Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1202 - 7996) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1202 - 7996) mod 4 ≡ (1202 mod 4 - 7996 mod 4) mod 4.

1202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 4 ⋅ 300 +2.

7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996 = 7000+996 = 4 ⋅ 1750 +996.

Somit gilt:

(1202 - 7996) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 78) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 78) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 78 mod 3) mod 3.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 78) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22516 mod 269.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,269) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2251=225

2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 53 mod 269

4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 119 mod 269

8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 173 mod 269

16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 70 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 375142 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:

142 = 128+8+4+2

1: 3751=375

2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 196 mod 389

4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 294 mod 389

8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 78 mod 389

16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 249 mod 389

32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 150 mod 389

64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 327 mod 389

128: 375128=37564+64=37564⋅37564 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 343 mod 389

375142

= 375128+8+4+2

= 375128⋅3758⋅3754⋅3752

343 ⋅ 78 ⋅ 294 ⋅ 196 mod 389
26754 ⋅ 294 ⋅ 196 mod 389 ≡ 302 ⋅ 294 ⋅ 196 mod 389
88788 ⋅ 196 mod 389 ≡ 96 ⋅ 196 mod 389
18816 mod 389 ≡ 144 mod 389

Es gilt also: 375142 ≡ 144 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53 = 1⋅35 + 18
=>35 = 1⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18)
= -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35)
= 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.