Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-47=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-4x_2-4x_3=-47$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2-3x_3=11$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 1=0$
$-3+5+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=0$ |-2
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_2-x_3=3$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+4=0$ |-6
2a = -6 | :2
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-3|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-3|4\right)$ in E: $-2x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-3x_2-4x_3=-3$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-12)}=0$ |+15
3a = 15 | :3
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $5x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 5$ = -18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$26=b$

Mit b = 26 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-3x_2+6x_3=26$.