Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (365 + 909) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(365 + 909) mod 9 ≡ (365 mod 9 + 909 mod 9) mod 9.
365 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 365
= 360
909 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 909
= 900
Somit gilt:
(365 + 909) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 18) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 18) mod 3 ≡ (85 mod 3 ⋅ 18 mod 3) mod 3.
85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.
18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 18) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29932 mod 733.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 299 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 708 mod 733
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 625 mod 733
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 669 mod 733
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 431 mod 733
32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 312 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 314149 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 3141=314
2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 9 mod 317
4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 317
8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 221 mod 317
16: 31416=3148+8=3148⋅3148 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 23 mod 317
32: 31432=31416+16=31416⋅31416 ≡ 23⋅23=529 ≡ 212 mod 317
64: 31464=31432+32=31432⋅31432 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 247 mod 317
128: 314128=31464+64=31464⋅31464 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 145 mod 317
314149
= 314128+16+4+1
= 314128⋅31416⋅3144⋅3141
≡ 145 ⋅ 23 ⋅ 81 ⋅ 314 mod 317
≡ 3335 ⋅ 81 ⋅ 314 mod 317 ≡ 165 ⋅ 81 ⋅ 314 mod 317
≡ 13365 ⋅ 314 mod 317 ≡ 51 ⋅ 314 mod 317
≡ 16014 mod 317 ≡ 164 mod 317
Es gilt also: 314149 ≡ 164 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34
| =>73 | = 2⋅34 + 5 |
| =>34 | = 6⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 34-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34) = 7⋅73 -15⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -15⋅34
-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34
-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1
(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1
58⋅34 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1
Somit 58⋅34 = 1 mod 73
58 ist also das Inverse von 34 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
