Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-35=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-3x_3=-35$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2-3x_3=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 0=-5$
$-10+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+0=-5$ |+10
5a = 5 | :5
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2+5x_3=7$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 1+4\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$1+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-3|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-3|4\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-3x_3=-9$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+3=0$ |-15
3a = -15 | :3
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 0+3\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = 14
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-14=b$

Mit b = -14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1-5x_2-3x_3=-14$.