Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-2x_2+3x_3=-1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-4x_2-4x_3=40$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=12$
$-16+25+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=12$ |-9
-3a = 3 | :(-3)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-5x_2=26$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|2|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 2+0\cdot 3$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+0\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+0+25=0$ |-25
5a = -25 | :5
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-4|-1\right)$ in E: $-5x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$27=b$

Mit b = 27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-3x_2-5x_3=27$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 29\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 29 = -58.

Für a = -58 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $4x_1-10x_2-58x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $4x_1-10x_2-58x_3=-278$ , d.h. für b = -278 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -278, also z.B.: b = -277 setzen.