Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3596 + 187) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3596 + 187) mod 9 ≡ (3596 mod 9 + 187 mod 9) mod 9.
3596 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3596
= 3600
187 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 187
= 180
Somit gilt:
(3596 + 187) mod 9 ≡ (5 + 7) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 32) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 32) mod 9 ≡ (27 mod 9 ⋅ 32 mod 9) mod 9.
27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.
32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 32) mod 9 ≡ (0 ⋅ 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 497128 mod 739.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 497 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4971=497
2: 4972=4971+1=4971⋅4971 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 183 mod 739
4: 4974=4972+2=4972⋅4972 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 234 mod 739
8: 4978=4974+4=4974⋅4974 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 70 mod 739
16: 49716=4978+8=4978⋅4978 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 466 mod 739
32: 49732=49716+16=49716⋅49716 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 629 mod 739
64: 49764=49732+32=49732⋅49732 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 276 mod 739
128: 497128=49764+64=49764⋅49764 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 59 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 677102 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 6771=677
2: 6772=6771+1=6771⋅6771 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 938 mod 967
4: 6774=6772+2=6772⋅6772 ≡ 938⋅938=879844 ≡ 841 mod 967
8: 6778=6774+4=6774⋅6774 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 404 mod 967
16: 67716=6778+8=6778⋅6778 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 760 mod 967
32: 67732=67716+16=67716⋅67716 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 301 mod 967
64: 67764=67732+32=67732⋅67732 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 670 mod 967
677102
= 67764+32+4+2
= 67764⋅67732⋅6774⋅6772
≡ 670 ⋅ 301 ⋅ 841 ⋅ 938 mod 967
≡ 201670 ⋅ 841 ⋅ 938 mod 967 ≡ 534 ⋅ 841 ⋅ 938 mod 967
≡ 449094 ⋅ 938 mod 967 ≡ 406 ⋅ 938 mod 967
≡ 380828 mod 967 ≡ 797 mod 967
Es gilt also: 677102 ≡ 797 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34
| =>97 | = 2⋅34 + 29 |
| =>34 | = 1⋅29 + 5 |
| =>29 | = 5⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 29-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5) = -1⋅29 +6⋅ 5 (=1) |
| 5= 34-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29) = 6⋅34 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34)
= 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34) = -7⋅97 +20⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +20⋅34
Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1
Somit 20⋅34 = 1 mod 97
20 ist also das Inverse von 34 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
