Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=-3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-2x_2=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=4$
$-6+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+5=4$ |+1
-5a = 5 | :(-5)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-3x_2-3x_3=15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 4+0\cdot 1$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+4+0=0$ |-4
4a = -4 | :4
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-2|-4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2=-2$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}13\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ =0

$13\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+1\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 13}+\mathrm{(-25)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+26
13a = 26 | :13
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+5x_2-x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $13\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 2$ = 51
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+5x_2-x_3=-6$.