Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31994 - 78) mod 8 ≡ (31994 mod 8 - 78 mod 8) mod 8.

31994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31994 = 31000+994 = 8 ⋅ 3875 +994.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 80-2 = 8 ⋅ 10 -2 = 8 ⋅ 10 - 8 + 6.

Somit gilt:

(31994 - 78) mod 8 ≡ (2 - 6) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 59) mod 6 ≡ (21 mod 6 ⋅ 59 mod 6) mod 6.

21 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 3 ⋅ 6 + 3 ist.

59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 9 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 59) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 543¹=543

2: 543²=543¹⁺¹=543¹⋅543¹ ≡ 543⋅543=294849 ≡ 429 mod 701

4: 543⁴=543²⁺²=543²⋅543² ≡ 429⋅429=184041 ≡ 379 mod 701

8: 543⁸=543⁴⁺⁴=543⁴⋅543⁴ ≡ 379⋅379=143641 ≡ 637 mod 701

16: 543¹⁶=543⁸⁺⁸=543⁸⋅543⁸ ≡ 637⋅637=405769 ≡ 591 mod 701

32: 543³²=543¹⁶⁺¹⁶=543¹⁶⋅543¹⁶ ≡ 591⋅591=349281 ≡ 183 mod 701

64: 543⁶⁴=543³²⁺³²=543³²⋅543³² ≡ 183⋅183=33489 ≡ 542 mod 701

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

260²²⁵

= 260^128+64+32+1

= 260¹²⁸⋅260⁶⁴⋅260³²⋅260¹

≡ 142 ⋅ 248 ⋅ 107 ⋅ 260 mod 487
≡ 35216 ⋅ 107 ⋅ 260 mod 487 ≡ 152 ⋅ 107 ⋅ 260 mod 487
≡ 16264 ⋅ 260 mod 487 ≡ 193 ⋅ 260 mod 487
≡ 50180 mod 487 ≡ 19 mod 487

Es gilt also: 260²²⁵ ≡ 19 mod 487

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 88

=>97	= 1⋅88 + 9
=>88	= 9⋅9 + 7
=>9	= 1⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,88)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 88-9⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅9 +4⋅(88 -9⋅ 9) = -3⋅9 +4⋅88 -36⋅ 9) = 4⋅88 -39⋅ 9 (=1)
9= 97-1⋅88	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅88 -39⋅(97 -1⋅ 88) = 4⋅88 -39⋅97 +39⋅ 88) = -39⋅97 +43⋅ 88 (=1)

Es gilt also: ggt(97,88)=1 = -39⋅97 +43⋅88

oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +39⋅97 = +43⋅88

Es gilt also: 43⋅88 = 39⋅97 +1

Somit 43⋅88 = 1 mod 97

43 ist also das Inverse von 88 mod 97