Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (907 + 1792) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(907 + 1792) mod 9 ≡ (907 mod 9 + 1792 mod 9) mod 9.

907 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 907 = 900+7 = 9 ⋅ 100 +7.

1792 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1792 = 1800-8 = 9 ⋅ 200 -8 = 9 ⋅ 200 - 9 + 1.

Somit gilt:

(907 + 1792) mod 9 ≡ (7 + 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 37) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 37) mod 8 ≡ (72 mod 8 ⋅ 37 mod 8) mod 8.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 37) mod 8 ≡ (0 ⋅ 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2958 mod 449.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 295 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2951=295

2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 368 mod 449

4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 275 mod 449

8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 193 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 173122 mod 313.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 1731=173

2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 194 mod 313

4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 76 mod 313

8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 142 mod 313

16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 132 mod 313

32: 17332=17316+16=17316⋅17316 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 209 mod 313

64: 17364=17332+32=17332⋅17332 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 174 mod 313

173122

= 17364+32+16+8+2

= 17364⋅17332⋅17316⋅1738⋅1732

174 ⋅ 209 ⋅ 132 ⋅ 142 ⋅ 194 mod 313
36366 ⋅ 132 ⋅ 142 ⋅ 194 mod 313 ≡ 58 ⋅ 132 ⋅ 142 ⋅ 194 mod 313
7656 ⋅ 142 ⋅ 194 mod 313 ≡ 144 ⋅ 142 ⋅ 194 mod 313
20448 ⋅ 194 mod 313 ≡ 103 ⋅ 194 mod 313
19982 mod 313 ≡ 263 mod 313

Es gilt also: 173122 ≡ 263 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22

=>59 = 2⋅22 + 15
=>22 = 1⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15)
= -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22)
= 3⋅59 -8⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -8⋅22

-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22

-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1

(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1

51⋅22 = 19⋅59 + 1

Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1

Somit 51⋅22 = 1 mod 59

51 ist also das Inverse von 22 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.