Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+4x_2+3x_3=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+5x_2+3x_3=26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot 2=-20$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+2=-20$ |-5
-5a = -25 | :(-5)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+2x_3=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|1|2\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=3 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$1+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-1
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-4|4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+x_3=6$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 18\end{array}\right)$ =0

$3\cdot 6+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+18\cdot \mathrm{a}=0$
$18+18+\mathrm{a\; \cdot \; 18}=0$ |-36
18a = -36 | :18
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-6x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+18\cdot \mathrm{(-5)}$ = -84
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$22=b$

Mit b = 22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-6x_2-2x_3=22$.