Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24004 - 794) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24004 - 794) mod 8 ≡ (24004 mod 8 - 794 mod 8) mod 8.
24004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24004
= 24000
794 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 794
= 800
Somit gilt:
(24004 - 794) mod 8 ≡ (4 - 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 38) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 38) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.
53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.
38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 38) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64064 mod 659.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 640 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6401=640
2: 6402=6401+1=6401⋅6401 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 361 mod 659
4: 6404=6402+2=6402⋅6402 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 498 mod 659
8: 6408=6404+4=6404⋅6404 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 220 mod 659
16: 64016=6408+8=6408⋅6408 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 293 mod 659
32: 64032=64016+16=64016⋅64016 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 179 mod 659
64: 64064=64032+32=64032⋅64032 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 409 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 458198 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 4581=458
2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 247 mod 907
4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 240 mod 907
8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 459 mod 907
16: 45816=4588+8=4588⋅4588 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 257 mod 907
32: 45832=45816+16=45816⋅45816 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 745 mod 907
64: 45864=45832+32=45832⋅45832 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 848 mod 907
128: 458128=45864+64=45864⋅45864 ≡ 848⋅848=719104 ≡ 760 mod 907
458198
= 458128+64+4+2
= 458128⋅45864⋅4584⋅4582
≡ 760 ⋅ 848 ⋅ 240 ⋅ 247 mod 907
≡ 644480 ⋅ 240 ⋅ 247 mod 907 ≡ 510 ⋅ 240 ⋅ 247 mod 907
≡ 122400 ⋅ 247 mod 907 ≡ 862 ⋅ 247 mod 907
≡ 212914 mod 907 ≡ 676 mod 907
Es gilt also: 458198 ≡ 676 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
