Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 402) mod 4 ≡ (1201 mod 4 + 402 mod 4) mod 4.

1201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 4 ⋅ 300 +1.

402 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402 = 400+2 = 4 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(1201 + 402) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 62) mod 9 ≡ (17 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.

17 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 9 + 8 = 1 ⋅ 9 + 8 ist.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 62) mod 9 ≡ (8 ⋅ 8) mod 9 ≡ 64 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 155¹=155

2: 155²=155¹⁺¹=155¹⋅155¹ ≡ 155⋅155=24025 ≡ 124 mod 257

4: 155⁴=155²⁺²=155²⋅155² ≡ 124⋅124=15376 ≡ 213 mod 257

8: 155⁸=155⁴⁺⁴=155⁴⋅155⁴ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 137 mod 257

16: 155¹⁶=155⁸⁺⁸=155⁸⋅155⁸ ≡ 137⋅137=18769 ≡ 8 mod 257

32: 155³²=155¹⁶⁺¹⁶=155¹⁶⋅155¹⁶ ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 257

64: 155⁶⁴=155³²⁺³²=155³²⋅155³² ≡ 64⋅64=4096 ≡ 241 mod 257

128: 155¹²⁸=155⁶⁴⁺⁶⁴=155⁶⁴⋅155⁶⁴ ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:

156 = 128+16+8+4

176¹⁵⁶

= 176^128+16+8+4

= 176¹²⁸⋅176¹⁶⋅176⁸⋅176⁴

≡ 20 ⋅ 11 ⋅ 49 ⋅ 232 mod 239
≡ 220 ⋅ 49 ⋅ 232 mod 239
≡ 10780 ⋅ 232 mod 239 ≡ 25 ⋅ 232 mod 239
≡ 5800 mod 239 ≡ 64 mod 239

Es gilt also: 176¹⁵⁶ ≡ 64 mod 239

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73	= 1⋅47 + 26
=>47	= 1⋅26 + 21
=>26	= 1⋅21 + 5
=>21	= 4⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21) = 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26) = -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26) = 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47) = 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47) = -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73