Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1195 + 301) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1195 + 301) mod 6 ≡ (1195 mod 6 + 301 mod 6) mod 6.
1195 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1195
= 1200
301 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
Somit gilt:
(1195 + 301) mod 6 ≡ (1 + 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 67) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 67) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 67 mod 8) mod 8.
33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.
67 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 8 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 67) mod 8 ≡ (1 ⋅ 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 84116 mod 947.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 841 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8411=841
2: 8412=8411+1=8411⋅8411 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 819 mod 947
4: 8414=8412+2=8412⋅8412 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 285 mod 947
8: 8418=8414+4=8414⋅8414 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 730 mod 947
16: 84116=8418+8=8418⋅8418 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 686 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26161 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 2611=261
2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 227 mod 409
4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 404 mod 409
8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 25 mod 409
16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 25⋅25=625 ≡ 216 mod 409
32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 30 mod 409
26161
= 26132+16+8+4+1
= 26132⋅26116⋅2618⋅2614⋅2611
≡ 30 ⋅ 216 ⋅ 25 ⋅ 404 ⋅ 261 mod 409
≡ 6480 ⋅ 25 ⋅ 404 ⋅ 261 mod 409 ≡ 345 ⋅ 25 ⋅ 404 ⋅ 261 mod 409
≡ 8625 ⋅ 404 ⋅ 261 mod 409 ≡ 36 ⋅ 404 ⋅ 261 mod 409
≡ 14544 ⋅ 261 mod 409 ≡ 229 ⋅ 261 mod 409
≡ 59769 mod 409 ≡ 55 mod 409
Es gilt also: 26161 ≡ 55 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75
| =>83 | = 1⋅75 + 8 |
| =>75 | = 9⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 75-9⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8) = 3⋅75 -28⋅ 8 (=1) |
| 8= 83-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75) = -28⋅83 +31⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75
oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅83 = +31⋅75
Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1
Somit 31⋅75 = 1 mod 83
31 ist also das Inverse von 75 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
