Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3593 + 901) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3593 + 901) mod 9 ≡ (3593 mod 9 + 901 mod 9) mod 9.
3593 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3593
= 3600
901 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901
= 900
Somit gilt:
(3593 + 901) mod 9 ≡ (2 + 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 56) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 56) mod 3 ≡ (18 mod 3 ⋅ 56 mod 3) mod 3.
18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.
56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 56) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30764 mod 449.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 307 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3071=307
2: 3072=3071+1=3071⋅3071 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 408 mod 449
4: 3074=3072+2=3072⋅3072 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 334 mod 449
8: 3078=3074+4=3074⋅3074 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 204 mod 449
16: 30716=3078+8=3078⋅3078 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 308 mod 449
32: 30732=30716+16=30716⋅30716 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 125 mod 449
64: 30764=30732+32=30732⋅30732 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 359 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 382169 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 3821=382
2: 3822=3821+1=3821⋅3821 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 417 mod 641
4: 3824=3822+2=3822⋅3822 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 178 mod 641
8: 3828=3824+4=3824⋅3824 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 275 mod 641
16: 38216=3828+8=3828⋅3828 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 628 mod 641
32: 38232=38216+16=38216⋅38216 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 169 mod 641
64: 38264=38232+32=38232⋅38232 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 357 mod 641
128: 382128=38264+64=38264⋅38264 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641
382169
= 382128+32+8+1
= 382128⋅38232⋅3828⋅3821
≡ 531 ⋅ 169 ⋅ 275 ⋅ 382 mod 641
≡ 89739 ⋅ 275 ⋅ 382 mod 641 ≡ 640 ⋅ 275 ⋅ 382 mod 641
≡ 176000 ⋅ 382 mod 641 ≡ 366 ⋅ 382 mod 641
≡ 139812 mod 641 ≡ 74 mod 641
Es gilt also: 382169 ≡ 74 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 82
| =>97 | = 1⋅82 + 15 |
| =>82 | = 5⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 82-5⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(82 -5⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅82 +10⋅ 15) = -2⋅82 +11⋅ 15 (=1) |
| 15= 97-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅82 +11⋅(97 -1⋅ 82)
= -2⋅82 +11⋅97 -11⋅ 82) = 11⋅97 -13⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,82)=1 = 11⋅97 -13⋅82
oder wenn man 11⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅97 = -13⋅82
-13⋅82 = -11⋅97 + 1 |+97⋅82
-13⋅82 + 97⋅82 = -11⋅97 + 97⋅82 + 1
(-13 + 97) ⋅ 82 = (-11 + 82) ⋅ 97 + 1
84⋅82 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 84⋅82 = 71⋅97 +1
Somit 84⋅82 = 1 mod 97
84 ist also das Inverse von 82 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
