Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(898 - 901) mod 3 ≡ (898 mod 3 - 901 mod 3) mod 3.

898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 3 ⋅ 300 -2 = 3 ⋅ 300 - 3 + 1.

901 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901 = 900+1 = 3 ⋅ 300 +1.

Somit gilt:

(898 - 901) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 28) mod 9 ≡ (32 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.

32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.

28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 28) mod 9 ≡ (5 ⋅ 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 619¹=619

2: 619²=619¹⁺¹=619¹⋅619¹ ≡ 619⋅619=383161 ≡ 679 mod 787

4: 619⁴=619²⁺²=619²⋅619² ≡ 679⋅679=461041 ≡ 646 mod 787

8: 619⁸=619⁴⁺⁴=619⁴⋅619⁴ ≡ 646⋅646=417316 ≡ 206 mod 787

16: 619¹⁶=619⁸⁺⁸=619⁸⋅619⁸ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 725 mod 787

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

277¹⁹¹

= 277^{128+32+16+8+4+2+1}

= 277¹²⁸⋅277³²⋅277¹⁶⋅277⁸⋅277⁴⋅277²⋅277¹

≡ 20 ⋅ 464 ⋅ 355 ⋅ 59 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521
≡ 9280 ⋅ 355 ⋅ 59 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521 ≡ 423 ⋅ 355 ⋅ 59 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521
≡ 150165 ⋅ 59 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521 ≡ 117 ⋅ 59 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521
≡ 6903 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521 ≡ 130 ⋅ 366 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521
≡ 47580 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521 ≡ 169 ⋅ 142 ⋅ 277 mod 521
≡ 23998 ⋅ 277 mod 521 ≡ 32 ⋅ 277 mod 521
≡ 8864 mod 521 ≡ 7 mod 521

Es gilt also: 277¹⁹¹ ≡ 7 mod 521

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53	= 2⋅20 + 13
=>20	= 1⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20) = 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53