Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23998 - 325) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23998 - 325) mod 8 ≡ (23998 mod 8 - 325 mod 8) mod 8.

23998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998 = 23000+998 = 8 ⋅ 2875 +998.

325 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 325 = 320+5 = 8 ⋅ 40 +5.

Somit gilt:

(23998 - 325) mod 8 ≡ (6 - 5) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 22) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 22) mod 9 ≡ (96 mod 9 ⋅ 22 mod 9) mod 9.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.

22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 22) mod 9 ≡ (6 ⋅ 4) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24216 mod 293.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,293) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2421=242

2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 257 mod 293

4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 124 mod 293

8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 140 mod 293

16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 262 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 198161 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:

161 = 128+32+1

1: 1981=198

2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 307 mod 401

4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 14 mod 401

8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 401

16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 321 mod 401

32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 385 mod 401

64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 256 mod 401

128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 173 mod 401

198161

= 198128+32+1

= 198128⋅19832⋅1981

173 ⋅ 385 ⋅ 198 mod 401
66605 ⋅ 198 mod 401 ≡ 39 ⋅ 198 mod 401
7722 mod 401 ≡ 103 mod 401

Es gilt also: 198161 ≡ 103 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67 = 1⋅46 + 21
=>46 = 2⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21)
= -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46)
= 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.