Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 - 15003) mod 3 ≡ (60 mod 3 - 15003 mod 3) mod 3.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(60 - 15003) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 64) mod 4 ≡ (31 mod 4 ⋅ 64 mod 4) mod 4.

31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.

64 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 16 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 64) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 440¹=440

2: 440²=440¹⁺¹=440¹⋅440¹ ≡ 440⋅440=193600 ≡ 289 mod 457

4: 440⁴=440²⁺²=440²⋅440² ≡ 289⋅289=83521 ≡ 347 mod 457

8: 440⁸=440⁴⁺⁴=440⁴⋅440⁴ ≡ 347⋅347=120409 ≡ 218 mod 457

16: 440¹⁶=440⁸⁺⁸=440⁸⋅440⁸ ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

448²²¹

= 448^{128+64+16+8+4+1}

= 448¹²⁸⋅448⁶⁴⋅448¹⁶⋅448⁸⋅448⁴⋅448¹

≡ 337 ⋅ 356 ⋅ 55 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463
≡ 119972 ⋅ 55 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463 ≡ 55 ⋅ 55 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463
≡ 3025 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463 ≡ 247 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463
≡ 104975 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463 ≡ 337 ⋅ 158 ⋅ 448 mod 463
≡ 53246 ⋅ 448 mod 463 ≡ 1 ⋅ 448 mod 463
≡ 448 mod 463

Es gilt also: 448²²¹ ≡ 448 mod 463

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51

=>89	= 1⋅51 + 38
=>51	= 1⋅38 + 13
=>38	= 2⋅13 + 12
=>13	= 1⋅12 + 1
=>12	= 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13) = 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 51-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38) = -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38) = 3⋅51 -4⋅ 38 (=1)
38= 89-1⋅51	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51) = 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51) = -4⋅89 +7⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51

oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅89 = +7⋅51

Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1

Somit 7⋅51 = 1 mod 89

7 ist also das Inverse von 51 mod 89