Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16002 + 405) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16002 + 405) mod 8 ≡ (16002 mod 8 + 405 mod 8) mod 8.
16002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
405 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 405
= 400
Somit gilt:
(16002 + 405) mod 8 ≡ (2 + 5) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 92) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 92) mod 8 ≡ (96 mod 8 ⋅ 92 mod 8) mod 8.
96 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 12 ⋅ 8 + 0 ist.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 92) mod 8 ≡ (0 ⋅ 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 86032 mod 977.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 860 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8601=860
2: 8602=8601+1=8601⋅8601 ≡ 860⋅860=739600 ≡ 11 mod 977
4: 8604=8602+2=8602⋅8602 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 977
8: 8608=8604+4=8604⋅8604 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 963 mod 977
16: 86016=8608+8=8608⋅8608 ≡ 963⋅963=927369 ≡ 196 mod 977
32: 86032=86016+16=86016⋅86016 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 313 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13491 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 1341=134
2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 312 mod 401
4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 302 mod 401
8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 177 mod 401
16: 13416=1348+8=1348⋅1348 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 51 mod 401
32: 13432=13416+16=13416⋅13416 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401
64: 13464=13432+32=13432⋅13432 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
13491
= 13464+16+8+2+1
= 13464⋅13416⋅1348⋅1342⋅1341
≡ 331 ⋅ 51 ⋅ 177 ⋅ 312 ⋅ 134 mod 401
≡ 16881 ⋅ 177 ⋅ 312 ⋅ 134 mod 401 ≡ 39 ⋅ 177 ⋅ 312 ⋅ 134 mod 401
≡ 6903 ⋅ 312 ⋅ 134 mod 401 ≡ 86 ⋅ 312 ⋅ 134 mod 401
≡ 26832 ⋅ 134 mod 401 ≡ 366 ⋅ 134 mod 401
≡ 49044 mod 401 ≡ 122 mod 401
Es gilt also: 13491 ≡ 122 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 35
| =>73 | = 2⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 73-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(73 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅73 -24⋅ 35) = 12⋅73 -25⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,35)=1 = 12⋅73 -25⋅35
oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅73 = -25⋅35
-25⋅35 = -12⋅73 + 1 |+73⋅35
-25⋅35 + 73⋅35 = -12⋅73 + 73⋅35 + 1
(-25 + 73) ⋅ 35 = (-12 + 35) ⋅ 73 + 1
48⋅35 = 23⋅73 + 1
Es gilt also: 48⋅35 = 23⋅73 +1
Somit 48⋅35 = 1 mod 73
48 ist also das Inverse von 35 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
