Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2996 - 1800) mod 6 ≡ (2996 mod 6 - 1800 mod 6) mod 6.

2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996 = 3000-4 = 6 ⋅ 500 -4 = 6 ⋅ 500 - 6 + 2.

1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 6 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(2996 - 1800) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 23) mod 3 ≡ (15 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.

15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 23) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 332¹=332

2: 332²=332¹⁺¹=332¹⋅332¹ ≡ 332⋅332=110224 ≡ 25 mod 337

4: 332⁴=332²⁺²=332²⋅332² ≡ 25⋅25=625 ≡ 288 mod 337

8: 332⁸=332⁴⁺⁴=332⁴⋅332⁴ ≡ 288⋅288=82944 ≡ 42 mod 337

16: 332¹⁶=332⁸⁺⁸=332⁸⋅332⁸ ≡ 42⋅42=1764 ≡ 79 mod 337

32: 332³²=332¹⁶⁺¹⁶=332¹⁶⋅332¹⁶ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 175 mod 337

64: 332⁶⁴=332³²⁺³²=332³²⋅332³² ≡ 175⋅175=30625 ≡ 295 mod 337

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

161⁸⁷

= 161^64+16+4+2+1

= 161⁶⁴⋅161¹⁶⋅161⁴⋅161²⋅161¹

≡ 197 ⋅ 218 ⋅ 106 ⋅ 68 ⋅ 161 mod 251
≡ 42946 ⋅ 106 ⋅ 68 ⋅ 161 mod 251 ≡ 25 ⋅ 106 ⋅ 68 ⋅ 161 mod 251
≡ 2650 ⋅ 68 ⋅ 161 mod 251 ≡ 140 ⋅ 68 ⋅ 161 mod 251
≡ 9520 ⋅ 161 mod 251 ≡ 233 ⋅ 161 mod 251
≡ 37513 mod 251 ≡ 114 mod 251

Es gilt also: 161⁸⁷ ≡ 114 mod 251

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59