Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}=-12\mathrm{+12}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t +0 = 0 wird, also t=$0$ = 0.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ t\end{array}\right)$=$5\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{t}=15-15\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 13\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ t\end{array}\right)$ = 13⋅t -39 = 0 wird, also t=$\frac{39}{13}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{t}+5\cdot 5=-25\mathrm{+0}\mathrm{+25}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -3⋅t +15 = 0 wird, also t=$\frac{15}{3}$=$5$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 5+0\cdot 5+5\cdot 5=-25\mathrm{+0}\mathrm{+25}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|0|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot 6=24\mathrm{+0}-24=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 6\end{array}\right)$ = -8⋅t -16 = 0 wird, also t=$-\frac{16}{8}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-4x_1-2x_2+6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-8)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-6)}\cdot 6=20\mathrm{+16}-36=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|5|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|5|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-4x_1-2x_2+6x_3=28$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·2-4·4\\ 4·4-2·2\\ 2·4-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-16\\ 16-4\\ 8-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -8\end{array}\right)$ = 4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=12 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-3\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·\left(-2\right)-\left(-3\right)·\left(-3\right)\\ -3·\left(-6\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6-36\\ 12-9\\ 18-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-30\\ 3\\ 14\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=21 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ -18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ -18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 3\\ 14\end{array}\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-1\; -\; c}\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-1\; -\; c}\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ = $4·\left(-1-c\right)+2·\left(-1\right)+6·\left(-1\right)$ = $4\left(-1-c\right)-2-6$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-3}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-6\right)-\left(-9\right)·7\\ -9·\left(-6\right)-2·\left(-6\right)\\ 2·7-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+63\\ 54+12\\ 14-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}99\\ 66\\ -22\end{array}\right)$ = 11⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -9\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)|$ = 121

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+6^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 121 | :121

k = $\frac{\mathrm{121}}{\mathrm{121}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 0\\ -11\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -12\\ -7\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(11|0|-11\right)$ oder C'$\left(-7|-12|-7\right)$.