Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (351 - 7003) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(351 - 7003) mod 7 ≡ (351 mod 7 - 7003 mod 7) mod 7.
351 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351
= 350
7003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7003
= 7000
Somit gilt:
(351 - 7003) mod 7 ≡ (1 - 3) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 92) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 92) mod 5 ≡ (45 mod 5 ⋅ 92 mod 5) mod 5.
45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 9 ⋅ 5 + 0 ist.
92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 92) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63316 mod 643.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 633 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6331=633
2: 6332=6331+1=6331⋅6331 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 100 mod 643
4: 6334=6332+2=6332⋅6332 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 355 mod 643
8: 6338=6334+4=6334⋅6334 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 640 mod 643
16: 63316=6338+8=6338⋅6338 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 9 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 130228 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 183 mod 229
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 55 mod 229
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 48 mod 229
16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 14 mod 229
32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 229
64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 173 mod 229
128: 130128=13064+64=13064⋅13064 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 159 mod 229
130228
= 130128+64+32+4
= 130128⋅13064⋅13032⋅1304
≡ 159 ⋅ 173 ⋅ 196 ⋅ 55 mod 229
≡ 27507 ⋅ 196 ⋅ 55 mod 229 ≡ 27 ⋅ 196 ⋅ 55 mod 229
≡ 5292 ⋅ 55 mod 229 ≡ 25 ⋅ 55 mod 229
≡ 1375 mod 229 ≡ 1 mod 229
Es gilt also: 130228 ≡ 1 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
