Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+3x_2+3x_3=-6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+2x_2+2x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-4)}=-55$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-20)}=-55$ |+35
5a = -20 | :5
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-4x_2-5x_3=-12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 1+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+15+\mathrm{(-3)}=0$ |-12
3a = -12 | :3
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|0|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|0|3\right)$ in E: $-4x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$21=b$

Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-3x_2+3x_3=21$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 5 = 10.

Für a = 10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $10x_1-6x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $10x_1-6x_2+2x_3=36$ , d.h. für b = 36 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 36, also z.B.: b = 37 setzen.