Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-4x_3=20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-3x_2+x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 4=10$
$-1+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-4)}=10$ |+5
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-4x_3=-32$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|2|3\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|2|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot 7=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-6)}+\mathrm{(-14)}=0$ |+20
-4a = 20 | :(-4)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+3x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|0|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|0|1\right)$ in E: $-5x_1+3x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$17=b$

Mit b = 17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+3x_2+7x_3=17$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 41\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 41 = -82.

Für a = -82 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-10x_1+8x_2-82x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-10x_1+8x_2-82x_3=-414$ , d.h. für b = -414 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -414, also z.B.: b = -413 setzen.