Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 - 57) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 - 57) mod 6 ≡ (122 mod 6 - 57 mod 6) mod 6.
122 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57
= 60
Somit gilt:
(122 - 57) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 27) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 27) mod 8 ≡ (82 mod 8 ⋅ 27 mod 8) mod 8.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.
27 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 3 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 27) mod 8 ≡ (2 ⋅ 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 68564 mod 887.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 685 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6851=685
2: 6852=6851+1=6851⋅6851 ≡ 685⋅685=469225 ≡ 2 mod 887
4: 6854=6852+2=6852⋅6852 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 887
8: 6858=6854+4=6854⋅6854 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 887
16: 68516=6858+8=6858⋅6858 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 887
32: 68532=68516+16=68516⋅68516 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 785 mod 887
64: 68564=68532+32=68532⋅68532 ≡ 785⋅785=616225 ≡ 647 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 391138 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 3911=391
2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 150 mod 937
4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 12 mod 937
8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 937
16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 122 mod 937
32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 829 mod 937
64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 420 mod 937
128: 391128=39164+64=39164⋅39164 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 244 mod 937
391138
= 391128+8+2
= 391128⋅3918⋅3912
≡ 244 ⋅ 144 ⋅ 150 mod 937
≡ 35136 ⋅ 150 mod 937 ≡ 467 ⋅ 150 mod 937
≡ 70050 mod 937 ≡ 712 mod 937
Es gilt also: 391138 ≡ 712 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50
| =>61 | = 1⋅50 + 11 |
| =>50 | = 4⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 50-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +11⋅50
Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1
Somit 11⋅50 = 1 mod 61
11 ist also das Inverse von 50 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
