Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31995 - 7997) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31995 - 7997) mod 8 ≡ (31995 mod 8 - 7997 mod 8) mod 8.
31995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31995
= 31000
7997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7997
= 7000
Somit gilt:
(31995 - 7997) mod 8 ≡ (3 - 5) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 63) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 63) mod 3 ≡ (61 mod 3 ⋅ 63 mod 3) mod 3.
61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 20 ⋅ 3 + 1 ist.
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 63) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57816 mod 773.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 578 -> x
2. mod(x²,773) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5781=578
2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 148 mod 773
4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 260 mod 773
8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 349 mod 773
16: 57816=5788+8=5788⋅5788 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 440 mod 773
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49062 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 4901=490
2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 512 mod 673
4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 347 mod 673
8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 615 mod 673
16: 49016=4908+8=4908⋅4908 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 672 mod 673
32: 49032=49016+16=49016⋅49016 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 1 mod 673
49062
= 49032+16+8+4+2
= 49032⋅49016⋅4908⋅4904⋅4902
≡ 1 ⋅ 672 ⋅ 615 ⋅ 347 ⋅ 512 mod 673
≡ 672 ⋅ 615 ⋅ 347 ⋅ 512 mod 673
≡ 413280 ⋅ 347 ⋅ 512 mod 673 ≡ 58 ⋅ 347 ⋅ 512 mod 673
≡ 20126 ⋅ 512 mod 673 ≡ 609 ⋅ 512 mod 673
≡ 311808 mod 673 ≡ 209 mod 673
Es gilt also: 49062 ≡ 209 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50
| =>61 | = 1⋅50 + 11 |
| =>50 | = 4⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 50-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +11⋅50
Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1
Somit 11⋅50 = 1 mod 61
11 ist also das Inverse von 50 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
