Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3499 - 210) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3499 - 210) mod 7 ≡ (3499 mod 7 - 210 mod 7) mod 7.

3499 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3499 = 3500-1 = 7 ⋅ 500 -1 = 7 ⋅ 500 - 7 + 6.

210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210 = 210+0 = 7 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(3499 - 210) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 56) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 56) mod 9 ≡ (20 mod 9 ⋅ 56 mod 9) mod 9.

20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.

56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 56) mod 9 ≡ (2 ⋅ 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24064 mod 379.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2401=240

2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 371 mod 379

4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 64 mod 379

8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 306 mod 379

16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 23 mod 379

32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 23⋅23=529 ≡ 150 mod 379

64: 24064=24032+32=24032⋅24032 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 139 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 149252 mod 353.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

1: 1491=149

2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 315 mod 353

4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 32 mod 353

8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 318 mod 353

16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 166 mod 353

32: 14932=14916+16=14916⋅14916 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 22 mod 353

64: 14964=14932+32=14932⋅14932 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

128: 149128=14964+64=14964⋅14964 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353

149252

= 149128+64+32+16+8+4

= 149128⋅14964⋅14932⋅14916⋅1498⋅1494

217 ⋅ 131 ⋅ 22 ⋅ 166 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353
28427 ⋅ 22 ⋅ 166 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353 ≡ 187 ⋅ 22 ⋅ 166 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353
4114 ⋅ 166 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353 ≡ 231 ⋅ 166 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353
38346 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353 ≡ 222 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353
70596 ⋅ 32 mod 353 ≡ 349 ⋅ 32 mod 353
11168 mod 353 ≡ 225 mod 353

Es gilt also: 149252 ≡ 225 mod 353

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 47

=>89 = 1⋅47 + 42
=>47 = 1⋅42 + 5
=>42 = 8⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 42-8⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5)
= -2⋅42 +17⋅ 5 (=1)
5= 47-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +17⋅(47 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +17⋅47 -17⋅ 42)
= 17⋅47 -19⋅ 42 (=1)
42= 89-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 17⋅47 -19⋅(89 -1⋅ 47)
= 17⋅47 -19⋅89 +19⋅ 47)
= -19⋅89 +36⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(89,47)=1 = -19⋅89 +36⋅47

oder wenn man -19⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅89 = +36⋅47

Es gilt also: 36⋅47 = 19⋅89 +1

Somit 36⋅47 = 1 mod 89

36 ist also das Inverse von 47 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.