Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 - 40001) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 - 40001) mod 8 ≡ (73 mod 8 - 40001 mod 8) mod 8.
73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73
= 80
40001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40001
= 40000
Somit gilt:
(73 - 40001) mod 8 ≡ (1 - 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 58) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 58) mod 8 ≡ (47 mod 8 ⋅ 58 mod 8) mod 8.
47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.
58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 58) mod 8 ≡ (7 ⋅ 2) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30216 mod 449.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 302 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3021=302
2: 3022=3021+1=3021⋅3021 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 57 mod 449
4: 3024=3022+2=3022⋅3022 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 106 mod 449
8: 3028=3024+4=3024⋅3024 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 11 mod 449
16: 30216=3028+8=3028⋅3028 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 426178 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 4261=426
2: 4262=4261+1=4261⋅4261 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 414 mod 479
4: 4264=4262+2=4262⋅4262 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 393 mod 479
8: 4268=4264+4=4264⋅4264 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 211 mod 479
16: 42616=4268+8=4268⋅4268 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 453 mod 479
32: 42632=42616+16=42616⋅42616 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 197 mod 479
64: 42664=42632+32=42632⋅42632 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 10 mod 479
128: 426128=42664+64=42664⋅42664 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 479
426178
= 426128+32+16+2
= 426128⋅42632⋅42616⋅4262
≡ 100 ⋅ 197 ⋅ 453 ⋅ 414 mod 479
≡ 19700 ⋅ 453 ⋅ 414 mod 479 ≡ 61 ⋅ 453 ⋅ 414 mod 479
≡ 27633 ⋅ 414 mod 479 ≡ 330 ⋅ 414 mod 479
≡ 136620 mod 479 ≡ 105 mod 479
Es gilt also: 426178 ≡ 105 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 48
| =>67 | = 1⋅48 + 19 |
| =>48 | = 2⋅19 + 10 |
| =>19 | = 1⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 19-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(19 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅19 +1⋅ 10) = -1⋅19 +2⋅ 10 (=1) |
| 10= 48-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +2⋅(48 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +2⋅48 -4⋅ 19) = 2⋅48 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -5⋅(67 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -5⋅67 +5⋅ 48) = -5⋅67 +7⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,48)=1 = -5⋅67 +7⋅48
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +7⋅48
Es gilt also: 7⋅48 = 5⋅67 +1
Somit 7⋅48 = 1 mod 67
7 ist also das Inverse von 48 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
