Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2=-11$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-3x_2-4x_3=-2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 4+3\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 3=8$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-3)}+3=8$ |-0
4a = 8 | :4
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+2x_2-4x_3=-13$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|1|2\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=3 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|1|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+9+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-9
-1a = -9 | :(-1)
a = 9

Für a = 9 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|4|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|4|3\right)$ in E: $3x_1-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$18=b$

Mit b = 18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-3x_2+9x_3=18$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 2\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 4+8\cdot \mathrm{a}+2\cdot 4=0$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; 8}+8=0$ |-16
8a = -16 | :8
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-2)}+8\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-1)}$ = 10
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-2x_2+4x_3=-16$.