Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27994 - 285) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27994 - 285) mod 7 ≡ (27994 mod 7 - 285 mod 7) mod 7.
27994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27994
= 28000
285 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 285
= 280
Somit gilt:
(27994 - 285) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 60) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 60) mod 3 ≡ (99 mod 3 ⋅ 60 mod 3) mod 3.
99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 20 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 60) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 89032 mod 907.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 890 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8901=890
2: 8902=8901+1=8901⋅8901 ≡ 890⋅890=792100 ≡ 289 mod 907
4: 8904=8902+2=8902⋅8902 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 77 mod 907
8: 8908=8904+4=8904⋅8904 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 487 mod 907
16: 89016=8908+8=8908⋅8908 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 442 mod 907
32: 89032=89016+16=89016⋅89016 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 359 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15073 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 1501=150
2: 1502=1501+1=1501⋅1501 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 113 mod 367
4: 1504=1502+2=1502⋅1502 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 291 mod 367
8: 1508=1504+4=1504⋅1504 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 271 mod 367
16: 15016=1508+8=1508⋅1508 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 41 mod 367
32: 15032=15016+16=15016⋅15016 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 213 mod 367
64: 15064=15032+32=15032⋅15032 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 228 mod 367
15073
= 15064+8+1
= 15064⋅1508⋅1501
≡ 228 ⋅ 271 ⋅ 150 mod 367
≡ 61788 ⋅ 150 mod 367 ≡ 132 ⋅ 150 mod 367
≡ 19800 mod 367 ≡ 349 mod 367
Es gilt also: 15073 ≡ 349 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
