Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (243 - 83) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(243 - 83) mod 8 ≡ (243 mod 8 - 83 mod 8) mod 8.

243 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 243 = 240+3 = 8 ⋅ 30 +3.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80+3 = 8 ⋅ 10 +3.

Somit gilt:

(243 - 83) mod 8 ≡ (3 - 3) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 48) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 48) mod 10 ≡ (19 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.

19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 48) mod 10 ≡ (9 ⋅ 8) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47564 mod 491.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 475 -> x
2. mod(x²,491) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4751=475

2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 256 mod 491

4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 233 mod 491

8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 279 mod 491

16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 263 mod 491

32: 47532=47516+16=47516⋅47516 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 429 mod 491

64: 47564=47532+32=47532⋅47532 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 407 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 323135 mod 521.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:

135 = 128+4+2+1

1: 3231=323

2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 129 mod 521

4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 490 mod 521

8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 440 mod 521

16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 309 mod 521

32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 138 mod 521

64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 288 mod 521

128: 323128=32364+64=32364⋅32364 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 105 mod 521

323135

= 323128+4+2+1

= 323128⋅3234⋅3232⋅3231

105 ⋅ 490 ⋅ 129 ⋅ 323 mod 521
51450 ⋅ 129 ⋅ 323 mod 521 ≡ 392 ⋅ 129 ⋅ 323 mod 521
50568 ⋅ 323 mod 521 ≡ 31 ⋅ 323 mod 521
10013 mod 521 ≡ 114 mod 521

Es gilt also: 323135 ≡ 114 mod 521

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75

=>83 = 1⋅75 + 8
=>75 = 9⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 75-9⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8)
= 3⋅75 -28⋅ 8 (=1)
8= 83-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75)
= -28⋅83 +31⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75

oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅83 = +31⋅75

Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1

Somit 31⋅75 = 1 mod 83

31 ist also das Inverse von 75 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.