Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 - 12001) mod 4 ≡ (1600 mod 4 - 12001 mod 4) mod 4.

1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 4 ⋅ 400 +0.

12001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 4 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(1600 - 12001) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 45) mod 9 ≡ (18 mod 9 ⋅ 45 mod 9) mod 9.

18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 45) mod 9 ≡ (0 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 290¹=290

2: 290²=290¹⁺¹=290¹⋅290¹ ≡ 290⋅290=84100 ≡ 593 mod 739

4: 290⁴=290²⁺²=290²⋅290² ≡ 593⋅593=351649 ≡ 624 mod 739

8: 290⁸=290⁴⁺⁴=290⁴⋅290⁴ ≡ 624⋅624=389376 ≡ 662 mod 739

16: 290¹⁶=290⁸⁺⁸=290⁸⋅290⁸ ≡ 662⋅662=438244 ≡ 17 mod 739

32: 290³²=290¹⁶⁺¹⁶=290¹⁶⋅290¹⁶ ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 739

64: 290⁶⁴=290³²⁺³²=290³²⋅290³² ≡ 289⋅289=83521 ≡ 14 mod 739

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

401²¹⁷

= 401^{128+64+16+8+1}

= 401¹²⁸⋅401⁶⁴⋅401¹⁶⋅401⁸⋅401¹

≡ 338 ⋅ 278 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487
≡ 93964 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487 ≡ 460 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487
≡ 7360 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487 ≡ 55 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487
≡ 220 ⋅ 401 mod 487
≡ 88220 mod 487 ≡ 73 mod 487

Es gilt also: 401²¹⁷ ≡ 73 mod 487

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 47

=>71	= 1⋅47 + 24
=>47	= 1⋅24 + 23
=>24	= 1⋅23 + 1
=>23	= 23⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 24-1⋅23
23= 47-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅24 -1⋅(47 -1⋅ 24) = 1⋅24 -1⋅47 +1⋅ 24) = -1⋅47 +2⋅ 24 (=1)
24= 71-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +2⋅(71 -1⋅ 47) = -1⋅47 +2⋅71 -2⋅ 47) = 2⋅71 -3⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(71,47)=1 = 2⋅71 -3⋅47

oder wenn man 2⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅71 = -3⋅47

-3⋅47 = -2⋅71 + 1 |+71⋅47

-3⋅47 + 71⋅47 = -2⋅71 + 71⋅47 + 1

(-3 + 71) ⋅ 47 = (-2 + 47) ⋅ 71 + 1

68⋅47 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 68⋅47 = 45⋅71 +1

Somit 68⋅47 = 1 mod 71

68 ist also das Inverse von 47 mod 71