Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (495 - 24999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(495 - 24999) mod 5 ≡ (495 mod 5 - 24999 mod 5) mod 5.
495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 495
= 400
24999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24999
= 24000
Somit gilt:
(495 - 24999) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 76) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 76) mod 10 ≡ (37 mod 10 ⋅ 76 mod 10) mod 10.
37 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 30 + 7 = 3 ⋅ 10 + 7 ist.
76 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 7 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 76) mod 10 ≡ (7 ⋅ 6) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20716 mod 499.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 207 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 434 mod 499
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 233 mod 499
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 397 mod 499
16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 424 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 403198 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 4031=403
2: 4032=4031+1=4031⋅4031 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 244 mod 569
4: 4034=4032+2=4032⋅4032 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 360 mod 569
8: 4038=4034+4=4034⋅4034 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 437 mod 569
16: 40316=4038+8=4038⋅4038 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 354 mod 569
32: 40332=40316+16=40316⋅40316 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 136 mod 569
64: 40364=40332+32=40332⋅40332 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 288 mod 569
128: 403128=40364+64=40364⋅40364 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 439 mod 569
403198
= 403128+64+4+2
= 403128⋅40364⋅4034⋅4032
≡ 439 ⋅ 288 ⋅ 360 ⋅ 244 mod 569
≡ 126432 ⋅ 360 ⋅ 244 mod 569 ≡ 114 ⋅ 360 ⋅ 244 mod 569
≡ 41040 ⋅ 244 mod 569 ≡ 72 ⋅ 244 mod 569
≡ 17568 mod 569 ≡ 498 mod 569
Es gilt also: 403198 ≡ 498 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -29⋅30
-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30
-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1
(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1
38⋅30 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1
Somit 38⋅30 = 1 mod 67
38 ist also das Inverse von 30 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
