Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (120 + 1199) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 + 1199) mod 3 ≡ (120 mod 3 + 1199 mod 3) mod 3.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 3 ⋅ 400 -1 = 3 ⋅ 400 - 3 + 2.

Somit gilt:

(120 + 1199) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 90) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 90) mod 9 ≡ (70 mod 9 ⋅ 90 mod 9) mod 9.

70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.

90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 10 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 90) mod 9 ≡ (7 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14316 mod 229.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 143 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1431=143

2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 68 mod 229

4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 44 mod 229

8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 104 mod 229

16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 53 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 64168 mod 761.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:

68 = 64+4

1: 6411=641

2: 6412=6411+1=6411⋅6411 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 702 mod 761

4: 6414=6412+2=6412⋅6412 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 437 mod 761

8: 6418=6414+4=6414⋅6414 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 719 mod 761

16: 64116=6418+8=6418⋅6418 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 242 mod 761

32: 64132=64116+16=64116⋅64116 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 728 mod 761

64: 64164=64132+32=64132⋅64132 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 328 mod 761

64168

= 64164+4

= 64164⋅6414

328 ⋅ 437 mod 761
143336 mod 761 ≡ 268 mod 761

Es gilt also: 64168 ≡ 268 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45

=>97 = 2⋅45 + 7
=>45 = 6⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7)
= -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-2⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45)
= 13⋅97 -28⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -28⋅45

-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45

-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1

(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1

69⋅45 = 32⋅97 + 1

Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1

Somit 69⋅45 = 1 mod 97

69 ist also das Inverse von 45 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.