Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (803 - 24002) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(803 - 24002) mod 8 ≡ (803 mod 8 - 24002 mod 8) mod 8.
803 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803
= 800
24002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002
= 24000
Somit gilt:
(803 - 24002) mod 8 ≡ (3 - 2) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 52) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 52) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 52 mod 3) mod 3.
42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.
52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 52) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24316 mod 571.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 243 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2431=243
2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 236 mod 571
4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 309 mod 571
8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 124 mod 571
16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 530 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 186174 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 1861=186
2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 57 mod 397
4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 73 mod 397
8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 168 mod 397
16: 18616=1868+8=1868⋅1868 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 37 mod 397
32: 18632=18616+16=18616⋅18616 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 178 mod 397
64: 18664=18632+32=18632⋅18632 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 321 mod 397
128: 186128=18664+64=18664⋅18664 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 218 mod 397
186174
= 186128+32+8+4+2
= 186128⋅18632⋅1868⋅1864⋅1862
≡ 218 ⋅ 178 ⋅ 168 ⋅ 73 ⋅ 57 mod 397
≡ 38804 ⋅ 168 ⋅ 73 ⋅ 57 mod 397 ≡ 295 ⋅ 168 ⋅ 73 ⋅ 57 mod 397
≡ 49560 ⋅ 73 ⋅ 57 mod 397 ≡ 332 ⋅ 73 ⋅ 57 mod 397
≡ 24236 ⋅ 57 mod 397 ≡ 19 ⋅ 57 mod 397
≡ 1083 mod 397 ≡ 289 mod 397
Es gilt also: 186174 ≡ 289 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 75
| =>97 | = 1⋅75 + 22 |
| =>75 | = 3⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 75-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(75 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅75 -15⋅ 22) = 5⋅75 -17⋅ 22 (=1) |
| 22= 97-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅75 -17⋅(97 -1⋅ 75)
= 5⋅75 -17⋅97 +17⋅ 75) = -17⋅97 +22⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,75)=1 = -17⋅97 +22⋅75
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +22⋅75
Es gilt also: 22⋅75 = 17⋅97 +1
Somit 22⋅75 = 1 mod 97
22 ist also das Inverse von 75 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
