Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+x_2-5x_3=12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot 3=-13$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-9)}=-13$ |-3
-4a = -16 | :(-4)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-3x_2-5x_3=21$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 4+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-10)}+\mathrm{(-5)}=0$ |+15
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-5|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-5|-3\right)$ in E: $-5x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-40=b$

Mit b = -40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+2x_2+5x_3=-40$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}29\\ 5\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 29 = -29.

Für a = -29 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-29x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-29x_1-5x_2+2x_3=115$ , d.h. für b = 115 sind die beiden Ebenen identisch.