Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{t}=4-4\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = -4⋅t +16 = 0 wird, also t=$\frac{16}{4}$ = 4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}=8-8\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 17\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 17⋅t +34 = 0 wird, also t=$-\frac{34}{17}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}=-1\mathrm{+1}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t +2 = 0 wird, also t=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{(-2)}=-1\mathrm{+1}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|5|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}=15-15\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +1 = 0 wird, also t=$1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$=$3\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 3+0\cdot 1=15-15\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|-3|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|-3|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1+3x_2+x_3=-6$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-6\right)-\left(-3\right)·2\\ -3·\left(-3\right)-2·\left(-6\right)\\ 2·2-\left(-6\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+6\\ 9+12\\ 4-18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42\\ 21\\ -14\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=14 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -12\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}=0-18\mathrm{+18}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = 12⋅t -48 = 0 wird, also t=$\frac{48}{12}$=$4$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $4x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -6\end{array}\right)$=$12\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot 3+5\cdot \mathrm{(-6)}=48-18-30=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|2|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|2|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $4x_1+3x_2-6x_3=-14$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ \mathrm{-12\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ \mathrm{-12\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-5·\left(-4\right)+1·\left(-4\right)+8·\left(-12-c\right)$ = $20-4+8\left(-12-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1·\left(-4\right)-8·4\\ 8·7-4·\left(-4\right)\\ 4·4-1·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-32\\ 56+16\\ 16-7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 72\\ 9\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)|$ = 81

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+1^2+8^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+8^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 81 | :81

k = $\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{81}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 9\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ 7\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(0|9|9\right)$ oder C'$\left(8|-7|7\right)$.