Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6000 - 2999) mod 3 ≡ (6000 mod 3 - 2999 mod 3) mod 3.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(6000 - 2999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 20) mod 4 ≡ (38 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.

38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 9 ⋅ 4 + 2 ist.

20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 20) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 270¹=270

2: 270²=270¹⁺¹=270¹⋅270¹ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 697 mod 701

4: 270⁴=270²⁺²=270²⋅270² ≡ 697⋅697=485809 ≡ 16 mod 701

8: 270⁸=270⁴⁺⁴=270⁴⋅270⁴ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 701

16: 270¹⁶=270⁸⁺⁸=270⁸⋅270⁸ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 343 mod 701

32: 270³²=270¹⁶⁺¹⁶=270¹⁶⋅270¹⁶ ≡ 343⋅343=117649 ≡ 582 mod 701

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

474¹⁹⁰

= 474^{128+32+16+8+4+2}

= 474¹²⁸⋅474³²⋅474¹⁶⋅474⁸⋅474⁴⋅474²

≡ 92 ⋅ 183 ⋅ 556 ⋅ 445 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593
≡ 16836 ⋅ 556 ⋅ 445 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593 ≡ 232 ⋅ 556 ⋅ 445 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593
≡ 128992 ⋅ 445 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593 ≡ 311 ⋅ 445 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593
≡ 138395 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593 ≡ 226 ⋅ 297 ⋅ 522 mod 593
≡ 67122 ⋅ 522 mod 593 ≡ 113 ⋅ 522 mod 593
≡ 58986 mod 593 ≡ 279 mod 593

Es gilt also: 474¹⁹⁰ ≡ 279 mod 593

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20

=>67	= 3⋅20 + 7
=>20	= 2⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 20-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1)
7= 67-3⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20) = -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20) = 3⋅67 -10⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -10⋅20

-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20

-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1

(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1

57⋅20 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1

Somit 57⋅20 = 1 mod 67

57 ist also das Inverse von 20 mod 67