Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7996 - 403) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7996 - 403) mod 4 ≡ (7996 mod 4 - 403 mod 4) mod 4.
7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996
= 7000
403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403
= 400
Somit gilt:
(7996 - 403) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 89) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 89) mod 5 ≡ (34 mod 5 ⋅ 89 mod 5) mod 5.
34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.
89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 89) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 430128 mod 677.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 430 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4301=430
2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 79 mod 677
4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 148 mod 677
8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 240 mod 677
16: 43016=4308+8=4308⋅4308 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 55 mod 677
32: 43032=43016+16=43016⋅43016 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 317 mod 677
64: 43064=43032+32=43032⋅43032 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 293 mod 677
128: 430128=43064+64=43064⋅43064 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 547 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 384192 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 3841=384
2: 3842=3841+1=3841⋅3841 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 583 mod 761
4: 3844=3842+2=3842⋅3842 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 483 mod 761
8: 3848=3844+4=3844⋅3844 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 423 mod 761
16: 38416=3848+8=3848⋅3848 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 94 mod 761
32: 38432=38416+16=38416⋅38416 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 465 mod 761
64: 38464=38432+32=38432⋅38432 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 101 mod 761
128: 384128=38464+64=38464⋅38464 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 308 mod 761
384192
= 384128+64
= 384128⋅38464
≡ 308 ⋅ 101 mod 761
≡ 31108 mod 761 ≡ 668 mod 761
Es gilt also: 384192 ≡ 668 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -29⋅30
-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30
-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1
(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1
38⋅30 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1
Somit 38⋅30 = 1 mod 67
38 ist also das Inverse von 30 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
