Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1500 - 25005) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1500 - 25005) mod 5 ≡ (1500 mod 5 - 25005 mod 5) mod 5.

1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 5 ⋅ 300 +0.

25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005 = 25000+5 = 5 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(1500 - 25005) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 73) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 73) mod 9 ≡ (93 mod 9 ⋅ 73 mod 9) mod 9.

93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 73) mod 9 ≡ (3 ⋅ 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 56964 mod 673.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 569 -> x
2. mod(x²,673) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5691=569

2: 5692=5691+1=5691⋅5691 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 48 mod 673

4: 5694=5692+2=5692⋅5692 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 285 mod 673

8: 5698=5694+4=5694⋅5694 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 465 mod 673

16: 56916=5698+8=5698⋅5698 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 192 mod 673

32: 56932=56916+16=56916⋅56916 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 522 mod 673

64: 56964=56932+32=56932⋅56932 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 592 mod 673

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 137216 mod 229.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:

216 = 128+64+16+8

1: 1371=137

2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 220 mod 229

4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 81 mod 229

8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 149 mod 229

16: 13716=1378+8=1378⋅1378 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 217 mod 229

32: 13732=13716+16=13716⋅13716 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 144 mod 229

64: 13764=13732+32=13732⋅13732 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 126 mod 229

128: 137128=13764+64=13764⋅13764 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 75 mod 229

137216

= 137128+64+16+8

= 137128⋅13764⋅13716⋅1378

75 ⋅ 126 ⋅ 217 ⋅ 149 mod 229
9450 ⋅ 217 ⋅ 149 mod 229 ≡ 61 ⋅ 217 ⋅ 149 mod 229
13237 ⋅ 149 mod 229 ≡ 184 ⋅ 149 mod 229
27416 mod 229 ≡ 165 mod 229

Es gilt also: 137216 ≡ 165 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101 = 1⋅52 + 49
=>52 = 1⋅49 + 3
=>49 = 16⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49)
= -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52)
= 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.