Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 601) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 601 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(12000 + 601) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 63) mod 3 ≡ (47 mod 3 ⋅ 63 mod 3) mod 3.

47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 63) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 362¹=362

2: 362²=362¹⁺¹=362¹⋅362¹ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 152 mod 761

4: 362⁴=362²⁺²=362²⋅362² ≡ 152⋅152=23104 ≡ 274 mod 761

8: 362⁸=362⁴⁺⁴=362⁴⋅362⁴ ≡ 274⋅274=75076 ≡ 498 mod 761

16: 362¹⁶=362⁸⁺⁸=362⁸⋅362⁸ ≡ 498⋅498=248004 ≡ 679 mod 761

32: 362³²=362¹⁶⁺¹⁶=362¹⁶⋅362¹⁶ ≡ 679⋅679=461041 ≡ 636 mod 761

64: 362⁶⁴=362³²⁺³²=362³²⋅362³² ≡ 636⋅636=404496 ≡ 405 mod 761

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

167²¹⁴

= 167^{128+64+16+4+2}

= 167¹²⁸⋅167⁶⁴⋅167¹⁶⋅167⁴⋅167²

≡ 256 ⋅ 241 ⋅ 8 ⋅ 213 ⋅ 133 mod 257
≡ 61696 ⋅ 8 ⋅ 213 ⋅ 133 mod 257 ≡ 16 ⋅ 8 ⋅ 213 ⋅ 133 mod 257
≡ 128 ⋅ 213 ⋅ 133 mod 257
≡ 27264 ⋅ 133 mod 257 ≡ 22 ⋅ 133 mod 257
≡ 2926 mod 257 ≡ 99 mod 257

Es gilt also: 167²¹⁴ ≡ 99 mod 257

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61	= 1⋅34 + 27
=>34	= 1⋅27 + 7
=>27	= 3⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27) = -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34) = 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61