Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 - 400) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 - 400) mod 4 ≡ (122 mod 4 - 400 mod 4) mod 4.
122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400
= 400
Somit gilt:
(122 - 400) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 43) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 43) mod 8 ≡ (19 mod 8 ⋅ 43 mod 8) mod 8.
19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.
43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 43) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6348 mod 881.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 634 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6341=634
2: 6342=6341+1=6341⋅6341 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 220 mod 881
4: 6344=6342+2=6342⋅6342 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 826 mod 881
8: 6348=6344+4=6344⋅6344 ≡ 826⋅826=682276 ≡ 382 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 258191 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:
191 = 128+32+16+8+4+2+1
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 137 mod 367
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 52 mod 367
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 135 mod 367
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 242 mod 367
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 211 mod 367
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 114 mod 367
128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 151 mod 367
258191
= 258128+32+16+8+4+2+1
= 258128⋅25832⋅25816⋅2588⋅2584⋅2582⋅2581
≡ 151 ⋅ 211 ⋅ 242 ⋅ 135 ⋅ 52 ⋅ 137 ⋅ 258 mod 367
≡ 31861 ⋅ 242 ⋅ 135 ⋅ 52 ⋅ 137 ⋅ 258 mod 367 ≡ 299 ⋅ 242 ⋅ 135 ⋅ 52 ⋅ 137 ⋅ 258 mod 367
≡ 72358 ⋅ 135 ⋅ 52 ⋅ 137 ⋅ 258 mod 367 ≡ 59 ⋅ 135 ⋅ 52 ⋅ 137 ⋅ 258 mod 367
≡ 7965 ⋅ 52 ⋅ 137 ⋅ 258 mod 367 ≡ 258 ⋅ 52 ⋅ 137 ⋅ 258 mod 367
≡ 13416 ⋅ 137 ⋅ 258 mod 367 ≡ 204 ⋅ 137 ⋅ 258 mod 367
≡ 27948 ⋅ 258 mod 367 ≡ 56 ⋅ 258 mod 367
≡ 14448 mod 367 ≡ 135 mod 367
Es gilt also: 258191 ≡ 135 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44
| =>59 | = 1⋅44 + 15 |
| =>44 | = 2⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 44-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15) = -1⋅44 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44) = 3⋅59 -4⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -4⋅44
-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44
-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1
(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1
55⋅44 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1
Somit 55⋅44 = 1 mod 59
55 ist also das Inverse von 44 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
