Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11999 + 601) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11999 + 601) mod 3 ≡ (11999 mod 3 + 601 mod 3) mod 3.
11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 12000
601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601
= 600
Somit gilt:
(11999 + 601) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 73) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 73) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 73 mod 10) mod 10.
33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.
73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 73) mod 10 ≡ (3 ⋅ 3) mod 10 ≡ 9 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19464 mod 211.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 194 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1941=194
2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 78 mod 211
4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 176 mod 211
8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 170 mod 211
16: 19416=1948+8=1948⋅1948 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 204 mod 211
32: 19432=19416+16=19416⋅19416 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 49 mod 211
64: 19464=19432+32=19432⋅19432 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 80 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 318219 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:
219 = 128+64+16+8+2+1
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 690 mod 881
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 360 mod 881
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 93 mod 881
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 720 mod 881
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 372 mod 881
64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 67 mod 881
128: 318128=31864+64=31864⋅31864 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 84 mod 881
318219
= 318128+64+16+8+2+1
= 318128⋅31864⋅31816⋅3188⋅3182⋅3181
≡ 84 ⋅ 67 ⋅ 720 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881
≡ 5628 ⋅ 720 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881 ≡ 342 ⋅ 720 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881
≡ 246240 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881 ≡ 441 ⋅ 93 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881
≡ 41013 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881 ≡ 487 ⋅ 690 ⋅ 318 mod 881
≡ 336030 ⋅ 318 mod 881 ≡ 369 ⋅ 318 mod 881
≡ 117342 mod 881 ≡ 169 mod 881
Es gilt also: 318219 ≡ 169 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50
| =>61 | = 1⋅50 + 11 |
| =>50 | = 4⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 50-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +11⋅50
Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1
Somit 11⋅50 = 1 mod 61
11 ist also das Inverse von 50 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
