Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31999 - 164) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31999 - 164) mod 8 ≡ (31999 mod 8 - 164 mod 8) mod 8.
31999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31999
= 31000
164 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164
= 160
Somit gilt:
(31999 - 164) mod 8 ≡ (7 - 4) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 21) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 21) mod 3 ≡ (100 mod 3 ⋅ 21 mod 3) mod 3.
100 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 33 ⋅ 3 + 1 ist.
21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 21) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 464128 mod 547.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 464 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4641=464
2: 4642=4641+1=4641⋅4641 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 325 mod 547
4: 4644=4642+2=4642⋅4642 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 54 mod 547
8: 4648=4644+4=4644⋅4644 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 181 mod 547
16: 46416=4648+8=4648⋅4648 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 488 mod 547
32: 46432=46416+16=46416⋅46416 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 199 mod 547
64: 46464=46432+32=46432⋅46432 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 217 mod 547
128: 464128=46464+64=46464⋅46464 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 47 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 570240 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:
240 = 128+64+32+16
1: 5701=570
2: 5702=5701+1=5701⋅5701 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 209 mod 743
4: 5704=5702+2=5702⋅5702 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 587 mod 743
8: 5708=5704+4=5704⋅5704 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 560 mod 743
16: 57016=5708+8=5708⋅5708 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 54 mod 743
32: 57032=57016+16=57016⋅57016 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 687 mod 743
64: 57064=57032+32=57032⋅57032 ≡ 687⋅687=471969 ≡ 164 mod 743
128: 570128=57064+64=57064⋅57064 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 148 mod 743
570240
= 570128+64+32+16
= 570128⋅57064⋅57032⋅57016
≡ 148 ⋅ 164 ⋅ 687 ⋅ 54 mod 743
≡ 24272 ⋅ 687 ⋅ 54 mod 743 ≡ 496 ⋅ 687 ⋅ 54 mod 743
≡ 340752 ⋅ 54 mod 743 ≡ 458 ⋅ 54 mod 743
≡ 24732 mod 743 ≡ 213 mod 743
Es gilt also: 570240 ≡ 213 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 40
| =>101 | = 2⋅40 + 21 |
| =>40 | = 1⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 40-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅40 -19⋅(101 -2⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅101 +38⋅ 40) = -19⋅101 +48⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,40)=1 = -19⋅101 +48⋅40
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +48⋅40
Es gilt also: 48⋅40 = 19⋅101 +1
Somit 48⋅40 = 1 mod 101
48 ist also das Inverse von 40 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
