Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2505 + 246) mod 5 ≡ (2505 mod 5 + 246 mod 5) mod 5.

2505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2505 = 2500+5 = 5 ⋅ 500 +5.

246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 5 ⋅ 48 +6.

Somit gilt:

(2505 + 246) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 26) mod 9 ≡ (75 mod 9 ⋅ 26 mod 9) mod 9.

75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.

26 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 18 + 8 = 2 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 26) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 760¹=760

2: 760²=760¹⁺¹=760¹⋅760¹ ≡ 760⋅760=577600 ≡ 545 mod 881

4: 760⁴=760²⁺²=760²⋅760² ≡ 545⋅545=297025 ≡ 128 mod 881

8: 760⁸=760⁴⁺⁴=760⁴⋅760⁴ ≡ 128⋅128=16384 ≡ 526 mod 881

16: 760¹⁶=760⁸⁺⁸=760⁸⋅760⁸ ≡ 526⋅526=276676 ≡ 42 mod 881

32: 760³²=760¹⁶⁺¹⁶=760¹⁶⋅760¹⁶ ≡ 42⋅42=1764 ≡ 2 mod 881

64: 760⁶⁴=760³²⁺³²=760³²⋅760³² ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 881

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:

120 = 64+32+16+8

249¹²⁰

= 249^64+32+16+8

= 249⁶⁴⋅249³²⋅249¹⁶⋅249⁸

≡ 680 ⋅ 327 ⋅ 169 ⋅ 730 mod 743
≡ 222360 ⋅ 169 ⋅ 730 mod 743 ≡ 203 ⋅ 169 ⋅ 730 mod 743
≡ 34307 ⋅ 730 mod 743 ≡ 129 ⋅ 730 mod 743
≡ 94170 mod 743 ≡ 552 mod 743

Es gilt also: 249¹²⁰ ≡ 552 mod 743

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30

=>83	= 2⋅30 + 23
=>30	= 1⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 83-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30) = 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +36⋅30

Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1

Somit 36⋅30 = 1 mod 83

36 ist also das Inverse von 30 mod 83