Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(317 + 32005) mod 8 ≡ (317 mod 8 + 32005 mod 8) mod 8.

317 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 317 = 320-3 = 8 ⋅ 40 -3 = 8 ⋅ 40 - 8 + 5.

32005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32005 = 32000+5 = 8 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(317 + 32005) mod 8 ≡ (5 + 5) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 48) mod 10 ≡ (62 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.

62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 48) mod 10 ≡ (2 ⋅ 8) mod 10 ≡ 16 mod 10 ≡ 6 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 274¹=274

2: 274²=274¹⁺¹=274¹⋅274¹ ≡ 274⋅274=75076 ≡ 167 mod 433

4: 274⁴=274²⁺²=274²⋅274² ≡ 167⋅167=27889 ≡ 177 mod 433

8: 274⁸=274⁴⁺⁴=274⁴⋅274⁴ ≡ 177⋅177=31329 ≡ 153 mod 433

16: 274¹⁶=274⁸⁺⁸=274⁸⋅274⁸ ≡ 153⋅153=23409 ≡ 27 mod 433

32: 274³²=274¹⁶⁺¹⁶=274¹⁶⋅274¹⁶ ≡ 27⋅27=729 ≡ 296 mod 433

64: 274⁶⁴=274³²⁺³²=274³²⋅274³² ≡ 296⋅296=87616 ≡ 150 mod 433

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

341¹⁹⁰

= 341^{128+32+16+8+4+2}

= 341¹²⁸⋅341³²⋅341¹⁶⋅341⁸⋅341⁴⋅341²

≡ 523 ⋅ 512 ⋅ 445 ⋅ 568 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751
≡ 267776 ⋅ 445 ⋅ 568 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751 ≡ 420 ⋅ 445 ⋅ 568 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751
≡ 186900 ⋅ 568 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751 ≡ 652 ⋅ 568 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751
≡ 370336 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751 ≡ 93 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751
≡ 33108 ⋅ 627 mod 751 ≡ 64 ⋅ 627 mod 751
≡ 40128 mod 751 ≡ 325 mod 751

Es gilt also: 341¹⁹⁰ ≡ 325 mod 751

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43

=>97	= 2⋅43 + 11
=>43	= 3⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 97-2⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43) = -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43) = 4⋅97 -9⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43

oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅97 = -9⋅43

-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43

-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1

(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1

88⋅43 = 39⋅97 + 1

Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1

Somit 88⋅43 = 1 mod 97

88 ist also das Inverse von 43 mod 97