Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(176 - 27008) mod 9 ≡ (176 mod 9 - 27008 mod 9) mod 9.

176 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176 = 180-4 = 9 ⋅ 20 -4 = 9 ⋅ 20 - 9 + 5.

27008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27008 = 27000+8 = 9 ⋅ 3000 +8.

Somit gilt:

(176 - 27008) mod 9 ≡ (5 - 8) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 97) mod 6 ≡ (16 mod 6 ⋅ 97 mod 6) mod 6.

16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.

97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 97) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 548¹=548

2: 548²=548¹⁺¹=548¹⋅548¹ ≡ 548⋅548=300304 ≡ 534 mod 967

4: 548⁴=548²⁺²=548²⋅548² ≡ 534⋅534=285156 ≡ 858 mod 967

8: 548⁸=548⁴⁺⁴=548⁴⋅548⁴ ≡ 858⋅858=736164 ≡ 277 mod 967

16: 548¹⁶=548⁸⁺⁸=548⁸⋅548⁸ ≡ 277⋅277=76729 ≡ 336 mod 967

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

283²⁵¹

= 283^{128+64+32+16+8+2+1}

= 283¹²⁸⋅283⁶⁴⋅283³²⋅283¹⁶⋅283⁸⋅283²⋅283¹

≡ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367
≡ 23489 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367 ≡ 1 ⋅ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367
≡ 83 ⋅ 283 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367
≡ 23489 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367 ≡ 1 ⋅ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367
≡ 83 ⋅ 83 ⋅ 283 mod 367
≡ 6889 ⋅ 283 mod 367 ≡ 283 ⋅ 283 mod 367
≡ 80089 mod 367 ≡ 83 mod 367

Es gilt also: 283²⁵¹ ≡ 83 mod 367

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 67

=>101	= 1⋅67 + 34
=>67	= 1⋅34 + 33
=>34	= 1⋅33 + 1
=>33	= 33⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-1⋅33
33= 67-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -1⋅(67 -1⋅ 34) = 1⋅34 -1⋅67 +1⋅ 34) = -1⋅67 +2⋅ 34 (=1)
34= 101-1⋅67	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅67 +2⋅(101 -1⋅ 67) = -1⋅67 +2⋅101 -2⋅ 67) = 2⋅101 -3⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(101,67)=1 = 2⋅101 -3⋅67

oder wenn man 2⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅101 = -3⋅67

-3⋅67 = -2⋅101 + 1 |+101⋅67

-3⋅67 + 101⋅67 = -2⋅101 + 101⋅67 + 1

(-3 + 101) ⋅ 67 = (-2 + 67) ⋅ 101 + 1

98⋅67 = 65⋅101 + 1

Es gilt also: 98⋅67 = 65⋅101 +1

Somit 98⋅67 = 1 mod 101

98 ist also das Inverse von 67 mod 101