Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (405 - 805) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(405 - 805) mod 8 ≡ (405 mod 8 - 805 mod 8) mod 8.
405 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 405
= 400
805 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 805
= 800
Somit gilt:
(405 - 805) mod 8 ≡ (5 - 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 56) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 56) mod 11 ≡ (86 mod 11 ⋅ 56 mod 11) mod 11.
86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.
56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 56) mod 11 ≡ (9 ⋅ 1) mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33164 mod 947.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 656 mod 947
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 398 mod 947
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 255 mod 947
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 629 mod 947
32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 742 mod 947
64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 742⋅742=550564 ≡ 357 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 563153 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 5631=563
2: 5632=5631+1=5631⋅5631 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 64 mod 571
4: 5634=5632+2=5632⋅5632 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 99 mod 571
8: 5638=5634+4=5634⋅5634 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 94 mod 571
16: 56316=5638+8=5638⋅5638 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 271 mod 571
32: 56332=56316+16=56316⋅56316 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 353 mod 571
64: 56364=56332+32=56332⋅56332 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 131 mod 571
128: 563128=56364+64=56364⋅56364 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 31 mod 571
563153
= 563128+16+8+1
= 563128⋅56316⋅5638⋅5631
≡ 31 ⋅ 271 ⋅ 94 ⋅ 563 mod 571
≡ 8401 ⋅ 94 ⋅ 563 mod 571 ≡ 407 ⋅ 94 ⋅ 563 mod 571
≡ 38258 ⋅ 563 mod 571 ≡ 1 ⋅ 563 mod 571
≡ 563 mod 571
Es gilt also: 563153 ≡ 563 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58
| =>67 | = 1⋅58 + 9 |
| =>58 | = 6⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 58-6⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9) = -2⋅58 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58) = 13⋅67 -15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -15⋅58
-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58
-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1
(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1
52⋅58 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1
Somit 52⋅58 = 1 mod 67
52 ist also das Inverse von 58 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
