Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(238 - 11996) mod 6 ≡ (238 mod 6 - 11996 mod 6) mod 6.

238 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 238 = 240-2 = 6 ⋅ 40 -2 = 6 ⋅ 40 - 6 + 4.

11996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 12000-4 = 6 ⋅ 2000 -4 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(238 - 11996) mod 6 ≡ (4 - 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 85) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 85 mod 3) mod 3.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 85) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 591¹=591

2: 591²=591¹⁺¹=591¹⋅591¹ ≡ 591⋅591=349281 ≡ 257 mod 839

4: 591⁴=591²⁺²=591²⋅591² ≡ 257⋅257=66049 ≡ 607 mod 839

8: 591⁸=591⁴⁺⁴=591⁴⋅591⁴ ≡ 607⋅607=368449 ≡ 128 mod 839

16: 591¹⁶=591⁸⁺⁸=591⁸⋅591⁸ ≡ 128⋅128=16384 ≡ 443 mod 839

32: 591³²=591¹⁶⁺¹⁶=591¹⁶⋅591¹⁶ ≡ 443⋅443=196249 ≡ 762 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:

107 = 64+32+8+2+1

554¹⁰⁷

= 554^64+32+8+2+1

= 554⁶⁴⋅554³²⋅554⁸⋅554²⋅554¹

≡ 824 ⋅ 274 ⋅ 789 ⋅ 138 ⋅ 554 mod 977
≡ 225776 ⋅ 789 ⋅ 138 ⋅ 554 mod 977 ≡ 89 ⋅ 789 ⋅ 138 ⋅ 554 mod 977
≡ 70221 ⋅ 138 ⋅ 554 mod 977 ≡ 854 ⋅ 138 ⋅ 554 mod 977
≡ 117852 ⋅ 554 mod 977 ≡ 612 ⋅ 554 mod 977
≡ 339048 mod 977 ≡ 29 mod 977

Es gilt also: 554¹⁰⁷ ≡ 29 mod 977

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97	= 2⋅42 + 13
=>42	= 3⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42) = -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42) = 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97