Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26996 - 45006) mod 9 ≡ (26996 mod 9 - 45006 mod 9) mod 9.

26996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26996 = 27000-4 = 9 ⋅ 3000 -4 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 5.

45006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45006 = 45000+6 = 9 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(26996 - 45006) mod 9 ≡ (5 - 6) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 88) mod 8 ≡ (63 mod 8 ⋅ 88 mod 8) mod 8.

63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 88) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 600¹=600

2: 600²=600¹⁺¹=600¹⋅600¹ ≡ 600⋅600=360000 ≡ 399 mod 641

4: 600⁴=600²⁺²=600²⋅600² ≡ 399⋅399=159201 ≡ 233 mod 641

8: 600⁸=600⁴⁺⁴=600⁴⋅600⁴ ≡ 233⋅233=54289 ≡ 445 mod 641

16: 600¹⁶=600⁸⁺⁸=600⁸⋅600⁸ ≡ 445⋅445=198025 ≡ 597 mod 641

32: 600³²=600¹⁶⁺¹⁶=600¹⁶⋅600¹⁶ ≡ 597⋅597=356409 ≡ 13 mod 641

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

965²²⁰

= 965^{128+64+16+8+4}

= 965¹²⁸⋅965⁶⁴⋅965¹⁶⋅965⁸⋅965⁴

≡ 442 ⋅ 877 ⋅ 603 ⋅ 40 ⋅ 729 mod 997
≡ 387634 ⋅ 603 ⋅ 40 ⋅ 729 mod 997 ≡ 798 ⋅ 603 ⋅ 40 ⋅ 729 mod 997
≡ 481194 ⋅ 40 ⋅ 729 mod 997 ≡ 640 ⋅ 40 ⋅ 729 mod 997
≡ 25600 ⋅ 729 mod 997 ≡ 675 ⋅ 729 mod 997
≡ 492075 mod 997 ≡ 554 mod 997

Es gilt also: 965²²⁰ ≡ 554 mod 997

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36

=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -25⋅36

-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36

-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1

(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1

28⋅36 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1

Somit 28⋅36 = 1 mod 53

28 ist also das Inverse von 36 mod 53