Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (346 + 3507) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(346 + 3507) mod 7 ≡ (346 mod 7 + 3507 mod 7) mod 7.

346 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 346 = 350-4 = 7 ⋅ 50 -4 = 7 ⋅ 50 - 7 + 3.

3507 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3507 = 3500+7 = 7 ⋅ 500 +7.

Somit gilt:

(346 + 3507) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 27) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 27) mod 4 ≡ (29 mod 4 ⋅ 27 mod 4) mod 4.

29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 27) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 460128 mod 823.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 460 -> x
2. mod(x²,823) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4601=460

2: 4602=4601+1=4601⋅4601 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 89 mod 823

4: 4604=4602+2=4602⋅4602 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 514 mod 823

8: 4608=4604+4=4604⋅4604 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 13 mod 823

16: 46016=4608+8=4608⋅4608 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 823

32: 46032=46016+16=46016⋅46016 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 579 mod 823

64: 46064=46032+32=46032⋅46032 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 280 mod 823

128: 460128=46064+64=46064⋅46064 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 215 mod 823

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 839234 mod 947.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

1: 8391=839

2: 8392=8391+1=8391⋅8391 ≡ 839⋅839=703921 ≡ 300 mod 947

4: 8394=8392+2=8392⋅8392 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 35 mod 947

8: 8398=8394+4=8394⋅8394 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 278 mod 947

16: 83916=8398+8=8398⋅8398 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 577 mod 947

32: 83932=83916+16=83916⋅83916 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 532 mod 947

64: 83964=83932+32=83932⋅83932 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 818 mod 947

128: 839128=83964+64=83964⋅83964 ≡ 818⋅818=669124 ≡ 542 mod 947

839234

= 839128+64+32+8+2

= 839128⋅83964⋅83932⋅8398⋅8392

542 ⋅ 818 ⋅ 532 ⋅ 278 ⋅ 300 mod 947
443356 ⋅ 532 ⋅ 278 ⋅ 300 mod 947 ≡ 160 ⋅ 532 ⋅ 278 ⋅ 300 mod 947
85120 ⋅ 278 ⋅ 300 mod 947 ≡ 837 ⋅ 278 ⋅ 300 mod 947
232686 ⋅ 300 mod 947 ≡ 671 ⋅ 300 mod 947
201300 mod 947 ≡ 536 mod 947

Es gilt also: 839234 ≡ 536 mod 947

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54

=>59 = 1⋅54 + 5
=>54 = 10⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 54-10⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5)
= -1⋅54 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54)
= 11⋅59 -12⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -12⋅54

-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54

-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1

(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1

47⋅54 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1

Somit 47⋅54 = 1 mod 59

47 ist also das Inverse von 54 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.