Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-4x_2-3x_3=-7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-x_2+2x_3=12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=-24$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-20)}+4=-24$ |+16
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+x_3=12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|1|1\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅1=d

b=1;c=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=2 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|1|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-7)}=0$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+7=0$ |-15
5a = -15 | :5
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-3x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-3|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-3|-3\right)$ in E: $-2x_1-3x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-3x_2-7x_3=24$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 6\\ 12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{a}+2\cdot 6+4\cdot 12=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+12+48=0$ |-60
4a = -60 | :4
a = -15

Für a = -15 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1+6x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-4)}$ = -42
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1+6x_2+12x_3=9$.