Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (246 + 253) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(246 + 253) mod 5 ≡ (246 mod 5 + 253 mod 5) mod 5.
246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
253 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 253
= 250
Somit gilt:
(246 + 253) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 30) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 30) mod 7 ≡ (38 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.
38 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 5 ⋅ 7 + 3 ist.
30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 30) mod 7 ≡ (3 ⋅ 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4338 mod 569.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4331=433
2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 288 mod 569
4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 439 mod 569
8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 399 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 375142 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 3751=375
2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 243 mod 709
4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 202 mod 709
8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 391 mod 709
16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 446 mod 709
32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 396 mod 709
64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 127 mod 709
128: 375128=37564+64=37564⋅37564 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 531 mod 709
375142
= 375128+8+4+2
= 375128⋅3758⋅3754⋅3752
≡ 531 ⋅ 391 ⋅ 202 ⋅ 243 mod 709
≡ 207621 ⋅ 202 ⋅ 243 mod 709 ≡ 593 ⋅ 202 ⋅ 243 mod 709
≡ 119786 ⋅ 243 mod 709 ≡ 674 ⋅ 243 mod 709
≡ 163782 mod 709 ≡ 3 mod 709
Es gilt also: 375142 ≡ 3 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 52
| =>67 | = 1⋅52 + 15 |
| =>52 | = 3⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 52-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(52 -3⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅52 +6⋅ 15) = -2⋅52 +7⋅ 15 (=1) |
| 15= 67-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +7⋅(67 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +7⋅67 -7⋅ 52) = 7⋅67 -9⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,52)=1 = 7⋅67 -9⋅52
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -9⋅52
-9⋅52 = -7⋅67 + 1 |+67⋅52
-9⋅52 + 67⋅52 = -7⋅67 + 67⋅52 + 1
(-9 + 67) ⋅ 52 = (-7 + 52) ⋅ 67 + 1
58⋅52 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 58⋅52 = 45⋅67 +1
Somit 58⋅52 = 1 mod 67
58 ist also das Inverse von 52 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
