Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+2x_2=-2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-5x_2+3x_3=-12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=29$
$0+4+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=29$ |-4
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+2x_2=-5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 4+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-6)}+\mathrm{(-6)}=0$ |+12
-3a = 12 | :(-3)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|4|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|4|-5\right)$ in E: $-4x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-54=b$

Mit b = -54 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-3x_2+6x_3=-54$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}10\\ -4\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 10 = -10.

Für a = -10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-10x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-10x_1+4x_2+2x_3=-14$ , d.h. für b = -14 sind die beiden Ebenen identisch.