Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5996 - 17999) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5996 - 17999) mod 6 ≡ (5996 mod 6 - 17999 mod 6) mod 6.
5996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5996
= 6000
17999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17999
= 18000
Somit gilt:
(5996 - 17999) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 41) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 41) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 41 mod 11) mod 11.
24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.
41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 41) mod 11 ≡ (2 ⋅ 8) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16632 mod 283.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 166 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1661=166
2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 105 mod 283
4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 271 mod 283
8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 144 mod 283
16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 77 mod 283
32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 269 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 922247 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:
247 = 128+64+32+16+4+2+1
1: 9221=922
2: 9222=9221+1=9221⋅9221 ≡ 922⋅922=850084 ≡ 49 mod 929
4: 9224=9222+2=9222⋅9222 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 543 mod 929
8: 9228=9224+4=9224⋅9224 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 356 mod 929
16: 92216=9228+8=9228⋅9228 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 392 mod 929
32: 92232=92216+16=92216⋅92216 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 379 mod 929
64: 92264=92232+32=92232⋅92232 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 575 mod 929
128: 922128=92264+64=92264⋅92264 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 830 mod 929
922247
= 922128+64+32+16+4+2+1
= 922128⋅92264⋅92232⋅92216⋅9224⋅9222⋅9221
≡ 830 ⋅ 575 ⋅ 379 ⋅ 392 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929
≡ 477250 ⋅ 379 ⋅ 392 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929 ≡ 673 ⋅ 379 ⋅ 392 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929
≡ 255067 ⋅ 392 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929 ≡ 521 ⋅ 392 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929
≡ 204232 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929 ≡ 781 ⋅ 543 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929
≡ 424083 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929 ≡ 459 ⋅ 49 ⋅ 922 mod 929
≡ 22491 ⋅ 922 mod 929 ≡ 195 ⋅ 922 mod 929
≡ 179790 mod 929 ≡ 493 mod 929
Es gilt also: 922247 ≡ 493 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
