Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2709 - 85) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2709 - 85) mod 9 ≡ (2709 mod 9 - 85 mod 9) mod 9.

2709 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2709 = 2700+9 = 9 ⋅ 300 +9.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 90-5 = 9 ⋅ 10 -5 = 9 ⋅ 10 - 9 + 4.

Somit gilt:

(2709 - 85) mod 9 ≡ (0 - 4) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 72) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 72) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 72 mod 3) mod 3.

53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.

72 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 24 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 72) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19932 mod 509.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 199 -> x
2. mod(x²,509) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1991=199

2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 408 mod 509

4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 21 mod 509

8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 509

16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 43 mod 509

32: 19932=19916+16=19916⋅19916 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 322 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 166115 mod 263.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

1: 1661=166

2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 204 mod 263

4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 62 mod 263

8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 162 mod 263

16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 207 mod 263

32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 243 mod 263

64: 16664=16632+32=16632⋅16632 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 137 mod 263

166115

= 16664+32+16+2+1

= 16664⋅16632⋅16616⋅1662⋅1661

137 ⋅ 243 ⋅ 207 ⋅ 204 ⋅ 166 mod 263
33291 ⋅ 207 ⋅ 204 ⋅ 166 mod 263 ≡ 153 ⋅ 207 ⋅ 204 ⋅ 166 mod 263
31671 ⋅ 204 ⋅ 166 mod 263 ≡ 111 ⋅ 204 ⋅ 166 mod 263
22644 ⋅ 166 mod 263 ≡ 26 ⋅ 166 mod 263
4316 mod 263 ≡ 108 mod 263

Es gilt also: 166115 ≡ 108 mod 263

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54

=>71 = 1⋅54 + 17
=>54 = 3⋅17 + 3
=>17 = 5⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 17-5⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3)
= -1⋅17 +6⋅ 3 (=1)
3= 54-3⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17)
= 6⋅54 -19⋅ 17 (=1)
17= 71-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54)
= -19⋅71 +25⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54

oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅71 = +25⋅54

Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1

Somit 25⋅54 = 1 mod 71

25 ist also das Inverse von 54 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.