Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (210 + 2095) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(210 + 2095) mod 7 ≡ (210 mod 7 + 2095 mod 7) mod 7.
210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210
= 210
2095 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2095
= 2100
Somit gilt:
(210 + 2095) mod 7 ≡ (0 + 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 92) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 92) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 92 mod 3) mod 3.
24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.
92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 92) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41432 mod 643.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 414 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4141=414
2: 4142=4141+1=4141⋅4141 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 358 mod 643
4: 4144=4142+2=4142⋅4142 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 207 mod 643
8: 4148=4144+4=4144⋅4144 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 411 mod 643
16: 41416=4148+8=4148⋅4148 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 455 mod 643
32: 41432=41416+16=41416⋅41416 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 622 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10290 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 1021=102
2: 1022=1021+1=1021⋅1021 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 65 mod 211
4: 1024=1022+2=1022⋅1022 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 5 mod 211
8: 1028=1024+4=1024⋅1024 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 211
16: 10216=1028+8=1028⋅1028 ≡ 25⋅25=625 ≡ 203 mod 211
32: 10232=10216+16=10216⋅10216 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 64 mod 211
64: 10264=10232+32=10232⋅10232 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 87 mod 211
10290
= 10264+16+8+2
= 10264⋅10216⋅1028⋅1022
≡ 87 ⋅ 203 ⋅ 25 ⋅ 65 mod 211
≡ 17661 ⋅ 25 ⋅ 65 mod 211 ≡ 148 ⋅ 25 ⋅ 65 mod 211
≡ 3700 ⋅ 65 mod 211 ≡ 113 ⋅ 65 mod 211
≡ 7345 mod 211 ≡ 171 mod 211
Es gilt also: 10290 ≡ 171 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
