Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35992 + 45001) mod 9 ≡ (35992 mod 9 + 45001 mod 9) mod 9.

35992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35992 = 36000-8 = 9 ⋅ 4000 -8 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 1.

45001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45001 = 45000+1 = 9 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(35992 + 45001) mod 9 ≡ (1 + 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 46) mod 5 ≡ (90 mod 5 ⋅ 46 mod 5) mod 5.

90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.

46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 9 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 46) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 539¹=539

2: 539²=539¹⁺¹=539¹⋅539¹ ≡ 539⋅539=290521 ≡ 371 mod 829

4: 539⁴=539²⁺²=539²⋅539² ≡ 371⋅371=137641 ≡ 27 mod 829

8: 539⁸=539⁴⁺⁴=539⁴⋅539⁴ ≡ 27⋅27=729 ≡ 729 mod 829

16: 539¹⁶=539⁸⁺⁸=539⁸⋅539⁸ ≡ 729⋅729=531441 ≡ 52 mod 829

32: 539³²=539¹⁶⁺¹⁶=539¹⁶⋅539¹⁶ ≡ 52⋅52=2704 ≡ 217 mod 829

64: 539⁶⁴=539³²⁺³²=539³²⋅539³² ≡ 217⋅217=47089 ≡ 665 mod 829

128: 539¹²⁸=539⁶⁴⁺⁶⁴=539⁶⁴⋅539⁶⁴ ≡ 665⋅665=442225 ≡ 368 mod 829

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

120²¹⁹

= 120^{128+64+16+8+2+1}

= 120¹²⁸⋅120⁶⁴⋅120¹⁶⋅120⁸⋅120²⋅120¹

≡ 102 ⋅ 175 ⋅ 74 ⋅ 128 ⋅ 187 ⋅ 120 mod 233
≡ 17850 ⋅ 74 ⋅ 128 ⋅ 187 ⋅ 120 mod 233 ≡ 142 ⋅ 74 ⋅ 128 ⋅ 187 ⋅ 120 mod 233
≡ 10508 ⋅ 128 ⋅ 187 ⋅ 120 mod 233 ≡ 23 ⋅ 128 ⋅ 187 ⋅ 120 mod 233
≡ 2944 ⋅ 187 ⋅ 120 mod 233 ≡ 148 ⋅ 187 ⋅ 120 mod 233
≡ 27676 ⋅ 120 mod 233 ≡ 182 ⋅ 120 mod 233
≡ 21840 mod 233 ≡ 171 mod 233

Es gilt also: 120²¹⁹ ≡ 171 mod 233

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

=>53	= 1⋅50 + 3
=>50	= 16⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 50-16⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1)
3= 53-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50) = -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -18⋅50

-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50

-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1

(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1

35⋅50 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1

Somit 35⋅50 = 1 mod 53

35 ist also das Inverse von 50 mod 53