Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (405 + 16003) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(405 + 16003) mod 8 ≡ (405 mod 8 + 16003 mod 8) mod 8.

405 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 405 = 400+5 = 8 ⋅ 50 +5.

16003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003 = 16000+3 = 8 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(405 + 16003) mod 8 ≡ (5 + 3) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 63) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 63) mod 6 ≡ (51 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.

51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 63) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21832 mod 239.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 218 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2181=218

2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 202 mod 239

4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 174 mod 239

8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 162 mod 239

16: 21816=2188+8=2188⋅2188 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 193 mod 239

32: 21832=21816+16=21816⋅21816 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 204 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 735170 mod 853.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

1: 7351=735

2: 7352=7351+1=7351⋅7351 ≡ 735⋅735=540225 ≡ 276 mod 853

4: 7354=7352+2=7352⋅7352 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 259 mod 853

8: 7358=7354+4=7354⋅7354 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 547 mod 853

16: 73516=7358+8=7358⋅7358 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 659 mod 853

32: 73532=73516+16=73516⋅73516 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 104 mod 853

64: 73564=73532+32=73532⋅73532 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 580 mod 853

128: 735128=73564+64=73564⋅73564 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 318 mod 853

735170

= 735128+32+8+2

= 735128⋅73532⋅7358⋅7352

318 ⋅ 104 ⋅ 547 ⋅ 276 mod 853
33072 ⋅ 547 ⋅ 276 mod 853 ≡ 658 ⋅ 547 ⋅ 276 mod 853
359926 ⋅ 276 mod 853 ≡ 813 ⋅ 276 mod 853
224388 mod 853 ≡ 49 mod 853

Es gilt also: 735170 ≡ 49 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54

=>79 = 1⋅54 + 25
=>54 = 2⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 54-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25)
= -6⋅54 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54)
= 13⋅79 -19⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -19⋅54

-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54

-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1

(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1

60⋅54 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1

Somit 60⋅54 = 1 mod 79

60 ist also das Inverse von 54 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.