Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1600 - 1602) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1600 - 1602) mod 8 ≡ (1600 mod 8 - 1602 mod 8) mod 8.
1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
1602 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602
= 1600
Somit gilt:
(1600 - 1602) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 94) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 94) mod 5 ≡ (24 mod 5 ⋅ 94 mod 5) mod 5.
24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.
94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 94) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 69232 mod 859.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 692 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6921=692
2: 6922=6921+1=6921⋅6921 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 401 mod 859
4: 6924=6922+2=6922⋅6922 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 168 mod 859
8: 6928=6924+4=6924⋅6924 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 736 mod 859
16: 69216=6928+8=6928⋅6928 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 526 mod 859
32: 69232=69216+16=69216⋅69216 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 78 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 355171 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 3551=355
2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 71 mod 887
4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 606 mod 887
8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 18 mod 887
16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 887
32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 310 mod 887
64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 304 mod 887
128: 355128=35564+64=35564⋅35564 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 168 mod 887
355171
= 355128+32+8+2+1
= 355128⋅35532⋅3558⋅3552⋅3551
≡ 168 ⋅ 310 ⋅ 18 ⋅ 71 ⋅ 355 mod 887
≡ 52080 ⋅ 18 ⋅ 71 ⋅ 355 mod 887 ≡ 634 ⋅ 18 ⋅ 71 ⋅ 355 mod 887
≡ 11412 ⋅ 71 ⋅ 355 mod 887 ≡ 768 ⋅ 71 ⋅ 355 mod 887
≡ 54528 ⋅ 355 mod 887 ≡ 421 ⋅ 355 mod 887
≡ 149455 mod 887 ≡ 439 mod 887
Es gilt also: 355171 ≡ 439 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59
| =>79 | = 1⋅59 + 20 |
| =>59 | = 2⋅20 + 19 |
| =>20 | = 1⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 20-1⋅19 | |||
| 19= 59-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1) |
| 20= 79-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59
oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅79 = -4⋅59
-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59
-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1
(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1
75⋅59 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1
Somit 75⋅59 = 1 mod 79
75 ist also das Inverse von 59 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
