Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 - 15003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 - 15003) mod 3 ≡ (60 mod 3 - 15003 mod 3) mod 3.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(60 - 15003) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 64) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 64) mod 4 ≡ (31 mod 4 ⋅ 64 mod 4) mod 4.

31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.

64 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 16 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 64) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44016 mod 457.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 440 -> x
2. mod(x²,457) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4401=440

2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 289 mod 457

4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 347 mod 457

8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 218 mod 457

16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 448221 mod 463.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 4481=448

2: 4482=4481+1=4481⋅4481 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 225 mod 463

4: 4484=4482+2=4482⋅4482 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 158 mod 463

8: 4488=4484+4=4484⋅4484 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 425 mod 463

16: 44816=4488+8=4488⋅4488 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 55 mod 463

32: 44832=44816+16=44816⋅44816 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 247 mod 463

64: 44864=44832+32=44832⋅44832 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 356 mod 463

128: 448128=44864+64=44864⋅44864 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 337 mod 463

448221

= 448128+64+16+8+4+1

= 448128⋅44864⋅44816⋅4488⋅4484⋅4481

337 ⋅ 356 ⋅ 55 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463
119972 ⋅ 55 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463 ≡ 55 ⋅ 55 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463
3025 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463 ≡ 247 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463
104975 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463 ≡ 337 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463
53246 ⋅ 448 mod 463 ≡ 1 ⋅ 448 mod 463
448 mod 463

Es gilt also: 448221 ≡ 448 mod 463

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51

=>89 = 1⋅51 + 38
=>51 = 1⋅38 + 13
=>38 = 2⋅13 + 12
=>13 = 1⋅12 + 1
=>12 = 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13)
= -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 51-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38)
= 3⋅51 -4⋅ 38 (=1)
38= 89-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51)
= -4⋅89 +7⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51

oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅89 = +7⋅51

Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1

Somit 7⋅51 = 1 mod 89

7 ist also das Inverse von 51 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.