Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1599 - 2004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1599 - 2004) mod 4 ≡ (1599 mod 4 - 2004 mod 4) mod 4.

1599 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1599 = 1500+99 = 4 ⋅ 375 +99.

2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 4 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(1599 - 2004) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 29) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 29) mod 5 ≡ (59 mod 5 ⋅ 29 mod 5) mod 5.

59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.

29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 29) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 59464 mod 907.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 594 -> x
2. mod(x²,907) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5941=594

2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 13 mod 907

4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 907

8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 444 mod 907

16: 59416=5948+8=5948⋅5948 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 317 mod 907

32: 59432=59416+16=59416⋅59416 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 719 mod 907

64: 59464=59432+32=59432⋅59432 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 878 mod 907

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 881136 mod 953.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:

136 = 128+8

1: 8811=881

2: 8812=8811+1=8811⋅8811 ≡ 881⋅881=776161 ≡ 419 mod 953

4: 8814=8812+2=8812⋅8812 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 209 mod 953

8: 8818=8814+4=8814⋅8814 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 796 mod 953

16: 88116=8818+8=8818⋅8818 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 824 mod 953

32: 88132=88116+16=88116⋅88116 ≡ 824⋅824=678976 ≡ 440 mod 953

64: 88164=88132+32=88132⋅88132 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 141 mod 953

128: 881128=88164+64=88164⋅88164 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 821 mod 953

881136

= 881128+8

= 881128⋅8818

821 ⋅ 796 mod 953
653516 mod 953 ≡ 711 mod 953

Es gilt also: 881136 ≡ 711 mod 953

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 56

=>59 = 1⋅56 + 3
=>56 = 18⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 56-18⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(56 -18⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅56 +18⋅ 3)
= -1⋅56 +19⋅ 3 (=1)
3= 59-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅56 +19⋅(59 -1⋅ 56)
= -1⋅56 +19⋅59 -19⋅ 56)
= 19⋅59 -20⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(59,56)=1 = 19⋅59 -20⋅56

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -20⋅56

-20⋅56 = -19⋅59 + 1 |+59⋅56

-20⋅56 + 59⋅56 = -19⋅59 + 59⋅56 + 1

(-20 + 59) ⋅ 56 = (-19 + 56) ⋅ 59 + 1

39⋅56 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 39⋅56 = 37⋅59 +1

Somit 39⋅56 = 1 mod 59

39 ist also das Inverse von 56 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.