Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2702 - 27009) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2702 - 27009) mod 9 ≡ (2702 mod 9 - 27009 mod 9) mod 9.
2702 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2702
= 2700
27009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27009
= 27000
Somit gilt:
(2702 - 27009) mod 9 ≡ (2 - 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 92) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 92) mod 11 ≡ (55 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.
55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.
92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 92) mod 11 ≡ (0 ⋅ 4) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2808 mod 491.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 280 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 331 mod 491
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 68 mod 491
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 205 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 208167 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:
167 = 128+32+4+2+1
1: 2081=208
2: 2082=2081+1=2081⋅2081 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 350 mod 499
4: 2084=2082+2=2082⋅2082 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 245 mod 499
8: 2088=2084+4=2084⋅2084 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 145 mod 499
16: 20816=2088+8=2088⋅2088 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 67 mod 499
32: 20832=20816+16=20816⋅20816 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 497 mod 499
64: 20864=20832+32=20832⋅20832 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 4 mod 499
128: 208128=20864+64=20864⋅20864 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 499
208167
= 208128+32+4+2+1
= 208128⋅20832⋅2084⋅2082⋅2081
≡ 16 ⋅ 497 ⋅ 245 ⋅ 350 ⋅ 208 mod 499
≡ 7952 ⋅ 245 ⋅ 350 ⋅ 208 mod 499 ≡ 467 ⋅ 245 ⋅ 350 ⋅ 208 mod 499
≡ 114415 ⋅ 350 ⋅ 208 mod 499 ≡ 144 ⋅ 350 ⋅ 208 mod 499
≡ 50400 ⋅ 208 mod 499 ≡ 1 ⋅ 208 mod 499
≡ 208 mod 499
Es gilt also: 208167 ≡ 208 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 77.
Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 77
| =>83 | = 1⋅77 + 6 |
| =>77 | = 12⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,77)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 77-12⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(77 -12⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅77 +12⋅ 6) = -1⋅77 +13⋅ 6 (=1) |
| 6= 83-1⋅77 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅77 +13⋅(83 -1⋅ 77)
= -1⋅77 +13⋅83 -13⋅ 77) = 13⋅83 -14⋅ 77 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,77)=1 = 13⋅83 -14⋅77
oder wenn man 13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅83 = -14⋅77
-14⋅77 = -13⋅83 + 1 |+83⋅77
-14⋅77 + 83⋅77 = -13⋅83 + 83⋅77 + 1
(-14 + 83) ⋅ 77 = (-13 + 77) ⋅ 83 + 1
69⋅77 = 64⋅83 + 1
Es gilt also: 69⋅77 = 64⋅83 +1
Somit 69⋅77 = 1 mod 83
69 ist also das Inverse von 77 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
