Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(152 + 1500) mod 3 ≡ (152 mod 3 + 1500 mod 3) mod 3.

152 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152 = 150+2 = 3 ⋅ 50 +2.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(152 + 1500) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 69) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 69 mod 3) mod 3.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 69) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 787¹=787

2: 787²=787¹⁺¹=787¹⋅787¹ ≡ 787⋅787=619369 ≡ 872 mod 953

4: 787⁴=787²⁺²=787²⋅787² ≡ 872⋅872=760384 ≡ 843 mod 953

8: 787⁸=787⁴⁺⁴=787⁴⋅787⁴ ≡ 843⋅843=710649 ≡ 664 mod 953

16: 787¹⁶=787⁸⁺⁸=787⁸⋅787⁸ ≡ 664⋅664=440896 ≡ 610 mod 953

32: 787³²=787¹⁶⁺¹⁶=787¹⁶⋅787¹⁶ ≡ 610⋅610=372100 ≡ 430 mod 953

64: 787⁶⁴=787³²⁺³²=787³²⋅787³² ≡ 430⋅430=184900 ≡ 18 mod 953

128: 787¹²⁸=787⁶⁴⁺⁶⁴=787⁶⁴⋅787⁶⁴ ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 953

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

222²⁵¹

= 222^{128+64+32+16+8+2+1}

= 222¹²⁸⋅222⁶⁴⋅222³²⋅222¹⁶⋅222⁸⋅222²⋅222¹

≡ 192 ⋅ 173 ⋅ 207 ⋅ 175 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227
≡ 33216 ⋅ 207 ⋅ 175 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227 ≡ 74 ⋅ 207 ⋅ 175 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227
≡ 15318 ⋅ 175 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227 ≡ 109 ⋅ 175 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227
≡ 19075 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227 ≡ 7 ⋅ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227
≡ 1295 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227 ≡ 160 ⋅ 25 ⋅ 222 mod 227
≡ 4000 ⋅ 222 mod 227 ≡ 141 ⋅ 222 mod 227
≡ 31302 mod 227 ≡ 203 mod 227

Es gilt also: 222²⁵¹ ≡ 203 mod 227

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61	= 2⋅22 + 17
=>22	= 1⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22) = 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61