Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2001 + 1996) mod 4 ≡ (2001 mod 4 + 1996 mod 4) mod 4.

2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 4 ⋅ 500 +1.

1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 4 ⋅ 475 +96.

Somit gilt:

(2001 + 1996) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 34) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 34 mod 4) mod 4.

95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.

34 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 8 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 34) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 539¹=539

2: 539²=539¹⁺¹=539¹⋅539¹ ≡ 539⋅539=290521 ≡ 608 mod 769

4: 539⁴=539²⁺²=539²⋅539² ≡ 608⋅608=369664 ≡ 544 mod 769

8: 539⁸=539⁴⁺⁴=539⁴⋅539⁴ ≡ 544⋅544=295936 ≡ 640 mod 769

16: 539¹⁶=539⁸⁺⁸=539⁸⋅539⁸ ≡ 640⋅640=409600 ≡ 492 mod 769

32: 539³²=539¹⁶⁺¹⁶=539¹⁶⋅539¹⁶ ≡ 492⋅492=242064 ≡ 598 mod 769

64: 539⁶⁴=539³²⁺³²=539³²⋅539³² ≡ 598⋅598=357604 ≡ 19 mod 769

128: 539¹²⁸=539⁶⁴⁺⁶⁴=539⁶⁴⋅539⁶⁴ ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 769

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:

89 = 64+16+8+1

612⁸⁹

= 612^64+16+8+1

= 612⁶⁴⋅612¹⁶⋅612⁸⋅612¹

≡ 336 ⋅ 777 ⋅ 783 ⋅ 612 mod 823
≡ 261072 ⋅ 783 ⋅ 612 mod 823 ≡ 181 ⋅ 783 ⋅ 612 mod 823
≡ 141723 ⋅ 612 mod 823 ≡ 167 ⋅ 612 mod 823
≡ 102204 mod 823 ≡ 152 mod 823

Es gilt also: 612⁸⁹ ≡ 152 mod 823

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43

=>97	= 2⋅43 + 11
=>43	= 3⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 97-2⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43) = -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43) = 4⋅97 -9⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43

oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅97 = -9⋅43

-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43

-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1

(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1

88⋅43 = 39⋅97 + 1

Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1

Somit 88⋅43 = 1 mod 97

88 ist also das Inverse von 43 mod 97