Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (241 + 240) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(241 + 240) mod 6 ≡ (241 mod 6 + 240 mod 6) mod 6.
241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241
= 240
240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
Somit gilt:
(241 + 240) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 94) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 94) mod 8 ≡ (68 mod 8 ⋅ 94 mod 8) mod 8.
68 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 64 + 4 = 8 ⋅ 8 + 4 ist.
94 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 11 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 94) mod 8 ≡ (4 ⋅ 6) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34864 mod 443.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 348 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3481=348
2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 165 mod 443
4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 202 mod 443
8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 48 mod 443
16: 34816=3488+8=3488⋅3488 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 89 mod 443
32: 34832=34816+16=34816⋅34816 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 390 mod 443
64: 34864=34832+32=34832⋅34832 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 151 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 214183 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:
183 = 128+32+16+4+2+1
1: 2141=214
2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 88 mod 293
4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 126 mod 293
8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 54 mod 293
16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 279 mod 293
32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 196 mod 293
64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 33 mod 293
128: 214128=21464+64=21464⋅21464 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 210 mod 293
214183
= 214128+32+16+4+2+1
= 214128⋅21432⋅21416⋅2144⋅2142⋅2141
≡ 210 ⋅ 196 ⋅ 279 ⋅ 126 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293
≡ 41160 ⋅ 279 ⋅ 126 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293 ≡ 140 ⋅ 279 ⋅ 126 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293
≡ 39060 ⋅ 126 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293 ≡ 91 ⋅ 126 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293
≡ 11466 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293 ≡ 39 ⋅ 88 ⋅ 214 mod 293
≡ 3432 ⋅ 214 mod 293 ≡ 209 ⋅ 214 mod 293
≡ 44726 mod 293 ≡ 190 mod 293
Es gilt also: 214183 ≡ 190 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45
| =>79 | = 1⋅45 + 34 |
| =>45 | = 1⋅34 + 11 |
| =>34 | = 3⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-3⋅11 | |||
| 11= 45-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1) |
| 34= 79-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45)
= -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -7⋅45
-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45
-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1
(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1
72⋅45 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1
Somit 72⋅45 = 1 mod 79
72 ist also das Inverse von 45 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
