Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+4x_3=6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-2x_2+4x_3=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 3+5\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=4$
$3+5+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=4$ |-8
-4a = -4 | :(-4)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+x_3=-5$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 4+0\cdot 1$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-15+12+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-3|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-3|0\right)$ in E: $5x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-11=b$

Mit b = -11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-3x_2-3x_3=-11$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot 6+\mathrm{(-1)}\cdot 3+3\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |+15
3a = 15 | :3
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 0$ = -5
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+3x_2+5x_3=15$.