Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (151 - 120) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(151 - 120) mod 3 ≡ (151 mod 3 - 120 mod 3) mod 3.
151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151
= 150
120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(151 - 120) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 75) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 75) mod 8 ≡ (20 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.
20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 75) mod 8 ≡ (4 ⋅ 3) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3618 mod 997.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 361 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3611=361
2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 711 mod 997
4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 42 mod 997
8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 767 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60367 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 6031=603
2: 6032=6031+1=6031⋅6031 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 641 mod 769
4: 6034=6032+2=6032⋅6032 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 235 mod 769
8: 6038=6034+4=6034⋅6034 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 626 mod 769
16: 60316=6038+8=6038⋅6038 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 455 mod 769
32: 60332=60316+16=60316⋅60316 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 164 mod 769
64: 60364=60332+32=60332⋅60332 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 750 mod 769
60367
= 60364+2+1
= 60364⋅6032⋅6031
≡ 750 ⋅ 641 ⋅ 603 mod 769
≡ 480750 ⋅ 603 mod 769 ≡ 125 ⋅ 603 mod 769
≡ 75375 mod 769 ≡ 13 mod 769
Es gilt also: 60367 ≡ 13 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 74.
Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 74
| =>79 | = 1⋅74 + 5 |
| =>74 | = 14⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,74)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 74-14⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(74 -14⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅74 +14⋅ 5) = -1⋅74 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 79-1⋅74 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅74 +15⋅(79 -1⋅ 74)
= -1⋅74 +15⋅79 -15⋅ 74) = 15⋅79 -16⋅ 74 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,74)=1 = 15⋅79 -16⋅74
oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅79 = -16⋅74
-16⋅74 = -15⋅79 + 1 |+79⋅74
-16⋅74 + 79⋅74 = -15⋅79 + 79⋅74 + 1
(-16 + 79) ⋅ 74 = (-15 + 74) ⋅ 79 + 1
63⋅74 = 59⋅79 + 1
Es gilt also: 63⋅74 = 59⋅79 +1
Somit 63⋅74 = 1 mod 79
63 ist also das Inverse von 74 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
