Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (596 + 177) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(596 + 177) mod 6 ≡ (596 mod 6 + 177 mod 6) mod 6.
596 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 596
= 600
177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177
= 180
Somit gilt:
(596 + 177) mod 6 ≡ (2 + 3) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 96) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 96) mod 3 ≡ (97 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.
97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.
96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 96) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62616 mod 683.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 626 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6261=626
2: 6262=6261+1=6261⋅6261 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 517 mod 683
4: 6264=6262+2=6262⋅6262 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 236 mod 683
8: 6268=6264+4=6264⋅6264 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 373 mod 683
16: 62616=6268+8=6268⋅6268 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 480 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 251243 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:
243 = 128+64+32+16+2+1
1: 2511=251
2: 2512=2511+1=2511⋅2511 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 36 mod 257
4: 2514=2512+2=2512⋅2512 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 11 mod 257
8: 2518=2514+4=2514⋅2514 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 257
16: 25116=2518+8=2518⋅2518 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 249 mod 257
32: 25132=25116+16=25116⋅25116 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 64 mod 257
64: 25164=25132+32=25132⋅25132 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 241 mod 257
128: 251128=25164+64=25164⋅25164 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257
251243
= 251128+64+32+16+2+1
= 251128⋅25164⋅25132⋅25116⋅2512⋅2511
≡ 256 ⋅ 241 ⋅ 64 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257
≡ 61696 ⋅ 64 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257 ≡ 16 ⋅ 64 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257
≡ 1024 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257 ≡ 253 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257
≡ 62997 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257 ≡ 32 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257
≡ 1152 ⋅ 251 mod 257 ≡ 124 ⋅ 251 mod 257
≡ 31124 mod 257 ≡ 27 mod 257
Es gilt also: 251243 ≡ 27 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38
| =>101 | = 2⋅38 + 25 |
| =>38 | = 1⋅25 + 13 |
| =>25 | = 1⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 25-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13) = -1⋅25 +2⋅ 13 (=1) |
| 13= 38-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25)
= -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25) = 2⋅38 -3⋅ 25 (=1) |
| 25= 101-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38)
= 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38) = -3⋅101 +8⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38
oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅101 = +8⋅38
Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1
Somit 8⋅38 = 1 mod 101
8 ist also das Inverse von 38 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
