Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 + 1502) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 + 1502) mod 3 ≡ (88 mod 3 + 1502 mod 3) mod 3.
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502
= 1500
Somit gilt:
(88 + 1502) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 68) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 68) mod 4 ≡ (28 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.
28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.
68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 68) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 255128 mod 347.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2551=255
2: 2552=2551+1=2551⋅2551 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 136 mod 347
4: 2554=2552+2=2552⋅2552 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 105 mod 347
8: 2558=2554+4=2554⋅2554 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 268 mod 347
16: 25516=2558+8=2558⋅2558 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 342 mod 347
32: 25532=25516+16=25516⋅25516 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 25 mod 347
64: 25564=25532+32=25532⋅25532 ≡ 25⋅25=625 ≡ 278 mod 347
128: 255128=25564+64=25564⋅25564 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 250 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 463193 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 4631=463
2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 773 mod 797
4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 576 mod 797
8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 224 mod 797
16: 46316=4638+8=4638⋅4638 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 762 mod 797
32: 46332=46316+16=46316⋅46316 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 428 mod 797
64: 46364=46332+32=46332⋅46332 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 671 mod 797
128: 463128=46364+64=46364⋅46364 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 733 mod 797
463193
= 463128+64+1
= 463128⋅46364⋅4631
≡ 733 ⋅ 671 ⋅ 463 mod 797
≡ 491843 ⋅ 463 mod 797 ≡ 94 ⋅ 463 mod 797
≡ 43522 mod 797 ≡ 484 mod 797
Es gilt also: 463193 ≡ 484 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39
| =>89 | = 2⋅39 + 11 |
| =>39 | = 3⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 39-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11) = 2⋅39 -7⋅ 11 (=1) |
| 11= 89-2⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39)
= 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39) = -7⋅89 +16⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +16⋅39
Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1
Somit 16⋅39 = 1 mod 89
16 ist also das Inverse von 39 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
