Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ t\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 5+0\cdot \mathrm{t}=-25\mathrm{+25}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t +5 = 0 wird, also t=$-5$ = -5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-5)}=0\mathrm{+20}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ = -1⋅t +17 = 0 wird, also t=$17$ = 17.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ -4\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}+2\cdot 1=-2\mathrm{+0}\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = 4⋅t -8 = 0 wird, also t=$\frac{8}{4}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 2+0\cdot 2+2\cdot 1=-2\mathrm{+0}\mathrm{+2}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|4|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}=-6\mathrm{+6}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +37 = 0 wird, also t=$37$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 37\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1+x_2+37x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 37\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot 1+0\cdot 37=-6\mathrm{+6}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|0|4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|0|4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1+x_2+37x_3=148$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-3\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·\left(-6\right)-\left(-3\right)·\left(-3\right)\\ -3·6-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18+36\\ 36-9\\ -18+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 18\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-13\\ 18\\ -18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-13\\ 18\\ -18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+2\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 2=0-8\mathrm{+8}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ = 2⋅t +22 = 0 wird, also t=$-\frac{22}{2}$=$-11$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-11\\ -4\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-11x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-11\\ -4\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-11)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 2=0-8\mathrm{+8}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|4|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|4|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-11x_1-4x_2+2x_3=37$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ \mathrm{-10\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ \mathrm{-10\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $0·\left(-1\right)+3·\left(-10-c\right)+0·\left(-1\right)$ = $0+3\left(-10-c\right)+0$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -10\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-2\right)-1·1\\ 1·\left(-2\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·1-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-1\\ -2-4\\ -2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)|$ = 27

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 27 | :9

k = $\frac{\mathrm{27}}{9}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ -5\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 7\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(1|-8|-5\right)$ oder C'$\left(-5|4|7\right)$.