Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4500 + 264) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4500 + 264) mod 9 ≡ (4500 mod 9 + 264 mod 9) mod 9.
4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500
= 4500
264 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 264
= 270
Somit gilt:
(4500 + 264) mod 9 ≡ (0 + 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 95) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 95) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 95 mod 7) mod 7.
82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.
95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 95) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44364 mod 577.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 443 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4431=443
2: 4432=4431+1=4431⋅4431 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 69 mod 577
4: 4434=4432+2=4432⋅4432 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 145 mod 577
8: 4438=4434+4=4434⋅4434 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 253 mod 577
16: 44316=4438+8=4438⋅4438 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 539 mod 577
32: 44332=44316+16=44316⋅44316 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 290 mod 577
64: 44364=44332+32=44332⋅44332 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 435 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 205136 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 2051=205
2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 36 mod 211
4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 30 mod 211
8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 30⋅30=900 ≡ 56 mod 211
16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 182 mod 211
32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 208 mod 211
64: 20564=20532+32=20532⋅20532 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 9 mod 211
128: 205128=20564+64=20564⋅20564 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 211
205136
= 205128+8
= 205128⋅2058
≡ 81 ⋅ 56 mod 211
≡ 4536 mod 211 ≡ 105 mod 211
Es gilt also: 205136 ≡ 105 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54
| =>71 | = 1⋅54 + 17 |
| =>54 | = 3⋅17 + 3 |
| =>17 | = 5⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 17-5⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1) |
| 3= 54-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1) |
| 17= 71-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54
oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅71 = +25⋅54
Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1
Somit 25⋅54 = 1 mod 71
25 ist also das Inverse von 54 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
