Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (294 - 55) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(294 - 55) mod 6 ≡ (294 mod 6 - 55 mod 6) mod 6.
294 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 294
= 300
55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55
= 60
Somit gilt:
(294 - 55) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 92) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 92) mod 5 ≡ (60 mod 5 ⋅ 92 mod 5) mod 5.
60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.
92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 92) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42264 mod 997.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 422 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4221=422
2: 4222=4221+1=4221⋅4221 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 618 mod 997
4: 4224=4222+2=4222⋅4222 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 73 mod 997
8: 4228=4224+4=4224⋅4224 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 344 mod 997
16: 42216=4228+8=4228⋅4228 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 690 mod 997
32: 42232=42216+16=42216⋅42216 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 531 mod 997
64: 42264=42232+32=42232⋅42232 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 807 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 181123 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:
123 = 64+32+16+8+2+1
1: 1811=181
2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 226 mod 241
4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 225 mod 241
8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
16: 18116=1818+8=1818⋅1818 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241
32: 18132=18116+16=18116⋅18116 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
64: 18164=18132+32=18132⋅18132 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241
181123
= 18164+32+16+8+2+1
= 18164⋅18132⋅18116⋅1818⋅1812⋅1811
≡ 225 ⋅ 15 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241
≡ 3375 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241 ≡ 1 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241
≡ 225 ⋅ 15 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241
≡ 3375 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241 ≡ 1 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241
≡ 226 ⋅ 181 mod 241
≡ 40906 mod 241 ≡ 177 mod 241
Es gilt also: 181123 ≡ 177 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47
| =>61 | = 1⋅47 + 14 |
| =>47 | = 3⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-3⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14) = 3⋅47 -10⋅ 14 (=1) |
| 14= 61-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47) = -10⋅61 +13⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47
oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅61 = +13⋅47
Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1
Somit 13⋅47 = 1 mod 61
13 ist also das Inverse von 47 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
