Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2407 - 24004) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2407 - 24004) mod 8 ≡ (2407 mod 8 - 24004 mod 8) mod 8.
2407 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2407
= 2400
24004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24004
= 24000
Somit gilt:
(2407 - 24004) mod 8 ≡ (7 - 4) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 35) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 35) mod 6 ≡ (84 mod 6 ⋅ 35 mod 6) mod 6.
84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.
35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 35) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12064 mod 239.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 120 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1201=120
2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 60 mod 239
4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 15 mod 239
8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 239
16: 12016=1208+8=1208⋅1208 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 196 mod 239
32: 12032=12016+16=12016⋅12016 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 176 mod 239
64: 12064=12032+32=12032⋅12032 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 145 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43473 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 4341=434
2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 109 mod 479
4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 385 mod 479
8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 214 mod 479
16: 43416=4348+8=4348⋅4348 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 291 mod 479
32: 43432=43416+16=43416⋅43416 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 377 mod 479
64: 43464=43432+32=43432⋅43432 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 345 mod 479
43473
= 43464+8+1
= 43464⋅4348⋅4341
≡ 345 ⋅ 214 ⋅ 434 mod 479
≡ 73830 ⋅ 434 mod 479 ≡ 64 ⋅ 434 mod 479
≡ 27776 mod 479 ≡ 473 mod 479
Es gilt also: 43473 ≡ 473 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 82
| =>89 | = 1⋅82 + 7 |
| =>82 | = 11⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 82-11⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(82 -11⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅82 -33⋅ 7) = 3⋅82 -35⋅ 7 (=1) |
| 7= 89-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅82 -35⋅(89 -1⋅ 82)
= 3⋅82 -35⋅89 +35⋅ 82) = -35⋅89 +38⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,82)=1 = -35⋅89 +38⋅82
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +38⋅82
Es gilt also: 38⋅82 = 35⋅89 +1
Somit 38⋅82 = 1 mod 89
38 ist also das Inverse von 82 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
