Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8000 + 23993) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 + 23993) mod 8 ≡ (8000 mod 8 + 23993 mod 8) mod 8.

8000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 8 ⋅ 1000 +0.

23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993 = 23000+993 = 8 ⋅ 2875 +993.

Somit gilt:

(8000 + 23993) mod 8 ≡ (0 + 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 23) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 23) mod 6 ≡ (67 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.

67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.

23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 23) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 95232 mod 971.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 952 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 9521=952

2: 9522=9521+1=9521⋅9521 ≡ 952⋅952=906304 ≡ 361 mod 971

4: 9524=9522+2=9522⋅9522 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 207 mod 971

8: 9528=9524+4=9524⋅9524 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 125 mod 971

16: 95216=9528+8=9528⋅9528 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 89 mod 971

32: 95232=95216+16=95216⋅95216 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 153 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 501161 mod 859.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:

161 = 128+32+1

1: 5011=501

2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 173 mod 859

4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 723 mod 859

8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 457 mod 859

16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 112 mod 859

32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 518 mod 859

64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 316 mod 859

128: 501128=50164+64=50164⋅50164 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 212 mod 859

501161

= 501128+32+1

= 501128⋅50132⋅5011

212 ⋅ 518 ⋅ 501 mod 859
109816 ⋅ 501 mod 859 ≡ 723 ⋅ 501 mod 859
362223 mod 859 ≡ 584 mod 859

Es gilt also: 501161 ≡ 584 mod 859

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27

=>59 = 2⋅27 + 5
=>27 = 5⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5)
= -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27)
= 11⋅59 -24⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -24⋅27

-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27

-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1

(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1

35⋅27 = 16⋅59 + 1

Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1

Somit 35⋅27 = 1 mod 59

35 ist also das Inverse von 27 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.