Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34996 + 21002) mod 7 ≡ (34996 mod 7 + 21002 mod 7) mod 7.

34996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34996 = 35000-4 = 7 ⋅ 5000 -4 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 3.

21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002 = 21000+2 = 7 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(34996 + 21002) mod 7 ≡ (3 + 2) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 38) mod 5 ≡ (17 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.

17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.

38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 38) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 640¹=640

2: 640²=640¹⁺¹=640¹⋅640¹ ≡ 640⋅640=409600 ≡ 169 mod 653

4: 640⁴=640²⁺²=640²⋅640² ≡ 169⋅169=28561 ≡ 482 mod 653

8: 640⁸=640⁴⁺⁴=640⁴⋅640⁴ ≡ 482⋅482=232324 ≡ 509 mod 653

16: 640¹⁶=640⁸⁺⁸=640⁸⋅640⁸ ≡ 509⋅509=259081 ≡ 493 mod 653

32: 640³²=640¹⁶⁺¹⁶=640¹⁶⋅640¹⁶ ≡ 493⋅493=243049 ≡ 133 mod 653

64: 640⁶⁴=640³²⁺³²=640³²⋅640³² ≡ 133⋅133=17689 ≡ 58 mod 653

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

457¹⁸⁹

= 457^{128+32+16+8+4+1}

= 457¹²⁸⋅457³²⋅457¹⁶⋅457⁸⋅457⁴⋅457¹

≡ 127 ⋅ 359 ⋅ 195 ⋅ 57 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509
≡ 45593 ⋅ 195 ⋅ 57 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509 ≡ 292 ⋅ 195 ⋅ 57 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509
≡ 56940 ⋅ 57 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509 ≡ 441 ⋅ 57 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509
≡ 25137 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509 ≡ 196 ⋅ 340 ⋅ 457 mod 509
≡ 66640 ⋅ 457 mod 509 ≡ 470 ⋅ 457 mod 509
≡ 214790 mod 509 ≡ 501 mod 509

Es gilt also: 457¹⁸⁹ ≡ 501 mod 509

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59	= 1⋅37 + 22
=>37	= 1⋅22 + 15
=>22	= 1⋅15 + 7
=>15	= 2⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15) = 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22) = -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37) = 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59