Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2099 - 13995) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2099 - 13995) mod 7 ≡ (2099 mod 7 - 13995 mod 7) mod 7.

2099 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2099 = 2100-1 = 7 ⋅ 300 -1 = 7 ⋅ 300 - 7 + 6.

13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995 = 14000-5 = 7 ⋅ 2000 -5 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 2.

Somit gilt:

(2099 - 13995) mod 7 ≡ (6 - 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 39) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 39) mod 10 ≡ (42 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.

42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.

39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 39) mod 10 ≡ (2 ⋅ 9) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 143128 mod 467.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 143 -> x
2. mod(x²,467) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1431=143

2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 368 mod 467

4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 461 mod 467

8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 36 mod 467

16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 362 mod 467

32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 284 mod 467

64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 332 mod 467

128: 143128=14364+64=14364⋅14364 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 12 mod 467

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 529108 mod 593.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:

108 = 64+32+8+4

1: 5291=529

2: 5292=5291+1=5291⋅5291 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 538 mod 593

4: 5294=5292+2=5292⋅5292 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 60 mod 593

8: 5298=5294+4=5294⋅5294 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 42 mod 593

16: 52916=5298+8=5298⋅5298 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 578 mod 593

32: 52932=52916+16=52916⋅52916 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 225 mod 593

64: 52964=52932+32=52932⋅52932 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 220 mod 593

529108

= 52964+32+8+4

= 52964⋅52932⋅5298⋅5294

220 ⋅ 225 ⋅ 42 ⋅ 60 mod 593
49500 ⋅ 42 ⋅ 60 mod 593 ≡ 281 ⋅ 42 ⋅ 60 mod 593
11802 ⋅ 60 mod 593 ≡ 535 ⋅ 60 mod 593
32100 mod 593 ≡ 78 mod 593

Es gilt also: 529108 ≡ 78 mod 593

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73 = 1⋅43 + 30
=>43 = 1⋅30 + 13
=>30 = 2⋅13 + 4
=>13 = 3⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13)
= -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30)
= 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43)
= 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43)
= -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.