Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 - 87) mod 3 ≡ (89 mod 3 - 87 mod 3) mod 3.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 90-1 = 3 ⋅ 30 -1 = 3 ⋅ 30 - 3 + 2.

87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 90-3 = 3 ⋅ 30 -3 = 3 ⋅ 30 - 3 + 0.

Somit gilt:

(89 - 87) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 52) mod 5 ≡ (88 mod 5 ⋅ 52 mod 5) mod 5.

88 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 85 + 3 = 17 ⋅ 5 + 3 ist.

52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 52) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 346¹=346

2: 346²=346¹⁺¹=346¹⋅346¹ ≡ 346⋅346=119716 ≡ 796 mod 991

4: 346⁴=346²⁺²=346²⋅346² ≡ 796⋅796=633616 ≡ 367 mod 991

8: 346⁸=346⁴⁺⁴=346⁴⋅346⁴ ≡ 367⋅367=134689 ≡ 904 mod 991

16: 346¹⁶=346⁸⁺⁸=346⁸⋅346⁸ ≡ 904⋅904=817216 ≡ 632 mod 991

32: 346³²=346¹⁶⁺¹⁶=346¹⁶⋅346¹⁶ ≡ 632⋅632=399424 ≡ 51 mod 991

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

715¹⁷⁹

= 715^{128+32+16+2+1}

= 715¹²⁸⋅715³²⋅715¹⁶⋅715²⋅715¹

≡ 203 ⋅ 32 ⋅ 335 ⋅ 41 ⋅ 715 mod 743
≡ 6496 ⋅ 335 ⋅ 41 ⋅ 715 mod 743 ≡ 552 ⋅ 335 ⋅ 41 ⋅ 715 mod 743
≡ 184920 ⋅ 41 ⋅ 715 mod 743 ≡ 656 ⋅ 41 ⋅ 715 mod 743
≡ 26896 ⋅ 715 mod 743 ≡ 148 ⋅ 715 mod 743
≡ 105820 mod 743 ≡ 314 mod 743

Es gilt also: 715¹⁷⁹ ≡ 314 mod 743

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 29

=>97	= 3⋅29 + 10
=>29	= 2⋅10 + 9
=>10	= 1⋅9 + 1
=>9	= 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 29-2⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10) = 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1)
10= 97-3⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +3⋅(97 -3⋅ 29) = -1⋅29 +3⋅97 -9⋅ 29) = 3⋅97 -10⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(97,29)=1 = 3⋅97 -10⋅29

oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅97 = -10⋅29

-10⋅29 = -3⋅97 + 1 |+97⋅29

-10⋅29 + 97⋅29 = -3⋅97 + 97⋅29 + 1

(-10 + 97) ⋅ 29 = (-3 + 29) ⋅ 97 + 1

87⋅29 = 26⋅97 + 1

Es gilt also: 87⋅29 = 26⋅97 +1

Somit 87⋅29 = 1 mod 97

87 ist also das Inverse von 29 mod 97