Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-2x_3=-6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|0|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=-7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 5=-27$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-20)}=-27$ |+28
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-3x_2-x_3=11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|1|1\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=4 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-20)}+12=0$ |+8
4a = 8 | :4
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-4x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-3|-4\right)$ in E: $2x_1-4x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$42=b$

Mit b = 42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-4x_2-6x_3=42$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}9\\ a\\ 12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $9x_1-9x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $9x_1-9x_2+12x_3=-90$ , d.h. für b = -90 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -90, also z.B.: b = -89 setzen.