Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8998 - 900) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8998 - 900) mod 9 ≡ (8998 mod 9 - 900 mod 9) mod 9.
8998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998
= 9000
900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(8998 - 900) mod 9 ≡ (7 - 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 58) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 58) mod 11 ≡ (36 mod 11 ⋅ 58 mod 11) mod 11.
36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.
58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 58) mod 11 ≡ (3 ⋅ 3) mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 828 mod 211.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 82 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 821=82
2: 822=821+1=821⋅821 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 183 mod 211
4: 824=822+2=822⋅822 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 151 mod 211
8: 828=824+4=824⋅824 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 13 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 187224 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 253 mod 263
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 100 mod 263
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 6 mod 263
16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 263
32: 18732=18716+16=18716⋅18716 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 244 mod 263
64: 18764=18732+32=18732⋅18732 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 98 mod 263
128: 187128=18764+64=18764⋅18764 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 136 mod 263
187224
= 187128+64+32
= 187128⋅18764⋅18732
≡ 136 ⋅ 98 ⋅ 244 mod 263
≡ 13328 ⋅ 244 mod 263 ≡ 178 ⋅ 244 mod 263
≡ 43432 mod 263 ≡ 37 mod 263
Es gilt also: 187224 ≡ 37 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34
| =>61 | = 1⋅34 + 27 |
| =>34 | = 1⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 34-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1) |
| 27= 61-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +9⋅34
Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1
Somit 9⋅34 = 1 mod 61
9 ist also das Inverse von 34 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
