Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9000 - 1503) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9000 - 1503) mod 3 ≡ (9000 mod 3 - 1503 mod 3) mod 3.
9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
Somit gilt:
(9000 - 1503) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 20) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 20) mod 7 ≡ (54 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.
54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.
20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 20) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18616 mod 499.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 186 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1861=186
2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 165 mod 499
4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 279 mod 499
8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 496 mod 499
16: 18616=1868+8=1868⋅1868 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 9 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 122231 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:
231 = 128+64+32+4+2+1
1: 1221=122
2: 1222=1221+1=1221⋅1221 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 320 mod 331
4: 1224=1222+2=1222⋅1222 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 121 mod 331
8: 1228=1224+4=1224⋅1224 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 77 mod 331
16: 12216=1228+8=1228⋅1228 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 302 mod 331
32: 12232=12216+16=12216⋅12216 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 179 mod 331
64: 12264=12232+32=12232⋅12232 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 265 mod 331
128: 122128=12264+64=12264⋅12264 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 53 mod 331
122231
= 122128+64+32+4+2+1
= 122128⋅12264⋅12232⋅1224⋅1222⋅1221
≡ 53 ⋅ 265 ⋅ 179 ⋅ 121 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331
≡ 14045 ⋅ 179 ⋅ 121 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331 ≡ 143 ⋅ 179 ⋅ 121 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331
≡ 25597 ⋅ 121 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331 ≡ 110 ⋅ 121 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331
≡ 13310 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331 ≡ 70 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331
≡ 22400 ⋅ 122 mod 331 ≡ 223 ⋅ 122 mod 331
≡ 27206 mod 331 ≡ 64 mod 331
Es gilt also: 122231 ≡ 64 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
