Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1501 + 11997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1501 + 11997) mod 3 ≡ (1501 mod 3 + 11997 mod 3) mod 3.
1501 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501
= 1500
11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
Somit gilt:
(1501 + 11997) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 49) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 49) mod 3 ≡ (91 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.
91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 49) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16732 mod 263.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 167 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1671=167
2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 11 mod 263
4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 263
8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 176 mod 263
16: 16716=1678+8=1678⋅1678 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 205 mod 263
32: 16732=16716+16=16716⋅16716 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 208 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 505185 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 5051=505
2: 5052=5051+1=5051⋅5051 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 204 mod 617
4: 5054=5052+2=5052⋅5052 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 277 mod 617
8: 5058=5054+4=5054⋅5054 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 221 mod 617
16: 50516=5058+8=5058⋅5058 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 98 mod 617
32: 50532=50516+16=50516⋅50516 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 349 mod 617
64: 50564=50532+32=50532⋅50532 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 252 mod 617
128: 505128=50564+64=50564⋅50564 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 570 mod 617
505185
= 505128+32+16+8+1
= 505128⋅50532⋅50516⋅5058⋅5051
≡ 570 ⋅ 349 ⋅ 98 ⋅ 221 ⋅ 505 mod 617
≡ 198930 ⋅ 98 ⋅ 221 ⋅ 505 mod 617 ≡ 256 ⋅ 98 ⋅ 221 ⋅ 505 mod 617
≡ 25088 ⋅ 221 ⋅ 505 mod 617 ≡ 408 ⋅ 221 ⋅ 505 mod 617
≡ 90168 ⋅ 505 mod 617 ≡ 86 ⋅ 505 mod 617
≡ 43430 mod 617 ≡ 240 mod 617
Es gilt also: 505185 ≡ 240 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 89.
Also bestimme x, so dass 89 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 89
| =>101 | = 1⋅89 + 12 |
| =>89 | = 7⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,89)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-7⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(89 -7⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅89 -35⋅ 12) = 5⋅89 -37⋅ 12 (=1) |
| 12= 101-1⋅89 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅89 -37⋅(101 -1⋅ 89)
= 5⋅89 -37⋅101 +37⋅ 89) = -37⋅101 +42⋅ 89 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,89)=1 = -37⋅101 +42⋅89
oder wenn man -37⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +37⋅101 = +42⋅89
Es gilt also: 42⋅89 = 37⋅101 +1
Somit 42⋅89 = 1 mod 101
42 ist also das Inverse von 89 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
