Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9005 + 907) mod 9 ≡ (9005 mod 9 + 907 mod 9) mod 9.

9005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9005 = 9000+5 = 9 ⋅ 1000 +5.

907 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 907 = 900+7 = 9 ⋅ 100 +7.

Somit gilt:

(9005 + 907) mod 9 ≡ (5 + 7) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 98) mod 9 ≡ (58 mod 9 ⋅ 98 mod 9) mod 9.

58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 98) mod 9 ≡ (4 ⋅ 8) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 247¹=247

2: 247²=247¹⁺¹=247¹⋅247¹ ≡ 247⋅247=61009 ≡ 53 mod 311

4: 247⁴=247²⁺²=247²⋅247² ≡ 53⋅53=2809 ≡ 10 mod 311

8: 247⁸=247⁴⁺⁴=247⁴⋅247⁴ ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 311

16: 247¹⁶=247⁸⁺⁸=247⁸⋅247⁸ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 48 mod 311

32: 247³²=247¹⁶⁺¹⁶=247¹⁶⋅247¹⁶ ≡ 48⋅48=2304 ≡ 127 mod 311

64: 247⁶⁴=247³²⁺³²=247³²⋅247³² ≡ 127⋅127=16129 ≡ 268 mod 311

128: 247¹²⁸=247⁶⁴⁺⁶⁴=247⁶⁴⋅247⁶⁴ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 294 mod 311

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:

150 = 128+16+4+2

345¹⁵⁰

= 345^128+16+4+2

= 345¹²⁸⋅345¹⁶⋅345⁴⋅345²

≡ 252 ⋅ 253 ⋅ 325 ⋅ 38 mod 373
≡ 63756 ⋅ 325 ⋅ 38 mod 373 ≡ 346 ⋅ 325 ⋅ 38 mod 373
≡ 112450 ⋅ 38 mod 373 ≡ 177 ⋅ 38 mod 373
≡ 6726 mod 373 ≡ 12 mod 373

Es gilt also: 345¹⁵⁰ ≡ 12 mod 373

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79	= 2⋅33 + 13
=>33	= 2⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33) = 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79