Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (502 - 2498) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(502 - 2498) mod 5 ≡ (502 mod 5 - 2498 mod 5) mod 5.
502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 502
= 500
2498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2498
= 2400
Somit gilt:
(502 - 2498) mod 5 ≡ (2 - 3) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 22) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 22) mod 8 ≡ (90 mod 8 ⋅ 22 mod 8) mod 8.
90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.
22 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 16 + 6 = 2 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 22) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 622128 mod 677.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 622 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6221=622
2: 6222=6221+1=6221⋅6221 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 317 mod 677
4: 6224=6222+2=6222⋅6222 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 293 mod 677
8: 6228=6224+4=6224⋅6224 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 547 mod 677
16: 62216=6228+8=6228⋅6228 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 652 mod 677
32: 62232=62216+16=62216⋅62216 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 625 mod 677
64: 62264=62232+32=62232⋅62232 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 673 mod 677
128: 622128=62264+64=62264⋅62264 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 16 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 314167 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:
167 = 128+32+4+2+1
1: 3141=314
2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 240 mod 367
4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 348 mod 367
8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 361 mod 367
16: 31416=3148+8=3148⋅3148 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 36 mod 367
32: 31432=31416+16=31416⋅31416 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 195 mod 367
64: 31464=31432+32=31432⋅31432 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 224 mod 367
128: 314128=31464+64=31464⋅31464 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 264 mod 367
314167
= 314128+32+4+2+1
= 314128⋅31432⋅3144⋅3142⋅3141
≡ 264 ⋅ 195 ⋅ 348 ⋅ 240 ⋅ 314 mod 367
≡ 51480 ⋅ 348 ⋅ 240 ⋅ 314 mod 367 ≡ 100 ⋅ 348 ⋅ 240 ⋅ 314 mod 367
≡ 34800 ⋅ 240 ⋅ 314 mod 367 ≡ 302 ⋅ 240 ⋅ 314 mod 367
≡ 72480 ⋅ 314 mod 367 ≡ 181 ⋅ 314 mod 367
≡ 56834 mod 367 ≡ 316 mod 367
Es gilt also: 314167 ≡ 316 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63
| =>71 | = 1⋅63 + 8 |
| =>63 | = 7⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 63-7⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8) = -1⋅63 +8⋅ 8 (=1) |
| 8= 71-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63) = 8⋅71 -9⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63
oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅71 = -9⋅63
-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63
-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1
(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1
62⋅63 = 55⋅71 + 1
Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1
Somit 62⋅63 = 1 mod 71
62 ist also das Inverse von 63 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
