Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 + 396) mod 4 ≡ (80 mod 4 + 396 mod 4) mod 4.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

396 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 300+96 = 4 ⋅ 75 +96.

Somit gilt:

(80 + 396) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 22) mod 4 ≡ (61 mod 4 ⋅ 22 mod 4) mod 4.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 22) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 732¹=732

2: 732²=732¹⁺¹=732¹⋅732¹ ≡ 732⋅732=535824 ≡ 361 mod 751

4: 732⁴=732²⁺²=732²⋅732² ≡ 361⋅361=130321 ≡ 398 mod 751

8: 732⁸=732⁴⁺⁴=732⁴⋅732⁴ ≡ 398⋅398=158404 ≡ 694 mod 751

16: 732¹⁶=732⁸⁺⁸=732⁸⋅732⁸ ≡ 694⋅694=481636 ≡ 245 mod 751

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

328²⁴³

= 328^{128+64+32+16+2+1}

= 328¹²⁸⋅328⁶⁴⋅328³²⋅328¹⁶⋅328²⋅328¹

≡ 224 ⋅ 280 ⋅ 304 ⋅ 168 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349
≡ 62720 ⋅ 304 ⋅ 168 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349 ≡ 249 ⋅ 304 ⋅ 168 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349
≡ 75696 ⋅ 168 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349 ≡ 312 ⋅ 168 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349
≡ 52416 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349 ≡ 66 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349
≡ 6072 ⋅ 328 mod 349 ≡ 139 ⋅ 328 mod 349
≡ 45592 mod 349 ≡ 222 mod 349

Es gilt also: 328²⁴³ ≡ 222 mod 349

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29

=>71	= 2⋅29 + 13
=>29	= 2⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29) = -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29) = 9⋅71 -22⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -22⋅29

-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29

-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1

(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1

49⋅29 = 20⋅71 + 1

Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1

Somit 49⋅29 = 1 mod 71

49 ist also das Inverse von 29 mod 71