Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (157 - 8006) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(157 - 8006) mod 8 ≡ (157 mod 8 - 8006 mod 8) mod 8.

157 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 8 ⋅ 20 -3 = 8 ⋅ 20 - 8 + 5.

8006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8006 = 8000+6 = 8 ⋅ 1000 +6.

Somit gilt:

(157 - 8006) mod 8 ≡ (5 - 6) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 54) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 54) mod 10 ≡ (41 mod 10 ⋅ 54 mod 10) mod 10.

41 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 4 ⋅ 10 + 1 ist.

54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 54) mod 10 ≡ (1 ⋅ 4) mod 10 ≡ 4 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2508 mod 257.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2501=250

2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 49 mod 257

4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 88 mod 257

8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 34 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 415180 mod 743.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:

180 = 128+32+16+4

1: 4151=415

2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 592 mod 743

4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 511 mod 743

8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 328 mod 743

16: 41516=4158+8=4158⋅4158 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 592 mod 743

32: 41532=41516+16=41516⋅41516 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 511 mod 743

64: 41564=41532+32=41532⋅41532 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 328 mod 743

128: 415128=41564+64=41564⋅41564 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 592 mod 743

415180

= 415128+32+16+4

= 415128⋅41532⋅41516⋅4154

592 ⋅ 511 ⋅ 592 ⋅ 511 mod 743
302512 ⋅ 592 ⋅ 511 mod 743 ≡ 111 ⋅ 592 ⋅ 511 mod 743
65712 ⋅ 511 mod 743 ≡ 328 ⋅ 511 mod 743
167608 mod 743 ≡ 433 mod 743

Es gilt also: 415180 ≡ 433 mod 743

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71 = 1⋅58 + 13
=>58 = 4⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13)
= -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58)
= 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.