Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (326 + 3997) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(326 + 3997) mod 8 ≡ (326 mod 8 + 3997 mod 8) mod 8.
326 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 326
= 320
3997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997
= 4000
Somit gilt:
(326 + 3997) mod 8 ≡ (6 + 5) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 87) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 87) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 87 mod 4) mod 4.
71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.
87 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 21 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 87) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 527128 mod 941.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 527 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5271=527
2: 5272=5271+1=5271⋅5271 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 134 mod 941
4: 5274=5272+2=5272⋅5272 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 77 mod 941
8: 5278=5274+4=5274⋅5274 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 283 mod 941
16: 52716=5278+8=5278⋅5278 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 104 mod 941
32: 52732=52716+16=52716⋅52716 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 465 mod 941
64: 52764=52732+32=52732⋅52732 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 736 mod 941
128: 527128=52764+64=52764⋅52764 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 621 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 256136 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 2561=256
2: 2562=2561+1=2561⋅2561 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409
4: 2564=2562+2=2562⋅2562 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 218 mod 409
8: 2568=2564+4=2564⋅2564 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 80 mod 409
16: 25616=2568+8=2568⋅2568 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 265 mod 409
32: 25632=25616+16=25616⋅25616 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 286 mod 409
64: 25664=25632+32=25632⋅25632 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 405 mod 409
128: 256128=25664+64=25664⋅25664 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409
256136
= 256128+8
= 256128⋅2568
≡ 16 ⋅ 80 mod 409
≡ 1280 mod 409 ≡ 53 mod 409
Es gilt also: 256136 ≡ 53 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -6⋅44
-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44
-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1
(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1
47⋅44 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1
Somit 47⋅44 = 1 mod 53
47 ist also das Inverse von 44 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
