Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-2x_2-4x_3=20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+x_2+2x_3=7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 5=-3$
$9+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-10)}=-3$ |+1
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+x_2-4x_3=-36$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-12)}=0$ |+15
-5a = 15 | :(-5)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|4|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|4|-4\right)$ in E: $-3x_1+x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-14=b$

Mit b = -14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+x_2+6x_3=-14$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 13\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -1 ⋅ 13 = -13.

Für a = -13 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-2x_1+3x_2-13x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-2x_1+3x_2-13x_3=-72$ , d.h. für b = -72 sind die beiden Ebenen identisch.