Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}=-1\mathrm{+1}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = -5⋅t +5 = 0 wird, also t=$\frac{5}{5}$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-25\mathrm{+25}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ = 4⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{4}$ = 0.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -7\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}=4-4\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = -7⋅t +14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{7}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -7\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-7)}\cdot 2=2\mathrm{+12}-14=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-1|-3|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}=-20\mathrm{+0}\mathrm{+20}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = 7⋅t -35 = 0 wird, also t=$\frac{35}{7}$=$5$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-4x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}=-20\mathrm{+0}\mathrm{+20}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(1|2|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(1|2|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-4x_1+5x_2-5x_3=-9$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 7\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 7\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·7-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-4\right)-7·7\\ 7·\left(-4\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-28-16\\ 16-49\\ -28-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-44\\ -33\\ -44\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 4\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-0·0\\ 0·8-8·6\\ 8·0-6·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+0\\ 0-48\\ 0-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -48\\ -48\end{array}\right)$ = -12⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=30 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}21\\ 18\\ 0\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}21\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ \mathrm{-9\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ \mathrm{-9\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-1·\left(-5\right)-3·2-1·\left(-9-c\right)$ = $5-6-\left(-9-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-8}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-6\right)-\left(-3\right)·3\\ -3·\left(-2\right)-6·\left(-6\right)\\ 6·3-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12+9\\ 6+36\\ 18-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21\\ 42\\ 14\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)|$ = 49

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+6^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 49 | :49

k = $\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{49}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ -1\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -8\\ -5\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(9|4|-1\right)$ oder C'$\left(3|-8|-5\right)$.