Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (10002 - 20002) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10002 - 20002) mod 5 ≡ (10002 mod 5 - 20002 mod 5) mod 5.

10002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10002 = 10000+2 = 5 ⋅ 2000 +2.

20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 5 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(10002 - 20002) mod 5 ≡ (2 - 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 83) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 83) mod 3 ≡ (23 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 83) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26216 mod 821.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 262 -> x
2. mod(x²,821) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2621=262

2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 501 mod 821

4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 596 mod 821

8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 544 mod 821

16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 376 mod 821

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 601165 mod 829.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:

165 = 128+32+4+1

1: 6011=601

2: 6012=6011+1=6011⋅6011 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 586 mod 829

4: 6014=6012+2=6012⋅6012 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 190 mod 829

8: 6018=6014+4=6014⋅6014 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 453 mod 829

16: 60116=6018+8=6018⋅6018 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 446 mod 829

32: 60132=60116+16=60116⋅60116 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 785 mod 829

64: 60164=60132+32=60132⋅60132 ≡ 785⋅785=616225 ≡ 278 mod 829

128: 601128=60164+64=60164⋅60164 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 187 mod 829

601165

= 601128+32+4+1

= 601128⋅60132⋅6014⋅6011

187 ⋅ 785 ⋅ 190 ⋅ 601 mod 829
146795 ⋅ 190 ⋅ 601 mod 829 ≡ 62 ⋅ 190 ⋅ 601 mod 829
11780 ⋅ 601 mod 829 ≡ 174 ⋅ 601 mod 829
104574 mod 829 ≡ 120 mod 829

Es gilt also: 601165 ≡ 120 mod 829

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42

=>79 = 1⋅42 + 37
=>42 = 1⋅37 + 5
=>37 = 7⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 37-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5)
= -2⋅37 +15⋅ 5 (=1)
5= 42-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37)
= 15⋅42 -17⋅ 37 (=1)
37= 79-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42)
= -17⋅79 +32⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +32⋅42

Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1

Somit 32⋅42 = 1 mod 79

32 ist also das Inverse von 42 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.