Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(153 - 601) mod 3 ≡ (153 mod 3 - 601 mod 3) mod 3.

153 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153 = 150+3 = 3 ⋅ 50 +3.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(153 - 601) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 79) mod 9 ≡ (89 mod 9 ⋅ 79 mod 9) mod 9.

89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 81 + 8 = 9 ⋅ 9 + 8 ist.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 79) mod 9 ≡ (8 ⋅ 7) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 177¹=177

2: 177²=177¹⁺¹=177¹⋅177¹ ≡ 177⋅177=31329 ≡ 348 mod 449

4: 177⁴=177²⁺²=177²⋅177² ≡ 348⋅348=121104 ≡ 323 mod 449

8: 177⁸=177⁴⁺⁴=177⁴⋅177⁴ ≡ 323⋅323=104329 ≡ 161 mod 449

16: 177¹⁶=177⁸⁺⁸=177⁸⋅177⁸ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 328 mod 449

32: 177³²=177¹⁶⁺¹⁶=177¹⁶⋅177¹⁶ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 273 mod 449

64: 177⁶⁴=177³²⁺³²=177³²⋅177³² ≡ 273⋅273=74529 ≡ 444 mod 449

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

611¹⁸⁹

= 611^{128+32+16+8+4+1}

= 611¹²⁸⋅611³²⋅611¹⁶⋅611⁸⋅611⁴⋅611¹

≡ 562 ⋅ 149 ⋅ 564 ⋅ 228 ⋅ 722 ⋅ 611 mod 857
≡ 83738 ⋅ 564 ⋅ 228 ⋅ 722 ⋅ 611 mod 857 ≡ 609 ⋅ 564 ⋅ 228 ⋅ 722 ⋅ 611 mod 857
≡ 343476 ⋅ 228 ⋅ 722 ⋅ 611 mod 857 ≡ 676 ⋅ 228 ⋅ 722 ⋅ 611 mod 857
≡ 154128 ⋅ 722 ⋅ 611 mod 857 ≡ 725 ⋅ 722 ⋅ 611 mod 857
≡ 523450 ⋅ 611 mod 857 ≡ 680 ⋅ 611 mod 857
≡ 415480 mod 857 ≡ 692 mod 857

Es gilt also: 611¹⁸⁹ ≡ 692 mod 857

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29

=>61	= 2⋅29 + 3
=>29	= 9⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 29-9⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1)
3= 61-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29) = -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29) = 10⋅61 -21⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -21⋅29

-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29

-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1

(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1

40⋅29 = 19⋅61 + 1

Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1

Somit 40⋅29 = 1 mod 61

40 ist also das Inverse von 29 mod 61