Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (184 - 1796) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(184 - 1796) mod 6 ≡ (184 mod 6 - 1796 mod 6) mod 6.
184 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 184
= 180
1796 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796
= 1800
Somit gilt:
(184 - 1796) mod 6 ≡ (4 - 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 33) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 33) mod 5 ≡ (48 mod 5 ⋅ 33 mod 5) mod 5.
48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 9 ⋅ 5 + 3 ist.
33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 33) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3898 mod 661.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 389 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3891=389
2: 3892=3891+1=3891⋅3891 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 613 mod 661
4: 3894=3892+2=3892⋅3892 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 321 mod 661
8: 3898=3894+4=3894⋅3894 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 586 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 719187 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:
187 = 128+32+16+8+2+1
1: 7191=719
2: 7192=7191+1=7191⋅7191 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 196 mod 733
4: 7194=7192+2=7192⋅7192 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 300 mod 733
8: 7198=7194+4=7194⋅7194 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 574 mod 733
16: 71916=7198+8=7198⋅7198 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 359 mod 733
32: 71932=71916+16=71916⋅71916 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 606 mod 733
64: 71964=71932+32=71932⋅71932 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 3 mod 733
128: 719128=71964+64=71964⋅71964 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 733
719187
= 719128+32+16+8+2+1
= 719128⋅71932⋅71916⋅7198⋅7192⋅7191
≡ 9 ⋅ 606 ⋅ 359 ⋅ 574 ⋅ 196 ⋅ 719 mod 733
≡ 5454 ⋅ 359 ⋅ 574 ⋅ 196 ⋅ 719 mod 733 ≡ 323 ⋅ 359 ⋅ 574 ⋅ 196 ⋅ 719 mod 733
≡ 115957 ⋅ 574 ⋅ 196 ⋅ 719 mod 733 ≡ 143 ⋅ 574 ⋅ 196 ⋅ 719 mod 733
≡ 82082 ⋅ 196 ⋅ 719 mod 733 ≡ 719 ⋅ 196 ⋅ 719 mod 733
≡ 140924 ⋅ 719 mod 733 ≡ 188 ⋅ 719 mod 733
≡ 135172 mod 733 ≡ 300 mod 733
Es gilt also: 719187 ≡ 300 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 69
| =>89 | = 1⋅69 + 20 |
| =>69 | = 3⋅20 + 9 |
| =>20 | = 2⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 20-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(20 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅20 +8⋅ 9) = -4⋅20 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 69-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅20 +9⋅(69 -3⋅ 20)
= -4⋅20 +9⋅69 -27⋅ 20) = 9⋅69 -31⋅ 20 (=1) |
| 20= 89-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅69 -31⋅(89 -1⋅ 69)
= 9⋅69 -31⋅89 +31⋅ 69) = -31⋅89 +40⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,69)=1 = -31⋅89 +40⋅69
oder wenn man -31⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅89 = +40⋅69
Es gilt also: 40⋅69 = 31⋅89 +1
Somit 40⋅69 = 1 mod 89
40 ist also das Inverse von 69 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
