Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (157 + 327) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(157 + 327) mod 8 ≡ (157 mod 8 + 327 mod 8) mod 8.
157 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157
= 160
327 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 327
= 320
Somit gilt:
(157 + 327) mod 8 ≡ (5 + 7) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 39) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 39) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.
33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.
39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 39) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3128 mod 433.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 352 mod 433
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 66 mod 433
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 26 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 308181 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:
181 = 128+32+16+4+1
1: 3081=308
2: 3082=3081+1=3081⋅3081 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 500 mod 761
4: 3084=3082+2=3082⋅3082 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 392 mod 761
8: 3088=3084+4=3084⋅3084 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 703 mod 761
16: 30816=3088+8=3088⋅3088 ≡ 703⋅703=494209 ≡ 320 mod 761
32: 30832=30816+16=30816⋅30816 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 426 mod 761
64: 30864=30832+32=30832⋅30832 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 358 mod 761
128: 308128=30864+64=30864⋅30864 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 316 mod 761
308181
= 308128+32+16+4+1
= 308128⋅30832⋅30816⋅3084⋅3081
≡ 316 ⋅ 426 ⋅ 320 ⋅ 392 ⋅ 308 mod 761
≡ 134616 ⋅ 320 ⋅ 392 ⋅ 308 mod 761 ≡ 680 ⋅ 320 ⋅ 392 ⋅ 308 mod 761
≡ 217600 ⋅ 392 ⋅ 308 mod 761 ≡ 715 ⋅ 392 ⋅ 308 mod 761
≡ 280280 ⋅ 308 mod 761 ≡ 232 ⋅ 308 mod 761
≡ 71456 mod 761 ≡ 683 mod 761
Es gilt also: 308181 ≡ 683 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52
| =>61 | = 1⋅52 + 9 |
| =>52 | = 5⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +27⋅52
Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1
Somit 27⋅52 = 1 mod 61
27 ist also das Inverse von 52 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
