Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2395 + 1597) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2395 + 1597) mod 8 ≡ (2395 mod 8 + 1597 mod 8) mod 8.
2395 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395
= 2400
1597 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597
= 1600
Somit gilt:
(2395 + 1597) mod 8 ≡ (3 + 5) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 63) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 63) mod 4 ≡ (41 mod 4 ⋅ 63 mod 4) mod 4.
41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.
63 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 15 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 63) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 689128 mod 751.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 689 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6891=689
2: 6892=6891+1=6891⋅6891 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 89 mod 751
4: 6894=6892+2=6892⋅6892 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 411 mod 751
8: 6898=6894+4=6894⋅6894 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 697 mod 751
16: 68916=6898+8=6898⋅6898 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 663 mod 751
32: 68932=68916+16=68916⋅68916 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 234 mod 751
64: 68964=68932+32=68932⋅68932 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 684 mod 751
128: 689128=68964+64=68964⋅68964 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 734 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21891 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 2181=218
2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 47 mod 241
4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 40 mod 241
8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 154 mod 241
16: 21816=2188+8=2188⋅2188 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 98 mod 241
32: 21832=21816+16=21816⋅21816 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
64: 21864=21832+32=21832⋅21832 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
21891
= 21864+16+8+2+1
= 21864⋅21816⋅2188⋅2182⋅2181
≡ 91 ⋅ 98 ⋅ 154 ⋅ 47 ⋅ 218 mod 241
≡ 8918 ⋅ 154 ⋅ 47 ⋅ 218 mod 241 ≡ 1 ⋅ 154 ⋅ 47 ⋅ 218 mod 241
≡ 154 ⋅ 47 ⋅ 218 mod 241
≡ 7238 ⋅ 218 mod 241 ≡ 8 ⋅ 218 mod 241
≡ 1744 mod 241 ≡ 57 mod 241
Es gilt also: 21891 ≡ 57 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 58
| =>79 | = 1⋅58 + 21 |
| =>58 | = 2⋅21 + 16 |
| =>21 | = 1⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 21-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(21 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅21 +3⋅ 16) = -3⋅21 +4⋅ 16 (=1) |
| 16= 58-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅21 +4⋅(58 -2⋅ 21)
= -3⋅21 +4⋅58 -8⋅ 21) = 4⋅58 -11⋅ 21 (=1) |
| 21= 79-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅58 -11⋅(79 -1⋅ 58)
= 4⋅58 -11⋅79 +11⋅ 58) = -11⋅79 +15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,58)=1 = -11⋅79 +15⋅58
oder wenn man -11⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅79 = +15⋅58
Es gilt also: 15⋅58 = 11⋅79 +1
Somit 15⋅58 = 1 mod 79
15 ist also das Inverse von 58 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
