Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27001 - 91) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27001 - 91) mod 9 ≡ (27001 mod 9 - 91 mod 9) mod 9.
27001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27001
= 27000
91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91
= 90
Somit gilt:
(27001 - 91) mod 9 ≡ (1 - 1) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 97) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 97) mod 6 ≡ (41 mod 6 ⋅ 97 mod 6) mod 6.
41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.
97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 97) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32232 mod 379.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 322 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3221=322
2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 217 mod 379
4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 93 mod 379
8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 311 mod 379
16: 32216=3228+8=3228⋅3228 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 76 mod 379
32: 32232=32216+16=32216⋅32216 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 91 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 157178 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 1571=157
2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 67 mod 241
4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 151 mod 241
8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 147 mod 241
16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 160 mod 241
32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241
128: 157128=15764+64=15764⋅15764 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
157178
= 157128+32+16+2
= 157128⋅15732⋅15716⋅1572
≡ 94 ⋅ 54 ⋅ 160 ⋅ 67 mod 241
≡ 5076 ⋅ 160 ⋅ 67 mod 241 ≡ 15 ⋅ 160 ⋅ 67 mod 241
≡ 2400 ⋅ 67 mod 241 ≡ 231 ⋅ 67 mod 241
≡ 15477 mod 241 ≡ 53 mod 241
Es gilt also: 157178 ≡ 53 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 62.
Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 62
| =>83 | = 1⋅62 + 21 |
| =>62 | = 2⋅21 + 20 |
| =>21 | = 1⋅20 + 1 |
| =>20 | = 20⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,62)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-1⋅20 | |||
| 20= 62-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -1⋅(62 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -1⋅62 +2⋅ 21) = -1⋅62 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 83-1⋅62 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅62 +3⋅(83 -1⋅ 62)
= -1⋅62 +3⋅83 -3⋅ 62) = 3⋅83 -4⋅ 62 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,62)=1 = 3⋅83 -4⋅62
oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅83 = -4⋅62
-4⋅62 = -3⋅83 + 1 |+83⋅62
-4⋅62 + 83⋅62 = -3⋅83 + 83⋅62 + 1
(-4 + 83) ⋅ 62 = (-3 + 62) ⋅ 83 + 1
79⋅62 = 59⋅83 + 1
Es gilt also: 79⋅62 = 59⋅83 +1
Somit 79⋅62 = 1 mod 83
79 ist also das Inverse von 62 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
