Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35007 - 2799) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35007 - 2799) mod 7 ≡ (35007 mod 7 - 2799 mod 7) mod 7.
35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007
= 35000
2799 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2799
= 2800
Somit gilt:
(35007 - 2799) mod 7 ≡ (0 - 6) mod 7 ≡ -6 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 63) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 63) mod 5 ≡ (77 mod 5 ⋅ 63 mod 5) mod 5.
77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.
63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 63) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60116 mod 653.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 601 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6011=601
2: 6012=6011+1=6011⋅6011 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 92 mod 653
4: 6014=6012+2=6012⋅6012 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 628 mod 653
8: 6018=6014+4=6014⋅6014 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 625 mod 653
16: 60116=6018+8=6018⋅6018 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 131 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46584 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 4651=465
2: 4652=4651+1=4651⋅4651 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 427 mod 577
4: 4654=4652+2=4652⋅4652 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 574 mod 577
8: 4658=4654+4=4654⋅4654 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 9 mod 577
16: 46516=4658+8=4658⋅4658 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 577
32: 46532=46516+16=46516⋅46516 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 214 mod 577
64: 46564=46532+32=46532⋅46532 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 213 mod 577
46584
= 46564+16+4
= 46564⋅46516⋅4654
≡ 213 ⋅ 81 ⋅ 574 mod 577
≡ 17253 ⋅ 574 mod 577 ≡ 520 ⋅ 574 mod 577
≡ 298480 mod 577 ≡ 171 mod 577
Es gilt also: 46584 ≡ 171 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
