Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (237 - 76) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(237 - 76) mod 8 ≡ (237 mod 8 - 76 mod 8) mod 8.

237 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237 = 240-3 = 8 ⋅ 30 -3 = 8 ⋅ 30 - 8 + 5.

76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 80-4 = 8 ⋅ 10 -4 = 8 ⋅ 10 - 8 + 4.

Somit gilt:

(237 - 76) mod 8 ≡ (5 - 4) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 57) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 57) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 57 mod 9) mod 9.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

57 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 6 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 57) mod 9 ≡ (7 ⋅ 3) mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2968 mod 769.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 296 -> x
2. mod(x²,769) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2961=296

2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 719 mod 769

4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 193 mod 769

8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 337 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 866131 mod 887.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:

131 = 128+2+1

1: 8661=866

2: 8662=8661+1=8661⋅8661 ≡ 866⋅866=749956 ≡ 441 mod 887

4: 8664=8662+2=8662⋅8662 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 228 mod 887

8: 8668=8664+4=8664⋅8664 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 538 mod 887

16: 86616=8668+8=8668⋅8668 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 282 mod 887

32: 86632=86616+16=86616⋅86616 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 581 mod 887

64: 86664=86632+32=86632⋅86632 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 501 mod 887

128: 866128=86664+64=86664⋅86664 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 867 mod 887

866131

= 866128+2+1

= 866128⋅8662⋅8661

867 ⋅ 441 ⋅ 866 mod 887
382347 ⋅ 866 mod 887 ≡ 50 ⋅ 866 mod 887
43300 mod 887 ≡ 724 mod 887

Es gilt also: 866131 ≡ 724 mod 887

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 74.

Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 74

=>89 = 1⋅74 + 15
=>74 = 4⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 74-4⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(74 -4⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅74 +4⋅ 15)
= -1⋅74 +5⋅ 15 (=1)
15= 89-1⋅74 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅74 +5⋅(89 -1⋅ 74)
= -1⋅74 +5⋅89 -5⋅ 74)
= 5⋅89 -6⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(89,74)=1 = 5⋅89 -6⋅74

oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅89 = -6⋅74

-6⋅74 = -5⋅89 + 1 |+89⋅74

-6⋅74 + 89⋅74 = -5⋅89 + 89⋅74 + 1

(-6 + 89) ⋅ 74 = (-5 + 74) ⋅ 89 + 1

83⋅74 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 83⋅74 = 69⋅89 +1

Somit 83⋅74 = 1 mod 89

83 ist also das Inverse von 74 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.