Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+x_2+4x_3=-9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-x_2-2x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 5+4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-21$
$-10+\mathrm{(-16)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-21$ |+26
-5a = 5 | :(-5)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2-5x_3=18$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+4\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+0+\mathrm{(-20)}=0$ |+20
-5a = 20 | :(-5)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-2|-4\right)$ in E: $-4x_1+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+10x_3=-20$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ -12\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 41\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 41 = -123.

Für a = -123 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1-12x_2-123x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1-12x_2-123x_3=-111$ , d.h. für b = -111 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -111, also z.B.: b = -110 setzen.