Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3198 + 24008) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3198 + 24008) mod 8 ≡ (3198 mod 8 + 24008 mod 8) mod 8.
3198 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3198
= 3200
24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008
= 24000
Somit gilt:
(3198 + 24008) mod 8 ≡ (6 + 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 34) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 34) mod 7 ≡ (40 mod 7 ⋅ 34 mod 7) mod 7.
40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.
34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 34) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41816 mod 881.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 418 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4181=418
2: 4182=4181+1=4181⋅4181 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 286 mod 881
4: 4184=4182+2=4182⋅4182 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 744 mod 881
8: 4188=4184+4=4184⋅4184 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 268 mod 881
16: 41816=4188+8=4188⋅4188 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 463 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 428121 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:
121 = 64+32+16+8+1
1: 4281=428
2: 4282=4281+1=4281⋅4281 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 208 mod 953
4: 4284=4282+2=4282⋅4282 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 379 mod 953
8: 4288=4284+4=4284⋅4284 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 691 mod 953
16: 42816=4288+8=4288⋅4288 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 28 mod 953
32: 42832=42816+16=42816⋅42816 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 953
64: 42864=42832+32=42832⋅42832 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 924 mod 953
428121
= 42864+32+16+8+1
= 42864⋅42832⋅42816⋅4288⋅4281
≡ 924 ⋅ 784 ⋅ 28 ⋅ 691 ⋅ 428 mod 953
≡ 724416 ⋅ 28 ⋅ 691 ⋅ 428 mod 953 ≡ 136 ⋅ 28 ⋅ 691 ⋅ 428 mod 953
≡ 3808 ⋅ 691 ⋅ 428 mod 953 ≡ 949 ⋅ 691 ⋅ 428 mod 953
≡ 655759 ⋅ 428 mod 953 ≡ 95 ⋅ 428 mod 953
≡ 40660 mod 953 ≡ 634 mod 953
Es gilt also: 428121 ≡ 634 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28
| =>89 | = 3⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-3⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(89 -3⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅89 +33⋅ 28) = -11⋅89 +35⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,28)=1 = -11⋅89 +35⋅28
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +35⋅28
Es gilt also: 35⋅28 = 11⋅89 +1
Somit 35⋅28 = 1 mod 89
35 ist also das Inverse von 28 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
