Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (302 - 1203) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(302 - 1203) mod 3 ≡ (302 mod 3 - 1203 mod 3) mod 3.

302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302 = 300+2 = 3 ⋅ 100 +2.

1203 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203 = 1200+3 = 3 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(302 - 1203) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 42) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 42) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 42 mod 3) mod 3.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 42) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16664 mod 409.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 166 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1661=166

2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 153 mod 409

4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 96 mod 409

8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 218 mod 409

16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 80 mod 409

32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 265 mod 409

64: 16664=16632+32=16632⋅16632 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 286 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 707195 mod 827.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 195 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 195 an und zerlegen 195 in eine Summer von 2er-Potenzen:

195 = 128+64+2+1

1: 7071=707

2: 7072=7071+1=7071⋅7071 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 341 mod 827

4: 7074=7072+2=7072⋅7072 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 501 mod 827

8: 7078=7074+4=7074⋅7074 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 420 mod 827

16: 70716=7078+8=7078⋅7078 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 249 mod 827

32: 70732=70716+16=70716⋅70716 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 803 mod 827

64: 70764=70732+32=70732⋅70732 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 576 mod 827

128: 707128=70764+64=70764⋅70764 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 149 mod 827

707195

= 707128+64+2+1

= 707128⋅70764⋅7072⋅7071

149 ⋅ 576 ⋅ 341 ⋅ 707 mod 827
85824 ⋅ 341 ⋅ 707 mod 827 ≡ 643 ⋅ 341 ⋅ 707 mod 827
219263 ⋅ 707 mod 827 ≡ 108 ⋅ 707 mod 827
76356 mod 827 ≡ 272 mod 827

Es gilt also: 707195 ≡ 272 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 62.

Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 62

=>67 = 1⋅62 + 5
=>62 = 12⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,62)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 62-12⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(62 -12⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅62 +24⋅ 5)
= -2⋅62 +25⋅ 5 (=1)
5= 67-1⋅62 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅62 +25⋅(67 -1⋅ 62)
= -2⋅62 +25⋅67 -25⋅ 62)
= 25⋅67 -27⋅ 62 (=1)

Es gilt also: ggt(67,62)=1 = 25⋅67 -27⋅62

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -27⋅62

-27⋅62 = -25⋅67 + 1 |+67⋅62

-27⋅62 + 67⋅62 = -25⋅67 + 67⋅62 + 1

(-27 + 67) ⋅ 62 = (-25 + 62) ⋅ 67 + 1

40⋅62 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 40⋅62 = 37⋅67 +1

Somit 40⋅62 = 1 mod 67

40 ist also das Inverse von 62 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.