Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-4x_2-2x_3=10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-2x_3=-13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 3+2\cdot 2=9$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+15+4=9$ |-19
-5a = -10 | :(-5)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2+2x_3=-32$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 4+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ 1\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-1)}=0$ |+5
1a = 5 | :1
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|5|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|5|4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$33=b$

Mit b = 33 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+x_3=33$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ -12\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-15)}+4\cdot \mathrm{(-12)}+3\cdot \mathrm{a}=0$
$-75+\mathrm{(-48)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |+123
3a = 123 | :3
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1-12x_2+41x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 2$ = 8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$76=b$

Mit b = 76 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1-12x_2+41x_3=76$.