Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1+5x_3=28$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-4x_2+2x_3=-24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 5+3\cdot 5+1\cdot 4=-1$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+15+4=-1$ |-19
5a = -20 | :5
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2-4x_3=-17$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|1|1\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅1=d

b=1;c=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=2 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+0+4=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|3|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|3|-5\right)$ in E: $4x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$19=b$

Mit b = 19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-3x_2-4x_3=19$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ =0

$1\cdot 3+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+12=0$ |-15
5a = -15 | :5
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 0+5\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = 9
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-3x_2-6x_3=9$.