Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 - 20993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 - 20993) mod 7 ≡ (70 mod 7 - 20993 mod 7) mod 7.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
20993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20993
= 21000
Somit gilt:
(70 - 20993) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 20) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 20) mod 3 ≡ (89 mod 3 ⋅ 20 mod 3) mod 3.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.
20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 20) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61332 mod 787.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 613 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6131=613
2: 6132=6131+1=6131⋅6131 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 370 mod 787
4: 6134=6132+2=6132⋅6132 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 749 mod 787
8: 6138=6134+4=6134⋅6134 ≡ 749⋅749=561001 ≡ 657 mod 787
16: 61316=6138+8=6138⋅6138 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 373 mod 787
32: 61332=61316+16=61316⋅61316 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 617 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 759100 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 7591=759
2: 7592=7591+1=7591⋅7591 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 812 mod 997
4: 7594=7592+2=7592⋅7592 ≡ 812⋅812=659344 ≡ 327 mod 997
8: 7598=7594+4=7594⋅7594 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 250 mod 997
16: 75916=7598+8=7598⋅7598 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 686 mod 997
32: 75932=75916+16=75916⋅75916 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 12 mod 997
64: 75964=75932+32=75932⋅75932 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 997
759100
= 75964+32+4
= 75964⋅75932⋅7594
≡ 144 ⋅ 12 ⋅ 327 mod 997
≡ 1728 ⋅ 327 mod 997 ≡ 731 ⋅ 327 mod 997
≡ 239037 mod 997 ≡ 754 mod 997
Es gilt also: 759100 ≡ 754 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69
| =>79 | = 1⋅69 + 10 |
| =>69 | = 6⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 69-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10) = -1⋅69 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 79-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69) = 7⋅79 -8⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -8⋅69
-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69
-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1
(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1
71⋅69 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1
Somit 71⋅69 = 1 mod 79
71 ist also das Inverse von 69 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
