Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+3x_2+3x_3=-9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-5x_2+2x_3=20$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=-43$
$-12+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-16)}=-43$ |+28
-3a = -15 | :(-3)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-2x_3=15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|1\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅1=d

b=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=4 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-9)}+5=0$ |+4
-2a = 4 | :(-2)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|3|1\right)$ in E: $-2x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-24=b$

Mit b = -24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-3x_2-5x_3=-24$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ a\\ 8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 4 = 8.

Für a = 8 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-8x_1+8x_2+8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-8x_1+8x_2+8x_3=-40$ , d.h. für b = -40 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -40, also z.B.: b = -39 setzen.