Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (239 + 4000) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(239 + 4000) mod 8 ≡ (239 mod 8 + 4000 mod 8) mod 8.

239 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239 = 240-1 = 8 ⋅ 30 -1 = 8 ⋅ 30 - 8 + 7.

4000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 8 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(239 + 4000) mod 8 ≡ (7 + 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 59) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 59) mod 10 ≡ (78 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.

78 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 70 + 8 = 7 ⋅ 10 + 8 ist.

59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 59) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3038 mod 631.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 303 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3031=303

2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 314 mod 631

4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 160 mod 631

8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 360 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 131127 mod 263.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

1: 1311=131

2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 66 mod 263

4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 148 mod 263

8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 75 mod 263

16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 102 mod 263

32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 147 mod 263

64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 43 mod 263

131127

= 13164+32+16+8+4+2+1

= 13164⋅13132⋅13116⋅1318⋅1314⋅1312⋅1311

43 ⋅ 147 ⋅ 102 ⋅ 75 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263
6321 ⋅ 102 ⋅ 75 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263 ≡ 9 ⋅ 102 ⋅ 75 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263
918 ⋅ 75 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263 ≡ 129 ⋅ 75 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263
9675 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263 ≡ 207 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263
30636 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263 ≡ 128 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263
8448 ⋅ 131 mod 263 ≡ 32 ⋅ 131 mod 263
4192 mod 263 ≡ 247 mod 263

Es gilt also: 131127 ≡ 247 mod 263

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79 = 1⋅47 + 32
=>47 = 1⋅32 + 15
=>32 = 2⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15)
= -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32)
= 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47)
= 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47)
= -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.