Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24999 - 151) mod 5 ≡ (24999 mod 5 - 151 mod 5) mod 5.

24999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24999 = 24000+999 = 5 ⋅ 4800 +999.

151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 5 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(24999 - 151) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 89) mod 6 ≡ (100 mod 6 ⋅ 89 mod 6) mod 6.

100 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 16 ⋅ 6 + 4 ist.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 89) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 869¹=869

2: 869²=869¹⁺¹=869¹⋅869¹ ≡ 869⋅869=755161 ≡ 402 mod 947

4: 869⁴=869²⁺²=869²⋅869² ≡ 402⋅402=161604 ≡ 614 mod 947

8: 869⁸=869⁴⁺⁴=869⁴⋅869⁴ ≡ 614⋅614=376996 ≡ 90 mod 947

16: 869¹⁶=869⁸⁺⁸=869⁸⋅869⁸ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 524 mod 947

32: 869³²=869¹⁶⁺¹⁶=869¹⁶⋅869¹⁶ ≡ 524⋅524=274576 ≡ 893 mod 947

64: 869⁶⁴=869³²⁺³²=869³²⋅869³² ≡ 893⋅893=797449 ≡ 75 mod 947

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

465²⁰⁶

= 465^128+64+8+4+2

= 465¹²⁸⋅465⁶⁴⋅465⁸⋅465⁴⋅465²

≡ 283 ⋅ 165 ⋅ 475 ⋅ 400 ⋅ 689 mod 709
≡ 46695 ⋅ 475 ⋅ 400 ⋅ 689 mod 709 ≡ 610 ⋅ 475 ⋅ 400 ⋅ 689 mod 709
≡ 289750 ⋅ 400 ⋅ 689 mod 709 ≡ 478 ⋅ 400 ⋅ 689 mod 709
≡ 191200 ⋅ 689 mod 709 ≡ 479 ⋅ 689 mod 709
≡ 330031 mod 709 ≡ 346 mod 709

Es gilt also: 465²⁰⁶ ≡ 346 mod 709

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89