Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=2\mathrm{+0}-2=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = -1⋅t -5 = 0 wird, also t=$-5$ = -5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=-5\mathrm{+0}\mathrm{+5}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = -6⋅t -18 = 0 wird, also t=$-\frac{18}{6}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}+1\cdot \mathrm{(-6)}=6\mathrm{+0}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = 3⋅t +12 = 0 wird, also t=$-\frac{12}{3}$=$-4$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 1+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}=6-12\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-5|-3|3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}=-6\mathrm{+6}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +1 = 0 wird, also t=$1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 3+0\cdot 1=-6\mathrm{+6}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|-4|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|-4|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_1+3x_2+x_3=-20$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -7\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -7\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-7\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-4\right)-\left(-7\right)·\left(-7\right)\\ -7·\left(-4\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}28-16\\ 16-49\\ 28-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -33\\ 12\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -11\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-29\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-29\\ -12\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -11\\ 4\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}+2\cdot \mathrm{(-5)}=10\mathrm{+0}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}3\\ -18\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = -18⋅t +36 = 0 wird, also t=$\frac{36}{18}$=$2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot 2+0\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-5)}=10\mathrm{+0}-10=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|0|5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|0|5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1+2x_2-5x_3=-33$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ \mathrm{6\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ \mathrm{6\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $0·2+3·\left(6-c\right)-6·\left(-1\right)$ = $0+3\left(6-c\right)+6$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{8}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·1-0·0\\ 0·0-\left(-3\right)·1\\ -3·0-\left(-4\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4+0\\ 0+3\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)|$ = 50

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-3)}}^2+{\mathrm{(-4)}}^2+0^2}=\sqrt{25}=5$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+{\mathrm{(-3)}}^2+0^2}=\sqrt{25}=5$ gilt somit:

5 ⋅ k⋅5 = 50 | :25

k = $\frac{\mathrm{50}}{\mathrm{25}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(5|-10|0\right)$ oder C'$\left(-11|2|0\right)$.