Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-2x_2+5x_3=14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-33=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-4x_2-5x_3=-33$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 4=19$
$2+1+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=19$ |-3
4a = 16 | :4
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+3x_2+4x_3=6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}=0$
$25+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=0$ |-21
-3a = -21 | :(-3)
a = 7

Für a = 7 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|4|-1\right)$ in E: $-5x_1+x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+x_2+7x_3=-3$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 29\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 29 = 87.

Für a = 87 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1+87x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1+87x_2-6x_3=-84$ , d.h. für b = -84 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -84, also z.B.: b = -83 setzen.