Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-3x_2=28$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-x_2+4x_3=26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 1+5\cdot \mathrm{(-4)}=-23$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-20)}=-23$ |+28
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+3x_3=-22$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 4+0\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$8+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-8
-1a = -8 | :(-1)
a = 8

Für a = 8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+2x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-3|-4\right)$ in E: $4x_1+2x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-58=b$

Mit b = -58 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2+8x_3=-58$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 4 = 12.

Für a = 12 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $12x_1+12x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $12x_1+12x_2+6x_3=-54$ , d.h. für b = -54 sind die beiden Ebenen identisch.