Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+2x_2+5x_3=0$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-3x_2-2x_3=-19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot 1+3\cdot \mathrm{(-4)}=5$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-12)}=5$ |-0
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+x_3=6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|2|1\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅1=d

b=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=3 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|2|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+5=0$ |+3
-3a = 3 | :(-3)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|4|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|4|2\right)$ in E: $2x_1-x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-x_2-5x_3=-12$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -9\\ 12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 5 = 15.

Für a = 15 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $15x_1-9x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $15x_1-9x_2+12x_3=-21$ , d.h. für b = -21 sind die beiden Ebenen identisch.