Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 + 35007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 + 35007) mod 7 ≡ (73 mod 7 + 35007 mod 7) mod 7.
73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73
= 70
35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007
= 35000
Somit gilt:
(73 + 35007) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 96) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 96) mod 7 ≡ (96 mod 7 ⋅ 96 mod 7) mod 7.
96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.
96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 96) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83432 mod 839.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 834 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8341=834
2: 8342=8341+1=8341⋅8341 ≡ 834⋅834=695556 ≡ 25 mod 839
4: 8344=8342+2=8342⋅8342 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 839
8: 8348=8344+4=8344⋅8344 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 490 mod 839
16: 83416=8348+8=8348⋅8348 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 146 mod 839
32: 83432=83416+16=83416⋅83416 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 341 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 446238 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 4461=446
2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 61 mod 491
4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 284 mod 491
8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 132 mod 491
16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 239 mod 491
32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 165 mod 491
64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 220 mod 491
128: 446128=44664+64=44664⋅44664 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 282 mod 491
446238
= 446128+64+32+8+4+2
= 446128⋅44664⋅44632⋅4468⋅4464⋅4462
≡ 282 ⋅ 220 ⋅ 165 ⋅ 132 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491
≡ 62040 ⋅ 165 ⋅ 132 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491 ≡ 174 ⋅ 165 ⋅ 132 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491
≡ 28710 ⋅ 132 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491 ≡ 232 ⋅ 132 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491
≡ 30624 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491 ≡ 182 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491
≡ 51688 ⋅ 61 mod 491 ≡ 133 ⋅ 61 mod 491
≡ 8113 mod 491 ≡ 257 mod 491
Es gilt also: 446238 ≡ 257 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
