Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3000 + 1503) mod 3 ≡ (3000 mod 3 + 1503 mod 3) mod 3.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503 = 1500+3 = 3 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(3000 + 1503) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 23) mod 7 ≡ (99 mod 7 ⋅ 23 mod 7) mod 7.

99 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 98 + 1 = 14 ⋅ 7 + 1 ist.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 23) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 327¹=327

2: 327²=327¹⁺¹=327¹⋅327¹ ≡ 327⋅327=106929 ≡ 16 mod 331

4: 327⁴=327²⁺²=327²⋅327² ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 331

8: 327⁸=327⁴⁺⁴=327⁴⋅327⁴ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 329 mod 331

16: 327¹⁶=327⁸⁺⁸=327⁸⋅327⁸ ≡ 329⋅329=108241 ≡ 4 mod 331

32: 327³²=327¹⁶⁺¹⁶=327¹⁶⋅327¹⁶ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 331

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

779²⁴²

= 779^{128+64+32+16+2}

= 779¹²⁸⋅779⁶⁴⋅779³²⋅779¹⁶⋅779²

≡ 661 ⋅ 691 ⋅ 102 ⋅ 712 ⋅ 220 mod 883
≡ 456751 ⋅ 102 ⋅ 712 ⋅ 220 mod 883 ≡ 240 ⋅ 102 ⋅ 712 ⋅ 220 mod 883
≡ 24480 ⋅ 712 ⋅ 220 mod 883 ≡ 639 ⋅ 712 ⋅ 220 mod 883
≡ 454968 ⋅ 220 mod 883 ≡ 223 ⋅ 220 mod 883
≡ 49060 mod 883 ≡ 495 mod 883

Es gilt also: 779²⁴² ≡ 495 mod 883

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54

=>71	= 1⋅54 + 17
=>54	= 3⋅17 + 3
=>17	= 5⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 17-5⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1)
3= 54-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17) = -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1)
17= 71-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54) = 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54

oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅71 = +25⋅54

Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1

Somit 25⋅54 = 1 mod 71

25 ist also das Inverse von 54 mod 71