Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1401 + 35003) mod 7 ≡ (1401 mod 7 + 35003 mod 7) mod 7.

1401 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1401 = 1400+1 = 7 ⋅ 200 +1.

35003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35003 = 35000+3 = 7 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(1401 + 35003) mod 7 ≡ (1 + 3) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 41) mod 5 ≡ (56 mod 5 ⋅ 41 mod 5) mod 5.

56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.

41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 41) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 376¹=376

2: 376²=376¹⁺¹=376¹⋅376¹ ≡ 376⋅376=141376 ≡ 799 mod 997

4: 376⁴=376²⁺²=376²⋅376² ≡ 799⋅799=638401 ≡ 321 mod 997

8: 376⁸=376⁴⁺⁴=376⁴⋅376⁴ ≡ 321⋅321=103041 ≡ 350 mod 997

16: 376¹⁶=376⁸⁺⁸=376⁸⋅376⁸ ≡ 350⋅350=122500 ≡ 866 mod 997

32: 376³²=376¹⁶⁺¹⁶=376¹⁶⋅376¹⁶ ≡ 866⋅866=749956 ≡ 212 mod 997

64: 376⁶⁴=376³²⁺³²=376³²⋅376³² ≡ 212⋅212=44944 ≡ 79 mod 997

128: 376¹²⁸=376⁶⁴⁺⁶⁴=376⁶⁴⋅376⁶⁴ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 259 mod 997

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:

113 = 64+32+16+1

653¹¹³

= 653^64+32+16+1

= 653⁶⁴⋅653³²⋅653¹⁶⋅653¹

≡ 83 ⋅ 582 ⋅ 172 ⋅ 653 mod 853
≡ 48306 ⋅ 172 ⋅ 653 mod 853 ≡ 538 ⋅ 172 ⋅ 653 mod 853
≡ 92536 ⋅ 653 mod 853 ≡ 412 ⋅ 653 mod 853
≡ 269036 mod 853 ≡ 341 mod 853

Es gilt also: 653¹¹³ ≡ 341 mod 853

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54

=>79	= 1⋅54 + 25
=>54	= 2⋅25 + 4
=>25	= 6⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 54-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25) = 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25) = -6⋅54 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54) = -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54) = 13⋅79 -19⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -19⋅54

-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54

-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1

(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1

60⋅54 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1

Somit 60⋅54 = 1 mod 79

60 ist also das Inverse von 54 mod 79