Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 - 11998) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 - 11998) mod 6 ≡ (57 mod 6 - 11998 mod 6) mod 6.

57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 60-3 = 6 ⋅ 10 -3 = 6 ⋅ 10 - 6 + 3.

11998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 12000-2 = 6 ⋅ 2000 -2 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(57 - 11998) mod 6 ≡ (3 - 4) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 46) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 46) mod 11 ≡ (41 mod 11 ⋅ 46 mod 11) mod 11.

41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.

46 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 4 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 46) mod 11 ≡ (8 ⋅ 2) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 329128 mod 389.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,389) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3291=329

2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 99 mod 389

4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 76 mod 389

8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 330 mod 389

16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 369 mod 389

32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 11 mod 389

64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 389

128: 329128=32964+64=32964⋅32964 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 248 mod 389

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 204245 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

1: 2041=204

2: 2042=2041+1=2041⋅2041 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 239 mod 257

4: 2044=2042+2=2042⋅2042 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 67 mod 257

8: 2048=2044+4=2044⋅2044 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 120 mod 257

16: 20416=2048+8=2048⋅2048 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 8 mod 257

32: 20432=20416+16=20416⋅20416 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 257

64: 20464=20432+32=20432⋅20432 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 241 mod 257

128: 204128=20464+64=20464⋅20464 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

204245

= 204128+64+32+16+4+1

= 204128⋅20464⋅20432⋅20416⋅2044⋅2041

256 ⋅ 241 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 67 ⋅ 204 mod 257
61696 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 67 ⋅ 204 mod 257 ≡ 16 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 67 ⋅ 204 mod 257
1024 ⋅ 8 ⋅ 67 ⋅ 204 mod 257 ≡ 253 ⋅ 8 ⋅ 67 ⋅ 204 mod 257
2024 ⋅ 67 ⋅ 204 mod 257 ≡ 225 ⋅ 67 ⋅ 204 mod 257
15075 ⋅ 204 mod 257 ≡ 169 ⋅ 204 mod 257
34476 mod 257 ≡ 38 mod 257

Es gilt also: 204245 ≡ 38 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73 = 2⋅31 + 11
=>31 = 2⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11)
= 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31)
= -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.