Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 - 42) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 42) mod 4 ≡ (12000 mod 4 - 42 mod 4) mod 4.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40+2 = 4 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(12000 - 42) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 97) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 97) mod 11 ≡ (16 mod 11 ⋅ 97 mod 11) mod 11.

16 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 11 + 5 = 1 ⋅ 11 + 5 ist.

97 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 88 + 9 = 8 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 97) mod 11 ≡ (5 ⋅ 9) mod 11 ≡ 45 mod 11 ≡ 1 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 161128 mod 449.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 161 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1611=161

2: 1612=1611+1=1611⋅1611 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 328 mod 449

4: 1614=1612+2=1612⋅1612 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 273 mod 449

8: 1618=1614+4=1614⋅1614 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 444 mod 449

16: 16116=1618+8=1618⋅1618 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449

32: 16132=16116+16=16116⋅16116 ≡ 25⋅25=625 ≡ 176 mod 449

64: 16164=16132+32=16132⋅16132 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 444 mod 449

128: 161128=16164+64=16164⋅16164 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 315249 mod 887.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

1: 3151=315

2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 768 mod 887

4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 856 mod 887

8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 74 mod 887

16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 154 mod 887

32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 654 mod 887

64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 182 mod 887

128: 315128=31564+64=31564⋅31564 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 305 mod 887

315249

= 315128+64+32+16+8+1

= 315128⋅31564⋅31532⋅31516⋅3158⋅3151

305 ⋅ 182 ⋅ 654 ⋅ 154 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887
55510 ⋅ 654 ⋅ 154 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887 ≡ 516 ⋅ 654 ⋅ 154 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887
337464 ⋅ 154 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887 ≡ 404 ⋅ 154 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887
62216 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887 ≡ 126 ⋅ 74 ⋅ 315 mod 887
9324 ⋅ 315 mod 887 ≡ 454 ⋅ 315 mod 887
143010 mod 887 ≡ 203 mod 887

Es gilt also: 315249 ≡ 203 mod 887

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61 = 3⋅18 + 7
=>18 = 2⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7)
= 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18)
= -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.