Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 + 2801) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 + 2801) mod 7 ≡ (65 mod 7 + 2801 mod 7) mod 7.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 70-5 = 7 ⋅ 10 -5 = 7 ⋅ 10 - 7 + 2.

2801 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2801 = 2800+1 = 7 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(65 + 2801) mod 7 ≡ (2 + 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 51) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 51) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 51 mod 9) mod 9.

30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.

51 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 45 + 6 = 5 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 51) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3068 mod 983.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,983) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3061=306

2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 251 mod 983

4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 89 mod 983

8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 57 mod 983

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24576 mod 521.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:

76 = 64+8+4

1: 2451=245

2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 110 mod 521

4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 117 mod 521

8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 143 mod 521

16: 24516=2458+8=2458⋅2458 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 130 mod 521

32: 24532=24516+16=24516⋅24516 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 228 mod 521

64: 24564=24532+32=24532⋅24532 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 405 mod 521

24576

= 24564+8+4

= 24564⋅2458⋅2454

405 ⋅ 143 ⋅ 117 mod 521
57915 ⋅ 117 mod 521 ≡ 84 ⋅ 117 mod 521
9828 mod 521 ≡ 450 mod 521

Es gilt also: 24576 ≡ 450 mod 521

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.

Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71

=>79 = 1⋅71 + 8
=>71 = 8⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 71-8⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8)
= -1⋅71 +9⋅ 8 (=1)
8= 79-1⋅71 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71)
= 9⋅79 -10⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71

oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅79 = -10⋅71

-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71

-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1

(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1

69⋅71 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1

Somit 69⋅71 = 1 mod 79

69 ist also das Inverse von 71 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.