Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7996 - 39) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7996 - 39) mod 4 ≡ (7996 mod 4 - 39 mod 4) mod 4.
7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996
= 7000
39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39
= 40
Somit gilt:
(7996 - 39) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 62) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 62) mod 5 ≡ (84 mod 5 ⋅ 62 mod 5) mod 5.
84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.
62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 62) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3518 mod 499.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 351 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3511=351
2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 447 mod 499
4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 209 mod 499
8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 268 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 409238 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 4091=409
2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 473 mod 719
4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 120 mod 719
8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 20 mod 719
16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 719
32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 382 mod 719
64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 686 mod 719
128: 409128=40964+64=40964⋅40964 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 370 mod 719
409238
= 409128+64+32+8+4+2
= 409128⋅40964⋅40932⋅4098⋅4094⋅4092
≡ 370 ⋅ 686 ⋅ 382 ⋅ 20 ⋅ 120 ⋅ 473 mod 719
≡ 253820 ⋅ 382 ⋅ 20 ⋅ 120 ⋅ 473 mod 719 ≡ 13 ⋅ 382 ⋅ 20 ⋅ 120 ⋅ 473 mod 719
≡ 4966 ⋅ 20 ⋅ 120 ⋅ 473 mod 719 ≡ 652 ⋅ 20 ⋅ 120 ⋅ 473 mod 719
≡ 13040 ⋅ 120 ⋅ 473 mod 719 ≡ 98 ⋅ 120 ⋅ 473 mod 719
≡ 11760 ⋅ 473 mod 719 ≡ 256 ⋅ 473 mod 719
≡ 121088 mod 719 ≡ 296 mod 719
Es gilt also: 409238 ≡ 296 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
