Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+3x_2-2x_3=23$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2+x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 3=-22$
$-25+9+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=-22$ |+16
3a = -6 | :3
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-4x_3=-9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 1$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 2+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$-6+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+6=0$ |-0
4a = 0 | :4
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|2|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|2|4\right)$ in E: $2x_1-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-22=b$

Mit b = -22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-6x_3=-22$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 15\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 15+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-75)}+\mathrm{(-3)}=0$ |+78
3a = 78 | :3
a = 26

Für a = 26 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $26x_1+15x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 4$ = 1
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-178=b$

Mit b = -178 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $26x_1+15x_2+3x_3=-178$.