Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(182 - 12006) mod 6 ≡ (182 mod 6 - 12006 mod 6) mod 6.

182 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182 = 180+2 = 6 ⋅ 30 +2.

12006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12006 = 12000+6 = 6 ⋅ 2000 +6.

Somit gilt:

(182 - 12006) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 59) mod 3 ≡ (56 mod 3 ⋅ 59 mod 3) mod 3.

56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 59) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 523¹=523

2: 523²=523¹⁺¹=523¹⋅523¹ ≡ 523⋅523=273529 ≡ 21 mod 677

4: 523⁴=523²⁺²=523²⋅523² ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 677

8: 523⁸=523⁴⁺⁴=523⁴⋅523⁴ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 182 mod 677

16: 523¹⁶=523⁸⁺⁸=523⁸⋅523⁸ ≡ 182⋅182=33124 ≡ 628 mod 677

32: 523³²=523¹⁶⁺¹⁶=523¹⁶⋅523¹⁶ ≡ 628⋅628=394384 ≡ 370 mod 677

64: 523⁶⁴=523³²⁺³²=523³²⋅523³² ≡ 370⋅370=136900 ≡ 146 mod 677

128: 523¹²⁸=523⁶⁴⁺⁶⁴=523⁶⁴⋅523⁶⁴ ≡ 146⋅146=21316 ≡ 329 mod 677

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

690²⁴²

= 690^{128+64+32+16+2}

= 690¹²⁸⋅690⁶⁴⋅690³²⋅690¹⁶⋅690²

≡ 322 ⋅ 95 ⋅ 576 ⋅ 943 ⋅ 336 mod 967
≡ 30590 ⋅ 576 ⋅ 943 ⋅ 336 mod 967 ≡ 613 ⋅ 576 ⋅ 943 ⋅ 336 mod 967
≡ 353088 ⋅ 943 ⋅ 336 mod 967 ≡ 133 ⋅ 943 ⋅ 336 mod 967
≡ 125419 ⋅ 336 mod 967 ≡ 676 ⋅ 336 mod 967
≡ 227136 mod 967 ≡ 858 mod 967

Es gilt also: 690²⁴² ≡ 858 mod 967

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53

=>71	= 1⋅53 + 18
=>53	= 2⋅18 + 17
=>18	= 1⋅17 + 1
=>17	= 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 53-2⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18) = 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18) = -1⋅53 +3⋅ 18 (=1)
18= 71-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53) = -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53) = 3⋅71 -4⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53

oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅71 = -4⋅53

-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53

-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1

(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1

67⋅53 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1

Somit 67⋅53 = 1 mod 71

67 ist also das Inverse von 53 mod 71