Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(294 - 55) mod 6 ≡ (294 mod 6 - 55 mod 6) mod 6.

294 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 294 = 300-6 = 6 ⋅ 50 -6 = 6 ⋅ 50 - 6 + 0.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 60-5 = 6 ⋅ 10 -5 = 6 ⋅ 10 - 6 + 1.

Somit gilt:

(294 - 55) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 92) mod 5 ≡ (60 mod 5 ⋅ 92 mod 5) mod 5.

60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.

92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 92) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 422¹=422

2: 422²=422¹⁺¹=422¹⋅422¹ ≡ 422⋅422=178084 ≡ 618 mod 997

4: 422⁴=422²⁺²=422²⋅422² ≡ 618⋅618=381924 ≡ 73 mod 997

8: 422⁸=422⁴⁺⁴=422⁴⋅422⁴ ≡ 73⋅73=5329 ≡ 344 mod 997

16: 422¹⁶=422⁸⁺⁸=422⁸⋅422⁸ ≡ 344⋅344=118336 ≡ 690 mod 997

32: 422³²=422¹⁶⁺¹⁶=422¹⁶⋅422¹⁶ ≡ 690⋅690=476100 ≡ 531 mod 997

64: 422⁶⁴=422³²⁺³²=422³²⋅422³² ≡ 531⋅531=281961 ≡ 807 mod 997

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

181¹²³

= 181^{64+32+16+8+2+1}

= 181⁶⁴⋅181³²⋅181¹⁶⋅181⁸⋅181²⋅181¹

≡ 225 ⋅ 15 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241
≡ 3375 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241 ≡ 1 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241
≡ 225 ⋅ 15 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241
≡ 3375 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241 ≡ 1 ⋅ 226 ⋅ 181 mod 241
≡ 226 ⋅ 181 mod 241
≡ 40906 mod 241 ≡ 177 mod 241

Es gilt also: 181¹²³ ≡ 177 mod 241

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47

=>61	= 1⋅47 + 14
=>47	= 3⋅14 + 5
=>14	= 2⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 14-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-3⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14) = -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14) = 3⋅47 -10⋅ 14 (=1)
14= 61-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47) = 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47) = -10⋅61 +13⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47

oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅61 = +13⋅47

Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1

Somit 13⋅47 = 1 mod 61

13 ist also das Inverse von 47 mod 61