Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(239 + 32006) mod 8 ≡ (239 mod 8 + 32006 mod 8) mod 8.

239 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239 = 240-1 = 8 ⋅ 30 -1 = 8 ⋅ 30 - 8 + 7.

32006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32006 = 32000+6 = 8 ⋅ 4000 +6.

Somit gilt:

(239 + 32006) mod 8 ≡ (7 + 6) mod 8 ≡ 13 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 46) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 46 mod 9) mod 9.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 46) mod 9 ≡ (7 ⋅ 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 480¹=480

2: 480²=480¹⁺¹=480¹⋅480¹ ≡ 480⋅480=230400 ≡ 26 mod 503

4: 480⁴=480²⁺²=480²⋅480² ≡ 26⋅26=676 ≡ 173 mod 503

8: 480⁸=480⁴⁺⁴=480⁴⋅480⁴ ≡ 173⋅173=29929 ≡ 252 mod 503

16: 480¹⁶=480⁸⁺⁸=480⁸⋅480⁸ ≡ 252⋅252=63504 ≡ 126 mod 503

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

304²⁴⁵

= 304^{128+64+32+16+4+1}

= 304¹²⁸⋅304⁶⁴⋅304³²⋅304¹⁶⋅304⁴⋅304¹

≡ 591 ⋅ 637 ⋅ 379 ⋅ 429 ⋅ 137 ⋅ 304 mod 701
≡ 376467 ⋅ 379 ⋅ 429 ⋅ 137 ⋅ 304 mod 701 ≡ 30 ⋅ 379 ⋅ 429 ⋅ 137 ⋅ 304 mod 701
≡ 11370 ⋅ 429 ⋅ 137 ⋅ 304 mod 701 ≡ 154 ⋅ 429 ⋅ 137 ⋅ 304 mod 701
≡ 66066 ⋅ 137 ⋅ 304 mod 701 ≡ 172 ⋅ 137 ⋅ 304 mod 701
≡ 23564 ⋅ 304 mod 701 ≡ 431 ⋅ 304 mod 701
≡ 131024 mod 701 ≡ 638 mod 701

Es gilt also: 304²⁴⁵ ≡ 638 mod 701

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71	= 1⋅49 + 22
=>49	= 2⋅22 + 5
=>22	= 4⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22) = -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49) = 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71