Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+x_2-4x_3=-15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-3x_2+2x_3=-20$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 2+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 2=-9$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-8)}=-9$ |+6
1a = -3 | :1
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+x_2+5x_3=-1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 3+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$16+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+0=0$ |-16
4a = -16 | :4
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-4x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-3|3\right)$ in E: $-4x_1-4x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$32=b$

Mit b = 32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-4x_2=32$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -9\\ -15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ =0

$6\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-9)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 6}+27+75=0$ |-102
6a = -102 | :6
a = -17

Für a = -17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-17x_1-9x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $6\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot 0$ = 0
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$35=b$

Mit b = 35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-17x_1-9x_2-15x_3=35$.