Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 + 27000) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 + 27000) mod 9 ≡ (81 mod 9 + 27000 mod 9) mod 9.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 90-9 = 9 ⋅ 10 -9 = 9 ⋅ 10 - 9 + 0.

27000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27000 = 27000+0 = 9 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(81 + 27000) mod 9 ≡ (0 + 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 24) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 24) mod 5 ≡ (74 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.

74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 24) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 53664 mod 743.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 536 -> x
2. mod(x²,743) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5361=536

2: 5362=5361+1=5361⋅5361 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 498 mod 743

4: 5364=5362+2=5362⋅5362 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 585 mod 743

8: 5368=5364+4=5364⋅5364 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 445 mod 743

16: 53616=5368+8=5368⋅5368 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 387 mod 743

32: 53632=53616+16=53616⋅53616 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 426 mod 743

64: 53664=53632+32=53632⋅53632 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 184 mod 743

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 338159 mod 887.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

1: 3381=338

2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 708 mod 887

4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 109 mod 887

8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 350 mod 887

16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 94 mod 887

32: 33832=33816+16=33816⋅33816 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 853 mod 887

64: 33864=33832+32=33832⋅33832 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 269 mod 887

128: 338128=33864+64=33864⋅33864 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 514 mod 887

338159

= 338128+16+8+4+2+1

= 338128⋅33816⋅3388⋅3384⋅3382⋅3381

514 ⋅ 94 ⋅ 350 ⋅ 109 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887
48316 ⋅ 350 ⋅ 109 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887 ≡ 418 ⋅ 350 ⋅ 109 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887
146300 ⋅ 109 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887 ≡ 832 ⋅ 109 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887
90688 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887 ≡ 214 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887
151512 ⋅ 338 mod 887 ≡ 722 ⋅ 338 mod 887
244036 mod 887 ≡ 111 mod 887

Es gilt also: 338159 ≡ 111 mod 887

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 55

=>79 = 1⋅55 + 24
=>55 = 2⋅24 + 7
=>24 = 3⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 24-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7)
= -2⋅24 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅24 +7⋅(55 -2⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅55 -14⋅ 24)
= 7⋅55 -16⋅ 24 (=1)
24= 79-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅55 -16⋅(79 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -16⋅79 +16⋅ 55)
= -16⋅79 +23⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(79,55)=1 = -16⋅79 +23⋅55

oder wenn man -16⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅79 = +23⋅55

Es gilt also: 23⋅55 = 16⋅79 +1

Somit 23⋅55 = 1 mod 79

23 ist also das Inverse von 55 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.