Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (603 - 15000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(603 - 15000) mod 3 ≡ (603 mod 3 - 15000 mod 3) mod 3.

603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603 = 600+3 = 3 ⋅ 200 +3.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(603 - 15000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 36) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 36) mod 11 ≡ (65 mod 11 ⋅ 36 mod 11) mod 11.

65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.

36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 36) mod 11 ≡ (10 ⋅ 3) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22664 mod 409.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 226 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2261=226

2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 360 mod 409

4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 356 mod 409

8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 355 mod 409

16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409

32: 22632=22616+16=22616⋅22616 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409

64: 22664=22632+32=22632⋅22632 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 148253 mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

1: 1481=148

2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 134 mod 311

4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 229 mod 311

8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 193 mod 311

16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 240 mod 311

32: 14832=14816+16=14816⋅14816 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 65 mod 311

64: 14864=14832+32=14832⋅14832 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 182 mod 311

128: 148128=14864+64=14864⋅14864 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 158 mod 311

148253

= 148128+64+32+16+8+4+1

= 148128⋅14864⋅14832⋅14816⋅1488⋅1484⋅1481

158 ⋅ 182 ⋅ 65 ⋅ 240 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311
28756 ⋅ 65 ⋅ 240 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311 ≡ 144 ⋅ 65 ⋅ 240 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311
9360 ⋅ 240 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311 ≡ 30 ⋅ 240 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311
7200 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311 ≡ 47 ⋅ 193 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311
9071 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311 ≡ 52 ⋅ 229 ⋅ 148 mod 311
11908 ⋅ 148 mod 311 ≡ 90 ⋅ 148 mod 311
13320 mod 311 ≡ 258 mod 311

Es gilt also: 148253 ≡ 258 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30

=>73 = 2⋅30 + 13
=>30 = 2⋅13 + 4
=>13 = 3⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13)
= -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 73-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30)
= 7⋅73 -17⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -17⋅30

-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30

-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1

(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1

56⋅30 = 23⋅73 + 1

Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1

Somit 56⋅30 = 1 mod 73

56 ist also das Inverse von 30 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.