Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(180 + 30000) mod 6 ≡ (180 mod 6 + 30000 mod 6) mod 6.

180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 6 ⋅ 30 +0.

30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000 = 30000+0 = 6 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(180 + 30000) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 18) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 18 mod 3) mod 3.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 18) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 391¹=391

2: 391²=391¹⁺¹=391¹⋅391¹ ≡ 391⋅391=152881 ≡ 480 mod 593

4: 391⁴=391²⁺²=391²⋅391² ≡ 480⋅480=230400 ≡ 316 mod 593

8: 391⁸=391⁴⁺⁴=391⁴⋅391⁴ ≡ 316⋅316=99856 ≡ 232 mod 593

16: 391¹⁶=391⁸⁺⁸=391⁸⋅391⁸ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 454 mod 593

32: 391³²=391¹⁶⁺¹⁶=391¹⁶⋅391¹⁶ ≡ 454⋅454=206116 ≡ 345 mod 593

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

381²²¹

= 381^{128+64+16+8+4+1}

= 381¹²⁸⋅381⁶⁴⋅381¹⁶⋅381⁸⋅381⁴⋅381¹

≡ 160 ⋅ 636 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683
≡ 101760 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683 ≡ 676 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683
≡ 78416 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683 ≡ 554 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683
≡ 129636 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683 ≡ 549 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683
≡ 21960 ⋅ 381 mod 683 ≡ 104 ⋅ 381 mod 683
≡ 39624 mod 683 ≡ 10 mod 683

Es gilt also: 381²²¹ ≡ 10 mod 683

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33

=>89	= 2⋅33 + 23
=>33	= 1⋅23 + 10
=>23	= 2⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 33-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23) = -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23) = 7⋅33 -10⋅ 23 (=1)
23= 89-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33) = 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33) = -10⋅89 +27⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +27⋅33

Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1

Somit 27⋅33 = 1 mod 89

27 ist also das Inverse von 33 mod 89