Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4000 - 1599) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4000 - 1599) mod 4 ≡ (4000 mod 4 - 1599 mod 4) mod 4.
4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
1599 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1599
= 1500
Somit gilt:
(4000 - 1599) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 17) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 17) mod 10 ≡ (53 mod 10 ⋅ 17 mod 10) mod 10.
53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.
17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 17) mod 10 ≡ (3 ⋅ 7) mod 10 ≡ 21 mod 10 ≡ 1 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 185128 mod 347.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 185 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1851=185
2: 1852=1851+1=1851⋅1851 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 219 mod 347
4: 1854=1852+2=1852⋅1852 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 75 mod 347
8: 1858=1854+4=1854⋅1854 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 73 mod 347
16: 18516=1858+8=1858⋅1858 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 124 mod 347
32: 18532=18516+16=18516⋅18516 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 108 mod 347
64: 18564=18532+32=18532⋅18532 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 213 mod 347
128: 185128=18564+64=18564⋅18564 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 259 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57984 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 5791=579
2: 5792=5791+1=5791⋅5791 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 64 mod 587
4: 5794=5792+2=5792⋅5792 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 574 mod 587
8: 5798=5794+4=5794⋅5794 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 169 mod 587
16: 57916=5798+8=5798⋅5798 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 385 mod 587
32: 57932=57916+16=57916⋅57916 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 301 mod 587
64: 57964=57932+32=57932⋅57932 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 203 mod 587
57984
= 57964+16+4
= 57964⋅57916⋅5794
≡ 203 ⋅ 385 ⋅ 574 mod 587
≡ 78155 ⋅ 574 mod 587 ≡ 84 ⋅ 574 mod 587
≡ 48216 mod 587 ≡ 82 mod 587
Es gilt also: 57984 ≡ 82 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 82
| =>89 | = 1⋅82 + 7 |
| =>82 | = 11⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 82-11⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(82 -11⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅82 -33⋅ 7) = 3⋅82 -35⋅ 7 (=1) |
| 7= 89-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅82 -35⋅(89 -1⋅ 82)
= 3⋅82 -35⋅89 +35⋅ 82) = -35⋅89 +38⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,82)=1 = -35⋅89 +38⋅82
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +38⋅82
Es gilt also: 38⋅82 = 35⋅89 +1
Somit 38⋅82 = 1 mod 89
38 ist also das Inverse von 82 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
