Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 + 1805) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 + 1805) mod 9 ≡ (82 mod 9 + 1805 mod 9) mod 9.

82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 90-8 = 9 ⋅ 10 -8 = 9 ⋅ 10 - 9 + 1.

1805 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1805 = 1800+5 = 9 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(82 + 1805) mod 9 ≡ (1 + 5) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 61) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 61) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 61 mod 9) mod 9.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

61 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 54 + 7 = 6 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 61) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 9868 mod 991.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 986 -> x
2. mod(x²,991) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 9861=986

2: 9862=9861+1=9861⋅9861 ≡ 986⋅986=972196 ≡ 25 mod 991

4: 9864=9862+2=9862⋅9862 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 991

8: 9868=9864+4=9864⋅9864 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 171 mod 991

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 395181 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

1: 3951=395

2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 196 mod 409

4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 379 mod 409

8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 82 mod 409

16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 180 mod 409

32: 39532=39516+16=39516⋅39516 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 89 mod 409

64: 39564=39532+32=39532⋅39532 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 150 mod 409

128: 395128=39564+64=39564⋅39564 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 5 mod 409

395181

= 395128+32+16+4+1

= 395128⋅39532⋅39516⋅3954⋅3951

5 ⋅ 89 ⋅ 180 ⋅ 379 ⋅ 395 mod 409
445 ⋅ 180 ⋅ 379 ⋅ 395 mod 409 ≡ 36 ⋅ 180 ⋅ 379 ⋅ 395 mod 409
6480 ⋅ 379 ⋅ 395 mod 409 ≡ 345 ⋅ 379 ⋅ 395 mod 409
130755 ⋅ 395 mod 409 ≡ 284 ⋅ 395 mod 409
112180 mod 409 ≡ 114 mod 409

Es gilt also: 395181 ≡ 114 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43

=>53 = 1⋅43 + 10
=>43 = 4⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 43-4⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10)
= -3⋅43 +13⋅ 10 (=1)
10= 53-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43)
= 13⋅53 -16⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43

oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅53 = -16⋅43

-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43

-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1

(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1

37⋅43 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1

Somit 37⋅43 = 1 mod 53

37 ist also das Inverse von 43 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.