Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20000 - 152) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20000 - 152) mod 5 ≡ (20000 mod 5 - 152 mod 5) mod 5.
20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000
= 20000
152 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 150
Somit gilt:
(20000 - 152) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 38) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 38) mod 9 ≡ (87 mod 9 ⋅ 38 mod 9) mod 9.
87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.
38 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 4 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 38) mod 9 ≡ (6 ⋅ 2) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25416 mod 521.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 254 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2541=254
2: 2542=2541+1=2541⋅2541 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 433 mod 521
4: 2544=2542+2=2542⋅2542 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 450 mod 521
8: 2548=2544+4=2544⋅2544 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 352 mod 521
16: 25416=2548+8=2548⋅2548 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 427 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 241166 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 58 mod 307
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 294 mod 307
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 169 mod 307
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 10 mod 307
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 307
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 176 mod 307
128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 276 mod 307
241166
= 241128+32+4+2
= 241128⋅24132⋅2414⋅2412
≡ 276 ⋅ 100 ⋅ 294 ⋅ 58 mod 307
≡ 27600 ⋅ 294 ⋅ 58 mod 307 ≡ 277 ⋅ 294 ⋅ 58 mod 307
≡ 81438 ⋅ 58 mod 307 ≡ 83 ⋅ 58 mod 307
≡ 4814 mod 307 ≡ 209 mod 307
Es gilt also: 241166 ≡ 209 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69
| =>97 | = 1⋅69 + 28 |
| =>69 | = 2⋅28 + 13 |
| =>28 | = 2⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 28-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13) = -6⋅28 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 69-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28)
= -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28) = 13⋅69 -32⋅ 28 (=1) |
| 28= 97-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69) = -32⋅97 +45⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69
oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅97 = +45⋅69
Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1
Somit 45⋅69 = 1 mod 97
45 ist also das Inverse von 69 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
