Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+3x_3=12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-x_3=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}=9$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+8=9$ |-11
-2a = -2 | :(-2)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-x_2-4x_3=-3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|1|4\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅1=d

a=1;b=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=5 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|1|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$9+\mathrm{(-1)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-8
-1a = -8 | :(-1)
a = 8

Für a = 8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|4|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|4|1\right)$ in E: $-3x_1-x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-x_2+8x_3=-5$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 41\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 41 = 123.

Für a = 123 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $15x_1-12x_2+123x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $15x_1-12x_2+123x_3=-144$ , d.h. für b = -144 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -144, also z.B.: b = -143 setzen.