Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4996 + 504) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4996 + 504) mod 5 ≡ (4996 mod 5 + 504 mod 5) mod 5.
4996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4996
= 4000
504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504
= 500
Somit gilt:
(4996 + 504) mod 5 ≡ (1 + 4) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 33) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 33) mod 11 ≡ (64 mod 11 ⋅ 33 mod 11) mod 11.
64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.
33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 33) mod 11 ≡ (9 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 76264 mod 881.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 762 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7621=762
2: 7622=7621+1=7621⋅7621 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 65 mod 881
4: 7624=7622+2=7622⋅7622 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 701 mod 881
8: 7628=7624+4=7624⋅7624 ≡ 701⋅701=491401 ≡ 684 mod 881
16: 76216=7628+8=7628⋅7628 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 45 mod 881
32: 76232=76216+16=76216⋅76216 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 263 mod 881
64: 76264=76232+32=76232⋅76232 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 451 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 258228 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 560 mod 569
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 81 mod 569
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 302 mod 569
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 164 mod 569
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 153 mod 569
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 80 mod 569
128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 141 mod 569
258228
= 258128+64+32+4
= 258128⋅25864⋅25832⋅2584
≡ 141 ⋅ 80 ⋅ 153 ⋅ 81 mod 569
≡ 11280 ⋅ 153 ⋅ 81 mod 569 ≡ 469 ⋅ 153 ⋅ 81 mod 569
≡ 71757 ⋅ 81 mod 569 ≡ 63 ⋅ 81 mod 569
≡ 5103 mod 569 ≡ 551 mod 569
Es gilt also: 258228 ≡ 551 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24
| =>79 | = 3⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -23⋅24
-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24
-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1
(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1
56⋅24 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1
Somit 56⋅24 = 1 mod 79
56 ist also das Inverse von 24 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
