Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+5x_3=-7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2+4x_3=11$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-2)}=0$ |+5
5a = 5 | :5
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-5x_3=-1$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|2|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 2+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+2
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-3|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-3|-3\right)$ in E: $-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_2-2x_3=12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ -10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot 6+5\cdot \mathrm{(-10)}+2\cdot \mathrm{a}=0$
$-18+\mathrm{(-50)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |+68
2a = 68 | :2
a = 34

Für a = 34 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-10x_2+34x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot 0+5\cdot 3+2\cdot 2$ = 19
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$38=b$

Mit b = 38 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-10x_2+34x_3=38$.