Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27994 + 74) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27994 + 74) mod 7 ≡ (27994 mod 7 + 74 mod 7) mod 7.
27994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27994
= 28000
74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74
= 70
Somit gilt:
(27994 + 74) mod 7 ≡ (1 + 4) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 46) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 46) mod 4 ≡ (48 mod 4 ⋅ 46 mod 4) mod 4.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 46) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51064 mod 521.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 510 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5101=510
2: 5102=5101+1=5101⋅5101 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 121 mod 521
4: 5104=5102+2=5102⋅5102 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 53 mod 521
8: 5108=5104+4=5104⋅5104 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 204 mod 521
16: 51016=5108+8=5108⋅5108 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 457 mod 521
32: 51032=51016+16=51016⋅51016 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 449 mod 521
64: 51064=51032+32=51032⋅51032 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 495 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 157115 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:
115 = 64+32+16+2+1
1: 1571=157
2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 155 mod 331
4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 193 mod 331
8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 177 mod 331
16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 215 mod 331
32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 216 mod 331
64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 316 mod 331
157115
= 15764+32+16+2+1
= 15764⋅15732⋅15716⋅1572⋅1571
≡ 316 ⋅ 216 ⋅ 215 ⋅ 155 ⋅ 157 mod 331
≡ 68256 ⋅ 215 ⋅ 155 ⋅ 157 mod 331 ≡ 70 ⋅ 215 ⋅ 155 ⋅ 157 mod 331
≡ 15050 ⋅ 155 ⋅ 157 mod 331 ≡ 155 ⋅ 155 ⋅ 157 mod 331
≡ 24025 ⋅ 157 mod 331 ≡ 193 ⋅ 157 mod 331
≡ 30301 mod 331 ≡ 180 mod 331
Es gilt also: 157115 ≡ 180 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25
| =>59 | = 2⋅25 + 9 |
| =>25 | = 2⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 25-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9) = 4⋅25 -11⋅ 9 (=1) |
| 9= 59-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25) = -11⋅59 +26⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +26⋅25
Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1
Somit 26⋅25 = 1 mod 59
26 ist also das Inverse von 25 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
