Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 + 1003) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 + 1003) mod 5 ≡ (45 mod 5 + 1003 mod 5) mod 5.
45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45
= 40
1003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1003
= 1000
Somit gilt:
(45 + 1003) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 23) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 23) mod 4 ≡ (76 mod 4 ⋅ 23 mod 4) mod 4.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.
23 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 5 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 23) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20216 mod 673.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 202 -> x
2. mod(x²,673) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2021=202
2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 424 mod 673
4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 85 mod 673
8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 495 mod 673
16: 20216=2028+8=2028⋅2028 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 53 mod 673
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 350146 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 3501=350
2: 3502=3501+1=3501⋅3501 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 195 mod 401
4: 3504=3502+2=3502⋅3502 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
8: 3508=3504+4=3504⋅3504 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 88 mod 401
16: 35016=3508+8=3508⋅3508 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 125 mod 401
32: 35032=35016+16=35016⋅35016 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 387 mod 401
64: 35064=35032+32=35032⋅35032 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 196 mod 401
128: 350128=35064+64=35064⋅35064 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 321 mod 401
350146
= 350128+16+2
= 350128⋅35016⋅3502
≡ 321 ⋅ 125 ⋅ 195 mod 401
≡ 40125 ⋅ 195 mod 401 ≡ 25 ⋅ 195 mod 401
≡ 4875 mod 401 ≡ 63 mod 401
Es gilt also: 350146 ≡ 63 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33
| =>73 | = 2⋅33 + 7 |
| =>33 | = 4⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 33-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +31⋅33
Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1
Somit 31⋅33 = 1 mod 73
31 ist also das Inverse von 33 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
