Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1203 - 90) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1203 - 90) mod 3 ≡ (1203 mod 3 - 90 mod 3) mod 3.
1203 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203
= 1200
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
Somit gilt:
(1203 - 90) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 15) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 15) mod 8 ≡ (41 mod 8 ⋅ 15 mod 8) mod 8.
41 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 5 ⋅ 8 + 1 ist.
15 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 8 + 7 = 1 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 15) mod 8 ≡ (1 ⋅ 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 499128 mod 569.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 499 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4991=499
2: 4992=4991+1=4991⋅4991 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 348 mod 569
4: 4994=4992+2=4992⋅4992 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 476 mod 569
8: 4998=4994+4=4994⋅4994 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 114 mod 569
16: 49916=4998+8=4998⋅4998 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 478 mod 569
32: 49932=49916+16=49916⋅49916 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 315 mod 569
64: 49964=49932+32=49932⋅49932 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 219 mod 569
128: 499128=49964+64=49964⋅49964 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 165 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 502129 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 5021=502
2: 5022=5021+1=5021⋅5021 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 185 mod 601
4: 5024=5022+2=5022⋅5022 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 569 mod 601
8: 5028=5024+4=5024⋅5024 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 423 mod 601
16: 50216=5028+8=5028⋅5028 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 432 mod 601
32: 50232=50216+16=50216⋅50216 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 314 mod 601
64: 50264=50232+32=50232⋅50232 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 32 mod 601
128: 502128=50264+64=50264⋅50264 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 423 mod 601
502129
= 502128+1
= 502128⋅5021
≡ 423 ⋅ 502 mod 601
≡ 212346 mod 601 ≡ 193 mod 601
Es gilt also: 502129 ≡ 193 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25
| =>67 | = 2⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25) = 3⋅67 -8⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -8⋅25
-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25
-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1
(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1
59⋅25 = 22⋅67 + 1
Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1
Somit 59⋅25 = 1 mod 67
59 ist also das Inverse von 25 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
