Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 + 3200) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 + 3200) mod 8 ≡ (82 mod 8 + 3200 mod 8) mod 8.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200
= 3200
Somit gilt:
(82 + 3200) mod 8 ≡ (2 + 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 80) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 80) mod 4 ≡ (57 mod 4 ⋅ 80 mod 4) mod 4.
57 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 14 ⋅ 4 + 1 ist.
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 20 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 80) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17916 mod 419.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 179 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1791=179
2: 1792=1791+1=1791⋅1791 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 197 mod 419
4: 1794=1792+2=1792⋅1792 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 261 mod 419
8: 1798=1794+4=1794⋅1794 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 243 mod 419
16: 17916=1798+8=1798⋅1798 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 389 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 210101 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 101 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 101 an und zerlegen 101 in eine Summer von 2er-Potenzen:
101 = 64+32+4+1
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 57 mod 277
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 202 mod 277
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 85 mod 277
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 23 mod 277
32: 21032=21016+16=21016⋅21016 ≡ 23⋅23=529 ≡ 252 mod 277
64: 21064=21032+32=21032⋅21032 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 71 mod 277
210101
= 21064+32+4+1
= 21064⋅21032⋅2104⋅2101
≡ 71 ⋅ 252 ⋅ 202 ⋅ 210 mod 277
≡ 17892 ⋅ 202 ⋅ 210 mod 277 ≡ 164 ⋅ 202 ⋅ 210 mod 277
≡ 33128 ⋅ 210 mod 277 ≡ 165 ⋅ 210 mod 277
≡ 34650 mod 277 ≡ 25 mod 277
Es gilt also: 210101 ≡ 25 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 40
| =>101 | = 2⋅40 + 21 |
| =>40 | = 1⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 40-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅40 -19⋅(101 -2⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅101 +38⋅ 40) = -19⋅101 +48⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,40)=1 = -19⋅101 +48⋅40
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +48⋅40
Es gilt also: 48⋅40 = 19⋅101 +1
Somit 48⋅40 = 1 mod 101
48 ist also das Inverse von 40 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
