Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-x_2=-6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+x_2+4x_3=26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 5+5\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-5$
$10+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-5$ |-20
-5a = -25 | :(-5)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_2-x_3=-11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 3+0\cdot 4$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 11\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 11=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-9)}+\mathrm{(-11)}=0$ |+20
-5a = 20 | :(-5)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-3x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-5|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-5|4\right)$ in E: $-4x_1-3x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$51=b$

Mit b = 51 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-3x_2+11x_3=51$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1+4x_2+6x_3=-42$ , d.h. für b = -42 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -42, also z.B.: b = -41 setzen.