Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1199 + 7997) mod 4 ≡ (1199 mod 4 + 7997 mod 4) mod 4.

1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1100+99 = 4 ⋅ 275 +99.

7997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7997 = 7000+997 = 4 ⋅ 1750 +997.

Somit gilt:

(1199 + 7997) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 66) mod 4 ≡ (45 mod 4 ⋅ 66 mod 4) mod 4.

45 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 11 ⋅ 4 + 1 ist.

66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 66) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 831¹=831

2: 831²=831¹⁺¹=831¹⋅831¹ ≡ 831⋅831=690561 ≡ 405 mod 1009

4: 831⁴=831²⁺²=831²⋅831² ≡ 405⋅405=164025 ≡ 567 mod 1009

8: 831⁸=831⁴⁺⁴=831⁴⋅831⁴ ≡ 567⋅567=321489 ≡ 627 mod 1009

16: 831¹⁶=831⁸⁺⁸=831⁸⋅831⁸ ≡ 627⋅627=393129 ≡ 628 mod 1009

32: 831³²=831¹⁶⁺¹⁶=831¹⁶⋅831¹⁶ ≡ 628⋅628=394384 ≡ 874 mod 1009

64: 831⁶⁴=831³²⁺³²=831³²⋅831³² ≡ 874⋅874=763876 ≡ 63 mod 1009

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

468¹⁷⁵

= 468^{128+32+8+4+2+1}

= 468¹²⁸⋅468³²⋅468⁸⋅468⁴⋅468²⋅468¹

≡ 211 ⋅ 427 ⋅ 416 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499
≡ 90097 ⋅ 416 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499 ≡ 277 ⋅ 416 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499
≡ 115232 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499 ≡ 462 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499
≡ 171402 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499 ≡ 245 ⋅ 462 ⋅ 468 mod 499
≡ 113190 ⋅ 468 mod 499 ≡ 416 ⋅ 468 mod 499
≡ 194688 mod 499 ≡ 78 mod 499

Es gilt also: 468¹⁷⁵ ≡ 78 mod 499

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49

=>89	= 1⋅49 + 40
=>49	= 1⋅40 + 9
=>40	= 4⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 40-4⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1)
9= 49-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40) = -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1)
40= 89-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49) = 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +20⋅49

Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1

Somit 20⋅49 = 1 mod 89

20 ist also das Inverse von 49 mod 89