Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2400 - 16006) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2400 - 16006) mod 8 ≡ (2400 mod 8 - 16006 mod 8) mod 8.
2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400
= 2400
16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006
= 16000
Somit gilt:
(2400 - 16006) mod 8 ≡ (0 - 6) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 23) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 23) mod 4 ≡ (91 mod 4 ⋅ 23 mod 4) mod 4.
91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.
23 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 5 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 23) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15764 mod 307.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 157 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1571=157
2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 89 mod 307
4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 246 mod 307
8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 37 mod 307
16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 141 mod 307
32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 233 mod 307
64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 257 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 374112 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 3741=374
2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 156 mod 499
4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 384 mod 499
8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 251 mod 499
16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 127 mod 499
32: 37432=37416+16=37416⋅37416 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 161 mod 499
64: 37464=37432+32=37432⋅37432 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 472 mod 499
374112
= 37464+32+16
= 37464⋅37432⋅37416
≡ 472 ⋅ 161 ⋅ 127 mod 499
≡ 75992 ⋅ 127 mod 499 ≡ 144 ⋅ 127 mod 499
≡ 18288 mod 499 ≡ 324 mod 499
Es gilt also: 374112 ≡ 324 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
