Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+3x_2-x_3=3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+3x_2+4x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 4=5$
$-15+8+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=5$ |+7
4a = 12 | :4
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-4x_2+2x_3=-4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-6)}+6=0$ |-0
-2a = 0 | :(-2)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|0|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|0|2\right)$ in E: $-2x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_2-6x_3=-12$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 2 = 6.

Für a = 6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $15x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $15x_1+3x_2+6x_3=81$ , d.h. für b = 81 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 81, also z.B.: b = 82 setzen.