Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}=2-2\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = 7⋅t -14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{7}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+15}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ = -1⋅t +13 = 0 wird, also t=$13$ = 13.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ -5\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}+1\cdot \mathrm{(-6)}=6\mathrm{+0}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = -1⋅t -1 = 0 wird, also t=$-1$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 1+0\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-6)}=6\mathrm{+0}-6=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-1|2|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{t}=-20\mathrm{+20}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +17 = 0 wird, also t=$17$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 17\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $4x_1-5x_2+17x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 17\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot 17=-20\mathrm{+20}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|1|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|1|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $4x_1-5x_2+17x_3=-22$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·8-\left(-4\right)·\left(-8\right)\\ -4·\left(-4\right)-8·8\\ 8·\left(-8\right)-\left(-8\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-64-32\\ 16-64\\ -64-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96\\ -48\\ -96\end{array}\right)$ = -48⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=12 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot 2=10\mathrm{+0}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = 3⋅t +27 = 0 wird, also t=$-\frac{27}{3}$=$-9$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1-9x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{(-9)}+\mathrm{(-5)}\cdot 2=10\mathrm{+0}-10=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|0|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|0|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1-9x_2+2x_3=-25$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ \mathrm{-2\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ \mathrm{-2\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-5·2+5·\left(-2-c\right)+0·\left(-1\right)$ = $-10+5\left(-2-c\right)+0$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-4}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·\left(-2\right)-\left(-1\right)·1\\ -1·2-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·1-2·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4+1\\ -2-4\\ -2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)|$ = 9

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+2^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 9 | :9

k = $\frac{9}{9}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 1\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-1|4|1\right)$ oder C'$\left(-3|0|-3\right)$.