Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (301 - 87) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(301 - 87) mod 3 ≡ (301 mod 3 - 87 mod 3) mod 3.
301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87
= 90
Somit gilt:
(301 - 87) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 74) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 74) mod 11 ≡ (18 mod 11 ⋅ 74 mod 11) mod 11.
18 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 11 + 7 = 1 ⋅ 11 + 7 ist.
74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 74) mod 11 ≡ (7 ⋅ 8) mod 11 ≡ 56 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15016 mod 223.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 150 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1501=150
2: 1502=1501+1=1501⋅1501 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 200 mod 223
4: 1504=1502+2=1502⋅1502 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 83 mod 223
8: 1508=1504+4=1504⋅1504 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 199 mod 223
16: 15016=1508+8=1508⋅1508 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 130 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 815122 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:
122 = 64+32+16+8+2
1: 8151=815
2: 8152=8151+1=8151⋅8151 ≡ 815⋅815=664225 ≡ 937 mod 953
4: 8154=8152+2=8152⋅8152 ≡ 937⋅937=877969 ≡ 256 mod 953
8: 8158=8154+4=8154⋅8154 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 732 mod 953
16: 81516=8158+8=8158⋅8158 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 238 mod 953
32: 81532=81516+16=81516⋅81516 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 417 mod 953
64: 81564=81532+32=81532⋅81532 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 443 mod 953
815122
= 81564+32+16+8+2
= 81564⋅81532⋅81516⋅8158⋅8152
≡ 443 ⋅ 417 ⋅ 238 ⋅ 732 ⋅ 937 mod 953
≡ 184731 ⋅ 238 ⋅ 732 ⋅ 937 mod 953 ≡ 802 ⋅ 238 ⋅ 732 ⋅ 937 mod 953
≡ 190876 ⋅ 732 ⋅ 937 mod 953 ≡ 276 ⋅ 732 ⋅ 937 mod 953
≡ 202032 ⋅ 937 mod 953 ≡ 949 ⋅ 937 mod 953
≡ 889213 mod 953 ≡ 64 mod 953
Es gilt also: 815122 ≡ 64 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 38
| =>97 | = 2⋅38 + 21 |
| =>38 | = 1⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 38-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1) |
| 21= 97-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅38 -9⋅(97 -2⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅97 +18⋅ 38) = -9⋅97 +23⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,38)=1 = -9⋅97 +23⋅38
oder wenn man -9⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅97 = +23⋅38
Es gilt also: 23⋅38 = 9⋅97 +1
Somit 23⋅38 = 1 mod 97
23 ist also das Inverse von 38 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
