Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (123 - 2000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(123 - 2000) mod 4 ≡ (123 mod 4 - 2000 mod 4) mod 4.
123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
Somit gilt:
(123 - 2000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 45) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 45) mod 4 ≡ (55 mod 4 ⋅ 45 mod 4) mod 4.
55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.
45 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 11 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 45) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32116 mod 907.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 321 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3211=321
2: 3212=3211+1=3211⋅3211 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 550 mod 907
4: 3214=3212+2=3212⋅3212 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 469 mod 907
8: 3218=3214+4=3214⋅3214 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 467 mod 907
16: 32116=3218+8=3218⋅3218 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 409 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 105218 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:
218 = 128+64+16+8+2
1: 1051=105
2: 1052=1051+1=1051⋅1051 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 184 mod 293
4: 1054=1052+2=1052⋅1052 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 161 mod 293
8: 1058=1054+4=1054⋅1054 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 137 mod 293
16: 10516=1058+8=1058⋅1058 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 17 mod 293
32: 10532=10516+16=10516⋅10516 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 293
64: 10564=10532+32=10532⋅10532 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 16 mod 293
128: 105128=10564+64=10564⋅10564 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 293
105218
= 105128+64+16+8+2
= 105128⋅10564⋅10516⋅1058⋅1052
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 17 ⋅ 137 ⋅ 184 mod 293
≡ 4096 ⋅ 17 ⋅ 137 ⋅ 184 mod 293 ≡ 287 ⋅ 17 ⋅ 137 ⋅ 184 mod 293
≡ 4879 ⋅ 137 ⋅ 184 mod 293 ≡ 191 ⋅ 137 ⋅ 184 mod 293
≡ 26167 ⋅ 184 mod 293 ≡ 90 ⋅ 184 mod 293
≡ 16560 mod 293 ≡ 152 mod 293
Es gilt also: 105218 ≡ 152 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
