Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+3x_2+5x_3=-15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-4x_2+5x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 0+2\cdot 2+\mathrm{a}\cdot 5=-6$
$0+4+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=-6$ |-4
5a = -10 | :5
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-2x_2-4x_3=14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$20+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+0=0$ |-20
-4a = -20 | :(-4)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+5x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|0|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|0|-2\right)$ in E: $4x_1+5x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+5x_2=16$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 4 = -8.

Für a = -8 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $10x_1-8x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $10x_1-8x_2-6x_3=-6$ , d.h. für b = -6 sind die beiden Ebenen identisch.