Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 + 7002) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 + 7002) mod 7 ≡ (63 mod 7 + 7002 mod 7) mod 7.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 70
7002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7002
= 7000
Somit gilt:
(63 + 7002) mod 7 ≡ (0 + 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 77) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 77) mod 7 ≡ (62 mod 7 ⋅ 77 mod 7) mod 7.
62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 77) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 660128 mod 881.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 660 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6601=660
2: 6602=6601+1=6601⋅6601 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 386 mod 881
4: 6604=6602+2=6602⋅6602 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 107 mod 881
8: 6608=6604+4=6604⋅6604 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 877 mod 881
16: 66016=6608+8=6608⋅6608 ≡ 877⋅877=769129 ≡ 16 mod 881
32: 66032=66016+16=66016⋅66016 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 881
64: 66064=66032+32=66032⋅66032 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 342 mod 881
128: 660128=66064+64=66064⋅66064 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 672 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 647216 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:
216 = 128+64+16+8
1: 6471=647
2: 6472=6471+1=6471⋅6471 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 36 mod 653
4: 6474=6472+2=6472⋅6472 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 643 mod 653
8: 6478=6474+4=6474⋅6474 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 100 mod 653
16: 64716=6478+8=6478⋅6478 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 205 mod 653
32: 64732=64716+16=64716⋅64716 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 233 mod 653
64: 64764=64732+32=64732⋅64732 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 90 mod 653
128: 647128=64764+64=64764⋅64764 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 264 mod 653
647216
= 647128+64+16+8
= 647128⋅64764⋅64716⋅6478
≡ 264 ⋅ 90 ⋅ 205 ⋅ 100 mod 653
≡ 23760 ⋅ 205 ⋅ 100 mod 653 ≡ 252 ⋅ 205 ⋅ 100 mod 653
≡ 51660 ⋅ 100 mod 653 ≡ 73 ⋅ 100 mod 653
≡ 7300 mod 653 ≡ 117 mod 653
Es gilt also: 647216 ≡ 117 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33
| =>97 | = 2⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -47⋅33
-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33
-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1
(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1
50⋅33 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1
Somit 50⋅33 = 1 mod 97
50 ist also das Inverse von 33 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
