Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8003 + 1202) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8003 + 1202) mod 4 ≡ (8003 mod 4 + 1202 mod 4) mod 4.
8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003
= 8000
1202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202
= 1200
Somit gilt:
(8003 + 1202) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 25) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 25) mod 10 ≡ (28 mod 10 ⋅ 25 mod 10) mod 10.
28 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 20 + 8 = 2 ⋅ 10 + 8 ist.
25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 25) mod 10 ≡ (8 ⋅ 5) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 674128 mod 971.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 674 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6741=674
2: 6742=6741+1=6741⋅6741 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 819 mod 971
4: 6744=6742+2=6742⋅6742 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 771 mod 971
8: 6748=6744+4=6744⋅6744 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 189 mod 971
16: 67416=6748+8=6748⋅6748 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 765 mod 971
32: 67432=67416+16=67416⋅67416 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 683 mod 971
64: 67464=67432+32=67432⋅67432 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 409 mod 971
128: 674128=67464+64=67464⋅67464 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 269 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 342240 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:
240 = 128+64+32+16
1: 3421=342
2: 3422=3421+1=3421⋅3421 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 260 mod 521
4: 3424=3422+2=3422⋅3422 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 391 mod 521
8: 3428=3424+4=3424⋅3424 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 228 mod 521
16: 34216=3428+8=3428⋅3428 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 405 mod 521
32: 34232=34216+16=34216⋅34216 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 431 mod 521
64: 34264=34232+32=34232⋅34232 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 285 mod 521
128: 342128=34264+64=34264⋅34264 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 470 mod 521
342240
= 342128+64+32+16
= 342128⋅34264⋅34232⋅34216
≡ 470 ⋅ 285 ⋅ 431 ⋅ 405 mod 521
≡ 133950 ⋅ 431 ⋅ 405 mod 521 ≡ 53 ⋅ 431 ⋅ 405 mod 521
≡ 22843 ⋅ 405 mod 521 ≡ 440 ⋅ 405 mod 521
≡ 178200 mod 521 ≡ 18 mod 521
Es gilt also: 342240 ≡ 18 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35
| =>59 | = 1⋅35 + 24 |
| =>35 | = 1⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 35-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 59-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +27⋅35
Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1
Somit 27⋅35 = 1 mod 59
27 ist also das Inverse von 35 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
