Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20005 + 4996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20005 + 4996) mod 5 ≡ (20005 mod 5 + 4996 mod 5) mod 5.
20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005
= 20000
4996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4996
= 4000
Somit gilt:
(20005 + 4996) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 85) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 85) mod 6 ≡ (84 mod 6 ⋅ 85 mod 6) mod 6.
84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.
85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 85) mod 6 ≡ (0 ⋅ 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 97128 mod 307.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 97 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 971=97
2: 972=971+1=971⋅971 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 199 mod 307
4: 974=972+2=972⋅972 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 305 mod 307
8: 978=974+4=974⋅974 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 4 mod 307
16: 9716=978+8=978⋅978 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 307
32: 9732=9716+16=9716⋅9716 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 307
64: 9764=9732+32=9732⋅9732 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 145 mod 307
128: 97128=9764+64=9764⋅9764 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 149 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 149231 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:
231 = 128+64+32+4+2+1
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 99 mod 257
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 35 mod 257
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 197 mod 257
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 2 mod 257
32: 14932=14916+16=14916⋅14916 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 257
64: 14964=14932+32=14932⋅14932 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257
128: 149128=14964+64=14964⋅14964 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
149231
= 149128+64+32+4+2+1
= 149128⋅14964⋅14932⋅1494⋅1492⋅1491
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 35 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257
≡ 4096 ⋅ 4 ⋅ 35 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257 ≡ 241 ⋅ 4 ⋅ 35 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257
≡ 964 ⋅ 35 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257 ≡ 193 ⋅ 35 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257
≡ 6755 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257 ≡ 73 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257
≡ 7227 ⋅ 149 mod 257 ≡ 31 ⋅ 149 mod 257
≡ 4619 mod 257 ≡ 250 mod 257
Es gilt also: 149231 ≡ 250 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36
| =>67 | = 1⋅36 + 31 |
| =>36 | = 1⋅31 + 5 |
| =>31 | = 6⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-6⋅5 | |||
| 5= 36-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31) = -6⋅36 +7⋅ 31 (=1) |
| 31= 67-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36) = 7⋅67 -13⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -13⋅36
-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36
-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1
(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1
54⋅36 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1
Somit 54⋅36 = 1 mod 67
54 ist also das Inverse von 36 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
