Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-5x_2+3x_3=-4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+x_2-4x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{(-5)}=-27$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-25)}=-27$ |+29
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+2x_2+4x_3=-8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-12)}=0$ |+12
3a = 12 | :3
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-4|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-4|-3\right)$ in E: $3x_1+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-34=b$

Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+4x_2+6x_3=-34$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ =0

$10\cdot \mathrm{a}+4\cdot 8+2\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 10}+32+8=0$ |-40
10a = -40 | :10
a = -4

Für a = -4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+8x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $10\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-1)}$ = -50
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+8x_2+4x_3=-4$.