Aufgabenbeispiele von Flächen und Volumen

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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(-2|-1|-9), B(-10|23|27) und C(-13|-1|2) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( -2 -1 -9 ) + ( -3 -24 -25 ) = ( -5 -25 -34 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-5|-25|-34).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -10-( - 2 ) 23-( - 1 ) 27-( - 9 ) ) = ( -8 24 36 ) und AD = BC = ( -13-( - 10 ) -1-23 2-27 ) = ( -3 -24 -25 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -8 24 36 ) × ( -3 -24 -25 ) = ( 24 · ( -25 ) - 36 · ( -24 ) 36 · ( -3 ) - ( -8 ) · ( -25 ) -8 · ( -24 ) - 24 · ( -3 ) ) = ( -600 +864 -108 -200 192 +72 ) = ( 264 -308 264 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 264 -308 264 ) | = 264 2 + (-308)2 + 264 2 = 234256 = 484 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 484.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(4|2|-2), B(12|6|6) und C(3|3|-6).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 12-4 6-2 6-( - 2 ) ) = ( 8 4 8 ) und AC = ( 3-4 3-2 -6-( - 2 ) ) = ( -1 1 -4 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 8 4 8 ) × ( -1 1 -4 ) = ( 4 · ( -4 ) - 8 · 1 8 · ( -1 ) - 8 · ( -4 ) 8 · 1 - 4 · ( -1 ) ) = ( -16 -8 -8 +32 8 +4 ) = ( -24 24 12 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -24 24 12 ) | = (-24) 2 + 242 + 12 2 = 1296 = 36 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 36 = 18.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(-2|-1|-6), B(-10|11|18), C(-24|18|18) und D(-16|6|-6) und als Spitze S(-1|22|-9). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -10-( - 2 ) 11-( - 1 ) 18-( - 6 ) ) = ( -8 12 24 ) und AD = BC = ( -24-( - 10 ) 18-11 18-18 ) = ( -14 7 0 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -8 12 24 ) × ( -14 7 0 ) = ( 12 · 0 - 24 · 7 24 · ( -14 ) - ( -8 ) · 0 -8 · 7 - 12 · ( -14 ) ) = ( 0 -168 -336 +0 -56 +168 ) = ( -168 -336 112 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -168 -336 112 ) | = (-168) 2 + (-336)2 + 112 2 = 153664 = 392 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 392.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -2 -1 -6 ) + r ( -8 12 24 ) + s ( -14 7 0 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -8 12 24 ) × ( -14 7 0 ) = ( 12 · 0 - 24 · 7 24 · ( -14 ) - ( -8 ) · 0 -8 · 7 - 12 · ( -14 ) ) = ( 0 -168 -336 +0 -56 +168 ) = ( -168 -336 112 ) = -56⋅ ( 3 6 -2 )

Weil der Vektor ( 3 6 -2 ) orthogonal zu ( -8 12 24 ) und ( -14 7 0 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -2 -1 -6 ) ] ( 3 6 -2 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 3 x 1 +6 x 2 -2 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-2|-1|-6) erhält man
d = 3(-2) + 6(-1) + (-2)(-6)
also:

3 x 1 +6 x 2 -2 x 3 = 0

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 3 ( - 1 )+6 22-2 ( - 9 )-0 | 3 2 + 6 2 + ( - 2 ) 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 392 · 21 = 2744

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(-10|9|-3), B(22|-7|-7), C(32|-3|-24) und als Spitze S(11|30|0).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 22-( - 10 ) -7-9 -7-( - 3 ) ) = ( 32 -16 -4 ) und AC = ( 32-( - 10 ) -3-9 -24-( - 3 ) ) = ( 42 -12 -21 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 32 -16 -4 ) × ( 42 -12 -21 ) = ( -16 · ( -21 ) - ( -4 ) · ( -12 ) -4 · 42 - 32 · ( -21 ) 32 · ( -12 ) - ( -16 ) · 42 ) = ( 336 -48 -168 +672 -384 +672 ) = ( 288 504 288 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 288 504 288 ) | = 288 2 + 5042 + 288 2 = 419904 = 648 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -10 9 -3 ) + r ( 32 -16 -4 ) + s ( 42 -12 -21 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 32 -16 -4 ) × ( 42 -12 -21 ) = ( -16 · ( -21 ) - ( -4 ) · ( -12 ) -4 · 42 - 32 · ( -21 ) 32 · ( -12 ) - ( -16 ) · 42 ) = ( 336 -48 -168 +672 -384 +672 ) = ( 288 504 288 ) = 72⋅ ( 4 7 4 )

Weil der Vektor ( 4 7 4 ) orthogonal zu ( 32 -16 -4 ) und ( 42 -12 -21 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -10 9 -3 ) ] ( 4 7 4 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 4 x 1 +7 x 2 +4 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-10|9|-3) erhält man
d = 4(-10) + 79 + 4(-3)
also:

4 x 1 +7 x 2 +4 x 3 = 11

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 4 11+7 30+4 0-11 | 4 2 + 7 2 + 4 2
= | 243 | 81 = 243 9 = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 324 · 27 = 2916

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(0|0|-13), der Punkt C(8|7|-6) und die Gerade g: x = ( 0 0 -13 ) +t ( -4 1 -8 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 121,5 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( -4 t t -8 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( 8-0 7-0 -6-( - 13 ) ) = ( 8 7 7 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -4 t t -8 t ) × ( 8 7 7 ) = ( t · 7 - ( -8 t ) · 7 -8 t · 8 - ( -4 t ) · 7 -4 t · 7 - t · 8 ) = ( 7 t +56 t -64 t +28 t -28 t -8 t ) = ( 63 t -36 t -36 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( 63 t -36 t -36 t ) | = 3969 t 2 +1296 t 2 +1296 t 2 = 6561 t 2 = | 81t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 81t | = 121,5 |⋅2

| 81t | = 243

1. Fall

81t = 243 |: 81

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 0 -4 t | 0 +1 t | -13 -8 t ) ergibt
B1(-12|3|-37).

2. Fall

- 81t = 243 |: -81

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 0 -4 t | 0 +1 t | -13 -8 t ) ergibt
B2(12|-3|11).

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 2 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 225. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

2 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 2 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 2 x +5 0 +2 0 = d => x = d 2 , also S1( d 2 |0|0)
S2: 2 0 +5 y +2 0 = d => y = d 5 , also S2(0| d 5 |0)
S3: 2 0 +5 0 +2 z = d => z = d 2 , also S3(0|0| d 2 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 2 d 5 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 2 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 2 d 5 d 2 = d 3 120

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 120 d 3 = 225 |⋅120
d 3 = 27000 | 3
d = 27000 3 = 30

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 2 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 30

Aber auch E2: 2 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = -30 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-15|0|0), S2(0|-6|0) und S3(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 2 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 30 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x2-Achse und der x3-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 180. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 4 x +2 0 +5 0 = d => x = d 4 , also S1( d 4 |0|0)
S2: 4 0 +2 y +5 0 = d => y = d 2 , also S2(0| d 2 |0)
S3: 4 0 +2 0 +5 z = d => z = d 5 , also S3(0|0| d 5 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS2 und OS3.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS2S3: A = 1 2 d 2 d 5 = d 2 20

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 20 d 2 = 180 |⋅20
d 2 = 3600 | 2
d1 = - 3600 = -60
d2 = 3600 = 60

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = 60

Aber auch E2: 4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = -60 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-15|0|0), S2(0|-30|0) und S3(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = 60 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: x 1 +2 x 2 + x 3 = 6 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung x 1 +2 x 2 + x 3 = 6 ein.

S1: 1 x +2 0 +1 0 = 6 => x=6=6, also S1(6|0|0)
S2: 1 0 +2 y +1 0 = 6 => y= 6 2 =3, also S2(0|3|0)
S3: 1 0 +2 0 +1 z = 6 => z=6=6, also S3(0|0|6)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 6⋅3 = 9, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅9⋅6
=18