Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (302 + 57) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(302 + 57) mod 3 ≡ (302 mod 3 + 57 mod 3) mod 3.
302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57
= 60
Somit gilt:
(302 + 57) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 36) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 36) mod 6 ≡ (61 mod 6 ⋅ 36 mod 6) mod 6.
61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.
36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 36) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33164 mod 541.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 279 mod 541
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 478 mod 541
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 182 mod 541
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 123 mod 541
32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 522 mod 541
64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 361 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 311200 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 372 mod 461
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 84 mod 461
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 141 mod 461
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 58 mod 461
32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 137 mod 461
64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 329 mod 461
128: 311128=31164+64=31164⋅31164 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 367 mod 461
311200
= 311128+64+8
= 311128⋅31164⋅3118
≡ 367 ⋅ 329 ⋅ 141 mod 461
≡ 120743 ⋅ 141 mod 461 ≡ 422 ⋅ 141 mod 461
≡ 59502 mod 461 ≡ 33 mod 461
Es gilt also: 311200 ≡ 33 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 44
| =>97 | = 2⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 97-2⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(97 -2⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅97 -10⋅ 44) = 5⋅97 -11⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,44)=1 = 5⋅97 -11⋅44
oder wenn man 5⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅97 = -11⋅44
-11⋅44 = -5⋅97 + 1 |+97⋅44
-11⋅44 + 97⋅44 = -5⋅97 + 97⋅44 + 1
(-11 + 97) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 97 + 1
86⋅44 = 39⋅97 + 1
Es gilt also: 86⋅44 = 39⋅97 +1
Somit 86⋅44 = 1 mod 97
86 ist also das Inverse von 44 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
