Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3002 + 1198) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3002 + 1198) mod 6 ≡ (3002 mod 6 + 1198 mod 6) mod 6.
3002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
1198 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1200
Somit gilt:
(3002 + 1198) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 86) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 86) mod 10 ≡ (35 mod 10 ⋅ 86 mod 10) mod 10.
35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.
86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 86) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34232 mod 569.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 342 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3421=342
2: 3422=3421+1=3421⋅3421 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 319 mod 569
4: 3424=3422+2=3422⋅3422 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 479 mod 569
8: 3428=3424+4=3424⋅3424 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 134 mod 569
16: 34216=3428+8=3428⋅3428 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 317 mod 569
32: 34232=34216+16=34216⋅34216 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 345 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 85194 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:
194 = 128+64+2
1: 851=85
2: 852=851+1=851⋅851 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 55 mod 239
4: 854=852+2=852⋅852 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 157 mod 239
8: 858=854+4=854⋅854 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 32 mod 239
16: 8516=858+8=858⋅858 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239
32: 8532=8516+16=8516⋅8516 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239
64: 8564=8532+32=8532⋅8532 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 197 mod 239
128: 85128=8564+64=8564⋅8564 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 91 mod 239
85194
= 85128+64+2
= 85128⋅8564⋅852
≡ 91 ⋅ 197 ⋅ 55 mod 239
≡ 17927 ⋅ 55 mod 239 ≡ 2 ⋅ 55 mod 239
≡ 110 mod 239
Es gilt also: 85194 ≡ 110 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 60
| =>89 | = 1⋅60 + 29 |
| =>60 | = 2⋅29 + 2 |
| =>29 | = 14⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-14⋅2 | |||
| 2= 60-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -14⋅(60 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -14⋅60 +28⋅ 29) = -14⋅60 +29⋅ 29 (=1) |
| 29= 89-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅60 +29⋅(89 -1⋅ 60)
= -14⋅60 +29⋅89 -29⋅ 60) = 29⋅89 -43⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,60)=1 = 29⋅89 -43⋅60
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -43⋅60
-43⋅60 = -29⋅89 + 1 |+89⋅60
-43⋅60 + 89⋅60 = -29⋅89 + 89⋅60 + 1
(-43 + 89) ⋅ 60 = (-29 + 60) ⋅ 89 + 1
46⋅60 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 46⋅60 = 31⋅89 +1
Somit 46⋅60 = 1 mod 89
46 ist also das Inverse von 60 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
