Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35007 + 20997) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35007 + 20997) mod 7 ≡ (35007 mod 7 + 20997 mod 7) mod 7.
35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007
= 35000
20997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20997
= 21000
Somit gilt:
(35007 + 20997) mod 7 ≡ (0 + 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 61) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 61) mod 8 ≡ (85 mod 8 ⋅ 61 mod 8) mod 8.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.
61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 61) mod 8 ≡ (5 ⋅ 5) mod 8 ≡ 25 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26932 mod 389.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 269 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 7 mod 389
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 389
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 67 mod 389
16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 210 mod 389
32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 143 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 174169 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 1741=174
2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 182 mod 367
4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 94 mod 367
8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 28 mod 367
16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 28⋅28=784 ≡ 50 mod 367
32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 298 mod 367
64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 357 mod 367
128: 174128=17464+64=17464⋅17464 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 100 mod 367
174169
= 174128+32+8+1
= 174128⋅17432⋅1748⋅1741
≡ 100 ⋅ 298 ⋅ 28 ⋅ 174 mod 367
≡ 29800 ⋅ 28 ⋅ 174 mod 367 ≡ 73 ⋅ 28 ⋅ 174 mod 367
≡ 2044 ⋅ 174 mod 367 ≡ 209 ⋅ 174 mod 367
≡ 36366 mod 367 ≡ 33 mod 367
Es gilt also: 174169 ≡ 33 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 26
| =>73 | = 2⋅26 + 21 |
| =>26 | = 1⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 26-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅26 +5⋅(73 -2⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅73 -10⋅ 26) = 5⋅73 -14⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,26)=1 = 5⋅73 -14⋅26
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -14⋅26
-14⋅26 = -5⋅73 + 1 |+73⋅26
-14⋅26 + 73⋅26 = -5⋅73 + 73⋅26 + 1
(-14 + 73) ⋅ 26 = (-5 + 26) ⋅ 73 + 1
59⋅26 = 21⋅73 + 1
Es gilt also: 59⋅26 = 21⋅73 +1
Somit 59⋅26 = 1 mod 73
59 ist also das Inverse von 26 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
