Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 - 3999) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 - 3999) mod 8 ≡ (74 mod 8 - 3999 mod 8) mod 8.

74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 80-6 = 8 ⋅ 10 -6 = 8 ⋅ 10 - 8 + 2.

3999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999 = 4000-1 = 8 ⋅ 500 -1 = 8 ⋅ 500 - 8 + 7.

Somit gilt:

(74 - 3999) mod 8 ≡ (2 - 7) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 55) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 55) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 55 mod 10) mod 10.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 55) mod 10 ≡ (3 ⋅ 5) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18632 mod 241.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 186 -> x
2. mod(x²,241) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1861=186

2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 133 mod 241

4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 96 mod 241

8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 58 mod 241

16: 18616=1868+8=1868⋅1868 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 231 mod 241

32: 18632=18616+16=18616⋅18616 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 100 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 269191 mod 863.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 2691=269

2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 732 mod 863

4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 764 mod 863

8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 764⋅764=583696 ≡ 308 mod 863

16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 797 mod 863

32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 41 mod 863

64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 818 mod 863

128: 269128=26964+64=26964⋅26964 ≡ 818⋅818=669124 ≡ 299 mod 863

269191

= 269128+32+16+8+4+2+1

= 269128⋅26932⋅26916⋅2698⋅2694⋅2692⋅2691

299 ⋅ 41 ⋅ 797 ⋅ 308 ⋅ 764 ⋅ 732 ⋅ 269 mod 863
12259 ⋅ 797 ⋅ 308 ⋅ 764 ⋅ 732 ⋅ 269 mod 863 ≡ 177 ⋅ 797 ⋅ 308 ⋅ 764 ⋅ 732 ⋅ 269 mod 863
141069 ⋅ 308 ⋅ 764 ⋅ 732 ⋅ 269 mod 863 ≡ 400 ⋅ 308 ⋅ 764 ⋅ 732 ⋅ 269 mod 863
123200 ⋅ 764 ⋅ 732 ⋅ 269 mod 863 ≡ 654 ⋅ 764 ⋅ 732 ⋅ 269 mod 863
499656 ⋅ 732 ⋅ 269 mod 863 ≡ 842 ⋅ 732 ⋅ 269 mod 863
616344 ⋅ 269 mod 863 ≡ 162 ⋅ 269 mod 863
43578 mod 863 ≡ 428 mod 863

Es gilt also: 269191 ≡ 428 mod 863

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44

=>53 = 1⋅44 + 9
=>44 = 4⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9)
= -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44)
= 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -6⋅44

-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44

-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1

(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1

47⋅44 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1

Somit 47⋅44 = 1 mod 53

47 ist also das Inverse von 44 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.