Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9000 - 1199) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9000 - 1199) mod 3 ≡ (9000 mod 3 - 1199 mod 3) mod 3.
9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
Somit gilt:
(9000 - 1199) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 28) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 28) mod 8 ≡ (42 mod 8 ⋅ 28 mod 8) mod 8.
42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.
28 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 3 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 28) mod 8 ≡ (2 ⋅ 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5698 mod 761.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 569 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5691=569
2: 5692=5691+1=5691⋅5691 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 336 mod 761
4: 5694=5692+2=5692⋅5692 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 268 mod 761
8: 5698=5694+4=5694⋅5694 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 290 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 467157 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 4671=467
2: 4672=4671+1=4671⋅4671 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 90 mod 787
4: 4674=4672+2=4672⋅4672 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 230 mod 787
8: 4678=4674+4=4674⋅4674 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 171 mod 787
16: 46716=4678+8=4678⋅4678 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 122 mod 787
32: 46732=46716+16=46716⋅46716 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 718 mod 787
64: 46764=46732+32=46732⋅46732 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 39 mod 787
128: 467128=46764+64=46764⋅46764 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 734 mod 787
467157
= 467128+16+8+4+1
= 467128⋅46716⋅4678⋅4674⋅4671
≡ 734 ⋅ 122 ⋅ 171 ⋅ 230 ⋅ 467 mod 787
≡ 89548 ⋅ 171 ⋅ 230 ⋅ 467 mod 787 ≡ 617 ⋅ 171 ⋅ 230 ⋅ 467 mod 787
≡ 105507 ⋅ 230 ⋅ 467 mod 787 ≡ 49 ⋅ 230 ⋅ 467 mod 787
≡ 11270 ⋅ 467 mod 787 ≡ 252 ⋅ 467 mod 787
≡ 117684 mod 787 ≡ 421 mod 787
Es gilt also: 467157 ≡ 421 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20
| =>67 | = 3⋅20 + 7 |
| =>20 | = 2⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 20-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20) = 3⋅67 -10⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -10⋅20
-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20
-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1
(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1
57⋅20 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1
Somit 57⋅20 = 1 mod 67
57 ist also das Inverse von 20 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
