Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-3x_2-x_3=11$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+5x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 4=19$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+8+12=19$ |-20
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$34=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-3x_2+4x_3=34$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 4+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+10+\mathrm{(-4)}=0$ |-6
3a = -6 | :3
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-5|-1\right)$ in E: $-2x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$21=b$

Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-5x_2+4x_3=21$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 5 = -10.

Für a = -10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-2x_1-10x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-2x_1-10x_2-6x_3=16$ , d.h. für b = 16 sind die beiden Ebenen identisch.