Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}=-9\mathrm{+9}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = -3⋅t -3 = 0 wird, also t=$-\frac{3}{3}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}=-15\mathrm{+15}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = 5⋅t -40 = 0 wird, also t=$\frac{40}{5}$ = 8.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 8\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}=-4\mathrm{+4}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t +17 = 0 wird, also t=$-17$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -17\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -17\end{array}\right)$=$4\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-17)}=16\mathrm{+1}-17=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|-5|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -17\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 13\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{t}+6\cdot 2=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 13\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = 13⋅t +26 = 0 wird, also t=$-\frac{26}{13}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $6x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 13\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 2\end{array}\right)$=$3\cdot 6+13\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot 2=18-26\mathrm{+8}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|-2|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|-2|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $6x_1-2x_2+2x_3=28$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-3\right)-\left(-3\right)·6\\ -3·\left(-6\right)-6·\left(-3\right)\\ 6·6-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18+18\\ 18+18\\ 36-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ 0\end{array}\right)$ = 36⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}19\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}19\\ -18\\ -9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}=15-15\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +1 = 0 wird, also t=$1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$=$3\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 3+0\cdot 1=15-15\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|5|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|5|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1+3x_2+x_3=7$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{7\; -\; c}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{7\; -\; c}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ = $3·\left(7-c\right)-4·2+4·\left(-1\right)$ = $3\left(7-c\right)-8-4$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{3}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-2\right)-1·\left(-2\right)\\ 1·1-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·\left(-2\right)-\left(-2\right)·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+2\\ 1-4\\ 4+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)|$ = 18

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+1^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 18 | :9

k = $\frac{\mathrm{18}}{9}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -3\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 5\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-6|0|-3\right)$ oder C'$\left(2|-4|5\right)$.