Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+4x_2+3x_3=29$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 4+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-3)}=-4$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-6)}=-4$ |+2
-2a = -2 | :(-2)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2+2x_3=12$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-4)}=0$ |-8
4a = -8 | :4
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|1|-1\right)$ in E: $-3x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-2x_2+4x_3=-9$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ -10\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 4 = 8.

Für a = 8 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $2x_1-10x_2+8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $2x_1-10x_2+8x_3=10$ , d.h. für b = 10 sind die beiden Ebenen identisch.