Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (316 - 1593) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(316 - 1593) mod 8 ≡ (316 mod 8 - 1593 mod 8) mod 8.
316 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 316
= 320
1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593
= 1600
Somit gilt:
(316 - 1593) mod 8 ≡ (4 - 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 89) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 89) mod 10 ≡ (19 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.
19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 89) mod 10 ≡ (9 ⋅ 9) mod 10 ≡ 81 mod 10 ≡ 1 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45432 mod 499.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 454 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4541=454
2: 4542=4541+1=4541⋅4541 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 29 mod 499
4: 4544=4542+2=4542⋅4542 ≡ 29⋅29=841 ≡ 342 mod 499
8: 4548=4544+4=4544⋅4544 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 198 mod 499
16: 45416=4548+8=4548⋅4548 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 282 mod 499
32: 45432=45416+16=45416⋅45416 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 183 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 259202 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:
202 = 128+64+8+2
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 94 mod 827
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 566 mod 827
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 307 mod 827
16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 798 mod 827
32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 14 mod 827
64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 827
128: 259128=25964+64=25964⋅25964 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 374 mod 827
259202
= 259128+64+8+2
= 259128⋅25964⋅2598⋅2592
≡ 374 ⋅ 196 ⋅ 307 ⋅ 94 mod 827
≡ 73304 ⋅ 307 ⋅ 94 mod 827 ≡ 528 ⋅ 307 ⋅ 94 mod 827
≡ 162096 ⋅ 94 mod 827 ≡ 4 ⋅ 94 mod 827
≡ 376 mod 827
Es gilt also: 259202 ≡ 376 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32
| =>67 | = 2⋅32 + 3 |
| =>32 | = 10⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 32-10⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1) |
| 3= 67-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32) = 11⋅67 -23⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -23⋅32
-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32
-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1
(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1
44⋅32 = 21⋅67 + 1
Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1
Somit 44⋅32 = 1 mod 67
44 ist also das Inverse von 32 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
