Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (902 - 12001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(902 - 12001) mod 3 ≡ (902 mod 3 - 12001 mod 3) mod 3.
902 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902
= 900
12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
Somit gilt:
(902 - 12001) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 41) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 41) mod 5 ≡ (50 mod 5 ⋅ 41 mod 5) mod 5.
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.
41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 41) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9132 mod 233.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 91 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 911=91
2: 912=911+1=911⋅911 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 126 mod 233
4: 914=912+2=912⋅912 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 32 mod 233
8: 918=914+4=914⋅914 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 92 mod 233
16: 9116=918+8=918⋅918 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 76 mod 233
32: 9132=9116+16=9116⋅9116 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 184 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 802178 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 8021=802
2: 8022=8021+1=8021⋅8021 ≡ 802⋅802=643204 ≡ 322 mod 983
4: 8024=8022+2=8022⋅8022 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 469 mod 983
8: 8028=8024+4=8024⋅8024 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 752 mod 983
16: 80216=8028+8=8028⋅8028 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 279 mod 983
32: 80232=80216+16=80216⋅80216 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 184 mod 983
64: 80264=80232+32=80232⋅80232 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 434 mod 983
128: 802128=80264+64=80264⋅80264 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 603 mod 983
802178
= 802128+32+16+2
= 802128⋅80232⋅80216⋅8022
≡ 603 ⋅ 184 ⋅ 279 ⋅ 322 mod 983
≡ 110952 ⋅ 279 ⋅ 322 mod 983 ≡ 856 ⋅ 279 ⋅ 322 mod 983
≡ 238824 ⋅ 322 mod 983 ≡ 938 ⋅ 322 mod 983
≡ 302036 mod 983 ≡ 255 mod 983
Es gilt also: 802178 ≡ 255 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 74.
Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74
| =>83 | = 1⋅74 + 9 |
| =>74 | = 8⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,74)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 74-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(74 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅74 +32⋅ 9) = -4⋅74 +33⋅ 9 (=1) |
| 9= 83-1⋅74 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅74 +33⋅(83 -1⋅ 74)
= -4⋅74 +33⋅83 -33⋅ 74) = 33⋅83 -37⋅ 74 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,74)=1 = 33⋅83 -37⋅74
oder wenn man 33⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅83 = -37⋅74
-37⋅74 = -33⋅83 + 1 |+83⋅74
-37⋅74 + 83⋅74 = -33⋅83 + 83⋅74 + 1
(-37 + 83) ⋅ 74 = (-33 + 74) ⋅ 83 + 1
46⋅74 = 41⋅83 + 1
Es gilt also: 46⋅74 = 41⋅83 +1
Somit 46⋅74 = 1 mod 83
46 ist also das Inverse von 74 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
