Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 + 236) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 + 236) mod 8 ≡ (75 mod 8 + 236 mod 8) mod 8.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 80-5 = 8 ⋅ 10 -5 = 8 ⋅ 10 - 8 + 3.

236 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236 = 240-4 = 8 ⋅ 30 -4 = 8 ⋅ 30 - 8 + 4.

Somit gilt:

(75 + 236) mod 8 ≡ (3 + 4) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 37) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 37) mod 10 ≡ (47 mod 10 ⋅ 37 mod 10) mod 10.

47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.

37 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 30 + 7 = 3 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 37) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35764 mod 643.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 357 -> x
2. mod(x²,643) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3571=357

2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 135 mod 643

4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 221 mod 643

8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 616 mod 643

16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 86 mod 643

32: 35732=35716+16=35716⋅35716 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 323 mod 643

64: 35764=35732+32=35732⋅35732 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 163 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 459229 mod 479.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 4591=459

2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 400 mod 479

4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 14 mod 479

8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 479

16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 96 mod 479

32: 45932=45916+16=45916⋅45916 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 115 mod 479

64: 45964=45932+32=45932⋅45932 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 292 mod 479

128: 459128=45964+64=45964⋅45964 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 2 mod 479

459229

= 459128+64+32+4+1

= 459128⋅45964⋅45932⋅4594⋅4591

2 ⋅ 292 ⋅ 115 ⋅ 14 ⋅ 459 mod 479
584 ⋅ 115 ⋅ 14 ⋅ 459 mod 479 ≡ 105 ⋅ 115 ⋅ 14 ⋅ 459 mod 479
12075 ⋅ 14 ⋅ 459 mod 479 ≡ 100 ⋅ 14 ⋅ 459 mod 479
1400 ⋅ 459 mod 479 ≡ 442 ⋅ 459 mod 479
202878 mod 479 ≡ 261 mod 479

Es gilt also: 459229 ≡ 261 mod 479

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67 = 1⋅59 + 8
=>59 = 7⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8)
= 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59)
= 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59)
= -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.