Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 - 8000) mod 8 ≡ (84 mod 8 - 8000 mod 8) mod 8.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80+4 = 8 ⋅ 10 +4.

8000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 8 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(84 - 8000) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 25) mod 5 ≡ (18 mod 5 ⋅ 25 mod 5) mod 5.

18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 25) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 477¹=477

2: 477²=477¹⁺¹=477¹⋅477¹ ≡ 477⋅477=227529 ≡ 360 mod 587

4: 477⁴=477²⁺²=477²⋅477² ≡ 360⋅360=129600 ≡ 460 mod 587

8: 477⁸=477⁴⁺⁴=477⁴⋅477⁴ ≡ 460⋅460=211600 ≡ 280 mod 587

16: 477¹⁶=477⁸⁺⁸=477⁸⋅477⁸ ≡ 280⋅280=78400 ≡ 329 mod 587

32: 477³²=477¹⁶⁺¹⁶=477¹⁶⋅477¹⁶ ≡ 329⋅329=108241 ≡ 233 mod 587

64: 477⁶⁴=477³²⁺³²=477³²⋅477³² ≡ 233⋅233=54289 ≡ 285 mod 587

128: 477¹²⁸=477⁶⁴⁺⁶⁴=477⁶⁴⋅477⁶⁴ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 219 mod 587

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

235²²⁷

= 235^{128+64+32+2+1}

= 235¹²⁸⋅235⁶⁴⋅235³²⋅235²⋅235¹

≡ 42 ⋅ 464 ⋅ 225 ⋅ 194 ⋅ 235 mod 487
≡ 19488 ⋅ 225 ⋅ 194 ⋅ 235 mod 487 ≡ 8 ⋅ 225 ⋅ 194 ⋅ 235 mod 487
≡ 1800 ⋅ 194 ⋅ 235 mod 487 ≡ 339 ⋅ 194 ⋅ 235 mod 487
≡ 65766 ⋅ 235 mod 487 ≡ 21 ⋅ 235 mod 487
≡ 4935 mod 487 ≡ 65 mod 487

Es gilt also: 235²²⁷ ≡ 65 mod 487

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25

=>71	= 2⋅25 + 21
=>25	= 1⋅21 + 4
=>21	= 5⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 25-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21) = 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1)
21= 71-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25) = -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25) = 6⋅71 -17⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25

oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅71 = -17⋅25

-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25

-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1

(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1

54⋅25 = 19⋅71 + 1

Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1

Somit 54⋅25 = 1 mod 71

54 ist also das Inverse von 25 mod 71