Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $+3x_2+3x_3=-6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$33=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-5x_3=33$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 1=18$
$10+3+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=18$ |-13
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2-4x_3=37$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot 4+0\cdot 3$=1
also: $\mathrm{}{x}_1=1$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 11\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 4+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 11=0$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-11)}=0$ |+15
5a = 15 | :5
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+3x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-2|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-2|-5\right)$ in E: $4x_1+3x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-57=b$

Mit b = -57 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+3x_2+11x_3=-57$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -10\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1+4x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1+4x_2-10x_3=-4$ , d.h. für b = -4 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -4, also z.B.: b = -3 setzen.