Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3500 + 14006) mod 7 ≡ (3500 mod 7 + 14006 mod 7) mod 7.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006 = 14000+6 = 7 ⋅ 2000 +6.

Somit gilt:

(3500 + 14006) mod 7 ≡ (0 + 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 80) mod 5 ≡ (81 mod 5 ⋅ 80 mod 5) mod 5.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 80) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 518¹=518

2: 518²=518¹⁺¹=518¹⋅518¹ ≡ 518⋅518=268324 ≡ 772 mod 929

4: 518⁴=518²⁺²=518²⋅518² ≡ 772⋅772=595984 ≡ 495 mod 929

8: 518⁸=518⁴⁺⁴=518⁴⋅518⁴ ≡ 495⋅495=245025 ≡ 698 mod 929

16: 518¹⁶=518⁸⁺⁸=518⁸⋅518⁸ ≡ 698⋅698=487204 ≡ 408 mod 929

32: 518³²=518¹⁶⁺¹⁶=518¹⁶⋅518¹⁶ ≡ 408⋅408=166464 ≡ 173 mod 929

64: 518⁶⁴=518³²⁺³²=518³²⋅518³² ≡ 173⋅173=29929 ≡ 201 mod 929

128: 518¹²⁸=518⁶⁴⁺⁶⁴=518⁶⁴⋅518⁶⁴ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 454 mod 929

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

122²⁰¹

= 122^128+64+8+1

= 122¹²⁸⋅122⁶⁴⋅122⁸⋅122¹

≡ 321 ⋅ 196 ⋅ 313 ⋅ 122 mod 401
≡ 62916 ⋅ 313 ⋅ 122 mod 401 ≡ 360 ⋅ 313 ⋅ 122 mod 401
≡ 112680 ⋅ 122 mod 401 ≡ 400 ⋅ 122 mod 401
≡ 48800 mod 401 ≡ 279 mod 401

Es gilt also: 122²⁰¹ ≡ 279 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19

=>53	= 2⋅19 + 15
=>19	= 1⋅15 + 4
=>15	= 3⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 19-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15) = -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15) = 4⋅19 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19) = 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19) = -5⋅53 +14⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +14⋅19

Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1

Somit 14⋅19 = 1 mod 53

14 ist also das Inverse von 19 mod 53