Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (200 + 1996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(200 + 1996) mod 4 ≡ (200 mod 4 + 1996 mod 4) mod 4.
200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200
= 200
1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996
= 1900
Somit gilt:
(200 + 1996) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 24) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 24) mod 4 ≡ (55 mod 4 ⋅ 24 mod 4) mod 4.
55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.
24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 24) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 502128 mod 641.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 502 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5021=502
2: 5022=5021+1=5021⋅5021 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 91 mod 641
4: 5024=5022+2=5022⋅5022 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 589 mod 641
8: 5028=5024+4=5024⋅5024 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 140 mod 641
16: 50216=5028+8=5028⋅5028 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 370 mod 641
32: 50232=50216+16=50216⋅50216 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 367 mod 641
64: 50264=50232+32=50232⋅50232 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 79 mod 641
128: 502128=50264+64=50264⋅50264 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 207194 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:
194 = 128+64+2
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 127 mod 521
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 499 mod 521
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 484 mod 521
16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 327 mod 521
32: 20732=20716+16=20716⋅20716 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 124 mod 521
64: 20764=20732+32=20732⋅20732 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 267 mod 521
128: 207128=20764+64=20764⋅20764 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 433 mod 521
207194
= 207128+64+2
= 207128⋅20764⋅2072
≡ 433 ⋅ 267 ⋅ 127 mod 521
≡ 115611 ⋅ 127 mod 521 ≡ 470 ⋅ 127 mod 521
≡ 59690 mod 521 ≡ 296 mod 521
Es gilt also: 207194 ≡ 296 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
