Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 + 1602) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 + 1602) mod 8 ≡ (75 mod 8 + 1602 mod 8) mod 8.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 80-5 = 8 ⋅ 10 -5 = 8 ⋅ 10 - 8 + 3.

1602 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 8 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(75 + 1602) mod 8 ≡ (3 + 2) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 54) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 54) mod 10 ≡ (85 mod 10 ⋅ 54 mod 10) mod 10.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 54) mod 10 ≡ (5 ⋅ 4) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 811128 mod 977.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 811 -> x
2. mod(x²,977) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8111=811

2: 8112=8111+1=8111⋅8111 ≡ 811⋅811=657721 ≡ 200 mod 977

4: 8114=8112+2=8112⋅8112 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 920 mod 977

8: 8118=8114+4=8114⋅8114 ≡ 920⋅920=846400 ≡ 318 mod 977

16: 81116=8118+8=8118⋅8118 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 493 mod 977

32: 81132=81116+16=81116⋅81116 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 753 mod 977

64: 81164=81132+32=81132⋅81132 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 349 mod 977

128: 811128=81164+64=81164⋅81164 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 653 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 337202 mod 587.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 3371=337

2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 278 mod 587

4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 387 mod 587

8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 84 mod 587

16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 12 mod 587

32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 587

64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 191 mod 587

128: 337128=33764+64=33764⋅33764 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 87 mod 587

337202

= 337128+64+8+2

= 337128⋅33764⋅3378⋅3372

87 ⋅ 191 ⋅ 84 ⋅ 278 mod 587
16617 ⋅ 84 ⋅ 278 mod 587 ≡ 181 ⋅ 84 ⋅ 278 mod 587
15204 ⋅ 278 mod 587 ≡ 529 ⋅ 278 mod 587
147062 mod 587 ≡ 312 mod 587

Es gilt also: 337202 ≡ 312 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 38

=>97 = 2⋅38 + 21
=>38 = 1⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 38-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21)
= 5⋅38 -9⋅ 21 (=1)
21= 97-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅38 -9⋅(97 -2⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅97 +18⋅ 38)
= -9⋅97 +23⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(97,38)=1 = -9⋅97 +23⋅38

oder wenn man -9⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅97 = +23⋅38

Es gilt also: 23⋅38 = 9⋅97 +1

Somit 23⋅38 = 1 mod 97

23 ist also das Inverse von 38 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.