Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (151 - 120) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(151 - 120) mod 3 ≡ (151 mod 3 - 120 mod 3) mod 3.

151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 3 ⋅ 50 +1.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(151 - 120) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 75) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 75) mod 8 ≡ (20 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.

20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 75) mod 8 ≡ (4 ⋅ 3) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3618 mod 997.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 361 -> x
2. mod(x²,997) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3611=361

2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 711 mod 997

4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 42 mod 997

8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 767 mod 997

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60367 mod 769.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:

67 = 64+2+1

1: 6031=603

2: 6032=6031+1=6031⋅6031 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 641 mod 769

4: 6034=6032+2=6032⋅6032 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 235 mod 769

8: 6038=6034+4=6034⋅6034 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 626 mod 769

16: 60316=6038+8=6038⋅6038 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 455 mod 769

32: 60332=60316+16=60316⋅60316 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 164 mod 769

64: 60364=60332+32=60332⋅60332 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 750 mod 769

60367

= 60364+2+1

= 60364⋅6032⋅6031

750 ⋅ 641 ⋅ 603 mod 769
480750 ⋅ 603 mod 769 ≡ 125 ⋅ 603 mod 769
75375 mod 769 ≡ 13 mod 769

Es gilt also: 60367 ≡ 13 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 74.

Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 74

=>79 = 1⋅74 + 5
=>74 = 14⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 74-14⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(74 -14⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅74 +14⋅ 5)
= -1⋅74 +15⋅ 5 (=1)
5= 79-1⋅74 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅74 +15⋅(79 -1⋅ 74)
= -1⋅74 +15⋅79 -15⋅ 74)
= 15⋅79 -16⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(79,74)=1 = 15⋅79 -16⋅74

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -16⋅74

-16⋅74 = -15⋅79 + 1 |+79⋅74

-16⋅74 + 79⋅74 = -15⋅79 + 79⋅74 + 1

(-16 + 79) ⋅ 74 = (-15 + 74) ⋅ 79 + 1

63⋅74 = 59⋅79 + 1

Es gilt also: 63⋅74 = 59⋅79 +1

Somit 63⋅74 = 1 mod 79

63 ist also das Inverse von 74 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.