Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+x_2+5x_3=25$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-3x_3=23$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 1+2\cdot 3=12$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+6=12$ |-10
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2+x_3=0$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 1+0\cdot 4$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 2+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+8=0$ |-8
4a = -8 | :4
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|0|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|0|-1\right)$ in E: $2x_1-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-2x_2-8x_3=16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot 5+1\cdot \mathrm{a}=0$
$-16+\mathrm{(-25)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=0$ |+41
1a = 41 | :1
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1+5x_2+41x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+1\cdot \mathrm{(-3)}$ = -24
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-102=b$

Mit b = -102 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+5x_2+41x_3=-102$.