Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (136 - 14005) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(136 - 14005) mod 7 ≡ (136 mod 7 - 14005 mod 7) mod 7.
136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136
= 140
14005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14005
= 14000
Somit gilt:
(136 - 14005) mod 7 ≡ (3 - 5) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 46) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 46) mod 6 ≡ (39 mod 6 ⋅ 46 mod 6) mod 6.
39 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 6 ⋅ 6 + 3 ist.
46 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 7 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 46) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33816 mod 397.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 338 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 305 mod 397
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 127 mod 397
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 249 mod 397
16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 69 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18960 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:
60 = 32+16+8+4
1: 1891=189
2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 552 mod 617
4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 523 mod 617
8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 198 mod 617
16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 333 mod 617
32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 446 mod 617
18960
= 18932+16+8+4
= 18932⋅18916⋅1898⋅1894
≡ 446 ⋅ 333 ⋅ 198 ⋅ 523 mod 617
≡ 148518 ⋅ 198 ⋅ 523 mod 617 ≡ 438 ⋅ 198 ⋅ 523 mod 617
≡ 86724 ⋅ 523 mod 617 ≡ 344 ⋅ 523 mod 617
≡ 179912 mod 617 ≡ 365 mod 617
Es gilt also: 18960 ≡ 365 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21
| =>53 | = 2⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -5⋅21
-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21
-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1
(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1
48⋅21 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1
Somit 48⋅21 = 1 mod 53
48 ist also das Inverse von 21 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
