Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-x_2+4x_3=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2+3x_3=22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 4+1\cdot 4=-28$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-16)}+4=-28$ |+12
4a = -16 | :4
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-2x_2-x_3=37$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 3+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 3+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$6+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+6=0$ |-12
4a = -12 | :4
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-4|4\right)$ in E: $3x_1-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-3x_2-6x_3=-3$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 26\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{(-10)}+26\cdot \mathrm{a}=0$
$-2+\mathrm{(-50)}+\mathrm{a\; \cdot \; 26}=0$ |+52
26a = 52 | :26
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1-10x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 3+5\cdot 4+26\cdot 2$ = 75
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-42=b$

Mit b = -42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-10x_2+2x_3=-42$.