Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (180 - 95) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(180 - 95) mod 9 ≡ (180 mod 9 - 95 mod 9) mod 9.
180 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95
= 90
Somit gilt:
(180 - 95) mod 9 ≡ (0 - 5) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 71) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 71) mod 8 ≡ (84 mod 8 ⋅ 71 mod 8) mod 8.
84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.
71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 71) mod 8 ≡ (4 ⋅ 7) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34432 mod 523.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 138 mod 523
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 216 mod 523
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 109 mod 523
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 375 mod 523
32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 461 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 595168 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:
168 = 128+32+8
1: 5951=595
2: 5952=5951+1=5951⋅5951 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 744 mod 881
4: 5954=5952+2=5952⋅5952 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 268 mod 881
8: 5958=5954+4=5954⋅5954 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 463 mod 881
16: 59516=5958+8=5958⋅5958 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 286 mod 881
32: 59532=59516+16=59516⋅59516 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 744 mod 881
64: 59564=59532+32=59532⋅59532 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 268 mod 881
128: 595128=59564+64=59564⋅59564 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 463 mod 881
595168
= 595128+32+8
= 595128⋅59532⋅5958
≡ 463 ⋅ 744 ⋅ 463 mod 881
≡ 344472 ⋅ 463 mod 881 ≡ 1 ⋅ 463 mod 881
≡ 463 mod 881
Es gilt also: 595168 ≡ 463 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25
| =>61 | = 2⋅25 + 11 |
| =>25 | = 2⋅11 + 3 |
| =>11 | = 3⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 11-3⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1) |
| 3= 25-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11) = 4⋅25 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25) = -9⋅61 +22⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +22⋅25
Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1
Somit 22⋅25 = 1 mod 61
22 ist also das Inverse von 25 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
