Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 - 303) mod 3 ≡ (63 mod 3 - 303 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 3 ⋅ 100 +3.

Somit gilt:

(63 - 303) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 60) mod 7 ≡ (33 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.

33 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 28 + 5 = 4 ⋅ 7 + 5 ist.

60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 60) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 782¹=782

2: 782²=782¹⁺¹=782¹⋅782¹ ≡ 782⋅782=611524 ≡ 732 mod 839

4: 782⁴=782²⁺²=782²⋅782² ≡ 732⋅732=535824 ≡ 542 mod 839

8: 782⁸=782⁴⁺⁴=782⁴⋅782⁴ ≡ 542⋅542=293764 ≡ 114 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

480²⁴³

= 480^{128+64+32+16+2+1}

= 480¹²⁸⋅480⁶⁴⋅480³²⋅480¹⁶⋅480²⋅480¹

≡ 211 ⋅ 780 ⋅ 564 ⋅ 310 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853
≡ 164580 ⋅ 564 ⋅ 310 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853 ≡ 804 ⋅ 564 ⋅ 310 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853
≡ 453456 ⋅ 310 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853 ≡ 513 ⋅ 310 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853
≡ 159030 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853 ≡ 372 ⋅ 90 ⋅ 480 mod 853
≡ 33480 ⋅ 480 mod 853 ≡ 213 ⋅ 480 mod 853
≡ 102240 mod 853 ≡ 733 mod 853

Es gilt also: 480²⁴³ ≡ 733 mod 853

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33

=>97	= 2⋅33 + 31
=>33	= 1⋅31 + 2
=>31	= 15⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31) = 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 97-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33) = -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -47⋅33

-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33

-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1

(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1

50⋅33 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1

Somit 50⋅33 = 1 mod 97

50 ist also das Inverse von 33 mod 97