Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17998 + 2703) mod 9 ≡ (17998 mod 9 + 2703 mod 9) mod 9.

17998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998 = 18000-2 = 9 ⋅ 2000 -2 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 7.

2703 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2703 = 2700+3 = 9 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(17998 + 2703) mod 9 ≡ (7 + 3) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 82) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 82 mod 5) mod 5.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 82) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 737¹=737

2: 737²=737¹⁺¹=737¹⋅737¹ ≡ 737⋅737=543169 ≡ 523 mod 773

4: 737⁴=737²⁺²=737²⋅737² ≡ 523⋅523=273529 ≡ 660 mod 773

8: 737⁸=737⁴⁺⁴=737⁴⋅737⁴ ≡ 660⋅660=435600 ≡ 401 mod 773

16: 737¹⁶=737⁸⁺⁸=737⁸⋅737⁸ ≡ 401⋅401=160801 ≡ 17 mod 773

32: 737³²=737¹⁶⁺¹⁶=737¹⁶⋅737¹⁶ ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 773

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:

121 = 64+32+16+8+1

409¹²¹

= 409^64+32+16+8+1

= 409⁶⁴⋅409³²⋅409¹⁶⋅409⁸⋅409¹

≡ 84 ⋅ 602 ⋅ 515 ⋅ 190 ⋅ 409 mod 647
≡ 50568 ⋅ 515 ⋅ 190 ⋅ 409 mod 647 ≡ 102 ⋅ 515 ⋅ 190 ⋅ 409 mod 647
≡ 52530 ⋅ 190 ⋅ 409 mod 647 ≡ 123 ⋅ 190 ⋅ 409 mod 647
≡ 23370 ⋅ 409 mod 647 ≡ 78 ⋅ 409 mod 647
≡ 31902 mod 647 ≡ 199 mod 647

Es gilt also: 409¹²¹ ≡ 199 mod 647

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43

=>97	= 2⋅43 + 11
=>43	= 3⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 97-2⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43) = -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43) = 4⋅97 -9⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43

oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅97 = -9⋅43

-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43

-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1

(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1

88⋅43 = 39⋅97 + 1

Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1

Somit 88⋅43 = 1 mod 97

88 ist also das Inverse von 43 mod 97