Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$38=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-2x_2-4x_3=38$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+x_2-5x_3=-7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=37$
$6+16+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=37$ |-22
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-2x_2-5x_3=29$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -3\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+3=0$ |-3
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|1|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|1|0\right)$ in E: $3x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+3x_2-3x_3=12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 4=0$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-8)}=0$ |+10
2a = 10 | :2
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot 1$ = 0
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+5x_2+4x_3=-9$.