Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8001 - 2000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8001 - 2000) mod 4 ≡ (8001 mod 4 - 2000 mod 4) mod 4.
8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001
= 8000
2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
Somit gilt:
(8001 - 2000) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 62) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 62) mod 5 ≡ (75 mod 5 ⋅ 62 mod 5) mod 5.
75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.
62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 62) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2488 mod 787.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 248 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 118 mod 787
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 545 mod 787
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 326 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 209109 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 423 mod 503
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 364 mod 503
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 207 mod 503
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 94 mod 503
32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 285 mod 503
64: 20964=20932+32=20932⋅20932 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 242 mod 503
209109
= 20964+32+8+4+1
= 20964⋅20932⋅2098⋅2094⋅2091
≡ 242 ⋅ 285 ⋅ 207 ⋅ 364 ⋅ 209 mod 503
≡ 68970 ⋅ 207 ⋅ 364 ⋅ 209 mod 503 ≡ 59 ⋅ 207 ⋅ 364 ⋅ 209 mod 503
≡ 12213 ⋅ 364 ⋅ 209 mod 503 ≡ 141 ⋅ 364 ⋅ 209 mod 503
≡ 51324 ⋅ 209 mod 503 ≡ 18 ⋅ 209 mod 503
≡ 3762 mod 503 ≡ 241 mod 503
Es gilt also: 209109 ≡ 241 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 90.
Also bestimme x, so dass 90 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 90
| =>101 | = 1⋅90 + 11 |
| =>90 | = 8⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,90)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 90-8⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(90 -8⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅90 +40⋅ 11) = -5⋅90 +41⋅ 11 (=1) |
| 11= 101-1⋅90 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅90 +41⋅(101 -1⋅ 90)
= -5⋅90 +41⋅101 -41⋅ 90) = 41⋅101 -46⋅ 90 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,90)=1 = 41⋅101 -46⋅90
oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -41⋅101 = -46⋅90
-46⋅90 = -41⋅101 + 1 |+101⋅90
-46⋅90 + 101⋅90 = -41⋅101 + 101⋅90 + 1
(-46 + 101) ⋅ 90 = (-41 + 90) ⋅ 101 + 1
55⋅90 = 49⋅101 + 1
Es gilt also: 55⋅90 = 49⋅101 +1
Somit 55⋅90 = 1 mod 101
55 ist also das Inverse von 90 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
