Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(116 + 15998) mod 4 ≡ (116 mod 4 + 15998 mod 4) mod 4.

116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 4 ⋅ 30 -4 = 4 ⋅ 30 - 4 + 0.

15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 4 ⋅ 3750 +998.

Somit gilt:

(116 + 15998) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 98) mod 3 ≡ (96 mod 3 ⋅ 98 mod 3) mod 3.

96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.

98 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 32 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 98) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 96¹=96

2: 96²=96¹⁺¹=96¹⋅96¹ ≡ 96⋅96=9216 ≡ 75 mod 277

4: 96⁴=96²⁺²=96²⋅96² ≡ 75⋅75=5625 ≡ 85 mod 277

8: 96⁸=96⁴⁺⁴=96⁴⋅96⁴ ≡ 85⋅85=7225 ≡ 23 mod 277

16: 96¹⁶=96⁸⁺⁸=96⁸⋅96⁸ ≡ 23⋅23=529 ≡ 252 mod 277

32: 96³²=96¹⁶⁺¹⁶=96¹⁶⋅96¹⁶ ≡ 252⋅252=63504 ≡ 71 mod 277

64: 96⁶⁴=96³²⁺³²=96³²⋅96³² ≡ 71⋅71=5041 ≡ 55 mod 277

128: 96¹²⁸=96⁶⁴⁺⁶⁴=96⁶⁴⋅96⁶⁴ ≡ 55⋅55=3025 ≡ 255 mod 277

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

350¹¹⁰

= 350^64+32+8+4+2

= 350⁶⁴⋅350³²⋅350⁸⋅350⁴⋅350²

≡ 564 ⋅ 228 ⋅ 43 ⋅ 30 ⋅ 806 mod 857
≡ 128592 ⋅ 43 ⋅ 30 ⋅ 806 mod 857 ≡ 42 ⋅ 43 ⋅ 30 ⋅ 806 mod 857
≡ 1806 ⋅ 30 ⋅ 806 mod 857 ≡ 92 ⋅ 30 ⋅ 806 mod 857
≡ 2760 ⋅ 806 mod 857 ≡ 189 ⋅ 806 mod 857
≡ 152334 mod 857 ≡ 645 mod 857

Es gilt also: 350¹¹⁰ ≡ 645 mod 857

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89	= 1⋅46 + 43
=>46	= 1⋅43 + 3
=>43	= 14⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43) = 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46) = -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89