Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1501 - 9998) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1501 - 9998) mod 5 ≡ (1501 mod 5 - 9998 mod 5) mod 5.

1501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501 = 1500+1 = 5 ⋅ 300 +1.

9998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9998 = 9000+998 = 5 ⋅ 1800 +998.

Somit gilt:

(1501 - 9998) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 32) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 32) mod 6 ≡ (37 mod 6 ⋅ 32 mod 6) mod 6.

37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.

32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 32) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4298 mod 431.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 429 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4291=429

2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 4 mod 431

4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 431

8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 591146 mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:

146 = 128+16+2

1: 5911=591

2: 5912=5911+1=5911⋅5911 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 235 mod 877

4: 5914=5912+2=5912⋅5912 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 851 mod 877

8: 5918=5914+4=5914⋅5914 ≡ 851⋅851=724201 ≡ 676 mod 877

16: 59116=5918+8=5918⋅5918 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 59 mod 877

32: 59132=59116+16=59116⋅59116 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 850 mod 877

64: 59164=59132+32=59132⋅59132 ≡ 850⋅850=722500 ≡ 729 mod 877

128: 591128=59164+64=59164⋅59164 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 856 mod 877

591146

= 591128+16+2

= 591128⋅59116⋅5912

856 ⋅ 59 ⋅ 235 mod 877
50504 ⋅ 235 mod 877 ≡ 515 ⋅ 235 mod 877
121025 mod 877 ≡ 876 mod 877

Es gilt also: 591146 ≡ 876 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 32

=>61 = 1⋅32 + 29
=>32 = 1⋅29 + 3
=>29 = 9⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 29-9⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3)
= -1⋅29 +10⋅ 3 (=1)
3= 32-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +10⋅(32 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅32 -10⋅ 29)
= 10⋅32 -11⋅ 29 (=1)
29= 61-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅32 -11⋅(61 -1⋅ 32)
= 10⋅32 -11⋅61 +11⋅ 32)
= -11⋅61 +21⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(61,32)=1 = -11⋅61 +21⋅32

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +21⋅32

Es gilt also: 21⋅32 = 11⋅61 +1

Somit 21⋅32 = 1 mod 61

21 ist also das Inverse von 32 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.