Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+x_2+3x_3=-15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2+5x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-4)}=-17$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-16)}=-17$ |+20
3a = 3 | :3
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-5x_2-x_3=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|4\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=7 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 2+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$6+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+2=0$ |-8
4a = -8 | :4
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|0|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|0|4\right)$ in E: $2x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-2x_2-2x_3=0$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-8)}+4\cdot \mathrm{(-8)}+2\cdot \mathrm{a}=0$
$-32+\mathrm{(-32)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |+64
2a = 64 | :2
a = 32

Für a = 32 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1-8x_2+32x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot 5+2\cdot 0$ = 0
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1-8x_2+32x_3=0$.