Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44996 + 351) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44996 + 351) mod 9 ≡ (44996 mod 9 + 351 mod 9) mod 9.

44996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44996 = 45000-4 = 9 ⋅ 5000 -4 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 5.

351 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351 = 360-9 = 9 ⋅ 40 -9 = 9 ⋅ 40 - 9 + 0.

Somit gilt:

(44996 + 351) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 96) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 96) mod 9 ≡ (49 mod 9 ⋅ 96 mod 9) mod 9.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 96) mod 9 ≡ (4 ⋅ 6) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 334128 mod 601.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 334 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3341=334

2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 371 mod 601

4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 12 mod 601

8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 601

16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 302 mod 601

32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 453 mod 601

64: 33464=33432+32=33432⋅33432 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 268 mod 601

128: 334128=33464+64=33464⋅33464 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 305 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 161174 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

1: 1611=161

2: 1612=1611+1=1611⋅1611 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 247 mod 389

4: 1614=1612+2=1612⋅1612 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 325 mod 389

8: 1618=1614+4=1614⋅1614 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 206 mod 389

16: 16116=1618+8=1618⋅1618 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 35 mod 389

32: 16132=16116+16=16116⋅16116 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 58 mod 389

64: 16164=16132+32=16132⋅16132 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 252 mod 389

128: 161128=16164+64=16164⋅16164 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 97 mod 389

161174

= 161128+32+8+4+2

= 161128⋅16132⋅1618⋅1614⋅1612

97 ⋅ 58 ⋅ 206 ⋅ 325 ⋅ 247 mod 389
5626 ⋅ 206 ⋅ 325 ⋅ 247 mod 389 ≡ 180 ⋅ 206 ⋅ 325 ⋅ 247 mod 389
37080 ⋅ 325 ⋅ 247 mod 389 ≡ 125 ⋅ 325 ⋅ 247 mod 389
40625 ⋅ 247 mod 389 ≡ 169 ⋅ 247 mod 389
41743 mod 389 ≡ 120 mod 389

Es gilt also: 161174 ≡ 120 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 72

=>83 = 1⋅72 + 11
=>72 = 6⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 72-6⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(72 -6⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅72 -12⋅ 11)
= 2⋅72 -13⋅ 11 (=1)
11= 83-1⋅72 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅72 -13⋅(83 -1⋅ 72)
= 2⋅72 -13⋅83 +13⋅ 72)
= -13⋅83 +15⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(83,72)=1 = -13⋅83 +15⋅72

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +15⋅72

Es gilt also: 15⋅72 = 13⋅83 +1

Somit 15⋅72 = 1 mod 83

15 ist also das Inverse von 72 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.