Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24005 + 3204) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24005 + 3204) mod 8 ≡ (24005 mod 8 + 3204 mod 8) mod 8.
24005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005
= 24000
3204 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3204
= 3200
Somit gilt:
(24005 + 3204) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 60) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 60) mod 5 ≡ (41 mod 5 ⋅ 60 mod 5) mod 5.
41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.
60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 60) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65732 mod 727.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 657 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6571=657
2: 6572=6571+1=6571⋅6571 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 538 mod 727
4: 6574=6572+2=6572⋅6572 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 98 mod 727
8: 6578=6574+4=6574⋅6574 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 153 mod 727
16: 65716=6578+8=6578⋅6578 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 145 mod 727
32: 65732=65716+16=65716⋅65716 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 669 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 244145 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:
145 = 128+16+1
1: 2441=244
2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 187 mod 271
4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 10 mod 271
8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 271
16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 244 mod 271
32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 187 mod 271
64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 10 mod 271
128: 244128=24464+64=24464⋅24464 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 271
244145
= 244128+16+1
= 244128⋅24416⋅2441
≡ 100 ⋅ 244 ⋅ 244 mod 271
≡ 24400 ⋅ 244 mod 271 ≡ 10 ⋅ 244 mod 271
≡ 2440 mod 271 ≡ 1 mod 271
Es gilt also: 244145 ≡ 1 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55
| =>97 | = 1⋅55 + 42 |
| =>55 | = 1⋅42 + 13 |
| =>42 | = 3⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 42-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 55-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42) = 13⋅55 -17⋅ 42 (=1) |
| 42= 97-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55) = -17⋅97 +30⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +30⋅55
Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1
Somit 30⋅55 = 1 mod 97
30 ist also das Inverse von 55 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
