Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}+4\cdot 2=-8\mathrm{+0}\mathrm{+8}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -9\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = -9⋅t +18 = 0 wird, also t=$\frac{18}{9}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}=-12\mathrm{+12}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 16\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = 16⋅t -32 = 0 wird, also t=$\frac{32}{16}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+5\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 5=0-15\mathrm{+15}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ = -1⋅t +37 = 0 wird, also t=$37$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}37\\ -3\\ 5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}37\\ -3\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot 37+5\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 5=0-15\mathrm{+15}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-1|2|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}37\\ -3\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}=0-36\mathrm{+36}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = -5⋅t -30 = 0 wird, also t=$-\frac{30}{5}$=$-6$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1+6x_2-6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-6)}\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}=0-36\mathrm{+36}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(1|-2|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(1|-2|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1+6x_2-6x_3=-30$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-\left(-8\right)·\left(-8\right)\\ -8·1-1·4\\ 1·\left(-8\right)-4·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-64\\ -8-4\\ -8-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ = -12⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-15\mathrm{+15}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ = -3⋅t -3 = 0 wird, also t=$-\frac{3}{3}$=$-1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-5)}=3\mathrm{+12}-15=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|-2|-3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|-2|-3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-5x_3=9$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ \mathrm{-11\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ \mathrm{-11\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $0·\left(-4\right)-1·\left(-11-c\right)+5·\left(-1\right)$ = $0-\left(-11-c\right)-5$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-6}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -11\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·7-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·\left(-6\right)-2·7\\ 2·\left(-6\right)-\left(-9\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-63-36\\ 36-14\\ -12-54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-99\\ 22\\ -66\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ -6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)|$ = 484

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-9)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+{\mathrm{(-2)}}^2+6^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 484 | :121

k = $\frac{\mathrm{484}}{\mathrm{121}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}38\\ -17\\ 18\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-36\\ 8\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-34\\ -1\\ -30\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(38|-17|18\right)$ oder C'$\left(-34|-1|-30\right)$.