Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20001 + 5002) mod 5 ≡ (20001 mod 5 + 5002 mod 5) mod 5.

20001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 5 ⋅ 4000 +1.

5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002 = 5000+2 = 5 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(20001 + 5002) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 69) mod 11 ≡ (74 mod 11 ⋅ 69 mod 11) mod 11.

74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.

69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 69) mod 11 ≡ (8 ⋅ 3) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 242¹=242

2: 242²=242¹⁺¹=242¹⋅242¹ ≡ 242⋅242=58564 ≡ 281 mod 349

4: 242⁴=242²⁺²=242²⋅242² ≡ 281⋅281=78961 ≡ 87 mod 349

8: 242⁸=242⁴⁺⁴=242⁴⋅242⁴ ≡ 87⋅87=7569 ≡ 240 mod 349

16: 242¹⁶=242⁸⁺⁸=242⁸⋅242⁸ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 15 mod 349

32: 242³²=242¹⁶⁺¹⁶=242¹⁶⋅242¹⁶ ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 349

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

428²³⁸

= 428^{128+64+32+8+4+2}

= 428¹²⁸⋅428⁶⁴⋅428³²⋅428⁸⋅428⁴⋅428²

≡ 268 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563
≡ 96748 ⋅ 19 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563 ≡ 475 ⋅ 19 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563
≡ 9025 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563 ≡ 17 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563
≡ 4097 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563 ≡ 156 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563
≡ 51480 ⋅ 209 mod 563 ≡ 247 ⋅ 209 mod 563
≡ 51623 mod 563 ≡ 390 mod 563

Es gilt also: 428²³⁸ ≡ 390 mod 563

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48

=>61	= 1⋅48 + 13
=>48	= 3⋅13 + 9
=>13	= 1⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 13-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1)
9= 48-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13) = -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48) = 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +14⋅48

Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1

Somit 14⋅48 = 1 mod 61

14 ist also das Inverse von 48 mod 61