Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+x_3=3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_2-3x_3=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot 0+5\cdot \mathrm{(-3)}=1$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+0+\mathrm{(-15)}=1$ |+15
-4a = 16 | :(-4)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+3x_2-4x_3=-11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-12)}=0$ |+15
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|4|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|4|-5\right)$ in E: $-5x_1+x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-11=b$

Mit b = -11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+x_2+6x_3=-11$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 5 = -5.

Für a = -5 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-5x_1-x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-5x_1-x_2+3x_3=-25$ , d.h. für b = -25 sind die beiden Ebenen identisch.