Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot 3=12\mathrm{+0}-12=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = 3⋅t +21 = 0 wird, also t=$-\frac{21}{3}$ = -7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-5)}=0\mathrm{+20}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ = -3⋅t +6 = 0 wird, also t=$\frac{6}{3}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0-3\mathrm{+3}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ = 1⋅t +7 = 0 wird, also t=$-7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ -3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ -3\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-7)}+1\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}=-7\mathrm{+1}\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|-1|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -11\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot 5+0\cdot \mathrm{t}+5\cdot \mathrm{(-2)}=10\mathrm{+0}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -11\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = -11⋅t +11 = 0 wird, also t=$\frac{11}{11}$=$1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -11\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -2\end{array}\right)$=$1\cdot 5+\mathrm{(-11)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=5-11\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|-4|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|-4|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1+x_2-2x_3=10$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·4-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·2-4·4\\ 4·\left(-4\right)-2·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-16\\ -8-16\\ -16-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -20\end{array}\right)$ = -4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 5\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=6 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 5\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+6\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0\mathrm{+6}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 6\end{array}\right)$ = 1⋅t -31 = 0 wird, also t=$31$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}31\\ 1\\ 6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $31x_1+x_2+6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}31\\ 1\\ 6\end{array}\right)$=$0\cdot 31+6\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0\mathrm{+6}-6=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|2|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|2|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $31x_1+x_2+6x_3=-121$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{2\; -\; c}\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{2\; -\; c}\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ = $1·\left(2-c\right)+1·4-1·\left(-1\right)$ = $2-c+4+1$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{7}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-2\right)-6·3\\ 6·6-3·\left(-2\right)\\ 3·3-\left(-2\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-18\\ 36+6\\ 9+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14\\ 42\\ 21\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)|$ = 196

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+{\mathrm{(-2)}}^2+6^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+6^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 196 | :49

k = $\frac{\mathrm{196}}{\mathrm{49}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 22\\ 18\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -26\\ -6\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-5|22|18\right)$ oder C'$\left(11|-26|-6\right)$.