Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11999 - 200) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11999 - 200) mod 4 ≡ (11999 mod 4 - 200 mod 4) mod 4.

11999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 11000+999 = 4 ⋅ 2750 +999.

200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 4 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(11999 - 200) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 94) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 94) mod 3 ≡ (23 mod 3 ⋅ 94 mod 3) mod 3.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 94) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16364 mod 251.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 163 -> x
2. mod(x²,251) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1631=163

2: 1632=1631+1=1631⋅1631 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 214 mod 251

4: 1634=1632+2=1632⋅1632 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 114 mod 251

8: 1638=1634+4=1634⋅1634 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 195 mod 251

16: 16316=1638+8=1638⋅1638 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 124 mod 251

32: 16332=16316+16=16316⋅16316 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 65 mod 251

64: 16364=16332+32=16332⋅16332 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 209 mod 251

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 238151 mod 761.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

1: 2381=238

2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 330 mod 761

4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 77 mod 761

8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 602 mod 761

16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 168 mod 761

32: 23832=23816+16=23816⋅23816 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 67 mod 761

64: 23864=23832+32=23832⋅23832 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 684 mod 761

128: 238128=23864+64=23864⋅23864 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 602 mod 761

238151

= 238128+16+4+2+1

= 238128⋅23816⋅2384⋅2382⋅2381

602 ⋅ 168 ⋅ 77 ⋅ 330 ⋅ 238 mod 761
101136 ⋅ 77 ⋅ 330 ⋅ 238 mod 761 ≡ 684 ⋅ 77 ⋅ 330 ⋅ 238 mod 761
52668 ⋅ 330 ⋅ 238 mod 761 ≡ 159 ⋅ 330 ⋅ 238 mod 761
52470 ⋅ 238 mod 761 ≡ 722 ⋅ 238 mod 761
171836 mod 761 ≡ 611 mod 761

Es gilt also: 238151 ≡ 611 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.

Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64

=>97 = 1⋅64 + 33
=>64 = 1⋅33 + 31
=>33 = 1⋅31 + 2
=>31 = 15⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31)
= -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 64-1⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33)
= 16⋅64 -31⋅ 33 (=1)
33= 97-1⋅64 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64)
= -31⋅97 +47⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64

oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅97 = +47⋅64

Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1

Somit 47⋅64 = 1 mod 97

47 ist also das Inverse von 64 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.