Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+5x_2+x_3=14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+4x_2=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 4+5\cdot \mathrm{(-3)}=-38$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-15)}=-38$ |+30
4a = -8 | :4
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_2-4x_3=-29$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ 1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$6+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-1)}=0$ |-5
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+5x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|2|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|2|0\right)$ in E: $-2x_1+5x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$14=b$

Mit b = 14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+5x_2+x_3=14$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ 5\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 5 = -5.

Für a = -5 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $5x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $5x_1-5x_2+5x_3=-40$ , d.h. für b = -40 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -40, also z.B.: b = -39 setzen.