Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (160 - 397) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 - 397) mod 8 ≡ (160 mod 8 - 397 mod 8) mod 8.

160 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 8 ⋅ 20 +0.

397 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397 = 400-3 = 8 ⋅ 50 -3 = 8 ⋅ 50 - 8 + 5.

Somit gilt:

(160 - 397) mod 8 ≡ (0 - 5) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 95) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 95) mod 4 ≡ (33 mod 4 ⋅ 95 mod 4) mod 4.

33 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 8 ⋅ 4 + 1 ist.

95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 95) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 174128 mod 523.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 174 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1741=174

2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 465 mod 523

4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 226 mod 523

8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 345 mod 523

16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 304 mod 523

32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 368 mod 523

64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 490 mod 523

128: 174128=17464+64=17464⋅17464 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 43 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 529212 mod 727.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

1: 5291=529

2: 5292=5291+1=5291⋅5291 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 673 mod 727

4: 5294=5292+2=5292⋅5292 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 8 mod 727

8: 5298=5294+4=5294⋅5294 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 727

16: 52916=5298+8=5298⋅5298 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 461 mod 727

32: 52932=52916+16=52916⋅52916 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 237 mod 727

64: 52964=52932+32=52932⋅52932 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 190 mod 727

128: 529128=52964+64=52964⋅52964 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 477 mod 727

529212

= 529128+64+16+4

= 529128⋅52964⋅52916⋅5294

477 ⋅ 190 ⋅ 461 ⋅ 8 mod 727
90630 ⋅ 461 ⋅ 8 mod 727 ≡ 482 ⋅ 461 ⋅ 8 mod 727
222202 ⋅ 8 mod 727 ≡ 467 ⋅ 8 mod 727
3736 mod 727 ≡ 101 mod 727

Es gilt also: 529212 ≡ 101 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47

=>53 = 1⋅47 + 6
=>47 = 7⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 47-7⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6)
= -1⋅47 +8⋅ 6 (=1)
6= 53-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47)
= 8⋅53 -9⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47

oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅53 = -9⋅47

-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47

-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1

(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1

44⋅47 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1

Somit 44⋅47 = 1 mod 53

44 ist also das Inverse von 47 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.