Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1797 + 907) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1797 + 907) mod 9 ≡ (1797 mod 9 + 907 mod 9) mod 9.

1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 9 ⋅ 200 -3 = 9 ⋅ 200 - 9 + 6.

907 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 907 = 900+7 = 9 ⋅ 100 +7.

Somit gilt:

(1797 + 907) mod 9 ≡ (6 + 7) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 100) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 100) mod 10 ≡ (35 mod 10 ⋅ 100 mod 10) mod 10.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 100) mod 10 ≡ (5 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 54432 mod 577.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 544 -> x
2. mod(x²,577) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5441=544

2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 512 mod 577

4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 186 mod 577

8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 553 mod 577

16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 576 mod 577

32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 1 mod 577

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 215149 mod 461.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

1: 2151=215

2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 125 mod 461

4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 412 mod 461

8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 96 mod 461

16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 457 mod 461

32: 21532=21516+16=21516⋅21516 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 16 mod 461

64: 21564=21532+32=21532⋅21532 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 461

128: 215128=21564+64=21564⋅21564 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 74 mod 461

215149

= 215128+16+4+1

= 215128⋅21516⋅2154⋅2151

74 ⋅ 457 ⋅ 412 ⋅ 215 mod 461
33818 ⋅ 412 ⋅ 215 mod 461 ≡ 165 ⋅ 412 ⋅ 215 mod 461
67980 ⋅ 215 mod 461 ≡ 213 ⋅ 215 mod 461
45795 mod 461 ≡ 156 mod 461

Es gilt also: 215149 ≡ 156 mod 461

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53 = 2⋅20 + 13
=>20 = 1⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13)
= 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20)
= -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.