Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36008 - 45009) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36008 - 45009) mod 9 ≡ (36008 mod 9 - 45009 mod 9) mod 9.
36008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36008
= 36000
45009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45009
= 45000
Somit gilt:
(36008 - 45009) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 18) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 18) mod 4 ≡ (59 mod 4 ⋅ 18 mod 4) mod 4.
59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.
18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 18) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23016 mod 499.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 230 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 6 mod 499
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 499
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 298 mod 499
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 481 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 330175 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:
175 = 128+32+8+4+2+1
1: 3301=330
2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 453 mod 977
4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 39 mod 977
8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 544 mod 977
16: 33016=3308+8=3308⋅3308 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 882 mod 977
32: 33032=33016+16=33016⋅33016 ≡ 882⋅882=777924 ≡ 232 mod 977
64: 33064=33032+32=33032⋅33032 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 89 mod 977
128: 330128=33064+64=33064⋅33064 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 105 mod 977
330175
= 330128+32+8+4+2+1
= 330128⋅33032⋅3308⋅3304⋅3302⋅3301
≡ 105 ⋅ 232 ⋅ 544 ⋅ 39 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977
≡ 24360 ⋅ 544 ⋅ 39 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977 ≡ 912 ⋅ 544 ⋅ 39 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977
≡ 496128 ⋅ 39 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977 ≡ 789 ⋅ 39 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977
≡ 30771 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977 ≡ 484 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977
≡ 219252 ⋅ 330 mod 977 ≡ 404 ⋅ 330 mod 977
≡ 133320 mod 977 ≡ 448 mod 977
Es gilt also: 330175 ≡ 448 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67
| =>97 | = 1⋅67 + 30 |
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
| 30= 97-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67)
= 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67) = -29⋅97 +42⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67
oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +29⋅97 = +42⋅67
Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1
Somit 42⋅67 = 1 mod 97
42 ist also das Inverse von 67 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
