Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32003 - 2393) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32003 - 2393) mod 8 ≡ (32003 mod 8 - 2393 mod 8) mod 8.

32003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32003 = 32000+3 = 8 ⋅ 4000 +3.

2393 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2393 = 2400-7 = 8 ⋅ 300 -7 = 8 ⋅ 300 - 8 + 1.

Somit gilt:

(32003 - 2393) mod 8 ≡ (3 - 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 28) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 28) mod 10 ≡ (68 mod 10 ⋅ 28 mod 10) mod 10.

68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.

28 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 20 + 8 = 2 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 28) mod 10 ≡ (8 ⋅ 8) mod 10 ≡ 64 mod 10 ≡ 4 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 64116 mod 883.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 641 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6411=641

2: 6412=6411+1=6411⋅6411 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 286 mod 883

4: 6414=6412+2=6412⋅6412 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 560 mod 883

8: 6418=6414+4=6414⋅6414 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 135 mod 883

16: 64116=6418+8=6418⋅6418 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 565 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 87229 mod 239.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 871=87

2: 872=871+1=871⋅871 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 160 mod 239

4: 874=872+2=872⋅872 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 27 mod 239

8: 878=874+4=874⋅874 ≡ 27⋅27=729 ≡ 12 mod 239

16: 8716=878+8=878⋅878 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 239

32: 8732=8716+16=8716⋅8716 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 182 mod 239

64: 8764=8732+32=8732⋅8732 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 142 mod 239

128: 87128=8764+64=8764⋅8764 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 88 mod 239

87229

= 87128+64+32+4+1

= 87128⋅8764⋅8732⋅874⋅871

88 ⋅ 142 ⋅ 182 ⋅ 27 ⋅ 87 mod 239
12496 ⋅ 182 ⋅ 27 ⋅ 87 mod 239 ≡ 68 ⋅ 182 ⋅ 27 ⋅ 87 mod 239
12376 ⋅ 27 ⋅ 87 mod 239 ≡ 187 ⋅ 27 ⋅ 87 mod 239
5049 ⋅ 87 mod 239 ≡ 30 ⋅ 87 mod 239
2610 mod 239 ≡ 220 mod 239

Es gilt also: 87229 ≡ 220 mod 239

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71 = 1⋅58 + 13
=>58 = 4⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13)
= -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58)
= 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.