Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 + 120) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 + 120) mod 6 ≡ (1199 mod 6 + 120 mod 6) mod 6.
1199 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(1199 + 120) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 25) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 25) mod 11 ≡ (26 mod 11 ⋅ 25 mod 11) mod 11.
26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.
25 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 22 + 3 = 2 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 25) mod 11 ≡ (4 ⋅ 3) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43216 mod 449.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 432 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4321=432
2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 289 mod 449
4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 7 mod 449
8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 449
16: 43216=4328+8=4328⋅4328 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 156 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 90484 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 9041=904
2: 9042=9041+1=9041⋅9041 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 152 mod 937
4: 9044=9042+2=9042⋅9042 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 616 mod 937
8: 9048=9044+4=9044⋅9044 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 908 mod 937
16: 90416=9048+8=9048⋅9048 ≡ 908⋅908=824464 ≡ 841 mod 937
32: 90432=90416+16=90416⋅90416 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 783 mod 937
64: 90464=90432+32=90432⋅90432 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 291 mod 937
90484
= 90464+16+4
= 90464⋅90416⋅9044
≡ 291 ⋅ 841 ⋅ 616 mod 937
≡ 244731 ⋅ 616 mod 937 ≡ 174 ⋅ 616 mod 937
≡ 107184 mod 937 ≡ 366 mod 937
Es gilt also: 90484 ≡ 366 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37
| =>71 | = 1⋅37 + 34 |
| =>37 | = 1⋅34 + 3 |
| =>34 | = 11⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-11⋅3 | |||
| 3= 37-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1) |
| 34= 71-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37
oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅71 = -23⋅37
-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37
-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1
(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1
48⋅37 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1
Somit 48⋅37 = 1 mod 71
48 ist also das Inverse von 37 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
