Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+x_3=10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+3x_3=18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=15$
$-3+3+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=15$ |-0
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-4x_2+3x_3=-12$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-3)}=0$ |+6
2a = 6 | :2
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|0|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|0|-2\right)$ in E: $3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+3x_2+3x_3=-6$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}9\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 17\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot 9+5\cdot \mathrm{(-15)}+17\cdot \mathrm{a}=0$
$-27+\mathrm{(-75)}+\mathrm{a\; \cdot \; 17}=0$ |+102
17a = 102 | :17
a = 6

Für a = 6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $9x_1-15x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{(-3)}+17\cdot 4$ = 56
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$60=b$

Mit b = 60 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $9x_1-15x_2+6x_3=60$.