Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-2x_3=-22$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+3x_3=7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot 2+5\cdot 4=6$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-8)}+20=6$ |-12
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+3x_3=-5$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$10+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-10
-1a = -10 | :(-1)
a = 10

Für a = 10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-2|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-2|-5\right)$ in E: $-2x_1+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-48=b$

Mit b = -48 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+10x_3=-48$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -8\\ -10\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1-8x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1-8x_2-10x_3=90$ , d.h. für b = 90 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 90, also z.B.: b = 91 setzen.