Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(706 - 7000) mod 7 ≡ (706 mod 7 - 7000 mod 7) mod 7.

706 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 706 = 700+6 = 7 ⋅ 100 +6.

7000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7000 = 7000+0 = 7 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(706 - 7000) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 20) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 20 mod 5) mod 5.

43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.

20 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 4 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 20) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 150¹=150

2: 150²=150¹⁺¹=150¹⋅150¹ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 113 mod 367

4: 150⁴=150²⁺²=150²⋅150² ≡ 113⋅113=12769 ≡ 291 mod 367

8: 150⁸=150⁴⁺⁴=150⁴⋅150⁴ ≡ 291⋅291=84681 ≡ 271 mod 367

16: 150¹⁶=150⁸⁺⁸=150⁸⋅150⁸ ≡ 271⋅271=73441 ≡ 41 mod 367

32: 150³²=150¹⁶⁺¹⁶=150¹⁶⋅150¹⁶ ≡ 41⋅41=1681 ≡ 213 mod 367

64: 150⁶⁴=150³²⁺³²=150³²⋅150³² ≡ 213⋅213=45369 ≡ 228 mod 367

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:

121 = 64+32+16+8+1

440¹²¹

= 440^64+32+16+8+1

= 440⁶⁴⋅440³²⋅440¹⁶⋅440⁸⋅440¹

≡ 91 ⋅ 243 ⋅ 678 ⋅ 673 ⋅ 440 mod 719
≡ 22113 ⋅ 678 ⋅ 673 ⋅ 440 mod 719 ≡ 543 ⋅ 678 ⋅ 673 ⋅ 440 mod 719
≡ 368154 ⋅ 673 ⋅ 440 mod 719 ≡ 26 ⋅ 673 ⋅ 440 mod 719
≡ 17498 ⋅ 440 mod 719 ≡ 242 ⋅ 440 mod 719
≡ 106480 mod 719 ≡ 68 mod 719

Es gilt also: 440¹²¹ ≡ 68 mod 719

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25

=>71	= 2⋅25 + 21
=>25	= 1⋅21 + 4
=>21	= 5⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 25-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21) = 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1)
21= 71-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25) = -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25) = 6⋅71 -17⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25

oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅71 = -17⋅25

-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25

-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1

(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1

54⋅25 = 19⋅71 + 1

Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1

Somit 54⋅25 = 1 mod 71

54 ist also das Inverse von 25 mod 71