Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (450 - 36005) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(450 - 36005) mod 9 ≡ (450 mod 9 - 36005 mod 9) mod 9.

450 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 450 = 450+0 = 9 ⋅ 50 +0.

36005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36005 = 36000+5 = 9 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(450 - 36005) mod 9 ≡ (0 - 5) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 78) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 78) mod 4 ≡ (36 mod 4 ⋅ 78 mod 4) mod 4.

36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 78) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50164 mod 569.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 501 -> x
2. mod(x²,569) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5011=501

2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 72 mod 569

4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 63 mod 569

8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 555 mod 569

16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 196 mod 569

32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 293 mod 569

64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 499 mod 569

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 452112 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:

112 = 64+32+16

1: 4521=452

2: 4522=4521+1=4521⋅4521 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 853 mod 929

4: 4524=4522+2=4522⋅4522 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 202 mod 929

8: 4528=4524+4=4524⋅4524 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 857 mod 929

16: 45216=4528+8=4528⋅4528 ≡ 857⋅857=734449 ≡ 539 mod 929

32: 45232=45216+16=45216⋅45216 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929

64: 45264=45232+32=45232⋅45232 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 506 mod 929

452112

= 45264+32+16

= 45264⋅45232⋅45216

506 ⋅ 673 ⋅ 539 mod 929
340538 ⋅ 539 mod 929 ≡ 524 ⋅ 539 mod 929
282436 mod 929 ≡ 20 mod 929

Es gilt also: 452112 ≡ 20 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79 = 2⋅33 + 13
=>33 = 2⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13)
= 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33)
= -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.