Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20002 + 147) mod 5 ≡ (20002 mod 5 + 147 mod 5) mod 5.

20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 5 ⋅ 4000 +2.

147 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 140+7 = 5 ⋅ 28 +7.

Somit gilt:

(20002 + 147) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 58) mod 4 ≡ (72 mod 4 ⋅ 58 mod 4) mod 4.

72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.

58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 58) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 698¹=698

2: 698²=698¹⁺¹=698¹⋅698¹ ≡ 698⋅698=487204 ≡ 428 mod 857

4: 698⁴=698²⁺²=698²⋅698² ≡ 428⋅428=183184 ≡ 643 mod 857

8: 698⁸=698⁴⁺⁴=698⁴⋅698⁴ ≡ 643⋅643=413449 ≡ 375 mod 857

16: 698¹⁶=698⁸⁺⁸=698⁸⋅698⁸ ≡ 375⋅375=140625 ≡ 77 mod 857

32: 698³²=698¹⁶⁺¹⁶=698¹⁶⋅698¹⁶ ≡ 77⋅77=5929 ≡ 787 mod 857

64: 698⁶⁴=698³²⁺³²=698³²⋅698³² ≡ 787⋅787=619369 ≡ 615 mod 857

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

249¹¹⁸

= 249^64+32+16+4+2

= 249⁶⁴⋅249³²⋅249¹⁶⋅249⁴⋅249²

≡ 561 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 285 ⋅ 87 mod 607
≡ 271524 ⋅ 22 ⋅ 285 ⋅ 87 mod 607 ≡ 195 ⋅ 22 ⋅ 285 ⋅ 87 mod 607
≡ 4290 ⋅ 285 ⋅ 87 mod 607 ≡ 41 ⋅ 285 ⋅ 87 mod 607
≡ 11685 ⋅ 87 mod 607 ≡ 152 ⋅ 87 mod 607
≡ 13224 mod 607 ≡ 477 mod 607

Es gilt also: 249¹¹⁸ ≡ 477 mod 607

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73	= 1⋅47 + 26
=>47	= 1⋅26 + 21
=>26	= 1⋅21 + 5
=>21	= 4⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21) = 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26) = -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26) = 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47) = 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47) = -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73