Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40000 - 808) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40000 - 808) mod 8 ≡ (40000 mod 8 - 808 mod 8) mod 8.

40000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40000 = 40000+0 = 8 ⋅ 5000 +0.

808 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 808 = 800+8 = 8 ⋅ 100 +8.

Somit gilt:

(40000 - 808) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 98) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 98) mod 6 ≡ (31 mod 6 ⋅ 98 mod 6) mod 6.

31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.

98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 98) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32916 mod 829.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3291=329

2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 471 mod 829

4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 498 mod 829

8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 133 mod 829

16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 280 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8665 mod 263.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:

65 = 64+1

1: 861=86

2: 862=861+1=861⋅861 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 32 mod 263

4: 864=862+2=862⋅862 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 235 mod 263

8: 868=864+4=864⋅864 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 258 mod 263

16: 8616=868+8=868⋅868 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 25 mod 263

32: 8632=8616+16=8616⋅8616 ≡ 25⋅25=625 ≡ 99 mod 263

64: 8664=8632+32=8632⋅8632 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 70 mod 263

8665

= 8664+1

= 8664⋅861

70 ⋅ 86 mod 263
6020 mod 263 ≡ 234 mod 263

Es gilt also: 8665 ≡ 234 mod 263

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32

=>67 = 2⋅32 + 3
=>32 = 10⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 32-10⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3)
= -1⋅32 +11⋅ 3 (=1)
3= 67-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32)
= 11⋅67 -23⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -23⋅32

-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32

-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1

(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1

44⋅32 = 21⋅67 + 1

Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1

Somit 44⋅32 = 1 mod 67

44 ist also das Inverse von 32 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.