Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 - 178) mod 9 ≡ (81 mod 9 - 178 mod 9) mod 9.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 90-9 = 9 ⋅ 10 -9 = 9 ⋅ 10 - 9 + 0.

178 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178 = 180-2 = 9 ⋅ 20 -2 = 9 ⋅ 20 - 9 + 7.

Somit gilt:

(81 - 178) mod 9 ≡ (0 - 7) mod 9 ≡ -7 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 55) mod 3 ≡ (93 mod 3 ⋅ 55 mod 3) mod 3.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.

55 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 18 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 55) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 371¹=371

2: 371²=371¹⁺¹=371¹⋅371¹ ≡ 371⋅371=137641 ≡ 217 mod 409

4: 371⁴=371²⁺²=371²⋅371² ≡ 217⋅217=47089 ≡ 54 mod 409

8: 371⁸=371⁴⁺⁴=371⁴⋅371⁴ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 53 mod 409

16: 371¹⁶=371⁸⁺⁸=371⁸⋅371⁸ ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409

32: 371³²=371¹⁶⁺¹⁶=371¹⁶⋅371¹⁶ ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409

64: 371⁶⁴=371³²⁺³²=371³²⋅371³² ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409

128: 371¹²⁸=371⁶⁴⁺⁶⁴=371⁶⁴⋅371⁶⁴ ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

387¹⁶³

= 387^128+32+2+1

= 387¹²⁸⋅387³²⋅387²⋅387¹

≡ 337 ⋅ 90 ⋅ 192 ⋅ 387 mod 683
≡ 30330 ⋅ 192 ⋅ 387 mod 683 ≡ 278 ⋅ 192 ⋅ 387 mod 683
≡ 53376 ⋅ 387 mod 683 ≡ 102 ⋅ 387 mod 683
≡ 39474 mod 683 ≡ 543 mod 683

Es gilt also: 387¹⁶³ ≡ 543 mod 683

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59	= 1⋅46 + 13
=>46	= 3⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46) = 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59