Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (174 + 302) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(174 + 302) mod 6 ≡ (174 mod 6 + 302 mod 6) mod 6.
174 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 174
= 180
302 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
Somit gilt:
(174 + 302) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 60) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 60) mod 5 ≡ (54 mod 5 ⋅ 60 mod 5) mod 5.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 60) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 171128 mod 277.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 171 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1711=171
2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 156 mod 277
4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 237 mod 277
8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 215 mod 277
16: 17116=1718+8=1718⋅1718 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 243 mod 277
32: 17132=17116+16=17116⋅17116 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 48 mod 277
64: 17164=17132+32=17132⋅17132 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 88 mod 277
128: 171128=17164+64=17164⋅17164 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 265 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 160184 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:
184 = 128+32+16+8
1: 1601=160
2: 1602=1601+1=1601⋅1601 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 276 mod 487
4: 1604=1602+2=1602⋅1602 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 204 mod 487
8: 1608=1604+4=1604⋅1604 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 221 mod 487
16: 16016=1608+8=1608⋅1608 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 141 mod 487
32: 16032=16016+16=16016⋅16016 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 401 mod 487
64: 16064=16032+32=16032⋅16032 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 91 mod 487
128: 160128=16064+64=16064⋅16064 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 2 mod 487
160184
= 160128+32+16+8
= 160128⋅16032⋅16016⋅1608
≡ 2 ⋅ 401 ⋅ 141 ⋅ 221 mod 487
≡ 802 ⋅ 141 ⋅ 221 mod 487 ≡ 315 ⋅ 141 ⋅ 221 mod 487
≡ 44415 ⋅ 221 mod 487 ≡ 98 ⋅ 221 mod 487
≡ 21658 mod 487 ≡ 230 mod 487
Es gilt also: 160184 ≡ 230 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32
| =>71 | = 2⋅32 + 7 |
| =>32 | = 4⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 32-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1) |
| 7= 71-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +20⋅32
Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1
Somit 20⋅32 = 1 mod 71
20 ist also das Inverse von 32 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
