Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1498 + 298) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1498 + 298) mod 3 ≡ (1498 mod 3 + 298 mod 3) mod 3.
1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1500
298 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298
= 300
Somit gilt:
(1498 + 298) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 89) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 89) mod 5 ≡ (94 mod 5 ⋅ 89 mod 5) mod 5.
94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.
89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 89) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40064 mod 859.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 400 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4001=400
2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 226 mod 859
4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 395 mod 859
8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 546 mod 859
16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 43 mod 859
32: 40032=40016+16=40016⋅40016 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 131 mod 859
64: 40064=40032+32=40032⋅40032 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 840 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 394107 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:
107 = 64+32+8+2+1
1: 3941=394
2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 499 mod 521
4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 484 mod 521
8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 327 mod 521
16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 124 mod 521
32: 39432=39416+16=39416⋅39416 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 267 mod 521
64: 39464=39432+32=39432⋅39432 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 433 mod 521
394107
= 39464+32+8+2+1
= 39464⋅39432⋅3948⋅3942⋅3941
≡ 433 ⋅ 267 ⋅ 327 ⋅ 499 ⋅ 394 mod 521
≡ 115611 ⋅ 327 ⋅ 499 ⋅ 394 mod 521 ≡ 470 ⋅ 327 ⋅ 499 ⋅ 394 mod 521
≡ 153690 ⋅ 499 ⋅ 394 mod 521 ≡ 516 ⋅ 499 ⋅ 394 mod 521
≡ 257484 ⋅ 394 mod 521 ≡ 110 ⋅ 394 mod 521
≡ 43340 mod 521 ≡ 97 mod 521
Es gilt also: 394107 ≡ 97 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46
| =>53 | = 1⋅46 + 7 |
| =>46 | = 6⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 46-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7) = 2⋅46 -13⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46) = -13⋅53 +15⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +15⋅46
Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1
Somit 15⋅46 = 1 mod 53
15 ist also das Inverse von 46 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
