Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40007 + 398) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40007 + 398) mod 8 ≡ (40007 mod 8 + 398 mod 8) mod 8.
40007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40007
= 40000
398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398
= 400
Somit gilt:
(40007 + 398) mod 8 ≡ (7 + 6) mod 8 ≡ 13 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 65) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 65) mod 6 ≡ (34 mod 6 ⋅ 65 mod 6) mod 6.
34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.
65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 10 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 65) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 176128 mod 233.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 176 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1761=176
2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 220 mod 233
4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 169 mod 233
8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 135 mod 233
16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233
32: 17632=17616+16=17616⋅17616 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233
64: 17664=17632+32=17632⋅17632 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233
128: 176128=17664+64=17664⋅17664 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 19 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 392185 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 3921=392
2: 3922=3921+1=3921⋅3921 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 672 mod 683
4: 3924=3922+2=3922⋅3922 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 121 mod 683
8: 3928=3924+4=3924⋅3924 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 298 mod 683
16: 39216=3928+8=3928⋅3928 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 14 mod 683
32: 39232=39216+16=39216⋅39216 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 683
64: 39264=39232+32=39232⋅39232 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 168 mod 683
128: 392128=39264+64=39264⋅39264 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 221 mod 683
392185
= 392128+32+16+8+1
= 392128⋅39232⋅39216⋅3928⋅3921
≡ 221 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 298 ⋅ 392 mod 683
≡ 43316 ⋅ 14 ⋅ 298 ⋅ 392 mod 683 ≡ 287 ⋅ 14 ⋅ 298 ⋅ 392 mod 683
≡ 4018 ⋅ 298 ⋅ 392 mod 683 ≡ 603 ⋅ 298 ⋅ 392 mod 683
≡ 179694 ⋅ 392 mod 683 ≡ 65 ⋅ 392 mod 683
≡ 25480 mod 683 ≡ 209 mod 683
Es gilt also: 392185 ≡ 209 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 32
| =>61 | = 1⋅32 + 29 |
| =>32 | = 1⋅29 + 3 |
| =>29 | = 9⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 29-9⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1) |
| 3= 32-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +10⋅(32 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅32 -10⋅ 29) = 10⋅32 -11⋅ 29 (=1) |
| 29= 61-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅32 -11⋅(61 -1⋅ 32)
= 10⋅32 -11⋅61 +11⋅ 32) = -11⋅61 +21⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,32)=1 = -11⋅61 +21⋅32
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +21⋅32
Es gilt also: 21⋅32 = 11⋅61 +1
Somit 21⋅32 = 1 mod 61
21 ist also das Inverse von 32 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
