Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (117 + 1500) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(117 + 1500) mod 3 ≡ (117 mod 3 + 1500 mod 3) mod 3.

117 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117 = 120-3 = 3 ⋅ 40 -3 = 3 ⋅ 40 - 3 + 0.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(117 + 1500) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 63) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 63) mod 7 ≡ (41 mod 7 ⋅ 63 mod 7) mod 7.

41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 63) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31964 mod 653.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 319 -> x
2. mod(x²,653) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3191=319

2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 546 mod 653

4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 348 mod 653

8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 299 mod 653

16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 593 mod 653

32: 31932=31916+16=31916⋅31916 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 335 mod 653

64: 31964=31932+32=31932⋅31932 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 562 mod 653

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 72215 mod 223.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

1: 721=72

2: 722=721+1=721⋅721 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 55 mod 223

4: 724=722+2=722⋅722 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 126 mod 223

8: 728=724+4=724⋅724 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 43 mod 223

16: 7216=728+8=728⋅728 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 65 mod 223

32: 7232=7216+16=7216⋅7216 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 211 mod 223

64: 7264=7232+32=7232⋅7232 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 144 mod 223

128: 72128=7264+64=7264⋅7264 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 220 mod 223

72215

= 72128+64+16+4+2+1

= 72128⋅7264⋅7216⋅724⋅722⋅721

220 ⋅ 144 ⋅ 65 ⋅ 126 ⋅ 55 ⋅ 72 mod 223
31680 ⋅ 65 ⋅ 126 ⋅ 55 ⋅ 72 mod 223 ≡ 14 ⋅ 65 ⋅ 126 ⋅ 55 ⋅ 72 mod 223
910 ⋅ 126 ⋅ 55 ⋅ 72 mod 223 ≡ 18 ⋅ 126 ⋅ 55 ⋅ 72 mod 223
2268 ⋅ 55 ⋅ 72 mod 223 ≡ 38 ⋅ 55 ⋅ 72 mod 223
2090 ⋅ 72 mod 223 ≡ 83 ⋅ 72 mod 223
5976 mod 223 ≡ 178 mod 223

Es gilt also: 72215 ≡ 178 mod 223

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19

=>61 = 3⋅19 + 4
=>19 = 4⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4)
= -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 61-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19)
= 5⋅61 -16⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19

oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅61 = -16⋅19

-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19

-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1

(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1

45⋅19 = 14⋅61 + 1

Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1

Somit 45⋅19 = 1 mod 61

45 ist also das Inverse von 19 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.