Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(396 + 800) mod 4 ≡ (396 mod 4 + 800 mod 4) mod 4.

396 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 300+96 = 4 ⋅ 75 +96.

800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 4 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(396 + 800) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 44) mod 9 ≡ (16 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.

16 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 9 + 7 = 1 ⋅ 9 + 7 ist.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 44) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 724¹=724

2: 724²=724¹⁺¹=724¹⋅724¹ ≡ 724⋅724=524176 ≡ 753 mod 809

4: 724⁴=724²⁺²=724²⋅724² ≡ 753⋅753=567009 ≡ 709 mod 809

8: 724⁸=724⁴⁺⁴=724⁴⋅724⁴ ≡ 709⋅709=502681 ≡ 292 mod 809

16: 724¹⁶=724⁸⁺⁸=724⁸⋅724⁸ ≡ 292⋅292=85264 ≡ 319 mod 809

32: 724³²=724¹⁶⁺¹⁶=724¹⁶⋅724¹⁶ ≡ 319⋅319=101761 ≡ 636 mod 809

64: 724⁶⁴=724³²⁺³²=724³²⋅724³² ≡ 636⋅636=404496 ≡ 805 mod 809

128: 724¹²⁸=724⁶⁴⁺⁶⁴=724⁶⁴⋅724⁶⁴ ≡ 805⋅805=648025 ≡ 16 mod 809

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

597²³⁵

= 597^{128+64+32+8+2+1}

= 597¹²⁸⋅597⁶⁴⋅597³²⋅597⁸⋅597²⋅597¹

≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 81 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937
≡ 4096 ⋅ 4 ⋅ 81 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937 ≡ 348 ⋅ 4 ⋅ 81 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937
≡ 1392 ⋅ 81 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937 ≡ 455 ⋅ 81 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937
≡ 36855 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937 ≡ 312 ⋅ 349 ⋅ 597 mod 937
≡ 108888 ⋅ 597 mod 937 ≡ 196 ⋅ 597 mod 937
≡ 117012 mod 937 ≡ 824 mod 937

Es gilt also: 597²³⁵ ≡ 824 mod 937

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 98

=>101	= 1⋅98 + 3
=>98	= 32⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,98)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 98-32⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(98 -32⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅98 +32⋅ 3) = -1⋅98 +33⋅ 3 (=1)
3= 101-1⋅98	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅98 +33⋅(101 -1⋅ 98) = -1⋅98 +33⋅101 -33⋅ 98) = 33⋅101 -34⋅ 98 (=1)

Es gilt also: ggt(101,98)=1 = 33⋅101 -34⋅98

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -34⋅98

-34⋅98 = -33⋅101 + 1 |+101⋅98

-34⋅98 + 101⋅98 = -33⋅101 + 101⋅98 + 1

(-34 + 101) ⋅ 98 = (-33 + 98) ⋅ 101 + 1

67⋅98 = 65⋅101 + 1

Es gilt also: 67⋅98 = 65⋅101 +1

Somit 67⋅98 = 1 mod 101

67 ist also das Inverse von 98 mod 101