Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 - 55) mod 6 ≡ (12003 mod 6 - 55 mod 6) mod 6.

12003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 6 ⋅ 2000 +3.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 60-5 = 6 ⋅ 10 -5 = 6 ⋅ 10 - 6 + 1.

Somit gilt:

(12003 - 55) mod 6 ≡ (3 - 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 46) mod 3 ≡ (81 mod 3 ⋅ 46 mod 3) mod 3.

81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 46) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 179¹=179

2: 179²=179¹⁺¹=179¹⋅179¹ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 104 mod 293

4: 179⁴=179²⁺²=179²⋅179² ≡ 104⋅104=10816 ≡ 268 mod 293

8: 179⁸=179⁴⁺⁴=179⁴⋅179⁴ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 39 mod 293

16: 179¹⁶=179⁸⁺⁸=179⁸⋅179⁸ ≡ 39⋅39=1521 ≡ 56 mod 293

32: 179³²=179¹⁶⁺¹⁶=179¹⁶⋅179¹⁶ ≡ 56⋅56=3136 ≡ 206 mod 293

64: 179⁶⁴=179³²⁺³²=179³²⋅179³² ≡ 206⋅206=42436 ≡ 244 mod 293

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:

117 = 64+32+16+4+1

315¹¹⁷

= 315^64+32+16+4+1

= 315⁶⁴⋅315³²⋅315¹⁶⋅315⁴⋅315¹

≡ 349 ⋅ 98 ⋅ 221 ⋅ 204 ⋅ 315 mod 617
≡ 34202 ⋅ 221 ⋅ 204 ⋅ 315 mod 617 ≡ 267 ⋅ 221 ⋅ 204 ⋅ 315 mod 617
≡ 59007 ⋅ 204 ⋅ 315 mod 617 ≡ 392 ⋅ 204 ⋅ 315 mod 617
≡ 79968 ⋅ 315 mod 617 ≡ 375 ⋅ 315 mod 617
≡ 118125 mod 617 ≡ 278 mod 617

Es gilt also: 315¹¹⁷ ≡ 278 mod 617

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82

=>101	= 1⋅82 + 19
=>82	= 4⋅19 + 6
=>19	= 3⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-3⋅6
6= 82-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -3⋅(82 -4⋅ 19) = 1⋅19 -3⋅82 +12⋅ 19) = -3⋅82 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-1⋅82	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅82 +13⋅(101 -1⋅ 82) = -3⋅82 +13⋅101 -13⋅ 82) = 13⋅101 -16⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(101,82)=1 = 13⋅101 -16⋅82

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -16⋅82

-16⋅82 = -13⋅101 + 1 |+101⋅82

-16⋅82 + 101⋅82 = -13⋅101 + 101⋅82 + 1

(-16 + 101) ⋅ 82 = (-13 + 82) ⋅ 101 + 1

85⋅82 = 69⋅101 + 1

Es gilt also: 85⋅82 = 69⋅101 +1

Somit 85⋅82 = 1 mod 101

85 ist also das Inverse von 82 mod 101