Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2003 + 198) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2003 + 198) mod 4 ≡ (2003 mod 4 + 198 mod 4) mod 4.
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198
= 200
Somit gilt:
(2003 + 198) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 71) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 71) mod 10 ≡ (62 mod 10 ⋅ 71 mod 10) mod 10.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 71) mod 10 ≡ (2 ⋅ 1) mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46932 mod 631.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 469 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4691=469
2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 373 mod 631
4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 309 mod 631
8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 200 mod 631
16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 247 mod 631
32: 46932=46916+16=46916⋅46916 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 433 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25364 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 250 mod 401
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 345 mod 401
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 329 mod 401
16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 372 mod 401
32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 39 mod 401
64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 318 mod 401
25364
= 25364
= 25364
≡ 318 mod 401
Es gilt also: 25364 ≡ 318 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38
| =>101 | = 2⋅38 + 25 |
| =>38 | = 1⋅25 + 13 |
| =>25 | = 1⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 25-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13) = -1⋅25 +2⋅ 13 (=1) |
| 13= 38-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25)
= -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25) = 2⋅38 -3⋅ 25 (=1) |
| 25= 101-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38)
= 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38) = -3⋅101 +8⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38
oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅101 = +8⋅38
Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1
Somit 8⋅38 = 1 mod 101
8 ist also das Inverse von 38 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
