Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (276 - 1398) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(276 - 1398) mod 7 ≡ (276 mod 7 - 1398 mod 7) mod 7.
276 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276
= 280
1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398
= 1400
Somit gilt:
(276 - 1398) mod 7 ≡ (3 - 5) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 26) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 26) mod 5 ≡ (76 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.
76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.
26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 26) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 294128 mod 677.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 294 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2941=294
2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 457 mod 677
4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 333 mod 677
8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 538 mod 677
16: 29416=2948+8=2948⋅2948 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 365 mod 677
32: 29432=29416+16=29416⋅29416 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 533 mod 677
64: 29464=29432+32=29432⋅29432 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 426 mod 677
128: 294128=29464+64=29464⋅29464 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 40 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 395219 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:
219 = 128+64+16+8+2+1
1: 3951=395
2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 711 mod 983
4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 259 mod 983
8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 237 mod 983
16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 138 mod 983
32: 39532=39516+16=39516⋅39516 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 367 mod 983
64: 39564=39532+32=39532⋅39532 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 18 mod 983
128: 395128=39564+64=39564⋅39564 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 983
395219
= 395128+64+16+8+2+1
= 395128⋅39564⋅39516⋅3958⋅3952⋅3951
≡ 324 ⋅ 18 ⋅ 138 ⋅ 237 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983
≡ 5832 ⋅ 138 ⋅ 237 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983 ≡ 917 ⋅ 138 ⋅ 237 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983
≡ 126546 ⋅ 237 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983 ≡ 722 ⋅ 237 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983
≡ 171114 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983 ≡ 72 ⋅ 711 ⋅ 395 mod 983
≡ 51192 ⋅ 395 mod 983 ≡ 76 ⋅ 395 mod 983
≡ 30020 mod 983 ≡ 530 mod 983
Es gilt also: 395219 ≡ 530 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82
| =>101 | = 1⋅82 + 19 |
| =>82 | = 4⋅19 + 6 |
| =>19 | = 3⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-3⋅6 | |||
| 6= 82-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -3⋅(82 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -3⋅82 +12⋅ 19) = -3⋅82 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 101-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅82 +13⋅(101 -1⋅ 82)
= -3⋅82 +13⋅101 -13⋅ 82) = 13⋅101 -16⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,82)=1 = 13⋅101 -16⋅82
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -16⋅82
-16⋅82 = -13⋅101 + 1 |+101⋅82
-16⋅82 + 101⋅82 = -13⋅101 + 101⋅82 + 1
(-16 + 101) ⋅ 82 = (-13 + 82) ⋅ 101 + 1
85⋅82 = 69⋅101 + 1
Es gilt also: 85⋅82 = 69⋅101 +1
Somit 85⋅82 = 1 mod 101
85 ist also das Inverse von 82 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
