Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24003 - 2996) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24003 - 2996) mod 6 ≡ (24003 mod 6 - 2996 mod 6) mod 6.
24003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003
= 24000
2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996
= 3000
Somit gilt:
(24003 - 2996) mod 6 ≡ (3 - 2) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 45) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 45) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 45 mod 3) mod 3.
20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.
45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 45) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46816 mod 991.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 468 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4681=468
2: 4682=4681+1=4681⋅4681 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 13 mod 991
4: 4684=4682+2=4682⋅4682 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 991
8: 4688=4684+4=4684⋅4684 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 813 mod 991
16: 46816=4688+8=4688⋅4688 ≡ 813⋅813=660969 ≡ 963 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50589 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:
89 = 64+16+8+1
1: 5051=505
2: 5052=5051+1=5051⋅5051 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 256 mod 521
4: 5054=5052+2=5052⋅5052 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 411 mod 521
8: 5058=5054+4=5054⋅5054 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 117 mod 521
16: 50516=5058+8=5058⋅5058 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 143 mod 521
32: 50532=50516+16=50516⋅50516 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 130 mod 521
64: 50564=50532+32=50532⋅50532 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 228 mod 521
50589
= 50564+16+8+1
= 50564⋅50516⋅5058⋅5051
≡ 228 ⋅ 143 ⋅ 117 ⋅ 505 mod 521
≡ 32604 ⋅ 117 ⋅ 505 mod 521 ≡ 302 ⋅ 117 ⋅ 505 mod 521
≡ 35334 ⋅ 505 mod 521 ≡ 427 ⋅ 505 mod 521
≡ 215635 mod 521 ≡ 462 mod 521
Es gilt also: 50589 ≡ 462 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 84
| =>97 | = 1⋅84 + 13 |
| =>84 | = 6⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 84-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(84 -6⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅84 +12⋅ 13) = -2⋅84 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 97-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅84 +13⋅(97 -1⋅ 84)
= -2⋅84 +13⋅97 -13⋅ 84) = 13⋅97 -15⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,84)=1 = 13⋅97 -15⋅84
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -15⋅84
-15⋅84 = -13⋅97 + 1 |+97⋅84
-15⋅84 + 97⋅84 = -13⋅97 + 97⋅84 + 1
(-15 + 97) ⋅ 84 = (-13 + 84) ⋅ 97 + 1
82⋅84 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 82⋅84 = 71⋅97 +1
Somit 82⋅84 = 1 mod 97
82 ist also das Inverse von 84 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
