Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11997 - 5997) mod 6 ≡ (11997 mod 6 - 5997 mod 6) mod 6.

11997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 6 ⋅ 2000 -3 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 3.

5997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997 = 6000-3 = 6 ⋅ 1000 -3 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 3.

Somit gilt:

(11997 - 5997) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 44) mod 3 ≡ (85 mod 3 ⋅ 44 mod 3) mod 3.

85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.

44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 44) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 221¹=221

2: 221²=221¹⁺¹=221¹⋅221¹ ≡ 221⋅221=48841 ≡ 10 mod 397

4: 221⁴=221²⁺²=221²⋅221² ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 397

8: 221⁸=221⁴⁺⁴=221⁴⋅221⁴ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 75 mod 397

16: 221¹⁶=221⁸⁺⁸=221⁸⋅221⁸ ≡ 75⋅75=5625 ≡ 67 mod 397

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

289²²⁹

= 289^{128+64+32+4+1}

= 289¹²⁸⋅289⁶⁴⋅289³²⋅289⁴⋅289¹

≡ 137 ⋅ 161 ⋅ 109 ⋅ 256 ⋅ 289 mod 293
≡ 22057 ⋅ 109 ⋅ 256 ⋅ 289 mod 293 ≡ 82 ⋅ 109 ⋅ 256 ⋅ 289 mod 293
≡ 8938 ⋅ 256 ⋅ 289 mod 293 ≡ 148 ⋅ 256 ⋅ 289 mod 293
≡ 37888 ⋅ 289 mod 293 ≡ 91 ⋅ 289 mod 293
≡ 26299 mod 293 ≡ 222 mod 293

Es gilt also: 289²²⁹ ≡ 222 mod 293

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30

=>83	= 2⋅30 + 23
=>30	= 1⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 83-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30) = 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +36⋅30

Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1

Somit 36⋅30 = 1 mod 83

36 ist also das Inverse von 30 mod 83