Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}=3-3\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = 3⋅t -9 = 0 wird, also t=$\frac{9}{3}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+2\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 2=0\mathrm{+8}-8=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ = 4⋅t +16 = 0 wird, also t=$-\frac{16}{4}$ = -4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{t}+2\cdot 3=-6\mathrm{+0}\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = 3⋅t +6 = 0 wird, also t=$-\frac{6}{3}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 2+3\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot 3=-6-6\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-5|2|5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-1)}=-6\mathrm{+0}\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = -10⋅t -20 = 0 wird, also t=$-\frac{20}{10}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -1\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-10)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}=-24\mathrm{+20}\mathrm{+4}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|5|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|5|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1-2x_2-x_3=12$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·\left(-3\right)-6·6\\ 6·6-6·\left(-3\right)\\ 6·6-\left(-3\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9-36\\ 36+18\\ 36+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27\\ 54\\ 54\end{array}\right)$ = -27⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}=18-18\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -3⋅t +18 = 0 wird, also t=$\frac{18}{3}$=$6$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)$=$6\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 6=36-18-18=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(0|4|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ \mathrm{-2\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ \mathrm{-2\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-5·\left(-1\right)-2·\left(-2-c\right)-5·\left(-1\right)$ = $5-2\left(-2-c\right)+5$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-7}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·1-2·\left(-2\right)\\ 2·2-\left(-2\right)·1\\ -2·\left(-2\right)-\left(-1\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1+4\\ 4+2\\ 4+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)|$ = 27

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-1)}}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 27 | :9

k = $\frac{\mathrm{27}}{9}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ -4\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(1|5|8\right)$ oder C'$\left(-5|-7|-4\right)$.