Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3004 - 17995) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3004 - 17995) mod 6 ≡ (3004 mod 6 - 17995 mod 6) mod 6.
3004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3004
= 3000
17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995
= 18000
Somit gilt:
(3004 - 17995) mod 6 ≡ (4 - 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 35) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 35) mod 8 ≡ (32 mod 8 ⋅ 35 mod 8) mod 8.
32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.
35 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 4 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 35) mod 8 ≡ (0 ⋅ 3) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 576128 mod 653.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 576 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5761=576
2: 5762=5761+1=5761⋅5761 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 52 mod 653
4: 5764=5762+2=5762⋅5762 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 92 mod 653
8: 5768=5764+4=5764⋅5764 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 628 mod 653
16: 57616=5768+8=5768⋅5768 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 625 mod 653
32: 57632=57616+16=57616⋅57616 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 131 mod 653
64: 57664=57632+32=57632⋅57632 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 183 mod 653
128: 576128=57664+64=57664⋅57664 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 186 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41068 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 4101=410
2: 4102=4101+1=4101⋅4101 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 46 mod 757
4: 4104=4102+2=4102⋅4102 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 602 mod 757
8: 4108=4104+4=4104⋅4104 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 558 mod 757
16: 41016=4108+8=4108⋅4108 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 237 mod 757
32: 41032=41016+16=41016⋅41016 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 151 mod 757
64: 41064=41032+32=41032⋅41032 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 91 mod 757
41068
= 41064+4
= 41064⋅4104
≡ 91 ⋅ 602 mod 757
≡ 54782 mod 757 ≡ 278 mod 757
Es gilt also: 41068 ≡ 278 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 98.
Also bestimme x, so dass 98 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 98
| =>101 | = 1⋅98 + 3 |
| =>98 | = 32⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,98)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 98-32⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(98 -32⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅98 +32⋅ 3) = -1⋅98 +33⋅ 3 (=1) |
| 3= 101-1⋅98 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅98 +33⋅(101 -1⋅ 98)
= -1⋅98 +33⋅101 -33⋅ 98) = 33⋅101 -34⋅ 98 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,98)=1 = 33⋅101 -34⋅98
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -34⋅98
-34⋅98 = -33⋅101 + 1 |+101⋅98
-34⋅98 + 101⋅98 = -33⋅101 + 101⋅98 + 1
(-34 + 101) ⋅ 98 = (-33 + 98) ⋅ 101 + 1
67⋅98 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 67⋅98 = 65⋅101 +1
Somit 67⋅98 = 1 mod 101
67 ist also das Inverse von 98 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
