Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (182 + 8995) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(182 + 8995) mod 9 ≡ (182 mod 9 + 8995 mod 9) mod 9.
182 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182
= 180
8995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8995
= 9000
Somit gilt:
(182 + 8995) mod 9 ≡ (2 + 4) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 99) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 99) mod 10 ≡ (16 mod 10 ⋅ 99 mod 10) mod 10.
16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.
99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 99) mod 10 ≡ (6 ⋅ 9) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9178 mod 953.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 917 -> x
2. mod(x²,953) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9171=917
2: 9172=9171+1=9171⋅9171 ≡ 917⋅917=840889 ≡ 343 mod 953
4: 9174=9172+2=9172⋅9172 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 430 mod 953
8: 9178=9174+4=9174⋅9174 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 18 mod 953
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 348163 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 3481=348
2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 516 mod 773
4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 344 mod 773
8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 67 mod 773
16: 34816=3488+8=3488⋅3488 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 624 mod 773
32: 34832=34816+16=34816⋅34816 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 557 mod 773
64: 34864=34832+32=34832⋅34832 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 276 mod 773
128: 348128=34864+64=34864⋅34864 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 422 mod 773
348163
= 348128+32+2+1
= 348128⋅34832⋅3482⋅3481
≡ 422 ⋅ 557 ⋅ 516 ⋅ 348 mod 773
≡ 235054 ⋅ 516 ⋅ 348 mod 773 ≡ 62 ⋅ 516 ⋅ 348 mod 773
≡ 31992 ⋅ 348 mod 773 ≡ 299 ⋅ 348 mod 773
≡ 104052 mod 773 ≡ 470 mod 773
Es gilt also: 348163 ≡ 470 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41
| =>53 | = 1⋅41 + 12 |
| =>41 | = 3⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 41-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1) |
| 12= 53-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41
oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅53 = +22⋅41
Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1
Somit 22⋅41 = 1 mod 53
22 ist also das Inverse von 41 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
