Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1399 - 214) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1399 - 214) mod 7 ≡ (1399 mod 7 - 214 mod 7) mod 7.
1399 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1399
= 1400
214 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 214
= 210
Somit gilt:
(1399 - 214) mod 7 ≡ (6 - 4) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 21) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 21) mod 8 ≡ (80 mod 8 ⋅ 21 mod 8) mod 8.
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.
21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 21) mod 8 ≡ (0 ⋅ 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5798 mod 643.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 579 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5791=579
2: 5792=5791+1=5791⋅5791 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 238 mod 643
4: 5794=5792+2=5792⋅5792 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 60 mod 643
8: 5798=5794+4=5794⋅5794 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 385 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 243160 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 2431=243
2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 165 mod 701
4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 587 mod 701
8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 378 mod 701
16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 581 mod 701
32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 380 mod 701
64: 24364=24332+32=24332⋅24332 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 695 mod 701
128: 243128=24364+64=24364⋅24364 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 36 mod 701
243160
= 243128+32
= 243128⋅24332
≡ 36 ⋅ 380 mod 701
≡ 13680 mod 701 ≡ 361 mod 701
Es gilt also: 243160 ≡ 361 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58
| =>97 | = 1⋅58 + 39 |
| =>58 | = 1⋅39 + 19 |
| =>39 | = 2⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 39-2⋅19 | |||
| 19= 58-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39) = -2⋅58 +3⋅ 39 (=1) |
| 39= 97-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58) = 3⋅97 -5⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -5⋅58
-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58
-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1
(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1
92⋅58 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1
Somit 92⋅58 = 1 mod 97
92 ist also das Inverse von 58 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
