ (798 mod 8 + 16005 mod 8) mod 8.
798 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798
= 800
16005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16005
= 16000
Somit gilt:
(798 + 16005) mod 8 ≡ (6 + 5) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 16) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 16) mod 4 ≡ (33 mod 4 ⋅ 16 mod 4) mod 4.
33 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 8 ⋅ 4 + 1 ist.
16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 16) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2418 mod 727.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 241 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 648 mod 727
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 425 mod 727
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 329 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 894112 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 8941=894
2: 8942=8941+1=8941⋅8941 ≡ 894⋅894=799236 ≡ 103 mod 971
4: 8944=8942+2=8942⋅8942 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 899 mod 971
8: 8948=8944+4=8944⋅8944 ≡ 899⋅899=808201 ≡ 329 mod 971
16: 89416=8948+8=8948⋅8948 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 460 mod 971
32: 89432=89416+16=89416⋅89416 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 893 mod 971
64: 89464=89432+32=89432⋅89432 ≡ 893⋅893=797449 ≡ 258 mod 971
894112
= 89464+32+16
= 89464⋅89432⋅89416
≡ 258 ⋅ 893 ⋅ 460 mod 971
≡ 230394 ⋅ 460 mod 971 ≡ 267 ⋅ 460 mod 971
≡ 122820 mod 971 ≡ 474 mod 971
Es gilt also: 894112 ≡ 474 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 60
| =>89 | = 1⋅60 + 29 |
| =>60 | = 2⋅29 + 2 |
| =>29 | = 14⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-14⋅2 | |||
| 2= 60-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -14⋅(60 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -14⋅60 +28⋅ 29) = -14⋅60 +29⋅ 29 (=1) |
| 29= 89-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅60 +29⋅(89 -1⋅ 60)
= -14⋅60 +29⋅89 -29⋅ 60) = 29⋅89 -43⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,60)=1 = 29⋅89 -43⋅60
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -43⋅60
-43⋅60 = -29⋅89 + 1 |+89⋅60
-43⋅60 + 89⋅60 = -29⋅89 + 89⋅60 + 1
(-43 + 89) ⋅ 60 = (-29 + 60) ⋅ 89 + 1
46⋅60 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 46⋅60 = 31⋅89 +1
Somit 46⋅60 = 1 mod 89
46 ist also das Inverse von 60 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
