Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16004 - 404) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16004 - 404) mod 8 ≡ (16004 mod 8 - 404 mod 8) mod 8.
16004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004
= 16000
404 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404
= 400
Somit gilt:
(16004 - 404) mod 8 ≡ (4 - 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 47) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 47) mod 3 ≡ (38 mod 3 ⋅ 47 mod 3) mod 3.
38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.
47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 47) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 325128 mod 797.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 325 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3251=325
2: 3252=3251+1=3251⋅3251 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 421 mod 797
4: 3254=3252+2=3252⋅3252 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 307 mod 797
8: 3258=3254+4=3254⋅3254 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 203 mod 797
16: 32516=3258+8=3258⋅3258 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 562 mod 797
32: 32532=32516+16=32516⋅32516 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 232 mod 797
64: 32564=32532+32=32532⋅32532 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 425 mod 797
128: 325128=32564+64=32564⋅32564 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 503 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39275 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:
75 = 64+8+2+1
1: 3921=392
2: 3922=3921+1=3921⋅3921 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 106 mod 449
4: 3924=3922+2=3922⋅3922 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 11 mod 449
8: 3928=3924+4=3924⋅3924 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 449
16: 39216=3928+8=3928⋅3928 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 273 mod 449
32: 39232=39216+16=39216⋅39216 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 444 mod 449
64: 39264=39232+32=39232⋅39232 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449
39275
= 39264+8+2+1
= 39264⋅3928⋅3922⋅3921
≡ 25 ⋅ 121 ⋅ 106 ⋅ 392 mod 449
≡ 3025 ⋅ 106 ⋅ 392 mod 449 ≡ 331 ⋅ 106 ⋅ 392 mod 449
≡ 35086 ⋅ 392 mod 449 ≡ 64 ⋅ 392 mod 449
≡ 25088 mod 449 ≡ 393 mod 449
Es gilt also: 39275 ≡ 393 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33
| =>79 | = 2⋅33 + 13 |
| =>33 | = 2⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 33-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1) |
| 13= 79-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +12⋅33
Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1
Somit 12⋅33 = 1 mod 79
12 ist also das Inverse von 33 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
