Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2000 + 16002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2000 + 16002) mod 4 ≡ (2000 mod 4 + 16002 mod 4) mod 4.
2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
Somit gilt:
(2000 + 16002) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 24) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 24) mod 5 ≡ (19 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.
19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.
24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 24) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18764 mod 241.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 187 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 24 mod 241
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241
16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
32: 18732=18716+16=18716⋅18716 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241
64: 18764=18732+32=18732⋅18732 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 474108 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 4741=474
2: 4742=4741+1=4741⋅4741 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 710 mod 991
4: 4744=4742+2=4742⋅4742 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 672 mod 991
8: 4748=4744+4=4744⋅4744 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 679 mod 991
16: 47416=4748+8=4748⋅4748 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 226 mod 991
32: 47432=47416+16=47416⋅47416 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 535 mod 991
64: 47464=47432+32=47432⋅47432 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 817 mod 991
474108
= 47464+32+8+4
= 47464⋅47432⋅4748⋅4744
≡ 817 ⋅ 535 ⋅ 679 ⋅ 672 mod 991
≡ 437095 ⋅ 679 ⋅ 672 mod 991 ≡ 64 ⋅ 679 ⋅ 672 mod 991
≡ 43456 ⋅ 672 mod 991 ≡ 843 ⋅ 672 mod 991
≡ 566496 mod 991 ≡ 635 mod 991
Es gilt also: 474108 ≡ 635 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 79.
Also bestimme x, so dass 79 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 79
| =>83 | = 1⋅79 + 4 |
| =>79 | = 19⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,79)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 79-19⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(79 -19⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅79 +19⋅ 4) = -1⋅79 +20⋅ 4 (=1) |
| 4= 83-1⋅79 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅79 +20⋅(83 -1⋅ 79)
= -1⋅79 +20⋅83 -20⋅ 79) = 20⋅83 -21⋅ 79 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,79)=1 = 20⋅83 -21⋅79
oder wenn man 20⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -20⋅83 = -21⋅79
-21⋅79 = -20⋅83 + 1 |+83⋅79
-21⋅79 + 83⋅79 = -20⋅83 + 83⋅79 + 1
(-21 + 83) ⋅ 79 = (-20 + 79) ⋅ 83 + 1
62⋅79 = 59⋅83 + 1
Es gilt also: 62⋅79 = 59⋅83 +1
Somit 62⋅79 = 1 mod 83
62 ist also das Inverse von 79 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
