Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (317 + 32005) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(317 + 32005) mod 8 ≡ (317 mod 8 + 32005 mod 8) mod 8.

317 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 317 = 320-3 = 8 ⋅ 40 -3 = 8 ⋅ 40 - 8 + 5.

32005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32005 = 32000+5 = 8 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(317 + 32005) mod 8 ≡ (5 + 5) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 48) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 48) mod 10 ≡ (62 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.

62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 48) mod 10 ≡ (2 ⋅ 8) mod 10 ≡ 16 mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 27464 mod 433.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 274 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2741=274

2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 167 mod 433

4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 177 mod 433

8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 153 mod 433

16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 27 mod 433

32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 27⋅27=729 ≡ 296 mod 433

64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 150 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 341190 mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

1: 3411=341

2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 627 mod 751

4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 356 mod 751

8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 568 mod 751

16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 445 mod 751

32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 512 mod 751

64: 34164=34132+32=34132⋅34132 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 45 mod 751

128: 341128=34164+64=34164⋅34164 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 523 mod 751

341190

= 341128+32+16+8+4+2

= 341128⋅34132⋅34116⋅3418⋅3414⋅3412

523 ⋅ 512 ⋅ 445 ⋅ 568 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751
267776 ⋅ 445 ⋅ 568 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751 ≡ 420 ⋅ 445 ⋅ 568 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751
186900 ⋅ 568 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751 ≡ 652 ⋅ 568 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751
370336 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751 ≡ 93 ⋅ 356 ⋅ 627 mod 751
33108 ⋅ 627 mod 751 ≡ 64 ⋅ 627 mod 751
40128 mod 751 ≡ 325 mod 751

Es gilt also: 341190 ≡ 325 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43

=>97 = 2⋅43 + 11
=>43 = 3⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11)
= -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 97-2⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43)
= 4⋅97 -9⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43

oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅97 = -9⋅43

-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43

-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1

(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1

88⋅43 = 39⋅97 + 1

Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1

Somit 88⋅43 = 1 mod 97

88 ist also das Inverse von 43 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.