Aufgabenbeispiele von Ebenen bestimmen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Ebene aus Normalenvektor und Pkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor hat und den Punkt P enthält.
Da E den Normalenvektor = besitzt, hat sie die Form E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: .
parallele Ebene durch Punkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: ist und die den Punkt P enthält.
Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor = und damit die Form E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: .
Punktprobe in Ebene mit Parameter
Beispiel:
Für welches a liegt der Punkt P auf der Ebene E: ?
Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:
|
1a = -3 | :1
a = -3
Ebene aus orth. Geraden durch Punkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: ist und die den Punkt P enthält.

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor = der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: .
spezielle Ebenen
Beispiel:
Welche besondere Lage hat die Ebene E: ?
Der Normalenvektor der Ebene ist =, er steht also senkrecht auf der x1-x2-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x2-Ebene sein.
Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x1-x2-Ebene.
spezielle Ebenen aufstellen
Beispiel:
Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x3-Achse ist und den Punkt beinhaltet.
Da die gesuchte Ebende parallel zur x3-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x3-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x1 und x2 einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.
(ansonsten könnte man ja zu umformen und würde einen Spurpunkt mit der x3-Achse erhalten)
Der Koeffizient c vor x3 muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x1 + b⋅x2=d.
Punkt P
a⋅1 + b⋅1=d
a=1;b=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x1 + x2=2 ist also eine zur x3-Achse parallele Ebene,
in der auch der Punkt P
spezielle Ebene in Parameterform
Beispiel:
Welche besondere Lage hat die Ebene E:

1. Weg:
Der 2. Spannvektor ist ja
Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x2-Achse.
2. Weg:
Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der
x2-Koordinate den Wert 0 haben, denn
Also E:
Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x3 und x1 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x2-Achse hat.
Also ist die Ebene parallel zur x2-Achse
Parameter bestimmen, dass g in E liegt
Beispiel:
Bestimme a und b so, dass die Gerade g:

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:
-1a = -2 | :(-1)
a = 2
Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E:
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt
Wir müssen also nur den Aufpunkt
Mit b = -37 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E:
Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen
Beispiel:
Gegeben sind die Ebenen E:
Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
34a = -68 | :34
a = -2
Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung
F:
P liegt immer in E, denn
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.
Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E:
