Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8998 + 148) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8998 + 148) mod 3 ≡ (8998 mod 3 + 148 mod 3) mod 3.
8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998
= 9000
148 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148
= 150
Somit gilt:
(8998 + 148) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 58) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 58) mod 9 ≡ (100 mod 9 ⋅ 58 mod 9) mod 9.
100 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 11 ⋅ 9 + 1 ist.
58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 58) mod 9 ≡ (1 ⋅ 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12916 mod 317.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 129 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1291=129
2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 157 mod 317
4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 240 mod 317
8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 223 mod 317
16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 277 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 261225 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 2611=261
2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 293 mod 547
4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 517 mod 547
8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 353 mod 547
16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 440 mod 547
32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 509 mod 547
64: 26164=26132+32=26132⋅26132 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 350 mod 547
128: 261128=26164+64=26164⋅26164 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 519 mod 547
261225
= 261128+64+32+1
= 261128⋅26164⋅26132⋅2611
≡ 519 ⋅ 350 ⋅ 509 ⋅ 261 mod 547
≡ 181650 ⋅ 509 ⋅ 261 mod 547 ≡ 46 ⋅ 509 ⋅ 261 mod 547
≡ 23414 ⋅ 261 mod 547 ≡ 440 ⋅ 261 mod 547
≡ 114840 mod 547 ≡ 517 mod 547
Es gilt also: 261225 ≡ 517 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
