Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2701 + 459) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2701 + 459) mod 9 ≡ (2701 mod 9 + 459 mod 9) mod 9.

2701 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2701 = 2700+1 = 9 ⋅ 300 +1.

459 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 459 = 450+9 = 9 ⋅ 50 +9.

Somit gilt:

(2701 + 459) mod 9 ≡ (1 + 0) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 45) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 45) mod 9 ≡ (82 mod 9 ⋅ 45 mod 9) mod 9.

82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 45) mod 9 ≡ (1 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11332 mod 241.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 113 -> x
2. mod(x²,241) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1131=113

2: 1132=1131+1=1131⋅1131 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 237 mod 241

4: 1134=1132+2=1132⋅1132 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 16 mod 241

8: 1138=1134+4=1134⋅1134 ≡ 16⋅16=256 ≡ 15 mod 241

16: 11316=1138+8=1138⋅1138 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241

32: 11332=11316+16=11316⋅11316 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 288192 mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:

192 = 128+64

1: 2881=288

2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 486 mod 509

4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 20 mod 509

8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 509

16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 174 mod 509

32: 28832=28816+16=28816⋅28816 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 245 mod 509

64: 28864=28832+32=28832⋅28832 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 472 mod 509

128: 288128=28864+64=28864⋅28864 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 351 mod 509

288192

= 288128+64

= 288128⋅28864

351 ⋅ 472 mod 509
165672 mod 509 ≡ 247 mod 509

Es gilt also: 288192 ≡ 247 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25

=>59 = 2⋅25 + 9
=>25 = 2⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 25-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9)
= 4⋅25 -11⋅ 9 (=1)
9= 59-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25)
= -11⋅59 +26⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +26⋅25

Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1

Somit 26⋅25 = 1 mod 59

26 ist also das Inverse von 25 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.