Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$42=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+4x_2+4x_3=42$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-3x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-16$
$-9+8+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-16$ |+1
-5a = -15 | :(-5)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_2+4x_3=-30$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|2|2\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=3 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|1|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|1|-2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-4x_3=8$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 2 = -2.

Für a = -2 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1-2x_2+2x_3=22$ , d.h. für b = 22 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 22, also z.B.: b = 23 setzen.