Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13995 - 35000) mod 7 ≡ (13995 mod 7 - 35000 mod 7) mod 7.

13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995 = 14000-5 = 7 ⋅ 2000 -5 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 2.

35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000 = 35000+0 = 7 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(13995 - 35000) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 75) mod 8 ≡ (19 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.

19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 75) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 340¹=340

2: 340²=340¹⁺¹=340¹⋅340¹ ≡ 340⋅340=115600 ≡ 725 mod 919

4: 340⁴=340²⁺²=340²⋅340² ≡ 725⋅725=525625 ≡ 876 mod 919

8: 340⁸=340⁴⁺⁴=340⁴⋅340⁴ ≡ 876⋅876=767376 ≡ 11 mod 919

16: 340¹⁶=340⁸⁺⁸=340⁸⋅340⁸ ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 919

32: 340³²=340¹⁶⁺¹⁶=340¹⁶⋅340¹⁶ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 856 mod 919

64: 340⁶⁴=340³²⁺³²=340³²⋅340³² ≡ 856⋅856=732736 ≡ 293 mod 919

128: 340¹²⁸=340⁶⁴⁺⁶⁴=340⁶⁴⋅340⁶⁴ ≡ 293⋅293=85849 ≡ 382 mod 919

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

679¹⁵⁸

= 679^128+16+8+4+2

= 679¹²⁸⋅679¹⁶⋅679⁸⋅679⁴⋅679²

≡ 353 ⋅ 343 ⋅ 79 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 983
≡ 121079 ⋅ 79 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 983 ≡ 170 ⋅ 79 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 983
≡ 13430 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 983 ≡ 651 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 983
≡ 127596 ⋅ 14 mod 983 ≡ 789 ⋅ 14 mod 983
≡ 11046 mod 983 ≡ 233 mod 983

Es gilt also: 679¹⁵⁸ ≡ 233 mod 983

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79	= 2⋅33 + 13
=>33	= 2⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33) = 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79