Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8008 - 3196) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8008 - 3196) mod 8 ≡ (8008 mod 8 - 3196 mod 8) mod 8.
8008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8008
= 8000
3196 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3196
= 3200
Somit gilt:
(8008 - 3196) mod 8 ≡ (0 - 4) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 47) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 47) mod 3 ≡ (37 mod 3 ⋅ 47 mod 3) mod 3.
37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.
47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 47) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 79332 mod 887.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 793 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7931=793
2: 7932=7931+1=7931⋅7931 ≡ 793⋅793=628849 ≡ 853 mod 887
4: 7934=7932+2=7932⋅7932 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 269 mod 887
8: 7938=7934+4=7934⋅7934 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 514 mod 887
16: 79316=7938+8=7938⋅7938 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 757 mod 887
32: 79332=79316+16=79316⋅79316 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 47 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 856150 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 8561=856
2: 8562=8561+1=8561⋅8561 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 717 mod 967
4: 8564=8562+2=8562⋅8562 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 612 mod 967
8: 8568=8564+4=8564⋅8564 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 315 mod 967
16: 85616=8568+8=8568⋅8568 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 591 mod 967
32: 85632=85616+16=85616⋅85616 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 194 mod 967
64: 85664=85632+32=85632⋅85632 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 890 mod 967
128: 856128=85664+64=85664⋅85664 ≡ 890⋅890=792100 ≡ 127 mod 967
856150
= 856128+16+4+2
= 856128⋅85616⋅8564⋅8562
≡ 127 ⋅ 591 ⋅ 612 ⋅ 717 mod 967
≡ 75057 ⋅ 612 ⋅ 717 mod 967 ≡ 598 ⋅ 612 ⋅ 717 mod 967
≡ 365976 ⋅ 717 mod 967 ≡ 450 ⋅ 717 mod 967
≡ 322650 mod 967 ≡ 639 mod 967
Es gilt also: 856150 ≡ 639 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45
| =>61 | = 1⋅45 + 16 |
| =>45 | = 2⋅16 + 13 |
| =>16 | = 1⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 16-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1) |
| 13= 45-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16)
= -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1) |
| 16= 61-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45
oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅61 = +19⋅45
Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1
Somit 19⋅45 = 1 mod 61
19 ist also das Inverse von 45 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
