Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-4x_3=-10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 4+5\cdot \mathrm{(-3)}=-24$
$-5+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-15)}=-24$ |+20
4a = -4 | :4
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-2x_2-x_3=20$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 0+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-12)}=0$ |+12
4a = 12 | :4
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|4|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|4|3\right)$ in E: $+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$30=b$

Mit b = 30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+3x_2+6x_3=30$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+5\cdot \mathrm{a}=0$
$-2+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |+10
5a = 10 | :5
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-5)}$ = -30
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+4x_2+2x_3=0$.