Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1797 + 30001) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1797 + 30001) mod 6 ≡ (1797 mod 6 + 30001 mod 6) mod 6.
1797 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797
= 1800
30001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30001
= 30000
Somit gilt:
(1797 + 30001) mod 6 ≡ (3 + 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 21) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 21) mod 4 ≡ (78 mod 4 ⋅ 21 mod 4) mod 4.
78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.
21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 21) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 350128 mod 971.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 350 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3501=350
2: 3502=3501+1=3501⋅3501 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 154 mod 971
4: 3504=3502+2=3502⋅3502 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 412 mod 971
8: 3508=3504+4=3504⋅3504 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 790 mod 971
16: 35016=3508+8=3508⋅3508 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 718 mod 971
32: 35032=35016+16=35016⋅35016 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 894 mod 971
64: 35064=35032+32=35032⋅35032 ≡ 894⋅894=799236 ≡ 103 mod 971
128: 350128=35064+64=35064⋅35064 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 899 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 154129 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 1541=154
2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 55 mod 239
4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 157 mod 239
8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 32 mod 239
16: 15416=1548+8=1548⋅1548 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239
32: 15432=15416+16=15416⋅15416 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239
64: 15464=15432+32=15432⋅15432 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 197 mod 239
128: 154128=15464+64=15464⋅15464 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 91 mod 239
154129
= 154128+1
= 154128⋅1541
≡ 91 ⋅ 154 mod 239
≡ 14014 mod 239 ≡ 152 mod 239
Es gilt also: 154129 ≡ 152 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24
| =>67 | = 2⋅24 + 19 |
| =>24 | = 1⋅19 + 5 |
| =>19 | = 3⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 19-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1) |
| 5= 24-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +14⋅24
Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1
Somit 14⋅24 = 1 mod 67
14 ist also das Inverse von 24 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
