Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36001 - 449) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36001 - 449) mod 9 ≡ (36001 mod 9 - 449 mod 9) mod 9.
36001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36001
= 36000
449 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 449
= 450
Somit gilt:
(36001 - 449) mod 9 ≡ (1 - 8) mod 9 ≡ -7 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 25) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 25) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 25 mod 8) mod 8.
73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.
25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 25) mod 8 ≡ (1 ⋅ 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35464 mod 1009.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 354 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3541=354
2: 3542=3541+1=3541⋅3541 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 200 mod 1009
4: 3544=3542+2=3542⋅3542 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 649 mod 1009
8: 3548=3544+4=3544⋅3544 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 448 mod 1009
16: 35416=3548+8=3548⋅3548 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 922 mod 1009
32: 35432=35416+16=35416⋅35416 ≡ 922⋅922=850084 ≡ 506 mod 1009
64: 35464=35432+32=35432⋅35432 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 759 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 658153 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 6581=658
2: 6582=6581+1=6581⋅6581 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 179 mod 857
4: 6584=6582+2=6582⋅6582 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 332 mod 857
8: 6588=6584+4=6584⋅6584 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 528 mod 857
16: 65816=6588+8=6588⋅6588 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 259 mod 857
32: 65832=65816+16=65816⋅65816 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 235 mod 857
64: 65864=65832+32=65832⋅65832 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 377 mod 857
128: 658128=65864+64=65864⋅65864 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 724 mod 857
658153
= 658128+16+8+1
= 658128⋅65816⋅6588⋅6581
≡ 724 ⋅ 259 ⋅ 528 ⋅ 658 mod 857
≡ 187516 ⋅ 528 ⋅ 658 mod 857 ≡ 690 ⋅ 528 ⋅ 658 mod 857
≡ 364320 ⋅ 658 mod 857 ≡ 95 ⋅ 658 mod 857
≡ 62510 mod 857 ≡ 806 mod 857
Es gilt also: 658153 ≡ 806 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59
| =>79 | = 1⋅59 + 20 |
| =>59 | = 2⋅20 + 19 |
| =>20 | = 1⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 20-1⋅19 | |||
| 19= 59-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1) |
| 20= 79-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59
oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅79 = -4⋅59
-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59
-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1
(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1
75⋅59 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1
Somit 75⋅59 = 1 mod 79
75 ist also das Inverse von 59 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
