Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2997 + 93) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2997 + 93) mod 3 ≡ (2997 mod 3 + 93 mod 3) mod 3.

2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997 = 3000-3 = 3 ⋅ 1000 -3 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 0.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(2997 + 93) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 76) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 76) mod 9 ≡ (22 mod 9 ⋅ 76 mod 9) mod 9.

22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.

76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 76) mod 9 ≡ (4 ⋅ 4) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 27532 mod 277.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 275 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2751=275

2: 2752=2751+1=2751⋅2751 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 4 mod 277

4: 2754=2752+2=2752⋅2752 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 277

8: 2758=2754+4=2754⋅2754 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277

16: 27516=2758+8=2758⋅2758 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 164 mod 277

32: 27532=27516+16=27516⋅27516 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 27 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 238181 mod 631.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

1: 2381=238

2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 485 mod 631

4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 493 mod 631

8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 114 mod 631

16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 376 mod 631

32: 23832=23816+16=23816⋅23816 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 32 mod 631

64: 23864=23832+32=23832⋅23832 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 393 mod 631

128: 238128=23864+64=23864⋅23864 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 485 mod 631

238181

= 238128+32+16+4+1

= 238128⋅23832⋅23816⋅2384⋅2381

485 ⋅ 32 ⋅ 376 ⋅ 493 ⋅ 238 mod 631
15520 ⋅ 376 ⋅ 493 ⋅ 238 mod 631 ≡ 376 ⋅ 376 ⋅ 493 ⋅ 238 mod 631
141376 ⋅ 493 ⋅ 238 mod 631 ≡ 32 ⋅ 493 ⋅ 238 mod 631
15776 ⋅ 238 mod 631 ≡ 1 ⋅ 238 mod 631
238 mod 631

Es gilt also: 238181 ≡ 238 mod 631

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38

=>67 = 1⋅38 + 29
=>38 = 1⋅29 + 9
=>29 = 3⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 29-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9)
= -4⋅29 +13⋅ 9 (=1)
9= 38-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29)
= 13⋅38 -17⋅ 29 (=1)
29= 67-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38)
= 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38)
= -17⋅67 +30⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +30⋅38

Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1

Somit 30⋅38 = 1 mod 67

30 ist also das Inverse von 38 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.