Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+2x_2-3x_3=0$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-4x_2+2x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=11$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-3)}=11$ |-1
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2+4x_3=40$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$9+\mathrm{(-20)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+11
-1a = 11 | :(-1)
a = -11

Für a = -11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-5x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|0|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|0|2\right)$ in E: $-3x_1-5x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-7=b$

Mit b = -7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-5x_2-11x_3=-7$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 13\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot 6+13\cdot \mathrm{a}=0$
$-8+\mathrm{(-18)}+\mathrm{a\; \cdot \; 13}=0$ |+26
13a = 26 | :13
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+6x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot 4+13\cdot \mathrm{(-4)}$ = -72
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$32=b$

Mit b = 32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+6x_2+2x_3=32$.