Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6003 - 901) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6003 - 901) mod 3 ≡ (6003 mod 3 - 901 mod 3) mod 3.

6003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 3 ⋅ 2000 +3.

901 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901 = 900+1 = 3 ⋅ 300 +1.

Somit gilt:

(6003 - 901) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 36) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 36) mod 7 ≡ (34 mod 7 ⋅ 36 mod 7) mod 7.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 36) mod 7 ≡ (6 ⋅ 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 75016 mod 911.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 750 -> x
2. mod(x²,911) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7501=750

2: 7502=7501+1=7501⋅7501 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 413 mod 911

4: 7504=7502+2=7502⋅7502 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 212 mod 911

8: 7508=7504+4=7504⋅7504 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 305 mod 911

16: 75016=7508+8=7508⋅7508 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 103 mod 911

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 56867 mod 659.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:

67 = 64+2+1

1: 5681=568

2: 5682=5681+1=5681⋅5681 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 373 mod 659

4: 5684=5682+2=5682⋅5682 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 80 mod 659

8: 5688=5684+4=5684⋅5684 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 469 mod 659

16: 56816=5688+8=5688⋅5688 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 514 mod 659

32: 56832=56816+16=56816⋅56816 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 596 mod 659

64: 56864=56832+32=56832⋅56832 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 15 mod 659

56867

= 56864+2+1

= 56864⋅5682⋅5681

15 ⋅ 373 ⋅ 568 mod 659
5595 ⋅ 568 mod 659 ≡ 323 ⋅ 568 mod 659
183464 mod 659 ≡ 262 mod 659

Es gilt also: 56867 ≡ 262 mod 659

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 75

=>97 = 1⋅75 + 22
=>75 = 3⋅22 + 9
=>22 = 2⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9)
= -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 75-3⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +5⋅(75 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅75 -15⋅ 22)
= 5⋅75 -17⋅ 22 (=1)
22= 97-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅75 -17⋅(97 -1⋅ 75)
= 5⋅75 -17⋅97 +17⋅ 75)
= -17⋅97 +22⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(97,75)=1 = -17⋅97 +22⋅75

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +22⋅75

Es gilt also: 22⋅75 = 17⋅97 +1

Somit 22⋅75 = 1 mod 97

22 ist also das Inverse von 75 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.