Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (245 - 1500) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(245 - 1500) mod 5 ≡ (245 mod 5 - 1500 mod 5) mod 5.
245 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245
= 240
1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
Somit gilt:
(245 - 1500) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 64) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 64) mod 11 ≡ (89 mod 11 ⋅ 64 mod 11) mod 11.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 64) mod 11 ≡ (1 ⋅ 9) mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 289128 mod 911.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 289 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2891=289
2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 620 mod 911
4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 869 mod 911
8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 869⋅869=755161 ≡ 853 mod 911
16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 631 mod 911
32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 54 mod 911
64: 28964=28932+32=28932⋅28932 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 183 mod 911
128: 289128=28964+64=28964⋅28964 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 693 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50888 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:
88 = 64+16+8
1: 5081=508
2: 5082=5081+1=5081⋅5081 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 371 mod 587
4: 5084=5082+2=5082⋅5082 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 283 mod 587
8: 5088=5084+4=5084⋅5084 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 257 mod 587
16: 50816=5088+8=5088⋅5088 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 305 mod 587
32: 50832=50816+16=50816⋅50816 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 279 mod 587
64: 50864=50832+32=50832⋅50832 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 357 mod 587
50888
= 50864+16+8
= 50864⋅50816⋅5088
≡ 357 ⋅ 305 ⋅ 257 mod 587
≡ 108885 ⋅ 257 mod 587 ≡ 290 ⋅ 257 mod 587
≡ 74530 mod 587 ≡ 568 mod 587
Es gilt also: 50888 ≡ 568 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51
| =>73 | = 1⋅51 + 22 |
| =>51 | = 2⋅22 + 7 |
| =>22 | = 3⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 22-3⋅7 | |||
| 7= 51-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅22 -3⋅(51 -2⋅ 22)
= 1⋅22 -3⋅51 +6⋅ 22) = -3⋅51 +7⋅ 22 (=1) |
| 22= 73-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅51 +7⋅(73 -1⋅ 51)
= -3⋅51 +7⋅73 -7⋅ 51) = 7⋅73 -10⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,51)=1 = 7⋅73 -10⋅51
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -10⋅51
-10⋅51 = -7⋅73 + 1 |+73⋅51
-10⋅51 + 73⋅51 = -7⋅73 + 73⋅51 + 1
(-10 + 73) ⋅ 51 = (-7 + 51) ⋅ 73 + 1
63⋅51 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 63⋅51 = 44⋅73 +1
Somit 63⋅51 = 1 mod 73
63 ist also das Inverse von 51 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
