Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28000 - 14005) mod 7 ≡ (28000 mod 7 - 14005 mod 7) mod 7.

28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000 = 28000+0 = 7 ⋅ 4000 +0.

14005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14005 = 14000+5 = 7 ⋅ 2000 +5.

Somit gilt:

(28000 - 14005) mod 7 ≡ (0 - 5) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 46) mod 8 ≡ (74 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.

74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 46) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 165¹=165

2: 165²=165¹⁺¹=165¹⋅165¹ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 233 mod 241

4: 165⁴=165²⁺²=165²⋅165² ≡ 233⋅233=54289 ≡ 64 mod 241

8: 165⁸=165⁴⁺⁴=165⁴⋅165⁴ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 240 mod 241

16: 165¹⁶=165⁸⁺⁸=165⁸⋅165⁸ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 1 mod 241

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

364²¹⁸

= 364^{128+64+16+8+2}

= 364¹²⁸⋅364⁶⁴⋅364¹⁶⋅364⁸⋅364²

≡ 105 ⋅ 22 ⋅ 219 ⋅ 149 ⋅ 225 mod 379
≡ 2310 ⋅ 219 ⋅ 149 ⋅ 225 mod 379 ≡ 36 ⋅ 219 ⋅ 149 ⋅ 225 mod 379
≡ 7884 ⋅ 149 ⋅ 225 mod 379 ≡ 304 ⋅ 149 ⋅ 225 mod 379
≡ 45296 ⋅ 225 mod 379 ≡ 195 ⋅ 225 mod 379
≡ 43875 mod 379 ≡ 290 mod 379

Es gilt also: 364²¹⁸ ≡ 290 mod 379

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 32

=>79	= 2⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 79-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(79 -2⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅79 -30⋅ 32) = 15⋅79 -37⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(79,32)=1 = 15⋅79 -37⋅32

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -37⋅32

-37⋅32 = -15⋅79 + 1 |+79⋅32

-37⋅32 + 79⋅32 = -15⋅79 + 79⋅32 + 1

(-37 + 79) ⋅ 32 = (-15 + 32) ⋅ 79 + 1

42⋅32 = 17⋅79 + 1

Es gilt also: 42⋅32 = 17⋅79 +1

Somit 42⋅32 = 1 mod 79

42 ist also das Inverse von 32 mod 79