Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=3\mathrm{+0}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -9\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = -9⋅t -18 = 0 wird, also t=$-\frac{18}{9}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-5)}=0\mathrm{+10}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ = -7⋅t +7 = 0 wird, also t=$\frac{7}{7}$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-10\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ = -1⋅t +7 = 0 wird, also t=$7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 2\\ -5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}7\\ 2\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot 7+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-10\mathrm{+10}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-1|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}+2\cdot 6=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 6\end{array}\right)$ = -3⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{3}$=$0$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1+6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot 0+2\cdot 6=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|4|5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|4|5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1+6x_3=36$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-4·\left(-7\right)\\ 4·4-\left(-7\right)·4\\ -7·\left(-7\right)-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16+28\\ 16+28\\ 49-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}44\\ 44\\ 33\end{array}\right)$ = 11⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 3\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-13\\ 12\\ 12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-13\\ 12\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 3\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ t\end{array}\right)$=$2\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}=6-6\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ t\end{array}\right)$ = 3⋅t -18 = 0 wird, also t=$\frac{18}{3}$=$6$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $3x_1+2x_2+6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 2+3\cdot 6=-12-6\mathrm{+18}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|-3|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|-3|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $3x_1+2x_2+6x_3=-15$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ \mathrm{1\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ \mathrm{1\; -\; c}\end{array}\right)$ = $0·4-5·\left(-3\right)+5·\left(1-c\right)$ = $0+15+5\left(1-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{4}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-7\right)\\ -8·4-\left(-1\right)·\left(-4\right)\\ -1·\left(-7\right)-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-56\\ -32-4\\ 7-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72\\ -36\\ -9\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 1\end{array}\right)|$ = 243

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-1)}}^2+4^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{8^2+4^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 243 | :81

k = $\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{81}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ 16\\ -5\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ -8\\ -11\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(23|16|-5\right)$ oder C'$\left(-25|-8|-11\right)$.