Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (116 + 12001) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(116 + 12001) mod 6 ≡ (116 mod 6 + 12001 mod 6) mod 6.
116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116
= 120
12001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
Somit gilt:
(116 + 12001) mod 6 ≡ (2 + 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 57) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 57) mod 11 ≡ (90 mod 11 ⋅ 57 mod 11) mod 11.
90 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 8 ⋅ 11 + 2 ist.
57 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 5 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 57) mod 11 ≡ (2 ⋅ 2) mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17316 mod 251.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 173 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1731=173
2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 60 mod 251
4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 86 mod 251
8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 117 mod 251
16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 135 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 134161 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 1341=134
2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 312 mod 401
4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 302 mod 401
8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 177 mod 401
16: 13416=1348+8=1348⋅1348 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 51 mod 401
32: 13432=13416+16=13416⋅13416 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401
64: 13464=13432+32=13432⋅13432 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
128: 134128=13464+64=13464⋅13464 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 88 mod 401
134161
= 134128+32+1
= 134128⋅13432⋅1341
≡ 88 ⋅ 195 ⋅ 134 mod 401
≡ 17160 ⋅ 134 mod 401 ≡ 318 ⋅ 134 mod 401
≡ 42612 mod 401 ≡ 106 mod 401
Es gilt also: 134161 ≡ 106 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47
| =>101 | = 2⋅47 + 7 |
| =>47 | = 6⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7) = 3⋅47 -20⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47)
= 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47) = -20⋅101 +43⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47
oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅101 = +43⋅47
Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1
Somit 43⋅47 = 1 mod 101
43 ist also das Inverse von 47 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
