Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 - 134) mod 7 ≡ (68 mod 7 - 134 mod 7) mod 7.

68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 70-2 = 7 ⋅ 10 -2 = 7 ⋅ 10 - 7 + 5.

134 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 134 = 140-6 = 7 ⋅ 20 -6 = 7 ⋅ 20 - 7 + 1.

Somit gilt:

(68 - 134) mod 7 ≡ (5 - 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 25) mod 10 ≡ (23 mod 10 ⋅ 25 mod 10) mod 10.

23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.

25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 25) mod 10 ≡ (3 ⋅ 5) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 700¹=700

2: 700²=700¹⁺¹=700¹⋅700¹ ≡ 700⋅700=490000 ≡ 81 mod 709

4: 700⁴=700²⁺²=700²⋅700² ≡ 81⋅81=6561 ≡ 180 mod 709

8: 700⁸=700⁴⁺⁴=700⁴⋅700⁴ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 495 mod 709

16: 700¹⁶=700⁸⁺⁸=700⁸⋅700⁸ ≡ 495⋅495=245025 ≡ 420 mod 709

32: 700³²=700¹⁶⁺¹⁶=700¹⁶⋅700¹⁶ ≡ 420⋅420=176400 ≡ 568 mod 709

64: 700⁶⁴=700³²⁺³²=700³²⋅700³² ≡ 568⋅568=322624 ≡ 29 mod 709

128: 700¹²⁸=700⁶⁴⁺⁶⁴=700⁶⁴⋅700⁶⁴ ≡ 29⋅29=841 ≡ 132 mod 709

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

207²²⁷

= 207^{128+64+32+2+1}

= 207¹²⁸⋅207⁶⁴⋅207³²⋅207²⋅207¹

≡ 385 ⋅ 107 ⋅ 81 ⋅ 437 ⋅ 207 mod 461
≡ 41195 ⋅ 81 ⋅ 437 ⋅ 207 mod 461 ≡ 166 ⋅ 81 ⋅ 437 ⋅ 207 mod 461
≡ 13446 ⋅ 437 ⋅ 207 mod 461 ≡ 77 ⋅ 437 ⋅ 207 mod 461
≡ 33649 ⋅ 207 mod 461 ≡ 457 ⋅ 207 mod 461
≡ 94599 mod 461 ≡ 94 mod 461

Es gilt also: 207²²⁷ ≡ 94 mod 461

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67	= 1⋅44 + 23
=>44	= 1⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44) = 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67