Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24008 + 7992) mod 8 ≡ (24008 mod 8 + 7992 mod 8) mod 8.

24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008 = 24000+8 = 8 ⋅ 3000 +8.

7992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7992 = 7000+992 = 8 ⋅ 875 +992.

Somit gilt:

(24008 + 7992) mod 8 ≡ (0 + 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 99) mod 5 ≡ (87 mod 5 ⋅ 99 mod 5) mod 5.

87 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 85 + 2 = 17 ⋅ 5 + 2 ist.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 99) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 551¹=551

2: 551²=551¹⁺¹=551¹⋅551¹ ≡ 551⋅551=303601 ≡ 513 mod 997

4: 551⁴=551²⁺²=551²⋅551² ≡ 513⋅513=263169 ≡ 958 mod 997

8: 551⁸=551⁴⁺⁴=551⁴⋅551⁴ ≡ 958⋅958=917764 ≡ 524 mod 997

16: 551¹⁶=551⁸⁺⁸=551⁸⋅551⁸ ≡ 524⋅524=274576 ≡ 401 mod 997

32: 551³²=551¹⁶⁺¹⁶=551¹⁶⋅551¹⁶ ≡ 401⋅401=160801 ≡ 284 mod 997

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

127¹⁵⁵

= 127^128+16+8+2+1

= 127¹²⁸⋅127¹⁶⋅127⁸⋅127²⋅127¹

≡ 240 ⋅ 175 ⋅ 227 ⋅ 279 ⋅ 127 mod 317
≡ 42000 ⋅ 227 ⋅ 279 ⋅ 127 mod 317 ≡ 156 ⋅ 227 ⋅ 279 ⋅ 127 mod 317
≡ 35412 ⋅ 279 ⋅ 127 mod 317 ≡ 225 ⋅ 279 ⋅ 127 mod 317
≡ 62775 ⋅ 127 mod 317 ≡ 9 ⋅ 127 mod 317
≡ 1143 mod 317 ≡ 192 mod 317

Es gilt also: 127¹⁵⁵ ≡ 192 mod 317

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48

=>53	= 1⋅48 + 5
=>48	= 9⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 48-9⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1)
5= 53-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48) = 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +21⋅48

Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1

Somit 21⋅48 = 1 mod 53

21 ist also das Inverse von 48 mod 53