Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (118 - 1798) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(118 - 1798) mod 6 ≡ (118 mod 6 - 1798 mod 6) mod 6.
118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
1798 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1798
= 1800
Somit gilt:
(118 - 1798) mod 6 ≡ (4 - 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 25) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 25) mod 8 ≡ (80 mod 8 ⋅ 25 mod 8) mod 8.
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.
25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 25) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3148 mod 743.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 314 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3141=314
2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 520 mod 743
4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 691 mod 743
8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 475 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32081 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:
81 = 64+16+1
1: 3201=320
2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 706 mod 997
4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 933 mod 997
8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 933⋅933=870489 ≡ 108 mod 997
16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 697 mod 997
32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 270 mod 997
64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 119 mod 997
32081
= 32064+16+1
= 32064⋅32016⋅3201
≡ 119 ⋅ 697 ⋅ 320 mod 997
≡ 82943 ⋅ 320 mod 997 ≡ 192 ⋅ 320 mod 997
≡ 61440 mod 997 ≡ 623 mod 997
Es gilt also: 32081 ≡ 623 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
