Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8998 - 1199) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8998 - 1199) mod 3 ≡ (8998 mod 3 - 1199 mod 3) mod 3.
8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998
= 9000
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
Somit gilt:
(8998 - 1199) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 45) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 45) mod 10 ≡ (30 mod 10 ⋅ 45 mod 10) mod 10.
30 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 3 ⋅ 10 + 0 ist.
45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 45) mod 10 ≡ (0 ⋅ 5) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17416 mod 307.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 174 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1741=174
2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 190 mod 307
4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 181 mod 307
8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 219 mod 307
16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 69 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 194161 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 1941=194
2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 237 mod 251
4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 196 mod 251
8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 13 mod 251
16: 19416=1948+8=1948⋅1948 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 251
32: 19432=19416+16=19416⋅19416 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 198 mod 251
64: 19464=19432+32=19432⋅19432 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 48 mod 251
128: 194128=19464+64=19464⋅19464 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 45 mod 251
194161
= 194128+32+1
= 194128⋅19432⋅1941
≡ 45 ⋅ 198 ⋅ 194 mod 251
≡ 8910 ⋅ 194 mod 251 ≡ 125 ⋅ 194 mod 251
≡ 24250 mod 251 ≡ 154 mod 251
Es gilt also: 194161 ≡ 154 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42
| =>79 | = 1⋅42 + 37 |
| =>42 | = 1⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 42-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37) = 15⋅42 -17⋅ 37 (=1) |
| 37= 79-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42) = -17⋅79 +32⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +32⋅42
Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1
Somit 32⋅42 = 1 mod 79
32 ist also das Inverse von 42 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
