Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (448 - 892) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(448 - 892) mod 9 ≡ (448 mod 9 - 892 mod 9) mod 9.
448 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 448
= 450
892 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 892
= 900
Somit gilt:
(448 - 892) mod 9 ≡ (7 - 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 16) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 16) mod 4 ≡ (40 mod 4 ⋅ 16 mod 4) mod 4.
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.
16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 16) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3678 mod 941.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 367 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3671=367
2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 126 mod 941
4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 820 mod 941
8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 526 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 409224 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 4091=409
2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 270 mod 443
4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 248 mod 443
8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 370 mod 443
16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 13 mod 443
32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 443
64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 209 mod 443
128: 409128=40964+64=40964⋅40964 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 267 mod 443
409224
= 409128+64+32
= 409128⋅40964⋅40932
≡ 267 ⋅ 209 ⋅ 169 mod 443
≡ 55803 ⋅ 169 mod 443 ≡ 428 ⋅ 169 mod 443
≡ 72332 mod 443 ≡ 123 mod 443
Es gilt also: 409224 ≡ 123 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51
| =>89 | = 1⋅51 + 38 |
| =>51 | = 1⋅38 + 13 |
| =>38 | = 2⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 38-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 51-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38) = 3⋅51 -4⋅ 38 (=1) |
| 38= 89-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51) = -4⋅89 +7⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51
oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +4⋅89 = +7⋅51
Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1
Somit 7⋅51 = 1 mod 89
7 ist also das Inverse von 51 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
