Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (280 + 14002) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(280 + 14002) mod 7 ≡ (280 mod 7 + 14002 mod 7) mod 7.
280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280
= 280
14002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14002
= 14000
Somit gilt:
(280 + 14002) mod 7 ≡ (0 + 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 30) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 30) mod 3 ≡ (27 mod 3 ⋅ 30 mod 3) mod 3.
27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 9 ⋅ 3 + 0 ist.
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 10 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 30) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15764 mod 433.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 157 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1571=157
2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 401 mod 433
4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 158 mod 433
8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 283 mod 433
16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 417 mod 433
32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 256 mod 433
64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 153 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 329114 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 235 mod 383
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 73 mod 383
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 350 mod 383
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 323 mod 383
32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 153 mod 383
64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 46 mod 383
329114
= 32964+32+16+2
= 32964⋅32932⋅32916⋅3292
≡ 46 ⋅ 153 ⋅ 323 ⋅ 235 mod 383
≡ 7038 ⋅ 323 ⋅ 235 mod 383 ≡ 144 ⋅ 323 ⋅ 235 mod 383
≡ 46512 ⋅ 235 mod 383 ≡ 169 ⋅ 235 mod 383
≡ 39715 mod 383 ≡ 266 mod 383
Es gilt also: 329114 ≡ 266 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 84
| =>89 | = 1⋅84 + 5 |
| =>84 | = 16⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 84-16⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(84 -16⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅84 +16⋅ 5) = -1⋅84 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅84 +17⋅(89 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +17⋅89 -17⋅ 84) = 17⋅89 -18⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,84)=1 = 17⋅89 -18⋅84
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -18⋅84
-18⋅84 = -17⋅89 + 1 |+89⋅84
-18⋅84 + 89⋅84 = -17⋅89 + 89⋅84 + 1
(-18 + 89) ⋅ 84 = (-17 + 84) ⋅ 89 + 1
71⋅84 = 67⋅89 + 1
Es gilt also: 71⋅84 = 67⋅89 +1
Somit 71⋅84 = 1 mod 89
71 ist also das Inverse von 84 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
