Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (697 + 280) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(697 + 280) mod 7 ≡ (697 mod 7 + 280 mod 7) mod 7.
697 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 697
= 700
280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280
= 280
Somit gilt:
(697 + 280) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 93) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 93) mod 4 ≡ (68 mod 4 ⋅ 93 mod 4) mod 4.
68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.
93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 93) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 233128 mod 563.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 233 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2331=233
2: 2332=2331+1=2331⋅2331 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 241 mod 563
4: 2334=2332+2=2332⋅2332 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 92 mod 563
8: 2338=2334+4=2334⋅2334 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 19 mod 563
16: 23316=2338+8=2338⋅2338 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 563
32: 23332=23316+16=23316⋅23316 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 268 mod 563
64: 23364=23332+32=23332⋅23332 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 323 mod 563
128: 233128=23364+64=23364⋅23364 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 174 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 509100 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 5091=509
2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 372 mod 811
4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 514 mod 811
8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 621 mod 811
16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 416 mod 811
32: 50932=50916+16=50916⋅50916 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 313 mod 811
64: 50964=50932+32=50932⋅50932 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 649 mod 811
509100
= 50964+32+4
= 50964⋅50932⋅5094
≡ 649 ⋅ 313 ⋅ 514 mod 811
≡ 203137 ⋅ 514 mod 811 ≡ 387 ⋅ 514 mod 811
≡ 198918 mod 811 ≡ 223 mod 811
Es gilt also: 509100 ≡ 223 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24
| =>67 | = 2⋅24 + 19 |
| =>24 | = 1⋅19 + 5 |
| =>19 | = 3⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 19-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1) |
| 5= 24-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +14⋅24
Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1
Somit 14⋅24 = 1 mod 67
14 ist also das Inverse von 24 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
