Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1998 + 20004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1998 + 20004) mod 4 ≡ (1998 mod 4 + 20004 mod 4) mod 4.

1998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998 = 1900+98 = 4 ⋅ 475 +98.

20004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004 = 20000+4 = 4 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(1998 + 20004) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 73) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 73) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 73 mod 5) mod 5.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

73 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 14 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 73) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17332 mod 271.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 173 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1731=173

2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 119 mod 271

4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 69 mod 271

8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 154 mod 271

16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 139 mod 271

32: 17332=17316+16=17316⋅17316 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 80 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20364 mod 463.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:

64 = 64

1: 2031=203

2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 2 mod 463

4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 463

8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 463

16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 463

32: 20332=20316+16=20316⋅20316 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 253 mod 463

64: 20364=20332+32=20332⋅20332 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 115 mod 463

20364

= 20364

= 20364

115 mod 463

Es gilt also: 20364 ≡ 115 mod 463

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

=>53 = 1⋅50 + 3
=>50 = 16⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 50-16⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3)
= -1⋅50 +17⋅ 3 (=1)
3= 53-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50)
= 17⋅53 -18⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -18⋅50

-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50

-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1

(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1

35⋅50 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1

Somit 35⋅50 = 1 mod 53

35 ist also das Inverse von 50 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.