Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-x_2-2x_3=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-2x_2=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=-17$
$-25+12+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=-17$ |+13
-4a = -4 | :(-4)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_3=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|1|4\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅1=d

a=1;b=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=5 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|1|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 3+5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-6+5+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+1
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-1|2\right)$ in E: $3x_1+x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+x_2-x_3=6$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 8+8\cdot \mathrm{a}=0$
$8+32+\mathrm{a\; \cdot \; 8}=0$ |-40
8a = -40 | :8
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+8x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-5)}+8\cdot \mathrm{(-3)}$ = -48
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-33=b$

Mit b = -33 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+8x_2-5x_3=-33$.