Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 - 1200) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 - 1200) mod 3 ≡ (31 mod 3 - 1200 mod 3) mod 3.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30+1 = 3 ⋅ 10 +1.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(31 - 1200) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 95) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 95) mod 5 ≡ (95 mod 5 ⋅ 95 mod 5) mod 5.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 95) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38532 mod 577.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 385 -> x
2. mod(x²,577) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3851=385

2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 513 mod 577

4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 57 mod 577

8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 364 mod 577

16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 363 mod 577

32: 38532=38516+16=38516⋅38516 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 213 mod 577

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 315225 mod 757.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

1: 3151=315

2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 58 mod 757

4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 336 mod 757

8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 103 mod 757

16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 11 mod 757

32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 757

64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 258 mod 757

128: 315128=31564+64=31564⋅31564 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 705 mod 757

315225

= 315128+64+32+1

= 315128⋅31564⋅31532⋅3151

705 ⋅ 258 ⋅ 121 ⋅ 315 mod 757
181890 ⋅ 121 ⋅ 315 mod 757 ≡ 210 ⋅ 121 ⋅ 315 mod 757
25410 ⋅ 315 mod 757 ≡ 429 ⋅ 315 mod 757
135135 mod 757 ≡ 389 mod 757

Es gilt also: 315225 ≡ 389 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 60

=>89 = 1⋅60 + 29
=>60 = 2⋅29 + 2
=>29 = 14⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-14⋅2
2= 60-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅29 -14⋅(60 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -14⋅60 +28⋅ 29)
= -14⋅60 +29⋅ 29 (=1)
29= 89-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -14⋅60 +29⋅(89 -1⋅ 60)
= -14⋅60 +29⋅89 -29⋅ 60)
= 29⋅89 -43⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(89,60)=1 = 29⋅89 -43⋅60

oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -29⋅89 = -43⋅60

-43⋅60 = -29⋅89 + 1 |+89⋅60

-43⋅60 + 89⋅60 = -29⋅89 + 89⋅60 + 1

(-43 + 89) ⋅ 60 = (-29 + 60) ⋅ 89 + 1

46⋅60 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 46⋅60 = 31⋅89 +1

Somit 46⋅60 = 1 mod 89

46 ist also das Inverse von 60 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.