Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-2x_3=17$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-4x_3=12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot 3=29$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+2+15=29$ |-17
4a = 12 | :4
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+3x_3=15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-8+5+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-3|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-3|4\right)$ in E: $2x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$11=b$

Mit b = 11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-5x_2-3x_3=11$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+4x_2+8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+4x_2+8x_3=-18$ , d.h. für b = -18 sind die beiden Ebenen identisch.