Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 - 8000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 - 8000) mod 4 ≡ (42 mod 4 - 8000 mod 4) mod 4.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40+2 = 4 ⋅ 10 +2.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(42 - 8000) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 82) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 82) mod 5 ≡ (55 mod 5 ⋅ 82 mod 5) mod 5.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.

82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 82) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5658 mod 641.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 565 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5651=565

2: 5652=5651+1=5651⋅5651 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 7 mod 641

4: 5654=5652+2=5652⋅5652 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 641

8: 5658=5654+4=5654⋅5654 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 478 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 238206 mod 653.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

1: 2381=238

2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 486 mod 653

4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 463 mod 653

8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 185 mod 653

16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 269 mod 653

32: 23832=23816+16=23816⋅23816 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 531 mod 653

64: 23864=23832+32=23832⋅23832 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 518 mod 653

128: 238128=23864+64=23864⋅23864 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 594 mod 653

238206

= 238128+64+8+4+2

= 238128⋅23864⋅2388⋅2384⋅2382

594 ⋅ 518 ⋅ 185 ⋅ 463 ⋅ 486 mod 653
307692 ⋅ 185 ⋅ 463 ⋅ 486 mod 653 ≡ 129 ⋅ 185 ⋅ 463 ⋅ 486 mod 653
23865 ⋅ 463 ⋅ 486 mod 653 ≡ 357 ⋅ 463 ⋅ 486 mod 653
165291 ⋅ 486 mod 653 ≡ 82 ⋅ 486 mod 653
39852 mod 653 ≡ 19 mod 653

Es gilt also: 238206 ≡ 19 mod 653

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 68

=>89 = 1⋅68 + 21
=>68 = 3⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 68-3⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(68 -3⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅68 +12⋅ 21)
= -4⋅68 +13⋅ 21 (=1)
21= 89-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅68 +13⋅(89 -1⋅ 68)
= -4⋅68 +13⋅89 -13⋅ 68)
= 13⋅89 -17⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(89,68)=1 = 13⋅89 -17⋅68

oder wenn man 13⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅89 = -17⋅68

-17⋅68 = -13⋅89 + 1 |+89⋅68

-17⋅68 + 89⋅68 = -13⋅89 + 89⋅68 + 1

(-17 + 89) ⋅ 68 = (-13 + 68) ⋅ 89 + 1

72⋅68 = 55⋅89 + 1

Es gilt also: 72⋅68 = 55⋅89 +1

Somit 72⋅68 = 1 mod 89

72 ist also das Inverse von 68 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.