Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (149 - 5005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(149 - 5005) mod 5 ≡ (149 mod 5 - 5005 mod 5) mod 5.
149 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149
= 140
5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005
= 5000
Somit gilt:
(149 - 5005) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 16) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 16) mod 7 ≡ (61 mod 7 ⋅ 16 mod 7) mod 7.
61 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 8 ⋅ 7 + 5 ist.
16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 16) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31964 mod 619.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 319 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3191=319
2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 245 mod 619
4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 601 mod 619
8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 324 mod 619
16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 365 mod 619
32: 31932=31916+16=31916⋅31916 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 140 mod 619
64: 31964=31932+32=31932⋅31932 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 411 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33372 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:
72 = 64+8
1: 3331=333
2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 74 mod 599
4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 85 mod 599
8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 37 mod 599
16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 171 mod 599
32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 489 mod 599
64: 33364=33332+32=33332⋅33332 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 120 mod 599
33372
= 33364+8
= 33364⋅3338
≡ 120 ⋅ 37 mod 599
≡ 4440 mod 599 ≡ 247 mod 599
Es gilt also: 33372 ≡ 247 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 51
| =>67 | = 1⋅51 + 16 |
| =>51 | = 3⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 51-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(51 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅51 +15⋅ 16) = -5⋅51 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 67-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅51 +16⋅(67 -1⋅ 51)
= -5⋅51 +16⋅67 -16⋅ 51) = 16⋅67 -21⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,51)=1 = 16⋅67 -21⋅51
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -21⋅51
-21⋅51 = -16⋅67 + 1 |+67⋅51
-21⋅51 + 67⋅51 = -16⋅67 + 67⋅51 + 1
(-21 + 67) ⋅ 51 = (-16 + 51) ⋅ 67 + 1
46⋅51 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 46⋅51 = 35⋅67 +1
Somit 46⋅51 = 1 mod 67
46 ist also das Inverse von 51 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
