Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-x_2=-3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-4x_3=26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 2=-4$
$5+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=-4$ |-2
2a = -6 | :2
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+4x_2+4x_3=-16$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 4+4\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |+12
-2a = 12 | :(-2)
a = -6

Für a = -6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|3|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|3|2\right)$ in E: $4x_1-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-6x_3=4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -10\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}34\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$34\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}+3\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 34}+50+18=0$ |-68
34a = -68 | :34
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1-10x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $34\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-2)}$ = 121
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$32=b$

Mit b = 32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-10x_2+6x_3=32$.