Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(396 + 1601) mod 8 ≡ (396 mod 8 + 1601 mod 8) mod 8.

396 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 400-4 = 8 ⋅ 50 -4 = 8 ⋅ 50 - 8 + 4.

1601 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 8 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(396 + 1601) mod 8 ≡ (4 + 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 45) mod 9 ≡ (23 mod 9 ⋅ 45 mod 9) mod 9.

23 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 2 ⋅ 9 + 5 ist.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 45) mod 9 ≡ (5 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 191¹=191

2: 191²=191¹⁺¹=191¹⋅191¹ ≡ 191⋅191=36481 ≡ 367 mod 463

4: 191⁴=191²⁺²=191²⋅191² ≡ 367⋅367=134689 ≡ 419 mod 463

8: 191⁸=191⁴⁺⁴=191⁴⋅191⁴ ≡ 419⋅419=175561 ≡ 84 mod 463

16: 191¹⁶=191⁸⁺⁸=191⁸⋅191⁸ ≡ 84⋅84=7056 ≡ 111 mod 463

32: 191³²=191¹⁶⁺¹⁶=191¹⁶⋅191¹⁶ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 283 mod 463

64: 191⁶⁴=191³²⁺³²=191³²⋅191³² ≡ 283⋅283=80089 ≡ 453 mod 463

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

340¹²⁵

= 340^{64+32+16+8+4+1}

= 340⁶⁴⋅340³²⋅340¹⁶⋅340⁸⋅340⁴⋅340¹

≡ 125 ⋅ 102 ⋅ 405 ⋅ 400 ⋅ 521 ⋅ 340 mod 541
≡ 12750 ⋅ 405 ⋅ 400 ⋅ 521 ⋅ 340 mod 541 ≡ 307 ⋅ 405 ⋅ 400 ⋅ 521 ⋅ 340 mod 541
≡ 124335 ⋅ 400 ⋅ 521 ⋅ 340 mod 541 ≡ 446 ⋅ 400 ⋅ 521 ⋅ 340 mod 541
≡ 178400 ⋅ 521 ⋅ 340 mod 541 ≡ 411 ⋅ 521 ⋅ 340 mod 541
≡ 214131 ⋅ 340 mod 541 ≡ 436 ⋅ 340 mod 541
≡ 148240 mod 541 ≡ 6 mod 541

Es gilt also: 340¹²⁵ ≡ 6 mod 541

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22

=>71	= 3⋅22 + 5
=>22	= 4⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 71-3⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22) = -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -29⋅22

-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22

-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1

(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1

42⋅22 = 13⋅71 + 1

Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1

Somit 42⋅22 = 1 mod 71

42 ist also das Inverse von 22 mod 71