Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (262 + 8999) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(262 + 8999) mod 9 ≡ (262 mod 9 + 8999 mod 9) mod 9.
262 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 262
= 270
8999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999
= 9000
Somit gilt:
(262 + 8999) mod 9 ≡ (1 + 8) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 32) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 32) mod 10 ≡ (21 mod 10 ⋅ 32 mod 10) mod 10.
21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.
32 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 3 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 32) mod 10 ≡ (1 ⋅ 2) mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 240128 mod 761.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2401=240
2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 525 mod 761
4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 143 mod 761
8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 663 mod 761
16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 472 mod 761
32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 572 mod 761
64: 24064=24032+32=24032⋅24032 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 715 mod 761
128: 240128=24064+64=24064⋅24064 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 594 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32574 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:
74 = 64+8+2
1: 3251=325
2: 3252=3251+1=3251⋅3251 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 561 mod 571
4: 3254=3252+2=3252⋅3252 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 100 mod 571
8: 3258=3254+4=3254⋅3254 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 293 mod 571
16: 32516=3258+8=3258⋅3258 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 199 mod 571
32: 32532=32516+16=32516⋅32516 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 202 mod 571
64: 32564=32532+32=32532⋅32532 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 263 mod 571
32574
= 32564+8+2
= 32564⋅3258⋅3252
≡ 263 ⋅ 293 ⋅ 561 mod 571
≡ 77059 ⋅ 561 mod 571 ≡ 545 ⋅ 561 mod 571
≡ 305745 mod 571 ≡ 260 mod 571
Es gilt also: 32574 ≡ 260 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48
| =>71 | = 1⋅48 + 23 |
| =>48 | = 2⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 48-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23) = -11⋅48 +23⋅ 23 (=1) |
| 23= 71-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48)
= -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48) = 23⋅71 -34⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -34⋅48
-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48
-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1
(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1
37⋅48 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1
Somit 37⋅48 = 1 mod 71
37 ist also das Inverse von 48 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
