Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9000 - 1800) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9000 - 1800) mod 9 ≡ (9000 mod 9 - 1800 mod 9) mod 9.
9000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800
= 1800
Somit gilt:
(9000 - 1800) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 16) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 16) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 16 mod 9) mod 9.
41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.
16 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 9 + 7 = 1 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 16) mod 9 ≡ (5 ⋅ 7) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19332 mod 439.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 193 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1931=193
2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 373 mod 439
4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 405 mod 439
8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 278 mod 439
16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 20 mod 439
32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 165238 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 1651=165
2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 358 mod 401
4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 245 mod 401
8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 276 mod 401
16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 387 mod 401
32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 196 mod 401
64: 16564=16532+32=16532⋅16532 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 321 mod 401
128: 165128=16564+64=16564⋅16564 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 385 mod 401
165238
= 165128+64+32+8+4+2
= 165128⋅16564⋅16532⋅1658⋅1654⋅1652
≡ 385 ⋅ 321 ⋅ 196 ⋅ 276 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401
≡ 123585 ⋅ 196 ⋅ 276 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401 ≡ 77 ⋅ 196 ⋅ 276 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401
≡ 15092 ⋅ 276 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401 ≡ 255 ⋅ 276 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401
≡ 70380 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401 ≡ 205 ⋅ 245 ⋅ 358 mod 401
≡ 50225 ⋅ 358 mod 401 ≡ 100 ⋅ 358 mod 401
≡ 35800 mod 401 ≡ 111 mod 401
Es gilt also: 165238 ≡ 111 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29
| =>73 | = 2⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29) = 2⋅73 -5⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29
oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅73 = -5⋅29
-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29
-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1
(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1
68⋅29 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1
Somit 68⋅29 = 1 mod 73
68 ist also das Inverse von 29 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
