Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (403 - 1198) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(403 - 1198) mod 4 ≡ (403 mod 4 - 1198 mod 4) mod 4.

403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 4 ⋅ 100 +3.

1198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1100+98 = 4 ⋅ 275 +98.

Somit gilt:

(403 - 1198) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 61) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 61) mod 8 ≡ (54 mod 8 ⋅ 61 mod 8) mod 8.

54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.

61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 61) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15364 mod 433.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 153 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1531=153

2: 1532=1531+1=1531⋅1531 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 27 mod 433

4: 1534=1532+2=1532⋅1532 ≡ 27⋅27=729 ≡ 296 mod 433

8: 1538=1534+4=1534⋅1534 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 150 mod 433

16: 15316=1538+8=1538⋅1538 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 417 mod 433

32: 15332=15316+16=15316⋅15316 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 256 mod 433

64: 15364=15332+32=15332⋅15332 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 153 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 575232 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

1: 5751=575

2: 5752=5751+1=5751⋅5751 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 218 mod 613

4: 5754=5752+2=5752⋅5752 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 323 mod 613

8: 5758=5754+4=5754⋅5754 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 119 mod 613

16: 57516=5758+8=5758⋅5758 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 62 mod 613

32: 57532=57516+16=57516⋅57516 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 166 mod 613

64: 57564=57532+32=57532⋅57532 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 584 mod 613

128: 575128=57564+64=57564⋅57564 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 228 mod 613

575232

= 575128+64+32+8

= 575128⋅57564⋅57532⋅5758

228 ⋅ 584 ⋅ 166 ⋅ 119 mod 613
133152 ⋅ 166 ⋅ 119 mod 613 ≡ 131 ⋅ 166 ⋅ 119 mod 613
21746 ⋅ 119 mod 613 ≡ 291 ⋅ 119 mod 613
34629 mod 613 ≡ 301 mod 613

Es gilt also: 575232 ≡ 301 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 48

=>73 = 1⋅48 + 25
=>48 = 1⋅25 + 23
=>25 = 1⋅23 + 2
=>23 = 11⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23)
= -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 48-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅25 +12⋅(48 -1⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅48 -12⋅ 25)
= 12⋅48 -23⋅ 25 (=1)
25= 73-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 12⋅48 -23⋅(73 -1⋅ 48)
= 12⋅48 -23⋅73 +23⋅ 48)
= -23⋅73 +35⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(73,48)=1 = -23⋅73 +35⋅48

oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅73 = +35⋅48

Es gilt also: 35⋅48 = 23⋅73 +1

Somit 35⋅48 = 1 mod 73

35 ist also das Inverse von 48 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.