Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-47=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1-3x_2-5x_3=-47$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-2x_2+x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 2=25$
$16+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-6)}=25$ |-10
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-35=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2-4x_3=-35$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$20+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-12)}=0$ |-8
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+2x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-2|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-2|0\right)$ in E: $4x_1+2x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2+6x_3=-20$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ -6\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 29\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 29 = 87.

Für a = 87 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $15x_1-6x_2+87x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $15x_1-6x_2+87x_3=-402$ , d.h. für b = -402 sind die beiden Ebenen identisch.