Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(449 - 8997) mod 9 ≡ (449 mod 9 - 8997 mod 9) mod 9.

449 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 449 = 450-1 = 9 ⋅ 50 -1 = 9 ⋅ 50 - 9 + 8.

8997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 9 ⋅ 1000 -3 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 6.

Somit gilt:

(449 - 8997) mod 9 ≡ (8 - 6) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 22) mod 3 ≡ (38 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 22) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 706¹=706

2: 706²=706¹⁺¹=706¹⋅706¹ ≡ 706⋅706=498436 ≡ 330 mod 757

4: 706⁴=706²⁺²=706²⋅706² ≡ 330⋅330=108900 ≡ 649 mod 757

8: 706⁸=706⁴⁺⁴=706⁴⋅706⁴ ≡ 649⋅649=421201 ≡ 309 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

417²³⁰

= 417^{128+64+32+4+2}

= 417¹²⁸⋅417⁶⁴⋅417³²⋅417⁴⋅417²

≡ 409 ⋅ 688 ⋅ 211 ⋅ 566 ⋅ 95 mod 769
≡ 281392 ⋅ 211 ⋅ 566 ⋅ 95 mod 769 ≡ 707 ⋅ 211 ⋅ 566 ⋅ 95 mod 769
≡ 149177 ⋅ 566 ⋅ 95 mod 769 ≡ 760 ⋅ 566 ⋅ 95 mod 769
≡ 430160 ⋅ 95 mod 769 ≡ 289 ⋅ 95 mod 769
≡ 27455 mod 769 ≡ 540 mod 769

Es gilt also: 417²³⁰ ≡ 540 mod 769

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76

=>89	= 1⋅76 + 13
=>76	= 5⋅13 + 11
=>13	= 1⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,76)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 76-5⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13) = -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1)
13= 89-1⋅76	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76) = 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1)

Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +41⋅76

Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1

Somit 41⋅76 = 1 mod 89

41 ist also das Inverse von 76 mod 89