Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21005 - 14004) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21005 - 14004) mod 7 ≡ (21005 mod 7 - 14004 mod 7) mod 7.
21005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21005
= 21000
14004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14004
= 14000
Somit gilt:
(21005 - 14004) mod 7 ≡ (5 - 4) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 77) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 77) mod 8 ≡ (81 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.
81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 77) mod 8 ≡ (1 ⋅ 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1308 mod 349.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 130 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 148 mod 349
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 266 mod 349
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 258 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 363116 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 3631=363
2: 3632=3631+1=3631⋅3631 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 123 mod 593
4: 3634=3632+2=3632⋅3632 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 304 mod 593
8: 3638=3634+4=3634⋅3634 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 501 mod 593
16: 36316=3638+8=3638⋅3638 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 162 mod 593
32: 36332=36316+16=36316⋅36316 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 152 mod 593
64: 36364=36332+32=36332⋅36332 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 570 mod 593
363116
= 36364+32+16+4
= 36364⋅36332⋅36316⋅3634
≡ 570 ⋅ 152 ⋅ 162 ⋅ 304 mod 593
≡ 86640 ⋅ 162 ⋅ 304 mod 593 ≡ 62 ⋅ 162 ⋅ 304 mod 593
≡ 10044 ⋅ 304 mod 593 ≡ 556 ⋅ 304 mod 593
≡ 169024 mod 593 ≡ 19 mod 593
Es gilt also: 363116 ≡ 19 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 51
| =>97 | = 1⋅51 + 46 |
| =>51 | = 1⋅46 + 5 |
| =>46 | = 9⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 46-9⋅5 | |||
| 5= 51-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅46 -9⋅(51 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -9⋅51 +9⋅ 46) = -9⋅51 +10⋅ 46 (=1) |
| 46= 97-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅51 +10⋅(97 -1⋅ 51)
= -9⋅51 +10⋅97 -10⋅ 51) = 10⋅97 -19⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,51)=1 = 10⋅97 -19⋅51
oder wenn man 10⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅97 = -19⋅51
-19⋅51 = -10⋅97 + 1 |+97⋅51
-19⋅51 + 97⋅51 = -10⋅97 + 97⋅51 + 1
(-19 + 97) ⋅ 51 = (-10 + 51) ⋅ 97 + 1
78⋅51 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 78⋅51 = 41⋅97 +1
Somit 78⋅51 = 1 mod 97
78 ist also das Inverse von 51 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
