Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17996 + 17994) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17996 + 17994) mod 6 ≡ (17996 mod 6 + 17994 mod 6) mod 6.
17996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17996
= 18000
17994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17994
= 18000
Somit gilt:
(17996 + 17994) mod 6 ≡ (2 + 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 40) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 40) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 40 mod 3) mod 3.
42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 40) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3128 mod 619.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 161 mod 619
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 542 mod 619
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 358 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 715116 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 7151=715
2: 7152=7151+1=7151⋅7151 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 811 mod 877
4: 7154=7152+2=7152⋅7152 ≡ 811⋅811=657721 ≡ 848 mod 877
8: 7158=7154+4=7154⋅7154 ≡ 848⋅848=719104 ≡ 841 mod 877
16: 71516=7158+8=7158⋅7158 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 419 mod 877
32: 71532=71516+16=71516⋅71516 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 161 mod 877
64: 71564=71532+32=71532⋅71532 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 488 mod 877
715116
= 71564+32+16+4
= 71564⋅71532⋅71516⋅7154
≡ 488 ⋅ 161 ⋅ 419 ⋅ 848 mod 877
≡ 78568 ⋅ 419 ⋅ 848 mod 877 ≡ 515 ⋅ 419 ⋅ 848 mod 877
≡ 215785 ⋅ 848 mod 877 ≡ 43 ⋅ 848 mod 877
≡ 36464 mod 877 ≡ 507 mod 877
Es gilt also: 715116 ≡ 507 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37
| =>79 | = 2⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 79-2⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37) = 15⋅79 -32⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37
oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅79 = -32⋅37
-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37
-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1
(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1
47⋅37 = 22⋅79 + 1
Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1
Somit 47⋅37 = 1 mod 79
47 ist also das Inverse von 37 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
