Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 + 2498) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 + 2498) mod 5 ≡ (97 mod 5 + 2498 mod 5) mod 5.
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97
= 90
2498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2498
= 2400
Somit gilt:
(97 + 2498) mod 5 ≡ (2 + 3) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 36) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 36) mod 10 ≡ (54 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.
54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.
36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 36) mod 10 ≡ (4 ⋅ 6) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10664 mod 233.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 106 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1061=106
2: 1062=1061+1=1061⋅1061 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 52 mod 233
4: 1064=1062+2=1062⋅1062 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 141 mod 233
8: 1068=1064+4=1064⋅1064 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 76 mod 233
16: 10616=1068+8=1068⋅1068 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 184 mod 233
32: 10632=10616+16=10616⋅10616 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 71 mod 233
64: 10664=10632+32=10632⋅10632 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 148 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 471190 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:
190 = 128+32+16+8+4+2
1: 4711=471
2: 4712=4711+1=4711⋅4711 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 360 mod 631
4: 4714=4712+2=4712⋅4712 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 245 mod 631
8: 4718=4714+4=4714⋅4714 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 80 mod 631
16: 47116=4718+8=4718⋅4718 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 90 mod 631
32: 47132=47116+16=47116⋅47116 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 528 mod 631
64: 47164=47132+32=47132⋅47132 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 513 mod 631
128: 471128=47164+64=47164⋅47164 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 42 mod 631
471190
= 471128+32+16+8+4+2
= 471128⋅47132⋅47116⋅4718⋅4714⋅4712
≡ 42 ⋅ 528 ⋅ 90 ⋅ 80 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631
≡ 22176 ⋅ 90 ⋅ 80 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631 ≡ 91 ⋅ 90 ⋅ 80 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631
≡ 8190 ⋅ 80 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631 ≡ 618 ⋅ 80 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631
≡ 49440 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631 ≡ 222 ⋅ 245 ⋅ 360 mod 631
≡ 54390 ⋅ 360 mod 631 ≡ 124 ⋅ 360 mod 631
≡ 44640 mod 631 ≡ 470 mod 631
Es gilt also: 471190 ≡ 470 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
