Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}+1\cdot 2=-2\mathrm{+0}\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = -5⋅t +15 = 0 wird, also t=$\frac{15}{5}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}=1-1\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t -1 = 0 wird, also t=$-1$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=16\mathrm{+0}-16=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = -4⋅t +40 = 0 wird, also t=$\frac{40}{4}$=$10$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 10+5\cdot 4=20-40\mathrm{+20}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|5|0\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{t}=-15\mathrm{+15}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t +7 = 0 wird, also t=$-7$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -7\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $3x_1-5x_2-7x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -7\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{(-7)}=-15\mathrm{+15}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(1|3|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(1|3|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $3x_1-5x_2-7x_3=-33$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·2-\left(-1\right)·\left(-1\right)\\ -1·\left(-2\right)-\left(-2\right)·2\\ -2·\left(-1\right)-2·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-1\\ 2+4\\ 2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=6 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ t\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}=-8\mathrm{+8}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ t\end{array}\right)$ = -3⋅t +6 = 0 wird, also t=$\frac{6}{3}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot 2=16-10-6=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-5|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ \mathrm{-6\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ \mathrm{-6\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-4·\left(-3\right)+3·\left(-3\right)+3·\left(-6-c\right)$ = $12-9+3\left(-6-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-5}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·2-\left(-6\right)·6\\ -6·3-\left(-2\right)·2\\ -2·6-3·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6+36\\ -18+4\\ -12-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42\\ -14\\ -21\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)|$ = 98

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+3^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+2^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 98 | :49

k = $\frac{\mathrm{98}}{\mathrm{49}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -1\\ -12\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-14|7|0\right)$ oder C'$\left(10|-1|-12\right)$.