Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (999 + 5000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(999 + 5000) mod 5 ≡ (999 mod 5 + 5000 mod 5) mod 5.
999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 999
= 900
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
Somit gilt:
(999 + 5000) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 77) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 77) mod 11 ≡ (52 mod 11 ⋅ 77 mod 11) mod 11.
52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.
77 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 7 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 77) mod 11 ≡ (8 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2528 mod 313.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 278 mod 313
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 286 mod 313
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 103 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 120162 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 1201=120
2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 143 mod 269
4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 5 mod 269
8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 269
16: 12016=1208+8=1208⋅1208 ≡ 25⋅25=625 ≡ 87 mod 269
32: 12032=12016+16=12016⋅12016 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 37 mod 269
64: 12064=12032+32=12032⋅12032 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 24 mod 269
128: 120128=12064+64=12064⋅12064 ≡ 24⋅24=576 ≡ 38 mod 269
120162
= 120128+32+2
= 120128⋅12032⋅1202
≡ 38 ⋅ 37 ⋅ 143 mod 269
≡ 1406 ⋅ 143 mod 269 ≡ 61 ⋅ 143 mod 269
≡ 8723 mod 269 ≡ 115 mod 269
Es gilt also: 120162 ≡ 115 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -6⋅44
-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44
-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1
(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1
47⋅44 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1
Somit 47⋅44 = 1 mod 53
47 ist also das Inverse von 44 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
