Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 + 27000) mod 9 ≡ (81 mod 9 + 27000 mod 9) mod 9.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 90-9 = 9 ⋅ 10 -9 = 9 ⋅ 10 - 9 + 0.

27000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27000 = 27000+0 = 9 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(81 + 27000) mod 9 ≡ (0 + 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 24) mod 5 ≡ (74 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.

74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 24) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 536¹=536

2: 536²=536¹⁺¹=536¹⋅536¹ ≡ 536⋅536=287296 ≡ 498 mod 743

4: 536⁴=536²⁺²=536²⋅536² ≡ 498⋅498=248004 ≡ 585 mod 743

8: 536⁸=536⁴⁺⁴=536⁴⋅536⁴ ≡ 585⋅585=342225 ≡ 445 mod 743

16: 536¹⁶=536⁸⁺⁸=536⁸⋅536⁸ ≡ 445⋅445=198025 ≡ 387 mod 743

32: 536³²=536¹⁶⁺¹⁶=536¹⁶⋅536¹⁶ ≡ 387⋅387=149769 ≡ 426 mod 743

64: 536⁶⁴=536³²⁺³²=536³²⋅536³² ≡ 426⋅426=181476 ≡ 184 mod 743

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

338¹⁵⁹

= 338^{128+16+8+4+2+1}

= 338¹²⁸⋅338¹⁶⋅338⁸⋅338⁴⋅338²⋅338¹

≡ 514 ⋅ 94 ⋅ 350 ⋅ 109 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887
≡ 48316 ⋅ 350 ⋅ 109 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887 ≡ 418 ⋅ 350 ⋅ 109 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887
≡ 146300 ⋅ 109 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887 ≡ 832 ⋅ 109 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887
≡ 90688 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887 ≡ 214 ⋅ 708 ⋅ 338 mod 887
≡ 151512 ⋅ 338 mod 887 ≡ 722 ⋅ 338 mod 887
≡ 244036 mod 887 ≡ 111 mod 887

Es gilt also: 338¹⁵⁹ ≡ 111 mod 887

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 55

=>79	= 1⋅55 + 24
=>55	= 2⋅24 + 7
=>24	= 3⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 24-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅24 +7⋅(55 -2⋅ 24) = -2⋅24 +7⋅55 -14⋅ 24) = 7⋅55 -16⋅ 24 (=1)
24= 79-1⋅55	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅55 -16⋅(79 -1⋅ 55) = 7⋅55 -16⋅79 +16⋅ 55) = -16⋅79 +23⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(79,55)=1 = -16⋅79 +23⋅55

oder wenn man -16⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅79 = +23⋅55

Es gilt also: 23⋅55 = 16⋅79 +1

Somit 23⋅55 = 1 mod 79

23 ist also das Inverse von 55 mod 79