Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31999 + 324) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31999 + 324) mod 8 ≡ (31999 mod 8 + 324 mod 8) mod 8.
31999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31999
= 31000
324 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 324
= 320
Somit gilt:
(31999 + 324) mod 8 ≡ (7 + 4) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 46) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 46) mod 8 ≡ (47 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.
47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.
46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 46) mod 8 ≡ (7 ⋅ 6) mod 8 ≡ 42 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23732 mod 337.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 227 mod 337
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 305 mod 337
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 13 mod 337
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 337
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 253 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38460 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:
60 = 32+16+8+4
1: 3841=384
2: 3842=3841+1=3841⋅3841 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 382 mod 487
4: 3844=3842+2=3842⋅3842 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 311 mod 487
8: 3848=3844+4=3844⋅3844 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 295 mod 487
16: 38416=3848+8=3848⋅3848 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 339 mod 487
32: 38432=38416+16=38416⋅38416 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 476 mod 487
38460
= 38432+16+8+4
= 38432⋅38416⋅3848⋅3844
≡ 476 ⋅ 339 ⋅ 295 ⋅ 311 mod 487
≡ 161364 ⋅ 295 ⋅ 311 mod 487 ≡ 167 ⋅ 295 ⋅ 311 mod 487
≡ 49265 ⋅ 311 mod 487 ≡ 78 ⋅ 311 mod 487
≡ 24258 mod 487 ≡ 395 mod 487
Es gilt also: 38460 ≡ 395 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20
| =>67 | = 3⋅20 + 7 |
| =>20 | = 2⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 20-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20) = 3⋅67 -10⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -10⋅20
-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20
-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1
(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1
57⋅20 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1
Somit 57⋅20 = 1 mod 67
57 ist also das Inverse von 20 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
