Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+x_2+3x_3=-3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-2x_2-5x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 4+5\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=-1$
$-8+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=-1$ |-2
-3a = -3 | :(-3)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+5x_2+4x_3=3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 3$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 4+3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+9=0$ |-9
3a = -9 | :3
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-3x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|1|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|1|-4\right)$ in E: $4x_1-3x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$41=b$

Mit b = 41 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-3x_2-9x_3=41$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 26\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 26 = 78.

Für a = 78 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $15x_1+3x_2+78x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $15x_1+3x_2+78x_3=126$ , d.h. für b = 126 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 126, also z.B.: b = 127 setzen.