Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (239 + 3207) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(239 + 3207) mod 8 ≡ (239 mod 8 + 3207 mod 8) mod 8.

239 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239 = 240-1 = 8 ⋅ 30 -1 = 8 ⋅ 30 - 8 + 7.

3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207 = 3200+7 = 8 ⋅ 400 +7.

Somit gilt:

(239 + 3207) mod 8 ≡ (7 + 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 70) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 70) mod 10 ≡ (47 mod 10 ⋅ 70 mod 10) mod 10.

47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.

70 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 7 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 70) mod 10 ≡ (7 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39732 mod 683.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 397 -> x
2. mod(x²,683) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3971=397

2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 519 mod 683

4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 259 mod 683

8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 147 mod 683

16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 436 mod 683

32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 222 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 738134 mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

1: 7381=738

2: 7382=7381+1=7381⋅7381 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 449 mod 857

4: 7384=7382+2=7382⋅7382 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 206 mod 857

8: 7388=7384+4=7384⋅7384 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 443 mod 857

16: 73816=7388+8=7388⋅7388 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 853 mod 857

32: 73832=73816+16=73816⋅73816 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 16 mod 857

64: 73864=73832+32=73832⋅73832 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 857

128: 738128=73864+64=73864⋅73864 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 404 mod 857

738134

= 738128+4+2

= 738128⋅7384⋅7382

404 ⋅ 206 ⋅ 449 mod 857
83224 ⋅ 449 mod 857 ≡ 95 ⋅ 449 mod 857
42655 mod 857 ≡ 662 mod 857

Es gilt also: 738134 ≡ 662 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 84

=>97 = 1⋅84 + 13
=>84 = 6⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 84-6⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(84 -6⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅84 +12⋅ 13)
= -2⋅84 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-1⋅84 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅84 +13⋅(97 -1⋅ 84)
= -2⋅84 +13⋅97 -13⋅ 84)
= 13⋅97 -15⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(97,84)=1 = 13⋅97 -15⋅84

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -15⋅84

-15⋅84 = -13⋅97 + 1 |+97⋅84

-15⋅84 + 97⋅84 = -13⋅97 + 97⋅84 + 1

(-15 + 97) ⋅ 84 = (-13 + 84) ⋅ 97 + 1

82⋅84 = 71⋅97 + 1

Es gilt also: 82⋅84 = 71⋅97 +1

Somit 82⋅84 = 1 mod 97

82 ist also das Inverse von 84 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.