Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10005 - 205) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10005 - 205) mod 5 ≡ (10005 mod 5 - 205 mod 5) mod 5.
10005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10005
= 10000
205 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205
= 200
Somit gilt:
(10005 - 205) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 24) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 24) mod 5 ≡ (52 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.
52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.
24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 24) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48316 mod 631.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 483 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4831=483
2: 4832=4831+1=4831⋅4831 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 450 mod 631
4: 4834=4832+2=4832⋅4832 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 580 mod 631
8: 4838=4834+4=4834⋅4834 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 77 mod 631
16: 48316=4838+8=4838⋅4838 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 250 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 458226 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:
226 = 128+64+32+2
1: 4581=458
2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 104 mod 953
4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 333 mod 953
8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 341 mod 953
16: 45816=4588+8=4588⋅4588 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 15 mod 953
32: 45832=45816+16=45816⋅45816 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 953
64: 45864=45832+32=45832⋅45832 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 116 mod 953
128: 458128=45864+64=45864⋅45864 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 114 mod 953
458226
= 458128+64+32+2
= 458128⋅45864⋅45832⋅4582
≡ 114 ⋅ 116 ⋅ 225 ⋅ 104 mod 953
≡ 13224 ⋅ 225 ⋅ 104 mod 953 ≡ 835 ⋅ 225 ⋅ 104 mod 953
≡ 187875 ⋅ 104 mod 953 ≡ 134 ⋅ 104 mod 953
≡ 13936 mod 953 ≡ 594 mod 953
Es gilt also: 458226 ≡ 594 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 72
| =>83 | = 1⋅72 + 11 |
| =>72 | = 6⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 72-6⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(72 -6⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅72 -12⋅ 11) = 2⋅72 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 83-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅72 -13⋅(83 -1⋅ 72)
= 2⋅72 -13⋅83 +13⋅ 72) = -13⋅83 +15⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,72)=1 = -13⋅83 +15⋅72
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +15⋅72
Es gilt also: 15⋅72 = 13⋅83 +1
Somit 15⋅72 = 1 mod 83
15 ist also das Inverse von 72 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
