Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-2x_3=-10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-2x_2+3x_3=-16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 1=20$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-1)}=20$ |-11
3a = 9 | :3
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+x_2-3x_3=15$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-20)}+8=0$ |+12
4a = 12 | :4
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+5x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-3|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-3|0\right)$ in E: $3x_1+5x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+5x_2-8x_3=-15$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.

Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-x_3=2$ , d.h. für b = 2 sind die beiden Ebenen identisch.