Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot 5=15\mathrm{+0}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -1⋅t +19 = 0 wird, also t=$19$ = 19.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 19\\ 5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+4\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 4=0\mathrm{+20}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ = 3⋅t +21 = 0 wird, also t=$-\frac{21}{3}$ = -7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}+1\cdot 4=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = -1⋅t +2 = 0 wird, also t=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 4=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(2|1|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{t}=24-24\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ t\end{array}\right)$ = 4⋅t +44 = 0 wird, also t=$-\frac{44}{4}$=$-11$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -11\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-4x_1-6x_2-11x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -11\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-6)}+4\cdot \mathrm{(-11)}=20\mathrm{+24}-44=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|4|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|4|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-4x_1-6x_2-11x_3=18$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-6\right)-\left(-6\right)·\left(-2\right)\\ -6·9-\left(-2\right)·\left(-6\right)\\ -2·\left(-2\right)-9·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54-12\\ -54-12\\ 4-81\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-66\\ -66\\ -77\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=11 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 9\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -11\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}=-24\mathrm{+24}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = -11⋅t -22 = 0 wird, also t=$-\frac{22}{11}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -2\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot 4+0\cdot \mathrm{(-2)}=-24\mathrm{+24}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(2|0|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{9\; -\; c}\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{9\; -\; c}\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ = $1·\left(9-c\right)+2·\left(-2\right)-1·\left(-1\right)$ = $9-c-4+1$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{6}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·7-\left(-6\right)·6\\ -6·\left(-6\right)-\left(-9\right)·7\\ -9·6-\left(-2\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14+36\\ 36+63\\ -54-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22\\ 99\\ -66\end{array}\right)$ = 11⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)|$ = 121

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-9)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+9^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 121 | :121

k = $\frac{\mathrm{121}}{\mathrm{121}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-2\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -11\\ 0\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-7|7|-12\right)$ oder C'$\left(-11|-11|0\right)$.