Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (262 - 273) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(262 - 273) mod 9 ≡ (262 mod 9 - 273 mod 9) mod 9.
262 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 262
= 270
273 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 273
= 270
Somit gilt:
(262 - 273) mod 9 ≡ (1 - 3) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 76) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 76) mod 4 ≡ (63 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.
63 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 15 ⋅ 4 + 3 ist.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 76) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36464 mod 397.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 364 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3641=364
2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 295 mod 397
4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 82 mod 397
8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 372 mod 397
16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 228 mod 397
32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 374 mod 397
64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 132 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 400179 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:
179 = 128+32+16+2+1
1: 4001=400
2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 197 mod 617
4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 555 mod 617
8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 142 mod 617
16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 420 mod 617
32: 40032=40016+16=40016⋅40016 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 555 mod 617
64: 40064=40032+32=40032⋅40032 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 142 mod 617
128: 400128=40064+64=40064⋅40064 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 420 mod 617
400179
= 400128+32+16+2+1
= 400128⋅40032⋅40016⋅4002⋅4001
≡ 420 ⋅ 555 ⋅ 420 ⋅ 197 ⋅ 400 mod 617
≡ 233100 ⋅ 420 ⋅ 197 ⋅ 400 mod 617 ≡ 491 ⋅ 420 ⋅ 197 ⋅ 400 mod 617
≡ 206220 ⋅ 197 ⋅ 400 mod 617 ≡ 142 ⋅ 197 ⋅ 400 mod 617
≡ 27974 ⋅ 400 mod 617 ≡ 209 ⋅ 400 mod 617
≡ 83600 mod 617 ≡ 305 mod 617
Es gilt also: 400179 ≡ 305 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36
| =>67 | = 1⋅36 + 31 |
| =>36 | = 1⋅31 + 5 |
| =>31 | = 6⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-6⋅5 | |||
| 5= 36-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31) = -6⋅36 +7⋅ 31 (=1) |
| 31= 67-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36) = 7⋅67 -13⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -13⋅36
-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36
-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1
(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1
54⋅36 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1
Somit 54⋅36 = 1 mod 67
54 ist also das Inverse von 36 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
