Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1996 - 497) mod 5 ≡ (1996 mod 5 - 497 mod 5) mod 5.

1996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 5 ⋅ 380 +96.

497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 497 = 400+97 = 5 ⋅ 80 +97.

Somit gilt:

(1996 - 497) mod 5 ≡ (1 - 2) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 31) mod 4 ≡ (21 mod 4 ⋅ 31 mod 4) mod 4.

21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.

31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 31) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 939¹=939

2: 939²=939¹⁺¹=939¹⋅939¹ ≡ 939⋅939=881721 ≡ 53 mod 971

4: 939⁴=939²⁺²=939²⋅939² ≡ 53⋅53=2809 ≡ 867 mod 971

8: 939⁸=939⁴⁺⁴=939⁴⋅939⁴ ≡ 867⋅867=751689 ≡ 135 mod 971

16: 939¹⁶=939⁸⁺⁸=939⁸⋅939⁸ ≡ 135⋅135=18225 ≡ 747 mod 971

32: 939³²=939¹⁶⁺¹⁶=939¹⁶⋅939¹⁶ ≡ 747⋅747=558009 ≡ 655 mod 971

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

110¹⁸⁵

= 110^{128+32+16+8+1}

= 110¹²⁸⋅110³²⋅110¹⁶⋅110⁸⋅110¹

≡ 51 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 63 ⋅ 110 mod 233
≡ 3264 ⋅ 8 ⋅ 63 ⋅ 110 mod 233 ≡ 2 ⋅ 8 ⋅ 63 ⋅ 110 mod 233
≡ 16 ⋅ 63 ⋅ 110 mod 233
≡ 1008 ⋅ 110 mod 233 ≡ 76 ⋅ 110 mod 233
≡ 8360 mod 233 ≡ 205 mod 233

Es gilt also: 110¹⁸⁵ ≡ 205 mod 233

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68

=>79	= 1⋅68 + 11
=>68	= 6⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 68-6⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11) = -5⋅68 +31⋅ 11 (=1)
11= 79-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68) = -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68) = 31⋅79 -36⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -36⋅68

-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68

-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1

(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1

43⋅68 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1

Somit 43⋅68 = 1 mod 79

43 ist also das Inverse von 68 mod 79