Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2396 - 2399) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2396 - 2399) mod 6 ≡ (2396 mod 6 - 2399 mod 6) mod 6.
2396 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2396
= 2400
2399 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399
= 2400
Somit gilt:
(2396 - 2399) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 94) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 94) mod 6 ≡ (98 mod 6 ⋅ 94 mod 6) mod 6.
98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.
94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 94) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41632 mod 479.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 416 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4161=416
2: 4162=4161+1=4161⋅4161 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 137 mod 479
4: 4164=4162+2=4162⋅4162 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 88 mod 479
8: 4168=4164+4=4164⋅4164 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 80 mod 479
16: 41616=4168+8=4168⋅4168 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 173 mod 479
32: 41632=41616+16=41616⋅41616 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 231 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 231198 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 2311=231
2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 194 mod 673
4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 621 mod 673
8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 12 mod 673
16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 673
32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 546 mod 673
64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 650 mod 673
128: 231128=23164+64=23164⋅23164 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 529 mod 673
231198
= 231128+64+4+2
= 231128⋅23164⋅2314⋅2312
≡ 529 ⋅ 650 ⋅ 621 ⋅ 194 mod 673
≡ 343850 ⋅ 621 ⋅ 194 mod 673 ≡ 620 ⋅ 621 ⋅ 194 mod 673
≡ 385020 ⋅ 194 mod 673 ≡ 64 ⋅ 194 mod 673
≡ 12416 mod 673 ≡ 302 mod 673
Es gilt also: 231198 ≡ 302 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 43
| =>83 | = 1⋅43 + 40 |
| =>43 | = 1⋅40 + 3 |
| =>40 | = 13⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 40-13⋅3 | |||
| 3= 43-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅40 -13⋅(43 -1⋅ 40)
= 1⋅40 -13⋅43 +13⋅ 40) = -13⋅43 +14⋅ 40 (=1) |
| 40= 83-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -13⋅43 +14⋅(83 -1⋅ 43)
= -13⋅43 +14⋅83 -14⋅ 43) = 14⋅83 -27⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,43)=1 = 14⋅83 -27⋅43
oder wenn man 14⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅83 = -27⋅43
-27⋅43 = -14⋅83 + 1 |+83⋅43
-27⋅43 + 83⋅43 = -14⋅83 + 83⋅43 + 1
(-27 + 83) ⋅ 43 = (-14 + 43) ⋅ 83 + 1
56⋅43 = 29⋅83 + 1
Es gilt also: 56⋅43 = 29⋅83 +1
Somit 56⋅43 = 1 mod 83
56 ist also das Inverse von 43 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
