Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (117 + 118) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(117 + 118) mod 3 ≡ (117 mod 3 + 118 mod 3) mod 3.
117 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
Somit gilt:
(117 + 118) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 18) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 18) mod 6 ≡ (21 mod 6 ⋅ 18 mod 6) mod 6.
21 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 3 ⋅ 6 + 3 ist.
18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 18) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28264 mod 433.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 282 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2821=282
2: 2822=2821+1=2821⋅2821 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 285 mod 433
4: 2824=2822+2=2822⋅2822 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 254 mod 433
8: 2828=2824+4=2824⋅2824 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 432 mod 433
16: 28216=2828+8=2828⋅2828 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 1 mod 433
32: 28232=28216+16=28216⋅28216 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 433
64: 28264=28232+32=28232⋅28232 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 695151 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:
151 = 128+16+4+2+1
1: 6951=695
2: 6952=6951+1=6951⋅6951 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 24 mod 883
4: 6954=6952+2=6952⋅6952 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 883
8: 6958=6954+4=6954⋅6954 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 651 mod 883
16: 69516=6958+8=6958⋅6958 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 844 mod 883
32: 69532=69516+16=69516⋅69516 ≡ 844⋅844=712336 ≡ 638 mod 883
64: 69564=69532+32=69532⋅69532 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 864 mod 883
128: 695128=69564+64=69564⋅69564 ≡ 864⋅864=746496 ≡ 361 mod 883
695151
= 695128+16+4+2+1
= 695128⋅69516⋅6954⋅6952⋅6951
≡ 361 ⋅ 844 ⋅ 576 ⋅ 24 ⋅ 695 mod 883
≡ 304684 ⋅ 576 ⋅ 24 ⋅ 695 mod 883 ≡ 49 ⋅ 576 ⋅ 24 ⋅ 695 mod 883
≡ 28224 ⋅ 24 ⋅ 695 mod 883 ≡ 851 ⋅ 24 ⋅ 695 mod 883
≡ 20424 ⋅ 695 mod 883 ≡ 115 ⋅ 695 mod 883
≡ 79925 mod 883 ≡ 455 mod 883
Es gilt also: 695151 ≡ 455 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
