Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+x_2-x_3=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-3x_2-2x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-3)}=1$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}=1$ |+5
3a = 6 | :3
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_2+x_3=-24$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|3|2\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0$
$15+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-5)}=0$ |-10
5a = -10 | :5
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-2|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-2|-2\right)$ in E: $-5x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-2x_2+5x_3=-6$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 12\\ 9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}25\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ =0

$25\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 12+\mathrm{(-3)}\cdot 9=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 25}+\mathrm{(-48)}+\mathrm{(-27)}=0$ |+75
25a = 75 | :25
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+12x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $25\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = 73
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-63=b$

Mit b = -63 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+12x_2+9x_3=-63$.