Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 - 8000) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 - 8000) mod 8 ≡ (84 mod 8 - 8000 mod 8) mod 8.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80+4 = 8 ⋅ 10 +4.

8000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 8 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(84 - 8000) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 25) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 25) mod 5 ≡ (18 mod 5 ⋅ 25 mod 5) mod 5.

18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 25) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 477128 mod 587.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 477 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4771=477

2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 360 mod 587

4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 460 mod 587

8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 280 mod 587

16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 329 mod 587

32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 233 mod 587

64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 285 mod 587

128: 477128=47764+64=47764⋅47764 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 219 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 235227 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

1: 2351=235

2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 194 mod 487

4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 137 mod 487

8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 263 mod 487

16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 15 mod 487

32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 487

64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 464 mod 487

128: 235128=23564+64=23564⋅23564 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 42 mod 487

235227

= 235128+64+32+2+1

= 235128⋅23564⋅23532⋅2352⋅2351

42 ⋅ 464 ⋅ 225 ⋅ 194 ⋅ 235 mod 487
19488 ⋅ 225 ⋅ 194 ⋅ 235 mod 487 ≡ 8 ⋅ 225 ⋅ 194 ⋅ 235 mod 487
1800 ⋅ 194 ⋅ 235 mod 487 ≡ 339 ⋅ 194 ⋅ 235 mod 487
65766 ⋅ 235 mod 487 ≡ 21 ⋅ 235 mod 487
4935 mod 487 ≡ 65 mod 487

Es gilt also: 235227 ≡ 65 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25

=>71 = 2⋅25 + 21
=>25 = 1⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 25-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21)
= -5⋅25 +6⋅ 21 (=1)
21= 71-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25)
= 6⋅71 -17⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25

oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅71 = -17⋅25

-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25

-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1

(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1

54⋅25 = 19⋅71 + 1

Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1

Somit 54⋅25 = 1 mod 71

54 ist also das Inverse von 25 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.