Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1201 + 402) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 402) mod 4 ≡ (1201 mod 4 + 402 mod 4) mod 4.

1201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 4 ⋅ 300 +1.

402 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402 = 400+2 = 4 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(1201 + 402) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 62) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 62) mod 9 ≡ (17 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.

17 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 9 + 8 = 1 ⋅ 9 + 8 ist.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 62) mod 9 ≡ (8 ⋅ 8) mod 9 ≡ 64 mod 9 ≡ 1 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 155128 mod 257.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 155 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1551=155

2: 1552=1551+1=1551⋅1551 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 124 mod 257

4: 1554=1552+2=1552⋅1552 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 213 mod 257

8: 1558=1554+4=1554⋅1554 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 137 mod 257

16: 15516=1558+8=1558⋅1558 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 8 mod 257

32: 15532=15516+16=15516⋅15516 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 257

64: 15564=15532+32=15532⋅15532 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 241 mod 257

128: 155128=15564+64=15564⋅15564 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 176156 mod 239.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:

156 = 128+16+8+4

1: 1761=176

2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 145 mod 239

4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 232 mod 239

8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 49 mod 239

16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 11 mod 239

32: 17632=17616+16=17616⋅17616 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 239

64: 17664=17632+32=17632⋅17632 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 62 mod 239

128: 176128=17664+64=17664⋅17664 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 20 mod 239

176156

= 176128+16+8+4

= 176128⋅17616⋅1768⋅1764

20 ⋅ 11 ⋅ 49 ⋅ 232 mod 239
220 ⋅ 49 ⋅ 232 mod 239
10780 ⋅ 232 mod 239 ≡ 25 ⋅ 232 mod 239
5800 mod 239 ≡ 64 mod 239

Es gilt also: 176156 ≡ 64 mod 239

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73 = 1⋅47 + 26
=>47 = 1⋅26 + 21
=>26 = 1⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21)
= -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26)
= 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47)
= 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47)
= -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.