Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5005 + 1500) mod 5 ≡ (5005 mod 5 + 1500 mod 5) mod 5.

5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005 = 5000+5 = 5 ⋅ 1000 +5.

1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 5 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(5005 + 1500) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 86) mod 8 ≡ (88 mod 8 ⋅ 86 mod 8) mod 8.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 86) mod 8 ≡ (0 ⋅ 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 567¹=567

2: 567²=567¹⁺¹=567¹⋅567¹ ≡ 567⋅567=321489 ≡ 213 mod 653

4: 567⁴=567²⁺²=567²⋅567² ≡ 213⋅213=45369 ≡ 312 mod 653

8: 567⁸=567⁴⁺⁴=567⁴⋅567⁴ ≡ 312⋅312=97344 ≡ 47 mod 653

16: 567¹⁶=567⁸⁺⁸=567⁸⋅567⁸ ≡ 47⋅47=2209 ≡ 250 mod 653

32: 567³²=567¹⁶⁺¹⁶=567¹⁶⋅567¹⁶ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 465 mod 653

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

711¹⁷¹

= 711^128+32+8+2+1

= 711¹²⁸⋅711³²⋅711⁸⋅711²⋅711¹

≡ 618 ⋅ 820 ⋅ 59 ⋅ 42 ⋅ 711 mod 997
≡ 506760 ⋅ 59 ⋅ 42 ⋅ 711 mod 997 ≡ 284 ⋅ 59 ⋅ 42 ⋅ 711 mod 997
≡ 16756 ⋅ 42 ⋅ 711 mod 997 ≡ 804 ⋅ 42 ⋅ 711 mod 997
≡ 33768 ⋅ 711 mod 997 ≡ 867 ⋅ 711 mod 997
≡ 616437 mod 997 ≡ 291 mod 997

Es gilt also: 711¹⁷¹ ≡ 291 mod 997

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59	= 1⋅46 + 13
=>46	= 3⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46) = 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59