Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1803 + 119) mod 6 ≡ (1803 mod 6 + 119 mod 6) mod 6.

1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803 = 1800+3 = 6 ⋅ 300 +3.

119 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 6 ⋅ 20 -1 = 6 ⋅ 20 - 6 + 5.

Somit gilt:

(1803 + 119) mod 6 ≡ (3 + 5) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 29) mod 11 ≡ (66 mod 11 ⋅ 29 mod 11) mod 11.

66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.

29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 29) mod 11 ≡ (0 ⋅ 7) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 114¹=114

2: 114²=114¹⁺¹=114¹⋅114¹ ≡ 114⋅114=12996 ≡ 172 mod 229

4: 114⁴=114²⁺²=114²⋅114² ≡ 172⋅172=29584 ≡ 43 mod 229

8: 114⁸=114⁴⁺⁴=114⁴⋅114⁴ ≡ 43⋅43=1849 ≡ 17 mod 229

16: 114¹⁶=114⁸⁺⁸=114⁸⋅114⁸ ≡ 17⋅17=289 ≡ 60 mod 229

32: 114³²=114¹⁶⁺¹⁶=114¹⁶⋅114¹⁶ ≡ 60⋅60=3600 ≡ 165 mod 229

64: 114⁶⁴=114³²⁺³²=114³²⋅114³² ≡ 165⋅165=27225 ≡ 203 mod 229

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

208¹⁸²

= 208^{128+32+16+4+2}

= 208¹²⁸⋅208³²⋅208¹⁶⋅208⁴⋅208²

≡ 249 ⋅ 181 ⋅ 249 ⋅ 100 ⋅ 271 mod 281
≡ 45069 ⋅ 249 ⋅ 100 ⋅ 271 mod 281 ≡ 109 ⋅ 249 ⋅ 100 ⋅ 271 mod 281
≡ 27141 ⋅ 100 ⋅ 271 mod 281 ≡ 165 ⋅ 100 ⋅ 271 mod 281
≡ 16500 ⋅ 271 mod 281 ≡ 202 ⋅ 271 mod 281
≡ 54742 mod 281 ≡ 228 mod 281

Es gilt also: 208¹⁸² ≡ 228 mod 281

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27

=>61	= 2⋅27 + 7
=>27	= 3⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 61-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27) = -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27) = 4⋅61 -9⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27

oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅61 = -9⋅27

-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27

-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1

(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1

52⋅27 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1

Somit 52⋅27 = 1 mod 61

52 ist also das Inverse von 27 mod 61