Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20997 + 35006) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20997 + 35006) mod 7 ≡ (20997 mod 7 + 35006 mod 7) mod 7.
20997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20997
= 21000
35006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35006
= 35000
Somit gilt:
(20997 + 35006) mod 7 ≡ (4 + 6) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 92) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 92) mod 7 ≡ (47 mod 7 ⋅ 92 mod 7) mod 7.
47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.
92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 92) mod 7 ≡ (5 ⋅ 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21616 mod 263.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 105 mod 263
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 242 mod 263
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 178 mod 263
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 124 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37067 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 3701=370
2: 3702=3701+1=3701⋅3701 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 69 mod 467
4: 3704=3702+2=3702⋅3702 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 91 mod 467
8: 3708=3704+4=3704⋅3704 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 342 mod 467
16: 37016=3708+8=3708⋅3708 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 214 mod 467
32: 37032=37016+16=37016⋅37016 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 30 mod 467
64: 37064=37032+32=37032⋅37032 ≡ 30⋅30=900 ≡ 433 mod 467
37067
= 37064+2+1
= 37064⋅3702⋅3701
≡ 433 ⋅ 69 ⋅ 370 mod 467
≡ 29877 ⋅ 370 mod 467 ≡ 456 ⋅ 370 mod 467
≡ 168720 mod 467 ≡ 133 mod 467
Es gilt also: 37067 ≡ 133 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27
| =>89 | = 3⋅27 + 8 |
| =>27 | = 3⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 27-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8) = 3⋅27 -10⋅ 8 (=1) |
| 8= 89-3⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27) = -10⋅89 +33⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27
oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅89 = +33⋅27
Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1
Somit 33⋅27 = 1 mod 89
33 ist also das Inverse von 27 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
