Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2707 + 3597) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2707 + 3597) mod 9 ≡ (2707 mod 9 + 3597 mod 9) mod 9.
2707 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2707
= 2700
3597 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3597
= 3600
Somit gilt:
(2707 + 3597) mod 9 ≡ (7 + 6) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 31) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 31) mod 7 ≡ (16 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.
16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 31) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1018 mod 313.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 101 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1011=101
2: 1012=1011+1=1011⋅1011 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 185 mod 313
4: 1014=1012+2=1012⋅1012 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 108 mod 313
8: 1018=1014+4=1014⋅1014 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 83 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26687 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:
87 = 64+16+4+2+1
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 274 mod 691
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 448 mod 691
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 314 mod 691
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 474 mod 691
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 101 mod 691
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 527 mod 691
26687
= 26664+16+4+2+1
= 26664⋅26616⋅2664⋅2662⋅2661
≡ 527 ⋅ 474 ⋅ 448 ⋅ 274 ⋅ 266 mod 691
≡ 249798 ⋅ 448 ⋅ 274 ⋅ 266 mod 691 ≡ 347 ⋅ 448 ⋅ 274 ⋅ 266 mod 691
≡ 155456 ⋅ 274 ⋅ 266 mod 691 ≡ 672 ⋅ 274 ⋅ 266 mod 691
≡ 184128 ⋅ 266 mod 691 ≡ 322 ⋅ 266 mod 691
≡ 85652 mod 691 ≡ 659 mod 691
Es gilt also: 26687 ≡ 659 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 54
| =>83 | = 1⋅54 + 29 |
| =>54 | = 1⋅29 + 25 |
| =>29 | = 1⋅25 + 4 |
| =>25 | = 6⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-6⋅4 | |||
| 4= 29-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25) = -6⋅29 +7⋅ 25 (=1) |
| 25= 54-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅29 +7⋅(54 -1⋅ 29)
= -6⋅29 +7⋅54 -7⋅ 29) = 7⋅54 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 83-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅54 -13⋅(83 -1⋅ 54)
= 7⋅54 -13⋅83 +13⋅ 54) = -13⋅83 +20⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,54)=1 = -13⋅83 +20⋅54
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +20⋅54
Es gilt also: 20⋅54 = 13⋅83 +1
Somit 20⋅54 = 1 mod 83
20 ist also das Inverse von 54 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
