Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (354 - 70) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(354 - 70) mod 7 ≡ (354 mod 7 - 70 mod 7) mod 7.
354 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 354
= 350
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
Somit gilt:
(354 - 70) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 16) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 16) mod 3 ≡ (33 mod 3 ⋅ 16 mod 3) mod 3.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.
16 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 5 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 16) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34616 mod 443.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 106 mod 443
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 161 mod 443
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 227 mod 443
16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 141 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 182241 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:
241 = 128+64+32+16+1
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 161 mod 277
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 160 mod 277
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 116 mod 277
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 160 mod 277
32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 116 mod 277
64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 160 mod 277
128: 182128=18264+64=18264⋅18264 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 116 mod 277
182241
= 182128+64+32+16+1
= 182128⋅18264⋅18232⋅18216⋅1821
≡ 116 ⋅ 160 ⋅ 116 ⋅ 160 ⋅ 182 mod 277
≡ 18560 ⋅ 116 ⋅ 160 ⋅ 182 mod 277 ≡ 1 ⋅ 116 ⋅ 160 ⋅ 182 mod 277
≡ 116 ⋅ 160 ⋅ 182 mod 277
≡ 18560 ⋅ 182 mod 277 ≡ 1 ⋅ 182 mod 277
≡ 182 mod 277
Es gilt also: 182241 ≡ 182 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 73.
Also bestimme x, so dass 73 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 73
| =>83 | = 1⋅73 + 10 |
| =>73 | = 7⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,73)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 73-7⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(73 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅73 +21⋅ 10) = -3⋅73 +22⋅ 10 (=1) |
| 10= 83-1⋅73 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅73 +22⋅(83 -1⋅ 73)
= -3⋅73 +22⋅83 -22⋅ 73) = 22⋅83 -25⋅ 73 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,73)=1 = 22⋅83 -25⋅73
oder wenn man 22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -22⋅83 = -25⋅73
-25⋅73 = -22⋅83 + 1 |+83⋅73
-25⋅73 + 83⋅73 = -22⋅83 + 83⋅73 + 1
(-25 + 83) ⋅ 73 = (-22 + 73) ⋅ 83 + 1
58⋅73 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 58⋅73 = 51⋅83 +1
Somit 58⋅73 = 1 mod 83
58 ist also das Inverse von 73 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
