Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 - 11998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 - 11998) mod 4 ≡ (37 mod 4 - 11998 mod 4) mod 4.
37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37
= 40
11998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 11000
Somit gilt:
(37 - 11998) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 23) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 23) mod 8 ≡ (77 mod 8 ⋅ 23 mod 8) mod 8.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 23) mod 8 ≡ (5 ⋅ 7) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6698 mod 991.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 669 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6691=669
2: 6692=6691+1=6691⋅6691 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 620 mod 991
4: 6694=6692+2=6692⋅6692 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 883 mod 991
8: 6698=6694+4=6694⋅6694 ≡ 883⋅883=779689 ≡ 763 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 359142 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 3591=359
2: 3592=3591+1=3591⋅3591 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 128 mod 647
4: 3594=3592+2=3592⋅3592 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 209 mod 647
8: 3598=3594+4=3594⋅3594 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 332 mod 647
16: 35916=3598+8=3598⋅3598 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 234 mod 647
32: 35932=35916+16=35916⋅35916 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 408 mod 647
64: 35964=35932+32=35932⋅35932 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 185 mod 647
128: 359128=35964+64=35964⋅35964 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 581 mod 647
359142
= 359128+8+4+2
= 359128⋅3598⋅3594⋅3592
≡ 581 ⋅ 332 ⋅ 209 ⋅ 128 mod 647
≡ 192892 ⋅ 209 ⋅ 128 mod 647 ≡ 86 ⋅ 209 ⋅ 128 mod 647
≡ 17974 ⋅ 128 mod 647 ≡ 505 ⋅ 128 mod 647
≡ 64640 mod 647 ≡ 587 mod 647
Es gilt also: 359142 ≡ 587 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26
| =>59 | = 2⋅26 + 7 |
| =>26 | = 3⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 26-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7) = 3⋅26 -11⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26) = -11⋅59 +25⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +25⋅26
Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1
Somit 25⋅26 = 1 mod 59
25 ist also das Inverse von 26 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
