Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16002 - 797) mod 4 ≡ (16002 mod 4 - 797 mod 4) mod 4.

16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002 = 16000+2 = 4 ⋅ 4000 +2.

797 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797 = 700+97 = 4 ⋅ 175 +97.

Somit gilt:

(16002 - 797) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 94) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 94 mod 9) mod 9.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 94) mod 9 ≡ (2 ⋅ 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 228¹=228

2: 228²=228¹⁺¹=228¹⋅228¹ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 182 mod 439

4: 228⁴=228²⁺²=228²⋅228² ≡ 182⋅182=33124 ≡ 199 mod 439

8: 228⁸=228⁴⁺⁴=228⁴⋅228⁴ ≡ 199⋅199=39601 ≡ 91 mod 439

16: 228¹⁶=228⁸⁺⁸=228⁸⋅228⁸ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 379 mod 439

32: 228³²=228¹⁶⁺¹⁶=228¹⁶⋅228¹⁶ ≡ 379⋅379=143641 ≡ 88 mod 439

64: 228⁶⁴=228³²⁺³²=228³²⋅228³² ≡ 88⋅88=7744 ≡ 281 mod 439

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

568¹⁸³

= 568^{128+32+16+4+2+1}

= 568¹²⁸⋅568³²⋅568¹⁶⋅568⁴⋅568²⋅568¹

≡ 546 ⋅ 650 ⋅ 127 ⋅ 95 ⋅ 257 ⋅ 568 mod 673
≡ 354900 ⋅ 127 ⋅ 95 ⋅ 257 ⋅ 568 mod 673 ≡ 229 ⋅ 127 ⋅ 95 ⋅ 257 ⋅ 568 mod 673
≡ 29083 ⋅ 95 ⋅ 257 ⋅ 568 mod 673 ≡ 144 ⋅ 95 ⋅ 257 ⋅ 568 mod 673
≡ 13680 ⋅ 257 ⋅ 568 mod 673 ≡ 220 ⋅ 257 ⋅ 568 mod 673
≡ 56540 ⋅ 568 mod 673 ≡ 8 ⋅ 568 mod 673
≡ 4544 mod 673 ≡ 506 mod 673

Es gilt also: 568¹⁸³ ≡ 506 mod 673

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24

=>53	= 2⋅24 + 5
=>24	= 4⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 53-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24) = -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24) = 5⋅53 -11⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -11⋅24

-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24

-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1

(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1

42⋅24 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1

Somit 42⋅24 = 1 mod 53

42 ist also das Inverse von 24 mod 53