Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2709 - 85) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2709 - 85) mod 9 ≡ (2709 mod 9 - 85 mod 9) mod 9.
2709 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2709
= 2700
85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85
= 90
Somit gilt:
(2709 - 85) mod 9 ≡ (0 - 4) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 72) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 72) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 72 mod 3) mod 3.
53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.
72 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 24 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 72) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19932 mod 509.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 199 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1991=199
2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 408 mod 509
4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 21 mod 509
8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 509
16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 43 mod 509
32: 19932=19916+16=19916⋅19916 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 322 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 166115 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:
115 = 64+32+16+2+1
1: 1661=166
2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 204 mod 263
4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 62 mod 263
8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 162 mod 263
16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 207 mod 263
32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 243 mod 263
64: 16664=16632+32=16632⋅16632 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 137 mod 263
166115
= 16664+32+16+2+1
= 16664⋅16632⋅16616⋅1662⋅1661
≡ 137 ⋅ 243 ⋅ 207 ⋅ 204 ⋅ 166 mod 263
≡ 33291 ⋅ 207 ⋅ 204 ⋅ 166 mod 263 ≡ 153 ⋅ 207 ⋅ 204 ⋅ 166 mod 263
≡ 31671 ⋅ 204 ⋅ 166 mod 263 ≡ 111 ⋅ 204 ⋅ 166 mod 263
≡ 22644 ⋅ 166 mod 263 ≡ 26 ⋅ 166 mod 263
≡ 4316 mod 263 ≡ 108 mod 263
Es gilt also: 166115 ≡ 108 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54
| =>71 | = 1⋅54 + 17 |
| =>54 | = 3⋅17 + 3 |
| =>17 | = 5⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 17-5⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1) |
| 3= 54-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1) |
| 17= 71-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54
oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅71 = +25⋅54
Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1
Somit 25⋅54 = 1 mod 71
25 ist also das Inverse von 54 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
