Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ t\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}=-2\mathrm{+2}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ t\end{array}\right)$ = -7⋅t -7 = 0 wird, also t=$-\frac{7}{7}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}+1\cdot \mathrm{(-1)}=1\mathrm{+0}-1=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = -1⋅t -5 = 0 wird, also t=$-5$ = -5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}=16-16\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t -4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 2=16-16\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|1|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{t}=15-15\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -5⋅t +15 = 0 wird, also t=$\frac{15}{5}$=$3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-3x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot 3=15-15\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|5|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|5|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-3x_1-5x_2+3x_3=-25$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·2-6·6\\ 6·9-2·2\\ 2·6-9·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18-36\\ 54-4\\ 12-81\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ 50\\ -69\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=22 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}22\\ 18\\ 12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}22\\ 18\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -50\\ 69\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-8\mathrm{+8}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ = 2⋅t +34 = 0 wird, also t=$-\frac{34}{2}$=$-17$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-17\\ 2\\ -4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-17x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-17\\ 2\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-17)}+\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-8\mathrm{+8}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|-4|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|-4|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-17x_1+2x_2-4x_3=-4$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ \mathrm{-1\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ \mathrm{-1\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-4·\left(-4\right)-2·2+6·\left(-1-c\right)$ = $16-4+6\left(-1-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{1}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-6\right)-\left(-3\right)·3\\ -3·\left(-2\right)-6·\left(-6\right)\\ 6·3-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12+9\\ 6+36\\ 18-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21\\ 42\\ 14\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)|$ = 49

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+6^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 49 | :49

k = $\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{49}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ -1\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -8\\ -5\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(9|4|-1\right)$ oder C'$\left(3|-8|-5\right)$.