Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(181 - 174) mod 6 ≡ (181 mod 6 - 174 mod 6) mod 6.

181 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 6 ⋅ 30 +1.

174 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 174 = 180-6 = 6 ⋅ 30 -6 = 6 ⋅ 30 - 6 + 0.

Somit gilt:

(181 - 174) mod 6 ≡ (1 - 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 20) mod 7 ≡ (84 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.

84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 20) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 132¹=132

2: 132²=132¹⁺¹=132¹⋅132¹ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 2 mod 281

4: 132⁴=132²⁺²=132²⋅132² ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 281

8: 132⁸=132⁴⁺⁴=132⁴⋅132⁴ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 281

16: 132¹⁶=132⁸⁺⁸=132⁸⋅132⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 281

32: 132³²=132¹⁶⁺¹⁶=132¹⁶⋅132¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 63 mod 281

64: 132⁶⁴=132³²⁺³²=132³²⋅132³² ≡ 63⋅63=3969 ≡ 35 mod 281

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

308¹²³

= 308^{64+32+16+8+2+1}

= 308⁶⁴⋅308³²⋅308¹⁶⋅308⁸⋅308²⋅308¹

≡ 133 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 289 ⋅ 677 ⋅ 308 mod 971
≡ 29925 ⋅ 15 ⋅ 289 ⋅ 677 ⋅ 308 mod 971 ≡ 795 ⋅ 15 ⋅ 289 ⋅ 677 ⋅ 308 mod 971
≡ 11925 ⋅ 289 ⋅ 677 ⋅ 308 mod 971 ≡ 273 ⋅ 289 ⋅ 677 ⋅ 308 mod 971
≡ 78897 ⋅ 677 ⋅ 308 mod 971 ≡ 246 ⋅ 677 ⋅ 308 mod 971
≡ 166542 ⋅ 308 mod 971 ≡ 501 ⋅ 308 mod 971
≡ 154308 mod 971 ≡ 890 mod 971

Es gilt also: 308¹²³ ≡ 890 mod 971

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60

=>101	= 1⋅60 + 41
=>60	= 1⋅41 + 19
=>41	= 2⋅19 + 3
=>19	= 6⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19) = 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 60-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41) = -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41) = 13⋅60 -19⋅ 41 (=1)
41= 101-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60) = 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60) = -19⋅101 +32⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +32⋅60

Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1

Somit 32⋅60 = 1 mod 101

32 ist also das Inverse von 60 mod 101