Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5996 + 30002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5996 + 30002) mod 6 ≡ (5996 mod 6 + 30002 mod 6) mod 6.
5996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5996
= 6000
30002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30002
= 30000
Somit gilt:
(5996 + 30002) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 65) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 65) mod 8 ≡ (31 mod 8 ⋅ 65 mod 8) mod 8.
31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.
65 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 65) mod 8 ≡ (7 ⋅ 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26416 mod 521.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 264 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2641=264
2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 403 mod 521
4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 378 mod 521
8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 130 mod 521
16: 26416=2648+8=2648⋅2648 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 228 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 273251 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 2731=273
2: 2732=2731+1=2731⋅2731 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 52 mod 337
4: 2734=2732+2=2732⋅2732 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 8 mod 337
8: 2738=2734+4=2734⋅2734 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 337
16: 27316=2738+8=2738⋅2738 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 52 mod 337
32: 27332=27316+16=27316⋅27316 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 8 mod 337
64: 27364=27332+32=27332⋅27332 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 337
128: 273128=27364+64=27364⋅27364 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 52 mod 337
273251
= 273128+64+32+16+8+2+1
= 273128⋅27364⋅27332⋅27316⋅2738⋅2732⋅2731
≡ 52 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337
≡ 3328 ⋅ 8 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337 ≡ 295 ⋅ 8 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337
≡ 2360 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337 ≡ 1 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337
≡ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337
≡ 3328 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337 ≡ 295 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337
≡ 15340 ⋅ 273 mod 337 ≡ 175 ⋅ 273 mod 337
≡ 47775 mod 337 ≡ 258 mod 337
Es gilt also: 273251 ≡ 258 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
