Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2693 + 1800) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2693 + 1800) mod 9 ≡ (2693 mod 9 + 1800 mod 9) mod 9.
2693 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2693
= 2700
1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800
= 1800
Somit gilt:
(2693 + 1800) mod 9 ≡ (2 + 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 59) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 59) mod 10 ≡ (81 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.
81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.
59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 59) mod 10 ≡ (1 ⋅ 9) mod 10 ≡ 9 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 58932 mod 797.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 589 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5891=589
2: 5892=5891+1=5891⋅5891 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 226 mod 797
4: 5894=5892+2=5892⋅5892 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 68 mod 797
8: 5898=5894+4=5894⋅5894 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 639 mod 797
16: 58916=5898+8=5898⋅5898 ≡ 639⋅639=408321 ≡ 257 mod 797
32: 58932=58916+16=58916⋅58916 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 695 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 564185 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 5641=564
2: 5642=5641+1=5641⋅5641 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 453 mod 937
4: 5644=5642+2=5642⋅5642 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 6 mod 937
8: 5648=5644+4=5644⋅5644 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 937
16: 56416=5648+8=5648⋅5648 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 359 mod 937
32: 56432=56416+16=56416⋅56416 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 512 mod 937
64: 56464=56432+32=56432⋅56432 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 721 mod 937
128: 564128=56464+64=56464⋅56464 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 743 mod 937
564185
= 564128+32+16+8+1
= 564128⋅56432⋅56416⋅5648⋅5641
≡ 743 ⋅ 512 ⋅ 359 ⋅ 36 ⋅ 564 mod 937
≡ 380416 ⋅ 359 ⋅ 36 ⋅ 564 mod 937 ≡ 931 ⋅ 359 ⋅ 36 ⋅ 564 mod 937
≡ 334229 ⋅ 36 ⋅ 564 mod 937 ≡ 657 ⋅ 36 ⋅ 564 mod 937
≡ 23652 ⋅ 564 mod 937 ≡ 227 ⋅ 564 mod 937
≡ 128028 mod 937 ≡ 596 mod 937
Es gilt also: 564185 ≡ 596 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37
| =>53 | = 1⋅37 + 16 |
| =>37 | = 2⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 37-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1) |
| 16= 53-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37)
= -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37
oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅53 = -10⋅37
-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37
-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1
(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1
43⋅37 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1
Somit 43⋅37 = 1 mod 53
43 ist also das Inverse von 37 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
