Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (603 - 901) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(603 - 901) mod 3 ≡ (603 mod 3 - 901 mod 3) mod 3.
603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603
= 600
901 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901
= 900
Somit gilt:
(603 - 901) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 67) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 67) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 67 mod 4) mod 4.
93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.
67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 67) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66564 mod 911.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 665 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6651=665
2: 6652=6651+1=6651⋅6651 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 390 mod 911
4: 6654=6652+2=6652⋅6652 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 874 mod 911
8: 6658=6654+4=6654⋅6654 ≡ 874⋅874=763876 ≡ 458 mod 911
16: 66516=6658+8=6658⋅6658 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 234 mod 911
32: 66532=66516+16=66516⋅66516 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 96 mod 911
64: 66564=66532+32=66532⋅66532 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 106 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64998 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 6491=649
2: 6492=6491+1=6491⋅6491 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 473 mod 683
4: 6494=6492+2=6492⋅6492 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 388 mod 683
8: 6498=6494+4=6494⋅6494 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 284 mod 683
16: 64916=6498+8=6498⋅6498 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 62 mod 683
32: 64932=64916+16=64916⋅64916 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 429 mod 683
64: 64964=64932+32=64932⋅64932 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 314 mod 683
64998
= 64964+32+2
= 64964⋅64932⋅6492
≡ 314 ⋅ 429 ⋅ 473 mod 683
≡ 134706 ⋅ 473 mod 683 ≡ 155 ⋅ 473 mod 683
≡ 73315 mod 683 ≡ 234 mod 683
Es gilt also: 64998 ≡ 234 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33
| =>79 | = 2⋅33 + 13 |
| =>33 | = 2⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 33-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1) |
| 13= 79-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +12⋅33
Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1
Somit 12⋅33 = 1 mod 79
12 ist also das Inverse von 33 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
