Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (13994 + 1393) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(13994 + 1393) mod 7 ≡ (13994 mod 7 + 1393 mod 7) mod 7.
13994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13994
= 14000
1393 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1393
= 1400
Somit gilt:
(13994 + 1393) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 99) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 99) mod 5 ≡ (88 mod 5 ⋅ 99 mod 5) mod 5.
88 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 85 + 3 = 17 ⋅ 5 + 3 ist.
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 99) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25816 mod 571.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 258 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 328 mod 571
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 236 mod 571
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 309 mod 571
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 124 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 827176 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 8271=827
2: 8272=8271+1=8271⋅8271 ≡ 827⋅827=683929 ≡ 139 mod 991
4: 8274=8272+2=8272⋅8272 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 492 mod 991
8: 8278=8274+4=8274⋅8274 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 260 mod 991
16: 82716=8278+8=8278⋅8278 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 212 mod 991
32: 82732=82716+16=82716⋅82716 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 349 mod 991
64: 82764=82732+32=82732⋅82732 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 899 mod 991
128: 827128=82764+64=82764⋅82764 ≡ 899⋅899=808201 ≡ 536 mod 991
827176
= 827128+32+16
= 827128⋅82732⋅82716
≡ 536 ⋅ 349 ⋅ 212 mod 991
≡ 187064 ⋅ 212 mod 991 ≡ 756 ⋅ 212 mod 991
≡ 160272 mod 991 ≡ 721 mod 991
Es gilt also: 827176 ≡ 721 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34
| =>61 | = 1⋅34 + 27 |
| =>34 | = 1⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 34-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1) |
| 27= 61-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +9⋅34
Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1
Somit 9⋅34 = 1 mod 61
9 ist also das Inverse von 34 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
