Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32000 - 75) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32000 - 75) mod 8 ≡ (32000 mod 8 - 75 mod 8) mod 8.
32000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32000
= 32000
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75
= 80
Somit gilt:
(32000 - 75) mod 8 ≡ (0 - 3) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 57) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 57) mod 9 ≡ (36 mod 9 ⋅ 57 mod 9) mod 9.
36 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 4 ⋅ 9 + 0 ist.
57 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 6 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 57) mod 9 ≡ (0 ⋅ 3) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 367128 mod 607.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 367 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3671=367
2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 542 mod 607
4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 583 mod 607
8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 576 mod 607
16: 36716=3678+8=3678⋅3678 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 354 mod 607
32: 36732=36716+16=36716⋅36716 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 274 mod 607
64: 36764=36732+32=36732⋅36732 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 415 mod 607
128: 367128=36764+64=36764⋅36764 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 444 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51284 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 5121=512
2: 5122=5121+1=5121⋅5121 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 108 mod 601
4: 5124=5122+2=5122⋅5122 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 245 mod 601
8: 5128=5124+4=5124⋅5124 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 526 mod 601
16: 51216=5128+8=5128⋅5128 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 216 mod 601
32: 51232=51216+16=51216⋅51216 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 379 mod 601
64: 51264=51232+32=51232⋅51232 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 2 mod 601
51284
= 51264+16+4
= 51264⋅51216⋅5124
≡ 2 ⋅ 216 ⋅ 245 mod 601
≡ 432 ⋅ 245 mod 601
≡ 105840 mod 601 ≡ 64 mod 601
Es gilt also: 51284 ≡ 64 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54
| =>73 | = 1⋅54 + 19 |
| =>54 | = 2⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 54-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19) = 6⋅54 -17⋅ 19 (=1) |
| 19= 73-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54) = -17⋅73 +23⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54
oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅73 = +23⋅54
Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1
Somit 23⋅54 = 1 mod 73
23 ist also das Inverse von 54 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
