Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14997 - 6000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14997 - 6000) mod 3 ≡ (14997 mod 3 - 6000 mod 3) mod 3.
14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997
= 15000
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
Somit gilt:
(14997 - 6000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 92) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 92) mod 11 ≡ (77 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.
77 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 7 ⋅ 11 + 0 ist.
92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 92) mod 11 ≡ (0 ⋅ 4) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3558 mod 521.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 355 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3551=355
2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 464 mod 521
4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 123 mod 521
8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 20 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38199 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 300 mod 443
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 71 mod 443
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 168 mod 443
16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 315 mod 443
32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 436 mod 443
64: 38164=38132+32=38132⋅38132 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 49 mod 443
38199
= 38164+32+2+1
= 38164⋅38132⋅3812⋅3811
≡ 49 ⋅ 436 ⋅ 300 ⋅ 381 mod 443
≡ 21364 ⋅ 300 ⋅ 381 mod 443 ≡ 100 ⋅ 300 ⋅ 381 mod 443
≡ 30000 ⋅ 381 mod 443 ≡ 319 ⋅ 381 mod 443
≡ 121539 mod 443 ≡ 157 mod 443
Es gilt also: 38199 ≡ 157 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 58
| =>73 | = 1⋅58 + 15 |
| =>58 | = 3⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 58-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(58 -3⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅58 -21⋅ 15) = 7⋅58 -27⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅58 -27⋅(73 -1⋅ 58)
= 7⋅58 -27⋅73 +27⋅ 58) = -27⋅73 +34⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,58)=1 = -27⋅73 +34⋅58
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +34⋅58
Es gilt also: 34⋅58 = 27⋅73 +1
Somit 34⋅58 = 1 mod 73
34 ist also das Inverse von 58 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
