Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2096 - 77) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2096 - 77) mod 7 ≡ (2096 mod 7 - 77 mod 7) mod 7.

2096 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2096 = 2100-4 = 7 ⋅ 300 -4 = 7 ⋅ 300 - 7 + 3.

77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70+7 = 7 ⋅ 10 +7.

Somit gilt:

(2096 - 77) mod 7 ≡ (3 - 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 81) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 81) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 81 mod 10) mod 10.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 81) mod 10 ≡ (5 ⋅ 1) mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65264 mod 971.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 652 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6521=652

2: 6522=6521+1=6521⋅6521 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 777 mod 971

4: 6524=6522+2=6522⋅6522 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 738 mod 971

8: 6528=6524+4=6524⋅6524 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 884 mod 971

16: 65216=6528+8=6528⋅6528 ≡ 884⋅884=781456 ≡ 772 mod 971

32: 65232=65216+16=65216⋅65216 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 761 mod 971

64: 65264=65232+32=65232⋅65232 ≡ 761⋅761=579121 ≡ 405 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 429127 mod 643.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

1: 4291=429

2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 143 mod 643

4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 516 mod 643

8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 54 mod 643

16: 42916=4298+8=4298⋅4298 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 344 mod 643

32: 42932=42916+16=42916⋅42916 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 24 mod 643

64: 42964=42932+32=42932⋅42932 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 643

429127

= 42964+32+16+8+4+2+1

= 42964⋅42932⋅42916⋅4298⋅4294⋅4292⋅4291

576 ⋅ 24 ⋅ 344 ⋅ 54 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643
13824 ⋅ 344 ⋅ 54 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643 ≡ 321 ⋅ 344 ⋅ 54 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643
110424 ⋅ 54 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643 ≡ 471 ⋅ 54 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643
25434 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643 ≡ 357 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643
184212 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643 ≡ 314 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643
44902 ⋅ 429 mod 643 ≡ 535 ⋅ 429 mod 643
229515 mod 643 ≡ 607 mod 643

Es gilt also: 429127 ≡ 607 mod 643

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 67.

Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67

=>97 = 1⋅67 + 30
=>67 = 2⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30)
= 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)
30= 97-1⋅67 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67)
= 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67)
= -29⋅97 +42⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67

oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +29⋅97 = +42⋅67

Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1

Somit 42⋅67 = 1 mod 97

42 ist also das Inverse von 67 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.