Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+4x_2+4x_3=-16$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2+3x_3=7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 3=33$
$9+9+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=33$ |-18
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_2-5x_3=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|1|4\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 1+1\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-2
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|4|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|4|3\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$17=b$

Mit b = 17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=17$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ -6\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 29\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 29 = 87.

Für a = 87 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $15x_1-6x_2+87x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $15x_1-6x_2+87x_3=108$ , d.h. für b = 108 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 108, also z.B.: b = 109 setzen.