Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7003 - 35000) mod 7 ≡ (7003 mod 7 - 35000 mod 7) mod 7.

7003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7003 = 7000+3 = 7 ⋅ 1000 +3.

35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000 = 35000+0 = 7 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(7003 - 35000) mod 7 ≡ (3 - 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 64) mod 8 ≡ (72 mod 8 ⋅ 64 mod 8) mod 8.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 64) mod 8 ≡ (0 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 654¹=654

2: 654²=654¹⁺¹=654¹⋅654¹ ≡ 654⋅654=427716 ≡ 25 mod 659

4: 654⁴=654²⁺²=654²⋅654² ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 659

8: 654⁸=654⁴⁺⁴=654⁴⋅654⁴ ≡ 625⋅625=390625 ≡ 497 mod 659

16: 654¹⁶=654⁸⁺⁸=654⁸⋅654⁸ ≡ 497⋅497=247009 ≡ 543 mod 659

32: 654³²=654¹⁶⁺¹⁶=654¹⁶⋅654¹⁶ ≡ 543⋅543=294849 ≡ 276 mod 659

64: 654⁶⁴=654³²⁺³²=654³²⋅654³² ≡ 276⋅276=76176 ≡ 391 mod 659

128: 654¹²⁸=654⁶⁴⁺⁶⁴=654⁶⁴⋅654⁶⁴ ≡ 391⋅391=152881 ≡ 652 mod 659

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 210 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 210 an und zerlegen 210 in eine Summer von 2er-Potenzen:

210 = 128+64+16+2

152²¹⁰

= 152^128+64+16+2

= 152¹²⁸⋅152⁶⁴⋅152¹⁶⋅152²

≡ 292 ⋅ 422 ⋅ 326 ⋅ 417 mod 463
≡ 123224 ⋅ 326 ⋅ 417 mod 463 ≡ 66 ⋅ 326 ⋅ 417 mod 463
≡ 21516 ⋅ 417 mod 463 ≡ 218 ⋅ 417 mod 463
≡ 90906 mod 463 ≡ 158 mod 463

Es gilt also: 152²¹⁰ ≡ 158 mod 463

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47

=>59	= 1⋅47 + 12
=>47	= 3⋅12 + 11
=>12	= 1⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 47-3⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12) = 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12) = -1⋅47 +4⋅ 12 (=1)
12= 59-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47) = -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47) = 4⋅59 -5⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47

oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅59 = -5⋅47

-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47

-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1

(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1

54⋅47 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1

Somit 54⋅47 = 1 mod 59

54 ist also das Inverse von 47 mod 59