Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (459 - 36007) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(459 - 36007) mod 9 ≡ (459 mod 9 - 36007 mod 9) mod 9.
459 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 459
= 450
36007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36007
= 36000
Somit gilt:
(459 - 36007) mod 9 ≡ (0 - 7) mod 9 ≡ -7 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 89) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 89) mod 11 ≡ (53 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.
53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 89) mod 11 ≡ (9 ⋅ 1) mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 84016 mod 853.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 840 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8401=840
2: 8402=8401+1=8401⋅8401 ≡ 840⋅840=705600 ≡ 169 mod 853
4: 8404=8402+2=8402⋅8402 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 412 mod 853
8: 8408=8404+4=8404⋅8404 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 850 mod 853
16: 84016=8408+8=8408⋅8408 ≡ 850⋅850=722500 ≡ 9 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 283186 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:
186 = 128+32+16+8+2
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 336 mod 461
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 412 mod 461
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 96 mod 461
16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 457 mod 461
32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 16 mod 461
64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 461
128: 283128=28364+64=28364⋅28364 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 74 mod 461
283186
= 283128+32+16+8+2
= 283128⋅28332⋅28316⋅2838⋅2832
≡ 74 ⋅ 16 ⋅ 457 ⋅ 96 ⋅ 336 mod 461
≡ 1184 ⋅ 457 ⋅ 96 ⋅ 336 mod 461 ≡ 262 ⋅ 457 ⋅ 96 ⋅ 336 mod 461
≡ 119734 ⋅ 96 ⋅ 336 mod 461 ≡ 335 ⋅ 96 ⋅ 336 mod 461
≡ 32160 ⋅ 336 mod 461 ≡ 351 ⋅ 336 mod 461
≡ 117936 mod 461 ≡ 381 mod 461
Es gilt also: 283186 ≡ 381 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51
| =>73 | = 1⋅51 + 22 |
| =>51 | = 2⋅22 + 7 |
| =>22 | = 3⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 22-3⋅7 | |||
| 7= 51-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅22 -3⋅(51 -2⋅ 22)
= 1⋅22 -3⋅51 +6⋅ 22) = -3⋅51 +7⋅ 22 (=1) |
| 22= 73-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅51 +7⋅(73 -1⋅ 51)
= -3⋅51 +7⋅73 -7⋅ 51) = 7⋅73 -10⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,51)=1 = 7⋅73 -10⋅51
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -10⋅51
-10⋅51 = -7⋅73 + 1 |+73⋅51
-10⋅51 + 73⋅51 = -7⋅73 + 73⋅51 + 1
(-10 + 73) ⋅ 51 = (-7 + 51) ⋅ 73 + 1
63⋅51 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 63⋅51 = 44⋅73 +1
Somit 63⋅51 = 1 mod 73
63 ist also das Inverse von 51 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
