Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(119 + 6003) mod 3 ≡ (119 mod 3 + 6003 mod 3) mod 3.

119 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 3 ⋅ 40 -1 = 3 ⋅ 40 - 3 + 2.

6003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 3 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(119 + 6003) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 70) mod 7 ≡ (30 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.

30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 70) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 104¹=104

2: 104²=104¹⁺¹=104¹⋅104¹ ≡ 104⋅104=10816 ≡ 138 mod 281

4: 104⁴=104²⁺²=104²⋅104² ≡ 138⋅138=19044 ≡ 217 mod 281

8: 104⁸=104⁴⁺⁴=104⁴⋅104⁴ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 162 mod 281

16: 104¹⁶=104⁸⁺⁸=104⁸⋅104⁸ ≡ 162⋅162=26244 ≡ 111 mod 281

32: 104³²=104¹⁶⁺¹⁶=104¹⁶⋅104¹⁶ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 238 mod 281

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

93⁹⁴

= 93^64+16+8+4+2

= 93⁶⁴⋅93¹⁶⋅93⁸⋅93⁴⋅93²

≡ 144 ⋅ 88 ⋅ 48 ⋅ 243 ⋅ 62 mod 277
≡ 12672 ⋅ 48 ⋅ 243 ⋅ 62 mod 277 ≡ 207 ⋅ 48 ⋅ 243 ⋅ 62 mod 277
≡ 9936 ⋅ 243 ⋅ 62 mod 277 ≡ 241 ⋅ 243 ⋅ 62 mod 277
≡ 58563 ⋅ 62 mod 277 ≡ 116 ⋅ 62 mod 277
≡ 7192 mod 277 ≡ 267 mod 277

Es gilt also: 93⁹⁴ ≡ 267 mod 277

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 52

=>83	= 1⋅52 + 31
=>52	= 1⋅31 + 21
=>31	= 1⋅21 + 10
=>21	= 2⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 31-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21) = 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21) = -2⋅31 +3⋅ 21 (=1)
21= 52-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅31 +3⋅(52 -1⋅ 31) = -2⋅31 +3⋅52 -3⋅ 31) = 3⋅52 -5⋅ 31 (=1)
31= 83-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅52 -5⋅(83 -1⋅ 52) = 3⋅52 -5⋅83 +5⋅ 52) = -5⋅83 +8⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(83,52)=1 = -5⋅83 +8⋅52

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +8⋅52

Es gilt also: 8⋅52 = 5⋅83 +1

Somit 8⋅52 = 1 mod 83

8 ist also das Inverse von 52 mod 83