Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3002 - 600) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3002 - 600) mod 3 ≡ (3002 mod 3 - 600 mod 3) mod 3.
3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
Somit gilt:
(3002 - 600) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 70) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 70) mod 11 ≡ (84 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.
84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.
70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 70) mod 11 ≡ (7 ⋅ 4) mod 11 ≡ 28 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20532 mod 353.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 205 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2051=205
2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 18 mod 353
4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 353
8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 135 mod 353
16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 222 mod 353
32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 217 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 391150 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 3911=391
2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 469 mod 977
4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 136 mod 977
8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 910 mod 977
16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 910⋅910=828100 ≡ 581 mod 977
32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 496 mod 977
64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 789 mod 977
128: 391128=39164+64=39164⋅39164 ≡ 789⋅789=622521 ≡ 172 mod 977
391150
= 391128+16+4+2
= 391128⋅39116⋅3914⋅3912
≡ 172 ⋅ 581 ⋅ 136 ⋅ 469 mod 977
≡ 99932 ⋅ 136 ⋅ 469 mod 977 ≡ 278 ⋅ 136 ⋅ 469 mod 977
≡ 37808 ⋅ 469 mod 977 ≡ 682 ⋅ 469 mod 977
≡ 319858 mod 977 ≡ 379 mod 977
Es gilt also: 391150 ≡ 379 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
