Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24996 - 1505) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24996 - 1505) mod 5 ≡ (24996 mod 5 - 1505 mod 5) mod 5.
24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996
= 24000
1505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1505
= 1500
Somit gilt:
(24996 - 1505) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 96) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 96) mod 6 ≡ (48 mod 6 ⋅ 96 mod 6) mod 6.
48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.
96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 96) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55564 mod 761.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 555 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5551=555
2: 5552=5551+1=5551⋅5551 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 581 mod 761
4: 5554=5552+2=5552⋅5552 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 438 mod 761
8: 5558=5554+4=5554⋅5554 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 72 mod 761
16: 55516=5558+8=5558⋅5558 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 618 mod 761
32: 55532=55516+16=55516⋅55516 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 663 mod 761
64: 55564=55532+32=55532⋅55532 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 472 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 735234 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 7351=735
2: 7352=7351+1=7351⋅7351 ≡ 735⋅735=540225 ≡ 671 mod 773
4: 7354=7352+2=7352⋅7352 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 355 mod 773
8: 7358=7354+4=7354⋅7354 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 26 mod 773
16: 73516=7358+8=7358⋅7358 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 773
32: 73532=73516+16=73516⋅73516 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 133 mod 773
64: 73564=73532+32=73532⋅73532 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 683 mod 773
128: 735128=73564+64=73564⋅73564 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 370 mod 773
735234
= 735128+64+32+8+2
= 735128⋅73564⋅73532⋅7358⋅7352
≡ 370 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 26 ⋅ 671 mod 773
≡ 252710 ⋅ 133 ⋅ 26 ⋅ 671 mod 773 ≡ 712 ⋅ 133 ⋅ 26 ⋅ 671 mod 773
≡ 94696 ⋅ 26 ⋅ 671 mod 773 ≡ 390 ⋅ 26 ⋅ 671 mod 773
≡ 10140 ⋅ 671 mod 773 ≡ 91 ⋅ 671 mod 773
≡ 61061 mod 773 ≡ 767 mod 773
Es gilt also: 735234 ≡ 767 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78
| =>97 | = 1⋅78 + 19 |
| =>78 | = 4⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 78-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1) |
| 19= 97-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78
oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -37⋅97 = -46⋅78
-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78
-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1
(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1
51⋅78 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1
Somit 51⋅78 = 1 mod 97
51 ist also das Inverse von 78 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
