Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16001 - 12004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16001 - 12004) mod 4 ≡ (16001 mod 4 - 12004 mod 4) mod 4.
16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004
= 12000
Somit gilt:
(16001 - 12004) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 32) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 32) mod 4 ≡ (58 mod 4 ⋅ 32 mod 4) mod 4.
58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.
32 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 8 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 32) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2908 mod 701.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 290 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2901=290
2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 681 mod 701
4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 400 mod 701
8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 172 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 675153 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 6751=675
2: 6752=6751+1=6751⋅6751 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 355 mod 859
4: 6754=6752+2=6752⋅6752 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 611 mod 859
8: 6758=6754+4=6754⋅6754 ≡ 611⋅611=373321 ≡ 515 mod 859
16: 67516=6758+8=6758⋅6758 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 653 mod 859
32: 67532=67516+16=67516⋅67516 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 345 mod 859
64: 67564=67532+32=67532⋅67532 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 483 mod 859
128: 675128=67564+64=67564⋅67564 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 500 mod 859
675153
= 675128+16+8+1
= 675128⋅67516⋅6758⋅6751
≡ 500 ⋅ 653 ⋅ 515 ⋅ 675 mod 859
≡ 326500 ⋅ 515 ⋅ 675 mod 859 ≡ 80 ⋅ 515 ⋅ 675 mod 859
≡ 41200 ⋅ 675 mod 859 ≡ 827 ⋅ 675 mod 859
≡ 558225 mod 859 ≡ 734 mod 859
Es gilt also: 675153 ≡ 734 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53
| =>89 | = 1⋅53 + 36 |
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
| 36= 89-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53)
= 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53
oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +25⋅89 = +42⋅53
Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1
Somit 42⋅53 = 1 mod 89
42 ist also das Inverse von 53 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
