Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23994 - 186) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23994 - 186) mod 6 ≡ (23994 mod 6 - 186 mod 6) mod 6.
23994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23994
= 24000
186 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 186
= 180
Somit gilt:
(23994 - 186) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 48) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 48) mod 8 ≡ (81 mod 8 ⋅ 48 mod 8) mod 8.
81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.
48 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 6 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 48) mod 8 ≡ (1 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2728 mod 311.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 272 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 277 mod 311
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 223 mod 311
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 280 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 289241 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:
241 = 128+64+32+16+1
1: 2891=289
2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 364 mod 523
4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 177 mod 523
8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 472 mod 523
16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 509 mod 523
32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 196 mod 523
64: 28964=28932+32=28932⋅28932 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 237 mod 523
128: 289128=28964+64=28964⋅28964 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 208 mod 523
289241
= 289128+64+32+16+1
= 289128⋅28964⋅28932⋅28916⋅2891
≡ 208 ⋅ 237 ⋅ 196 ⋅ 509 ⋅ 289 mod 523
≡ 49296 ⋅ 196 ⋅ 509 ⋅ 289 mod 523 ≡ 134 ⋅ 196 ⋅ 509 ⋅ 289 mod 523
≡ 26264 ⋅ 509 ⋅ 289 mod 523 ≡ 114 ⋅ 509 ⋅ 289 mod 523
≡ 58026 ⋅ 289 mod 523 ≡ 496 ⋅ 289 mod 523
≡ 143344 mod 523 ≡ 42 mod 523
Es gilt also: 289241 ≡ 42 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54
| =>59 | = 1⋅54 + 5 |
| =>54 | = 10⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 54-10⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -12⋅54
-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54
-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1
(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1
47⋅54 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1
Somit 47⋅54 = 1 mod 59
47 ist also das Inverse von 54 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
