Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23998 - 394) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23998 - 394) mod 8 ≡ (23998 mod 8 - 394 mod 8) mod 8.
23998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998
= 23000
394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 394
= 400
Somit gilt:
(23998 - 394) mod 8 ≡ (6 - 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 40) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 40) mod 3 ≡ (59 mod 3 ⋅ 40 mod 3) mod 3.
59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 40) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2228 mod 241.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 222 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2221=222
2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 120 mod 241
4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 181 mod 241
8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 226 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 126201 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 1261=126
2: 1262=1261+1=1261⋅1261 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 393 mod 397
4: 1264=1262+2=1262⋅1262 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 16 mod 397
8: 1268=1264+4=1264⋅1264 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 397
16: 12616=1268+8=1268⋅1268 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 31 mod 397
32: 12632=12616+16=12616⋅12616 ≡ 31⋅31=961 ≡ 167 mod 397
64: 12664=12632+32=12632⋅12632 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 99 mod 397
128: 126128=12664+64=12664⋅12664 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 273 mod 397
126201
= 126128+64+8+1
= 126128⋅12664⋅1268⋅1261
≡ 273 ⋅ 99 ⋅ 256 ⋅ 126 mod 397
≡ 27027 ⋅ 256 ⋅ 126 mod 397 ≡ 31 ⋅ 256 ⋅ 126 mod 397
≡ 7936 ⋅ 126 mod 397 ≡ 393 ⋅ 126 mod 397
≡ 49518 mod 397 ≡ 290 mod 397
Es gilt also: 126201 ≡ 290 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29
| =>53 | = 1⋅29 + 24 |
| =>29 | = 1⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 29-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1) |
| 24= 53-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29
oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅53 = +11⋅29
Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1
Somit 11⋅29 = 1 mod 53
11 ist also das Inverse von 29 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
