Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+4x_2-5x_3=-24$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+4x_2+x_3=22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot 2=-15$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-6)}=-15$ |+3
-4a = -12 | :(-4)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+3x_2-3x_3=-3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|4|2\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=8 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=8 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -3\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$-9+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+3=0$ |+6
-3a = 6 | :(-3)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|2|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|2|4\right)$ in E: $3x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-25=b$

Mit b = -25 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-2x_2-3x_3=-25$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{a}=0$
$2+2+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |-4
2a = -4 | :2
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 5+2\cdot \mathrm{(-5)}$ = -20
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-2x_2-2x_3=-10$.