Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3506 - 69) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3506 - 69) mod 7 ≡ (3506 mod 7 - 69 mod 7) mod 7.
3506 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3506
= 3500
69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69
= 70
Somit gilt:
(3506 - 69) mod 7 ≡ (6 - 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 18) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 18) mod 4 ≡ (61 mod 4 ⋅ 18 mod 4) mod 4.
61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.
18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 18) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20964 mod 431.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 209 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 150 mod 431
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 88 mod 431
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 417 mod 431
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 196 mod 431
32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 57 mod 431
64: 20964=20932+32=20932⋅20932 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 232 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35880 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 3581=358
2: 3582=3581+1=3581⋅3581 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 619 mod 773
4: 3584=3582+2=3582⋅3582 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 526 mod 773
8: 3588=3584+4=3584⋅3584 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 715 mod 773
16: 35816=3588+8=3588⋅3588 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 272 mod 773
32: 35832=35816+16=35816⋅35816 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 549 mod 773
64: 35864=35832+32=35832⋅35832 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 704 mod 773
35880
= 35864+16
= 35864⋅35816
≡ 704 ⋅ 272 mod 773
≡ 191488 mod 773 ≡ 557 mod 773
Es gilt also: 35880 ≡ 557 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24
| =>61 | = 2⋅24 + 13 |
| =>24 | = 1⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 24-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +28⋅24
Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1
Somit 28⋅24 = 1 mod 61
28 ist also das Inverse von 24 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
