Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (803 + 1997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(803 + 1997) mod 4 ≡ (803 mod 4 + 1997 mod 4) mod 4.
803 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803
= 800
1997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997
= 1900
Somit gilt:
(803 + 1997) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 24) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 24) mod 4 ≡ (34 mod 4 ⋅ 24 mod 4) mod 4.
34 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 8 ⋅ 4 + 2 ist.
24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 24) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26116 mod 821.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 261 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2611=261
2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 799 mod 821
4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 484 mod 821
8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 271 mod 821
16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 372 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 207137 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 33 mod 223
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 197 mod 223
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 7 mod 223
16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 223
32: 20732=20716+16=20716⋅20716 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 171 mod 223
64: 20764=20732+32=20732⋅20732 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 28 mod 223
128: 207128=20764+64=20764⋅20764 ≡ 28⋅28=784 ≡ 115 mod 223
207137
= 207128+8+1
= 207128⋅2078⋅2071
≡ 115 ⋅ 7 ⋅ 207 mod 223
≡ 805 ⋅ 207 mod 223 ≡ 136 ⋅ 207 mod 223
≡ 28152 mod 223 ≡ 54 mod 223
Es gilt also: 207137 ≡ 54 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
