Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3999 + 2406) mod 8 ≡ (3999 mod 8 + 2406 mod 8) mod 8.

3999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999 = 4000-1 = 8 ⋅ 500 -1 = 8 ⋅ 500 - 8 + 7.

2406 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406 = 2400+6 = 8 ⋅ 300 +6.

Somit gilt:

(3999 + 2406) mod 8 ≡ (7 + 6) mod 8 ≡ 13 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 34) mod 5 ≡ (97 mod 5 ⋅ 34 mod 5) mod 5.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.

34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 34) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 260¹=260

2: 260²=260¹⁺¹=260¹⋅260¹ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 198 mod 503

4: 260⁴=260²⁺²=260²⋅260² ≡ 198⋅198=39204 ≡ 473 mod 503

8: 260⁸=260⁴⁺⁴=260⁴⋅260⁴ ≡ 473⋅473=223729 ≡ 397 mod 503

16: 260¹⁶=260⁸⁺⁸=260⁸⋅260⁸ ≡ 397⋅397=157609 ≡ 170 mod 503

32: 260³²=260¹⁶⁺¹⁶=260¹⁶⋅260¹⁶ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 229 mod 503

64: 260⁶⁴=260³²⁺³²=260³²⋅260³² ≡ 229⋅229=52441 ≡ 129 mod 503

128: 260¹²⁸=260⁶⁴⁺⁶⁴=260⁶⁴⋅260⁶⁴ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 42 mod 503

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

125¹⁴⁹

= 125^128+16+4+1

= 125¹²⁸⋅125¹⁶⋅125⁴⋅125¹

≡ 98 ⋅ 205 ⋅ 154 ⋅ 125 mod 241
≡ 20090 ⋅ 154 ⋅ 125 mod 241 ≡ 87 ⋅ 154 ⋅ 125 mod 241
≡ 13398 ⋅ 125 mod 241 ≡ 143 ⋅ 125 mod 241
≡ 17875 mod 241 ≡ 41 mod 241

Es gilt also: 125¹⁴⁹ ≡ 41 mod 241

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24

=>61	= 2⋅24 + 13
=>24	= 1⋅13 + 11
=>13	= 1⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 24-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13) = -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24) = 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +28⋅24

Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1

Somit 28⋅24 = 1 mod 61

28 ist also das Inverse von 24 mod 61