Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14999 - 9000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14999 - 9000) mod 3 ≡ (14999 mod 3 - 9000 mod 3) mod 3.
14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999
= 15000
9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
Somit gilt:
(14999 - 9000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 54) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 54) mod 10 ≡ (86 mod 10 ⋅ 54 mod 10) mod 10.
86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.
54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 54) mod 10 ≡ (6 ⋅ 4) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7528 mod 859.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 752 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7521=752
2: 7522=7521+1=7521⋅7521 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 282 mod 859
4: 7524=7522+2=7522⋅7522 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 496 mod 859
8: 7528=7524+4=7524⋅7524 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 342 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40093 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 4001=400
2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 386 mod 877
4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 783 mod 877
8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 66 mod 877
16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 848 mod 877
32: 40032=40016+16=40016⋅40016 ≡ 848⋅848=719104 ≡ 841 mod 877
64: 40064=40032+32=40032⋅40032 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 419 mod 877
40093
= 40064+16+8+4+1
= 40064⋅40016⋅4008⋅4004⋅4001
≡ 419 ⋅ 848 ⋅ 66 ⋅ 783 ⋅ 400 mod 877
≡ 355312 ⋅ 66 ⋅ 783 ⋅ 400 mod 877 ≡ 127 ⋅ 66 ⋅ 783 ⋅ 400 mod 877
≡ 8382 ⋅ 783 ⋅ 400 mod 877 ≡ 489 ⋅ 783 ⋅ 400 mod 877
≡ 382887 ⋅ 400 mod 877 ≡ 515 ⋅ 400 mod 877
≡ 206000 mod 877 ≡ 782 mod 877
Es gilt also: 40093 ≡ 782 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 51
| =>67 | = 1⋅51 + 16 |
| =>51 | = 3⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 51-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(51 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅51 +15⋅ 16) = -5⋅51 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 67-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅51 +16⋅(67 -1⋅ 51)
= -5⋅51 +16⋅67 -16⋅ 51) = 16⋅67 -21⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,51)=1 = 16⋅67 -21⋅51
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -21⋅51
-21⋅51 = -16⋅67 + 1 |+67⋅51
-21⋅51 + 67⋅51 = -16⋅67 + 67⋅51 + 1
(-21 + 67) ⋅ 51 = (-16 + 51) ⋅ 67 + 1
46⋅51 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 46⋅51 = 35⋅67 +1
Somit 46⋅51 = 1 mod 67
46 ist also das Inverse von 51 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
