Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 - 1602) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 - 1602) mod 8 ≡ (78 mod 8 - 1602 mod 8) mod 8.
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78
= 80
1602 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602
= 1600
Somit gilt:
(78 - 1602) mod 8 ≡ (6 - 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 96) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 96) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.
42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.
96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 96) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11264 mod 317.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 112 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1121=112
2: 1122=1121+1=1121⋅1121 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 181 mod 317
4: 1124=1122+2=1122⋅1122 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 110 mod 317
8: 1128=1124+4=1124⋅1124 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 54 mod 317
16: 11216=1128+8=1128⋅1128 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 63 mod 317
32: 11232=11216+16=11216⋅11216 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 165 mod 317
64: 11264=11232+32=11232⋅11232 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 280 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 443217 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:
217 = 128+64+16+8+1
1: 4431=443
2: 4432=4431+1=4431⋅4431 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 596 mod 677
4: 4434=4432+2=4432⋅4432 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 468 mod 677
8: 4438=4434+4=4434⋅4434 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 353 mod 677
16: 44316=4438+8=4438⋅4438 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 41 mod 677
32: 44332=44316+16=44316⋅44316 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 327 mod 677
64: 44364=44332+32=44332⋅44332 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 640 mod 677
128: 443128=44364+64=44364⋅44364 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 15 mod 677
443217
= 443128+64+16+8+1
= 443128⋅44364⋅44316⋅4438⋅4431
≡ 15 ⋅ 640 ⋅ 41 ⋅ 353 ⋅ 443 mod 677
≡ 9600 ⋅ 41 ⋅ 353 ⋅ 443 mod 677 ≡ 122 ⋅ 41 ⋅ 353 ⋅ 443 mod 677
≡ 5002 ⋅ 353 ⋅ 443 mod 677 ≡ 263 ⋅ 353 ⋅ 443 mod 677
≡ 92839 ⋅ 443 mod 677 ≡ 90 ⋅ 443 mod 677
≡ 39870 mod 677 ≡ 604 mod 677
Es gilt also: 443217 ≡ 604 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
