Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-x_2+x_3=2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$45=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2+2x_3=45$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}=41$
$16+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+20=41$ |-36
-5a = 5 | :(-5)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+5x_2=-3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|4|3\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=4 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |+12
-2a = 12 | :(-2)
a = -6

Für a = -6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|4|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|4|-3\right)$ in E: $-3x_1+x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$13=b$

Mit b = 13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+x_2-6x_3=13$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}13\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ =0

$13\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 6+\mathrm{(-3)}\cdot 9=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 13}+\mathrm{(-12)}+\mathrm{(-27)}=0$ |+39
13a = 39 | :13
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+6x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $13\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}$ = 6
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+6x_2+9x_3=24$.