Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (181 - 96) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(181 - 96) mod 9 ≡ (181 mod 9 - 96 mod 9) mod 9.

181 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 9 ⋅ 20 +1.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 9 ⋅ 10 +6.

Somit gilt:

(181 - 96) mod 9 ≡ (1 - 6) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 63) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 63) mod 8 ≡ (51 mod 8 ⋅ 63 mod 8) mod 8.

51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.

63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 63) mod 8 ≡ (3 ⋅ 7) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 382128 mod 499.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 382 -> x
2. mod(x²,499) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3821=382

2: 3822=3821+1=3821⋅3821 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 216 mod 499

4: 3824=3822+2=3822⋅3822 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 249 mod 499

8: 3828=3824+4=3824⋅3824 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 125 mod 499

16: 38216=3828+8=3828⋅3828 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 156 mod 499

32: 38232=38216+16=38216⋅38216 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 384 mod 499

64: 38264=38232+32=38232⋅38232 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 251 mod 499

128: 382128=38264+64=38264⋅38264 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 127 mod 499

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 458184 mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:

184 = 128+32+16+8

1: 4581=458

2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 686 mod 977

4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 659 mod 977

8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 493 mod 977

16: 45816=4588+8=4588⋅4588 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 753 mod 977

32: 45832=45816+16=45816⋅45816 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 349 mod 977

64: 45864=45832+32=45832⋅45832 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 653 mod 977

128: 458128=45864+64=45864⋅45864 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 437 mod 977

458184

= 458128+32+16+8

= 458128⋅45832⋅45816⋅4588

437 ⋅ 349 ⋅ 753 ⋅ 493 mod 977
152513 ⋅ 753 ⋅ 493 mod 977 ≡ 101 ⋅ 753 ⋅ 493 mod 977
76053 ⋅ 493 mod 977 ≡ 824 ⋅ 493 mod 977
406232 mod 977 ≡ 777 mod 977

Es gilt also: 458184 ≡ 777 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.

Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65

=>101 = 1⋅65 + 36
=>65 = 1⋅36 + 29
=>36 = 1⋅29 + 7
=>29 = 4⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-4⋅7
7= 36-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29)
= -4⋅36 +5⋅ 29 (=1)
29= 65-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36)
= 5⋅65 -9⋅ 36 (=1)
36= 101-1⋅65 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65)
= -9⋅101 +14⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +14⋅65

Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1

Somit 14⋅65 = 1 mod 101

14 ist also das Inverse von 65 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.