Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12006 + 600) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12006 + 600) mod 6 ≡ (12006 mod 6 + 600 mod 6) mod 6.
12006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12006
= 12000
600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
Somit gilt:
(12006 + 600) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 50) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 50) mod 6 ≡ (31 mod 6 ⋅ 50 mod 6) mod 6.
31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.
50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 50) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5018 mod 593.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 501 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5011=501
2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 162 mod 593
4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 152 mod 593
8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 570 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 446118 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 4461=446
2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 217 mod 619
4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 45 mod 619
8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 168 mod 619
16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 369 mod 619
32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 600 mod 619
64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 361 mod 619
446118
= 44664+32+16+4+2
= 44664⋅44632⋅44616⋅4464⋅4462
≡ 361 ⋅ 600 ⋅ 369 ⋅ 45 ⋅ 217 mod 619
≡ 216600 ⋅ 369 ⋅ 45 ⋅ 217 mod 619 ≡ 569 ⋅ 369 ⋅ 45 ⋅ 217 mod 619
≡ 209961 ⋅ 45 ⋅ 217 mod 619 ≡ 120 ⋅ 45 ⋅ 217 mod 619
≡ 5400 ⋅ 217 mod 619 ≡ 448 ⋅ 217 mod 619
≡ 97216 mod 619 ≡ 33 mod 619
Es gilt also: 446118 ≡ 33 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 72
| =>97 | = 1⋅72 + 25 |
| =>72 | = 2⋅25 + 22 |
| =>25 | = 1⋅22 + 3 |
| =>22 | = 7⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 22-7⋅3 | |||
| 3= 25-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅22 -7⋅(25 -1⋅ 22)
= 1⋅22 -7⋅25 +7⋅ 22) = -7⋅25 +8⋅ 22 (=1) |
| 22= 72-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅25 +8⋅(72 -2⋅ 25)
= -7⋅25 +8⋅72 -16⋅ 25) = 8⋅72 -23⋅ 25 (=1) |
| 25= 97-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅72 -23⋅(97 -1⋅ 72)
= 8⋅72 -23⋅97 +23⋅ 72) = -23⋅97 +31⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,72)=1 = -23⋅97 +31⋅72
oder wenn man -23⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅97 = +31⋅72
Es gilt also: 31⋅72 = 23⋅97 +1
Somit 31⋅72 = 1 mod 97
31 ist also das Inverse von 72 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
