Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1000 + 1497) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1000 + 1497) mod 5 ≡ (1000 mod 5 + 1497 mod 5) mod 5.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1400+97 = 5 ⋅ 280 +97.

Somit gilt:

(1000 + 1497) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 75) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 75) mod 7 ≡ (97 mod 7 ⋅ 75 mod 7) mod 7.

97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 75) mod 7 ≡ (6 ⋅ 5) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50916 mod 863.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 509 -> x
2. mod(x²,863) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5091=509

2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 181 mod 863

4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 830 mod 863

8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 830⋅830=688900 ≡ 226 mod 863

16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 159 mod 863

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31487 mod 523.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

1: 3141=314

2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 272 mod 523

4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 241 mod 523

8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 28 mod 523

16: 31416=3148+8=3148⋅3148 ≡ 28⋅28=784 ≡ 261 mod 523

32: 31432=31416+16=31416⋅31416 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 131 mod 523

64: 31464=31432+32=31432⋅31432 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 425 mod 523

31487

= 31464+16+4+2+1

= 31464⋅31416⋅3144⋅3142⋅3141

425 ⋅ 261 ⋅ 241 ⋅ 272 ⋅ 314 mod 523
110925 ⋅ 241 ⋅ 272 ⋅ 314 mod 523 ≡ 49 ⋅ 241 ⋅ 272 ⋅ 314 mod 523
11809 ⋅ 272 ⋅ 314 mod 523 ≡ 303 ⋅ 272 ⋅ 314 mod 523
82416 ⋅ 314 mod 523 ≡ 305 ⋅ 314 mod 523
95770 mod 523 ≡ 61 mod 523

Es gilt also: 31487 ≡ 61 mod 523

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30

=>53 = 1⋅30 + 23
=>30 = 1⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23)
= 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 53-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30)
= -13⋅53 +23⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +23⋅30

Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1

Somit 23⋅30 = 1 mod 53

23 ist also das Inverse von 30 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.