Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1397 + 28000) mod 7 ≡ (1397 mod 7 + 28000 mod 7) mod 7.

1397 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1397 = 1400-3 = 7 ⋅ 200 -3 = 7 ⋅ 200 - 7 + 4.

28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000 = 28000+0 = 7 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(1397 + 28000) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 68) mod 4 ≡ (74 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.

74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.

68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 68) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 346¹=346

2: 346²=346¹⁺¹=346¹⋅346¹ ≡ 346⋅346=119716 ≡ 455 mod 499

4: 346⁴=346²⁺²=346²⋅346² ≡ 455⋅455=207025 ≡ 439 mod 499

8: 346⁸=346⁴⁺⁴=346⁴⋅346⁴ ≡ 439⋅439=192721 ≡ 107 mod 499

16: 346¹⁶=346⁸⁺⁸=346⁸⋅346⁸ ≡ 107⋅107=11449 ≡ 471 mod 499

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

156¹²³

= 156^{64+32+16+8+2+1}

= 156⁶⁴⋅156³²⋅156¹⁶⋅156⁸⋅156²⋅156¹

≡ 188 ⋅ 71 ⋅ 55 ⋅ 107 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211
≡ 13348 ⋅ 55 ⋅ 107 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211 ≡ 55 ⋅ 55 ⋅ 107 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211
≡ 3025 ⋅ 107 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211 ≡ 71 ⋅ 107 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211
≡ 7597 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211 ≡ 1 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211
≡ 71 ⋅ 156 mod 211
≡ 11076 mod 211 ≡ 104 mod 211

Es gilt also: 156¹²³ ≡ 104 mod 211

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42

=>61	= 1⋅42 + 19
=>42	= 2⋅19 + 4
=>19	= 4⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 42-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19) = -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1)
19= 61-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42) = 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +16⋅42

Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1

Somit 16⋅42 = 1 mod 61

16 ist also das Inverse von 42 mod 61