Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+4x_2-3x_3=-29$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 5+1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot 4=35$
$20+\mathrm{(-5)}+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=35$ |-15
4a = 20 | :4
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+5x_3=-2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$15+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-10)}=0$ |-5
1a = -5 | :1
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-5x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|0|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|0|-3\right)$ in E: $-3x_1-5x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-39=b$

Mit b = -39 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-5x_2+10x_3=-39$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -1\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 5 = -5.

Für a = -5 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-3x_1-5x_2-x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-3x_1-5x_2-x_3=-33$ , d.h. für b = -33 sind die beiden Ebenen identisch.