Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (124 - 1998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(124 - 1998) mod 4 ≡ (124 mod 4 - 1998 mod 4) mod 4.

124 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124 = 120+4 = 4 ⋅ 30 +4.

1998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998 = 1900+98 = 4 ⋅ 475 +98.

Somit gilt:

(124 - 1998) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 50) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 50) mod 6 ≡ (78 mod 6 ⋅ 50 mod 6) mod 6.

78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.

50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 50) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 69316 mod 967.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 693 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6931=693

2: 6932=6931+1=6931⋅6931 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 617 mod 967

4: 6934=6932+2=6932⋅6932 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 658 mod 967

8: 6938=6934+4=6934⋅6934 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 715 mod 967

16: 69316=6938+8=6938⋅6938 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 649 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 606181 mod 709.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

1: 6061=606

2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 683 mod 709

4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 676 mod 709

8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 380 mod 709

16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 473 mod 709

32: 60632=60616+16=60616⋅60616 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 394 mod 709

64: 60664=60632+32=60632⋅60632 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 674 mod 709

128: 606128=60664+64=60664⋅60664 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 516 mod 709

606181

= 606128+32+16+4+1

= 606128⋅60632⋅60616⋅6064⋅6061

516 ⋅ 394 ⋅ 473 ⋅ 676 ⋅ 606 mod 709
203304 ⋅ 473 ⋅ 676 ⋅ 606 mod 709 ≡ 530 ⋅ 473 ⋅ 676 ⋅ 606 mod 709
250690 ⋅ 676 ⋅ 606 mod 709 ≡ 413 ⋅ 676 ⋅ 606 mod 709
279188 ⋅ 606 mod 709 ≡ 551 ⋅ 606 mod 709
333906 mod 709 ≡ 676 mod 709

Es gilt also: 606181 ≡ 676 mod 709

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28

=>67 = 2⋅28 + 11
=>28 = 2⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 28-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11)
= 2⋅28 -5⋅ 11 (=1)
11= 67-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28)
= -5⋅67 +12⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +12⋅28

Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1

Somit 12⋅28 = 1 mod 67

12 ist also das Inverse von 28 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.