Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2001 + 497) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2001 + 497) mod 5 ≡ (2001 mod 5 + 497 mod 5) mod 5.

2001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 5 ⋅ 400 +1.

497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 497 = 400+97 = 5 ⋅ 80 +97.

Somit gilt:

(2001 + 497) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 54) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 54) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 54 mod 11) mod 11.

30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.

54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 54) mod 11 ≡ (8 ⋅ 10) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41964 mod 859.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 419 -> x
2. mod(x²,859) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4191=419

2: 4192=4191+1=4191⋅4191 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 325 mod 859

4: 4194=4192+2=4192⋅4192 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 827 mod 859

8: 4198=4194+4=4194⋅4194 ≡ 827⋅827=683929 ≡ 165 mod 859

16: 41916=4198+8=4198⋅4198 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 596 mod 859

32: 41932=41916+16=41916⋅41916 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 449 mod 859

64: 41964=41932+32=41932⋅41932 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 595 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 549251 mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 5491=549

2: 5492=5491+1=5491⋅5491 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 298 mod 883

4: 5494=5492+2=5492⋅5492 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 504 mod 883

8: 5498=5494+4=5494⋅5494 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 595 mod 883

16: 54916=5498+8=5498⋅5498 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 825 mod 883

32: 54932=54916+16=54916⋅54916 ≡ 825⋅825=680625 ≡ 715 mod 883

64: 54964=54932+32=54932⋅54932 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 851 mod 883

128: 549128=54964+64=54964⋅54964 ≡ 851⋅851=724201 ≡ 141 mod 883

549251

= 549128+64+32+16+8+2+1

= 549128⋅54964⋅54932⋅54916⋅5498⋅5492⋅5491

141 ⋅ 851 ⋅ 715 ⋅ 825 ⋅ 595 ⋅ 298 ⋅ 549 mod 883
119991 ⋅ 715 ⋅ 825 ⋅ 595 ⋅ 298 ⋅ 549 mod 883 ≡ 786 ⋅ 715 ⋅ 825 ⋅ 595 ⋅ 298 ⋅ 549 mod 883
561990 ⋅ 825 ⋅ 595 ⋅ 298 ⋅ 549 mod 883 ≡ 402 ⋅ 825 ⋅ 595 ⋅ 298 ⋅ 549 mod 883
331650 ⋅ 595 ⋅ 298 ⋅ 549 mod 883 ≡ 525 ⋅ 595 ⋅ 298 ⋅ 549 mod 883
312375 ⋅ 298 ⋅ 549 mod 883 ≡ 676 ⋅ 298 ⋅ 549 mod 883
201448 ⋅ 549 mod 883 ≡ 124 ⋅ 549 mod 883
68076 mod 883 ≡ 85 mod 883

Es gilt also: 549251 ≡ 85 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55

=>71 = 1⋅55 + 16
=>55 = 3⋅16 + 7
=>16 = 2⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 16-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7)
= -3⋅16 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-3⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16)
= -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16)
= 7⋅55 -24⋅ 16 (=1)
16= 71-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55)
= -24⋅71 +31⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55

oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +24⋅71 = +31⋅55

Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1

Somit 31⋅55 = 1 mod 71

31 ist also das Inverse von 55 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.