Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+5x_2+3x_3=27$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+x_3=-13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 4=15$
$-5+0+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=15$ |+5
4a = 20 | :4
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+4x_2-5x_3=29$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 3+0\cdot 3$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+3\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+12+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |-12
-2a = -12 | :(-2)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-1|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-1|-3\right)$ in E: $+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-22=b$

Mit b = -22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+4x_2+6x_3=-22$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 5 = -15.

Für a = -15 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $12x_1-15x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $12x_1-15x_2-9x_3=-102$ , d.h. für b = -102 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -102, also z.B.: b = -101 setzen.