Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31993 - 2405) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31993 - 2405) mod 8 ≡ (31993 mod 8 - 2405 mod 8) mod 8.

31993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31993 = 31000+993 = 8 ⋅ 3875 +993.

2405 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405 = 2400+5 = 8 ⋅ 300 +5.

Somit gilt:

(31993 - 2405) mod 8 ≡ (1 - 5) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 64) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 64) mod 5 ≡ (99 mod 5 ⋅ 64 mod 5) mod 5.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.

64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 64) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 59432 mod 643.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 594 -> x
2. mod(x²,643) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5941=594

2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 472 mod 643

4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 306 mod 643

8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 401 mod 643

16: 59416=5948+8=5948⋅5948 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 51 mod 643

32: 59432=59416+16=59416⋅59416 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 29 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 693226 mod 827.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

1: 6931=693

2: 6932=6931+1=6931⋅6931 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 589 mod 827

4: 6934=6932+2=6932⋅6932 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 408 mod 827

8: 6938=6934+4=6934⋅6934 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 237 mod 827

16: 69316=6938+8=6938⋅6938 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 760 mod 827

32: 69332=69316+16=69316⋅69316 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 354 mod 827

64: 69364=69332+32=69332⋅69332 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 439 mod 827

128: 693128=69364+64=69364⋅69364 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 30 mod 827

693226

= 693128+64+32+2

= 693128⋅69364⋅69332⋅6932

30 ⋅ 439 ⋅ 354 ⋅ 589 mod 827
13170 ⋅ 354 ⋅ 589 mod 827 ≡ 765 ⋅ 354 ⋅ 589 mod 827
270810 ⋅ 589 mod 827 ≡ 381 ⋅ 589 mod 827
224409 mod 827 ≡ 292 mod 827

Es gilt also: 693226 ≡ 292 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27

=>61 = 2⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 61-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27)
= 4⋅61 -9⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27

oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅61 = -9⋅27

-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27

-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1

(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1

52⋅27 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1

Somit 52⋅27 = 1 mod 61

52 ist also das Inverse von 27 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.