Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14005 + 14000) mod 7 ≡ (14005 mod 7 + 14000 mod 7) mod 7.

14005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14005 = 14000+5 = 7 ⋅ 2000 +5.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(14005 + 14000) mod 7 ≡ (5 + 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 32) mod 6 ≡ (90 mod 6 ⋅ 32 mod 6) mod 6.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 32) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 179¹=179

2: 179²=179¹⁺¹=179¹⋅179¹ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 117 mod 347

4: 179⁴=179²⁺²=179²⋅179² ≡ 117⋅117=13689 ≡ 156 mod 347

8: 179⁸=179⁴⁺⁴=179⁴⋅179⁴ ≡ 156⋅156=24336 ≡ 46 mod 347

16: 179¹⁶=179⁸⁺⁸=179⁸⋅179⁸ ≡ 46⋅46=2116 ≡ 34 mod 347

32: 179³²=179¹⁶⁺¹⁶=179¹⁶⋅179¹⁶ ≡ 34⋅34=1156 ≡ 115 mod 347

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

518⁸⁷

= 518^64+16+4+2+1

= 518⁶⁴⋅518¹⁶⋅518⁴⋅518²⋅518¹

≡ 582 ⋅ 264 ⋅ 116 ⋅ 65 ⋅ 518 mod 587
≡ 153648 ⋅ 116 ⋅ 65 ⋅ 518 mod 587 ≡ 441 ⋅ 116 ⋅ 65 ⋅ 518 mod 587
≡ 51156 ⋅ 65 ⋅ 518 mod 587 ≡ 87 ⋅ 65 ⋅ 518 mod 587
≡ 5655 ⋅ 518 mod 587 ≡ 372 ⋅ 518 mod 587
≡ 192696 mod 587 ≡ 160 mod 587

Es gilt also: 518⁸⁷ ≡ 160 mod 587

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 26

=>61	= 2⋅26 + 9
=>26	= 2⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 26-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1)
9= 61-2⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅26 +3⋅(61 -2⋅ 26) = -1⋅26 +3⋅61 -6⋅ 26) = 3⋅61 -7⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(61,26)=1 = 3⋅61 -7⋅26

oder wenn man 3⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅61 = -7⋅26

-7⋅26 = -3⋅61 + 1 |+61⋅26

-7⋅26 + 61⋅26 = -3⋅61 + 61⋅26 + 1

(-7 + 61) ⋅ 26 = (-3 + 26) ⋅ 61 + 1

54⋅26 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 54⋅26 = 23⋅61 +1

Somit 54⋅26 = 1 mod 61

54 ist also das Inverse von 26 mod 61