Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+4x_2=-14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_2-3x_3=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 4+1\cdot \mathrm{(-1)}=-18$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-1)}=-18$ |-2
4a = -20 | :4
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2-3x_3=14$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-2)}+0=0$ |+2
-2a = 2 | :(-2)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|2|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|2|-2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=-2$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $4x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $4x_1-4x_2+4x_3=0$ , d.h. für b = 0 sind die beiden Ebenen identisch.