Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9008 - 36000) mod 9 ≡ (9008 mod 9 - 36000 mod 9) mod 9.

9008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9008 = 9000+8 = 9 ⋅ 1000 +8.

36000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36000 = 36000+0 = 9 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(9008 - 36000) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 28) mod 9 ≡ (73 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 28) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 344¹=344

2: 344²=344¹⁺¹=344¹⋅344¹ ≡ 344⋅344=118336 ≡ 271 mod 463

4: 344⁴=344²⁺²=344²⋅344² ≡ 271⋅271=73441 ≡ 287 mod 463

8: 344⁸=344⁴⁺⁴=344⁴⋅344⁴ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 418 mod 463

16: 344¹⁶=344⁸⁺⁸=344⁸⋅344⁸ ≡ 418⋅418=174724 ≡ 173 mod 463

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

266²⁴⁵

= 266^{128+64+32+16+4+1}

= 266¹²⁸⋅266⁶⁴⋅266³²⋅266¹⁶⋅266⁴⋅266¹

≡ 3 ⋅ 83 ⋅ 205 ⋅ 243 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313
≡ 249 ⋅ 205 ⋅ 243 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313
≡ 51045 ⋅ 243 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313 ≡ 26 ⋅ 243 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313
≡ 6318 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313 ≡ 58 ⋅ 11 ⋅ 266 mod 313
≡ 638 ⋅ 266 mod 313 ≡ 12 ⋅ 266 mod 313
≡ 3192 mod 313 ≡ 62 mod 313

Es gilt also: 266²⁴⁵ ≡ 62 mod 313

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80

=>101	= 1⋅80 + 21
=>80	= 3⋅21 + 17
=>21	= 1⋅17 + 4
=>17	= 4⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,80)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17) = 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 80-3⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅21 +5⋅(80 -3⋅ 21) = -4⋅21 +5⋅80 -15⋅ 21) = 5⋅80 -19⋅ 21 (=1)
21= 101-1⋅80	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅80 -19⋅(101 -1⋅ 80) = 5⋅80 -19⋅101 +19⋅ 80) = -19⋅101 +24⋅ 80 (=1)

Es gilt also: ggt(101,80)=1 = -19⋅101 +24⋅80

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +24⋅80

Es gilt also: 24⋅80 = 19⋅101 +1

Somit 24⋅80 = 1 mod 101

24 ist also das Inverse von 80 mod 101