Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 - 150) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 - 150) mod 3 ≡ (6000 mod 3 - 150 mod 3) mod 3.
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(6000 - 150) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 46) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 46) mod 9 ≡ (47 mod 9 ⋅ 46 mod 9) mod 9.
47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.
46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 46) mod 9 ≡ (2 ⋅ 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 408128 mod 487.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 408 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4081=408
2: 4082=4081+1=4081⋅4081 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 397 mod 487
4: 4084=4082+2=4082⋅4082 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 308 mod 487
8: 4088=4084+4=4084⋅4084 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 386 mod 487
16: 40816=4088+8=4088⋅4088 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 461 mod 487
32: 40832=40816+16=40816⋅40816 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 189 mod 487
64: 40864=40832+32=40832⋅40832 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 170 mod 487
128: 408128=40864+64=40864⋅40864 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 167 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 397245 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:
245 = 128+64+32+16+4+1
1: 3971=397
2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 274 mod 617
4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 419 mod 617
8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 333 mod 617
16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 446 mod 617
32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 242 mod 617
64: 39764=39732+32=39732⋅39732 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 566 mod 617
128: 397128=39764+64=39764⋅39764 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 133 mod 617
397245
= 397128+64+32+16+4+1
= 397128⋅39764⋅39732⋅39716⋅3974⋅3971
≡ 133 ⋅ 566 ⋅ 242 ⋅ 446 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617
≡ 75278 ⋅ 242 ⋅ 446 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617 ≡ 4 ⋅ 242 ⋅ 446 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617
≡ 968 ⋅ 446 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617 ≡ 351 ⋅ 446 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617
≡ 156546 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617 ≡ 445 ⋅ 419 ⋅ 397 mod 617
≡ 186455 ⋅ 397 mod 617 ≡ 121 ⋅ 397 mod 617
≡ 48037 mod 617 ≡ 528 mod 617
Es gilt also: 397245 ≡ 528 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32
| =>83 | = 2⋅32 + 19 |
| =>32 | = 1⋅19 + 13 |
| =>19 | = 1⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 19-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 32-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 83-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32)
= 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32
oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅83 = +13⋅32
Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1
Somit 13⋅32 = 1 mod 83
13 ist also das Inverse von 32 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
