Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+4x_2-3x_3=20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+2x_2-5x_3=19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot 5=21$
$-9+20+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=21$ |-11
5a = 10 | :5
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-4x_2-2x_3=-20$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 4+0\cdot 2$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 0+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+2=0$ |-2
1a = -2 | :1
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-2|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-2|4\right)$ in E: $-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_2-2x_3=-4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 25\\ -4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot 6+25\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 8=0$
$-18+\mathrm{a\; \cdot \; 25}+\mathrm{(-32)}=0$ |+50
25a = 50 | :25
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+2x_2+8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot 3+25\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4$ = -75
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$46=b$

Mit b = 46 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+2x_2+8x_3=46$.