Aufgabenbeispiele von Ebenen bestimmen

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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( -2 -3 -1 ) hat und den Punkt P(-3|-3|0) enthält.

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Da E den Normalenvektor n = ( -2 -3 -1 ) besitzt, hat sie die Form E: -2 x 1 -3 x 2 - x 3 = d .

Da der Punkt P(-3|-3|0) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-2 ( - 3 ) -3 ( - 3 ) -1 0 = d

6+9+0 = d

15 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: -2 x 1 -3 x 2 - x 3 = 15 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: -4 x 1 +5 x 2 -2 x 3 = 38 ist und die den Punkt P(-2|5|0) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( -4 5 -2 ) und damit die Form E: -4 x 1 +5 x 2 -2 x 3 = d .

Da der Punkt P(-2|5|0) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-4 ( - 2 ) +5 5 -2 0 = d

8+25+0 = d

33 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -4 x 1 +5 x 2 -2 x 3 = 33 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(1|3|-1) auf der Ebene E: a x 1 +2 x 2 -3 x 3 = 6 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

a1 + 23 + (-3)(-1) = 6
a ⋅ 1+6+3 = 6 |-9
1a = -3 | :1
a = -3

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( 0 0 -1 ) +t ( -1 3 -2 ) ist und die den Punkt P(-2|-2|-1) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( -1 3 -2 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: - x 1 +3 x 2 -2 x 3 = d .

Da der Punkt P(-2|-2|-1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-1 ( - 2 ) +3 ( - 2 ) -2 ( - 1 ) = d

2-6+2 = d

-2 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: - x 1 +3 x 2 -2 x 3 = -2 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: +7 x 2 = -3 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( 0 7 0 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x3-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x1-x3-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x2-x3-Ebene ist und den Punkt (4|1|3) beinhaltet.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 1 0 0 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form x 1 = d . Durch Einsetzen des Punktes P(4|1|3) in diese Gleichung erhält man
d = 14 + 01 + 03=4
also: x 1 = 4

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 5 5 5 ) + r ( -7 3 1 ) + s ( 0 8 0 ) ?

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1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja ( 0 8 0 ) und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x2-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x2-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x2-Koordinate den Wert 0 haben, denn
( 0 8 0 ) ( a 0 c ) =0 .

Also E: a x 1 +c x 3 = d

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x3 und x1 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x2-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x2-Achse

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x = ( -1 2 5 ) +t ( 1 4 -1 ) komplett in der Ebene E: -3 x 1 + x 2 +a x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 1 4 -1 ) ( -3 1 a ) = 0

1(-3) + 41 + (-1)a = 0
-3+4+a ⋅ (-1) = 0 |-1
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: -3 x 1 + x 2 + x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (-1|2|5).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (-1|2|5) in E: -3 x 1 + x 2 + x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-3 ( - 1 ) +1 2 +1 5 = b

3+2+5 = b

10 = b

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: -3 x 1 + x 2 + x 3 = 10 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: 25 x 1 +3 x 2 -4 x 3 = 2 und F: a x 1 -6 x 2 +8 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen identisch sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( a -6 8 ) = t⋅ ( 25 3 -4 )

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 25 = -50.

Für a = -50 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: -50 x 1 -6 x 2 +8 x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: -50 x 1 -6 x 2 +8 x 3 = -4 , d.h. für b = -4 sind die beiden Ebenen identisch.