Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(201 + 10003) mod 5 ≡ (201 mod 5 + 10003 mod 5) mod 5.

201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 5 ⋅ 40 +1.

10003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10003 = 10000+3 = 5 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(201 + 10003) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 37) mod 5 ≡ (29 mod 5 ⋅ 37 mod 5) mod 5.

29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.

37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 37) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 362¹=362

2: 362²=362¹⁺¹=362¹⋅362¹ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 122 mod 541

4: 362⁴=362²⁺²=362²⋅362² ≡ 122⋅122=14884 ≡ 277 mod 541

8: 362⁸=362⁴⁺⁴=362⁴⋅362⁴ ≡ 277⋅277=76729 ≡ 448 mod 541

16: 362¹⁶=362⁸⁺⁸=362⁸⋅362⁸ ≡ 448⋅448=200704 ≡ 534 mod 541

32: 362³²=362¹⁶⁺¹⁶=362¹⁶⋅362¹⁶ ≡ 534⋅534=285156 ≡ 49 mod 541

64: 362⁶⁴=362³²⁺³²=362³²⋅362³² ≡ 49⋅49=2401 ≡ 237 mod 541

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:

117 = 64+32+16+4+1

120¹¹⁷

= 120^64+32+16+4+1

= 120⁶⁴⋅120³²⋅120¹⁶⋅120⁴⋅120¹

≡ 175 ⋅ 117 ⋅ 74 ⋅ 19 ⋅ 120 mod 233
≡ 20475 ⋅ 74 ⋅ 19 ⋅ 120 mod 233 ≡ 204 ⋅ 74 ⋅ 19 ⋅ 120 mod 233
≡ 15096 ⋅ 19 ⋅ 120 mod 233 ≡ 184 ⋅ 19 ⋅ 120 mod 233
≡ 3496 ⋅ 120 mod 233 ≡ 1 ⋅ 120 mod 233
≡ 120 mod 233

Es gilt also: 120¹¹⁷ ≡ 120 mod 233

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63

=>73	= 1⋅63 + 10
=>63	= 6⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 63-6⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1)
10= 73-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63) = -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63

oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅73 = -22⋅63

-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63

-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1

(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1

51⋅63 = 44⋅73 + 1

Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1

Somit 51⋅63 = 1 mod 73

51 ist also das Inverse von 63 mod 73