Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (215 + 356) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(215 + 356) mod 7 ≡ (215 mod 7 + 356 mod 7) mod 7.
215 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 215
= 210
356 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 356
= 350
Somit gilt:
(215 + 356) mod 7 ≡ (5 + 6) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 69) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 69) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 69 mod 8) mod 8.
40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.
69 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 64 + 5 = 8 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 69) mod 8 ≡ (0 ⋅ 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61164 mod 641.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 611 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6111=611
2: 6112=6111+1=6111⋅6111 ≡ 611⋅611=373321 ≡ 259 mod 641
4: 6114=6112+2=6112⋅6112 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 417 mod 641
8: 6118=6114+4=6114⋅6114 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 178 mod 641
16: 61116=6118+8=6118⋅6118 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 275 mod 641
32: 61132=61116+16=61116⋅61116 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 628 mod 641
64: 61164=61132+32=61132⋅61132 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 169 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31260 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:
60 = 32+16+8+4
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 320 mod 379
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 70 mod 379
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 352 mod 379
16: 31216=3128+8=3128⋅3128 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 350 mod 379
32: 31232=31216+16=31216⋅31216 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 83 mod 379
31260
= 31232+16+8+4
= 31232⋅31216⋅3128⋅3124
≡ 83 ⋅ 350 ⋅ 352 ⋅ 70 mod 379
≡ 29050 ⋅ 352 ⋅ 70 mod 379 ≡ 246 ⋅ 352 ⋅ 70 mod 379
≡ 86592 ⋅ 70 mod 379 ≡ 180 ⋅ 70 mod 379
≡ 12600 mod 379 ≡ 93 mod 379
Es gilt also: 31260 ≡ 93 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 47
| =>89 | = 1⋅47 + 42 |
| =>47 | = 1⋅42 + 5 |
| =>42 | = 8⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 42-8⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5) = -2⋅42 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +17⋅(47 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +17⋅47 -17⋅ 42) = 17⋅47 -19⋅ 42 (=1) |
| 42= 89-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 17⋅47 -19⋅(89 -1⋅ 47)
= 17⋅47 -19⋅89 +19⋅ 47) = -19⋅89 +36⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,47)=1 = -19⋅89 +36⋅47
oder wenn man -19⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅89 = +36⋅47
Es gilt also: 36⋅47 = 19⋅89 +1
Somit 36⋅47 = 1 mod 89
36 ist also das Inverse von 47 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
