Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 - 60) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 - 60) mod 3 ≡ (29 mod 3 - 60 mod 3) mod 3.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 30-1 = 3 ⋅ 10 -1 = 3 ⋅ 10 - 3 + 2.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(29 - 60) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 26) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 26) mod 8 ≡ (86 mod 8 ⋅ 26 mod 8) mod 8.

86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.

26 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 3 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 26) mod 8 ≡ (6 ⋅ 2) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23432 mod 607.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,607) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2341=234

2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 126 mod 607

4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 94 mod 607

8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 338 mod 607

16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 128 mod 607

32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 602 mod 607

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26975 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

1: 2691=269

2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 370 mod 421

4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 75 mod 421

8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 152 mod 421

16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 370 mod 421

32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 75 mod 421

64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 152 mod 421

26975

= 26964+8+2+1

= 26964⋅2698⋅2692⋅2691

152 ⋅ 152 ⋅ 370 ⋅ 269 mod 421
23104 ⋅ 370 ⋅ 269 mod 421 ≡ 370 ⋅ 370 ⋅ 269 mod 421
136900 ⋅ 269 mod 421 ≡ 75 ⋅ 269 mod 421
20175 mod 421 ≡ 388 mod 421

Es gilt also: 26975 ≡ 388 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.

Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67

=>71 = 1⋅67 + 4
=>67 = 16⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 67-16⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4)
= -1⋅67 +17⋅ 4 (=1)
4= 71-1⋅67 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67)
= 17⋅71 -18⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67

oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅71 = -18⋅67

-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67

-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1

(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1

53⋅67 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1

Somit 53⋅67 = 1 mod 71

53 ist also das Inverse von 67 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.