Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-5x_3=-26$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-2x_2+3x_3=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}=8$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+4=8$ |-4
1a = 4 | :1
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+3x_2-5x_3=16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 1+0\cdot 2$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-5)}+2=0$ |+3
-3a = 3 | :(-3)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-2|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-2|-5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$5=b$

Mit b = 5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-2x_3=5$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 4 = 8.

Für a = 8 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $8x_1+6x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $8x_1+6x_2+2x_3=-46$ , d.h. für b = -46 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -46, also z.B.: b = -45 setzen.