Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 + 245) mod 8 ≡ (82 mod 8 + 245 mod 8) mod 8.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 8 ⋅ 10 +2.

245 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245 = 240+5 = 8 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(82 + 245) mod 8 ≡ (2 + 5) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 68) mod 10 ≡ (19 mod 10 ⋅ 68 mod 10) mod 10.

19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.

68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 68) mod 10 ≡ (9 ⋅ 8) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 376¹=376

2: 376²=376¹⁺¹=376¹⋅376¹ ≡ 376⋅376=141376 ≡ 559 mod 643

4: 376⁴=376²⁺²=376²⋅376² ≡ 559⋅559=312481 ≡ 626 mod 643

8: 376⁸=376⁴⁺⁴=376⁴⋅376⁴ ≡ 626⋅626=391876 ≡ 289 mod 643

16: 376¹⁶=376⁸⁺⁸=376⁸⋅376⁸ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 574 mod 643

32: 376³²=376¹⁶⁺¹⁶=376¹⁶⋅376¹⁶ ≡ 574⋅574=329476 ≡ 260 mod 643

64: 376⁶⁴=376³²⁺³²=376³²⋅376³² ≡ 260⋅260=67600 ≡ 85 mod 643

128: 376¹²⁸=376⁶⁴⁺⁶⁴=376⁶⁴⋅376⁶⁴ ≡ 85⋅85=7225 ≡ 152 mod 643

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

453²¹⁷

= 453^{128+64+16+8+1}

= 453¹²⁸⋅453⁶⁴⋅453¹⁶⋅453⁸⋅453¹

≡ 98 ⋅ 144 ⋅ 372 ⋅ 177 ⋅ 453 mod 607
≡ 14112 ⋅ 372 ⋅ 177 ⋅ 453 mod 607 ≡ 151 ⋅ 372 ⋅ 177 ⋅ 453 mod 607
≡ 56172 ⋅ 177 ⋅ 453 mod 607 ≡ 328 ⋅ 177 ⋅ 453 mod 607
≡ 58056 ⋅ 453 mod 607 ≡ 391 ⋅ 453 mod 607
≡ 177123 mod 607 ≡ 486 mod 607

Es gilt also: 453²¹⁷ ≡ 486 mod 607

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35

=>101	= 2⋅35 + 31
=>35	= 1⋅31 + 4
=>31	= 7⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 35-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31) = -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35) = 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +26⋅35

Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1

Somit 26⋅35 = 1 mod 101

26 ist also das Inverse von 35 mod 101