Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (198 - 203) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(198 - 203) mod 4 ≡ (198 mod 4 - 203 mod 4) mod 4.
198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198
= 200
203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203
= 200
Somit gilt:
(198 - 203) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 59) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 59) mod 6 ≡ (30 mod 6 ⋅ 59 mod 6) mod 6.
30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.
59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 9 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 59) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 503128 mod 911.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 503 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5031=503
2: 5032=5031+1=5031⋅5031 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 662 mod 911
4: 5034=5032+2=5032⋅5032 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 53 mod 911
8: 5038=5034+4=5034⋅5034 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 76 mod 911
16: 50316=5038+8=5038⋅5038 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 310 mod 911
32: 50332=50316+16=50316⋅50316 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 445 mod 911
64: 50364=50332+32=50332⋅50332 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 338 mod 911
128: 503128=50364+64=50364⋅50364 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 369 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 388112 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 3881=388
2: 3882=3881+1=3881⋅3881 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 371 mod 571
4: 3884=3882+2=3882⋅3882 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 30 mod 571
8: 3888=3884+4=3884⋅3884 ≡ 30⋅30=900 ≡ 329 mod 571
16: 38816=3888+8=3888⋅3888 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 322 mod 571
32: 38832=38816+16=38816⋅38816 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 333 mod 571
64: 38864=38832+32=38832⋅38832 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 115 mod 571
388112
= 38864+32+16
= 38864⋅38832⋅38816
≡ 115 ⋅ 333 ⋅ 322 mod 571
≡ 38295 ⋅ 322 mod 571 ≡ 38 ⋅ 322 mod 571
≡ 12236 mod 571 ≡ 245 mod 571
Es gilt also: 388112 ≡ 245 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68
| =>71 | = 1⋅68 + 3 |
| =>68 | = 22⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 68-22⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3) = -1⋅68 +23⋅ 3 (=1) |
| 3= 71-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68) = 23⋅71 -24⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -24⋅68
-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68
-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1
(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1
47⋅68 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1
Somit 47⋅68 = 1 mod 71
47 ist also das Inverse von 68 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
