Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 - 499) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 - 499) mod 5 ≡ (96 mod 5 - 499 mod 5) mod 5.
96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96
= 90
499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 499
= 400
Somit gilt:
(96 - 499) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 57) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 57) mod 5 ≡ (94 mod 5 ⋅ 57 mod 5) mod 5.
94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.
57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 57) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42832 mod 479.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 428 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4281=428
2: 4282=4281+1=4281⋅4281 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 206 mod 479
4: 4284=4282+2=4282⋅4282 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 284 mod 479
8: 4288=4284+4=4284⋅4284 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 184 mod 479
16: 42816=4288+8=4288⋅4288 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 326 mod 479
32: 42832=42816+16=42816⋅42816 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 417 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 428150 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 4281=428
2: 4282=4281+1=4281⋅4281 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 510 mod 613
4: 4284=4282+2=4282⋅4282 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 188 mod 613
8: 4288=4284+4=4284⋅4284 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 403 mod 613
16: 42816=4288+8=4288⋅4288 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 577 mod 613
32: 42832=42816+16=42816⋅42816 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 70 mod 613
64: 42864=42832+32=42832⋅42832 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 609 mod 613
128: 428128=42864+64=42864⋅42864 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 16 mod 613
428150
= 428128+16+4+2
= 428128⋅42816⋅4284⋅4282
≡ 16 ⋅ 577 ⋅ 188 ⋅ 510 mod 613
≡ 9232 ⋅ 188 ⋅ 510 mod 613 ≡ 37 ⋅ 188 ⋅ 510 mod 613
≡ 6956 ⋅ 510 mod 613 ≡ 213 ⋅ 510 mod 613
≡ 108630 mod 613 ≡ 129 mod 613
Es gilt also: 428150 ≡ 129 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56
| =>79 | = 1⋅56 + 23 |
| =>56 | = 2⋅23 + 10 |
| =>23 | = 2⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 23-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 56-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23) = 7⋅56 -17⋅ 23 (=1) |
| 23= 79-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56) = -17⋅79 +24⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +24⋅56
Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1
Somit 24⋅56 = 1 mod 79
24 ist also das Inverse von 56 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
