Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1800 - 11998) mod 6 ≡ (1800 mod 6 - 11998 mod 6) mod 6.

1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 6 ⋅ 300 +0.

11998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 12000-2 = 6 ⋅ 2000 -2 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(1800 - 11998) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 48) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 48 mod 7) mod 7.

58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.

48 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 42 + 6 = 6 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 48) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 165¹=165

2: 165²=165¹⁺¹=165¹⋅165¹ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 19 mod 223

4: 165⁴=165²⁺²=165²⋅165² ≡ 19⋅19=361 ≡ 138 mod 223

8: 165⁸=165⁴⁺⁴=165⁴⋅165⁴ ≡ 138⋅138=19044 ≡ 89 mod 223

16: 165¹⁶=165⁸⁺⁸=165⁸⋅165⁸ ≡ 89⋅89=7921 ≡ 116 mod 223

32: 165³²=165¹⁶⁺¹⁶=165¹⁶⋅165¹⁶ ≡ 116⋅116=13456 ≡ 76 mod 223

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

641¹⁸⁵

= 641^{128+32+16+8+1}

= 641¹²⁸⋅641³²⋅641¹⁶⋅641⁸⋅641¹

≡ 916 ⋅ 574 ⋅ 795 ⋅ 283 ⋅ 641 mod 967
≡ 525784 ⋅ 795 ⋅ 283 ⋅ 641 mod 967 ≡ 703 ⋅ 795 ⋅ 283 ⋅ 641 mod 967
≡ 558885 ⋅ 283 ⋅ 641 mod 967 ≡ 926 ⋅ 283 ⋅ 641 mod 967
≡ 262058 ⋅ 641 mod 967 ≡ 1 ⋅ 641 mod 967
≡ 641 mod 967

Es gilt also: 641¹⁸⁵ ≡ 641 mod 967

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23

=>59	= 2⋅23 + 13
=>23	= 1⋅13 + 10
=>13	= 1⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 13-1⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1)
10= 23-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13) = -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23) = 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +18⋅23

Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1

Somit 18⋅23 = 1 mod 59

18 ist also das Inverse von 23 mod 59