Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1502 - 602) mod 3 ≡ (1502 mod 3 - 602 mod 3) mod 3.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

602 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602 = 600+2 = 3 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(1502 - 602) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 39) mod 7 ≡ (15 mod 7 ⋅ 39 mod 7) mod 7.

15 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 14 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 ist.

39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 39) mod 7 ≡ (1 ⋅ 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 259¹=259

2: 259²=259¹⁺¹=259¹⋅259¹ ≡ 259⋅259=67081 ≡ 264 mod 613

4: 259⁴=259²⁺²=259²⋅259² ≡ 264⋅264=69696 ≡ 427 mod 613

8: 259⁸=259⁴⁺⁴=259⁴⋅259⁴ ≡ 427⋅427=182329 ≡ 268 mod 613

16: 259¹⁶=259⁸⁺⁸=259⁸⋅259⁸ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 103 mod 613

32: 259³²=259¹⁶⁺¹⁶=259¹⁶⋅259¹⁶ ≡ 103⋅103=10609 ≡ 188 mod 613

64: 259⁶⁴=259³²⁺³²=259³²⋅259³² ≡ 188⋅188=35344 ≡ 403 mod 613

128: 259¹²⁸=259⁶⁴⁺⁶⁴=259⁶⁴⋅259⁶⁴ ≡ 403⋅403=162409 ≡ 577 mod 613

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

185²³⁴

= 185^{128+64+32+8+2}

= 185¹²⁸⋅185⁶⁴⋅185³²⋅185⁸⋅185²

≡ 26 ⋅ 158 ⋅ 256 ⋅ 333 ⋅ 188 mod 337
≡ 4108 ⋅ 256 ⋅ 333 ⋅ 188 mod 337 ≡ 64 ⋅ 256 ⋅ 333 ⋅ 188 mod 337
≡ 16384 ⋅ 333 ⋅ 188 mod 337 ≡ 208 ⋅ 333 ⋅ 188 mod 337
≡ 69264 ⋅ 188 mod 337 ≡ 179 ⋅ 188 mod 337
≡ 33652 mod 337 ≡ 289 mod 337

Es gilt also: 185²³⁴ ≡ 289 mod 337

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68

=>79	= 1⋅68 + 11
=>68	= 6⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 68-6⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11) = -5⋅68 +31⋅ 11 (=1)
11= 79-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68) = -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68) = 31⋅79 -36⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -36⋅68

-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68

-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1

(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1

43⋅68 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1

Somit 43⋅68 = 1 mod 79

43 ist also das Inverse von 68 mod 79