Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-x_2=17$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+5x_2=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+5\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 0=26$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+20+0=26$ |-20
2a = 6 | :2
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_2-4x_3=-24$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-12)}+\mathrm{(-3)}=0$ |+15
3a = 15 | :3
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-4x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-3|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-3|-3\right)$ in E: $5x_1-4x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-4x_2+3x_3=-2$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 9\\ 15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}51\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ =0

$51\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 9+\mathrm{(-5)}\cdot 15=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 51}+\mathrm{(-27)}+\mathrm{(-75)}=0$ |+102
51a = 102 | :51
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+9x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $51\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot 0$ = 204
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+9x_2+15x_3=8$.