Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25005 - 196) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25005 - 196) mod 5 ≡ (25005 mod 5 - 196 mod 5) mod 5.
25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005
= 25000
196 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 196
= 190
Somit gilt:
(25005 - 196) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 39) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 39) mod 11 ≡ (99 mod 11 ⋅ 39 mod 11) mod 11.
99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.
39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 39) mod 11 ≡ (0 ⋅ 6) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61232 mod 709.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 612 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6121=612
2: 6122=6121+1=6121⋅6121 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 192 mod 709
4: 6124=6122+2=6122⋅6122 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 705 mod 709
8: 6128=6124+4=6124⋅6124 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 16 mod 709
16: 61216=6128+8=6128⋅6128 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 709
32: 61232=61216+16=61216⋅61216 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 308 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24177 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 574 mod 661
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 298 mod 661
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 230 mod 661
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 20 mod 661
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 661
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 38 mod 661
24177
= 24164+8+4+1
= 24164⋅2418⋅2414⋅2411
≡ 38 ⋅ 230 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
≡ 8740 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661 ≡ 147 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
≡ 43806 ⋅ 241 mod 661 ≡ 180 ⋅ 241 mod 661
≡ 43380 mod 661 ≡ 415 mod 661
Es gilt also: 24177 ≡ 415 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41
| =>101 | = 2⋅41 + 19 |
| =>41 | = 2⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 41-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 101-2⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41) = 13⋅101 -32⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -32⋅41
-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41
-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1
(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1
69⋅41 = 28⋅101 + 1
Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1
Somit 69⋅41 = 1 mod 101
69 ist also das Inverse von 41 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
