Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4500 - 4498) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4500 - 4498) mod 9 ≡ (4500 mod 9 - 4498 mod 9) mod 9.
4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500
= 4500
4498 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4498
= 4500
Somit gilt:
(4500 - 4498) mod 9 ≡ (0 - 7) mod 9 ≡ -7 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 60) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 60) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.
82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.
60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 60) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24464 mod 277.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 244 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2441=244
2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 258 mod 277
4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 84 mod 277
8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 131 mod 277
16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 264 mod 277
32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 169 mod 277
64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 30 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 299212 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 307 mod 479
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 365 mod 479
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 63 mod 479
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 137 mod 479
32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 88 mod 479
64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 80 mod 479
128: 299128=29964+64=29964⋅29964 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 173 mod 479
299212
= 299128+64+16+4
= 299128⋅29964⋅29916⋅2994
≡ 173 ⋅ 80 ⋅ 137 ⋅ 365 mod 479
≡ 13840 ⋅ 137 ⋅ 365 mod 479 ≡ 428 ⋅ 137 ⋅ 365 mod 479
≡ 58636 ⋅ 365 mod 479 ≡ 198 ⋅ 365 mod 479
≡ 72270 mod 479 ≡ 420 mod 479
Es gilt also: 299212 ≡ 420 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23
| =>59 | = 2⋅23 + 13 |
| =>23 | = 1⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 23-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +18⋅23
Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1
Somit 18⋅23 = 1 mod 59
18 ist also das Inverse von 23 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
