Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 - 597) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 - 597) mod 3 ≡ (150 mod 3 - 597 mod 3) mod 3.
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597
= 600
Somit gilt:
(150 - 597) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 90) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 90) mod 10 ≡ (26 mod 10 ⋅ 90 mod 10) mod 10.
26 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 20 + 6 = 2 ⋅ 10 + 6 ist.
90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 90) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 73916 mod 929.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 739 -> x
2. mod(x²,929) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7391=739
2: 7392=7391+1=7391⋅7391 ≡ 739⋅739=546121 ≡ 798 mod 929
4: 7394=7392+2=7392⋅7392 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 439 mod 929
8: 7398=7394+4=7394⋅7394 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 418 mod 929
16: 73916=7398+8=7398⋅7398 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 72 mod 929
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 307150 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 3071=307
2: 3072=3071+1=3071⋅3071 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 371 mod 643
4: 3074=3072+2=3072⋅3072 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 39 mod 643
8: 3078=3074+4=3074⋅3074 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 235 mod 643
16: 30716=3078+8=3078⋅3078 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 570 mod 643
32: 30732=30716+16=30716⋅30716 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 185 mod 643
64: 30764=30732+32=30732⋅30732 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 146 mod 643
128: 307128=30764+64=30764⋅30764 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 97 mod 643
307150
= 307128+16+4+2
= 307128⋅30716⋅3074⋅3072
≡ 97 ⋅ 570 ⋅ 39 ⋅ 371 mod 643
≡ 55290 ⋅ 39 ⋅ 371 mod 643 ≡ 635 ⋅ 39 ⋅ 371 mod 643
≡ 24765 ⋅ 371 mod 643 ≡ 331 ⋅ 371 mod 643
≡ 122801 mod 643 ≡ 631 mod 643
Es gilt also: 307150 ≡ 631 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.
Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77
| =>89 | = 1⋅77 + 12 |
| =>77 | = 6⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,77)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 77-6⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1) |
| 12= 89-1⋅77 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77
oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅89 = +37⋅77
Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1
Somit 37⋅77 = 1 mod 89
37 ist also das Inverse von 77 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
