Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(355 + 700) mod 7 ≡ (355 mod 7 + 700 mod 7) mod 7.

355 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 355 = 350+5 = 7 ⋅ 50 +5.

700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700 = 700+0 = 7 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(355 + 700) mod 7 ≡ (5 + 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 63) mod 5 ≡ (69 mod 5 ⋅ 63 mod 5) mod 5.

69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 63) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 642¹=642

2: 642²=642¹⁺¹=642¹⋅642¹ ≡ 642⋅642=412164 ≡ 548 mod 677

4: 642⁴=642²⁺²=642²⋅642² ≡ 548⋅548=300304 ≡ 393 mod 677

8: 642⁸=642⁴⁺⁴=642⁴⋅642⁴ ≡ 393⋅393=154449 ≡ 93 mod 677

16: 642¹⁶=642⁸⁺⁸=642⁸⋅642⁸ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 525 mod 677

32: 642³²=642¹⁶⁺¹⁶=642¹⁶⋅642¹⁶ ≡ 525⋅525=275625 ≡ 86 mod 677

64: 642⁶⁴=642³²⁺³²=642³²⋅642³² ≡ 86⋅86=7396 ≡ 626 mod 677

128: 642¹²⁸=642⁶⁴⁺⁶⁴=642⁶⁴⋅642⁶⁴ ≡ 626⋅626=391876 ≡ 570 mod 677

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:

89 = 64+16+8+1

191⁸⁹

= 191^64+16+8+1

= 191⁶⁴⋅191¹⁶⋅191⁸⋅191¹

≡ 108 ⋅ 181 ⋅ 33 ⋅ 191 mod 227
≡ 19548 ⋅ 33 ⋅ 191 mod 227 ≡ 26 ⋅ 33 ⋅ 191 mod 227
≡ 858 ⋅ 191 mod 227 ≡ 177 ⋅ 191 mod 227
≡ 33807 mod 227 ≡ 211 mod 227

Es gilt also: 191⁸⁹ ≡ 211 mod 227

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83	= 2⋅32 + 19
=>32	= 1⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32) = 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83