Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3494 + 34993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3494 + 34993) mod 7 ≡ (3494 mod 7 + 34993 mod 7) mod 7.
3494 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3494
= 3500
34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993
= 35000
Somit gilt:
(3494 + 34993) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 77) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 77) mod 4 ≡ (40 mod 4 ⋅ 77 mod 4) mod 4.
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.
77 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 76 + 1 = 19 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 77) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 579128 mod 787.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 579 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5791=579
2: 5792=5791+1=5791⋅5791 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 766 mod 787
4: 5794=5792+2=5792⋅5792 ≡ 766⋅766=586756 ≡ 441 mod 787
8: 5798=5794+4=5794⋅5794 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 92 mod 787
16: 57916=5798+8=5798⋅5798 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 594 mod 787
32: 57932=57916+16=57916⋅57916 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 260 mod 787
64: 57964=57932+32=57932⋅57932 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 705 mod 787
128: 579128=57964+64=57964⋅57964 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 428 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 506249 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:
249 = 128+64+32+16+8+1
1: 5061=506
2: 5062=5061+1=5061⋅5061 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 228 mod 571
4: 5064=5062+2=5062⋅5062 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 23 mod 571
8: 5068=5064+4=5064⋅5064 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 571
16: 50616=5068+8=5068⋅5068 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 51 mod 571
32: 50632=50616+16=50616⋅50616 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 317 mod 571
64: 50664=50632+32=50632⋅50632 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 564 mod 571
128: 506128=50664+64=50664⋅50664 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 49 mod 571
506249
= 506128+64+32+16+8+1
= 506128⋅50664⋅50632⋅50616⋅5068⋅5061
≡ 49 ⋅ 564 ⋅ 317 ⋅ 51 ⋅ 529 ⋅ 506 mod 571
≡ 27636 ⋅ 317 ⋅ 51 ⋅ 529 ⋅ 506 mod 571 ≡ 228 ⋅ 317 ⋅ 51 ⋅ 529 ⋅ 506 mod 571
≡ 72276 ⋅ 51 ⋅ 529 ⋅ 506 mod 571 ≡ 330 ⋅ 51 ⋅ 529 ⋅ 506 mod 571
≡ 16830 ⋅ 529 ⋅ 506 mod 571 ≡ 271 ⋅ 529 ⋅ 506 mod 571
≡ 143359 ⋅ 506 mod 571 ≡ 38 ⋅ 506 mod 571
≡ 19228 mod 571 ≡ 385 mod 571
Es gilt also: 506249 ≡ 385 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48
| =>89 | = 1⋅48 + 41 |
| =>48 | = 1⋅41 + 7 |
| =>41 | = 5⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 41-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1) |
| 7= 48-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1) |
| 41= 89-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +13⋅48
Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1
Somit 13⋅48 = 1 mod 89
13 ist also das Inverse von 48 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
