Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4499 + 1795) mod 9 ≡ (4499 mod 9 + 1795 mod 9) mod 9.

4499 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4499 = 4500-1 = 9 ⋅ 500 -1 = 9 ⋅ 500 - 9 + 8.

1795 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795 = 1800-5 = 9 ⋅ 200 -5 = 9 ⋅ 200 - 9 + 4.

Somit gilt:

(4499 + 1795) mod 9 ≡ (8 + 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 32) mod 8 ≡ (85 mod 8 ⋅ 32 mod 8) mod 8.

85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.

32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 32) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 251¹=251

2: 251²=251¹⁺¹=251¹⋅251¹ ≡ 251⋅251=63001 ≡ 127 mod 499

4: 251⁴=251²⁺²=251²⋅251² ≡ 127⋅127=16129 ≡ 161 mod 499

8: 251⁸=251⁴⁺⁴=251⁴⋅251⁴ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 472 mod 499

16: 251¹⁶=251⁸⁺⁸=251⁸⋅251⁸ ≡ 472⋅472=222784 ≡ 230 mod 499

32: 251³²=251¹⁶⁺¹⁶=251¹⁶⋅251¹⁶ ≡ 230⋅230=52900 ≡ 6 mod 499

64: 251⁶⁴=251³²⁺³²=251³²⋅251³² ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 499

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

418²⁵⁵

= 418^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 418¹²⁸⋅418⁶⁴⋅418³²⋅418¹⁶⋅418⁸⋅418⁴⋅418²⋅418¹

≡ 57 ⋅ 79 ⋅ 370 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
≡ 4503 ⋅ 370 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773 ≡ 638 ⋅ 370 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
≡ 236060 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773 ≡ 295 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
≡ 201485 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773 ≡ 505 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
≡ 67165 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773 ≡ 687 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
≡ 464412 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773 ≡ 612 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
≡ 15912 ⋅ 418 mod 773 ≡ 452 ⋅ 418 mod 773
≡ 188936 mod 773 ≡ 324 mod 773

Es gilt also: 418²⁵⁵ ≡ 324 mod 773

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60

=>71	= 1⋅60 + 11
=>60	= 5⋅11 + 5
=>11	= 2⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 60-5⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11) = 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11) = -2⋅60 +11⋅ 11 (=1)
11= 71-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60) = -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60) = 11⋅71 -13⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -13⋅60

-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60

-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1

(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1

58⋅60 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1

Somit 58⋅60 = 1 mod 71

58 ist also das Inverse von 60 mod 71