Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(603 - 15000) mod 3 ≡ (603 mod 3 - 15000 mod 3) mod 3.

603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603 = 600+3 = 3 ⋅ 200 +3.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(603 - 15000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 36) mod 11 ≡ (65 mod 11 ⋅ 36 mod 11) mod 11.

65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.

36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 36) mod 11 ≡ (10 ⋅ 3) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 226¹=226

2: 226²=226¹⁺¹=226¹⋅226¹ ≡ 226⋅226=51076 ≡ 360 mod 409

4: 226⁴=226²⁺²=226²⋅226² ≡ 360⋅360=129600 ≡ 356 mod 409

8: 226⁸=226⁴⁺⁴=226⁴⋅226⁴ ≡ 356⋅356=126736 ≡ 355 mod 409

16: 226¹⁶=226⁸⁺⁸=226⁸⋅226⁸ ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409

32: 226³²=226¹⁶⁺¹⁶=226¹⁶⋅226¹⁶ ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409

64: 226⁶⁴=226³²⁺³²=226³²⋅226³² ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

148²⁵³

= 148^{128+64+32+16+8+4+1}

= 148¹²⁸⋅148⁶⁴⋅148³²⋅148¹⁶⋅148⁸⋅148⁴⋅148¹

≡ 158 ⋅ 182 ⋅ 65 ⋅ 240 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311
≡ 28756 ⋅ 65 ⋅ 240 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311 ≡ 144 ⋅ 65 ⋅ 240 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311
≡ 9360 ⋅ 240 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311 ≡ 30 ⋅ 240 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311
≡ 7200 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311 ≡ 47 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311
≡ 9071 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311 ≡ 52 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311
≡ 11908 ⋅ 148 mod 311 ≡ 90 ⋅ 148 mod 311
≡ 13320 mod 311 ≡ 258 mod 311

Es gilt also: 148²⁵³ ≡ 258 mod 311

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30

=>73	= 2⋅30 + 13
=>30	= 2⋅13 + 4
=>13	= 3⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13) = 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 73-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30) = -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30) = 7⋅73 -17⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -17⋅30

-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30

-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1

(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1

56⋅30 = 23⋅73 + 1

Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1

Somit 56⋅30 = 1 mod 73

56 ist also das Inverse von 30 mod 73