Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 + 318) mod 8 ≡ (8000 mod 8 + 318 mod 8) mod 8.

8000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 8 ⋅ 1000 +0.

318 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 318 = 320-2 = 8 ⋅ 40 -2 = 8 ⋅ 40 - 8 + 6.

Somit gilt:

(8000 + 318) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 48) mod 4 ≡ (17 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.

17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.

48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 48) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 537¹=537

2: 537²=537¹⁺¹=537¹⋅537¹ ≡ 537⋅537=288369 ≡ 236 mod 997

4: 537⁴=537²⁺²=537²⋅537² ≡ 236⋅236=55696 ≡ 861 mod 997

8: 537⁸=537⁴⁺⁴=537⁴⋅537⁴ ≡ 861⋅861=741321 ≡ 550 mod 997

16: 537¹⁶=537⁸⁺⁸=537⁸⋅537⁸ ≡ 550⋅550=302500 ≡ 409 mod 997

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

148²⁵⁴

= 148^{128+64+32+16+8+4+2}

= 148¹²⁸⋅148⁶⁴⋅148³²⋅148¹⁶⋅148⁸⋅148⁴⋅148²

≡ 151 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 43 ⋅ 147 ⋅ 102 ⋅ 75 mod 263
≡ 9664 ⋅ 8 ⋅ 43 ⋅ 147 ⋅ 102 ⋅ 75 mod 263 ≡ 196 ⋅ 8 ⋅ 43 ⋅ 147 ⋅ 102 ⋅ 75 mod 263
≡ 1568 ⋅ 43 ⋅ 147 ⋅ 102 ⋅ 75 mod 263 ≡ 253 ⋅ 43 ⋅ 147 ⋅ 102 ⋅ 75 mod 263
≡ 10879 ⋅ 147 ⋅ 102 ⋅ 75 mod 263 ≡ 96 ⋅ 147 ⋅ 102 ⋅ 75 mod 263
≡ 14112 ⋅ 102 ⋅ 75 mod 263 ≡ 173 ⋅ 102 ⋅ 75 mod 263
≡ 17646 ⋅ 75 mod 263 ≡ 25 ⋅ 75 mod 263
≡ 1875 mod 263 ≡ 34 mod 263

Es gilt also: 148²⁵⁴ ≡ 34 mod 263

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32

=>59	= 1⋅32 + 27
=>32	= 1⋅27 + 5
=>27	= 5⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 32-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27) = -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27) = 11⋅32 -13⋅ 27 (=1)
27= 59-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32) = 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32) = -13⋅59 +24⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +24⋅32

Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1

Somit 24⋅32 = 1 mod 59

24 ist also das Inverse von 32 mod 59