Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1797 + 907) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1797 + 907) mod 9 ≡ (1797 mod 9 + 907 mod 9) mod 9.
1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797
= 1800
907 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 907
= 900
Somit gilt:
(1797 + 907) mod 9 ≡ (6 + 7) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 100) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 100) mod 10 ≡ (35 mod 10 ⋅ 100 mod 10) mod 10.
35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.
100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 100) mod 10 ≡ (5 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54432 mod 577.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 544 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5441=544
2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 512 mod 577
4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 186 mod 577
8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 553 mod 577
16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 576 mod 577
32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 1 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 215149 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 2151=215
2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 125 mod 461
4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 412 mod 461
8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 96 mod 461
16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 457 mod 461
32: 21532=21516+16=21516⋅21516 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 16 mod 461
64: 21564=21532+32=21532⋅21532 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 461
128: 215128=21564+64=21564⋅21564 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 74 mod 461
215149
= 215128+16+4+1
= 215128⋅21516⋅2154⋅2151
≡ 74 ⋅ 457 ⋅ 412 ⋅ 215 mod 461
≡ 33818 ⋅ 412 ⋅ 215 mod 461 ≡ 165 ⋅ 412 ⋅ 215 mod 461
≡ 67980 ⋅ 215 mod 461 ≡ 213 ⋅ 215 mod 461
≡ 45795 mod 461 ≡ 156 mod 461
Es gilt also: 215149 ≡ 156 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
