Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (244 - 32008) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(244 - 32008) mod 8 ≡ (244 mod 8 - 32008 mod 8) mod 8.
244 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244
= 240
32008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32008
= 32000
Somit gilt:
(244 - 32008) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 71) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 71) mod 8 ≡ (58 mod 8 ⋅ 71 mod 8) mod 8.
58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.
71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 71) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28532 mod 647.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 285 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 350 mod 647
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 217 mod 647
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 505 mod 647
16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 107 mod 647
32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 450 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 197225 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 1971=197
2: 1972=1971+1=1971⋅1971 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 82 mod 331
4: 1974=1972+2=1972⋅1972 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 104 mod 331
8: 1978=1974+4=1974⋅1974 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 224 mod 331
16: 19716=1978+8=1978⋅1978 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 195 mod 331
32: 19732=19716+16=19716⋅19716 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 291 mod 331
64: 19764=19732+32=19732⋅19732 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 276 mod 331
128: 197128=19764+64=19764⋅19764 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 46 mod 331
197225
= 197128+64+32+1
= 197128⋅19764⋅19732⋅1971
≡ 46 ⋅ 276 ⋅ 291 ⋅ 197 mod 331
≡ 12696 ⋅ 291 ⋅ 197 mod 331 ≡ 118 ⋅ 291 ⋅ 197 mod 331
≡ 34338 ⋅ 197 mod 331 ≡ 245 ⋅ 197 mod 331
≡ 48265 mod 331 ≡ 270 mod 331
Es gilt also: 197225 ≡ 270 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 56
| =>101 | = 1⋅56 + 45 |
| =>56 | = 1⋅45 + 11 |
| =>45 | = 4⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 45-4⋅11 | |||
| 11= 56-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅45 -4⋅(56 -1⋅ 45)
= 1⋅45 -4⋅56 +4⋅ 45) = -4⋅56 +5⋅ 45 (=1) |
| 45= 101-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅56 +5⋅(101 -1⋅ 56)
= -4⋅56 +5⋅101 -5⋅ 56) = 5⋅101 -9⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,56)=1 = 5⋅101 -9⋅56
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -9⋅56
-9⋅56 = -5⋅101 + 1 |+101⋅56
-9⋅56 + 101⋅56 = -5⋅101 + 101⋅56 + 1
(-9 + 101) ⋅ 56 = (-5 + 56) ⋅ 101 + 1
92⋅56 = 51⋅101 + 1
Es gilt also: 92⋅56 = 51⋅101 +1
Somit 92⋅56 = 1 mod 101
92 ist also das Inverse von 56 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
