Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3608 - 45000) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3608 - 45000) mod 9 ≡ (3608 mod 9 - 45000 mod 9) mod 9.

3608 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3608 = 3600+8 = 9 ⋅ 400 +8.

45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000 = 45000+0 = 9 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(3608 - 45000) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 33) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 33) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 33 mod 3) mod 3.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 33) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1018 mod 227.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 101 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1011=101

2: 1012=1011+1=1011⋅1011 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 213 mod 227

4: 1014=1012+2=1012⋅1012 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 196 mod 227

8: 1018=1014+4=1014⋅1014 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 53 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 909165 mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:

165 = 128+32+4+1

1: 9091=909

2: 9092=9091+1=9091⋅9091 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 716 mod 977

4: 9094=9092+2=9092⋅9092 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 708 mod 977

8: 9098=9094+4=9094⋅9094 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 63 mod 977

16: 90916=9098+8=9098⋅9098 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 61 mod 977

32: 90932=90916+16=90916⋅90916 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 790 mod 977

64: 90964=90932+32=90932⋅90932 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 774 mod 977

128: 909128=90964+64=90964⋅90964 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 175 mod 977

909165

= 909128+32+4+1

= 909128⋅90932⋅9094⋅9091

175 ⋅ 790 ⋅ 708 ⋅ 909 mod 977
138250 ⋅ 708 ⋅ 909 mod 977 ≡ 493 ⋅ 708 ⋅ 909 mod 977
349044 ⋅ 909 mod 977 ≡ 255 ⋅ 909 mod 977
231795 mod 977 ≡ 246 mod 977

Es gilt also: 909165 ≡ 246 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68

=>71 = 1⋅68 + 3
=>68 = 22⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 68-22⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3)
= -1⋅68 +23⋅ 3 (=1)
3= 71-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68)
= 23⋅71 -24⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -24⋅68

-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68

-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1

(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1

47⋅68 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1

Somit 47⋅68 = 1 mod 71

47 ist also das Inverse von 68 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.