Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 + 803) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 + 803) mod 4 ≡ (79 mod 4 + 803 mod 4) mod 4.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79
= 80
803 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803
= 800
Somit gilt:
(79 + 803) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 78) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 78) mod 3 ≡ (23 mod 3 ⋅ 78 mod 3) mod 3.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 78) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34432 mod 941.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 711 mod 941
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 204 mod 941
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 212 mod 941
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 717 mod 941
32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 303 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 214154 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:
154 = 128+16+8+2
1: 2141=214
2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 268 mod 271
4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 9 mod 271
8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 271
16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 57 mod 271
32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 268 mod 271
64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 9 mod 271
128: 214128=21464+64=21464⋅21464 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 271
214154
= 214128+16+8+2
= 214128⋅21416⋅2148⋅2142
≡ 81 ⋅ 57 ⋅ 81 ⋅ 268 mod 271
≡ 4617 ⋅ 81 ⋅ 268 mod 271 ≡ 10 ⋅ 81 ⋅ 268 mod 271
≡ 810 ⋅ 268 mod 271 ≡ 268 ⋅ 268 mod 271
≡ 71824 mod 271 ≡ 9 mod 271
Es gilt also: 214154 ≡ 9 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33
| =>97 | = 2⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -47⋅33
-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33
-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1
(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1
50⋅33 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1
Somit 50⋅33 = 1 mod 97
50 ist also das Inverse von 33 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
