Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (13995 - 35000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(13995 - 35000) mod 7 ≡ (13995 mod 7 - 35000 mod 7) mod 7.
13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995
= 14000
35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000
= 35000
Somit gilt:
(13995 - 35000) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 75) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 75) mod 8 ≡ (19 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.
19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 75) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 340128 mod 919.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 340 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3401=340
2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 725 mod 919
4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 725⋅725=525625 ≡ 876 mod 919
8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 876⋅876=767376 ≡ 11 mod 919
16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 919
32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 856 mod 919
64: 34064=34032+32=34032⋅34032 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 293 mod 919
128: 340128=34064+64=34064⋅34064 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 382 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 679158 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 6791=679
2: 6792=6791+1=6791⋅6791 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 14 mod 983
4: 6794=6792+2=6792⋅6792 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 983
8: 6798=6794+4=6794⋅6794 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 79 mod 983
16: 67916=6798+8=6798⋅6798 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 343 mod 983
32: 67932=67916+16=67916⋅67916 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 672 mod 983
64: 67964=67932+32=67932⋅67932 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 387 mod 983
128: 679128=67964+64=67964⋅67964 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 353 mod 983
679158
= 679128+16+8+4+2
= 679128⋅67916⋅6798⋅6794⋅6792
≡ 353 ⋅ 343 ⋅ 79 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 983
≡ 121079 ⋅ 79 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 983 ≡ 170 ⋅ 79 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 983
≡ 13430 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 983 ≡ 651 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 983
≡ 127596 ⋅ 14 mod 983 ≡ 789 ⋅ 14 mod 983
≡ 11046 mod 983 ≡ 233 mod 983
Es gilt also: 679158 ≡ 233 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33
| =>79 | = 2⋅33 + 13 |
| =>33 | = 2⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 33-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1) |
| 13= 79-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +12⋅33
Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1
Somit 12⋅33 = 1 mod 79
12 ist also das Inverse von 33 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
