Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (148 - 59) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(148 - 59) mod 3 ≡ (148 mod 3 - 59 mod 3) mod 3.

148 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148 = 150-2 = 3 ⋅ 50 -2 = 3 ⋅ 50 - 3 + 1.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 60-1 = 3 ⋅ 20 -1 = 3 ⋅ 20 - 3 + 2.

Somit gilt:

(148 - 59) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 42) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 42) mod 10 ≡ (74 mod 10 ⋅ 42 mod 10) mod 10.

74 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 7 ⋅ 10 + 4 ist.

42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 42) mod 10 ≡ (4 ⋅ 2) mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 9264 mod 251.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 92 -> x
2. mod(x²,251) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 921=92

2: 922=921+1=921⋅921 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 181 mod 251

4: 924=922+2=922⋅922 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 131 mod 251

8: 928=924+4=924⋅924 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 93 mod 251

16: 9216=928+8=928⋅928 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 115 mod 251

32: 9232=9216+16=9216⋅9216 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 173 mod 251

64: 9264=9232+32=9232⋅9232 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 60 mod 251

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28066 mod 449.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:

66 = 64+2

1: 2801=280

2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 274 mod 449

4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 93 mod 449

8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 118 mod 449

16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 5 mod 449

32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 449

64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 25⋅25=625 ≡ 176 mod 449

28066

= 28064+2

= 28064⋅2802

176 ⋅ 274 mod 449
48224 mod 449 ≡ 181 mod 449

Es gilt also: 28066 ≡ 181 mod 449

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 69

=>89 = 1⋅69 + 20
=>69 = 3⋅20 + 9
=>20 = 2⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 20-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(20 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅20 +8⋅ 9)
= -4⋅20 +9⋅ 9 (=1)
9= 69-3⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅20 +9⋅(69 -3⋅ 20)
= -4⋅20 +9⋅69 -27⋅ 20)
= 9⋅69 -31⋅ 20 (=1)
20= 89-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅69 -31⋅(89 -1⋅ 69)
= 9⋅69 -31⋅89 +31⋅ 69)
= -31⋅89 +40⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(89,69)=1 = -31⋅89 +40⋅69

oder wenn man -31⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅89 = +40⋅69

Es gilt also: 40⋅69 = 31⋅89 +1

Somit 40⋅69 = 1 mod 89

40 ist also das Inverse von 69 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.