Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2801 - 698) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2801 - 698) mod 7 ≡ (2801 mod 7 - 698 mod 7) mod 7.

2801 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2801 = 2800+1 = 7 ⋅ 400 +1.

698 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 698 = 700-2 = 7 ⋅ 100 -2 = 7 ⋅ 100 - 7 + 5.

Somit gilt:

(2801 - 698) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 49) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 49) mod 5 ≡ (100 mod 5 ⋅ 49 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 9 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 49) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 576128 mod 641.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 576 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5761=576

2: 5762=5761+1=5761⋅5761 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 379 mod 641

4: 5764=5762+2=5762⋅5762 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 57 mod 641

8: 5768=5764+4=5764⋅5764 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 44 mod 641

16: 57616=5768+8=5768⋅5768 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 13 mod 641

32: 57632=57616+16=57616⋅57616 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 641

64: 57664=57632+32=57632⋅57632 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 357 mod 641

128: 576128=57664+64=57664⋅57664 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61663 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

1: 6161=616

2: 6162=6161+1=6161⋅6161 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 557 mod 673

4: 6164=6162+2=6162⋅6162 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 669 mod 673

8: 6168=6164+4=6164⋅6164 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 16 mod 673

16: 61616=6168+8=6168⋅6168 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 673

32: 61632=61616+16=61616⋅61616 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 255 mod 673

61663

= 61632+16+8+4+2+1

= 61632⋅61616⋅6168⋅6164⋅6162⋅6161

255 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 669 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673
65280 ⋅ 16 ⋅ 669 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673 ≡ 672 ⋅ 16 ⋅ 669 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673
10752 ⋅ 669 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673 ≡ 657 ⋅ 669 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673
439533 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673 ≡ 64 ⋅ 557 ⋅ 616 mod 673
35648 ⋅ 616 mod 673 ≡ 652 ⋅ 616 mod 673
401632 mod 673 ≡ 524 mod 673

Es gilt also: 61663 ≡ 524 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60

=>71 = 1⋅60 + 11
=>60 = 5⋅11 + 5
=>11 = 2⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 60-5⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11)
= -2⋅60 +11⋅ 11 (=1)
11= 71-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60)
= 11⋅71 -13⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -13⋅60

-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60

-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1

(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1

58⋅60 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1

Somit 58⋅60 = 1 mod 71

58 ist also das Inverse von 60 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.