Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+5}-5=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ = 8⋅t +16 = 0 wird, also t=$-\frac{16}{8}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+3\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 3=0\mathrm{+9}-9=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ = 9⋅t -27 = 0 wird, also t=$\frac{27}{9}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+1\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 1=0\mathrm{+5}-5=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ = -2⋅t +28 = 0 wird, also t=$\frac{28}{2}$=$14$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}14\\ 5\\ 1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}14\\ 5\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 14+5\cdot 5+3\cdot 1=-28\mathrm{+25}\mathrm{+3}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-5|1|0\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}14\\ 5\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}=-3\mathrm{+0}\mathrm{+3}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = 1⋅t +19 = 0 wird, also t=$-19$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -19\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-3x_1-19x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -19\\ -1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-19)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=18-19\mathrm{+1}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|1|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|1|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-3x_1-19x_2-x_3=1$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-4\right)-\left(-2\right)·4\\ -2·\left(-2\right)-4·\left(-4\right)\\ 4·4-\left(-4\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16+8\\ 4+16\\ 16-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 20\\ 8\end{array}\right)$ = 4⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=6 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 2\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -7\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -7\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -7\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·4-\left(-7\right)·\left(-7\right)\\ -7·\left(-4\right)-4·4\\ 4·\left(-7\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-49\\ 28-16\\ -28-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-65\\ 12\\ -44\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -12\\ -21\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -12\\ -21\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}65\\ -12\\ 44\end{array}\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{12\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{12\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $1·5-1·\left(12-c\right)+3·\left(-1\right)$ = $5-\left(12-c\right)-3$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 12\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·1-0·0\\ 0·0-\left(-4\right)·1\\ -4·0-3·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+0\\ 0+4\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)|$ = 75

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5$ gilt somit:

5 ⋅ k⋅5 = 75 | :25

k = $\frac{\mathrm{75}}{\mathrm{25}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 15\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ -9\\ 0\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(5|15|0\right)$ oder C'$\left(-13|-9|0\right)$.