Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40000 - 808) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40000 - 808) mod 8 ≡ (40000 mod 8 - 808 mod 8) mod 8.
40000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40000
= 40000
808 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 808
= 800
Somit gilt:
(40000 - 808) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 98) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 98) mod 6 ≡ (31 mod 6 ⋅ 98 mod 6) mod 6.
31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.
98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 98) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32916 mod 829.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 471 mod 829
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 498 mod 829
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 133 mod 829
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 280 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8665 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 861=86
2: 862=861+1=861⋅861 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 32 mod 263
4: 864=862+2=862⋅862 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 235 mod 263
8: 868=864+4=864⋅864 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 258 mod 263
16: 8616=868+8=868⋅868 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 25 mod 263
32: 8632=8616+16=8616⋅8616 ≡ 25⋅25=625 ≡ 99 mod 263
64: 8664=8632+32=8632⋅8632 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 70 mod 263
8665
= 8664+1
= 8664⋅861
≡ 70 ⋅ 86 mod 263
≡ 6020 mod 263 ≡ 234 mod 263
Es gilt also: 8665 ≡ 234 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32
| =>67 | = 2⋅32 + 3 |
| =>32 | = 10⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 32-10⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1) |
| 3= 67-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32) = 11⋅67 -23⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -23⋅32
-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32
-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1
(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1
44⋅32 = 21⋅67 + 1
Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1
Somit 44⋅32 = 1 mod 67
44 ist also das Inverse von 32 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
