Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1404 + 27994) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1404 + 27994) mod 7 ≡ (1404 mod 7 + 27994 mod 7) mod 7.
1404 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1404
= 1400
27994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27994
= 28000
Somit gilt:
(1404 + 27994) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 72) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 72) mod 10 ≡ (63 mod 10 ⋅ 72 mod 10) mod 10.
63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.
72 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 7 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 72) mod 10 ≡ (3 ⋅ 2) mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4678 mod 547.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 467 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4671=467
2: 4672=4671+1=4671⋅4671 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 383 mod 547
4: 4674=4672+2=4672⋅4672 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 93 mod 547
8: 4678=4674+4=4674⋅4674 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 444 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 213160 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 100 mod 223
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 188 mod 223
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 110 mod 223
16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 58 mod 223
32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 19 mod 223
64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 19⋅19=361 ≡ 138 mod 223
128: 213128=21364+64=21364⋅21364 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 89 mod 223
213160
= 213128+32
= 213128⋅21332
≡ 89 ⋅ 19 mod 223
≡ 1691 mod 223 ≡ 130 mod 223
Es gilt also: 213160 ≡ 130 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
