Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+3x_2-5x_3=20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_2+4x_3=-15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 1=-26$
$-15+\mathrm{(-6)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-26$ |+21
1a = -5 | :1
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-4x_2+3x_3=21$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+18=0$ |-20
4a = -20 | :4
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|1|-5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$35=b$

Mit b = 35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-9x_3=35$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 6\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot 6+\mathrm{(-4)}\cdot 12+6\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+\mathrm{(-48)}+\mathrm{a\; \cdot \; 6}=0$ |+60
6a = 60 | :6
a = 10

Für a = 10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+12x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+6\cdot \mathrm{(-1)}$ = 18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-82=b$

Mit b = -82 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+12x_2+10x_3=-82$.