Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+x_3=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 1=-7$
$0+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-7$ |+3
1a = -4 | :1
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+3x_2=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 4+0\cdot 3$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+0+\mathrm{(-20)}=0$ |+20
5a = 20 | :5
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|4|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|4|3\right)$ in E: $4x_1+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$46=b$

Mit b = 46 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+10x_3=46$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2+2\cdot \mathrm{a}=0$
$-18+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |+20
2a = 20 | :2
a = 10

Für a = 10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0+2\cdot \mathrm{(-2)}$ = -16
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+2x_2+10x_3=4$.