Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3003 + 3003) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3003 + 3003) mod 3 ≡ (3003 mod 3 + 3003 mod 3) mod 3.
3003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003
= 3000
3003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003
= 3000
Somit gilt:
(3003 + 3003) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 77) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 77) mod 9 ≡ (21 mod 9 ⋅ 77 mod 9) mod 9.
21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.
77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 77) mod 9 ≡ (3 ⋅ 5) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37416 mod 967.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 374 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3741=374
2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 628 mod 967
4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 815 mod 967
8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 815⋅815=664225 ≡ 863 mod 967
16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 863⋅863=744769 ≡ 179 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 534108 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 5341=534
2: 5342=5341+1=5341⋅5341 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 550 mod 701
4: 5344=5342+2=5342⋅5342 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 369 mod 701
8: 5348=5344+4=5344⋅5344 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 167 mod 701
16: 53416=5348+8=5348⋅5348 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 550 mod 701
32: 53432=53416+16=53416⋅53416 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 369 mod 701
64: 53464=53432+32=53432⋅53432 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 167 mod 701
534108
= 53464+32+8+4
= 53464⋅53432⋅5348⋅5344
≡ 167 ⋅ 369 ⋅ 167 ⋅ 369 mod 701
≡ 61623 ⋅ 167 ⋅ 369 mod 701 ≡ 636 ⋅ 167 ⋅ 369 mod 701
≡ 106212 ⋅ 369 mod 701 ≡ 361 ⋅ 369 mod 701
≡ 133209 mod 701 ≡ 19 mod 701
Es gilt also: 534108 ≡ 19 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 29
| =>97 | = 3⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-3⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(97 -3⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅97 -9⋅ 29) = 3⋅97 -10⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,29)=1 = 3⋅97 -10⋅29
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -10⋅29
-10⋅29 = -3⋅97 + 1 |+97⋅29
-10⋅29 + 97⋅29 = -3⋅97 + 97⋅29 + 1
(-10 + 97) ⋅ 29 = (-3 + 29) ⋅ 97 + 1
87⋅29 = 26⋅97 + 1
Es gilt also: 87⋅29 = 26⋅97 +1
Somit 87⋅29 = 1 mod 97
87 ist also das Inverse von 29 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
