Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2505 + 1496) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2505 + 1496) mod 5 ≡ (2505 mod 5 + 1496 mod 5) mod 5.
2505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2505
= 2500
1496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1496
= 1400
Somit gilt:
(2505 + 1496) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 24) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 24) mod 6 ≡ (48 mod 6 ⋅ 24 mod 6) mod 6.
48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.
24 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 4 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 24) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 82932 mod 863.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 829 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8291=829
2: 8292=8291+1=8291⋅8291 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 293 mod 863
4: 8294=8292+2=8292⋅8292 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 412 mod 863
8: 8298=8294+4=8294⋅8294 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 596 mod 863
16: 82916=8298+8=8298⋅8298 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 523 mod 863
32: 82932=82916+16=82916⋅82916 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 821 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62465 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 6241=624
2: 6242=6241+1=6241⋅6241 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 546 mod 997
4: 6244=6242+2=6242⋅6242 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 13 mod 997
8: 6248=6244+4=6244⋅6244 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 997
16: 62416=6248+8=6248⋅6248 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 645 mod 997
32: 62432=62416+16=62416⋅62416 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 276 mod 997
64: 62464=62432+32=62432⋅62432 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 404 mod 997
62465
= 62464+1
= 62464⋅6241
≡ 404 ⋅ 624 mod 997
≡ 252096 mod 997 ≡ 852 mod 997
Es gilt also: 62465 ≡ 852 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42
| =>59 | = 1⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -7⋅42
-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42
-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1
(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1
52⋅42 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1
Somit 52⋅42 = 1 mod 59
52 ist also das Inverse von 42 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
