Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4501 + 262) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4501 + 262) mod 9 ≡ (4501 mod 9 + 262 mod 9) mod 9.

4501 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4501 = 4500+1 = 9 ⋅ 500 +1.

262 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 262 = 270-8 = 9 ⋅ 30 -8 = 9 ⋅ 30 - 9 + 1.

Somit gilt:

(4501 + 262) mod 9 ≡ (1 + 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 22) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 22) mod 4 ≡ (44 mod 4 ⋅ 22 mod 4) mod 4.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.

22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 22) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28464 mod 839.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,839) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2841=284

2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 112 mod 839

4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 798 mod 839

8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 3 mod 839

16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 839

32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 839

64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 688 mod 839

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 335154 mod 853.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

1: 3351=335

2: 3352=3351+1=3351⋅3351 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 482 mod 853

4: 3354=3352+2=3352⋅3352 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 308 mod 853

8: 3358=3354+4=3354⋅3354 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 181 mod 853

16: 33516=3358+8=3358⋅3358 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 347 mod 853

32: 33532=33516+16=33516⋅33516 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 136 mod 853

64: 33564=33532+32=33532⋅33532 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 583 mod 853

128: 335128=33564+64=33564⋅33564 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 395 mod 853

335154

= 335128+16+8+2

= 335128⋅33516⋅3358⋅3352

395 ⋅ 347 ⋅ 181 ⋅ 482 mod 853
137065 ⋅ 181 ⋅ 482 mod 853 ≡ 585 ⋅ 181 ⋅ 482 mod 853
105885 ⋅ 482 mod 853 ≡ 113 ⋅ 482 mod 853
54466 mod 853 ≡ 727 mod 853

Es gilt also: 335154 ≡ 727 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 66.

Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 66

=>97 = 1⋅66 + 31
=>66 = 2⋅31 + 4
=>31 = 7⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,66)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4)
= -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 66-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +8⋅(66 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅66 -16⋅ 31)
= 8⋅66 -17⋅ 31 (=1)
31= 97-1⋅66 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅66 -17⋅(97 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -17⋅97 +17⋅ 66)
= -17⋅97 +25⋅ 66 (=1)

Es gilt also: ggt(97,66)=1 = -17⋅97 +25⋅66

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +25⋅66

Es gilt also: 25⋅66 = 17⋅97 +1

Somit 25⋅66 = 1 mod 97

25 ist also das Inverse von 66 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.