Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$41=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+4x_2-5x_3=41$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+2x_2+2x_3=26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=-16$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-20)}+\mathrm{(-4)}=-16$ |+24
2a = 8 | :2
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2+3x_3=14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|3|1\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅1=d

b=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=4 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$5+\mathrm{(-6)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+1
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|3|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|3|5\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$5=b$

Mit b = 5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-x_3=5$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-9)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+5\cdot \mathrm{a}=0$
$-27+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |+30
5a = 30 | :5
a = 6

Für a = 6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot 2$ = 7
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$21=b$

Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1+3x_2+6x_3=21$.