Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8002 + 120) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8002 + 120) mod 4 ≡ (8002 mod 4 + 120 mod 4) mod 4.

8002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 4 ⋅ 2000 +2.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(8002 + 120) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 26) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 26) mod 10 ≡ (54 mod 10 ⋅ 26 mod 10) mod 10.

54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.

26 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 20 + 6 = 2 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 26) mod 10 ≡ (4 ⋅ 6) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2448 mod 751.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 244 -> x
2. mod(x²,751) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2441=244

2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 207 mod 751

4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 42 mod 751

8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 262 mod 751

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 753187 mod 757.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 7531=753

2: 7532=7531+1=7531⋅7531 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 16 mod 757

4: 7534=7532+2=7532⋅7532 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 757

8: 7538=7534+4=7534⋅7534 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 434 mod 757

16: 75316=7538+8=7538⋅7538 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 620 mod 757

32: 75332=75316+16=75316⋅75316 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 601 mod 757

64: 75364=75332+32=75332⋅75332 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 112 mod 757

128: 753128=75364+64=75364⋅75364 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 432 mod 757

753187

= 753128+32+16+8+2+1

= 753128⋅75332⋅75316⋅7538⋅7532⋅7531

432 ⋅ 601 ⋅ 620 ⋅ 434 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757
259632 ⋅ 620 ⋅ 434 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757 ≡ 738 ⋅ 620 ⋅ 434 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757
457560 ⋅ 434 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757 ≡ 332 ⋅ 434 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757
144088 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757 ≡ 258 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757
4128 ⋅ 753 mod 757 ≡ 343 ⋅ 753 mod 757
258279 mod 757 ≡ 142 mod 757

Es gilt also: 753187 ≡ 142 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39

=>89 = 2⋅39 + 11
=>39 = 3⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 39-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11)
= 2⋅39 -7⋅ 11 (=1)
11= 89-2⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39)
= 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39)
= -7⋅89 +16⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +16⋅39

Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1

Somit 16⋅39 = 1 mod 89

16 ist also das Inverse von 39 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.