Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (455 + 276) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(455 + 276) mod 9 ≡ (455 mod 9 + 276 mod 9) mod 9.
455 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 455
= 450
276 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276
= 270
Somit gilt:
(455 + 276) mod 9 ≡ (5 + 6) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 67) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 67) mod 3 ≡ (28 mod 3 ⋅ 67 mod 3) mod 3.
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.
67 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 22 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 67) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20132 mod 311.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 201 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2011=201
2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 282 mod 311
4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 219 mod 311
8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 67 mod 311
16: 20116=2018+8=2018⋅2018 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 135 mod 311
32: 20132=20116+16=20116⋅20116 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 187 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 372163 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 3721=372
2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 129 mod 709
4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 334 mod 709
8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 243 mod 709
16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 202 mod 709
32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 391 mod 709
64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 446 mod 709
128: 372128=37264+64=37264⋅37264 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 396 mod 709
372163
= 372128+32+2+1
= 372128⋅37232⋅3722⋅3721
≡ 396 ⋅ 391 ⋅ 129 ⋅ 372 mod 709
≡ 154836 ⋅ 129 ⋅ 372 mod 709 ≡ 274 ⋅ 129 ⋅ 372 mod 709
≡ 35346 ⋅ 372 mod 709 ≡ 605 ⋅ 372 mod 709
≡ 225060 mod 709 ≡ 307 mod 709
Es gilt also: 372163 ≡ 307 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63
| =>73 | = 1⋅63 + 10 |
| =>63 | = 6⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 63-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1) |
| 10= 73-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63)
= -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -22⋅63
-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63
-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1
(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1
51⋅63 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1
Somit 51⋅63 = 1 mod 73
51 ist also das Inverse von 63 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
