Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40004 + 157) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40004 + 157) mod 8 ≡ (40004 mod 8 + 157 mod 8) mod 8.

40004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40004 = 40000+4 = 8 ⋅ 5000 +4.

157 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 8 ⋅ 20 -3 = 8 ⋅ 20 - 8 + 5.

Somit gilt:

(40004 + 157) mod 8 ≡ (4 + 5) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 90) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 90) mod 11 ≡ (96 mod 11 ⋅ 90 mod 11) mod 11.

96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.

90 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 8 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 90) mod 11 ≡ (8 ⋅ 2) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22064 mod 281.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,281) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2201=220

2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 68 mod 281

4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 128 mod 281

8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 86 mod 281

16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 90 mod 281

32: 22032=22016+16=22016⋅22016 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 232 mod 281

64: 22064=22032+32=22032⋅22032 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 153 mod 281

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 243115 mod 757.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

1: 2431=243

2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 3 mod 757

4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 757

8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 757

16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 505 mod 757

32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 673 mod 757

64: 24364=24332+32=24332⋅24332 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 243 mod 757

243115

= 24364+32+16+2+1

= 24364⋅24332⋅24316⋅2432⋅2431

243 ⋅ 673 ⋅ 505 ⋅ 3 ⋅ 243 mod 757
163539 ⋅ 505 ⋅ 3 ⋅ 243 mod 757 ≡ 27 ⋅ 505 ⋅ 3 ⋅ 243 mod 757
13635 ⋅ 3 ⋅ 243 mod 757 ≡ 9 ⋅ 3 ⋅ 243 mod 757
27 ⋅ 243 mod 757
6561 mod 757 ≡ 505 mod 757

Es gilt also: 243115 ≡ 505 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 75

=>79 = 1⋅75 + 4
=>75 = 18⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 75-18⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(75 -18⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅75 +18⋅ 4)
= -1⋅75 +19⋅ 4 (=1)
4= 79-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅75 +19⋅(79 -1⋅ 75)
= -1⋅75 +19⋅79 -19⋅ 75)
= 19⋅79 -20⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(79,75)=1 = 19⋅79 -20⋅75

oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅79 = -20⋅75

-20⋅75 = -19⋅79 + 1 |+79⋅75

-20⋅75 + 79⋅75 = -19⋅79 + 79⋅75 + 1

(-20 + 79) ⋅ 75 = (-19 + 75) ⋅ 79 + 1

59⋅75 = 56⋅79 + 1

Es gilt also: 59⋅75 = 56⋅79 +1

Somit 59⋅75 = 1 mod 79

59 ist also das Inverse von 75 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.