Aufgabenbeispiele von Flächen und Volumen

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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(2|4|-3), B(14|4|13) und C(9|4|-2) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 2 4 -3 ) + ( -5 0 -15 ) = ( -3 4 -18 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-3|4|-18).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 14-2 4-4 13-( - 3 ) ) = ( 12 0 16 ) und AD = BC = ( 9-14 4-4 -2-13 ) = ( -5 0 -15 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 12 0 16 ) × ( -5 0 -15 ) = ( 0 · ( -15 ) - 16 · 0 16 · ( -5 ) - 12 · ( -15 ) 12 · 0 - 0 · ( -5 ) ) = ( 0+0 -80 +180 0+0 ) = ( 0 100 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 100 0 ) | = 0 2 + 1002 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 100.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(24|-16|-4), B(-8|0|0) und C(-1|-8|7).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -8-24 0-( - 16 ) 0-( - 4 ) ) = ( -32 16 4 ) und AC = ( -1-24 -8-( - 16 ) 7-( - 4 ) ) = ( -25 8 11 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -32 16 4 ) × ( -25 8 11 ) = ( 16 · 11 - 4 · 8 4 · ( -25 ) - ( -32 ) · 11 -32 · 8 - 16 · ( -25 ) ) = ( 176 -32 -100 +352 -256 +400 ) = ( 144 252 144 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 144 252 144 ) | = 144 2 + 2522 + 144 2 = 104976 = 324 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 324 = 162.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(3|1|-5), B(-3|19|-14), C(-15|13|-18) und D(-9|-5|-9) und als Spitze S(6|-8|-25). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -3-3 19-1 -14-( - 5 ) ) = ( -6 18 -9 ) und AD = BC = ( -15-( - 3 ) 13-19 -18-( - 14 ) ) = ( -12 -6 -4 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -6 18 -9 ) × ( -12 -6 -4 ) = ( 18 · ( -4 ) - ( -9 ) · ( -6 ) -9 · ( -12 ) - ( -6 ) · ( -4 ) -6 · ( -6 ) - 18 · ( -12 ) ) = ( -72 -54 108 -24 36 +216 ) = ( -126 84 252 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -126 84 252 ) | = (-126) 2 + 842 + 252 2 = 86436 = 294 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 3 1 -5 ) + r ( -6 18 -9 ) + s ( -12 -6 -4 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -6 18 -9 ) × ( -12 -6 -4 ) = ( 18 · ( -4 ) - ( -9 ) · ( -6 ) -9 · ( -12 ) - ( -6 ) · ( -4 ) -6 · ( -6 ) - 18 · ( -12 ) ) = ( -72 -54 108 -24 36 +216 ) = ( -126 84 252 ) = -42⋅ ( 3 -2 -6 )

Weil der Vektor ( 3 -2 -6 ) orthogonal zu ( -6 18 -9 ) und ( -12 -6 -4 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 3 1 -5 ) ] ( 3 -2 -6 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 3 x 1 -2 x 2 -6 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(3|1|-5) erhält man
d = 33 + (-2)1 + (-6)(-5)
also:

3 x 1 -2 x 2 -6 x 3 = 37

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 3 6-2 ( - 8 )-6 ( - 25 )-37 | 3 2 + ( - 2 ) 2 + ( - 6 ) 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 294 · 21 = 2058

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(-1|1|-1), B(-9|-23|11), C(-23|-23|18) und als Spitze S(0|4|22).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -9-( - 1 ) -23-1 11-( - 1 ) ) = ( -8 -24 12 ) und AC = ( -23-( - 1 ) -23-1 18-( - 1 ) ) = ( -22 -24 19 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -8 -24 12 ) × ( -22 -24 19 ) = ( -24 · 19 - 12 · ( -24 ) 12 · ( -22 ) - ( -8 ) · 19 -8 · ( -24 ) - ( -24 ) · ( -22 ) ) = ( -456 +288 -264 +152 192 -528 ) = ( -168 -112 -336 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -168 -112 -336 ) | = (-168) 2 + (-112)2 + (-336) 2 = 153664 = 392 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -1 1 -1 ) + r ( -8 -24 12 ) + s ( -22 -24 19 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -8 -24 12 ) × ( -22 -24 19 ) = ( -24 · 19 - 12 · ( -24 ) 12 · ( -22 ) - ( -8 ) · 19 -8 · ( -24 ) - ( -24 ) · ( -22 ) ) = ( -456 +288 -264 +152 192 -528 ) = ( -168 -112 -336 ) = -56⋅ ( 3 2 6 )

Weil der Vektor ( 3 2 6 ) orthogonal zu ( -8 -24 12 ) und ( -22 -24 19 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -1 1 -1 ) ] ( 3 2 6 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 3 x 1 +2 x 2 +6 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-1|1|-1) erhält man
d = 3(-1) + 21 + 6(-1)
also:

3 x 1 +2 x 2 +6 x 3 = -7

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 3 0+2 4+6 22+7 | 3 2 + 2 2 + 6 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 196 · 21 = 1372

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(1|11|22), der Punkt C(-11|0|7) und die Gerade g: x = ( 1 11 22 ) +t ( -2 -3 -6 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 98 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( -2 t -3 t -6 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( -11-1 0-11 7-22 ) = ( -12 -11 -15 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -2 t -3 t -6 t ) × ( -12 -11 -15 ) = ( -3 t · ( -15 ) - ( -6 t ) · ( -11 ) -6 t · ( -12 ) - ( -2 t ) · ( -15 ) -2 t · ( -11 ) - ( -3 t ) · ( -12 ) ) = ( 45 t -66 t 72 t -30 t 22 t -36 t ) = ( -21 t 42 t -14 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( -21 t 42 t -14 t ) | = 441 t 2 +1764 t 2 +196 t 2 = 2401 t 2 = | 49t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 98 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 49t | = 98 |⋅2

| 49t | = 196

1. Fall

49t = 196 |: 49

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 1 -2 t | 11 -3 t | 22 -6 t ) ergibt
B1(-7|-1|-2).

2. Fall

- 49t = 196 |: -49

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 1 -2 t | 11 -3 t | 22 -6 t ) ergibt
B2(9|23|46).

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 5 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 495. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

5 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 5 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 5 x +3 0 +2 0 = d => x = d 5 , also S1( d 5 |0|0)
S2: 5 0 +3 y +2 0 = d => y = d 3 , also S2(0| d 3 |0)
S3: 5 0 +3 0 +2 z = d => z = d 2 , also S3(0|0| d 2 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 5 d 3 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 2 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 5 d 3 d 2 = d 3 180

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 180 d 3 = 495 |⋅180
d 3 = 89100 | 3
d = 89100 3

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 5 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 45

Aber auch E2: 5 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = -45 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-9|0|0), S2(0|-15|0) und S3(0|0|-22). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 5 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 45 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 3 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x2-Achse und der x3-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 120. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

3 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 3 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 3 x +3 0 +5 0 = d => x = d 3 , also S1( d 3 |0|0)
S2: 3 0 +3 y +5 0 = d => y = d 3 , also S2(0| d 3 |0)
S3: 3 0 +3 0 +5 z = d => z = d 5 , also S3(0|0| d 5 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS2 und OS3.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS2S3: A = 1 2 d 3 d 5 = d 2 30

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 30 d 2 = 120 |⋅30
d 2 = 3600 | 2
d1 = - 3600 = -60
d2 = 3600 = 60

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 3 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = 60

Aber auch E2: 3 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = -60 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-20|0|0), S2(0|-20|0) und S3(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 3 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = 60 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: 5 x 1 +4 x 2 +3 x 3 = 120 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 5 x 1 +4 x 2 +3 x 3 = 120 ein.

S1: 5 x +4 0 +3 0 = 120 => x= 120 5 =24, also S1(24|0|0)
S2: 5 0 +4 y +3 0 = 120 => y= 120 4 =30, also S2(0|30|0)
S3: 5 0 +4 0 +3 z = 120 => z= 120 3 =40, also S3(0|0|40)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 24⋅30 = 360, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= 40 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅360⋅40
=4800