Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (303 - 149) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(303 - 149) mod 3 ≡ (303 mod 3 - 149 mod 3) mod 3.

303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 3 ⋅ 100 +3.

149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149 = 150-1 = 3 ⋅ 50 -1 = 3 ⋅ 50 - 3 + 2.

Somit gilt:

(303 - 149) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 21) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 21) mod 9 ≡ (39 mod 9 ⋅ 21 mod 9) mod 9.

39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.

21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 21) mod 9 ≡ (3 ⋅ 3) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 27864 mod 593.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 278 -> x
2. mod(x²,593) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2781=278

2: 2782=2781+1=2781⋅2781 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 194 mod 593

4: 2784=2782+2=2782⋅2782 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 277 mod 593

8: 2788=2784+4=2784⋅2784 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 232 mod 593

16: 27816=2788+8=2788⋅2788 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 454 mod 593

32: 27832=27816+16=27816⋅27816 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 345 mod 593

64: 27864=27832+32=27832⋅27832 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 425 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 675217 mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 6751=675

2: 6752=6751+1=6751⋅6751 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 558 mod 857

4: 6754=6752+2=6752⋅6752 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 273 mod 857

8: 6758=6754+4=6754⋅6754 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 827 mod 857

16: 67516=6758+8=6758⋅6758 ≡ 827⋅827=683929 ≡ 43 mod 857

32: 67532=67516+16=67516⋅67516 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 135 mod 857

64: 67564=67532+32=67532⋅67532 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 228 mod 857

128: 675128=67564+64=67564⋅67564 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 564 mod 857

675217

= 675128+64+16+8+1

= 675128⋅67564⋅67516⋅6758⋅6751

564 ⋅ 228 ⋅ 43 ⋅ 827 ⋅ 675 mod 857
128592 ⋅ 43 ⋅ 827 ⋅ 675 mod 857 ≡ 42 ⋅ 43 ⋅ 827 ⋅ 675 mod 857
1806 ⋅ 827 ⋅ 675 mod 857 ≡ 92 ⋅ 827 ⋅ 675 mod 857
76084 ⋅ 675 mod 857 ≡ 668 ⋅ 675 mod 857
450900 mod 857 ≡ 118 mod 857

Es gilt also: 675217 ≡ 118 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70

=>89 = 1⋅70 + 19
=>70 = 3⋅19 + 13
=>19 = 1⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13)
= -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 70-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅19 +3⋅(70 -3⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅70 -9⋅ 19)
= 3⋅70 -11⋅ 19 (=1)
19= 89-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅70 -11⋅(89 -1⋅ 70)
= 3⋅70 -11⋅89 +11⋅ 70)
= -11⋅89 +14⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(89,70)=1 = -11⋅89 +14⋅70

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +14⋅70

Es gilt also: 14⋅70 = 11⋅89 +1

Somit 14⋅70 = 1 mod 89

14 ist also das Inverse von 70 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.