Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=-6\mathrm{+0}\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = -1⋅t +1 = 0 wird, also t=$1$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{t}+5\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 5=0-25\mathrm{+25}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}20\\ -6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ = 20⋅t +40 = 0 wird, also t=$-\frac{40}{20}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{t}=4-4\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t -16 = 0 wird, also t=$\frac{16}{2}$=$8$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 8\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 8\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 8=-4-12\mathrm{+16}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-1|3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 8\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 13\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ t\end{array}\right)$=$5\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{t}=10-10\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 13\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ t\end{array}\right)$ = 13⋅t +26 = 0 wird, also t=$-\frac{26}{13}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$=$5\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{(-2)}=10-10\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|0|5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|0|5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1+5x_2-2x_3=-2$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-8\right)-\left(-4\right)·\left(-8\right)\\ -4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-8\right)\\ -8·\left(-8\right)-\left(-8\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64-32\\ 16-64\\ 64-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32\\ -48\\ 32\end{array}\right)$ = -16⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=36 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-22\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-22\\ -24\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{t}=18-18\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = 4⋅t -24 = 0 wird, also t=$\frac{24}{4}$=$6$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot 6=-6-18\mathrm{+24}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|2|-3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|2|-3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1-3x_2+6x_3=-48$

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ \mathrm{10\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ \mathrm{10\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-2·3+4·\left(10-c\right)-6·\left(-1\right)$ = $-6+4\left(10-c\right)+6$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 10\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-6\right)-2·7\\ 2·\left(-6\right)-\left(-9\right)·\left(-6\right)\\ -9·7-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-14\\ -12-54\\ -63-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22\\ -66\\ -99\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)|$ = 242

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-9)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2+2^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+6^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 242 | :121

k = $\frac{\mathrm{242}}{\mathrm{121}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 6\\ 20\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ -12\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -18\\ -16\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-13|6|20\right)$ oder C'$\left(-5|-18|-16\right)$.