Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16001 - 1593) mod 8 ≡ (16001 mod 8 - 1593 mod 8) mod 8.

16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 8 ⋅ 2000 +1.

1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593 = 1600-7 = 8 ⋅ 200 -7 = 8 ⋅ 200 - 8 + 1.

Somit gilt:

(16001 - 1593) mod 8 ≡ (1 - 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 30) mod 5 ≡ (20 mod 5 ⋅ 30 mod 5) mod 5.

20 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 4 ⋅ 5 + 0 ist.

30 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 6 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 30) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 608¹=608

2: 608²=608¹⁺¹=608¹⋅608¹ ≡ 608⋅608=369664 ≡ 187 mod 673

4: 608⁴=608²⁺²=608²⋅608² ≡ 187⋅187=34969 ≡ 646 mod 673

8: 608⁸=608⁴⁺⁴=608⁴⋅608⁴ ≡ 646⋅646=417316 ≡ 56 mod 673

16: 608¹⁶=608⁸⁺⁸=608⁸⋅608⁸ ≡ 56⋅56=3136 ≡ 444 mod 673

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

263²⁴⁸

= 263^{128+64+32+16+8}

= 263¹²⁸⋅263⁶⁴⋅263³²⋅263¹⁶⋅263⁸

≡ 163 ⋅ 40 ⋅ 394 ⋅ 72 ⋅ 315 mod 479
≡ 6520 ⋅ 394 ⋅ 72 ⋅ 315 mod 479 ≡ 293 ⋅ 394 ⋅ 72 ⋅ 315 mod 479
≡ 115442 ⋅ 72 ⋅ 315 mod 479 ≡ 3 ⋅ 72 ⋅ 315 mod 479
≡ 216 ⋅ 315 mod 479
≡ 68040 mod 479 ≡ 22 mod 479

Es gilt also: 263²⁴⁸ ≡ 22 mod 479

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67	= 1⋅44 + 23
=>44	= 1⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44) = 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67