Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}+4\cdot 5=-20\mathrm{+0}\mathrm{+20}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -3⋅t -21 = 0 wird, also t=$-\frac{21}{3}$ = -7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{t}+5\cdot 3=-15\mathrm{+0}\mathrm{+15}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = -8⋅t -16 = 0 wird, also t=$-\frac{16}{8}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}+1\cdot 6=-6\mathrm{+0}\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 6\end{array}\right)$ = -1⋅t -29 = 0 wird, also t=$-29$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -29\\ 6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -29\\ 6\end{array}\right)$=$1\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-29)}+\mathrm{(-5)}\cdot 6=1\mathrm{+29}-30=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|0|-5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -29\\ 6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = 2⋅t +16 = 0 wird, also t=$-\frac{16}{2}$=$-8$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ -6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_1-8x_2-6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ -6\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-8)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-6)}=-8-16\mathrm{+24}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|3|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|3|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_1-8x_2-6x_3=-52$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-2·4\\ 2·2-4·4\\ 4·4-4·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-8\\ 4-16\\ 16-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ = -4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=12 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 13\\ 6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}+2\cdot \mathrm{(-5)}=10\mathrm{+0}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 13\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = 13⋅t -26 = 0 wird, also t=$\frac{26}{13}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 13\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$=$2\cdot 2+13\cdot 2+6\cdot \mathrm{(-5)}=4\mathrm{+26}-30=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|3|0\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ \mathrm{0\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ \mathrm{0\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $1·\left(-5\right)-2·\left(-c\right)+1·\left(-1\right)$ = $-5+2c-1$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{3}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1·\left(-7\right)-\left(-4\right)·4\\ -4·\left(-4\right)-8·\left(-7\right)\\ 8·4-1·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7+16\\ 16+56\\ 32+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 72\\ 36\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)|$ = 81

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{8^2+1^2+{\mathrm{(-4)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+8^2+4^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 81 | :81

k = $\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{81}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -7\\ -8\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(9|9|0\right)$ oder C'$\left(7|-7|-8\right)$.