Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 + 1199) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 + 1199) mod 3 ≡ (30 mod 3 + 1199 mod 3) mod 3.
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30
= 30
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
Somit gilt:
(30 + 1199) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 68) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 68) mod 7 ≡ (16 mod 7 ⋅ 68 mod 7) mod 7.
16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 68) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 74764 mod 757.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 747 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7471=747
2: 7472=7471+1=7471⋅7471 ≡ 747⋅747=558009 ≡ 100 mod 757
4: 7474=7472+2=7472⋅7472 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 159 mod 757
8: 7478=7474+4=7474⋅7474 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 300 mod 757
16: 74716=7478+8=7478⋅7478 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 674 mod 757
32: 74732=74716+16=74716⋅74716 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 76 mod 757
64: 74764=74732+32=74732⋅74732 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 477 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 258174 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 399 mod 401
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 4 mod 401
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 401
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 401
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 173 mod 401
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 255 mod 401
128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 63 mod 401
258174
= 258128+32+8+4+2
= 258128⋅25832⋅2588⋅2584⋅2582
≡ 63 ⋅ 173 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401
≡ 10899 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401 ≡ 72 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401
≡ 1152 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401 ≡ 350 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401
≡ 1400 ⋅ 399 mod 401 ≡ 197 ⋅ 399 mod 401
≡ 78603 mod 401 ≡ 7 mod 401
Es gilt also: 258174 ≡ 7 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38
| =>59 | = 1⋅38 + 21 |
| =>38 | = 1⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 38-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1) |
| 21= 59-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38) = -9⋅59 +14⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38
oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅59 = +14⋅38
Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1
Somit 14⋅38 = 1 mod 59
14 ist also das Inverse von 38 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
