Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2396 - 2399) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2396 - 2399) mod 6 ≡ (2396 mod 6 - 2399 mod 6) mod 6.

2396 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2396 = 2400-4 = 6 ⋅ 400 -4 = 6 ⋅ 400 - 6 + 2.

2399 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399 = 2400-1 = 6 ⋅ 400 -1 = 6 ⋅ 400 - 6 + 5.

Somit gilt:

(2396 - 2399) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 94) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 94) mod 6 ≡ (98 mod 6 ⋅ 94 mod 6) mod 6.

98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.

94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 94) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41632 mod 479.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 416 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4161=416

2: 4162=4161+1=4161⋅4161 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 137 mod 479

4: 4164=4162+2=4162⋅4162 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 88 mod 479

8: 4168=4164+4=4164⋅4164 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 80 mod 479

16: 41616=4168+8=4168⋅4168 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 173 mod 479

32: 41632=41616+16=41616⋅41616 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 231 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 231198 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:

198 = 128+64+4+2

1: 2311=231

2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 194 mod 673

4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 621 mod 673

8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 12 mod 673

16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 673

32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 546 mod 673

64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 650 mod 673

128: 231128=23164+64=23164⋅23164 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 529 mod 673

231198

= 231128+64+4+2

= 231128⋅23164⋅2314⋅2312

529 ⋅ 650 ⋅ 621 ⋅ 194 mod 673
343850 ⋅ 621 ⋅ 194 mod 673 ≡ 620 ⋅ 621 ⋅ 194 mod 673
385020 ⋅ 194 mod 673 ≡ 64 ⋅ 194 mod 673
12416 mod 673 ≡ 302 mod 673

Es gilt also: 231198 ≡ 302 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 43

=>83 = 1⋅43 + 40
=>43 = 1⋅40 + 3
=>40 = 13⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 40-13⋅3
3= 43-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅40 -13⋅(43 -1⋅ 40)
= 1⋅40 -13⋅43 +13⋅ 40)
= -13⋅43 +14⋅ 40 (=1)
40= 83-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -13⋅43 +14⋅(83 -1⋅ 43)
= -13⋅43 +14⋅83 -14⋅ 43)
= 14⋅83 -27⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(83,43)=1 = 14⋅83 -27⋅43

oder wenn man 14⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅83 = -27⋅43

-27⋅43 = -14⋅83 + 1 |+83⋅43

-27⋅43 + 83⋅43 = -14⋅83 + 83⋅43 + 1

(-27 + 83) ⋅ 43 = (-14 + 43) ⋅ 83 + 1

56⋅43 = 29⋅83 + 1

Es gilt also: 56⋅43 = 29⋅83 +1

Somit 56⋅43 = 1 mod 83

56 ist also das Inverse von 43 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.