Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39996 + 4002) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39996 + 4002) mod 8 ≡ (39996 mod 8 + 4002 mod 8) mod 8.
39996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39996
= 39000
4002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002
= 4000
Somit gilt:
(39996 + 4002) mod 8 ≡ (4 + 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 59) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 59) mod 7 ≡ (97 mod 7 ⋅ 59 mod 7) mod 7.
97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.
59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 59) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1898 mod 389.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 189 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1891=189
2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 322 mod 389
4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 210 mod 389
8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 143 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 342208 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 3421=342
2: 3422=3421+1=3421⋅3421 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 351 mod 617
4: 3424=3422+2=3422⋅3422 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 418 mod 617
8: 3428=3424+4=3424⋅3424 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 113 mod 617
16: 34216=3428+8=3428⋅3428 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 429 mod 617
32: 34232=34216+16=34216⋅34216 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 175 mod 617
64: 34264=34232+32=34232⋅34232 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 392 mod 617
128: 342128=34264+64=34264⋅34264 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 31 mod 617
342208
= 342128+64+16
= 342128⋅34264⋅34216
≡ 31 ⋅ 392 ⋅ 429 mod 617
≡ 12152 ⋅ 429 mod 617 ≡ 429 ⋅ 429 mod 617
≡ 184041 mod 617 ≡ 175 mod 617
Es gilt also: 342208 ≡ 175 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 42
| =>67 | = 1⋅42 + 25 |
| =>42 | = 1⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 42-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(42 -1⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅42 -3⋅ 25) = 3⋅42 -5⋅ 25 (=1) |
| 25= 67-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅42 -5⋅(67 -1⋅ 42)
= 3⋅42 -5⋅67 +5⋅ 42) = -5⋅67 +8⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,42)=1 = -5⋅67 +8⋅42
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +8⋅42
Es gilt also: 8⋅42 = 5⋅67 +1
Somit 8⋅42 = 1 mod 67
8 ist also das Inverse von 42 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
