Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+4x_2-3x_3=1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-2x_3=24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=15$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+12+6=15$ |-18
-3a = -3 | :(-3)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-4x_3=2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|1|4\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|1|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}=0$
$20+\mathrm{(-5)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=0$ |-15
-3a = -15 | :(-3)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-4|-1\right)$ in E: $-4x_1-x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$11=b$

Mit b = 11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-x_2+5x_3=11$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ a\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 8+10\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$-32+\mathrm{a\; \cdot \; 10}+\mathrm{(-18)}=0$ |+50
10a = 50 | :10
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $8x_1+5x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+10\cdot 4+3\cdot 0$ = 56
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $8x_1+5x_2-6x_3=-12$.