Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3001 - 60) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3001 - 60) mod 3 ≡ (3001 mod 3 - 60 mod 3) mod 3.

3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 3 ⋅ 1000 +1.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(3001 - 60) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 45) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 45) mod 10 ≡ (40 mod 10 ⋅ 45 mod 10) mod 10.

40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.

45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 45) mod 10 ≡ (0 ⋅ 5) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20764 mod 307.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 207 -> x
2. mod(x²,307) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2071=207

2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 176 mod 307

4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 276 mod 307

8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 40 mod 307

16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 65 mod 307

32: 20732=20716+16=20716⋅20716 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 234 mod 307

64: 20764=20732+32=20732⋅20732 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 110 mod 307

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 258157 mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

1: 2581=258

2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 75 mod 599

4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 234 mod 599

8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 247 mod 599

16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 510 mod 599

32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 134 mod 599

64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 585 mod 599

128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 196 mod 599

258157

= 258128+16+8+4+1

= 258128⋅25816⋅2588⋅2584⋅2581

196 ⋅ 510 ⋅ 247 ⋅ 234 ⋅ 258 mod 599
99960 ⋅ 247 ⋅ 234 ⋅ 258 mod 599 ≡ 526 ⋅ 247 ⋅ 234 ⋅ 258 mod 599
129922 ⋅ 234 ⋅ 258 mod 599 ≡ 538 ⋅ 234 ⋅ 258 mod 599
125892 ⋅ 258 mod 599 ≡ 102 ⋅ 258 mod 599
26316 mod 599 ≡ 559 mod 599

Es gilt also: 258157 ≡ 559 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101 = 1⋅52 + 49
=>52 = 1⋅49 + 3
=>49 = 16⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49)
= -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52)
= 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.