Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 + 32007) mod 8 ≡ (83 mod 8 + 32007 mod 8) mod 8.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80+3 = 8 ⋅ 10 +3.

32007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32007 = 32000+7 = 8 ⋅ 4000 +7.

Somit gilt:

(83 + 32007) mod 8 ≡ (3 + 7) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 66) mod 3 ≡ (82 mod 3 ⋅ 66 mod 3) mod 3.

82 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 27 ⋅ 3 + 1 ist.

66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 66) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 595¹=595

2: 595²=595¹⁺¹=595¹⋅595¹ ≡ 595⋅595=354025 ≡ 506 mod 757

4: 595⁴=595²⁺²=595²⋅595² ≡ 506⋅506=256036 ≡ 170 mod 757

8: 595⁸=595⁴⁺⁴=595⁴⋅595⁴ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 134 mod 757

16: 595¹⁶=595⁸⁺⁸=595⁸⋅595⁸ ≡ 134⋅134=17956 ≡ 545 mod 757

32: 595³²=595¹⁶⁺¹⁶=595¹⁶⋅595¹⁶ ≡ 545⋅545=297025 ≡ 281 mod 757

64: 595⁶⁴=595³²⁺³²=595³²⋅595³² ≡ 281⋅281=78961 ≡ 233 mod 757

128: 595¹²⁸=595⁶⁴⁺⁶⁴=595⁶⁴⋅595⁶⁴ ≡ 233⋅233=54289 ≡ 542 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

316¹²⁶

= 316^{64+32+16+8+4+2}

= 316⁶⁴⋅316³²⋅316¹⁶⋅316⁸⋅316⁴⋅316²

≡ 193 ⋅ 502 ⋅ 255 ⋅ 134 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571
≡ 96886 ⋅ 255 ⋅ 134 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571 ≡ 387 ⋅ 255 ⋅ 134 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571
≡ 98685 ⋅ 134 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571 ≡ 473 ⋅ 134 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571
≡ 63382 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571 ≡ 1 ⋅ 193 ⋅ 502 mod 571
≡ 193 ⋅ 502 mod 571
≡ 96886 mod 571 ≡ 387 mod 571

Es gilt also: 316¹²⁶ ≡ 387 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19

=>53	= 2⋅19 + 15
=>19	= 1⋅15 + 4
=>15	= 3⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 19-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15) = -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15) = 4⋅19 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19) = 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19) = -5⋅53 +14⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +14⋅19

Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1

Somit 14⋅19 = 1 mod 53

14 ist also das Inverse von 19 mod 53