Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-x_2+2x_3=-32$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+4x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}=12$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-12)}+12=12$ |-0
-3a = 12 | :(-3)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-x_3=14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(2|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=5 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+4\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-7)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-12)}+7=0$ |+5
-5a = 5 | :(-5)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|4|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|4|-4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$13=b$

Mit b = 13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-7x_3=13$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-15)}+\mathrm{(-2)}\cdot 6+3\cdot \mathrm{a}=0$
$-75+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |+87
3a = 87 | :3
a = 29

Für a = 29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1+6x_2+29x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-1)}$ = 17
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-89=b$

Mit b = -89 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1+6x_2+29x_3=-89$.