Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(177 + 361) mod 9 ≡ (177 mod 9 + 361 mod 9) mod 9.

177 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 9 ⋅ 20 -3 = 9 ⋅ 20 - 9 + 6.

361 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 361 = 360+1 = 9 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(177 + 361) mod 9 ≡ (6 + 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 69) mod 4 ≡ (48 mod 4 ⋅ 69 mod 4) mod 4.

48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.

69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 69) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 140¹=140

2: 140²=140¹⁺¹=140¹⋅140¹ ≡ 140⋅140=19600 ≡ 88 mod 271

4: 140⁴=140²⁺²=140²⋅140² ≡ 88⋅88=7744 ≡ 156 mod 271

8: 140⁸=140⁴⁺⁴=140⁴⋅140⁴ ≡ 156⋅156=24336 ≡ 217 mod 271

16: 140¹⁶=140⁸⁺⁸=140⁸⋅140⁸ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 206 mod 271

32: 140³²=140¹⁶⁺¹⁶=140¹⁶⋅140¹⁶ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 160 mod 271

64: 140⁶⁴=140³²⁺³²=140³²⋅140³² ≡ 160⋅160=25600 ≡ 126 mod 271

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

509¹¹⁹

= 509^{64+32+16+4+2+1}

= 509⁶⁴⋅509³²⋅509¹⁶⋅509⁴⋅509²⋅509¹

≡ 475 ⋅ 46 ⋅ 375 ⋅ 519 ⋅ 350 ⋅ 509 mod 547
≡ 21850 ⋅ 375 ⋅ 519 ⋅ 350 ⋅ 509 mod 547 ≡ 517 ⋅ 375 ⋅ 519 ⋅ 350 ⋅ 509 mod 547
≡ 193875 ⋅ 519 ⋅ 350 ⋅ 509 mod 547 ≡ 237 ⋅ 519 ⋅ 350 ⋅ 509 mod 547
≡ 123003 ⋅ 350 ⋅ 509 mod 547 ≡ 475 ⋅ 350 ⋅ 509 mod 547
≡ 166250 ⋅ 509 mod 547 ≡ 509 ⋅ 509 mod 547
≡ 259081 mod 547 ≡ 350 mod 547

Es gilt also: 509¹¹⁹ ≡ 350 mod 547

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54

=>71	= 1⋅54 + 17
=>54	= 3⋅17 + 3
=>17	= 5⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 17-5⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1)
3= 54-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17) = -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1)
17= 71-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54) = 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54

oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅71 = +25⋅54

Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1

Somit 25⋅54 = 1 mod 71

25 ist also das Inverse von 54 mod 71