Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+5x_3=-5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+5x_2+x_3=-20$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 4+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-3)}\cdot 1=18$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-3)}=18$ |-9
-3a = 9 | :(-3)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-3x_2+3x_3=-21$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|1|3\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=4 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+5+1=0$ |-6
2a = -6 | :2
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-5x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|2|5\right)$ in E: $-3x_1-5x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-21=b$

Mit b = -21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-5x_2-x_3=-21$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 6\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-9)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+6\cdot \mathrm{a}=0$
$-27+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; 6}=0$ |+30
6a = 30 | :6
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+6\cdot 0$ = -12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$36=b$

Mit b = 36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1+3x_2+5x_3=36$.