Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (899 - 15001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(899 - 15001) mod 3 ≡ (899 mod 3 - 15001 mod 3) mod 3.
899 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899
= 900
15001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001
= 15000
Somit gilt:
(899 - 15001) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 63) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 63) mod 4 ≡ (34 mod 4 ⋅ 63 mod 4) mod 4.
34 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 8 ⋅ 4 + 2 ist.
63 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 15 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 63) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 71432 mod 887.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 714 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7141=714
2: 7142=7141+1=7141⋅7141 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 658 mod 887
4: 7144=7142+2=7142⋅7142 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 108 mod 887
8: 7148=7144+4=7144⋅7144 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 133 mod 887
16: 71416=7148+8=7148⋅7148 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 836 mod 887
32: 71432=71416+16=71416⋅71416 ≡ 836⋅836=698896 ≡ 827 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 434193 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 4341=434
2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 17 mod 569
4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 569
8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 447 mod 569
16: 43416=4348+8=4348⋅4348 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 90 mod 569
32: 43432=43416+16=43416⋅43416 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 134 mod 569
64: 43464=43432+32=43432⋅43432 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 317 mod 569
128: 434128=43464+64=43464⋅43464 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 345 mod 569
434193
= 434128+64+1
= 434128⋅43464⋅4341
≡ 345 ⋅ 317 ⋅ 434 mod 569
≡ 109365 ⋅ 434 mod 569 ≡ 117 ⋅ 434 mod 569
≡ 50778 mod 569 ≡ 137 mod 569
Es gilt also: 434193 ≡ 137 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28
| =>67 | = 2⋅28 + 11 |
| =>28 | = 2⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 28-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11) = 2⋅28 -5⋅ 11 (=1) |
| 11= 67-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28) = -5⋅67 +12⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +12⋅28
Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1
Somit 12⋅28 = 1 mod 67
12 ist also das Inverse von 28 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
