Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (500 + 24996) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(500 + 24996) mod 5 ≡ (500 mod 5 + 24996 mod 5) mod 5.

500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500 = 500+0 = 5 ⋅ 100 +0.

24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996 = 24000+996 = 5 ⋅ 4800 +996.

Somit gilt:

(500 + 24996) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 63) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 63) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 63 mod 4) mod 4.

95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.

63 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 15 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 63) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44516 mod 743.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 445 -> x
2. mod(x²,743) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4451=445

2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 387 mod 743

4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 426 mod 743

8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 184 mod 743

16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 421 mod 743

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 430224 mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:

224 = 128+64+32

1: 4301=430

2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 742 mod 787

4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 742⋅742=550564 ≡ 451 mod 787

8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 355 mod 787

16: 43016=4308+8=4308⋅4308 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 105 mod 787

32: 43032=43016+16=43016⋅43016 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 7 mod 787

64: 43064=43032+32=43032⋅43032 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 787

128: 430128=43064+64=43064⋅43064 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 40 mod 787

430224

= 430128+64+32

= 430128⋅43064⋅43032

40 ⋅ 49 ⋅ 7 mod 787
1960 ⋅ 7 mod 787 ≡ 386 ⋅ 7 mod 787
2702 mod 787 ≡ 341 mod 787

Es gilt also: 430224 ≡ 341 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53 = 1⋅42 + 11
=>42 = 3⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11)
= 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42)
= -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.