Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-2x_2+3x_3=24$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-4x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}=26$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+9+9=26$ |-18
-4a = 8 | :(-4)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2+4x_3=36$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -8\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|4|4\right)$ eingesetzt:
b⋅4 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=8 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=8 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|4|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-6+20+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |-14
-2a = -14 | :(-2)
a = 7

Für a = 7 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-4x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|1|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|1|-2\right)$ in E: $-2x_1-4x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-22=b$

Mit b = -22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-4x_2+7x_3=-22$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 9\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{a}+3\cdot 9+2\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+27+12=0$ |-39
3a = -39 | :3
a = -13

Für a = -13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-13x_1+9x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 5+3\cdot 4+2\cdot 2$ = 31
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-17=b$

Mit b = -17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-13x_1+9x_2+6x_3=-17$.