Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 + 53) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 + 53) mod 5 ≡ (97 mod 5 + 53 mod 5) mod 5.
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97
= 90
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53
= 50
Somit gilt:
(97 + 53) mod 5 ≡ (2 + 3) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 17) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 17) mod 10 ≡ (27 mod 10 ⋅ 17 mod 10) mod 10.
27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.
17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 17) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33816 mod 479.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 338 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 242 mod 479
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 126 mod 479
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 69 mod 479
16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 450 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 125157 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 1251=125
2: 1252=1251+1=1251⋅1251 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 201 mod 241
4: 1254=1252+2=1252⋅1252 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 154 mod 241
8: 1258=1254+4=1254⋅1254 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 98 mod 241
16: 12516=1258+8=1258⋅1258 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
32: 12532=12516+16=12516⋅12516 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
64: 12564=12532+32=12532⋅12532 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241
128: 125128=12564+64=12564⋅12564 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241
125157
= 125128+16+8+4+1
= 125128⋅12516⋅1258⋅1254⋅1251
≡ 98 ⋅ 205 ⋅ 98 ⋅ 154 ⋅ 125 mod 241
≡ 20090 ⋅ 98 ⋅ 154 ⋅ 125 mod 241 ≡ 87 ⋅ 98 ⋅ 154 ⋅ 125 mod 241
≡ 8526 ⋅ 154 ⋅ 125 mod 241 ≡ 91 ⋅ 154 ⋅ 125 mod 241
≡ 14014 ⋅ 125 mod 241 ≡ 36 ⋅ 125 mod 241
≡ 4500 mod 241 ≡ 162 mod 241
Es gilt also: 125157 ≡ 162 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21
| =>53 | = 2⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -5⋅21
-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21
-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1
(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1
48⋅21 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1
Somit 48⋅21 = 1 mod 53
48 ist also das Inverse von 21 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
