Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30004 + 122) mod 6 ≡ (30004 mod 6 + 122 mod 6) mod 6.

30004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30004 = 30000+4 = 6 ⋅ 5000 +4.

122 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 6 ⋅ 20 +2.

Somit gilt:

(30004 + 122) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 35) mod 7 ≡ (68 mod 7 ⋅ 35 mod 7) mod 7.

68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.

35 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 5 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 35) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 424¹=424

2: 424²=424¹⁺¹=424¹⋅424¹ ≡ 424⋅424=179776 ≡ 528 mod 659

4: 424⁴=424²⁺²=424²⋅424² ≡ 528⋅528=278784 ≡ 27 mod 659

8: 424⁸=424⁴⁺⁴=424⁴⋅424⁴ ≡ 27⋅27=729 ≡ 70 mod 659

16: 424¹⁶=424⁸⁺⁸=424⁸⋅424⁸ ≡ 70⋅70=4900 ≡ 287 mod 659

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

439¹²⁶

= 439^{64+32+16+8+4+2}

= 439⁶⁴⋅439³²⋅439¹⁶⋅439⁸⋅439⁴⋅439²

≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 448 ⋅ 67 ⋅ 122 ⋅ 100 mod 449
≡ 1 ⋅ 448 ⋅ 67 ⋅ 122 ⋅ 100 mod 449
≡ 448 ⋅ 67 ⋅ 122 ⋅ 100 mod 449
≡ 30016 ⋅ 122 ⋅ 100 mod 449 ≡ 382 ⋅ 122 ⋅ 100 mod 449
≡ 46604 ⋅ 100 mod 449 ≡ 357 ⋅ 100 mod 449
≡ 35700 mod 449 ≡ 229 mod 449

Es gilt also: 439¹²⁶ ≡ 229 mod 449

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83	= 2⋅32 + 19
=>32	= 1⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32) = 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83