Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5004 - 1500) mod 5 ≡ (5004 mod 5 - 1500 mod 5) mod 5.

5004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5004 = 5000+4 = 5 ⋅ 1000 +4.

1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 5 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(5004 - 1500) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 44) mod 5 ≡ (89 mod 5 ⋅ 44 mod 5) mod 5.

89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 44) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 574¹=574

2: 574²=574¹⁺¹=574¹⋅574¹ ≡ 574⋅574=329476 ≡ 359 mod 733

4: 574⁴=574²⁺²=574²⋅574² ≡ 359⋅359=128881 ≡ 606 mod 733

8: 574⁸=574⁴⁺⁴=574⁴⋅574⁴ ≡ 606⋅606=367236 ≡ 3 mod 733

16: 574¹⁶=574⁸⁺⁸=574⁸⋅574⁸ ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 733

32: 574³²=574¹⁶⁺¹⁶=574¹⁶⋅574¹⁶ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 733

64: 574⁶⁴=574³²⁺³²=574³²⋅574³² ≡ 81⋅81=6561 ≡ 697 mod 733

128: 574¹²⁸=574⁶⁴⁺⁶⁴=574⁶⁴⋅574⁶⁴ ≡ 697⋅697=485809 ≡ 563 mod 733

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:

142 = 128+8+4+2

331¹⁴²

= 331^128+8+4+2

= 331¹²⁸⋅331⁸⋅331⁴⋅331²

≡ 546 ⋅ 253 ⋅ 145 ⋅ 508 mod 577
≡ 138138 ⋅ 145 ⋅ 508 mod 577 ≡ 235 ⋅ 145 ⋅ 508 mod 577
≡ 34075 ⋅ 508 mod 577 ≡ 32 ⋅ 508 mod 577
≡ 16256 mod 577 ≡ 100 mod 577

Es gilt also: 331¹⁴² ≡ 100 mod 577

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20

=>67	= 3⋅20 + 7
=>20	= 2⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 20-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1)
7= 67-3⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20) = -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20) = 3⋅67 -10⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -10⋅20

-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20

-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1

(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1

57⋅20 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1

Somit 57⋅20 = 1 mod 67

57 ist also das Inverse von 20 mod 67