Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+4x_2+4x_3=-15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2-2x_3=18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot 5=15$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-5)}+25=15$ |-20
5a = -5 | :5
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-x_3=12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 3$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-10+9+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+1
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+3x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-2|-4\right)$ in E: $-5x_1+3x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+3x_2-x_3=8$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -12\\ 15\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}41\\ -4\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 41 = 123.

Für a = 123 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $123x_1-12x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $123x_1-12x_2+15x_3=231$ , d.h. für b = 231 sind die beiden Ebenen identisch.