Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-4x_2-2x_3=-17$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_2+3x_3=1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}=23$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+8+10=23$ |-18
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$45=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2-5x_3=45$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 4+0\cdot 4$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+4+1=0$ |-5
5a = -5 | :5
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|0|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|0|1\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-x_3=-2$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 15\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-12)}+\mathrm{(-2)}\cdot 6+15\cdot \mathrm{a}=0$
$-48+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; 15}=0$ |+60
15a = 60 | :15
a = 4

Für a = 4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-12x_1+6x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+15\cdot 1$ = 33
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-50=b$

Mit b = -50 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-12x_1+6x_2+4x_3=-50$.