Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+2x_2+3x_3=17$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_2-5x_3=-36$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 3+5\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+0+\mathrm{(-9)}=0$ |+9
3a = 9 | :3
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-5x_2=3$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+4\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+16+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |-16
-2a = -16 | :(-2)
a = 8

Für a = 8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+4x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|5|1\right)$ in E: $3x_1+4x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$31=b$

Mit b = 31 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+4x_2+8x_3=31$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ 9\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 10\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 10 = -30.

Für a = -30 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $3x_1+9x_2-30x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $3x_1+9x_2-30x_3=-9$ , d.h. für b = -9 sind die beiden Ebenen identisch.