Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15003 - 203) mod 5 ≡ (15003 mod 5 - 203 mod 5) mod 5.

15003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 5 ⋅ 3000 +3.

203 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203 = 200+3 = 5 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(15003 - 203) mod 5 ≡ (3 - 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 23) mod 4 ≡ (66 mod 4 ⋅ 23 mod 4) mod 4.

66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.

23 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 5 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 23) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 326¹=326

2: 326²=326¹⁺¹=326¹⋅326¹ ≡ 326⋅326=106276 ≡ 38 mod 439

4: 326⁴=326²⁺²=326²⋅326² ≡ 38⋅38=1444 ≡ 127 mod 439

8: 326⁸=326⁴⁺⁴=326⁴⋅326⁴ ≡ 127⋅127=16129 ≡ 325 mod 439

16: 326¹⁶=326⁸⁺⁸=326⁸⋅326⁸ ≡ 325⋅325=105625 ≡ 265 mod 439

32: 326³²=326¹⁶⁺¹⁶=326¹⁶⋅326¹⁶ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 424 mod 439

64: 326⁶⁴=326³²⁺³²=326³²⋅326³² ≡ 424⋅424=179776 ≡ 225 mod 439

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:

78 = 64+8+4+2

317⁷⁸

= 317^64+8+4+2

= 317⁶⁴⋅317⁸⋅317⁴⋅317²

≡ 366 ⋅ 232 ⋅ 60 ⋅ 291 mod 421
≡ 84912 ⋅ 60 ⋅ 291 mod 421 ≡ 291 ⋅ 60 ⋅ 291 mod 421
≡ 17460 ⋅ 291 mod 421 ≡ 199 ⋅ 291 mod 421
≡ 57909 mod 421 ≡ 232 mod 421

Es gilt also: 317⁷⁸ ≡ 232 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79	= 1⋅47 + 32
=>47	= 1⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32) = 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47) = 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47) = -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79