Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (344 + 28007) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(344 + 28007) mod 7 ≡ (344 mod 7 + 28007 mod 7) mod 7.

344 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 344 = 350-6 = 7 ⋅ 50 -6 = 7 ⋅ 50 - 7 + 1.

28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007 = 28000+7 = 7 ⋅ 4000 +7.

Somit gilt:

(344 + 28007) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 26) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 26) mod 6 ≡ (57 mod 6 ⋅ 26 mod 6) mod 6.

57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 9 ⋅ 6 + 3 ist.

26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 26) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 349128 mod 439.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,439) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3491=349

2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 198 mod 439

4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 133 mod 439

8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 129 mod 439

16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 398 mod 439

32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 364 mod 439

64: 34964=34932+32=34932⋅34932 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 357 mod 439

128: 349128=34964+64=34964⋅34964 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 139 mod 439

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37981 mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:

81 = 64+16+1

1: 3791=379

2: 3792=3791+1=3791⋅3791 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 324 mod 397

4: 3794=3792+2=3792⋅3792 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 168 mod 397

8: 3798=3794+4=3794⋅3794 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 37 mod 397

16: 37916=3798+8=3798⋅3798 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 178 mod 397

32: 37932=37916+16=37916⋅37916 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 321 mod 397

64: 37964=37932+32=37932⋅37932 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 218 mod 397

37981

= 37964+16+1

= 37964⋅37916⋅3791

218 ⋅ 178 ⋅ 379 mod 397
38804 ⋅ 379 mod 397 ≡ 295 ⋅ 379 mod 397
111805 mod 397 ≡ 248 mod 397

Es gilt also: 37981 ≡ 248 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73 = 1⋅38 + 35
=>38 = 1⋅35 + 3
=>35 = 11⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3)
= -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35)
= 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38)
= -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.