Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1001 + 2004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1001 + 2004) mod 5 ≡ (1001 mod 5 + 2004 mod 5) mod 5.
1001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1001
= 1000
2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
Somit gilt:
(1001 + 2004) mod 5 ≡ (1 + 4) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 18) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 18) mod 11 ≡ (38 mod 11 ⋅ 18 mod 11) mod 11.
38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.
18 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 11 + 7 = 1 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 18) mod 11 ≡ (5 ⋅ 7) mod 11 ≡ 35 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3748 mod 773.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 374 -> x
2. mod(x²,773) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3741=374
2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 736 mod 773
4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 596 mod 773
8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 409 mod 773
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 664196 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:
196 = 128+64+4
1: 6641=664
2: 6642=6641+1=6641⋅6641 ≡ 664⋅664=440896 ≡ 695 mod 919
4: 6644=6642+2=6642⋅6642 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 550 mod 919
8: 6648=6644+4=6644⋅6644 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 149 mod 919
16: 66416=6648+8=6648⋅6648 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 145 mod 919
32: 66432=66416+16=66416⋅66416 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 807 mod 919
64: 66464=66432+32=66432⋅66432 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 597 mod 919
128: 664128=66464+64=66464⋅66464 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 756 mod 919
664196
= 664128+64+4
= 664128⋅66464⋅6644
≡ 756 ⋅ 597 ⋅ 550 mod 919
≡ 451332 ⋅ 550 mod 919 ≡ 103 ⋅ 550 mod 919
≡ 56650 mod 919 ≡ 591 mod 919
Es gilt also: 664196 ≡ 591 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
