Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15000 + 2495) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15000 + 2495) mod 5 ≡ (15000 mod 5 + 2495 mod 5) mod 5.
15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495
= 2400
Somit gilt:
(15000 + 2495) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 92) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 92) mod 8 ≡ (64 mod 8 ⋅ 92 mod 8) mod 8.
64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 92) mod 8 ≡ (0 ⋅ 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2768 mod 467.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 276 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2761=276
2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 55 mod 467
4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 223 mod 467
8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 227 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46260 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:
60 = 32+16+8+4
1: 4621=462
2: 4622=4621+1=4621⋅4621 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 616 mod 691
4: 4624=4622+2=4622⋅4622 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 97 mod 691
8: 4628=4624+4=4624⋅4624 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 426 mod 691
16: 46216=4628+8=4628⋅4628 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 434 mod 691
32: 46232=46216+16=46216⋅46216 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 404 mod 691
46260
= 46232+16+8+4
= 46232⋅46216⋅4628⋅4624
≡ 404 ⋅ 434 ⋅ 426 ⋅ 97 mod 691
≡ 175336 ⋅ 426 ⋅ 97 mod 691 ≡ 513 ⋅ 426 ⋅ 97 mod 691
≡ 218538 ⋅ 97 mod 691 ≡ 182 ⋅ 97 mod 691
≡ 17654 mod 691 ≡ 379 mod 691
Es gilt also: 46260 ≡ 379 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25
| =>71 | = 2⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 71-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25) = 6⋅71 -17⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25
oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅71 = -17⋅25
-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25
-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1
(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1
54⋅25 = 19⋅71 + 1
Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1
Somit 54⋅25 = 1 mod 71
54 ist also das Inverse von 25 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
