Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1498 + 14998) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1498 + 14998) mod 3 ≡ (1498 mod 3 + 14998 mod 3) mod 3.
1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1500
14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998
= 15000
Somit gilt:
(1498 + 14998) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 63) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 63) mod 11 ≡ (47 mod 11 ⋅ 63 mod 11) mod 11.
47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.
63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 63) mod 11 ≡ (3 ⋅ 8) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38616 mod 1009.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 386 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3861=386
2: 3862=3861+1=3861⋅3861 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 673 mod 1009
4: 3864=3862+2=3862⋅3862 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 897 mod 1009
8: 3868=3864+4=3864⋅3864 ≡ 897⋅897=804609 ≡ 436 mod 1009
16: 38616=3868+8=3868⋅3868 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 404 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 79895 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:
95 = 64+16+8+4+2+1
1: 7981=798
2: 7982=7981+1=7981⋅7981 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 15 mod 911
4: 7984=7982+2=7982⋅7982 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 911
8: 7988=7984+4=7984⋅7984 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 520 mod 911
16: 79816=7988+8=7988⋅7988 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 744 mod 911
32: 79832=79816+16=79816⋅79816 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 559 mod 911
64: 79864=79832+32=79832⋅79832 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 8 mod 911
79895
= 79864+16+8+4+2+1
= 79864⋅79816⋅7988⋅7984⋅7982⋅7981
≡ 8 ⋅ 744 ⋅ 520 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 798 mod 911
≡ 5952 ⋅ 520 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 798 mod 911 ≡ 486 ⋅ 520 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 798 mod 911
≡ 252720 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 798 mod 911 ≡ 373 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 798 mod 911
≡ 83925 ⋅ 15 ⋅ 798 mod 911 ≡ 113 ⋅ 15 ⋅ 798 mod 911
≡ 1695 ⋅ 798 mod 911 ≡ 784 ⋅ 798 mod 911
≡ 625632 mod 911 ≡ 686 mod 911
Es gilt also: 79895 ≡ 686 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18
| =>61 | = 3⋅18 + 7 |
| =>18 | = 2⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 18-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +17⋅18
Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1
Somit 17⋅18 = 1 mod 61
17 ist also das Inverse von 18 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
