Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2394 - 3196) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2394 - 3196) mod 8 ≡ (2394 mod 8 - 3196 mod 8) mod 8.

2394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394 = 2400-6 = 8 ⋅ 300 -6 = 8 ⋅ 300 - 8 + 2.

3196 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3196 = 3200-4 = 8 ⋅ 400 -4 = 8 ⋅ 400 - 8 + 4.

Somit gilt:

(2394 - 3196) mod 8 ≡ (2 - 4) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 29) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 29) mod 3 ≡ (50 mod 3 ⋅ 29 mod 3) mod 3.

50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 9 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 29) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1648 mod 229.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 164 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1641=164

2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 103 mod 229

4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 75 mod 229

8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 473142 mod 523.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:

142 = 128+8+4+2

1: 4731=473

2: 4732=4731+1=4731⋅4731 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 408 mod 523

4: 4734=4732+2=4732⋅4732 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 150 mod 523

8: 4738=4734+4=4734⋅4734 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 11 mod 523

16: 47316=4738+8=4738⋅4738 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 523

32: 47332=47316+16=47316⋅47316 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 520 mod 523

64: 47364=47332+32=47332⋅47332 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 9 mod 523

128: 473128=47364+64=47364⋅47364 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 523

473142

= 473128+8+4+2

= 473128⋅4738⋅4734⋅4732

81 ⋅ 11 ⋅ 150 ⋅ 408 mod 523
891 ⋅ 150 ⋅ 408 mod 523 ≡ 368 ⋅ 150 ⋅ 408 mod 523
55200 ⋅ 408 mod 523 ≡ 285 ⋅ 408 mod 523
116280 mod 523 ≡ 174 mod 523

Es gilt also: 473142 ≡ 174 mod 523

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67 = 1⋅59 + 8
=>59 = 7⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8)
= 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59)
= 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59)
= -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.