Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1800 + 63) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1800 + 63) mod 6 ≡ (1800 mod 6 + 63 mod 6) mod 6.
1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800
= 1800
63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 60
Somit gilt:
(1800 + 63) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 50) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 50) mod 4 ≡ (88 mod 4 ⋅ 50 mod 4) mod 4.
88 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 22 ⋅ 4 + 0 ist.
50 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 12 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 50) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10616 mod 257.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 106 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1061=106
2: 1062=1061+1=1061⋅1061 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 185 mod 257
4: 1064=1062+2=1062⋅1062 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 44 mod 257
8: 1068=1064+4=1064⋅1064 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 137 mod 257
16: 10616=1068+8=1068⋅1068 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 8 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37267 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 3721=372
2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 142 mod 409
4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 123 mod 409
8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 405 mod 409
16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409
32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 409
64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409
37267
= 37264+2+1
= 37264⋅3722⋅3721
≡ 96 ⋅ 142 ⋅ 372 mod 409
≡ 13632 ⋅ 372 mod 409 ≡ 135 ⋅ 372 mod 409
≡ 50220 mod 409 ≡ 322 mod 409
Es gilt also: 37267 ≡ 322 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 72
| =>83 | = 1⋅72 + 11 |
| =>72 | = 6⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 72-6⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(72 -6⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅72 -12⋅ 11) = 2⋅72 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 83-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅72 -13⋅(83 -1⋅ 72)
= 2⋅72 -13⋅83 +13⋅ 72) = -13⋅83 +15⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,72)=1 = -13⋅83 +15⋅72
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +15⋅72
Es gilt also: 15⋅72 = 13⋅83 +1
Somit 15⋅72 = 1 mod 83
15 ist also das Inverse von 72 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
