Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1+2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1+2x_2-x_3=22$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|0|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2+5x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 1+3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}=4$
$5+\mathrm{(-9)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=4$ |+4
-2a = 8 | :(-2)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+3x_2-2x_3=-14$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|1|1\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=4 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}=0$ |+10
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-4|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-4|-5\right)$ in E: $-2x_1+x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-23=b$

Mit b = -23 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+x_2+5x_3=-23$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-9)}+\mathrm{(-9)}=0$ |+18
2a = 18 | :2
a = 9

Für a = 9 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $9x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 4+3\cdot \mathrm{(-3)}$ = -3
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-30=b$

Mit b = -30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $9x_1-3x_2-3x_3=-30$.