Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 - 900) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 - 900) mod 9 ≡ (86 mod 9 - 900 mod 9) mod 9.
86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86
= 90
900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(86 - 900) mod 9 ≡ (5 - 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 81) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 81) mod 5 ≡ (95 mod 5 ⋅ 81 mod 5) mod 5.
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.
81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 81) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39864 mod 599.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 398 -> x
2. mod(x²,599) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3981=398
2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 268 mod 599
4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 543 mod 599
8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 141 mod 599
16: 39816=3988+8=3988⋅3988 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 114 mod 599
32: 39832=39816+16=39816⋅39816 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 417 mod 599
64: 39864=39832+32=39832⋅39832 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 179 mod 599
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 225138 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 253 mod 257
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257
32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257
64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257
128: 225128=22564+64=22564⋅22564 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257
225138
= 225128+8+2
= 225128⋅2258⋅2252
≡ 1 ⋅ 256 ⋅ 253 mod 257
≡ 256 ⋅ 253 mod 257
≡ 64768 mod 257 ≡ 4 mod 257
Es gilt also: 225138 ≡ 4 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63
| =>67 | = 1⋅63 + 4 |
| =>63 | = 15⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 63-15⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4) = -1⋅63 +16⋅ 4 (=1) |
| 4= 67-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63) = 16⋅67 -17⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -17⋅63
-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63
-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1
(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1
50⋅63 = 47⋅67 + 1
Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1
Somit 50⋅63 = 1 mod 67
50 ist also das Inverse von 63 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
