Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18008 - 902) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18008 - 902) mod 9 ≡ (18008 mod 9 - 902 mod 9) mod 9.
18008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18008
= 18000
902 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902
= 900
Somit gilt:
(18008 - 902) mod 9 ≡ (8 - 2) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 62) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 62) mod 5 ≡ (23 mod 5 ⋅ 62 mod 5) mod 5.
23 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 4 ⋅ 5 + 3 ist.
62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 62) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18716 mod 283.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 187 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 160 mod 283
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 130 mod 283
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 203 mod 283
16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 174 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 694106 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:
106 = 64+32+8+2
1: 6941=694
2: 6942=6941+1=6941⋅6941 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 610 mod 881
4: 6944=6942+2=6942⋅6942 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 318 mod 881
8: 6948=6944+4=6944⋅6944 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 690 mod 881
16: 69416=6948+8=6948⋅6948 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 360 mod 881
32: 69432=69416+16=69416⋅69416 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 93 mod 881
64: 69464=69432+32=69432⋅69432 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 720 mod 881
694106
= 69464+32+8+2
= 69464⋅69432⋅6948⋅6942
≡ 720 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 610 mod 881
≡ 66960 ⋅ 690 ⋅ 610 mod 881 ≡ 4 ⋅ 690 ⋅ 610 mod 881
≡ 2760 ⋅ 610 mod 881 ≡ 117 ⋅ 610 mod 881
≡ 71370 mod 881 ≡ 9 mod 881
Es gilt also: 694106 ≡ 9 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
