Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2397 - 600) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2397 - 600) mod 6 ≡ (2397 mod 6 - 600 mod 6) mod 6.

2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 6 ⋅ 400 -3 = 6 ⋅ 400 - 6 + 3.

600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 6 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(2397 - 600) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 77) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 77) mod 8 ≡ (71 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.

71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.

77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 77) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31116 mod 557.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 311 -> x
2. mod(x²,557) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3111=311

2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 360 mod 557

4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 376 mod 557

8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 455 mod 557

16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 378 mod 557

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 70592 mod 761.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:

92 = 64+16+8+4

1: 7051=705

2: 7052=7051+1=7051⋅7051 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 92 mod 761

4: 7054=7052+2=7052⋅7052 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 93 mod 761

8: 7058=7054+4=7054⋅7054 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 278 mod 761

16: 70516=7058+8=7058⋅7058 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 423 mod 761

32: 70532=70516+16=70516⋅70516 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 94 mod 761

64: 70564=70532+32=70532⋅70532 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 465 mod 761

70592

= 70564+16+8+4

= 70564⋅70516⋅7058⋅7054

465 ⋅ 423 ⋅ 278 ⋅ 93 mod 761
196695 ⋅ 278 ⋅ 93 mod 761 ≡ 357 ⋅ 278 ⋅ 93 mod 761
99246 ⋅ 93 mod 761 ≡ 316 ⋅ 93 mod 761
29388 mod 761 ≡ 470 mod 761

Es gilt also: 70592 ≡ 470 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59 = 1⋅37 + 22
=>37 = 1⋅22 + 15
=>22 = 1⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15)
= -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22)
= 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37)
= -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.