Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2400 - 247) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2400 - 247) mod 8 ≡ (2400 mod 8 - 247 mod 8) mod 8.
2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400
= 2400
247 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247
= 240
Somit gilt:
(2400 - 247) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 44) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 44) mod 7 ≡ (29 mod 7 ⋅ 44 mod 7) mod 7.
29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.
44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 44) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26832 mod 877.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 268 -> x
2. mod(x²,877) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2681=268
2: 2682=2681+1=2681⋅2681 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 787 mod 877
4: 2684=2682+2=2682⋅2682 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 207 mod 877
8: 2688=2684+4=2684⋅2684 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 753 mod 877
16: 26816=2688+8=2688⋅2688 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 467 mod 877
32: 26832=26816+16=26816⋅26816 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 593 mod 877
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33089 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:
89 = 64+16+8+1
1: 3301=330
2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 241 mod 563
4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 92 mod 563
8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 19 mod 563
16: 33016=3308+8=3308⋅3308 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 563
32: 33032=33016+16=33016⋅33016 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 268 mod 563
64: 33064=33032+32=33032⋅33032 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 323 mod 563
33089
= 33064+16+8+1
= 33064⋅33016⋅3308⋅3301
≡ 323 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 330 mod 563
≡ 116603 ⋅ 19 ⋅ 330 mod 563 ≡ 62 ⋅ 19 ⋅ 330 mod 563
≡ 1178 ⋅ 330 mod 563 ≡ 52 ⋅ 330 mod 563
≡ 17160 mod 563 ≡ 270 mod 563
Es gilt also: 33089 ≡ 270 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
