Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (244 + 8008) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(244 + 8008) mod 8 ≡ (244 mod 8 + 8008 mod 8) mod 8.
244 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244
= 240
8008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8008
= 8000
Somit gilt:
(244 + 8008) mod 8 ≡ (4 + 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 60) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 60) mod 8 ≡ (34 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.
34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.
60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 60) mod 8 ≡ (2 ⋅ 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1358 mod 431.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 135 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1351=135
2: 1352=1351+1=1351⋅1351 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 123 mod 431
4: 1354=1352+2=1352⋅1352 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 44 mod 431
8: 1358=1354+4=1354⋅1354 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 212 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35377 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 3531=353
2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 461 mod 757
4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 561 mod 757
8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 566 mod 757
16: 35316=3538+8=3538⋅3538 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 145 mod 757
32: 35332=35316+16=35316⋅35316 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 586 mod 757
64: 35364=35332+32=35332⋅35332 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 475 mod 757
35377
= 35364+8+4+1
= 35364⋅3538⋅3534⋅3531
≡ 475 ⋅ 566 ⋅ 561 ⋅ 353 mod 757
≡ 268850 ⋅ 561 ⋅ 353 mod 757 ≡ 115 ⋅ 561 ⋅ 353 mod 757
≡ 64515 ⋅ 353 mod 757 ≡ 170 ⋅ 353 mod 757
≡ 60010 mod 757 ≡ 207 mod 757
Es gilt also: 35377 ≡ 207 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 80
| =>89 | = 1⋅80 + 9 |
| =>80 | = 8⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 80-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(80 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅80 +8⋅ 9) = -1⋅80 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅80 +9⋅(89 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +9⋅89 -9⋅ 80) = 9⋅89 -10⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,80)=1 = 9⋅89 -10⋅80
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -10⋅80
-10⋅80 = -9⋅89 + 1 |+89⋅80
-10⋅80 + 89⋅80 = -9⋅89 + 89⋅80 + 1
(-10 + 89) ⋅ 80 = (-9 + 80) ⋅ 89 + 1
79⋅80 = 71⋅89 + 1
Es gilt also: 79⋅80 = 71⋅89 +1
Somit 79⋅80 = 1 mod 89
79 ist also das Inverse von 80 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
