Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2407 - 24004) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2407 - 24004) mod 8 ≡ (2407 mod 8 - 24004 mod 8) mod 8.

2407 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2407 = 2400+7 = 8 ⋅ 300 +7.

24004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24004 = 24000+4 = 8 ⋅ 3000 +4.

Somit gilt:

(2407 - 24004) mod 8 ≡ (7 - 4) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 35) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 35) mod 6 ≡ (84 mod 6 ⋅ 35 mod 6) mod 6.

84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.

35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 35) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12064 mod 239.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 120 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1201=120

2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 60 mod 239

4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 15 mod 239

8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 239

16: 12016=1208+8=1208⋅1208 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 196 mod 239

32: 12032=12016+16=12016⋅12016 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 176 mod 239

64: 12064=12032+32=12032⋅12032 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 145 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43473 mod 479.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:

73 = 64+8+1

1: 4341=434

2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 109 mod 479

4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 385 mod 479

8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 214 mod 479

16: 43416=4348+8=4348⋅4348 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 291 mod 479

32: 43432=43416+16=43416⋅43416 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 377 mod 479

64: 43464=43432+32=43432⋅43432 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 345 mod 479

43473

= 43464+8+1

= 43464⋅4348⋅4341

345 ⋅ 214 ⋅ 434 mod 479
73830 ⋅ 434 mod 479 ≡ 64 ⋅ 434 mod 479
27776 mod 479 ≡ 473 mod 479

Es gilt also: 43473 ≡ 473 mod 479

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 82.

Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 82

=>89 = 1⋅82 + 7
=>82 = 11⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 82-11⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(82 -11⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅82 -33⋅ 7)
= 3⋅82 -35⋅ 7 (=1)
7= 89-1⋅82 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅82 -35⋅(89 -1⋅ 82)
= 3⋅82 -35⋅89 +35⋅ 82)
= -35⋅89 +38⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(89,82)=1 = -35⋅89 +38⋅82

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +38⋅82

Es gilt also: 38⋅82 = 35⋅89 +1

Somit 38⋅82 = 1 mod 89

38 ist also das Inverse von 82 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.