Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 - 1200) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 - 1200) mod 3 ≡ (31 mod 3 - 1200 mod 3) mod 3.
31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31
= 30
1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(31 - 1200) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 95) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 95) mod 5 ≡ (95 mod 5 ⋅ 95 mod 5) mod 5.
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 95) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38532 mod 577.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 385 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3851=385
2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 513 mod 577
4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 57 mod 577
8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 364 mod 577
16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 363 mod 577
32: 38532=38516+16=38516⋅38516 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 213 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 315225 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 58 mod 757
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 336 mod 757
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 103 mod 757
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 11 mod 757
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 757
64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 258 mod 757
128: 315128=31564+64=31564⋅31564 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 705 mod 757
315225
= 315128+64+32+1
= 315128⋅31564⋅31532⋅3151
≡ 705 ⋅ 258 ⋅ 121 ⋅ 315 mod 757
≡ 181890 ⋅ 121 ⋅ 315 mod 757 ≡ 210 ⋅ 121 ⋅ 315 mod 757
≡ 25410 ⋅ 315 mod 757 ≡ 429 ⋅ 315 mod 757
≡ 135135 mod 757 ≡ 389 mod 757
Es gilt also: 315225 ≡ 389 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 60
| =>89 | = 1⋅60 + 29 |
| =>60 | = 2⋅29 + 2 |
| =>29 | = 14⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-14⋅2 | |||
| 2= 60-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -14⋅(60 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -14⋅60 +28⋅ 29) = -14⋅60 +29⋅ 29 (=1) |
| 29= 89-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅60 +29⋅(89 -1⋅ 60)
= -14⋅60 +29⋅89 -29⋅ 60) = 29⋅89 -43⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,60)=1 = 29⋅89 -43⋅60
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -43⋅60
-43⋅60 = -29⋅89 + 1 |+89⋅60
-43⋅60 + 89⋅60 = -29⋅89 + 89⋅60 + 1
(-43 + 89) ⋅ 60 = (-29 + 60) ⋅ 89 + 1
46⋅60 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 46⋅60 = 31⋅89 +1
Somit 46⋅60 = 1 mod 89
46 ist also das Inverse von 60 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
