Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 + 245) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 + 245) mod 8 ≡ (82 mod 8 + 245 mod 8) mod 8.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 8 ⋅ 10 +2.

245 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245 = 240+5 = 8 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(82 + 245) mod 8 ≡ (2 + 5) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 68) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 68) mod 10 ≡ (19 mod 10 ⋅ 68 mod 10) mod 10.

19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.

68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 68) mod 10 ≡ (9 ⋅ 8) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 376128 mod 643.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 376 -> x
2. mod(x²,643) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3761=376

2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 559 mod 643

4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 626 mod 643

8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 289 mod 643

16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 574 mod 643

32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 260 mod 643

64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 85 mod 643

128: 376128=37664+64=37664⋅37664 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 152 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 453217 mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 4531=453

2: 4532=4531+1=4531⋅4531 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 43 mod 607

4: 4534=4532+2=4532⋅4532 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 28 mod 607

8: 4538=4534+4=4534⋅4534 ≡ 28⋅28=784 ≡ 177 mod 607

16: 45316=4538+8=4538⋅4538 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 372 mod 607

32: 45332=45316+16=45316⋅45316 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 595 mod 607

64: 45364=45332+32=45332⋅45332 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 144 mod 607

128: 453128=45364+64=45364⋅45364 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 98 mod 607

453217

= 453128+64+16+8+1

= 453128⋅45364⋅45316⋅4538⋅4531

98 ⋅ 144 ⋅ 372 ⋅ 177 ⋅ 453 mod 607
14112 ⋅ 372 ⋅ 177 ⋅ 453 mod 607 ≡ 151 ⋅ 372 ⋅ 177 ⋅ 453 mod 607
56172 ⋅ 177 ⋅ 453 mod 607 ≡ 328 ⋅ 177 ⋅ 453 mod 607
58056 ⋅ 453 mod 607 ≡ 391 ⋅ 453 mod 607
177123 mod 607 ≡ 486 mod 607

Es gilt also: 453217 ≡ 486 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35

=>101 = 2⋅35 + 31
=>35 = 1⋅31 + 4
=>31 = 7⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4)
= -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 35-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31)
= 8⋅35 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-2⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35)
= 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35)
= -9⋅101 +26⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +26⋅35

Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1

Somit 26⋅35 = 1 mod 101

26 ist also das Inverse von 35 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.