Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 + 121) mod 4 ≡ (15997 mod 4 + 121 mod 4) mod 4.

15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 4 ⋅ 3750 +997.

121 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 4 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(15997 + 121) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 86) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 86 mod 10) mod 10.

88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.

86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 86) mod 10 ≡ (8 ⋅ 6) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 348¹=348

2: 348²=348¹⁺¹=348¹⋅348¹ ≡ 348⋅348=121104 ≡ 318 mod 491

4: 348⁴=348²⁺²=348²⋅348² ≡ 318⋅318=101124 ≡ 469 mod 491

8: 348⁸=348⁴⁺⁴=348⁴⋅348⁴ ≡ 469⋅469=219961 ≡ 484 mod 491

16: 348¹⁶=348⁸⁺⁸=348⁸⋅348⁸ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 49 mod 491

32: 348³²=348¹⁶⁺¹⁶=348¹⁶⋅348¹⁶ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 437 mod 491

64: 348⁶⁴=348³²⁺³²=348³²⋅348³² ≡ 437⋅437=190969 ≡ 461 mod 491

128: 348¹²⁸=348⁶⁴⁺⁶⁴=348⁶⁴⋅348⁶⁴ ≡ 461⋅461=212521 ≡ 409 mod 491

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:

109 = 64+32+8+4+1

563¹⁰⁹

= 563^64+32+8+4+1

= 563⁶⁴⋅563³²⋅563⁸⋅563⁴⋅563¹

≡ 16 ⋅ 4 ⋅ 574 ⋅ 179 ⋅ 563 mod 617
≡ 64 ⋅ 574 ⋅ 179 ⋅ 563 mod 617
≡ 36736 ⋅ 179 ⋅ 563 mod 617 ≡ 333 ⋅ 179 ⋅ 563 mod 617
≡ 59607 ⋅ 563 mod 617 ≡ 375 ⋅ 563 mod 617
≡ 211125 mod 617 ≡ 111 mod 617

Es gilt also: 563¹⁰⁹ ≡ 111 mod 617

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71	= 1⋅37 + 34
=>37	= 1⋅34 + 3
=>34	= 11⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34) = 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37) = -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71