Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (505 - 2504) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(505 - 2504) mod 5 ≡ (505 mod 5 - 2504 mod 5) mod 5.

505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 505 = 500+5 = 5 ⋅ 100 +5.

2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504 = 2500+4 = 5 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(505 - 2504) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 17) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 17) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 17 mod 8) mod 8.

92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.

17 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 17) mod 8 ≡ (4 ⋅ 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 408128 mod 479.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 408 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4081=408

2: 4082=4081+1=4081⋅4081 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 251 mod 479

4: 4084=4082+2=4082⋅4082 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 252 mod 479

8: 4088=4084+4=4084⋅4084 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 276 mod 479

16: 40816=4088+8=4088⋅4088 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 15 mod 479

32: 40832=40816+16=40816⋅40816 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 479

64: 40864=40832+32=40832⋅40832 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 330 mod 479

128: 408128=40864+64=40864⋅40864 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 167 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 385255 mod 541.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 3851=385

2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 532 mod 541

4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 81 mod 541

8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 69 mod 541

16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 433 mod 541

32: 38532=38516+16=38516⋅38516 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 303 mod 541

64: 38564=38532+32=38532⋅38532 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 380 mod 541

128: 385128=38564+64=38564⋅38564 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 494 mod 541

385255

= 385128+64+32+16+8+4+2+1

= 385128⋅38564⋅38532⋅38516⋅3858⋅3854⋅3852⋅3851

494 ⋅ 380 ⋅ 303 ⋅ 433 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
187720 ⋅ 303 ⋅ 433 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541 ≡ 534 ⋅ 303 ⋅ 433 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
161802 ⋅ 433 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541 ≡ 43 ⋅ 433 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
18619 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541 ≡ 225 ⋅ 69 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
15525 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541 ≡ 377 ⋅ 81 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
30537 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541 ≡ 241 ⋅ 532 ⋅ 385 mod 541
128212 ⋅ 385 mod 541 ≡ 536 ⋅ 385 mod 541
206360 mod 541 ≡ 239 mod 541

Es gilt also: 385255 ≡ 239 mod 541

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30

=>97 = 3⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-3⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30)
= 13⋅97 -42⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -42⋅30

-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30

-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1

(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1

55⋅30 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1

Somit 55⋅30 = 1 mod 97

55 ist also das Inverse von 30 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.