Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40006 - 23996) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40006 - 23996) mod 8 ≡ (40006 mod 8 - 23996 mod 8) mod 8.
40006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40006
= 40000
23996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996
= 23000
Somit gilt:
(40006 - 23996) mod 8 ≡ (6 - 4) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 64) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 64) mod 9 ≡ (15 mod 9 ⋅ 64 mod 9) mod 9.
15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.
64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 64) mod 9 ≡ (6 ⋅ 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7268 mod 827.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 726 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7261=726
2: 7262=7261+1=7261⋅7261 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 277 mod 827
4: 7264=7262+2=7262⋅7262 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 645 mod 827
8: 7268=7264+4=7264⋅7264 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 44 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 464118 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 4641=464
2: 4642=4641+1=4641⋅4641 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 225 mod 479
4: 4644=4642+2=4642⋅4642 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 330 mod 479
8: 4648=4644+4=4644⋅4644 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 167 mod 479
16: 46416=4648+8=4648⋅4648 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 107 mod 479
32: 46432=46416+16=46416⋅46416 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 432 mod 479
64: 46464=46432+32=46432⋅46432 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 293 mod 479
464118
= 46464+32+16+4+2
= 46464⋅46432⋅46416⋅4644⋅4642
≡ 293 ⋅ 432 ⋅ 107 ⋅ 330 ⋅ 225 mod 479
≡ 126576 ⋅ 107 ⋅ 330 ⋅ 225 mod 479 ≡ 120 ⋅ 107 ⋅ 330 ⋅ 225 mod 479
≡ 12840 ⋅ 330 ⋅ 225 mod 479 ≡ 386 ⋅ 330 ⋅ 225 mod 479
≡ 127380 ⋅ 225 mod 479 ≡ 445 ⋅ 225 mod 479
≡ 100125 mod 479 ≡ 14 mod 479
Es gilt also: 464118 ≡ 14 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30
| =>53 | = 1⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 53-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30) = -13⋅53 +23⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +23⋅30
Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1
Somit 23⋅30 = 1 mod 53
23 ist also das Inverse von 30 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
