Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(251 - 199) mod 5 ≡ (251 mod 5 - 199 mod 5) mod 5.

251 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 251 = 250+1 = 5 ⋅ 50 +1.

199 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 199 = 190+9 = 5 ⋅ 38 +9.

Somit gilt:

(251 - 199) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 16) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 16 mod 8) mod 8.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

16 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 2 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 16) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 211¹=211

2: 211²=211¹⁺¹=211¹⋅211¹ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 167 mod 331

4: 211⁴=211²⁺²=211²⋅211² ≡ 167⋅167=27889 ≡ 85 mod 331

8: 211⁸=211⁴⁺⁴=211⁴⋅211⁴ ≡ 85⋅85=7225 ≡ 274 mod 331

16: 211¹⁶=211⁸⁺⁸=211⁸⋅211⁸ ≡ 274⋅274=75076 ≡ 270 mod 331

32: 211³²=211¹⁶⁺¹⁶=211¹⁶⋅211¹⁶ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 80 mod 331

64: 211⁶⁴=211³²⁺³²=211³²⋅211³² ≡ 80⋅80=6400 ≡ 111 mod 331

128: 211¹²⁸=211⁶⁴⁺⁶⁴=211⁶⁴⋅211⁶⁴ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 74 mod 331

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:

103 = 64+32+4+2+1

400¹⁰³

= 400^64+32+4+2+1

= 400⁶⁴⋅400³²⋅400⁴⋅400²⋅400¹

≡ 965 ⋅ 927 ⋅ 588 ⋅ 756 ⋅ 400 mod 971
≡ 894555 ⋅ 588 ⋅ 756 ⋅ 400 mod 971 ≡ 264 ⋅ 588 ⋅ 756 ⋅ 400 mod 971
≡ 155232 ⋅ 756 ⋅ 400 mod 971 ≡ 843 ⋅ 756 ⋅ 400 mod 971
≡ 637308 ⋅ 400 mod 971 ≡ 332 ⋅ 400 mod 971
≡ 132800 mod 971 ≡ 744 mod 971

Es gilt also: 400¹⁰³ ≡ 744 mod 971

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 35

=>67	= 1⋅35 + 32
=>35	= 1⋅32 + 3
=>32	= 10⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 32-10⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1)
3= 35-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅32 +11⋅(35 -1⋅ 32) = -1⋅32 +11⋅35 -11⋅ 32) = 11⋅35 -12⋅ 32 (=1)
32= 67-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅35 -12⋅(67 -1⋅ 35) = 11⋅35 -12⋅67 +12⋅ 35) = -12⋅67 +23⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(67,35)=1 = -12⋅67 +23⋅35

oder wenn man -12⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +12⋅67 = +23⋅35

Es gilt also: 23⋅35 = 12⋅67 +1

Somit 23⋅35 = 1 mod 67

23 ist also das Inverse von 35 mod 67