Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (347 + 1396) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(347 + 1396) mod 7 ≡ (347 mod 7 + 1396 mod 7) mod 7.
347 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 347
= 350
1396 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1396
= 1400
Somit gilt:
(347 + 1396) mod 7 ≡ (4 + 3) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 59) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 59) mod 4 ≡ (51 mod 4 ⋅ 59 mod 4) mod 4.
51 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 12 ⋅ 4 + 3 ist.
59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 59) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13816 mod 283.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 138 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1381=138
2: 1382=1381+1=1381⋅1381 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 83 mod 283
4: 1384=1382+2=1382⋅1382 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 97 mod 283
8: 1388=1384+4=1384⋅1384 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 70 mod 283
16: 13816=1388+8=1388⋅1388 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 89 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 333210 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 210 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 210 an und zerlegen 210 in eine Summer von 2er-Potenzen:
210 = 128+64+16+2
1: 3331=333
2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 293 mod 643
4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 330 mod 643
8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 233 mod 643
16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 277 mod 643
32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 212 mod 643
64: 33364=33332+32=33332⋅33332 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 577 mod 643
128: 333128=33364+64=33364⋅33364 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 498 mod 643
333210
= 333128+64+16+2
= 333128⋅33364⋅33316⋅3332
≡ 498 ⋅ 577 ⋅ 277 ⋅ 293 mod 643
≡ 287346 ⋅ 277 ⋅ 293 mod 643 ≡ 568 ⋅ 277 ⋅ 293 mod 643
≡ 157336 ⋅ 293 mod 643 ≡ 444 ⋅ 293 mod 643
≡ 130092 mod 643 ≡ 206 mod 643
Es gilt also: 333210 ≡ 206 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52
| =>101 | = 1⋅52 + 49 |
| =>52 | = 1⋅49 + 3 |
| =>49 | = 16⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 49-16⋅3 | |||
| 3= 52-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1) |
| 49= 101-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52
oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅101 = -33⋅52
-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52
-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1
(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1
68⋅52 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1
Somit 68⋅52 = 1 mod 101
68 ist also das Inverse von 52 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
