Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12002 + 121) mod 3 ≡ (12002 mod 3 + 121 mod 3) mod 3.

12002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 3 ⋅ 4000 +2.

121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 3 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(12002 + 121) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 20) mod 4 ≡ (70 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.

70 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 68 + 2 = 17 ⋅ 4 + 2 ist.

20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 20) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 406¹=406

2: 406²=406¹⁺¹=406¹⋅406¹ ≡ 406⋅406=164836 ≡ 270 mod 769

4: 406⁴=406²⁺²=406²⋅406² ≡ 270⋅270=72900 ≡ 614 mod 769

8: 406⁸=406⁴⁺⁴=406⁴⋅406⁴ ≡ 614⋅614=376996 ≡ 186 mod 769

16: 406¹⁶=406⁸⁺⁸=406⁸⋅406⁸ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 760 mod 769

32: 406³²=406¹⁶⁺¹⁶=406¹⁶⋅406¹⁶ ≡ 760⋅760=577600 ≡ 81 mod 769

64: 406⁶⁴=406³²⁺³²=406³²⋅406³² ≡ 81⋅81=6561 ≡ 409 mod 769

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

668¹⁵⁴

= 668^128+16+8+2

= 668¹²⁸⋅668¹⁶⋅668⁸⋅668²

≡ 333 ⋅ 36 ⋅ 815 ⋅ 421 mod 821
≡ 11988 ⋅ 815 ⋅ 421 mod 821 ≡ 494 ⋅ 815 ⋅ 421 mod 821
≡ 402610 ⋅ 421 mod 821 ≡ 320 ⋅ 421 mod 821
≡ 134720 mod 821 ≡ 76 mod 821

Es gilt also: 668¹⁵⁴ ≡ 76 mod 821

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 72

=>101	= 1⋅72 + 29
=>72	= 2⋅29 + 14
=>29	= 2⋅14 + 1
=>14	= 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-2⋅14
14= 72-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅29 -2⋅(72 -2⋅ 29) = 1⋅29 -2⋅72 +4⋅ 29) = -2⋅72 +5⋅ 29 (=1)
29= 101-1⋅72	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅72 +5⋅(101 -1⋅ 72) = -2⋅72 +5⋅101 -5⋅ 72) = 5⋅101 -7⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(101,72)=1 = 5⋅101 -7⋅72

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -7⋅72

-7⋅72 = -5⋅101 + 1 |+101⋅72

-7⋅72 + 101⋅72 = -5⋅101 + 101⋅72 + 1

(-7 + 101) ⋅ 72 = (-5 + 72) ⋅ 101 + 1

94⋅72 = 67⋅101 + 1

Es gilt also: 94⋅72 = 67⋅101 +1

Somit 94⋅72 = 1 mod 101

94 ist also das Inverse von 72 mod 101