In diesem Fall, wenn in einem Vektor zwei Nullen sind, wird es besonders einfach, den Normalenvektor zu finden:

Da ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ nur in der x₃-Koordinate eine Zahl ungleich 0 besitzt, muss unser Normalenvektor an dieser Stelle unbedingt eine 0 haben, weil wir ja sonst dieses Produkt nicht mehr "wegbekommen" würden.

Es gilt also schon mal sicher für unseren Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$, weil $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ ∘ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$= 0

Und weil ja aber auch $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ ∘ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$= 0 gelten muss, können wir beim Normalenvektor einfach die x₂- und die x₁-Koordinaten vom Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ vertauschen und bei einer das Vorzeichen wechseln, denn:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ ∘ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ = $5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 0$ = 0

Somit wäre $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ ein Normalenvektor zu den beiden gegebenen Vektoren.

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-8\mathrm{+8}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ = -4⋅t -16 = 0 wird, also t=$-\frac{16}{4}$ = -4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-8\mathrm{+8}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +2 = 0 wird, also t=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 2=6-4-2=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-2|2|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 1=0-2\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ = -1⋅t +7 = 0 wird, also t=$7$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $7x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot 7+1\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 1=0-2\mathrm{+2}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|3|4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|3|4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $7x_1-2x_2+x_3=-30$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-2\right)-3·6\\ 3·3-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·6-6·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-18\\ 9-4\\ -12-18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-30\\ 5\\ -30\end{array}\right)$ = 5⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -6\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=14 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ 12\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -6\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -7\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -7\\ 6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -7\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-6·\left(-7\right)\\ 6·6-\left(-7\right)·6\\ -7·\left(-7\right)-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+42\\ 36+42\\ 49-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}78\\ 78\\ 13\end{array}\right)$ = 13⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=33 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 1\end{array}\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ \mathrm{6\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ \mathrm{6\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-5·\left(-5\right)+4·\left(-1\right)+7·\left(6-c\right)$ = $25-4+7\left(6-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{9}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -3\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -3\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-4\right)-1·4\\ 1·\left(-7\right)-4·\left(-4\right)\\ 4·4-8·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-4\\ -7+16\\ 16+56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 9\\ 72\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)|$ = 243

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+8^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+1^2+8^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 243 | :81

k = $\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{81}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ 3\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 11\\ 25\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}12\\ -3\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 5\\ -23\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-8|11|25\right)$ oder C'$\left(16|5|-23\right)$.