Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+4x_2-2x_3=0$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-3x_2-2x_3=-22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 1=-10$
$-3+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-10$ |+6
1a = -4 | :1
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+5x_2-5x_3=20$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 2+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-10)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+10
-1a = 10 | :(-1)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+2x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|3|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|3|2\right)$ in E: $+2x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-14=b$

Mit b = -14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+2x_2-10x_3=-14$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 5 = 10.

Für a = 10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-8x_1-6x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-8x_1-6x_2+10x_3=-18$ , d.h. für b = -18 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -18, also z.B.: b = -17 setzen.