Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1-3x_3=-13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-4x_2-x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 5+1\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 1=-15$
$-20+1+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-15$ |+19
1a = 4 | :1
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-x_2+x_3=0$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|2|1\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|2|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+9+6=0$ |-15
3a = -15 | :3
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|3|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|3|-5\right)$ in E: $-5x_1-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$1=b$

Mit b = 1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-3x_2-6x_3=1$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}13\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ =0

$13\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 13}+\mathrm{(-9)}+\mathrm{(-4)}=0$ |+13
13a = 13 | :13
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $13\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot 3$ = -23
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+2x_3=-5$.