Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}=-3\mathrm{+3}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +5 = 0 wird, also t=$5$ = 5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}+1\cdot \mathrm{(-4)}=4\mathrm{+0}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = -3⋅t -9 = 0 wird, also t=$-\frac{9}{3}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+4\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 4=0-16\mathrm{+16}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ = -2⋅t +36 = 0 wird, also t=$\frac{36}{2}$=$18$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -4\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}18\\ -4\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot 18+4\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 4=0-16\mathrm{+16}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(2|-2|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -4\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=3\mathrm{+0}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = 5⋅t +15 = 0 wird, also t=$-\frac{15}{5}$=$-3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=3\mathrm{+0}-3=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|-3|4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|-3|4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+3x_3=18$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·8-4·4\\ 4·\left(-1\right)-8·8\\ 8·4-\left(-1\right)·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-16\\ -4-64\\ 32-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -68\\ 31\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -1\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 68\\ -31\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}=9-9\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -5⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{5}$=$0$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$=$5\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 0=15-15\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-5|3|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ \mathrm{-12\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ \mathrm{-12\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $2·2+5·\left(-12-c\right)-6·\left(-1\right)$ = $4+5\left(-12-c\right)+6$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-6\right)-9·7\\ 9·\left(-6\right)-\left(-2\right)·\left(-6\right)\\ -2·7-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-63\\ -54-12\\ -14+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-99\\ -66\\ 22\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)|$ = 242

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+6^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+6^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 242 | :121

k = $\frac{\mathrm{242}}{\mathrm{121}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}18\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 18\\ 5\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -6\\ 13\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(16|18|5\right)$ oder C'$\left(-20|-6|13\right)$.