Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1800 - 2996) mod 6 ≡ (1800 mod 6 - 2996 mod 6) mod 6.

1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 6 ⋅ 300 +0.

2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996 = 3000-4 = 6 ⋅ 500 -4 = 6 ⋅ 500 - 6 + 2.

Somit gilt:

(1800 - 2996) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 61) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 61 mod 10) mod 10.

88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.

61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 61) mod 10 ≡ (8 ⋅ 1) mod 10 ≡ 8 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 255¹=255

2: 255²=255¹⁺¹=255¹⋅255¹ ≡ 255⋅255=65025 ≡ 47 mod 613

4: 255⁴=255²⁺²=255²⋅255² ≡ 47⋅47=2209 ≡ 370 mod 613

8: 255⁸=255⁴⁺⁴=255⁴⋅255⁴ ≡ 370⋅370=136900 ≡ 201 mod 613

16: 255¹⁶=255⁸⁺⁸=255⁸⋅255⁸ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 556 mod 613

32: 255³²=255¹⁶⁺¹⁶=255¹⁶⋅255¹⁶ ≡ 556⋅556=309136 ≡ 184 mod 613

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

327²⁴⁴

= 327^{128+64+32+16+4}

= 327¹²⁸⋅327⁶⁴⋅327³²⋅327¹⁶⋅327⁴

≡ 146 ⋅ 51 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 97 mod 491
≡ 7446 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 97 mod 491 ≡ 81 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 97 mod 491
≡ 23409 ⋅ 17 ⋅ 97 mod 491 ≡ 332 ⋅ 17 ⋅ 97 mod 491
≡ 5644 ⋅ 97 mod 491 ≡ 243 ⋅ 97 mod 491
≡ 23571 mod 491 ≡ 3 mod 491

Es gilt also: 327²⁴⁴ ≡ 3 mod 491

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89