Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11998 + 1502) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11998 + 1502) mod 3 ≡ (11998 mod 3 + 1502 mod 3) mod 3.
11998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 12000
1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502
= 1500
Somit gilt:
(11998 + 1502) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 60) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 60) mod 10 ≡ (32 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.
32 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 3 ⋅ 10 + 2 ist.
60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 60) mod 10 ≡ (2 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31316 mod 509.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 313 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3131=313
2: 3132=3131+1=3131⋅3131 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 241 mod 509
4: 3134=3132+2=3132⋅3132 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 55 mod 509
8: 3138=3134+4=3134⋅3134 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 480 mod 509
16: 31316=3138+8=3138⋅3138 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 332 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 242123 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:
123 = 64+32+16+8+2+1
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 124 mod 487
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 279 mod 487
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 408 mod 487
16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 397 mod 487
32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 308 mod 487
64: 24264=24232+32=24232⋅24232 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 386 mod 487
242123
= 24264+32+16+8+2+1
= 24264⋅24232⋅24216⋅2428⋅2422⋅2421
≡ 386 ⋅ 308 ⋅ 397 ⋅ 408 ⋅ 124 ⋅ 242 mod 487
≡ 118888 ⋅ 397 ⋅ 408 ⋅ 124 ⋅ 242 mod 487 ≡ 60 ⋅ 397 ⋅ 408 ⋅ 124 ⋅ 242 mod 487
≡ 23820 ⋅ 408 ⋅ 124 ⋅ 242 mod 487 ≡ 444 ⋅ 408 ⋅ 124 ⋅ 242 mod 487
≡ 181152 ⋅ 124 ⋅ 242 mod 487 ≡ 475 ⋅ 124 ⋅ 242 mod 487
≡ 58900 ⋅ 242 mod 487 ≡ 460 ⋅ 242 mod 487
≡ 111320 mod 487 ≡ 284 mod 487
Es gilt also: 242123 ≡ 284 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30
| =>83 | = 2⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 83-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +36⋅30
Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1
Somit 36⋅30 = 1 mod 83
36 ist also das Inverse von 30 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
