Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 - 897) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 - 897) mod 3 ≡ (62 mod 3 - 897 mod 3) mod 3.
62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62
= 60
897 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897
= 900
Somit gilt:
(62 - 897) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 24) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 24) mod 9 ≡ (22 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.
22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.
24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 24) mod 9 ≡ (4 ⋅ 6) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19416 mod 443.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 194 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1941=194
2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 424 mod 443
4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 361 mod 443
8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 79 mod 443
16: 19416=1948+8=1948⋅1948 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 39 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 99129 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 991=99
2: 992=991+1=991⋅991 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 291 mod 317
4: 994=992+2=992⋅992 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 42 mod 317
8: 998=994+4=994⋅994 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 179 mod 317
16: 9916=998+8=998⋅998 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 24 mod 317
32: 9932=9916+16=9916⋅9916 ≡ 24⋅24=576 ≡ 259 mod 317
64: 9964=9932+32=9932⋅9932 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 194 mod 317
128: 99128=9964+64=9964⋅9964 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 230 mod 317
99129
= 99128+1
= 99128⋅991
≡ 230 ⋅ 99 mod 317
≡ 22770 mod 317 ≡ 263 mod 317
Es gilt also: 99129 ≡ 263 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21
| =>53 | = 2⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -5⋅21
-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21
-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1
(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1
48⋅21 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1
Somit 48⋅21 = 1 mod 53
48 ist also das Inverse von 21 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
