Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}=-3\mathrm{+0}\mathrm{+3}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = -3⋅t +15 = 0 wird, also t=$\frac{15}{3}$ = 5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot 5+0\cdot \mathrm{t}+5\cdot \mathrm{(-3)}=15\mathrm{+0}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = 4⋅t -12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{4}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+4\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = 2⋅t -14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{2}$=$7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 4\end{array}\right)$=$2\cdot 7+2\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 4=14\mathrm{+2}-16=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|-4|-3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+1\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 1=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ = 5⋅t -25 = 0 wird, also t=$\frac{25}{5}$=$5$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 1\end{array}\right)$=$5\cdot 5+\mathrm{(-6)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 1=25-24-1=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|1|1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|1|1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1+4x_2+x_3=-10$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·\left(-1\right)-\left(-8\right)·4\\ -8·\left(-8\right)-4·\left(-1\right)\\ 4·4-\left(-1\right)·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+32\\ 64+4\\ 16-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}33\\ 68\\ 8\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}14\\ -3\\ -24\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}14\\ -3\\ -24\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}33\\ 68\\ 8\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-3\right)-\left(-3\right)·4\\ -3·0-4·\left(-3\right)\\ 4·4-0·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+12\\ 0+12\\ 16+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 16\end{array}\right)$ = 4⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=15 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{-1\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{-1\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $0·0+1·\left(-1-c\right)+2·\left(-1\right)$ = $0+\left(-1-c\right)-2$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-3}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·\left(-4\right)-\left(-8\right)·4\\ -8·\left(-7\right)-4·\left(-4\right)\\ 4·4-\left(-1\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+32\\ 56+16\\ 16-7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 72\\ 9\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)|$ = 162

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+{\mathrm{(-1)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+8^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 162 | :81

k = $\frac{\mathrm{162}}{\mathrm{81}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ 16\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 15\\ -6\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ -16\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -17\\ -10\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(12|15|-6\right)$ oder C'$\left(-4|-17|-10\right)$.