Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (795 - 73) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(795 - 73) mod 8 ≡ (795 mod 8 - 73 mod 8) mod 8.

795 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 795 = 800-5 = 8 ⋅ 100 -5 = 8 ⋅ 100 - 8 + 3.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 80-7 = 8 ⋅ 10 -7 = 8 ⋅ 10 - 8 + 1.

Somit gilt:

(795 - 73) mod 8 ≡ (3 - 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 79) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 79) mod 5 ≡ (92 mod 5 ⋅ 79 mod 5) mod 5.

92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 79) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 74932 mod 997.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 749 -> x
2. mod(x²,997) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7491=749

2: 7492=7491+1=7491⋅7491 ≡ 749⋅749=561001 ≡ 687 mod 997

4: 7494=7492+2=7492⋅7492 ≡ 687⋅687=471969 ≡ 388 mod 997

8: 7498=7494+4=7494⋅7494 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 994 mod 997

16: 74916=7498+8=7498⋅7498 ≡ 994⋅994=988036 ≡ 9 mod 997

32: 74932=74916+16=74916⋅74916 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 997

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36873 mod 577.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:

73 = 64+8+1

1: 3681=368

2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 406 mod 577

4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 391 mod 577

8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 553 mod 577

16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 576 mod 577

32: 36832=36816+16=36816⋅36816 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 1 mod 577

64: 36864=36832+32=36832⋅36832 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 577

36873

= 36864+8+1

= 36864⋅3688⋅3681

1 ⋅ 553 ⋅ 368 mod 577
553 ⋅ 368 mod 577
203504 mod 577 ≡ 400 mod 577

Es gilt also: 36873 ≡ 400 mod 577

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.

Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64

=>97 = 1⋅64 + 33
=>64 = 1⋅33 + 31
=>33 = 1⋅31 + 2
=>31 = 15⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31)
= -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 64-1⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33)
= 16⋅64 -31⋅ 33 (=1)
33= 97-1⋅64 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64)
= -31⋅97 +47⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64

oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅97 = +47⋅64

Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1

Somit 47⋅64 = 1 mod 97

47 ist also das Inverse von 64 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.