Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 + 396) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 + 396) mod 4 ≡ (80 mod 4 + 396 mod 4) mod 4.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

396 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 300+96 = 4 ⋅ 75 +96.

Somit gilt:

(80 + 396) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 22) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 22) mod 4 ≡ (61 mod 4 ⋅ 22 mod 4) mod 4.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 22) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 73216 mod 751.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 732 -> x
2. mod(x²,751) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7321=732

2: 7322=7321+1=7321⋅7321 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 361 mod 751

4: 7324=7322+2=7322⋅7322 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 398 mod 751

8: 7328=7324+4=7324⋅7324 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 694 mod 751

16: 73216=7328+8=7328⋅7328 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 245 mod 751

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 328243 mod 349.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

1: 3281=328

2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 92 mod 349

4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 88 mod 349

8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 66 mod 349

16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 168 mod 349

32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 304 mod 349

64: 32864=32832+32=32832⋅32832 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 280 mod 349

128: 328128=32864+64=32864⋅32864 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 224 mod 349

328243

= 328128+64+32+16+2+1

= 328128⋅32864⋅32832⋅32816⋅3282⋅3281

224 ⋅ 280 ⋅ 304 ⋅ 168 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349
62720 ⋅ 304 ⋅ 168 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349 ≡ 249 ⋅ 304 ⋅ 168 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349
75696 ⋅ 168 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349 ≡ 312 ⋅ 168 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349
52416 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349 ≡ 66 ⋅ 92 ⋅ 328 mod 349
6072 ⋅ 328 mod 349 ≡ 139 ⋅ 328 mod 349
45592 mod 349 ≡ 222 mod 349

Es gilt also: 328243 ≡ 222 mod 349

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29

=>71 = 2⋅29 + 13
=>29 = 2⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13)
= -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29)
= 9⋅71 -22⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -22⋅29

-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29

-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1

(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1

49⋅29 = 20⋅71 + 1

Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1

Somit 49⋅29 = 1 mod 71

49 ist also das Inverse von 29 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.