Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2999 - 12006) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2999 - 12006) mod 6 ≡ (2999 mod 6 - 12006 mod 6) mod 6.
2999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999
= 3000
12006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12006
= 12000
Somit gilt:
(2999 - 12006) mod 6 ≡ (5 - 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 28) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 28) mod 8 ≡ (49 mod 8 ⋅ 28 mod 8) mod 8.
49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.
28 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 3 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 28) mod 8 ≡ (1 ⋅ 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2558 mod 479.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2551=255
2: 2552=2551+1=2551⋅2551 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 360 mod 479
4: 2554=2552+2=2552⋅2552 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 270 mod 479
8: 2558=2554+4=2554⋅2554 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 92 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 304165 mod 863.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:
165 = 128+32+4+1
1: 3041=304
2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 75 mod 863
4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 447 mod 863
8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 456 mod 863
16: 30416=3048+8=3048⋅3048 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 816 mod 863
32: 30432=30416+16=30416⋅30416 ≡ 816⋅816=665856 ≡ 483 mod 863
64: 30464=30432+32=30432⋅30432 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 279 mod 863
128: 304128=30464+64=30464⋅30464 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 171 mod 863
304165
= 304128+32+4+1
= 304128⋅30432⋅3044⋅3041
≡ 171 ⋅ 483 ⋅ 447 ⋅ 304 mod 863
≡ 82593 ⋅ 447 ⋅ 304 mod 863 ≡ 608 ⋅ 447 ⋅ 304 mod 863
≡ 271776 ⋅ 304 mod 863 ≡ 794 ⋅ 304 mod 863
≡ 241376 mod 863 ≡ 599 mod 863
Es gilt also: 304165 ≡ 599 mod 863
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40
| =>59 | = 1⋅40 + 19 |
| =>40 | = 2⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 40-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 59-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40
oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅59 = -28⋅40
-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40
-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1
(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1
31⋅40 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1
Somit 31⋅40 = 1 mod 59
31 ist also das Inverse von 40 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
