Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (180 + 1801) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(180 + 1801) mod 6 ≡ (180 mod 6 + 1801 mod 6) mod 6.
180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
1801 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801
= 1800
Somit gilt:
(180 + 1801) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 62) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 62) mod 10 ≡ (26 mod 10 ⋅ 62 mod 10) mod 10.
26 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 20 + 6 = 2 ⋅ 10 + 6 ist.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 62) mod 10 ≡ (6 ⋅ 2) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7288 mod 887.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 728 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7281=728
2: 7282=7281+1=7281⋅7281 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 445 mod 887
4: 7284=7282+2=7282⋅7282 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 224 mod 887
8: 7288=7284+4=7284⋅7284 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 504 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 363206 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:
206 = 128+64+8+4+2
1: 3631=363
2: 3632=3631+1=3631⋅3631 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 16 mod 367
4: 3634=3632+2=3632⋅3632 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 367
8: 3638=3634+4=3634⋅3634 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 210 mod 367
16: 36316=3638+8=3638⋅3638 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 60 mod 367
32: 36332=36316+16=36316⋅36316 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 297 mod 367
64: 36364=36332+32=36332⋅36332 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 129 mod 367
128: 363128=36364+64=36364⋅36364 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 126 mod 367
363206
= 363128+64+8+4+2
= 363128⋅36364⋅3638⋅3634⋅3632
≡ 126 ⋅ 129 ⋅ 210 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 367
≡ 16254 ⋅ 210 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 367 ≡ 106 ⋅ 210 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 367
≡ 22260 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 367 ≡ 240 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 367
≡ 61440 ⋅ 16 mod 367 ≡ 151 ⋅ 16 mod 367
≡ 2416 mod 367 ≡ 214 mod 367
Es gilt also: 363206 ≡ 214 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53
| =>89 | = 1⋅53 + 36 |
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
| 36= 89-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53)
= 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53
oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +25⋅89 = +42⋅53
Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1
Somit 42⋅53 = 1 mod 89
42 ist also das Inverse von 53 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
