Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-5x_2+5x_3=20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2+5x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 5=-25$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-25)}+\mathrm{(-15)}=-25$ |+40
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+x_2+2x_3=1$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-1)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+1
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-5|-5\right)$ in E: $-x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-x_2-x_3=10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}+4\cdot \mathrm{a}=0$
$2+50+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=0$ |-52
4a = -52 | :4
a = -13

Für a = -13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1-10x_2-13x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 2$ = 14
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-14=b$

Mit b = -14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-10x_2-13x_3=-14$.