Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44996 + 351) mod 9 ≡ (44996 mod 9 + 351 mod 9) mod 9.

44996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44996 = 45000-4 = 9 ⋅ 5000 -4 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 5.

351 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351 = 360-9 = 9 ⋅ 40 -9 = 9 ⋅ 40 - 9 + 0.

Somit gilt:

(44996 + 351) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 96) mod 9 ≡ (49 mod 9 ⋅ 96 mod 9) mod 9.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 96) mod 9 ≡ (4 ⋅ 6) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 334¹=334

2: 334²=334¹⁺¹=334¹⋅334¹ ≡ 334⋅334=111556 ≡ 371 mod 601

4: 334⁴=334²⁺²=334²⋅334² ≡ 371⋅371=137641 ≡ 12 mod 601

8: 334⁸=334⁴⁺⁴=334⁴⋅334⁴ ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 601

16: 334¹⁶=334⁸⁺⁸=334⁸⋅334⁸ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 302 mod 601

32: 334³²=334¹⁶⁺¹⁶=334¹⁶⋅334¹⁶ ≡ 302⋅302=91204 ≡ 453 mod 601

64: 334⁶⁴=334³²⁺³²=334³²⋅334³² ≡ 453⋅453=205209 ≡ 268 mod 601

128: 334¹²⁸=334⁶⁴⁺⁶⁴=334⁶⁴⋅334⁶⁴ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 305 mod 601

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

161¹⁷⁴

= 161^128+32+8+4+2

= 161¹²⁸⋅161³²⋅161⁸⋅161⁴⋅161²

≡ 97 ⋅ 58 ⋅ 206 ⋅ 325 ⋅ 247 mod 389
≡ 5626 ⋅ 206 ⋅ 325 ⋅ 247 mod 389 ≡ 180 ⋅ 206 ⋅ 325 ⋅ 247 mod 389
≡ 37080 ⋅ 325 ⋅ 247 mod 389 ≡ 125 ⋅ 325 ⋅ 247 mod 389
≡ 40625 ⋅ 247 mod 389 ≡ 169 ⋅ 247 mod 389
≡ 41743 mod 389 ≡ 120 mod 389

Es gilt also: 161¹⁷⁴ ≡ 120 mod 389

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 72

=>83	= 1⋅72 + 11
=>72	= 6⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 72-6⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(72 -6⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅72 -12⋅ 11) = 2⋅72 -13⋅ 11 (=1)
11= 83-1⋅72	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅72 -13⋅(83 -1⋅ 72) = 2⋅72 -13⋅83 +13⋅ 72) = -13⋅83 +15⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(83,72)=1 = -13⋅83 +15⋅72

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +15⋅72

Es gilt also: 15⋅72 = 13⋅83 +1

Somit 15⋅72 = 1 mod 83

15 ist also das Inverse von 72 mod 83