Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 + 150) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 + 150) mod 3 ≡ (90 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(90 + 150) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 58) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 58) mod 6 ≡ (53 mod 6 ⋅ 58 mod 6) mod 6.

53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.

58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 58) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17616 mod 269.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 176 -> x
2. mod(x²,269) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1761=176

2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 41 mod 269

4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 67 mod 269

8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 185 mod 269

16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 62 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 625176 mod 797.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:

176 = 128+32+16

1: 6251=625

2: 6252=6251+1=6251⋅6251 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 95 mod 797

4: 6254=6252+2=6252⋅6252 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 258 mod 797

8: 6258=6254+4=6254⋅6254 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 413 mod 797

16: 62516=6258+8=6258⋅6258 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 11 mod 797

32: 62532=62516+16=62516⋅62516 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 797

64: 62564=62532+32=62532⋅62532 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 295 mod 797

128: 625128=62564+64=62564⋅62564 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 152 mod 797

625176

= 625128+32+16

= 625128⋅62532⋅62516

152 ⋅ 121 ⋅ 11 mod 797
18392 ⋅ 11 mod 797 ≡ 61 ⋅ 11 mod 797
671 mod 797

Es gilt also: 625176 ≡ 671 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67 = 1⋅46 + 21
=>46 = 2⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21)
= -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46)
= 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.