Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (362 - 45000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(362 - 45000) mod 9 ≡ (362 mod 9 - 45000 mod 9) mod 9.
362 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 362
= 360
45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000
= 45000
Somit gilt:
(362 - 45000) mod 9 ≡ (2 - 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 21) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 21) mod 10 ≡ (91 mod 10 ⋅ 21 mod 10) mod 10.
91 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 9 ⋅ 10 + 1 ist.
21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 21) mod 10 ≡ (1 ⋅ 1) mod 10 ≡ 1 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2078 mod 631.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 207 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 572 mod 631
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 326 mod 631
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 268 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 95171 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 951=95
2: 952=951+1=951⋅951 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 108 mod 241
4: 954=952+2=952⋅952 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 96 mod 241
8: 958=954+4=954⋅954 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 58 mod 241
16: 9516=958+8=958⋅958 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 231 mod 241
32: 9532=9516+16=9516⋅9516 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 100 mod 241
64: 9564=9532+32=9532⋅9532 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 119 mod 241
128: 95128=9564+64=9564⋅9564 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 183 mod 241
95171
= 95128+32+8+2+1
= 95128⋅9532⋅958⋅952⋅951
≡ 183 ⋅ 100 ⋅ 58 ⋅ 108 ⋅ 95 mod 241
≡ 18300 ⋅ 58 ⋅ 108 ⋅ 95 mod 241 ≡ 225 ⋅ 58 ⋅ 108 ⋅ 95 mod 241
≡ 13050 ⋅ 108 ⋅ 95 mod 241 ≡ 36 ⋅ 108 ⋅ 95 mod 241
≡ 3888 ⋅ 95 mod 241 ≡ 32 ⋅ 95 mod 241
≡ 3040 mod 241 ≡ 148 mod 241
Es gilt also: 95171 ≡ 148 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 32
| =>61 | = 1⋅32 + 29 |
| =>32 | = 1⋅29 + 3 |
| =>29 | = 9⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 29-9⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1) |
| 3= 32-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +10⋅(32 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅32 -10⋅ 29) = 10⋅32 -11⋅ 29 (=1) |
| 29= 61-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅32 -11⋅(61 -1⋅ 32)
= 10⋅32 -11⋅61 +11⋅ 32) = -11⋅61 +21⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,32)=1 = -11⋅61 +21⋅32
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +21⋅32
Es gilt also: 21⋅32 = 11⋅61 +1
Somit 21⋅32 = 1 mod 61
21 ist also das Inverse von 32 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
