Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+5x_3=14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2=23$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}=28$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+8=28$ |-8
-5a = 20 | :(-5)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-3x_3=6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|3|2\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0$
$-6+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-6)}=0$ |+12
-3a = 12 | :(-3)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-3|-4\right)$ in E: $2x_1-4x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-14=b$

Mit b = -14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-4x_2+6x_3=-14$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 12\\ 12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ =0

$48\cdot \mathrm{a}+4\cdot 12+4\cdot 12=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 48}+48+48=0$ |-96
48a = -96 | :48
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1+12x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $48\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-5)}$ = -200
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+12x_2+12x_3=-16$.