Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 + 123) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 + 123) mod 6 ≡ (58 mod 6 + 123 mod 6) mod 6.
58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58
= 60
123 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
Somit gilt:
(58 + 123) mod 6 ≡ (4 + 3) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 61) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 61) mod 6 ≡ (66 mod 6 ⋅ 61 mod 6) mod 6.
66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.
61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 61) mod 6 ≡ (0 ⋅ 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6868 mod 983.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 686 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6861=686
2: 6862=6861+1=6861⋅6861 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 722 mod 983
4: 6864=6862+2=6862⋅6862 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 294 mod 983
8: 6868=6864+4=6864⋅6864 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 915 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47461 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 4741=474
2: 4742=4741+1=4741⋅4741 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 290 mod 743
4: 4744=4742+2=4742⋅4742 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 141 mod 743
8: 4748=4744+4=4744⋅4744 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 563 mod 743
16: 47416=4748+8=4748⋅4748 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 451 mod 743
32: 47432=47416+16=47416⋅47416 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 562 mod 743
47461
= 47432+16+8+4+1
= 47432⋅47416⋅4748⋅4744⋅4741
≡ 562 ⋅ 451 ⋅ 563 ⋅ 141 ⋅ 474 mod 743
≡ 253462 ⋅ 563 ⋅ 141 ⋅ 474 mod 743 ≡ 99 ⋅ 563 ⋅ 141 ⋅ 474 mod 743
≡ 55737 ⋅ 141 ⋅ 474 mod 743 ≡ 12 ⋅ 141 ⋅ 474 mod 743
≡ 1692 ⋅ 474 mod 743 ≡ 206 ⋅ 474 mod 743
≡ 97644 mod 743 ≡ 311 mod 743
Es gilt also: 47461 ≡ 311 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50
| =>61 | = 1⋅50 + 11 |
| =>50 | = 4⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 50-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +11⋅50
Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1
Somit 11⋅50 = 1 mod 61
11 ist also das Inverse von 50 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
