Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+4x_2=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 2=11$
$8+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=11$ |-5
2a = 6 | :2
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-x_2-3x_3=-4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(2|1|3\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + b⋅1=d

a=1;b=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=3 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-4+16+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |-12
-2a = -12 | :(-2)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-3|1\right)$ in E: $-4x_1-4x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$2=b$

Mit b = 2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-4x_2+6x_3=2$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 13\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot 6+\mathrm{(-3)}\cdot 9+13\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+\mathrm{(-27)}+\mathrm{a\; \cdot \; 13}=0$ |+39
13a = 39 | :13
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+13\cdot \mathrm{(-2)}$ = -13
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-45=b$

Mit b = -45 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+9x_2+3x_3=-45$.