Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (251 - 2503) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(251 - 2503) mod 5 ≡ (251 mod 5 - 2503 mod 5) mod 5.
251 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 251
= 250
2503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2503
= 2500
Somit gilt:
(251 - 2503) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 52) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 52) mod 10 ≡ (50 mod 10 ⋅ 52 mod 10) mod 10.
50 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 5 ⋅ 10 + 0 ist.
52 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 5 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 52) mod 10 ≡ (0 ⋅ 2) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26716 mod 317.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 267 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 281 mod 317
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 28 mod 317
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 28⋅28=784 ≡ 150 mod 317
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 310 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 271174 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 83 mod 853
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 65 mod 853
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 813 mod 853
16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 813⋅813=660969 ≡ 747 mod 853
32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 747⋅747=558009 ≡ 147 mod 853
64: 27164=27132+32=27132⋅27132 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 284 mod 853
128: 271128=27164+64=27164⋅27164 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 474 mod 853
271174
= 271128+32+8+4+2
= 271128⋅27132⋅2718⋅2714⋅2712
≡ 474 ⋅ 147 ⋅ 813 ⋅ 65 ⋅ 83 mod 853
≡ 69678 ⋅ 813 ⋅ 65 ⋅ 83 mod 853 ≡ 585 ⋅ 813 ⋅ 65 ⋅ 83 mod 853
≡ 475605 ⋅ 65 ⋅ 83 mod 853 ≡ 484 ⋅ 65 ⋅ 83 mod 853
≡ 31460 ⋅ 83 mod 853 ≡ 752 ⋅ 83 mod 853
≡ 62416 mod 853 ≡ 147 mod 853
Es gilt also: 271174 ≡ 147 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22
| =>59 | = 2⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22) = 3⋅59 -8⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -8⋅22
-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22
-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1
(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1
51⋅22 = 19⋅59 + 1
Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1
Somit 51⋅22 = 1 mod 59
51 ist also das Inverse von 22 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
