Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5994 + 18000) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5994 + 18000) mod 6 ≡ (5994 mod 6 + 18000 mod 6) mod 6.

5994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5994 = 6000-6 = 6 ⋅ 1000 -6 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 0.

18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 6 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(5994 + 18000) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 27) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 27) mod 6 ≡ (32 mod 6 ⋅ 27 mod 6) mod 6.

32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.

27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 27) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 74064 mod 883.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 740 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7401=740

2: 7402=7401+1=7401⋅7401 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 140 mod 883

4: 7404=7402+2=7402⋅7402 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 174 mod 883

8: 7408=7404+4=7404⋅7404 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 254 mod 883

16: 74016=7408+8=7408⋅7408 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 57 mod 883

32: 74032=74016+16=74016⋅74016 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 600 mod 883

64: 74064=74032+32=74032⋅74032 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 619 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 319219 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 3191=319

2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 314 mod 443

4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 250 mod 443

8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 37 mod 443

16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 40 mod 443

32: 31932=31916+16=31916⋅31916 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 271 mod 443

64: 31964=31932+32=31932⋅31932 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 346 mod 443

128: 319128=31964+64=31964⋅31964 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 106 mod 443

319219

= 319128+64+16+8+2+1

= 319128⋅31964⋅31916⋅3198⋅3192⋅3191

106 ⋅ 346 ⋅ 40 ⋅ 37 ⋅ 314 ⋅ 319 mod 443
36676 ⋅ 40 ⋅ 37 ⋅ 314 ⋅ 319 mod 443 ≡ 350 ⋅ 40 ⋅ 37 ⋅ 314 ⋅ 319 mod 443
14000 ⋅ 37 ⋅ 314 ⋅ 319 mod 443 ≡ 267 ⋅ 37 ⋅ 314 ⋅ 319 mod 443
9879 ⋅ 314 ⋅ 319 mod 443 ≡ 133 ⋅ 314 ⋅ 319 mod 443
41762 ⋅ 319 mod 443 ≡ 120 ⋅ 319 mod 443
38280 mod 443 ≡ 182 mod 443

Es gilt also: 319219 ≡ 182 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61 = 3⋅18 + 7
=>18 = 2⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7)
= 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18)
= -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.