Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-5x_3=-24$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+2x_2+2x_3=-22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 0+2\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=-10$
$0+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=-10$ |-10
-4a = -20 | :(-4)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2+4x_3=-21$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 1+0\cdot 1$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ -10\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+0+10=0$ |-10
-5a = -10 | :(-5)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-5|-1\right)$ in E: $2x_1-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$18=b$

Mit b = 18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-10x_3=18$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 4 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-2x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-2x_1-4x_2-2x_3=18$ , d.h. für b = 18 sind die beiden Ebenen identisch.