Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1203 + 23999) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1203 + 23999) mod 6 ≡ (1203 mod 6 + 23999 mod 6) mod 6.
1203 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203
= 1200
23999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23999
= 24000
Somit gilt:
(1203 + 23999) mod 6 ≡ (3 + 5) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 96) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 96) mod 7 ≡ (32 mod 7 ⋅ 96 mod 7) mod 7.
32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.
96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 96) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48232 mod 643.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 482 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4821=482
2: 4822=4821+1=4821⋅4821 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 201 mod 643
4: 4824=4822+2=4822⋅4822 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 535 mod 643
8: 4828=4824+4=4824⋅4824 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 90 mod 643
16: 48216=4828+8=4828⋅4828 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 384 mod 643
32: 48232=48216+16=48216⋅48216 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 209 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 208198 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 2081=208
2: 2082=2081+1=2081⋅2081 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 293 mod 443
4: 2084=2082+2=2082⋅2082 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 350 mod 443
8: 2088=2084+4=2084⋅2084 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 232 mod 443
16: 20816=2088+8=2088⋅2088 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 221 mod 443
32: 20832=20816+16=20816⋅20816 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 111 mod 443
64: 20864=20832+32=20832⋅20832 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 360 mod 443
128: 208128=20864+64=20864⋅20864 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 244 mod 443
208198
= 208128+64+4+2
= 208128⋅20864⋅2084⋅2082
≡ 244 ⋅ 360 ⋅ 350 ⋅ 293 mod 443
≡ 87840 ⋅ 350 ⋅ 293 mod 443 ≡ 126 ⋅ 350 ⋅ 293 mod 443
≡ 44100 ⋅ 293 mod 443 ≡ 243 ⋅ 293 mod 443
≡ 71199 mod 443 ≡ 319 mod 443
Es gilt also: 208198 ≡ 319 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54
| =>59 | = 1⋅54 + 5 |
| =>54 | = 10⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 54-10⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -12⋅54
-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54
-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1
(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1
47⋅54 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1
Somit 47⋅54 = 1 mod 59
47 ist also das Inverse von 54 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
