Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24999 + 15001) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24999 + 15001) mod 5 ≡ (24999 mod 5 + 15001 mod 5) mod 5.
24999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24999
= 24000
15001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001
= 15000
Somit gilt:
(24999 + 15001) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 91) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 91) mod 9 ≡ (98 mod 9 ⋅ 91 mod 9) mod 9.
98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.
91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 91) mod 9 ≡ (8 ⋅ 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33716 mod 587.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 337 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 278 mod 587
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 387 mod 587
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 84 mod 587
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 12 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 444173 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:
173 = 128+32+8+4+1
1: 4441=444
2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 463 mod 503
4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 91 mod 503
8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 233 mod 503
16: 44416=4448+8=4448⋅4448 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 468 mod 503
32: 44432=44416+16=44416⋅44416 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 219 mod 503
64: 44464=44432+32=44432⋅44432 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 176 mod 503
128: 444128=44464+64=44464⋅44464 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 293 mod 503
444173
= 444128+32+8+4+1
= 444128⋅44432⋅4448⋅4444⋅4441
≡ 293 ⋅ 219 ⋅ 233 ⋅ 91 ⋅ 444 mod 503
≡ 64167 ⋅ 233 ⋅ 91 ⋅ 444 mod 503 ≡ 286 ⋅ 233 ⋅ 91 ⋅ 444 mod 503
≡ 66638 ⋅ 91 ⋅ 444 mod 503 ≡ 242 ⋅ 91 ⋅ 444 mod 503
≡ 22022 ⋅ 444 mod 503 ≡ 393 ⋅ 444 mod 503
≡ 174492 mod 503 ≡ 454 mod 503
Es gilt also: 444173 ≡ 454 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 74.
Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74
| =>83 | = 1⋅74 + 9 |
| =>74 | = 8⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,74)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 74-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(74 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅74 +32⋅ 9) = -4⋅74 +33⋅ 9 (=1) |
| 9= 83-1⋅74 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅74 +33⋅(83 -1⋅ 74)
= -4⋅74 +33⋅83 -33⋅ 74) = 33⋅83 -37⋅ 74 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,74)=1 = 33⋅83 -37⋅74
oder wenn man 33⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅83 = -37⋅74
-37⋅74 = -33⋅83 + 1 |+83⋅74
-37⋅74 + 83⋅74 = -33⋅83 + 83⋅74 + 1
(-37 + 83) ⋅ 74 = (-33 + 74) ⋅ 83 + 1
46⋅74 = 41⋅83 + 1
Es gilt also: 46⋅74 = 41⋅83 +1
Somit 46⋅74 = 1 mod 83
46 ist also das Inverse von 74 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
