Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (197 - 16002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(197 - 16002) mod 4 ≡ (197 mod 4 - 16002 mod 4) mod 4.
197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197
= 200
16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
Somit gilt:
(197 - 16002) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 58) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 58) mod 4 ≡ (38 mod 4 ⋅ 58 mod 4) mod 4.
38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 9 ⋅ 4 + 2 ist.
58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 58) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35132 mod 977.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 351 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3511=351
2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 99 mod 977
4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 31 mod 977
8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 31⋅31=961 ≡ 961 mod 977
16: 35116=3518+8=3518⋅3518 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 256 mod 977
32: 35132=35116+16=35116⋅35116 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 77 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 228198 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 165 mod 751
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 189 mod 751
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 424 mod 751
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 287 mod 751
32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 510 mod 751
64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 254 mod 751
128: 228128=22864+64=22864⋅22864 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 681 mod 751
228198
= 228128+64+4+2
= 228128⋅22864⋅2284⋅2282
≡ 681 ⋅ 254 ⋅ 189 ⋅ 165 mod 751
≡ 172974 ⋅ 189 ⋅ 165 mod 751 ≡ 244 ⋅ 189 ⋅ 165 mod 751
≡ 46116 ⋅ 165 mod 751 ≡ 305 ⋅ 165 mod 751
≡ 50325 mod 751 ≡ 8 mod 751
Es gilt also: 228198 ≡ 8 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38
| =>79 | = 2⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 79-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -27⋅38
-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38
-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1
(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1
52⋅38 = 25⋅79 + 1
Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1
Somit 52⋅38 = 1 mod 79
52 ist also das Inverse von 38 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
