Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (704 - 208) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(704 - 208) mod 7 ≡ (704 mod 7 - 208 mod 7) mod 7.
704 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 704
= 700
208 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 208
= 210
Somit gilt:
(704 - 208) mod 7 ≡ (4 - 5) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 36) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 36) mod 8 ≡ (59 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.
59 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 7 ⋅ 8 + 3 ist.
36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 36) mod 8 ≡ (3 ⋅ 4) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3048 mod 409.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 304 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3041=304
2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 391 mod 409
4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 324 mod 409
8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 272 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31861 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 560 mod 811
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 554 mod 811
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 358 mod 811
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 26 mod 811
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 811
31861
= 31832+16+8+4+1
= 31832⋅31816⋅3188⋅3184⋅3181
≡ 676 ⋅ 26 ⋅ 358 ⋅ 554 ⋅ 318 mod 811
≡ 17576 ⋅ 358 ⋅ 554 ⋅ 318 mod 811 ≡ 545 ⋅ 358 ⋅ 554 ⋅ 318 mod 811
≡ 195110 ⋅ 554 ⋅ 318 mod 811 ≡ 470 ⋅ 554 ⋅ 318 mod 811
≡ 260380 ⋅ 318 mod 811 ≡ 49 ⋅ 318 mod 811
≡ 15582 mod 811 ≡ 173 mod 811
Es gilt also: 31861 ≡ 173 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
