Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (900 + 8999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(900 + 8999) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 8999 mod 3) mod 3.
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999
= 9000
Somit gilt:
(900 + 8999) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 40) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 40) mod 5 ≡ (51 mod 5 ⋅ 40 mod 5) mod 5.
51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 10 ⋅ 5 + 1 ist.
40 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 8 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 40) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 310128 mod 617.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 310 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3101=310
2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 465 mod 617
4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 275 mod 617
8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 351 mod 617
16: 31016=3108+8=3108⋅3108 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 418 mod 617
32: 31032=31016+16=31016⋅31016 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 113 mod 617
64: 31064=31032+32=31032⋅31032 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 429 mod 617
128: 310128=31064+64=31064⋅31064 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 175 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 687160 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 6871=687
2: 6872=6871+1=6871⋅6871 ≡ 687⋅687=471969 ≡ 341 mod 751
4: 6874=6872+2=6872⋅6872 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 627 mod 751
8: 6878=6874+4=6874⋅6874 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 356 mod 751
16: 68716=6878+8=6878⋅6878 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 568 mod 751
32: 68732=68716+16=68716⋅68716 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 445 mod 751
64: 68764=68732+32=68732⋅68732 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 512 mod 751
128: 687128=68764+64=68764⋅68764 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 45 mod 751
687160
= 687128+32
= 687128⋅68732
≡ 45 ⋅ 445 mod 751
≡ 20025 mod 751 ≡ 499 mod 751
Es gilt also: 687160 ≡ 499 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83
| =>97 | = 1⋅83 + 14 |
| =>83 | = 5⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 83-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1) |
| 14= 97-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83
oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅97 = -7⋅83
-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83
-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1
(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1
90⋅83 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1
Somit 90⋅83 = 1 mod 97
90 ist also das Inverse von 83 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
