Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (796 - 1600) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(796 - 1600) mod 4 ≡ (796 mod 4 - 1600 mod 4) mod 4.
796 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 796
= 700
1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
Somit gilt:
(796 - 1600) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 70) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 70) mod 5 ≡ (35 mod 5 ⋅ 70 mod 5) mod 5.
35 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 7 ⋅ 5 + 0 ist.
70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 70) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 90064 mod 911.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 900 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9001=900
2: 9002=9001+1=9001⋅9001 ≡ 900⋅900=810000 ≡ 121 mod 911
4: 9004=9002+2=9002⋅9002 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 65 mod 911
8: 9008=9004+4=9004⋅9004 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 581 mod 911
16: 90016=9008+8=9008⋅9008 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 491 mod 911
32: 90032=90016+16=90016⋅90016 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 577 mod 911
64: 90064=90032+32=90032⋅90032 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 414 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 301225 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 240 mod 829
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 399 mod 829
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 33 mod 829
16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 260 mod 829
32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 451 mod 829
64: 30164=30132+32=30132⋅30132 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 296 mod 829
128: 301128=30164+64=30164⋅30164 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 571 mod 829
301225
= 301128+64+32+1
= 301128⋅30164⋅30132⋅3011
≡ 571 ⋅ 296 ⋅ 451 ⋅ 301 mod 829
≡ 169016 ⋅ 451 ⋅ 301 mod 829 ≡ 729 ⋅ 451 ⋅ 301 mod 829
≡ 328779 ⋅ 301 mod 829 ≡ 495 ⋅ 301 mod 829
≡ 148995 mod 829 ≡ 604 mod 829
Es gilt also: 301225 ≡ 604 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 47
| =>89 | = 1⋅47 + 42 |
| =>47 | = 1⋅42 + 5 |
| =>42 | = 8⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 42-8⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5) = -2⋅42 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +17⋅(47 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +17⋅47 -17⋅ 42) = 17⋅47 -19⋅ 42 (=1) |
| 42= 89-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 17⋅47 -19⋅(89 -1⋅ 47)
= 17⋅47 -19⋅89 +19⋅ 47) = -19⋅89 +36⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,47)=1 = -19⋅89 +36⋅47
oder wenn man -19⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅89 = +36⋅47
Es gilt also: 36⋅47 = 19⋅89 +1
Somit 36⋅47 = 1 mod 89
36 ist also das Inverse von 47 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
