Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1196 - 2000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1196 - 2000) mod 4 ≡ (1196 mod 4 - 2000 mod 4) mod 4.

1196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1100+96 = 4 ⋅ 275 +96.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(1196 - 2000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 91) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 91) mod 11 ≡ (51 mod 11 ⋅ 91 mod 11) mod 11.

51 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 44 + 7 = 4 ⋅ 11 + 7 ist.

91 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 8 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 91) mod 11 ≡ (7 ⋅ 3) mod 11 ≡ 21 mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15764 mod 283.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 157 -> x
2. mod(x²,283) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1571=157

2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 28 mod 283

4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 28⋅28=784 ≡ 218 mod 283

8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 263 mod 283

16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 117 mod 283

32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 105 mod 283

64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 271 mod 283

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 355133 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:

133 = 128+4+1

1: 3551=355

2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 213 mod 443

4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 183 mod 443

8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 264 mod 443

16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 145 mod 443

32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 204 mod 443

64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 417 mod 443

128: 355128=35564+64=35564⋅35564 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 233 mod 443

355133

= 355128+4+1

= 355128⋅3554⋅3551

233 ⋅ 183 ⋅ 355 mod 443
42639 ⋅ 355 mod 443 ≡ 111 ⋅ 355 mod 443
39405 mod 443 ≡ 421 mod 443

Es gilt also: 355133 ≡ 421 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53 = 1⋅35 + 18
=>35 = 1⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18)
= -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35)
= 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.