Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (211 - 7006) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(211 - 7006) mod 7 ≡ (211 mod 7 - 7006 mod 7) mod 7.
211 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 211
= 210
7006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7006
= 7000
Somit gilt:
(211 - 7006) mod 7 ≡ (1 - 6) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 66) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 66) mod 5 ≡ (45 mod 5 ⋅ 66 mod 5) mod 5.
45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 9 ⋅ 5 + 0 ist.
66 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 65 + 1 = 13 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 66) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22164 mod 349.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 221 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2211=221
2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 330 mod 349
4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 12 mod 349
8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 349
16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 145 mod 349
32: 22132=22116+16=22116⋅22116 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 85 mod 349
64: 22164=22132+32=22132⋅22132 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 245 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 177249 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:
249 = 128+64+32+16+8+1
1: 1771=177
2: 1772=1771+1=1771⋅1771 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 323 mod 419
4: 1774=1772+2=1772⋅1772 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 417 mod 419
8: 1778=1774+4=1774⋅1774 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 4 mod 419
16: 17716=1778+8=1778⋅1778 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 419
32: 17732=17716+16=17716⋅17716 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 419
64: 17764=17732+32=17732⋅17732 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 172 mod 419
128: 177128=17764+64=17764⋅17764 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 254 mod 419
177249
= 177128+64+32+16+8+1
= 177128⋅17764⋅17732⋅17716⋅1778⋅1771
≡ 254 ⋅ 172 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 177 mod 419
≡ 43688 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 177 mod 419 ≡ 112 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 177 mod 419
≡ 28672 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 177 mod 419 ≡ 180 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 177 mod 419
≡ 2880 ⋅ 4 ⋅ 177 mod 419 ≡ 366 ⋅ 4 ⋅ 177 mod 419
≡ 1464 ⋅ 177 mod 419 ≡ 207 ⋅ 177 mod 419
≡ 36639 mod 419 ≡ 186 mod 419
Es gilt also: 177249 ≡ 186 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 52
| =>67 | = 1⋅52 + 15 |
| =>52 | = 3⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 52-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(52 -3⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅52 +6⋅ 15) = -2⋅52 +7⋅ 15 (=1) |
| 15= 67-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +7⋅(67 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +7⋅67 -7⋅ 52) = 7⋅67 -9⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,52)=1 = 7⋅67 -9⋅52
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -9⋅52
-9⋅52 = -7⋅67 + 1 |+67⋅52
-9⋅52 + 67⋅52 = -7⋅67 + 67⋅52 + 1
(-9 + 67) ⋅ 52 = (-7 + 52) ⋅ 67 + 1
58⋅52 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 58⋅52 = 45⋅67 +1
Somit 58⋅52 = 1 mod 67
58 ist also das Inverse von 52 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
