Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+5x_2+3x_3=-23$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+x_2+4x_3=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=20$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+10+6=20$ |-16
-2a = 4 | :(-2)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+x_2-2x_3=-29$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|3|4\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ 8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 0+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 8=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-16)}=0$ |+16
4a = 16 | :4
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+4x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-3|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-3|-3\right)$ in E: $+4x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-36=b$

Mit b = -36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+4x_2+8x_3=-36$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 17\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 5+17\cdot \mathrm{a}=0$
$-9+\mathrm{(-25)}+\mathrm{a\; \cdot \; 17}=0$ |+34
17a = 34 | :17
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot 3+17\cdot \mathrm{(-3)}$ = -69
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+5x_2+2x_3=12$.