Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+3x_2+3x_3=31$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+x_2-3x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}=-8$
$3+\mathrm{(-15)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=-8$ |+12
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2=-15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|4\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=7 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 4+2\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-20+8+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |+12
-2a = 12 | :(-2)
a = -6

Für a = -6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+4x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|3|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|3|4\right)$ in E: $4x_1+4x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+4x_2-6x_3=-4$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 6\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}13\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 13 = 26.

Für a = 26 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $26x_1+6x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $26x_1+6x_2-4x_3=78$ , d.h. für b = 78 sind die beiden Ebenen identisch.