Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17993 - 1799) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17993 - 1799) mod 9 ≡ (17993 mod 9 - 1799 mod 9) mod 9.
17993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17993
= 18000
1799 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1799
= 1800
Somit gilt:
(17993 - 1799) mod 9 ≡ (2 - 8) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 25) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 25) mod 11 ≡ (21 mod 11 ⋅ 25 mod 11) mod 11.
21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.
25 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 22 + 3 = 2 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 25) mod 11 ≡ (10 ⋅ 3) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5058 mod 593.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 505 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5051=505
2: 5052=5051+1=5051⋅5051 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 35 mod 593
4: 5054=5052+2=5052⋅5052 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 39 mod 593
8: 5058=5054+4=5054⋅5054 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 335 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44491 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 4441=444
2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 439 mod 823
4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 139 mod 823
8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 392 mod 823
16: 44416=4448+8=4448⋅4448 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 586 mod 823
32: 44432=44416+16=44416⋅44416 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 205 mod 823
64: 44464=44432+32=44432⋅44432 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 52 mod 823
44491
= 44464+16+8+2+1
= 44464⋅44416⋅4448⋅4442⋅4441
≡ 52 ⋅ 586 ⋅ 392 ⋅ 439 ⋅ 444 mod 823
≡ 30472 ⋅ 392 ⋅ 439 ⋅ 444 mod 823 ≡ 21 ⋅ 392 ⋅ 439 ⋅ 444 mod 823
≡ 8232 ⋅ 439 ⋅ 444 mod 823 ≡ 2 ⋅ 439 ⋅ 444 mod 823
≡ 878 ⋅ 444 mod 823 ≡ 55 ⋅ 444 mod 823
≡ 24420 mod 823 ≡ 553 mod 823
Es gilt also: 44491 ≡ 553 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
