Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(901 - 182) mod 9 ≡ (901 mod 9 - 182 mod 9) mod 9.

901 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901 = 900+1 = 9 ⋅ 100 +1.

182 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182 = 180+2 = 9 ⋅ 20 +2.

Somit gilt:

(901 - 182) mod 9 ≡ (1 - 2) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 75) mod 5 ≡ (59 mod 5 ⋅ 75 mod 5) mod 5.

59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.

75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 75) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 400¹=400

2: 400²=400¹⁺¹=400¹⋅400¹ ≡ 400⋅400=160000 ≡ 67 mod 599

4: 400⁴=400²⁺²=400²⋅400² ≡ 67⋅67=4489 ≡ 296 mod 599

8: 400⁸=400⁴⁺⁴=400⁴⋅400⁴ ≡ 296⋅296=87616 ≡ 162 mod 599

16: 400¹⁶=400⁸⁺⁸=400⁸⋅400⁸ ≡ 162⋅162=26244 ≡ 487 mod 599

32: 400³²=400¹⁶⁺¹⁶=400¹⁶⋅400¹⁶ ≡ 487⋅487=237169 ≡ 564 mod 599

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

451¹²⁵

= 451^{64+32+16+8+4+1}

= 451⁶⁴⋅451³²⋅451¹⁶⋅451⁸⋅451⁴⋅451¹

≡ 11 ⋅ 245 ⋅ 412 ⋅ 632 ⋅ 459 ⋅ 451 mod 811
≡ 2695 ⋅ 412 ⋅ 632 ⋅ 459 ⋅ 451 mod 811 ≡ 262 ⋅ 412 ⋅ 632 ⋅ 459 ⋅ 451 mod 811
≡ 107944 ⋅ 632 ⋅ 459 ⋅ 451 mod 811 ≡ 81 ⋅ 632 ⋅ 459 ⋅ 451 mod 811
≡ 51192 ⋅ 459 ⋅ 451 mod 811 ≡ 99 ⋅ 459 ⋅ 451 mod 811
≡ 45441 ⋅ 451 mod 811 ≡ 25 ⋅ 451 mod 811
≡ 11275 mod 811 ≡ 732 mod 811

Es gilt also: 451¹²⁵ ≡ 732 mod 811

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53

=>71	= 1⋅53 + 18
=>53	= 2⋅18 + 17
=>18	= 1⋅17 + 1
=>17	= 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 53-2⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18) = 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18) = -1⋅53 +3⋅ 18 (=1)
18= 71-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53) = -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53) = 3⋅71 -4⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53

oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅71 = -4⋅53

-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53

-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1

(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1

67⋅53 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1

Somit 67⋅53 = 1 mod 71

67 ist also das Inverse von 53 mod 71