Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2402 - 87) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2402 - 87) mod 8 ≡ (2402 mod 8 - 87 mod 8) mod 8.
2402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402
= 2400
87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87
= 80
Somit gilt:
(2402 - 87) mod 8 ≡ (2 - 7) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 44) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 44) mod 8 ≡ (42 mod 8 ⋅ 44 mod 8) mod 8.
42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.
44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 44) mod 8 ≡ (2 ⋅ 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4498 mod 701.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 449 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4491=449
2: 4492=4491+1=4491⋅4491 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 414 mod 701
4: 4494=4492+2=4492⋅4492 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 352 mod 701
8: 4498=4494+4=4494⋅4494 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 528 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49592 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 4951=495
2: 4952=4951+1=4951⋅4951 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 459 mod 647
4: 4954=4952+2=4952⋅4952 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 406 mod 647
8: 4958=4954+4=4954⋅4954 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 498 mod 647
16: 49516=4958+8=4958⋅4958 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 203 mod 647
32: 49532=49516+16=49516⋅49516 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 448 mod 647
64: 49564=49532+32=49532⋅49532 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 134 mod 647
49592
= 49564+16+8+4
= 49564⋅49516⋅4958⋅4954
≡ 134 ⋅ 203 ⋅ 498 ⋅ 406 mod 647
≡ 27202 ⋅ 498 ⋅ 406 mod 647 ≡ 28 ⋅ 498 ⋅ 406 mod 647
≡ 13944 ⋅ 406 mod 647 ≡ 357 ⋅ 406 mod 647
≡ 144942 mod 647 ≡ 14 mod 647
Es gilt also: 49592 ≡ 14 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63
| =>73 | = 1⋅63 + 10 |
| =>63 | = 6⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 63-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1) |
| 10= 73-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63)
= -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -22⋅63
-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63
-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1
(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1
51⋅63 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1
Somit 51⋅63 = 1 mod 73
51 ist also das Inverse von 63 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
