Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2106 + 6998) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2106 + 6998) mod 7 ≡ (2106 mod 7 + 6998 mod 7) mod 7.
2106 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2106
= 2100
6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998
= 7000
Somit gilt:
(2106 + 6998) mod 7 ≡ (6 + 5) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 28) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 28) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.
29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.
28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 28) mod 9 ≡ (2 ⋅ 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42132 mod 461.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 421 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4211=421
2: 4212=4211+1=4211⋅4211 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 217 mod 461
4: 4214=4212+2=4212⋅4212 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 67 mod 461
8: 4218=4214+4=4214⋅4214 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 340 mod 461
16: 42116=4218+8=4218⋅4218 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 350 mod 461
32: 42132=42116+16=42116⋅42116 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 335 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 175162 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 1751=175
2: 1752=1751+1=1751⋅1751 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 186 mod 499
4: 1754=1752+2=1752⋅1752 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 165 mod 499
8: 1758=1754+4=1754⋅1754 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 279 mod 499
16: 17516=1758+8=1758⋅1758 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 496 mod 499
32: 17532=17516+16=17516⋅17516 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 9 mod 499
64: 17564=17532+32=17532⋅17532 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 499
128: 175128=17564+64=17564⋅17564 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 74 mod 499
175162
= 175128+32+2
= 175128⋅17532⋅1752
≡ 74 ⋅ 9 ⋅ 186 mod 499
≡ 666 ⋅ 186 mod 499 ≡ 167 ⋅ 186 mod 499
≡ 31062 mod 499 ≡ 124 mod 499
Es gilt also: 175162 ≡ 124 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 31
| =>83 | = 2⋅31 + 21 |
| =>31 | = 1⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 31-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21) = -2⋅31 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 83-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +3⋅(83 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅83 -6⋅ 31) = 3⋅83 -8⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,31)=1 = 3⋅83 -8⋅31
oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅83 = -8⋅31
-8⋅31 = -3⋅83 + 1 |+83⋅31
-8⋅31 + 83⋅31 = -3⋅83 + 83⋅31 + 1
(-8 + 83) ⋅ 31 = (-3 + 31) ⋅ 83 + 1
75⋅31 = 28⋅83 + 1
Es gilt also: 75⋅31 = 28⋅83 +1
Somit 75⋅31 = 1 mod 83
75 ist also das Inverse von 31 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
