Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-5x_2=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_2-5x_3=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-5)}=-37$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-15)}=-37$ |+12
-5a = -25 | :(-5)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+x_3=11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 1+4\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$3+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+1
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|4|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|4|-4\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-x_3=-3$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 8 = -16.

Für a = -16 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-8x_1-16x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-8x_1-16x_2+4x_3=84$ , d.h. für b = 84 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 84, also z.B.: b = 85 setzen.