Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1=15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2+x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot 2=4$
$15+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-8)}=4$ |-7
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+2x_2-4x_3=12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$16+\mathrm{(-15)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-1
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+5x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|5|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|5|-2\right)$ in E: $4x_1+5x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$35=b$

Mit b = 35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+5x_2+x_3=35$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ -15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-6)}+5\cdot \mathrm{(-15)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-12)}+\mathrm{(-75)}=0$ |+87
3a = 87 | :3
a = 29

Für a = 29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $29x_1-6x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 3+5\cdot 0$ = -9
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-163=b$

Mit b = -163 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $29x_1-6x_2-15x_3=-163$.