Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8998 + 900) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8998 + 900) mod 3 ≡ (8998 mod 3 + 900 mod 3) mod 3.

8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998 = 9000-2 = 3 ⋅ 3000 -2 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 1.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(8998 + 900) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 39) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 39) mod 9 ≡ (77 mod 9 ⋅ 39 mod 9) mod 9.

77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.

39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 39) mod 9 ≡ (5 ⋅ 3) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 42316 mod 953.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 423 -> x
2. mod(x²,953) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4231=423

2: 4232=4231+1=4231⋅4231 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 718 mod 953

4: 4234=4232+2=4232⋅4232 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 904 mod 953

8: 4238=4234+4=4234⋅4234 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 495 mod 953

16: 42316=4238+8=4238⋅4238 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 104 mod 953

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 741118 mod 821.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

1: 7411=741

2: 7412=7411+1=7411⋅7411 ≡ 741⋅741=549081 ≡ 653 mod 821

4: 7414=7412+2=7412⋅7412 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 310 mod 821

8: 7418=7414+4=7414⋅7414 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 43 mod 821

16: 74116=7418+8=7418⋅7418 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 207 mod 821

32: 74132=74116+16=74116⋅74116 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 157 mod 821

64: 74164=74132+32=74132⋅74132 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 19 mod 821

741118

= 74164+32+16+4+2

= 74164⋅74132⋅74116⋅7414⋅7412

19 ⋅ 157 ⋅ 207 ⋅ 310 ⋅ 653 mod 821
2983 ⋅ 207 ⋅ 310 ⋅ 653 mod 821 ≡ 520 ⋅ 207 ⋅ 310 ⋅ 653 mod 821
107640 ⋅ 310 ⋅ 653 mod 821 ≡ 89 ⋅ 310 ⋅ 653 mod 821
27590 ⋅ 653 mod 821 ≡ 497 ⋅ 653 mod 821
324541 mod 821 ≡ 246 mod 821

Es gilt also: 741118 ≡ 246 mod 821

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68

=>73 = 1⋅68 + 5
=>68 = 13⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 68-13⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5)
= 2⋅68 -27⋅ 5 (=1)
5= 73-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68)
= -27⋅73 +29⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68

oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅73 = +29⋅68

Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1

Somit 29⋅68 = 1 mod 73

29 ist also das Inverse von 68 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.