Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 - 97) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 - 97) mod 5 ≡ (100 mod 5 - 97 mod 5) mod 5.
100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100
= 100
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97
= 90
Somit gilt:
(100 - 97) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 74) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 74) mod 3 ≡ (31 mod 3 ⋅ 74 mod 3) mod 3.
31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 10 ⋅ 3 + 1 ist.
74 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 24 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 74) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60416 mod 857.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 604 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6041=604
2: 6042=6041+1=6041⋅6041 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 591 mod 857
4: 6044=6042+2=6042⋅6042 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 482 mod 857
8: 6048=6044+4=6044⋅6044 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 77 mod 857
16: 60416=6048+8=6048⋅6048 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 787 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 242211 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:
211 = 128+64+16+2+1
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 181 mod 499
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 326 mod 499
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 488 mod 499
16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 121 mod 499
32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 170 mod 499
64: 24264=24232+32=24232⋅24232 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 457 mod 499
128: 242128=24264+64=24264⋅24264 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 267 mod 499
242211
= 242128+64+16+2+1
= 242128⋅24264⋅24216⋅2422⋅2421
≡ 267 ⋅ 457 ⋅ 121 ⋅ 181 ⋅ 242 mod 499
≡ 122019 ⋅ 121 ⋅ 181 ⋅ 242 mod 499 ≡ 263 ⋅ 121 ⋅ 181 ⋅ 242 mod 499
≡ 31823 ⋅ 181 ⋅ 242 mod 499 ≡ 386 ⋅ 181 ⋅ 242 mod 499
≡ 69866 ⋅ 242 mod 499 ≡ 6 ⋅ 242 mod 499
≡ 1452 mod 499 ≡ 454 mod 499
Es gilt also: 242211 ≡ 454 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53
| =>59 | = 1⋅53 + 6 |
| =>53 | = 8⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 53-8⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6) = -1⋅53 +9⋅ 6 (=1) |
| 6= 59-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53) = 9⋅59 -10⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53
oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅59 = -10⋅53
-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53
-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1
(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1
49⋅53 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1
Somit 49⋅53 = 1 mod 59
49 ist also das Inverse von 53 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
