Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(157 - 3192) mod 8 ≡ (157 mod 8 - 3192 mod 8) mod 8.

157 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 8 ⋅ 20 -3 = 8 ⋅ 20 - 8 + 5.

3192 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3192 = 3200-8 = 8 ⋅ 400 -8 = 8 ⋅ 400 - 8 + 0.

Somit gilt:

(157 - 3192) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 88) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 88 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

88 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 12 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 88) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 287¹=287

2: 287²=287¹⁺¹=287¹⋅287¹ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 99 mod 433

4: 287⁴=287²⁺²=287²⋅287² ≡ 99⋅99=9801 ≡ 275 mod 433

8: 287⁸=287⁴⁺⁴=287⁴⋅287⁴ ≡ 275⋅275=75625 ≡ 283 mod 433

16: 287¹⁶=287⁸⁺⁸=287⁸⋅287⁸ ≡ 283⋅283=80089 ≡ 417 mod 433

32: 287³²=287¹⁶⁺¹⁶=287¹⁶⋅287¹⁶ ≡ 417⋅417=173889 ≡ 256 mod 433

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

186¹⁹¹

= 186^{128+32+16+8+4+2+1}

= 186¹²⁸⋅186³²⋅186¹⁶⋅186⁸⋅186⁴⋅186²⋅186¹

≡ 405 ⋅ 116 ⋅ 245 ⋅ 405 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431
≡ 46980 ⋅ 245 ⋅ 405 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431 ≡ 1 ⋅ 245 ⋅ 405 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431
≡ 245 ⋅ 405 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431
≡ 99225 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431 ≡ 95 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431
≡ 9025 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431 ≡ 405 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431
≡ 46980 ⋅ 186 mod 431 ≡ 1 ⋅ 186 mod 431
≡ 186 mod 431

Es gilt also: 186¹⁹¹ ≡ 186 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 68

=>89	= 1⋅68 + 21
=>68	= 3⋅21 + 5
=>21	= 4⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 68-3⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -4⋅(68 -3⋅ 21) = 1⋅21 -4⋅68 +12⋅ 21) = -4⋅68 +13⋅ 21 (=1)
21= 89-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅68 +13⋅(89 -1⋅ 68) = -4⋅68 +13⋅89 -13⋅ 68) = 13⋅89 -17⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(89,68)=1 = 13⋅89 -17⋅68

oder wenn man 13⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅89 = -17⋅68

-17⋅68 = -13⋅89 + 1 |+89⋅68

-17⋅68 + 89⋅68 = -13⋅89 + 89⋅68 + 1

(-17 + 89) ⋅ 68 = (-13 + 68) ⋅ 89 + 1

72⋅68 = 55⋅89 + 1

Es gilt also: 72⋅68 = 55⋅89 +1

Somit 72⋅68 = 1 mod 89

72 ist also das Inverse von 68 mod 89