Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (140 - 144) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(140 - 144) mod 7 ≡ (140 mod 7 - 144 mod 7) mod 7.

140 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 140 = 140+0 = 7 ⋅ 20 +0.

144 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 144 = 140+4 = 7 ⋅ 20 +4.

Somit gilt:

(140 - 144) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 45) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 45) mod 3 ≡ (70 mod 3 ⋅ 45 mod 3) mod 3.

70 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 69 + 1 = 23 ⋅ 3 + 1 ist.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 45) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 657128 mod 971.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 657 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6571=657

2: 6572=6571+1=6571⋅6571 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 525 mod 971

4: 6574=6572+2=6572⋅6572 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 832 mod 971

8: 6578=6574+4=6574⋅6574 ≡ 832⋅832=692224 ≡ 872 mod 971

16: 65716=6578+8=6578⋅6578 ≡ 872⋅872=760384 ≡ 91 mod 971

32: 65732=65716+16=65716⋅65716 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 513 mod 971

64: 65764=65732+32=65732⋅65732 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 28 mod 971

128: 657128=65764+64=65764⋅65764 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 385238 mod 709.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

1: 3851=385

2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 44 mod 709

4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 518 mod 709

8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 322 mod 709

16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 170 mod 709

32: 38532=38516+16=38516⋅38516 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 540 mod 709

64: 38564=38532+32=38532⋅38532 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 201 mod 709

128: 385128=38564+64=38564⋅38564 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 697 mod 709

385238

= 385128+64+32+8+4+2

= 385128⋅38564⋅38532⋅3858⋅3854⋅3852

697 ⋅ 201 ⋅ 540 ⋅ 322 ⋅ 518 ⋅ 44 mod 709
140097 ⋅ 540 ⋅ 322 ⋅ 518 ⋅ 44 mod 709 ≡ 424 ⋅ 540 ⋅ 322 ⋅ 518 ⋅ 44 mod 709
228960 ⋅ 322 ⋅ 518 ⋅ 44 mod 709 ≡ 662 ⋅ 322 ⋅ 518 ⋅ 44 mod 709
213164 ⋅ 518 ⋅ 44 mod 709 ≡ 464 ⋅ 518 ⋅ 44 mod 709
240352 ⋅ 44 mod 709 ≡ 1 ⋅ 44 mod 709
44 mod 709

Es gilt also: 385238 ≡ 44 mod 709

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 84

=>89 = 1⋅84 + 5
=>84 = 16⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 84-16⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(84 -16⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅84 +16⋅ 5)
= -1⋅84 +17⋅ 5 (=1)
5= 89-1⋅84 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅84 +17⋅(89 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +17⋅89 -17⋅ 84)
= 17⋅89 -18⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(89,84)=1 = 17⋅89 -18⋅84

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -18⋅84

-18⋅84 = -17⋅89 + 1 |+89⋅84

-18⋅84 + 89⋅84 = -17⋅89 + 89⋅84 + 1

(-18 + 89) ⋅ 84 = (-17 + 84) ⋅ 89 + 1

71⋅84 = 67⋅89 + 1

Es gilt also: 71⋅84 = 67⋅89 +1

Somit 71⋅84 = 1 mod 89

71 ist also das Inverse von 84 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.