Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (899 + 150) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(899 + 150) mod 3 ≡ (899 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.

899 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899 = 900-1 = 3 ⋅ 300 -1 = 3 ⋅ 300 - 3 + 2.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(899 + 150) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 89) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 89) mod 7 ≡ (54 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.

54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.

89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 89) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15632 mod 223.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 156 -> x
2. mod(x²,223) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1561=156

2: 1562=1561+1=1561⋅1561 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 29 mod 223

4: 1564=1562+2=1562⋅1562 ≡ 29⋅29=841 ≡ 172 mod 223

8: 1568=1564+4=1564⋅1564 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 148 mod 223

16: 15616=1568+8=1568⋅1568 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 50 mod 223

32: 15632=15616+16=15616⋅15616 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 47 mod 223

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 517226 mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

1: 5171=517

2: 5172=5171+1=5171⋅5171 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 896 mod 983

4: 5174=5172+2=5172⋅5172 ≡ 896⋅896=802816 ≡ 688 mod 983

8: 5178=5174+4=5174⋅5174 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 521 mod 983

16: 51716=5178+8=5178⋅5178 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 133 mod 983

32: 51732=51716+16=51716⋅51716 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 978 mod 983

64: 51764=51732+32=51732⋅51732 ≡ 978⋅978=956484 ≡ 25 mod 983

128: 517128=51764+64=51764⋅51764 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 983

517226

= 517128+64+32+2

= 517128⋅51764⋅51732⋅5172

625 ⋅ 25 ⋅ 978 ⋅ 896 mod 983
15625 ⋅ 978 ⋅ 896 mod 983 ≡ 880 ⋅ 978 ⋅ 896 mod 983
860640 ⋅ 896 mod 983 ≡ 515 ⋅ 896 mod 983
461440 mod 983 ≡ 413 mod 983

Es gilt also: 517226 ≡ 413 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72

=>79 = 1⋅72 + 7
=>72 = 10⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 72-10⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7)
= -3⋅72 +31⋅ 7 (=1)
7= 79-1⋅72 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72)
= 31⋅79 -34⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -34⋅72

-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72

-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1

(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1

45⋅72 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1

Somit 45⋅72 = 1 mod 79

45 ist also das Inverse von 72 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.