Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3006 - 1804) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3006 - 1804) mod 6 ≡ (3006 mod 6 - 1804 mod 6) mod 6.
3006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3006
= 3000
1804 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1804
= 1800
Somit gilt:
(3006 - 1804) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 71) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 71) mod 10 ≡ (26 mod 10 ⋅ 71 mod 10) mod 10.
26 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 20 + 6 = 2 ⋅ 10 + 6 ist.
71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 71) mod 10 ≡ (6 ⋅ 1) mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 78164 mod 971.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 781 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7811=781
2: 7812=7811+1=7811⋅7811 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 173 mod 971
4: 7814=7812+2=7812⋅7812 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 799 mod 971
8: 7818=7814+4=7814⋅7814 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 454 mod 971
16: 78116=7818+8=7818⋅7818 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 264 mod 971
32: 78132=78116+16=78116⋅78116 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 755 mod 971
64: 78164=78132+32=78132⋅78132 ≡ 755⋅755=570025 ≡ 48 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 532170 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 5321=532
2: 5322=5321+1=5321⋅5321 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 294 mod 577
4: 5324=5322+2=5322⋅5322 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 463 mod 577
8: 5328=5324+4=5324⋅5324 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 302 mod 577
16: 53216=5328+8=5328⋅5328 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 38 mod 577
32: 53232=53216+16=53216⋅53216 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 290 mod 577
64: 53264=53232+32=53232⋅53232 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 435 mod 577
128: 532128=53264+64=53264⋅53264 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 546 mod 577
532170
= 532128+32+8+2
= 532128⋅53232⋅5328⋅5322
≡ 546 ⋅ 290 ⋅ 302 ⋅ 294 mod 577
≡ 158340 ⋅ 302 ⋅ 294 mod 577 ≡ 242 ⋅ 302 ⋅ 294 mod 577
≡ 73084 ⋅ 294 mod 577 ≡ 382 ⋅ 294 mod 577
≡ 112308 mod 577 ≡ 370 mod 577
Es gilt also: 532170 ≡ 370 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 31
| =>97 | = 3⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 97-3⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(97 -3⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅97 -24⋅ 31) = 8⋅97 -25⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,31)=1 = 8⋅97 -25⋅31
oder wenn man 8⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅97 = -25⋅31
-25⋅31 = -8⋅97 + 1 |+97⋅31
-25⋅31 + 97⋅31 = -8⋅97 + 97⋅31 + 1
(-25 + 97) ⋅ 31 = (-8 + 31) ⋅ 97 + 1
72⋅31 = 23⋅97 + 1
Es gilt also: 72⋅31 = 23⋅97 +1
Somit 72⋅31 = 1 mod 97
72 ist also das Inverse von 31 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
