Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+x_2-5x_3=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+4x_2+3x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 2+1\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}=3$
$4+3+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=3$ |-7
-2a = -4 | :(-2)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-5x_3=-15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-25+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=0$ |+15
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-3|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-3|0\right)$ in E: $5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$30=b$

Mit b = 30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-5x_2-5x_3=30$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 13\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 13 = -26.

Für a = -26 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1-4x_2-26x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1-4x_2-26x_3=38$ , d.h. für b = 38 sind die beiden Ebenen identisch.