Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (302 + 2999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(302 + 2999) mod 3 ≡ (302 mod 3 + 2999 mod 3) mod 3.
302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999
= 3000
Somit gilt:
(302 + 2999) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 95) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 95) mod 11 ≡ (93 mod 11 ⋅ 95 mod 11) mod 11.
93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.
95 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 8 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 95) mod 11 ≡ (5 ⋅ 7) mod 11 ≡ 35 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26316 mod 311.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 263 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2631=263
2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 127 mod 311
4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 268 mod 311
8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 294 mod 311
16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 289 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 332232 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 3321=332
2: 3322=3321+1=3321⋅3321 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 242 mod 433
4: 3324=3322+2=3322⋅3322 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 109 mod 433
8: 3328=3324+4=3324⋅3324 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 190 mod 433
16: 33216=3328+8=3328⋅3328 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 161 mod 433
32: 33232=33216+16=33216⋅33216 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 374 mod 433
64: 33264=33232+32=33232⋅33232 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 17 mod 433
128: 332128=33264+64=33264⋅33264 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 433
332232
= 332128+64+32+8
= 332128⋅33264⋅33232⋅3328
≡ 289 ⋅ 17 ⋅ 374 ⋅ 190 mod 433
≡ 4913 ⋅ 374 ⋅ 190 mod 433 ≡ 150 ⋅ 374 ⋅ 190 mod 433
≡ 56100 ⋅ 190 mod 433 ≡ 243 ⋅ 190 mod 433
≡ 46170 mod 433 ≡ 272 mod 433
Es gilt also: 332232 ≡ 272 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59
| =>67 | = 1⋅59 + 8 |
| =>59 | = 7⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 59-7⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8) = 3⋅59 -22⋅ 8 (=1) |
| 8= 67-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59)
= 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59) = -22⋅67 +25⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59
oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅67 = +25⋅59
Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1
Somit 25⋅59 = 1 mod 67
25 ist also das Inverse von 59 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
