Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3595 + 363) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3595 + 363) mod 9 ≡ (3595 mod 9 + 363 mod 9) mod 9.

3595 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3595 = 3600-5 = 9 ⋅ 400 -5 = 9 ⋅ 400 - 9 + 4.

363 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 363 = 360+3 = 9 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(3595 + 363) mod 9 ≡ (4 + 3) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 63) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 63) mod 7 ≡ (86 mod 7 ⋅ 63 mod 7) mod 7.

86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 63) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 56132 mod 619.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 561 -> x
2. mod(x²,619) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5611=561

2: 5612=5611+1=5611⋅5611 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 269 mod 619

4: 5614=5612+2=5612⋅5612 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 557 mod 619

8: 5618=5614+4=5614⋅5614 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 130 mod 619

16: 56116=5618+8=5618⋅5618 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 187 mod 619

32: 56132=56116+16=56116⋅56116 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 305 mod 619

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 200247 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

1: 2001=200

2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 155 mod 613

4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 118 mod 613

8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 438 mod 613

16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 588 mod 613

32: 20032=20016+16=20016⋅20016 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 12 mod 613

64: 20064=20032+32=20032⋅20032 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 613

128: 200128=20064+64=20064⋅20064 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 507 mod 613

200247

= 200128+64+32+16+4+2+1

= 200128⋅20064⋅20032⋅20016⋅2004⋅2002⋅2001

507 ⋅ 144 ⋅ 12 ⋅ 588 ⋅ 118 ⋅ 155 ⋅ 200 mod 613
73008 ⋅ 12 ⋅ 588 ⋅ 118 ⋅ 155 ⋅ 200 mod 613 ≡ 61 ⋅ 12 ⋅ 588 ⋅ 118 ⋅ 155 ⋅ 200 mod 613
732 ⋅ 588 ⋅ 118 ⋅ 155 ⋅ 200 mod 613 ≡ 119 ⋅ 588 ⋅ 118 ⋅ 155 ⋅ 200 mod 613
69972 ⋅ 118 ⋅ 155 ⋅ 200 mod 613 ≡ 90 ⋅ 118 ⋅ 155 ⋅ 200 mod 613
10620 ⋅ 155 ⋅ 200 mod 613 ≡ 199 ⋅ 155 ⋅ 200 mod 613
30845 ⋅ 200 mod 613 ≡ 195 ⋅ 200 mod 613
39000 mod 613 ≡ 381 mod 613

Es gilt also: 200247 ≡ 381 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51

=>73 = 1⋅51 + 22
=>51 = 2⋅22 + 7
=>22 = 3⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 22-3⋅7
7= 51-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅22 -3⋅(51 -2⋅ 22)
= 1⋅22 -3⋅51 +6⋅ 22)
= -3⋅51 +7⋅ 22 (=1)
22= 73-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅51 +7⋅(73 -1⋅ 51)
= -3⋅51 +7⋅73 -7⋅ 51)
= 7⋅73 -10⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(73,51)=1 = 7⋅73 -10⋅51

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -10⋅51

-10⋅51 = -7⋅73 + 1 |+73⋅51

-10⋅51 + 73⋅51 = -7⋅73 + 73⋅51 + 1

(-10 + 73) ⋅ 51 = (-7 + 51) ⋅ 73 + 1

63⋅51 = 44⋅73 + 1

Es gilt also: 63⋅51 = 44⋅73 +1

Somit 63⋅51 = 1 mod 73

63 ist also das Inverse von 51 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.