Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (173 + 93) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(173 + 93) mod 9 ≡ (173 mod 9 + 93 mod 9) mod 9.
173 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 173
= 180
93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93
= 90
Somit gilt:
(173 + 93) mod 9 ≡ (2 + 3) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 41) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 41) mod 7 ≡ (78 mod 7 ⋅ 41 mod 7) mod 7.
78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.
41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 41) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3388 mod 349.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 338 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 121 mod 349
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 332 mod 349
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 289 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 258243 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:
243 = 128+64+32+16+2+1
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 328 mod 571
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 236 mod 571
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 309 mod 571
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 124 mod 571
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 530 mod 571
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 539 mod 571
128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 453 mod 571
258243
= 258128+64+32+16+2+1
= 258128⋅25864⋅25832⋅25816⋅2582⋅2581
≡ 453 ⋅ 539 ⋅ 530 ⋅ 124 ⋅ 328 ⋅ 258 mod 571
≡ 244167 ⋅ 530 ⋅ 124 ⋅ 328 ⋅ 258 mod 571 ≡ 350 ⋅ 530 ⋅ 124 ⋅ 328 ⋅ 258 mod 571
≡ 185500 ⋅ 124 ⋅ 328 ⋅ 258 mod 571 ≡ 496 ⋅ 124 ⋅ 328 ⋅ 258 mod 571
≡ 61504 ⋅ 328 ⋅ 258 mod 571 ≡ 407 ⋅ 328 ⋅ 258 mod 571
≡ 133496 ⋅ 258 mod 571 ≡ 453 ⋅ 258 mod 571
≡ 116874 mod 571 ≡ 390 mod 571
Es gilt also: 258243 ≡ 390 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50
| =>67 | = 1⋅50 + 17 |
| =>50 | = 2⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 50-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -4⋅50
-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50
-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1
(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1
63⋅50 = 47⋅67 + 1
Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1
Somit 63⋅50 = 1 mod 67
63 ist also das Inverse von 50 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
