Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (247 + 2403) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(247 + 2403) mod 8 ≡ (247 mod 8 + 2403 mod 8) mod 8.
247 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247
= 240
2403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403
= 2400
Somit gilt:
(247 + 2403) mod 8 ≡ (7 + 3) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 74) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 74) mod 7 ≡ (56 mod 7 ⋅ 74 mod 7) mod 7.
56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.
74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 74) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 79216 mod 907.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 792 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7921=792
2: 7922=7921+1=7921⋅7921 ≡ 792⋅792=627264 ≡ 527 mod 907
4: 7924=7922+2=7922⋅7922 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 187 mod 907
8: 7928=7924+4=7924⋅7924 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 503 mod 907
16: 79216=7928+8=7928⋅7928 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 863 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 266164 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 5 mod 509
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 509
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 25⋅25=625 ≡ 116 mod 509
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 222 mod 509
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 420 mod 509
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 286 mod 509
128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 356 mod 509
266164
= 266128+32+4
= 266128⋅26632⋅2664
≡ 356 ⋅ 420 ⋅ 25 mod 509
≡ 149520 ⋅ 25 mod 509 ≡ 383 ⋅ 25 mod 509
≡ 9575 mod 509 ≡ 413 mod 509
Es gilt also: 266164 ≡ 413 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 74.
Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 74
| =>89 | = 1⋅74 + 15 |
| =>74 | = 4⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,74)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 74-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(74 -4⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅74 +4⋅ 15) = -1⋅74 +5⋅ 15 (=1) |
| 15= 89-1⋅74 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅74 +5⋅(89 -1⋅ 74)
= -1⋅74 +5⋅89 -5⋅ 74) = 5⋅89 -6⋅ 74 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,74)=1 = 5⋅89 -6⋅74
oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅89 = -6⋅74
-6⋅74 = -5⋅89 + 1 |+89⋅74
-6⋅74 + 89⋅74 = -5⋅89 + 89⋅74 + 1
(-6 + 89) ⋅ 74 = (-5 + 74) ⋅ 89 + 1
83⋅74 = 69⋅89 + 1
Es gilt also: 83⋅74 = 69⋅89 +1
Somit 83⋅74 = 1 mod 89
83 ist also das Inverse von 74 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
