Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-16\mathrm{+16}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ = -7⋅t +28 = 0 wird, also t=$\frac{28}{7}$ = 4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot 5=25\mathrm{+0}-25=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -4⋅t +20 = 0 wird, also t=$\frac{20}{4}$ = 5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=-1\mathrm{+0}\mathrm{+1}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = -3⋅t +3 = 0 wird, also t=$\frac{3}{3}$=$1$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}=1-3\mathrm{+2}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|-3|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ t\end{array}\right)$=$2\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}=8-8\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t +4 = 0 wird, also t=$-\frac{4}{2}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $4x_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{(-2)}=8-8\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|2|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|2|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $4x_1+2x_2-2x_3=24$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-4\right)-2·2\\ 2·\left(-4\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·2-\left(-4\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-4\\ -8-16\\ -8-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=6 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-2\right)-\left(-3\right)·\left(-6\right)\\ -3·\left(-3\right)-\left(-6\right)·\left(-2\right)\\ -6·\left(-6\right)-\left(-2\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-18\\ 9-12\\ 36-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14\\ -3\\ 30\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=7 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}14\\ 3\\ -30\end{array}\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{-10\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{-10\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $3·\left(-3\right)-2·\left(-10-c\right)-5·\left(-1\right)$ = $-9-2\left(-10-c\right)+5$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-8}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -10\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·7-6·6\\ 6·6-2·7\\ 2·6-\left(-9\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-63-36\\ 36-14\\ 12+54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-99\\ 22\\ 66\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)|$ = 121

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-9)}}^2+6^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 121 | :121

k = $\frac{\mathrm{121}}{\mathrm{121}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -11\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -7\\ 12\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(11|-11|0\right)$ oder C'$\left(-7|-7|12\right)$.