Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+2\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 2=0-8\mathrm{+8}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ = 2⋅t -4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}=-6\mathrm{+0}\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = 5⋅t -25 = 0 wird, also t=$\frac{25}{5}$ = 5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}=1-1\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t -4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot 2=2-6\mathrm{+4}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|-2|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = 2⋅t +26 = 0 wird, also t=$-\frac{26}{2}$=$-13$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -13\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1-13x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -13\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{(-13)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|4|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|4|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1-13x_2-2x_3=-32$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·3-4·4\\ 4·0-3·3\\ 3·4-0·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-16\\ 0-9\\ 12+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\\ -9\\ 12\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=5 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 9\\ -12\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-10\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ = 5⋅t -15 = 0 wird, also t=$\frac{15}{5}$=$3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $3x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-10\mathrm{+10}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|4|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|4|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $3x_1+2x_2-5x_3=22$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-2\; -\; c}\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -9\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-2\; -\; c}\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ = $-5·\left(-2-c\right)-4·\left(-4\right)-9·\left(-1\right)$ = $-5\left(-2-c\right)+16+9$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-7}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-4\right)-\left(-1\right)·4\\ -1·\left(-7\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·4-\left(-8\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32+4\\ 7-16\\ -16-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -9\\ -72\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)|$ = 324

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+1^2+8^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 324 | :81

k = $\frac{\mathrm{324}}{\mathrm{81}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -4\\ 31\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ -32\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ -33\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-20|-4|31\right)$ oder C'$\left(12|-12|-33\right)$.