Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(804 - 245) mod 8 ≡ (804 mod 8 - 245 mod 8) mod 8.

804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 8 ⋅ 100 +4.

245 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245 = 240+5 = 8 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(804 - 245) mod 8 ≡ (4 - 5) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 16) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 16 mod 10) mod 10.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 16) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 212¹=212

2: 212²=212¹⁺¹=212¹⋅212¹ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 226 mod 257

4: 212⁴=212²⁺²=212²⋅212² ≡ 226⋅226=51076 ≡ 190 mod 257

8: 212⁸=212⁴⁺⁴=212⁴⋅212⁴ ≡ 190⋅190=36100 ≡ 120 mod 257

16: 212¹⁶=212⁸⁺⁸=212⁸⋅212⁸ ≡ 120⋅120=14400 ≡ 8 mod 257

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

531²²¹

= 531^{128+64+16+8+4+1}

= 531¹²⁸⋅531⁶⁴⋅531¹⁶⋅531⁸⋅531⁴⋅531¹

≡ 491 ⋅ 47 ⋅ 533 ⋅ 63 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859
≡ 23077 ⋅ 533 ⋅ 63 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859 ≡ 743 ⋅ 533 ⋅ 63 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859
≡ 396019 ⋅ 63 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859 ≡ 20 ⋅ 63 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859
≡ 1260 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859 ≡ 401 ⋅ 731 ⋅ 531 mod 859
≡ 293131 ⋅ 531 mod 859 ≡ 212 ⋅ 531 mod 859
≡ 112572 mod 859 ≡ 43 mod 859

Es gilt also: 531²²¹ ≡ 43 mod 859

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71

=>79	= 1⋅71 + 8
=>71	= 8⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 71-8⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1)
8= 79-1⋅71	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71) = -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71

oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅79 = -10⋅71

-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71

-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1

(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1

69⋅71 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1

Somit 69⋅71 = 1 mod 79

69 ist also das Inverse von 71 mod 79