Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+x_2-3x_3=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 4=12$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+4+4=12$ |-8
2a = 4 | :2
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+2x_3=-14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|4\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=7 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -10\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+0+20=0$ |-20
-4a = -20 | :(-4)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+5x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-1|-1\right)$ in E: $5x_1+5x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+5x_2-10x_3=10$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 5 = 10.

Für a = 10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-2x_1+4x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-2x_1+4x_2+10x_3=22$ , d.h. für b = 22 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 22, also z.B.: b = 23 setzen.