Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (504 + 495) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(504 + 495) mod 5 ≡ (504 mod 5 + 495 mod 5) mod 5.

504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504 = 500+4 = 5 ⋅ 100 +4.

495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 495 = 400+95 = 5 ⋅ 80 +95.

Somit gilt:

(504 + 495) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 69) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 69) mod 4 ≡ (68 mod 4 ⋅ 69 mod 4) mod 4.

68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.

69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 69) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50964 mod 547.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 509 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5091=509

2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 350 mod 547

4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 519 mod 547

8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 237 mod 547

16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 375 mod 547

32: 50932=50916+16=50916⋅50916 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 46 mod 547

64: 50964=50932+32=50932⋅50932 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 475 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 357235 mod 773.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

1: 3571=357

2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 677 mod 773

4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 713 mod 773

8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 508 mod 773

16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 655 mod 773

32: 35732=35716+16=35716⋅35716 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 10 mod 773

64: 35764=35732+32=35732⋅35732 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 773

128: 357128=35764+64=35764⋅35764 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 724 mod 773

357235

= 357128+64+32+8+2+1

= 357128⋅35764⋅35732⋅3578⋅3572⋅3571

724 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 508 ⋅ 677 ⋅ 357 mod 773
72400 ⋅ 10 ⋅ 508 ⋅ 677 ⋅ 357 mod 773 ≡ 511 ⋅ 10 ⋅ 508 ⋅ 677 ⋅ 357 mod 773
5110 ⋅ 508 ⋅ 677 ⋅ 357 mod 773 ≡ 472 ⋅ 508 ⋅ 677 ⋅ 357 mod 773
239776 ⋅ 677 ⋅ 357 mod 773 ≡ 146 ⋅ 677 ⋅ 357 mod 773
98842 ⋅ 357 mod 773 ≡ 671 ⋅ 357 mod 773
239547 mod 773 ≡ 690 mod 773

Es gilt also: 357235 ≡ 690 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.

Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26

=>59 = 2⋅26 + 7
=>26 = 3⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 26-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7)
= 3⋅26 -11⋅ 7 (=1)
7= 59-2⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26)
= -11⋅59 +25⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +25⋅26

Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1

Somit 25⋅26 = 1 mod 59

25 ist also das Inverse von 26 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.