Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 + 255) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 + 255) mod 5 ≡ (100 mod 5 + 255 mod 5) mod 5.
100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100
= 100
255 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 255
= 250
Somit gilt:
(100 + 255) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 46) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 46) mod 8 ≡ (52 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.
52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.
46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 46) mod 8 ≡ (4 ⋅ 6) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40364 mod 773.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 403 -> x
2. mod(x²,773) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4031=403
2: 4032=4031+1=4031⋅4031 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 79 mod 773
4: 4034=4032+2=4032⋅4032 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 57 mod 773
8: 4038=4034+4=4034⋅4034 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 157 mod 773
16: 40316=4038+8=4038⋅4038 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 686 mod 773
32: 40332=40316+16=40316⋅40316 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 612 mod 773
64: 40364=40332+32=40332⋅40332 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 412 mod 773
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 405131 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 4051=405
2: 4052=4051+1=4051⋅4051 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 338 mod 857
4: 4054=4052+2=4052⋅4052 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 263 mod 857
8: 4058=4054+4=4054⋅4054 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 609 mod 857
16: 40516=4058+8=4058⋅4058 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 657 mod 857
32: 40532=40516+16=40516⋅40516 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 578 mod 857
64: 40564=40532+32=40532⋅40532 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 711 mod 857
128: 405128=40564+64=40564⋅40564 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 748 mod 857
405131
= 405128+2+1
= 405128⋅4052⋅4051
≡ 748 ⋅ 338 ⋅ 405 mod 857
≡ 252824 ⋅ 405 mod 857 ≡ 9 ⋅ 405 mod 857
≡ 3645 mod 857 ≡ 217 mod 857
Es gilt also: 405131 ≡ 217 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 55
| =>79 | = 1⋅55 + 24 |
| =>55 | = 2⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 55-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(55 -2⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅55 -14⋅ 24) = 7⋅55 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 79-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅55 -16⋅(79 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -16⋅79 +16⋅ 55) = -16⋅79 +23⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,55)=1 = -16⋅79 +23⋅55
oder wenn man -16⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅79 = +23⋅55
Es gilt also: 23⋅55 = 16⋅79 +1
Somit 23⋅55 = 1 mod 79
23 ist also das Inverse von 55 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
