Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{t}+1\cdot 3=-3\mathrm{+0}\mathrm{+3}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = -1⋅t -11 = 0 wird, also t=$-11$ = -11.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -11\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{t}=-25\mathrm{+25}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -7⋅t +35 = 0 wird, also t=$\frac{35}{7}$ = 5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 17\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot 5+0\cdot \mathrm{t}+5\cdot \mathrm{(-2)}=10\mathrm{+0}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 17\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = 17⋅t +34 = 0 wird, also t=$-\frac{34}{17}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 17\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -2\end{array}\right)$=$6\cdot 5+17\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}=30-34\mathrm{+4}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-3|-5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{t}+6\cdot 6=-36\mathrm{+0}\mathrm{+36}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 6\end{array}\right)$ = -12⋅t -24 = 0 wird, also t=$-\frac{24}{12}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $6x_1-2x_2+6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 6\end{array}\right)$=$2\cdot 6+\mathrm{(-12)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-6)}\cdot 6=12\mathrm{+24}-36=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|4|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|4|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $6x_1-2x_2+6x_3=-50$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-6\right)-3·3\\ 3·\left(-2\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·3-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-9\\ -6-36\\ -18-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -42\\ -22\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=7 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 42\\ 22\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{t}=12-12\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ t\end{array}\right)$ = -5⋅t +10 = 0 wird, also t=$\frac{10}{5}$=$2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_1-6x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot 2=12-12\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|2|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|2|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_1-6x_2+2x_3=-26$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ \mathrm{-1\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ \mathrm{-1\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-4·\left(-5\right)+3·\left(-1-c\right)+11·\left(-1\right)$ = $20+3\left(-1-c\right)-11$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{2}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·7-\left(-6\right)·6\\ -6·6-9·7\\ 9·6-\left(-2\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14+36\\ -36-63\\ 54+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22\\ -99\\ 66\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -6\end{array}\right)|$ = 242

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+9^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 242 | :121

k = $\frac{\mathrm{242}}{\mathrm{121}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 18\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 16\\ -18\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ -20\\ 6\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(5|16|-18\right)$ oder C'$\left(13|-20|6\right)$.