Aufgabenbeispiele von Ebenen bestimmen

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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( -3 -4 2 ) hat und den Punkt P(-5|2|-1) enthält.

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Da E den Normalenvektor n = ( -3 -4 2 ) besitzt, hat sie die Form E: -3 x 1 -4 x 2 +2 x 3 = d .

Da der Punkt P(-5|2|-1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-3 ( - 5 ) -4 2 +2 ( - 1 ) = d

15-8-2 = d

5 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: -3 x 1 -4 x 2 +2 x 3 = 5 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: -5 x 1 +2 x 2 -3 x 3 = -8 ist und die den Punkt P(-3|-5|2) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( -5 2 -3 ) und damit die Form E: -5 x 1 +2 x 2 -3 x 3 = d .

Da der Punkt P(-3|-5|2) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-5 ( - 3 ) +2 ( - 5 ) -3 2 = d

15-10-6 = d

-1 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -5 x 1 +2 x 2 -3 x 3 = -1 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(2|0|1) auf der Ebene E: a x 1 +2 x 2 -4 x 3 = -2 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

a2 + 20 + (-4)1 = -2
a ⋅ 2+0+(-4) = -2 |+4
2a = 2 | :2
a = 1

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( -2 5 -3 ) +t ( 3 -3 3 ) ist und die den Punkt P(3|1|-3) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( 3 -3 3 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: 3 x 1 -3 x 2 +3 x 3 = d .

Da der Punkt P(3|1|-3) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

3 3 -3 1 +3 ( - 3 ) = d

9-3-9 = d

-3 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 3 x 1 -3 x 2 +3 x 3 = -3 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: +2 x 2 = 0 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( 0 2 0 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x3-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x1-x3-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x3-Achse ist und den Punkt (3|2|2) beinhaltet.

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Da die gesuchte Ebende parallel zur x3-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x3-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x1 und x2 einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja a0 + b0 + cx3=d zu x3= d c umformen und würde einen Spurpunkt mit der x3-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x3 muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x1 + b⋅x2=d.

Punkt P(3|2|2) eingesetzt:
a⋅3 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x1 + x2=5 ist also eine zur x3-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P(3|2|2) liegt.

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 3 0 3 ) + r ( 5 0 -4 ) + s ( 5 0 -7 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x2-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x2 = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n = ( 0 1 0 ) .)

E ist also die x1-x3-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x2-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n = ( 0 1 0 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x2=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x1-x3-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x = ( 5 -4 -2 ) +t ( 5 5 -1 ) komplett in der Ebene E: -3 x 1 + x 2 +a x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 5 5 -1 ) ( -3 1 a ) = 0

5(-3) + 51 + (-1)a = 0
-15+5+a ⋅ (-1) = 0 |+10
-1a = 10 | :(-1)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: -3 x 1 + x 2 -10 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (5|-4|-2).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (5|-4|-2) in E: -3 x 1 + x 2 -10 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-3 5 +1 ( - 4 ) -10 ( - 2 ) = b

-15-4+20 = b

1 = b

Mit b = 1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: -3 x 1 + x 2 -10 x 3 = 1 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: 5 x 1 -2 x 2 +29 x 3 = -129 und F: 15 x 1 -6 x 2 +a x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen sich orthogonal schneiden und beide den Punkt den P(-1|4|-4) enthalten.

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Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
( 15 -6 a ) ( 5 -2 29 ) =0

515 + (-2)(-6) + 29a = 0
75+12+a ⋅ 29 = 0 |-87
29a = -87 | :29
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: 15 x 1 -6 x 2 -3 x 3 = b .

P liegt immer in E, denn 5(-1) + (-2)4 + 29(-4) = -129
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

15 ( - 1 ) -6 4 -3 ( - 4 ) = b

-15-24+12 = b

-27 = b

Mit b = -27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: 15 x 1 -6 x 2 -3 x 3 = -27 .