Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1003 - 996) mod 5 ≡ (1003 mod 5 - 996 mod 5) mod 5.

1003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1003 = 1000+3 = 5 ⋅ 200 +3.

996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996 = 900+96 = 5 ⋅ 180 +96.

Somit gilt:

(1003 - 996) mod 5 ≡ (3 - 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 16) mod 11 ≡ (34 mod 11 ⋅ 16 mod 11) mod 11.

34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.

16 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 11 + 5 = 1 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 16) mod 11 ≡ (1 ⋅ 5) mod 11 ≡ 5 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 383¹=383

2: 383²=383¹⁺¹=383¹⋅383¹ ≡ 383⋅383=146689 ≡ 880 mod 953

4: 383⁴=383²⁺²=383²⋅383² ≡ 880⋅880=774400 ≡ 564 mod 953

8: 383⁸=383⁴⁺⁴=383⁴⋅383⁴ ≡ 564⋅564=318096 ≡ 747 mod 953

16: 383¹⁶=383⁸⁺⁸=383⁸⋅383⁸ ≡ 747⋅747=558009 ≡ 504 mod 953

32: 383³²=383¹⁶⁺¹⁶=383¹⁶⋅383¹⁶ ≡ 504⋅504=254016 ≡ 518 mod 953

64: 383⁶⁴=383³²⁺³²=383³²⋅383³² ≡ 518⋅518=268324 ≡ 531 mod 953

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

116²³²

= 116^128+64+32+8

= 116¹²⁸⋅116⁶⁴⋅116³²⋅116⁸

≡ 47 ⋅ 83 ⋅ 195 ⋅ 32 mod 311
≡ 3901 ⋅ 195 ⋅ 32 mod 311 ≡ 169 ⋅ 195 ⋅ 32 mod 311
≡ 32955 ⋅ 32 mod 311 ≡ 300 ⋅ 32 mod 311
≡ 9600 mod 311 ≡ 270 mod 311

Es gilt also: 116²³² ≡ 270 mod 311

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63

=>83	= 1⋅63 + 20
=>63	= 3⋅20 + 3
=>20	= 6⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 20-6⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1)
3= 63-3⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20) = -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1)
20= 83-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63) = 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63

oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅83 = +29⋅63

Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1

Somit 29⋅63 = 1 mod 83

29 ist also das Inverse von 63 mod 83