Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1+5x_2=37$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2+x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot 5=-8$
$15+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-20)}=-8$ |+5
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+x_2+3x_3=8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|3\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=6 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -11\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 1+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-11)}=0$
$5+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+11=0$ |-16
4a = -16 | :4
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|2|5\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-60=b$

Mit b = -60 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-11x_3=-60$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ a\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ =0

$4\cdot 8+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$32+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+8=0$ |-40
5a = -40 | :5
a = -8

Für a = -8 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $8x_1-8x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 1+5\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = 39
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $8x_1-8x_2-4x_3=-12$.