Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2394 - 1796) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2394 - 1796) mod 6 ≡ (2394 mod 6 - 1796 mod 6) mod 6.

2394 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394 = 2400-6 = 6 ⋅ 400 -6 = 6 ⋅ 400 - 6 + 0.

1796 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796 = 1800-4 = 6 ⋅ 300 -4 = 6 ⋅ 300 - 6 + 2.

Somit gilt:

(2394 - 1796) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 86) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 86) mod 6 ≡ (90 mod 6 ⋅ 86 mod 6) mod 6.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 86) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2248 mod 521.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,521) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2241=224

2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 160 mod 521

4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 71 mod 521

8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 352 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 518244 mod 641.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

1: 5181=518

2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 386 mod 641

4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 284 mod 641

8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 531 mod 641

16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641

32: 51832=51816+16=51816⋅51816 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 472 mod 641

64: 51864=51832+32=51832⋅51832 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641

128: 518128=51864+64=51864⋅51864 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

518244

= 518128+64+32+16+4

= 518128⋅51864⋅51832⋅51816⋅5184

531 ⋅ 357 ⋅ 472 ⋅ 562 ⋅ 284 mod 641
189567 ⋅ 472 ⋅ 562 ⋅ 284 mod 641 ≡ 472 ⋅ 472 ⋅ 562 ⋅ 284 mod 641
222784 ⋅ 562 ⋅ 284 mod 641 ≡ 357 ⋅ 562 ⋅ 284 mod 641
200634 ⋅ 284 mod 641 ≡ 1 ⋅ 284 mod 641
284 mod 641

Es gilt also: 518244 ≡ 284 mod 641

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45

=>97 = 2⋅45 + 7
=>45 = 6⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7)
= -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-2⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45)
= 13⋅97 -28⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -28⋅45

-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45

-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1

(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1

69⋅45 = 32⋅97 + 1

Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1

Somit 69⋅45 = 1 mod 97

69 ist also das Inverse von 45 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.