Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 + 160) mod 4 ≡ (41 mod 4 + 160 mod 4) mod 4.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40+1 = 4 ⋅ 10 +1.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(41 + 160) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 31) mod 6 ≡ (77 mod 6 ⋅ 31 mod 6) mod 6.

77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.

31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 31) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 298¹=298

2: 298²=298¹⁺¹=298¹⋅298¹ ≡ 298⋅298=88804 ≡ 230 mod 661

4: 298⁴=298²⁺²=298²⋅298² ≡ 230⋅230=52900 ≡ 20 mod 661

8: 298⁸=298⁴⁺⁴=298⁴⋅298⁴ ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 661

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

296⁶³

= 296^{32+16+8+4+2+1}

= 296³²⋅296¹⁶⋅296⁸⋅296⁴⋅296²⋅296¹

≡ 562 ⋅ 208 ⋅ 204 ⋅ 330 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647
≡ 116896 ⋅ 204 ⋅ 330 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647 ≡ 436 ⋅ 204 ⋅ 330 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647
≡ 88944 ⋅ 330 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647 ≡ 305 ⋅ 330 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647
≡ 100650 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647 ≡ 365 ⋅ 271 ⋅ 296 mod 647
≡ 98915 ⋅ 296 mod 647 ≡ 571 ⋅ 296 mod 647
≡ 169016 mod 647 ≡ 149 mod 647

Es gilt also: 296⁶³ ≡ 149 mod 647

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 82

=>89	= 1⋅82 + 7
=>82	= 11⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 82-11⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(82 -11⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅82 -33⋅ 7) = 3⋅82 -35⋅ 7 (=1)
7= 89-1⋅82	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅82 -35⋅(89 -1⋅ 82) = 3⋅82 -35⋅89 +35⋅ 82) = -35⋅89 +38⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(89,82)=1 = -35⋅89 +38⋅82

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +38⋅82

Es gilt also: 38⋅82 = 35⋅89 +1

Somit 38⋅82 = 1 mod 89

38 ist also das Inverse von 82 mod 89