Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+x_2+5x_3=-13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_2+3x_3=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 4=6$
$-10+4+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=6$ |+6
4a = 12 | :4
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+4x_2+x_3=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+16+\mathrm{(-6)}=0$ |-10
2a = -10 | :2
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|1|2\right)$ in E: $-5x_1-4x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-17=b$

Mit b = -17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-4x_2+6x_3=-17$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 4 = -8.

Für a = -8 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-8x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-8x_1-4x_2+4x_3=32$ , d.h. für b = 32 sind die beiden Ebenen identisch.