Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (210 - 2802) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(210 - 2802) mod 7 ≡ (210 mod 7 - 2802 mod 7) mod 7.
210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210
= 210
2802 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2802
= 2800
Somit gilt:
(210 - 2802) mod 7 ≡ (0 - 2) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 58) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 58) mod 3 ≡ (84 mod 3 ⋅ 58 mod 3) mod 3.
84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 58) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 80264 mod 821.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 802 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8021=802
2: 8022=8021+1=8021⋅8021 ≡ 802⋅802=643204 ≡ 361 mod 821
4: 8024=8022+2=8022⋅8022 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 603 mod 821
8: 8028=8024+4=8024⋅8024 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 727 mod 821
16: 80216=8028+8=8028⋅8028 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 626 mod 821
32: 80232=80216+16=80216⋅80216 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 259 mod 821
64: 80264=80232+32=80232⋅80232 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 580 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 117160 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 1171=117
2: 1172=1171+1=1171⋅1171 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 193 mod 241
4: 1174=1172+2=1172⋅1172 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 135 mod 241
8: 1178=1174+4=1174⋅1174 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 150 mod 241
16: 11716=1178+8=1178⋅1178 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 87 mod 241
32: 11732=11716+16=11716⋅11716 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241
64: 11764=11732+32=11732⋅11732 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
128: 117128=11764+64=11764⋅11764 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
117160
= 117128+32
= 117128⋅11732
≡ 91 ⋅ 98 mod 241
≡ 8918 mod 241 ≡ 1 mod 241
Es gilt also: 117160 ≡ 1 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
