Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8002 + 120) mod 4 ≡ (8002 mod 4 + 120 mod 4) mod 4.

8002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 4 ⋅ 2000 +2.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(8002 + 120) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 26) mod 10 ≡ (54 mod 10 ⋅ 26 mod 10) mod 10.

54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.

26 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 20 + 6 = 2 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 26) mod 10 ≡ (4 ⋅ 6) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 244¹=244

2: 244²=244¹⁺¹=244¹⋅244¹ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 207 mod 751

4: 244⁴=244²⁺²=244²⋅244² ≡ 207⋅207=42849 ≡ 42 mod 751

8: 244⁸=244⁴⁺⁴=244⁴⋅244⁴ ≡ 42⋅42=1764 ≡ 262 mod 751

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

753¹⁸⁷

= 753^{128+32+16+8+2+1}

= 753¹²⁸⋅753³²⋅753¹⁶⋅753⁸⋅753²⋅753¹

≡ 432 ⋅ 601 ⋅ 620 ⋅ 434 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757
≡ 259632 ⋅ 620 ⋅ 434 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757 ≡ 738 ⋅ 620 ⋅ 434 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757
≡ 457560 ⋅ 434 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757 ≡ 332 ⋅ 434 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757
≡ 144088 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757 ≡ 258 ⋅ 16 ⋅ 753 mod 757
≡ 4128 ⋅ 753 mod 757 ≡ 343 ⋅ 753 mod 757
≡ 258279 mod 757 ≡ 142 mod 757

Es gilt also: 753¹⁸⁷ ≡ 142 mod 757

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39

=>89	= 2⋅39 + 11
=>39	= 3⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 39-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11) = 2⋅39 -7⋅ 11 (=1)
11= 89-2⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39) = 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39) = -7⋅89 +16⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +16⋅39

Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1

Somit 16⋅39 = 1 mod 89

16 ist also das Inverse von 39 mod 89