Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2495 + 9999) mod 5 ≡ (2495 mod 5 + 9999 mod 5) mod 5.

2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495 = 2400+95 = 5 ⋅ 480 +95.

9999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9999 = 9000+999 = 5 ⋅ 1800 +999.

Somit gilt:

(2495 + 9999) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 84) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 84) mod 8 ≡ (2 ⋅ 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 393¹=393

2: 393²=393¹⁺¹=393¹⋅393¹ ≡ 393⋅393=154449 ≡ 737 mod 739

4: 393⁴=393²⁺²=393²⋅393² ≡ 737⋅737=543169 ≡ 4 mod 739

8: 393⁸=393⁴⁺⁴=393⁴⋅393⁴ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 739

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

596¹⁸⁵

= 596^{128+32+16+8+1}

= 596¹²⁸⋅596³²⋅596¹⁶⋅596⁸⋅596¹

≡ 299 ⋅ 635 ⋅ 85 ⋅ 541 ⋅ 596 mod 659
≡ 189865 ⋅ 85 ⋅ 541 ⋅ 596 mod 659 ≡ 73 ⋅ 85 ⋅ 541 ⋅ 596 mod 659
≡ 6205 ⋅ 541 ⋅ 596 mod 659 ≡ 274 ⋅ 541 ⋅ 596 mod 659
≡ 148234 ⋅ 596 mod 659 ≡ 618 ⋅ 596 mod 659
≡ 368328 mod 659 ≡ 606 mod 659

Es gilt also: 596¹⁸⁵ ≡ 606 mod 659

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67	= 1⋅44 + 23
=>44	= 1⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44) = 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67