Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4000 - 16002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4000 - 16002) mod 4 ≡ (4000 mod 4 - 16002 mod 4) mod 4.
4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
Somit gilt:
(4000 - 16002) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 45) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 45) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 45 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
45 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 6 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 45) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2698 mod 887.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 269 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 514 mod 887
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 757 mod 887
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 47 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 221219 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:
219 = 128+64+16+8+2+1
1: 2211=221
2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 144 mod 233
4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 232 mod 233
8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 1 mod 233
16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 233
32: 22132=22116+16=22116⋅22116 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 233
64: 22164=22132+32=22132⋅22132 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 233
128: 221128=22164+64=22164⋅22164 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 233
221219
= 221128+64+16+8+2+1
= 221128⋅22164⋅22116⋅2218⋅2212⋅2211
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 144 ⋅ 221 mod 233
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 144 ⋅ 221 mod 233
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 144 ⋅ 221 mod 233
≡ 1 ⋅ 144 ⋅ 221 mod 233
≡ 144 ⋅ 221 mod 233
≡ 31824 mod 233 ≡ 136 mod 233
Es gilt also: 221219 ≡ 136 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 43
| =>83 | = 1⋅43 + 40 |
| =>43 | = 1⋅40 + 3 |
| =>40 | = 13⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 40-13⋅3 | |||
| 3= 43-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅40 -13⋅(43 -1⋅ 40)
= 1⋅40 -13⋅43 +13⋅ 40) = -13⋅43 +14⋅ 40 (=1) |
| 40= 83-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -13⋅43 +14⋅(83 -1⋅ 43)
= -13⋅43 +14⋅83 -14⋅ 43) = 14⋅83 -27⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,43)=1 = 14⋅83 -27⋅43
oder wenn man 14⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅83 = -27⋅43
-27⋅43 = -14⋅83 + 1 |+83⋅43
-27⋅43 + 83⋅43 = -14⋅83 + 83⋅43 + 1
(-27 + 83) ⋅ 43 = (-14 + 43) ⋅ 83 + 1
56⋅43 = 29⋅83 + 1
Es gilt also: 56⋅43 = 29⋅83 +1
Somit 56⋅43 = 1 mod 83
56 ist also das Inverse von 43 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
