Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 - 8999) mod 3 ≡ (27 mod 3 - 8999 mod 3) mod 3.

27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 30-3 = 3 ⋅ 10 -3 = 3 ⋅ 10 - 3 + 0.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(27 - 8999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 29) mod 9 ≡ (71 mod 9 ⋅ 29 mod 9) mod 9.

71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 29) mod 9 ≡ (8 ⋅ 2) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 425¹=425

2: 425²=425¹⁺¹=425¹⋅425¹ ≡ 425⋅425=180625 ≡ 59 mod 659

4: 425⁴=425²⁺²=425²⋅425² ≡ 59⋅59=3481 ≡ 186 mod 659

8: 425⁸=425⁴⁺⁴=425⁴⋅425⁴ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 328 mod 659

16: 425¹⁶=425⁸⁺⁸=425⁸⋅425⁸ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 167 mod 659

32: 425³²=425¹⁶⁺¹⁶=425¹⁶⋅425¹⁶ ≡ 167⋅167=27889 ≡ 211 mod 659

64: 425⁶⁴=425³²⁺³²=425³²⋅425³² ≡ 211⋅211=44521 ≡ 368 mod 659

128: 425¹²⁸=425⁶⁴⁺⁶⁴=425⁶⁴⋅425⁶⁴ ≡ 368⋅368=135424 ≡ 329 mod 659

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:

106 = 64+32+8+2

522¹⁰⁶

= 522^64+32+8+2

= 522⁶⁴⋅522³²⋅522⁸⋅522²

≡ 69 ⋅ 94 ⋅ 163 ⋅ 707 mod 797
≡ 6486 ⋅ 163 ⋅ 707 mod 797 ≡ 110 ⋅ 163 ⋅ 707 mod 797
≡ 17930 ⋅ 707 mod 797 ≡ 396 ⋅ 707 mod 797
≡ 279972 mod 797 ≡ 225 mod 797

Es gilt also: 522¹⁰⁶ ≡ 225 mod 797

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52

=>97	= 1⋅52 + 45
=>52	= 1⋅45 + 7
=>45	= 6⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 52-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45) = -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45) = 13⋅52 -15⋅ 45 (=1)
45= 97-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52) = 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52) = -15⋅97 +28⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52

oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +15⋅97 = +28⋅52

Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1

Somit 28⋅52 = 1 mod 97

28 ist also das Inverse von 52 mod 97