Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11997 - 5997) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11997 - 5997) mod 6 ≡ (11997 mod 6 - 5997 mod 6) mod 6.
11997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
5997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997
= 6000
Somit gilt:
(11997 - 5997) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 44) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 44) mod 3 ≡ (85 mod 3 ⋅ 44 mod 3) mod 3.
85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.
44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 44) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22116 mod 397.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 221 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2211=221
2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 10 mod 397
4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 397
8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 75 mod 397
16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 67 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 289229 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:
229 = 128+64+32+4+1
1: 2891=289
2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 16 mod 293
4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 293
8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 197 mod 293
16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 133 mod 293
32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 109 mod 293
64: 28964=28932+32=28932⋅28932 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 161 mod 293
128: 289128=28964+64=28964⋅28964 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 137 mod 293
289229
= 289128+64+32+4+1
= 289128⋅28964⋅28932⋅2894⋅2891
≡ 137 ⋅ 161 ⋅ 109 ⋅ 256 ⋅ 289 mod 293
≡ 22057 ⋅ 109 ⋅ 256 ⋅ 289 mod 293 ≡ 82 ⋅ 109 ⋅ 256 ⋅ 289 mod 293
≡ 8938 ⋅ 256 ⋅ 289 mod 293 ≡ 148 ⋅ 256 ⋅ 289 mod 293
≡ 37888 ⋅ 289 mod 293 ≡ 91 ⋅ 289 mod 293
≡ 26299 mod 293 ≡ 222 mod 293
Es gilt also: 289229 ≡ 222 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30
| =>83 | = 2⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 83-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +36⋅30
Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1
Somit 36⋅30 = 1 mod 83
36 ist also das Inverse von 30 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
