Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27001 - 91) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27001 - 91) mod 9 ≡ (27001 mod 9 - 91 mod 9) mod 9.

27001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27001 = 27000+1 = 9 ⋅ 3000 +1.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90+1 = 9 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(27001 - 91) mod 9 ≡ (1 - 1) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 97) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 97) mod 6 ≡ (41 mod 6 ⋅ 97 mod 6) mod 6.

41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.

97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 97) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32232 mod 379.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 322 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3221=322

2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 217 mod 379

4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 93 mod 379

8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 311 mod 379

16: 32216=3228+8=3228⋅3228 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 76 mod 379

32: 32232=32216+16=32216⋅32216 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 91 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 157178 mod 241.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

1: 1571=157

2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 67 mod 241

4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 151 mod 241

8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 147 mod 241

16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 160 mod 241

32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241

64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241

128: 157128=15764+64=15764⋅15764 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241

157178

= 157128+32+16+2

= 157128⋅15732⋅15716⋅1572

94 ⋅ 54 ⋅ 160 ⋅ 67 mod 241
5076 ⋅ 160 ⋅ 67 mod 241 ≡ 15 ⋅ 160 ⋅ 67 mod 241
2400 ⋅ 67 mod 241 ≡ 231 ⋅ 67 mod 241
15477 mod 241 ≡ 53 mod 241

Es gilt also: 157178 ≡ 53 mod 241

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 62.

Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 62

=>83 = 1⋅62 + 21
=>62 = 2⋅21 + 20
=>21 = 1⋅20 + 1
=>20 = 20⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,62)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-1⋅20
20= 62-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -1⋅(62 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -1⋅62 +2⋅ 21)
= -1⋅62 +3⋅ 21 (=1)
21= 83-1⋅62 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅62 +3⋅(83 -1⋅ 62)
= -1⋅62 +3⋅83 -3⋅ 62)
= 3⋅83 -4⋅ 62 (=1)

Es gilt also: ggt(83,62)=1 = 3⋅83 -4⋅62

oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅83 = -4⋅62

-4⋅62 = -3⋅83 + 1 |+83⋅62

-4⋅62 + 83⋅62 = -3⋅83 + 83⋅62 + 1

(-4 + 83) ⋅ 62 = (-3 + 62) ⋅ 83 + 1

79⋅62 = 59⋅83 + 1

Es gilt also: 79⋅62 = 59⋅83 +1

Somit 79⋅62 = 1 mod 83

79 ist also das Inverse von 62 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.