Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1803 - 18000) mod 6 ≡ (1803 mod 6 - 18000 mod 6) mod 6.

1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803 = 1800+3 = 6 ⋅ 300 +3.

18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 6 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(1803 - 18000) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 66) mod 6 ≡ (19 mod 6 ⋅ 66 mod 6) mod 6.

19 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 3 ⋅ 6 + 1 ist.

66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 66) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 561¹=561

2: 561²=561¹⁺¹=561¹⋅561¹ ≡ 561⋅561=314721 ≡ 566 mod 757

4: 561⁴=561²⁺²=561²⋅561² ≡ 566⋅566=320356 ≡ 145 mod 757

8: 561⁸=561⁴⁺⁴=561⁴⋅561⁴ ≡ 145⋅145=21025 ≡ 586 mod 757

16: 561¹⁶=561⁸⁺⁸=561⁸⋅561⁸ ≡ 586⋅586=343396 ≡ 475 mod 757

32: 561³²=561¹⁶⁺¹⁶=561¹⁶⋅561¹⁶ ≡ 475⋅475=225625 ≡ 39 mod 757

64: 561⁶⁴=561³²⁺³²=561³²⋅561³² ≡ 39⋅39=1521 ≡ 7 mod 757

128: 561¹²⁸=561⁶⁴⁺⁶⁴=561⁶⁴⋅561⁶⁴ ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

590¹⁵⁴

= 590^128+16+8+2

= 590¹²⁸⋅590¹⁶⋅590⁸⋅590²

≡ 545 ⋅ 251 ⋅ 289 ⋅ 637 mod 757
≡ 136795 ⋅ 289 ⋅ 637 mod 757 ≡ 535 ⋅ 289 ⋅ 637 mod 757
≡ 154615 ⋅ 637 mod 757 ≡ 187 ⋅ 637 mod 757
≡ 119119 mod 757 ≡ 270 mod 757

Es gilt also: 590¹⁵⁴ ≡ 270 mod 757

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76

=>89	= 1⋅76 + 13
=>76	= 5⋅13 + 11
=>13	= 1⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,76)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 76-5⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13) = -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1)
13= 89-1⋅76	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76) = 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1)

Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +41⋅76

Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1

Somit 41⋅76 = 1 mod 89

41 ist also das Inverse von 76 mod 89