Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8993 + 85) mod 9 ≡ (8993 mod 9 + 85 mod 9) mod 9.

8993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8993 = 9000-7 = 9 ⋅ 1000 -7 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 2.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 90-5 = 9 ⋅ 10 -5 = 9 ⋅ 10 - 9 + 4.

Somit gilt:

(8993 + 85) mod 9 ≡ (2 + 4) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 31) mod 9 ≡ (64 mod 9 ⋅ 31 mod 9) mod 9.

64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 31) mod 9 ≡ (1 ⋅ 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 510¹=510

2: 510²=510¹⁺¹=510¹⋅510¹ ≡ 510⋅510=260100 ≡ 59 mod 587

4: 510⁴=510²⁺²=510²⋅510² ≡ 59⋅59=3481 ≡ 546 mod 587

8: 510⁸=510⁴⁺⁴=510⁴⋅510⁴ ≡ 546⋅546=298116 ≡ 507 mod 587

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

860²⁵⁵

= 860^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 860¹²⁸⋅860⁶⁴⋅860³²⋅860¹⁶⋅860⁸⋅860⁴⋅860²⋅860¹

≡ 22 ⋅ 607 ⋅ 520 ⋅ 358 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
≡ 13354 ⋅ 520 ⋅ 358 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967 ≡ 783 ⋅ 520 ⋅ 358 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
≡ 407160 ⋅ 358 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967 ≡ 53 ⋅ 358 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
≡ 18974 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967 ≡ 601 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
≡ 155659 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967 ≡ 939 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
≡ 767163 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967 ≡ 332 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
≡ 269584 ⋅ 860 mod 967 ≡ 758 ⋅ 860 mod 967
≡ 651880 mod 967 ≡ 122 mod 967

Es gilt also: 860²⁵⁵ ≡ 122 mod 967

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89	= 1⋅77 + 12
=>77	= 6⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77) = 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89