Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18002 - 1801) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18002 - 1801) mod 6 ≡ (18002 mod 6 - 1801 mod 6) mod 6.
18002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18002
= 18000
1801 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801
= 1800
Somit gilt:
(18002 - 1801) mod 6 ≡ (2 - 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 54) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 54) mod 11 ≡ (71 mod 11 ⋅ 54 mod 11) mod 11.
71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.
54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 54) mod 11 ≡ (5 ⋅ 10) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 129128 mod 233.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 129 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1291=129
2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 98 mod 233
4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 51 mod 233
8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233
16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233
32: 12932=12916+16=12916⋅12916 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 19 mod 233
64: 12964=12932+32=12932⋅12932 ≡ 19⋅19=361 ≡ 128 mod 233
128: 129128=12964+64=12964⋅12964 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 74 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 237132 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:
132 = 128+4
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 217 mod 269
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 14 mod 269
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 269
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 218 mod 269
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 180 mod 269
64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 120 mod 269
128: 237128=23764+64=23764⋅23764 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 143 mod 269
237132
= 237128+4
= 237128⋅2374
≡ 143 ⋅ 14 mod 269
≡ 2002 mod 269 ≡ 119 mod 269
Es gilt also: 237132 ≡ 119 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23
| =>53 | = 2⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23
oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅53 = -23⋅23
-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23
-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1
(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1
30⋅23 = 13⋅53 + 1
Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1
Somit 30⋅23 = 1 mod 53
30 ist also das Inverse von 23 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
