Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35000 - 136) mod 7 ≡ (35000 mod 7 - 136 mod 7) mod 7.

35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000 = 35000+0 = 7 ⋅ 5000 +0.

136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136 = 140-4 = 7 ⋅ 20 -4 = 7 ⋅ 20 - 7 + 3.

Somit gilt:

(35000 - 136) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 60) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 60 mod 11) mod 11.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 60) mod 11 ≡ (4 ⋅ 5) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 645¹=645

2: 645²=645¹⁺¹=645¹⋅645¹ ≡ 645⋅645=416025 ≡ 720 mod 839

4: 645⁴=645²⁺²=645²⋅645² ≡ 720⋅720=518400 ≡ 737 mod 839

8: 645⁸=645⁴⁺⁴=645⁴⋅645⁴ ≡ 737⋅737=543169 ≡ 336 mod 839

16: 645¹⁶=645⁸⁺⁸=645⁸⋅645⁸ ≡ 336⋅336=112896 ≡ 470 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

441²¹⁵

= 441^{128+64+16+4+2+1}

= 441¹²⁸⋅441⁶⁴⋅441¹⁶⋅441⁴⋅441²⋅441¹

≡ 488 ⋅ 364 ⋅ 125 ⋅ 33 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569
≡ 177632 ⋅ 125 ⋅ 33 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569 ≡ 104 ⋅ 125 ⋅ 33 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569
≡ 13000 ⋅ 33 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569 ≡ 482 ⋅ 33 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569
≡ 15906 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569 ≡ 543 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569
≡ 245436 ⋅ 441 mod 569 ≡ 197 ⋅ 441 mod 569
≡ 86877 mod 569 ≡ 389 mod 569

Es gilt also: 441²¹⁵ ≡ 389 mod 569

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21

=>53	= 2⋅21 + 11
=>21	= 1⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 53-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21) = -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -5⋅21

-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21

-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1

(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1

48⋅21 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1

Somit 48⋅21 = 1 mod 53

48 ist also das Inverse von 21 mod 53