Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (343 - 13993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(343 - 13993) mod 7 ≡ (343 mod 7 - 13993 mod 7) mod 7.
343 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 343
= 350
13993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13993
= 14000
Somit gilt:
(343 - 13993) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 68) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 68) mod 6 ≡ (82 mod 6 ⋅ 68 mod 6) mod 6.
82 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 78 + 4 = 13 ⋅ 6 + 4 ist.
68 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 11 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 68) mod 6 ≡ (4 ⋅ 2) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7188 mod 829.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 718 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7181=718
2: 7182=7181+1=7181⋅7181 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 715 mod 829
4: 7184=7182+2=7182⋅7182 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 561 mod 829
8: 7188=7184+4=7184⋅7184 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 530 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 440200 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 4401=440
2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 305 mod 577
4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 128 mod 577
8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 228 mod 577
16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 54 mod 577
32: 44032=44016+16=44016⋅44016 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 31 mod 577
64: 44064=44032+32=44032⋅44032 ≡ 31⋅31=961 ≡ 384 mod 577
128: 440128=44064+64=44064⋅44064 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 321 mod 577
440200
= 440128+64+8
= 440128⋅44064⋅4408
≡ 321 ⋅ 384 ⋅ 228 mod 577
≡ 123264 ⋅ 228 mod 577 ≡ 363 ⋅ 228 mod 577
≡ 82764 mod 577 ≡ 253 mod 577
Es gilt also: 440200 ≡ 253 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 73.
Also bestimme x, so dass 73 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 73
| =>83 | = 1⋅73 + 10 |
| =>73 | = 7⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,73)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 73-7⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(73 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅73 +21⋅ 10) = -3⋅73 +22⋅ 10 (=1) |
| 10= 83-1⋅73 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅73 +22⋅(83 -1⋅ 73)
= -3⋅73 +22⋅83 -22⋅ 73) = 22⋅83 -25⋅ 73 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,73)=1 = 22⋅83 -25⋅73
oder wenn man 22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -22⋅83 = -25⋅73
-25⋅73 = -22⋅83 + 1 |+83⋅73
-25⋅73 + 83⋅73 = -22⋅83 + 83⋅73 + 1
(-25 + 83) ⋅ 73 = (-22 + 73) ⋅ 83 + 1
58⋅73 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 58⋅73 = 51⋅83 +1
Somit 58⋅73 = 1 mod 83
58 ist also das Inverse von 73 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
