Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (348 - 217) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(348 - 217) mod 7 ≡ (348 mod 7 - 217 mod 7) mod 7.
348 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 348
= 350
217 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 217
= 210
Somit gilt:
(348 - 217) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 45) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 45) mod 6 ≡ (95 mod 6 ⋅ 45 mod 6) mod 6.
95 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 15 ⋅ 6 + 5 ist.
45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 45) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24032 mod 419.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2401=240
2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 197 mod 419
4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 261 mod 419
8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 243 mod 419
16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 389 mod 419
32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 62 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11566 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 1151=115
2: 1152=1151+1=1151⋅1151 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 40 mod 293
4: 1154=1152+2=1152⋅1152 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 135 mod 293
8: 1158=1154+4=1154⋅1154 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 59 mod 293
16: 11516=1158+8=1158⋅1158 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 258 mod 293
32: 11532=11516+16=11516⋅11516 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 53 mod 293
64: 11564=11532+32=11532⋅11532 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 172 mod 293
11566
= 11564+2
= 11564⋅1152
≡ 172 ⋅ 40 mod 293
≡ 6880 mod 293 ≡ 141 mod 293
Es gilt also: 11566 ≡ 141 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65
| =>101 | = 1⋅65 + 36 |
| =>65 | = 1⋅36 + 29 |
| =>36 | = 1⋅29 + 7 |
| =>29 | = 4⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-4⋅7 | |||
| 7= 36-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 65-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36) = 5⋅65 -9⋅ 36 (=1) |
| 36= 101-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65) = -9⋅101 +14⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +14⋅65
Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1
Somit 14⋅65 = 1 mod 101
14 ist also das Inverse von 65 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
