Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44995 - 276) mod 9 ≡ (44995 mod 9 - 276 mod 9) mod 9.

44995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44995 = 45000-5 = 9 ⋅ 5000 -5 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 4.

276 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276 = 270+6 = 9 ⋅ 30 +6.

Somit gilt:

(44995 - 276) mod 9 ≡ (4 - 6) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 67) mod 7 ≡ (46 mod 7 ⋅ 67 mod 7) mod 7.

46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 67) mod 7 ≡ (4 ⋅ 4) mod 7 ≡ 16 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 918¹=918

2: 918²=918¹⁺¹=918¹⋅918¹ ≡ 918⋅918=842724 ≡ 209 mod 1009

4: 918⁴=918²⁺²=918²⋅918² ≡ 209⋅209=43681 ≡ 294 mod 1009

8: 918⁸=918⁴⁺⁴=918⁴⋅918⁴ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 671 mod 1009

16: 918¹⁶=918⁸⁺⁸=918⁸⋅918⁸ ≡ 671⋅671=450241 ≡ 227 mod 1009

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

929²⁵³

= 929^{128+64+32+16+8+4+1}

= 929¹²⁸⋅929⁶⁴⋅929³²⋅929¹⁶⋅929⁸⋅929⁴⋅929¹

≡ 175 ⋅ 774 ⋅ 790 ⋅ 61 ⋅ 914 ⋅ 375 ⋅ 929 mod 977
≡ 135450 ⋅ 790 ⋅ 61 ⋅ 914 ⋅ 375 ⋅ 929 mod 977 ≡ 624 ⋅ 790 ⋅ 61 ⋅ 914 ⋅ 375 ⋅ 929 mod 977
≡ 492960 ⋅ 61 ⋅ 914 ⋅ 375 ⋅ 929 mod 977 ≡ 552 ⋅ 61 ⋅ 914 ⋅ 375 ⋅ 929 mod 977
≡ 33672 ⋅ 914 ⋅ 375 ⋅ 929 mod 977 ≡ 454 ⋅ 914 ⋅ 375 ⋅ 929 mod 977
≡ 414956 ⋅ 375 ⋅ 929 mod 977 ≡ 708 ⋅ 375 ⋅ 929 mod 977
≡ 265500 ⋅ 929 mod 977 ≡ 733 ⋅ 929 mod 977
≡ 680957 mod 977 ≡ 965 mod 977

Es gilt also: 929²⁵³ ≡ 965 mod 977

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67	= 1⋅54 + 13
=>54	= 4⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54) = -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67