Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11999 + 601) mod 3 ≡ (11999 mod 3 + 601 mod 3) mod 3.

11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 3 ⋅ 4000 -1 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 2.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(11999 + 601) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 73) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 73 mod 10) mod 10.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 73) mod 10 ≡ (3 ⋅ 3) mod 10 ≡ 9 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 194¹=194

2: 194²=194¹⁺¹=194¹⋅194¹ ≡ 194⋅194=37636 ≡ 78 mod 211

4: 194⁴=194²⁺²=194²⋅194² ≡ 78⋅78=6084 ≡ 176 mod 211

8: 194⁸=194⁴⁺⁴=194⁴⋅194⁴ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 170 mod 211

16: 194¹⁶=194⁸⁺⁸=194⁸⋅194⁸ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 204 mod 211

32: 194³²=194¹⁶⁺¹⁶=194¹⁶⋅194¹⁶ ≡ 204⋅204=41616 ≡ 49 mod 211

64: 194⁶⁴=194³²⁺³²=194³²⋅194³² ≡ 49⋅49=2401 ≡ 80 mod 211

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

318²¹⁹

= 318^{128+64+16+8+2+1}

= 318¹²⁸⋅318⁶⁴⋅318¹⁶⋅318⁸⋅318²⋅318¹

≡ 84 ⋅ 67 ⋅ 720 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881
≡ 5628 ⋅ 720 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881 ≡ 342 ⋅ 720 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881
≡ 246240 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881 ≡ 441 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881
≡ 41013 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881 ≡ 487 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881
≡ 336030 ⋅ 318 mod 881 ≡ 369 ⋅ 318 mod 881
≡ 117342 mod 881 ≡ 169 mod 881

Es gilt also: 318²¹⁹ ≡ 169 mod 881

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61	= 1⋅50 + 11
=>50	= 4⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50) = 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61