Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-5x_2+3x_3=37$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-4x_2-x_3=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 5+4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=-3$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-16)}+\mathrm{(-2)}=-3$ |+18
5a = 15 | :5
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+3x_2+4x_3=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+10+2=0$ |-12
3a = -12 | :3
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-5|-1\right)$ in E: $-4x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-2x_2-2x_3=-8$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 15\\ -3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 15 = 45.

Für a = 45 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $3x_1+45x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $3x_1+45x_2-9x_3=-75$ , d.h. für b = -75 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -75, also z.B.: b = -74 setzen.