Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 - 1199) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 - 1199) mod 4 ≡ (42 mod 4 - 1199 mod 4) mod 4.
42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42
= 40
1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1100
Somit gilt:
(42 - 1199) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 52) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 52) mod 6 ≡ (73 mod 6 ⋅ 52 mod 6) mod 6.
73 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 12 ⋅ 6 + 1 ist.
52 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 8 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 52) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 268128 mod 337.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 268 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2681=268
2: 2682=2681+1=2681⋅2681 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 43 mod 337
4: 2684=2682+2=2682⋅2682 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 164 mod 337
8: 2688=2684+4=2684⋅2684 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 273 mod 337
16: 26816=2688+8=2688⋅2688 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 52 mod 337
32: 26832=26816+16=26816⋅26816 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 8 mod 337
64: 26864=26832+32=26832⋅26832 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 337
128: 268128=26864+64=26864⋅26864 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 52 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56281 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:
81 = 64+16+1
1: 5621=562
2: 5622=5621+1=5621⋅5621 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 131 mod 643
4: 5624=5622+2=5622⋅5622 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 443 mod 643
8: 5628=5624+4=5624⋅5624 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 134 mod 643
16: 56216=5628+8=5628⋅5628 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 595 mod 643
32: 56232=56216+16=56216⋅56216 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 375 mod 643
64: 56264=56232+32=56232⋅56232 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 451 mod 643
56281
= 56264+16+1
= 56264⋅56216⋅5621
≡ 451 ⋅ 595 ⋅ 562 mod 643
≡ 268345 ⋅ 562 mod 643 ≡ 214 ⋅ 562 mod 643
≡ 120268 mod 643 ≡ 27 mod 643
Es gilt also: 56281 ≡ 27 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
