Aufgabenbeispiele von Ebenen bestimmen

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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( -5 4 -1 ) hat und den Punkt P(2|3|-4) enthält.

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Da E den Normalenvektor n = ( -5 4 -1 ) besitzt, hat sie die Form E: -5 x 1 +4 x 2 - x 3 = d .

Da der Punkt P(2|3|-4) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-5 2 +4 3 -1 ( - 4 ) = d

-10+12+4 = d

6 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: -5 x 1 +4 x 2 - x 3 = 6 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: 4 x 1 + x 2 -3 x 3 = 12 ist und die den Punkt P(4|1|-4) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( 4 1 -3 ) und damit die Form E: 4 x 1 + x 2 -3 x 3 = d .

Da der Punkt P(4|1|-4) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

4 4 +1 1 -3 ( - 4 ) = d

16+1+12 = d

29 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 4 x 1 + x 2 -3 x 3 = 29 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(5|5|-1) auf der Ebene E: 5 x 1 -5 x 2 +a x 3 = 5 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

55 + (-5)5 + a(-1) = 5
25+(-25)+a ⋅ (-1) = 5 |-0
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( 0 -5 -4 ) +t ( 5 1 3 ) ist und die den Punkt P(1|0|-2) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( 5 1 3 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: 5 x 1 + x 2 +3 x 3 = d .

Da der Punkt P(1|0|-2) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

5 1 +1 0 +3 ( - 2 ) = d

5+0-6 = d

-1 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 5 x 1 + x 2 +3 x 3 = -1 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: - x 2 = 0 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( 0 -1 0 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x3-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x1-x3-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x1-x2-Ebene ist und den Punkt (1|1|1) beinhaltet.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 0 0 1 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form + x 3 = d . Durch Einsetzen des Punktes P(1|1|1) in diese Gleichung erhält man
d = 01 + 01 + 11=1
also: + x 3 = 1

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 4 -1 -5 ) + r ( 0 0 -7 ) + s ( -9 -6 3 ) ?

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1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja ( 0 0 -7 ) und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x3-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x3-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x3-Koordinate den Wert 0 haben, denn
( 0 0 -7 ) ( a b 0 ) =0 .

Also E: a x 1 +b x 2 = d

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x1 und x2 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x3-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x3-Achse

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x = ( 1 3 2 ) +t ( -1 2 -1 ) komplett in der Ebene E: -4 x 1 - x 2 +a x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( -1 2 -1 ) ( -4 -1 a ) = 0

(-1)(-4) + 2(-1) + (-1)a = 0
4+(-2)+a ⋅ (-1) = 0 |-2
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: -4 x 1 - x 2 +2 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (1|3|2).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (1|3|2) in E: -4 x 1 - x 2 +2 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-4 1 -1 3 +2 2 = b

-4-3+4 = b

-3 = b

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: -4 x 1 - x 2 +2 x 3 = -3 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: 15 x 1 -3 x 2 -4 x 3 = -1 und F: a x 1 -9 x 2 -12 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen sich orthogonal schneiden und beide den Punkt den P(-2|-3|-5) enthalten.

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Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
( a -9 -12 ) ( 15 -3 -4 ) =0

15a + (-3)(-9) + (-4)(-12) = 0
a ⋅ 15+27+48 = 0 |-75
15a = -75 | :15
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: -5 x 1 -9 x 2 -12 x 3 = b .

P liegt immer in E, denn 15(-2) + (-3)(-3) + (-4)(-5) = -1
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

-5 ( - 2 ) -9 ( - 3 ) -12 ( - 5 ) = b

10+27+60 = b

97 = b

Mit b = 97 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: -5 x 1 -9 x 2 -12 x 3 = 97 .