Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2393 - 4003) mod 8 ≡ (2393 mod 8 - 4003 mod 8) mod 8.

2393 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2393 = 2400-7 = 8 ⋅ 300 -7 = 8 ⋅ 300 - 8 + 1.

4003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003 = 4000+3 = 8 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(2393 - 4003) mod 8 ≡ (1 - 3) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 53) mod 5 ≡ (63 mod 5 ⋅ 53 mod 5) mod 5.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 53) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 243¹=243

2: 243²=243¹⁺¹=243¹⋅243¹ ≡ 243⋅243=59049 ≡ 498 mod 673

4: 243⁴=243²⁺²=243²⋅243² ≡ 498⋅498=248004 ≡ 340 mod 673

8: 243⁸=243⁴⁺⁴=243⁴⋅243⁴ ≡ 340⋅340=115600 ≡ 517 mod 673

16: 243¹⁶=243⁸⁺⁸=243⁸⋅243⁸ ≡ 517⋅517=267289 ≡ 108 mod 673

32: 243³²=243¹⁶⁺¹⁶=243¹⁶⋅243¹⁶ ≡ 108⋅108=11664 ≡ 223 mod 673

64: 243⁶⁴=243³²⁺³²=243³²⋅243³² ≡ 223⋅223=49729 ≡ 600 mod 673

128: 243¹²⁸=243⁶⁴⁺⁶⁴=243⁶⁴⋅243⁶⁴ ≡ 600⋅600=360000 ≡ 618 mod 673

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:

85 = 64+16+4+1

640⁸⁵

= 640^64+16+4+1

= 640⁶⁴⋅640¹⁶⋅640⁴⋅640¹

≡ 595 ⋅ 443 ⋅ 81 ⋅ 640 mod 643
≡ 263585 ⋅ 81 ⋅ 640 mod 643 ≡ 598 ⋅ 81 ⋅ 640 mod 643
≡ 48438 ⋅ 640 mod 643 ≡ 213 ⋅ 640 mod 643
≡ 136320 mod 643 ≡ 4 mod 643

Es gilt also: 640⁸⁵ ≡ 4 mod 643

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

=>97	= 1⋅78 + 19
=>78	= 4⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 78-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1)
19= 97-1⋅78	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78) = -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -46⋅78

-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78

-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1

(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1

51⋅78 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1

Somit 51⋅78 = 1 mod 97

51 ist also das Inverse von 78 mod 97