Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (503 + 15000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(503 + 15000) mod 5 ≡ (503 mod 5 + 15000 mod 5) mod 5.
503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 503
= 500
15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
Somit gilt:
(503 + 15000) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 34) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 34) mod 8 ≡ (42 mod 8 ⋅ 34 mod 8) mod 8.
42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.
34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 34) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19916 mod 257.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 199 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1991=199
2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 23 mod 257
4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 23⋅23=529 ≡ 15 mod 257
8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 257
16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 253 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29489 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:
89 = 64+16+8+1
1: 2941=294
2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 51 mod 443
4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 386 mod 443
8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 148 mod 443
16: 29416=2948+8=2948⋅2948 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 197 mod 443
32: 29432=29416+16=29416⋅29416 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 268 mod 443
64: 29464=29432+32=29432⋅29432 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 58 mod 443
29489
= 29464+16+8+1
= 29464⋅29416⋅2948⋅2941
≡ 58 ⋅ 197 ⋅ 148 ⋅ 294 mod 443
≡ 11426 ⋅ 148 ⋅ 294 mod 443 ≡ 351 ⋅ 148 ⋅ 294 mod 443
≡ 51948 ⋅ 294 mod 443 ≡ 117 ⋅ 294 mod 443
≡ 34398 mod 443 ≡ 287 mod 443
Es gilt also: 29489 ≡ 287 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50
| =>73 | = 1⋅50 + 23 |
| =>50 | = 2⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 50-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23) = 6⋅50 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50) = -13⋅73 +19⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +19⋅50
Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1
Somit 19⋅50 = 1 mod 73
19 ist also das Inverse von 50 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
