Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 - 87) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 - 87) mod 3 ≡ (89 mod 3 - 87 mod 3) mod 3.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89
= 90
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87
= 90
Somit gilt:
(89 - 87) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 52) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 52) mod 5 ≡ (88 mod 5 ⋅ 52 mod 5) mod 5.
88 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 85 + 3 = 17 ⋅ 5 + 3 ist.
52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 52) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34632 mod 991.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 796 mod 991
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 367 mod 991
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 904 mod 991
16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 632 mod 991
32: 34632=34616+16=34616⋅34616 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 51 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 715179 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:
179 = 128+32+16+2+1
1: 7151=715
2: 7152=7151+1=7151⋅7151 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 41 mod 743
4: 7154=7152+2=7152⋅7152 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 195 mod 743
8: 7158=7154+4=7154⋅7154 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 132 mod 743
16: 71516=7158+8=7158⋅7158 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 335 mod 743
32: 71532=71516+16=71516⋅71516 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 32 mod 743
64: 71564=71532+32=71532⋅71532 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 281 mod 743
128: 715128=71564+64=71564⋅71564 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 203 mod 743
715179
= 715128+32+16+2+1
= 715128⋅71532⋅71516⋅7152⋅7151
≡ 203 ⋅ 32 ⋅ 335 ⋅ 41 ⋅ 715 mod 743
≡ 6496 ⋅ 335 ⋅ 41 ⋅ 715 mod 743 ≡ 552 ⋅ 335 ⋅ 41 ⋅ 715 mod 743
≡ 184920 ⋅ 41 ⋅ 715 mod 743 ≡ 656 ⋅ 41 ⋅ 715 mod 743
≡ 26896 ⋅ 715 mod 743 ≡ 148 ⋅ 715 mod 743
≡ 105820 mod 743 ≡ 314 mod 743
Es gilt also: 715179 ≡ 314 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 29
| =>97 | = 3⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-3⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(97 -3⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅97 -9⋅ 29) = 3⋅97 -10⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,29)=1 = 3⋅97 -10⋅29
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -10⋅29
-10⋅29 = -3⋅97 + 1 |+97⋅29
-10⋅29 + 97⋅29 = -3⋅97 + 97⋅29 + 1
(-10 + 97) ⋅ 29 = (-3 + 29) ⋅ 97 + 1
87⋅29 = 26⋅97 + 1
Es gilt also: 87⋅29 = 26⋅97 +1
Somit 87⋅29 = 1 mod 97
87 ist also das Inverse von 29 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
