Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2406 + 3200) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2406 + 3200) mod 8 ≡ (2406 mod 8 + 3200 mod 8) mod 8.
2406 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406
= 2400
3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200
= 3200
Somit gilt:
(2406 + 3200) mod 8 ≡ (6 + 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 84) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 84) mod 5 ≡ (94 mod 5 ⋅ 84 mod 5) mod 5.
94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.
84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 84) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27716 mod 859.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 277 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2771=277
2: 2772=2771+1=2771⋅2771 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 278 mod 859
4: 2774=2772+2=2772⋅2772 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 833 mod 859
8: 2778=2774+4=2774⋅2774 ≡ 833⋅833=693889 ≡ 676 mod 859
16: 27716=2778+8=2778⋅2778 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 847 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 147241 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:
241 = 128+64+32+16+1
1: 1471=147
2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 57 mod 449
4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 106 mod 449
8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 11 mod 449
16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 449
32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 273 mod 449
64: 14764=14732+32=14732⋅14732 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 444 mod 449
128: 147128=14764+64=14764⋅14764 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449
147241
= 147128+64+32+16+1
= 147128⋅14764⋅14732⋅14716⋅1471
≡ 25 ⋅ 444 ⋅ 273 ⋅ 121 ⋅ 147 mod 449
≡ 11100 ⋅ 273 ⋅ 121 ⋅ 147 mod 449 ≡ 324 ⋅ 273 ⋅ 121 ⋅ 147 mod 449
≡ 88452 ⋅ 121 ⋅ 147 mod 449 ≡ 448 ⋅ 121 ⋅ 147 mod 449
≡ 54208 ⋅ 147 mod 449 ≡ 328 ⋅ 147 mod 449
≡ 48216 mod 449 ≡ 173 mod 449
Es gilt also: 147241 ≡ 173 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68
| =>83 | = 1⋅68 + 15 |
| =>68 | = 4⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 68-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +11⋅68
Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1
Somit 11⋅68 = 1 mod 83
11 ist also das Inverse von 68 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
