Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27004 - 263) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27004 - 263) mod 9 ≡ (27004 mod 9 - 263 mod 9) mod 9.
27004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27004
= 27000
263 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 263
= 270
Somit gilt:
(27004 - 263) mod 9 ≡ (4 - 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 73) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 73) mod 7 ≡ (97 mod 7 ⋅ 73 mod 7) mod 7.
97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.
73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 73) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2428 mod 419.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 323 mod 419
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 417 mod 419
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 4 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 404183 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:
183 = 128+32+16+4+2+1
1: 4041=404
2: 4042=4041+1=4041⋅4041 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 178 mod 937
4: 4044=4042+2=4042⋅4042 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 763 mod 937
8: 4048=4044+4=4044⋅4044 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 292 mod 937
16: 40416=4048+8=4048⋅4048 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 934 mod 937
32: 40432=40416+16=40416⋅40416 ≡ 934⋅934=872356 ≡ 9 mod 937
64: 40464=40432+32=40432⋅40432 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 937
128: 404128=40464+64=40464⋅40464 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 2 mod 937
404183
= 404128+32+16+4+2+1
= 404128⋅40432⋅40416⋅4044⋅4042⋅4041
≡ 2 ⋅ 9 ⋅ 934 ⋅ 763 ⋅ 178 ⋅ 404 mod 937
≡ 18 ⋅ 934 ⋅ 763 ⋅ 178 ⋅ 404 mod 937
≡ 16812 ⋅ 763 ⋅ 178 ⋅ 404 mod 937 ≡ 883 ⋅ 763 ⋅ 178 ⋅ 404 mod 937
≡ 673729 ⋅ 178 ⋅ 404 mod 937 ≡ 26 ⋅ 178 ⋅ 404 mod 937
≡ 4628 ⋅ 404 mod 937 ≡ 880 ⋅ 404 mod 937
≡ 355520 mod 937 ≡ 397 mod 937
Es gilt also: 404183 ≡ 397 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49
| =>59 | = 1⋅49 + 10 |
| =>49 | = 4⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 49-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10) = -1⋅49 +5⋅ 10 (=1) |
| 10= 59-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49) = 5⋅59 -6⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -6⋅49
-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49
-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1
(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1
53⋅49 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1
Somit 53⋅49 = 1 mod 59
53 ist also das Inverse von 49 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
