Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (297 - 901) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(297 - 901) mod 3 ≡ (297 mod 3 - 901 mod 3) mod 3.
297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297
= 300
901 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901
= 900
Somit gilt:
(297 - 901) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 58) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 58) mod 5 ≡ (33 mod 5 ⋅ 58 mod 5) mod 5.
33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.
58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 58) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33932 mod 421.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 339 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3391=339
2: 3392=3391+1=3391⋅3391 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 409 mod 421
4: 3394=3392+2=3392⋅3392 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 144 mod 421
8: 3398=3394+4=3394⋅3394 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 107 mod 421
16: 33916=3398+8=3398⋅3398 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 82 mod 421
32: 33932=33916+16=33916⋅33916 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 409 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 269202 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:
202 = 128+64+8+2
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 107 mod 397
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 333 mod 397
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 126 mod 397
16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 393 mod 397
32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 16 mod 397
64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 397
128: 269128=26964+64=26964⋅26964 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 31 mod 397
269202
= 269128+64+8+2
= 269128⋅26964⋅2698⋅2692
≡ 31 ⋅ 256 ⋅ 126 ⋅ 107 mod 397
≡ 7936 ⋅ 126 ⋅ 107 mod 397 ≡ 393 ⋅ 126 ⋅ 107 mod 397
≡ 49518 ⋅ 107 mod 397 ≡ 290 ⋅ 107 mod 397
≡ 31030 mod 397 ≡ 64 mod 397
Es gilt also: 269202 ≡ 64 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32
| =>83 | = 2⋅32 + 19 |
| =>32 | = 1⋅19 + 13 |
| =>19 | = 1⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 19-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 32-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 83-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32)
= 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32
oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅83 = +13⋅32
Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1
Somit 13⋅32 = 1 mod 83
13 ist also das Inverse von 32 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
