Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(262 + 8999) mod 9 ≡ (262 mod 9 + 8999 mod 9) mod 9.

262 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 262 = 270-8 = 9 ⋅ 30 -8 = 9 ⋅ 30 - 9 + 1.

8999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 9 ⋅ 1000 -1 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 8.

Somit gilt:

(262 + 8999) mod 9 ≡ (1 + 8) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 32) mod 10 ≡ (21 mod 10 ⋅ 32 mod 10) mod 10.

21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.

32 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 3 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 32) mod 10 ≡ (1 ⋅ 2) mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 240¹=240

2: 240²=240¹⁺¹=240¹⋅240¹ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 525 mod 761

4: 240⁴=240²⁺²=240²⋅240² ≡ 525⋅525=275625 ≡ 143 mod 761

8: 240⁸=240⁴⁺⁴=240⁴⋅240⁴ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 663 mod 761

16: 240¹⁶=240⁸⁺⁸=240⁸⋅240⁸ ≡ 663⋅663=439569 ≡ 472 mod 761

32: 240³²=240¹⁶⁺¹⁶=240¹⁶⋅240¹⁶ ≡ 472⋅472=222784 ≡ 572 mod 761

64: 240⁶⁴=240³²⁺³²=240³²⋅240³² ≡ 572⋅572=327184 ≡ 715 mod 761

128: 240¹²⁸=240⁶⁴⁺⁶⁴=240⁶⁴⋅240⁶⁴ ≡ 715⋅715=511225 ≡ 594 mod 761

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:

74 = 64+8+2

325⁷⁴

= 325⁶⁴⁺⁸⁺²

= 325⁶⁴⋅325⁸⋅325²

≡ 263 ⋅ 293 ⋅ 561 mod 571
≡ 77059 ⋅ 561 mod 571 ≡ 545 ⋅ 561 mod 571
≡ 305745 mod 571 ≡ 260 mod 571

Es gilt also: 325⁷⁴ ≡ 260 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48

=>71	= 1⋅48 + 23
=>48	= 2⋅23 + 2
=>23	= 11⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 48-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23) = 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23) = -11⋅48 +23⋅ 23 (=1)
23= 71-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48) = -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48) = 23⋅71 -34⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -34⋅48

-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48

-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1

(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1

37⋅48 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1

Somit 37⋅48 = 1 mod 71

37 ist also das Inverse von 48 mod 71