Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-2x_2+x_3=-31$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2-3x_3=6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=15$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+4+6=15$ |-10
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_2=20$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 1+0\cdot 2$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}=0$
$20+\mathrm{(-5)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=0$ |-15
-3a = -15 | :(-3)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-3|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-3|5\right)$ in E: $4x_1+x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$22=b$

Mit b = 22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+x_2+5x_3=22$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 6+5\cdot \mathrm{a}=0$
$3+12+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |-15
5a = -15 | :5
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+6x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-2)}$ = -12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+6x_2-3x_3=0$.