Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9006 - 357) mod 9 ≡ (9006 mod 9 - 357 mod 9) mod 9.

9006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9006 = 9000+6 = 9 ⋅ 1000 +6.

357 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357 = 360-3 = 9 ⋅ 40 -3 = 9 ⋅ 40 - 9 + 6.

Somit gilt:

(9006 - 357) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 63) mod 11 ≡ (100 mod 11 ⋅ 63 mod 11) mod 11.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 63) mod 11 ≡ (1 ⋅ 8) mod 11 ≡ 8 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 766¹=766

2: 766²=766¹⁺¹=766¹⋅766¹ ≡ 766⋅766=586756 ≡ 513 mod 941

4: 766⁴=766²⁺²=766²⋅766² ≡ 513⋅513=263169 ≡ 630 mod 941

8: 766⁸=766⁴⁺⁴=766⁴⋅766⁴ ≡ 630⋅630=396900 ≡ 739 mod 941

16: 766¹⁶=766⁸⁺⁸=766⁸⋅766⁸ ≡ 739⋅739=546121 ≡ 341 mod 941

32: 766³²=766¹⁶⁺¹⁶=766¹⁶⋅766¹⁶ ≡ 341⋅341=116281 ≡ 538 mod 941

64: 766⁶⁴=766³²⁺³²=766³²⋅766³² ≡ 538⋅538=289444 ≡ 557 mod 941

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:

92 = 64+16+8+4

129⁹²

= 129^64+16+8+4

= 129⁶⁴⋅129¹⁶⋅129⁸⋅129⁴

≡ 8 ⋅ 322 ⋅ 223 ⋅ 93 mod 383
≡ 2576 ⋅ 223 ⋅ 93 mod 383 ≡ 278 ⋅ 223 ⋅ 93 mod 383
≡ 61994 ⋅ 93 mod 383 ≡ 331 ⋅ 93 mod 383
≡ 30783 mod 383 ≡ 143 mod 383

Es gilt also: 129⁹² ≡ 143 mod 383

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73	= 2⋅31 + 11
=>31	= 2⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11) = 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31) = 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31) = -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73