Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-5x_2+x_3=-11$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2-x_3=-15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 5=-18$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-20)}=-18$ |+22
1a = 4 | :1
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+x_3=-4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -8\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 1+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 9\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$8+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-8
-1a = -8 | :(-1)
a = 8

Für a = 8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|2|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|2|0\right)$ in E: $-2x_1+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+8x_3=-8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{a}+4\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-32)}=0$ |+40
2a = 40 | :2
a = 20

Für a = 20 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+20x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot \mathrm{(-4)}$ = -26
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$28=b$

Mit b = 28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+20x_2-8x_3=28$.