Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-x_3=13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+x_3=6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-4)}=2$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-4)}=2$ |+8
2a = 10 | :2
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+5x_2-4x_3=-40$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 3+0\cdot 3$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-25+3+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |+22
-2a = 22 | :(-2)
a = -11

Für a = -11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-3x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-3|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-3|-1\right)$ in E: $5x_1-3x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-3x_2-11x_3=15$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 13\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 13 = 39.

Für a = 39 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+9x_2+39x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+9x_2+39x_3=-108$ , d.h. für b = -108 sind die beiden Ebenen identisch.