Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+2x_3=1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot 0=6$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+0=6$ |-4
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+2x_2-5x_3=7$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 2+0\cdot 1$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-3)}=0$ |+5
1a = 5 | :1
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-3|-4\right)$ in E: $2x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-17=b$

Mit b = -17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+5x_2+3x_3=-17$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1-9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1-9x_2+3x_3=66$ , d.h. für b = 66 sind die beiden Ebenen identisch.