Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (247 + 25002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(247 + 25002) mod 5 ≡ (247 mod 5 + 25002 mod 5) mod 5.
247 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247
= 240
25002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25002
= 25000
Somit gilt:
(247 + 25002) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 20) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 20) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 20 mod 9) mod 9.
34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.
20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 20) mod 9 ≡ (7 ⋅ 2) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52032 mod 743.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 520 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5201=520
2: 5202=5201+1=5201⋅5201 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 691 mod 743
4: 5204=5202+2=5202⋅5202 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 475 mod 743
8: 5208=5204+4=5204⋅5204 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 496 mod 743
16: 52016=5208+8=5208⋅5208 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 83 mod 743
32: 52032=52016+16=52016⋅52016 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 202 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 361116 mod 431.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 3611=361
2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 159 mod 431
4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 283 mod 431
8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 354 mod 431
16: 36116=3618+8=3618⋅3618 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 326 mod 431
32: 36132=36116+16=36116⋅36116 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 250 mod 431
64: 36164=36132+32=36132⋅36132 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 5 mod 431
361116
= 36164+32+16+4
= 36164⋅36132⋅36116⋅3614
≡ 5 ⋅ 250 ⋅ 326 ⋅ 283 mod 431
≡ 1250 ⋅ 326 ⋅ 283 mod 431 ≡ 388 ⋅ 326 ⋅ 283 mod 431
≡ 126488 ⋅ 283 mod 431 ≡ 205 ⋅ 283 mod 431
≡ 58015 mod 431 ≡ 261 mod 431
Es gilt also: 361116 ≡ 261 mod 431
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 89.
Also bestimme x, so dass 89 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 89
| =>101 | = 1⋅89 + 12 |
| =>89 | = 7⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,89)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-7⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(89 -7⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅89 -35⋅ 12) = 5⋅89 -37⋅ 12 (=1) |
| 12= 101-1⋅89 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅89 -37⋅(101 -1⋅ 89)
= 5⋅89 -37⋅101 +37⋅ 89) = -37⋅101 +42⋅ 89 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,89)=1 = -37⋅101 +42⋅89
oder wenn man -37⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +37⋅101 = +42⋅89
Es gilt also: 42⋅89 = 37⋅101 +1
Somit 42⋅89 = 1 mod 101
42 ist also das Inverse von 89 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
