Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1598 + 204) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1598 + 204) mod 4 ≡ (1598 mod 4 + 204 mod 4) mod 4.

1598 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1598 = 1500+98 = 4 ⋅ 375 +98.

204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 200+4 = 4 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(1598 + 204) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 93) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 93) mod 11 ≡ (40 mod 11 ⋅ 93 mod 11) mod 11.

40 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 33 + 7 = 3 ⋅ 11 + 7 ist.

93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 93) mod 11 ≡ (7 ⋅ 5) mod 11 ≡ 35 mod 11 ≡ 2 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1578 mod 331.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 157 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1571=157

2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 155 mod 331

4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 193 mod 331

8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 177 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 432132 mod 641.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:

132 = 128+4

1: 4321=432

2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 93 mod 641

4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 316 mod 641

8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 501 mod 641

16: 43216=4328+8=4328⋅4328 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 370 mod 641

32: 43232=43216+16=43216⋅43216 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 367 mod 641

64: 43264=43232+32=43232⋅43232 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 79 mod 641

128: 432128=43264+64=43264⋅43264 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641

432132

= 432128+4

= 432128⋅4324

472 ⋅ 316 mod 641
149152 mod 641 ≡ 440 mod 641

Es gilt also: 432132 ≡ 440 mod 641

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47

=>101 = 2⋅47 + 7
=>47 = 6⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7)
= 3⋅47 -20⋅ 7 (=1)
7= 101-2⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47)
= 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47)
= -20⋅101 +43⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47

oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅101 = +43⋅47

Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1

Somit 43⋅47 = 1 mod 101

43 ist also das Inverse von 47 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.