Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1=-4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2+5x_3=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot \mathrm{(-2)}=-9$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-8)}=-9$ |+11
-2a = 2 | :(-2)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2+2x_3=2$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|3|4\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ -9\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-15)}+9=0$ |+6
2a = 6 | :2
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-5x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-3|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-3|5\right)$ in E: $3x_1-5x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-30=b$

Mit b = -30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-5x_2-9x_3=-30$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 13\\ -3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 13 = 39.

Für a = 39 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+39x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+39x_2-9x_3=-93$ , d.h. für b = -93 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -93, also z.B.: b = -92 setzen.