Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (284 - 27999) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(284 - 27999) mod 7 ≡ (284 mod 7 - 27999 mod 7) mod 7.
284 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 284
= 280
27999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27999
= 28000
Somit gilt:
(284 - 27999) mod 7 ≡ (4 - 6) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 79) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 79) mod 8 ≡ (48 mod 8 ⋅ 79 mod 8) mod 8.
48 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 6 ⋅ 8 + 0 ist.
79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 9 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 79) mod 8 ≡ (0 ⋅ 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5048 mod 997.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 778 mod 997
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 778⋅778=605284 ≡ 105 mod 997
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 58 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 400185 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 4001=400
2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 120 mod 571
4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 125 mod 571
8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 208 mod 571
16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 439 mod 571
32: 40032=40016+16=40016⋅40016 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 294 mod 571
64: 40064=40032+32=40032⋅40032 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 215 mod 571
128: 400128=40064+64=40064⋅40064 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 545 mod 571
400185
= 400128+32+16+8+1
= 400128⋅40032⋅40016⋅4008⋅4001
≡ 545 ⋅ 294 ⋅ 439 ⋅ 208 ⋅ 400 mod 571
≡ 160230 ⋅ 439 ⋅ 208 ⋅ 400 mod 571 ≡ 350 ⋅ 439 ⋅ 208 ⋅ 400 mod 571
≡ 153650 ⋅ 208 ⋅ 400 mod 571 ≡ 51 ⋅ 208 ⋅ 400 mod 571
≡ 10608 ⋅ 400 mod 571 ≡ 330 ⋅ 400 mod 571
≡ 132000 mod 571 ≡ 99 mod 571
Es gilt also: 400185 ≡ 99 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 66
| =>73 | = 1⋅66 + 7 |
| =>66 | = 9⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 66-9⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(66 -9⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅66 +18⋅ 7) = -2⋅66 +19⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅66 +19⋅(73 -1⋅ 66)
= -2⋅66 +19⋅73 -19⋅ 66) = 19⋅73 -21⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,66)=1 = 19⋅73 -21⋅66
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -21⋅66
-21⋅66 = -19⋅73 + 1 |+73⋅66
-21⋅66 + 73⋅66 = -19⋅73 + 73⋅66 + 1
(-21 + 73) ⋅ 66 = (-19 + 66) ⋅ 73 + 1
52⋅66 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 52⋅66 = 47⋅73 +1
Somit 52⋅66 = 1 mod 73
52 ist also das Inverse von 66 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
