Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2504 + 10001) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2504 + 10001) mod 5 ≡ (2504 mod 5 + 10001 mod 5) mod 5.
2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504
= 2500
10001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10001
= 10000
Somit gilt:
(2504 + 10001) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 28) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 28) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 28 mod 5) mod 5.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 28) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24664 mod 733.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 246 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2461=246
2: 2462=2461+1=2461⋅2461 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 410 mod 733
4: 2464=2462+2=2462⋅2462 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 243 mod 733
8: 2468=2464+4=2464⋅2464 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 409 mod 733
16: 24616=2468+8=2468⋅2468 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 157 mod 733
32: 24632=24616+16=24616⋅24616 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 460 mod 733
64: 24664=24632+32=24632⋅24632 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 496 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 165242 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:
242 = 128+64+32+16+2
1: 1651=165
2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 6 mod 211
4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 211
8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 30 mod 211
16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 30⋅30=900 ≡ 56 mod 211
32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 182 mod 211
64: 16564=16532+32=16532⋅16532 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 208 mod 211
128: 165128=16564+64=16564⋅16564 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 9 mod 211
165242
= 165128+64+32+16+2
= 165128⋅16564⋅16532⋅16516⋅1652
≡ 9 ⋅ 208 ⋅ 182 ⋅ 56 ⋅ 6 mod 211
≡ 1872 ⋅ 182 ⋅ 56 ⋅ 6 mod 211 ≡ 184 ⋅ 182 ⋅ 56 ⋅ 6 mod 211
≡ 33488 ⋅ 56 ⋅ 6 mod 211 ≡ 150 ⋅ 56 ⋅ 6 mod 211
≡ 8400 ⋅ 6 mod 211 ≡ 171 ⋅ 6 mod 211
≡ 1026 mod 211 ≡ 182 mod 211
Es gilt also: 165242 ≡ 182 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 92.
Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 92
| =>97 | = 1⋅92 + 5 |
| =>92 | = 18⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,92)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 92-18⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(92 -18⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅92 +36⋅ 5) = -2⋅92 +37⋅ 5 (=1) |
| 5= 97-1⋅92 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅92 +37⋅(97 -1⋅ 92)
= -2⋅92 +37⋅97 -37⋅ 92) = 37⋅97 -39⋅ 92 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,92)=1 = 37⋅97 -39⋅92
oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -37⋅97 = -39⋅92
-39⋅92 = -37⋅97 + 1 |+97⋅92
-39⋅92 + 97⋅92 = -37⋅97 + 97⋅92 + 1
(-39 + 97) ⋅ 92 = (-37 + 92) ⋅ 97 + 1
58⋅92 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 58⋅92 = 55⋅97 +1
Somit 58⋅92 = 1 mod 97
58 ist also das Inverse von 92 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
