Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-2)}=0\mathrm{+6}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ = -1⋅t -11 = 0 wird, also t=$-11$ = -11.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -3\\ -2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}=-4\mathrm{+4}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = -7⋅t -7 = 0 wird, also t=$-\frac{7}{7}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+5\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 5=0-10\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ = -3⋅t +27 = 0 wird, also t=$\frac{27}{3}$=$9$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 9+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot 5=-27\mathrm{+2}\mathrm{+25}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-5|3|3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}+4\cdot 3=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = -9⋅t -27 = 0 wird, also t=$-\frac{27}{9}$=$-3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $4x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 4+\mathrm{(-9)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot 3=-12\mathrm{+27}-15=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|3|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|3|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $4x_1-3x_2+3x_3=-31$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·1-1·\left(-4\right)\\ 1·8-\left(-4\right)·1\\ -4·\left(-4\right)-8·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8+4\\ 8+4\\ 16-64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ -48\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 3\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·8-8·8\\ 8·\left(-4\right)-8·8\\ 8·8-\left(-4\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-64\\ -32-64\\ 64-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96\\ -96\\ 48\end{array}\right)$ = 48⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=24 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}14\\ -8\\ 16\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}14\\ -8\\ 16\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ \mathrm{-15\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ \mathrm{-15\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-4·0+5·\left(-5\right)-5·\left(-15-c\right)$ = $0-25-5\left(-15-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -5\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -15\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -5\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-6\right)-\left(-2\right)·\left(-6\right)\\ -2·7-6·\left(-6\right)\\ 6·\left(-6\right)-9·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54-12\\ -14+36\\ -36-63\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-66\\ 22\\ -99\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)|$ = 484

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+9^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+{\mathrm{(-2)}}^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 484 | :121

k = $\frac{\mathrm{484}}{\mathrm{121}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 1\\ 34\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 17\\ -38\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(30|1|34\right)$ oder C'$\left(-18|17|-38\right)$.