Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1394 - 134) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1394 - 134) mod 7 ≡ (1394 mod 7 - 134 mod 7) mod 7.

1394 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1394 = 1400-6 = 7 ⋅ 200 -6 = 7 ⋅ 200 - 7 + 1.

134 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 134 = 140-6 = 7 ⋅ 20 -6 = 7 ⋅ 20 - 7 + 1.

Somit gilt:

(1394 - 134) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 25) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 25) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 25 mod 11) mod 11.

44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.

25 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 22 + 3 = 2 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 25) mod 11 ≡ (0 ⋅ 3) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7148 mod 977.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 714 -> x
2. mod(x²,977) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7141=714

2: 7142=7141+1=7141⋅7141 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 779 mod 977

4: 7144=7142+2=7142⋅7142 ≡ 779⋅779=606841 ≡ 124 mod 977

8: 7148=7144+4=7144⋅7144 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 721 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 961146 mod 967.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:

146 = 128+16+2

1: 9611=961

2: 9612=9611+1=9611⋅9611 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 36 mod 967

4: 9614=9612+2=9612⋅9612 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 329 mod 967

8: 9618=9614+4=9614⋅9614 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 904 mod 967

16: 96116=9618+8=9618⋅9618 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 101 mod 967

32: 96132=96116+16=96116⋅96116 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 531 mod 967

64: 96164=96132+32=96132⋅96132 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 564 mod 967

128: 961128=96164+64=96164⋅96164 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 920 mod 967

961146

= 961128+16+2

= 961128⋅96116⋅9612

920 ⋅ 101 ⋅ 36 mod 967
92920 ⋅ 36 mod 967 ≡ 88 ⋅ 36 mod 967
3168 mod 967 ≡ 267 mod 967

Es gilt also: 961146 ≡ 267 mod 967

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32

=>73 = 2⋅32 + 9
=>32 = 3⋅9 + 5
=>9 = 1⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 9-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5)
= -1⋅9 +2⋅ 5 (=1)
5= 32-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9)
= 2⋅32 -7⋅ 9 (=1)
9= 73-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32)
= -7⋅73 +16⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32

oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅73 = +16⋅32

Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1

Somit 16⋅32 = 1 mod 73

16 ist also das Inverse von 32 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.