Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18004 - 1797) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18004 - 1797) mod 9 ≡ (18004 mod 9 - 1797 mod 9) mod 9.
18004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18004
= 18000
1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797
= 1800
Somit gilt:
(18004 - 1797) mod 9 ≡ (4 - 6) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 70) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 70) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 70 mod 6) mod 6.
56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.
70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 70) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27416 mod 571.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 274 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2741=274
2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 275 mod 571
4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 253 mod 571
8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 57 mod 571
16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 394 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 258136 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 149 mod 359
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 302 mod 359
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 18 mod 359
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 359
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 148 mod 359
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 5 mod 359
128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 359
258136
= 258128+8
= 258128⋅2588
≡ 25 ⋅ 18 mod 359
≡ 450 mod 359 ≡ 91 mod 359
Es gilt also: 258136 ≡ 91 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53
| =>97 | = 1⋅53 + 44 |
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
| 44= 97-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53) = -6⋅97 +11⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53
oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅97 = +11⋅53
Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1
Somit 11⋅53 = 1 mod 97
11 ist also das Inverse von 53 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
