Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35991 - 4500) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35991 - 4500) mod 9 ≡ (35991 mod 9 - 4500 mod 9) mod 9.
35991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35991
= 36000
4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500
= 4500
Somit gilt:
(35991 - 4500) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 91) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 91) mod 9 ≡ (87 mod 9 ⋅ 91 mod 9) mod 9.
87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.
91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 91) mod 9 ≡ (6 ⋅ 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46364 mod 641.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 463 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4631=463
2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 275 mod 641
4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 628 mod 641
8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 169 mod 641
16: 46316=4638+8=4638⋅4638 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 357 mod 641
32: 46332=46316+16=46316⋅46316 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641
64: 46364=46332+32=46332⋅46332 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19999 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 1991=199
2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 421 mod 653
4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 278 mod 653
8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 230 mod 653
16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 7 mod 653
32: 19932=19916+16=19916⋅19916 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 653
64: 19964=19932+32=19932⋅19932 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 442 mod 653
19999
= 19964+32+2+1
= 19964⋅19932⋅1992⋅1991
≡ 442 ⋅ 49 ⋅ 421 ⋅ 199 mod 653
≡ 21658 ⋅ 421 ⋅ 199 mod 653 ≡ 109 ⋅ 421 ⋅ 199 mod 653
≡ 45889 ⋅ 199 mod 653 ≡ 179 ⋅ 199 mod 653
≡ 35621 mod 653 ≡ 359 mod 653
Es gilt also: 19999 ≡ 359 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40
| =>71 | = 1⋅40 + 31 |
| =>40 | = 1⋅31 + 9 |
| =>31 | = 3⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 31-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 40-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31) = 7⋅40 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 71-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40)
= 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40) = -9⋅71 +16⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +16⋅40
Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1
Somit 16⋅40 = 1 mod 71
16 ist also das Inverse von 40 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
