Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26995 - 45000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26995 - 45000) mod 9 ≡ (26995 mod 9 - 45000 mod 9) mod 9.
26995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26995
= 27000
45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000
= 45000
Somit gilt:
(26995 - 45000) mod 9 ≡ (4 - 0) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 20) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 20) mod 8 ≡ (74 mod 8 ⋅ 20 mod 8) mod 8.
74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.
20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 20) mod 8 ≡ (2 ⋅ 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16416 mod 293.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 164 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1641=164
2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 233 mod 293
4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 84 mod 293
8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 24 mod 293
16: 16416=1648+8=1648⋅1648 ≡ 24⋅24=576 ≡ 283 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 237150 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 165 mod 359
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 300 mod 359
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 250 mod 359
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 34 mod 359
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 79 mod 359
64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 138 mod 359
128: 237128=23764+64=23764⋅23764 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 17 mod 359
237150
= 237128+16+4+2
= 237128⋅23716⋅2374⋅2372
≡ 17 ⋅ 34 ⋅ 300 ⋅ 165 mod 359
≡ 578 ⋅ 300 ⋅ 165 mod 359 ≡ 219 ⋅ 300 ⋅ 165 mod 359
≡ 65700 ⋅ 165 mod 359 ≡ 3 ⋅ 165 mod 359
≡ 495 mod 359 ≡ 136 mod 359
Es gilt also: 237150 ≡ 136 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49
| =>59 | = 1⋅49 + 10 |
| =>49 | = 4⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 49-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10) = -1⋅49 +5⋅ 10 (=1) |
| 10= 59-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49) = 5⋅59 -6⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -6⋅49
-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49
-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1
(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1
53⋅49 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1
Somit 53⋅49 = 1 mod 59
53 ist also das Inverse von 49 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
