Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (900 + 3000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(900 + 3000) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 3000 mod 3) mod 3.
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
Somit gilt:
(900 + 3000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 28) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 28) mod 9 ≡ (96 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.
96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.
28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 28) mod 9 ≡ (6 ⋅ 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6618 mod 857.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 661 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6611=661
2: 6612=6611+1=6611⋅6611 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 708 mod 857
4: 6614=6612+2=6612⋅6612 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 776 mod 857
8: 6618=6614+4=6614⋅6614 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 562 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 336112 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 3361=336
2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 165 mod 709
4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 283 mod 709
8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 681 mod 709
16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 75 mod 709
32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 662 mod 709
64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 82 mod 709
336112
= 33664+32+16
= 33664⋅33632⋅33616
≡ 82 ⋅ 662 ⋅ 75 mod 709
≡ 54284 ⋅ 75 mod 709 ≡ 400 ⋅ 75 mod 709
≡ 30000 mod 709 ≡ 222 mod 709
Es gilt also: 336112 ≡ 222 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 57.
Also bestimme x, so dass 57 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 57
| =>83 | = 1⋅57 + 26 |
| =>57 | = 2⋅26 + 5 |
| =>26 | = 5⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,57)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 26-5⋅5 | |||
| 5= 57-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅26 -5⋅(57 -2⋅ 26)
= 1⋅26 -5⋅57 +10⋅ 26) = -5⋅57 +11⋅ 26 (=1) |
| 26= 83-1⋅57 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅57 +11⋅(83 -1⋅ 57)
= -5⋅57 +11⋅83 -11⋅ 57) = 11⋅83 -16⋅ 57 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,57)=1 = 11⋅83 -16⋅57
oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅83 = -16⋅57
-16⋅57 = -11⋅83 + 1 |+83⋅57
-16⋅57 + 83⋅57 = -11⋅83 + 83⋅57 + 1
(-16 + 83) ⋅ 57 = (-11 + 57) ⋅ 83 + 1
67⋅57 = 46⋅83 + 1
Es gilt also: 67⋅57 = 46⋅83 +1
Somit 67⋅57 = 1 mod 83
67 ist also das Inverse von 57 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
