Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (699 + 212) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(699 + 212) mod 7 ≡ (699 mod 7 + 212 mod 7) mod 7.
699 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 699
= 700
212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212
= 210
Somit gilt:
(699 + 212) mod 7 ≡ (6 + 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 86) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 86) mod 8 ≡ (29 mod 8 ⋅ 86 mod 8) mod 8.
29 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 3 ⋅ 8 + 5 ist.
86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 86) mod 8 ≡ (5 ⋅ 6) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21132 mod 373.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 134 mod 373
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 52 mod 373
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 93 mod 373
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 70 mod 373
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 51 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 613140 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 6131=613
2: 6132=6131+1=6131⋅6131 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 509 mod 647
4: 6134=6132+2=6132⋅6132 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 281 mod 647
8: 6138=6134+4=6134⋅6134 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 27 mod 647
16: 61316=6138+8=6138⋅6138 ≡ 27⋅27=729 ≡ 82 mod 647
32: 61332=61316+16=61316⋅61316 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 254 mod 647
64: 61364=61332+32=61332⋅61332 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 463 mod 647
128: 613128=61364+64=61364⋅61364 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 212 mod 647
613140
= 613128+8+4
= 613128⋅6138⋅6134
≡ 212 ⋅ 27 ⋅ 281 mod 647
≡ 5724 ⋅ 281 mod 647 ≡ 548 ⋅ 281 mod 647
≡ 153988 mod 647 ≡ 2 mod 647
Es gilt also: 613140 ≡ 2 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
