Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2004 - 1999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2004 - 1999) mod 5 ≡ (2004 mod 5 - 1999 mod 5) mod 5.
2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
1999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
Somit gilt:
(2004 - 1999) mod 5 ≡ (4 - 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 86) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 86) mod 6 ≡ (37 mod 6 ⋅ 86 mod 6) mod 6.
37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.
86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 86) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24832 mod 419.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 248 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 330 mod 419
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 379 mod 419
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 343 mod 419
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 329 mod 419
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 139 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54496 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 96 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 96 an und zerlegen 96 in eine Summer von 2er-Potenzen:
96 = 64+32
1: 5441=544
2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 640 mod 769
4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 492 mod 769
8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 598 mod 769
16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 19 mod 769
32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 769
64: 54464=54432+32=54432⋅54432 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 360 mod 769
54496
= 54464+32
= 54464⋅54432
≡ 360 ⋅ 361 mod 769
≡ 129960 mod 769 ≡ 768 mod 769
Es gilt also: 54496 ≡ 768 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 46
| =>71 | = 1⋅46 + 25 |
| =>46 | = 1⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 46-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(46 -1⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅46 -6⋅ 25) = 6⋅46 -11⋅ 25 (=1) |
| 25= 71-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅46 -11⋅(71 -1⋅ 46)
= 6⋅46 -11⋅71 +11⋅ 46) = -11⋅71 +17⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,46)=1 = -11⋅71 +17⋅46
oder wenn man -11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅71 = +17⋅46
Es gilt also: 17⋅46 = 11⋅71 +1
Somit 17⋅46 = 1 mod 71
17 ist also das Inverse von 46 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
