Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (197 - 16002) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(197 - 16002) mod 4 ≡ (197 mod 4 - 16002 mod 4) mod 4.

197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197 = 200-3 = 4 ⋅ 50 -3 = 4 ⋅ 50 - 4 + 1.

16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002 = 16000+2 = 4 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(197 - 16002) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 58) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 58) mod 4 ≡ (38 mod 4 ⋅ 58 mod 4) mod 4.

38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 9 ⋅ 4 + 2 ist.

58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 58) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35132 mod 977.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 351 -> x
2. mod(x²,977) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3511=351

2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 99 mod 977

4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 31 mod 977

8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 31⋅31=961 ≡ 961 mod 977

16: 35116=3518+8=3518⋅3518 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 256 mod 977

32: 35132=35116+16=35116⋅35116 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 77 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 228198 mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:

198 = 128+64+4+2

1: 2281=228

2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 165 mod 751

4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 189 mod 751

8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 424 mod 751

16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 287 mod 751

32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 510 mod 751

64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 254 mod 751

128: 228128=22864+64=22864⋅22864 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 681 mod 751

228198

= 228128+64+4+2

= 228128⋅22864⋅2284⋅2282

681 ⋅ 254 ⋅ 189 ⋅ 165 mod 751
172974 ⋅ 189 ⋅ 165 mod 751 ≡ 244 ⋅ 189 ⋅ 165 mod 751
46116 ⋅ 165 mod 751 ≡ 305 ⋅ 165 mod 751
50325 mod 751 ≡ 8 mod 751

Es gilt also: 228198 ≡ 8 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38

=>79 = 2⋅38 + 3
=>38 = 12⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3)
= -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 79-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38)
= 13⋅79 -27⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -27⋅38

-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38

-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1

(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1

52⋅38 = 25⋅79 + 1

Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1

Somit 52⋅38 = 1 mod 79

52 ist also das Inverse von 38 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.