Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7997 - 406) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7997 - 406) mod 8 ≡ (7997 mod 8 - 406 mod 8) mod 8.
7997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7997
= 7000
406 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 406
= 400
Somit gilt:
(7997 - 406) mod 8 ≡ (5 - 6) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 17) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 17) mod 6 ≡ (45 mod 6 ⋅ 17 mod 6) mod 6.
45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.
17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 17) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34316 mod 797.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 343 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3431=343
2: 3432=3431+1=3431⋅3431 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 490 mod 797
4: 3434=3432+2=3432⋅3432 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 203 mod 797
8: 3438=3434+4=3434⋅3434 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 562 mod 797
16: 34316=3438+8=3438⋅3438 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 232 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 179133 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 1791=179
2: 1792=1791+1=1791⋅1791 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 433 mod 439
4: 1794=1792+2=1792⋅1792 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 36 mod 439
8: 1798=1794+4=1794⋅1794 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 418 mod 439
16: 17916=1798+8=1798⋅1798 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 2 mod 439
32: 17932=17916+16=17916⋅17916 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 439
64: 17964=17932+32=17932⋅17932 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 439
128: 179128=17964+64=17964⋅17964 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 439
179133
= 179128+4+1
= 179128⋅1794⋅1791
≡ 256 ⋅ 36 ⋅ 179 mod 439
≡ 9216 ⋅ 179 mod 439 ≡ 436 ⋅ 179 mod 439
≡ 78044 mod 439 ≡ 341 mod 439
Es gilt also: 179133 ≡ 341 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42
| =>53 | = 1⋅42 + 11 |
| =>42 | = 3⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 42-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +24⋅42
Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1
Somit 24⋅42 = 1 mod 53
24 ist also das Inverse von 42 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
