Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34995 + 7007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34995 + 7007) mod 7 ≡ (34995 mod 7 + 7007 mod 7) mod 7.
34995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34995
= 35000
7007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7007
= 7000
Somit gilt:
(34995 + 7007) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 33) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 33) mod 11 ≡ (46 mod 11 ⋅ 33 mod 11) mod 11.
46 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 4 ⋅ 11 + 2 ist.
33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 33) mod 11 ≡ (2 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38116 mod 631.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 31 mod 631
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 31⋅31=961 ≡ 330 mod 631
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 368 mod 631
16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 390 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 677158 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 6771=677
2: 6772=6771+1=6771⋅6771 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 17 mod 971
4: 6774=6772+2=6772⋅6772 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 971
8: 6778=6774+4=6774⋅6774 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 15 mod 971
16: 67716=6778+8=6778⋅6778 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 971
32: 67732=67716+16=67716⋅67716 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 133 mod 971
64: 67764=67732+32=67732⋅67732 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 211 mod 971
128: 677128=67764+64=67764⋅67764 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 826 mod 971
677158
= 677128+16+8+4+2
= 677128⋅67716⋅6778⋅6774⋅6772
≡ 826 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 971
≡ 185850 ⋅ 15 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 971 ≡ 389 ⋅ 15 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 971
≡ 5835 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 971 ≡ 9 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 971
≡ 2601 ⋅ 17 mod 971 ≡ 659 ⋅ 17 mod 971
≡ 11203 mod 971 ≡ 522 mod 971
Es gilt also: 677158 ≡ 522 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36
| =>89 | = 2⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -42⋅36
-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36
-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1
(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1
47⋅36 = 19⋅89 + 1
Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1
Somit 47⋅36 = 1 mod 89
47 ist also das Inverse von 36 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
