Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3203 - 16004) mod 8 ≡ (3203 mod 8 - 16004 mod 8) mod 8.

3203 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3203 = 3200+3 = 8 ⋅ 400 +3.

16004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 8 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(3203 - 16004) mod 8 ≡ (3 - 4) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 33) mod 6 ≡ (66 mod 6 ⋅ 33 mod 6) mod 6.

66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 33) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 532¹=532

2: 532²=532¹⁺¹=532¹⋅532¹ ≡ 532⋅532=283024 ≡ 116 mod 661

4: 532⁴=532²⁺²=532²⋅532² ≡ 116⋅116=13456 ≡ 236 mod 661

8: 532⁸=532⁴⁺⁴=532⁴⋅532⁴ ≡ 236⋅236=55696 ≡ 172 mod 661

16: 532¹⁶=532⁸⁺⁸=532⁸⋅532⁸ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 500 mod 661

32: 532³²=532¹⁶⁺¹⁶=532¹⁶⋅532¹⁶ ≡ 500⋅500=250000 ≡ 142 mod 661

64: 532⁶⁴=532³²⁺³²=532³²⋅532³² ≡ 142⋅142=20164 ≡ 334 mod 661

128: 532¹²⁸=532⁶⁴⁺⁶⁴=532⁶⁴⋅532⁶⁴ ≡ 334⋅334=111556 ≡ 508 mod 661

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

216¹⁶²

= 216^128+32+2

= 216¹²⁸⋅216³²⋅216²

≡ 453 ⋅ 347 ⋅ 42 mod 457
≡ 157191 ⋅ 42 mod 457 ≡ 440 ⋅ 42 mod 457
≡ 18480 mod 457 ≡ 200 mod 457

Es gilt also: 216¹⁶² ≡ 200 mod 457

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61	= 1⋅34 + 27
=>34	= 1⋅27 + 7
=>27	= 3⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27) = -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34) = 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61