Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6000 - 150) mod 3 ≡ (6000 mod 3 - 150 mod 3) mod 3.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(6000 - 150) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 46) mod 9 ≡ (47 mod 9 ⋅ 46 mod 9) mod 9.

47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.

46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 46) mod 9 ≡ (2 ⋅ 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 408¹=408

2: 408²=408¹⁺¹=408¹⋅408¹ ≡ 408⋅408=166464 ≡ 397 mod 487

4: 408⁴=408²⁺²=408²⋅408² ≡ 397⋅397=157609 ≡ 308 mod 487

8: 408⁸=408⁴⁺⁴=408⁴⋅408⁴ ≡ 308⋅308=94864 ≡ 386 mod 487

16: 408¹⁶=408⁸⁺⁸=408⁸⋅408⁸ ≡ 386⋅386=148996 ≡ 461 mod 487

32: 408³²=408¹⁶⁺¹⁶=408¹⁶⋅408¹⁶ ≡ 461⋅461=212521 ≡ 189 mod 487

64: 408⁶⁴=408³²⁺³²=408³²⋅408³² ≡ 189⋅189=35721 ≡ 170 mod 487

128: 408¹²⁸=408⁶⁴⁺⁶⁴=408⁶⁴⋅408⁶⁴ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 167 mod 487

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

397²⁴⁵

= 397^{128+64+32+16+4+1}

= 397¹²⁸⋅397⁶⁴⋅397³²⋅397¹⁶⋅397⁴⋅397¹

≡ 133 ⋅ 566 ⋅ 242 ⋅ 446 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617
≡ 75278 ⋅ 242 ⋅ 446 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617 ≡ 4 ⋅ 242 ⋅ 446 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617
≡ 968 ⋅ 446 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617 ≡ 351 ⋅ 446 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617
≡ 156546 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617 ≡ 445 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617
≡ 186455 ⋅ 397 mod 617 ≡ 121 ⋅ 397 mod 617
≡ 48037 mod 617 ≡ 528 mod 617

Es gilt also: 397²⁴⁵ ≡ 528 mod 617

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83	= 2⋅32 + 19
=>32	= 1⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32) = 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83