Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12003 - 200) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 - 200) mod 4 ≡ (12003 mod 4 - 200 mod 4) mod 4.

12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 4 ⋅ 3000 +3.

200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 4 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(12003 - 200) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 42) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 42) mod 5 ≡ (78 mod 5 ⋅ 42 mod 5) mod 5.

78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.

42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 42) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 68732 mod 953.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 687 -> x
2. mod(x²,953) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6871=687

2: 6872=6871+1=6871⋅6871 ≡ 687⋅687=471969 ≡ 234 mod 953

4: 6874=6872+2=6872⋅6872 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 435 mod 953

8: 6878=6874+4=6874⋅6874 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 531 mod 953

16: 68716=6878+8=6878⋅6878 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 826 mod 953

32: 68732=68716+16=68716⋅68716 ≡ 826⋅826=682276 ≡ 881 mod 953

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 649176 mod 947.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:

176 = 128+32+16

1: 6491=649

2: 6492=6491+1=6491⋅6491 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 733 mod 947

4: 6494=6492+2=6492⋅6492 ≡ 733⋅733=537289 ≡ 340 mod 947

8: 6498=6494+4=6494⋅6494 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 66 mod 947

16: 64916=6498+8=6498⋅6498 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 568 mod 947

32: 64932=64916+16=64916⋅64916 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 644 mod 947

64: 64964=64932+32=64932⋅64932 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 897 mod 947

128: 649128=64964+64=64964⋅64964 ≡ 897⋅897=804609 ≡ 606 mod 947

649176

= 649128+32+16

= 649128⋅64932⋅64916

606 ⋅ 644 ⋅ 568 mod 947
390264 ⋅ 568 mod 947 ≡ 100 ⋅ 568 mod 947
56800 mod 947 ≡ 927 mod 947

Es gilt also: 649176 ≡ 927 mod 947

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36

=>67 = 1⋅36 + 31
=>36 = 1⋅31 + 5
=>31 = 6⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-6⋅5
5= 36-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31)
= -6⋅36 +7⋅ 31 (=1)
31= 67-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36)
= 7⋅67 -13⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36

oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅67 = -13⋅36

-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36

-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1

(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1

54⋅36 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1

Somit 54⋅36 = 1 mod 67

54 ist also das Inverse von 36 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.