Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+3x_2-4x_3=5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+4x_3=23$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-1)}=-1$
$9+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-1)}=-1$ |-8
-3a = -9 | :(-3)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2-5x_3=-25$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 5+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$5+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+5=0$ |-10
5a = -10 | :5
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-2x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|1|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|1|1\right)$ in E: $5x_1-2x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-17=b$

Mit b = -17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-2x_2-5x_3=-17$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 29\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 29 = 58.

Für a = 58 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1+10x_2+58x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1+10x_2+58x_3=62$ , d.h. für b = 62 sind die beiden Ebenen identisch.