Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8997 + 1202) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8997 + 1202) mod 3 ≡ (8997 mod 3 + 1202 mod 3) mod 3.

8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 3 ⋅ 3000 -3 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 0.

1202 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 3 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(8997 + 1202) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 88) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 88) mod 4 ≡ (16 mod 4 ⋅ 88 mod 4) mod 4.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

88 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 22 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 88) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 297128 mod 313.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 297 -> x
2. mod(x²,313) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2971=297

2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 256 mod 313

4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 119 mod 313

8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 76 mod 313

16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 142 mod 313

32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 132 mod 313

64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 209 mod 313

128: 297128=29764+64=29764⋅29764 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 174 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 494123 mod 823.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 4941=494

2: 4942=4941+1=4941⋅4941 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 428 mod 823

4: 4944=4942+2=4942⋅4942 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 478 mod 823

8: 4948=4944+4=4944⋅4944 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 513 mod 823

16: 49416=4948+8=4948⋅4948 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 632 mod 823

32: 49432=49416+16=49416⋅49416 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 269 mod 823

64: 49464=49432+32=49432⋅49432 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 760 mod 823

494123

= 49464+32+16+8+2+1

= 49464⋅49432⋅49416⋅4948⋅4942⋅4941

760 ⋅ 269 ⋅ 632 ⋅ 513 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823
204440 ⋅ 632 ⋅ 513 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823 ≡ 336 ⋅ 632 ⋅ 513 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823
212352 ⋅ 513 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823 ≡ 18 ⋅ 513 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823
9234 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823 ≡ 181 ⋅ 428 ⋅ 494 mod 823
77468 ⋅ 494 mod 823 ≡ 106 ⋅ 494 mod 823
52364 mod 823 ≡ 515 mod 823

Es gilt also: 494123 ≡ 515 mod 823

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73 = 1⋅47 + 26
=>47 = 1⋅26 + 21
=>26 = 1⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21)
= -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26)
= 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47)
= 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47)
= -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.