Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19995 - 202) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19995 - 202) mod 5 ≡ (19995 mod 5 - 202 mod 5) mod 5.
19995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19995
= 19000
202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
Somit gilt:
(19995 - 202) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 64) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 64) mod 5 ≡ (85 mod 5 ⋅ 64 mod 5) mod 5.
85 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 85 + 0 = 17 ⋅ 5 + 0 ist.
64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 64) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32232 mod 509.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 322 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3221=322
2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 357 mod 509
4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 199 mod 509
8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 408 mod 509
16: 32216=3228+8=3228⋅3228 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 21 mod 509
32: 32232=32216+16=32216⋅32216 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 271195 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 195 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 195 an und zerlegen 195 in eine Summer von 2er-Potenzen:
195 = 128+64+2+1
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 282 mod 491
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 473 mod 491
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 324 mod 491
16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 393 mod 491
32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 275 mod 491
64: 27164=27132+32=27132⋅27132 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 11 mod 491
128: 271128=27164+64=27164⋅27164 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 491
271195
= 271128+64+2+1
= 271128⋅27164⋅2712⋅2711
≡ 121 ⋅ 11 ⋅ 282 ⋅ 271 mod 491
≡ 1331 ⋅ 282 ⋅ 271 mod 491 ≡ 349 ⋅ 282 ⋅ 271 mod 491
≡ 98418 ⋅ 271 mod 491 ≡ 218 ⋅ 271 mod 491
≡ 59078 mod 491 ≡ 158 mod 491
Es gilt also: 271195 ≡ 158 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37
| =>79 | = 2⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 79-2⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37) = 15⋅79 -32⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37
oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅79 = -32⋅37
-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37
-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1
(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1
47⋅37 = 22⋅79 + 1
Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1
Somit 47⋅37 = 1 mod 79
47 ist also das Inverse von 37 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
