Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 + 156) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 + 156) mod 8 ≡ (76 mod 8 + 156 mod 8) mod 8.
76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76
= 80
156 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
Somit gilt:
(76 + 156) mod 8 ≡ (4 + 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 28) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 28) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 28 mod 6) mod 6.
69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.
28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 28) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1448 mod 337.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 144 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1441=144
2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 179 mod 337
4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 26 mod 337
8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 26⋅26=676 ≡ 2 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 296248 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:
248 = 128+64+32+16+8
1: 2961=296
2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 337 mod 619
4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 292 mod 619
8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 461 mod 619
16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 204 mod 619
32: 29632=29616+16=29616⋅29616 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 143 mod 619
64: 29664=29632+32=29632⋅29632 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 22 mod 619
128: 296128=29664+64=29664⋅29664 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 619
296248
= 296128+64+32+16+8
= 296128⋅29664⋅29632⋅29616⋅2968
≡ 484 ⋅ 22 ⋅ 143 ⋅ 204 ⋅ 461 mod 619
≡ 10648 ⋅ 143 ⋅ 204 ⋅ 461 mod 619 ≡ 125 ⋅ 143 ⋅ 204 ⋅ 461 mod 619
≡ 17875 ⋅ 204 ⋅ 461 mod 619 ≡ 543 ⋅ 204 ⋅ 461 mod 619
≡ 110772 ⋅ 461 mod 619 ≡ 590 ⋅ 461 mod 619
≡ 271990 mod 619 ≡ 249 mod 619
Es gilt also: 296248 ≡ 249 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32
| =>83 | = 2⋅32 + 19 |
| =>32 | = 1⋅19 + 13 |
| =>19 | = 1⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 19-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 32-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 83-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32)
= 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32
oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅83 = +13⋅32
Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1
Somit 13⋅32 = 1 mod 83
13 ist also das Inverse von 32 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
