Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2707 + 3597) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2707 + 3597) mod 9 ≡ (2707 mod 9 + 3597 mod 9) mod 9.

2707 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2707 = 2700+7 = 9 ⋅ 300 +7.

3597 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3597 = 3600-3 = 9 ⋅ 400 -3 = 9 ⋅ 400 - 9 + 6.

Somit gilt:

(2707 + 3597) mod 9 ≡ (7 + 6) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 31) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 31) mod 7 ≡ (16 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.

16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.

31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 31) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1018 mod 313.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 101 -> x
2. mod(x²,313) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1011=101

2: 1012=1011+1=1011⋅1011 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 185 mod 313

4: 1014=1012+2=1012⋅1012 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 108 mod 313

8: 1018=1014+4=1014⋅1014 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 83 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26687 mod 691.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

1: 2661=266

2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 274 mod 691

4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 448 mod 691

8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 314 mod 691

16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 474 mod 691

32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 101 mod 691

64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 527 mod 691

26687

= 26664+16+4+2+1

= 26664⋅26616⋅2664⋅2662⋅2661

527 ⋅ 474 ⋅ 448 ⋅ 274 ⋅ 266 mod 691
249798 ⋅ 448 ⋅ 274 ⋅ 266 mod 691 ≡ 347 ⋅ 448 ⋅ 274 ⋅ 266 mod 691
155456 ⋅ 274 ⋅ 266 mod 691 ≡ 672 ⋅ 274 ⋅ 266 mod 691
184128 ⋅ 266 mod 691 ≡ 322 ⋅ 266 mod 691
85652 mod 691 ≡ 659 mod 691

Es gilt also: 26687 ≡ 659 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 54

=>83 = 1⋅54 + 29
=>54 = 1⋅29 + 25
=>29 = 1⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 29-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25)
= -6⋅29 +7⋅ 25 (=1)
25= 54-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅29 +7⋅(54 -1⋅ 29)
= -6⋅29 +7⋅54 -7⋅ 29)
= 7⋅54 -13⋅ 29 (=1)
29= 83-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅54 -13⋅(83 -1⋅ 54)
= 7⋅54 -13⋅83 +13⋅ 54)
= -13⋅83 +20⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(83,54)=1 = -13⋅83 +20⋅54

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +20⋅54

Es gilt also: 20⋅54 = 13⋅83 +1

Somit 20⋅54 = 1 mod 83

20 ist also das Inverse von 54 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.