Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 - 80) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 - 80) mod 4 ≡ (38 mod 4 - 80 mod 4) mod 4.
38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38
= 40
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(38 - 80) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 82) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 82) mod 9 ≡ (25 mod 9 ⋅ 82 mod 9) mod 9.
25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.
82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 82) mod 9 ≡ (7 ⋅ 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 210128 mod 227.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 210 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 62 mod 227
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 212 mod 227
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 225 mod 227
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 4 mod 227
32: 21032=21016+16=21016⋅21016 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 227
64: 21064=21032+32=21032⋅21032 ≡ 16⋅16=256 ≡ 29 mod 227
128: 210128=21064+64=21064⋅21064 ≡ 29⋅29=841 ≡ 160 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29668 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 2961=296
2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 153 mod 587
4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 516 mod 587
8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 345 mod 587
16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 451 mod 587
32: 29632=29616+16=29616⋅29616 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 299 mod 587
64: 29664=29632+32=29632⋅29632 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 177 mod 587
29668
= 29664+4
= 29664⋅2964
≡ 177 ⋅ 516 mod 587
≡ 91332 mod 587 ≡ 347 mod 587
Es gilt also: 29668 ≡ 347 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 50
| =>59 | = 1⋅50 + 9 |
| =>50 | = 5⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 50-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(50 -5⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅50 -10⋅ 9) = 2⋅50 -11⋅ 9 (=1) |
| 9= 59-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -11⋅(59 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -11⋅59 +11⋅ 50) = -11⋅59 +13⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,50)=1 = -11⋅59 +13⋅50
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +13⋅50
Es gilt also: 13⋅50 = 11⋅59 +1
Somit 13⋅50 = 1 mod 59
13 ist also das Inverse von 50 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
