Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}=0-4\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ = -1⋅t +2 = 0 wird, also t=$2$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}=-5\mathrm{+5}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = -3⋅t +18 = 0 wird, also t=$\frac{18}{3}$ = 6.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{t}=8-8\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t -8 = 0 wird, also t=$\frac{8}{2}$=$4$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 4=8-8\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-2|-1|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{t}=10-10\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +13 = 0 wird, also t=$13$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 13\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1-2x_2+13x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 13\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 13=15-2-13=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|4|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|4|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1-2x_2+13x_3=8$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·1-4·8\\ 4·4-1·1\\ 1·8-8·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-32\\ 16-1\\ 8-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 15\\ -24\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 8\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 24\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 8\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{t}+6\cdot 2=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = 2⋅t +4 = 0 wird, also t=$-\frac{4}{2}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{(-2)}+6\cdot 2=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(2|3|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ \mathrm{-5\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ \mathrm{-5\; -\; c}\end{array}\right)$ = $2·\left(-5\right)+5·0-10·\left(-5-c\right)$ = $-10+0-10\left(-5-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-4}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·1-2·\left(-2\right)\\ 2·2-\left(-2\right)·1\\ -2·\left(-2\right)-\left(-1\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1+4\\ 4+2\\ 4+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)|$ = 27

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-1)}}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 27 | :9

k = $\frac{\mathrm{27}}{9}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ -4\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(1|5|8\right)$ oder C'$\left(-5|-7|-4\right)$.