Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(181 - 96) mod 9 ≡ (181 mod 9 - 96 mod 9) mod 9.

181 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 9 ⋅ 20 +1.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 9 ⋅ 10 +6.

Somit gilt:

(181 - 96) mod 9 ≡ (1 - 6) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 63) mod 8 ≡ (51 mod 8 ⋅ 63 mod 8) mod 8.

51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.

63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 63) mod 8 ≡ (3 ⋅ 7) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 382¹=382

2: 382²=382¹⁺¹=382¹⋅382¹ ≡ 382⋅382=145924 ≡ 216 mod 499

4: 382⁴=382²⁺²=382²⋅382² ≡ 216⋅216=46656 ≡ 249 mod 499

8: 382⁸=382⁴⁺⁴=382⁴⋅382⁴ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 125 mod 499

16: 382¹⁶=382⁸⁺⁸=382⁸⋅382⁸ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 156 mod 499

32: 382³²=382¹⁶⁺¹⁶=382¹⁶⋅382¹⁶ ≡ 156⋅156=24336 ≡ 384 mod 499

64: 382⁶⁴=382³²⁺³²=382³²⋅382³² ≡ 384⋅384=147456 ≡ 251 mod 499

128: 382¹²⁸=382⁶⁴⁺⁶⁴=382⁶⁴⋅382⁶⁴ ≡ 251⋅251=63001 ≡ 127 mod 499

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:

184 = 128+32+16+8

458¹⁸⁴

= 458^128+32+16+8

= 458¹²⁸⋅458³²⋅458¹⁶⋅458⁸

≡ 437 ⋅ 349 ⋅ 753 ⋅ 493 mod 977
≡ 152513 ⋅ 753 ⋅ 493 mod 977 ≡ 101 ⋅ 753 ⋅ 493 mod 977
≡ 76053 ⋅ 493 mod 977 ≡ 824 ⋅ 493 mod 977
≡ 406232 mod 977 ≡ 777 mod 977

Es gilt also: 458¹⁸⁴ ≡ 777 mod 977

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65

=>101	= 1⋅65 + 36
=>65	= 1⋅36 + 29
=>36	= 1⋅29 + 7
=>29	= 4⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-4⋅7
7= 36-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29) = 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1)
29= 65-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36) = -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36) = 5⋅65 -9⋅ 36 (=1)
36= 101-1⋅65	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65) = 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65) = -9⋅101 +14⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +14⋅65

Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1

Somit 14⋅65 = 1 mod 101

14 ist also das Inverse von 65 mod 101