Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (202 - 16004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(202 - 16004) mod 4 ≡ (202 mod 4 - 16004 mod 4) mod 4.

202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 4 ⋅ 50 +2.

16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 4 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(202 - 16004) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 30) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 30) mod 9 ≡ (61 mod 9 ⋅ 30 mod 9) mod 9.

61 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 54 + 7 = 6 ⋅ 9 + 7 ist.

30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 30) mod 9 ≡ (7 ⋅ 3) mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 446128 mod 523.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 446 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4461=446

2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 176 mod 523

4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 119 mod 523

8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 40 mod 523

16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 31 mod 523

32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 31⋅31=961 ≡ 438 mod 523

64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 426 mod 523

128: 446128=44664+64=44664⋅44664 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 518 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 783219 mod 919.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 7831=783

2: 7832=7831+1=7831⋅7831 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 116 mod 919

4: 7834=7832+2=7832⋅7832 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 590 mod 919

8: 7838=7834+4=7834⋅7834 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 718 mod 919

16: 78316=7838+8=7838⋅7838 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 884 mod 919

32: 78332=78316+16=78316⋅78316 ≡ 884⋅884=781456 ≡ 306 mod 919

64: 78364=78332+32=78332⋅78332 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 817 mod 919

128: 783128=78364+64=78364⋅78364 ≡ 817⋅817=667489 ≡ 295 mod 919

783219

= 783128+64+16+8+2+1

= 783128⋅78364⋅78316⋅7838⋅7832⋅7831

295 ⋅ 817 ⋅ 884 ⋅ 718 ⋅ 116 ⋅ 783 mod 919
241015 ⋅ 884 ⋅ 718 ⋅ 116 ⋅ 783 mod 919 ≡ 237 ⋅ 884 ⋅ 718 ⋅ 116 ⋅ 783 mod 919
209508 ⋅ 718 ⋅ 116 ⋅ 783 mod 919 ≡ 895 ⋅ 718 ⋅ 116 ⋅ 783 mod 919
642610 ⋅ 116 ⋅ 783 mod 919 ≡ 229 ⋅ 116 ⋅ 783 mod 919
26564 ⋅ 783 mod 919 ≡ 832 ⋅ 783 mod 919
651456 mod 919 ≡ 804 mod 919

Es gilt also: 783219 ≡ 804 mod 919

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71 = 1⋅42 + 29
=>42 = 1⋅29 + 13
=>29 = 2⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13)
= -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29)
= 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42)
= -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.