Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35000 - 136) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35000 - 136) mod 7 ≡ (35000 mod 7 - 136 mod 7) mod 7.

35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000 = 35000+0 = 7 ⋅ 5000 +0.

136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136 = 140-4 = 7 ⋅ 20 -4 = 7 ⋅ 20 - 7 + 3.

Somit gilt:

(35000 - 136) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 60) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 60) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 60 mod 11) mod 11.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 60) mod 11 ≡ (4 ⋅ 5) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 64516 mod 839.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 645 -> x
2. mod(x²,839) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6451=645

2: 6452=6451+1=6451⋅6451 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 720 mod 839

4: 6454=6452+2=6452⋅6452 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 737 mod 839

8: 6458=6454+4=6454⋅6454 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 336 mod 839

16: 64516=6458+8=6458⋅6458 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 470 mod 839

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 441215 mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

1: 4411=441

2: 4412=4411+1=4411⋅4411 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 452 mod 569

4: 4414=4412+2=4412⋅4412 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 33 mod 569

8: 4418=4414+4=4414⋅4414 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 520 mod 569

16: 44116=4418+8=4418⋅4418 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 125 mod 569

32: 44132=44116+16=44116⋅44116 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 262 mod 569

64: 44164=44132+32=44132⋅44132 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 364 mod 569

128: 441128=44164+64=44164⋅44164 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 488 mod 569

441215

= 441128+64+16+4+2+1

= 441128⋅44164⋅44116⋅4414⋅4412⋅4411

488 ⋅ 364 ⋅ 125 ⋅ 33 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569
177632 ⋅ 125 ⋅ 33 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569 ≡ 104 ⋅ 125 ⋅ 33 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569
13000 ⋅ 33 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569 ≡ 482 ⋅ 33 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569
15906 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569 ≡ 543 ⋅ 452 ⋅ 441 mod 569
245436 ⋅ 441 mod 569 ≡ 197 ⋅ 441 mod 569
86877 mod 569 ≡ 389 mod 569

Es gilt also: 441215 ≡ 389 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21

=>53 = 2⋅21 + 11
=>21 = 1⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11)
= -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 53-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21)
= 2⋅53 -5⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -5⋅21

-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21

-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1

(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1

48⋅21 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1

Somit 48⋅21 = 1 mod 53

48 ist also das Inverse von 21 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.