Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35001 + 14000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35001 + 14000) mod 7 ≡ (35001 mod 7 + 14000 mod 7) mod 7.
35001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35001
= 35000
14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000
= 14000
Somit gilt:
(35001 + 14000) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 36) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 36) mod 3 ≡ (67 mod 3 ⋅ 36 mod 3) mod 3.
67 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 22 ⋅ 3 + 1 ist.
36 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 12 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 36) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10932 mod 229.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 109 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1091=109
2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 202 mod 229
4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 42 mod 229
8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 161 mod 229
16: 10916=1098+8=1098⋅1098 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 44 mod 229
32: 10932=10916+16=10916⋅10916 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 104 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 472166 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 4721=472
2: 4722=4721+1=4721⋅4721 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 47 mod 617
4: 4724=4722+2=4722⋅4722 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 358 mod 617
8: 4728=4724+4=4724⋅4724 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 445 mod 617
16: 47216=4728+8=4728⋅4728 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 585 mod 617
32: 47232=47216+16=47216⋅47216 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 407 mod 617
64: 47264=47232+32=47232⋅47232 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 293 mod 617
128: 472128=47264+64=47264⋅47264 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 86 mod 617
472166
= 472128+32+4+2
= 472128⋅47232⋅4724⋅4722
≡ 86 ⋅ 407 ⋅ 358 ⋅ 47 mod 617
≡ 35002 ⋅ 358 ⋅ 47 mod 617 ≡ 450 ⋅ 358 ⋅ 47 mod 617
≡ 161100 ⋅ 47 mod 617 ≡ 63 ⋅ 47 mod 617
≡ 2961 mod 617 ≡ 493 mod 617
Es gilt also: 472166 ≡ 493 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
