Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2998 + 602) mod 3 ≡ (2998 mod 3 + 602 mod 3) mod 3.

2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998 = 3000-2 = 3 ⋅ 1000 -2 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 1.

602 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602 = 600+2 = 3 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(2998 + 602) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 58) mod 10 ≡ (67 mod 10 ⋅ 58 mod 10) mod 10.

67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.

58 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 50 + 8 = 5 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 58) mod 10 ≡ (7 ⋅ 8) mod 10 ≡ 56 mod 10 ≡ 6 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 343¹=343

2: 343²=343¹⁺¹=343¹⋅343¹ ≡ 343⋅343=117649 ≡ 652 mod 661

4: 343⁴=343²⁺²=343²⋅343² ≡ 652⋅652=425104 ≡ 81 mod 661

8: 343⁸=343⁴⁺⁴=343⁴⋅343⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 612 mod 661

16: 343¹⁶=343⁸⁺⁸=343⁸⋅343⁸ ≡ 612⋅612=374544 ≡ 418 mod 661

32: 343³²=343¹⁶⁺¹⁶=343¹⁶⋅343¹⁶ ≡ 418⋅418=174724 ≡ 220 mod 661

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

936¹¹⁵

= 936^64+32+16+2+1

= 936⁶⁴⋅936³²⋅936¹⁶⋅936²⋅936¹

≡ 146 ⋅ 324 ⋅ 18 ⋅ 289 ⋅ 936 mod 953
≡ 47304 ⋅ 18 ⋅ 289 ⋅ 936 mod 953 ≡ 607 ⋅ 18 ⋅ 289 ⋅ 936 mod 953
≡ 10926 ⋅ 289 ⋅ 936 mod 953 ≡ 443 ⋅ 289 ⋅ 936 mod 953
≡ 128027 ⋅ 936 mod 953 ≡ 325 ⋅ 936 mod 953
≡ 304200 mod 953 ≡ 193 mod 953

Es gilt also: 936¹¹⁵ ≡ 193 mod 953

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45

=>61	= 1⋅45 + 16
=>45	= 2⋅16 + 13
=>16	= 1⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 16-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1)
13= 45-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16) = -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1)
16= 61-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45) = 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45

oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅61 = +19⋅45

Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1

Somit 19⋅45 = 1 mod 61

19 ist also das Inverse von 45 mod 61