Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (235 + 1604) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(235 + 1604) mod 8 ≡ (235 mod 8 + 1604 mod 8) mod 8.
235 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 235
= 240
1604 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604
= 1600
Somit gilt:
(235 + 1604) mod 8 ≡ (3 + 4) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 44) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 44) mod 5 ≡ (46 mod 5 ⋅ 44 mod 5) mod 5.
46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 9 ⋅ 5 + 1 ist.
44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 44) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26564 mod 349.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 265 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2651=265
2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 76 mod 349
4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 192 mod 349
8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 219 mod 349
16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 148 mod 349
32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 266 mod 349
64: 26564=26532+32=26532⋅26532 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 258 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 580185 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 5801=580
2: 5802=5801+1=5801⋅5801 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 310 mod 659
4: 5804=5802+2=5802⋅5802 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 545 mod 659
8: 5808=5804+4=5804⋅5804 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 475 mod 659
16: 58016=5808+8=5808⋅5808 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 247 mod 659
32: 58032=58016+16=58016⋅58016 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 381 mod 659
64: 58064=58032+32=58032⋅58032 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 181 mod 659
128: 580128=58064+64=58064⋅58064 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 470 mod 659
580185
= 580128+32+16+8+1
= 580128⋅58032⋅58016⋅5808⋅5801
≡ 470 ⋅ 381 ⋅ 247 ⋅ 475 ⋅ 580 mod 659
≡ 179070 ⋅ 247 ⋅ 475 ⋅ 580 mod 659 ≡ 481 ⋅ 247 ⋅ 475 ⋅ 580 mod 659
≡ 118807 ⋅ 475 ⋅ 580 mod 659 ≡ 187 ⋅ 475 ⋅ 580 mod 659
≡ 88825 ⋅ 580 mod 659 ≡ 519 ⋅ 580 mod 659
≡ 301020 mod 659 ≡ 516 mod 659
Es gilt also: 580185 ≡ 516 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 74.
Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74
| =>83 | = 1⋅74 + 9 |
| =>74 | = 8⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,74)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 74-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(74 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅74 +32⋅ 9) = -4⋅74 +33⋅ 9 (=1) |
| 9= 83-1⋅74 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅74 +33⋅(83 -1⋅ 74)
= -4⋅74 +33⋅83 -33⋅ 74) = 33⋅83 -37⋅ 74 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,74)=1 = 33⋅83 -37⋅74
oder wenn man 33⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅83 = -37⋅74
-37⋅74 = -33⋅83 + 1 |+83⋅74
-37⋅74 + 83⋅74 = -33⋅83 + 83⋅74 + 1
(-37 + 83) ⋅ 74 = (-33 + 74) ⋅ 83 + 1
46⋅74 = 41⋅83 + 1
Es gilt also: 46⋅74 = 41⋅83 +1
Somit 46⋅74 = 1 mod 83
46 ist also das Inverse von 74 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
