Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3992 + 1604) mod 8 ≡ (3992 mod 8 + 1604 mod 8) mod 8.

3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992 = 4000-8 = 8 ⋅ 500 -8 = 8 ⋅ 500 - 8 + 0.

1604 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 8 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(3992 + 1604) mod 8 ≡ (0 + 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 36) mod 9 ≡ (60 mod 9 ⋅ 36 mod 9) mod 9.

60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.

36 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 4 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 36) mod 9 ≡ (6 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 404¹=404

2: 404²=404¹⁺¹=404¹⋅404¹ ≡ 404⋅404=163216 ≡ 328 mod 617

4: 404⁴=404²⁺²=404²⋅404² ≡ 328⋅328=107584 ≡ 226 mod 617

8: 404⁸=404⁴⁺⁴=404⁴⋅404⁴ ≡ 226⋅226=51076 ≡ 482 mod 617

16: 404¹⁶=404⁸⁺⁸=404⁸⋅404⁸ ≡ 482⋅482=232324 ≡ 332 mod 617

32: 404³²=404¹⁶⁺¹⁶=404¹⁶⋅404¹⁶ ≡ 332⋅332=110224 ≡ 398 mod 617

64: 404⁶⁴=404³²⁺³²=404³²⋅404³² ≡ 398⋅398=158404 ≡ 452 mod 617

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

880⁸⁷

= 880^64+16+4+2+1

= 880⁶⁴⋅880¹⁶⋅880⁴⋅880²⋅880¹

≡ 830 ⋅ 379 ⋅ 356 ⋅ 543 ⋅ 880 mod 929
≡ 314570 ⋅ 356 ⋅ 543 ⋅ 880 mod 929 ≡ 568 ⋅ 356 ⋅ 543 ⋅ 880 mod 929
≡ 202208 ⋅ 543 ⋅ 880 mod 929 ≡ 615 ⋅ 543 ⋅ 880 mod 929
≡ 333945 ⋅ 880 mod 929 ≡ 434 ⋅ 880 mod 929
≡ 381920 mod 929 ≡ 101 mod 929

Es gilt also: 880⁸⁷ ≡ 101 mod 929

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 43

=>101	= 2⋅43 + 15
=>43	= 2⋅15 + 13
=>15	= 1⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅15 +7⋅(43 -2⋅ 15) = -6⋅15 +7⋅43 -14⋅ 15) = 7⋅43 -20⋅ 15 (=1)
15= 101-2⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅43 -20⋅(101 -2⋅ 43) = 7⋅43 -20⋅101 +40⋅ 43) = -20⋅101 +47⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(101,43)=1 = -20⋅101 +47⋅43

oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅101 = +47⋅43

Es gilt also: 47⋅43 = 20⋅101 +1

Somit 47⋅43 = 1 mod 101

47 ist also das Inverse von 43 mod 101