Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 - 240) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 - 240) mod 8 ≡ (72 mod 8 - 240 mod 8) mod 8.
72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72
= 80
240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
Somit gilt:
(72 - 240) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 31) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 31) mod 7 ≡ (33 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.
33 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 28 + 5 = 4 ⋅ 7 + 5 ist.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 31) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11164 mod 271.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 111 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1111=111
2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 126 mod 271
4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 158 mod 271
8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 32 mod 271
16: 11116=1118+8=1118⋅1118 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 211 mod 271
32: 11132=11116+16=11116⋅11116 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 77 mod 271
64: 11164=11132+32=11132⋅11132 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 238 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 300192 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 3001=300
2: 3002=3001+1=3001⋅3001 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 292 mod 547
4: 3004=3002+2=3002⋅3002 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 479 mod 547
8: 3008=3004+4=3004⋅3004 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 248 mod 547
16: 30016=3008+8=3008⋅3008 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 240 mod 547
32: 30032=30016+16=30016⋅30016 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 165 mod 547
64: 30064=30032+32=30032⋅30032 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 422 mod 547
128: 300128=30064+64=30064⋅30064 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 309 mod 547
300192
= 300128+64
= 300128⋅30064
≡ 309 ⋅ 422 mod 547
≡ 130398 mod 547 ≡ 212 mod 547
Es gilt also: 300192 ≡ 212 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70
| =>89 | = 1⋅70 + 19 |
| =>70 | = 3⋅19 + 13 |
| =>19 | = 1⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 19-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 70-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅19 +3⋅(70 -3⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅70 -9⋅ 19) = 3⋅70 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 89-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅70 -11⋅(89 -1⋅ 70)
= 3⋅70 -11⋅89 +11⋅ 70) = -11⋅89 +14⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,70)=1 = -11⋅89 +14⋅70
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +14⋅70
Es gilt also: 14⋅70 = 11⋅89 +1
Somit 14⋅70 = 1 mod 89
14 ist also das Inverse von 70 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
