Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (995 - 496) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(995 - 496) mod 5 ≡ (995 mod 5 - 496 mod 5) mod 5.
995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 995
= 900
496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 496
= 400
Somit gilt:
(995 - 496) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 28) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 28) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 28 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
28 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 4 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 28) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39716 mod 619.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 397 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3971=397
2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 383 mod 619
4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 605 mod 619
8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 196 mod 619
16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 38 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 162155 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:
155 = 128+16+8+2+1
1: 1621=162
2: 1622=1621+1=1621⋅1621 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 148 mod 233
4: 1624=1622+2=1622⋅1622 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 2 mod 233
8: 1628=1624+4=1624⋅1624 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 233
16: 16216=1628+8=1628⋅1628 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233
32: 16232=16216+16=16216⋅16216 ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233
64: 16264=16232+32=16232⋅16232 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233
128: 162128=16264+64=16264⋅16264 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233
162155
= 162128+16+8+2+1
= 162128⋅16216⋅1628⋅1622⋅1621
≡ 8 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 148 ⋅ 162 mod 233
≡ 128 ⋅ 4 ⋅ 148 ⋅ 162 mod 233
≡ 512 ⋅ 148 ⋅ 162 mod 233 ≡ 46 ⋅ 148 ⋅ 162 mod 233
≡ 6808 ⋅ 162 mod 233 ≡ 51 ⋅ 162 mod 233
≡ 8262 mod 233 ≡ 107 mod 233
Es gilt also: 162155 ≡ 107 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
