Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 40) mod 4 ≡ (12000 mod 4 - 40 mod 4) mod 4.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40+0 = 4 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(12000 - 40) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 90) mod 6 ≡ (89 mod 6 ⋅ 90 mod 6) mod 6.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 90) mod 6 ≡ (5 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 695¹=695

2: 695²=695¹⁺¹=695¹⋅695¹ ≡ 695⋅695=483025 ≡ 57 mod 827

4: 695⁴=695²⁺²=695²⋅695² ≡ 57⋅57=3249 ≡ 768 mod 827

8: 695⁸=695⁴⁺⁴=695⁴⋅695⁴ ≡ 768⋅768=589824 ≡ 173 mod 827

16: 695¹⁶=695⁸⁺⁸=695⁸⋅695⁸ ≡ 173⋅173=29929 ≡ 157 mod 827

32: 695³²=695¹⁶⁺¹⁶=695¹⁶⋅695¹⁶ ≡ 157⋅157=24649 ≡ 666 mod 827

64: 695⁶⁴=695³²⁺³²=695³²⋅695³² ≡ 666⋅666=443556 ≡ 284 mod 827

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

644²²¹

= 644^{128+64+16+8+4+1}

= 644¹²⁸⋅644⁶⁴⋅644¹⁶⋅644⁸⋅644⁴⋅644¹

≡ 429 ⋅ 477 ⋅ 674 ⋅ 300 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757
≡ 204633 ⋅ 674 ⋅ 300 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757 ≡ 243 ⋅ 674 ⋅ 300 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757
≡ 163782 ⋅ 300 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757 ≡ 270 ⋅ 300 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757
≡ 81000 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757 ≡ 1 ⋅ 159 ⋅ 644 mod 757
≡ 159 ⋅ 644 mod 757
≡ 102396 mod 757 ≡ 201 mod 757

Es gilt also: 644²²¹ ≡ 201 mod 757

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101	= 1⋅70 + 31
=>70	= 2⋅31 + 8
=>31	= 3⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31) = -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70) = 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101