Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{t}=15-15\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -7⋅t -14 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{7}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+1\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 1=0-2\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ = 1⋅t +3 = 0 wird, also t=$-3$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{t}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t +34 = 0 wird, also t=$\frac{34}{2}$=$17$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 17\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 17\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot 17=5-5\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|-5|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 17\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -7\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}=-18\mathrm{+18}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = -7⋅t -21 = 0 wird, also t=$-\frac{21}{7}$=$-3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $6x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{(-3)}=-18\mathrm{+18}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(1|-2|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(1|-2|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $6x_1-3x_2-3x_3=15$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-4\right)-4·4\\ 4·2-2·\left(-4\right)\\ 2·4-\left(-4\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-16\\ 8+8\\ 8+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ 16\end{array}\right)$ = 16⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=12 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}+1\cdot \mathrm{(-6)}=6\mathrm{+0}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = 1⋅t -3 = 0 wird, also t=$3$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-6)}=6\mathrm{+0}-6=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|-3|-5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{12\; -\; c}\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{12\; -\; c}\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ = $-2·\left(12-c\right)-3·\left(-2\right)+2·\left(-1\right)$ = $-2\left(12-c\right)+6-2$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·0-4·0\\ 4·1-0·0\\ 0·0-\left(-3\right)·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 4+0\\ 0+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)|$ = 25

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-3)}}^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ gilt somit:

5 ⋅ k⋅5 = 25 | :25

k = $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{25}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 7\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 1\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(0|1|7\right)$ oder C'$\left(0|-7|1\right)$.