Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (602 - 89) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(602 - 89) mod 3 ≡ (602 mod 3 - 89 mod 3) mod 3.
602 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602
= 600
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89
= 90
Somit gilt:
(602 - 89) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 31) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 31) mod 9 ≡ (54 mod 9 ⋅ 31 mod 9) mod 9.
54 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 6 ⋅ 9 + 0 ist.
31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 31) mod 9 ≡ (0 ⋅ 4) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3068 mod 571.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3061=306
2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 563 mod 571
4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 64 mod 571
8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 99 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21393 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 702 mod 709
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 49 mod 709
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 274 mod 709
16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 631 mod 709
32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 412 mod 709
64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 293 mod 709
21393
= 21364+16+8+4+1
= 21364⋅21316⋅2138⋅2134⋅2131
≡ 293 ⋅ 631 ⋅ 274 ⋅ 49 ⋅ 213 mod 709
≡ 184883 ⋅ 274 ⋅ 49 ⋅ 213 mod 709 ≡ 543 ⋅ 274 ⋅ 49 ⋅ 213 mod 709
≡ 148782 ⋅ 49 ⋅ 213 mod 709 ≡ 601 ⋅ 49 ⋅ 213 mod 709
≡ 29449 ⋅ 213 mod 709 ≡ 380 ⋅ 213 mod 709
≡ 80940 mod 709 ≡ 114 mod 709
Es gilt also: 21393 ≡ 114 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 47
| =>67 | = 1⋅47 + 20 |
| =>47 | = 2⋅20 + 7 |
| =>20 | = 2⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 20-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 47-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +3⋅(47 -2⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅47 -6⋅ 20) = 3⋅47 -7⋅ 20 (=1) |
| 20= 67-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -7⋅(67 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -7⋅67 +7⋅ 47) = -7⋅67 +10⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,47)=1 = -7⋅67 +10⋅47
oder wenn man -7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅67 = +10⋅47
Es gilt also: 10⋅47 = 7⋅67 +1
Somit 10⋅47 = 1 mod 67
10 ist also das Inverse von 47 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
