Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-5x_3=-40$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+5x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot 2=-15$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-6)}=-15$ |+10
1a = -5 | :1
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_3=-24$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 3+0\cdot 1$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$4+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|4|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|4|2\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$7=b$

Mit b = 7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-4x_3=7$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -9\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 5 = 15.

Für a = 15 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $15x_1-9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $15x_1-9x_2+3x_3=-78$ , d.h. für b = -78 sind die beiden Ebenen identisch.