Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2999 + 1200) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2999 + 1200) mod 6 ≡ (2999 mod 6 + 1200 mod 6) mod 6.
2999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999
= 3000
1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(2999 + 1200) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 21) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 21) mod 4 ≡ (60 mod 4 ⋅ 21 mod 4) mod 4.
60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.
21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 21) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41432 mod 577.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 414 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4141=414
2: 4142=4141+1=4141⋅4141 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 27 mod 577
4: 4144=4142+2=4142⋅4142 ≡ 27⋅27=729 ≡ 152 mod 577
8: 4148=4144+4=4144⋅4144 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 24 mod 577
16: 41416=4148+8=4148⋅4148 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 577
32: 41432=41416+16=41416⋅41416 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 1 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 895240 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:
240 = 128+64+32+16
1: 8951=895
2: 8952=8951+1=8951⋅8951 ≡ 895⋅895=801025 ≡ 862 mod 977
4: 8954=8952+2=8952⋅8952 ≡ 862⋅862=743044 ≡ 524 mod 977
8: 8958=8954+4=8954⋅8954 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 39 mod 977
16: 89516=8958+8=8958⋅8958 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 544 mod 977
32: 89532=89516+16=89516⋅89516 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 882 mod 977
64: 89564=89532+32=89532⋅89532 ≡ 882⋅882=777924 ≡ 232 mod 977
128: 895128=89564+64=89564⋅89564 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 89 mod 977
895240
= 895128+64+32+16
= 895128⋅89564⋅89532⋅89516
≡ 89 ⋅ 232 ⋅ 882 ⋅ 544 mod 977
≡ 20648 ⋅ 882 ⋅ 544 mod 977 ≡ 131 ⋅ 882 ⋅ 544 mod 977
≡ 115542 ⋅ 544 mod 977 ≡ 256 ⋅ 544 mod 977
≡ 139264 mod 977 ≡ 530 mod 977
Es gilt also: 895240 ≡ 530 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65
| =>71 | = 1⋅65 + 6 |
| =>65 | = 10⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 65-10⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6) = -1⋅65 +11⋅ 6 (=1) |
| 6= 71-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65) = 11⋅71 -12⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -12⋅65
-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65
-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1
(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1
59⋅65 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1
Somit 59⋅65 = 1 mod 71
59 ist also das Inverse von 65 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
