Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (119 - 2403) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(119 - 2403) mod 6 ≡ (119 mod 6 - 2403 mod 6) mod 6.

119 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 6 ⋅ 20 -1 = 6 ⋅ 20 - 6 + 5.

2403 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403 = 2400+3 = 6 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(119 - 2403) mod 6 ≡ (5 - 3) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 20) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 20) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 20 mod 9) mod 9.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 20) mod 9 ≡ (1 ⋅ 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3318 mod 937.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3311=331

2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 869 mod 937

4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 869⋅869=755161 ≡ 876 mod 937

8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 876⋅876=767376 ≡ 910 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65462 mod 947.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

1: 6541=654

2: 6542=6541+1=6541⋅6541 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 619 mod 947

4: 6544=6542+2=6542⋅6542 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 573 mod 947

8: 6548=6544+4=6544⋅6544 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 667 mod 947

16: 65416=6548+8=6548⋅6548 ≡ 667⋅667=444889 ≡ 746 mod 947

32: 65432=65416+16=65416⋅65416 ≡ 746⋅746=556516 ≡ 627 mod 947

65462

= 65432+16+8+4+2

= 65432⋅65416⋅6548⋅6544⋅6542

627 ⋅ 746 ⋅ 667 ⋅ 573 ⋅ 619 mod 947
467742 ⋅ 667 ⋅ 573 ⋅ 619 mod 947 ≡ 871 ⋅ 667 ⋅ 573 ⋅ 619 mod 947
580957 ⋅ 573 ⋅ 619 mod 947 ≡ 446 ⋅ 573 ⋅ 619 mod 947
255558 ⋅ 619 mod 947 ≡ 815 ⋅ 619 mod 947
504485 mod 947 ≡ 681 mod 947

Es gilt also: 65462 ≡ 681 mod 947

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60

=>101 = 1⋅60 + 41
=>60 = 1⋅41 + 19
=>41 = 2⋅19 + 3
=>19 = 6⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19)
= -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 60-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41)
= 13⋅60 -19⋅ 41 (=1)
41= 101-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60)
= 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60)
= -19⋅101 +32⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +32⋅60

Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1

Somit 32⋅60 = 1 mod 101

32 ist also das Inverse von 60 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.