Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5000 - 49) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5000 - 49) mod 5 ≡ (5000 mod 5 - 49 mod 5) mod 5.
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49
= 40
Somit gilt:
(5000 - 49) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 18) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 18) mod 7 ≡ (64 mod 7 ⋅ 18 mod 7) mod 7.
64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.
18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 18) mod 7 ≡ (1 ⋅ 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37532 mod 383.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 375 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3751=375
2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 64 mod 383
4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 266 mod 383
8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 284 mod 383
16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 226 mod 383
32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 137 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 86223 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:
223 = 128+64+16+8+4+2+1
1: 861=86
2: 862=861+1=861⋅861 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 11 mod 211
4: 864=862+2=862⋅862 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 211
8: 868=864+4=864⋅864 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 82 mod 211
16: 8616=868+8=868⋅868 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 183 mod 211
32: 8632=8616+16=8616⋅8616 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 151 mod 211
64: 8664=8632+32=8632⋅8632 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 13 mod 211
128: 86128=8664+64=8664⋅8664 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 211
86223
= 86128+64+16+8+4+2+1
= 86128⋅8664⋅8616⋅868⋅864⋅862⋅861
≡ 169 ⋅ 13 ⋅ 183 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211
≡ 2197 ⋅ 183 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211 ≡ 87 ⋅ 183 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211
≡ 15921 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211 ≡ 96 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211
≡ 7872 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211 ≡ 65 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211
≡ 7865 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211 ≡ 58 ⋅ 11 ⋅ 86 mod 211
≡ 638 ⋅ 86 mod 211 ≡ 5 ⋅ 86 mod 211
≡ 430 mod 211 ≡ 8 mod 211
Es gilt also: 86223 ≡ 8 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83
| =>97 | = 1⋅83 + 14 |
| =>83 | = 5⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 83-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1) |
| 14= 97-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83
oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅97 = -7⋅83
-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83
-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1
(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1
90⋅83 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1
Somit 90⋅83 = 1 mod 97
90 ist also das Inverse von 83 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
