Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2709 + 456) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2709 + 456) mod 9 ≡ (2709 mod 9 + 456 mod 9) mod 9.

2709 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2709 = 2700+9 = 9 ⋅ 300 +9.

456 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 456 = 450+6 = 9 ⋅ 50 +6.

Somit gilt:

(2709 + 456) mod 9 ≡ (0 + 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 81) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 81) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 81 mod 8) mod 8.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 81) mod 8 ≡ (1 ⋅ 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31364 mod 373.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 313 -> x
2. mod(x²,373) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3131=313

2: 3132=3131+1=3131⋅3131 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 243 mod 373

4: 3134=3132+2=3132⋅3132 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 115 mod 373

8: 3138=3134+4=3134⋅3134 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 170 mod 373

16: 31316=3138+8=3138⋅3138 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 179 mod 373

32: 31332=31316+16=31316⋅31316 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 336 mod 373

64: 31364=31332+32=31332⋅31332 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 250 mod 373

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 63363 mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

1: 6331=633

2: 6332=6331+1=6331⋅6331 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 690 mod 883

4: 6334=6332+2=6332⋅6332 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 163 mod 883

8: 6338=6334+4=6334⋅6334 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 79 mod 883

16: 63316=6338+8=6338⋅6338 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 60 mod 883

32: 63332=63316+16=63316⋅63316 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 68 mod 883

63363

= 63332+16+8+4+2+1

= 63332⋅63316⋅6338⋅6334⋅6332⋅6331

68 ⋅ 60 ⋅ 79 ⋅ 163 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883
4080 ⋅ 79 ⋅ 163 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883 ≡ 548 ⋅ 79 ⋅ 163 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883
43292 ⋅ 163 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883 ≡ 25 ⋅ 163 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883
4075 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883 ≡ 543 ⋅ 690 ⋅ 633 mod 883
374670 ⋅ 633 mod 883 ≡ 278 ⋅ 633 mod 883
175974 mod 883 ≡ 257 mod 883

Es gilt also: 63363 ≡ 257 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53 = 1⋅37 + 16
=>37 = 2⋅16 + 5
=>16 = 3⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16)
= -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37)
= -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37)
= 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.