Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9006 - 357) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9006 - 357) mod 9 ≡ (9006 mod 9 - 357 mod 9) mod 9.

9006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9006 = 9000+6 = 9 ⋅ 1000 +6.

357 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357 = 360-3 = 9 ⋅ 40 -3 = 9 ⋅ 40 - 9 + 6.

Somit gilt:

(9006 - 357) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 63) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 63) mod 11 ≡ (100 mod 11 ⋅ 63 mod 11) mod 11.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 63) mod 11 ≡ (1 ⋅ 8) mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 76664 mod 941.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 766 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7661=766

2: 7662=7661+1=7661⋅7661 ≡ 766⋅766=586756 ≡ 513 mod 941

4: 7664=7662+2=7662⋅7662 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 630 mod 941

8: 7668=7664+4=7664⋅7664 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 739 mod 941

16: 76616=7668+8=7668⋅7668 ≡ 739⋅739=546121 ≡ 341 mod 941

32: 76632=76616+16=76616⋅76616 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 538 mod 941

64: 76664=76632+32=76632⋅76632 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 557 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12992 mod 383.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:

92 = 64+16+8+4

1: 1291=129

2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 172 mod 383

4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 93 mod 383

8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 223 mod 383

16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 322 mod 383

32: 12932=12916+16=12916⋅12916 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 274 mod 383

64: 12964=12932+32=12932⋅12932 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 8 mod 383

12992

= 12964+16+8+4

= 12964⋅12916⋅1298⋅1294

8 ⋅ 322 ⋅ 223 ⋅ 93 mod 383
2576 ⋅ 223 ⋅ 93 mod 383 ≡ 278 ⋅ 223 ⋅ 93 mod 383
61994 ⋅ 93 mod 383 ≡ 331 ⋅ 93 mod 383
30783 mod 383 ≡ 143 mod 383

Es gilt also: 12992 ≡ 143 mod 383

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73 = 2⋅31 + 11
=>31 = 2⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11)
= 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31)
= -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.