Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-5x_3=-9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_2=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot 3=-12$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-12)}=-12$ |+14
2a = 2 | :2
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-3x_2+x_3=-1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+6=0$ |+2
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-2x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|0|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|0|1\right)$ in E: $2x_1-2x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-2x_2-6x_3=-10$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 3 = 9.

Für a = 9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+9x_2+3x_3=-69$ , d.h. für b = -69 sind die beiden Ebenen identisch.