Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (595 - 1204) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(595 - 1204) mod 6 ≡ (595 mod 6 - 1204 mod 6) mod 6.
595 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 595
= 600
1204 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
Somit gilt:
(595 - 1204) mod 6 ≡ (1 - 4) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 23) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 23) mod 11 ≡ (93 mod 11 ⋅ 23 mod 11) mod 11.
93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.
23 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 22 + 1 = 2 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 23) mod 11 ≡ (5 ⋅ 1) mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31516 mod 821.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 315 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 705 mod 821
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 320 mod 821
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 596 mod 821
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 544 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 319107 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:
107 = 64+32+8+2+1
1: 3191=319
2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 202 mod 349
4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 320 mod 349
8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 143 mod 349
16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 207 mod 349
32: 31932=31916+16=31916⋅31916 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 271 mod 349
64: 31964=31932+32=31932⋅31932 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 151 mod 349
319107
= 31964+32+8+2+1
= 31964⋅31932⋅3198⋅3192⋅3191
≡ 151 ⋅ 271 ⋅ 143 ⋅ 202 ⋅ 319 mod 349
≡ 40921 ⋅ 143 ⋅ 202 ⋅ 319 mod 349 ≡ 88 ⋅ 143 ⋅ 202 ⋅ 319 mod 349
≡ 12584 ⋅ 202 ⋅ 319 mod 349 ≡ 20 ⋅ 202 ⋅ 319 mod 349
≡ 4040 ⋅ 319 mod 349 ≡ 201 ⋅ 319 mod 349
≡ 64119 mod 349 ≡ 252 mod 349
Es gilt also: 319107 ≡ 252 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54
| =>59 | = 1⋅54 + 5 |
| =>54 | = 10⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 54-10⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -12⋅54
-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54
-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1
(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1
47⋅54 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1
Somit 47⋅54 = 1 mod 59
47 ist also das Inverse von 54 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
