Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16000 - 799) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16000 - 799) mod 8 ≡ (16000 mod 8 - 799 mod 8) mod 8.
16000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
799 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799
= 800
Somit gilt:
(16000 - 799) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 65) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 65) mod 5 ≡ (20 mod 5 ⋅ 65 mod 5) mod 5.
20 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 4 ⋅ 5 + 0 ist.
65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 65) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4998 mod 613.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 499 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4991=499
2: 4992=4991+1=4991⋅4991 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 123 mod 613
4: 4994=4992+2=4992⋅4992 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 417 mod 613
8: 4998=4994+4=4994⋅4994 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 410 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 475125 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:
125 = 64+32+16+8+4+1
1: 4751=475
2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 915 mod 977
4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 915⋅915=837225 ≡ 913 mod 977
8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 913⋅913=833569 ≡ 188 mod 977
16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 172 mod 977
32: 47532=47516+16=47516⋅47516 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 274 mod 977
64: 47564=47532+32=47532⋅47532 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 824 mod 977
475125
= 47564+32+16+8+4+1
= 47564⋅47532⋅47516⋅4758⋅4754⋅4751
≡ 824 ⋅ 274 ⋅ 172 ⋅ 188 ⋅ 913 ⋅ 475 mod 977
≡ 225776 ⋅ 172 ⋅ 188 ⋅ 913 ⋅ 475 mod 977 ≡ 89 ⋅ 172 ⋅ 188 ⋅ 913 ⋅ 475 mod 977
≡ 15308 ⋅ 188 ⋅ 913 ⋅ 475 mod 977 ≡ 653 ⋅ 188 ⋅ 913 ⋅ 475 mod 977
≡ 122764 ⋅ 913 ⋅ 475 mod 977 ≡ 639 ⋅ 913 ⋅ 475 mod 977
≡ 583407 ⋅ 475 mod 977 ≡ 138 ⋅ 475 mod 977
≡ 65550 mod 977 ≡ 91 mod 977
Es gilt also: 475125 ≡ 91 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 26
| =>61 | = 2⋅26 + 9 |
| =>26 | = 2⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 26-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅26 +3⋅(61 -2⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅61 -6⋅ 26) = 3⋅61 -7⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,26)=1 = 3⋅61 -7⋅26
oder wenn man 3⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅61 = -7⋅26
-7⋅26 = -3⋅61 + 1 |+61⋅26
-7⋅26 + 61⋅26 = -3⋅61 + 61⋅26 + 1
(-7 + 61) ⋅ 26 = (-3 + 26) ⋅ 61 + 1
54⋅26 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 54⋅26 = 23⋅61 +1
Somit 54⋅26 = 1 mod 61
54 ist also das Inverse von 26 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
