Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40002 - 802) mod 8 ≡ (40002 mod 8 - 802 mod 8) mod 8.

40002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40002 = 40000+2 = 8 ⋅ 5000 +2.

802 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802 = 800+2 = 8 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(40002 - 802) mod 8 ≡ (2 - 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 64) mod 3 ≡ (17 mod 3 ⋅ 64 mod 3) mod 3.

17 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 5 ⋅ 3 + 2 ist.

64 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 21 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 64) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 183¹=183

2: 183²=183¹⁺¹=183¹⋅183¹ ≡ 183⋅183=33489 ≡ 55 mod 229

4: 183⁴=183²⁺²=183²⋅183² ≡ 55⋅55=3025 ≡ 48 mod 229

8: 183⁸=183⁴⁺⁴=183⁴⋅183⁴ ≡ 48⋅48=2304 ≡ 14 mod 229

16: 183¹⁶=183⁸⁺⁸=183⁸⋅183⁸ ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 229

32: 183³²=183¹⁶⁺¹⁶=183¹⁶⋅183¹⁶ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 173 mod 229

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

604¹⁸¹

= 604^{128+32+16+4+1}

= 604¹²⁸⋅604³²⋅604¹⁶⋅604⁴⋅604¹

≡ 436 ⋅ 315 ⋅ 129 ⋅ 896 ⋅ 604 mod 907
≡ 137340 ⋅ 129 ⋅ 896 ⋅ 604 mod 907 ≡ 383 ⋅ 129 ⋅ 896 ⋅ 604 mod 907
≡ 49407 ⋅ 896 ⋅ 604 mod 907 ≡ 429 ⋅ 896 ⋅ 604 mod 907
≡ 384384 ⋅ 604 mod 907 ≡ 723 ⋅ 604 mod 907
≡ 436692 mod 907 ≡ 425 mod 907

Es gilt also: 604¹⁸¹ ≡ 425 mod 907

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35

=>79	= 2⋅35 + 9
=>35	= 3⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 79-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35) = -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35) = 4⋅79 -9⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -9⋅35

-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35

-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1

(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1

70⋅35 = 31⋅79 + 1

Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1

Somit 70⋅35 = 1 mod 79

70 ist also das Inverse von 35 mod 79