Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (600 - 1499) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(600 - 1499) mod 3 ≡ (600 mod 3 - 1499 mod 3) mod 3.

600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 3 ⋅ 200 +0.

1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1500-1 = 3 ⋅ 500 -1 = 3 ⋅ 500 - 3 + 2.

Somit gilt:

(600 - 1499) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 21) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 21) mod 9 ≡ (52 mod 9 ⋅ 21 mod 9) mod 9.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 21) mod 9 ≡ (7 ⋅ 3) mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8558 mod 967.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 855 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8551=855

2: 8552=8551+1=8551⋅8551 ≡ 855⋅855=731025 ≡ 940 mod 967

4: 8554=8552+2=8552⋅8552 ≡ 940⋅940=883600 ≡ 729 mod 967

8: 8558=8554+4=8554⋅8554 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 558 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 252123 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 2521=252

2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 570 mod 617

4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 358 mod 617

8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 445 mod 617

16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 585 mod 617

32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 407 mod 617

64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 293 mod 617

252123

= 25264+32+16+8+2+1

= 25264⋅25232⋅25216⋅2528⋅2522⋅2521

293 ⋅ 407 ⋅ 585 ⋅ 445 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617
119251 ⋅ 585 ⋅ 445 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617 ≡ 170 ⋅ 585 ⋅ 445 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617
99450 ⋅ 445 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617 ≡ 113 ⋅ 445 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617
50285 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617 ≡ 308 ⋅ 570 ⋅ 252 mod 617
175560 ⋅ 252 mod 617 ≡ 332 ⋅ 252 mod 617
83664 mod 617 ≡ 369 mod 617

Es gilt also: 252123 ≡ 369 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61 = 1⋅50 + 11
=>50 = 4⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11)
= 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50)
= -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.