Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (594 - 2395) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(594 - 2395) mod 6 ≡ (594 mod 6 - 2395 mod 6) mod 6.
594 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 594
= 600
2395 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395
= 2400
Somit gilt:
(594 - 2395) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 17) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 17) mod 7 ≡ (96 mod 7 ⋅ 17 mod 7) mod 7.
96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.
17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 17) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 225128 mod 283.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 251 mod 283
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 175 mod 283
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 61 mod 283
16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 42 mod 283
32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 66 mod 283
64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 111 mod 283
128: 225128=22564+64=22564⋅22564 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 152 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 387122 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:
122 = 64+32+16+8+2
1: 3871=387
2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 260 mod 487
4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 394 mod 487
8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 370 mod 487
16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 53 mod 487
32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 374 mod 487
64: 38764=38732+32=38732⋅38732 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 107 mod 487
387122
= 38764+32+16+8+2
= 38764⋅38732⋅38716⋅3878⋅3872
≡ 107 ⋅ 374 ⋅ 53 ⋅ 370 ⋅ 260 mod 487
≡ 40018 ⋅ 53 ⋅ 370 ⋅ 260 mod 487 ≡ 84 ⋅ 53 ⋅ 370 ⋅ 260 mod 487
≡ 4452 ⋅ 370 ⋅ 260 mod 487 ≡ 69 ⋅ 370 ⋅ 260 mod 487
≡ 25530 ⋅ 260 mod 487 ≡ 206 ⋅ 260 mod 487
≡ 53560 mod 487 ≡ 477 mod 487
Es gilt also: 387122 ≡ 477 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24
| =>79 | = 3⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -23⋅24
-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24
-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1
(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1
56⋅24 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1
Somit 56⋅24 = 1 mod 79
56 ist also das Inverse von 24 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
