Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20002 + 147) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20002 + 147) mod 5 ≡ (20002 mod 5 + 147 mod 5) mod 5.

20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 5 ⋅ 4000 +2.

147 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 140+7 = 5 ⋅ 28 +7.

Somit gilt:

(20002 + 147) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 58) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 58) mod 4 ≡ (72 mod 4 ⋅ 58 mod 4) mod 4.

72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.

58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 58) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 69864 mod 857.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 698 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6981=698

2: 6982=6981+1=6981⋅6981 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 428 mod 857

4: 6984=6982+2=6982⋅6982 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 643 mod 857

8: 6988=6984+4=6984⋅6984 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 375 mod 857

16: 69816=6988+8=6988⋅6988 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 77 mod 857

32: 69832=69816+16=69816⋅69816 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 787 mod 857

64: 69864=69832+32=69832⋅69832 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 615 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 249118 mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

1: 2491=249

2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 87 mod 607

4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 285 mod 607

8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 494 mod 607

16: 24916=2498+8=2498⋅2498 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 22 mod 607

32: 24932=24916+16=24916⋅24916 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 607

64: 24964=24932+32=24932⋅24932 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 561 mod 607

249118

= 24964+32+16+4+2

= 24964⋅24932⋅24916⋅2494⋅2492

561 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 285 ⋅ 87 mod 607
271524 ⋅ 22 ⋅ 285 ⋅ 87 mod 607 ≡ 195 ⋅ 22 ⋅ 285 ⋅ 87 mod 607
4290 ⋅ 285 ⋅ 87 mod 607 ≡ 41 ⋅ 285 ⋅ 87 mod 607
11685 ⋅ 87 mod 607 ≡ 152 ⋅ 87 mod 607
13224 mod 607 ≡ 477 mod 607

Es gilt also: 249118 ≡ 477 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73 = 1⋅47 + 26
=>47 = 1⋅26 + 21
=>26 = 1⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21)
= -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26)
= 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47)
= 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47)
= -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.