Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 + 35007) mod 7 ≡ (73 mod 7 + 35007 mod 7) mod 7.

73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70+3 = 7 ⋅ 10 +3.

35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007 = 35000+7 = 7 ⋅ 5000 +7.

Somit gilt:

(73 + 35007) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 96) mod 7 ≡ (96 mod 7 ⋅ 96 mod 7) mod 7.

96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.

96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 96) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 834¹=834

2: 834²=834¹⁺¹=834¹⋅834¹ ≡ 834⋅834=695556 ≡ 25 mod 839

4: 834⁴=834²⁺²=834²⋅834² ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 839

8: 834⁸=834⁴⁺⁴=834⁴⋅834⁴ ≡ 625⋅625=390625 ≡ 490 mod 839

16: 834¹⁶=834⁸⁺⁸=834⁸⋅834⁸ ≡ 490⋅490=240100 ≡ 146 mod 839

32: 834³²=834¹⁶⁺¹⁶=834¹⁶⋅834¹⁶ ≡ 146⋅146=21316 ≡ 341 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

446²³⁸

= 446^{128+64+32+8+4+2}

= 446¹²⁸⋅446⁶⁴⋅446³²⋅446⁸⋅446⁴⋅446²

≡ 282 ⋅ 220 ⋅ 165 ⋅ 132 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491
≡ 62040 ⋅ 165 ⋅ 132 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491 ≡ 174 ⋅ 165 ⋅ 132 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491
≡ 28710 ⋅ 132 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491 ≡ 232 ⋅ 132 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491
≡ 30624 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491 ≡ 182 ⋅ 284 ⋅ 61 mod 491
≡ 51688 ⋅ 61 mod 491 ≡ 133 ⋅ 61 mod 491
≡ 8113 mod 491 ≡ 257 mod 491

Es gilt also: 446²³⁸ ≡ 257 mod 491

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59	= 1⋅52 + 7
=>52	= 7⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52) = -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59