Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (204 + 96) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(204 + 96) mod 5 ≡ (204 mod 5 + 96 mod 5) mod 5.

204 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 200+4 = 5 ⋅ 40 +4.

96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 5 ⋅ 18 +6.

Somit gilt:

(204 + 96) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 94) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 94) mod 5 ≡ (99 mod 5 ⋅ 94 mod 5) mod 5.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.

94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 94) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15132 mod 503.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 151 -> x
2. mod(x²,503) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1511=151

2: 1512=1511+1=1511⋅1511 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 166 mod 503

4: 1514=1512+2=1512⋅1512 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 394 mod 503

8: 1518=1514+4=1514⋅1514 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 312 mod 503

16: 15116=1518+8=1518⋅1518 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 265 mod 503

32: 15132=15116+16=15116⋅15116 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 308 mod 503

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 190223 mod 263.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

1: 1901=190

2: 1902=1901+1=1901⋅1901 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 69 mod 263

4: 1904=1902+2=1902⋅1902 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 27 mod 263

8: 1908=1904+4=1904⋅1904 ≡ 27⋅27=729 ≡ 203 mod 263

16: 19016=1908+8=1908⋅1908 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 181 mod 263

32: 19032=19016+16=19016⋅19016 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 149 mod 263

64: 19064=19032+32=19032⋅19032 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 109 mod 263

128: 190128=19064+64=19064⋅19064 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 46 mod 263

190223

= 190128+64+16+8+4+2+1

= 190128⋅19064⋅19016⋅1908⋅1904⋅1902⋅1901

46 ⋅ 109 ⋅ 181 ⋅ 203 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263
5014 ⋅ 181 ⋅ 203 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263 ≡ 17 ⋅ 181 ⋅ 203 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263
3077 ⋅ 203 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263 ≡ 184 ⋅ 203 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263
37352 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263 ≡ 6 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263
162 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263
11178 ⋅ 190 mod 263 ≡ 132 ⋅ 190 mod 263
25080 mod 263 ≡ 95 mod 263

Es gilt also: 190223 ≡ 95 mod 263

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 72

=>101 = 1⋅72 + 29
=>72 = 2⋅29 + 14
=>29 = 2⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-2⋅14
14= 72-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅29 -2⋅(72 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -2⋅72 +4⋅ 29)
= -2⋅72 +5⋅ 29 (=1)
29= 101-1⋅72 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅72 +5⋅(101 -1⋅ 72)
= -2⋅72 +5⋅101 -5⋅ 72)
= 5⋅101 -7⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(101,72)=1 = 5⋅101 -7⋅72

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -7⋅72

-7⋅72 = -5⋅101 + 1 |+101⋅72

-7⋅72 + 101⋅72 = -5⋅101 + 101⋅72 + 1

(-7 + 101) ⋅ 72 = (-5 + 72) ⋅ 101 + 1

94⋅72 = 67⋅101 + 1

Es gilt also: 94⋅72 = 67⋅101 +1

Somit 94⋅72 = 1 mod 101

94 ist also das Inverse von 72 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.