Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (599 + 2998) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(599 + 2998) mod 3 ≡ (599 mod 3 + 2998 mod 3) mod 3.

599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 3 ⋅ 200 -1 = 3 ⋅ 200 - 3 + 2.

2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998 = 3000-2 = 3 ⋅ 1000 -2 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(599 + 2998) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 55) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 55) mod 4 ≡ (83 mod 4 ⋅ 55 mod 4) mod 4.

83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 20 ⋅ 4 + 3 ist.

55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 55) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2868 mod 601.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 286 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2861=286

2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 60 mod 601

4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 595 mod 601

8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 36 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 530212 mod 587.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

1: 5301=530

2: 5302=5301+1=5301⋅5301 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 314 mod 587

4: 5304=5302+2=5302⋅5302 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 567 mod 587

8: 5308=5304+4=5304⋅5304 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 400 mod 587

16: 53016=5308+8=5308⋅5308 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 336 mod 587

32: 53032=53016+16=53016⋅53016 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 192 mod 587

64: 53064=53032+32=53032⋅53032 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 470 mod 587

128: 530128=53064+64=53064⋅53064 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 188 mod 587

530212

= 530128+64+16+4

= 530128⋅53064⋅53016⋅5304

188 ⋅ 470 ⋅ 336 ⋅ 567 mod 587
88360 ⋅ 336 ⋅ 567 mod 587 ≡ 310 ⋅ 336 ⋅ 567 mod 587
104160 ⋅ 567 mod 587 ≡ 261 ⋅ 567 mod 587
147987 mod 587 ≡ 63 mod 587

Es gilt also: 530212 ≡ 63 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59

=>71 = 1⋅59 + 12
=>59 = 4⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 59-4⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12)
= -1⋅59 +5⋅ 12 (=1)
12= 71-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59)
= 5⋅71 -6⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59

oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅71 = -6⋅59

-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59

-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1

(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1

65⋅59 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1

Somit 65⋅59 = 1 mod 71

65 ist also das Inverse von 59 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.