Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1+4x_2-3x_3=-3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_2-5x_3=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot \mathrm{(-5)}=-23$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-15)}=-23$ |+19
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-2x_3=4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-15)}+\mathrm{(-10)}=0$ |+25
5a = 25 | :5
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-5x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-3|1\right)$ in E: $5x_1-5x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-5x_2+10x_3=10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+1\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-32)}=0$ |+34
2a = 34 | :2
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $17x_1-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-3)}$ = -13
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$68=b$

Mit b = 68 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $17x_1-2x_2-8x_3=68$.

Es gibt sehr viele Wege, einen der unendlichen vielen Punkte einer Ebene zu finden. Der einfachste ist dabei wahrscheinlich, indem man die Spurpunkte bestimmt.
Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0)und ,S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+4x_3=8$ ein.

S₁:

=> x=$-8$=-8, also S₁(-8|0|0)
S₂:

=> y=$\frac{8}{5}$=1.6, also S₂(0|1.6|0)
S₃:

=> z=$\frac{8}{4}$=2, also S₃(0|0|2)

Wir können also z.B. den Spurpunkt S₁ als Punkt auf der Ebene E wählen, also z.B. den Punkt S₁(-8|0|0).

Keine Koordinate ist bei allen drei Punkten gleich, die Ebene ist also zu keiner Koordinatenebene parallel.

Wenn man sich aber die Koordinaten der drei Punkte genau ansieht, erkennt man, dass die Punkte $\text{B}\left(2|-4|1\right)$ und $\text{C}\left(2|-4|-2\right)$ zwei gleiche Koordinaten haben und nur in der x₃-Koordinate unterscheiden. Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ ist also ein Vielfaches von $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und damit parallel zur x₃-Achse. Da dieser Vektor in der Ebene liegt, ist die Ebene parallel zur x₃-Achse (oder sie enthält diese).

Wenn man den Normalenvektor der Ebene berechnen will, muss dieser ja (auch) senkrecht zum Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ stehen. Somit weiß man, auch ohne diesen auszurechnen, dass dieser Normalenvektor auch senkrecht auf der x₃-Achse steht und somit die Ebene parallel dazu verläuft.