Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36006 - 36005) mod 9 ≡ (36006 mod 9 - 36005 mod 9) mod 9.

36006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36006 = 36000+6 = 9 ⋅ 4000 +6.

36005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36005 = 36000+5 = 9 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(36006 - 36005) mod 9 ≡ (6 - 5) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 55) mod 10 ≡ (85 mod 10 ⋅ 55 mod 10) mod 10.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 55) mod 10 ≡ (5 ⋅ 5) mod 10 ≡ 25 mod 10 ≡ 5 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 238¹=238

2: 238²=238¹⁺¹=238¹⋅238¹ ≡ 238⋅238=56644 ≡ 315 mod 619

4: 238⁴=238²⁺²=238²⋅238² ≡ 315⋅315=99225 ≡ 185 mod 619

8: 238⁸=238⁴⁺⁴=238⁴⋅238⁴ ≡ 185⋅185=34225 ≡ 180 mod 619

16: 238¹⁶=238⁸⁺⁸=238⁸⋅238⁸ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 212 mod 619

32: 238³²=238¹⁶⁺¹⁶=238¹⁶⋅238¹⁶ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 376 mod 619

64: 238⁶⁴=238³²⁺³²=238³²⋅238³² ≡ 376⋅376=141376 ≡ 244 mod 619

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

279²⁴⁴

= 279^{128+64+32+16+4}

= 279¹²⁸⋅279⁶⁴⋅279³²⋅279¹⁶⋅279⁴

≡ 524 ⋅ 545 ⋅ 136 ⋅ 285 ⋅ 506 mod 619
≡ 285580 ⋅ 136 ⋅ 285 ⋅ 506 mod 619 ≡ 221 ⋅ 136 ⋅ 285 ⋅ 506 mod 619
≡ 30056 ⋅ 285 ⋅ 506 mod 619 ≡ 344 ⋅ 285 ⋅ 506 mod 619
≡ 98040 ⋅ 506 mod 619 ≡ 238 ⋅ 506 mod 619
≡ 120428 mod 619 ≡ 342 mod 619

Es gilt also: 279²⁴⁴ ≡ 342 mod 619

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32

=>59	= 1⋅32 + 27
=>32	= 1⋅27 + 5
=>27	= 5⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 32-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27) = -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27) = 11⋅32 -13⋅ 27 (=1)
27= 59-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32) = 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32) = -13⋅59 +24⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +24⋅32

Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1

Somit 24⋅32 = 1 mod 59

24 ist also das Inverse von 32 mod 59