Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1804 - 241) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1804 - 241) mod 6 ≡ (1804 mod 6 - 241 mod 6) mod 6.
1804 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1804
= 1800
241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241
= 240
Somit gilt:
(1804 - 241) mod 6 ≡ (4 - 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 90) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 90) mod 4 ≡ (46 mod 4 ⋅ 90 mod 4) mod 4.
46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.
90 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 22 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 90) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25532 mod 521.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2551=255
2: 2552=2551+1=2551⋅2551 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 421 mod 521
4: 2554=2552+2=2552⋅2552 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 101 mod 521
8: 2558=2554+4=2554⋅2554 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 302 mod 521
16: 25516=2558+8=2558⋅2558 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 29 mod 521
32: 25532=25516+16=25516⋅25516 ≡ 29⋅29=841 ≡ 320 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62169 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 6211=621
2: 6212=6211+1=6211⋅6211 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 575 mod 761
4: 6214=6212+2=6212⋅6212 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 351 mod 761
8: 6218=6214+4=6214⋅6214 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 680 mod 761
16: 62116=6218+8=6218⋅6218 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 473 mod 761
32: 62132=62116+16=62116⋅62116 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 756 mod 761
64: 62164=62132+32=62132⋅62132 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 25 mod 761
62169
= 62164+4+1
= 62164⋅6214⋅6211
≡ 25 ⋅ 351 ⋅ 621 mod 761
≡ 8775 ⋅ 621 mod 761 ≡ 404 ⋅ 621 mod 761
≡ 250884 mod 761 ≡ 515 mod 761
Es gilt also: 62169 ≡ 515 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 87.
Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87
| =>97 | = 1⋅87 + 10 |
| =>87 | = 8⋅10 + 7 |
| =>10 | = 1⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,87)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 10-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 87-8⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10) = 3⋅87 -26⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-1⋅87 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87)
= 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87) = -26⋅97 +29⋅ 87 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87
oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +26⋅97 = +29⋅87
Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1
Somit 29⋅87 = 1 mod 97
29 ist also das Inverse von 87 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
