Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-3x_2+3x_3=-6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+5x_2-x_3=-30$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}=39$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+20+4=39$ |-24
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2+x_3=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 4+0\cdot 3$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 7=0$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-7)}=0$ |-5
5a = -5 | :5
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|2|2\right)$ in E: $-4x_1-x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$28=b$

Mit b = 28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-x_2+7x_3=28$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot 6+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{a}=0$
$18+2+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |-20
5a = -20 | :5
a = -4

Für a = -4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0+5\cdot \mathrm{(-3)}$ = -21
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-2x_2-4x_3=0$.