Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(346 + 3507) mod 7 ≡ (346 mod 7 + 3507 mod 7) mod 7.

346 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 346 = 350-4 = 7 ⋅ 50 -4 = 7 ⋅ 50 - 7 + 3.

3507 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3507 = 3500+7 = 7 ⋅ 500 +7.

Somit gilt:

(346 + 3507) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 27) mod 4 ≡ (29 mod 4 ⋅ 27 mod 4) mod 4.

29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 27) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 460¹=460

2: 460²=460¹⁺¹=460¹⋅460¹ ≡ 460⋅460=211600 ≡ 89 mod 823

4: 460⁴=460²⁺²=460²⋅460² ≡ 89⋅89=7921 ≡ 514 mod 823

8: 460⁸=460⁴⁺⁴=460⁴⋅460⁴ ≡ 514⋅514=264196 ≡ 13 mod 823

16: 460¹⁶=460⁸⁺⁸=460⁸⋅460⁸ ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 823

32: 460³²=460¹⁶⁺¹⁶=460¹⁶⋅460¹⁶ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 579 mod 823

64: 460⁶⁴=460³²⁺³²=460³²⋅460³² ≡ 579⋅579=335241 ≡ 280 mod 823

128: 460¹²⁸=460⁶⁴⁺⁶⁴=460⁶⁴⋅460⁶⁴ ≡ 280⋅280=78400 ≡ 215 mod 823

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

839²³⁴

= 839^{128+64+32+8+2}

= 839¹²⁸⋅839⁶⁴⋅839³²⋅839⁸⋅839²

≡ 542 ⋅ 818 ⋅ 532 ⋅ 278 ⋅ 300 mod 947
≡ 443356 ⋅ 532 ⋅ 278 ⋅ 300 mod 947 ≡ 160 ⋅ 532 ⋅ 278 ⋅ 300 mod 947
≡ 85120 ⋅ 278 ⋅ 300 mod 947 ≡ 837 ⋅ 278 ⋅ 300 mod 947
≡ 232686 ⋅ 300 mod 947 ≡ 671 ⋅ 300 mod 947
≡ 201300 mod 947 ≡ 536 mod 947

Es gilt also: 839²³⁴ ≡ 536 mod 947

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54

=>59	= 1⋅54 + 5
=>54	= 10⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 54-10⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54) = -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -12⋅54

-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54

-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1

(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1

47⋅54 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1

Somit 47⋅54 = 1 mod 59

47 ist also das Inverse von 54 mod 59