Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1195 + 301) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1195 + 301) mod 6 ≡ (1195 mod 6 + 301 mod 6) mod 6.

1195 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1195 = 1200-5 = 6 ⋅ 200 -5 = 6 ⋅ 200 - 6 + 1.

301 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 6 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(1195 + 301) mod 6 ≡ (1 + 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 67) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 67) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 67 mod 8) mod 8.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

67 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 8 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 67) mod 8 ≡ (1 ⋅ 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 84116 mod 947.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 841 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8411=841

2: 8412=8411+1=8411⋅8411 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 819 mod 947

4: 8414=8412+2=8412⋅8412 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 285 mod 947

8: 8418=8414+4=8414⋅8414 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 730 mod 947

16: 84116=8418+8=8418⋅8418 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 686 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26161 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

1: 2611=261

2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 227 mod 409

4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 404 mod 409

8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 25 mod 409

16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 25⋅25=625 ≡ 216 mod 409

32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 30 mod 409

26161

= 26132+16+8+4+1

= 26132⋅26116⋅2618⋅2614⋅2611

30 ⋅ 216 ⋅ 25 ⋅ 404 ⋅ 261 mod 409
6480 ⋅ 25 ⋅ 404 ⋅ 261 mod 409 ≡ 345 ⋅ 25 ⋅ 404 ⋅ 261 mod 409
8625 ⋅ 404 ⋅ 261 mod 409 ≡ 36 ⋅ 404 ⋅ 261 mod 409
14544 ⋅ 261 mod 409 ≡ 229 ⋅ 261 mod 409
59769 mod 409 ≡ 55 mod 409

Es gilt also: 26161 ≡ 55 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75

=>83 = 1⋅75 + 8
=>75 = 9⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 75-9⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8)
= 3⋅75 -28⋅ 8 (=1)
8= 83-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75)
= -28⋅83 +31⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75

oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅83 = +31⋅75

Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1

Somit 31⋅75 = 1 mod 83

31 ist also das Inverse von 75 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.