Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7998 + 198) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7998 + 198) mod 4 ≡ (7998 mod 4 + 198 mod 4) mod 4.

7998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7998 = 7000+998 = 4 ⋅ 1750 +998.

198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 200-2 = 4 ⋅ 50 -2 = 4 ⋅ 50 - 4 + 2.

Somit gilt:

(7998 + 198) mod 4 ≡ (2 + 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 80) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 80) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 80) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7398 mod 769.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 739 -> x
2. mod(x²,769) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7391=739

2: 7392=7391+1=7391⋅7391 ≡ 739⋅739=546121 ≡ 131 mod 769

4: 7394=7392+2=7392⋅7392 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 243 mod 769

8: 7398=7394+4=7394⋅7394 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 605 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60078 mod 643.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:

78 = 64+8+4+2

1: 6001=600

2: 6002=6001+1=6001⋅6001 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 563 mod 643

4: 6004=6002+2=6002⋅6002 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 613 mod 643

8: 6008=6004+4=6004⋅6004 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 257 mod 643

16: 60016=6008+8=6008⋅6008 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 463 mod 643

32: 60032=60016+16=60016⋅60016 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 250 mod 643

64: 60064=60032+32=60032⋅60032 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 129 mod 643

60078

= 60064+8+4+2

= 60064⋅6008⋅6004⋅6002

129 ⋅ 257 ⋅ 613 ⋅ 563 mod 643
33153 ⋅ 613 ⋅ 563 mod 643 ≡ 360 ⋅ 613 ⋅ 563 mod 643
220680 ⋅ 563 mod 643 ≡ 131 ⋅ 563 mod 643
73753 mod 643 ≡ 451 mod 643

Es gilt also: 60078 ≡ 451 mod 643

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40

=>71 = 1⋅40 + 31
=>40 = 1⋅31 + 9
=>31 = 3⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 31-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9)
= -2⋅31 +7⋅ 9 (=1)
9= 40-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31)
= 7⋅40 -9⋅ 31 (=1)
31= 71-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40)
= 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40)
= -9⋅71 +16⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40

oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅71 = +16⋅40

Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1

Somit 16⋅40 = 1 mod 71

16 ist also das Inverse von 40 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.