Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (123 - 12003) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(123 - 12003) mod 3 ≡ (123 mod 3 - 12003 mod 3) mod 3.
123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003
= 12000
Somit gilt:
(123 - 12003) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 25) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 25) mod 10 ≡ (77 mod 10 ⋅ 25 mod 10) mod 10.
77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.
25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 25) mod 10 ≡ (7 ⋅ 5) mod 10 ≡ 35 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2818 mod 389.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 383 mod 389
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 36 mod 389
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 129 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 415222 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:
222 = 128+64+16+8+4+2
1: 4151=415
2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 109 mod 683
4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 270 mod 683
8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 502 mod 683
16: 41516=4158+8=4158⋅4158 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 660 mod 683
32: 41532=41516+16=41516⋅41516 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 529 mod 683
64: 41564=41532+32=41532⋅41532 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 494 mod 683
128: 415128=41564+64=41564⋅41564 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 205 mod 683
415222
= 415128+64+16+8+4+2
= 415128⋅41564⋅41516⋅4158⋅4154⋅4152
≡ 205 ⋅ 494 ⋅ 660 ⋅ 502 ⋅ 270 ⋅ 109 mod 683
≡ 101270 ⋅ 660 ⋅ 502 ⋅ 270 ⋅ 109 mod 683 ≡ 186 ⋅ 660 ⋅ 502 ⋅ 270 ⋅ 109 mod 683
≡ 122760 ⋅ 502 ⋅ 270 ⋅ 109 mod 683 ≡ 503 ⋅ 502 ⋅ 270 ⋅ 109 mod 683
≡ 252506 ⋅ 270 ⋅ 109 mod 683 ≡ 479 ⋅ 270 ⋅ 109 mod 683
≡ 129330 ⋅ 109 mod 683 ≡ 243 ⋅ 109 mod 683
≡ 26487 mod 683 ≡ 533 mod 683
Es gilt also: 415222 ≡ 533 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 66
| =>97 | = 1⋅66 + 31 |
| =>66 | = 2⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 66-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(66 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅66 -16⋅ 31) = 8⋅66 -17⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -17⋅(97 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -17⋅97 +17⋅ 66) = -17⋅97 +25⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,66)=1 = -17⋅97 +25⋅66
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +25⋅66
Es gilt also: 25⋅66 = 17⋅97 +1
Somit 25⋅66 = 1 mod 97
25 ist also das Inverse von 66 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
