Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2094 + 286) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2094 + 286) mod 7 ≡ (2094 mod 7 + 286 mod 7) mod 7.
2094 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2094
= 2100
286 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 286
= 280
Somit gilt:
(2094 + 286) mod 7 ≡ (1 + 6) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 60) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 60) mod 10 ≡ (76 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.
76 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 7 ⋅ 10 + 6 ist.
60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 60) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 184128 mod 283.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 184 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1841=184
2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 179 mod 283
4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 62 mod 283
8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 165 mod 283
16: 18416=1848+8=1848⋅1848 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 57 mod 283
32: 18432=18416+16=18416⋅18416 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 136 mod 283
64: 18464=18432+32=18432⋅18432 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 101 mod 283
128: 184128=18464+64=18464⋅18464 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 13 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 797156 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:
156 = 128+16+8+4
1: 7971=797
2: 7972=7971+1=7971⋅7971 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 117 mod 887
4: 7974=7972+2=7972⋅7972 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 384 mod 887
8: 7978=7974+4=7974⋅7974 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 214 mod 887
16: 79716=7978+8=7978⋅7978 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 559 mod 887
32: 79732=79716+16=79716⋅79716 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 257 mod 887
64: 79764=79732+32=79732⋅79732 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 411 mod 887
128: 797128=79764+64=79764⋅79764 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 391 mod 887
797156
= 797128+16+8+4
= 797128⋅79716⋅7978⋅7974
≡ 391 ⋅ 559 ⋅ 214 ⋅ 384 mod 887
≡ 218569 ⋅ 214 ⋅ 384 mod 887 ≡ 367 ⋅ 214 ⋅ 384 mod 887
≡ 78538 ⋅ 384 mod 887 ≡ 482 ⋅ 384 mod 887
≡ 185088 mod 887 ≡ 592 mod 887
Es gilt also: 797156 ≡ 592 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45
| =>79 | = 1⋅45 + 34 |
| =>45 | = 1⋅34 + 11 |
| =>34 | = 3⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-3⋅11 | |||
| 11= 45-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1) |
| 34= 79-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45)
= -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -7⋅45
-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45
-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1
(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1
72⋅45 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1
Somit 72⋅45 = 1 mod 79
72 ist also das Inverse von 45 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
