Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 + 2705) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 + 2705) mod 9 ≡ (93 mod 9 + 2705 mod 9) mod 9.
93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93
= 90
2705 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2705
= 2700
Somit gilt:
(93 + 2705) mod 9 ≡ (3 + 5) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 89) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 89) mod 4 ≡ (42 mod 4 ⋅ 89 mod 4) mod 4.
42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.
89 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 22 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 89) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1548 mod 487.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 154 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1541=154
2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 340 mod 487
4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 181 mod 487
8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 132 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 136160 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 1361=136
2: 1362=1361+1=1361⋅1361 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 393 mod 421
4: 1364=1362+2=1362⋅1362 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 363 mod 421
8: 1368=1364+4=1364⋅1364 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 417 mod 421
16: 13616=1368+8=1368⋅1368 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 16 mod 421
32: 13632=13616+16=13616⋅13616 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 421
64: 13664=13632+32=13632⋅13632 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 281 mod 421
128: 136128=13664+64=13664⋅13664 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 234 mod 421
136160
= 136128+32
= 136128⋅13632
≡ 234 ⋅ 256 mod 421
≡ 59904 mod 421 ≡ 122 mod 421
Es gilt also: 136160 ≡ 122 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36
| =>89 | = 2⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -42⋅36
-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36
-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1
(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1
47⋅36 = 19⋅89 + 1
Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1
Somit 47⋅36 = 1 mod 89
47 ist also das Inverse von 36 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
