Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2003 + 198) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2003 + 198) mod 4 ≡ (2003 mod 4 + 198 mod 4) mod 4.

2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 4 ⋅ 500 +3.

198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 200-2 = 4 ⋅ 50 -2 = 4 ⋅ 50 - 4 + 2.

Somit gilt:

(2003 + 198) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 71) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 71) mod 10 ≡ (62 mod 10 ⋅ 71 mod 10) mod 10.

62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.

71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 71) mod 10 ≡ (2 ⋅ 1) mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 46932 mod 631.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 469 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4691=469

2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 373 mod 631

4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 309 mod 631

8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 200 mod 631

16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 247 mod 631

32: 46932=46916+16=46916⋅46916 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 433 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25364 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:

64 = 64

1: 2531=253

2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 250 mod 401

4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 345 mod 401

8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 329 mod 401

16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 372 mod 401

32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 39 mod 401

64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 318 mod 401

25364

= 25364

= 25364

318 mod 401

Es gilt also: 25364 ≡ 318 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38

=>101 = 2⋅38 + 25
=>38 = 1⋅25 + 13
=>25 = 1⋅13 + 12
=>13 = 1⋅12 + 1
=>12 = 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 25-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13)
= -1⋅25 +2⋅ 13 (=1)
13= 38-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25)
= -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25)
= 2⋅38 -3⋅ 25 (=1)
25= 101-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38)
= 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38)
= -3⋅101 +8⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38

oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅101 = +8⋅38

Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1

Somit 8⋅38 = 1 mod 101

8 ist also das Inverse von 38 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.