Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32005 - 240) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32005 - 240) mod 8 ≡ (32005 mod 8 - 240 mod 8) mod 8.
32005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32005
= 32000
240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
Somit gilt:
(32005 - 240) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 85) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 85) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 85) mod 10 ≡ (4 ⋅ 5) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 328128 mod 331.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,331) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3281=328
2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 9 mod 331
4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 331
8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 272 mod 331
16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 171 mod 331
32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 113 mod 331
64: 32864=32832+32=32832⋅32832 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 191 mod 331
128: 328128=32864+64=32864⋅32864 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 71 mod 331
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64484 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 6441=644
2: 6442=6441+1=6441⋅6441 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 155 mod 683
4: 6444=6442+2=6442⋅6442 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 120 mod 683
8: 6448=6444+4=6444⋅6444 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 57 mod 683
16: 64416=6448+8=6448⋅6448 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 517 mod 683
32: 64432=64416+16=64416⋅64416 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 236 mod 683
64: 64464=64432+32=64432⋅64432 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 373 mod 683
64484
= 64464+16+4
= 64464⋅64416⋅6444
≡ 373 ⋅ 517 ⋅ 120 mod 683
≡ 192841 ⋅ 120 mod 683 ≡ 235 ⋅ 120 mod 683
≡ 28200 mod 683 ≡ 197 mod 683
Es gilt also: 64484 ≡ 197 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47
| =>61 | = 1⋅47 + 14 |
| =>47 | = 3⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-3⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14) = 3⋅47 -10⋅ 14 (=1) |
| 14= 61-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47) = -10⋅61 +13⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47
oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅61 = +13⋅47
Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1
Somit 13⋅47 = 1 mod 61
13 ist also das Inverse von 47 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
