Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2003 + 80) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2003 + 80) mod 4 ≡ (2003 mod 4 + 80 mod 4) mod 4.
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(2003 + 80) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 91) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 91) mod 6 ≡ (95 mod 6 ⋅ 91 mod 6) mod 6.
95 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 15 ⋅ 6 + 5 ist.
91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 91) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6668 mod 863.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 666 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6661=666
2: 6662=6661+1=6661⋅6661 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 837 mod 863
4: 6664=6662+2=6662⋅6662 ≡ 837⋅837=700569 ≡ 676 mod 863
8: 6668=6664+4=6664⋅6664 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 449 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 238106 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:
106 = 64+32+8+2
1: 2381=238
2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 28 mod 337
4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 28⋅28=784 ≡ 110 mod 337
8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 305 mod 337
16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 13 mod 337
32: 23832=23816+16=23816⋅23816 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 337
64: 23864=23832+32=23832⋅23832 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 253 mod 337
238106
= 23864+32+8+2
= 23864⋅23832⋅2388⋅2382
≡ 253 ⋅ 169 ⋅ 305 ⋅ 28 mod 337
≡ 42757 ⋅ 305 ⋅ 28 mod 337 ≡ 295 ⋅ 305 ⋅ 28 mod 337
≡ 89975 ⋅ 28 mod 337 ≡ 333 ⋅ 28 mod 337
≡ 9324 mod 337 ≡ 225 mod 337
Es gilt also: 238106 ≡ 225 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22
| =>53 | = 2⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22) = 5⋅53 -12⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -12⋅22
-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22
-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1
(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1
41⋅22 = 17⋅53 + 1
Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1
Somit 41⋅22 = 1 mod 53
41 ist also das Inverse von 22 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
