Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1+x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1+x_2-5x_3=-21$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-2x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 4+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-3)}=5$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-12)}=5$ |+4
-3a = 9 | :(-3)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2+2x_3=9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|1|3\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 7=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-6)}+\mathrm{(-14)}=0$ |+20
5a = 20 | :5
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-3x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-5|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-5|2\right)$ in E: $4x_1-3x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-3x_2+7x_3=9$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 3 = 9.

Für a = 9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-3x_1+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-3x_1+3x_2+9x_3=36$ , d.h. für b = 36 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 36, also z.B.: b = 37 setzen.