Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-x_3=-2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$34=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2+5x_3=34$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=-18$
$-2+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=-18$ |+2
-4a = -16 | :(-4)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2-2x_3=-4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+2\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+2+4=0$ |-6
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-1|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-1|-2\right)$ in E: $3x_1+x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+x_2-4x_3=-8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -12\\ 12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-12)}+4\cdot 12=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+48+48=0$ |-96
3a = -96 | :3
a = -32

Für a = -32 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-32x_1-12x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 2$ = 39
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-88=b$

Mit b = -88 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-32x_1-12x_2+12x_3=-88$.