Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2096 - 77) mod 7 ≡ (2096 mod 7 - 77 mod 7) mod 7.

2096 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2096 = 2100-4 = 7 ⋅ 300 -4 = 7 ⋅ 300 - 7 + 3.

77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70+7 = 7 ⋅ 10 +7.

Somit gilt:

(2096 - 77) mod 7 ≡ (3 - 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 81) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 81 mod 10) mod 10.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 81) mod 10 ≡ (5 ⋅ 1) mod 10 ≡ 5 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 652¹=652

2: 652²=652¹⁺¹=652¹⋅652¹ ≡ 652⋅652=425104 ≡ 777 mod 971

4: 652⁴=652²⁺²=652²⋅652² ≡ 777⋅777=603729 ≡ 738 mod 971

8: 652⁸=652⁴⁺⁴=652⁴⋅652⁴ ≡ 738⋅738=544644 ≡ 884 mod 971

16: 652¹⁶=652⁸⁺⁸=652⁸⋅652⁸ ≡ 884⋅884=781456 ≡ 772 mod 971

32: 652³²=652¹⁶⁺¹⁶=652¹⁶⋅652¹⁶ ≡ 772⋅772=595984 ≡ 761 mod 971

64: 652⁶⁴=652³²⁺³²=652³²⋅652³² ≡ 761⋅761=579121 ≡ 405 mod 971

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

429¹²⁷

= 429^{64+32+16+8+4+2+1}

= 429⁶⁴⋅429³²⋅429¹⁶⋅429⁸⋅429⁴⋅429²⋅429¹

≡ 576 ⋅ 24 ⋅ 344 ⋅ 54 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643
≡ 13824 ⋅ 344 ⋅ 54 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643 ≡ 321 ⋅ 344 ⋅ 54 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643
≡ 110424 ⋅ 54 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643 ≡ 471 ⋅ 54 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643
≡ 25434 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643 ≡ 357 ⋅ 516 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643
≡ 184212 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643 ≡ 314 ⋅ 143 ⋅ 429 mod 643
≡ 44902 ⋅ 429 mod 643 ≡ 535 ⋅ 429 mod 643
≡ 229515 mod 643 ≡ 607 mod 643

Es gilt also: 429¹²⁷ ≡ 607 mod 643

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67

=>97	= 1⋅67 + 30
=>67	= 2⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)
30= 97-1⋅67	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67) = 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67) = -29⋅97 +42⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67

oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +29⋅97 = +42⋅67

Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1

Somit 42⋅67 = 1 mod 97

42 ist also das Inverse von 67 mod 97