Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3997 - 3199) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3997 - 3199) mod 8 ≡ (3997 mod 8 - 3199 mod 8) mod 8.
3997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997
= 4000
3199 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3199
= 3200
Somit gilt:
(3997 - 3199) mod 8 ≡ (5 - 7) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 75) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 75) mod 11 ≡ (54 mod 11 ⋅ 75 mod 11) mod 11.
54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.
75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 75) mod 11 ≡ (10 ⋅ 9) mod 11 ≡ 90 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 508128 mod 719.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 508 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5081=508
2: 5082=5081+1=5081⋅5081 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 662 mod 719
4: 5084=5082+2=5082⋅5082 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 373 mod 719
8: 5088=5084+4=5084⋅5084 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 362 mod 719
16: 50816=5088+8=5088⋅5088 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 186 mod 719
32: 50832=50816+16=50816⋅50816 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 84 mod 719
64: 50864=50832+32=50832⋅50832 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 585 mod 719
128: 508128=50864+64=50864⋅50864 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 700 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 291127 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:
127 = 64+32+16+8+4+2+1
1: 2911=291
2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 187 mod 509
4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 357 mod 509
8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 199 mod 509
16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 408 mod 509
32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 21 mod 509
64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 509
291127
= 29164+32+16+8+4+2+1
= 29164⋅29132⋅29116⋅2918⋅2914⋅2912⋅2911
≡ 441 ⋅ 21 ⋅ 408 ⋅ 199 ⋅ 357 ⋅ 187 ⋅ 291 mod 509
≡ 9261 ⋅ 408 ⋅ 199 ⋅ 357 ⋅ 187 ⋅ 291 mod 509 ≡ 99 ⋅ 408 ⋅ 199 ⋅ 357 ⋅ 187 ⋅ 291 mod 509
≡ 40392 ⋅ 199 ⋅ 357 ⋅ 187 ⋅ 291 mod 509 ≡ 181 ⋅ 199 ⋅ 357 ⋅ 187 ⋅ 291 mod 509
≡ 36019 ⋅ 357 ⋅ 187 ⋅ 291 mod 509 ≡ 389 ⋅ 357 ⋅ 187 ⋅ 291 mod 509
≡ 138873 ⋅ 187 ⋅ 291 mod 509 ≡ 425 ⋅ 187 ⋅ 291 mod 509
≡ 79475 ⋅ 291 mod 509 ≡ 71 ⋅ 291 mod 509
≡ 20661 mod 509 ≡ 301 mod 509
Es gilt also: 291127 ≡ 301 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
