Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+2x_2+x_3=7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-3x_2=-27$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=43$
$-2+20+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=43$ |-18
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-5x_2+5x_3=17$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|3|3\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 5+4\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-15+16+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-1
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+4x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|3|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|3|5\right)$ in E: $5x_1+4x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+4x_2+x_3=-8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 29\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-10)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+29\cdot \mathrm{a}=0$
$-50+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; 29}=0$ |+58
29a = 58 | :29
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 3+2\cdot \mathrm{(-1)}+29\cdot \mathrm{(-3)}$ = -74
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-32=b$

Mit b = -32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1-4x_2+2x_3=-32$.