Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3500 + 14006) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3500 + 14006) mod 7 ≡ (3500 mod 7 + 14006 mod 7) mod 7.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006 = 14000+6 = 7 ⋅ 2000 +6.

Somit gilt:

(3500 + 14006) mod 7 ≡ (0 + 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 80) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 80) mod 5 ≡ (81 mod 5 ⋅ 80 mod 5) mod 5.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 80) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 518128 mod 929.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 518 -> x
2. mod(x²,929) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5181=518

2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 772 mod 929

4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 495 mod 929

8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 698 mod 929

16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 408 mod 929

32: 51832=51816+16=51816⋅51816 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 173 mod 929

64: 51864=51832+32=51832⋅51832 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 201 mod 929

128: 518128=51864+64=51864⋅51864 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 454 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 122201 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

1: 1221=122

2: 1222=1221+1=1221⋅1221 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 47 mod 401

4: 1224=1222+2=1222⋅1222 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 204 mod 401

8: 1228=1224+4=1224⋅1224 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 313 mod 401

16: 12216=1228+8=1228⋅1228 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 125 mod 401

32: 12232=12216+16=12216⋅12216 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 387 mod 401

64: 12264=12232+32=12232⋅12232 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 196 mod 401

128: 122128=12264+64=12264⋅12264 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 321 mod 401

122201

= 122128+64+8+1

= 122128⋅12264⋅1228⋅1221

321 ⋅ 196 ⋅ 313 ⋅ 122 mod 401
62916 ⋅ 313 ⋅ 122 mod 401 ≡ 360 ⋅ 313 ⋅ 122 mod 401
112680 ⋅ 122 mod 401 ≡ 400 ⋅ 122 mod 401
48800 mod 401 ≡ 279 mod 401

Es gilt also: 122201 ≡ 279 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19

=>53 = 2⋅19 + 15
=>19 = 1⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 19-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15)
= 4⋅19 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19)
= -5⋅53 +14⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +14⋅19

Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1

Somit 14⋅19 = 1 mod 53

14 ist also das Inverse von 19 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.