Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (303 + 150) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(303 + 150) mod 3 ≡ (303 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.
303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303
= 300
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(303 + 150) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 30) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 30) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 30 mod 10) mod 10.
33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.
30 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 3 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 30) mod 10 ≡ (3 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35116 mod 397.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 351 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3511=351
2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 131 mod 397
4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 90 mod 397
8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 160 mod 397
16: 35116=3518+8=3518⋅3518 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 192 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13494 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 1341=134
2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 338 mod 383
4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 110 mod 383
8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 227 mod 383
16: 13416=1348+8=1348⋅1348 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 207 mod 383
32: 13432=13416+16=13416⋅13416 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 336 mod 383
64: 13464=13432+32=13432⋅13432 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 294 mod 383
13494
= 13464+16+8+4+2
= 13464⋅13416⋅1348⋅1344⋅1342
≡ 294 ⋅ 207 ⋅ 227 ⋅ 110 ⋅ 338 mod 383
≡ 60858 ⋅ 227 ⋅ 110 ⋅ 338 mod 383 ≡ 344 ⋅ 227 ⋅ 110 ⋅ 338 mod 383
≡ 78088 ⋅ 110 ⋅ 338 mod 383 ≡ 339 ⋅ 110 ⋅ 338 mod 383
≡ 37290 ⋅ 338 mod 383 ≡ 139 ⋅ 338 mod 383
≡ 46982 mod 383 ≡ 256 mod 383
Es gilt also: 13494 ≡ 256 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53
| =>97 | = 1⋅53 + 44 |
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
| 44= 97-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53) = -6⋅97 +11⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53
oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅97 = +11⋅53
Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1
Somit 11⋅53 = 1 mod 97
11 ist also das Inverse von 53 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
