Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-4x_2-x_3=-23$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+x_3=-7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-1)}=9$
$20+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-5)}=9$ |-15
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2-4x_3=-4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-5)}=0$ |+5
-5a = 5 | :(-5)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|2|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|2|-1\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-7=b$

Mit b = -7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+5x_3=-7$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -10\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 4 = 8.

Für a = 8 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $2x_1+8x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $2x_1+8x_2-10x_3=-24$ , d.h. für b = -24 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -24, also z.B.: b = -23 setzen.