Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23998 - 325) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23998 - 325) mod 8 ≡ (23998 mod 8 - 325 mod 8) mod 8.
23998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998
= 23000
325 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 325
= 320
Somit gilt:
(23998 - 325) mod 8 ≡ (6 - 5) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 22) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 22) mod 9 ≡ (96 mod 9 ⋅ 22 mod 9) mod 9.
96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.
22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 22) mod 9 ≡ (6 ⋅ 4) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24216 mod 293.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 257 mod 293
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 124 mod 293
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 140 mod 293
16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 262 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 198161 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 307 mod 401
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 14 mod 401
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 401
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 321 mod 401
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 385 mod 401
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 256 mod 401
128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 173 mod 401
198161
= 198128+32+1
= 198128⋅19832⋅1981
≡ 173 ⋅ 385 ⋅ 198 mod 401
≡ 66605 ⋅ 198 mod 401 ≡ 39 ⋅ 198 mod 401
≡ 7722 mod 401 ≡ 103 mod 401
Es gilt also: 198161 ≡ 103 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46
| =>67 | = 1⋅46 + 21 |
| =>46 | = 2⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 46-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -16⋅46
-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46
-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1
(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1
51⋅46 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1
Somit 51⋅46 = 1 mod 67
51 ist also das Inverse von 46 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
