Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1197 + 153) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1197 + 153) mod 3 ≡ (1197 mod 3 + 153 mod 3) mod 3.
1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1200
153 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153
= 150
Somit gilt:
(1197 + 153) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 68) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 68) mod 7 ≡ (42 mod 7 ⋅ 68 mod 7) mod 7.
42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 68) mod 7 ≡ (0 ⋅ 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1388 mod 347.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 138 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1381=138
2: 1382=1381+1=1381⋅1381 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 306 mod 347
4: 1384=1382+2=1382⋅1382 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 293 mod 347
8: 1388=1384+4=1384⋅1384 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 140 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 209103 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:
103 = 64+32+4+2+1
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 401 mod 541
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 124 mod 541
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 228 mod 541
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 48 mod 541
32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 140 mod 541
64: 20964=20932+32=20932⋅20932 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 124 mod 541
209103
= 20964+32+4+2+1
= 20964⋅20932⋅2094⋅2092⋅2091
≡ 124 ⋅ 140 ⋅ 124 ⋅ 401 ⋅ 209 mod 541
≡ 17360 ⋅ 124 ⋅ 401 ⋅ 209 mod 541 ≡ 48 ⋅ 124 ⋅ 401 ⋅ 209 mod 541
≡ 5952 ⋅ 401 ⋅ 209 mod 541 ≡ 1 ⋅ 401 ⋅ 209 mod 541
≡ 401 ⋅ 209 mod 541
≡ 83809 mod 541 ≡ 495 mod 541
Es gilt also: 209103 ≡ 495 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45
| =>79 | = 1⋅45 + 34 |
| =>45 | = 1⋅34 + 11 |
| =>34 | = 3⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-3⋅11 | |||
| 11= 45-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1) |
| 34= 79-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45)
= -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -7⋅45
-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45
-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1
(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1
72⋅45 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1
Somit 72⋅45 = 1 mod 79
72 ist also das Inverse von 45 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
