Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3002 - 600) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3002 - 600) mod 3 ≡ (3002 mod 3 - 600 mod 3) mod 3.

3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 3 ⋅ 1000 +2.

600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 3 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(3002 - 600) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 70) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 70) mod 11 ≡ (84 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.

84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.

70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 70) mod 11 ≡ (7 ⋅ 4) mod 11 ≡ 28 mod 11 ≡ 6 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20532 mod 353.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 205 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2051=205

2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 18 mod 353

4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 353

8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 135 mod 353

16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 222 mod 353

32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 217 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 391150 mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:

150 = 128+16+4+2

1: 3911=391

2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 469 mod 977

4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 136 mod 977

8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 910 mod 977

16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 910⋅910=828100 ≡ 581 mod 977

32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 496 mod 977

64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 789 mod 977

128: 391128=39164+64=39164⋅39164 ≡ 789⋅789=622521 ≡ 172 mod 977

391150

= 391128+16+4+2

= 391128⋅39116⋅3914⋅3912

172 ⋅ 581 ⋅ 136 ⋅ 469 mod 977
99932 ⋅ 136 ⋅ 469 mod 977 ≡ 278 ⋅ 136 ⋅ 469 mod 977
37808 ⋅ 469 mod 977 ≡ 682 ⋅ 469 mod 977
319858 mod 977 ≡ 379 mod 977

Es gilt also: 391150 ≡ 379 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59

=>71 = 1⋅59 + 12
=>59 = 4⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 59-4⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12)
= -1⋅59 +5⋅ 12 (=1)
12= 71-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59)
= 5⋅71 -6⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59

oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅71 = -6⋅59

-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59

-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1

(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1

65⋅59 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1

Somit 65⋅59 = 1 mod 71

65 ist also das Inverse von 59 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.