Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-5\mathrm{+5}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-23\\ -3\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ = -23⋅t -23 = 0 wird, also t=$-\frac{23}{23}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-2)}\cdot 5=10\mathrm{+0}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -2⋅t -2 = 0 wird, also t=$-\frac{2}{2}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+4\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = -1⋅t +1 = 0 wird, also t=$1$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot 1+1\cdot 4=-1-3\mathrm{+4}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|1|-3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+3}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ = 2⋅t +4 = 0 wird, also t=$-\frac{4}{2}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -3\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=-4\mathrm{+1}\mathrm{+3}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|3|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|3|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_1-x_2-3x_3=16$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-3\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·\left(-6\right)-\left(-3\right)·\left(-3\right)\\ -3·\left(-2\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18-4\\ 12-9\\ 6-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14\\ 3\\ -30\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=14 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -12\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -12\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}14\\ 3\\ -30\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot 6=36\mathrm{+0}-36=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 6\end{array}\right)$ = -4⋅t +12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{4}$=$3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot 6=36\mathrm{+0}-36=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(1|-2|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(1|-2|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1+3x_2+6x_3=-12$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{1\; -\; c}\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{1\; -\; c}\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ = $-3·\left(1-c\right)+2·\left(-4\right)+7·\left(-1\right)$ = $-3\left(1-c\right)-8-7$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{6}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-4\right)-1·7\\ 1·4-8·\left(-4\right)\\ 8·7-\left(-4\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-7\\ 4+32\\ 56+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 36\\ 72\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\end{array}\right)|$ = 243

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{8^2+{\mathrm{(-4)}}^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+4^2+8^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 243 | :81

k = $\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{81}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 8\\ 25\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -12\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -16\\ -23\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(11|8|25\right)$ oder C'$\left(5|-16|-23\right)$.