Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3608 - 45000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3608 - 45000) mod 9 ≡ (3608 mod 9 - 45000 mod 9) mod 9.
3608 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3608
= 3600
45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000
= 45000
Somit gilt:
(3608 - 45000) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 33) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 33) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 33 mod 3) mod 3.
45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 33) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1018 mod 227.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 101 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1011=101
2: 1012=1011+1=1011⋅1011 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 213 mod 227
4: 1014=1012+2=1012⋅1012 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 196 mod 227
8: 1018=1014+4=1014⋅1014 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 53 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 909165 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:
165 = 128+32+4+1
1: 9091=909
2: 9092=9091+1=9091⋅9091 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 716 mod 977
4: 9094=9092+2=9092⋅9092 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 708 mod 977
8: 9098=9094+4=9094⋅9094 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 63 mod 977
16: 90916=9098+8=9098⋅9098 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 61 mod 977
32: 90932=90916+16=90916⋅90916 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 790 mod 977
64: 90964=90932+32=90932⋅90932 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 774 mod 977
128: 909128=90964+64=90964⋅90964 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 175 mod 977
909165
= 909128+32+4+1
= 909128⋅90932⋅9094⋅9091
≡ 175 ⋅ 790 ⋅ 708 ⋅ 909 mod 977
≡ 138250 ⋅ 708 ⋅ 909 mod 977 ≡ 493 ⋅ 708 ⋅ 909 mod 977
≡ 349044 ⋅ 909 mod 977 ≡ 255 ⋅ 909 mod 977
≡ 231795 mod 977 ≡ 246 mod 977
Es gilt also: 909165 ≡ 246 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68
| =>71 | = 1⋅68 + 3 |
| =>68 | = 22⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 68-22⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3) = -1⋅68 +23⋅ 3 (=1) |
| 3= 71-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68) = 23⋅71 -24⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -24⋅68
-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68
-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1
(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1
47⋅68 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1
Somit 47⋅68 = 1 mod 71
47 ist also das Inverse von 68 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
