Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1000 + 995) mod 5 ≡ (1000 mod 5 + 995 mod 5) mod 5.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 995 = 900+95 = 5 ⋅ 180 +95.

Somit gilt:

(1000 + 995) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 74) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 74 mod 3) mod 3.

24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.

74 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 24 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 74) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 164¹=164

2: 164²=164¹⁺¹=164¹⋅164¹ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 101 mod 233

4: 164⁴=164²⁺²=164²⋅164² ≡ 101⋅101=10201 ≡ 182 mod 233

8: 164⁸=164⁴⁺⁴=164⁴⋅164⁴ ≡ 182⋅182=33124 ≡ 38 mod 233

16: 164¹⁶=164⁸⁺⁸=164⁸⋅164⁸ ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

352²⁴⁸

= 352^{128+64+32+16+8}

= 352¹²⁸⋅352⁶⁴⋅352³²⋅352¹⁶⋅352⁸

≡ 30 ⋅ 471 ⋅ 221 ⋅ 175 ⋅ 347 mod 691
≡ 14130 ⋅ 221 ⋅ 175 ⋅ 347 mod 691 ≡ 310 ⋅ 221 ⋅ 175 ⋅ 347 mod 691
≡ 68510 ⋅ 175 ⋅ 347 mod 691 ≡ 101 ⋅ 175 ⋅ 347 mod 691
≡ 17675 ⋅ 347 mod 691 ≡ 400 ⋅ 347 mod 691
≡ 138800 mod 691 ≡ 600 mod 691

Es gilt also: 352²⁴⁸ ≡ 600 mod 691

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101	= 1⋅52 + 49
=>52	= 1⋅49 + 3
=>49	= 16⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49) = 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52) = -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101