Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (147 - 12002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(147 - 12002) mod 3 ≡ (147 mod 3 - 12002 mod 3) mod 3.
147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147
= 150
12002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
Somit gilt:
(147 - 12002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 39) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 39) mod 11 ≡ (92 mod 11 ⋅ 39 mod 11) mod 11.
92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.
39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 39) mod 11 ≡ (4 ⋅ 6) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49032 mod 683.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 490 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4901=490
2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 367 mod 683
4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 138 mod 683
8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 603 mod 683
16: 49016=4908+8=4908⋅4908 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 253 mod 683
32: 49032=49016+16=49016⋅49016 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 490 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 143178 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 1431=143
2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 156 mod 223
4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 29 mod 223
8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 29⋅29=841 ≡ 172 mod 223
16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 148 mod 223
32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 50 mod 223
64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 47 mod 223
128: 143128=14364+64=14364⋅14364 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 202 mod 223
143178
= 143128+32+16+2
= 143128⋅14332⋅14316⋅1432
≡ 202 ⋅ 50 ⋅ 148 ⋅ 156 mod 223
≡ 10100 ⋅ 148 ⋅ 156 mod 223 ≡ 65 ⋅ 148 ⋅ 156 mod 223
≡ 9620 ⋅ 156 mod 223 ≡ 31 ⋅ 156 mod 223
≡ 4836 mod 223 ≡ 153 mod 223
Es gilt also: 143178 ≡ 153 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52
| =>61 | = 1⋅52 + 9 |
| =>52 | = 5⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +27⋅52
Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1
Somit 27⋅52 = 1 mod 61
27 ist also das Inverse von 52 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
