Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 - 1404) mod 7 ≡ (63 mod 7 - 1404 mod 7) mod 7.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 70-7 = 7 ⋅ 10 -7 = 7 ⋅ 10 - 7 + 0.

1404 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1404 = 1400+4 = 7 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(63 - 1404) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 22) mod 11 ≡ (55 mod 11 ⋅ 22 mod 11) mod 11.

55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.

22 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 22 + 0 = 2 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 22) mod 11 ≡ (0 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 395¹=395

2: 395²=395¹⁺¹=395¹⋅395¹ ≡ 395⋅395=156025 ≡ 88 mod 881

4: 395⁴=395²⁺²=395²⋅395² ≡ 88⋅88=7744 ≡ 696 mod 881

8: 395⁸=395⁴⁺⁴=395⁴⋅395⁴ ≡ 696⋅696=484416 ≡ 747 mod 881

16: 395¹⁶=395⁸⁺⁸=395⁸⋅395⁸ ≡ 747⋅747=558009 ≡ 336 mod 881

32: 395³²=395¹⁶⁺¹⁶=395¹⁶⋅395¹⁶ ≡ 336⋅336=112896 ≡ 128 mod 881

64: 395⁶⁴=395³²⁺³²=395³²⋅395³² ≡ 128⋅128=16384 ≡ 526 mod 881

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

231²¹⁹

= 231^{128+64+16+8+2+1}

= 231¹²⁸⋅231⁶⁴⋅231¹⁶⋅231⁸⋅231²⋅231¹

≡ 11 ⋅ 445 ⋅ 233 ⋅ 239 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547
≡ 4895 ⋅ 233 ⋅ 239 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547 ≡ 519 ⋅ 233 ⋅ 239 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547
≡ 120927 ⋅ 239 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547 ≡ 40 ⋅ 239 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547
≡ 9560 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547 ≡ 261 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547
≡ 78822 ⋅ 231 mod 547 ≡ 54 ⋅ 231 mod 547
≡ 12474 mod 547 ≡ 440 mod 547

Es gilt also: 231²¹⁹ ≡ 440 mod 547

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59	= 1⋅46 + 13
=>46	= 3⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46) = 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59