Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+2x_2-3x_3=-13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2+4x_3=27$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 4=-18$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-6)}+8=-18$ |-2
4a = -20 | :4
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+x_2-2x_3=-20$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$5+\mathrm{(-10)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+5
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-3|-4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$25=b$

Mit b = 25 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-5x_3=25$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 10\\ -4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 10 = 20.

Für a = 20 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1+20x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1+20x_2-8x_3=-108$ , d.h. für b = -108 sind die beiden Ebenen identisch.