Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 - 1404) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 - 1404) mod 7 ≡ (63 mod 7 - 1404 mod 7) mod 7.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 70-7 = 7 ⋅ 10 -7 = 7 ⋅ 10 - 7 + 0.

1404 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1404 = 1400+4 = 7 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(63 - 1404) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 22) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 22) mod 11 ≡ (55 mod 11 ⋅ 22 mod 11) mod 11.

55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.

22 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 22 + 0 = 2 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 22) mod 11 ≡ (0 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39564 mod 881.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 395 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3951=395

2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 88 mod 881

4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 696 mod 881

8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 747 mod 881

16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 747⋅747=558009 ≡ 336 mod 881

32: 39532=39516+16=39516⋅39516 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 128 mod 881

64: 39564=39532+32=39532⋅39532 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 526 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 231219 mod 547.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 2311=231

2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 302 mod 547

4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 402 mod 547

8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 239 mod 547

16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 233 mod 547

32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 136 mod 547

64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 445 mod 547

128: 231128=23164+64=23164⋅23164 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 11 mod 547

231219

= 231128+64+16+8+2+1

= 231128⋅23164⋅23116⋅2318⋅2312⋅2311

11 ⋅ 445 ⋅ 233 ⋅ 239 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547
4895 ⋅ 233 ⋅ 239 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547 ≡ 519 ⋅ 233 ⋅ 239 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547
120927 ⋅ 239 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547 ≡ 40 ⋅ 239 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547
9560 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547 ≡ 261 ⋅ 302 ⋅ 231 mod 547
78822 ⋅ 231 mod 547 ≡ 54 ⋅ 231 mod 547
12474 mod 547 ≡ 440 mod 547

Es gilt also: 231219 ≡ 440 mod 547

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59 = 1⋅46 + 13
=>46 = 3⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13)
= 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46)
= -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.