Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+3x_2-4x_3=27$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+4x_3=-17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{(-3)}=4$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+4+\mathrm{(-15)}=4$ |+11
-5a = 15 | :(-5)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+4x_3=16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 1+0\cdot 2$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 1+5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-2+5+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-3
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|5|-1\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-25)}=0$ |+29
1a = 29 | :1
a = 29

Für a = 29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $29x_1-2x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 3+2\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 2$ = 3
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$87=b$

Mit b = 87 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $29x_1-2x_2-5x_3=87$.