Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (197 - 1202) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(197 - 1202) mod 4 ≡ (197 mod 4 - 1202 mod 4) mod 4.

197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197 = 200-3 = 4 ⋅ 50 -3 = 4 ⋅ 50 - 4 + 1.

1202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 4 ⋅ 300 +2.

Somit gilt:

(197 - 1202) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 32) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 32) mod 8 ≡ (88 mod 8 ⋅ 32 mod 8) mod 8.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 32) mod 8 ≡ (0 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 559128 mod 643.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 559 -> x
2. mod(x²,643) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5591=559

2: 5592=5591+1=5591⋅5591 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 626 mod 643

4: 5594=5592+2=5592⋅5592 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 289 mod 643

8: 5598=5594+4=5594⋅5594 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 574 mod 643

16: 55916=5598+8=5598⋅5598 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 260 mod 643

32: 55932=55916+16=55916⋅55916 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 85 mod 643

64: 55964=55932+32=55932⋅55932 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 152 mod 643

128: 559128=55964+64=55964⋅55964 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 599 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37272 mod 797.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:

72 = 64+8

1: 3721=372

2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 503 mod 797

4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 360 mod 797

8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 486 mod 797

16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 284 mod 797

32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 159 mod 797

64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 574 mod 797

37272

= 37264+8

= 37264⋅3728

574 ⋅ 486 mod 797
278964 mod 797 ≡ 14 mod 797

Es gilt also: 37272 ≡ 14 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 50

=>59 = 1⋅50 + 9
=>50 = 5⋅9 + 5
=>9 = 1⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 9-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5)
= -1⋅9 +2⋅ 5 (=1)
5= 50-5⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅9 +2⋅(50 -5⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅50 -10⋅ 9)
= 2⋅50 -11⋅ 9 (=1)
9= 59-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅50 -11⋅(59 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -11⋅59 +11⋅ 50)
= -11⋅59 +13⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(59,50)=1 = -11⋅59 +13⋅50

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +13⋅50

Es gilt also: 13⋅50 = 11⋅59 +1

Somit 13⋅50 = 1 mod 59

13 ist also das Inverse von 50 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.