Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25000 + 50) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25000 + 50) mod 5 ≡ (25000 mod 5 + 50 mod 5) mod 5.
25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000
= 25000
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50
= 50
Somit gilt:
(25000 + 50) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 60) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 60) mod 11 ≡ (96 mod 11 ⋅ 60 mod 11) mod 11.
96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.
60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 60) mod 11 ≡ (8 ⋅ 5) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27016 mod 421.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 67 mod 421
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 279 mod 421
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 377 mod 421
16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 252 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 749236 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:
236 = 128+64+32+8+4
1: 7491=749
2: 7492=7491+1=7491⋅7491 ≡ 749⋅749=561001 ≡ 600 mod 811
4: 7494=7492+2=7492⋅7492 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 727 mod 811
8: 7498=7494+4=7494⋅7494 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 568 mod 811
16: 74916=7498+8=7498⋅7498 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 657 mod 811
32: 74932=74916+16=74916⋅74916 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 197 mod 811
64: 74964=74932+32=74932⋅74932 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 692 mod 811
128: 749128=74964+64=74964⋅74964 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 374 mod 811
749236
= 749128+64+32+8+4
= 749128⋅74964⋅74932⋅7498⋅7494
≡ 374 ⋅ 692 ⋅ 197 ⋅ 568 ⋅ 727 mod 811
≡ 258808 ⋅ 197 ⋅ 568 ⋅ 727 mod 811 ≡ 99 ⋅ 197 ⋅ 568 ⋅ 727 mod 811
≡ 19503 ⋅ 568 ⋅ 727 mod 811 ≡ 39 ⋅ 568 ⋅ 727 mod 811
≡ 22152 ⋅ 727 mod 811 ≡ 255 ⋅ 727 mod 811
≡ 185385 mod 811 ≡ 477 mod 811
Es gilt also: 749236 ≡ 477 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28
| =>89 | = 3⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-3⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(89 -3⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅89 +33⋅ 28) = -11⋅89 +35⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,28)=1 = -11⋅89 +35⋅28
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +35⋅28
Es gilt also: 35⋅28 = 11⋅89 +1
Somit 35⋅28 = 1 mod 89
35 ist also das Inverse von 28 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
