Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-x_2+x_3=3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-55=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2+5x_3=-55$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+3\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot 5=19$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-9)}+20=19$ |-11
2a = 8 | :2
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+3x_2-4x_3=11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 3+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 2+1\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-8+3+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+5
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-2|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-2|4\right)$ in E: $2x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-34=b$

Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+3x_2-5x_3=-34$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 29\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 2+29\cdot \mathrm{a}=0$
$-25+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; 29}=0$ |+29
29a = 29 | :29
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $5x_1+2x_2+x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+29\cdot \mathrm{(-2)}$ = -28
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-32=b$

Mit b = -32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+2x_2+x_3=-32$.