Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-5x_3=-20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_2+5x_3=-21$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}=5$
$-5+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+6=5$ |-1
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$42=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2+x_3=42$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|1|2\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=3 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$-6+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+1=0$ |+5
5a = 5 | :5
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|1|2\right)$ in E: $-2x_1+x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-1=b$

Mit b = -1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+x_2-x_3=-1$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 9\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 9+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-27)}+\mathrm{(-3)}=0$ |+30
5a = 30 | :5
a = 6

Für a = 6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot 2$ = 23
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$36=b$

Mit b = 36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+9x_2+3x_3=36$.