Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40004 + 4007) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40004 + 4007) mod 8 ≡ (40004 mod 8 + 4007 mod 8) mod 8.
40004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40004
= 40000
4007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4007
= 4000
Somit gilt:
(40004 + 4007) mod 8 ≡ (4 + 7) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 87) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 87) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 87 mod 9) mod 9.
30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.
87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 87) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5848 mod 971.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 584 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5841=584
2: 5842=5841+1=5841⋅5841 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 235 mod 971
4: 5844=5842+2=5842⋅5842 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 849 mod 971
8: 5848=5844+4=5844⋅5844 ≡ 849⋅849=720801 ≡ 319 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 169192 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 1691=169
2: 1692=1691+1=1691⋅1691 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 429 mod 541
4: 1694=1692+2=1692⋅1692 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 101 mod 541
8: 1698=1694+4=1694⋅1694 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 463 mod 541
16: 16916=1698+8=1698⋅1698 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 133 mod 541
32: 16932=16916+16=16916⋅16916 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 377 mod 541
64: 16964=16932+32=16932⋅16932 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 387 mod 541
128: 169128=16964+64=16964⋅16964 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 453 mod 541
169192
= 169128+64
= 169128⋅16964
≡ 453 ⋅ 387 mod 541
≡ 175311 mod 541 ≡ 27 mod 541
Es gilt also: 169192 ≡ 27 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
