Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1600 - 202) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1600 - 202) mod 4 ≡ (1600 mod 4 - 202 mod 4) mod 4.
1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
Somit gilt:
(1600 - 202) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 24) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 24) mod 7 ≡ (89 mod 7 ⋅ 24 mod 7) mod 7.
89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.
24 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 21 + 3 = 3 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 24) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19264 mod 251.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 192 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1921=192
2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 218 mod 251
4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 85 mod 251
8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 197 mod 251
16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 155 mod 251
32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 180 mod 251
64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 21 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9679 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:
79 = 64+8+4+2+1
1: 961=96
2: 962=961+1=961⋅961 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 143 mod 211
4: 964=962+2=962⋅962 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 193 mod 211
8: 968=964+4=964⋅964 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 113 mod 211
16: 9616=968+8=968⋅968 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 109 mod 211
32: 9632=9616+16=9616⋅9616 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 65 mod 211
64: 9664=9632+32=9632⋅9632 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 5 mod 211
9679
= 9664+8+4+2+1
= 9664⋅968⋅964⋅962⋅961
≡ 5 ⋅ 113 ⋅ 193 ⋅ 143 ⋅ 96 mod 211
≡ 565 ⋅ 193 ⋅ 143 ⋅ 96 mod 211 ≡ 143 ⋅ 193 ⋅ 143 ⋅ 96 mod 211
≡ 27599 ⋅ 143 ⋅ 96 mod 211 ≡ 169 ⋅ 143 ⋅ 96 mod 211
≡ 24167 ⋅ 96 mod 211 ≡ 113 ⋅ 96 mod 211
≡ 10848 mod 211 ≡ 87 mod 211
Es gilt also: 9679 ≡ 87 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 55
| =>59 | = 1⋅55 + 4 |
| =>55 | = 13⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 55-13⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(55 -13⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅55 +13⋅ 4) = -1⋅55 +14⋅ 4 (=1) |
| 4= 59-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅55 +14⋅(59 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +14⋅59 -14⋅ 55) = 14⋅59 -15⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,55)=1 = 14⋅59 -15⋅55
oder wenn man 14⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅59 = -15⋅55
-15⋅55 = -14⋅59 + 1 |+59⋅55
-15⋅55 + 59⋅55 = -14⋅59 + 59⋅55 + 1
(-15 + 59) ⋅ 55 = (-14 + 55) ⋅ 59 + 1
44⋅55 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 44⋅55 = 41⋅59 +1
Somit 44⋅55 = 1 mod 59
44 ist also das Inverse von 55 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
