Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (302 + 3003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(302 + 3003) mod 3 ≡ (302 mod 3 + 3003 mod 3) mod 3.

302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302 = 300+2 = 3 ⋅ 100 +2.

3003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003 = 3000+3 = 3 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(302 + 3003) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 36) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 36) mod 6 ≡ (25 mod 6 ⋅ 36 mod 6) mod 6.

25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.

36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 36) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 10532 mod 251.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 105 -> x
2. mod(x²,251) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1051=105

2: 1052=1051+1=1051⋅1051 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 232 mod 251

4: 1054=1052+2=1052⋅1052 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 110 mod 251

8: 1058=1054+4=1054⋅1054 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 52 mod 251

16: 10516=1058+8=1058⋅1058 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 194 mod 251

32: 10532=10516+16=10516⋅10516 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 237 mod 251

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 160147 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:

147 = 128+16+2+1

1: 1601=160

2: 1602=1601+1=1601⋅1601 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 126 mod 271

4: 1604=1602+2=1602⋅1602 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 158 mod 271

8: 1608=1604+4=1604⋅1604 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 32 mod 271

16: 16016=1608+8=1608⋅1608 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 211 mod 271

32: 16032=16016+16=16016⋅16016 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 77 mod 271

64: 16064=16032+32=16032⋅16032 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 238 mod 271

128: 160128=16064+64=16064⋅16064 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 5 mod 271

160147

= 160128+16+2+1

= 160128⋅16016⋅1602⋅1601

5 ⋅ 211 ⋅ 126 ⋅ 160 mod 271
1055 ⋅ 126 ⋅ 160 mod 271 ≡ 242 ⋅ 126 ⋅ 160 mod 271
30492 ⋅ 160 mod 271 ≡ 140 ⋅ 160 mod 271
22400 mod 271 ≡ 178 mod 271

Es gilt also: 160147 ≡ 178 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44

=>83 = 1⋅44 + 39
=>44 = 1⋅39 + 5
=>39 = 7⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 39-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5)
= -1⋅39 +8⋅ 5 (=1)
5= 44-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39)
= 8⋅44 -9⋅ 39 (=1)
39= 83-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44)
= -9⋅83 +17⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +17⋅44

Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1

Somit 17⋅44 = 1 mod 83

17 ist also das Inverse von 44 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.