Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 1200) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 1200 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 4 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(8000 - 1200) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 38) mod 9 ≡ (63 mod 9 ⋅ 38 mod 9) mod 9.

63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.

38 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 4 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 38) mod 9 ≡ (0 ⋅ 2) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 496¹=496

2: 496²=496¹⁺¹=496¹⋅496¹ ≡ 496⋅496=246016 ≡ 439 mod 751

4: 496⁴=496²⁺²=496²⋅496² ≡ 439⋅439=192721 ≡ 465 mod 751

8: 496⁸=496⁴⁺⁴=496⁴⋅496⁴ ≡ 465⋅465=216225 ≡ 688 mod 751

16: 496¹⁶=496⁸⁺⁸=496⁸⋅496⁸ ≡ 688⋅688=473344 ≡ 214 mod 751

32: 496³²=496¹⁶⁺¹⁶=496¹⁶⋅496¹⁶ ≡ 214⋅214=45796 ≡ 736 mod 751

64: 496⁶⁴=496³²⁺³²=496³²⋅496³² ≡ 736⋅736=541696 ≡ 225 mod 751

128: 496¹²⁸=496⁶⁴⁺⁶⁴=496⁶⁴⋅496⁶⁴ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 308 mod 751

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

304²¹⁸

= 304^{128+64+16+8+2}

= 304¹²⁸⋅304⁶⁴⋅304¹⁶⋅304⁸⋅304²

≡ 434 ⋅ 214 ⋅ 314 ⋅ 422 ⋅ 466 mod 613
≡ 92876 ⋅ 314 ⋅ 422 ⋅ 466 mod 613 ≡ 313 ⋅ 314 ⋅ 422 ⋅ 466 mod 613
≡ 98282 ⋅ 422 ⋅ 466 mod 613 ≡ 202 ⋅ 422 ⋅ 466 mod 613
≡ 85244 ⋅ 466 mod 613 ≡ 37 ⋅ 466 mod 613
≡ 17242 mod 613 ≡ 78 mod 613

Es gilt also: 304²¹⁸ ≡ 78 mod 613

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45

=>61	= 1⋅45 + 16
=>45	= 2⋅16 + 13
=>16	= 1⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 16-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1)
13= 45-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16) = -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1)
16= 61-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45) = 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45

oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅61 = +19⋅45

Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1

Somit 19⋅45 = 1 mod 61

19 ist also das Inverse von 45 mod 61