Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}=9-9\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t -12 = 0 wird, also t=$-\frac{12}{2}$ = -6.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -6\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}=0-10\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-23\\ -5\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ = -23⋅t -23 = 0 wird, also t=$-\frac{23}{23}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+6\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot 6=0\mathrm{+36}-36=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = 6⋅t -18 = 0 wird, also t=$\frac{18}{6}$=$3$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$=$6\cdot 3+2\cdot 6+\mathrm{(-5)}\cdot 6=18\mathrm{+12}-30=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-5|-1|3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-25\mathrm{+25}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ = -4⋅t -40 = 0 wird, also t=$-\frac{40}{4}$=$-10$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ -5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-10x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-10)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-25\mathrm{+25}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|0|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|0|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-10x_1+5x_2-5x_3=-40$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1·2-2·2\\ 2·1-2·2\\ 2·2-1·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-4\\ 2-4\\ 4-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 3\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{t}=-2\mathrm{+2}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = -5⋅t -5 = 0 wird, also t=$-\frac{5}{5}$=$-1$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$=$3\cdot 1+4\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}=3-8\mathrm{+5}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-3|-5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ \mathrm{-3\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ \mathrm{-3\; -\; c}\end{array}\right)$ = $2·2-3·5-11·\left(-3-c\right)$ = $4-15-11\left(-3-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-2}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-6\right)-3·\left(-2\right)\\ 3·3-2·\left(-6\right)\\ 2·\left(-2\right)-\left(-6\right)·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+6\\ 9+12\\ -4+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42\\ 21\\ 14\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)|$ = 147

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-6)}}^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+3^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 147 | :49

k = $\frac{\mathrm{147}}{\mathrm{49}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}18\\ 9\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 3\\ 9\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-18\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -15\\ -3\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(20|3|9\right)$ oder C'$\left(-16|-15|-3\right)$.