Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(246 + 1997) mod 5 ≡ (246 mod 5 + 1997 mod 5) mod 5.

246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 5 ⋅ 48 +6.

1997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 5 ⋅ 380 +97.

Somit gilt:

(246 + 1997) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 83) mod 11 ≡ (34 mod 11 ⋅ 83 mod 11) mod 11.

34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.

83 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 7 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 83) mod 11 ≡ (1 ⋅ 6) mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 211¹=211

2: 211²=211¹⁺¹=211¹⋅211¹ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 67 mod 239

4: 211⁴=211²⁺²=211²⋅211² ≡ 67⋅67=4489 ≡ 187 mod 239

8: 211⁸=211⁴⁺⁴=211⁴⋅211⁴ ≡ 187⋅187=34969 ≡ 75 mod 239

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

217²³⁹

= 217^{128+64+32+8+4+2+1}

= 217¹²⁸⋅217⁶⁴⋅217³²⋅217⁸⋅217⁴⋅217²⋅217¹

≡ 75 ⋅ 125 ⋅ 274 ⋅ 160 ⋅ 212 ⋅ 128 ⋅ 217 mod 311
≡ 9375 ⋅ 274 ⋅ 160 ⋅ 212 ⋅ 128 ⋅ 217 mod 311 ≡ 45 ⋅ 274 ⋅ 160 ⋅ 212 ⋅ 128 ⋅ 217 mod 311
≡ 12330 ⋅ 160 ⋅ 212 ⋅ 128 ⋅ 217 mod 311 ≡ 201 ⋅ 160 ⋅ 212 ⋅ 128 ⋅ 217 mod 311
≡ 32160 ⋅ 212 ⋅ 128 ⋅ 217 mod 311 ≡ 127 ⋅ 212 ⋅ 128 ⋅ 217 mod 311
≡ 26924 ⋅ 128 ⋅ 217 mod 311 ≡ 178 ⋅ 128 ⋅ 217 mod 311
≡ 22784 ⋅ 217 mod 311 ≡ 81 ⋅ 217 mod 311
≡ 17577 mod 311 ≡ 161 mod 311

Es gilt also: 217²³⁹ ≡ 161 mod 311

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 37

=>67	= 1⋅37 + 30
=>37	= 1⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 37-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(37 -1⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅37 -13⋅ 30) = 13⋅37 -16⋅ 30 (=1)
30= 67-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅37 -16⋅(67 -1⋅ 37) = 13⋅37 -16⋅67 +16⋅ 37) = -16⋅67 +29⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(67,37)=1 = -16⋅67 +29⋅37

oder wenn man -16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅67 = +29⋅37

Es gilt also: 29⋅37 = 16⋅67 +1

Somit 29⋅37 = 1 mod 67

29 ist also das Inverse von 37 mod 67