Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1-4x_3=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_3=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}=-9$
$0+\mathrm{(-10)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=-9$ |+10
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+3x_2-3x_3=21$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|2|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 2+0\cdot 4$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+0+8=0$ |-8
-2a = -8 | :(-2)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-5|1\right)$ in E: $4x_1+2x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-38=b$

Mit b = -38 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2-8x_3=-38$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ a\\ -12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 3 = 9.

Für a = 9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $15x_1+9x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $15x_1+9x_2-12x_3=0$ , d.h. für b = 0 sind die beiden Ebenen identisch.