Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 + 2998) mod 3 ≡ (32 mod 3 + 2998 mod 3) mod 3.

32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30+2 = 3 ⋅ 10 +2.

2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998 = 3000-2 = 3 ⋅ 1000 -2 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(32 + 2998) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 95) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 95 mod 9) mod 9.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 95) mod 9 ≡ (5 ⋅ 5) mod 9 ≡ 25 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 250¹=250

2: 250²=250¹⁺¹=250¹⋅250¹ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 148 mod 433

4: 250⁴=250²⁺²=250²⋅250² ≡ 148⋅148=21904 ≡ 254 mod 433

8: 250⁸=250⁴⁺⁴=250⁴⋅250⁴ ≡ 254⋅254=64516 ≡ 432 mod 433

16: 250¹⁶=250⁸⁺⁸=250⁸⋅250⁸ ≡ 432⋅432=186624 ≡ 1 mod 433

32: 250³²=250¹⁶⁺¹⁶=250¹⁶⋅250¹⁶ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 433

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

180²¹⁵

= 180^{128+64+16+4+2+1}

= 180¹²⁸⋅180⁶⁴⋅180¹⁶⋅180⁴⋅180²⋅180¹

≡ 15 ⋅ 39 ⋅ 179 ⋅ 190 ⋅ 21 ⋅ 180 mod 251
≡ 585 ⋅ 179 ⋅ 190 ⋅ 21 ⋅ 180 mod 251 ≡ 83 ⋅ 179 ⋅ 190 ⋅ 21 ⋅ 180 mod 251
≡ 14857 ⋅ 190 ⋅ 21 ⋅ 180 mod 251 ≡ 48 ⋅ 190 ⋅ 21 ⋅ 180 mod 251
≡ 9120 ⋅ 21 ⋅ 180 mod 251 ≡ 84 ⋅ 21 ⋅ 180 mod 251
≡ 1764 ⋅ 180 mod 251 ≡ 7 ⋅ 180 mod 251
≡ 1260 mod 251 ≡ 5 mod 251

Es gilt also: 180²¹⁵ ≡ 5 mod 251

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59

=>79	= 1⋅59 + 20
=>59	= 2⋅20 + 19
=>20	= 1⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 59-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20) = 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1)
20= 79-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59) = -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59

oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅79 = -4⋅59

-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59

-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1

(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1

75⋅59 = 56⋅79 + 1

Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1

Somit 75⋅59 = 1 mod 79

75 ist also das Inverse von 59 mod 79