Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20003 + 10002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20003 + 10002) mod 5 ≡ (20003 mod 5 + 10002 mod 5) mod 5.
20003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003
= 20000
10002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10002
= 10000
Somit gilt:
(20003 + 10002) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 57) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 57) mod 11 ≡ (20 mod 11 ⋅ 57 mod 11) mod 11.
20 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 11 + 9 = 1 ⋅ 11 + 9 ist.
57 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 5 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 57) mod 11 ≡ (9 ⋅ 2) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 180128 mod 271.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 180 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1801=180
2: 1802=1801+1=1801⋅1801 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 151 mod 271
4: 1804=1802+2=1802⋅1802 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 37 mod 271
8: 1808=1804+4=1804⋅1804 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 14 mod 271
16: 18016=1808+8=1808⋅1808 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 271
32: 18032=18016+16=18016⋅18016 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 205 mod 271
64: 18064=18032+32=18032⋅18032 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 20 mod 271
128: 180128=18064+64=18064⋅18064 ≡ 20⋅20=400 ≡ 129 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18197 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 1811=181
2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 328 mod 569
4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 43 mod 569
8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 142 mod 569
16: 18116=1818+8=1818⋅1818 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 249 mod 569
32: 18132=18116+16=18116⋅18116 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 549 mod 569
64: 18164=18132+32=18132⋅18132 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 400 mod 569
18197
= 18164+32+1
= 18164⋅18132⋅1811
≡ 400 ⋅ 549 ⋅ 181 mod 569
≡ 219600 ⋅ 181 mod 569 ≡ 535 ⋅ 181 mod 569
≡ 96835 mod 569 ≡ 105 mod 569
Es gilt also: 18197 ≡ 105 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68
| =>73 | = 1⋅68 + 5 |
| =>68 | = 13⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 68-13⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5) = 2⋅68 -27⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68) = -27⋅73 +29⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +29⋅68
Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1
Somit 29⋅68 = 1 mod 73
29 ist also das Inverse von 68 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
