Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1502 - 1495) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1502 - 1495) mod 5 ≡ (1502 mod 5 - 1495 mod 5) mod 5.
1502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502
= 1500
1495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1495
= 1400
Somit gilt:
(1502 - 1495) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 49) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 49) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 49) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 535128 mod 619.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 535 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5351=535
2: 5352=5351+1=5351⋅5351 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 247 mod 619
4: 5354=5352+2=5352⋅5352 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 347 mod 619
8: 5358=5354+4=5354⋅5354 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 323 mod 619
16: 53516=5358+8=5358⋅5358 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 337 mod 619
32: 53532=53516+16=53516⋅53516 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 292 mod 619
64: 53564=53532+32=53532⋅53532 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 461 mod 619
128: 535128=53564+64=53564⋅53564 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 204 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 224122 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:
122 = 64+32+16+8+2
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 225 mod 239
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 196 mod 239
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 176 mod 239
16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 145 mod 239
32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 232 mod 239
64: 22464=22432+32=22432⋅22432 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 49 mod 239
224122
= 22464+32+16+8+2
= 22464⋅22432⋅22416⋅2248⋅2242
≡ 49 ⋅ 232 ⋅ 145 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239
≡ 11368 ⋅ 145 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239 ≡ 135 ⋅ 145 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239
≡ 19575 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239 ≡ 216 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239
≡ 38016 ⋅ 225 mod 239 ≡ 15 ⋅ 225 mod 239
≡ 3375 mod 239 ≡ 29 mod 239
Es gilt also: 224122 ≡ 29 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21
| =>53 | = 2⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -5⋅21
-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21
-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1
(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1
48⋅21 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1
Somit 48⋅21 = 1 mod 53
48 ist also das Inverse von 21 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
