Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(408 - 3193) mod 8 ≡ (408 mod 8 - 3193 mod 8) mod 8.

408 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 408 = 400+8 = 8 ⋅ 50 +8.

3193 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3193 = 3200-7 = 8 ⋅ 400 -7 = 8 ⋅ 400 - 8 + 1.

Somit gilt:

(408 - 3193) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 30) mod 6 ≡ (61 mod 6 ⋅ 30 mod 6) mod 6.

61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.

30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 30) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 131¹=131

2: 131²=131¹⁺¹=131¹⋅131¹ ≡ 131⋅131=17161 ≡ 88 mod 271

4: 131⁴=131²⁺²=131²⋅131² ≡ 88⋅88=7744 ≡ 156 mod 271

8: 131⁸=131⁴⁺⁴=131⁴⋅131⁴ ≡ 156⋅156=24336 ≡ 217 mod 271

16: 131¹⁶=131⁸⁺⁸=131⁸⋅131⁸ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 206 mod 271

32: 131³²=131¹⁶⁺¹⁶=131¹⁶⋅131¹⁶ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 160 mod 271

64: 131⁶⁴=131³²⁺³²=131³²⋅131³² ≡ 160⋅160=25600 ≡ 126 mod 271

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

765¹⁵¹

= 765^128+16+4+2+1

= 765¹²⁸⋅765¹⁶⋅765⁴⋅765²⋅765¹

≡ 304 ⋅ 186 ⋅ 589 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983
≡ 56544 ⋅ 589 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983 ≡ 513 ⋅ 589 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983
≡ 302157 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983 ≡ 376 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983
≡ 127840 ⋅ 765 mod 983 ≡ 50 ⋅ 765 mod 983
≡ 38250 mod 983 ≡ 896 mod 983

Es gilt also: 765¹⁵¹ ≡ 896 mod 983

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

=>101	= 1⋅87 + 14
=>87	= 6⋅14 + 3
=>14	= 4⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 87-6⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14) = -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14) = 5⋅87 -31⋅ 14 (=1)
14= 101-1⋅87	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87) = 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87) = -31⋅101 +36⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87

oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅101 = +36⋅87

Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1

Somit 36⋅87 = 1 mod 101

36 ist also das Inverse von 87 mod 101