Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+x_3=12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2+4x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot 0=16$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+4+0=16$ |-4
-4a = 12 | :(-4)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+3x_2-4x_3=-15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 2+0\cdot 2$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ 11\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 11=0$
$15+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-11)}=0$ |-4
-2a = -4 | :(-2)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+2x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-1|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-1|-2\right)$ in E: $-5x_1+2x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+2x_2+11x_3=-9$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-9x_1-9x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-9x_1-9x_2+6x_3=42$ , d.h. für b = 42 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 42, also z.B.: b = 43 setzen.