Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (328 - 3200) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(328 - 3200) mod 8 ≡ (328 mod 8 - 3200 mod 8) mod 8.
328 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 328
= 320
3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200
= 3200
Somit gilt:
(328 - 3200) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 36) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 36) mod 5 ≡ (66 mod 5 ⋅ 36 mod 5) mod 5.
66 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 65 + 1 = 13 ⋅ 5 + 1 ist.
36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 36) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31932 mod 617.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 319 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3191=319
2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 573 mod 617
4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 85 mod 617
8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 438 mod 617
16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 574 mod 617
32: 31932=31916+16=31916⋅31916 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 615 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 337245 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:
245 = 128+64+32+16+4+1
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 512 mod 521
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 81 mod 521
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 309 mod 521
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 138 mod 521
32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 288 mod 521
64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 105 mod 521
128: 337128=33764+64=33764⋅33764 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 84 mod 521
337245
= 337128+64+32+16+4+1
= 337128⋅33764⋅33732⋅33716⋅3374⋅3371
≡ 84 ⋅ 105 ⋅ 288 ⋅ 138 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521
≡ 8820 ⋅ 288 ⋅ 138 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521 ≡ 484 ⋅ 288 ⋅ 138 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521
≡ 139392 ⋅ 138 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521 ≡ 285 ⋅ 138 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521
≡ 39330 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521 ≡ 255 ⋅ 81 ⋅ 337 mod 521
≡ 20655 ⋅ 337 mod 521 ≡ 336 ⋅ 337 mod 521
≡ 113232 mod 521 ≡ 175 mod 521
Es gilt also: 337245 ≡ 175 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29
| =>53 | = 1⋅29 + 24 |
| =>29 | = 1⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 29-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1) |
| 24= 53-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29
oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅53 = +11⋅29
Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1
Somit 11⋅29 = 1 mod 53
11 ist also das Inverse von 29 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
