Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (152 + 1500) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(152 + 1500) mod 3 ≡ (152 mod 3 + 1500 mod 3) mod 3.

152 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152 = 150+2 = 3 ⋅ 50 +2.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(152 + 1500) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 69) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 69) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 69 mod 3) mod 3.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 69) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 787128 mod 953.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 787 -> x
2. mod(x²,953) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7871=787

2: 7872=7871+1=7871⋅7871 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 872 mod 953

4: 7874=7872+2=7872⋅7872 ≡ 872⋅872=760384 ≡ 843 mod 953

8: 7878=7874+4=7874⋅7874 ≡ 843⋅843=710649 ≡ 664 mod 953

16: 78716=7878+8=7878⋅7878 ≡ 664⋅664=440896 ≡ 610 mod 953

32: 78732=78716+16=78716⋅78716 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 430 mod 953

64: 78764=78732+32=78732⋅78732 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 18 mod 953

128: 787128=78764+64=78764⋅78764 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 953

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 222251 mod 227.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 2221=222

2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 25 mod 227

4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 25⋅25=625 ≡ 171 mod 227

8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 185 mod 227

16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 175 mod 227

32: 22232=22216+16=22216⋅22216 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 207 mod 227

64: 22264=22232+32=22232⋅22232 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 173 mod 227

128: 222128=22264+64=22264⋅22264 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 192 mod 227

222251

= 222128+64+32+16+8+2+1

= 222128⋅22264⋅22232⋅22216⋅2228⋅2222⋅2221

192 ⋅ 173 ⋅ 207 ⋅ 175 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227
33216 ⋅ 207 ⋅ 175 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227 ≡ 74 ⋅ 207 ⋅ 175 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227
15318 ⋅ 175 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227 ≡ 109 ⋅ 175 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227
19075 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227 ≡ 7 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227
1295 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227 ≡ 160 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227
4000 ⋅ 222 mod 227 ≡ 141 ⋅ 222 mod 227
31302 mod 227 ≡ 203 mod 227

Es gilt also: 222251 ≡ 203 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61 = 2⋅22 + 17
=>22 = 1⋅17 + 5
=>17 = 3⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5)
= -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17)
= 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22)
= -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.