Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+5x_2+5x_3=32$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}=-26$
$-20+4+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=-26$ |+16
-2a = -10 | :(-2)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+2x_2-5x_3=-21$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-6+12+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-6
-1a = -6 | :(-1)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|2|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|2|4\right)$ in E: $-3x_1-4x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-4x_2+6x_3=10$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 5 = -10.

Für a = -10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+8x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+8x_2-10x_3=-14$ , d.h. für b = -14 sind die beiden Ebenen identisch.