Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-2x_2-3x_3=13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_2+4x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 4+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 2=25$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+6=25$ |-10
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-3x_2+2x_3=6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|3\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=6 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ 11\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 11=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-11)}=0$ |+15
3a = 15 | :3
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+4x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-4|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-4|-2\right)$ in E: $5x_1+4x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-38=b$

Mit b = -38 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+4x_2+11x_3=-38$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-25)}+\mathrm{(-16)}=0$ |+41
1a = 41 | :1
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $41x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 1$ = 1
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-211=b$

Mit b = -211 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $41x_1-5x_2+4x_3=-211$.