Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36008 - 45009) mod 9 ≡ (36008 mod 9 - 45009 mod 9) mod 9.

36008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36008 = 36000+8 = 9 ⋅ 4000 +8.

45009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45009 = 45000+9 = 9 ⋅ 5000 +9.

Somit gilt:

(36008 - 45009) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 18) mod 4 ≡ (59 mod 4 ⋅ 18 mod 4) mod 4.

59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.

18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 18) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 230¹=230

2: 230²=230¹⁺¹=230¹⋅230¹ ≡ 230⋅230=52900 ≡ 6 mod 499

4: 230⁴=230²⁺²=230²⋅230² ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 499

8: 230⁸=230⁴⁺⁴=230⁴⋅230⁴ ≡ 36⋅36=1296 ≡ 298 mod 499

16: 230¹⁶=230⁸⁺⁸=230⁸⋅230⁸ ≡ 298⋅298=88804 ≡ 481 mod 499

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

330¹⁷⁵

= 330^{128+32+8+4+2+1}

= 330¹²⁸⋅330³²⋅330⁸⋅330⁴⋅330²⋅330¹

≡ 105 ⋅ 232 ⋅ 544 ⋅ 39 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977
≡ 24360 ⋅ 544 ⋅ 39 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977 ≡ 912 ⋅ 544 ⋅ 39 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977
≡ 496128 ⋅ 39 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977 ≡ 789 ⋅ 39 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977
≡ 30771 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977 ≡ 484 ⋅ 453 ⋅ 330 mod 977
≡ 219252 ⋅ 330 mod 977 ≡ 404 ⋅ 330 mod 977
≡ 133320 mod 977 ≡ 448 mod 977

Es gilt also: 330¹⁷⁵ ≡ 448 mod 977

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67

=>97	= 1⋅67 + 30
=>67	= 2⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)
30= 97-1⋅67	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67) = 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67) = -29⋅97 +42⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67

oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +29⋅97 = +42⋅67

Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1

Somit 42⋅67 = 1 mod 97

42 ist also das Inverse von 67 mod 97