Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 + 297) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 + 297) mod 3 ≡ (60 mod 3 + 297 mod 3) mod 3.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297
= 300
Somit gilt:
(60 + 297) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 32) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 32) mod 3 ≡ (90 mod 3 ⋅ 32 mod 3) mod 3.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.
32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 10 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 32) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31916 mod 367.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 319 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3191=319
2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 102 mod 367
4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 128 mod 367
8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 236 mod 367
16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 279 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 210107 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:
107 = 64+32+8+2+1
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 132 mod 229
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229
32: 21032=21016+16=21016⋅21016 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 3 mod 229
64: 21064=21032+32=21032⋅21032 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 229
210107
= 21064+32+8+2+1
= 21064⋅21032⋅2108⋅2102⋅2101
≡ 9 ⋅ 3 ⋅ 171 ⋅ 132 ⋅ 210 mod 229
≡ 27 ⋅ 171 ⋅ 132 ⋅ 210 mod 229
≡ 4617 ⋅ 132 ⋅ 210 mod 229 ≡ 37 ⋅ 132 ⋅ 210 mod 229
≡ 4884 ⋅ 210 mod 229 ≡ 75 ⋅ 210 mod 229
≡ 15750 mod 229 ≡ 178 mod 229
Es gilt also: 210107 ≡ 178 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53
| =>71 | = 1⋅53 + 18 |
| =>53 | = 2⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 53-2⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18) = -1⋅53 +3⋅ 18 (=1) |
| 18= 71-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53) = 3⋅71 -4⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53
oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅71 = -4⋅53
-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53
-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1
(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1
67⋅53 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1
Somit 67⋅53 = 1 mod 71
67 ist also das Inverse von 53 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
