Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16007 + 88) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16007 + 88) mod 8 ≡ (16007 mod 8 + 88 mod 8) mod 8.

16007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16007 = 16000+7 = 8 ⋅ 2000 +7.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80+8 = 8 ⋅ 10 +8.

Somit gilt:

(16007 + 88) mod 8 ≡ (7 + 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 61) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 61) mod 4 ≡ (61 mod 4 ⋅ 61 mod 4) mod 4.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 61) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 309128 mod 557.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 309 -> x
2. mod(x²,557) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3091=309

2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 234 mod 557

4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 170 mod 557

8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 493 mod 557

16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 197 mod 557

32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 376 mod 557

64: 30964=30932+32=30932⋅30932 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 455 mod 557

128: 309128=30964+64=30964⋅30964 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 378 mod 557

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 52575 mod 619.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

1: 5251=525

2: 5252=5251+1=5251⋅5251 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 170 mod 619

4: 5254=5252+2=5252⋅5252 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 426 mod 619

8: 5258=5254+4=5254⋅5254 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 109 mod 619

16: 52516=5258+8=5258⋅5258 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 120 mod 619

32: 52532=52516+16=52516⋅52516 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 163 mod 619

64: 52564=52532+32=52532⋅52532 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 571 mod 619

52575

= 52564+8+2+1

= 52564⋅5258⋅5252⋅5251

571 ⋅ 109 ⋅ 170 ⋅ 525 mod 619
62239 ⋅ 170 ⋅ 525 mod 619 ≡ 339 ⋅ 170 ⋅ 525 mod 619
57630 ⋅ 525 mod 619 ≡ 63 ⋅ 525 mod 619
33075 mod 619 ≡ 268 mod 619

Es gilt also: 52575 ≡ 268 mod 619

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68

=>101 = 1⋅68 + 33
=>68 = 2⋅33 + 2
=>33 = 16⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 33-16⋅2
2= 68-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33)
= -16⋅68 +33⋅ 33 (=1)
33= 101-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68)
= 33⋅101 -49⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -49⋅68

-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68

-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1

(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1

52⋅68 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1

Somit 52⋅68 = 1 mod 101

52 ist also das Inverse von 68 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.