Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20005 - 1998) mod 5 ≡ (20005 mod 5 - 1998 mod 5) mod 5.

20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005 = 20000+5 = 5 ⋅ 4000 +5.

1998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998 = 1900+98 = 5 ⋅ 380 +98.

Somit gilt:

(20005 - 1998) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 50) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 50 mod 10) mod 10.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

50 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 5 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 50) mod 10 ≡ (9 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 191¹=191

2: 191²=191¹⁺¹=191¹⋅191¹ ≡ 191⋅191=36481 ≡ 308 mod 593

4: 191⁴=191²⁺²=191²⋅191² ≡ 308⋅308=94864 ≡ 577 mod 593

8: 191⁸=191⁴⁺⁴=191⁴⋅191⁴ ≡ 577⋅577=332929 ≡ 256 mod 593

16: 191¹⁶=191⁸⁺⁸=191⁸⋅191⁸ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 306 mod 593

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

458¹²⁵

= 458^{64+32+16+8+4+1}

= 458⁶⁴⋅458³²⋅458¹⁶⋅458⁸⋅458⁴⋅458¹

≡ 14 ⋅ 158 ⋅ 34 ⋅ 287 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499
≡ 2212 ⋅ 34 ⋅ 287 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499 ≡ 216 ⋅ 34 ⋅ 287 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499
≡ 7344 ⋅ 287 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499 ≡ 358 ⋅ 287 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499
≡ 102746 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499 ≡ 451 ⋅ 423 ⋅ 458 mod 499
≡ 190773 ⋅ 458 mod 499 ≡ 155 ⋅ 458 mod 499
≡ 70990 mod 499 ≡ 132 mod 499

Es gilt also: 458¹²⁵ ≡ 132 mod 499

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39

=>89	= 2⋅39 + 11
=>39	= 3⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 39-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11) = 2⋅39 -7⋅ 11 (=1)
11= 89-2⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39) = 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39) = -7⋅89 +16⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +16⋅39

Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1

Somit 16⋅39 = 1 mod 89

16 ist also das Inverse von 39 mod 89