Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (117 - 63) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(117 - 63) mod 6 ≡ (117 mod 6 - 63 mod 6) mod 6.
117 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 60
Somit gilt:
(117 - 63) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 41) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 41) mod 5 ≡ (27 mod 5 ⋅ 41 mod 5) mod 5.
27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.
41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 41) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22116 mod 457.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 221 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2211=221
2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 399 mod 457
4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 165 mod 457
8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 262 mod 457
16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 94 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 172138 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 1721=172
2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 20 mod 389
4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 20⋅20=400 ≡ 11 mod 389
8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 389
16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 248 mod 389
32: 17232=17216+16=17216⋅17216 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 42 mod 389
64: 17264=17232+32=17232⋅17232 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 208 mod 389
128: 172128=17264+64=17264⋅17264 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 85 mod 389
172138
= 172128+8+2
= 172128⋅1728⋅1722
≡ 85 ⋅ 121 ⋅ 20 mod 389
≡ 10285 ⋅ 20 mod 389 ≡ 171 ⋅ 20 mod 389
≡ 3420 mod 389 ≡ 308 mod 389
Es gilt also: 172138 ≡ 308 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 43
| =>101 | = 2⋅43 + 15 |
| =>43 | = 2⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 43-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(43 -2⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅43 -14⋅ 15) = 7⋅43 -20⋅ 15 (=1) |
| 15= 101-2⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅43 -20⋅(101 -2⋅ 43)
= 7⋅43 -20⋅101 +40⋅ 43) = -20⋅101 +47⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,43)=1 = -20⋅101 +47⋅43
oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅101 = +47⋅43
Es gilt also: 47⋅43 = 20⋅101 +1
Somit 47⋅43 = 1 mod 101
47 ist also das Inverse von 43 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
