Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5998 - 119) mod 3 ≡ (5998 mod 3 - 119 mod 3) mod 3.

5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 3 ⋅ 2000 -2 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 1.

119 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 3 ⋅ 40 -1 = 3 ⋅ 40 - 3 + 2.

Somit gilt:

(5998 - 119) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 45) mod 9 ≡ (53 mod 9 ⋅ 45 mod 9) mod 9.

53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 45) mod 9 ≡ (8 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 548¹=548

2: 548²=548¹⁺¹=548¹⋅548¹ ≡ 548⋅548=300304 ≡ 207 mod 997

4: 548⁴=548²⁺²=548²⋅548² ≡ 207⋅207=42849 ≡ 975 mod 997

8: 548⁸=548⁴⁺⁴=548⁴⋅548⁴ ≡ 975⋅975=950625 ≡ 484 mod 997

16: 548¹⁶=548⁸⁺⁸=548⁸⋅548⁸ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 958 mod 997

32: 548³²=548¹⁶⁺¹⁶=548¹⁶⋅548¹⁶ ≡ 958⋅958=917764 ≡ 524 mod 997

64: 548⁶⁴=548³²⁺³²=548³²⋅548³² ≡ 524⋅524=274576 ≡ 401 mod 997

128: 548¹²⁸=548⁶⁴⁺⁶⁴=548⁶⁴⋅548⁶⁴ ≡ 401⋅401=160801 ≡ 284 mod 997

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:

177 = 128+32+16+1

340¹⁷⁷

= 340^128+32+16+1

= 340¹²⁸⋅340³²⋅340¹⁶⋅340¹

≡ 246 ⋅ 424 ⋅ 348 ⋅ 340 mod 431
≡ 104304 ⋅ 348 ⋅ 340 mod 431 ≡ 2 ⋅ 348 ⋅ 340 mod 431
≡ 696 ⋅ 340 mod 431 ≡ 265 ⋅ 340 mod 431
≡ 90100 mod 431 ≡ 21 mod 431

Es gilt also: 340¹⁷⁷ ≡ 21 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53	= 1⋅42 + 11
=>42	= 3⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42) = 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53