Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+4x_2-5x_3=-7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+5x_2-4x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+2\cdot 4=9$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-8)}+8=9$ |-0
-3a = 9 | :(-3)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+3x_2+3x_3=-14$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 1+0\cdot 4$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$3+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|4|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|4|2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2=15$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 2 = -2.

Für a = -2 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $2x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $2x_1-2x_2-4x_3=-12$ , d.h. für b = -12 sind die beiden Ebenen identisch.