Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24005 + 3204) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24005 + 3204) mod 8 ≡ (24005 mod 8 + 3204 mod 8) mod 8.

24005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005 = 24000+5 = 8 ⋅ 3000 +5.

3204 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3204 = 3200+4 = 8 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(24005 + 3204) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 60) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 60) mod 5 ≡ (41 mod 5 ⋅ 60 mod 5) mod 5.

41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.

60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 60) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65732 mod 727.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 657 -> x
2. mod(x²,727) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6571=657

2: 6572=6571+1=6571⋅6571 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 538 mod 727

4: 6574=6572+2=6572⋅6572 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 98 mod 727

8: 6578=6574+4=6574⋅6574 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 153 mod 727

16: 65716=6578+8=6578⋅6578 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 145 mod 727

32: 65732=65716+16=65716⋅65716 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 669 mod 727

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 244145 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:

145 = 128+16+1

1: 2441=244

2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 187 mod 271

4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 10 mod 271

8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 271

16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 244 mod 271

32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 187 mod 271

64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 10 mod 271

128: 244128=24464+64=24464⋅24464 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 271

244145

= 244128+16+1

= 244128⋅24416⋅2441

100 ⋅ 244 ⋅ 244 mod 271
24400 ⋅ 244 mod 271 ≡ 10 ⋅ 244 mod 271
2440 mod 271 ≡ 1 mod 271

Es gilt also: 244145 ≡ 1 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55

=>97 = 1⋅55 + 42
=>55 = 1⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 55-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42)
= 13⋅55 -17⋅ 42 (=1)
42= 97-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55)
= -17⋅97 +30⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +30⋅55

Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1

Somit 30⋅55 = 1 mod 97

30 ist also das Inverse von 55 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.