Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27000 - 279) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27000 - 279) mod 9 ≡ (27000 mod 9 - 279 mod 9) mod 9.
27000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27000
= 27000
279 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 279
= 270
Somit gilt:
(27000 - 279) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 91) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 91) mod 4 ≡ (50 mod 4 ⋅ 91 mod 4) mod 4.
50 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 12 ⋅ 4 + 2 ist.
91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 91) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4208 mod 641.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 420 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4201=420
2: 4202=4201+1=4201⋅4201 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 125 mod 641
4: 4204=4202+2=4202⋅4202 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 241 mod 641
8: 4208=4204+4=4204⋅4204 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 391 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 692171 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 6921=692
2: 6922=6921+1=6921⋅6921 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 199 mod 967
4: 6924=6922+2=6922⋅6922 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 921 mod 967
8: 6928=6924+4=6924⋅6924 ≡ 921⋅921=848241 ≡ 182 mod 967
16: 69216=6928+8=6928⋅6928 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 246 mod 967
32: 69232=69216+16=69216⋅69216 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 562 mod 967
64: 69264=69232+32=69232⋅69232 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 602 mod 967
128: 692128=69264+64=69264⋅69264 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 746 mod 967
692171
= 692128+32+8+2+1
= 692128⋅69232⋅6928⋅6922⋅6921
≡ 746 ⋅ 562 ⋅ 182 ⋅ 199 ⋅ 692 mod 967
≡ 419252 ⋅ 182 ⋅ 199 ⋅ 692 mod 967 ≡ 541 ⋅ 182 ⋅ 199 ⋅ 692 mod 967
≡ 98462 ⋅ 199 ⋅ 692 mod 967 ≡ 795 ⋅ 199 ⋅ 692 mod 967
≡ 158205 ⋅ 692 mod 967 ≡ 584 ⋅ 692 mod 967
≡ 404128 mod 967 ≡ 889 mod 967
Es gilt also: 692171 ≡ 889 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 66
| =>97 | = 1⋅66 + 31 |
| =>66 | = 2⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 66-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(66 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅66 -16⋅ 31) = 8⋅66 -17⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -17⋅(97 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -17⋅97 +17⋅ 66) = -17⋅97 +25⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,66)=1 = -17⋅97 +25⋅66
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +25⋅66
Es gilt also: 25⋅66 = 17⋅97 +1
Somit 25⋅66 = 1 mod 97
25 ist also das Inverse von 66 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
