Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (151 - 203) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(151 - 203) mod 5 ≡ (151 mod 5 - 203 mod 5) mod 5.
151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151
= 150
203 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203
= 200
Somit gilt:
(151 - 203) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 36) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 36) mod 9 ≡ (58 mod 9 ⋅ 36 mod 9) mod 9.
58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.
36 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 4 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 36) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 968 mod 211.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 96 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 961=96
2: 962=961+1=961⋅961 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 143 mod 211
4: 964=962+2=962⋅962 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 193 mod 211
8: 968=964+4=964⋅964 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 113 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 210109 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 561 mod 631
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 483 mod 631
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 450 mod 631
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 580 mod 631
32: 21032=21016+16=21016⋅21016 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 77 mod 631
64: 21064=21032+32=21032⋅21032 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 250 mod 631
210109
= 21064+32+8+4+1
= 21064⋅21032⋅2108⋅2104⋅2101
≡ 250 ⋅ 77 ⋅ 450 ⋅ 483 ⋅ 210 mod 631
≡ 19250 ⋅ 450 ⋅ 483 ⋅ 210 mod 631 ≡ 320 ⋅ 450 ⋅ 483 ⋅ 210 mod 631
≡ 144000 ⋅ 483 ⋅ 210 mod 631 ≡ 132 ⋅ 483 ⋅ 210 mod 631
≡ 63756 ⋅ 210 mod 631 ≡ 25 ⋅ 210 mod 631
≡ 5250 mod 631 ≡ 202 mod 631
Es gilt also: 210109 ≡ 202 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
