Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-x_3=4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2-5x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot 0=-16$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+0=-16$ |+8
4a = -8 | :4
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$54=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2-x_3=54$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|3|2\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+5\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-2+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+2
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-3|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-3|-1\right)$ in E: $2x_1-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-2x_3=-4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}=0$ |+8
2a = 8 | :2
a = 4

Für a = 4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}$ = 4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-22=b$

Mit b = -22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2+2x_3=-22$.