Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39997 + 3202) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39997 + 3202) mod 8 ≡ (39997 mod 8 + 3202 mod 8) mod 8.
39997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39997
= 39000
3202 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3202
= 3200
Somit gilt:
(39997 + 3202) mod 8 ≡ (5 + 2) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 42) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 42) mod 7 ≡ (30 mod 7 ⋅ 42 mod 7) mod 7.
30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.
42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 42) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2018 mod 311.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 201 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2011=201
2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 282 mod 311
4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 219 mod 311
8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 67 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 479120 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 4791=479
2: 4792=4791+1=4791⋅4791 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 494 mod 809
4: 4794=4792+2=4792⋅4792 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 527 mod 809
8: 4798=4794+4=4794⋅4794 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 242 mod 809
16: 47916=4798+8=4798⋅4798 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 316 mod 809
32: 47932=47916+16=47916⋅47916 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 349 mod 809
64: 47964=47932+32=47932⋅47932 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 451 mod 809
479120
= 47964+32+16+8
= 47964⋅47932⋅47916⋅4798
≡ 451 ⋅ 349 ⋅ 316 ⋅ 242 mod 809
≡ 157399 ⋅ 316 ⋅ 242 mod 809 ≡ 453 ⋅ 316 ⋅ 242 mod 809
≡ 143148 ⋅ 242 mod 809 ≡ 764 ⋅ 242 mod 809
≡ 184888 mod 809 ≡ 436 mod 809
Es gilt also: 479120 ≡ 436 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 69
| =>83 | = 1⋅69 + 14 |
| =>69 | = 4⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 69-4⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(69 -4⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅69 +4⋅ 14) = -1⋅69 +5⋅ 14 (=1) |
| 14= 83-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +5⋅(83 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +5⋅83 -5⋅ 69) = 5⋅83 -6⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,69)=1 = 5⋅83 -6⋅69
oder wenn man 5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅83 = -6⋅69
-6⋅69 = -5⋅83 + 1 |+83⋅69
-6⋅69 + 83⋅69 = -5⋅83 + 83⋅69 + 1
(-6 + 83) ⋅ 69 = (-5 + 69) ⋅ 83 + 1
77⋅69 = 64⋅83 + 1
Es gilt also: 77⋅69 = 64⋅83 +1
Somit 77⋅69 = 1 mod 83
77 ist also das Inverse von 69 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
