Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2997 + 1202) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2997 + 1202) mod 6 ≡ (2997 mod 6 + 1202 mod 6) mod 6.
2997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
1202 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202
= 1200
Somit gilt:
(2997 + 1202) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 26) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 26) mod 6 ≡ (47 mod 6 ⋅ 26 mod 6) mod 6.
47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.
26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 26) mod 6 ≡ (5 ⋅ 2) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2408 mod 563.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2401=240
2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 174 mod 563
4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 437 mod 563
8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 112 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 433105 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 105 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 105 an und zerlegen 105 in eine Summer von 2er-Potenzen:
105 = 64+32+8+1
1: 4331=433
2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 236 mod 587
4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 518 mod 587
8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 65 mod 587
16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 116 mod 587
32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 542 mod 587
64: 43364=43332+32=43332⋅43332 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 264 mod 587
433105
= 43364+32+8+1
= 43364⋅43332⋅4338⋅4331
≡ 264 ⋅ 542 ⋅ 65 ⋅ 433 mod 587
≡ 143088 ⋅ 65 ⋅ 433 mod 587 ≡ 447 ⋅ 65 ⋅ 433 mod 587
≡ 29055 ⋅ 433 mod 587 ≡ 292 ⋅ 433 mod 587
≡ 126436 mod 587 ≡ 231 mod 587
Es gilt also: 433105 ≡ 231 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22
| =>71 | = 3⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -29⋅22
-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22
-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1
(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1
42⋅22 = 13⋅71 + 1
Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1
Somit 42⋅22 = 1 mod 71
42 ist also das Inverse von 22 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
