Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18006 - 898) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18006 - 898) mod 9 ≡ (18006 mod 9 - 898 mod 9) mod 9.
18006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18006
= 18000
898 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898
= 900
Somit gilt:
(18006 - 898) mod 9 ≡ (6 - 7) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 48) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 48) mod 10 ≡ (55 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.
55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.
48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 48) mod 10 ≡ (5 ⋅ 8) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 151128 mod 241.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 151 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1511=151
2: 1512=1511+1=1511⋅1511 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 147 mod 241
4: 1514=1512+2=1512⋅1512 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 160 mod 241
8: 1518=1514+4=1514⋅1514 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
16: 15116=1518+8=1518⋅1518 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241
32: 15132=15116+16=15116⋅15116 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
64: 15164=15132+32=15132⋅15132 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241
128: 151128=15164+64=15164⋅15164 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 278172 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:
172 = 128+32+8+4
1: 2781=278
2: 2782=2781+1=2781⋅2781 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 330 mod 353
4: 2784=2782+2=2782⋅2782 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 176 mod 353
8: 2788=2784+4=2784⋅2784 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 265 mod 353
16: 27816=2788+8=2788⋅2788 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 331 mod 353
32: 27832=27816+16=27816⋅27816 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 131 mod 353
64: 27864=27832+32=27832⋅27832 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353
128: 278128=27864+64=27864⋅27864 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353
278172
= 278128+32+8+4
= 278128⋅27832⋅2788⋅2784
≡ 140 ⋅ 131 ⋅ 265 ⋅ 176 mod 353
≡ 18340 ⋅ 265 ⋅ 176 mod 353 ≡ 337 ⋅ 265 ⋅ 176 mod 353
≡ 89305 ⋅ 176 mod 353 ≡ 349 ⋅ 176 mod 353
≡ 61424 mod 353 ≡ 2 mod 353
Es gilt also: 278172 ≡ 2 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33
| =>97 | = 2⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -47⋅33
-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33
-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1
(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1
50⋅33 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1
Somit 50⋅33 = 1 mod 97
50 ist also das Inverse von 33 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
