Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (345 + 2797) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(345 + 2797) mod 7 ≡ (345 mod 7 + 2797 mod 7) mod 7.
345 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 345
= 350
2797 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2797
= 2800
Somit gilt:
(345 + 2797) mod 7 ≡ (2 + 4) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 93) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 93) mod 4 ≡ (54 mod 4 ⋅ 93 mod 4) mod 4.
54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.
93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 93) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2288 mod 677.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 228 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 532 mod 677
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 38 mod 677
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 90 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 287174 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 2871=287
2: 2872=2871+1=2871⋅2871 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 765 mod 887
4: 2874=2872+2=2872⋅2872 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 692 mod 887
8: 2878=2874+4=2874⋅2874 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 771 mod 887
16: 28716=2878+8=2878⋅2878 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 151 mod 887
32: 28732=28716+16=28716⋅28716 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 626 mod 887
64: 28764=28732+32=28732⋅28732 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 709 mod 887
128: 287128=28764+64=28764⋅28764 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 639 mod 887
287174
= 287128+32+8+4+2
= 287128⋅28732⋅2878⋅2874⋅2872
≡ 639 ⋅ 626 ⋅ 771 ⋅ 692 ⋅ 765 mod 887
≡ 400014 ⋅ 771 ⋅ 692 ⋅ 765 mod 887 ≡ 864 ⋅ 771 ⋅ 692 ⋅ 765 mod 887
≡ 666144 ⋅ 692 ⋅ 765 mod 887 ≡ 7 ⋅ 692 ⋅ 765 mod 887
≡ 4844 ⋅ 765 mod 887 ≡ 409 ⋅ 765 mod 887
≡ 312885 mod 887 ≡ 661 mod 887
Es gilt also: 287174 ≡ 661 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46
| =>59 | = 1⋅46 + 13 |
| =>46 | = 3⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 46-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +9⋅46
Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1
Somit 9⋅46 = 1 mod 59
9 ist also das Inverse von 46 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
