Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (199 + 19999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(199 + 19999) mod 4 ≡ (199 mod 4 + 19999 mod 4) mod 4.
199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 199
= 200
19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999
= 19000
Somit gilt:
(199 + 19999) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 29) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 29) mod 5 ≡ (59 mod 5 ⋅ 29 mod 5) mod 5.
59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.
29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 29) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30216 mod 307.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 302 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3021=302
2: 3022=3021+1=3021⋅3021 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 25 mod 307
4: 3024=3022+2=3022⋅3022 ≡ 25⋅25=625 ≡ 11 mod 307
8: 3028=3024+4=3024⋅3024 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 307
16: 30216=3028+8=3028⋅3028 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 212 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20090 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 2001=200
2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 58 mod 317
4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 194 mod 317
8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 230 mod 317
16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 278 mod 317
32: 20032=20016+16=20016⋅20016 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 253 mod 317
64: 20064=20032+32=20032⋅20032 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 292 mod 317
20090
= 20064+16+8+2
= 20064⋅20016⋅2008⋅2002
≡ 292 ⋅ 278 ⋅ 230 ⋅ 58 mod 317
≡ 81176 ⋅ 230 ⋅ 58 mod 317 ≡ 24 ⋅ 230 ⋅ 58 mod 317
≡ 5520 ⋅ 58 mod 317 ≡ 131 ⋅ 58 mod 317
≡ 7598 mod 317 ≡ 307 mod 317
Es gilt also: 20090 ≡ 307 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51
| =>59 | = 1⋅51 + 8 |
| =>51 | = 6⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 51-6⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1) |
| 8= 59-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51
oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅59 = +22⋅51
Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1
Somit 22⋅51 = 1 mod 59
22 ist also das Inverse von 51 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
