Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8000 + 23993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8000 + 23993) mod 8 ≡ (8000 mod 8 + 23993 mod 8) mod 8.
8000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000
= 8000
23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993
= 23000
Somit gilt:
(8000 + 23993) mod 8 ≡ (0 + 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 23) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 23) mod 6 ≡ (67 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.
67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.
23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 23) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 95232 mod 971.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 952 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9521=952
2: 9522=9521+1=9521⋅9521 ≡ 952⋅952=906304 ≡ 361 mod 971
4: 9524=9522+2=9522⋅9522 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 207 mod 971
8: 9528=9524+4=9524⋅9524 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 125 mod 971
16: 95216=9528+8=9528⋅9528 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 89 mod 971
32: 95232=95216+16=95216⋅95216 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 153 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 501161 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 5011=501
2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 173 mod 859
4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 723 mod 859
8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 457 mod 859
16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 112 mod 859
32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 518 mod 859
64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 316 mod 859
128: 501128=50164+64=50164⋅50164 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 212 mod 859
501161
= 501128+32+1
= 501128⋅50132⋅5011
≡ 212 ⋅ 518 ⋅ 501 mod 859
≡ 109816 ⋅ 501 mod 859 ≡ 723 ⋅ 501 mod 859
≡ 362223 mod 859 ≡ 584 mod 859
Es gilt also: 501161 ≡ 584 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27
| =>59 | = 2⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -24⋅27
-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27
-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1
(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1
35⋅27 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1
Somit 35⋅27 = 1 mod 59
35 ist also das Inverse von 27 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
