Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15997 - 117) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 - 117) mod 4 ≡ (15997 mod 4 - 117 mod 4) mod 4.

15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 4 ⋅ 3750 +997.

117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117 = 120-3 = 4 ⋅ 30 -3 = 4 ⋅ 30 - 4 + 1.

Somit gilt:

(15997 - 117) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 37) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 37) mod 11 ≡ (41 mod 11 ⋅ 37 mod 11) mod 11.

41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.

37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 37) mod 11 ≡ (8 ⋅ 4) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25132 mod 347.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 251 -> x
2. mod(x²,347) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2511=251

2: 2512=2511+1=2511⋅2511 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 194 mod 347

4: 2514=2512+2=2512⋅2512 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 160 mod 347

8: 2518=2514+4=2514⋅2514 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 269 mod 347

16: 25116=2518+8=2518⋅2518 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 185 mod 347

32: 25132=25116+16=25116⋅25116 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 219 mod 347

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 534255 mod 709.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 5341=534

2: 5342=5341+1=5341⋅5341 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 138 mod 709

4: 5344=5342+2=5342⋅5342 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 610 mod 709

8: 5348=5344+4=5344⋅5344 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 584 mod 709

16: 53416=5348+8=5348⋅5348 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 27 mod 709

32: 53432=53416+16=53416⋅53416 ≡ 27⋅27=729 ≡ 20 mod 709

64: 53464=53432+32=53432⋅53432 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 709

128: 534128=53464+64=53464⋅53464 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 475 mod 709

534255

= 534128+64+32+16+8+4+2+1

= 534128⋅53464⋅53432⋅53416⋅5348⋅5344⋅5342⋅5341

475 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
190000 ⋅ 20 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709 ≡ 697 ⋅ 20 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
13940 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709 ≡ 469 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
12663 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709 ≡ 610 ⋅ 584 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
356240 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709 ≡ 322 ⋅ 610 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
196420 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709 ≡ 27 ⋅ 138 ⋅ 534 mod 709
3726 ⋅ 534 mod 709 ≡ 181 ⋅ 534 mod 709
96654 mod 709 ≡ 230 mod 709

Es gilt also: 534255 ≡ 230 mod 709

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35

=>79 = 2⋅35 + 9
=>35 = 3⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9)
= -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 79-2⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35)
= 4⋅79 -9⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -9⋅35

-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35

-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1

(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1

70⋅35 = 31⋅79 + 1

Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1

Somit 70⋅35 = 1 mod 79

70 ist also das Inverse von 35 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.