Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10001 + 152) mod 5 ≡ (10001 mod 5 + 152 mod 5) mod 5.

10001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10001 = 10000+1 = 5 ⋅ 2000 +1.

152 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152 = 150+2 = 5 ⋅ 30 +2.

Somit gilt:

(10001 + 152) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 57) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 57 mod 3) mod 3.

43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 57) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 123¹=123

2: 123²=123¹⁺¹=123¹⋅123¹ ≡ 123⋅123=15129 ≡ 82 mod 367

4: 123⁴=123²⁺²=123²⋅123² ≡ 82⋅82=6724 ≡ 118 mod 367

8: 123⁸=123⁴⁺⁴=123⁴⋅123⁴ ≡ 118⋅118=13924 ≡ 345 mod 367

16: 123¹⁶=123⁸⁺⁸=123⁸⋅123⁸ ≡ 345⋅345=119025 ≡ 117 mod 367

32: 123³²=123¹⁶⁺¹⁶=123¹⁶⋅123¹⁶ ≡ 117⋅117=13689 ≡ 110 mod 367

64: 123⁶⁴=123³²⁺³²=123³²⋅123³² ≡ 110⋅110=12100 ≡ 356 mod 367

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

797¹⁹¹

= 797^{128+32+16+8+4+2+1}

= 797¹²⁸⋅797³²⋅797¹⁶⋅797⁸⋅797⁴⋅797²⋅797¹

≡ 470 ⋅ 783 ⋅ 480 ⋅ 79 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823
≡ 368010 ⋅ 480 ⋅ 79 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823 ≡ 129 ⋅ 480 ⋅ 79 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823
≡ 61920 ⋅ 79 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823 ≡ 195 ⋅ 79 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823
≡ 15405 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823 ≡ 591 ⋅ 211 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823
≡ 124701 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823 ≡ 428 ⋅ 676 ⋅ 797 mod 823
≡ 289328 ⋅ 797 mod 823 ≡ 455 ⋅ 797 mod 823
≡ 362635 mod 823 ≡ 515 mod 823

Es gilt also: 797¹⁹¹ ≡ 515 mod 823

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67	= 1⋅50 + 17
=>50	= 2⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50) = -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67