Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(276 - 1398) mod 7 ≡ (276 mod 7 - 1398 mod 7) mod 7.

276 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276 = 280-4 = 7 ⋅ 40 -4 = 7 ⋅ 40 - 7 + 3.

1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398 = 1400-2 = 7 ⋅ 200 -2 = 7 ⋅ 200 - 7 + 5.

Somit gilt:

(276 - 1398) mod 7 ≡ (3 - 5) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 26) mod 5 ≡ (76 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.

76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 26) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 294¹=294

2: 294²=294¹⁺¹=294¹⋅294¹ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 457 mod 677

4: 294⁴=294²⁺²=294²⋅294² ≡ 457⋅457=208849 ≡ 333 mod 677

8: 294⁸=294⁴⁺⁴=294⁴⋅294⁴ ≡ 333⋅333=110889 ≡ 538 mod 677

16: 294¹⁶=294⁸⁺⁸=294⁸⋅294⁸ ≡ 538⋅538=289444 ≡ 365 mod 677

32: 294³²=294¹⁶⁺¹⁶=294¹⁶⋅294¹⁶ ≡ 365⋅365=133225 ≡ 533 mod 677

64: 294⁶⁴=294³²⁺³²=294³²⋅294³² ≡ 533⋅533=284089 ≡ 426 mod 677

128: 294¹²⁸=294⁶⁴⁺⁶⁴=294⁶⁴⋅294⁶⁴ ≡ 426⋅426=181476 ≡ 40 mod 677

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

395²¹⁹

= 395^{128+64+16+8+2+1}

= 395¹²⁸⋅395⁶⁴⋅395¹⁶⋅395⁸⋅395²⋅395¹

≡ 324 ⋅ 18 ⋅ 138 ⋅ 237 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983
≡ 5832 ⋅ 138 ⋅ 237 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983 ≡ 917 ⋅ 138 ⋅ 237 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983
≡ 126546 ⋅ 237 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983 ≡ 722 ⋅ 237 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983
≡ 171114 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983 ≡ 72 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983
≡ 51192 ⋅ 395 mod 983 ≡ 76 ⋅ 395 mod 983
≡ 30020 mod 983 ≡ 530 mod 983

Es gilt also: 395²¹⁹ ≡ 530 mod 983

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82

=>101	= 1⋅82 + 19
=>82	= 4⋅19 + 6
=>19	= 3⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-3⋅6
6= 82-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -3⋅(82 -4⋅ 19) = 1⋅19 -3⋅82 +12⋅ 19) = -3⋅82 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-1⋅82	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅82 +13⋅(101 -1⋅ 82) = -3⋅82 +13⋅101 -13⋅ 82) = 13⋅101 -16⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(101,82)=1 = 13⋅101 -16⋅82

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -16⋅82

-16⋅82 = -13⋅101 + 1 |+101⋅82

-16⋅82 + 101⋅82 = -13⋅101 + 101⋅82 + 1

(-16 + 101) ⋅ 82 = (-13 + 82) ⋅ 101 + 1

85⋅82 = 69⋅101 + 1

Es gilt also: 85⋅82 = 69⋅101 +1

Somit 85⋅82 = 1 mod 101

85 ist also das Inverse von 82 mod 101