Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+x_2+x_3=-4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+2x_2+3x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4=-19$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-9)}+\mathrm{(-8)}=-19$ |+17
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2+2x_3=5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|1|4\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -10\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+0\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+0+10=0$ |-10
2a = -10 | :2
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-2x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|2|-4\right)$ in E: $-5x_1-2x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$21=b$

Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-2x_2-10x_3=21$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ a\\ 8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 41\\ 4\end{array}\right)$ =0

$5\cdot 10+41\cdot \mathrm{a}+4\cdot 8=0$
$50+\mathrm{a\; \cdot \; 41}+32=0$ |-82
41a = -82 | :41
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $10x_1-2x_2+8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 5+41\cdot 4+4\cdot 1$ = 193
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$50=b$

Mit b = 50 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $10x_1-2x_2+8x_3=50$.