Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-4x_2+2x_3=-26$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-5x_3=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{a}\cdot 5=-32$
$-20+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=-32$ |+22
5a = -10 | :5
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+x_2+5x_3=-8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+4\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 7=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+20+\mathrm{(-14)}=0$ |-6
2a = -6 | :2
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+5x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|3|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|3|2\right)$ in E: $-3x_1+5x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$32=b$

Mit b = 32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+5x_2+7x_3=32$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}+3\cdot 6+2\cdot \mathrm{a}=0$
$32+18+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |-50
2a = -50 | :2
a = -25

Für a = -25 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1+6x_2-25x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 0+2\cdot \mathrm{(-2)}$ = 12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$82=b$

Mit b = 82 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1+6x_2-25x_3=82$.