Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-3x_3=4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+3x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot 3=-11$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+2+\mathrm{(-15)}=-11$ |+13
-2a = 2 | :(-2)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2-5x_3=3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 2+0\cdot 4$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 4+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+1=0$ |-5
1a = -5 | :1
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-5x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-4|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-4|-3\right)$ in E: $4x_1-5x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$19=b$

Mit b = 19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-5x_2-x_3=19$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ -1\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 13\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 13 = -13.

Für a = -13 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $5x_1-13x_2-x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $5x_1-13x_2-x_3=-40$ , d.h. für b = -40 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -40, also z.B.: b = -39 setzen.