Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44992 + 44999) mod 9 ≡ (44992 mod 9 + 44999 mod 9) mod 9.

44992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44992 = 45000-8 = 9 ⋅ 5000 -8 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 1.

44999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44999 = 45000-1 = 9 ⋅ 5000 -1 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 8.

Somit gilt:

(44992 + 44999) mod 9 ≡ (1 + 8) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 67) mod 3 ≡ (92 mod 3 ⋅ 67 mod 3) mod 3.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.

67 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 22 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 67) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 530¹=530

2: 530²=530¹⁺¹=530¹⋅530¹ ≡ 530⋅530=280900 ≡ 500 mod 701

4: 530⁴=530²⁺²=530²⋅530² ≡ 500⋅500=250000 ≡ 444 mod 701

8: 530⁸=530⁴⁺⁴=530⁴⋅530⁴ ≡ 444⋅444=197136 ≡ 155 mod 701

16: 530¹⁶=530⁸⁺⁸=530⁸⋅530⁸ ≡ 155⋅155=24025 ≡ 191 mod 701

32: 530³²=530¹⁶⁺¹⁶=530¹⁶⋅530¹⁶ ≡ 191⋅191=36481 ≡ 29 mod 701

64: 530⁶⁴=530³²⁺³²=530³²⋅530³² ≡ 29⋅29=841 ≡ 140 mod 701

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

217¹⁸³

= 217^{128+32+16+4+2+1}

= 217¹²⁸⋅217³²⋅217¹⁶⋅217⁴⋅217²⋅217¹

≡ 85 ⋅ 42 ⋅ 248 ⋅ 11 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389
≡ 3570 ⋅ 248 ⋅ 11 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389 ≡ 69 ⋅ 248 ⋅ 11 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389
≡ 17112 ⋅ 11 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389 ≡ 385 ⋅ 11 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389
≡ 4235 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389 ≡ 345 ⋅ 20 ⋅ 217 mod 389
≡ 6900 ⋅ 217 mod 389 ≡ 287 ⋅ 217 mod 389
≡ 62279 mod 389 ≡ 39 mod 389

Es gilt also: 217¹⁸³ ≡ 39 mod 389

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79	= 1⋅47 + 32
=>47	= 1⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32) = 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47) = 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47) = -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79