Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (999 + 5000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(999 + 5000) mod 5 ≡ (999 mod 5 + 5000 mod 5) mod 5.

999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 999 = 900+99 = 5 ⋅ 180 +99.

5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000 = 5000+0 = 5 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(999 + 5000) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 77) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 77) mod 11 ≡ (52 mod 11 ⋅ 77 mod 11) mod 11.

52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.

77 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 7 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 77) mod 11 ≡ (8 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2528 mod 313.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,313) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2521=252

2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 278 mod 313

4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 286 mod 313

8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 103 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 120162 mod 269.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 1201=120

2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 143 mod 269

4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 5 mod 269

8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 269

16: 12016=1208+8=1208⋅1208 ≡ 25⋅25=625 ≡ 87 mod 269

32: 12032=12016+16=12016⋅12016 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 37 mod 269

64: 12064=12032+32=12032⋅12032 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 24 mod 269

128: 120128=12064+64=12064⋅12064 ≡ 24⋅24=576 ≡ 38 mod 269

120162

= 120128+32+2

= 120128⋅12032⋅1202

38 ⋅ 37 ⋅ 143 mod 269
1406 ⋅ 143 mod 269 ≡ 61 ⋅ 143 mod 269
8723 mod 269 ≡ 115 mod 269

Es gilt also: 120162 ≡ 115 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44

=>53 = 1⋅44 + 9
=>44 = 4⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9)
= -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44)
= 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -6⋅44

-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44

-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1

(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1

47⋅44 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1

Somit 47⋅44 = 1 mod 53

47 ist also das Inverse von 44 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.