Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9000 - 8997) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9000 - 8997) mod 3 ≡ (9000 mod 3 - 8997 mod 3) mod 3.

9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 3 ⋅ 3000 +0.

8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 3 ⋅ 3000 -3 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(9000 - 8997) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 96) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 96) mod 6 ≡ (18 mod 6 ⋅ 96 mod 6) mod 6.

18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 96) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30716 mod 659.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 307 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3071=307

2: 3072=3071+1=3071⋅3071 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 12 mod 659

4: 3074=3072+2=3072⋅3072 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 659

8: 3078=3074+4=3074⋅3074 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 307 mod 659

16: 30716=3078+8=3078⋅3078 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 12 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 94496 mod 1009.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 96 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 96 an und zerlegen 96 in eine Summer von 2er-Potenzen:

96 = 64+32

1: 9441=944

2: 9442=9441+1=9441⋅9441 ≡ 944⋅944=891136 ≡ 189 mod 1009

4: 9444=9442+2=9442⋅9442 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 406 mod 1009

8: 9448=9444+4=9444⋅9444 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 369 mod 1009

16: 94416=9448+8=9448⋅9448 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 955 mod 1009

32: 94432=94416+16=94416⋅94416 ≡ 955⋅955=912025 ≡ 898 mod 1009

64: 94464=94432+32=94432⋅94432 ≡ 898⋅898=806404 ≡ 213 mod 1009

94496

= 94464+32

= 94464⋅94432

213 ⋅ 898 mod 1009
191274 mod 1009 ≡ 573 mod 1009

Es gilt also: 94496 ≡ 573 mod 1009

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 90.

Also bestimme x, so dass 90 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 90

=>97 = 1⋅90 + 7
=>90 = 12⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,90)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 90-12⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(90 -12⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅90 +12⋅ 7)
= -1⋅90 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-1⋅90 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅90 +13⋅(97 -1⋅ 90)
= -1⋅90 +13⋅97 -13⋅ 90)
= 13⋅97 -14⋅ 90 (=1)

Es gilt also: ggt(97,90)=1 = 13⋅97 -14⋅90

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -14⋅90

-14⋅90 = -13⋅97 + 1 |+97⋅90

-14⋅90 + 97⋅90 = -13⋅97 + 97⋅90 + 1

(-14 + 97) ⋅ 90 = (-13 + 90) ⋅ 97 + 1

83⋅90 = 77⋅97 + 1

Es gilt also: 83⋅90 = 77⋅97 +1

Somit 83⋅90 = 1 mod 97

83 ist also das Inverse von 90 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.