Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8998 + 148) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8998 + 148) mod 3 ≡ (8998 mod 3 + 148 mod 3) mod 3.

8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998 = 9000-2 = 3 ⋅ 3000 -2 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 1.

148 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148 = 150-2 = 3 ⋅ 50 -2 = 3 ⋅ 50 - 3 + 1.

Somit gilt:

(8998 + 148) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 58) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 58) mod 9 ≡ (100 mod 9 ⋅ 58 mod 9) mod 9.

100 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 11 ⋅ 9 + 1 ist.

58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 58) mod 9 ≡ (1 ⋅ 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12916 mod 317.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 129 -> x
2. mod(x²,317) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1291=129

2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 157 mod 317

4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 240 mod 317

8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 223 mod 317

16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 277 mod 317

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 261225 mod 547.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

1: 2611=261

2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 293 mod 547

4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 517 mod 547

8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 353 mod 547

16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 440 mod 547

32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 509 mod 547

64: 26164=26132+32=26132⋅26132 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 350 mod 547

128: 261128=26164+64=26164⋅26164 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 519 mod 547

261225

= 261128+64+32+1

= 261128⋅26164⋅26132⋅2611

519 ⋅ 350 ⋅ 509 ⋅ 261 mod 547
181650 ⋅ 509 ⋅ 261 mod 547 ≡ 46 ⋅ 509 ⋅ 261 mod 547
23414 ⋅ 261 mod 547 ≡ 440 ⋅ 261 mod 547
114840 mod 547 ≡ 517 mod 547

Es gilt also: 261225 ≡ 517 mod 547

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36

=>53 = 1⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36)
= 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -25⋅36

-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36

-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1

(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1

28⋅36 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1

Somit 28⋅36 = 1 mod 53

28 ist also das Inverse von 36 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.