Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 + 2999) mod 3 ≡ (1200 mod 3 + 2999 mod 3) mod 3.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(1200 + 2999) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 65) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 65 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

65 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 16 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 65) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 250¹=250

2: 250²=250¹⁺¹=250¹⋅250¹ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 183 mod 617

4: 250⁴=250²⁺²=250²⋅250² ≡ 183⋅183=33489 ≡ 171 mod 617

8: 250⁸=250⁴⁺⁴=250⁴⋅250⁴ ≡ 171⋅171=29241 ≡ 242 mod 617

16: 250¹⁶=250⁸⁺⁸=250⁸⋅250⁸ ≡ 242⋅242=58564 ≡ 566 mod 617

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

527²¹⁵

= 527^{128+64+16+4+2+1}

= 527¹²⁸⋅527⁶⁴⋅527¹⁶⋅527⁴⋅527²⋅527¹

≡ 191 ⋅ 320 ⋅ 532 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571
≡ 61120 ⋅ 532 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571 ≡ 23 ⋅ 532 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571
≡ 12236 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571 ≡ 245 ⋅ 52 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571
≡ 12740 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571 ≡ 178 ⋅ 223 ⋅ 527 mod 571
≡ 39694 ⋅ 527 mod 571 ≡ 295 ⋅ 527 mod 571
≡ 155465 mod 571 ≡ 153 mod 571

Es gilt also: 527²¹⁵ ≡ 153 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87

=>97	= 1⋅87 + 10
=>87	= 8⋅10 + 7
=>10	= 1⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 10-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1)
7= 87-8⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10) = -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10) = 3⋅87 -26⋅ 10 (=1)
10= 97-1⋅87	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87) = 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87) = -26⋅97 +29⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87

oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +26⋅97 = +29⋅87

Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1

Somit 29⋅87 = 1 mod 97

29 ist also das Inverse von 87 mod 97