Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 + 1199) mod 3 ≡ (30 mod 3 + 1199 mod 3) mod 3.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 3 ⋅ 400 -1 = 3 ⋅ 400 - 3 + 2.

Somit gilt:

(30 + 1199) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 68) mod 7 ≡ (16 mod 7 ⋅ 68 mod 7) mod 7.

16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.

68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 68) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 747¹=747

2: 747²=747¹⁺¹=747¹⋅747¹ ≡ 747⋅747=558009 ≡ 100 mod 757

4: 747⁴=747²⁺²=747²⋅747² ≡ 100⋅100=10000 ≡ 159 mod 757

8: 747⁸=747⁴⁺⁴=747⁴⋅747⁴ ≡ 159⋅159=25281 ≡ 300 mod 757

16: 747¹⁶=747⁸⁺⁸=747⁸⋅747⁸ ≡ 300⋅300=90000 ≡ 674 mod 757

32: 747³²=747¹⁶⁺¹⁶=747¹⁶⋅747¹⁶ ≡ 674⋅674=454276 ≡ 76 mod 757

64: 747⁶⁴=747³²⁺³²=747³²⋅747³² ≡ 76⋅76=5776 ≡ 477 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

258¹⁷⁴

= 258^128+32+8+4+2

= 258¹²⁸⋅258³²⋅258⁸⋅258⁴⋅258²

≡ 63 ⋅ 173 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401
≡ 10899 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401 ≡ 72 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401
≡ 1152 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401 ≡ 350 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401
≡ 1400 ⋅ 399 mod 401 ≡ 197 ⋅ 399 mod 401
≡ 78603 mod 401 ≡ 7 mod 401

Es gilt also: 258¹⁷⁴ ≡ 7 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38

=>59	= 1⋅38 + 21
=>38	= 1⋅21 + 17
=>21	= 1⋅17 + 4
=>17	= 4⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17) = 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 38-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21) = -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1)
21= 59-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38) = 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38) = -9⋅59 +14⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38

oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅59 = +14⋅38

Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1

Somit 14⋅38 = 1 mod 59

14 ist also das Inverse von 38 mod 59