Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (301 + 1500) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(301 + 1500) mod 3 ≡ (301 mod 3 + 1500 mod 3) mod 3.
301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
Somit gilt:
(301 + 1500) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 32) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 32) mod 11 ≡ (62 mod 11 ⋅ 32 mod 11) mod 11.
62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.
32 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 22 + 10 = 2 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 32) mod 11 ≡ (7 ⋅ 10) mod 11 ≡ 70 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57316 mod 607.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 573 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5731=573
2: 5732=5731+1=5731⋅5731 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 549 mod 607
4: 5734=5732+2=5732⋅5732 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 329 mod 607
8: 5738=5734+4=5734⋅5734 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 195 mod 607
16: 57316=5738+8=5738⋅5738 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 391 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 720216 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:
216 = 128+64+16+8
1: 7201=720
2: 7202=7201+1=7201⋅7201 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 733 mod 823
4: 7204=7202+2=7202⋅7202 ≡ 733⋅733=537289 ≡ 693 mod 823
8: 7208=7204+4=7204⋅7204 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 440 mod 823
16: 72016=7208+8=7208⋅7208 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 195 mod 823
32: 72032=72016+16=72016⋅72016 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 167 mod 823
64: 72064=72032+32=72032⋅72032 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 730 mod 823
128: 720128=72064+64=72064⋅72064 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 419 mod 823
720216
= 720128+64+16+8
= 720128⋅72064⋅72016⋅7208
≡ 419 ⋅ 730 ⋅ 195 ⋅ 440 mod 823
≡ 305870 ⋅ 195 ⋅ 440 mod 823 ≡ 537 ⋅ 195 ⋅ 440 mod 823
≡ 104715 ⋅ 440 mod 823 ≡ 194 ⋅ 440 mod 823
≡ 85360 mod 823 ≡ 591 mod 823
Es gilt also: 720216 ≡ 591 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53
| =>71 | = 1⋅53 + 18 |
| =>53 | = 2⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 53-2⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18) = -1⋅53 +3⋅ 18 (=1) |
| 18= 71-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53) = 3⋅71 -4⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53
oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅71 = -4⋅53
-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53
-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1
(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1
67⋅53 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1
Somit 67⋅53 = 1 mod 71
67 ist also das Inverse von 53 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
