Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2404 + 31994) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2404 + 31994) mod 8 ≡ (2404 mod 8 + 31994 mod 8) mod 8.
2404 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2404
= 2400
31994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31994
= 31000
Somit gilt:
(2404 + 31994) mod 8 ≡ (4 + 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 16) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 16) mod 11 ≡ (91 mod 11 ⋅ 16 mod 11) mod 11.
91 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 8 ⋅ 11 + 3 ist.
16 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 11 + 5 = 1 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 16) mod 11 ≡ (3 ⋅ 5) mod 11 ≡ 15 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54916 mod 727.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 549 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5491=549
2: 5492=5491+1=5491⋅5491 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 423 mod 727
4: 5494=5492+2=5492⋅5492 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 87 mod 727
8: 5498=5494+4=5494⋅5494 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 299 mod 727
16: 54916=5498+8=5498⋅5498 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 707 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33493 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 3341=334
2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 243 mod 709
4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 202 mod 709
8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 391 mod 709
16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 446 mod 709
32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 396 mod 709
64: 33464=33432+32=33432⋅33432 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 127 mod 709
33493
= 33464+16+8+4+1
= 33464⋅33416⋅3348⋅3344⋅3341
≡ 127 ⋅ 446 ⋅ 391 ⋅ 202 ⋅ 334 mod 709
≡ 56642 ⋅ 391 ⋅ 202 ⋅ 334 mod 709 ≡ 631 ⋅ 391 ⋅ 202 ⋅ 334 mod 709
≡ 246721 ⋅ 202 ⋅ 334 mod 709 ≡ 698 ⋅ 202 ⋅ 334 mod 709
≡ 140996 ⋅ 334 mod 709 ≡ 614 ⋅ 334 mod 709
≡ 205076 mod 709 ≡ 175 mod 709
Es gilt also: 33493 ≡ 175 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54
| =>59 | = 1⋅54 + 5 |
| =>54 | = 10⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 54-10⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -12⋅54
-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54
-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1
(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1
47⋅54 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1
Somit 47⋅54 = 1 mod 59
47 ist also das Inverse von 54 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
