Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18005 + 5996) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18005 + 5996) mod 6 ≡ (18005 mod 6 + 5996 mod 6) mod 6.
18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005
= 18000
5996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5996
= 6000
Somit gilt:
(18005 + 5996) mod 6 ≡ (5 + 2) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 67) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 67) mod 4 ≡ (69 mod 4 ⋅ 67 mod 4) mod 4.
69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.
67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 67) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 641128 mod 659.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 641 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6411=641
2: 6412=6411+1=6411⋅6411 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 324 mod 659
4: 6414=6412+2=6412⋅6412 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 195 mod 659
8: 6418=6414+4=6414⋅6414 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 462 mod 659
16: 64116=6418+8=6418⋅6418 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 587 mod 659
32: 64132=64116+16=64116⋅64116 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 571 mod 659
64: 64164=64132+32=64132⋅64132 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 495 mod 659
128: 641128=64164+64=64164⋅64164 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 536 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 356214 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:
214 = 128+64+16+4+2
1: 3561=356
2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 20 mod 401
4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 401
8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 1 mod 401
16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401
32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401
64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401
128: 356128=35664+64=35664⋅35664 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401
356214
= 356128+64+16+4+2
= 356128⋅35664⋅35616⋅3564⋅3562
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 400 ⋅ 20 mod 401
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 400 ⋅ 20 mod 401
≡ 1 ⋅ 400 ⋅ 20 mod 401
≡ 400 ⋅ 20 mod 401
≡ 8000 mod 401 ≡ 381 mod 401
Es gilt also: 356214 ≡ 381 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46
| =>67 | = 1⋅46 + 21 |
| =>46 | = 2⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 46-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -16⋅46
-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46
-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1
(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1
51⋅46 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1
Somit 51⋅46 = 1 mod 67
51 ist also das Inverse von 46 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
