Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20005 - 247) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20005 - 247) mod 5 ≡ (20005 mod 5 - 247 mod 5) mod 5.

20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005 = 20000+5 = 5 ⋅ 4000 +5.

247 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247 = 240+7 = 5 ⋅ 48 +7.

Somit gilt:

(20005 - 247) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 93) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 93) mod 10 ≡ (20 mod 10 ⋅ 93 mod 10) mod 10.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 93) mod 10 ≡ (0 ⋅ 3) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 478128 mod 593.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 478 -> x
2. mod(x²,593) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4781=478

2: 4782=4781+1=4781⋅4781 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 179 mod 593

4: 4784=4782+2=4782⋅4782 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 19 mod 593

8: 4788=4784+4=4784⋅4784 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 593

16: 47816=4788+8=4788⋅4788 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 454 mod 593

32: 47832=47816+16=47816⋅47816 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 345 mod 593

64: 47864=47832+32=47832⋅47832 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 425 mod 593

128: 478128=47864+64=47864⋅47864 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 353 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 686244 mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

1: 6861=686

2: 6862=6861+1=6861⋅6861 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 757 mod 787

4: 6864=6862+2=6862⋅6862 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 113 mod 787

8: 6868=6864+4=6864⋅6864 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 177 mod 787

16: 68616=6868+8=6868⋅6868 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 636 mod 787

32: 68632=68616+16=68616⋅68616 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 765 mod 787

64: 68664=68632+32=68632⋅68632 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 484 mod 787

128: 686128=68664+64=68664⋅68664 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 517 mod 787

686244

= 686128+64+32+16+4

= 686128⋅68664⋅68632⋅68616⋅6864

517 ⋅ 484 ⋅ 765 ⋅ 636 ⋅ 113 mod 787
250228 ⋅ 765 ⋅ 636 ⋅ 113 mod 787 ≡ 749 ⋅ 765 ⋅ 636 ⋅ 113 mod 787
572985 ⋅ 636 ⋅ 113 mod 787 ≡ 49 ⋅ 636 ⋅ 113 mod 787
31164 ⋅ 113 mod 787 ≡ 471 ⋅ 113 mod 787
53223 mod 787 ≡ 494 mod 787

Es gilt also: 686244 ≡ 494 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44

=>83 = 1⋅44 + 39
=>44 = 1⋅39 + 5
=>39 = 7⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 39-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5)
= -1⋅39 +8⋅ 5 (=1)
5= 44-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39)
= 8⋅44 -9⋅ 39 (=1)
39= 83-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44)
= -9⋅83 +17⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +17⋅44

Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1

Somit 17⋅44 = 1 mod 83

17 ist also das Inverse von 44 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.