Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-5x_3=17$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2-4x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 5=-24$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-5)}+\mathrm{(-15)}=-24$ |+20
2a = -4 | :2
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$45=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2-5x_3=45$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-6)}+3=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|2|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|2|-3\right)$ in E: $-3x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$18=b$

Mit b = 18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+3x_2-3x_3=18$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-9)}=0$ |+13
1a = 13 | :1
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $13x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = 13
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-69=b$

Mit b = -69 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $13x_1+2x_2+3x_3=-69$.

Es gibt sehr viele Wege, einen der unendlichen vielen Punkte einer Ebene zu finden. Der einfachste ist dabei wahrscheinlich, indem man die Spurpunkte bestimmt.
Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0)und ,S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+2x_3=3$ ein.

S₁:

=> x=$3$=3, also S₁(3|0|0)
S₂:

=> 0=3, es gibt also keinen Spurpunkt S₂
S₃:

=> z=$\frac{3}{2}$=1.5, also S₃(0|0|1.5)

Wir können also z.B. den Spurpunkt S₁ als Punkt auf der Ebene E wählen, also z.B. den Punkt S₁(3|0|0).