Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+2x_2+3x_3=-1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2+x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot 2=27$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+15+8=27$ |-23
-4a = 4 | :(-4)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-3x_2+5x_3=19$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 4+0\cdot 1$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 7=0$
$15+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-7)}=0$ |-8
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+2x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-2|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-2|-3\right)$ in E: $3x_1+2x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+2x_2+7x_3=-16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ -9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ =0

$10\cdot \mathrm{a}+1\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 10}+3+27=0$ |-30
10a = -30 | :10
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+3x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $10\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = -35
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$27=b$

Mit b = 27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+3x_2-9x_3=27$.