Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5996 - 1803) mod 6 ≡ (5996 mod 6 - 1803 mod 6) mod 6.

5996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5996 = 6000-4 = 6 ⋅ 1000 -4 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 2.

1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803 = 1800+3 = 6 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(5996 - 1803) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 69) mod 10 ≡ (46 mod 10 ⋅ 69 mod 10) mod 10.

46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.

69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 69) mod 10 ≡ (6 ⋅ 9) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 311¹=311

2: 311²=311¹⁺¹=311¹⋅311¹ ≡ 311⋅311=96721 ≡ 560 mod 569

4: 311⁴=311²⁺²=311²⋅311² ≡ 560⋅560=313600 ≡ 81 mod 569

8: 311⁸=311⁴⁺⁴=311⁴⋅311⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 302 mod 569

16: 311¹⁶=311⁸⁺⁸=311⁸⋅311⁸ ≡ 302⋅302=91204 ≡ 164 mod 569

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

148¹⁸⁵

= 148^{128+32+16+8+1}

= 148¹²⁸⋅148³²⋅148¹⁶⋅148⁸⋅148¹

≡ 58 ⋅ 173 ⋅ 119 ⋅ 53 ⋅ 148 mod 269
≡ 10034 ⋅ 119 ⋅ 53 ⋅ 148 mod 269 ≡ 81 ⋅ 119 ⋅ 53 ⋅ 148 mod 269
≡ 9639 ⋅ 53 ⋅ 148 mod 269 ≡ 224 ⋅ 53 ⋅ 148 mod 269
≡ 11872 ⋅ 148 mod 269 ≡ 36 ⋅ 148 mod 269
≡ 5328 mod 269 ≡ 217 mod 269

Es gilt also: 148¹⁸⁵ ≡ 217 mod 269

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 86

=>89	= 1⋅86 + 3
=>86	= 28⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,86)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 86-28⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(86 -28⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅86 +28⋅ 3) = -1⋅86 +29⋅ 3 (=1)
3= 89-1⋅86	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅86 +29⋅(89 -1⋅ 86) = -1⋅86 +29⋅89 -29⋅ 86) = 29⋅89 -30⋅ 86 (=1)

Es gilt also: ggt(89,86)=1 = 29⋅89 -30⋅86

oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -29⋅89 = -30⋅86

-30⋅86 = -29⋅89 + 1 |+89⋅86

-30⋅86 + 89⋅86 = -29⋅89 + 89⋅86 + 1

(-30 + 89) ⋅ 86 = (-29 + 86) ⋅ 89 + 1

59⋅86 = 57⋅89 + 1

Es gilt also: 59⋅86 = 57⋅89 +1

Somit 59⋅86 = 1 mod 89

59 ist also das Inverse von 86 mod 89