Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-x_2-5x_3=28$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$35=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+2x_2-4x_3=35$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-4)}=3$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-6)}+\mathrm{(-16)}=3$ |+22
5a = 25 | :5
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+5x_2-3x_3=-1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(3|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=6 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -10\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+10=0$ |-10
-2a = -10 | :(-2)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+5x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|5|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|5|2\right)$ in E: $-3x_1+5x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+5x_2-10x_3=-4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ a\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-9)}+3\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$-27+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}=0$ |+30
3a = 30 | :3
a = 10

Für a = 10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1+10x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 3+1\cdot 0$ = 3
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$48=b$

Mit b = 48 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1+10x_2-3x_3=48$.