Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16002 + 15995) mod 8 ≡ (16002 mod 8 + 15995 mod 8) mod 8.

16002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002 = 16000+2 = 8 ⋅ 2000 +2.

15995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15995 = 15000+995 = 8 ⋅ 1875 +995.

Somit gilt:

(16002 + 15995) mod 8 ≡ (2 + 3) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 22) mod 9 ≡ (19 mod 9 ⋅ 22 mod 9) mod 9.

19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.

22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 22) mod 9 ≡ (1 ⋅ 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 566¹=566

2: 566²=566¹⁺¹=566¹⋅566¹ ≡ 566⋅566=320356 ≡ 597 mod 709

4: 566⁴=566²⁺²=566²⋅566² ≡ 597⋅597=356409 ≡ 491 mod 709

8: 566⁸=566⁴⁺⁴=566⁴⋅566⁴ ≡ 491⋅491=241081 ≡ 21 mod 709

16: 566¹⁶=566⁸⁺⁸=566⁸⋅566⁸ ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 709

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

198²⁴⁵

= 198^{128+64+32+16+4+1}

= 198¹²⁸⋅198⁶⁴⋅198³²⋅198¹⁶⋅198⁴⋅198¹

≡ 1 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257
≡ 4096 ⋅ 4 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257 ≡ 241 ⋅ 4 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257
≡ 964 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257 ≡ 193 ⋅ 68 ⋅ 198 mod 257
≡ 13124 ⋅ 198 mod 257 ≡ 17 ⋅ 198 mod 257
≡ 3366 mod 257 ≡ 25 mod 257

Es gilt also: 198²⁴⁵ ≡ 25 mod 257

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60

=>79	= 1⋅60 + 19
=>60	= 3⋅19 + 3
=>19	= 6⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 60-3⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19) = 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19) = -6⋅60 +19⋅ 19 (=1)
19= 79-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60) = -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60) = 19⋅79 -25⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60

oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅79 = -25⋅60

-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60

-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1

(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1

54⋅60 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1

Somit 54⋅60 = 1 mod 79

54 ist also das Inverse von 60 mod 79