Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (504 - 2505) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(504 - 2505) mod 5 ≡ (504 mod 5 - 2505 mod 5) mod 5.

504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504 = 500+4 = 5 ⋅ 100 +4.

2505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2505 = 2500+5 = 5 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(504 - 2505) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 37) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 37) mod 5 ≡ (95 mod 5 ⋅ 37 mod 5) mod 5.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.

37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 37) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43664 mod 541.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 436 -> x
2. mod(x²,541) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4361=436

2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 205 mod 541

4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 368 mod 541

8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 174 mod 541

16: 43616=4368+8=4368⋅4368 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 521 mod 541

32: 43632=43616+16=43616⋅43616 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 400 mod 541

64: 43664=43632+32=43632⋅43632 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 405 mod 541

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 182215 mod 233.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

1: 1821=182

2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 38 mod 233

4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233

8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 19 mod 233

16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 19⋅19=361 ≡ 128 mod 233

32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 74 mod 233

64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 117 mod 233

128: 182128=18264+64=18264⋅18264 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 175 mod 233

182215

= 182128+64+16+4+2+1

= 182128⋅18264⋅18216⋅1824⋅1822⋅1821

175 ⋅ 117 ⋅ 128 ⋅ 46 ⋅ 38 ⋅ 182 mod 233
20475 ⋅ 128 ⋅ 46 ⋅ 38 ⋅ 182 mod 233 ≡ 204 ⋅ 128 ⋅ 46 ⋅ 38 ⋅ 182 mod 233
26112 ⋅ 46 ⋅ 38 ⋅ 182 mod 233 ≡ 16 ⋅ 46 ⋅ 38 ⋅ 182 mod 233
736 ⋅ 38 ⋅ 182 mod 233 ≡ 37 ⋅ 38 ⋅ 182 mod 233
1406 ⋅ 182 mod 233 ≡ 8 ⋅ 182 mod 233
1456 mod 233 ≡ 58 mod 233

Es gilt also: 182215 ≡ 58 mod 233

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35

=>61 = 1⋅35 + 26
=>35 = 1⋅26 + 9
=>26 = 2⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 26-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9)
= -1⋅26 +3⋅ 9 (=1)
9= 35-1⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅26 +3⋅(35 -1⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅35 -3⋅ 26)
= 3⋅35 -4⋅ 26 (=1)
26= 61-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅35 -4⋅(61 -1⋅ 35)
= 3⋅35 -4⋅61 +4⋅ 35)
= -4⋅61 +7⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(61,35)=1 = -4⋅61 +7⋅35

oder wenn man -4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅61 = +7⋅35

Es gilt also: 7⋅35 = 4⋅61 +1

Somit 7⋅35 = 1 mod 61

7 ist also das Inverse von 35 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.