Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1604 + 117) mod 4 ≡ (1604 mod 4 + 117 mod 4) mod 4.

1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 4 ⋅ 400 +4.

117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117 = 120-3 = 4 ⋅ 30 -3 = 4 ⋅ 30 - 4 + 1.

Somit gilt:

(1604 + 117) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 77) mod 11 ≡ (15 mod 11 ⋅ 77 mod 11) mod 11.

15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.

77 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 7 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 77) mod 11 ≡ (4 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 391¹=391

2: 391²=391¹⁺¹=391¹⋅391¹ ≡ 391⋅391=152881 ≡ 180 mod 491

4: 391⁴=391²⁺²=391²⋅391² ≡ 180⋅180=32400 ≡ 485 mod 491

8: 391⁸=391⁴⁺⁴=391⁴⋅391⁴ ≡ 485⋅485=235225 ≡ 36 mod 491

16: 391¹⁶=391⁸⁺⁸=391⁸⋅391⁸ ≡ 36⋅36=1296 ≡ 314 mod 491

32: 391³²=391¹⁶⁺¹⁶=391¹⁶⋅391¹⁶ ≡ 314⋅314=98596 ≡ 396 mod 491

64: 391⁶⁴=391³²⁺³²=391³²⋅391³² ≡ 396⋅396=156816 ≡ 187 mod 491

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

547⁷⁷

= 547^64+8+4+1

= 547⁶⁴⋅547⁸⋅547⁴⋅547¹

≡ 110 ⋅ 623 ⋅ 455 ⋅ 547 mod 641
≡ 68530 ⋅ 455 ⋅ 547 mod 641 ≡ 584 ⋅ 455 ⋅ 547 mod 641
≡ 265720 ⋅ 547 mod 641 ≡ 346 ⋅ 547 mod 641
≡ 189262 mod 641 ≡ 167 mod 641

Es gilt also: 547⁷⁷ ≡ 167 mod 641

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 37

=>89	= 2⋅37 + 15
=>37	= 2⋅15 + 7
=>15	= 2⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 37-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -2⋅(37 -2⋅ 15) = 1⋅15 -2⋅37 +4⋅ 15) = -2⋅37 +5⋅ 15 (=1)
15= 89-2⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅37 +5⋅(89 -2⋅ 37) = -2⋅37 +5⋅89 -10⋅ 37) = 5⋅89 -12⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(89,37)=1 = 5⋅89 -12⋅37

oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅89 = -12⋅37

-12⋅37 = -5⋅89 + 1 |+89⋅37

-12⋅37 + 89⋅37 = -5⋅89 + 89⋅37 + 1

(-12 + 89) ⋅ 37 = (-5 + 37) ⋅ 89 + 1

77⋅37 = 32⋅89 + 1

Es gilt also: 77⋅37 = 32⋅89 +1

Somit 77⋅37 = 1 mod 89

77 ist also das Inverse von 37 mod 89