Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2=-12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2+4x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 1+3\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 3=26$
$5+9+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=26$ |-14
3a = 12 | :3
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2-x_3=37$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -11\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+2\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-11)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+4+11=0$ |-15
-3a = -15 | :(-3)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+2x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-1|-5\right)$ in E: $5x_1+2x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$63=b$

Mit b = 63 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+2x_2-11x_3=63$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 20\end{array}\right)$ =0

$4\cdot 8+2\cdot 4+20\cdot \mathrm{a}=0$
$32+8+\mathrm{a\; \cdot \; 20}=0$ |-40
20a = -40 | :20
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $8x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 5+2\cdot 3+20\cdot \mathrm{(-1)}$ = 6
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$54=b$

Mit b = 54 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $8x_1+4x_2-2x_3=54$.