Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40007 + 398) mod 8 ≡ (40007 mod 8 + 398 mod 8) mod 8.

40007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40007 = 40000+7 = 8 ⋅ 5000 +7.

398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398 = 400-2 = 8 ⋅ 50 -2 = 8 ⋅ 50 - 8 + 6.

Somit gilt:

(40007 + 398) mod 8 ≡ (7 + 6) mod 8 ≡ 13 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 65) mod 6 ≡ (34 mod 6 ⋅ 65 mod 6) mod 6.

34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.

65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 10 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 65) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 176¹=176

2: 176²=176¹⁺¹=176¹⋅176¹ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 220 mod 233

4: 176⁴=176²⁺²=176²⋅176² ≡ 220⋅220=48400 ≡ 169 mod 233

8: 176⁸=176⁴⁺⁴=176⁴⋅176⁴ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 135 mod 233

16: 176¹⁶=176⁸⁺⁸=176⁸⋅176⁸ ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233

32: 176³²=176¹⁶⁺¹⁶=176¹⁶⋅176¹⁶ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233

64: 176⁶⁴=176³²⁺³²=176³²⋅176³² ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233

128: 176¹²⁸=176⁶⁴⁺⁶⁴=176⁶⁴⋅176⁶⁴ ≡ 46⋅46=2116 ≡ 19 mod 233

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

392¹⁸⁵

= 392^{128+32+16+8+1}

= 392¹²⁸⋅392³²⋅392¹⁶⋅392⁸⋅392¹

≡ 221 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 298 ⋅ 392 mod 683
≡ 43316 ⋅ 14 ⋅ 298 ⋅ 392 mod 683 ≡ 287 ⋅ 14 ⋅ 298 ⋅ 392 mod 683
≡ 4018 ⋅ 298 ⋅ 392 mod 683 ≡ 603 ⋅ 298 ⋅ 392 mod 683
≡ 179694 ⋅ 392 mod 683 ≡ 65 ⋅ 392 mod 683
≡ 25480 mod 683 ≡ 209 mod 683

Es gilt also: 392¹⁸⁵ ≡ 209 mod 683

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 32

=>61	= 1⋅32 + 29
=>32	= 1⋅29 + 3
=>29	= 9⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 29-9⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1)
3= 32-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +10⋅(32 -1⋅ 29) = -1⋅29 +10⋅32 -10⋅ 29) = 10⋅32 -11⋅ 29 (=1)
29= 61-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅32 -11⋅(61 -1⋅ 32) = 10⋅32 -11⋅61 +11⋅ 32) = -11⋅61 +21⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(61,32)=1 = -11⋅61 +21⋅32

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +21⋅32

Es gilt also: 21⋅32 = 11⋅61 +1

Somit 21⋅32 = 1 mod 61

21 ist also das Inverse von 32 mod 61