Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-33=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+x_2-5x_3=-33$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+3x_2+5x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=10$
$0+25+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=10$ |-25
-5a = -15 | :(-5)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2+3x_3=19$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 8=0$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-16)}=0$ |+20
-4a = 20 | :(-4)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-5x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-1|-1\right)$ in E: $4x_1-5x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-5x_2+8x_3=9$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 2 = -6.

Für a = -6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+3x_2+3x_3=42$ , d.h. für b = 42 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 42, also z.B.: b = 43 setzen.