Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (302 + 3004) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(302 + 3004) mod 6 ≡ (302 mod 6 + 3004 mod 6) mod 6.
302 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
3004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3004
= 3000
Somit gilt:
(302 + 3004) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 57) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 57) mod 3 ≡ (15 mod 3 ⋅ 57 mod 3) mod 3.
15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 57) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13764 mod 313.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 137 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1371=137
2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 302 mod 313
4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 121 mod 313
8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 243 mod 313
16: 13716=1378+8=1378⋅1378 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 205 mod 313
32: 13732=13716+16=13716⋅13716 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 83 mod 313
64: 13764=13732+32=13732⋅13732 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 341139 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 3411=341
2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 517 mod 877
4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 681 mod 877
8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 705 mod 877
16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 643 mod 877
32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 382 mod 877
64: 34164=34132+32=34132⋅34132 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 342 mod 877
128: 341128=34164+64=34164⋅34164 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 323 mod 877
341139
= 341128+8+2+1
= 341128⋅3418⋅3412⋅3411
≡ 323 ⋅ 705 ⋅ 517 ⋅ 341 mod 877
≡ 227715 ⋅ 517 ⋅ 341 mod 877 ≡ 572 ⋅ 517 ⋅ 341 mod 877
≡ 295724 ⋅ 341 mod 877 ≡ 175 ⋅ 341 mod 877
≡ 59675 mod 877 ≡ 39 mod 877
Es gilt also: 341139 ≡ 39 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48
| =>101 | = 2⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 101-2⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48) = -19⋅101 +40⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +40⋅48
Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1
Somit 40⋅48 = 1 mod 101
40 ist also das Inverse von 48 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
