Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18005 + 5996) mod 6 ≡ (18005 mod 6 + 5996 mod 6) mod 6.

18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005 = 18000+5 = 6 ⋅ 3000 +5.

5996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5996 = 6000-4 = 6 ⋅ 1000 -4 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(18005 + 5996) mod 6 ≡ (5 + 2) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 67) mod 4 ≡ (69 mod 4 ⋅ 67 mod 4) mod 4.

69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.

67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 67) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 641¹=641

2: 641²=641¹⁺¹=641¹⋅641¹ ≡ 641⋅641=410881 ≡ 324 mod 659

4: 641⁴=641²⁺²=641²⋅641² ≡ 324⋅324=104976 ≡ 195 mod 659

8: 641⁸=641⁴⁺⁴=641⁴⋅641⁴ ≡ 195⋅195=38025 ≡ 462 mod 659

16: 641¹⁶=641⁸⁺⁸=641⁸⋅641⁸ ≡ 462⋅462=213444 ≡ 587 mod 659

32: 641³²=641¹⁶⁺¹⁶=641¹⁶⋅641¹⁶ ≡ 587⋅587=344569 ≡ 571 mod 659

64: 641⁶⁴=641³²⁺³²=641³²⋅641³² ≡ 571⋅571=326041 ≡ 495 mod 659

128: 641¹²⁸=641⁶⁴⁺⁶⁴=641⁶⁴⋅641⁶⁴ ≡ 495⋅495=245025 ≡ 536 mod 659

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

356²¹⁴

= 356^{128+64+16+4+2}

= 356¹²⁸⋅356⁶⁴⋅356¹⁶⋅356⁴⋅356²

≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 400 ⋅ 20 mod 401
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 400 ⋅ 20 mod 401
≡ 1 ⋅ 400 ⋅ 20 mod 401
≡ 400 ⋅ 20 mod 401
≡ 8000 mod 401 ≡ 381 mod 401

Es gilt also: 356²¹⁴ ≡ 381 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67	= 1⋅46 + 21
=>46	= 2⋅21 + 4
=>21	= 5⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21) = 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46) = -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67