Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25005 + 15005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25005 + 15005) mod 5 ≡ (25005 mod 5 + 15005 mod 5) mod 5.
25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005
= 25000
15005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15005
= 15000
Somit gilt:
(25005 + 15005) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 31) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 31) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 31 mod 6) mod 6.
38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.
31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 31) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3968 mod 787.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 396 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 203 mod 787
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 285 mod 787
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 164 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 319190 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:
190 = 128+32+16+8+4+2
1: 3191=319
2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 192 mod 601
4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 203 mod 601
8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 341 mod 601
16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 288 mod 601
32: 31932=31916+16=31916⋅31916 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 6 mod 601
64: 31964=31932+32=31932⋅31932 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 601
128: 319128=31964+64=31964⋅31964 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 94 mod 601
319190
= 319128+32+16+8+4+2
= 319128⋅31932⋅31916⋅3198⋅3194⋅3192
≡ 94 ⋅ 6 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601
≡ 564 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601
≡ 162432 ⋅ 341 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601 ≡ 162 ⋅ 341 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601
≡ 55242 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601 ≡ 551 ⋅ 203 ⋅ 192 mod 601
≡ 111853 ⋅ 192 mod 601 ≡ 67 ⋅ 192 mod 601
≡ 12864 mod 601 ≡ 243 mod 601
Es gilt also: 319190 ≡ 243 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70
| =>101 | = 1⋅70 + 31 |
| =>70 | = 2⋅31 + 8 |
| =>31 | = 3⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 31-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1) |
| 8= 70-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +13⋅70
Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1
Somit 13⋅70 = 1 mod 101
13 ist also das Inverse von 70 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
