Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18000 - 2998) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18000 - 2998) mod 6 ≡ (18000 mod 6 - 2998 mod 6) mod 6.
18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
2998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998
= 3000
Somit gilt:
(18000 - 2998) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 93) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 93) mod 6 ≡ (49 mod 6 ⋅ 93 mod 6) mod 6.
49 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 8 ⋅ 6 + 1 ist.
93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 93) mod 6 ≡ (1 ⋅ 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38216 mod 499.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 382 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3821=382
2: 3822=3821+1=3821⋅3821 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 216 mod 499
4: 3824=3822+2=3822⋅3822 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 249 mod 499
8: 3828=3824+4=3824⋅3824 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 125 mod 499
16: 38216=3828+8=3828⋅3828 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 156 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 284114 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 240 mod 359
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 160 mod 359
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 111 mod 359
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 115 mod 359
32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 301 mod 359
64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 133 mod 359
284114
= 28464+32+16+2
= 28464⋅28432⋅28416⋅2842
≡ 133 ⋅ 301 ⋅ 115 ⋅ 240 mod 359
≡ 40033 ⋅ 115 ⋅ 240 mod 359 ≡ 184 ⋅ 115 ⋅ 240 mod 359
≡ 21160 ⋅ 240 mod 359 ≡ 338 ⋅ 240 mod 359
≡ 81120 mod 359 ≡ 345 mod 359
Es gilt also: 284114 ≡ 345 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63
| =>83 | = 1⋅63 + 20 |
| =>63 | = 3⋅20 + 3 |
| =>20 | = 6⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 20-6⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1) |
| 3= 63-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1) |
| 20= 83-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63)
= 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63
oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅83 = +29⋅63
Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1
Somit 29⋅63 = 1 mod 83
29 ist also das Inverse von 63 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
