Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2706 - 270) mod 9 ≡ (2706 mod 9 - 270 mod 9) mod 9.

2706 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2706 = 2700+6 = 9 ⋅ 300 +6.

270 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 270 = 270+0 = 9 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(2706 - 270) mod 9 ≡ (6 - 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 36) mod 4 ≡ (54 mod 4 ⋅ 36 mod 4) mod 4.

54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.

36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 36) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 309¹=309

2: 309²=309¹⁺¹=309¹⋅309¹ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 171 mod 353

4: 309⁴=309²⁺²=309²⋅309² ≡ 171⋅171=29241 ≡ 295 mod 353

8: 309⁸=309⁴⁺⁴=309⁴⋅309⁴ ≡ 295⋅295=87025 ≡ 187 mod 353

16: 309¹⁶=309⁸⁺⁸=309⁸⋅309⁸ ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353

32: 309³²=309¹⁶⁺¹⁶=309¹⁶⋅309¹⁶ ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

64: 309⁶⁴=309³²⁺³²=309³²⋅309³² ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:

173 = 128+32+8+4+1

418¹⁷³

= 418^128+32+8+4+1

= 418¹²⁸⋅418³²⋅418⁸⋅418⁴⋅418¹

≡ 284 ⋅ 335 ⋅ 369 ⋅ 195 ⋅ 418 mod 523
≡ 95140 ⋅ 369 ⋅ 195 ⋅ 418 mod 523 ≡ 477 ⋅ 369 ⋅ 195 ⋅ 418 mod 523
≡ 176013 ⋅ 195 ⋅ 418 mod 523 ≡ 285 ⋅ 195 ⋅ 418 mod 523
≡ 55575 ⋅ 418 mod 523 ≡ 137 ⋅ 418 mod 523
≡ 57266 mod 523 ≡ 259 mod 523

Es gilt also: 418¹⁷³ ≡ 259 mod 523

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 79

=>83	= 1⋅79 + 4
=>79	= 19⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 79-19⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(79 -19⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅79 +19⋅ 4) = -1⋅79 +20⋅ 4 (=1)
4= 83-1⋅79	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅79 +20⋅(83 -1⋅ 79) = -1⋅79 +20⋅83 -20⋅ 79) = 20⋅83 -21⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(83,79)=1 = 20⋅83 -21⋅79

oder wenn man 20⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -20⋅83 = -21⋅79

-21⋅79 = -20⋅83 + 1 |+83⋅79

-21⋅79 + 83⋅79 = -20⋅83 + 83⋅79 + 1

(-21 + 83) ⋅ 79 = (-20 + 79) ⋅ 83 + 1

62⋅79 = 59⋅83 + 1

Es gilt also: 62⋅79 = 59⋅83 +1

Somit 62⋅79 = 1 mod 83

62 ist also das Inverse von 79 mod 83