Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3196 - 798) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3196 - 798) mod 8 ≡ (3196 mod 8 - 798 mod 8) mod 8.

3196 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3196 = 3200-4 = 8 ⋅ 400 -4 = 8 ⋅ 400 - 8 + 4.

798 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798 = 800-2 = 8 ⋅ 100 -2 = 8 ⋅ 100 - 8 + 6.

Somit gilt:

(3196 - 798) mod 8 ≡ (4 - 6) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 73) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 73) mod 4 ≡ (18 mod 4 ⋅ 73 mod 4) mod 4.

18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.

73 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 18 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 73) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3308 mod 443.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 330 -> x
2. mod(x²,443) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3301=330

2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 365 mod 443

4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 325 mod 443

8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 191 mod 443

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 749226 mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

1: 7491=749

2: 7492=7491+1=7491⋅7491 ≡ 749⋅749=561001 ≡ 4 mod 751

4: 7494=7492+2=7492⋅7492 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 751

8: 7498=7494+4=7494⋅7494 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 751

16: 74916=7498+8=7498⋅7498 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 199 mod 751

32: 74932=74916+16=74916⋅74916 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 549 mod 751

64: 74964=74932+32=74932⋅74932 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 250 mod 751

128: 749128=74964+64=74964⋅74964 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 167 mod 751

749226

= 749128+64+32+2

= 749128⋅74964⋅74932⋅7492

167 ⋅ 250 ⋅ 549 ⋅ 4 mod 751
41750 ⋅ 549 ⋅ 4 mod 751 ≡ 445 ⋅ 549 ⋅ 4 mod 751
244305 ⋅ 4 mod 751 ≡ 230 ⋅ 4 mod 751
920 mod 751 ≡ 169 mod 751

Es gilt also: 749226 ≡ 169 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.

Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64

=>97 = 1⋅64 + 33
=>64 = 1⋅33 + 31
=>33 = 1⋅31 + 2
=>31 = 15⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31)
= -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 64-1⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33)
= 16⋅64 -31⋅ 33 (=1)
33= 97-1⋅64 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64)
= -31⋅97 +47⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64

oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅97 = +47⋅64

Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1

Somit 47⋅64 = 1 mod 97

47 ist also das Inverse von 64 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.