Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (603 - 29) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(603 - 29) mod 3 ≡ (603 mod 3 - 29 mod 3) mod 3.
603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603
= 600
29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29
= 30
Somit gilt:
(603 - 29) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 60) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 60) mod 9 ≡ (26 mod 9 ⋅ 60 mod 9) mod 9.
26 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 18 + 8 = 2 ⋅ 9 + 8 ist.
60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 60) mod 9 ≡ (8 ⋅ 6) mod 9 ≡ 48 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33232 mod 619.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 332 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3321=332
2: 3322=3321+1=3321⋅3321 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 42 mod 619
4: 3324=3322+2=3322⋅3322 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 526 mod 619
8: 3328=3324+4=3324⋅3324 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 602 mod 619
16: 33216=3328+8=3328⋅3328 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 289 mod 619
32: 33232=33216+16=33216⋅33216 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 575 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48466 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 4841=484
2: 4842=4841+1=4841⋅4841 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 888 mod 941
4: 4844=4842+2=4842⋅4842 ≡ 888⋅888=788544 ≡ 927 mod 941
8: 4848=4844+4=4844⋅4844 ≡ 927⋅927=859329 ≡ 196 mod 941
16: 48416=4848+8=4848⋅4848 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 776 mod 941
32: 48432=48416+16=48416⋅48416 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 877 mod 941
64: 48464=48432+32=48432⋅48432 ≡ 877⋅877=769129 ≡ 332 mod 941
48466
= 48464+2
= 48464⋅4842
≡ 332 ⋅ 888 mod 941
≡ 294816 mod 941 ≡ 283 mod 941
Es gilt also: 48466 ≡ 283 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42
| =>97 | = 2⋅42 + 13 |
| =>42 | = 3⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 42-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 97-2⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42) = 13⋅97 -30⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -30⋅42
-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42
-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1
(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1
67⋅42 = 29⋅97 + 1
Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1
Somit 67⋅42 = 1 mod 97
67 ist also das Inverse von 42 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
