Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (367 + 895) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(367 + 895) mod 9 ≡ (367 mod 9 + 895 mod 9) mod 9.
367 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 367
= 360
895 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 895
= 900
Somit gilt:
(367 + 895) mod 9 ≡ (7 + 4) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 68) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 68) mod 5 ≡ (25 mod 5 ⋅ 68 mod 5) mod 5.
25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.
68 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 65 + 3 = 13 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 68) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3248 mod 461.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 324 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3241=324
2: 3242=3241+1=3241⋅3241 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 329 mod 461
4: 3244=3242+2=3242⋅3242 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 367 mod 461
8: 3248=3244+4=3244⋅3244 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 77 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 259172 mod 431.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:
172 = 128+32+8+4
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 276 mod 431
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 320 mod 431
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 253 mod 431
16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 221 mod 431
32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 138 mod 431
64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 80 mod 431
128: 259128=25964+64=25964⋅25964 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 366 mod 431
259172
= 259128+32+8+4
= 259128⋅25932⋅2598⋅2594
≡ 366 ⋅ 138 ⋅ 253 ⋅ 320 mod 431
≡ 50508 ⋅ 253 ⋅ 320 mod 431 ≡ 81 ⋅ 253 ⋅ 320 mod 431
≡ 20493 ⋅ 320 mod 431 ≡ 236 ⋅ 320 mod 431
≡ 75520 mod 431 ≡ 95 mod 431
Es gilt also: 259172 ≡ 95 mod 431
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44
| =>83 | = 1⋅44 + 39 |
| =>44 | = 1⋅39 + 5 |
| =>39 | = 7⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 39-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5) = -1⋅39 +8⋅ 5 (=1) |
| 5= 44-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39) = 8⋅44 -9⋅ 39 (=1) |
| 39= 83-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44) = -9⋅83 +17⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +17⋅44
Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1
Somit 17⋅44 = 1 mod 83
17 ist also das Inverse von 44 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
