Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(200 + 1996) mod 5 ≡ (200 mod 5 + 1996 mod 5) mod 5.

200 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 5 ⋅ 40 +0.

1996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 5 ⋅ 380 +96.

Somit gilt:

(200 + 1996) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 21) mod 7 ≡ (15 mod 7 ⋅ 21 mod 7) mod 7.

15 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 14 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 ist.

21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 21) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 770¹=770

2: 770²=770¹⁺¹=770¹⋅770¹ ≡ 770⋅770=592900 ≡ 590 mod 971

4: 770⁴=770²⁺²=770²⋅770² ≡ 590⋅590=348100 ≡ 482 mod 971

8: 770⁸=770⁴⁺⁴=770⁴⋅770⁴ ≡ 482⋅482=232324 ≡ 255 mod 971

16: 770¹⁶=770⁸⁺⁸=770⁸⋅770⁸ ≡ 255⋅255=65025 ≡ 939 mod 971

32: 770³²=770¹⁶⁺¹⁶=770¹⁶⋅770¹⁶ ≡ 939⋅939=881721 ≡ 53 mod 971

64: 770⁶⁴=770³²⁺³²=770³²⋅770³² ≡ 53⋅53=2809 ≡ 867 mod 971

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

599²¹⁷

= 599^{128+64+16+8+1}

= 599¹²⁸⋅599⁶⁴⋅599¹⁶⋅599⁸⋅599¹

≡ 521 ⋅ 917 ⋅ 692 ⋅ 404 ⋅ 599 mod 991
≡ 477757 ⋅ 692 ⋅ 404 ⋅ 599 mod 991 ≡ 95 ⋅ 692 ⋅ 404 ⋅ 599 mod 991
≡ 65740 ⋅ 404 ⋅ 599 mod 991 ≡ 334 ⋅ 404 ⋅ 599 mod 991
≡ 134936 ⋅ 599 mod 991 ≡ 160 ⋅ 599 mod 991
≡ 95840 mod 991 ≡ 704 mod 991

Es gilt also: 599²¹⁷ ≡ 704 mod 991

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30

=>83	= 2⋅30 + 23
=>30	= 1⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 83-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30) = 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +36⋅30

Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1

Somit 36⋅30 = 1 mod 83

36 ist also das Inverse von 30 mod 83