Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12004 - 804) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12004 - 804) mod 4 ≡ (12004 mod 4 - 804 mod 4) mod 4.
12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004
= 12000
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(12004 - 804) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 23) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 23) mod 6 ≡ (16 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.
16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.
23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 23) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22116 mod 373.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 221 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2211=221
2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 351 mod 373
4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 111 mod 373
8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 12 mod 373
16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 104193 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 1041=104
2: 1042=1041+1=1041⋅1041 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 268 mod 293
4: 1044=1042+2=1042⋅1042 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 39 mod 293
8: 1048=1044+4=1044⋅1044 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 56 mod 293
16: 10416=1048+8=1048⋅1048 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 206 mod 293
32: 10432=10416+16=10416⋅10416 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 244 mod 293
64: 10464=10432+32=10432⋅10432 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 57 mod 293
128: 104128=10464+64=10464⋅10464 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 26 mod 293
104193
= 104128+64+1
= 104128⋅10464⋅1041
≡ 26 ⋅ 57 ⋅ 104 mod 293
≡ 1482 ⋅ 104 mod 293 ≡ 17 ⋅ 104 mod 293
≡ 1768 mod 293 ≡ 10 mod 293
Es gilt also: 104193 ≡ 10 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 60
| =>89 | = 1⋅60 + 29 |
| =>60 | = 2⋅29 + 2 |
| =>29 | = 14⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-14⋅2 | |||
| 2= 60-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -14⋅(60 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -14⋅60 +28⋅ 29) = -14⋅60 +29⋅ 29 (=1) |
| 29= 89-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅60 +29⋅(89 -1⋅ 60)
= -14⋅60 +29⋅89 -29⋅ 60) = 29⋅89 -43⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,60)=1 = 29⋅89 -43⋅60
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -43⋅60
-43⋅60 = -29⋅89 + 1 |+89⋅60
-43⋅60 + 89⋅60 = -29⋅89 + 89⋅60 + 1
(-43 + 89) ⋅ 60 = (-29 + 60) ⋅ 89 + 1
46⋅60 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 46⋅60 = 31⋅89 +1
Somit 46⋅60 = 1 mod 89
46 ist also das Inverse von 60 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
