Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2997 + 27) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2997 + 27) mod 3 ≡ (2997 mod 3 + 27 mod 3) mod 3.

2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997 = 3000-3 = 3 ⋅ 1000 -3 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 0.

27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 30-3 = 3 ⋅ 10 -3 = 3 ⋅ 10 - 3 + 0.

Somit gilt:

(2997 + 27) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 39) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 39) mod 6 ≡ (47 mod 6 ⋅ 39 mod 6) mod 6.

47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.

39 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 6 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 39) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3988 mod 547.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 398 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3981=398

2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 321 mod 547

4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 205 mod 547

8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 453 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 334185 mod 941.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

1: 3341=334

2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 518 mod 941

4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 139 mod 941

8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 501 mod 941

16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 695 mod 941

32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 292 mod 941

64: 33464=33432+32=33432⋅33432 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 574 mod 941

128: 334128=33464+64=33464⋅33464 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 126 mod 941

334185

= 334128+32+16+8+1

= 334128⋅33432⋅33416⋅3348⋅3341

126 ⋅ 292 ⋅ 695 ⋅ 501 ⋅ 334 mod 941
36792 ⋅ 695 ⋅ 501 ⋅ 334 mod 941 ≡ 93 ⋅ 695 ⋅ 501 ⋅ 334 mod 941
64635 ⋅ 501 ⋅ 334 mod 941 ≡ 647 ⋅ 501 ⋅ 334 mod 941
324147 ⋅ 334 mod 941 ≡ 443 ⋅ 334 mod 941
147962 mod 941 ≡ 225 mod 941

Es gilt also: 334185 ≡ 225 mod 941

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46

=>53 = 1⋅46 + 7
=>46 = 6⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 46-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7)
= 2⋅46 -13⋅ 7 (=1)
7= 53-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46)
= -13⋅53 +15⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +15⋅46

Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1

Somit 15⋅46 = 1 mod 53

15 ist also das Inverse von 46 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.