Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14998 - 8999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14998 - 8999) mod 3 ≡ (14998 mod 3 - 8999 mod 3) mod 3.

14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 15000-2 = 3 ⋅ 5000 -2 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 1.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(14998 - 8999) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 64) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 64) mod 4 ≡ (41 mod 4 ⋅ 64 mod 4) mod 4.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.

64 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 16 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 64) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 96632 mod 967.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 966 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 9661=966

2: 9662=9661+1=9661⋅9661 ≡ 966⋅966=933156 ≡ 1 mod 967

4: 9664=9662+2=9662⋅9662 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 967

8: 9668=9664+4=9664⋅9664 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 967

16: 96616=9668+8=9668⋅9668 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 967

32: 96632=96616+16=96616⋅96616 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 544188 mod 593.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

1: 5441=544

2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 29 mod 593

4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 29⋅29=841 ≡ 248 mod 593

8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 425 mod 593

16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 353 mod 593

32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 79 mod 593

64: 54464=54432+32=54432⋅54432 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 311 mod 593

128: 544128=54464+64=54464⋅54464 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 62 mod 593

544188

= 544128+32+16+8+4

= 544128⋅54432⋅54416⋅5448⋅5444

62 ⋅ 79 ⋅ 353 ⋅ 425 ⋅ 248 mod 593
4898 ⋅ 353 ⋅ 425 ⋅ 248 mod 593 ≡ 154 ⋅ 353 ⋅ 425 ⋅ 248 mod 593
54362 ⋅ 425 ⋅ 248 mod 593 ≡ 399 ⋅ 425 ⋅ 248 mod 593
169575 ⋅ 248 mod 593 ≡ 570 ⋅ 248 mod 593
141360 mod 593 ≡ 226 mod 593

Es gilt also: 544188 ≡ 226 mod 593

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67 = 1⋅44 + 23
=>44 = 1⋅23 + 21
=>23 = 1⋅21 + 2
=>21 = 10⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21)
= -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23)
= 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44)
= 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44)
= -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.