Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 - 1602) mod 8 ≡ (1600 mod 8 - 1602 mod 8) mod 8.

1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 8 ⋅ 200 +0.

1602 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 8 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(1600 - 1602) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 94) mod 5 ≡ (24 mod 5 ⋅ 94 mod 5) mod 5.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 94) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 692¹=692

2: 692²=692¹⁺¹=692¹⋅692¹ ≡ 692⋅692=478864 ≡ 401 mod 859

4: 692⁴=692²⁺²=692²⋅692² ≡ 401⋅401=160801 ≡ 168 mod 859

8: 692⁸=692⁴⁺⁴=692⁴⋅692⁴ ≡ 168⋅168=28224 ≡ 736 mod 859

16: 692¹⁶=692⁸⁺⁸=692⁸⋅692⁸ ≡ 736⋅736=541696 ≡ 526 mod 859

32: 692³²=692¹⁶⁺¹⁶=692¹⁶⋅692¹⁶ ≡ 526⋅526=276676 ≡ 78 mod 859

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

355¹⁷¹

= 355^128+32+8+2+1

= 355¹²⁸⋅355³²⋅355⁸⋅355²⋅355¹

≡ 168 ⋅ 310 ⋅ 18 ⋅ 71 ⋅ 355 mod 887
≡ 52080 ⋅ 18 ⋅ 71 ⋅ 355 mod 887 ≡ 634 ⋅ 18 ⋅ 71 ⋅ 355 mod 887
≡ 11412 ⋅ 71 ⋅ 355 mod 887 ≡ 768 ⋅ 71 ⋅ 355 mod 887
≡ 54528 ⋅ 355 mod 887 ≡ 421 ⋅ 355 mod 887
≡ 149455 mod 887 ≡ 439 mod 887

Es gilt also: 355¹⁷¹ ≡ 439 mod 887

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59

=>79	= 1⋅59 + 20
=>59	= 2⋅20 + 19
=>20	= 1⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 59-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20) = 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1)
20= 79-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59) = -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59

oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅79 = -4⋅59

-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59

-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1

(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1

75⋅59 = 56⋅79 + 1

Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1

Somit 75⋅59 = 1 mod 79

75 ist also das Inverse von 59 mod 79