Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (147 - 19995) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(147 - 19995) mod 5 ≡ (147 mod 5 - 19995 mod 5) mod 5.
147 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147
= 140
19995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19995
= 19000
Somit gilt:
(147 - 19995) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 44) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 44) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 44 mod 8) mod 8.
99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.
44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 44) mod 8 ≡ (3 ⋅ 4) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 262128 mod 613.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 262 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2621=262
2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 601 mod 613
4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 144 mod 613
8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 507 mod 613
16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 202 mod 613
32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 346 mod 613
64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 181 mod 613
128: 262128=26264+64=26264⋅26264 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 272 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 403135 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:
135 = 128+4+2+1
1: 4031=403
2: 4032=4031+1=4031⋅4031 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 820 mod 883
4: 4034=4032+2=4032⋅4032 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 437 mod 883
8: 4038=4034+4=4034⋅4034 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 241 mod 883
16: 40316=4038+8=4038⋅4038 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 686 mod 883
32: 40332=40316+16=40316⋅40316 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 840 mod 883
64: 40364=40332+32=40332⋅40332 ≡ 840⋅840=705600 ≡ 83 mod 883
128: 403128=40364+64=40364⋅40364 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 708 mod 883
403135
= 403128+4+2+1
= 403128⋅4034⋅4032⋅4031
≡ 708 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 403 mod 883
≡ 309396 ⋅ 820 ⋅ 403 mod 883 ≡ 346 ⋅ 820 ⋅ 403 mod 883
≡ 283720 ⋅ 403 mod 883 ≡ 277 ⋅ 403 mod 883
≡ 111631 mod 883 ≡ 373 mod 883
Es gilt also: 403135 ≡ 373 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30
| =>73 | = 2⋅30 + 13 |
| =>30 | = 2⋅13 + 4 |
| =>13 | = 3⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-3⋅4 | |||
| 4= 30-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 73-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30) = 7⋅73 -17⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -17⋅30
-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30
-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1
(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1
56⋅30 = 23⋅73 + 1
Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1
Somit 56⋅30 = 1 mod 73
56 ist also das Inverse von 30 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
