Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 + 39) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 + 39) mod 4 ≡ (82 mod 4 + 39 mod 4) mod 4.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 4 ⋅ 20 +2.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

Somit gilt:

(82 + 39) mod 4 ≡ (2 + 3) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 38) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 38) mod 6 ≡ (67 mod 6 ⋅ 38 mod 6) mod 6.

67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 38) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39464 mod 443.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,443) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3941=394

2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 186 mod 443

4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 42 mod 443

8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 435 mod 443

16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 64 mod 443

32: 39432=39416+16=39416⋅39416 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 109 mod 443

64: 39464=39432+32=39432⋅39432 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 363 mod 443

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 211198 mod 449.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:

198 = 128+64+4+2

1: 2111=211

2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 70 mod 449

4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 410 mod 449

8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 174 mod 449

16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 193 mod 449

32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 431 mod 449

64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 324 mod 449

128: 211128=21164+64=21164⋅21164 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 359 mod 449

211198

= 211128+64+4+2

= 211128⋅21164⋅2114⋅2112

359 ⋅ 324 ⋅ 410 ⋅ 70 mod 449
116316 ⋅ 410 ⋅ 70 mod 449 ≡ 25 ⋅ 410 ⋅ 70 mod 449
10250 ⋅ 70 mod 449 ≡ 372 ⋅ 70 mod 449
26040 mod 449 ≡ 447 mod 449

Es gilt also: 211198 ≡ 447 mod 449

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73 = 1⋅38 + 35
=>38 = 1⋅35 + 3
=>35 = 11⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3)
= -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35)
= 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38)
= -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.