Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+4x_3=-13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+3x_2+2x_3=-22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot 3=-33$
$-25+\mathrm{(-5)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=-33$ |+30
3a = -3 | :3
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-4x_3=4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 1+0\cdot 2$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$5+\mathrm{(-16)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+11
-1a = 11 | :(-1)
a = -11

Für a = -11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-4|-1\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$23=b$

Mit b = 23 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-11x_3=23$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}13\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ =0

$13\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-9)}+2\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 13}+27+12=0$ |-39
13a = -39 | :13
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1-9x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $13\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot 4$ = 11
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$33=b$

Mit b = 33 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-9x_2+6x_3=33$.