Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (368 + 9007) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(368 + 9007) mod 9 ≡ (368 mod 9 + 9007 mod 9) mod 9.
368 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 368
= 360
9007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9007
= 9000
Somit gilt:
(368 + 9007) mod 9 ≡ (8 + 7) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 91) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 91) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 91 mod 5) mod 5.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 91) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4428 mod 463.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 442 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4421=442
2: 4422=4421+1=4421⋅4421 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 441 mod 463
4: 4424=4422+2=4422⋅4422 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 21 mod 463
8: 4428=4424+4=4424⋅4424 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29084 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 2901=290
2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 137 mod 449
4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 360 mod 449
8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 288 mod 449
16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 328 mod 449
32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 273 mod 449
64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 444 mod 449
29084
= 29064+16+4
= 29064⋅29016⋅2904
≡ 444 ⋅ 328 ⋅ 360 mod 449
≡ 145632 ⋅ 360 mod 449 ≡ 156 ⋅ 360 mod 449
≡ 56160 mod 449 ≡ 35 mod 449
Es gilt also: 29084 ≡ 35 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52
| =>101 | = 1⋅52 + 49 |
| =>52 | = 1⋅49 + 3 |
| =>49 | = 16⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 49-16⋅3 | |||
| 3= 52-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1) |
| 49= 101-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52
oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅101 = -33⋅52
-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52
-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1
(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1
68⋅52 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1
Somit 68⋅52 = 1 mod 101
68 ist also das Inverse von 52 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
