Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 - 236) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 - 236) mod 6 ≡ (59 mod 6 - 236 mod 6) mod 6.
59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59
= 60
236 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236
= 240
Somit gilt:
(59 - 236) mod 6 ≡ (5 - 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 17) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 17) mod 6 ≡ (94 mod 6 ⋅ 17 mod 6) mod 6.
94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.
17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 17) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3398 mod 463.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 339 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3391=339
2: 3392=3391+1=3391⋅3391 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 97 mod 463
4: 3394=3392+2=3392⋅3392 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 149 mod 463
8: 3398=3394+4=3394⋅3394 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 440 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 403238 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 4031=403
2: 4032=4031+1=4031⋅4031 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 80 mod 599
4: 4034=4032+2=4032⋅4032 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 410 mod 599
8: 4038=4034+4=4034⋅4034 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 380 mod 599
16: 40316=4038+8=4038⋅4038 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 41 mod 599
32: 40332=40316+16=40316⋅40316 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 483 mod 599
64: 40364=40332+32=40332⋅40332 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 278 mod 599
128: 403128=40364+64=40364⋅40364 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 13 mod 599
403238
= 403128+64+32+8+4+2
= 403128⋅40364⋅40332⋅4038⋅4034⋅4032
≡ 13 ⋅ 278 ⋅ 483 ⋅ 380 ⋅ 410 ⋅ 80 mod 599
≡ 3614 ⋅ 483 ⋅ 380 ⋅ 410 ⋅ 80 mod 599 ≡ 20 ⋅ 483 ⋅ 380 ⋅ 410 ⋅ 80 mod 599
≡ 9660 ⋅ 380 ⋅ 410 ⋅ 80 mod 599 ≡ 76 ⋅ 380 ⋅ 410 ⋅ 80 mod 599
≡ 28880 ⋅ 410 ⋅ 80 mod 599 ≡ 128 ⋅ 410 ⋅ 80 mod 599
≡ 52480 ⋅ 80 mod 599 ≡ 367 ⋅ 80 mod 599
≡ 29360 mod 599 ≡ 9 mod 599
Es gilt also: 403238 ≡ 9 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
