Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 - 160) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 - 160) mod 4 ≡ (1199 mod 4 - 160 mod 4) mod 4.
1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1100
160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
Somit gilt:
(1199 - 160) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 23) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 23) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.
54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 23) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4848 mod 911.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 484 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4841=484
2: 4842=4841+1=4841⋅4841 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 129 mod 911
4: 4844=4842+2=4842⋅4842 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 243 mod 911
8: 4848=4844+4=4844⋅4844 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 745 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 140157 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 1401=140
2: 1402=1401+1=1401⋅1401 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 7 mod 311
4: 1404=1402+2=1402⋅1402 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 311
8: 1408=1404+4=1404⋅1404 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 224 mod 311
16: 14016=1408+8=1408⋅1408 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 105 mod 311
32: 14032=14016+16=14016⋅14016 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 140 mod 311
64: 14064=14032+32=14032⋅14032 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 7 mod 311
128: 140128=14064+64=14064⋅14064 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 311
140157
= 140128+16+8+4+1
= 140128⋅14016⋅1408⋅1404⋅1401
≡ 49 ⋅ 105 ⋅ 224 ⋅ 49 ⋅ 140 mod 311
≡ 5145 ⋅ 224 ⋅ 49 ⋅ 140 mod 311 ≡ 169 ⋅ 224 ⋅ 49 ⋅ 140 mod 311
≡ 37856 ⋅ 49 ⋅ 140 mod 311 ≡ 225 ⋅ 49 ⋅ 140 mod 311
≡ 11025 ⋅ 140 mod 311 ≡ 140 ⋅ 140 mod 311
≡ 19600 mod 311 ≡ 7 mod 311
Es gilt also: 140157 ≡ 7 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34
| =>73 | = 2⋅34 + 5 |
| =>34 | = 6⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 34-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34) = 7⋅73 -15⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -15⋅34
-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34
-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1
(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1
58⋅34 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1
Somit 58⋅34 = 1 mod 73
58 ist also das Inverse von 34 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
