Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (362 - 45002) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(362 - 45002) mod 9 ≡ (362 mod 9 - 45002 mod 9) mod 9.
362 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 362
= 360
45002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45002
= 45000
Somit gilt:
(362 - 45002) mod 9 ≡ (2 - 2) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 84) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 84) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.
73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.
84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 84) mod 8 ≡ (1 ⋅ 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 193128 mod 271.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 193 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1931=193
2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 122 mod 271
4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 250 mod 271
8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 170 mod 271
16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 174 mod 271
32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 195 mod 271
64: 19364=19332+32=19332⋅19332 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 85 mod 271
128: 193128=19364+64=19364⋅19364 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 179 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 86764 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 8671=867
2: 8672=8671+1=8671⋅8671 ≡ 867⋅867=751689 ≡ 128 mod 929
4: 8674=8672+2=8672⋅8672 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 591 mod 929
8: 8678=8674+4=8674⋅8674 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 906 mod 929
16: 86716=8678+8=8678⋅8678 ≡ 906⋅906=820836 ≡ 529 mod 929
32: 86732=86716+16=86716⋅86716 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 212 mod 929
64: 86764=86732+32=86732⋅86732 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 352 mod 929
86764
= 86764
= 86764
≡ 352 mod 929
Es gilt also: 86764 ≡ 352 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.
Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77
| =>89 | = 1⋅77 + 12 |
| =>77 | = 6⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,77)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 77-6⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1) |
| 12= 89-1⋅77 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77
oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅89 = +37⋅77
Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1
Somit 37⋅77 = 1 mod 89
37 ist also das Inverse von 77 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
