Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35998 - 272) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35998 - 272) mod 9 ≡ (35998 mod 9 - 272 mod 9) mod 9.
35998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35998
= 36000
272 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 272
= 270
Somit gilt:
(35998 - 272) mod 9 ≡ (7 - 2) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 58) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 58) mod 8 ≡ (64 mod 8 ⋅ 58 mod 8) mod 8.
64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.
58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 58) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44532 mod 563.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 445 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4451=445
2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 412 mod 563
4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 281 mod 563
8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 141 mod 563
16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 176 mod 563
32: 44532=44516+16=44516⋅44516 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 11 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 397113 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:
113 = 64+32+16+1
1: 3971=397
2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 490 mod 631
4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 320 mod 631
8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 178 mod 631
16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 134 mod 631
32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 288 mod 631
64: 39764=39732+32=39732⋅39732 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 283 mod 631
397113
= 39764+32+16+1
= 39764⋅39732⋅39716⋅3971
≡ 283 ⋅ 288 ⋅ 134 ⋅ 397 mod 631
≡ 81504 ⋅ 134 ⋅ 397 mod 631 ≡ 105 ⋅ 134 ⋅ 397 mod 631
≡ 14070 ⋅ 397 mod 631 ≡ 188 ⋅ 397 mod 631
≡ 74636 mod 631 ≡ 178 mod 631
Es gilt also: 397113 ≡ 178 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 43
| =>101 | = 2⋅43 + 15 |
| =>43 | = 2⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 43-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(43 -2⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅43 -14⋅ 15) = 7⋅43 -20⋅ 15 (=1) |
| 15= 101-2⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅43 -20⋅(101 -2⋅ 43)
= 7⋅43 -20⋅101 +40⋅ 43) = -20⋅101 +47⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,43)=1 = -20⋅101 +47⋅43
oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅101 = +47⋅43
Es gilt also: 47⋅43 = 20⋅101 +1
Somit 47⋅43 = 1 mod 101
47 ist also das Inverse von 43 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
