Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(300 - 24000) mod 6 ≡ (300 mod 6 - 24000 mod 6) mod 6.

300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 6 ⋅ 50 +0.

24000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000 = 24000+0 = 6 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(300 - 24000) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 58) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 58 mod 8) mod 8.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.

58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 58) mod 8 ≡ (1 ⋅ 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 490¹=490

2: 490²=490¹⁺¹=490¹⋅490¹ ≡ 490⋅490=240100 ≡ 1 mod 491

4: 490⁴=490²⁺²=490²⋅490² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 491

8: 490⁸=490⁴⁺⁴=490⁴⋅490⁴ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 491

16: 490¹⁶=490⁸⁺⁸=490⁸⋅490⁸ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 491

32: 490³²=490¹⁶⁺¹⁶=490¹⁶⋅490¹⁶ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 491

64: 490⁶⁴=490³²⁺³²=490³²⋅490³² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 491

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

455²⁰³

= 455^128+64+8+2+1

= 455¹²⁸⋅455⁶⁴⋅455⁸⋅455²⋅455¹

≡ 620 ⋅ 229 ⋅ 178 ⋅ 414 ⋅ 455 mod 673
≡ 141980 ⋅ 178 ⋅ 414 ⋅ 455 mod 673 ≡ 650 ⋅ 178 ⋅ 414 ⋅ 455 mod 673
≡ 115700 ⋅ 414 ⋅ 455 mod 673 ≡ 617 ⋅ 414 ⋅ 455 mod 673
≡ 255438 ⋅ 455 mod 673 ≡ 371 ⋅ 455 mod 673
≡ 168805 mod 673 ≡ 555 mod 673

Es gilt also: 455²⁰³ ≡ 555 mod 673

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59	= 1⋅52 + 7
=>52	= 7⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52) = -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59