Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (270 - 368) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(270 - 368) mod 9 ≡ (270 mod 9 - 368 mod 9) mod 9.

270 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 270 = 270+0 = 9 ⋅ 30 +0.

368 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 368 = 360+8 = 9 ⋅ 40 +8.

Somit gilt:

(270 - 368) mod 9 ≡ (0 - 8) mod 9 ≡ -8 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 19) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 19) mod 7 ≡ (93 mod 7 ⋅ 19 mod 7) mod 7.

93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 19) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2578 mod 593.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 257 -> x
2. mod(x²,593) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2571=257

2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 226 mod 593

4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 78 mod 593

8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 154 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50177 mod 811.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

1: 5011=501

2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 402 mod 811

4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 215 mod 811

8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 809 mod 811

16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 4 mod 811

32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 811

64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 811

50177

= 50164+8+4+1

= 50164⋅5018⋅5014⋅5011

256 ⋅ 809 ⋅ 215 ⋅ 501 mod 811
207104 ⋅ 215 ⋅ 501 mod 811 ≡ 299 ⋅ 215 ⋅ 501 mod 811
64285 ⋅ 501 mod 811 ≡ 216 ⋅ 501 mod 811
108216 mod 811 ≡ 353 mod 811

Es gilt also: 50177 ≡ 353 mod 811

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67 = 1⋅59 + 8
=>59 = 7⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8)
= 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59)
= 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59)
= -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.