Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot 5=15\mathrm{+0}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = 1⋅t -5 = 0 wird, also t=$5$ = 5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}=3-3\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = -8⋅t -24 = 0 wird, also t=$-\frac{24}{8}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}=-2\mathrm{+2}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t +2 = 0 wird, also t=$\frac{2}{2}$=$1$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 1+0\cdot 1=-2\mathrm{+2}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(2|3|-3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}=-20\mathrm{+20}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = 5⋅t -15 = 0 wird, also t=$\frac{15}{5}$=$3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot 4+5\cdot 3=5-20\mathrm{+15}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-1|3|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-1|3|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1+4x_2+3x_3=23$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-4\right)-2·2\\ 2·4-4·\left(-4\right)\\ 4·2-\left(-4\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-4\\ 8+16\\ 8+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=12 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ -8\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot 1=3\mathrm{+0}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = 2⋅t -22 = 0 wird, also t=$\frac{22}{2}$=$11$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 11\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-3x_1+11x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 11\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot 11+\mathrm{(-3)}\cdot 1=3\mathrm{+0}-3=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|-3|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|-3|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-3x_1+11x_2+x_3=-53$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ \mathrm{7\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ \mathrm{7\; -\; c}\end{array}\right)$ = $4·3-4·1+8·\left(7-c\right)$ = $12-4+8\left(7-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{8}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·7-\left(-4\right)·4\\ -4·\left(-4\right)-1·7\\ 1·4-8·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56+16\\ 16-7\\ 4+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72\\ 9\\ 36\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)|$ = 324

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+8^2+{\mathrm{(-4)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{8^2+1^2+4^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 324 | :81

k = $\frac{\mathrm{324}}{\mathrm{81}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}32\\ 4\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}33\\ 12\\ 12\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-32\\ -4\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ 4\\ -20\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(33|12|12\right)$ oder C'$\left(-31|4|-20\right)$.