Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1496 - 204) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1496 - 204) mod 5 ≡ (1496 mod 5 - 204 mod 5) mod 5.
1496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1496
= 1400
204 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 200
Somit gilt:
(1496 - 204) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 40) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 40) mod 10 ≡ (40 mod 10 ⋅ 40 mod 10) mod 10.
40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.
40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 40) mod 10 ≡ (0 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39432 mod 601.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3941=394
2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 178 mod 601
4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 432 mod 601
8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 314 mod 601
16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 32 mod 601
32: 39432=39416+16=39416⋅39416 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 423 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63798 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 6371=637
2: 6372=6371+1=6371⋅6371 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 410 mod 887
4: 6374=6372+2=6372⋅6372 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 457 mod 887
8: 6378=6374+4=6374⋅6374 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 404 mod 887
16: 63716=6378+8=6378⋅6378 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 8 mod 887
32: 63732=63716+16=63716⋅63716 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 887
64: 63764=63732+32=63732⋅63732 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 548 mod 887
63798
= 63764+32+2
= 63764⋅63732⋅6372
≡ 548 ⋅ 64 ⋅ 410 mod 887
≡ 35072 ⋅ 410 mod 887 ≡ 479 ⋅ 410 mod 887
≡ 196390 mod 887 ≡ 363 mod 887
Es gilt also: 63798 ≡ 363 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 51
| =>97 | = 1⋅51 + 46 |
| =>51 | = 1⋅46 + 5 |
| =>46 | = 9⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 46-9⋅5 | |||
| 5= 51-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅46 -9⋅(51 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -9⋅51 +9⋅ 46) = -9⋅51 +10⋅ 46 (=1) |
| 46= 97-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅51 +10⋅(97 -1⋅ 51)
= -9⋅51 +10⋅97 -10⋅ 51) = 10⋅97 -19⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,51)=1 = 10⋅97 -19⋅51
oder wenn man 10⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅97 = -19⋅51
-19⋅51 = -10⋅97 + 1 |+97⋅51
-19⋅51 + 97⋅51 = -10⋅97 + 97⋅51 + 1
(-19 + 97) ⋅ 51 = (-10 + 51) ⋅ 97 + 1
78⋅51 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 78⋅51 = 41⋅97 +1
Somit 78⋅51 = 1 mod 97
78 ist also das Inverse von 51 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
