Aufgabenbeispiele von Zwei Bedingungen

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Normalenvektor ohne Kreuzprodukt

Beispiel:

Finde einen Vektor, der sowohl zu u = ( -2 3 5 ) als auch zu v = ( 0 2 2 ) orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).

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Weil beim Vektor ( 0 2 2 ) in der x1-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( t -2 2 ) für jedes t orthogonal zu ( 0 2 2 ) , denn ( 0 2 2 ) ( t -2 2 ) =0t + 2(-2) + 22 = 0-4+4=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor ( -2 3 5 ) ( t -2 2 ) = -2⋅t +4 = 0 wird, also t= 4 2 = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also n = ( 2 -2 2 )

Normalenvektor

Beispiel:

Finde einen Vektor, der sowohl zu u = ( 5 -7 -3 ) als auch zu v = ( -1 0 2 ) orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).

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Weil beim Vektor ( -1 0 2 ) in der x2-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( 2 t 1 ) für jedes t orthogonal zu ( -1 0 2 ) , denn ( -1 0 2 ) ( 2 t 1 ) =(-1)2 + 0t + 21 = -2+0+2=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor ( 5 -7 -3 ) ( 2 t 1 ) = -7⋅t +7 = 0 wird, also t= 7 7 = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also n = ( 2 1 1 )

Gerade in E, die senkrecht auf g ist

Beispiel:

Bestimme eine Gerade h, die in der Ebene E: - x 1 + x 2 -5 x 3 = -33 liegt und orthogonal zur Geraden g: x = ( 4 -4 5 ) +t ( 0 -5 2 ) verläuft.

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Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor rvh der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor n = ( -1 1 -5 ) von E als auch zum Richungsvektor rvg = ( 0 -5 2 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor rvg = ( 0 -5 2 ) in der x1-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( t -2 -5 ) für jedes t orthogonal zur Geraden, denn ( 0 -5 2 ) ( t -2 -5 ) =0t + (-5)(-2) + 2(-5) = 0+10-10=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E ( -1 1 -5 ) ( t -2 -5 ) = -1⋅t +23 = 0 wird, also t=23. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also rvh = ( 23 -2 -5 ) .

Da n rvh = ( 0 -5 2 ) ( 23 -2 -5 ) =023 + (-5)(-2) + 2(-5) = 0+10-10=0 ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
(4|-4|5) liegt in E, da:

-1 4 +1 ( - 4 ) -5 5 = -33

.

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 4 -4 5 ) +t ( 23 -2 -5 )

Ebene, die g beinhaltet und ortho zu F

Beispiel:

Bestimme eine Ebene E, in der die Gerade g: x = ( -4 0 -2 ) +t ( 0 -4 6 ) liegt und die orthogonal zur Ebene F: -2 x 1 - x 2 +3 x 3 = 1 steht.

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Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor n der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor nF = ( -2 -1 3 ) von F als auch zum Richungsvektor rv = ( 0 -4 6 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor rv = ( 0 -4 6 ) in der x1-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( t -6 -4 ) für jedes t orthogonal zur Geraden, denn ( 0 -4 6 ) ( t -6 -4 ) =0t + (-4)(-6) + 6(-4) = 0+24-24=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F ( -2 -1 3 ) ( t -6 -4 ) = -2⋅t -6 = 0 wird, also t= - 6 2 =-3. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also nE = ( -3 -6 -4 ) , die Ebenengleichung also: -3 x 1 -6 x 2 -4 x 3 = d .

Da rv nE = ( 0 -4 6 ) ( -3 -6 -4 ) =0(-3) + (-4)(-6) + 6(-4) = 0+24-24=0 ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt (-4|0|-2) in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also (-4|0|-2) in E ein:

-3 ( - 4 ) -6 0 -4 ( - 2 ) = d

und erhalten d=20.

Die gesuchte Ebene ist also E: -3 x 1 -6 x 2 -4 x 3 = 20

Gerade mit gl. Abstand zu E und F

Beispiel:

Der Punkt P(14|-8|0) hat sowohl von der Ebene E: 3 x 1 -4 x 2 = 24 als auch von der Ebene F: -4 x 2 +3 x 3 = -18 den gleichen Abstand d = 10. Bestimme die Gleichung einer Geraden, deren Punkte auch alle den Abstand d=10 von E und von F haben.

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Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor u muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: u ( 3 -4 0 ) = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor u orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
u ( 0 -4 3 ) = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu ( 3 -4 0 ) als auch zu ( 0 -4 3 ) ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

u = ( 3 -4 0 ) × ( 0 -4 3 ) = ( -4 · 3 - 0 · ( -4 ) 0 · 0 - 3 · 3 3 · ( -4 ) - ( -4 ) · 0 ) = ( -12 +0 0 -9 -12 +0 ) = ( -12 -9 -12 ) = -3⋅ ( 4 3 4 )

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=10 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts OP = ( 14 -8 0 ) nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: x = ( 14 -8 0 ) +t ( 4 3 4 ) .

Gerade in E, die senkrecht auf g ist

Beispiel:

Bestimme eine Gerade h, die in der Ebene E: +4 x 2 +2 x 3 = -2 liegt und orthogonal zur Geraden g: x = ( 3 -3 5 ) +t ( 2 2 1 ) verläuft.

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Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor rvh der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor n = ( 0 4 2 ) von E als auch zum Richungsvektor rvg = ( 2 2 1 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor nE = ( 0 4 2 ) in der x1-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( t -2 4 ) für jedes t orthogonal zur Ebene, denn ( 0 4 2 ) ( t -2 4 ) =0t + 4(-2) + 24 = 0-8+8=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor rvg = ( 2 2 1 ) ( t -2 4 ) = 2⋅t +0 = 0 wird, also t= 0 2 =0. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also rvh = ( 0 -2 4 ) .

Da n rvh = ( 2 2 1 ) ( 0 -2 4 ) =20 + 2(-2) + 14 = 0-4+4=0 ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
(3|-3|5) liegt in E, da:

+4 ( - 3 ) +2 5 = -2

.

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 3 -3 5 ) +t ( 0 -2 4 )

Achsenpunkt für parallele Gerade

Beispiel:

Gegeben sind die Ebene E: -2 x 1 -4 x 2 +7 x 3 = 28 und der Punkt P(3|-5|0). P liegt nicht in E.

Bestimme eine Gerade g, die parallel zu E liegt, den Punkt P enthält und die x3-Achse schneidet.

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Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x3-Achse Qc(0|0|c). Damit muss Q cP = ( 3 -5 0 - c ) der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu Q cP sein, also gilt:

0 = ( -2 -4 7 ) ( 3 -5 0 - c ) = -2 · 3 -4 · ( -5 ) + 7 · ( -c ) = -6 +20 -7c

-6 +20 -7c = 0
-7c +14 = 0 | -14
-7c = -14 |:(-7 )
c = 2

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade Q 2P = ( 3 -5 0 - 2 ) = ( 3 -5 -2 )

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 3 -5 0 ) +t ( 3 -5 -2 )

Rechteck in einer Ebene finden

Beispiel:

Das Rechteck ABCD mit A(0|0|0) und B(-3|0|-4) liegt in der Ebene E: + x 2 = 0 und hat den Flächeninhalt 50.
Bestimme die Koordinaten eines möglichen Punkts C.

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Der Vektor BC muss orthogonal zu AB = ( -3 0 -4 ) sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss BC aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene n = ( 0 1 0 ) sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu ( -3 0 -4 ) als auch zu ( 0 1 0 ) sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅ BC = ( -3 0 -4 ) × ( 0 1 0 ) = ( 0 · 0 - ( -4 ) · 1 -4 · 0 - ( -3 ) · 0 -3 · 1 - 0 · 0 ) = ( 0 +4 0+0 -3 +0 ) = ( 4 0 -3 )

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = | ( -3 0 -4 ) | | k· ( 4 0 -3 ) | = 50

mit | ( -3 0 -4 ) | = (-3) 2 + 02 + (-4) 2 = 25 = 5 und | ( 4 0 -3 ) | = 4 2 + 02 + (-3) 2 = 25 = 5 gilt somit:

5 ⋅ k⋅5 = 50 | :25

k = 50 25 = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
0C = 0B + 2⋅ ( 4 0 -3 ) = ( -3 0 -4 ) + ( 8 0 -6 ) = ( 5 0 -10 )
bzw. 0C' = 0B - 2⋅ ( 4 0 -3 ) = ( -3 0 -4 ) + ( -8 0 6 ) = ( -11 0 2 )

Die Koordinaten von C sind somit C(5|0|-10) oder C'(-11|0|2).