Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+4x_2+x_3=-7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_2-5x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-1)}=40$
$20+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-5)}=40$ |-15
5a = 25 | :5
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2+2x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 4+0\cdot 3$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$5+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-5
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|5|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|5|3\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$25=b$

Mit b = 25 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+5x_3=25$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ 12\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 41\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-15)}+\mathrm{(-4)}\cdot 12+41\cdot \mathrm{a}=0$
$-75+\mathrm{(-48)}+\mathrm{a\; \cdot \; 41}=0$ |+123
41a = 123 | :41
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1+12x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 5+41\cdot 5$ = 195
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$45=b$

Mit b = 45 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1+12x_2+3x_3=45$.