Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(204 + 96) mod 5 ≡ (204 mod 5 + 96 mod 5) mod 5.

204 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 200+4 = 5 ⋅ 40 +4.

96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 5 ⋅ 18 +6.

Somit gilt:

(204 + 96) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 94) mod 5 ≡ (99 mod 5 ⋅ 94 mod 5) mod 5.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.

94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 94) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 151¹=151

2: 151²=151¹⁺¹=151¹⋅151¹ ≡ 151⋅151=22801 ≡ 166 mod 503

4: 151⁴=151²⁺²=151²⋅151² ≡ 166⋅166=27556 ≡ 394 mod 503

8: 151⁸=151⁴⁺⁴=151⁴⋅151⁴ ≡ 394⋅394=155236 ≡ 312 mod 503

16: 151¹⁶=151⁸⁺⁸=151⁸⋅151⁸ ≡ 312⋅312=97344 ≡ 265 mod 503

32: 151³²=151¹⁶⁺¹⁶=151¹⁶⋅151¹⁶ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 308 mod 503

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

190²²³

= 190^{128+64+16+8+4+2+1}

= 190¹²⁸⋅190⁶⁴⋅190¹⁶⋅190⁸⋅190⁴⋅190²⋅190¹

≡ 46 ⋅ 109 ⋅ 181 ⋅ 203 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263
≡ 5014 ⋅ 181 ⋅ 203 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263 ≡ 17 ⋅ 181 ⋅ 203 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263
≡ 3077 ⋅ 203 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263 ≡ 184 ⋅ 203 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263
≡ 37352 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263 ≡ 6 ⋅ 27 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263
≡ 162 ⋅ 69 ⋅ 190 mod 263
≡ 11178 ⋅ 190 mod 263 ≡ 132 ⋅ 190 mod 263
≡ 25080 mod 263 ≡ 95 mod 263

Es gilt also: 190²²³ ≡ 95 mod 263

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 72

=>101	= 1⋅72 + 29
=>72	= 2⋅29 + 14
=>29	= 2⋅14 + 1
=>14	= 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-2⋅14
14= 72-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅29 -2⋅(72 -2⋅ 29) = 1⋅29 -2⋅72 +4⋅ 29) = -2⋅72 +5⋅ 29 (=1)
29= 101-1⋅72	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅72 +5⋅(101 -1⋅ 72) = -2⋅72 +5⋅101 -5⋅ 72) = 5⋅101 -7⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(101,72)=1 = 5⋅101 -7⋅72

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -7⋅72

-7⋅72 = -5⋅101 + 1 |+101⋅72

-7⋅72 + 101⋅72 = -5⋅101 + 101⋅72 + 1

(-7 + 101) ⋅ 72 = (-5 + 72) ⋅ 101 + 1

94⋅72 = 67⋅101 + 1

Es gilt also: 94⋅72 = 67⋅101 +1

Somit 94⋅72 = 1 mod 101

94 ist also das Inverse von 72 mod 101