Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $+x_2+5x_3=24$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+5x_2+2x_3=-18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 2+4\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 2=-4$
$-8+12+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=-4$ |-4
2a = -8 | :2
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-x_2+2x_3=-8$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+2+2=0$ |-4
-2a = -4 | :(-2)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-4|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-4|-5\right)$ in E: $2x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$18=b$

Mit b = 18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-2x_2-2x_3=18$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -15\\ 12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-9x_1-15x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-9x_1-15x_2+12x_3=33$ , d.h. für b = 33 sind die beiden Ebenen identisch.