Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3506 - 69) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3506 - 69) mod 7 ≡ (3506 mod 7 - 69 mod 7) mod 7.

3506 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3506 = 3500+6 = 7 ⋅ 500 +6.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 70-1 = 7 ⋅ 10 -1 = 7 ⋅ 10 - 7 + 6.

Somit gilt:

(3506 - 69) mod 7 ≡ (6 - 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 18) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 18) mod 4 ≡ (61 mod 4 ⋅ 18 mod 4) mod 4.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 18) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20964 mod 431.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 209 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2091=209

2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 150 mod 431

4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 88 mod 431

8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 417 mod 431

16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 196 mod 431

32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 57 mod 431

64: 20964=20932+32=20932⋅20932 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 232 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35880 mod 773.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:

80 = 64+16

1: 3581=358

2: 3582=3581+1=3581⋅3581 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 619 mod 773

4: 3584=3582+2=3582⋅3582 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 526 mod 773

8: 3588=3584+4=3584⋅3584 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 715 mod 773

16: 35816=3588+8=3588⋅3588 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 272 mod 773

32: 35832=35816+16=35816⋅35816 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 549 mod 773

64: 35864=35832+32=35832⋅35832 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 704 mod 773

35880

= 35864+16

= 35864⋅35816

704 ⋅ 272 mod 773
191488 mod 773 ≡ 557 mod 773

Es gilt also: 35880 ≡ 557 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24

=>61 = 2⋅24 + 13
=>24 = 1⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 24-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13)
= 6⋅24 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24)
= -11⋅61 +28⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +28⋅24

Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1

Somit 28⋅24 = 1 mod 61

28 ist also das Inverse von 24 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.