Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2396 + 11998) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2396 + 11998) mod 6 ≡ (2396 mod 6 + 11998 mod 6) mod 6.
2396 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2396
= 2400
11998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 12000
Somit gilt:
(2396 + 11998) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 52) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 52) mod 3 ≡ (75 mod 3 ⋅ 52 mod 3) mod 3.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 52) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5028 mod 599.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 502 -> x
2. mod(x²,599) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5021=502
2: 5022=5021+1=5021⋅5021 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 424 mod 599
4: 5024=5022+2=5022⋅5022 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 76 mod 599
8: 5028=5024+4=5024⋅5024 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 385 mod 599
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 169212 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 1691=169
2: 1692=1691+1=1691⋅1691 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 17 mod 223
4: 1694=1692+2=1692⋅1692 ≡ 17⋅17=289 ≡ 66 mod 223
8: 1698=1694+4=1694⋅1694 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 119 mod 223
16: 16916=1698+8=1698⋅1698 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 112 mod 223
32: 16932=16916+16=16916⋅16916 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 56 mod 223
64: 16964=16932+32=16932⋅16932 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 14 mod 223
128: 169128=16964+64=16964⋅16964 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 223
169212
= 169128+64+16+4
= 169128⋅16964⋅16916⋅1694
≡ 196 ⋅ 14 ⋅ 112 ⋅ 66 mod 223
≡ 2744 ⋅ 112 ⋅ 66 mod 223 ≡ 68 ⋅ 112 ⋅ 66 mod 223
≡ 7616 ⋅ 66 mod 223 ≡ 34 ⋅ 66 mod 223
≡ 2244 mod 223 ≡ 14 mod 223
Es gilt also: 169212 ≡ 14 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
