Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2397 - 1201) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2397 - 1201) mod 6 ≡ (2397 mod 6 - 1201 mod 6) mod 6.
2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397
= 2400
1201 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
Somit gilt:
(2397 - 1201) mod 6 ≡ (3 - 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 47) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 47) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 47 mod 11) mod 11.
24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.
47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 47) mod 11 ≡ (2 ⋅ 3) mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36364 mod 487.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 363 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3631=363
2: 3632=3631+1=3631⋅3631 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 279 mod 487
4: 3634=3632+2=3632⋅3632 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 408 mod 487
8: 3638=3634+4=3634⋅3634 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 397 mod 487
16: 36316=3638+8=3638⋅3638 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 308 mod 487
32: 36332=36316+16=36316⋅36316 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 386 mod 487
64: 36364=36332+32=36332⋅36332 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 461 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 212218 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:
218 = 128+64+16+8+2
1: 2121=212
2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 118 mod 241
4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 187 mod 241
8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 24 mod 241
16: 21216=2128+8=2128⋅2128 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
32: 21232=21216+16=21216⋅21216 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241
64: 21264=21232+32=21232⋅21232 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
128: 212128=21264+64=21264⋅21264 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241
212218
= 212128+64+16+8+2
= 212128⋅21264⋅21216⋅2128⋅2122
≡ 24 ⋅ 54 ⋅ 94 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241
≡ 1296 ⋅ 94 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241 ≡ 91 ⋅ 94 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241
≡ 8554 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241 ≡ 119 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241
≡ 2856 ⋅ 118 mod 241 ≡ 205 ⋅ 118 mod 241
≡ 24190 mod 241 ≡ 90 mod 241
Es gilt also: 212218 ≡ 90 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47
| =>97 | = 2⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 97-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -33⋅47
-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47
-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1
(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1
64⋅47 = 31⋅97 + 1
Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1
Somit 64⋅47 = 1 mod 97
64 ist also das Inverse von 47 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
