Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1500 - 25005) mod 5 ≡ (1500 mod 5 - 25005 mod 5) mod 5.

1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 5 ⋅ 300 +0.

25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005 = 25000+5 = 5 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(1500 - 25005) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 73) mod 9 ≡ (93 mod 9 ⋅ 73 mod 9) mod 9.

93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 73) mod 9 ≡ (3 ⋅ 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 569¹=569

2: 569²=569¹⁺¹=569¹⋅569¹ ≡ 569⋅569=323761 ≡ 48 mod 673

4: 569⁴=569²⁺²=569²⋅569² ≡ 48⋅48=2304 ≡ 285 mod 673

8: 569⁸=569⁴⁺⁴=569⁴⋅569⁴ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 465 mod 673

16: 569¹⁶=569⁸⁺⁸=569⁸⋅569⁸ ≡ 465⋅465=216225 ≡ 192 mod 673

32: 569³²=569¹⁶⁺¹⁶=569¹⁶⋅569¹⁶ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 522 mod 673

64: 569⁶⁴=569³²⁺³²=569³²⋅569³² ≡ 522⋅522=272484 ≡ 592 mod 673

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:

216 = 128+64+16+8

137²¹⁶

= 137^128+64+16+8

= 137¹²⁸⋅137⁶⁴⋅137¹⁶⋅137⁸

≡ 75 ⋅ 126 ⋅ 217 ⋅ 149 mod 229
≡ 9450 ⋅ 217 ⋅ 149 mod 229 ≡ 61 ⋅ 217 ⋅ 149 mod 229
≡ 13237 ⋅ 149 mod 229 ≡ 184 ⋅ 149 mod 229
≡ 27416 mod 229 ≡ 165 mod 229

Es gilt also: 137²¹⁶ ≡ 165 mod 229

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101	= 1⋅52 + 49
=>52	= 1⋅49 + 3
=>49	= 16⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49) = 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52) = -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101