Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (500 + 24996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(500 + 24996) mod 5 ≡ (500 mod 5 + 24996 mod 5) mod 5.
500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500
= 500
24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996
= 24000
Somit gilt:
(500 + 24996) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 63) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 63) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 63 mod 4) mod 4.
95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.
63 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 15 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 63) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44516 mod 743.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 445 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4451=445
2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 387 mod 743
4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 426 mod 743
8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 184 mod 743
16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 421 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 430224 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 4301=430
2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 742 mod 787
4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 742⋅742=550564 ≡ 451 mod 787
8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 355 mod 787
16: 43016=4308+8=4308⋅4308 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 105 mod 787
32: 43032=43016+16=43016⋅43016 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 7 mod 787
64: 43064=43032+32=43032⋅43032 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 787
128: 430128=43064+64=43064⋅43064 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 40 mod 787
430224
= 430128+64+32
= 430128⋅43064⋅43032
≡ 40 ⋅ 49 ⋅ 7 mod 787
≡ 1960 ⋅ 7 mod 787 ≡ 386 ⋅ 7 mod 787
≡ 2702 mod 787 ≡ 341 mod 787
Es gilt also: 430224 ≡ 341 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42
| =>53 | = 1⋅42 + 11 |
| =>42 | = 3⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 42-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +24⋅42
Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1
Somit 24⋅42 = 1 mod 53
24 ist also das Inverse von 42 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
