Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (320 + 165) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(320 + 165) mod 8 ≡ (320 mod 8 + 165 mod 8) mod 8.

320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320 = 320+0 = 8 ⋅ 40 +0.

165 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 165 = 160+5 = 8 ⋅ 20 +5.

Somit gilt:

(320 + 165) mod 8 ≡ (0 + 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 29) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 29) mod 3 ≡ (52 mod 3 ⋅ 29 mod 3) mod 3.

52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 9 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 29) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32764 mod 977.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 327 -> x
2. mod(x²,977) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3271=327

2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 436 mod 977

4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 558 mod 977

8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 678 mod 977

16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 494 mod 977

32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 763 mod 977

64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 854 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 365181 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

1: 3651=365

2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 274 mod 487

4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 78 mod 487

8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 240 mod 487

16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 134 mod 487

32: 36532=36516+16=36516⋅36516 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 424 mod 487

64: 36564=36532+32=36532⋅36532 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 73 mod 487

128: 365128=36564+64=36564⋅36564 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 459 mod 487

365181

= 365128+32+16+4+1

= 365128⋅36532⋅36516⋅3654⋅3651

459 ⋅ 424 ⋅ 134 ⋅ 78 ⋅ 365 mod 487
194616 ⋅ 134 ⋅ 78 ⋅ 365 mod 487 ≡ 303 ⋅ 134 ⋅ 78 ⋅ 365 mod 487
40602 ⋅ 78 ⋅ 365 mod 487 ≡ 181 ⋅ 78 ⋅ 365 mod 487
14118 ⋅ 365 mod 487 ≡ 482 ⋅ 365 mod 487
175930 mod 487 ≡ 123 mod 487

Es gilt also: 365181 ≡ 123 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97 = 2⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42)
= 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.