Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (182 + 900) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(182 + 900) mod 9 ≡ (182 mod 9 + 900 mod 9) mod 9.
182 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182
= 180
900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(182 + 900) mod 9 ≡ (2 + 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 65) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 65) mod 10 ≡ (24 mod 10 ⋅ 65 mod 10) mod 10.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 65) mod 10 ≡ (4 ⋅ 5) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36416 mod 587.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 364 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3641=364
2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 421 mod 587
4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 554 mod 587
8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 502 mod 587
16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 181 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 253113 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:
113 = 64+32+16+1
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 51 mod 283
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 54 mod 283
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 86 mod 283
16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 38 mod 283
32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 29 mod 283
64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 29⋅29=841 ≡ 275 mod 283
253113
= 25364+32+16+1
= 25364⋅25332⋅25316⋅2531
≡ 275 ⋅ 29 ⋅ 38 ⋅ 253 mod 283
≡ 7975 ⋅ 38 ⋅ 253 mod 283 ≡ 51 ⋅ 38 ⋅ 253 mod 283
≡ 1938 ⋅ 253 mod 283 ≡ 240 ⋅ 253 mod 283
≡ 60720 mod 283 ≡ 158 mod 283
Es gilt also: 253113 ≡ 158 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25
| =>67 | = 2⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25) = 3⋅67 -8⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -8⋅25
-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25
-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1
(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1
59⋅25 = 22⋅67 + 1
Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1
Somit 59⋅25 = 1 mod 67
59 ist also das Inverse von 25 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
