Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+3x_2-5x_3=-37$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2-x_3=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}=11$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+12=11$ |-15
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-4x_2=-40$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-10)}+0=0$ |+10
5a = 10 | :5
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-2x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|5|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|5|-3\right)$ in E: $2x_1-2x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-2x_2=-2$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 15\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 15 = 45.

Für a = 45 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-9x_1+12x_2+45x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-9x_1+12x_2+45x_3=255$ , d.h. für b = 255 sind die beiden Ebenen identisch.