Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_2-5x_3=31$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$50=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_3=50$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot \mathrm{(-4)}=-1$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-4)}=-1$ |+6
-5a = 5 | :(-5)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2-2x_3=12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 4+0\cdot 3$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-8+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+8
-1a = 8 | :(-1)
a = -8

Für a = -8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-5x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|0|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|0|0\right)$ in E: $4x_1-5x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-5x_2-8x_3=12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+12+12=0$ |-24
3a = -24 | :3
a = -8

Für a = -8 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1-6x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4$ = -3
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-26=b$

Mit b = -26 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1-6x_2-6x_3=-26$.