Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1599 - 2004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1599 - 2004) mod 4 ≡ (1599 mod 4 - 2004 mod 4) mod 4.
1599 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1599
= 1500
2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
Somit gilt:
(1599 - 2004) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 29) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 29) mod 5 ≡ (59 mod 5 ⋅ 29 mod 5) mod 5.
59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.
29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 29) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59464 mod 907.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 594 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5941=594
2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 13 mod 907
4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 907
8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 444 mod 907
16: 59416=5948+8=5948⋅5948 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 317 mod 907
32: 59432=59416+16=59416⋅59416 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 719 mod 907
64: 59464=59432+32=59432⋅59432 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 878 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 881136 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 8811=881
2: 8812=8811+1=8811⋅8811 ≡ 881⋅881=776161 ≡ 419 mod 953
4: 8814=8812+2=8812⋅8812 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 209 mod 953
8: 8818=8814+4=8814⋅8814 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 796 mod 953
16: 88116=8818+8=8818⋅8818 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 824 mod 953
32: 88132=88116+16=88116⋅88116 ≡ 824⋅824=678976 ≡ 440 mod 953
64: 88164=88132+32=88132⋅88132 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 141 mod 953
128: 881128=88164+64=88164⋅88164 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 821 mod 953
881136
= 881128+8
= 881128⋅8818
≡ 821 ⋅ 796 mod 953
≡ 653516 mod 953 ≡ 711 mod 953
Es gilt also: 881136 ≡ 711 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 56
| =>59 | = 1⋅56 + 3 |
| =>56 | = 18⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 56-18⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(56 -18⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅56 +18⋅ 3) = -1⋅56 +19⋅ 3 (=1) |
| 3= 59-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅56 +19⋅(59 -1⋅ 56)
= -1⋅56 +19⋅59 -19⋅ 56) = 19⋅59 -20⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,56)=1 = 19⋅59 -20⋅56
oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅59 = -20⋅56
-20⋅56 = -19⋅59 + 1 |+59⋅56
-20⋅56 + 59⋅56 = -19⋅59 + 59⋅56 + 1
(-20 + 59) ⋅ 56 = (-19 + 56) ⋅ 59 + 1
39⋅56 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 39⋅56 = 37⋅59 +1
Somit 39⋅56 = 1 mod 59
39 ist also das Inverse von 56 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
