Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1598 + 3200) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1598 + 3200) mod 8 ≡ (1598 mod 8 + 3200 mod 8) mod 8.
1598 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1598
= 1600
3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200
= 3200
Somit gilt:
(1598 + 3200) mod 8 ≡ (6 + 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 31) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 31) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 31 mod 11) mod 11.
30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.
31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 31) mod 11 ≡ (8 ⋅ 9) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8688 mod 941.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 868 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8681=868
2: 8682=8681+1=8681⋅8681 ≡ 868⋅868=753424 ≡ 624 mod 941
4: 8684=8682+2=8682⋅8682 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 743 mod 941
8: 8688=8684+4=8684⋅8684 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 623 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27197 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 41 mod 367
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 213 mod 367
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 228 mod 367
16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 237 mod 367
32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 18 mod 367
64: 27164=27132+32=27132⋅27132 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 367
27197
= 27164+32+1
= 27164⋅27132⋅2711
≡ 324 ⋅ 18 ⋅ 271 mod 367
≡ 5832 ⋅ 271 mod 367 ≡ 327 ⋅ 271 mod 367
≡ 88617 mod 367 ≡ 170 mod 367
Es gilt also: 27197 ≡ 170 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 29
| =>67 | = 2⋅29 + 9 |
| =>29 | = 3⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 29-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +13⋅(67 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅67 -26⋅ 29) = 13⋅67 -30⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,29)=1 = 13⋅67 -30⋅29
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -30⋅29
-30⋅29 = -13⋅67 + 1 |+67⋅29
-30⋅29 + 67⋅29 = -13⋅67 + 67⋅29 + 1
(-30 + 67) ⋅ 29 = (-13 + 29) ⋅ 67 + 1
37⋅29 = 16⋅67 + 1
Es gilt also: 37⋅29 = 16⋅67 +1
Somit 37⋅29 = 1 mod 67
37 ist also das Inverse von 29 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
