Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (351 + 13994) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(351 + 13994) mod 7 ≡ (351 mod 7 + 13994 mod 7) mod 7.
351 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351
= 350
13994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13994
= 14000
Somit gilt:
(351 + 13994) mod 7 ≡ (1 + 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 19) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 19) mod 11 ≡ (86 mod 11 ⋅ 19 mod 11) mod 11.
86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.
19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 19) mod 11 ≡ (9 ⋅ 8) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25016 mod 347.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2501=250
2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 40 mod 347
4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 212 mod 347
8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 181 mod 347
16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 143 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 242116 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 177 mod 439
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 160 mod 439
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 138 mod 439
16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 167 mod 439
32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 232 mod 439
64: 24264=24232+32=24232⋅24232 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 266 mod 439
242116
= 24264+32+16+4
= 24264⋅24232⋅24216⋅2424
≡ 266 ⋅ 232 ⋅ 167 ⋅ 160 mod 439
≡ 61712 ⋅ 167 ⋅ 160 mod 439 ≡ 252 ⋅ 167 ⋅ 160 mod 439
≡ 42084 ⋅ 160 mod 439 ≡ 379 ⋅ 160 mod 439
≡ 60640 mod 439 ≡ 58 mod 439
Es gilt also: 242116 ≡ 58 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 47
| =>71 | = 1⋅47 + 24 |
| =>47 | = 1⋅24 + 23 |
| =>24 | = 1⋅23 + 1 |
| =>23 | = 23⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 24-1⋅23 | |||
| 23= 47-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅24 -1⋅(47 -1⋅ 24)
= 1⋅24 -1⋅47 +1⋅ 24) = -1⋅47 +2⋅ 24 (=1) |
| 24= 71-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +2⋅(71 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +2⋅71 -2⋅ 47) = 2⋅71 -3⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,47)=1 = 2⋅71 -3⋅47
oder wenn man 2⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅71 = -3⋅47
-3⋅47 = -2⋅71 + 1 |+71⋅47
-3⋅47 + 71⋅47 = -2⋅71 + 71⋅47 + 1
(-3 + 71) ⋅ 47 = (-2 + 47) ⋅ 71 + 1
68⋅47 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 68⋅47 = 45⋅71 +1
Somit 68⋅47 = 1 mod 71
68 ist also das Inverse von 47 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
