Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (239 + 323) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(239 + 323) mod 8 ≡ (239 mod 8 + 323 mod 8) mod 8.
239 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239
= 240
323 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 323
= 320
Somit gilt:
(239 + 323) mod 8 ≡ (7 + 3) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 63) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 63) mod 10 ≡ (30 mod 10 ⋅ 63 mod 10) mod 10.
30 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 3 ⋅ 10 + 0 ist.
63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 63) mod 10 ≡ (0 ⋅ 3) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 388128 mod 947.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 388 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3881=388
2: 3882=3881+1=3881⋅3881 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 918 mod 947
4: 3884=3882+2=3882⋅3882 ≡ 918⋅918=842724 ≡ 841 mod 947
8: 3888=3884+4=3884⋅3884 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 819 mod 947
16: 38816=3888+8=3888⋅3888 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 285 mod 947
32: 38832=38816+16=38816⋅38816 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 730 mod 947
64: 38864=38832+32=38832⋅38832 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 686 mod 947
128: 388128=38864+64=38864⋅38864 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 884 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 362184 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:
184 = 128+32+16+8
1: 3621=362
2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 407 mod 773
4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 227 mod 773
8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 511 mod 773
16: 36216=3628+8=3628⋅3628 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 620 mod 773
32: 36232=36216+16=36216⋅36216 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 219 mod 773
64: 36264=36232+32=36232⋅36232 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 35 mod 773
128: 362128=36264+64=36264⋅36264 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 452 mod 773
362184
= 362128+32+16+8
= 362128⋅36232⋅36216⋅3628
≡ 452 ⋅ 219 ⋅ 620 ⋅ 511 mod 773
≡ 98988 ⋅ 620 ⋅ 511 mod 773 ≡ 44 ⋅ 620 ⋅ 511 mod 773
≡ 27280 ⋅ 511 mod 773 ≡ 225 ⋅ 511 mod 773
≡ 114975 mod 773 ≡ 571 mod 773
Es gilt also: 362184 ≡ 571 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52
| =>73 | = 1⋅52 + 21 |
| =>52 | = 2⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 52-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -7⋅52
-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52
-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1
(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1
66⋅52 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1
Somit 66⋅52 = 1 mod 73
66 ist also das Inverse von 52 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
