Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (602 - 597) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(602 - 597) mod 6 ≡ (602 mod 6 - 597 mod 6) mod 6.
602 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602
= 600
597 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597
= 600
Somit gilt:
(602 - 597) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 90) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 90) mod 9 ≡ (89 mod 9 ⋅ 90 mod 9) mod 9.
89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 81 + 8 = 9 ⋅ 9 + 8 ist.
90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 10 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 90) mod 9 ≡ (8 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3468 mod 821.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 671 mod 821
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 333 mod 821
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 54 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 326218 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:
218 = 128+64+16+8+2
1: 3261=326
2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 583 mod 719
4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 521 mod 719
8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 378 mod 719
16: 32616=3268+8=3268⋅3268 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 522 mod 719
32: 32632=32616+16=32616⋅32616 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 702 mod 719
64: 32664=32632+32=32632⋅32632 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 289 mod 719
128: 326128=32664+64=32664⋅32664 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 117 mod 719
326218
= 326128+64+16+8+2
= 326128⋅32664⋅32616⋅3268⋅3262
≡ 117 ⋅ 289 ⋅ 522 ⋅ 378 ⋅ 583 mod 719
≡ 33813 ⋅ 522 ⋅ 378 ⋅ 583 mod 719 ≡ 20 ⋅ 522 ⋅ 378 ⋅ 583 mod 719
≡ 10440 ⋅ 378 ⋅ 583 mod 719 ≡ 374 ⋅ 378 ⋅ 583 mod 719
≡ 141372 ⋅ 583 mod 719 ≡ 448 ⋅ 583 mod 719
≡ 261184 mod 719 ≡ 187 mod 719
Es gilt also: 326218 ≡ 187 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 75
| =>89 | = 1⋅75 + 14 |
| =>75 | = 5⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 75-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(75 -5⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅75 -15⋅ 14) = 3⋅75 -16⋅ 14 (=1) |
| 14= 89-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅75 -16⋅(89 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -16⋅89 +16⋅ 75) = -16⋅89 +19⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,75)=1 = -16⋅89 +19⋅75
oder wenn man -16⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅89 = +19⋅75
Es gilt also: 19⋅75 = 16⋅89 +1
Somit 19⋅75 = 1 mod 89
19 ist also das Inverse von 75 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
