Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (362 - 2695) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(362 - 2695) mod 9 ≡ (362 mod 9 - 2695 mod 9) mod 9.

362 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 362 = 360+2 = 9 ⋅ 40 +2.

2695 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2695 = 2700-5 = 9 ⋅ 300 -5 = 9 ⋅ 300 - 9 + 4.

Somit gilt:

(362 - 2695) mod 9 ≡ (2 - 4) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 32) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 32) mod 7 ≡ (86 mod 7 ⋅ 32 mod 7) mod 7.

86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.

32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 32) mod 7 ≡ (2 ⋅ 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4338 mod 967.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4331=433

2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 858 mod 967

4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 277 mod 967

8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 336 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 518164 mod 971.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:

164 = 128+32+4

1: 5181=518

2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 328 mod 971

4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 774 mod 971

8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 940 mod 971

16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 940⋅940=883600 ≡ 961 mod 971

32: 51832=51816+16=51816⋅51816 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 100 mod 971

64: 51864=51832+32=51832⋅51832 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 290 mod 971

128: 518128=51864+64=51864⋅51864 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 594 mod 971

518164

= 518128+32+4

= 518128⋅51832⋅5184

594 ⋅ 100 ⋅ 774 mod 971
59400 ⋅ 774 mod 971 ≡ 169 ⋅ 774 mod 971
130806 mod 971 ≡ 692 mod 971

Es gilt also: 518164 ≡ 692 mod 971

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50

=>73 = 1⋅50 + 23
=>50 = 2⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 50-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23)
= 6⋅50 -13⋅ 23 (=1)
23= 73-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50)
= -13⋅73 +19⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +19⋅50

Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1

Somit 19⋅50 = 1 mod 73

19 ist also das Inverse von 50 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.