Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (353 - 96) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(353 - 96) mod 9 ≡ (353 mod 9 - 96 mod 9) mod 9.

353 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 353 = 360-7 = 9 ⋅ 40 -7 = 9 ⋅ 40 - 9 + 2.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 9 ⋅ 10 +6.

Somit gilt:

(353 - 96) mod 9 ≡ (2 - 6) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 80) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 80) mod 7 ≡ (44 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.

44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.

80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 80) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18364 mod 367.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 183 -> x
2. mod(x²,367) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1831=183

2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 92 mod 367

4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 23 mod 367

8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 23⋅23=529 ≡ 162 mod 367

16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 187 mod 367

32: 18332=18316+16=18316⋅18316 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 104 mod 367

64: 18364=18332+32=18332⋅18332 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 173 mod 367

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 558236 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 5581=558

2: 5582=5581+1=5581⋅5581 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 33 mod 661

4: 5584=5582+2=5582⋅5582 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 428 mod 661

8: 5588=5584+4=5584⋅5584 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 87 mod 661

16: 55816=5588+8=5588⋅5588 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 298 mod 661

32: 55832=55816+16=55816⋅55816 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 230 mod 661

64: 55864=55832+32=55832⋅55832 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 20 mod 661

128: 558128=55864+64=55864⋅55864 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 661

558236

= 558128+64+32+8+4

= 558128⋅55864⋅55832⋅5588⋅5584

400 ⋅ 20 ⋅ 230 ⋅ 87 ⋅ 428 mod 661
8000 ⋅ 230 ⋅ 87 ⋅ 428 mod 661 ≡ 68 ⋅ 230 ⋅ 87 ⋅ 428 mod 661
15640 ⋅ 87 ⋅ 428 mod 661 ≡ 437 ⋅ 87 ⋅ 428 mod 661
38019 ⋅ 428 mod 661 ≡ 342 ⋅ 428 mod 661
146376 mod 661 ≡ 295 mod 661

Es gilt also: 558236 ≡ 295 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 90.

Also bestimme x, so dass 90 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 90

=>101 = 1⋅90 + 11
=>90 = 8⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,90)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 90-8⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(90 -8⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅90 +40⋅ 11)
= -5⋅90 +41⋅ 11 (=1)
11= 101-1⋅90 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅90 +41⋅(101 -1⋅ 90)
= -5⋅90 +41⋅101 -41⋅ 90)
= 41⋅101 -46⋅ 90 (=1)

Es gilt also: ggt(101,90)=1 = 41⋅101 -46⋅90

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -46⋅90

-46⋅90 = -41⋅101 + 1 |+101⋅90

-46⋅90 + 101⋅90 = -41⋅101 + 101⋅90 + 1

(-46 + 101) ⋅ 90 = (-41 + 90) ⋅ 101 + 1

55⋅90 = 49⋅101 + 1

Es gilt also: 55⋅90 = 49⋅101 +1

Somit 55⋅90 = 1 mod 101

55 ist also das Inverse von 90 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.