Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (201 - 998) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(201 - 998) mod 5 ≡ (201 mod 5 - 998 mod 5) mod 5.
201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201
= 200
998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998
= 900
Somit gilt:
(201 - 998) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 58) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 58) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 58 mod 5) mod 5.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.
58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 58) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38564 mod 431.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 385 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3851=385
2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 392 mod 431
4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 228 mod 431
8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 264 mod 431
16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 305 mod 431
32: 38532=38516+16=38516⋅38516 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 360 mod 431
64: 38564=38532+32=38532⋅38532 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 300 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 81177 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:
177 = 128+32+16+1
1: 811=81
2: 812=811+1=811⋅811 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 20 mod 211
4: 814=812+2=812⋅812 ≡ 20⋅20=400 ≡ 189 mod 211
8: 818=814+4=814⋅814 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 62 mod 211
16: 8116=818+8=818⋅818 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 46 mod 211
32: 8132=8116+16=8116⋅8116 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 6 mod 211
64: 8164=8132+32=8132⋅8132 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 211
128: 81128=8164+64=8164⋅8164 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 30 mod 211
81177
= 81128+32+16+1
= 81128⋅8132⋅8116⋅811
≡ 30 ⋅ 6 ⋅ 46 ⋅ 81 mod 211
≡ 180 ⋅ 46 ⋅ 81 mod 211
≡ 8280 ⋅ 81 mod 211 ≡ 51 ⋅ 81 mod 211
≡ 4131 mod 211 ≡ 122 mod 211
Es gilt also: 81177 ≡ 122 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35
| =>79 | = 2⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 79-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35) = 4⋅79 -9⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -9⋅35
-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35
-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1
(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1
70⋅35 = 31⋅79 + 1
Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1
Somit 70⋅35 = 1 mod 79
70 ist also das Inverse von 35 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
