Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (116 + 15998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(116 + 15998) mod 4 ≡ (116 mod 4 + 15998 mod 4) mod 4.
116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116
= 120
15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998
= 15000
Somit gilt:
(116 + 15998) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 98) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 98) mod 3 ≡ (96 mod 3 ⋅ 98 mod 3) mod 3.
96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.
98 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 32 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 98) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 96128 mod 277.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 96 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 961=96
2: 962=961+1=961⋅961 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 75 mod 277
4: 964=962+2=962⋅962 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 85 mod 277
8: 968=964+4=964⋅964 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 23 mod 277
16: 9616=968+8=968⋅968 ≡ 23⋅23=529 ≡ 252 mod 277
32: 9632=9616+16=9616⋅9616 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 71 mod 277
64: 9664=9632+32=9632⋅9632 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 55 mod 277
128: 96128=9664+64=9664⋅9664 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 255 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 350110 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:
110 = 64+32+8+4+2
1: 3501=350
2: 3502=3501+1=3501⋅3501 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 806 mod 857
4: 3504=3502+2=3502⋅3502 ≡ 806⋅806=649636 ≡ 30 mod 857
8: 3508=3504+4=3504⋅3504 ≡ 30⋅30=900 ≡ 43 mod 857
16: 35016=3508+8=3508⋅3508 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 135 mod 857
32: 35032=35016+16=35016⋅35016 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 228 mod 857
64: 35064=35032+32=35032⋅35032 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 564 mod 857
350110
= 35064+32+8+4+2
= 35064⋅35032⋅3508⋅3504⋅3502
≡ 564 ⋅ 228 ⋅ 43 ⋅ 30 ⋅ 806 mod 857
≡ 128592 ⋅ 43 ⋅ 30 ⋅ 806 mod 857 ≡ 42 ⋅ 43 ⋅ 30 ⋅ 806 mod 857
≡ 1806 ⋅ 30 ⋅ 806 mod 857 ≡ 92 ⋅ 30 ⋅ 806 mod 857
≡ 2760 ⋅ 806 mod 857 ≡ 189 ⋅ 806 mod 857
≡ 152334 mod 857 ≡ 645 mod 857
Es gilt also: 350110 ≡ 645 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
