Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-4x_2-x_3=-13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 2=-21$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-25)}+10=-21$ |+15
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-5x_2-2x_3=-14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-6)}+\mathrm{(-2)}=0$ |+8
-2a = 8 | :(-2)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-5|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-5|5\right)$ in E: $-4x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+2x_2+2x_3=8$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 15\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 3 = 9.

Für a = 9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $3x_1+9x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $3x_1+9x_2+15x_3=108$ , d.h. für b = 108 sind die beiden Ebenen identisch.