Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1206 - 298) mod 6 ≡ (1206 mod 6 - 298 mod 6) mod 6.

1206 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1206 = 1200+6 = 6 ⋅ 200 +6.

298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 6 ⋅ 50 -2 = 6 ⋅ 50 - 6 + 4.

Somit gilt:

(1206 - 298) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 48) mod 4 ≡ (49 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.

49 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 12 ⋅ 4 + 1 ist.

48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 48) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 227¹=227

2: 227²=227¹⁺¹=227¹⋅227¹ ≡ 227⋅227=51529 ≡ 129 mod 257

4: 227⁴=227²⁺²=227²⋅227² ≡ 129⋅129=16641 ≡ 193 mod 257

8: 227⁸=227⁴⁺⁴=227⁴⋅227⁴ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257

16: 227¹⁶=227⁸⁺⁸=227⁸⋅227⁸ ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

32: 227³²=227¹⁶⁺¹⁶=227¹⁶⋅227¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

350¹²⁵

= 350^{64+32+16+8+4+1}

= 350⁶⁴⋅350³²⋅350¹⁶⋅350⁸⋅350⁴⋅350¹

≡ 5 ⋅ 150 ⋅ 89 ⋅ 180 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409
≡ 750 ⋅ 89 ⋅ 180 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409 ≡ 341 ⋅ 89 ⋅ 180 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409
≡ 30349 ⋅ 180 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409 ≡ 83 ⋅ 180 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409
≡ 14940 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409 ≡ 216 ⋅ 327 ⋅ 350 mod 409
≡ 70632 ⋅ 350 mod 409 ≡ 284 ⋅ 350 mod 409
≡ 99400 mod 409 ≡ 13 mod 409

Es gilt also: 350¹²⁵ ≡ 13 mod 409

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89