Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (241 + 2395) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(241 + 2395) mod 6 ≡ (241 mod 6 + 2395 mod 6) mod 6.

241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 6 ⋅ 40 +1.

2395 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395 = 2400-5 = 6 ⋅ 400 -5 = 6 ⋅ 400 - 6 + 1.

Somit gilt:

(241 + 2395) mod 6 ≡ (1 + 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 42) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 42) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 42) mod 11 ≡ (4 ⋅ 9) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3558 mod 419.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 355 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3551=355

2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 325 mod 419

4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 37 mod 419

8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 112 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 397159 mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

1: 3971=397

2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 202 mod 739

4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 159 mod 739

8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 155 mod 739

16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 377 mod 739

32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 241 mod 739

64: 39764=39732+32=39732⋅39732 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 439 mod 739

128: 397128=39764+64=39764⋅39764 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 581 mod 739

397159

= 397128+16+8+4+2+1

= 397128⋅39716⋅3978⋅3974⋅3972⋅3971

581 ⋅ 377 ⋅ 155 ⋅ 159 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739
219037 ⋅ 155 ⋅ 159 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739 ≡ 293 ⋅ 155 ⋅ 159 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739
45415 ⋅ 159 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739 ≡ 336 ⋅ 159 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739
53424 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739 ≡ 216 ⋅ 202 ⋅ 397 mod 739
43632 ⋅ 397 mod 739 ≡ 31 ⋅ 397 mod 739
12307 mod 739 ≡ 483 mod 739

Es gilt also: 397159 ≡ 483 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61 = 1⋅50 + 11
=>50 = 4⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11)
= 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50)
= -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.