Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2097 - 21007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2097 - 21007) mod 7 ≡ (2097 mod 7 - 21007 mod 7) mod 7.
2097 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2097
= 2100
21007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21007
= 21000
Somit gilt:
(2097 - 21007) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 53) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 53) mod 4 ≡ (58 mod 4 ⋅ 53 mod 4) mod 4.
58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.
53 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 52 + 1 = 13 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 53) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66564 mod 919.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 665 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6651=665
2: 6652=6651+1=6651⋅6651 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 186 mod 919
4: 6654=6652+2=6652⋅6652 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 593 mod 919
8: 6658=6654+4=6654⋅6654 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 591 mod 919
16: 66516=6658+8=6658⋅6658 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 61 mod 919
32: 66532=66516+16=66516⋅66516 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 45 mod 919
64: 66564=66532+32=66532⋅66532 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 187 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 222195 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 195 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 195 an und zerlegen 195 in eine Summer von 2er-Potenzen:
195 = 128+64+2+1
1: 2221=222
2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 103 mod 263
4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 89 mod 263
8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 31 mod 263
16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 31⋅31=961 ≡ 172 mod 263
32: 22232=22216+16=22216⋅22216 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 128 mod 263
64: 22264=22232+32=22232⋅22232 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 78 mod 263
128: 222128=22264+64=22264⋅22264 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 35 mod 263
222195
= 222128+64+2+1
= 222128⋅22264⋅2222⋅2221
≡ 35 ⋅ 78 ⋅ 103 ⋅ 222 mod 263
≡ 2730 ⋅ 103 ⋅ 222 mod 263 ≡ 100 ⋅ 103 ⋅ 222 mod 263
≡ 10300 ⋅ 222 mod 263 ≡ 43 ⋅ 222 mod 263
≡ 9546 mod 263 ≡ 78 mod 263
Es gilt also: 222195 ≡ 78 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29
| =>73 | = 2⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29) = 2⋅73 -5⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29
oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅73 = -5⋅29
-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29
-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1
(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1
68⋅29 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1
Somit 68⋅29 = 1 mod 73
68 ist also das Inverse von 29 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
