Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+5x_3=-5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2-2x_3=-7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+3\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 0=10$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+9+0=10$ |-9
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+5x_3=-25$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+15=0$ |-15
-5a = -15 | :(-5)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+3x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|5|1\right)$ in E: $+3x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+3x_2-5x_3=10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 10\\ -10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{a}+5\cdot 10+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+50+50=0$ |-100
5a = -100 | :5
a = -20

Für a = -20 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-20x_1+10x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = 30
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$120=b$

Mit b = 120 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-20x_1+10x_2-10x_3=120$.