Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (408 + 3999) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(408 + 3999) mod 8 ≡ (408 mod 8 + 3999 mod 8) mod 8.
408 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 408
= 400
3999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999
= 4000
Somit gilt:
(408 + 3999) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 54) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 54) mod 7 ≡ (91 mod 7 ⋅ 54 mod 7) mod 7.
91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.
54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 54) mod 7 ≡ (0 ⋅ 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3828 mod 863.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 382 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3821=382
2: 3822=3821+1=3821⋅3821 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 77 mod 863
4: 3824=3822+2=3822⋅3822 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 751 mod 863
8: 3828=3824+4=3824⋅3824 ≡ 751⋅751=564001 ≡ 462 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 530134 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:
134 = 128+4+2
1: 5301=530
2: 5302=5301+1=5301⋅5301 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 7 mod 859
4: 5304=5302+2=5302⋅5302 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 859
8: 5308=5304+4=5304⋅5304 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 683 mod 859
16: 53016=5308+8=5308⋅5308 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 52 mod 859
32: 53032=53016+16=53016⋅53016 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 127 mod 859
64: 53064=53032+32=53032⋅53032 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 667 mod 859
128: 530128=53064+64=53064⋅53064 ≡ 667⋅667=444889 ≡ 786 mod 859
530134
= 530128+4+2
= 530128⋅5304⋅5302
≡ 786 ⋅ 49 ⋅ 7 mod 859
≡ 38514 ⋅ 7 mod 859 ≡ 718 ⋅ 7 mod 859
≡ 5026 mod 859 ≡ 731 mod 859
Es gilt also: 530134 ≡ 731 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32
| =>71 | = 2⋅32 + 7 |
| =>32 | = 4⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 32-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1) |
| 7= 71-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +20⋅32
Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1
Somit 20⋅32 = 1 mod 71
20 ist also das Inverse von 32 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
