Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14997 - 6000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14997 - 6000) mod 3 ≡ (14997 mod 3 - 6000 mod 3) mod 3.

14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 15000-3 = 3 ⋅ 5000 -3 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 0.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(14997 - 6000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 92) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 92) mod 11 ≡ (77 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.

77 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 7 ⋅ 11 + 0 ist.

92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 92) mod 11 ≡ (0 ⋅ 4) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3558 mod 521.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 355 -> x
2. mod(x²,521) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3551=355

2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 464 mod 521

4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 123 mod 521

8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 20 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38199 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

1: 3811=381

2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 300 mod 443

4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 71 mod 443

8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 168 mod 443

16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 315 mod 443

32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 436 mod 443

64: 38164=38132+32=38132⋅38132 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 49 mod 443

38199

= 38164+32+2+1

= 38164⋅38132⋅3812⋅3811

49 ⋅ 436 ⋅ 300 ⋅ 381 mod 443
21364 ⋅ 300 ⋅ 381 mod 443 ≡ 100 ⋅ 300 ⋅ 381 mod 443
30000 ⋅ 381 mod 443 ≡ 319 ⋅ 381 mod 443
121539 mod 443 ≡ 157 mod 443

Es gilt also: 38199 ≡ 157 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 58

=>73 = 1⋅58 + 15
=>58 = 3⋅15 + 13
=>15 = 1⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13)
= -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 58-3⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅15 +7⋅(58 -3⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅58 -21⋅ 15)
= 7⋅58 -27⋅ 15 (=1)
15= 73-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅58 -27⋅(73 -1⋅ 58)
= 7⋅58 -27⋅73 +27⋅ 58)
= -27⋅73 +34⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(73,58)=1 = -27⋅73 +34⋅58

oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅73 = +34⋅58

Es gilt also: 34⋅58 = 27⋅73 +1

Somit 34⋅58 = 1 mod 73

34 ist also das Inverse von 58 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.