Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23996 - 404) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23996 - 404) mod 8 ≡ (23996 mod 8 - 404 mod 8) mod 8.
23996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996
= 23000
404 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404
= 400
Somit gilt:
(23996 - 404) mod 8 ≡ (4 - 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 93) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 93) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 93 mod 8) mod 8.
40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.
93 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 11 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 93) mod 8 ≡ (0 ⋅ 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21664 mod 503.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 380 mod 503
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 39 mod 503
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 12 mod 503
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 503
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 113 mod 503
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 194 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 398177 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:
177 = 128+32+16+1
1: 3981=398
2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 297 mod 709
4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 293 mod 709
8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 60 mod 709
16: 39816=3988+8=3988⋅3988 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 55 mod 709
32: 39832=39816+16=39816⋅39816 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 189 mod 709
64: 39864=39832+32=39832⋅39832 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 271 mod 709
128: 398128=39864+64=39864⋅39864 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 414 mod 709
398177
= 398128+32+16+1
= 398128⋅39832⋅39816⋅3981
≡ 414 ⋅ 189 ⋅ 55 ⋅ 398 mod 709
≡ 78246 ⋅ 55 ⋅ 398 mod 709 ≡ 256 ⋅ 55 ⋅ 398 mod 709
≡ 14080 ⋅ 398 mod 709 ≡ 609 ⋅ 398 mod 709
≡ 242382 mod 709 ≡ 613 mod 709
Es gilt also: 398177 ≡ 613 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53
| =>59 | = 1⋅53 + 6 |
| =>53 | = 8⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 53-8⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6) = -1⋅53 +9⋅ 6 (=1) |
| 6= 59-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53) = 9⋅59 -10⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53
oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅59 = -10⋅53
-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53
-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1
(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1
49⋅53 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1
Somit 49⋅53 = 1 mod 59
49 ist also das Inverse von 53 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
