Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 + 8999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 + 8999) mod 3 ≡ (58 mod 3 + 8999 mod 3) mod 3.

58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 60-2 = 3 ⋅ 20 -2 = 3 ⋅ 20 - 3 + 1.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(58 + 8999) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 46) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 46) mod 4 ≡ (34 mod 4 ⋅ 46 mod 4) mod 4.

34 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 8 ⋅ 4 + 2 ist.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 46) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8438 mod 929.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 843 -> x
2. mod(x²,929) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8431=843

2: 8432=8431+1=8431⋅8431 ≡ 843⋅843=710649 ≡ 893 mod 929

4: 8434=8432+2=8432⋅8432 ≡ 893⋅893=797449 ≡ 367 mod 929

8: 8438=8434+4=8434⋅8434 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 913 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 92127 mod 223.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

1: 921=92

2: 922=921+1=921⋅921 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 213 mod 223

4: 924=922+2=922⋅922 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 100 mod 223

8: 928=924+4=924⋅924 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 188 mod 223

16: 9216=928+8=928⋅928 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 110 mod 223

32: 9232=9216+16=9216⋅9216 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 58 mod 223

64: 9264=9232+32=9232⋅9232 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 19 mod 223

92127

= 9264+32+16+8+4+2+1

= 9264⋅9232⋅9216⋅928⋅924⋅922⋅921

19 ⋅ 58 ⋅ 110 ⋅ 188 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223
1102 ⋅ 110 ⋅ 188 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223 ≡ 210 ⋅ 110 ⋅ 188 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223
23100 ⋅ 188 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223 ≡ 131 ⋅ 188 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223
24628 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223 ≡ 98 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223
9800 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223 ≡ 211 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223
44943 ⋅ 92 mod 223 ≡ 120 ⋅ 92 mod 223
11040 mod 223 ≡ 113 mod 223

Es gilt also: 92127 ≡ 113 mod 223

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24

=>79 = 3⋅24 + 7
=>24 = 3⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 24-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7)
= -2⋅24 +7⋅ 7 (=1)
7= 79-3⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24)
= 7⋅79 -23⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24

oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅79 = -23⋅24

-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24

-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1

(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1

56⋅24 = 17⋅79 + 1

Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1

Somit 56⋅24 = 1 mod 79

56 ist also das Inverse von 24 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.