Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30004 + 2400) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30004 + 2400) mod 6 ≡ (30004 mod 6 + 2400 mod 6) mod 6.
30004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30004
= 30000
2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400
= 2400
Somit gilt:
(30004 + 2400) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 95) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 95) mod 9 ≡ (96 mod 9 ⋅ 95 mod 9) mod 9.
96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.
95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 95) mod 9 ≡ (6 ⋅ 5) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2868 mod 317.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 286 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2861=286
2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 10 mod 317
4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 317
8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 173 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 181107 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:
107 = 64+32+8+2+1
1: 1811=181
2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 459 mod 521
4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 197 mod 521
8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 255 mod 521
16: 18116=1818+8=1818⋅1818 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 421 mod 521
32: 18132=18116+16=18116⋅18116 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 101 mod 521
64: 18164=18132+32=18132⋅18132 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 302 mod 521
181107
= 18164+32+8+2+1
= 18164⋅18132⋅1818⋅1812⋅1811
≡ 302 ⋅ 101 ⋅ 255 ⋅ 459 ⋅ 181 mod 521
≡ 30502 ⋅ 255 ⋅ 459 ⋅ 181 mod 521 ≡ 284 ⋅ 255 ⋅ 459 ⋅ 181 mod 521
≡ 72420 ⋅ 459 ⋅ 181 mod 521 ≡ 1 ⋅ 459 ⋅ 181 mod 521
≡ 459 ⋅ 181 mod 521
≡ 83079 mod 521 ≡ 240 mod 521
Es gilt also: 181107 ≡ 240 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40
| =>59 | = 1⋅40 + 19 |
| =>40 | = 2⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 40-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 59-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40
oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅59 = -28⋅40
-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40
-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1
(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1
31⋅40 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1
Somit 31⋅40 = 1 mod 59
31 ist also das Inverse von 40 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
