Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2106 + 6998) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2106 + 6998) mod 7 ≡ (2106 mod 7 + 6998 mod 7) mod 7.

2106 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2106 = 2100+6 = 7 ⋅ 300 +6.

6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998 = 7000-2 = 7 ⋅ 1000 -2 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(2106 + 6998) mod 7 ≡ (6 + 5) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 28) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 28) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 28) mod 9 ≡ (2 ⋅ 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 42132 mod 461.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 421 -> x
2. mod(x²,461) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4211=421

2: 4212=4211+1=4211⋅4211 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 217 mod 461

4: 4214=4212+2=4212⋅4212 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 67 mod 461

8: 4218=4214+4=4214⋅4214 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 340 mod 461

16: 42116=4218+8=4218⋅4218 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 350 mod 461

32: 42132=42116+16=42116⋅42116 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 335 mod 461

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 175162 mod 499.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 1751=175

2: 1752=1751+1=1751⋅1751 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 186 mod 499

4: 1754=1752+2=1752⋅1752 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 165 mod 499

8: 1758=1754+4=1754⋅1754 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 279 mod 499

16: 17516=1758+8=1758⋅1758 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 496 mod 499

32: 17532=17516+16=17516⋅17516 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 9 mod 499

64: 17564=17532+32=17532⋅17532 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 499

128: 175128=17564+64=17564⋅17564 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 74 mod 499

175162

= 175128+32+2

= 175128⋅17532⋅1752

74 ⋅ 9 ⋅ 186 mod 499
666 ⋅ 186 mod 499 ≡ 167 ⋅ 186 mod 499
31062 mod 499 ≡ 124 mod 499

Es gilt also: 175162 ≡ 124 mod 499

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 31

=>83 = 2⋅31 + 21
=>31 = 1⋅21 + 10
=>21 = 2⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 31-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21)
= -2⋅31 +3⋅ 21 (=1)
21= 83-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +3⋅(83 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅83 -6⋅ 31)
= 3⋅83 -8⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(83,31)=1 = 3⋅83 -8⋅31

oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅83 = -8⋅31

-8⋅31 = -3⋅83 + 1 |+83⋅31

-8⋅31 + 83⋅31 = -3⋅83 + 83⋅31 + 1

(-8 + 83) ⋅ 31 = (-3 + 31) ⋅ 83 + 1

75⋅31 = 28⋅83 + 1

Es gilt also: 75⋅31 = 28⋅83 +1

Somit 75⋅31 = 1 mod 83

75 ist also das Inverse von 31 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.