Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(442 + 26992) mod 9 ≡ (442 mod 9 + 26992 mod 9) mod 9.

442 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 442 = 450-8 = 9 ⋅ 50 -8 = 9 ⋅ 50 - 9 + 1.

26992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26992 = 27000-8 = 9 ⋅ 3000 -8 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 1.

Somit gilt:

(442 + 26992) mod 9 ≡ (1 + 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 22) mod 5 ≡ (100 mod 5 ⋅ 22 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.

22 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 4 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 22) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 757¹=757

2: 757²=757¹⁺¹=757¹⋅757¹ ≡ 757⋅757=573049 ≡ 210 mod 829

4: 757⁴=757²⁺²=757²⋅757² ≡ 210⋅210=44100 ≡ 163 mod 829

8: 757⁸=757⁴⁺⁴=757⁴⋅757⁴ ≡ 163⋅163=26569 ≡ 41 mod 829

16: 757¹⁶=757⁸⁺⁸=757⁸⋅757⁸ ≡ 41⋅41=1681 ≡ 23 mod 829

32: 757³²=757¹⁶⁺¹⁶=757¹⁶⋅757¹⁶ ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 829

64: 757⁶⁴=757³²⁺³²=757³²⋅757³² ≡ 529⋅529=279841 ≡ 468 mod 829

128: 757¹²⁸=757⁶⁴⁺⁶⁴=757⁶⁴⋅757⁶⁴ ≡ 468⋅468=219024 ≡ 168 mod 829

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

710²¹⁵

= 710^{128+64+16+4+2+1}

= 710¹²⁸⋅710⁶⁴⋅710¹⁶⋅710⁴⋅710²⋅710¹

≡ 635 ⋅ 441 ⋅ 688 ⋅ 896 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941
≡ 280035 ⋅ 688 ⋅ 896 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941 ≡ 558 ⋅ 688 ⋅ 896 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941
≡ 383904 ⋅ 896 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941 ≡ 917 ⋅ 896 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941
≡ 821632 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941 ≡ 139 ⋅ 665 ⋅ 710 mod 941
≡ 92435 ⋅ 710 mod 941 ≡ 217 ⋅ 710 mod 941
≡ 154070 mod 941 ≡ 687 mod 941

Es gilt also: 710²¹⁵ ≡ 687 mod 941

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79	= 1⋅45 + 34
=>45	= 1⋅34 + 11
=>34	= 3⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34) = 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45) = -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79