Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-x_2+3x_3=3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-41=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2+4x_3=-41$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-34$
$-12+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-34$ |+14
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2+4x_3=-10$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -3\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 3+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+3=0$ |-6
2a = -6 | :2
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-2|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-2|-2\right)$ in E: $3x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$3=b$

Mit b = 3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-3x_2-3x_3=3$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 4 = -8.

Für a = -8 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-8x_1-8x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-8x_1-8x_2-4x_3=-4$ , d.h. für b = -4 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -4, also z.B.: b = -3 setzen.