Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (176 + 123) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(176 + 123) mod 6 ≡ (176 mod 6 + 123 mod 6) mod 6.

176 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176 = 180-4 = 6 ⋅ 30 -4 = 6 ⋅ 30 - 6 + 2.

123 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 6 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(176 + 123) mod 6 ≡ (2 + 3) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 29) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 29) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 29 mod 6) mod 6.

54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.

29 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 4 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 29) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3558 mod 659.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 355 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3551=355

2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 156 mod 659

4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 612 mod 659

8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 232 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 225224 mod 547.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:

224 = 128+64+32

1: 2251=225

2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 301 mod 547

4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 346 mod 547

8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 470 mod 547

16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 459 mod 547

32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 86 mod 547

64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 285 mod 547

128: 225128=22564+64=22564⋅22564 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 269 mod 547

225224

= 225128+64+32

= 225128⋅22564⋅22532

269 ⋅ 285 ⋅ 86 mod 547
76665 ⋅ 86 mod 547 ≡ 85 ⋅ 86 mod 547
7310 mod 547 ≡ 199 mod 547

Es gilt also: 225224 ≡ 199 mod 547

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 48

=>67 = 1⋅48 + 19
=>48 = 2⋅19 + 10
=>19 = 1⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 19-1⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(19 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅19 +1⋅ 10)
= -1⋅19 +2⋅ 10 (=1)
10= 48-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +2⋅(48 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +2⋅48 -4⋅ 19)
= 2⋅48 -5⋅ 19 (=1)
19= 67-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅48 -5⋅(67 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -5⋅67 +5⋅ 48)
= -5⋅67 +7⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(67,48)=1 = -5⋅67 +7⋅48

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +7⋅48

Es gilt also: 7⋅48 = 5⋅67 +1

Somit 7⋅48 = 1 mod 67

7 ist also das Inverse von 48 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.