Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24008 + 7992) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24008 + 7992) mod 8 ≡ (24008 mod 8 + 7992 mod 8) mod 8.
24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008
= 24000
7992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7992
= 7000
Somit gilt:
(24008 + 7992) mod 8 ≡ (0 + 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 99) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 99) mod 5 ≡ (87 mod 5 ⋅ 99 mod 5) mod 5.
87 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 85 + 2 = 17 ⋅ 5 + 2 ist.
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 99) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55132 mod 997.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 551 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5511=551
2: 5512=5511+1=5511⋅5511 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 513 mod 997
4: 5514=5512+2=5512⋅5512 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 958 mod 997
8: 5518=5514+4=5514⋅5514 ≡ 958⋅958=917764 ≡ 524 mod 997
16: 55116=5518+8=5518⋅5518 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 401 mod 997
32: 55132=55116+16=55116⋅55116 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 284 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 127155 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:
155 = 128+16+8+2+1
1: 1271=127
2: 1272=1271+1=1271⋅1271 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 279 mod 317
4: 1274=1272+2=1272⋅1272 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 176 mod 317
8: 1278=1274+4=1274⋅1274 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 227 mod 317
16: 12716=1278+8=1278⋅1278 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 175 mod 317
32: 12732=12716+16=12716⋅12716 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 193 mod 317
64: 12764=12732+32=12732⋅12732 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 160 mod 317
128: 127128=12764+64=12764⋅12764 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 240 mod 317
127155
= 127128+16+8+2+1
= 127128⋅12716⋅1278⋅1272⋅1271
≡ 240 ⋅ 175 ⋅ 227 ⋅ 279 ⋅ 127 mod 317
≡ 42000 ⋅ 227 ⋅ 279 ⋅ 127 mod 317 ≡ 156 ⋅ 227 ⋅ 279 ⋅ 127 mod 317
≡ 35412 ⋅ 279 ⋅ 127 mod 317 ≡ 225 ⋅ 279 ⋅ 127 mod 317
≡ 62775 ⋅ 127 mod 317 ≡ 9 ⋅ 127 mod 317
≡ 1143 mod 317 ≡ 192 mod 317
Es gilt also: 127155 ≡ 192 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
