Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2002 + 204) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2002 + 204) mod 5 ≡ (2002 mod 5 + 204 mod 5) mod 5.
2002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
204 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 200
Somit gilt:
(2002 + 204) mod 5 ≡ (2 + 4) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 81) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 81) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 81 mod 3) mod 3.
54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.
81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 81) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15332 mod 439.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 153 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1531=153
2: 1532=1531+1=1531⋅1531 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 142 mod 439
4: 1534=1532+2=1532⋅1532 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 409 mod 439
8: 1538=1534+4=1534⋅1534 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 22 mod 439
16: 15316=1538+8=1538⋅1538 ≡ 22⋅22=484 ≡ 45 mod 439
32: 15332=15316+16=15316⋅15316 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 269 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 894166 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 8941=894
2: 8942=8941+1=8941⋅8941 ≡ 894⋅894=799236 ≡ 296 mod 929
4: 8944=8942+2=8942⋅8942 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 290 mod 929
8: 8948=8944+4=8944⋅8944 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 490 mod 929
16: 89416=8948+8=8948⋅8948 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 418 mod 929
32: 89432=89416+16=89416⋅89416 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 72 mod 929
64: 89464=89432+32=89432⋅89432 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 539 mod 929
128: 894128=89464+64=89464⋅89464 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929
894166
= 894128+32+4+2
= 894128⋅89432⋅8944⋅8942
≡ 673 ⋅ 72 ⋅ 290 ⋅ 296 mod 929
≡ 48456 ⋅ 290 ⋅ 296 mod 929 ≡ 148 ⋅ 290 ⋅ 296 mod 929
≡ 42920 ⋅ 296 mod 929 ≡ 186 ⋅ 296 mod 929
≡ 55056 mod 929 ≡ 245 mod 929
Es gilt also: 894166 ≡ 245 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 37
| =>67 | = 1⋅37 + 30 |
| =>37 | = 1⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 37-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(37 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅37 -13⋅ 30) = 13⋅37 -16⋅ 30 (=1) |
| 30= 67-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅37 -16⋅(67 -1⋅ 37)
= 13⋅37 -16⋅67 +16⋅ 37) = -16⋅67 +29⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,37)=1 = -16⋅67 +29⋅37
oder wenn man -16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅67 = +29⋅37
Es gilt also: 29⋅37 = 16⋅67 +1
Somit 29⋅37 = 1 mod 67
29 ist also das Inverse von 37 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
