Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 - 14997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 - 14997) mod 3 ≡ (93 mod 3 - 14997 mod 3) mod 3.
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93
= 90
14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997
= 15000
Somit gilt:
(93 - 14997) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 43) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 43) mod 3 ≡ (86 mod 3 ⋅ 43 mod 3) mod 3.
86 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 28 ⋅ 3 + 2 ist.
43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 43) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3518 mod 431.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 351 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3511=351
2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 366 mod 431
4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 346 mod 431
8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 329 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 425139 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 4251=425
2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 461 mod 617
4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 273 mod 617
8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 489 mod 617
16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 342 mod 617
32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 351 mod 617
64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 418 mod 617
128: 425128=42564+64=42564⋅42564 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 113 mod 617
425139
= 425128+8+2+1
= 425128⋅4258⋅4252⋅4251
≡ 113 ⋅ 489 ⋅ 461 ⋅ 425 mod 617
≡ 55257 ⋅ 461 ⋅ 425 mod 617 ≡ 344 ⋅ 461 ⋅ 425 mod 617
≡ 158584 ⋅ 425 mod 617 ≡ 15 ⋅ 425 mod 617
≡ 6375 mod 617 ≡ 205 mod 617
Es gilt also: 425139 ≡ 205 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26
| =>59 | = 2⋅26 + 7 |
| =>26 | = 3⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 26-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7) = 3⋅26 -11⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26) = -11⋅59 +25⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +25⋅26
Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1
Somit 25⋅26 = 1 mod 59
25 ist also das Inverse von 26 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
