Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-2x_2+3x_3=4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_2-3x_3=24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot 5=-19$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-20)}=-19$ |+22
3a = 3 | :3
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-34=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-3x_2+5x_3=-34$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 4+0\cdot 2$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 0+0\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-2|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-2|4\right)$ in E: $-3x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_2=6$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 29\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 29 = -58.

Für a = -58 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $10x_1+4x_2-58x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $10x_1+4x_2-58x_3=98$ , d.h. für b = 98 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 98, also z.B.: b = 99 setzen.