Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-3x_2+3x_3=-9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-3x_2+x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-3)}=8$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-15)}=8$ |+7
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2+4x_3=-26$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 2$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+15=0$ |-15
5a = -15 | :5
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|1|3\right)$ in E: $-4x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-3x_2-5x_3=-10$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ 12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 4 = 12.

Für a = 12 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $12x_1-6x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $12x_1-6x_2+12x_3=90$ , d.h. für b = 90 sind die beiden Ebenen identisch.