Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (448 - 892) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(448 - 892) mod 9 ≡ (448 mod 9 - 892 mod 9) mod 9.

448 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 448 = 450-2 = 9 ⋅ 50 -2 = 9 ⋅ 50 - 9 + 7.

892 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 892 = 900-8 = 9 ⋅ 100 -8 = 9 ⋅ 100 - 9 + 1.

Somit gilt:

(448 - 892) mod 9 ≡ (7 - 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 16) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 16) mod 4 ≡ (40 mod 4 ⋅ 16 mod 4) mod 4.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 16) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3678 mod 941.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 367 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3671=367

2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 126 mod 941

4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 820 mod 941

8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 526 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 409224 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:

224 = 128+64+32

1: 4091=409

2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 270 mod 443

4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 248 mod 443

8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 370 mod 443

16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 13 mod 443

32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 443

64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 209 mod 443

128: 409128=40964+64=40964⋅40964 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 267 mod 443

409224

= 409128+64+32

= 409128⋅40964⋅40932

267 ⋅ 209 ⋅ 169 mod 443
55803 ⋅ 169 mod 443 ≡ 428 ⋅ 169 mod 443
72332 mod 443 ≡ 123 mod 443

Es gilt also: 409224 ≡ 123 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51

=>89 = 1⋅51 + 38
=>51 = 1⋅38 + 13
=>38 = 2⋅13 + 12
=>13 = 1⋅12 + 1
=>12 = 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13)
= -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 51-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38)
= 3⋅51 -4⋅ 38 (=1)
38= 89-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51)
= -4⋅89 +7⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51

oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅89 = +7⋅51

Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1

Somit 7⋅51 = 1 mod 89

7 ist also das Inverse von 51 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.