Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3000 - 121) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3000 - 121) mod 3 ≡ (3000 mod 3 - 121 mod 3) mod 3.
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
Somit gilt:
(3000 - 121) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 34) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 34) mod 11 ≡ (53 mod 11 ⋅ 34 mod 11) mod 11.
53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.
34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 34) mod 11 ≡ (9 ⋅ 1) mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3048 mod 547.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 304 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3041=304
2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 520 mod 547
4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 182 mod 547
8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 304 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 231199 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:
199 = 128+64+4+2+1
1: 2311=231
2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 43 mod 503
4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 340 mod 503
8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 413 mod 503
16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 52 mod 503
32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 189 mod 503
64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 8 mod 503
128: 231128=23164+64=23164⋅23164 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 503
231199
= 231128+64+4+2+1
= 231128⋅23164⋅2314⋅2312⋅2311
≡ 64 ⋅ 8 ⋅ 340 ⋅ 43 ⋅ 231 mod 503
≡ 512 ⋅ 340 ⋅ 43 ⋅ 231 mod 503 ≡ 9 ⋅ 340 ⋅ 43 ⋅ 231 mod 503
≡ 3060 ⋅ 43 ⋅ 231 mod 503 ≡ 42 ⋅ 43 ⋅ 231 mod 503
≡ 1806 ⋅ 231 mod 503 ≡ 297 ⋅ 231 mod 503
≡ 68607 mod 503 ≡ 199 mod 503
Es gilt also: 231199 ≡ 199 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44
| =>73 | = 1⋅44 + 29 |
| =>44 | = 1⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 44-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(44 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅44 -2⋅ 29) = 2⋅44 -3⋅ 29 (=1) |
| 29= 73-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅44 -3⋅(73 -1⋅ 44)
= 2⋅44 -3⋅73 +3⋅ 44) = -3⋅73 +5⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,44)=1 = -3⋅73 +5⋅44
oder wenn man -3⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅73 = +5⋅44
Es gilt also: 5⋅44 = 3⋅73 +1
Somit 5⋅44 = 1 mod 73
5 ist also das Inverse von 44 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
