Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8993 + 27009) mod 9 ≡ (8993 mod 9 + 27009 mod 9) mod 9.

8993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8993 = 9000-7 = 9 ⋅ 1000 -7 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 2.

27009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27009 = 27000+9 = 9 ⋅ 3000 +9.

Somit gilt:

(8993 + 27009) mod 9 ≡ (2 + 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 53) mod 6 ≡ (15 mod 6 ⋅ 53 mod 6) mod 6.

15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.

53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 53) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 320¹=320

2: 320²=320¹⁺¹=320¹⋅320¹ ≡ 320⋅320=102400 ≡ 865 mod 967

4: 320⁴=320²⁺²=320²⋅320² ≡ 865⋅865=748225 ≡ 734 mod 967

8: 320⁸=320⁴⁺⁴=320⁴⋅320⁴ ≡ 734⋅734=538756 ≡ 137 mod 967

16: 320¹⁶=320⁸⁺⁸=320⁸⋅320⁸ ≡ 137⋅137=18769 ≡ 396 mod 967

32: 320³²=320¹⁶⁺¹⁶=320¹⁶⋅320¹⁶ ≡ 396⋅396=156816 ≡ 162 mod 967

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

644²³⁸

= 644^{128+64+32+8+4+2}

= 644¹²⁸⋅644⁶⁴⋅644³²⋅644⁸⋅644⁴⋅644²

≡ 760 ⋅ 395 ⋅ 209 ⋅ 79 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941
≡ 300200 ⋅ 209 ⋅ 79 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941 ≡ 21 ⋅ 209 ⋅ 79 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941
≡ 4389 ⋅ 79 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941 ≡ 625 ⋅ 79 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941
≡ 49375 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941 ≡ 443 ⋅ 742 ⋅ 696 mod 941
≡ 328706 ⋅ 696 mod 941 ≡ 297 ⋅ 696 mod 941
≡ 206712 mod 941 ≡ 633 mod 941

Es gilt also: 644²³⁸ ≡ 633 mod 941

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 31

=>101	= 3⋅31 + 8
=>31	= 3⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 101-3⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +4⋅(101 -3⋅ 31) = -1⋅31 +4⋅101 -12⋅ 31) = 4⋅101 -13⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(101,31)=1 = 4⋅101 -13⋅31

oder wenn man 4⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅101 = -13⋅31

-13⋅31 = -4⋅101 + 1 |+101⋅31

-13⋅31 + 101⋅31 = -4⋅101 + 101⋅31 + 1

(-13 + 101) ⋅ 31 = (-4 + 31) ⋅ 101 + 1

88⋅31 = 27⋅101 + 1

Es gilt also: 88⋅31 = 27⋅101 +1

Somit 88⋅31 = 1 mod 101

88 ist also das Inverse von 31 mod 101