Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 + 39) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 + 39) mod 4 ≡ (82 mod 4 + 39 mod 4) mod 4.
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39
= 40
Somit gilt:
(82 + 39) mod 4 ≡ (2 + 3) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 38) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 38) mod 6 ≡ (67 mod 6 ⋅ 38 mod 6) mod 6.
67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.
38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 38) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39464 mod 443.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3941=394
2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 186 mod 443
4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 42 mod 443
8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 435 mod 443
16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 64 mod 443
32: 39432=39416+16=39416⋅39416 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 109 mod 443
64: 39464=39432+32=39432⋅39432 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 363 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 211198 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 70 mod 449
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 410 mod 449
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 174 mod 449
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 193 mod 449
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 431 mod 449
64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 324 mod 449
128: 211128=21164+64=21164⋅21164 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 359 mod 449
211198
= 211128+64+4+2
= 211128⋅21164⋅2114⋅2112
≡ 359 ⋅ 324 ⋅ 410 ⋅ 70 mod 449
≡ 116316 ⋅ 410 ⋅ 70 mod 449 ≡ 25 ⋅ 410 ⋅ 70 mod 449
≡ 10250 ⋅ 70 mod 449 ≡ 372 ⋅ 70 mod 449
≡ 26040 mod 449 ≡ 447 mod 449
Es gilt also: 211198 ≡ 447 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38
| =>73 | = 1⋅38 + 35 |
| =>38 | = 1⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 38-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1) |
| 35= 73-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +25⋅38
Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1
Somit 25⋅38 = 1 mod 73
25 ist also das Inverse von 38 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
