Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+4x_2+x_3=-31$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-5x_2-4x_3=30$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 3=15$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-16)}+6=15$ |+10
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+3x_3=17$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 1+0\cdot 2$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+3+1=0$ |-4
-2a = -4 | :(-2)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|3|3\right)$ in E: $2x_1-x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$2=b$

Mit b = 2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-x_2-x_3=2$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 10=0$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-50)}=0$ |+52
4a = 52 | :4
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1+13x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = 24
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-48=b$

Mit b = -48 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+13x_2+10x_3=-48$.