Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 + 1797) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 + 1797) mod 9 ≡ (94 mod 9 + 1797 mod 9) mod 9.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90+4 = 9 ⋅ 10 +4.

1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 9 ⋅ 200 -3 = 9 ⋅ 200 - 9 + 6.

Somit gilt:

(94 + 1797) mod 9 ≡ (4 + 6) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 29) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 29) mod 10 ≡ (64 mod 10 ⋅ 29 mod 10) mod 10.

64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.

29 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 20 + 9 = 2 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 29) mod 10 ≡ (4 ⋅ 9) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 57816 mod 919.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 578 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5781=578

2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 487 mod 919

4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 67 mod 919

8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 813 mod 919

16: 57816=5788+8=5788⋅5788 ≡ 813⋅813=660969 ≡ 208 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 145203 mod 359.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

1: 1451=145

2: 1452=1451+1=1451⋅1451 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 203 mod 359

4: 1454=1452+2=1452⋅1452 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 283 mod 359

8: 1458=1454+4=1454⋅1454 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 32 mod 359

16: 14516=1458+8=1458⋅1458 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 306 mod 359

32: 14532=14516+16=14516⋅14516 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 296 mod 359

64: 14564=14532+32=14532⋅14532 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 20 mod 359

128: 145128=14564+64=14564⋅14564 ≡ 20⋅20=400 ≡ 41 mod 359

145203

= 145128+64+8+2+1

= 145128⋅14564⋅1458⋅1452⋅1451

41 ⋅ 20 ⋅ 32 ⋅ 203 ⋅ 145 mod 359
820 ⋅ 32 ⋅ 203 ⋅ 145 mod 359 ≡ 102 ⋅ 32 ⋅ 203 ⋅ 145 mod 359
3264 ⋅ 203 ⋅ 145 mod 359 ≡ 33 ⋅ 203 ⋅ 145 mod 359
6699 ⋅ 145 mod 359 ≡ 237 ⋅ 145 mod 359
34365 mod 359 ≡ 260 mod 359

Es gilt also: 145203 ≡ 260 mod 359

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

=>53 = 1⋅41 + 12
=>41 = 3⋅12 + 5
=>12 = 2⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5)
= -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 41-3⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12)
= 5⋅41 -17⋅ 12 (=1)
12= 53-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41)
= -17⋅53 +22⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41

oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅53 = +22⋅41

Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1

Somit 22⋅41 = 1 mod 53

22 ist also das Inverse von 41 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.