Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(599 - 118) mod 3 ≡ (599 mod 3 - 118 mod 3) mod 3.

599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 3 ⋅ 200 -1 = 3 ⋅ 200 - 3 + 2.

118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 3 ⋅ 40 -2 = 3 ⋅ 40 - 3 + 1.

Somit gilt:

(599 - 118) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 27) mod 9 ≡ (50 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.

50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.

27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 27) mod 9 ≡ (5 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 230¹=230

2: 230²=230¹⁺¹=230¹⋅230¹ ≡ 230⋅230=52900 ≡ 215 mod 257

4: 230⁴=230²⁺²=230²⋅230² ≡ 215⋅215=46225 ≡ 222 mod 257

8: 230⁸=230⁴⁺⁴=230⁴⋅230⁴ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 197 mod 257

16: 230¹⁶=230⁸⁺⁸=230⁸⋅230⁸ ≡ 197⋅197=38809 ≡ 2 mod 257

32: 230³²=230¹⁶⁺¹⁶=230¹⁶⋅230¹⁶ ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 257

64: 230⁶⁴=230³²⁺³²=230³²⋅230³² ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257

128: 230¹²⁸=230⁶⁴⁺⁶⁴=230⁶⁴⋅230⁶⁴ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

567²³⁸

= 567^{128+64+32+8+4+2}

= 567¹²⁸⋅567⁶⁴⋅567³²⋅567⁸⋅567⁴⋅567²

≡ 148 ⋅ 258 ⋅ 555 ⋅ 531 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593
≡ 38184 ⋅ 555 ⋅ 531 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593 ≡ 232 ⋅ 555 ⋅ 531 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593
≡ 128760 ⋅ 531 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593 ≡ 79 ⋅ 531 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593
≡ 41949 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593 ≡ 439 ⋅ 366 ⋅ 83 mod 593
≡ 160674 ⋅ 83 mod 593 ≡ 564 ⋅ 83 mod 593
≡ 46812 mod 593 ≡ 558 mod 593

Es gilt also: 567²³⁸ ≡ 558 mod 593

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63

=>67	= 1⋅63 + 4
=>63	= 15⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 63-15⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4) = -1⋅63 +16⋅ 4 (=1)
4= 67-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63) = -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63) = 16⋅67 -17⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -17⋅63

-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63

-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1

(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1

50⋅63 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1

Somit 50⋅63 = 1 mod 67

50 ist also das Inverse von 63 mod 67