Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (603 - 92) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(603 - 92) mod 3 ≡ (603 mod 3 - 92 mod 3) mod 3.
603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603
= 600
92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92
= 90
Somit gilt:
(603 - 92) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 95) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 95) mod 3 ≡ (69 mod 3 ⋅ 95 mod 3) mod 3.
69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.
95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 95) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1208 mod 227.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 120 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1201=120
2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 99 mod 227
4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 40 mod 227
8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 11 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 540183 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:
183 = 128+32+16+4+2+1
1: 5401=540
2: 5402=5401+1=5401⋅5401 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 642 mod 683
4: 5404=5402+2=5402⋅5402 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 315 mod 683
8: 5408=5404+4=5404⋅5404 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 190 mod 683
16: 54016=5408+8=5408⋅5408 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 584 mod 683
32: 54032=54016+16=54016⋅54016 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 239 mod 683
64: 54064=54032+32=54032⋅54032 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 432 mod 683
128: 540128=54064+64=54064⋅54064 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 165 mod 683
540183
= 540128+32+16+4+2+1
= 540128⋅54032⋅54016⋅5404⋅5402⋅5401
≡ 165 ⋅ 239 ⋅ 584 ⋅ 315 ⋅ 642 ⋅ 540 mod 683
≡ 39435 ⋅ 584 ⋅ 315 ⋅ 642 ⋅ 540 mod 683 ≡ 504 ⋅ 584 ⋅ 315 ⋅ 642 ⋅ 540 mod 683
≡ 294336 ⋅ 315 ⋅ 642 ⋅ 540 mod 683 ≡ 646 ⋅ 315 ⋅ 642 ⋅ 540 mod 683
≡ 203490 ⋅ 642 ⋅ 540 mod 683 ≡ 639 ⋅ 642 ⋅ 540 mod 683
≡ 410238 ⋅ 540 mod 683 ≡ 438 ⋅ 540 mod 683
≡ 236520 mod 683 ≡ 202 mod 683
Es gilt also: 540183 ≡ 202 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 51
| =>67 | = 1⋅51 + 16 |
| =>51 | = 3⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 51-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(51 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅51 +15⋅ 16) = -5⋅51 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 67-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅51 +16⋅(67 -1⋅ 51)
= -5⋅51 +16⋅67 -16⋅ 51) = 16⋅67 -21⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,51)=1 = 16⋅67 -21⋅51
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -21⋅51
-21⋅51 = -16⋅67 + 1 |+67⋅51
-21⋅51 + 67⋅51 = -16⋅67 + 67⋅51 + 1
(-21 + 67) ⋅ 51 = (-16 + 51) ⋅ 67 + 1
46⋅51 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 46⋅51 = 35⋅67 +1
Somit 46⋅51 = 1 mod 67
46 ist also das Inverse von 51 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
