Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2395 + 296) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2395 + 296) mod 6 ≡ (2395 mod 6 + 296 mod 6) mod 6.
2395 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395
= 2400
296 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 296
= 300
Somit gilt:
(2395 + 296) mod 6 ≡ (1 + 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 60) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 60) mod 4 ≡ (41 mod 4 ⋅ 60 mod 4) mod 4.
41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.
60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 60) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29232 mod 593.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 465 mod 593
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 373 mod 593
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 367 mod 593
16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 78 mod 593
32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 154 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 514215 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:
215 = 128+64+16+4+2+1
1: 5141=514
2: 5142=5141+1=5141⋅5141 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 357 mod 601
4: 5144=5142+2=5142⋅5142 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 37 mod 601
8: 5148=5144+4=5144⋅5144 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 167 mod 601
16: 51416=5148+8=5148⋅5148 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 243 mod 601
32: 51432=51416+16=51416⋅51416 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 151 mod 601
64: 51464=51432+32=51432⋅51432 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 564 mod 601
128: 514128=51464+64=51464⋅51464 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 167 mod 601
514215
= 514128+64+16+4+2+1
= 514128⋅51464⋅51416⋅5144⋅5142⋅5141
≡ 167 ⋅ 564 ⋅ 243 ⋅ 37 ⋅ 357 ⋅ 514 mod 601
≡ 94188 ⋅ 243 ⋅ 37 ⋅ 357 ⋅ 514 mod 601 ≡ 432 ⋅ 243 ⋅ 37 ⋅ 357 ⋅ 514 mod 601
≡ 104976 ⋅ 37 ⋅ 357 ⋅ 514 mod 601 ≡ 402 ⋅ 37 ⋅ 357 ⋅ 514 mod 601
≡ 14874 ⋅ 357 ⋅ 514 mod 601 ≡ 450 ⋅ 357 ⋅ 514 mod 601
≡ 160650 ⋅ 514 mod 601 ≡ 183 ⋅ 514 mod 601
≡ 94062 mod 601 ≡ 306 mod 601
Es gilt also: 514215 ≡ 306 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
