Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+2x_2-4x_3=10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-2x_2+5x_3=24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot 2=-12$
$-4+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=-12$ |+8
2a = -4 | :2
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+x_2=13$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 4+0\cdot 2$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$1+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+11
-1a = 11 | :(-1)
a = -11

Für a = -11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-4|-1\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$29=b$

Mit b = 29 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-11x_3=29$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $8x_1+8x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $8x_1+8x_2-4x_3=-44$ , d.h. für b = -44 sind die beiden Ebenen identisch.