Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+3x_2-2x_3=1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+x_2+x_3=24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-4)}=18$
$16+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-8)}=18$ |-8
2a = 10 | :2
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+x_2+3x_3=-32$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$1+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-3|-4\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$1=b$

Mit b = 1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-3x_3=1$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -12\\ -15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}41\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ =0

$41\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-12)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 41}+48+75=0$ |-123
41a = -123 | :41
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1-12x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $41\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot 5$ = -152
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-78=b$

Mit b = -78 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-12x_2-15x_3=-78$.