Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16001 + 7997) mod 4 ≡ (16001 mod 4 + 7997 mod 4) mod 4.

16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 4 ⋅ 4000 +1.

7997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7997 = 7000+997 = 4 ⋅ 1750 +997.

Somit gilt:

(16001 + 7997) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 63) mod 5 ≡ (79 mod 5 ⋅ 63 mod 5) mod 5.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 63) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 232¹=232

2: 232²=232¹⁺¹=232¹⋅232¹ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 205 mod 293

4: 232⁴=232²⁺²=232²⋅232² ≡ 205⋅205=42025 ≡ 126 mod 293

8: 232⁸=232⁴⁺⁴=232⁴⋅232⁴ ≡ 126⋅126=15876 ≡ 54 mod 293

16: 232¹⁶=232⁸⁺⁸=232⁸⋅232⁸ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 279 mod 293

32: 232³²=232¹⁶⁺¹⁶=232¹⁶⋅232¹⁶ ≡ 279⋅279=77841 ≡ 196 mod 293

64: 232⁶⁴=232³²⁺³²=232³²⋅232³² ≡ 196⋅196=38416 ≡ 33 mod 293

128: 232¹²⁸=232⁶⁴⁺⁶⁴=232⁶⁴⋅232⁶⁴ ≡ 33⋅33=1089 ≡ 210 mod 293

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

721²⁵²

= 721^{128+64+32+16+8+4}

= 721¹²⁸⋅721⁶⁴⋅721³²⋅721¹⁶⋅721⁸⋅721⁴

≡ 691 ⋅ 66 ⋅ 647 ⋅ 585 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733
≡ 45606 ⋅ 647 ⋅ 585 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733 ≡ 160 ⋅ 647 ⋅ 585 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733
≡ 103520 ⋅ 585 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733 ≡ 167 ⋅ 585 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733
≡ 97695 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733 ≡ 206 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733
≡ 47586 ⋅ 212 mod 733 ≡ 674 ⋅ 212 mod 733
≡ 142888 mod 733 ≡ 686 mod 733

Es gilt also: 721²⁵² ≡ 686 mod 733

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59	= 1⋅48 + 11
=>48	= 4⋅11 + 4
=>11	= 2⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11) = -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48) = 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59