Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29999 - 1805) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29999 - 1805) mod 6 ≡ (29999 mod 6 - 1805 mod 6) mod 6.
29999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29999
= 30000
1805 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1805
= 1800
Somit gilt:
(29999 - 1805) mod 6 ≡ (5 - 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 64) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 64) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 64 mod 9) mod 9.
74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.
64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 64) mod 9 ≡ (2 ⋅ 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9138 mod 967.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 913 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9131=913
2: 9132=9131+1=9131⋅9131 ≡ 913⋅913=833569 ≡ 15 mod 967
4: 9134=9132+2=9132⋅9132 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 967
8: 9138=9134+4=9134⋅9134 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 341 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30383 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 897 mod 947
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 897⋅897=804609 ≡ 606 mod 947
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 747 mod 947
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 747⋅747=558009 ≡ 226 mod 947
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 885 mod 947
64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 885⋅885=783225 ≡ 56 mod 947
30383
= 30364+16+2+1
= 30364⋅30316⋅3032⋅3031
≡ 56 ⋅ 226 ⋅ 897 ⋅ 303 mod 947
≡ 12656 ⋅ 897 ⋅ 303 mod 947 ≡ 345 ⋅ 897 ⋅ 303 mod 947
≡ 309465 ⋅ 303 mod 947 ≡ 743 ⋅ 303 mod 947
≡ 225129 mod 947 ≡ 690 mod 947
Es gilt also: 30383 ≡ 690 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
