Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28000 - 1394) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28000 - 1394) mod 7 ≡ (28000 mod 7 - 1394 mod 7) mod 7.
28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000
= 28000
1394 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1394
= 1400
Somit gilt:
(28000 - 1394) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 52) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 52) mod 3 ≡ (33 mod 3 ⋅ 52 mod 3) mod 3.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.
52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 52) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 590128 mod 673.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 590 -> x
2. mod(x²,673) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5901=590
2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 159 mod 673
4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 380 mod 673
8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 378 mod 673
16: 59016=5908+8=5908⋅5908 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 208 mod 673
32: 59032=59016+16=59016⋅59016 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 192 mod 673
64: 59064=59032+32=59032⋅59032 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 522 mod 673
128: 590128=59064+64=59064⋅59064 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 592 mod 673
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 271197 mod 347.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 224 mod 347
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 208 mod 347
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 236 mod 347
16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 176 mod 347
32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 93 mod 347
64: 27164=27132+32=27132⋅27132 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 321 mod 347
128: 271128=27164+64=27164⋅27164 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 329 mod 347
271197
= 271128+64+4+1
= 271128⋅27164⋅2714⋅2711
≡ 329 ⋅ 321 ⋅ 208 ⋅ 271 mod 347
≡ 105609 ⋅ 208 ⋅ 271 mod 347 ≡ 121 ⋅ 208 ⋅ 271 mod 347
≡ 25168 ⋅ 271 mod 347 ≡ 184 ⋅ 271 mod 347
≡ 49864 mod 347 ≡ 243 mod 347
Es gilt also: 271197 ≡ 243 mod 347
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38
| =>59 | = 1⋅38 + 21 |
| =>38 | = 1⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 38-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1) |
| 21= 59-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38) = -9⋅59 +14⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38
oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅59 = +14⋅38
Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1
Somit 14⋅38 = 1 mod 59
14 ist also das Inverse von 38 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
