Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12001 + 8003) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12001 + 8003) mod 4 ≡ (12001 mod 4 + 8003 mod 4) mod 4.

12001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 4 ⋅ 3000 +1.

8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003 = 8000+3 = 4 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(12001 + 8003) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 95) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 95) mod 3 ≡ (23 mod 3 ⋅ 95 mod 3) mod 3.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 95) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5308 mod 769.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 530 -> x
2. mod(x²,769) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5301=530

2: 5302=5301+1=5301⋅5301 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 215 mod 769

4: 5304=5302+2=5302⋅5302 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 85 mod 769

8: 5308=5304+4=5304⋅5304 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 304 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 137253 mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

1: 1371=137

2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 109 mod 311

4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 63 mod 311

8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 237 mod 311

16: 13716=1378+8=1378⋅1378 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 189 mod 311

32: 13732=13716+16=13716⋅13716 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 267 mod 311

64: 13764=13732+32=13732⋅13732 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 70 mod 311

128: 137128=13764+64=13764⋅13764 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 235 mod 311

137253

= 137128+64+32+16+8+4+1

= 137128⋅13764⋅13732⋅13716⋅1378⋅1374⋅1371

235 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 137 mod 311
16450 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 137 mod 311 ≡ 278 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 137 mod 311
74226 ⋅ 189 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 137 mod 311 ≡ 208 ⋅ 189 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 137 mod 311
39312 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 137 mod 311 ≡ 126 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 137 mod 311
29862 ⋅ 63 ⋅ 137 mod 311 ≡ 6 ⋅ 63 ⋅ 137 mod 311
378 ⋅ 137 mod 311 ≡ 67 ⋅ 137 mod 311
9179 mod 311 ≡ 160 mod 311

Es gilt also: 137253 ≡ 160 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.

Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65

=>71 = 1⋅65 + 6
=>65 = 10⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 65-10⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6)
= -1⋅65 +11⋅ 6 (=1)
6= 71-1⋅65 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65)
= 11⋅71 -12⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -12⋅65

-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65

-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1

(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1

59⋅65 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1

Somit 59⋅65 = 1 mod 71

59 ist also das Inverse von 65 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.