Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17995 + 305) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17995 + 305) mod 6 ≡ (17995 mod 6 + 305 mod 6) mod 6.

17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995 = 18000-5 = 6 ⋅ 3000 -5 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 1.

305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305 = 300+5 = 6 ⋅ 50 +5.

Somit gilt:

(17995 + 305) mod 6 ≡ (1 + 5) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 91) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 91) mod 7 ≡ (21 mod 7 ⋅ 91 mod 7) mod 7.

21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.

91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 91) mod 7 ≡ (0 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 45916 mod 941.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 459 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4591=459

2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 838 mod 941

4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 838⋅838=702244 ≡ 258 mod 941

8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 694 mod 941

16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 785 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 447197 mod 911.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:

197 = 128+64+4+1

1: 4471=447

2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 300 mod 911

4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 722 mod 911

8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 192 mod 911

16: 44716=4478+8=4478⋅4478 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 424 mod 911

32: 44732=44716+16=44716⋅44716 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 309 mod 911

64: 44764=44732+32=44732⋅44732 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 737 mod 911

128: 447128=44764+64=44764⋅44764 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 213 mod 911

447197

= 447128+64+4+1

= 447128⋅44764⋅4474⋅4471

213 ⋅ 737 ⋅ 722 ⋅ 447 mod 911
156981 ⋅ 722 ⋅ 447 mod 911 ≡ 289 ⋅ 722 ⋅ 447 mod 911
208658 ⋅ 447 mod 911 ≡ 39 ⋅ 447 mod 911
17433 mod 911 ≡ 124 mod 911

Es gilt also: 447197 ≡ 124 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43

=>53 = 1⋅43 + 10
=>43 = 4⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 43-4⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10)
= -3⋅43 +13⋅ 10 (=1)
10= 53-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43)
= 13⋅53 -16⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43

oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅53 = -16⋅43

-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43

-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1

(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1

37⋅43 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1

Somit 37⋅43 = 1 mod 53

37 ist also das Inverse von 43 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.