Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-4x_3=-1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_2+4x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-2)}=-17$
$-6+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-6)}=-17$ |+12
-5a = -5 | :(-5)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_3=9$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-12)}=0$ |+20
-4a = 20 | :(-4)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-5x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|0|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|0|-1\right)$ in E: $-4x_1-5x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-18=b$

Mit b = -18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-5x_2+6x_3=-18$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ 3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}+1\cdot 3+2\cdot \mathrm{a}=0$
$75+3+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |-78
2a = -78 | :2
a = -39

Für a = -39 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1+3x_2-39x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot 5+1\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-2)}$ = -27
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1+3x_2-39x_3=9$.