Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26991 + 44994) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26991 + 44994) mod 9 ≡ (26991 mod 9 + 44994 mod 9) mod 9.
26991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26991
= 27000
44994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44994
= 45000
Somit gilt:
(26991 + 44994) mod 9 ≡ (0 + 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 75) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 75) mod 6 ≡ (34 mod 6 ⋅ 75 mod 6) mod 6.
34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.
75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 75) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 164128 mod 457.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 164 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1641=164
2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 390 mod 457
4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 376 mod 457
8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 163 mod 457
16: 16416=1648+8=1648⋅1648 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 63 mod 457
32: 16432=16416+16=16416⋅16416 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 313 mod 457
64: 16464=16432+32=16432⋅16432 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 171 mod 457
128: 164128=16464+64=16464⋅16464 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 450 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 231200 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 2311=231
2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 446 mod 557
4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 67 mod 557
8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 33 mod 557
16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 532 mod 557
32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 68 mod 557
64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 168 mod 557
128: 231128=23164+64=23164⋅23164 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 374 mod 557
231200
= 231128+64+8
= 231128⋅23164⋅2318
≡ 374 ⋅ 168 ⋅ 33 mod 557
≡ 62832 ⋅ 33 mod 557 ≡ 448 ⋅ 33 mod 557
≡ 14784 mod 557 ≡ 302 mod 557
Es gilt also: 231200 ≡ 302 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
