Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (270 - 368) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(270 - 368) mod 9 ≡ (270 mod 9 - 368 mod 9) mod 9.
270 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 270
= 270
368 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 368
= 360
Somit gilt:
(270 - 368) mod 9 ≡ (0 - 8) mod 9 ≡ -8 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 19) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 19) mod 7 ≡ (93 mod 7 ⋅ 19 mod 7) mod 7.
93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.
19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 19) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2578 mod 593.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 257 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2571=257
2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 226 mod 593
4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 78 mod 593
8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 154 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50177 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 5011=501
2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 402 mod 811
4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 215 mod 811
8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 809 mod 811
16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 4 mod 811
32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 811
64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 811
50177
= 50164+8+4+1
= 50164⋅5018⋅5014⋅5011
≡ 256 ⋅ 809 ⋅ 215 ⋅ 501 mod 811
≡ 207104 ⋅ 215 ⋅ 501 mod 811 ≡ 299 ⋅ 215 ⋅ 501 mod 811
≡ 64285 ⋅ 501 mod 811 ≡ 216 ⋅ 501 mod 811
≡ 108216 mod 811 ≡ 353 mod 811
Es gilt also: 50177 ≡ 353 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59
| =>67 | = 1⋅59 + 8 |
| =>59 | = 7⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 59-7⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8) = 3⋅59 -22⋅ 8 (=1) |
| 8= 67-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59)
= 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59) = -22⋅67 +25⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59
oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅67 = +25⋅59
Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1
Somit 25⋅59 = 1 mod 67
25 ist also das Inverse von 59 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
