Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2999 - 900) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2999 - 900) mod 3 ≡ (2999 mod 3 - 900 mod 3) mod 3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(2999 - 900) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 67) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 67) mod 10 ≡ (66 mod 10 ⋅ 67 mod 10) mod 10.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 67) mod 10 ≡ (6 ⋅ 7) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29816 mod 349.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 298 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2981=298

2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 158 mod 349

4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 185 mod 349

8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 23 mod 349

16: 29816=2988+8=2988⋅2988 ≡ 23⋅23=529 ≡ 180 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 148226 mod 373.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

1: 1481=148

2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 270 mod 373

4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 165 mod 373

8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 369 mod 373

16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 16 mod 373

32: 14832=14816+16=14816⋅14816 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 373

64: 14864=14832+32=14832⋅14832 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 261 mod 373

128: 148128=14864+64=14864⋅14864 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 235 mod 373

148226

= 148128+64+32+2

= 148128⋅14864⋅14832⋅1482

235 ⋅ 261 ⋅ 256 ⋅ 270 mod 373
61335 ⋅ 256 ⋅ 270 mod 373 ≡ 163 ⋅ 256 ⋅ 270 mod 373
41728 ⋅ 270 mod 373 ≡ 325 ⋅ 270 mod 373
87750 mod 373 ≡ 95 mod 373

Es gilt also: 148226 ≡ 95 mod 373

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 29

=>67 = 2⋅29 + 9
=>29 = 3⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 29-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9)
= -4⋅29 +13⋅ 9 (=1)
9= 67-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +13⋅(67 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅67 -26⋅ 29)
= 13⋅67 -30⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(67,29)=1 = 13⋅67 -30⋅29

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -30⋅29

-30⋅29 = -13⋅67 + 1 |+67⋅29

-30⋅29 + 67⋅29 = -13⋅67 + 67⋅29 + 1

(-30 + 67) ⋅ 29 = (-13 + 29) ⋅ 67 + 1

37⋅29 = 16⋅67 + 1

Es gilt also: 37⋅29 = 16⋅67 +1

Somit 37⋅29 = 1 mod 67

37 ist also das Inverse von 29 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.