Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (496 - 14997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(496 - 14997) mod 5 ≡ (496 mod 5 - 14997 mod 5) mod 5.
496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 496
= 400
14997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997
= 14000
Somit gilt:
(496 - 14997) mod 5 ≡ (1 - 2) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 22) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 22) mod 10 ≡ (36 mod 10 ⋅ 22 mod 10) mod 10.
36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.
22 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 2 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 22) mod 10 ≡ (6 ⋅ 2) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27816 mod 863.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 278 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2781=278
2: 2782=2781+1=2781⋅2781 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 477 mod 863
4: 2784=2782+2=2782⋅2782 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 560 mod 863
8: 2788=2784+4=2784⋅2784 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 331 mod 863
16: 27816=2788+8=2788⋅2788 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 823 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 522124 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:
124 = 64+32+16+8+4
1: 5221=522
2: 5222=5221+1=5221⋅5221 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 78 mod 547
4: 5224=5222+2=5222⋅5222 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 67 mod 547
8: 5228=5224+4=5224⋅5224 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 113 mod 547
16: 52216=5228+8=5228⋅5228 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 188 mod 547
32: 52232=52216+16=52216⋅52216 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 336 mod 547
64: 52264=52232+32=52232⋅52232 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 214 mod 547
522124
= 52264+32+16+8+4
= 52264⋅52232⋅52216⋅5228⋅5224
≡ 214 ⋅ 336 ⋅ 188 ⋅ 113 ⋅ 67 mod 547
≡ 71904 ⋅ 188 ⋅ 113 ⋅ 67 mod 547 ≡ 247 ⋅ 188 ⋅ 113 ⋅ 67 mod 547
≡ 46436 ⋅ 113 ⋅ 67 mod 547 ≡ 488 ⋅ 113 ⋅ 67 mod 547
≡ 55144 ⋅ 67 mod 547 ≡ 444 ⋅ 67 mod 547
≡ 29748 mod 547 ≡ 210 mod 547
Es gilt also: 522124 ≡ 210 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78
| =>97 | = 1⋅78 + 19 |
| =>78 | = 4⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 78-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1) |
| 19= 97-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78
oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -37⋅97 = -46⋅78
-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78
-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1
(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1
51⋅78 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1
Somit 51⋅78 = 1 mod 97
51 ist also das Inverse von 78 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
