Aufgabenbeispiele von Ebenen bestimmen

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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( 2 1 -5 ) hat und den Punkt P(4|5|1) enthält.

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Da E den Normalenvektor n = ( 2 1 -5 ) besitzt, hat sie die Form E: 2 x 1 + x 2 -5 x 3 = d .

Da der Punkt P(4|5|1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

2 4 +1 5 -5 1 = d

8+5-5 = d

8 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: 2 x 1 + x 2 -5 x 3 = 8 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: +4 x 2 +3 x 3 = -13 ist und die den Punkt P(-3|3|-4) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( 0 4 3 ) und damit die Form E: +4 x 2 +3 x 3 = d .

Da der Punkt P(-3|3|-4) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

+4 3 +3 ( - 4 ) = d

0+12-12 = d

0 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: +4 x 2 +3 x 3 = 0 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(2|3|-2) auf der Ebene E: 2 x 1 + x 2 +a x 3 = 3 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

22 + 13 + a(-2) = 3
4+3+a ⋅ (-2) = 3 |-7
-2a = -4 | :(-2)
a = 2

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( -2 3 4 ) +t ( 1 4 -5 ) ist und die den Punkt P(2|2|5) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( 1 4 -5 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: x 1 +4 x 2 -5 x 3 = d .

Da der Punkt P(2|2|5) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

1 2 +4 2 -5 5 = d

2+8-25 = d

-15 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: x 1 +4 x 2 -5 x 3 = -15 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: -5 x 3 = 2 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( 0 0 -5 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x2-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x2-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x1-x2-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung der x1-x2-Ebene.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 0 0 1 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form + x 3 = d . Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = 00 + 00 + 10=0
also: + x 3 = 0

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( -5 -5 4 ) + r ( 0 8 0 ) + s ( 1 9 3 ) ?

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1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja ( 0 8 0 ) und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x2-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x2-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x2-Koordinate den Wert 0 haben, denn
( 0 8 0 ) ( a 0 c ) =0 .

Also E: a x 1 +c x 3 = d

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x3 und x1 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x2-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x2-Achse

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x = ( 3 -3 0 ) +t ( -5 -2 -3 ) komplett in der Ebene E: 5 x 1 -5 x 2 +a x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( -5 -2 -3 ) ( 5 -5 a ) = 0

(-5)5 + (-2)(-5) + (-3)a = 0
-25+10+a ⋅ (-3) = 0 |+15
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: 5 x 1 -5 x 2 -5 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (3|-3|0).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (3|-3|0) in E: 5 x 1 -5 x 2 -5 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

5 3 -5 ( - 3 ) -5 0 = b

15+15+0 = b

30 = b

Mit b = 30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: 5 x 1 -5 x 2 -5 x 3 = 30 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: -3 x 1 +2 x 2 +13 x 3 = -19 und F: 6 x 1 -4 x 2 +a x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen identisch sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( 6 -4 a ) = t⋅ ( -3 2 13 )

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 13 = -26.

Für a = -26 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: 6 x 1 -4 x 2 -26 x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: 6 x 1 -4 x 2 -26 x 3 = 38 , d.h. für b = 38 sind die beiden Ebenen identisch.