Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(235 + 1604) mod 8 ≡ (235 mod 8 + 1604 mod 8) mod 8.

235 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 235 = 240-5 = 8 ⋅ 30 -5 = 8 ⋅ 30 - 8 + 3.

1604 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 8 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(235 + 1604) mod 8 ≡ (3 + 4) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 44) mod 5 ≡ (46 mod 5 ⋅ 44 mod 5) mod 5.

46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 9 ⋅ 5 + 1 ist.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 44) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 265¹=265

2: 265²=265¹⁺¹=265¹⋅265¹ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 76 mod 349

4: 265⁴=265²⁺²=265²⋅265² ≡ 76⋅76=5776 ≡ 192 mod 349

8: 265⁸=265⁴⁺⁴=265⁴⋅265⁴ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 219 mod 349

16: 265¹⁶=265⁸⁺⁸=265⁸⋅265⁸ ≡ 219⋅219=47961 ≡ 148 mod 349

32: 265³²=265¹⁶⁺¹⁶=265¹⁶⋅265¹⁶ ≡ 148⋅148=21904 ≡ 266 mod 349

64: 265⁶⁴=265³²⁺³²=265³²⋅265³² ≡ 266⋅266=70756 ≡ 258 mod 349

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

580¹⁸⁵

= 580^{128+32+16+8+1}

= 580¹²⁸⋅580³²⋅580¹⁶⋅580⁸⋅580¹

≡ 470 ⋅ 381 ⋅ 247 ⋅ 475 ⋅ 580 mod 659
≡ 179070 ⋅ 247 ⋅ 475 ⋅ 580 mod 659 ≡ 481 ⋅ 247 ⋅ 475 ⋅ 580 mod 659
≡ 118807 ⋅ 475 ⋅ 580 mod 659 ≡ 187 ⋅ 475 ⋅ 580 mod 659
≡ 88825 ⋅ 580 mod 659 ≡ 519 ⋅ 580 mod 659
≡ 301020 mod 659 ≡ 516 mod 659

Es gilt also: 580¹⁸⁵ ≡ 516 mod 659

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74

=>83	= 1⋅74 + 9
=>74	= 8⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 74-8⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(74 -8⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅74 +32⋅ 9) = -4⋅74 +33⋅ 9 (=1)
9= 83-1⋅74	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅74 +33⋅(83 -1⋅ 74) = -4⋅74 +33⋅83 -33⋅ 74) = 33⋅83 -37⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(83,74)=1 = 33⋅83 -37⋅74

oder wenn man 33⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅83 = -37⋅74

-37⋅74 = -33⋅83 + 1 |+83⋅74

-37⋅74 + 83⋅74 = -33⋅83 + 83⋅74 + 1

(-37 + 83) ⋅ 74 = (-33 + 74) ⋅ 83 + 1

46⋅74 = 41⋅83 + 1

Es gilt also: 46⋅74 = 41⋅83 +1

Somit 46⋅74 = 1 mod 83

46 ist also das Inverse von 74 mod 83