Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2803 + 343) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2803 + 343) mod 7 ≡ (2803 mod 7 + 343 mod 7) mod 7.

2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803 = 2800+3 = 7 ⋅ 400 +3.

343 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 343 = 350-7 = 7 ⋅ 50 -7 = 7 ⋅ 50 - 7 + 0.

Somit gilt:

(2803 + 343) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 42) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 42) mod 7 ≡ (78 mod 7 ⋅ 42 mod 7) mod 7.

78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.

42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 42) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3968 mod 563.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 396 -> x
2. mod(x²,563) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3961=396

2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 302 mod 563

4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 561 mod 563

8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 4 mod 563

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18399 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

1: 1831=183

2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 35 mod 389

4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 58 mod 389

8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 252 mod 389

16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 97 mod 389

32: 18332=18316+16=18316⋅18316 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 73 mod 389

64: 18364=18332+32=18332⋅18332 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 272 mod 389

18399

= 18364+32+2+1

= 18364⋅18332⋅1832⋅1831

272 ⋅ 73 ⋅ 35 ⋅ 183 mod 389
19856 ⋅ 35 ⋅ 183 mod 389 ≡ 17 ⋅ 35 ⋅ 183 mod 389
595 ⋅ 183 mod 389 ≡ 206 ⋅ 183 mod 389
37698 mod 389 ≡ 354 mod 389

Es gilt also: 18399 ≡ 354 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40

=>67 = 1⋅40 + 27
=>40 = 1⋅27 + 13
=>27 = 2⋅13 + 1
=>13 = 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 27-2⋅13
13= 40-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27)
= -2⋅40 +3⋅ 27 (=1)
27= 67-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40)
= 3⋅67 -5⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -5⋅40

-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40

-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1

(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1

62⋅40 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1

Somit 62⋅40 = 1 mod 67

62 ist also das Inverse von 40 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.