Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 - 1602) mod 8 ≡ (78 mod 8 - 1602 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 80-2 = 8 ⋅ 10 -2 = 8 ⋅ 10 - 8 + 6.

1602 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 8 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(78 - 1602) mod 8 ≡ (6 - 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 96) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 96) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 112¹=112

2: 112²=112¹⁺¹=112¹⋅112¹ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 181 mod 317

4: 112⁴=112²⁺²=112²⋅112² ≡ 181⋅181=32761 ≡ 110 mod 317

8: 112⁸=112⁴⁺⁴=112⁴⋅112⁴ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 54 mod 317

16: 112¹⁶=112⁸⁺⁸=112⁸⋅112⁸ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 63 mod 317

32: 112³²=112¹⁶⁺¹⁶=112¹⁶⋅112¹⁶ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 165 mod 317

64: 112⁶⁴=112³²⁺³²=112³²⋅112³² ≡ 165⋅165=27225 ≡ 280 mod 317

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

443²¹⁷

= 443^{128+64+16+8+1}

= 443¹²⁸⋅443⁶⁴⋅443¹⁶⋅443⁸⋅443¹

≡ 15 ⋅ 640 ⋅ 41 ⋅ 353 ⋅ 443 mod 677
≡ 9600 ⋅ 41 ⋅ 353 ⋅ 443 mod 677 ≡ 122 ⋅ 41 ⋅ 353 ⋅ 443 mod 677
≡ 5002 ⋅ 353 ⋅ 443 mod 677 ≡ 263 ⋅ 353 ⋅ 443 mod 677
≡ 92839 ⋅ 443 mod 677 ≡ 90 ⋅ 443 mod 677
≡ 39870 mod 677 ≡ 604 mod 677

Es gilt also: 443²¹⁷ ≡ 604 mod 677

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71	= 1⋅42 + 29
=>42	= 1⋅29 + 13
=>29	= 2⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29) = -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42) = 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71