Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (907 + 3594) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(907 + 3594) mod 9 ≡ (907 mod 9 + 3594 mod 9) mod 9.
907 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 907
= 900
3594 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3594
= 3600
Somit gilt:
(907 + 3594) mod 9 ≡ (7 + 3) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 36) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 36) mod 11 ≡ (45 mod 11 ⋅ 36 mod 11) mod 11.
45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.
36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 36) mod 11 ≡ (1 ⋅ 3) mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60664 mod 823.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 606 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6061=606
2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 178 mod 823
4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 410 mod 823
8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 208 mod 823
16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 468 mod 823
32: 60632=60616+16=60616⋅60616 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 106 mod 823
64: 60664=60632+32=60632⋅60632 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 537 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29991 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 197 mod 769
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 359 mod 769
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 458 mod 769
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 596 mod 769
32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 707 mod 769
64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 768 mod 769
29991
= 29964+16+8+2+1
= 29964⋅29916⋅2998⋅2992⋅2991
≡ 768 ⋅ 596 ⋅ 458 ⋅ 197 ⋅ 299 mod 769
≡ 457728 ⋅ 458 ⋅ 197 ⋅ 299 mod 769 ≡ 173 ⋅ 458 ⋅ 197 ⋅ 299 mod 769
≡ 79234 ⋅ 197 ⋅ 299 mod 769 ≡ 27 ⋅ 197 ⋅ 299 mod 769
≡ 5319 ⋅ 299 mod 769 ≡ 705 ⋅ 299 mod 769
≡ 210795 mod 769 ≡ 89 mod 769
Es gilt also: 29991 ≡ 89 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42
| =>79 | = 1⋅42 + 37 |
| =>42 | = 1⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 42-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37) = 15⋅42 -17⋅ 37 (=1) |
| 37= 79-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42) = -17⋅79 +32⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +32⋅42
Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1
Somit 32⋅42 = 1 mod 79
32 ist also das Inverse von 42 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
