Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+4x_2+2x_3=14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2=7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=3$
$1+8+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=3$ |-9
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+5x_2-x_3=5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$12+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-10
-1a = -10 | :(-1)
a = 10

Für a = 10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|2|3\right)$ in E: $4x_1-x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-x_2+10x_3=12$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ -12\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 41\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 41 = 123.

Für a = 123 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1-12x_2+123x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1-12x_2+123x_3=681$ , d.h. für b = 681 sind die beiden Ebenen identisch.