Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3593 + 45005) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3593 + 45005) mod 9 ≡ (3593 mod 9 + 45005 mod 9) mod 9.
3593 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3593
= 3600
45005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45005
= 45000
Somit gilt:
(3593 + 45005) mod 9 ≡ (2 + 5) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 16) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 16) mod 8 ≡ (75 mod 8 ⋅ 16 mod 8) mod 8.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
16 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 2 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 16) mod 8 ≡ (3 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3258 mod 521.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 325 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3251=325
2: 3252=3251+1=3251⋅3251 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 383 mod 521
4: 3254=3252+2=3252⋅3252 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 288 mod 521
8: 3258=3254+4=3254⋅3254 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 105 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 164166 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 1641=164
2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 449 mod 499
4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 5 mod 499
8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 499
16: 16416=1648+8=1648⋅1648 ≡ 25⋅25=625 ≡ 126 mod 499
32: 16432=16416+16=16416⋅16416 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 407 mod 499
64: 16464=16432+32=16432⋅16432 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 480 mod 499
128: 164128=16464+64=16464⋅16464 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 361 mod 499
164166
= 164128+32+4+2
= 164128⋅16432⋅1644⋅1642
≡ 361 ⋅ 407 ⋅ 5 ⋅ 449 mod 499
≡ 146927 ⋅ 5 ⋅ 449 mod 499 ≡ 221 ⋅ 5 ⋅ 449 mod 499
≡ 1105 ⋅ 449 mod 499 ≡ 107 ⋅ 449 mod 499
≡ 48043 mod 499 ≡ 139 mod 499
Es gilt also: 164166 ≡ 139 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 72
| =>89 | = 1⋅72 + 17 |
| =>72 | = 4⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 72-4⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(72 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅72 +16⋅ 17) = -4⋅72 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅72 +17⋅(89 -1⋅ 72)
= -4⋅72 +17⋅89 -17⋅ 72) = 17⋅89 -21⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,72)=1 = 17⋅89 -21⋅72
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -21⋅72
-21⋅72 = -17⋅89 + 1 |+89⋅72
-21⋅72 + 89⋅72 = -17⋅89 + 89⋅72 + 1
(-21 + 89) ⋅ 72 = (-17 + 72) ⋅ 89 + 1
68⋅72 = 55⋅89 + 1
Es gilt also: 68⋅72 = 55⋅89 +1
Somit 68⋅72 = 1 mod 89
68 ist also das Inverse von 72 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
