Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-3x_2-3x_3=-6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+x_2-5x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+4\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot 3=11$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+20+\mathrm{(-12)}=11$ |-8
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-3x_2-x_3=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+0+6=0$ |-6
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+5x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-5|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-5|4\right)$ in E: $3x_1+5x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-40=b$

Mit b = -40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+5x_2-6x_3=-40$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -10\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $4x_1-4x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $4x_1-4x_2-10x_3=46$ , d.h. für b = 46 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 46, also z.B.: b = 47 setzen.