Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1497 - 89) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1497 - 89) mod 3 ≡ (1497 mod 3 - 89 mod 3) mod 3.
1497 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497
= 1500
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89
= 90
Somit gilt:
(1497 - 89) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 44) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 44) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 44 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 44) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41132 mod 653.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 411 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4111=411
2: 4112=4111+1=4111⋅4111 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 447 mod 653
4: 4114=4112+2=4112⋅4112 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 644 mod 653
8: 4118=4114+4=4114⋅4114 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 81 mod 653
16: 41116=4118+8=4118⋅4118 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 31 mod 653
32: 41132=41116+16=41116⋅41116 ≡ 31⋅31=961 ≡ 308 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 493133 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 4931=493
2: 4932=4931+1=4931⋅4931 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 100 mod 503
4: 4934=4932+2=4932⋅4932 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 443 mod 503
8: 4938=4934+4=4934⋅4934 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 79 mod 503
16: 49316=4938+8=4938⋅4938 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 205 mod 503
32: 49332=49316+16=49316⋅49316 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 276 mod 503
64: 49364=49332+32=49332⋅49332 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 223 mod 503
128: 493128=49364+64=49364⋅49364 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 435 mod 503
493133
= 493128+4+1
= 493128⋅4934⋅4931
≡ 435 ⋅ 443 ⋅ 493 mod 503
≡ 192705 ⋅ 493 mod 503 ≡ 56 ⋅ 493 mod 503
≡ 27608 mod 503 ≡ 446 mod 503
Es gilt also: 493133 ≡ 446 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 84
| =>97 | = 1⋅84 + 13 |
| =>84 | = 6⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 84-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(84 -6⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅84 +12⋅ 13) = -2⋅84 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 97-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅84 +13⋅(97 -1⋅ 84)
= -2⋅84 +13⋅97 -13⋅ 84) = 13⋅97 -15⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,84)=1 = 13⋅97 -15⋅84
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -15⋅84
-15⋅84 = -13⋅97 + 1 |+97⋅84
-15⋅84 + 97⋅84 = -13⋅97 + 97⋅84 + 1
(-15 + 97) ⋅ 84 = (-13 + 84) ⋅ 97 + 1
82⋅84 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 82⋅84 = 71⋅97 +1
Somit 82⋅84 = 1 mod 97
82 ist also das Inverse von 84 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
