Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24003 - 1797) mod 6 ≡ (24003 mod 6 - 1797 mod 6) mod 6.

24003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003 = 24000+3 = 6 ⋅ 4000 +3.

1797 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 6 ⋅ 300 -3 = 6 ⋅ 300 - 6 + 3.

Somit gilt:

(24003 - 1797) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 40) mod 4 ≡ (94 mod 4 ⋅ 40 mod 4) mod 4.

94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 40) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 322¹=322

2: 322²=322¹⁺¹=322¹⋅322¹ ≡ 322⋅322=103684 ≡ 461 mod 947

4: 322⁴=322²⁺²=322²⋅322² ≡ 461⋅461=212521 ≡ 393 mod 947

8: 322⁸=322⁴⁺⁴=322⁴⋅322⁴ ≡ 393⋅393=154449 ≡ 88 mod 947

16: 322¹⁶=322⁸⁺⁸=322⁸⋅322⁸ ≡ 88⋅88=7744 ≡ 168 mod 947

32: 322³²=322¹⁶⁺¹⁶=322¹⁶⋅322¹⁶ ≡ 168⋅168=28224 ≡ 761 mod 947

64: 322⁶⁴=322³²⁺³²=322³²⋅322³² ≡ 761⋅761=579121 ≡ 504 mod 947

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:

107 = 64+32+8+2+1

436¹⁰⁷

= 436^64+32+8+2+1

= 436⁶⁴⋅436³²⋅436⁸⋅436²⋅436¹

≡ 527 ⋅ 494 ⋅ 72 ⋅ 790 ⋅ 436 mod 809
≡ 260338 ⋅ 72 ⋅ 790 ⋅ 436 mod 809 ≡ 649 ⋅ 72 ⋅ 790 ⋅ 436 mod 809
≡ 46728 ⋅ 790 ⋅ 436 mod 809 ≡ 615 ⋅ 790 ⋅ 436 mod 809
≡ 485850 ⋅ 436 mod 809 ≡ 450 ⋅ 436 mod 809
≡ 196200 mod 809 ≡ 422 mod 809

Es gilt also: 436¹⁰⁷ ≡ 422 mod 809

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73	= 1⋅43 + 30
=>43	= 1⋅30 + 13
=>30	= 2⋅13 + 4
=>13	= 3⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13) = 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30) = -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43) = 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73