Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24002 - 1200) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24002 - 1200) mod 6 ≡ (24002 mod 6 - 1200 mod 6) mod 6.
24002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002
= 24000
1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(24002 - 1200) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 82) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 82) mod 9 ≡ (81 mod 9 ⋅ 82 mod 9) mod 9.
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.
82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 82) mod 9 ≡ (0 ⋅ 1) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 79732 mod 911.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 797 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7971=797
2: 7972=7971+1=7971⋅7971 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 242 mod 911
4: 7974=7972+2=7972⋅7972 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 260 mod 911
8: 7978=7974+4=7974⋅7974 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 186 mod 911
16: 79716=7978+8=7978⋅7978 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 889 mod 911
32: 79732=79716+16=79716⋅79716 ≡ 889⋅889=790321 ≡ 484 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 148112 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 1481=148
2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 237 mod 461
4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 388 mod 461
8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 258 mod 461
16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 180 mod 461
32: 14832=14816+16=14816⋅14816 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 130 mod 461
64: 14864=14832+32=14832⋅14832 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 304 mod 461
148112
= 14864+32+16
= 14864⋅14832⋅14816
≡ 304 ⋅ 130 ⋅ 180 mod 461
≡ 39520 ⋅ 180 mod 461 ≡ 335 ⋅ 180 mod 461
≡ 60300 mod 461 ≡ 370 mod 461
Es gilt also: 148112 ≡ 370 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 32
| =>53 | = 1⋅32 + 21 |
| =>32 | = 1⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 32-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(32 -1⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅32 -2⋅ 21) = 2⋅32 -3⋅ 21 (=1) |
| 21= 53-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -3⋅(53 -1⋅ 32)
= 2⋅32 -3⋅53 +3⋅ 32) = -3⋅53 +5⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,32)=1 = -3⋅53 +5⋅32
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +5⋅32
Es gilt also: 5⋅32 = 3⋅53 +1
Somit 5⋅32 = 1 mod 53
5 ist also das Inverse von 32 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
