Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (204 + 7998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(204 + 7998) mod 4 ≡ (204 mod 4 + 7998 mod 4) mod 4.
204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 200
7998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7998
= 7000
Somit gilt:
(204 + 7998) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 59) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 59) mod 6 ≡ (70 mod 6 ⋅ 59 mod 6) mod 6.
70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.
59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 9 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 59) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1818 mod 409.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 181 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1811=181
2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 41 mod 409
4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 45 mod 409
8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 389 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 152137 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 1521=152
2: 1522=1521+1=1521⋅1521 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 160 mod 239
4: 1524=1522+2=1522⋅1522 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 27 mod 239
8: 1528=1524+4=1524⋅1524 ≡ 27⋅27=729 ≡ 12 mod 239
16: 15216=1528+8=1528⋅1528 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 239
32: 15232=15216+16=15216⋅15216 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 182 mod 239
64: 15264=15232+32=15232⋅15232 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 142 mod 239
128: 152128=15264+64=15264⋅15264 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 88 mod 239
152137
= 152128+8+1
= 152128⋅1528⋅1521
≡ 88 ⋅ 12 ⋅ 152 mod 239
≡ 1056 ⋅ 152 mod 239 ≡ 100 ⋅ 152 mod 239
≡ 15200 mod 239 ≡ 143 mod 239
Es gilt also: 152137 ≡ 143 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 85.
Also bestimme x, so dass 85 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 85
| =>101 | = 1⋅85 + 16 |
| =>85 | = 5⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,85)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 85-5⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(85 -5⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅85 +15⋅ 16) = -3⋅85 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 101-1⋅85 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅85 +16⋅(101 -1⋅ 85)
= -3⋅85 +16⋅101 -16⋅ 85) = 16⋅101 -19⋅ 85 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,85)=1 = 16⋅101 -19⋅85
oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅101 = -19⋅85
-19⋅85 = -16⋅101 + 1 |+101⋅85
-19⋅85 + 101⋅85 = -16⋅101 + 101⋅85 + 1
(-19 + 101) ⋅ 85 = (-16 + 85) ⋅ 101 + 1
82⋅85 = 69⋅101 + 1
Es gilt also: 82⋅85 = 69⋅101 +1
Somit 82⋅85 = 1 mod 101
82 ist also das Inverse von 85 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
