Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (804 + 15999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(804 + 15999) mod 4 ≡ (804 mod 4 + 15999 mod 4) mod 4.
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999
= 15000
Somit gilt:
(804 + 15999) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 19) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 19) mod 10 ≡ (51 mod 10 ⋅ 19 mod 10) mod 10.
51 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 5 ⋅ 10 + 1 ist.
19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 19) mod 10 ≡ (1 ⋅ 9) mod 10 ≡ 9 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21816 mod 337.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 218 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2181=218
2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 7 mod 337
4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 337
8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 42 mod 337
16: 21816=2188+8=2188⋅2188 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 79 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 186176 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 1861=186
2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 222 mod 337
4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 82 mod 337
8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 321 mod 337
16: 18616=1868+8=1868⋅1868 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 256 mod 337
32: 18632=18616+16=18616⋅18616 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 158 mod 337
64: 18664=18632+32=18632⋅18632 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 26 mod 337
128: 186128=18664+64=18664⋅18664 ≡ 26⋅26=676 ≡ 2 mod 337
186176
= 186128+32+16
= 186128⋅18632⋅18616
≡ 2 ⋅ 158 ⋅ 256 mod 337
≡ 316 ⋅ 256 mod 337
≡ 80896 mod 337 ≡ 16 mod 337
Es gilt also: 186176 ≡ 16 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 56
| =>59 | = 1⋅56 + 3 |
| =>56 | = 18⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 56-18⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(56 -18⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅56 +18⋅ 3) = -1⋅56 +19⋅ 3 (=1) |
| 3= 59-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅56 +19⋅(59 -1⋅ 56)
= -1⋅56 +19⋅59 -19⋅ 56) = 19⋅59 -20⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,56)=1 = 19⋅59 -20⋅56
oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅59 = -20⋅56
-20⋅56 = -19⋅59 + 1 |+59⋅56
-20⋅56 + 59⋅56 = -19⋅59 + 59⋅56 + 1
(-20 + 59) ⋅ 56 = (-19 + 56) ⋅ 59 + 1
39⋅56 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 39⋅56 = 37⋅59 +1
Somit 39⋅56 = 1 mod 59
39 ist also das Inverse von 56 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
