Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8004 + 82) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8004 + 82) mod 4 ≡ (8004 mod 4 + 82 mod 4) mod 4.
8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004
= 8000
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
Somit gilt:
(8004 + 82) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 89) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 89) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.
95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 89) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19816 mod 647.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 198 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 384 mod 647
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 587 mod 647
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 365 mod 647
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 590 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41271 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 4121=412
2: 4122=4121+1=4121⋅4121 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 197 mod 457
4: 4124=4122+2=4122⋅4122 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 421 mod 457
8: 4128=4124+4=4124⋅4124 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 382 mod 457
16: 41216=4128+8=4128⋅4128 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 141 mod 457
32: 41232=41216+16=41216⋅41216 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 230 mod 457
64: 41264=41232+32=41232⋅41232 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 345 mod 457
41271
= 41264+4+2+1
= 41264⋅4124⋅4122⋅4121
≡ 345 ⋅ 421 ⋅ 197 ⋅ 412 mod 457
≡ 145245 ⋅ 197 ⋅ 412 mod 457 ≡ 376 ⋅ 197 ⋅ 412 mod 457
≡ 74072 ⋅ 412 mod 457 ≡ 38 ⋅ 412 mod 457
≡ 15656 mod 457 ≡ 118 mod 457
Es gilt also: 41271 ≡ 118 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
