Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$35=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-4x_3=35$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-4x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 4+5\cdot \mathrm{(-5)}=-49$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-25)}=-49$ |+29
4a = -20 | :4
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+2x_3=0$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|4|2\right)$ eingesetzt:
b⋅4 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=6 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 5=0$
$-10+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-15)}=0$ |+25
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|3|1\right)$ in E: $-2x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-5x_2+5x_3=-4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 13\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 6+13\cdot \mathrm{a}=0$
$8+18+\mathrm{a\; \cdot \; 13}=0$ |-26
13a = -26 | :13
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+6x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-4)}+13\cdot \mathrm{(-3)}$ = -61
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-38=b$

Mit b = -38 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+6x_2-2x_3=-38$.