Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2397 + 164) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2397 + 164) mod 8 ≡ (2397 mod 8 + 164 mod 8) mod 8.

2397 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 8 ⋅ 300 -3 = 8 ⋅ 300 - 8 + 5.

164 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164 = 160+4 = 8 ⋅ 20 +4.

Somit gilt:

(2397 + 164) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 49) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 49) mod 7 ≡ (32 mod 7 ⋅ 49 mod 7) mod 7.

32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.

49 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 49 + 0 = 7 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 49) mod 7 ≡ (4 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 269128 mod 509.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 269 -> x
2. mod(x²,509) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2691=269

2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 83 mod 509

4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 272 mod 509

8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 179 mod 509

16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 483 mod 509

32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 167 mod 509

64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 403 mod 509

128: 269128=26964+64=26964⋅26964 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 38 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 413118 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

1: 4131=413

2: 4132=4131+1=4131⋅4131 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 155 mod 613

4: 4134=4132+2=4132⋅4132 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 118 mod 613

8: 4138=4134+4=4134⋅4134 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 438 mod 613

16: 41316=4138+8=4138⋅4138 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 588 mod 613

32: 41332=41316+16=41316⋅41316 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 12 mod 613

64: 41364=41332+32=41332⋅41332 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 613

413118

= 41364+32+16+4+2

= 41364⋅41332⋅41316⋅4134⋅4132

144 ⋅ 12 ⋅ 588 ⋅ 118 ⋅ 155 mod 613
1728 ⋅ 588 ⋅ 118 ⋅ 155 mod 613 ≡ 502 ⋅ 588 ⋅ 118 ⋅ 155 mod 613
295176 ⋅ 118 ⋅ 155 mod 613 ≡ 323 ⋅ 118 ⋅ 155 mod 613
38114 ⋅ 155 mod 613 ≡ 108 ⋅ 155 mod 613
16740 mod 613 ≡ 189 mod 613

Es gilt also: 413118 ≡ 189 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 82.

Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 82

=>89 = 1⋅82 + 7
=>82 = 11⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 82-11⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(82 -11⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅82 -33⋅ 7)
= 3⋅82 -35⋅ 7 (=1)
7= 89-1⋅82 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅82 -35⋅(89 -1⋅ 82)
= 3⋅82 -35⋅89 +35⋅ 82)
= -35⋅89 +38⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(89,82)=1 = -35⋅89 +38⋅82

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +38⋅82

Es gilt also: 38⋅82 = 35⋅89 +1

Somit 38⋅82 = 1 mod 89

38 ist also das Inverse von 82 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.