Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2693 + 1800) mod 9 ≡ (2693 mod 9 + 1800 mod 9) mod 9.

2693 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2693 = 2700-7 = 9 ⋅ 300 -7 = 9 ⋅ 300 - 9 + 2.

1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 9 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(2693 + 1800) mod 9 ≡ (2 + 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 59) mod 10 ≡ (81 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.

81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.

59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 59) mod 10 ≡ (1 ⋅ 9) mod 10 ≡ 9 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 589¹=589

2: 589²=589¹⁺¹=589¹⋅589¹ ≡ 589⋅589=346921 ≡ 226 mod 797

4: 589⁴=589²⁺²=589²⋅589² ≡ 226⋅226=51076 ≡ 68 mod 797

8: 589⁸=589⁴⁺⁴=589⁴⋅589⁴ ≡ 68⋅68=4624 ≡ 639 mod 797

16: 589¹⁶=589⁸⁺⁸=589⁸⋅589⁸ ≡ 639⋅639=408321 ≡ 257 mod 797

32: 589³²=589¹⁶⁺¹⁶=589¹⁶⋅589¹⁶ ≡ 257⋅257=66049 ≡ 695 mod 797

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

564¹⁸⁵

= 564^{128+32+16+8+1}

= 564¹²⁸⋅564³²⋅564¹⁶⋅564⁸⋅564¹

≡ 743 ⋅ 512 ⋅ 359 ⋅ 36 ⋅ 564 mod 937
≡ 380416 ⋅ 359 ⋅ 36 ⋅ 564 mod 937 ≡ 931 ⋅ 359 ⋅ 36 ⋅ 564 mod 937
≡ 334229 ⋅ 36 ⋅ 564 mod 937 ≡ 657 ⋅ 36 ⋅ 564 mod 937
≡ 23652 ⋅ 564 mod 937 ≡ 227 ⋅ 564 mod 937
≡ 128028 mod 937 ≡ 596 mod 937

Es gilt also: 564¹⁸⁵ ≡ 596 mod 937

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53	= 1⋅37 + 16
=>37	= 2⋅16 + 5
=>16	= 3⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16) = 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37) = -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53