Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4998 - 1005) mod 5 ≡ (4998 mod 5 - 1005 mod 5) mod 5.

4998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4998 = 4000+998 = 5 ⋅ 800 +998.

1005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1005 = 1000+5 = 5 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(4998 - 1005) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 97) mod 5 ≡ (49 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 9 ⋅ 5 + 4 ist.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 97) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 459¹=459

2: 459²=459¹⁺¹=459¹⋅459¹ ≡ 459⋅459=210681 ≡ 422 mod 613

4: 459⁴=459²⁺²=459²⋅459² ≡ 422⋅422=178084 ≡ 314 mod 613

8: 459⁸=459⁴⁺⁴=459⁴⋅459⁴ ≡ 314⋅314=98596 ≡ 516 mod 613

16: 459¹⁶=459⁸⁺⁸=459⁸⋅459⁸ ≡ 516⋅516=266256 ≡ 214 mod 613

32: 459³²=459¹⁶⁺¹⁶=459¹⁶⋅459¹⁶ ≡ 214⋅214=45796 ≡ 434 mod 613

64: 459⁶⁴=459³²⁺³²=459³²⋅459³² ≡ 434⋅434=188356 ≡ 165 mod 613

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

707¹⁵⁷

= 707^128+16+8+4+1

= 707¹²⁸⋅707¹⁶⋅707⁸⋅707⁴⋅707¹

≡ 149 ⋅ 249 ⋅ 420 ⋅ 501 ⋅ 707 mod 827
≡ 37101 ⋅ 420 ⋅ 501 ⋅ 707 mod 827 ≡ 713 ⋅ 420 ⋅ 501 ⋅ 707 mod 827
≡ 299460 ⋅ 501 ⋅ 707 mod 827 ≡ 86 ⋅ 501 ⋅ 707 mod 827
≡ 43086 ⋅ 707 mod 827 ≡ 82 ⋅ 707 mod 827
≡ 57974 mod 827 ≡ 84 mod 827

Es gilt also: 707¹⁵⁷ ≡ 84 mod 827

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 52

=>83	= 1⋅52 + 31
=>52	= 1⋅31 + 21
=>31	= 1⋅21 + 10
=>21	= 2⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 31-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21) = 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21) = -2⋅31 +3⋅ 21 (=1)
21= 52-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅31 +3⋅(52 -1⋅ 31) = -2⋅31 +3⋅52 -3⋅ 31) = 3⋅52 -5⋅ 31 (=1)
31= 83-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅52 -5⋅(83 -1⋅ 52) = 3⋅52 -5⋅83 +5⋅ 52) = -5⋅83 +8⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(83,52)=1 = -5⋅83 +8⋅52

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +8⋅52

Es gilt also: 8⋅52 = 5⋅83 +1

Somit 8⋅52 = 1 mod 83

8 ist also das Inverse von 52 mod 83