Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1502 - 602) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1502 - 602) mod 3 ≡ (1502 mod 3 - 602 mod 3) mod 3.
1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502
= 1500
602 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602
= 600
Somit gilt:
(1502 - 602) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 39) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 39) mod 7 ≡ (15 mod 7 ⋅ 39 mod 7) mod 7.
15 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 14 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 ist.
39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 39) mod 7 ≡ (1 ⋅ 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 259128 mod 613.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 259 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 264 mod 613
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 427 mod 613
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 268 mod 613
16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 103 mod 613
32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 188 mod 613
64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 403 mod 613
128: 259128=25964+64=25964⋅25964 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 577 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 185234 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 1851=185
2: 1852=1851+1=1851⋅1851 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 188 mod 337
4: 1854=1852+2=1852⋅1852 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 296 mod 337
8: 1858=1854+4=1854⋅1854 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 333 mod 337
16: 18516=1858+8=1858⋅1858 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 16 mod 337
32: 18532=18516+16=18516⋅18516 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 337
64: 18564=18532+32=18532⋅18532 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 158 mod 337
128: 185128=18564+64=18564⋅18564 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 26 mod 337
185234
= 185128+64+32+8+2
= 185128⋅18564⋅18532⋅1858⋅1852
≡ 26 ⋅ 158 ⋅ 256 ⋅ 333 ⋅ 188 mod 337
≡ 4108 ⋅ 256 ⋅ 333 ⋅ 188 mod 337 ≡ 64 ⋅ 256 ⋅ 333 ⋅ 188 mod 337
≡ 16384 ⋅ 333 ⋅ 188 mod 337 ≡ 208 ⋅ 333 ⋅ 188 mod 337
≡ 69264 ⋅ 188 mod 337 ≡ 179 ⋅ 188 mod 337
≡ 33652 mod 337 ≡ 289 mod 337
Es gilt also: 185234 ≡ 289 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68
| =>79 | = 1⋅68 + 11 |
| =>68 | = 6⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 68-6⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11) = -5⋅68 +31⋅ 11 (=1) |
| 11= 79-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68)
= -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68) = 31⋅79 -36⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -36⋅68
-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68
-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1
(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1
43⋅68 = 37⋅79 + 1
Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1
Somit 43⋅68 = 1 mod 79
43 ist also das Inverse von 68 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
