Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1195 - 240) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1195 - 240) mod 6 ≡ (1195 mod 6 - 240 mod 6) mod 6.
1195 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1195
= 1200
240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
Somit gilt:
(1195 - 240) mod 6 ≡ (1 - 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 39) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 39) mod 5 ≡ (38 mod 5 ⋅ 39 mod 5) mod 5.
38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.
39 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 7 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 39) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 74016 mod 787.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 740 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7401=740
2: 7402=7401+1=7401⋅7401 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 635 mod 787
4: 7404=7402+2=7402⋅7402 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 281 mod 787
8: 7408=7404+4=7404⋅7404 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 261 mod 787
16: 74016=7408+8=7408⋅7408 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 439 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 346242 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:
242 = 128+64+32+16+2
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 331 mod 379
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 30 mod 379
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 30⋅30=900 ≡ 142 mod 379
16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 77 mod 379
32: 34632=34616+16=34616⋅34616 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 244 mod 379
64: 34664=34632+32=34632⋅34632 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 33 mod 379
128: 346128=34664+64=34664⋅34664 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 331 mod 379
346242
= 346128+64+32+16+2
= 346128⋅34664⋅34632⋅34616⋅3462
≡ 331 ⋅ 33 ⋅ 244 ⋅ 77 ⋅ 331 mod 379
≡ 10923 ⋅ 244 ⋅ 77 ⋅ 331 mod 379 ≡ 311 ⋅ 244 ⋅ 77 ⋅ 331 mod 379
≡ 75884 ⋅ 77 ⋅ 331 mod 379 ≡ 84 ⋅ 77 ⋅ 331 mod 379
≡ 6468 ⋅ 331 mod 379 ≡ 25 ⋅ 331 mod 379
≡ 8275 mod 379 ≡ 316 mod 379
Es gilt also: 346242 ≡ 316 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 69
| =>83 | = 1⋅69 + 14 |
| =>69 | = 4⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 69-4⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(69 -4⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅69 +4⋅ 14) = -1⋅69 +5⋅ 14 (=1) |
| 14= 83-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +5⋅(83 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +5⋅83 -5⋅ 69) = 5⋅83 -6⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,69)=1 = 5⋅83 -6⋅69
oder wenn man 5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅83 = -6⋅69
-6⋅69 = -5⋅83 + 1 |+83⋅69
-6⋅69 + 83⋅69 = -5⋅83 + 83⋅69 + 1
(-6 + 83) ⋅ 69 = (-5 + 69) ⋅ 83 + 1
77⋅69 = 64⋅83 + 1
Es gilt also: 77⋅69 = 64⋅83 +1
Somit 77⋅69 = 1 mod 83
77 ist also das Inverse von 69 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
