Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1804 - 1798) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1804 - 1798) mod 6 ≡ (1804 mod 6 - 1798 mod 6) mod 6.
1804 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1804
= 1800
1798 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1798
= 1800
Somit gilt:
(1804 - 1798) mod 6 ≡ (4 - 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 57) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 57) mod 6 ≡ (36 mod 6 ⋅ 57 mod 6) mod 6.
36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.
57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 9 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 57) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25532 mod 613.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2551=255
2: 2552=2551+1=2551⋅2551 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 47 mod 613
4: 2554=2552+2=2552⋅2552 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 370 mod 613
8: 2558=2554+4=2554⋅2554 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 201 mod 613
16: 25516=2558+8=2558⋅2558 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 556 mod 613
32: 25532=25516+16=25516⋅25516 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 184 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 439229 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:
229 = 128+64+32+4+1
1: 4391=439
2: 4392=4391+1=4391⋅4391 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 100 mod 449
4: 4394=4392+2=4392⋅4392 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 122 mod 449
8: 4398=4394+4=4394⋅4394 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 67 mod 449
16: 43916=4398+8=4398⋅4398 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 448 mod 449
32: 43932=43916+16=43916⋅43916 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 1 mod 449
64: 43964=43932+32=43932⋅43932 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449
128: 439128=43964+64=43964⋅43964 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449
439229
= 439128+64+32+4+1
= 439128⋅43964⋅43932⋅4394⋅4391
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 122 ⋅ 439 mod 449
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 122 ⋅ 439 mod 449
≡ 1 ⋅ 122 ⋅ 439 mod 449
≡ 122 ⋅ 439 mod 449
≡ 53558 mod 449 ≡ 127 mod 449
Es gilt also: 439229 ≡ 127 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37
| =>71 | = 1⋅37 + 34 |
| =>37 | = 1⋅34 + 3 |
| =>34 | = 11⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-11⋅3 | |||
| 3= 37-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1) |
| 34= 71-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37
oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅71 = -23⋅37
-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37
-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1
(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1
48⋅37 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1
Somit 48⋅37 = 1 mod 71
48 ist also das Inverse von 37 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
