Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (139 - 14000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(139 - 14000) mod 7 ≡ (139 mod 7 - 14000 mod 7) mod 7.
139 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 139
= 140
14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000
= 14000
Somit gilt:
(139 - 14000) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 82) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 82) mod 7 ≡ (70 mod 7 ⋅ 82 mod 7) mod 7.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.
82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 82) mod 7 ≡ (0 ⋅ 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 184128 mod 563.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 184 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1841=184
2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 76 mod 563
4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 146 mod 563
8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 485 mod 563
16: 18416=1848+8=1848⋅1848 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 454 mod 563
32: 18432=18416+16=18416⋅18416 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 58 mod 563
64: 18464=18432+32=18432⋅18432 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 549 mod 563
128: 184128=18464+64=18464⋅18464 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 196 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 578138 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 5781=578
2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 408 mod 701
4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 327 mod 701
8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 377 mod 701
16: 57816=5788+8=5788⋅5788 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 527 mod 701
32: 57832=57816+16=57816⋅57816 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 133 mod 701
64: 57864=57832+32=57832⋅57832 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 164 mod 701
128: 578128=57864+64=57864⋅57864 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 258 mod 701
578138
= 578128+8+2
= 578128⋅5788⋅5782
≡ 258 ⋅ 377 ⋅ 408 mod 701
≡ 97266 ⋅ 408 mod 701 ≡ 528 ⋅ 408 mod 701
≡ 215424 mod 701 ≡ 217 mod 701
Es gilt also: 578138 ≡ 217 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18
| =>61 | = 3⋅18 + 7 |
| =>18 | = 2⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 18-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +17⋅18
Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1
Somit 17⋅18 = 1 mod 61
17 ist also das Inverse von 18 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
