Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2=-1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 5=28$
$-1+9+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=28$ |-8
5a = 20 | :5
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_3=13$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-1)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+1
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-2|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-2|-1\right)$ in E: $+x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-1=b$

Mit b = -1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+x_2-x_3=-1$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 15\\ -15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}50\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ =0

$50\cdot \mathrm{a}+5\cdot 15+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 50}+75+75=0$ |-150
50a = -150 | :50
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+15x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $50\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = -115
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$114=b$

Mit b = 114 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+15x_2-15x_3=114$.