Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1600 - 12001) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 - 12001) mod 4 ≡ (1600 mod 4 - 12001 mod 4) mod 4.

1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 4 ⋅ 400 +0.

12001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 4 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(1600 - 12001) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 45) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 45) mod 9 ≡ (18 mod 9 ⋅ 45 mod 9) mod 9.

18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 45) mod 9 ≡ (0 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29064 mod 739.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 290 -> x
2. mod(x²,739) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2901=290

2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 593 mod 739

4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 624 mod 739

8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 662 mod 739

16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 17 mod 739

32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 739

64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 14 mod 739

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 401217 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 4011=401

2: 4012=4011+1=4011⋅4011 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 91 mod 487

4: 4014=4012+2=4012⋅4012 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 2 mod 487

8: 4018=4014+4=4014⋅4014 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 487

16: 40116=4018+8=4018⋅4018 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 487

32: 40132=40116+16=40116⋅40116 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 487

64: 40164=40132+32=40132⋅40132 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 278 mod 487

128: 401128=40164+64=40164⋅40164 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 338 mod 487

401217

= 401128+64+16+8+1

= 401128⋅40164⋅40116⋅4018⋅4011

338 ⋅ 278 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487
93964 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487 ≡ 460 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487
7360 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487 ≡ 55 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487
220 ⋅ 401 mod 487
88220 mod 487 ≡ 73 mod 487

Es gilt also: 401217 ≡ 73 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 47

=>71 = 1⋅47 + 24
=>47 = 1⋅24 + 23
=>24 = 1⋅23 + 1
=>23 = 23⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 24-1⋅23
23= 47-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅24 -1⋅(47 -1⋅ 24)
= 1⋅24 -1⋅47 +1⋅ 24)
= -1⋅47 +2⋅ 24 (=1)
24= 71-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +2⋅(71 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +2⋅71 -2⋅ 47)
= 2⋅71 -3⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(71,47)=1 = 2⋅71 -3⋅47

oder wenn man 2⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅71 = -3⋅47

-3⋅47 = -2⋅71 + 1 |+71⋅47

-3⋅47 + 71⋅47 = -2⋅71 + 71⋅47 + 1

(-3 + 71) ⋅ 47 = (-2 + 47) ⋅ 71 + 1

68⋅47 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 68⋅47 = 45⋅71 +1

Somit 68⋅47 = 1 mod 71

68 ist also das Inverse von 47 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.