Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 + 4500) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 + 4500) mod 9 ≡ (82 mod 9 + 4500 mod 9) mod 9.
82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 90
4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500
= 4500
Somit gilt:
(82 + 4500) mod 9 ≡ (1 + 0) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 73) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 73) mod 11 ≡ (67 mod 11 ⋅ 73 mod 11) mod 11.
67 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 6 ⋅ 11 + 1 ist.
73 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 66 + 7 = 6 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 73) mod 11 ≡ (1 ⋅ 7) mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38164 mod 757.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 574 mod 757
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 181 mod 757
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 210 mod 757
16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 194 mod 757
32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 543 mod 757
64: 38164=38132+32=38132⋅38132 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 376 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 198104 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 307 mod 401
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 14 mod 401
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 401
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 321 mod 401
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 385 mod 401
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 256 mod 401
198104
= 19864+32+8
= 19864⋅19832⋅1988
≡ 256 ⋅ 385 ⋅ 196 mod 401
≡ 98560 ⋅ 196 mod 401 ≡ 315 ⋅ 196 mod 401
≡ 61740 mod 401 ≡ 387 mod 401
Es gilt also: 198104 ≡ 387 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
