Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (320 + 23998) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(320 + 23998) mod 8 ≡ (320 mod 8 + 23998 mod 8) mod 8.
320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320
= 320
23998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998
= 23000
Somit gilt:
(320 + 23998) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 24) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 24) mod 6 ≡ (70 mod 6 ⋅ 24 mod 6) mod 6.
70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.
24 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 4 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 24) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 661128 mod 739.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 661 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6611=661
2: 6612=6611+1=6611⋅6611 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 172 mod 739
4: 6614=6612+2=6612⋅6612 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 24 mod 739
8: 6618=6614+4=6614⋅6614 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 739
16: 66116=6618+8=6618⋅6618 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 704 mod 739
32: 66132=66116+16=66116⋅66116 ≡ 704⋅704=495616 ≡ 486 mod 739
64: 66164=66132+32=66132⋅66132 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 455 mod 739
128: 661128=66164+64=66164⋅66164 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 105 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 481101 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 101 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 101 an und zerlegen 101 in eine Summer von 2er-Potenzen:
101 = 64+32+4+1
1: 4811=481
2: 4812=4811+1=4811⋅4811 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 474 mod 619
4: 4814=4812+2=4812⋅4812 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 598 mod 619
8: 4818=4814+4=4814⋅4814 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 441 mod 619
16: 48116=4818+8=4818⋅4818 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 115 mod 619
32: 48132=48116+16=48116⋅48116 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 226 mod 619
64: 48164=48132+32=48132⋅48132 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 318 mod 619
481101
= 48164+32+4+1
= 48164⋅48132⋅4814⋅4811
≡ 318 ⋅ 226 ⋅ 598 ⋅ 481 mod 619
≡ 71868 ⋅ 598 ⋅ 481 mod 619 ≡ 64 ⋅ 598 ⋅ 481 mod 619
≡ 38272 ⋅ 481 mod 619 ≡ 513 ⋅ 481 mod 619
≡ 246753 mod 619 ≡ 391 mod 619
Es gilt also: 481101 ≡ 391 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 80
| =>89 | = 1⋅80 + 9 |
| =>80 | = 8⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 80-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(80 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅80 +8⋅ 9) = -1⋅80 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅80 +9⋅(89 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +9⋅89 -9⋅ 80) = 9⋅89 -10⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,80)=1 = 9⋅89 -10⋅80
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -10⋅80
-10⋅80 = -9⋅89 + 1 |+89⋅80
-10⋅80 + 89⋅80 = -9⋅89 + 89⋅80 + 1
(-10 + 89) ⋅ 80 = (-9 + 80) ⋅ 89 + 1
79⋅80 = 71⋅89 + 1
Es gilt also: 79⋅80 = 71⋅89 +1
Somit 79⋅80 = 1 mod 89
79 ist also das Inverse von 80 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
