Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-4x_2-x_3=-15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2+3x_3=-22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 5+2\cdot \mathrm{(-3)}=-20$
$-9+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-6)}=-20$ |+15
5a = -5 | :5
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+5x_2-3x_3=-31$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|4|4\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=8 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=8 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|4|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-16+6+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+10
-1a = 10 | :(-1)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-3x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|1|3\right)$ in E: $-4x_1-3x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-49=b$

Mit b = -49 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-3x_2-10x_3=-49$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 34\\ 5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot 6+34\cdot \mathrm{a}+5\cdot 10=0$
$18+\mathrm{a\; \cdot \; 34}+50=0$ |-68
34a = -68 | :34
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 1+34\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{(-3)}$ = -148
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-2x_2+10x_3=-16$.