Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3997 + 40004) mod 8 ≡ (3997 mod 8 + 40004 mod 8) mod 8.

3997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997 = 4000-3 = 8 ⋅ 500 -3 = 8 ⋅ 500 - 8 + 5.

40004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40004 = 40000+4 = 8 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(3997 + 40004) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 58) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 58 mod 9) mod 9.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 58) mod 9 ≡ (5 ⋅ 4) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 193¹=193

2: 193²=193¹⁺¹=193¹⋅193¹ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 53 mod 547

4: 193⁴=193²⁺²=193²⋅193² ≡ 53⋅53=2809 ≡ 74 mod 547

8: 193⁸=193⁴⁺⁴=193⁴⋅193⁴ ≡ 74⋅74=5476 ≡ 6 mod 547

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

402¹²³

= 402^{64+32+16+8+2+1}

= 402⁶⁴⋅402³²⋅402¹⁶⋅402⁸⋅402²⋅402¹

≡ 53 ⋅ 355 ⋅ 53 ⋅ 355 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409
≡ 18815 ⋅ 53 ⋅ 355 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409 ≡ 1 ⋅ 53 ⋅ 355 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409
≡ 53 ⋅ 355 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409
≡ 18815 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409 ≡ 1 ⋅ 49 ⋅ 402 mod 409
≡ 49 ⋅ 402 mod 409
≡ 19698 mod 409 ≡ 66 mod 409

Es gilt also: 402¹²³ ≡ 66 mod 409

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71	= 1⋅58 + 13
=>58	= 4⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58) = -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71