Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+2x_2-2x_3=18$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+2x_2-x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}=-11$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-3)}+12=-11$ |-9
-4a = -20 | :(-4)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-4x_2+2x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 2+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$6+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-4)}=0$ |-2
1a = -2 | :1
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|5|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|5|-4\right)$ in E: $2x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-34=b$

Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-2x_2+4x_3=-34$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 20\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 8+20\cdot \mathrm{a}=0$
$-8+\mathrm{(-32)}+\mathrm{a\; \cdot \; 20}=0$ |+40
20a = 40 | :20
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+8x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+20\cdot 5$ = 110
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+8x_2+2x_3=-10$.