Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8008 - 326) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8008 - 326) mod 8 ≡ (8008 mod 8 - 326 mod 8) mod 8.

8008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8008 = 8000+8 = 8 ⋅ 1000 +8.

326 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 326 = 320+6 = 8 ⋅ 40 +6.

Somit gilt:

(8008 - 326) mod 8 ≡ (0 - 6) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 91) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 91) mod 3 ≡ (84 mod 3 ⋅ 91 mod 3) mod 3.

84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 91) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 633128 mod 797.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 633 -> x
2. mod(x²,797) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6331=633

2: 6332=6331+1=6331⋅6331 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 595 mod 797

4: 6334=6332+2=6332⋅6332 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 157 mod 797

8: 6338=6334+4=6334⋅6334 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 739 mod 797

16: 63316=6338+8=6338⋅6338 ≡ 739⋅739=546121 ≡ 176 mod 797

32: 63332=63316+16=63316⋅63316 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 690 mod 797

64: 63364=63332+32=63332⋅63332 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 291 mod 797

128: 633128=63364+64=63364⋅63364 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 199 mod 797

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47561 mod 491.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

1: 4751=475

2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 256 mod 491

4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 233 mod 491

8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 279 mod 491

16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 263 mod 491

32: 47532=47516+16=47516⋅47516 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 429 mod 491

47561

= 47532+16+8+4+1

= 47532⋅47516⋅4758⋅4754⋅4751

429 ⋅ 263 ⋅ 279 ⋅ 233 ⋅ 475 mod 491
112827 ⋅ 279 ⋅ 233 ⋅ 475 mod 491 ≡ 388 ⋅ 279 ⋅ 233 ⋅ 475 mod 491
108252 ⋅ 233 ⋅ 475 mod 491 ≡ 232 ⋅ 233 ⋅ 475 mod 491
54056 ⋅ 475 mod 491 ≡ 46 ⋅ 475 mod 491
21850 mod 491 ≡ 246 mod 491

Es gilt also: 47561 ≡ 246 mod 491

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23

=>73 = 3⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 73-3⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23)
= 6⋅73 -19⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23

oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅73 = -19⋅23

-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23

-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1

(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1

54⋅23 = 17⋅73 + 1

Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1

Somit 54⋅23 = 1 mod 73

54 ist also das Inverse von 23 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.