Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 - 4002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 - 4002) mod 4 ≡ (42 mod 4 - 4002 mod 4) mod 4.
42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42
= 40
4002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002
= 4000
Somit gilt:
(42 - 4002) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 89) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 89) mod 6 ≡ (60 mod 6 ⋅ 89 mod 6) mod 6.
60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 10 ⋅ 6 + 0 ist.
89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 89) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 411128 mod 449.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 411 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4111=411
2: 4112=4111+1=4111⋅4111 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 97 mod 449
4: 4114=4112+2=4112⋅4112 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 429 mod 449
8: 4118=4114+4=4114⋅4114 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 400 mod 449
16: 41116=4118+8=4118⋅4118 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 156 mod 449
32: 41132=41116+16=41116⋅41116 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 90 mod 449
64: 41164=41132+32=41132⋅41132 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 18 mod 449
128: 411128=41164+64=41164⋅41164 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23267 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 2321=232
2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 166 mod 271
4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 185 mod 271
8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 79 mod 271
16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 8 mod 271
32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 271
64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 31 mod 271
23267
= 23264+2+1
= 23264⋅2322⋅2321
≡ 31 ⋅ 166 ⋅ 232 mod 271
≡ 5146 ⋅ 232 mod 271 ≡ 268 ⋅ 232 mod 271
≡ 62176 mod 271 ≡ 117 mod 271
Es gilt also: 23267 ≡ 117 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43
| =>97 | = 2⋅43 + 11 |
| =>43 | = 3⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 43-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-2⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43) = 4⋅97 -9⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43
oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅97 = -9⋅43
-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43
-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1
(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1
88⋅43 = 39⋅97 + 1
Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1
Somit 88⋅43 = 1 mod 97
88 ist also das Inverse von 43 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
