Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3997 - 397) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3997 - 397) mod 8 ≡ (3997 mod 8 - 397 mod 8) mod 8.
3997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997
= 4000
397 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397
= 400
Somit gilt:
(3997 - 397) mod 8 ≡ (5 - 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 81) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 81) mod 8 ≡ (80 mod 8 ⋅ 81 mod 8) mod 8.
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.
81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 81) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12016 mod 397.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 120 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1201=120
2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 108 mod 397
4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 151 mod 397
8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 172 mod 397
16: 12016=1208+8=1208⋅1208 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 206 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 723177 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:
177 = 128+32+16+1
1: 7231=723
2: 7232=7231+1=7231⋅7231 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 65 mod 827
4: 7234=7232+2=7232⋅7232 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 90 mod 827
8: 7238=7234+4=7234⋅7234 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 657 mod 827
16: 72316=7238+8=7238⋅7238 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 782 mod 827
32: 72332=72316+16=72316⋅72316 ≡ 782⋅782=611524 ≡ 371 mod 827
64: 72364=72332+32=72332⋅72332 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 359 mod 827
128: 723128=72364+64=72364⋅72364 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 696 mod 827
723177
= 723128+32+16+1
= 723128⋅72332⋅72316⋅7231
≡ 696 ⋅ 371 ⋅ 782 ⋅ 723 mod 827
≡ 258216 ⋅ 782 ⋅ 723 mod 827 ≡ 192 ⋅ 782 ⋅ 723 mod 827
≡ 150144 ⋅ 723 mod 827 ≡ 457 ⋅ 723 mod 827
≡ 330411 mod 827 ≡ 438 mod 827
Es gilt also: 723177 ≡ 438 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 47
| =>71 | = 1⋅47 + 24 |
| =>47 | = 1⋅24 + 23 |
| =>24 | = 1⋅23 + 1 |
| =>23 | = 23⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 24-1⋅23 | |||
| 23= 47-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅24 -1⋅(47 -1⋅ 24)
= 1⋅24 -1⋅47 +1⋅ 24) = -1⋅47 +2⋅ 24 (=1) |
| 24= 71-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +2⋅(71 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +2⋅71 -2⋅ 47) = 2⋅71 -3⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,47)=1 = 2⋅71 -3⋅47
oder wenn man 2⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅71 = -3⋅47
-3⋅47 = -2⋅71 + 1 |+71⋅47
-3⋅47 + 71⋅47 = -2⋅71 + 71⋅47 + 1
(-3 + 71) ⋅ 47 = (-2 + 47) ⋅ 71 + 1
68⋅47 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 68⋅47 = 45⋅71 +1
Somit 68⋅47 = 1 mod 71
68 ist also das Inverse von 47 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
