Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40003 - 8002) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40003 - 8002) mod 8 ≡ (40003 mod 8 - 8002 mod 8) mod 8.
40003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40003
= 40000
8002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002
= 8000
Somit gilt:
(40003 - 8002) mod 8 ≡ (3 - 2) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 83) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 83) mod 6 ≡ (76 mod 6 ⋅ 83 mod 6) mod 6.
76 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 12 ⋅ 6 + 4 ist.
83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 83) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4768 mod 661.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 476 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4761=476
2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 514 mod 661
4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 457 mod 661
8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 634 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 184162 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 1841=184
2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 222 mod 251
4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 88 mod 251
8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 214 mod 251
16: 18416=1848+8=1848⋅1848 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 114 mod 251
32: 18432=18416+16=18416⋅18416 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 195 mod 251
64: 18464=18432+32=18432⋅18432 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 124 mod 251
128: 184128=18464+64=18464⋅18464 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 65 mod 251
184162
= 184128+32+2
= 184128⋅18432⋅1842
≡ 65 ⋅ 195 ⋅ 222 mod 251
≡ 12675 ⋅ 222 mod 251 ≡ 125 ⋅ 222 mod 251
≡ 27750 mod 251 ≡ 140 mod 251
Es gilt also: 184162 ≡ 140 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 55
| =>83 | = 1⋅55 + 28 |
| =>55 | = 1⋅28 + 27 |
| =>28 | = 1⋅27 + 1 |
| =>27 | = 27⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-1⋅27 | |||
| 27= 55-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -1⋅(55 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -1⋅55 +1⋅ 28) = -1⋅55 +2⋅ 28 (=1) |
| 28= 83-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅55 +2⋅(83 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +2⋅83 -2⋅ 55) = 2⋅83 -3⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,55)=1 = 2⋅83 -3⋅55
oder wenn man 2⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅83 = -3⋅55
-3⋅55 = -2⋅83 + 1 |+83⋅55
-3⋅55 + 83⋅55 = -2⋅83 + 83⋅55 + 1
(-3 + 83) ⋅ 55 = (-2 + 55) ⋅ 83 + 1
80⋅55 = 53⋅83 + 1
Es gilt also: 80⋅55 = 53⋅83 +1
Somit 80⋅55 = 1 mod 83
80 ist also das Inverse von 55 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
