Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1394 - 134) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1394 - 134) mod 7 ≡ (1394 mod 7 - 134 mod 7) mod 7.
1394 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1394
= 1400
134 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 134
= 140
Somit gilt:
(1394 - 134) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 25) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 25) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 25 mod 11) mod 11.
44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.
25 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 22 + 3 = 2 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 25) mod 11 ≡ (0 ⋅ 3) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7148 mod 977.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 714 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7141=714
2: 7142=7141+1=7141⋅7141 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 779 mod 977
4: 7144=7142+2=7142⋅7142 ≡ 779⋅779=606841 ≡ 124 mod 977
8: 7148=7144+4=7144⋅7144 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 721 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 961146 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 9611=961
2: 9612=9611+1=9611⋅9611 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 36 mod 967
4: 9614=9612+2=9612⋅9612 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 329 mod 967
8: 9618=9614+4=9614⋅9614 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 904 mod 967
16: 96116=9618+8=9618⋅9618 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 101 mod 967
32: 96132=96116+16=96116⋅96116 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 531 mod 967
64: 96164=96132+32=96132⋅96132 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 564 mod 967
128: 961128=96164+64=96164⋅96164 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 920 mod 967
961146
= 961128+16+2
= 961128⋅96116⋅9612
≡ 920 ⋅ 101 ⋅ 36 mod 967
≡ 92920 ⋅ 36 mod 967 ≡ 88 ⋅ 36 mod 967
≡ 3168 mod 967 ≡ 267 mod 967
Es gilt also: 961146 ≡ 267 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
