Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(238 + 8007) mod 8 ≡ (238 mod 8 + 8007 mod 8) mod 8.

238 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 238 = 240-2 = 8 ⋅ 30 -2 = 8 ⋅ 30 - 8 + 6.

8007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8007 = 8000+7 = 8 ⋅ 1000 +7.

Somit gilt:

(238 + 8007) mod 8 ≡ (6 + 7) mod 8 ≡ 13 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 69) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 69 mod 10) mod 10.

31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.

69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 69) mod 10 ≡ (1 ⋅ 9) mod 10 ≡ 9 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 258¹=258

2: 258²=258¹⁺¹=258¹⋅258¹ ≡ 258⋅258=66564 ≡ 59 mod 283

4: 258⁴=258²⁺²=258²⋅258² ≡ 59⋅59=3481 ≡ 85 mod 283

8: 258⁸=258⁴⁺⁴=258⁴⋅258⁴ ≡ 85⋅85=7225 ≡ 150 mod 283

16: 258¹⁶=258⁸⁺⁸=258⁸⋅258⁸ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 143 mod 283

32: 258³²=258¹⁶⁺¹⁶=258¹⁶⋅258¹⁶ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 73 mod 283

64: 258⁶⁴=258³²⁺³²=258³²⋅258³² ≡ 73⋅73=5329 ≡ 235 mod 283

128: 258¹²⁸=258⁶⁴⁺⁶⁴=258⁶⁴⋅258⁶⁴ ≡ 235⋅235=55225 ≡ 40 mod 283

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:

89 = 64+16+8+1

658⁸⁹

= 658^64+16+8+1

= 658⁶⁴⋅658¹⁶⋅658⁸⋅658¹

≡ 469 ⋅ 833 ⋅ 312 ⋅ 658 mod 937
≡ 390677 ⋅ 312 ⋅ 658 mod 937 ≡ 885 ⋅ 312 ⋅ 658 mod 937
≡ 276120 ⋅ 658 mod 937 ≡ 642 ⋅ 658 mod 937
≡ 422436 mod 937 ≡ 786 mod 937

Es gilt also: 658⁸⁹ ≡ 786 mod 937

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23

=>67	= 2⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23) = 11⋅67 -32⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -32⋅23

-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23

-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1

(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1

35⋅23 = 12⋅67 + 1

Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1

Somit 35⋅23 = 1 mod 67

35 ist also das Inverse von 23 mod 67