Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 + 263) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 + 263) mod 9 ≡ (95 mod 9 + 263 mod 9) mod 9.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 9 ⋅ 10 +5.

263 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 263 = 270-7 = 9 ⋅ 30 -7 = 9 ⋅ 30 - 9 + 2.

Somit gilt:

(95 + 263) mod 9 ≡ (5 + 2) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 49) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 49) mod 10 ≡ (93 mod 10 ⋅ 49 mod 10) mod 10.

93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.

49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 49) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29416 mod 619.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 294 -> x
2. mod(x²,619) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2941=294

2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 395 mod 619

4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 37 mod 619

8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 131 mod 619

16: 29416=2948+8=2948⋅2948 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 448 mod 619

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 216171 mod 277.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

1: 2161=216

2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 120 mod 277

4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 273 mod 277

8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 16 mod 277

16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277

32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 164 mod 277

64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 27 mod 277

128: 216128=21664+64=21664⋅21664 ≡ 27⋅27=729 ≡ 175 mod 277

216171

= 216128+32+8+2+1

= 216128⋅21632⋅2168⋅2162⋅2161

175 ⋅ 164 ⋅ 16 ⋅ 120 ⋅ 216 mod 277
28700 ⋅ 16 ⋅ 120 ⋅ 216 mod 277 ≡ 169 ⋅ 16 ⋅ 120 ⋅ 216 mod 277
2704 ⋅ 120 ⋅ 216 mod 277 ≡ 211 ⋅ 120 ⋅ 216 mod 277
25320 ⋅ 216 mod 277 ≡ 113 ⋅ 216 mod 277
24408 mod 277 ≡ 32 mod 277

Es gilt also: 216171 ≡ 32 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53 = 1⋅42 + 11
=>42 = 3⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11)
= 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42)
= -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.