Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 + 900) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 + 900) mod 3 ≡ (150 mod 3 + 900 mod 3) mod 3.
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(150 + 900) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 84) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 84) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 84 mod 7) mod 7.
19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.
84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 84) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3288 mod 439.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3281=328
2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 29 mod 439
4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 29⋅29=841 ≡ 402 mod 439
8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 52 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49193 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 4911=491
2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617
4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617
8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617
16: 49116=4918+8=4918⋅4918 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617
32: 49132=49116+16=49116⋅49116 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617
64: 49164=49132+32=49132⋅49132 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617
49193
= 49164+16+8+4+1
= 49164⋅49116⋅4918⋅4914⋅4911
≡ 491 ⋅ 451 ⋅ 491 ⋅ 408 ⋅ 491 mod 617
≡ 221441 ⋅ 491 ⋅ 408 ⋅ 491 mod 617 ≡ 555 ⋅ 491 ⋅ 408 ⋅ 491 mod 617
≡ 272505 ⋅ 408 ⋅ 491 mod 617 ≡ 408 ⋅ 408 ⋅ 491 mod 617
≡ 166464 ⋅ 491 mod 617 ≡ 491 ⋅ 491 mod 617
≡ 241081 mod 617 ≡ 451 mod 617
Es gilt also: 49193 ≡ 451 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.
Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94
| =>101 | = 1⋅94 + 7 |
| =>94 | = 13⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,94)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 94-13⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7) = -2⋅94 +27⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-1⋅94 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94) = 27⋅101 -29⋅ 94 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94
oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -27⋅101 = -29⋅94
-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94
-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1
(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1
72⋅94 = 67⋅101 + 1
Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1
Somit 72⋅94 = 1 mod 101
72 ist also das Inverse von 94 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
