Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (152 + 1498) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(152 + 1498) mod 3 ≡ (152 mod 3 + 1498 mod 3) mod 3.
152 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 150
1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1500
Somit gilt:
(152 + 1498) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 46) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 46) mod 4 ≡ (48 mod 4 ⋅ 46 mod 4) mod 4.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 46) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 376128 mod 911.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 376 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3761=376
2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 171 mod 911
4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 89 mod 911
8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 633 mod 911
16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 760 mod 911
32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 26 mod 911
64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 911
128: 376128=37664+64=37664⋅37664 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 565 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50697 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 5061=506
2: 5062=5061+1=5061⋅5061 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 546 mod 881
4: 5064=5062+2=5062⋅5062 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 338 mod 881
8: 5068=5064+4=5064⋅5064 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 595 mod 881
16: 50616=5068+8=5068⋅5068 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 744 mod 881
32: 50632=50616+16=50616⋅50616 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 268 mod 881
64: 50664=50632+32=50632⋅50632 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 463 mod 881
50697
= 50664+32+1
= 50664⋅50632⋅5061
≡ 463 ⋅ 268 ⋅ 506 mod 881
≡ 124084 ⋅ 506 mod 881 ≡ 744 ⋅ 506 mod 881
≡ 376464 mod 881 ≡ 277 mod 881
Es gilt also: 50697 ≡ 277 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29
| =>71 | = 2⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29) = 9⋅71 -22⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -22⋅29
-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29
-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1
(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1
49⋅29 = 20⋅71 + 1
Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1
Somit 49⋅29 = 1 mod 71
49 ist also das Inverse von 29 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
