Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2803 + 343) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2803 + 343) mod 7 ≡ (2803 mod 7 + 343 mod 7) mod 7.
2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803
= 2800
343 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 343
= 350
Somit gilt:
(2803 + 343) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 42) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 42) mod 7 ≡ (78 mod 7 ⋅ 42 mod 7) mod 7.
78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.
42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 42) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3968 mod 563.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 396 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 302 mod 563
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 561 mod 563
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 4 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18399 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 1831=183
2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 35 mod 389
4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 58 mod 389
8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 252 mod 389
16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 97 mod 389
32: 18332=18316+16=18316⋅18316 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 73 mod 389
64: 18364=18332+32=18332⋅18332 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 272 mod 389
18399
= 18364+32+2+1
= 18364⋅18332⋅1832⋅1831
≡ 272 ⋅ 73 ⋅ 35 ⋅ 183 mod 389
≡ 19856 ⋅ 35 ⋅ 183 mod 389 ≡ 17 ⋅ 35 ⋅ 183 mod 389
≡ 595 ⋅ 183 mod 389 ≡ 206 ⋅ 183 mod 389
≡ 37698 mod 389 ≡ 354 mod 389
Es gilt also: 18399 ≡ 354 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40
| =>67 | = 1⋅40 + 27 |
| =>40 | = 1⋅27 + 13 |
| =>27 | = 2⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 27-2⋅13 | |||
| 13= 40-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27) = -2⋅40 +3⋅ 27 (=1) |
| 27= 67-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40) = 3⋅67 -5⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -5⋅40
-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40
-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1
(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1
62⋅40 = 37⋅67 + 1
Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1
Somit 62⋅40 = 1 mod 67
62 ist also das Inverse von 40 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
