Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9995 + 1501) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9995 + 1501) mod 5 ≡ (9995 mod 5 + 1501 mod 5) mod 5.
9995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9995
= 9000
1501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501
= 1500
Somit gilt:
(9995 + 1501) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 47) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 47) mod 6 ≡ (21 mod 6 ⋅ 47 mod 6) mod 6.
21 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 3 ⋅ 6 + 3 ist.
47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 47) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49816 mod 659.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 498 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4981=498
2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 220 mod 659
4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 293 mod 659
8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 179 mod 659
16: 49816=4988+8=4988⋅4988 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 409 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 390155 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:
155 = 128+16+8+2+1
1: 3901=390
2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 214 mod 571
4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 116 mod 571
8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 323 mod 571
16: 39016=3908+8=3908⋅3908 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 407 mod 571
32: 39032=39016+16=39016⋅39016 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 59 mod 571
64: 39064=39032+32=39032⋅39032 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 55 mod 571
128: 390128=39064+64=39064⋅39064 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 170 mod 571
390155
= 390128+16+8+2+1
= 390128⋅39016⋅3908⋅3902⋅3901
≡ 170 ⋅ 407 ⋅ 323 ⋅ 214 ⋅ 390 mod 571
≡ 69190 ⋅ 323 ⋅ 214 ⋅ 390 mod 571 ≡ 99 ⋅ 323 ⋅ 214 ⋅ 390 mod 571
≡ 31977 ⋅ 214 ⋅ 390 mod 571 ≡ 1 ⋅ 214 ⋅ 390 mod 571
≡ 214 ⋅ 390 mod 571
≡ 83460 mod 571 ≡ 94 mod 571
Es gilt also: 390155 ≡ 94 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28
| =>71 | = 2⋅28 + 15 |
| =>28 | = 1⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 28-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15) = 7⋅28 -13⋅ 15 (=1) |
| 15= 71-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28) = -13⋅71 +33⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +33⋅28
Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1
Somit 33⋅28 = 1 mod 71
33 ist also das Inverse von 28 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
