Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24998 + 2500) mod 5 ≡ (24998 mod 5 + 2500 mod 5) mod 5.

24998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24998 = 24000+998 = 5 ⋅ 4800 +998.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(24998 + 2500) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 72) mod 5 ≡ (59 mod 5 ⋅ 72 mod 5) mod 5.

59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.

72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 72) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 396¹=396

2: 396²=396¹⁺¹=396¹⋅396¹ ≡ 396⋅396=156816 ≡ 135 mod 829

4: 396⁴=396²⁺²=396²⋅396² ≡ 135⋅135=18225 ≡ 816 mod 829

8: 396⁸=396⁴⁺⁴=396⁴⋅396⁴ ≡ 816⋅816=665856 ≡ 169 mod 829

16: 396¹⁶=396⁸⁺⁸=396⁸⋅396⁸ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 375 mod 829

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

364¹⁸²

= 364^{128+32+16+4+2}

= 364¹²⁸⋅364³²⋅364¹⁶⋅364⁴⋅364²

≡ 327 ⋅ 320 ⋅ 450 ⋅ 787 ⋅ 160 mod 919
≡ 104640 ⋅ 450 ⋅ 787 ⋅ 160 mod 919 ≡ 793 ⋅ 450 ⋅ 787 ⋅ 160 mod 919
≡ 356850 ⋅ 787 ⋅ 160 mod 919 ≡ 278 ⋅ 787 ⋅ 160 mod 919
≡ 218786 ⋅ 160 mod 919 ≡ 64 ⋅ 160 mod 919
≡ 10240 mod 919 ≡ 131 mod 919

Es gilt also: 364¹⁸² ≡ 131 mod 919

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71

=>79	= 1⋅71 + 8
=>71	= 8⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 71-8⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1)
8= 79-1⋅71	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71) = -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71

oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅79 = -10⋅71

-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71

-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1

(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1

69⋅71 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1

Somit 69⋅71 = 1 mod 79

69 ist also das Inverse von 71 mod 79