Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1+4x_3=-12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+4x_2+5x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-5)}=-15$
$-10+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-20)}=-15$ |+30
-5a = 15 | :(-5)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-3x_2-3x_3=22$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 4+0\cdot 4$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-3)}=0$ |-0
-4a = 0 | :(-4)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|0|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|0|5\right)$ in E: $-3x_1+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+3x_3=12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot 3+5\cdot \mathrm{a}=0$
$-1+\mathrm{(-9)}+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |+10
5a = 10 | :5
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 0+5\cdot 0$ = 3
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+2x_3=-3$.