Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5996 + 30002) mod 6 ≡ (5996 mod 6 + 30002 mod 6) mod 6.

5996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5996 = 6000-4 = 6 ⋅ 1000 -4 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 2.

30002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30002 = 30000+2 = 6 ⋅ 5000 +2.

Somit gilt:

(5996 + 30002) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 65) mod 8 ≡ (31 mod 8 ⋅ 65 mod 8) mod 8.

31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.

65 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 65) mod 8 ≡ (7 ⋅ 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 264¹=264

2: 264²=264¹⁺¹=264¹⋅264¹ ≡ 264⋅264=69696 ≡ 403 mod 521

4: 264⁴=264²⁺²=264²⋅264² ≡ 403⋅403=162409 ≡ 378 mod 521

8: 264⁸=264⁴⁺⁴=264⁴⋅264⁴ ≡ 378⋅378=142884 ≡ 130 mod 521

16: 264¹⁶=264⁸⁺⁸=264⁸⋅264⁸ ≡ 130⋅130=16900 ≡ 228 mod 521

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

273²⁵¹

= 273^{128+64+32+16+8+2+1}

= 273¹²⁸⋅273⁶⁴⋅273³²⋅273¹⁶⋅273⁸⋅273²⋅273¹

≡ 52 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337
≡ 3328 ⋅ 8 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337 ≡ 295 ⋅ 8 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337
≡ 2360 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337 ≡ 1 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337
≡ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337
≡ 3328 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337 ≡ 295 ⋅ 52 ⋅ 273 mod 337
≡ 15340 ⋅ 273 mod 337 ≡ 175 ⋅ 273 mod 337
≡ 47775 mod 337 ≡ 258 mod 337

Es gilt also: 273²⁵¹ ≡ 258 mod 337

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53	= 2⋅20 + 13
=>20	= 1⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20) = 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53