Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (902 - 903) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(902 - 903) mod 3 ≡ (902 mod 3 - 903 mod 3) mod 3.
902 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902
= 900
903 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903
= 900
Somit gilt:
(902 - 903) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 83) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 83) mod 4 ≡ (53 mod 4 ⋅ 83 mod 4) mod 4.
53 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 52 + 1 = 13 ⋅ 4 + 1 ist.
83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 20 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 83) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 95116 mod 983.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 951 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9511=951
2: 9512=9511+1=9511⋅9511 ≡ 951⋅951=904401 ≡ 41 mod 983
4: 9514=9512+2=9512⋅9512 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 698 mod 983
8: 9518=9514+4=9514⋅9514 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 619 mod 983
16: 95116=9518+8=9518⋅9518 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 774 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 250192 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 2501=250
2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 260 mod 389
4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 303 mod 389
8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 5 mod 389
16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 389
32: 25032=25016+16=25016⋅25016 ≡ 25⋅25=625 ≡ 236 mod 389
64: 25064=25032+32=25032⋅25032 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 69 mod 389
128: 250128=25064+64=25064⋅25064 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 93 mod 389
250192
= 250128+64
= 250128⋅25064
≡ 93 ⋅ 69 mod 389
≡ 6417 mod 389 ≡ 193 mod 389
Es gilt also: 250192 ≡ 193 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 35
| =>83 | = 2⋅35 + 13 |
| =>35 | = 2⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 35-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(35 -2⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅35 -6⋅ 13) = 3⋅35 -8⋅ 13 (=1) |
| 13= 83-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅35 -8⋅(83 -2⋅ 35)
= 3⋅35 -8⋅83 +16⋅ 35) = -8⋅83 +19⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,35)=1 = -8⋅83 +19⋅35
oder wenn man -8⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅83 = +19⋅35
Es gilt also: 19⋅35 = 8⋅83 +1
Somit 19⋅35 = 1 mod 83
19 ist also das Inverse von 35 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
