Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3997 + 40004) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3997 + 40004) mod 8 ≡ (3997 mod 8 + 40004 mod 8) mod 8.

3997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997 = 4000-3 = 8 ⋅ 500 -3 = 8 ⋅ 500 - 8 + 5.

40004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40004 = 40000+4 = 8 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(3997 + 40004) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 58) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 58) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 58 mod 9) mod 9.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 58) mod 9 ≡ (5 ⋅ 4) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1938 mod 547.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 193 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1931=193

2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 53 mod 547

4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 74 mod 547

8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 6 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 402123 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 4021=402

2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 49 mod 409

4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 356 mod 409

8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 355 mod 409

16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409

32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409

64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409

402123

= 40264+32+16+8+2+1

= 40264⋅40232⋅40216⋅4028⋅4022⋅4021

53 ⋅ 355 ⋅ 53 ⋅ 355 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409
18815 ⋅ 53 ⋅ 355 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409 ≡ 1 ⋅ 53 ⋅ 355 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409
53 ⋅ 355 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409
18815 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409 ≡ 1 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409
49 ⋅ 402 mod 409
19698 mod 409 ≡ 66 mod 409

Es gilt also: 402123 ≡ 66 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71 = 1⋅58 + 13
=>58 = 4⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13)
= -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58)
= 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.