Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2106 - 34994) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2106 - 34994) mod 7 ≡ (2106 mod 7 - 34994 mod 7) mod 7.
2106 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2106
= 2100
34994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34994
= 35000
Somit gilt:
(2106 - 34994) mod 7 ≡ (6 - 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 38) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 38) mod 7 ≡ (89 mod 7 ⋅ 38 mod 7) mod 7.
89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.
38 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 5 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 38) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 398128 mod 683.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 398 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3981=398
2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 631 mod 683
4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 655 mod 683
8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 101 mod 683
16: 39816=3988+8=3988⋅3988 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 639 mod 683
32: 39832=39816+16=39816⋅39816 ≡ 639⋅639=408321 ≡ 570 mod 683
64: 39864=39832+32=39832⋅39832 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 475 mod 683
128: 398128=39864+64=39864⋅39864 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 235 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 293194 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:
194 = 128+64+2
1: 2931=293
2: 2932=2931+1=2931⋅2931 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 269 mod 389
4: 2934=2932+2=2932⋅2932 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 7 mod 389
8: 2938=2934+4=2934⋅2934 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 389
16: 29316=2938+8=2938⋅2938 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 67 mod 389
32: 29332=29316+16=29316⋅29316 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 210 mod 389
64: 29364=29332+32=29332⋅29332 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 143 mod 389
128: 293128=29364+64=29364⋅29364 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 221 mod 389
293194
= 293128+64+2
= 293128⋅29364⋅2932
≡ 221 ⋅ 143 ⋅ 269 mod 389
≡ 31603 ⋅ 269 mod 389 ≡ 94 ⋅ 269 mod 389
≡ 25286 mod 389 ≡ 1 mod 389
Es gilt also: 293194 ≡ 1 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29
| =>71 | = 2⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29) = 9⋅71 -22⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -22⋅29
-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29
-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1
(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1
49⋅29 = 20⋅71 + 1
Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1
Somit 49⋅29 = 1 mod 71
49 ist also das Inverse von 29 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
