Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1601 + 404) mod 8 ≡ (1601 mod 8 + 404 mod 8) mod 8.

1601 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 8 ⋅ 200 +1.

404 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404 = 400+4 = 8 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(1601 + 404) mod 8 ≡ (1 + 4) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 72) mod 8 ≡ (52 mod 8 ⋅ 72 mod 8) mod 8.

52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 72) mod 8 ≡ (4 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 470¹=470

2: 470²=470¹⁺¹=470¹⋅470¹ ≡ 470⋅470=220900 ≡ 156 mod 673

4: 470⁴=470²⁺²=470²⋅470² ≡ 156⋅156=24336 ≡ 108 mod 673

8: 470⁸=470⁴⁺⁴=470⁴⋅470⁴ ≡ 108⋅108=11664 ≡ 223 mod 673

16: 470¹⁶=470⁸⁺⁸=470⁸⋅470⁸ ≡ 223⋅223=49729 ≡ 600 mod 673

32: 470³²=470¹⁶⁺¹⁶=470¹⁶⋅470¹⁶ ≡ 600⋅600=360000 ≡ 618 mod 673

64: 470⁶⁴=470³²⁺³²=470³²⋅470³² ≡ 618⋅618=381924 ≡ 333 mod 673

128: 470¹²⁸=470⁶⁴⁺⁶⁴=470⁶⁴⋅470⁶⁴ ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

221¹²⁶

= 221^{64+32+16+8+4+2}

= 221⁶⁴⋅221³²⋅221¹⁶⋅221⁸⋅221⁴⋅221²

≡ 181 ⋅ 149 ⋅ 227 ⋅ 31 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367
≡ 26969 ⋅ 227 ⋅ 31 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367 ≡ 178 ⋅ 227 ⋅ 31 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367
≡ 40406 ⋅ 31 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367 ≡ 36 ⋅ 31 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367
≡ 1116 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367 ≡ 15 ⋅ 166 ⋅ 30 mod 367
≡ 2490 ⋅ 30 mod 367 ≡ 288 ⋅ 30 mod 367
≡ 8640 mod 367 ≡ 199 mod 367

Es gilt also: 221¹²⁶ ≡ 199 mod 367

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 41

=>89	= 2⋅41 + 7
=>41	= 5⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 89-2⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅41 +6⋅(89 -2⋅ 41) = -1⋅41 +6⋅89 -12⋅ 41) = 6⋅89 -13⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(89,41)=1 = 6⋅89 -13⋅41

oder wenn man 6⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅89 = -13⋅41

-13⋅41 = -6⋅89 + 1 |+89⋅41

-13⋅41 + 89⋅41 = -6⋅89 + 89⋅41 + 1

(-13 + 89) ⋅ 41 = (-6 + 41) ⋅ 89 + 1

76⋅41 = 35⋅89 + 1

Es gilt also: 76⋅41 = 35⋅89 +1

Somit 76⋅41 = 1 mod 89

76 ist also das Inverse von 41 mod 89