Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$45=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+4x_2-3x_3=45$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+5x_2+4x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 3+2\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot 4=15$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-4)}+16=15$ |-12
3a = 3 | :3
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+4x_3=-16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$25+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+0=0$ |-25
5a = -25 | :5
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-5x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-1|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-1|0\right)$ in E: $-5x_1-5x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$5=b$

Mit b = 5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-5x_2=5$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-6)}+5\cdot \mathrm{(-10)}+4\cdot \mathrm{a}=0$
$-18+\mathrm{(-50)}+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=0$ |+68
4a = 68 | :4
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1-10x_2+17x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 2+5\cdot 4+4\cdot \mathrm{(-3)}$ = 14
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-103=b$

Mit b = -103 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1-10x_2+17x_3=-103$.