Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+2x_3=-21$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2-2x_3=30$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot 0+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}=-14$
$-10+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=-14$ |+10
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=-1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 4$=1
also: $\mathrm{}{x}_1=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -7\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+2\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-7)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+4+21=0$ |-25
5a = -25 | :5
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+2x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|2|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|2|-5\right)$ in E: $-5x_1+2x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$54=b$

Mit b = 54 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+2x_2-7x_3=54$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 13\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot 6+2\cdot \mathrm{(-4)}+13\cdot \mathrm{a}=0$
$-18+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; 13}=0$ |+26
13a = 26 | :13
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot 0+2\cdot 5+13\cdot \mathrm{(-4)}$ = -42
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-28=b$

Mit b = -28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-4x_2+2x_3=-28$.