Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11999 - 2000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11999 - 2000) mod 4 ≡ (11999 mod 4 - 2000 mod 4) mod 4.
11999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 11000
2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
Somit gilt:
(11999 - 2000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 28) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 28) mod 3 ≡ (35 mod 3 ⋅ 28 mod 3) mod 3.
35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 28) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38132 mod 421.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 337 mod 421
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 320 mod 421
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 97 mod 421
16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 147 mod 421
32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 138 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23289 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:
89 = 64+16+8+1
1: 2321=232
2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 81 mod 241
4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 54 mod 241
8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241
16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241
64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
23289
= 23264+16+8+1
= 23264⋅23216⋅2328⋅2321
≡ 54 ⋅ 94 ⋅ 24 ⋅ 232 mod 241
≡ 5076 ⋅ 24 ⋅ 232 mod 241 ≡ 15 ⋅ 24 ⋅ 232 mod 241
≡ 360 ⋅ 232 mod 241 ≡ 119 ⋅ 232 mod 241
≡ 27608 mod 241 ≡ 134 mod 241
Es gilt also: 23289 ≡ 134 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55
| =>71 | = 1⋅55 + 16 |
| =>55 | = 3⋅16 + 7 |
| =>16 | = 2⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 16-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7) = -3⋅16 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 55-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16)
= -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16) = 7⋅55 -24⋅ 16 (=1) |
| 16= 71-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55) = -24⋅71 +31⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55
oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +24⋅71 = +31⋅55
Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1
Somit 31⋅55 = 1 mod 71
31 ist also das Inverse von 55 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
