Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 - 14997) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 - 14997) mod 3 ≡ (93 mod 3 - 14997 mod 3) mod 3.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 15000-3 = 3 ⋅ 5000 -3 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(93 - 14997) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 43) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 43) mod 3 ≡ (86 mod 3 ⋅ 43 mod 3) mod 3.

86 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 28 ⋅ 3 + 2 ist.

43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 43) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3518 mod 431.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 351 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3511=351

2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 366 mod 431

4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 346 mod 431

8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 329 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 425139 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:

139 = 128+8+2+1

1: 4251=425

2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 461 mod 617

4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 273 mod 617

8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 489 mod 617

16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 342 mod 617

32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 351 mod 617

64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 418 mod 617

128: 425128=42564+64=42564⋅42564 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 113 mod 617

425139

= 425128+8+2+1

= 425128⋅4258⋅4252⋅4251

113 ⋅ 489 ⋅ 461 ⋅ 425 mod 617
55257 ⋅ 461 ⋅ 425 mod 617 ≡ 344 ⋅ 461 ⋅ 425 mod 617
158584 ⋅ 425 mod 617 ≡ 15 ⋅ 425 mod 617
6375 mod 617 ≡ 205 mod 617

Es gilt also: 425139 ≡ 205 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.

Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26

=>59 = 2⋅26 + 7
=>26 = 3⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 26-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7)
= 3⋅26 -11⋅ 7 (=1)
7= 59-2⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26)
= -11⋅59 +25⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +25⋅26

Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1

Somit 25⋅26 = 1 mod 59

25 ist also das Inverse von 26 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.