Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(305 - 59) mod 6 ≡ (305 mod 6 - 59 mod 6) mod 6.

305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305 = 300+5 = 6 ⋅ 50 +5.

59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 60-1 = 6 ⋅ 10 -1 = 6 ⋅ 10 - 6 + 5.

Somit gilt:

(305 - 59) mod 6 ≡ (5 - 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 25) mod 8 ≡ (68 mod 8 ⋅ 25 mod 8) mod 8.

68 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 64 + 4 = 8 ⋅ 8 + 4 ist.

25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 25) mod 8 ≡ (4 ⋅ 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 660¹=660

2: 660²=660¹⁺¹=660¹⋅660¹ ≡ 660⋅660=435600 ≡ 325 mod 757

4: 660⁴=660²⁺²=660²⋅660² ≡ 325⋅325=105625 ≡ 402 mod 757

8: 660⁸=660⁴⁺⁴=660⁴⋅660⁴ ≡ 402⋅402=161604 ≡ 363 mod 757

16: 660¹⁶=660⁸⁺⁸=660⁸⋅660⁸ ≡ 363⋅363=131769 ≡ 51 mod 757

32: 660³²=660¹⁶⁺¹⁶=660¹⁶⋅660¹⁶ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 330 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

549⁹⁵

= 549^{64+16+8+4+2+1}

= 549⁶⁴⋅549¹⁶⋅549⁸⋅549⁴⋅549²⋅549¹

≡ 586 ⋅ 613 ⋅ 389 ⋅ 225 ⋅ 646 ⋅ 549 mod 661
≡ 359218 ⋅ 389 ⋅ 225 ⋅ 646 ⋅ 549 mod 661 ≡ 295 ⋅ 389 ⋅ 225 ⋅ 646 ⋅ 549 mod 661
≡ 114755 ⋅ 225 ⋅ 646 ⋅ 549 mod 661 ≡ 402 ⋅ 225 ⋅ 646 ⋅ 549 mod 661
≡ 90450 ⋅ 646 ⋅ 549 mod 661 ≡ 554 ⋅ 646 ⋅ 549 mod 661
≡ 357884 ⋅ 549 mod 661 ≡ 283 ⋅ 549 mod 661
≡ 155367 mod 661 ≡ 32 mod 661

Es gilt also: 549⁹⁵ ≡ 32 mod 661

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 79

=>83	= 1⋅79 + 4
=>79	= 19⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 79-19⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(79 -19⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅79 +19⋅ 4) = -1⋅79 +20⋅ 4 (=1)
4= 83-1⋅79	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅79 +20⋅(83 -1⋅ 79) = -1⋅79 +20⋅83 -20⋅ 79) = 20⋅83 -21⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(83,79)=1 = 20⋅83 -21⋅79

oder wenn man 20⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -20⋅83 = -21⋅79

-21⋅79 = -20⋅83 + 1 |+83⋅79

-21⋅79 + 83⋅79 = -20⋅83 + 83⋅79 + 1

(-21 + 83) ⋅ 79 = (-20 + 79) ⋅ 83 + 1

62⋅79 = 59⋅83 + 1

Es gilt also: 62⋅79 = 59⋅83 +1

Somit 62⋅79 = 1 mod 83

62 ist also das Inverse von 79 mod 83