Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2801 - 698) mod 7 ≡ (2801 mod 7 - 698 mod 7) mod 7.

2801 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2801 = 2800+1 = 7 ⋅ 400 +1.

698 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 698 = 700-2 = 7 ⋅ 100 -2 = 7 ⋅ 100 - 7 + 5.

Somit gilt:

(2801 - 698) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 49) mod 5 ≡ (100 mod 5 ⋅ 49 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 9 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 49) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 576¹=576

2: 576²=576¹⁺¹=576¹⋅576¹ ≡ 576⋅576=331776 ≡ 379 mod 641

4: 576⁴=576²⁺²=576²⋅576² ≡ 379⋅379=143641 ≡ 57 mod 641

8: 576⁸=576⁴⁺⁴=576⁴⋅576⁴ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 44 mod 641

16: 576¹⁶=576⁸⁺⁸=576⁸⋅576⁸ ≡ 44⋅44=1936 ≡ 13 mod 641

32: 576³²=576¹⁶⁺¹⁶=576¹⁶⋅576¹⁶ ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 641

64: 576⁶⁴=576³²⁺³²=576³²⋅576³² ≡ 169⋅169=28561 ≡ 357 mod 641

128: 576¹²⁸=576⁶⁴⁺⁶⁴=576⁶⁴⋅576⁶⁴ ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

616⁶³

= 616^{32+16+8+4+2+1}

= 616³²⋅616¹⁶⋅616⁸⋅616⁴⋅616²⋅616¹

≡ 255 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 669 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673
≡ 65280 ⋅ 16 ⋅ 669 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673 ≡ 672 ⋅ 16 ⋅ 669 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673
≡ 10752 ⋅ 669 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673 ≡ 657 ⋅ 669 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673
≡ 439533 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673 ≡ 64 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673
≡ 35648 ⋅ 616 mod 673 ≡ 652 ⋅ 616 mod 673
≡ 401632 mod 673 ≡ 524 mod 673

Es gilt also: 616⁶³ ≡ 524 mod 673

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60

=>71	= 1⋅60 + 11
=>60	= 5⋅11 + 5
=>11	= 2⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 60-5⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11) = 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11) = -2⋅60 +11⋅ 11 (=1)
11= 71-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60) = -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60) = 11⋅71 -13⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -13⋅60

-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60

-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1

(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1

58⋅60 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1

Somit 58⋅60 = 1 mod 71

58 ist also das Inverse von 60 mod 71