Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9999 - 25005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9999 - 25005) mod 5 ≡ (9999 mod 5 - 25005 mod 5) mod 5.
9999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9999
= 9000
25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005
= 25000
Somit gilt:
(9999 - 25005) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 50) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 50) mod 9 ≡ (43 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.
43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.
50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 50) mod 9 ≡ (7 ⋅ 5) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13164 mod 401.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 131 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1311=131
2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 319 mod 401
4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 308 mod 401
8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 228 mod 401
16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 255 mod 401
32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 63 mod 401
64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 360 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 188137 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 1881=188
2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 11 mod 397
4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 397
8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 349 mod 397
16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 319 mod 397
32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 129 mod 397
64: 18864=18832+32=18832⋅18832 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 364 mod 397
128: 188128=18864+64=18864⋅18864 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 295 mod 397
188137
= 188128+8+1
= 188128⋅1888⋅1881
≡ 295 ⋅ 349 ⋅ 188 mod 397
≡ 102955 ⋅ 188 mod 397 ≡ 132 ⋅ 188 mod 397
≡ 24816 mod 397 ≡ 202 mod 397
Es gilt also: 188137 ≡ 202 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68
| =>83 | = 1⋅68 + 15 |
| =>68 | = 4⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 68-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +11⋅68
Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1
Somit 11⋅68 = 1 mod 83
11 ist also das Inverse von 68 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
