Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1+2x_2+5x_3=30$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2+4x_3=-2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 2=-22$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-4)}=-22$ |+12
5a = -10 | :5
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2-2x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|2|2\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=4 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|2|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+2\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-16+8+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+8
-1a = 8 | :(-1)
a = -8

Für a = -8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|1|3\right)$ in E: $4x_1+4x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+4x_2-8x_3=-8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -8\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+4\cdot \mathrm{(-8)}+1\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-32)}+\mathrm{(-2)}=0$ |+34
2a = 34 | :2
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $17x_1-8x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 2$ = -12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-81=b$

Mit b = -81 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $17x_1-8x_2-2x_3=-81$.