Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8998 + 900) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8998 + 900) mod 3 ≡ (8998 mod 3 + 900 mod 3) mod 3.
8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998
= 9000
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(8998 + 900) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 39) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 39) mod 9 ≡ (77 mod 9 ⋅ 39 mod 9) mod 9.
77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.
39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 39) mod 9 ≡ (5 ⋅ 3) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42316 mod 953.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 423 -> x
2. mod(x²,953) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4231=423
2: 4232=4231+1=4231⋅4231 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 718 mod 953
4: 4234=4232+2=4232⋅4232 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 904 mod 953
8: 4238=4234+4=4234⋅4234 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 495 mod 953
16: 42316=4238+8=4238⋅4238 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 104 mod 953
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 741118 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 7411=741
2: 7412=7411+1=7411⋅7411 ≡ 741⋅741=549081 ≡ 653 mod 821
4: 7414=7412+2=7412⋅7412 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 310 mod 821
8: 7418=7414+4=7414⋅7414 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 43 mod 821
16: 74116=7418+8=7418⋅7418 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 207 mod 821
32: 74132=74116+16=74116⋅74116 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 157 mod 821
64: 74164=74132+32=74132⋅74132 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 19 mod 821
741118
= 74164+32+16+4+2
= 74164⋅74132⋅74116⋅7414⋅7412
≡ 19 ⋅ 157 ⋅ 207 ⋅ 310 ⋅ 653 mod 821
≡ 2983 ⋅ 207 ⋅ 310 ⋅ 653 mod 821 ≡ 520 ⋅ 207 ⋅ 310 ⋅ 653 mod 821
≡ 107640 ⋅ 310 ⋅ 653 mod 821 ≡ 89 ⋅ 310 ⋅ 653 mod 821
≡ 27590 ⋅ 653 mod 821 ≡ 497 ⋅ 653 mod 821
≡ 324541 mod 821 ≡ 246 mod 821
Es gilt also: 741118 ≡ 246 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68
| =>73 | = 1⋅68 + 5 |
| =>68 | = 13⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 68-13⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5) = 2⋅68 -27⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68) = -27⋅73 +29⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +29⋅68
Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1
Somit 29⋅68 = 1 mod 73
29 ist also das Inverse von 68 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
