Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9000 - 1503) mod 3 ≡ (9000 mod 3 - 1503 mod 3) mod 3.

9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 3 ⋅ 3000 +0.

1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503 = 1500+3 = 3 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(9000 - 1503) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 20) mod 7 ≡ (54 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.

54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 20) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 186¹=186

2: 186²=186¹⁺¹=186¹⋅186¹ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 165 mod 499

4: 186⁴=186²⁺²=186²⋅186² ≡ 165⋅165=27225 ≡ 279 mod 499

8: 186⁸=186⁴⁺⁴=186⁴⋅186⁴ ≡ 279⋅279=77841 ≡ 496 mod 499

16: 186¹⁶=186⁸⁺⁸=186⁸⋅186⁸ ≡ 496⋅496=246016 ≡ 9 mod 499

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

122²³¹

= 122^{128+64+32+4+2+1}

= 122¹²⁸⋅122⁶⁴⋅122³²⋅122⁴⋅122²⋅122¹

≡ 53 ⋅ 265 ⋅ 179 ⋅ 121 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331
≡ 14045 ⋅ 179 ⋅ 121 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331 ≡ 143 ⋅ 179 ⋅ 121 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331
≡ 25597 ⋅ 121 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331 ≡ 110 ⋅ 121 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331
≡ 13310 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331 ≡ 70 ⋅ 320 ⋅ 122 mod 331
≡ 22400 ⋅ 122 mod 331 ≡ 223 ⋅ 122 mod 331
≡ 27206 mod 331 ≡ 64 mod 331

Es gilt also: 122²³¹ ≡ 64 mod 331

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36

=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -25⋅36

-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36

-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1

(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1

28⋅36 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1

Somit 28⋅36 = 1 mod 53

28 ist also das Inverse von 36 mod 53