Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (303 + 2394) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(303 + 2394) mod 6 ≡ (303 mod 6 + 2394 mod 6) mod 6.
303 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303
= 300
2394 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394
= 2400
Somit gilt:
(303 + 2394) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 60) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 60) mod 10 ≡ (100 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.
100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.
60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 60) mod 10 ≡ (0 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 446128 mod 521.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 446 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4461=446
2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 415 mod 521
4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 295 mod 521
8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 18 mod 521
16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 521
32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 255 mod 521
64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 421 mod 521
128: 446128=44664+64=44664⋅44664 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 101 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43377 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 4331=433
2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 177 mod 509
4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 280 mod 509
8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 14 mod 509
16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 509
32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 241 mod 509
64: 43364=43332+32=43332⋅43332 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 55 mod 509
43377
= 43364+8+4+1
= 43364⋅4338⋅4334⋅4331
≡ 55 ⋅ 14 ⋅ 280 ⋅ 433 mod 509
≡ 770 ⋅ 280 ⋅ 433 mod 509 ≡ 261 ⋅ 280 ⋅ 433 mod 509
≡ 73080 ⋅ 433 mod 509 ≡ 293 ⋅ 433 mod 509
≡ 126869 mod 509 ≡ 128 mod 509
Es gilt also: 43377 ≡ 128 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25
| =>71 | = 2⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 71-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25) = 6⋅71 -17⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25
oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅71 = -17⋅25
-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25
-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1
(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1
54⋅25 = 19⋅71 + 1
Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1
Somit 54⋅25 = 1 mod 71
54 ist also das Inverse von 25 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
