Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5003 - 46) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5003 - 46) mod 5 ≡ (5003 mod 5 - 46 mod 5) mod 5.
5003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5003
= 5000
46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46
= 40
Somit gilt:
(5003 - 46) mod 5 ≡ (3 - 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 74) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 74) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 74 mod 3) mod 3.
95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.
74 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 24 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 74) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13164 mod 293.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 131 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1311=131
2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 167 mod 293
4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 54 mod 293
8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 279 mod 293
16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 196 mod 293
32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 33 mod 293
64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 210 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57965 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 5791=579
2: 5792=5791+1=5791⋅5791 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 95 mod 647
4: 5794=5792+2=5792⋅5792 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 614 mod 647
8: 5798=5794+4=5794⋅5794 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 442 mod 647
16: 57916=5798+8=5798⋅5798 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 617 mod 647
32: 57932=57916+16=57916⋅57916 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 253 mod 647
64: 57964=57932+32=57932⋅57932 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 603 mod 647
57965
= 57964+1
= 57964⋅5791
≡ 603 ⋅ 579 mod 647
≡ 349137 mod 647 ≡ 404 mod 647
Es gilt also: 57965 ≡ 404 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 42
| =>67 | = 1⋅42 + 25 |
| =>42 | = 1⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 42-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(42 -1⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅42 -3⋅ 25) = 3⋅42 -5⋅ 25 (=1) |
| 25= 67-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅42 -5⋅(67 -1⋅ 42)
= 3⋅42 -5⋅67 +5⋅ 42) = -5⋅67 +8⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,42)=1 = -5⋅67 +8⋅42
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +8⋅42
Es gilt also: 8⋅42 = 5⋅67 +1
Somit 8⋅42 = 1 mod 67
8 ist also das Inverse von 42 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
