Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2402 - 24004) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2402 - 24004) mod 6 ≡ (2402 mod 6 - 24004 mod 6) mod 6.
2402 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402
= 2400
24004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24004
= 24000
Somit gilt:
(2402 - 24004) mod 6 ≡ (2 - 4) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 67) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 67) mod 8 ≡ (97 mod 8 ⋅ 67 mod 8) mod 8.
97 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 12 ⋅ 8 + 1 ist.
67 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 8 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 67) mod 8 ≡ (1 ⋅ 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33164 mod 349.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 324 mod 349
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 276 mod 349
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 94 mod 349
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 111 mod 349
32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 106 mod 349
64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 68 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40680 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 4061=406
2: 4062=4061+1=4061⋅4061 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 259 mod 461
4: 4064=4062+2=4062⋅4062 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 236 mod 461
8: 4068=4064+4=4064⋅4064 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 376 mod 461
16: 40616=4068+8=4068⋅4068 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 310 mod 461
32: 40632=40616+16=40616⋅40616 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 212 mod 461
64: 40664=40632+32=40632⋅40632 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 227 mod 461
40680
= 40664+16
= 40664⋅40616
≡ 227 ⋅ 310 mod 461
≡ 70370 mod 461 ≡ 298 mod 461
Es gilt also: 40680 ≡ 298 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48
| =>61 | = 1⋅48 + 13 |
| =>48 | = 3⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 48-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +14⋅48
Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1
Somit 14⋅48 = 1 mod 61
14 ist also das Inverse von 48 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
