Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3000 + 57) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3000 + 57) mod 3 ≡ (3000 mod 3 + 57 mod 3) mod 3.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 60-3 = 3 ⋅ 20 -3 = 3 ⋅ 20 - 3 + 0.

Somit gilt:

(3000 + 57) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 55) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 55) mod 4 ≡ (54 mod 4 ⋅ 55 mod 4) mod 4.

54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.

55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 55) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65132 mod 827.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 651 -> x
2. mod(x²,827) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6511=651

2: 6512=6511+1=6511⋅6511 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 377 mod 827

4: 6514=6512+2=6512⋅6512 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 712 mod 827

8: 6518=6514+4=6514⋅6514 ≡ 712⋅712=506944 ≡ 820 mod 827

16: 65116=6518+8=6518⋅6518 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 49 mod 827

32: 65132=65116+16=65116⋅65116 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 747 mod 827

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 291124 mod 727.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:

124 = 64+32+16+8+4

1: 2911=291

2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 349 mod 727

4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 392 mod 727

8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 267 mod 727

16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 43 mod 727

32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 395 mod 727

64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 447 mod 727

291124

= 29164+32+16+8+4

= 29164⋅29132⋅29116⋅2918⋅2914

447 ⋅ 395 ⋅ 43 ⋅ 267 ⋅ 392 mod 727
176565 ⋅ 43 ⋅ 267 ⋅ 392 mod 727 ≡ 631 ⋅ 43 ⋅ 267 ⋅ 392 mod 727
27133 ⋅ 267 ⋅ 392 mod 727 ≡ 234 ⋅ 267 ⋅ 392 mod 727
62478 ⋅ 392 mod 727 ≡ 683 ⋅ 392 mod 727
267736 mod 727 ≡ 200 mod 727

Es gilt also: 291124 ≡ 200 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 55

=>101 = 1⋅55 + 46
=>55 = 1⋅46 + 9
=>46 = 5⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 46-5⋅9
9= 55-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅46 -5⋅(55 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -5⋅55 +5⋅ 46)
= -5⋅55 +6⋅ 46 (=1)
46= 101-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅55 +6⋅(101 -1⋅ 55)
= -5⋅55 +6⋅101 -6⋅ 55)
= 6⋅101 -11⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(101,55)=1 = 6⋅101 -11⋅55

oder wenn man 6⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅101 = -11⋅55

-11⋅55 = -6⋅101 + 1 |+101⋅55

-11⋅55 + 101⋅55 = -6⋅101 + 101⋅55 + 1

(-11 + 101) ⋅ 55 = (-6 + 55) ⋅ 101 + 1

90⋅55 = 49⋅101 + 1

Es gilt also: 90⋅55 = 49⋅101 +1

Somit 90⋅55 = 1 mod 101

90 ist also das Inverse von 55 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.