Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 + 8999) mod 3 ≡ (58 mod 3 + 8999 mod 3) mod 3.

58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 60-2 = 3 ⋅ 20 -2 = 3 ⋅ 20 - 3 + 1.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(58 + 8999) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 46) mod 4 ≡ (34 mod 4 ⋅ 46 mod 4) mod 4.

34 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 8 ⋅ 4 + 2 ist.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 46) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 843¹=843

2: 843²=843¹⁺¹=843¹⋅843¹ ≡ 843⋅843=710649 ≡ 893 mod 929

4: 843⁴=843²⁺²=843²⋅843² ≡ 893⋅893=797449 ≡ 367 mod 929

8: 843⁸=843⁴⁺⁴=843⁴⋅843⁴ ≡ 367⋅367=134689 ≡ 913 mod 929

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

92¹²⁷

= 92^{64+32+16+8+4+2+1}

= 92⁶⁴⋅92³²⋅92¹⁶⋅92⁸⋅92⁴⋅92²⋅92¹

≡ 19 ⋅ 58 ⋅ 110 ⋅ 188 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223
≡ 1102 ⋅ 110 ⋅ 188 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223 ≡ 210 ⋅ 110 ⋅ 188 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223
≡ 23100 ⋅ 188 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223 ≡ 131 ⋅ 188 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223
≡ 24628 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223 ≡ 98 ⋅ 100 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223
≡ 9800 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223 ≡ 211 ⋅ 213 ⋅ 92 mod 223
≡ 44943 ⋅ 92 mod 223 ≡ 120 ⋅ 92 mod 223
≡ 11040 mod 223 ≡ 113 mod 223

Es gilt also: 92¹²⁷ ≡ 113 mod 223

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24

=>79	= 3⋅24 + 7
=>24	= 3⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 24-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1)
7= 79-3⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24) = -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24

oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅79 = -23⋅24

-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24

-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1

(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1

56⋅24 = 17⋅79 + 1

Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1

Somit 56⋅24 = 1 mod 79

56 ist also das Inverse von 24 mod 79