Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12004 + 37) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12004 + 37) mod 4 ≡ (12004 mod 4 + 37 mod 4) mod 4.

12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 4 ⋅ 3000 +4.

37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 40-3 = 4 ⋅ 10 -3 = 4 ⋅ 10 - 4 + 1.

Somit gilt:

(12004 + 37) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 66) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 66) mod 7 ≡ (90 mod 7 ⋅ 66 mod 7) mod 7.

90 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 84 + 6 = 12 ⋅ 7 + 6 ist.

66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 66) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26364 mod 313.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 263 -> x
2. mod(x²,313) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2631=263

2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 309 mod 313

4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 16 mod 313

8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 313

16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 119 mod 313

32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 76 mod 313

64: 26364=26332+32=26332⋅26332 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 142 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 302117 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:

117 = 64+32+16+4+1

1: 3021=302

2: 3022=3021+1=3021⋅3021 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 389 mod 443

4: 3024=3022+2=3022⋅3022 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 258 mod 443

8: 3028=3024+4=3024⋅3024 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 114 mod 443

16: 30216=3028+8=3028⋅3028 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 149 mod 443

32: 30232=30216+16=30216⋅30216 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 51 mod 443

64: 30264=30232+32=30232⋅30232 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 386 mod 443

302117

= 30264+32+16+4+1

= 30264⋅30232⋅30216⋅3024⋅3021

386 ⋅ 51 ⋅ 149 ⋅ 258 ⋅ 302 mod 443
19686 ⋅ 149 ⋅ 258 ⋅ 302 mod 443 ≡ 194 ⋅ 149 ⋅ 258 ⋅ 302 mod 443
28906 ⋅ 258 ⋅ 302 mod 443 ≡ 111 ⋅ 258 ⋅ 302 mod 443
28638 ⋅ 302 mod 443 ≡ 286 ⋅ 302 mod 443
86372 mod 443 ≡ 430 mod 443

Es gilt also: 302117 ≡ 430 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54

=>79 = 1⋅54 + 25
=>54 = 2⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 54-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25)
= -6⋅54 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54)
= 13⋅79 -19⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -19⋅54

-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54

-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1

(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1

60⋅54 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1

Somit 60⋅54 = 1 mod 79

60 ist also das Inverse von 54 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.