Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31999 - 164) mod 8 ≡ (31999 mod 8 - 164 mod 8) mod 8.

31999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31999 = 31000+999 = 8 ⋅ 3875 +999.

164 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164 = 160+4 = 8 ⋅ 20 +4.

Somit gilt:

(31999 - 164) mod 8 ≡ (7 - 4) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 21) mod 3 ≡ (100 mod 3 ⋅ 21 mod 3) mod 3.

100 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 33 ⋅ 3 + 1 ist.

21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 21) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 464¹=464

2: 464²=464¹⁺¹=464¹⋅464¹ ≡ 464⋅464=215296 ≡ 325 mod 547

4: 464⁴=464²⁺²=464²⋅464² ≡ 325⋅325=105625 ≡ 54 mod 547

8: 464⁸=464⁴⁺⁴=464⁴⋅464⁴ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 181 mod 547

16: 464¹⁶=464⁸⁺⁸=464⁸⋅464⁸ ≡ 181⋅181=32761 ≡ 488 mod 547

32: 464³²=464¹⁶⁺¹⁶=464¹⁶⋅464¹⁶ ≡ 488⋅488=238144 ≡ 199 mod 547

64: 464⁶⁴=464³²⁺³²=464³²⋅464³² ≡ 199⋅199=39601 ≡ 217 mod 547

128: 464¹²⁸=464⁶⁴⁺⁶⁴=464⁶⁴⋅464⁶⁴ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 47 mod 547

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:

240 = 128+64+32+16

570²⁴⁰

= 570^128+64+32+16

= 570¹²⁸⋅570⁶⁴⋅570³²⋅570¹⁶

≡ 148 ⋅ 164 ⋅ 687 ⋅ 54 mod 743
≡ 24272 ⋅ 687 ⋅ 54 mod 743 ≡ 496 ⋅ 687 ⋅ 54 mod 743
≡ 340752 ⋅ 54 mod 743 ≡ 458 ⋅ 54 mod 743
≡ 24732 mod 743 ≡ 213 mod 743

Es gilt also: 570²⁴⁰ ≡ 213 mod 743

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 40

=>101	= 2⋅40 + 21
=>40	= 1⋅21 + 19
=>21	= 1⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 21-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1)
19= 40-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21) = -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1)
21= 101-2⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅40 -19⋅(101 -2⋅ 40) = 10⋅40 -19⋅101 +38⋅ 40) = -19⋅101 +48⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(101,40)=1 = -19⋅101 +48⋅40

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +48⋅40

Es gilt also: 48⋅40 = 19⋅101 +1

Somit 48⋅40 = 1 mod 101

48 ist also das Inverse von 40 mod 101