Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 + 82) mod 4 ≡ (37 mod 4 + 82 mod 4) mod 4.

37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 40-3 = 4 ⋅ 10 -3 = 4 ⋅ 10 - 4 + 1.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 4 ⋅ 20 +2.

Somit gilt:

(37 + 82) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 24) mod 11 ≡ (64 mod 11 ⋅ 24 mod 11) mod 11.

64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.

24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 24) mod 11 ≡ (9 ⋅ 2) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 376¹=376

2: 376²=376¹⁺¹=376¹⋅376¹ ≡ 376⋅376=141376 ≡ 63 mod 563

4: 376⁴=376²⁺²=376²⋅376² ≡ 63⋅63=3969 ≡ 28 mod 563

8: 376⁸=376⁴⁺⁴=376⁴⋅376⁴ ≡ 28⋅28=784 ≡ 221 mod 563

16: 376¹⁶=376⁸⁺⁸=376⁸⋅376⁸ ≡ 221⋅221=48841 ≡ 423 mod 563

32: 376³²=376¹⁶⁺¹⁶=376¹⁶⋅376¹⁶ ≡ 423⋅423=178929 ≡ 458 mod 563

64: 376⁶⁴=376³²⁺³²=376³²⋅376³² ≡ 458⋅458=209764 ≡ 328 mod 563

128: 376¹²⁸=376⁶⁴⁺⁶⁴=376⁶⁴⋅376⁶⁴ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 51 mod 563

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

318¹⁷⁰

= 318^128+32+8+2

= 318¹²⁸⋅318³²⋅318⁸⋅318²

≡ 16 ⋅ 545 ⋅ 249 ⋅ 476 mod 547
≡ 8720 ⋅ 249 ⋅ 476 mod 547 ≡ 515 ⋅ 249 ⋅ 476 mod 547
≡ 128235 ⋅ 476 mod 547 ≡ 237 ⋅ 476 mod 547
≡ 112812 mod 547 ≡ 130 mod 547

Es gilt also: 318¹⁷⁰ ≡ 130 mod 547

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 40

=>61	= 1⋅40 + 21
=>40	= 1⋅21 + 19
=>21	= 1⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 21-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1)
19= 40-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21) = -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1)
21= 61-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅40 -19⋅(61 -1⋅ 40) = 10⋅40 -19⋅61 +19⋅ 40) = -19⋅61 +29⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(61,40)=1 = -19⋅61 +29⋅40

oder wenn man -19⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅61 = +29⋅40

Es gilt also: 29⋅40 = 19⋅61 +1

Somit 29⋅40 = 1 mod 61

29 ist also das Inverse von 40 mod 61