Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (116 - 57) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(116 - 57) mod 6 ≡ (116 mod 6 - 57 mod 6) mod 6.
116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116
= 120
57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57
= 60
Somit gilt:
(116 - 57) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 74) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 74) mod 11 ≡ (75 mod 11 ⋅ 74 mod 11) mod 11.
75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.
74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 74) mod 11 ≡ (9 ⋅ 8) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4988 mod 521.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 498 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4981=498
2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 8 mod 521
4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 521
8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 449 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 280140 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 270 mod 601
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 179 mod 601
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 188 mod 601
16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 486 mod 601
32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 3 mod 601
64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 601
128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 601
280140
= 280128+8+4
= 280128⋅2808⋅2804
≡ 81 ⋅ 188 ⋅ 179 mod 601
≡ 15228 ⋅ 179 mod 601 ≡ 203 ⋅ 179 mod 601
≡ 36337 mod 601 ≡ 277 mod 601
Es gilt also: 280140 ≡ 277 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.
Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77
| =>89 | = 1⋅77 + 12 |
| =>77 | = 6⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,77)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 77-6⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1) |
| 12= 89-1⋅77 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77
oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅89 = +37⋅77
Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1
Somit 37⋅77 = 1 mod 89
37 ist also das Inverse von 77 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
