Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (295 - 180) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(295 - 180) mod 6 ≡ (295 mod 6 - 180 mod 6) mod 6.
295 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 295
= 300
180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
Somit gilt:
(295 - 180) mod 6 ≡ (1 - 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 55) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 55) mod 7 ≡ (28 mod 7 ⋅ 55 mod 7) mod 7.
28 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 4 ⋅ 7 + 0 ist.
55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 55) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3908 mod 587.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 390 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3901=390
2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 67 mod 587
4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 380 mod 587
8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 585 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 446103 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:
103 = 64+32+4+2+1
1: 4461=446
2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 652 mod 751
4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 38 mod 751
8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 693 mod 751
16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 360 mod 751
32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 428 mod 751
64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 691 mod 751
446103
= 44664+32+4+2+1
= 44664⋅44632⋅4464⋅4462⋅4461
≡ 691 ⋅ 428 ⋅ 38 ⋅ 652 ⋅ 446 mod 751
≡ 295748 ⋅ 38 ⋅ 652 ⋅ 446 mod 751 ≡ 605 ⋅ 38 ⋅ 652 ⋅ 446 mod 751
≡ 22990 ⋅ 652 ⋅ 446 mod 751 ≡ 460 ⋅ 652 ⋅ 446 mod 751
≡ 299920 ⋅ 446 mod 751 ≡ 271 ⋅ 446 mod 751
≡ 120866 mod 751 ≡ 706 mod 751
Es gilt also: 446103 ≡ 706 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52
| =>61 | = 1⋅52 + 9 |
| =>52 | = 5⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +27⋅52
Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1
Somit 27⋅52 = 1 mod 61
27 ist also das Inverse von 52 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
