Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (398 - 1204) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(398 - 1204) mod 4 ≡ (398 mod 4 - 1204 mod 4) mod 4.

398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398 = 300+98 = 4 ⋅ 75 +98.

1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 4 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(398 - 1204) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 71) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 71) mod 11 ≡ (26 mod 11 ⋅ 71 mod 11) mod 11.

26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.

71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 71) mod 11 ≡ (4 ⋅ 5) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 306128 mod 457.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,457) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3061=306

2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 408 mod 457

4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 116 mod 457

8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 203 mod 457

16: 30616=3068+8=3068⋅3068 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 79 mod 457

32: 30632=30616+16=30616⋅30616 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 300 mod 457

64: 30664=30632+32=30632⋅30632 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 428 mod 457

128: 306128=30664+64=30664⋅30664 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 384 mod 457

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 142122 mod 313.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 1421=142

2: 1422=1421+1=1421⋅1421 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 132 mod 313

4: 1424=1422+2=1422⋅1422 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 209 mod 313

8: 1428=1424+4=1424⋅1424 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 174 mod 313

16: 14216=1428+8=1428⋅1428 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 228 mod 313

32: 14232=14216+16=14216⋅14216 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 26 mod 313

64: 14264=14232+32=14232⋅14232 ≡ 26⋅26=676 ≡ 50 mod 313

142122

= 14264+32+16+8+2

= 14264⋅14232⋅14216⋅1428⋅1422

50 ⋅ 26 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 132 mod 313
1300 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 132 mod 313 ≡ 48 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 132 mod 313
10944 ⋅ 174 ⋅ 132 mod 313 ≡ 302 ⋅ 174 ⋅ 132 mod 313
52548 ⋅ 132 mod 313 ≡ 277 ⋅ 132 mod 313
36564 mod 313 ≡ 256 mod 313

Es gilt also: 142122 ≡ 256 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27

=>89 = 3⋅27 + 8
=>27 = 3⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 27-3⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8)
= 3⋅27 -10⋅ 8 (=1)
8= 89-3⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27)
= -10⋅89 +33⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +33⋅27

Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1

Somit 33⋅27 = 1 mod 89

33 ist also das Inverse von 27 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.