Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 + 9001) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 + 9001) mod 9 ≡ (84 mod 9 + 9001 mod 9) mod 9.
84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84
= 90
9001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001
= 9000
Somit gilt:
(84 + 9001) mod 9 ≡ (3 + 1) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 51) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 51) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 51 mod 4) mod 4.
93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.
51 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 12 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 51) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24732 mod 269.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 247 -> x
2. mod(x²,269) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2471=247
2: 2472=2471+1=2471⋅2471 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 215 mod 269
4: 2474=2472+2=2472⋅2472 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 226 mod 269
8: 2478=2474+4=2474⋅2474 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 235 mod 269
16: 24716=2478+8=2478⋅2478 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 80 mod 269
32: 24732=24716+16=24716⋅24716 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 213 mod 269
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 111176 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 1111=111
2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 238 mod 281
4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 163 mod 281
8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 155 mod 281
16: 11116=1118+8=1118⋅1118 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 140 mod 281
32: 11132=11116+16=11116⋅11116 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 211 mod 281
64: 11164=11132+32=11132⋅11132 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 123 mod 281
128: 111128=11164+64=11164⋅11164 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 236 mod 281
111176
= 111128+32+16
= 111128⋅11132⋅11116
≡ 236 ⋅ 211 ⋅ 140 mod 281
≡ 49796 ⋅ 140 mod 281 ≡ 59 ⋅ 140 mod 281
≡ 8260 mod 281 ≡ 111 mod 281
Es gilt also: 111176 ≡ 111 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23
| =>73 | = 3⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 73-3⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23) = 6⋅73 -19⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23
oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅73 = -19⋅23
-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23
-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1
(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1
54⋅23 = 17⋅73 + 1
Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1
Somit 54⋅23 = 1 mod 73
54 ist also das Inverse von 23 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
