Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1407 + 273) mod 7 ≡ (1407 mod 7 + 273 mod 7) mod 7.

1407 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1407 = 1400+7 = 7 ⋅ 200 +7.

273 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 273 = 280-7 = 7 ⋅ 40 -7 = 7 ⋅ 40 - 7 + 0.

Somit gilt:

(1407 + 273) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 75) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 75 mod 5) mod 5.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.

75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 75) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 600¹=600

2: 600²=600¹⁺¹=600¹⋅600¹ ≡ 600⋅600=360000 ≡ 425 mod 757

4: 600⁴=600²⁺²=600²⋅600² ≡ 425⋅425=180625 ≡ 459 mod 757

8: 600⁸=600⁴⁺⁴=600⁴⋅600⁴ ≡ 459⋅459=210681 ≡ 235 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

517²³⁸

= 517^{128+64+32+8+4+2}

= 517¹²⁸⋅517⁶⁴⋅517³²⋅517⁸⋅517⁴⋅517²

≡ 420 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 233 ⋅ 295 ⋅ 61 mod 571
≡ 21840 ⋅ 223 ⋅ 233 ⋅ 295 ⋅ 61 mod 571 ≡ 142 ⋅ 223 ⋅ 233 ⋅ 295 ⋅ 61 mod 571
≡ 31666 ⋅ 233 ⋅ 295 ⋅ 61 mod 571 ≡ 261 ⋅ 233 ⋅ 295 ⋅ 61 mod 571
≡ 60813 ⋅ 295 ⋅ 61 mod 571 ≡ 287 ⋅ 295 ⋅ 61 mod 571
≡ 84665 ⋅ 61 mod 571 ≡ 157 ⋅ 61 mod 571
≡ 9577 mod 571 ≡ 441 mod 571

Es gilt also: 517²³⁸ ≡ 441 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67	= 1⋅44 + 23
=>44	= 1⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44) = 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67