Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 + 7997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 + 7997) mod 4 ≡ (1199 mod 4 + 7997 mod 4) mod 4.
1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1100
7997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7997
= 7000
Somit gilt:
(1199 + 7997) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 66) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 66) mod 4 ≡ (45 mod 4 ⋅ 66 mod 4) mod 4.
45 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 11 ⋅ 4 + 1 ist.
66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 66) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83164 mod 1009.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 831 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8311=831
2: 8312=8311+1=8311⋅8311 ≡ 831⋅831=690561 ≡ 405 mod 1009
4: 8314=8312+2=8312⋅8312 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 567 mod 1009
8: 8318=8314+4=8314⋅8314 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 627 mod 1009
16: 83116=8318+8=8318⋅8318 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 628 mod 1009
32: 83132=83116+16=83116⋅83116 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 874 mod 1009
64: 83164=83132+32=83132⋅83132 ≡ 874⋅874=763876 ≡ 63 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 468175 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:
175 = 128+32+8+4+2+1
1: 4681=468
2: 4682=4681+1=4681⋅4681 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 462 mod 499
4: 4684=4682+2=4682⋅4682 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 371 mod 499
8: 4688=4684+4=4684⋅4684 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 416 mod 499
16: 46816=4688+8=4688⋅4688 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 402 mod 499
32: 46832=46816+16=46816⋅46816 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 427 mod 499
64: 46864=46832+32=46832⋅46832 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 194 mod 499
128: 468128=46864+64=46864⋅46864 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 211 mod 499
468175
= 468128+32+8+4+2+1
= 468128⋅46832⋅4688⋅4684⋅4682⋅4681
≡ 211 ⋅ 427 ⋅ 416 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499
≡ 90097 ⋅ 416 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499 ≡ 277 ⋅ 416 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499
≡ 115232 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499 ≡ 462 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499
≡ 171402 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499 ≡ 245 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499
≡ 113190 ⋅ 468 mod 499 ≡ 416 ⋅ 468 mod 499
≡ 194688 mod 499 ≡ 78 mod 499
Es gilt also: 468175 ≡ 78 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49
| =>89 | = 1⋅49 + 40 |
| =>49 | = 1⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 49-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1) |
| 40= 89-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +20⋅49
Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1
Somit 20⋅49 = 1 mod 89
20 ist also das Inverse von 49 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
