Aufgabenbeispiele von Flächen und Volumen

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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(4|1|-11), B(8|17|-43) und C(11|-7|-4) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 4 1 -11 ) + ( 3 -24 39 ) = ( 7 -23 28 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(7|-23|28).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 8-4 17-1 -43-( - 11 ) ) = ( 4 16 -32 ) und AD = BC = ( 11-8 -7-17 -4-( - 43 ) ) = ( 3 -24 39 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 4 16 -32 ) × ( 3 -24 39 ) = ( 16 · 39 - ( -32 ) · ( -24 ) -32 · 3 - 4 · 39 4 · ( -24 ) - 16 · 3 ) = ( 624 -768 -96 -156 -96 -48 ) = ( -144 -252 -144 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -144 -252 -144 ) | = (-144) 2 + (-252)2 + (-144) 2 = 104976 = 324 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 324.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(0|1|-7), B(-8|25|-19) und C(-4|-8|-6).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -8-0 25-1 -19-( - 7 ) ) = ( -8 24 -12 ) und AC = ( -4-0 -8-1 -6-( - 7 ) ) = ( -4 -9 1 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -8 24 -12 ) × ( -4 -9 1 ) = ( 24 · 1 - ( -12 ) · ( -9 ) -12 · ( -4 ) - ( -8 ) · 1 -8 · ( -9 ) - 24 · ( -4 ) ) = ( 24 -108 48 +8 72 +96 ) = ( -84 56 168 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -84 56 168 ) | = (-84) 2 + 562 + 168 2 = 38416 = 196 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 196 = 98.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(1|4|2), B(-5|13|20), C(-17|17|14) und D(-11|8|-4) und als Spitze S(4|24|-7). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -5-1 13-4 20-2 ) = ( -6 9 18 ) und AD = BC = ( -17-( - 5 ) 17-13 14-20 ) = ( -12 4 -6 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -6 9 18 ) × ( -12 4 -6 ) = ( 9 · ( -6 ) - 18 · 4 18 · ( -12 ) - ( -6 ) · ( -6 ) -6 · 4 - 9 · ( -12 ) ) = ( -54 -72 -216 -36 -24 +108 ) = ( -126 -252 84 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -126 -252 84 ) | = (-126) 2 + (-252)2 + 84 2 = 86436 = 294 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 1 4 2 ) + r ( -6 9 18 ) + s ( -12 4 -6 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -6 9 18 ) × ( -12 4 -6 ) = ( 9 · ( -6 ) - 18 · 4 18 · ( -12 ) - ( -6 ) · ( -6 ) -6 · 4 - 9 · ( -12 ) ) = ( -54 -72 -216 -36 -24 +108 ) = ( -126 -252 84 ) = -42⋅ ( 3 6 -2 )

Weil der Vektor ( 3 6 -2 ) orthogonal zu ( -6 9 18 ) und ( -12 4 -6 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 1 4 2 ) ] ( 3 6 -2 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 3 x 1 +6 x 2 -2 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(1|4|2) erhält man
d = 31 + 64 + (-2)2
also:

3 x 1 +6 x 2 -2 x 3 = 23

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 3 4+6 24-2 ( - 7 )-23 | 3 2 + 6 2 + ( - 2 ) 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 294 · 21 = 2058

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(2|-4|2), B(-10|-4|11), C(-4|-4|19) und als Spitze S(5|-1|6).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -10-2 -4-( - 4 ) 11-2 ) = ( -12 0 9 ) und AC = ( -4-2 -4-( - 4 ) 19-2 ) = ( -6 0 17 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -12 0 9 ) × ( -6 0 17 ) = ( 0 · 17 - 9 · 0 9 · ( -6 ) - ( -12 ) · 17 -12 · 0 - 0 · ( -6 ) ) = ( 0+0 -54 +204 0+0 ) = ( 0 150 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 150 0 ) | = 0 2 + 1502 + 0 2 = 22500 = 150 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 2 -4 2 ) + r ( -12 0 9 ) + s ( -6 0 17 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -12 0 9 ) × ( -6 0 17 ) = ( 0 · 17 - 9 · 0 9 · ( -6 ) - ( -12 ) · 17 -12 · 0 - 0 · ( -6 ) ) = ( 0+0 -54 +204 0+0 ) = ( 0 150 0 ) = 150⋅ ( 0 1 0 )

Weil der Vektor ( 0 1 0 ) orthogonal zu ( -12 0 9 ) und ( -6 0 17 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 2 -4 2 ) ] ( 0 1 0 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also + x 2 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(2|-4|2) erhält man
d = 02 + 1(-4) + 02
also:

+ x 2 = -4

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 0 5+1 ( - 1 )+0 6+4 | 0 2 + 1 2 + 0 2
= | 3 | 1 = 3 1 = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 75 · 3 = 75

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(16|0|-13), der Punkt C(10|-13|7) und die Gerade g: x = ( 16 0 -13 ) +t ( -6 -2 9 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 121 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( -6 t -2 t 9 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( 10-16 -13-0 7-( - 13 ) ) = ( -6 -13 20 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -6 t -2 t 9 t ) × ( -6 -13 20 ) = ( -2 t · 20 - 9 t · ( -13 ) 9 t · ( -6 ) - ( -6 t ) · 20 -6 t · ( -13 ) - ( -2 t ) · ( -6 ) ) = ( -40 t +117 t -54 t +120 t 78 t -12 t ) = ( 77 t 66 t 66 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( 77 t 66 t 66 t ) | = 5929 t 2 +4356 t 2 +4356 t 2 = 14641 t 2 = | 121t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 121t | = 121 |⋅2

| 121t | = 242

1. Fall

121t = 242 |: 121

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 16 -6 t | 0 -2 t | -13 +9 t ) ergibt
B1(4|-4|5).

2. Fall

- 121t = 242 |: -121

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 16 -6 t | 0 -2 t | -13 +9 t ) ergibt
B2(28|4|-31).

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 2 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 150. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

2 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 2 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 2 x +5 0 +3 0 = d => x = d 2 , also S1( d 2 |0|0)
S2: 2 0 +5 y +3 0 = d => y = d 5 , also S2(0| d 5 |0)
S3: 2 0 +5 0 +3 z = d => z = d 3 , also S3(0|0| d 3 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 2 d 5 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 2 d 5 d 3 = d 3 180

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 180 d 3 = 150 |⋅180
d 3 = 27000 | 3
d = 27000 3 = 30

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 2 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = 30

Aber auch E2: 2 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = -30 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-15|0|0), S2(0|-6|0) und S3(0|0|-10). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 2 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = 30 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 3 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und der x2-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 30. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

3 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 3 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 3 x +5 0 +2 0 = d => x = d 3 , also S1( d 3 |0|0)
S2: 3 0 +5 y +2 0 = d => y = d 5 , also S2(0| d 5 |0)
S3: 3 0 +5 0 +2 z = d => z = d 2 , also S3(0|0| d 2 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS1 und OS2.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS1S2: A = 1 2 d 3 d 5 = d 2 30

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 30 d 2 = 30 |⋅30
d 2 = 900 | 2
d1 = - 900 = -30
d2 = 900 = 30

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 3 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 30

Aber auch E2: 3 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = -30 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-10|0|0), S2(0|-6|0) und S3(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 3 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 30 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: x 1 +2 x 2 +3 x 3 = 6 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung x 1 +2 x 2 +3 x 3 = 6 ein.

S1: 1 x +2 0 +3 0 = 6 => x=6=6, also S1(6|0|0)
S2: 1 0 +2 y +3 0 = 6 => y= 6 2 =3, also S2(0|3|0)
S3: 1 0 +2 0 +3 z = 6 => z= 6 3 =2, also S3(0|0|2)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 6⋅3 = 9, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= 2 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅9⋅2
=6