Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (899 - 14997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(899 - 14997) mod 3 ≡ (899 mod 3 - 14997 mod 3) mod 3.
899 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899
= 900
14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997
= 15000
Somit gilt:
(899 - 14997) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 98) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 98) mod 9 ≡ (39 mod 9 ⋅ 98 mod 9) mod 9.
39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.
98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 98) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3868 mod 449.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 386 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3861=386
2: 3862=3861+1=3861⋅3861 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 377 mod 449
4: 3864=3862+2=3862⋅3862 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 245 mod 449
8: 3868=3864+4=3864⋅3864 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 308 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 535140 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 5351=535
2: 5352=5351+1=5351⋅5351 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 231 mod 947
4: 5354=5352+2=5352⋅5352 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 329 mod 947
8: 5358=5354+4=5354⋅5354 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 283 mod 947
16: 53516=5358+8=5358⋅5358 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 541 mod 947
32: 53532=53516+16=53516⋅53516 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 58 mod 947
64: 53564=53532+32=53532⋅53532 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 523 mod 947
128: 535128=53564+64=53564⋅53564 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 793 mod 947
535140
= 535128+8+4
= 535128⋅5358⋅5354
≡ 793 ⋅ 283 ⋅ 329 mod 947
≡ 224419 ⋅ 329 mod 947 ≡ 927 ⋅ 329 mod 947
≡ 304983 mod 947 ≡ 49 mod 947
Es gilt also: 535140 ≡ 49 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33
| =>89 | = 2⋅33 + 23 |
| =>33 | = 1⋅23 + 10 |
| =>23 | = 2⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 23-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 33-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23) = 7⋅33 -10⋅ 23 (=1) |
| 23= 89-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33)
= 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33) = -10⋅89 +27⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33
oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅89 = +27⋅33
Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1
Somit 27⋅33 = 1 mod 89
27 ist also das Inverse von 33 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
