Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (244 - 3993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(244 - 3993) mod 8 ≡ (244 mod 8 - 3993 mod 8) mod 8.
244 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244
= 240
3993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3993
= 4000
Somit gilt:
(244 - 3993) mod 8 ≡ (4 - 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 37) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 37) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 37 mod 3) mod 3.
95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.
37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 37) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2538 mod 593.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 253 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 558 mod 593
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 39 mod 593
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 335 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 311178 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 69 mod 331
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 127 mod 331
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 241 mod 331
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 156 mod 331
32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 173 mod 331
64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 139 mod 331
128: 311128=31164+64=31164⋅31164 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 123 mod 331
311178
= 311128+32+16+2
= 311128⋅31132⋅31116⋅3112
≡ 123 ⋅ 173 ⋅ 156 ⋅ 69 mod 331
≡ 21279 ⋅ 156 ⋅ 69 mod 331 ≡ 95 ⋅ 156 ⋅ 69 mod 331
≡ 14820 ⋅ 69 mod 331 ≡ 256 ⋅ 69 mod 331
≡ 17664 mod 331 ≡ 121 mod 331
Es gilt also: 311178 ≡ 121 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23
| =>53 | = 2⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23
oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅53 = -23⋅23
-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23
-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1
(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1
30⋅23 = 13⋅53 + 1
Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1
Somit 30⋅23 = 1 mod 53
30 ist also das Inverse von 23 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
