Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (180 + 30000) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(180 + 30000) mod 6 ≡ (180 mod 6 + 30000 mod 6) mod 6.

180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 6 ⋅ 30 +0.

30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000 = 30000+0 = 6 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(180 + 30000) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 18) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 18) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 18 mod 3) mod 3.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 18) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39132 mod 593.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 391 -> x
2. mod(x²,593) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3911=391

2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 480 mod 593

4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 316 mod 593

8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 232 mod 593

16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 454 mod 593

32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 345 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 381221 mod 683.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 3811=381

2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 365 mod 683

4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 40 mod 683

8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 234 mod 683

16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 116 mod 683

32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 479 mod 683

64: 38164=38132+32=38132⋅38132 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 636 mod 683

128: 381128=38164+64=38164⋅38164 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 160 mod 683

381221

= 381128+64+16+8+4+1

= 381128⋅38164⋅38116⋅3818⋅3814⋅3811

160 ⋅ 636 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683
101760 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683 ≡ 676 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683
78416 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683 ≡ 554 ⋅ 234 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683
129636 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683 ≡ 549 ⋅ 40 ⋅ 381 mod 683
21960 ⋅ 381 mod 683 ≡ 104 ⋅ 381 mod 683
39624 mod 683 ≡ 10 mod 683

Es gilt also: 381221 ≡ 10 mod 683

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33

=>89 = 2⋅33 + 23
=>33 = 1⋅23 + 10
=>23 = 2⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10)
= -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 33-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23)
= 7⋅33 -10⋅ 23 (=1)
23= 89-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33)
= 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33)
= -10⋅89 +27⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +27⋅33

Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1

Somit 27⋅33 = 1 mod 89

27 ist also das Inverse von 33 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.