Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 + 84) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 + 84) mod 9 ≡ (81 mod 9 + 84 mod 9) mod 9.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 90-9 = 9 ⋅ 10 -9 = 9 ⋅ 10 - 9 + 0.

84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 90-6 = 9 ⋅ 10 -6 = 9 ⋅ 10 - 9 + 3.

Somit gilt:

(81 + 84) mod 9 ≡ (0 + 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 96) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 96) mod 6 ≡ (87 mod 6 ⋅ 96 mod 6) mod 6.

87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 96) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3078 mod 631.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 307 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3071=307

2: 3072=3071+1=3071⋅3071 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 230 mod 631

4: 3074=3072+2=3072⋅3072 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 527 mod 631

8: 3078=3074+4=3074⋅3074 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 89 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25362 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

1: 2531=253

2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 53 mod 271

4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 99 mod 271

8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 45 mod 271

16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 128 mod 271

32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 124 mod 271

25362

= 25332+16+8+4+2

= 25332⋅25316⋅2538⋅2534⋅2532

124 ⋅ 128 ⋅ 45 ⋅ 99 ⋅ 53 mod 271
15872 ⋅ 45 ⋅ 99 ⋅ 53 mod 271 ≡ 154 ⋅ 45 ⋅ 99 ⋅ 53 mod 271
6930 ⋅ 99 ⋅ 53 mod 271 ≡ 155 ⋅ 99 ⋅ 53 mod 271
15345 ⋅ 53 mod 271 ≡ 169 ⋅ 53 mod 271
8957 mod 271 ≡ 14 mod 271

Es gilt also: 25362 ≡ 14 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29

=>73 = 2⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 73-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29)
= 2⋅73 -5⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29

oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅73 = -5⋅29

-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29

-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1

(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1

68⋅29 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1

Somit 68⋅29 = 1 mod 73

68 ist also das Inverse von 29 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.