Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (119 + 11996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(119 + 11996) mod 4 ≡ (119 mod 4 + 11996 mod 4) mod 4.
119 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
11996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996
= 11000
Somit gilt:
(119 + 11996) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 92) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 92) mod 6 ≡ (24 mod 6 ⋅ 92 mod 6) mod 6.
24 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 4 ⋅ 6 + 0 ist.
92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 92) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51164 mod 853.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 511 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5111=511
2: 5112=5111+1=5111⋅5111 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 103 mod 853
4: 5114=5112+2=5112⋅5112 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 373 mod 853
8: 5118=5114+4=5114⋅5114 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 90 mod 853
16: 51116=5118+8=5118⋅5118 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 423 mod 853
32: 51132=51116+16=51116⋅51116 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 652 mod 853
64: 51164=51132+32=51132⋅51132 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 310 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 326194 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:
194 = 128+64+2
1: 3261=326
2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 121 mod 337
4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 150 mod 337
8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 258 mod 337
16: 32616=3268+8=3268⋅3268 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 175 mod 337
32: 32632=32616+16=32616⋅32616 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 295 mod 337
64: 32664=32632+32=32632⋅32632 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 79 mod 337
128: 326128=32664+64=32664⋅32664 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 175 mod 337
326194
= 326128+64+2
= 326128⋅32664⋅3262
≡ 175 ⋅ 79 ⋅ 121 mod 337
≡ 13825 ⋅ 121 mod 337 ≡ 8 ⋅ 121 mod 337
≡ 968 mod 337 ≡ 294 mod 337
Es gilt also: 326194 ≡ 294 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51
| =>89 | = 1⋅51 + 38 |
| =>51 | = 1⋅38 + 13 |
| =>38 | = 2⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 38-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 51-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38) = 3⋅51 -4⋅ 38 (=1) |
| 38= 89-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51) = -4⋅89 +7⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51
oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +4⋅89 = +7⋅51
Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1
Somit 7⋅51 = 1 mod 89
7 ist also das Inverse von 51 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
