Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (597 + 302) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(597 + 302) mod 3 ≡ (597 mod 3 + 302 mod 3) mod 3.
597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597
= 600
302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
Somit gilt:
(597 + 302) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 43) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 43) mod 3 ≡ (87 mod 3 ⋅ 43 mod 3) mod 3.
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 87 + 0 = 29 ⋅ 3 + 0 ist.
43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 43) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28816 mod 373.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 288 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2881=288
2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 138 mod 373
4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 21 mod 373
8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 21⋅21=441 ≡ 68 mod 373
16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 148 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 386195 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 195 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 195 an und zerlegen 195 in eine Summer von 2er-Potenzen:
195 = 128+64+2+1
1: 3861=386
2: 3862=3861+1=3861⋅3861 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 93 mod 461
4: 3864=3862+2=3862⋅3862 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 351 mod 461
8: 3868=3864+4=3864⋅3864 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 114 mod 461
16: 38616=3868+8=3868⋅3868 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 88 mod 461
32: 38632=38616+16=38616⋅38616 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 368 mod 461
64: 38664=38632+32=38632⋅38632 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 351 mod 461
128: 386128=38664+64=38664⋅38664 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 114 mod 461
386195
= 386128+64+2+1
= 386128⋅38664⋅3862⋅3861
≡ 114 ⋅ 351 ⋅ 93 ⋅ 386 mod 461
≡ 40014 ⋅ 93 ⋅ 386 mod 461 ≡ 368 ⋅ 93 ⋅ 386 mod 461
≡ 34224 ⋅ 386 mod 461 ≡ 110 ⋅ 386 mod 461
≡ 42460 mod 461 ≡ 48 mod 461
Es gilt also: 386195 ≡ 48 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 77.
Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 77
| =>101 | = 1⋅77 + 24 |
| =>77 | = 3⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,77)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 77-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(77 -3⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅77 -15⋅ 24) = 5⋅77 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 101-1⋅77 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅77 -16⋅(101 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -16⋅101 +16⋅ 77) = -16⋅101 +21⋅ 77 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,77)=1 = -16⋅101 +21⋅77
oder wenn man -16⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅101 = +21⋅77
Es gilt also: 21⋅77 = 16⋅101 +1
Somit 21⋅77 = 1 mod 101
21 ist also das Inverse von 77 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
