Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1397 + 28000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1397 + 28000) mod 7 ≡ (1397 mod 7 + 28000 mod 7) mod 7.
1397 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1397
= 1400
28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000
= 28000
Somit gilt:
(1397 + 28000) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 68) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 68) mod 4 ≡ (74 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.
74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.
68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 68) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34616 mod 499.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 455 mod 499
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 439 mod 499
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 107 mod 499
16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 471 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 156123 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:
123 = 64+32+16+8+2+1
1: 1561=156
2: 1562=1561+1=1561⋅1561 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 71 mod 211
4: 1564=1562+2=1562⋅1562 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 188 mod 211
8: 1568=1564+4=1564⋅1564 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 107 mod 211
16: 15616=1568+8=1568⋅1568 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 55 mod 211
32: 15632=15616+16=15616⋅15616 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 71 mod 211
64: 15664=15632+32=15632⋅15632 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 188 mod 211
156123
= 15664+32+16+8+2+1
= 15664⋅15632⋅15616⋅1568⋅1562⋅1561
≡ 188 ⋅ 71 ⋅ 55 ⋅ 107 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211
≡ 13348 ⋅ 55 ⋅ 107 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211 ≡ 55 ⋅ 55 ⋅ 107 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211
≡ 3025 ⋅ 107 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211 ≡ 71 ⋅ 107 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211
≡ 7597 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211 ≡ 1 ⋅ 71 ⋅ 156 mod 211
≡ 71 ⋅ 156 mod 211
≡ 11076 mod 211 ≡ 104 mod 211
Es gilt also: 156123 ≡ 104 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
