Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+x_2+4x_3=6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-2x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 1=-8$
$4+\mathrm{(-10)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-8$ |+6
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+4x_2-2x_3=16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 2+2\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-4+8+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|1|-1\right)$ in E: $2x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+4x_2+4x_3=10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 41\\ 5\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-4)}+41\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$-16+\mathrm{a\; \cdot \; 41}+\mathrm{(-25)}=0$ |+41
41a = 41 | :41
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-2)}+41\cdot 4+5\cdot \mathrm{(-1)}$ = 151
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$17=b$

Mit b = 17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+x_2-5x_3=17$.