Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2004 - 3997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2004 - 3997) mod 4 ≡ (2004 mod 4 - 3997 mod 4) mod 4.
2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
3997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997
= 3000
Somit gilt:
(2004 - 3997) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 49) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 49) mod 9 ≡ (50 mod 9 ⋅ 49 mod 9) mod 9.
50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.
49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 49) mod 9 ≡ (5 ⋅ 4) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46816 mod 523.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 468 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4681=468
2: 4682=4681+1=4681⋅4681 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 410 mod 523
4: 4684=4682+2=4682⋅4682 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 217 mod 523
8: 4688=4684+4=4684⋅4684 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 19 mod 523
16: 46816=4688+8=4688⋅4688 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48161 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 4811=481
2: 4812=4811+1=4811⋅4811 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 324 mod 499
4: 4814=4812+2=4812⋅4812 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 186 mod 499
8: 4818=4814+4=4814⋅4814 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 165 mod 499
16: 48116=4818+8=4818⋅4818 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 279 mod 499
32: 48132=48116+16=48116⋅48116 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 496 mod 499
48161
= 48132+16+8+4+1
= 48132⋅48116⋅4818⋅4814⋅4811
≡ 496 ⋅ 279 ⋅ 165 ⋅ 186 ⋅ 481 mod 499
≡ 138384 ⋅ 165 ⋅ 186 ⋅ 481 mod 499 ≡ 161 ⋅ 165 ⋅ 186 ⋅ 481 mod 499
≡ 26565 ⋅ 186 ⋅ 481 mod 499 ≡ 118 ⋅ 186 ⋅ 481 mod 499
≡ 21948 ⋅ 481 mod 499 ≡ 491 ⋅ 481 mod 499
≡ 236171 mod 499 ≡ 144 mod 499
Es gilt also: 48161 ≡ 144 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29
| =>61 | = 2⋅29 + 3 |
| =>29 | = 9⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 29-9⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1) |
| 3= 61-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29) = 10⋅61 -21⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29
oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅61 = -21⋅29
-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29
-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1
(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1
40⋅29 = 19⋅61 + 1
Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1
Somit 40⋅29 = 1 mod 61
40 ist also das Inverse von 29 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
