Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 - 2999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 - 2999) mod 3 ≡ (6000 mod 3 - 2999 mod 3) mod 3.
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999
= 3000
Somit gilt:
(6000 - 2999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 20) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 20) mod 4 ≡ (38 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.
38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 9 ⋅ 4 + 2 ist.
20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 20) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27032 mod 701.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 697 mod 701
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 16 mod 701
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 701
16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 343 mod 701
32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 582 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 474190 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:
190 = 128+32+16+8+4+2
1: 4741=474
2: 4742=4741+1=4741⋅4741 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 522 mod 593
4: 4744=4742+2=4742⋅4742 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 297 mod 593
8: 4748=4744+4=4744⋅4744 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 445 mod 593
16: 47416=4748+8=4748⋅4748 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 556 mod 593
32: 47432=47416+16=47416⋅47416 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 183 mod 593
64: 47464=47432+32=47432⋅47432 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 281 mod 593
128: 474128=47464+64=47464⋅47464 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 92 mod 593
474190
= 474128+32+16+8+4+2
= 474128⋅47432⋅47416⋅4748⋅4744⋅4742
≡ 92 ⋅ 183 ⋅ 556 ⋅ 445 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593
≡ 16836 ⋅ 556 ⋅ 445 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593 ≡ 232 ⋅ 556 ⋅ 445 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593
≡ 128992 ⋅ 445 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593 ≡ 311 ⋅ 445 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593
≡ 138395 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593 ≡ 226 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593
≡ 67122 ⋅ 522 mod 593 ≡ 113 ⋅ 522 mod 593
≡ 58986 mod 593 ≡ 279 mod 593
Es gilt also: 474190 ≡ 279 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20
| =>67 | = 3⋅20 + 7 |
| =>20 | = 2⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 20-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20) = 3⋅67 -10⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -10⋅20
-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20
-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1
(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1
57⋅20 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1
Somit 57⋅20 = 1 mod 67
57 ist also das Inverse von 20 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
