Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 + 23998) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 + 23998) mod 6 ≡ (55 mod 6 + 23998 mod 6) mod 6.
55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55
= 60
23998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998
= 24000
Somit gilt:
(55 + 23998) mod 6 ≡ (1 + 4) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 79) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 79) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 79 mod 3) mod 3.
54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.
79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 79) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23764 mod 379.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 77 mod 379
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 244 mod 379
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 33 mod 379
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 331 mod 379
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 30 mod 379
64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 30⋅30=900 ≡ 142 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 58581 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:
81 = 64+16+1
1: 5851=585
2: 5852=5851+1=5851⋅5851 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 353 mod 929
4: 5854=5852+2=5852⋅5852 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 123 mod 929
8: 5858=5854+4=5854⋅5854 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 265 mod 929
16: 58516=5858+8=5858⋅5858 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 550 mod 929
32: 58532=58516+16=58516⋅58516 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 575 mod 929
64: 58564=58532+32=58532⋅58532 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 830 mod 929
58581
= 58564+16+1
= 58564⋅58516⋅5851
≡ 830 ⋅ 550 ⋅ 585 mod 929
≡ 456500 ⋅ 585 mod 929 ≡ 361 ⋅ 585 mod 929
≡ 211185 mod 929 ≡ 302 mod 929
Es gilt also: 58581 ≡ 302 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 26
| =>61 | = 2⋅26 + 9 |
| =>26 | = 2⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 26-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅26 +3⋅(61 -2⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅61 -6⋅ 26) = 3⋅61 -7⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,26)=1 = 3⋅61 -7⋅26
oder wenn man 3⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅61 = -7⋅26
-7⋅26 = -3⋅61 + 1 |+61⋅26
-7⋅26 + 61⋅26 = -3⋅61 + 61⋅26 + 1
(-7 + 61) ⋅ 26 = (-3 + 26) ⋅ 61 + 1
54⋅26 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 54⋅26 = 23⋅61 +1
Somit 54⋅26 = 1 mod 61
54 ist also das Inverse von 26 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
