Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2095 + 281) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2095 + 281) mod 7 ≡ (2095 mod 7 + 281 mod 7) mod 7.

2095 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2095 = 2100-5 = 7 ⋅ 300 -5 = 7 ⋅ 300 - 7 + 2.

281 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 281 = 280+1 = 7 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(2095 + 281) mod 7 ≡ (2 + 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 72) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 72) mod 6 ≡ (58 mod 6 ⋅ 72 mod 6) mod 6.

58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.

72 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 12 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 72) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26964 mod 349.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 269 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2691=269

2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 118 mod 349

4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 313 mod 349

8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 249 mod 349

16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 228 mod 349

32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 332 mod 349

64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 289 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 311236 mod 313.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 3111=311

2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 4 mod 313

4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 313

8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 313

16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 119 mod 313

32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 76 mod 313

64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 142 mod 313

128: 311128=31164+64=31164⋅31164 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 132 mod 313

311236

= 311128+64+32+8+4

= 311128⋅31164⋅31132⋅3118⋅3114

132 ⋅ 142 ⋅ 76 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 313
18744 ⋅ 76 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 313 ≡ 277 ⋅ 76 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 313
21052 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 313 ≡ 81 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 313
20736 ⋅ 16 mod 313 ≡ 78 ⋅ 16 mod 313
1248 mod 313 ≡ 309 mod 313

Es gilt also: 311236 ≡ 309 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71 = 1⋅37 + 34
=>37 = 1⋅34 + 3
=>34 = 11⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34)
= -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37)
= 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.