Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2002 - 250) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2002 - 250) mod 5 ≡ (2002 mod 5 - 250 mod 5) mod 5.
2002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
250 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 250
= 250
Somit gilt:
(2002 - 250) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 24) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 24) mod 9 ≡ (97 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.
97 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 10 ⋅ 9 + 7 ist.
24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 24) mod 9 ≡ (7 ⋅ 6) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 85616 mod 971.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 856 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8561=856
2: 8562=8561+1=8561⋅8561 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 602 mod 971
4: 8564=8562+2=8562⋅8562 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 221 mod 971
8: 8568=8564+4=8564⋅8564 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 291 mod 971
16: 85616=8568+8=8568⋅8568 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 204 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 139146 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 1391=139
2: 1392=1391+1=1391⋅1391 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 112 mod 337
4: 1394=1392+2=1392⋅1392 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 75 mod 337
8: 1398=1394+4=1394⋅1394 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 233 mod 337
16: 13916=1398+8=1398⋅1398 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 32 mod 337
32: 13932=13916+16=13916⋅13916 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 13 mod 337
64: 13964=13932+32=13932⋅13932 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 337
128: 139128=13964+64=13964⋅13964 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 253 mod 337
139146
= 139128+16+2
= 139128⋅13916⋅1392
≡ 253 ⋅ 32 ⋅ 112 mod 337
≡ 8096 ⋅ 112 mod 337 ≡ 8 ⋅ 112 mod 337
≡ 896 mod 337 ≡ 222 mod 337
Es gilt also: 139146 ≡ 222 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
