Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16004 + 197) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16004 + 197) mod 4 ≡ (16004 mod 4 + 197 mod 4) mod 4.
16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004
= 16000
197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197
= 200
Somit gilt:
(16004 + 197) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 29) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 29) mod 6 ≡ (47 mod 6 ⋅ 29 mod 6) mod 6.
47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.
29 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 4 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 29) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 513128 mod 907.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 513 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5131=513
2: 5132=5131+1=5131⋅5131 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 139 mod 907
4: 5134=5132+2=5132⋅5132 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 274 mod 907
8: 5138=5134+4=5134⋅5134 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 702 mod 907
16: 51316=5138+8=5138⋅5138 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 303 mod 907
32: 51332=51316+16=51316⋅51316 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 202 mod 907
64: 51364=51332+32=51332⋅51332 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 896 mod 907
128: 513128=51364+64=51364⋅51364 ≡ 896⋅896=802816 ≡ 121 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 343161 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 3431=343
2: 3432=3431+1=3431⋅3431 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 306 mod 433
4: 3434=3432+2=3432⋅3432 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 108 mod 433
8: 3438=3434+4=3434⋅3434 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 406 mod 433
16: 34316=3438+8=3438⋅3438 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 296 mod 433
32: 34332=34316+16=34316⋅34316 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 150 mod 433
64: 34364=34332+32=34332⋅34332 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 417 mod 433
128: 343128=34364+64=34364⋅34364 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 256 mod 433
343161
= 343128+32+1
= 343128⋅34332⋅3431
≡ 256 ⋅ 150 ⋅ 343 mod 433
≡ 38400 ⋅ 343 mod 433 ≡ 296 ⋅ 343 mod 433
≡ 101528 mod 433 ≡ 206 mod 433
Es gilt also: 343161 ≡ 206 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52
| =>101 | = 1⋅52 + 49 |
| =>52 | = 1⋅49 + 3 |
| =>49 | = 16⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 49-16⋅3 | |||
| 3= 52-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1) |
| 49= 101-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52
oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅101 = -33⋅52
-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52
-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1
(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1
68⋅52 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1
Somit 68⋅52 = 1 mod 101
68 ist also das Inverse von 52 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
