Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2495 - 2004) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2495 - 2004) mod 5 ≡ (2495 mod 5 - 2004 mod 5) mod 5.

2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495 = 2400+95 = 5 ⋅ 480 +95.

2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 5 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(2495 - 2004) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 48) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 48) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.

19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.

48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 48) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33016 mod 601.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 330 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3301=330

2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 119 mod 601

4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 338 mod 601

8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 54 mod 601

16: 33016=3308+8=3308⋅3308 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 512 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 205197 mod 631.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:

197 = 128+64+4+1

1: 2051=205

2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 379 mod 631

4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 404 mod 631

8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 418 mod 631

16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 568 mod 631

32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 183 mod 631

64: 20564=20532+32=20532⋅20532 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 46 mod 631

128: 205128=20564+64=20564⋅20564 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 223 mod 631

205197

= 205128+64+4+1

= 205128⋅20564⋅2054⋅2051

223 ⋅ 46 ⋅ 404 ⋅ 205 mod 631
10258 ⋅ 404 ⋅ 205 mod 631 ≡ 162 ⋅ 404 ⋅ 205 mod 631
65448 ⋅ 205 mod 631 ≡ 455 ⋅ 205 mod 631
93275 mod 631 ≡ 518 mod 631

Es gilt also: 205197 ≡ 518 mod 631

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.

Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64

=>97 = 1⋅64 + 33
=>64 = 1⋅33 + 31
=>33 = 1⋅31 + 2
=>31 = 15⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31)
= -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 64-1⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33)
= 16⋅64 -31⋅ 33 (=1)
33= 97-1⋅64 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64)
= -31⋅97 +47⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64

oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅97 = +47⋅64

Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1

Somit 47⋅64 = 1 mod 97

47 ist also das Inverse von 64 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.