Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13996 - 28004) mod 7 ≡ (13996 mod 7 - 28004 mod 7) mod 7.

13996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13996 = 14000-4 = 7 ⋅ 2000 -4 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 3.

28004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28004 = 28000+4 = 7 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(13996 - 28004) mod 7 ≡ (3 - 4) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 20) mod 4 ≡ (100 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.

100 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 25 ⋅ 4 + 0 ist.

20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 20) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 358¹=358

2: 358²=358¹⁺¹=358¹⋅358¹ ≡ 358⋅358=128164 ≡ 271 mod 479

4: 358⁴=358²⁺²=358²⋅358² ≡ 271⋅271=73441 ≡ 154 mod 479

8: 358⁸=358⁴⁺⁴=358⁴⋅358⁴ ≡ 154⋅154=23716 ≡ 245 mod 479

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

244¹¹⁹

= 244^{64+32+16+4+2+1}

= 244⁶⁴⋅244³²⋅244¹⁶⋅244⁴⋅244²⋅244¹

≡ 39 ⋅ 268 ⋅ 189 ⋅ 26 ⋅ 57 ⋅ 244 mod 293
≡ 10452 ⋅ 189 ⋅ 26 ⋅ 57 ⋅ 244 mod 293 ≡ 197 ⋅ 189 ⋅ 26 ⋅ 57 ⋅ 244 mod 293
≡ 37233 ⋅ 26 ⋅ 57 ⋅ 244 mod 293 ≡ 22 ⋅ 26 ⋅ 57 ⋅ 244 mod 293
≡ 572 ⋅ 57 ⋅ 244 mod 293 ≡ 279 ⋅ 57 ⋅ 244 mod 293
≡ 15903 ⋅ 244 mod 293 ≡ 81 ⋅ 244 mod 293
≡ 19764 mod 293 ≡ 133 mod 293

Es gilt also: 244¹¹⁹ ≡ 133 mod 293

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89	= 1⋅77 + 12
=>77	= 6⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77) = 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89