Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1201 - 19997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1201 - 19997) mod 4 ≡ (1201 mod 4 - 19997 mod 4) mod 4.
1201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997
= 19000
Somit gilt:
(1201 - 19997) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 23) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 23) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.
42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 23) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 355128 mod 467.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 355 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3551=355
2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 402 mod 467
4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 22 mod 467
8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 22⋅22=484 ≡ 17 mod 467
16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 467
32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 395 mod 467
64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 47 mod 467
128: 355128=35564+64=35564⋅35564 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 341 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 692207 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:
207 = 128+64+8+4+2+1
1: 6921=692
2: 6922=6921+1=6921⋅6921 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 429 mod 929
4: 6924=6922+2=6922⋅6922 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 99 mod 929
8: 6928=6924+4=6924⋅6924 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 511 mod 929
16: 69216=6928+8=6928⋅6928 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 72 mod 929
32: 69232=69216+16=69216⋅69216 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 539 mod 929
64: 69264=69232+32=69232⋅69232 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929
128: 692128=69264+64=69264⋅69264 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 506 mod 929
692207
= 692128+64+8+4+2+1
= 692128⋅69264⋅6928⋅6924⋅6922⋅6921
≡ 506 ⋅ 673 ⋅ 511 ⋅ 99 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929
≡ 340538 ⋅ 511 ⋅ 99 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929 ≡ 524 ⋅ 511 ⋅ 99 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929
≡ 267764 ⋅ 99 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929 ≡ 212 ⋅ 99 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929
≡ 20988 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929 ≡ 550 ⋅ 429 ⋅ 692 mod 929
≡ 235950 ⋅ 692 mod 929 ≡ 913 ⋅ 692 mod 929
≡ 631796 mod 929 ≡ 76 mod 929
Es gilt also: 692207 ≡ 76 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37
| =>79 | = 2⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 79-2⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37) = 15⋅79 -32⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37
oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅79 = -32⋅37
-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37
-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1
(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1
47⋅37 = 22⋅79 + 1
Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1
Somit 47⋅37 = 1 mod 79
47 ist also das Inverse von 37 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
