Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (355 + 276) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(355 + 276) mod 7 ≡ (355 mod 7 + 276 mod 7) mod 7.

355 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 355 = 350+5 = 7 ⋅ 50 +5.

276 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276 = 280-4 = 7 ⋅ 40 -4 = 7 ⋅ 40 - 7 + 3.

Somit gilt:

(355 + 276) mod 7 ≡ (5 + 3) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 66) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 66) mod 10 ≡ (94 mod 10 ⋅ 66 mod 10) mod 10.

94 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 9 ⋅ 10 + 4 ist.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 66) mod 10 ≡ (4 ⋅ 6) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23616 mod 617.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,617) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2361=236

2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 166 mod 617

4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 408 mod 617

8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617

16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 809163 mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

1: 8091=809

2: 8092=8091+1=8091⋅8091 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 786 mod 983

4: 8094=8092+2=8092⋅8092 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 472 mod 983

8: 8098=8094+4=8094⋅8094 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 626 mod 983

16: 80916=8098+8=8098⋅8098 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 642 mod 983

32: 80932=80916+16=80916⋅80916 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 287 mod 983

64: 80964=80932+32=80932⋅80932 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 780 mod 983

128: 809128=80964+64=80964⋅80964 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 906 mod 983

809163

= 809128+32+2+1

= 809128⋅80932⋅8092⋅8091

906 ⋅ 287 ⋅ 786 ⋅ 809 mod 983
260022 ⋅ 786 ⋅ 809 mod 983 ≡ 510 ⋅ 786 ⋅ 809 mod 983
400860 ⋅ 809 mod 983 ≡ 779 ⋅ 809 mod 983
630211 mod 983 ≡ 108 mod 983

Es gilt also: 809163 ≡ 108 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71 = 1⋅58 + 13
=>58 = 4⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13)
= -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58)
= 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.