Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-2x_2+x_3=26$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+5x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-1)}=-5$
$-5+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-4)}=-5$ |+9
2a = 4 | :2
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2-x_3=-4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 1+0\cdot 4$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 5+3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$5+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-2)}=0$ |-3
3a = -3 | :3
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-3|-4\right)$ in E: $5x_1-x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-x_2+2x_3=-20$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1-9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1-9x_2+3x_3=-18$ , d.h. für b = -18 sind die beiden Ebenen identisch.