Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(239 + 4000) mod 8 ≡ (239 mod 8 + 4000 mod 8) mod 8.

239 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239 = 240-1 = 8 ⋅ 30 -1 = 8 ⋅ 30 - 8 + 7.

4000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 8 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(239 + 4000) mod 8 ≡ (7 + 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 59) mod 10 ≡ (78 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.

78 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 70 + 8 = 7 ⋅ 10 + 8 ist.

59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 59) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 303¹=303

2: 303²=303¹⁺¹=303¹⋅303¹ ≡ 303⋅303=91809 ≡ 314 mod 631

4: 303⁴=303²⁺²=303²⋅303² ≡ 314⋅314=98596 ≡ 160 mod 631

8: 303⁸=303⁴⁺⁴=303⁴⋅303⁴ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 360 mod 631

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

131¹²⁷

= 131^{64+32+16+8+4+2+1}

= 131⁶⁴⋅131³²⋅131¹⁶⋅131⁸⋅131⁴⋅131²⋅131¹

≡ 43 ⋅ 147 ⋅ 102 ⋅ 75 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263
≡ 6321 ⋅ 102 ⋅ 75 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263 ≡ 9 ⋅ 102 ⋅ 75 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263
≡ 918 ⋅ 75 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263 ≡ 129 ⋅ 75 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263
≡ 9675 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263 ≡ 207 ⋅ 148 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263
≡ 30636 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263 ≡ 128 ⋅ 66 ⋅ 131 mod 263
≡ 8448 ⋅ 131 mod 263 ≡ 32 ⋅ 131 mod 263
≡ 4192 mod 263 ≡ 247 mod 263

Es gilt also: 131¹²⁷ ≡ 247 mod 263

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79	= 1⋅47 + 32
=>47	= 1⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32) = 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47) = 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47) = -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79