Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (704 - 204) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(704 - 204) mod 7 ≡ (704 mod 7 - 204 mod 7) mod 7.
704 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 704
= 700
204 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 210
Somit gilt:
(704 - 204) mod 7 ≡ (4 - 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 62) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 62) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 62 mod 7) mod 7.
26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.
62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 62) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35064 mod 691.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 350 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3501=350
2: 3502=3501+1=3501⋅3501 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 193 mod 691
4: 3504=3502+2=3502⋅3502 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 626 mod 691
8: 3508=3504+4=3504⋅3504 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 79 mod 691
16: 35016=3508+8=3508⋅3508 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 22 mod 691
32: 35032=35016+16=35016⋅35016 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 691
64: 35064=35032+32=35032⋅35032 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 7 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 137105 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 105 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 105 an und zerlegen 105 in eine Summer von 2er-Potenzen:
105 = 64+32+8+1
1: 1371=137
2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 212 mod 241
4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 118 mod 241
8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 187 mod 241
16: 13716=1378+8=1378⋅1378 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 24 mod 241
32: 13732=13716+16=13716⋅13716 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
64: 13764=13732+32=13732⋅13732 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241
137105
= 13764+32+8+1
= 13764⋅13732⋅1378⋅1371
≡ 160 ⋅ 94 ⋅ 187 ⋅ 137 mod 241
≡ 15040 ⋅ 187 ⋅ 137 mod 241 ≡ 98 ⋅ 187 ⋅ 137 mod 241
≡ 18326 ⋅ 137 mod 241 ≡ 10 ⋅ 137 mod 241
≡ 1370 mod 241 ≡ 165 mod 241
Es gilt also: 137105 ≡ 165 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
