Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (444 - 904) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(444 - 904) mod 9 ≡ (444 mod 9 - 904 mod 9) mod 9.

444 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 444 = 450-6 = 9 ⋅ 50 -6 = 9 ⋅ 50 - 9 + 3.

904 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 904 = 900+4 = 9 ⋅ 100 +4.

Somit gilt:

(444 - 904) mod 9 ≡ (3 - 4) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 29) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 29) mod 11 ≡ (58 mod 11 ⋅ 29 mod 11) mod 11.

58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.

29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 29) mod 11 ≡ (3 ⋅ 7) mod 11 ≡ 21 mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2708 mod 349.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2701=270

2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 308 mod 349

4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 285 mod 349

8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 257 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 40975 mod 827.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

1: 4091=409

2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 227 mod 827

4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 255 mod 827

8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 519 mod 827

16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 586 mod 827

32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 191 mod 827

64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 93 mod 827

40975

= 40964+8+2+1

= 40964⋅4098⋅4092⋅4091

93 ⋅ 519 ⋅ 227 ⋅ 409 mod 827
48267 ⋅ 227 ⋅ 409 mod 827 ≡ 301 ⋅ 227 ⋅ 409 mod 827
68327 ⋅ 409 mod 827 ≡ 513 ⋅ 409 mod 827
209817 mod 827 ≡ 586 mod 827

Es gilt also: 40975 ≡ 586 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35

=>59 = 1⋅35 + 24
=>35 = 1⋅24 + 11
=>24 = 2⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11)
= -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 35-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24)
= 11⋅35 -16⋅ 24 (=1)
24= 59-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35)
= -16⋅59 +27⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +27⋅35

Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1

Somit 27⋅35 = 1 mod 59

27 ist also das Inverse von 35 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.