Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19997 - 37) mod 4 ≡ (19997 mod 4 - 37 mod 4) mod 4.

19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 4 ⋅ 4750 +997.

37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 40-3 = 4 ⋅ 10 -3 = 4 ⋅ 10 - 4 + 1.

Somit gilt:

(19997 - 37) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 19) mod 9 ≡ (73 mod 9 ⋅ 19 mod 9) mod 9.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 19) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 139¹=139

2: 139²=139¹⁺¹=139¹⋅139¹ ≡ 139⋅139=19321 ≡ 171 mod 383

4: 139⁴=139²⁺²=139²⋅139² ≡ 171⋅171=29241 ≡ 133 mod 383

8: 139⁸=139⁴⁺⁴=139⁴⋅139⁴ ≡ 133⋅133=17689 ≡ 71 mod 383

16: 139¹⁶=139⁸⁺⁸=139⁸⋅139⁸ ≡ 71⋅71=5041 ≡ 62 mod 383

32: 139³²=139¹⁶⁺¹⁶=139¹⁶⋅139¹⁶ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 14 mod 383

64: 139⁶⁴=139³²⁺³²=139³²⋅139³² ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 383

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

772¹⁷¹

= 772^128+32+8+2+1

= 772¹²⁸⋅772³²⋅772⁸⋅772²⋅772¹

≡ 85 ⋅ 709 ⋅ 728 ⋅ 225 ⋅ 772 mod 787
≡ 60265 ⋅ 728 ⋅ 225 ⋅ 772 mod 787 ≡ 453 ⋅ 728 ⋅ 225 ⋅ 772 mod 787
≡ 329784 ⋅ 225 ⋅ 772 mod 787 ≡ 31 ⋅ 225 ⋅ 772 mod 787
≡ 6975 ⋅ 772 mod 787 ≡ 679 ⋅ 772 mod 787
≡ 524188 mod 787 ≡ 46 mod 787

Es gilt also: 772¹⁷¹ ≡ 46 mod 787

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 58

=>83	= 1⋅58 + 25
=>58	= 2⋅25 + 8
=>25	= 3⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-3⋅8
8= 58-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -3⋅(58 -2⋅ 25) = 1⋅25 -3⋅58 +6⋅ 25) = -3⋅58 +7⋅ 25 (=1)
25= 83-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅58 +7⋅(83 -1⋅ 58) = -3⋅58 +7⋅83 -7⋅ 58) = 7⋅83 -10⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(83,58)=1 = 7⋅83 -10⋅58

oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅83 = -10⋅58

-10⋅58 = -7⋅83 + 1 |+83⋅58

-10⋅58 + 83⋅58 = -7⋅83 + 83⋅58 + 1

(-10 + 83) ⋅ 58 = (-7 + 58) ⋅ 83 + 1

73⋅58 = 51⋅83 + 1

Es gilt also: 73⋅58 = 51⋅83 +1

Somit 73⋅58 = 1 mod 83

73 ist also das Inverse von 58 mod 83