Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17995 + 305) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17995 + 305) mod 6 ≡ (17995 mod 6 + 305 mod 6) mod 6.
17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995
= 18000
305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305
= 300
Somit gilt:
(17995 + 305) mod 6 ≡ (1 + 5) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 91) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 91) mod 7 ≡ (21 mod 7 ⋅ 91 mod 7) mod 7.
21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.
91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 91) mod 7 ≡ (0 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45916 mod 941.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 459 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4591=459
2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 838 mod 941
4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 838⋅838=702244 ≡ 258 mod 941
8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 694 mod 941
16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 785 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 447197 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 4471=447
2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 300 mod 911
4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 722 mod 911
8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 192 mod 911
16: 44716=4478+8=4478⋅4478 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 424 mod 911
32: 44732=44716+16=44716⋅44716 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 309 mod 911
64: 44764=44732+32=44732⋅44732 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 737 mod 911
128: 447128=44764+64=44764⋅44764 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 213 mod 911
447197
= 447128+64+4+1
= 447128⋅44764⋅4474⋅4471
≡ 213 ⋅ 737 ⋅ 722 ⋅ 447 mod 911
≡ 156981 ⋅ 722 ⋅ 447 mod 911 ≡ 289 ⋅ 722 ⋅ 447 mod 911
≡ 208658 ⋅ 447 mod 911 ≡ 39 ⋅ 447 mod 911
≡ 17433 mod 911 ≡ 124 mod 911
Es gilt also: 447197 ≡ 124 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43
| =>53 | = 1⋅43 + 10 |
| =>43 | = 4⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 43-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1) |
| 10= 53-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43
oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅53 = -16⋅43
-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43
-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1
(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1
37⋅43 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1
Somit 37⋅43 = 1 mod 53
37 ist also das Inverse von 43 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
