Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (123 - 6000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(123 - 6000) mod 3 ≡ (123 mod 3 - 6000 mod 3) mod 3.
123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
Somit gilt:
(123 - 6000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 41) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 41) mod 6 ≡ (77 mod 6 ⋅ 41 mod 6) mod 6.
77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.
41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 41) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2668 mod 659.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 266 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 243 mod 659
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 398 mod 659
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 244 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 300227 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:
227 = 128+64+32+2+1
1: 3001=300
2: 3002=3001+1=3001⋅3001 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 272 mod 701
4: 3004=3002+2=3002⋅3002 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 379 mod 701
8: 3008=3004+4=3004⋅3004 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 637 mod 701
16: 30016=3008+8=3008⋅3008 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 591 mod 701
32: 30032=30016+16=30016⋅30016 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 183 mod 701
64: 30064=30032+32=30032⋅30032 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 542 mod 701
128: 300128=30064+64=30064⋅30064 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 45 mod 701
300227
= 300128+64+32+2+1
= 300128⋅30064⋅30032⋅3002⋅3001
≡ 45 ⋅ 542 ⋅ 183 ⋅ 272 ⋅ 300 mod 701
≡ 24390 ⋅ 183 ⋅ 272 ⋅ 300 mod 701 ≡ 556 ⋅ 183 ⋅ 272 ⋅ 300 mod 701
≡ 101748 ⋅ 272 ⋅ 300 mod 701 ≡ 103 ⋅ 272 ⋅ 300 mod 701
≡ 28016 ⋅ 300 mod 701 ≡ 677 ⋅ 300 mod 701
≡ 203100 mod 701 ≡ 511 mod 701
Es gilt also: 300227 ≡ 511 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
