Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29998 + 298) mod 6 ≡ (29998 mod 6 + 298 mod 6) mod 6.

29998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29998 = 30000-2 = 6 ⋅ 5000 -2 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 4.

298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 6 ⋅ 50 -2 = 6 ⋅ 50 - 6 + 4.

Somit gilt:

(29998 + 298) mod 6 ≡ (4 + 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 81) mod 7 ≡ (52 mod 7 ⋅ 81 mod 7) mod 7.

52 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 49 + 3 = 7 ⋅ 7 + 3 ist.

81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 81) mod 7 ≡ (3 ⋅ 4) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 547¹=547

2: 547²=547¹⁺¹=547¹⋅547¹ ≡ 547⋅547=299209 ≡ 145 mod 733

4: 547⁴=547²⁺²=547²⋅547² ≡ 145⋅145=21025 ≡ 501 mod 733

8: 547⁸=547⁴⁺⁴=547⁴⋅547⁴ ≡ 501⋅501=251001 ≡ 315 mod 733

16: 547¹⁶=547⁸⁺⁸=547⁸⋅547⁸ ≡ 315⋅315=99225 ≡ 270 mod 733

32: 547³²=547¹⁶⁺¹⁶=547¹⁶⋅547¹⁶ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 333 mod 733

64: 547⁶⁴=547³²⁺³²=547³²⋅547³² ≡ 333⋅333=110889 ≡ 206 mod 733

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

454²⁵¹

= 454^{128+64+32+16+8+2+1}

= 454¹²⁸⋅454⁶⁴⋅454³²⋅454¹⁶⋅454⁸⋅454²⋅454¹

≡ 372 ⋅ 720 ⋅ 93 ⋅ 360 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881
≡ 267840 ⋅ 93 ⋅ 360 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881 ≡ 16 ⋅ 93 ⋅ 360 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881
≡ 1488 ⋅ 360 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881 ≡ 607 ⋅ 360 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881
≡ 218520 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881 ≡ 32 ⋅ 690 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881
≡ 22080 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881 ≡ 55 ⋅ 843 ⋅ 454 mod 881
≡ 46365 ⋅ 454 mod 881 ≡ 553 ⋅ 454 mod 881
≡ 251062 mod 881 ≡ 858 mod 881

Es gilt also: 454²⁵¹ ≡ 858 mod 881

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 88

=>101	= 1⋅88 + 13
=>88	= 6⋅13 + 10
=>13	= 1⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,88)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 13-1⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1)
10= 88-6⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅13 +4⋅(88 -6⋅ 13) = -3⋅13 +4⋅88 -24⋅ 13) = 4⋅88 -27⋅ 13 (=1)
13= 101-1⋅88	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅88 -27⋅(101 -1⋅ 88) = 4⋅88 -27⋅101 +27⋅ 88) = -27⋅101 +31⋅ 88 (=1)

Es gilt also: ggt(101,88)=1 = -27⋅101 +31⋅88

oder wenn man -27⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅101 = +31⋅88

Es gilt also: 31⋅88 = 27⋅101 +1

Somit 31⋅88 = 1 mod 101

31 ist also das Inverse von 88 mod 101