Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 + 2999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 + 2999) mod 3 ≡ (29 mod 3 + 2999 mod 3) mod 3.
29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29
= 30
2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999
= 3000
Somit gilt:
(29 + 2999) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 71) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 71) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 71 mod 3) mod 3.
46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.
71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 71) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2638 mod 643.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 263 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2631=263
2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 368 mod 643
4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 394 mod 643
8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 273 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 309136 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 3091=309
2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 723 mod 929
4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 631 mod 929
8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 549 mod 929
16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 405 mod 929
32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 521 mod 929
64: 30964=30932+32=30932⋅30932 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 173 mod 929
128: 309128=30964+64=30964⋅30964 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 201 mod 929
309136
= 309128+8
= 309128⋅3098
≡ 201 ⋅ 549 mod 929
≡ 110349 mod 929 ≡ 727 mod 929
Es gilt also: 309136 ≡ 727 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -29⋅30
-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30
-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1
(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1
38⋅30 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1
Somit 38⋅30 = 1 mod 67
38 ist also das Inverse von 30 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
