Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (348 - 217) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(348 - 217) mod 7 ≡ (348 mod 7 - 217 mod 7) mod 7.

348 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 348 = 350-2 = 7 ⋅ 50 -2 = 7 ⋅ 50 - 7 + 5.

217 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 217 = 210+7 = 7 ⋅ 30 +7.

Somit gilt:

(348 - 217) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 45) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 45) mod 6 ≡ (95 mod 6 ⋅ 45 mod 6) mod 6.

95 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 15 ⋅ 6 + 5 ist.

45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 45) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24032 mod 419.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2401=240

2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 197 mod 419

4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 261 mod 419

8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 243 mod 419

16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 389 mod 419

32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 62 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11566 mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:

66 = 64+2

1: 1151=115

2: 1152=1151+1=1151⋅1151 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 40 mod 293

4: 1154=1152+2=1152⋅1152 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 135 mod 293

8: 1158=1154+4=1154⋅1154 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 59 mod 293

16: 11516=1158+8=1158⋅1158 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 258 mod 293

32: 11532=11516+16=11516⋅11516 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 53 mod 293

64: 11564=11532+32=11532⋅11532 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 172 mod 293

11566

= 11564+2

= 11564⋅1152

172 ⋅ 40 mod 293
6880 mod 293 ≡ 141 mod 293

Es gilt also: 11566 ≡ 141 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.

Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65

=>101 = 1⋅65 + 36
=>65 = 1⋅36 + 29
=>36 = 1⋅29 + 7
=>29 = 4⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-4⋅7
7= 36-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29)
= -4⋅36 +5⋅ 29 (=1)
29= 65-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36)
= 5⋅65 -9⋅ 36 (=1)
36= 101-1⋅65 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65)
= -9⋅101 +14⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +14⋅65

Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1

Somit 14⋅65 = 1 mod 101

14 ist also das Inverse von 65 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.