Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (156 - 80) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(156 - 80) mod 4 ≡ (156 mod 4 - 80 mod 4) mod 4.
156 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(156 - 80) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 53) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 53) mod 5 ≡ (75 mod 5 ⋅ 53 mod 5) mod 5.
75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 53) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20116 mod 311.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 201 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2011=201
2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 282 mod 311
4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 219 mod 311
8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 67 mod 311
16: 20116=2018+8=2018⋅2018 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 135 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 262131 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 2621=262
2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 688 mod 809
4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 79 mod 809
8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 578 mod 809
16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 776 mod 809
32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 280 mod 809
64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 736 mod 809
128: 262128=26264+64=26264⋅26264 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 475 mod 809
262131
= 262128+2+1
= 262128⋅2622⋅2621
≡ 475 ⋅ 688 ⋅ 262 mod 809
≡ 326800 ⋅ 262 mod 809 ≡ 773 ⋅ 262 mod 809
≡ 202526 mod 809 ≡ 276 mod 809
Es gilt also: 262131 ≡ 276 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27
| =>89 | = 3⋅27 + 8 |
| =>27 | = 3⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 27-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8) = 3⋅27 -10⋅ 8 (=1) |
| 8= 89-3⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27) = -10⋅89 +33⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27
oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅89 = +33⋅27
Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1
Somit 33⋅27 = 1 mod 89
33 ist also das Inverse von 27 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
