Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (902 - 28) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(902 - 28) mod 3 ≡ (902 mod 3 - 28 mod 3) mod 3.

902 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902 = 900+2 = 3 ⋅ 300 +2.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 30-2 = 3 ⋅ 10 -2 = 3 ⋅ 10 - 3 + 1.

Somit gilt:

(902 - 28) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 91) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 91) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 91 mod 5) mod 5.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 91) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38432 mod 947.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 384 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3841=384

2: 3842=3841+1=3841⋅3841 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 671 mod 947

4: 3844=3842+2=3842⋅3842 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 416 mod 947

8: 3848=3844+4=3844⋅3844 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 702 mod 947

16: 38416=3848+8=3848⋅3848 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 364 mod 947

32: 38432=38416+16=38416⋅38416 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 863 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 536239 mod 967.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

1: 5361=536

2: 5362=5361+1=5361⋅5361 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 97 mod 967

4: 5364=5362+2=5362⋅5362 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 706 mod 967

8: 5368=5364+4=5364⋅5364 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 431 mod 967

16: 53616=5368+8=5368⋅5368 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 97 mod 967

32: 53632=53616+16=53616⋅53616 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 706 mod 967

64: 53664=53632+32=53632⋅53632 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 431 mod 967

128: 536128=53664+64=53664⋅53664 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 97 mod 967

536239

= 536128+64+32+8+4+2+1

= 536128⋅53664⋅53632⋅5368⋅5364⋅5362⋅5361

97 ⋅ 431 ⋅ 706 ⋅ 431 ⋅ 706 ⋅ 97 ⋅ 536 mod 967
41807 ⋅ 706 ⋅ 431 ⋅ 706 ⋅ 97 ⋅ 536 mod 967 ≡ 226 ⋅ 706 ⋅ 431 ⋅ 706 ⋅ 97 ⋅ 536 mod 967
159556 ⋅ 431 ⋅ 706 ⋅ 97 ⋅ 536 mod 967 ≡ 1 ⋅ 431 ⋅ 706 ⋅ 97 ⋅ 536 mod 967
431 ⋅ 706 ⋅ 97 ⋅ 536 mod 967
304286 ⋅ 97 ⋅ 536 mod 967 ≡ 648 ⋅ 97 ⋅ 536 mod 967
62856 ⋅ 536 mod 967 ≡ 1 ⋅ 536 mod 967
536 mod 967

Es gilt also: 536239 ≡ 536 mod 967

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71 = 1⋅49 + 22
=>49 = 2⋅22 + 5
=>22 = 4⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5)
= -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22)
= 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49)
= -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.