Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (368 + 9007) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(368 + 9007) mod 9 ≡ (368 mod 9 + 9007 mod 9) mod 9.

368 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 368 = 360+8 = 9 ⋅ 40 +8.

9007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9007 = 9000+7 = 9 ⋅ 1000 +7.

Somit gilt:

(368 + 9007) mod 9 ≡ (8 + 7) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 91) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 91) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 91 mod 5) mod 5.

43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 91) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4428 mod 463.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 442 -> x
2. mod(x²,463) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4421=442

2: 4422=4421+1=4421⋅4421 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 441 mod 463

4: 4424=4422+2=4422⋅4422 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 21 mod 463

8: 4428=4424+4=4424⋅4424 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29084 mod 449.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:

84 = 64+16+4

1: 2901=290

2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 137 mod 449

4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 360 mod 449

8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 288 mod 449

16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 328 mod 449

32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 273 mod 449

64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 444 mod 449

29084

= 29064+16+4

= 29064⋅29016⋅2904

444 ⋅ 328 ⋅ 360 mod 449
145632 ⋅ 360 mod 449 ≡ 156 ⋅ 360 mod 449
56160 mod 449 ≡ 35 mod 449

Es gilt also: 29084 ≡ 35 mod 449

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101 = 1⋅52 + 49
=>52 = 1⋅49 + 3
=>49 = 16⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49)
= -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52)
= 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.