In diesem Fall, wenn in einem Vektor zwei Nullen sind, wird es besonders einfach, den Normalenvektor zu finden:

Da ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ nur in der x₁-Koordinate eine Zahl ungleich 0 besitzt, muss unser Normalenvektor an dieser Stelle unbedingt eine 0 haben, weil wir ja sonst dieses Produkt nicht mehr "wegbekommen" würden.

Es gilt also schon mal sicher für unseren Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ b\end{array}\right)$, weil $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ∘ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ b\end{array}\right)$= 0

Und weil ja aber auch $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ ∘ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ b\end{array}\right)$= 0 gelten muss, können wir beim Normalenvektor einfach die x₃- und die x₂-Koordinaten vom Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ vertauschen und bei einer das Vorzeichen wechseln, denn:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ ∘ $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ = $\mathrm{(-3)}\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}$ = 0

Somit wäre $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ein Normalenvektor zu den beiden gegebenen Vektoren.

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 1=0\mathrm{+3}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-11\\ 3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ = -11⋅t +11 = 0 wird, also t=$\frac{11}{11}$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 1=2\mathrm{+0}-2=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = 2⋅t -4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 1=2\mathrm{+0}-2=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(4|-1|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot 5=-10\mathrm{+0}\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = 2⋅t +36 = 0 wird, also t=$-\frac{36}{2}$=$-18$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -18\\ 5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1-18x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -18\\ 5\end{array}\right)$=$3\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-18)}+6\cdot 5=6-36\mathrm{+30}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|2|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|2|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1-18x_2+5x_3=-21$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-\left(-7\right)·\left(-7\right)\\ -7·4-4·4\\ 4·\left(-7\right)-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-49\\ -28-16\\ -28-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-33\\ -44\\ -44\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}26\\ 12\\ -21\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}26\\ 12\\ -21\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 1=0-2\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ = 1⋅t +13 = 0 wird, also t=$-13$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-13\\ -2\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-13x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-13\\ -2\\ 1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-13)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 1=-13\mathrm{+12}\mathrm{+1}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|-3|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|-3|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-13x_1-2x_2+x_3=67$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ \mathrm{-8\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ \mathrm{-8\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-5·\left(-5\right)+5·\left(-4\right)+5·\left(-8-c\right)$ = $25-20+5\left(-8-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-7}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·4-\left(-1\right)·4\\ -1·\left(-7\right)-4·4\\ 4·4-8·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32+4\\ 7-16\\ 16+56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -9\\ 72\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -8\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -8\end{array}\right)|$ = 324

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+8^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+1^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 324 | :81

k = $\frac{\mathrm{324}}{\mathrm{81}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ -32\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 12\\ -33\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 32\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 4\\ 31\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-12|12|-33\right)$ oder C'$\left(20|4|31\right)$.