Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (264 + 2696) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(264 + 2696) mod 9 ≡ (264 mod 9 + 2696 mod 9) mod 9.
264 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 264
= 270
2696 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2696
= 2700
Somit gilt:
(264 + 2696) mod 9 ≡ (3 + 5) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 79) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 79) mod 6 ≡ (45 mod 6 ⋅ 79 mod 6) mod 6.
45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.
79 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 13 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 79) mod 6 ≡ (3 ⋅ 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41016 mod 821.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 410 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4101=410
2: 4102=4101+1=4101⋅4101 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 616 mod 821
4: 4104=4102+2=4102⋅4102 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 154 mod 821
8: 4108=4104+4=4104⋅4104 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 728 mod 821
16: 41016=4108+8=4108⋅4108 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 439 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49073 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 4901=490
2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 241 mod 919
4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 184 mod 919
8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 772 mod 919
16: 49016=4908+8=4908⋅4908 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 472 mod 919
32: 49032=49016+16=49016⋅49016 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 386 mod 919
64: 49064=49032+32=49032⋅49032 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 118 mod 919
49073
= 49064+8+1
= 49064⋅4908⋅4901
≡ 118 ⋅ 772 ⋅ 490 mod 919
≡ 91096 ⋅ 490 mod 919 ≡ 115 ⋅ 490 mod 919
≡ 56350 mod 919 ≡ 291 mod 919
Es gilt also: 49073 ≡ 291 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 68
| =>89 | = 1⋅68 + 21 |
| =>68 | = 3⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 68-3⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(68 -3⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅68 +12⋅ 21) = -4⋅68 +13⋅ 21 (=1) |
| 21= 89-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅68 +13⋅(89 -1⋅ 68)
= -4⋅68 +13⋅89 -13⋅ 68) = 13⋅89 -17⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,68)=1 = 13⋅89 -17⋅68
oder wenn man 13⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅89 = -17⋅68
-17⋅68 = -13⋅89 + 1 |+89⋅68
-17⋅68 + 89⋅68 = -13⋅89 + 89⋅68 + 1
(-17 + 89) ⋅ 68 = (-13 + 68) ⋅ 89 + 1
72⋅68 = 55⋅89 + 1
Es gilt also: 72⋅68 = 55⋅89 +1
Somit 72⋅68 = 1 mod 89
72 ist also das Inverse von 68 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
