Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+2x_2-4x_3=18$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-41=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2-2x_3=-41$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}=-11$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-15)}+10=-11$ |+5
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$41=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_2+3x_3=41$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-12)}+2=0$ |+10
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-5|-5\right)$ in E: $-2x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$26=b$

Mit b = 26 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-4x_2-2x_3=26$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 10\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 10 = -30.

Für a = -30 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $12x_1+6x_2-30x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $12x_1+6x_2-30x_3=-96$ , d.h. für b = -96 sind die beiden Ebenen identisch.