Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2800 + 356) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2800 + 356) mod 7 ≡ (2800 mod 7 + 356 mod 7) mod 7.

2800 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2800 = 2800+0 = 7 ⋅ 400 +0.

356 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 356 = 350+6 = 7 ⋅ 50 +6.

Somit gilt:

(2800 + 356) mod 7 ≡ (0 + 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 20) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 20) mod 8 ≡ (100 mod 8 ⋅ 20 mod 8) mod 8.

100 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 12 ⋅ 8 + 4 ist.

20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 20) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12464 mod 353.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 124 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1241=124

2: 1242=1241+1=1241⋅1241 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 197 mod 353

4: 1244=1242+2=1242⋅1242 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 332 mod 353

8: 1248=1244+4=1244⋅1244 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 88 mod 353

16: 12416=1248+8=1248⋅1248 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 331 mod 353

32: 12432=12416+16=12416⋅12416 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 131 mod 353

64: 12464=12432+32=12432⋅12432 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47961 mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

1: 4791=479

2: 4792=4791+1=4791⋅4791 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 351 mod 739

4: 4794=4792+2=4792⋅4792 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 527 mod 739

8: 4798=4794+4=4794⋅4794 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 604 mod 739

16: 47916=4798+8=4798⋅4798 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 489 mod 739

32: 47932=47916+16=47916⋅47916 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 424 mod 739

47961

= 47932+16+8+4+1

= 47932⋅47916⋅4798⋅4794⋅4791

424 ⋅ 489 ⋅ 604 ⋅ 527 ⋅ 479 mod 739
207336 ⋅ 604 ⋅ 527 ⋅ 479 mod 739 ≡ 416 ⋅ 604 ⋅ 527 ⋅ 479 mod 739
251264 ⋅ 527 ⋅ 479 mod 739 ≡ 4 ⋅ 527 ⋅ 479 mod 739
2108 ⋅ 479 mod 739 ≡ 630 ⋅ 479 mod 739
301770 mod 739 ≡ 258 mod 739

Es gilt also: 47961 ≡ 258 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61 = 2⋅22 + 17
=>22 = 1⋅17 + 5
=>17 = 3⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5)
= -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17)
= 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22)
= -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.