Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1804 + 18007) mod 9 ≡ (1804 mod 9 + 18007 mod 9) mod 9.

1804 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1804 = 1800+4 = 9 ⋅ 200 +4.

18007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18007 = 18000+7 = 9 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(1804 + 18007) mod 9 ≡ (4 + 7) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 80) mod 9 ≡ (50 mod 9 ⋅ 80 mod 9) mod 9.

50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.

80 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 72 + 8 = 8 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 80) mod 9 ≡ (5 ⋅ 8) mod 9 ≡ 40 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 105¹=105

2: 105²=105¹⁺¹=105¹⋅105¹ ≡ 105⋅105=11025 ≡ 280 mod 307

4: 105⁴=105²⁺²=105²⋅105² ≡ 280⋅280=78400 ≡ 115 mod 307

8: 105⁸=105⁴⁺⁴=105⁴⋅105⁴ ≡ 115⋅115=13225 ≡ 24 mod 307

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

440²²³

= 440^{128+64+16+8+4+2+1}

= 440¹²⁸⋅440⁶⁴⋅440¹⁶⋅440⁸⋅440⁴⋅440²⋅440¹

≡ 920 ⋅ 777 ⋅ 943 ⋅ 503 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977
≡ 714840 ⋅ 943 ⋅ 503 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977 ≡ 653 ⋅ 943 ⋅ 503 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977
≡ 615779 ⋅ 503 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977 ≡ 269 ⋅ 503 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977
≡ 135307 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977 ≡ 481 ⋅ 268 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977
≡ 128908 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977 ≡ 921 ⋅ 154 ⋅ 440 mod 977
≡ 141834 ⋅ 440 mod 977 ≡ 169 ⋅ 440 mod 977
≡ 74360 mod 977 ≡ 108 mod 977

Es gilt also: 440²²³ ≡ 108 mod 977

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63

=>83	= 1⋅63 + 20
=>63	= 3⋅20 + 3
=>20	= 6⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 20-6⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1)
3= 63-3⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20) = -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1)
20= 83-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63) = 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63

oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅83 = +29⋅63

Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1

Somit 29⋅63 = 1 mod 83

29 ist also das Inverse von 63 mod 83