Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2705 + 3594) mod 9 ≡ (2705 mod 9 + 3594 mod 9) mod 9.

2705 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2705 = 2700+5 = 9 ⋅ 300 +5.

3594 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3594 = 3600-6 = 9 ⋅ 400 -6 = 9 ⋅ 400 - 9 + 3.

Somit gilt:

(2705 + 3594) mod 9 ≡ (5 + 3) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 27) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.

30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.

27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 27) mod 9 ≡ (3 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 211¹=211

2: 211²=211¹⁺¹=211¹⋅211¹ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 18 mod 233

4: 211⁴=211²⁺²=211²⋅211² ≡ 18⋅18=324 ≡ 91 mod 233

8: 211⁸=211⁴⁺⁴=211⁴⋅211⁴ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 126 mod 233

16: 211¹⁶=211⁸⁺⁸=211⁸⋅211⁸ ≡ 126⋅126=15876 ≡ 32 mod 233

32: 211³²=211¹⁶⁺¹⁶=211¹⁶⋅211¹⁶ ≡ 32⋅32=1024 ≡ 92 mod 233

64: 211⁶⁴=211³²⁺³²=211³²⋅211³² ≡ 92⋅92=8464 ≡ 76 mod 233

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

200²⁴⁷

= 200^{128+64+32+16+4+2+1}

= 200¹²⁸⋅200⁶⁴⋅200³²⋅200¹⁶⋅200⁴⋅200²⋅200¹

≡ 340 ⋅ 134 ⋅ 190 ⋅ 322 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 45560 ⋅ 190 ⋅ 322 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367 ≡ 52 ⋅ 190 ⋅ 322 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 9880 ⋅ 322 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367 ≡ 338 ⋅ 322 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 108836 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367 ≡ 204 ⋅ 9 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 1836 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367 ≡ 1 ⋅ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 364 ⋅ 200 mod 367
≡ 72800 mod 367 ≡ 134 mod 367

Es gilt also: 200²⁴⁷ ≡ 134 mod 367

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

=>53	= 1⋅50 + 3
=>50	= 16⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 50-16⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1)
3= 53-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50) = -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -18⋅50

-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50

-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1

(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1

35⋅50 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1

Somit 35⋅50 = 1 mod 53

35 ist also das Inverse von 50 mod 53