Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (347 - 7002) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(347 - 7002) mod 7 ≡ (347 mod 7 - 7002 mod 7) mod 7.
347 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 347
= 350
7002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7002
= 7000
Somit gilt:
(347 - 7002) mod 7 ≡ (4 - 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 98) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 98) mod 11 ≡ (47 mod 11 ⋅ 98 mod 11) mod 11.
47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.
98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 98) mod 11 ≡ (3 ⋅ 10) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22332 mod 491.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 223 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 138 mod 491
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 386 mod 491
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 223 mod 491
16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 138 mod 491
32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 386 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41584 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 4151=415
2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 70 mod 499
4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 409 mod 499
8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 116 mod 499
16: 41516=4158+8=4158⋅4158 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 482 mod 499
32: 41532=41516+16=41516⋅41516 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 289 mod 499
64: 41564=41532+32=41532⋅41532 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 188 mod 499
41584
= 41564+16+4
= 41564⋅41516⋅4154
≡ 188 ⋅ 482 ⋅ 409 mod 499
≡ 90616 ⋅ 409 mod 499 ≡ 297 ⋅ 409 mod 499
≡ 121473 mod 499 ≡ 216 mod 499
Es gilt also: 41584 ≡ 216 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37
| =>53 | = 1⋅37 + 16 |
| =>37 | = 2⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 37-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1) |
| 16= 53-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37)
= -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37
oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅53 = -10⋅37
-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37
-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1
(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1
43⋅37 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1
Somit 43⋅37 = 1 mod 53
43 ist also das Inverse von 37 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
