Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (505 - 24997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(505 - 24997) mod 5 ≡ (505 mod 5 - 24997 mod 5) mod 5.
505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 505
= 500
24997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24997
= 24000
Somit gilt:
(505 - 24997) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 84) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 84) mod 7 ≡ (93 mod 7 ⋅ 84 mod 7) mod 7.
93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.
84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 84) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3998 mod 821.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 399 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3991=399
2: 3992=3991+1=3991⋅3991 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 748 mod 821
4: 3994=3992+2=3992⋅3992 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 403 mod 821
8: 3998=3994+4=3994⋅3994 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 672 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 797120 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 7971=797
2: 7972=7971+1=7971⋅7971 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 309 mod 907
4: 7974=7972+2=7972⋅7972 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 246 mod 907
8: 7978=7974+4=7974⋅7974 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 654 mod 907
16: 79716=7978+8=7978⋅7978 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 519 mod 907
32: 79732=79716+16=79716⋅79716 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 889 mod 907
64: 79764=79732+32=79732⋅79732 ≡ 889⋅889=790321 ≡ 324 mod 907
797120
= 79764+32+16+8
= 79764⋅79732⋅79716⋅7978
≡ 324 ⋅ 889 ⋅ 519 ⋅ 654 mod 907
≡ 288036 ⋅ 519 ⋅ 654 mod 907 ≡ 517 ⋅ 519 ⋅ 654 mod 907
≡ 268323 ⋅ 654 mod 907 ≡ 758 ⋅ 654 mod 907
≡ 495732 mod 907 ≡ 510 mod 907
Es gilt also: 797120 ≡ 510 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33
| =>71 | = 2⋅33 + 5 |
| =>33 | = 6⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 33-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(33 -6⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅33 -12⋅ 5) = 2⋅33 -13⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -13⋅(71 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -13⋅71 +26⋅ 33) = -13⋅71 +28⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,33)=1 = -13⋅71 +28⋅33
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +28⋅33
Es gilt also: 28⋅33 = 13⋅71 +1
Somit 28⋅33 = 1 mod 71
28 ist also das Inverse von 33 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
