Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (897 + 2998) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(897 + 2998) mod 3 ≡ (897 mod 3 + 2998 mod 3) mod 3.
897 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897
= 900
2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998
= 3000
Somit gilt:
(897 + 2998) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 56) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 56) mod 11 ≡ (58 mod 11 ⋅ 56 mod 11) mod 11.
58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.
56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 56) mod 11 ≡ (3 ⋅ 1) mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 606128 mod 647.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 606 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6061=606
2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 387 mod 647
4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 312 mod 647
8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 294 mod 647
16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 385 mod 647
32: 60632=60616+16=60616⋅60616 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 62 mod 647
64: 60664=60632+32=60632⋅60632 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 609 mod 647
128: 606128=60664+64=60664⋅60664 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 150 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 542245 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:
245 = 128+64+32+16+4+1
1: 5421=542
2: 5422=5421+1=5421⋅5421 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 114 mod 839
4: 5424=5422+2=5422⋅5422 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 411 mod 839
8: 5428=5424+4=5424⋅5424 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 282 mod 839
16: 54216=5428+8=5428⋅5428 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 658 mod 839
32: 54232=54216+16=54216⋅54216 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 40 mod 839
64: 54264=54232+32=54232⋅54232 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 761 mod 839
128: 542128=54264+64=54264⋅54264 ≡ 761⋅761=579121 ≡ 211 mod 839
542245
= 542128+64+32+16+4+1
= 542128⋅54264⋅54232⋅54216⋅5424⋅5421
≡ 211 ⋅ 761 ⋅ 40 ⋅ 658 ⋅ 411 ⋅ 542 mod 839
≡ 160571 ⋅ 40 ⋅ 658 ⋅ 411 ⋅ 542 mod 839 ≡ 322 ⋅ 40 ⋅ 658 ⋅ 411 ⋅ 542 mod 839
≡ 12880 ⋅ 658 ⋅ 411 ⋅ 542 mod 839 ≡ 295 ⋅ 658 ⋅ 411 ⋅ 542 mod 839
≡ 194110 ⋅ 411 ⋅ 542 mod 839 ≡ 301 ⋅ 411 ⋅ 542 mod 839
≡ 123711 ⋅ 542 mod 839 ≡ 378 ⋅ 542 mod 839
≡ 204876 mod 839 ≡ 160 mod 839
Es gilt also: 542245 ≡ 160 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52
| =>73 | = 1⋅52 + 21 |
| =>52 | = 2⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 52-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -7⋅52
-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52
-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1
(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1
66⋅52 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1
Somit 66⋅52 = 1 mod 73
66 ist also das Inverse von 52 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
