Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2998 + 600) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2998 + 600) mod 6 ≡ (2998 mod 6 + 600 mod 6) mod 6.
2998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998
= 3000
600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
Somit gilt:
(2998 + 600) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 95) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 95) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 95 mod 11) mod 11.
85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.
95 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 8 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 95) mod 11 ≡ (8 ⋅ 7) mod 11 ≡ 56 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 71416 mod 797.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 714 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7141=714
2: 7142=7141+1=7141⋅7141 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 513 mod 797
4: 7144=7142+2=7142⋅7142 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 159 mod 797
8: 7148=7144+4=7144⋅7144 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 574 mod 797
16: 71416=7148+8=7148⋅7148 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 315 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 606198 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 6061=606
2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 577 mod 983
4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 675 mod 983
8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 496 mod 983
16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 266 mod 983
32: 60632=60616+16=60616⋅60616 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 963 mod 983
64: 60664=60632+32=60632⋅60632 ≡ 963⋅963=927369 ≡ 400 mod 983
128: 606128=60664+64=60664⋅60664 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 754 mod 983
606198
= 606128+64+4+2
= 606128⋅60664⋅6064⋅6062
≡ 754 ⋅ 400 ⋅ 675 ⋅ 577 mod 983
≡ 301600 ⋅ 675 ⋅ 577 mod 983 ≡ 802 ⋅ 675 ⋅ 577 mod 983
≡ 541350 ⋅ 577 mod 983 ≡ 700 ⋅ 577 mod 983
≡ 403900 mod 983 ≡ 870 mod 983
Es gilt also: 606198 ≡ 870 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 72
| =>97 | = 1⋅72 + 25 |
| =>72 | = 2⋅25 + 22 |
| =>25 | = 1⋅22 + 3 |
| =>22 | = 7⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 22-7⋅3 | |||
| 3= 25-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅22 -7⋅(25 -1⋅ 22)
= 1⋅22 -7⋅25 +7⋅ 22) = -7⋅25 +8⋅ 22 (=1) |
| 22= 72-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅25 +8⋅(72 -2⋅ 25)
= -7⋅25 +8⋅72 -16⋅ 25) = 8⋅72 -23⋅ 25 (=1) |
| 25= 97-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅72 -23⋅(97 -1⋅ 72)
= 8⋅72 -23⋅97 +23⋅ 72) = -23⋅97 +31⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,72)=1 = -23⋅97 +31⋅72
oder wenn man -23⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅97 = +31⋅72
Es gilt also: 31⋅72 = 23⋅97 +1
Somit 31⋅72 = 1 mod 97
31 ist also das Inverse von 72 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
