Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-5x_2-2x_3=-11$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2+4x_3=-31$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-1)}=16$
$10+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}=16$ |-7
3a = 9 | :3
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_3=-14$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-2x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|5|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|5|-3\right)$ in E: $-3x_1-2x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-19=b$

Mit b = -19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-2x_2+x_3=-19$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 6+5\cdot 15+3\cdot \mathrm{a}=0$
$12+75+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |-87
3a = -87 | :3
a = -29

Für a = -29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+15x_2-29x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-1)}$ = 8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$62=b$

Mit b = 62 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+15x_2-29x_3=62$.