Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (601 + 151) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(601 + 151) mod 3 ≡ (601 mod 3 + 151 mod 3) mod 3.
601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601
= 600
151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151
= 150
Somit gilt:
(601 + 151) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 82) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 82) mod 9 ≡ (26 mod 9 ⋅ 82 mod 9) mod 9.
26 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 18 + 8 = 2 ⋅ 9 + 8 ist.
82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 82) mod 9 ≡ (8 ⋅ 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27564 mod 349.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 275 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2751=275
2: 2752=2751+1=2751⋅2751 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 241 mod 349
4: 2754=2752+2=2752⋅2752 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 147 mod 349
8: 2758=2754+4=2754⋅2754 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 320 mod 349
16: 27516=2758+8=2758⋅2758 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 143 mod 349
32: 27532=27516+16=27516⋅27516 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 207 mod 349
64: 27564=27532+32=27532⋅27532 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 271 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39583 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 3951=395
2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 4 mod 397
4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 397
8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 397
16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 31 mod 397
32: 39532=39516+16=39516⋅39516 ≡ 31⋅31=961 ≡ 167 mod 397
64: 39564=39532+32=39532⋅39532 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 99 mod 397
39583
= 39564+16+2+1
= 39564⋅39516⋅3952⋅3951
≡ 99 ⋅ 31 ⋅ 4 ⋅ 395 mod 397
≡ 3069 ⋅ 4 ⋅ 395 mod 397 ≡ 290 ⋅ 4 ⋅ 395 mod 397
≡ 1160 ⋅ 395 mod 397 ≡ 366 ⋅ 395 mod 397
≡ 144570 mod 397 ≡ 62 mod 397
Es gilt also: 39583 ≡ 62 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38
| =>59 | = 1⋅38 + 21 |
| =>38 | = 1⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 38-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1) |
| 21= 59-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38) = -9⋅59 +14⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38
oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅59 = +14⋅38
Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1
Somit 14⋅38 = 1 mod 59
14 ist also das Inverse von 38 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
