Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 + 263) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 + 263) mod 9 ≡ (95 mod 9 + 263 mod 9) mod 9.
95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95
= 90
263 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 263
= 270
Somit gilt:
(95 + 263) mod 9 ≡ (5 + 2) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 49) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 49) mod 10 ≡ (93 mod 10 ⋅ 49 mod 10) mod 10.
93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.
49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 49) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29416 mod 619.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 294 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2941=294
2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 395 mod 619
4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 37 mod 619
8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 131 mod 619
16: 29416=2948+8=2948⋅2948 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 448 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 216171 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 120 mod 277
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 273 mod 277
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 16 mod 277
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 164 mod 277
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 27 mod 277
128: 216128=21664+64=21664⋅21664 ≡ 27⋅27=729 ≡ 175 mod 277
216171
= 216128+32+8+2+1
= 216128⋅21632⋅2168⋅2162⋅2161
≡ 175 ⋅ 164 ⋅ 16 ⋅ 120 ⋅ 216 mod 277
≡ 28700 ⋅ 16 ⋅ 120 ⋅ 216 mod 277 ≡ 169 ⋅ 16 ⋅ 120 ⋅ 216 mod 277
≡ 2704 ⋅ 120 ⋅ 216 mod 277 ≡ 211 ⋅ 120 ⋅ 216 mod 277
≡ 25320 ⋅ 216 mod 277 ≡ 113 ⋅ 216 mod 277
≡ 24408 mod 277 ≡ 32 mod 277
Es gilt also: 216171 ≡ 32 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42
| =>53 | = 1⋅42 + 11 |
| =>42 | = 3⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 42-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +24⋅42
Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1
Somit 24⋅42 = 1 mod 53
24 ist also das Inverse von 42 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
