Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16000 + 12000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16000 + 12000) mod 4 ≡ (16000 mod 4 + 12000 mod 4) mod 4.
16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(16000 + 12000) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 19) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 19) mod 5 ≡ (73 mod 5 ⋅ 19 mod 5) mod 5.
73 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 14 ⋅ 5 + 3 ist.
19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 19) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 226128 mod 647.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 226 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 610 mod 647
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 75 mod 647
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 449 mod 647
16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 384 mod 647
32: 22632=22616+16=22616⋅22616 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 587 mod 647
64: 22664=22632+32=22632⋅22632 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 365 mod 647
128: 226128=22664+64=22664⋅22664 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 590 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 658130 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 6581=658
2: 6582=6581+1=6581⋅6581 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 388 mod 751
4: 6584=6582+2=6582⋅6582 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 344 mod 751
8: 6588=6584+4=6584⋅6584 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 429 mod 751
16: 65816=6588+8=6588⋅6588 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 46 mod 751
32: 65832=65816+16=65816⋅65816 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 614 mod 751
64: 65864=65832+32=65832⋅65832 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 745 mod 751
128: 658128=65864+64=65864⋅65864 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 36 mod 751
658130
= 658128+2
= 658128⋅6582
≡ 36 ⋅ 388 mod 751
≡ 13968 mod 751 ≡ 450 mod 751
Es gilt also: 658130 ≡ 450 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42
| =>101 | = 2⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 101-2⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42) = 5⋅101 -12⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -12⋅42
-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42
-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1
(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1
89⋅42 = 37⋅101 + 1
Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1
Somit 89⋅42 = 1 mod 101
89 ist also das Inverse von 42 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
