Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(596 + 177) mod 6 ≡ (596 mod 6 + 177 mod 6) mod 6.

596 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 596 = 600-4 = 6 ⋅ 100 -4 = 6 ⋅ 100 - 6 + 2.

177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 6 ⋅ 30 -3 = 6 ⋅ 30 - 6 + 3.

Somit gilt:

(596 + 177) mod 6 ≡ (2 + 3) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 96) mod 3 ≡ (97 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.

97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.

96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 96) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 626¹=626

2: 626²=626¹⁺¹=626¹⋅626¹ ≡ 626⋅626=391876 ≡ 517 mod 683

4: 626⁴=626²⁺²=626²⋅626² ≡ 517⋅517=267289 ≡ 236 mod 683

8: 626⁸=626⁴⁺⁴=626⁴⋅626⁴ ≡ 236⋅236=55696 ≡ 373 mod 683

16: 626¹⁶=626⁸⁺⁸=626⁸⋅626⁸ ≡ 373⋅373=139129 ≡ 480 mod 683

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

251²⁴³

= 251^{128+64+32+16+2+1}

= 251¹²⁸⋅251⁶⁴⋅251³²⋅251¹⁶⋅251²⋅251¹

≡ 256 ⋅ 241 ⋅ 64 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257
≡ 61696 ⋅ 64 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257 ≡ 16 ⋅ 64 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257
≡ 1024 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257 ≡ 253 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257
≡ 62997 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257 ≡ 32 ⋅ 36 ⋅ 251 mod 257
≡ 1152 ⋅ 251 mod 257 ≡ 124 ⋅ 251 mod 257
≡ 31124 mod 257 ≡ 27 mod 257

Es gilt also: 251²⁴³ ≡ 27 mod 257

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38

=>101	= 2⋅38 + 25
=>38	= 1⋅25 + 13
=>25	= 1⋅13 + 12
=>13	= 1⋅12 + 1
=>12	= 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 25-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13) = 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13) = -1⋅25 +2⋅ 13 (=1)
13= 38-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25) = -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25) = 2⋅38 -3⋅ 25 (=1)
25= 101-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38) = 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38) = -3⋅101 +8⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38

oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅101 = +8⋅38

Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1

Somit 8⋅38 = 1 mod 101

8 ist also das Inverse von 38 mod 101