Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (160 - 1197) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 - 1197) mod 4 ≡ (160 mod 4 - 1197 mod 4) mod 4.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1100+97 = 4 ⋅ 275 +97.

Somit gilt:

(160 - 1197) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 91) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 91) mod 9 ≡ (27 mod 9 ⋅ 91 mod 9) mod 9.

27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 91) mod 9 ≡ (0 ⋅ 1) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11616 mod 227.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 116 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1161=116

2: 1162=1161+1=1161⋅1161 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 63 mod 227

4: 1164=1162+2=1162⋅1162 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 110 mod 227

8: 1168=1164+4=1164⋅1164 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 69 mod 227

16: 11616=1168+8=1168⋅1168 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 221 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 501237 mod 881.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:

237 = 128+64+32+8+4+1

1: 5011=501

2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 797 mod 881

4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 8 mod 881

8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 881

16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 572 mod 881

32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 333 mod 881

64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 764 mod 881

128: 501128=50164+64=50164⋅50164 ≡ 764⋅764=583696 ≡ 474 mod 881

501237

= 501128+64+32+8+4+1

= 501128⋅50164⋅50132⋅5018⋅5014⋅5011

≡ 474 ⋅ 764 ⋅ 333 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 501 mod 881
≡ 362136 ⋅ 333 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 501 mod 881 ≡ 45 ⋅ 333 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 501 mod 881
≡ 14985 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 501 mod 881 ≡ 8 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 501 mod 881
≡ 512 ⋅ 8 ⋅ 501 mod 881
≡ 4096 ⋅ 501 mod 881 ≡ 572 ⋅ 501 mod 881
≡ 286572 mod 881 ≡ 247 mod 881

Es gilt also: 501237 ≡ 247 mod 881

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.

Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65

=>71 = 1⋅65 + 6
=>65 = 10⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 65-10⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6)
= -1⋅65 +11⋅ 6 (=1)
6= 71-1⋅65 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65)
= 11⋅71 -12⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -12⋅65

-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65

-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1

(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1

59⋅65 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1

Somit 59⋅65 = 1 mod 71

59 ist also das Inverse von 65 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.