Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1-2x_2-3x_3=7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_2=-12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+5\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot 2=-14$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-25)}+8=-14$ |+17
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_2+2x_3=-18$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+0\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+0+15=0$ |-15
5a = -15 | :5
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-2x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|5|1\right)$ in E: $-3x_1-2x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-27=b$

Mit b = -27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-2x_2-5x_3=-27$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{a}+2\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+8+32=0$ |-40
4a = -40 | :4
a = -10

Für a = -10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1+4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 2+2\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 5$ = -4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-44=b$

Mit b = -44 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1+4x_2-8x_3=-44$.