Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6001 + 119) mod 3 ≡ (6001 mod 3 + 119 mod 3) mod 3.

6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001 = 6000+1 = 3 ⋅ 2000 +1.

119 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 3 ⋅ 40 -1 = 3 ⋅ 40 - 3 + 2.

Somit gilt:

(6001 + 119) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 57) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 57 mod 5) mod 5.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 57) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 555¹=555

2: 555²=555¹⁺¹=555¹⋅555¹ ≡ 555⋅555=308025 ≡ 675 mod 683

4: 555⁴=555²⁺²=555²⋅555² ≡ 675⋅675=455625 ≡ 64 mod 683

8: 555⁸=555⁴⁺⁴=555⁴⋅555⁴ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 681 mod 683

16: 555¹⁶=555⁸⁺⁸=555⁸⋅555⁸ ≡ 681⋅681=463761 ≡ 4 mod 683

32: 555³²=555¹⁶⁺¹⁶=555¹⁶⋅555¹⁶ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 683

64: 555⁶⁴=555³²⁺³²=555³²⋅555³² ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 683

128: 555¹²⁸=555⁶⁴⁺⁶⁴=555⁶⁴⋅555⁶⁴ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 651 mod 683

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:

156 = 128+16+8+4

188¹⁵⁶

= 188^128+16+8+4

= 188¹²⁸⋅188¹⁶⋅188⁸⋅188⁴

≡ 75 ⋅ 154 ⋅ 30 ⋅ 75 mod 373
≡ 11550 ⋅ 30 ⋅ 75 mod 373 ≡ 360 ⋅ 30 ⋅ 75 mod 373
≡ 10800 ⋅ 75 mod 373 ≡ 356 ⋅ 75 mod 373
≡ 26700 mod 373 ≡ 217 mod 373

Es gilt also: 188¹⁵⁶ ≡ 217 mod 373

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59