Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=16\mathrm{+0}-16=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = 5⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{5}$ = 0.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{t}=-10\mathrm{+10}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t -7 = 0 wird, also t=$-7$ = -7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -7\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}=-3\mathrm{+0}\mathrm{+3}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = 1⋅t -19 = 0 wird, also t=$19$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 19\\ -1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 19\\ -1\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 19+1\cdot \mathrm{(-1)}=-18\mathrm{+19}-1=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|2|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 19\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-4)}=0\mathrm{+8}-8=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ = -1⋅t +0 = 0 wird, also t=$0$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 0+6\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-12\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|5|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|5|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_2-4x_3=-18$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·3-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·\left(-6\right)-\left(-6\right)·3\\ -6·\left(-6\right)-3·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9-36\\ 36+18\\ 36+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27\\ 54\\ 54\end{array}\right)$ = -27⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-17\\ 9\\ -18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-17\\ 9\\ -18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}=-1\mathrm{+1}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +1 = 0 wird, also t=$1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 1+0\cdot 1=-1\mathrm{+1}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|5|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|5|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+x_3=3$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{13\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{13\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $4·\left(-2\right)+4·\left(13-c\right)+4·\left(-1\right)$ = $-8+4\left(13-c\right)-4$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 13\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-4\right)-\left(-1\right)·\left(-7\right)\\ -1·4-\left(-8\right)·\left(-4\right)\\ -8·\left(-7\right)-\left(-4\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-7\\ -4-32\\ 56+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ -36\\ 72\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 8\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 8\end{array}\right)|$ = 81

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+{\mathrm{(-4)}}^2+8^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 81 | :81

k = $\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{81}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ 7\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ -9\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-7|-8|7\right)$ oder C'$\left(-9|0|-9\right)$.