Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (301 + 2995) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(301 + 2995) mod 6 ≡ (301 mod 6 + 2995 mod 6) mod 6.

301 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 6 ⋅ 50 +1.

2995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2995 = 3000-5 = 6 ⋅ 500 -5 = 6 ⋅ 500 - 6 + 1.

Somit gilt:

(301 + 2995) mod 6 ≡ (1 + 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 15) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 15) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 15 mod 6) mod 6.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 15) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 52716 mod 577.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 527 -> x
2. mod(x²,577) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5271=527

2: 5272=5271+1=5271⋅5271 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 192 mod 577

4: 5274=5272+2=5272⋅5272 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 513 mod 577

8: 5278=5274+4=5274⋅5274 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 57 mod 577

16: 52716=5278+8=5278⋅5278 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 364 mod 577

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 408123 mod 541.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 4081=408

2: 4082=4081+1=4081⋅4081 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 377 mod 541

4: 4084=4082+2=4082⋅4082 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 387 mod 541

8: 4088=4084+4=4084⋅4084 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 453 mod 541

16: 40816=4088+8=4088⋅4088 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 170 mod 541

32: 40832=40816+16=40816⋅40816 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 227 mod 541

64: 40864=40832+32=40832⋅40832 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 134 mod 541

408123

= 40864+32+16+8+2+1

= 40864⋅40832⋅40816⋅4088⋅4082⋅4081

134 ⋅ 227 ⋅ 170 ⋅ 453 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541
30418 ⋅ 170 ⋅ 453 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541 ≡ 122 ⋅ 170 ⋅ 453 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541
20740 ⋅ 453 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541 ≡ 182 ⋅ 453 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541
82446 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541 ≡ 214 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 541
80678 ⋅ 408 mod 541 ≡ 69 ⋅ 408 mod 541
28152 mod 541 ≡ 20 mod 541

Es gilt also: 408123 ≡ 20 mod 541

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101 = 1⋅84 + 17
=>84 = 4⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17)
= -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84)
= 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.