Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8993 + 85) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8993 + 85) mod 9 ≡ (8993 mod 9 + 85 mod 9) mod 9.

8993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8993 = 9000-7 = 9 ⋅ 1000 -7 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 2.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 90-5 = 9 ⋅ 10 -5 = 9 ⋅ 10 - 9 + 4.

Somit gilt:

(8993 + 85) mod 9 ≡ (2 + 4) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 31) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 31) mod 9 ≡ (64 mod 9 ⋅ 31 mod 9) mod 9.

64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 31) mod 9 ≡ (1 ⋅ 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5108 mod 587.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 510 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5101=510

2: 5102=5101+1=5101⋅5101 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 59 mod 587

4: 5104=5102+2=5102⋅5102 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 546 mod 587

8: 5108=5104+4=5104⋅5104 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 507 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 860255 mod 967.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 8601=860

2: 8602=8601+1=8601⋅8601 ≡ 860⋅860=739600 ≡ 812 mod 967

4: 8604=8602+2=8602⋅8602 ≡ 812⋅812=659344 ≡ 817 mod 967

8: 8608=8604+4=8604⋅8604 ≡ 817⋅817=667489 ≡ 259 mod 967

16: 86016=8608+8=8608⋅8608 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 358 mod 967

32: 86032=86016+16=86016⋅86016 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 520 mod 967

64: 86064=86032+32=86032⋅86032 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 607 mod 967

128: 860128=86064+64=86064⋅86064 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 22 mod 967

860255

= 860128+64+32+16+8+4+2+1

= 860128⋅86064⋅86032⋅86016⋅8608⋅8604⋅8602⋅8601

22 ⋅ 607 ⋅ 520 ⋅ 358 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
13354 ⋅ 520 ⋅ 358 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967 ≡ 783 ⋅ 520 ⋅ 358 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
407160 ⋅ 358 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967 ≡ 53 ⋅ 358 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
18974 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967 ≡ 601 ⋅ 259 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
155659 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967 ≡ 939 ⋅ 817 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
767163 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967 ≡ 332 ⋅ 812 ⋅ 860 mod 967
269584 ⋅ 860 mod 967 ≡ 758 ⋅ 860 mod 967
651880 mod 967 ≡ 122 mod 967

Es gilt also: 860255 ≡ 122 mod 967

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.

Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89 = 1⋅77 + 12
=>77 = 6⋅12 + 5
=>12 = 2⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5)
= -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12)
= 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77)
= -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.