Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (408 - 3193) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(408 - 3193) mod 8 ≡ (408 mod 8 - 3193 mod 8) mod 8.
408 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 408
= 400
3193 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3193
= 3200
Somit gilt:
(408 - 3193) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 30) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 30) mod 6 ≡ (61 mod 6 ⋅ 30 mod 6) mod 6.
61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.
30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 30) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13164 mod 271.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 131 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1311=131
2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 88 mod 271
4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 156 mod 271
8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 217 mod 271
16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 206 mod 271
32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 160 mod 271
64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 126 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 765151 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:
151 = 128+16+4+2+1
1: 7651=765
2: 7652=7651+1=7651⋅7651 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 340 mod 983
4: 7654=7652+2=7652⋅7652 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 589 mod 983
8: 7658=7654+4=7654⋅7654 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 905 mod 983
16: 76516=7658+8=7658⋅7658 ≡ 905⋅905=819025 ≡ 186 mod 983
32: 76532=76516+16=76516⋅76516 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 191 mod 983
64: 76564=76532+32=76532⋅76532 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 110 mod 983
128: 765128=76564+64=76564⋅76564 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 304 mod 983
765151
= 765128+16+4+2+1
= 765128⋅76516⋅7654⋅7652⋅7651
≡ 304 ⋅ 186 ⋅ 589 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983
≡ 56544 ⋅ 589 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983 ≡ 513 ⋅ 589 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983
≡ 302157 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983 ≡ 376 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983
≡ 127840 ⋅ 765 mod 983 ≡ 50 ⋅ 765 mod 983
≡ 38250 mod 983 ≡ 896 mod 983
Es gilt also: 765151 ≡ 896 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 87.
Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87
| =>101 | = 1⋅87 + 14 |
| =>87 | = 6⋅14 + 3 |
| =>14 | = 4⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,87)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 14-4⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1) |
| 3= 87-6⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14) = 5⋅87 -31⋅ 14 (=1) |
| 14= 101-1⋅87 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87)
= 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87) = -31⋅101 +36⋅ 87 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87
oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅101 = +36⋅87
Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1
Somit 36⋅87 = 1 mod 101
36 ist also das Inverse von 87 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
