Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2397 - 600) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2397 - 600) mod 6 ≡ (2397 mod 6 - 600 mod 6) mod 6.
2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397
= 2400
600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
Somit gilt:
(2397 - 600) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 77) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 77) mod 8 ≡ (71 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.
71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 77) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31116 mod 557.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 311 -> x
2. mod(x²,557) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 360 mod 557
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 376 mod 557
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 455 mod 557
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 378 mod 557
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70592 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 7051=705
2: 7052=7051+1=7051⋅7051 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 92 mod 761
4: 7054=7052+2=7052⋅7052 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 93 mod 761
8: 7058=7054+4=7054⋅7054 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 278 mod 761
16: 70516=7058+8=7058⋅7058 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 423 mod 761
32: 70532=70516+16=70516⋅70516 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 94 mod 761
64: 70564=70532+32=70532⋅70532 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 465 mod 761
70592
= 70564+16+8+4
= 70564⋅70516⋅7058⋅7054
≡ 465 ⋅ 423 ⋅ 278 ⋅ 93 mod 761
≡ 196695 ⋅ 278 ⋅ 93 mod 761 ≡ 357 ⋅ 278 ⋅ 93 mod 761
≡ 99246 ⋅ 93 mod 761 ≡ 316 ⋅ 93 mod 761
≡ 29388 mod 761 ≡ 470 mod 761
Es gilt also: 70592 ≡ 470 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37
| =>59 | = 1⋅37 + 22 |
| =>37 | = 1⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 37-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1) |
| 22= 59-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37
oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅59 = +8⋅37
Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1
Somit 8⋅37 = 1 mod 59
8 ist also das Inverse von 37 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
