Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3500 + 34993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3500 + 34993) mod 7 ≡ (3500 mod 7 + 34993 mod 7) mod 7.
3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500
= 3500
34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993
= 35000
Somit gilt:
(3500 + 34993) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 80) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 80) mod 11 ≡ (71 mod 11 ⋅ 80 mod 11) mod 11.
71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.
80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 80) mod 11 ≡ (5 ⋅ 3) mod 11 ≡ 15 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28516 mod 607.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 285 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 494 mod 607
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 22 mod 607
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 607
16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 561 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 301102 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 352 mod 449
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 429 mod 449
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 400 mod 449
16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 156 mod 449
32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 90 mod 449
64: 30164=30132+32=30132⋅30132 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 18 mod 449
301102
= 30164+32+4+2
= 30164⋅30132⋅3014⋅3012
≡ 18 ⋅ 90 ⋅ 429 ⋅ 352 mod 449
≡ 1620 ⋅ 429 ⋅ 352 mod 449 ≡ 273 ⋅ 429 ⋅ 352 mod 449
≡ 117117 ⋅ 352 mod 449 ≡ 377 ⋅ 352 mod 449
≡ 132704 mod 449 ≡ 249 mod 449
Es gilt also: 301102 ≡ 249 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24
| =>59 | = 2⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -27⋅24
-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24
-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1
(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1
32⋅24 = 13⋅59 + 1
Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1
Somit 32⋅24 = 1 mod 59
32 ist also das Inverse von 24 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
