Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_2-3x_3=1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+4x_3=-18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=12$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-5)}+15=12$ |-10
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-3x_2+5x_3=3$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 4+0\cdot 1$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|5|-5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$7=b$

Mit b = 7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-4x_3=7$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-15)}+3\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$-75+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}=0$ |+78
3a = 78 | :3
a = 26

Für a = 26 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1+26x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 0+3\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-2)}$ = -5
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1+26x_2-3x_3=-20$.