Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 - 60) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 - 60) mod 3 ≡ (29 mod 3 - 60 mod 3) mod 3.
29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29
= 30
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
Somit gilt:
(29 - 60) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 26) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 26) mod 8 ≡ (86 mod 8 ⋅ 26 mod 8) mod 8.
86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.
26 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 3 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 26) mod 8 ≡ (6 ⋅ 2) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23432 mod 607.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 126 mod 607
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 94 mod 607
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 338 mod 607
16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 128 mod 607
32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 602 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26975 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:
75 = 64+8+2+1
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 370 mod 421
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 75 mod 421
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 152 mod 421
16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 370 mod 421
32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 75 mod 421
64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 152 mod 421
26975
= 26964+8+2+1
= 26964⋅2698⋅2692⋅2691
≡ 152 ⋅ 152 ⋅ 370 ⋅ 269 mod 421
≡ 23104 ⋅ 370 ⋅ 269 mod 421 ≡ 370 ⋅ 370 ⋅ 269 mod 421
≡ 136900 ⋅ 269 mod 421 ≡ 75 ⋅ 269 mod 421
≡ 20175 mod 421 ≡ 388 mod 421
Es gilt also: 26975 ≡ 388 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67
| =>71 | = 1⋅67 + 4 |
| =>67 | = 16⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 67-16⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4) = -1⋅67 +17⋅ 4 (=1) |
| 4= 71-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67) = 17⋅71 -18⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67
oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅71 = -18⋅67
-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67
-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1
(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1
53⋅67 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1
Somit 53⋅67 = 1 mod 71
53 ist also das Inverse von 67 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
