Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 16001) mod 4 ≡ (12000 mod 4 - 16001 mod 4) mod 4.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 4 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(12000 - 16001) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 55) mod 10 ≡ (40 mod 10 ⋅ 55 mod 10) mod 10.

40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 55) mod 10 ≡ (0 ⋅ 5) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 220¹=220

2: 220²=220¹⁺¹=220¹⋅220¹ ≡ 220⋅220=48400 ≡ 74 mod 331

4: 220⁴=220²⁺²=220²⋅220² ≡ 74⋅74=5476 ≡ 180 mod 331

8: 220⁸=220⁴⁺⁴=220⁴⋅220⁴ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 293 mod 331

16: 220¹⁶=220⁸⁺⁸=220⁸⋅220⁸ ≡ 293⋅293=85849 ≡ 120 mod 331

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

301¹⁵⁹

= 301^{128+16+8+4+2+1}

= 301¹²⁸⋅301¹⁶⋅301⁸⋅301⁴⋅301²⋅301¹

≡ 372 ⋅ 328 ⋅ 728 ⋅ 242 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761
≡ 122016 ⋅ 728 ⋅ 242 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761 ≡ 256 ⋅ 728 ⋅ 242 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761
≡ 186368 ⋅ 242 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761 ≡ 684 ⋅ 242 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761
≡ 165528 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761 ≡ 391 ⋅ 42 ⋅ 301 mod 761
≡ 16422 ⋅ 301 mod 761 ≡ 441 ⋅ 301 mod 761
≡ 132741 mod 761 ≡ 327 mod 761

Es gilt also: 301¹⁵⁹ ≡ 327 mod 761

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29

=>61	= 2⋅29 + 3
=>29	= 9⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 29-9⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1)
3= 61-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29) = -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29) = 10⋅61 -21⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -21⋅29

-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29

-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1

(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1

40⋅29 = 19⋅61 + 1

Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1

Somit 40⋅29 = 1 mod 61

40 ist also das Inverse von 29 mod 61