Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+3\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 3=0\mathrm{+6}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ = 2⋅t +14 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{2}$ = -7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}=-3\mathrm{+3}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +1 = 0 wird, also t=$1$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{t}+6\cdot 6=-36\mathrm{+0}\mathrm{+36}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 6\end{array}\right)$ = -2⋅t -54 = 0 wird, also t=$-\frac{54}{2}$=$-27$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ 6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 6+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-27)}+\mathrm{(-4)}\cdot 6=-30\mathrm{+54}-24=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|5|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ 6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ t\end{array}\right)$=$6\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{t}=18-18\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ t\end{array}\right)$ = -4⋅t +12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{4}$=$3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $3x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 3+5\cdot 6+\mathrm{(-4)}\cdot 3=-18\mathrm{+30}-12=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|-5|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|-5|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $3x_1+6x_2+3x_3=-21$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·6-6·\left(-2\right)\\ 6·3-\left(-2\right)·6\\ -2·\left(-2\right)-3·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18+12\\ 18+12\\ 4-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ -5\end{array}\right)$ = -5⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=21 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 9\\ 18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 9\\ 18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 1\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}=-16\mathrm{+16}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t +40 = 0 wird, also t=$-\frac{40}{2}$=$-20$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -20\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -20\end{array}\right)$=$4\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-20)}=16\mathrm{+24}-40=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|-3|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -20\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ \mathrm{9\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ \mathrm{9\; -\; c}\end{array}\right)$ = $4·\left(-1\right)-3·\left(-5\right)+11·\left(9-c\right)$ = $-4+15+11\left(9-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·0-3·0\\ 3·1-0·0\\ 0·0-4·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 3+0\\ 0-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)|$ = 75

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-3)}}^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ gilt somit:

5 ⋅ k⋅5 = 75 | :25

k = $\frac{\mathrm{75}}{\mathrm{25}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 15\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 13\\ -9\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(0|-5|15\right)$ oder C'$\left(0|13|-9\right)$.