Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (167 - 77) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(167 - 77) mod 8 ≡ (167 mod 8 - 77 mod 8) mod 8.
167 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 167
= 160
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77
= 80
Somit gilt:
(167 - 77) mod 8 ≡ (7 - 5) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 71) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 71) mod 6 ≡ (79 mod 6 ⋅ 71 mod 6) mod 6.
79 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 13 ⋅ 6 + 1 ist.
71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 71) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5218 mod 929.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 521 -> x
2. mod(x²,929) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5211=521
2: 5212=5211+1=5211⋅5211 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 173 mod 929
4: 5214=5212+2=5212⋅5212 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 201 mod 929
8: 5218=5214+4=5214⋅5214 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 454 mod 929
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 136133 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 1361=136
2: 1362=1361+1=1361⋅1361 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 146 mod 367
4: 1364=1362+2=1362⋅1362 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 30 mod 367
8: 1368=1364+4=1364⋅1364 ≡ 30⋅30=900 ≡ 166 mod 367
16: 13616=1368+8=1368⋅1368 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 31 mod 367
32: 13632=13616+16=13616⋅13616 ≡ 31⋅31=961 ≡ 227 mod 367
64: 13664=13632+32=13632⋅13632 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 149 mod 367
128: 136128=13664+64=13664⋅13664 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 181 mod 367
136133
= 136128+4+1
= 136128⋅1364⋅1361
≡ 181 ⋅ 30 ⋅ 136 mod 367
≡ 5430 ⋅ 136 mod 367 ≡ 292 ⋅ 136 mod 367
≡ 39712 mod 367 ≡ 76 mod 367
Es gilt also: 136133 ≡ 76 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 36
| =>101 | = 2⋅36 + 29 |
| =>36 | = 1⋅29 + 7 |
| =>29 | = 4⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-4⋅7 | |||
| 7= 36-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 101-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅36 +5⋅(101 -2⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅101 -10⋅ 36) = 5⋅101 -14⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,36)=1 = 5⋅101 -14⋅36
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -14⋅36
-14⋅36 = -5⋅101 + 1 |+101⋅36
-14⋅36 + 101⋅36 = -5⋅101 + 101⋅36 + 1
(-14 + 101) ⋅ 36 = (-5 + 36) ⋅ 101 + 1
87⋅36 = 31⋅101 + 1
Es gilt also: 87⋅36 = 31⋅101 +1
Somit 87⋅36 = 1 mod 101
87 ist also das Inverse von 36 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
