Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17998 + 893) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17998 + 893) mod 9 ≡ (17998 mod 9 + 893 mod 9) mod 9.
17998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998
= 18000
893 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 893
= 900
Somit gilt:
(17998 + 893) mod 9 ≡ (7 + 2) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 19) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 19) mod 10 ≡ (29 mod 10 ⋅ 19 mod 10) mod 10.
29 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 20 + 9 = 2 ⋅ 10 + 9 ist.
19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 19) mod 10 ≡ (9 ⋅ 9) mod 10 ≡ 81 mod 10 ≡ 1 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59016 mod 821.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 590 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5901=590
2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 817 mod 821
4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 817⋅817=667489 ≡ 16 mod 821
8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 821
16: 59016=5908+8=5908⋅5908 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 677 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 366108 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 3661=366
2: 3662=3661+1=3661⋅3661 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 630 mod 823
4: 3664=3662+2=3662⋅3662 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 214 mod 823
8: 3668=3664+4=3664⋅3664 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 531 mod 823
16: 36616=3668+8=3668⋅3668 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 495 mod 823
32: 36632=36616+16=36616⋅36616 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 594 mod 823
64: 36664=36632+32=36632⋅36632 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 592 mod 823
366108
= 36664+32+8+4
= 36664⋅36632⋅3668⋅3664
≡ 592 ⋅ 594 ⋅ 531 ⋅ 214 mod 823
≡ 351648 ⋅ 531 ⋅ 214 mod 823 ≡ 227 ⋅ 531 ⋅ 214 mod 823
≡ 120537 ⋅ 214 mod 823 ≡ 379 ⋅ 214 mod 823
≡ 81106 mod 823 ≡ 452 mod 823
Es gilt also: 366108 ≡ 452 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32
| =>67 | = 2⋅32 + 3 |
| =>32 | = 10⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 32-10⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1) |
| 3= 67-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32) = 11⋅67 -23⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -23⋅32
-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32
-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1
(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1
44⋅32 = 21⋅67 + 1
Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1
Somit 44⋅32 = 1 mod 67
44 ist also das Inverse von 32 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
