Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-x_3=-24$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-4x_2-2x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 5=1$
$-3+\mathrm{(-16)}+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=1$ |+19
5a = 20 | :5
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2+x_3=2$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ 8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 8=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-16)}=0$ |+16
-4a = 16 | :(-4)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|1|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|1|4\right)$ in E: $-4x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$28=b$

Mit b = 28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_2+8x_3=28$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.

Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $\mathrm{}{x}_1-x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-4x_3=2$ , d.h. für b = 2 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 2, also z.B.: b = 3 setzen.