Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5000 + 25005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5000 + 25005) mod 5 ≡ (5000 mod 5 + 25005 mod 5) mod 5.
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005
= 25000
Somit gilt:
(5000 + 25005) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 35) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 35) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 35 mod 7) mod 7.
83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.
35 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 5 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 35) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 285128 mod 457.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 285 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 336 mod 457
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 17 mod 457
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 457
16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 347 mod 457
32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 218 mod 457
64: 28564=28532+32=28532⋅28532 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457
128: 285128=28564+64=28564⋅28564 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 16 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 673134 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:
134 = 128+4+2
1: 6731=673
2: 6732=6731+1=6731⋅6731 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 42 mod 991
4: 6734=6732+2=6732⋅6732 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 773 mod 991
8: 6738=6734+4=6734⋅6734 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 947 mod 991
16: 67316=6738+8=6738⋅6738 ≡ 947⋅947=896809 ≡ 945 mod 991
32: 67332=67316+16=67316⋅67316 ≡ 945⋅945=893025 ≡ 134 mod 991
64: 67364=67332+32=67332⋅67332 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 118 mod 991
128: 673128=67364+64=67364⋅67364 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 50 mod 991
673134
= 673128+4+2
= 673128⋅6734⋅6732
≡ 50 ⋅ 773 ⋅ 42 mod 991
≡ 38650 ⋅ 42 mod 991 ≡ 1 ⋅ 42 mod 991
≡ 42 mod 991
Es gilt also: 673134 ≡ 42 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
