Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11996 - 164) mod 4 ≡ (11996 mod 4 - 164 mod 4) mod 4.

11996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 11000+996 = 4 ⋅ 2750 +996.

164 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164 = 160+4 = 4 ⋅ 40 +4.

Somit gilt:

(11996 - 164) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 52) mod 6 ≡ (45 mod 6 ⋅ 52 mod 6) mod 6.

45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.

52 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 8 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 52) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 361¹=361

2: 361²=361¹⁺¹=361¹⋅361¹ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 413 mod 691

4: 361⁴=361²⁺²=361²⋅361² ≡ 413⋅413=170569 ≡ 583 mod 691

8: 361⁸=361⁴⁺⁴=361⁴⋅361⁴ ≡ 583⋅583=339889 ≡ 608 mod 691

16: 361¹⁶=361⁸⁺⁸=361⁸⋅361⁸ ≡ 608⋅608=369664 ≡ 670 mod 691

32: 361³²=361¹⁶⁺¹⁶=361¹⁶⋅361¹⁶ ≡ 670⋅670=448900 ≡ 441 mod 691

64: 361⁶⁴=361³²⁺³²=361³²⋅361³² ≡ 441⋅441=194481 ≡ 310 mod 691

128: 361¹²⁸=361⁶⁴⁺⁶⁴=361⁶⁴⋅361⁶⁴ ≡ 310⋅310=96100 ≡ 51 mod 691

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

624²⁵⁴

= 624^{128+64+32+16+8+4+2}

= 624¹²⁸⋅624⁶⁴⋅624³²⋅624¹⁶⋅624⁸⋅624⁴⋅624²

≡ 472 ⋅ 79 ⋅ 274 ⋅ 572 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641
≡ 37288 ⋅ 274 ⋅ 572 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641 ≡ 110 ⋅ 274 ⋅ 572 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641
≡ 30140 ⋅ 572 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641 ≡ 13 ⋅ 572 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641
≡ 7436 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641 ≡ 385 ⋅ 585 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641
≡ 225225 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641 ≡ 234 ⋅ 191 ⋅ 289 mod 641
≡ 44694 ⋅ 289 mod 641 ≡ 465 ⋅ 289 mod 641
≡ 134385 mod 641 ≡ 416 mod 641

Es gilt also: 624²⁵⁴ ≡ 416 mod 641

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61	= 2⋅28 + 5
=>28	= 5⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28) = 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61