Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (233 + 795) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(233 + 795) mod 8 ≡ (233 mod 8 + 795 mod 8) mod 8.

233 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 233 = 240-7 = 8 ⋅ 30 -7 = 8 ⋅ 30 - 8 + 1.

795 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 795 = 800-5 = 8 ⋅ 100 -5 = 8 ⋅ 100 - 8 + 3.

Somit gilt:

(233 + 795) mod 8 ≡ (1 + 3) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 44) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 44) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 44 mod 7) mod 7.

26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.

44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 44) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12964 mod 277.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 129 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1291=129

2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 21 mod 277

4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 21⋅21=441 ≡ 164 mod 277

8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 27 mod 277

16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 27⋅27=729 ≡ 175 mod 277

32: 12932=12916+16=12916⋅12916 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 155 mod 277

64: 12964=12932+32=12932⋅12932 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 203 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 399182 mod 761.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

1: 3991=399

2: 3992=3991+1=3991⋅3991 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 152 mod 761

4: 3994=3992+2=3992⋅3992 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 274 mod 761

8: 3998=3994+4=3994⋅3994 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 498 mod 761

16: 39916=3998+8=3998⋅3998 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 679 mod 761

32: 39932=39916+16=39916⋅39916 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 636 mod 761

64: 39964=39932+32=39932⋅39932 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 405 mod 761

128: 399128=39964+64=39964⋅39964 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 410 mod 761

399182

= 399128+32+16+4+2

= 399128⋅39932⋅39916⋅3994⋅3992

410 ⋅ 636 ⋅ 679 ⋅ 274 ⋅ 152 mod 761
260760 ⋅ 679 ⋅ 274 ⋅ 152 mod 761 ≡ 498 ⋅ 679 ⋅ 274 ⋅ 152 mod 761
338142 ⋅ 274 ⋅ 152 mod 761 ≡ 258 ⋅ 274 ⋅ 152 mod 761
70692 ⋅ 152 mod 761 ≡ 680 ⋅ 152 mod 761
103360 mod 761 ≡ 625 mod 761

Es gilt also: 399182 ≡ 625 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.

Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71

=>79 = 1⋅71 + 8
=>71 = 8⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 71-8⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8)
= -1⋅71 +9⋅ 8 (=1)
8= 79-1⋅71 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71)
= 9⋅79 -10⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71

oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅79 = -10⋅71

-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71

-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1

(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1

69⋅71 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1

Somit 69⋅71 = 1 mod 79

69 ist also das Inverse von 71 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.