Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (278 + 2793) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(278 + 2793) mod 7 ≡ (278 mod 7 + 2793 mod 7) mod 7.
278 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278
= 280
2793 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2793
= 2800
Somit gilt:
(278 + 2793) mod 7 ≡ (5 + 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 81) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 81) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 81 mod 3) mod 3.
46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.
81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 81) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2798 mod 353.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 279 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2791=279
2: 2792=2791+1=2791⋅2791 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 181 mod 353
4: 2794=2792+2=2792⋅2792 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 285 mod 353
8: 2798=2794+4=2794⋅2794 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 35 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 630162 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 6301=630
2: 6302=6301+1=6301⋅6301 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 300 mod 661
4: 6304=6302+2=6302⋅6302 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 104 mod 661
8: 6308=6304+4=6304⋅6304 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 240 mod 661
16: 63016=6308+8=6308⋅6308 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 93 mod 661
32: 63032=63016+16=63016⋅63016 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 56 mod 661
64: 63064=63032+32=63032⋅63032 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 492 mod 661
128: 630128=63064+64=63064⋅63064 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 138 mod 661
630162
= 630128+32+2
= 630128⋅63032⋅6302
≡ 138 ⋅ 56 ⋅ 300 mod 661
≡ 7728 ⋅ 300 mod 661 ≡ 457 ⋅ 300 mod 661
≡ 137100 mod 661 ≡ 273 mod 661
Es gilt also: 630162 ≡ 273 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50
| =>53 | = 1⋅50 + 3 |
| =>50 | = 16⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 50-16⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1) |
| 3= 53-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -18⋅50
-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50
-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1
(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1
35⋅50 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1
Somit 35⋅50 = 1 mod 53
35 ist also das Inverse von 50 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
