Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 + 275) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 + 275) mod 9 ≡ (87 mod 9 + 275 mod 9) mod 9.
87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87
= 90
275 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275
= 270
Somit gilt:
(87 + 275) mod 9 ≡ (6 + 5) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 20) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 20) mod 8 ≡ (47 mod 8 ⋅ 20 mod 8) mod 8.
47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.
20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 20) mod 8 ≡ (7 ⋅ 4) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3628 mod 983.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 362 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3621=362
2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 305 mod 983
4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 623 mod 983
8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 827 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 167235 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:
235 = 128+64+32+8+2+1
1: 1671=167
2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 11 mod 263
4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 263
8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 176 mod 263
16: 16716=1678+8=1678⋅1678 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 205 mod 263
32: 16732=16716+16=16716⋅16716 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 208 mod 263
64: 16764=16732+32=16732⋅16732 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 132 mod 263
128: 167128=16764+64=16764⋅16764 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 66 mod 263
167235
= 167128+64+32+8+2+1
= 167128⋅16764⋅16732⋅1678⋅1672⋅1671
≡ 66 ⋅ 132 ⋅ 208 ⋅ 176 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263
≡ 8712 ⋅ 208 ⋅ 176 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263 ≡ 33 ⋅ 208 ⋅ 176 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263
≡ 6864 ⋅ 176 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263 ≡ 26 ⋅ 176 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263
≡ 4576 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263 ≡ 105 ⋅ 11 ⋅ 167 mod 263
≡ 1155 ⋅ 167 mod 263 ≡ 103 ⋅ 167 mod 263
≡ 17201 mod 263 ≡ 106 mod 263
Es gilt also: 167235 ≡ 106 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53
| =>89 | = 1⋅53 + 36 |
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
| 36= 89-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53)
= 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53
oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +25⋅89 = +42⋅53
Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1
Somit 42⋅53 = 1 mod 89
42 ist also das Inverse von 53 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
