Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (303 + 1200) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(303 + 1200) mod 6 ≡ (303 mod 6 + 1200 mod 6) mod 6.

303 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 6 ⋅ 50 +3.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(303 + 1200) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 28) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 28) mod 5 ≡ (77 mod 5 ⋅ 28 mod 5) mod 5.

77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.

28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 28) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50416 mod 857.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5041=504

2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 344 mod 857

4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 70 mod 857

8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 615 mod 857

16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 288 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 326145 mod 919.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:

145 = 128+16+1

1: 3261=326

2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 591 mod 919

4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 61 mod 919

8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 45 mod 919

16: 32616=3268+8=3268⋅3268 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 187 mod 919

32: 32632=32616+16=32616⋅32616 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 47 mod 919

64: 32664=32632+32=32632⋅32632 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 371 mod 919

128: 326128=32664+64=32664⋅32664 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 710 mod 919

326145

= 326128+16+1

= 326128⋅32616⋅3261

710 ⋅ 187 ⋅ 326 mod 919
132770 ⋅ 326 mod 919 ≡ 434 ⋅ 326 mod 919
141484 mod 919 ≡ 877 mod 919

Es gilt also: 326145 ≡ 877 mod 919

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 35

=>67 = 1⋅35 + 32
=>35 = 1⋅32 + 3
=>32 = 10⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 32-10⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3)
= -1⋅32 +11⋅ 3 (=1)
3= 35-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅32 +11⋅(35 -1⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅35 -11⋅ 32)
= 11⋅35 -12⋅ 32 (=1)
32= 67-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅35 -12⋅(67 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -12⋅67 +12⋅ 35)
= -12⋅67 +23⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(67,35)=1 = -12⋅67 +23⋅35

oder wenn man -12⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +12⋅67 = +23⋅35

Es gilt also: 23⋅35 = 12⋅67 +1

Somit 23⋅35 = 1 mod 67

23 ist also das Inverse von 35 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.