Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+4x_2+4x_3=16$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2+2x_3=-12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot 2=24$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+16+2=24$ |-18
2a = 6 | :2
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2-x_3=-30$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot 4+0\cdot 2$=1
also: $\mathrm{}{x}_1=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 0+0\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+3x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|0|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|0|0\right)$ in E: $+3x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+3x_2=0$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 2 = 6.

Für a = 6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-3x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-3x_1-3x_2+6x_3=-30$ , d.h. für b = -30 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -30, also z.B.: b = -29 setzen.