Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19999 - 2004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19999 - 2004) mod 4 ≡ (19999 mod 4 - 2004 mod 4) mod 4.
19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999
= 19000
2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
Somit gilt:
(19999 - 2004) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 90) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 90) mod 5 ≡ (61 mod 5 ⋅ 90 mod 5) mod 5.
61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.
90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 90) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61816 mod 827.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 618 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6181=618
2: 6182=6181+1=6181⋅6181 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 677 mod 827
4: 6184=6182+2=6182⋅6182 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 171 mod 827
8: 6188=6184+4=6184⋅6184 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 296 mod 827
16: 61816=6188+8=6188⋅6188 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 781 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 904132 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:
132 = 128+4
1: 9041=904
2: 9042=9041+1=9041⋅9041 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 343 mod 983
4: 9044=9042+2=9042⋅9042 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 672 mod 983
8: 9048=9044+4=9044⋅9044 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 387 mod 983
16: 90416=9048+8=9048⋅9048 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 353 mod 983
32: 90432=90416+16=90416⋅90416 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 751 mod 983
64: 90464=90432+32=90432⋅90432 ≡ 751⋅751=564001 ≡ 742 mod 983
128: 904128=90464+64=90464⋅90464 ≡ 742⋅742=550564 ≡ 84 mod 983
904132
= 904128+4
= 904128⋅9044
≡ 84 ⋅ 672 mod 983
≡ 56448 mod 983 ≡ 417 mod 983
Es gilt also: 904132 ≡ 417 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 31
| =>71 | = 2⋅31 + 9 |
| =>31 | = 3⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 31-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 71-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +7⋅(71 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅71 -14⋅ 31) = 7⋅71 -16⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,31)=1 = 7⋅71 -16⋅31
oder wenn man 7⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅71 = -16⋅31
-16⋅31 = -7⋅71 + 1 |+71⋅31
-16⋅31 + 71⋅31 = -7⋅71 + 71⋅31 + 1
(-16 + 71) ⋅ 31 = (-7 + 31) ⋅ 71 + 1
55⋅31 = 24⋅71 + 1
Es gilt also: 55⋅31 = 24⋅71 +1
Somit 55⋅31 = 1 mod 71
55 ist also das Inverse von 31 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
