Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12003 - 398) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12003 - 398) mod 4 ≡ (12003 mod 4 - 398 mod 4) mod 4.
12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003
= 12000
398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398
= 300
Somit gilt:
(12003 - 398) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 64) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 64) mod 7 ≡ (23 mod 7 ⋅ 64 mod 7) mod 7.
23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.
64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 64) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42232 mod 461.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 422 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4221=422
2: 4222=4221+1=4221⋅4221 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 138 mod 461
4: 4224=4222+2=4222⋅4222 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 143 mod 461
8: 4228=4224+4=4224⋅4224 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 165 mod 461
16: 42216=4228+8=4228⋅4228 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 26 mod 461
32: 42232=42216+16=42216⋅42216 ≡ 26⋅26=676 ≡ 215 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56662 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 5661=566
2: 5662=5661+1=5661⋅5661 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 700 mod 701
4: 5664=5662+2=5662⋅5662 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 1 mod 701
8: 5668=5664+4=5664⋅5664 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 701
16: 56616=5668+8=5668⋅5668 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 701
32: 56632=56616+16=56616⋅56616 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 701
56662
= 56632+16+8+4+2
= 56632⋅56616⋅5668⋅5664⋅5662
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 700 mod 701
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 700 mod 701
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 700 mod 701
≡ 1 ⋅ 700 mod 701
≡ 700 mod 701
Es gilt also: 56662 ≡ 700 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 29
| =>83 | = 2⋅29 + 25 |
| =>29 | = 1⋅25 + 4 |
| =>25 | = 6⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-6⋅4 | |||
| 4= 29-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25) = -6⋅29 +7⋅ 25 (=1) |
| 25= 83-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅29 +7⋅(83 -2⋅ 29)
= -6⋅29 +7⋅83 -14⋅ 29) = 7⋅83 -20⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,29)=1 = 7⋅83 -20⋅29
oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅83 = -20⋅29
-20⋅29 = -7⋅83 + 1 |+83⋅29
-20⋅29 + 83⋅29 = -7⋅83 + 83⋅29 + 1
(-20 + 83) ⋅ 29 = (-7 + 29) ⋅ 83 + 1
63⋅29 = 22⋅83 + 1
Es gilt also: 63⋅29 = 22⋅83 +1
Somit 63⋅29 = 1 mod 83
63 ist also das Inverse von 29 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
