Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (246 + 30003) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(246 + 30003) mod 6 ≡ (246 mod 6 + 30003 mod 6) mod 6.
246 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
30003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30003
= 30000
Somit gilt:
(246 + 30003) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 62) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 62) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.
30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.
62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 62) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17332 mod 331.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 173 -> x
2. mod(x²,331) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1731=173
2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 139 mod 331
4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 123 mod 331
8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 234 mod 331
16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 141 mod 331
32: 17332=17316+16=17316⋅17316 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 21 mod 331
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 865250 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:
250 = 128+64+32+16+8+2
1: 8651=865
2: 8652=8651+1=8651⋅8651 ≡ 865⋅865=748225 ≡ 484 mod 887
4: 8654=8652+2=8652⋅8652 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 88 mod 887
8: 8658=8654+4=8654⋅8654 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 648 mod 887
16: 86516=8658+8=8658⋅8658 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 353 mod 887
32: 86532=86516+16=86516⋅86516 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 429 mod 887
64: 86564=86532+32=86532⋅86532 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 432 mod 887
128: 865128=86564+64=86564⋅86564 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 354 mod 887
865250
= 865128+64+32+16+8+2
= 865128⋅86564⋅86532⋅86516⋅8658⋅8652
≡ 354 ⋅ 432 ⋅ 429 ⋅ 353 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887
≡ 152928 ⋅ 429 ⋅ 353 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887 ≡ 364 ⋅ 429 ⋅ 353 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887
≡ 156156 ⋅ 353 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887 ≡ 44 ⋅ 353 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887
≡ 15532 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887 ≡ 453 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887
≡ 293544 ⋅ 484 mod 887 ≡ 834 ⋅ 484 mod 887
≡ 403656 mod 887 ≡ 71 mod 887
Es gilt also: 865250 ≡ 71 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19
| =>53 | = 2⋅19 + 15 |
| =>19 | = 1⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 19-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15) = 4⋅19 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19) = -5⋅53 +14⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +14⋅19
Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1
Somit 14⋅19 = 1 mod 53
14 ist also das Inverse von 19 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
