Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (124 + 162) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(124 + 162) mod 4 ≡ (124 mod 4 + 162 mod 4) mod 4.
124 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124
= 120
162 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 162
= 160
Somit gilt:
(124 + 162) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 84) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 84) mod 6 ≡ (28 mod 6 ⋅ 84 mod 6) mod 6.
28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.
84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 84) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5198 mod 719.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 519 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5191=519
2: 5192=5191+1=5191⋅5191 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 455 mod 719
4: 5194=5192+2=5192⋅5192 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 672 mod 719
8: 5198=5194+4=5194⋅5194 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 52 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 84142 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 841=84
2: 842=841+1=841⋅841 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 66 mod 233
4: 844=842+2=842⋅842 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 162 mod 233
8: 848=844+4=844⋅844 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 148 mod 233
16: 8416=848+8=848⋅848 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 2 mod 233
32: 8432=8416+16=8416⋅8416 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 233
64: 8464=8432+32=8432⋅8432 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233
128: 84128=8464+64=8464⋅8464 ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233
84142
= 84128+8+4+2
= 84128⋅848⋅844⋅842
≡ 23 ⋅ 148 ⋅ 162 ⋅ 66 mod 233
≡ 3404 ⋅ 162 ⋅ 66 mod 233 ≡ 142 ⋅ 162 ⋅ 66 mod 233
≡ 23004 ⋅ 66 mod 233 ≡ 170 ⋅ 66 mod 233
≡ 11220 mod 233 ≡ 36 mod 233
Es gilt also: 84142 ≡ 36 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 71
| =>83 | = 1⋅71 + 12 |
| =>71 | = 5⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 71-5⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(71 -5⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅71 +5⋅ 12) = -1⋅71 +6⋅ 12 (=1) |
| 12= 83-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +6⋅(83 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +6⋅83 -6⋅ 71) = 6⋅83 -7⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,71)=1 = 6⋅83 -7⋅71
oder wenn man 6⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅83 = -7⋅71
-7⋅71 = -6⋅83 + 1 |+83⋅71
-7⋅71 + 83⋅71 = -6⋅83 + 83⋅71 + 1
(-7 + 83) ⋅ 71 = (-6 + 71) ⋅ 83 + 1
76⋅71 = 65⋅83 + 1
Es gilt also: 76⋅71 = 65⋅83 +1
Somit 76⋅71 = 1 mod 83
76 ist also das Inverse von 71 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
