Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20996 + 67) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20996 + 67) mod 7 ≡ (20996 mod 7 + 67 mod 7) mod 7.

20996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20996 = 21000-4 = 7 ⋅ 3000 -4 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 3.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 70-3 = 7 ⋅ 10 -3 = 7 ⋅ 10 - 7 + 4.

Somit gilt:

(20996 + 67) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 23) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 23) mod 8 ≡ (24 mod 8 ⋅ 23 mod 8) mod 8.

24 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 3 ⋅ 8 + 0 ist.

23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 23) mod 8 ≡ (0 ⋅ 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3068 mod 701.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,701) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3061=306

2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 403 mod 701

4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 478 mod 701

8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 659 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49190 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:

90 = 64+16+8+2

1: 4911=491

2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617

4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617

8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617

16: 49116=4918+8=4918⋅4918 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617

32: 49132=49116+16=49116⋅49116 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617

64: 49164=49132+32=49132⋅49132 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617

49190

= 49164+16+8+2

= 49164⋅49116⋅4918⋅4912

491 ⋅ 451 ⋅ 491 ⋅ 451 mod 617
221441 ⋅ 491 ⋅ 451 mod 617 ≡ 555 ⋅ 491 ⋅ 451 mod 617
272505 ⋅ 451 mod 617 ≡ 408 ⋅ 451 mod 617
184008 mod 617 ≡ 142 mod 617

Es gilt also: 49190 ≡ 142 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 35

=>89 = 2⋅35 + 19
=>35 = 1⋅19 + 16
=>19 = 1⋅16 + 3
=>16 = 5⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 19-1⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16)
= -5⋅19 +6⋅ 16 (=1)
16= 35-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅19 +6⋅(35 -1⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅35 -6⋅ 19)
= 6⋅35 -11⋅ 19 (=1)
19= 89-2⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅35 -11⋅(89 -2⋅ 35)
= 6⋅35 -11⋅89 +22⋅ 35)
= -11⋅89 +28⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(89,35)=1 = -11⋅89 +28⋅35

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +28⋅35

Es gilt also: 28⋅35 = 11⋅89 +1

Somit 28⋅35 = 1 mod 89

28 ist also das Inverse von 35 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.