Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-3x_2+2x_3=-3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2+2x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-3$
$8+9+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-3$ |-17
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2-4x_3=31$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-16+5+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+11
-1a = 11 | :(-1)
a = -11

Für a = -11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-1|5\right)$ in E: $4x_1+x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-52=b$

Mit b = -52 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+x_2-11x_3=-52$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 6=0$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-18)}=0$ |+20
2a = 20 | :2
a = 10

Für a = 10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1+10x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = 3
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-76=b$

Mit b = -76 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+10x_2+6x_3=-76$.