Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11996 - 164) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11996 - 164) mod 4 ≡ (11996 mod 4 - 164 mod 4) mod 4.

11996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 11000+996 = 4 ⋅ 2750 +996.

164 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164 = 160+4 = 4 ⋅ 40 +4.

Somit gilt:

(11996 - 164) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 52) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 52) mod 6 ≡ (45 mod 6 ⋅ 52 mod 6) mod 6.

45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.

52 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 8 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 52) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 361128 mod 691.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 361 -> x
2. mod(x²,691) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3611=361

2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 413 mod 691

4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 583 mod 691

8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 608 mod 691

16: 36116=3618+8=3618⋅3618 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 670 mod 691

32: 36132=36116+16=36116⋅36116 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 441 mod 691

64: 36164=36132+32=36132⋅36132 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 310 mod 691

128: 361128=36164+64=36164⋅36164 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 51 mod 691

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 624254 mod 641.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

1: 6241=624

2: 6242=6241+1=6241⋅6241 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 289 mod 641

4: 6244=6242+2=6242⋅6242 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 191 mod 641

8: 6248=6244+4=6244⋅6244 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 585 mod 641

16: 62416=6248+8=6248⋅6248 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 572 mod 641

32: 62432=62416+16=62416⋅62416 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 274 mod 641

64: 62464=62432+32=62432⋅62432 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 79 mod 641

128: 624128=62464+64=62464⋅62464 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641

624254

= 624128+64+32+16+8+4+2

= 624128⋅62464⋅62432⋅62416⋅6248⋅6244⋅6242

472 ⋅ 79 ⋅ 274 ⋅ 572 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641
37288 ⋅ 274 ⋅ 572 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641 ≡ 110 ⋅ 274 ⋅ 572 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641
30140 ⋅ 572 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641 ≡ 13 ⋅ 572 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641
7436 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641 ≡ 385 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641
225225 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641 ≡ 234 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641
44694 ⋅ 289 mod 641 ≡ 465 ⋅ 289 mod 641
134385 mod 641 ≡ 416 mod 641

Es gilt also: 624254 ≡ 416 mod 641

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61 = 2⋅28 + 5
=>28 = 5⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5)
= 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28)
= -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.