Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (115 + 117) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(115 + 117) mod 6 ≡ (115 mod 6 + 117 mod 6) mod 6.
115 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 115
= 120
117 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
Somit gilt:
(115 + 117) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 91) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 91) mod 3 ≡ (32 mod 3 ⋅ 91 mod 3) mod 3.
32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 10 ⋅ 3 + 2 ist.
91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 91) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 232128 mod 401.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 232 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2321=232
2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 90 mod 401
4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 80 mod 401
8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 385 mod 401
16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 256 mod 401
32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 173 mod 401
64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 255 mod 401
128: 232128=23264+64=23264⋅23264 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 63 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 868169 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 8681=868
2: 8682=8681+1=8681⋅8681 ≡ 868⋅868=753424 ≡ 361 mod 887
4: 8684=8682+2=8682⋅8682 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 819 mod 887
8: 8688=8684+4=8684⋅8684 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 189 mod 887
16: 86816=8688+8=8688⋅8688 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 241 mod 887
32: 86832=86816+16=86816⋅86816 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 426 mod 887
64: 86864=86832+32=86832⋅86832 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 528 mod 887
128: 868128=86864+64=86864⋅86864 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 266 mod 887
868169
= 868128+32+8+1
= 868128⋅86832⋅8688⋅8681
≡ 266 ⋅ 426 ⋅ 189 ⋅ 868 mod 887
≡ 113316 ⋅ 189 ⋅ 868 mod 887 ≡ 667 ⋅ 189 ⋅ 868 mod 887
≡ 126063 ⋅ 868 mod 887 ≡ 109 ⋅ 868 mod 887
≡ 94612 mod 887 ≡ 590 mod 887
Es gilt also: 868169 ≡ 590 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20
| =>67 | = 3⋅20 + 7 |
| =>20 | = 2⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 20-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20) = 3⋅67 -10⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -10⋅20
-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20
-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1
(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1
57⋅20 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1
Somit 57⋅20 = 1 mod 67
57 ist also das Inverse von 20 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
