Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3203 - 16004) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3203 - 16004) mod 8 ≡ (3203 mod 8 - 16004 mod 8) mod 8.

3203 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3203 = 3200+3 = 8 ⋅ 400 +3.

16004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 8 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(3203 - 16004) mod 8 ≡ (3 - 4) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 33) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 33) mod 6 ≡ (66 mod 6 ⋅ 33 mod 6) mod 6.

66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 33) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 532128 mod 661.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 532 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5321=532

2: 5322=5321+1=5321⋅5321 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 116 mod 661

4: 5324=5322+2=5322⋅5322 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 236 mod 661

8: 5328=5324+4=5324⋅5324 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 172 mod 661

16: 53216=5328+8=5328⋅5328 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 500 mod 661

32: 53232=53216+16=53216⋅53216 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 142 mod 661

64: 53264=53232+32=53232⋅53232 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 334 mod 661

128: 532128=53264+64=53264⋅53264 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 508 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 216162 mod 457.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 2161=216

2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 42 mod 457

4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 393 mod 457

8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 440 mod 457

16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 289 mod 457

32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 347 mod 457

64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 218 mod 457

128: 216128=21664+64=21664⋅21664 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457

216162

= 216128+32+2

= 216128⋅21632⋅2162

453 ⋅ 347 ⋅ 42 mod 457
157191 ⋅ 42 mod 457 ≡ 440 ⋅ 42 mod 457
18480 mod 457 ≡ 200 mod 457

Es gilt also: 216162 ≡ 200 mod 457

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61 = 1⋅34 + 27
=>34 = 1⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27)
= 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34)
= -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.