Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-x_2-x_3=-5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-3x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 5=-11$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-10)}=-11$ |+10
1a = -1 | :1
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-4x_2-x_3=-6$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-10+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+8
-1a = 8 | :(-1)
a = -8

Für a = -8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|5|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|5|5\right)$ in E: $-5x_1-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-55=b$

Mit b = -55 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-2x_2-8x_3=-55$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-12)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+48+3=0$ |-51
3a = -51 | :3
a = -17

Für a = -17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-17x_1-12x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 2$ = -23
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-17x_1-12x_2-3x_3=9$.