Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(899 + 31) mod 3 ≡ (899 mod 3 + 31 mod 3) mod 3.

899 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899 = 900-1 = 3 ⋅ 300 -1 = 3 ⋅ 300 - 3 + 2.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30+1 = 3 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(899 + 31) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 74) mod 9 ≡ (98 mod 9 ⋅ 74 mod 9) mod 9.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 74) mod 9 ≡ (8 ⋅ 2) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 463¹=463

2: 463²=463¹⁺¹=463¹⋅463¹ ≡ 463⋅463=214369 ≡ 526 mod 599

4: 463⁴=463²⁺²=463²⋅463² ≡ 526⋅526=276676 ≡ 537 mod 599

8: 463⁸=463⁴⁺⁴=463⁴⋅463⁴ ≡ 537⋅537=288369 ≡ 250 mod 599

16: 463¹⁶=463⁸⁺⁸=463⁸⋅463⁸ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 204 mod 599

32: 463³²=463¹⁶⁺¹⁶=463¹⁶⋅463¹⁶ ≡ 204⋅204=41616 ≡ 285 mod 599

64: 463⁶⁴=463³²⁺³²=463³²⋅463³² ≡ 285⋅285=81225 ≡ 360 mod 599

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

129²⁵¹

= 129^{128+64+32+16+8+2+1}

= 129¹²⁸⋅129⁶⁴⋅129³²⋅129¹⁶⋅129⁸⋅129²⋅129¹

≡ 231 ⋅ 183 ⋅ 119 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 129 mod 241
≡ 42273 ⋅ 119 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 129 mod 241 ≡ 98 ⋅ 119 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 129 mod 241
≡ 11662 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 129 mod 241 ≡ 94 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 129 mod 241
≡ 9400 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 129 mod 241 ≡ 1 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 129 mod 241
≡ 10 ⋅ 12 ⋅ 129 mod 241
≡ 120 ⋅ 129 mod 241
≡ 15480 mod 241 ≡ 56 mod 241

Es gilt also: 129²⁵¹ ≡ 56 mod 241

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83

=>89	= 1⋅83 + 6
=>83	= 13⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 83-13⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6) = -1⋅83 +14⋅ 6 (=1)
6= 89-1⋅83	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83) = -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83) = 14⋅89 -15⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83

oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅89 = -15⋅83

-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83

-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1

(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1

74⋅83 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1

Somit 74⋅83 = 1 mod 89

74 ist also das Inverse von 83 mod 89