Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7001 - 3499) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7001 - 3499) mod 7 ≡ (7001 mod 7 - 3499 mod 7) mod 7.

7001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7001 = 7000+1 = 7 ⋅ 1000 +1.

3499 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3499 = 3500-1 = 7 ⋅ 500 -1 = 7 ⋅ 500 - 7 + 6.

Somit gilt:

(7001 - 3499) mod 7 ≡ (1 - 6) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 65) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 65) mod 8 ≡ (60 mod 8 ⋅ 65 mod 8) mod 8.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

65 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 65) mod 8 ≡ (4 ⋅ 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3048 mod 643.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 304 -> x
2. mod(x²,643) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3041=304

2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 467 mod 643

4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 112 mod 643

8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 327 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 782126 mod 839.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

1: 7821=782

2: 7822=7821+1=7821⋅7821 ≡ 782⋅782=611524 ≡ 732 mod 839

4: 7824=7822+2=7822⋅7822 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 542 mod 839

8: 7828=7824+4=7824⋅7824 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 114 mod 839

16: 78216=7828+8=7828⋅7828 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 411 mod 839

32: 78232=78216+16=78216⋅78216 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 282 mod 839

64: 78264=78232+32=78232⋅78232 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 658 mod 839

782126

= 78264+32+16+8+4+2

= 78264⋅78232⋅78216⋅7828⋅7824⋅7822

658 ⋅ 282 ⋅ 411 ⋅ 114 ⋅ 542 ⋅ 732 mod 839
185556 ⋅ 411 ⋅ 114 ⋅ 542 ⋅ 732 mod 839 ≡ 137 ⋅ 411 ⋅ 114 ⋅ 542 ⋅ 732 mod 839
56307 ⋅ 114 ⋅ 542 ⋅ 732 mod 839 ≡ 94 ⋅ 114 ⋅ 542 ⋅ 732 mod 839
10716 ⋅ 542 ⋅ 732 mod 839 ≡ 648 ⋅ 542 ⋅ 732 mod 839
351216 ⋅ 732 mod 839 ≡ 514 ⋅ 732 mod 839
376248 mod 839 ≡ 376 mod 839

Es gilt also: 782126 ≡ 376 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53

=>59 = 1⋅53 + 6
=>53 = 8⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 53-8⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6)
= -1⋅53 +9⋅ 6 (=1)
6= 59-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53)
= 9⋅59 -10⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53

oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅59 = -10⋅53

-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53

-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1

(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1

49⋅53 = 44⋅59 + 1

Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1

Somit 49⋅53 = 1 mod 59

49 ist also das Inverse von 53 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.