Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1802 + 246) mod 6 ≡ (1802 mod 6 + 246 mod 6) mod 6.

1802 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802 = 1800+2 = 6 ⋅ 300 +2.

246 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 6 ⋅ 40 +6.

Somit gilt:

(1802 + 246) mod 6 ≡ (2 + 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 81) mod 11 ≡ (74 mod 11 ⋅ 81 mod 11) mod 11.

74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 81) mod 11 ≡ (8 ⋅ 4) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 555¹=555

2: 555²=555¹⁺¹=555¹⋅555¹ ≡ 555⋅555=308025 ≡ 206 mod 953

4: 555⁴=555²⁺²=555²⋅555² ≡ 206⋅206=42436 ≡ 504 mod 953

8: 555⁸=555⁴⁺⁴=555⁴⋅555⁴ ≡ 504⋅504=254016 ≡ 518 mod 953

16: 555¹⁶=555⁸⁺⁸=555⁸⋅555⁸ ≡ 518⋅518=268324 ≡ 531 mod 953

32: 555³²=555¹⁶⁺¹⁶=555¹⁶⋅555¹⁶ ≡ 531⋅531=281961 ≡ 826 mod 953

64: 555⁶⁴=555³²⁺³²=555³²⋅555³² ≡ 826⋅826=682276 ≡ 881 mod 953

128: 555¹²⁸=555⁶⁴⁺⁶⁴=555⁶⁴⋅555⁶⁴ ≡ 881⋅881=776161 ≡ 419 mod 953

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:

193 = 128+64+1

745¹⁹³

= 745^128+64+1

= 745¹²⁸⋅745⁶⁴⋅745¹

≡ 155 ⋅ 841 ⋅ 745 mod 953
≡ 130355 ⋅ 745 mod 953 ≡ 747 ⋅ 745 mod 953
≡ 556515 mod 953 ≡ 916 mod 953

Es gilt also: 745¹⁹³ ≡ 916 mod 953

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24

=>61	= 2⋅24 + 13
=>24	= 1⋅13 + 11
=>13	= 1⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 24-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13) = -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24) = 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +28⋅24

Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1

Somit 28⋅24 = 1 mod 61

28 ist also das Inverse von 24 mod 61