Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+2x_3=-2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+4x_3=-9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 2+\mathrm{a}\cdot 5+4\cdot 3=47$
$10+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+12=47$ |-22
5a = 25 | :5
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_2-3x_3=11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|2|1\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅1=d

b=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=3 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -3\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+3=0$ |-3
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-3|1\right)$ in E: $4x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+3x_2-3x_3=-20$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+18=0$ |-20
4a = -20 | :4
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1-5x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 2$ = 16
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-33=b$

Mit b = -33 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-5x_2-6x_3=-33$.