Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18005 + 119) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18005 + 119) mod 6 ≡ (18005 mod 6 + 119 mod 6) mod 6.
18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005
= 18000
119 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
Somit gilt:
(18005 + 119) mod 6 ≡ (5 + 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 93) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 93) mod 6 ≡ (16 mod 6 ⋅ 93 mod 6) mod 6.
16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.
93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 93) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21932 mod 223.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 219 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2191=219
2: 2192=2191+1=2191⋅2191 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 16 mod 223
4: 2194=2192+2=2192⋅2192 ≡ 16⋅16=256 ≡ 33 mod 223
8: 2198=2194+4=2194⋅2194 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 197 mod 223
16: 21916=2198+8=2198⋅2198 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 7 mod 223
32: 21932=21916+16=21916⋅21916 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 191210 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 210 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 210 an und zerlegen 210 in eine Summer von 2er-Potenzen:
210 = 128+64+16+2
1: 1911=191
2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 391 mod 401
4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 100 mod 401
8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 376 mod 401
16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 224 mod 401
32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401
64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401
128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
191210
= 191128+64+16+2
= 191128⋅19164⋅19116⋅1912
≡ 331 ⋅ 195 ⋅ 224 ⋅ 391 mod 401
≡ 64545 ⋅ 224 ⋅ 391 mod 401 ≡ 385 ⋅ 224 ⋅ 391 mod 401
≡ 86240 ⋅ 391 mod 401 ≡ 25 ⋅ 391 mod 401
≡ 9775 mod 401 ≡ 151 mod 401
Es gilt also: 191210 ≡ 151 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 75
| =>79 | = 1⋅75 + 4 |
| =>75 | = 18⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 75-18⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(75 -18⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅75 +18⋅ 4) = -1⋅75 +19⋅ 4 (=1) |
| 4= 79-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅75 +19⋅(79 -1⋅ 75)
= -1⋅75 +19⋅79 -19⋅ 75) = 19⋅79 -20⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,75)=1 = 19⋅79 -20⋅75
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -20⋅75
-20⋅75 = -19⋅79 + 1 |+79⋅75
-20⋅75 + 79⋅75 = -19⋅79 + 79⋅75 + 1
(-20 + 79) ⋅ 75 = (-19 + 75) ⋅ 79 + 1
59⋅75 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 59⋅75 = 56⋅79 +1
Somit 59⋅75 = 1 mod 79
59 ist also das Inverse von 75 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
