Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4003 + 3998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4003 + 3998) mod 4 ≡ (4003 mod 4 + 3998 mod 4) mod 4.
4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003
= 4000
3998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3998
= 3000
Somit gilt:
(4003 + 3998) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 49) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 49) mod 5 ≡ (61 mod 5 ⋅ 49 mod 5) mod 5.
61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.
49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 9 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 49) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30632 mod 739.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3061=306
2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 522 mod 739
4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 532 mod 739
8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 726 mod 739
16: 30616=3068+8=3068⋅3068 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 169 mod 739
32: 30632=30616+16=30616⋅30616 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 479 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 253102 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 217 mod 443
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 131 mod 443
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 327 mod 443
16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 166 mod 443
32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 90 mod 443
64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 126 mod 443
253102
= 25364+32+4+2
= 25364⋅25332⋅2534⋅2532
≡ 126 ⋅ 90 ⋅ 131 ⋅ 217 mod 443
≡ 11340 ⋅ 131 ⋅ 217 mod 443 ≡ 265 ⋅ 131 ⋅ 217 mod 443
≡ 34715 ⋅ 217 mod 443 ≡ 161 ⋅ 217 mod 443
≡ 34937 mod 443 ≡ 383 mod 443
Es gilt also: 253102 ≡ 383 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 69
| =>89 | = 1⋅69 + 20 |
| =>69 | = 3⋅20 + 9 |
| =>20 | = 2⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 20-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(20 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅20 +8⋅ 9) = -4⋅20 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 69-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅20 +9⋅(69 -3⋅ 20)
= -4⋅20 +9⋅69 -27⋅ 20) = 9⋅69 -31⋅ 20 (=1) |
| 20= 89-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅69 -31⋅(89 -1⋅ 69)
= 9⋅69 -31⋅89 +31⋅ 69) = -31⋅89 +40⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,69)=1 = -31⋅89 +40⋅69
oder wenn man -31⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅89 = +40⋅69
Es gilt also: 40⋅69 = 31⋅89 +1
Somit 40⋅69 = 1 mod 89
40 ist also das Inverse von 69 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
