Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (900 - 1500) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(900 - 1500) mod 3 ≡ (900 mod 3 - 1500 mod 3) mod 3.
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
Somit gilt:
(900 - 1500) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 22) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 22) mod 7 ≡ (79 mod 7 ⋅ 22 mod 7) mod 7.
79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.
22 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 3 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 22) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34432 mod 887.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 365 mod 887
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 175 mod 887
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 467 mod 887
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 774 mod 887
32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 351 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26575 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:
75 = 64+8+2+1
1: 2651=265
2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 420 mod 607
4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 370 mod 607
8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 325 mod 607
16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 7 mod 607
32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 607
64: 26564=26532+32=26532⋅26532 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 580 mod 607
26575
= 26564+8+2+1
= 26564⋅2658⋅2652⋅2651
≡ 580 ⋅ 325 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
≡ 188500 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607 ≡ 330 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
≡ 138600 ⋅ 265 mod 607 ≡ 204 ⋅ 265 mod 607
≡ 54060 mod 607 ≡ 37 mod 607
Es gilt also: 26575 ≡ 37 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56
| =>79 | = 1⋅56 + 23 |
| =>56 | = 2⋅23 + 10 |
| =>23 | = 2⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 23-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 56-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23) = 7⋅56 -17⋅ 23 (=1) |
| 23= 79-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56) = -17⋅79 +24⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +24⋅56
Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1
Somit 24⋅56 = 1 mod 79
24 ist also das Inverse von 56 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
