Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 - 40) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 40) mod 4 ≡ (12000 mod 4 - 40 mod 4) mod 4.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40+0 = 4 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(12000 - 40) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 90) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 90) mod 6 ≡ (89 mod 6 ⋅ 90 mod 6) mod 6.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 90) mod 6 ≡ (5 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 69564 mod 827.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 695 -> x
2. mod(x²,827) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6951=695

2: 6952=6951+1=6951⋅6951 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 57 mod 827

4: 6954=6952+2=6952⋅6952 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 768 mod 827

8: 6958=6954+4=6954⋅6954 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 173 mod 827

16: 69516=6958+8=6958⋅6958 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 157 mod 827

32: 69532=69516+16=69516⋅69516 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 666 mod 827

64: 69564=69532+32=69532⋅69532 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 284 mod 827

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 644221 mod 757.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 6441=644

2: 6442=6441+1=6441⋅6441 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 657 mod 757

4: 6444=6442+2=6442⋅6442 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 159 mod 757

8: 6448=6444+4=6444⋅6444 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 300 mod 757

16: 64416=6448+8=6448⋅6448 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 674 mod 757

32: 64432=64416+16=64416⋅64416 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 76 mod 757

64: 64464=64432+32=64432⋅64432 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 477 mod 757

128: 644128=64464+64=64464⋅64464 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 429 mod 757

644221

= 644128+64+16+8+4+1

= 644128⋅64464⋅64416⋅6448⋅6444⋅6441

429 ⋅ 477 ⋅ 674 ⋅ 300 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757
204633 ⋅ 674 ⋅ 300 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757 ≡ 243 ⋅ 674 ⋅ 300 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757
163782 ⋅ 300 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757 ≡ 270 ⋅ 300 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757
81000 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757 ≡ 1 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757
159 ⋅ 644 mod 757
102396 mod 757 ≡ 201 mod 757

Es gilt also: 644221 ≡ 201 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101 = 1⋅70 + 31
=>70 = 2⋅31 + 8
=>31 = 3⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8)
= -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31)
= 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70)
= -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.