Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 + 63) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 + 63) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 63 mod 3) mod 3.
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 60
Somit gilt:
(1500 + 63) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 16) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 16) mod 4 ≡ (67 mod 4 ⋅ 16 mod 4) mod 4.
67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.
16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 16) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15416 mod 347.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 154 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1541=154
2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 120 mod 347
4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 173 mod 347
8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 87 mod 347
16: 15416=1548+8=1548⋅1548 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 282 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44064 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 4401=440
2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 505 mod 613
4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 17 mod 613
8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 613
16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 153 mod 613
32: 44032=44016+16=44016⋅44016 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 115 mod 613
64: 44064=44032+32=44032⋅44032 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 352 mod 613
44064
= 44064
= 44064
≡ 352 mod 613
Es gilt also: 44064 ≡ 352 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 78
| =>83 | = 1⋅78 + 5 |
| =>78 | = 15⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 78-15⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(78 -15⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅78 -30⋅ 5) = 2⋅78 -31⋅ 5 (=1) |
| 5= 83-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅78 -31⋅(83 -1⋅ 78)
= 2⋅78 -31⋅83 +31⋅ 78) = -31⋅83 +33⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,78)=1 = -31⋅83 +33⋅78
oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅83 = +33⋅78
Es gilt also: 33⋅78 = 31⋅83 +1
Somit 33⋅78 = 1 mod 83
33 ist also das Inverse von 78 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
