Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 - 8997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 - 8997) mod 3 ≡ (122 mod 3 - 8997 mod 3) mod 3.
122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997
= 9000
Somit gilt:
(122 - 8997) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 25) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 25) mod 4 ≡ (47 mod 4 ⋅ 25 mod 4) mod 4.
47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.
25 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 6 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 25) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41164 mod 821.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 411 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4111=411
2: 4112=4111+1=4111⋅4111 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 616 mod 821
4: 4114=4112+2=4112⋅4112 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 154 mod 821
8: 4118=4114+4=4114⋅4114 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 728 mod 821
16: 41116=4118+8=4118⋅4118 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 439 mod 821
32: 41132=41116+16=41116⋅41116 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 607 mod 821
64: 41164=41132+32=41132⋅41132 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 641 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 670128 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 6701=670
2: 6702=6701+1=6701⋅6701 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 212 mod 967
4: 6704=6702+2=6702⋅6702 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 462 mod 967
8: 6708=6704+4=6704⋅6704 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 704 mod 967
16: 67016=6708+8=6708⋅6708 ≡ 704⋅704=495616 ≡ 512 mod 967
32: 67032=67016+16=67016⋅67016 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 87 mod 967
64: 67064=67032+32=67032⋅67032 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 800 mod 967
128: 670128=67064+64=67064⋅67064 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 813 mod 967
670128
= 670128
= 670128
≡ 813 mod 967
Es gilt also: 670128 ≡ 813 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 59
| =>101 | = 1⋅59 + 42 |
| =>59 | = 1⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1) |
| 42= 101-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅59 -7⋅(101 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -7⋅101 +7⋅ 59) = -7⋅101 +12⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,59)=1 = -7⋅101 +12⋅59
oder wenn man -7⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅101 = +12⋅59
Es gilt also: 12⋅59 = 7⋅101 +1
Somit 12⋅59 = 1 mod 101
12 ist also das Inverse von 59 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
