Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-4\mathrm{+4}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t +4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-12\mathrm{+12}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -3⋅t -3 = 0 wird, also t=$-\frac{3}{3}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -5⋅t +25 = 0 wird, also t=$\frac{25}{5}$=$5$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5=-5\mathrm{+30}-25=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(2|2|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}=-10\mathrm{+0}\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = 2⋅t -28 = 0 wird, also t=$\frac{28}{2}$=$14$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 14\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1+14x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 14\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot 14+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}=-10\mathrm{+0}\mathrm{+10}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|0|5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|0|5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1+14x_2-2x_3=5$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·1-2·2\\ 2·\left(-2\right)-1·1\\ 1·2-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2-4\\ -4-1\\ 2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=3 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-20\mathrm{+20}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = -6⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{6}$=$0$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1-4x_2=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$=$4\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-6)}\cdot 0=20-20\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|-2|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|-2|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1-4x_2=33$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-11\; -\; c}\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-11\; -\; c}\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ = $-1·\left(-11-c\right)+0·1+3·\left(-1\right)$ = $-\left(-11-c\right)+0-3$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-8}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-11\\ 1\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·7-4·4\\ 4·4-1·7\\ 1·4-\left(-8\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56-16\\ 16-7\\ 4+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72\\ 9\\ 36\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 4\end{array}\right)|$ = 162

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+{\mathrm{(-8)}}^2+4^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+1^2+4^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 162 | :81

k = $\frac{\mathrm{162}}{\mathrm{81}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-16\\ 2\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -6\\ 12\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ -10\\ -4\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-15|-6|12\right)$ oder C'$\left(17|-10|-4\right)$.