Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (182 + 4499) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(182 + 4499) mod 9 ≡ (182 mod 9 + 4499 mod 9) mod 9.
182 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182
= 180
4499 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4499
= 4500
Somit gilt:
(182 + 4499) mod 9 ≡ (2 + 8) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 71) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 71) mod 4 ≡ (47 mod 4 ⋅ 71 mod 4) mod 4.
47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.
71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 71) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 87716 mod 971.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 877 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8771=877
2: 8772=8771+1=8771⋅8771 ≡ 877⋅877=769129 ≡ 97 mod 971
4: 8774=8772+2=8772⋅8772 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 670 mod 971
8: 8778=8774+4=8774⋅8774 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 298 mod 971
16: 87716=8778+8=8778⋅8778 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 443 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 208206 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:
206 = 128+64+8+4+2
1: 2081=208
2: 2082=2081+1=2081⋅2081 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 35 mod 311
4: 2084=2082+2=2082⋅2082 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 292 mod 311
8: 2088=2084+4=2084⋅2084 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 50 mod 311
16: 20816=2088+8=2088⋅2088 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 12 mod 311
32: 20832=20816+16=20816⋅20816 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 311
64: 20864=20832+32=20832⋅20832 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 210 mod 311
128: 208128=20864+64=20864⋅20864 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 249 mod 311
208206
= 208128+64+8+4+2
= 208128⋅20864⋅2088⋅2084⋅2082
≡ 249 ⋅ 210 ⋅ 50 ⋅ 292 ⋅ 35 mod 311
≡ 52290 ⋅ 50 ⋅ 292 ⋅ 35 mod 311 ≡ 42 ⋅ 50 ⋅ 292 ⋅ 35 mod 311
≡ 2100 ⋅ 292 ⋅ 35 mod 311 ≡ 234 ⋅ 292 ⋅ 35 mod 311
≡ 68328 ⋅ 35 mod 311 ≡ 219 ⋅ 35 mod 311
≡ 7665 mod 311 ≡ 201 mod 311
Es gilt also: 208206 ≡ 201 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27
| =>61 | = 2⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27) = 4⋅61 -9⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27
oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅61 = -9⋅27
-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27
-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1
(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1
52⋅27 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1
Somit 52⋅27 = 1 mod 61
52 ist also das Inverse von 27 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
