Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+4x_3=-32$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+x_2+x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-3)}=-11$
$-10+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-3)}=-11$ |+13
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+3x_3=-3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|1|1\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=3 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$6+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-6
-1a = -6 | :(-1)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|1|2\right)$ in E: $-3x_1+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$31=b$

Mit b = 31 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+4x_2+6x_3=31$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{a}=0$
$-9+\mathrm{(-9)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |+18
2a = 18 | :2
a = 9

Für a = 9 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 4$ = -10
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$54=b$

Mit b = 54 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-3x_2+9x_3=54$.