Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (182 + 5996) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(182 + 5996) mod 6 ≡ (182 mod 6 + 5996 mod 6) mod 6.
182 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182
= 180
5996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5996
= 6000
Somit gilt:
(182 + 5996) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 81) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 81) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 81 mod 9) mod 9.
34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 81) mod 9 ≡ (7 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10932 mod 349.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 109 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1091=109
2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 15 mod 349
4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 349
8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 20 mod 349
16: 10916=1098+8=1098⋅1098 ≡ 20⋅20=400 ≡ 51 mod 349
32: 10932=10916+16=10916⋅10916 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 158 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46075 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:
75 = 64+8+2+1
1: 4601=460
2: 4602=4601+1=4601⋅4601 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 458 mod 547
4: 4604=4602+2=4602⋅4602 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 263 mod 547
8: 4608=4604+4=4604⋅4604 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 247 mod 547
16: 46016=4608+8=4608⋅4608 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 292 mod 547
32: 46032=46016+16=46016⋅46016 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 479 mod 547
64: 46064=46032+32=46032⋅46032 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 248 mod 547
46075
= 46064+8+2+1
= 46064⋅4608⋅4602⋅4601
≡ 248 ⋅ 247 ⋅ 458 ⋅ 460 mod 547
≡ 61256 ⋅ 458 ⋅ 460 mod 547 ≡ 539 ⋅ 458 ⋅ 460 mod 547
≡ 246862 ⋅ 460 mod 547 ≡ 165 ⋅ 460 mod 547
≡ 75900 mod 547 ≡ 414 mod 547
Es gilt also: 46075 ≡ 414 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 62.
Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 62
| =>83 | = 1⋅62 + 21 |
| =>62 | = 2⋅21 + 20 |
| =>21 | = 1⋅20 + 1 |
| =>20 | = 20⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,62)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-1⋅20 | |||
| 20= 62-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -1⋅(62 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -1⋅62 +2⋅ 21) = -1⋅62 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 83-1⋅62 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅62 +3⋅(83 -1⋅ 62)
= -1⋅62 +3⋅83 -3⋅ 62) = 3⋅83 -4⋅ 62 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,62)=1 = 3⋅83 -4⋅62
oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅83 = -4⋅62
-4⋅62 = -3⋅83 + 1 |+83⋅62
-4⋅62 + 83⋅62 = -3⋅83 + 83⋅62 + 1
(-4 + 83) ⋅ 62 = (-3 + 62) ⋅ 83 + 1
79⋅62 = 59⋅83 + 1
Es gilt also: 79⋅62 = 59⋅83 +1
Somit 79⋅62 = 1 mod 83
79 ist also das Inverse von 62 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
