Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+2x_2+2x_3=-14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2+3x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 0+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot 3=1$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-15)}=1$ |+15
-4a = 16 | :(-4)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+4+\mathrm{(-2)}=0$ |-2
-2a = -2 | :(-2)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|4|-1\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+2x_3=-6$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-3)}=0$ |+6
3a = 6 | :3
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 1+1\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}$ = 8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-13=b$

Mit b = -13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-3x_2+3x_3=-13$.