Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3499 - 210) mod 7 ≡ (3499 mod 7 - 210 mod 7) mod 7.

3499 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3499 = 3500-1 = 7 ⋅ 500 -1 = 7 ⋅ 500 - 7 + 6.

210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210 = 210+0 = 7 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(3499 - 210) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 56) mod 9 ≡ (20 mod 9 ⋅ 56 mod 9) mod 9.

20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.

56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 56) mod 9 ≡ (2 ⋅ 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 240¹=240

2: 240²=240¹⁺¹=240¹⋅240¹ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 371 mod 379

4: 240⁴=240²⁺²=240²⋅240² ≡ 371⋅371=137641 ≡ 64 mod 379

8: 240⁸=240⁴⁺⁴=240⁴⋅240⁴ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 306 mod 379

16: 240¹⁶=240⁸⁺⁸=240⁸⋅240⁸ ≡ 306⋅306=93636 ≡ 23 mod 379

32: 240³²=240¹⁶⁺¹⁶=240¹⁶⋅240¹⁶ ≡ 23⋅23=529 ≡ 150 mod 379

64: 240⁶⁴=240³²⁺³²=240³²⋅240³² ≡ 150⋅150=22500 ≡ 139 mod 379

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

149²⁵²

= 149^{128+64+32+16+8+4}

= 149¹²⁸⋅149⁶⁴⋅149³²⋅149¹⁶⋅149⁸⋅149⁴

≡ 217 ⋅ 131 ⋅ 22 ⋅ 166 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353
≡ 28427 ⋅ 22 ⋅ 166 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353 ≡ 187 ⋅ 22 ⋅ 166 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353
≡ 4114 ⋅ 166 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353 ≡ 231 ⋅ 166 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353
≡ 38346 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353 ≡ 222 ⋅ 318 ⋅ 32 mod 353
≡ 70596 ⋅ 32 mod 353 ≡ 349 ⋅ 32 mod 353
≡ 11168 mod 353 ≡ 225 mod 353

Es gilt also: 149²⁵² ≡ 225 mod 353

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 47

=>89	= 1⋅47 + 42
=>47	= 1⋅42 + 5
=>42	= 8⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 42-8⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5) = -2⋅42 +17⋅ 5 (=1)
5= 47-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +17⋅(47 -1⋅ 42) = -2⋅42 +17⋅47 -17⋅ 42) = 17⋅47 -19⋅ 42 (=1)
42= 89-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅47 -19⋅(89 -1⋅ 47) = 17⋅47 -19⋅89 +19⋅ 47) = -19⋅89 +36⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(89,47)=1 = -19⋅89 +36⋅47

oder wenn man -19⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅89 = +36⋅47

Es gilt also: 36⋅47 = 19⋅89 +1

Somit 36⋅47 = 1 mod 89

36 ist also das Inverse von 47 mod 89