Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5997 + 234) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5997 + 234) mod 6 ≡ (5997 mod 6 + 234 mod 6) mod 6.
5997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997
= 6000
234 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234
= 240
Somit gilt:
(5997 + 234) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 43) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 43) mod 10 ≡ (48 mod 10 ⋅ 43 mod 10) mod 10.
48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.
43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 43) mod 10 ≡ (8 ⋅ 3) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57916 mod 919.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 579 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5791=579
2: 5792=5791+1=5791⋅5791 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 725 mod 919
4: 5794=5792+2=5792⋅5792 ≡ 725⋅725=525625 ≡ 876 mod 919
8: 5798=5794+4=5794⋅5794 ≡ 876⋅876=767376 ≡ 11 mod 919
16: 57916=5798+8=5798⋅5798 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 357224 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 3571=357
2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 105 mod 379
4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 34 mod 379
8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 19 mod 379
16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 379
32: 35732=35716+16=35716⋅35716 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 324 mod 379
64: 35764=35732+32=35732⋅35732 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 372 mod 379
128: 357128=35764+64=35764⋅35764 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 49 mod 379
357224
= 357128+64+32
= 357128⋅35764⋅35732
≡ 49 ⋅ 372 ⋅ 324 mod 379
≡ 18228 ⋅ 324 mod 379 ≡ 36 ⋅ 324 mod 379
≡ 11664 mod 379 ≡ 294 mod 379
Es gilt also: 357224 ≡ 294 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 59
| =>83 | = 1⋅59 + 24 |
| =>59 | = 2⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1) |
| 24= 83-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅59 -27⋅(83 -1⋅ 59)
= 11⋅59 -27⋅83 +27⋅ 59) = -27⋅83 +38⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,59)=1 = -27⋅83 +38⋅59
oder wenn man -27⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅83 = +38⋅59
Es gilt also: 38⋅59 = 27⋅83 +1
Somit 38⋅59 = 1 mod 83
38 ist also das Inverse von 59 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
