Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}=-15\mathrm{+15}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -4⋅t +12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{4}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+5\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 5=0\mathrm{+25}-25=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ = 2⋅t -10 = 0 wird, also t=$\frac{10}{2}$ = 5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}=-8\mathrm{+8}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t +34 = 0 wird, also t=$-\frac{34}{2}$=$-17$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -17\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -17\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 4+0\cdot \mathrm{(-17)}=-8\mathrm{+8}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-1|-5|2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -17\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}=8-8\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t +36 = 0 wird, also t=$-\frac{36}{2}$=$-18$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -18\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1+4x_2-18x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -18\end{array}\right)$=$6\cdot 2+6\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-18)}=12\mathrm{+24}-36=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|3|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|3|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1+4x_2-18x_3=-30$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ -2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-2\right)-\left(-2\right)·\left(-9\right)\\ -2·\left(-6\right)-\left(-9\right)·\left(-2\right)\\ -9·\left(-9\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-18\\ 12-18\\ 81-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 45\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 15\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=11 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 15\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·2-\left(-1\right)·2\\ -1·\left(-1\right)-2·2\\ 2·2-2·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+2\\ 1-4\\ 4+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{7\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{7\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-5·\left(-3\right)+2·\left(7-c\right)+11·\left(-1\right)$ = $15+2\left(7-c\right)-11$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{9}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-4\right)-1·4\\ 1·\left(-7\right)-4·\left(-4\right)\\ 4·4-8·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-4\\ -7+16\\ 16+56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 9\\ 72\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)|$ = 162

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+8^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+1^2+8^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 162 | :81

k = $\frac{\mathrm{162}}{\mathrm{81}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ 17\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ -15\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-4|10|17\right)$ oder C'$\left(12|6|-15\right)$.