Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18006 + 11998) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18006 + 11998) mod 6 ≡ (18006 mod 6 + 11998 mod 6) mod 6.
18006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18006
= 18000
11998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 12000
Somit gilt:
(18006 + 11998) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 49) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 49) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 49 mod 10) mod 10.
88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.
49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 49) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2818 mod 349.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 87 mod 349
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 240 mod 349
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 15 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22771 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 2271=227
2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 214 mod 311
4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 79 mod 311
8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 21 mod 311
16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 21⋅21=441 ≡ 130 mod 311
32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 106 mod 311
64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 40 mod 311
22771
= 22764+4+2+1
= 22764⋅2274⋅2272⋅2271
≡ 40 ⋅ 79 ⋅ 214 ⋅ 227 mod 311
≡ 3160 ⋅ 214 ⋅ 227 mod 311 ≡ 50 ⋅ 214 ⋅ 227 mod 311
≡ 10700 ⋅ 227 mod 311 ≡ 126 ⋅ 227 mod 311
≡ 28602 mod 311 ≡ 301 mod 311
Es gilt also: 22771 ≡ 301 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
