Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11998 - 117) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11998 - 117) mod 4 ≡ (11998 mod 4 - 117 mod 4) mod 4.
11998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 11000
117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
Somit gilt:
(11998 - 117) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 66) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 66) mod 11 ≡ (16 mod 11 ⋅ 66 mod 11) mod 11.
16 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 11 + 5 = 1 ⋅ 11 + 5 ist.
66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 66) mod 11 ≡ (5 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11932 mod 379.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 119 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1191=119
2: 1192=1191+1=1191⋅1191 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 138 mod 379
4: 1194=1192+2=1192⋅1192 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 94 mod 379
8: 1198=1194+4=1194⋅1194 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 119 mod 379
16: 11916=1198+8=1198⋅1198 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 138 mod 379
32: 11932=11916+16=11916⋅11916 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 94 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 193160 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 1931=193
2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 98 mod 383
4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 29 mod 383
8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 29⋅29=841 ≡ 75 mod 383
16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 263 mod 383
32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 229 mod 383
64: 19364=19332+32=19332⋅19332 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 353 mod 383
128: 193128=19364+64=19364⋅19364 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 134 mod 383
193160
= 193128+32
= 193128⋅19332
≡ 134 ⋅ 229 mod 383
≡ 30686 mod 383 ≡ 46 mod 383
Es gilt also: 193160 ≡ 46 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64
| =>97 | = 1⋅64 + 33 |
| =>64 | = 1⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 64-1⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33) = 16⋅64 -31⋅ 33 (=1) |
| 33= 97-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64) = -31⋅97 +47⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64
oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅97 = +47⋅64
Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1
Somit 47⋅64 = 1 mod 97
47 ist also das Inverse von 64 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
