Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-3x_2+5x_3=4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+5x_2+5x_3=-19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot 1=27$
$4+20+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=27$ |-24
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+5x_2+2x_3=22$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|4|1\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|4|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-3+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|2|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|2|-2\right)$ in E: $-3x_1-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-3x_3=-6$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ -10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}17\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ =0

$17\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-6)}+5\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 17}+\mathrm{(-18)}+\mathrm{(-50)}=0$ |+68
17a = 68 | :17
a = 4

Für a = 4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-6x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $17\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot 4+5\cdot 2$ = 5
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-48=b$

Mit b = -48 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-6x_2-10x_3=-48$.