Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (352 + 14002) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(352 + 14002) mod 7 ≡ (352 mod 7 + 14002 mod 7) mod 7.
352 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352
= 350
14002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14002
= 14000
Somit gilt:
(352 + 14002) mod 7 ≡ (2 + 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 24) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 24) mod 10 ≡ (20 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.
20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 24) mod 10 ≡ (0 ⋅ 4) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33832 mod 499.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 338 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 472 mod 499
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 230 mod 499
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 6 mod 499
16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 499
32: 33832=33816+16=33816⋅33816 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 298 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 340153 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 3401=340
2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 290 mod 887
4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 722 mod 887
8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 615 mod 887
16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 363 mod 887
32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 493 mod 887
64: 34064=34032+32=34032⋅34032 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 11 mod 887
128: 340128=34064+64=34064⋅34064 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 887
340153
= 340128+16+8+1
= 340128⋅34016⋅3408⋅3401
≡ 121 ⋅ 363 ⋅ 615 ⋅ 340 mod 887
≡ 43923 ⋅ 615 ⋅ 340 mod 887 ≡ 460 ⋅ 615 ⋅ 340 mod 887
≡ 282900 ⋅ 340 mod 887 ≡ 834 ⋅ 340 mod 887
≡ 283560 mod 887 ≡ 607 mod 887
Es gilt also: 340153 ≡ 607 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30
| =>83 | = 2⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 83-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +36⋅30
Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1
Somit 36⋅30 = 1 mod 83
36 ist also das Inverse von 30 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
