Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 + 6002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 + 6002) mod 3 ≡ (6000 mod 3 + 6002 mod 3) mod 3.
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
6002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002
= 6000
Somit gilt:
(6000 + 6002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 33) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 33) mod 8 ≡ (94 mod 8 ⋅ 33 mod 8) mod 8.
94 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 11 ⋅ 8 + 6 ist.
33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 33) mod 8 ≡ (6 ⋅ 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 268128 mod 277.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 268 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2681=268
2: 2682=2681+1=2681⋅2681 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 81 mod 277
4: 2684=2682+2=2682⋅2682 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 190 mod 277
8: 2688=2684+4=2684⋅2684 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 90 mod 277
16: 26816=2688+8=2688⋅2688 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 67 mod 277
32: 26832=26816+16=26816⋅26816 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 57 mod 277
64: 26864=26832+32=26832⋅26832 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 202 mod 277
128: 268128=26864+64=26864⋅26864 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 85 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 504183 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:
183 = 128+32+16+4+2+1
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 289 mod 521
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 161 mod 521
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 392 mod 521
16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 490 mod 521
32: 50432=50416+16=50416⋅50416 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 440 mod 521
64: 50464=50432+32=50432⋅50432 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 309 mod 521
128: 504128=50464+64=50464⋅50464 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 138 mod 521
504183
= 504128+32+16+4+2+1
= 504128⋅50432⋅50416⋅5044⋅5042⋅5041
≡ 138 ⋅ 440 ⋅ 490 ⋅ 161 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521
≡ 60720 ⋅ 490 ⋅ 161 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521 ≡ 284 ⋅ 490 ⋅ 161 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521
≡ 139160 ⋅ 161 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521 ≡ 53 ⋅ 161 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521
≡ 8533 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521 ≡ 197 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521
≡ 56933 ⋅ 504 mod 521 ≡ 144 ⋅ 504 mod 521
≡ 72576 mod 521 ≡ 157 mod 521
Es gilt also: 504183 ≡ 157 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31
| =>53 | = 1⋅31 + 22 |
| =>31 | = 1⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1) |
| 22= 53-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31
oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅53 = +12⋅31
Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1
Somit 12⋅31 = 1 mod 53
12 ist also das Inverse von 31 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
