Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16007 + 88) mod 8 ≡ (16007 mod 8 + 88 mod 8) mod 8.

16007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16007 = 16000+7 = 8 ⋅ 2000 +7.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80+8 = 8 ⋅ 10 +8.

Somit gilt:

(16007 + 88) mod 8 ≡ (7 + 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 61) mod 4 ≡ (61 mod 4 ⋅ 61 mod 4) mod 4.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 61) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 309¹=309

2: 309²=309¹⁺¹=309¹⋅309¹ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 234 mod 557

4: 309⁴=309²⁺²=309²⋅309² ≡ 234⋅234=54756 ≡ 170 mod 557

8: 309⁸=309⁴⁺⁴=309⁴⋅309⁴ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 493 mod 557

16: 309¹⁶=309⁸⁺⁸=309⁸⋅309⁸ ≡ 493⋅493=243049 ≡ 197 mod 557

32: 309³²=309¹⁶⁺¹⁶=309¹⁶⋅309¹⁶ ≡ 197⋅197=38809 ≡ 376 mod 557

64: 309⁶⁴=309³²⁺³²=309³²⋅309³² ≡ 376⋅376=141376 ≡ 455 mod 557

128: 309¹²⁸=309⁶⁴⁺⁶⁴=309⁶⁴⋅309⁶⁴ ≡ 455⋅455=207025 ≡ 378 mod 557

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

525⁷⁵

= 525^64+8+2+1

= 525⁶⁴⋅525⁸⋅525²⋅525¹

≡ 571 ⋅ 109 ⋅ 170 ⋅ 525 mod 619
≡ 62239 ⋅ 170 ⋅ 525 mod 619 ≡ 339 ⋅ 170 ⋅ 525 mod 619
≡ 57630 ⋅ 525 mod 619 ≡ 63 ⋅ 525 mod 619
≡ 33075 mod 619 ≡ 268 mod 619

Es gilt also: 525⁷⁵ ≡ 268 mod 619

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68

=>101	= 1⋅68 + 33
=>68	= 2⋅33 + 2
=>33	= 16⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 33-16⋅2
2= 68-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33) = 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1)
33= 101-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68) = -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -49⋅68

-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68

-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1

(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1

52⋅68 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1

Somit 52⋅68 = 1 mod 101

52 ist also das Inverse von 68 mod 101