Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24002 + 239) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24002 + 239) mod 6 ≡ (24002 mod 6 + 239 mod 6) mod 6.
24002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002
= 24000
239 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239
= 240
Somit gilt:
(24002 + 239) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 100) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 100) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.
30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.
100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 100) mod 11 ≡ (8 ⋅ 1) mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 243128 mod 251.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 243 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2431=243
2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 64 mod 251
4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 80 mod 251
8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 125 mod 251
16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 63 mod 251
32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 204 mod 251
64: 24364=24332+32=24332⋅24332 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 201 mod 251
128: 243128=24364+64=24364⋅24364 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 241 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42262 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 4221=422
2: 4222=4221+1=4221⋅4221 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 270 mod 977
4: 4224=4222+2=4222⋅4222 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 602 mod 977
8: 4228=4224+4=4224⋅4224 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 914 mod 977
16: 42216=4228+8=4228⋅4228 ≡ 914⋅914=835396 ≡ 61 mod 977
32: 42232=42216+16=42216⋅42216 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 790 mod 977
42262
= 42232+16+8+4+2
= 42232⋅42216⋅4228⋅4224⋅4222
≡ 790 ⋅ 61 ⋅ 914 ⋅ 602 ⋅ 270 mod 977
≡ 48190 ⋅ 914 ⋅ 602 ⋅ 270 mod 977 ≡ 317 ⋅ 914 ⋅ 602 ⋅ 270 mod 977
≡ 289738 ⋅ 602 ⋅ 270 mod 977 ≡ 546 ⋅ 602 ⋅ 270 mod 977
≡ 328692 ⋅ 270 mod 977 ≡ 420 ⋅ 270 mod 977
≡ 113400 mod 977 ≡ 68 mod 977
Es gilt also: 42262 ≡ 68 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34
| =>73 | = 2⋅34 + 5 |
| =>34 | = 6⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 34-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34) = 7⋅73 -15⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -15⋅34
-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34
-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1
(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1
58⋅34 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1
Somit 58⋅34 = 1 mod 73
58 ist also das Inverse von 34 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
