Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1603 - 7993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1603 - 7993) mod 8 ≡ (1603 mod 8 - 7993 mod 8) mod 8.
1603 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1603
= 1600
7993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7993
= 7000
Somit gilt:
(1603 - 7993) mod 8 ≡ (3 - 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 43) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 43) mod 8 ≡ (32 mod 8 ⋅ 43 mod 8) mod 8.
32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.
43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 43) mod 8 ≡ (0 ⋅ 3) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23264 mod 401.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 232 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2321=232
2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 90 mod 401
4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 80 mod 401
8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 385 mod 401
16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 256 mod 401
32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 173 mod 401
64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 255 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36976 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:
76 = 64+8+4
1: 3691=369
2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 178 mod 421
4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 109 mod 421
8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 93 mod 421
16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 229 mod 421
32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 237 mod 421
64: 36964=36932+32=36932⋅36932 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 176 mod 421
36976
= 36964+8+4
= 36964⋅3698⋅3694
≡ 176 ⋅ 93 ⋅ 109 mod 421
≡ 16368 ⋅ 109 mod 421 ≡ 370 ⋅ 109 mod 421
≡ 40330 mod 421 ≡ 335 mod 421
Es gilt also: 36976 ≡ 335 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 67
| =>101 | = 1⋅67 + 34 |
| =>67 | = 1⋅34 + 33 |
| =>34 | = 1⋅33 + 1 |
| =>33 | = 33⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-1⋅33 | |||
| 33= 67-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -1⋅(67 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -1⋅67 +1⋅ 34) = -1⋅67 +2⋅ 34 (=1) |
| 34= 101-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +2⋅(101 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +2⋅101 -2⋅ 67) = 2⋅101 -3⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,67)=1 = 2⋅101 -3⋅67
oder wenn man 2⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅101 = -3⋅67
-3⋅67 = -2⋅101 + 1 |+101⋅67
-3⋅67 + 101⋅67 = -2⋅101 + 101⋅67 + 1
(-3 + 101) ⋅ 67 = (-2 + 67) ⋅ 101 + 1
98⋅67 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 98⋅67 = 65⋅101 +1
Somit 98⋅67 = 1 mod 101
98 ist also das Inverse von 67 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
