Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16000 - 23992) mod 8 ≡ (16000 mod 8 - 23992 mod 8) mod 8.

16000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 8 ⋅ 2000 +0.

23992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23992 = 23000+992 = 8 ⋅ 2875 +992.

Somit gilt:

(16000 - 23992) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 77) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 77 mod 6) mod 6.

81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.

77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 77) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 313¹=313

2: 313²=313¹⁺¹=313¹⋅313¹ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 571 mod 773

4: 313⁴=313²⁺²=313²⋅313² ≡ 571⋅571=326041 ≡ 608 mod 773

8: 313⁸=313⁴⁺⁴=313⁴⋅313⁴ ≡ 608⋅608=369664 ≡ 170 mod 773

16: 313¹⁶=313⁸⁺⁸=313⁸⋅313⁸ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 299 mod 773

32: 313³²=313¹⁶⁺¹⁶=313¹⁶⋅313¹⁶ ≡ 299⋅299=89401 ≡ 506 mod 773

64: 313⁶⁴=313³²⁺³²=313³²⋅313³² ≡ 506⋅506=256036 ≡ 173 mod 773

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

684⁶¹

= 684^32+16+8+4+1

= 684³²⋅684¹⁶⋅684⁸⋅684⁴⋅684¹

≡ 224 ⋅ 370 ⋅ 611 ⋅ 447 ⋅ 684 mod 727
≡ 82880 ⋅ 611 ⋅ 447 ⋅ 684 mod 727 ≡ 2 ⋅ 611 ⋅ 447 ⋅ 684 mod 727
≡ 1222 ⋅ 447 ⋅ 684 mod 727 ≡ 495 ⋅ 447 ⋅ 684 mod 727
≡ 221265 ⋅ 684 mod 727 ≡ 257 ⋅ 684 mod 727
≡ 175788 mod 727 ≡ 581 mod 727

Es gilt also: 684⁶¹ ≡ 581 mod 727

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

=>101	= 1⋅87 + 14
=>87	= 6⋅14 + 3
=>14	= 4⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 87-6⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14) = -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14) = 5⋅87 -31⋅ 14 (=1)
14= 101-1⋅87	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87) = 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87) = -31⋅101 +36⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87

oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅101 = +36⋅87

Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1

Somit 36⋅87 = 1 mod 101

36 ist also das Inverse von 87 mod 101