Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (133 - 14000) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(133 - 14000) mod 7 ≡ (133 mod 7 - 14000 mod 7) mod 7.

133 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 133 = 140-7 = 7 ⋅ 20 -7 = 7 ⋅ 20 - 7 + 0.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(133 - 14000) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 99) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 99) mod 10 ≡ (93 mod 10 ⋅ 99 mod 10) mod 10.

93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.

99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 99) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7238 mod 1009.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 723 -> x
2. mod(x²,1009) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7231=723

2: 7232=7231+1=7231⋅7231 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 67 mod 1009

4: 7234=7232+2=7232⋅7232 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 453 mod 1009

8: 7238=7234+4=7234⋅7234 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 382 mod 1009

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 283190 mod 367.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

1: 2831=283

2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 83 mod 367

4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 283 mod 367

8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 83 mod 367

16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 283 mod 367

32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 83 mod 367

64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 283 mod 367

128: 283128=28364+64=28364⋅28364 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 83 mod 367

283190

= 283128+32+16+8+4+2

= 283128⋅28332⋅28316⋅2838⋅2834⋅2832

83 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367
6889 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367 ≡ 283 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367
80089 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367 ≡ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367
6889 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367 ≡ 283 ⋅ 283 ⋅ 83 mod 367
80089 ⋅ 83 mod 367 ≡ 83 ⋅ 83 mod 367
6889 mod 367 ≡ 283 mod 367

Es gilt also: 283190 ≡ 283 mod 367

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59 = 2⋅24 + 11
=>24 = 2⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11)
= -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24)
= 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.