Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (122 - 30000) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(122 - 30000) mod 6 ≡ (122 mod 6 - 30000 mod 6) mod 6.

122 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 6 ⋅ 20 +2.

30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000 = 30000+0 = 6 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(122 - 30000) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 40) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 40) mod 6 ≡ (68 mod 6 ⋅ 40 mod 6) mod 6.

68 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 11 ⋅ 6 + 2 ist.

40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 40) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17916 mod 419.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 179 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1791=179

2: 1792=1791+1=1791⋅1791 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 197 mod 419

4: 1794=1792+2=1792⋅1792 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 261 mod 419

8: 1798=1794+4=1794⋅1794 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 243 mod 419

16: 17916=1798+8=1798⋅1798 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 389 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20070 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 70 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 70 an und zerlegen 70 in eine Summer von 2er-Potenzen:

70 = 64+4+2

1: 2001=200

2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 163 mod 271

4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 11 mod 271

8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 271

16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 7 mod 271

32: 20032=20016+16=20016⋅20016 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 271

64: 20064=20032+32=20032⋅20032 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 233 mod 271

20070

= 20064+4+2

= 20064⋅2004⋅2002

233 ⋅ 11 ⋅ 163 mod 271
2563 ⋅ 163 mod 271 ≡ 124 ⋅ 163 mod 271
20212 mod 271 ≡ 158 mod 271

Es gilt also: 20070 ≡ 158 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33

=>97 = 2⋅33 + 31
=>33 = 1⋅31 + 2
=>31 = 15⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31)
= -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 97-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33)
= 16⋅97 -47⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -47⋅33

-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33

-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1

(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1

50⋅33 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1

Somit 50⋅33 = 1 mod 97

50 ist also das Inverse von 33 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.