Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5000 - 49) mod 5 ≡ (5000 mod 5 - 49 mod 5) mod 5.

5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000 = 5000+0 = 5 ⋅ 1000 +0.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40+9 = 5 ⋅ 8 +9.

Somit gilt:

(5000 - 49) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 18) mod 7 ≡ (64 mod 7 ⋅ 18 mod 7) mod 7.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.

18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 18) mod 7 ≡ (1 ⋅ 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 375¹=375

2: 375²=375¹⁺¹=375¹⋅375¹ ≡ 375⋅375=140625 ≡ 64 mod 383

4: 375⁴=375²⁺²=375²⋅375² ≡ 64⋅64=4096 ≡ 266 mod 383

8: 375⁸=375⁴⁺⁴=375⁴⋅375⁴ ≡ 266⋅266=70756 ≡ 284 mod 383

16: 375¹⁶=375⁸⁺⁸=375⁸⋅375⁸ ≡ 284⋅284=80656 ≡ 226 mod 383

32: 375³²=375¹⁶⁺¹⁶=375¹⁶⋅375¹⁶ ≡ 226⋅226=51076 ≡ 137 mod 383

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

86²²³

= 86^{128+64+16+8+4+2+1}

= 86¹²⁸⋅86⁶⁴⋅86¹⁶⋅86⁸⋅86⁴⋅86²⋅86¹

≡ 169 ⋅ 13 ⋅ 183 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211
≡ 2197 ⋅ 183 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211 ≡ 87 ⋅ 183 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211
≡ 15921 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211 ≡ 96 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211
≡ 7872 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211 ≡ 65 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211
≡ 7865 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211 ≡ 58 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211
≡ 638 ⋅ 86 mod 211 ≡ 5 ⋅ 86 mod 211
≡ 430 mod 211 ≡ 8 mod 211

Es gilt also: 86²²³ ≡ 8 mod 211

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83

=>97	= 1⋅83 + 14
=>83	= 5⋅14 + 13
=>14	= 1⋅13 + 1
=>13	= 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 14-1⋅13
13= 83-5⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14) = 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1)
14= 97-1⋅83	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83) = -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83

oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅97 = -7⋅83

-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83

-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1

(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1

90⋅83 = 77⋅97 + 1

Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1

Somit 90⋅83 = 1 mod 97

90 ist also das Inverse von 83 mod 97