Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}=1-1\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ -11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = -11⋅t +11 = 0 wird, also t=$\frac{11}{11}$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}=-12\mathrm{+12}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = 3⋅t -15 = 0 wird, also t=$\frac{15}{3}$ = 5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}=-20\mathrm{+20}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 3⋅t -21 = 0 wird, also t=$\frac{21}{3}$=$7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 7\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 7\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 7=-20\mathrm{+20}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-2|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 7\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{t}=36-36\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ t\end{array}\right)$ = -6⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{6}$=$0$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1-6x_2=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 0\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+3\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-6)}\cdot 0=18-18\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|-2|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|-2|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1-6x_2=-18$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-2\right)-\left(-2\right)·6\\ -2·9-6·\left(-2\right)\\ 6·6-9·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18+12\\ -18+12\\ 36-81\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -45\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 15\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=11 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 15\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 6\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+6\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0\mathrm{+6}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 6\end{array}\right)$ = 16⋅t +32 = 0 wird, also t=$-\frac{32}{16}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-2)}+6\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0\mathrm{+6}-6=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(4|-5|3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 6\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ \mathrm{9\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ \mathrm{9\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-2·3+4·4+10·\left(9-c\right)$ = $-6+16+10\left(9-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·1-\left(-2\right)·2\\ -2·\left(-2\right)-\left(-2\right)·1\\ -2·2-\left(-1\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1+4\\ 4+2\\ -4-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)|$ = 9

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-1)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+2^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 9 | :9

k = $\frac{9}{9}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -4\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-1|1|-4\right)$ oder C'$\left(-3|-3|0\right)$.