Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (799 + 1204) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(799 + 1204) mod 4 ≡ (799 mod 4 + 1204 mod 4) mod 4.
799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799
= 700
1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
Somit gilt:
(799 + 1204) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 25) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 25) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 25 mod 3) mod 3.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 25) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63164 mod 733.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 631 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6311=631
2: 6312=6311+1=6311⋅6311 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 142 mod 733
4: 6314=6312+2=6312⋅6312 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 373 mod 733
8: 6318=6314+4=6314⋅6314 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 592 mod 733
16: 63116=6318+8=6318⋅6318 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 90 mod 733
32: 63132=63116+16=63116⋅63116 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 37 mod 733
64: 63164=63132+32=63132⋅63132 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 636 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 178226 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:
226 = 128+64+32+2
1: 1781=178
2: 1782=1781+1=1781⋅1781 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 5 mod 401
4: 1784=1782+2=1782⋅1782 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 401
8: 1788=1784+4=1784⋅1784 ≡ 25⋅25=625 ≡ 224 mod 401
16: 17816=1788+8=1788⋅1788 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401
32: 17832=17816+16=17816⋅17816 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401
64: 17864=17832+32=17832⋅17832 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
128: 178128=17864+64=17864⋅17864 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 88 mod 401
178226
= 178128+64+32+2
= 178128⋅17864⋅17832⋅1782
≡ 88 ⋅ 331 ⋅ 195 ⋅ 5 mod 401
≡ 29128 ⋅ 195 ⋅ 5 mod 401 ≡ 256 ⋅ 195 ⋅ 5 mod 401
≡ 49920 ⋅ 5 mod 401 ≡ 196 ⋅ 5 mod 401
≡ 980 mod 401 ≡ 178 mod 401
Es gilt also: 178226 ≡ 178 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 42
| =>67 | = 1⋅42 + 25 |
| =>42 | = 1⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 42-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(42 -1⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅42 -3⋅ 25) = 3⋅42 -5⋅ 25 (=1) |
| 25= 67-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅42 -5⋅(67 -1⋅ 42)
= 3⋅42 -5⋅67 +5⋅ 42) = -5⋅67 +8⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,42)=1 = -5⋅67 +8⋅42
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +8⋅42
Es gilt also: 8⋅42 = 5⋅67 +1
Somit 8⋅42 = 1 mod 67
8 ist also das Inverse von 42 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
