Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (705 + 278) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(705 + 278) mod 7 ≡ (705 mod 7 + 278 mod 7) mod 7.
705 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 705
= 700
278 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278
= 280
Somit gilt:
(705 + 278) mod 7 ≡ (5 + 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 84) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 84) mod 9 ≡ (53 mod 9 ⋅ 84 mod 9) mod 9.
53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.
84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 81 + 3 = 9 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 84) mod 9 ≡ (8 ⋅ 3) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33432 mod 433.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 334 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3341=334
2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 275 mod 433
4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 283 mod 433
8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 417 mod 433
16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 256 mod 433
32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 153 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 235180 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:
180 = 128+32+16+4
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 149 mod 281
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 2 mod 281
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 281
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 281
32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 281
64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 63 mod 281
128: 235128=23564+64=23564⋅23564 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 35 mod 281
235180
= 235128+32+16+4
= 235128⋅23532⋅23516⋅2354
≡ 35 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 2 mod 281
≡ 8960 ⋅ 16 ⋅ 2 mod 281 ≡ 249 ⋅ 16 ⋅ 2 mod 281
≡ 3984 ⋅ 2 mod 281 ≡ 50 ⋅ 2 mod 281
≡ 100 mod 281
Es gilt also: 235180 ≡ 100 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63
| =>71 | = 1⋅63 + 8 |
| =>63 | = 7⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 63-7⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8) = -1⋅63 +8⋅ 8 (=1) |
| 8= 71-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63) = 8⋅71 -9⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63
oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅71 = -9⋅63
-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63
-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1
(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1
62⋅63 = 55⋅71 + 1
Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1
Somit 62⋅63 = 1 mod 71
62 ist also das Inverse von 63 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
