Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-2x_2-2x_3=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+4x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot 3=-10$
$-9+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-6)}=-10$ |+15
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-55=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-3x_2+5x_3=-55$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 1+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$4+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-5|-5\right)$ in E: $-2x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-34=b$

Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+2x_2+4x_3=-34$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}9\\ a\\ 15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 17\\ -5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot 9+17\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 15=0$
$-27+\mathrm{a\; \cdot \; 17}+\mathrm{(-75)}=0$ |+102
17a = 102 | :17
a = 6

Für a = 6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $9x_1+6x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot 0+17\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}$ = 54
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-48=b$

Mit b = -48 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $9x_1+6x_2+15x_3=-48$.