Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+2x_2=-2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+x_2+2x_3=-2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 2=16$
$25+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-10)}=16$ |-15
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-2x_2=-15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -10\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+10+10=0$ |-20
5a = -20 | :5
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-2x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|3|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|3|2\right)$ in E: $-4x_1-2x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-14=b$

Mit b = -14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-2x_2-10x_3=-14$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ =0

$1\cdot 3+3\cdot \mathrm{a}+4\cdot 12=0$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+48=0$ |-51
3a = -51 | :3
a = -17

Für a = -17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1-17x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 0+3\cdot 0+4\cdot 1$ = 4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-17x_2+12x_3=12$.