Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $+3x_2+2x_3=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-4x_2-5x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 4+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot 0=-17$
$-12+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+0=-17$ |+12
-5a = -5 | :(-5)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-4x_3=-6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-7)}=0$
$-9+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+7=0$ |+2
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-2x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-5|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-5|0\right)$ in E: $3x_1-2x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-2x_2-7x_3=10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 4+5\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-16)}+\mathrm{(-25)}=0$ |+41
1a = 41 | :1
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $41x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-4)}$ = -37
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$163=b$

Mit b = 163 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $41x_1+4x_2-5x_3=163$.