Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2498 + 204) mod 5 ≡ (2498 mod 5 + 204 mod 5) mod 5.

2498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2498 = 2400+98 = 5 ⋅ 480 +98.

204 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 200+4 = 5 ⋅ 40 +4.

Somit gilt:

(2498 + 204) mod 5 ≡ (3 + 4) mod 5 ≡ 7 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 64) mod 6 ≡ (70 mod 6 ⋅ 64 mod 6) mod 6.

70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 64) mod 6 ≡ (4 ⋅ 4) mod 6 ≡ 16 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 521¹=521

2: 521²=521¹⁺¹=521¹⋅521¹ ≡ 521⋅521=271441 ≡ 348 mod 647

4: 521⁴=521²⁺²=521²⋅521² ≡ 348⋅348=121104 ≡ 115 mod 647

8: 521⁸=521⁴⁺⁴=521⁴⋅521⁴ ≡ 115⋅115=13225 ≡ 285 mod 647

16: 521¹⁶=521⁸⁺⁸=521⁸⋅521⁸ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 350 mod 647

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

785²³⁹

= 785^{128+64+32+8+4+2+1}

= 785¹²⁸⋅785⁶⁴⋅785³²⋅785⁸⋅785⁴⋅785²⋅785¹

≡ 547 ⋅ 300 ⋅ 57 ⋅ 251 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983
≡ 164100 ⋅ 57 ⋅ 251 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983 ≡ 922 ⋅ 57 ⋅ 251 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983
≡ 52554 ⋅ 251 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983 ≡ 455 ⋅ 251 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983
≡ 114205 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983 ≡ 177 ⋅ 677 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983
≡ 119829 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983 ≡ 886 ⋅ 867 ⋅ 785 mod 983
≡ 768162 ⋅ 785 mod 983 ≡ 439 ⋅ 785 mod 983
≡ 344615 mod 983 ≡ 565 mod 983

Es gilt also: 785²³⁹ ≡ 565 mod 983

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 56

=>101	= 1⋅56 + 45
=>56	= 1⋅45 + 11
=>45	= 4⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 45-4⋅11
11= 56-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅45 -4⋅(56 -1⋅ 45) = 1⋅45 -4⋅56 +4⋅ 45) = -4⋅56 +5⋅ 45 (=1)
45= 101-1⋅56	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅56 +5⋅(101 -1⋅ 56) = -4⋅56 +5⋅101 -5⋅ 56) = 5⋅101 -9⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(101,56)=1 = 5⋅101 -9⋅56

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -9⋅56

-9⋅56 = -5⋅101 + 1 |+101⋅56

-9⋅56 + 101⋅56 = -5⋅101 + 101⋅56 + 1

(-9 + 101) ⋅ 56 = (-5 + 56) ⋅ 101 + 1

92⋅56 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 92⋅56 = 51⋅101 +1

Somit 92⋅56 = 1 mod 101

92 ist also das Inverse von 56 mod 101