Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39992 - 4003) mod 8 ≡ (39992 mod 8 - 4003 mod 8) mod 8.

39992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39992 = 39000+992 = 8 ⋅ 4875 +992.

4003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003 = 4000+3 = 8 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(39992 - 4003) mod 8 ≡ (0 - 3) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 82) mod 7 ≡ (24 mod 7 ⋅ 82 mod 7) mod 7.

24 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 21 + 3 = 3 ⋅ 7 + 3 ist.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 82) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 239¹=239

2: 239²=239¹⁺¹=239¹⋅239¹ ≡ 239⋅239=57121 ≡ 398 mod 433

4: 239⁴=239²⁺²=239²⋅239² ≡ 398⋅398=158404 ≡ 359 mod 433

8: 239⁸=239⁴⁺⁴=239⁴⋅239⁴ ≡ 359⋅359=128881 ≡ 280 mod 433

16: 239¹⁶=239⁸⁺⁸=239⁸⋅239⁸ ≡ 280⋅280=78400 ≡ 27 mod 433

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:

173 = 128+32+8+4+1

600¹⁷³

= 600^128+32+8+4+1

= 600¹²⁸⋅600³²⋅600⁸⋅600⁴⋅600¹

≡ 384 ⋅ 692 ⋅ 657 ⋅ 568 ⋅ 600 mod 811
≡ 265728 ⋅ 657 ⋅ 568 ⋅ 600 mod 811 ≡ 531 ⋅ 657 ⋅ 568 ⋅ 600 mod 811
≡ 348867 ⋅ 568 ⋅ 600 mod 811 ≡ 137 ⋅ 568 ⋅ 600 mod 811
≡ 77816 ⋅ 600 mod 811 ≡ 771 ⋅ 600 mod 811
≡ 462600 mod 811 ≡ 330 mod 811

Es gilt also: 600¹⁷³ ≡ 330 mod 811

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73	= 1⋅38 + 35
=>38	= 1⋅35 + 3
=>35	= 11⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35) = -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38) = 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73