Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+2x_2-4x_3=14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+5x_3=40$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 3+4\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 5=14$
$12+12+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=14$ |-24
5a = -10 | :5
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-x_2+3x_3=37$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 1+5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-20)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |+20
-2a = 20 | :(-2)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|2|2\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-32=b$

Mit b = -32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-10x_3=-32$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ -6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot 15+2\cdot \mathrm{(-6)}+3\cdot \mathrm{a}=0$
$-75+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |+87
3a = 87 | :3
a = 29

Für a = 29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $15x_1-6x_2+29x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot \mathrm{(-1)}$ = 10
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-68=b$

Mit b = -68 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $15x_1-6x_2+29x_3=-68$.