Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1996 + 119) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1996 + 119) mod 4 ≡ (1996 mod 4 + 119 mod 4) mod 4.
1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996
= 1900
119 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
Somit gilt:
(1996 + 119) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 87) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 87) mod 9 ≡ (70 mod 9 ⋅ 87 mod 9) mod 9.
70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.
87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 87) mod 9 ≡ (7 ⋅ 6) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3298 mod 457.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 389 mod 457
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 54 mod 457
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 174 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 738149 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 7381=738
2: 7382=7381+1=7381⋅7381 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 192 mod 769
4: 7384=7382+2=7382⋅7382 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 721 mod 769
8: 7388=7384+4=7384⋅7384 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 766 mod 769
16: 73816=7388+8=7388⋅7388 ≡ 766⋅766=586756 ≡ 9 mod 769
32: 73832=73816+16=73816⋅73816 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 769
64: 73864=73832+32=73832⋅73832 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 409 mod 769
128: 738128=73864+64=73864⋅73864 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 408 mod 769
738149
= 738128+16+4+1
= 738128⋅73816⋅7384⋅7381
≡ 408 ⋅ 9 ⋅ 721 ⋅ 738 mod 769
≡ 3672 ⋅ 721 ⋅ 738 mod 769 ≡ 596 ⋅ 721 ⋅ 738 mod 769
≡ 429716 ⋅ 738 mod 769 ≡ 614 ⋅ 738 mod 769
≡ 453132 mod 769 ≡ 191 mod 769
Es gilt also: 738149 ≡ 191 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 55
| =>83 | = 1⋅55 + 28 |
| =>55 | = 1⋅28 + 27 |
| =>28 | = 1⋅27 + 1 |
| =>27 | = 27⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-1⋅27 | |||
| 27= 55-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -1⋅(55 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -1⋅55 +1⋅ 28) = -1⋅55 +2⋅ 28 (=1) |
| 28= 83-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅55 +2⋅(83 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +2⋅83 -2⋅ 55) = 2⋅83 -3⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,55)=1 = 2⋅83 -3⋅55
oder wenn man 2⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅83 = -3⋅55
-3⋅55 = -2⋅83 + 1 |+83⋅55
-3⋅55 + 83⋅55 = -2⋅83 + 83⋅55 + 1
(-3 + 83) ⋅ 55 = (-2 + 55) ⋅ 83 + 1
80⋅55 = 53⋅83 + 1
Es gilt also: 80⋅55 = 53⋅83 +1
Somit 80⋅55 = 1 mod 83
80 ist also das Inverse von 55 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
