Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 - 8999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 - 8999) mod 3 ≡ (27 mod 3 - 8999 mod 3) mod 3.
27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27
= 30
8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999
= 9000
Somit gilt:
(27 - 8999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 29) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 29) mod 9 ≡ (71 mod 9 ⋅ 29 mod 9) mod 9.
71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.
29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 29) mod 9 ≡ (8 ⋅ 2) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 425128 mod 659.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4251=425
2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 59 mod 659
4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 186 mod 659
8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 328 mod 659
16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 167 mod 659
32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 211 mod 659
64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 368 mod 659
128: 425128=42564+64=42564⋅42564 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 329 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 522106 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:
106 = 64+32+8+2
1: 5221=522
2: 5222=5221+1=5221⋅5221 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 707 mod 797
4: 5224=5222+2=5222⋅5222 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 130 mod 797
8: 5228=5224+4=5224⋅5224 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 163 mod 797
16: 52216=5228+8=5228⋅5228 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 268 mod 797
32: 52232=52216+16=52216⋅52216 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 94 mod 797
64: 52264=52232+32=52232⋅52232 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 69 mod 797
522106
= 52264+32+8+2
= 52264⋅52232⋅5228⋅5222
≡ 69 ⋅ 94 ⋅ 163 ⋅ 707 mod 797
≡ 6486 ⋅ 163 ⋅ 707 mod 797 ≡ 110 ⋅ 163 ⋅ 707 mod 797
≡ 17930 ⋅ 707 mod 797 ≡ 396 ⋅ 707 mod 797
≡ 279972 mod 797 ≡ 225 mod 797
Es gilt also: 522106 ≡ 225 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52
| =>97 | = 1⋅52 + 45 |
| =>52 | = 1⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45) = 13⋅52 -15⋅ 45 (=1) |
| 45= 97-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52) = -15⋅97 +28⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52
oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +15⋅97 = +28⋅52
Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1
Somit 28⋅52 = 1 mod 97
28 ist also das Inverse von 52 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
