Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(804 + 201) mod 4 ≡ (804 mod 4 + 201 mod 4) mod 4.

804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 4 ⋅ 200 +4.

201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 4 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(804 + 201) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 32) mod 10 ≡ (20 mod 10 ⋅ 32 mod 10) mod 10.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

32 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 3 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 32) mod 10 ≡ (0 ⋅ 2) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 305¹=305

2: 305²=305¹⁺¹=305¹⋅305¹ ≡ 305⋅305=93025 ≡ 363 mod 433

4: 305⁴=305²⁺²=305²⋅305² ≡ 363⋅363=131769 ≡ 137 mod 433

8: 305⁸=305⁴⁺⁴=305⁴⋅305⁴ ≡ 137⋅137=18769 ≡ 150 mod 433

16: 305¹⁶=305⁸⁺⁸=305⁸⋅305⁸ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 417 mod 433

32: 305³²=305¹⁶⁺¹⁶=305¹⁶⋅305¹⁶ ≡ 417⋅417=173889 ≡ 256 mod 433

64: 305⁶⁴=305³²⁺³²=305³²⋅305³² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 153 mod 433

128: 305¹²⁸=305⁶⁴⁺⁶⁴=305⁶⁴⋅305⁶⁴ ≡ 153⋅153=23409 ≡ 27 mod 433

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

655¹⁵⁴

= 655^128+16+8+2

= 655¹²⁸⋅655¹⁶⋅655⁸⋅655²

≡ 651 ⋅ 412 ⋅ 355 ⋅ 463 mod 821
≡ 268212 ⋅ 355 ⋅ 463 mod 821 ≡ 566 ⋅ 355 ⋅ 463 mod 821
≡ 200930 ⋅ 463 mod 821 ≡ 606 ⋅ 463 mod 821
≡ 280578 mod 821 ≡ 617 mod 821

Es gilt also: 655¹⁵⁴ ≡ 617 mod 821

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35

=>101	= 2⋅35 + 31
=>35	= 1⋅31 + 4
=>31	= 7⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 35-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31) = -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35) = 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +26⋅35

Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1

Somit 26⋅35 = 1 mod 101

26 ist also das Inverse von 35 mod 101