Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (181 - 9006) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(181 - 9006) mod 9 ≡ (181 mod 9 - 9006 mod 9) mod 9.
181 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181
= 180
9006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9006
= 9000
Somit gilt:
(181 - 9006) mod 9 ≡ (1 - 6) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 94) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 94) mod 5 ≡ (49 mod 5 ⋅ 94 mod 5) mod 5.
49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 9 ⋅ 5 + 4 ist.
94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 94) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22432 mod 419.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 315 mod 419
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 341 mod 419
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 218 mod 419
16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 177 mod 419
32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 323 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 286192 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 2861=286
2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 517 mod 821
4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 464 mod 821
8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 194 mod 821
16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 691 mod 821
32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 480 mod 821
64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 520 mod 821
128: 286128=28664+64=28664⋅28664 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 291 mod 821
286192
= 286128+64
= 286128⋅28664
≡ 291 ⋅ 520 mod 821
≡ 151320 mod 821 ≡ 256 mod 821
Es gilt also: 286192 ≡ 256 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 31
| =>89 | = 2⋅31 + 27 |
| =>31 | = 1⋅27 + 4 |
| =>27 | = 6⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 27-6⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(27 -6⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅27 +6⋅ 4) = -1⋅27 +7⋅ 4 (=1) |
| 4= 31-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +7⋅(31 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +7⋅31 -7⋅ 27) = 7⋅31 -8⋅ 27 (=1) |
| 27= 89-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅31 -8⋅(89 -2⋅ 31)
= 7⋅31 -8⋅89 +16⋅ 31) = -8⋅89 +23⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,31)=1 = -8⋅89 +23⋅31
oder wenn man -8⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅89 = +23⋅31
Es gilt also: 23⋅31 = 8⋅89 +1
Somit 23⋅31 = 1 mod 89
23 ist also das Inverse von 31 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
