Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1398 + 70) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1398 + 70) mod 7 ≡ (1398 mod 7 + 70 mod 7) mod 7.
1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398
= 1400
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
Somit gilt:
(1398 + 70) mod 7 ≡ (5 + 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 77) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 77) mod 11 ≡ (79 mod 11 ⋅ 77 mod 11) mod 11.
79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.
77 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 7 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 77) mod 11 ≡ (2 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51916 mod 601.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 519 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5191=519
2: 5192=5191+1=5191⋅5191 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 113 mod 601
4: 5194=5192+2=5192⋅5192 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 148 mod 601
8: 5198=5194+4=5194⋅5194 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 268 mod 601
16: 51916=5198+8=5198⋅5198 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 305 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 572254 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:
254 = 128+64+32+16+8+4+2
1: 5721=572
2: 5722=5721+1=5721⋅5721 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 426 mod 821
4: 5724=5722+2=5722⋅5722 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 35 mod 821
8: 5728=5724+4=5724⋅5724 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 404 mod 821
16: 57216=5728+8=5728⋅5728 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 658 mod 821
32: 57232=57216+16=57216⋅57216 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 297 mod 821
64: 57264=57232+32=57232⋅57232 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 362 mod 821
128: 572128=57264+64=57264⋅57264 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 505 mod 821
572254
= 572128+64+32+16+8+4+2
= 572128⋅57264⋅57232⋅57216⋅5728⋅5724⋅5722
≡ 505 ⋅ 362 ⋅ 297 ⋅ 658 ⋅ 404 ⋅ 35 ⋅ 426 mod 821
≡ 182810 ⋅ 297 ⋅ 658 ⋅ 404 ⋅ 35 ⋅ 426 mod 821 ≡ 548 ⋅ 297 ⋅ 658 ⋅ 404 ⋅ 35 ⋅ 426 mod 821
≡ 162756 ⋅ 658 ⋅ 404 ⋅ 35 ⋅ 426 mod 821 ≡ 198 ⋅ 658 ⋅ 404 ⋅ 35 ⋅ 426 mod 821
≡ 130284 ⋅ 404 ⋅ 35 ⋅ 426 mod 821 ≡ 566 ⋅ 404 ⋅ 35 ⋅ 426 mod 821
≡ 228664 ⋅ 35 ⋅ 426 mod 821 ≡ 426 ⋅ 35 ⋅ 426 mod 821
≡ 14910 ⋅ 426 mod 821 ≡ 132 ⋅ 426 mod 821
≡ 56232 mod 821 ≡ 404 mod 821
Es gilt also: 572254 ≡ 404 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22
| =>59 | = 2⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22) = 3⋅59 -8⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -8⋅22
-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22
-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1
(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1
51⋅22 = 19⋅59 + 1
Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1
Somit 51⋅22 = 1 mod 59
51 ist also das Inverse von 22 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
