Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3001 - 60) mod 3 ≡ (3001 mod 3 - 60 mod 3) mod 3.

3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 3 ⋅ 1000 +1.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(3001 - 60) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 45) mod 10 ≡ (40 mod 10 ⋅ 45 mod 10) mod 10.

40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.

45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 45) mod 10 ≡ (0 ⋅ 5) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 207¹=207

2: 207²=207¹⁺¹=207¹⋅207¹ ≡ 207⋅207=42849 ≡ 176 mod 307

4: 207⁴=207²⁺²=207²⋅207² ≡ 176⋅176=30976 ≡ 276 mod 307

8: 207⁸=207⁴⁺⁴=207⁴⋅207⁴ ≡ 276⋅276=76176 ≡ 40 mod 307

16: 207¹⁶=207⁸⁺⁸=207⁸⋅207⁸ ≡ 40⋅40=1600 ≡ 65 mod 307

32: 207³²=207¹⁶⁺¹⁶=207¹⁶⋅207¹⁶ ≡ 65⋅65=4225 ≡ 234 mod 307

64: 207⁶⁴=207³²⁺³²=207³²⋅207³² ≡ 234⋅234=54756 ≡ 110 mod 307

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

258¹⁵⁷

= 258^128+16+8+4+1

= 258¹²⁸⋅258¹⁶⋅258⁸⋅258⁴⋅258¹

≡ 196 ⋅ 510 ⋅ 247 ⋅ 234 ⋅ 258 mod 599
≡ 99960 ⋅ 247 ⋅ 234 ⋅ 258 mod 599 ≡ 526 ⋅ 247 ⋅ 234 ⋅ 258 mod 599
≡ 129922 ⋅ 234 ⋅ 258 mod 599 ≡ 538 ⋅ 234 ⋅ 258 mod 599
≡ 125892 ⋅ 258 mod 599 ≡ 102 ⋅ 258 mod 599
≡ 26316 mod 599 ≡ 559 mod 599

Es gilt also: 258¹⁵⁷ ≡ 559 mod 599

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101	= 1⋅52 + 49
=>52	= 1⋅49 + 3
=>49	= 16⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49) = 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52) = -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101