Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (161 + 164) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(161 + 164) mod 4 ≡ (161 mod 4 + 164 mod 4) mod 4.
161 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161
= 160
164 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164
= 160
Somit gilt:
(161 + 164) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 64) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 64) mod 4 ≡ (67 mod 4 ⋅ 64 mod 4) mod 4.
67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.
64 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 16 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 64) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57164 mod 631.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 571 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5711=571
2: 5712=5711+1=5711⋅5711 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 445 mod 631
4: 5714=5712+2=5712⋅5712 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 522 mod 631
8: 5718=5714+4=5714⋅5714 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 523 mod 631
16: 57116=5718+8=5718⋅5718 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 306 mod 631
32: 57132=57116+16=57116⋅57116 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 248 mod 631
64: 57164=57132+32=57132⋅57132 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 297 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 82084 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 8201=820
2: 8202=8201+1=8201⋅8201 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 197 mod 881
4: 8204=8202+2=8202⋅8202 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 45 mod 881
8: 8208=8204+4=8204⋅8204 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 263 mod 881
16: 82016=8208+8=8208⋅8208 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 451 mod 881
32: 82032=82016+16=82016⋅82016 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 771 mod 881
64: 82064=82032+32=82032⋅82032 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 647 mod 881
82084
= 82064+16+4
= 82064⋅82016⋅8204
≡ 647 ⋅ 451 ⋅ 45 mod 881
≡ 291797 ⋅ 45 mod 881 ≡ 186 ⋅ 45 mod 881
≡ 8370 mod 881 ≡ 441 mod 881
Es gilt also: 82084 ≡ 441 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 87.
Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87
| =>97 | = 1⋅87 + 10 |
| =>87 | = 8⋅10 + 7 |
| =>10 | = 1⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,87)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 10-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 87-8⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10) = 3⋅87 -26⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-1⋅87 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87)
= 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87) = -26⋅97 +29⋅ 87 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87
oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +26⋅97 = +29⋅87
Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1
Somit 29⋅87 = 1 mod 97
29 ist also das Inverse von 87 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
