Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+3x_2-x_3=10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2-3x_3=-9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot 0=-20$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-16)}+0=-20$ |+16
1a = -4 | :1
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+2x_2-5x_3=13$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 2+0\cdot 2$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-20+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |+18
-2a = 18 | :(-2)
a = -9

Für a = -9 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|4|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|4|-3\right)$ in E: $-4x_1+x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$27=b$

Mit b = 27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+x_2-9x_3=27$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{a}+4\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-32)}=0$ |+40
4a = 40 | :4
a = 10

Für a = 10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+10x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 1$ = -16
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-40=b$

Mit b = -40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+10x_2-8x_3=-40$.