Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9000 - 18005) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9000 - 18005) mod 9 ≡ (9000 mod 9 - 18005 mod 9) mod 9.
9000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
18005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005
= 18000
Somit gilt:
(9000 - 18005) mod 9 ≡ (0 - 5) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 89) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 89) mod 10 ≡ (63 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.
63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 89) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16332 mod 541.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 163 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1631=163
2: 1632=1631+1=1631⋅1631 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 60 mod 541
4: 1634=1632+2=1632⋅1632 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 354 mod 541
8: 1638=1634+4=1634⋅1634 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 345 mod 541
16: 16316=1638+8=1638⋅1638 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 5 mod 541
32: 16332=16316+16=16316⋅16316 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43276 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:
76 = 64+8+4
1: 4321=432
2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 131 mod 743
4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 72 mod 743
8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 726 mod 743
16: 43216=4328+8=4328⋅4328 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 289 mod 743
32: 43232=43216+16=43216⋅43216 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 305 mod 743
64: 43264=43232+32=43232⋅43232 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 150 mod 743
43276
= 43264+8+4
= 43264⋅4328⋅4324
≡ 150 ⋅ 726 ⋅ 72 mod 743
≡ 108900 ⋅ 72 mod 743 ≡ 422 ⋅ 72 mod 743
≡ 30384 mod 743 ≡ 664 mod 743
Es gilt also: 43276 ≡ 664 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26
| =>59 | = 2⋅26 + 7 |
| =>26 | = 3⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 26-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7) = 3⋅26 -11⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26) = -11⋅59 +25⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +25⋅26
Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1
Somit 25⋅26 = 1 mod 59
25 ist also das Inverse von 26 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
