Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11999 - 1503) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11999 - 1503) mod 3 ≡ (11999 mod 3 - 1503 mod 3) mod 3.
11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 12000
1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
Somit gilt:
(11999 - 1503) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 69) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 69) mod 5 ≡ (54 mod 5 ⋅ 69 mod 5) mod 5.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 69) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34016 mod 439.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 340 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3401=340
2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 143 mod 439
4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 255 mod 439
8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 53 mod 439
16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 175 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39261 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 3921=392
2: 3922=3921+1=3921⋅3921 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 25 mod 397
4: 3924=3922+2=3922⋅3922 ≡ 25⋅25=625 ≡ 228 mod 397
8: 3928=3924+4=3924⋅3924 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 374 mod 397
16: 39216=3928+8=3928⋅3928 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 132 mod 397
32: 39232=39216+16=39216⋅39216 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 353 mod 397
39261
= 39232+16+8+4+1
= 39232⋅39216⋅3928⋅3924⋅3921
≡ 353 ⋅ 132 ⋅ 374 ⋅ 228 ⋅ 392 mod 397
≡ 46596 ⋅ 374 ⋅ 228 ⋅ 392 mod 397 ≡ 147 ⋅ 374 ⋅ 228 ⋅ 392 mod 397
≡ 54978 ⋅ 228 ⋅ 392 mod 397 ≡ 192 ⋅ 228 ⋅ 392 mod 397
≡ 43776 ⋅ 392 mod 397 ≡ 106 ⋅ 392 mod 397
≡ 41552 mod 397 ≡ 264 mod 397
Es gilt also: 39261 ≡ 264 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 66
| =>97 | = 1⋅66 + 31 |
| =>66 | = 2⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 66-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(66 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅66 -16⋅ 31) = 8⋅66 -17⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -17⋅(97 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -17⋅97 +17⋅ 66) = -17⋅97 +25⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,66)=1 = -17⋅97 +25⋅66
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +25⋅66
Es gilt also: 25⋅66 = 17⋅97 +1
Somit 25⋅66 = 1 mod 97
25 ist also das Inverse von 66 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
