Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14001 - 3495) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14001 - 3495) mod 7 ≡ (14001 mod 7 - 3495 mod 7) mod 7.
14001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14001
= 14000
3495 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3495
= 3500
Somit gilt:
(14001 - 3495) mod 7 ≡ (1 - 2) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 41) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 41) mod 10 ≡ (90 mod 10 ⋅ 41 mod 10) mod 10.
90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.
41 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 4 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 41) mod 10 ≡ (0 ⋅ 1) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38916 mod 857.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 389 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3891=389
2: 3892=3891+1=3891⋅3891 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 489 mod 857
4: 3894=3892+2=3892⋅3892 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 18 mod 857
8: 3898=3894+4=3894⋅3894 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 857
16: 38916=3898+8=3898⋅3898 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 422 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 654136 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 6541=654
2: 6542=6541+1=6541⋅6541 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 781 mod 829
4: 6544=6542+2=6542⋅6542 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 646 mod 829
8: 6548=6544+4=6544⋅6544 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 329 mod 829
16: 65416=6548+8=6548⋅6548 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 471 mod 829
32: 65432=65416+16=65416⋅65416 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 498 mod 829
64: 65464=65432+32=65432⋅65432 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 133 mod 829
128: 654128=65464+64=65464⋅65464 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 280 mod 829
654136
= 654128+8
= 654128⋅6548
≡ 280 ⋅ 329 mod 829
≡ 92120 mod 829 ≡ 101 mod 829
Es gilt also: 654136 ≡ 101 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
