Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1196 - 16000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1196 - 16000) mod 4 ≡ (1196 mod 4 - 16000 mod 4) mod 4.
1196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1100
16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
Somit gilt:
(1196 - 16000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 81) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 81) mod 4 ≡ (16 mod 4 ⋅ 81 mod 4) mod 4.
16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 81) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7108 mod 997.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 710 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7101=710
2: 7102=7101+1=7101⋅7101 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 615 mod 997
4: 7104=7102+2=7102⋅7102 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 362 mod 997
8: 7108=7104+4=7104⋅7104 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 437 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34980 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 367 mod 547
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 127 mod 547
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 266 mod 547
16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 193 mod 547
32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 53 mod 547
64: 34964=34932+32=34932⋅34932 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 74 mod 547
34980
= 34964+16
= 34964⋅34916
≡ 74 ⋅ 193 mod 547
≡ 14282 mod 547 ≡ 60 mod 547
Es gilt also: 34980 ≡ 60 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24
| =>79 | = 3⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -23⋅24
-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24
-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1
(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1
56⋅24 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1
Somit 56⋅24 = 1 mod 79
56 ist also das Inverse von 24 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
