Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (287 + 211) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(287 + 211) mod 7 ≡ (287 mod 7 + 211 mod 7) mod 7.
287 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 287
= 280
211 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 211
= 210
Somit gilt:
(287 + 211) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 37) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 37) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 37 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 37) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4078 mod 613.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 407 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4071=407
2: 4072=4071+1=4071⋅4071 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 139 mod 613
4: 4074=4072+2=4072⋅4072 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 318 mod 613
8: 4078=4074+4=4074⋅4074 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 592 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 997190 mod 1009.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:
190 = 128+32+16+8+4+2
1: 9971=997
2: 9972=9971+1=9971⋅9971 ≡ 997⋅997=994009 ≡ 144 mod 1009
4: 9974=9972+2=9972⋅9972 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 556 mod 1009
8: 9978=9974+4=9974⋅9974 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 382 mod 1009
16: 99716=9978+8=9978⋅9978 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 628 mod 1009
32: 99732=99716+16=99716⋅99716 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 874 mod 1009
64: 99764=99732+32=99732⋅99732 ≡ 874⋅874=763876 ≡ 63 mod 1009
128: 997128=99764+64=99764⋅99764 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 942 mod 1009
997190
= 997128+32+16+8+4+2
= 997128⋅99732⋅99716⋅9978⋅9974⋅9972
≡ 942 ⋅ 874 ⋅ 628 ⋅ 382 ⋅ 556 ⋅ 144 mod 1009
≡ 823308 ⋅ 628 ⋅ 382 ⋅ 556 ⋅ 144 mod 1009 ≡ 973 ⋅ 628 ⋅ 382 ⋅ 556 ⋅ 144 mod 1009
≡ 611044 ⋅ 382 ⋅ 556 ⋅ 144 mod 1009 ≡ 599 ⋅ 382 ⋅ 556 ⋅ 144 mod 1009
≡ 228818 ⋅ 556 ⋅ 144 mod 1009 ≡ 784 ⋅ 556 ⋅ 144 mod 1009
≡ 435904 ⋅ 144 mod 1009 ≡ 16 ⋅ 144 mod 1009
≡ 2304 mod 1009 ≡ 286 mod 1009
Es gilt also: 997190 ≡ 286 mod 1009
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40
| =>89 | = 2⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40) = 9⋅89 -20⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -20⋅40
-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40
-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1
(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1
69⋅40 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1
Somit 69⋅40 = 1 mod 89
69 ist also das Inverse von 40 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
