Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1601 + 404) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1601 + 404) mod 8 ≡ (1601 mod 8 + 404 mod 8) mod 8.

1601 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 8 ⋅ 200 +1.

404 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404 = 400+4 = 8 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(1601 + 404) mod 8 ≡ (1 + 4) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 72) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 72) mod 8 ≡ (52 mod 8 ⋅ 72 mod 8) mod 8.

52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 72) mod 8 ≡ (4 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 470128 mod 673.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 470 -> x
2. mod(x²,673) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4701=470

2: 4702=4701+1=4701⋅4701 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 156 mod 673

4: 4704=4702+2=4702⋅4702 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 108 mod 673

8: 4708=4704+4=4704⋅4704 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 223 mod 673

16: 47016=4708+8=4708⋅4708 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 600 mod 673

32: 47032=47016+16=47016⋅47016 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 618 mod 673

64: 47064=47032+32=47032⋅47032 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 333 mod 673

128: 470128=47064+64=47064⋅47064 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 221126 mod 367.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

1: 2211=221

2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 30 mod 367

4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 30⋅30=900 ≡ 166 mod 367

8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 31 mod 367

16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 31⋅31=961 ≡ 227 mod 367

32: 22132=22116+16=22116⋅22116 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 149 mod 367

64: 22164=22132+32=22132⋅22132 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 181 mod 367

221126

= 22164+32+16+8+4+2

= 22164⋅22132⋅22116⋅2218⋅2214⋅2212

181 ⋅ 149 ⋅ 227 ⋅ 31 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367
26969 ⋅ 227 ⋅ 31 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367 ≡ 178 ⋅ 227 ⋅ 31 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367
40406 ⋅ 31 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367 ≡ 36 ⋅ 31 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367
1116 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367 ≡ 15 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367
2490 ⋅ 30 mod 367 ≡ 288 ⋅ 30 mod 367
8640 mod 367 ≡ 199 mod 367

Es gilt also: 221126 ≡ 199 mod 367

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 41

=>89 = 2⋅41 + 7
=>41 = 5⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7)
= -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 89-2⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅41 +6⋅(89 -2⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅89 -12⋅ 41)
= 6⋅89 -13⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(89,41)=1 = 6⋅89 -13⋅41

oder wenn man 6⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅89 = -13⋅41

-13⋅41 = -6⋅89 + 1 |+89⋅41

-13⋅41 + 89⋅41 = -6⋅89 + 89⋅41 + 1

(-13 + 89) ⋅ 41 = (-6 + 41) ⋅ 89 + 1

76⋅41 = 35⋅89 + 1

Es gilt also: 76⋅41 = 35⋅89 +1

Somit 76⋅41 = 1 mod 89

76 ist also das Inverse von 41 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.