Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8004 - 39996) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8004 - 39996) mod 8 ≡ (8004 mod 8 - 39996 mod 8) mod 8.
8004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004
= 8000
39996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39996
= 39000
Somit gilt:
(8004 - 39996) mod 8 ≡ (4 - 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 19) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 19) mod 5 ≡ (78 mod 5 ⋅ 19 mod 5) mod 5.
78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.
19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 19) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61832 mod 683.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 618 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6181=618
2: 6182=6181+1=6181⋅6181 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 127 mod 683
4: 6184=6182+2=6182⋅6182 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 420 mod 683
8: 6188=6184+4=6184⋅6184 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 186 mod 683
16: 61816=6188+8=6188⋅6188 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 446 mod 683
32: 61832=61816+16=61816⋅61816 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 163 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 235138 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 233 mod 491
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 279 mod 491
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 263 mod 491
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 429 mod 491
32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 407 mod 491
64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 182 mod 491
128: 235128=23564+64=23564⋅23564 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 227 mod 491
235138
= 235128+8+2
= 235128⋅2358⋅2352
≡ 227 ⋅ 263 ⋅ 233 mod 491
≡ 59701 ⋅ 233 mod 491 ≡ 290 ⋅ 233 mod 491
≡ 67570 mod 491 ≡ 303 mod 491
Es gilt also: 235138 ≡ 303 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68
| =>83 | = 1⋅68 + 15 |
| =>68 | = 4⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 68-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +11⋅68
Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1
Somit 11⋅68 = 1 mod 83
11 ist also das Inverse von 68 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
