Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-5x_3=-25$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+2x_2-3x_3=-14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 1+5\cdot \mathrm{(-5)}=-3$
$20+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-25)}=-3$ |+5
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+4x_2+2x_3=-12$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=0$ |+12
-2a = 12 | :(-2)
a = -6

Für a = -6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-5x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|1|5\right)$ in E: $-4x_1-5x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-19=b$

Mit b = -19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-5x_2-6x_3=-19$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 17\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot 12+17\cdot \mathrm{a}=0$
$-3+\mathrm{(-48)}+\mathrm{a\; \cdot \; 17}=0$ |+51
17a = 51 | :17
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+12x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot 0+17\cdot \mathrm{(-5)}$ = -83
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-21=b$

Mit b = -21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+12x_2+3x_3=-21$.