Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (600 - 14997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(600 - 14997) mod 3 ≡ (600 mod 3 - 14997 mod 3) mod 3.
600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997
= 15000
Somit gilt:
(600 - 14997) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 17) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 17) mod 7 ≡ (66 mod 7 ⋅ 17 mod 7) mod 7.
66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.
17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 17) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 80816 mod 827.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 808 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8081=808
2: 8082=8081+1=8081⋅8081 ≡ 808⋅808=652864 ≡ 361 mod 827
4: 8084=8082+2=8082⋅8082 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 482 mod 827
8: 8088=8084+4=8084⋅8084 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 764 mod 827
16: 80816=8088+8=8088⋅8088 ≡ 764⋅764=583696 ≡ 661 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 638197 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 6381=638
2: 6382=6381+1=6381⋅6381 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 846 mod 919
4: 6384=6382+2=6382⋅6382 ≡ 846⋅846=715716 ≡ 734 mod 919
8: 6388=6384+4=6384⋅6384 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 222 mod 919
16: 63816=6388+8=6388⋅6388 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 577 mod 919
32: 63832=63816+16=63816⋅63816 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 251 mod 919
64: 63864=63832+32=63832⋅63832 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 509 mod 919
128: 638128=63864+64=63864⋅63864 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 842 mod 919
638197
= 638128+64+4+1
= 638128⋅63864⋅6384⋅6381
≡ 842 ⋅ 509 ⋅ 734 ⋅ 638 mod 919
≡ 428578 ⋅ 734 ⋅ 638 mod 919 ≡ 324 ⋅ 734 ⋅ 638 mod 919
≡ 237816 ⋅ 638 mod 919 ≡ 714 ⋅ 638 mod 919
≡ 455532 mod 919 ≡ 627 mod 919
Es gilt also: 638197 ≡ 627 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83
| =>97 | = 1⋅83 + 14 |
| =>83 | = 5⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 83-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1) |
| 14= 97-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83
oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅97 = -7⋅83
-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83
-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1
(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1
90⋅83 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1
Somit 90⋅83 = 1 mod 97
90 ist also das Inverse von 83 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
