Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14998 - 8999) mod 3 ≡ (14998 mod 3 - 8999 mod 3) mod 3.

14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 15000-2 = 3 ⋅ 5000 -2 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 1.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(14998 - 8999) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 64) mod 4 ≡ (41 mod 4 ⋅ 64 mod 4) mod 4.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.

64 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 16 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 64) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 966¹=966

2: 966²=966¹⁺¹=966¹⋅966¹ ≡ 966⋅966=933156 ≡ 1 mod 967

4: 966⁴=966²⁺²=966²⋅966² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 967

8: 966⁸=966⁴⁺⁴=966⁴⋅966⁴ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 967

16: 966¹⁶=966⁸⁺⁸=966⁸⋅966⁸ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 967

32: 966³²=966¹⁶⁺¹⁶=966¹⁶⋅966¹⁶ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 967

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

544¹⁸⁸

= 544^{128+32+16+8+4}

= 544¹²⁸⋅544³²⋅544¹⁶⋅544⁸⋅544⁴

≡ 62 ⋅ 79 ⋅ 353 ⋅ 425 ⋅ 248 mod 593
≡ 4898 ⋅ 353 ⋅ 425 ⋅ 248 mod 593 ≡ 154 ⋅ 353 ⋅ 425 ⋅ 248 mod 593
≡ 54362 ⋅ 425 ⋅ 248 mod 593 ≡ 399 ⋅ 425 ⋅ 248 mod 593
≡ 169575 ⋅ 248 mod 593 ≡ 570 ⋅ 248 mod 593
≡ 141360 mod 593 ≡ 226 mod 593

Es gilt also: 544¹⁸⁸ ≡ 226 mod 593

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67	= 1⋅44 + 23
=>44	= 1⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44) = 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67