Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (239 + 323) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(239 + 323) mod 8 ≡ (239 mod 8 + 323 mod 8) mod 8.

239 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239 = 240-1 = 8 ⋅ 30 -1 = 8 ⋅ 30 - 8 + 7.

323 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 323 = 320+3 = 8 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(239 + 323) mod 8 ≡ (7 + 3) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 63) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 63) mod 10 ≡ (30 mod 10 ⋅ 63 mod 10) mod 10.

30 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 3 ⋅ 10 + 0 ist.

63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 63) mod 10 ≡ (0 ⋅ 3) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 388128 mod 947.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 388 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3881=388

2: 3882=3881+1=3881⋅3881 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 918 mod 947

4: 3884=3882+2=3882⋅3882 ≡ 918⋅918=842724 ≡ 841 mod 947

8: 3888=3884+4=3884⋅3884 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 819 mod 947

16: 38816=3888+8=3888⋅3888 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 285 mod 947

32: 38832=38816+16=38816⋅38816 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 730 mod 947

64: 38864=38832+32=38832⋅38832 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 686 mod 947

128: 388128=38864+64=38864⋅38864 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 884 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 362184 mod 773.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:

184 = 128+32+16+8

1: 3621=362

2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 407 mod 773

4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 227 mod 773

8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 511 mod 773

16: 36216=3628+8=3628⋅3628 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 620 mod 773

32: 36232=36216+16=36216⋅36216 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 219 mod 773

64: 36264=36232+32=36232⋅36232 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 35 mod 773

128: 362128=36264+64=36264⋅36264 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 452 mod 773

362184

= 362128+32+16+8

= 362128⋅36232⋅36216⋅3628

452 ⋅ 219 ⋅ 620 ⋅ 511 mod 773
98988 ⋅ 620 ⋅ 511 mod 773 ≡ 44 ⋅ 620 ⋅ 511 mod 773
27280 ⋅ 511 mod 773 ≡ 225 ⋅ 511 mod 773
114975 mod 773 ≡ 571 mod 773

Es gilt also: 362184 ≡ 571 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52

=>73 = 1⋅52 + 21
=>52 = 2⋅21 + 10
=>21 = 2⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 52-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21)
= -2⋅52 +5⋅ 21 (=1)
21= 73-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52)
= 5⋅73 -7⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52

oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅73 = -7⋅52

-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52

-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1

(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1

66⋅52 = 47⋅73 + 1

Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1

Somit 66⋅52 = 1 mod 73

66 ist also das Inverse von 52 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.