Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-4x_2=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2-x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}=42$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+25=42$ |-22
-4a = 20 | :(-4)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-5x_3=-11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-6)}=0$ |+10
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-5|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-5|3\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$32=b$

Mit b = 32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+6x_3=32$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+1\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-25)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+26
2a = 26 | :2
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $13x_1+5x_2-x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-5)}$ = -18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$33=b$

Mit b = 33 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $13x_1+5x_2-x_3=33$.