Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21002 - 700) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21002 - 700) mod 7 ≡ (21002 mod 7 - 700 mod 7) mod 7.

21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002 = 21000+2 = 7 ⋅ 3000 +2.

700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700 = 700+0 = 7 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(21002 - 700) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 41) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 41) mod 3 ≡ (96 mod 3 ⋅ 41 mod 3) mod 3.

96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.

41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 41) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4328 mod 443.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 432 -> x
2. mod(x²,443) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4321=432

2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 121 mod 443

4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 22 mod 443

8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 22⋅22=484 ≡ 41 mod 443

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 362247 mod 563.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

1: 3621=362

2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 428 mod 563

4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 209 mod 563

8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 330 mod 563

16: 36216=3628+8=3628⋅3628 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 241 mod 563

32: 36232=36216+16=36216⋅36216 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 92 mod 563

64: 36264=36232+32=36232⋅36232 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 19 mod 563

128: 362128=36264+64=36264⋅36264 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 563

362247

= 362128+64+32+16+4+2+1

= 362128⋅36264⋅36232⋅36216⋅3624⋅3622⋅3621

361 ⋅ 19 ⋅ 92 ⋅ 241 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563
6859 ⋅ 92 ⋅ 241 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563 ≡ 103 ⋅ 92 ⋅ 241 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563
9476 ⋅ 241 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563 ≡ 468 ⋅ 241 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563
112788 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563 ≡ 188 ⋅ 209 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563
39292 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563 ≡ 445 ⋅ 428 ⋅ 362 mod 563
190460 ⋅ 362 mod 563 ≡ 166 ⋅ 362 mod 563
60092 mod 563 ≡ 414 mod 563

Es gilt also: 362247 ≡ 414 mod 563

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

=>59 = 1⋅40 + 19
=>40 = 2⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 40-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19)
= -9⋅40 +19⋅ 19 (=1)
19= 59-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40)
= 19⋅59 -28⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -28⋅40

-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40

-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1

(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1

31⋅40 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1

Somit 31⋅40 = 1 mod 59

31 ist also das Inverse von 40 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.