Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (123 + 30005) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(123 + 30005) mod 6 ≡ (123 mod 6 + 30005 mod 6) mod 6.

123 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 6 ⋅ 20 +3.

30005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30005 = 30000+5 = 6 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(123 + 30005) mod 6 ≡ (3 + 5) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 19) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 19) mod 4 ≡ (40 mod 4 ⋅ 19 mod 4) mod 4.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.

19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 19) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 484128 mod 607.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 484 -> x
2. mod(x²,607) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4841=484

2: 4842=4841+1=4841⋅4841 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 561 mod 607

4: 4844=4842+2=4842⋅4842 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 295 mod 607

8: 4848=4844+4=4844⋅4844 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 224 mod 607

16: 48416=4848+8=4848⋅4848 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 402 mod 607

32: 48432=48416+16=48416⋅48416 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 142 mod 607

64: 48464=48432+32=48432⋅48432 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 133 mod 607

128: 484128=48464+64=48464⋅48464 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 86 mod 607

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 428183 mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

1: 4281=428

2: 4282=4281+1=4281⋅4281 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 485 mod 977

4: 4284=4282+2=4282⋅4282 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 745 mod 977

8: 4288=4284+4=4284⋅4284 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 89 mod 977

16: 42816=4288+8=4288⋅4288 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 105 mod 977

32: 42832=42816+16=42816⋅42816 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 278 mod 977

64: 42864=42832+32=42832⋅42832 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 101 mod 977

128: 428128=42864+64=42864⋅42864 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 431 mod 977

428183

= 428128+32+16+4+2+1

= 428128⋅42832⋅42816⋅4284⋅4282⋅4281

431 ⋅ 278 ⋅ 105 ⋅ 745 ⋅ 485 ⋅ 428 mod 977
119818 ⋅ 105 ⋅ 745 ⋅ 485 ⋅ 428 mod 977 ≡ 624 ⋅ 105 ⋅ 745 ⋅ 485 ⋅ 428 mod 977
65520 ⋅ 745 ⋅ 485 ⋅ 428 mod 977 ≡ 61 ⋅ 745 ⋅ 485 ⋅ 428 mod 977
45445 ⋅ 485 ⋅ 428 mod 977 ≡ 503 ⋅ 485 ⋅ 428 mod 977
243955 ⋅ 428 mod 977 ≡ 682 ⋅ 428 mod 977
291896 mod 977 ≡ 750 mod 977

Es gilt also: 428183 ≡ 750 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52

=>61 = 1⋅52 + 9
=>52 = 5⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 52-5⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9)
= 4⋅52 -23⋅ 9 (=1)
9= 61-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52)
= -23⋅61 +27⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52

oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅61 = +27⋅52

Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1

Somit 27⋅52 = 1 mod 61

27 ist also das Inverse von 52 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.