Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34993 + 345) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34993 + 345) mod 7 ≡ (34993 mod 7 + 345 mod 7) mod 7.

34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993 = 35000-7 = 7 ⋅ 5000 -7 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 0.

345 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 345 = 350-5 = 7 ⋅ 50 -5 = 7 ⋅ 50 - 7 + 2.

Somit gilt:

(34993 + 345) mod 7 ≡ (0 + 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 85) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 85) mod 9 ≡ (93 mod 9 ⋅ 85 mod 9) mod 9.

93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 85) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 375128 mod 401.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 375 -> x
2. mod(x²,401) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3751=375

2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 275 mod 401

4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 237 mod 401

8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 29 mod 401

16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 29⋅29=841 ≡ 39 mod 401

32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 318 mod 401

64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 72 mod 401

128: 375128=37564+64=37564⋅37564 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 372 mod 401

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 244118 mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

1: 2441=244

2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 235 mod 599

4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 117 mod 599

8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 511 mod 599

16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 556 mod 599

32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 52 mod 599

64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 308 mod 599

244118

= 24464+32+16+4+2

= 24464⋅24432⋅24416⋅2444⋅2442

308 ⋅ 52 ⋅ 556 ⋅ 117 ⋅ 235 mod 599
16016 ⋅ 556 ⋅ 117 ⋅ 235 mod 599 ≡ 442 ⋅ 556 ⋅ 117 ⋅ 235 mod 599
245752 ⋅ 117 ⋅ 235 mod 599 ≡ 162 ⋅ 117 ⋅ 235 mod 599
18954 ⋅ 235 mod 599 ≡ 385 ⋅ 235 mod 599
90475 mod 599 ≡ 26 mod 599

Es gilt also: 244118 ≡ 26 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45

=>83 = 1⋅45 + 38
=>45 = 1⋅38 + 7
=>38 = 5⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 38-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7)
= -2⋅38 +11⋅ 7 (=1)
7= 45-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38)
= 11⋅45 -13⋅ 38 (=1)
38= 83-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45)
= 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45)
= -13⋅83 +24⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +24⋅45

Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1

Somit 24⋅45 = 1 mod 83

24 ist also das Inverse von 45 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.