Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+4\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 4=0-4\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ = 2⋅t -4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = 1⋅t +2 = 0 wird, also t=$-2$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ t\end{array}\right)$=$5\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{t}=25-25\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ t\end{array}\right)$ = 5⋅t -55 = 0 wird, also t=$\frac{55}{5}$=$11$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 11\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 11\end{array}\right)$=$5\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 5+0\cdot 11=25-25\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|-5|5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 11\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 4+0\cdot \mathrm{t}=-4\mathrm{+4}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t -26 = 0 wird, also t=$-\frac{26}{2}$=$-13$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -13\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-13x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -13\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-13)}=-6-20\mathrm{+26}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|-3|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|-3|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-13x_3=6$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·0-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·\left(-8\right)-\left(-8\right)·0\\ -8·\left(-6\right)-0·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-36\\ 48+0\\ 48+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 48\\ 48\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=10 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -13\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-1)}=-6\mathrm{+0}\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -13\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = -13⋅t -26 = 0 wird, also t=$-\frac{26}{13}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -13\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -1\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-13)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-1)}=-24\mathrm{+26}-2=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|-5|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|-5|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1-2x_2-x_3=-10$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{5\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{5\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $4·\left(-2\right)+3·\left(5-c\right)-5·\left(-1\right)$ = $-8+3\left(5-c\right)+5$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{4}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·1-2·\left(-2\right)\\ 2·2-1·1\\ 1·\left(-2\right)-2·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+4\\ 4-1\\ -2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)|$ = 36

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+1^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 36 | :9

k = $\frac{\mathrm{36}}{9}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -6\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 10\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(9|6|-6\right)$ oder C'$\left(-7|-2|10\right)$.