Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1796 + 44999) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1796 + 44999) mod 9 ≡ (1796 mod 9 + 44999 mod 9) mod 9.
1796 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796
= 1800
44999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44999
= 45000
Somit gilt:
(1796 + 44999) mod 9 ≡ (5 + 8) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 82) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 82) mod 10 ≡ (52 mod 10 ⋅ 82 mod 10) mod 10.
52 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 5 ⋅ 10 + 2 ist.
82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 82) mod 10 ≡ (2 ⋅ 2) mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3818 mod 859.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 849 mod 859
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 849⋅849=720801 ≡ 100 mod 859
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 551 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 176232 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 1761=176
2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 41 mod 269
4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 67 mod 269
8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 185 mod 269
16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 62 mod 269
32: 17632=17616+16=17616⋅17616 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 78 mod 269
64: 17664=17632+32=17632⋅17632 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 166 mod 269
128: 176128=17664+64=17664⋅17664 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 118 mod 269
176232
= 176128+64+32+8
= 176128⋅17664⋅17632⋅1768
≡ 118 ⋅ 166 ⋅ 78 ⋅ 185 mod 269
≡ 19588 ⋅ 78 ⋅ 185 mod 269 ≡ 220 ⋅ 78 ⋅ 185 mod 269
≡ 17160 ⋅ 185 mod 269 ≡ 213 ⋅ 185 mod 269
≡ 39405 mod 269 ≡ 131 mod 269
Es gilt also: 176232 ≡ 131 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27
| =>59 | = 2⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -24⋅27
-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27
-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1
(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1
35⋅27 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1
Somit 35⋅27 = 1 mod 59
35 ist also das Inverse von 27 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
