Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(600 - 1499) mod 3 ≡ (600 mod 3 - 1499 mod 3) mod 3.

600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 3 ⋅ 200 +0.

1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1500-1 = 3 ⋅ 500 -1 = 3 ⋅ 500 - 3 + 2.

Somit gilt:

(600 - 1499) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 21) mod 9 ≡ (52 mod 9 ⋅ 21 mod 9) mod 9.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 21) mod 9 ≡ (7 ⋅ 3) mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 855¹=855

2: 855²=855¹⁺¹=855¹⋅855¹ ≡ 855⋅855=731025 ≡ 940 mod 967

4: 855⁴=855²⁺²=855²⋅855² ≡ 940⋅940=883600 ≡ 729 mod 967

8: 855⁸=855⁴⁺⁴=855⁴⋅855⁴ ≡ 729⋅729=531441 ≡ 558 mod 967

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

252¹²³

= 252^{64+32+16+8+2+1}

= 252⁶⁴⋅252³²⋅252¹⁶⋅252⁸⋅252²⋅252¹

≡ 293 ⋅ 407 ⋅ 585 ⋅ 445 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617
≡ 119251 ⋅ 585 ⋅ 445 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617 ≡ 170 ⋅ 585 ⋅ 445 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617
≡ 99450 ⋅ 445 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617 ≡ 113 ⋅ 445 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617
≡ 50285 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617 ≡ 308 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617
≡ 175560 ⋅ 252 mod 617 ≡ 332 ⋅ 252 mod 617
≡ 83664 mod 617 ≡ 369 mod 617

Es gilt also: 252¹²³ ≡ 369 mod 617

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61	= 1⋅50 + 11
=>50	= 4⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50) = 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61