Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (210 - 66) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(210 - 66) mod 7 ≡ (210 mod 7 - 66 mod 7) mod 7.
210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210
= 210
66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66
= 70
Somit gilt:
(210 - 66) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 58) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 58) mod 3 ≡ (34 mod 3 ⋅ 58 mod 3) mod 3.
34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 58) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 217128 mod 571.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2171=217
2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 267 mod 571
4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 485 mod 571
8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 544 mod 571
16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 158 mod 571
32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 411 mod 571
64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 476 mod 571
128: 217128=21764+64=21764⋅21764 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 460 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29091 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 2901=290
2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 9 mod 293
4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 293
8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 115 mod 293
16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 40 mod 293
32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 135 mod 293
64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 59 mod 293
29091
= 29064+16+8+2+1
= 29064⋅29016⋅2908⋅2902⋅2901
≡ 59 ⋅ 40 ⋅ 115 ⋅ 9 ⋅ 290 mod 293
≡ 2360 ⋅ 115 ⋅ 9 ⋅ 290 mod 293 ≡ 16 ⋅ 115 ⋅ 9 ⋅ 290 mod 293
≡ 1840 ⋅ 9 ⋅ 290 mod 293 ≡ 82 ⋅ 9 ⋅ 290 mod 293
≡ 738 ⋅ 290 mod 293 ≡ 152 ⋅ 290 mod 293
≡ 44080 mod 293 ≡ 130 mod 293
Es gilt also: 29091 ≡ 130 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44
| =>67 | = 1⋅44 + 23 |
| =>44 | = 1⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 44-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1) |
| 23= 67-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44)
= 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44
oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +21⋅67 = +32⋅44
Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1
Somit 32⋅44 = 1 mod 67
32 ist also das Inverse von 44 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
