Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(122 + 11999) mod 3 ≡ (122 mod 3 + 11999 mod 3) mod 3.

122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 3 ⋅ 40 +2.

11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 3 ⋅ 4000 -1 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(122 + 11999) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 57) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 57 mod 7) mod 7.

26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.

57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 57) mod 7 ≡ (5 ⋅ 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 666¹=666

2: 666²=666¹⁺¹=666¹⋅666¹ ≡ 666⋅666=443556 ≡ 487 mod 857

4: 666⁴=666²⁺²=666²⋅666² ≡ 487⋅487=237169 ≡ 637 mod 857

8: 666⁸=666⁴⁺⁴=666⁴⋅666⁴ ≡ 637⋅637=405769 ≡ 408 mod 857

16: 666¹⁶=666⁸⁺⁸=666⁸⋅666⁸ ≡ 408⋅408=166464 ≡ 206 mod 857

32: 666³²=666¹⁶⁺¹⁶=666¹⁶⋅666¹⁶ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 443 mod 857

64: 666⁶⁴=666³²⁺³²=666³²⋅666³² ≡ 443⋅443=196249 ≡ 853 mod 857

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

270²⁰¹

= 270^128+64+8+1

= 270¹²⁸⋅270⁶⁴⋅270⁸⋅270¹

≡ 15 ⋅ 524 ⋅ 154 ⋅ 270 mod 643
≡ 7860 ⋅ 154 ⋅ 270 mod 643 ≡ 144 ⋅ 154 ⋅ 270 mod 643
≡ 22176 ⋅ 270 mod 643 ≡ 314 ⋅ 270 mod 643
≡ 84780 mod 643 ≡ 547 mod 643

Es gilt also: 270²⁰¹ ≡ 547 mod 643

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59

=>79	= 1⋅59 + 20
=>59	= 2⋅20 + 19
=>20	= 1⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 59-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20) = 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1)
20= 79-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59) = -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59

oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅79 = -4⋅59

-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59

-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1

(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1

75⋅59 = 56⋅79 + 1

Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1

Somit 75⋅59 = 1 mod 79

75 ist also das Inverse von 59 mod 79