Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_2-4x_3=-4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+3x_3=18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}=-21$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-5)}+9=-21$ |-4
5a = -25 | :5
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2-4x_3=-16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 1+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 0+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+8=0$ |-8
4a = -8 | :4
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|0|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|0|-1\right)$ in E: $-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_2-8x_3=8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-8)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2+2\cdot \mathrm{a}=0$
$-32+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |+34
2a = 34 | :2
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1+2x_2+17x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-2)}$ = -24
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1+2x_2+17x_3=6$.