Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2005 - 14996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2005 - 14996) mod 5 ≡ (2005 mod 5 - 14996 mod 5) mod 5.
2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005
= 2000
14996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14996
= 14000
Somit gilt:
(2005 - 14996) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 26) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 26) mod 10 ≡ (15 mod 10 ⋅ 26 mod 10) mod 10.
15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.
26 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 20 + 6 = 2 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 26) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39132 mod 397.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 391 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3911=391
2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 36 mod 397
4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 105 mod 397
8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 306 mod 397
16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 341 mod 397
32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 357 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50564 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 5051=505
2: 5052=5051+1=5051⋅5051 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 476 mod 557
4: 5054=5052+2=5052⋅5052 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 434 mod 557
8: 5058=5054+4=5054⋅5054 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 90 mod 557
16: 50516=5058+8=5058⋅5058 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 302 mod 557
32: 50532=50516+16=50516⋅50516 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 413 mod 557
64: 50564=50532+32=50532⋅50532 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 127 mod 557
50564
= 50564
= 50564
≡ 127 mod 557
Es gilt also: 50564 ≡ 127 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 45
| =>59 | = 1⋅45 + 14 |
| =>45 | = 3⋅14 + 3 |
| =>14 | = 4⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 14-4⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1) |
| 3= 45-3⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +5⋅(45 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅45 -15⋅ 14) = 5⋅45 -16⋅ 14 (=1) |
| 14= 59-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅45 -16⋅(59 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -16⋅59 +16⋅ 45) = -16⋅59 +21⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,45)=1 = -16⋅59 +21⋅45
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +21⋅45
Es gilt also: 21⋅45 = 16⋅59 +1
Somit 21⋅45 = 1 mod 59
21 ist also das Inverse von 45 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
