Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2700 + 27009) mod 9 ≡ (2700 mod 9 + 27009 mod 9) mod 9.

2700 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2700 = 2700+0 = 9 ⋅ 300 +0.

27009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27009 = 27000+9 = 9 ⋅ 3000 +9.

Somit gilt:

(2700 + 27009) mod 9 ≡ (0 + 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 53) mod 9 ≡ (26 mod 9 ⋅ 53 mod 9) mod 9.

26 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 18 + 8 = 2 ⋅ 9 + 8 ist.

53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 53) mod 9 ≡ (8 ⋅ 8) mod 9 ≡ 64 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 540¹=540

2: 540²=540¹⁺¹=540¹⋅540¹ ≡ 540⋅540=291600 ≡ 80 mod 911

4: 540⁴=540²⁺²=540²⋅540² ≡ 80⋅80=6400 ≡ 23 mod 911

8: 540⁸=540⁴⁺⁴=540⁴⋅540⁴ ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 911

16: 540¹⁶=540⁸⁺⁸=540⁸⋅540⁸ ≡ 529⋅529=279841 ≡ 164 mod 911

32: 540³²=540¹⁶⁺¹⁶=540¹⁶⋅540¹⁶ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 477 mod 911

64: 540⁶⁴=540³²⁺³²=540³²⋅540³² ≡ 477⋅477=227529 ≡ 690 mod 911

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

526²¹⁵

= 526^{128+64+16+4+2+1}

= 526¹²⁸⋅526⁶⁴⋅526¹⁶⋅526⁴⋅526²⋅526¹

≡ 408 ⋅ 360 ⋅ 360 ⋅ 750 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769
≡ 146880 ⋅ 360 ⋅ 750 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769 ≡ 1 ⋅ 360 ⋅ 750 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769
≡ 360 ⋅ 750 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769
≡ 270000 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769 ≡ 81 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769
≡ 49005 ⋅ 526 mod 769 ≡ 558 ⋅ 526 mod 769
≡ 293508 mod 769 ≡ 519 mod 769

Es gilt also: 526²¹⁵ ≡ 519 mod 769

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59	= 3⋅18 + 5
=>18	= 3⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18) = 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59