Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20996 + 67) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20996 + 67) mod 7 ≡ (20996 mod 7 + 67 mod 7) mod 7.
20996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20996
= 21000
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67
= 70
Somit gilt:
(20996 + 67) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 23) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 23) mod 8 ≡ (24 mod 8 ⋅ 23 mod 8) mod 8.
24 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 3 ⋅ 8 + 0 ist.
23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 23) mod 8 ≡ (0 ⋅ 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3068 mod 701.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3061=306
2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 403 mod 701
4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 478 mod 701
8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 659 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49190 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 4911=491
2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617
4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617
8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617
16: 49116=4918+8=4918⋅4918 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617
32: 49132=49116+16=49116⋅49116 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617
64: 49164=49132+32=49132⋅49132 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617
49190
= 49164+16+8+2
= 49164⋅49116⋅4918⋅4912
≡ 491 ⋅ 451 ⋅ 491 ⋅ 451 mod 617
≡ 221441 ⋅ 491 ⋅ 451 mod 617 ≡ 555 ⋅ 491 ⋅ 451 mod 617
≡ 272505 ⋅ 451 mod 617 ≡ 408 ⋅ 451 mod 617
≡ 184008 mod 617 ≡ 142 mod 617
Es gilt also: 49190 ≡ 142 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 35
| =>89 | = 2⋅35 + 19 |
| =>35 | = 1⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 35-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(35 -1⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅35 -6⋅ 19) = 6⋅35 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 89-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅35 -11⋅(89 -2⋅ 35)
= 6⋅35 -11⋅89 +22⋅ 35) = -11⋅89 +28⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,35)=1 = -11⋅89 +28⋅35
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +28⋅35
Es gilt also: 28⋅35 = 11⋅89 +1
Somit 28⋅35 = 1 mod 89
28 ist also das Inverse von 35 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
