Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 + 15002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 + 15002) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 15002 mod 3) mod 3.
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
Somit gilt:
(1500 + 15002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 64) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 64) mod 6 ≡ (96 mod 6 ⋅ 64 mod 6) mod 6.
96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.
64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 64) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4788 mod 619.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 478 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4781=478
2: 4782=4781+1=4781⋅4781 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 73 mod 619
4: 4784=4782+2=4782⋅4782 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 377 mod 619
8: 4788=4784+4=4784⋅4784 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 378 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 234158 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 14 mod 271
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 271
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 205 mod 271
16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 20 mod 271
32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 20⋅20=400 ≡ 129 mod 271
64: 23464=23432+32=23432⋅23432 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 110 mod 271
128: 234128=23464+64=23464⋅23464 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 176 mod 271
234158
= 234128+16+8+4+2
= 234128⋅23416⋅2348⋅2344⋅2342
≡ 176 ⋅ 20 ⋅ 205 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 271
≡ 3520 ⋅ 205 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 271 ≡ 268 ⋅ 205 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 271
≡ 54940 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 271 ≡ 198 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 271
≡ 38808 ⋅ 14 mod 271 ≡ 55 ⋅ 14 mod 271
≡ 770 mod 271 ≡ 228 mod 271
Es gilt also: 234158 ≡ 228 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44
| =>83 | = 1⋅44 + 39 |
| =>44 | = 1⋅39 + 5 |
| =>39 | = 7⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 39-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5) = -1⋅39 +8⋅ 5 (=1) |
| 5= 44-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39) = 8⋅44 -9⋅ 39 (=1) |
| 39= 83-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44) = -9⋅83 +17⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +17⋅44
Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1
Somit 17⋅44 = 1 mod 83
17 ist also das Inverse von 44 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
