Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (183 + 2706) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(183 + 2706) mod 9 ≡ (183 mod 9 + 2706 mod 9) mod 9.
183 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 183
= 180
2706 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2706
= 2700
Somit gilt:
(183 + 2706) mod 9 ≡ (3 + 6) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 99) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 99) mod 4 ≡ (52 mod 4 ⋅ 99 mod 4) mod 4.
52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.
99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 99) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20932 mod 659.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 209 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 187 mod 659
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 42 mod 659
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 446 mod 659
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 557 mod 659
32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 519 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 337223 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:
223 = 128+64+16+8+4+2+1
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 245 mod 691
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 599 mod 691
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 599⋅599=358801 ≡ 172 mod 691
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 562 mod 691
32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 57 mod 691
64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 485 mod 691
128: 337128=33764+64=33764⋅33764 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 285 mod 691
337223
= 337128+64+16+8+4+2+1
= 337128⋅33764⋅33716⋅3378⋅3374⋅3372⋅3371
≡ 285 ⋅ 485 ⋅ 562 ⋅ 172 ⋅ 599 ⋅ 245 ⋅ 337 mod 691
≡ 138225 ⋅ 562 ⋅ 172 ⋅ 599 ⋅ 245 ⋅ 337 mod 691 ≡ 25 ⋅ 562 ⋅ 172 ⋅ 599 ⋅ 245 ⋅ 337 mod 691
≡ 14050 ⋅ 172 ⋅ 599 ⋅ 245 ⋅ 337 mod 691 ≡ 230 ⋅ 172 ⋅ 599 ⋅ 245 ⋅ 337 mod 691
≡ 39560 ⋅ 599 ⋅ 245 ⋅ 337 mod 691 ≡ 173 ⋅ 599 ⋅ 245 ⋅ 337 mod 691
≡ 103627 ⋅ 245 ⋅ 337 mod 691 ≡ 668 ⋅ 245 ⋅ 337 mod 691
≡ 163660 ⋅ 337 mod 691 ≡ 584 ⋅ 337 mod 691
≡ 196808 mod 691 ≡ 564 mod 691
Es gilt also: 337223 ≡ 564 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24
| =>79 | = 3⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -23⋅24
-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24
-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1
(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1
56⋅24 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1
Somit 56⋅24 = 1 mod 79
56 ist also das Inverse von 24 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
