Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2495 - 2004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2495 - 2004) mod 5 ≡ (2495 mod 5 - 2004 mod 5) mod 5.
2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495
= 2400
2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
Somit gilt:
(2495 - 2004) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 48) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 48) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.
19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 48) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33016 mod 601.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 330 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3301=330
2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 119 mod 601
4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 338 mod 601
8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 54 mod 601
16: 33016=3308+8=3308⋅3308 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 512 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 205197 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 2051=205
2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 379 mod 631
4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 404 mod 631
8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 418 mod 631
16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 568 mod 631
32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 183 mod 631
64: 20564=20532+32=20532⋅20532 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 46 mod 631
128: 205128=20564+64=20564⋅20564 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 223 mod 631
205197
= 205128+64+4+1
= 205128⋅20564⋅2054⋅2051
≡ 223 ⋅ 46 ⋅ 404 ⋅ 205 mod 631
≡ 10258 ⋅ 404 ⋅ 205 mod 631 ≡ 162 ⋅ 404 ⋅ 205 mod 631
≡ 65448 ⋅ 205 mod 631 ≡ 455 ⋅ 205 mod 631
≡ 93275 mod 631 ≡ 518 mod 631
Es gilt also: 205197 ≡ 518 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64
| =>97 | = 1⋅64 + 33 |
| =>64 | = 1⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 64-1⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33) = 16⋅64 -31⋅ 33 (=1) |
| 33= 97-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64) = -31⋅97 +47⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64
oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅97 = +47⋅64
Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1
Somit 47⋅64 = 1 mod 97
47 ist also das Inverse von 64 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
