Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 - 1200) mod 3 ≡ (61 mod 3 - 1200 mod 3) mod 3.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60+1 = 3 ⋅ 20 +1.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(61 - 1200) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 44) mod 9 ≡ (84 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.

84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 81 + 3 = 9 ⋅ 9 + 3 ist.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 44) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 504¹=504

2: 504²=504¹⁺¹=504¹⋅504¹ ≡ 504⋅504=254016 ≡ 192 mod 661

4: 504⁴=504²⁺²=504²⋅504² ≡ 192⋅192=36864 ≡ 509 mod 661

8: 504⁸=504⁴⁺⁴=504⁴⋅504⁴ ≡ 509⋅509=259081 ≡ 630 mod 661

16: 504¹⁶=504⁸⁺⁸=504⁸⋅504⁸ ≡ 630⋅630=396900 ≡ 300 mod 661

32: 504³²=504¹⁶⁺¹⁶=504¹⁶⋅504¹⁶ ≡ 300⋅300=90000 ≡ 104 mod 661

64: 504⁶⁴=504³²⁺³²=504³²⋅504³² ≡ 104⋅104=10816 ≡ 240 mod 661

128: 504¹²⁸=504⁶⁴⁺⁶⁴=504⁶⁴⋅504⁶⁴ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 93 mod 661

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

439⁹⁵

= 439^{64+16+8+4+2+1}

= 439⁶⁴⋅439¹⁶⋅439⁸⋅439⁴⋅439²⋅439¹

≡ 120 ⋅ 249 ⋅ 343 ⋅ 179 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587
≡ 29880 ⋅ 343 ⋅ 179 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587 ≡ 530 ⋅ 343 ⋅ 179 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587
≡ 181790 ⋅ 179 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587 ≡ 407 ⋅ 179 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587
≡ 72853 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587 ≡ 65 ⋅ 185 ⋅ 439 mod 587
≡ 12025 ⋅ 439 mod 587 ≡ 285 ⋅ 439 mod 587
≡ 125115 mod 587 ≡ 84 mod 587

Es gilt also: 439⁹⁵ ≡ 84 mod 587

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 38

=>89	= 2⋅38 + 13
=>38	= 2⋅13 + 12
=>13	= 1⋅12 + 1
=>12	= 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13) = 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 89-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +3⋅(89 -2⋅ 38) = -1⋅38 +3⋅89 -6⋅ 38) = 3⋅89 -7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(89,38)=1 = 3⋅89 -7⋅38

oder wenn man 3⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅89 = -7⋅38

-7⋅38 = -3⋅89 + 1 |+89⋅38

-7⋅38 + 89⋅38 = -3⋅89 + 89⋅38 + 1

(-7 + 89) ⋅ 38 = (-3 + 38) ⋅ 89 + 1

82⋅38 = 35⋅89 + 1

Es gilt also: 82⋅38 = 35⋅89 +1

Somit 82⋅38 = 1 mod 89

82 ist also das Inverse von 38 mod 89