Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (891 + 894) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(891 + 894) mod 9 ≡ (891 mod 9 + 894 mod 9) mod 9.
891 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 891
= 900
894 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 894
= 900
Somit gilt:
(891 + 894) mod 9 ≡ (0 + 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 17) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 17) mod 8 ≡ (66 mod 8 ⋅ 17 mod 8) mod 8.
66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.
17 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 17) mod 8 ≡ (2 ⋅ 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1708 mod 463.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 170 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1701=170
2: 1702=1701+1=1701⋅1701 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 194 mod 463
4: 1704=1702+2=1702⋅1702 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 133 mod 463
8: 1708=1704+4=1704⋅1704 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 95 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 151116 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 1511=151
2: 1512=1511+1=1511⋅1511 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 265 mod 313
4: 1514=1512+2=1512⋅1512 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 113 mod 313
8: 1518=1514+4=1514⋅1514 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 249 mod 313
16: 15116=1518+8=1518⋅1518 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 27 mod 313
32: 15132=15116+16=15116⋅15116 ≡ 27⋅27=729 ≡ 103 mod 313
64: 15164=15132+32=15132⋅15132 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 280 mod 313
151116
= 15164+32+16+4
= 15164⋅15132⋅15116⋅1514
≡ 280 ⋅ 103 ⋅ 27 ⋅ 113 mod 313
≡ 28840 ⋅ 27 ⋅ 113 mod 313 ≡ 44 ⋅ 27 ⋅ 113 mod 313
≡ 1188 ⋅ 113 mod 313 ≡ 249 ⋅ 113 mod 313
≡ 28137 mod 313 ≡ 280 mod 313
Es gilt also: 151116 ≡ 280 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52
| =>73 | = 1⋅52 + 21 |
| =>52 | = 2⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 52-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -7⋅52
-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52
-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1
(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1
66⋅52 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1
Somit 66⋅52 = 1 mod 73
66 ist also das Inverse von 52 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
