Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 + 1797) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 + 1797) mod 9 ≡ (94 mod 9 + 1797 mod 9) mod 9.
94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94
= 90
1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797
= 1800
Somit gilt:
(94 + 1797) mod 9 ≡ (4 + 6) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 29) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 29) mod 10 ≡ (64 mod 10 ⋅ 29 mod 10) mod 10.
64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.
29 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 20 + 9 = 2 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 29) mod 10 ≡ (4 ⋅ 9) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57816 mod 919.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 578 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5781=578
2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 487 mod 919
4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 67 mod 919
8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 813 mod 919
16: 57816=5788+8=5788⋅5788 ≡ 813⋅813=660969 ≡ 208 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 145203 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:
203 = 128+64+8+2+1
1: 1451=145
2: 1452=1451+1=1451⋅1451 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 203 mod 359
4: 1454=1452+2=1452⋅1452 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 283 mod 359
8: 1458=1454+4=1454⋅1454 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 32 mod 359
16: 14516=1458+8=1458⋅1458 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 306 mod 359
32: 14532=14516+16=14516⋅14516 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 296 mod 359
64: 14564=14532+32=14532⋅14532 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 20 mod 359
128: 145128=14564+64=14564⋅14564 ≡ 20⋅20=400 ≡ 41 mod 359
145203
= 145128+64+8+2+1
= 145128⋅14564⋅1458⋅1452⋅1451
≡ 41 ⋅ 20 ⋅ 32 ⋅ 203 ⋅ 145 mod 359
≡ 820 ⋅ 32 ⋅ 203 ⋅ 145 mod 359 ≡ 102 ⋅ 32 ⋅ 203 ⋅ 145 mod 359
≡ 3264 ⋅ 203 ⋅ 145 mod 359 ≡ 33 ⋅ 203 ⋅ 145 mod 359
≡ 6699 ⋅ 145 mod 359 ≡ 237 ⋅ 145 mod 359
≡ 34365 mod 359 ≡ 260 mod 359
Es gilt also: 145203 ≡ 260 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41
| =>53 | = 1⋅41 + 12 |
| =>41 | = 3⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 41-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1) |
| 12= 53-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41
oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅53 = +22⋅41
Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1
Somit 22⋅41 = 1 mod 53
22 ist also das Inverse von 41 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
