Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$41=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-5x_2+3x_3=41$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-4x_2+4x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=-17$
$8+\mathrm{(-5)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=-17$ |-3
-4a = -20 | :(-4)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+5x_2-3x_3=-36$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$6+\mathrm{(-20)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |+14
-2a = 14 | :(-2)
a = -7

Für a = -7 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-1|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-1|4\right)$ in E: $-2x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-42=b$

Mit b = -42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+4x_2-7x_3=-42$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ -9\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 34\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 34 = 102.

Für a = 102 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1-9x_2+102x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1-9x_2+102x_3=297$ , d.h. für b = 297 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 297, also z.B.: b = 298 setzen.