Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1795 - 9005) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1795 - 9005) mod 9 ≡ (1795 mod 9 - 9005 mod 9) mod 9.
1795 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795
= 1800
9005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9005
= 9000
Somit gilt:
(1795 - 9005) mod 9 ≡ (4 - 5) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 85) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 85) mod 10 ≡ (56 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.
56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.
85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 85) mod 10 ≡ (6 ⋅ 5) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5178 mod 619.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 517 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5171=517
2: 5172=5171+1=5171⋅5171 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 500 mod 619
4: 5174=5172+2=5172⋅5172 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 543 mod 619
8: 5178=5174+4=5174⋅5174 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 205 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44999 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 4491=449
2: 4492=4491+1=4491⋅4491 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 470 mod 487
4: 4494=4492+2=4492⋅4492 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 289 mod 487
8: 4498=4494+4=4494⋅4494 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 244 mod 487
16: 44916=4498+8=4498⋅4498 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 122 mod 487
32: 44932=44916+16=44916⋅44916 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 274 mod 487
64: 44964=44932+32=44932⋅44932 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 78 mod 487
44999
= 44964+32+2+1
= 44964⋅44932⋅4492⋅4491
≡ 78 ⋅ 274 ⋅ 470 ⋅ 449 mod 487
≡ 21372 ⋅ 470 ⋅ 449 mod 487 ≡ 431 ⋅ 470 ⋅ 449 mod 487
≡ 202570 ⋅ 449 mod 487 ≡ 465 ⋅ 449 mod 487
≡ 208785 mod 487 ≡ 349 mod 487
Es gilt also: 44999 ≡ 349 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 57.
Also bestimme x, so dass 57 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 57
| =>83 | = 1⋅57 + 26 |
| =>57 | = 2⋅26 + 5 |
| =>26 | = 5⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,57)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 26-5⋅5 | |||
| 5= 57-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅26 -5⋅(57 -2⋅ 26)
= 1⋅26 -5⋅57 +10⋅ 26) = -5⋅57 +11⋅ 26 (=1) |
| 26= 83-1⋅57 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅57 +11⋅(83 -1⋅ 57)
= -5⋅57 +11⋅83 -11⋅ 57) = 11⋅83 -16⋅ 57 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,57)=1 = 11⋅83 -16⋅57
oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅83 = -16⋅57
-16⋅57 = -11⋅83 + 1 |+83⋅57
-16⋅57 + 83⋅57 = -11⋅83 + 83⋅57 + 1
(-16 + 83) ⋅ 57 = (-11 + 57) ⋅ 83 + 1
67⋅57 = 46⋅83 + 1
Es gilt also: 67⋅57 = 46⋅83 +1
Somit 67⋅57 = 1 mod 83
67 ist also das Inverse von 57 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
