Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3201 + 154) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3201 + 154) mod 8 ≡ (3201 mod 8 + 154 mod 8) mod 8.
3201 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3201
= 3200
154 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154
= 160
Somit gilt:
(3201 + 154) mod 8 ≡ (1 + 2) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 24) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 24) mod 4 ≡ (23 mod 4 ⋅ 24 mod 4) mod 4.
23 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 5 ⋅ 4 + 3 ist.
24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 24) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9916 mod 239.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 99 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 991=99
2: 992=991+1=991⋅991 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 2 mod 239
4: 994=992+2=992⋅992 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 239
8: 998=994+4=994⋅994 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 239
16: 9916=998+8=998⋅998 ≡ 16⋅16=256 ≡ 17 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 332111 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:
111 = 64+32+8+4+2+1
1: 3321=332
2: 3322=3321+1=3321⋅3321 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 167 mod 701
4: 3324=3322+2=3322⋅3322 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 550 mod 701
8: 3328=3324+4=3324⋅3324 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 369 mod 701
16: 33216=3328+8=3328⋅3328 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 167 mod 701
32: 33232=33216+16=33216⋅33216 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 550 mod 701
64: 33264=33232+32=33232⋅33232 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 369 mod 701
332111
= 33264+32+8+4+2+1
= 33264⋅33232⋅3328⋅3324⋅3322⋅3321
≡ 369 ⋅ 550 ⋅ 369 ⋅ 550 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701
≡ 202950 ⋅ 369 ⋅ 550 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701 ≡ 361 ⋅ 369 ⋅ 550 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701
≡ 133209 ⋅ 550 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701 ≡ 19 ⋅ 550 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701
≡ 10450 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701 ≡ 636 ⋅ 167 ⋅ 332 mod 701
≡ 106212 ⋅ 332 mod 701 ≡ 361 ⋅ 332 mod 701
≡ 119852 mod 701 ≡ 682 mod 701
Es gilt also: 332111 ≡ 682 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
