Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (182 - 3006) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(182 - 3006) mod 6 ≡ (182 mod 6 - 3006 mod 6) mod 6.
182 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182
= 180
3006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3006
= 3000
Somit gilt:
(182 - 3006) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 90) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 90) mod 6 ≡ (73 mod 6 ⋅ 90 mod 6) mod 6.
73 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 12 ⋅ 6 + 1 ist.
90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 90) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3988 mod 809.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 398 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3981=398
2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 649 mod 809
4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 521 mod 809
8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 426 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 260190 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:
190 = 128+32+16+8+4+2
1: 2601=260
2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 243 mod 349
4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 68 mod 349
8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 87 mod 349
16: 26016=2608+8=2608⋅2608 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 240 mod 349
32: 26032=26016+16=26016⋅26016 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 15 mod 349
64: 26064=26032+32=26032⋅26032 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 349
128: 260128=26064+64=26064⋅26064 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 20 mod 349
260190
= 260128+32+16+8+4+2
= 260128⋅26032⋅26016⋅2608⋅2604⋅2602
≡ 20 ⋅ 15 ⋅ 240 ⋅ 87 ⋅ 68 ⋅ 243 mod 349
≡ 300 ⋅ 240 ⋅ 87 ⋅ 68 ⋅ 243 mod 349
≡ 72000 ⋅ 87 ⋅ 68 ⋅ 243 mod 349 ≡ 106 ⋅ 87 ⋅ 68 ⋅ 243 mod 349
≡ 9222 ⋅ 68 ⋅ 243 mod 349 ≡ 148 ⋅ 68 ⋅ 243 mod 349
≡ 10064 ⋅ 243 mod 349 ≡ 292 ⋅ 243 mod 349
≡ 70956 mod 349 ≡ 109 mod 349
Es gilt also: 260190 ≡ 109 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23
| =>73 | = 3⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 73-3⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23) = 6⋅73 -19⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23
oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅73 = -19⋅23
-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23
-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1
(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1
54⋅23 = 17⋅73 + 1
Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1
Somit 54⋅23 = 1 mod 73
54 ist also das Inverse von 23 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
