Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 + 145) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 + 145) mod 5 ≡ (49 mod 5 + 145 mod 5) mod 5.
49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49
= 40
145 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145
= 140
Somit gilt:
(49 + 145) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 58) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 58) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 58 mod 10) mod 10.
31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.
58 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 50 + 8 = 5 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 58) mod 10 ≡ (1 ⋅ 8) mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19532 mod 317.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 195 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1951=195
2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 302 mod 317
4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 225 mod 317
8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 222 mod 317
16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 149 mod 317
32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 11 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 380112 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 46 mod 491
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 152 mod 491
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 27 mod 491
16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 27⋅27=729 ≡ 238 mod 491
32: 38032=38016+16=38016⋅38016 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 179 mod 491
64: 38064=38032+32=38032⋅38032 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 126 mod 491
380112
= 38064+32+16
= 38064⋅38032⋅38016
≡ 126 ⋅ 179 ⋅ 238 mod 491
≡ 22554 ⋅ 238 mod 491 ≡ 459 ⋅ 238 mod 491
≡ 109242 mod 491 ≡ 240 mod 491
Es gilt also: 380112 ≡ 240 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
