Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (176 - 27008) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(176 - 27008) mod 9 ≡ (176 mod 9 - 27008 mod 9) mod 9.
176 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176
= 180
27008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27008
= 27000
Somit gilt:
(176 - 27008) mod 9 ≡ (5 - 8) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 97) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 97) mod 6 ≡ (16 mod 6 ⋅ 97 mod 6) mod 6.
16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.
97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 97) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54816 mod 967.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 548 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5481=548
2: 5482=5481+1=5481⋅5481 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 534 mod 967
4: 5484=5482+2=5482⋅5482 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 858 mod 967
8: 5488=5484+4=5484⋅5484 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 277 mod 967
16: 54816=5488+8=5488⋅5488 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 336 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 283251 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 83 mod 367
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 283 mod 367
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 83 mod 367
16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 283 mod 367
32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 83 mod 367
64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 283 mod 367
128: 283128=28364+64=28364⋅28364 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 83 mod 367
283251
= 283128+64+32+16+8+2+1
= 283128⋅28364⋅28332⋅28316⋅2838⋅2832⋅2831
≡ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367
≡ 23489 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367 ≡ 1 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367
≡ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367
≡ 23489 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367 ≡ 1 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367
≡ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367
≡ 6889 ⋅ 283 mod 367 ≡ 283 ⋅ 283 mod 367
≡ 80089 mod 367 ≡ 83 mod 367
Es gilt also: 283251 ≡ 83 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 67
| =>101 | = 1⋅67 + 34 |
| =>67 | = 1⋅34 + 33 |
| =>34 | = 1⋅33 + 1 |
| =>33 | = 33⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-1⋅33 | |||
| 33= 67-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -1⋅(67 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -1⋅67 +1⋅ 34) = -1⋅67 +2⋅ 34 (=1) |
| 34= 101-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +2⋅(101 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +2⋅101 -2⋅ 67) = 2⋅101 -3⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,67)=1 = 2⋅101 -3⋅67
oder wenn man 2⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅101 = -3⋅67
-3⋅67 = -2⋅101 + 1 |+101⋅67
-3⋅67 + 101⋅67 = -2⋅101 + 101⋅67 + 1
(-3 + 101) ⋅ 67 = (-2 + 67) ⋅ 101 + 1
98⋅67 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 98⋅67 = 65⋅101 +1
Somit 98⋅67 = 1 mod 101
98 ist also das Inverse von 67 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
