Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2999 + 1200) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2999 + 1200) mod 6 ≡ (2999 mod 6 + 1200 mod 6) mod 6.

2999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 6 ⋅ 500 -1 = 6 ⋅ 500 - 6 + 5.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(2999 + 1200) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 21) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 21) mod 4 ≡ (60 mod 4 ⋅ 21 mod 4) mod 4.

60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.

21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 21) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41432 mod 577.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 414 -> x
2. mod(x²,577) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4141=414

2: 4142=4141+1=4141⋅4141 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 27 mod 577

4: 4144=4142+2=4142⋅4142 ≡ 27⋅27=729 ≡ 152 mod 577

8: 4148=4144+4=4144⋅4144 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 24 mod 577

16: 41416=4148+8=4148⋅4148 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 577

32: 41432=41416+16=41416⋅41416 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 1 mod 577

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 895240 mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:

240 = 128+64+32+16

1: 8951=895

2: 8952=8951+1=8951⋅8951 ≡ 895⋅895=801025 ≡ 862 mod 977

4: 8954=8952+2=8952⋅8952 ≡ 862⋅862=743044 ≡ 524 mod 977

8: 8958=8954+4=8954⋅8954 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 39 mod 977

16: 89516=8958+8=8958⋅8958 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 544 mod 977

32: 89532=89516+16=89516⋅89516 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 882 mod 977

64: 89564=89532+32=89532⋅89532 ≡ 882⋅882=777924 ≡ 232 mod 977

128: 895128=89564+64=89564⋅89564 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 89 mod 977

895240

= 895128+64+32+16

= 895128⋅89564⋅89532⋅89516

89 ⋅ 232 ⋅ 882 ⋅ 544 mod 977
20648 ⋅ 882 ⋅ 544 mod 977 ≡ 131 ⋅ 882 ⋅ 544 mod 977
115542 ⋅ 544 mod 977 ≡ 256 ⋅ 544 mod 977
139264 mod 977 ≡ 530 mod 977

Es gilt also: 895240 ≡ 530 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.

Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65

=>71 = 1⋅65 + 6
=>65 = 10⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 65-10⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6)
= -1⋅65 +11⋅ 6 (=1)
6= 71-1⋅65 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65)
= 11⋅71 -12⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -12⋅65

-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65

-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1

(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1

59⋅65 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1

Somit 59⋅65 = 1 mod 71

59 ist also das Inverse von 65 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.