Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 - 16001) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 16001) mod 4 ≡ (12000 mod 4 - 16001 mod 4) mod 4.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 4 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(12000 - 16001) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 55) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 55) mod 10 ≡ (40 mod 10 ⋅ 55 mod 10) mod 10.

40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 55) mod 10 ≡ (0 ⋅ 5) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22016 mod 331.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2201=220

2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 74 mod 331

4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 180 mod 331

8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 293 mod 331

16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 120 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 301159 mod 761.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

1: 3011=301

2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 42 mod 761

4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 242 mod 761

8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 728 mod 761

16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 328 mod 761

32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 283 mod 761

64: 30164=30132+32=30132⋅30132 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 184 mod 761

128: 301128=30164+64=30164⋅30164 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 372 mod 761

301159

= 301128+16+8+4+2+1

= 301128⋅30116⋅3018⋅3014⋅3012⋅3011

372 ⋅ 328 ⋅ 728 ⋅ 242 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761
122016 ⋅ 728 ⋅ 242 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761 ≡ 256 ⋅ 728 ⋅ 242 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761
186368 ⋅ 242 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761 ≡ 684 ⋅ 242 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761
165528 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761 ≡ 391 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761
16422 ⋅ 301 mod 761 ≡ 441 ⋅ 301 mod 761
132741 mod 761 ≡ 327 mod 761

Es gilt also: 301159 ≡ 327 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29

=>61 = 2⋅29 + 3
=>29 = 9⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 29-9⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3)
= -1⋅29 +10⋅ 3 (=1)
3= 61-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29)
= 10⋅61 -21⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -21⋅29

-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29

-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1

(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1

40⋅29 = 19⋅61 + 1

Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1

Somit 40⋅29 = 1 mod 61

40 ist also das Inverse von 29 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.