Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3193 + 168) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3193 + 168) mod 8 ≡ (3193 mod 8 + 168 mod 8) mod 8.

3193 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3193 = 3200-7 = 8 ⋅ 400 -7 = 8 ⋅ 400 - 8 + 1.

168 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 168 = 160+8 = 8 ⋅ 20 +8.

Somit gilt:

(3193 + 168) mod 8 ≡ (1 + 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 27) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 27) mod 10 ≡ (44 mod 10 ⋅ 27 mod 10) mod 10.

44 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 4 ⋅ 10 + 4 ist.

27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 27) mod 10 ≡ (4 ⋅ 7) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 343128 mod 631.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 343 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3431=343

2: 3432=3431+1=3431⋅3431 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 283 mod 631

4: 3434=3432+2=3432⋅3432 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 583 mod 631

8: 3438=3434+4=3434⋅3434 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 411 mod 631

16: 34316=3438+8=3438⋅3438 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 444 mod 631

32: 34332=34316+16=34316⋅34316 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 264 mod 631

64: 34364=34332+32=34332⋅34332 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 286 mod 631

128: 343128=34364+64=34364⋅34364 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 397 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 27799 mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

1: 2771=277

2: 2772=2771+1=2771⋅2771 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 256 mod 293

4: 2774=2772+2=2772⋅2772 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 197 mod 293

8: 2778=2774+4=2774⋅2774 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 133 mod 293

16: 27716=2778+8=2778⋅2778 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 109 mod 293

32: 27732=27716+16=27716⋅27716 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 161 mod 293

64: 27764=27732+32=27732⋅27732 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 137 mod 293

27799

= 27764+32+2+1

= 27764⋅27732⋅2772⋅2771

137 ⋅ 161 ⋅ 256 ⋅ 277 mod 293
22057 ⋅ 256 ⋅ 277 mod 293 ≡ 82 ⋅ 256 ⋅ 277 mod 293
20992 ⋅ 277 mod 293 ≡ 189 ⋅ 277 mod 293
52353 mod 293 ≡ 199 mod 293

Es gilt also: 27799 ≡ 199 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41

=>79 = 1⋅41 + 38
=>41 = 1⋅38 + 3
=>38 = 12⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3)
= -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 41-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38)
= 13⋅41 -14⋅ 38 (=1)
38= 79-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41)
= 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41)
= -14⋅79 +27⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41

oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅79 = +27⋅41

Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1

Somit 27⋅41 = 1 mod 79

27 ist also das Inverse von 41 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.