Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4499 + 1795) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4499 + 1795) mod 9 ≡ (4499 mod 9 + 1795 mod 9) mod 9.

4499 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4499 = 4500-1 = 9 ⋅ 500 -1 = 9 ⋅ 500 - 9 + 8.

1795 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795 = 1800-5 = 9 ⋅ 200 -5 = 9 ⋅ 200 - 9 + 4.

Somit gilt:

(4499 + 1795) mod 9 ≡ (8 + 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 32) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 32) mod 8 ≡ (85 mod 8 ⋅ 32 mod 8) mod 8.

85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.

32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 32) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25164 mod 499.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 251 -> x
2. mod(x²,499) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2511=251

2: 2512=2511+1=2511⋅2511 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 127 mod 499

4: 2514=2512+2=2512⋅2512 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 161 mod 499

8: 2518=2514+4=2514⋅2514 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 472 mod 499

16: 25116=2518+8=2518⋅2518 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 230 mod 499

32: 25132=25116+16=25116⋅25116 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 6 mod 499

64: 25164=25132+32=25132⋅25132 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 499

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 418255 mod 773.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 4181=418

2: 4182=4181+1=4181⋅4181 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 26 mod 773

4: 4184=4182+2=4182⋅4182 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 773

8: 4188=4184+4=4184⋅4184 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 133 mod 773

16: 41816=4188+8=4188⋅4188 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 683 mod 773

32: 41832=41816+16=41816⋅41816 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 370 mod 773

64: 41864=41832+32=41832⋅41832 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 79 mod 773

128: 418128=41864+64=41864⋅41864 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 57 mod 773

418255

= 418128+64+32+16+8+4+2+1

= 418128⋅41864⋅41832⋅41816⋅4188⋅4184⋅4182⋅4181

57 ⋅ 79 ⋅ 370 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
4503 ⋅ 370 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773 ≡ 638 ⋅ 370 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
236060 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773 ≡ 295 ⋅ 683 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
201485 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773 ≡ 505 ⋅ 133 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
67165 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773 ≡ 687 ⋅ 676 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
464412 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773 ≡ 612 ⋅ 26 ⋅ 418 mod 773
15912 ⋅ 418 mod 773 ≡ 452 ⋅ 418 mod 773
188936 mod 773 ≡ 324 mod 773

Es gilt also: 418255 ≡ 324 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60

=>71 = 1⋅60 + 11
=>60 = 5⋅11 + 5
=>11 = 2⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 60-5⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11)
= -2⋅60 +11⋅ 11 (=1)
11= 71-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60)
= 11⋅71 -13⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -13⋅60

-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60

-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1

(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1

58⋅60 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1

Somit 58⋅60 = 1 mod 71

58 ist also das Inverse von 60 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.