Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot 1=3\mathrm{+0}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = -2⋅t +12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{2}$ = 6.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}=-15\mathrm{+15}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t -43 = 0 wird, also t=$43$ = 43.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 43\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot 3=12\mathrm{+0}-12=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = -1⋅t -11 = 0 wird, also t=$-11$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -11\\ 3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -11\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{(-11)}+\mathrm{(-4)}\cdot 3=12\mathrm{+0}-12=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|0|-5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -11\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 11\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}=-12\mathrm{+12}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 11⋅t -22 = 0 wird, also t=$\frac{22}{11}$=$2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $3x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 11\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-4)}+11\cdot 2=-18-4\mathrm{+22}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|2|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|2|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $3x_1-4x_2+2x_3=-14$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7·7-6·6\\ 6·6-6·7\\ 6·6-7·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}49-36\\ 36-42\\ 36-42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -6\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=33 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}25\\ 21\\ 18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}25\\ 21\\ 18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -6\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -17\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-6)}=-30\mathrm{+0}\mathrm{+30}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -17\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = -17⋅t -17 = 0 wird, also t=$-\frac{17}{17}$=$-1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1-x_2-6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -17\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -6\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-17)}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-6)}=-5\mathrm{+17}-12=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|0|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|0|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1-x_2-6x_3=44$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{6\; -\; c}\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{6\; -\; c}\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ = $2·\left(6-c\right)-3·\left(-5\right)+5·\left(-3\right)$ = $2\left(6-c\right)+15-15$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{6}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -3\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -3\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-6\right)-9·\left(-6\right)\\ 9·7-6·\left(-6\right)\\ 6·\left(-6\right)-\left(-2\right)·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12+54\\ 63+36\\ -36+14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}66\\ 99\\ -22\end{array}\right)$ = 11⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)|$ = 363

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+{\mathrm{(-2)}}^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+9^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 363 | :121

k = $\frac{\mathrm{363}}{\mathrm{121}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ 25\\ 3\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-18\\ -27\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -29\\ 15\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(24|25|3\right)$ oder C'$\left(-12|-29|15\right)$.