Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16002 + 1999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16002 + 1999) mod 4 ≡ (16002 mod 4 + 1999 mod 4) mod 4.

16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002 = 16000+2 = 4 ⋅ 4000 +2.

1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 4 ⋅ 475 +99.

Somit gilt:

(16002 + 1999) mod 4 ≡ (2 + 3) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 36) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 36) mod 7 ≡ (94 mod 7 ⋅ 36 mod 7) mod 7.

94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.

36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 36) mod 7 ≡ (3 ⋅ 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 56316 mod 881.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 563 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5631=563

2: 5632=5631+1=5631⋅5631 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 690 mod 881

4: 5634=5632+2=5632⋅5632 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 360 mod 881

8: 5638=5634+4=5634⋅5634 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 93 mod 881

16: 56316=5638+8=5638⋅5638 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 720 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 331180 mod 523.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:

180 = 128+32+16+4

1: 3311=331

2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 254 mod 523

4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 187 mod 523

8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 451 mod 523

16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 477 mod 523

32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 24 mod 523

64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 24⋅24=576 ≡ 53 mod 523

128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 194 mod 523

331180

= 331128+32+16+4

= 331128⋅33132⋅33116⋅3314

194 ⋅ 24 ⋅ 477 ⋅ 187 mod 523
4656 ⋅ 477 ⋅ 187 mod 523 ≡ 472 ⋅ 477 ⋅ 187 mod 523
225144 ⋅ 187 mod 523 ≡ 254 ⋅ 187 mod 523
47498 mod 523 ≡ 428 mod 523

Es gilt also: 331180 ≡ 428 mod 523

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71 = 1⋅37 + 34
=>37 = 1⋅34 + 3
=>34 = 11⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34)
= -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37)
= 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.