Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10001 - 96) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10001 - 96) mod 5 ≡ (10001 mod 5 - 96 mod 5) mod 5.
10001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10001
= 10000
96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96
= 90
Somit gilt:
(10001 - 96) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 92) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 92) mod 4 ≡ (21 mod 4 ⋅ 92 mod 4) mod 4.
21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.
92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 92) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1418 mod 317.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 141 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1411=141
2: 1412=1411+1=1411⋅1411 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 227 mod 317
4: 1414=1412+2=1412⋅1412 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 175 mod 317
8: 1418=1414+4=1414⋅1414 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 193 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 267224 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 37 mod 379
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 232 mod 379
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 6 mod 379
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 379
32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 159 mod 379
64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 267 mod 379
128: 267128=26764+64=26764⋅26764 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 37 mod 379
267224
= 267128+64+32
= 267128⋅26764⋅26732
≡ 37 ⋅ 267 ⋅ 159 mod 379
≡ 9879 ⋅ 159 mod 379 ≡ 25 ⋅ 159 mod 379
≡ 3975 mod 379 ≡ 185 mod 379
Es gilt also: 267224 ≡ 185 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48
| =>59 | = 1⋅48 + 11 |
| =>48 | = 4⋅11 + 4 |
| =>11 | = 2⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 11-2⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1) |
| 4= 48-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +16⋅48
Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1
Somit 16⋅48 = 1 mod 59
16 ist also das Inverse von 48 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
