Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40007 + 404) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40007 + 404) mod 8 ≡ (40007 mod 8 + 404 mod 8) mod 8.
40007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40007
= 40000
404 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404
= 400
Somit gilt:
(40007 + 404) mod 8 ≡ (7 + 4) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 92) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 92) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 92 mod 5) mod 5.
58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.
92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 92) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3438 mod 367.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 343 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3431=343
2: 3432=3431+1=3431⋅3431 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 209 mod 367
4: 3434=3432+2=3432⋅3432 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 8 mod 367
8: 3438=3434+4=3434⋅3434 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 276120 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 2761=276
2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 295 mod 449
4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 368 mod 449
8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 275 mod 449
16: 27616=2768+8=2768⋅2768 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 193 mod 449
32: 27632=27616+16=27616⋅27616 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 431 mod 449
64: 27664=27632+32=27632⋅27632 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 324 mod 449
276120
= 27664+32+16+8
= 27664⋅27632⋅27616⋅2768
≡ 324 ⋅ 431 ⋅ 193 ⋅ 275 mod 449
≡ 139644 ⋅ 193 ⋅ 275 mod 449 ≡ 5 ⋅ 193 ⋅ 275 mod 449
≡ 965 ⋅ 275 mod 449 ≡ 67 ⋅ 275 mod 449
≡ 18425 mod 449 ≡ 16 mod 449
Es gilt also: 276120 ≡ 16 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28
| =>53 | = 1⋅28 + 25 |
| =>28 | = 1⋅25 + 3 |
| =>25 | = 8⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-8⋅3 | |||
| 3= 28-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25) = -8⋅28 +9⋅ 25 (=1) |
| 25= 53-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28)
= -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28) = 9⋅53 -17⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28
oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅53 = -17⋅28
-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28
-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1
(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1
36⋅28 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1
Somit 36⋅28 = 1 mod 53
36 ist also das Inverse von 28 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
