Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_2-5x_3=-4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+5x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 1+3\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=-10$
$-5+15+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=-10$ |-10
-4a = -20 | :(-4)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2-3x_3=-20$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|3|4\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=7 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|3|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$5+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-3
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-1|-5\right)$ in E: $-5x_1+x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-1=b$

Mit b = -1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+x_2+3x_3=-1$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 13\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot 6+13\cdot \mathrm{a}=0$
$-8+\mathrm{(-18)}+\mathrm{a\; \cdot \; 13}=0$ |+26
13a = 26 | :13
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1+6x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot 1+13\cdot \mathrm{(-1)}$ = -18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+6x_2+2x_3=8$.