Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12004 + 37) mod 4 ≡ (12004 mod 4 + 37 mod 4) mod 4.

12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 4 ⋅ 3000 +4.

37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 40-3 = 4 ⋅ 10 -3 = 4 ⋅ 10 - 4 + 1.

Somit gilt:

(12004 + 37) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 66) mod 7 ≡ (90 mod 7 ⋅ 66 mod 7) mod 7.

90 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 84 + 6 = 12 ⋅ 7 + 6 ist.

66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 66) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 263¹=263

2: 263²=263¹⁺¹=263¹⋅263¹ ≡ 263⋅263=69169 ≡ 309 mod 313

4: 263⁴=263²⁺²=263²⋅263² ≡ 309⋅309=95481 ≡ 16 mod 313

8: 263⁸=263⁴⁺⁴=263⁴⋅263⁴ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 313

16: 263¹⁶=263⁸⁺⁸=263⁸⋅263⁸ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 119 mod 313

32: 263³²=263¹⁶⁺¹⁶=263¹⁶⋅263¹⁶ ≡ 119⋅119=14161 ≡ 76 mod 313

64: 263⁶⁴=263³²⁺³²=263³²⋅263³² ≡ 76⋅76=5776 ≡ 142 mod 313

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:

117 = 64+32+16+4+1

302¹¹⁷

= 302^64+32+16+4+1

= 302⁶⁴⋅302³²⋅302¹⁶⋅302⁴⋅302¹

≡ 386 ⋅ 51 ⋅ 149 ⋅ 258 ⋅ 302 mod 443
≡ 19686 ⋅ 149 ⋅ 258 ⋅ 302 mod 443 ≡ 194 ⋅ 149 ⋅ 258 ⋅ 302 mod 443
≡ 28906 ⋅ 258 ⋅ 302 mod 443 ≡ 111 ⋅ 258 ⋅ 302 mod 443
≡ 28638 ⋅ 302 mod 443 ≡ 286 ⋅ 302 mod 443
≡ 86372 mod 443 ≡ 430 mod 443

Es gilt also: 302¹¹⁷ ≡ 430 mod 443

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54

=>79	= 1⋅54 + 25
=>54	= 2⋅25 + 4
=>25	= 6⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 54-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25) = 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25) = -6⋅54 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54) = -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54) = 13⋅79 -19⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -19⋅54

-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54

-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1

(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1

60⋅54 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1

Somit 60⋅54 = 1 mod 79

60 ist also das Inverse von 54 mod 79