Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+x_2-x_3=7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|0|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+4x_3=6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=7$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+0+15=7$ |-15
4a = -8 | :4
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-50=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2+5x_3=-50$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+5+0=0$ |-5
1a = -5 | :1
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-5x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|5|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|5|3\right)$ in E: $-5x_1-5x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-35=b$

Mit b = -35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-5x_2=-35$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ 15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 15\end{array}\right)$ =0

$5\cdot 15+5\cdot 15+15\cdot \mathrm{a}=0$
$75+75+\mathrm{a\; \cdot \; 15}=0$ |-150
15a = -150 | :15
a = -10

Für a = -10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $15x_1+15x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 3+5\cdot 4+15\cdot 4$ = 95
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$65=b$

Mit b = 65 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $15x_1+15x_2-10x_3=65$.