Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25005 + 15005) mod 5 ≡ (25005 mod 5 + 15005 mod 5) mod 5.

25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005 = 25000+5 = 5 ⋅ 5000 +5.

15005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15005 = 15000+5 = 5 ⋅ 3000 +5.

Somit gilt:

(25005 + 15005) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 31) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 31 mod 6) mod 6.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 31) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 396¹=396

2: 396²=396¹⁺¹=396¹⋅396¹ ≡ 396⋅396=156816 ≡ 203 mod 787

4: 396⁴=396²⁺²=396²⋅396² ≡ 203⋅203=41209 ≡ 285 mod 787

8: 396⁸=396⁴⁺⁴=396⁴⋅396⁴ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 164 mod 787

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

319¹⁹⁰

= 319^{128+32+16+8+4+2}

= 319¹²⁸⋅319³²⋅319¹⁶⋅319⁸⋅319⁴⋅319²

≡ 94 ⋅ 6 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601
≡ 564 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601
≡ 162432 ⋅ 341 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601 ≡ 162 ⋅ 341 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601
≡ 55242 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601 ≡ 551 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601
≡ 111853 ⋅ 192 mod 601 ≡ 67 ⋅ 192 mod 601
≡ 12864 mod 601 ≡ 243 mod 601

Es gilt also: 319¹⁹⁰ ≡ 243 mod 601

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101	= 1⋅70 + 31
=>70	= 2⋅31 + 8
=>31	= 3⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31) = -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70) = 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101