Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (794 - 244) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(794 - 244) mod 8 ≡ (794 mod 8 - 244 mod 8) mod 8.
794 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 794
= 800
244 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244
= 240
Somit gilt:
(794 - 244) mod 8 ≡ (2 - 4) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 100) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 100) mod 4 ≡ (41 mod 4 ⋅ 100 mod 4) mod 4.
41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.
100 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 25 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 100) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3258 mod 757.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 325 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3251=325
2: 3252=3251+1=3251⋅3251 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 402 mod 757
4: 3254=3252+2=3252⋅3252 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 363 mod 757
8: 3258=3254+4=3254⋅3254 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 51 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 262203 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:
203 = 128+64+8+2+1
1: 2621=262
2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 521 mod 563
4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 75 mod 563
8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 558 mod 563
16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 25 mod 563
32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 25⋅25=625 ≡ 62 mod 563
64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 466 mod 563
128: 262128=26264+64=26264⋅26264 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 401 mod 563
262203
= 262128+64+8+2+1
= 262128⋅26264⋅2628⋅2622⋅2621
≡ 401 ⋅ 466 ⋅ 558 ⋅ 521 ⋅ 262 mod 563
≡ 186866 ⋅ 558 ⋅ 521 ⋅ 262 mod 563 ≡ 513 ⋅ 558 ⋅ 521 ⋅ 262 mod 563
≡ 286254 ⋅ 521 ⋅ 262 mod 563 ≡ 250 ⋅ 521 ⋅ 262 mod 563
≡ 130250 ⋅ 262 mod 563 ≡ 197 ⋅ 262 mod 563
≡ 51614 mod 563 ≡ 381 mod 563
Es gilt also: 262203 ≡ 381 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 80
| =>83 | = 1⋅80 + 3 |
| =>80 | = 26⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 80-26⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(80 -26⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅80 +26⋅ 3) = -1⋅80 +27⋅ 3 (=1) |
| 3= 83-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅80 +27⋅(83 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +27⋅83 -27⋅ 80) = 27⋅83 -28⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,80)=1 = 27⋅83 -28⋅80
oder wenn man 27⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -27⋅83 = -28⋅80
-28⋅80 = -27⋅83 + 1 |+83⋅80
-28⋅80 + 83⋅80 = -27⋅83 + 83⋅80 + 1
(-28 + 83) ⋅ 80 = (-27 + 80) ⋅ 83 + 1
55⋅80 = 53⋅83 + 1
Es gilt also: 55⋅80 = 53⋅83 +1
Somit 55⋅80 = 1 mod 83
55 ist also das Inverse von 80 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
