Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+2x_2-4x_3=21$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2-3x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}=-32$
$-10+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=-32$ |+22
-2a = -10 | :(-2)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2+x_3=-12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 0+0\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|2|2\right)$ in E: $-2x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_2=-4$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 41\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 41 = 82.

Für a = 82 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $8x_1-10x_2+82x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $8x_1-10x_2+82x_3=320$ , d.h. für b = 320 sind die beiden Ebenen identisch.