Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 + 286) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 + 286) mod 7 ≡ (75 mod 7 + 286 mod 7) mod 7.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70+5 = 7 ⋅ 10 +5.

286 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 286 = 280+6 = 7 ⋅ 40 +6.

Somit gilt:

(75 + 286) mod 7 ≡ (5 + 6) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 82) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 82) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 82 mod 11) mod 11.

24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.

82 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 7 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 82) mod 11 ≡ (2 ⋅ 5) mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 287128 mod 683.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 287 -> x
2. mod(x²,683) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2871=287

2: 2872=2871+1=2871⋅2871 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 409 mod 683

4: 2874=2872+2=2872⋅2872 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 629 mod 683

8: 2878=2874+4=2874⋅2874 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 184 mod 683

16: 28716=2878+8=2878⋅2878 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 389 mod 683

32: 28732=28716+16=28716⋅28716 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 378 mod 683

64: 28764=28732+32=28732⋅28732 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 137 mod 683

128: 287128=28764+64=28764⋅28764 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 328 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 534187 mod 577.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 5341=534

2: 5342=5341+1=5341⋅5341 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 118 mod 577

4: 5344=5342+2=5342⋅5342 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 76 mod 577

8: 5348=5344+4=5344⋅5344 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 6 mod 577

16: 53416=5348+8=5348⋅5348 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 577

32: 53432=53416+16=53416⋅53416 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 142 mod 577

64: 53464=53432+32=53432⋅53432 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 546 mod 577

128: 534128=53464+64=53464⋅53464 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 384 mod 577

534187

= 534128+32+16+8+2+1

= 534128⋅53432⋅53416⋅5348⋅5342⋅5341

384 ⋅ 142 ⋅ 36 ⋅ 6 ⋅ 118 ⋅ 534 mod 577
54528 ⋅ 36 ⋅ 6 ⋅ 118 ⋅ 534 mod 577 ≡ 290 ⋅ 36 ⋅ 6 ⋅ 118 ⋅ 534 mod 577
10440 ⋅ 6 ⋅ 118 ⋅ 534 mod 577 ≡ 54 ⋅ 6 ⋅ 118 ⋅ 534 mod 577
324 ⋅ 118 ⋅ 534 mod 577
38232 ⋅ 534 mod 577 ≡ 150 ⋅ 534 mod 577
80100 mod 577 ≡ 474 mod 577

Es gilt also: 534187 ≡ 474 mod 577

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 71.

Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 71

=>89 = 1⋅71 + 18
=>71 = 3⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 71-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(71 -3⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅71 +3⋅ 18)
= -1⋅71 +4⋅ 18 (=1)
18= 89-1⋅71 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅71 +4⋅(89 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +4⋅89 -4⋅ 71)
= 4⋅89 -5⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(89,71)=1 = 4⋅89 -5⋅71

oder wenn man 4⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅89 = -5⋅71

-5⋅71 = -4⋅89 + 1 |+89⋅71

-5⋅71 + 89⋅71 = -4⋅89 + 89⋅71 + 1

(-5 + 89) ⋅ 71 = (-4 + 71) ⋅ 89 + 1

84⋅71 = 67⋅89 + 1

Es gilt also: 84⋅71 = 67⋅89 +1

Somit 84⋅71 = 1 mod 89

84 ist also das Inverse von 71 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.