Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-x_2=-22$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-33=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-x_2+4x_3=-33$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 4+5\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=16$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+10+2=16$ |-12
4a = 4 | :4
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+2x_2=-8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -11\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-11)}=0$
$9+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+11=0$ |-20
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+4x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-4|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-4|-2\right)$ in E: $3x_1+4x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+4x_2-11x_3=15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{a}=0$
$32+8+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |-40
5a = -40 | :5
a = -8

Für a = -8 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1-4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{(-3)}$ = -11
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$32=b$

Mit b = 32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1-4x_2-8x_3=32$.