Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 + 84) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 + 84) mod 9 ≡ (81 mod 9 + 84 mod 9) mod 9.
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81
= 90
84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84
= 90
Somit gilt:
(81 + 84) mod 9 ≡ (0 + 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 96) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 96) mod 6 ≡ (87 mod 6 ⋅ 96 mod 6) mod 6.
87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.
96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 96) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3078 mod 631.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 307 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3071=307
2: 3072=3071+1=3071⋅3071 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 230 mod 631
4: 3074=3072+2=3072⋅3072 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 527 mod 631
8: 3078=3074+4=3074⋅3074 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 89 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25362 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 53 mod 271
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 99 mod 271
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 45 mod 271
16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 128 mod 271
32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 124 mod 271
25362
= 25332+16+8+4+2
= 25332⋅25316⋅2538⋅2534⋅2532
≡ 124 ⋅ 128 ⋅ 45 ⋅ 99 ⋅ 53 mod 271
≡ 15872 ⋅ 45 ⋅ 99 ⋅ 53 mod 271 ≡ 154 ⋅ 45 ⋅ 99 ⋅ 53 mod 271
≡ 6930 ⋅ 99 ⋅ 53 mod 271 ≡ 155 ⋅ 99 ⋅ 53 mod 271
≡ 15345 ⋅ 53 mod 271 ≡ 169 ⋅ 53 mod 271
≡ 8957 mod 271 ≡ 14 mod 271
Es gilt also: 25362 ≡ 14 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29
| =>73 | = 2⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29) = 2⋅73 -5⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29
oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅73 = -5⋅29
-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29
-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1
(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1
68⋅29 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1
Somit 68⋅29 = 1 mod 73
68 ist also das Inverse von 29 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
