Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6003 - 901) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6003 - 901) mod 3 ≡ (6003 mod 3 - 901 mod 3) mod 3.
6003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003
= 6000
901 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901
= 900
Somit gilt:
(6003 - 901) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 36) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 36) mod 7 ≡ (34 mod 7 ⋅ 36 mod 7) mod 7.
34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.
36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 36) mod 7 ≡ (6 ⋅ 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 75016 mod 911.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 750 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7501=750
2: 7502=7501+1=7501⋅7501 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 413 mod 911
4: 7504=7502+2=7502⋅7502 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 212 mod 911
8: 7508=7504+4=7504⋅7504 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 305 mod 911
16: 75016=7508+8=7508⋅7508 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 103 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56867 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 5681=568
2: 5682=5681+1=5681⋅5681 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 373 mod 659
4: 5684=5682+2=5682⋅5682 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 80 mod 659
8: 5688=5684+4=5684⋅5684 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 469 mod 659
16: 56816=5688+8=5688⋅5688 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 514 mod 659
32: 56832=56816+16=56816⋅56816 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 596 mod 659
64: 56864=56832+32=56832⋅56832 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 15 mod 659
56867
= 56864+2+1
= 56864⋅5682⋅5681
≡ 15 ⋅ 373 ⋅ 568 mod 659
≡ 5595 ⋅ 568 mod 659 ≡ 323 ⋅ 568 mod 659
≡ 183464 mod 659 ≡ 262 mod 659
Es gilt also: 56867 ≡ 262 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 75
| =>97 | = 1⋅75 + 22 |
| =>75 | = 3⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 75-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(75 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅75 -15⋅ 22) = 5⋅75 -17⋅ 22 (=1) |
| 22= 97-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅75 -17⋅(97 -1⋅ 75)
= 5⋅75 -17⋅97 +17⋅ 75) = -17⋅97 +22⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,75)=1 = -17⋅97 +22⋅75
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +22⋅75
Es gilt also: 22⋅75 = 17⋅97 +1
Somit 22⋅75 = 1 mod 97
22 ist also das Inverse von 75 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
