Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (300 - 1202) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(300 - 1202) mod 6 ≡ (300 mod 6 - 1202 mod 6) mod 6.
300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
1202 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202
= 1200
Somit gilt:
(300 - 1202) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 79) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 79) mod 6 ≡ (18 mod 6 ⋅ 79 mod 6) mod 6.
18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.
79 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 13 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 79) mod 6 ≡ (0 ⋅ 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66064 mod 757.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 660 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6601=660
2: 6602=6601+1=6601⋅6601 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 325 mod 757
4: 6604=6602+2=6602⋅6602 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 402 mod 757
8: 6608=6604+4=6604⋅6604 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 363 mod 757
16: 66016=6608+8=6608⋅6608 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 51 mod 757
32: 66032=66016+16=66016⋅66016 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 330 mod 757
64: 66064=66032+32=66032⋅66032 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 649 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34465 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 51 mod 577
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 293 mod 577
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 453 mod 577
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 374 mod 577
32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 242 mod 577
64: 34464=34432+32=34432⋅34432 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 287 mod 577
34465
= 34464+1
= 34464⋅3441
≡ 287 ⋅ 344 mod 577
≡ 98728 mod 577 ≡ 61 mod 577
Es gilt also: 34465 ≡ 61 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43
| =>59 | = 1⋅43 + 16 |
| =>43 | = 2⋅16 + 11 |
| =>16 | = 1⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 16-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1) |
| 11= 43-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1) |
| 16= 59-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43
oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅59 = +11⋅43
Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1
Somit 11⋅43 = 1 mod 59
11 ist also das Inverse von 43 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
