Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (326 + 3997) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(326 + 3997) mod 8 ≡ (326 mod 8 + 3997 mod 8) mod 8.

326 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 326 = 320+6 = 8 ⋅ 40 +6.

3997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997 = 4000-3 = 8 ⋅ 500 -3 = 8 ⋅ 500 - 8 + 5.

Somit gilt:

(326 + 3997) mod 8 ≡ (6 + 5) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 87) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 87) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 87 mod 4) mod 4.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

87 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 21 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 87) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 527128 mod 941.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 527 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5271=527

2: 5272=5271+1=5271⋅5271 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 134 mod 941

4: 5274=5272+2=5272⋅5272 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 77 mod 941

8: 5278=5274+4=5274⋅5274 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 283 mod 941

16: 52716=5278+8=5278⋅5278 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 104 mod 941

32: 52732=52716+16=52716⋅52716 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 465 mod 941

64: 52764=52732+32=52732⋅52732 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 736 mod 941

128: 527128=52764+64=52764⋅52764 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 621 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 256136 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:

136 = 128+8

1: 2561=256

2: 2562=2561+1=2561⋅2561 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409

4: 2564=2562+2=2562⋅2562 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 218 mod 409

8: 2568=2564+4=2564⋅2564 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 80 mod 409

16: 25616=2568+8=2568⋅2568 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 265 mod 409

32: 25632=25616+16=25616⋅25616 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 286 mod 409

64: 25664=25632+32=25632⋅25632 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 405 mod 409

128: 256128=25664+64=25664⋅25664 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409

256136

= 256128+8

= 256128⋅2568

16 ⋅ 80 mod 409
1280 mod 409 ≡ 53 mod 409

Es gilt also: 256136 ≡ 53 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44

=>53 = 1⋅44 + 9
=>44 = 4⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9)
= -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44)
= 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -6⋅44

-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44

-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1

(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1

47⋅44 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1

Somit 47⋅44 = 1 mod 53

47 ist also das Inverse von 44 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.