Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 - 900) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 - 900) mod 9 ≡ (86 mod 9 - 900 mod 9) mod 9.

86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 90-4 = 9 ⋅ 10 -4 = 9 ⋅ 10 - 9 + 5.

900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 9 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(86 - 900) mod 9 ≡ (5 - 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 81) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 81) mod 5 ≡ (95 mod 5 ⋅ 81 mod 5) mod 5.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 81) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39864 mod 599.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 398 -> x
2. mod(x²,599) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3981=398

2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 268 mod 599

4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 543 mod 599

8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 141 mod 599

16: 39816=3988+8=3988⋅3988 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 114 mod 599

32: 39832=39816+16=39816⋅39816 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 417 mod 599

64: 39864=39832+32=39832⋅39832 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 179 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 225138 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:

138 = 128+8+2

1: 2251=225

2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 253 mod 257

4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257

8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257

64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257

128: 225128=22564+64=22564⋅22564 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257

225138

= 225128+8+2

= 225128⋅2258⋅2252

1 ⋅ 256 ⋅ 253 mod 257
256 ⋅ 253 mod 257
64768 mod 257 ≡ 4 mod 257

Es gilt also: 225138 ≡ 4 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63

=>67 = 1⋅63 + 4
=>63 = 15⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 63-15⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4)
= -1⋅63 +16⋅ 4 (=1)
4= 67-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63)
= 16⋅67 -17⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -17⋅63

-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63

-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1

(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1

50⋅63 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1

Somit 50⋅63 = 1 mod 67

50 ist also das Inverse von 63 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.