Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (318 + 32005) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(318 + 32005) mod 8 ≡ (318 mod 8 + 32005 mod 8) mod 8.
318 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 318
= 320
32005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32005
= 32000
Somit gilt:
(318 + 32005) mod 8 ≡ (6 + 5) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 52) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 52) mod 3 ≡ (58 mod 3 ⋅ 52 mod 3) mod 3.
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.
52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 52) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4478 mod 487.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 447 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4471=447
2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 139 mod 487
4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 328 mod 487
8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 444 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 270222 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:
222 = 128+64+16+8+4+2
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 410 mod 659
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 55 mod 659
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 389 mod 659
16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 410 mod 659
32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 55 mod 659
64: 27064=27032+32=27032⋅27032 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 389 mod 659
128: 270128=27064+64=27064⋅27064 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 410 mod 659
270222
= 270128+64+16+8+4+2
= 270128⋅27064⋅27016⋅2708⋅2704⋅2702
≡ 410 ⋅ 389 ⋅ 410 ⋅ 389 ⋅ 55 ⋅ 410 mod 659
≡ 159490 ⋅ 410 ⋅ 389 ⋅ 55 ⋅ 410 mod 659 ≡ 12 ⋅ 410 ⋅ 389 ⋅ 55 ⋅ 410 mod 659
≡ 4920 ⋅ 389 ⋅ 55 ⋅ 410 mod 659 ≡ 307 ⋅ 389 ⋅ 55 ⋅ 410 mod 659
≡ 119423 ⋅ 55 ⋅ 410 mod 659 ≡ 144 ⋅ 55 ⋅ 410 mod 659
≡ 7920 ⋅ 410 mod 659 ≡ 12 ⋅ 410 mod 659
≡ 4920 mod 659 ≡ 307 mod 659
Es gilt also: 270222 ≡ 307 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 80
| =>89 | = 1⋅80 + 9 |
| =>80 | = 8⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 80-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(80 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅80 +8⋅ 9) = -1⋅80 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅80 +9⋅(89 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +9⋅89 -9⋅ 80) = 9⋅89 -10⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,80)=1 = 9⋅89 -10⋅80
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -10⋅80
-10⋅80 = -9⋅89 + 1 |+89⋅80
-10⋅80 + 89⋅80 = -9⋅89 + 89⋅80 + 1
(-10 + 89) ⋅ 80 = (-9 + 80) ⋅ 89 + 1
79⋅80 = 71⋅89 + 1
Es gilt also: 79⋅80 = 71⋅89 +1
Somit 79⋅80 = 1 mod 89
79 ist also das Inverse von 80 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
