Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11998 - 30003) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11998 - 30003) mod 6 ≡ (11998 mod 6 - 30003 mod 6) mod 6.
11998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 12000
30003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30003
= 30000
Somit gilt:
(11998 - 30003) mod 6 ≡ (4 - 3) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 44) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 44) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 44 mod 6) mod 6.
54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.
44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 44) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5238 mod 677.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 523 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5231=523
2: 5232=5231+1=5231⋅5231 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 21 mod 677
4: 5234=5232+2=5232⋅5232 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 677
8: 5238=5234+4=5234⋅5234 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 182 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 192137 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 1921=192
2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 90 mod 227
4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 155 mod 227
8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 190 mod 227
16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 7 mod 227
32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 227
64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 131 mod 227
128: 192128=19264+64=19264⋅19264 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 136 mod 227
192137
= 192128+8+1
= 192128⋅1928⋅1921
≡ 136 ⋅ 190 ⋅ 192 mod 227
≡ 25840 ⋅ 192 mod 227 ≡ 189 ⋅ 192 mod 227
≡ 36288 mod 227 ≡ 195 mod 227
Es gilt also: 192137 ≡ 195 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42
| =>97 | = 2⋅42 + 13 |
| =>42 | = 3⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 42-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 97-2⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42) = 13⋅97 -30⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -30⋅42
-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42
-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1
(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1
67⋅42 = 29⋅97 + 1
Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1
Somit 67⋅42 = 1 mod 97
67 ist also das Inverse von 42 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
