Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}+3\cdot \mathrm{(-2)}=6\mathrm{+0}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = 4⋅t -16 = 0 wird, also t=$\frac{16}{4}$ = 4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}+3\cdot \mathrm{(-5)}=15\mathrm{+0}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = 7⋅t -14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{7}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{t}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t -1 = 0 wird, also t=$-1$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=-6\mathrm{+5}\mathrm{+1}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-5|4|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+3\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0\mathrm{+3}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ = -7⋅t +21 = 0 wird, also t=$\frac{21}{7}$=$3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $3x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-7)}\cdot 3+6\cdot 1+5\cdot 3=-21\mathrm{+6}\mathrm{+15}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(1|3|1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(1|3|1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $3x_1+x_2+3x_3=9$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-8\right)-\left(-4\right)·8\\ -4·\left(-4\right)-8·\left(-8\right)\\ 8·8-\left(-8\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64+32\\ 16+64\\ 64-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96\\ 80\\ 32\end{array}\right)$ = 16⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=36 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}23\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}23\\ -24\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-23\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+2\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 2=0-6\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-23\\ -5\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ = -23⋅t +23 = 0 wird, also t=$\frac{23}{23}$=$1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 2=0-6\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|4|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|4|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+2x_3=-21$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{12\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{12\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-4·5+5·\left(12-c\right)-10·\left(-1\right)$ = $-20+5\left(12-c\right)+10$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 12\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·3-\left(-2\right)·6\\ -2·\left(-2\right)-6·3\\ 6·6-3·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9+12\\ 4-18\\ 36+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21\\ -14\\ 42\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)|$ = 147

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+3^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+{\mathrm{(-2)}}^2+6^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 147 | :49

k = $\frac{\mathrm{147}}{\mathrm{49}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -3\\ 16\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 9\\ -20\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(15|-3|16\right)$ oder C'$\left(-3|9|-20\right)$.