Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4500 - 4498) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4500 - 4498) mod 9 ≡ (4500 mod 9 - 4498 mod 9) mod 9.

4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500 = 4500+0 = 9 ⋅ 500 +0.

4498 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4498 = 4500-2 = 9 ⋅ 500 -2 = 9 ⋅ 500 - 9 + 7.

Somit gilt:

(4500 - 4498) mod 9 ≡ (0 - 7) mod 9 ≡ -7 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 60) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 60) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 60) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24464 mod 277.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 244 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2441=244

2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 258 mod 277

4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 84 mod 277

8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 131 mod 277

16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 264 mod 277

32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 169 mod 277

64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 30 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 299212 mod 479.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

1: 2991=299

2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 307 mod 479

4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 365 mod 479

8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 63 mod 479

16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 137 mod 479

32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 88 mod 479

64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 80 mod 479

128: 299128=29964+64=29964⋅29964 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 173 mod 479

299212

= 299128+64+16+4

= 299128⋅29964⋅29916⋅2994

173 ⋅ 80 ⋅ 137 ⋅ 365 mod 479
13840 ⋅ 137 ⋅ 365 mod 479 ≡ 428 ⋅ 137 ⋅ 365 mod 479
58636 ⋅ 365 mod 479 ≡ 198 ⋅ 365 mod 479
72270 mod 479 ≡ 420 mod 479

Es gilt also: 299212 ≡ 420 mod 479

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23

=>59 = 2⋅23 + 13
=>23 = 1⋅13 + 10
=>13 = 1⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 13-1⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10)
= -3⋅13 +4⋅ 10 (=1)
10= 23-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13)
= 4⋅23 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23)
= -7⋅59 +18⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +18⋅23

Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1

Somit 18⋅23 = 1 mod 59

18 ist also das Inverse von 23 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.