Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+5x_3=-5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2-3x_3=20$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{a}\cdot 1=-7$
$-4+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-7$ |+12
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_3=-12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+2=0$ |-2
2a = -2 | :2
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-4|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-4|0\right)$ in E: $-2x_1-x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-x_2-2x_3=-6$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 5\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 2 = -2.

Für a = -2 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $3x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $3x_1-2x_2+5x_3=34$ , d.h. für b = 34 sind die beiden Ebenen identisch.