Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2095 + 281) mod 7 ≡ (2095 mod 7 + 281 mod 7) mod 7.

2095 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2095 = 2100-5 = 7 ⋅ 300 -5 = 7 ⋅ 300 - 7 + 2.

281 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 281 = 280+1 = 7 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(2095 + 281) mod 7 ≡ (2 + 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 72) mod 6 ≡ (58 mod 6 ⋅ 72 mod 6) mod 6.

58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.

72 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 12 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 72) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 269¹=269

2: 269²=269¹⁺¹=269¹⋅269¹ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 118 mod 349

4: 269⁴=269²⁺²=269²⋅269² ≡ 118⋅118=13924 ≡ 313 mod 349

8: 269⁸=269⁴⁺⁴=269⁴⋅269⁴ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 249 mod 349

16: 269¹⁶=269⁸⁺⁸=269⁸⋅269⁸ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 228 mod 349

32: 269³²=269¹⁶⁺¹⁶=269¹⁶⋅269¹⁶ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 332 mod 349

64: 269⁶⁴=269³²⁺³²=269³²⋅269³² ≡ 332⋅332=110224 ≡ 289 mod 349

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

311²³⁶

= 311^{128+64+32+8+4}

= 311¹²⁸⋅311⁶⁴⋅311³²⋅311⁸⋅311⁴

≡ 132 ⋅ 142 ⋅ 76 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 313
≡ 18744 ⋅ 76 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 313 ≡ 277 ⋅ 76 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 313
≡ 21052 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 313 ≡ 81 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 313
≡ 20736 ⋅ 16 mod 313 ≡ 78 ⋅ 16 mod 313
≡ 1248 mod 313 ≡ 309 mod 313

Es gilt also: 311²³⁶ ≡ 309 mod 313

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71	= 1⋅37 + 34
=>37	= 1⋅34 + 3
=>34	= 11⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34) = 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37) = -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71