Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2394 - 1796) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2394 - 1796) mod 6 ≡ (2394 mod 6 - 1796 mod 6) mod 6.
2394 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394
= 2400
1796 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796
= 1800
Somit gilt:
(2394 - 1796) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 86) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 86) mod 6 ≡ (90 mod 6 ⋅ 86 mod 6) mod 6.
90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.
86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 86) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2248 mod 521.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 160 mod 521
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 71 mod 521
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 352 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 518244 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:
244 = 128+64+32+16+4
1: 5181=518
2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 386 mod 641
4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 284 mod 641
8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 531 mod 641
16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641
32: 51832=51816+16=51816⋅51816 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 472 mod 641
64: 51864=51832+32=51832⋅51832 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641
128: 518128=51864+64=51864⋅51864 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641
518244
= 518128+64+32+16+4
= 518128⋅51864⋅51832⋅51816⋅5184
≡ 531 ⋅ 357 ⋅ 472 ⋅ 562 ⋅ 284 mod 641
≡ 189567 ⋅ 472 ⋅ 562 ⋅ 284 mod 641 ≡ 472 ⋅ 472 ⋅ 562 ⋅ 284 mod 641
≡ 222784 ⋅ 562 ⋅ 284 mod 641 ≡ 357 ⋅ 562 ⋅ 284 mod 641
≡ 200634 ⋅ 284 mod 641 ≡ 1 ⋅ 284 mod 641
≡ 284 mod 641
Es gilt also: 518244 ≡ 284 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
