Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15002 - 14999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15002 - 14999) mod 3 ≡ (15002 mod 3 - 14999 mod 3) mod 3.

15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002 = 15000+2 = 3 ⋅ 5000 +2.

14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999 = 15000-1 = 3 ⋅ 5000 -1 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(15002 - 14999) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 66) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 66) mod 9 ≡ (95 mod 9 ⋅ 66 mod 9) mod 9.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.

66 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 7 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 66) mod 9 ≡ (5 ⋅ 3) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2068 mod 367.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,367) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2061=206

2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 231 mod 367

4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 146 mod 367

8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 30 mod 367

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 27261 mod 467.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

1: 2721=272

2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 198 mod 467

4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 443 mod 467

8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 109 mod 467

16: 27216=2728+8=2728⋅2728 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 206 mod 467

32: 27232=27216+16=27216⋅27216 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 406 mod 467

27261

= 27232+16+8+4+1

= 27232⋅27216⋅2728⋅2724⋅2721

406 ⋅ 206 ⋅ 109 ⋅ 443 ⋅ 272 mod 467
83636 ⋅ 109 ⋅ 443 ⋅ 272 mod 467 ≡ 43 ⋅ 109 ⋅ 443 ⋅ 272 mod 467
4687 ⋅ 443 ⋅ 272 mod 467 ≡ 17 ⋅ 443 ⋅ 272 mod 467
7531 ⋅ 272 mod 467 ≡ 59 ⋅ 272 mod 467
16048 mod 467 ≡ 170 mod 467

Es gilt also: 27261 ≡ 170 mod 467

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 73.

Also bestimme x, so dass 73 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 73

=>83 = 1⋅73 + 10
=>73 = 7⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,73)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 73-7⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(73 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅73 +21⋅ 10)
= -3⋅73 +22⋅ 10 (=1)
10= 83-1⋅73 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅73 +22⋅(83 -1⋅ 73)
= -3⋅73 +22⋅83 -22⋅ 73)
= 22⋅83 -25⋅ 73 (=1)

Es gilt also: ggt(83,73)=1 = 22⋅83 -25⋅73

oder wenn man 22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -22⋅83 = -25⋅73

-25⋅73 = -22⋅83 + 1 |+83⋅73

-25⋅73 + 83⋅73 = -22⋅83 + 83⋅73 + 1

(-25 + 83) ⋅ 73 = (-22 + 73) ⋅ 83 + 1

58⋅73 = 51⋅83 + 1

Es gilt also: 58⋅73 = 51⋅83 +1

Somit 58⋅73 = 1 mod 83

58 ist also das Inverse von 73 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.