Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2=-22$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+x_2-x_3=6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}=14$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+20=14$ |-18
4a = -4 | :4
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-x_2-3x_3=-9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 2+0\cdot 1$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+3\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+3+\mathrm{(-3)}=0$ |-0
4a = 0 | :4
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-4|4\right)$ in E: $+x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+x_2+3x_3=8$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 13\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 13 = -39.

Für a = -39 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1-9x_2-39x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1-9x_2-39x_3=126$ , d.h. für b = 126 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 126, also z.B.: b = 127 setzen.