Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 + 20003) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 + 20003) mod 5 ≡ (51 mod 5 + 20003 mod 5) mod 5.
51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51
= 50
20003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003
= 20000
Somit gilt:
(51 + 20003) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 42) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 42) mod 11 ≡ (73 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.
73 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 66 + 7 = 6 ⋅ 11 + 7 ist.
42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 42) mod 11 ≡ (7 ⋅ 9) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6638 mod 919.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 663 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6631=663
2: 6632=6631+1=6631⋅6631 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 287 mod 919
4: 6634=6632+2=6632⋅6632 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 578 mod 919
8: 6638=6634+4=6634⋅6634 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 487 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17697 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 1761=176
2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 229 mod 277
4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 88 mod 277
8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 265 mod 277
16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 144 mod 277
32: 17632=17616+16=17616⋅17616 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 238 mod 277
64: 17664=17632+32=17632⋅17632 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 136 mod 277
17697
= 17664+32+1
= 17664⋅17632⋅1761
≡ 136 ⋅ 238 ⋅ 176 mod 277
≡ 32368 ⋅ 176 mod 277 ≡ 236 ⋅ 176 mod 277
≡ 41536 mod 277 ≡ 263 mod 277
Es gilt also: 17697 ≡ 263 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50
| =>53 | = 1⋅50 + 3 |
| =>50 | = 16⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 50-16⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1) |
| 3= 53-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -18⋅50
-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50
-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1
(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1
35⋅50 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1
Somit 35⋅50 = 1 mod 53
35 ist also das Inverse von 50 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
