Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (303 + 1500) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(303 + 1500) mod 3 ≡ (303 mod 3 + 1500 mod 3) mod 3.
303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303
= 300
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
Somit gilt:
(303 + 1500) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 52) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 52) mod 8 ≡ (21 mod 8 ⋅ 52 mod 8) mod 8.
21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.
52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 52) mod 8 ≡ (5 ⋅ 4) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10216 mod 227.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 102 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1021=102
2: 1022=1021+1=1021⋅1021 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 189 mod 227
4: 1024=1022+2=1022⋅1022 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 82 mod 227
8: 1028=1024+4=1024⋅1024 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 141 mod 227
16: 10216=1028+8=1028⋅1028 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 132 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 630197 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 6301=630
2: 6302=6301+1=6301⋅6301 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 751 mod 983
4: 6304=6302+2=6302⋅6302 ≡ 751⋅751=564001 ≡ 742 mod 983
8: 6308=6304+4=6304⋅6304 ≡ 742⋅742=550564 ≡ 84 mod 983
16: 63016=6308+8=6308⋅6308 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 175 mod 983
32: 63032=63016+16=63016⋅63016 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 152 mod 983
64: 63064=63032+32=63032⋅63032 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 495 mod 983
128: 630128=63064+64=63064⋅63064 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 258 mod 983
630197
= 630128+64+4+1
= 630128⋅63064⋅6304⋅6301
≡ 258 ⋅ 495 ⋅ 742 ⋅ 630 mod 983
≡ 127710 ⋅ 742 ⋅ 630 mod 983 ≡ 903 ⋅ 742 ⋅ 630 mod 983
≡ 670026 ⋅ 630 mod 983 ≡ 603 ⋅ 630 mod 983
≡ 379890 mod 983 ≡ 452 mod 983
Es gilt also: 630197 ≡ 452 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35
| =>79 | = 2⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 79-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35) = 4⋅79 -9⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -9⋅35
-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35
-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1
(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1
70⋅35 = 31⋅79 + 1
Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1
Somit 70⋅35 = 1 mod 79
70 ist also das Inverse von 35 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
