Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+4x_2+5x_3=28$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+5x_2-3x_3=-11$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}=3$
$3+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=3$ |+1
-2a = 4 | :(-2)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2+3x_3=-14$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 1+3\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-4+15+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-11
-1a = -11 | :(-1)
a = 11

Für a = 11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|1|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|1|0\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$5=b$

Mit b = 5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+11x_3=5$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 5 = -15.

Für a = -15 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1-15x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1-15x_2+3x_3=-36$ , d.h. für b = -36 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -36, also z.B.: b = -35 setzen.