Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 + 12001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 + 12001) mod 3 ≡ (87 mod 3 + 12001 mod 3) mod 3.
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87
= 90
12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
Somit gilt:
(87 + 12001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 28) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 28) mod 5 ≡ (19 mod 5 ⋅ 28 mod 5) mod 5.
19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.
28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 28) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6158 mod 733.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 615 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6151=615
2: 6152=6151+1=6151⋅6151 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 730 mod 733
4: 6154=6152+2=6152⋅6152 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 9 mod 733
8: 6158=6154+4=6154⋅6154 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 356100 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 3561=356
2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 448 mod 877
4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 748 mod 877
8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 855 mod 877
16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 855⋅855=731025 ≡ 484 mod 877
32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 97 mod 877
64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 639 mod 877
356100
= 35664+32+4
= 35664⋅35632⋅3564
≡ 639 ⋅ 97 ⋅ 748 mod 877
≡ 61983 ⋅ 748 mod 877 ≡ 593 ⋅ 748 mod 877
≡ 443564 mod 877 ≡ 679 mod 877
Es gilt also: 356100 ≡ 679 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52
| =>73 | = 1⋅52 + 21 |
| =>52 | = 2⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 52-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -7⋅52
-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52
-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1
(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1
66⋅52 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1
Somit 66⋅52 = 1 mod 73
66 ist also das Inverse von 52 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
