Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+2x_2+4x_3=-8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+x_2=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 3=6$
$20+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-6)}=6$ |-14
-2a = -8 | :(-2)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-4x_2+5x_3=-12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(2|1|3\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + b⋅1=d

a=1;b=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=3 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-25+4+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=0$ |+21
-3a = 21 | :(-3)
a = -7

Für a = -7 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-2x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|1|3\right)$ in E: $5x_1-2x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-2x_2-7x_3=-8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ a\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 8+4\cdot \mathrm{a}+4\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$-32+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-32)}=0$ |+64
4a = 64 | :4
a = 16

Für a = 16 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $8x_1+16x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 3$ = 12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-48=b$

Mit b = -48 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $8x_1+16x_2-8x_3=-48$.