Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (701 + 208) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(701 + 208) mod 7 ≡ (701 mod 7 + 208 mod 7) mod 7.
701 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 701
= 700
208 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 208
= 210
Somit gilt:
(701 + 208) mod 7 ≡ (1 + 5) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 55) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 55) mod 8 ≡ (61 mod 8 ⋅ 55 mod 8) mod 8.
61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.
55 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 48 + 7 = 6 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 55) mod 8 ≡ (5 ⋅ 7) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2348 mod 457.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 373 mod 457
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 201 mod 457
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 185 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 232229 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:
229 = 128+64+32+4+1
1: 2321=232
2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 86 mod 277
4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 194 mod 277
8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 241 mod 277
16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 188 mod 277
32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 165 mod 277
64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 79 mod 277
128: 232128=23264+64=23264⋅23264 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 147 mod 277
232229
= 232128+64+32+4+1
= 232128⋅23264⋅23232⋅2324⋅2321
≡ 147 ⋅ 79 ⋅ 165 ⋅ 194 ⋅ 232 mod 277
≡ 11613 ⋅ 165 ⋅ 194 ⋅ 232 mod 277 ≡ 256 ⋅ 165 ⋅ 194 ⋅ 232 mod 277
≡ 42240 ⋅ 194 ⋅ 232 mod 277 ≡ 136 ⋅ 194 ⋅ 232 mod 277
≡ 26384 ⋅ 232 mod 277 ≡ 69 ⋅ 232 mod 277
≡ 16008 mod 277 ≡ 219 mod 277
Es gilt also: 232229 ≡ 219 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38
| =>79 | = 2⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 79-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -27⋅38
-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38
-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1
(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1
52⋅38 = 25⋅79 + 1
Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1
Somit 52⋅38 = 1 mod 79
52 ist also das Inverse von 38 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
