Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+2x_3=-14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=-13$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-25)}+3=-13$ |+22
3a = 9 | :3
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-3x_2-4x_3=-37$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 1+0\cdot 2$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$25+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-10)}=0$ |-15
-5a = -15 | :(-5)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+3x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-4|4\right)$ in E: $5x_1+3x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$13=b$

Mit b = 13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+3x_2+10x_3=13$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 17\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+1\cdot \mathrm{(-1)}+17\cdot \mathrm{a}=0$
$-16+\mathrm{(-1)}+\mathrm{a\; \cdot \; 17}=0$ |+17
17a = 17 | :17
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-x_2+x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot \mathrm{(-2)}+17\cdot \mathrm{(-2)}$ = -16
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-x_2+x_3=-20$.