Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (301 + 1198) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(301 + 1198) mod 3 ≡ (301 mod 3 + 1198 mod 3) mod 3.
301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1200
Somit gilt:
(301 + 1198) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 19) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 19) mod 11 ≡ (88 mod 11 ⋅ 19 mod 11) mod 11.
88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.
19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 19) mod 11 ≡ (0 ⋅ 8) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55216 mod 829.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 552 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5521=552
2: 5522=5521+1=5521⋅5521 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 461 mod 829
4: 5524=5522+2=5522⋅5522 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 297 mod 829
8: 5528=5524+4=5524⋅5524 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 335 mod 829
16: 55216=5528+8=5528⋅5528 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 310 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 579163 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 5791=579
2: 5792=5791+1=5791⋅5791 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 106 mod 691
4: 5794=5792+2=5792⋅5792 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 180 mod 691
8: 5798=5794+4=5794⋅5794 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 614 mod 691
16: 57916=5798+8=5798⋅5798 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 401 mod 691
32: 57932=57916+16=57916⋅57916 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 489 mod 691
64: 57964=57932+32=57932⋅57932 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 35 mod 691
128: 579128=57964+64=57964⋅57964 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 534 mod 691
579163
= 579128+32+2+1
= 579128⋅57932⋅5792⋅5791
≡ 534 ⋅ 489 ⋅ 106 ⋅ 579 mod 691
≡ 261126 ⋅ 106 ⋅ 579 mod 691 ≡ 619 ⋅ 106 ⋅ 579 mod 691
≡ 65614 ⋅ 579 mod 691 ≡ 660 ⋅ 579 mod 691
≡ 382140 mod 691 ≡ 17 mod 691
Es gilt also: 579163 ≡ 17 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36
| =>89 | = 2⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -42⋅36
-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36
-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1
(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1
47⋅36 = 19⋅89 + 1
Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1
Somit 47⋅36 = 1 mod 89
47 ist also das Inverse von 36 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
