Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (212 + 1396) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(212 + 1396) mod 7 ≡ (212 mod 7 + 1396 mod 7) mod 7.
212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212
= 210
1396 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1396
= 1400
Somit gilt:
(212 + 1396) mod 7 ≡ (2 + 3) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 75) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 75) mod 6 ≡ (71 mod 6 ⋅ 75 mod 6) mod 6.
71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.
75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 75) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24032 mod 491.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2401=240
2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 153 mod 491
4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 332 mod 491
8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 240 mod 491
16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 153 mod 491
32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 332 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 326240 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:
240 = 128+64+32+16
1: 3261=326
2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 345 mod 409
4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 6 mod 409
8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 409
16: 32616=3268+8=3268⋅3268 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 69 mod 409
32: 32632=32616+16=32616⋅32616 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 262 mod 409
64: 32664=32632+32=32632⋅32632 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 341 mod 409
128: 326128=32664+64=32664⋅32664 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 125 mod 409
326240
= 326128+64+32+16
= 326128⋅32664⋅32632⋅32616
≡ 125 ⋅ 341 ⋅ 262 ⋅ 69 mod 409
≡ 42625 ⋅ 262 ⋅ 69 mod 409 ≡ 89 ⋅ 262 ⋅ 69 mod 409
≡ 23318 ⋅ 69 mod 409 ≡ 5 ⋅ 69 mod 409
≡ 345 mod 409
Es gilt also: 326240 ≡ 345 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19
| =>53 | = 2⋅19 + 15 |
| =>19 | = 1⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 19-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15) = 4⋅19 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19) = -5⋅53 +14⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +14⋅19
Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1
Somit 14⋅19 = 1 mod 53
14 ist also das Inverse von 19 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
