Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 + 93) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 93) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 93 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(12000 + 93) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 97) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 97) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 97 mod 6) mod 6.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 97) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15864 mod 383.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 158 -> x
2. mod(x²,383) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1581=158

2: 1582=1581+1=1581⋅1581 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 69 mod 383

4: 1584=1582+2=1582⋅1582 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 165 mod 383

8: 1588=1584+4=1584⋅1584 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 32 mod 383

16: 15816=1588+8=1588⋅1588 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 258 mod 383

32: 15832=15816+16=15816⋅15816 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 305 mod 383

64: 15864=15832+32=15832⋅15832 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 339 mod 383

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29062 mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

1: 2901=290

2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 457 mod 569

4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 26 mod 569

8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 26⋅26=676 ≡ 107 mod 569

16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 69 mod 569

32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 209 mod 569

29062

= 29032+16+8+4+2

= 29032⋅29016⋅2908⋅2904⋅2902

209 ⋅ 69 ⋅ 107 ⋅ 26 ⋅ 457 mod 569
14421 ⋅ 107 ⋅ 26 ⋅ 457 mod 569 ≡ 196 ⋅ 107 ⋅ 26 ⋅ 457 mod 569
20972 ⋅ 26 ⋅ 457 mod 569 ≡ 488 ⋅ 26 ⋅ 457 mod 569
12688 ⋅ 457 mod 569 ≡ 170 ⋅ 457 mod 569
77690 mod 569 ≡ 306 mod 569

Es gilt also: 29062 ≡ 306 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30

=>97 = 3⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-3⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30)
= 13⋅97 -42⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -42⋅30

-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30

-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1

(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1

55⋅30 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1

Somit 55⋅30 = 1 mod 97

55 ist also das Inverse von 30 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.