Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot 3=12\mathrm{+0}-12=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 8\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = 8⋅t +32 = 0 wird, also t=$-\frac{32}{8}$ = -4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{t}=-10\mathrm{+10}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t -7 = 0 wird, also t=$7$ = 7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 7\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot 3=18\mathrm{+0}-18=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = 3⋅t -15 = 0 wird, also t=$\frac{15}{3}$=$5$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ 3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot 5+\mathrm{(-6)}\cdot 3=18\mathrm{+0}-18=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-1|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ 6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-6)}=0-24\mathrm{+24}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -6\end{array}\right)$ = 8⋅t -40 = 0 wird, also t=$\frac{40}{8}$=$5$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ -6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1+4x_2-6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot 5+\mathrm{(-6)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-6)}=0-24\mathrm{+24}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|2|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|2|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1+4x_2-6x_3=-35$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·2-4·4\\ 4·4-2·2\\ 2·4-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-16\\ 16-4\\ 8-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -8\end{array}\right)$ = 4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=6 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+6}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -1\end{array}\right)$ = -3⋅t -18 = 0 wird, also t=$-\frac{18}{3}$=$-6$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1-6x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+6}-6=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|1|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|1|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1-6x_2-x_3=-17$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{-4\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{-4\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $0·\left(-2\right)+3·\left(-4-c\right)-3·\left(-1\right)$ = $0+3\left(-4-c\right)+3$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-3}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-\left(-8\right)·7\\ -8·4-1·4\\ 1·7-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16+56\\ -32-4\\ 7-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72\\ -36\\ -9\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\end{array}\right)|$ = 324

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+4^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+4^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 324 | :81

k = $\frac{\mathrm{324}}{\mathrm{81}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ 20\\ -4\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}32\\ -16\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}33\\ -12\\ -12\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-31|20|-4\right)$ oder C'$\left(33|-12|-12\right)$.