Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (174 - 11997) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(174 - 11997) mod 6 ≡ (174 mod 6 - 11997 mod 6) mod 6.
174 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 174
= 180
11997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
Somit gilt:
(174 - 11997) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 83) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 83) mod 5 ≡ (17 mod 5 ⋅ 83 mod 5) mod 5.
17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.
83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 83) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31764 mod 829.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 317 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 180 mod 829
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 69 mod 829
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 616 mod 829
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 603 mod 829
32: 31732=31716+16=31716⋅31716 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 507 mod 829
64: 31764=31732+32=31732⋅31732 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 59 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 402209 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 4021=402
2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 45 mod 619
4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 168 mod 619
8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 369 mod 619
16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 600 mod 619
32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 361 mod 619
64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 331 mod 619
128: 402128=40264+64=40264⋅40264 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 617 mod 619
402209
= 402128+64+16+1
= 402128⋅40264⋅40216⋅4021
≡ 617 ⋅ 331 ⋅ 600 ⋅ 402 mod 619
≡ 204227 ⋅ 600 ⋅ 402 mod 619 ≡ 576 ⋅ 600 ⋅ 402 mod 619
≡ 345600 ⋅ 402 mod 619 ≡ 198 ⋅ 402 mod 619
≡ 79596 mod 619 ≡ 364 mod 619
Es gilt also: 402209 ≡ 364 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 48
| =>73 | = 1⋅48 + 25 |
| =>48 | = 1⋅25 + 23 |
| =>25 | = 1⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 25-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1) |
| 23= 48-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅25 +12⋅(48 -1⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅48 -12⋅ 25) = 12⋅48 -23⋅ 25 (=1) |
| 25= 73-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅48 -23⋅(73 -1⋅ 48)
= 12⋅48 -23⋅73 +23⋅ 48) = -23⋅73 +35⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,48)=1 = -23⋅73 +35⋅48
oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅73 = +35⋅48
Es gilt also: 35⋅48 = 23⋅73 +1
Somit 35⋅48 = 1 mod 73
35 ist also das Inverse von 48 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
