Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18002 + 18004) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18002 + 18004) mod 6 ≡ (18002 mod 6 + 18004 mod 6) mod 6.
18002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18002
= 18000
18004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18004
= 18000
Somit gilt:
(18002 + 18004) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 58) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 58) mod 11 ≡ (61 mod 11 ⋅ 58 mod 11) mod 11.
61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.
58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 58) mod 11 ≡ (6 ⋅ 3) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5908 mod 761.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 590 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5901=590
2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 323 mod 761
4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 72 mod 761
8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 618 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 169156 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:
156 = 128+16+8+4
1: 1691=169
2: 1692=1691+1=1691⋅1691 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 213 mod 373
4: 1694=1692+2=1692⋅1692 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 236 mod 373
8: 1698=1694+4=1694⋅1694 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 119 mod 373
16: 16916=1698+8=1698⋅1698 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 360 mod 373
32: 16932=16916+16=16916⋅16916 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 169 mod 373
64: 16964=16932+32=16932⋅16932 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 213 mod 373
128: 169128=16964+64=16964⋅16964 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 236 mod 373
169156
= 169128+16+8+4
= 169128⋅16916⋅1698⋅1694
≡ 236 ⋅ 360 ⋅ 119 ⋅ 236 mod 373
≡ 84960 ⋅ 119 ⋅ 236 mod 373 ≡ 289 ⋅ 119 ⋅ 236 mod 373
≡ 34391 ⋅ 236 mod 373 ≡ 75 ⋅ 236 mod 373
≡ 17700 mod 373 ≡ 169 mod 373
Es gilt also: 169156 ≡ 169 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 55
| =>83 | = 1⋅55 + 28 |
| =>55 | = 1⋅28 + 27 |
| =>28 | = 1⋅27 + 1 |
| =>27 | = 27⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-1⋅27 | |||
| 27= 55-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -1⋅(55 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -1⋅55 +1⋅ 28) = -1⋅55 +2⋅ 28 (=1) |
| 28= 83-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅55 +2⋅(83 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +2⋅83 -2⋅ 55) = 2⋅83 -3⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,55)=1 = 2⋅83 -3⋅55
oder wenn man 2⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅83 = -3⋅55
-3⋅55 = -2⋅83 + 1 |+83⋅55
-3⋅55 + 83⋅55 = -2⋅83 + 83⋅55 + 1
(-3 + 83) ⋅ 55 = (-2 + 55) ⋅ 83 + 1
80⋅55 = 53⋅83 + 1
Es gilt also: 80⋅55 = 53⋅83 +1
Somit 80⋅55 = 1 mod 83
80 ist also das Inverse von 55 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
