Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 - 14997) mod 5 ≡ (52 mod 5 - 14997 mod 5) mod 5.

52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50+2 = 5 ⋅ 10 +2.

14997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 14000+997 = 5 ⋅ 2800 +997.

Somit gilt:

(52 - 14997) mod 5 ≡ (2 - 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 74) mod 10 ≡ (77 mod 10 ⋅ 74 mod 10) mod 10.

77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.

74 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 7 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 74) mod 10 ≡ (7 ⋅ 4) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 429¹=429

2: 429²=429¹⁺¹=429¹⋅429¹ ≡ 429⋅429=184041 ≡ 407 mod 491

4: 429⁴=429²⁺²=429²⋅429² ≡ 407⋅407=165649 ≡ 182 mod 491

8: 429⁸=429⁴⁺⁴=429⁴⋅429⁴ ≡ 182⋅182=33124 ≡ 227 mod 491

16: 429¹⁶=429⁸⁺⁸=429⁸⋅429⁸ ≡ 227⋅227=51529 ≡ 465 mod 491

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

681²²⁷

= 681^{128+64+32+2+1}

= 681¹²⁸⋅681⁶⁴⋅681³²⋅681²⋅681¹

≡ 279 ⋅ 843 ⋅ 323 ⋅ 705 ⋅ 681 mod 877
≡ 235197 ⋅ 323 ⋅ 705 ⋅ 681 mod 877 ≡ 161 ⋅ 323 ⋅ 705 ⋅ 681 mod 877
≡ 52003 ⋅ 705 ⋅ 681 mod 877 ≡ 260 ⋅ 705 ⋅ 681 mod 877
≡ 183300 ⋅ 681 mod 877 ≡ 7 ⋅ 681 mod 877
≡ 4767 mod 877 ≡ 382 mod 877

Es gilt also: 681²²⁷ ≡ 382 mod 877

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21

=>53	= 2⋅21 + 11
=>21	= 1⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 53-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21) = -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -5⋅21

-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21

-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1

(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1

48⋅21 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1

Somit 48⋅21 = 1 mod 53

48 ist also das Inverse von 21 mod 53