Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24002 + 239) mod 6 ≡ (24002 mod 6 + 239 mod 6) mod 6.

24002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002 = 24000+2 = 6 ⋅ 4000 +2.

239 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239 = 240-1 = 6 ⋅ 40 -1 = 6 ⋅ 40 - 6 + 5.

Somit gilt:

(24002 + 239) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 100) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.

30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 100) mod 11 ≡ (8 ⋅ 1) mod 11 ≡ 8 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 243¹=243

2: 243²=243¹⁺¹=243¹⋅243¹ ≡ 243⋅243=59049 ≡ 64 mod 251

4: 243⁴=243²⁺²=243²⋅243² ≡ 64⋅64=4096 ≡ 80 mod 251

8: 243⁸=243⁴⁺⁴=243⁴⋅243⁴ ≡ 80⋅80=6400 ≡ 125 mod 251

16: 243¹⁶=243⁸⁺⁸=243⁸⋅243⁸ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 63 mod 251

32: 243³²=243¹⁶⁺¹⁶=243¹⁶⋅243¹⁶ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 204 mod 251

64: 243⁶⁴=243³²⁺³²=243³²⋅243³² ≡ 204⋅204=41616 ≡ 201 mod 251

128: 243¹²⁸=243⁶⁴⁺⁶⁴=243⁶⁴⋅243⁶⁴ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 241 mod 251

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

422⁶²

= 422^32+16+8+4+2

= 422³²⋅422¹⁶⋅422⁸⋅422⁴⋅422²

≡ 790 ⋅ 61 ⋅ 914 ⋅ 602 ⋅ 270 mod 977
≡ 48190 ⋅ 914 ⋅ 602 ⋅ 270 mod 977 ≡ 317 ⋅ 914 ⋅ 602 ⋅ 270 mod 977
≡ 289738 ⋅ 602 ⋅ 270 mod 977 ≡ 546 ⋅ 602 ⋅ 270 mod 977
≡ 328692 ⋅ 270 mod 977 ≡ 420 ⋅ 270 mod 977
≡ 113400 mod 977 ≡ 68 mod 977

Es gilt also: 422⁶² ≡ 68 mod 977

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34

=>73	= 2⋅34 + 5
=>34	= 6⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 73-2⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34) = -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34) = 7⋅73 -15⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -15⋅34

-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34

-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1

(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1

58⋅34 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1

Somit 58⋅34 = 1 mod 73

58 ist also das Inverse von 34 mod 73