Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(305 + 6000) mod 6 ≡ (305 mod 6 + 6000 mod 6) mod 6.

305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305 = 300+5 = 6 ⋅ 50 +5.

6000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 6 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(305 + 6000) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 79) mod 7 ≡ (43 mod 7 ⋅ 79 mod 7) mod 7.

43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.

79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 79) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 502¹=502

2: 502²=502¹⁺¹=502¹⋅502¹ ≡ 502⋅502=252004 ≡ 506 mod 569

4: 502⁴=502²⁺²=502²⋅502² ≡ 506⋅506=256036 ≡ 555 mod 569

8: 502⁸=502⁴⁺⁴=502⁴⋅502⁴ ≡ 555⋅555=308025 ≡ 196 mod 569

16: 502¹⁶=502⁸⁺⁸=502⁸⋅502⁸ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 293 mod 569

32: 502³²=502¹⁶⁺¹⁶=502¹⁶⋅502¹⁶ ≡ 293⋅293=85849 ≡ 499 mod 569

64: 502⁶⁴=502³²⁺³²=502³²⋅502³² ≡ 499⋅499=249001 ≡ 348 mod 569

128: 502¹²⁸=502⁶⁴⁺⁶⁴=502⁶⁴⋅502⁶⁴ ≡ 348⋅348=121104 ≡ 476 mod 569

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

351¹⁶⁷

= 351^128+32+4+2+1

= 351¹²⁸⋅351³²⋅351⁴⋅351²⋅351¹

≡ 23 ⋅ 140 ⋅ 194 ⋅ 606 ⋅ 351 mod 743
≡ 3220 ⋅ 194 ⋅ 606 ⋅ 351 mod 743 ≡ 248 ⋅ 194 ⋅ 606 ⋅ 351 mod 743
≡ 48112 ⋅ 606 ⋅ 351 mod 743 ≡ 560 ⋅ 606 ⋅ 351 mod 743
≡ 339360 ⋅ 351 mod 743 ≡ 552 ⋅ 351 mod 743
≡ 193752 mod 743 ≡ 572 mod 743

Es gilt also: 351¹⁶⁷ ≡ 572 mod 743

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29

=>61	= 2⋅29 + 3
=>29	= 9⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 29-9⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1)
3= 61-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29) = -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29) = 10⋅61 -21⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -21⋅29

-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29

-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1

(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1

40⋅29 = 19⋅61 + 1

Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1

Somit 40⋅29 = 1 mod 61

40 ist also das Inverse von 29 mod 61