Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (502 - 998) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(502 - 998) mod 5 ≡ (502 mod 5 - 998 mod 5) mod 5.

502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 502 = 500+2 = 5 ⋅ 100 +2.

998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998 = 900+98 = 5 ⋅ 180 +98.

Somit gilt:

(502 - 998) mod 5 ≡ (2 - 3) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 89) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 89) mod 3 ≡ (50 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.

50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 89) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11116 mod 211.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 111 -> x
2. mod(x²,211) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1111=111

2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 83 mod 211

4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 137 mod 211

8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 201 mod 211

16: 11116=1118+8=1118⋅1118 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 100 mod 211

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30399 mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

1: 3031=303

2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 601 mod 877

4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 754 mod 877

8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 754⋅754=568516 ≡ 220 mod 877

16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 165 mod 877

32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 38 mod 877

64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 567 mod 877

30399

= 30364+32+2+1

= 30364⋅30332⋅3032⋅3031

567 ⋅ 38 ⋅ 601 ⋅ 303 mod 877
21546 ⋅ 601 ⋅ 303 mod 877 ≡ 498 ⋅ 601 ⋅ 303 mod 877
299298 ⋅ 303 mod 877 ≡ 241 ⋅ 303 mod 877
73023 mod 877 ≡ 232 mod 877

Es gilt also: 30399 ≡ 232 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33

=>71 = 2⋅33 + 5
=>33 = 6⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 33-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(33 -6⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅33 -12⋅ 5)
= 2⋅33 -13⋅ 5 (=1)
5= 71-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅33 -13⋅(71 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -13⋅71 +26⋅ 33)
= -13⋅71 +28⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(71,33)=1 = -13⋅71 +28⋅33

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +28⋅33

Es gilt also: 28⋅33 = 13⋅71 +1

Somit 28⋅33 = 1 mod 71

28 ist also das Inverse von 33 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.