Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+2x_2-2x_3=5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-5x_2+x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 5+1\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 1=22$
$25+0+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=22$ |-25
1a = -3 | :1
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_2+x_3=12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|1|3\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅1=d

a=1;b=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=2 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+3\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 7=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+9+\mathrm{(-7)}=0$ |-2
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+3x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-2|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-2|-5\right)$ in E: $2x_1+3x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-37=b$

Mit b = -37 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+3x_2+7x_3=-37$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 34\\ 5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot 6+34\cdot \mathrm{a}+5\cdot 10=0$
$18+\mathrm{a\; \cdot \; 34}+50=0$ |-68
34a = -68 | :34
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 3+34\cdot 2+5\cdot 1$ = 82
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-2x_2+10x_3=24$.