Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16002 + 15995) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16002 + 15995) mod 8 ≡ (16002 mod 8 + 15995 mod 8) mod 8.
16002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
15995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15995
= 15000
Somit gilt:
(16002 + 15995) mod 8 ≡ (2 + 3) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 22) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 22) mod 9 ≡ (19 mod 9 ⋅ 22 mod 9) mod 9.
19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.
22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 22) mod 9 ≡ (1 ⋅ 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56616 mod 709.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 566 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5661=566
2: 5662=5661+1=5661⋅5661 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 597 mod 709
4: 5664=5662+2=5662⋅5662 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 491 mod 709
8: 5668=5664+4=5664⋅5664 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 21 mod 709
16: 56616=5668+8=5668⋅5668 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 198245 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:
245 = 128+64+32+16+4+1
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 140 mod 257
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 68 mod 257
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 255 mod 257
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 4 mod 257
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257
198245
= 198128+64+32+16+4+1
= 198128⋅19864⋅19832⋅19816⋅1984⋅1981
≡ 1 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257
≡ 4096 ⋅ 4 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257 ≡ 241 ⋅ 4 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257
≡ 964 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257 ≡ 193 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257
≡ 13124 ⋅ 198 mod 257 ≡ 17 ⋅ 198 mod 257
≡ 3366 mod 257 ≡ 25 mod 257
Es gilt also: 198245 ≡ 25 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60
| =>79 | = 1⋅60 + 19 |
| =>60 | = 3⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 60-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19) = -6⋅60 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 79-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60)
= -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60) = 19⋅79 -25⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -25⋅60
-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60
-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1
(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1
54⋅60 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1
Somit 54⋅60 = 1 mod 79
54 ist also das Inverse von 60 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
