Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36001 - 449) mod 9 ≡ (36001 mod 9 - 449 mod 9) mod 9.

36001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36001 = 36000+1 = 9 ⋅ 4000 +1.

449 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 449 = 450-1 = 9 ⋅ 50 -1 = 9 ⋅ 50 - 9 + 8.

Somit gilt:

(36001 - 449) mod 9 ≡ (1 - 8) mod 9 ≡ -7 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 25) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 25 mod 8) mod 8.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.

25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 25) mod 8 ≡ (1 ⋅ 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 354¹=354

2: 354²=354¹⁺¹=354¹⋅354¹ ≡ 354⋅354=125316 ≡ 200 mod 1009

4: 354⁴=354²⁺²=354²⋅354² ≡ 200⋅200=40000 ≡ 649 mod 1009

8: 354⁸=354⁴⁺⁴=354⁴⋅354⁴ ≡ 649⋅649=421201 ≡ 448 mod 1009

16: 354¹⁶=354⁸⁺⁸=354⁸⋅354⁸ ≡ 448⋅448=200704 ≡ 922 mod 1009

32: 354³²=354¹⁶⁺¹⁶=354¹⁶⋅354¹⁶ ≡ 922⋅922=850084 ≡ 506 mod 1009

64: 354⁶⁴=354³²⁺³²=354³²⋅354³² ≡ 506⋅506=256036 ≡ 759 mod 1009

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:

153 = 128+16+8+1

658¹⁵³

= 658^128+16+8+1

= 658¹²⁸⋅658¹⁶⋅658⁸⋅658¹

≡ 724 ⋅ 259 ⋅ 528 ⋅ 658 mod 857
≡ 187516 ⋅ 528 ⋅ 658 mod 857 ≡ 690 ⋅ 528 ⋅ 658 mod 857
≡ 364320 ⋅ 658 mod 857 ≡ 95 ⋅ 658 mod 857
≡ 62510 mod 857 ≡ 806 mod 857

Es gilt also: 658¹⁵³ ≡ 806 mod 857

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59

=>79	= 1⋅59 + 20
=>59	= 2⋅20 + 19
=>20	= 1⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 59-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20) = 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1)
20= 79-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59) = -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59

oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅79 = -4⋅59

-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59

-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1

(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1

75⋅59 = 56⋅79 + 1

Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1

Somit 75⋅59 = 1 mod 79

75 ist also das Inverse von 59 mod 79