Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 + 601) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 601) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 601 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(12000 + 601) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 63) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 63) mod 3 ≡ (47 mod 3 ⋅ 63 mod 3) mod 3.

47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 63) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36264 mod 761.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 362 -> x
2. mod(x²,761) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3621=362

2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 152 mod 761

4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 274 mod 761

8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 498 mod 761

16: 36216=3628+8=3628⋅3628 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 679 mod 761

32: 36232=36216+16=36216⋅36216 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 636 mod 761

64: 36264=36232+32=36232⋅36232 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 405 mod 761

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 167214 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

1: 1671=167

2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 133 mod 257

4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 213 mod 257

8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 137 mod 257

16: 16716=1678+8=1678⋅1678 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 8 mod 257

32: 16732=16716+16=16716⋅16716 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 257

64: 16764=16732+32=16732⋅16732 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 241 mod 257

128: 167128=16764+64=16764⋅16764 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

167214

= 167128+64+16+4+2

= 167128⋅16764⋅16716⋅1674⋅1672

256 ⋅ 241 ⋅ 8 ⋅ 213 ⋅ 133 mod 257
61696 ⋅ 8 ⋅ 213 ⋅ 133 mod 257 ≡ 16 ⋅ 8 ⋅ 213 ⋅ 133 mod 257
128 ⋅ 213 ⋅ 133 mod 257
27264 ⋅ 133 mod 257 ≡ 22 ⋅ 133 mod 257
2926 mod 257 ≡ 99 mod 257

Es gilt also: 167214 ≡ 99 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61 = 1⋅34 + 27
=>34 = 1⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27)
= 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34)
= -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.