Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-x_2-4x_3=20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+5x_2=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 2=21$
$15+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-4)}=21$ |-11
5a = 10 | :5
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2+2x_3=5$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|4|2\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=6 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 4+5\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$8+\mathrm{(-15)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+7
-1a = 7 | :(-1)
a = -7

Für a = -7 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-3x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-2|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-2|-2\right)$ in E: $4x_1-3x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$28=b$

Mit b = 28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-3x_2-7x_3=28$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=0$
$-9+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-16)}=0$ |+25
5a = 25 | :5
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = 9
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-49=b$

Mit b = -49 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+5x_2+4x_3=-49$.