Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1=-6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-2x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=-23$
$1+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=-23$ |+7
-4a = -16 | :(-4)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2-5x_3=-6$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$-10+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+9=0$ |+1
1a = 1 | :1
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-4|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-4|0\right)$ in E: $-2x_1+x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+x_2-9x_3=-8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot 9+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-12)}+5\cdot \mathrm{a}=0$
$27+48+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |-75
5a = -75 | :5
a = -15

Für a = -15 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $9x_1-12x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot 0$ = 12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$36=b$

Mit b = 36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $9x_1-12x_2-15x_3=36$.