Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1201 + 24002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1201 + 24002) mod 6 ≡ (1201 mod 6 + 24002 mod 6) mod 6.
1201 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
24002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002
= 24000
Somit gilt:
(1201 + 24002) mod 6 ≡ (1 + 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 18) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 18) mod 9 ≡ (75 mod 9 ⋅ 18 mod 9) mod 9.
75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.
18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 18) mod 9 ≡ (3 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23164 mod 577.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 231 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2311=231
2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 277 mod 577
4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 565 mod 577
8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 144 mod 577
16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 541 mod 577
32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 142 mod 577
64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 546 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43873 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 4381=438
2: 4382=4381+1=4381⋅4381 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 162 mod 463
4: 4384=4382+2=4382⋅4382 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 316 mod 463
8: 4388=4384+4=4384⋅4384 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 311 mod 463
16: 43816=4388+8=4388⋅4388 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 417 mod 463
32: 43832=43816+16=43816⋅43816 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 264 mod 463
64: 43864=43832+32=43832⋅43832 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 246 mod 463
43873
= 43864+8+1
= 43864⋅4388⋅4381
≡ 246 ⋅ 311 ⋅ 438 mod 463
≡ 76506 ⋅ 438 mod 463 ≡ 111 ⋅ 438 mod 463
≡ 48618 mod 463 ≡ 3 mod 463
Es gilt also: 43873 ≡ 3 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21
| =>53 | = 2⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -5⋅21
-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21
-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1
(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1
48⋅21 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1
Somit 48⋅21 = 1 mod 53
48 ist also das Inverse von 21 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
