Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (157 - 3192) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(157 - 3192) mod 8 ≡ (157 mod 8 - 3192 mod 8) mod 8.

157 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 8 ⋅ 20 -3 = 8 ⋅ 20 - 8 + 5.

3192 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3192 = 3200-8 = 8 ⋅ 400 -8 = 8 ⋅ 400 - 8 + 0.

Somit gilt:

(157 - 3192) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 88) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 88) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 88 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

88 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 12 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 88) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28732 mod 433.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 287 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2871=287

2: 2872=2871+1=2871⋅2871 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 99 mod 433

4: 2874=2872+2=2872⋅2872 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 275 mod 433

8: 2878=2874+4=2874⋅2874 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 283 mod 433

16: 28716=2878+8=2878⋅2878 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 417 mod 433

32: 28732=28716+16=28716⋅28716 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 256 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 186191 mod 431.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 1861=186

2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 116 mod 431

4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 95 mod 431

8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 405 mod 431

16: 18616=1868+8=1868⋅1868 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 245 mod 431

32: 18632=18616+16=18616⋅18616 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 116 mod 431

64: 18664=18632+32=18632⋅18632 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 95 mod 431

128: 186128=18664+64=18664⋅18664 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 405 mod 431

186191

= 186128+32+16+8+4+2+1

= 186128⋅18632⋅18616⋅1868⋅1864⋅1862⋅1861

405 ⋅ 116 ⋅ 245 ⋅ 405 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431
46980 ⋅ 245 ⋅ 405 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431 ≡ 1 ⋅ 245 ⋅ 405 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431
245 ⋅ 405 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431
99225 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431 ≡ 95 ⋅ 95 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431
9025 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431 ≡ 405 ⋅ 116 ⋅ 186 mod 431
46980 ⋅ 186 mod 431 ≡ 1 ⋅ 186 mod 431
186 mod 431

Es gilt also: 186191 ≡ 186 mod 431

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 68

=>89 = 1⋅68 + 21
=>68 = 3⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 68-3⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(68 -3⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅68 +12⋅ 21)
= -4⋅68 +13⋅ 21 (=1)
21= 89-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅68 +13⋅(89 -1⋅ 68)
= -4⋅68 +13⋅89 -13⋅ 68)
= 13⋅89 -17⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(89,68)=1 = 13⋅89 -17⋅68

oder wenn man 13⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅89 = -17⋅68

-17⋅68 = -13⋅89 + 1 |+89⋅68

-17⋅68 + 89⋅68 = -13⋅89 + 89⋅68 + 1

(-17 + 89) ⋅ 68 = (-13 + 68) ⋅ 89 + 1

72⋅68 = 55⋅89 + 1

Es gilt also: 72⋅68 = 55⋅89 +1

Somit 72⋅68 = 1 mod 89

72 ist also das Inverse von 68 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.