Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12001 + 3000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12001 + 3000) mod 3 ≡ (12001 mod 3 + 3000 mod 3) mod 3.
12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
Somit gilt:
(12001 + 3000) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 31) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 31) mod 10 ≡ (15 mod 10 ⋅ 31 mod 10) mod 10.
15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.
31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 31) mod 10 ≡ (5 ⋅ 1) mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5258 mod 967.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 525 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5251=525
2: 5252=5251+1=5251⋅5251 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 30 mod 967
4: 5254=5252+2=5252⋅5252 ≡ 30⋅30=900 ≡ 900 mod 967
8: 5258=5254+4=5254⋅5254 ≡ 900⋅900=810000 ≡ 621 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 267162 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 238 mod 313
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 304 mod 313
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 81 mod 313
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 301 mod 313
32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 144 mod 313
64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 78 mod 313
128: 267128=26764+64=26764⋅26764 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 137 mod 313
267162
= 267128+32+2
= 267128⋅26732⋅2672
≡ 137 ⋅ 144 ⋅ 238 mod 313
≡ 19728 ⋅ 238 mod 313 ≡ 9 ⋅ 238 mod 313
≡ 2142 mod 313 ≡ 264 mod 313
Es gilt also: 267162 ≡ 264 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
