Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6000 + 6002) mod 3 ≡ (6000 mod 3 + 6002 mod 3) mod 3.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

6002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002 = 6000+2 = 3 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(6000 + 6002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 33) mod 8 ≡ (94 mod 8 ⋅ 33 mod 8) mod 8.

94 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 11 ⋅ 8 + 6 ist.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 33) mod 8 ≡ (6 ⋅ 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 268¹=268

2: 268²=268¹⁺¹=268¹⋅268¹ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 81 mod 277

4: 268⁴=268²⁺²=268²⋅268² ≡ 81⋅81=6561 ≡ 190 mod 277

8: 268⁸=268⁴⁺⁴=268⁴⋅268⁴ ≡ 190⋅190=36100 ≡ 90 mod 277

16: 268¹⁶=268⁸⁺⁸=268⁸⋅268⁸ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 67 mod 277

32: 268³²=268¹⁶⁺¹⁶=268¹⁶⋅268¹⁶ ≡ 67⋅67=4489 ≡ 57 mod 277

64: 268⁶⁴=268³²⁺³²=268³²⋅268³² ≡ 57⋅57=3249 ≡ 202 mod 277

128: 268¹²⁸=268⁶⁴⁺⁶⁴=268⁶⁴⋅268⁶⁴ ≡ 202⋅202=40804 ≡ 85 mod 277

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

504¹⁸³

= 504^{128+32+16+4+2+1}

= 504¹²⁸⋅504³²⋅504¹⁶⋅504⁴⋅504²⋅504¹

≡ 138 ⋅ 440 ⋅ 490 ⋅ 161 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521
≡ 60720 ⋅ 490 ⋅ 161 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521 ≡ 284 ⋅ 490 ⋅ 161 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521
≡ 139160 ⋅ 161 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521 ≡ 53 ⋅ 161 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521
≡ 8533 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521 ≡ 197 ⋅ 289 ⋅ 504 mod 521
≡ 56933 ⋅ 504 mod 521 ≡ 144 ⋅ 504 mod 521
≡ 72576 mod 521 ≡ 157 mod 521

Es gilt also: 504¹⁸³ ≡ 157 mod 521

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

=>53	= 1⋅31 + 22
=>31	= 1⋅22 + 9
=>22	= 2⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22) = -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1)
22= 53-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31) = 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31

oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅53 = +12⋅31

Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1

Somit 12⋅31 = 1 mod 53

12 ist also das Inverse von 31 mod 53