Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3496 + 276) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3496 + 276) mod 7 ≡ (3496 mod 7 + 276 mod 7) mod 7.
3496 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3496
= 3500
276 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276
= 280
Somit gilt:
(3496 + 276) mod 7 ≡ (3 + 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 88) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 88) mod 9 ≡ (94 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.
94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 88) mod 9 ≡ (4 ⋅ 7) mod 9 ≡ 28 mod 9 ≡ 1 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3868 mod 857.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 386 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3861=386
2: 3862=3861+1=3861⋅3861 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 735 mod 857
4: 3864=3862+2=3862⋅3862 ≡ 735⋅735=540225 ≡ 315 mod 857
8: 3868=3864+4=3864⋅3864 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 670 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 130118 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 50 mod 337
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 141 mod 337
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 335 mod 337
16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 4 mod 337
32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 337
64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 337
130118
= 13064+32+16+4+2
= 13064⋅13032⋅13016⋅1304⋅1302
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 141 ⋅ 50 mod 337
≡ 4096 ⋅ 4 ⋅ 141 ⋅ 50 mod 337 ≡ 52 ⋅ 4 ⋅ 141 ⋅ 50 mod 337
≡ 208 ⋅ 141 ⋅ 50 mod 337
≡ 29328 ⋅ 50 mod 337 ≡ 9 ⋅ 50 mod 337
≡ 450 mod 337 ≡ 113 mod 337
Es gilt also: 130118 ≡ 113 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38
| =>53 | = 1⋅38 + 15 |
| =>38 | = 2⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 38-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +7⋅38
Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1
Somit 7⋅38 = 1 mod 53
7 ist also das Inverse von 38 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
