Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (449 - 8997) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(449 - 8997) mod 9 ≡ (449 mod 9 - 8997 mod 9) mod 9.
449 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 449
= 450
8997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997
= 9000
Somit gilt:
(449 - 8997) mod 9 ≡ (8 - 6) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 22) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 22) mod 3 ≡ (38 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.
38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 22) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7068 mod 757.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 706 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7061=706
2: 7062=7061+1=7061⋅7061 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 330 mod 757
4: 7064=7062+2=7062⋅7062 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 649 mod 757
8: 7068=7064+4=7064⋅7064 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 309 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 417230 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:
230 = 128+64+32+4+2
1: 4171=417
2: 4172=4171+1=4171⋅4171 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 95 mod 769
4: 4174=4172+2=4172⋅4172 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 566 mod 769
8: 4178=4174+4=4174⋅4174 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 452 mod 769
16: 41716=4178+8=4178⋅4178 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 519 mod 769
32: 41732=41716+16=41716⋅41716 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 211 mod 769
64: 41764=41732+32=41732⋅41732 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 688 mod 769
128: 417128=41764+64=41764⋅41764 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 409 mod 769
417230
= 417128+64+32+4+2
= 417128⋅41764⋅41732⋅4174⋅4172
≡ 409 ⋅ 688 ⋅ 211 ⋅ 566 ⋅ 95 mod 769
≡ 281392 ⋅ 211 ⋅ 566 ⋅ 95 mod 769 ≡ 707 ⋅ 211 ⋅ 566 ⋅ 95 mod 769
≡ 149177 ⋅ 566 ⋅ 95 mod 769 ≡ 760 ⋅ 566 ⋅ 95 mod 769
≡ 430160 ⋅ 95 mod 769 ≡ 289 ⋅ 95 mod 769
≡ 27455 mod 769 ≡ 540 mod 769
Es gilt also: 417230 ≡ 540 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
