Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3001 + 185) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3001 + 185) mod 6 ≡ (3001 mod 6 + 185 mod 6) mod 6.
3001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001
= 3000
185 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 185
= 180
Somit gilt:
(3001 + 185) mod 6 ≡ (1 + 5) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 21) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 21) mod 10 ≡ (86 mod 10 ⋅ 21 mod 10) mod 10.
86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.
21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 21) mod 10 ≡ (6 ⋅ 1) mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2668 mod 769.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 266 -> x
2. mod(x²,769) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 8 mod 769
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 769
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 251 mod 769
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 425194 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:
194 = 128+64+2
1: 4251=425
2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 543 mod 677
4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 354 mod 677
8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 71 mod 677
16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 302 mod 677
32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 486 mod 677
64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 600 mod 677
128: 425128=42564+64=42564⋅42564 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 513 mod 677
425194
= 425128+64+2
= 425128⋅42564⋅4252
≡ 513 ⋅ 600 ⋅ 543 mod 677
≡ 307800 ⋅ 543 mod 677 ≡ 442 ⋅ 543 mod 677
≡ 240006 mod 677 ≡ 348 mod 677
Es gilt also: 425194 ≡ 348 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -6⋅44
-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44
-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1
(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1
47⋅44 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1
Somit 47⋅44 = 1 mod 53
47 ist also das Inverse von 44 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
