Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(233 + 795) mod 8 ≡ (233 mod 8 + 795 mod 8) mod 8.

233 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 233 = 240-7 = 8 ⋅ 30 -7 = 8 ⋅ 30 - 8 + 1.

795 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 795 = 800-5 = 8 ⋅ 100 -5 = 8 ⋅ 100 - 8 + 3.

Somit gilt:

(233 + 795) mod 8 ≡ (1 + 3) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 44) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 44 mod 7) mod 7.

26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.

44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 44) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 129¹=129

2: 129²=129¹⁺¹=129¹⋅129¹ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 21 mod 277

4: 129⁴=129²⁺²=129²⋅129² ≡ 21⋅21=441 ≡ 164 mod 277

8: 129⁸=129⁴⁺⁴=129⁴⋅129⁴ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 27 mod 277

16: 129¹⁶=129⁸⁺⁸=129⁸⋅129⁸ ≡ 27⋅27=729 ≡ 175 mod 277

32: 129³²=129¹⁶⁺¹⁶=129¹⁶⋅129¹⁶ ≡ 175⋅175=30625 ≡ 155 mod 277

64: 129⁶⁴=129³²⁺³²=129³²⋅129³² ≡ 155⋅155=24025 ≡ 203 mod 277

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

399¹⁸²

= 399^{128+32+16+4+2}

= 399¹²⁸⋅399³²⋅399¹⁶⋅399⁴⋅399²

≡ 410 ⋅ 636 ⋅ 679 ⋅ 274 ⋅ 152 mod 761
≡ 260760 ⋅ 679 ⋅ 274 ⋅ 152 mod 761 ≡ 498 ⋅ 679 ⋅ 274 ⋅ 152 mod 761
≡ 338142 ⋅ 274 ⋅ 152 mod 761 ≡ 258 ⋅ 274 ⋅ 152 mod 761
≡ 70692 ⋅ 152 mod 761 ≡ 680 ⋅ 152 mod 761
≡ 103360 mod 761 ≡ 625 mod 761

Es gilt also: 399¹⁸² ≡ 625 mod 761

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71

=>79	= 1⋅71 + 8
=>71	= 8⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 71-8⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1)
8= 79-1⋅71	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71) = -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71

oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅79 = -10⋅71

-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71

-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1

(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1

69⋅71 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1

Somit 69⋅71 = 1 mod 79

69 ist also das Inverse von 71 mod 79