Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27993 - 3497) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27993 - 3497) mod 7 ≡ (27993 mod 7 - 3497 mod 7) mod 7.
27993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27993
= 28000
3497 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3497
= 3500
Somit gilt:
(27993 - 3497) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 65) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 65) mod 11 ≡ (84 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.
84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 65) mod 11 ≡ (7 ⋅ 10) mod 11 ≡ 70 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22664 mod 647.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 226 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 610 mod 647
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 75 mod 647
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 449 mod 647
16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 384 mod 647
32: 22632=22616+16=22616⋅22616 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 587 mod 647
64: 22664=22632+32=22632⋅22632 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 365 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 132201 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 1321=132
2: 1322=1321+1=1321⋅1321 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 8 mod 311
4: 1324=1322+2=1322⋅1322 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 311
8: 1328=1324+4=1324⋅1324 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 53 mod 311
16: 13216=1328+8=1328⋅1328 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 10 mod 311
32: 13232=13216+16=13216⋅13216 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 311
64: 13264=13232+32=13232⋅13232 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 48 mod 311
128: 132128=13264+64=13264⋅13264 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 127 mod 311
132201
= 132128+64+8+1
= 132128⋅13264⋅1328⋅1321
≡ 127 ⋅ 48 ⋅ 53 ⋅ 132 mod 311
≡ 6096 ⋅ 53 ⋅ 132 mod 311 ≡ 187 ⋅ 53 ⋅ 132 mod 311
≡ 9911 ⋅ 132 mod 311 ≡ 270 ⋅ 132 mod 311
≡ 35640 mod 311 ≡ 186 mod 311
Es gilt also: 132201 ≡ 186 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35
| =>53 | = 1⋅35 + 18 |
| =>35 | = 1⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 35-1⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18) = -1⋅35 +2⋅ 18 (=1) |
| 18= 53-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35) = 2⋅53 -3⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -3⋅35
-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35
-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1
(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1
50⋅35 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1
Somit 50⋅35 = 1 mod 53
50 ist also das Inverse von 35 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
