Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (156 + 7996) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(156 + 7996) mod 8 ≡ (156 mod 8 + 7996 mod 8) mod 8.
156 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
7996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996
= 7000
Somit gilt:
(156 + 7996) mod 8 ≡ (4 + 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 20) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 20) mod 8 ≡ (70 mod 8 ⋅ 20 mod 8) mod 8.
70 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 64 + 6 = 8 ⋅ 8 + 6 ist.
20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 20) mod 8 ≡ (6 ⋅ 4) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31164 mod 317.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 311 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 36 mod 317
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 28 mod 317
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 28⋅28=784 ≡ 150 mod 317
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 310 mod 317
32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 49 mod 317
64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 182 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 319130 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 3191=319
2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 324 mod 337
4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 169 mod 337
8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 253 mod 337
16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 316 mod 337
32: 31932=31916+16=31916⋅31916 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 104 mod 337
64: 31964=31932+32=31932⋅31932 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 32 mod 337
128: 319128=31964+64=31964⋅31964 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 13 mod 337
319130
= 319128+2
= 319128⋅3192
≡ 13 ⋅ 324 mod 337
≡ 4212 mod 337 ≡ 168 mod 337
Es gilt also: 319130 ≡ 168 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 26
| =>73 | = 2⋅26 + 21 |
| =>26 | = 1⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 26-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅26 +5⋅(73 -2⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅73 -10⋅ 26) = 5⋅73 -14⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,26)=1 = 5⋅73 -14⋅26
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -14⋅26
-14⋅26 = -5⋅73 + 1 |+73⋅26
-14⋅26 + 73⋅26 = -5⋅73 + 73⋅26 + 1
(-14 + 73) ⋅ 26 = (-5 + 26) ⋅ 73 + 1
59⋅26 = 21⋅73 + 1
Es gilt also: 59⋅26 = 21⋅73 +1
Somit 59⋅26 = 1 mod 73
59 ist also das Inverse von 26 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
