Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9005 + 907) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9005 + 907) mod 9 ≡ (9005 mod 9 + 907 mod 9) mod 9.
9005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9005
= 9000
907 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 907
= 900
Somit gilt:
(9005 + 907) mod 9 ≡ (5 + 7) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 98) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 98) mod 9 ≡ (58 mod 9 ⋅ 98 mod 9) mod 9.
58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.
98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 98) mod 9 ≡ (4 ⋅ 8) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 247128 mod 311.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 247 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2471=247
2: 2472=2471+1=2471⋅2471 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 53 mod 311
4: 2474=2472+2=2472⋅2472 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 10 mod 311
8: 2478=2474+4=2474⋅2474 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 311
16: 24716=2478+8=2478⋅2478 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 48 mod 311
32: 24732=24716+16=24716⋅24716 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 127 mod 311
64: 24764=24732+32=24732⋅24732 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 268 mod 311
128: 247128=24764+64=24764⋅24764 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 294 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 345150 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 3451=345
2: 3452=3451+1=3451⋅3451 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 38 mod 373
4: 3454=3452+2=3452⋅3452 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 325 mod 373
8: 3458=3454+4=3454⋅3454 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 66 mod 373
16: 34516=3458+8=3458⋅3458 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 253 mod 373
32: 34532=34516+16=34516⋅34516 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 226 mod 373
64: 34564=34532+32=34532⋅34532 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 348 mod 373
128: 345128=34564+64=34564⋅34564 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 252 mod 373
345150
= 345128+16+4+2
= 345128⋅34516⋅3454⋅3452
≡ 252 ⋅ 253 ⋅ 325 ⋅ 38 mod 373
≡ 63756 ⋅ 325 ⋅ 38 mod 373 ≡ 346 ⋅ 325 ⋅ 38 mod 373
≡ 112450 ⋅ 38 mod 373 ≡ 177 ⋅ 38 mod 373
≡ 6726 mod 373 ≡ 12 mod 373
Es gilt also: 345150 ≡ 12 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33
| =>79 | = 2⋅33 + 13 |
| =>33 | = 2⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 33-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1) |
| 13= 79-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +12⋅33
Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1
Somit 12⋅33 = 1 mod 79
12 ist also das Inverse von 33 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
