Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+2x_2-4x_3=-22$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+2x_2+x_3=-9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}=1$
$-6+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+12=1$ |-6
-5a = -5 | :(-5)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|0|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+3x_2+5x_3=25$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 0+3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-6)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+6
-1a = 6 | :(-1)
a = -6

Für a = -6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|1|-5\right)$ in E: $-2x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$28=b$

Mit b = 28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_2-6x_3=28$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ a\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 17\\ -1\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}+17\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$32+\mathrm{a\; \cdot \; 17}+2=0$ |-34
17a = -34 | :17
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 5+17\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = -51
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-30=b$

Mit b = -30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1-2x_2-2x_3=-30$.