Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 + 61) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 + 61) mod 3 ≡ (122 mod 3 + 61 mod 3) mod 3.
122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61
= 60
Somit gilt:
(122 + 61) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 42) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 42) mod 9 ≡ (72 mod 9 ⋅ 42 mod 9) mod 9.
72 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 8 ⋅ 9 + 0 ist.
42 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 36 + 6 = 4 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 42) mod 9 ≡ (0 ⋅ 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3038 mod 433.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 303 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 13 mod 433
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 433
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 416 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 543202 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:
202 = 128+64+8+2
1: 5431=543
2: 5432=5431+1=5431⋅5431 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 511 mod 787
4: 5434=5432+2=5432⋅5432 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 624 mod 787
8: 5438=5434+4=5434⋅5434 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 598 mod 787
16: 54316=5438+8=5438⋅5438 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 306 mod 787
32: 54332=54316+16=54316⋅54316 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 770 mod 787
64: 54364=54332+32=54332⋅54332 ≡ 770⋅770=592900 ≡ 289 mod 787
128: 543128=54364+64=54364⋅54364 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 99 mod 787
543202
= 543128+64+8+2
= 543128⋅54364⋅5438⋅5432
≡ 99 ⋅ 289 ⋅ 598 ⋅ 511 mod 787
≡ 28611 ⋅ 598 ⋅ 511 mod 787 ≡ 279 ⋅ 598 ⋅ 511 mod 787
≡ 166842 ⋅ 511 mod 787 ≡ 785 ⋅ 511 mod 787
≡ 401135 mod 787 ≡ 552 mod 787
Es gilt also: 543202 ≡ 552 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 58
| =>73 | = 1⋅58 + 15 |
| =>58 | = 3⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 58-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(58 -3⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅58 -21⋅ 15) = 7⋅58 -27⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅58 -27⋅(73 -1⋅ 58)
= 7⋅58 -27⋅73 +27⋅ 58) = -27⋅73 +34⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,58)=1 = -27⋅73 +34⋅58
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +34⋅58
Es gilt also: 34⋅58 = 27⋅73 +1
Somit 34⋅58 = 1 mod 73
34 ist also das Inverse von 58 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
