Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (995 + 150) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(995 + 150) mod 5 ≡ (995 mod 5 + 150 mod 5) mod 5.
995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 995
= 900
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(995 + 150) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 67) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 67) mod 5 ≡ (60 mod 5 ⋅ 67 mod 5) mod 5.
60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.
67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 67) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 402128 mod 691.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 402 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4021=402
2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 601 mod 691
4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 499 mod 691
8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 241 mod 691
16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 37 mod 691
32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 678 mod 691
64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 169 mod 691
128: 402128=40264+64=40264⋅40264 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 230 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 341178 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 3411=341
2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 175 mod 523
4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 291 mod 523
8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 478 mod 523
16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 456 mod 523
32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 305 mod 523
64: 34164=34132+32=34132⋅34132 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 454 mod 523
128: 341128=34164+64=34164⋅34164 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 54 mod 523
341178
= 341128+32+16+2
= 341128⋅34132⋅34116⋅3412
≡ 54 ⋅ 305 ⋅ 456 ⋅ 175 mod 523
≡ 16470 ⋅ 456 ⋅ 175 mod 523 ≡ 257 ⋅ 456 ⋅ 175 mod 523
≡ 117192 ⋅ 175 mod 523 ≡ 40 ⋅ 175 mod 523
≡ 7000 mod 523 ≡ 201 mod 523
Es gilt also: 341178 ≡ 201 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65
| =>101 | = 1⋅65 + 36 |
| =>65 | = 1⋅36 + 29 |
| =>36 | = 1⋅29 + 7 |
| =>29 | = 4⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-4⋅7 | |||
| 7= 36-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 65-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36) = 5⋅65 -9⋅ 36 (=1) |
| 36= 101-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65) = -9⋅101 +14⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +14⋅65
Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1
Somit 14⋅65 = 1 mod 101
14 ist also das Inverse von 65 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
