Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (243 - 2400) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(243 - 2400) mod 6 ≡ (243 mod 6 - 2400 mod 6) mod 6.

243 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 243 = 240+3 = 6 ⋅ 40 +3.

2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 6 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(243 - 2400) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 73) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 73) mod 7 ≡ (17 mod 7 ⋅ 73 mod 7) mod 7.

17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.

73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 73) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23532 mod 421.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 235 -> x
2. mod(x²,421) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2351=235

2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 74 mod 421

4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 3 mod 421

8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 421

16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 421

32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 246 mod 421

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25774 mod 331.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:

74 = 64+8+2

1: 2571=257

2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 180 mod 331

4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 293 mod 331

8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 120 mod 331

16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 167 mod 331

32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 85 mod 331

64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 274 mod 331

25774

= 25764+8+2

= 25764⋅2578⋅2572

274 ⋅ 120 ⋅ 180 mod 331
32880 ⋅ 180 mod 331 ≡ 111 ⋅ 180 mod 331
19980 mod 331 ≡ 120 mod 331

Es gilt also: 25774 ≡ 120 mod 331

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20

=>67 = 3⋅20 + 7
=>20 = 2⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 20-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7)
= -1⋅20 +3⋅ 7 (=1)
7= 67-3⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20)
= 3⋅67 -10⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -10⋅20

-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20

-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1

(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1

57⋅20 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1

Somit 57⋅20 = 1 mod 67

57 ist also das Inverse von 20 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.