Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (364 + 2700) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(364 + 2700) mod 9 ≡ (364 mod 9 + 2700 mod 9) mod 9.

364 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 364 = 360+4 = 9 ⋅ 40 +4.

2700 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2700 = 2700+0 = 9 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(364 + 2700) mod 9 ≡ (4 + 0) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 90) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 90) mod 5 ≡ (74 mod 5 ⋅ 90 mod 5) mod 5.

74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.

90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 90) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15416 mod 349.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 154 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1541=154

2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 333 mod 349

4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 256 mod 349

8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 273 mod 349

16: 15416=1548+8=1548⋅1548 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 192 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 399254 mod 521.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

1: 3991=399

2: 3992=3991+1=3991⋅3991 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 296 mod 521

4: 3994=3992+2=3992⋅3992 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 88 mod 521

8: 3998=3994+4=3994⋅3994 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 450 mod 521

16: 39916=3998+8=3998⋅3998 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 352 mod 521

32: 39932=39916+16=39916⋅39916 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 427 mod 521

64: 39964=39932+32=39932⋅39932 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 500 mod 521

128: 399128=39964+64=39964⋅39964 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 441 mod 521

399254

= 399128+64+32+16+8+4+2

= 399128⋅39964⋅39932⋅39916⋅3998⋅3994⋅3992

441 ⋅ 500 ⋅ 427 ⋅ 352 ⋅ 450 ⋅ 88 ⋅ 296 mod 521
220500 ⋅ 427 ⋅ 352 ⋅ 450 ⋅ 88 ⋅ 296 mod 521 ≡ 117 ⋅ 427 ⋅ 352 ⋅ 450 ⋅ 88 ⋅ 296 mod 521
49959 ⋅ 352 ⋅ 450 ⋅ 88 ⋅ 296 mod 521 ≡ 464 ⋅ 352 ⋅ 450 ⋅ 88 ⋅ 296 mod 521
163328 ⋅ 450 ⋅ 88 ⋅ 296 mod 521 ≡ 255 ⋅ 450 ⋅ 88 ⋅ 296 mod 521
114750 ⋅ 88 ⋅ 296 mod 521 ≡ 130 ⋅ 88 ⋅ 296 mod 521
11440 ⋅ 296 mod 521 ≡ 499 ⋅ 296 mod 521
147704 mod 521 ≡ 261 mod 521

Es gilt also: 399254 ≡ 261 mod 521

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44

=>79 = 1⋅44 + 35
=>44 = 1⋅35 + 9
=>35 = 3⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9)
= -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 44-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35)
= 4⋅44 -5⋅ 35 (=1)
35= 79-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44)
= -5⋅79 +9⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +9⋅44

Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1

Somit 9⋅44 = 1 mod 79

9 ist also das Inverse von 44 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.