Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-3x_2-2x_3=25$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+x_3=-13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-12$
$12+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-12$ |-8
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_2+4x_3=19$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -8\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$9+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-5
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|1|-5\right)$ in E: $3x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-23=b$

Mit b = -23 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-4x_2+5x_3=-23$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 5 = -5.

Für a = -5 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-5x_1+4x_2+2x_3=9$ , d.h. für b = 9 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 9, also z.B.: b = 10 setzen.