Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (305 + 6000) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(305 + 6000) mod 6 ≡ (305 mod 6 + 6000 mod 6) mod 6.

305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305 = 300+5 = 6 ⋅ 50 +5.

6000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 6 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(305 + 6000) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 79) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 79) mod 7 ≡ (43 mod 7 ⋅ 79 mod 7) mod 7.

43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.

79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 79) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 502128 mod 569.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 502 -> x
2. mod(x²,569) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5021=502

2: 5022=5021+1=5021⋅5021 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 506 mod 569

4: 5024=5022+2=5022⋅5022 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 555 mod 569

8: 5028=5024+4=5024⋅5024 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 196 mod 569

16: 50216=5028+8=5028⋅5028 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 293 mod 569

32: 50232=50216+16=50216⋅50216 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 499 mod 569

64: 50264=50232+32=50232⋅50232 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 348 mod 569

128: 502128=50264+64=50264⋅50264 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 476 mod 569

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 351167 mod 743.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 3511=351

2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 606 mod 743

4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 194 mod 743

8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 486 mod 743

16: 35116=3518+8=3518⋅3518 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 665 mod 743

32: 35132=35116+16=35116⋅35116 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 140 mod 743

64: 35164=35132+32=35132⋅35132 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 282 mod 743

128: 351128=35164+64=35164⋅35164 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 23 mod 743

351167

= 351128+32+4+2+1

= 351128⋅35132⋅3514⋅3512⋅3511

23 ⋅ 140 ⋅ 194 ⋅ 606 ⋅ 351 mod 743
3220 ⋅ 194 ⋅ 606 ⋅ 351 mod 743 ≡ 248 ⋅ 194 ⋅ 606 ⋅ 351 mod 743
48112 ⋅ 606 ⋅ 351 mod 743 ≡ 560 ⋅ 606 ⋅ 351 mod 743
339360 ⋅ 351 mod 743 ≡ 552 ⋅ 351 mod 743
193752 mod 743 ≡ 572 mod 743

Es gilt also: 351167 ≡ 572 mod 743

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29

=>61 = 2⋅29 + 3
=>29 = 9⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 29-9⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3)
= -1⋅29 +10⋅ 3 (=1)
3= 61-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29)
= 10⋅61 -21⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -21⋅29

-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29

-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1

(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1

40⋅29 = 19⋅61 + 1

Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1

Somit 40⋅29 = 1 mod 61

40 ist also das Inverse von 29 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.