Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20005 + 4996) mod 5 ≡ (20005 mod 5 + 4996 mod 5) mod 5.

20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005 = 20000+5 = 5 ⋅ 4000 +5.

4996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4996 = 4000+996 = 5 ⋅ 800 +996.

Somit gilt:

(20005 + 4996) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 85) mod 6 ≡ (84 mod 6 ⋅ 85 mod 6) mod 6.

84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.

85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 85) mod 6 ≡ (0 ⋅ 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 97¹=97

2: 97²=97¹⁺¹=97¹⋅97¹ ≡ 97⋅97=9409 ≡ 199 mod 307

4: 97⁴=97²⁺²=97²⋅97² ≡ 199⋅199=39601 ≡ 305 mod 307

8: 97⁸=97⁴⁺⁴=97⁴⋅97⁴ ≡ 305⋅305=93025 ≡ 4 mod 307

16: 97¹⁶=97⁸⁺⁸=97⁸⋅97⁸ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 307

32: 97³²=97¹⁶⁺¹⁶=97¹⁶⋅97¹⁶ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 307

64: 97⁶⁴=97³²⁺³²=97³²⋅97³² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 145 mod 307

128: 97¹²⁸=97⁶⁴⁺⁶⁴=97⁶⁴⋅97⁶⁴ ≡ 145⋅145=21025 ≡ 149 mod 307

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

149²³¹

= 149^{128+64+32+4+2+1}

= 149¹²⁸⋅149⁶⁴⋅149³²⋅149⁴⋅149²⋅149¹

≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 35 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257
≡ 4096 ⋅ 4 ⋅ 35 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257 ≡ 241 ⋅ 4 ⋅ 35 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257
≡ 964 ⋅ 35 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257 ≡ 193 ⋅ 35 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257
≡ 6755 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257 ≡ 73 ⋅ 99 ⋅ 149 mod 257
≡ 7227 ⋅ 149 mod 257 ≡ 31 ⋅ 149 mod 257
≡ 4619 mod 257 ≡ 250 mod 257

Es gilt also: 149²³¹ ≡ 250 mod 257

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36

=>67	= 1⋅36 + 31
=>36	= 1⋅31 + 5
=>31	= 6⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-6⋅5
5= 36-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31) = 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31) = -6⋅36 +7⋅ 31 (=1)
31= 67-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36) = -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36) = 7⋅67 -13⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36

oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅67 = -13⋅36

-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36

-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1

(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1

54⋅36 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1

Somit 54⋅36 = 1 mod 67

54 ist also das Inverse von 36 mod 67