Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32000 + 399) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32000 + 399) mod 8 ≡ (32000 mod 8 + 399 mod 8) mod 8.
32000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32000
= 32000
399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399
= 400
Somit gilt:
(32000 + 399) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 69) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 69) mod 4 ≡ (70 mod 4 ⋅ 69 mod 4) mod 4.
70 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 68 + 2 = 17 ⋅ 4 + 2 ist.
69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 69) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39864 mod 443.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 398 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3981=398
2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 253 mod 443
4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 217 mod 443
8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 131 mod 443
16: 39816=3988+8=3988⋅3988 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 327 mod 443
32: 39832=39816+16=39816⋅39816 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 166 mod 443
64: 39864=39832+32=39832⋅39832 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 90 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 208212 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 2081=208
2: 2082=2081+1=2081⋅2081 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 136 mod 599
4: 2084=2082+2=2082⋅2082 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 526 mod 599
8: 2088=2084+4=2084⋅2084 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 537 mod 599
16: 20816=2088+8=2088⋅2088 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 250 mod 599
32: 20832=20816+16=20816⋅20816 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 204 mod 599
64: 20864=20832+32=20832⋅20832 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 285 mod 599
128: 208128=20864+64=20864⋅20864 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 360 mod 599
208212
= 208128+64+16+4
= 208128⋅20864⋅20816⋅2084
≡ 360 ⋅ 285 ⋅ 250 ⋅ 526 mod 599
≡ 102600 ⋅ 250 ⋅ 526 mod 599 ≡ 171 ⋅ 250 ⋅ 526 mod 599
≡ 42750 ⋅ 526 mod 599 ≡ 221 ⋅ 526 mod 599
≡ 116246 mod 599 ≡ 40 mod 599
Es gilt also: 208212 ≡ 40 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 26
| =>73 | = 2⋅26 + 21 |
| =>26 | = 1⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 26-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅26 +5⋅(73 -2⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅73 -10⋅ 26) = 5⋅73 -14⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,26)=1 = 5⋅73 -14⋅26
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -14⋅26
-14⋅26 = -5⋅73 + 1 |+73⋅26
-14⋅26 + 73⋅26 = -5⋅73 + 73⋅26 + 1
(-14 + 73) ⋅ 26 = (-5 + 26) ⋅ 73 + 1
59⋅26 = 21⋅73 + 1
Es gilt also: 59⋅26 = 21⋅73 +1
Somit 59⋅26 = 1 mod 73
59 ist also das Inverse von 26 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
