Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6993 + 28000) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6993 + 28000) mod 7 ≡ (6993 mod 7 + 28000 mod 7) mod 7.

6993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6993 = 7000-7 = 7 ⋅ 1000 -7 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 0.

28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000 = 28000+0 = 7 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(6993 + 28000) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 81) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 81) mod 6 ≡ (96 mod 6 ⋅ 81 mod 6) mod 6.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 81) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29432 mod 881.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 294 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2941=294

2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 98 mod 881

4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 794 mod 881

8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 794⋅794=630436 ≡ 521 mod 881

16: 29416=2948+8=2948⋅2948 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 93 mod 881

32: 29432=29416+16=29416⋅29416 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 720 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 85228 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

1: 851=85

2: 852=851+1=851⋅851 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 29 mod 257

4: 854=852+2=852⋅852 ≡ 29⋅29=841 ≡ 70 mod 257

8: 858=854+4=854⋅854 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 17 mod 257

16: 8516=858+8=858⋅858 ≡ 17⋅17=289 ≡ 32 mod 257

32: 8532=8516+16=8516⋅8516 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 253 mod 257

64: 8564=8532+32=8532⋅8532 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257

128: 85128=8564+64=8564⋅8564 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

85228

= 85128+64+32+4

= 85128⋅8564⋅8532⋅854

256 ⋅ 16 ⋅ 253 ⋅ 70 mod 257
4096 ⋅ 253 ⋅ 70 mod 257 ≡ 241 ⋅ 253 ⋅ 70 mod 257
60973 ⋅ 70 mod 257 ≡ 64 ⋅ 70 mod 257
4480 mod 257 ≡ 111 mod 257

Es gilt also: 85228 ≡ 111 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47

=>61 = 1⋅47 + 14
=>47 = 3⋅14 + 5
=>14 = 2⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 14-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5)
= -1⋅14 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-3⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14)
= 3⋅47 -10⋅ 14 (=1)
14= 61-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47)
= -10⋅61 +13⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47

oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅61 = +13⋅47

Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1

Somit 13⋅47 = 1 mod 61

13 ist also das Inverse von 47 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.