Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11999 - 12000) mod 3 ≡ (11999 mod 3 - 12000 mod 3) mod 3.

11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 3 ⋅ 4000 -1 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 2.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(11999 - 12000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 58) mod 8 ≡ (31 mod 8 ⋅ 58 mod 8) mod 8.

31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.

58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 58) mod 8 ≡ (7 ⋅ 2) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 436¹=436

2: 436²=436¹⁺¹=436¹⋅436¹ ≡ 436⋅436=190096 ≡ 711 mod 773

4: 436⁴=436²⁺²=436²⋅436² ≡ 711⋅711=505521 ≡ 752 mod 773

8: 436⁸=436⁴⁺⁴=436⁴⋅436⁴ ≡ 752⋅752=565504 ≡ 441 mod 773

16: 436¹⁶=436⁸⁺⁸=436⁸⋅436⁸ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 458 mod 773

32: 436³²=436¹⁶⁺¹⁶=436¹⁶⋅436¹⁶ ≡ 458⋅458=209764 ≡ 281 mod 773

64: 436⁶⁴=436³²⁺³²=436³²⋅436³² ≡ 281⋅281=78961 ≡ 115 mod 773

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

278¹⁸⁹

= 278^{128+32+16+8+4+1}

= 278¹²⁸⋅278³²⋅278¹⁶⋅278⁸⋅278⁴⋅278¹

≡ 4 ⋅ 252 ⋅ 50 ⋅ 98 ⋅ 81 ⋅ 278 mod 281
≡ 1008 ⋅ 50 ⋅ 98 ⋅ 81 ⋅ 278 mod 281 ≡ 165 ⋅ 50 ⋅ 98 ⋅ 81 ⋅ 278 mod 281
≡ 8250 ⋅ 98 ⋅ 81 ⋅ 278 mod 281 ≡ 101 ⋅ 98 ⋅ 81 ⋅ 278 mod 281
≡ 9898 ⋅ 81 ⋅ 278 mod 281 ≡ 63 ⋅ 81 ⋅ 278 mod 281
≡ 5103 ⋅ 278 mod 281 ≡ 45 ⋅ 278 mod 281
≡ 12510 mod 281 ≡ 146 mod 281

Es gilt also: 278¹⁸⁹ ≡ 146 mod 281

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35

=>79	= 2⋅35 + 9
=>35	= 3⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 79-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35) = -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35) = 4⋅79 -9⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -9⋅35

-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35

-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1

(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1

70⋅35 = 31⋅79 + 1

Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1

Somit 70⋅35 = 1 mod 79

70 ist also das Inverse von 35 mod 79