Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18008 - 262) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18008 - 262) mod 9 ≡ (18008 mod 9 - 262 mod 9) mod 9.
18008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18008
= 18000
262 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 262
= 270
Somit gilt:
(18008 - 262) mod 9 ≡ (8 - 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 43) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 43) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 43 mod 3) mod 3.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 43) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1798 mod 233.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 179 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1791=179
2: 1792=1791+1=1791⋅1791 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 120 mod 233
4: 1794=1792+2=1792⋅1792 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 187 mod 233
8: 1798=1794+4=1794⋅1794 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 19 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 68487 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:
87 = 64+16+4+2+1
1: 6841=684
2: 6842=6841+1=6841⋅6841 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 17 mod 797
4: 6844=6842+2=6842⋅6842 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 797
8: 6848=6844+4=6844⋅6844 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 633 mod 797
16: 68416=6848+8=6848⋅6848 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 595 mod 797
32: 68432=68416+16=68416⋅68416 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 157 mod 797
64: 68464=68432+32=68432⋅68432 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 739 mod 797
68487
= 68464+16+4+2+1
= 68464⋅68416⋅6844⋅6842⋅6841
≡ 739 ⋅ 595 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 684 mod 797
≡ 439705 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 684 mod 797 ≡ 558 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 684 mod 797
≡ 161262 ⋅ 17 ⋅ 684 mod 797 ≡ 268 ⋅ 17 ⋅ 684 mod 797
≡ 4556 ⋅ 684 mod 797 ≡ 571 ⋅ 684 mod 797
≡ 390564 mod 797 ≡ 34 mod 797
Es gilt also: 68487 ≡ 34 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49
| =>71 | = 1⋅49 + 22 |
| =>49 | = 2⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 49-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1) |
| 22= 71-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49
oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅71 = +29⋅49
Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1
Somit 29⋅49 = 1 mod 71
29 ist also das Inverse von 49 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
