Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8005 - 4001) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8005 - 4001) mod 8 ≡ (8005 mod 8 - 4001 mod 8) mod 8.
8005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8005
= 8000
4001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001
= 4000
Somit gilt:
(8005 - 4001) mod 8 ≡ (5 - 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 55) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 55) mod 7 ≡ (75 mod 7 ⋅ 55 mod 7) mod 7.
75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.
55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 55) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55764 mod 787.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 557 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5571=557
2: 5572=5571+1=5571⋅5571 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 171 mod 787
4: 5574=5572+2=5572⋅5572 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 122 mod 787
8: 5578=5574+4=5574⋅5574 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 718 mod 787
16: 55716=5578+8=5578⋅5578 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 39 mod 787
32: 55732=55716+16=55716⋅55716 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 734 mod 787
64: 55764=55732+32=55732⋅55732 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 448 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 485200 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 4851=485
2: 4852=4851+1=4851⋅4851 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 112 mod 719
4: 4854=4852+2=4852⋅4852 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 321 mod 719
8: 4858=4854+4=4854⋅4854 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 224 mod 719
16: 48516=4858+8=4858⋅4858 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 565 mod 719
32: 48532=48516+16=48516⋅48516 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 708 mod 719
64: 48564=48532+32=48532⋅48532 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 121 mod 719
128: 485128=48564+64=48564⋅48564 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 261 mod 719
485200
= 485128+64+8
= 485128⋅48564⋅4858
≡ 261 ⋅ 121 ⋅ 224 mod 719
≡ 31581 ⋅ 224 mod 719 ≡ 664 ⋅ 224 mod 719
≡ 148736 mod 719 ≡ 622 mod 719
Es gilt also: 485200 ≡ 622 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 60
| =>89 | = 1⋅60 + 29 |
| =>60 | = 2⋅29 + 2 |
| =>29 | = 14⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-14⋅2 | |||
| 2= 60-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -14⋅(60 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -14⋅60 +28⋅ 29) = -14⋅60 +29⋅ 29 (=1) |
| 29= 89-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅60 +29⋅(89 -1⋅ 60)
= -14⋅60 +29⋅89 -29⋅ 60) = 29⋅89 -43⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,60)=1 = 29⋅89 -43⋅60
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -43⋅60
-43⋅60 = -29⋅89 + 1 |+89⋅60
-43⋅60 + 89⋅60 = -29⋅89 + 89⋅60 + 1
(-43 + 89) ⋅ 60 = (-29 + 60) ⋅ 89 + 1
46⋅60 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 46⋅60 = 31⋅89 +1
Somit 46⋅60 = 1 mod 89
46 ist also das Inverse von 60 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
