Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1202 + 5999) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1202 + 5999) mod 6 ≡ (1202 mod 6 + 5999 mod 6) mod 6.
1202 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202
= 1200
5999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999
= 6000
Somit gilt:
(1202 + 5999) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 90) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 90) mod 7 ≡ (56 mod 7 ⋅ 90 mod 7) mod 7.
56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.
90 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 84 + 6 = 12 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 90) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7764 mod 251.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 77 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 771=77
2: 772=771+1=771⋅771 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 156 mod 251
4: 774=772+2=772⋅772 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 240 mod 251
8: 778=774+4=774⋅774 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 121 mod 251
16: 7716=778+8=778⋅778 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 83 mod 251
32: 7732=7716+16=7716⋅7716 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 112 mod 251
64: 7764=7732+32=7732⋅7732 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 245 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19582 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:
82 = 64+16+2
1: 1951=195
2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 76 mod 277
4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 236 mod 277
8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 19 mod 277
16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 19⋅19=361 ≡ 84 mod 277
32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 131 mod 277
64: 19564=19532+32=19532⋅19532 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 264 mod 277
19582
= 19564+16+2
= 19564⋅19516⋅1952
≡ 264 ⋅ 84 ⋅ 76 mod 277
≡ 22176 ⋅ 76 mod 277 ≡ 16 ⋅ 76 mod 277
≡ 1216 mod 277 ≡ 108 mod 277
Es gilt also: 19582 ≡ 108 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41
| =>101 | = 2⋅41 + 19 |
| =>41 | = 2⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 41-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 101-2⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41) = 13⋅101 -32⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -32⋅41
-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41
-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1
(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1
69⋅41 = 28⋅101 + 1
Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1
Somit 69⋅41 = 1 mod 101
69 ist also das Inverse von 41 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
