Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5000 + 4995) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5000 + 4995) mod 5 ≡ (5000 mod 5 + 4995 mod 5) mod 5.
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
4995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4995
= 4000
Somit gilt:
(5000 + 4995) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 79) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 79) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 79 mod 3) mod 3.
51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.
79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 79) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12716 mod 271.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 127 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1271=127
2: 1272=1271+1=1271⋅1271 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 140 mod 271
4: 1274=1272+2=1272⋅1272 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 88 mod 271
8: 1278=1274+4=1274⋅1274 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 156 mod 271
16: 12716=1278+8=1278⋅1278 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 217 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83169 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 831=83
2: 832=831+1=831⋅831 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 197 mod 239
4: 834=832+2=832⋅832 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 91 mod 239
8: 838=834+4=834⋅834 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 155 mod 239
16: 8316=838+8=838⋅838 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 125 mod 239
32: 8332=8316+16=8316⋅8316 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 90 mod 239
64: 8364=8332+32=8332⋅8332 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 213 mod 239
128: 83128=8364+64=8364⋅8364 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 198 mod 239
83169
= 83128+32+8+1
= 83128⋅8332⋅838⋅831
≡ 198 ⋅ 90 ⋅ 155 ⋅ 83 mod 239
≡ 17820 ⋅ 155 ⋅ 83 mod 239 ≡ 134 ⋅ 155 ⋅ 83 mod 239
≡ 20770 ⋅ 83 mod 239 ≡ 216 ⋅ 83 mod 239
≡ 17928 mod 239 ≡ 3 mod 239
Es gilt also: 83169 ≡ 3 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60
| =>71 | = 1⋅60 + 11 |
| =>60 | = 5⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 60-5⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11) = -2⋅60 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 71-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60) = 11⋅71 -13⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -13⋅60
-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60
-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1
(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1
58⋅60 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1
Somit 58⋅60 = 1 mod 71
58 ist also das Inverse von 60 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
