Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (900 + 3000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(900 + 3000) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 3000 mod 3) mod 3.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(900 + 3000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 28) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 28) mod 9 ≡ (96 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.

28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 28) mod 9 ≡ (6 ⋅ 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6618 mod 857.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 661 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6611=661

2: 6612=6611+1=6611⋅6611 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 708 mod 857

4: 6614=6612+2=6612⋅6612 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 776 mod 857

8: 6618=6614+4=6614⋅6614 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 562 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 336112 mod 709.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:

112 = 64+32+16

1: 3361=336

2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 165 mod 709

4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 283 mod 709

8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 681 mod 709

16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 75 mod 709

32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 662 mod 709

64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 82 mod 709

336112

= 33664+32+16

= 33664⋅33632⋅33616

82 ⋅ 662 ⋅ 75 mod 709
54284 ⋅ 75 mod 709 ≡ 400 ⋅ 75 mod 709
30000 mod 709 ≡ 222 mod 709

Es gilt also: 336112 ≡ 222 mod 709

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 57.

Also bestimme x, so dass 57 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 57

=>83 = 1⋅57 + 26
=>57 = 2⋅26 + 5
=>26 = 5⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,57)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 26-5⋅5
5= 57-2⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅26 -5⋅(57 -2⋅ 26)
= 1⋅26 -5⋅57 +10⋅ 26)
= -5⋅57 +11⋅ 26 (=1)
26= 83-1⋅57 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅57 +11⋅(83 -1⋅ 57)
= -5⋅57 +11⋅83 -11⋅ 57)
= 11⋅83 -16⋅ 57 (=1)

Es gilt also: ggt(83,57)=1 = 11⋅83 -16⋅57

oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅83 = -16⋅57

-16⋅57 = -11⋅83 + 1 |+83⋅57

-16⋅57 + 83⋅57 = -11⋅83 + 83⋅57 + 1

(-16 + 83) ⋅ 57 = (-11 + 57) ⋅ 83 + 1

67⋅57 = 46⋅83 + 1

Es gilt also: 67⋅57 = 46⋅83 +1

Somit 67⋅57 = 1 mod 83

67 ist also das Inverse von 57 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.