Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 + 23998) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 + 23998) mod 6 ≡ (55 mod 6 + 23998 mod 6) mod 6.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 60-5 = 6 ⋅ 10 -5 = 6 ⋅ 10 - 6 + 1.

23998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998 = 24000-2 = 6 ⋅ 4000 -2 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(55 + 23998) mod 6 ≡ (1 + 4) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 79) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 79) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 79 mod 3) mod 3.

54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.

79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 79) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23764 mod 379.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2371=237

2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 77 mod 379

4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 244 mod 379

8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 33 mod 379

16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 331 mod 379

32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 30 mod 379

64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 30⋅30=900 ≡ 142 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 58581 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:

81 = 64+16+1

1: 5851=585

2: 5852=5851+1=5851⋅5851 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 353 mod 929

4: 5854=5852+2=5852⋅5852 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 123 mod 929

8: 5858=5854+4=5854⋅5854 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 265 mod 929

16: 58516=5858+8=5858⋅5858 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 550 mod 929

32: 58532=58516+16=58516⋅58516 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 575 mod 929

64: 58564=58532+32=58532⋅58532 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 830 mod 929

58581

= 58564+16+1

= 58564⋅58516⋅5851

830 ⋅ 550 ⋅ 585 mod 929
456500 ⋅ 585 mod 929 ≡ 361 ⋅ 585 mod 929
211185 mod 929 ≡ 302 mod 929

Es gilt also: 58581 ≡ 302 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 26.

Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 26

=>61 = 2⋅26 + 9
=>26 = 2⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 26-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9)
= -1⋅26 +3⋅ 9 (=1)
9= 61-2⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅26 +3⋅(61 -2⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅61 -6⋅ 26)
= 3⋅61 -7⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(61,26)=1 = 3⋅61 -7⋅26

oder wenn man 3⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅61 = -7⋅26

-7⋅26 = -3⋅61 + 1 |+61⋅26

-7⋅26 + 61⋅26 = -3⋅61 + 61⋅26 + 1

(-7 + 61) ⋅ 26 = (-3 + 26) ⋅ 61 + 1

54⋅26 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 54⋅26 = 23⋅61 +1

Somit 54⋅26 = 1 mod 61

54 ist also das Inverse von 26 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.