Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21002 - 14000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21002 - 14000) mod 7 ≡ (21002 mod 7 - 14000 mod 7) mod 7.
21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002
= 21000
14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000
= 14000
Somit gilt:
(21002 - 14000) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 69) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 69) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 69 mod 3) mod 3.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 69) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28932 mod 523.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 289 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2891=289
2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 364 mod 523
4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 177 mod 523
8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 472 mod 523
16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 509 mod 523
32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 196 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39193 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 3911=391
2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 243 mod 457
4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 96 mod 457
8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 76 mod 457
16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 292 mod 457
32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 262 mod 457
64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 94 mod 457
39193
= 39164+16+8+4+1
= 39164⋅39116⋅3918⋅3914⋅3911
≡ 94 ⋅ 292 ⋅ 76 ⋅ 96 ⋅ 391 mod 457
≡ 27448 ⋅ 76 ⋅ 96 ⋅ 391 mod 457 ≡ 28 ⋅ 76 ⋅ 96 ⋅ 391 mod 457
≡ 2128 ⋅ 96 ⋅ 391 mod 457 ≡ 300 ⋅ 96 ⋅ 391 mod 457
≡ 28800 ⋅ 391 mod 457 ≡ 9 ⋅ 391 mod 457
≡ 3519 mod 457 ≡ 320 mod 457
Es gilt also: 39193 ≡ 320 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69
| =>79 | = 1⋅69 + 10 |
| =>69 | = 6⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 69-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10) = -1⋅69 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 79-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69) = 7⋅79 -8⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -8⋅69
-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69
-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1
(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1
71⋅69 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1
Somit 71⋅69 = 1 mod 79
71 ist also das Inverse von 69 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
