Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27004 + 27005) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27004 + 27005) mod 9 ≡ (27004 mod 9 + 27005 mod 9) mod 9.
27004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27004
= 27000
27005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27005
= 27000
Somit gilt:
(27004 + 27005) mod 9 ≡ (4 + 5) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 82) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 82) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 82 mod 11) mod 11.
24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.
82 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 7 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 82) mod 11 ≡ (2 ⋅ 5) mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15032 mod 251.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 150 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1501=150
2: 1502=1501+1=1501⋅1501 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 161 mod 251
4: 1504=1502+2=1502⋅1502 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 68 mod 251
8: 1508=1504+4=1504⋅1504 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 106 mod 251
16: 15016=1508+8=1508⋅1508 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 192 mod 251
32: 15032=15016+16=15016⋅15016 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 218 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 152120 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 1521=152
2: 1522=1521+1=1521⋅1521 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 135 mod 223
4: 1524=1522+2=1522⋅1522 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 162 mod 223
8: 1528=1524+4=1524⋅1524 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 153 mod 223
16: 15216=1528+8=1528⋅1528 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 217 mod 223
32: 15232=15216+16=15216⋅15216 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 36 mod 223
64: 15264=15232+32=15232⋅15232 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 181 mod 223
152120
= 15264+32+16+8
= 15264⋅15232⋅15216⋅1528
≡ 181 ⋅ 36 ⋅ 217 ⋅ 153 mod 223
≡ 6516 ⋅ 217 ⋅ 153 mod 223 ≡ 49 ⋅ 217 ⋅ 153 mod 223
≡ 10633 ⋅ 153 mod 223 ≡ 152 ⋅ 153 mod 223
≡ 23256 mod 223 ≡ 64 mod 223
Es gilt also: 152120 ≡ 64 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 52
| =>79 | = 1⋅52 + 27 |
| =>52 | = 1⋅27 + 25 |
| =>27 | = 1⋅25 + 2 |
| =>25 | = 12⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-12⋅2 | |||
| 2= 27-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 52-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -12⋅27 +13⋅(52 -1⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅52 -13⋅ 27) = 13⋅52 -25⋅ 27 (=1) |
| 27= 79-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅52 -25⋅(79 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -25⋅79 +25⋅ 52) = -25⋅79 +38⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,52)=1 = -25⋅79 +38⋅52
oder wenn man -25⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +25⋅79 = +38⋅52
Es gilt also: 38⋅52 = 25⋅79 +1
Somit 38⋅52 = 1 mod 79
38 ist also das Inverse von 52 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
