Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+3x_2+3x_3=7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+3x_3=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-3)}=3$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}=3$ |+3
3a = 6 | :3
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2=0$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+1\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-9+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+7
-1a = 7 | :(-1)
a = -7

Für a = -7 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+2x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|2|5\right)$ in E: $3x_1+2x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-28=b$

Mit b = -28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+2x_2-7x_3=-28$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ -5\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 13\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 13 = -13.

Für a = -13 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $\mathrm{-}{x}_1-13x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $\mathrm{-}{x}_1-13x_2-5x_3=62$ , d.h. für b = 62 sind die beiden Ebenen identisch.