Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (116 - 801) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(116 - 801) mod 4 ≡ (116 mod 4 - 801 mod 4) mod 4.
116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116
= 120
801 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 801
= 800
Somit gilt:
(116 - 801) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 58) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 58) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 58 mod 3) mod 3.
43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 58) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50916 mod 577.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 509 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5091=509
2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 8 mod 577
4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 577
8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 57 mod 577
16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 364 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 481102 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 4811=481
2: 4812=4811+1=4811⋅4811 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 636 mod 839
4: 4814=4812+2=4812⋅4812 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 98 mod 839
8: 4818=4814+4=4814⋅4814 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 375 mod 839
16: 48116=4818+8=4818⋅4818 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 512 mod 839
32: 48132=48116+16=48116⋅48116 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 376 mod 839
64: 48164=48132+32=48132⋅48132 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 424 mod 839
481102
= 48164+32+4+2
= 48164⋅48132⋅4814⋅4812
≡ 424 ⋅ 376 ⋅ 98 ⋅ 636 mod 839
≡ 159424 ⋅ 98 ⋅ 636 mod 839 ≡ 14 ⋅ 98 ⋅ 636 mod 839
≡ 1372 ⋅ 636 mod 839 ≡ 533 ⋅ 636 mod 839
≡ 338988 mod 839 ≡ 32 mod 839
Es gilt also: 481102 ≡ 32 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29
| =>53 | = 1⋅29 + 24 |
| =>29 | = 1⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 29-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1) |
| 24= 53-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29
oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅53 = +11⋅29
Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1
Somit 11⋅29 = 1 mod 53
11 ist also das Inverse von 29 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
