Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25003 + 19995) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25003 + 19995) mod 5 ≡ (25003 mod 5 + 19995 mod 5) mod 5.
25003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25003
= 25000
19995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19995
= 19000
Somit gilt:
(25003 + 19995) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 35) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 35) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.
51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.
35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 35) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38216 mod 659.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 382 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3821=382
2: 3822=3821+1=3821⋅3821 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 285 mod 659
4: 3824=3822+2=3822⋅3822 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 168 mod 659
8: 3828=3824+4=3824⋅3824 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 546 mod 659
16: 38216=3828+8=3828⋅3828 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 248 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 761117 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:
117 = 64+32+16+4+1
1: 7611=761
2: 7612=7611+1=7611⋅7611 ≡ 761⋅761=579121 ≡ 646 mod 857
4: 7614=7612+2=7612⋅7612 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 814 mod 857
8: 7618=7614+4=7614⋅7614 ≡ 814⋅814=662596 ≡ 135 mod 857
16: 76116=7618+8=7618⋅7618 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 228 mod 857
32: 76132=76116+16=76116⋅76116 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 564 mod 857
64: 76164=76132+32=76132⋅76132 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 149 mod 857
761117
= 76164+32+16+4+1
= 76164⋅76132⋅76116⋅7614⋅7611
≡ 149 ⋅ 564 ⋅ 228 ⋅ 814 ⋅ 761 mod 857
≡ 84036 ⋅ 228 ⋅ 814 ⋅ 761 mod 857 ≡ 50 ⋅ 228 ⋅ 814 ⋅ 761 mod 857
≡ 11400 ⋅ 814 ⋅ 761 mod 857 ≡ 259 ⋅ 814 ⋅ 761 mod 857
≡ 210826 ⋅ 761 mod 857 ≡ 4 ⋅ 761 mod 857
≡ 3044 mod 857 ≡ 473 mod 857
Es gilt also: 761117 ≡ 473 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 35
| =>67 | = 1⋅35 + 32 |
| =>35 | = 1⋅32 + 3 |
| =>32 | = 10⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 32-10⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1) |
| 3= 35-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅32 +11⋅(35 -1⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅35 -11⋅ 32) = 11⋅35 -12⋅ 32 (=1) |
| 32= 67-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -12⋅(67 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -12⋅67 +12⋅ 35) = -12⋅67 +23⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,35)=1 = -12⋅67 +23⋅35
oder wenn man -12⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +12⋅67 = +23⋅35
Es gilt also: 23⋅35 = 12⋅67 +1
Somit 23⋅35 = 1 mod 67
23 ist also das Inverse von 35 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
