Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+4x_3=-7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+5x_2+5x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 4+5\cdot 2=43$
$25+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+10=43$ |-35
4a = 8 | :4
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-38=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+4x_2-5x_3=-38$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 1+0\cdot 1$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+0+\mathrm{(-4)}=0$ |+4
-4a = 4 | :(-4)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-2|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-2|-3\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_3=-12$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 17\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 17 = -34.

Für a = -34 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $8x_1-2x_2-34x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $8x_1-2x_2-34x_3=-146$ , d.h. für b = -146 sind die beiden Ebenen identisch.