Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (157 - 81) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(157 - 81) mod 4 ≡ (157 mod 4 - 81 mod 4) mod 4.
157 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157
= 160
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81
= 80
Somit gilt:
(157 - 81) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 81) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 81) mod 8 ≡ (93 mod 8 ⋅ 81 mod 8) mod 8.
93 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 11 ⋅ 8 + 5 ist.
81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 81) mod 8 ≡ (5 ⋅ 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1308 mod 257.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 130 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 195 mod 257
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 246 mod 257
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 121 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 477158 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 4771=477
2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 631 mod 853
4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 663 mod 853
8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 274 mod 853
16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 12 mod 853
32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 853
64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 264 mod 853
128: 477128=47764+64=47764⋅47764 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 603 mod 853
477158
= 477128+16+8+4+2
= 477128⋅47716⋅4778⋅4774⋅4772
≡ 603 ⋅ 12 ⋅ 274 ⋅ 663 ⋅ 631 mod 853
≡ 7236 ⋅ 274 ⋅ 663 ⋅ 631 mod 853 ≡ 412 ⋅ 274 ⋅ 663 ⋅ 631 mod 853
≡ 112888 ⋅ 663 ⋅ 631 mod 853 ≡ 292 ⋅ 663 ⋅ 631 mod 853
≡ 193596 ⋅ 631 mod 853 ≡ 818 ⋅ 631 mod 853
≡ 516158 mod 853 ≡ 93 mod 853
Es gilt also: 477158 ≡ 93 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69
| =>79 | = 1⋅69 + 10 |
| =>69 | = 6⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 69-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10) = -1⋅69 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 79-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69) = 7⋅79 -8⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -8⋅69
-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69
-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1
(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1
71⋅69 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1
Somit 71⋅69 = 1 mod 79
71 ist also das Inverse von 69 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
