Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-3x_2+5x_3=-5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_3=-12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=21$
$12+5+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=21$ |-17
-4a = 4 | :(-4)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2=7$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 1+0\cdot 2$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-7)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+8+7=0$ |-15
-5a = -15 | :(-5)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-2x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-5|-1\right)$ in E: $3x_1-2x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$29=b$

Mit b = 29 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-2x_2-7x_3=29$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -9\\ -3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}15\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 15 = 45.

Für a = 45 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $45x_1-9x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $45x_1-9x_2-3x_3=-180$ , d.h. für b = -180 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -180, also z.B.: b = -179 setzen.