Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20001 + 5002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20001 + 5002) mod 5 ≡ (20001 mod 5 + 5002 mod 5) mod 5.
20001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001
= 20000
5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002
= 5000
Somit gilt:
(20001 + 5002) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 69) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 69) mod 11 ≡ (74 mod 11 ⋅ 69 mod 11) mod 11.
74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.
69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 69) mod 11 ≡ (8 ⋅ 3) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24232 mod 349.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 281 mod 349
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 87 mod 349
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 240 mod 349
16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 15 mod 349
32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 428238 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 4281=428
2: 4282=4281+1=4281⋅4281 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 209 mod 563
4: 4284=4282+2=4282⋅4282 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 330 mod 563
8: 4288=4284+4=4284⋅4284 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 241 mod 563
16: 42816=4288+8=4288⋅4288 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 92 mod 563
32: 42832=42816+16=42816⋅42816 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 19 mod 563
64: 42864=42832+32=42832⋅42832 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 563
128: 428128=42864+64=42864⋅42864 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 268 mod 563
428238
= 428128+64+32+8+4+2
= 428128⋅42864⋅42832⋅4288⋅4284⋅4282
≡ 268 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563
≡ 96748 ⋅ 19 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563 ≡ 475 ⋅ 19 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563
≡ 9025 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563 ≡ 17 ⋅ 241 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563
≡ 4097 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563 ≡ 156 ⋅ 330 ⋅ 209 mod 563
≡ 51480 ⋅ 209 mod 563 ≡ 247 ⋅ 209 mod 563
≡ 51623 mod 563 ≡ 390 mod 563
Es gilt also: 428238 ≡ 390 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48
| =>61 | = 1⋅48 + 13 |
| =>48 | = 3⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 48-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +14⋅48
Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1
Somit 14⋅48 = 1 mod 61
14 ist also das Inverse von 48 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
