Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-2x_3=-20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-4x_2=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-4)}=-12$
$-12+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-16)}=-12$ |+28
-4a = 16 | :(-4)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2-2x_3=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|4|3\right)$ eingesetzt:
b⋅4 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=7 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 9\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 9=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+15+\mathrm{(-9)}=0$ |-6
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|1|5\right)$ in E: $2x_1-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$42=b$

Mit b = 42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-3x_2+9x_3=42$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}=0$ |+5
1a = 5 | :1
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $5x_1+x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot 3$ = 4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-22=b$

Mit b = -22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+x_2-2x_3=-22$.