Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2403 - 186) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2403 - 186) mod 6 ≡ (2403 mod 6 - 186 mod 6) mod 6.
2403 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403
= 2400
186 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 186
= 180
Somit gilt:
(2403 - 186) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 39) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 39) mod 10 ≡ (74 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.
74 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 7 ⋅ 10 + 4 ist.
39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 39) mod 10 ≡ (4 ⋅ 9) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 617128 mod 839.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 617 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6171=617
2: 6172=6171+1=6171⋅6171 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 622 mod 839
4: 6174=6172+2=6172⋅6172 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 105 mod 839
8: 6178=6174+4=6174⋅6174 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 118 mod 839
16: 61716=6178+8=6178⋅6178 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 500 mod 839
32: 61732=61716+16=61716⋅61716 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 817 mod 839
64: 61764=61732+32=61732⋅61732 ≡ 817⋅817=667489 ≡ 484 mod 839
128: 617128=61764+64=61764⋅61764 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 175 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 904157 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 9041=904
2: 9042=9041+1=9041⋅9041 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 152 mod 937
4: 9044=9042+2=9042⋅9042 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 616 mod 937
8: 9048=9044+4=9044⋅9044 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 908 mod 937
16: 90416=9048+8=9048⋅9048 ≡ 908⋅908=824464 ≡ 841 mod 937
32: 90432=90416+16=90416⋅90416 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 783 mod 937
64: 90464=90432+32=90432⋅90432 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 291 mod 937
128: 904128=90464+64=90464⋅90464 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 351 mod 937
904157
= 904128+16+8+4+1
= 904128⋅90416⋅9048⋅9044⋅9041
≡ 351 ⋅ 841 ⋅ 908 ⋅ 616 ⋅ 904 mod 937
≡ 295191 ⋅ 908 ⋅ 616 ⋅ 904 mod 937 ≡ 36 ⋅ 908 ⋅ 616 ⋅ 904 mod 937
≡ 32688 ⋅ 616 ⋅ 904 mod 937 ≡ 830 ⋅ 616 ⋅ 904 mod 937
≡ 511280 ⋅ 904 mod 937 ≡ 615 ⋅ 904 mod 937
≡ 555960 mod 937 ≡ 319 mod 937
Es gilt also: 904157 ≡ 319 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30
| =>97 | = 3⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-3⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30) = 13⋅97 -42⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -42⋅30
-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30
-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1
(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1
55⋅30 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1
Somit 55⋅30 = 1 mod 97
55 ist also das Inverse von 30 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
