Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1500 - 149) mod 3 ≡ (1500 mod 3 - 149 mod 3) mod 3.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149 = 150-1 = 3 ⋅ 50 -1 = 3 ⋅ 50 - 3 + 2.

Somit gilt:

(1500 - 149) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 89) mod 11 ≡ (50 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.

50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.

89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 89) mod 11 ≡ (6 ⋅ 1) mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 581¹=581

2: 581²=581¹⁺¹=581¹⋅581¹ ≡ 581⋅581=337561 ≡ 429 mod 947

4: 581⁴=581²⁺²=581²⋅581² ≡ 429⋅429=184041 ≡ 323 mod 947

8: 581⁸=581⁴⁺⁴=581⁴⋅581⁴ ≡ 323⋅323=104329 ≡ 159 mod 947

16: 581¹⁶=581⁸⁺⁸=581⁸⋅581⁸ ≡ 159⋅159=25281 ≡ 659 mod 947

32: 581³²=581¹⁶⁺¹⁶=581¹⁶⋅581¹⁶ ≡ 659⋅659=434281 ≡ 555 mod 947

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

116²²⁷

= 116^{128+64+32+2+1}

= 116¹²⁸⋅116⁶⁴⋅116³²⋅116²⋅116¹

≡ 356 ⋅ 110 ⋅ 117 ⋅ 244 ⋅ 116 mod 367
≡ 39160 ⋅ 117 ⋅ 244 ⋅ 116 mod 367 ≡ 258 ⋅ 117 ⋅ 244 ⋅ 116 mod 367
≡ 30186 ⋅ 244 ⋅ 116 mod 367 ≡ 92 ⋅ 244 ⋅ 116 mod 367
≡ 22448 ⋅ 116 mod 367 ≡ 61 ⋅ 116 mod 367
≡ 7076 mod 367 ≡ 103 mod 367

Es gilt also: 116²²⁷ ≡ 103 mod 367

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 31

=>101	= 3⋅31 + 8
=>31	= 3⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 101-3⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +4⋅(101 -3⋅ 31) = -1⋅31 +4⋅101 -12⋅ 31) = 4⋅101 -13⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(101,31)=1 = 4⋅101 -13⋅31

oder wenn man 4⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅101 = -13⋅31

-13⋅31 = -4⋅101 + 1 |+101⋅31

-13⋅31 + 101⋅31 = -4⋅101 + 101⋅31 + 1

(-13 + 101) ⋅ 31 = (-4 + 31) ⋅ 101 + 1

88⋅31 = 27⋅101 + 1

Es gilt also: 88⋅31 = 27⋅101 +1

Somit 88⋅31 = 1 mod 101

88 ist also das Inverse von 31 mod 101