Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-2x_2-3x_3=-15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+2x_2+4x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-16)}+4=0$ |+12
-4a = 12 | :(-4)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2=2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-5)}=0$ |+5
-5a = 5 | :(-5)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-3|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-3|-5\right)$ in E: $-5x_1-x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-37=b$

Mit b = -37 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-x_2+5x_3=-37$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $8x_1+8x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $8x_1+8x_2-4x_3=8$ , d.h. für b = 8 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 8, also z.B.: b = 9 setzen.