Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (166 - 8004) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(166 - 8004) mod 8 ≡ (166 mod 8 - 8004 mod 8) mod 8.
166 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 166
= 160
8004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004
= 8000
Somit gilt:
(166 - 8004) mod 8 ≡ (6 - 4) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 64) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 64) mod 4 ≡ (64 mod 4 ⋅ 64 mod 4) mod 4.
64 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 16 ⋅ 4 + 0 ist.
64 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 16 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 64) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2238 mod 359.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 223 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 187 mod 359
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 146 mod 359
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 135 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 339156 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:
156 = 128+16+8+4
1: 3391=339
2: 3392=3391+1=3391⋅3391 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 51 mod 547
4: 3394=3392+2=3392⋅3392 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 413 mod 547
8: 3398=3394+4=3394⋅3394 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 452 mod 547
16: 33916=3398+8=3398⋅3398 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 273 mod 547
32: 33932=33916+16=33916⋅33916 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 137 mod 547
64: 33964=33932+32=33932⋅33932 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 171 mod 547
128: 339128=33964+64=33964⋅33964 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 250 mod 547
339156
= 339128+16+8+4
= 339128⋅33916⋅3398⋅3394
≡ 250 ⋅ 273 ⋅ 452 ⋅ 413 mod 547
≡ 68250 ⋅ 452 ⋅ 413 mod 547 ≡ 422 ⋅ 452 ⋅ 413 mod 547
≡ 190744 ⋅ 413 mod 547 ≡ 388 ⋅ 413 mod 547
≡ 160244 mod 547 ≡ 520 mod 547
Es gilt also: 339156 ≡ 520 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26
| =>59 | = 2⋅26 + 7 |
| =>26 | = 3⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 26-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7) = 3⋅26 -11⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26) = -11⋅59 +25⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +25⋅26
Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1
Somit 25⋅26 = 1 mod 59
25 ist also das Inverse von 26 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
