Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15005 - 15001) mod 5 ≡ (15005 mod 5 - 15001 mod 5) mod 5.

15005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15005 = 15000+5 = 5 ⋅ 3000 +5.

15001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001 = 15000+1 = 5 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(15005 - 15001) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 84) mod 8 ≡ (46 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 84) mod 8 ≡ (6 ⋅ 4) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 184¹=184

2: 184²=184¹⁺¹=184¹⋅184¹ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 157 mod 239

4: 184⁴=184²⁺²=184²⋅184² ≡ 157⋅157=24649 ≡ 32 mod 239

8: 184⁸=184⁴⁺⁴=184⁴⋅184⁴ ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239

16: 184¹⁶=184⁸⁺⁸=184⁸⋅184⁸ ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

380²³⁶

= 380^{128+64+32+8+4}

= 380¹²⁸⋅380⁶⁴⋅380³²⋅380⁸⋅380⁴

≡ 63 ⋅ 255 ⋅ 173 ⋅ 16 ⋅ 397 mod 401
≡ 16065 ⋅ 173 ⋅ 16 ⋅ 397 mod 401 ≡ 25 ⋅ 173 ⋅ 16 ⋅ 397 mod 401
≡ 4325 ⋅ 16 ⋅ 397 mod 401 ≡ 315 ⋅ 16 ⋅ 397 mod 401
≡ 5040 ⋅ 397 mod 401 ≡ 228 ⋅ 397 mod 401
≡ 90516 mod 401 ≡ 291 mod 401

Es gilt also: 380²³⁶ ≡ 291 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 47

=>71	= 1⋅47 + 24
=>47	= 1⋅24 + 23
=>24	= 1⋅23 + 1
=>23	= 23⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 24-1⋅23
23= 47-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅24 -1⋅(47 -1⋅ 24) = 1⋅24 -1⋅47 +1⋅ 24) = -1⋅47 +2⋅ 24 (=1)
24= 71-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +2⋅(71 -1⋅ 47) = -1⋅47 +2⋅71 -2⋅ 47) = 2⋅71 -3⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(71,47)=1 = 2⋅71 -3⋅47

oder wenn man 2⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅71 = -3⋅47

-3⋅47 = -2⋅71 + 1 |+71⋅47

-3⋅47 + 71⋅47 = -2⋅71 + 71⋅47 + 1

(-3 + 71) ⋅ 47 = (-2 + 47) ⋅ 71 + 1

68⋅47 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 68⋅47 = 45⋅71 +1

Somit 68⋅47 = 1 mod 71

68 ist also das Inverse von 47 mod 71