Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1804 + 18007) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1804 + 18007) mod 9 ≡ (1804 mod 9 + 18007 mod 9) mod 9.

1804 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1804 = 1800+4 = 9 ⋅ 200 +4.

18007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18007 = 18000+7 = 9 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(1804 + 18007) mod 9 ≡ (4 + 7) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 80) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 80) mod 9 ≡ (50 mod 9 ⋅ 80 mod 9) mod 9.

50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.

80 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 72 + 8 = 8 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 80) mod 9 ≡ (5 ⋅ 8) mod 9 ≡ 40 mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1058 mod 307.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 105 -> x
2. mod(x²,307) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1051=105

2: 1052=1051+1=1051⋅1051 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 280 mod 307

4: 1054=1052+2=1052⋅1052 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 115 mod 307

8: 1058=1054+4=1054⋅1054 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 24 mod 307

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 440223 mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

1: 4401=440

2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 154 mod 977

4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 268 mod 977

8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 503 mod 977

16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 943 mod 977

32: 44032=44016+16=44016⋅44016 ≡ 943⋅943=889249 ≡ 179 mod 977

64: 44064=44032+32=44032⋅44032 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 777 mod 977

128: 440128=44064+64=44064⋅44064 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 920 mod 977

440223

= 440128+64+16+8+4+2+1

= 440128⋅44064⋅44016⋅4408⋅4404⋅4402⋅4401

920 ⋅ 777 ⋅ 943 ⋅ 503 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977
714840 ⋅ 943 ⋅ 503 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977 ≡ 653 ⋅ 943 ⋅ 503 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977
615779 ⋅ 503 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977 ≡ 269 ⋅ 503 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977
135307 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977 ≡ 481 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977
128908 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977 ≡ 921 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977
141834 ⋅ 440 mod 977 ≡ 169 ⋅ 440 mod 977
74360 mod 977 ≡ 108 mod 977

Es gilt also: 440223 ≡ 108 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63

=>83 = 1⋅63 + 20
=>63 = 3⋅20 + 3
=>20 = 6⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 20-6⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3)
= -1⋅20 +7⋅ 3 (=1)
3= 63-3⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20)
= 7⋅63 -22⋅ 20 (=1)
20= 83-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63)
= 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63)
= -22⋅83 +29⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63

oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅83 = +29⋅63

Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1

Somit 29⋅63 = 1 mod 83

29 ist also das Inverse von 63 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.