Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19997 - 2497) mod 5 ≡ (19997 mod 5 - 2497 mod 5) mod 5.

19997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 5 ⋅ 3800 +997.

2497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2497 = 2400+97 = 5 ⋅ 480 +97.

Somit gilt:

(19997 - 2497) mod 5 ≡ (2 - 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 95) mod 10 ≡ (63 mod 10 ⋅ 95 mod 10) mod 10.

63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 95) mod 10 ≡ (3 ⋅ 5) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 581¹=581

2: 581²=581¹⁺¹=581¹⋅581¹ ≡ 581⋅581=337561 ≡ 607 mod 631

4: 581⁴=581²⁺²=581²⋅581² ≡ 607⋅607=368449 ≡ 576 mod 631

8: 581⁸=581⁴⁺⁴=581⁴⋅581⁴ ≡ 576⋅576=331776 ≡ 501 mod 631

16: 581¹⁶=581⁸⁺⁸=581⁸⋅581⁸ ≡ 501⋅501=251001 ≡ 494 mod 631

32: 581³²=581¹⁶⁺¹⁶=581¹⁶⋅581¹⁶ ≡ 494⋅494=244036 ≡ 470 mod 631

64: 581⁶⁴=581³²⁺³²=581³²⋅581³² ≡ 470⋅470=220900 ≡ 50 mod 631

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

263²³⁶

= 263^{128+64+32+8+4}

= 263¹²⁸⋅263⁶⁴⋅263³²⋅263⁸⋅263⁴

≡ 182 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 33 ⋅ 251 mod 463
≡ 36400 ⋅ 178 ⋅ 33 ⋅ 251 mod 463 ≡ 286 ⋅ 178 ⋅ 33 ⋅ 251 mod 463
≡ 50908 ⋅ 33 ⋅ 251 mod 463 ≡ 441 ⋅ 33 ⋅ 251 mod 463
≡ 14553 ⋅ 251 mod 463 ≡ 200 ⋅ 251 mod 463
≡ 50200 mod 463 ≡ 196 mod 463

Es gilt also: 263²³⁶ ≡ 196 mod 463

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22

=>59	= 2⋅22 + 15
=>22	= 1⋅15 + 7
=>15	= 2⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15) = 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22) = -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22) = 3⋅59 -8⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -8⋅22

-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22

-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1

(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1

51⋅22 = 19⋅59 + 1

Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1

Somit 51⋅22 = 1 mod 59

51 ist also das Inverse von 22 mod 59