Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12003 + 123) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12003 + 123) mod 3 ≡ (12003 mod 3 + 123 mod 3) mod 3.
12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003
= 12000
123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
Somit gilt:
(12003 + 123) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 97) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 97) mod 7 ≡ (68 mod 7 ⋅ 97 mod 7) mod 7.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.
97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 97) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33816 mod 829.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 338 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 671 mod 829
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 94 mod 829
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 546 mod 829
16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 505 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 774238 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 7741=774
2: 7742=7741+1=7741⋅7741 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 549 mod 911
4: 7744=7742+2=7742⋅7742 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 771 mod 911
8: 7748=7744+4=7744⋅7744 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 469 mod 911
16: 77416=7748+8=7748⋅7748 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 410 mod 911
32: 77432=77416+16=77416⋅77416 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 476 mod 911
64: 77464=77432+32=77432⋅77432 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 648 mod 911
128: 774128=77464+64=77464⋅77464 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 844 mod 911
774238
= 774128+64+32+8+4+2
= 774128⋅77464⋅77432⋅7748⋅7744⋅7742
≡ 844 ⋅ 648 ⋅ 476 ⋅ 469 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911
≡ 546912 ⋅ 476 ⋅ 469 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911 ≡ 312 ⋅ 476 ⋅ 469 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911
≡ 148512 ⋅ 469 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911 ≡ 19 ⋅ 469 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911
≡ 8911 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911 ≡ 712 ⋅ 771 ⋅ 549 mod 911
≡ 548952 ⋅ 549 mod 911 ≡ 530 ⋅ 549 mod 911
≡ 290970 mod 911 ≡ 361 mod 911
Es gilt also: 774238 ≡ 361 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43
| =>59 | = 1⋅43 + 16 |
| =>43 | = 2⋅16 + 11 |
| =>16 | = 1⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 16-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1) |
| 11= 43-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1) |
| 16= 59-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43
oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅59 = +11⋅43
Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1
Somit 11⋅43 = 1 mod 59
11 ist also das Inverse von 43 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
