Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(235 - 3000) mod 6 ≡ (235 mod 6 - 3000 mod 6) mod 6.

235 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 235 = 240-5 = 6 ⋅ 40 -5 = 6 ⋅ 40 - 6 + 1.

3000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 6 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(235 - 3000) mod 6 ≡ (1 - 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 78) mod 5 ≡ (93 mod 5 ⋅ 78 mod 5) mod 5.

93 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 18 ⋅ 5 + 3 ist.

78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 78) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 248¹=248

2: 248²=248¹⁺¹=248¹⋅248¹ ≡ 248⋅248=61504 ≡ 237 mod 311

4: 248⁴=248²⁺²=248²⋅248² ≡ 237⋅237=56169 ≡ 189 mod 311

8: 248⁸=248⁴⁺⁴=248⁴⋅248⁴ ≡ 189⋅189=35721 ≡ 267 mod 311

16: 248¹⁶=248⁸⁺⁸=248⁸⋅248⁸ ≡ 267⋅267=71289 ≡ 70 mod 311

32: 248³²=248¹⁶⁺¹⁶=248¹⁶⋅248¹⁶ ≡ 70⋅70=4900 ≡ 235 mod 311

64: 248⁶⁴=248³²⁺³²=248³²⋅248³² ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:

205 = 128+64+8+4+1

581²⁰⁵

= 581^128+64+8+4+1

= 581¹²⁸⋅581⁶⁴⋅581⁸⋅581⁴⋅581¹

≡ 286 ⋅ 463 ⋅ 595 ⋅ 543 ⋅ 581 mod 881
≡ 132418 ⋅ 595 ⋅ 543 ⋅ 581 mod 881 ≡ 268 ⋅ 595 ⋅ 543 ⋅ 581 mod 881
≡ 159460 ⋅ 543 ⋅ 581 mod 881 ≡ 880 ⋅ 543 ⋅ 581 mod 881
≡ 477840 ⋅ 581 mod 881 ≡ 338 ⋅ 581 mod 881
≡ 196378 mod 881 ≡ 796 mod 881

Es gilt also: 581²⁰⁵ ≡ 796 mod 881

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41

=>101	= 2⋅41 + 19
=>41	= 2⋅19 + 3
=>19	= 6⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19) = 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-2⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41) = -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41) = 13⋅101 -32⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -32⋅41

-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41

-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1

(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1

69⋅41 = 28⋅101 + 1

Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1

Somit 69⋅41 = 1 mod 101

69 ist also das Inverse von 41 mod 101