Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (153 + 1500) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(153 + 1500) mod 3 ≡ (153 mod 3 + 1500 mod 3) mod 3.

153 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153 = 150+3 = 3 ⋅ 50 +3.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(153 + 1500) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 23) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 23) mod 10 ≡ (32 mod 10 ⋅ 23 mod 10) mod 10.

32 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 3 ⋅ 10 + 2 ist.

23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 23) mod 10 ≡ (2 ⋅ 3) mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4458 mod 773.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 445 -> x
2. mod(x²,773) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4451=445

2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 137 mod 773

4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 217 mod 773

8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 709 mod 773

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 449172 mod 619.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:

172 = 128+32+8+4

1: 4491=449

2: 4492=4491+1=4491⋅4491 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 426 mod 619

4: 4494=4492+2=4492⋅4492 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 109 mod 619

8: 4498=4494+4=4494⋅4494 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 120 mod 619

16: 44916=4498+8=4498⋅4498 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 163 mod 619

32: 44932=44916+16=44916⋅44916 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 571 mod 619

64: 44964=44932+32=44932⋅44932 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 447 mod 619

128: 449128=44964+64=44964⋅44964 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 491 mod 619

449172

= 449128+32+8+4

= 449128⋅44932⋅4498⋅4494

491 ⋅ 571 ⋅ 120 ⋅ 109 mod 619
280361 ⋅ 120 ⋅ 109 mod 619 ≡ 573 ⋅ 120 ⋅ 109 mod 619
68760 ⋅ 109 mod 619 ≡ 51 ⋅ 109 mod 619
5559 mod 619 ≡ 607 mod 619

Es gilt also: 449172 ≡ 607 mod 619

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50

=>73 = 1⋅50 + 23
=>50 = 2⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 50-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23)
= 6⋅50 -13⋅ 23 (=1)
23= 73-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50)
= -13⋅73 +19⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +19⋅50

Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1

Somit 19⋅50 = 1 mod 73

19 ist also das Inverse von 50 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.