Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}+4\cdot 1=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = -3⋅t -15 = 0 wird, also t=$-\frac{15}{3}$ = -5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot 4=12\mathrm{+0}-12=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = -3⋅t -6 = 0 wird, also t=$-\frac{6}{3}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = 1⋅t +2 = 0 wird, also t=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -2\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}=-2-2\mathrm{+4}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(4|5|2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ t\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 6+0\cdot \mathrm{t}=-30\mathrm{+30}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t +36 = 0 wird, also t=$\frac{36}{2}$=$18$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 18\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1+6x_2+18x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 18\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 6+0\cdot 18=-30\mathrm{+30}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|0|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|0|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1+6x_2+18x_3=10$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7·\left(-7\right)-\left(-4\right)·4\\ -4·\left(-4\right)-4·\left(-7\right)\\ 4·4-\left(-7\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}49+16\\ 16+28\\ 16-28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}65\\ 44\\ -12\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}26\\ -21\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}26\\ -21\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}65\\ 44\\ -12\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+3\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 3=0\mathrm{+6}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ = 1⋅t +7 = 0 wird, also t=$-7$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-7x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 3\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-7)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2+3\cdot 3=-7-2\mathrm{+9}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|1|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|1|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-7x_1+2x_2+3x_3=-20$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ \mathrm{-9\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ \mathrm{-9\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-3·\left(-1\right)+2·\left(-2\right)-1·\left(-9-c\right)$ = $3-4-\left(-9-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-8}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·3-\left(-2\right)·6\\ -2·\left(-2\right)-6·3\\ 6·6-3·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9+12\\ 4-18\\ 36+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21\\ -14\\ 42\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)|$ = 49

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+3^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+{\mathrm{(-2)}}^2+6^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 49 | :49

k = $\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{49}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 1\\ 4\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -8\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(9|1|4\right)$ oder C'$\left(3|5|-8\right)$.