Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (200 + 246) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(200 + 246) mod 5 ≡ (200 mod 5 + 246 mod 5) mod 5.

200 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 5 ⋅ 40 +0.

246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 5 ⋅ 48 +6.

Somit gilt:

(200 + 246) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 88) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 88) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 88 mod 10) mod 10.

31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.

88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 88) mod 10 ≡ (1 ⋅ 8) mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30464 mod 941.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 304 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3041=304

2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 198 mod 941

4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 623 mod 941

8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 437 mod 941

16: 30416=3048+8=3048⋅3048 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 887 mod 941

32: 30432=30416+16=30416⋅30416 ≡ 887⋅887=786769 ≡ 93 mod 941

64: 30464=30432+32=30432⋅30432 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 180 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 705156 mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:

156 = 128+16+8+4

1: 7051=705

2: 7052=7051+1=7051⋅7051 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 709 mod 977

4: 7054=7052+2=7052⋅7052 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 503 mod 977

8: 7058=7054+4=7054⋅7054 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 943 mod 977

16: 70516=7058+8=7058⋅7058 ≡ 943⋅943=889249 ≡ 179 mod 977

32: 70532=70516+16=70516⋅70516 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 777 mod 977

64: 70564=70532+32=70532⋅70532 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 920 mod 977

128: 705128=70564+64=70564⋅70564 ≡ 920⋅920=846400 ≡ 318 mod 977

705156

= 705128+16+8+4

= 705128⋅70516⋅7058⋅7054

318 ⋅ 179 ⋅ 943 ⋅ 503 mod 977
56922 ⋅ 943 ⋅ 503 mod 977 ≡ 256 ⋅ 943 ⋅ 503 mod 977
241408 ⋅ 503 mod 977 ≡ 89 ⋅ 503 mod 977
44767 mod 977 ≡ 802 mod 977

Es gilt also: 705156 ≡ 802 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 80.

Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 80

=>83 = 1⋅80 + 3
=>80 = 26⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,80)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 80-26⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(80 -26⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅80 +26⋅ 3)
= -1⋅80 +27⋅ 3 (=1)
3= 83-1⋅80 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅80 +27⋅(83 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +27⋅83 -27⋅ 80)
= 27⋅83 -28⋅ 80 (=1)

Es gilt also: ggt(83,80)=1 = 27⋅83 -28⋅80

oder wenn man 27⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -27⋅83 = -28⋅80

-28⋅80 = -27⋅83 + 1 |+83⋅80

-28⋅80 + 83⋅80 = -27⋅83 + 83⋅80 + 1

(-28 + 83) ⋅ 80 = (-27 + 80) ⋅ 83 + 1

55⋅80 = 53⋅83 + 1

Es gilt also: 55⋅80 = 53⋅83 +1

Somit 55⋅80 = 1 mod 83

55 ist also das Inverse von 80 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.