Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $+4x_3=-12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2-4x_3=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=-33$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-16)}=-33$ |+13
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2+x_3=3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-8+9+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-1
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+3x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-3|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-3|4\right)$ in E: $-2x_1+3x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-11=b$

Mit b = -11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+3x_2+x_3=-11$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-3)}=0$ |+6
2a = 6 | :2
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 5+2\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot \mathrm{(-3)}$ = -8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-21=b$

Mit b = -21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+3x_2-3x_3=-21$.