Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+1\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 1=0-2\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ = -1⋅t -1 = 0 wird, also t=$-1$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}=-4\mathrm{+4}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = 5⋅t -15 = 0 wird, also t=$\frac{15}{5}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 11\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}=-18\mathrm{+0}\mathrm{+18}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}5\\ 11\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = 11⋅t -33 = 0 wird, also t=$\frac{33}{11}$=$3$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}=-18\mathrm{+0}\mathrm{+18}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(0|-5|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}=-18\mathrm{+0}\mathrm{+18}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = -3⋅t +33 = 0 wird, also t=$\frac{33}{3}$=$11$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 11\\ -6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-3x_1+11x_2-6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 11\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot 11+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}=-18\mathrm{+0}\mathrm{+18}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|4|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|4|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-3x_1+11x_2-6x_3=56$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -7\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -7\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-7\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·6-\left(-7\right)·\left(-7\right)\\ -7·\left(-6\right)-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42-36\\ -36-49\\ 42-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-78\\ -85\\ 6\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=33 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-33\\ 18\\ -18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-33\\ 18\\ -18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}78\\ 85\\ -6\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ t\end{array}\right)$=$2\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}=4-4\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ t\end{array}\right)$ = -5⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{5}$=$0$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$=$2\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 2+0\cdot 0=4-4\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|0|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{1\; -\; c}\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{1\; -\; c}\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ = $-5·\left(1-c\right)+0·\left(-3\right)+10·\left(-1\right)$ = $-5\left(1-c\right)+0-10$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{3}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·\left(-2\right)-2·1\\ 2·\left(-2\right)-\left(-1\right)·\left(-2\right)\\ -1·1-2·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-2\\ -4-2\\ -1+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)|$ = 27

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-1)}}^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 27 | :9

k = $\frac{\mathrm{27}}{9}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ 5\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 8\\ -1\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-7|-4|5\right)$ oder C'$\left(5|8|-1\right)$.