Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(246 + 30003) mod 6 ≡ (246 mod 6 + 30003 mod 6) mod 6.

246 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 6 ⋅ 40 +6.

30003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30003 = 30000+3 = 6 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(246 + 30003) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 62) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.

30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 62) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 173¹=173

2: 173²=173¹⁺¹=173¹⋅173¹ ≡ 173⋅173=29929 ≡ 139 mod 331

4: 173⁴=173²⁺²=173²⋅173² ≡ 139⋅139=19321 ≡ 123 mod 331

8: 173⁸=173⁴⁺⁴=173⁴⋅173⁴ ≡ 123⋅123=15129 ≡ 234 mod 331

16: 173¹⁶=173⁸⁺⁸=173⁸⋅173⁸ ≡ 234⋅234=54756 ≡ 141 mod 331

32: 173³²=173¹⁶⁺¹⁶=173¹⁶⋅173¹⁶ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 21 mod 331

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

865²⁵⁰

= 865^{128+64+32+16+8+2}

= 865¹²⁸⋅865⁶⁴⋅865³²⋅865¹⁶⋅865⁸⋅865²

≡ 354 ⋅ 432 ⋅ 429 ⋅ 353 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887
≡ 152928 ⋅ 429 ⋅ 353 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887 ≡ 364 ⋅ 429 ⋅ 353 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887
≡ 156156 ⋅ 353 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887 ≡ 44 ⋅ 353 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887
≡ 15532 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887 ≡ 453 ⋅ 648 ⋅ 484 mod 887
≡ 293544 ⋅ 484 mod 887 ≡ 834 ⋅ 484 mod 887
≡ 403656 mod 887 ≡ 71 mod 887

Es gilt also: 865²⁵⁰ ≡ 71 mod 887

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19

=>53	= 2⋅19 + 15
=>19	= 1⋅15 + 4
=>15	= 3⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 19-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15) = -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15) = 4⋅19 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19) = 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19) = -5⋅53 +14⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +14⋅19

Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1

Somit 14⋅19 = 1 mod 53

14 ist also das Inverse von 19 mod 53