Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27006 - 351) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27006 - 351) mod 9 ≡ (27006 mod 9 - 351 mod 9) mod 9.
27006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27006
= 27000
351 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351
= 360
Somit gilt:
(27006 - 351) mod 9 ≡ (6 - 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 38) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 38) mod 11 ≡ (20 mod 11 ⋅ 38 mod 11) mod 11.
20 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 11 + 9 = 1 ⋅ 11 + 9 ist.
38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 38) mod 11 ≡ (9 ⋅ 5) mod 11 ≡ 45 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2398 mod 587.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 239 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2391=239
2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 182 mod 587
4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 252 mod 587
8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 108 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 816244 mod 863.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:
244 = 128+64+32+16+4
1: 8161=816
2: 8162=8161+1=8161⋅8161 ≡ 816⋅816=665856 ≡ 483 mod 863
4: 8164=8162+2=8162⋅8162 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 279 mod 863
8: 8168=8164+4=8164⋅8164 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 171 mod 863
16: 81616=8168+8=8168⋅8168 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 762 mod 863
32: 81632=81616+16=81616⋅81616 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 708 mod 863
64: 81664=81632+32=81632⋅81632 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 724 mod 863
128: 816128=81664+64=81664⋅81664 ≡ 724⋅724=524176 ≡ 335 mod 863
816244
= 816128+64+32+16+4
= 816128⋅81664⋅81632⋅81616⋅8164
≡ 335 ⋅ 724 ⋅ 708 ⋅ 762 ⋅ 279 mod 863
≡ 242540 ⋅ 708 ⋅ 762 ⋅ 279 mod 863 ≡ 37 ⋅ 708 ⋅ 762 ⋅ 279 mod 863
≡ 26196 ⋅ 762 ⋅ 279 mod 863 ≡ 306 ⋅ 762 ⋅ 279 mod 863
≡ 233172 ⋅ 279 mod 863 ≡ 162 ⋅ 279 mod 863
≡ 45198 mod 863 ≡ 322 mod 863
Es gilt also: 816244 ≡ 322 mod 863
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 67
| =>101 | = 1⋅67 + 34 |
| =>67 | = 1⋅34 + 33 |
| =>34 | = 1⋅33 + 1 |
| =>33 | = 33⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-1⋅33 | |||
| 33= 67-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -1⋅(67 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -1⋅67 +1⋅ 34) = -1⋅67 +2⋅ 34 (=1) |
| 34= 101-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +2⋅(101 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +2⋅101 -2⋅ 67) = 2⋅101 -3⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,67)=1 = 2⋅101 -3⋅67
oder wenn man 2⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅101 = -3⋅67
-3⋅67 = -2⋅101 + 1 |+101⋅67
-3⋅67 + 101⋅67 = -2⋅101 + 101⋅67 + 1
(-3 + 101) ⋅ 67 = (-2 + 67) ⋅ 101 + 1
98⋅67 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 98⋅67 = 65⋅101 +1
Somit 98⋅67 = 1 mod 101
98 ist also das Inverse von 67 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
