Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (114 - 595) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(114 - 595) mod 6 ≡ (114 mod 6 - 595 mod 6) mod 6.

114 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 114 = 120-6 = 6 ⋅ 20 -6 = 6 ⋅ 20 - 6 + 0.

595 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 595 = 600-5 = 6 ⋅ 100 -5 = 6 ⋅ 100 - 6 + 1.

Somit gilt:

(114 - 595) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 89) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 89) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 89 mod 9) mod 9.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 81 + 8 = 9 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 89) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 78316 mod 823.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 783 -> x
2. mod(x²,823) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7831=783

2: 7832=7831+1=7831⋅7831 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 777 mod 823

4: 7834=7832+2=7832⋅7832 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 470 mod 823

8: 7838=7834+4=7834⋅7834 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 336 mod 823

16: 78316=7838+8=7838⋅7838 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 145 mod 823

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 183195 mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 195 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 195 an und zerlegen 195 in eine Summer von 2er-Potenzen:

195 = 128+64+2+1

1: 1831=183

2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 212 mod 311

4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 160 mod 311

8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 98 mod 311

16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 274 mod 311

32: 18332=18316+16=18316⋅18316 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 125 mod 311

64: 18364=18332+32=18332⋅18332 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 75 mod 311

128: 183128=18364+64=18364⋅18364 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 27 mod 311

183195

= 183128+64+2+1

= 183128⋅18364⋅1832⋅1831

27 ⋅ 75 ⋅ 212 ⋅ 183 mod 311
2025 ⋅ 212 ⋅ 183 mod 311 ≡ 159 ⋅ 212 ⋅ 183 mod 311
33708 ⋅ 183 mod 311 ≡ 120 ⋅ 183 mod 311
21960 mod 311 ≡ 190 mod 311

Es gilt also: 183195 ≡ 190 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60

=>71 = 1⋅60 + 11
=>60 = 5⋅11 + 5
=>11 = 2⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 60-5⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11)
= -2⋅60 +11⋅ 11 (=1)
11= 71-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60)
= 11⋅71 -13⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -13⋅60

-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60

-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1

(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1

58⋅60 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1

Somit 58⋅60 = 1 mod 71

58 ist also das Inverse von 60 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.