Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 + 15000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 + 15000) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 15000 mod 3) mod 3.
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
Somit gilt:
(1500 + 15000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 62) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 62) mod 10 ≡ (23 mod 10 ⋅ 62 mod 10) mod 10.
23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 62) mod 10 ≡ (3 ⋅ 2) mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64264 mod 827.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 642 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6421=642
2: 6422=6421+1=6421⋅6421 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 318 mod 827
4: 6424=6422+2=6422⋅6422 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 230 mod 827
8: 6428=6424+4=6424⋅6424 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 799 mod 827
16: 64216=6428+8=6428⋅6428 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 784 mod 827
32: 64232=64216+16=64216⋅64216 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 195 mod 827
64: 64264=64232+32=64232⋅64232 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 810 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 760208 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 7601=760
2: 7602=7601+1=7601⋅7601 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 839 mod 857
4: 7604=7602+2=7602⋅7602 ≡ 839⋅839=703921 ≡ 324 mod 857
8: 7608=7604+4=7604⋅7604 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 422 mod 857
16: 76016=7608+8=7608⋅7608 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 685 mod 857
32: 76032=76016+16=76016⋅76016 ≡ 685⋅685=469225 ≡ 446 mod 857
64: 76064=76032+32=76032⋅76032 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 92 mod 857
128: 760128=76064+64=76064⋅76064 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 751 mod 857
760208
= 760128+64+16
= 760128⋅76064⋅76016
≡ 751 ⋅ 92 ⋅ 685 mod 857
≡ 69092 ⋅ 685 mod 857 ≡ 532 ⋅ 685 mod 857
≡ 364420 mod 857 ≡ 195 mod 857
Es gilt also: 760208 ≡ 195 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86
| =>97 | = 1⋅86 + 11 |
| =>86 | = 7⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 86-7⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11) = 5⋅86 -39⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86) = -39⋅97 +44⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +44⋅86
Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1
Somit 44⋅86 = 1 mod 97
44 ist also das Inverse von 86 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
