Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(398 - 1204) mod 4 ≡ (398 mod 4 - 1204 mod 4) mod 4.

398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398 = 300+98 = 4 ⋅ 75 +98.

1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 4 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(398 - 1204) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 71) mod 11 ≡ (26 mod 11 ⋅ 71 mod 11) mod 11.

26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.

71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 71) mod 11 ≡ (4 ⋅ 5) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 306¹=306

2: 306²=306¹⁺¹=306¹⋅306¹ ≡ 306⋅306=93636 ≡ 408 mod 457

4: 306⁴=306²⁺²=306²⋅306² ≡ 408⋅408=166464 ≡ 116 mod 457

8: 306⁸=306⁴⁺⁴=306⁴⋅306⁴ ≡ 116⋅116=13456 ≡ 203 mod 457

16: 306¹⁶=306⁸⁺⁸=306⁸⋅306⁸ ≡ 203⋅203=41209 ≡ 79 mod 457

32: 306³²=306¹⁶⁺¹⁶=306¹⁶⋅306¹⁶ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 300 mod 457

64: 306⁶⁴=306³²⁺³²=306³²⋅306³² ≡ 300⋅300=90000 ≡ 428 mod 457

128: 306¹²⁸=306⁶⁴⁺⁶⁴=306⁶⁴⋅306⁶⁴ ≡ 428⋅428=183184 ≡ 384 mod 457

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

142¹²²

= 142^64+32+16+8+2

= 142⁶⁴⋅142³²⋅142¹⁶⋅142⁸⋅142²

≡ 50 ⋅ 26 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 132 mod 313
≡ 1300 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 132 mod 313 ≡ 48 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 132 mod 313
≡ 10944 ⋅ 174 ⋅ 132 mod 313 ≡ 302 ⋅ 174 ⋅ 132 mod 313
≡ 52548 ⋅ 132 mod 313 ≡ 277 ⋅ 132 mod 313
≡ 36564 mod 313 ≡ 256 mod 313

Es gilt also: 142¹²² ≡ 256 mod 313

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27

=>89	= 3⋅27 + 8
=>27	= 3⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 27-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8) = 3⋅27 -10⋅ 8 (=1)
8= 89-3⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27) = 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27) = -10⋅89 +33⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +33⋅27

Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1

Somit 33⋅27 = 1 mod 89

33 ist also das Inverse von 27 mod 89