Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3005 + 24002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3005 + 24002) mod 6 ≡ (3005 mod 6 + 24002 mod 6) mod 6.
3005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3005
= 3000
24002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002
= 24000
Somit gilt:
(3005 + 24002) mod 6 ≡ (5 + 2) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 95) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 95) mod 4 ≡ (82 mod 4 ⋅ 95 mod 4) mod 4.
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 20 ⋅ 4 + 2 ist.
95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 95) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65216 mod 853.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 652 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6521=652
2: 6522=6521+1=6521⋅6521 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 310 mod 853
4: 6524=6522+2=6522⋅6522 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 564 mod 853
8: 6528=6524+4=6524⋅6524 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 780 mod 853
16: 65216=6528+8=6528⋅6528 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 211 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 306136 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 3061=306
2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 296 mod 359
4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 20 mod 359
8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 20⋅20=400 ≡ 41 mod 359
16: 30616=3068+8=3068⋅3068 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 245 mod 359
32: 30632=30616+16=30616⋅30616 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 72 mod 359
64: 30664=30632+32=30632⋅30632 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 158 mod 359
128: 306128=30664+64=30664⋅30664 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 193 mod 359
306136
= 306128+8
= 306128⋅3068
≡ 193 ⋅ 41 mod 359
≡ 7913 mod 359 ≡ 15 mod 359
Es gilt also: 306136 ≡ 15 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 69
| =>83 | = 1⋅69 + 14 |
| =>69 | = 4⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 69-4⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(69 -4⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅69 +4⋅ 14) = -1⋅69 +5⋅ 14 (=1) |
| 14= 83-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +5⋅(83 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +5⋅83 -5⋅ 69) = 5⋅83 -6⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,69)=1 = 5⋅83 -6⋅69
oder wenn man 5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅83 = -6⋅69
-6⋅69 = -5⋅83 + 1 |+83⋅69
-6⋅69 + 83⋅69 = -5⋅83 + 83⋅69 + 1
(-6 + 83) ⋅ 69 = (-5 + 69) ⋅ 83 + 1
77⋅69 = 64⋅83 + 1
Es gilt also: 77⋅69 = 64⋅83 +1
Somit 77⋅69 = 1 mod 83
77 ist also das Inverse von 69 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
