Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-3x_2+4x_3=-24$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2-3x_3=-21$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=5$
$-6+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+15=5$ |-9
4a = -4 | :4
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-5x_3=4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|3|1\right)$ in E: $3x_1=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1=15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+5\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$-25+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-25)}=0$ |+50
5a = 50 | :5
a = 10

Für a = 10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $5x_1+10x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot 2$ = -5
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-55=b$

Mit b = -55 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+10x_2-5x_3=-55$.