Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(124 - 1998) mod 4 ≡ (124 mod 4 - 1998 mod 4) mod 4.

124 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124 = 120+4 = 4 ⋅ 30 +4.

1998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998 = 1900+98 = 4 ⋅ 475 +98.

Somit gilt:

(124 - 1998) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 50) mod 6 ≡ (78 mod 6 ⋅ 50 mod 6) mod 6.

78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.

50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 50) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 693¹=693

2: 693²=693¹⁺¹=693¹⋅693¹ ≡ 693⋅693=480249 ≡ 617 mod 967

4: 693⁴=693²⁺²=693²⋅693² ≡ 617⋅617=380689 ≡ 658 mod 967

8: 693⁸=693⁴⁺⁴=693⁴⋅693⁴ ≡ 658⋅658=432964 ≡ 715 mod 967

16: 693¹⁶=693⁸⁺⁸=693⁸⋅693⁸ ≡ 715⋅715=511225 ≡ 649 mod 967

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

606¹⁸¹

= 606^{128+32+16+4+1}

= 606¹²⁸⋅606³²⋅606¹⁶⋅606⁴⋅606¹

≡ 516 ⋅ 394 ⋅ 473 ⋅ 676 ⋅ 606 mod 709
≡ 203304 ⋅ 473 ⋅ 676 ⋅ 606 mod 709 ≡ 530 ⋅ 473 ⋅ 676 ⋅ 606 mod 709
≡ 250690 ⋅ 676 ⋅ 606 mod 709 ≡ 413 ⋅ 676 ⋅ 606 mod 709
≡ 279188 ⋅ 606 mod 709 ≡ 551 ⋅ 606 mod 709
≡ 333906 mod 709 ≡ 676 mod 709

Es gilt also: 606¹⁸¹ ≡ 676 mod 709

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28

=>67	= 2⋅28 + 11
=>28	= 2⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 28-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11) = 2⋅28 -5⋅ 11 (=1)
11= 67-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28) = 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28) = -5⋅67 +12⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +12⋅28

Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1

Somit 12⋅28 = 1 mod 67

12 ist also das Inverse von 28 mod 67