Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26996 + 45009) mod 9 ≡ (26996 mod 9 + 45009 mod 9) mod 9.

26996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26996 = 27000-4 = 9 ⋅ 3000 -4 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 5.

45009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45009 = 45000+9 = 9 ⋅ 5000 +9.

Somit gilt:

(26996 + 45009) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 63) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 63 mod 4) mod 4.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

63 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 15 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 63) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 362¹=362

2: 362²=362¹⁺¹=362¹⋅362¹ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 289 mod 379

4: 362⁴=362²⁺²=362²⋅362² ≡ 289⋅289=83521 ≡ 141 mod 379

8: 362⁸=362⁴⁺⁴=362⁴⋅362⁴ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 173 mod 379

16: 362¹⁶=362⁸⁺⁸=362⁸⋅362⁸ ≡ 173⋅173=29929 ≡ 367 mod 379

32: 362³²=362¹⁶⁺¹⁶=362¹⁶⋅362¹⁶ ≡ 367⋅367=134689 ≡ 144 mod 379

64: 362⁶⁴=362³²⁺³²=362³²⋅362³² ≡ 144⋅144=20736 ≡ 270 mod 379

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

455¹⁷¹

= 455^128+32+8+2+1

= 455¹²⁸⋅455³²⋅455⁸⋅455²⋅455¹

≡ 77 ⋅ 58 ⋅ 329 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
≡ 4466 ⋅ 329 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487 ≡ 83 ⋅ 329 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
≡ 27307 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487 ≡ 35 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
≡ 1750 ⋅ 455 mod 487 ≡ 289 ⋅ 455 mod 487
≡ 131495 mod 487 ≡ 5 mod 487

Es gilt also: 455¹⁷¹ ≡ 5 mod 487

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36

=>89	= 2⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 89-2⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -42⋅36

-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36

-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1

(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1

47⋅36 = 19⋅89 + 1

Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1

Somit 47⋅36 = 1 mod 89

47 ist also das Inverse von 36 mod 89