Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+3x_3=-6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-4x_3=-31$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 0+2\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}=-1$
$0+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=-1$ |-2
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2-5x_3=25$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|3|3\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+12=0$ |+3
3a = 3 | :3
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-2|5\right)$ in E: $-3x_1+x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-35=b$

Mit b = -35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+x_2-6x_3=-35$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 5 = 10.

Für a = 10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $10x_1-4x_2+8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $10x_1-4x_2+8x_3=4$ , d.h. für b = 4 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 4, also z.B.: b = 5 setzen.