Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (157 - 156) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(157 - 156) mod 4 ≡ (157 mod 4 - 156 mod 4) mod 4.
157 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157
= 160
156 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
Somit gilt:
(157 - 156) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 15) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 15) mod 11 ≡ (86 mod 11 ⋅ 15 mod 11) mod 11.
86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.
15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 15) mod 11 ≡ (9 ⋅ 4) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3488 mod 479.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 348 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3481=348
2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 396 mod 479
4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 183 mod 479
8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 438 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 365169 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 3651=365
2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 208 mod 439
4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 242 mod 439
8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 177 mod 439
16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 160 mod 439
32: 36532=36516+16=36516⋅36516 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 138 mod 439
64: 36564=36532+32=36532⋅36532 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 167 mod 439
128: 365128=36564+64=36564⋅36564 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 232 mod 439
365169
= 365128+32+8+1
= 365128⋅36532⋅3658⋅3651
≡ 232 ⋅ 138 ⋅ 177 ⋅ 365 mod 439
≡ 32016 ⋅ 177 ⋅ 365 mod 439 ≡ 408 ⋅ 177 ⋅ 365 mod 439
≡ 72216 ⋅ 365 mod 439 ≡ 220 ⋅ 365 mod 439
≡ 80300 mod 439 ≡ 402 mod 439
Es gilt also: 365169 ≡ 402 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30
| =>53 | = 1⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 53-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30) = -13⋅53 +23⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +23⋅30
Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1
Somit 23⋅30 = 1 mod 53
23 ist also das Inverse von 30 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
