Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11999 + 66) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11999 + 66) mod 6 ≡ (11999 mod 6 + 66 mod 6) mod 6.
11999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 12000
66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66
= 60
Somit gilt:
(11999 + 66) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 33) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 33) mod 5 ≡ (48 mod 5 ⋅ 33 mod 5) mod 5.
48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 9 ⋅ 5 + 3 ist.
33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 33) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2848 mod 769.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,769) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 680 mod 769
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 231 mod 769
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 300 mod 769
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 318147 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 238 mod 691
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 673 mod 691
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 324 mod 691
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 635 mod 691
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 372 mod 691
64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 184 mod 691
128: 318128=31864+64=31864⋅31864 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 688 mod 691
318147
= 318128+16+2+1
= 318128⋅31816⋅3182⋅3181
≡ 688 ⋅ 635 ⋅ 238 ⋅ 318 mod 691
≡ 436880 ⋅ 238 ⋅ 318 mod 691 ≡ 168 ⋅ 238 ⋅ 318 mod 691
≡ 39984 ⋅ 318 mod 691 ≡ 597 ⋅ 318 mod 691
≡ 189846 mod 691 ≡ 512 mod 691
Es gilt also: 318147 ≡ 512 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54
| =>71 | = 1⋅54 + 17 |
| =>54 | = 3⋅17 + 3 |
| =>17 | = 5⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 17-5⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1) |
| 3= 54-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1) |
| 17= 71-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54
oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅71 = +25⋅54
Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1
Somit 25⋅54 = 1 mod 71
25 ist also das Inverse von 54 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
