Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}+4\cdot 4=-16\mathrm{+0}\mathrm{+16}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = 2⋅t -4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ t\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}=-4\mathrm{+4}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ t\end{array}\right)$ = 3⋅t -18 = 0 wird, also t=$\frac{18}{3}$ = 6.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}=-24\mathrm{+0}\mathrm{+24}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = 10⋅t -40 = 0 wird, also t=$\frac{40}{10}$=$4$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}=-24\mathrm{+0}\mathrm{+24}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(2|-1|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+4\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 4=0-8\mathrm{+8}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ = 2⋅t -28 = 0 wird, also t=$\frac{28}{2}$=$14$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}14\\ -2\\ 4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $14x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}14\\ -2\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot 14+4\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 4=0-8\mathrm{+8}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|2|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|2|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $14x_1-2x_2+4x_3=36$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-6\right)-\left(-3\right)·6\\ -3·\left(-3\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·6-6·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36+18\\ 9-36\\ -36+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -27\\ -18\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-13\\ 12\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-13\\ 12\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=-6\mathrm{+0}\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = 1⋅t -17 = 0 wird, also t=$17$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 17\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 17\\ -2\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 17+1\cdot \mathrm{(-2)}=-15\mathrm{+17}-2=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|3|3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 17\\ -2\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{8\; -\; c}\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{8\; -\; c}\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ = $5·\left(8-c\right)+5·3+10·\left(-1\right)$ = $5\left(8-c\right)+15-10$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{9}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·4-8·4\\ 8·\left(-7\right)-4·4\\ 4·4-\left(-1\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-32\\ -56-16\\ 16-7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -72\\ 9\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)|$ = 243

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+{\mathrm{(-1)}}^2+8^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 243 | :81

k = $\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{81}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -25\\ 11\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 23\\ 5\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-8|-25|11\right)$ oder C'$\left(16|23|5\right)$.