Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 + 275) mod 9 ≡ (87 mod 9 + 275 mod 9) mod 9.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 90-3 = 9 ⋅ 10 -3 = 9 ⋅ 10 - 9 + 6.

275 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275 = 270+5 = 9 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(87 + 275) mod 9 ≡ (6 + 5) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 20) mod 8 ≡ (47 mod 8 ⋅ 20 mod 8) mod 8.

47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.

20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 20) mod 8 ≡ (7 ⋅ 4) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 362¹=362

2: 362²=362¹⁺¹=362¹⋅362¹ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 305 mod 983

4: 362⁴=362²⁺²=362²⋅362² ≡ 305⋅305=93025 ≡ 623 mod 983

8: 362⁸=362⁴⁺⁴=362⁴⋅362⁴ ≡ 623⋅623=388129 ≡ 827 mod 983

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

167²³⁵

= 167^{128+64+32+8+2+1}

= 167¹²⁸⋅167⁶⁴⋅167³²⋅167⁸⋅167²⋅167¹

≡ 66 ⋅ 132 ⋅ 208 ⋅ 176 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263
≡ 8712 ⋅ 208 ⋅ 176 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263 ≡ 33 ⋅ 208 ⋅ 176 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263
≡ 6864 ⋅ 176 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263 ≡ 26 ⋅ 176 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263
≡ 4576 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263 ≡ 105 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263
≡ 1155 ⋅ 167 mod 263 ≡ 103 ⋅ 167 mod 263
≡ 17201 mod 263 ≡ 106 mod 263

Es gilt also: 167²³⁵ ≡ 106 mod 263

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89