Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16001 - 1593) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16001 - 1593) mod 8 ≡ (16001 mod 8 - 1593 mod 8) mod 8.
16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593
= 1600
Somit gilt:
(16001 - 1593) mod 8 ≡ (1 - 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 30) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 30) mod 5 ≡ (20 mod 5 ⋅ 30 mod 5) mod 5.
20 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 4 ⋅ 5 + 0 ist.
30 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 6 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 30) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60816 mod 673.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 608 -> x
2. mod(x²,673) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6081=608
2: 6082=6081+1=6081⋅6081 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 187 mod 673
4: 6084=6082+2=6082⋅6082 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 646 mod 673
8: 6088=6084+4=6084⋅6084 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 56 mod 673
16: 60816=6088+8=6088⋅6088 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 444 mod 673
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 263248 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:
248 = 128+64+32+16+8
1: 2631=263
2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 193 mod 479
4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 366 mod 479
8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 315 mod 479
16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 72 mod 479
32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 394 mod 479
64: 26364=26332+32=26332⋅26332 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 40 mod 479
128: 263128=26364+64=26364⋅26364 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 163 mod 479
263248
= 263128+64+32+16+8
= 263128⋅26364⋅26332⋅26316⋅2638
≡ 163 ⋅ 40 ⋅ 394 ⋅ 72 ⋅ 315 mod 479
≡ 6520 ⋅ 394 ⋅ 72 ⋅ 315 mod 479 ≡ 293 ⋅ 394 ⋅ 72 ⋅ 315 mod 479
≡ 115442 ⋅ 72 ⋅ 315 mod 479 ≡ 3 ⋅ 72 ⋅ 315 mod 479
≡ 216 ⋅ 315 mod 479
≡ 68040 mod 479 ≡ 22 mod 479
Es gilt also: 263248 ≡ 22 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44
| =>67 | = 1⋅44 + 23 |
| =>44 | = 1⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 44-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1) |
| 23= 67-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44)
= 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44
oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +21⋅67 = +32⋅44
Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1
Somit 32⋅44 = 1 mod 67
32 ist also das Inverse von 44 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
