Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}=-3\mathrm{+0}\mathrm{+3}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = -8⋅t +16 = 0 wird, also t=$\frac{16}{8}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}=-3\mathrm{+3}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = 5⋅t -10 = 0 wird, also t=$\frac{10}{5}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ t\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 6+0\cdot \mathrm{t}=-18\mathrm{+18}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ t\end{array}\right)$ = 3⋅t -42 = 0 wird, also t=$\frac{42}{3}$=$14$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 14\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 14\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot 6+3\cdot 14=-12-30\mathrm{+42}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(0|2|5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 14\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}+3\cdot 2=-6\mathrm{+0}\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = -1⋅t +3 = 0 wird, also t=$3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 3+6\cdot 2=-9-3\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|2|4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|2|4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $3x_1+3x_2+2x_3=2$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·9-2·\left(-6\right)\\ 2·2-\left(-6\right)·9\\ -6·\left(-6\right)-9·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}81+12\\ 4+54\\ 36-18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}93\\ 58\\ 18\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=22 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}93\\ 58\\ 18\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-5)}=0\mathrm{+30}-30=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -5\end{array}\right)$ = -2⋅t -46 = 0 wird, also t=$-\frac{46}{2}$=$-23$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-23\\ -6\\ -5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-23x_1-6x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-23\\ -6\\ -5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-23)}+6\cdot \mathrm{(-6)}+2\cdot \mathrm{(-5)}=46-36-10=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-1|2|1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-1|2|1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-23x_1-6x_2-5x_3=6$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ \mathrm{7\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ \mathrm{7\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-1·3-5·\left(-3\right)+6·\left(7-c\right)$ = $-3+15+6\left(7-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{9}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -2\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·6-3·3\\ 3·\left(-2\right)-6·6\\ 6·3-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-9\\ -6-36\\ 18-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-21\\ -42\\ 14\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)|$ = 49

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+{\mathrm{(-2)}}^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+6^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 49 | :49

k = $\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{49}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ 1\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -8\\ 5\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(9|4|1\right)$ oder C'$\left(3|-8|5\right)$.