Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{t}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +3 = 0 wird, also t=$3$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}+3\cdot \mathrm{(-3)}=9\mathrm{+0}-9=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = 3⋅t +21 = 0 wird, also t=$-\frac{21}{3}$ = -7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -7\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-6)}=0\mathrm{+18}-18=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ = 3⋅t +21 = 0 wird, also t=$-\frac{21}{3}$=$-7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ -6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-7)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-6)}=0\mathrm{+18}-18=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|-4|2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ -6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot 1=3\mathrm{+0}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = 1⋅t -17 = 0 wird, also t=$17$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 17\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-3x_1+17x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 17\\ 1\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 17+1\cdot 1=-18\mathrm{+17}\mathrm{+1}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|5|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|5|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-3x_1+17x_2+x_3=76$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-6\right)-\left(-6\right)·3\\ -6·\left(-6\right)-3·\left(-6\right)\\ 3·3-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+18\\ 36+18\\ 9-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54\\ 54\\ -27\end{array}\right)$ = -27⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 5+0\cdot \mathrm{t}+5\cdot \mathrm{(-6)}=30\mathrm{+0}-30=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = 7⋅t -49 = 0 wird, also t=$\frac{49}{7}$=$7$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ -6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 5+0\cdot 7+5\cdot \mathrm{(-6)}=30\mathrm{+0}-30=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|0|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|0|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1+7x_2-6x_3=-38$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ \mathrm{-8\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ \mathrm{-8\; -\; c}\end{array}\right)$ = $4·3+3·\left(-2\right)+6·\left(-8-c\right)$ = $12-6+6\left(-8-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-7}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-\left(-8\right)·7\\ -8·4-1·4\\ 1·7-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16+56\\ -32-4\\ 7-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72\\ -36\\ -9\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\end{array}\right)|$ = 243

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+4^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+4^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 243 | :81

k = $\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{81}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-23\\ 16\\ -5\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ -8\\ -11\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-23|16|-5\right)$ oder C'$\left(25|-8|-11\right)$.