Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3002 + 1198) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3002 + 1198) mod 6 ≡ (3002 mod 6 + 1198 mod 6) mod 6.

3002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 6 ⋅ 500 +2.

1198 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 6 ⋅ 200 -2 = 6 ⋅ 200 - 6 + 4.

Somit gilt:

(3002 + 1198) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 86) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 86) mod 10 ≡ (35 mod 10 ⋅ 86 mod 10) mod 10.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 86) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34232 mod 569.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 342 -> x
2. mod(x²,569) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3421=342

2: 3422=3421+1=3421⋅3421 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 319 mod 569

4: 3424=3422+2=3422⋅3422 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 479 mod 569

8: 3428=3424+4=3424⋅3424 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 134 mod 569

16: 34216=3428+8=3428⋅3428 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 317 mod 569

32: 34232=34216+16=34216⋅34216 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 345 mod 569

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 85194 mod 239.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:

194 = 128+64+2

1: 851=85

2: 852=851+1=851⋅851 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 55 mod 239

4: 854=852+2=852⋅852 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 157 mod 239

8: 858=854+4=854⋅854 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 32 mod 239

16: 8516=858+8=858⋅858 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239

32: 8532=8516+16=8516⋅8516 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239

64: 8564=8532+32=8532⋅8532 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 197 mod 239

128: 85128=8564+64=8564⋅8564 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 91 mod 239

85194

= 85128+64+2

= 85128⋅8564⋅852

91 ⋅ 197 ⋅ 55 mod 239
17927 ⋅ 55 mod 239 ≡ 2 ⋅ 55 mod 239
110 mod 239

Es gilt also: 85194 ≡ 110 mod 239

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 60

=>89 = 1⋅60 + 29
=>60 = 2⋅29 + 2
=>29 = 14⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-14⋅2
2= 60-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅29 -14⋅(60 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -14⋅60 +28⋅ 29)
= -14⋅60 +29⋅ 29 (=1)
29= 89-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -14⋅60 +29⋅(89 -1⋅ 60)
= -14⋅60 +29⋅89 -29⋅ 60)
= 29⋅89 -43⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(89,60)=1 = 29⋅89 -43⋅60

oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -29⋅89 = -43⋅60

-43⋅60 = -29⋅89 + 1 |+89⋅60

-43⋅60 + 89⋅60 = -29⋅89 + 89⋅60 + 1

(-43 + 89) ⋅ 60 = (-29 + 60) ⋅ 89 + 1

46⋅60 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 46⋅60 = 31⋅89 +1

Somit 46⋅60 = 1 mod 89

46 ist also das Inverse von 60 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.