Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 - 2000) mod 4 ≡ (160 mod 4 - 2000 mod 4) mod 4.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(160 - 2000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 60) mod 10 ≡ (16 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.

16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 60) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 355¹=355

2: 355²=355¹⁺¹=355¹⋅355¹ ≡ 355⋅355=126025 ≡ 678 mod 769

4: 355⁴=355²⁺²=355²⋅355² ≡ 678⋅678=459684 ≡ 591 mod 769

8: 355⁸=355⁴⁺⁴=355⁴⋅355⁴ ≡ 591⋅591=349281 ≡ 155 mod 769

16: 355¹⁶=355⁸⁺⁸=355⁸⋅355⁸ ≡ 155⋅155=24025 ≡ 186 mod 769

32: 355³²=355¹⁶⁺¹⁶=355¹⁶⋅355¹⁶ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 760 mod 769

64: 355⁶⁴=355³²⁺³²=355³²⋅355³² ≡ 760⋅760=577600 ≡ 81 mod 769

128: 355¹²⁸=355⁶⁴⁺⁶⁴=355⁶⁴⋅355⁶⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 409 mod 769

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

905¹⁶⁷

= 905^128+32+4+2+1

= 905¹²⁸⋅905³²⋅905⁴⋅905²⋅905¹

≡ 511 ⋅ 575 ⋅ 123 ⋅ 576 ⋅ 905 mod 929
≡ 293825 ⋅ 123 ⋅ 576 ⋅ 905 mod 929 ≡ 261 ⋅ 123 ⋅ 576 ⋅ 905 mod 929
≡ 32103 ⋅ 576 ⋅ 905 mod 929 ≡ 517 ⋅ 576 ⋅ 905 mod 929
≡ 297792 ⋅ 905 mod 929 ≡ 512 ⋅ 905 mod 929
≡ 463360 mod 929 ≡ 718 mod 929

Es gilt also: 905¹⁶⁷ ≡ 718 mod 929

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67	= 1⋅59 + 8
=>59	= 7⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8) = 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59) = 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59) = -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67