Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-2x_2+3x_3=2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-5x_2+4x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+2\cdot 0+3\cdot 5=10$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+0+15=10$ |-15
1a = -5 | :1
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+x_3=-13$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|3|2\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=6 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$15+\mathrm{(-16)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+1
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-4x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-1|2\right)$ in E: $-5x_1-4x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-13=b$

Mit b = -13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-4x_2-x_3=-13$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+3\cdot \mathrm{a}+1\cdot 3=0$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+3=0$ |-15
3a = -15 | :3
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot \mathrm{(-4)}$ = -8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$32=b$

Mit b = 32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1-5x_2+3x_3=32$.