Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16001 + 7994) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16001 + 7994) mod 8 ≡ (16001 mod 8 + 7994 mod 8) mod 8.
16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
7994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7994
= 7000
Somit gilt:
(16001 + 7994) mod 8 ≡ (1 + 2) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 48) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 48) mod 6 ≡ (43 mod 6 ⋅ 48 mod 6) mod 6.
43 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 7 ⋅ 6 + 1 ist.
48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 48) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54564 mod 571.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 545 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5451=545
2: 5452=5451+1=5451⋅5451 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 105 mod 571
4: 5454=5452+2=5452⋅5452 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 176 mod 571
8: 5458=5454+4=5454⋅5454 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 142 mod 571
16: 54516=5458+8=5458⋅5458 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 179 mod 571
32: 54532=54516+16=54516⋅54516 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 65 mod 571
64: 54564=54532+32=54532⋅54532 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 228 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 777248 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:
248 = 128+64+32+16+8
1: 7771=777
2: 7772=7771+1=7771⋅7771 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 301 mod 937
4: 7774=7772+2=7772⋅7772 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 649 mod 937
8: 7778=7774+4=7774⋅7774 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 488 mod 937
16: 77716=7778+8=7778⋅7778 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 146 mod 937
32: 77732=77716+16=77716⋅77716 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 702 mod 937
64: 77764=77732+32=77732⋅77732 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 879 mod 937
128: 777128=77764+64=77764⋅77764 ≡ 879⋅879=772641 ≡ 553 mod 937
777248
= 777128+64+32+16+8
= 777128⋅77764⋅77732⋅77716⋅7778
≡ 553 ⋅ 879 ⋅ 702 ⋅ 146 ⋅ 488 mod 937
≡ 486087 ⋅ 702 ⋅ 146 ⋅ 488 mod 937 ≡ 721 ⋅ 702 ⋅ 146 ⋅ 488 mod 937
≡ 506142 ⋅ 146 ⋅ 488 mod 937 ≡ 162 ⋅ 146 ⋅ 488 mod 937
≡ 23652 ⋅ 488 mod 937 ≡ 227 ⋅ 488 mod 937
≡ 110776 mod 937 ≡ 210 mod 937
Es gilt also: 777248 ≡ 210 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51
| =>73 | = 1⋅51 + 22 |
| =>51 | = 2⋅22 + 7 |
| =>22 | = 3⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 22-3⋅7 | |||
| 7= 51-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅22 -3⋅(51 -2⋅ 22)
= 1⋅22 -3⋅51 +6⋅ 22) = -3⋅51 +7⋅ 22 (=1) |
| 22= 73-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅51 +7⋅(73 -1⋅ 51)
= -3⋅51 +7⋅73 -7⋅ 51) = 7⋅73 -10⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,51)=1 = 7⋅73 -10⋅51
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -10⋅51
-10⋅51 = -7⋅73 + 1 |+73⋅51
-10⋅51 + 73⋅51 = -7⋅73 + 73⋅51 + 1
(-10 + 73) ⋅ 51 = (-7 + 51) ⋅ 73 + 1
63⋅51 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 63⋅51 = 44⋅73 +1
Somit 63⋅51 = 1 mod 73
63 ist also das Inverse von 51 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
