Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7993 - 3999) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7993 - 3999) mod 8 ≡ (7993 mod 8 - 3999 mod 8) mod 8.
7993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7993
= 7000
3999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999
= 4000
Somit gilt:
(7993 - 3999) mod 8 ≡ (1 - 7) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 71) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 71) mod 10 ≡ (39 mod 10 ⋅ 71 mod 10) mod 10.
39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.
71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 71) mod 10 ≡ (9 ⋅ 1) mod 10 ≡ 9 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6038 mod 743.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 603 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6031=603
2: 6032=6031+1=6031⋅6031 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 282 mod 743
4: 6034=6032+2=6032⋅6032 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 23 mod 743
8: 6038=6034+4=6034⋅6034 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 353163 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 3531=353
2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 350 mod 907
4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 55 mod 907
8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 304 mod 907
16: 35316=3538+8=3538⋅3538 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 809 mod 907
32: 35332=35316+16=35316⋅35316 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 534 mod 907
64: 35364=35332+32=35332⋅35332 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 358 mod 907
128: 353128=35364+64=35364⋅35364 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 277 mod 907
353163
= 353128+32+2+1
= 353128⋅35332⋅3532⋅3531
≡ 277 ⋅ 534 ⋅ 350 ⋅ 353 mod 907
≡ 147918 ⋅ 350 ⋅ 353 mod 907 ≡ 77 ⋅ 350 ⋅ 353 mod 907
≡ 26950 ⋅ 353 mod 907 ≡ 647 ⋅ 353 mod 907
≡ 228391 mod 907 ≡ 734 mod 907
Es gilt also: 353163 ≡ 734 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38
| =>53 | = 1⋅38 + 15 |
| =>38 | = 2⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 38-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +7⋅38
Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1
Somit 7⋅38 = 1 mod 53
7 ist also das Inverse von 38 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
