Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17998 + 2703) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17998 + 2703) mod 9 ≡ (17998 mod 9 + 2703 mod 9) mod 9.

17998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998 = 18000-2 = 9 ⋅ 2000 -2 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 7.

2703 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2703 = 2700+3 = 9 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(17998 + 2703) mod 9 ≡ (7 + 3) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 82) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 82) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 82 mod 5) mod 5.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 82) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 73732 mod 773.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 737 -> x
2. mod(x²,773) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7371=737

2: 7372=7371+1=7371⋅7371 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 523 mod 773

4: 7374=7372+2=7372⋅7372 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 660 mod 773

8: 7378=7374+4=7374⋅7374 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 401 mod 773

16: 73716=7378+8=7378⋅7378 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 17 mod 773

32: 73732=73716+16=73716⋅73716 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 773

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 409121 mod 647.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:

121 = 64+32+16+8+1

1: 4091=409

2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 355 mod 647

4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 507 mod 647

8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 190 mod 647

16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 515 mod 647

32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 602 mod 647

64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 84 mod 647

409121

= 40964+32+16+8+1

= 40964⋅40932⋅40916⋅4098⋅4091

84 ⋅ 602 ⋅ 515 ⋅ 190 ⋅ 409 mod 647
50568 ⋅ 515 ⋅ 190 ⋅ 409 mod 647 ≡ 102 ⋅ 515 ⋅ 190 ⋅ 409 mod 647
52530 ⋅ 190 ⋅ 409 mod 647 ≡ 123 ⋅ 190 ⋅ 409 mod 647
23370 ⋅ 409 mod 647 ≡ 78 ⋅ 409 mod 647
31902 mod 647 ≡ 199 mod 647

Es gilt also: 409121 ≡ 199 mod 647

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43

=>97 = 2⋅43 + 11
=>43 = 3⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11)
= -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 97-2⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43)
= 4⋅97 -9⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43

oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅97 = -9⋅43

-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43

-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1

(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1

88⋅43 = 39⋅97 + 1

Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1

Somit 88⋅43 = 1 mod 97

88 ist also das Inverse von 43 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.