Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2098 + 27993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2098 + 27993) mod 7 ≡ (2098 mod 7 + 27993 mod 7) mod 7.
2098 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2098
= 2100
27993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27993
= 28000
Somit gilt:
(2098 + 27993) mod 7 ≡ (5 + 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 60) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 60) mod 5 ≡ (54 mod 5 ⋅ 60 mod 5) mod 5.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 60) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 367128 mod 673.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 367 -> x
2. mod(x²,673) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3671=367
2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 89 mod 673
4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 518 mod 673
8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 470 mod 673
16: 36716=3678+8=3678⋅3678 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 156 mod 673
32: 36732=36716+16=36716⋅36716 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 108 mod 673
64: 36764=36732+32=36732⋅36732 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 223 mod 673
128: 367128=36764+64=36764⋅36764 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 600 mod 673
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49186 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:
86 = 64+16+4+2
1: 4911=491
2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 349 mod 743
4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 692 mod 743
8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 372 mod 743
16: 49116=4918+8=4918⋅4918 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 186 mod 743
32: 49132=49116+16=49116⋅49116 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 418 mod 743
64: 49164=49132+32=49132⋅49132 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 119 mod 743
49186
= 49164+16+4+2
= 49164⋅49116⋅4914⋅4912
≡ 119 ⋅ 186 ⋅ 692 ⋅ 349 mod 743
≡ 22134 ⋅ 692 ⋅ 349 mod 743 ≡ 587 ⋅ 692 ⋅ 349 mod 743
≡ 406204 ⋅ 349 mod 743 ≡ 526 ⋅ 349 mod 743
≡ 183574 mod 743 ≡ 53 mod 743
Es gilt also: 49186 ≡ 53 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 43
| =>83 | = 1⋅43 + 40 |
| =>43 | = 1⋅40 + 3 |
| =>40 | = 13⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 40-13⋅3 | |||
| 3= 43-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅40 -13⋅(43 -1⋅ 40)
= 1⋅40 -13⋅43 +13⋅ 40) = -13⋅43 +14⋅ 40 (=1) |
| 40= 83-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -13⋅43 +14⋅(83 -1⋅ 43)
= -13⋅43 +14⋅83 -14⋅ 43) = 14⋅83 -27⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,43)=1 = 14⋅83 -27⋅43
oder wenn man 14⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅83 = -27⋅43
-27⋅43 = -14⋅83 + 1 |+83⋅43
-27⋅43 + 83⋅43 = -14⋅83 + 83⋅43 + 1
(-27 + 83) ⋅ 43 = (-14 + 43) ⋅ 83 + 1
56⋅43 = 29⋅83 + 1
Es gilt also: 56⋅43 = 29⋅83 +1
Somit 56⋅43 = 1 mod 83
56 ist also das Inverse von 43 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
