Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (164 + 152) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(164 + 152) mod 8 ≡ (164 mod 8 + 152 mod 8) mod 8.
164 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164
= 160
152 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 160
Somit gilt:
(164 + 152) mod 8 ≡ (4 + 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 84) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 84) mod 4 ≡ (66 mod 4 ⋅ 84 mod 4) mod 4.
66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 84) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26332 mod 379.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 263 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2631=263
2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 191 mod 379
4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 97 mod 379
8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 313 mod 379
16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 187 mod 379
32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 101 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 490130 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 4901=490
2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 157 mod 661
4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 192 mod 661
8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 509 mod 661
16: 49016=4908+8=4908⋅4908 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 630 mod 661
32: 49032=49016+16=49016⋅49016 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 300 mod 661
64: 49064=49032+32=49032⋅49032 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 104 mod 661
128: 490128=49064+64=49064⋅49064 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 240 mod 661
490130
= 490128+2
= 490128⋅4902
≡ 240 ⋅ 157 mod 661
≡ 37680 mod 661 ≡ 3 mod 661
Es gilt also: 490130 ≡ 3 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 75
| =>79 | = 1⋅75 + 4 |
| =>75 | = 18⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 75-18⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(75 -18⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅75 +18⋅ 4) = -1⋅75 +19⋅ 4 (=1) |
| 4= 79-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅75 +19⋅(79 -1⋅ 75)
= -1⋅75 +19⋅79 -19⋅ 75) = 19⋅79 -20⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,75)=1 = 19⋅79 -20⋅75
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -20⋅75
-20⋅75 = -19⋅79 + 1 |+79⋅75
-20⋅75 + 79⋅75 = -19⋅79 + 79⋅75 + 1
(-20 + 79) ⋅ 75 = (-19 + 75) ⋅ 79 + 1
59⋅75 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 59⋅75 = 56⋅79 +1
Somit 59⋅75 = 1 mod 79
59 ist also das Inverse von 75 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
