Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2094 - 34998) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2094 - 34998) mod 7 ≡ (2094 mod 7 - 34998 mod 7) mod 7.
2094 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2094
= 2100
34998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34998
= 35000
Somit gilt:
(2094 - 34998) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 49) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 49) mod 10 ≡ (60 mod 10 ⋅ 49 mod 10) mod 10.
60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.
49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 49) mod 10 ≡ (0 ⋅ 9) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 492128 mod 761.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 492 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4921=492
2: 4922=4921+1=4921⋅4921 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 66 mod 761
4: 4924=4922+2=4922⋅4922 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 551 mod 761
8: 4928=4924+4=4924⋅4924 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 723 mod 761
16: 49216=4928+8=4928⋅4928 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 683 mod 761
32: 49232=49216+16=49216⋅49216 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 757 mod 761
64: 49264=49232+32=49232⋅49232 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 16 mod 761
128: 492128=49264+64=49264⋅49264 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 380120 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 81 mod 389
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 337 mod 389
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 370 mod 389
16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 361 mod 389
32: 38032=38016+16=38016⋅38016 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 6 mod 389
64: 38064=38032+32=38032⋅38032 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 389
380120
= 38064+32+16+8
= 38064⋅38032⋅38016⋅3808
≡ 36 ⋅ 6 ⋅ 361 ⋅ 370 mod 389
≡ 216 ⋅ 361 ⋅ 370 mod 389
≡ 77976 ⋅ 370 mod 389 ≡ 176 ⋅ 370 mod 389
≡ 65120 mod 389 ≡ 157 mod 389
Es gilt also: 380120 ≡ 157 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 58
| =>83 | = 1⋅58 + 25 |
| =>58 | = 2⋅25 + 8 |
| =>25 | = 3⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-3⋅8 | |||
| 8= 58-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -3⋅(58 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -3⋅58 +6⋅ 25) = -3⋅58 +7⋅ 25 (=1) |
| 25= 83-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅58 +7⋅(83 -1⋅ 58)
= -3⋅58 +7⋅83 -7⋅ 58) = 7⋅83 -10⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,58)=1 = 7⋅83 -10⋅58
oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅83 = -10⋅58
-10⋅58 = -7⋅83 + 1 |+83⋅58
-10⋅58 + 83⋅58 = -7⋅83 + 83⋅58 + 1
(-10 + 83) ⋅ 58 = (-7 + 58) ⋅ 83 + 1
73⋅58 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 73⋅58 = 51⋅83 +1
Somit 73⋅58 = 1 mod 83
73 ist also das Inverse von 58 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
