Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (243 - 83) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(243 - 83) mod 8 ≡ (243 mod 8 - 83 mod 8) mod 8.
243 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 243
= 240
83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83
= 80
Somit gilt:
(243 - 83) mod 8 ≡ (3 - 3) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 48) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 48) mod 10 ≡ (19 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.
19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.
48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 48) mod 10 ≡ (9 ⋅ 8) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47564 mod 491.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 475 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4751=475
2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 256 mod 491
4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 233 mod 491
8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 279 mod 491
16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 263 mod 491
32: 47532=47516+16=47516⋅47516 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 429 mod 491
64: 47564=47532+32=47532⋅47532 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 407 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 323135 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:
135 = 128+4+2+1
1: 3231=323
2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 129 mod 521
4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 490 mod 521
8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 440 mod 521
16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 309 mod 521
32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 138 mod 521
64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 288 mod 521
128: 323128=32364+64=32364⋅32364 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 105 mod 521
323135
= 323128+4+2+1
= 323128⋅3234⋅3232⋅3231
≡ 105 ⋅ 490 ⋅ 129 ⋅ 323 mod 521
≡ 51450 ⋅ 129 ⋅ 323 mod 521 ≡ 392 ⋅ 129 ⋅ 323 mod 521
≡ 50568 ⋅ 323 mod 521 ≡ 31 ⋅ 323 mod 521
≡ 10013 mod 521 ≡ 114 mod 521
Es gilt also: 323135 ≡ 114 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75
| =>83 | = 1⋅75 + 8 |
| =>75 | = 9⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 75-9⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8) = 3⋅75 -28⋅ 8 (=1) |
| 8= 83-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75) = -28⋅83 +31⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75
oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅83 = +31⋅75
Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1
Somit 31⋅75 = 1 mod 83
31 ist also das Inverse von 75 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
