Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_3=10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+5x_2+x_3=-29$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=9$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+4=9$ |+11
-5a = 20 | :(-5)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+2x_2-4x_3=-9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 1+0\cdot 1$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{a}+5\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 5=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+15+\mathrm{(-15)}=0$ |-0
3a = 0 | :3
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+3x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-3|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-3|2\right)$ in E: $+3x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$1=b$

Mit b = 1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+3x_2+5x_3=1$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 10\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -1 ⋅ 10 = -10.

Für a = -10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $4x_1-2x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $4x_1-2x_2-10x_3=0$ , d.h. für b = 0 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 0, also z.B.: b = 1 setzen.