Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}=1-1\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = -5⋅t -5 = 0 wird, also t=$-\frac{5}{5}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-20\mathrm{+20}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ = 1⋅t +7 = 0 wird, also t=$-7$ = -7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-5\mathrm{+5}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ = -2⋅t -2 = 0 wird, also t=$-\frac{2}{2}$=$-1$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-5\mathrm{+5}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-2|-1|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = -1⋅t -3 = 0 wird, also t=$-3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-1|4|1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-1|4|1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-4x_3=-15$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-4\right)-\left(-4\right)·\left(-3\right)\\ -4·0-\left(-3\right)·\left(-4\right)\\ -3·\left(-3\right)-0·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-12\\ 0-12\\ 9+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ 9\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -3\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=5 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -3\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7·\left(-6\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·7-6·\left(-6\right)\\ 6·6-7·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42+36\\ -42+36\\ 36-49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -13\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=11 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 7\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 13\end{array}\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{7\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{7\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-3·1+3·\left(7-c\right)-3·\left(-1\right)$ = $-3+3\left(7-c\right)+3$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{7}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-2·7\\ 2·6-\left(-9\right)·6\\ -9·7-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-14\\ 12+54\\ -63-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22\\ 66\\ -99\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)|$ = 242

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-9)}}^2+6^2+2^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 242 | :121

k = $\frac{\mathrm{242}}{\mathrm{121}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ -6\\ 20\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 18\\ -16\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-13|-6|20\right)$ oder C'$\left(-5|18|-16\right)$.