Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2+3x_3=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+5x_3=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 3+4\cdot 2+\mathrm{a}\cdot 1=25$
$12+8+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=25$ |-20
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-2x_2+2x_3=0$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|2|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 4$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-15)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=0$ |+15
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+5x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|3|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|3|-2\right)$ in E: $+5x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$25=b$

Mit b = 25 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+5x_2-5x_3=25$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot 6+\mathrm{(-3)}\cdot 9+3\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+\mathrm{(-27)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |+39
3a = 39 | :3
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+9x_2+13x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-1)}$ = 8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-46=b$

Mit b = -46 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+9x_2+13x_3=-46$.