Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4002 + 4002) mod 4 ≡ (4002 mod 4 + 4002 mod 4) mod 4.

4002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002 = 4000+2 = 4 ⋅ 1000 +2.

4002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002 = 4000+2 = 4 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(4002 + 4002) mod 4 ≡ (2 + 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 72) mod 3 ≡ (23 mod 3 ⋅ 72 mod 3) mod 3.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

72 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 24 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 72) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 315¹=315

2: 315²=315¹⁺¹=315¹⋅315¹ ≡ 315⋅315=99225 ≡ 60 mod 601

4: 315⁴=315²⁺²=315²⋅315² ≡ 60⋅60=3600 ≡ 595 mod 601

8: 315⁸=315⁴⁺⁴=315⁴⋅315⁴ ≡ 595⋅595=354025 ≡ 36 mod 601

16: 315¹⁶=315⁸⁺⁸=315⁸⋅315⁸ ≡ 36⋅36=1296 ≡ 94 mod 601

32: 315³²=315¹⁶⁺¹⁶=315¹⁶⋅315¹⁶ ≡ 94⋅94=8836 ≡ 422 mod 601

64: 315⁶⁴=315³²⁺³²=315³²⋅315³² ≡ 422⋅422=178084 ≡ 188 mod 601

128: 315¹²⁸=315⁶⁴⁺⁶⁴=315⁶⁴⋅315⁶⁴ ≡ 188⋅188=35344 ≡ 486 mod 601

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

155²⁴²

= 155^{128+64+32+16+2}

= 155¹²⁸⋅155⁶⁴⋅155³²⋅155¹⁶⋅155²

≡ 313 ⋅ 225 ⋅ 316 ⋅ 216 ⋅ 193 mod 331
≡ 70425 ⋅ 316 ⋅ 216 ⋅ 193 mod 331 ≡ 253 ⋅ 316 ⋅ 216 ⋅ 193 mod 331
≡ 79948 ⋅ 216 ⋅ 193 mod 331 ≡ 177 ⋅ 216 ⋅ 193 mod 331
≡ 38232 ⋅ 193 mod 331 ≡ 167 ⋅ 193 mod 331
≡ 32231 mod 331 ≡ 124 mod 331

Es gilt also: 155²⁴² ≡ 124 mod 331

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 42

=>89	= 2⋅42 + 5
=>42	= 8⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 42-8⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5) = -2⋅42 +17⋅ 5 (=1)
5= 89-2⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +17⋅(89 -2⋅ 42) = -2⋅42 +17⋅89 -34⋅ 42) = 17⋅89 -36⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(89,42)=1 = 17⋅89 -36⋅42

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -36⋅42

-36⋅42 = -17⋅89 + 1 |+89⋅42

-36⋅42 + 89⋅42 = -17⋅89 + 89⋅42 + 1

(-36 + 89) ⋅ 42 = (-17 + 42) ⋅ 89 + 1

53⋅42 = 25⋅89 + 1

Es gilt also: 53⋅42 = 25⋅89 +1

Somit 53⋅42 = 1 mod 89

53 ist also das Inverse von 42 mod 89