Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 - 25005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 - 25005) mod 5 ≡ (1500 mod 5 - 25005 mod 5) mod 5.
1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005
= 25000
Somit gilt:
(1500 - 25005) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 84) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 84) mod 5 ≡ (83 mod 5 ⋅ 84 mod 5) mod 5.
83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.
84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 84) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 968 mod 223.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 96 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 961=96
2: 962=961+1=961⋅961 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 73 mod 223
4: 964=962+2=962⋅962 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 200 mod 223
8: 968=964+4=964⋅964 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 83 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23392 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 2331=233
2: 2332=2331+1=2331⋅2331 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 266 mod 607
4: 2334=2332+2=2332⋅2332 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 344 mod 607
8: 2338=2334+4=2334⋅2334 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 578 mod 607
16: 23316=2338+8=2338⋅2338 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 234 mod 607
32: 23332=23316+16=23316⋅23316 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 126 mod 607
64: 23364=23332+32=23332⋅23332 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 94 mod 607
23392
= 23364+16+8+4
= 23364⋅23316⋅2338⋅2334
≡ 94 ⋅ 234 ⋅ 578 ⋅ 344 mod 607
≡ 21996 ⋅ 578 ⋅ 344 mod 607 ≡ 144 ⋅ 578 ⋅ 344 mod 607
≡ 83232 ⋅ 344 mod 607 ≡ 73 ⋅ 344 mod 607
≡ 25112 mod 607 ≡ 225 mod 607
Es gilt also: 23392 ≡ 225 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63
| =>73 | = 1⋅63 + 10 |
| =>63 | = 6⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 63-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1) |
| 10= 73-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63)
= -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -22⋅63
-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63
-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1
(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1
51⋅63 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1
Somit 51⋅63 = 1 mod 73
51 ist also das Inverse von 63 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
