Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_2+3x_3=-7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_2+5x_3=17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-4)}=-16$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-8)}=-16$ |+8
2a = -8 | :2
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2+x_3=4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 1+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 3+3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}=0$ |-0
3a = 0 | :3
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|4|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|4|0\right)$ in E: $3x_1+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$3=b$

Mit b = 3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+3x_3=3$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ -15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}39\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ =0

$39\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+5\cdot \mathrm{(-15)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 39}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-75)}=0$ |+78
39a = 78 | :39
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+3x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $39\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 3+5\cdot 0$ = 192
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$19=b$

Mit b = 19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+3x_2-15x_3=19$.