Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29998 + 298) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29998 + 298) mod 6 ≡ (29998 mod 6 + 298 mod 6) mod 6.
29998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29998
= 30000
298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298
= 300
Somit gilt:
(29998 + 298) mod 6 ≡ (4 + 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 81) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 81) mod 7 ≡ (52 mod 7 ⋅ 81 mod 7) mod 7.
52 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 49 + 3 = 7 ⋅ 7 + 3 ist.
81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 81) mod 7 ≡ (3 ⋅ 4) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54764 mod 733.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 547 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5471=547
2: 5472=5471+1=5471⋅5471 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 145 mod 733
4: 5474=5472+2=5472⋅5472 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 501 mod 733
8: 5478=5474+4=5474⋅5474 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 315 mod 733
16: 54716=5478+8=5478⋅5478 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 270 mod 733
32: 54732=54716+16=54716⋅54716 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 333 mod 733
64: 54764=54732+32=54732⋅54732 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 206 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 454251 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 4541=454
2: 4542=4541+1=4541⋅4541 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 843 mod 881
4: 4544=4542+2=4542⋅4542 ≡ 843⋅843=710649 ≡ 563 mod 881
8: 4548=4544+4=4544⋅4544 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 690 mod 881
16: 45416=4548+8=4548⋅4548 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 360 mod 881
32: 45432=45416+16=45416⋅45416 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 93 mod 881
64: 45464=45432+32=45432⋅45432 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 720 mod 881
128: 454128=45464+64=45464⋅45464 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 372 mod 881
454251
= 454128+64+32+16+8+2+1
= 454128⋅45464⋅45432⋅45416⋅4548⋅4542⋅4541
≡ 372 ⋅ 720 ⋅ 93 ⋅ 360 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881
≡ 267840 ⋅ 93 ⋅ 360 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881 ≡ 16 ⋅ 93 ⋅ 360 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881
≡ 1488 ⋅ 360 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881 ≡ 607 ⋅ 360 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881
≡ 218520 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881 ≡ 32 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881
≡ 22080 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881 ≡ 55 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881
≡ 46365 ⋅ 454 mod 881 ≡ 553 ⋅ 454 mod 881
≡ 251062 mod 881 ≡ 858 mod 881
Es gilt also: 454251 ≡ 858 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 88
| =>101 | = 1⋅88 + 13 |
| =>88 | = 6⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 88-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(88 -6⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅88 -24⋅ 13) = 4⋅88 -27⋅ 13 (=1) |
| 13= 101-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -27⋅(101 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -27⋅101 +27⋅ 88) = -27⋅101 +31⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,88)=1 = -27⋅101 +31⋅88
oder wenn man -27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅101 = +31⋅88
Es gilt also: 31⋅88 = 27⋅101 +1
Somit 31⋅88 = 1 mod 101
31 ist also das Inverse von 88 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
