Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (182 + 4499) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(182 + 4499) mod 9 ≡ (182 mod 9 + 4499 mod 9) mod 9.

182 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182 = 180+2 = 9 ⋅ 20 +2.

4499 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4499 = 4500-1 = 9 ⋅ 500 -1 = 9 ⋅ 500 - 9 + 8.

Somit gilt:

(182 + 4499) mod 9 ≡ (2 + 8) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 71) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 71) mod 4 ≡ (47 mod 4 ⋅ 71 mod 4) mod 4.

47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 71) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 87716 mod 971.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 877 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8771=877

2: 8772=8771+1=8771⋅8771 ≡ 877⋅877=769129 ≡ 97 mod 971

4: 8774=8772+2=8772⋅8772 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 670 mod 971

8: 8778=8774+4=8774⋅8774 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 298 mod 971

16: 87716=8778+8=8778⋅8778 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 443 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 208206 mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

1: 2081=208

2: 2082=2081+1=2081⋅2081 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 35 mod 311

4: 2084=2082+2=2082⋅2082 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 292 mod 311

8: 2088=2084+4=2084⋅2084 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 50 mod 311

16: 20816=2088+8=2088⋅2088 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 12 mod 311

32: 20832=20816+16=20816⋅20816 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 311

64: 20864=20832+32=20832⋅20832 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 210 mod 311

128: 208128=20864+64=20864⋅20864 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 249 mod 311

208206

= 208128+64+8+4+2

= 208128⋅20864⋅2088⋅2084⋅2082

249 ⋅ 210 ⋅ 50 ⋅ 292 ⋅ 35 mod 311
52290 ⋅ 50 ⋅ 292 ⋅ 35 mod 311 ≡ 42 ⋅ 50 ⋅ 292 ⋅ 35 mod 311
2100 ⋅ 292 ⋅ 35 mod 311 ≡ 234 ⋅ 292 ⋅ 35 mod 311
68328 ⋅ 35 mod 311 ≡ 219 ⋅ 35 mod 311
7665 mod 311 ≡ 201 mod 311

Es gilt also: 208206 ≡ 201 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27

=>61 = 2⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 61-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27)
= 4⋅61 -9⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27

oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅61 = -9⋅27

-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27

-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1

(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1

52⋅27 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1

Somit 52⋅27 = 1 mod 61

52 ist also das Inverse von 27 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.