Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+2\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 2=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = -4⋅t +8 = 0 wird, also t=$\frac{8}{4}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot 5=20\mathrm{+0}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -1⋅t +1 = 0 wird, also t=$1$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}=-4\mathrm{+4}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = -3⋅t +21 = 0 wird, also t=$\frac{21}{3}$=$7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 7\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 7\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot 7=-3\mathrm{+24}-21=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|-3|3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 7\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+6\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 6=0\mathrm{+18}-18=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ = -3⋅t -39 = 0 wird, also t=$-\frac{39}{3}$=$-13$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-13\\ 3\\ 6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-13x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-13\\ 3\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-13)}+\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot 6=39-15-24=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|2|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|2|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-13x_1+3x_2+6x_3=45$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-6\right)-\left(-6\right)·2\\ -6·9-2·\left(-6\right)\\ 2·2-9·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54+12\\ -54+12\\ 4-81\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42\\ -42\\ -77\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 11\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=33 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ 27\\ -18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}24\\ 27\\ -18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 11\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·2-\left(-6\right)·\left(-3\right)\\ -6·\left(-6\right)-\left(-3\right)·2\\ -3·\left(-3\right)-2·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-18\\ 36+6\\ 9+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14\\ 42\\ 21\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=7 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-7\; -\; c}\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-7\; -\; c}\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ = $-5·\left(-7-c\right)+3·\left(-3\right)+11·\left(-1\right)$ = $-5\left(-7-c\right)-9-11$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-3}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·7-\left(-4\right)·4\\ -4·\left(-4\right)-1·7\\ 1·4-8·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56+16\\ 16-7\\ 4+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72\\ 9\\ 36\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)|$ = 81

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+8^2+{\mathrm{(-4)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{8^2+1^2+4^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 81 | :81

k = $\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{81}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ -8\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(9|9|0\right)$ oder C'$\left(-7|7|-8\right)$.