Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11998 - 27) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11998 - 27) mod 3 ≡ (11998 mod 3 - 27 mod 3) mod 3.
11998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 12000
27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27
= 30
Somit gilt:
(11998 - 27) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 98) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 98) mod 6 ≡ (80 mod 6 ⋅ 98 mod 6) mod 6.
80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.
98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 98) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32132 mod 541.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 321 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3211=321
2: 3212=3211+1=3211⋅3211 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 251 mod 541
4: 3214=3212+2=3212⋅3212 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 245 mod 541
8: 3218=3214+4=3214⋅3214 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 515 mod 541
16: 32116=3218+8=3218⋅3218 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 135 mod 541
32: 32132=32116+16=32116⋅32116 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 372 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 458138 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 4581=458
2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 207 mod 571
4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 24 mod 571
8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 24⋅24=576 ≡ 5 mod 571
16: 45816=4588+8=4588⋅4588 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 571
32: 45832=45816+16=45816⋅45816 ≡ 25⋅25=625 ≡ 54 mod 571
64: 45864=45832+32=45832⋅45832 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 61 mod 571
128: 458128=45864+64=45864⋅45864 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 295 mod 571
458138
= 458128+8+2
= 458128⋅4588⋅4582
≡ 295 ⋅ 5 ⋅ 207 mod 571
≡ 1475 ⋅ 207 mod 571 ≡ 333 ⋅ 207 mod 571
≡ 68931 mod 571 ≡ 411 mod 571
Es gilt also: 458138 ≡ 411 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54
| =>79 | = 1⋅54 + 25 |
| =>54 | = 2⋅25 + 4 |
| =>25 | = 6⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-6⋅4 | |||
| 4= 54-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25) = -6⋅54 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 79-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54) = 13⋅79 -19⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -19⋅54
-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54
-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1
(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1
60⋅54 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1
Somit 60⋅54 = 1 mod 79
60 ist also das Inverse von 54 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
