Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16001 + 7997) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16001 + 7997) mod 4 ≡ (16001 mod 4 + 7997 mod 4) mod 4.

16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 4 ⋅ 4000 +1.

7997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7997 = 7000+997 = 4 ⋅ 1750 +997.

Somit gilt:

(16001 + 7997) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 63) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 63) mod 5 ≡ (79 mod 5 ⋅ 63 mod 5) mod 5.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 63) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 232128 mod 293.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 232 -> x
2. mod(x²,293) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2321=232

2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 205 mod 293

4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 126 mod 293

8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 54 mod 293

16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 279 mod 293

32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 196 mod 293

64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 33 mod 293

128: 232128=23264+64=23264⋅23264 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 210 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 721252 mod 733.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

1: 7211=721

2: 7212=7211+1=7211⋅7211 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 144 mod 733

4: 7214=7212+2=7212⋅7212 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 212 mod 733

8: 7218=7214+4=7214⋅7214 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 231 mod 733

16: 72116=7218+8=7218⋅7218 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 585 mod 733

32: 72132=72116+16=72116⋅72116 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 647 mod 733

64: 72164=72132+32=72132⋅72132 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 66 mod 733

128: 721128=72164+64=72164⋅72164 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 691 mod 733

721252

= 721128+64+32+16+8+4

= 721128⋅72164⋅72132⋅72116⋅7218⋅7214

691 ⋅ 66 ⋅ 647 ⋅ 585 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733
45606 ⋅ 647 ⋅ 585 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733 ≡ 160 ⋅ 647 ⋅ 585 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733
103520 ⋅ 585 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733 ≡ 167 ⋅ 585 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733
97695 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733 ≡ 206 ⋅ 231 ⋅ 212 mod 733
47586 ⋅ 212 mod 733 ≡ 674 ⋅ 212 mod 733
142888 mod 733 ≡ 686 mod 733

Es gilt also: 721252 ≡ 686 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59 = 1⋅48 + 11
=>48 = 4⋅11 + 4
=>11 = 2⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4)
= -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11)
= 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48)
= -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.