Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (160 + 404) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(160 + 404) mod 4 ≡ (160 mod 4 + 404 mod 4) mod 4.
160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
404 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404
= 400
Somit gilt:
(160 + 404) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 17) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 17) mod 11 ≡ (76 mod 11 ⋅ 17 mod 11) mod 11.
76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.
17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 17) mod 11 ≡ (10 ⋅ 6) mod 11 ≡ 60 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20516 mod 211.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 205 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2051=205
2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 36 mod 211
4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 30 mod 211
8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 30⋅30=900 ≡ 56 mod 211
16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 182 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 450112 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 4501=450
2: 4502=4501+1=4501⋅4501 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 208 mod 491
4: 4504=4502+2=4502⋅4502 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 56 mod 491
8: 4508=4504+4=4504⋅4504 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 190 mod 491
16: 45016=4508+8=4508⋅4508 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 257 mod 491
32: 45032=45016+16=45016⋅45016 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 255 mod 491
64: 45064=45032+32=45032⋅45032 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 213 mod 491
450112
= 45064+32+16
= 45064⋅45032⋅45016
≡ 213 ⋅ 255 ⋅ 257 mod 491
≡ 54315 ⋅ 257 mod 491 ≡ 305 ⋅ 257 mod 491
≡ 78385 mod 491 ≡ 316 mod 491
Es gilt also: 450112 ≡ 316 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 76
| =>83 | = 1⋅76 + 7 |
| =>76 | = 10⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 76-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(76 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅76 +10⋅ 7) = -1⋅76 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 83-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅76 +11⋅(83 -1⋅ 76)
= -1⋅76 +11⋅83 -11⋅ 76) = 11⋅83 -12⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,76)=1 = 11⋅83 -12⋅76
oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅83 = -12⋅76
-12⋅76 = -11⋅83 + 1 |+83⋅76
-12⋅76 + 83⋅76 = -11⋅83 + 83⋅76 + 1
(-12 + 83) ⋅ 76 = (-11 + 76) ⋅ 83 + 1
71⋅76 = 65⋅83 + 1
Es gilt also: 71⋅76 = 65⋅83 +1
Somit 71⋅76 = 1 mod 83
71 ist also das Inverse von 76 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
