Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23998 + 3005) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23998 + 3005) mod 6 ≡ (23998 mod 6 + 3005 mod 6) mod 6.
23998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998
= 24000
3005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3005
= 3000
Somit gilt:
(23998 + 3005) mod 6 ≡ (4 + 5) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 35) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 35) mod 3 ≡ (86 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.
86 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 28 ⋅ 3 + 2 ist.
35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 35) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39532 mod 701.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 395 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3951=395
2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 403 mod 701
4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 478 mod 701
8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 659 mod 701
16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 362 mod 701
32: 39532=39516+16=39516⋅39516 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 658 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 129250 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:
250 = 128+64+32+16+8+2
1: 1291=129
2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 200 mod 401
4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 301 mod 401
8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 376 mod 401
16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 224 mod 401
32: 12932=12916+16=12916⋅12916 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401
64: 12964=12932+32=12932⋅12932 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401
128: 129128=12964+64=12964⋅12964 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
129250
= 129128+64+32+16+8+2
= 129128⋅12964⋅12932⋅12916⋅1298⋅1292
≡ 331 ⋅ 195 ⋅ 51 ⋅ 224 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401
≡ 64545 ⋅ 51 ⋅ 224 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401 ≡ 385 ⋅ 51 ⋅ 224 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401
≡ 19635 ⋅ 224 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401 ≡ 387 ⋅ 224 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401
≡ 86688 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401 ≡ 72 ⋅ 376 ⋅ 200 mod 401
≡ 27072 ⋅ 200 mod 401 ≡ 205 ⋅ 200 mod 401
≡ 41000 mod 401 ≡ 98 mod 401
Es gilt also: 129250 ≡ 98 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34
| =>61 | = 1⋅34 + 27 |
| =>34 | = 1⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 34-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1) |
| 27= 61-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +9⋅34
Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1
Somit 9⋅34 = 1 mod 61
9 ist also das Inverse von 34 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
