Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9003 - 15003) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9003 - 15003) mod 3 ≡ (9003 mod 3 - 15003 mod 3) mod 3.
9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003
= 9000
15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003
= 15000
Somit gilt:
(9003 - 15003) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 86) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 86) mod 9 ≡ (57 mod 9 ⋅ 86 mod 9) mod 9.
57 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 6 ⋅ 9 + 3 ist.
86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 81 + 5 = 9 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 86) mod 9 ≡ (3 ⋅ 5) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3338 mod 653.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 333 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3331=333
2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 532 mod 653
4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 275 mod 653
8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 530 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42581 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:
81 = 64+16+1
1: 4251=425
2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 679 mod 769
4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 410 mod 769
8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 458 mod 769
16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 596 mod 769
32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 707 mod 769
64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 768 mod 769
42581
= 42564+16+1
= 42564⋅42516⋅4251
≡ 768 ⋅ 596 ⋅ 425 mod 769
≡ 457728 ⋅ 425 mod 769 ≡ 173 ⋅ 425 mod 769
≡ 73525 mod 769 ≡ 470 mod 769
Es gilt also: 42581 ≡ 470 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63
| =>71 | = 1⋅63 + 8 |
| =>63 | = 7⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 63-7⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8) = -1⋅63 +8⋅ 8 (=1) |
| 8= 71-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63) = 8⋅71 -9⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63
oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅71 = -9⋅63
-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63
-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1
(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1
62⋅63 = 55⋅71 + 1
Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1
Somit 62⋅63 = 1 mod 71
62 ist also das Inverse von 63 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
