Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (368 - 3607) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(368 - 3607) mod 9 ≡ (368 mod 9 - 3607 mod 9) mod 9.

368 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 368 = 360+8 = 9 ⋅ 40 +8.

3607 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3607 = 3600+7 = 9 ⋅ 400 +7.

Somit gilt:

(368 - 3607) mod 9 ≡ (8 - 7) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 74) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 74) mod 7 ≡ (64 mod 7 ⋅ 74 mod 7) mod 7.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 74) mod 7 ≡ (1 ⋅ 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2668 mod 419.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 266 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2661=266

2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 364 mod 419

4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 92 mod 419

8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 84 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 189195 mod 433.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 195 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 195 an und zerlegen 195 in eine Summer von 2er-Potenzen:

195 = 128+64+2+1

1: 1891=189

2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 215 mod 433

4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 327 mod 433

8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 411 mod 433

16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 51 mod 433

32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 3 mod 433

64: 18964=18932+32=18932⋅18932 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 433

128: 189128=18964+64=18964⋅18964 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 433

189195

= 189128+64+2+1

= 189128⋅18964⋅1892⋅1891

81 ⋅ 9 ⋅ 215 ⋅ 189 mod 433
729 ⋅ 215 ⋅ 189 mod 433 ≡ 296 ⋅ 215 ⋅ 189 mod 433
63640 ⋅ 189 mod 433 ≡ 422 ⋅ 189 mod 433
79758 mod 433 ≡ 86 mod 433

Es gilt also: 189195 ≡ 86 mod 433

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55

=>71 = 1⋅55 + 16
=>55 = 3⋅16 + 7
=>16 = 2⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 16-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7)
= -3⋅16 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-3⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16)
= -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16)
= 7⋅55 -24⋅ 16 (=1)
16= 71-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55)
= -24⋅71 +31⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55

oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +24⋅71 = +31⋅55

Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1

Somit 31⋅55 = 1 mod 71

31 ist also das Inverse von 55 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.