Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1=-9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_2-3x_3=-14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 2+2\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 5=-19$
$6+0+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=-19$ |-6
5a = -25 | :5
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-5x_2+4x_3=-16$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-6)}+3=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|4|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|4|1\right)$ in E: $-3x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+2x_2-3x_3=-4$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 10\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}29\\ 5\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 29 = 58.

Für a = 58 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $58x_1+10x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $58x_1+10x_2-4x_3=-214$ , d.h. für b = -214 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -214, also z.B.: b = -213 setzen.