Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 42) mod 4 ≡ (12000 mod 4 - 42 mod 4) mod 4.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40+2 = 4 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(12000 - 42) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 97) mod 11 ≡ (16 mod 11 ⋅ 97 mod 11) mod 11.

16 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 11 + 5 = 1 ⋅ 11 + 5 ist.

97 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 88 + 9 = 8 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 97) mod 11 ≡ (5 ⋅ 9) mod 11 ≡ 45 mod 11 ≡ 1 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 161¹=161

2: 161²=161¹⁺¹=161¹⋅161¹ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 328 mod 449

4: 161⁴=161²⁺²=161²⋅161² ≡ 328⋅328=107584 ≡ 273 mod 449

8: 161⁸=161⁴⁺⁴=161⁴⋅161⁴ ≡ 273⋅273=74529 ≡ 444 mod 449

16: 161¹⁶=161⁸⁺⁸=161⁸⋅161⁸ ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449

32: 161³²=161¹⁶⁺¹⁶=161¹⁶⋅161¹⁶ ≡ 25⋅25=625 ≡ 176 mod 449

64: 161⁶⁴=161³²⁺³²=161³²⋅161³² ≡ 176⋅176=30976 ≡ 444 mod 449

128: 161¹²⁸=161⁶⁴⁺⁶⁴=161⁶⁴⋅161⁶⁴ ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

315²⁴⁹

= 315^{128+64+32+16+8+1}

= 315¹²⁸⋅315⁶⁴⋅315³²⋅315¹⁶⋅315⁸⋅315¹

≡ 305 ⋅ 182 ⋅ 654 ⋅ 154 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887
≡ 55510 ⋅ 654 ⋅ 154 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887 ≡ 516 ⋅ 654 ⋅ 154 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887
≡ 337464 ⋅ 154 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887 ≡ 404 ⋅ 154 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887
≡ 62216 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887 ≡ 126 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887
≡ 9324 ⋅ 315 mod 887 ≡ 454 ⋅ 315 mod 887
≡ 143010 mod 887 ≡ 203 mod 887

Es gilt also: 315²⁴⁹ ≡ 203 mod 887

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61	= 3⋅18 + 7
=>18	= 2⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18) = 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61