Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (160 - 2000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 - 2000) mod 4 ≡ (160 mod 4 - 2000 mod 4) mod 4.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(160 - 2000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 60) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 60) mod 10 ≡ (16 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.

16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 60) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 355128 mod 769.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 355 -> x
2. mod(x²,769) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3551=355

2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 678 mod 769

4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 591 mod 769

8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 155 mod 769

16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 186 mod 769

32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 760 mod 769

64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 81 mod 769

128: 355128=35564+64=35564⋅35564 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 409 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 905167 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 9051=905

2: 9052=9051+1=9051⋅9051 ≡ 905⋅905=819025 ≡ 576 mod 929

4: 9054=9052+2=9052⋅9052 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 123 mod 929

8: 9058=9054+4=9054⋅9054 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 265 mod 929

16: 90516=9058+8=9058⋅9058 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 550 mod 929

32: 90532=90516+16=90516⋅90516 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 575 mod 929

64: 90564=90532+32=90532⋅90532 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 830 mod 929

128: 905128=90564+64=90564⋅90564 ≡ 830⋅830=688900 ≡ 511 mod 929

905167

= 905128+32+4+2+1

= 905128⋅90532⋅9054⋅9052⋅9051

511 ⋅ 575 ⋅ 123 ⋅ 576 ⋅ 905 mod 929
293825 ⋅ 123 ⋅ 576 ⋅ 905 mod 929 ≡ 261 ⋅ 123 ⋅ 576 ⋅ 905 mod 929
32103 ⋅ 576 ⋅ 905 mod 929 ≡ 517 ⋅ 576 ⋅ 905 mod 929
297792 ⋅ 905 mod 929 ≡ 512 ⋅ 905 mod 929
463360 mod 929 ≡ 718 mod 929

Es gilt also: 905167 ≡ 718 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67 = 1⋅59 + 8
=>59 = 7⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8)
= 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59)
= 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59)
= -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.