Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+x_2+x_3=18$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-4x_2-3x_3=-24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 1+4\cdot \mathrm{(-5)}=-30$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-20)}=-30$ |+24
2a = -6 | :2
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2=2$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|2|3\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=7 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|2|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -10\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-20)}+10=0$ |+10
5a = 10 | :5
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+5x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|1|5\right)$ in E: $2x_1+5x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-39=b$

Mit b = -39 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+5x_2-10x_3=-39$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$-1+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-9)}=0$ |+10
5a = 10 | :5
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 4+5\cdot 5+3\cdot 5$ = 44
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-3x_3=-9$.