Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-2x_2+4x_3=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 2=13$
$4+\mathrm{(-1)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=13$ |-3
2a = 10 | :2
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-4x_2+5x_3=19$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|1|3\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=4 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+2=0$ |-4
4a = -4 | :4
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|0|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|0|3\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-2x_3=-4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 13\\ -3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot 2+13\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 3=0$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; 13}+\mathrm{(-9)}=0$ |+13
13a = 13 | :13
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 4+13\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = 37
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$5=b$

Mit b = 5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+x_2+3x_3=5$.