Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4501 + 262) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4501 + 262) mod 9 ≡ (4501 mod 9 + 262 mod 9) mod 9.
4501 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4501
= 4500
262 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 262
= 270
Somit gilt:
(4501 + 262) mod 9 ≡ (1 + 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 22) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 22) mod 4 ≡ (44 mod 4 ⋅ 22 mod 4) mod 4.
44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.
22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 22) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28464 mod 839.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 112 mod 839
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 798 mod 839
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 3 mod 839
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 839
32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 839
64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 688 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 335154 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:
154 = 128+16+8+2
1: 3351=335
2: 3352=3351+1=3351⋅3351 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 482 mod 853
4: 3354=3352+2=3352⋅3352 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 308 mod 853
8: 3358=3354+4=3354⋅3354 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 181 mod 853
16: 33516=3358+8=3358⋅3358 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 347 mod 853
32: 33532=33516+16=33516⋅33516 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 136 mod 853
64: 33564=33532+32=33532⋅33532 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 583 mod 853
128: 335128=33564+64=33564⋅33564 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 395 mod 853
335154
= 335128+16+8+2
= 335128⋅33516⋅3358⋅3352
≡ 395 ⋅ 347 ⋅ 181 ⋅ 482 mod 853
≡ 137065 ⋅ 181 ⋅ 482 mod 853 ≡ 585 ⋅ 181 ⋅ 482 mod 853
≡ 105885 ⋅ 482 mod 853 ≡ 113 ⋅ 482 mod 853
≡ 54466 mod 853 ≡ 727 mod 853
Es gilt also: 335154 ≡ 727 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 66
| =>97 | = 1⋅66 + 31 |
| =>66 | = 2⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 66-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(66 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅66 -16⋅ 31) = 8⋅66 -17⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -17⋅(97 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -17⋅97 +17⋅ 66) = -17⋅97 +25⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,66)=1 = -17⋅97 +25⋅66
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +25⋅66
Es gilt also: 25⋅66 = 17⋅97 +1
Somit 25⋅66 = 1 mod 97
25 ist also das Inverse von 66 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
