Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1202 + 5999) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1202 + 5999) mod 6 ≡ (1202 mod 6 + 5999 mod 6) mod 6.

1202 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 6 ⋅ 200 +2.

5999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999 = 6000-1 = 6 ⋅ 1000 -1 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 5.

Somit gilt:

(1202 + 5999) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 90) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 90) mod 7 ≡ (56 mod 7 ⋅ 90 mod 7) mod 7.

56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.

90 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 84 + 6 = 12 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 90) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7764 mod 251.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 77 -> x
2. mod(x²,251) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 771=77

2: 772=771+1=771⋅771 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 156 mod 251

4: 774=772+2=772⋅772 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 240 mod 251

8: 778=774+4=774⋅774 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 121 mod 251

16: 7716=778+8=778⋅778 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 83 mod 251

32: 7732=7716+16=7716⋅7716 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 112 mod 251

64: 7764=7732+32=7732⋅7732 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 245 mod 251

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19582 mod 277.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:

82 = 64+16+2

1: 1951=195

2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 76 mod 277

4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 236 mod 277

8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 19 mod 277

16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 19⋅19=361 ≡ 84 mod 277

32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 131 mod 277

64: 19564=19532+32=19532⋅19532 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 264 mod 277

19582

= 19564+16+2

= 19564⋅19516⋅1952

264 ⋅ 84 ⋅ 76 mod 277
22176 ⋅ 76 mod 277 ≡ 16 ⋅ 76 mod 277
1216 mod 277 ≡ 108 mod 277

Es gilt also: 19582 ≡ 108 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41

=>101 = 2⋅41 + 19
=>41 = 2⋅19 + 3
=>19 = 6⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19)
= -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-2⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41)
= 13⋅101 -32⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -32⋅41

-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41

-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1

(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1

69⋅41 = 28⋅101 + 1

Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1

Somit 69⋅41 = 1 mod 101

69 ist also das Inverse von 41 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.