Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1198 + 3001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1198 + 3001) mod 3 ≡ (1198 mod 3 + 3001 mod 3) mod 3.
1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1200
3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001
= 3000
Somit gilt:
(1198 + 3001) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 69) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 69) mod 5 ≡ (30 mod 5 ⋅ 69 mod 5) mod 5.
30 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 6 ⋅ 5 + 0 ist.
69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 69) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 58016 mod 587.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 580 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5801=580
2: 5802=5801+1=5801⋅5801 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 49 mod 587
4: 5804=5802+2=5802⋅5802 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 53 mod 587
8: 5808=5804+4=5804⋅5804 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 461 mod 587
16: 58016=5808+8=5808⋅5808 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 27 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 190101 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 101 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 101 an und zerlegen 101 in eine Summer von 2er-Potenzen:
101 = 64+32+4+1
1: 1901=190
2: 1902=1901+1=1901⋅1901 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 24 mod 311
4: 1904=1902+2=1902⋅1902 ≡ 24⋅24=576 ≡ 265 mod 311
8: 1908=1904+4=1904⋅1904 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 250 mod 311
16: 19016=1908+8=1908⋅1908 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 300 mod 311
32: 19032=19016+16=19016⋅19016 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 121 mod 311
64: 19064=19032+32=19032⋅19032 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 24 mod 311
190101
= 19064+32+4+1
= 19064⋅19032⋅1904⋅1901
≡ 24 ⋅ 121 ⋅ 265 ⋅ 190 mod 311
≡ 2904 ⋅ 265 ⋅ 190 mod 311 ≡ 105 ⋅ 265 ⋅ 190 mod 311
≡ 27825 ⋅ 190 mod 311 ≡ 146 ⋅ 190 mod 311
≡ 27740 mod 311 ≡ 61 mod 311
Es gilt also: 190101 ≡ 61 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71
| =>79 | = 1⋅71 + 8 |
| =>71 | = 8⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 71-8⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1) |
| 8= 79-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71
oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅79 = -10⋅71
-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71
-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1
(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1
69⋅71 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1
Somit 69⋅71 = 1 mod 79
69 ist also das Inverse von 71 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
