Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10002 + 1003) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10002 + 1003) mod 5 ≡ (10002 mod 5 + 1003 mod 5) mod 5.
10002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10002
= 10000
1003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1003
= 1000
Somit gilt:
(10002 + 1003) mod 5 ≡ (2 + 3) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 31) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 31) mod 6 ≡ (43 mod 6 ⋅ 31 mod 6) mod 6.
43 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 7 ⋅ 6 + 1 ist.
31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 31) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 76916 mod 937.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 769 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7691=769
2: 7692=7691+1=7691⋅7691 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 114 mod 937
4: 7694=7692+2=7692⋅7692 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 815 mod 937
8: 7698=7694+4=7694⋅7694 ≡ 815⋅815=664225 ≡ 829 mod 937
16: 76916=7698+8=7698⋅7698 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 420 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22765 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 2271=227
2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 244 mod 263
4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 98 mod 263
8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 136 mod 263
16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 86 mod 263
32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 32 mod 263
64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 235 mod 263
22765
= 22764+1
= 22764⋅2271
≡ 235 ⋅ 227 mod 263
≡ 53345 mod 263 ≡ 219 mod 263
Es gilt also: 22765 ≡ 219 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 67
| =>83 | = 1⋅67 + 16 |
| =>67 | = 4⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 67-4⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(67 -4⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅67 +20⋅ 16) = -5⋅67 +21⋅ 16 (=1) |
| 16= 83-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅67 +21⋅(83 -1⋅ 67)
= -5⋅67 +21⋅83 -21⋅ 67) = 21⋅83 -26⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,67)=1 = 21⋅83 -26⋅67
oder wenn man 21⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -21⋅83 = -26⋅67
-26⋅67 = -21⋅83 + 1 |+83⋅67
-26⋅67 + 83⋅67 = -21⋅83 + 83⋅67 + 1
(-26 + 83) ⋅ 67 = (-21 + 67) ⋅ 83 + 1
57⋅67 = 46⋅83 + 1
Es gilt also: 57⋅67 = 46⋅83 +1
Somit 57⋅67 = 1 mod 83
57 ist also das Inverse von 67 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
