Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 + 32) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 + 32) mod 3 ≡ (27 mod 3 + 32 mod 3) mod 3.

27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 30-3 = 3 ⋅ 10 -3 = 3 ⋅ 10 - 3 + 0.

32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30+2 = 3 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(27 + 32) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 78) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 78) mod 8 ≡ (77 mod 8 ⋅ 78 mod 8) mod 8.

77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 78) mod 8 ≡ (5 ⋅ 6) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65416 mod 727.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 654 -> x
2. mod(x²,727) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6541=654

2: 6542=6541+1=6541⋅6541 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 240 mod 727

4: 6544=6542+2=6542⋅6542 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 167 mod 727

8: 6548=6544+4=6544⋅6544 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 263 mod 727

16: 65416=6548+8=6548⋅6548 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 104 mod 727

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 453244 mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

1: 4531=453

2: 4532=4531+1=4531⋅4531 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 369 mod 569

4: 4534=4532+2=4532⋅4532 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 170 mod 569

8: 4538=4534+4=4534⋅4534 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 450 mod 569

16: 45316=4538+8=4538⋅4538 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 505 mod 569

32: 45332=45316+16=45316⋅45316 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 113 mod 569

64: 45364=45332+32=45332⋅45332 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 251 mod 569

128: 453128=45364+64=45364⋅45364 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 411 mod 569

453244

= 453128+64+32+16+4

= 453128⋅45364⋅45332⋅45316⋅4534

411 ⋅ 251 ⋅ 113 ⋅ 505 ⋅ 170 mod 569
103161 ⋅ 113 ⋅ 505 ⋅ 170 mod 569 ≡ 172 ⋅ 113 ⋅ 505 ⋅ 170 mod 569
19436 ⋅ 505 ⋅ 170 mod 569 ≡ 90 ⋅ 505 ⋅ 170 mod 569
45450 ⋅ 170 mod 569 ≡ 499 ⋅ 170 mod 569
84830 mod 569 ≡ 49 mod 569

Es gilt also: 453244 ≡ 49 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

=>79 = 1⋅70 + 9
=>70 = 7⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 70-7⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9)
= 4⋅70 -31⋅ 9 (=1)
9= 79-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70)
= -31⋅79 +35⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70

oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅79 = +35⋅70

Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1

Somit 35⋅70 = 1 mod 79

35 ist also das Inverse von 70 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.