Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3196 - 798) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3196 - 798) mod 8 ≡ (3196 mod 8 - 798 mod 8) mod 8.
3196 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3196
= 3200
798 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798
= 800
Somit gilt:
(3196 - 798) mod 8 ≡ (4 - 6) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 73) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 73) mod 4 ≡ (18 mod 4 ⋅ 73 mod 4) mod 4.
18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.
73 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 18 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 73) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3308 mod 443.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 330 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3301=330
2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 365 mod 443
4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 325 mod 443
8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 191 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 749226 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:
226 = 128+64+32+2
1: 7491=749
2: 7492=7491+1=7491⋅7491 ≡ 749⋅749=561001 ≡ 4 mod 751
4: 7494=7492+2=7492⋅7492 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 751
8: 7498=7494+4=7494⋅7494 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 751
16: 74916=7498+8=7498⋅7498 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 199 mod 751
32: 74932=74916+16=74916⋅74916 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 549 mod 751
64: 74964=74932+32=74932⋅74932 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 250 mod 751
128: 749128=74964+64=74964⋅74964 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 167 mod 751
749226
= 749128+64+32+2
= 749128⋅74964⋅74932⋅7492
≡ 167 ⋅ 250 ⋅ 549 ⋅ 4 mod 751
≡ 41750 ⋅ 549 ⋅ 4 mod 751 ≡ 445 ⋅ 549 ⋅ 4 mod 751
≡ 244305 ⋅ 4 mod 751 ≡ 230 ⋅ 4 mod 751
≡ 920 mod 751 ≡ 169 mod 751
Es gilt also: 749226 ≡ 169 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64
| =>97 | = 1⋅64 + 33 |
| =>64 | = 1⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 64-1⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33) = 16⋅64 -31⋅ 33 (=1) |
| 33= 97-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64) = -31⋅97 +47⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64
oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅97 = +47⋅64
Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1
Somit 47⋅64 = 1 mod 97
47 ist also das Inverse von 64 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
