Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 - 400) mod 8 ≡ (80 mod 8 - 400 mod 8) mod 8.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 8 ⋅ 10 +0.

400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 8 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(80 - 400) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 34) mod 9 ≡ (60 mod 9 ⋅ 34 mod 9) mod 9.

60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 34) mod 9 ≡ (6 ⋅ 7) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 337¹=337

2: 337²=337¹⁺¹=337¹⋅337¹ ≡ 337⋅337=113569 ≡ 88 mod 467

4: 337⁴=337²⁺²=337²⋅337² ≡ 88⋅88=7744 ≡ 272 mod 467

8: 337⁸=337⁴⁺⁴=337⁴⋅337⁴ ≡ 272⋅272=73984 ≡ 198 mod 467

16: 337¹⁶=337⁸⁺⁸=337⁸⋅337⁸ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 443 mod 467

32: 337³²=337¹⁶⁺¹⁶=337¹⁶⋅337¹⁶ ≡ 443⋅443=196249 ≡ 109 mod 467

64: 337⁶⁴=337³²⁺³²=337³²⋅337³² ≡ 109⋅109=11881 ≡ 206 mod 467

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

860²⁴⁶

= 860^{128+64+32+16+4+2}

= 860¹²⁸⋅860⁶⁴⋅860³²⋅860¹⁶⋅860⁴⋅860²

≡ 808 ⋅ 66 ⋅ 225 ⋅ 872 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887
≡ 53328 ⋅ 225 ⋅ 872 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887 ≡ 108 ⋅ 225 ⋅ 872 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887
≡ 24300 ⋅ 872 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887 ≡ 351 ⋅ 872 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887
≡ 306072 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887 ≡ 57 ⋅ 128 ⋅ 729 mod 887
≡ 7296 ⋅ 729 mod 887 ≡ 200 ⋅ 729 mod 887
≡ 145800 mod 887 ≡ 332 mod 887

Es gilt also: 860²⁴⁶ ≡ 332 mod 887

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

=>79	= 1⋅70 + 9
=>70	= 7⋅9 + 7
=>9	= 1⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 70-7⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9) = -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9) = 4⋅70 -31⋅ 9 (=1)
9= 79-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70) = 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70) = -31⋅79 +35⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70

oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅79 = +35⋅70

Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1

Somit 35⋅70 = 1 mod 79

35 ist also das Inverse von 70 mod 79