Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23995 - 3992) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23995 - 3992) mod 8 ≡ (23995 mod 8 - 3992 mod 8) mod 8.
23995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995
= 23000
3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992
= 4000
Somit gilt:
(23995 - 3992) mod 8 ≡ (3 - 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 60) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 60) mod 6 ≡ (67 mod 6 ⋅ 60 mod 6) mod 6.
67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.
60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 10 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 60) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43832 mod 613.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 438 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4381=438
2: 4382=4381+1=4381⋅4381 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 588 mod 613
4: 4384=4382+2=4382⋅4382 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 12 mod 613
8: 4388=4384+4=4384⋅4384 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 613
16: 43816=4388+8=4388⋅4388 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 507 mod 613
32: 43832=43816+16=43816⋅43816 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 202 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 153170 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 1531=153
2: 1532=1531+1=1531⋅1531 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 109 mod 233
4: 1534=1532+2=1532⋅1532 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 231 mod 233
8: 1538=1534+4=1534⋅1534 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 4 mod 233
16: 15316=1538+8=1538⋅1538 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233
32: 15332=15316+16=15316⋅15316 ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233
64: 15364=15332+32=15332⋅15332 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233
128: 153128=15364+64=15364⋅15364 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233
153170
= 153128+32+8+2
= 153128⋅15332⋅1538⋅1532
≡ 8 ⋅ 23 ⋅ 4 ⋅ 109 mod 233
≡ 184 ⋅ 4 ⋅ 109 mod 233
≡ 736 ⋅ 109 mod 233 ≡ 37 ⋅ 109 mod 233
≡ 4033 mod 233 ≡ 72 mod 233
Es gilt also: 153170 ≡ 72 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60
| =>67 | = 1⋅60 + 7 |
| =>60 | = 8⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 60-8⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7) = 2⋅60 -17⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60) = -17⋅67 +19⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +19⋅60
Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1
Somit 19⋅60 = 1 mod 67
19 ist also das Inverse von 60 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
