Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18005 - 23995) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18005 - 23995) mod 6 ≡ (18005 mod 6 - 23995 mod 6) mod 6.
18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005
= 18000
23995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995
= 24000
Somit gilt:
(18005 - 23995) mod 6 ≡ (5 - 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 85) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 85) mod 8 ≡ (85 mod 8 ⋅ 85 mod 8) mod 8.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 85) mod 8 ≡ (5 ⋅ 5) mod 8 ≡ 25 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2508 mod 383.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2501=250
2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 71 mod 383
4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 62 mod 383
8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 14 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 290181 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:
181 = 128+32+16+4+1
1: 2901=290
2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 358 mod 821
4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 88 mod 821
8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 355 mod 821
16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 412 mod 821
32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 618 mod 821
64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 159 mod 821
128: 290128=29064+64=29064⋅29064 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 651 mod 821
290181
= 290128+32+16+4+1
= 290128⋅29032⋅29016⋅2904⋅2901
≡ 651 ⋅ 618 ⋅ 412 ⋅ 88 ⋅ 290 mod 821
≡ 402318 ⋅ 412 ⋅ 88 ⋅ 290 mod 821 ≡ 28 ⋅ 412 ⋅ 88 ⋅ 290 mod 821
≡ 11536 ⋅ 88 ⋅ 290 mod 821 ≡ 42 ⋅ 88 ⋅ 290 mod 821
≡ 3696 ⋅ 290 mod 821 ≡ 412 ⋅ 290 mod 821
≡ 119480 mod 821 ≡ 435 mod 821
Es gilt also: 290181 ≡ 435 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
