Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-x_2-x_3=11$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2+3x_3=-16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}=-7$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+2=-7$ |+13
3a = 6 | :3
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-2x_3=6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 2+0\cdot 2$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+2\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+4+8=0$ |-12
4a = -12 | :4
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|4|4\right)$ in E: $-3x_1+2x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+2x_2-8x_3=-15$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 10\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 29\\ -5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 29 = -58.

Für a = -58 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $4x_1-58x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $4x_1-58x_2+10x_3=-128$ , d.h. für b = -128 sind die beiden Ebenen identisch.