Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (705 + 278) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(705 + 278) mod 7 ≡ (705 mod 7 + 278 mod 7) mod 7.

705 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 705 = 700+5 = 7 ⋅ 100 +5.

278 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278 = 280-2 = 7 ⋅ 40 -2 = 7 ⋅ 40 - 7 + 5.

Somit gilt:

(705 + 278) mod 7 ≡ (5 + 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 84) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 84) mod 9 ≡ (53 mod 9 ⋅ 84 mod 9) mod 9.

53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.

84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 81 + 3 = 9 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 84) mod 9 ≡ (8 ⋅ 3) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33432 mod 433.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 334 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3341=334

2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 275 mod 433

4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 283 mod 433

8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 417 mod 433

16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 256 mod 433

32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 153 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 235180 mod 281.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:

180 = 128+32+16+4

1: 2351=235

2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 149 mod 281

4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 2 mod 281

8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 281

16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 281

32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 281

64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 63 mod 281

128: 235128=23564+64=23564⋅23564 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 35 mod 281

235180

= 235128+32+16+4

= 235128⋅23532⋅23516⋅2354

≡ 35 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 2 mod 281
≡ 8960 ⋅ 16 ⋅ 2 mod 281 ≡ 249 ⋅ 16 ⋅ 2 mod 281
≡ 3984 ⋅ 2 mod 281 ≡ 50 ⋅ 2 mod 281
≡ 100 mod 281

Es gilt also: 235180 ≡ 100 mod 281

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63

=>71 = 1⋅63 + 8
=>63 = 7⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 63-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8)
= -1⋅63 +8⋅ 8 (=1)
8= 71-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63)
= 8⋅71 -9⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63

oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅71 = -9⋅63

-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63

-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1

(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1

62⋅63 = 55⋅71 + 1

Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1

Somit 62⋅63 = 1 mod 71

62 ist also das Inverse von 63 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.