Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9002 - 180) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9002 - 180) mod 9 ≡ (9002 mod 9 - 180 mod 9) mod 9.
9002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002
= 9000
180 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
Somit gilt:
(9002 - 180) mod 9 ≡ (2 - 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 33) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 33) mod 11 ≡ (87 mod 11 ⋅ 33 mod 11) mod 11.
87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.
33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 33) mod 11 ≡ (10 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63064 mod 967.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 630 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6301=630
2: 6302=6301+1=6301⋅6301 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 430 mod 967
4: 6304=6302+2=6302⋅6302 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 203 mod 967
8: 6308=6304+4=6304⋅6304 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 595 mod 967
16: 63016=6308+8=6308⋅6308 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 103 mod 967
32: 63032=63016+16=63016⋅63016 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 939 mod 967
64: 63064=63032+32=63032⋅63032 ≡ 939⋅939=881721 ≡ 784 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48592 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 4851=485
2: 4852=4851+1=4851⋅4851 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 369 mod 947
4: 4854=4852+2=4852⋅4852 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 740 mod 947
8: 4858=4854+4=4854⋅4854 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 234 mod 947
16: 48516=4858+8=4858⋅4858 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 777 mod 947
32: 48532=48516+16=48516⋅48516 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 490 mod 947
64: 48564=48532+32=48532⋅48532 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 509 mod 947
48592
= 48564+16+8+4
= 48564⋅48516⋅4858⋅4854
≡ 509 ⋅ 777 ⋅ 234 ⋅ 740 mod 947
≡ 395493 ⋅ 234 ⋅ 740 mod 947 ≡ 594 ⋅ 234 ⋅ 740 mod 947
≡ 138996 ⋅ 740 mod 947 ≡ 734 ⋅ 740 mod 947
≡ 543160 mod 947 ≡ 529 mod 947
Es gilt also: 48592 ≡ 529 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47
| =>59 | = 1⋅47 + 12 |
| =>47 | = 3⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 47-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12) = -1⋅47 +4⋅ 12 (=1) |
| 12= 59-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47) = 4⋅59 -5⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47
oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅59 = -5⋅47
-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47
-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1
(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1
54⋅47 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1
Somit 54⋅47 = 1 mod 59
54 ist also das Inverse von 47 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
