Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(216 + 3504) mod 7 ≡ (216 mod 7 + 3504 mod 7) mod 7.

216 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 216 = 210+6 = 7 ⋅ 30 +6.

3504 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3504 = 3500+4 = 7 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(216 + 3504) mod 7 ≡ (6 + 4) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 39) mod 7 ≡ (95 mod 7 ⋅ 39 mod 7) mod 7.

95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.

39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 39) mod 7 ≡ (4 ⋅ 4) mod 7 ≡ 16 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 641¹=641

2: 641²=641¹⁺¹=641¹⋅641¹ ≡ 641⋅641=410881 ≡ 235 mod 769

4: 641⁴=641²⁺²=641²⋅641² ≡ 235⋅235=55225 ≡ 626 mod 769

8: 641⁸=641⁴⁺⁴=641⁴⋅641⁴ ≡ 626⋅626=391876 ≡ 455 mod 769

16: 641¹⁶=641⁸⁺⁸=641⁸⋅641⁸ ≡ 455⋅455=207025 ≡ 164 mod 769

32: 641³²=641¹⁶⁺¹⁶=641¹⁶⋅641¹⁶ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 750 mod 769

64: 641⁶⁴=641³²⁺³²=641³²⋅641³² ≡ 750⋅750=562500 ≡ 361 mod 769

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:

135 = 128+4+2+1

198¹³⁵

= 198^128+4+2+1

= 198¹²⁸⋅198⁴⋅198²⋅198¹

≡ 162 ⋅ 414 ⋅ 82 ⋅ 198 mod 631
≡ 67068 ⋅ 82 ⋅ 198 mod 631 ≡ 182 ⋅ 82 ⋅ 198 mod 631
≡ 14924 ⋅ 198 mod 631 ≡ 411 ⋅ 198 mod 631
≡ 81378 mod 631 ≡ 610 mod 631

Es gilt also: 198¹³⁵ ≡ 610 mod 631

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59

=>79	= 1⋅59 + 20
=>59	= 2⋅20 + 19
=>20	= 1⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 59-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20) = 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1)
20= 79-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59) = -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59

oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅79 = -4⋅59

-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59

-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1

(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1

75⋅59 = 56⋅79 + 1

Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1

Somit 75⋅59 = 1 mod 79

75 ist also das Inverse von 59 mod 79