Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (189 + 4507) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(189 + 4507) mod 9 ≡ (189 mod 9 + 4507 mod 9) mod 9.
189 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 189
= 180
4507 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4507
= 4500
Somit gilt:
(189 + 4507) mod 9 ≡ (0 + 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 18) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 18) mod 6 ≡ (99 mod 6 ⋅ 18 mod 6) mod 6.
99 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 16 ⋅ 6 + 3 ist.
18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 18) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26916 mod 421.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 269 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 370 mod 421
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 75 mod 421
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 152 mod 421
16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 370 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 182187 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:
187 = 128+32+16+8+2+1
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 173 mod 397
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 154 mod 397
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 293 mod 397
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 97 mod 397
32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 278 mod 397
64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 266 mod 397
128: 182128=18264+64=18264⋅18264 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 90 mod 397
182187
= 182128+32+16+8+2+1
= 182128⋅18232⋅18216⋅1828⋅1822⋅1821
≡ 90 ⋅ 278 ⋅ 97 ⋅ 293 ⋅ 173 ⋅ 182 mod 397
≡ 25020 ⋅ 97 ⋅ 293 ⋅ 173 ⋅ 182 mod 397 ≡ 9 ⋅ 97 ⋅ 293 ⋅ 173 ⋅ 182 mod 397
≡ 873 ⋅ 293 ⋅ 173 ⋅ 182 mod 397 ≡ 79 ⋅ 293 ⋅ 173 ⋅ 182 mod 397
≡ 23147 ⋅ 173 ⋅ 182 mod 397 ≡ 121 ⋅ 173 ⋅ 182 mod 397
≡ 20933 ⋅ 182 mod 397 ≡ 289 ⋅ 182 mod 397
≡ 52598 mod 397 ≡ 194 mod 397
Es gilt also: 182187 ≡ 194 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
